Tugas Makalah Metode Numerik EDIT

Tugas makalah metode numerik 

MAKALAH METODE NUMERIK  “PENENTUAN AKAR PERAMAAN!

OLEH UMAN N"A#ITO

UNI$ERITA I%HAN "ORONTALO KAMPU II POHU&ATO 'AKULTA ILMU KOMPUTER  TAHUN ()*+,()*-

KATA PEN"ANTAR 

Rasa syukur Kami panjatkan kehadirat Allah SWT dengan rahmat dan hidayahNya Kami dapat menyelesaikan makalah ini,untuk memenuhi tugas matakuliah Metode Numerik  Semoga dengan tersusunya makalah ini dapat erguna agi Kami dalam memenuhi tugas !ata Kuliah  Metode Numerik "#an dengan tersusunya !akalah ini di harapkan $uga isa menjadi pedoman agi yang mema%a" #alam penyusunan makalah ini kami seagai penuilis telah erusaha dengan segenap kemampuan,seagai pemula tentunya masih anyak kekurangan dan kesalahan"oleh karena itu,kritik dan saran agi yang mema%a makalah ini,Kami utuhkan agar makalah ini menjadi leih aik dan di gunakan seagai mana &ungsinya"

Pen.usun

Kelom/ok *

DA'TAR II

HALAMAN 0UDUL 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 KATA PEN"ANTAR 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111 DA'TAR II 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 #A# I PENDAHULUAN11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1111

'"'" LATAR (ELAKAN) !ASALAH"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" '"*" R+!+SAN !ASALAH """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """ '"" T+$+AN """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""" #A# II PEM#AHAAN 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111 (1* MENENTUKAN AKAR PERAMAAN111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

 

*"'"'"

#E-.N.S./0EN$ELASAN """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""" *"'"*" 1ONTOH KAS+S """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """

*"'"*" 1ONTOH 0RO)RA!N2A """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " #A# III PENUTUP 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1

"'"KES.!0+LAN """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" DA'TARPUTAKA 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 111111111111111

#A# I PENDAHULUAN *1*1LATAR #ELAKAN" MAALAH

+ntuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjaarkan model suatu persoalan nyata idang rekayasa, sering solusi yang di%ari erupa suatu nilai 3ariael 4 sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan &546 7 8 yang digunakan dalam model" #alam eerapa kasus,melalui &aktorisasi &546 7 8 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan9 akan tetapi, leih anyak jaaran  persamaan dalam model mempunyai entuk yang rumit, sehingga teknik analisis matematika murni elum dapat memerikan solusi" *1(1RUMUAN MAALAH

(erikut adalah rumusan masalah yang akan di ahas dalam makalah ini adalah : '6

#e&inisi dan penjelasan dari akar persamaan"

*6

"(eerapa %ontoh kasus dalam menentukan akar persamaan dengan

menggunakan eerapa metode" 6

"1ontoh program"

*121 TU0UAN

(erdasarkan rumusan masalah yang telah di uat ,makalah ini disusun dengan tujuan untuk: *1

!engetahui pengertian atau de&inisi dari akar persamaan"

(1

!enjelaskan %ontoh kasus dalam menentukan akar persamaan"

21

!engetahui %ontoh programnya"

#A# II PEM#AHAAN (1*1 MENETUKAN AKAR PERAMAAN (1*1*1DE'INII ATAU PEN0ELAAN De3inisi akar 4

Suatu akar dari persamaan &546 7 8 adalah suatu nilai dari 4 yang ilamana nilaiterseut dimasukkan dalam persamaan memerikan identitas 8 7 8 pada &ungsi &546 Seagai %ontoh, penyelesaian analitik untuk &ungsi kuadratik & 5 46 74 ; 4*; % 7 8 dierikan oleh Hasil perhitungan dari rumus A(1 merupakan akar
akar
Sehingga

untuk

persamaan

non
menggunakan metode ; *?@ ; ? ; @?* = 4 = ' 7 8" & 546 7 e4 = 4 7 8"

& 546 7 4 ; sin 4 = e4 7 8, dan seagainya" "am5ar *1 Menentukan akar /ersamaan se6ara gra3is

Kedua %ara terseut tidak e&isien dan tidak sistematis, sehingga ada eerapa metode yang juga merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi leih sistematis untuk  menghitung akar
!etode ini merupakan entuk yang paling sederhana diantara metode< metode numerik lainnya dalam menyelesaikan akar
Hitung &ungsi pada inter3al yang sama dari x hingga ada peruahan tanda dari &ungsi f 5 xi6 dan f 5 xi ; '6, yaitu ila f 5 xi6  f 5 xi ; '6 B 8"

*6"

0erkiraan pertama dari akar xt dihitung dari rerata nilai xi dan xi ; ':

6"

(uat e3aluasi erikut untuk menentukan di dalam su
a6

jika f 5 xi6  f 5 xt6 B 8, akar persamaan erada pada su inter3al pertama, lalu tetapkan xi ; ' 7 xt dan teruskan pada langkah ke @"

 6

jika f 5 xi6  f 5 xt6 C 8, akar persamaan erada pada su inter3al kedua, lalu tetapkan nilai xi 7 xt dan teruskan pada langkah ke @"

%6

jika f 5 xi6  f 5 xt6 7 8, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai"

@6"

Hitung perkiraan aru dari akar dengan menggunakan persamaan 5'6"

>6"

Apaila perkiraan aru sudah %ukup ke%il 5sesuai dengan atasan yang ditentukan6, maka hitungan selesai dan xt adalah akar persamaan yang di%ari, jika elum maka hitungan kemali ke langkah "

"am5ar (1 Prosedur hitungan metode setengah inter7al

1ontoh soal: Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga erikut ini:  f 5 x6 7 x ; x* =  x =  7 8"

Pen.elesaian4

#ihitung nilai f 5 x6 pada inter3al antara dua titik, misalnya x 7 ' dan x 7 *" +ntuk x 7 '9  f 5 x 7 '6 7 5'6 ; 5'6* = 5'6 =  7 = @" +ntuk x 7 *9  f 5 x 7 *6 7 5*6 ; 5*6* = 5*6 =  7 " !engingat &ungsi mempunyai entuk kontinu, maka peruahan tanda dari &ungsi antara nilai x7 ' dan x 7 * akan memotong sumu x paling tidak satu kali" Titik   perpotongan antara sumu x dan &ungsi merupakan akar dan x 7 *, maka akar persamaan terletak diantara kedua nilai terseut" #engan menggunakan pemrograman komputer maka hasil hitungan akar persamaan dengan metode setengah inter3al didapat pada iterasi ' 5lihat Tael ', yang merupakan keluaran dari program komputer6, yaitu seesar xt 7 *892():"Tael '" Hasil hitungan metode setengah inter3al 5%ontoh soal no '6 I

 x i

 x i ; *

 x t

 f < x i=

 f < x i ; *=

 f < x t=

'

'"88888

*"88888

'">8888

< @"88888

"88888

< '"D>88

*

'">8888

*"88888

'">888

< '"D>88

"88888

8"''DD



'">8888

'">888

'"F*>88

< '"D>88

8"''DD

< 8"G@F

@

'"F*>88

'">888

'"FD>8

< 8"G@F

8"''DD

< 8"@8G@*

>

'"FD>8

'">888

'"'D>

< 8"@8G@*

8"''DD

< 8"'*@G

F

'"'D>

'">888

'"@D

< 8"'*@G

8"''DD

8"8**8

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

'*

'"'G

'"*@*

'"*'D

< 8"88'''

8"88>'

8"88'*8

'

'"'G

'"*'D

'"*8F

< 8"88'''

8"88'*8

8"8888>

(1 Metode Inter/olasi Linier

!etode ini dikenal juga dengan metode &alse position, metode ini ada untuk menutupi kekurangan pada metode setengah inter3al yang mudah tetapi tidak e&isien 5untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak diperlukan langkah iterasi %ukup panjang6" #engan metode ini nilai akar dari suatu &ungsi dapat leih %epat diperoleh daripada dengan metode setengah inter3al, metode ini

didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari &ungsi yang mempunyai tanda  erlaanan"  !ula
1ontoh soal: Hitung salah satu akar dari persamaan erikut ini:  f  5 x6 7 x ; x* =  x =  7 8" Pen.elesaian4

Langkah pertama adalah menghitung nilai f  5 x6 pada inter3al antara dua titik sedemikian sehingga nilai f  5 x6 pada kedua titik terseut erlaanan tanda" #ihitung nilai f  5 x6 pada inter3al antara dua titik, misalnya x 7 ' dan x 7 *" +ntuk x' 7 '9  f 5 x' 7 '6 7 5'6 ; 5'6* = 5'6 =  7 = @" +ntuk x* 7 *9  f 5 x* 7 *6 7 5*6 ; 5*6* = 5*6 =  7 " #engan menggunakan persamaan 5*6, didapat: Karena f  5 xJ6 ertanda negati& maka akar terletak antara x 7 ',>'@* dan x 7 *, selanjutnya dihitung nilai xJ: #engan menggunakan pemrograman komputer, hasil hitungan terseut diatas ada  pada Tael * dan didapat pada iterasi ke , yaitu xJ7*892()-" Tael *" Hasil hitungan metode interpolasi linier  I

 x i

 x i ; *

 x >

 f < x i=

 f < x i ; *=

 f < x >=

'

'"88888

*"88888

'">'@

< @"88888

"88888

< '"F@@

*

'">'@

*"88888

'"8>@'

< '"F@@

"88888

< 8"*@@



'"8>@'

*"88888

'"*DD

< 8"*@@

"88888

< 8"8G@

@

'"*DD

*"88888

'"'@'

< 8"8G@

"88888

< 8"88F''

>

'"'@'

*"88888

'"'G>

< 8"88F''

"88888

< 8"888G@

F

'"'G>

*"88888

'"*8@

< 8"888G@

"88888

< 8"888'@



'"*8@

*"88888

'"*8>

< 8"888'@

"88888

< 8"8888*

21 Metode Ne?ton@Ra/hson

!etode ini paling anyak digunakan dalam men%ari akar
"am5ar +1 Prosedur metode Ne?ton@Ra/hson se6ara gra3is

1ontoh soal: Hitung salah satu akar dari persamaan erikut ini, dengan metode Neton< Raphon"  f 5 x6 7 x ; x* =  x =  7 8" Pen.elesaian4

Turunan pertama dari persamaan terseut adalah:

 f  5 x6 7  x* ; * x = ,

#engan menggunakan persamaan 56, yaitu: 0ada aal hitungan ditentukan nilai xisemarang, misalnya x' 7 ', maka: Langkah erikutnya nilai x* 7 , terseut digunakan untuk hitungan pada iterasi  erikutnya" Hitungan dilanjutkan dengan menggunakan program komputer dan hasilnya nampak pada Tael , serta hasil hitungan didapat pada iterasi ke F" Tael " Hasil hitungan metode Neton
 x i

 x i ; *

 f < x i=

 f < x i ; *=

'

'"88888 "88888 < @"8888

*@"88888

*

"88888 *"*8888 *@"8888

>"DDD88



*"*8888 '"D8'> >"DDD88

8"GDG88

@

'"D8'> '"D8 8"GDG88

8"8>@>

>

'"D8 '"*8 8"8>@>

8"888*'

F

'"*8 '"*8> 8"888*'

8"88888

+1 Metode se6ant

Kekurangan metode Neton
turunan dari persamaan yang diselesaikan, maka entuk di&erensial didekati dengan nilai perkiraan erdasarkan di&erensial eda hingga" "am5ar -1 Metode e6ant

 Nampak pada )amar >, garis singgung di titik  xi didekati oleh entuk erikut: Apaila disustitusikan ke dalam persamaan 56, maka didapat:

0ada metode ini pendekatan memerlukan dua nilai aal dari x, yang digunakan untuk memperkirakan kemiringan dari &ungsi" 1ontoh soal: Hitung salah satu akar dari persamaan erikut ini, dengan metode Se%ant"  f 5 x6 7 x ; x* =  x =  7 8" Pen.elesaian

.terasi pertama, diamil dua nilai aal yaitu x 7 ' dan x 7 *" +ntuk x' 7 ', =C  f 5 x' 7 '6 7 = @, dan x* 7 *, =C  f 5 x* 7 *6 7 " #engan menggunakan persamaan 5@6, didapat: 0ada iterasi kedua, hitungan dilakukan erdasar nilai x* 7 * dan x 7 ',>'@*" +ntuk x* 7 *, =C  f 5 x* 7 *6 7 , dan x 7 ',>'@*, =C  f 5 x 7 ',>'@*6 7 <',F@@G" #engan menggunakan persamaan 5@6, didapat: #engan menggunakan pemrograman komputer, hasilnya dierikan pada Tael @, dan iterasi ke > merupakan hasil hitungan yang diperoleh yaitu  x 7 *892()-"

Tael @" Hasil hitungan metode Se%ant I

 x i

 x i

 x i

 f < x i  *=

 f < x i=

 f < x i ; *=

'

'"88888

*"88888

'">'@

< @"88888

"88888

< '"F@@

*

*"88888

'">'@

'"8>@'

"88888

< '"F@@

< 8"*@@



'">'@

'"8>@'

'">'@

< '"F@@

< 8"*@@

8"8*G*>

@

'"8>@'

'">'@

'"*88

< 8"*@@

8"8*G*>

< 8"888>'

>

'">'@

'"*88

'"*8>

8"8*G*>

< 8"888>'

8"88888

*

;*

(1*121 MENBELAIKAN AKAR PERAMAAN DEN"AN MEN""UNAKAN #A"AN ALIR

PRO"RAM

*1 #agan Alir Metode #ise6tion

#A# III PENUTUP 21*1 KEIMPULAN

!etode numerik memerikan %ara<%ara untuk menyelesaikan entuk   persamaan terseut se%ara perkiraan hingga didapat hasil yang mendekati

 penyelesaian se%ara enar 5eksak6" 0enyelesaian numerik dilakukan dengan  perkiraan yang erurutan 5iterasi6, maka tiap hasil akan leih teliti dari perkiraan seelumnya" #engan eragai iterasi yang dianggap %ukup, akan didapat hasil  perkiraan yang mendekati hasil yang enar 5eksak6 dengan toleransi yang diijinkan" Salah satu %ara yang sederhana untuk penyelesaian perkiraan, yaitu dengan menggamarkan &ungsi terseut lalu di%ari titik potongnya dengan sumu< 4 yang menunjukkan akar dari persamaan terseut, 1ara lain yaitu dengan %ara %oa anding, yaitu dengan men%oa nilai 4 semarang kemudian die3aluasi apakah nilai & 546 7 8, jika nilai 4 tidak sama dengan nol lalu di%oa nilai 4 yang lain, %ara ini diulang terus menerus hingga didapat nilai & 546 7 8, untuk suatu nilai 4 tertentu, yang merupakan akar dari persamaan yang diselesaikan"

DA'TAR PUTAKA

(amang Triatmodjo, 'GG*, Metode Numerik,(eta O&&set, 2ogyakarta" 5(a ..9 Halaman: *'<F6

#iktat

!etode

Numerik

Komputasi

Elektro

.STA

2ogyakarta 5http://elista"akprind"a%"id/upload/&iles/GG8F(a"do%6 http://le%turer"eepis