Pr´ actica actica 3.
− Vaciado de un dep´osito osito
Roberto Mota Navarro Mayra Patricia Garc´ Garc´ıa Alcal´a Josafat Jos afat Jim´enez enez Guzm´ Guzm ´an an 20 de Octubre de 2010
1.
Intr In trod oduc ucci ci´ ´ on on
amos un tanque t anque cil´ cil´ındrico cuyo di´ diametro a´metro es D el cual tiene una ´area area transversal es S1 conteniendo un fluido hasta cierto nivel h por encima de un agujero, como se indica en la Figura 1. Nuestro recipiente drena por un peque˜no no orificio en la parte inferior de di´ametro a metro d y secci´ on on S 2 de tal forma que (S (S 1 S 2). 2). La velocidad de evacuaci´on on del fluido a la salida de este orificio la llamamos v2. Bien si aplicamos la ecuaci´ on de Bernoulli en las dos secciones on del tanque tenemos lo siguiente:
La mec´ anica del medio continuo tiene como anica finalidad estudiar los esfuerzos que se manifiestan en el interior de los s´olidos, olido s, l´ıquidos ıquido s y gases. La mec´ anica de medio continuo se orianica gin´ o con los l os estudios de Galileo Gal ileo y sus disc´ disc´ıpulos. los. Galileo Galileo plant plante´ e´ o y reso resolv lvi´ i´ o los los prim primer eros os problemas de resistencia de materiales en su libro Discorsi e dimostrazioni matematiche inimpres esoo en 1638 1638.. torn torno o a due due nuo nuo scie scienz nze e, impr Las dos nuevas ciencias de ese entonces eran precisamen precisamente te la mec´ anic a nicaa de los los s´ olidos olidos deformab formables les y la cinem´ cinem´ atica atica de los proye proyecti ctiles les Benedetto Castelli y Evangelista Torricelli, por su parte, se ocuparon del movimiento de los fluidos. Torricelli, en la obra De motu motu gravi gravi-um naturaliter descendentium et proiectorum , publicada en 1644, pudo, con intuici´on on realmente mente genial genial,, deduci deducirr la ley de descar descarga ga de un l´ıquido, ıquido , a trav´es es de un orificio orifici o practicado practi cado en un dep´osito, osito, a partir de la ley de ca´ ca´ıda de los s´ olidos. olidos. Fue as´ as´ı como se sentaron, casi simult´ aneamente, las bases de la mec´ aneamente, anica anica del medio continuo relacionada con sus dos objetivos principales: el s´olido olido deformable y el fluido en movimiento.
ρv1 2 ρv2 2 = P 2 + gρ2 + (1) 2 2 Ahora Ahora consid considera erando ndo que la presi´ presi´ on o n P que act´ ua en ambas secciones del tanque es la misua ma presi´ presi´ on on atmosf´ atmosf´erica, erica, y del mismo modo la densidad ρ es la misma en la ecuaci´ on o n de Bernoulli, la ec. (1) toma la forma: P 1 + gρ 1 +
v1 2 v 2 = gh2 + 2 , (2) 2 2 ade´ aaas as sabe sabemo moss que que el caud caudal al que que sale sale del del tanque esta dado por C = vS , entonces considerando la ecuaci´ on on de continuidad v1 S 1 = v2 S 2 podemos obtener de esta ultima u ´ltima la siguiente expresi´on: on: gh 1 +
v1 = v2
Para Para deduci deducirr la ley de Torrice orricelli lli consid considerer1
S 2 , S 1
(3)
2
√ −
S 2 g y (t) = h t . (8) S 1 2 El tiempo tiempo de vacia aciado do del del tanq tanque ue T ocurre cuando la super cie del agua alcanza la altura cero: y = 0. As´ As´ı, calcula cal culamos mos:: T =
duce la ley de Torricelli.
y de la ec. (2) obtenemos:
−h ) . 2
v1 =
(4)
2.
2 2
donde y = h1 h2, y al aplicar la condici´ on on de S 1 S 2 entonces podemosobtener la expresi´ on on que encontr´o Torricelli:
−
v2 =
2gy .
3.
(6)
Por definici´on, on, la velocidad de la superficie del agua se puede escribir como: v1 =
. − dy dt
√ ∼ √ − 1
h=
S 1 S 2
2 h. g
(9)
S − dy ≈ dt S
2
− 2g
S 2 2 gt . S 1 2
(10)
Obje Objetivo ivos
Comprobar la ley de Torricelli y utilizando la ecuaci´ on de continuidad y de Bernoulli calon cular el tiempo que le toma a un recipiente con l´ıquido vaciarse como funci´on o n de la altura de dicho di cho l´ıqui ıq uido do..
− 1
S 2 2 S 1 2
1
Sustituyendo a v1 y despejando a v2 se obtiene: 2gρ (5) v2 = , 1 S S 2
2 2
En la aproximaci´ on, no tomamos en cuenta el on, hecho que la velocidad velo cidad de salida sal ida del de l l´ıquido ıquido decrece cuando la altura del l´ıquido ıquido en el tanque disminuye. Una velocidad de salida m´ as as alta provoca un tiempo de vaciado menor. Podemos comprobar que la velocidad v1 es una funci´on on lineal del tiempo, pues la funci´on on y(t) es una funci´on on cuadr´atica: atica:
Figura 1: Ejemplificaci´on on del modelo del que se de-
v2 2 v1 2 = + g (h1 2 2
3.1. 3.1.
Protoco Protocolo lo y disposi dispositiv tivos os experimentales Tiem Tiempo po de de vac vacia iado do
Materiales:
(7)
- Probeta graduada graduada perforada con un orificio abajo.
Con esto, llegamos a la ecuaci´ on: on: 2
- Agua.
Lo prim primer eroo que que hici hicimo moss fue fue mo mon ntar tar el equipo: el sensor de posici´on on ajustado en el soporte universal fue colocado a una altura suficiente para que este detecte los cambios de altura de agua contenida en una probeta que pusimos pusimos debajo del sensor. Conectamos Conectamos el sensor a la computadora y con la interfase DataStudio se hizo la medici´on on de posici´ on on y de velocidad de la ca´ ca´ıda de el agua de la probeta desde cierta altura h hasta que se termin´o de vaciar el tanque. Para estas mediciones, previamente realizamos distintas pruebas para asegurar gurar que el sensor sensor si detect detectara ara cam cambio bioss de posici´on o n del agua, asi como la distancia a la cual empezaba a detectar los cambios.
- Cron´ ometro. ometro. Metod Me todol olog´ og´ ıa: ıa :
Primer Primerame ament ntee medimo medimoss el di´ a metro amet ro de am am-bos orifici orificios os del tubo perfora perforado do para para obtenobtener as´ as´ı los radios r1 y r2 . Realizamos medidas del tiempo que tomaba en vaciarse una probeta con diferentes cantidades de l´ıquido. Realizamos 9 diferentes mediciones, desde 850 ml a 50 ml, ml, en decrementos de 100 ml cada vez. Para contar el tiempo que le llevaba vaciarse al recipiente a cada altura diferente, utilizamos un cronometro. En el momento que ve´ ve´ıamos al agua agua llega llegarr a la base base del del aguj agujer eroo de salsalida par´ abamos abamos la medici medici´ on. o´n. Realizamos Realizamos esto con tres cron´ometros ometros simult´ simult´ aneamente aneamente,, cada miembro del equipo manejando uno. Al momento de llenar la probeta tomamos medidas muy cercanas a la base para asegurarnos que al momento de ajustar linealmente los datos, la recta pasara cerca del origen.
3.2. 3.2.
4.
Medi Medici cion ones es::
4.1. 4.1.
Tiem Tiempo po de de vac vacia iado do
Radio de la probeta: r1 = 0.345 m y radio del orificio de debajo de la probeta: r2 = 0.00235 m
Evol Evoluc uci´ i´ on on de y(t)
Materiales:
h - Tanque cil´ındrico ındrico perforado por orificio aba jo. - Agua. - Sensor Sensor de posici´ posici´ on on Pasco. - Interfas Interfasee DataStudio (500) y computadora computadora.. - Soporte univer universal. sal.
4
± 5 × 10−
[m] 0.30062607 0.26525829 0.22989052 0.19452275 0.15915498 0.1237872 0.08841943 0.05305166 0.01768389
T
± 0,005[ 005[ss] 52.56 48.91 45.19 41.73 37.62 32.94 27.07 20.04 10.57
Tabla 1.-Tiempos de vaciado para las diferentes alturas que medimos.
Metod Me todol olog´ og´ ıa: ıa :
3
4.2. 4.2.
Evol Evoluc uci´ i´ on on de y(t)
esta relaci´ on on se muestra en la gr´afica afica Figura 9:
Altura de la columna de agua en la brobeta: 30.00 cm Las mediciones que obtuvimos con DataStudio est´an an graficadas en las Figuras 2 y 3.
Figura 4: Gr´afica afica de tiempo T contra la raiz de altura h con respecto al tiempo.
La intersecci´on on con el eje de las ordenadas no se da en el cero porque el sensor de posici´on comenz´ o a tomar lecturas solamente hasta que el agua se encontraba a a 12 cm de distancia del mismo, desplazando el origen de la toma de datos a la derecha del cero. Seg´ unla unla ec. (9), la pendiente pendiente de la l´ınea de ajuste debe ser:
Figura 2: Resultado de la medici´on on de posici´ on on con respecto al tiempo.
S 2 S 1
5.1. 5.1.
g = 97.31s/m 97.31s/m1/2 . 2
(11)
Y nuestro ajuste lineal arroja una pendiente de 100.98 s/m1/2 El error relativo de nuestro valor experimental experimental es de 3.76 % con respecto al valor te´ orico. Esta diferencia se debe a los reorico. tardos en el manejo del cronometro, pues siempre par´abamos abamo s la cuenta despu´es es de d e ver que ya no segu´ se gu´ıa ıa fluyend fluy endoo l´ıqui ıq uido do..
Figura 3: Resultado de la medici´on on de velocidad con respecto al tiempo.
5.
An´ alisis alisis
5.2. 5.2.
Tiem Tiempo po de de vac vacia iado do
Evol Evoluc uci´ i´ on on de y(t)
Como se vio en las tablas de resultados, los valores obtenidos si tienen el comportamiento desperado, de acuerdo a las ecuaciones que
Seg´ un un la ec. (9) el tiempo T de vaciado debe ser proporciona prop orcionall a la ra´ ra´ız cuadrada cuad rada de la l a altura, altu ra, 4
rigen este comportamiento. y(t) =
√ − h
S 2 S 1
g t 2
pendiente que obtubimos con nuestros datos (y = cx + b) es de 0.000196 m/s2 y el esperado, calcul´ andolo andolo don la ec. jhygb:
2
,
(12)
c=
Vemos en esta ecuaci´on on que la forma que deben tene tenerr los datos datos es linea lineall (de (de la form formaa y = mx + b) con respecto a y (t), la gr´ afica afica correspondiente (Figura 4) nos muestra el valor de la pendiente que resulta de nuestros datos que es -0,0092m -0,0092m1/2 /s, /s, mientras que calculando este valor con la ec. (10), nos queda: m=
−
0.0037m2 0.0037m 1.73 10−5
− g = 2
×
2
2
1
Como vemos, este nuestro resultado difiere del valor calculado calculado solamente solamente con un 2 %.
S 2 S 1
0.0002m/s . − S S g = 0.0002m/s
6.
Conc Conclu lusi sion ones es
Para la pr´actica actica de vaciado del tiempo de vaciado, de acuerdo con los resultados te´ oricos oricos el resultado es muy bueno y la diferencia de 3.76% 3.76 % que se obtuvo obtuvo se la atribu atribuimos imos a la falfalta de precisi´on on al momento de tomar los tiempos de vaciado con el cron´ometro, ometro, esta fuente de error error qued´ qued´ o muy pate patent ntee al comp compar arar ar el tiempo de vaciado que medimos los diferentes miembros del equipo, nunca teniendo los tres la misma lectura. A parte de esto era complicado determinar cu´ando ando se hab´ hab´ıa terminado termin ado de vaciar la probeta y nunca deten´ deten´ıamos la toma de tiempo al mismo nivel de vaciado.La segunta parte, de evoluci´on on de y (t) tambi´ ta mbi´en en nues nu estro tross resultados se ajustaron a lo calculado de acuerdo a la ecuaci´on o n de Bernoullie y a la ley de Torricelli.
9.81m/s 9.81m/s 2
=-0.0102 m1/2 /s
Lo cual es muy aproximado a lo que obtubimos con nuestros datos experimentales, ya que el erro errorr es 9.8 % .
Bibl Bi blio iogr graf´ af´ıa ıa
Figura 5: Gr´afica afica de Raiz de posici´on on y(t) ec. vs tiem-
1. T. E. Faber. Fluid Dynamics Dynamics for Physici Physicists, sts, Cambridge University, 1995.
po t.
Como vimos, la funci´ on on y(t) es una funci´on on cuadr´ atica asi que el comportamiento de la veatica locidad es una funci´on on lineal del tiempo, por lo que nuest nuestros ros result resultados ados,, mostra mostrados dos en la Figura 3 est´ an an de acuerdo acuerdo a esta teor´ teor´ıa. La
2. Enzo Levi. Levi. Elemento Elementoss de Mec´ anica anica del Medio Continuo, Editorial Limusa, 197 5. 3. R. K. Nagle, E. B. Saff. Fundamentos Fundamentos de ecuaciones ecuaciones diferenciales, diferenciales, Addison Wesley Wesley,, Wilmington, 1992 .
5
4. Manual Manual de pr´ acticas, Laboratorio de Medios Continuos, tinuos, Anne Cros, Cros, Universidad Universidad de Guadalajara Guadalajara .
6
