NAMA NIM MATKUL
MUFTI GHAFFAR 1002311 STATISTIKA
Jawaban Soal-Soal BAB 5 hal.102 1. Sebutkan apakah kegunaan ukuran dispersi atau ukuran variasi itu! Sebutkan pula macamnya yang diken Jawab: Kegunaan ukuran dispersi adalah untuk menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif. Beberapa macam ukuran dispersi yang terkenal: rentang, rentang antar kuartil, simpangan kuartil atau devias rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi, simpangan baku atau deviasi standar, varians dan koefisien varias 2. Definisikan atau rumuskan ukuran-ukuran variasi berikut: a. Rentang e. simpang baku b. Rentang antar kuartil f. varians c. Deviasi kuartil g. koefisien variasi d. Rata-rata simpangan Jawab: Definisi/rumus ukuran-ukuran variasi: a. Rentang : b.
data terbesar – data terkecil
Rentang antar kuartil : Dengan RAK K3 K1
c. d.
= = =
Deviasi kuartil :
rentang antar kuartil kuartil ketiga kuartil pertama ½ RAK
Rata-rata simpangan/rata-rata deviasi :
Dengan RS = xi x e. · ·
RAK= K3-K1
rata – rata simpangan data hasil pengamatan rata – rata
Simpangan baku Simpangan baku untuk sampel disimbolkan S Simpangan baku untuk populasi disimbolkan
Kuadrat simpangan baku disebut varians Varians sampel dihitung dengan :
RS
Atau
Ini lebih dianjurkan karena resiko kesala
Jika datanya dalam distribusi frekuensi :
Atau
Cara Sandi xi dapat diganti ci Simpangan baku gabungan
ni = jumlah data sampel ke i Si = Simpangan baku sample ke i K = jumlah / banyaknya sampel s2 = simpangan baku xi = data hasil pengamatan x= rata – rata f.
Koefisien Variasi :
KV =
3. Jelaskan bagaimana kelakuan sekumpulan data apabila hanya diketahui rentangnya saja! Jawab: Jika hanya diketahui rentangnya saja, maka data yang dapat kita ketahui hanyalah selisih antara data yang ter
4. Berikan hubungan yang ada antara rentang dan rata-rata hitung! Jawab: Dalam menghitung rata-rata hitung sekumpulan data dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi diperluk
5. Mengapa pada waktu menghitung rata-rata simpangan RS telah diambil jumlah harga-harga mutlak dari sel Jawab: Karena RS (Rata-rata simpangan) merupakan jumlah harga-harga mutlak dari selisih tiap data dengan rata-ra
6. Mengapa untuk menghitung simpangan baku telah diambil jumlah pangkat-pangkat dua dari selisih tiap dat Jawab: Agar Σ(αi-ᾱ) tidak sama dengan 0, karena jika Σ(αi-ᾱ) bernilai 0 maka simpangan baku akan selalu bernilai tak 7. Mungkinkah sebuah sampel atau populasi akan mempunyai rata-rata sama dengan variansnya? Jawab:
Tidak, karena dalam salah satu rumus untuk mencari nilai varians harus diketahui terlebih dahulu nilai rata-ra
8. Apakah ᾱ dan s atau µ dan σ akan menentukan bentuk distribusi fenomena yang sedang dipelajari? Jawab: Ya, tanda-tanda tersebut menentukan bentuk distribusi fenomenanya, tanda x dan s: digunakan untuk data ya 9. Sebuah sampel berukuran n memberikan simpangan baku s. Tiap nilai data sekarang: a. Ditambah dengan 10 b. Dikurangi dengan 10 c. Dikalikan 10 d. Dibagi 10 apakah yang terjadi terhadap simpangan baku untuk data yang baru dalam masing-masing keadaan di atas? Jawab: a. Ditambah dengan 10 >>> tidak berubah. b. Dikurangi dengan 10 >>>tidak berubah. c. Dikalikan 10 >>> menjadi 10 X > s. d. Dibagi 10 >>> menjadi 10 X < s.
10. sebuah sampel memberikan rata-rata = ᾱ dan simpangan baku s. Tiap data dikurangi ᾱ lalu dibagi s. Berap Jawab: Jika tiap data dikurangi ᾱ lalu dibagi s maka untuk data baru ᾱ = 0 dan s = 1, sedangkan jika tiap datanya dibag Data asli Data dikurangi ᾱ lalu dibagi s αi αi-ᾱ (αi-ᾱ)² αi 8 0 0 0 7 -1 1 -0.37 10 2 4 0.73 11 3 9 1.1 4 -4 16 -1.46 40 30 0 ᾱ = 40 : 5 = 8 s = √30 : 4 = 2,74
ᾱ=0:5=0 s = √4,01 : 4 = 1
11. Hasil pengamatan memberikan harga-harga K1 = 140 dan K3 = 196. Apakah artinya: a. K3 - K1 Jawab: K3 - K1 = Rentang Antar Kuartil = 56 Ditafsirkan bahwa 50% dari data, nilainya paling rendah 140 dan paling tinggi 196 dengan perbedaan paling t b. 1/2 (K3 - K1) Jawab: 1/2 (K3 - K1) = Simpangan Kuartil = 28 Selanjutnya, karena 1/2 (K3 + K1) = 168, maka 50% dari data terletak dalam interval 168±28 atau antara 140
12. Diberikan P10 = 85 dan P90 =116. hitunglah rentang 10-90 persentilnya (rentang 10-90 persentil didefinis
Jawab: Rentang-nya = 116 - 85 =31, artinya bahwa 80% dari data, nilainya paling rendah 85 dan paling tinggi 116 de 13. Untuk populasi dengan model kurva yang miring didapat hubungan empirik: SK = 2/3 (simpangan baku) Dengan statistik yang diberikan dalam soal 11 di muka hitunglah simpangan baku-nya! Jawab: Simpangan baku = 3/2 SK = 3/2 x 28 = 42 14. Diberikan data: 12, 8, 9, 10, 14, 15, 8, 10, 12 Hitunglah: a. Rata-rata simpangan b. Simpangan baku c. Simpangan baku berapa kali rata-rata simpangan Jawab: αi αi - ᾱ |αi - ᾱ| 12 1.11 1.11 8 -2.89 2.89 9 -1.89 1.89 10 -0.89 0.89 14 3.11 3.11 15 4.11 4.11 8 -2.89 2.89 10 -0.89 0.89 12 1.11 1.11 98 18.89
(αi - ᾱ)² 1.23 8.35 3.57 0.79 9.67 16.89 8.35 0.79 1.23 50.87
ᾱ = 98 : 9 = 10,89 a. RS = 18,89 : 9 = 2,1 b. s = √(50,87 : (9 - 1)) = 2.52 c. 2,52 : 2,1 = 1,2
15. Untuk distribusi cukup miring berlaku hubungan empirik: Jawab: RS = 4/5 (simpangan baku) dengan data dalam soal 14 di atas, selidikilah tentang rumus ini dan bandingkan dengan pertanyaan 14c di ata RS = 4/5 x 2,52 = 2,02 Perbedaan RS yang diperoleh disebabkan adanya pembulatan data di belakang koma dari setiap proses perhit
16. Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rata-rata simpangan dihitung dengan rum RS = (Σfi |αi - ᾱ|) : n dengan αi = tanda kelas interval; fi = frekuensi yang sesuai dengan αi; n = Σfi Hitunglah RS untuk data dalam daftar IV(2). Lalu selidikilah rumus dalam soal 15 di atas dengan mengambil s² Jawab:
Nilai Ujian 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 Jumlah
fi 1 2 5 15 25 20 12 80
αi 35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5
fi.αi 35.5 91 277.5 982.5 1887.5 1710 1146 6130
|αi - ᾱ| 41.13 31.13 21.13 11.13 1.13 8.87 9.87
ᾱ = 6130 : 80 = 76,63 RS = 700,08 : 80 = 8,75 s = 5/4 x 8,75 = 10,94, sedangkan s = √172,1 = 13,12 hasil hitung s² = 9700,84 : (80-1) = 122,8, s = 11,08 Data yg diberikan di soal perbedaannya terlalu jauh, sedangkan dari hasil perhitungan nilai s mendekati satu s
17. Lihat soal 14 bab III. Dari daftar distribusi frekuensi yang didapat hitunglah variansnya! Jawab: a. Jangkauan (r) = data terbesar-data terkecil = 44,3 - 13,0 = 31,3 b. Banyak kelas (k) = 1+3,3 log 75 = 7,1877 = 7 c. Lebar kelas (c) = r:k = 31,3 : 7 = 4,47 = 5 d. Limit bawah kelas pertama adalah 13,0, alternatif limit kelas yang dipakai adalah 12,0, maka batas bawah k e. Batas atas kelas pertama adalah 11,95+5 = 16,95 f. Limit atas kelas pertama adalah 11,95-0,05= 11,9 Jadi, tabel distribusi frekuensi dari data di atas adalah: Interval Kelas 12,0-16,9 17,0-21,9 22,0-26,9 27,0-31,9 32,0-36,9 37,0-41,9 42,0-46,9
Batas Kelas 11,95-16,95 16,95-21,95 21,95-26,95 26,95-31,95 31,95-36,95 36,95-41,95 41,95-46,95 Jumlah
fi 2 3 1 17 29 14 9 75
αi 14.45 19.45 24.45 29.45 34.45 39.45 44.45
ᾱ = 2563,75 : 75 = 34,18 s² = 3244,48 : (75-1) = 43,84 18. Lakukan hal yang sama untuk data dalam soal 15 bab III! Jawab: a. Jangkauan (r) = data terbesar-data terkecil = 24,6-7,3 = 17,3 b. Banyak kelas (k) = 1+3,3 log 75 = 7,1877 = 7
fi.αi 28.9 58.35 24.45 500.65 999.05 552.3 400.05 2563.75
c. Lebar kelas (c) = r : k = 17,3 : 7 = 2,4714 = 3 d. Limit bawah kelas pertama adalah 7,3, alternatif limit kelas yang dipakai adalah 6,3, maka batas bawah kela e. Batas atas kelas pertama adalah 6,25+3 = 9,25 f. Limit atas kelas pertama adalah 9,25-0,05 = 9,2 Jadi, tabel distribusi frekuensi dari data di atas adalah: Interval Kelas 6,3-9,2 9,3-12,2 12,3-15,2 15,3-18,2 18,3-21,2 21,3-24,2 24,3-27,2
Batas Kelas 6,25-9,25 9,25-12,25 12,25-15,25 15,25-18,25 18,25-21,25 21,25-24,25 24,25-27,25 Jumlah
fi 6 18 23 15 9 3 1 75
αi 7.75 10.75 13.75 16.75 19.75 22.75 25.75
fi.αi 46.5 193.5 316.25 251.25 177.75 68.25 25.75 1079.25
ᾱ = 1079,25 : 75 = 14,39 s² = 1193,31 : (75-1) = 16,13
19. Hitunglah varians untuk umur, tinggi, dan berat 100 laki-laki yang datanya diberikan dalam soal 21 bab III Jawab: I. Umur a. Jangkauan (r) = data terbesar-data terkecil = 68 - 23 = 45 b. Banyak kelas (k) = 1+3,3 log 100 = 7,6 = 7 c. Lebar kelas (c) = r : k = 45 : 7 = 6,43 = 7 d. Limit bawah kelas pertama adalah 23, alternatif limit kelas yang dipakai adalah 22, maka batas bawah kelas e. Batas atas kelas pertama adalah 21,5+7 = 28,5 f. Limit atas kelas pertama adalah 28,5-0,5 = 28 Jadi, tabel distribusi frekuensi dari data di atas adalah: Interval Kelas 22-28 29-35 36-42 43-49 50-56 57-63 64-70
Batas Kelas 21,5-28,5 28,5-35,5 35,5-42,5 42,5-49,5 49,5-56,5 56,5-63,5 63,5-70,5 Jumlah
ᾱ = 4432 : 100 = 44,32 s² = 13433,25 : (100-1) = 135,69
fi 8 19 21 17 17 12 6 100
αi 25 32 39 46 53 60 67
fi.αi 200 608 819 782 901 720 402 4432
II. Berat a. Jangkauan (r) = data terbesar-data terkecil = 76 - 58 = 18 b. Banyak kelas (k) = 1+3,3 log 100 = 7,6 = 7 c. Lebar kelas (c) = r : k = 18 : 7 = 2,57 = 3 d. Limit bawah kelas pertama adalah 58, alternatif limit kelas yang dipakai adalah 57, maka batas bawah kelas e. Batas atas kelas pertama adalah 56,5+3 = 59,5 f. Limit atas kelas pertama adalah 59,5-0,5 = 59 Jadi, tabel distribusi frekuensi dari data di atas adalah: Interval Kelas 57-59 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74 75-77
Batas Kelas 56,5-59,5 59,5-62,5 62,5-65,5 65,5-68,5 68,5-71,5 71,5-74,5 74,5-77,5 Jumlah
fi 5 8 8 32 38 8 1 100
αi 58 61 64 67 70 73 76
fi.αi 290 488 512 2144 2660 584 76 6754
ᾱ = 6754 : 100 = 67,54 s² = 1446,68 : (100-1) = 14,61
III. Tinggi a. Jangkauan (r) = data terbesar-data terkecil = 190 - 152 = 38 b. Banyak kelas (k) = 1+3,3 log 100 = 7,6 = 7 c. Lebar kelas (c) = r : k = 38 : 7 = 5,43 = 6 d. Limit bawah kelas pertama adalah 152, alternatif limit kelas yang dipakai adalah 151, maka batas bawah ke e. Batas atas kelas pertama adalah 150,5 + 6 = 156,5 f. Limit atas kelas pertama adalah 156,5 - 0,5 = 156 Jadi, tabel distribusi frekuensi dari data di atas adalah: Interval Kelas 151-156 157-162 163-168 169- 174 175-180 181-186 187-192
Batas Kelas 150,5-156,5 156,5-162,5 162,5-168,5 168,5- 174,5 174,5-180,5 180,5-186,5 186,5-192,5 Jumlah
fi 8 31 21 12 12 9 7 100
αi 153.5 159.5 165.5 171.5 177.5 183.5 189.5
fi.αi 1228 4944.5 3475.5 2058 2130 1651.5 1326.5 16814
ᾱ = 16814 : 100 = 168,14 s² = 10679,08 : (100-1) = 107,87 20. Lihat daftar III(12) dalam soal 23 bab III Hitunglah varians tiap jenis penduduk dan tiap jenis tenaga kerja! Jawab: I. Tabel Penduduk Laki-laki Interval Kelas fi αi fi.αi 10--14 4634 12 55608 15--19 3518 17 59806 20--24 3702 22 81444 25--34 7085 29.5 209007.5 35--44 5720 39.5 225940 45--54 3559 49.5 176170.5 55--64 1897 59.5 112871.5 65--74 798 69.5 55461 Jumlah 30913 976308.5
αi - ᾱ -19.58 -14.58 -9.58 -2.08 7.92 17.92 27.92 37.92
ᾱ = 976308,5 : 30913 = 31,58 s² = 7022729,503 : (30913-1) = 227,19 II. Tabel Penduduk Perempuan Interval Kelas fi 10--14 4332 15--19 3403 20--24 4434 25--34 8447 35--44 5363 45--54 3483 55--64 1850 65--74 829 Jumlah 32141
αi 12 17 22 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5
fi.αi 51984 57851 97548 249186.5 211838.5 172408.5 110075 57615.5 1008507
αi - ᾱ -19.38 -14.38 -9.38 -1.88 8.12 18.12 28.12 38.12
αi 12 17 22 29.5 39.5 49.5
fi.αi 11724 43452 66198 204258 218672 168448.5
αi - ᾱ -22.66 -17.66 -12.66 -5.16 4.84 14.84
ᾱ = 1008507 : 32141 = 31,38 s² = 6915398,8 : (32141-1) = 215,17 III. Tabel Tenaga Kerja Laki-laki Interval Kelas fi 10--14 977 15--19 2556 20--24 3009 25--34 6924 35--44 5536 45--54 3403
55--64 65--74 Jumlah
1700 621 24726
59.5 69.5
101150 43159.5 857062
24.84 34.84
αi 12 17 22 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5
fi.αi 7224 20145 26158 68646.5 70468 68557.5 43078 18139.5 322416.5
αi - ᾱ -22.09 -17.09 -12.09 -4.59 5.41 15.41 25.41 35.41
ᾱ = 857062 : 24726 = 34,66 s² = 4647285,686 : (24726-1) = 187,96 IV. Tabel Tenaga Kerja Perempuan Interval Kelas fi 10--14 602 15--19 1185 20--24 1189 25--34 2327 35--44 1784 45--54 1385 55--64 724 65--74 261 Jumlah 9457 ᾱ = 322416,5 : 9457 = 34,09 s² = 2038507,722 : (9457-1) = 215,58
21. Dalam soal 26, bab IV, untuk data dalam soal 21, bab III telah dihitung rata-rata umur, tinggi, dan berat keDengan menggunakan hasil soal 19 di muka dan data dalam soal 21, bab III, hitunglah ada berapa % yang: a. Umurnya jatuh dalam interval ᾱ ± s, ᾱ ± 2s, ᾱ ± 3s Jawab: 1) interval ᾱ ± s = 44,32 ± 11,65 = 32,67-55,97 interval 2-5, f = 19 + 21 + 17 + 17 = 74 % data = (74 : 100) x 100% = 74% 2) interval ᾱ ± 2s = 44,32 ± 23,3 = 21,02-67,62 interval 1-7, f = 8 + 19 + 21 + 17 + 17 +12 + 6 = 100 % data = (100 : 100) x 100% = 100% 3) interval ᾱ ± 3s = 44,32 ± 34,95 = 9,37-79,27 interval 1-7, f = 8 + 19 + 21 + 17 + 17 +12 + 6 = 100 % data = (100 : 100) x 100% = 100% b. Tingginya jatuh dalam interval ᾱ ± s, ᾱ ± 2s, ᾱ ± 3s Jawab: 1) interval ᾱ ± s = 168,14 ± 10,39 = 157,75-178,53 interval 2-5, f = 31 + 21 + 12 +12 = 76 % data = (76 : 100) x 100% = 76% 2) interval ᾱ ± 2s = 168,14 ± 20,78 = 147,36-188,92 interval 1-7, f = 8 + 31 + 21 + 12 +12 + 9 + 7 = 100 % data = (100 : 100) x 100% = 100%
3) interval ᾱ ± 3s = 168,14 ± 31,17 = 136,97-199,31 interval 1-7, f = 8 + 31 + 21 + 12 +12 + 9 + 7 = 100 % data = (100 : 100) x 100% = 100% c. Beratnya jatuh dalam interval ᾱ ± s, ᾱ ± 2s, ᾱ ± 3s Jawab: 1) interval ᾱ ± s = 67,54 ± 3,82 = 63,72-71,36 interval 3-5, f = 8 + 32 + 38 = 78 % data = (78 : 100) x 100% = 78% 2) interval ᾱ ±2s = 67,54 ± 7,64 = 59,9-75,18 interval 1-7, f = 5 + 8 + 8 + 32 + 38 + 8 +1 = 78 % data = (100 : 100) x 100% = 100% 2) interval ᾱ ±3s = 67,54 ± 11,46 = 56,08-79 interval 1-7, f = 5 + 8 + 8 + 32 + 38 + 8 +1 = 78 % data = (100 : 100) x 100% = 100% 22. Dengan menggunakan hasil soal 28 bab IV dan soal 20 di muka, tentukanlah: a. Jenis penduduk mana yang lebih merata distribusi umurnya Jawab: KV (Penduduk Laki-laki) = (15,07 : 31,58) x 100% = 47,72% KV (Penduduk Perempuan) = (14,67 : 31,38) x 100% = 46,75% Jadi, lebih merata pada jenis penduduk laki-laki b. Tenaga kerja jenis mana yang umurnya bervariasi lebih besar Jawab: KV (Tenaga Kerja Laki-laki) = (13,71 : 34,66) x 100% = 39,56% KV (Tenaga Kerja Perempuan) = (14,68 : 34,09) x 100% = 43,06% Jadi, lebih bervariasi pada jenis tenaga kerja perempuan 23. Gabungkan hasil soal 17 dan soal 18 di muka dengan hasil soal 24 dan soal 25 dari bab IV. Tentukan apakah kelahiran atau kematian yang bervariasi lebih besar untuk tiap 1000 penduduk! Jawab: KV (Angka Kelahiran) = (6,62 : 34,18) x 100% = 19,37% KV (Angka Kematian) = (4,02 : 14,39) x 100% = 27,94% Jadi, angka kematian memiliki variasi yang lebih besar dibandingkan dengan angka kelahiran. 24. Koefisien variasi hasil pengamatan yang terdiri atas 100 obyek besarnya 20%. Rata-ratanya tiga lebihnya dari simpangan bakunya. Tentukan rata-rata untuk sampel itu! Jawab: KV = (Simpangan Baku : Rata-rata) x 100% 20% = ((Rata-rata - 3) : Rata-rata) x 100% 20% : 100% = (Rata-rata - 3) : Rata-rata 1 : 5 = (Rata-rata - 3) : Rata-rata Rata-rata = 5 Rata-rata -15 Rata-rata = -15 : -4
Rata-rata = 3,75
25. Lihat rumus V(11). Apakah artinya: z = 0, z > 0, z < 0? Kapan hal itu akan terjadi? Jawab: z = 0 artinya bilangan baku yang terbentuknya adalah 0, hal ini terjadi apabila hasil pengurangan data xi oleh r z > 0 artinya bilangan baku yang terbentuknya lebih besar daripada 0, hal ini terjadi apabila hasil pengurangan z < 0 artinya bilangan baku yang terbentuknya lebih kecil daripada 0, hal ini terjadi apabila hasil pengurangan
26. Sekarang liat rumus V(12). Apakah artinya: z = ᾱ0, z < ᾱ0, dan z > ᾱ0? Kapan hal itu akan terjadi? Jawab: z = ᾱ0 artinya bilangan baku yang terbentuknya adalah 0, hal ini terjadi apabila hasil pengurangan data xi oleh z < ᾱ0 artinya bilangan baku yang terbentuknya adalah negatif, hal ini terjadi apabila hasil pengurangan data x z > ᾱ0 artinya bilangan baku yang terbentuknya adalah positif, hal ini terjadi apabila hasil pengurangan data x
27. Lihat soal 14. Jadikanlah data itu dalam bentuk bilangan baku! Hitunglah rata-rata dan simpangan baku un Jawab: Rumus untuk memperoleh bilangan baku zi = (αi - ᾱ) : s zi αi - ᾱ (αi - ᾱ)² 0.44 0.441 0.194481 -1.15 -1.149 1.320201 -0.75 -0.749 0.561001 -0.35 -0.349 0.121801 1.23 1.231 1.515361 1.63 1.631 2.660161 -1.15 -1.149 1.320201 -0.35 -0.349 0.121801 0.44 0.441 0.194481 -0.01 8.009489 Rata-rata = -0,01 : 9 = -0,001 = 0 s = √ (8 : (9 - 1)) = 1
28. Perhatikan daftar IV(2) bab IV. Dengan mengambil tanda kelas masing-masing kelas interval, buatlah nilai Jawab: Rumus untuk memperoleh bilangan baku zi = (αi - ᾱ) : s, dik: ᾱ = 76,63 dan s = 11,08 Nilai Ujian Tanda Kelas zi 31-40 35.5 -3.71 41-50 45.5 -2.81 51-60 55.5 -1.91 61-70 65.5 -1.01 71-80 75.5 -0.1 81-90 85.5 0.8
91-100
95.5
1.7
29. Didapat hasil ujian sejarah untuk 40 mahasiswa: 63 78 85 95 77 81 57 97 61 75 67 80 62 78 65 85 53 71 83 68 77 74 75 71 60 a. Hitung rata-rata dan simpangan bakunya. b. Jadikan data di atas ke dalam bilangan baku dengan rata-rata 10 dan simpangan baku = 3 c. Kalau dalam sistem bilangan baku ini, nilai lulus ditentukan paling kecil 15, ada berapa orang yang lulus? Jawab: a. 1) Jangkauan (r) = data terbesar-data terkecil = 97 - 53 = 44 2) Banyak kelas (k) = 1+3,3 log 40 = 6,29 = 7 3) Lebar kelas (c) = r : k = 44 : 6 = 7,33 = 7 4) Limit bawah kelas pertama adalah 53, alternatif limit kelas yang dipakai adalah 52, maka batas bawah kelas 5) Batas atas kelas pertama adalah 51,5+7 = 58,5 6) Limit atas kelas pertama adalah 58,5-0,5 = 58 Jadi, tabel distribusi frekuensi dari data di atas adalah: Interval Kelas 52-58 59-65 66-72 73-79 80-86 87-93 94-100
Batas Kelas 51,5-58,5 58,5-65,5 65,5-72,5 72,5-79,5 79,5-86,5 86,5-93,5 93,5-100,5 Jumlah
fi 2 7 6 10 9 4 2 40
αi 55 62 69 76 83 90 97
ᾱ = 3019 : 40 = 75,48 s = √(4643,976 : (40-1)) = 10,91 b. Setiap data αi masukkan ke dalam rumus zi = ᾱ0 + s0 ((αi - ᾱ) : s) zi = 10 + 3 ((αi - ᾱ) : s) zi fi 4.37 2 6.29 7 8.22 6 10.14 10 12.07 9 13.99 4 15.92 2
fi.αi 110 434 414 760 747 360 194 3019
Jumlah
40
c. Jika nilai minimalnya 15, maka berdasarkan data pada jawaban 29.b hanya 2 orang yang lulus.
30. Jika nilai-nilai data dijadikan bilangan baku dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10, digunakan rumus Ti = 50 + 10 ((αi - ᾱ) : s) Maka dikatakan bahwa data itu telah diubah ke dalam bilangan T. (Perhatikan bahwa disini khusus dipakai T d a. Buatlah nilai ujian sejarah dalam soal 29 menjadi bilangan T. b. Dengan syarat seperti dalam soal 29c, tentukan nilai terkecil untuk lulus dalam sistem bilangan T. Jawab: a. Ti = 50 + 10 ((αi - ᾱ) : s) Ti fi 31.23 2 37.64 7 44.06 6 50.48 10 56.89 9 63.31 4 69.73 2 Jumlah 40 b. Supaya yang lulus hanya 2 orang maka syarat nilai terkecil untuk lulusnya adalah 64. 31. kapan varians gabungan akan sama dengan rata-rata dari varians-varians subsampel, yakni: s² = (s1² + s2² + .... + sk²) : k ? Jawab: Belum bisa dijawab
32. Sebuah sampel berukuran 200 telah dibagi menjadi 3 bagian, ialah: bagian I dengan ᾱ1 = 40,8 dan s1 = 10,5 bagian I dengan ᾱ2 = 36,7 dan s2 = 9,8 bagian I dengan ᾱ3 = 29,9 dan s1 = 10,2 Dapatkah rata-rata gabungan dan simpangan baku gabungan dihitung disini? Mengapa? Bagaimana jika juga diberikan bahwa: bagian I terdiri dari 60 obyek, bagian II terdiri dari 105 obyek, dan bagian III terdiri dari 35 obyek. Jawab: Jika tidak ada jumlah obyek dari tiap bagian maka rata-rata gabungan dan simpangan baku gabungan tidak da ᾱ (rata-rata gabungan) = ((60 x 40,8) + (105 x 36,7) + (35 x 29,9)) : 200 = 36,74 s² (simpangan baku gabungan) = (((60-1) x 10,5) + ((105-1) x 9,8) + ((35-1) x 10,2)) : (200 - 3) = (619,5 + 101
33. Perhatikan kembali soal 25 bab III. Tentukan persentase warga negara Indonesia golongan mana dan jenis Jawab:
Untuk mencari mana yang lebih uniform maka harus dicari terlebih dahulu rata-rata dan simpangan baku dar a. Laki-laki dewasa tahun 1977 b. Laki-laki dewasa tahun 1978 αi αi-ᾱ (αi-ᾱ)² αi 25.8 -0.77 0.5929 26.2 25 -1.57 2.4649 24.7 25.3 -1.27 1.6129 25.1 26.5 -0.07 0.0049 26.4 27.7 1.13 1.2769 27.6 26 -0.57 0.3249 25.9 25.3 -1.27 1.6129 24.9 25.5 -1.07 1.1449 26 28 1.43 2.0449 27.5 25.3 -1.27 1.6129 25.6 26.6 0.03 0.0009 27.2 27.7 1.13 1.2769 28.1 27.2 0.63 0.3969 27.2 27.9 1.33 1.7689 28.2 25.8 -0.77 0.5929 26.5 27.5 0.93 0.8649 27.3 27.5 0.93 0.8649 27.5 26.2 -0.37 0.1369 26.2 26 -0.57 0.3249 26.2 30.3 3.73 13.9129 30.2 27 0.43 0.1849 27.1 26.7 0.13 0.0169 26.8 25.1 -1.47 2.1609 25.2 25.3 -1.27 1.6129 24.8 25.8 -0.77 0.5929 25.8 27.8 1.23 1.5129 28.2 690.8 38.9154 692.4 ᾱ = 690,8 : 26 = 26.57 s = √ (38,9154 : 25) = 1,25 KV = (1,25 : 26,57) x 100% = 4,71%
ᾱ = 692,4 : 26 = s = √ (41,3954 : 25) = 1,29 KV = (1,29 : 26,63) x 100% = 4,85%
d. Perempuan dewasa tahun 1978 αi αi-ᾱ 26.5 -0.76 25.7 -1.56 28 0.74 25.4 -1.86 25.8 -1.46 26.9 -0.36 26.2 -1.06
e. Anak laki-laki tahun 1977 αi 23.4 24.2 22.9 42.2 23.1 23.7 23.5
(αi-ᾱ)² 0.5776 2.4336 0.5476 3.4596 2.1316 0.1296 1.1236
25.4 25.5 27.5 29.6 29.9 29.8 29.3 27.8 28.4 27.2 25.5 27.5 26.9 28.1 26.1 28.1 28.3 26.4 27 708.8
-1.86 -1.76 0.24 2.34 2.64 2.54 2.04 0.54 1.14 -0.06 -1.76 0.24 -0.36 0.84 -1.16 0.84 1.04 -0.86 -0.26
3.4596 3.0976 0.0576 5.4756 6.9696 6.4516 4.1616 0.2916 1.2996 0.0036 3.0976 0.0576 0.1296 0.7056 1.3456 0.7056 1.0816 0.7396 0.0676 49.6016
24.7 23.7 23.1 21.8 21.1 21 21.3 23.1 22.2 22.9 24.2 22.9 22 22.7 23.7 23.3 22.7 24.4 23.7 617.5
ᾱ = 708,8 : 26 = 27.26 s = √ (49,6061 : 25) = 1,41 KV = (1,41 : 27,15) x 100% = 5,19%
ᾱ = 617,5 : 26 = s = √ (378,025 : 25) = 3,89 KV = (3,89 : 23,75) x 100% = 16,38%
g. Anak perempuan tahun 1977 αi αi-ᾱ 23.8 0.58 25 1.78 23.5 0.28 24.1 0.88 23.7 0.48 24.1 0.88 24.8 1.58 24.7 1.48 23.6 0.38 23.9 0.68 22.8 -0.42 21.7 -1.52 21.8 -1.42 21.6 -1.62 23.8 0.58 21.5 -1.72 22.3 -0.92
h. Anak perempuan tahun 1978 αi 23.8 25.2 23.7 24.1 23.3 24.3 25.2 24.3 23.1 23.8 21.5 21.2 21.9 21.4 23.3 22 22.4
(αi-ᾱ)² 0.3364 3.1684 0.0784 0.7744 0.2304 0.7744 2.4964 2.1904 0.1444 0.4624 0.1764 2.3104 2.0164 2.6244 0.3364 2.9584 0.8464
24.2 23.9 20.7 22.8 23.3 23.8 23.2 23.3 21.9 603.8
0.98 0.68 -2.52 -0.42 0.08 0.58 -0.02 0.08 -1.32
0.9604 0.4624 6.3504 0.1764 0.0064 0.3364 0.0004 0.0064 1.7424 31.9664
24.1 23.7 20.9 22.1 23.3 23.8 23.5 23.4 21.5 600.8
ᾱ = 603,8 : 26 = 23.22 s = √ (31,9664 : 25) = 1,13 KV = (1,13 : 23,22) x 100% = 4,87%
ᾱ = 600,8 : 26 = s = √ (36,8586 : 25) = 1,21 KV = (1,21 : 23,11) x 100% = 5,24%
Jadi, data yang mempunyai sifat lebih uniform adalah golongan anak jenis laki-laki tahun 1977.
34. lihat soal 45 bab IV. Di bank mana para penabung telah menyimpan uangnya dengan variasi yang lebih bes Jawab: a. Penabung di bank A Interval Kelas fi αi fi.αi αi - ᾱ 5--9 703 7 4921 -114.88 10--49 4829 29.5 142455.5 -92.38 50--99 12558 74.5 935571 -47.38 100--499 1836 299.5 549882 177.62 500--999 273 749.5 204613.5 627.62 1000--4999 117 2999.5 350941.5 2877.62 5000--9999 39 7499.5 292480.5 7377.62 Jumlah 20355 2480865 ᾱ = 2480865 : 20355 = 121,88 s² = 3335723406 : (20355-1) = 163885,4 b. Penabung di bank B Interval Kelas 5--9 10--49 50--99 100--499 500--999 1000--4999 5000--9999 Jumlah
fi 912 3456 10402 976 372 196 47 16361
αi 7 29.5 74.5 299.5 749.5 2999.5 7499.5
fi.αi 6384 101952 774949 292312 278814 587902 352476.5 2394789.5
αi - ᾱ -139.37 -116.87 -71.87 153.13 603.13 2853.13 7353.13
ᾱ =2394789,5 : 16361 = 146,37 s² = 4413584350 : (16361-1) = 269779 Jadi, lebih bervariasi di bank B
35. Ada tiga calon masing-masing datang dari tiga sekolah tingkat akhir yang berbeda. Di sekolahnya masing-masing calon A mendapat nilai matematika 83 sedangkan rata-rata kelasnya 62 dan sim Calon B mendapat nilai matematika 97 sedangkan rata-rata kelasnya 83 dan simpangan baku 23. Sedangkan Calon C mendapat nilai matematika 87 sedangkan rata-rata kelasnya 65 dan simpangan baku 14. Salah satu calon ini akan dipilih berdasarkan sistem dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 100. Calon mana sebaiknya yang didahulukan diterima? Jawab: A = 500 + 100 ((83-62) : 16) = 631,25 B = 500 + 100 ((97-83) : 23) = 560, 87 C = 500 + 100 ((87-65) : 14) = 657,14 Jadi, jawabannya C
butkan pula macamnya yang dikenal.
ncarnya data kuantitatif. rtil, simpangan kuartil atau deviasi kuartil, andar, varians dan koefisien variasi.
=
ih dianjurkan karena resiko kesalahannya lebih kecil
entangnya saja!
nyalah selisih antara data yang terbesar (max) dengan data yang terkecil (min) saja, tanpa mengetahui yang lainnya.
tabel distribusi frekuensi diperlukan panjang kelas interval, panjang kelas interval ini dapat diketahui jika rentang dari s
umlah harga-harga mutlak dari selisih tiap data dengan rata-rata hitungnya?
ari selisih tiap data dengan rata-rata hitung (jarak) dibagi jumlah data (n), harus mutlak karena jarak tidak ada yang nega
at-pangkat dua dari selisih tiap data dengan rata-rata hitung?
angan baku akan selalu bernilai tak terhingga.
ma dengan variansnya?
etahui terlebih dahulu nilai rata-rata hitung dari sekumpulan datanya.
a yang sedang dipelajari?
a x dan s: digunakan untuk data yang berbentuk sampel, sedangkan
ta sekarang:
masing-masing keadaan di atas?
ata dikurangi ᾱ lalu dibagi s. Berapakah rata-rata dan simpangan baku data baru? Bagaimana jadinya jika tiap data dibagi
sedangkan jika tiap datanya dibagi s lalu dikurangi ᾱ maka data barunya pun akan mempunyai nilai s = 1. ikurangi ᾱ lalu dibagi s Data dibagi s lalu dikurangi ᾱ αi-ᾱ (αi-ᾱ)² αi αi-ᾱ (αi-ᾱ)² 0 0 -5.08 0 0 -0.37 0.14 -5.45 -0.37 0.14 0.73 0.53 -4.35 0.73 0.53 1.1 1.21 -3.99 1.1 1.21 -1.46 2.13 -6.54 -1.46 2.13 4.01 -25.41 4.01 ᾱ = -25,41 : 5 = -5,08 s = √4,01 : 4 =1
kah artinya:
ggi 196 dengan perbedaan paling tinggi 56.
m interval 168±28 atau antara 140 dan 196. (rentang 10-90 persentil didefinisi sebagai P90 - P10). Apa artinya?
endah 85 dan paling tinggi 116 dengan perbedaan paling tinggi 31.
n baku-nya!
gkan dengan pertanyaan 14c di atas. Jelaskan perbedaan yang mungkin didapat!
ang koma dari setiap proses perhitungan yang dilakukan, sehingga nilai RS yang didapat akan sedikit berbeda. a simpangan dihitung dengan rumus:
oal 15 di atas dengan mengambil s² = 172,1.
fi |αi - ᾱ| 41.13 62.26 105.65 166.95 28.25 177.4 118.44 700.08
(αi - ᾱ)² 1691.68 969.08 446.48 123.88 1.28 78.68 97.42 3408.5
fi.(αi - ᾱ)² 1691.68 1938.16 2232.4 1858.2 32 1948.4 1169.04 9700.84
erhitungan nilai s mendekati satu sama lain disebabkan adanya pembulatan data di belakang koma dari setiap proses per
lah variansnya!
i adalah 12,0, maka batas bawah kelasnya adalah 11,95
αi - ᾱ -19.73 -14.73 -9.73 -4.73 0.27 5.27 10.27
(αi - ᾱ)² 389.27 216.98 94.67 22.37 0.07 27.77 105.47 856.6
fi.(αi - ᾱ)² 778.54 650.94 94.67 380.29 2.03 388.78 949.23 3244.48
adalah 6,3, maka batas bawah kelasnya adalah 6,25
αi - ᾱ -6.64 -3.64 -0.64 2.36 5.36 8.36 11.36
(αi - ᾱ)² 44.09 13.25 0.41 5.57 28.73 69.89 129.05 290.99
fi.(αi - ᾱ)² 264.54 238.5 9.43 83.55 258.57 209.67 129.05 1193.31
ya diberikan dalam soal 21 bab III!
dalah 22, maka batas bawah kelasnya adalah 21,5
αi - ᾱ -19.32 -12.32 -5.32 1.68 8.68 15.68 22.68
(αi - ᾱ)² 373.26 151.78 28.3 2.82 75.34 245.86 514.38 1391.74
fi.(αi - ᾱ)² 2986.08 2883.82 198.03 47.94 1280.78 2950.32 3086.28 13433.25
dalah 57, maka batas bawah kelasnya adalah 56,5
αi - ᾱ -9.54 -6.54 -3.54 -0.54 2.46 5.46 8.46
(αi - ᾱ)² 91.01 42.77 12.53 0.29 6.05 29.81 71.57 254.03
fi.(αi - ᾱ)² 455.05 342.16 100.24 9.28 229.9 238.48 71.57 1446.68
adalah 151, maka batas bawah kelasnya adalah 150,5
αi - ᾱ -14.64 -8.64 -2.64 3.36 9.36 15.36 21.36
(αi - ᾱ)² 214.33 74.65 6.97 11.29 87.61 235.93 456.25 1087.03
fi.(αi - ᾱ)² 1714.64 2314.15 146.37 135.48 1051.32 2123.37 3193.75 10679.08
(αi - ᾱ)² 383.3764 212.5764 91.7764 4.3264 62.7264 321.1264 779.5264 1437.9264 3293.3612
fi.(αi - ᾱ)² 1776566.238 747843.7752 339756.2328 30652.544 358795.008 1142888.858 1478761.581 1147465.267 7022729.503
(αi - ᾱ)² 375.5844 206.7844 87.9844 3.5344 65.9344 328.3344 790.7344 1453.1344 3312.0252
fi.(αi - ᾱ)² 1627031.621 703687.3132 390122.8296 29855.0768 353606.1872 1143588.715 1462858.64 1204648.418 6915398.8
(αi - ᾱ)² 513.4756 311.8756 160.2756 26.6256 23.4256 220.2256
fi.(αi - ᾱ)² 501665.6612 797154.0336 482269.2804 184355.6544 129684.1216 749427.7168
617.0256 1213.8256 3086.7548
1048943.52 753785.6976 4647285.686
(αi - ᾱ)² 487.9681 292.0681 146.1681 21.0681 29.2681 237.4681 645.6681 1253.8681 3113.5448
fi.(αi - ᾱ)² 293756.7962 346100.6985 173793.8709 49025.4687 52214.2904 328893.3185 467463.7044 327259.5741 2038507.722
ta-rata umur, tinggi, dan berat ke-100 orang laki-laki. hitunglah ada berapa % yang:
oal 25 dari bab IV. k tiap 1000 penduduk!
n angka kelahiran.
uk sampel itu!
la hasil pengurangan data xi oleh rata-ratanya = 0. i terjadi apabila hasil pengurangan data xi oleh rata-ratanya adalah positif. terjadi apabila hasil pengurangan data xi oleh rata-ratanya adalah negatif.
bila hasil pengurangan data xi oleh rata-ratanya = 0. di apabila hasil pengurangan data xi oleh rata-ratanya adalah negatif. i apabila hasil pengurangan data xi oleh rata-ratanya adalah positif.
h rata-rata dan simpangan baku untuk bilangan baku ini.
masing kelas interval, buatlah nilai ujian menjadi bilangan baku.
62 87 79 63 93
93 73 84 85 70
90 82 80 76 68
pangan baku = 3 5, ada berapa orang yang lulus?
adalah 52, maka batas bawah kelasnya adalah 51,5
αi - ᾱ -20.48 -13.48 -6.48 0.52 7.52 14.52 21.52
(αi - ᾱ)² 419.4304 181.7104 41.9904 0.2704 56.5504 210.8304 463.1104 1373.8928
fi.(αi - ᾱ)² 838.8608 1271.9728 251.9424 2.704 508.9536 843.3216 926.2208 4643.976
a 2 orang yang lulus.
pangan baku 10, digunakan rumus:
an bahwa disini khusus dipakai T dan bukan z).
dalam sistem bilangan T.
a adalah 64.
ns subsampel, yakni:
mpangan baku gabungan tidak dapat dihitung, karena dalam perhitungan keduanya diperlukan data n atau f. x 10,2)) : (200 - 3) = (619,5 + 1019,2 + 346,8) : 197 = 10,08
ndonesia golongan mana dan jenis mana yang sifatnya lebih uniform. Untuk tahun berapa?
rata-rata dan simpangan baku dari masing-masing jenis dan tahunnya. i-laki dewasa tahun 1978 c. Perempuan dewasa tahun 1977 αi-ᾱ (αi-ᾱ)² αi αi-ᾱ (αi-ᾱ)² -0.43 0.1849 27 -0.15 0.0225 -1.93 3.7249 25.8 -1.35 1.8225 -1.53 2.3409 28.3 1.15 1.3225 -0.23 0.0529 25.2 -1.95 3.8025 0.97 0.9409 25.5 -1.65 2.7225 -0.73 0.5329 26.2 -0.95 0.9025 -1.73 2.9929 26.4 -0.75 0.5625 -0.63 0.3969 25.1 -2.05 4.2025 0.87 0.7569 24.7 -2.45 6.0025 -1.03 1.0609 27.7 0.55 0.3025 0.57 0.3249 28.8 1.65 2.7225 1.47 2.1609 29.5 2.35 5.5225 0.57 0.3249 30 2.85 8.1225 1.57 2.4649 29.2 2.05 4.2025 -0.13 0.0169 27.3 0.15 0.0225 0.67 0.4489 28.8 1.65 2.7225 0.87 0.7569 27.3 0.15 0.0225 -0.43 0.1849 25.4 -1.75 3.0625 -0.43 0.1849 27.2 0.05 0.0025 3.57 12.7449 27 -0.15 0.0225 0.47 0.2209 27.5 0.35 0.1225 0.17 0.0289 26.3 -0.85 0.7225 -1.43 2.0449 27.9 0.75 0.5625 -1.83 3.3489 28.8 1.65 2.7225 -0.83 0.6889 26.4 -0.75 0.5625 1.57 2.4649 26.6 -0.55 0.3025 41.3954 705.9 53.085
26.63 41,3954 : 25) = 1,29 1,29 : 26,63) x 100% = 4,85%
ᾱ = 705,9 :27.15 26 = s = √ (53,085: 25) = 1,46 KV = (1,46 : 27,15) x 100% = 5,38%
k laki-laki tahun 1977 αi-ᾱ -0.35 0.45 -0.85 18.45 -0.65 -0.05 -0.25
f. Anak laki-laki tahun 1978 αi αi-ᾱ (αi-ᾱ)² 23.5 0.48 0.2304 24.4 1.38 1.9044 23.2 0.18 0.0324 24.1 1.08 1.1664 23.3 0.28 0.0784 23.3 0.28 0.0784 23.7 0.68 0.4624
(αi-ᾱ)² 0.1225 0.2025 0.7225 340.4025 0.4225 0.0025 0.0625
0.95 -0.05 -0.65 -1.95 -2.65 -2.75 -2.45 -0.65 -1.55 -0.85 0.45 -0.85 -1.75 -1.05 -0.05 -0.45 -1.05 0.65 -0.05
0.9025 0.0025 0.4225 3.8025 7.0225 7.5625 6.0025 0.4225 2.4025 0.7225 0.2025 0.7225 3.0625 1.1025 0.0025 0.2025 1.1025 0.4225 0.0025 378.025
23.75 378,025 : 25) = 3,89 3,89 : 23,75) x 100% = 16,38%
k perempuan tahun 1978 αi-ᾱ 0.69 2.09 0.59 0.99 0.19 1.19 2.09 1.19 -0.01 0.69 -1.61 -1.91 -1.21 -1.71 0.19 -1.11 -0.71
(αi-ᾱ)² 0.4761 4.3681 0.3481 0.9801 0.0361 1.4161 4.3681 1.4161 1E-04 0.4761 2.5921 3.6481 1.4641 2.9241 0.0361 1.2321 0.5041
24.3 23.9 23.1 21.7 20.8 21.1 21.1 22.4 22.3 22.9 24.2 22.6 22 22.7 23.8 22.9 23.4 24.4 23.3 598.4
1.28 0.88 0.08 -1.32 -2.22 -1.92 -1.92 -0.62 -0.72 -0.12 1.18 -0.42 -1.02 -0.32 0.78 -0.12 0.38 1.38 0.28
1.6384 0.7744 0.0064 1.7424 4.9284 3.6864 3.6864 0.3844 0.5184 0.0144 1.3924 0.1764 1.0404 0.1024 0.6084 0.0144 0.1444 1.9044 0.0784 26.7944
ᾱ = 598,4 :23.02 26 = s = √ (26,7944 : 25) = 1,04 KV = (1,04 : 23,02) x 100% = 4,52%
0.99 0.59 -2.21 -1.01 0.19 0.69 0.39 0.29 -1.61
0.9801 0.3481 4.8841 1.0201 0.0361 0.4761 0.1521 0.0841 2.5921 36.8586
23.11 36,8586 : 25) = 1,21 1,21 : 23,11) x 100% = 5,24%
ki-laki tahun 1977.
gnya dengan variasi yang lebih besar?
(αi - ᾱ)² 13197.4144 8534.0644 2244.8644 31548.8644 393906.864 8280696.86 54429276.9 63159405.8
fi.(αi - ᾱ)² 9277782.323 41210996.99 28191007.14 57923715.04 107536574 968841533.1 2122741798 3335723406
(αi - ᾱ)² 19423.9969 13658.5969 5165.2969 23448.7969 363765.797 8140350.8 54068520.8 62634334.1
fi.(αi - ᾱ)² 17714685.17 47204110.89 53729418.35 22886025.77 135320876.4 1595508756 2541220477 4413584350
g berbeda. gkan rata-rata kelasnya 62 dan simpangan baku 16. n simpangan baku 23. snya 65 dan simpangan baku 14. an simpangan baku 100.
engetahui yang lainnya.
t diketahui jika rentang dari sekumpulan data tersebut diketahui.
ena jarak tidak ada yang negatif (positif semua)
: digunakan untuk data yang berbentuk populasi
a jadinya jika tiap data dibagi s lalu dikurangi ᾱ?
yai nilai s = 1.
n sedikit berbeda.
g koma dari setiap proses perhitungan yang dilakukan, sehingga nilai s yang didapat akan sedikit berbeda.
kan data n atau f.
edikit berbeda.
