TUGAS KEGIATAN BELAJAR KAPITA SELEKTA
1. Pada materi utama , telah dibahas mengenai Tautology, kontradiksi, dam kontingensi. Buktikanlah: a. [( → )⋀(~⋁)] → ( → ) merupakan tautology Jawaban :
[( p q ) (q r)] (p r) [(p q) (q r) ] (p r [p r] (p r}
b.
)
merupakan suatu tautology.
∼ [(∼ → )⋁( →∼ )]⋀ merupakan kontingensi Jawaban :
∼ [(∼ → )⋁( →∼ )]⋀ [(p r) ( p q) r [(r p) ( p q)] r [
(r q )] r
q
merupakan kontingensi
2. Carilah dan buktikan pola bilangan untuk permasalahan berikut ini: Pertandingan sepak bola yang diikuti sebanyak n kesebelasan dan menggunakan a. sistem kompetisi penuh Jawaban : Dalam kompetisi penuh ( bahasa Inggris Inggris:: do double uble r ound-r ound-rob obii n), setiap peserta akan bertemu dengan peserta lainnya dua kali, biasanya satu pertemuan sebagai tuan rumah ("pertandingan kandang") dan satu pertemuan sebagai tamu ("pertandingan tandang"). Untuk memudahkan dalam memecahkan permasalahan tersebut, perhatikan tabel berikut ini Banyak kesebelasan
Banyak pertandingan
Pola
Jumlah pertandingan
1
0
1x0
0
2
2
2x1
0+2
3
6
3x2
4
12
4x3
5
20
5x4
...
...
...
n (n (n – – 1) 1)
n
Jadi pola bilangan untuk pertandinagan sepak bola yang diikuti n kesebelasan yaitu:
( 1) . P(n) = ( Pembuktian pola bilangan di atas akan dibuktikan dengan induksi matematika 1) untuk n = 1 maka P(1) = 1 (1 – (1 – 1) 1) = 0 benar 2) untuk n = k, maka P(k) = k (k – (k – 1), 1), dianggap benar 3) untuk n = k + 1, akan dibuktikan
b. sistem setengah kompetisi Jawaban: Dalam sistem setengah kompetisi (round-robin), setiap peserta akan bertemu dengan semua peserta lainnya satu kali.
Pola bilangan untuk masalah di atas kasusnya sama dengan banyak salaman yang dilakukan oleh n orang sehingga pola bilangan untuk pertandinagan sepak bola yang diikuti n kesebelasan yaitu: P(n) =
( 1) .
Banyak kesebelasan
Banyak
Pola
pertandingan
pertandingan
1
0
1x0:2
2
1
2x1:2
3
3
3x2:2
4
6
4x3:2
5
10
5x4:2
... n
...
Jumlah
...
( 1) 2
Pembuktian pola bilangan di atas akan dibuktikan dengan induksi matematika
3. Pada pelaksanaan PPG seluruh peserta diminta untuk membuat RPP untuk kelas II, III dan IV. Dari 120 peserta PPG, 100 orang telah menyelesaikan RPP kelas II, kelas III, dan Kelas IV, 20 orang menyelesaikan RPP kelas II dan kelas III, 25 orang menyelesaikan RPP kelas III dan IV, 15 orang menyelesaikan RPP kelas II dan IV. Sementara itu, 65 orang membuat RPP RPP kelas II, 45 orang membuat RPP kelas III, dan 42 42 orang membuat RPP Kelas IV.
Dari permasalahan tersebut berapakah banyaknya peserta yang belum menyelesaikan satupun RPP yang harus dibuat? Ilustrasikan dengan menggambar diagram venn
Jawaban :
Misalkan: A = Menyatakan jumlah peserta yang menyelesaiakan RPP kelas II B = Menyatakan jumlah peserta yang menyelesaikan RPP kelas III C = Menyatakan jumlah peserta yang menyelesaikan RPP kelas IV S = Menyatakan seluruh peserta menyelesaiakn RPP kelas II, III, dan IV
Dari soal diperoleh beberapa hubungan hubungan : n(S) = 120 n(A B C) = 10
S
A
B
n(A B) = 20 n(B C) = 25 10
40
n(A C) = 15 n(A) = 65
20
10 5
n(B) = 45
15
n(C) = 42 8
12 C
Berdasarkan diagram venn diperoleh 8 orang yang belum menyelesaikan satupun RPP yang harus dibuat. 4. Gambarlah grafik fungsi y = x 2 -6x + 8 yang berpotongan dengan grafik fungsi y =74x. Tentukan titik perpotongan grafik tersebut! Pembahasan :
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi y = x 2 -6x + 8 yaitu:
a) Menentukan koordinat titik potong sumbu X, dengan y = 0 x2 -6x + 8 = 0
(x – 4) 4) (x – x – 4 4 x –
x
(x – (x – 2) 2) = 0
= 0 atau x – x – 2 2 = 0
= 2 atau x = 4
Jadi, koordinat titik potong sumbu X adalah (2, 0) dan (4, 0) b) Menentukan titik potng sumbu Y, dengan x = 0 y=8
Jadi, koordinat titik potong sumbu Y adalah (0, 8) c) Menentukan koordinat titik puncak − 6 = = 3
X=
Y = 32 – 6(3) 6(3) + 8 = -1
Jadi, koordinat titik puncak adalah (3, -1)
d) Menentukan koordinat titik bantu x
-3
-2
-1
1
4
5
6
7
y
35 24 15 3
0
3
8
15
e) Menggambar grafik y = x 2 – 6x 6x + 8
25
24 23 22 21 20 19 18 17 16
15 14 13 12
11 10 9 8 7 6
5 4
3
2 1 -4
-3
-2
-1
0 -1
1
2
3
4
5
6
-2
f) Mencari titik titik potong y = x 2 – 6x 6x + 8 dengan fungsi y = 74x x2 – 6x 6x + 8 = 74x x2 – 6x 6x + 8 – 8 – 74x 74x = 0 x2 – 80x 80x + 8 = 0 x2 – 80x 80x + 8 + 1600 – 1600 – 1600 1600 = 0 x2 – 80x 80x + 1600 = 1600 – 8 8 x2 – 80x 80x + 1600 = 1592 (x – (x – 40) 40)2 = 1592 X – 40 40 =
1592 √ 1592
1592 X = 40 √ 1592 X = 40 + 39, 89 X = 0, 1 atau x = 79, 89 Y = 5911, 86 atay y = 7, 4
Jadi titik potong kedua fungsi adalah ( 0,1 ; 7, 4) atau (79,89 ; 5911.86)
7
8
9 10