Juan Camilo Ruiz-C. Décimo Grado Nancy Dottor Matemáticas Diciembre 7 2013 Trigonometría en la topografía
Índice
Pregunta Introducción Marco Teórico Datos que se utilizan para la pregunta Conclusión Bibliografía
Pregunta ¿Cómo podemos hacer cálculos simples de medición, gracias a la trigonometría y la topografía?
Introducción En este trabajo escrito informativo se hablara a cerca de las influencias de la trigonometría en la topografía. Como lo podemos aplicar en las diferentes ramas matemáticas. Desde medir un edificio, hasta medir la longitud y altura de la construcción de un puente. Se hará presente de un ejemplo, usando los materiales necesarios y las formulas necesarios para lograr concluir concretamente el ejemplo. Se tendrá que crear un goniómetro casero para lograr resolver el problema que será propuesto. Se darán ejemplos cotidianos de la importancia del uso esencial de la trigonometría en la topografía. Porque se hace este trabajo, aparte de ser una obligación, también es porque podemos identificar las diferentes cosas en las que se puede aplicar un tema de trigonometría y arquitectura básica. Para que se haga el proyecto es para poder demostrarle a la sociedad la influencia veraz la que tienen las matemáticas, o las trigonometrías en las diferentes áreas sociales. El cómo se hizo el proyecto, consta de ciertos pasos
Indagar profundamente sobre el tema Al indagar aplicar el experimento Conseguir los materiales y recursos del proyecto Aplicar los materiales y recursos en el experimento Hacer el ensayo
Marco Teórico La trigonometría y la topografía se usan para cualquier tipo de construcción arquitectónica, desde edificios hasta puentes. Ya que mediante estos procesos, se puede calcular la altura necesaria del objeto. Y que tanto espacio se deberá usar, para no usar ni más ni menos y estos cálculos deberán ser extremadamente precisos o si no pueden terminar en conclusiones fatales. Ya que si la distancia no es la suficiente o la altura es demasiado alta o baja, puede aquella construcción colapsar. Para empezar, el trabajo matemático se basa en medir un edificio mediante la trigonometría y la topografía, para esto se necesitaran estos materiales y recursos:
Un goniómetro casero Un edificio Un metro Una persona
El goniómetro es un instrumento muy sofisticado y de un precio caro, por eso se deberá construir uno, aquel proceso será bastante simple. 1. La recolecta de los materiales Cinta de enmascarar Cabuya de grosor mediano Transportador Tubo hueco por dentro Objeto de peso liviano 2. Ahora amarraremos la cabuya al tubo 3. Ahora el tubo hueco unido a la cuerda ahora e anexara al transportador mediante la cinta de enmascarar en la parte baja. 4. A la cabuya colgante se adjuntara el objeto
Los datos se recolectaran mediante las fórmulas de las razones trigonométricas, se investigara la metodología correcta para lograr concluir los cálculos finales de manera precisa. Pero antes de poder avanzar con el proceso se deberán saber las fórmulas que se emplearan en el proceso.
Teorema de Pitágoras: 1. 2.
√ √ √
3. 4. (c= hipotenusa b=cateto a= cateto)
Todas la razones trigonométricas: 1. Seno=cateto opuesto/hipotenusa 2. Coseno=cateto adyacente/hipotenusa 3. Tangente=cateto opuesto/cateto adyacente 4. Cosecante=hipotenusa/cateto opuesto 5. Secante=hipotenusa/cateto adyacente 6. Cotangente=cateto adyacente/cateto opuesto Formula de Herón: 1.
√ 2
De todas formas antes de poder seguir con el trabajo, vamos a hacer una exploración profunda de la trigonometría en la topografía. Debemos tener claro cuál es la mayor influencia de la trigonometría en la topografía. Nos ayuda a poder calcular la distancia de un punto “A” un punto “B”, ya sea una hipotenusa de manera vertical o una medida de distancia horizontalmente. Podemos evidenciar claramente el uso de esta rama en cualquier tipo de arquitectura, ya que al crear alguna estructura, se debe saber que tan amplio debe ser para que se sostenga el peso de la altura. Y para esto debemos calcular el punto máximo de la estructura mediante teorema de Pitágoras o cualquier razón trigonométrica. Para crear un puente también podemos evidenciar el uso de esta temática ya que se debe saber la altura de las vigas y de las bases para poder saber a qué altura se colocara la carretera y la distancia máxima que se debe emplear o si no las bases no aguantarían. El uso del goniómetro es posiblemente el instrumento más esencial en la topografía, ya que gracias a este instrumento podemos calcular casi la distancia exacta como he mencionado antes, de un punto al otro. Así por ejemplo poder calcular la distancia y perímetro de una carretera o de un área, y lograr sacar el perímetro área. El goniómetro eléctrico es capaz de analizar la densidad de la superficie, lo cual hace mucho más preciso a la hora de calcular la altura de la superficie. El goniómetro y la trigonometría le han aportado cantidades al mundo ya que gracias a esto hemos podido calcular distancias precisas del posicionamiento global, pero ese ya es otro tema. La fórmula de Herón es usada para lograr hallar el área de algún extenso terreno de desniveles en la superficie y de largas distancias. Pero cuando se tienen las 3 variables esenciales, lo cual son (x, y, z) se aplicara la formula. Esta fórmula es usada más que todo para lograr hallar la altura de un terreno y a que altura se encuentra, que tan extenso es y cuál es la hipotenusa, que se formaría por el triángulo invisible. También existe una maquina muy parecida al goniómetro, que básicamente se usa para los mismos principios ingenieros y topográficos, para medir ángulos verticales y distancias entre 2 o más cotas. Se hace de manera que se colocan 2 teodolitos de un lado a otro y es capaz de analizar qué tan lejos está el uno del otro y que ángulos verticales se sufren dentro de esa área de tierra. El teodolito usa el
principio de la fórmula de Herón, ya que necesita poder calcular exactamente el Herón, quien fue un gran matemático y el teorema de Pitágoras, para hallar la distancia entre las 2 máquinas. Básicamente el teodolito se especializa en medir ángulos verticales, ya sea la altura de algo, o el nivel de elevación de una montaña. El goniómetro es básicamente usado para calcular distancias dentro de un área de tierra. Esto influye en la vida moderna, porque podemos calcular el área de una extensión de tierra, para poder sembrar y empezar actividades agrícolas o lograr tener una finca con animales, para cualquier uso, pero se debe saber el área de este para evaluar si es apto el uso de aquella extensión de tierra. Ahora si esta extensión quedara en una montaña, los teodolitos calcularían que ángulo de elevación tienen y cuál es la medida del pico más alto. Esto nos ayuda también a verificar la utilidad de la tierra. También podemos verificar el uso de estos instrumentos a la hora de sacar recursos naturales como el agua, la madera, etc… Ya que se podrá saber hasta qué punto se pueden encontrar estos recursos, y que tanto se deberá sacar, ya que si en esta extensión hay pocos árboles, pero mucha tierra, se podría ver afectado el medio ambiente. Un ejemplo más simple de como la topografía y la trigonometría se influyen, y más que estamos en las épocas navideñas. Es cuando llega la hora de armar el árbol de navidad. Volviendo a nuestro goniómetro o teodolito casero podemos verificar la altura del techo y según esto, podremos adquirir un árbol de navidad que tenga una altura no tan alta pero no tan baja. Porque si no se sabe la altura del techo, el árbol de navidad o no cabra o se verá muy pequeño dentro del área del hogar. Y ese es un ejemplo claro de cómo se ve la trigonometría en la topografía con un simple hecho que cada año se hace inconsciente de saber qué es lo que verdaderamente ocurre. En una casa, no es tan difícil calcular esto, pero cuando vemos en los centros comerciales o en cualquier otro lado parecido si se debe saber la medida de la altura del techo o si no, la navidad no será igual. También se puede evidenciar en la construcción de cualquier cosa que vaya a tomar cierta extensión de tierra. Por ejemplo, ya sea una cancha de futbol o un parque de diversiones. Porque podremos tener cierta extensión de tierra, y se quiere hacer cualquiera de las anteriores y se conocen las medidas supuestas de lo que se va a construir pero no se conoce la distancia de esta extensión de tierra. Entonces mediante los instrumentos topográficos podemos establecer entre los 2 puntos, para que se logre concluir si verdaderamente se puede construir lo deseado ahí o no. En el paracaidismo de torres o bases construidas por el ser humano de tamaño alto, en muchas ocasiones se debe saber que altura tiene aquella torre, pero no es tan simple como acudir a los medios de investigación para averiguar que altura tiene aquella estructura cuando con simples cálculos se puede lograr, porque en muchas ocasiones si se debe saber la altura de la estructura ya que si el paracaidista no está en las condiciones para hacerlo se debe tener en cuenta estos factores por si sucede cualquier cualidad. El caso es que acabamos de ver que tan útil es esta práctica y que con simples ejemplos se ha podido demostrar que logar estas respuestas son en
verdad pasos bastantes simples, también que es una rama que podríamos ver a diario sin saber qué es lo que en realidad sucede.
Goniómetro Casero
Goniómetro Eléctrico
Mi trabajo va a consistir en medir una estructura, de “x” altura, y se medirá el ángulo que produce desde dos puntos, y se medirá que distancia hay del punto “A” al edificio y que distancia ha y del punto “B” al edificio y según esas medidas, se hallara la hipotenusa mediante razones trigonométricas y cuando hayamos logrado encontrar el valor de la hipotenusa, se aplicaran los ángulos de ambos puntos se unirán y apenas hayamos encontrado la hipotenusa despejaremos el teorema de Pitágoras y se lograra finalmente mediante cálculos simples hallar la altura exacta de la estructura. A continuación veremos detalladamente el proceso para encontrar la respuesta.
Datos que se utilizan Para lograr determinar esto se debe otra vez recordar, el trabajo que se va a realizar, usando un goniómetro casero hallaremos la altura de un edificio, reemplazando las variables halladas en las formulas proporcionadas por la investigación:
Angulo A
Angulo B
Y
Y
X
X
DATOS Angulo A=30º Angulo B=32º X=1676cm x=1234cm Y= y=157cm
1234 0,57 157
730.38 157
860.38
Se va a realizar una breve explicación de lo que se acaba de tratar. En primera instancia se construyó el goniómetro casero. Este instrumento se usa de una manera, donde el objeto liviano quede colgando y al subir una de la puntas del transportador, mediante la cuerda, nos indicara a que ángulo se encuentra desde la altura de mis ojos a la de la punta de la estructura. Para poder hallar esta altura, primero se midió el ángulo desde el primer punto, se corrió 234cm. Y se midió desde ese punto también. Ahora se investigó que formulas se deberán usar, ya que despejaremos la tangente según las razones trigonométricas, ya que ese debe ser la razón que se debe despejar. Después de haber empleado la formula hemos podido lograr hallar la altura exacta de la torre. Se tuvo que haber despejado la tangente ya que es una de las razones trigonométricas que trabaja con los variables que nos han dado en este problema, se restó y sumo ya que se estaban empleando 2 ángulos y por esto es que toco hacerlo de esta manera, estas fórmulas fueron investigadas como parte de este ejercicio. Mediante todas estas fórmulas finalmente se ha podido concluir con eficacia la altura del edificio, lo cual era la respuesta final.
Conclusión En conclusión la trigonometría como tal es una rama matemática muy esencial para ella, el fenómeno de los triángulos es algo básicamente increíble, la teoría del triángulo invisible nos ha ayudado a solucionar muchas dudas en la vida, diaria, ya que mediante ellos hemos podido calcular cosas jamás imaginadas. El caso, respondiendo concretamente mi pregunta, los cálculos simples se pueden hacer de distintas formas como el de mi ejercicio, de medir un edificio con un teodolito casero. Esto fue posible a que la trigonometría es capaz de brindarnos con exactitud las medidas y las variables que se requieren para un trabajo. Este ejercicio es uno de los muchos que se pueden hacer en simples pasos y que estos cálculos son realmente precisos si los instrumentos sirven de manera precisa. Otro cálculo simple es calcular la distancia en x de un punto “A” a un punto “B” usando las teorías propuestas, los teoremas y las razones trigonométricas. Gracias a la evolución matemática en el mundo y a la tecnología hemos sido capaces de descubrir y descifrar millones de cosas y también cómo funciona la vida en nuestro planeta. Hemos logrado mostrarle al mundo que mediante las matemáticas hemos podido ir al paso de la evolución tecnológica y gracias a esto es que hemos creado máquinas y cosas que le han aportado muchas cosas buenas a la humanidad y a la vida diaria. Las matemáticas han sido capaces de mostrar la existencia de algo tan efímero y casi incapaz de ver o comprobar, el átomo. La trigonometría desde que estaba en proceso de desarrollo no san mostrado que si hay personas capaces de explotar lo que nos puede brindar la matemática podemos comprobar y descubrir cosas maravillosas. Como por ejemplo en la trigonometría, lo cual fue capaz de demostrar que éramos nosotros quien giraba en torno al sol y no el sol entorno a nosotros.
Bibliografía
Proyecto calculando alturas. (n.d.). Retrieved from http://www.youtube.com/watch?v=tiNazhCsNtw Teorema de Pitágoras. (n.d.). Retrieved from http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20090204180220AA923wd Formula heron. (n.d.). Retrieved from http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_Herón Teodolito. (n.d.). Retrieved http://www.topoequipos.com/dem/terminologia/que-es-un-teodolito http://es.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3n_de_Alejandr%C3%ADa
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