Makalah Kalkulus I
PENERAPAN TURUNAN DALAM LAJU PERTUMBUHAN POPULASI D I S U S U N OLEH : NAMA
: FADHILAH FADHILAH KHAIRUNNISA
NIM
: 4153111021 4153111021
KELAS : DIK B 2015
JURUSAN PENDIDIKAN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PEN!EAHUAN ALAM UNI"ERSIAS NE!ERI MEDAN 2015
KAA PEN!ANAR Pu#$ s%uku& sa%a u'a(ka) k* ha+$&a, uha) -a). Maha Esa/ ka&*)a +*).a) &aha, +a) ka&u)$aN%a sa%a as$h +$*&$ k*s*(a,a) u),uk *)%*l*sa$ka) akalah $)$ +*).a) ,*(a, ak,u/ +$a)a akalah $)$ *&u(aka) salah sa,u +a&$ ,u.as (&%*k a,a kul$ah kalkulus I Ju.a ,$+ak lu(a sa%a u'a(ka) ,*&$akas$h k*(a+a +s*) +a) ,*a),*a) %a). ,*lah **&$ka) +uku).a) +a) $$).a))%a s*&,a %a). ,*&khusus ,*&$akas$h sa%a u'a(ka) k*(a+a k*+ua &a).,ua sa%a %a). ,*lah *6as$l$,as$ +a) *)+uku). sa%a +ala (*&kul$aha) sa%a Sa%a #u.a *)%a+a&$ aha +ala (*)ul$sa) akalah $)$ as$h a)%ak k*ku&a).a) sa%a Ol*h s*a $,u sa%a *).ha&a(ka) k&$,$k +a) sa&a) %a). +a(a, *a).u) +a&$ (*a'a Sa%a *&ha&a( akalah $)$ +a(a, *&a)6aa, a.$ (*a'a
M*+a)/ 17 D*s**& 2015
Fa+h$lah Kha$&u))$sa
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR $ DAFTAR ISI $$ BAB I PENDAHULUAN 1 11 La,a& B*laka). 1 12 P*&asalaha) 1 13 u#ua) 1 BAB II KAJIAN TEORI SINGKAT 2 BAB III PEMBAHASAN 3 31 P*&,uuha) M$k&&.a)$s* 3 32 P*&,uuha) P(ulas$ 4 BAB IV KESIMPULAN 7 DAFTAR PUSTAKA 8
BAB I PENDAHULUAN
2
1.1 Latar Belakang Ma,*a,$ka *&u(aka) $lu (*).*,ahua) %a). *).ala$ (*&k*a).a) s*'a&a ,*&us *)*&us +a&$ ,ahu) k* ,ahu) B*&k*a).)%a $lu (*).*,ahua) a,*a,$ka aka) *(*&u+ah +ala *)%*l*sa$ka) sua,u (*&asalaha) (a+a $+a). sa$)s khusus)%a +$6*&*)s$al P*&saaa) +$6*&*)s$al *&u(aka) sua,u 'aa). a,*a,$ka %a). ,*lah *)a&$k (*&ha,$a) $lua) +$ lua& a,*a,$ka P*&saaa) D$6*&*)s$al a+alah (*&saaa) %a). *ua, sa,u a,au **&a(a 6u).s$ %a). ,ak +$k*,ahu$ M*sk$(u) (*&saaa) $,u s*ha&us)%a +$s*u, 9(*&saaa) ,u&u)a) )au) $s,$lah 9(*&saaa) +$6*&*)s$al a,au *;ua,$) +$66*&*),$al$s %a). +$(*&k*)alka) l*h L*$)$< +ala ,ahu) 1787 su+ah uu +$.u)aka) Ba)%ak asalah +ala $lu (*).*,ahua) +a) ,*k)$k *)%a).ku, (*).ka#$a) sua,u s$s,* s*laa (*&$+* ak,u ,*&,*),u K*a)%aka) asalah $)$ +$ +*lka) +*).a) *)..u)aka) sua,u s$s,* (*&saaa) +$6*&*)s$al +*).a) ak,u s*a.a$ =a&$a*l *as B$+a). ka#$a) (*&saaa) +$6*&*)s$al ,$+ak ha)%a *&u(aka) salah sa,u $+a). ,*&'a),$k +ala a,*a,$ka/ )au) $a #u.a *&u(aka) ala, %a). (*),$). +ala *+*lka) *&a.a$ 6*)*)a +a) asalah +ala $+a). $lu > $lu la$) s*(*&,$ 6$s$ka/ k$$a/ $l.$/ *k)$ ,*k)$k/ +ll Dala (*&k*a).a)
2
P*&saaa) +$6*&*)s$al a+alah (*&saaa) %a). *ua, ,u&u)a) sa,u a,au **&a(a 6u).s$ %a). ,ak +$k*,ahu$ P*&saaa) +$6*&*)s$al +$klas$6$kas$ka) *)#a+$ (*&saaa) +$6*&*)s$al $asa +a) (*&saaa) +$6*&*)s$al (a&s$a a,au s*a.$a) +$+asa&ka) (a+a a(akah 6u).s$ %a). +$k*,ahu$ ,*&.a),u). (a+a sa,u a,au **&a(a =a&$al* *as P*&saaa) +$6*&*)s$al %a). *).a)+u). ,u&u)a) $asa +*).a) sa,u (*uah *as +$)aaka) (*&saaa) +$6*&*)s$al $asa S*+a).ka) (*&saaa) +$6*&*)s$al %a). *).a)+u). ,u&u)a) (a&s$al +*).a) l*$h +a&$ sa,u (*uah *as +$)aaka) (*&saaa) +$6*&*)s$al (a&s$al a,ua s*a.$a) Dasa& klas$6$kas$ la$) (*&saaa) +$6*&*)s$al a+alah &+* O&+* +a&$ (*&saaa) +$6*&*)s$al a+alah +*&a#a, a,au (a).ka, ,*&,$)..$ +a&$ ,u&u)a) %a). u)'ul +ala (*&saaa) P*&saaa) +$6*&*)s$al &+* 1 +*).a) y s*a.a$ =a&$a*l $)+*(*)+*), +a) s*a.a$ =a&$a*l +*(*)+*), +$,ul$s s*'a&a a,*a,$s s*a.a$ dy dx
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A
a,*a,$s s*a.a$ : +*).a) 'a,a,a)/ ,$+ak s*ua =a&$a*l +a&$ 6u).s$ f ha&us u)'ul +ala (*&saaa) S*'a&a uu/ (*&saaa) %a). +$,ul$ska) +ala *),uk F(x,u(x),u’(x),...,u(n)(x)) =0 a+alah (*&saaa) +$6*&*)s$al $asa &+* k*) P*&saaa) +$a,as *&*(&*s*),as$ka) &*las$ a),a&a (*uah ,ak @ nA u C / u C C /555/ u *as +a) )$la$)$la$ 6u).s$ u +a) ,u&u)a) (*&,aa k*) )%a U),uk *u+ahka) (*)ul$sa) +a) (*ahaa)/ $asa)%a +$,ul$ska) %u@/ ak$a,)%a F(x,u(x),u’(x),...,u(n)(x)) =0 +a(a, #u.a +$,ul$ska) s*a.a$ F@/%/%//% @) 0 Klas$6$kas$ la$))%a +a&$ (*&saaa) +$6*&*)s$al s*la$) %a). ,*lah +$s*u,ka) +$a,as a+alah l$)*a& +a) ,ak l$)*a&Sua,u (*&saaa) +$6*&*)s$al $asa F@/%/%//% @) 0 +$ka,aka) l$)*a& #$ka F *&u(aka) sua,u 6u).s$ l$)*a& +a&$ (*uah %/%//%@) +*6$)$s$ %a). saa #u.a *&laku u),uk (*&saaa) +$6*&*)s$al (a&s$al S*'a&a uu (*&saaa) +$6*&*)s$al l$)*a& $asa&+* k*) +$,ul$ska) a0 @ xA y @ n A + a1 @ xA y @ n 1A + 555 + a n @ xA y = g @ xA −
s*a.a$
Sua,u (*&saaa) +$6*&*)s$al $asa %a). ,$+ak *$l$k$ *),uk s*(*&,$ +$a,as *&u(aka) (*&saaa) ,ak l$)*a& G),h (*&saaa) ,ak l$)*a& $sal)%a yC C C = 2e x yC C = yyC = x 4 (*&saaa) ,*&s*u, +$ka,aka) ,ak l$)*a& ka&*)a (*&saaa) *ua, *),uk %% Dala $+a). a,*a,$ka $l.$/ a,*a,$ka +$.u)aka) u),uk *)'a *aha$ *&a.a$ .*#ala $l.$ Salah sa,u +a&$ .a.asa).a.asa)%a). (al$). ,ua +$ a+alah ka&*)a a,*a,$ka $sa +$.u)aka) u),uk +*l (*&uaha) (*&uaha) +$ +ala uku&a) +a&$ *&a.a$ ((ulas$ +*l ((ulas$ Mal,hus *&aalka) (*&,uuha) (*us)aha) ((ulas$ ,a)(a a,as a,au ,ak $sa ,*&*lakka) I,u *&.a),u). (a+a la#u (*&,uuha) +a&$ ((ulas$ M+*l l.$s,$k a+alah sua,u +$6$kas$ +*l Mal,hus M+*l l.$s,$k ,*&l*$h +ulu %a). +$s*l$+$k$ l*h PF "*&hul,s (a+a 130 M+*l %a). +a(a, +$,*&a(ka) +ala k*h$+u(a) )%a,a s*(*&,$ $,u a+alah (*+*la) +*).a) 3
(*&saaa) +$6*&*)s$al khusus)%a +*l ((ulas$ k),$)u *&+a(a, **&a(a a'a +*l (*&,uuha) ((ulas$ %a). k),$)u +$a),a&a)%a +*l ((ulas$ *ks()*)s$al +a) +*l ((ulas$ l.$s,$k BAB III PEMBAHASAN $.1 Pert%!'%#an M(kr))rgan("!e Salah sa,u *ks(*&$*) %a). (al$). s*+*&ha)a +ala $k&$l.$ a+alah *(*la#a&$ (*&,uuha) $k&&.a)$s* s*(*&,$ ak,*&$ Dala hal $)$ aka) +$aa,$ (*&uaha) ,$).ka, ((ulas$ ,*&ha+a( ak,u S*ku(ula) ak,*&$ +$s$(a) +ala sua,u ,au). (*&'aa) %a). *).a)+u). aka)a) %a). +$u,uhka) ak,*&$ ,*&s*u, Dala (&s*s $)kula$s $)$/ kul,u& ak,*&$ +$(*l$ha&a (a+a k)+$s$ l$).ku).a) %a). ''k u),uk (*&,uuha) Bak,*&$ aka) *&k*a). $ak *lalu$ (&s*s (**laha) s*l %a). *&u),u) s*h$)..a a)%ak +a) k*&a(a,a))%a *)$).ka, M$salka) NM@, : a)%ak)%a ak,*&$ %a). +$aa,$ (a+a ak,u ,/ K : la#u &*(&+uks$ (*& sa,ua) ak,u P*&ha,$ka) aha/
N@,N < N@, KN@, N N @t + ∆t A − N @t A ∆t
= KN @t A
dN dt KN @31 S*h$)..a +*l (*&,uuha) ak,*&$ +a(a, +$,ul$s/ kt N ( t )= N (O) e
@32
+$a)a N @O a+alah #ulah ak,*&$ (a+a ak,u aal Dala hal K )*.a,$6/ +*l @31 +$s*u, +*l (*lu&uha) ak,u l$(a, +ua @+ul* ,$* +$+*6$)$s$ka) s*a.a$ ak,u %a). τ 2 +$u,uhka) a.a& ((ulas$ *)#a+$ +ua kal$ l$(a,/ +$),as$ka) +*).a) ak,u (a&uh a+alah ak,u %a). +$u,uhka) a.a& ,$).ka, ((ulas$ s*(a&uh +a&$ s*ula/ τ 1 2 +$),as$ka) +*).a) U),uk +*l (*&,uuha)/ N ( τ 2 ) N ( O )
=2
Sus,$,us$ (*saaa) +$a,as k* +ala (*&saaa) @32/ *).has$lka)
4
N ( τ ) =2= e kτ , N ( O)
s*h$)..a +$(*&l*h
τ =
1n2 K
Dala k*)%a,aa))%a/ (*&saaa) @31 ,$+al aku&a,/ %ak)$ K ,$+al s*lalu k)s,a) Hal $)$ +$s*aka) ka&*)a k*,*&a,asa) +a%a +uku). l$).ku).a)/ $sal)%a aka)a) +a) &ua). Salah sa,u k*u).k$)a) u),u K a+alah la#u (*&,uuha) K s*a)+u). +*).a) ,$).ka, (*&s*+$aa) aka)a) G/ %a$,u K (C) = k C @33 D$asus$ka) aha u),uk (*)aaha) sa,u sa,ua) ((ulas$ +$(*&luka) sa,ua) aka)a) D*).a) +*$k$a)/ (*&,uuha) ak,*&$ +a) k)sus$ aka)a) +a(a, +$)%a,aka) +ala (*&saaa) *&$ku, dN @34 dt K@GN kGN
dC dN =−α =−αkCN dt dt @35 Slus$ (*&saaa) @35 a+alah/ G@, N@, G0/ +*)a) G0 G@0 N@0 Sus,$,us$ (*&saaa) @37 k* (*&saaa) @31/ +$(*&l*h dN =k ( C 0−αN ) N dt
@37
@38
B$la (*&saaa) @38 +$a+$).ka) +*).a) (*&saaa) @33 aka ,*&l$ha, aha la#u (&+uks$ K +$)%a,aka) s*a.a$ K@N k@G0 > N @3 Dala hal $)$ la#u &*(&+uks$ *&.a),u). (a+a ,$).ka, ((ulas$ N %a). +$s*u, #u.a +*).a) la#u &*(&+uks$ ,*&(au, k*&a(a,a) @+*)s$,% +*(*)+*), P*&saaa) @38 a+alah (*&,uuha) l.$s,$k %a). $asa)%a +$,ul$s +ala *),uk dN =r ( 1= N / B ) N dt Slus$ (*&saaa) @38 $alah N 0 B N ( t )= −rt N 0 + ( B − N 0 ) e @3 +$ a)a N0 *),as$ka) ,$).ka, ((ulas$ aal & *)%a,aka) (a&a*,*& (*&,uuha) $),&$)s$k +a) B a+alah +a%a +uku). l$).ku).a)
5
C 0 U),uk , *sa&/ N@ B
α
: u),uk , k*'$l/ ((ulas$ (*&,uuh s*'a&a
*ks()*)s$al s**sa& kG0@l$ha, (*&s @3 $. Pert%!'%#an Pen*%*%k U),uk (*&,uuha) a)us$a/ k$,a asus$ka) aha k*a,$a) a)us$a *&u(aka) kasus ala/ k$,a $sa *).ha&a( aha &a,a&a,a k*a,$a))%a (&(&s$)al ,*&ha+a( ((ulas$)%a S*h$)..a k$,a aka) (*&l*h +*l (*&,uuha))%a/ %ak)$ dp = k 1 p − k 2 p =( k 1 −k 2 ) p =kp , dt
+$a)a
k =k 1− k 2
/ + a ) k 2 a+alah k)s,a),a (&(&s$)al u),uk &a,a&a,a
k*a,$a) J$ka k$,a asus$ka) k 1 k 2 aka k 0 S*h$)..a k$,a (*&l*h +*l a,*a,$ka)%a %ak)$ dp = k p , p ( 0 )= p 0 , dt %a). +$s*u, huku Mal,us a,au huku *ks()*)s$al +a&$ (*&,uuha) ((ulas$ P*)%*l*sa$a) +a&$ (*&saaa) +$6*&*)s$al huku Mal,us +a(a, +*).a) u+ah k$,a ,*uka)/ %ak)$ p ( t )= p 0 exp ( kt ) . +)nt)#, Dala ,ahu) 180 #ulah (*)+u+uk A*&$ka 33 #u,a/ k*u+$a) +ala ,ahu) 10 725 #u,a #$a !u)aka) +*l (*&,uuha) Mal,us/ (*&k$&aka) (*&,uuha) (*)+u+uk A*&$ka s*a.a$ 6u).s$ +a&$ ak,u Ja-a': M$salka) u),uk ,0 +$ ,ahu) 180/ aka +a&$ (*)%*l*sa$a) (*&saaa) +$6*&*)s$al +*l Mal,us k$,a aka) +a(a,ka) (@, 33 *( @k,/ +$a)a (@, a+alah #ulah (*)+u+uk +ala #u,a U),uk *)*),uka) k)s,a),a k k$,a (*&ha,$ka) aha+ala ,ahu) 10/ saa, ,100/ k$,a +a(a,ka) (@100 725 33 *(@100k Da) k$,a u+ah *)*uka) k/ %ak)$
k =
(
ln 62.95
)−ln ( 3.93 )
100
≈ 0.027737 .
Ja+$ k$,a (*&l*h (*&k$&aa) (*&,uuha) (*)+u+uk A*&$ka s*a.a$ 6u).s$ +a&$ ak,u a+alah (@, 33 *(@0028838, Da&$ '),h +a) (*)%*l*sa$a) (*&saaa) +$6*&*)s$al Mal,us +a(a, +$(*&ha,$ka) aha ((ulas$ ,uuh s*'a&a *ks()*)s$al +a&$ ((ulas$ aal Dala hal ,*&s*u, &a,a&a,a (*&,uuha) +$,*),uka) +*).a) (a&a*,*& k/ +a(a, +$(*&ha,$ka) aha #$ka k *sa& aka (*&,uuha) ((ulas$ aka) l*$h '*(a, Pa&a*,*& $)$ #u.a *)u)#ukka) (*&*+aa) uku&a) +a) (*)%*a&a) ((ulas$ u),uk k *sa& +a) k k*'$l K*)%a,aa))%a +ala ala/ k*a)%aka) ((ulas$ ,$+ak ,uuh s*'a&a *ks()*)s$al u&)$ ka&*)a ((ulas$ aka) *)u#u ,ak h$)..a #$ka ak,u)%a *)u#u ,ak h$)..a Ja+$ k$,a (*&lu (*&+*la) %a). l*$h &*al$s,$k
6
u),uk $)$/ #$ka sua,u ((ulas$ *)#a+$ *sa& aka h$+u( *&*ka aka) l*$h k(*,$,$6 a$k u),uk aka)a)/ a$&/ ,*(a, u),uk h$+u( +a) la$) s*a.a$)%a S*uah +*l (*&,uuha) %a). l*$h &*al$s,$s a+alah dp = h ( p ) p = f ( p ) , dt %a). ,*,a( saa +*).a) (*&saaa) (*&,uuha) Mal,us/ ha)%a sa#a &a,a&a,a (*&,uuha))%a +ala hal $)$ *&.a),u). (a+a uku&a) ((ulas$ $,u s*)+$&$ P*&saaa) +$6*&*)s$al (*&,uuha) $)$ +$s*u, (*&saaa) au,)us ka&*)a &uas ka)a) +a&$ (*&saaa) $,u ,$+ak *&.a),u). (a+a ak,u U),uk *)+a(a,ka) s*uah +*l %a). l*$h &*al$s,$s k$,a ,*),uka) **&a(a k*)%a,aa) J$ka ( k*'$l/ aka ((ulas$ ,uuh @ h@( 0 • J$ka ( *sa&/ aka ((ulas$ *)u&u) @ h@( 0 • Ga&a ,*&u+ah u),uk *)..au).ka) s$6a, ,*&s*u, +$ a,as +ala s*uah (*&saaa) +$6*&*)s$al/ k$,a $salka) H(p) = k - ap, ≈ ≈ S*+*$k$a) s*h$)..a #$ka ( k*'$l/ h@( k 0 +a) #$ka ( *sa& h@(
−ap <0
D*).a) $)$ k$,a (*&l*h (*&saaa) ((ulas$
( )
dp = k 1− p p , dt K
D$a)a
K =
k a P*&saaa) $)$ +$k*)al +*).a) (*&saaa) l.$s,$k %a).
+$(*&k*)alka) l*h ahl$ a,*a,$ka +a&$ B*l.$u/ "*&huls, +ala ,ahu) 13 Ba.$a) +a&$ slus$ %a). 'uku( *)a&$k a+alah +$a)a ,u&u)a) a,au ((ulas$ ,$+ak ,uuh a,au *)u&u) I)$ aka) ,*&#a+$ #$ka dp = 0 / dt %a). +$s*u, ,$,$k s*$a). @equilibriu/ ka&*)a slus$ ,$+ak ,uuh a,au *)u&u) *,a($ uka) *&a&,$ aha slus$)%a s,a$l U),uk (*&saaa) l.$s,$k/ equilibriu ,*&#a+$ #$ka dp p = 0 → 1− =0 / dt K
( )
-a). aka) **&$ka) slus$ equilibriu p = 0 dan p = K. L*$h uu/ slus$ equilibriu +a(a, +$,*),uka) +a&$ s*a&a). (*&saaa) +$6*&*)s$al +ala *),uk dy = f ( y ) dt
BAB IV KESIMPULAN
7
1 Dala $+a). $l.$/ ,u&u)a) $sa +$.u)aka) u),uk +*l (*&uaha) (*&uaha) +$ +ala uku&a) +a&$ *&a.a$ ((ulas$ u&u)a) +$.u)aka) u),uk (*(*&k$&aka) (*&,uuha) ((ulas$ s*a.a$ 6u).s$ +a&$ ak,u 2 Dala kasus la#u (*&,uuha) ((ulas$/ +*l a,*a,$ka +$6*&*)s$al)%a a+alah (*&saaa) +$6*&*)s$al &+* sa,u D$asus$ka) aha u),uk (*)aaha) sa,u sa,ua) ((ulas$ +$(*&luka) sa,ua) aka)a) D*).a) +*$k$a)/ (*&,uuha) ak,*&$ +a) k)sus$ aka)a) +a(a, +$)%a,aka) +ala (*&saaa) *&$ku, dC dN =−α =−αkCN dt dt 3 Slus$ (*&saaa) (*&,uuha) ak,*&$ +$ a,as a+alah G@, N@, G0/ +*).a) G0 G@0 N@0
8
DAFTAR PUSTAKA
Fau<$%ah/ SL 200 !plika"i #er"aaan $iferen"ial pada %a"ala& K'n"entra"i at ula dala #ebuatan *irup UNS : FMIPA Ma&a)/ Sa$+ Mu)<$& 200 #er"aaan $iferen"ial -.%aka&,a : !&aha Ilu alu%a/ SB 2007 #er"aaan $iferen"ial -.%aka&,a : !&aha Ilu h,,(:QQ&*)$a).&a$)$21l.s(,'Q2013Q11Q(*+*la)a,*a,$kah,l? 1
9
