Unidad 3-Electricidad y Magnetismo Esime Zacatenco

Graciela García Arana

Electricidad y Magnetismo

UNIDAD III

Corriente eléctrica y circuitos Anteriormente se trató principalmente conceptos de la electrostática, es decir, el comportamiento de las cargas en reposo. En electrodinámica se ampliaran esos conceptos al estudio de las cargas en movimiento.

3.1 Corriente Se utiliza el término corriente eléctrica, o corriente, para describir la rapidez de flujo de carga a través de alguna región del espacio.

Intensidad y densidad de corriente La intensidad de corriente o simplemente corriente es la rapidez a la cual fluye la carga a través de una superficie (figura 3.1). Si Δq es la carga neta que pasa a través de esta área en un intervalo de tiempo Δt, la corriente se expresa como Δq I = (3.1) Δt

Figura 3.1

Si la rapidez con la cual fluye la carga varia con el tiempo, la corriente también varia, se tiene en el límite cuando Δt → 0 Δq dq I = lim (3.2) = Δt → 0 Δt dt La unidad de la corriente en el SI es el coulomb por segundo definida como ampere o amperio (A), C 1 A =1 s

Se ha convenido en elegir la dirección de la corriente como si fuera en la dirección del flujo de la carga positiva (llamada corriente convencional), aunque el flujo de carga se debe al movimiento de cargas positivas como de negativas (en los conductores a las negativas, en los semiconductores tanto a las negativas como a las positivas). Ejemplo La intensidad de corriente que circula por un alambre varía con el tiempo de acuerdo a la expresión I(t) = 2 + 3.5t2, en donde I se expresa en amperes y t en segundos. a) ¿Cuánta carga se transporta por el alambre entre t = 0 s y t = 5 s? b) ¿Qué corriente constante constante transporta esta cantidad de carga en el mismo intervalo de tiempo? Solución a) La intensidad de corriente está dada por I =

dq dt

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despejando la carga, se tiene dq = I dt sustituyendo la expresión de la corriente en la expresión de la carga, se tiene 2

dq = (2 + 3.5t )dt integrando 5

5

∫

q = (2 + 3.5t 0

2

3.5 3 ⎞ 3.5 3 3.5 3 ⎤ ⎛ ⎡ )dt = ⎜ 2 t + t ⎟ = ⎢2(5) + (5) − 2(0) − ( 0) ⎥ 3 3 3 ⎝ ⎠ 0 ⎣ ⎦

q = 155.83 C b) Suponiendo una corriente corriente constante, la corriente está dada por q I = t Sustituyendo valores 155.83 I = 5 I = 31.16 A Es común referirse a una carga en movimiento como portador de carga móvil o carga libre. Considere que la corriente circula por un conductor cuya sección transversal tiene una área A, como se ilustra en la figura 3.2. El volumen de un elemento del conductor de longitud Δx es AΔx. Si n representa el número de portadores de carga móvil por unidad de volumen, entonces el número de ellos en el elemento de volumen es nAΔx. Por lo tanto, la carga libre ΔQ en este elemento es

Figura 3.2

ΔQ = (nA Δx)q

en donde q es la carga de cada carga libre. Si los portadores de carga se desplazan con una velocidad vd (llamada velocidad de deriva, la cual es la velocidad media), entonces la distancia que recorren en un tiempo Δt es Δx = vdΔt (figura 3.2), en consecuencia ΔQ = (nAvdΔt)q

así I=

ΔQ Δt

= nAvd q

(3.2)

Ejemplo 2 Un alambre de cobre de área en la sección transversal de 3.3090 mm (alambre de calibre 12) lleva una corriente de 5 A. Encuéntrese la velocidad de deriva de los electrones en el alambre. La 28 densidad de portadores de carga en el cobre es aproximadamente igual a 8.48 x 10 electrones por metro cúbico. Calcule el tiempo que tarda un portador de carga desde el interruptor hasta una lámpara, considerando que el alambre no tuviera portadores de carga y recorre una distancia de 4 m. Solución La corriente, está dada por I = nAv dq

67



despejando la velocidad de deriva, se tiene vd

=

I nqA

El tiempo que tarda el portador de carga es t =

d vd

Sustituyendo la velocidad de deriva en la expresión del tiempo, se tiene d nqAd t= = I I nqA sustituyendo valores t

=

(8.48x10 28 )(1.6x10-19 )(3.3090 x10-6 )(4) 5

3

t = 35.92 x 10 s. Aproximadamente 10 horas, es decir, si los alambres no tuvieran portadores de carga, se tendría que accionar el interruptor de luz aproximadamente a las 10 hrs. para tener luz a las 20 hrs. (8 de la noche). Pero los alambres no están vacíos de portadores de carga y al accionar el interruptor se ilumina la lámpara casi instantáneamente. De ejemplo anterior podemos observar que, los electrones libres se desplazan a través del conductor con una velocidad promedio que es, en realidad, de menos de 0.1 mm/s, una velocidad notablemente baja. Sin embargo, no se debe inferir que cuando se establece esa corriente a un extremo del alambre de cobre conductor, se necesita casi 10 s para que la señal recorra simplemente 1 mm.

Densidad de corriente Considere un conductor con sección transversal A y que lleva una corriente I. La densidad de corriente J en el conductor se define como la corriente por unidad de área, es decir, I J= (3.3) = nqvd A En general la corriente y la densidad de corriente son cantidades vectoriales, cuya dirección es la misma que la velocidad de deriva v d, es decir, I = nqAvd, J = nqvd (3.4) Para una superficie en particular (que no necesita ser plana) que corte de un lado a otro un →

conductor, I es el flujo del vector J sobre esa superficie, o sea

∫

→

→

I = J⋅ d A

(3.5)

→

donde d A es un elemento de área superficial y la integral se lleva a cabo sobre la superficie en →

cuestión. Se considera que el vector d A es perpendicular al elemento de superficie, de modo que →

→

J ⋅ d A es positiva.

68



Ejemplo Una corriente pequeña pero mensurable de 123 pA existe en un alambre de cobre cuyo diámetro es de 2.46 mm. Calcule la densidad de corriente. Solución La densidad de corriente, está dada por J =

I A

pero el área transversal del alambre, está dado por 2

A = π r

2

D ⎞ = π ⎛ ⎜ ⎟ =π ⎝ 2 ⎠

D2

4 sustituyendo el área en la expresión de la densidad de corriente, se tiene I 4I J= = 2 D π D 2 π 4 sustituyendo valores 4(123x10-9 ) J = π (2.46 x10-3 ) 2 2 J = 25.8 mA/m

3.2

Resistividad y resistencia →

→

En un conductor se establecen una densidad de corriente J y un campo eléctrico E cuando se mantiene una diferencia de potencial a través del mismo. Si la diferencia de potencial es constante el campo eléctrico es constante y la corriente en el conductor también será constante. Con mucha frecuencia la densidad de corriente en un conductor es proporcional al campo eléctrico en él, esto es →

J

→

= σE

(3.6)

En donde la constante de proporcionalidad σ se llama conductividad del conductor. Los materiales cuyo comportamiento se ajusta a la ecuación (3.6) se dice que siguen la ley de Ohm, a dichos materiales se les llama materiales ohmicos o lineales y los que no se les llama materiales no ohmicos. La ley de Ohm afirma que, para muchos materiales, la razón de la densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante, σ, la cual es independiente del campo eléctrico que produce tal corriente. Figura 3.3 Considere un segmento de alambre recto de sección transversal A y longitud R, como se ilustra en la figura 3.3. Se mantiene una diferencia de potencial V = V b - Va a través del alambre, creando un campo eléctrico, E, y una corriente, I. Se supone que el campo eléctrico en el alambre es uniforme, se tiene

69



V = E y J = σE = σ

V 

como J = I/A, entonces I A

V

=σ



despejando V, se tiene V=

La cantidad



σA



σ

J=



σA

I

(3.7)

se conoce como resistencia, R, del alambre, es decir R =



=

σA

V I

(3.8)

La unidad de la resistencia en el SI es el volt por ampere definida como ohm ( Ω), es decir V 1 Ω =1 A La expresión V R = (3.9) I se utiliza para definir la resistencia de un dispositivo eléctrico. La inversa de la conductividad de un material se llama resistividad, ρ, es decir 1 ρ = σ y la resistencia queda R = ρ



A

(3.10)

(3.11)

La unidad de la resistividad en el SI es el ohm-metro, Ω · m.

Ejemplo 2 El riel de acero de un tranvía eléctrico tiene un área de 56 cm de sección transversal. ¿Cuál es la -7 resistencia de 11 km de riel?. La resistividad del acero es de 3.0 x 10 Ω · m. Solución La resistencia, está dada por la expresión (3.11) R = ρ



A

sustituyendo valores R = (3.0x10 ) -7

11x103 56 x10- 4

R = 0.589 Ω

70



Ejemplo -3 Por un alambre de cobre existe un campo eléctrico de magnitud 25.69 x10 N/C originando una -4 velocidad de deriva de los portadores de carga de 1.11 x 10 m/s. Calcule la resistividad del cobre, suponiendo que existe un portador de carga por átomo de cobre. Solución La densidad de corriente está por la expresión 3.3 J = nqvd Y por otro lado, la densidad de corriente está dada por la expresión 3.6 J = σE Pero σ = 1/ρ, entonces J =

E ρ

igualando las dos expresiones, se tiene J=

E ρ

= nqvd

Por otro lado, se puede determinar la densidad n de portadores de carga calculando el número de átomos por unidad de volumen, a partir del número de Avogadro N o (el número de átomos por Kgmol), la masa atómica w (el número de kilogramos por kg-mol) y la densidad de masa ρm (el número de kilogramos por unidad de volumen). Evidentemente, portadores de c arg a ⎛ 1 portador de c arg a ⎞ ⎛ átomos ⎞ n= =⎜ ⎟⎜ ⎟ volumen átomo ⎝ ⎠ ⎝ volumen ⎠ n

1 portador de c arg a ⎞ ⎛ átomos ⎞

= ⎛ ⎜ ⎝

⎛ kg-mol ⎞ ⎛ ki log ramo ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎠ ⎝ kg-mol ⎠ ⎝ ki log ramo ⎠⎟ ⎝ volumen ⎠

átomo

o n

ρ 1 ⎞ = (1)(N A )⎛ ⎜ ⎟(ρ m) = N A m w ⎝ w ⎠

Sustituyendo la densidad de portadores de carga en la expresión de la densidad de corriente, se tiene ρ E J = = N A m qv d ρ w despejando la resistividad, se tiene E Ew ρ= = ρ N Aρ m qv d N A m qv d w sustituyendo valores (25.69 x10-3 )(63.54 x10-3 ) ρ= (6.022 x10 23 )(8890)(1.6x10-19 )(1.11x10- 4 ) -8 ρ = 1.72x10 Ω · m La resistividad de un conductor depende de cierto número de factores, uno de éstos es la temperatura, y la resistividad depende de la temperatura según la expresión

ρ = ρo [1 + α(T − To )]

(3.12)

71



donde: To = T = ρ= ρo = α=

o

Temperatura de referencia, generalmente 20 C. Temperatura a la que se quiere calcular la resistividad. Resistividad a cierta temperatura T. Resistividad a la temperatura To. Constante llamada coeficiente de temperatura de la resistividad.

En la tabla 3.1 se da la resistividad y el coeficiente de temperatura para algunos materiales. Material

Resistividad (Ω · m)

Coeficiente de temperatura α o -1 [( C) ] -3 3.8 x 10 -3 3.9 x 10 3.4 x 10-3 3.9 x 10-3 -3 4.5 x 10 -3 5.0 x 10 -3 3.92 x 10 -3 3.9 x 10 -3 0.4 x 10 -3 -0.5 x 10 -48 x 10 -3 -75 x 10 -3

-8

Plata 1.59 x 10 -8 Cobre 1.7 x 10 Oro 2.44 x 10-8 Aluminio 2.82 x 10-8 -8 Tungsteno 5.6 x 10 -8 Hierro 10 x 10 -8 Platino 11 x 10 -8 Plomo 22 x 10 -8 Nichrome 150 x10 -6 Carbono 3.5 x10 Germanio 0.46 Silicio 640 Vidrio 1010 - 1014 13 16 Caucho duro 10 – 10 15 Azufre 10 15 Cuarzo 1 x 10 (fundido) Tabla 2.5 Resistividad y coeficiente de temperatura para algunos materiales

Ejemplo Cierto material de forma cilíndrica tiene una resistividad de 4 x 10 -8 Ω · m a una temperatura de 20 o o -8 C, y a una temperatura de 80 C su resistividad aumenta a 5.2 x 10 Ω · m, ¿cuál es el coeficiente de temperatura de este material? Solución La resistividad en función de la temperatura está dada por

ρ = ρo [1 + α(T − To )] despejando el coeficiente de temperatura, se tiene ρ = 1 + α(T − To) ρo α(T − To ) = ρ α=

ρo

ρ ρo

−1

−1

T − To

72



sustituyendo valores 5.2x10-8 α= -3 o

-1

−1

4x10-8 80 − 20

α = 5x10 ( C)

Despreciando la dilatación de los materiales al varias la temperatura, y como la resistencia de un conductor es proporcional a la resistividad, se tiene R = R o [1 + α(T − To ]

(3.13)

donde: To = Temperatura de referencia. T = Temperatura a la que se quiere calcular la resistividad. R = Resistencia a cierta temperatura T. R o = Resistencia a la temperatura T o. α = Constante llamada coeficiente de temperatura de la resistividad.

Ejemplo: El filamento de tungsteno de una lámpara incandescente de 75 W, tiene una resistencia de 190 Ω cuando está encendido y de 15 Ω cuando está apagada. Estímese la temperatura del filamento cuando la lámpara está encendida. Solución Considerando que la ecuación 3.13 sea valida a la temperatura cuando está encendida, se tiene R = R o [1 + α(T − To ] Despejando T R R o

= 1 + α(T − To)

α(T − To ) =

R R o

R T − To

=

R T=

R o

R o

−1

−1

α

−1

α

+ To

sustituyendo valores 190

−1 T = 15 -3 4.5x10

+ 20

T = 2612.6o C

73


3.3


Ley de Ohm

La ley de Ohm dice que la intensidad de corriente eléctrica que pasa por un conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial entre sus bordes (voltaje) e inversamente proporcional a su resistencia. Esto se expresa matemáticamente por: I =

V R

(3.14)

Es importante señalar que no todos los materiales obedecen a esta ley. Recordando la expresión (3.9)

⎛ R = V ⎞ que se utiliza para determinar la resistencia de un ⎜ ⎟ I ⎠ ⎝

dispositivo eléctrico, la ley de Ohm también se utiliza para dispositivos eléctricos. Ejemplo Determina la diferencia de potencial entre los bordes de un alambre de resistencia 5 Ω por el cual para una intensidad de corriente de 10 A. Solución La ley de Ohm está dada por I = despejando la diferencia de potencial sustituyendo valores

V R

V = RI

V = (5)(10)

V = 50 V

3.4

Energía y potencia eléctrica

Sea visto que es posible mantener una corriente constante en un circuito cerrado mediante el uso de una fuente de energía. Una fuente de energía es cualquier dispositivo (como una batería o un generador) que aumenta la energía potencial de las cargas que circulan en un circuito. Las cargas pierden energía al fluir por el circuito. Esta pérdida se manifiesta como calor en la resistencia del circuito que se muestra en la figura 3.4. Se encontrará ahora las relaciones cuantitativas que se aplicarán a la energía ganada y perdida en algunos tipos de circuitos. Considere la situación que se muestra en la figura 3.5, en ella se muestra como una corriente que fluye a través del dispositivo. El dispositivo puede ser una resistencia o cualquier otra cosa que tenga una diferencia de potencial V entre sus terminales a y b. Note que b tiene el potencial más alto, así que cuando una carga ΔQ pasa a través de una resistencia se pierde energía potencial. La energía perdida a través de una resistencia se convierte en calor. Los dispositivos de otro tipo, por ejemplo un motor, hacen un uso diferente de la energía

Figura 3.4

Figura 3.5

74



perdida. A continuación se encontrará cuánta energía se pierde en el dispositivo. Recuerde, que cuando una carga ΔQ cae a través de una diferencia de potencial V, la energía potencial eléctrica que pierde es ΔQV. En el presente caso, la energía perdida por el dispositivo cuando una carga ΔQ se mueve a través de él desde b hasta a es Energía perdida = VΔQ Si esto ocurre en un tiempo Δt, la potencia perdida, P, en el dispositivo es: energía pérdida VΔQ = Potencia = P = Δt tiempo empleado Pero ΔQ/Δt es por definición la corriente I que fluye a través del dispositivo. Por lo tanto, la potencia perdida es: P = VI Al aplicar V = IR, se tiene V2 P = IV = I R = R 2

(3.15)

Si la unidad de la corriente es el ampere y de la diferencia de potencial es el volt, la potencia tiene como unidad el watt (W), es decir 1W=1VCA Y como es energía entre tiempo, se puede considerar la unidad como J 1W =1 s Ejemplo El radio portátil, 9.0 V y 7.5 W, de un estudiante se quedó encendido entre las 9:00 am y las 3:00 pm. ¿Cuánta carga pasó por los conductores? Solución La potencia, está dada por P = IV despejando la corriente, se tiene I = por otro lado, la corriente está dada por I=

P V

Δq Δt

igualando las dos expresiones de la corriente y despejando la carga, se tiene Δq P = Δt V PΔt Δq = V

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el tiempo que se queda prendido el radio es

Δt = (15 − 9)(3600) = 21600 s sustituyendo valores Δq =

(7.5)( 21600) 9

Δq = 18600 C

3.5

Fuerza electromotriz

Sea visto que es posible mantener una corriente constante en un circuito cerrado mediante el uso de una fuente de energía, conocida como fuente de fuerza electromotriz (fem). Una fuente de fem es cualquier dispositivo (como una batería o un generador) que aumenta la energía potencial de las cargas que circulan en un circuito. La fem, ε, de una fuente describe el trabajo realizado por unidad de carga y, por consiguiente la unidad de la fem en el SI es el volt. Considere el circuito ilustrado en la figura 3.6, que consta de una batería conectada a un resistor. La terminal positiva de la batería está a un potencial más elevado que el de la terminal negativa. Se supondrá que los alambres conectivos no tienen resistencia, entonces la diferencia de potencial a través de ésta (la tensión entre las terminales) sería igual a la fem de la batería. Sin embargo, debido a que una batería real siempre tiene cierta resistencia interna r, la diferencia de potencial entre las terminales no es igual a la fem de la propia batería. El circuito ilustrado puede describirse mediante el diagrama de la figura 3.7a.

Figura 3.6

La batería que está dentro del rectángulo de trazos se representa por medio de una fem,

ε, en serie con la resistencia interna, r.

Imagine ahora una carga positiva que se mueve desde "a" hasta "b". Conforme la carga pasa de la terminal negativa a la positiva de la batería, su potencial aumenta en ε. Sin embargo, debido a que también se desplaza a través de la resistencia r, su potencial disminuye en una cantidad Ir, en donde I es la corriente en el circuito (figura 3.7b). Por lo tanto, la diferencia de potencial entre las terminales de la batería, V = V b - Va, queda dada por V = ε – Ir

Figura 3.7

A partir de esta expresión, observe que ε equivale a la tensión del circuito abierto. Es decir, la tensión entre las terminales cuando la corriente es cero. Si se examina el diagrama anterior, se verá que la tensión entre las terminales V también debe ser igual a la diferencia de potencial a través de la resistencia externa R, conocida como resistencia de carga. Esto es, V = IR, se tiene

ε - Ir = IR

ó

ε = IR + Ir 76



al despejar la corriente se tiene I=

ε R

+

r

(3.16)

Observe que si la resistencia de carga R es mucho mayor que la resistencia interna r, es posible despreciar r en este análisis. En muchos circuitos se ignora esta resistencia interna. Y la fem ε de la pila es igual a la diferencia de potencial entre las terminales de la pila.

Ejemplo Considere el circuito de la figura 3.6 con una pila de 1.5 V y una resistencia interna de 0.5 Ω. Calcule la intensidad de corriente si se conecta un resistor de: a) 0.5 Ω y b) 500 Ω. Solución La intensidad de corriente en el circuito de la figura 3.6 está dada por I=

ε

R + r

a) sustituyendo valores con R = 0.5 Ω I=

1.5 0.5 + 0.5

I = 1.5 A b) sustituyendo valores con R = 500 Ω I=

1.5

500 + 0.5 I = 2.997 mA note que esta intensidad es aproximadamente igual a 3 mA el valor de la intensidad de corriente si se desprecia la resistencia interna de la pila.

3.6

Resistores en serie y paralelo

Resistores en serie Cuando se conectan dos o más resistores entre si de tal manera que sólo tengan un punto en común por par, se dice que están en serie. En la figura 3.8 se muestran dos resistores conectados en serie. Observe que la corriente es la misma a través de cada resistor, ya que cualquier carga que fluya a través de R 1 debe ser igual a la carga que fluye a través de R 2. Como la caída de potencial desde "a" hasta "b" es igual a IR 1, y la caída de potencial desde "b" hasta "c" es igual a IR 2, la caída de potencial desde "a" hasta "c" es V = IR 1 + IR 2 = I(R 1 + R 2) Por lo tanto, se pueden remplazar los dos resistores en serie por un resistor equivalente R eq (resistor equivalente es un resistor de resistencia R eq de tal forma que al sustituir los dos resistores por éste, la corriente en el circuito permanece inalterada) cuyo valor es la suma de las dos resistencias: R eq = R 1 + R 2

Figura 3.8

77



Si se conectan en serie tres o más resis tores: La resistencia equivalente es R eq

= R 1 + R 2 + R 3 + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ R i

(3.17)

i

La diferencia de potencial total es VT = V1 + V2

+ V3 + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ Vi

(3.18)

= I 2 = I3 = ⋅ ⋅ ⋅

(3.19)

i

Y la corriente en cada resistor es I = I1

Resistores en paralelo Si dos resistores están conectados como se ilustra en la figura 3.9, se dice que están conectados en paralelo. En este caso observe que la diferencia de potencial a través de cada resistor es la misma y es igual a la de la pila V. Cuando la corriente I llega al punto "a" (llamado nodo o unión), se separa en dos partes, I 1 que pasa por R 1 e I2 que pasa por R 2. Si R 1 es mayor que R 2, entonces I1 será menor que I 2, como la carga debe conservarse, la corriente I que entra al punto "a" debe ser igual a la corriente total que sale de ese punto, I1 + I2, es decir, I = I1 + I2 Dado que la caída de potencial a través de cada resistor es la misma y ésta es igual a V, aplicando la ley de Ohm, se tiene I = I1 + I 2

=

V R 1

+

V R 2

⎛ 1 1 ⎞ V = V⎜⎜ + ⎟⎟ = ⎝ R 1 R 2 ⎠ R eq

A partir de este resultado, se ve que la resistencia equivalente, R eq, de dos resistores en paralelo es 1 1 1 R 1R 2 = + o R eq = R eq R 1 R 2 R 1 + R 2 Si se conectan en paralelo tres o más resistores: La resistencia equivalente es

Figura 3.9 1 R eq

=

1 R 1

La corriente total es IT

+

1 R 2

+

1 R 3

+⋅ ⋅ ⋅= ∑ i

1 R i

= I1 + I 2 + I3 + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ Ii

(3.20)

(3.21)

i

78



Y la diferencia de potencial es V = V1 = V2 = V3 = · · ·

(3.22)

Ejemplo: Calcule la resistencia equivalente del circuito de la figura 3.10. Sí la diferencia de potencial entre los puntos a y b es de 9 V, calcule la diferencia de potencial a través de cada resistor y la corriente en cada resistor. Solución: Primero numeremos los resistores, como se muestra en la figura 3.10a.

Figura 3.10

En las figuras 3.10b, 3.10c, 3.10d y 3.10e se ilustran la simplificación del circuito, mediante resistencias equivalentes, hasta la resistencia equivalente.

Figura 3.10 Como R 4 y R 5 están conectados en paralelo (ver figura 3.10a), R 6 es: R 4 R 5 (6)(3) R 6 = = =2Ω R 4 + R 5 6+3 Como R 2 y R 6 están conectados en serie (ver figura 3.10b), R 7 es: R 7 = R 2 + R 4 = 4 + 2 = 6 Ω Como R 7 y R 3 están conectados en paralelo (ver figura 3.10c), R 8 es: R 8

=

R 7 R 3 R 7

+ R 3

=

(6)(12) 6 + 12

=4Ω

Como R 1 y R 8 están conectados en serie (ver figura 3.10d), R eq es: R eq = R 1 + R 8 = 5 + 4 = 9 Ω La corriente que atraviesa por el punto a al punto b, está dada por: V 9 = =1 A I= R eq 9 Para calcular la corriente y el voltaje en cada resistor se recorrerá la simplificación al revés.

79



Como R 1 y R 8 están conectados en serie (ver figura 3.10d), I 1 e I8 son: I1 = I8 = I = 1 A La diferencia de potencial a través de R 1 y R 8 es: V1 = R 1I1 = 5 x 1 = 5 V

V8 = R 8I8 = 4 x 1 = 4 V

Como R 7 y R 3 están conectados en paralelo (ver figura 3.10c), la diferencia de potencial a través de R 7 y R 3 es: V3 = V7 = V8 = 4 V La corriente en R 3 y R 7 es: I3

=

V3 R 3

=

4 12

=

1 3

A

I7

=

V7 R 7

4

2

6

3

= =

A

Como R 2 y R 6 están conectados en serie (ver figura 3.10b), la corriente en R 2 y R 6 es: I2 = I6 = I7 = 2/3 A La diferencia de potencial a través de R 2 y R 6 es: V2

2 ⎞ 8 = I 2R 2 = ⎛ ⎜ ⎟(4) = 3 ⎝ 3 ⎠

V

V6

2 ⎞ 4 = I6R 6 = ⎛ ⎜ ⎟(2) = 3 ⎝ 3 ⎠

V

Como R 4 y R 5 están conectados en paralelo (ver figura 3.10a), la diferencia de potencial a través de R 4 y R 5 es: V4 = V5 = V6 = 4/3 V La corriente en R 4 y R 5 es: 4 I4

3.7

=

V4 R 4

=

3 9

4

=

2 9

A

I5

=

V5 R 5

=

3 3

=

4 9

A

Leyes de Kirchhoff

Se vio que los circuitos pueden analizarse aplicando la ley de Ohm y las reglas para las combinaciones en serie y paralelo de resistores. El procedimiento para analizar circuitos más complejos se simplifica mucho mediante la aplicación de dos leyes sencillas conocidas como leyes de Kirchhoff. Pero antes se verá algunas definiciones. Nodo.- Es un punto de un circuito donde están unidos tres o más conductores. Malla.- Es una trayectoria continua simple cerrada en un circuito. Rama.-Es una trayectoria entre dos nodos consecutivos.

80



Leyes de Kirchhoff 1.-

La suma de las corrientes que llegan a cualquier nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de él. La suma algebraica de la diferencias de potencial, a través de cada elemento, entorno de cualquier malla debe ser cero.

2.-

a

a

La 1 ley también se conoce como la regla de las corrientes o de los nodos. La 2 igualmente se conoce como la regla de voltajes o de mallas.

Recomendaciones para la aplicación de las leyes de Kirchhoff Al tratar con un circuito que tiene varias mallas, antes de aplicar las leyes de Kirchhoff debe de realizar las siguientes actividades. a) b) c) d) e)

Identificar los nodos existentes en el circuito. Contar el número de nodos. Identificar todas las ramas. Pues a cada rama le corresponde una corriente. Asignar una única corriente a cada rama con una dirección en forma arbitraria. En el caso de tener un capacitor o más se toma arbitrariamente los signos la carga en cada placa.

Al aplicar la primera ley. Si hay n nodos en el circuito, hay n - 1 ecuaciones linealmente independientes, es decir, únicamente hay que considerar n - 1 nodos. a

Al aplicar la 2 ley de Kirchhoff se debe considerar tantas mallas de manera que todos los ele mentos del circuito deben ser considerados al menos una vez. Al recorrer una malla se pasará por un resistor o una fem por lo que primero se analizará el circuito mostrado en la figura 3.11. Considerando el sentido de recorrido en comparación con el sentido de la corriente al pasar por un resistor o cuando se pasa la fem de que terminal a que terminal se recorre la fem. 1. Tomaremos la siguiente convención, al recorrer el circuito: Se está Figura 3.11 subiendo la diferencia de potencial es positiva. Y si se está bajando la diferencia de potencial es negativa. 2. Al pasar por la fem de la terminal negativa a la terminal positiva estamos subiendo por lo que la diferencia de potencial es positiva. 3. Al pasar por la fem de la terminal positiva a la terminal negativa estamos bajando por lo que la diferencia de potencial es negativa. 4. Al pasar por el resistor en dirección de la corriente estamos bajando por lo que la diferencia de potencial es negativa. 5. Al pasar por el resistor en dirección contraria a la de la corriente estamos subiendo por lo que la diferencia de potencial es positiva. 6. Si se incluye un capacitor como un elemento en una de las ramas del circuito, la rama actúa como un circuito abierto; esto es, la corriente en la rama donde está el capacitor será cero, bajo condiciones de estado estacionario (es cuando el capacitor está completamente cargado).

81



En un problema numérico particular, una respuesta negativa en una (o más) de las corrientes indica que está tiene la dirección opuesta a la que se supuso. Y si en un capacitor la diferencia de potencial es negativa, indica que los signos de las cargas de las placas son al contrario de la que se supuso.

Ejemplo: Considere el circuito de la figura 3.12. El vóltmetro ideal (en un vóltmetro ideal su resistencia interna es infinita), representado por el símbolo, da una lectura de 1.60 V, con la polaridad indicada. Encuentre el valor de R También encuentre la carga del capacitor. Solución: a) Identificar los nodos, como se ilustra en la figura 3.12a. Note que los nodos a y a’ son los mismos. b) El número de nodos es igual a 2. c) La identificación de las ramas se ilustra en la figura 3.12b. Recuerde que se debe tener una única corriente en cada rama. d) La asignación de las corrientes y sus sentidos se ilustra en la figura Figura 3.12 en la figura 3.12c, a la corriente I 4 no se le indica su sentido pues esta rama tiene un capacitor y la corriente es cero, en la figura 3.12d se omite esta corriente. e) La polaridad del capacitor se ilustra en la figura 3.12d. Recuerde que la corriente en esta rama es igual a cero, por lo que no se toma en cuenta.

Figura 3.12b Figura 3.12c Figura 3.12d Figura 3.12a Puede ignorarse el vóltmetro, ya que no fluye corriente a través de su resistencia (ya que es infinita). Como hay dos nodos a y b, sólo se debe tomar en cuenta un nodo. Tomando el nodo b se tiene I1 + I2 - I3 = 0 Para la malla I, recorriéndola en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj

desde el punto a (ver figura 3.12e), se encuentra:

Primero se pasa por el resistor de resistencia de 4 Ω, como podemos ver el sentido de recorrido es el mismo que el sentido de la corriente. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo que el sentido de recorrido sea el mismo que el sentido de la corriente al pasar por el resistor se está bajando por éste originando una diferencia de potencial negativa, entonces Figura 3.12e

82



Para la malla I, recorriéndola en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj desde el punto a (ver figura 3.12e), se encuentra: Primero se pasa por el resistor de resistencia de 4 Ω, como podemos ver el sentido de recorrido es el mismo que el sentido de la corriente. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo que el sentido de recorrido sea el mismo que el sentido de la corriente al pasar por el resistor se está bajando por éste originando una diferencia de potencial negativa, entonces -4I3 Después se pasa por el fem de 6 V, como podemos ver al recorrer la fuente en el sentido indicado la fem se recorre de la terminal negativa a la terminal positiva. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo al recorrer la fem de la terminal negativa a la positiva sé está subiendo por ésta originando una diferencia de potencial positiva, entonces -4I3 + 6 Por último se pasa por el resistor de resistencia de 2 Ω, como podemos ver el sentido de recorrido es el mismo que el sentido de la corriente. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo que el sentido de recorrido sea el mismo que el sentido de la corriente al pasar por el resistor se está bajando por éste originando una diferencia de potencial negativa, entonces -4I3 + 6 - 2I 1 = 0 Para la malla II, recorriéndola en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj encuentra:

desde el punto a (ver figura 3.12f), se

Primero se pasa por el fem de 8 V, como podemos ver al recorrer la fuente en el sentido indicado la fem se recorre de la terminal positiva a la terminal negativa. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo al recorrer una fem de la terminal positiva a la negativa sé está bajando por ésta originando una diferencia de potencial negativa, entonces -8 Figura 3.12f Después se pasa por el resistor de resistencia de R, como podemos ver el sentido de recorrido es contrario al sentido de la corriente. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo que el sentido de recorrido sea contrario al sentido de la corriente al pasar por éste se está subiendo por éste originando una diferencia de potencial positiva, entonces -8 + RI2 Pero el vóltmetro nos indica que RI 2 = 1.6, así -8 + 1.6 A continuación se pasa por el fem de 6 V, como podemos ver al recorrer la fuente en el sentido indicado la fem se recorre de la terminal negativa a la terminal positiva. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo al recorrer una fem de la terminal negativa a la positiva sé está subiendo por ésta originando una diferencia de potencial positiva, entonces -8 + 1.6 + 6

83



Por último se pasa por el resistor de resistencia de 2 Ω, como podemos ver el sentido de recorrido es el mismo que el sentido de la corriente. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo que el sentido de recorrido sea el mismo que el sentido de la corriente al pasar por el resistor se está bajando por éste originando una diferencia de potencial negativa, entonces -8 + 1.6 + 6 - 2I 1 = 0 Para la malla III, recorriéndola en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj

desde el punto a (ver figura 3.12g), se encuentra:

Primero se pasa por el resistor de resistencia 3 Ω, pero por esta rama no hay corriente. Por lo que no existe una diferencia de potencial. A continuación se pasa por el fem de 10 V, como podemos ver al recorrer la fuente en el sentido indicado la fem se recorre de la terminal positiva a la terminal negativa. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo al recorrer una fem de la terminal positiva a la negativa sé está bajando por ésta originando una diferencia de potencial negativo, entonces

Figura 3.12g

-10 Luego se pasa por el capacitor, lo trataremos como una fuente. Como podemos ver al recorrer el capacitor en el sentido indicado se recorre de la placa positiva a la placa negativa. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo al recorrer una fem de la terminal positiva a la negativa sé está bajando por ésta originando una diferencia de potencial negativo, entonces -10 - V C Prosiguiendo se pasa por el fem de 6 V, como podemos ver al recorrer la fuente en el sentido indicado la fem se recorre de la terminal negativa a la terminal positiva. Observando la figura 3.11 cuando se recorre el triángulo de modo al recorrer una fem de la terminal negativa a la positiva sé está subiendo por ésta originando una diferencia de potencial positiva, entonces -10 - V C + 6 Y finalmente se pasa por el resistor de resistencia de 2 Ω, como podemos ver el sentido de recorrido es el mismo que el sentido de la corriente. Observando la figura 2.111 cuando se recorre el triángulo de modo que el sentido de recorrido sea el mismo que el sentido de la corriente al pasar por el resistor se está bajando por éste originando una diferencia de potencial negativa, entonces -10 - VC + 6 – 2I 1 = 0 Así se forma el sistema de ecuaciones I1 + I2 - I3 = 0 2I1 + 4I3 = 6 2I1 = -0.4 2I1 + VC = - 4 Al resolver este sistema de ecuaciones se tiene I1 = -0.2 A, I 2 = 1.8 A, I 3 = 1.6 A, V C = -3.6 V

84



Como I1 resultó negativa, indica que el sentido que se especificó no es el correcto. Para encontrar R, se hace uso de V = IR. El vóltmetro indica 1.6 V, e I = I 2 = 1.8 A. Por lo tanto V 1.6 R = = I 1.8 R = 0.89 Ω Como la diferencia de potencial en el capacitor es negativa, la polaridad del capacitor es opuesta a la que se indicó. Ya que Q = CV, se obtiene -6

Q = (3.6)(5x10 ) Q = 18 μF

3.8

Circuito resistencia-capacitancia

Hasta ahora se han considerado los circuitos con corrientes constantes, o sea, los llamados circuitos de estado estacionario. Ahora se estudiaran circuitos que contienen capacitores, en los que las corrientes varían con el tiempo.

Carga de un capacitor Considere el circuito serie ilustrado en la figura 3.13a. Suponga que el capacitor está inicialmente descargado. No hay corriente alguna cuando está abierto el interruptor S. Si se cierra el interruptor en el instante t = 0, se presentará una corriente a través del resistor y el capacitor empezará a cargarse (figura 3.13c). El valor de la carga máxima depende de la fem de la batería. Una vez que se alcanza la carga máxima, la corriente en el circuito es cero.

Figura 3.13 Al aplicarse la segunda regla de Kirchhoff, después de que se cierra el interruptor; se obtiene (3.23) ε − IR − q = 0 C En donde IR es la caída de potencial a través del resistor y q/C es la caída de potencial a través del capacitor. En t = 0, al cerrarse el interruptor, la carga en el capacitor es cero, se encuentra que la corriente inicial en el circuito, I o, es máxima e igual a Io

=

ε

R

(3.24)

85



Posteriormente, cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo Q, la carga deja de fluir, la corriente en el circuito es cero y la caída de potencial es completamente a través del capacitor. Al sustituir I = 0 en la ecuación (3.23), se tiene q = Q = C ε

(3.25)

Si se deriva la ecuación (3.24) con respecto al tiempo y dado que ε es constante, entonces dε/dt = 0 y se obtiene q ⎞ ⎛ d⎜ ε − IR − ⎟ dI 1 dq C ⎠ ⎝ = −R − =0 dt dt C dt Como q es la carga que hay en el capacitor, entonces dq/dt es la rapidez con que varía la carga en el capacitor. Por otro lado, I es la corriente que hay en el circuito que es la cantidad de carga por unidad de tiempo (rapidez) que entra al capacitor, entonces I = dq/dt. Sustituyendo la corriente en la ecuación anterior, se tiene dI R dt dI R dt dI

1

+

1

=− I C 1

=−

I

I=0

C

RC

dt

Integrando I

dI

∫I

Io

t

1

= −∫

RC

0

I

ln I I

1

=−

ln I − ln Io

t

1

∫ dt

RC 0

t

RC

o

=−

dt t0

=−

1 RC

(t − 0)

⎛ I ⎞ ⎟⎟ = − 1 t RC ⎝ Io ⎠

ln⎜⎜

-

1

t

I(t) = Io e RC =

ε

e R

-

1 RC

t

(3.26)

En donde I o = ε/R es la corriente inicial. En la gráfica de la figura 3.14 se muestra el comportamiento de la corriente a través del tiempo. Para encontrar la carga en el capacitor, recuerde que I = dq/dt Figura 3.14

86



dq dt

ε = e

-

1 RC

t

R

ε dq = e

-

1 RC

t

R

dt

integrando q

∫ 0

t

dq =

∫ 0

ε

e R

-

1 RC

t

dt

resulta q(t) = −εCe

-

1 RC

t

t

⎛ - RC1 t 0 ⎞ ⎛ - RC1 t ⎞ ⎛ - RC1 t ⎞ = −εC⎜⎜ e − e ⎟⎟ = εC⎜⎜1 − e ⎟⎟ = Q⎜⎜1 − e ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎛ - RC1 t ⎞ ⎟⎟ q(t) = Q⎜⎜1 − e ⎝ ⎠

(3.27)

en donde Q = C ε es la carga máxima en el capacitor. En la gráfica de la figura 3.15 se muestra el comportamiento de la carga en el capacitor. La cantidad RC, que aparece en la exponencial de las ecuaciones de la corriente (3.26) y la carga (3.27), se conoce como constante de tiempo, τ = RC , del circuito; esta constante representa el tiempo que tarda la corriente en disminuir hasta 1/e de su valor inicial; esto es, en un -1 tiempo τ, I(τ) = e Io = 0.37I o. Figura 3.15

Ejemplo En un circuito RC en serie, ε = 11.0 V, R = 1.42 M Ω y C = 1.80 μF. a) Calcule la constante de tiempo. b) Halle la carga máxima que aparecerá en el capacitor. c) ¿Cuánto tiempo le toma a la carga llegar a 15.5 μC? Solución a) La constante de tiempo del circuito, está dada por τ = RC

sustituyendo valores

6

-6

τ = (1.42x10 )(1.8x10 ) τ = 2.556 s

b) La carga máxima en el capacitor, está dada por Q = Cε sustituyendo valores

Q = (1.80x10 -6)(11)

Q = 19.8 μC

87



c) La carga en el capacitor en un instante dado, está dada por

⎛ - RC1 t ⎞ ⎟⎟ q(t) = Q⎜1 − e ⎜ ⎝ ⎠ igualando la carga a 15.5 μC y despejando el tiempo, se tiene

⎛ - RC1 t ⎞ ⎟ =15.5x10-6 q(t) = Q⎜⎜1 − e ⎟ ⎝ ⎠ 1− e e

-

1 RC

-

t

1 RC

t

=

=1−

15.5x10-6 Q 15.5x10-6 Q

obteniendo el logaritmo

− t

1 RC

t

⎛ 15.5x10-6 ⎞ ⎟⎟ Q ⎝ ⎠ ⎛ 15.5x10-6 ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜1 − Q ⎝ ⎠

= ln⎜⎜1 −

= −RC

sustituyendo valores t

⎛ 15.5x10-6 ⎞ ⎟ = −(1.42x106 )(1.8x10-6 ) ln⎜⎜1 − -6 ⎟ 19 . 8 x 10 ⎝ ⎠

t = 3.9 s

Descarga de un capacitor Considere ahora el circuito ilustrado en la figura 3.16a, que constan de un capacitor con carga inicial Q, un resistor y un interruptor.

Figura 3.16 Al estar abierto el interruptor se tiene una diferencia de potencial Q/C a través del capacitor, y una diferencia de potencial cero a través del resistor, ya que I = 0. Si se cierra el interruptor en t = 0, el capacitor empieza a descargarse a través del resistor. En algún instante durante la descarga, la corriente en el circuito es I y la carga en el capacitor es q (figura 3.16). Por la 2a regla de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a través del resistor, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q/C: q IR = C

88



No obstante, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez con la que disminuye la carga en el capacitor; esto es, I = -dq/dt y, por consiguiente dq q − R = dt C ó dq 1 = − dt q RC se integra esta ecuación con, q = Q en t = 0 y se obtiene q

dq

∫q

Q

t

= −∫ 0

q

=−

ln q Q

dt

=−

RC 1

1

t

∫ dt

RC 0

t

RC

t0

ln q − ln Q = −

1 RC

(t − 0) = −

1 RC

t

⎛ q ⎞ 1 t ⎟=− RC ⎝ Q ⎠

ln⎜

q(t) = Qe

-

t RC

(3.28)

si se deriva a q con respecto al tiempo se obtiene la corriente I(t) = −

d(q(t)) dt

Q

=

RC

e

t

-

RC

= Io e

-

t RR

(3.29)

en donde la corriente inicial I o = Q/RC.

Ejemplo Un circuito RC se descarga al cerrar un interruptor en el tiempo t = 0. La diferencia de potencial inicial en el capacitor es de 100 V. Si la diferencia de potencial disminuyó a 1.06 V después de 10.0 s, a) calcule la constante de tiempo del circuito. b) ¿Cuál será la diferencia de potencial en t = 17s? Solución a) La diferencia de potencial en cualquier instante, está dada por q(t) V(t) = C por otro lado, la carga en el capacitor en cualquier instante, está dada por -

t

q(t) = Qe sustituyendo la carga en la expresión de la diferencia de potencial, se tiene V(t) =

Qe

-

RC

t RC

-

t

= Voe C donde Vo = Q/C es la diferencia de potencial inicial en el capacitor. Recuerde que la constante de tiempo τ es RC, entonces V(t) = Voe

-

RC

t RC

= Voe

-

t τ

89



Igualando la diferencia de potencial a 1.06 en el instante de 10.0 s y despejando la constante de tiempo, se tiene V(10) = Vo e e

-

−

10

=

τ

10 τ

τ=−

-

10 τ

= 1.06

1.06 Vo

⎛ 1.06 ⎞ ⎟⎟ = ln⎜⎜ V ⎝ o ⎠ 10

⎛ 1.06 ⎞ ⎟⎟ V o ⎝ ⎠

ln⎜⎜ sustituyendo la diferencia de voltaje inicial τ=−

10 ⎛ 1.06 ⎞

ln⎜

⎟ ⎝ 100 ⎠

τ = 2.2 s

b) La diferencia de potencial en t = 17 s es V(17) = 100e

-

17 2. 2

V(17) = 43.96 mV

90

Unidad 3-Electricidad y Magnetismo Esime Zacatenco

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