UNIDAD 5.- INTEGRALES MULTIPLES MULTIPLES 5.1.- Calculo de áreas en ine!rales do"les
Si se considera una función continua no negativa f(x, y) ≥ 0 definida en un recinto acotado medible A, entonces la integral doble ZZ A f(x, y) dx dy tiene un significado geométrico claro: reresenta el volumen del solido formado or el recinto A como base, aredes laterales verticales y como suerficie suerior la grafica de f(x, y)! "ste resultado ermite #ue, en el caso de integrar la función constante $ sobre un recinto medible A, se obtenga el %rea de dic&o recinto (en realidad, se obtiene el volumen de un risma recto de base el recinto A y altura $ #ue e#uivale numéricamente al '%rea de A)! "s decir a(A) : ZZ A $ dx dy "*emlo: +amos a utiliar esta roiedad ara calcular el %rea comrendida or la gr%fica de las funciones y sen(x) - $ e y cos(x) - $ en el intervalo ./ 1 2 , 31 2 4! Solución: 5rimer aso: 6n cro#uis 5ara reresentar gr%ficamente el %rea #ue #ueremos calcular, &allaremos en rimer lugar, los untos de intercesión de las dos funciones #ue se encuentran en ese intervalo, es decir, igualamos las dos funciones y obtenemos #ue: sen(x) - $ cos(x) - $ 7 sen(x) cos(x) 7 x / 1 2 , 1 2 , 31 2 8uego los untos de intersección son 5$ (/ 1 2 , / 9 - $), 5 (/ 1 2 , 9 - $), 5 ( 31 2 , / 9 - $) ;omo odemos ver en la grafica,
Segundo 5aso: 8os l=mites de integración en y >raamos una recta vertical, 8, #ue ase or el dominio ? y marcamos los valores de la variable y or donde entra y sale la recta 8 esos valores son *ustamente los valores de las funciones y sen(x) - $ e y cos(x) - $! 5or lo tanto el dominio ? sobre el #ue tenemos #ue integrar es el dominio de tio $: ? @(x, y) 1 2 B x B 31 2 cos(x) - $ B y B sen(x) - $)C >ercer 5aso: ;alculo de la integral Alicando la fórmula de integración sobre dominios de tio D a la fórmula de c%lculo de %reas, tendremos #ue: Erea( ' ?) ZZ ? $ dA Z 31 2 1 2 Z sen(x)-$ cos(x)-$ $ dy dx Z 31 2 1 2 y4 sen(x)-$ cos(x)-$ dx Z 31 2 1 2 sen(x) / cos(x) dx / cos(x) / sen(x)4 31 2 1 2 2 9
3!!F Dntegrales iteradas "n la r%ctica una integral trile se calcula mediante tres integrales simles llamadas integrales iteradas! ?efinición (integrales iteradas)! Si
es integrable en #$%a&"' ( %c&d' (
%e&)'
8a exresión de la derec&a reresenta el roceso #ue comiena integrando la función resecto de , tomando e como constantes, resultando una función de dos variables! 8a integración iterada de esa función, rimero resecto de y luego resecto de da como resultado el valor de la integral trile! "ste orden de integración es el exresado en la integral anterior, ero odr=amos intercambiar las variables: •
"l c%lculo de una integral trile se reduce a calcular una integral simle y una doble! 6na ve elegida la variable ara la rimera integración, la integral doble se extender% al dominio contenido en el lano de las otras variables odemos escribir
•
b) "xisten seis órdenes distintos de integración, ues cada una de las exresiones anteriores origina dos formas de resolver las corresondientes integrales dobles
3!!F Dntegral doble en coordenadas rectangulares! Sea f(x, y) una función acotada sobre un rect%ngulo G .a, b4 H .c, d4! 6na artición del rect%ngulo G son dos con*untos de untos @x*C n *0 e @y*C m *0, satisfaciendo a x0 I x$ I x I ! ! ! I xn b c y0 I y$ I y I ! ! ! I ym d es decir, 5 5$ H 5, donde 5$ y 5 son articiones de .a, b4 y .c, d4, resectivamente! Se llama 'area de G a v(G) (d/c)(b/a)! >oda artición divide al rect%ngulo G en n J m subrectangulos G*K .x*/$, x* 4 H .yK/$, yK4, * $, ! ! ! , n, K $, ! ! ! , m Se llama norma de la artici'on 5 a K5K m'ax@v(G*K) : * $, ! ! ! , n K $, ! ! ! , mC
F ;onsidérese cual#uier unto c*K del rect%ngulo G*K y fórmese la suma
llamada suma de Giemann ara f "n la siguiente grafica &emos reresentado las sumas de Giemann ara la función f(x, y) x - y tomando como unto c*K el unto medio del rect%ngulo y el unto inferior del rect%ngulo.
Si la sucesión @S(f, 5)C converge a un l=mite S, cuando la norma de la artición tiende a 0, #ue es el mismo ara cual#uier elección de c*K, entonces se dice #ue f es integrable sobre G y se escribe
A continuación, se resumen las roiedades m%s imortantes de las funciones integrables! >eorema $0! Sean f y g dos funciones integrables sobre un rect%ngulo G! "ntonces
$! (8inealidad) f - g es integrable sobre G y
! (Lomogeneidad) Mf es integrable sobre G, ara todo M ∈ G, y
! (Nonoton=a) Si f(x, y) B g(x, y), ara todo (x, y) ∈ G, entonces
2! (Aditividad) Si G 5 ∪O con 5 y O dos rect%ngulos cuya intersección es una l=nea recta o un unto o vac=a, entonces
3! (+alor absoluto) PfP también es integrable y se verifica
6n rimer e*emlo de una amlia clase de funciones integrables la roorciona el siguiente teorema >eorema! F >oda función continua sobre un rect%ngulo cerrado G es integrable Aun#ue la clase de las funciones integrables es muc&o m%s amlia, el teorema anterior ser% suficiente en muc&os casos r%cticos! "n general, las funciones integrables son a#uellas #ue son continuas salvo en con*untosQ muy e#ueRosQ! ?efinición (Nedida nula) 6n subcon*unto de G n tiene contenido nulo si, dado ǫT 0, existe un nUmero finito de rect%ngulos #ue lo recubren y la suma de sus volUmenes es menor #ue V! >eorema (>eorema de
es integrable sobre .a, b4 y se verifica
∈
! Si ara cada y ∈ .c, d4, la sección transversal fy(x) : f(x, y), x .a, b4, es integrable sobre .a, b4, entonces la función
∈
es integrable sobre .c, d4 y se verifica
>eorema de fubini Si f es continua sobre un rect%ngulo G .a, b4 H .c, d4, entonces
"*emlo: Se desea calcular la integral doble WWG x y dxdy siendo G .$, 4 H .0, $4!
Solución: ?ado #ue la función x y es continua en G basta alicar el >eorema de
3!X!F Dntegral trile en coordenadas cil=ndricas y esféricas INTEGRALES TRIPLES EN C**RDENADAS CILINDRICAS
"n este sistema de coordenadas, el sólido m%s simle es un blo#ue cil=ndrico! 5ara obtener la exresión en coordenadas cil=ndricas de una integrar trile, suongamos #ue O es una región sólida cuya royección G sobre el lano x,y uede describirse en coordenadas olares! "sto es: O ( x,y, ) : ( x,y ) est% en G!& $ ( x,y ) I ( & ( x,y ) G ( r, O) 0, I 0 I 0 g, ( 0 ) I G I Y ( 0) S D f es una función continua sobre el sólido O, odemos escribir la integrar trile de f sobre O como! f ( x,y, ) d + G . & ( x,y) f ( x,y, ) d Z 4 d A & ( x,y ) ?onde la integrar doble sobre G se calcula en olares! "s decir, G es una región lana r simle o 0 simle! Si G es r simle, la forma iterada de la integrar trile en forma cil=ndrica es! f ( x,y, ) d + 0 0 ( 0) & ( r cos 0, r sen ( 0) f ( r cos 0 , r sen 0, ) r d d dr d0 O 0 g ( 0) & $ ( r cos, 0, r sen, ( 0)
e*ercicio: ;A8;68[ ?" 8A NASA "\ ;[[G?"\A?AS ;D8D\?GD;AS Lallar la masa de la orción del sólido elisoidal O dado or 2H - 2H - $], #ue est% or encima del lano x,y, suuesto #ue la densidad en un unto del sólido es roorcional a su distancia al lano x,y! S[86;D[\: 8a función densidad es ( r, 0, ) K ! 8os l=mites ara son
$] 2H 2y $] 2 r 2 r D\>"YGA8"S >GD58"S "\ ;[[G?"\A?AS "S<"GD;AS
8as integrales triles #ue involucran esferas o conos sueles ser m%s f%ciles de calcular en coordenadas esféricas! Gecordemos #ue las ecuaciones de conversión de coordenadas rectangulares a esféricas son ^ sen 0 cos 0 _ sen 0 sen 0 Z cos 0 "n este sistema de coordenadas, la región m%s simle es un blo#ue esférico determinado or ( , 0, 0 ) : $ I 0$ I 0 I0 0$ I0I0) ?onde $ T 0,0 0$ I i, y 0 I 0$ I 0 I i! Si ( , 0,#, ) es un unto interior del blo#ue, el volumen del blo#ue se uede aroximarse or A+ sen A AO A0
5or el roceso &abitual de tomar una artición interior, sumar y asar al l=mite se llega a la siguiente versión de una integrar trile en coordenadas esféricas ara una función continua f definida sobre el sólido O
3!X!F ;amos vectoriales 8as funciones, amliamente emleadas en la ingenier=a, ara modelar matem%ticamente y caracteriar magnitudes f=sicas, y cuyo dominio odr=a ser multidimensional, ueden tener un rango unidimensional o multidimensional! "l rimer tio de funciones (rango unidimensional) se define como camo escalar, y esta se corresonde a una magnitud f=sica #ue re#uiere sólo de un nUmero ara su caracteriación! 6n camo escalar, or tanto, es una función, escalar, cuyo valor deende del unto #ue se estudie! 6n e*emlo de este tio de funciones uede ser la distribución de temeraturas dentro de un cuero, la resión e*ercida sobre un cuero or un fluido, o un otencial eléctrico! 5or otro lado, un camo vectorial se corresonde con el segundo tio de funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud f=sica re#uiere de un vector ara su descrición, como uede ser, or e*emlo, el flu*o de un fluido o un camo de fueras gravitacionales o eléctricas! ?efinición! 6n camo vectorial en n ℜ es una función: n n < A ⊆ℜ `ℜ #ue asigna a cada unto ( ) $ ,,, ^ n xx x de su dominio A un vector
<^ <^ < ^ < ^ () () ( ) $ , ,, ( ) () n ! Si < A: ⊆ℜ `ℜ , entonces se denomina como camo vectorial en el lano, a esta función
"n donde, <$ ( ) x y, y < ( ) x y, son funciones escalares! Si < A: ⊆ℜ `ℜ , entonces se denomina como camo vectorial en el esacio, a esta función < (x,y,) definida ara untos en ℜ , &acia el con*unto de vectores tridimensionales, denot%ndose de la siguiente manera
"n donde, <$(x,y,) <( xy ) y < (xy )son funciones escalares!
es#uem%tica de reresentar un camo vectorial Sin embargo, ara visualiar de una manera me*or lo #ue el camo reresenta en n ℜ , se referible dibu*ar el vector n ^ ∈ ⊆ A G como un
unto sobre el esacio n ℜ y a ( ) n < ^ G ∈ como un vector sobre ese mismo esacio, como se resenta en la siguiente figura!
8a reresentación de un camo vectorial bidimensional en el lano cartesiano, se realia reresentando un con*unto de vectores <(x,y) ara varios untos (x,y) del dominio, reresentando el vector <(x,y)(f$(x,y)<(x,y)<(x,y)) de tal manera #ue el unto inicial del vector esté localiado en(x,y) este rocedimiento también uede ser alicado ara la reresentación de un camo vectorial en el esacio "*emlo Geresente gr%ficamente los camos vectoriales definidos de la manera #ue se muestra a continuación:
Solución! a) 5ara reresentar este camo vectorial se evaluar% algunos untos (x, y) en la función <(x,y) como or e*emlo <($,$) (F$,$), <(F$,$) (F$,F$) < (F$,F$) (F$,F$) y < (F$,F$) ($,$)!
8uego tomamos, el rimer vector resultante (/$,$) y se grafica teniendo como unto inicial al unto ($,$)! Alicando sucesivamente este rocedimiento con los otros vectores se obtiene la reresentación gr%fica del camo vectorial
b) 5ara obtener la reresentación gr%fica de este camo vectorial se evaluar%n algunos untos en la función obteniéndose! 8uego ara reresentar el rimer vector resultante (/$,$,$), se gr%fica, teniendo como unto inicial al unto! Sucesivamente se dibu*an los dem%s vectores resultantes ara obtener la reresentación gr%fica del camo vectorial
;amo vectorial en d
3!!F Dntegral de l=nea
8a integración de l=nea es la técnica de integración ara una función a lo largo de una curva dada! >ambién es conocida or los nombres de integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc! A#u= uno odr=a confundir la integral de l=nea y el c%lculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración! Ambos, los camos escalares as= como los vectoriales ueden ser integrados utiliando este método! 6na integración de l=nea de tales camos roducir=a una sumatoria de
valores de camo ara cada unto de la curva dada #ue se encuentra en el camo! 5or e*emlo, asuma #ue la fuera < actUa sobre una art=cula y &aga #ue se mueva sobre la trayectoria A como se muestra a continuación! "sto imlica #ue el traba*o total realiado or la fuera < en el movimiento de la art=cula a lo largo de una distancia e#ueRa s ser%,
"l c%lculo de la integral de l=nea de un camo escalar es algo diferente! "n este, dividimos lo dado en ieas m%s e#ueRas de igual longitud! "li*a un unto arbitrario en la curva y nómbrelo como unto de muestra! 5ermita #ue el unto de muestra sea elegido or cada iea de arco sobre la curva comleta! >race una l=nea recta entre cada ar de estos untos de muestra! Sea la distancia entre estos untos de muestra denotada como s! 8a multilicación de la función de estos untos de muestra y las resectivas distancias entre ellos uede considerarse como el %rea del rect%ngulo con altura f(r(ti)) y anc&ura si! >omando la sumatoria de tales términos con l=mite ! Geconstruyendo la ecuación anterior obtenemos, ?ado #ue la distancia medida entre los untos sucesivos al unto de muestra es, "sto es e#uivalente a la sumatoria de Giemann, la cual es, 8a integral de l=nea encuentra una gran alicación r%ctica! Dncluso la ley del electromagnetismo de
ambién el c%lculo del volta*e en el vecindario de una carga untual uede &acerse utiliando la integral de l=nea! "*emlo: ara (t) (Ft , $) < ds <((t))! (t) dt
<( , t)!(Ft , $) dt (0, )!(Ft , $) dt dt Asuma #ue t sin u ydt cos u du < ds cos(u) du cos(u) du cos(u) du 8a integración anterior uede realiarse f%cilmente utiliando las técnicas de integración!
3!$0!F >eorema de integrales