Heri Sunaryo
Pengujian hipotesa Langkah-langkah Langkah-langkah atau prosedur yang dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesa mengenai parameter populasi Untuk hipotesa yang telah dibuat, hanya dua kemungkinan yang akan diputuskan, yaitu menolak hipotesa atau menerima hipotesa, setelah kita menghitung statistik dari sampel. Menolak hipotesa artinya menyimpulkan bahwa hipotesa tidak benar Menerima hipotesa artinya tidak cukup informasi dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesa harus ditolak Artinya, walaupun walaupun hipotesa itu diterima, diterima, tidak selalu selalu berarti bahwa hipotesa itu benar.
Pengujian hipotesa Langkah-langkah Langkah-langkah atau prosedur yang dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesa mengenai parameter populasi Untuk hipotesa yang telah dibuat, hanya dua kemungkinan yang akan diputuskan, yaitu menolak hipotesa atau menerima hipotesa, setelah kita menghitung statistik dari sampel. Menolak hipotesa artinya menyimpulkan bahwa hipotesa tidak benar Menerima hipotesa artinya tidak cukup informasi dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesa harus ditolak Artinya, walaupun walaupun hipotesa itu diterima, diterima, tidak selalu selalu berarti bahwa hipotesa itu benar.
Dalam membuat rumusan pengujian hipotesa, hendaknya selalu membuat pernyataan hipotesa yang diharapkan akan diputuskan untuk ditolak. Hipotesa yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut hipote hipotesa sa nol / null hypot hypotesi esis s yang ditulis H0 Penolakan hipotesa nol akan menjurus pada penerimaan hipotesa alternatif atau alternatif atau hipotesa tandingan yang ditulis H1 atau Ha Contoh penentuan hipotesa H0 atau H1 Pengujian hipotesa bahwa suatu jenis obat baru lebih efektif untuk menurunkan berat badan Hipotesa nol H0 : obat baru = obat lama Hipotesa alternatif H1 : obat baru lebih efektif dari efektif dari obat lama
Kesalahan Jenis I dan Kesalahan Jenis II a. Kesalahan Jenis I adalah kesalahan akibat menolak H 0, padahal H0 benar, yang sesungguhnya harus diterima. Probabilitas melakukan kesalahan jenis I disebut taraf nyata atau taraf keberartian atau taraf / tingkat signifikansi atau yang ditulis α , yaitu
α = P(kesalahan jenis I) = P(menolak H0 / H0 benar). b. Kesalahan jenis II adalah kesalahan akibat menerima H0, padahal H0 salah, yang sesungguhnya harus ditolak.
Probabilitas melakukan kesalahan jenis II disebut β yaitu β = P(kesalahan jenis II) = P(menerima H 0/H0 salah).
Sehingga diharapkan nilai α dan β sekecil mungkin, tetapi memperkecil atau membuat α dan β sekecil mungkin secara sekaligus tidaklah mungkin. Karena memperkecil nilai α akan mengakibatkan membesanya nilai β, demikian sebaliknya. Usaha memperkecil nilai α dan β dilakukan dengan memperbesar banyaknya sampel, makin besar sampel, maka nilai α dan β akan semakin kecil Dalam pengujian hipotesa, nilai- nilai α yang biasa dipakai
adalah α = 0,05, α = 0,01, α = 0,02, dan sebagainya Jika digunakan taraf signifikansi α = 0,05, artinya adalah ada keyakinan sebesar 95% bahwa telah dibuat keputusan atau kesimpulan yang benar
Uji Satu Arah Dan Uji Dua Arah Penentuan uji satu arah atau dua arah tergantung dari hipotesa alternatifnya (H1) Uji satu arah / uji eka arah / one tail tes t Daerah Bentuk : penerimaan H0 H0 : θ = θ0 1 – α H1 : θ > θ0 atau H0 : θ = θ0 H1 : θ < θ0
0 Daerah penolakan H0 α
Daerah penolakan H0 α
Zα Daerah penerimaan H0
1 – α
–Zα 0
Nilai yang membatasi daerah penolakan dan daerah penerimaan H0 adalah Zα , disebut nilai kritis / titik kritis / critical point Daerah penolakan H0 seringkali disebut juga daerah kritis .
Uji dua arah / uji dwi arah / two tail test
Bentuk H0 : θ = θ0 H1 : θ ≠ θ0
Daerah penerimaan H0
Daerah penolakan H0 α/2 1 – α –Z α/2 0
Daerah penolakan H0
α/2
Z α/2
Ada dua nilai kritis, –Z α/2 dan Z α/2 Pada uji dua arah ada dua daerah penolakan H0 yang tergantung pada nilai kritis tertentu, yaitu luas daerah di bagian paling kiri dan luas daerah di bagian kanan yang masing-masing besarnya α/2 ( setengah α ),
dimana α telah ditentukan sebelumnya
Langkah-langkah uji hipotesa : a. Tetapkan hipotesa, baik Ho maupun H1
b. Tetapkan taraf nyata α (biasanya sudah ditentukan) c. Tetapkan statistik uji (Z h) untuk menguji hipotesa nol d. Hitung nilai statistik uji (Z h) e. Simpulkan; 1) Menolak HO, bila nilai statistik uji (Z h) terletak di daerah penolakan HO, yaitu bilamana a) nilai Zh > Zα atau Zh < - Zα untuk uji satu arah b) nilai Zh > Zα/2 atau Zh < - Zα/2 untuk uji dua arah. 2) Menerima HO, bila nilai statistik uji Z h jatuh atau terletak di daerah penerimaan H o , yaitu bila a) nilai Zh < - Zα atau Zh > Zα untuk uji satu arah b) nilai - Zα/2 < Zh < Z α/2 untuk uji dua arah.
Pengujian Rata-Rata (µ) Populasi Pengujian hipotesa bahwa rata-rata (µ) suatu populasi sama dengan suatu nilai µo , dengan alternatif bahwa rata-rata populasi tersebut tidak sama dengan µo, yaitu sbb : H0 : μ = μ0 H1 : μ ≠ μ0 Bila simpangan baku (σX) populasi diketahui dan sampelnya sebanyak n, maka statistik uji yang dipakai untuk menguji hipotesa rata-rata populasi tersebut adlh:
Z h
x
x
x
0
dengan x x x
n
.
n N n N 1
,bilamana populasi tak terbatas ,bilamana populasi terbatas (diketahui)
Bila σX dari populasi tak diketahui, maka nilai σ dapat ditaksir / diduga / didekati dengan nilai S X, yang dihitung dari sampel
Untuk taraf nyata α , maka nilai kritis dari statistik uji Z di atas adalah Zα/2 yang diperoleh dari tabel kurva normal standar Z. Daerah penolakan dan dan daerah penerimaan hipotesa nol (Ho), adalah Daerah penerimaan H0 Daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0
1 – α α/2
–Z α/2
α/2
0
Z α/2
Hipotesa nol (Ho) akan ditolak, jika nilai statistik uji Zh > Zα/2 atau Zh < –Zα/2 , Sedangkan hipotesa nol H 0 akan diterima, yaitu bila –Zα/2 < Zh < Zα/2 .
Contoh 1 Suatu populasi berupa seluruh pelat baja yang diproduksi oleh suatu perusahaan memiliki rata-rata panjang 80 cm dengan simpangan baku 7 cm. Sesudah berselang 3 tahun, teknisi perusahaan meragukan hipotesa mengenai rata-rata panjang pelat baja tersebut. Guna meyakinkan keabsahan hipotesa itu, diambil suatu sampel acak sebanyak 100 unit pelat baja dari populasi di atas, dan diperoleh hasil perhitungan bahwa rata-rata panjang pelat baja adalah 83 cm, dan standar deviasinya tetap. Apakah ada alasan untuk meragukan bahwa rata-rata panjang pelat baja yang dihasilkan perusahaan itu sama dengan 80
cm pada taraf signifikansi α = 5%?
Jawab : Populasi dianggap tak terbatas, sebab ukurannya tidak diketahui. Informasi dari populasi adalah rata-rata µo = 80 cm dan simpangan baku σ X = 7 cm. Sampel berukuran besar, yaitu n = 100 dengan rata-rata X =
83 cm. Taraf nyata yang diinginkan adalah α = 5%. Langkah-langkah pengujian hipotesa sebagai berikut : a.
Hipotesa statistik yang diuji adalah uji dua arah, yaitu: HO : µ = 80 : µ ≠ 80 H1
b. Taraf nyata α = 5%. Sehingga nilai kritisnya adalah Z α/2 = Z0,025 = 1,96.
c. Statistik uji yg dipakai untuk menguji hipotesa tersebut adalah:
Z h
x
0
x
Karena populasi tak terbatas, maka
x x
n
d. Menghitung statistik uji : x x
n
7 100
0,7
, maka nilai statistik uji Z h adalah :
Z h
x
0
x
83 80 0,7
4,29
e. Daerah penolakan dan daerah penerimaan H 0 adalah : Daerah penerimaan H0
Kesimpulan, karena nilai statistik uji Z h = 4,29 berada di daerah penolakan hipotesa Ho, yaitu Zh = 4,29 > 1,96, maka hipotesa Ho di tolak. Atau dengan kata lain, rata-rata pelat baja diproduksi perusahaan tersebut tidak lagi = 80.
yang
Contoh 2 :
Misalkan pada contoh diatas ditambah data bahwa teknisi perusahaan telah menemukan metode baru yang dapat memperpanjang pelat baja paling sedikit 2 cm, sedangkan simpangan bakunya tetap. Untuk menguji hipotesa tersebut, diambil sampel acak sebanyak 100 unit pelat baja dari populasi itu, dan diperoleh rata-rata panjang pelat baja = 83
cm. Dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada alasan guna menganggap bahwa hasil pelat baja dengan metode baru tersebut memang lebih panjang dari pada hasil yang diperoleh dengan metode lama?
Jawab: a. Hipotesa statistik menjadi uji satu arah , yaitu Ho : µ = 80 H1 : µ > 80
b. Taraf signifikansi α = 5%, untuk uji satu arah, nilai kritisnya adalah Z α = Z0,05 = 1,645; Sehingga H0 akan ditolak bila Zh > 1,645
c.
Statistik uji yang dipakai tetap
d.
Nilai statistik uji adalah Z h =4,29
e.
Kesimpulan, karena nilai statistik uji Z h = 4,29
berada di daerah penolakan Ho, yaitu Zh = 4,29 > 1,645 = Z 0,05 , maka hipotesa nol Ho : µ = 80 ditolak dan hipotesa alternatif H1 : µ > 80 diterima.
Artinya pada taraf signifikansi α = 5%, terbukti bahwa metode baru itu dapat menghasilkan pelat baja yang lebih panjang
Pengujian Paramater Beda Dua Rata-Rata (µ1 – µ2) dari Dua Populasi Dipunyai dua populasi berdistribusi normal, masing-masing mempunyai rata-rata µ1 dan µ2 dengan simpangan baku σ1 dan σ2. Dari populasi pertama diambil sampel acak berukuran n 1 dan x1 diperoleh rata-rata dgn simpangan baku S1 Dari populasi kedua diambil sampel acak berukuran n2 dan diperoleh rata-rata x2 dgn simpangan baku S2 Maka pengujian hipotesa untuk beda dua rata-rata (µ1 - µ2) dari dua populasi tsb : Uji Dua Arah H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2
Uji Satu Arah H0 : μ1 = μ2 H0 : μ1 = μ2 atau H1 : μ1 > μ2 H1 : μ1 < μ2
Statistik uji yang dipakai
bila kedua populasi tak terbatas, penyebut dihitung dgn
x 1 x 2
2 1
2 2
n1
n2
dan bila terbatas / diketahui :
x 1 x 2
2 1
2 2
n1
n2
.
( N 1
N 2 ) ( n1 n2 ) N 1 N 2 1
Contoh : Asosiasi Real Real Estate sedang sedang menyiapkan menyiapkan brosur yang mereka rasa mungkin menarik bagi calon pembeli rumah di daerah A dan B di suatu kota. Satu hal yang menarik adalah lama waktu si pembeli tinggal dalam rumah yang bersangkutan. Sebuah sampel yang terdiri atas 40 rumah di daerah A memperlihatkan memperlihatkan bahwa rata-rata kepemilikan adalah 7,6 tahun dengan simpangan baku 2,3 tahun. Sedangkan suatu sampel yang terdiri atas 55 rumah di daerah B memperlihatkan memperlihatkan bahwa rata-rata lama waktu kepemilikan kepemilikan adalah 8,1 tahun dengan simpangan baku 2,9 tahun. Pada taraf signifikansi 5%, apakah kita dapat menarik kesimpulan bahwa penduduk di daerah A memiliki rumah mereka dalam waktu lebih singkat dari penduduk di daerah B?
Jawaban : Data yang diperoleh dari sampel di daerah A : n1 = 40, x 1 = 7,6 ; di daerah B : n2 = 55, x 2 = 8,1 ; ( x 1 – x 2 ) = 7,6 - 8,1 = - 0,5
S1= 2,3 S2 = 2,9
Karena σ1 dan σ2 tidak diketahui dari populasi, maka ditaksir dengan S 1 dan S2 sehingga diperoleh: x 1 x 2
2 1
2 2
n1
n2
2,32
2,92
40
55
0,53
Hipotesa yang diuji adalah bahwa penduduk di daerah A waktu kepemilikannya lebih singkat dari pada penduduk daerah B
Ho : µ1 = µ2 a. Hipotesa :
H1 : µ1 < μ2
b.
Nilai kritis untuk uji satu arah dengan α = 5% adalah Z0,05 = – 1,645 (di kiri).
c.
Statistik uji:
Z h
( x 1
x 2 ) ( x 1 x 2
1
2
)
0,5 0 0,53
0,94
d. Kesimpulan: Karena Zh = - 0,94 > -1,645, maka pada α = 5%, hipotesa nol diterima. Artinya, pada taraf signifikansi α = 5%, waktu kepemilikan rumah penduduk di daerah A dan daerah B perbedaannya tidak signifikan. Dengan kata lain, waktu kepemilikan rumah penduduk di daerah A tidak lebih singkat dari pada penduduk daerah B.
Pengujian Parameter Proporsi (p) Populasi x Suatu populasi mengandung jenis tertentu dgn proporsi p
n
Ingin diuji hipotesa parameter proporsi p yang diasumsikan nilainya sama dengan p o, yaitu p = p0 , Dengan memakai x sampel berukuran n yg mengandung jenis tertentu, yaitu p ˆ
n
Maka rumusan hipotesa untuk pengujian hipotesa adalah Uji Dua Arah
Uji Satu Arah
H0 : p = p0 H1 : p ≠ p0
H0 : p = po H1 : p > po
Statistik uji yang dipakai : Z h p ˆ
p ˆ
p0 (1 p0 ) n p0 (1 p0 ) N n . n N 1
atau
p p0 ˆ
H0 : p = po H1 : p < po
Dengan
p ˆ
bilamana populasi tak terbatas bilamana populasi terbatas
Contoh : Perusahaan MAGIC yang bergerak di bidang suku cadang komputer mikro, akan memperkenalkan produk terbarunya di pasaran. Untuk itu bagian pengendalian kualitas perusahaan mengambil sampel secara acak sebanyak 170 buah suku cadang dan ditemukan ada 16 yang cacat. Dari data tersebut apakah benar produksi yang ditemukan cacat kurang dari 10%? Gunakan taraf signifikansi 2%. Jawab: Populasi dianggap tak terbatas, karena ukurannya tidak diketahui. Populasi suku cadang yang cacat dalam sampel adalah :
x 16 p n 170 ˆ
0,094
a. Hipotesa statistik:
H0 : p = 10% = 0,1 & H1 : p < 0,1
b. Pada α = 2%, nilai kritisnya adalah Zα = Z0,02 Dari tabel distribusi normal standar Z0,02 = – 2,054 (dikiri). Sehingga H0 akan ditolak jika Z h < – 2,054. c. Statistik uji : Z h
p p0 ˆ
dgn
p0 (1 p0 )
0,1(0,9)
n
170
p ˆ
p ˆ
sehingga
Z h
p p0 ˆ
0,094 0,1
p ˆ
0,023
d. Karena nilai statistik uji Zh = – 0,26 > – 2,054 = Z0,02 , maka hipotesa nol (H0) diterima.
Artinya pada taraf signifikansi α = 2%,
data yang diperoleh dari sampel tidak mendukung hipotesa alternatif (H 1) bahwa produksi yg cacat kurang dari 10%
-2,054
0,26
0,023
Pengujian Parameter Beda Dua Proporsi dari Dua Populasi Misal dipunyai dua populasi. X 1 p Populasi pertama terdiri atas unsur X1 dengan proporsi 1
N 1
Populasi kedua terdiri atas unsur X2 dengan proporsi p2
X 2 N 2
Populasi pertama diambil sampel acak sebanyak n 1 yang terdiri unsur x1 dengan proporsi p1 ˆ
x 1 n1
Populasi kedua diambil sampel acak sebanyak n 2 yang terdiri atas unsur x2 dengan proporsi
p2 ˆ
x 2 n2
Maka pengujian hipotesa untuk parameter beda dua proporsi (p1 – p2) adalah sebagai berikut. Uji Dua Arah
Uji Satu Arah
H0 : p1 = p0 H1 : p1 ≠ p0
H0 : p1 = po H1 : p1 > po
atau
H0 : p1 = po H1 : p1 < po
Statistik uji : Dgn penyebut p1
pq ˆ
p2
ˆ
ˆ
1
1
n1
n2
bila kedua populasi tak terbatas,
ˆ
bila kedua populasinya terbatas
p1 p2 ˆ
ˆ
dan
pq ˆ
ˆ
1
1
n1
n2
.
( N 1
x 1 x 2serta p n1 n2 ˆ
N 2 ) ( n1 n2 ) N 1 N 2 1
q 1 p ˆ
ˆ
Contoh : Suatu survei dilakukan di dua daerah yang berbatasan, yaitu daerah A dan daerah B untuk mengetahui pendapat masyarakat tentang suatu rencana pembangunan pabrik obat nyamuk diperbatasan dua daerah itu bisa diteruskan atau tidak. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan proporsi penduduk yang menyetujui rencana pembangunan pabrik obat nyamuk antara penduduk di daerah A dan di daerah B, suatu poling dilakukan. Dari 200 penduduk di daerah A ternyata terdapat 120 penduduk yang menyetujui rencana tersebut dan dari 500 penduduk di daerah B ternyata terdapat 250 penduduk yang menyetujui rencana tersebut. Apakah beralasan untuk menerima bahwa proporsi penduduk di daerah A lebih besar dari proporsi penduduk di daerah B?
Gunakan taraf nyata α = 1%!
Jawab : Misalkan P1 = P2 =
proporsi sesungguhnya penduduk daerah A yang setuju dengan rencana tersebut proporsi sesungguhnya penduduk daerah B yang setuju dengan rencana tersebut
120 06 Sampel di daerah A : n1 = 200, x1 = 120, dan p 200 250 0,5 Sampel di daerah B : n2 = 500, x2 = 250, dan p 500 ˆ
ˆ
a. Hipotesa H0 : p1 = p2 dan H1 : p1 > p2
b. Taraf nyata α = 1% , diperoleh nilai kritis Z0,01 = 2,326
,
x 1 x 2 n1 n2
c. p ˆ
p1 p2 ˆ
ˆ
pq ˆ
ˆ
120 250 200 500 1
1
n1
n2
0,53
sehingga
( 0,53)( 0,47)
q 1 0,53 0,47 ˆ
1
1
200
500
0,04
Sehingga statistik uji nya adalah
Z h
( p1 ˆ
p2 ) ( p1 p2 ) ˆ
p1 p2 ˆ
ˆ
( 0,6
0,5)
0,04
2,5
d. Kesimpulan; tolak Ho, karena nilai Zh = 2,5 > 2,326 = Z 0,01 . Artinya, dapat diterima bahwa proporsi penduduk di daerah A yang menyetujui rencana pembangunan pabrik tersebut lebih besar daripada proporsi penduduk di daerah B.
Kecuali rumus statistik yang dipakai untuk menguji dan penentuan nilai kritis, semua langkah pengujian hipotesa dengan sampel besar dapat dipakai untuk pengujian hipotesa dengan sampel kecil Kalau pengujian dgn sampel besar distribusinya menggunakan distribusi normal standar ( distribusi Z ) , maka dalam pengujian dgn sampel kecil, distribusi yang dipakai adalah distribusi t (student t distribution)
Pengujian Parameter Rata-rata (μ) dari Populasi dgn σ2 tidak diketahui Hipotesa yg digunakan Uji Dua Arah Uji Satu Arah H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2
H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 > μ2
Statistik uji yang dipakai
t dimana
H0 : μ1 = μ2 atau H1 : μ1 < μ2
statistik t (student t ), yaitu :
x
0
x x x
n
N n . n N 1
x x
bila populasi tak terbatas bila populasi terbatas
Nilai σx ditaksir dengan nilai SX yang dihitung dari sampel
Contoh : Rata-rata waktu yang diperlukan untuk mendaftar ulang pada awal semester di Universitas A pada semester yang lalu sekitar 45 menit dengan simpangan baku 8 menit. Suatu pendaftaran baru dengan memakai komputer modern yang dilengkapi dengan suatu sofware sedang dicobakan yang diharapkan dapat mengurangi waktu pendaftaran dibandingkan dengan cara lama. Untuk itu diambil sampel acak sebanyak 10 mahasiswa yang telah mendaftar pada semester berikutnya dengan memakai cara pendaftaran baru tersebut. Ternyata, rata-rata waktu yang diperlukan untuk mendaftar adalah sekitar 35 menit dengan simpangan baku 9,5 menit. Apakah harapan untuk mengurangi waktu pendaftaran dapat dipercaya ?
( gunakan taraf signifikansi α = 1% dan α = 5%).
Jawab: Diketahui data dari populasi : rata-rata µo = 45 menit dan simpangan baku σx = 8 menit. Populasi dianggap tak terbatas. Diketahui data sampel n = 10, x = 35 menit dan S = 9,5 menit S 9,5 3,0 x x ditaksir dengan S dari sampel n 10 Langkah-langkah pengujian hipotesa nya adalah : a. Hipotesa: H0 : µ = 45 H1 : µ < 45
b. Dengan α = 1% , derajat kebebasan db = n – 1 = 10 – 1 = 9, maka diperoleh nilai kritis: t(α , db) = t(0,01 ; 9) = 2,821. Sedangkan untuk α = 5%; didapat t(0,05 ; 9) = 1,833 Karena uji satu arah dan H 1 bertanda <, maka nilai kritis t yang dipakai adalah nilai negatifnya, yaitu – t(0,01 ; 9) = – 2,821 atau – t(0,05 ; 9) = – 1,833
c. Statistik uji yang dipakai adalah t h
x
0
x
th = -3,3 -2,281 -1,833
0
35 45 3,0
3,3
1,833
Untuk α = 1%, H0 ditolak, karena th = - 3,3 < -2,821 = t(0,01; 9 ) Untuk α = 5%, H0 ditolak karena th = -3,3 < -1,833 = t(0,05 ; 9) Kesimpulan: pada α = 1% dan α = 5% H0 ditolak. Artinya, cara baru itu terbukti mengurangi waktu pendaftaran daripada cara lama.
Pengujian Parameter Beda Dua Rata-Rata (µ1 - µ2) dari Dua Populasi Hipotesa yang digunakan adalah Uji Dua Arah Uji Satu Arah H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2 Statistik uji
H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 > μ2
atau
H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 < μ2
statistik t ( s tudent t ), yaitu t h
( x1 x2 ) ( 1 2 ) ( x
besarnya nilai a. bila
2 1
( x x ) 1 2
( x x ) 1 2
2 2
S p
nilai Sp :
1 x 2 )
2
1 n1
S p2
tidak diketahui pada populasi, maka
1
, untuk populasi tak terbatas
n2
( n1
1) S12
n
( n2
n
2
1) S22
, dgn db = n1 + n2 – 2
b. bila
2 1
2 2
dan tidak diketahui pada populasi, maka 2
( x
1 x 2
)
S 1
n1
2
S 2
n2
untuk populasi tak terbatas 2 1
dengan derajat kebebasan
db
S n1 2 1
2
S n1 n1 1
2 2
S n2
2
2 2
S n2 n2 1
c. bila populasi terbatas, maka simpangan baku harus dikalikan dengan faktor koreksi ( N 1
N 2 ) ( n1 n2 ) N 1 N 2 1
2
( x x ) 1 2
Contoh Suatu mata kuliah diberikan pada dua kelas yang berbeda. Kelas A yang terdiri atas 12 mahasiswa diajar dengan metode pengajaran biasa. Sedangkan kelas B yang terdiri atas 10 mahasiswa diajar dengan metode pengajaran baru. Pada akhir semester mahasiswa di kelas A dan B diberi materi ujian yang sama. Di kelas A, nilai rata-rata mahasiswa adalah 85 dengan simpangan baku 4, sedangkan di kelas B nilai rata-rata mahasiswa adalah 81 dengan simpangan baku 5. Yakinkah Anda bahwa metode pengajaran yang biasa tetap lebih baik dari metode pengajaran yang baru dengan
memakai taraf signifikansi α = 0,01? Diasumsikan bahwa dua populasi mendekati distribusi normal dengan variansi yang sama.
Jawab: Dua populasi dianggap tak terbatas dan ber distribusi normal. Dari sampel A : n1 = 12, x 1 = 85, S1 = 4 Dari sampel B Hipotesa H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2
: n2 = 10,
x 2 = 81, S2 = 5
(bahwa metode pengajaran yang biasa tetap lebih baik dari metode pengajaran yang baru)
Dgn α = 0,01, dan db = n1 + n2 – 2 = 12 + 10 – 2 = 20, maka diperoleh nilai kritis : t(α,db) = t(0,01 ; 20) = 2,528. Sehingga H0 akan ditolak bila th > 2,528
Untuk menghitung th, terlebih dulu dihitung Sp dan S p2
( n1
1) S12
n1
( n2
n2
1) S22
(11)( 4)
2
2
(9)(5)
x 1 x 2
2
20
20,05
sehingga Sp = √20,05 = 4,478 simpangan baku distribusi sampel beda dua rata-rata adalah : x 1 x 2
S p
1
1
n1
n2
( 4,478)
1
1
12
10
1,917
Maka diperoleh nilai statistik uji th, sebagai berikut : ( x 1 x 2 ) ( 1 (85 81) 0 2) 2,09 t h x 1 x 2
1,917
kesimpulan : karena nilai th = 2,09 < 2,528 = t(α;db) , maka H0 tidak ditolak. artinya : metode pengajaran biasa tetap lebih baik daripada metode pengajaran baru
(
2
)
(
2
)
Distribusi chi-kuadrat mempunyai bentuk umum: 1
f (x) 22
di mana:
1
x2 e
x 2
2
= n – 1 adalah derajat kebebasan 2
f
adalah fungsi gamma yang tergantung dari
e = 2,7183 2
menyatakan nilai yang luas di sebelah kanannya sama
α 2
2
dengan α
Test Hipotesa Mengenai k Proporsi (k > 2) Untuk melaksanakan test hipotesa dari k proporsi (k > 2), Langkah-langkah uji
c.
a.
Menentukan formulasi hipotesa : H0 : P1 = P2 = P3 = ... = Pk H1 : P1 ≠ P2 ≠ P3 ≠ …≠ Pk
b.
Tingkat Signifikansi : Rule of the test / daerah kritis
H0 ditolak apabila 2
h
2 ; k 1
harga 2 (α ; k -1) dapat dilihat pada tabel.
2
d. Statistik uji
h i
1
j
eij )2
(Oij
k
2
1
eij
i = 1, 2 dan
j = 1, 2 , … , k
Oij = Frekuensi hasil pengamatan/observasi eij = Frekuensi yang diharapkan 2
e. Kesimpulan. H0 ditolak jika h
2 ; k 1
Cara menghitung eij Sampel
.
Sifat
1
2
3
1
O11 O12 O13 e11 e12 e13
2
O21 O22 O23 e21 e22 e23
Jumlah kolom
K1
K2
K3
k
… … … …
Jumlah baris
O1k e1k
B1
O2k e2k
B2
Kk
N
Frekuensi yang diharapkan di tiap-tiap sel (eij) dihitung dgn : eij
contoh
Bi .K j
e23
N B2 . K 3 N
B2 =O21+O22 +…+O2k K =O +O
Analisa Tabel (r x k) Test hipotesa mengenai mengenai r kemungkinan, perlu adanya tabel (r x k) r = jumlah baris dan k = jumlah kolom Langkah-langkah analisa a. Formulasi Hipotesa H0
: P11 = P12 = P13 = … = P1k (=P1) : P21 = P22 = P23 = … = P2k (=P2) : P31 = P32 = P33 = … = P3k (=P3) : Pr1 = Pr2 = Pr3 = … = Prk (=Pr )
H1
: Tidak semua proporsi sama
b. Tentukan Level of Signifikansi
,
sehingga 2( ;(r - 1)(k - 1)) dapat dilihat pada tabel dimana (r - 1)(k - 1) = (degress of freedom)
2,
2 c. Kriteria Pengujian : H0 ditolak bila : h
2
d. statistik uji
h
dihitung
r
2
h
e. Kesimpulan. H0 ditolak apabila 2
h 2
(
k
2
r 1k 1
;
(Oij eij )2
i 1 j 1
eij
2 h
2
r 1k 1
;
Hasil hitungan point d
;(r - 1)(k - 1))
dari tabel
Cara menghitung eij dan
2
h
sama dengan contoh terdahulu
Test Of Independency Untuk mengetes apakah dua variabel dalam suatu populasi independent atau tidak, dengan mengambil sampel-sampel. Variabel I terdiri dari k kategori dan variabel II terdiri dari r kategori, hsl sampel ditulis dlm tabel k x r tabel K onting ens i Langkah-langkah test hipotesa H0 : Ke dua variabel independent H1 : Ke dua variabel dependent
a. Formulasi Hipotesa b. Tingkat signifikasi
, dgn derajat kebebasan
2 c. Kriteria Pengujian : H0 ditolak bila : h r
d. Statistik uji
2
h
k
i 1 j 1
e. Kesimpulan
(Oij eij )2 eij
= (r - 1)(k - 1)
2
r 1k 1
;
Contoh : Klasifikasi dari 300 orang pembaca surat kabar berdasarkan klas sosialnya adalah sebagai berikut Klas Sosial
Miskin Rendah Menengah Kaya
Surat Kabar A B 31 11 49 59 18 26 2 4
C 12 51 31 6
Ujilah apakah ada pengaruh / hubungan antara klas sosial dengan jenis surat kabar yang dibaca. Gunakan = 5 % Jawaban : H0 = Hubungan klas sosial dengan jenis surat kabar independent H1 = Hubungan klas sosial dengan jenis surat kabar dependent Tingkat signifikansi / Level of signifikasi = 5% , dari tabel distribusi 2 didapat nilai 2 (α ; (r – 1)(k – 1 )) = 2 (0,05 ; (4-1)(3-1)) = 12,592 Sehingga H0 ditolak apabila
2 h
> 12,592
52
Menghitung Statistik uji : Surat Kabar Klas Sosial A B 31 11 Miskin (18 ) (18 ) 49 59 Rendah (53) (53) 18 26 Menengah (25 ) (25 ) 2 4 Kaya (4) (4) Jumlah 100 100 r
2
h
k
i 1 j 1
(Oij eij ) 2 eij
31 182 18
C 12 (18 ) 51 (53) 31 (25 ) 6 (4) 100
11 182 18
Jumlah
...
54 159 75 12
Biru : Oij Merah : eij
Bi . K j N
300
6 4 2 4
20,61
Kesimpulan. Karena hasil perhitungan 20,61 > 12,592 maka H0 ditolak. Ini berarti ada hubungan klas sosial dengan jenis surat kabar, atau kebiasaan membaca surat kabar tergantung dari kela sial
Uji Hipotesa Mengenai Variansi (Sampel Kecil) Untuk sampel kecil (n < 30) test mengenai variansi menggunakan distribusi chi kuadrat (2 ) Sampel besar (n 30) distribusi normal (Z) Langkah-langkah uji hipotesis variansi sampel kecil adalah a. Formulasi Hipotesa 1) Untuk uji dua arah
Ho : σ2 = σo2 H1 : σ2 ≠ σo2
2) Untuk uji satu arah Ho : σ2 = σo2 H1 : σ2 < σo2 b. Tingkat Signifikansi :
atau
Ho : σ2 = σo2 H1 : σ2 > σo2
c. Kriteria Pengujian / Daerah Penolakan / Daerah Kritik 1) Untuk uji dua arah
Daerah penerimaan 1 /2
2
(1 –/2 ;n –1)
Daerah penolakan
/2
2 (/2 ;n –1)
2) Untuk uji satu arah Jika H1 : σ > σo , maka H0 ditolak bila 2
2
Jika H1 : σ < σo , maka H0 ditolak bila 2
d. Statistik uji
2
2
h
(n
1)S
2
>
2
h<
2
h 2
( ( 1-
; n - 1) ; n - 1)
2
2 0
e. Kesimpulan : Dengan membandingkan hasil dari perhitungan (d) dengan kriteria (c) maka dapat ditentukan kesimpulannya
uji hipotesis untuk menduga dan menguji perbedaan 2 parameter variansi, σ12 = σ22 Kurva distribusi F
F
(1
α/2
1 – α
F
2
; V1, V2 )
( ; V1, V2 )
= nilai kritis bawah = nilai kritis atas
2
F
(1
2
; V1, V2 )
F
V1 = n1 – 1
( ; V1, V2 )
V2 = n2 – 1
2
Berdasarkan teorema, nilai
1
F
(1
2
; V1, V2 )
F
( ; V2 , V1) 2
Uji Satu Arah (One S ide Tes t / One Tail Tes t ) a. Uji / Test Lebih Besar Varians Populasi I Untuk menguji apakah Varians dari populasi X > daripada Varians populasi Y Langkah-langkah 1) Hipotesis
Ho : σ12 = σ22
H1 : σ12 > σ22
2) Data : Diperoleh dari sampel-sampelnya 3) Critical Value / nilai kritis 4) Daerah kritis Ho ditolak jika
5) Test statistiknya 6) Kesimpulan
F ( );( n11);( n2 1)
F obs
F obs
2 x 2 y
S S
F (
);( n1 1);( n2 1) 2
2
2
2
(n 2 - 1)( x i - nx ) (n1 - 1)( y i - ny )
b. Uji / Test Lebih Besar Varians Populasi II Untuk menguji apakah Varians dari populasi X < daripada Varians populasi Y Langkah-langkah Ho : σ12 = σ22
1) Hipotesis
H1 : σ12 < σ22
2) Data : Diperoleh dari sampel-sampelnya 3) Critical Value / nilai kritis Hitung dgn
F (1 ;V 1 ,V 2 )
1
F (1 );( n1 1);( n2 1)
F ( ;V 2 ,V 1 )
4) Daerah kritis Ho ditolak jika
F obs F (1
5) Test statistiknya 6) Kesimpulan
F ob s
S S
2 x 2
);( n1 1);( n2 1) 2
(n 2 - 1)( x i - nx 2 ) (n 1)(
2
2
)
Uji / Test Dua Arah (Two S ided Tes t ) apakah varians Populasi I = varians Populasi II Langkah-langkah Ho : σ12 = σ22
1) Hipotesis
H1 : σ12 ≠ σ22
2) Data : Diperoleh dari sampel-sampelnya 3) Test statistiknya
F ob s
S S
2 x 2 y
2
(n 2 - 1)( x i - nx 2 )
2
(n1 - 1)( y i - ny )
4) Critical value / daerah kritik / Kriteria penolakan Ho ditolak jika
1 – α
5) Kesimpulan
α/2
F obs atau F obs
F (1
F (
2
2
);( n1 1);( n2 1)
);( n1 1);( n2 1)
2
Test Untuk Pengujian lebih dari 2 mean Langkah-langkah a. Hipotesa Ho :
= …= k H1 :
1 = 2
1
≠ 2 ≠ …≠ k
b. Data diperoleh dari masing-masing sampel
F (α ; (k-1) ; k(n-1))
c. Critical value / nilai kritis 2
d. Test Statistik
Sx BM
Fobs
e. Kesimpulan
S2x WG
H0 ditolak jika Fobs > F(α ; (k-1) ; k(n-1))
x x x 2
i1
2 xBM
S
n1 n
2
k
i2
n2
i3
n3
x
2
.....
ik
n j
n
k 1
2 S xWG
2
n k xij i 1 j 1
2
xij n1 x1 n2 x2 ........ nk xk 2
2
2
i 1 j 1
k
j
