APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PERCOBAAN MEKANIKA FLUIDA
Makalah ini Dibuat untuk Memenuhi Tugas Akhir Mata Kuliah Persamaan Differensial
Disusun oleh: Denisefrian Noor
(0706275504)
Fajar Fajar Steven Steven
(07062 (07062755 75580) 80)
Jevon Raditya
(0706275656)
Pramesti Andiani
(0706275744)
Widya Larastika
(0706275826)
Program Studi Teknik Lingkungan Departemen Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Indonesia Depok 2009
KATA PENGANTAR
Pertama kami panjatkan puji syukur yang sebesar-besarnya kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena hanya dengan rahmatNya-lah makalah ini dapat terselesaikan dengan sebaik dan semaksimal mungkin oleh kami. Dalam makalah yang cukup singkat ini kami akan membahas tentang Aplikasi Persamaan Deferensial Parsial, dimana kami mengambil contoh kasus untuk Percobaan Mekanika Fluida. Dengan Makalah ini semoga para pembaca dapat lebih memahami tentang Persamaan Deferensial Parsial dan Aplikasinya. Akhir kata kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian makalah ini. Kami juga mengucapkan permohonan maaf apabila terdapat kekurangan dan kesalahan yang tidak kami sadari dalam penulisan makalah ini.
Depok, Mei 2009
Penulis
BAB I PENDAHULUAN
I.1
Latar Belakang
Banyak masalah aliran fluida yang tidak dapat diselesaikan secara matematik karena rumitnya sifat persamaan yang tercakup dank arena batas-batas daerah aliran. Masalah lainnya dapat diselesaikan hanya setelah penyederhanaan tertentu telah dilakukan. Oleh karena itu, untuk membuktikan penyelesaian tersebut perlu melakukan percobaan-percobaan. Tingkah laku fluida yang sesungguhnya pada sistem hanya dapat diketahui dengan pasti setelah pengamatan diadakan di dalam sistem sewaktu sedang dioperasikan. Masalah tersebut mungkin ditenui pada perencanaan, konstruksi, dan pengoperasian bendungan, pelabuhan, pesawat terbang, kapal laut, hanya dijelaskan sebagian. Stabilitas dari bangunan-bangunan ini dan daya gunanya tergantung dari sifat aliran pada dan di sekeliling bangunan. Dengan adanya analisa matematik yang setepattepatnya dan dapat diandalkan, perencana akan menemukan teknik model test, suatu alat paling berguna. Ukuran model yang pantas dari bangunan tersebut dibuat dan dicoba di bawah keadaan pengoperasian yang dapat diawasi dan hasilnya diharapkan untuk memperkirakan apa yang akan terjadi pada bangunan yang sesungguhnya. Penggunaan penyelidikan dengan model untuk keadaan bentuk asli (atau lapangan) mengasumsikan bahwa apabila sifat tertentu kecepatan, debit, gaya, waktu, temperatur, dan lain-lain) diketahui untuk model, maka perkalian dengan faktor yang sesuai akan memberikan sifat yang sama dengan bentuk asli. Dengan kata lain, percobaan yang sempurna dari sifat-sifat model dan bentuk asli (secara kualitas dan kuantitas) dapat dicapai dengan menggunakan satu atau lebih fackor tetap pada salah satu sistem. Faktor tersebut diperoleh dari hokum perbandingan spesifik. Teori model mencoba membuktikan hukum perbandingan ini.
I.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan materi yang akan disajikan, penulis merumuskan masalah “Bagaimana persamaan diferensial parsial diterapkan dalam percobaan mekanika fluida khususnyamengenai kehilangan energi tekan?”
I.3
Tujuan
Penulisan daripada makalah ini bertujuan untuk: •
Mempelajari
penggunaan
persamaan
diferensial,
khususnya
persamaan
diferensial parsial untuk pemecahan permasalahan sehari-hari •
Menyelidiki
bagaimana
timbulnya
beberapa
hukum
perbandingan
dan
kegunaannya yang relatif dalam kasus tertentu dari aliran fluida.
I.4
Metode Penulisan
Penulisan makalah ini menggunakan metode penulisan studi pustaka, dimana permasalahan yang ada merupakan hasil daripada studi literatur dan juga studi dari internet.
BAB II TEORI DASAR
II.1 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. Persamaan diferensial parsial digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain. Persamaan diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan geometris bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan persamaan
differensial parsial. Sesungguhnya, kisaran penerapan persamaan diferensial parsial sangatlah besar dibandingkan dengan kisaran penerapan persamaan diferensial biasa. Peubah-peubah bebas dapat berupa waktu dan satu atau lebih koordinat di dalam ruang. Suatu persamaan akan diturunkan sebagai model dari sistem fisik dan mengupas caracara untuk memecahkan masalah nilai awal dan masalah nilai batas, dengan kata lain metode untuk memperoleh solusi bagi persamaan yang berkaitan dengan masalah fisik yang dihadapi. Formulasi matematik kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat dipresentasikan dalam bentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan tersebut merupakan laju perubahan terhadap dua atau lebih variabel bebas yang biasanya adalah waktu dan jarak (ruang).
II.2 Kesamaan Dinamis
Persamaan dasar diferensial parsial yang menentukan aliran fluida tak dapat dimampatkan dengan viskositas tetap yang sesuai adalah persamaan Navier-Stokes. Derivasi dari persamaan tersebut merupakan teori yang mendasari pertimbangan model. Pada sistem koordinatcartesian, hokum gerak Newton kedua yang digunakan pada massa satuan elemen fluida, yang mempunyai komponen-komponen kecepatan u, v, dan w dalam arah berturut-turut x, y, dan z, memberikan persamaan Navier-Stokes dalam tiga arah utama. (2.1)
∂u ∂u ∂u ∂u + uPercepatan +v + w = Percepatan ∂t ∂ x ∂ y ∂ z setempat
p µ 1 ∂ ∂h ∂2 u ∂2 u ∂2 u −Gaya g gravitasi − + 2 + 2 Gaya + 2 Gaya lekat ρ ∂ x ρ ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x (badan) tekan
(2.2a)
∂v + ∂v + ∂v + ∂v = u v w ∂t ∂ x ∂ y ∂ z
− g ∂h ∂ y
−
∂ p ρ ∂ y 1
2 2 2 + µ ∂ u2 + ∂ u2 + ∂ u2 ρ ∂ x ∂ y ∂ z
(2.2b)
∂w + ∂w + ∂w + ∂w = u v w ∂t ∂ x ∂ y ∂ z
− g ∂h ∂ z
− 1 ∂ p ρ ∂ z
2 2 2 + µ ∂ u2 + ∂ u2 + ∂ u2 ρ ∂ x ∂ y ∂ z
Faktor yang tedapat di sebelah kiri dari persamaan ini adalah percepatan atau faktor inersia yang harus mengimbangi jumlah-jumlah gaya-gaya luar yang bekerja pada elemen fluida, seperti yang diberikan di sebelah kanan. Percepatan dari partikel fluida timbul dari dua sumber, perubahan setempat dari kecepatan karena sifat tak tetap dari aliran dan kenyataan bahwa kecepatan dari partikel fluida berubah sewaktu bergerak dari suatu lokasi ke lokasi yang lain dengan kecepatan yang berbeda. Dalam istilah matematika, jumlah derivasi dari u karena ini adalah fungsi dari kedua waktu dan jarak adalah
du dt
=
y ∂u ∂u δ x ∂u δ ∂u δ z + + + ∂t ∂ x δ t ∂ y δ t ∂ z δ t
atau du dt
=
∂u + ∂t
u
∂u ∂u +v + ∂ x ∂ y
w
Jumlah
Percepatan
Percepatan
Percepatan
setempat
aliran
∂u ∂ z
Gaya-gaya yang bekerja pada partikel fluida yang komponennya dalam berbagai arah ditunjukkan di sebelah kanan persamaan (2.1) dan (2.2) adalah gravitasi berdasarkan atas letak dari partikel fluida dengan jarak tegak h di atas titik duga sementara, tekanan dan gaya-gaya geser atau lekat. Gravitasi menimbulkan gaya badan sedangkan tekanan dan geseran menimbulkan berturut-turut gaya permukaan tegak lurus dan miring. Gaya-gaya ini dijelaskan untuk partikel yang terdapat pada cairan yang sedang mengalir di atas kemiringan yang curam pada saluran terbuka. Konsep dasar dari kesamaan hidrodinamis adalah persyaratan bahwa dua sistem dengan bentuk batas-batas yang sama mempunyai susunan aliran yang sama (keasaman gerak) pada waktu yang ditentukan. Hal ini menyatakan secara tidak langsung bahwa segibanyak dari gaya-gaya harus menjadi sama apabila suatu faktor tetap digunakan dengan tepat pada salah satu dari gaya-gaya tersebut. Ini adalah kesamaan dinamik. Kesamaan gerak pada dua sistem yang bentuknya sama tidak mungkin dicapai kecuali kalau gaya-gaya yang diterapkan diatur sama. Keadaan ini dapat pula disimpulkan dari kenyataan bahwa persamaan Navier-Stokes dapat digunakan dalam kedua sistem di mana fluida adalah tak dapat dimampatkan, mempunyai viskositas tetap dan tegangan permukaan tidaklah penting. Sehingga, dengan menetapkan keadaan batas adalah sama, penyelesaian dari persamaan tersebut apabila terpengaruh, akan sama secara kualitatif. Perbedaan jumlah hanya timbul melalui perbedaan dalam pengaturan jumlah jumlah dari elemen-elemen fisik yang tercakup. Latihan tersebut adalah untuk menentukan gabungan dari jumlah fisik yang akan dijalankan terhadap berbagai elemen gaya luar dari persamaan diferensial parsial (2.1) dan (2.2) untuk membuat gaya inersia sama dan dengan demikian menemukan suatu penyelesaian yang unik untuk semua kesamaan sistem yang diatur dari bentuk yang sama.
Dengan memilih suatu jumlah bentuk yang tetap L (panjang) jumlah kinematik tetap Vo (kecepatan) dan jumlah dinamik tetap ρ
(berat jenis), kita dapat merumuskan
o
parameter-parameter tanpa dimensi seperti berikut:
(2.3)
x’ = x/L,
y’ = y/L,
z’ = z/L,
u’ = u/Vo,
v’ = v/Vo,
w’ = w/Vo,
p’ = p/ρ o.Vo2,
t’ = t/(L/Vo)
’
ρ
= ρ /ρ
h’ = h/L
o
Dengan mensubsitusikan (2.3) ke dalam (2.1) (2.4)
∂ (V o u ' ) + V L o ∂ ' V o t
' ∂ (V o u ' ) u + ∂ ( x' L)
v
'
∂ (V o u ' ) + ∂ ( y ' L)
∂( ρ o ρ ' V o 2 ) µ 1 ∂(h' L) = − g − + ρ o ∂( x' L) ρ o ρ ' ∂( x' L)
'
w
1 ' ρ
∂ (V o u ' ) ∂ ( z ' L)
∂2 (V o u ' ) ∂2 (V o u ' ) ∂2 (V o u ' ) + + ∂ ( x'2 L2 ) ∂ ( y '2 L2 ) ∂ ( z '2 L2 )
Dengan menghilangkan faktor tetap dari dalam kurang pendiferensiasian dari persamaan (2.4) dan membagi keseluruhannya dengan V o2/L (2.5)
∂u ' ∂u ' u' + + ∂t ' ∂ x ' =−
gL V o
2
v'
∂u ' + ∂ y '
w'
∂u ' ∂ z '
p ' 1 ∂ ∂h ' µ − + ∂ x ' ρ ' ∂ x ' ρ o V o L
1 '
ρ
∂2 u ' ∂2 u ' ∂2 u ' ' + ' + ' ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2
Persamaan gerak tersebut sekarang diubah menjadi suatu bentuk tanpa dimensi
(dimensionless form) . Susunan yang sama dapat diperoleh dari (2.21) dan (2.2b) dan kesimpulan yang dibuat di bawah ini adalah sama. Dari persamaan (2.5), diperlukan kesamaan dinamik antara bentuk asli (akhiran p) dan model (akhiran m) bahwa partikel-partikel fluida pada kedua sistem mepunyai kecepatan yang relative sama, dinyatakan oleh sebelah kiri dari persamaan tersebut. Hal ini memerlukan bahwa relatif dari persamaan yang di sebelah kanan secara identik harus sama, yaitu kedua gerak fluida yang di bawah pertimbangan dapat menjadi sama hanya apabila penyelesaian tersebut adalah identik, diuraikan dari segi masing-masing faktor tak tetap tanpa dimensi. Hal ini membutuhkan bahwa untuk keduanya
gL ∂h' 1 ∂ p' µ − 2 ' − ' ' + V o ∂ x ρ ∂ x ρ o V o L
∂2u ' ∂2u ' ∂2u ' + ' + ' ' '2 2 2 ρ ∂ x ∂ y ∂z p 1
2 ' gL ∂h' 1 ∂ p' µ 1 ∂ u ∂2u' ∂2u' − 2 ' − ' ' + + + V o ∂ x ρ ∂ x ρ o V o L ρ ' ∂ x'2 ∂ y'2 ∂z '2 m
Umumnya perbedaan temperatur fluida tidak menimbulkan perubahan berat jenis yang berarti pada fluida tak dapat dimampatkan pada ρ
o
= ρ atau ρ
’
= 1. Untuk
memenuhi tanda-tanda tersebut (2.6)
gL gL = V 2 V 2 o p o m
dan
µ µ = ρ o V o L ρ o V o p
L m
Dari pengembangan di atas, faktor V o2/gL, dikenal sebagai bilangan Froude F, menunjukkan arti dari gaya-gaya gravitasi relatif terhadap gaya-gaya inersia. Bilangan Reynolds, R = ρ
o
Vo L/µ menunjukkan arti dari gaya-gaya lekat (gesekan relative
terhadap gaya-gaya inersia. Dengan demikian menetapkan bilangan Froude dan bilangan Reynolds adalah sama pada setiap sistem yang sama bentuknya dari suatu aliran tak dapat dimampatkan (kecuali gaya-gaya luar selain dari gravitasi, tekanan dan geser) dan dengan menetapkan keadaan batas adalah sama, susunan aliran tersebut akan identik. Penyelesaian persamaan (2.5) dan (2.2), disempurnakan dengan cara yang sama (ditambah persamaan kesinambungan dan keadaannya) akan universal untuk semua sistem yang demikian, dan hal ini hanya membutuhkan faktor-faltor bilangan tetap yang dirumuskan pada persamaan (2.3) untuk memperoleh nilai kuantitatif untuk ukuranukuran yang berbeda dan keadaan pengoperasian pada semua anggota dari sistem. Oleh karena itu, penyajian tanpa dimensi dari data percobaan adalah suatu alat yang berguna dalam korelasi dan penggunaan data percobaan pada teknik hidrolik dan cabang-cabang teknik yang lain.
II.3 Arti Fisik dari Hukum Model
Pengembangan tersebut di atas telah menunjukkan dengan jelas bahwa untuk mencapai kesamaan dinamik dalam dua sistem fluida yang bentuknya sama dengan berat jenis dan viskositas yang tetap, bilangan Froude dan Reynolds harus mempunyai nilai yang sama dalam kedua sistem apabila gravitasi dan gesekan adalah hanya gayagaya luar yag bekerja. Dengan menunjukkan perbandingan (model ke bentuk asli) dari
setiap jumlah yang diinginkan dengan akhiran r, kesamaan dinamik memerlukan bahwa: F r
=
Rr
=
2 v r
=
1
=
1
g r Lr vr Lr υ
r
Secara bersamaan dimana υ = µ /ρ Dari hukkum Froude,
1
vr Lr 2 =
for g r
=
1
Dan dari hukum Reynolds, v r = υr /Lr Sehingga untuk kedua criteria vr = Lr 3/2
Ambil sebagai contoh, suatu
model dari sepanjang sungai (atau dari suatu
bendungan) yang akan dibangun dengan skala 1 : 25. Untuk memenuhi kesamaan dinamik yang sempurna, persyaratan Froude dan Reynolds membutuhkan perbandingan viskositas kinematik dari fluida model dengan bentuk asli adalah 1 : 25Tabel 3.1mencantumkan beberapa daftar dari fluida alam yang viskositasnya rendah. Tidak diketahui fluida memenuhi keadaan tersebut. Oleh karena itu, perlu untuk mencari pencapaian kesamaan dinamik melalui cara lain. Pendekatan yang paling logis adalah mencari kesamaan sesuai dengan gaya yang lebih dominan (gesekan atau gravitasi), dan memeriksa pengaruh yang lain melalui beberapa cara yang lain. Pertimbangan menurut teori dan hipotesa yang menuntun pendekatan ini, akan dibahas dalam subpasal berikut ini; gaya-gaya lain akan pula dipertimbangkan.
II.4 Model Reynolds
Tekanan pada suatu objek yang terletak pada fluida yang sdang mengalir dapat dianggap mempunyai 2 komponen.. Bagian satu, tekanan hidrostatik ρs, yaitu tekanan yang akan dialami oleh objek apabila fluida tidak sedang mengalir, dan yang lain tekanan dinamik ρd adalah bertambahnya tekanan yang ditimbulkan sebagai akibat dari gangguan aliran. Sehingga ρ = ρs + ρd
Bayangkan suatu partikel P di dalam lapangan aliran dari suatu ruang fluida tak terbatas. Jika partikel tersebut pada jarak tegak h di atas titik duga sementara (Gambar 2.1) tekanan hidrostatik pada P adalah ρ g(H – h) , dimana H adalah ketinggian fluida di atas titik duga sementara yang sama. Untuk keadaan aliran dimana perbedaan dari Permukaan Fluida
H
(H-h)
P
Titik Duga
h
Gambar 2.1
permukaan fluida tidak ada atau tidak penting, H akan menjadi bilangan tetap. Oleh karena itu, jumlah tekanan dapat ditunjukkan dengan:
P= bilangan tetap- ρ gh+pd Misalnya, dengan mensubstiusikan (2.8) ke dalam persamaan gerak (2.1), menghasilkan
∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂ pd +u +v +w =− ∂t ∂ x ∂ y ∂ z ρ ∂ x
∂2u µ + 2 ρ ∂ x
∂2u ∂2u + 2 + 2 ∂ y ∂ z
(2.9)
Persamaan 2.9 adalah terpisah sepenuhnya dari faktor gravitasi. Oleh karena itu persamaan yang disempurnakannya tidak akan mengandung bilangan Froude. Sehingga kesamaan dinamik untuk objek yang terbenam pada aliran tak dapat dimampatkan didalam mana perbedaan fluida (misalnya gelombang-gelombang gravitasi) tidak dihasilkan, hanya diperoleh dengan model sesuai dengan standar Reynolds. Sama halnya dapat dibenarkan untuk aliran tak dapat dimampatkan dimana fluida secara keseluruhannya terdapat di dalam batas-batas tetap dan tidak ada permukaan yang – bebas (kena atmosfer). Contoh-contoh dari penelitian aliran di mana hokum Reynolds adalah penting, adalah kehilangan gesek kulit (pipa), seretan lekat (viscous drag) pada
objek-objek yang terbenam, tahanan terhadap objek yang bergerak melalui badan aliran yang besar (misalnya kapal selam), pelumasan, aliran melalui mulut pipa dan lubang, aliran pada media yang porus, dan lain-lain. Pada contoh-contoh ini gaya lekat mempengaruhi
gaya gravitasi. Beberapa
dari contoh-contoh ini
memerlukan
pertimbangan dari keadaaan dinamik yang lain seperti tegangan permukaan (surface tension) Rr
Untuk Perbandingan Kecepatan
=
vr Lr
=
1
υ r
vr
=
Lr
Perbandingan Waktu t r
Perbandingan debit Perbandingan Gaya
υ r
=
Qr
P r
2
Lr
=
vr
υ r 2
=
Ar vr Lr =
3
=
Perbandingan Tekanan pr
Lr
=
ρ r Lr
P r Ar
vr
υ r
υ r Lr
=
Lr
2
=
t r
ρ r υ r
2
=
ρ r υ r 2
Lr
Kesulitan praktis yang pokok dengan model Reynold adalah bahwa kecepatan yang lebih tinggi secara nyata diperlukan dalam model daripada dalam bentuk asli. Ini dapat dilihat dari kenyataan bahwa pada banyak model perbandingan viskositas adalah kira-kira satu, dan oleh karena itu, perbandingan kecepatan adalah kira-kira berbanding terbalik dengan perbandingan linear. Dalam hal ini secara teknik dan ekonomi tidak praktis untuk memperoleh kecepatan model untuk menghasilkan dinamik yang benar. Pengembangan diatas menuju ke pembuktian standar Reynolds telah mengasumsikan keadaan fluida Newtonian.
Contoh soal
Kehilangan tinggi tekan yang melewati suatu katup pintu, biasanya diuraikan dari segi koefisien kehilangan C L, yang dirumuskan sebagai kehilangan tinggi tekan hL = CL (v2 /2g) di mana v adalah kecepatan rat-rat pada pipa yang dipertimbangkan. Kolom 2 dan 3 dari tabel di bawah ini memberikan hasil percobaan dari serangkaian percobaan pada 20 cm katup pintu di dalam jalur pipa 20 cm dengan menggunakan air pada 24 OC. Pada semua percobaan piringan katup adalah 7 cm dari dudukan. Tentukan kehilangan tinggi tekan yang diharapkan apabila besarnya aliran adalah 28.31/detik pada jalur pipa yang sama dengan katup dan bukaan yang sama, apabila air 94OC mengalir melaluinya.
Penyelesaian
Kolom 5 dan 6 menunjukkan perbedaan koefisien kehilangan tinggi tekan dengan bilangan Reynold berdasarkan kecepatan yang dipertimbangkan pada pipa dan ukuran bukaan katup. Pada suatu bilangan Reynolds yang tinggi, C L adalah tetap dan terpisah dari bilangan Reynolds. Perbedaan tersebut sama dengan f terhadap R untuk pipa. Pada daerah turbulen penuh pusaran terbentuk penuh dan perpindahan momentum sematamata ditentukan oleh viskositas. Apabila aliran adalah 28,31/det (240C, υ = 0,32 x 10 -6 m2 (det)
R = 19,2 x 10 4, sehingga CL= 3,0. Kehilangan
tinggi
tekan yang diharapkan
=(3,0)
Q 2 1 = 3,0 × π (0,1) 2 × 2 g =12 2 g v2
cm air
BAB IV KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan dalam makalah ini, dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial parsial dapat digunakan dalam aplikasi percobaan mekanika fluida khusunya dalam perhitungan kehilangan tinggi tekan.
BAB IV DAFTAR PUSTAKA
J.M.K. Dake. 1983. Hidrolika Teknik Edisi Kedua . Jakarta: Erlangga. Munson, Bruce R. Donald F. Young, Theodore H. Okishi. 2004. Mekanika Fluida Edisi IV. Jakarta:Erlangga.
