Cuando las organizaciones de vuelos espaciales desean poner en órbita un satélite deben lanzarlos con una velocidad aproximada de 8 km/ km/s. Pero cuando quieren que salga de la órbita terrestre deben lanzarlo con una velocidad 8 2 km/ km/s y la trayectoria resulta ser una hipérbola. hipérbola. Fig. (a). Pero no hay que ir tan lejos para comprobar que las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo la intersección del plano de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola tal como se puede apreciar en la imagen. Fig. (b).
11.3.1. La Parábola 11.3.1A. Definición Se llama parábola llama parábola al lugar geométrico de puntos P que equidistan de un punto fijo F y de una recta fija d del plano. 11.3.1B. Construcción de la parábola Para dibujar una parábola necesitamos una escuadra y un hilo que tenga la misma longitud que uno de sus catetos. Fijamos un punto F y una recta d. Un extremo del hilo, de longitud HG, se fija en el vértice G de la regla correspondiente al ángulo no recto del cateto, cuya longitud debe coincidir con la del hilo, y el otro extremo en F . El otro cateto de la escuadra se apoya en la recta fija d . Con un lápiz tensamos el hilo manteniéndolo pegado al cateto al mismo tiempo deslizamos la escuadra a lo largo de la recta fija, de esta forma se dibuja la parábola. parábola. Debe observarse que: PH = PF. 11.3.1C. Elementos de la parábola C1. Foco Es el punto fijo «F» que sirve de primera referencia para medir las distancias de un punto «P» de la parábola. C2. Directriz Es la recta fija «d « d» que sirve de segunda referencia para medir las distancias de un punto «P» de la parábola.
Und. 11 Geometría Analítica
639
C3. Eje Se llama eje de la parábola a la recta FD que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.
El foco está en F(0; p) y la ecuación de la directriz es D : y = -p. Si p > 0, la parábola se abre ha cia arriba (Fig. c), si p < 0, hacia abajo (Fig. d).
C4. Vértice Se llama vértice al punto medio V del segmento FD y que está definido por la intersección del eje con la parábola. C5. Cuerda Se llama cuerda al segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola. C6. Cuerda focal Se llama cuerda focal a toda cuerda PP’ que pase por el foco. C7. Lado recto Se llama lado recto a la cuerda focal LL’ que es perpendicular al eje. C8. Radios focales Se llaman radios focales de P y P’ a los segmentos FP y FP’ respectivamente. El término p se llama parámetro de la parábola. En cualquier caso la distancia de la directriz al vértice y la distancia del vértice al foco son iguales a | p|. Asimismo la longitud del lado recto se obtiene haciendo en (1) x = p, o, y = p en (2), obteniéndose en cualquier caso: LL’ = |4 p|.
11.3.2. Ecuación de la Parábola 11.3.2A. Forma reducida La ecuación de la parábola toma su forma más reducida o simple cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes coordenados. A1. Vértice en el origen y eje en el eje x Si el vértice está en el origen y el eje coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es: y 2 = 4 px
Observación.- Algunos autores definen p > 0 y consideran los siguientes casos: y 2 = 4 px ;
y 2 = -4 px
;
x 2 = 4 py ;
x 2 = -4 py
Ejemplo 1.- Las siguientes son parábolas cuyos ejes están en el eje de abscisas:
. . . (1)
El foco está entonces en F( p; 0) y en tal caso la ecuación de la directriz es d: x = -p. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha (Fig. a); si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda (Fig. b).
Ejemplo 2.- Las siguientes son parábolas cuyos ejes están en el eje de ordenadas:
A2. Vértice en el origen y eje en el eje y Si el vértice está en el origen y el eje coincide con el eje y, la ecuación de la parábola es: x 2 = 4 py
640
Trigonometría
. . . (2) Und. 11 Geometría Analítica
641
11.3.2B. Forma trasladada Cuando el vértice de la parábola se ubica en V( h; k) y su eje es paralelo a uno de los ejes coordenados, pueden presentarse los siguientes casos. a) Eje paralelo al eje x: ( y - k )2 = 4 p( x - h) , Foco: F(h ; k + p), Directriz: x = h - p b) Eje paralelo al eje y: ( x - h)2 = 4 p( y - k ) , Foco: F(h ; k + p), Directriz: y = k - p La distancia de la directriz al vértice, la distancia de los vértices al foco y la longitud del lado recto son las mismas que las dadas en el ítem anterior.
11.3.3. La Hipérbola 11.3.3A. Definición Se llama hipérbola al lugar geométrico de puntos P de un plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F y F’ del mismo plano es constante. 11.3.3B. Construcción de la hipérbola Para dibujar una rama de hipérbola necesitamos una regla de longitud L > FF’ y un hilo que tenga una longitud l tal que L – l = 2a, siendo 2a la cantidad constante. Fijamos un extremo de la regla en el punto F’. Un extremo del hilo se fija en D, extremo libre de la regla, y el otro en F. Teniendo tenso el hilo a lo largo de la regla y haciendo girar a ésta alrededor de F’, el punto P describirá un arco de hipérbola. Debe observarse que para cualquier posición de P se verifica que: F’P + PD = L, FP + PD = l, tal que: F’P – FP = 2a. Obsérvese que el conjunto de puntos consta de dos ramas distintas, ambas infinitas.
La ecuación de la parábola suele darse mediante la expresión: A x2 + By2 + C x + D y + E = 0, donde, A y B no son nulos a la vez. Ejemplo.- Tracemos el gráfico y obtengamos las coordenadas del vértice y el foco, las ecuaciones del eje y de la directriz, y la longitud del lado recto de la parábola: y2 – 6y + 8 x + 41 = 0 Empecemos expresando la ecuación en la forma: (y – 3)2 = -8(x + 4) Obsérvese que 4 p = -8 por lo que la parábola se abre hacia la izquierda. Identificamos el vértice en V(-4; 3), y el eje por V es paralelo al eje x.
11.3.3C. Elementos de la hipérbola C1. Focos Son los puntos fijos F y F’ que sirven de primeras referencias para medir las distancias de un punto P de la hipérbola. C2. Centro Es el punto medio C del segmento FF’ que une los focos. C3. Vértices Son los puntos V y V’ en los que el segmento FF’, que une los focos, corta la hipérbola.
Para situar el foco, nos desplazamos, por el eje y desde el vértice hacia la izquierda, una distancia | p| = 2, esto es, hasta el punto F(-6; 3).
Las distancias entre los vértices y los focos están relacionadas por:
Para situar la directriz, nos desplazamos, por el eje y desde el vértice hacia la derecha, una distancia | p| = 2, esto es, hasta D(-2; 3). La directriz pasa por D tiene por ecuación: x + 2 = 0.
C4. Eje transverso
Asimismo el lado recto LL’ mide: |4 p| = 8.
Es el segmento perpendicular al eje transverso que lo intersecta en el pu nto medio del segmento VV’.
Por último, mediante los puntos L, L’ y V se puede bosquejar la parábola tal como se muestra en la figura adjunta.
Para designar al eje conjugado basta indicar un segmento de longitud BB’ con la condición de que su punto medio C coincida con el punto medio del segmento VV’.
642
Und. 11 Geometría Analítica
Trigonometría
FP – F’P = VV’ El segmento VV’ determinado sobre la recta FF’ se llama eje transverso o real. C5. Eje conjugado
643
C6. Cuerda Es todo segmento cuyos dos extremos están sobre la hipérbola, ambos en una misma rama o en distintas ramas.
d) Los focos están sobre el eje transverso en F’( -c; 0) y F(c; 0)
C7. Cuerda focal Es aquella cuerda cuyos dos extremos pertenecen a una misma rama y que pasa por el foco de la misma rama de la hipérbola.
A2. Centro en el origen y eje transverso en el eje y
e) En el
2
Si el centro está en el origen y el eje transverso sobre el eje y, la ecuación de la hipérbola es: 2
C8. Lado recto Se llama lado recto de la hipérbola a la cuerda focal LL’ que es perpendicular al eje transverso. C9. Directrices Son aquellas rectas d y d’ ubicadas entre las ramas de la hipérbola respecto de las cuales la razón de las distancias de todo punto P a ellas y a los focos F y F’ es constante. FP F'P = constante PD PD'
El punto fijo es un foco F o F’ y la recta fija d o d’ es una directriz. C10. Excentricidad Se llama así a la razón e > 1 de las distancias medidas desde un punto a los focos y a las directrices. La excentricidad es también la razón que existe entre las distancias del centro C al foco F y del centro al vértice V de la misma rama. e FP F'P CF PD PD' CV
2
OBV se verifica que: c a b
y
2
a
2
x 2 1
. . . (2)
b
Luego de identificar las raíces cuadradas de los denominadores se tiene que: a) Los vértices están en V(0; a) y V’(0; -a). b) La longitud del eje transverso es V’V = 2a. c) Los extremos del eje conjugado son B’(-b; 0) y B(b; 0) y su longitud es B’B = 2b. d) Los focos están sobre el eje transverso en F(0; c) y F’(0; -c). e) Y en el
OBV se verifica que: c a2 b2
O bserv aciones: 1) En ambos casos, la longitud del lado recto es: 2
11.3.4. Ecuación de la Hipérbola
LL ' 2b a
2
2) La excentricidad está dada por:
11.3.4A. Forma reducida La ecuación de la hipérbola toma su forma más reducida o simple cuando su centro es el origen y su eje transverso está sobre un eje coordenado.
3) Las directrices son perpendiculares al eje transverso y respecto del centro, están ubicadas a las distancias:
A1. Centro en el origen y eje transverso en el eje «x»
2
d a a c e
Si el centro está en el origen y el eje transverso sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es:
Ejemplo.- Las siguientes son hipérbolas en la que se indican sus dos ejes:
2
2 x y 1 2 2 a b
2
e c a b a a
. . . (1)
A partir de las raíces cuadradas de los respectivos denominadores: a y b, se determinan: a) Los vértices en V(a; 0) y V’(-a; 0) b) El eje transverso es V’V = 2 a. c) Los extremos del eje conjugado son B’(0; - b) y B(0; b) y su longitud es B’B = 2 b.
644
Trigonometría
Und. 11 Geometría Analítica
645
11.3.4B. Forma trasladada Cuando el centro está en C(h; k) y el eje transverso es paralelo respectivamente al eje x o al eje y, la ecuación de la hipérbola tiene una de las siguientes formas: a) Eje paralelo al eje x:
b) Eje paralelo al eje y:
x h 2 2
a
y k 2
a
2
y k
2
2
b
x 2h
b
2
1
11.3.5. Asíntotas de la Hipérbola Se llaman así a las rectas que tienen la propiedad de que la distancia de un punto de la hipérbola a una de ellas tiende a cero cuando el punto se aleja indefinidamente del centro. La ecuación de las asíntotas son:
b x Fig (a) a
a) Para hipérbolas del tipo (1):
1
Los ejes transverso y conjugado, la distancia entre focos, la distancia del centro a una directriz, la longitud del lado recto y la excentricidad se determinan como en el caso anterior.
b) Para hipérbolas del tipo (2): x b y Fig (b) a
Ejemplo.- Determinemos el centro, vértices y focos; ejes transverso y conjugado; lado recto, la 2
2 y 1 excentricidad y las ecuaciones de las directrices y asíntotas de la hipérbola x 3 1 4 25 y graficarla.
El centro está en C(-3; 1). Como a2 está en el término positivo del primer miembro de la ecuación, se logra establecer que: a2 = 4 y b2 = 25; luego: a = 2 y b = 5. El eje transverso es paralelo al eje «x» porque la variable x está en el término positivo. Para situar los vértices se toman sobre el eje transverso dos puntos distantes a = 2 del centro «C», que son V(-1; 1) y V’(-5; 1). Para situar los extremos del eje conjugado se toma en la perpendicular al eje transverso una distancia b = 5 del centro los puntos B’(-3; -4) y B(-3; 6). Los ejes transverso y conjugado tienen longitudes 2a = 4 y 2b = 10, respectivamente.
Si las hipérbolas tienen su centro en un punto tal como C( h; k), la pendiente de las asíntotas no cambian, es decir son como aquí la hemos presentado. Ejemplo.- Determinar las asíntotas de la hipérbola del ejemplo anterior. De la ecuación de la hipérbola: x 3 2
La distancia del centro a un foco es: c a 2 b 2 4 25 29 Para situar los focos, se toman sobre el eje transverso a partir del centro dos puntos a distancia c 29 , que son F(-3 + 29 ; 1) y F’(-3 - 29 ; 1). La cuerda perpendicular al eje mayor por un foco es 2b2/a = 25. Las coordenadas de sus extremos son (-3 + 29 ; 27/2) y (-3 + 29 ; -23/2) para la que pasa por F, ya que F es su punto medio; y(-3 - 29 ; 27/2) y (-3 - 29 ; -23/2) para la que pasa por el foco F’.
4
y 1 25
2
0
Se puede deducir que a = 2 y b = 5. A partir de ello se puede aplicar la fórmula de las asíntotas: Pendientes: ±b/a = ±5/2
La excentricidad está dada por: e c / a 29 /2
Luego las ecuaciones son: y – 1 = ±5/2(x + 3)
La distancia del centro a una directriz es a2/c = 4/ 29 = 4 29 /29. Como las directrices son perpendiculares al eje transverso, sus ecuaciones son d: x = -3 + 4 29 /29 y d : x = -3 - 4 29 /29.
Es decir:
646
Und. 11 Geometría Analítica
Trigonometría
5x - 2y + 17 = 0
5x + 2y + 13 = 0
647
11.3.6. Hipérbolas Equiláteras Las hipérbolas de ecuaciones x2 - y2 = a2 y y2 - x2 = a2 cuyos ejes transversos y conjugados tienen igual longitud 2a se llaman hipérbolas equiláteras. Como sus asíntotas x ± y = 0 son perpendiculares entre sí, la hipérbola equilátera se suele llamar también rectangular .
01.- Completar el siguiente cuadro, anotando en «E»
el eje coordenado en donde se ubica el eje de la parábola, en «F» anotar las coordenadas de su foco, en «d» escribir la ecuación de su directriz y en LL’ anotar la longitud de su lado recto.
Parábola
E
F
d
LL'
03.- Dadas las ecuaciones de cuatro parábolas: 2
A : x – 6x + 8y + 25 = 0 2
B : y – 16x + 2y + 49 = 0 2
C : x – 2x – 6y – 53 = 0 2
D : y + 20x + 4y – 60 = 0 Se pide determinar y escribir las coordenadas del vértice (V) y el foco (F), las ecuaciones del eje (E).
Parábola
V
F
E
02.- Dadas las siguientes gráficas de parábolas, se pide indicar las coordenadas del foco (F), la longitud del lado recto (LL’) y la ecuación de la directriz (d):
El caso (c) es el de la hipérbola simétrica que se le ha hecho rotar 45º respecto de sus posiciones anteriores. En su ecuación, el término «k» es una constante.
a.
Ejemplo.- Las siguientes son hipérbolas simétricas: 04.- Del ejercicio anterior se pide vincular el lado recto b.
LL’ de la parábola con la ecuación de su correspondiente directriz: a. 8
Observación.- Dos hipérbolas tales que el eje
c.
b. 20
ii. 2y + 21 = 0
c. 16
iii. y = 0
d. 6
iv. 5x – 41 = 0
05.- Dadas las siguientes ecuaciones de hipérbolas:
transverso de la una es el conjugado de la otra, 2 2 2 2 y y x 1 , se llaman hicomo las x 1 y 16 9 9 16 pérbolas conjugadas, y se dice que cada una es co n jugada de la otra.
i. x + 1 = 0
2
A. x 9
2
d.
B.
y 4
2
y 1 4
2
x 1 25
Dos hipérbolas conjugadas tienen, pues, el mismo centro y las mismas asíntotas.
C. 9x
2
25y 2 225
Sus focos están sobre un círculo cuyo centro es el centro común de ambas hipérbolas.
D. 9y
2
16 x 2 144
648
Trigonometría
Und. 11 Geometría Analítica
649
Se pide completar el siguiente recuadro anotando en «E» el eje coordenado en donde se ubica el eje transverso, en V y V’ sus vértices, en F y F’ sus focos:
E
V
V'
F
F'
08.- Dadas las hipérbolas: 2
2
a. 9x – 25y – 36x – 150y – 41y = 0 2
PARÁBOLA
2
b. 9x – 4y + 54x + 16y – 79 = 0 2
2
c. x – 4y + 6x + 16y – 11 = 0 2
Prob. 01
2
d . 144x – 25y – 576x + 200y + 3776 = 0 Escribir en los recuadros las coordenadas de sus centros (C), vértices (V y V’) y focos (F y F’).
C
V
V'
F
F'
hipérbola con su correspondiente excentricidad ubicada en la columna de la derecha:
b. 8/3
ii. 5/4
c. 9/2
iii.
34 5
d. 4/5
iv.
29 2
d'
P: y2 = 12x
09.- Del ejercicio anterior se pide vincular cada eje
T
T'
i.
b. 6
ii. 25/6
c. 4,2
iii. 10
d. 24
iv. 8/3
Si el punto A(9; 6) pertenece a la parábola P, entonces debe satisfacer la ecuación. Luego, reemplazamos las coordenadas y calculamos el parámetro p, así: 2
2
y 4 px 6 4 p 9 p 1
10.- Anotar la excentricidad de cada una de las hipérbolas del ejercicio anterior:
Finalmente, la ecuación de la parábola es:
a. e =
Prob. 02
b. e =
Determina el valor del parámetro y la posición de parábola y 2 = -4x con respecto a los ejes coordenados.
d. e =
Trigonometría
Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo que la parábola es simétrica con respecto al eje Ox, y pasa por el punto A(9; 6)
De la información deducimos que la ecuación de la parábola tiene la forma: y2 = 4 px
5/2
a. 14
c. e =
650
Prob. 03
transverso (VV’) con su corres pondiente lado recto (LL’) de la columna de la derecha:
las directrices d y d’, así como la de sus asíntotas T y T’.
d
p = 3
Ahora, la gráfica de la parábola será como se muestra en la figura:
07.- Del ejercicio anterior, determinar las ecuaciones de
Hipérbola
Y como:
3 13 8
i.
Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas. Además se sabe que ella está situada en el semiplano derecho, es simétrica con respecto al eje Ox y su parámetro es p = 3.
De la información que nos dan en el enunciado, deducimos que la ecuación de la parábola P tiene la forma: y2 = 4 px
06.- Del ejercicio anterior vincular el lado recto de la
a. 25
parábola se abre hacia la izquierda, como se muestra en la siguiente gráfica:
La ecuación y2 = -4x corresponde a una parábola de vértice en el origen de coordenadas cuyo eje está en el eje x, y cuyo parámetro se obtiene de: 4 p = -4, es decir: p = -1. El signo del parámetro (-1), nos indica que la Und. 11 Geometría Analítica
P: y 2 = 4 x
Prob. 04 Un cable de acero está colgado por los dos extremos. Los puntos de suspensión están situados a una misma altura y a una distancia de 20 m. La magnitud de flexión a la distancia de 2 m de los puntos de suspensión en sentido horizontal, es igual a 14,4 cm. Determina la magnitud de sus pensión de este cable en su punto medio (la flecha), suponiendo que el cable tiene la forma d e un arco de parábola.
651
Asimismo el valor del parámetro « p» es: 4 p = 4
Uniformizamos las medidas expresando todos los datos en centímetros. Elaborando una figura para visualizar las condiciones del problema indicando con V el punto medio, se tiene:
Del gráfico, notamos que las coordenadas del foco son: F( p; 0) = F(6; 0) y la ecuación de la directriz es: x = - p. El cable de acero tiene por ecuación: x2 = 4 py Los puntos A(1000; h) y B(800; h - 14,4) pertenecen a la parábola, por lo tanto, deben satisfacer la ecuación: 1000 2
4 ph
800 2
4 p h 14, 4
Dividiendo las dos ecuaciones y simplificando, obtenemos: 25 h 16 h 14, 4
h 40 cm
Finalmente, la magnitud de suspensión (h) de este cable en su punto medio es 40 cm.
Prob. 05 Calcula el foco «F» y la ecuación de la directriz de la parábola y 2 = 24x.
2
2
y 24x y 4 px Luego:
4 p 24 p 6
Se trata entonces de una parábola de eje focal en el eje «x», que se abre hacia la derecha. Ahora elaboramos el gráfico correspondiente para esquematizar la parábola:
652
Trigonometría
En la figura observamos que el parámetro p = 7, entonces la ecuación de la parábola tiene la forma: y2 = -4 px
d : x = -6
P: y 2 = -28 x
Prob. 08
Prob. 06 Determina el radio focal del punto «M» de la parábola y 2 = 12x, si la ordenada de este punto es igual a 6.
Sean (xm; 6) las coordenadas del punto «M» que pertenece a la parábola, luego al reemplazar en la ecuación y2 = 12x, obtenemos M(3; 6). Ahora, calculamos el parámetro p, así: 4 p = 12
p = 3
Luego, las coordenadas del foco de esta parábola, cuyo eje focal está en el eje «x», tiene la forma: F( p; 0) = F(3; 0).
Calcula la ecuación de la parábola, sabiendo que su vértice coincide con el punto ( ; ), el parámetro es igual a «p», el eje es paralelo al eje Oy, y la parábola se prolonga in definidamente en la dirección positiva del eje Oy (es decir, la parábola es ascendente).
Nos informan que el eje focal es paralelo al eje «y», de vértice (; ), parámetro « p» y se abre hacia arriba, luego se trata de una parábola cuya ecuación tiene la siguiente forma:
FM 6
Prob. 07 Determina la ecuación de la parábola, si se da el foco F(-7; 0) y la ecuación de la directriz x - 7 = 0.
Si la ecuación de la directriz es x = 7 y las coordenadas del foco F(-7; 0), entonces se trata de una parábola cuyo eje focal es el eje «x» y con vértice en el origen de coordenadas, abriéndose hacia la izquierda.
Prob. 10 La ecuación de una parábola es y = 4x 2 - 8x + 7, calcula las coordenadas de su vértice V y la magnitud del parámetro p.
Para determinar las coordenadas del vértice «V» y el parámetro « p», transformamos la ecuación dada completamos cuadrados así: 2
y 4x 8x 7
2
P: ( x – )2 = 4 p( y – )
Prob. 09 Se da la ecuación de una parábola: y 2 = 4x – 8 calcula las coordenadas de su vértice «V», la magnitud del parámetro «p» y la ecuación de la directriz.
y 4 x 2 x 1 1 7 2
P: (x – h) = 4 p(y – k) Reemplazando datos:
Finalmente, calculamos el radio focal FM, así: FM 3 3 2 0 6 2
Comparamos las ecuaciones:
p = 1
Por lo tanto se trata de una parábola con eje focal paralelo al eje «x» que se abre hacia la derecha. Con esta información graficamos la parábola y ubicamos la posición de su directriz y por consiguiente su ecuación.
x 1 2 2
x 1
1 y 3
2
x h 4p y k 4 Por comparación obtenemos las coordenadas del vértice «V», así tenemos: V(h; k) = V(1; 3).
Ahora, para el parámetro « p», tenemos: 4 p = 1/4
p = 1/16
Prob. 11 Transformamos la ecuación de la parábola a su forma ordinaria, así:
Determina la ecuación de la parábola, s i se dan su foco F(7; 2) y la directriz x - 5 = 0.
2 2 y 0 4 x 2 y k 4 p x h
Por comparación las coordenadas del vértice «V» son: V(h; k) = V(2; 0). Und. 11 Geometría Analítica
Sea P(x; y) un punto cualquiera de la parábola, para determinar su ecuación aplicamos la de-
653
finición de parábola: «la distancia de P al foco F es igual a la distancia de P a la directriz» . Luego del gráfico tenemos:
Para determinar las coordenadas del foco «F», bastará con determinar las coordenadas del punto «D», siendo este punto la intersección de las rectas, directriz y el eje focal.
Observa que d EF , luego obtenemos:
Prob. 14 Determi nar, en los casos si guientes , la posic ión relativa de la recta y la parábola: si la cort a, si es tangente o pasa por fuera de ella: x - y + 2 = 0 ; y2 = 8x
d : 3x 5 y 1 0
EF : 5x 3y 21 0
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son las coordenadas del punto «D», esto es: D(x; y) = D(3; 2) Luego se cumple: PF = PD
Elevando al cuadrado y reduciendo resulta:
x 4x 4 0
b 2 3 b 8 2
x = 2
La coordenada del foco es F(9; -8)
Prob. 13
Dado el vértice de una parábola V(6; -3) y la ecuación de su directriz: 3x – 5y + 1 = 0, calcula el foco de esta parábola.
Para determinar los puntos de intersección simplemente resolveremos el sistema de ecuaciones: L: x + y - 3 = 0
2
P: x = 4y
Luego, reemplazamos y = 3 – x en la ecuación de la parábola P, de lo que obtenemos: 2
x 4 x 12 0 x 6
x = -6
2 y = 9
x = 2
x
y = 1
Los puntos de intersección son: (2; 1) y (-6; 9)
y = 4
Luego, el único punto de intersección es (2; 4), por lo tanto la recta L: x - y + 2 = 0 es tangente a la parábola P: y2 = 8x
Prob. 15 Calcula la ecuación de la tangente a la parábola y2 = 4px en su punto M 1(x1; y 1 )
La ecuación de la recta tangente a la parábola que pasa por M 1 x1 ; y1 es: y y 1 m x x1 ....(1) y y1 x 1 y mx1 y1 x x1 m 2
Luego, reemplazamos en: y 4 px 2
De lo que se obtiene: y
4 p
y mx1 y1
Expresándolo de otro modo, tenemos: 2
my 4py 4 p y1 mx1 0 Und. 11 Geometría Analítica
y 1 y1 4 px1 ....(2) 2 x1
Pero M 1 x1 ; y1 pertenece a la parábola 2 y 4 px por lo tanto debe satisfacer la ecua2
Si el 0 , entonces tiene una única solución, es decir: x 2 4 x 4 0 x 2 2 0
Prob. 12
Trigonometría
2
a3 6 a9 2
Determina los punto s de intersección de la recta x + y - 3 = 0 y la parábola x2 = 4y.
654
y 8x
donde «V» es punto medio de FD, entonces:
y 2 4x 6
Nos apoyamos de la siguiente gráfica:
Luego, reemplazamos y = x + 2 en y2 = 8 x
4 2 4 1 4 0
2
P: ( y – 2)2 = -4( x – 6)
xy20
2
m
2
Ahora, analizando su discriminante
Completando cuadrados, obtenemos: Como la parábola se abre hacia la izquierda le agregamos el signo (–) al 2do miembro:
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
De la figura, extraemos el siguiente segmento:
2 x 1y y7 4
2
x1 m y 1 m p 0
Despejando m se tiene:
De donde obtenemos la ecuación cuadrática:
x 7 2 y 2 2 x 5
Ahora, para que la recta sea tangente a la parábola se debe cumplir que su discriminante sea igual a cero: 2 4 p 4 4 pm y1 mx1 0
ción: y1 4 px1 Reemplazando en (2), obtenemos: m 2
y 4 px1
Pero:
m
2p y1
y1 2 x1
Ahora, reemplazando en (1), tenemos: 2 p y y 1 x x1 1 y 2 p x x 1 y1
Prob. 16 Determina la ecuación de la recta que es tangente a la parábola x 2 = 16y, y perpendicular a la recta 2x + 4y + 7 = 0
Si: LT L : 2 x 4 y 7 0 mT 2 Ahora, la ecuación de la tangente será de la forma: LT : y 2 x k 2
Reemplazando en x 16 y tenemos: 2
x 16 2 x k
2
x 32 x 16 k 0
Para que la recta sea tangente, entonces su discriminante debe ser cero, así: 32 2
4 1 16 k 0 k 16
Luego, reemplazando en LT tenemos: L T: y = 2 x - 16
655
Prob. 17
resolvemos el sistema de ecuaciones, obteniendo un único valor de x, es decir: x = 10. Al reemplazar en: y2 = 3x y 30
HIPÉRBOLA
Sabiendo que la ecuación de la recta tangente a una parábola y 2 = 4px, está dada por:
y mx
p
,
determina en la parábola y 2 = 64x el punto M más próximo a la recta 4x + 3y - 14 = 0 y calcula la distancia «d» del punto M a esta recta.
Determinamos la ecuación de la tangente a la parábola y2 = 64x paralela a la recta 4x + 3y - 14 = 0 De estas ecuaciones deducimos la pendiente de la tangente y el parámetro de la parábola: m = - 4/3 p = 16 Aplicando la propiedad: LT : y mx
p
Luego, reemplazando datos se tiene:
LT : 4 x 3y 36 0 LT : y 4 x 16 3 4 3 Las coordenadas del punto M son las soluciones del sistema de ecuaciones formado por: LT : 4 x 3 y 36 0
Aplicando la propiedad dada para determinar la cuerda de contacto, tenemos: 2
P0 = (-3; 12) P: y = 10x 4 p = 10 p = 5/2 Reemplazando datos en la ecuación de la cuerda:
LC : 12 y 2 5 x 3 LC : 5 x 12 y 15 0 2 Ahora calculamos la distancia « d» del punto P0(-3; 12) a la cuerda de contacto: d
5 3 12 12 15 2
5 12
2
d 174 13
Prob. 20 Determinar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al or igen de coordenadas, sabiendo, además, que sus ejes son 2a = 10 y 2b = 8
Si los focos están en el eje x, entonces se trata de una hipérbola cuyo eje transverso, t ambién está situado en el mismo eje y tiene por centro el origen de coordenadas, por lo t anto la ecuación de esta hipérbola tiene la forma:
Demostrar que dos parábolas que tienen un eje común y un foco común, situados entre sus vértices, se cortan formando un ángulo recto.
y H : x2 2 1 ....(*) a b Como: 2a = 10 a = 5 y 2 b = 8 2
2
Luego: c a b
2
2
2
b = 4
2
c 5 4 c 41
Reemplazando a y b en (*) obtenemos la ecuación:
Prob. 22 Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además que el eje 2a = 16 y la excentricidad e = 5/4
Como lo hicimos anteriormente, si los focos están en el eje x, entonces su eje transverso también está situado en el mismo eje y tiene por centro el origen de coordenadas. Ahora, calculamos a, b y c sabiendo que la excentricidad es 5/4, entonces: 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 3
2
2 y H : x2 2 1 a b
Si se trazan rectas tangentes desde un punto P0(x0 ; y0) a una parábola de la forma y 2 = 4px, la ecuación de la cuerda de contacto está dada p or:
y0 y 2 p x x 0 Desde el punto P0(-3; 12) se han trazado tangentes a la parábola y 2 = 10x, calcula la distancia «d» del punto «P» a la cuerda de la parábola que une los puntos de contacto.
Trigonometría
2
b 6 2
2 y H : x 1 64 36
Prob. 23
d = 10
Prob. 18
656
c 10
Finalmente, la ecuación de la hipérbola es:
Luego, la d istancia d de M a L lo calculamos así: M(9; -24) L: 4x + 3y - 14 = 0 4 9 3 24 14
2
2
b 10 8
M x ; y M 9; 24
d
2
Aplicando b c a se tiene:
La gráfica de esta hipérbola es:
P: y 2 64x
30 y 10; 30
b c a b 10 8
2
2 y H : x 1 25 16
Graficamos según condición del problema:
10;
2
2
Prob. 19
Finalmente los puntos de intersección son:
Obsérvese que el ángulo que forman dos parábolas en el punto de intersección está definido por el ángulo que forman sus tangentes en este punto.
Prob. 21 Determinar los puntos de intersección de la hipér-
Ahora, MM’ es el lado recto para las dos parábolas, la cual verifica la siguiente propiedad: «La pendiente de la tangente a una parábola en un extremo del lado recto siempre es 1 ó -1»
y bola x 20 5
Para LT su pendiente mT = -1
Para determinar los puntos de intersección de la hipérbola y la parábola de ecuaciones:
Para L’T su pendiente m’T = 1 Y como mT = m’T entonces L T y L’T son perpendiculares, es decir forman un ángulo de 90º.
2
2
1 y de la parábola y 2 = 3x.
2
2
y H: x 1 20 5
2
P : y 3x
Und. 11 Geometría Analítica
Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además, las ecuaciones de las asíntotas y 4 x y la distancia entre los focos 2c = 20. 3
Según datos del problema, podemos deducir que se trata de una hipérbola de eje transverso en el eje «x» y de centro en el origen. Ahora, calculamos a, b y c. Empezamos del dato: 2c = 20
c = 10 657
Luego, una asíntota tiene por ecuación: y 4 x y mx m 4 3 3 Y como sabemos que la pendiente de la asíntota está dada por m = b/a = 4/3, asumimos: b = 4k y a = 3k 2
2
Además según dato del problema se sabe que a = 6 y b = 8, por lo que la ecuación de la hipérbola tiene la forma:
2
Ahora, aplicando c a b se tiene: 2
2
2
10 3k 4k
Si los focos están situados sobre el eje «y», entonces se trata de una hipérbola cuyo eje transverso se encuentra en el eje «y», de centro en el origen de coordenadas.
2k
Reemplazando obtenemos: a = 6 y b = 8
H:
Finalmente la ecuación de la hipérbola es: 2
2
2
y H: x2 2 1 a b
2 y H: x 1 36 64
Prob. 24 Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además que la distancia entre las directrices es igual a 32/5 y el eje 2b = 6
De los datos se sabe que: 2 b = 6
b=3
Luego, según dato se sabe que la distancia entre las directrices es 32/5, es decir:
2
H:
x y 1 2 2 a b
Dada la hipérbola a) Los semiejes a y b. b) La excentricidad.
9y2 =
144, determina:
2
c a b
2
2
S = 12 u2
Prob. 29
2
b 9 b3
Se da el punto M(10;
c 2 16 9 c 5
5 ) en la hipérbola
2
2
y x 1 . Calcular las ecuaciones de las rec80 20 tas, en las cuales están los radios focales del punto «M».
2
La ecuación dada, la transformamos a la forma ordinaria así: 2
2
2
2 16 x 9 y 144 x y 1 144 144 144 9 16
Se trata de una hipérbola cuyo eje transverso se encuentra sobre el eje «x» y cuyo centro es el origen de coordenadas. 2
2
2
2
2
b) Se sabe que: c a b 2
2 x y 1 16 9
0 0 4 6 S 1 2 2 3 0 0 2S = 12 – (-12)
2
x2 1 2 b a
b) Las ecuaciones de las directrices de esta hi-
2
Determinar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de ordenadas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas. Además, que sus semiejes son a = 6; b = 18 («a» es el semieje situado en el eje de abscisas).
Trigonometría
a 16 a 4 2
2
c 3 4
2
2
pérbola, tienen la forma: y a c
Reemplazando a = 4 y c = 5, obtenemos: y
16 5
Prob. 28 Calcular el área del triángulo formado por las 2
asíntotas de la hipérbola: x 4 9x + 2y - 24 = 0.
2
y 9
La excentricidad «e» está dada por: e c 5 a 3 Observa que la excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que 1 (e > 1).
Prob. 27 Dada la hipérbola 16y 2 – 9x2 = 144, calcular: a) Los focos. b) Las ecuaciones de las directrices.
Calculamos a; b y c de la ecuación dada: 2
2
2 2 x y 1 x y 1 2 2 80 20 a b 2 2 a 80 a 4 5 b 20 2
2
c a b
2
b 2 5 c2 80 20 c 10
1 y la recta
La hipérbola tiene por centro el origen de coordenadas y su eje transverso está en el eje «x», por lo tanto las coordenadas de los focos son F1(10; 0) y F 2(-10; 0).
Una técnica para determinar las ecuaciones de las asíntotas es la siguiente:
Nos piden determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por los radios focales F 1M y F2M, lo que haremos por partes.
2
c 5
Prob. 25
658
y
a) Las coordenadas de los focos de esta hipérbola son: F 1(0; 5) y F2(0; -5).
2
2
H:
2
2 y x 1 9 16
2
16x 2 -
Finalmente, la ecuación de la hipérbola es: 2
b
2
Ahora calculamos a, b y c:
y x 2 1 36 324
a 9 a 3 b 16 b 4
c = 5
Reemplazando valores en (*): a = 4
2
H:
2
2 y x 1 9 16 Se trata de una hipérbola de centro en el origen de coordenadas y de ej e transverso en el eje «y». 2
16 y 9 x 144
Identificando términos se tiene:
2 c 9 16 c 5
Resolviendo la ecuación:
2
2
x2 1
y y x x a) 9 16 1 2 2 1 a b
2
2 a 32 a 2 16 c ....(*) 5 5 c 2
a
Transformamos a la ecuación ordinaria:
2
Prob. 26
2
c b 16 c 5
y
2
El área (S) del triángulo se obtiene calculando el determinante de la matriz:
2
2 2 y y De: x 1 , hacemos: x 0 4 9 4 9
xy 2 3
x y 0 2 3
y 3x 2
El triángulo se determina intersectando las tres rectas: LA : y 3 x ; LA' : y 3 x ; L 9 x 2 y 24 0 2 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos las coordenadas de los siguientes vértices: (0; 0), (2; 3) y (4; -6) Und. 11 Geometría Analítica
a) La recta que pasa por F 1(10; 0) y M 10; - 5 su pendiente no existe por lo tanto es una recta vertical cuya ecuación es L: x = 10. b) La recta que pasa por F2(-10; 0) y M 10; - 5 tiene por pendiente - 5/20, luego la ecuación es: y 0 L': 5 20 x 10 L ' : x 4 5y 10 0
659
Prob. 30 La excentricidad de una hipérbola es e = 2; el radio focal de su punto «M» tr azado desde uno de los focos es igual a 16. Calcula la distancia del punto «M» a la directriz, unilateral a este foco.
Por lo tanto la distancia del punto «M» de la hipérbola, de abscisa 10, al foco es 27.
hi pé rb ol a
Calcula la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, si se dan los puntos M 1(6; -1) y M 2(-8; 2 2 ) de la hipérbola.
y x 1 , cuyas distancias al foco derecho son 9 16 iguales a 7.
De acuerdo a los datos del problema, la ecuación
Prob. 32 Det er mi na 2
Aplicando la propiedad referida a las distancia r y d: r e , donde: d(M; F) = 16 e = 2 d Nos piden calcular: d(M; L) , por lo que reem r d = 8 plazamos en: d e , así: 16/d = 2
Prob. 31
lo s pu nt os
de
la
2
2
y de esta hipérbola tiene la forma: x 1 2 2 a b
Se trata de una hipérbola de centro en el origen y eje transverso en el eje «x». De la ecuación vamos a calcular a, b y c.
Como M 1 6; 1 y M 2 8; 2 2 pertenecen a la hipérbola, entonces deben satisfacer la ecuación:
2
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos: 2
a 32
2
a 9 a 3 b 16 b 4
Ahora, calculamos la excentricidad: e c 5 a 3
Nos piden calcular r 1, aplicando la propiedad expuesta en la teoría:
Reemplazando: r1 7, e 5 y a 3 , se tiene: 3
r1 ex a ....(*)
7 5x3 6 x 3
d ' : x 8 x a a c e Reemplazando todo lo calculado en (*):
r1 3 10 12 r 1 27 2
660
Trigonometría
a
Los focos de una hipérbola coinciden con los fo2
2
y cos de la elipse x 1 . Determina la ecua25 9 ción de la hipérbola, si su excentricidad es e = 2.
De la elipse:
b 8 2
2 y H : x 1 32 8
Elaboramos el gráfico correspondiente, según datos del problema:
2
2
2 2 x y 1 x y 1 2 2 25 9 a b 2
2
a 25 ; b 9 2
c 25 9
2
c a b
c 4
Pero e = 2, entonces: c/a = 2 Luego: 4 2 a 2 a Si a = 2 y c = 4, entonces b 2 c 2 a 2 2
Luego: b 16 4
2
b 2 12 2
2 x y 1 4 12
Prob. 36
2
Demostrar que el área del paralelogramo, limita x
2
M' 6; -4 3
Und. 11 Geometría Analítica
2
y
2
1 a b y las rectas trazadas por cualquiera de sus puntos do por las asíntotas de la hipérbola
M 6; 4 3
2
Luego, los focos de la elipse son F 1(-4; 0) y F2(4; 0) que también son los focos de la hipérbola, por lo tanto: c = 4.
2 x y 1 2 2 a b
y x = 6, en: x 1 y = ± 4 3 9 16
2
Finalmente la ecuación de la hipérbola:
Luego reemplazamos en la ecuación para calcular las coordenadas: 2
Prob. 35
Finalmente la ecuación de la hipérbola es:
Prob. 34
Nos piden calcular M y M’, para lo cual aplicamos la propiedad anterior: r1 ex a
2
e c 3
2
Determina la excentricidad de la hipérbola, si el segmento comprendido entre sus vértices se ve desde los focos de la hipérbola conjugada bajo un ángulo de 60º.
Además la ecuación de la directriz:
F2OV2 notable de
36 1 1 64 8 1 2 2 2 2 a b a b
2
2 2 x y 1 x y 1 2 2 9 16 a b
De acuerdo a los datos del problema, un gráfico aproximado es el siguiente:
Sabemos que: x = 10 y e = 3/2
En la figura se reconoce el 30º y 60º. Luego se tiene:
2
2
La excentricidad de una hipérbola es e = 3/2; su centro está en el origen de coordenadas y una de sus directrices se da mediante la ecuación x = -8. Calcula la distancia del punto M de la hipérbola, de abscisa igual a 10, al foco correspondiente a la directriz dada.
Prob. 33
2
661
y paralelas a las asíntotas, es una cantidad constante, igual a (ab)/2.
Graficamos la hipérbola, con sus asíntotas y las rectas paralelas a estas, trazadas de un punto P(x1; y1) cualquiera de la hipérbola, determinándose el paralelogramo ORPQ.
Si la ecuación de la hipérbola es: 2
2 y H : x2 2 1 a b Las ecuaciones de sus asíntotas son:
y1 mx 1 2m y mx y mx R 12m 1 ; 1 2 1 y mx 1 y 1 2
x
'
LA : y mx LA : y mx
La recta LP es paralela a la recta LA. Si tienen la misma pendiente m y el punto de paso es P(x1; y1) entonces determinamos su ecuación así: LP : y = mx + y1 - mx1 Haciendo lo mismo, determinamos la ecuación de L’P obteniendo: '
LP : y mx y 1 mx1
Ahora, vamos a determinar las coordenadas R (punto de intersección de LP y L’P), resolviendo el sistema de ecuaciones de: ' LA
: y mx
De aquí obtenemos:
662
Trigonometría
' LP
: y mx y1 mx 1
El área del paralelogramo ORPQ es dos veces el área del triángulo ORP, calculemos dicha área: 0 0 O y1 mx1 y1 mx1 R 2m 2 SORP 1 SORP 1 2 P 2 x1 y1 Q 0 0 Calculando el determinante de esta matriz, obtenemos: 2 2 2 m x1 y 1 SORP ....(*) 4 2
2
y Pero P( x1 ; y1 ) H : x2 2 1 , y por tanto d ebe a b satisfacer la ecuación. Luego: 2
x1
' LA : y b x LA : y b x a a
Luego, hacemos que: m = b/a, entonces:
a
2
Pero:
2
y1 b
2
2 y1
1
2 y1
m = b/a
2
b 2 x12 b 2 a
2 2 m x1
b
2
Reemplazamos en (*): SORP
2 2 x1
Si los focos están situados en una recta paralela al eje «x», entonces el eje transverso también es paralelo al eje «x», y como las coordenadas del centro son x0 ; y0 entonces la ecuación es: 2
x x0 2
a
2
b
1
Los focos son F 1(-10; 2) y F2(16; 2) entonces el punto medio de F1F2 es el centro de la hipérbola, es decir: C 10 6 ; 2 2 C 3; 2 C h ; k 2 2
Como los focos y el centro son colineales, entonces el valor de c lo calculamos así: c = 16 -3
2
b 13 12
Finalmente el área del paralelogramo es:
2
b5
SORPQ ab 2
H:
x h
H:
a
2
2
x 3 2
144
y k b
2
Determina los valores de «k» para los que la recta y
2
5 x k corta a la hipérbola x 2 9
2
y 1. 36
Para que la recta corte a la hipérbola, resolvemos el sistema de ecuaciones: 2
2 y L: y 5x k H: x 1 2 9 36
5xk 2 x 2 9 36
2
1
Reduciendo, resulta:
2
1
2
y 2 25
b3
Prob. 40
c = 13
Finalmente, la ecuación de la hipérbola es:
2
SORP b b ab 4 m 4 b /a 4
SORPQ 2SORP 2 ab 4
2
2
y La ecuación es H : x 1 16 9
Luego, calculamos b: b c 2 a 2
2
2
a 4 b c a
2
2
mx1 b 2
c 5 c 5 a 4
2
Determina la ecuación de la hipérbola, sabiendo que la distancia entre sus vértices es igual a 24 y los focos son F 1(-10; 2), F 2(16; 2)
Si la distancia entre sus vértices es 24, entonces: 2a = 24 a = 12
c = 5
Además, la excentricidad es: e = 5/4
F(5; 0)
2
Prob. 38
4 2
y y 0
De acuerdo a los datos, podemos deducir que se trata de una hipérbola de eje transverso situado en el eje «x», de centro en el origen de coordenadas:
2
1
Prob. 37
2
2
9 x 20kx 4 k 144 0 ....(*) Para que la recta corte a la hipérbola, es decir sea secante, entonces se debe cumplir que el discriminantes de (*) tiene que ser mayor que cero:
Prob. 39 Determi nar la ecuación de la hipérbol a, si se conocen sus semiejes a y b, así como su centro C(x 0 ; y 0 ) y los focos están situados en una recta paralel a al eje O x.
Determina la ecuación de la hipérbola si se conoce su excentricidad e = 5/4, el foco F(5; 0) y la ecuación de la directriz correspondiente 5x - 16 = 0.
Und. 11 Geometría Analítica
20 k 2 4 9 4 k 2 144 0 Reduciendo, resulta:
|k|> 4,5
663
2
09.- Si la ecuación y = 4 – 6 x determina una parábola, calcula las coordenadas de su vértice A, la magnitud del parámetro p y la ecuación de la directriz.
A) A(2/3; 0) ; p =
3 ; 6 x – 13 = 0 2
B) A(1/3; 0) ; p = 2 2
PARÁBOLA 01.- Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo que la parábola está situada en el semiplano izquierdo, es simétrica con respecto al eje Ox y el módulo de su parámetro es | p | = 0,5.
A) y2 = -x
B) y2 = -2 x
C) y2 = -4 x
D) y2 = - x/4
E) y2 = - x/2 2
02.- Identifica la parábola cuya ecuación es: x = 5 y
A)
B)
2
A) x = 12 y
B) x = -12 y
D) x2 = 6 y
E) x2 = 5 y
05.- Calcular el radio focal r del punto M de la pará bola y2 = 20 x, si la abscisa del punto M es igual a 7.
A) 21 C) 18
D)
E)
A) x2 = y
B) x2 = 2 y
D) x2 = y/2
E) x2 = - y
C) x2 = 4 y
04.- Determina la ecuación de la parábola que tiene el foco F(0; -3) y pasa por el origen de coordenadas, sabiendo que su eje sirve de eje Oy.
664
Trigonometría
B) k < 1/3 C) k < 1/4
E)A(2/3; 0) ; p = 3/2 ; 6 x + 5 = 0
E) k < 3
A) A(6; -1) ; p =
3 2
2 06.- Determina en la parábola y = 16 x, los puntos cuyos radios focales son iguales a 13.
C)A(6; 1) ; p = 6
A) (9; 12) y( 9; -12)
B) (9; 12) y(- 9; 12)
E) A(6; -1) ; p = 3/4
C) (9; 6) y(9; -6)
D) (8; 12) y (-8; 12)
B) A(5; 3) ; p = 6 3 D) A(5; 3) ; p = 2
15.- Determina la ecuación de la recta « L» que es tangente a la parábola y2 = 8 x y paralela a la recta L: 2 x + 2 y – 3 = 0
A) x – y + 4 = 0
B) x – y – 2 = 0
C) x + y + 3 = 0
D) x + y + 2 = 0
E) x – y + 4 = 0 2
11.- Determina la ecuación de la parábola, si se dan su foco F(4; 3) y la directriz y + 1 = 0.
16.- Traza una tangente « L» a la parábola y = 12 x que resulta ser paralela a la recta L’: 3 x – 2 y + 30 = 0. Calcular la distancia « d » entre esta tangente y la recta dada.
07.- Calcula la ecuación de la parábola, sabiendo que su vértice coincide con el punto (-3; 2), el parámetro es igual a 6, el eje es paralelo al eje Ox y la parábola se prolonga indefinidamente en la dirección positiva del eje Ox.
A) y = -1/2 x2 – x + 1
B) y = 1/4 x2 – x + 6
A) 2 7
C) y = 1/8 x2 – 2 x + 3
D) y = 1/8 x2 – x + 3
A) (y - 2)2 = 12( x + 3)
B) ( y + 2)2 = 6( x + 3)
C) (y - 2)2 = 12( x - 3)
D) ( y + 2)2 = 6( x - 3)
12.- Dado el vértice de una parábola A(6; -3) y la ecuación de su directriz 3 x – 5 y + 1 = 0, calcula el lado recto de esta parábola.
E) ( y – 2)2 = 24 ( x + 3) 03.- Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo además que la parábola es simétrica con respecto al eje Oy y pasa por el punto C(1; 1).
2
D) k < 2
D) 20 E) 12
14.- ¿Para qué valores de la pendiente « k », la recta L: y = kx + 2 corta a la parábola y = 4 x?
; 2 x – 11 = 0
D) A(1/3; 0) ; p = 2
10.- Sabiendo que y = -1/6 x + 2 x – 7 determina una parábola, calcula las coordenadas de su vértice «A» y la magnitud del parámetro.
E) (12; 9) y (-12; 9) C)
3 C) A(2/3; 0) ; p = 2 ; 6 x – 11 = 0
2
B) 15
E) (3; 5), la recta es tangente a la parábola.
A) k < 1/2
; 2 x – 5 = 0
2
C) x = -6 y
D) (-3; 1) y (-6; 9)
08.- Calcula la ecuación de la parábola, sabiendo que su vértice coincide con el punto (2; -5), el parámetro es igual a 3, el eje es paralelo al eje Oy y la parábola se prolonga indefinidamente en la dirección negativa del eje Oy (es decir, la parábola es hacia abajo).
A) (x - 2)2 = -12( y - 5) 2
C) (x - 2) = -12( y + 5) 2
E) ( x + 2) = 6 ( y + 5)
B) ( x + 2)2 = 6( y - 5) 2
D) ( x + 2) = -6( y + 5)
E) y = 1/4 x2 – x + 2
A)
34
D) 4 34
B) 2 34
C) 3 34
E) 5 34
B) 2 13 C) 4 5 D) 2 6 E) 5 17.- Desde el punto A(5; 9) se han trazado tangentes a la parábola y2 = 5 x. Calcula la ecuación de la cuerda que une los puntos de contacto.
13.- Determina los puntos de intersección de la recta 3 x + 4 y - 12 = 0 y la parábola y2 = -9 x.
A) (-4; 6), la recta es tangente a la parábola. B) (-2; 1) y (3; 5) C) (-2; 3), la recta es tangente a la parábola. Und. 11 Geometría Analítica
665
A) 5 x – 18 y + 25 = 0
B) 3 x – 11 y + 20 = 0
C) 5 x – 18 y + 15 = 0
D) 3 x + 11 y - 20 = 0
E) 3 x + 11 y – 15 = 0 18.- Determina los puntos de inters ección de la elipse x
2
100
y
2
225
1 y de la parábola y2 = 24 x.
HIPÉRBOLA 21.- Calcula la ecuación de la hipérb ola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además, que la distancia entre los focos 2 c = 10 y el eje 2 b = 8.
23.- Determina la ecuación de la hipér bola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además, que la distancia entre las directrices es igual a 22 2 y la distancia ent re los focos 2 c = 26. 13
D) (6; 0) y (6; -12) E) (3; 0) y (3; -4)
2
19.- ¿Cuál de los siguientes puntos no es un punto de intersección de las dos parábolas : 2
y = x – 2 x + 1; x = y – 6 y + 7?
A) (-1; 4)
y
2
A) x 1 9 4 2
y
2
C) x 1 4 9 2
E) x
B) (2; 1)
y
2
y
2
B) x 1 16 9 2
y
D) x 1 9 16
2
1
16
3 13 ; 7 13 2 2 3 13 7 13 ; 2 2
D)
2
y
2
y
2
A) x 1 144 5 C) x
144
2
22.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además, que la distancia entre los focos es 2c = 6 y la excentricidad es e = 3/2.
C)
E) x
2
25
2
25
y
1
2
y
2
B) x 1 12 5 D) x
2
y
2
25 144
1
2
12
1
24.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además, que la distancia entre las directrices es igual a 8/3 y la excentricidad es e = 3/2.
Trigonometría
y
2
y
2
y
2
2
2
E) x 1 3 4 2 2 26.- Dada la hipérbola 16 x – 9 y = 144, calcula los focos y también las ecuaciones de las asíntotas.
A) F1(5; 0) ;
F2(10;0) ; y = ±3/4 x
B) F1(-5; 0) ;
F2(5; 0)
; y = ±4/3 x
C) F1(-3; 0) ;
F2(3; 0)
; y = ±2/5 x
D) F1(-5; 0) ;
F2(5; 0)
; y = ±2/5 x
E) F1(-4; 0) ;
F2(4; 0)
; y = ±3/4 x 2
2
27.- Dada la hipérbola 16 x – 9 y = 144, determina los semiejes a y b, y también la excentricidad.
A) a = 6; b = 8; e = 5/4
B) a = 4; b = 3; e = 4/5
C) a = 3; b = 4; e = 5/3
D) a = 3; b = 4; e = 2/3
2
2
y
2
A) x 1 5 4 2
y
2
y
2
A) x 1 9 5
B) x – y = 0
666
2
2
28.- Habiendo verificado que el punto M 1(-5; 9/4)
2
20.- Desde el foco de la parábola y = 12 x se ha dirigido un rayo de luz hacia e l eje Ox, formando con él un ángulo . Se sabe que tan = 3/4. Al llegar a la parábola se ha reflejado el rayo de ella. Calcula la ecuación de la recta en la que está el rayo reflejado.
E) y + 2 = 0
y
E) a = 5; b = 12; e = 13/5
E) (1; 2)
D) x + 18 = 0
2
2
D) x 1 9 16
C) (6; 12) y (6; -12)
C) x – 5 = 0
y
C) x 1 16 3
B) (2; 12) y (4; -12)
A) y – 18 = 0
2
A) x 1 16 9 B) x 1 4 5
A) (0; -12) y (6; 12)
2
simétricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo, además, que la distancia entre los focos 2c = 10 y la excentricidad es e = 5/3.
C) x
15 2
2
12 y
2
1
E) x 1 4 5
2
y
2
B) x 1 25 4 D) x
2
4
2
y 1
2
y
2
y
2
C) x 1 9 10 E) x
2
2
y
2
B) x 1 4 15 2
y
2
D) x 1 4 5
2
3
1
25.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje de ordenadas y son Und. 11 Geometría Analítica
2
y está en la hipérbola x 1 , determinar los ra16 9 dios focales del punto M 1.
A) 2 1 ; 10 1 4 4 B) 3 ; 6 C) 5 1 ; 8 1 2 3 D) 9 1 ; 10 1 4 4 1 1 E) 5 ; 8 4 5
667
29.- La excentricidad de una hipérbola es e = 3; la distancia de un punto «M» de la hipérbola a la directriz es igual a 4. Calcula la distancia del punto «M» al foco, unilateral a esta directriz.
A) 15
B) 12
D) 16
E) 20
C) 18
30.- La excentricidad de una hipérbola es e = 2; su centro está en el origen de coordenadas y uno de los focos es F(12; 0). Calcula la distancia del punto M1 de la hipérbola, de abscisa igual a 13, a la directriz correspondiente al foco dado.
A) 16
33.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en el eje de abscisas y son simétricos con respecto al origen de coordenadas, si se da el punto M 1(-5; 3) de la hipérbola y la excentricidad e s e 2 .
C) 15 D) 13 31.- Determina los puntos de la hipérbola: 2
x
2
y
1
64 36
cuyas distancias al foco derecho son iguales a 4,5. A) (10; 9/2) y (10; -9/2)
B) (6; 4) y(6; -4)
C) (3; 10/3) y(3; -10/3)
D) (10;5/2) y (10; -5/2)
D) a
E) ab
C) a 2
C) x2 - y2 = 12
2 A) x 1
5
D) x2 - 2 y2 = 4 2
x 1 2
y 2
2 D) 1/2 E) 2 35.- Calcula la e cuación de la hipérb ola cuyos focos están en los vértices de la elipse: x
2
y
2
1 100 64 y las directrices pasan por los focos de esta elipse.
y
2
2
1
2
y 2 C) x 1 1 2 5
C) 3
2
C) x -1 25 144
E) x 1 16 81
2
34.- Calcula la excentricidad de una hipérbola equilátera.
B) 2
2
y B) x 1 144 5
1
B)
5
y
2
40.- Determina los valores de «m» para los que la recta y 5 x m sea tangente a la hipérbola: 2
2
2
2
2
E) 2 x - y = 1
2
y
y D) x 1 144 25
2
2
y 2
2
A) x 1 25 12 2
B) x2 - y2 = 16
A) x2 - y2/2 = 8
A) 1
E) 10
B) b
37.- Determina la ecuación de la hipérbola, si se conocen sus semiejes a 5 y b 2 , así como su centro C(1; 2) y los focos están situados en una recta paralela al eje Oy .
2
B) 11
A) b 2
2
y 2 D) x 1 1 5 2 2
E)
y 2 5
2
x 12
2
x
2
9
y
2
36
1
A) m = ±3/2
1
B) m = ±3
38.- Determina la ecuación de la hipérbola, sabiendo que los focos son F 1(3; 4), F2(-3; -4) y la distancia entre las directrices es igual a 3,6.
C) m = ±2 D) m = ±1,5 E) m = ±4,5
E) (5; 9/2) y (5; -9/2) 32.- Por el foco izquierdo de la hipérbola: 2
x
2
y
144 25
1
se ha tr azado una perpendicular al eje que contiene a los vértices. Determina las distancias de los focos a uno de los puntos de intersección de esta perpendicular con la hipérbola. A) 10 1 y 12 1 3 4
B) 3 1 y 8 1 3 4
C) 9 1 y 6 1 5 5
D) 2 1 y 26 1 12 12
E) 5 1 y 3 5 2 4
668
Trigonometría
2
y
2
y
2
A) x 1 60 40 C) x
15
2
2
70 y
1
2
2
y
2
y
B) x 1 30 10 D) x
20
2
17
1
2
E) x 1 40 60 36.- Determina la distancia del foco de la hipérbola x a
2 2
y b
2
2
1 , a su asíntota.
A) 24 xy + 7 y2 – 144 = 0
B) 15 xy + 6 y2 – 64 = 0
C) 12 xy + 9 y2 – 144 = 0
D) 24 xy + 7 y2 + 144 = 0
2
E) 12 xy + 7 y – 72 = 0 39.- Determina la ecuación canónica de la hipérbola, si se conoce su excentricidad e = 13/12, el foco F(0; 13) y la ecuación de la dire ctriz correspondiente 13 y – 144 = 0. Und. 11 Geometría Analítica
01 B
02 C
03 A
04 B
05 E
06 A
07 E
08 C
09 A
10 A
11 D
12 D
13 A
14 A
15 D
16 B
17 A
18 C
19 E
20 E
21 D
22 E
23 C
24 D
25 A
26 B
27 C
28 A
29 B
30 E
31 A
32 D
33 B
34 B
35 A
36 B
37 E
38 A
39 C
40 E
669
