UNIDAD II APRENDAMOS DE LA INCERTUDUMBRE 2.1
Métodos de de conteo
Introducción Suponga que usted es el jefe de personal de una compañía, y que el principal accionista de la empresa está otorgando otorgando 3 becas para estudiar en el extranjero para los ingenieros del área de producción producción de la empresa. ¿Cómo seleccionaría usted a los tres futuros futuros becarios si en el área de producción se encuentran 5 ingenieros? Pues no se preocupe porque en esta unidad se abordaran técnicas para solucionarlo. Un paso para resolverlo es numerar todos los posibles resultados, pero esto es factible cuando se tienen pocos elementos, pero cuando los elementos son muchos numerarlos seria prácticamen prácticamente te un proceso engorroso engorroso.. De igual manera hay técnicas técnicas que nos permite resolverlo de una manera sencilla.
Técnicas de Conteo. Número Factorial El factorial de un número natural n, que se denota por n!, es igual al producto de n por todos los números naturales menores que él. Es decir que: n! = n(n-1)(n-2)(n- 3)x…x2x1
Número Combinatorio Para n y r números números naturales, con r ≤ n, el número combinatorio n, r se define:
n n! = n C r = r !(n − r )! r Ejemplos: 1. Calcular
7 ; 3
a )
10 b) ; 0
10 c) 10
2.
Simpl implif ifiicar car las las sig siguien ientes tes exp expre resi sioones: es: 2 7! (n − 1)(n − 2)! 100! 5! b) c) d) a) 2!5! (n - 1)! 98!2! 3!0! DIAGRAMA DE ARBOL Es una técnica que sirve para contar y describir de manera manera conjunta, ciertos tipos tipos de sucesos que van sucediendo a través de etapas sucesivas. Ejemplo 1 Se lanza una moneda tres veces, ¿Cuáles son los resultados posibles?
1
Ejemplo 2 Un empresario clasifica a sus clientes de acuerdo a tres tres criterios; según el volumen volumen de compras (alto, medio o bajo); según se gún su origen (nacional o extranjero) y según su política de crédito (corto, mediano y largo plazo). ¿De cuantas maneras distintas se puede clasificar un cliente?
PRINCIPOS PRINCIPOS DE MULTIPLICACIO MULTIPLICACION N Si un determinado proceso u operación se realiza en k etapas, y se tienen: n1 maneras de cubrir la etapa 1, n 2 maneras de cubrir la etapa 2,…, n k maneras de cubrir la etapa k; entonces, el número total de maneras en el cual el proceso puede ocurrir se calcula por el producto:
n1 x n2 x … x nk Ejemplo 1 ¿De cuantas maneras diferentes se puede permutar las letras A, B, C, D y E? Ejemplo 2 ¿Cuántas cantidades de siete cifras significativas, se pueden formar con los números dígitos? No se permite repetición. Ejemplo 3 Un estudiante revisa a diario su correo eléctrico y en un día cualquiera se da cuenta que ha recibido seis mensajes de direcciones diferentes, ¿de cuantas maneras distintas puede leer y responder los seis mensajes?
PERMUTACION Una permutación es un arreglo de r elementos tomados de un total de n elementos, donde el orden de aparición se toma en cuenta. El total se calcula mediante la expresión: n! n Pr = (n − r )!
Ejemplo 1 Con los números números del 1 al 9 se desea formar formar cantidades cantidades de cuatro cifras, cifras, ¿Cuántas ¿Cuántas cantidades diferentes pueden formarse? Sin repetición. Ejemplo 2 ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 5, 6, 7 y 8. No se permite repetición.
2
COMBINACIÓN Es una selección de r elementos tomados de un total de n elementos donde el orden de aparición no se toma en cuenta. El total se calcula mediante la expresión n n! = C = r !( n − r )! r n
r
Ejemplo 1 Se tienen los números del 1, 4, 7 y 9. Si se seleccionan dos de estos para sumarlos, ¿Cuántas cantidades diferentes se pueden formar? R/ 6 Ejemplo 2 Se disponen de 10 jugadores para integrar un equipo de baloncesto, ¿Cuántos equipos pueden formarse? Si todos los jugadores tienen la misma capacidad para jugar en cualquier posición. R/ 252 Ejemplo 3 En una oficina trabajan 5 hombres y 5 mujeres. De entre los cuales se van a escoger a cuatro para formar un grupo que deberá trabajar los domingos. ¿Cuántos equipos o grupos diferentes pueden formarse? Sí: a) No existe existenn restri restriccio cciones nes.. b) Debe estar estar formado formado por dos dos hombres hombres y dos mujeres. mujeres. c) Debe estar estar formado formado por dos dos hombres hombres y dos mujeres, mujeres, pero pero una mujer mujer específica específica no puede formar parte del equipo. d) Solo Solo homb hombre res. s. e) Solo Solo mu muje jere res. s. Ejemplo 4 Existen 3 errores errores graves que un aprendiz puede cometer al ensamblar una una pieza de maquinaria. ¿De cuantas formas distintas puede cometer al a l menos dos errores graves?
PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS Si en un número n de objetos existen: n 1 repetidos de la clase 1, n 2 repetidos de la clase 2, n3 repetidos de la clase 3 y así sucesivamente n k repetidos de la clase k y se tiene que n = n1 + n 2 + n 3 +… + nk entonces el total de permutaciones de los n objetos tomados todos a la vez, se calcula mediante la expresión: n! n1! xn 2 ! xn 3 x...xn k
Ejemplo 1 Utilizando la palabra TERREMOTO. Calcular el total de permutaciones posibles si: a) No hay hay rest restri ricc ccio ione nes. s. b) La primer primeraa letra letra debe debe ser ser una una vocal. vocal. 3
Solución 9! a) = 22,680 2!2!2!2!1!
b)2
8! = 10,080 2!2!2!1!1!
Ejemplo 2 Para recorrer el camino que va de P a Q en el diagrama, solo puede ir horizontal hacia la derecha y vertical hacia arriba. Si al llegar a cada punto de encrucijada se considera que se ha cubierto una etapa del camino, ¿Cuántas trayectorias o caminos diferentes conducen de P a Q? Q P Solución D: Movi Movimi mien ento toss hac hacia ia la dere derech cha: a: A: Movimientos hacia arriba: Respuesta:
4+ 3 7
7! = 35 4!3!
Ejemplo 3 Se tienen siete tarjetas marcadas con los dígitos 2, 4, 5, 6, 6, 6, 6. ¿Cuántas cifras diferentes diferentes de siete dígit dígitos os se pueden pueden formar formar?? Solución Respuesta:
7! = 210 1!1!1!4!
PRINCIPIO DE LA SUMA Si un determinado proceso se realiza en k etapas y se tienen: n1 maneras de cubrir la etapa 1, n 2 maneras de cubrir la etapa 2,…, n k maneras de cubrir la etapa k; el número total de maneras en el cual el proceso puede puede ocurrir se calcula por la suma: n1 + n2 + n3 +… + nk Ejemplo 1 Se está organizando una excursión y no se sabe todavía si visitar una playa o una montaña. Si existen cuatro posibles playas y cinco montañas para ser visitadas. ¿De cuantas formas diferentes se puede organizar la excursión’
Ejemplo 2 ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras significativas y que sean múltiplos de cinco se pueden formar con los números dígitos?
4
NOCIONES BASICAS DE PROBABILIDAD INTRODUCCION El origen de la teoría de la probabilidad se encuentra en el trabajo motivado por los juegos de azar de los matemáticos Pedro de Fermat (1601- 1665), Blas Pascal (16231662). De este trabajo surgió el concepto primitivo de probabilidad. Posteriormente existe una larga lista de matemáticos que que han contribuido contribuido a desarrollar la Teoría Teoría de Probabilidad, de entre ellos cabe mencionar a: Bernoulli (1654(1654- 1705) Bayes (1751-1800) (1751-1800) Laplace (1749-1827) (1749-1827) Gauss (1777(1777- 1855) Poisson Poisson (1781 -1840) -1840) Chebyshe Chebyshevv (1821 -1894) -1894) Markov Markov (1856 (1856 -1922) -1922) “La Teoría de Probabilidad tiene por objetivo el análisis matemático de los eventos aleatorios”.
Clasificamos a los eventos que manifiesta la naturaleza en Determinísticos y Aleatorios. Eventos determinísticos: Son aquellos que ofrecen exclusivamente un solo resultado. Por ejemplo, el combinar (bajo condiciones apropiadas) dos partes de Hidrógeno con una de oxígeno, necesariamente resulta agua. Eventos aleatorios: Son aquellos que ofrecen dos o más resultados. Por ejemplo, en la lotería nacional el premio mayor se ofrece a las 50,000 personas que participan en el sorteo. La vida en años de un componente electrónico es de 6, entonces un evento aleatorio puede ser que el componente componente falle antes de que finalice el sexto año. Claro esta que al efectuarse un evento aleatorio se presenta solamente un resultado, pero en repeticiones sucesivas del del mismo evento aleatorio los resultados pueden pueden ser distintos. Un evento determinístico carece de importancia para la teoría de probabilidad, por que se reduce a un caso trivial de de esta. En realidad la teoría de probabilidad siempre siempre se ha dirigido al análisis de los eventos aleatorios. En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz, Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre. En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recolección, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo de esta unidad. La teoría de probabilidad es una herramienta básica indispensable para toda clase que contenga incertidumbre. Es una base fundamental de los procedimientos de decisión para la estimación y pruebas de hipótesis. 5
La probabilidad da origen a la construcción de modelos matemáticos de gran utilidad para la inferencia estadística.
AZAR y DESCONOCIMIENTO. El azar está relacionado con el desconocimiento. Un ejemplo nos puede ayudar; piense en un proceso industrial que produce grandes cantidades de un artículo determinado. No todos los artículos artículos producidos producidos son idénticos, idénticos, cada artículo artículo puede calificars calificarsee como "bueno'' o "defectuoso''. Si de toda la producción se escoge un artículo "a ciegas'', ese artículo puede resultar bueno o defectuoso. Esta es una situación azarosa (o aleatoria) y la parte esencial esencial de este azar azar es que no sabemos sabemos si el artículo artículo seleccionad seleccionadoo es defectuoso. Claro que con experiencia en el proceso es posible cuantificar de una manera numérica qué tan probable es que el artículo sea defectuoso o no.
AZAR e INCERTIDUMBRE. Hay otro concepto asociado al azar y es el de de incertidumbre. Veamos Veamos un ejemplo. ejemplo. Respecto a una inversión, podemos estar contemplando invertir una cantidad de dinero. El retorno sobre la inversión puede ser fijo, como en el caso de una cuenta en un banco con interés fijo; pero pensemos en una empresa. El negocio puede puede resultar desde un gran éxito hasta un fracaso, es decir, la ganancia no es fija, sino que depende del éxito a obtener. Si no podemos evaluar qué tan factible es cada monto posible de la ganancia, tenemos una situación de incertidumbre. Por el contrario, si podemos tener una idea de qué tan probables son los diferentes resultados y entonces tendremos una situación de riesgo. Esta última es la que llamamos aleatoria o azarosa.
Algunos conceptos importantes caracteriza por que admite admite dos o más resultados resultados posibles posibles y no se Aleatoriedad: Se caracteriza tienen elementos de juicios suficientes para predecir cual de los resultados ocurrirá en una determinada prueba.
Experimento Aleatorio : Conjuntos de prueba realizadas en las mismas condiciones y su ocurrencia o no ocurrencia está determinada por factores al azar. Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles. Se denota por S. Evento: En un espacio muestral finito, cualquier subconjunto del espacio muestral se llama evento. Por ejemplo Experimento: Lanzamiento de un dado Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea E: evento: Que el resultado sea par. E = {2, 4, 6}; Card (E) = 3 = n (E) 6
Nota: El evento vacío se llama l lama suceso imposible por que nunca ocurre. El evento S se llama suceso seguro por que siempre ocurre. Sean A y B sucesos asociados a un espacio muestral S, entonces: AUB = {x / x ∈ A o x ∈B} A∩B = {x / x ∈ A y x ∈B} A – B = {x / x ∈ A o x ∉B} A´ = {x / x ∉ A} Ejemplo 1 Se lanzan dos dados y se observa observa su suma. Si se tienen los siguientes sucesos: A: Evento: la suma sea par. B: Evento: la suma sea primo. Encontrar a) A´ b) AUB c) A∩B d) A – B Ejemplo 2 Un tablero tiene siete llaves tres de las cuales abren una puerta. Una experiencia en seleccionar dos llaves del tablero, al azar, ¿Cuál es el cardinal del espacio asociado a la experiencia? ¿Cual es el cardinal del suceso A: seleccionar una llave correcta y una incorrecta? Solución
7 = 21 2
a)
3 4 b) 1 = 12 1
NOCIONES BASICAS DE PROBABILIDAD La teoría de probabilidad es una herramienta básica indispensable para toda clase que contenga incertidumbre. Es una base fundamental de los procedimientos de decisión para la estimación y pruebas de hipótesis. La probabilidad da origen a la construcción de de modelos matemáticos de gran utilidad para la inferencia estadística.
Algunos conceptos importantes Aleatoriedad : Se caracteriza por que admite dos o más resultados posibles y no se tienen elementos de juicios suficientes para predecir cual de los resultados ocurrirá en una determinada prueba. Experimento Aleatorio : Conjuntos de prueba realizadas en las mismas condiciones y su ocurrencia o no ocurrencia está determinada por factores al azar. Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles. Se denota por S. 7
Evento: En un espacio muestral finito, cualquier subconjunto del espacio muestral se llama evento. Por ejemplo Experimento: Lanzamiento de un dado Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea E: evento: Que el resultado sea par. E = {2, 4, 6}; Card (E) = 3 = n (E) Nota: El evento vacío se llama l lama suceso imposible por que nunca ocurre. El evento S se llama suceso seguro por que siempre ocurre. Sean A y B sucesos asociados a un espacio muestral S, entonces: AUB = {x / x ∈ A o x ∈B} A∩B = {x / x ∈ A y x ∈B} A – B = {x {x / x ∈ A o x ∉B} A´ = {x / x ∉ A} Ejemplo 1 Se lanzan dos dados y se observa observa su suma. Si se tienen los siguientes sucesos: A: Evento: la suma sea par. B: Evento: la suma sea primo. Encontrar a) A´ b) AUB c) A∩B d) A – B Ejemplo 2 Un tablero tiene siete llaves tres de las cuales abren una puerta. Una experiencia en seleccionar dos llaves del tablero, al azar, ¿Cuál es el cardinal del espacio asociado a la experiencia? ¿Cual es el cardinal del suceso A: seleccionar una llave correcta y una incorrecta? Solución
7 = 21 2
a)
3 4 b) 1 = 12 1
PROBABILIDAD. El conc concep epto to de prob probab abili ilida dadd nace nace con con el el dese deseoo del del homb hombre re de con conoc ocer er con con cer certe teza za los los eventos eventos futuros. futuros. Es por ello que el estudio estudio de probabilid probabilidades ades surge surge como una una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarr desarroll olloo de estas estas herram herramien ientas tas fue asign asignado ado a los los matemá matemátic ticos os de la cort corte. e. Con el tiempo tiempo estas estas técnic técnicas as matemá matemática ticass se perf perfecc eccion ionaro aronn y encontr encontraro aronn otro otross usos usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas nuevas metodologí metodologías as que permitan permitan maximizar maximizar el el uso de la computació computaciónn en el estudio estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. 8
A través de la historia historia se han desarrollad desarrolladoo tres enfoques enfoques conceptu conceptuales ales diferente diferentess para definir definir la probabilid probabilidad ad y determinar los valores valores de probabilidad probabilidad::
Definición. La probabilidad se usa para indicar la probabilidad o no de que un suceso o acontecimiento ocurra. Hay tres concepciones sobre la teoría de probabilidad: Definición clásica, teoría frecuentista y subjetiva. Definición Clásica Se usa cuando tiene ciertos resultados definidos. Es decir, sea E un evento asociado a un espacio muestral S, entonces la probabilidad de ocurrencia de E se calcula: P( E ) =
casos favorables
casos posibles
=
card ( E ) card ( S )
Teoría Frecuentista Es llamada también teoría empírica de probabilidad. Si un suceso A, aparece nA veces en n ensayos repetidos de una experiencia, realizada bajo las mismas condiciones, entonces, la frecuencia relativa. nA es un valor aproximado de la probabilidad del suceso A; f A cumple 0≤ f A ≤ 1 n Ejemplo 1 Una caja 5 bolas de color blanca blanca y 10 negras y hacemos una extracción de ella. ¿Cuál es la probabilidad de que? a) Sea blanca b) sea negra f A =
Ejemplo 2 En el lanzamiento de una moneda 100 veces se obtuvieron los siguientes resultados. Lanzamiento de la moneda Cara Cruz
F. Observada F. Esperada Frecuencia Relativa 40 50 0.40 60 50_ 0.60_____ 100 100 1.00
Ejemplo 4 Un fabricante tiene 5 terminales de computadoras aparentemente idénticas listas para ser enviadas a su destino. Él no sabe dos de cinco son defectuosas. Recibe un pedido pedido especial de dos terminales y lo surte seleccionando al azar dos de las cinco disponibles. a) Obtenga Obtenga el espacio espacio muestral muestral para este experi experimento mento.. Solución 5 = 10 2
D1, D2, B1, B2, B3 9
E1 = { D1, D2 } ; E2 = { D1 , B1 } ; … ; E10 = { B2 , B3 } Entonces S = {E1, E2,…, E10}
b) Sea A un evento evento en el que el pedido pedido se se surte con con terminale terminaless buenas. buenas. E8 = {B1, B2};
E9 = {B1, B3}
E10 = {B2, B3}
A = {E8, E9, E10} c) Construya Construya un diagr diagrama ama de Venn para para el experimen experimento to y represente represente en evento evento A S E1
E2
E3
E4
A E5
E6
E7
E8 E9 E10
d) Asigne Asigne la probabilid probabilidad ad a los los eventos eventos simples simples.. P(E i ) =
1 ; ∀ i = 1, 2, ...,10 10
e) Calcul Calcular ar la la proba probabil bilida idadd de de A P(A) =
3 10
AXIOMAS DE PROBABILIDAD Supóngase que en un espacio muestral S está asociado con un experimento A cada evento definido en S, se le asigna una probabilidad de tal manera que se cumplen las siguientes probabilidades: 1. Par Para un un even evento to A de defin finido ido es es S, S, se se cu cump mple le 0 ≤ P(A)≤1 2. P(S) = 1 ; P(ø ) = 0 3. Para Para dos dos su suceso cesoss cua cuale lesq squi uier eraa A y B defi defini nido doss en en S: P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B) P (A∩B) = P (A) P (B/A) 4. Par Para do dos suce suceso soss co complem plemen enta tari rios os A y A´ P (A´) = 1 – P (A) 5. Para Para dos dos suce suceso soss mut mutua uame ment ntee excl excluy uyen ente tess A y B P (AUB) = P (A) + P (B) 10
6. 7.
Par Para dos dos suce suceso soss ind indepen ependi dien enttes A y B P(A∩B) = P(A) P (B) y además P (A / B) = P (A) (A) Para eventos condicionales P(A/B) =
P(A ∩ B) P( B )
Ejemplo 1 En el lanzamiento de un un par de dados. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras superiores sea cinco o que la suma sea siete? Ejemplo 2 Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras superiores no sea once? Ejemplo 3 En un pedido de 100 libros, 10 tienen defectos de compaginación. Si se extraen aleatoriamente sin reemplazo, ¿cual es la probabilidad de que los tres libros escogidos tengan defectos de compaginación? Ejemplo 4 Sean dos dos sucesos A y B tales que que P(A) = 0.4 y P (B) = 0.3 Determine Determine P (AUB) en en cada uno de los siguientes casos. a) P (A∩B) = 0.1 b) P(A∩ B´) = 0.15 c) Si Si A y B so s on mu mutuamente exc excluy luyentes d) Si A ⊂ B (Si A se realiza siempre siempre que B ocurre) ocurre) Ejemplo 5 Si se lanza un dado y este cae par, par, ¿Cuál es la probabilidad de que que sea primo? Ejemplo 6 Una casa vende ropa mediante pedidos por correo, comercia dos tipos de líneas de productos 1 y 2 una relativamente cara y la otra barata. Una encuesta de 1000 pedidos produjo las frecuencias de los pedidos por líneas de productos y por sexo de los consumidores, como se muestra en la siguiente tabla.
Sexo Masculino Femenino total
Línea de producto 1 2 132 147 516 205 648 352
Total 279 721 1000
a) Calcular Calcular la probab probabilidad ilidad de que el consumidor consumidor sea sea mujer. mujer. b) Calcular Calcular la probab probabilidad ilidad de que el pedido pedido sea sea para el pedido pedido 1. 1. c) Calcular Calcular la probabilid probabilidad ad de que el pedido pedido sea para para el pedido 1 y el consumid consumidor or sea mujer. d) Calcular Calcular la probabilid probabilidad ad de que el consumidor consumidor sea sea mujer dado que que el pedido sea de la línea 2. e) Si el pedido pedido es para para la línea línea 1, ¿Cuál es la probabil probabilidad idad de de que el consum consumidor idor sea hombre? 11
Ejemplo 7 Se lanzan dos monedas, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas resulten caras? ¿Cual es la probabilidad de que al menos uno resulte cara? Ejemplo 8 Un estudiante de ingeniería cursa matemática y estadística y la probabilidad de aprobar son 0.4 y 0.8 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambas? ¿Aprobar al menos una de las dos? ¿Aprobar al menos una? Ejemplo 9 Supóngase que un mecanismo está formado por dos componentes acoplados enserie, como se indica en la siguiente figura. Cada componente tiene una probabilidad “p” de
no funcionar. ¿Cuál es la probabilidad de que el mecanismo funcione? Suponer que ambos mecanismos trabajen en forma independiente. C1
C2
P( mecanismo funciones ) = P( funcione C 1 y funcione C2 ) = P (funcione C 1) P (funcione C 2) = (1 – p) (1 – p) = (1 – p) 2 Ejemplo 11 Una lotería vende 100 números de las cuales tres están premiados. Si una persona compra tres números. Calcular las probabilidades de que la persona: a) Gane Gane solo solo un prem premio io b) Gane Gane más más de de un prem premio io c) No gan ganee prem premio io algu alguno no d) Gane Gane al meno menoss uno uno Solución a) P(Gane solo un premio)
3 97 1 2 = 13,968 = 0.086 = 100 161,700 3
3 97 3 97 1 + 3 0 292 2 = = 0.0018 b) P(Gane más de un premio) = 161,700 100 3
12
3 97 3 97 3 97 + + 1 2 2 1 3 0 c) P(No gane premio alguno) = 100 3
O bien
3 97 0 3 = 1 − 147,440 = 1 − 0.9118 = 0.088 =1 − 161,700 100 3
13
PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES
Partición de un espacio muestral Decimos que los sucesos B1, B2 ,.... , B k son una partición de un espacio muestral S si: a) Bi
∩ B j =
k
b)U Bi
=S
i =1
c) P( Bi ) > 0 ; ∀i
En otras palabras, cuando se efectúa el experimento A ocurre uno y solo uno de los sucesos Bi . S
Por ejemplo: En el lanzamiento de un dado: B1 = { 1 , 2 } ; B2 = { 3, 4 , 5 } ; B3 = {6} representan una partición del espacio muestral; Mientras Mient ras que C1 ={ 1 , 2 , 3 , 4 } ; C2 = { 4 , 5 , 6 } no lo es. Sea A un suceso asociado a un espacio muestral asociado S y sean B 1, B 2 , .... , Bk una partición de S, entonces: A A A P(A) P(A) P (A)
= A ∩ S= S ∩ A = (B1 U B2 U... U..... U Bk) ∩ A = (B1 ∩A) U (B2 ∩A) U....U (Bk ∩A) = P (B1 ∩A) + P (B2 ∩A) +.... + P (B k ∩A) = P (B1) P(A/B1) + P(B2)P(A/B2)+……..+ P (B k) P(A/Bk) = ∑ P (Bi) P (A/Bi)
A la expresión obtenida se le llama teorema de la probabilidad total. Ejemplo 1 Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas, sean 1, 2 y 3. Se sabe que la primera fábrica produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen el mismo número de artículos (durante un período de producción especificado). Se sabe también que el 2% de los artículos producido por las dos primeras fábricas es defectuoso, mientras que el 4% de los productos manufacturados por la tercera es defectuoso. Se colocan juntos los artículos en una fila y se escoge uno al azar. 14
¿Cuál es la probabilidad de que ese artículo sea defectuoso?
TEOREMA DE BAYES Se enuncia de la siguiente manera: “Sean B1, B2 ,.... , B k eventos mutuamente excluyentes, formando una partición del espacio muestral S y si A es un evento arbitrario definido en este espacio muestral de modo que P(A) > 0, el teorema dice que la probabilidad de Bi dado que ha ocurrido A es: P( A ∩ Bi ) = = A P( A)
B P i
P( A ∩ Bi ) k
∑
P(Bi ) P( A / Bi )
i =1
Ejemplo 1 Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas, sean 1, 2 y 3. Se sabe que la primera fábrica produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen producen el mismo mismo número número de artículos artículos (durante (durante un período período de producc producción ión especificado). Se sabe también que el 2% de los artículos producido por las dos primeras fábricas es defectuoso, mientras que el 4% de los productos manufacturados por la tercera es defectuoso. Se colocan juntos los artículos en una fila y se escoge uno al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que que ese artículo sea defectuoso? Sol. 2.5% b) ¿Cuál es la probabilidad de que ese artículo sea defectuoso dado que provenga de la fábrica fábrica 1? 1? Sol. 2% c) ¿Cuál es la probabilidad de que que ese artículo provenga de la fabrica fabrica 2 dado que es defectuoso defectuoso?? Sol. 20% d) ¿Cuál es la probabilidad de que ese artículo sea no defectuoso? e) ¿Cuál es la probabilidad de que ese artículo provenga provenga de la fábrica 3 dado que es no defectuoso defectuoso?? Sol. 25.13% 25.13% Ejemplo 2 Una empresa compra ciertos tipos de piezas que son suministrados por tres tipos de proveedores. El 45% de las piezas se compran al primer proveedor y resultan defectuosas el 1%. El segundo proveedor suministra el 30% y las piezas defectuosas ascienden al 2%. 2%. Las piezas restantes las proporciona el tercer proveedor proveedor y resultan defectuosas el 3.5%. Si se selecciona una pieza al azar, a) ¿Cuál es la probab probabilidad ilidad de que que resulte resulte defectuos defectuosa? a? b) Si en efecto resulta resulta defectu defectuosa, osa, ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que que hay suministrado suministrado el segundo proveedor? ¿de que haya suministrado el tercero? Ejemplo 3 Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito con el objeto de retirar algunas de ellas. En el pasado aproximadamente el 5% de los tarjetahabientes incumplieron, dejando al banco sin la posibilidad de cobrar el saldo pendiente. De manera que el director determinó una probabilidad previa de 0.05 de que el tarjetahabiente no cumpla. El banco encontró también de que un cliente que es cumplido no haga un pago mensual es 0.20. Por supuesto la probabilidad de no hacer un pago mensual entre los que incumplen es de 1. a) Dado que no hizo el pago de uno o más meses, calcule la probabilidad posterior de que el cliente no cumpla. cumpla. Sol.: 0.21 15
b) El banco desearía retirar sus tarjetas si la probabilidad si la probabilidad de que un cliente no cumpla es mayor mayor que 0.20, ¿Debe retirar el el banco una tarjeta si el cliente cliente no hace un pago mensual? Sol.: Si debe retirar la tarjeta
16