Una persona de 6 pies de estatura, está parada a 20 pies pi es de un poste de alumbrado público y proyecta una sombra de 10 pies de longitud. ¿Cuál es la altura de el poste? Un árbol de 10 metros proyecta una sombra de 17 metros por una pendiente cuando el ángulo de elevación del sol es de 42°. Buscar el ángulo de elevación del terreno. Para aproximar la longitud de un pantano, un topógrafo camina 400 metros del punto B al punto C, luego gira 60° y camina 500 metros al punto A. Aproximar la longitud AB del pantano
halla la longitud del faro inclinado si se sabe que en el triángulo ABC que se observa el lado “b” mide 9,9 m, los ángulos A, B miden 42° y 53° respectivamente.
Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CB A igual a 43.6°, ¿a qué distancia d istancia está la bolla de la costa?
En el gráfico halla la distancia di stancia que existe entre el paquete y el obrero en el instante que en el triángulo ABC se cumpla que A = 37°, B = 80°, a = 4,5 m y c = 7,2 m. En el gráfico halla la distancia que existe entre las personas.
En el gráfico halla la distancia di stancia entre los árboles.
En el En el bote triángulo - Calcula sabe que b = 1,8 km; a = 3,5 km, C = 85°. - Halla la distancia que existe entre las casas.
gráfico: instante en que una persona en un pasaba por el río se formó el ABC. el valor de los ángulos A y B si se
En el gráfico se aprecia la torre inclinada inclin ada de Pisa, considerada un símbolo de Italia. Calcula la altura de la torre si se sabe que la torre tiene una inclinación de 10°.
En el gráfico calcula: - Los ángulos que forman las cuerdas con el techo.
- La distancia que existe entre los puntos A y B
Para medir la altura de una torre nos suelo y vemos el punto más alto de de 60 . Nos acercam acercamos os 5 metros metros a la ángulo ángulo es de 80 . Halla Halla la altura altura de
situamos en un punto del la torre bajo un ángulo torre torre en línea línea recta recta y el la torre. torre.
APLICO LO QUE APRENDÍ Resolver el triángulo con las otras partes dadas y construir dicho triángulo. Las respuestas están redondeadas, redondeadas, tanto los decimales de los lados como los l os minutos y grados de los ángulos. 1. A = 48◦, C = 57◦ y b=47. 2. A = 41◦, C = 77◦ y a=10,5. 3. B = 20◦, C = 31◦ y b=210. 4. B = 51◦, C = 71◦ y c=537 5. C = 28◦, b = 52 y a=32 6. A = 7◦, B = 12◦ y a=2.19. 7. A = 65◦, a=21.3 y b=18.9. 8. B = 30◦, c=35.8 y b=17.9. 9. B = 53◦, a=140 y c=115. 10. A = 28◦, c=52y b = 28 11. C = 113◦, b=248 y a =195. 12. C = 81◦, c=11 y b=12. 13. A = 60◦, C = 45◦ y a=40. 14. A = 30◦, B = 83◦ y c=125. 15. A = 72◦, B = 52◦ y c=127. 16. B = 11◦, C = 76◦ y b=61. 17. B = 67◦, a=100 y c=125. 18. A = 36◦, B = 41◦ y c=12.4. 19. A = 27◦, C = 74◦ y a=1600. 20. A = 40◦, B = 100◦ y b=63.7. 21. B = 62◦, C = 43◦ y a=24.18. 22. B = 28◦, a=14 y c=17 23. B = 34◦, b=12.25 y c=18.08. 24. A = 47◦, a=206 y b=708. 25. C = 20◦, a=15 y b=25. 26. C = 107◦, b=407 y c=568. c =568. 27. A = 54◦, b=240 y c=389.
28. A = 6◦, a=54.9 y c=727. 29. A = 47◦, a=606 y b=708. 30. B = 37◦, a=12 y c=8
TRIGONOMETRÍA I
Definición 1.- Expresa en grados sexagesimales y centesimales: 23 , 35 y 96 rad. 2.- Hallar las equivalencias en grados o radianes respectivamente para los siguientes ángulos: a) 900° b) 2040° c) 673 d) 156 e) 10 3.- Dibujar, en cada caso, dos ángulos distintos comprendidos entre 0° y 360° tales que : a) tag= 1/2 b) sen= 2/3 c) cos= -1/5 (lineas trigonometricas) 4.- Hallar el valor de las siguientes razones trigonométricas: a) sen 173 b) cos 113 c) tag 233 d) cotag 313
e) sec 294
5.- Construir un triángulo rectángulo de forma que uno de sus ángulos tenga por coseno 3/4. 6.- Dibujar un ángulo tal que la tangente sea el triple del seno. (Tma de Thales) 7.- En un triángulo rectángulo de verifica que la tangente y la cotangente de uno de sus ángulos son iguales. ¿ Que relación existe entre sus catetos ? 8.- Calcular el seno y la tangente del ángulo que forman las agujas del reloj a la 12h.30m. ¿ Y a las 13h.20m. ?
Relaciones 9.- Encuentra los valores de cossabiendo que sen=
3 2
. ¿ A que cuadrante pertenece ?
10.- ¿ Puede haber algún ángulotal que tag= 5 y sen = 1/2 ? cuando sea posible. 11.- Hallar, en cada caso, las restantes razones trigonométricas. Calcular a) sen= /2 180°<<270° b) cos= 4/5 270°<<360° c) tag= -1/3 90°<<180° d) cotag= 1 0°<<90° e) sec= -2 180°<<270° f) cosec= 13/12 90°<<180° 12.- Sabiendo que cotag = 15/8. Hallar las restantes razones. 13.- Sabiendo que cotag= 3 para un ángulodel cuarto cuadrante , determinar las restantes razones.
14.- ¿ A que cuadrante debe pertenecer un ángulotal que tag= -5/12 y cual es el valor de secen cada caso ? 15.- Sabiendo que cos= 12/13 y que senes menor que cero, hallar las demás razones del ángulo, indicandoque cuadrante pertenece.
Identidades 16.- Demuestra que sec2+ cosec2= (tag+ cotag )2 17.- Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones: a) cos2 = cotag2 - cotag2 cos2 d) sen (cosec - sen) = cos2 b) cos2- sen2= 2 cos2- 1
e) sen2+ 1 = 2 - cos2
c) sec- cos= tag×sen
f)
sec sen
sen
cos
18.- Si tag= 2t/1-t2 obtener el seno y coseno dedonde 0°<<90°. 19.- Expresar en función de la tangente la expresión: cotag2+ sec2 - cosec2. 20.- Simplificar la expresión
sen
1 + cotag2
21.- Comprobar que sen4a+cos4a-2 sen2a cos2a = (sen4a-cos4a) (sen2a-cos2a) 22.- Simplificar la expresión (sen+ cotg) (tag+ cosec )-1 2
23.- Si sec = 3, calcular :
cos ec cos ec 2
2
- tag2
+ tag 2
24. - Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones trigonométricas:
cot ag
Ecuaciones trigonometricas sencillas
25.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen (2x + 4) = 3/2 b) cosec x - 3 = cotag x c) sen x + tag x = 2 senx×cosx d) cos2x - sen2x = 4 sen2x - senx
Reduccion al primer cuadrante
26.- Calcular las razones de 420°, 1920° y 1500°. 27.- Expresar las siguientes razones circulares reduciéndolasa otra de un ángulo comprendido entre 0 y 4. a) sen 512 b) cos 365 c) tag 298 28.- Encuentra un ángulo cuya medida en radianes esta comprendida entre 12 y 14 y tiene las mismas razones que el ángulo 37. 29.- ¿ Como están relacionadas las razones de 95° y 275° ? 30.- ¿ Como están relacionadas las razones de 250° y 340° ? 31.- ¿ Que razón trigonométrica de 5 tiene el valor de cos 310 ? 32.- Hallar cosec (2 - a) siendo tag= 2 y cosmenor que cero.
33.- Sabiendo que sen 37°=0.6, hallar las restantes razones de 953°. 34.- Hallar cosec (90°-A) siendo tag A = 2. 35.- Hallar las razones trigonométricas de 2010°. 36.- Si tag a = 1/2, obtener : a) tag (2 - a) c) tag - a) b) tag (2 + a) d) tag ( + a) e) tag (- a)
TRIANGULOS RECTANGULOS
1.- Resuelve el triángulo ABC del que se conocen C=35°40' y la hipotenusa a=44.3 m. Dato : sen 35°40' = sen 35.6666° = 0.5830. 2.- Resuelve los triángulos rectángulos cuyos datos son: a) a=5m, b=4m d) a=13,48m, c=10m b) a=25m, B=45° e) a=4.28, C=60° c) c=4.24, C=60° f) b=33.4, c=20.8m NOTA : A=90° ? 3.- El cateto b de un triángulo rectángulo ABC mide 70 cm y la bisectriz del ángulo agudo C mide 85 cm. Resuelve. Solución : x=48.21x2=96.43 --- a=119.15 ; c=54.02 4.- Los lados de un triángulo equilátero miden 15.6 cm. Halla su área. h=13.5 5.- En un triángulo isósceles el ángulo que determina los lados iguales mide 53°45' y el lado opuesto 60 cm. Calcular su área. Solución : h=59.19 6.- Los ángulos de un triángulo rectángulo miden 30° y 60°. Probar que la hipotenusa es el doble de un cateto. 7.- El perímetro de un rectángulo es 56 cm y su diagonal 20 cm. Hallar la medida de los ángulos que forman la diagonal con los lados. 8.- El ángulo de elevación del extremo de una chimenea, observado desde un punto del suelo situado a 36 m del pie de la chimenea es de 30°. Hállese la altura de la chimenea. ( Caso I - Ángulo agudo e cateto ) Solución : h=20.78 9.- Un caballo tira de una vagoneta con una fuerza de 75 Kp en una dirección que forma con el horizonte un ángulo de 30°. Determinar la componente horizontal de la fuerza (CA) y el ángulo que forma la vertical (AB) con esta fuerza. (Caso II-Ángulo agudo e hipotenusa) 64.95 kp 10.- Un barco puede navegar con una velocidad de 24 Km/h en agua tranquila. La velocidad de la corriente de un río es 8 Km/h. Si la barca parte de la orilla en dirección perpendicular al río, hallar la velocidad efectiva y la dirección de la trayectoria. (Caso III - Dos Catetos) v=25.29 ° 11.- Un bote arrastrado a lo largo de un canal se halla a 3.60 m de la orilla, siendo la longitud del cable que lo sujeta 19.20 m. El caballo empleado tira con una fuerza de 200 Kp. Hállese la fuerza efectiva que hace avanzar el bote y la fuerza que tiende a llevarla a la orilla. ( Caso IV - Un Cateto y la hipotenusa ) Solución : B=79.19° b= 196.45 kp c=37.5 kp 12.- Desde un punto A se observa una torre bajo un ángulo de 30°. Si nos aproximamos 20 m vemos la torre bajo un ángulo de 45°. Hallar la altura de la torre. (Método de doble observación) ) Solución : H=27.32 13.- El ángulo de elevación del extremo del mástil de una bandera, medido desde un punto del suelo es 45°. Caminando 33 m hacia la bandera en ángulo crece hasta 60°. Hallar la altura del mástil. ( Método de doble observación) Solución : h= 78.08 m 14.- Un enorme árbol arroja una sombra de 7,22 m. En ese mismo momento, un pino joven de 1.60 m arroja una sombra de 67 cm. ¿ Cual es la altura del árbol grande ?
15.- Al ir por una carretera de montaña nos encontramos con la señal "12%" que significa que por cada 100 m recorridos, el ascendemos 12 m. ¿ Que ángulo forma la carretera con la horizontal ? Si recorremos 538 m ¿ cuantos metros habremos subido en vertical ? 16.- Calcular la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50° con el suelo. 17.- Una escalera de 4 m esta apoyada en la pared. ¿ Cual será la inclinación si su pie dista 2 m de la pared ? 18.- Para calcular el ancho de un río, se midió una distancia AB = 20 m a lo largo de la orilla tomándose el punto A directamente opuesto a un árbol C, situado al otro lado. Desde el punto B se midió el ángulo ABC = 61°. ¿Cual el la anchura del río? Dato tag 61° = 1.804047 b=30.08
19.- En un instante dado, el altímetro de una avioneta registra 1095 m de altitud. El piloto ve la torre de control del aeropuerto mediante una visual que forma un ángulo de 81° con la vertical. ¿ A que distancia del aeropuerto vuela el aparato ?
TRIGONOMETRIA II
1..- Seatal que 2 << sen= 0.5 y ß tal que 0 <ß< 2, cos ß=3/5. Calcular cos (±ß) 2.- Calcula sensabiendo que cos 2= 3/5. 3.- Seatal que tag= 7, 0 << 2. Calcular sen 2y cos 2 4.- Sabiendo que sen 6°=0.1045 y cos 37°=0.7986, calcular : cos 31°, cos 8°, cos 39°, cos 7°, cos 84°, cos 82° cos 53°, cos 54°, cos 23°, cos 66°, cos 127°. 5.- Deduce las expresiones de sen (+ß+), cos (+ß+ y tag (+ß+). 6.- Sean A y B tales que tag A = 12 y tag B = -14. Calcular tag (A+B). 7.- Razona que si A, B, C son los ángulos de un triángulo entonces se verifica que tag (A+B) + tag C = 0. 8.- Demuestra que si A+B+C =, se verifica que tag A + tag B + tag C = tag A tag B tag C 9.- Probar que : a) sen (a+b)×sen(a-b) = (cos b - cos a)×(cos a + cos b) b) sen 2a = (1+cos 2a)×tag a 10.- Demuestra que sen 3 = 3 sen - 4 sen 3 cos 3 = 4 cos3 - 3 cos 11.- ¿ Existe algún ángulo del primer cuadrante tal que : a) sen2 = 3×cos2 b) 3×sen2= cos 2 12.- Calcula sen 8, cos 8, tag 8. Idem 16 y 32. 13.- Transforma en productos y luego calcula los siguientes valores: a) sen 75°+sen 15° b) cos 75°+cos 15° c) cos 75°-sen 75° 14.- Calcula sen 40°+cos 50°- 2sen 200° sabiendo que tag 10°=0.17. 15.- Calcular
cos 45 sen 30 sen 45 cos 30
16.- Transforma en producto la expresión 1 + sen . Idem 1 + cos 17.- Resuelve las ecuaciones en el intervalo [0,2]. a) sen x = tag x b) 6 cos2 x/2 + cos x - 1 = 0 c) 2 sen x + 2 cos x = 2 18.- Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x + sen 3x = cos x b) sen 2x×cos x = 6 sen3x c) sen 3x + sen 2x = sen x
d) 2×cos x + 4×sen (x/2) =3
19.- Resolver los siguientes sistemas trigonométricas: a) sen x×cos y = 3/4 b) sen x + sen y =1 cos x×sen y = 1/4
2×x + 2×y =
c) sen x + sen y = sen 6 cos x + cos y = 1 + cos 6
20.- Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas. a) cos(2x)=sen x e) cotg2x=1-cosec x b) cos(2x)+sen x=1
f) 3cos2 x+sen x=2
c) cos(2x)+sen x=0
g) sen(2x)=(cos x)/2
d) 2cos2 x+cos(2x)=0 21.- Determinar x tal que 0 < x < y 2 cos2 x = 3 (1 - sen x). 22.- Hallar x tal que 0° < x < 180° y cos( 3x - 4 ) = 1/2. 23.- Calcular x de forma que : sen a = 3x+2 / 5 cos a = 6x+2 / 5 24.- Elimina la variable t del sistema: a) x = m×sen t b) x = a / cos t y = n×cos t
y = b tag t
TRIANGULOS OBLICUANGULOS
1.- Resolver los siguientes triángulos : a) a=4m. b=8m, c=7m. b) c=7m. A=20°, B=60° c) b=7m. c=10m, A=40° d) a=48m. A=50°, B=100° 2.- Calcular las áreas de los siguientes triángulos : a) a=11m, B=50°, C=55°. b) a=2m, b=3.8m, c= 4.5m. 3.- Resolver el triángulo ABC en los siguientes casos: a) b = 10 cm c = 7 cm A = 3 b) a = 8 cm b = 12 cm B = 56 ( no son T. rectángulos ) 4.- Resolver el triángulo ABC si A = 8, B = 3 y su área vale 30 cm2. 5.- El ángulo C de un triángulo vale 60°. Hallar A y B sabiendo que sen A + cos B = 3/2. Si el lado mayor de este triángulo vale 5 cm, calcular su área. 6.- Desde la orilla de un río se observa un árbol en la orilla opuesta bajo un ángulo de 60°, y retirándose, perpendicularmente al río, una distancia de 20 m bajo otro ángulo de 30°. Hallar la altura del árbol y la anchura del río. 7.- Dos observadores miran un globo aerostático que esta en el plano vertical que pasa por ambos, a cierta altura h. La distancia entre los observadores el de 4 km, los ángulos de elevación del globo respecto a los observadores son 46° y 52° respectivamente. Hallar la altura a la que se encuentra el globo y la distancia de este a cada observador. (DATOS: tag 46°=1.03 y tag 52°=1.28) 8.- Las diagonales de un paralelogramo miden 10 y 12 cm respectivamente y el ángulo que formas entre si es de 30°. Hallar las dimensiones de los lados del paralelogramo. 9.- Dos hombres que andan a razón de 3 km/h parten al mismo tiempo de un cruce de dos caminos rectos que forman entre si un ángulo de 15°. Los dos van en el mismo sentido. ¿ A que distancia se encontraran entre si al cabo de dos horas de marcha ? 10.- ¿ Bajo que ángulo visual se ve un objeto de 7 m de largo por un observador situado a 5 m de un extremo del objeto y a 8 m del otro ? 11.- Demuestra que el área del polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r es: Area = 1/2 n×r 2×sen (360/n) 12.- A 20m. de una torre el teodolito marca un ángulo de 25°. Hallar la altura de la torre. 13.- Un topógrafo se sitúa en un punto A de la orilla de un río. Pretende medir la altura de un árbol que está en la orilla opuesta. El teodolito indica en A un ángulo visual vertical de 20°, si retrocede 10m. indica 15°. ¿Qué altura tiene el árbol? 14.- El TEOREMA DE NAPOLEON dice que si sobre los lados de un triángulo ABC cualquiera construimos tres triángulos equiláteros, los centros de esos tres triángulos son, a su vez, vértices de un nuevo triángulo equilátero. 15.- Un barco navega a 30 Km por hora en dirección Norte-Oeste. ¿Qué distancia ha recorrido en una hora hacia el Norte?¿Y hacia el Oeste?.
16.- Estando situado a 87 metros de un olmo, veo su copa bajo un ángulo de 22°. Mi amigo ve el mismo olmo bajo un ángulo de 25°.¿A que distancia está mi amigo del olmo?. 17.- Un barco B pide socorro recibiéndose las señales en dos estaciones de radio A y C, que distan entre si 50 Km. Desde cada estación se mide los ángulos BAC y BCA que miden 46° y 53°, respectivamente. ¿A que distancia de cada estación se encuentra el barco?. 18.- Pepe quiere conocer a que distancia se encuentra un castillo que esta en la orilla opuesta de un río. Mide 100 metros desde un punto B hasta un punto A, alejándose del castillo, y mide los ángulos CBA = 140° y BAC = 25°. ¿A que distancia de B esta el castillo?. 19.- La pirámide de Keops es cuadrangular, el lado de su base mide 230 metros y el ángulo a que forma una cara con la base es 52°. Calcular: a) La altura h de la pirámide. b) La altura de una cara. c) La arista. d) El ángulo que forma la arista con la base. e) El ángulo de la cara con la cúspide. f) El volumen de la pirámide. 20.- Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes comunes forman un ángulo de 30°. Calcula la distancia entre sus centros. 21.- Se quiere construir un túnel a través de una montaña desde A hasta B. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 384,8 metros de A y 555,6 metros de B. ¿Cual es la longitud del túnel si ABC es igual a 35° 42'?. 22.- Un río tiene dos orillas paralelas. Desde los puntos A y B se observa un punto P de la orilla opuesta; Las visuales forman con la dirección de la orilla unos ángulos de 42° y 56° respectivamente. Calcular la anchura del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 31,5 metros. 23.- Se quiere construir un puente entre dos puntos A y B para cruzar un barranco. Se fija un punto O en el fondo del barranco. Se sabe que AOB = 93°, BAO = 48° y que la distancia medida en línea recta entre los puntos A y O es de 75 metros. Calcular la longitud del puente. 24.- Un lado de un paralelogramo mide 56 cm y los ángulos formados por este lado y las diagonales miden 31° 14' y 45° 37'. Calcular los grados del paralelogramo. 25.- Calcula la altura de una torre situada en un terreno horizontal sabiendo que con un aparato de 1,20 m de altura, colocado a 20 m de ella se ha medido el ángulo que forma con la horizontal la visual dirigida al punto mas elevado y se ha obtenido 48° 30'
APLICACIÓN DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS1.ANGULOS VERTICALES Son todos aquellos ángulos contenidos en planos verticales. Tenemos:a) ANGULO DE ELEVACIÓN.Es el ángulo vertical agudo que forma la horizontaly l a v i s u a l q u e p a s a p o r e l p u n t o d e o b s e r v a c i ó n , c u a n d o e l p u n t o o b s e r v a d o s e encuentra por encima de la horizontal. b) ANGULO DE DEPRESIÓN .- Es en ángulo vertical agudo que forma la horizontaly la visual que pasa por el p u n t o d e o b s e r v a c i ó n , c u a n d o e l p u n t o o b s e r v a d o s e encuentra por debajo de la horizontal.c) VISUAL.Es la línea recta imaginaria que une el punto de observación con el puntoobservado.d) HORIZONTE.E s la línea recta imaginaria que partiendo del punto de observaciónse proyecta en forma horizontal. En topografía se le denomina la línea de ceros. (00 0 00 ’ 00’’)
Construcción de un aparato medidor de ángulos Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lu gar observ ado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando ésteestá situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión. PROBLEMAS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Las razones trigonométricas se emplean en la resolución de triángulos rectán gul os, esto es , en el cálculo de uno o más de sus lados o ángulos, con un mínimo de datos.Para aplic ar estas razones, es neces ario cono cer el v alor numé rico de dos de su s elem entos (que pueden ser dos lados o un ángulo agudo y un lado) para encontrar el valor desconocido de otro deellos.Existen dos casos en la resolución de triángulos r ectángulos cuyo proce dimiento se ejemplifica a continuación.Ma r t a, que vive en primera línea de playa, observa u n hidropedal averiado b a j o u n á n g u l o d e de pres ión de 10º . Ell a es ti ma que la al tu ra de su apar tame nto es de 20 m y q ue la dist anci a d el portal a las olas es de 15 m. 1. OBTENCIÓN DEL VALOR DE UN LADO, CONOCIDOS UN ÁNGULO Y UN LADO Ejemplo:
Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60°con respecto al piso. Procedimiento: a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular. b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se deseacalcular.c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos.e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.c = 5 mf) Dar solución al problema.c = longitud de la escaleraPor lo tanto, la escalera mide 5 m. 2. OBTENCIÓN DEL VALOR DE UN ÁNGULO AGUDO, CONOCIDOS DOS LADOS DEL TRIÁNGULO Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable t ir a n t e q u e v a , d es d e l a p un t a d el primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 mAhora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del ángulo. PROCEDIMIENTO: a) Trazar un triángulo rectángulo anotando en él los datos. b) Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo.c) Sustituir las literales por sus valores numéricos.d) Efectuar la división indicada.cos = 0.5454e) Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo.f) Dar respuesta al problema. El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56° 57'Para re solver algunos pr obl em as, do nd e se apl ic a la tr igon om et rí a, es co nv en ien te con oce r lo q ue es unángulo de elevación y un ángulo de depresión. ÁNGULO DE ELEVACIÓN El ángulo O , formado por la horizontal OM
y la visual ON
situadas en el mismo plano vertical es elángulo de elevación del punto N , que es, a su vez, el punto más elevado del objeto. ÁNGULO DE DEPRESIÓN El ángulo B , formado por la horizontal BD y la visual BA
situadas en el mismo plano vertical, es el ángulode depresión del punto A
. Nótese que:a) son congruentes por ser ángulos alternos internos entre paralelas. b ) s o n c o m p l e m e n t a r i o s p o r q u e s u s m e d i d a s s u m a n 9 0 ° . c) Triángulo ABC es congruente con el triángulo ABD .En el siguiente cuadro se resumen los dos procedimientos para la resolución de triángulos rectángulos. PROCEDIMIENTOS:a)Para obtener un lado, conocido un ángulo y un lado. - T r a z a r e l t r i á n g u l o r e c t á n g u l o - Se le cc io na r l a r az ó n trigonométrica- D e s p e j a r a l g e b r a i c a m e n t e - S u s t i t u i r l i t e r a l e s - Ob te ne r e l v al or na tu ra l d el án gu lo en la s c al cu la do ra s y efectuar las operaciones.- D a r r e s p u e s t a a l p r o b l e m a . b)Para obtener un ángulo, conocidos dos lados. - T r a z a r e l t r i á n g u l o r e c t á n g u l o - Se le cc io na r l a r az ó n trigonométrica- S u s t i t u i r l i t e r a l e s - E f e c t u a r l a d i v i s i ó n . - Ob te n er e l va lo r n at u ra l d el án gu lo e n la s calculadoras.- D a r r e s p u e s t a a l p r o b l e m a . PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿A qué distancia del pie de un poste de 18m de altura debe colocarse un observador para ver su extremosuperior bajo un ángulo de 60°?a) 2 3
m b) 3 3
m 4
c
)
d
)
3
m 6 3
m 2. Una torre de 30 metros de altura arroja una sombra de 40m sobre un terreno a nivel. Calcular el ángulode elevación del sol.a ) 1 5 ° b ) 3 0 ° c ) 3 7 ° d ) 5 3 ° 3. Un hombre observa una torre con un ángulo de elevación de 60°. ¿cuánto debe retroceder para queobserve la misma torre con un ángulo de 30°. La altura de la torre es 5 3
m y la altura del hombre es 3
m?a ) 1 2 m b ) 6 m c ) 8 m d ) 5 m 4. Desde el puesto de vigía de un barco que tiene 48m de altura se observa que el ángulo de depresión deun bote es de 30°. Calcular la distancia a la que está el barco.a ) 4 8 b ) 4 8 3
c ) 1 2 d ) 2 4 5. La cumbre de un cerro se v e desde un punto P del llano bajo un ángulo de elevación de 35º. Alacercarse horizontalmente 2700 m, el ángulo de elevación es 58º. Entonces la altura del cerro es:A) 3360 m B) 821,7 m C) 2100 m D) 210 m E) 336 m 6. Desde la cima de una colina de 70m sobre el nivel del mar se observa simultáneamente un avión con unángulo de elevación de 45° y un barco exactamente por debajo del avión con un ángulo de depresión de16°. ¿Qué altura tiene el avión respecto del nivel del mar?a ) 2 5 0 m b ) 2 7 0 m c ) 3 1 0 m d ) 3 5 0 m 7. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 45°, elmi sm o pu nt o es ob se rv ad o de sd e l a pa rt e má s alt a de l p o s t e c o n u n á n g u l o d e e l e v a c i ó n d e 3 7 ° . Calcular la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120m.a ) 2 0 m b ) 1 0 m c ) 4 0 m d ) 5 0 m 8. Al este, oeste, norte y sur del Colegio Estatal “Túpac Amaru” se encuentran:
Pedro, Daniel, Leider y Nelly, quienes observan la parte superior del Colegio con ángulos de elevación 30°; 37°; 45° y 53°,respectivamente. ¿Quién esta más cerca del Colegio?a ) P e d r o b ) D a n i e l c ) L e i d e r d ) N e l l y e ) F a l t a n d a t o s . 9. Rosa observa la cúspide de una torre, desde 80m de su base con un ángulo de elevación de 45°. ¿Cuántoserá el ángulo de elevación para el punto anterior si Rosa se aleja 160m?a ) A r c t g 1 / 3 b ) A r c t g 2 / 3 c ) A r c t g 4 / 3 d ) N A 10. Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del sol for man un ángulo de 50° con el suelo. 11.
Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 m de la pared? 12. Un paracaídas en un momento de su descenso ve un punto en el suelo con un ángulo de depresión de60° y luego de cierto tiempo, cuando esta a una altura de 30 m., vuelve a ver el punto anterior con unángulo de depresión de 30°, calcular la altura a la que fue realizada la primera observación (considerevertical la caída del paracaídas a partir de los 100 m sobre la tierra) (en metros)a ) 70 b) 100 c) 80 d) 90 e) 85 13. Una alumna de 1.73 m de estatura observa la parte mas alta de un edificio con un ángulo de elevaciónde 60°, luego se aleja 20 m y vuelve a observar el mismo punto esta vez con un ángulo de elevación de30°. Calcular la altura del edificio. (en metros)a ) 1 0 b ) 1 8 c ) 1 7 . 0 2 d ) 4 e ) 1 6 14. Un árbol esta al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizont al es de 15°. Una persona se encuentra en la colina a 24 m de la base del árbol y observa su parte mas alta con un ángulode elevación de 45° ¿Cuál es la altura del árbol? (en metros) a) 212
b) 612
c) 318
d)24 e) 216
15. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvil con u n ángulo de de pr es ió n de 37 ° di ch o automóvil se desplaza con velocidad constante, luego que avanza 28 m acercándose al edificio esobservado con un ángulos de depresión de 53°, si d esde esta p osició n tarda en llegar al e dificio 6 segundos. Calcular la velocidad del automóvil. (en m/s)a ) 3 b ) 6 c ) 7 d ) 1 2 e ) 4 16. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en el mismo sentido, en la pr im er a observ ac ión des de el bar co se ve al av ió n ade la nte co n un án gul o de ele vac ión de 53°, mar can do con una bo ya dicho lugar. En la segunda observación lo ve con un ángulo de 37°, si la velocidad del avión es 8 vecesla del barc o. Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión en la segunda posición observa la boya.a ) 1 7 / 1 2 b ) 1 5 / 1 1 c ) 1 1 / 1 7 d ) 3 / 4 e ) 5 / 7 17. Un avión desciende hacia la isla B, a 1 km de altura de la isla A, es visto desde B co n u n á ngul o d eelevación α
luego de cierto tiempo (faltando 3 km para llegar a B) es visto desde A con un ángulo deelevación 90°α . Calcular: E=2Sen α +3a) 2
b) 5
c) 13
d) 7
e) 3
18. Una persona y un árbol de altura h y H respectivamente se encuentran sobre una colina de inclinación α . El árbol se encuentra en el pie de dicha colina, en un primer momento la persona observa su partemas alta con un ángulo de elevación α , luego retrocede una distancia H y observa que el punto anterior se encuentra a su mismo nivel. Hallar Sen α a ) ( H - h ) / H b ) ( 2 H - h ) / H c ) ( H - h ) / 2 d ) ( 2 h - H ) / H e ) ( H - h ) / 2 h 19. Una persona observa un edificio con un ángulo de elevación α , en la dirección NE, luego camina haciael es te has ta ubi car se al sur del edi ficio, nuevamente observa el edificio con un ángulo de elevación(90°α ). Hallar Csc 2 α a) 22
b) 2
c) 42
d) 3
e) 21 +
20. Tres barcos M, N y P están sobre un mismo nivel, M y N están separados 50 km., N esta situado conrespecto de M 58° al este del sur; el barco P se ve desde M en la dirección 28° al este del sur y desde el barco N en la dirección 62° al oeste del sur . Calcular la distancia entre los barcos N y P en km.a) 250
b)50 c)25 d)20 e)30 21. Un alumno camina directamente hacia el este y observa dos árboles, a m b o s e n l a d i r e c c i ó n N E , después de caminar 0.25km observa que uno de los árboles esta exactamente al norte y el otro al NO.¿Que distancia hay entre los árboles en km?a) 2
/
2
b
)
2
/4 c) 2
/8 d) 2
/16 e) 2
22. Un ciclista corre en línea recta 20 m hacia el este, luego 20 m hacia el norte, 30 m al NE, 10 m hacia eleste, 10 m al norte y 15 m al NE. ¿A que distancia del punto de origen esta .En metros?a ) 8 0 b ) 8 0 . 3 c ) 8 7 . 3 d ) 9 0 . 7 e ) 7 0 . 5 23. Un alumno camina directamente hacia el Oeste y observa dos árboles, ambos en la dirección NO,después de caminar 0.20 km observa que uno de los árboles esta exactamente al norte y el otro al NE.¿Que distancia hay entre los árboles en km?a) 2
/3 b) 2
/4 c) 2
/5 d) 2
/8 e) N.A. 24. Desde un cierto punto en el suelo s e observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación“ α ” y desde el punto medio entre la base del muro y el punto anterior la e l e v a c i ó n a n g u l a r e s e l complemento de “
α ”. Calcular “Tg
α
”.a) Sen
π / 6 b ) S e n π / 4 c ) s e n π / 3 d ) S e c π / 4 e ) S e c π /3 25. Un avión se encuentra a una altura de 150m sobre un objeto y se encuentra descendiendo con un ángulode depresión “
α ”. Luego de correr 150m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación 26° 30’. Calcular a que altura se encuentra el avión en dicha
observación.a ) 5 0 m b ) 6 0 m c ) 7 5 m d ) 8 0 m e ) 9 0 m 26. Un cazador se encuentra a 10 m de un ave, ésta al percatarse de la presencia del cazador emprendevuelo en línea recta con un ángulo cuya tangente e s 6/13 pe ro el caz ado r da un ti ro ce rt er o con unángulo de inclinación de 18° 30’ y cae el ave. Calcular a qué distancia del cazador cae el ave.a ) 2 0 m b ) 2 8 m c ) 3 6 m d ) 4 0 m e ) 4 5 m 27. Una persona observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación “ α ”. Si avanza 12 m lat o r r e e l n u e v o á n g u l o d e e l e v a c i ó n e s d e 4 5 ° y ace rcá ndo se 4 m más la elev aci ón ang ula r es el complemento de α . Calcular la altura de la torre.a ) 4 m b ) 6 m c ) 8 m d ) 9 m e ) 1 0 m 28. Desde las bases de dos edificios de alturas h y H(H > b) se observa las partes superiores de los mismosc o n á n g u l o s d e e l e v a c i ó n “ α ”y“
θ
” . L u e g o d e s d e e l p u n t o m e d i o e n t r e l a s b a s e s s e v u e l v e n a observar las
pa rte s su per io res de los edif ici os co n ángu los complementarios,calcular el valor de: M = CTg α Ctg θ a ) 1 / 4 b 1 / 2 c 1 d ) 2 e ) 29.
de el ev ació n qu e son
) ) 4
El ángulo de elevación de la parte superior de un muro es 68° 11’ sobre dicho
muro se encuentraverticalmente el asta de una bandera de 7, 2 m e longitud la cual forma un ángulo de 2° 10’ a la vista delobservador.Calcular la altura del muro sabiendo que Tg70° 21’ = 2, 8 y Ctg 68°11’ = 0, 4.a ) 4 0
m m m m 30.
b c d e
) ) ) )
5 6 7 8
0 0 0 0
m
Una persona de estatura “h” observa la parte superior y la base de una pared con ángulos de
elevación ydepresión iguales a θ respectivamente. Al otro lado de la pared se encuentra apoyada una escalera, detal manera que su extremo coincide con la parte superior de la pared y además dicha escalera forma unángulo recto con la visual dirigida a dicho extremo. Calcular la longitud de la escalera.a) hSeb θ b) hCsc θ c ) 2 h d ) 2 h S e c θ e) 2hCsc θ 31. Una persona se desplaza por un camino que hace un ángulo “
θ ” con la horizontal observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación
igual a 3 θ /2, luego de subir “d” hacia la torre, por elcamino, el nuevo ángulo de elevación es “2
θ “. Hallar la altura de la torre.a) dSen2
θ b) dCos2 θ
c) dCtg θ d) dTg θ e) dSec θ 32. Desde las partes superiores del primero, segundo y tercer piso de un edificio se observa lo alto de otroedificio con ángulos de elevación α , β y θ respectivamente si: Tg α - Tg β = 0, 1 y Tg θ = 2 , 7 . ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio?.a ) 1 0 b ) 1 5 c ) 2 0 d ) 3 0 e ) 4 0 33. Una persona observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación de 18°, después decaminar 1 km en dirección hacia la torre la elevación angular es aho ra de 54°. ¿A qué d ist ancia en kilómetros se encuentra del pie de la torre?.a ) S e n 1 8 ° b ) C o s 1 8 ° c ) T g 1 8 ° d ) C t g 1 8 ° e ) S e c 1 8 ° 34. Una persona de 2m de estatura observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación “
θ ”.Luego camina hacia el muro una distancia igual al doble de su altura
disminuido en 4 m y el nuevoángulo de elevación es el complemento de θ . Calcular “Tg
θ ”.a)
√ 2 √
-
1
b
)
2 / 2 c ) √ 2d) √ 2 + 1 e ) 2 √ 2 35. Subiendo por un camino inclinado un ángulo φ respecto a la horizontal, se observa la parte superior deuna torre con un ángulo de elevación 2 φ luego de subir una distancia “a” el nuevo ángulo de elevaciónes 3
φ . Hallar la altura de la torre en función de “a” y “
φ ”.a) 2aSen
φ b) 2a Cos φ c) 2aTg φ d) 2aCtg φ e) 2aSec φ 36. Un hombre que está al sur de un faro observa que su sombra proyectada por la luz del faro tiene 4m delongitud caminando 60 m hacia el oeste, observa que s u somb ra es de 5 m de longitud, si la personamide 1 m, hallar la altura del faro.a ) 1 8 m b ) 1 9 m c ) 2 0 m d ) 2 1 m e ) 2 2 m 37. Un observador ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37° y luego se acerca 8 m hacia el poste y el nuevo ángulo de elevación es ahora 45°. Determinar la altura del poste.a ) 8 m b ) 1 6 c ) 1 8 d ) 2 4 e ) 3 2 38. Desde las partes superiores del 1er. , 2do. y 3er. Piso de un edificio se observa lo alt o de otr o edi ficio con ángulos de elevación
α , β y θ respectivamente.Si: Tg α - Tg β = 0, 1 y Tg θ = 2, 7. ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio?.a ) 1 0 b ) 1 5 c ) 2 0 d ) 3 0 e ) 4 0 39. Se observa lo alto de una antena de 20 m de altura que está en la azotea de un edificio con un ángulo deele vac ión de 53° , lu ego la azo tea del edi fic io c on un á ngu lo d e e l ev a c i ó n d e 4 5° . S i e l p u nt o d e observación se encuentra en el piso. Hallar la distancia del punto de observación al edificio.a ) 2 0 b ) 4 0 c ) 5 0 d ) 6 0 e ) 8 0 40. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación “
θ ”, cuando la distancia que los separa se hareducido a la tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado ¿Cuál es el valor del ángulo “
θ ”?.a
)
1
5
°
b
)
3 0 ° c ) 4 5 ° d ) 6 0 ° e ) 3 7 ° 41. Desde la parte más alta de un edificio de 30 m de altura se observa con ángulos de depresión de 30° y60° la parte superior e inferior de otro edificio. ¿Calcular la altura de dicho edificio?.a ) 2 0 m b ) 1 0 c ) 1 5 d ) 5 0 e ) 4 0 42. Un faro situado a 1800 m sobre el nivel del mar observa un barco con un ángulo de depresión “
α ”, 6minutos más tarde en la misma dirección al barco, ahora observa con un ángulo de depresión “
θ ” .¿Calcular la velocidad del barco en km/h, sabiendo que:Cot
α = √ 3 – 1 y Cot θ = √ 3 + 1a ) 9 k m / n b ) 3 6 c ) 2 4 d ) 1 2 e ) 1 8 0 43. Un estudiante observa una piedra, que está en movimiento de caída libre y a 40 mt de altura, con unángulo de elevación de 53°. Luego de cierto tiempo la observa con un ángulo de elevación de 45°.Calcular la diferencia entre los cuadrados de las velocidades que tu vo la piedra en cad a una de las observaciones, considerar la aceleración de la gravedad igual a 9, 8 m/s 2 .a ) 1 9 6 b ) 9 8 c ) 2 0 0 d ) 1 8 6 e ) 1 9 8 44. Un avión se encuentra a una altura de 50m sobre un objetivo y se encuentra descendiendo con unángulo de depresión “
α ”.Luego de recorrer 150 m es observado desde el objetivo con un ángulo de elevación 26°30’. Calcular a qué altura se encuentra el avión en dicha
observación.a ) 5 m b ) 6 7 5 m d m e ) 9 45. Una persona observa la parte superior
0 0 ) 0
m 8 m
c 0
)
de una torre con un ángulo de elevación
“
α ”. Si avanza 12 mhacia la torre el nuevo ángulo de elevación es de 45° y
acercándose 4 más la elevación angular es elcomplemento de α . Calcular la altura de la torre.a ) 4 m b ) 6 m c ) 8 m d ) 9 m e ) 1 0 m 46. En un instante dado un tren que viaja en línea recta tiene un extremo al NO y el otro ex tremo a 15 ° al norte del este de un campesino. ¿Con qué ángulo miraba el campesino al tren completo?.a ) 6 0 ° b )
7 5 ° c ) 9 0 ° d ) 1 0 5 ° e ) 1 2 0 ° 47. El ángulo de elevación de laparte superior de un muro es 68°11’ sobre d i c h o m u r o s e e n c u e n t r a verticalmente al asta de una bandera de 7,2 m de longitud la cual forma un ángulo de 2° 10’ ala vista delobservador. Calcular la altura d el muro sabiendo que Tg70° 21’ = 2,8 y Ctg68° 11’ = 0,4a ) 4 0
m b ) 5 0 m c ) 6 0 m d ) 7 0 m e ) 8 0 m 48. Se tiene un edificio de 6 pisos cada uno de 2 m de altura. Desde la parte superior del edificio se observau n o b j e t o e n e l s u e l o c o n á n g u l o d e d e p r e s i ó n “ α ” de modo que tg
α = 3/2 ¿con qué ángulo dedepresión piso del edificio?.a ) 3 4 5 ° c ) 5 7 4 ° e ) N 49.
se observaría el mismo objeto desde el quinto 7 ° b ) 3 ° d ) . A .
Un mono observa la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación “
θ ”. Si el mono camina 18m hacia el árbol el nuevo ángulo de elevación es de 45° y acercándose 6m más el ángulo de elevaciónes el complemento de “
θ ”. Calcular la altura del árbol.a
)
4
m b ) 6 m c m d ) 9 m 1 0 m 50. Una persona observa un poste con un ángulo de elevación “ θ
) e
5 )
”, cuando la distancia que los separa se hareducido a la tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado ¿Cuál es el valor del ángulo “
θ ”?.a
)
1
5
°
b
)
3 0 ° c ) 4 5 ° d ) 6 0 ° e ) 3 7 ° 51. Desde la parte más alta de un edificio de 30 m de altura se observa con ángulos de depresión de 30° y60° la parte superior e inferior de otro edificio. ¿Calcular la altura de dicho edificio?.a ) 2 0 m b ) 1 0 c )
1 5 d ) 5 0 e ) 4 0 52.Mediciones Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una alturade 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20E. ¿Cuál debe ser lalongitud de la baranda?, ¿a qué distanciadel cauce se situará el comienzo de larampa?Resolución:Sen20º = h 2 ⇒
º202 senh = ⇒
h = 5,85cm tg20º = x 2 ⇒
º202 tg x = ⇒
x = 5,49cmLa baranda es de unos 21 m y 70 cm.La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce. 53.Cálculo de alturas Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde los puntos A yB.Resolución:Con los datos de la figura tenemos que: xhtg +== 10º40839,0 xhtg == º6396,1
Si despejamos h en las dos igualdades eigualamos tenemos: (10 + x) · 0,839 = 1,96 · x; 8,39 + 0,839·x=1,96 · x;8,39 = 1,121·x; x = 7,484m. aproximadamente.h = 7,484·1,96=14'668La torre mide unos 14m y medio de alto.Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17m de largo. 54. Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32° con la horizo ntal. Si me acerco 15 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre? 55. Halla la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaña y la longitud del lado x. 56.
Una cinta transportadora de 8 m de longitud y una inclinación de 50º arroja material sobre un depósitocilíndrico de 4 m de diámet ro. Se desea q ue la cinta se introduzca 2 m dentro del depósito. ¿A quédistancia del mismo habrá que situar su base? 57. Cierto día de escasa visibilidad un vigía observa la presencia de la flota enemig a ba jo un án gulo de depresión de 1º. El observador, cuya atalaya costera alcanza una altura de 20 m sobre el nivel del mar,desea estimar el tiempo que tardará en alcanzar la costa. Por el tipo de embarcación que emplean y por las condiciones del día se supone que las naves avanzan a 7 Km/h ¿sabrías darle la solución?¿Bajo qué ángulo de depresión se observaría la flota si estuviese situada a 13 Km de la costa?¿A que distancia de la costa se encuentra la línea del horizonte que observa nuestro vigía? 58. Un tobogán tiene una altura máxima de 3 y una longitud de 5 ¿cual es su inclinación? 59. Estima el valor del ángulo que forma la arista con la diagonal. 60. Una paparatzzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Estandartes; para ello se sube aun árbol de 3,75 m de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de ésta de 2,25 m. ¿Bajo qué ángulo observará la propiedad del actor?, ¿cuál es la máxima separación del muro ala que podrá tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su intimidad?. Calcula el ángulode tiro. 61. En un edificio se desean instalar sobre sus cuatro esquinas y en las paredes una serie de cámaras deseguridad que controlen toda la valla exterior. Si cada cámara barre un ángulo de 140º. ¿Cuántas seránnecesario instalar?Dimensiones del edificio: 90 m de ancho por 50 de largo. Separación de la valla: 6 m. 62. Consideramos el ángulo de la figura sobre la circunferencia unidad: Demuestra que los triángulos OABy OAH son semejantes. Basándote en lo anterior, demuestra que la tangente del ángulo es la longituddel segmento AB. 63. Calcular la altura de ambos edificios. 64. Marta y Rafael caminan por la avenida separados 100 m. Marta ve la esquina iz qu ierd a de la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30º, y Rafael lo hace con un ángulo de 60º.Halla su altura.
65. Marta y Rafael caminan por la avenida separados 100 m. Marta ve la esquina iz qu ierd a de la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30º, y Rafael lo hace con un ángulo de 60º.Halla su altura. 66. Un helicóptero de tráfico está sobre un tramo recto de carretera. En un instante detecta a un ve hículo bajo un ángulo de depresión de 25º, quince segundos más tarde lo contempla bajo un ángulo de 80º. Siel he li c óp te ro s e e nc ue nt r a a 3 00 m de altu ra, ¿re sul tar á mu ltad o e l c ond uct or, sab ien do que la velocidad está limitada a 130 Km/h? 67. Un árbol tiene determinada sombra cuando el sol se observa bajo un ángulo de elevación de 50º. ¿Bajoque ángulo proyectará una sombra el doble que la anterior? 68. Desde un llano, junto al pie de una pared vertical, se observa un alpinista bajo un ángulo de elevaciónde 26º, y la cima de la pared se observa bajo 34º. S i estamos situ ados a 70 m de la ba se de la roca,¿cuántos metros le quedan por escalar hasta alcanzar la cumbre? 69.
Dos ciudades con la misma longitud están a una distancia de 450 Km. ¿cuál es la di fer enci a en tre sus latitudes? ROSA NAUTICA 1. Una gotita con intensión de adelgazar decide hacer una caminata recorriendo inicialmente 40 m hacia elOeste, después camina 20 m en la dirección N30°E, luego sigue por el NE, pe ro lamentablemente, cuando sufre un desmayo. ¿Qué distancia recorrió en el último tramo?.a) 15 √ 2 b ) 3 √ 2 c ) 3 0 √ 3 d ) 1 5 √ 3 e ) 6 0
2. Desde una isla, un submarino toma el rumbo S α ° E y l u e g o d e r e c o r r e r u n a d i s t a n c i a d e 1 k m . d es ci en de 2 00 m . U n helicóptero situado en el rumbo N α °O con res pec to a la isl a y a una altura de 300m, es visto desde la isla con el mismo ángulo de elevación que si se viera desde le submarino delhelicóptero?.a) 500 √
5 √ 2 √ 2 5 √ 6 √ 3 3.
b 6
) c
) d 0
e
5 5
0 0
0
0
) 0 )
5
0
0
Un móvil se encuentra a “d” m y en la dirección O
α °S respecto a una estación si se dirige al Este laestación esta a “d 1 ”m. y el dirección: (45 θ /2)O, respecto al móvil y finalmente el móvil recorre “d
2 ”m hacia el Este, entonces esta a “d
3 ” m. y en el rumbo E(45 – t/2)S. Calcular: Sen
α / Sen θ a) d.dd.d 312
b) 123 d.dd.d
c) 123 d.dd.d
d) 213 d.dd.d
e) 123 dd.d
4. Desde la parte superior de una torre de altura “H” se observa con un ángulo de depresión de 45° a un punto, que está al SE de la torre. En ese instante una persona de altura “h” se encuentra al NE y a unadistancia “d” con respecto al punto. Calcular la distancia que parte
de la cabeza de la persona al planoformado por el punto, la parte superior de la torre y la dirección Norte del punto. (El punto se encuentraen la superficie), se sabe que: h = 2 d y H > d.a)
√ 2 d b ) √ 3 d c ) √ 5 d ( 2 – r 2 ) d ) √ 3/3 d(2 √ 2 ) e ) N . A . 5. Luis se encuentra a 16m de Manuel en la dirección S 60°O y Sara se encuentra a 12 m de Manuel en ladirección N30°O. Hallar la distancia entre Luis y Sara.a ) 2 0 b ) 1 5 c ) 1 0 d ) 1 3 e ) N . A . 6. si desde un punto se observan dos árboles “A” y “B” en los rumbos O 37°N y E53°B respectivamente:¿Cuál debe ser la distancia entre los dos árboles, si desde “A” se vuelve a observar “B” a 16° al Nortedel Este y la distancia del punto de observación inicial al árbol ) 1 5 b ) “B” es de 20 m?.a
2 0 c ) 2 5 d ) 3 0 e ) N . A 7. Dos móviles parten desde un mismo punto, el primero con dirección N α ° E y el segundo con rumbo S2 α ° E, cuando el primero recorre 20 m y el s egundo 21 m, la distancia que los separa es de 29 m. Calcular “ α ”.a ) 1 5 ° b ) 1 8 ° c ) 3 0 ° d ) 3 7 ° e ) 4 5 ° 8. Roberto camina directamente hacia el este y observa dos casas, ambas en direcciones NE. Después decam ina r 1 k m má s ob ser va q ue una de las cas as e stá directamente al norte y la otra al NO. ¿Quédistancia hay entre las casas?.a ) 1 / 2 k m b ) √ 2 / 2 k m c ) √ 3 / 2 k m d ) √ 2 k m e ) √ 3 km
9. En un instante dado un tren que viaja en línea recta tiene un extremo al NO y el otro ex tremo a 15 ° al norte del este de un campesino. ¿Con qué ángulo miraba el campesino al tren completo?.a ) 6 0 ° b ) 7 5 ° c ) 9 0 ° d ) 1 0 5 ° e ) 1 2 0 ° a ) 1 5 ° b ) 1 8 ° c ) 3 0 ° d ) 3 7 ° e ) 4 5 ° 10. Dos barcos A y B están separados 20 millas uno del otro. N está situado con respecto de A al S 80° O,un sub mar ino C s e ob ser va des de A en l a di rec ció n S 20° y 0 y d e s d e B, e n l a d i re c c i ó n S 4 0 ° E . Calcular la distancia del barco A al submarino C.a ) 2 0 m i l l a s b ) 3 0 m i l l a s c ) 4 0 m i l l a s d ) 1 5 m i l l a s e ) 1 0 m i l l a s 11. Una persona caminando hacia el NE observa una casa en la dirección N15°E. Cuando han transcurrido15 minutos la persona es observada desde la casa en dirección S75°E y a 250 m de distancia. Calcular lavelocidad de la persona.a ) 2 k m / h b ) 2 , 5 k m / h c ) 3 k m / h d ) 4 k m / h e ) 5 k m / h 12. Un avión que viaja a una altura constante de 120 √ 3 m, es visto desde un punto A de su trayectoria ángulo de elev ación d e 37° y después de 3 seg, lo ven al norte con ángulo http://depositfiles.org/files/2isz2pmn1 http://depositfiles.org/files/1sldjmdk7 http://depositfiles.org/files/f99hjxbkc http://depositfiles.org/files/7qsvluu6w
