PENDAHULUAN PENGERTIAN DAN CONTOH TEOREMA TURUNAN FUNGSI TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN SOAL-SOAL LATIHAN LATIHAN PENUTUP
MGMP MATEMATIKA
P M S
SD
S M A
SKKK JAYAPURA
Kami mohon Donasi dari saudara-saudara saudara-saud ara sekalian agar blog ini tetap Eksis untuk membantu saudara-saudara sekalian agar dapat mengakses materi bahan ajar atau soal-soal dan lainnya dalam bentuk “POWERPOINT” silahkan salurkan lewat rekening Bank MANDIRI atas nama HENDRIK PICAL,A.Md,S.Sos dengan No. ac Bank 1540004492181. dan konvirmasi lewat No. HP. 081248149394. Terima Kasih.
BAB II TURUNAN FUNGSI
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL FUNGSI) PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI
A. LAJU PERUBAHAN NILAI FUNGSI A.1 LAJU PERUBAHAN RATA-RATA
Vrata-rata
Δs Δt
PENGANTAR ILUSTRASI Seorang murid mengendarai motor dari rumah ke sekolah yang jaraknya 15 km. Ia berangkat dari rumah pukul 06.00 dan jarak yang ditempuh dicatat setiap 5 menit dengan cara mengamati spidometer pada motornya.Catatan jarak yang ditempuh setiap 5 menit adalah sbb:
Waktu
Jarak
06.00 - 06.05
2,5
06.05 - 06.10
1,25
06.10 - 06.15
2,5
06.15 - 06.20
2,5
06.20 - 06.25
3,75
06.25 - 06.30
2,5
Pertanyaan ? Kecepatan rata - rata siswa itu mengendara i Motor dari Rumah ke Sekolah adalah.... .
KECEPATAN RATA-RATA DALAM INTERVAL WAKTU
t1 t t 2
KECEPATAN RATA-RATANYA RUMUSNYA SBB :
Vrata-rata
Δs Δt
f(t 2 ) f(t 1 ) t 2 t1
CONTOH 1 Gerak sebuah benda ditentukan dengan persamaan s=f(t)=4t-5 (s dalam meter dan t dalam detik). Tentukan besar kecepatan sesaat untuk waktu-waktu berikut ini : a). t=2 detik b). t=5 detik
Jawab a Kecepatan sesaat : Limit
f(a h) f(a)
h 0
maka Limit h 0
maka Limit h 0
Limit
f(2 h) f(2)
h {8 4h) 5} {8 - 5} h 3 4h 3
h 0
Limit h 0
, Lintasannya f(t) 4t - 5
h 4{(2 h) 5} {4(2) - 5}
h 0
Limit
h
, jika a 2
h 4h
4
h Kecepatan sesaat pada saat t
2 detik adalah 4 m/detik
Jawab b Kecepatan sesaat : Limit
f(a h) f(a)
h 0
maka Limit h 0
maka Limit h 0
Limit h 0
Limit
f(5 h) f(5)
h 0
, Lintasannya f(t) 4t - 5
h 4{(5 h) 5} {4(5) - 5} h {20 4h) 5} {20 - 5} h 15 4h 15
h 0
Limit
h
, jika a 5
h 4h
4
h Kecepatan sesaat pada saat t 5 detik adalah 4 m/detik
CONTOH 2 Sebuah bola berjari - jari r cm sehingga volume bola itu adalah V f(r)
4
3
πr ,
3 Tentukan laju perubahan volumebola V terhadap jari - jari r ketika r 2 cm.
Jawab f(a h) f(a)
Kecepatan sesaat: Limit h 0
maka Limit
h
f(2 h) f(2)
h 0
h 4
{(2 h) 3 } {
h 0
4
, Lintasannya f(r)
maka Limit 3
4
h 0
Limit h 0
3
(2)3 }
3
{8 3(2) 2 h 3(2)(h) 2 h 3 } {
32
32 3
16 h 8 h 2
4 3
h
3
} {
32
3
3
h 2 16 h 8 h
4
h
3
3
h h(16 8 h
4 3
h
2
)
h
16 Volume bola pada saat r 2 cm adalah 16
}
}
h
h 0
Limit
3
πr
h 0
Limit
4
h
Limit 3 {
, jika a 2
SOAL LATIHAN Tentukan laju perubahan sesaat nilai fungsi berikut ini pada titik yang disebutkan : a). f(x) 3 2x pada x 2 b). f(x) 2x 1, pada x 1 3
Definisi Turunan Fungsi
f ' (a) Limit
h 0
f(a h) f(a) h
,
CONTOH 1.
Carilah turunan fungsi f(x) 3 - 2x, pada x 1
JAWAB f(x) 3 - 2x, pada x 1 adalah f ' ( 1) f ' ( 1) Limit h 0
f ' ( 1) Limit
f ( 1 h) - f(1) h { 3 - 2(1 2( 1 h)} h) }- { 3 - 2(1)}
h 0
f ' ( 1) Limit
h
2h
h 0
Limit 2 2
h 0 h Jadi turunan fungsi f(x) 3 - 2x, pada x 1
adalah f ' ( 1) - 2
CONTOH 2
Turunan Fungsi f(x) 4x 3x 2, 2
pada x a, mempunyai nilai 13, hitunglah nilai a
Jawab Turunan fungsi f(x) 4x 2 3 x 2, pada x 2 adalah f ' (a) Limit
f(a h) - f(a)
h 0
Limit
h {4(a h) 2 3(a h) 2} {4(a ) 2 3a 2}
h 0
Limit
h
{4(a2 2ah h 2 ) 3a 3h 2} {4a 2 3a 2}
h 0
Limit
h
{4a 2 8ah 4h 2 ) 3a 3h 2} {4a 2 3a 2}
h 0
Limit
h
{8ah 4h 2 ) 3h}
h 0
Limit
h
h{4h 8a 3}
h 0
h
Limit h 0
{4h 2 8ah 3h} h
Limit 4h 8a 3 8a 3 h 0
8a - 3 13 8a 16
a 2 Jadi turunan fungsi f(x) 4x 2 3 x 2 pada x a mempunyai nilai 13 untuk nilai a 2
SOAL LATIHAN 1. Carilah turunan dari fungsi- fungsi berikut untuk nilai - nilai x yang disebutkan a.
f(x) 5 - 2x, pada x 4
b.
f(x) x x , pada x 2 3
2. Diketahui f(x)
2
1
x
3
2 x 7 x, dengan 2
3 daerah asal Df { x / x R} a.
Carilah f ' (a) dengan a R
b.
Jika f ' (a) 19, carilah nilai a yang mungkin
TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI TEOREMA1.
FUNGSIKONSTAN Jika f(x) k dengan k konstan maka : dk
f ' (x) 0. atau BUKTI:
f ' (x) Limit
dx f(x h) - f(x)
h 0
Limit h 0
0
h k - k h
Limit 0 0 (Terbukti ) h 0
CONTOH Hitunglah Limit 5 h 0
Jawab : f ' (x) Limit
f(x h) f(x)
h 0
Limit h 0
h 5 5 h
Limit 0 0 h 0
FUNGSI IDENTITAS TEOREMA2. FUNGSI IDENTITAS Jika f(x) x, maka f ' (x) 1 atau
d dx
( x ) 1
BUKTI:
f ' ( x) Limit h 0
Limit
f ( x h) f(x) h xh- x
h 0
Limit h 0
h h
h Limit 1 1 (Terbukti ) h 0
FUNGSI PANGKAT TEOREMA3.
FUNGSIPANGKAT Jika f(x) xn dan n bilangan rasional, maka f ' (x) nx
BUKTI:
n- 1
atau
f ' (x) Limit h 0
d dx
(x ) nx n
f(x f( x h) - f(x) h
n- 1
(x h) x n
Limit h 0
n
h
n n n n-1 n n-2 2 n n x x h x h . . . h xn 0 1 2 n Limit h 0
h
n n-1 n n-2 n 1 Limit x x h . . . h h 0 2 1 n n-1 x nx n-1 ( Terbukti ). 1
CONTOH Carilah Turunan fungsi dari fungsi - fungsi berikut : a.
f(x) x
b.
f(x) x
c.
f(x) 5x50
3 100
SOLUSINYA: a. f(x) x , n 3 maka f ' (x) nx 3
b. f(x) x
100
n-1
3x31 3x 2
,n 100, maka f ' (x) nx
c . f(x) 5x ,n 50, maka f ' (x) nx 50
n-1
n- 1
100x 100 1 100x 99
5 .50 x50 -1 250x 49
AKTIVITAS SISWA 1.
2.
Tentukan Turunan dari fungsi - fungsi berikut : a.
f(x) 4
d.
f(x) x
b.
f(x) x5
e.
f(x) x-2
c.
f(x) x
-3
f.
10
f(x) x
1 4
Buktikan Teorema 3 benar untuk n bilangan bulat negatif dan pecahan
HASIL KALI KONSTANTA DENGAN FUNGSI TEOREMA 4.
HASILKALIKONSTANTADENGAN FUNGSI Jika f suatu fungsi, c suatu konstanta, dan g fungsi yang didefinisi kan oleh g(x) c.f(x)dan f ' (x)ada, maka : g ' (x) c.f ' (x) atau
BUKTI:
g ' (x) Limit h 0
Limit
d
c.f(x) c.
dx g(x h) - g(x)
h c.f(x h) - c.f(x)
h 0
h f(x h) - f(x) Limit c. h 0 h
c.f ' (x)
( Terbukti )
d dx
f(x) c.f ' (x)
CONTOH 1.
Tentukan Turunan fungsi f(x)berikut : a.
f(x) 5x50
b.
f(x) 100x
c.
f(x)
6 5
x55
SOLUSINYA: 90
a. f(x) 5x50 , f ' (x) (x ) 5.g 5. g ' (x)
5.50x 49 250x 49 b. f(x) 100x 90 , f ' (x) 100.g ' (x)
100.90x 89 9000x 89 c . f(x)
6 5 6
x55 , f ' (x) (x )
. 55x 54 5
66x 54
6 5
.g ' (x) (x )
AKTIVITAS SISWA Tentukan Turunan fungsi f(x)berikut : a. b. c.
f(x) f(x) f(x)
2 3
x
3
d.
50 2x
e.
20
100x 88
- 32
f(x) f(x)
55x
-15
110x 50x
- 35
-50
10
.x
5x 3
JUMLAH DUA FUNGSI TEOREMA5. JUMLAHDUA DUA FUNGSI Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan y f(x) U(x) V(x), maka y ' f ' ( x) U' ( x) V' ( x) atau
d dx
( U V) U' V'
BUKTI f ' (x) Limit h 0
Limit h 0
f(x h) - f(x) h u(x h) v(x h) u(x) v(x) h
u(x h) u(x) v(x h) - v(x) Limit h 0 h h u(x h) u(x) v(x h) - v(x) Limit Limit h 0
h 0 h u' (x) v' (x) ( Terbukti )
h
SELISIH DUA FUNGSI TEOREMA 6. SELISIHDUA FUNGSI Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan y f(x) U(x)- V(x),maka y ' f ' (x) U' (x)- V' (x) atau d dx
(u v) u' - v'
CONTOH 1 Tentukan Turunan dari f(x) 6x 2 7 x 2 SOLUSINYA: f(x) 6x 7 x 2 f ' (x) 2
d
(6 x ) 2
d
(7 x )
d
(2)
dx dx dx d 2 d d 6 (x ) 7 (x) (2) dx dx dx 6.2x - 7.1 0
12x - 7
CONTOH 2 Sebuah perusahaan menaksir bahwa untuk memproduks i x unit barang dibutuhkan biaya produksi sebesar C(x)
1
x2 30 x 180
8 ribuan rupiah. Tentukan biaya marjinal dari biaya produksiny a. SOLUSINYA:
Biaya Marginal C C(x h) - C(x)dengan h 1 sehingga berlaku : C' (x)
d 1 2 x 30 x 180 dx 8
d 1 2 d d x 30 180 x dx 8 dx dx
1 d
(x2 ) 30
8 dx 1 .2 x 30 .1 8 1 x 30 4
d dx
(x) 0
AKTIVITAS KELAS CARILAHTURUNANFUNGSI- FUNGSIBERIKUT: a.
f(x) 4x 2 x 5 x
b.
f(x) (6 - 2x)
c.
f(x) 2x
3
2
2
2
2 2
x
PERKALIAN DUA FUNGSI TEOREMA7. PERKALIANDUA FUNGSI. Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan dan f(x) U(x).V(x) maka f ' (x) U' (x).V(x) U(x).V'(x) atau : d dx
(U.V) U'.(V) U.(V')
BUKTI f ' (x) Limit h 0
Limit
f(x h) - f(x) h u(x h).v(x h) - u(x).v(x)
h 0
Limit
h u(x h).v(x h) - u(x h).v(x) u(x h).v(x)- u(x).v(x)
h 0
Limit h 0
h u(x h)v(x h) - v(x)
h 0
v(x).u(x h) - u(x)
h 0
h
Limit u(x h).Limit
.Limit
v(x h) - v(x)
h 0
U(x).V'(x) V(x).U'(x)
h
Limit v(x).Limit
h h ( Terbukti )
0
h 0
u(x h) - u(x) h
CONTOH Gunakan Teorema 7 untuk mencari turunan pertama f(x) (3x2 2)(x4 x) SOLUSINYA: Misalkan U(x) 3x 2 2 dan V(x) x 4 x U' (x) 6x
dan V' (x) 4x3 1
Masukan ke dalam teorema 7 didapat : f ' (x) U(x).V'(x) U' (x).V(x)
(3x2 2).(4x3 1 ) (6 x )(x4 x) 12x 5 8x3 3x 2 2 6x5 6x 2 18x 5 8x3 9x2 2
PEMBAGIAN DUA FUNGSI TEOREMA 8. PEMBAGIANDUA FUNGSI. Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan , dan f(x) f ' (x)
U(x)
, V(x) 0, maka V(x)
U' (x).V(x)- U(x).V'(x)
V(x)2
d U U' V UV' atau dx V V2
CONTOH Gunakan Teorema 8 untuk mencari turunan f(x)
3x 2 10 x3 9
SOLUSINYA : Misalkan U(x) 3x 2 10 U'(x) 6x V(x) x 3 9
V' (x) 3x 2
Berdasarkan Teorema 8 didapat : f ' (x)
U' (x).V(x)- U(x).V' (x)
V(x)
2
(6x)(x3 9) - (3x2 10).(3x2 )
(6x 10).(x3 9) (3x 2 10x)(3x2 ) (x 3 9) 2 6x 4 10x 3 54x 90 9x 4 30x 3 (x 9) 3
2
- 3x 4 40x 3 54x 90 (x 3
9) 2
(x 3 9) 2
AKTIVITAS SISWA Hitunglah Turunan Fungsi - fungsi berikut : a.
b.
f(x)
f(x)
3x 2 2 x 1
3-
5 x 2 1
x x5
c.
d.
f(x)
f(x)
4x 2 3x x 10x - 1 3
3x 2 4x - 3 x2 - 2x 1
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
1.
Y Sinx
2.
Y Cosx dan
3.
Y Tanx
1. TURUNAN Y=SIN X F(X) SINX Jika Y Sin x, maka Y'(x) Cos x BUKTI: f ' (x) Limit
f(x h) - f(x)
h 0
Limit
Sin(x h) Sinx
h 0
h 1 1 2Cos (2x h)Sin h 2 2 x Limit h 0 h
Limit Cos(x h).Limit h 0
1 2
Sin 12 h
h 0
Limit Cos(x 12 h) Cosx h 0
1 2
h
h 1 2 1 2
Limit
(Gunakan Rms) Sinα - Sinβ
Cos(x 12 h)Sin 12 h
h 0
1 2
h
Limit Cos(x 12 h).1 h 0
( Terbukti )
2. TURUNAN Y=COS X F(X) COS X Jika Y Cos x, maka Y'(x) - Sin x BUKTI: f ' (x) Limit h 0
f(x h) - f(x)
Limit
Cos(x h) Cosx
h 0
h
h
(Gunakan Rms) Cosα - Cosβ
1 1 - 2Sin (2x h)Sin h 1 - Sin(x 12 h)Sin 12 h 2 2 2 Limit x 1 Limit 1 h 0 h 0 h 2 2h
Limit- Sin(x h).Limit h 0
1 2
h 0
Sin 12 h 1 2
Limit- Sin(x 12 h) Sinx h 0
h
Limit- Sin(x 12 h).1 h 0
( Terbukti )
3. TURUNAN Y=TAN X Jika Y TAN X Y'(X) SEC2 X BUKTI: Y Tan x Y'(x)
Sin x Cos x
U(x) V(x)
(Gunakan Rms. Hasil bagi dua fungsi) di dapat
U' (x).V(x)- U(x).V'(x)
V(x)
2
dimana U(x) Sinx U' (x) Cosx dan V(x) Cosx V' (x) -Sinx maka
Y'(x)
Cosx.Cosx- Sinx(-sinx) 2
Cos x 1 Cos 2 x
Cos 2 x Sin2 x
Sec 2 x ( Terbukti )
Cos 2 x
CONTOH Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = 4sinx – 2cosx 2. f(x) = 2sinxcosx
SOLUSINYA 1. f(x)
= 4sinx – 2cosx
f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx
=4cosx+2sinx
2.
f(x)
= 2sinxcosx = sin 2x
f ‘(x) = d2x.dsin2x
=2cos2x
Buktikan Turunan dari
1. y= cosecx 2. Y=secx
3. Y=cotx
AKTIVITAS SISWA Tentukan Turunan Fungsi - fungsi berikut : a.
y sin (ax b)
f.
y 3sin2x 4cos2x
b.
y cos(ax b)
g.
y 1 - sin 2 x
c.
y tan ax
h.
y - 2sin
d.
y tan (ax b)
i.
y cos x sin x
e.
y 2sinx 4cos2x
j.
y 4cos x - 4
2
x
1
2
2
2
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI DENGAN ATURAN RANTAI TEOREMA 9. DALILRANTAI Jika y f(u)merupakan fungsi dari u yang dapat diturunkan dan u g(x) merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan serta y f(g(x))merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan maka : y' (x) atau
d dx dy dx
(f(g(x)) f' (g(x)).g'(x)
dy du . du dx
CONTOH Tentukan Turunan dari : y (4x2 5 x 3)6 SOLUSINYA: U 4x 5 x 3 maka y U 2
dy du du dx
6
6U 6(4x 5x 3) 5
8x 5
2
5
dy
dy du . dx du dx
6(4x2 5x 3)5 .8x 5
(48x - 30 )(4x2 5x 3)5
CONTOH 2 Carilah Turunan dari fungsi berikut ini : y (x 2)(x 3)
4
AKTIVITAS SISWA 1. Tentukan
2.
dy
pada soal berikut ini
dx
a.
y 3u
b.
y 4u
dan u 2x - 1
15 -3
dan u x 2 x 2
Tentukan Turunan fungsi berikut : a.
f(x) 7x - 2x 5
b.
f(x) x 3 x 1
2
2
3 2
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DISUATU TITIK PADA KURVA h
Q(x+h,f(x+h))
f(x+h)-f(x)
g
P(X,f(X)) x
x+h
Gradien Garis singgung kurva di titik P adalah f ' (x) Limit h 0
f(x h) f(x) h
RINGKASAN MATERI 1.
Gradien Garis Singgung di titik P(x,y) adalah f ' (x) Limit h 0
2.
f(x h) - f(x)
m
h Persamaan Garis singgung di titik P(x1 , y1 ) dengan
gradiennya m adalah : y - y1 m(x x1 ) 3.
Jika garis saling tegak lurus maka m 1 .m 2 1
4.
Jika garisnya sejajar maka m 1 m 2
CONTOH SOAL 1 Tentukan persamaan garis singgung di titik (3,9)pada kurva y x2 SOLUSINYA: 2 ' y x y' 2x pada titik (3,9),maka y (3) 2.3 6 m
persamaan garis singgung di (3,9) adalah : y - y1 m( x - x1 ) y - 9 6(x - 3) y y
6x - 18 9 6x - 9
CONTOH SOAL 2 π 1 Tentukan persamaan garis singgung di titik ( , 2 ) pada kurva y sinx 4 2 SOLUSINYA: y sinx y' cosx y' ( 4 ) cos
4
1 2
2 m
π 1 Persamaan garis singgung di ( , 2 ) adalah 4 2 y - y1 m(x x1 ) y-
1 2
2
1 2
2 ( x
4) y
1 2
2 x
1 2
2 (1 4 )
AKTIVITAS SISWA 1.
Gambarlah grafik f(x) x2 2 x 1 pada interval - 5 x 5 kemudian gambarlah garis singgung kurva tersebut di 1
2.
x -1,1,0, , dan 4 2 Carilah persamaan garis singgung pada kurva berikut : a.
y x - 3x - 40,.di (1,-42)
b.
y x3 - 2x 2 4 , di(2,4)
c.
y x2 3x sejajar garis 2x - y 3 0
d.
2 y 2x 3 tegak lurus garis 8y x 10 0
2
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Sifat-sifat suatu fungsi dapat diselidiki dengan menggunakan turunan. 1. Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu Fungsi dikatakan naik jika seiring pertambahan nilai x ke kanan,maka nilai f(x) bertambah.atau f ‘(x)>0 2. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan,maka nilai f(x) berkurang.atau f ‘(x)<0
SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN
y=f(x) y=f(x) f(x1 )
f(x2 )
x2
x1 Fungsi Naik (a)
f(x1 )
f(x2 )
x1
x2 Fungsi Turun (b)
CONTOH Biaya total produksi x unit barang diberikan dengan C(x)
2
x 3 5x 2 50x 10.Tentukan biaya Marjinalny a.
5 Apakah biaya Marjinalny a naik atau turunseiring dengan penambahan produksi barangnya?
Jawabannya Biaya Marjinal M(x) c' (x) 2
.3x2 5.2x 50 Jadi M(x)
5 6
5 6
x2 10 x 50 x2 10 x 50 . Kemudian untuk menentukan
5 bahwa biaya marjinal naik atau turun seiring dengan penambahan barang yaitu apakah M' (x) 0; M' (x) 0, untuk x 0 : ternyata M(x)
6 5
x2 10 x 50 .
M' (x) 2.
6
5 12
x 10 x 10 Karena x 0 maka M' (x) akan selalu lebih besar dari 0
5 sehingga Biaya Marjinal akan naik seiring dengan penambahan produksi barang.
CONTOH 2 Tentukan interval agar fungsi f(x) x 3
f(x) x3
3 2
3 2
x2 naik atau turun.
x2 f ' (x) 3x 2 3 x
3x(x- 1) x 0 atau x 1 Gambar garis bilangan dan selidiki nilai f ' (x)di titik x -1, x f ' (-1) 3(-1)2 3(1 ) 6 0 (Positif) 1
1
1
3
6
3
f ' ( ) 3( ) 3( ) - 0 (Negatif) 2 2 2 4 4 4 2
f ' (2) 3(2)2 3(2 ) 12 6 6 0 (Positif) - - -
+ + + 0
Jadi f(x) x 3
3
+ + + 1
x2 naik pada interval x 0 dan x 1 dan
2 Turun pada interval 0
1
1 2
, dan x 2
AKTIVITAS SISWA 1.
Tentukan interval agar fungsi - fungsi berikut naik atau turun 2
a).
f(x) x 3x 3
2
c).
f(x)
x
x 4 2
2
b). 2.
f(x) x x 1 2
d).
f(x)
1- x
(1 x )
2 2
Misalkan biaya produksi dari x unit barang dinyatakan dengan C(x) 4x x3 2x 2 . Kapankah biaya marjinalny a merupakan fungsi naik?.
Jawaban f(x) x 3x f' (x) 3x 6x 3
2
2
Syarat fungsi naik f' (x) 0 3x 6x 0 2
3x(x- 2) 0 x 0 atau x 2 selidika nilai f' (x)di x -1, x 1 dan x 3 f' (-1) f' (1) f' (3)
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN PERTAMA
Syaratnya : 1.
Bentuk Dasar (Linear atau kuadrat)
2.
Titik potong dengan sumbu - sumbu koordinat
3.
Interval definisi fungsi
4.
Interval fungsi naik atau turun
5.
Titik Stasioner.
CONTOH a.
Carilah titik stasioner untuk fungsi y x3 6x 2 15x 2
b.
Tentukan Jenis dari titik titik stasioner yang diperoleh dari a
c.
Buatlah sketsa grafiknya.
JAWAB: a.
y x3 6x 2 15x 2 y' 3x 2 12 x 15 . Syarat titik stasioner y' 0 3x 12 x 15 . 0 2
3(x 5)(x- 1) 0 (x 5)(x- 1) 0 x 5 atau x 1 Jik a x -5 maka y (-5)3 6.(-5)2 - 15.(-5) - 2 y 98 Jik a x 1 maka y (1)3 6.(1)2 - 15.(1)- 2 y -10 Jad i titik - titik stasionern ya adalah (-5,98) dan(1,-10)
b. LANJUTAN Untuk menentukan jenis titik stasioner, maka kita pakai titik uji disebelah kiri dan kanan titik stasioner. Misalnya kita pilih x -6, x 0, dan x 2 sebagai sampel masukan kedalam fungsi turunan. x -6 maka y' 21 0 x 0 maka y' -15 dan x 2 maka y' 21 0 masukkan hasilnya dalam tabel turunan.
TABEL TURUNAN X
-6
-5
0
1
2
Y’
+
0
-
0
+
Kemiringan
/
-
\
-
/
Dengan demikian (-5,98) adalah titik balik maksimum dan (1,-10) adalah titik balik minimum.
c. LANJUTAN 3 2 Untuk mengsketsa grafik fungsi y x 6x - 15x - 2
dibutuhkan beberapa titik lagi 1.
Titik potong dengan sumbu x maka y 0 3 2 x 6x - 15x - 2 0
(x - 2)(x2 8x 1) 0 x 2 atau x 8x 1 0 2
x 2 atau x -4 15 (Pakai rumus ABC) x 2, atau x -0,127, atau x - 7,873 Jadi titik potong dengan sumbu x, adalah (2,0),(-0,127,0) dan (-7,873,0)
C
LANJUTAN
Titik potong dengan sumbu y maka x=0 Y=-2 Jadi titik potong dengan sumbu y adalah
(0,-2) Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa: Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turun Pada interval selang (-5,1)
LANJUTAN SKETSA GRAFIK (-5,98) Y
y x3 6x 2 - 15x - 2 (-7,873,0)
(-0,127,0)
(2,0)
(0,-2)
(1,-10)
X
AKTIVITAS SISWA Misalkan y x - x - x 4 3
2
a.
Tentukan y' dan faktorkan bentuk kuadrat yang di dapat.
b.
Tentukan nilai x yang memenuhi y' (x) 0 dan nilai y yang bersesuaia n.
c.
Klasifikas ikan jenis nilai stasioner sebagai maksimum, minimum, atau titik belok dengan menggunaka n tabel turunan.
d.
Gambar grafiknya dengan bantuan beberapa titik lain.
SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN KEDUA CONTOH :
a.
Tentukan dan klasifikas ikan semua titik stasioner pada grafik y x x 4
b.
3
Buatlah sketsa grafik y x x dengan 4
3
memanfaatk an informasi dari a
TURUNAN/ DIFERENSIAL
DEFINISI TURUNAN Turunan dari y f(x) terhadap x didefinisi kan dengan : f(x h) - f(x) lim y f (x) h0 dx h dy
1
1
RUMUS-RUMUS TURUNAN
Turunan pertama dari f(x) 4x 2 3x adalah... A. (2 x - 4) (2x 8) D. (4x - 3) (4x 2 3x)2 3 2 B. (2 - 4x) (2x 3) 3 C. (4x - 3) (4x 2 - 3x)3 2
1 E. (4x 3) (4x 2 - 3x) 2
2
RUMUS-RUMUS TURUNAN
1 1 1 4. f(x) U.V maka f (x) U .V U.V U 5. f(x) V
1 1 U V - U.V 1 maka f (x) 2 V
Soal ke-1 2
1
Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adalah ….
A. 3x B. 6x
C. 9x
2
D. 10x
E. 12x 2
2
Pembahasan
f(x) 1
2
= 3x + 4
f (x) = 6x
Jawaban soal ke-1 2
1
Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adalah ….
A. 3x B. 6x
C. 9x
2
D. 10x
E. 12x 2
2
Soal ke-2 Nilai turunan pertama dari: 2
2
f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah … 2
A. x – 8x + 5 2
B. 2x – 24x – 2 2
C. 2x + 24x – 1
2
D. 6x + 24x + 8 2
E. 6x + 24x – 8
Pembahasan
f(x) 1
3
3
= 2x + 12x – 8x + 4 2
f (x) = 6x + 24x – 8
Jawaban soal ke-2 Nilai turunan pertama dari: 2
2
f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah … 2
A. x – 8x + 5 2
B. 2x – 24x – 2 2
C. 2x + 24x – 1
2
D. 6x + 24x + 8 2
E. 6x + 24x – 8
Soal ke-3 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah …
A. 24x + 5
D. 12x – 5
B. 24x – 5
E. 12x – 10
C. 12x + 5
Pembahasan f(x) 1
= (3x-2)(4x+1) 2
f (x) = 12x + 3x – 8x – 2 f(x) 1
2
= 12x – 5x – 2
f (x) = 24x – 5
Jawaban soal ke-3 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah …
A. 24x + 5
D. 12x – 5
B. 24x – 5
E. 12x – 10
C. 12x + 5
Soal ke- 4 2 6 -1 Nilai f (x) dari f(x) x 2x adalah... 3 1
5
A. 2x 2x
5
-1
5
-2
D. 4x 2x
5
B. 2x 2x
-1
5
-1
C. 4x 2x
E. 4x 2x
Pembahasan 2 6 1 f(x) x 2x 3 2 6 -1 1 2 (-1).x - 1 - 1 f (x) 6. x 3
2 1 5 f (x) 4x - 2x
Jawaban Soal ke- 4 2 6 -1 Nilai f (x) dari f(x) x 2x adalah... 3 1
A. 2x 5 2x
D. 4x 5 2x - 1
5
B. 2x 2x
-1
5
-1
C. 4x 2x
5
E. 4x 2x
-2
Soal ke- 5 6
Turunan ke - 1 dari y x 3 adalah ... A. 3 x B. 3x
2
C. 3 x 2 2
D. 3x 3
E. 3 x 1
Pembahasan 6
y x 3 yx
6
2
3
3
yx 3 1
y 3x
2
Jawaban Soal ke- 5 6
Turunan ke - 1 dari y x 3 adalah ... A. 3 x B. 3x
2
C. 3 x 2 2
D. 3x 3
E. 3 x 1
Soal ke- 6 3
1
Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah … 2
D. 24x – 12x + 6
2
E. 24x – 24x + 6
A. 12x – 3x + 12 B. 12x – 6x – 3 2
C. 12x – 6x + 3
2
2
Pembahasan f(x)
3
= (2x – 1)
1
2
1
2
f (x) = 3(2x – 1) (2) f (x) = 6(2x – 1) 1
f (x) = 6(2x – 1)(2x – 1) 1
2
f (x) = 6(4x – 4x+1) 1
2
f (x) = 24x – 24x + 6
Jawaban Soal ke- 6 3
1
Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah … 2
D. 24x – 12x + 6
2
E. 24x – 24x + 6
A. 12x – 3x + 12 B. 12x – 6x – 3 2
C. 12x – 6x + 3
2
2
Soal ke- 7 2
2
Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) adalah … 3
A. 20x – 20x 3
B. 100x – 10x 3
C. 100x – 20x
4
2
D. 5x – 10x + 1 4
2
E. 25x – 10x + 1
Pembahasan f(x) 1
2
3
= (5x – 1) 2
f (x) = 2(5x – 1) (10x) 1
2
f (x) = 20x (5x – 1) 1
3
f (x) = 100x – 20x
Jawaban Soal ke- 7 2
2
Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1) adalah … 3
A. 20x – 20x 3
B. 100x – 10x 3
C. 100x – 20x
4
2
D. 5x – 10x + 1 4
2
E. 25x – 10x + 1
Soal ke- 8 Turunan pertama dari f(x) 4x2 3x adalah... 3 2 A. ( x-4) (2x 8) D. (4x - ) (4x2 3x)2 3 2 B. (2-4x) (2x 3) 3 3 C. (4x - ) (4x2 - 3x)3 2
1 3 E. (4x ) (4x2 - 3x) 2 -
2
Pembahasan f(x)
4x 2 3x
1 f(x) (4x 2 3x) 2 1 1 f 1 (x) (4x 2 3x) 2 (8x 3) 2 1 3 f 1 (x) (4x )(4x 2 3x) 2 2
Jawaban Soal ke- 8 Turunan pertama dari f(x) 4x2 3x adalah... 2 A. ( x - 4) (2x 8) 3 2 B. ( - 4x) (2x 3) 3 3 C. (4x - ) (4x 2 - 3x)3 2
3 D. (4x - ) (4x 2 3x)2 2 1 3 2 E. (4x ) (4x - 3x) 2
2
Soal ke- 9 Turunan pertama dari 2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2) adalah … 2
A. 3x – 12
D. 9x – 12
2
2
B. 6x – 12 2
C. 6x + 12
2
E. 9x + 12
Pembahasan f(x)
2
= (3x – 6x) (x + 2)
Cara 1: 2
Misal : U
= 3x – 6x 1
U = 6x – 6
V =x+2 1
V =1
Pembahasan Sehingga: 1
2
f (x) = (6x – 6)(x+2)+(3x +6x).1 1
2
1
2
2
f (x) = 6x +12x – 6x – 12+3x – 6x f (x) = 9x – 12
Pembahasan f(x)
2
= (3x – 6x) (x + 2)
Cara 2: 1
-3
1
2
1
2
2
3
f (x) = 3x +6x – 6x – 12x f (x) = 9x +12x –12x – 12 f (x) = 9x – 12
Jawaban Soal ke- 9 Turunan pertama dari 2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2) adalah … 2
A. 3x – 12
D. 9x – 12
2
2
B. 6x – 12 2
C. 6x + 12
2
E. 9x + 12
Soal ke- 10 (3x 2) Turunan pertama dari f(x) adalah ... 4x - 1 2
A. 16x - 8x 1 2
B. 16x 8x 1 2
C. 24x - 8x - 1
2
D. 24x - 8x - 1 E.
- 11 16x 2 - 8x 1
Pembahasan 3x 2 f(x) 4x - 1 Misal : U 3x 2 U1 3 V 4x - 1 V1 4
Pembahasan Maka : 1
f (x) 1
f (x)
1
1
U V - UV V
2
3(4x 1) (3x 2)4 (4x 1)
2
Pembahasan 1
f (x) 1
f (x)
12x 3 12x 8 2
16x 8x 1
11 2
16x 8x 1
Jawaban Soal ke- 10 (3x 2) Turunan pertama dari f(x) adalah ... 4x - 1 2
A. 16x - 8x 1 2
B. 16x 8x 1 2
C. 24x - 8x - 1
2
D. 24x - 8x - 1 E.
- 11 16x 2 - 8x 1
Soal ke- 11 Diketahui f(x) 3x 2 - 4x 6 1 Jika f (x) 4. Nilai yang mungkin adalah ... 5 A. 3 4 B. 3
C. 1 2 D. 3
1 E. 3
Pembahasan f(x)
2
= 3x – 4x + 6
1
f (x) = 6x – 4
1
Jika f (x) =
4
Pembahasan Maka : 4 6x 4 4 4 6x 8 6x 6x 8 8 x 6 4 x 3
Jawaban Soal ke- 11 2 Diketahui f(x) 3x - 4x 6 Jika f 1(x) 4. Nilai yang mungkin adalah ... 5 A. 3 4 B. 3
C. 1 2 D. 3
1 E. 3
Soal ke- 12 2
1
Diketahui f(x) = 5x +3x+7. Nilai f (-2) Adalah ….
A. -29
D. -7
B. -27
E. 7
C. -17
Pembahasan f(x) 1
f (x)
2
= 5x – 3x + 7 = 10x – 3 1
Maka untuk f (-2) adalah… 1
f (-2) = 10(-2)+3 1
f (-2) = -20+3 1
f (-2) = -17
Jawaban Soal ke- 12 2
1
Diketahui f(x) = 5x +3x+7. Nilai f (-2) Adalah ….
A. -29
D. -7
B. -27
E. 7
C. -17
Soal ke- 13 3
2
Diketahui f(x) 2x - 4x 5x 16 1 1 Nilai f adalah ... 2 A. - 6
C. 0
B. - 3
D. 3
E. 6
Pembahasan 3
2
f(x) 2x - 6x 5x - 16 "
2
f (x) 6x - 12x 5 "
f (x) 12x - 12 " 1
Maka untuk f adalah ... 2
Pembahasan " 1
1 f 12 - 12 2 2 " 1 f 6 - 12 2 " 1 f - 6 2
Jawaban Soal ke- 13 3
2
Diketahui f(x) 2x - 4x 5x 16 1 1 Nilai f adalah ... 2 A. - 6
C. 0
B. - 3
D. 3
E. 6
Soal ke- 14 6 1 2 Turunan pertama dari f(x) 3x 4x adalah... 2
1 2 5 A. f (x) (18x - 12) (3x - 1) 1 2 5 B. f (x) (18x - 2) (3x 2) 1 2 3 C. f (x) (18x - 12) (3x - 4x) 1 2 3 D. f (x) (18x - 12) (3x - 4x) 1 2 3 E. f (x) (18x - 12) (2x - 4x)
Pembahasan 1 2 6 f(x) (3x 4x) 2 1 1 2 6 1 f (x) 6. (3x 4x) (6x 4) 2 1 2 5 f (x) 3(3x 4x) (6x 4) 1 2 5 f (x) (18x 12)(3x 4x)
Jawaban Soal ke- 14 6 1 2 Turunan pertama dari f(x) 3x 4x adalah... 2
1 2 5 A. f (x) (18x - 12)(3x - 1) 1 2 5 B. f (x) (18x - 2)(3x 2) 1 2 5 C. f (x) (18x - 12)(3x - 4x) 1 2 5 D. f (x) (18x - 12)(3x - 4x) 1 2 5 E. f (x) (18x - 12)(2x - 4x)
Soal ke- 15 1 1
2
Diketahui f(x) 6x 3x 1 untuk f ( ) 2 maka nilai x yang mungkin adalah... 1 A. 3
C. 1
2 B. 3
4 D. 3
5 E. 3
Pembahasan f(x) 6x 2 3x 1 1
f (x) 12x - 3 1 untuk f (x) 2 maka : 1 12x - 3 2 x2 1
Pembahasan 2
24x
26
24x
8
24x
x x
24x 8 8
24 1
3
6
Jawaban Soal ke- 15 1 1
2
Diketahui f(x) 6x 3x 1 untuk f ( ) 2 maka nilai x yang mungkin adalah... 1 A. 3 2 B. 3
C. 1 4 D. 3
5 E. 3
Soal ke- 16
Turunan pertama dari: 4
8
f(x) 2x - 1 adalah... A. 4x 1
C. 8x - 2
B. 8x 2
D. 8x - 4
E. 8x 4
Pembahasan
f(x) (2x - 1) 4
f(x)
8 4 (2x - 1)
f(x) (2x - 1)
2
8
Pembahasan
f (x) 2(2x 1)(2) 1
f (x) 4(2x 1) 1
f (x) 8x 4 1
Jawaban Soal ke- 16
Turunan pertama dari : 4
8
f(x) 2x - 1 adalah... A. 4x 1
C. 8x - 2
B. 8x 2
D. 8x - 4
E. 8x 4
Soal ke- 17 6
Turunan pertama dari y 2x - 1 3
untuk y 2. Maka nilai x yang mungkin 1
adalah... 31 A. 25
C. 0
B. - 1
D. 1
E.
31 25
Pembahasan y (5x 6) 3
y (5x - 6) y (5x - 6)
6
6 3
2
y 2(5x - 6) (5) y 10(5x - 6) 1
Pembahasan Untuk y 2, maka : 1
2 50x - 60 2 60 50x 50x 62 62 x 50 31 x 25
Jawaban Soal ke- 17 6
Turunan pertama dari y 2x - 1 3
untuk y 2. Maka nilai x yang mungkin 1
adalah... 31 A. 25
C. 0
B. - 1
D. 1
E.
31 25
