Unidad II- Logica - Tics

UNIDAD II Lógica Proposicional El razonamiento es un tipo especial de pensamiento en el cual se realizan inferencias (deducciones): es decir, en el que se derivan

conclusiones

a

partir

de

premisas

o

proposiciones. La lógica, al igual que las matemáticas estudia las relaciones abstractas formales.

Ejemplo 1: Premisas. Conclusión.

Si soy presidente, entonces soy famoso. Yo no soy famoso. Por lo tanto, no soy presiente

Ejemplo 2: Premisas. Conclusión.

1

Todos los hombres son mortales. Yo soy un hombre. Por lo tanto, yo soy mortal.

Matemáticas Discretas I Elaborado por: M.C. Elizabeth Santiago Morales

Ingeniería en TIC’s

En este ejemplo, en realidad no importo Yo, ni los hombres, ni su mortalidad. Lo que se quiere es mostrar la relación entre las

proposiciones.

Las matemáticas y la programación de computadoras dependen de la claridad de los razonamientos. El lenguaje es a tal punto complejo que, en ocasiones, es difícil seguir los razonamientos. La lógica permite estudiar los métodos para distinguir los razonamientos correctos de los incorrectos. Por lo tanto…

PROPOSICION

Una

es un enunciado que puede ser

verdadero o falso, pero no ambas cosas. La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma en base con otras proposiciones. Los enunciados siguientes son proposiciones: Dos más tres es igual a cinco

(VERDADERO)

Cuatro es menor que cuatro

(FALSO)

Tres es raíz cuadrada de nueve (VERDADERO) Los enunciados siguientes NO son proposiciones Cuatro más cinco.

(no es una proposición)

¿Tres es igual a uno? (no es afirmativo)

2



PROPOSICIÓN SIMPLE

Una

es aquella que

no se puede descomponer en dos proposiciones. Expresa un solo pensamiento afirmativo.

PROPOSICIONES se denotan con letras minúsculas p, q, r, s, t… Las

Ejemplo 3: Premisa

Solución

1) 5+6 es mayor que 2+15 Proposición falsa 2) La E.S.I.M.E. Culhuacan es una Proposición verdadera escuela de ingeniería 3) Es más fácil el estudio de la música No es proposición, no se puede establecer su que el de las matemáticas veracidad.

PROPOSICIÓN. Sea

p

una proposición, entonces,

~p

(se lee “no

p”) y a esto se le conoce también como de p (not). cierto que

p

~p

VERDADERO

FALSO

FALSO

VERDADERO

3


p”, “no es

la negación


PROPOSICIÓN COMPUESTA

Una

forma relacionando dos o más proposiciones simples

conectivos lógicos como son:

“y”

u

“o”

se

mediante

para unir dos

proposiciones o más. Estas pueden ser de dos tipos: CONJUNTIVA, DISYUNTIVA o CONDICIONAL.

PROPOSICIÓN CONJUNTIVA

(Y, and).

Es la que resulta de la UNIÓN de dos proposiciones mediante el conectivo conjunción (

^): p ^ q

(se lee p y q) .

La conjunción es VERDADERA

verdaderas.

si

ambas p y q

La conjunción es FALSA si una de ellas

pyq

son

es falsa.

Esta proposición da la idea de simultaneidad.

p

q

p ^ q

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

FALSO

FALSO

VERDADERO

FALSO

FALSO

FALSO

FALSO

4



PROPOSICIÓN DISYUNTIVA Es la que resulta de la UNION conectivo disyuntivo (

v): p v q

(O, or).

de dos proposiciones con el (se lee como

La disyunción es VERDADERA si

verdaderas. La disyunción es FALSA solo si

p

o q) .

p, q o ambas

pyq

son

son falsas.

Esta proposición da la idea de alternancia.

P

q

p v q

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

VERDADERO

FALSO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

FALSO

FALSO

5



Ejemplo 4: Escribir como proposición en forma simbólica: “X es un entero negativo o X es un número racional positivo” SOLUCION: n: X es un número negativo. p: X es un número racional positivo. “X es un entero negativo o X es un número racional positivo” Se escribe: n V p

Las letras que se usan en la lógica simbólica suelen ser

p, q y r.

Pero también pueden elegirse de tal modo que recuerden la proposición en sí.

En el ejemplo 4 se uso la letra

negativo y la p de positivo.

n

de

Es conveniente hacer que la letra represente una proposición en su forma afirmativa. Por ejemplo.- Si se quiere decir “X no es igual a cinco”, Se hace que p represente “X es igual a cinco” y se usa ~p para representar “X no es igual a cinco”. Escribir como proposición en forma simbólica: ”Hay dos soluciones, y no son raciónales”. t: hay dos soluciones r: son racionales.

Solución: 6

se escribe

t ^ ˜r.



Es necesario comprender la intención del enunciado. No siempre

es posible encontrar un enunciado asertivo la letra “Y” puede estar representado por

1. la “,” (coma) 2. la palabra “pero” EJEMPLO 1: 2 es un número natural, entero y racional. n = 2 es un numero natural e = 2 es un numero entero r = 2 es un numero racional Solución: n ^ e ^ r EJEMPLO 2: Cero no es positivo ni negativo. p = Cero es positivo q = cero es negativo Solución: ~p ^ ~q La

palabra “no… ni”

se usa en ocasiones para expresar la

negación de una disyunción exclusiva.

En la lógica simbólica es necesario el uso de paréntesis. Una coma en un enunciado en lenguaje común con frecuencia ayuda a colocar los paréntesis.

7



EJEMPLO 3: X es un entero negativo, o es un entero mayor que 3 y es un cuadrado perfecto. p = “X es un entero negativo” q = “X es un entero mayor que 3” r = “X es un cuadrado perfecto” Solución: p v ( q ^ r)

EJERCICIOS:

a)

Escribir de forma simbólica los enunciados siguientes:

p = Pedro cursa PHP r = Pedro cursa VISUAL BASIC d = Pedro cursa DELPHI a = Pedro cursa ASP 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Pedro puede cursar PHP o ASP Pedro puede cursar VISUAL y DELPHI Pedro puede cursar PHP y ASP Pedro debe cursar PHP y VISUAL BASIC o DELPHI Pedro debe cursar PHP y VISUAL BASIC, o DELPHI Pedro puede no cursar VISUAL BASIC o DELPHI

8



b)

Escribir de forma simbólica los enunciados siguientes:

a = El solicitante tiene 25 años o más m = El solicitante es hombre v = El solicitante ha tenido una infracción de transito en los 3 años anteriores t = El solicitante asegurara 2 automóviles o más 1. El solicitante es mujer y tiene mas de 25 años 2. El solicitante no ha sido infraccionado o asegurara 2 autos o mas 3. El solicitante es hombre y tiene mas de 25 años, y no ha sido infraccionado en los 3 años anteriores 4. El solicitante es mujer y asegurara 2 autos o mas, y tiene 25 años o más. 5. El solicitante es mujer y tiene 25 años o más, pero tiene asegurado solo un auto. 6. El solicitante no es hombre no tiene 25 años o mas.

9



C)

Escribir de forma simbólica los enunciados siguientes

utilizando las letras indicadas. s = El artículo está en existencia. o = El artículo está agotado. r = El artículo está perdido. d = El artículo está descontinuado. P = El artículo está pedido. 1. El artículo está agotado, pero ya se pidió. 2. El artículo se ha descontinuado o esta agotado. 3. El artículo está agotado y se ha perdido, pero esta descontinuado. 4. El artículo está en existencia o agotado, pero no se ha descontinuado. 5. El artículo está en existencia, o está agotado y se ha descontinuado. 6. El artículo no está agotado ni descontinuado.

10



d)


utilizando las letras indicadas. w = El pasajero quiere un asiento de ventanilla. f = El pasajero quiere la sección de primera clase. s = El pasajero quiere la sección de fumadores a = El pasajero viajara solo. r = El pasajero quiere un boleto de ida y vuelta. 1. El pasajero viajara solo y quiere un boleto de de ida y vuelta. 2. El pasajero quiere un asiento de ventanilla o en la sección de fumadores. 3. El pasajero quiere de primera clase, pero no un asiento de ventanilla ni la sección de fumadores. 4. El pasajero quiere un asiento de ventanilla o la sección de fumadores, pero no en la sección de primera clase. 5. El pasajero no quiere un asiento de ventanilla ni la sección de fumadores.

e)


utilizando las letras indicadas.

>-2 f=X< 5 z=X= 0 t=X

1. 2. 3. 4.

>-2 X>-2 X>-2 X<5 X

11

yX<5 pero X ≠ 0 o X=0 o X≠ 0



TABLAS DE VERDAD Recuérdese las tablas que se vieron en la sección anterior Tabla de verdad de una

conjunción

p

q

p ^ q

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

FALSO

FALSO

VERDADERO

FALSO

FALSO

FALSO

FALSO

Tabla de verdad de una

disyunción

P

q

p v q

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

VERDADERO

FALSO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

FALSO

FALSO

Puesto que la negación se aplica a una sola proposición, su tabla de verdad consta de dos renglones p

~p

VERDADERO

FALSO

FALSO

VERDADERO

12



Las tres tablas de verdad que se han visto constituyen los “cimientos “ a partir de los cuales se constituyen las tablas de verdad de las proposiciones compuestas. Considérese ~p V q. El valor de verdad de la proposición compuesta depende de los valores de verdad de p y q. Se enlistan las cuatro combinaciones posibles de los valores de verdad de p y q. Pueden estar representadas por otras letras, sin embargo siempre tendrán el mismo principio que p , q.

EJEMPLO 1:

P

q

~p v q

V

V

F

v V =

V

V

F

F

v F =

F

F

V

V

v V =

V

F

F

V

v F =

V

Para construir la tabla de verdad de una proposición compuesta de

dos letras:

1.- se anotan las letras empleadas y la proposición compuesta como cabeza de columna. 2.- se enlistan las combinaciones posibles de los valores de verdad a) bajo la PRIMERA letra se enlista dos V seguida de dos F. b) bajo la SEGUNDA letra se enlista alternada V y F, empezando con V. 3.- se resuelve la primera combinación de acuerdo a las tablas de verdad que se vieron en la sección anterior. Y así sucesivamente hasta encontrar los valores de verdad de p y q de la proposición compuesta.

13



Ejemplo 1:

Construir una tabla de verdad para ~(p ^ q)

Paso 1: Se enlistan los valores de verdad posibles en p y q. p

Q

V

V

V

F

F

V

F

F

~(p^q)

Paso 2: Los valores de verdad de (p^q) se conocen, de modo que se enlistan abajo del símbolo.

p

Q

~(p^q)

V

V

V

F

F

V

F

F

˜(V) ˜(F) ˜(F) ˜(F)

Paso 3: Por ultimo, se conocen los valores de verdad de una negación. Abajo del símbolo ~ se enlistan los valores de verdad contrarios a los de (p ^ q).

14

p

Q

~(p^q)

V

V

V

F

F

V

F

F

F V V V



Se

dice

que

dos

equivalentes

proposiciones

son

lógicamente

si tienen los mismos valores de verdad para

cualquier combinación de valores de verdad de las proposiciones simples que la integra. El símbolo de equivalencia lógica es Ξ

Ejemplo 2:

Demostrar que ~p v ~q Ξ ~ (p ^ q).

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

~(p^q) F V V V

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

~p v ~q FvF=F F v V= V VvF=V VvV=V

Se concluye que ~(p ^ q) es lógicamente equivalente a ~p V ~q, ya que los valores de verdad de la columna final

son idénticos línea

por línea. A todo esto se le conoce como ley de DE MORGAN.

Ejemplo 3. Determinar si los dos enunciados son lógicamente equivalentes. t: seis es divisible entre 2 f: seis es divisible entre 5 Seis no es divisible entre 2 y entre 5 =se escribe ~(t ^f) Seis no es divisible entre 2 o no es divisible entre 5 = se escribe ~t V ~f

(a) (b)

No es necesario construir las tablas de verdad, puesto que los dos enunciados son lógicamente equivalentes por la ley de DE MORGAN.

15



Ejemplo 4. Determinar si los dos enunciados son lógicamente equivalentes. c: El programador sabe PHP. f: El programador sabe DELPHI. (c)

El programador no sabe PHP y DELPHI. =se escribe ~(c ^f) El programador no sabe PHP ni DELPHI. =se escribe ~c ^˜f

11)

Se construyen las tablas de verdad.

c

f

~(c ^f)

V

V

V

F

F

V

F

F

V F F F

= = = =

F V V V

~c ^˜f

c

f

V

V

F^F=F

V

F

F ^ V= F

F

V

V^F=F

F

F

V^V=V

Al comparar los valores de verdad de ~(c ^f) de la primera tabla con los dos de ~c ^˜f de la segunda tabla, se ve que las dos proposiciones no son lógicamente equivalentes.

16



EJERCICIOS 1: a) Construir la tabla de verdad de las proposiciones siguientes: 1) 4) 7)

r^s ˜(p V q) u V ~w

2) 5) 8)

rVs ˜p ^ ˜q ˜u V w

3) ˜ r 6) ˜p V q 9) u ^ w

b) Demostrar que ˜(˜p) es lógicamente equivalente a p.

c) Demostrar que ˜p ^ ˜q es lógicamente equivalente a ˜(p V q)

d) Determinar si los enunciados son lógicamente equivalentes. a. El cliente no tiene cuenta de ahorros y de cheques. b. El cliente no tiene cuenta de ahorros o no tiene de cheques.

17



TABLAS DE VERDAD con proposiciones

compuestas: A fin de evitar ambigüedades en una proposición compuesta, se sigue el orden establecido para los conectivos: a) Las expresiones dentro de paréntesis tiene prioridad respecto de las expresiones restantes. b) Los paréntesis pueden utilizarse para fines de claridad, aun cuando no sean necesarios. En ausencia de paréntesis, o en las expresiones que aparecen entre paréntesis.- su orden es el siguiente: a. Las negaciones se efectúan primero. b. En seguida las conjunciones y c. Luego las disyunciones. c) Si en una expresión se repite un conectivo, éstos se consideran de izquierda a derecha.

Ejemplo 1: Colocar paréntesis en las expresiones siguientes para indicar el orden de los conectivos.

(a) (b) (c) (d)

18

Proposiciones qVr^p -----------˜p ^ q V r ----------p ^ q V ˜r ----------p^q^r -----------

Solución q V (r ^ p) ((˜p) ^ q) V r (p ^ q) V (˜r) (p ^ q) ^ r



tabla de verdad de una proposición formada con tres proposiciones simples es necesario Para construir

la

considerar ocho posibilidades: como ejemplo (p ^ q) V ˜r. 1)

Se enlistan las letras y la proposición compuesta como encabezados de columnas.

2)

Se enlistan las ocho combinaciones posibles de los valores de verdad. a. Se enlistan cuatro V seguidas de cuatro F en la primera columna. b. Se enlistan dos V y dos F de manera alternada en la segunda columna. c. Se enlistan V y F alternadas en al tercera columna.

3)

Siguiendo el orden convencional de los conectivos, se enlista el valor de verdad de cada proposición compuesta debajo de su conectivo.

4)

Los valores de verdad enlistados en la columna final son los valores de verdad de la proposición compuesta.

19



Ejemplo 1: Construir la tabla de verdad de (p ^ q) V ˜ r. 1.- Se resuelve primero lo que esta entre paréntesis (p ^ q). 2.- en segundo lugar se resuelve la negación ˜ r. 3.- y en tercer momento se realiza la disyunción.

20

p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

(p ^ q) V ˜ r V V F F F F F F


v v v v v v v v

F V F V F V F V

= = = = = = = =

V V F V F V F V


griego: ταυτολογíα, discurso o razonar autoexplicativo) es una redundancia "explicativa" debido a una calificación dada. Repetición de la misma idea expresada en formas diferentes.

Tautología

(del

TAUTOLOGIA es una proposición que es verdadera para cualquier combinación de valores de verdad Una

de las proposiciones simples que la combinen.

Ejemplo 1: Determinar si la proposición (p ^ q) V (˜p V ˜q) es una tautología. Paso 1: se construye la tabla de verdad. (p ^ q) V

(˜p

V ˜q)

v

(F

v F)= F

F

v

(F

v V)= V

V

F

v

(V

v F)= V

F

F

v

(V

v V)= V

p

q

V

V

V

V

F

F F

V = V = V = V

=

Se llega a la conclusión de que la proposición es una tautología porque es verdadera en todos los renglones de la tabla de verdad. Cuando son falsas en todos los renglones es una tautología negativa y por lo tanto, es una CONTRADICCIÓN.

21



EJERCICIOS 2: Construir la tabla de verdad de las proposiciones siguientes. 1) (p V˜q) V r 3) P V (˜q ^ r) 5) ˜(p ^ q) V r

2) p ^ (˜q V r) 4) (p V ˜q) ^ r 6) ˜ p V (˜q V r)

7) ¿Son lógicamente equivalentes las proposiciones anteriores demostrándolo de los problemas 1 y 2? 8) ¿Son lógicamente equivalentes las proposiciones anteriores demostrándolo de los problemas 3 y 4? 9) ¿Son lógicamente equivalentes las proposiciones anteriores demostrándolo de los problemas 5 y 6?

10)

22

Demostrar si las siguientes proposiciones son tautológicas. a. (p V q) ^ (˜p ^ ˜q) b. (p V ˜q) ^ (q V ˜p)



LA CONDICIONAL. Es el resultado de la unión de proposiciones mediante el

conectivo condicional ( p

q

) significa “si …entonces”;

(se lee “si p entonces q). En donde

antecedente (o hipótesis) consecuente (o conclusión).

y

q

se

p

es el

le denomina

Ejemplo 1: Sea z “el divisor es cero” y d “la división está definida”. El enunciado “si el divisor es cero,

entonces

la división no está

definida” se escribe de forma simbólica como z

˜ d.

Escribir en forma simbólica: s: Los factores tienen el mismo signo. p: El producto es positivo.

Si

(a)

los factores tienen el mismo signo, producto es positivo. Se escribe:

(b)

los factores no tienen el mismo signo, producto no es positivo.

˜s

el

entonces

el

p

Si

Se escribe:

23

s

entonces

˜p



NOTA para observar: (1)

La palabra “entonces” puede omitirse en la condicional. Como ejemplo: a. b.

(2)

“Si p, q” “q si p”

significa “si p, entonces q”.

hay que darse cuenta que p sigue siendo el antecedente (ya que esta después de “si”) y q el consecuente.

Muchos enunciados pueden estar formulados en la forma condicional aun cuando no incluyan el conectivo “si…entonces”. Por ejemplo: a. El enunciado “donde hay humo, hay fuego” podría escribirse “si hay humo, entonces hay fuego”. b. La frase

“sólo si” suele interpretarse erróneamente.

“El programa funcionara conectada”

sólo si

la computadora esta

se dice

que el programa funciona, entonces la computadora esta conectada

no dice

que si la computadora esta conectada, el programa funcionara.

La componente que esta después de “sólo si” es la conclusión.

24



Formas Alternativas de la Condicional.

(1) Si p, entonces q.

(2) Si p, q. (3) p sólo si q. (4) q si p. (5) q siempre que p.

(después del

sólo si,

.

está la conclusión)

(siempre que = “si”)

Ejemplo 2: l: se puede tener acceso al programa. p: se conoce la contraseña. Escribir de forma simbólica: (a) Se puede tener acceso al programa si se conoce la contraseña. Se escribe:

p

l

(b) Se puede tener acceso al programa sólo si se conoce la contraseña. Se escribe:

25

l

p



Ejemplo 3: m: se perderá el contenido de la memoria. p:se interrumpe la energía eléctrica. Escribir de forma simbólica: Se perderá el contenido de la memoria siempre que se interrumpa la energía eléctrica.

(a)

Se escribe:

p

m

Se perderá el contenido de la memoria sólo si se interrumpe la energía eléctrica.

(b)

Se escribe:

m

p

En ausencia de paréntesis, la negación, la conjunción y la disyunción se consideran antes que la condicional.

Orden de los conectivos (1)

(2) (3) (4) (5)

26

Se determina primero el valor de verdad de las expresiones entre paréntesis. Dentro de éstos, los conectivos se consideran en el orden siguiente: Negaciones (de izquierda a derecha) Conjunciones (de izquierda a derecha) Disyunciones (de izquierda a derecha) Condicionales (de izquierda a derecha)



Ejemplo 3: Colocar paréntesis en las expresiones siguientes para indicar el orden correcto: (a) (b)

p^q ˜p

q

rVs

= =

(p ^ q) (˜p)

q

(r V s)

Las condiciones RECIPROCA, INVERSA, CONTRAPUESTA Y NEGACIÓN. Si las componentes de p

q se intercambian

Si se hace la negación de las componentes de p q Si las componentes de p

q se intercambian

y se

niegan

a la vez.

a la proposición de ˜(p q). Con frecuencia, en este tipo de negación se indica empezando la proposición

p q p

a

a

q p q

˜p

˜q

p

q

˜q p

˜(p

a

a

˜p q

se le llama

reciproca se le llama la

inversa se le llama

contrapuesta se le llama

negación

q)

q con la frese “No

p

ocurre que”

27



Ejemplo 4: Considérese la proposición “Si se puede aprender PASCAL, entonces se puede aprender BASIC”. Escribir la: p: se puede aprender PASCAL. b: se puede aprender BASIC. (a) (b) (c) (d)

p

b

Recíproca. Inversa. Contrapuesta. Negación.

(a) Recíproca: Si se puede aprender BASIC, entonces se puede aprender PASCAL.

b

p

(b) Inversa: Si no puede aprender PASCAL, entonces no puede aprender BASIC.

(c)

˜p

˜b

Contrapuesta: Si no puede aprender BASIC, entonces no se puede aprender PASCAL. ˜b ˜p (d) Negación: No ocurre que si se puede aprender PASCAL, entonces pueda aprenderse BASIC.

28


˜(p

b)


EJERCICIOS 3: Escribir la forma simbólica de los enunciados siguientes utilizando las letras dadas. f : el lector puede construir un diagrama de flujo. p : el lector puede escribir un programa de computadora. 1) Si el lector puede construir un diagrama de flujo, entonces puede escribir un programa de computadora. 2) Si el lector puede escribir un programa de computadora, entonces puede construir un diagrama de flujo.

s : el programa del lector es estructurado. e : el programa del lector puede seguirse con facilidad. 3) Si el programa del lector es estructurado, entonces puede seguirse con facilidad. 4) Si el programa del lector no es estructurado, entonces no podrá seguirse con facilidad. d : el lector quiere dañar un disco flexible. b : el lector dobla un disco flexible. h : el lector lo toma en el sitio donde están los agujeros. 5) Si el lector no quiere dañar un disco flexible, no debe doblarlo o tomarlo en el sitio donde están los agujeros. 6) Si el lector dobla un disco flexible o lo toma en el sitio donde están los agujeros, debe dañarlo.

29



7) Colocar paréntesis en las expresiones siguientes para indicar el orden correcto de los conectivos. a). p V ˜q d). p V q

r r

b). ˜p e). ˜p ^ q

qVr r

c). p ^ r qVs f). p V q ^ s r

8) Escribir la reciproca, la inversa, la contrapuesta y la negación de los enunciados siguientes. Las premisas ya se especificaron al inicio de este ejercicio 3: a. Si el lector puede construir un diagrama de flujo, entonces puede escribir un programa de computadora.

30



TABLA DE VERDAD CON LA CONDICIONAL

Tabla de verdad de la

condicional

P

q

p

q

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

FALSO

FALSO

VERDADERO

VERDADERO

FALSO

FALSO

VERDADERO

Las tablas de verdad pueden usarse para estudiar la lógica de un juicio. Un JUICIO es una serie de proposiciones, una de las cuales (llamada conclusión) se infiere, supuestamente, de las otras (llamadas premisas). Un JUICIO consta de premisas o proposiciones y de la conclusión

C

es VALIDO

si

(las premisas o proposiciones)

resultantes en

C sea una TAUTOLOGÍA. Si una o más de las premisas son falsas, entonces la conjunción es Falsa.

Por lo tanto, puede decirse que un JUICIO es VALIDO si la conclusión es verdadera, siempre que todas las premisas son verdaderas.

31



La conclusión suele anunciarse con la expresión específica, tal como:

por lo tanto, de donde, así consiguiente.

o

por

Para determinar si un juicio es válido: 1. Se construye una tabla de verdad con todas las componentes, todas las premisas y la conclusión como encabezado de columna. 2. Se determinan los valores de verdad de las premisas. 3. Se tachan los renglones que tengan una o más premisas falsas. 4. Si la conclusión es verdadera en los renglones que quedan, el juicio es valido.

32



Ejemplo 5: Determinar si el juicio siguiente es valido. Si la suma de los dígitos de un número es divisible entre 3, entonces el número es divisible entre 3. 7 (es la suma de 1+6) no es divisible entre 3, por lo tanto, el número 16 no es divisible entre 3. p: la suma de los dígitos de un número es divisible entre 3. q: el número es divisible entre 3. Se escribe:

p

q ~p ~q

Se construye la tabla: Premisas p

q

V

V

V

(p

q)

conclusión ~p

~q

V

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

La segunda premisa es falsa de la primera fila: se tacha. Ambas premisas son falsas de la segunda fila: se tacha. En el tercer renglón la conclusión es falsa de modo que el JUICIO NO ES VALIDA.

33



Ejemplo 6: Determinar si el juicio siguiente es valido. Si el último dígito de un número es 5, entonces el número es divisible entre 5. El número 10 es divisible entre 5. Por lo tanto, el último dígito del numero 10 es 5. p: el último dígito de un número es 5. q: El número es divisible entre 5. la premisa se escribe: p

q

q p Se construye la tabla de verdad: Premisas conclusión p

q

V

V

V

(p

q)

q

p

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

Ambas premisas son falsas de la segunda fila: se tacha. La segunda premisa es falsa de la cuarta fila: se tacha. En el tercer renglón la conclusión es falsa de modo que el argumento (JUICIO) NO ES VALIDO.

34



EJERCICIOS 4: a) Construir las tablas de verdad de las expresiones siguientes: 1)

~p

q

3)

q

~p

2) 4)

p ~q

~q p

b) Construir las tablas de verdad de las expresiones siguientes: 5)

(p ^ q)

r

6)

p ^ (q

7)

p V (q

r)

8)

(p V q)

r) r

c) Determinar si los juicios siguientes son Válidos. 9) Si el escritorio del lector está desordenado, entonces es un genio. El esritorio del lector está desordenado. Por lo tanto, el lector es un genio. 10) Si el escritorio del lector está desordenado, entonces es un genio. El escritorio del lector no está desordenado. Por lo tanto, el lector no es un genio. 11) Si la casa del lector está inmaculada, entonces es una persona descuidada. El lector no es una persona descuidada. Por lo tanto, la casa del lector no es inmaculada.

35



Unidad II- Logica - Tics

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