UNIDAD III: RESOLUCION RESOLUCION DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS POR METODOS ITERATIVOS: METODO DE HARDY CROSS. METODO DE KANI SESION I: METODO DE HARDY CROSS 3.1 MÉTODO DE HARDY CROSS 3.1.1Generaliae! En esta unidad se tratará la manera de resolver estructuras método métodos s numéri numéricos cos iterat iterativo ivos s basado basados s en el método método de las Deformaciones o de las Rigideces. El método de Hardy Cross es un método numérico iterativo que se fundamenta en el de las rigideces o sea se trabaja como incógn incógnita itas s del proble problema ma estruc estructur tural al los despla desplaam amien ientos tos de nudos.
Hi"#$e!i!:
Se consid considera era que la estruc estructur tura a tiene tiene compor comportam tamien iento to elástico-lineal, o sea presenta pequeñas deformaciones. Se despre desprecia cian n las deform deformaci acione ones s Axiale Axiales s de todos todos los elementos. Solo se consideran deformaciones por exión.
!otaciones" K i%i%& K %i" Rigideces relativas en los e#tremo i y j$ del elemento ij.
i%" %actor de distribución en el e#tremo i del elemento ij. Ti" %actor de transporte del e#tremo i del elemento ij. &omento o de empotr empotrami amient ento o perfec perfecto to del e#tr e#tremo emo i del M'i%" &oment elemento ij . C(n)en*i#n e Si+n(!: M(,en$(! - +ir(! (rari(!: P(!i$i)(!. 3.1. 3. 1./ / Plan Plan$e $ea, a,ie ien$ n$( ( el el Rela$i)(! e N2(!.
M0$( M0$(( (::
C(n C(n
De! De!"la "laa, a,ie ien$ n$(! (!
A C4l*2l(! Pre)i(!" a'. (e calculan las rigideces relativas para cada elemento"
Para ele,en$(! r5+i(6r5+i(. K i%i%7K %i7 Ii%8Li%
Para ele,en$(! r5+i(6ar$i*2la(. K i%7 3Ii%89Li% & K %i7 . b'. En cada nudo se calcula los factores de Distribución" di)* +i),-+ij di* +i,-+ij n-1 4 di/* +i/,-+ij di0* +i0,-+ij . i . 1 . din* +in,-+ij
n
3
2
c'. %actores de transporte"
Para ele,en$(! r5+i(6r5+i(. Ti%7T %i7 18/ Para ele,en$(! r5+i(6ar$i*2la(. Ti%7 T %i 7 . d'. Calcular los momentos de Empotramiento 1erfecto para los diferentes estados de carga en los elementos. e'. (e determinan los desplaamientos de la estructura$ dic2os desplaamientos deben se relativos entre nudos y deben 2acer girar a las barras 3giro de barra'$ estos desplaamientos son las incógnitas del sistema que se 2allarán en el proceso.
; Pr(*e!( e Di!$ri<2*i#n" 1ara analiar una estructura con desplaamientos relativos de nudos$ por el método de Cross$ se procede en dos etapas" Pri,era E$a"a" (e analia la estructura restringiendo todos los posibles desplaamientos de la misma y se distribuyen los momentos de empotramiento perfecto 3generados por las cargas aplicadas en las barras' y cualquier momento e#terno aplicado directamente en los nudos$ si e#istiera asentamientos en los apoyos$ estos se analian en esta etapa$ distribuyendo el momento M7 =EI>!8L/ en donde >! es el asentamiento en el apoyo$ afectándose a los elementos que sufren giro. 4os momentos obtenidos formarán
parte del término independiente en las ecuaciones de condición que se planteen 5naliada la segunda etapa. Se+2na E$a"a: (e analian los desplaamientos de la estructura$ distribuyéndose un momento generado por el desplaamiento relativo de nudos de los elementos estructurales. El &omento a distribuir en esta etapa es igual M7 =EI>8L/ el cual deberá colocarse en los e#tremos de los elementos que giran debido al desplaamiento que se está analiando. 1ara una estructura que tiene
n
desplaamientos$ se
analiarán en esta etapa$ n veces la estructura$ es decir cada desplaamiento de forma independiente6 ya que dic2os desplaamientos son las incógnitas del sistema$ se plantearán tantas ecuaciones como desplaamientos tenga el problema. Como puede apreciarse el momento que se genera en un elemento que sufre giro debido a la presencia de un desplaamiento relativo de nudos ?M7 =EI>8L/ depende del módulo de elasticidad E$ la rigide a la 7e#ión 8$ de la longitud 4 y 5nalmente del desplaamiento$ el cual no es conocido$ como se dijo anteriormente este constituye un valor a determinar 3incógnita del sistema'6 debido a este inconveniente se distribuye un momento 9arbitrario: cuyo valor se determina estableciendo una proporcionalidad entre los momentos que se generan en las barras afectadas por el desplaamiento en estudio$ para 2allar el momento real se deberá multiplicar por una variable ;n$ la que se calculará resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido de aplicar equilibrio 3acciones y reacciones' en la dirección de cada desplaamiento. Cabe 2acer notar aqu< que en la primera y en la segunda etapa la estructura no se encuentra en equilibrio$ e#iste equilibrio de nudos 3sumatoria de momentos alrededor de un nudo es igual cero' sin embargo e#ternamente la estructura no está en equilibrio estático$ esto se logra planteando las ecuaciones de equilibrio en la dirección de los desplaamientos 3ecuaciones de condición'. 1ara obtener los momentos totales se suman los momentos generados en la primera etapa con los momentos de la segunda etapa multiplicados$ estos$ por las variables ;n 2alladas al resolver el sistema de ecuaciones de condición de equilibrio.
=na ve obtenidos los momentos totales los cortantes totales se calculan con" Q =Visost .−(
Mij + Mji ) L
1ara dibujar el diagrama de &omentos %lectores se cambian de signo los momentos de los e#tremos 5nales de las barras 3e#tremo inicial i$ e#tremo 5nal j'.
