Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B

Universidad Politécnica Estatal del Carchi Facultad de Comercio Internacional, Integración, Administración y Economía Empresarial Escuela de Comercio Exterior y Negociación Comercial Internacional

Nombre: Edwin Morales Paralelo: 7º “B”

FECHA: 09/05/2016

TEMA: EJERCICIO !"AN#EA$O EN E" A%"A &IR#%A" OBJETIVO: REA"I'AR "O EJERCICIO (%E E !"AN#EARON EN E" A%"A &IR#%A" EJERCICIO 2. %na )*+rica produce dos tipos de camisas A y , las l as camisas tipo A re-uiere .,/ minutos para cortarlas y / minutos para con)eccionarlas, las de tipo  re-uieren 0 minutos para cortarlas y 0 minutos para con)eccionarlas1 e necesita 2 3ora y 04 minutos para corte y . 3oras para con)eccionarlas1 El +ene)icio es de .,/4 dólares por cada camisa tipo A y 5 dólares por cada camisa tipo 1 6Cu*ntas camisas de cada clase de+e producirse para o+tener la m*xima ganancia7

DESARROLLO: 1. DAT DATOS: CAMISA TIPO A ( X 1 )

CAMISA TIPO B X 2

2 ,5 5 2,5

4 4 !

CORTE CONFECCIN BENEFICIO

2. VARIA VARIABLES BLES DE DECISI DECISIN N CA8IA $E #I!O A 9

X 1

CA8IA $E #I!O 9

X 2

!. IDENTI IDENTIFICA FICAR R DE LA FUNCI FUNCIN N OBJETI OBJETIVO VO FO ( MAX MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2

4. ESTA ESTABLECER BLECER LAS LAS RESTRIC RESTRICCIO CIONES NES 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 100

REQUERIMIENTO ≤ 100 ≤ 120

5 X 1 + 4 X 2 ≤ 120

X 1 + X 2 ≥ 0

5. "R#F R#FICO 2,5 X 1 + 4 X 2=100

C1: X 1

X 2

0

25

40

0

5 X 1 + 4 X 2=120

C2: X 1

X 2

0

!0

24

0

!%N#O !#I8O

$. PUNT PUNTOS OS CR% CR%TI TICO COS S P(A)& (0'25)

P(B)& ('20) P(C)& (24'0) P(D)& (0'0)

P(B)& C 1 Interseccion conC 2 2,5 X 1 + 4 X 2=100

;<2=

5 X 1 + 4 X 2=120 2,5 X 1=20

X 1=8 /¿ −2,5 X 1− 4 X 2=−100 5 X 1 + 4 X 2 =120 ¿ 2,5 ( 8 )+ 4 X 2=100 4 X 2=100 −20 4 X 2=80

X 2= 20

P(B)& ('20)

*. IDENTI IDENTIFICA FICAR R LA SOLU SOLUCI CIN N PTIMA PTIMA FO ( MAX MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX MAX ) A =2,50 ( 0 )+ 3 ( 25 ) =75 FO ( MAX MAX ) B =2,50 ( 8 ) + 3 ( 20 )= 80 PUNTO PTIMO FO ( MAX MAX ) C =2,50 ( 24 ) + 3 ( 0 )= 60 FO ( MAX MAX ) D =2,50 ( 0 ) + 3 ( 0 ) =0

AN#LISIS: "a empresa de+e producir > camisas de tipo A y .4 camisas de tipo  para alcan?ar una m*xima ganancia de >4 dólares1 AN#LISIS DE SENSIBILIDAD

. e dispone en el *rea de corte de 24 minutos extras para lo cual la restricción C2 -ueda de la siguiente manera: 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 110 u@eta a: 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 110 5 X 1 + 4 X 2 ≤ 120

X 1 + X 2 ≥ 0

"+-/ 2,5 X 1 + 4 X 2=110

C1: X 1

X 2

0

2*,5

44

0

5 X 1 + 4 X 2=120

C2: X 1

X 2

0

!0

24

0

. PUNTOS CR%TICOS P(A)& (0'2*,5)

P(B)& (4'25) P(C)& (24'0) P(D)& (0'0)

P(B)& C 1 Interseccion conC 2 2,5 X 1 + 4 X 2=110

;<2=

5 X 1 + 4 X 2=120 2,5 X 1=10

X 1= 4 /¿ −2,5 X 1− 4 X 2=−110 5 X 1 + 4 X 2=120 ¿ 2,5 ( 4 )+ 4 X 2= 110 4 X 2=110−10 4 X 2=100

X 2= 25

P(B)& (4'25) 10.IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX ) A =2,50 ( 0 )+ 3 ( 27,5 ) =82,5 FO ( MAX ) B =2,50 ( 4 )+ 3 (25 )=85 PUNTO PTIMO

FO ( MAX ) C =2,50 ( 24 ) + 3 ( 0 )= 60 FO ( MAX ) D =2,50 ( 0 ) + 3 ( 0 ) =0

PRECIO SOMBRA EN LA RESTRICCIN: P (B) P (B)

2,5 X 1 + 4 X 2=110

 4 34

20 25 5

REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX )=2,50 ( 4 )+ 3 ( 5) FO ( MAX )=−10 + 15 FO ( MAX )=5  PRECIO SOBRA

AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C2 por cada 24 minutos adicionales al *rea de corte se su+e / dólares de utilidad1 11. e dispone en el *rea de con)ección de 24 minutos extras para lo cual la restricción C. -ueda de la siguiente manera: 5 X 1 + 4 X 2 ≤ 130 u@eta a: 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 100 5 X 1 + 4 X 2 ≤ 130

X 1 + X 2 ≥ 0

"+6-/ C1: X 1

2,5 X 1 + 4 X 2=100

X 2

0

25

40

0

5 X 1 + 4 X 2=130

C2: X 1

X 2

0

!2,5

2$

0

12.PUNTOS CR%TICOS P(A)& (0'25)

P(B)& (12'1*,5) P(C)& (2$'0) P(D)& (0'0)

P(B)& C 1 Interseccion conC 2 2,5 X 1 + 4 X 2=100 5 X 1 + 4 X 2=130

;<2=

2,5 X 1=30

X 1=12 /¿ −2,5 X 1− 4 X 2=−100 5 X 1 + 4 X 2 =130 ¿ 2,5 ( 12 )+ 4 X 2=100 4 X 2=100 −30 4 X 2=70

X 2=17,5

P(B)& (12'1*,5)  1!.IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX ) A =2,50 ( 0 )+ 3 ( 25 ) =75 FO ( MAX ) B =2,50 ( 12 )+ 3 ( 17,5 )=82,50 PUNTO PTIMO FO ( MAX ) C =2,50 ( 26 ) + 3 ( 0 )=65 FO ( MAX ) D=2,50 ( 0 ) + 3 ( 0 ) =0

PRECIO SOMBRA EN LA RESTRICCIN: P (B) P (B)

5 X 1 + 4 X 2=130

 12 4

REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2 FO ( MAX )=2,50 ( 4 )+ 3 (−2,5 )

20 1*,5 3 2,5

FO ( MAX )=210 −7,5 FO ( MAX )=2,5  PRECIO SOBRA

AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C. por cada 24 minutos adicionales al *rea de con)ección se su+e .,/ dólares de utilidad1 C#LCULO DE VALORES M#7IMOS 8 M%NIMOS PERMITIDOS C#LCULO EN LA RESTRICCIN C1 2,5 X 1 + 4 X 2=100

C1: X 1

X 2

0

25

40

0

5 X 1 + 4 X 2=120

C2: X 1

X 2

0

!0

24

0

"R#FICA

PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C1:

2,5 X 1 + 4 X 2= 100

Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=

− A −2,5 = 4 B

VALOR M#7IMO PERMITIDO P (0'!0) y − y 1= m( x − x1 ) y −30 =(

y −30 =

−2,5 4

−2,5 4

)( x −0 )

x

4 y − 120=−2,5 x 2,5 x + 4 y =120

2,5 x + 4 y =120

O+96;

5 X 1 + 4 X 2= 100

.4 e puede incrementar .4 minutos en el *rea de con)ección1

VALOR M%NIMO PERMITIDO P (24'0) y − y 1= m( x − x1 ) y −0 =(

−2,5 4

)( x −24 )

y =

−2,5 4

x +

60 4

2,5 x + 4 y = 60 2,5 x + 4 y = 60

O+96;

2,5 X 1 + 4 X 2=100

B04 e puede disminuir 04 minutos en el *rea de corte1

C#LCULO EN LA RESTRICCIN C2 2,5 X 1 + 4 X 2=100

C1: X 1

X 2

0

25

40

0

5 X 1 + 4 X 2=120

C2: X 1

X 2

0

!0

24

0

"R#FICA


5 X 1 + 4 X 2=120

Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=

− A −5 = 4 B

VALOR M#7IMO PERMITIDO P (40'0) y − y 1= m( x − x1 ) y −0 =(

−5 4

)( x − 40 )

4 ( y − 0)=(−5 )( x −40 ) 4 y =−5 x + 200 5 x + 4 y =200 5 x + 4 y = 200

O+96;

5 X 1 + 4 X 2=120

>4 e puede incrementar >4 minutos en el *rea de con)ección1


y −25 =

−5 4

−5 4

)( x −0 )

x

4 y −100=−5 x

5 x + 4 y =100 5 x + 4 y = 100

O+96;

5 X 1 + 4 X 2=120

B.4 e puede disminuir .4 minutos en el *rea de corte1

CUADRO RESUMEN VARIABLES

PRECIO SOMBRA 5 2,5

C1 C2

VALOR

PERMITO

100 120

20 0

3PERMITID O 40 20

CALCULAR VALOR M#7IMO 8 M%NIMO PERMITIDO EN LA FUNCIN OBJETIVO. FO ( MAX )=2,50 X 1+ 3 X 2

u@eta A: 2,5 X 1 + 4 X 2 ≤ 100 5 X 1 + 4 X 2 ≤ 120

X 1 + X 2 ≥ 0

"R#FICO 2,5 X 1 + 4 X 2=100

C1: X 1

X 2

0

25

40

0

C2: X 1

5 X 1 + 4 X 2=120

X 2

0

!0

24

0

Z ( MAX )=2,50 X 1 + 3 X 2=80 Y =mx + k Y =mx + z

PENDIENTES m 1=

m 2=

−5 4

=−1,25 <¿

−2,5 4

=−0,625 >¿

C#LCULO DE INTERVALOS m 1 ≤−

C 1 ≤m C 2 2

−5 4 15 4

≤−

C 1 3

≥C 1 ≥

≤−

2,5 4

(−3)

7,5 4

3,75 ≥C 1 ≥ 1,88 1,88 ≤C 1 ≤ 3,75


−5 4

−5 4

C 1 ≤m C 2 2

≤−

2,5

≤−

2,5

C 2

≤−

2,5 4

C 2

−5 C 2 ≤ −10 C 2 ≥ 2

−2,5 2,5 ≤− C 2 4 −10 ≤ −2,5 C 2 −2,5 C 2 ≤ −10 C 2 ≥ 4 2 ≤ C 2 ≤ 4

CUADRO RES
VALOR ACTUAL 2,5

PERMITO 1,25

3PERMITIDO 0,$2

C2

!

1

1

EJERCICIO ! 51< %na empresa )a+rica dos productos A y 1 El +ene)icio para A es de ./ dólares por tonelada y para  .4 dólares1 "a planta consta de tres departamentos de producción: Cortado, 8e?clado y Enlata@e1 El e-uipo en cada departamento puede emplearse 0 3oras diarias1 El proceso de producción es el siguiente1 El producto A emplea  3ora de la capacidad de cortado y enlata@e y 4,/ 3ora de me?clado por tonelada1 El producto  re-uiere 4,/ 3ora por tonelada de la capacidad de me?clado y 2D5 3ora de la capacidad de enlata@e1 6(u com+inación de producto de+er* ela+orar la empresa para maximi?ar su +ene)icio7 COR#E A  #O#A"

2/ .04

8E'C"A 54 54 .04

EN"A#AJE ENEFICI 2/ .4 .04

O ./ .4

21< e de+e proponer la )unción o+@etio a maximi?ar z (max) = 25 x + 20 y

.1< se de+e proponer las restricciones c1:15 x ≤ 240 c 2 : 30 x + 30 y ≤ 240 c3 :15 x + 20 y ≤ 240 c4 : x ∧ y ≥ 0

51< se propone la gr*)ica de la )unción

El area mas som+rada, o el triangulo AC, es donde todas las restricciones se cumplen, por lo cual de+emos calcular los puntos A, y C y luego incluirlas en la matri? a maximi?ar para er cual punto es el -ue maximi?a nuestra )unción1 01< !%N#O CRG#ICO A = (0,8) B = (8,0) C =

(0,0)

z (max) = 25 x + 20 y

Rempla?amos en nuestra )unción o+@etio: z (max) = 25x + 20 y z (max) A

=

25*0 + 20*8 = 160

z (max) B

=

25*8 + 20*0 = 200 Está se maximiza

z (max)C

=

25* 0 + 20 *0 = 0

Respuesta: para -ue la utilidad se maximice, se de+e producir > productos de A y ninguno de 

S= >=?= @+@=+ =; /+== = 10 +6 = =; +=6 >= /+=

$e acuerdo al gra)ico este incremento no a)ecta el *rea de optimi?ación, por lo cual la misma se e representada en el tri*ngulo A  C con coordenadas: A9 ;4,>= 9 ;>,4= C9 ;4,4= Rempla?a en la )unción o+@etio z (max) A

=

25 * (0) + 20 * (8) = 160

z (max) B

=

25 *8 + 20 * 0 = 200

z (max)C

=

25* 0 + 20 *0 = 0

El punto -ue maximi?a es el punto 1

P+=/ ?+6 B

B'

=

(8,0)

=

(8, 0)

===

(0,0)

Z

=

25(0) + 20(0) = 0

Esto -uiere decir -ue, por el aumento de 24 3oras en el *rea de corte, nuestra utilidad no se e a)ectada, no se incrementa1

S= @+@=  /+== >= 10 +6 = =; >=@6+6= >= =;66=. c1:15 x

=

240

c 2 : 30 x + 30 y

=

240

c3 :15 x + 20 y

=

250

c4 : x + y

C1 7 2  2  Hra)ico C 2

=

0

7 4

78 8 4 > > 4 24

2 ,

8 2. ,/ 4

C 2

Igualmente, con este incremento el *rea no se e a)ectada1 !untos críticos: A9 ;4,>= 9 ;>,4=

C9 ;4,4= z (max) A

=

25 * 0 + 20 *8 = 160

z (max) B

=

25 *8 + 20 * 0 = 200

z (max) C

=

25 * 0 + 20 *0 = 0

Este punto se maximi?a

P+=/ ?+6 B

B'

=

(8,0)

=

(8, 0)

===

(0,0)

Z

=

25(0) + 20(0) = 0

i se incrementa en 24 3oras la la+or de enlata@e, la utilidad no incrementa1

S= @+@=  /+== >= 10 +6 = =; >=@6+6= >= =G/;6. c1:15 x ≤ 240 c 2 : 30 x + 30 y

≤

250

c3 :15 x + 20 y

≤

240

c4 : x + y

≥

0

C1 7 78 8 2 44 >, 55  2 >,4 4  55 Hra)ico C 2 C En este caso 2 lo cual críticos: !untos críticos: A9 ;4>,55= 9 ;>,554=

7 4 2 

8 2. 4

el *rea de maximi?ación 3a incrementado, por de+emos calcular nueamente los puntos

C9 ;4,4= z (max) A

=

25 * 0 + 20 * 8, 33 = 166, 66

z (max) B

=

25 * 8, 33 + 20 * 0

z (max) C

=

25 * 0 + 20 *0

=

=

208, 2 35

0

!%N#O O!#I8O

P+=/ ?+6 B

=

B'

=

===

Z

=

(8,0) (8, 33; 0) (0,33) 25(0, 333) + 20(0) = 8, 325

i se incrementa 24 3oras de tra+a@o en el *rea de me?cla, la utilidad se incrementa en >,5./ %$1

I/+== H @=+>

C1 C2 C!

P+=/ ?+6

E/6/

 @=+>

4 >,5./ 4

.04 .04 .04

 .04



K

@=+>

2.4 .04 >4

M#7IMO INCREMENTO 8 M%NIMO INCREMENTO EN EL DEPARTAMENTO DE CORTE

Anali?ando el gr*)ico tenemos -ue el incremento permitido es in)inito, mientras -ue la disminución est* dada en el punto 1

9 ;>,4= &amos a calcular la ecuación de la recta en ese punto1 15 x ≤ 120

M#7IMO INCREMENTO 8 M%NIMO INCREMENTO EN EL DEPARTAMENTO DE MECLADO MA7IMIAR

MINIMIAR

30 x + 30 y

≤

240

En este, se lograr* maximi?ar en el punto $ y minimi?ar en el punto C1 8aximi?ar D (16, 0)

m2

=

− 30

30

(y − y1 )

=

( y − 0)

=

m(x − x1 ) −30

( x − 16)

30 −30 x + 480 y − 0 = 30 30 x + 30 y = 480 Minimizar E = (0,0) m2

=

y − 0

−30

30 −30

( x − 0) 30 30 x + 30 y = 0 =

M#7IMO INCREMENTO 8 M%NIMO INCREMENTO EN EL DEPARTAMENTO DE ENLATAJE

15 x + 20 y ≤ 240 En este caso, la maximi?ación seria in)inita pero la minimi?ación se da en el punto F1 B = (0,8)

m3

=

−15

20 (y− y1 ) = m(x − x1) y− 0 = y− 0 =

−15

(x − 8)

20 −15 x + 120

20 15 x + 20 y = 120

CORTE MECLAD O ENLATAJE

P+=/ ?+6 4 >,5./

E/6/

 @=+>

K

.04 .04

 .04

2.4 .04

4

.04



2.4

@=+>

ANK"II $e acuerdo a la ta+la, podemos decir -ue en cuanto a corte lo mínimo permitido es de 2.4 3oras de tra+a@o, en cuanto a me?clado podemos incrementar 3asta .04 3oras y disminuir 3asta .04, en cuanto a enlata@e, podemos incrementar in)initamente y disminuir 3asta 2.4 3oras1

M#7IMO INCREMENTO 8 M%NIMO EN LA FUNCIN OBJETIVO ECUACIN

VALOR

BENEFICIO ./ A (/1) BENEFICIO .4 B (/2)

 @=+>

K

in)inito

/

/

in)inito

@=+>

m1 ≤

c1 c2

≤ m2

FOR8%"A −15

≤

20 (−20)

c1

≤

20 −15

≤

−30

30 c1

20 20 15 ≥ c1 ≥ 20 −15

20 −15

20

≤

≤

25 c2

≤

25 c2

−15c2 ≤

500

c2 ≤ −33,33

25 c2

≤

−30

30

750 ≤ −30c2 −25 ≤ c2

−30

30

≤

−30

30

EJERCICIO 4 01< %na compaLía produce dos tipos de pantalones A y , cada pantalón tipo A re-uiere del do+le de mano de o+ra -ue el de tipo 1 e de+en producir por lo menos menos ./4 pantal pantalon ones es com+i com+inad nados1 os1 El mercad mercado o limita limita la enta enta diaria diaria de pantalones tipo A, a un m*ximo de M/ y los de clase  a un total de 2./ pantalones1 "os +ene)icios por pantalón son  dólares para el tipo A y 0 dólares para para el tipo tipo 1 $ete $eterm rmin inar ar el nme nmero ro de pant pantal alon ones es de cada cada clas clase e -ue -ue maximice la ganancia1

producción &enta diaria &enta diaria %tilidad 1!

!antalón A 2 . 2 

!antalón  . 2 2 0

Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2

sujetoo a : 2! sujet

2 x 1 + x 2 ≥ 250

x 1 ≤ 75 x 2=125 "! #ra$ca:

re-uerimiento ./4 M/ 2./ maximi?ación

C 1 2 x 1 + x 2=250 x 1 0 12 5

x2 25 0 0

C 2 x1 =75 x 1 %5 %5

x2 0 10

C 3 x 2=125 x 1 0 %5

x2 12 5 12 5

&! P'nt P'nto o ()t ()ti* i*o o! A + %5 , 125 +%5, 100-

C 1 2 x 1 + x 2=250 C 2 x1 =75

Ree*)la.ando en C1

x 2=100

5! Ree*)la. ee*)la.o o en la 'nci 'ncin n oeti oetivo! vo! Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2

Z ( maxA )= 6 ( 75 )+ 4 ( 125 ) =950 Z ( maxB )=6 ( 75 ) + 4 ( 100 )= 850

2 ( 75 )+ x2 =250

A la compaLía le coniene producir M/ unidades de pantalones tipo A y 2./ unidades de pantalones pantalones tipo  para la maximi?ación maximi?ación de sus utilidades a P/4 Q1 1 An*lis An*lisis is de sensi+ sensi+ili ilidad dad11 !ara el an*lisis se tra+a@ara con 241 121

C2

6!1!1! ? ( max ) =6 x1 + 4 x 2

suje sujeto to a :

6!1!2!

2 x 1 + x 2 ≥ 260

x 1 ≤ 75 x 2=125 6!1! 6!1!"! "! #ra$ #ra$ca ca::

C 1 2 x 1 + x 2=260 x 1 0 1" 0

x2 26 0 0

C 2 x1 =75 x 1 %5 %5

x2 0 10

C 3 x 2=125 x 1 0 %5

x2 12 5 12 5

6!1!&! P'nto ()ti*o! A + %5 , 125 +%5, 110-

C 1 2 x 1 + x 2=260

Ree*)la.ando en C1

C 2 x1 =75

2 ( 75 )+ x2 =260

x 2=110

6!1!5! Ree*)la.o en la 'ncin oetivo! Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2

Z ( maxA )= 6 ( 75 )+ 4 ( 125 ) =950 Z ( maxB )=6 ( 75 ) + 4 ( 110 )=890 Al a'*entar 3 dis*in'ir en la 'ncin C1 no e4isten ca*ios 3a 'e esta restriccin no es oliatoria!

1.1

C.

6!2!1! ? ( max ) =6 x1 + 4 x 2

sujeto a :

6!2!2!

2 x 1 + x 2 ≥ 250

x 1 ≤ 85 x 2=125 6!2!"! #ra$ca:

C 1 2 x 1 + x 2=250 x 1 0 12 5

x2 25 0 0

C 2 x1 =85 x 1

x2

75 75

0 10

C 3 x 2=125 x 1 0 %5

x2 12 5 12 5

6!2!&! P'nto ()ti*o! A + 75 , 125 +75, 70-

C 1 2 x 1 + x 2=250

Ree*)la.ando en C1

C 2 x1 =85

2 ( 85 )+ x 2=250

x 2=80

6!2!5! Ree*)la.o en la 'ncin oetivo! Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2

Z ( maxA )= 6 ( 85 ) + 4 (125 )=1010 Z ( maxB )=6 ( 85 )+ 4 ( 80 )=830 Al a'*entar 3 dis*in'ir la venta diaria de )antalones A en 10 'nidades la 'tilidad incre*entar8a o decrecer8a en  160!

151

C5

6!"!1! ? ( max ) =6 x1 + 4 x 2 6!"!2!

sujeto a : 2 x 1 + x 2 ≥ 250

x 1 ≤ 75

x 2=135 6!"!"! #ra$ca:

C 1 2 x 1 + x 2=250 x 1 0 12 5

x2 25 0 0

C 2 x1 =85 x 1 75 75

x2 0 10

C 3 x 2=135 x 1 0 %5

x2 1" 5 1" 5

6!"!&! P'nto ()ti*o! A +%5, 1"5 +%5, 100-

C 1 2 x 1 + x 2=250 C 2 x1 =75

Ree*)la.ando en C1

2 ( 75 )+ x2 =250

x 2=100

6!"!5! Ree*)la.o en la 'ncin oetivo! Z ( max ) =6 x1 + 4 x 2

Z ( maxA )= 6 ( 75 )+ 4 ( 135 ) =990 Z ( maxB )=6 ( 75 ) + 4 ( 100 )= 850 Al a'*entar 3 dis*in'ir la venta diaria de )antalones  en 10 'nidades la 'tilidad incre*entar8a o decrecer8a en  &0!

*. P+=/ S?+6  @ @=>==. C2 C. C5

P DE SOMBRA 4 4 04

VALOR ./4 M/ 2./

!unto pendiente en la restricción C 1 : 2 x 1 + x 2=250 Y −Y 1 =m( X − X 1) m=

− A −2 = B 1 &K2

y< y2 9m ;x  x2= ;M/2./= S<2./9 <. ;x  M/= S<2./ 9 <.T 2/4 .TS 9 .M/ y< y2 9m ;x  x2= S<49 <. ;x  4= .TS 9 4

C 2 : x1 =75 Y −Y 1 =m( X − X 1) m= y< y2 9m ;x  x2= ;2./4= S<49 4 ;x  2./=

− A −0 = B 1 &0

∆ PERMITIDO ./ in)inito in)inito

∆ PERMITIDO in)inito 2.,/ in)inito

S<4 9 4 S94 y< y2 9m ;x  x2= ;.,/ 2./=

C 3 : x 2=125 Y −Y 1 =m( X − X 1) m=

− A −1 = 0 &- B

y< y2 9m ;x  x2= ;4./4= S<./49 in)inito ;x  4= S<./4 9 in)inito S 9 in)inito y< y2 9m ;x  x2= ;2.4 2./= S<2./9 in)inito ;x  2.4= S<2./ 9 in)inito S 9 in)inito

EJERCICIO 5 /1< $os pantalones tienen el siguiente proceso1 Uay un taller -ue lo m*s -ue puede 3acer es .44 productos del tipo A o 244 del tipo  por día1 El taller de pintura tiene una capacidad diaria de 2.4 productos del tipo A o 24 del tipo 1 #am+in el tratamiento tcnico puede procesar un total de P4 artículos del tipo A por día1 El producto A tiene una utilidad de 0 dólares y el producto  de  dólares1 $etermine la producción óptima -ue maximice los +ene)icios A;;ER 1 PR?@UC? A 200 1 PR?@UC?  100 2

A;;ER P<=URA 120 160

RAA>
U<;<@A@ & 6

Z ( MAX )= 4 X 1 +6 X 2

C 1:100 X 1+ 200 X 2 ≤ 20000 C 2:160 X 1+ 120 X 2 ≤ 19600 C 3 : X 1 ≤ 90 C1: X Y 1 0 X 0 0

0 0 2 12

C2: Y

16 0 0

0 0 0

AB +090B +2090CB +%662@B +1200EB +00-

PARA 2 @E 

PARA C

C 1:100 X 1+ 200 X 2=20000 C 1:100 X 1+ 200 X 2=20000 C 3 : X 1= 90 C 2:160 X 1+ 120 X 2 ≤ 19600 100 X 1 + 200 ( 90 ) =20000

X 1=

X 1=

100

(

19600−12 0 X 2 160 20000 − 18000 100 19600 −12 0 X 2 160

)+

200 X 2 = 20000

X 1=20 19600−12000 X 2 + 32000 X 2 =160 ( 20000 ) 20000 X 2=3200000 −196000

X 2= 62

X 1=

X 1=

19600−120 ( 62 ) 160

19600−7440 160

X 1=

19600 − 120 ( 62) 160

X 1=76

Z ( MAX )= 4 X 1 +6 X 2 Z ( maxA )= 4 ( 0 )+ 6 ( 90 )=0 + 540=540 Z ( maxB )= 4 ( 20 ) + 6 ( 90 ) =80 + 540 =620 Z ( maxC )= 4 ( 76 )+ 6 (62 )=304 +372 =676 Z ( maxD )=4 ( 120 ) + 6 ( 0 )= 480 + 0 =480 Z ( maxE )= 4 ( 0 ) + 6 ( 0 )=0 De dee )rod'cir %6 )rod'ctos de A 3 62 )rod'ctos de  )arta otener la *4i*a 'tilidad de 6%6!

Precio so*ra AU>E=? E= C1

C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=19600 C 3 : X 1= 90

C1: X Y 1 0 X 1 0

0 0 2 12 2 0 0

C2: Y

16 0 0

AB +090B +6590CB +6&%7@B +1200EB +00PARA 1 @E 

C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 3 : X 1= 90 200 X 2=20000 −100 ( 90 )

X 2=

22000 −90000 200

X 2= 65

1  2 PARA CG

C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=19600

100 X 1=22000 −200 X 2

X 1=

22000 − 200 X 2 100

1 E= C2 160

(

22000 −200 X 2 100

)+

120 X 2=19600

3520000 − 32000 X 2 + 12000 X 2 =19600 ( 100 ) 20000 X 2=196000 − 3520000

X 2=78 X 1=

22000 − 200 ( 78 ) 100

X 1= 64

Precio Do*ra de CG C+%6,62CG+6&,%7+*a4-B &+I12-J6+16-B &7J96 Precio so*ra B &7 DISMINUYO C

C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=13000 C 3 : X 1= 90 X Y 0 1 C1:

0 0 2 0 0 0

C2:

X 0

11

Y

15 7 "" 0

8, 75

AB +090B +2090CB +%765@B +1200EB +001  2 PARA CG

C 1:100 X 1+ 200 X 2=22000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=19000 100 X 2=20000 −100 X 1

X 1=

20000 − 100 X 1 200

2 E= C2

160 X 1 + 120

(

20000 −100 X 1 200

)=

19000

32000 X 1 + 2400000 − 12000 X 1= 19000 ( 200 ) 20000 X 1=3800000 −2400000

X 2=78 X 1=

1400000 2000

X 1=70 Precio Do*ra de C2 C+%6,62CG+%0,65I6,J" +*a4-B &+I6-J6+"-B I2&J17 Precio so*ra B I6 ;A U<;<@A@ HA @<=U<@? E= 6 AU>E=?  @<=UC<(= PER><<@? JI @E C1 C1: X Y 1 0 X 0 0

0 0 2 12 0 0 0

C2: Y

16 0 0

X 2= 90

C":

1 PER><<@?

Y −Y 1 =m ( X − X 1 ) m=

−100 200

y =90 C 2:160 X 1+ 120 ( 90 )=19600 X 1=

19600 −10800 160

X 1=55 y −90 =

−100 200

( x −55 )

200 Y + 18000=−100 X + 5500 200 Y + 100 X =23500 23500−200 Y =3500

I

PER><<@A

y −0 =

−100 200

( x −120 )

200 Y + 100 X =12000 20000−1200 =8000

J K C2

C 1:100 X 1+ 200 X 2=20000 C 2:160 X 1+ 120 X 2=19600 C 3 : X 1= 90

#RLFERA J PER><<@?

Y −Y 1 =m ( X − X 1 ) m=

−160 120

y −O =

−160 120

( X −200 )

120 Y + 160 X =32000 32000−19600 =12400

>E=?D PER><<@?

y −90 =

−160 120

( X −20 )

120 Y + 10800=−160 X + 3200 160 X −120 Y =1400 19600 −14000 =5600

>L<>? <=CRE>E=?  =M=<>? E= ;A FU=C<(= ?NE<E ACUA; & 6

PR?@UC? A PR?@UC? 

Z ( MAX )= 4 X 1 + 6 X 2=676 m=

m=

−100 200

−160 120

−100 200

≤−

C 1 6

≤−

160 120

−¿ ¿ ¿ 600 200

≥C 1 ≥

960 120

3 ≥C 1 ≥ 8

+",7&I"B1 7I&B&

−100 200

−1

≤−

100 200

≥

4

C 2 4

C 2

≤−

≥

160 120

160 120

>A PER><<@? & 2

><= PER><<@? 1 "

100 800

C 2

≥

1

C 2

≥

( )≥ 100 800

480

1

1

C 2 ≥

C 2 ≥

160

100 800

800 100

C 2 ≥ 8 +",7-

C 2

( )≥ 160 480

1

C 2 ≥

C 2 ≥

160 480

480 160

C 2 ≥ 3 +",76I"B" 7I6B2

1

EJERCICIO N $ e producen dos artículos A y  los mismos -ue son procesados por tres m*-uinas 82, 8. y 851 "a m*-uina 82 procesa 4,/ unidades de A y 4,/ de  8. procesa 2 de A, y 4,/ de  85 procesa 4,/ de a y tres de 1 e dispone al menos de / 3oras semanales para 82, P/ para 8. y 244 para 851 El costo de A es de tres dólares y cinco dólares el de 1 6Cu*ntas unidades de A y  se de+e producir para -ue el costo sea mínimo7

82 8. 85 CO#E

2 A 4,/ 2 4,/ >Q

.  41/ 41/ 5

RE( / P/ 244  Q

IDENTIFICAR DE LA FUNCIN OBJETIVO

 ()& !71572 SUJETA A: ESTABLECER LAS RESTRICCIONES 0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 65 1 X 1+ 0,5 X 2 ≥ 95 0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 100

X 1 + X 2 ≥ 0

C1: 0,5710,572& $5

! 0 1"0

Y 1"0 0

HRAFICAR:

PUNTOS CR%TICOS AB +0 ,190B +60 , %0CB +116 , 1&@B +200,0-

C2: 0,5710,572& 5

! 0 95

Y 190 0

C!: 0,5710,572& 100

! 0 200

Y """" 0

P I=+=// E C1



C2

0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65

;<22=

X 1 + 0,5 X 2 =95

−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 X 1+ 0,5 X 2=95 0,5 X 1=30 X 1=60 0,5 ( 60 )+ 0,5 X 2 = 65 4 X 2=−30 + 65 0,5 X 2=35

X 2=70

C1 , C2 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65

;<2=

0,5 X 1 + 3 X 2=100

−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 0,5 X 1+ 3 X 2= 100 2 , 5 X 2 =35 X 2=14 0,5 x1 + 0,5 ( 14 )=65 0,5 X 1=+ 7 =65

0,5 X 1=58

X 1=116

IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA M;min= A: 5;4= T / ;2P4= 9 P/4 M;min= : 5;4= T / ;M4= 9 /54 M;min= C: 5;22= T / ;20= 9 02>

P O@

M;min= $: 5;.44= T / ;4= 9 44

AN#LISIS DE SENSIBILIDAD e dispone en 8A(%INA 82 de / UORA extras para lo cual la restricción C2 -ueda de la siguiente manera: 0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 70

*() : !71  572 SUJETA A 0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 70 1 X 1+ 0,5 X 2 ≥ 95 0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 100

X 1 + X 2 ≥ 0

C1

0,5 X 1 + 0,5 X 2=70

! 0 1&0

Y 1&0 0

C2: ! 0 95

1 X 1+ 0,5 X 2=95

Y 190 0

C!: ! 0 200

0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 100

Y """" 0

Hra)icar

PUNTOS CR%TICOS AB +0 ,190B +90 , 50CB +127 , 12C1 @B, +200,0C2 0,5 X 1 + 0,5 X 2=70

;<2=

1 X 1+ 0,5 X 2=95

−0,5 X 1 −0,5 X 2=−70 1 X 1 + 0,5 X 2 =95 0 , 5 X 1=25 X 1=50 0,5 ( 50 )+ 0,5 x 2=70

0,5 X 2=−250 + 70 0,5 X 2= 45

X 2= 90

C1  C! 0,5 X 1 + 0,5 X 2=70

;<2=

0,5 X 1 + 3 X 2=100

−0,5 X 1 −0,5 X 2=−70 0,5 X 1+ 3 X 2=100 2 , 5 X 2 =30 X 2=12 0,5 x1 + 0,5 ( 12)= 70 0,5 X 1=+ 6 =70 0,5 X 1=64

X 1=128

IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA M;min= A: 5;4= T / ;4= 9 P/4 M;min= : 5;P4= T / ;/4= 9 /.4 M;min= C: 5;2.>= T / ;2.= 9 000 !unto Optimo M;min= $: 5;.44= T / ;4= 9 44

PRECIO SOMBRA C9 ;22 , 20= C29 ;2.> , 2. =

2.

 .

REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO M;min= C: 5;2.= T / ;<.= 9 .

PRECIO SOBRA

AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C2 por cada / UORA adicionales en 82 se su+e . dólares de utilidad1

e dispone en 8A(%INA 8. de / UORA extras para lo cual la restricción C. -ueda de la siguiente manera:

C2 /+==6 = ∆ " *() : !71  572 SUJETA A

0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 65 1 X 1+ 0,5 X 2 ≥ 100 0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 100

C1

0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65

! 0 1"0 HRAFICAR

Y 1"0 0

C 2=1 X 1 + 0,5 X 2=100 ! 0 100

Y 200 0

C 3:0,5 X 1 + 3 X 2=100 ! 0 200

Y """" 0

PUNTOS CR%TICOS AB +0 ,2000B +%0 , 60CB +116 , 1&@B +200,0-

C1 , C2 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65

;<2=

1 X 1+ 0,5 X 2=100

−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 1 X 1 + 0,5 X 2 =95 0 , 5 X 1=35 X 1=70 0,5 ( 70 )+ 0,5 x 2= 65 0,5 X 2=−35 + 65 0,5 X 2=30

X 2= 60

C1  C!

0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65

;<2=

0,5 X 1 + 3 X 2=100

−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 0,5 X 1+ 3 X 2= 100 2 , 5 X 2 =35 X 2=14

0,5 x1 + 0,5 ( 14 )=65 0,5 X 1=+ 7 =65 0,5 X 1=58

X 1=116

IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA M;min= A: 5;4= T / ;.44= 9 2444 M;min= : 5;M4= T / ;4= 9 /24 M;min= C: 5;22= T / ;20= 9 02> !unto Optimo M;min= $: 5;.44= T / ;4= 9 44

PRECIO SOMBRA C9 ;22 , 20= C29 ;22 , 24 =

 4

 4

REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO *() CIII: !(0)  5 (0) & 0 PRECIO SOBRA

AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C. por cada / UORA adicionales en 8. se su+e 4 dólares de utilidad1

e dispone en 8A(%INA 85 de / UORA extras para lo cual la restricción C5 -ueda de la siguiente manera:

C! /+==6 = ∆ " *() : !71  572 SUJETA A 0,5 X 1 + 0,5 X 2 ≥ 65 1 X 1+ 0,5 X 2 ≥ 95 0,5 X 1 + 3 X 2 ≥ 105

C1

0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65

HRAFICAR ! 0 1"0

Y 1"0 0

C 2=1 X 1 + 0,5 X 2=95 ! 0 95

Y 190 0

C 3:0,5 X 1 + 3 X 2=105 ! 0 210

Y "5 0

PUNTOS CR%TICOS AB +0 ,190B +60 , %0CB +11& , 16@B +210,0-

C1 , C! 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65

;<2=

1 X 1+ 0,5 X 2=105

−0,5 X 1 −0,5 X 2=−65 1 X 1 + 0,5 X 2 =95 2 , 5 X 2= 40 X 2=16 0,5 x1 + 0,5 ( 16 )=65 0,5 X 1=−8 + 65

0,5 X 1=57

X 1=114

IDENTIFICAR LA SOLUCIN PTIMA M;min= A: 5;4= T / ;2P4= 9 P/4 M;min= : 5;4= T / ;M4= 9 /54 M;min= C: 5;220= T / ;2= 9 0.. !unto Optimo M;min= $: 5;.24= T / ;4= 9 54

PRECIO SOMBRA C9 ;22 , 20= C29 ;220 , 2 =

v .

 .

REMPLAAMOS EN LA FUNCIN OBJETIVO *() CIII: !(K2)  5 (2) & 4 PRECIO SOBRA

AN#LISIS: !recio som+ra -ue est* asociado a la restricción C5 por cada / UORA adicionales en 85 se su+e 0 dólares de utilidad1

C1 VALOR M#7IMO PERMITIDO (200'0)

PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C 1:0,5 X 1+ 0,5 X 2=65 Y −Y 1 =m ( X − X 1) m= y< y2 9m ; x  x2= y<49 <2 ;x  .44=

− A −−0,5 = 0,5 B

&1

S<4 9 <T .44 Ty 9 .44

VALOR M%NIMO PERMITIDO P (5,45 ' 1,0) y − y 1= m( x − x1 )

−1 ( x −85,45 ) y −19,09 =¿ y −19,09 =− x + 85,45

− y −104,58 =− x x + y =104,58

x + y =104,58 O+96;

0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65

!,5

C2 , /! 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 65 1 X 1+ 0,5 X 2= 105

;5=

;<4,/=

+ 3 X 1 + 0,5 X 2 =95 −9,25 X 1 + 1,5 X 2 =50 2 , 75 X 1=235 X 1=85,45 0,5 ( 85,45 )+ 3 X 2= 100 42,72 =+ 3 X 2+ 100

3 X 2=57

,.>

X 2=19,09

C2 VALOR M#7IMO PERMITIDO (11$ ' 14)

PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C 2 : 1 X 1+ 0,5 X 2=95 Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=

− A −−1 = 0,5 B

S < y2 9m ; x  x2= S <20 9 <. ;x  22= S <20 9 <.T .5. .Ty 9 .0

VALOR M%NIMO PERMITIDO P (0 ' 0) y − y 1= m( x − x1 )

−1 ( x −0 ) y −0 =¿ y −0 =− x + 0

− y −0 =−2 x + 0 2 x + y =0

2 x + y =0

O+96; 1 X 1 +0,5 X 2 =95

& K2

C! VALOR M#7IMO PERMITIDO ($0 ' *0)

PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C 1:0,5 X 1+ 3 X 2=100 Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=

− A −−0,5 = & K1$ B 3

−1 S < M4 9

6

; x  4=

y<0.4 9 4

VALOR M%NIMO PERMITIDO P (0 '0) y − y 1= m( x − x1 )

( x −0 ) −1 / 6 ¿ y −0 =¿

$ y −1 =− x + 0 x + 6 y =0 C%A$RO $E RE%8EN

C2 C. C5

P DE SOMBRA

VALOR

∆ PERMITIDO

∆ PERMITIDO

. 4 0

/ P/ 244

25/ 2/2 5>4

/ P/ 244

E=+// N 0* M1< %n )a+ricante de gasolina para aiación ende dos clases de com+usti+le A y 1 El com+usti+le A tiene 2.,/V de gasolina grado 2 y . y ./V de gasolina grado 51 El com+usti+le  tiene ./V de gasolina grado . y 51 $isponi+le para la producción 3ay ./ galones D 3ora de gasolina grado 2 y 244 D 3ora de gasolina . y 51 "os costos son de 2/centaos por galón de gasolina grado 2, el galón de gasolina grado . cuesta 54 centaos y 0/ centaos por galón de gasolina grado 51 El com+usti+le A puede enderse a 4,M2dólares por galón, mientras -ue el com+usti+le  alcan?a 4,M/ centaos por galón1 6(u cantidad de+e )a+ricarse de cada com+usti+le para o+tener el mayor +ene)icio7

D6

"6;6 9+6> 1 "6;6 9+6> 2 "6;6 9+6> ! C U;>6>

C??;= A 4,2./ 4,2./ 4,./ 4,2/ 4,M2

C??;= B < 4,./ 4,./ 4,54 4,M/

R==+= ./ 244 244 4,0/

IDENTIFICAR LAS VARIABLES DE DECISIN Com+usti+le A ≥ X 1 Com+usti+le B ≥ X 2

IDENTIFICAR LA FUNCIN OBJETIVO 8aximi?ar las ganancias anancia= !" −Costo Costo =Costo Materia !rima + Costo Mano #eo$ra Costocom$usti$%e A =1,875 + 3,75 + 11,25=16,88 =0,17 Costo com$usti$%e B =7,5 + 11,25=18,75 =0,19 anancia#e A =0,71−0,17 =0,54

Hanancia de B =0,75 −0,19= 0,56 F & O≥ Z ( max )=0,54 X 1 + 0,56 X 2

IDENTIFICAR LAS RESTRICCIONES u@eta a: C 1 0,125 X 1 ≤ 25 C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2 ≤ 100 C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2 ≤ 100 X 1 ˄ X 2 ≥ 0

"R#FICO:

C 1 0,125 X 1=25

C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2=100

X 1=250 / 0,125

X 1 X 2

X 1=200

4 >44

4

4

044 4

A :( 0 ' 400) B : ( 200 ' 200) C : ( 200 ' 0 ) D : ( 0 ' 0 )

<

Interpretación ecuación C 1 y C 3

0,125 X 1=25

X 1 X 2

044

CALCULAR LOS PUNTOS CR%TICOS

!unto :

C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2=100

044

X 1=25 /0,125 X 1=200

<

0,25 X 1+ 0,25 X 2=100 0,25 ( 200 )+ 0,25 X 2=100 0,25 X 2 =100 −50

X 2=50 / 0,25 X 2=200

SOLUCIN PTIMA Z ( Max )=0,54 x 1 + 0,56 x 2

•

•

•

•

Z ( Max ) A =0,54 ( 0 )+ 0,56 ( 400 )=224 !unto()timo Z ( Max ) B =0,54 ( 200)+ 0,56 ( 200 )=220 Z ( Max ) C = 0,54 ( 200 )+ 0,56 ( 0 )=108 Z ( Max ) D =0,54 (0 )+ 0,56 ( 0 )= 0

INTERPRETACIN DE LA SOLUCIN !ara cual-uier empresa lo m*s recomenda+le es )a+ricar solo el com+usti+le tipo A en una cantidad de 044 gl, pues así indica el m*ximo de utilidades para la empresa1 "legando a o+tener una utilidad de Q ..01

AN#LISIS DE SENSIBILIDAD CALCULO DE LOS PRECIOS SOMBRA upongamos -ue 3ay disponi+les 24 galones extras de gasolina grado 5 de modo -ue la ecuación -ue de la siguiente manera F & O=¿ Z ( max )=0,54 x 1+ 0,56 x 2

RESTRICCIONES u@eta a:

0,25 x 1 + 0,25 x 2 ≤ 110

C 1 0,125 X 1 ≤ 25 C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2 ≤ 100 C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2 ≤ 110 X 1 ˄ X 2 ≥ 0 0,125 X 1 =25

29 ./D4,2./

X 1=200

C 2 0,125 x 1 + 0,25 x 2 =100 2 4 >44

PUNTOS CR%TICOS A : ( 0 ' 400) B : ( 80 ' 360 ) C : ( 200 ' 200 )

. 044 4

C 3 0,25 x 1 +0,25 x 2 =110 2 4 004

. 004 4

D : ( 200 ' 0 ) E : ( 0 ' 0 )

!%N#O : Interpretación de la ecuación C 2 y C 3 (−1) 0,125 X 1+ 0,25 X 2 =100

<

0,25 X 1+ 0,25 X 2 =110 0,125 X 1=10

X 1=10 / 0,125 X 1=80

<

0,25 X 1+ 0,25 X 2=110 0,25 ( 80 )+ 0,25 X 2=110 0,25 X 2 =110−20

X 2=90 / 0,25 X 2=360

Interpretación ecuación C 1 y C 3

!unto C: <

0,125 X 1=25

X 1=25 /0,125 X 1=200

<

0,25 X 1+ 0,25 X 2=100 0,25 ( 200 )+ 0,25 X 2=100 0,25 X 2 =100 −50

X 2=50 / 0,25 X 2=200

SOLUCIN PTIMA Z ( max)= 0,54 x 1 + 0,56 x 2

•

•

•

•

•

Z ( max) A =0,54 ( 0)+ 0,56 ( 400 )= 224 Z ( max ) B =0,54 ( 80 )+ 0,56 ( 360 )=244,8 !unto()timo !unto ()timo Z ( max) C =0,54 ( 200 )+ 0,56 ( 200 )=220 Z ( max) D = 0,54 ( 200 )+ 0,56 ( 0 )=108 Z ( max) E =0,54 ( 0)+ 0,56 ( 0 )=0

PUNTO SOMBRA C : ( 0 ' 400 ) C 1 : ( 80 ' 360 )

 >4 B<04 Z ( max)= 0,54 ( 80 )+ 0,56 (−40 ) Z ( max ) =43,2 − 22,4 Z ( max)= 20,8

!recio som+ra asociado a la restricción C5

upongamos -ue 3ay disponi+les 24 galones extras de gasolina grado . de modo -ue la ecuación -ue de la siguiente manera F & O=¿ Z ( max )=0,54 x 1+ 0,56 x 2

RESTRICCIONES u@eta a: C 1 0,125 X 1 1 ≤ 25 C 2 0,125 X 1 1+ 0,25 X 2 ≤ 110 1 + 0,25 X 2 ≤ 100 C 3 0,25 X 1

1 ˄ X 2 2 ≥ 0 X 1

0,125 x 1 + 0,25 x 2 ≤ 110

C 1 0,125 X 1 =25

C 2 0,125 x 1 + 0,25 x 2 =110

29 29 ./D4 ./D4,2 ,2./ ./

2

1=200 X 1

4 >>4

. 004 4

PUNTOS CR%TICOS A :( 0 ' 400) B : ( 200 ' 200) C : ( 200 ' 0 ) D : ( 0 ' 0 )

!%N#O : Interpretación de la ecuación C 1 y C 3 <

0,125 X 1 1=25 25

<

X 1 1=

<

X 1=200

<

0,125

0,25 x 1 + 0,25 x 2 =100

C 3 0,25 x 1 +0,25 x 2 =100 2 4 044

. 044 4

0,25 ( 200 )+ 0,25 X 2 2=100 0,25 X 2=100 −50 2= 50 / 0,25 X 2

X 2 2= 200

SOLUCIN PTIMA Z ( max)= 0,54 x 1 + 0,56 x 2

•

•

•

•

Z ( max ) A = 0,54 ( 0 ) + 0,56 ( 400 )=224 !unto()timo !unto ()timo Z ( max ) B =0,54 ( 200 )+ 0,56 ( 200 )=220 Z ( max) C =0,54 ( 200 )+ 0,56 (0 )=108 Z ( max) D = 0,54 ( 0 )+ 0,56 ( 0 )=0

C : ( 0 ' 400 ) C 1 : ( 0 ' 400)

B4 4 Z ( max)= 0,54 ( 0 )+ 0,56 ( 0 ) Z ( max)= 0 + 0 Z ( max)= 0

!recio som+ra asociado a la restricción C.

T6?;6 +== VARIABLES C2 C. C5

PRECIO SOMBRA 4 4 .4,>

VALOR ./ 244 244

CALCULO DE MA7IMOS 8 MINIMOS PERMITIDDOS

RESTRICCIN C2 4,2./x2 T 4,./x. W 244

!unto pendiente y − y o =* ( x − x o )

!endiente *=

*=

− A B −0,125 0,25

VALOR M%NIMO PERMITIDO P (200' 0) y −0 =

−0,125 0,25

( x −200 )

0,25 y =−0,125 ( x − 200 )

0,25 y =−0,125 x + 25

0,125 x + 0,25 y =25

VALOR M#7IMO PERMITIDO !ara esta restricción no se permite un alor mayor

CALCULO M#7IMOS 8 MINIMOS RESTRICCIN C! 4,./x2 T 4,./x. W 244


!endiente *=

*=

− A B −0,25 0,25

VALOR M%NIMO PERMITIDO P (200' 0) y −0 =

−0,25 0,25

( x −200 )

0,25 y =−0,25 ( x −200 )

0,25 y =−0,25 x + 50

0,125 x + 0,25 y =50

VALOR M#7IMO PERMITIDO P (200' !00) <

0,125 x 1=25

X 1=25 /0,125 X 1=200

<

0,125 x 1 + 0,25 x 2 =100 0,125 ( 200 )+ 0,25 x 2 =100 0,25 x 2=100 − 25

X 2=75 / 0,25 X 2=300


!endiente *=− A / B *=−0,25 / 0,25 y − y 1= m( x − x1 ) y −200 =(−0,25 /0,25 )( x −300 )

0,25 y −200 =−0,25 ( x −300 )

0,25 y −200 =−0,25 x + 75

0,125 x + 0,25 y =75 + 200

0,125 x + 0,25 y =275

TABLA RESUMEN: VARIABLES

PRECIO SOMBRA 4 4 .4,>

C2 C. C5

VALOR

PERMITO

./ 244 244

< < 2M/

3PERMITID O < M/ /4

CALCULAR VALOR M#7IMO 8 M%NIMO PERMITIDO EN LA FUNCIN OBJETIVO. Z ( max ) =0,54 X 1 + 0,56 X 2=224

2

.

4

044

020,>2

4

u@eta a: C 1 0,125 X 1 ≤ 25 C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2 ≤ 100

C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2 ≤ 100 X 1 ˄ X 2 ≥ 0

"R#FICO: C 1 0,125 X 1=25

C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2=100

X 1=250 / 0,125 X 1=200

X 1 X 2 4 >44

Z ( MAX )=2,50 X 1 + 3 X 2=80 Y =mx + k

C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2=100 X 1 X 2

044

4

044

4

044 4

Y =mx + z

PENDIENTES m 1=

m 2=

−0.125

C 2 0,125 X 1+ 0,25 X 2=100

0.25

−0.25

C 3 0,25 X 1 + 0,25 X 2=100

0.25

FUNCIN OBJETIVO

Z ( max ) =0,54 X 1 +0,56 X 2


C 1 ≤m C 2 2

−0.125 0,25 0.07 0.25

≤−

≥ C 1 ≥

C 1 0,56

≤−

0,25 0.25

(−0,56 )

0.14 0,25

0,28 ≥C 1 ≥ 0,56 0,28 ≤C 1 ≤ 0,56


C 1 ≤m C 2 2

−0.125 0,25

≤−

0.54

C 2

≤−

0,25 0.25

−0,25 0,125 0.135 0.125

≤−

C 2 0,54

≥C 2 ≥

≤−

0,25 0.25

(−0,54 )

0,135 0,25

1,08 ≥C 2 ≥ 0,54 0,54 ≤ C 2 ≤ 1,08

CUADRO RES
VALOR ACTUAL 41/0 41/

PERMITO

3PERMITIDO

4,4. 4,4.

4,. 4,/.

EJERCICIO  .K %n estacionamiento puede atender cuando m*s a 244 e3ículos entre automóiles y camiones1 %n automóil ocupa die? metros cuadrados, mientras -ue un camión necesita un *rea de .4 metros cuadrados, y se sa+e -ue el *rea total del estacionamiento es de 2.44 metros cuadrados1 "a tari)a -ue se co+ra mensualmente es de .4 dólares por auto y 5/ dólares por camión1 6Cu*ntos e3ículos de cada tipo le proporcionar*n al esta+lecimiento una ganancia

m*xima7

C6@6/.

244 e3ículos

E6?;=/=: A;:

10 m

C6:

20 m

#+=6

2

#ari)a Automóil

Q.4,44

#ari)a Camión

5/,44

2

2 2.44 m

E6/6= "==+6+ V6+6?;=: : NX de Automóiles S: NX de Camiones

R=+//=: xTyY244 24xT.4yY2.44

2= x + y =100

.=

y =100 − x

10 x + 20 y =1200

10 x =1200 −20 y

x + y =100

2= x 4 2.4 x 4 244

S 244 4

F/ @6 H9 .4xT5/y

S 4 4

10 x + 20 y =1200

.=

!unto  10 x + 20 y = 1200

<24x<24y9<2444 10 y = 200

y =20 en c 2 x =80

S;/:

P: A: ;44= : ;>4 .4= C: ;244 4=

(M6H)& 20 H  !5  .4 ;4=T5/ ;4=9.244 .4 ;>4=T5/ ;.4=9.544 .4 ;244=T5/ ;4=9.444

"a

empresa para o+tener una ganancia m*xima de+er* almacenar >4 autos y .4 camiones1

2.K CAMBIOS EN LAS RESTRICCIONES PARA EL C#LCULO DEL PRECIO SOMBRA.

x + y =100

2=

H 4 2.2

 41/ 4

10 x + 20 y =1210

H 8 4 244 244 4 HRKFICA

!unto  10 x + 20 y = 1210

<24x<24y9<2444 10 y = 210

y =21 en c 2 x =79

.=

P:

(M6H)& 20 H  !5 

A: ;44,/=

.4 ;4=T5/ ;4,/=9.22M,/

: ;MP .2=

.4 ;>4=T5/ ;.2=9.52/

C: ;244 4=

.4 ;244=T5/ ;4=9.444

!%N#O !#I8O 21 ;>4 .4= .1 ;MP .2= B22 !unto9 ;<2 2= reempla?a en la )unción o+@etio H9 .4xT5/y

Z ( M+X )=20 X + 35 Y Z ( M+X )=20 (−1 )+ 35 ( 1 ) Z ( M+X )=−20 +35 Z ( M+X )=15

S;/ & En +ase a estos resultados, es importante mencionar -ue por cada 2

10 m

-ue se incremente en el *rea del estacionamiento es posi+le generar

Q2/ de aumento en la ganancia m*xima1

!.K CAMBIOS EN LAS RESTRICCIONES PARA EL C#LCULO DEL PRECIO SOMBRA. x + y =110

2=

H 4 2.4

 4 4

10 x + 20 y =1200

H  4 224 224 4 "R#FICA

!unto  10 x + 20 y = 1200

<24x<24y9<2244 10 y = 100

.=

y =10 en c 2 x =100 P:

(M6H)& 20 H  !5 

A: ;4  4=

.4;4=T5/ ;4=92.44

: ;244  24=

.4 ;244=T5/ ;24=9.5/4

C: ;224 4=

.4 ;224=T5/ ;4=9..44

PUNTO PTIMO 21 ;>4 .4= .1 ;244 24= .4B24 !unto9 ;.4 <24= reempla?a en la )unción o+@etio ';8A=9 .4xT5/y

Z ( M+X )=20 X + 35 Y Z ( M+X )=20 ( 20)+ 35 (−10 ) Z ( M+X )= 400−350 Z ( M+X )=50

S;/ & En +ase a estos resultados, es importante mencionar -ue por cada 2

10 m

-ue se incremente en el *rea total del estacionamiento es posi+le

generar Q/4 de aumento en la ganancia m*xima1

C#LCULO DE VALORES M#7IMOS 8 M%NIMOS PERMITIDOS C#LCULO EN LA RESTRICCIN C1 C1: x T y ¿ 100 7

8 0

100

100

0

10 x + 20 y =1200

C2: X 1

X 2

0

$0

120

0

"R#FICA

PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C1: x + y =100 Y −Y 1 =m ( X − X 1) m=

− A −1 = 1 B

VALOR M%NIMO PERMITIDO P (0'$0) y − y 1= m( x − x1 ) y −60 =(−1 )( x −0 ) y −60 =− x x + y =60

x + y =100

O+96;

x + y =60

B04 Es posi+le disminuir 04 m. en el *rea de estacionamiento1

VALOR M#7IMO PERMITIDO P (120 ' 0) y − y 1= m( x − x1 ) y −0 =(−1 )( x −120 ) y =− x + 120 X + Y =120 x + y =100

O+96;

x + y =120

.4 e puede aumentar 3asta .4 m. en el *rea de estacionamiento1

C#LCULO EN LA RESTRICCIN C2

10 x + 20 y =1200

C2: X 1

X 2

0

$0

120

0

C1: x T y ¿ 100 7

8 0

100

100

0

"R#FICA

PUNTO PENDIENTE EN LA RESTRICCIN C2: Y −Y 1 =m ( X − X 1)

10 x + 20 y =1200

m=

− A −10 = B 20


y =

y =

−10

−10 20

20

x +

)( x −100 )

1000 20

−10 x + 1000 20

20 y =−10 x + 1000 10 x + 20 y =1000

10 X + 20 Y =1200

O+96;

10 x + 20 y =1000

B.44 e puede incrementar .44 m. en el *rea de estacionamiento1


y −100 =

−10 20

−10 20

)( x −0 )

x

20 y −2000 =−10 x 10 x + 20 y =2000

10 X + 20 Y =1200

O+96;

10 x + 20 y =2000

>44 e puede aumentar >44 m. en el *rea de estacionamiento1

CUADRO RESUMEN VARIABLES C1

PRECIO SOMBRA 50 15

VALOR

PERMITO

100 1200

120 00

3PERMITID O $0 200

C2 CALCULAR VALOR M#7IMO 8 M%NIMO PERMITIDO EN LA FUNCIN OBJETIVO.

"==+6+ V6+6?;=: R=+//=: : NX de Automóiles C1: xTyY244 S: NX de Camiones C2: 24xT.4yY2.44 2= x + y =100

.=

y =100 − x

10 x + 20 y =1200

10 x =1200 −20 y

x + y =100

2= x 4 2.4  4 244

S 244 4

F/ O?= ';8ax=9 .4xT5/y

S 4 4

10 x + 20 y =1200

.=

Z ( MAX )=2,50 X 1 + 3 X 2=80 Y =mx + k Y =mx + z

PENDIENTES m 1=−1 m 2=

−10 20


C 1 ≤m C 2 2

−1 ≤−

C 1 35

≤−

10 20

−1 ≤−

C 1 35

−35 ≤ −C 1 35 ≥C 1

−C 1 35

≤−

10 20

−20 C 1 ≤−350 ;<2= 20 C 1 ≥ 350

C 1 ≥ 17.5 35 ≤C 1 ≤ 17.5


C 1 ≤m C 2 2

−1 ≤−

20

−1 ≤−

20

C 2

≤−

10 20

C 2

−C 2 ≤ −20 ;<2= C 2 ≥ 20

−20 10 ≤− C 2 20 −400 ≤−10 C 2 ;<2= 400 ≥ 10 C 2

40 ≥ C 2 40 ≤ C 2 ≤ 20

CUADRO RES
VALOR ACTUAL 20 !5

PERMITIDO !5 40

3PERMITIDO 1*.5 20

EJERCICIO  9.- U !t"i#i$ista ases$"a a ! i%i&i%!$ '!e s!"e !a %ei#ie#ia %e ie""$ y &itamia B, y *e i%i#a '!e %e+e ie"i" a* me$s 2400 m %e ie""$, 2100 m %e &itamia B-1 (tiamia) y 1500 m %e &itamia B-2 ("i+$*a&ia) %!"ate #ie"t$ .e"/$%$ %e tiem.$ Existe %$s ./*%$"as %e &itamias %is.$i+*es, *a ma"#a  y *a ma"#a B a%a ./*%$"a %e *a ma"#a  #$tiee 40 m %e ie""$, 10 m %e &itamia B-1, 5 m %e &itamia B-2 y #!esta 6 #eta&$s a%a ./*%$"a %e *a ma"#a B #$tiee 10 m %e ie""$, 15 m %e &itamia B-1 y %e &itamia B-2, y #!esta 8 #eta&$s !á*es #$m+ia#i$es %e ./*%$"as %e+e #$m."a" e* .a#iete .a"a #!+"i" s!s "e'!e"imiet$s %e ie""$ y &itamia a* me$" #$st$

DESARROLLO: 1. DATOS: Marca A X 1 IERRO %ITAMINA B-1 %ITAMINA B-$ 'osto (or (í)*ora.

Marca B X 2

! m" 1# m" & m"

1# m" 1& m" 1& m"

+

,

IDENTII'AR DE LA UN'IN OB/ETI%O FO ( Min )=6 X 1+ 8 X 2 !et$ a 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400 C 1

REQUERIMIENTOS Mínimos Restricciones. $!## m" $1## m" 1&## m"

10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500 C 3

X 1 + X 2 ≥ 0

IDENTII'AR LAS RESTRI''IONES !eta a: 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400 C 1 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500 C 3

X 1 + X 2 ≥ 0

0RI'O 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400

'1:

X 1

X 2

#

$!#

+#

# 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100

'$: X 1

X 2

#

1!#

$1#

#

'2:

5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500

X 1

X 2

#

1##

2##

#

3UNTOS 'R4TI'OS 35A67 5#8 $!#6

35B67 52#81$#6 35'67 51$#8+#6 35D67 52##8#6

3 5B6:7 C 1 Interseccion conC 2

40 X 1 + 10 X 2 =2400 10 X 1 + 15 X 2=2100 (− 4 ) 40 X 1−10 X 2=2400

− 40 X 1+ 60 X 2=−8400 −50 X 2=−6000 X 2=120,, X 2 en C 2 10 ( X 1 ) + 15 ( 120 ) =2100 10 X 1=2100 −15 (120 )

X 1=30,,

3 5'6: 10 X 1 + 15 X 2= 2100

'$: '2 7

5 X 1 + 15 X 2=1500 (−2 )

10 X 1 + 15 X 2 =2100

−10 X 1−30 X 2=−3000 −15 X 2 =−900 X 2=60,, X 2 en C 3 5 X 1 + 15 X 2=1500 5 X 1=1500 −15 ( 60 )

X 1=120,,

IDENTII'AR LA SOLU'IN 3TIMA FO ( MI )=6 X 1 + 8 X 2

FO ( MI ) A =6 ( 0 ) + 8 ( 240 ) =1920 FO ( MI ) B= 6 ( 30 )+ 8 ( 120 )=1140 Mínimo *e )a .O FO ( MI ) C =6 ( 120 ) + 8 ( 60 )=1200 FO ( MI ) D =6 ( 300 ) +8 ( 0 )= 0

ANLISIS: e esta mae"a e* .a#iete %e+e"á a%'!i"i" 30 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$  y 120 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ B; %á%$*e ! #$st$ m/im$ %e  11,40

ANLISIS DE SENSIBILIDAD Amento *e 1## m" en ca*a reerimiento: ;5'16 Min 5<6: 6

6 X 1 + 8 X 2

!eta a: 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2500 C 1 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 200 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500 C 3

X 1 + X 2 ≥ 0

0RI'O = 1 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2500

'1:

X 1

X 2

#

$&#

+$>&

#

10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100

'$: X 1

X 2

#

1!#

$1#

#

5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500

'2:

X 1

X 2

#

1##

2##

#

3UNTOS 'R4TI'OS 35A67 5#8 $

35B67 522811,6 35'67 51$#8+#6 35D67 52##8#6

3 5B6:7 C 1 Interseccion conC 2

40 X 1 + 10 X 2 =2500 10 X 1 + 15 X 2=2100 (− 4 ) 40 X 1−10 X 2=2500

− 40 X 1+ 60 X 2=−8400 −50 X 2=−5900 X 2=118,, X 2 en C 2 10 ( X 1 ) + 15 ( 120 ) =2100 10 X 1=2100 −15 (118)

X 1=33,,

3 5'6: 10 X 1 + 15 X 2= 2100

'$: '2 7

5 X 1 + 15 X 2=1500 (−2 )

10 X 1 + 15 X 2 =2100

−10 X 1−30 X 2=−3000 −15 X 2 =−900 X 2=60,,

X 2 en C 3 5 X 1 + 15 X 2=1500 5 X 1=1500 −15 ( 60 )

X 1=120,,

IDENTII'AR LA SOLU'IN 3TIMA

FO ( MI )=6 X 1 + 8 X 2 FO ( MI ) A =6 ( 0 ) + 8 ( 250 ) =2000 FO ( MI ) B= 6 ( 33 )+ 8 ( 118)=1142 Mínimo *e )a .O FO ( MI ) C =6 ( 120 ) + 8 ( 60 )=1200 FO ( MI ) D =6 ( 300 ) +8 ( 0 )= 0

ANLISIS: s/ %e esta mae"a e* .a#iete %e+e"á a%'!i"i" 33 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$  y 118 ./*%$"as %e *a ma"#a ti.$ B; #$ ! #$st$ m/im$ %e  11,42

3RE'IO SOMBRA EN LA RESTRI''IN: 3 5B6 3 5B??6

; 5'$6 Min 5<6: 6

6 X 1 + 8 X 2

!eta a: 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400 C 1 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2200 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500 C 3

X 1 + X 2 ≥ 0

0RI'O = $ '1:

40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400

X 1

X 2

2# 22 @2

40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400

1$# 11, $

#

$!#

+#

# 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100

'$: X 1

X 2

#

1!

$$#

#

5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500

'2:

X 1

X 2

#

1##

2##

#

3UNTOS 'R4TI'OS 35A67 5#8 $!#6

35B67 5$,81$,6 35'67 51!#8&2>26 35D67 52##8#6

3 5B6:7 C 1 Interseccion conC 2 40 X 1 + 10 X 2 =2400

10 X 1 + 15 X 2=2200 (− 4 ) 40 X 1 + 10 X 2= 2400

− 40 X 1−60 X 2=−8800 −50 X 2=−6400 X 2=128,, X 2 en C 2 10 ( X 1 ) + 15 ( 128 ) =2200 10 X 1=2200 −15 (118)

X 1=28,,

3 5'6: 10 X 1 + 15 X 2= 2200

'$: '2 7

5 X 1 + 15 X 2=1500 (−2 )

10 X 1 + 15 X 2 =2200

−10 X 1−30 X 2=−3000 −15 X 2 =−800 X 2=53,3, X 2 en C 3 5 X 1 + 15 X 2=1500 5 X 1=1500 −15 ( 53,3 )

X 1=140,,

IDENTII'AR LA SOLU'IN 3TIMA FO ( MI )=6 X 1 + 8 X 2

FO ( MI ) A =6 ( 0 ) + 8 ( 240 ) =1920 FO ( MI ) B= 6 ( 28 ) + 8 ( 128 )=1192 Mínimo *e )a .O FO ( MI ) C =6 ( 140 ) + 8 ( 53,3 ) =1266,4 FO ( MI ) D =6 ( 300 ) +8 ( 0 )= 0


; 5'26 Min 5<6: 6

6 X 1 + 8 X 2

!eta a: 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400 C 1 10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2200 C 2 5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1600 C 3

X 1 + X 2 ≥ 0

0RI'O = 2 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400

'1:

X 1

X 2

#

$!#

+#

#

10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100

'$: X 1

X 2

#

1!#

$1#

#

5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500

'2:

X 1

X 2

#

1#

2$#

#

3UNTOS 'R4TI'OS 35A67 5#8 $!#6

35B67 52#81$#6 35'67 51##82>26 35D67 52$#8#6

3 5B6:7 C 1 Interseccion conC 2 40 X 1 + 10 X 2 =2400 10 X 1 + 15 X 2=2100 (− 4 ) 40 X 1 + 10 X 2= 2400

− 40 X 1−60 X 2=−8400 −50 X 2=−6000 X 2=120,, X 2 en C 2 10 ( X 1 ) + 15 ( 120 ) =2100 10 X 1=2100 −15 (120 )

X 1=30,,

3 5'6: 10 X 1 + 15 X 2= 2100

'$: '2 7

5 X 1 + 15 X 2=1600 (−2 )

10 X 1 + 15 X 2 =2100

−10 X 1−30 X 2=−3200 −15 X 2=−1100 X 2=73,3,

X 2 en C 3 5 X 1 + 15 X 2=1600 5 X 1=1600 −15 ( 73,3 )

X 1=100,,

IDENTII'AR LA SOLU'IN 3TIMA FO ( MI )=6 X 1 + 8 X 2 FO ( MI ) A =6 ( 0 ) + 8 ( 240 ) =1920 FO ( MI ) B= 6 ( 30 )+ 8 ( 120 )=1140 Mínimo *e )a .O FO ( MI ) C =6 ( 100 ) + 8 ( 73,3 ) =1186,4 FO ( MI ) D =6 ( 320 ) +8 ( 0 )=1920


'UADRO RESUMEN 3RE'IO SOMBRA 2! + #

%ARIABLES '1 '$ '2

%ALOR

@3ERMITO

$!## $1## 1&##

1,+# 1&## 111#

3B 52#: 1$#6 1.- 522>11,6 @ 2  $ < 7 6(3)8(2) 34 2- (28,128) @ $  , < 7 6(2)8(8) 76 3- (30,120) 0

0

< 7 6(0)8(0) 0

3ENDIENTES 40 X 1 + 10 X 2 ≥ 2400

'1:

X 1

X 2

#

$!#

+#

#

3ERMITID O $$+# 1+1>,1 1$9#

10 X 1 + 15 X 2 ≥ 2100

'$: X 1

X 2

#

1!#

$1#

#

5 X 1 + 15 X 2 ≥ 1500

'2:

X 1

X 2

#

1##

2##

#

'1. x 2−¿ x y 2−¿ y ¿ −- y =¿ m❑= -x 1

1

m❑=

0−240 60−0

=−4

'$. m❑=

0−140 210−0

'2. m❑=

0 −110 300−0

=

−2 3

m❑=o , 33

3ARALELAS: 1

@ 5120, 60 )  5#> 1!#6 y − y 1= m ( x − x 1 ) y −60 =−4 ( x −120 ) y =−4 x + 480 +60 y +4 x =540 @ y −140 =−4 ( x −0 ) y =−4 x + 140 y +4 x =140

2

@ 5300,0)  52,>198 ,>$6 y −0 =

−2 3

( x −300 )

3 y −0 =−2 x + 600 3 y + 2 x =720

y −87,27 =

−2 3

@

( x −38,19 )

3 y −261,81 =−2 x + 76,38

3 y + 2 x =338,19

3

@ 530,120)  5$1#> #6 y −1 20=

−1 3

( x −30 )

3 y −360 =( x −30 ) 3 y + x =−390 3 y + 2 x =720

y −0 =

−1 3

@

( x − 210 )

3 y =− x + 210 3 y + x =210

%ariaC)e X 1 X 2

C 1 m1 ≤ ≤m C 2 2 m 1=−4 m 1=

−2

1.−¿

X ¿

3

Límite Acta)

@ 3ermiti*o

 3ermiti*o

6

32

16<3

8

6<4

9

C 1 2 −4 ≤ ≤− 8

3

−32 ≤ C 1 ≤ −

(

16 3

' 32

16 3

)

X 2 &−¿

−4 ≤

−4 ≤ 6

C 2

6

C 2

2 3

6

C 2

≤−

−6 (9;

≤−

4

2 3

¿

EJERCICIO 10

241 %n la+oratorio )armacutico desea preparar un tónico de tal manera -ue cada )rasco contenga al menos 5. unidades de itamina A, 24 de itamina  y 04 de itamina C1 !ara suministrar estas itaminas, el la+oratorio emplea el aditio 2, a un costo de . dólares por on?a, el cual contiene 2/ unidades de itamina A, . de  y 0 de C un aditio . a un costo de 0 dólares por cada on?a, -ue contiene 0 unidades de itamina A, . de  y 20 de C1 C6

G6 >= /6>6 6> = >=?= /;+ = =; -+6/ @6+6 G6+ =; / 1. D6 A B C U;>6>

D@?;>6> 5. 24 04

71 2/ . 0 Q.

72 0 . 20 Q0

2. F/ O?= Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2

!. E6?;=/=+ R=+//= 15 x1 + 4 x 2 ≥ 32 2 x 1 + 2 x2 ≥ 10 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 40 2 x ¿0

x

4. "+-/ C 1=15 x 1+ 4 x 2=32

71

72 4 .125

> 4

C 2=2 x 1+ 2 x 2=10

71

72 4 /

/ 4

C 3 =4 x 1 + 14 x 2=40

71

72 4 24

.1>/ 4

C2C! 2 x 1 + 2 x2 =10 ( −2 )

2 x 1 + 2 x2 =10

4 x 1 + 14 x 2= 40

−4 x 1−4 x2 =−20 (−2 )

2 x 1 + 2 (2 )=10

2 x 1 + 4 =10

4 x 1 + 14 x 2= 40 10 x2= 20

x 2=

20 10

=2 en 1

2 x 1= 10 −4 6

x 1= =3 2

Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 8 )=32 Z ( MI )=2 ( 1 )+ 4 ( 4 )=18 Z ( MI )=2 ( 3 ) + 4 ( 2 ) =14 . !unto /)timo Z ( MI )=2 ( 10 )+ 4 ( 0 )=20

Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2

u@eta 3a: 15 x1 + 4 x 2 ≥ 34 2 x 1 + 2 x2 ≥ 10 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 40 2 x ¿0

x

"+-/6 C 1=15 x 1+ 4 x 2=34

71

72 4 .1.

>1/ 4

C1C2 15 x1 + 4 x 2=34

2 x 1 + 2 x2 =10

2 x 1 + 2 x2 =10 (−2)

2 ( 1.27 )+ 2 x 2=10

15 x1 + 4 x 2=34

2.54 + 2 x 2=10

−4 x 1−4 x2 =−20 (−2 )

2 x 2= 10 −2.54

11 x1 = 14

x 2=

x 1=1.27 en 2

x 2=3.73

7.46 2

C2C! 2 x 1 + 2 x2 =10 (−2)

2 x 1 + 2 (2 )=10

4 x 1 + 14 x 2= 40

2 x 1 + 4 =10

−4 x 1−4 x2 =−20

2 x 1= 10 −4

4 x 1 + 14 x 2= 40

x 1=

6 2

10 x2=

20 10

x 1=3

x 2=2 en 1

Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 8 )=32 Z ( MI )=2 ( 1.27 ) + 4 (3.73 )=17.46 Z ( MI )=2 ( 3 ) + 4 ( 2 ) =14 . !unto /)timo Z ( MI )=2 ( 10 )+ 4 ( 0 )=20

An*lisis de sensi+ilidad C =( 3 ' 2 ) C = ( 3 ' 2 )

( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 0 ) Z ( MI )=0 . !recio som$ra

Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2

u@eta 3a: 15 x1 + 4 x 2 ≥ 32 2 x 1 + 2 x2 ≥ 12 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 40 2 x ¿0

x

"+-/6 C 2=2 x 1+ 2 x 2=12 71

72 4 

 4

C2C! 2 x 1 + 2 x2 =12 (−2 )

2 x 1 + 2 (1.6 )=12

4 x 1 + 14 x 2= 40

2 x 1 + 3.2=12

−4 x 1−4 x2 =−24

2 x 1= 12 −3.2

4 x 1 + 14 x 2= 40

x 1=

10 x2=

16 10

x 2=1.6 en 1

Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2

8.8 2

x 1=4.4

Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 8 )=32 Z ( MI )=2 ( 1 )+ 4 ( 5 ) =22 Z ( MI )=2 ( 4.4 )+ 4 ( 1.6 ) =15.2 . !unto /)timo Z ( MI )=2 ( 10 )+ 4 ( 0 )=20

An*lisis de ensi+ilidad C =( 3 ' 2 ) C = ( 4.4 ' 1.6 ) - 1.06 0− 0.06 Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 1.06 ) + 4 (−0.06 ) Z ( MI )=2.12−0.24 Z ( MI )=1.88 . !recio 1om$ra

Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2

u@eta 3a: 15 x1 + 4 x 2 ≥ 32 2 x 1 + 2 x2 ≥ 10 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 42 2 x ¿0

x

"+-/6 C 3 =24 + 14 x 2= 42

71

72 4 241/

5 4

C2C! 2 x 1 + 2 x2 =10 (−2)

2 x 1 + 2 (2.2 )=10

4 x 1 + 14 x 2= 42

2 x 1 + 4.4 = 10

−4 x 1−4 x2 =−20

2 x 1= 10 −4.4

4 x 1 + 14 x 2= 42

x 1=

10 x2=

22 10

5.6 2

x 1=2.8

x 2=2.2 en 1

Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 ( 0 ) + 4 ( 8 )=32 Z ( MI )=2 ( 1 )+ 4 ( 4 )=18 Z ( MI )=2 ( 2.8 ) + 4 ( 2.2 ) =14.4 . !unto /)timo

Z ( MI )=2 ( 10.5 )+ 4 ( 0 )=21

An*lisis de ensi+ilidad C =( 3 ' 2 ) C = ( 2.8 ' 2.2 ) 0−0.54 - 0.54 Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 Z ( MI )=2 (−0.54 ) + 4 ( 0.54 ) Z ( MI )=−1.08 + 2.16 Z ( MI )=1.08 . !recio 1om$ra

C;/; >= 6;+= H  W @=+> C 1=15 x 1+ 4 x 2=32

71

72 4 .125

> 4

C 2=2 x 1+ 2 x 2=10

71

72 4 /

/ 4

C 3 =4 x 1 +14 x 2=40

71

72 4 24

.1>/ 4

P @=>== C1 M6H C1

M C1

A = (10,0 ) m=

B =( 0 ' 2.85)

−15

m=

4

y − y 1= m ( x − x 1 ) y −0 =

−15 4

( x −10 )

15 x + 4 y = 150

P @=>== C2 y − y 1= m ( x − x 1 ) 2 x 1 + 2 x2 =10

m=

− A −2 = =−1 2 B

−15 4

y −2.85 =

−15 4

( x −0 )

15 x + 4 y =11.4

m=

y 2− y 1 0−5 = =−1 x 2− x 1 5 −0

C1C! 15 x1 + 4 x 2=32 (−7 ) 4 x 1 + 14 x 2= 40 ( 2 )

−97 X 1=−144 x 1=

−144 =1.4845 −97

x 2=2.4329

- C 2 = y −0 =

−2 2

( x −10 )

2 y −0 =−2 x + 20 2 x + 2 y =20

0C 2= y − 2.4329 =

−2 2

( x −1.4845 )

2 y −4.8658 =−2 x + 2.969 2 x + 2 y =7.8348

P @=>== C! 4 x 1 + 14 x 2= 40

m=

− A −4 = B 14

m=

y 2− y 1 0−2.85 = x 2− x 1 10 −0

C1C2 15 x1 + 4 x 2=32 2 x 1 + 2 x2 =10 (−2)

−11 X 1=12 x 1=

12 11

=1.090

x 2=3.9090

- C 3 = y −3.9090 =

−4 14

( x −1.090 )

14 y −54.726 =−4 x + 4.3636 4 x + 14 y =59.0896

0C 3= y −0=

−4 14

( x −5 )

14 y =− 4 x + 20 4 x + 14 y =20

!recio om+ra C2 C. C5

4 21>> 214>

&alor 5. 24 04

!ermitido < 2P,4>P

0!ermiti#o

.,2/. .4

C;/; 6;+ H  W @=+> = ;6 -/ ?= Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2

u@eta 3a:

15 x1 + 4 x 2 ≥ 32 2 x 1 + 2 x2 ≥ 10 4 x 1 + 14 x 2 ≥ 40 2 x ¿0

x

C 1=15 x 1+ 4 x 2=32

71

72 4 .125

> 4

C 2=2 x 1+ 2 x 2=10

71

72 4 /

/ 4

C 3 =4 x 1 +14 x 2=40

71

72 4 24

.1>/ 4

Z ( MI )=2 X 1 + 4 X 2 y =mx +k y =mx + z m 1 ≤−

−2 2 2 2

c1 ≤m c2 2

≤−

≤−

c1 4

c1 4

8 ≤2 c 1

≤

≤−

4 14

(−1 )

4 14 14 c 1 ≤ 16

8 2

≤ C 1

c1≤

4≤c 1

m 1 ≤− 1≤ −

1≤ −

16 14

c 1 ≤ 1.1428 c1 ≤m c2 2

2

c2

≤−

−2 4 ≤− 14 c2

4 14

2

−28 ≤ −4 c 2 (−1 )

c2

c 2=

C 2 ≤ 2

28 4

=7

EJERCICIO 11 11!I Una rica elaora dos clases de cerve.a P8lsener 3 Cl' )ara lo c'al dis)one de inredientes )ara llenar )or lo *enos "0 otellas co*inadas! o*a 'na hora llenar 20 otellas de cerve.a P8lsener 3 dos horas llenar 25 otellas de cerve.a Cl' se dis)one a lo *'cho de 2 horas! ;a de*anda de la cerve.a P8lsener se esti*a en el *ercado en 'n total de 22 otellas 3 a lo *'cho 10 otellas de cerve.a Cl'! Cada otella de cerve.a P8lsener dea 'na 'tilidad de 10 centavos 3 15 centavos cada otella de cerve.a Cl'! QC'ntas otellas de cada cerve.a se deen llenar )ara alcan.ar la *4i*a anancia Da#os:

En&ase 'oras Prod$((i)n Demanda U#ilidad

Pilsener

Cl$b

 005 20/hora 22 010

 007 25/2horas 10 015

*+ ,-.I-B/ES DE DECISI0N

Dis%onibilid ad "0 2

Cerve.a P8lsener Cerve.a Cl'

!



Y



+ 1UNCI0N OB2E3I,O

Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y 4+ .ES3.ICCIONES

C 1 . X + Y ≥ 30 C 2 . 0,05 X + 0.08 Y ≤ 2 C 3 . X ≤ 22 5,INCU/-N3E6 C 4 .Y ≤ 10 5,INCU/-N3E6 X Y ≥ 0

+ 8.91ICO

P!?

C 1 . X + Y ≥ 30

C 2 . 0,05 X + 0.08 Y ≤ 2

C 3 . X ≤ 22

C 4 .Y ≤ 10 !  4

Y 4 !   

Y " 

PUN3OS:

{

A = X + Y =30 Y =10

A ( 20,10 ) B ( 22,10 )

X =20

{

C = X + Y =30 X =22 Y =8

"+ Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y

DE @EE= ;;E=AR ?E;;AD:

A = 0,10 ( 20 )+ 0,15 (10 )=3,5 B =0,10 ( 22 ) + 0,15 ( 10 )=3,7

P<;DE=ER 22 

M9!IM-

8-N-CI-

C =0,10 ( 22 )+ 0,15 ( 8 )=3,4

-N-/ISIS DE SENSI,I/ID-D ,-.I-CIONES: C4 S

Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y C 1 . X + Y ≥ 30

C;U 10

C 2 . 0,05 X + 0.08 Y ≤ 2 C 3 . X ≤ 20 C 4 .Y ≤ 10 PUN3OS:

A ( 20,10 ) Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y A = 0,10 ( 20 )+ 0,15 (10 )=3,5



M-!IM- 8-N-CI-

P.ECIO SOMB.-: C4 B 5;*6 - 5;*6 <= >

Z ( max ) =0,10 (−2 ) + 0,15 ( 0 )=−0,20

,-.I-CIONES: C S

Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y C 1 . X + Y ≥ 30 C 2 . 0,05 X + 0.08 Y ≤ 2 C 3 . X ≤ 20 C 4 .Y ≤ 8

PUN3OS:

A ( 22,8 ) Z ( max ) =0,10 X + 0,15 Y A = 0,10 ( 22 ) + 0,15 ( 8 )=3,4

M9!IM- 8-N-CI-



P.ECIO SOMB.-: C B 5;*6 - 5;?6 >= <

Z ( max ) =0,10 ( 0 ) + 0,15 (−2 )=−0,3

PUN3O PENDIEN3E

Y −Y 1 = m ( X − X 1 ) C 3 . X =22 m =in#e2ini#a

EJERCICIO 12 12.K %n iero desea aLadir *r+oles )rutales y ar+ustos orientales a sus cultios existentes1 "os *r+oles proporcionan 20 dólares por unidad1 Cada *r+ol re-uiere de . metros cuadrados para ex3i+ición, mientras -ue cada ar+usto necesita de tres metros cuadrados, adem*s, el tiempo necesario para preparar un *r+ol para ex3i+ición es de dos minutos, mientras -ue el -ue se re-uiere para cada ar+usto es de un minuto1 "as restricciones de espacio y tiempo son las siguientes: Uay a lo m*s 2. metros cuadrados para ex3i+ición disponi+le1 e dispone a lo muc3o de > minutos de tiempo de preparación1 i el iero puede ender todos los *r+oles y ar+ustos en ex3i+ición1 6Cu*ntos *r+oles y cuantos ar+ustos de+er* ex3i+ir diariamente para maximi?ar su ganancia7 ;uponga -ue es posi+le preparar una ex3i+ición solamente una e? al día= 8etros #iempo %tilidad ';8ax=9 20 x2T20 x. u@eto a: . x2 T 5 x. W 2. . x2 T

x. W >

Kr+ol )rutal ;x2= . . 20

Ar+usto;x.= 5 2 20

Re-uerimiento 2. >

S;/ "+-/6 C2: . x2 T 5 x. 9 2. x2 4 

x. 0 4

C.: . x2 T x2 4 0

x. 9 >

x. > 4

P: A: ;40= : ;5.= C: ;04=

(M6H)& 14 H114 H2 20 ;4=T20 ;0=9/ 20 ;5=T20 ;.=9M4 20 ;0=T20 ;4=9/

PRECIO SOMBRE EN C1

. x2 T 5 x. W 25 ;T2= . x2 T

x. W >

C2: . x2 T 5 x. 9 25 x2 4 1/

x. 0155 4

C.: . x2 T x2 4 0

x. 9 >

x. > 4

P: A: ;40155= : ;.1M/.1/=

(M6H)& 14 H114 H2 20 ;4=T20 ;0155=9 41. 20 ;.1M/=T20 ;.1/=9 M51/

C: ;04=

: ;5.= Z: ;.1M/ .1/= B41./41/ ';8ax=9 20 x2T20 x. 20;<41./= T 20;41/= 9 !.5

PRECIO SOMBRE EN C2 . x2 T 5 x. W 2.

20 ;0=T20 ;4=9 /

. x2 T

x. W P

C2: . x2 T 5 x. 9 2. x2 4 

x. 0 4

C.: . x2 T x2 4 01/

x. 9 P

x. P 4

P: A: ;40= : ;51M/21/=

(M6H)& 14 H114 H2 20 ;4=T20 ;0=9 / 20 ;51M/=T20 ;21/=9 M51/

C: ;01/4=

20 ;01/=T20 ;4=9 5

: ;5.= Z: ;51M/ 21/= 41M/B41/ ';8ax=9 20 x2T20 x. 20;41M/= T 20;<41/= 9 !.5

C#LCULO DE VALORES VALORES M#7IMOS 8 M%NIMOS PERMITIDOS C#LCULO EN LA RESTRICCIN C1

C 1 : 2 X 1+ 3 X 2=12

X 1

X 2 0

4

$

0

C 2 : 2 X 1+ X 2=8 X 1

X 2 0



4

0

"R#FICA


C 1 : 2 X 1+ 3 X 2=12

S
m=

− A −2 = 3 B

VALOR VALOR M#7IMO PERMITIDO (0,)

Y −Y 1 =m ( x x − x 1 ) Y −8 =

−2 3

x −0 ) ( x

3 Y − 24 =−2 x 2 x + 3 Y = 24 2 x + 3 Y = 24

ORI"INAL 2 X 1+ 3 X 2=12

Incremento: 2.


C 2 : 2 X 1+ X 2=8 Y −Y 1 =m ( x x − x 1 ) m=

− A =−2 B

VALOR VALOR MINIMO PERMITIDO (4,0)

Y −Y 1 =m ( x x − x 1 ) Y −0 =

−2 3

x −4 ) ( x

3 Y =−2 X + 8 2 x + 3 Y = 8

2 x + 3 Y = 8

ORI"INAL 2 X 1+ 3 X 2=12

$isminución: 0

C#LCULO EN LA RESTRICCIN C2

C 1 : 2 X 1+ 3 X 2=12 X 1

X 2 0

4

$

0

C 2 : 2 X 1+ X 2=8 X 1

X 2 0



4

0

"R#FICA


C 2 : 2 X 1+ X 2=8 m=

− A =−2 B

VALOR M#7IMO PERMITIDO ($,0)

Y −Y 1 =m ( x − x 1 ) Y −0 =−2 ( x − 6 )

3 Y =−2 x + 12 2 x + 3 Y =12

ORI"INAL 2 X 1+ X 2=8

2 x + Y =12

Incremento: 0

VALOR M#7IMO PERMITIDO (0,4)

Y −Y 1 =m ( x − x 1 ) Y − 4 =−2 ( x −0 )

Y − 4 =−2 x 2 x + y =4 2 x + Y =4

ORI"INAL 2 X 1+ X 2=8

$isminución: 0 CUADRO RESUMEN

VARIABLES C1 C2

PRECIO SOMBRA ,, ,,

VALOR 12 

PERMITO 12 4

3PERMITIDO 4 4

CALCULAR VALOR M#7IMO 8 M%NIMO PERMITIDO EN LA FUNCIN OBJETIVO. FO;8A=9202T20. u@eta A: 2 X 1+ 3 X 2 ≤ 12 2 X 1+ X 2 ≤ 8 2 X ¿ 0

X

' ;8A=9202T5.9>4 S9mxT[ S9mxT? PENDIENTES

m 1 =−2 m 2=

−2 3

C#LCULO DE INTERVALOS

C 1 =≤ m 2 m1 ≤ C 2

−2 ≤

C 1 14

=≤ −

2 3

28 ≥C 1 =≥ 9,33

;<20=

−2 ≤

14

C 2

≤−

2 3

2 C 2 ≥ 14

C 2 ≥ 7 14

C 2

≥

2 3

42 ≥ 2 C 2 21 ≥ C 2

CUADRO RESUMEN VARIABLES C1

VALOR ACTUAL 14

PERMITO 14

3PERMITIDO K4,$*

C2

14

*

*

C 3:0,5 X 1 + 3 ! 0 210

C1 0,5 X 1 + 0,5 X 2= 6

Y "5 0

! 0 1"0

C 2=1 X 1 + 0,5 X 2= ! 0 95

Y 190 0

AB +0 ,190B +60 , %0CB +11& , 16@B +210,0-

Y 1"0 0

AB +0 ,2000B +%0 , 60CB +116 , 1&@B +200,0-

Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B

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