Tugas 1. Bentuk Bentuk Kelompo Kelompok k dengan dengan anggota anggota 5 – 6 orang orang 2. Pelajari Pelajari bahan bahan kuliah uji hipotes hipotesis is seperti seperti pada lampiran lampiran 3. Tugas mencari mencari soal-soal uji hipotesis hipotesis dari buku lain paling sedikit sedikit 5 (lima) soal, tuliskan buku sumber dan selesaikan soal-soal tersebut (bukan (bukan soal-soal yang sudah diselesaikan) 4. Kumpulkan hasil hasil pekerjaan paling lambat lambat hari kamis kamis pagi (11.00) (11.00) tanggal 17 Desember Desember 2009 5. Terima Terima kasih atas kerjasama kerjasamanya nya
KONSEP DASAR UJI HIPOTESIS
Anda telah mempelajari tentang populasi, sampel berserta sifat-sifat sampel, dalam poko pokok k bahas bahasan an sebel sebelum umny nya. a. Popu Popula lasi si memp mempuny unyai ai kara karakt kter eris isti tik k yang yang dise disebu butt parameter. parameter. Contoh parameter rata-rata rata-rata populasi populasi µ , variansi populasi σ 2. Sampel mempunyai karakteristik yang disebut statistik. Contoh statistik: rata-rata sampel x , variansi sampel S2. Dalam uji hipotesis yang diuji adalah hipotesis untuk parameter. Akan dibicarakan uji hipotesis untuk rata-rata populasinya.
Uji hipotesis dapat merupakan: 1) Hal yang biasanya berlaku, akan diselidiki apakah metode mengajar baru dapat menaikkan kemampuan anak (dalam hal ini diukur dengan IQ). Pada usia yang diselidiki rata-rata IQ populasi adalah 100. Untuk dibuat hipotesis rata-rata IQ populasi 100. 2) Hasil pengamatan statistika eksplorasi, misal dari dua angkatan yang dibandingkan tampak tampak mempuny mempunyai ai kesama kesamaan. an. Dibuat Dibuat angkat angkatan an baru baru yang yang elemen elemen-el -eleme emenny nnyaa adalah elemen angkatan pertama dikurangi, elemen angkatan kedua (dalam urutan yang sama tentu saja). µ adalah rata-rata populasi di mana angkatan baru berasal. Dibuat hipotesis µ =0 yang berarti rata-rata populasi nol atau kedua angkatan berasal dari populasi yang sama.
Harga yang dihipotesiskan disebut hipotesis nol disingkat H0, sedang alternatif, biasa ditulis H1. Misal akan diuji hipotesis bahwa rata-rata populasi, µ adalah nol, ditulis
Metode Statistika
1
Hidayah Ansori
1)
H0 : µ = 0 dengan alternatif H1 : µ ≠ 0 Kejadian lain yang mungkin adalah
2)
H0 : µ ≤ 0 dengan alternatif H1 : µ > 0
3)
H0 : µ ≥ 0 dengan alternatif H1 : µ < 0
Harga yang dihipotesiskan dalam H1 merupakan alternatif (komplemen) dari harga yang dihipotesiskan dalam H0. Perhatikan untuk nomor 2 dan 3 tanda = masuk H0. Penguj Pengujian ian hipote hipotesis sis dilaku dilakukan kan dengan dengan menggu menggunaka nakan n sampel sampel yang yang dipuny dipunyai. ai. Bila Bila sampel berbeda jauh dari hipotesis maka hipotesis ditolak. Bila tidak, maka hipotesis tidak ditolak. Jadi kesimpulan terakhir dari suatu uji hipotesis adalah hipotesis ditolak atau tidak ditolak. Contoh Ingin diketahui apakah metode mengajar baru menaikkan IQ. Untuk itu 100 anak diambil secara random dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata IQ A = 100 dan standard standard deviasi deviasi σ = 14. Pemilihan secara random untuk mendapatkan sampel yang betul-betul betul-betul mewakili mewakili populasiny populasinya. a. Ke-100 anak ini diberi pelajaran pelajaran dengan metode baru, dan selanjutnya diuji untuk mengetahui IQ-nya. Gambar : IQ seluruh anak
Hipotesis dapat dituliskan H0 : µ ≤ 100 IQ rendah
µ = 100 σ = 14
IQ rendah
H1 : µ > 100 (diambil µ > 100 untuk H1 karena ingin diketahui
apakah metode baru menghasilkan IQ lebih tinggi). Distribus Distribusii dari rata-rata rata-rata sampel sampel (untuk semua sampel yang mungkin mempunyai rata-rata x = 100 dan
Sx
=
σ n
=
14 10
= 1,4
(Dianggap n jauh lebih kecil dari N). Distribusi sampel rata-rata ini diberikan dalam gambar 2.
Metode Statistika
2
Hidayah Ansori
Gambar 2: Distribusi rata-rata sampel Dengan metode baru ke-100, anak tersebut mempunyai rata-rata =100 = 14
x
= 107.
RataRata-rata sampel ini berada 7 satuan dari rata sampel rata-rata-populasi atau 5 standart populasi deviasi (5 Sx )
dari rata-rata populasi. Jadi merupakan anggota tidak biasa (atau jauh dari harga yang dihipo dihipotes tesisk iskan) an).. Di muka muka telah telah dikata dikatakan kan bahwa bahwa bila bila sampel sampel jauh jauh dari dari popula populasi, si, hipo hipote tesa sa dito ditola lak. k. Kesi Kesimp mpul ulan an dala dalan n hal hal ini ini H0 dito ditola lak, k, berar berarti ti meto metode de baru baru memberikan IQ lebih tinggi.
Kesalahan dalam Uji hipotesis
Dala Dalam m meng mengam ambi bill kesim kesimpu pula lan n untuk untuk suat suatu u uji uji hipot hipotes esis is mung mungki kin n dila dilakuk kukan an kesalahan. Kesalahan ini ada 2 macam yaitu: 1) Kesala Kesalalah lahan an tipe tipe I: Kesala Kesalahan han dalam dalam menola menolak k hipotes hipotesis is (H0) bila hipotesis benar. 2) Kesala Kesalahan han tipe tipe II: Kesa Kesalah lahan an dalam dalam meneri menerima ma hipote hipotesis sis (H (H0 ) bila hipotesis salah. Kemungkinan pengambilan kesimpulan (keputusan) disajikan dalam tabel Tabel 1: Kemungkinan keputusan pergujian Keadaan sesungguhnya untuk H0
Keputusan untuk H0 Diterima ditolak Keputusan tepat Kesalahan tipe I Kesalahan Tipe II Keputusan tepat
Benar Salah
Kesalahan Kesalahan tipe I lebih serius serius daripada kesalahan tipe II. Hal ini dapat diterangkan diterangkan dengan kemungkinan kemungkinan keputusan keputusan pengadilan pengadilan yang merupakan analogi dari keputusan keputusan pengujian hipotesis. Tabel 2: Kemungkinan Keputusan Pengadilan
Keadaan sesungguhnya
Keputusan untuk H0 Tidak bersalah bersalah Adil Kesalahan tipe I Kesalahan Tipe II Adil
Tidak bersalah Bersalah
Bila keputusan pengadilan dan keadaan sesungguhnya sesuai maka hal ini berarti
Metode Statistika
3
Hidayah Ansori
bahwa proses pengambilan pengambilan keputusan keputusan tepat. tepat. Bila pengadilan memutuskan memutuskan seseorang seseorang bersa bersalah lah,, ada kemungk kemungkina inan n dia sesungg sesungguhny uhnyaa tidak tidak bersal bersalah. ah. Bila Bila pengadi pengadilan lan memutuskan seseorang tidak bersalah, ada kemungkinan dia sesungguhnya bersalah. Jadi tak ada putusan yang bebas dari kesalahan, selalu ada risiko dalam mengambil keputusan. Tampak bahwa lebih berat, bila seseorang diputuskan bersalah bila sesungguhnya tidak bersalah daripada memutuskan seseorang tidak bersalah bila sesungguhnya ia bersalah. Jadi kesalahan tipe I lebih serius daripada kesalahan tipe II. Probabilitas melakukan kesalahan tipe I = α Probabilitas melakukan kesalahan tipe II = β 1 - β adalah kuasa dari uji yaitu kuasa ku asa menolak hipotesis bila hipotesis salah. Karena kesalahan tipe I lebih serius daripada kesalahan tipe II maka dibatasi besarnya sedang α dibuat seminimal mungkin. Dengan kata lain 1 - β dibuat semaksimal mungkin, yang juga berarti bahwa uji hipotesis baik bila kuasanya besar. Hal ini dapat dilakukan dengan memperbesar sampel. Langkah utama dalam pengujian hipotesis adalah: Menentukan hipotesis nol H0. Mentukan hipotesis alternatif H1 H1 bisa dua arah atau satu arah. Menentukan statistik yang akan digunakan Menghitung statistik untuk sampel yang dipunyai Memutuskan apakah menolak atau menerima H0 Uji Hipotesis Rata-rata Populasi (
a. H0 : µ = µ H1 : µ ≠ µ
o
(µ
o
suatu harga yang dihipotesiskan)
o
Bila ingin diketahui apakah µ ≠ µ b. H0 : µ ≤ µ
Metode Statistika
) Satu Angkatan
o
(µ
o
o
suatu harga yang dihipotesiskan)
4
Hidayah Ansori
H1 : µ > µ
o
Bila ingin diketahui apakah µ > µ c. H0 : µ ≥ µ H1 : µ < µ
o
(µ
o
o
suatu harga yang dihipotesiskan)
o
Bila ingin diketahui apakah µ < µ Uji Hipotesis rata-rata populasi (
o
) untuk perbandingan dua angkatan
Dihit Dihitung ung observ observasi asi angkat angkatan an 1 dikura dikurangi ngi observ observasi asi angkata angkatan n 2, yang yang membentuk angkatan baru = angkatan 1 – angkatan 2. Angkatan baru ini merupakan populasi populasi rata-rata rata-rata µ . Jika Jika popula populasi si dari dari mana mana angkata angkatan n 1 diambi diambill sama sama dengan dengan populasi dari mana angkatan 2 diambil, maka µ = 0. Oleh sebab itu hipotesis menjadi: a. H0 : µ = 0 yang berarti populasi 1 = populasi 2 dengan alternatif H1 : µ ≠ 0 yang berarti dua populasi tidak sama b. H0 : µ ≤ 0 H1 : µ > 0 Bila ingin diketahui apakah populasi 1 lebih tinggi dari pada popuilasi 2 c. H0 : µ ≥ 0 H1 : µ < 0 Bila ingin diketahui apakah populasi 1 lebih rendah dari pada populasi 2 Berdasarkan Berdasarkan besarnya sampel (n) dan diketahui diketahui atau tidaknya variansi populasi. populasi. Uji hipotesis untuk mean populasi µ dibagi menjadi 4 yaitu: (1) n besar, variansi populasi σ
2
(2) n besar, variansi populasi σ
2
diketahui tidak diketahui
(3) n kecil, variansi populasi σ
2
diketahui
(4) n kecil, variansi populasi σ
2
tidak diketahui
Sebaiknya, dalam melakukan uji hipotesis kelima langkah di bawah ini dengan urutan yang persis sama.
Metode Statistika
5
Hidayah Ansori
2
(1) n besar
diketahui
Dalam hal-ini dipakai distribusi z (normal standard). Langkah uji hipotesis adalah: Menentukan H0 dan H1 a. H0 : µ = µ H1 : µ ≠ µ
0
b. H0 : µ ≤ µ
0
H1 : µ > µ c. H0 : µ ≥ µ H1 : µ < µ
(untuk µ
0
0
0
= 0 sehingga H0 : µ = 0)
uji hipotesis 2 sisi
uji hipotesis 1 sisi
0 0
1) Menentukan α
yang yang dise disebut but juga juga tingk tingkat at sign signif ifik ikans ansi. i. (Ing (Ingat at α
adalah
probabilitas membuat kesalahan tipe I yaitu menolak H0 bila H0 benar). Mencari Zα untuk uji hipotesis 1 sisi atau
Z
/ α
2
untuk uji hipotesis 2 sisi.
2) Menentukan daerah kritis atau daerah penolakan, artinya bila Zhitung masuk daerah ini H0 ditolak. 3) Untuk hipotesis alternatif: a. daerah kritisnya kritisnya Z >
Z
/ α
b. daerah kritisnya Z > Z
/ α
c. daerah kritisnya kritisnya Z <
Z
/ α
2
atau Z < - Z
/ α
2
2
2
4) Menghitung Z hitung dengan rumus Zhitung =
x−µ
0
σ/
n
di mana:
x = rata-rata sampel µ σ
0
= harga yang dihipotesiskan untuk n = standard deviasi populasi
n = ukuran sampel Selanjutnya supaya lebih singkat Z hitung ditulis dengan Z saja.
Metode Statistika
6
Hidayah Ansori
5) Menarik kesimpulan Bila Z masuk daerah penolakan maka H0 ditolak. Bila Z tidak masuk daerah penolakan maka H0 tidak ditolak. Contoh . 1 Ingin diketahui apakah metode mengajar baru menaikkan IQ anak. Untuk itu diambil sampel sebanyak 100 anak dari populasi normal yang mempunyai rata-rata IQ (µ ) 100 dan σ = 14. Dari sampel didapat rata-rata ( x ) = 107. 1) Langkah-langkah uji hipotesis adalah: H0 : µ ≤ 100 H1 : µ > 100 2) α = 0,05, karena n besar dan σ diketa diketahui hui dipakai dipakai distri distribusi busi Z. Karena Karena uji hipotesis adalah 1 sisi dicari Zα = Z0,05 = 1,645. 3) Daerah penolakan: Z > 1,645 4) Menghitung Zhitung dengan rumus Zhitung =
x−µ
0
σ/
=
n
1 07
−1 00
14/ 10
=5
5) Z = 5 > 1,645 Berarti Z masuk daerah penolakan. Jadi H0 ditolak atau dapat diambil kesimpulan bahwa metode mengajat baru dapat menaikan IQ.
(2) n besar,
2
tidak diketahui
Semua langkah sama dengan nomor (1), hanya σ diganti dengan S yaitu
2
S
di
mana S2 adalah variansi sampel. 1) Langkah-langkah uji hipotesis adalah: a. H0 : µ = µ
0
H1 : µ ≠ µ
0
b. H0 : µ ≤ µ
0
H1 : µ > µ
0
c. H0 : µ ≥ µ
0
H1 : µ < µ
0
2) Dipakai distribusi Z,
Metode Statistika
7
Hidayah Ansori
Menentukan α , Mencari Zα untuk uji hipotesis 1 sisi atau Zα /2 untuk uji hipotesis 2 sisi 3) Menentukan daerah kritis Untuk hipotesis alternatif a. daerah kritisnya Z > Zα /2 atau Z > -Zα /2 b. daerah kritisnya Z > Zα c. daerah kritisnya Z < Zα 4) Menghitung Z hitung derigan rumus Zhitung =
x −µ0 s/
n
5) Menarik kesimpulan Contoh 2 Misal untuk contoh 1, σ tidak diketahui, maka sebagai gantinya dihitung S dari sampel dan telah diketahui S = 20. Langkah 1, 2, 3, sama dengan contoh 1. 4) Z =
x −µ0 s/
n
=
1007
−1 00
20 /
1 00
= 3,5
5) Z = 3,5 > 1,645 Maka H0 ditolak, Jadi kesimpulan sama dengan kesimpulan dalam contoh 1.
(3) n kecil,
2
diketahui
Dipakai distribusi Z, sehingga langkah-langkahnya sama den gan nomor 1, yaitu: 1) Langkah-langkah uji hipotesis adalah: a. H0 : µ = µ
0
H1 : µ ≠ µ
0
b. H0 : µ ≤ µ
0
H1 : µ > µ c. H0 : µ ≥ µ
Metode Statistika
0 0
8
Hidayah Ansori
H1 : µ < µ
0
2) Dipakai distribusi Z, Menentukan α ,
Menc Mencar arii Zα untuk untuk uji uji hipot hipotes esis is 1 sisi sisi atau atau
Zα /2 untuk uji
hipotesis 2 sisi 3) Menentukan daerah kritis Untuk hipotesis alternatif a. daerah kritisnya Z > Zα /2 atau Z < -Zα /2 b. daerah kritisnya Z > Zα c. daerah kritisnya Z < -Zα 4) Menghitung Z hitung dengan rumus Zhitung =
x−µ σ/
n
5) Mengambil kesimpulan Contoh 3 Suatu populasi normal yang mempunyai variansi σ
2
= 4, diambil sampel (n=10)
yang ternyata mempunyai x = 9,5. Dengan α = 0,05 dapat diterima hipotesis bahwa
µ = 10. 1) H0 : µ = 10 dan H1 : µ ≠ 10 2) n kecil, σ diketahui, dipakai distribusi Z. Uji hipotesis 2 sisi : α = 0,05 diperoleh Zα /2 = Z0,025 = 1,96 3) Daerah kritis: Z > 1,96 atau Z < -1,96. 4) Z =
x−µ σ/
n
=
9 ,5
−1 0
2/ 4
= -1
5) Z = -1 → -1,96 < Z < 1,96 Jadi H0 tidak ditolak. (4) n kecil,
2
tak diketahui
Dipakai distribusi t, sehingga dengan derajat n-1, yaitu:
Metode Statistika
9
Hidayah Ansori
1) Langkah-langkah uji hipotesis adalah: H0 : µ = µ
a.
b.
0
H1 : µ ≠ µ
0
H0 : µ ≤ µ
0
H1 : µ > µ
0
H0 : µ ≥ µ
c.
H1 : µ < µ
0 0
2) Dipakai distribusi t dengan derajat bebas n-1. Untuk uji hipotesis satu sisi dicari tα
: n-1
Untuk uji hipotesis dua sisi dicari tα /2 : n-1 3) Menentukan daerah kritis a. t > tα /2; n-1 atau t < - tα /2, n-1 b. t > tα ; n-1 c. t > -tα ; n-1 4) Menghitung Zhitung dengan rumus Zhitung =
x −µ S/
n
5) Mengambil kesimpulan Contoh 4 Contoh 3 tapi σ 1
n −1
(
2
∑x − x)
2
i
tidak diketahui dan dari sampel didapat S = 9. {dengan rumus S2 =
}
1) H0 : µ = 10 H1 : µ ≠ 10 2) n kecil, σ tidak diketahui, dipakai distribusi t. Uji hipotesis 2 sisi : α = 0,05 tα /2 : n-1 = t0,25:12 = 2,131 3) Daerah kritis:
Metode Statistika
10
Hidayah Ansori
t > 2,131 atau t < -2,131. 4) t =
x−µ s/
n
=
9 ,5
−1 0
31 4
= -0,66
5) t = -0,66 → -2,131 < t < 2,131 Jadi H0 tidak ditolak.
Soal-soal Laihan Dari suatu populasi dengan variansi 4, ingin diuji apakah µ = 15. Untuk itu diambil sampel berukuran berukuran 64. Dari sampel didapat rata-rata rata-rata 10. Dapatkah Dapatkah hipotesis hipotesis diterima diterima dengan α = 0,05 Ingin diketahui apakah metode mengajar baru menaikkan IQ anak. Untuk itu diambil sampel sebanyak 100 anak dari populasi normal yang mempunyai rata-rata IQ (µ ) 100 dan S2 = 49. Dari sampel didapat rata-rata ( x ) = 107. bila populasi variansi tak diketahui
Metode Statistika
11
Hidayah Ansori
