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S.E.P. S.N.E.S.T. D.G.E.S.T. S.E.V.
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUSPERIOR DE LAS
CHOAPAS.
UNIDAD 2
Simulación de variables aleatorias.
NOMBRE DE LA MATERIA:
SIMULACIÓN.
CARRERA:
Ingeniería industrial.
NOMBRE DEL ALUMNO:
Luis Fernando Cayetano Cardenas.
GRUPO:
6 "A"
PERIODO ESCOLAR:
Febrero - Junio 2017.
NOMBRE DEL DOCENTE:
Ing. Raúl Ramos Urgell
LAS CHOAPAS, VER. A 29 de Marzo del 2017
Índice
Introducción 3
2.1 Producción de números con comportamiento estadístico aleatorio y uniforme (0,1). 4
2.2 Simulación de otras variables aleatorias. 5
2.2.1 Teoría: transformación inversa, composición convolución y otros procedimientos. 9
2.3 Simulación de variables especiales: Tablas. 13
Conclusión 16
Bibliografía 17
Introducción
La simulación de variables en esta materia es de suma importancia ya que debido a la simulación de diversas variables podremos hacer cálculos para algunos trabajos de simulación.
Ejemplos de este tema son las variables aleatorias que nos pueden ser útiles para cálculos de diversas simulaciones empleados en la manipulación de trabajos profesionales hasta los más sencillos.
2.1 Producción de números con comportamiento estadístico aleatorio y uniforme (0,1).
Las variables aleatorias son aquellas que tiene un comportamiento en la realidad. Por ejemplo el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, de la semana y de otros factores.
La generación de variables aleatorias o estocásticas significa la obtención de variables que siguen una distribución de probabilidad determinada. Requiere de dos etapas: Generar números aleatorios distribuidos uniformemente (R) Generar con R y con las distribuciones de probabilidad las variables aleatorias o estocásticas.
La generación de estadísticas simuladas, o sea de los valores de las variables aleatorias, tienen una naturaleza enteramente numérica y debe soportarse por números aleatorios, generados por algún método.
Una secuencia de números aleatorios R1, R2,... debe tener dos importantes propiedades estadísticas: uniformidad e independencia. Cada número aleatorio Ri es una muestra independiente tomada de una distribución continua uniforme entre cero y uno. Esto es, la función de densidad de probabilidad es:
fx= 1(b-a), a>0, b>0
Si el intervalo (0, 1) es dividido en n clases, o sub-intervalos de longitudes iguales, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n, donde N es el número total de observaciones.
La probabilidad de observar un valor en un intervalo en particular es independiente de los valores previamente observados.
Números "elegidos al azar" son útiles en diversas aplicaciones, entre las cuáles podemos mencionar:
Simulación o métodos de Monte Carlo: se simula un proceso natural en forma computacional. Estas aplicaciones se realizan en muy variados campos con el fin de emular distintos comportamientos: física (por ejemplo, para simular colisiones entre partículas), ingeniería (diseño de obras hidráulicas, puentes, etc.), inversiones de capital, redes, servicios a clientes, call centers, etc. La simulación a través de la computadora es una herramienta poderosa para comprender la naturaleza de sistemas complejos.
Muestreo: con el fin de seleccionar una sub-muestra de una población.
Análisis Numérico: algunas técnicas para resolver problemas de análisis numérico complejos han sido desarrolladas usando números aleatorios.
Programación: la generación de valores aleatorios puede ser útil para poner a prueba la efectividad de un algoritmo. También son útiles en criptología.
2.2 Simulación de otras variables aleatorias.
Método de la transformada inversa
Es el método más directo para generar una variable aleatoria. Sea
F z, a z b
Una función de distribución cuya función de distribución inversa es:
F-1u in f z a, b :F z u, 0 u 1
Sea U una variable aleatoria de
u 0,1
Se verifica que
z= F-1 (U)
Tiene la función de distribución F. La prueba se sigue de la observación de que
prZ z=pr F-1 U z=pr U F (z)=F (z)
Esto sugiere inmediatamente el siguiente esquema de generación:
Algoritmo del método de la transformada inversa
Propósito: Generar Z aleatoriamente de
F z, a z b
Entrada: Capacidad para evaluar
F-1 u, 0 u 1
Salida: Z
Método: Generar aleatoriamente U de
U 0,1
Z F-1 (U)
Devolver Z.
Ejemplo. La distribución exponencial
Supongamos que tiene una distribución exponencial de media beta. La función densidad de probabilidad es:
La función de distribución (acumulativa) es:
Método de aceptación rechazo
Este método es más probabilístico que el anterior. Los métodos de inversión, composición y convolución son métodos de generación directos, en el sentido en que tratan directamente con la función de distribución. El método de aceptación-rechazo es menos directo en su aproximación.
Se va aplicar este método en el caso de que la variable aleatoria sea continua, el caso discreto es análogo y está tratado en Prob. 8.9
En este caso tenemos la función de densidad f(x) de la variable y necesitamos una función t(x) que la acote, es decir t(x) ³f(x) "x. Hay que notar que t(x) no es, en general, una función de densidad
Pero la función r(x)=t(x)/c, si es claramente una función de densidad. (Suponemos que t es tal que c<¥). Debemos de poder generar (esperamos que de forma fácil y rápida) un valor de la variable aleatoria que sigue la función r(x). El algoritmo general queda como sigue:
Generar x que siga la distribución r(x)
Generar u ~ U (0,1), independiente de x
Entonces devolver x si no volver a repetir el algoritmo
El algoritmo continúa repitiéndose hasta que se genera un valor que es aceptado.
Para hacer que se rechacen el menor número de puntos posibles la función t(x) debe ser la mínima función que acote a f(x).
Método de composición
Este método va a poder ser aplicado cuando la función de densidad es fácil de
Siendo n el número de trozos en los que se ha dividido la función.
Cada uno de los fragmentos se puede expresar como producto de una función de distribución y un peso
Y la función de distribución global la podemos obtener como
El método consiste en generar dos números aleatorios, uno sirve para seleccionar un trozo y el otro se utiliza para generar un valor de una variable que sigue la distribución de dicho trozo. El valor de la variable obtenida es el valor buscado.
El algoritmo general queda como sigue:
Generar u1, u2~U (0,1)
Si u1=w1 entonces generar x~f1(x)
Si no
Si u1=w1+w2 entonces generar x~f2(x)
Método de convolución
Muchas variables aleatorias incluyendo la normal, binomial, poisson, gamma, erlang, etc., se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias.
El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:
En este método se necesita generar k números aleatorios (u1, u2,..., uk) para generar (x1, x2,...xk) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución.
2.2.1 Teoría: transformación inversa, composición convolución y otros procedimientos.
Método de la transformada inversa
El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la generación de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1).
El método consiste en:
Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar.
Calcular la función acumulada f(x).
Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa f(x)-1.
Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pdeudoaleatorios ri ~U (0,1) en la función acumulada inversa.
El método de la transformada inversa también puede emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1).
Método de convolución
La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variables originales. El método de convolución es entonces la suma de dos o más variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con la distribución de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binominales
Metodología
Se generan números aleatorios (Y1, Y2, Y3…….Yn)
Con uno (o más dependiendo del método a utilizar) de los números aleatorios, se generan las variables aleatorias componentes (X1,X2,X3,…..Xn)
Se obtiene un valor de la variable por suma lineal de las variables aleatorias componentes
Distribución Uniforme
A partir de la función de la densidad de las variables aleatorias uniformes entre a y b.
Se obtiene la función acumulada
Igualando la función acumulada F(x) con el número pseudoaleatorio ri ~U (0,1), y despejando x se obtiene:
Xi=a + (b - a) F(x)i
Xi=a + (b - a) r
Distribución de Bernoulli
A partir de la distribución de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con media
p(x) = px (1 – p)1 – x para x=0,1
Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1, para obtener
Acumulando los valores de p(x) se obtiene:
Generando números pseudoaleatorios ri ~U (0,1) se aplica la regla:
La tabla siguiente muestra la demanda diaria de cepillos dentales en un supermercado.
Simular el comportamiento de la demanda mediante el método de la transformada inversa.
A partir de la información histórica se calculan las probabilidades puntuales y las acumuladas para x=0, 1, 2, 3
La regla para generar esta variable aleatoria estaría dada por:
Con la lista de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1) y la regla anterior es posibles simular la demanda diaria de cepillos dentales, tal como se muestra
2.3 Simulación de variables especiales: Tablas.
Conclusión
Como conclusión tenemos que en la simulación las variables aleatorias se utilizan en algunos trabajos para poder calcular si el trabajo realizado funcionara o no funcionara.
Las variables aleatorias en la simulación de trabajos realizados por ejemplo en promodel es necesario tener en cuenta los resultados obtenidos en el trabajo realizado en el programa.
Bibliografía
https://www.slideshare.net/Crekis3/unidad-iii-generacion-de-numeros-aleatorios-simulacin
http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2005/1/PyEC08.pdf
http://simulacionunilibre.blogspot.mx/2011/04/generacion-de-variables-aleatorias.html
http://simulacionitca.blogspot.mx/2012/03/metodo-de-la-transformada-inversa.html
https://conceptosdesimulacion.wordpress.com/2016/03/10/metodo-de-transformada-inversa-y-metodo-de-convolucion/
