Universidad abierta y a distancia de México: Análisis combinatorio

Universidad abierta y a distancia de México Análisis combinatorio Unidad 1 Análisis Combinatorio

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Unidad 1 Análisis Combinatorio

Actividad 1. Inducción matemática Resuelve los siguientes eercicios usando inducción matemática. 1. !emuestra "ue

n ! =n ( n −1)( n−2 ) … (3 )( 2 )( 1) . #arte de la

de$nición recursiva de %actorial. Defnición recursiva n !=

{ ( − )= > 1 sin

0

n n 1 !sin 0

Demostración: Caso base: 0 !=1 Para

n =4

4 ! = 4∗3 !

Donde 3 !=3∗2 !

Donde 2 ! =2∗1 !

Donde 1! =1∗0 !

Donde 0 ! =1 → como base

Por lo tanto 1 ! =1∗1=1

Donde 2 ! =2∗1=2

Donde 3 !=3∗2 =6

Donde 4 ! = 4∗6 =24

Ahora si tenemos

n +1

( n + 1 ) != n +1 (n + 1 −1)( n + 1−2 )… (1)

Lic. Matemáticas

Unidad 1 Análisis Combinatorio

( n +1 ) != n + 1 (n )( n −1) … (1 )

Donde si

n =3  entonces

n + 1= 4

( n + 1 ) != (3 + 1 ) ! =4 != (3 + 1 ) ( 3 ) ( 3− 1 ) ( 1 ) ( 1 )=4∗3∗2∗1∗1=24 lqd

 A &. #ara cual"uier conunto  A ' su conunto (otencia'  P ,

se

de$ne como el conunto %ormado (or todos sus subconuntos. !emuestra "ue si  A  tiene entonces

n

 elementos'

¿ P A∨¿ 2 n .

Demostración: Si

| A|=n entonces ¿ P A∨¿ 2 n

Sea

n =2

!em"lo  A = {1,2 }  donde

n =2  su con!unto "otencia

| P A|=2n=2 =4 2

l con!unto "otencia es  P ( A )=

{ ∅ , { 1 } , { 2 } , {1,2 } }

 Donde tenemos # elementos

Ahora sea

| A|=n + 1 ntonces ¿ P A∨¿ 2 n+1 Por consi$uiente elementos. n

).

1 n = ∑ ( n+ 1) = i ( i +1 ) i 1

Demostración: Sea

n =1

Para

Lic. Matemáticas

| A|=n  su con!unto "otencia tiene

¿ P A∨¿ 2 n

Unidad 1 Análisis Combinatorio n

1 1 1 = = ∑ 1 ( 1 +1 ) 2 = i ( i +1 ) 1

i

Para n

1

=

( n +1 ) ( 1 + 1 )

=

1 2

n =2

Sea Para n

1 1 1 1 1 2 = + = + = ∑ 1 ( 1 + 1 ) 2 ( 2+ 1 ) 2 6 3 = i ( i +1 ) i

1

Para n

=

2

( n +1 ) ( 2 + 1 )

=

2 3

n +1

Para n+ 1

n +1 n +1 1 = = ∑ ( n + 1+ 1 ) n +2 = i ( i +1 ) i 1

n =1  entonces

Sea n +1 n +2

=

1 +1 1 +2

=

n + 1= 2

2 3

lqd

n

i = ∑ = 3

*.

i

n ( n +1 )

1

2

4

Demostración: Para

n =1

Lic. Matemáticas

2

( ) n

= ∑i i =1

2

Unidad 1 Análisis Combinatorio i

3

=¿ 13=1 n

¿ ∑ = i 1

n ( n+ 1) 2

2

( ) n

i ∑ =

2

=

4

1 ( 1 +1 )

2

4

= =1

4

4

2

=12=1

i 1

n =2

Para i

3

=¿ 13+ 23=1 +8 =9 n

¿ ∑ = i 1

2

2

n ( n+ 1) 4

(∑ )

2

=

2 ( 2 +1 )

2

4

=

4∗9 4

=9

2

n

i

=12+ 22=1+ 8= 9

i =1

n +1

Sea n+ 1

i= ∑ = 3

2

( n +1 ) ( n + 1 +1 ) 4

i 1

n+ 1

i= ∑ = 3

( n + 1 ) 2 ( n + 2 )2

i 1

Sea

n =1

4

=

2

i

i= 1

( ) n +1

= ∑i

2

i= 1

 entonces

Lic. Matemáticas

(∑ ) n+ 1

2

n + 1= 2

Unidad 1 Análisis Combinatorio i

3

=¿ 13+ 23=9 n+ 1

¿ ∑ = i 1

( n +1 )2 ( n +2 )2 ( 1 +1 )2 ( 1 +2 )2 4∗9 = = =9 4

( ) n+ 1

i ∑ = i

4

4

2

=( 1+ 2 )2=9

1

lqd

+. Un (ol,gono es una $gura geométrica (lana %ormada (or una sucesión $nita de segmentos rectil,neos' unidos consecutivamente -asta encerrar una región. os segmentos rectil,neos "ue lo %orman son sus lados' y los (untos en "ue se unen son los vértices o llamamos convexo si sus ángulos interiores /los "ue %orman los lados dentro del (ol,gono/ son menores a 102. .

3a4 3%4

3b4 3g4

3c4

3d4

3e4

5n la $gura se muestra diversos (ol,gonos' 3b4' 3d4' 3e4 y 3g4 son convexos. a diagonal de un (ol,gono es un segmento de recta "ue une dos vértices "ue no son consecutivos.

5n esta $gura se muestran en roo algunas diagonales de los (ol,gonos convexos de la $gura anterior. 67ué ocurre con el triángulo8 69iene diagonales8

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Usando el (rinci(io de inducción matemática' demuestra "ue un (ol,gono de

n  lados tiene exactamente

n ( n −3 ) 2

 diagonales.

Demostración: Para la f$ura d% n ( n −3 ) 2

=

3 ( 3 −3 ) 2

Para la f$ura b% n ( n −3 ) 2

=

4 ( 4 −3) 2

2

Para la

=

6 ( 6−3 ) 2

2

n =3

3 + 1 ( 3−2 ) 2

n =4 4

= =2 n =6

=

18 2

=9

n +1

n + 1 ( n + 1− 3)

Para

=0

2

Para la f$ura $% n ( n −3 )

n =3

=

n + 1 ( n−2 ) 2

 entonces 4

= =2 2

lqd

:. Uso de identidades a4 Una ruleta tiene los enteros de 1 a &+ colocados en %orma aleatoria. !emuestra "ue' inde(endientemente de su (osición en la ruleta' existen tres de ellos adyacentes cuya suma es al menos );. Sea

a , b , c ∈ [ 1,2, … , 24,25 ] , a ≠ b ≠ c

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a + b + c ≤ 39

n ≥ 2  hasta

Para

5

a =n

b =n + 4 c =n

2

n + ( n + 4 )+ n ≤ 39 2

n =2

Para

2 + ( 2 + 4 ) + 2 ≤ 12 2

n =3

Para

3 + ( 3 + 4 ) + 3 ≤ 19 2

n =4

Para

4 + ( 4 + 4 ) + 4 ≤ 28 2

n =5

Para

5 + ( 5 + 4 ) +5 ≤39 2

2n

b4 !etermina el entero (ositivo n =1

Cuando 2 n= 2

i =1+ 2=3 ∑ = i 1

n=1

i =1 =1 ∑ = 2

2

i 1

Cuando

n =2

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n  (ara el cual

n

i =∑ i ∑ = = i 1

i 1

2

Unidad 1 Análisis Combinatorio 2 n= 4

i =1 + 2 + 3 + 4 =10 ∑ = i 1

n= 2

i = 1 + 2 =5 ∑ = 2

2

2

i 1

n =3

Cuando 2 n= 6

i =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =36 ∑ = i 1

n=3

i =1 + 2 + 3 =14 ∑ = 2

2

2

2

i 1

n =4

Cuando 2 n= 8

i =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 ∑ = i 1

n= 4

i =1 + 2 + 3 + 4 =30 ∑ = 2

2

2

2

2

i 1

n =5

Cuando 2 n= 10

i =1+ 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =55 ∑ = 1

i

n=4

i =1 + 2 + 3 + 4 + 5 =55 ∑ = 2

2

2

2

2

2

i 1

c4 Considera las cuatro ecuaciones siguientes< 31 4 3& 4 3) 4 3* 4

1 

> 1 1

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1

= 1

&

> )

> *

= 1

> 0 > & ? > : *

+

> :

> ?

> 0

> ;

= 0

> 1 &

> 1 )

> 1 *

> 1 +

> 1 :

= & ?

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Conetura la %órmula general sugerida (or estas ecuaciones y demuéstrala. Para las cuatro ecuaciones n =1,2,3,4

 &enemos n =1 →1 n =2 →2 n =3 →5 n= 4 → 10

{

}

− 2 ( 1 ) + 2 =1 2 2 − 2 ( 2 ) + 2 =2 2 2 ( n −1 ) + 1 = n − 2 n + 2 2 3 − 2 ( 3 ) + 2 =5 2 4 −2 ( 4 )+ 2=10 2

1

'umero de t(rminos

} {

n=1 → 1 n =2 → 3 2 n−1 n =3 → 5 n= 4 → 7

2 ( 1 ) − 1 =1 2 ( 2 ) − 1 =3 2 ( 3 ) − 1 =5 2 ( 4 ) −1=7

La )órmula del t(rmino $eneral de una "ro$resión aritm(tica es: an =

n 2

 [ 2 a +( n−1 ) d ] 1

Donde en este caso

d =1

 *di)erencia com+n%.

Sustituir n

 será la e,"resión "ara los t(rminos

t(rmino la e,"resión

2

n

2 n−1

 -

a1

 del "rimer

+ 2 n +2 .

Por lo ue an =

¿

2 n −1 2

2 n −1 2

[ 2 ( n +2 n +2 ) +( 2 n−1 −1 ) 1 ]= 2 n2−1 [ 2 n − 4 n + 4 +2 n −2 ] 2

2

[ 2 n −2 n + 2 ] = 2 n − 1 [ n − n + 1 ] 2

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2

Unidad 1 Análisis Combinatorio n =1 → 2 ( 1 ) −1 [ 1

−1 + 1 ] = 1 2 n= 2 → 2 ( 2 ) −1 [ 2 − 2+ 1 ] =9 2 n=3 → 2 ( 3 )−1 [ 3 −3 + 1 ] =35 2 n =4 → 2 ( 4 )−1 [ 4 −4 + 1 ] =91 2

Continuamos con os t(rminos del lado derecho.  &enemos n =1 → 1=0 + 1 n=2 → 1 + 8 n =3 → 8 + 27 n= 4 → 27 + 64

Al observar "odemos ver t(rminos al cubo 3

n=1 → 1 =0 + 1 =0

+ 13

+ 23 3 3 n =3 → 8 + 27=2 + 3 3 3 n =4 → 27 + 64 =3 + 4 n=2 → 1 + 8 =1

3

} {

+ 13 =1 3 3 n =2 → ( 2 −1 ) + 2 = 9 3 3 ( n −1 ) + n 3 3 n =3 → ( 3 −1 ) + 3 =35 3 3 n =4 → ( 4 −1 ) + 4 = 91

Por demostrar ue

( n− 1 )3 + n3=2 n−1 [ n2 −n +1 ] ( n− 1 )3 + n3=[ ( n −1 )+ n ] [ ( n−1 )2− ( n−1 ) n +n 2 ]=¿ n − 1+ n [ n

2

−2 n + 1− n2+ n + n2 ] = 2 n −1 [ n2−n + 1 ]

Por lo tanto

[ − n + 1 ] ≡ 2 n −1 [ n −n + 1 ] 2

2 n−1 n

lqd

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2

3

n =1 → 1=( 1−1 )