UJI NORMALITAS
Data klasifikasi kontinue, data kuantitatif yang termasuk dalam pengukuran data skala interval i nterval atau ratio, rati o, untuk dapat dilakukan statisti k di lakukan uji statistik parametr para metrik ik dipersyar dipe rsyaratka atkann berdistri berdistribusi busi normal no rmal.. Pembuktian Pembu ktian data paramet rik dipersya dip ersyaratka ratkan normal. Pembuktian Pembuk tian data berdistribusi normal tersebut perlu perl u dilakukan uji normalitas normalit dat normalitaass terhadap data. dataa.. Uji normalit normalitas as berguna ber guna untukk membukti memb uktikan kan sampel yang dimiliki dimiliki berg una untu membuktik an data dari sampel berasal dari populasi berdistribusi berdistribusi normal atau data populasi yang dimiliki berdistri berdistribusi busi normal. normal. Banyak cara yang dapat dilakukan dilakukan untuk untuk membuktik memb uktikan an membukti kan suatu data berdistribusi normal atau tidak. Metode klasik dalam pengujian normalitas suatu data tidak begitu rumit. Berdasarkan pengalaman empiris beberapa beberapa pakar statistik, data yang banyaknya lebih dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat diasumsikan berdistribusi berdistribusi normal. Biasa dikatakan sebagai sampel besar. Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi berdistribusi normal normal ata atauu tidak, tidak, sebaiknya sebaiknya digunaka digunakann uji statistik stat normalitas. as. Karena Karena statiistik stik normalit belum tentu data yang lebih dari 30 bisa dipastikan berdistribusi normal, demikian sebaliknya data yang banyaknya kurang dari 30 belum tentu tidak berdistri berdistribusi busi normal, normal, untu untukk itu perlu perl u suatu suatu pembukti pemb uktian. an. Pembuktia Pemb uktian n perlu pembukt pem buktian. ian. Pembukti an normalitas dapat dilakukan dila kukan m anual, den gan mengg unakan dilaku kan dengan manual, man ual, yaitu dengan deng an menggunakan mengguna kan kertas peluang normal, atau dengan menggunakan uji statistik normalitas. Banyak Banyak jenis jen is uji uji statis statistik tik no norma rmalit litas ass yang yang dap dapat att jenis normal nor malita itas dapa da pat
digun dig unaka akan n diguna unakan kan diantara diantaranya nya Kolmogor Kolmogorov ov Smirnov, Smirn ov, Lilliefo Lill iefors, rs, ChiSquare, re, Shapiro Wilk atau Smirnov, Lilliefor Lilli efors, s, Chi-Squa Chi-Squar Chi-S quare, e, Shapiro menggunakan menggunakan soft ware computer. Soft ware computer dapat digunakan digunakan misalnya misalnya SPSS, Minitab, Minitab, Simstat, Simstat, Microstat Micro stat,, dsb. Pada hakekatny hakek atnya a soft Microstat, hakekatn hake katnya ya ware tersebut merupakan mer upakan hitungan hitungan uji statistik statist ik Kolmogorov Smirnov, Smi rnov, Lilliefors, Lillief ors, merupakan statistik Smirnov, Lilliefors, Chi-Squar Chi-S quare, e, Shapiro Shap iro Wilk, dsb yang telah tel ahh diprogra diprogram m dalam dalam soft ware Chi-Squa ChiSquare, re, Shapiro tela komputer. Masing-masing hitungan uji statistik normalitas memiliki kelemahan dan kelebihannya, pengguna dapat memilih sesuai dengan keuntungannya.
Di bawah bawah disaji disajikan kan bebe beberapa rapa cara untu untukk beberapa berdistribusi berdistribusi berdistribu si normal normal atau tidak. A.
menguji menguji suatu suatu dat dataa
BERDAS BERDASARK ARKAN AN KEMIRIN KEMIRINGAN GAN / KEMENCE KEMENCENGA NGAN N / SKEWNES SKE WNES DAN SKEWNE S DAN
KURTOSIS
Suatu data bila disajikan dalam bentuk kurva halus berbentuk kurva halus dapat berbentuk yang miring ke kanan, miring ke kiri atau simetris. Miring ke kanan bila kurva mempunyai ekor (asymtut / menyinggung menyinggu ngg sumbu X) yang memanjang menyinggun ke sebelah sebelah kanan, kanan, demikian demi kian miring mirin g ke kiri sebalikny sebaliknya, a, sedangka sedangkann bila demikian miring simetris berarti kondisi ke kanan dan kiri seimbang, biasanya nilai mean, median dan mod modus us berde ber dekat katan an ba bahka hkann kadan kadangg sama. sama. Kondis Kon disi kurva yang yang simet simetris ris berd be rdeka ekatan tan Kondi Ko ndisi sii kurva tersebut sering disebut membentuk kurva distribusi normal. Kemiringan kurva dapat dihitung berdasarkan rumus Koefisien Kemiringan Pearson, yaitu :
Bila Bila hasi hasill kemi kemiri ring ngan an ne nega gatitif, f, ma maka ka kurv kurvaa miri miring ng ke kiri kiri,, bila bila hasi hasill kemiringa kemiringann positif, posit if, maka kurva miri ngg ke kanan, kanan, sedangka sedangkann pad padaa hasil hasil positif, kurva miring mirin kemi kemiri ring ngan an no nol,l, ma maka ka kurv kurvaa no norm rmal al.. Pada Pada kurv kurvaa no norm rmal al bias biasan anya ya da data ta cenderung berdistribusi norma. Secara visual gambar sebagai berikut:
Kemiringan kekanan
kemiringan kekiri
simetris
Contoh kasus hasil pengu kuran kebisingan pada tempat-tempat tempat-tem pat umum hasil pengukuran penguku ran kebisingan tempat-tempat didapat data sebagai berikut:
Penyelesaian:
Nilai kemiringan 0,44 atau 0,29, berarti miring ke kanan, tidak simetris.
Rumus lainnya yang dapat digunakan untuk membutikan kenormalan data, yaitu Koefisien Kurtosis Persentil, sebagai berikut :
Keterangan Keterangan : k = kappa (Koefisien Kurtosis Persentil) : SK = rentang semi antar kuartil kuartil : P = persentil : K = kuartil Bila Bila nilai nil ai Koefi Ko efisie sien n Kurto Kur tosis sis Persentil til men mendek dekati ati 0,26 0, 263, 3,, maka maka dapa da patt nilai Koefis Koe fisie ien Kurtos is Persen 0,263 0,2 63, dapat disi di simp mpul ulka kan n da data ta be berd rdist istri ribu busi sii no norm rmal al.l.. Berd Be rdas asar arka kan n kurv ku rva a no norm rmal al,l,, un untu tukk disimp dis impulk ulkan an berdis ber distri tribus norma rmal. Berdas Ber dasark arkan an kurva kur va norma rmal, membuktikan data berdistribusi normal atau tidak, dapat dihitung berdasarkan rumus Koefisien Kurtosis, yaitu
Dihitung Koefisien Kurtosis Persentil sebagai berikut :
Hasil Koefisien Kurtosis Persentil 0,265 ≠≈ 0,263, distribusi normal. selanjutnya dihitung Koefisien Kurtosis.
B. METODE KERTAS PELUANG NORMAL
Metode kertas peluang normal membutuhkan kertas grafik khusus yang disebut Kertas Peluang Normal. Contoh kertas peluang normal dapat dilihat pada lampiran 1. Langkah pertama dalam mempergunakan metode kertas peluang normal, yaitu data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi relatif (data disajikan dalam bentuk prosentase).
Contoh data sebagai berikut:
Selanjutnya tabel diubah dalam bentuk distribusi frekuensi komulatif relatif kurang dari, sehingga terbentuk tabel sebagai berikut :
Berikutnya data komulatif relatif ditampilkan pada kertas peluang normal. Sumbu horisontal tempat meletakkan interval kelas dan sumbu vertikal tempat untuk angka komulatifnya. komulatifnya. Pertemuan kelas dan angka komulatif k omulatif ditandai dengan titik-titik. Jika titik-titik tersebut dihubungkan dihubun gkan dihubung kan membentuk garis lurus, berarti data berdistibusi normal.
Contoh untuk penyajian data di atas pada kertas peluang normal menjadi sebagai berikut :
C. METODE CHI SQUARE SQU ARE (UJI GOODNESS NORMAL) SQUARE GOODNESS OF FIT DISTRIBUSI NORMAL)
Metode Chi-Square Ch i-Square at auu X2 untuk Uji Goodness Good ness of fit Distribusi Distrib usi ChiSquare atau ata Goodness Distribusi normal, normal, menggun meng gunakan akan pen pendeka dekatan tan penj umlahan han penyimpa penyimpangan ngan data menggunakan pendekat pend ekatan an penjumla penjumlahan observasi tiap kelas dengan nilai nilai yang diharapkan. 1. Rumus X2
Keterangan : X2 = Nilai X2 Oi = Nilai observasi Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal dik alikan N (total frekuensi) ≈ pi x N N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi) Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan berdasarkan pada hasil transformasi data distribusi frekuensi yang akan aka n diuji diu norma litasnya, akan diujiji normalitasnya, normalitasnya, sebagai berikut: berikut:
Keterangan : Xi = Batas tidak nyata interval kelas Z = Transformasi dari angka angka batas notasi pada normal batas interval kelas ke notasi pada distribusi normal pi = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel normal (Lampiran 2) Oi = Nilai observasi
Ei = Nilai expected harapan, luasan interval kelas berdasarkan berdasar kan tabel normal expected / harapan, berdasarkan dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N 2. Persyaratan a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dikelompokk an dalam tabel distribusi distribus i frekuensi. frekuensi. b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 ) c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan. 3. Signifikansi Signifikansi Signifik Signifikaansi nsi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square) √ Jika nilai X2 hitung kurang dari nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak. √ Jika nilai X2 hitung lebih besar dari nilai X2 tabel, maka Ho ditolak ; Ha diterima. tabel X2 (Chi-Square) pada lampiran 3. 4. Penerapan TINGGI BADAN MASYARAKAT KALIMAS TAHUN 1990
Selidikilah Selidikilah dengan dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? Penyelesaian : a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 c. Rumus Statistik penguji
d. Hitung rumus statistik stat istik penguji. penguji. statistik Telah dihitung Mean = 165,3 ; Standar deviasi = 10,36
Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang dikonfirmasikan distribusi normal (Lampiran (Lam piran 2). Proporsi Prop orsi dihitung dihitung dikonfirmasikan dengan tabel distribusi (Lampiran Proporsi mulai mulai dari ujung kurva kurva paling pali ng kiri sampai sampai ke titik namun dap dapat at juga dari ujung paling titik Z, namun menggunakan sebagian ujung kiri dan sebagian ujung kanan, sehingga hasil pi sebagai sebagai berikut. berikut. 0,0064– 0,0630= 0,0566 ujung kurve kiri 0,0630– 0,2877= 0,2247 ujung kurve kiri 0,2877– 0,3409= 0,3714 melalui tengah titik nol 0,3409– 0,0853= 0,2556 ujung kurve kanan 0,0853– 0,0096= 0,0757 ujung kurve kanan 0,0096– 0,0005= 0,0091 ujung kurve kanan
e. Df/db/dk Df/db/dk Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2
f. Nilai tabel Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square) pada lampiran 3. g. Daerah penolakan 1). Menggunakan gambar
2). Menggunakan rumus [ 0,1628 ] < [ 5,991] ; berarti Ho diterima, Ha ditolak h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. D. METODE LILLIEFORS (N KECIL DAN N BESAR)
Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribus tabel distribusii frekuen frek uensi. si. Data ditransforma ditransf ormasikan sikan dalam nilai nilai Z untu untuk dapat at frekuensi. freku ensi. ditransforma untukk dap dihitung dihitung luasan luasan kurva kurva normal normal sebagai sebagai probabil prob abilitas itass komulatif komu latiff normal. nor mal. probabi pro babilita litas komulati norm al. Probabilitas Probabilitas tersebut dicari bedanya dengan probabilitas probabilitas komultaif empiris. Beda terbesar dibanding dibanding dengan tabel Lilliefors pada lampiran 4 Tabel Harga Quantil Statistik St atistik Lilliefo Nor mal Sta tistik Lilliefors Lillieforrss Distribusi Normal Norm al
1. Rumus
Keterangan : Xi = Angka pada data Z = Transformasi Transformas i dari angka ke notasi pada distribusi normal F(x) = Probabilitas Probabilitas komulatif normal S(x) = Probabilitas Probabilita Probabilitass komulatif empiris F(x) = komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan berdasark ann notasi no berdasarka nottasi asi Zi, dihitun dihitungg dari luasan kurva kurva normal normal mulai mulai dari ujung ujung kiri kurva kurva dari luasan sampai dengan titik Zi.
2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) b. Data tunggal / belum dikelompokkan dikelompokk an pada tabel distribusi frekuensi c. Dapat untuk untuk n besar maupun maupun n kecil. kecil. 3. Signifikansi Signifikansi uji, nilai F (x) - S (x) terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors. √ Jika nilai F (x) - S (x) terbesar kurang dari nilai tabel Lilliefors, Lilliefors, maka maka Ho diterima diterima ; Ha ditolak. ditolak.
√ Jika nilai F (x) - S (x) terbesar lebih besar dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Lilliefors pada lampiran 4, Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal 4. Penerapan Berda Ber dasar sarkan kan penelit litian ian tentan tangg intens int ensita itas s pe pene neran ranga gan n alami ala mi yang yang Berdas dasark arkan an pene litia n ten inten in tensit sitas as pener pen erang angan an alami dilakukan terhadap rata-rata pencahayaan pencahaya an terhadap 18 sampel rumah sederhana, sederhana, rata-rata pencahayaan alami di beberapa ruangan dalam rumah pada sore hari sebagai berikut ; 46, 57, 52, 63, 70, 48, 52, 52, 54, 46, 65, 45, 68, 71, 69, 61, 65, 68 lux. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ? Penyelesaian : a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 Rumus Statistik penguji
d. Hitung rumus statistik stat istik penguji. penguji. statistik
Nilai F(x) - S(x) tertinggi tertinggi sebagai sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1469 e. Df/db/dk Df/db/dk Df = φ = tidak diperlukan f. Nilai tabel Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, Lilliefors , α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,2000. Tabel Lilliefors Lilliefors pada lampiran 4. g. Daerah penolakan Menggunakan rumus
0,14 0,1469 69 <
0,20 rti Ho diterima 0,2000 00 ; berarti bera dite rima,, Ha ditolak ditolak diterima,
h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. E. METODE KOLMOGOROV-SMIRNOV
Metode Metode Kolmogoro Kolmo gorov-Sm v-Smirno irnov tidak jauh bed bedaa deng dengan an metode metode Kolmogor Kolm ogorov-S ov-Smirn mirnov ovv tidak dengan Lilliefor Lilli efors. s. Lang Langkahkah-lang langkah kah pen penyele yelesaian saian pengguna gunaan an rumus rumu Lilliefo Lill iefors. rs. Langkah-lang yelesaia n dan peng penggun pen ggunaan aan rumuss sama, namun pada signifikansi yang Kolmogoro v-y ang berbeda. berbeda. Signifikansi metode KolmogorovKolmogorov Smirnov menggunakan menggunak an tabel pembanding pemband ingg Kolmogorov-Smirnov, Kolmogorov-Smirnov, sedangkan menggunakan pembandin metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.
1. Rumus
Keterangan : Xi = Angka pada data Z = Transformasi Transformasii dari angka ke notasi pada distribusi normal Transformas FT = Probabilitas Probabilitas komulatif normal FS = Probabilitas Probabilitas komulatif empiris FT = komulatif proporsi luasan kurva kurva normal normal berdasarkan berdasarkan notasi Zi, dihitung dari luasan kurva mulai
2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) b. Data tunggal / belum dikelompokkan dikelompokk an pada tabel distribusi frekuensi c. Dapat untuk untuk n besar maupun maupun n kecil. kecil. 3. Siginifikansi Signifikansi uji, nilai FT - FS terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov Smirnov.
√ jika jika nilai nil ai FT - FS terbe te rbesar sar kur ang dari ri nilai nil aii tab tabel ell nilai terb rbes esar ar kurang kura ku rang ng da nila ni lai tabe ta bel Kolmogorov Kolmogorov Smirnov, Smirnov, maka maka Ho diterima diterima ; Ha ditolak. √ Jika nilai FT - FS terbesar lebih besar dari nilai tabel Kolmogor Kolmogorov ov Smirnov, Smirnov, maka maka Ho ditola dit olakk ; Ha dit erima. Tabel Kolmogo Kolmogorov rov ditolak Ha diterima diterim a.. Tabel Smirn Smirnov ov pa pada da lampir lampiran an 5, Harga Harga Quanti Qua ntilill Statis Statistik tik Kolmog Kol mogoro orov v Distri Distribus busii Quant Qu antil Kolmo mogor gorov ov Normal. 4. Penerapan Suatu Suat u Suatu
pen penelit elitian iann tent tentang ang bera badan an peserta pese rta pela tihan n pene pe nelit litia tenta te ntang ng berat beratt bad peser pe serta ta pelatiha pelat pe latiha ihan kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang
berdistribusi normal ? Penyelesaian : a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 c. Rumus Statistik penguji
d. Hitung rumus statistik stat istik penguji. penguji. statistik
Nilai FT − FS tertinggi tertinggi sebagai sebagai angka penguji penguji normalitas, normalitas, yaitu 0,1440 e. Df/db/dk Df/db/dk Df = φ = tidak diperlukan f. Nilai tabel Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α = 0,05 ; N = 27 ; ≈ 0,254. Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran 5. g. Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,1440 < 0,2540 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05. F. METODE SHAPIRO WILK
Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi tabel distribusi frekuensi freku ensi.i.. Data diurut, diurut, kemudian kemud ian dibagi dibag kelompo frekuens frek uensi. kemudian dibagii dalam dua kelompok kelompokk untuk dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat juga dilanjut kan transformasi dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal. 1. Rumus
Keterangan : D = Berdasarkan rumus di bawah ai = Koefisient test Shapiro Wilk (lampiran (lampiran 8) X n-i+1 = Angka ke n – i + 1 pada pada data X i = Angka ke i pada data
Keterangan : Xi = Angka ke i pada pada data yang X = Rata-rata data
Keterangan : G = Identik dengan nilai Z distribusi distribusi normal normal T3 = Berdasarkan Berdasarkan rumus di atas bn, cn, dn = Konversi Statistik Shapiro-Wilk Shapiro-Wilk Pendekatan Distribusi Normal (lampiran 7) 2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) b. Data tunggal / belum dikelompokkan dikelompokk an pada tabel distribusi frekuensi c. Data dari sampel random 3. Signifikansi Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3 dibandingkan dengan nilai tabel Shapiro Wilk, untuk dilihat posisi nilai probabilitasnya (p). √ Jika nilai p lebih dari 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai p kurang da ri 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima. lampiran 6, Tabel Tabel Harga Harga Quantil Statistik Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal.
√ normal.
Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi
4. Penerapan Berda Ber dasar sarkan kan data usia usia sebagi seb agian an ba balit litaa yang yang diamb dia mbilil sampe sam pell secar sec araa Berdas dasark arkan an data sebag ian diambil sampel secara random dari posyandu Mekar Sari Wetan sebanyak 24 balita, balita, didapatkan didapat kan Mekar Sari didapatkan data sebagai berikut : 58, 36, 24, 23, 23, 19, 34, 33, 46, 41, 40, sebagai berikut 19, 36, 58, 34, 33, 56, 33, 26, 46, 37, 36, 35, 18, 55, 48, 32, 30 27 bulan. Selidikilah data usia balita tersebut, apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribus berdistribusii normal pada berdistribusi α = 5% ? Penyelesaian : a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 c. Rumus statistik penguji
d. Hitung rumus statistik stat istik penguji penguji statistik Langkah pertama dihitung nilai D, yaitu :
Langkah berikutnya hitung nilai T, yaitu :
f. Nilai tabel Pada lampiran 6 dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) = 0,963 g. Daerah penolakan Nilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10 dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak.