INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ
MARCO TEÓRICO UNIDAD 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS En el año de 1733, Abraham DeMoivre desarrollo la ecuación matemática de la curva normal, la cual es la base de los fundamentos de la teoría de la estadística inductiva. A esta distribución también se le llama distribución gaussiana, en honor a Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien derivó su ecuación de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad…
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 02 de junio de 2011
Bautista León Fidel Cárdenas de Paz Jairo Molina González Carolina Isabel Zepeda Rojas Roberto Carlos
Ingeniería Industrial Q2-2C 2º semestre
Tabla de contenido Definición de variable aleatoria .........................................................................................................
3
Distribución normal ......................................................................................................................... 3 Variable aleatoria continua ......................................................................................................... 3 Función de densidad y acumulada .............................................................................................. 4
Aproximación de la normal a la binomial..........................................................................................
5
Distribución gamma y exponencial ................................................................................................. 5 Variable aleatoria continua de una distribución gamma ............................................................ 6 Variable aleatoria continua de una distribución exponencial .................................................... 6 Bibliografía .................................................................................................................................. 7
DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA La conjunción entre probabilidad y estadística constituye la base fundamental para la comprensión de las técnicas que se emplean en la estadística inferencial y la toma de decisiones. En muchas ocasiones, cuando se repite un experimento se obtienen resultados diferentes, debido a pequeñas variaciones en variables no controladas en el experimento; por ejemplo, los cambios en al temperatura ambiental, las variaciones en los instrumentos de medición o pequeñas impurezas en la composición química de los metales, podría arrojar distintas mediciones en la resistencia eléctrica de un alambre.
DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución continua de la probabilidad más importante en todo e l campo de la estadística es la distribución normal. Esta distribución muestra una grafica en forma de campana, la cual describe aproximadamente demasiados fenómenos que ocurren en la naturaleza de la industria y la investigación, como por ejemplo, los experimentos meteorológicos, lluvias y más las podemos explicar con la distribución normal. En el año de 1733, Abraham DeMoivre desarrollo la ecuación matemática de la curva normal, la cual es la base de los fundamentos de la teoría de la estadística inductiva. A esta distribución también se le llama distribución gaussiana, en honor a Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien derivó su ecuación de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad.
Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua que tiene una distribución en forma de campana se llama variable aleatoria normal tal como la siguiente figura:
La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de los dos parámetros
y
, su
media y su desviación estándar. Por lo tanto se representan los valores de densidad de X por
.
Función de densidad y acumulada La función de densidad de la variable aleatoria normal X , con media
y variancia
, es:
.
Donde
Una vez especificada
y , la curva normal se determina completamente.
Ahora se mostrará que los parámetros
y
son en realidad la media y la varianza de la
distribución normal. Para evaluar la media, se escribe:
.
Si se hace
y
, se obtiene.
.
La varianza de la distribución normal es:
Otra vez, si
y
.
, se obtiene:
.
Muchas variables aleatorias tienen distribuciones de probabilidades que pueden describirse adecuadamente por medio de la curva normal, una vez que se especifican
y
.
La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de las funciones de densidad normal hace necesaria la tabulación de las aéreas de la curva normal para una referencia rápida. No obstante, sería una tarea inacabable realizar tablas separadas para cada valor concebible de
y
. Por
fortuna es posible transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal X en un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con medida cero y variancia 1. Esto puede realizarse por medio de la transformación:
.
Siempre que
asuma un valor , el correspondiente valor de
cae entre los valores
correspondientes
es
y
, la variable aleatoria
y para
sustituimos a
. Por lo tanto, si
caerá entre los valores
dentro de la formula.
La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y variancia 1 se llama distribución normal estándar.
APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL A LA BINOMIAL Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente cuando Si
es pequeña, de la formula
de la distribución binomial.
es grande, es conveniente calcular las probabilidades binomiales por procedimientos de
aproximación. La distribución normal frecuentemente es una buena aproximación a la distribución discreta cuando esta ultima toma la forma de una campana simétrica. Desde el punto de vista teórico, algunas distribuciones convergen a normales a medida que sus parámetros se aproximen a ciertos límites. La distribución normal es una distribución de aproximación conveniente debido a que la función de una distribución acumulativa se tabula de manera sencilla. La distribución binomial se aproxima demasiado bien a la normal en problemas prácticos cuando se trabaja con la función de distribución acumulada. En seguida se plantea un teorema que permite utilizar áreas bajo la curva normal para aproximar propiedades binomiales cuando suficientemente grande. Si
es una variable aleatoria binomial con media
de límite de la distribución de:
, cuando
y variancia
, es la distribución normal estándar
es
, entonces la forma
.
DISTRIBUCIÓN GAMMA Y EXPONENCIAL Además de que la distribución normal la podemos utilizar para resolver problemas de diferentes ámbitos tales como de ingeniería y demás ciencias, existen todavía numerosas situaciones que necesitan diferentes tipos de funciones de densidad. En ello se presentan dos de tales funciones de densidad, las distribuciones gamma y exponencial. La distribución gamma toma su nombre de la bien conocida función gamma, que se estudia en muchas áreas de las matemáticas. Estas son algunas de sus propiedades de esta función que se presentaran a continuación.
La función gamma se define como:
Para
.
Cuando se integra por partes con
y
para
la formula recursiva:
la aplicación repetida de esta fórmula da:
Nótese que cuando
donde,
, y así sucesivamente.
es un entero positivo,
. Sin embargo, por la primera formula de la función gamma
y de aquí que,
.
Variable aleatoria continua de una distribución gamma La variable aleatoria continua X tiene una distribución gamma, con parámetros de densidad es:
y , si su función
La distribución gamma especial para la cual
.
se llama distribución exponencial.
La media y la variancia de la distribución gamma son:
Y
.
Variable aleatoria continua de una distribución exponencial La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro de densidad es:
, si su función
.
La distribución exponencial es una distribución continua definida por:
, para todo número real .
Está relacionada con el tiempo de reacción de un conductor frente a un estimulo, el diámetro del punto producido por una impresora, el tiempo de incapacidad por enfermedad de un paciente, etc.
Bibliografía Castellanos, C. B. (2006). SUMMA Enciclopedia Universal (2006 ed., Vol. 3). Bogotá: Grupo Editorial Norma. Freund John E., S. G. (1994). ESTADÍSTICA ELEMENTAL (octava edicion ed.). (C. R. Angel, Ed., & D. D. Julian, Trad.) Edo. de México, Naucalpan de Juárez, México: PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA S.A. Montogomery Douglas C., R. G. (1996). Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería. (U. M. G., Trad.) México D.F., México: Mc Graw Hill. WALPOLE, E. (1998). ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. En E. WALPOLE,
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (4ª EDICION ed., págs. 113, 115, 124, 133, 136.). McGRAW-HILL.
