TUGAS AKHIR MODUL 6 1. Carilah sebuah artikel jurnal imternasional (3 tahun terakhir) yang menggunakan pemodelan matematika, Buatlah resume artikel tersebut dengan menyebutkan langkahlangkah pemodelan sesuai yang telah Anda pelajari, Jawab : Artikel jurnal internasional terlampir (jurnal yang saya dapat dalam bentuk file pdf) Langkah-langkah pemodelan yang ada pada jurnal internasional tersebut adalah sebagai berikut: Penjelasan dari langkah-langkah pemodelan matematika adalah sebagai berikut: a. Memahami Masalah Proses ini dimulai dengan menyatakan masalah dunia nyata dan diharapkan untuk menemukan solusi dunia nyata untuk masalah ini. Ini mungkin sulit dicapai secara langsung di dunia nyata. Langkah ini meliputi mengidentifikasi variabel dalam masalah dan membangun hubungan antar variabel. b. Membuat Asumsi Selanjutnya adalah membuat kerangka dasar untuk model matematika. Asumsi ini menggambarkan bagaimana kita berpikir tentang pemodelan yang dibuat. Disini asumsi tentang model mungkin perlu dilakukan untuk menjaga masalah mudah diselesaikan dan sederhana sehingga kita mampu menyelesaikan model menggunakan metode yang dikenal. c. Merumuskan Persamaan Ini adalah tahap yang paling penting di mana satu biasanya akan membenarkan perumusan model berdasarkan mana fisik yang nyata dari variabel dalam masalah. d. Menyelesaikan persamaan Setelah model dibangun, tahap selanjutnya adalah menemukan cara untuk menyelesaikan model menggunakan berbagai teknik matematika dan alat-alat. Sering sekali, kecuali model sangat sederhana, semacam teknologi komputasi atau alat akan diperlukan. e. Menginterpretasikan penyelesaian Setelah mendapatkan solusi siswa diarahkan kembali ke masalah. Siswa kemudian menginterpretasikan hasil atau solusi dari model dalam konteks masalah dunia nyata.
f. Memverifikasi model Dalam langkah ini kekuatan dan kelemahan dari model dibahas, membuat upaya untuk membandingkan solusi model dan data yang dikumpulkan atau dikenal. Kadangkadang, model ingin diperbaiki dengan meninjau kembali dan merevisi asumsi.
2. Lingkungan sekitar dapat menjadi inspirasi dalam mendesain soal matematika, termasuk lingkungan sekolah, a. Dengan mengacu pada kriteria yang telah dibahas pada modul 6,2, buatlah sebuah soal bertipe pemodelan matematika sederhana untuk pembelajaran matematika di sekolah, b. Dengan mengikuti model siklus pemodelan matematika yang telah dibahas dalam modul, selesaikan soal yang telah didesain pada poin a, c. Masing-masing siswa mungkin akan memberikan jawaban yang bermacammacam dan perlu diprediksi sebelum menggunakan soal tersebut dalam proses pembelajaran, Oleh karena itu, menyelesaikan
soal
tersebut,
berikan beberapa alternatif lain cara gunakan
juga
software
matematis
jika
memungkinkan, Jawab : Pak Toni adalah pedagang roti. Beliau menjual dagangannya menggunakan gerobak yang hanya memuat 600 roti. Roti yang dijualnya ada 2 macam yaitu roti manis dan roti tawar dengan masing-masing harganya adalah Rp 5.500,00 dan Rp 4.500,00 per bungkus. Dari penjualan roti ini, beliau datpat memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari sebungkus roti manis dan sebesar Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dipunyai oleh Pak Toni adalah Rp 600.000, buatlah model matematika yang bertujuan untuk memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!
Penyelesaian :
dari tabel diatas kita dapat menuliskan dalam bentuk pertidaksamaan yang akan menjadi seperti berikut : x + y ≤ 600, 5.500x + 4.500y ≤ 600.000, Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0 Pada baris ke-3 menunjukkan syarat nilai dari x dan y, karena x dan y untuk menyatakan banyaknya roti maka tidak mungkin jika nilainya negatif. Pada kolom ke-4 dari tabel untuk menyatakan fungsi yang digunakan untuk menentukan nilai maksimumnya (nilai optimum) dari situ kita dapat menuliskannya menjadi persamaan sebagai berikut f(x,y) = 500x + 600y Tujuan dari masalah ini yaitu untuk mencari nilai x dan y yang menjadi anggota dari himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan, serta untuk membuat fungsi f(x,y) = 500x+600y bernilai maksimum (optimum)
3. Nilai Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini: T(ºC)
-3
(10
Ns/m2)
0
1,792
10
1,308
30
0,801
50
0,549
70
0,406
90
0,317
100
0,284
Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 40o menggunakan polinom Newton, Jawab : Solusi ST-1
, =
1,308 1,792 = = 0,04840 100
, =
0,801 1,308 = = 0,02535 3 0 1 0
, =
0,549 0,801 = = 0,01260 5030
, =
0,406 0,549 = = 0,00715 7050
, =
0,317 0,406 = = 0,00445 9070
, =
0,284 0,317 = = 0,00330 10090
0
0
1,792
-0,04840
1
10
1,308
-0,02535
2
30
0,801
-0,01260
3
50
0,549
-0,00715
4
70
0,406
-0,00445
5
90
0,317
-0,00330
6
100
0,284
Solusi ST-2
( , , ) =
, , 0,02535 0,04840 = = 7,68 10− 300
( , , ) =
, , 0,01260 0,02535 = = 3,19 10− 5010
( , , ) =
, , 0,00715 0,01260 = = 1,36 10− 7030
( , , ) =
, , 0,00445 0,00715 = = 6,75 10− 9050
( , , ) =
, , 0,00330 0,00445 = = 3,83 10− 10070
0
0
1,792
-0,04840
7,68E-04
1
10
1,308
-0,02535
3,19E-04
2
30
0,801
-0,01260
1,36E-04
3
50
0,549
-0,00715
6,75E-05
4
70
0,406
-0,00445
3,83E-05
5
90
0,317
-0,00330
6
100
0,284
Solusi ST-3
, , , , 3,19 10− 7,68 10− (, , , ) = = 500 = 8,99 10− , , , , 1,36 10− 3,19 10− (, , , ) = = 7 0 1 0 = 3,04 10−
, , , , 6,75 10− 1,36 10− (, , , ) = = 9 0 3 0 = 1,15 10− , , , , 3,83 10− 6,75 10− (, , , ) = = 10050 = 5,83 10− 0
0
1,792
-0,04840
7,68E-04
-8,99E-06
1
10
1,308
-0,02535
3,19E-04
-3,04E-06
2
30
0,801
-0,01260
1,36E-04
-1,15E-06
3
50
0,549
-0,00715
6,75E-05
-5,83E-07
4
70
0,406
-0,00445
3,83E-05
5
90
0,317
-0,00330
6
100
0,284
Solusi ST-4
, , , (,, , ) 3,04 10− 8,99 10− (,, , , ) = = 700 = 8,50 10− , , , (, , , ) 1,15 10− 3,04 10− (,, , , ) = = 9 0 1 0 = 2,37 10− , , , (,,,) 5,83 10− 1,15 10− (,, , , ) = = 10030 = 8,04 10− 0
0
1,792
-0,04840
7,68E-04
-8,99E-06
8,50E-08
1
10
1,308
-0,02535
3,19E-04
-3,04E-06
2,37E-08
2
30
0,801
-0,01260
1,36E-04
-1,15E-06
8,04E-09
3
50
0,549
-0,00715
6,75E-05
-5,83E-07
4
70
0,406
-0,00445
3,83E-05
5
90
0,317
-0,00330
6
100
0,284
Solusi ST-5
, , , , (,, , , ) 2,37 10− 8,50 10− = = 6,81 10− 900
(,, , , , ) =
, , , , (, , , , ) (,, , , , ) = 8,04 10− 2,37 10− = = 1,74 10− 10010 0
0
1,792
-0,04840
7,68E-04
-8,99E-06
8,50E-08
-6,81E-10
1
10
1,308
-0,02535
3,19E-04
-3,04E-06
2,37E-08
-1,74E-10
2
30
0,801
-0,01260
1,36E-04
-1,15E-06
8,04E-09
3
50
0,549
-0,00715
6,75E-05
-5,83E-07
4
70
0,406
-0,00445
3,83E-05
5
90
0,317
-0,00330
6
100
0,284
Solusi ST-6
(, , , , , )(,,, , , ) 1,74 10− 6,81 10− = = 5,07 10− 1 0 0 0
(,, , , , , ) =
0
0
1,792
-0,04840
7,68E-04
-8,99E-06
8,50E-08
-6,81E-10
1
10
1,308
-0,02535
3,19E-04
-3,04E-06
2,37E-08
-1,74E-10
2
30
0,801
-0,01260
1,36E-04
-1,15E-06
8,04E-09
3
50
0,549
-0,00715
6,75E-05
-5,83E-07
4
70
0,406
-0,00445
3,83E-05
5
90
0,317
-0,00330
6
100
0,284
Dengan demikian persamaan polinomnya adalah:
= + + + + + + +
5,07E-12
Untuk x = 40 maka
40 = 1,792 0,048404 0 0 + 7,68 10−4 0 04010 8,99 10−4 0 040104 3 0 + 8,50 10−4 0 040104 0 3 04050 6,81 10−4 0 04010403040504070 + 5,07 10−4 0 040104030405040704090 40 = 1,79200 1,93600 + 0,92200 0,10790 0,01020 0,00245 0,00091 40 = 0,657 Jadi perkirakan harga viskositas air
Nama : Arif Rahman Nopes : 18120618010001
pada temperatur 40 o adalah 0,657 (10-3 Ns/m2)
