TUTOR TUT ORIA IAL L PAR ARA A OBT BTE ENE NER R SE SER RIE IES S DE FOU OURI RIE ER Y GRAFICARLAS EN MATLAB Ejemplo Ejemplo para utilizar utilizar MATLAB MATLAB en donde donde se verifi verifica ca que que las las series series de Fouri Fourier er están bien evaluadas SEÑAL SEÑAL POLAR POLAR DE PULSOS PULSOS RECTAN RECTANGULA GULARES RES
Por su importancia en la transmisión de información en comunicaciones y lo extenso de su aplicación se estudiará esta señal:
fig. 2.13. Señal polar polar En el intervalo 0 < t < 2π la señal g(t) está dada por: g (t )
0 < t < π π < t < 2π
1 = − 1
Representaremos esta señal por la serie trigonométrica de Fourier. Se observa que la señal g(t) es una función impar por lo que an=0 y contiene términos seno. bn =
2
π
∫
T 0
sen nω 0 t −
2
T
2 π
∫ sen nω tdt π
0
T = 2 π ω 0
=
2π T
=1
entonces
bn
=
−
1 nπ
[ cos nπ −1] +
π 2π 2 cos nt 2 cos nt =− + 2π n 2π n 0 π
1 nπ
[ 1− cos nπ ]
4 para n impar impar ........... ........... ... para b n = nπ 0 ........... ........... ..... para para n par par ∞
g(t) =
∑ b sen n =1
n
nω 0 t =
4 π
sen t +
4 4 sen3t + sen5t 3π 5π
La expresión g(t) indica que sumando una señal senoidal de frecuencia:
f 0 =
ω 0
2π
=
4 1 volts de amplitud hertz y de π 2π
más una señal senoidal de frecuencia f =
3 4 Hertz y una amplitud de volts + ... 2π 3π
se obtiene una señal de pulsos rectangulares.
fig 2.15. Componentes armónicos para la señal polar de pulsos rectangulares.
Ahora se graficara el resultado obtenido mediante la serie de Fourier en MATLAB . 1) ABRIR EL PROGRAMA MATLAB 2)Se recomienda utilizar el editor (notepad)de de MATLAB, siguiendo los siguientes pasos, file/new /m-file. B)Una vez escrito el codigo, salvar como (simpre se salva en la carpeta work), y se corre el programa run(f5) o bien dar clik en icono con flecha azul (run), la figura se muestra automáticamente C)Se debe tener la siguiente pantalla con el código escrito
% el primer armónico o frecuencia fundamental de la señal cuadrada en azul t=0:.1:10 y=4*sin(t)/pi; plot(t,y) hold on %el segundo armonico en verde y=(4/pi)*[sin(3*t)/3]; hold on plot(t,y,'g') %el tercer armonico en ++++ y=(4/pi)*[sin(5*t)/5]; hold on plot(t,y,'+') %la resultante en rojo,al sumar las armonicas, de la señal cuadrada. %siga sumando hasta 10 armonicos y observe que la resultante que se aparece mas %a la señal cuadrada y=(4/pi)*[sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5]; plot(t,y,'r')
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Al seguir sumando más armónicos se tenderá a conseguir la señal cuadrada polar original.
SEÑAL TRIANGULAR Encuentre el espectro de frecuencia de la señal diente de sierra, en la figura en el intervalo o< t
fig 2.5 Señal Diente de Sierra. Fn =
1 T
g (t )e T ∫
− jnω o t
dt =
0
1 T A
te T ∫ T
− jnω o t
dt
0
Utilizando la fórmula integral :
∫ xe
α x
dx
=
e α x α 2
( α x − 1)
Tenemos: Fn = ω o i2
=
=
−
Ae − jnω o t
T
T 2 n 2ω o
0
2 ( − jnω o t − 1)
2π π
= −1 − A 4n 2 π 2
e − jn 2π ( − j 2nπ − 1)
−
A
4n 2 π 2
Tenemos también e − jn 2π = cos n 2 π - jsen n2 π = 1 Fn = Fn =
jA
+
A
2nπ 4n 2 π 2
−
A
4n 2π 2
=
jA
2nπ
jA
2π n
Cuando n = 0 el resultado anterior no tiene sentido por lo que calculando Fn de 2.8 cuando n=o. Fo =
= Agrupando ambos resultados:
1 T
∫
T 0
f (t ) dt =
A T 2 T 2
A
2 = 2
1 T
A
T
A t 2
∫ T tdt = T 0
2
T
2 0
∴ Fo = ao
jA F n = A2 n 2
π
P a r n≠ 0
Ui lit z a n d oste e result a d o p a r ax pe r e s a r t)g (en seri e e x p o n eial n c deF o u r i e
P a r a n= 0
Tenemos : g(t) = -
jA
6π
e − j 3ω ot -
jA
-
jA
4π e − j 2 ω ο t 2π e − j ω ο t
Descomponiendo a Fn en su magnitud y fase:
Fn =
A
e j tg
2π n
−1
=
A
Fn
2nπ `
=
an 2
A 2
Fn = |Fn|
+
jA
2π
e jωot
+
jA
4π
e j 2ω ot +.......
e jφ n
− A 2π n 0
tg −1 ( −∞) Fn
+
C
0
= −900 = −
=∞
π
2
+ bn 2
−π φ n = π 2 2
Para n = 1, 2, 3, . . . . Para n = -1, -2, -3, . . . . .
fig 2.6 Espectro de amplitud y espectro de fase para la señal diente de sierra. Mediante la serie trigonométrica de Fourier:
1 T
A
f (t )dt = 2 T ∫
aο =
0
an
=
2
T
∫ T
0
A T
t cos nω ot =
T 2 A cos nω 0 t tsen n ω 0 t = 2 + = T ( nω ) 2 0 nω 0 0 NOTA: cos ax x sen ax = + cos x ax ∫ a a2 2π 2π 2 A cos n T T senn T T 1 = + T − 2 2 2π 2 nω 0 T 2 nω 0 ) ( n T 2 A 1 1 = 2 − =0 T ( nω ) 2 ( nω ) 2 0 0 Expresando g(t) mediante la serie trigonométrica de Fourier.Se deja al lector el cálculo de bn g(t) =
A
2
−
A A A A senω 0 t − sen2ω 0 t − sen3ω 0 t - sen4ω 0 t . . . . . . . π 2π 3π 4π
Cn= an 2
bn ∅n = − tg −1 an
+ bn 2 = bn
− A 2π n π −1 −1 tg tg ( ) = = − ∞ = − 2 0
Después de haber evaluado la serie de Fourier para la señal triangular grafíquela en matlab %SERIE DE FOURIER PARA SEÑAL TRIANGULAR t=0:0.1:15; y=1/2-sin(t)/pi; plot(t,y,'g') hold on y=1/2-sin(2*t)/(2*pi); plot(t,y,'b') hold on y=1/2-sin(3*t)/(3*pi); plot(t,y,'r') hold on y=1/2-sin(4*t)/(4*pi); plot(t,y,'g') hold on y=1/2-sin(t)/pi-sin(2*t)/(2*pi)-sin(3*t)/(3*pi)-sin(4*t)/(4*pi); plot(t,y,'b')
1
0.9 0.8
0.7 0.6
0.5 0.4
0.3 0.2
0.1
0 0
5
10
15
