c cc c MATLAB merupakan suatu program komputer yang bisa membantu memecahkan berbagai masalah matematis yang kerap ditemui dalam bidang teknis. Kemampuan MATLAB dapat dimanfaatkan untuk menemukan solusi dari berbagai masalah numerik secara cepat, mulai hal yang paling dasar, misalkan sistem persamaan dengan dua variable hingga yang kompleks, seperti mencari akar-akar polinom, interpolasi sejumlah data, perhitungan dengan matriks, pengolahan sinyal dan metoda numerik. Salah satu aspek yang sangat berguna dari MATLAB ialah kemampuannya untUk menngambarkan berbagai jenis matriks, sehingga data dan fungsi yang kompleks dapat divisualisasikan. ÷p
ï alam mode penggunaan dasar, Matlab dapat digunakan sebagai fungsi kalkulator. Sebagai contoh: !"# p perator aritmatik dasar yang didukung Matlab ialah:
÷p
Äariabel juga bisa diciptakan untuk menyimpan nilai baik berupa bilangan ataupun teks. Contoh: $ $ %$ $ " memberian nama variabel mengikuti rambu-rambu berikut: 1.p üunakan karakter alfabet (A ± Z, a ± z), angka dan garis bawah ( _ ), sebagai nama variabel. 2.p merlu diingat bahwa Matlab peka terhadap besar kecilnya huruf 3.p Jangan gunakan spasi, titik koma atau operator aritmatik sebagai bagian dari nama
÷p
Selain berisi bilangan, variabel juga berisi teks. alam mendefinisikan teks gunakanlah tanda petik tunggal. & &$
÷p
' i dalam Matlab telah terdapat beberapa variabel yang telah terdefinisi sehingga bisa langsung dipergunakan tanpa perlu mendeklarasikannya lagi. Äariabel tersebut adalah:
÷p
Ë Berbagai fungsi matematika yang umum dipergunakan telah terdefinisi di Matlab, meliputi fungsi eksponensial, logaritma, trigonometri, pembulatan, dan lain-lain
÷p
^^ a=pi/2,b=100,c=-0.5,d=13,e=4 ^^ sqrt(10*b), exp(c), exp(b) ^^ log(exp(c)), log10(b), log2(b+24) Ôitunglah rata-rata dari data berikut menggunakan Matlab 13 18 19 20 21 33 44 55 66 32
÷p
c cc c cï cï ÷p
÷p
Mendefinisikan kan matriks Cara 1: ( %) % Cara 2: ( $$%) % Cara 1 dan 2 menghasilkan matriks yang sama (menekan enter untuk membuat baris baru ataupun menggunakan titik-koma). Mendefinisikan matriks juga bisa dilakukan per elemen, contoh: (cara 3) * ! $ *!$ * ! $ *! · dan dapat digunakan mengetahui ukuran atau dimensi dari matriks yang ada. Contoh: ( )$ ! ! Menunjukkan panjang vektor1 ialah 3 elemen dan ukuran matriks 1 ialah 3 baris dan 3 kolom. Sementara itu dapat digunakan untuk menghitung jumlah elemen dari suatu matriks + !! +
÷p
Matlab juga menyediakan berbagai command untuk membuat dan memanipulasi matriks secara efisien. iantaranya ialah command untuk membuat matrik-matrik khusus, yaitu
Contoh: *! *! (,! !) - - % * ! ÷p
eret bilangan merupakan hal yang kerap ditemui dalam pengolahan data, terutama berkaitan dengan plot data dan proses iterasi (perhitungan berulang-ulang). Misalkan terdapat data mengenai tegangan suatu baterai pada setiap menit selama 1 jam. alam menyajikan data waktu dapat dibuat sebagai berikut: ^^ time=[1, 2 , 3, 4,...,60]
Akan lebih efisien jika dituliskan dengan menggunakan operator titik 2. Formulanya adalah:
Sehingga dituliskan . /. . $ , $0. $ . 0.$ i dalam Matlab pembuatan deret juga bisa dilakukan dengan command berikut:
Contoh: * * ! ** ! ÷p
merkalian matriks, misalkan C = AB terdefinisi jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris di B. Selain itu, perkalian juga dilakukan antara matriks dengan skalar. Contoh:
( $)$ ($)$ - - mersamaan linier beberapa variabel sering diselesaikan menggunakan matriks , contoh: ù1 ± 2ù2 = 32 12ù + 5ù2 = 7 alam bentuk matrisk dituliskan: 6
6 6 AX=B X=A-1 B
alam Matlab dapat dituliskan: ( $ )$( $)$ 1! 1 0 0
Sehingga dapatkan solusi ù1 = 6 dan ù2=-13 Contoh berikut: ù +2 + 3 = 2 4ù+5+6=-5.5 7ù+8-9=-49 engan Matlab ( $$% )$ ($ 0$ )$ / ! / 0 0 0
1.p merhatikan SmL berikut: ù+ + + = 2 2ù + 3 2- = 5 3ù- 2++ 3 = 4 5ù + 2 +3 ± 2= - 4 Tentukan solusi dari SmL diatas!
1 0 2 2.p Tentukanlah matriks yang merupakan invers dari matrik ? 2 1 3ß ß 1 1 4ß
c cc c cï alam vektor ataupun matriks, indeks digunakan untuk menunjuk satu/beberapa elemen dari vektor/matriks. Indeks dituliskan didalam tanda kurung ( ) dengan pola umum sebagai berikut:
alam suatu vektor, elemen pertama diberi indeks = 1, sementara dalam matriks, indeks menunjukkan nomor baris dan nomor kolom dari elemen yang ingin ditunjuk. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut: ( )$
($%$$$)$
/( $$%)$
/ * !
!
( / * ! /* ! / * !)
!
% perator ± Titik dua ( : ) bisa digunakan untuk mengambil beberapa baris dan kolom sekaligus dari suatu matriks. alam hal ini tanda titik dua berarti ³sampai dengan´. Misalkan untuk mengambil elemen ke-1 sampai ke-3 vektor_ini . ! an mengambil elemen ke-3 sampai ke-5 dari vektor itu .! Kemudian mengambil elemen baris ke-1 sampai ke-2, kolom ke-2 sampai ke-3 / .*. !
perator bisa juga berarti seluruhnya, misalkan: .!
/ *.!
/.*!
/.*.!
%
% engan menggunakan indeks, nilai elemen matriks yang telah ada bisa diubah ! .! / *.! * ! /
cï i daam Matlab, operasi matematik juga bisa dilakukan elemen-per-elemen. alam hal ini matriks atau vektor yang terlibat harus berukuran sama. perasi yang bisa dilakukan ialah perkalian/pembagian, penjumlahan/pengurangan, serta pangkat. perator yang digunakan diawali dengan tanda ³titik´ (kecuali pengurangan/penjumlahan), yaitu;
Misalkan: ( * $ )$($)$
0#
%
0#
0
%
( )$ ()$
0"
( )&$( )&$
0 0
0
0
02
0
0 0
0'
0#
0
333
/ 0
Ë 4 Semua fungsi matematik yang berlaku pada skalar berlaku pula untuk matriks/vektor secara elemen per elemen.
Contoh Sederhana Ü ! imana x bernilai antara -100 hingga +100. Setelah itu tampilkan nilai hanya pada rentang x=-2 hingga x=2 saja 0$ / .. $ ,/0#!$ + /! + + "! / / . ! / 0 0 0 00 0 00 , , . ! , 0 % 0% 0 % ' 0 % 0% 0 % ,/0# !$ , , . ! , 0 % 0% 0 0 % 0 0 % 00% 0 % Latihan 3 Carilah solusi dari persamaan lingkaran berikut: f Untuk -5x5 dengan inkremen sebesar 0.05. Setelah itu tampilkan nilai y pada rentang x=0 hingga x=1 saja
c cc c % 4Ëï Salah satu keunggulan MATLAB adalah kemampuannya dalam menampilkan/mengolah grafik dan suara dengan command yang sederhana dan fleksibel. mada bagian ini akan dipelajari mengenai visualisasi data (plot grafik 2 dimensi dan 3 dimensi), serta penyuaraan. 0p Untuk memvisualisasi data secara 2 dimensi ataupun 3 dimensi, digunakan berbagai command plotting; dimana command yang paling dasar adalah *contoh: ^^ x=1:8; y=[20 22 25 30 28 25 24 22]; ^^ plot(x,y) Akan muncul window berupa figure hasil plotting
Setiap gambar di figure window, bisa di print melalui menu Ë - !* atau disimpan sebagai file FIü dengan Ë -!* ataupun diekspor sebagai file Jmü, EMF, BMm, dsb dengan Ë / 0 Untuk menambahkan judul, label, dan grid ke dalam hasil plot, digunakan command berikut:
Contoh berikutnya adalah memplot kurva y = x3 pada rentang x=-3 hingga x=+3 ^^ x=-3:0.1:3; ^^ y=x.^3; ^^ plot(x,y) ^^ xlabel('sumbu X'), ylabel('sumbu Y') ^^ title('kurva Y=x^3') ^^ grid on
Ketika menggunakan command , gambar sebelumnya di figure window akan terhapus. Untuk memplot beberapa fungsi dalam satu figure sekaligus dapat digunakan command
Contoh ^^ x=linspace(0,5,500); ^^ y1=exp(-x);plot(x,y1); ^^ grid on ^^ hold on ^^ y2=exp(-0.5*x);plot(x,y2); ^^ y3=exp(-0.25*x);plot(x,y3); ^^ y4=exp(-0.1*x); plot(x,y4); ^^ xlabel('sumbu -x'),ylabel('sumbu-y') ^^ title('perbandingan fungsi eksponensial... negatif')
0p 5 Terkadang diperlukan untuk memplot beberapa fungsi dalam figure window yang terpisah, atau membagi window menjadi sejumlah area plot, ataupun mengatur properti dari plot yang akan digambar. Beberapa command di bawah ini bisa digunakan untuk tujuan tersebut.
Misalkan figure window dibagi menjadi 2-baris x 2-kolom dengan subplot. merhatikan urutan nomor area dari kiri-atas ke kanan bawah
Contoh: ^^ figure ^^ t=0:0.05:10; ^^ sinus=sin(2*pi*0.25*t); ^^ cosinus=cos(2*pi*0.25*t); ^^ kotak=square(2*pi*0.25*t); ^^ gigi=sawtooth(2*pi*0.25*t); ^^ subplot(2,2,1); ^^ plot(t,sinus),title('sinus1/4 Ôz') ^^ subplot(2,2,2); ^^ plot(t,cosinus), title('cosinus 1/4 Ôz') ^^ subplot(2,2,3); ^^ plot(t,kotak),title('kotak 1/4 Ôz') ^^ subplot(2,2,4); ^^ plot(t,gigi),tittle('gigi gergaji 1/4 Ôz') ^^ plot(t,gigi),title('gigi gergaji 1/4 Ôz')
0p mada bagian ini akan dibahas tiga macam plot 3dimensi: plot garis, plot permukaan (surface), dan plot kontur 0p mlot garis dalam ruang 3 dimensi mirip dengan plot 2 dimensi, namun kali ini akan digunakan command plot(...), dan dibutuhkan vektor z, untuk dimensi ketiga. Contoh: ^^ x=[10 20 20 10 10]; ^^ y=[5 5 15 15 5]; ^^ z=[0 0 70 70 0]; ^^ plot3(x,y,z);grid on; ^^ xlabel('sumbu x');ylabel('sumbu y');zlabel('sumbu z'); ^^ title('contoh plot 3-'); ^^ axis([0 25 0 20 0 80])
0p Sementara itu, untuk plot permukaan (surface) dalam ruang 3 dimensi digunakan command mesh atau surf. Contoh berikut ini menggambarkan fungsi dua variabel z=x2 + y2 Caranya ialah: 1.p efinisikan batas-batas nilai x dan y yang akan di plot 2.p üunakan command meshgrid untuk mengisi bidang XY dengan jalinan titik 3.p Ôitunglah fungsi 3 dimensi untuk jalinan titik tersebut 4.p Buatlah plot dengan command mesh atau surf ^^ clear ^^ batas_x=-10:1:10; batas_y=-10:4:10; ^^ [x,y]=meshgrid(batas_x,batas_y); ^^ z=x.^2+y.^2; ^^ mesh(x,y,z);
Contoh lainnya: memplot fungsi Ù ^^ x=linspace(-10,10,40); y=x; ^^ [x,y]=meshgrid9x,y0; ^^ [x,y]=meshgrid(x,y); ^^ r=sqrt(x.^2+y.^2); ^^ z=sin(r)./(r+eps); ^^ surf(x,y,z);
, dimana f
0p Fungsi dua variabel, misalkan z=f(x,y) bisa digambarkan konturnya dalam dua dimensi dengan command berikut:
Contoh: fungsi sin(r)/r di atas lalu bandingkan dengan plot permukaannya: ^^ figure;contour(x,y,z); ^^ figure;meshc(x,y,z);
Ë 4c mada bab-bab terdahulu, telah dipelajari berinteraksi dengan MATLAB menggunakan command window. eretan command window tersebut dapat disimpan dalam bentuk skrips teks dan dapat digunakan kapanpun dibutuhkan atau dijalankan/dieksekusi secara otomatis dengan cara mengetikkan nama M-File yang bersangkutan di command Window 0p Ë Untuk menuliskan skrip M-File, bisa dimulai dengan membuka file baru. Caranya ialah melalui menu di main window: Ë atau Ë6 '; atau dengan mengklik ikon yang ada di jendela utama.
engan editor ini, kita bisa membuka sejumlah M-file, melakukan editing, ataupun mencoba menjalankan dan melakukan debugging (mencari kesalahan dalam skrip). Sementara itu untuk menyimpan M-File bisa dilakukan dengan menu Ë atau
0p Ë mada bagian ini M-file akan digunakan untuk menjalankan sederet command yang telah dituliskan sebgai skrip, contoh: program menghitung rata-rata dari lima bilangan, file ini dinamakan 0
Kemudian dieksekusi di workspace dengan cara memanggil nama file tersebut: ^^ clear ^^ rata_rata hasil = 150 Contoh lainnya:
Lalu simpan dengan nama segi3.m Sekarang panggi M-file tersebut ^^ segi3 sisi_C = 5 Luas = 6 Keliling = 12
0p Ë ' Sebagai skrip program, untuk mengubah/mengatur parameter masukan program dilakukan dalam editor. Seringkali kita menjalankan satu program/algoritma berulangkali dengan nilai masukan yang berbeda-beda, misalkan dalam proses iterasi atau optimasi. Untuk keperluan ini M-file bisa digunakan sebagai fungsi spesifik sesuai dengan kebutuhan alam setiap fungsi terdapat 3 unsur: 1.p marameter masukan: dalam hal ini disebut sebagai argumen input. Jumlah parameter masukan bisa sebarang (satu, dua, sepuluh, atau tidak ada argumen input sama sekali). Jenis argumen bisa berupa variabel, bilangan ataupun teks. 2.p mroses di dalam program: beru[a deretan command untuk menjalankan suatu algoritma tertentu 3.p marameter keluaran: atau argument output yang jumlah dan jenisnya sebarang eklarasi fungsi di M-file dilakukan pada baris awal sintaks:
Contoh:
Lalu simpan dengan nama ³segitiga.m´ Sekarang panggil fungsi tersebut ^^ [Ôyp, Area, Circum]=segitiga(12,16) Ôyp = 20 Area = 96 Circum = 48 ari contoh sederhana tersebut terdapat beberapa hal yang perlu diperhatikan: 1.p alam fungsi segitiga terdapat dua argumen input(sisi_a, sisi_b) dan tiga argumen output(sisi_C, Luas, Kll) 2.p Ketika dipanggil di command window, kita bisa menggunakan nama argumen input/output yang berbeda dengan di M-file, namun urutannya tidak berubah. 0p , Adakalanya dibutuhkan interaksi dengan pengguna program untuk memasukkan parameter tertentu di awal/tengah program. alam hal ini bisa dipergunakan cara sederhana dengan commmand . Sementara command digunakan untuk menampilkan teks ke layar. Contoh: ¿ ¿
¿ ¿ ¿ !" " ¿
# $# %# ¿ !
kemudian dijalankan program tersebut: Menghitung Kombinasi -------------------berapa jumlah mahasiswa yang ada?:8 berapa jumlah personel satu team?:5 jumlah kombinasi yang ada= 56 0p - Seperti bahasa program pada umumnya, arah program bisa dikendalikan dengan berbagai cara, berupa percabangan arah program berdasarkan kondisi tertentu, ataupun loop (perhitungan berulang) ketika melakukan iterasi. '000 '0000 000 Ini merupakan statemen untuk percabangan program berdasarkan satu/beberapa kondisi tertentu. Sintaks yang digunakan dalam Matlab meliputi:
Selain itu, dimungkin pula membuat pernyataan if di dalam pernyataan yang lain (disebut nested-if), misalkan;
Contoh: # ! & !'( # ) & #& * !'!& (
setelah dicobakan: ^^ x=[0 0 2 -3.6 0 0 0 3 0 0.6 10 0 0 0]; ^^ y=hit_taknol(x) y= 2.0000 -3.6000 3.0000 0.6000 10.0000 6 000 Sebagai alternatif dari statement if..elseif...else ...end, bisa digunakan statement switch. Sintaksnya adalah:
'000 Statement ini digunakan untuk loop/perhitungan berulang. Sintakas yang digunakan dalam Matlabs ialah:
Adapun sintaks yang digunakan untuk membatasi loop mirip dengan yang dipakai untuk membuat deret. Misalkan untuk menampilkan bilangan kelipatan 3 dari 30 sampai seratus
^^ clear ^^ for k=30:3:100 k end k= 30 k= 33 k= .... k= 99 Sementara untuk nilai inkremen=1, cukup dituliskan nilai awal dan akhir. Misalkan untuk mendaftar bilangan bulat dari -10 hingga 10 dan menyimpannya dalam satu vektor
Atau untuk memplot kurva parabola Â= ù2 # & +,+,-** .*-*-/ # ) . !. %&0/ &,!
6000 Alternatif dari sintaks loop ialah beikut ini:
Misalkan untuk memplot fungsi akar kuadrat = ù1/2 dengan berbagai nilai parameter B
c cc c c a.p Maksimum dan Minimum Nilai maksimum dan minimum diperoloeh dengan command berikut:
Contoh: Berikut adalah data indeks prestasi dari 4 mahasiswa dalam 3 semester
b.p Jumlah dan mroduk Beberapa jenis operasi penjumlahan bisa dilakukan dengan command sum dan cumsum
c.p Statistika Beberapa command untuk analisis data statistik
Sebagai contoh kita gunakan kembali data tinggi badan dan nilai Im mahasiswa seperti sebelumnya
0p Ôistogram dan diagram batang yang kerap digunakan untuk menggambarkan data statistik juga bisa ditampilkan dengan Matlab dengan comand berikut
Mari kita coba gunakan data tinggi badan yang ada. mertama kita plot menjadi histogram dengan 10 interval
c cc c Ë 4 Ë -cc Berbagai fungsi matematis bisa dievaluasi dan dianalisis dengan berbagai yang ada di MATLAB. Salah satu fungsi matematis yang sering digunakan, yaitu polinomial, penanganan dan evaluasinya akan dibahas pula dalam bagian ini. Berikutnya akan disajikan juga analisis fungsi, misalkan mencari nol, maksimum, dan minimum. mada bagian akhir akan dikenalkan ³Function Tool, yaitu sebuah tool analisis fungsi yang ada di MATLAB. c Suatu polinomial, @ ù, berderajat dinyatakan sebagai sebuah vektor baris berukuran +1. Elemen vektor menunjukkan koefisien dari polinomial yang diurutkan dari orde tertinggi ke terendah.
dinyatakan sebagai:
p · berikut digunakan untuk menangani polinomial:
Misalkan kita memiliki dua polinomial sebagai berikut: O(ù) = 2ù3 + 5ùí1 (ù) = 6ù2 í 7 alam MATLAB kedua polinomial ini dinyatakan dengan: ^^ g = [2 0 5 ±1]; ^^ h = [6 0 ±7]; Untuk mengevaluasi polinomial pada x = 10 kita tuliskan: ^^ nilai1 = polyval(g,10), nilai2 = polyval(h,10) nilai1 =
2049 nilai2 = 593 Namun bisa pula /berbentuk vektor: ^^ x=-3:3 x= -3 -2 -1 0 1 2 3 ^^ nilai1 = polyval(g,x), nilai2 = polyval(h,x) nilai1 = -70 -27
-8 -1
6 25 68
nilai2 = 61 31
13
7 13 31
61
Jika kita kalikan kedua polinomial tersebut, akan diperoleh sebuah polinomial baru: ^^ p = conv(g,h) p= 12
0 44 -6 35 -7
yang mewakili: @(ù) = 12ù5 +16ù3 í 6ù2 í 35ù+ 7 Akar-akar dari polinomial O ùdan ùbisa kita hitung:
^^ akar_g = roots(g), akar_h = roots(h) akar_g = -0.0985 + 1.5903i -0.0985 - 1.5903i 0.1969 akar_h = 0 + 1.0801i 0 - 1.0801i
c Ë Turunan pertama dan kedua dari g(x) bisa kita hitung pula: ^^ g1=polyder(g), g2=polyder(g1) g1 = 6
0
5
g2 = 12
0
yang masing-masing mewakili O'(ù) = 6ù2 + 5 dan O''(ù) = 12ù
" Matlab menyediakan perintah yang dapat digunakan untuk mencari nilai maksimum/minimum lokal sebuah fungsi. merintah dasar yang tersedia adalah fmin yang akan memberikan nilai x yang menyebabkan f(x) minimum pada suatu interval tertentu. Contoh: ^^ f=inline('1./(x-3)+x./((x-9).^2+4)-6') f=
Inline function: f(x) = 1./(x-3)+x./((x-9).^2+4)-6 ^^ f(4) ans = -4.8621 ^^ f(0) ans = -6.3333 ^^ x=0:0.3:1.2 x= 0
0.3000 0.6000
0.9000 1.2000
^^ y=f(x) y= -6.3333 -6.3666 -6.4086 -6.4633 -6.5370
Untuk menghitung nilai fungsi bisa juga dengan menggunakan perintah feval. ^^ feval(f,0) % sama dengan f(0) ans = -6.3333 ^^ feval(f,x) % sama dengan f(x) ans = -6.3333 -6.3666 -6.4086 -6.4633 -6.5370
Menggambar kurva y=f(x) ^^ ezplot(f,[-3,10,-10,10]) ^^ x1=0.01:.1:3;x2=3.01:.1:10; ^^ y1=f(x1);y2=f(x2); ^^ plot(x1,y1,x2,y2);axis([0,10,-10,10])
' Mencari nilai x pembuat minimum pada [3.25,6] ^^ xmin=fminbnd(f,3.25,6) xmin = 5.3255 ^^ ymin=f(xmin) ymin = -5.2657 / , Matlab tidak menyediakan perintah xmax. Untuk mencari nilai maksimum, dapat digunakan langkah sebagai berikut (kita gunakan definisi M-file): 1.p efinisikan fungsi minbndf(x)=-f1(x) (pada M-file): function y=minbndf(x) y=-f1(x); 2.p Simpan M-File dengan menggunakan nama minbndf.m 3.p Kemudian kita cari minimum dari fungsi tersebut yang merupakan maksimum dari ù ^^ xmax=fminbnd('minbndf',8,10) xmax = 9.1965 4.p Ôitung nilai f pada nilai x yang didapat untuk mencari ymax ^^ ymax=f1(xmax) ymax = -3.5615
Ë c i dalam MATLAB telah terdapat perangkat (tool) untuk menggambar dan menganalisis fungsi secara praktis yang dikenal dengan ³Function Tool´. Untuk membuka perangkat ini, dari bisa kita ketikkan:
^^ funtool dan akan muncul tiga berikut ini:
Berbagai operasi fungsi bisa kita lakukan dengan mengklik berbagai tombol yang ada di Figure3, misalkan:
c cc c c mada fungsi yang memiliki sejumlah titik terbatas, dimungkinkan untuk menentukan titik-titik perantaranya dengan interpolasi. Cara termudah untuk menghitungnya ialah dengan menggunakan interpolasi linier untuk menghubungkan dua titik yang berdekatan. · menggunakan algoritma khusus untuk interpolasi titik-titik data yang terpisah secara seragam. Untuk ini, kita harus tambahkan tanda asteris µ« di depan nama metoda yang diinginkan, misalkan /*,*//*7 7!.
Contoh 1:p ^^&')1( & )1 ^^!'1-( ! 1- ^^! )&,!,/,% ! + p p p
Contoh 2:
p
^^'*/1-2-)*)/( ^^'33*4**+**1**-**-*1**( ^^ *,)/,)** ^^
) ),,,%
^^
/ ),,,%
^^
1 )5,,
^^# ^^,, %,, ,
), ,,
/, ,
1,
^^ ^^& ,! ^^, ,
, )5 ^^
c 4 Solusi numerik dari integral terbatas bisa dihitung secara efisien di MATLAB. mertama, kita akan pelajari perhitungan integral dengan berbagai metode numerik. Berikutnya, kita kembangkan ke perhitungan integral lipat-2 dan lipat-3. Terdapat sejumlah metode perhitungan integral secara numerik, misalkan: trapezoid, kuadratur, dll.
Contoh: Sebagai contoh, kita hitung integral berikut ini dengan metode numerik:
^^& *,/,-*¿#
6 & ^^!&&01¿ ! ^^ 7&,!¿ 8
*241*
engan â , kita terlebih dahulu harus mendefinisikan fungsi dalam M-file: # ! & !&&01 p
Kita hitung integral tersebut dengan toleransi yang berbeda:p ^^#¿# 9: ^^ )5 ,*,/,***)
) *241*4;*;-24/)+) ^^ /5 ,*,/,*****)
/ *24/4-//-12;241;
Kita bandingkan akurasinya dengan â %: ^^ 15 ,*,/
1 *24/4-1-)+/4-+33 ^^# ¿
# 9 :
Kita bisa menghitung integral terbatas lipat-2 dengan menyelesaikan integralnya satu per satu menggunakan â .
Misalkan kita ingin menghitung integral berikut ini:
mertama, kita buat M-file untuk fungsi ini:
# 7#
&,! 7&&01! p
Kedua, kita hitung integral-integral pada arah untuk ùyang tetap:
^^& *,),-*¿#
& ^^# )-*¿ &
5 #
,*,),'(,'(,&
Sekarang, kita memiliki 50 integral pada arah . Ketiga, kita hitung integral arah ù, misalkan dengan .
^^</7&, </ *-)*-
Cara lain yang lebih praktis untuk menghitung integral lipat-2 ialah menggunakan berikut ini:
Untuk contoh integral di atas: ^^<5 =#
>,*,),*,) < *-)*+
Untuk mendapatkan gambaran dari fungsi tersebut, kita ketikkan: ^^'?,@( &,& ^^A#
?,@ ^^ ?,@,A
Serupa dengan integral lipat-2, integral lipat-3 bisa kita selesaikan setahap demi setahap. Misalkan untuk integral berikut ini kita simpan dalam M-file:
# # &!7&,!,7 5&0/B!0/B70/
Kita akan selesaikan integral tersebut dengan metode yang berbeda dengan sebelumnya, yaitu menggunakan : mertama, kita definisikan batas-batas nilai ù, , dan : ^^& /,/,-*¿#
& ^^!&¿#
! ^^7&¿#
7 ^^ * ^^# ) &) ?& B& B)$/ ?& B)& #) !) @!B!B)$/ @!B)!
# ) 7) A7 B7 B)$/ A7 B)7
B# &!7?,@,A%?%@%A ^^
)//41+3
Cara lain yang lebih praktis ialah menggunakan berikut ini:
Untuk contoh integral di atas, kita hitung dengan toleransi 0,001: ^^< 5 =# &!7>, /,/,/,/,/,/,***) < )//4-;;