Variable Compleja Hans Cristian Muller Santa Cruz 2000
2
´ Indice general Prefacio I.
V
Variable Compleja I.1. I.1. Lo Loss N´ umeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.1. I.1.1. El Plano Plano Comple Complejo jo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1. I.1.2. 2. Conj Conjug ugad adoo de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . . . . I.1.3. Modulo o´dulo de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . I.1. I.1.4. 4. Sust Sustra racc cci´ i´ on on y Divisi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.5. Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.6. Topolog´ opolog´ıa del Plano Complejo C . . . . . . . . . . . . . . . . ¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.7. I.1.7. El plano plano com comple plejo jo aca acabad badoo C I.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.1. I.2.1. Repres Represen entac tacion iones es Gr´ aficas de Funciones Compleja lejass . . . . . . I.2.2. Funciones Complejas Remarcables . . . . . . . . . . . . . . . I.2.3. El Logaritmo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2. I.2.4. 4. Funci uncion ones es Trigo rigono nom m´etri e trica cass Com Complej plejas as . . . . . . . . . . . . . I.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.1. Funciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4. Funciones Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.1. Homograf´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.2. I.4.2. Repres Represen entac taci´ i´ on Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5. I.5. Integ Integrac raci´ i´ on Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6. Un Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.7. Fo´rmulas Integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8. Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8.1. Ca´lculos con Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8.2. Teoremas eoremas de de Unicidad Unicidad y Prolong Prolongamien amiento to An´ An´ alitico . . . . . . I.8. I.8.3. 3. Otr Otros Resu Result ltad ados os de las las Funci uncion ones es Ho Holo lom morfa orfass . . . . . . . . I.9. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.9. I.9.1. 1. Pun Puntos tos Sing Singul ular ares es Aisl Aislad ados os de Funci uncion ones es Ho Holo lomo morf rfas as . . . . I.10. Residuos y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10 I.10.1. .1. C´ alculo de Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10 I.10.2. .2. C´ alculo de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10.3. Valor Principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.11. Funciones Meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.11 I.11.1. .1. Desa Desarr rrol ollo lo en Fracc raccio ione ness Par Parci cial ales es de Funci uncion ones es Me Mero romo morf rfas as I.11 I.11.2. .2. N´ umer u mero o de de Ce Ceros ros y Polos olos de Fun Funccione ioness Me Merom romorfa orfass . . . . .
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 1 3 4 4 5 5 5 6 7 7 8 11 13 14 16 17 18 23 26 34 39 40 43 46 48 51 54 56 57 59 63 64 65 68
ii
´ INDICE INDICE GENERAL GENERAL
´ Indice de figuras I.1.1. I.1.2. I.2. I.2.1. 1. I.2. I.2.2. 2. I.2. I.2.3. 3. I.2.4. I.2.5. I.2.6. I.3.1. I.4.1. I.4.2. I.4.3. I.8.1.
Transformac ransformaciones iones de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proyec Proyecci´ ci´ on on Estereogr´afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ Gra´fica de los Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ Grafica a´fica Transformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ Gra´fica del Campo de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ on Lineal no Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ on Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imagen de una Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ on continua, Cauchy-Rieman, pero no C-diferenciable on Ejemplo Ejemplo de Funci´ on Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformac ransformaci´ i´ on de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Represent Representaci´ aci´ on conforme de sin . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 2 Polinomio Polinomio de Taylo Taylorr z z3 + z5 + + z255 en R y en C . .
−
···
2
I.8. I.8.2. 2. Gr´ Graficas a´ficas de parte real e imaginaria de ( z 1) (z −21) I.8.3. I.8.3. Composi Composici´ ci´ on de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8.4. Principio Principio del Prolong Prolongamien amiento to An´ alitico . . . . . . . . I.8.5. Demostrac Demostraci´ i´ on Teorema de la Aplicaci´on Abierta . . . on I.11.1. Mapas de cot z y csc z . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 I.11.2. Indice de Cauchy para f ( f (z ) = zez− −i . . . . . . . . . .
− −
iii
. . . . . . . . . . . . . 3
+ (z−31) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . n
− · · · ± (z−n1)
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2 6 8 8 9 10 11 11 15 18 22 24 42
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43 44 48 51 67 69
iv
´ INDICE DE FIGURAS
Prefacio
v
vi
PREFACIO
Cap´ıtulo I Variable Compleja En lo que concierne la teor´ teor´ıa del an´alisis alisis complejo, tres puntos de vista predominan en la actualidad: Integraci´on on Compleja (Cauchy 1814-1830).
• • Aplicaciones holomorfas C → R (Tesis de Riemann 1851). • Series enteras (Cauchy 1831-1846, Weirstraß).
Comenzaremos este cap´ cap´ıtulo por el c´alculo alculo diferencial y las funciones holomorfas seg´un un Riemann. Luego, seguiremos la evoluci´on on de Cauchy (integrales complejas, f´ormula ormula de Cauchy). Veremos que cada funci´on on holomorfa es anal´ anal´ıtica (admite un desarrollo en serie de potencias). Estas series simplifican la teor´ teor´ıa (punto de vistas de Weirstraß),
I.1.
Los N´ umeros Complejos umeros
Si bien los n´ umeros complejos son familiares para todos los que siguen este curso, se vio, por ejemplo, en el umeros primer de a˜no no de An´alisis, alisis, en esta secci´on on abordaremos el plano complejo con una ´optica geom´etrica, etrica, para comprender y asimilar la l a riqueza y potencia p otencia que tiene esta teor´ teor´ıa. Sabemos que el conjunto de los n´umeros umeros reales R provisto de la adici´on on y la multiplicaci´on on es un cuerpo completo con un orden compatible con dichas operaciones. op eraciones. Geom´ etricamente etricamente R asociamos a una recta, que la llamamos recta real. Como es de conocimiento de todos, la ecuaci´on x2 + 1 = 0, 0, no tiene soluci´on on en R. Nuestro objetivo ser´a construir un cuerpo que contenga R en el cual dicha ecuaci´on on tenga soluci´on. on. Como R est´ a asociado a una recta, vamos a construir un cuerpo que este asociado a un plano (real); ya que la extensi´on on inmediata inmediata de una recta constituy constituyee un plano. Consideremos Consideremos 2
R
= (x, y) x, y
{
|
∈ R}.
Este conjunto con la adici´on on definida por (x1 , y1 ) + (x ( x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) y la multiplicaci´on on por escalar λ(x, y ) = (λx, λx, λy) λy) es un espacio vectorial real. En el curso de Geometr´ Geometr´ıa, se estudi´o con detalle las propiedades de los diferentes objetos y las transformaciones que les est´an an asociadas. Para tener un cuerpo conmutativo, solamente nos falta definir una multiplicaci´on, la cual provendr´a de un tipo especial de transformaciones lineales del plano R2 ; m´as as precisamente de aquellas transformaciones que conservan los ´angulos angulos en tama˜no no y orientaci´ orientaci´ on. on. Definici´ on I.1.1 Una similitud on similitud directa directa, en tanto que aplicaci´ on lineal, es una aplicaci´ on lineal s : R2 R2 de la forma s = hλ rθ , donde hλ es la homotecia de raz´ on λ (λ > 0) y rθ es una rotaci´ on de ´ angulo θ.
◦
1
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
2
θ θ
Homotecia
Rotacion
Similitud
Figura I.1.1: Transformaciones de
R2
En la figura I.1.1, tenemos una representaci´on on gr´afica afica de una homotecia, una rotaci´on on y finalmente una similitud. Como se vio en el curso de Algebra Lineal es m´as comodo trabajar con las matrices asociadas (respecto a las bases can´onicas). onicas). Recordemos que toda aplicaci´on on lineal est´a enteramente determinada por los elementos de las bases can´onicas onicas y que existe un isomorfismo natural entre el espacio vectorial de las aplicaciones lineales L(R2 , R2 ) y M 2,2 (R) el espacio vectorial real de las matrices de 2 2 a coeficientes reales. En lo que sigue solamente consideremos como base la can´onica o otra base ortonormal directa. Denotemos por H λ la matriz asociada a la homotecia de raz´on λ > 0, hλ ; Rθ la matriz asociada a la rotaci´on on rθ . Se tiene: λ 0 cos θ sin θ H λ = , Rθ = ; 0 λ sin θ cos θ
×
◦
−
por lo tanto, la matriz S λ,θ a dada por λ,θ asociada a la similitud sλ,θ = hλ rθ , est´ S λ,θ λ,θ =
λ 0 0 λ
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
λ cos θ λ sin θ
−λ sin θ λ cos θ
.
(I.1.1)
Una simple inspecci´ inspecci´ on on da det S λ,θ λ,θ = λ > 0. Ejercicio.- Verificar que una matriz de la forma
− a b
b a
con (a, (a, b) = (0, (0, 0), es la matriz asociada a una similitud directa. Teorema I.1.1 El conjunto de las similitudes (directas) de de aplicaciones.
R2 forman un
grupo abeliano para para la comp composici´ osici´ on
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
Denotamos por + (R, 2) al grupo de las similitudes directas, que por cierto no solamente es un grupo abeliano para la composici´ composici´ on on de aplicaci ap licaciones, ones, sino tambi´en: en:
S
Teorema I.1.2 + (R, 2) 0 es un subespacio vectorial real de dimensi´ on 2 del espacio End(R2 ) de las aplicaciones lineales en R2 .
S
∪{ }
Demostraci´ on.on.- Puesto que existe un isomorfismo natural (por la elecci´on on de las bases can´onicas) onicas) entre End(R2 ) y M 2,2 (R) el espacio de las matrices reales de 2 2 es suficiente ver que las matrices asociadas a las similitudes similitudes m´as as la matriz nula forman un subespacio vectorial. El resto lo dejamos como ejercicio.
×
´ I.1. I.1. LOS LOS N UMEROS COMPLEJOS
I.1.1. I.1 .1.
3
El Pla Plano no Co Comp mplej lejo oC
Hemos visto que R2 es un espacio vectorial para la adici´on, on, para que conmutativo, solo falta dotarle de una multiplicaci´on. on. Consideremos la aplicaci´on on ϕ dada por ϕ : R2 (a, b)
R2
tenga la estructura de un cuerpo
−→ S +(R, 2) ∪ {0} → ab −ab .
Utilizando Utilizando el ejercicio ejercicio y la proposici´ on precedentes, se demuestra (nuevamente otro ejercicio para el alumno) on R2 la aplicaci´ que ϕ es un isomorfismo de espacios vectoriales reales. Denotamos por π : + (R, 2) 0 on on inversa de ϕ. Se ve inmediatamente que
S
π Definamos la multiplicaci´on on en 2 R , planteamos
R2
− a b
b a
a b
=
∪{ } →
= (a, b).
(I.1.2)
de la siguiente manera. Sean z1 = (a1 , b1 ) y z2 = (a2 , b2 ) elementos de
·
·
z1 z2 = π (ϕ(z1 ) ϕ(z2 )). )). Desarrollando Desarro llando (I.1.3), (I.1.3) , se obtiene obt iene expl exp l´ıcitamente: ıcitame nte: (a1 , b1 ) (a2 , b2 )
=π
·
a1 b1
−b1 a1
a2 b2
−b2 a2
−a1b2 − a2b1 a1 a2 − b1 b2 a1 a2 − b1 b2 = (a ( a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ) = =π
−
(I.1.3)
a1 a2 b1 b2 a1 b2 + a2 b1
Remarca.- Utilizando la notaci´on on columna para elementos de z2 = (a ( a2 , b2 ) puede expresarse como
·
z1 z2 = Teorema I.1.3
R2
a1 b1
−b1 a1
R2 ,
a2 b2
a1 b2 + a2 b1
(I.1.4)
la multiplica multiplicaci´ ci´ on o n de z1 = (a1 , b1 ) y
.
con la adici´ on usual y la multiplicaci´ on definida m´ as arriba es un cuerpo conmutativo.
Demostraci´ on.on.- En efecto, efecto, R2 con la adici´on on es un grupo grupo abelian abeliano, o, ya visto en un cursos cursos anterio anteriores res.. 2 Remarquemos que el elemento cero es 0 R = (0, (0 , 0) y el opuesto de (a ( a1 , a2 ), (a1 , a2 ) = ( a1 , a2 ). 0R2 es un grupo abeliano para la multiplicaci´on, on, porque la multiplic multiplicaci´ aci´ on on definida m´as as arriba es R2 una ley de composici´on on interna, verificaci´on on simple, y por que + (R, 2) es un grupo para la multiplicaci´on. La distributividad de la multiplicaci´on on respecto a la adici´ on on est´a asegurada por que ϕ y φ son aplicaciones lineales.
−
−{ }
− −
S
Definici´ on I.1.2 R2 provistos de la adici´ on on y la multiplicaci´ on definida m´ as arriba se llama cuerpo de los n´ umeros complejos o plano complejo y se lo denota por C. Remarcas.1. 1C = (1, (1 , 0), 0C = (0, (0 , 0). Se define i = (0, (0, 1). Un peque˜ no no c´alculo alculo da i2 =
−1
C
.
2. La inyecci´ inyecci´ on on natural natural j : R on on y la multiplicaci´on, on, lo que C, j (a) = (a, 0) es compatible con la adici´ hace que R sea un subcuerpo de C. En el lenguaje algebraico, esto se llama extensi´on on de cuerpos.
→
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
4
3. En realidad j (R) C, pero p ero para darle fluidez a la teor´ teor´ıa, se acostumbra a suponer que R C, con lo que utilizamos los s´ımbolos ımbolos 1 y 0 para referirnos al uno y cero de R o C dependiendo el contexto. Es frecuente utilizar la notaci´on on z = a + ib, con a, b R para representar z = (a, ( a, b). Este tipo de notaci´on on facilita los c´alculos alculo s aritm´eticos eticos en C.
⊂
⊂
∈
{ | ∈ }
4. Si z = (a, b) = a + ib, ib, z = a es la parte real de z , z = b, la parte imaginaria de z . como el eje real del plano complejo y iR = ia a R el eje imaginario. imaginario. 5. El algebra en
I.1. I. 1.2. 2.
C
es id´entica entica a la de
R,
con adem´as as i2 =
R
se lo conoce
−1.
Conj Co njug ugad ado o de un n´ umero complejo umero
∈
−
Sea z = a + ib C, se define z¯ = a ib el conjugado de z . Geom´etricamente, etricame nte, la acci´on on de conjugar n´umeros umeros complejos, corresponde a la simetr´ simetr´ıa respecto al eje real. El conjugado satisface las siguientes propiedades. Proposici´ on I.1.1 Se tiene: on z + z¯ = 2 z, z z¯ = 2i 2 i z, z z¯ = a2 + b2 , z1 z2 = z¯1 z¯2 , z1 + z2 = z¯1 + z¯2 , z = z¯ z R, z = z¯ z iR, z¯ = ( z ), (¯ 0. z )−1 = (z −1 ), z = 0.
− · ·
·
⇐⇒ ∈ − ⇐⇒ ∈ − −
(I.1.5) (I.1.6) (I.1.7) (I.1.8) (I.1.9) (I.1.10) (I.1.11) (I.1.12) (I.1.13)
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
I.1 .1.3 .3..
Modulo o ´dulo de un n´ umero complejo umero
|| √
Sea z = a + ib C, el m´odulo odulo de z es z = a2 + b2 . Remarca.- El m´odulo odulo de z es lo mismo que la 2 norma euclidiana de z visto como un elemento de R . Cuando z R, el m´odulo odulo es lo mismo que el valor absoluto de R. Proposici´ on I.1.2 El m´ on odulo verifica:
∈
∈
|z|2 = zz,z¯, |z| ≤ |z| , |z| ≤ |z| , |z1z2| = |z1| |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| .
(I.1.14) (I.1.15) (I.1.16) (I.1.17) (I.1.18)
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
´ I.1. I.1. LOS LOS N UMEROS COMPLEJOS
I.1.4. I.1 .4.
5
Sustr Su strac acci´ ci´ on y Divisi´ on on
Completando la construcci´on on de los n´umeros umeros complejos, la sustracci´on on se la define como z1 La divisi´ on on se la define
− z2 = z1 + (−z2). z1 = z1 (z2 )−1 , z2
donde z2 = 0. Utilizando la notaci´on on de fracciones, las reglas de c´alculo alculo para fracciones son v´alidas alidas y su demostraci´ on es un simple ejercicio. on
I.1.5. I.1 .5.
Form orma a Pola olar r
Tradicionalmente, la forma polar de un n´umero umero complejo es abordada como un t´opico independiente. Sin embargo, en nuestra construcci´on on hemos asociado a cada n´umero umero complejo a una similitud de ´angulo angulo θ y raz´ on on r. Por consiguient consiguiente, e, si z = 0, se puede escribir como
z = r(cos θ + i sin θ),
|z| = r, θ es unico u ´ nico con una diferencia de 2πk 2 πk k ∈ Z
La forma polar es util u ´ til para realizar multiplicaciones y divisiones. Proposici´ on I.1.3 Si on z = z (cos θ + i sin θ ), w = w (cos ϑ + i sin ϑ),
||
| |
se tiene
·
| |·| | | |·| | ||
z w z/w zn
= z w (cos( (cos(θθ + ϑ) + i cos( cos(θθ + ϑ)) )),, = z w (cos(θ (cos(θ ϑ) + i cos( cos(θθ ϑ)) )),, n = z (cos( (cos(nθ nθ)) + i sin( sin(nθ nθ)) )),, n N.
−
− ∈
La ultima ´ f´ ormula es conocida como F´ ormula de Moivre Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
I.1.6.
Topolog opolog´ ´ıa del Plano Complejo C
El m´odulo odulo de C es la norma euclidiana de R2 , los conceptos de convergencia, convergencia, l´ımites, conjuntos abiertos, cerrados, compactos, puntos aislados, puntos de acumulaci´on, on, etc, son los mismos, que ya han sido vistos en el curso de An´alisis alisis de Primer A˜no. no. Por otro lado, el m´odulo odulo en C tiene el mismo comportamiento del valor absoluto de R en lo que respecta la multiplicaci´ on. Por lo tanto, se justifica recordar, complementar y aclarar algunos conceptos. on. Las sucesiones zk con zk C pueden ser vistas: como una sucesi´on on propiamente compleja, o bien como dos sucesiones reales, zk y zk . Por lo tanto, dependiendo la situaci´on on y el contexto, se debe utilizar el punto de vista que m´as as convenga. Como R es un cuerpo ordenado, se tiene el concepto de sucesiones m´ onotonas y la divergencia por valores infinitos; en C eso no es posible, sin embargo esos conceptos y sus onotonas consecuencias pueden ser aplicados por separado a la parte real y la parte imaginaria de la sucesi´on. Una definici´ on on que ser´a util posteriorment posteriormentee es la siguiente siguiente.. Definici´ on I.1.3 Una sucesi´ on on zk en C diverge por valores en el infinito, si la sucesi´ on zk en R diverge por valores en el infinito. Dicho de otra manera
|·|
{ } ∈ { } { } { }
l´ım zn =
n→∞
{| |}
∞ ⇐⇒
| |
l´ım zn = +
n→∞
∞.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
6
Los conceptos de sucesiones, series, vistos en el Primer A˜no n o de An´alisis, alisis, como convergencia absoluta, serie productos pro ductos se los ampl´ıa ıa al caso complejo sin ning´un un problema. Solamente hay que remplazar el valor absoluto absoluto por el m´odulo. odulo. Por lo tanto, las reglas de c´alculo, alculo, criterios de convergencia son v´alidos ali dos tambi´en en para series complejas. En lugar de hablar de bolas abiertas, en C, se prefiere hablar de discos abiertos. D(a, r) = z
{ ∈ C| |z − a| < a }.
¯ El pla plano no com comple plejo jo aca acaba bado do C
I.1.7. I.1 .7.
¯ , agregando En el curso de An´alisis alisis se defini´ on on la recta real acabada R agregando dos elemento elementoss adicionales adicionales a ¯ R
=R
R;
∪{−∞, +∞},
definiendo definiendo algunas operaciones operaciones con los nuevos nuevos elementos elementos y los reales, prolongando prolongando la relaci´ relaci´on on de orden. El caso complejo tendr´a un desarrollo bastante similar. Como motivaci´on, on, consideremos la proyecci´ on on 2 2 estereogr´ afica, afica, que consiste en proyectar el plano complejo C, sobre la esfera unitaria S = (x,y,z) x,y,z) x + 2 2 y + z con la proyecci´on on de centro el polo norte (0, (0 , 0, 1). ver figura I.1.2. En la figura observamos que la
{
}
|
N
P
P’
Figura I.1.2: Proyecci´on on Estereogr´afica. afica. C se proyecta sobre la esfera en el punto P S2 . Tambi´ imagen del punto P Tambi´en en remarcamos que esta proyecci´on on es inyectiva, pero no es sobreyectiva ya que el polo Norte no es imagen de ning´un punto del plano complejo. Si queremos que la proyecci´on on esteogr´afica afica sea biyectiva, debemos agregar un elemento a C; por otro lado, no es dificil observar que N es el l´ımite de la proyecci´on, on, cuando z .
∈
∈
→∞
Definici´ on I.1.4 El plano complejo acabado es el conjunto on ¯ C
=C
∪{∞}.
Explicitemo Explicitemoss la proyecci´ proyecci´ on on estereogr estereogr´´afica, afica, utiliza utilizando ndo un corte corte transv transvers ersal, al, ver ver figura figura , relaci relacione oness de tri´angulos angulos semejantes, se obtiene:
¯ π : C z
−→ →
S2
|z |2 −1 2z 2z , , 2 2 |z | +1 |z | +1 |z |2 +1
(0, (0, 0, 1)
si z C, si z =
∈
∞
7
I.2. FUNCIONES FUNCIONES COMPLEJ COMPLEJAS AS
Aparte de las operaciones heredadas de
C,
¯ definimos: sobre C a si a = 0, 0 a = 0 si a =
∞, ∞ a · ∞ = ∞ si a = 0,0 , a + ∞ = ∞. ¯, C ¯ ya no es un cuerpo. Al igual que la recta acabada R Lo interesante de la proyecci´on on esteogr´afica afica es que se pueden dotar de operaciones internas a ¯ de las operaciones de C, de donde, si ξ, ζ S2 se define
S2
a partir
∈
ξ + ζ = π(π−1 (ξ ) + π −1 (ζ )), )), −1 −1 ξ ζ = π (π (ξ ) π (ζ )). )).
·
·
Ejercicio.- Explicitar Explic itar anal´ıticamente ıticame nte la adici´on on y la multiplicaci´on on en la esfera. Remarca.-En Remarca.-En el curso de Topolog´ opolog´ıa, se dice que la proyecci´ proyecci´on on estereogr´afica afica compactifica 3 elemento a C, porque la esfera es compacta en R .
I.2. I. 2.
C
agregando un
Fun unci cion ones es Co Compl mplej ejas as
El m´odulo odulo hace a C un espacio normado con norma id´entica entica a la norma euclidiana de R2 ; por lo que, los conceptos de l´ımite, ımite, continuidad, continuidad uniforme, convergencia convergencia simple de sucesiones de funciones, conver convergenci genciaa uniforme, uniforme, etc son los mismos mismos que en el Primer Primer A ˜no no de An´alisis alisis y no es necesario repetirlos. Las novedades novedades provendr´ provendr´an an del c´alculo alculo diferencial e integral de funciones complejas. Sin embargo, podemos remarcar que una funci´on on compleja f : U C C puede ser vista como una funci´ on on f : U R2 R2 . Es decir,
|·|
⊂ →
⊂ →
f : U
⊂C → z →
f ( f (z )
trivialmente, se tiene (f ( f (z )) = u(x, y ) y diferentes puntos de vista equivalentes.
I.2.1.
f : U
C
⊂ R2 → (x, y ) →
R2
(u(x, y ), v (x, y ))
(f ( f (z )) = v(x, y ). De acuerdo a la necesidad, se puede jugar con
Representaciones Gr´ aficas de Funciones aficas Funciones Complejas
Para poder comprender la acci´on on de una funci´on on compleja, es en muchos casos necesario visualizar graficamente. Recordando los cursos de C´alculo, alculo, las gr´aficas aficas de los grafos son recursos valiosos que permiten estudiar las funciones reales, pero en el caso de los grafos de funciones complejas no se los puede representar graficamente, porque hacen parte de un espacio de cuatro dimensiones. Sin embargo tenemos los siguientes recursos para representar la funci´on on compleja en cuesti´on: on: 2 Gr´ afica del grafo de la funci´on afica on g : U R f , la parte R, donde g es por ejemplo: la parte real de f , imaginaria de f , f , el m´odulo odulo de f . f .
•
⊂
→
• Gr´afica afica de la transforma transformaci´ ci´ on o mapeo. Util para entender la acci´on on on geo geom´ m´etric etr ica. a. • Gr´afica afica del campo de vectores asociado. Util en aplicaciones f´ısicas. ısicas. Ejemplos 1. Considerem Consideremos os la funci´ on on f ( f (z ) = (z + 0,2)2 . En la figura I.2.1, vemos las gr´aficas aficas de los grafos de f ( f (z ), f ( f (z ) y f ( f (z ) . En la figura I.2.2, la gr´afica afica de la transformaci´on. on. Si un punto z1 comienza a moverse a lo largo de una curva γ , entonces el punto imagen w1 se mover´a a lo largo de la curva f (γ ); ) ; si un punto z2 est´ a dentro una superficie H , entonces el punto imagen w2 estar´ a dentro una superficie f (H ). ). En la figura I.2.3 observamos la gr´afica afica del campo de vectores asociado a la funci´on on f ( f (z ).
|
|
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
8
Figura I.2.1: Gr´ afica afica de los Grafos 1
1
z U
f
z1 y
w = f ( z)
V w1
v
w (γ) f (γ)
z H
z2
f ( H )
γ
x
w2 1
u
1
Figura I.2.2: Gr´afica afica Transformaci´ on on
I.2.2. I.2. 2.
Func uncione ioness Complej Complejas as Remar Remarcab cables les
Las funciones elementales elementales estudiadas estudiadas en los cursos de C´alculo alculo y el Primer A˜no no de An´alisis alisis tienen su prolonprolongaci´on on respectiva a una funci´on on compleja. Esta prolongaci´on on es de tipo an´alitico, alitico, que ser´a vista m´as as adelante. Por el momento, nos contentaremos en conocer cono cer estas prolongaciones y adentrarnos al esp´ıritu ıritu mismo de lo que significa prolongaci´on. on. Funciones Polinomiales y Racionales Al igual que en el caso real, una funci´on on p : C + a1 z + a0 , C es polinomial, si p(z ) = an z n + an−1 z n−1 + donde los ai C. Este tipo de funciones es siempre continua, porque solamente intervienen adiciones y multiplicaciones y las reglas de c´alculo alculo aseguran continuidad. Ejemplo
→
∈
···
1. Considerem Consideremos os la aplicaci´ aplicaci´ on on polinomial f ( f (z ) = cz con c = 0. Esta funci´on on es una aplicaci´on on C-lineal, y vista como una aplicaci´ aplicaci´ on on lineal de R2 en R2 es una similitud. Ver secci´ on on precedente precedente y figura I.2.4.
En la construcci´on on de los n´umeros umeros complejos, complejos, hemos visto que la multiplic multiplicaci´ aci´ on on est´a asociada a la composici´on on de similitudes del plano real. Por lo tanto, las aplicaciones lineales complejas, desde el punto de vista real, son similitudes. La interrogante es c´omo omo reconocer si una una transformaci´on on lineal del plano real es una aplicaci´on on C lineal. lineal.
−
Proposici´ on I.2.1 Sea f : on la aplicaci´ on nula. Demostraci´ on.on.-
R2
⇐ ya visto.
→ R2 lineal. Entonces f es C lineal, si y solamente si f es una similitud o
9
I.2. FUNCIONES FUNCIONES COMPLEJ COMPLEJAS AS
Figura Figura I.2.3: Gr´afica afica del Campo de Vectores
⇒ Si f = 0 est´a demostrado, sino la matriz de f es
a b c d
,
con a,b,c,d no todos nulos. La imagen de 1 = (1 , 0) es (a, (a, c) y la imagen de i = (0, (0, 1) es (b, ( b, d). Como f es lineal, se tiene f ( f ( 1) = f ( f (i2 ) = if ( if (i), por lo que
−
− − − − a c
de donde a = d y b =
C
=
0 1
1 0
b d
d
=
,
b
−c. Es decir f es una similitud.
Las funciones racionales son de la forma f ( f (z ) =
p(z ) , q (z )
donde p(z ) y q(z ) son funciones polinomiales. Son continuas sobre anula.
C,
excepto en los puntos donde q(z ) se
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
10
w c
z z
1
−1
cz
c
1
1
=
−1
1
−1
−1
Figura I.2.4: Funci´on on Lineal no Nula La Funci´ on Exponencial Compleja on Definici´ on I.2.1 La funci´ on on expC : C
→ C, est´ a dada por
exp C (x + iy) iy ) = ex (cos y + i sin y) = ez (cos( z ) + i sin( z )). )).
∈
R, se tiene expC (z ) = expR (z ), por lo que podemos escribir Una verificaci´on, on, nos muestra que si z simplemente exp en lugar de exp C o expR , e interpretar exp de acuerdo al contexto. En la figura I.2.5 vemos la acci´ on on de la funci´on on exponencial. Observando la definici´on on de la exponencial, se ve que es una similitud z de raz´on on e y ´angulo angulo z .
Proposici´ on I.2.2 La funci´ on on exponencial compleja satisface:
·
1. exp( exp(zz1 + z2 ) = exp(z exp(z1 ) exp( exp(zz2 ),
∀ ∈ C.
2. exp( exp(zz ) =, z
3. exp( exp(zz1 ) = exp(z exp( z2 ) si y solamente si z1
− z2 = 2iπk 2 iπk,, k ∈ Z.
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
La prolongaci´on on a C de la exponencial, conserva casi todas las propiedades de la funci´on exponencial real, excepto la inyectividad. En el caso real la inyectividad asegura la existencia de una inversa continua. En el caso complejo nos debemos arreglarnos para construir una funci´on on que cumpla el papel de funci´on on inversa, tal como se hizo con las funciones arc cos, arcsin en el Primer Curso de An´alisis. alisis.
11
I.2. FUNCIONES FUNCIONES COMPLEJ COMPLEJAS AS
w 3
−1
0
=
e
z
3
1
−1
−3
1
1/e
e
−3
Figura I.2.5: Funci´ on on Exponencial
I.2.3. I.2 .3.
El Log Logari aritm tmo o Comp Complej lejo o
Como se ha visto m´as as arriba, la funci´on on exponencial no es inyectiva. Por lo tanto si queremos construir una inversa debemos restringir C a un dominio Ω donde exp sea inyectiva, pero al mismo tiempo la imagen exp(Ω) sea lo m´as as grande posible. Por el punto 3 de la proposici´on I.2.1, Ω debe ser una banda de ancho 2iπ, iπ , sin los bordes, para la funci´on on inversa sea continua. La imagen del borde de Ω es una curva simple que une el origen con el infinito. Ver figura I.2.6. En consecuencia, sea Ω 2 iπ sin sus C una banda de ancho 2iπ
⊂
Figura I.2.6: Imagen de una Banda bordes. De donde exp : Ω
→ C − l es biyectiva, donde l es una curva simple que une O con ∞. Tenemos exp(z exp(z ) = ez (cos(z ) + sin(z )) = w,
Pasando a los m´odulos, odulos, se obtiene
ez = w ,
| |
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
12 de donde
z = log (|w|). La determinaci´on on de z, pasa por la definici´on on de una nueva funci´on. on. R
Definici´ on I.2.2 Una determinaci´ on on on del argumento es darse una curva simple l que une O con una funci´ on arg : C l R C continua tal que
− → ⊂
z = z (cos(arg(z (cos(arg(z )) + i sin(arg(z sin(arg(z )), )),
∞ y
∀z ∈ C − l.
||
Remarcas 1. Una determinaci´ determinaci´ on on del argumento arg : arg(z arg(z0 ), donde z0 C.
∈
C
− l → C est´a enteramente determinada por el valor de
2. La determinac determinaci´ i´ on principal del argumento es aquella donde on l =]
− ∞, 0] ⊂ R y arg(1) = 0.0.
3. A menos que se diga lo contrari contrario, o, se toma la determinac determinaci´ i´on on principal del argumento.
∈
4. Si arg1 y arg2 y z C en el cual ambas determinaciones est´an an definidas, entonces una simple verificaci´on on da arg1 (z ) arg2 (z ) = 2iπk, iπk , con k entero.
−
Regresemos a la construcci´on on de la inversa de exp. Tenemos
z = arg(w arg(w), donde arg : C
− l → R es una determinac determinaci´ i´on on del argumento.
Definici´ on I.2.3 Una determinaci´ on on on del logaritmo es darse una determinaci´ on del argumento arg : l on logC : C l C C y la funci´ C dada por
− →
− →
logC (z ) = logR ( z ) + i arg(z arg(z ),
||
z
∈ C − l.
Remarcas.1. La determinac determinaci´ i´on on principal del logaritmo, est´a dada por la determinaci´on on principal del argumento. A menos que se diga lo contrario, la opci´on por defecto es la determinaci´on on principal del logaritmo. La determinaci´ on on principal principal prolonga al logaritmo logaritmo real. 2. Para no recargar notaci´on on se puede utilizar log para denotar la determinaci´on on del logaritmo y o el logaritmo real. Todo depende del contexto.
Proposici´ on I.2.3 Una determinaci´ on on del logaritmo log : C
− l → C, verifica:
1. exp(log z ) = z , z
∀ ∈ C − l.
2. log(exp( log(exp(zz )) = z + i2πk πk,, k entero.
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
13
I.2. FUNCIONES FUNCIONES COMPLEJ COMPLEJAS AS
Potencias Recordamos: zn z −n Para α
∈ C, se define
= n n n, n n veces 1 1 1 = , n z z z n veces
· · · · · ···
∈ N; ∈ N.
z α = exp(α exp(α log z ).
Se puede mostrar que esta definici´on on es compatible con otras definiciones sobre potencias. Por ejemplo cuando α es entero. Remarca.- Si bien z α est´ a definida sobre un conjunto C l, se puede prolongar a algunos puntos de l por continuidad. Ejemplo 3.- Veamos el caso α = 1/ 1 /2. Tenemos
−
z 1/2 = exp(1/ exp(1/2log(z 2log(z )) =
||
= exp(1/2log z + (1/ (1/2)i 2)i arg(z arg(z )) z (cos((1/ (cos((1/2) arg( arg(z )) + i sin((1/ sin((1/2) arg( arg(z ))). ))).
| |
Ahora bien l´ım z 1/2 = 0, de donde podemos prolongar la funci´on z 1/2 al punto z = 0, planteando 01/2 = 0.
z →0
Funciones Exponenciales Siguiendo la misma linea del Primer A˜ no no de An´alisis, alisis, definimos az = exp(z exp(z log a), donde log es una determinaci´on on del logaritmo, (para la cual el valor de log a existe. Remarcas.1. A menudo se encuentran encuentran expresione expresioness de la forma ez . Nosotros interpretaremos como ez = exp(z exp(z ). 2. Las definiciones definiciones del argumento, argumento, logaritmo, logaritmo, potencia potencia pasan por las definiciones definiciones de determina determinaci´ ci´on. on. Es decir, para obtener funciones continuas, es necesario quitar del plano complejo C una curva simple que une el origen con el infinito. Sin embargo, mediante las superficies de Riemann es posible construir estas funciones, sin necesidad de hacer cortes en el plano Complejo.
I.2.4.
Funciones Trigonom´ Trigonom´ etricas Complejas etricas
Definici´ on I.2.4 on sinC z cosC z tanC z cotC z secC z cscC z
eiz −e−iz , 2i iz −iz = e +2e , sinC z = cos , C z C z = cos sinC z , = cos1C z , = sin1C z .
=
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
14
Proposici´ on I.2.4 Las funciones sinC y cosC verifican: on i) sinC (z ) = sinR (z ), cosC (z ) = sinR (z ) para todo z ii) sin2C (z ) + cos2C (z ) = 1.
∈ R.
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
Como las funciones f unciones trigonom´ trigono m´ etricas etricas compleja c omplejass son prolongacio prol ongaciones nes de las funciones funcion es trigonom´ trigon om´etricas etricas reales, r eales, utilizaremos los s´ımbolos usuales para identificarlas. M´as as todav´ıa ıa las funciones funcion es trigonom´ trigono m´ etricas etricas conservan propieades de aditividad, etc. Funciones Funcion es Trigonom´ Trigo nom´etricas etri cas Inversa I nversass En lugar de hablar de funciones trigonom´ etricas etricas inversas, es preferible hablar de determinaciones de funciones trigonom´ trigono m´ etricas etricas inversas. Veremos m´as as adelante.
I.3.
Func uncion iones es Dife Diferen rencia ciable bless
Como para las funciones funciones reales, se tiene para las funciones funciones complejas varias varias maneras de definir definir la diferenciadiferenciabilidad de una funci´on on f : U C C. Nosotros utilizaremos: Definici´ on I.3.1 Una funci´ on funci´ on f : U C, U C abierto, es diferenciable en el punto z0 U , U , si
⊂ →
→
⊂
l´ım
z →z0
donde f (z0 )
f ( f (z ) z
∈
− f ( f (z0 ) = f (z0 ) − z0
(I.3.1)
∈ C. O bien f ( f (z ) = f ( f (z0 ) + f (z0 ) (z
· − z0) + ρ(z, z0) · (z − z0)
(I.3.2)
con l´ım ρ(z, z0 ) = 0. z →z0
Ambas definiciones son ´utiles. utiles. La primera tiene una ´optica optica calculista, calculista, mientras mientras que la segunda segunda tiene una optica ´opti ca geom´etrica. etri ca. En la definici´on on (I.3.2), la derivada f (z0 ) aparece como una aplicaci´on on C-lineal. Por otro lado, si vemos 2 2 f : U R (x0 , y0 ), se debe tener R , para que f sea R-derivable en (x
⊂ →
f ( f (x, y ) = f ( f (x0 , y0 ) + f (x0 , y0 ) con
l´ım
(x,y) x,y)→(x0 ,y0 )
− x y
x0
− y0
+ (x
− x0, y − y0) r((x, ((x, y), (x0 , y0 ))
(I.3.3)
r ((x, ((x, y ), (x0 , y0 )) = (0, (0, 0). Escribiendo f ( f (x, y ) = (u(x, y ), v (x, y )), se tiene
f (x0 , y0 ) =
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u y ∂v y
.
Utilizando la proposici´ on on (I.2.1), se tiene el: Teorema I.3.1 (ecuaciones Cauchy-Riemann) Sea f : U iv,, U abierto de C. Entonces C, f = u + iv f es C derivable en z0 U U ,, si y solamente si f es R-derivable en z0 y f (z0 ) es C-lineal, si y solamente f es R-derivable en z0 y ∂u ∂v ∂x = ∂y Ecuaciones de Cauchy-Riemann (I.3.4) ∂u ∂v ∂y = ∂x
→
∈
−
15
I.3. FUNCIONES FUNCIONES DIFERENCI DIFERENCIABLES ABLES
∂u ∂v ∂v Corolario I.3.1 Sea f : U C iv.. Si ∂u C, f = u + iv ∂x , ∂y , ∂x y ∂y existen en un vecindario de z0 , son continuas en z0 y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Rieman, entonces f es C-derivable en C.
⊂ →
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann por si solas no aseguran la
C
diferenciabilidad.
Ejemplo 1. La funci´on on f (z ) =
z5 |z |4
si z = 0, 0, 0 si z = 0.
es continua, tiene las derivadas parciales respecto a x e y y satisface en z = 0 las condiciones de Cauchy-Riemann. Sin embargo, no es C-diferenciable. Ver figura I.3.1. u
x
u
x
y
y
v
x
v
x
y
y
Figura I.3.1: Funci´on on continua, Cauchy-Rieman, pero no
C-diferenciable
2. La funci´on on exponencial exp es C-diferencible en todo C. En efecto, u(x, y ) = ex cos y , v(x, y ) = ex sin y son funciones cuyas derivadas parciales existen y son continuas. Adem´as as
exp (x, y) =
ex cos y ex sin y
−exx sin y e cos y
satisface Cauchy-Riemann. Por lo tanto exp (z ) = exp(z exp(z ). Se tiene las mismas reglas de c´alculo para la diferenciaci´on on de funciones complejas; es decir, suma de funciones, producto producto de funciones, funciones, composici´ composici´ on on de funciones, etc.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
16
I.3.1. I.3. 1.
Func uncione ioness Hol Holomor omorfas fas
Definici´ on I.3.2 Una funci´ on on que es C-diferenciable en un abierto U se llama holomorfa llama holomorfa en U en U .. Un funci´ on es holomorfa en un punto z0 si es holomorfa en un vecindario B (z0 , ).
C holomorfa. Supongamos que existe g : Ω Proposici´ on I.3.1 Sean Ω, Ω C abiertos, f : Ω on g f = idΩ y f g = idΩ . Si adem´ as g es R-derivable, entonces g es holomorfa y
◦
⊂
◦
→
g (f (a)) = en particular f (a) = 0, para todo a
1 f (a)
→ Ω con
,
∈ Ω.
Demostraci´ on.on.- La derivada de la composici´on on de funciones de
R2
en
R2
da
gf ( f (a) f a = I R2 . Por lo tanto f a y gf (a) son inversibles en tanto que aplicaciones lineales del plano real. Como f a es C-lineal, es un similitud. Las similitudes forman un grupo, por lo que, gf ( en en una similitud y por lo tanto f (a) es tambi´ C-lineal. En el lenguaje complejo esto se traduce a
g (f (a)) f (a) = 1.
·
Ejemplo 3.- Sea log : C l on del logaritmo. Planteando Ω = C l y Ω = log(Ω ), considerando on C una determinaci´ la funci´ on exponencial exp, mostrando que log es R-diferenciable (que dejamos como ejercicio), se tiene on que log es holomorfa y 1 1 1 log z = = = . exp (w) exp(w exp(w) z
− →
−
4.- Consideremos z α . Se tiene
z α = exp(α exp(α log z ),
composici´on on de funciones holomorfas, luego holomorfa. Determinemos su derivada. z α = exp (α log z )(α )(α log z ) = α exp(α exp(α log z )
1 = αz α−1 . z
La tabla de derivadas de las funciones complejas es muy similar a la tabla de derivadas de las funciones reales.
→ Ω, difer diferencia enciable, ble, donde Ω ⊂ C abierto y sea f : Ω → C holomorfa. (f ◦ γ ) (t) = f (γ (t)) · γ (t)
Proposici´ on I.3.2 Sea γ :] on :]a, a, b[ Entonces donde γ (t) = γ 1 (t) + iγ 2 (t). Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
17
I.4. FUNCIONES FUNCIONES CONFOR CONFORMES MES
I.4. I. 4.
Fun unci cion ones es Co Confo nform rmes es
Suponemos Suponemos conocidos los conceptos conceptos de ´angulo angulo orientado, Recordemos el concepto de ´angulo angulo orientado entre curvas. Sean α, β ; [0, [0, 1] continuamente derivables. Suponemos α (0) = 0, β (0) = 0 y α(0), (0), β (0) ( 0) = a, R2 continuamente entonces por definici´on on
→
α ∠(α,β,a) α,β,a) = ∠(α (0), (0), β (0))
(I.4.1)
β
Definici´ on I.4.1 f : U R2 on [0, 1] R2 , U abierto, es conforme, si f es R-derivable y si para todo α, β : [0, U continuamente derivable con α(0) = β (0) (0) = a U y α (0), (0), β (0) = 0, se tiene
⊂ →
∈
∠(α,β,a) α,β,a) = ∠(f
→
◦ α, f ◦ β, f ( f (a)). )).
Remarca.- La definici´on on de aplicaci´on on conforme, implica autom´aticamente aticamente que f a es inversible para todo a U , U , sino no se podr p odr´´ıa medir los ´angulos angulos entre las curvas im´agenes. agenes. Como ejemplo de aplicaciones lineales que son conformes, tenemos las similitudes. La pregunta natural que surge, es saber si hay otras aplicaciones lineales que conservan los ´angulos en medida y orientaci´on. on.
∈
Proposici´ on I.4.1 A : R2 on R2 isomorfismo lineal. A respecta los ´ angulos en tama˜ no y orientaci´ on, si y solamente solam ente si A es una similitud.
→
⇐
Demostraci´ on.on.ya visto. . La matriz asociada a la aplicaci´on on lineal es
⇒
A=
a b c d
Consideremos los vectores ortonormales (1 , 0) y (0, (0, 1), sus im´agenes agenes por A son (a, (a, c) y (b, d) que son ortogonales por hip´otesis, otesis, de donde ab + cd = 0. Escribiendo esta ultima u ´ ltima condic´on on como det
−
− a c
d b
= 0, 0,
deducimos que (a, (a, c) y ( d, b) son linealmente independientes, por lo tanto
−d
= λa b = λc
La matriz es de la forma A=
a c
λc λa
−
.
Como A conserva la orientaci´on, on, se tiene det A > 0, de donde λ < 0. Finalmente viendo las im´agenes agenes de (1, (1, 1) y ( 1, 1), se tiene que (a ( a + λc,c λa) λa) y ( a + λc, c λa) λa) son ortogonales, lo que se traduce
−
de donde λ =
−
−
−− −a2 + λ2c2 − c2 + λ2a2 = (λ ( λ2 − 1)(a 1)(a2 + c2 ) = 0,
−1. La aplicaci´on on lineal A es efectivamente una similitud.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
18
Teorema I.4.1 f : U
→ R2 es conforme, si y solamente si f es holomorfa y f (a) = 0 para todo a ∈ U U ..
Demostraci´ on.on.- f es conforme, si y solamente si f a respecta los ´angulos angulos en sentido y orientaci´on on a si y solamente si f a es un isomorfismo C-lineal; si y solamente si f es holomorfa y f (a) = 0 a C.
∀ ∈
∀ ∈ U ; U ;
En la figura I.4.1, se observa la acci´on on de la aplicaci´on on f (z ) = (z + 0, 0,2)2 , apreciando la conservaci´on on de los angulos ´angulos en tama` no no y sentido.
z
w = f ( z) α6
α7
α7 α6
H
α8 α2
α5
f ( H ) α5
α3
z5
α3
w5
α8 α2
α4
α1
z1
w4
α1
z4
α4
w1
Figura I.4.1: Ejemplo de Funci´on on Conforme Como un ejemplo de familia de funciones conformes estudiaremso con m´as detalle detall e las homograf´ıas. ıas.
I.4.1.
Homograf´ Homograf ´ıas
Definici´ on I.4.2 Una transformaci´ on on on homo ho mogr´ gr´afica afi ca es una expresi´ on de la forma az + b w(z ) = cz + d
con det
a c
b d
= 0.
¯ as´ı Remarcamos que las homograf´ homograf´ıas pueden prolongarse al plano complejo acabado C ¯ w:C z
−→ →
¯ C
∞
az+ az+b cz+ cz+d a c
si z = d/c si z = si z = d/c.
∞
Por otro lado, l ado, una homograf´ homograf´ıa, puede ser inducida por una matriz de 2 A=
a b c d
wA (z ) =
az + b . cz + d
× 2 inversible
19
I.4. FUNCIONES FUNCIONES CONFOR CONFORMES MES
En efecto, consideremos el siguiente diagrama
C2
A
C2
Es facil verificar que
¯ C
− {(0, −−−−−−−−−−−−− −−−→ (0, 0)} −−−−−−−−−−− → (u1 , u2 )
u1 u2
det A=0 =0
wA (z )
¯ C
− {(0, −−−−−−−−−−−−− −−−→ (0, 0)} −−−−−−−−−−− (v1 , v2 ) → wA = wA
=z
v1 v2
=z
A = λA , con λ = 0. 0.
⇐⇒
(I.4.2)
Proposici´ on I.4.2 Se tiene las siguientes propiedades: on 1. La composici composici´ ´ on de transformaciones homogr´ aficas es una transformaci´ on homogr´ afica. A induce wA A induce wA
⇒
A A induce wA
◦ wA.
2. wA es inversible y su inversa wA−1 .
Demostraci´ on.on.- El punto (1), sean A=
a b c d
Se tiene wA =
,
A =
az + b , cz + d
a c
wA =
b d
.
a + b . c + d
Por lo tanto wA
◦ wA ( z )
= wA = =
az+ az+b cz+ cz+d
+b a az cz +d +b +b +d c az cz +d
(a a+b c)z +(a +(a b+b d) (c a+d c)z +(c +(c b+d d)
= wA ◦A (z ).
◦
El punto (2), es consecuencia de wA◦A−1 = wI = wA wA−1 .
Como consecuencia directa de la ´ultima ultima proposici´on, on, el conjunto de las homograf´ıas ıas es un subgrupo subgrup o de las funciones biyectivas de C en C, que contiene contiene otros subgrupos de transforma transformacione cioness del plano complejo. complejo. Proposici´ on I.4.3 Una homograf on homograf´ ´ıa puede escribir escribirse se como composici´ on de:
• Similitudes z → az az,, a = 0.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
20
• Traslaciones z → z + c. • Inversiones complejas z → z1 . Demostraci´ on.on.- Consideremos Consid eremos una homograf´ıa ıa w(z ) = ´esta esta se puede escribir escribi r como: c omo:
az + b , cz + d B , cz + d f 1 , donde
w(z ) = A + con A, B
∈ C. Por consiguiente, w = f 5 ◦ f 4 ◦ f 3 ◦ f 2 ◦
f 1 (z ) = cz similitud, similitud, f 2 (z ) = z + b traslaci´ on, on, 1 f 3 (z ) = inversi´on on compleja, compleja, z f 4 (z ) = Bz similitud, similitud, f 5 (z ) = z + A traslaci´ on. on.
Teorema I.4.2 Una homograf homograf´ ´ıa ıa env´ıa ıa circunferencias y re rectas ctas sobre circunferencias o rectas. Demostraci´ on.on.- Por la proposici´ proposici´ on on que preced precede, e, es suficie suficient ntee mostra mostrarr que la inve inversi rsi´´on on compleja complej a env´ env´ıa circunferencias y rectas sobre circunferencias o rectas; ya que las similitudes y traslaciones conservan las rectas y circunferencias. Como z z¯ es una simetr´ simetr´ıa respecto a la recta real R, es suficiente mostrar el teorema para la funci´on z 1/z¯. Ahora bien, 1 z f ( f (z ) = = 2 ; z¯ z
→
→
||
distinguimos los siguientes casos: i) Recta por el origen
f (recta) f (recta) = recta. recta . z
ii) Origen Origen fuera de la circunfere circunferencia. ncia. (OT ) OT )2 = OM OM
·
f(M) f(T)
M’ T M O
1 OM = OM OT 2 2 f (M ) se obtiene a partir de M por homotecia de raz´on on 1/OT 1 /OT
Of ( Of (M ) =
⇒
21
I.4. FUNCIONES FUNCIONES CONFOR CONFORMES MES
iii) Circunferencia que pasa por el origen.
OM A es un tr´ıangul ıan guloo rect´ r ect´angulo, angulo, porque OM es el di´ametro ametro de
A’
la circunferencia. OA OA = 1 y OM OM = 1, de donde
M’ A
·
M
·
OM A ∼ OAM.
O
∠OM A
es recto, luego la imagen de la circunferencia es una
recta. iv) Recta que no pasa por el origen. z
→ z1¯ es biyectiva, aplicar el caso iii).
v) Origen en el interior de la circunferencia.
M" M
Fijamos Q, tenemos OP OQ = λ, tambi ta mbi´´en en OM OM = λ f (M ) = M , OM OM = 1, de donde
·
·
Q
·
OM =
P
M’
De donde f ( f (M ) M ) =
1 OM . λ
−λM .
¯ y z1 , z2 , z3 otra terna de elementos distintos de Proposici´ on I.4.4 Sean z1 , z2 , z3 eleme on elementos ntos disti distintos ntos de C ¯ . Entonces, existe una sola transformaci´ C on homogr´ afica w tal que w(zi ) = w(zi ),
i = 1, 1 , 2, 3.
Demostraci´ on.on.- Primero, vamos a mostrar el caso en que z1 = 1, z2 = 0 y z3 = i) z1 =
∞, z2 = ∞ y z3 = ∞ w(z ) =
ii) z1 =
∞
iii) z2 =
iv) z3 =
∞ ∞
z −z2 z −z3 z1 −z2 z1 −z3
w (z ) =
z z
w(z ) =
z1 z
w (z ) =
z z1
.
− z2 . − z3 − z3 − z3
− z2 . − z2
∞, se tiene tres situaciones:
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
22
Para la existencia en el caso general, consideramos las homograf´ homograf´ıas: w w
: z1 , z2 , z3 : z1 , z2 , z3
−→ 1, 0, ∞ −→ 1, 0, ∞
de donde (w (w )−1 w es la homograf´ıa ıa pedida. pedid a. Para la unicidad, mostreremos primero que si w(0) = 0, w(1) = 1 y w( ) = , entonces w = id. id. En efecto, la homograf´ ho mograf´ıa ıa puede pu ede escribir es cribirse se az + b w(z ) = , cz + d para z = 0, se tiene b/d = 0, por lo tanto b = 0, Para z = , se tiene a/c = , de donde c = 0. Por ultimo, u ´ ltimo, w(1) = a/d = 1, tomando d = 1, se tiene w(z ) = z.
◦
∞
∞
∞
∞
Ahora veamos el caso general. Sean w, w : z1 , z2 , z3 z1 , z2 , z3 dos homografias. Consideremos las homografias grafias:: w ˜ : 0, 0 , 1, : z1 , z2 , z3 y w ˆ : 0, 1, z1 , z2 , z3 . Por consigui co nsiguiente ente las l as homograf´ıas ıas
∞→
∞→ w ˆ◦w◦w ˜: w ˆ ◦ w ◦ w ˜:
→
0, 1, 0, 1,
∞ → 0, 1, ∞. ∞ → 0, 1, ∞.
de dond dondee w ˆ w w ˜ = id y w ˆ w w ˜ = id, id, que escrito de otra forma
◦ ◦
◦ ◦
w=w ˆ −1 w ˜−1 = w .
◦
Ejemplo 1. Considerem Consideremos os la transformaci´ transformaci´ on on de Cayley w(z ) =
z +1 z 1
−
funci´ on ilustrada en la figura I.4.2 on
3
w z z
2
2
1
−2
−1
1
1
2
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
2
3
Figura I.4.2: Transformaci´on on de Cayley La acci´on on de esta transformaci´on on en el plano complejo es convertir el eje imaginario en la circunferencia unitaria y vice-versa.
23
I.4. FUNCIONES FUNCIONES CONFOR CONFORMES MES
I.4.2. I.4. 2.
Represe Rep resent ntaci´ aci´ on Conforme
Existen varios problemas de representaci´on on conforme, conforme, entre los cuales cuales tenemos: tenemos: C holomorfa, inyectiva y Ω abierto, determinar f (Ω). 1. Dada f : Ω f (Ω). Para ilustrar este problema, estudiaremos un problema modelo. Consideremos Ω = z z < π, π , z > 0 y f ( f (z ) = sin z . La restricci´on on de sin z a esta regi´on on la convierte en una funci´on on inyectiva y conforme. En efecto
→
{ | | |
sin z1 = sin z2
⇐⇒
}
sin z1
− sin z2 = 0 ⇐⇒
cos(
−
z1 + z2 z1 z2 ) sin( sin( ) = 0; 2 2
z2 z1 −z2 dee donde cos( z1 + on on de: 2 ) = 0 o sin( 2 ) = 0. Dejamos al estudiante, la verificaci´
sin z = 0
⇐⇒ z = kπ, k ∈ Z; π/ 2 ⇐⇒ z = π/2 + kπ, k ∈ Z.
cos z = 0 Por lo tanto, sin z1 = sin z2
⇐⇒
z1
− z2 = 2πk, 2 πk,
o z1 + z2 = π (2k (2k + 1)
(I.4.3)
La equivalencia (I.4.3) nos asegura que la restricci´on de sin a la semibanda superior Ω es inyectiva. Por otro lado, en el interior de la banda sin z es conforme, por que cos z = 0, para todo z Ω.
∈
Ahora bien, la funci´on on sin z , en particular la restricci´on on de sin z sobre Ω, es la composici´on on de cuatro funciones: f 1 (z ) = iz, f 2 (z ) = ez , f 3 (z ) = z z1 , f 4 (z ) = 21i z.
−
El comportamiento de sin z , ser´a analizado a partir del comportamiento de cada una de estas funciones. Denotamos Ω1 = f 1 (Ω), como f 1 es una rotaci´on on de un ´angulo angulo recto, deducimos inmediatamente
{ ∈ C| |z| < π y z < 0}
Ω1 = z
Denotamos Ω2 = f 2 (Ω1 ), un simple ejercicio ejercicio mostrar´ mostrar´ a que Ω2 = z
{ ∈ C| |z| < 1}−] − 1, 0]. 0].
Denotamos Ω3 = f 3 (Ω2 ). Como no tenemos una idea clara de la acci´on de f 3 sobre Ω2 , determinaremos Ω3 conociendo su borde a partir de la acci´on de f 3 sobre el borde de Ω 2 . El borde de Ω2 o frontera es la uni´on on de la circunferencia unitaria y el intervalo [ 1, 0]. Tenemos f 3 ([ 1, 0[) = [0, [0, + [ y parametrizand metrizandoo la circunfere circunferencia ncia con eit , obtenemos f 3 (eit ) = eit e−it , por lo que f 3 (eit ) = 2i sin t. En consecuencia Ω3 = C ([0, ([0, + [ 2i[ 1, 1]). 1]).
−
−
−
−
∞
∞∪ −
Denotando Ω4 = f 4 (Ω3 ), obtenemos finalmente que sin(Ω) = Ω4 = C
− ([−1, 1] ∪ i] − ∞, 0]). 0]).
En la figura I.4.3 observamos la acci´on on de la composici´on on de las cuatro funciones que dan sin z . 2. Si f : Ω Ω holomorfa y biyectiva, determinar la funci´on on inversa. Consideremos el problema modelo, analizar la determinaci´on on
→
arcsin : C
− ([−1, 1] ∪ i] − ∞, 0]) → Ω = {z ∈ C| |z| < π e z > 0}.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
24
Figura I.4.3: Representaci´on on conforme de sin Por lo hecho en (1), tenemos
arcsin = f 1−1 f 2−1 f 3−1 f 4−1 .
◦
◦
◦
Explicitemos, cada una de estas funciones. Facilmente f 4−1 (z ) = 2iz. Ahora, f 3 (w) = w 1/w = z , de donde w2 wz 1 = 0, ecuaci´on on polinomial de segundo grado. Esta ecuaci´ ecuaci´ on on tiene dos raices: w1 y w2 que satisfacen satisfacen w1 + w2 = z y w1 w2 = 1. Puesto que f 3 : z C z < 1 ] 1, 0] ([0, ([0, + [ 2i[ 1, 1]) se debe elegir aquella raiz wi que satisface C wi < 1. Un simple ejercicio con los m´odulos odulos nos conduce a que existe a lo m´as una ra´ ra´ız con esta propiedad. Explicitimos f 3−1 , aplicando la f´ ormula ormula cuadr´atica, atica, obtenemos
| |
{ ∈ || |
− }− −
→ −
− − ∞∪ −
w=
z
− √z2 + 4 2
−
25
I.4. FUNCIONES FUNCIONES CONFOR CONFORMES MES
eligiendo como determinaci´on on de
√ ∞·
:C
|
−l →C
|
donde l = [0 [ 0, + ) z y arg z < π . Una verificaci´ verificaci´ on on sobre la esta determinaci´ on on dar´a w < 1. Por lo tanto
| |
f 3−1 =
√ con
:C
z
z
− √z 2 + 4 , 2
l
− l → C, l = [0[ 0, +∞) · z y |arg z| < π .
Si bien, f 3−1 ha sido explicitada en funci´on on de una determinaci´on on de la raiz cuadrada que depende de z , el teorema de la funci´on on inversa, ver parte A de este curso de An´alisis de segundo a˜ no no y la proposici´on on I.3.5, aseguran que f 3−1 sea holomorfa. Trabajemos con f 3−1 f 4−1 , tenemos
◦
f 3−1 f 4−1 (z ) =
◦
2iz
− √−4z2 + 4 2
Para no recargar y confundir determinaciones de la raiz cuadrada, podemos elegir una nueva determinaci´ on de la raiz cuadrada y tener una expresi´on simplificada on f 3−1 f 4−1 (z ) = iz +
√
◦
√ −
−
z2
−
z 2 ).
1
√ − z2 est´a en el disco
donde es una determinaci´on on en la cual 1 z 2 est´ a definida y ademas iz + 1 unitario. f 2−1 (z ) = log z con log como determinaci´on on principal. f 1−1 (z ) = z/i Por lo tanto, podemos explicitar esta determinaci´on on de arcsin arcsin(z arcsin(z ) =
1 log(iz log(iz + i
1
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
26
I.5. I. 5.
Inte In tegr grac aci´ i´ on Compleja on
C 1 γ : [a, b] → C, con γ (t) = 0 para todo
Definici´ on I.5.1 Un arco simple es una aplicaci´ on on de clase t [a, b] e inyectiva.
∈
Definici´ on I.5.2 f : Ω on
→ C, Ω ⊂ C abierto, γ : [a, b] → Ω arco simple, se define
b
f (z ) dz =
γ
f ( f (γ (t)) γ (t) dt.
(I.5.1)
·
a
Si escribimos f ( f (z ) = u(z ) + iv( iv (z ) y γ (t) = γ 1 (t) + iγ 2 (t), la relaci´on on (I.5.1), se convierte en
b
f (z ) dz =
γ
a
Remarca.- Sea γ : [a, b]
(u(γ (t))γ ))γ 1 (t)
−
v(γ (t))γ ))γ 2 (t)) dt
b
+i
a
(u(γ (t))γ ))γ 2 (t) + v(γ (t))γ ))γ 1 (t)) dt
(I.5.2)
→ C un arco simple. Sobre Γ = γ ([a, ([a, b]), se puede definir un orden: b z 2
z1 , z2
t 2
∈ Γ, z1 = γ (t1) z2 = γ (t2), z1 ≤ z2 ⇐⇒ t1 ≤ t2
γ (b)
γ (a)
t 1 z 1
a
Definici´ on I.5.3 Sea γ : [a, b] on sucesi´ on finita y ordenada
→ C arco simple. Una partici´ on o subdivisi´ on P de Γ = γ ([a, ([a, b]) es una {
··· {| − k=1,...,n =1,...,n
}
P = γ (a) = z0 < z 1 < < c n = γ (b) ; δ(P ) P ) = m´ax ax zk zk−1
|}
es la norma de la subdivisi´ on P . P .
Proposici´ on I.5.1 Sea γ : [a, b] on [a, b]. Sea
→ C arco simple, p = {a = to < t1 < · · · < t n = b} divisi´ on o partici´ on de P = {γ (a) < γ ( γ (t1 ) < · · · < γ ( γ (tn )}
partici´ on de Γ, entonces 0 , c y C reales estrictamente positivos (independientes de las particiones) tales que i) δ(P P ))
≤ cδ cδ(( p p)), ii) δ(P P )) ≤ 0 ⇒ δ ( p p)) ≤ Cδ Cδ((P P )). Demostraci´ on.on.- Mostremos el punto (i). Consideremos las diferencias γ (tk+1 ) de los incrementos finitos a cada una de las componentes, se tiene γ (tk+1 )
− γ (tk ) = (γ 1 (ξk ) + iγ 2 (ζ k ))(t ))(tk+1 − tk )
− γ (tk ), aplicando el teorema
´ COMPLEJA I.5. INTEGRACI INTEGRACI ON
27
con ξk , ζ k (tk , tk+1 ). Puesto que γ es continua por hip´otesis, otesis, cada una de sus componentes alcanza sus cotas. Por lo tanto γ (tk+1 ) γ (tk ) c(tk+1 tk ) cδ( cδ( p) p).
∈
|
−
donde c=
|≤
− ≤
(m´ ax ax γ 1 (t) )2 + (m´ax ax γ 2 (t) )2
|
|
|
δ(P ) P )
≤ cδ( cδ( p) p).
|
Por la definici´on on de m´ax ax y sup obtenemos
Mostremos el segundo punto. Por hip´otesis otesis γ (t) = 0 y por continuidad de γ , se tiene
m´ın |γ (t)| = α > 0. t∈[a,b] a,b]
| − t | < δ 0, se tiene |γ 1 (t) + γ 2 (t)| ≤ α2 .
Afirmamos que existe δ0 > 0 tal que t
En efecto
|γ 1 (t) + γ 2 (t )|
= γ 1 (t) + γ 1 (t ) γ 1 (t ) + γ 2 (t ) γ 1 (t ) + γ 2 (t ) γ 1 (t) γ 1 (t ) α γ 1 (t) γ 1 (t )
| ≥|
− |−| ≥ −| −
| |
− | Por la continuidad de γ , en particular particular de γ 1 , existe δ0 > 0 tal que |t − t | < δ 0 , implica|γ 1 (t) − γ 1 (t )| < α/2, α/ 2, de donde, para |t − t | < δ 0 , se tiene |γ 1 (t) + γ 2 (t)| ≥ α2 . Al igual que en (i), se muestra que si δ( p) p) ≤ δ0 , se tiene α δ (P ) P ) ≥ δ( p) p). 2 Como γ es inyectiva, la restricci´on on de γ : [a, b] → Γ es biyectiva, por lo tanto, utilizando el mismo procedimiento que (i), se muestra que γ −1 : Γ → [a, b] es continua, es decir que ∀δ > 0, ∃ > 0 tal que |z − z | < y z, z ∈ Γ implica |t − t | < . . En particular para δ0 , existe 0 .
Corolario I.5.1 Sea γ : [a, b] [a, b]. Sea
→ C arco simple, p = {a = to < t1 < · · · < tn = b} divisi´ on o partici´ on de P = {γ (a) < γ ( γ (t1 ) < · · · < γ ( γ (tn )}
partici´ on de Γ, entonces δ( p p))
Teorema I.5.1 Sean γ : [a, [ a, b]
→ 0 ⇐⇒
δ (P P ))
→ 0.
→ Ω arco simple, f : Ω → C continua, P denota partici´ on de Γ, entonces
n
l´ım
δ(P P ))→0
k=1
b
f ((zk−1 )( f )(zzk
− zk−1)
=
a
f ((z ) dz. f
(I.5.3)
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
28 Demostraci´ on.on.- Se tiene:
n f (zk−1 )(z )(zk k=1 f (
− zk−1)
= =
n f (γ (tk−1 ))(γ ))(γ (tk ) γ (tk−1 )) k=1 f ( n n f ( f ( γ ( t ))γ k−1 ))γ (tk−1 )δt k + k=1 k=1 r (tk , tk−1 )δt k .
−
Por la diferenciab diferenciabilidad ilidad de γ , se tiene r (tk , tk−1 )/ tk tk−1 0, cuando δ( p) p) 0. Por lo tanto, para δ ( p) p) suficientemente peque˜no no r (tk , tk−1 ) < ( (tk tk−1 ), para un > 0, dado. De donde
|
|
−
| −
n
|→
r(tk , tk−1 )δt k < ( (b
k=1
Lo que significa, de acuerdo al corolario precedente que l´ım
δ(P ) P )→0
Por otro lado,
n
→
− a).
r(tk , tk−1 )δt k = 0.
k=1
n
f ( f (γ (tk−1 ))γ ))γ (tk−1 )δt k
k=1
es una suma de Riemann y por las hip´otesis de continuidad de f y γ , se tiene n
l´ım
δ(P ) P )→0
Corolario I.5.2
γ
b
f ( f (γ (tk−1 ))γ ))γ (tk−1 )δt k =
f ( f (γ (t))γ ))γ (t) dt.
a
k=1
f ((z ) dz depende solamente de Γ y del orden de Γ. f
Definici´ on I.5.4 Un recorrido on Escribimos = γ 1 + γ 2 + γ k .
C
···
C
C es darse arcos simples γ i : [ai , bi] → C, i = 1, . . . , k con γ (bi ) = γ (ai+1).
· · · γ k un recorrido, se define f ( f (z ) dz = f ( f (z ) dz + f ( f (z ) dz + · · · +
Definici´ on I.5.5 Sea = γ 1 + γ 2 + on
C
γ1
γ2
f ( f (z ) dz.
γk
Ejemplo 1. Considerem Consideremos os f ( f (z ) = 1/z y γ (t) = eit con 0 t 2π define un recorrido, no un arco simple. El recorrido es la circunferencia unitaria, que es la suma de los arcos simples:
≤ ≤
γ 1 (t) = eit , t [0, [0, π ]; it γ 2 (t) = e , t [π, 2π ].
∈ ∈
de donde
f ( f (z ) dz
=
|z |=1
=
π 0
f ( f (z ) dz + γ1
f ( f (eit )ieit dt + =
γ2
f ( f (z ) dz
2π π
f ( f (eit )ieit dt
2π 1 it 0 eit ie dt
= 2iπ. 2 iπ.
´ COMPLEJA I.5. INTEGRACI INTEGRACI ON
29
Proposici´ on I.5.2 Sea f : Ω on on F : Ω C continua tal que existe una funci´ C holomorfa con F (z ) = f ((z ) para todo z Ω. ( F f F se l lam lama a primitiva de f f ). ). Sea γ : [a, b] Ω un arco simple. Entonces
→
∈
→
→
f ((z ) dz = F f F ((B )
γ
− F F ((A),
donde A = γ (a) y B = γ (b). Demostraci´ on.on.- Por un lado tenemos, aplicando la regla de derivaci´on on para la composici´on on de funciones d F ( F (γ (t)) = F (γ (t)) γ (t) = f ( f (γ (t)) γ (t). dt
·
·
Por otro lado, el Segundo Teorema del C´alculo Integral da
b
F ( F (γ (b))
− F ( F (γ (a)) =
a
d F ( F (γ (t)) dt = dt
b
·
f ( f (γ (t)) γ (t) dt =
a
f ( f (z ) dz.
γ
Definici´ on I.5.6 Sea Γ = γ 1 + on γ 1 (a1 ) = γ (bk )
· · · + γ k un recorrido. Se dice que Γ es un recorrido cerrado o contorno si
Corolario I.5.3 Si Γ es un contorno dentro de Ω entonces
⊂ C abierto y f : Ω → C continua que admite primitiva,
f ((z ) dz = 0. f 0.
Γ
Demostraci´ on.on.- Utilizando la definici´on on de integral para recorridos y la proposici´on on precedente, se tiene
Γ
γ 3
f ( f (z ) dz
=
· · · + γ f ( f (z ) dz = (F ( F ((B1 ) − F ( F (A1 )) + (F (F ((B2 ) − F ( F (A2 )) + · · · + (F (F ((Bk ) − F ( F (Ak )) = F ( F (Bk ) − F ( F (Ak ) = 0. γ1
f ( f (z ) dz +
γ2
f ( f (z ) dz +
k
γ 2 γ
1
γ 4
Corolario I.5.4 La funci´ on f : C Ejemplos
− {0} → C dada por f f ((z) = 1/z no admite primitiva.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
30
2.- Consideremos la funci´on on f ( f (z ) = z m con m natural. F ( F (z ) = z m+1 /(m + 1) es una primitiva, de donde z 0
z m dz =
Γ
z0m+1 m+1
Γ
2.- Si bien, 1/z 1/z no admite primitiva sobre Ω = C 0 , podemos restringir Ω de manera que esta funci´on admita primitiva. Por ejemplo, considerando Ω 1 = C ] , 0], la determinacion principal de log es una primitiva. Tomando Ω2 : C [0, [0, + [, la determinaci´on on log2 : Ω2 C con arg 2 ( 1) = π. Por lo 1 tanto, podemos evaluar z=1 z dz tomando la circunferencia como el recorrido γ 1 + γ 2 donde
−{ }
−
γ 1 (t) = eit ,
t
∞
− −∞
→
γ 2 (t) = eit ,
∈ [−π/2 π/2, π/2] π/ 2]
−
t
∈ [π/2 π/ 2, 3π/2] π/2]
por lo tanto
z =1
1 dz = z
γ1
1 dz + z
γ2
1 dz = log(i log(i) z
Proposici´ on I.5.3 (cambio de variable) Si f : Ω on arco simple, entonces
f (z ) dz =
g ◦γ
− log(−i) + log2(−i) − log2(i) = 2iπ.
→ C continua, g : U → Ω holomorfa y γ : [a, b] → U
f ((g(ζ ))g f ))g (ζ ) dζ.
γ
Demostraci´ on.on.- Se tiene
f ( f (z ) dz
g ◦γ
=
Ejemplo
b f ( f (g a
◦ γ (t)) · (g ◦ γ ) (t) dt b = a f ( f (g (γ (t))) · (g (γ (t))) · γ (t) dt b (f ◦ g )(γ )(γ (t)) · g (γ (t)) · γ (t) dt = γ (f ◦ g )(z )(z ) · g (z ) dz. a =
´ COMPLEJA I.5. INTEGRACI INTEGRACI ON
31
4.- Consideremos nuevamente la integral |z |=1 C con γ (t) = t, obtenemos γ : [0, [0, 2π ]
→
|z |=1
1 dz = z
γ
1 z
dz. dz . Planteamos g (z ) = eiz que es una funci´on on holomorfa y
1 iz ie dz = i eiz
dz = iz
γ
|20π = 2iπ.
g
2π
→ C continua, γ : [a, b] → Ω arco simple. Entonces b n l´ımδ(P longit gitud ud del arco arco.. P ))→0 ( k=1 |zk − zk−1 |) = a |γ (t)| dt = L : lon f (z ) dz ≤ M · L M = m´ax axt∈[a,b f ((γ (t))| a,b]] |f γ
Proposici´ on I.5.4 Sea on Sea f f : Ω
(I.5.4) (I.5.5)
donde P denota particiones o subdivisiones de γ ([a, ([a, b]) Demostraci´ on.on.- Demostraci´ on.on.- El punto I.5.4 ya ha sido visto en el curso de Geometr´ Geometr´ıa, dejamos como ejercicio el repaso de la demostraci´on. on. Demostremos el punto I.5.5. Por el teorema I.5.1, se tiene
γ
Por otro lado
n
≤ ·| −
f ( f (z ) dz = l´ım
δ (P ) P )→0
f (zk )(z )(zk
k=1
− zk−1) .
n
f ( f (zk )(z )(zk
k=1
n
− zk−1)
f ( f (z)
zk
n
zk−1
k=1
| ≤ M
|
zk
k=1
− zk−1| ≤ M · L.
Pasando al l´ımite obtenemos la desigualdad I.5.5.
Proposici´ on I.5.5 Sea on Sea Ω Ω
⊂ C abierto, Γ = γ 1 + · · · + γ k ⊂ C un recorrido.
i) Si f n : Ω on de funciones continuas que convergen simplemente a f : Ω C una sucesi´ mente sobre Γ, entonces
→
f ((z ) dz = l´ım f
n→∞
Γ
× →
f n (z ) dz.
Γ
⊂
∈ U fijo la funci´ on z → F F ((z, u) es → u0 ∈ U entonces
C funci´ ii) Si F : Ω U on con U C abierto tal que para todo u continua y si F F ((z, u) F ((z, u0 ) uniformemente sobre Γ cuando u F
→
l´ım
u→u0
→ C y uniforme-
Γ
F ((z, u) dz = F
Γ
F ((z, u0 ) dz. F
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
32
Demostraci´ on.on.- Mostremos el punto (i). La convergencia uniforme, significa que > 0, N tal que n z Γ f n (z ) f ( f (z ) < . De donde
⇒∀ ∈ |
−
|
∀
f n (z ) dz
Γ
− f ( f (z ) dz =
Γ
(f n (z )
Γ
− f ( f (z )) dz
≤
∃
≥ N
L.
El punto (ii), la convergencia uniforme, significa que > 0, δ > 0 tal que u se tiene F ( F (z, u) F ( F (z, u0 ) < , , de donde
|
−
∀
|
F ( F (z, u) dz
Γ
−
| − u0| < δ implica que ∀z ∈ Γ
∃
F ( F (z, u0 ) dz
Γ
Definici´ on I.5.7 Un recorrido Γ = γ 1 + on
(γ i) = C .
≤
L.
· · · + γ k se dice de tipo H-V (horizontal-vertical) si (γ j ) = C o
Proposici´ on I.5.6 Sea f : Ω on C continua, γ ; [a, b] C arco simple, entonces > 0, γ 1 + + γ k tal que γ 1 (a1 ) = γ (a) y γ k (bk ) = γ (b) y adem´ as
→
···
→
f ((z ) dz f
γ
−
H-V
∀
∃ recorrido H-V
f ((z ) dz < . f
H-V
γ Ω
K
Demostraci´ on.on.- Se requiere utilizar algunas propiedades top´ologicas del plano complejo, que en el momento se enunciar´a sin demostrac demostraci´ i´on, on, dejando ´estas para el curso de topolog´ topolog´ıa. Utilizando el hecho que γ ([a, ([a, b]) es un compacto, se muestra mediante la noci´on on de recubrimiento, que existe K Ω compacto, tal que Γ K ◦ . (Esta es la parte topol´ogica). ogica). La demostraci´on on asegura que existe η > 0 tal que D(z, η ) K ◦ para todo z Γ. Como K es compacto, f es uniformemente continua sobre K , por lo tanto para > dado, existe δ ( ) > 0 tal que z, z K y z z < δ ( ) f ( f (z ) f ( f (z ) < .
⊂
⊂
∈
∈
| − |
Podemos suponer supo ner tambi´en en que δ( ) < η. η. Ahora consideremos p = a = t0 < t1 < donde
{
{
⇒|
−
|
· · · < tm = b} una subdivisi´on o n de [a, [a, b] tal que δ (P ) P ) ≤ δ( ),
· · · < γ ( γ (tm ) = zm }, definimos los zk = zk + (zk+1 − zk ), k = 0, . . . , m − 1.
P = z0 = γ (a) < z 1 = γ (t1 ) <
Por hip´otesis otesis sobre δ(P ), P ), δ( ) se tiene que los segmentos zk zk y zk zk+1 est´an an dentro K .
⊂
z k+1
z k
z’k
´ COMPLEJA I.5. INTEGRACI INTEGRACI ON
33
Si es necesario, reducir de taman`no no δ(P ), P ), se puede suponer que
m−1
f (z ) dz
γ
−
f ( f (zk )(z )(zk+1
k=0
El recorrido H-V es de la forma H 1 + V1 +
− zk )
<
(I.5.6)
· · · Hm−1 + Vm−1, deducimos que:
− − ≤ | − | − − ≤ | − | − ≤ − ≤ − − − − − | − | | − | ≤ − − ≤ | − | f ( f (z ) dz
Hk
f (z ) dz
Vk
f ( f (zk )(z )(zk
zk )
zk
f ( f (zk )(z )(zk+1
zk )
zk+1
zk
zk .
(I.5.7) (I.5.8)
Por lo tanto,
f ( f (z ) dz
γ
f ( f (z ) dz
H−V
γ
m−1 k=0
f ( f (z ) dz
m−1 f (zk )(z )(zk+1 k=0 (f (
zk )
+ +
m−1 ((f ((zk ) k=0 ((f
m−1 k=0
Hk
f (z ) dz +
f ( f (zk )(z )(zk
m−1 k=0 (
zk
zk )
Vk
f ( f (z ) dz
f ( f (zk )(z )(zk+1
zk + zk+1
))(zk+1 f ( f (zk ))(z
zk ))
zk )
2L) zk )) + (1 + 2L
zk+1 zk + (1 + 2L 2L) (1 + 3L 3L).
≤
L es la longitud de γ . Tomando = /(1 /(1 + 3L 3L) se tiene la proposici´on. on.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
34
I.6. I. 6.
Un Teor eorem ema a de de Cau Cauc chy
Proposici´ on I.6.1 Sea on Sea f f : Ω
→ C holomorfa, R = {z ∈ C|a ≤ z ≤ b, c ≤ z ≤ d} ⊂ Ω. Entonces
f ((z ) dz = 0. f
∂ R
Demostraci´ on.on.- Suponemos Suponemos del contorno contorno (borde del rect´ angulo) en sentido positivo. angulo) Dividimos el rect´angulo angulo y 4 . Se tiene
R
4
I =
3
f ( f (z ) dz =
R
1
2
R en cuatro subrectangulos iguales R1, R2, R3
f ( f (z ) dz +
R1
f ( f (z ) dz +
R4
f ( f (z ) dz +
R3
f ( f (z ) dz.
R4
Se debe observar que las integrales de los lados comunes de los subrect´angulos angulos se anulan, porque tienen sentido opuestos, quedando para el c´alculo alculo final los lados no compartidos. Sea j1 1, 2, 3, 4 tal que
∈{
}
f ( f (z ) dz
Rj1
≥
f (z ) dz , i = 1, 1 , 2, 3, 4.
Ri
Denotando por 1 este subrect´angulo, angulo, I 1 = R1 f ( f (z ) dz. dz . Por otro lado si p es el perim´ peri m´ etro etro de , se s e tiene ti ene que el perim´etro etro p1 de 1 es igual a p/2 p/2 y si δ es el di´ametro ametro de , δ1 = δ/2 δ/2 es el diam´etro etro de 1 .
R
Una verificaci´on on sencilla da:
R
R R
R
|I | ≤ 4 |I 1| , Podemos construir una sucesi´on on de subrect´anguloes anguloes Rk , con k = 1, 2, . . ., ., de manera que Rk+1 sea un k subrect´ angulo que divide en partes iguales a R . Si denotamos por I k = R f ( angulo f (z ) dz, dz , δk , pk el diam´ dia m´etro etro y el k peri pe rim´ m´etro etr o de R se tiene |I | ≤ 4k |I k | , δk = 2δk , pk = 2pk .
k
Utilizando el principio de los intervalos encajonados del primer Curso de An´alisis en la parte real e imaginaria de la sucesi´on on mostramos que l´ım k = z0 . k→∞
Por hip´otesis otesis f es holomorfa, holomorfa, en particular particular f es f ( f (z ) = f ( f (z0 ) + f (z0 )(z )(z Ahora bien para
Rk
Rk , se tiene
f ( f (z ) dz =
Rk
f ( f (z0 ) dz +
Rk
C
R
{ }
diferenciable en z0 , de donde podemos escribir
− z0) + (z ( z − z0 )r(z ),
f (z0 )(z )(z
− z0) dz +
Rk
con l´ım r(z ) = 0.
r(z )(z )(z
z →z0
− z0) dz =
Rk
r(z )(z )(z
− z0) dz
35
I.6. I.6. UN TEOREMA TEOREMA DE CAUCH CAUCHY Y
por que f ( f (z0 ) y f (z0 )(z )(z z0 ) tienen como primitivas f ( f (z0 )z y f (z0 )(z )(z integrales sobre contornos son nulas. Por otro lado
−
|I k | =
r(z )(z )(z
Rk
− z0) dz
Elijamos > 0, entonces existe η > 0 tal que
≤
pk m´ ax ax r(z )(z )(z
· z∈R | k
− z0)2/2 respectivamente y sus
− z0)| .
|z − z0| < η ⇒ |r(z)| < , m´ as as todavia, todavia, existe existe K ∈ N tal que k ≥ K se tiene Rk ⊂ D(z0 , η ). Por consiguiente, para k ≥ K , se tiene |z − z0 | ≤ δk y |r (z )| ≤ , de donde |I k | ≤ pk δk = pδ , 4k por lo que
|I | ≤ 4k · pδ = pδ. 4k
Esto significa que I = 0 y en consecuencia I = 0.
||
Definici´ on I.6.1 Sea = γ 1 + on
C
· · · + γ k un recorrido. Se dir´ a que C es un recorrido simple si i = j ⇒ γ i ([a ([ai , bi ]) ∩ γ j ([a ([aj , bj ]) = ∅,
excepto quiz´ as γ 1 (a1 ) = γ k (bk ).
C
Definici´ on I.6.2 Se dira que es un contorno simple o recorrido cerrado simple, si on un recorrido simple con γ 1 (a1 ) = γ k (bk ).
C = γ 1 + · · · + γ k es
Interior de un Contorno Simple Sea
C un contorno simple. En el curso de topolog´ topolog´ıa se muestra que existe R > 0 tal que C ⊂ B (0, (0, R) z 0
Sea z0 B (0, (0, R). Se dira que z est´ a en el interior de , si C (γ continua) con γ (0) para todo camino γ : [0, [0, 1] (0) = z y γ (1) (1) = z0 , se tiene
∈
→
C
γ
C γ ([0, ([0, 1])
∩ C = ∅ y z0 ∈ C .
C es el conjunto Int C = {z ∈ C|z es un punto interior de C} . La orientaci´ orientaci´ on on o sentido de C se elige de manera que el interior de C est´e a la izquierda izquier da de C . Definici´ on I.6.3 D ⊂ C es un dominio simple si D es de la forma on D = C ∪ Int C , donde C es un contorno simple.
El interior de
z
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
36 Ejemplos 1. Un rect´angulo angulo
R es un dominio simple
2. Un disco cerrado cerrado z z
{ | | − z0| ≤ r} es un dominio simple.
{ | ≤ |z − z0| ≤ R} no es un dominico simple.
3. Un corona z r
Teorema I.6.1 (Cauchy) Sea Sea f f : Ω
→ C holomorfa, D ⊂ Ω dominio simple, entonces
f ((z ) dz = 0, f 0,
∂ D
D orientada dejando el interior a la izquierda.
∂
Demostraci´ on.on.- Utilizando Utilizando la proposici´ proposici´ on on I.5.6, para > 0, existe un recorrido cerrado H-V tal que
f (z ) dz =
f ( f (z ) dz < .
H−V
∂ D
Si es necesario afinar H-V, se puede suponer que es un recorrido simple, lo que nos permite construir una cuadriculaci´ on del interior de H-V en que los arcos de H-V son on lados de alg´ un un o algunos rect´angulos. angulos. Utilizando el mismo argumento que la proposici´on on precedente, se tiene
H−V
f ( f (z ) dz =
Ri
por la proposici´on on precedente. Por consiguiente
∂ D
f ( f (z ) dz <
cualquiera que sea > 0, por lo tanto el teorema es cierto.
Ri
f ( f (z ) dz = 0,
37
I.6. I.6. UN TEOREMA TEOREMA DE CAUCH CAUCHY Y
Corolario I.6.1 Si f : Ω Ω dominio simple, z1 , z2 C holomorfa, con γ con γ (ai ) = z1 y γ (bi ) = z2 con i con i = 1, 1 , 2. Entonces
→
D⊂
γ1
∈ D, γ i[ai , bi] → D arcos simples,
f ((z ) dz = γ γ2 f f f ((z ) dz.
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
Notaci´ on.on.- Como la integral solo depende de las extremidades es v´alida la notaci´on on
z2
f ( f (z ) dz =
z1
Corolario I.6.2 Sea Sea f f : Ω
f ( f (z ) dz.
γ1
→ C, D ⊂ Ω, entonces existe F : D → C holomorfa tal que F (z) = f f ((z).
Demostraci´ on.on.- Fijemos z0
∈ D◦. Planteamos
z
F ( F (z ) =
f (ζ ) dζ. dζ .
z+∆ z
z0
Mostremos que F es holomorfa y que F (z ) = f ( f (z). En efecto, consideremos sideremos el cociente cociente de Newton Newton
z
z0
∆z ) F ( F (z + ∆z q (z ) = ∆z
− F ( F (z )
=
1 ∆z
+∆z z +∆z f (ζ ) dζ z0
=
1 ∆z
−
z z0
f ( f (ζ ) dζ
+∆z z +∆z f ( f (ζ ) dζ z
Supongamos que ∆z ∆ z es lo suficientemente peque˜no, no, para que z + t∆z para t [0, [0, 1]. Por otro lado
∈D
z+∆ z
∈
f ( f (ζ ) = f ( f (z ) + f (z )(ζ )(ζ
− z) + r(ζ )
con con l´ l´ım
z
r(ζ ) = 0, (ζ z )
z0
− de donde para, > 0 dado, existe δ > 0 tal que si |∆z | < δ se tiene |r(ζ )| < |z − ζ |. ζ →z
El cociente de Newton se convierte 1 q(z ) = ∆z
+∆z z +∆z
z
1 f ( f (z ) dζ + ∆z
=f (z )
si ∆z
+∆z z +∆z
z
f (z )(ζ )(ζ
−
= 12 ∆z f (z )→0
1 z ) dζ + ∆z
+∆z z +∆z
r(ζ ) dζ ,
z
→ 0 y tomando como arco, el segmento que une z con z + ∆z ∆z .
|·|≤ |·|≤ |∆z |→0 |→0
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
38
D dominio simple y D1, . . . , Dk ⊂ D ◦ dominios simples con Di ∩ Dj = ∅ si i = j. k Di) abierto y f : Ω → C holomorfa. Entonces Ω ⊃ (D − Corolario I.6.3 Sean
i=1
D
f ((z ) dz = f
∂ D
Dk
∂ D1
f ((z ) dz + f
···
f (z ) dz.
∂ Dk
D2
D1
Demostraci´ on.on.- Realizamos un corte del dominio simple en dos subdominios simples: ˆ y ˇ de manera que los bordes de ambos caminos cubran en su totalidad los bordes del dominio dominio y los dominios i , i = 1, 1 , . . . , k. k . Por lo tanto
D
D
0=
ˆ D
D D
D
f ( f (z ) dz +
ˇ D
f ( f (z ) dz =
D
k
f ( f (z ) dz +
D
− i=1
Dk
f (z ) dz
∂ Di
porque f es holomorfa sobre los dominios ˆ y ˇ y la integrales se anulan en los bordes comunes (diferentes sentidos de integraci´on) on)
D D
D1
D2
Ejemplo 4.- Consideremos manera que
D dominio simple con 0 ∈ D ◦ , D1 = {z | |z | ≤ r} con r lo suficientemente peque˜no n o de ◦ D1 ⊂ D y por corolario que antecede deducimos que
∂ D
Corolario I.6.4 Sea
1 dz = z
|z |=r
1 dz = 2iπ. z
C un contorno simple y a ∈ C , entonces: a ∈ Int C ⇐⇒ C z−1 a dz = 2iπ, a ∈ Int C ⇐⇒ C z−1 a dz = −.
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
´ I.7. I.7. F ORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY
I.7.
39
Formulas o ´rmulas Integrales de Cauchy
→ C holomorfa. D ⊂ Ω dominio simpler, z0 ∈ D◦. Entonces
Teorema I.7.1 Sea Sea f f : Ω
1 f ((z0 ) = f 2iπ
∂ D
f (ζ ) f ( dζ.. dζ ζ z0
−
Demostraci´ on.on.- Utilizando el corolario I.6.8 y con r > 0 lo suficientemente peque˜no no se tiene 1 2iπ
∂ D
f (ζ ) 1 dζ = ζ z0 2iπ
−
|ζ −z0 |=r
f ( f (ζ ) dζ ζ z0
−
La parametrizaci´on on z0 + re2iπt de la circunferen circunferencia cia de centro z0 y radio r da 1 2iπ
|ζ −z0 |=r
f ( f (ζ ) dζ = ζ z0
−
1
f ( f (z0 + re2iπt ) dt.
0
El valor de la segunda integral es independiente de r, a condici´on on que la circunferencia est´ e dentro del dominio. Puesto Puesto que f es continua, continua, se puede pasar al l´ımite r 0 y la independencia de la integral respecto a r nos conduce a que
→
1 2iπ
∂ D
f ( f (ζ ) dζ = l´ım r→0 ζ z0
−
1
f (z0 + re
2iπt
1
) dt =
0
f ( f (z0 ) dt = f ( f (z0 ).
0
Teorema I.7.2 Sea Sea f f : Ω C-derivable y
→ C holomorfa, D ⊂ Ω dominio simple y z ∈ D◦. Entonces f es indefinidamente (n)
f
n! (z ) = 2iπ
∂ D
f (ζ ) dζ.. dζ (ζ z )n+1
−
Demostraci´ on.on.- Por inducci´on; on; para n = 0 es el teorema precedente. Suponemos cierto para n 1, sea ◦ z0 que lo dejamos fijo. ◦ Como z0 , existe r > 0 tal que D(z0 , r) = z z z0 < r . Consideremos el cociente de Newton y apliquemos la hip´otesis otesis de inducci´on on
∈D
−
∈D
{ || − |
}⊂D
f (n−1) (z ) z
− f (n−1)(z0) = (n − 1)! f ( 1 1 1 − f (ζ ) dζ . n n − z0 2iπ (ζ − z ) (ζ − z0 ) z − z0 ∂ D Definamos Definamos la funci´ on on ϕ : ∂ D × D(z0 , r) → C dada por f ( f (ζ ) (ζ −1z ) − (ζ −1z ) z−1z si z = z0 , ϕ(ζ , z ) =
n
0
n
f ( f (ζ ) (ζ −zn0 )n+1 hboxsiz
0
= z0 .
La funci´ on on ϕ es continua, lo que conduce a que l´ım
z →z0
f (n−1) (z ) z
− f (n−1)(z0) − z0
= l´ımz→z0 =
(n−1)! 2iπ
∂ D
ϕ(ζ, z ) dζ
(n−1)! 2iπ ∂ D l´ımz →z0 ϕ(ζ, z ) dζ = (n2−iπ1)! ∂ D ϕ(ζ , z0 ) dζ = 2niπ! ∂ D (ζ −f z(0ζ))n+1 dζ.
z
∈ D(z0, r) − {z0}.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
40
Teorema I.7.3 (Morera) Sea f : Ω
→ C continua tal que para todo recorrido simple C ⊂ Ω
f (z ) dz = 0,
C
entonces f es holomorfa sobre Ω. Demostraci´ on.on.- Fijemos z0
∈ Ω. Planteamos F ( F (z ) =
f ( f (w) dw,
γ
donde γ arco simple con γ (a) = z0 y γ (b) = z . Por hip´otesis otesis F ( F (z) no depende de γ que une z0 con z . Si mostramos que F (z ) = f ( f (z ), por el teorema I.7.2 F es indefinidamente derivable y por consiguiente F (z ) = f (z ) y de donde f es holomorfa. Ahora verifiquemos que F (z ) = f ( f (z ). Consideremos el cociente de Newton, para ∆z ∆ z lo suficientemente peque˜no, no, F ( F (z + ∆z ∆z ) ∆z
− F ( F (z ) =
z +∆z +∆z
1 ∆z
f ( f (ζ ) dζ, dζ ,
z
integrado sobre el segmento z + t∆z , con 0 t 1. Como f es continua, para > 0 fijo, existe δ > 0 tal que δz < δ implica que
≤ ≤
| | |f ( f (z ) − f ( f (z + t∆z )| ≤ ;
de donde
I.8. I. 8.
f ( f (z )
−
1 ∆z
+∆z z +∆z
z
1 f ( f (ζ ) dζ = ∆z
≤
+∆z z +∆z
(f ( f (z )
z
− f ( f (ζ )) )) dζ
.
Seri Se ries es En Ente tera rass
En el primer a˜no no de an´alisis alisis se estudi´o a profundidad la noci´on on de series num´ericas, ericas, al igual que las series de funciones en el ´ambito ambito real. Las definiciones, propiedades son v´alidas alidas si se remplaza R por C, exceptuando la noci´ on on de C-derivabilidad que ser´a vista en esta secci´on. on. Por consiguiente es conveniente que el estudiante no solo repase el curso de primer a˜no no de an´alis, alis, sino que lo domine. La primera novedad Teorema I.8.1 (Weistraß) Sea C una sucesi´ Sea Ω Ω un domi dominio nio simpl simple, e, f n : Ω on de funciones holomor fas. Si f n f uniformemente sobre Ω cuando n , entonces f es holomorfa y f n f uniformente sobre Ω cuando n .
→
→∞
→∞
{
→ }
→
Demostraci´ on.on.- Consideremos Γ contorno simple de Ω, por la proposici´on on I.5.5 se tiene
f ( f (z ) dz =
Γ
l´ım f n (z ) dz = l´ım ım
Γ n→∞
n→∞ Γ
f n (z ) dz = 0. 0.
El teorema de Morera implica que f es holomorfa sobre Ω. Mostremos que f n f uniformemente. Sea ◦ z Ω , de donde podemos encontrar r > 0 tal que D(z, r) Ω. Aplicando la f´ormula ormula integral de Cauchy se obtiene
∈
→
⊂
f (z )
− f n (z) |f (z) − f n (z)|
= =
1 2π
1 2iπ
f ( f (ζ ) |ζ −z |=r (ζ −z )2
≤
dζ
Por consiguiente la derivada converge uniformemente.
f ( f (ζ ) |ζ −z |=r (ζ −z )2 1 r
dζ, dζ ,
sup|ζ −z|=r f ( ζ )
− f n(zeta) zeta) .
41
I.8. I.8. SERIES SERIES ENTER ENTERAS AS
Recordemos lo que es una serie entera. Sea a0 , a1 , a2 , . . . una sucesi´on on de coefientes en independiente, entonces
C
y z una variable
∞
an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 +
n=0
···
(I.8.1)
se llama una serie entera. entera. Sin ocuparnos ocuparnos de la cuesti´ cuesti´on on de convergencia, estas series forman el algebra C[[z [[z ]] de las series formales. Para la convergencia, tal como se dijo se retoma las definiciones dadas en el curso de Primer A˜ no no de An´alisis, alisis, con los respectivos criterios y condiciones de convergencia. Solo agregamos una f´ormula ormula para el radio de convergencia. Proposici´ on I.8.1 (F´ on ormula de Hadamard) La serie de potencias con coeficientes an ormula radio de convergencia
{ } ⊂ C tiene como
R=
| |
∞
1 l´ım ım sup n→∞
√|a | n
n
{| | | ≥ n}.
donde l´ım ım su sup p an = l´ım ım sup ak k n→∞
n→∞
| | ∞ | |
(F´ormula ormula de Hadamard)
0 si l´ım ım su sup pn→∞ n an = si l´ım ım su sup pn→∞ n an = 0.
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
Teorema I.8.2 Sea
∞
n=0
i)
∞
n=0
ii)
an z n una serie entera de radio de convergencia R > 0. Entonces:
an z n converge uniformemente sobre z
∞
n=0
| | ≤ r, ∀r < R. R.
an z n diverge sobre z > R. R.
iii) f f ((z ) =
||
∞
n=0
iv) f (z ) =
an z n es holomorfa sobre z < R. R.
∞
n=1
||
nan z n , converge uniformemente sobre z
| | ≤ r, ∀r < R. R.
Demostraci´ on.on.- Para los dos primeros puntos revisar el curso de an´alisis de primer a˜ no. no. Los puntos iii) y iv) son consecuencia del teorema de Weirstraßenunciado m´a arriba.
Definici´ on I.8.1 Sea f : Ω on f en el punto z0 es
⊂ C → R, z0 ∈ Ω, f indefinidamente C derivable en z0, la serie de Taylor de ∞
ST f z0 (z ) =
k=0
f (k) (z0 ) (z n!
− z0)k .
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
42
−1
0
1
Figura I.8.1: Polinomio de Taylor z Teorema I.8.3 ((Cauchy-Taylor)) Sea f : Ω Entonces
3
− z3
+
z5 5
+
2
· · · + z255 en R y en C
→ C holomorfa, z0 ∈ Ω, R > 0 tal que D¯ (z0, R) ⊂ Ω.
∞
f (z ) = ¯ (z0 , R). uniformemente sobre D Demostraci´ on.on.- Sea
f (n) (z0 ) (z n! n=0
− z0)n
¯ (z0 , R), esto es posible por Ω es un abierto. D un dominio dominio simple que contiene contiene D Las f´ ormulas integrales de Cauchy dan: ormulas f ( f (z )
=
f (n) (z0 ) =
1 2iπ
n! 2iπ
f ( f (ζ ) ∂ D ζ −z ζ, f ( f (ζ ) ∂ D (ζ −z0 )n+1
Por otro lado 1
1 z0 + z0
1 z0 )(1
1
∞
−− z ζ
z0 z0
n
− z = ζ − − z = (ζ − − zζ−−zz ) = ζ − z0 n=0 porque |z − z0 | < |ζ − z0 | y adem´as as la convergencia es uniforme sobre el disco centrado en z0 . Por consiguiente ζ
0 0
se puede pu ede integrar i ntegrar t´ermino ermino a t´ermino ermino garantizando garantizan do la convergencia uniforme unifor me de la serie se rie ∞
1 f ( f (z ) = 2iπ n=0
∂ D
f ( f (ζ ) dz (z (ζ z0 )n+1
−
− z0)n.
Remarca.-Acabamos de ver que una funci´on Remarca.-Acabamos on que puede expresarse como una serie de potencias es holomorfa y lo mismo una funci´on on holomorfa puede expresarse como serie de potencias. Las funciones que tienen esta propiedad se llaman funciones an´aliticas; aliticas; es decir que son indefinidamente derivables y que la serie de Taylor de la funci´on on coincide con la funci´on on en la regi´on on de convergencia. C es holomorfa, entonces el radio de convergencia de la serie de Taylor de f en el Remarca.-Si Remarca.Si f : Ω punto z0
→
∈ Ω, est´a dada por
dist(z dist(z0 , ∂ Ω), Ω),
verificaci´ on on que dejamos como ejercicio. ejercicio. Ejemplo
−∞ ±
∞
1. La funci´on on y = arctan x es completamente lisa para < x . y no se comprende comprenderr´ıa porque el polinomio de Taylor no funciona fuera de [ 1, 1], pero visto en C, recordando la secci´on on I.4 vemos que en la determinaci´on on de arctan que no est´a definida para i.
−
43
I.8. I.8. SERIES SERIES ENTER ENTERAS AS n = 12
ℜw y
x
y
n = 12
ℑw
x
x
n = 24
ℜw y
x
y
x
n = 24
ℑw
x
x
Figura I.8.2: Gr´aficas aficas de parte real e imaginaria de ( z
2
− 1) − (z−21)
+
x
(z −1)3 3
n
− · · · ± (z−n1)
2. Considerem Consideremos os la determinac determinaci´ i´on on principal del logaritmo, log z
=
z dζ z dζ ] 1 1+(ζ 1+(ζ −1) 1 ζ
= (z (z
− 1) −
z (1 (ζ 1) + (ζ (ζ 1 2 3 (z −1) (z −1)4 + (z−31) 2 4
=
− −
−
− 1)2 − · · ·) dζ + ···
| − 1| < 1, lo que no es sorprendente, porque en
En la figura I.8.2 se ve que la serie converge para z z = 0 log no est´a definido.
I.8 .8.1 .1..
Calculos a ´lculos con Series Enteras
A continuaci´on on se enunciar´a algunas propiedades de las series enteras. Proposici´ on I.8.2 Sean f on f ((z ) = respectivamente. Entonces
∞
n=0
∞
an z n y g(z ) =
n=0
bn zn dos series con radios de convergencia ρ1 y ρ2
∞
f ((z ) + g (z ) = f ∞
f (z )g (z ) =
n=0
(an + bn )z n ,
(I.8.2)
ai bn−i z n ,
(I.8.3)
n=0 n
i=0
las dos series, la suma y la producto, tienen un radio de convergencia ρ
≥ m´ın(ρ1, ρ2).
Demostraci´ on.on.- Ver demostraciones en el curso de Primer A˜no de An´alisis. alisis.
Para determinar los coeficientes de la serie cociente f ( f (z )/g( /g (z ), es suficiente conocer la serie 1 /g( /g(z ) y se puede dividir g(z ) por el b0 = g(0) = 0 y comenzar la serie g(z ) por 1. Adem´as as podemos escribir los otros coeficientes de la serie g (z ) con signo . Tenemos la proposici´on: on:
Proposici´ on I.8.3 Sea g(z ) = 1 + on coeficientes ci de la serie
−
∞ n=1
−bnzn una serie de radio de convergencia ρ > 0. Entonces los ∞
1 = cn z n , g (z ) n=0
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
44
F(w) z
w
ƒ( z) ƒ
O
O
g
Figura I.8.3: Composici´ Composici´ on on de Series satisfacen c0 = 1 y
n−1
cn =
ck bn−k + bn
(I.8.4)
k=1
y el radio de convergencia es no nulo.
Demostraci´ on.on.- Para las relaciones recursivas dadas por (I.8.4) los productos de Cauchy de la serie producto g (z ).(1/g (1/g((z ) = 1 dar´an an lo deseado. Mostremos ahora, que el radio de convergencia de la serie cociente es mayor o igual a 1/ 1 /2ρ. La f´ ormula de Hadamard para el radio de convergencia ρ,asegura que la sucesi´on ormula on
3
|b1| , |b2|, |b3|, · · · | | ≤ qn. Insertamos sucesivamente esta mayoraci´on en (II.8.4) y tenemos |c1| ≤ q,2 2 2 |c2| ≤ q 3+ q 3= 2q3 , 3 |c3| ≤ 2q4 + q 4+ q 4= 4q 4q , |c4| ≤ 4q + 2q 2q + q + q4 = 8q 8 q4
son por q > ρ, ρ , es decir bn
.. .
||
De donde aplicando apli cando el criterio de la ra´ ra´ız n-sima, se tiene que 1/g 1 /g((z ) converge para z < 1/(2q (2q).
Aparte Aparte de las operaciones operaciones aritm´ aritm´eticas eticas con series, series, se tiene la composici´ composici´on on de series enteras. Para ubicar el problema, consideramos las series ∞
f ( f (z ) =
∞
n
an z ,
g (w ) =
k=0
bn wn ,
k=1
observamos que b0 = 0, para asegurar que g (0) = 0 y buscamos determinar los coeficientes cn de la serie F ( F (w) = f ( f (g (w)). Insertamos la segunda serie en la primera serie y se reordena la serie en potencias de w: F ( F (w) = a0 + a1 (b1 w + b2 w2 + b3 w3 + ) + a2 (b1 w + b2 w2 + b3 w3 + = a0 + a1 b1 w + (a (a1 b2 + a2 b21 )w2 + (a (a1 b3 + 2a 2a2 b1 b2 + a3 b31 )w3 + = a0 + c1 w + c2 w2 + c3 w3 + c3 w4 +
···
· · ·)2 + · · · ···
Observamos nuevamente que los coeficientes de la nueva serie son determinados recursivamente por expresiones finitas, gracias a que b0 = 0, de coeficiente coeficientess conocidos. conocidos. Para justificar que los reordenamientos son correctos y la prueba que la serie tiene un radio de convergencia no nulo, mediante el criterio de la serie mayorante. Nuevamente la formula de Hadamard conduce a que
|an| ≤ qn
y
|bn| ≤ pn.
45
I.8. I.8. SERIES SERIES ENTER ENTERAS AS
Substituimos z = pw + p2 w2 + p3 w3 + = pw/(1 pw/(1 pw) pw) para w < 1/p. /p. Remplazamos z en la serie doble 2 obteniendo la mayoraci´on on para la serie doble dada por 1 + qz + qz + = 1/(1 qz) qz ) siempre y cuando z < q . Remplazando Remplazando en la may mayoraci oraci´´on on de la segunda serie, obtemos una mayoraci´on en funci´on on de w dada por 1 1 pw) , pw = (1 pw) 1 q 1− pw 1 (q + 1) pw 1) pw
···
−
| |
||
−
−
···
−
−
| |
mayoraci´on on v´alida alida si w < 1/( p( p(q + 1)). Otro problema es el c´alculo alculo de la serie entera de la funci´on on inversa de una serie entera. Sea w = f ( f (z ) con w0 = f ( f (z0 ) dada por un desarrollo w
− w0 = a1(z − z0) + a2(z − z0)2 + a3(z − z0)3 + · · · .
Se busca el desarrollo de la funci´on on inversa z = g (w) bajo la forma z
− z0 = b1(w − w0) + b2(w − w0)2 + b3(w − w0)3 + · · · .
Despue´ es es de realizar traslaciones al origen, p odemos suponer que z0 y w0 ubicados en el origen, se tiene por consiguiente w = f ( f (g (w)) y utilizamos el reordenamiento de la serie composici´on en potencias de w. Se obtiene w = a1 b1 w + (a (a1 b2 + a2 b21 )w2 + (a (a1 b3 + 2a 2a2 b1 b2 + a3 b31 )w3 +
···
comparando coeficientes, se tiene 1 = a1 b1 0 = a1 b2 + a2 b21 0 = a1 b3 + 2a 2a2 b1 b2 + a3 b31 .. .
⇒ ⇒ ⇒
b1 b2 b3
0 = a1 bn + valores conocidos
⇒
bn .
La discusi´on on de la convergencia utilizando el criterio de la serie mayorante es posible, ver H. Cartan I.2.9, pero muy complicada complicada.. La cuesti´ cuesti´on on de la convergencia ser´a resuelta resuelta utilizando una ecuaci´ ecuaci´on on diferencial. 2 3 Sea F ( F (w) = a0 + a1 w + a2 w + a3 w + una funci´on on dada, se busca una funci´on on w = f ( f (z ) con
···
dw = F ( F (w), dz
w (0) = 0, 0,
remarcando que la traslaci´on on del sistema de coordenadas al valor inicial ha sido ya realizada. Se plantea, como de costumbre, w = b1 z + b2 z 2 + b3 z 3 + e remplazamos en la ecuaci´on on diferencial. Se tiene
···
b1 + 2b 2b2 z + 3b 3 b3 z 2 +
· · · = a0 + a1(b1z + b2z2 + · · ·) + a2(b1z + b2z2 + · · ·)2 + · · · .
Comparamos los coeficientes de la serie del lado izquierdo, con la del lado derecho, de donde b1 b2 b3 .. .
= a0 , 1 = a1 b1 , 2 1 = (a1 b2 + a2 b21 ), 3
En este caso el an´alisis alisis de la convergencia es sencillo, mayoramos los bi pasando a los modulos los ai y remplazando los aj por una cota, proe ejemplo aj qj . Esto quiere decir que hemos resuelto la ecuaci´on diferencial dw 1 = (1 + wq + w2 q2 + ) = , w (0) = 0. 0. dz 1 wq
| |≤
···
−
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
46
Esta ultima u ´ ltima ecuaci´on on es de tipo separable, ver curso de Primer A˜no de An´alisis, alisis, obteniendo como soluci´on, on, despues de integrar e despejar w, teniendo el cuidado de verificar w(0) = 0, se obtiene w=
1
− √1 − 2qz q
soluci´ on, cuya serie converge para z < 1/(2q on, (2q). Regresemos al caso de determinar la serie de la funci´on inversa de w = f ( f (z ) = a1 z + a2 z 2 +
||
dw = a1 + 2a 2a2 z + 3a 3a3 z 2 + dz
· · ·. Se tiene
···,
por lo tanto, para la funci´on on inversa, se tiene dz 1 = dw a1 + 2a 2a2 z + 3a 3a3 z 2 +
2 · · · = b0 + b1z + b2z + · · · ,
(I.8.5)
donde los coeficientes bi se calculan mediante mediante la serie cociente cociente y esta serie como se ha visto converge converge.. (I.8.5) (I.8.5) es una ecuaci´on on diferencial que la resolvemos mediante el algoritmo planteado m´as arriba. Remarca.- En muchos casos solo se requiere determinar los primeros coeficientes de una serie, por lo que es convenient convenientee en estos casos utilizar utilizar desarrollos desarrollos en serie limitados limitados a un n´ n ´umero umero finito de terminos y utilizar la notaci´on on o y O.
I.8.2.
Teoremas de Unicidad y Prolongam Prolongamiento iento An´ alitico alitico
→ C holomorfa, z0 ∈ Ω. f tiene un cero de orden k en z0 si 0. f ( f (z0 ) = f (z0 ) = · · · = f (k−1) (z0 ) = 0 y f (n) (z0 ) =
Definici´ on I.8.2 Sea f : Ω on
Proposici´ on I.8.4 f : Ω on C holomorfa, f tiene un cero de orden k en z0 g:Ω C holomorfa con g (z0 ) = 0 tal que
→
→
f ((z ) = (z f
∈ Ω si y solamente si existe
− z0)k g(z).
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
⊂
→
≡
Teorema I.8.4 Sea Ω C abierto conexo y f : Ω 0, entonces todos los ceros de f C holomorfa. Si f son puntos a´ıslados; ıslados; es decir, si f f ((z0 ) = 0 r > 0 tal que z z0 < r f f ((z ) = 0 z = z0 .
∃
| − |
⇒
Demostraci´ on.on.- Mostraremos Mostrare mos la contrarec contrar ec´´ıproca ıpro ca “existe “exis te un cero no aislado de f , f , entonces f es identicamente identicamente nula” Si z0 el cero no aislado de f , entonces para todo disco D(z0 , r) Ω f D(z0 ,r) 0. En efecto, como ,r) D(z0 , r) Ω, f puede escribirse como serie f ( f (z ) = a0 + a1 (z z0 ) + a2 (z z0 )2 + , para z z0 < r . Se tiene quea queak = 0 para todo k , sino sea k el entero m´as as peque˜ no no tal que ak = 0 obteniendo obteniendo
⊂
−
f ( f (z ) = (z
⊂
−
|
− z0)k (ak + ak+1(z − z0) + · · ·) = (z − z0)k g(z).
≡ ···
| − |
47
I.8. I.8. SERIES SERIES ENTER ENTERAS AS
g (z ) es holomorfa sobre el disco D(z0 , r) y g (z0 ) = ak . Por continuidad de g g(z) es diferente de 0 en un vecindario de z0 , por lo tanto z0 ser´ ser´ıa un cero aislado, ai slado, lo que contradice que z0 no sea un cero aislado. Como ak = 0 para todo k, se tiene f ( f (z) = 0 sobre el disco D(z0 , r). Ahora mostremos que f ( f (z ) = 0 para todo z Ω. Sea z0 Ω un cero no aislado. Puesto que Ω es un abierto R un arco tal que γ (0) conexo, tambi´ en en es conexo por p or arcos. Sea γ : [0, [0, 1] (0) = z0 y γ (1) (1) = z .
∈
∈
→
Consideremos el subconjunto
{ ∈ [0, [0, 1]|f ◦ γ |[0,t [0, 1]. 1]. [0,t]] ≡ 0} ⊂ [0,
I = t
I = porque 0 I . Por consiguiente al ser I no vacio y acotado admite un supremo τ . τ . τ > 0, en efecto en un disco D(z0 , r) la restricci´on on de f en la porci´on on del arco incluida en el disco es identicamente nula. z1 = γ (τ ) τ ) es un cero de f por la continuidad de γ y f , f , en efecto es suficente hacer tender t a τ por la izquierda. izquierda. τ = 1, porque si τ < 1, se tendr´ıa ıa que z1 = z, en cualquier disco D(z1 , r) Ω z1 no es un cero aislado, por lo que f es identicamente nula en este disco y en particular en la porci´on on del arco incluida en ese disco y por lo tanto τ no ser´ ser´ıa el supremo de I .
∅
∈
⊂
Corolario I.8.1 Sea Ω C un abierto conexo, f, g : Ω contiene un punto no aislado en E mismo, mismo, entonces f g.
→ C holomorfas. Si E = {z|f f ((z) = g(z)} = ∅ y
⊂
≡ Corolario I.8.2 Sea Ω ⊂ C un abierto conexo, f : Ω → C holomorfa. Si existe z0 ∈ Ω tal que f (k) (z0 ) = 0 para todo k ≥ 0, entoces f ≡ 0.
En base al teorema precedente y el primer corolario se tiene las bases para el principio de prolongamiento an´alitico. alitico. Considerem Consideremos os una funci´ on on f : Ω Ω. Por C holomorfa, donde Ω es un abierto. Sea z0 consiguiente, f puede escribirse escribirse como una serie entera entera alrededor alrededor de z0 ,
→
∈
∞
f ( f (z ) =
an (z
n=0
− z0)n, |z − z0| < ρ,
donde ρ > es el radio de convergencia de la serie. Sea z1 = z0 un punto dentro el disco z la substituci´on on z z0 = z z1 + (z (z1 z0 ) en la serie permite
−
−
∞
f (z ) =
∞
an (z
n=0 ∞
=
−
− z0)n =
∞
(z
m=0 ∞
=
| − z0| < ρ, ρ , entonces
−
− z1)n
bn (z
n=0
an ((z ((z1
z0 ) + (z (z
n=0
k=0
n+k n
an+k (z1
− z1))n
− z0)k
− z1)n.
Remarcamos que las series de la primera fila y la tercera fila son reordenamientos de la serie de la segunda fila que es una serie doble. El reordenamiento est´a permitido porque para z fijo con z1 z0 + z z 1 < ρ la serie doble converge absolutamente; en efecto
| − | | − |
∞
|
| | − z1| + |z1 − z0|)∞
an ( z
n=0
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
48
Figura I.8.4: Principio del Prolongamiento An´alitico alitico converge converge absolutamente. absolutamente.
∞
− z1 )n converge y representa la misma n funci´ on on f (z ). Pero es posible que el radio de convergencia sea mayor que ρ − |z1 − z0 | y por lo tanto converga La conclusi´on on es que si z
| − z1| < ρ − |z1 − z0|, la serie
bn (z
en una regi´on on fuera del disco inicial. Viendo la Figura I.8.4, la funci´on on f ( f (z ) ha sido prolongada de manera u unica. ´ nica. Este procedimiento puede ser repetido y permite llenar una regi´on de m´as a s en m´as as hasta llegar a un borde natural. La unicidad del prolongamiento se garantiza en tanto que los discos llenan un dominio simplemente conexo (sin huecos).
I.8.3. I.8. 3.
Otross Resultad Otro Resultados os de las Func Funcione ioness Holomorf Holomorfas as
Por lo que se ha visto hasta ahora, las funciones holomorfas tienen un comportamiento ejemplar y previsible, nada que ver con la palabra compleja. A continuaci´on presentamos una serie de teoremas que mostrar´an cu´an an poderosa p oderosa es la l a teor´ıa ıa de las funciones complejas. Teorema I.8.5 (Desigualdad de Cauchy) Sea f : Ω Ω, C holomorfa, donde Ω es un abierto, z0 R > 0 con con D D(z0 , R) Ω y M > 0 tal que f (z ) M para todo z D(z0 , R).
⊂
→
≤
∈
∈
∞
f (z ) = f (
an (z
n=0
− z0)n, |z − z0| < R,
Entonces:
| | ≤ RM n .
i) an
ii) Si existe n0 con con a an0 =
M , entonces an = 0 para todo n = n0 , es decir f f ((z ) = an0 (z Rn0
− z0)n . 0
Demostraci´ on.on.- Sin perder generalidad podemos suponer que z0 = 0. Sea < ρ < R y planteamos I (ρ) = 2 2π f ( f (ρeiθ ) dθ. dθ. Tenemos 0
∞
iθ
f ( f (ρe ) =
an ρn eniθ ,
n=0 2π
I (ρ) =
0
∞
n=0
∞
an ρn eniθ
m=0
am ρm e−miθ
dθ
49
I.8. I.8. SERIES SERIES ENTER ENTERAS AS ∞
=
an a ¯m ρ
∞
|
|2
an ρ2n
n=0
Haciendo ρ
→ R, se tiene
∞
|
ei(n−m)θ dθ
0
m,n=0 m,n=0
= 2π
2π
m+n
2π
si
0
sino
m=n
≤ 2πM 2, ∀ρ < R.
|2 ≤ M 2 ⇒ |an| ≤ RM n .
an R2
n=0
Los c´alculos alculos en la doble serie est´an an justificados porque trabajamos con una serie absolutamente convergente.
Definici´ on I.8.3 Una funci´ on on entera es una funci´ on f (z ) holomorfa sobre todo el plano complejo
C.
Teorema I.8.6 (Teorema de Louiville) Toda funci´ on entera y acotada es constante.
|
| ≤ M para todo z ∈ C. Para todo R > 0 por la desigualdad
Demostraci´ on.on.- Sea M la cota es decir f ( f (z ) de Cauchy se tiene, para n 1
≥
|an| ≤ RM n ⇒ an = 0,0 ,
de donde f ( f (z ) = a0 .
Teorema I.8.7 (Teorema del Valor Medio) Si f es holomorfa en un disco de radio r y centro z , entonces π f ((z ) = f 12π 12 π f ((z + re iθ ) dθ. f
0
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
¯ . Si un punto c Proposici´ on I.8.5 Sea on Sea f f holomorfa en un disco abierto D, continua en D m´ aximo de f f ((z ) , entonces f es constante en un vecindario de c.
|
|
∈ D es un punto
Demostraci´ on.on.- Si f ( otesis otesis sobre c f (c) = 0 el resultado es evidente. Sino planteamos M = f ( f (c) . La hip´ iθ implica que exista R > 0 tal que para todo 0 < r < R se tenga f ( f (z ) < M para z = c + re , 0 θ 2π .
|
|
|
|
≤ ≤
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
50
¯ (0, Observemos la imagen de esta circunferencia ubicada en el disco D (0, M ). M ). Mediante una rotaci´on on llevamos iθ f ( f (c) al eje real y despues de la sustracci´on g (θ ) = f ( f (z ) f (c) = f ( f (c + re ) f ( f (c) este punto se convierte el origen, ver figura m´as as arriba. Por el teorema del valor medio
−
−
2π
g (θ ) dθ = 0. 0.
0
¯ ( M, M ), La curba g (θ ) D M ), por lo que (g (θ )) 0, salvo si g(θ) = 0. La continuidad de g y el valor de ¯ ( M, M ) la integral implican que (g (θ) = 0 para todo θ. Ahora bien, el ´unico unico punto, donde el disco D M ) en cuesti´ on toca el eje imaginario es O. De esta manera g (θ) = 0 y como f ( on f (z ) es constante sobre el borde de D(c, r) la continuidad de f implica que f sea constante en este disco.
∈ −
≤
−
Teorema I.8.8 (Princi (Principo po del M´ aximo) Sea f aximo) Sea f : Ω C holomorfa no constante, ◦ entonces para todo z0 f ((z0 ) < sup f f f ((z ) .
→
∈D
|
|
|
z ∈∂ D
|
D ⊂ Ω dominio simple,
|
|
D es correcto, sino existe c ∈ D con |f (c)| = M . Consideremos el conjunto E = {z ∈ D|f ( f (z ) = f ( f (c)}, ahora bien por la continuidad de f E es cerrado en D y por la proposici´on on precedente E es abierto en D , como D es un dominio simple, por lo tanto conexo, E = D lo que contradice la hip´otesis otesis de que f no es constante. Demostraci´ on.on.- Sea M = sup f ( f (z ) . Si los puntos m´aximos aximos se encuentran sobre ∂ , entonces el teorema z ∈D ◦
Teorema I.8.9 (Fundamental del Algebra) Todo polinomio de grado mayor o igual a 1 y coeficientes complejos P ((z ) = an z n + an−1 z n−1 + P + a0
···
existe un z
∈ C tal que p(z) = 0.
Demostraci´ on.on.- Supongamos que el teorema no es correcto; es decir que existe un polinomio de grado mayor o igual a 1 p(z ) que no admita raices. Por lo tanto p(z ) = 0 para todo z y la funci´on on f ( f (z ) = 1/p( /p(z ) es entera. Por otro lado, se tiene que l´ım f (z ) = 0,
z →∞
¯ (0, lo que significa que existe R > 0 tal que z > R f ( f (z ) < 1. Para el disco D (0, R) aplicamos el principio del maximo, con lo que la funci´on on f ( f (z ) es acotada. El teorema de Liouville implica que f ( f (z) es constante, lo que contradice que p sea un polinomio de grado mayor o igual a 1.
||
⇒|
|
Teorema I.8.10 (Teorema de la Funci´ on Abierta) Sea Ω un abierto y f una funci´ on on holomorfa no constante, entonces para todo abierto U Ω f f ((U U )) es un abierto.
⊂
51
I.9. I.9. SERIES SERIES DE LAURE LAURENT NT
g(z)
z
p
a p(∗)
∼ δ
δ
ε
g
Figura I.8.5: Demostraci´on on Teorema de la Aplicaci´on on Abierta Abierta
Demostraci´ on.on.- Se debe mostrar que la imagen de un disco D(z0 , δ) contiene un disco D(f ( f (z0 ), ). En el caso en que f (z0 ) = 0, la funci´ on es biyectiva en un vecindario de z0 y el resultado es trivial. on El caso f (z0 ) = 0, si es necesario realizar realizar traslacione traslaciones, s, suponemos suponemos que z0 = 0 y f ( f (z0 ) = 0 Sea an (n 2) el primer termino no nula de la serie de Taylor de f alrededor alrededor de 0. Podemos Podemos escribir escribir
≥
f (z ) = an z n (1 + b1 z + b2 z 2 +
· · ·).
Veamos el caso en que todos los bk = 0. f ( f (z ) actua sobre un disco de radio δ convirti´endolo endolo en un disco de n radio = an δ , recorriendolo n veces. Es decir cada punto del disco D(0, (0, ), a excepci´on on del origen, tiene exactamente n preim´ agenes. agenes. El caso en que existen bk no nulos, para z lo suficientemente peque˜no, no, utilizando la serie binomial de Newton, ver Curso Primer A˜ no no de An´alisis, alisis, se tiene
| |
||
(1 + b1 z + b2 z 2 +
· · ·)1/n = 1 + c1z + c2z2 + · · · ,
de donde f ( f (z ) = an (z (1 + c1 z + c2 z 2 +
· · ·))n = an(g(z))n.
Sea δ > 0, como g (0) = 0, exite δ˜ > 0 tal que D(0, (0, δ˜) g(D(0, (0, δ )). Por ´ultimo, ultimo, al elevar a la potencia n n ˜ estamos en el caso en que los bk son nulos. Por consiguiente = an δ .
⊂
| |
I.9. I. 9.
Seri Se ries es de La Laur uren entt
En la secci´on on precedente hemos estudiado el hecho que las funciones que son holomorfas sobre un disco, admiten desarrollos en serie de potencias. En esta secci´on on se pretende generalizar este desarrollo en serie de potencias a regiones m´as as generales. Definici´ on I.9.1 Sean a C, 0 r < R. La corona de centro a, radio inferior r y radio superior R es el on conjunto
∈
≤
C (a,r,R) a,r,R) = z
{ ∈ Z|r < |z − a| < R }.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
52
Considermos una funci´on on f ( f (z ) holomorfa sobre una corona C(a,r,R C( a,r,R), ), planteamos
1 ak = 2iπ
f ( f (ζ ) dζ, dζ , a)k+1 C (ζ
(I.9.1)
−
donde C es un recorrido cerrado dentro la corona, a
∈ Int C .
ak no depende de C , consecuencia de uno de los corolarios del teorema de Cauchy. La serie de Laurent de f respecto a la corona C(a,r,R C( a,r,R)) es =+∞ k=+∞
∞
ak (z
k=−∞
− a)k =
∞
a−k (z
k=1
− a)−k +
k=0
ak (z
− a)k .
(I.9.2)
Teorema I.9.1 Sean 0 R1 < R2 + , a para todo ρ1 , ρ2 con con R R1 < ρ 1 ρ2 < R 2 , se tiene
≤
≤ ∞ ∈ C y f holomorfa sobre la corona C( C(a, a, R1 , R2 ). Entonces
≤
=+∞ k=+ ∞
f ((z ) = f
ak (z
k=−∞
uniformemente sobre ρ1
− a)k
≤ |z − a| ≤ ρ2.
Demostraci´ on.on.- Sean ρ1 , ρ2 con R1 < ρ1 existen ρ1 y ρ2 tales que R1 < ρ 1 < ρ 1
≤ ρ2 < R2, como la corona C(a, C( a, R1 , R2 ) es un conjunto abierto,
≤< ρ 2 < ρ 2 < R 2.
Sea z z ρ1 z a ρ2 . Para r > 0 lo suficientemente peque˜ no no D(z, r) C(a, C(a, ρ1 , ρ2 ). Por lo tanto, de acuerdo a otro colorario del teorema de Cauchy sobre integrales, se tiene
∈{| ≤| − |≤ ⊂
Γ2
f ( f (ζ ) dζ = ζ z
−
Γ1
f ( f (ζ ) dζ + dζ + ζ z
−
|ζ −z |=r
f (ζ ) dζ. dζ . ζ z
−
Por otro lado, la f´ormula ormula integral de Cauchy da
1 f ( f (z ) = 2iπ
|ζ −z |=r
f ( f (ζ ) 1 dζ = ζ z 2iπ
−
Γ2
f (ζ ) dζ ζ z
−
−
Γ1
f ( f (ζ ) dζ . ζ z
−
Sobre Γ2 , es decir la circunferencia de centro a y radio ρ2 , se tiene 1 ζ Como
≤ z −a ζ −a
ρ2 ρ2
−z
=
1 (ζ
− a) − (z − a)
1
= (ζ
− a)
− 1
< 1, se tiene que 1
ζ
1
∞
−−
− z = ζ − a k=0
z ζ
a a
k
z −a ζ −a
.
53
I.9. I.9. SERIES SERIES DE LAURE LAURENT NT
¯ (a, ρ2 ), se tiene uniformente. Por consiguiente, al existir convergencia uniforme sobre el disco D 1 2iπ
∞
−
f ( f (ζ ) dζ = ζ z
−
Γ2
k=0
1 2iπ
f ( f (ζ ) dζ (z (ζ a)k+1
Γ2
ak , k≥0
Sobre Γ1 , es decir la circunferencia de centro a y radio ρ1 , se tiene 1 ζ Como
≤ ζ −a z −a
ρ1 ρ1
=
−z
1 (ζ
− a) − (z − a)
=
−
− a)k .
1
(z
− a)
− 1
ζ −a z −a
.
< 1, se tiene que 1 ζ
−z
∞
1
=
−z − a
−− k=0
ζ z
a a
k
uniformente. Por consiguiente, al existir convergencia uniforme sobre z z
{ | | − a| ≥ ρ1}, se tiene
1 2iπ
Γ1
f ( f (ζ ) dζ = ζ z
−
∞
− − k=1
1 2iπ
f ( f (ζ ) dζ (z (ζ a)−k+1
Γ1
a−k , k≥1
Proposici´ on I.9.1 Si f on f ((z ) =
k=∞
Ak (z
k=−∞
− a)−k .
− a)k en una corona C( C(a,r,R a,r,R)), entonces
1 Ak = 2iπ
f ((ζ ) f dζ,, dζ a)k+1 C (ζ
−
donde C es un contorno simple en la corona C( C(a,r,R a,r,R)), en cuyo interior se encuentra a. Demostraci´ on.on.- Dejamos al estudiante la justificaci´on on de los c´alculos, alculos, se tiene al
=
− − − −− (
1 2iπ
f ( f (ζ ) dζ a)l+1 C (ζ k=∞
=
1 2iπ
k=∞
Ak (ζ
a)k
k=−∞
dζ = a)l+1 Ak (ζ a)k dζ = Al . 2iπ C (ζ a)l+1
C
k=−∞
(ζ
=
0 2iπ
k=l k=l
Al igual que las series enteras, con las series de Laurent, en lugar de utilizar la f´ormula integral (I.9.1) para determinar la serie de Laurent de una funci´on on es preferible utilizar propiedades de series y series ya conocidas. Ejemplos
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
54
1 . Esta funci´on on no est´a definida en z = i y z = i. Determinemos 1 + z2 la serie de Laurent en la corona C(i, C( i, 0, 2) = z 0 < z i < 2 , remarcando que existen otras tres coronas donde se puede desarrollar en serie de Laurent la funci´on f ( f (z ). Se tiene
−
1. Considerem Consideremos os la funci´ on on f ( f (z ) =
{|
1 1 + z2
}
− − −
1 1 = (z + i)(z )(z i) z i 1 1 1 z i 2i 1 + z2−i i
= =
| − i| / |2i| < 1, se tiene
| −|
−
z
1 i + 2i 2i
.
Como z
1 (z + i)(z )(z
− i)
=
− − 1
z
∞
1 2i
i
k=0
− ∞
k
( 1) (z (2i (2i)k
k
− i)
=
k=−1
( 1)k+1 (z (2i (2i)k+2
− i)k .
−
||
2. Considerem Consideremos os la funci´ on on f ( f (z ) = 1z (z ) y hallemos las series de Laurent para las coronas 0 < z < 1 y la corona 1 < z .
||
||
3. Como z < 1, se tiene 1 z (z
− 1)
−1 = z
|| || z (z
I.9.1. I.9. 1.
−
1 = 2 1) z (1
−
zk =
k=0
en la corona 0 < z < 1. Para la corona z > 1, se tiene 1
∞
1 1 = z2 z)
− z1 − 1 − z − z2 − · · · .
1 1 1+ + 2 + z z
···
=
1 1 1 + 3+ 4+ 2 z z z
···.
Puntos Pun tos Singular Singulares es Aislados Aislados de Func Funcione ioness Holomorfas Holomorfas
Consideremos una funci´on on holomorfa sobre una corona de radio inferior 0, 0 < z
| − a| < R }, sea
{
k=−1
∞
−
f ( f (z ) =
k
ak (z
a) +
k=−∞
k=0
ak (z
− a)k
parte principal
la serie de Laurent respecto a la corona C (a, 0, R). De acuerdo al comportamiento de la parte principal de la serie de Laurent, podemos clasificar el punto a: i.- ak = 0 para k < 0 (la parte principal de la serie de Laurent es nula), en este caso f es holomorfa sobre el disco D(a, R) y se dira que a es una singularidad suprimible. Por ejemplo sin z z tiene 0 como singularidad suprimible. ii.- Existe k0 < 0 tal que ak0 = 0 y ak = 0 para k < k0 , (la parte principal contiene un n´umero umero finito de t´ erminos erminos no nulos). En este caso, la serie de Laurent es
∞
f ( f (z ) = ak0 (z
k0
− a)
+ ak0 +1 (z
Se dira que a es un polo de orden
−k0.
k0 +1
− a)
+
· · · a−1(z − a)
−1
+
k=0
ak (z
− a)k .
55
I.9. I.9. SERIES SERIES DE LAURE LAURENT NT
iii. Existe una infinidad de k < 0 con ak = 0, (la parte parte principal principal contiene contiene una infinidad infinidad de t´ erminos erminos no nulos). Se dir´a que a es una singularidad esencial. Por ejemplo, para 0 < z
||
∞
1/z
e
=
k=0
1 k!
1 z
k
.
Proposici´ on I.9.2 Sea f : z 0 < z a < r on C holomorfa, entonces f posee un polo de orden n en a si y solamente si 1/f posee un cero de orden n en a.
{|
| − |
}→
Demostraci´ on.on.- Se tiene
− a)−n + a−n+1(z − a)−n+1 + · · · = h(z)(z )(z − a)−n . 0. Por consiguiente, f tiene un polo de orden h(z ) es holomorfa sobre todo el disco D(a, r) y h(a) = a−n = 0, si y solamente si n, si y solamente si h(z ) es holomorfa y h(a) = f ( f (z ) = a−n (z
1 = (z f ( f (z )
− a)n h(1a) ,
si y solamente si 1/f 1/f tiene un cero de orden n.
Corolario I.9.1 f pose oseee una singu singulari laridad dad esenci esencial al en a, si y solamente si 1/f po pose seee una singu singulari laridad dad esencial en a.
Proposici´ on I.9.3 Sea on Sea f f : z 0 < z suprimible.
{|
| − a| < r } → C holomorfa. Si f es acotada, entonces la singularidad es
Demostraci´ on.on.- Consideremos la serie de Laurent de f en la corona z 0 < z
{|
| − a| < r }
k=∞
f ( f (z ) =
k=−∞
ak
=
1 2iπ
ak (z
− a)k , f ( f (ζ ) dζ, (ζ a)k+1
−
|ζ −a|=ρ
|
con O < ρ < r. r . Si f es acotada, acotada, existe existe M > 0, tal que f ( f (z )
|ak | = 21π
|ζ −a|=ρ
Para k < 0, hacemos tender ρ
| ≤ M , por consiguien consiguiente te
≤
f ( f (ζ ) dζ (ζ a)k+1
−
1 M M 2 πρ = . 2π ρk+1 ρk
→ 0, lo que conduce |ak | = 0.
Corolario I.9.2 Si f posee una singularidad esencial en a, entonces existe una sucesi´ on zn f ((zn ) f 0.
→
→ a tal que
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
56
Demostraci´ on.on.- Por el absurdo, supongamos lo contrario; es decir que toda sucesi´on zn f ( f (zn ) 0. Esto es posible, si existe > 0 tal que δ > 0, se tiene
→
∀
→
a verifica
| − a| < δ ⇒ |f ( f (z )| ≥ .
0< z
Sino ser´ ser´ıa posible construir una sucesi´on on con c on las l as caracter´ c aracter´ısticas ısticas se˜naladas. naladas. Por lo tanto, tomemos δ > 0 con f holomorfa sobre 0 < z a < δ , se tiene que 1/f (z ) sobre 0 < z a < δ , de donde 1/f 1 /f es acotada y a es una singularidad suprimible de acuerdo a la proposici´on on precedente. Lo que conduce a una contradicci´on.
| − |
| − |
|
|≤
Corolario I.9.3 f posee una singularidad esencial en a, entonces para todo c zn a tal que f (zn ) c.
→
→
Demostraci´ on.on.- Planteamos g (z ) = f ( f (z )
∈ C, existe una sucesi´ on
− c y aplicacmos aplicacmos la proposici´ proposici´ on on precedente.
I.10. I. 10.
Resi Re sidu duos os y Apl Aplic icac acion iones es
El concepto de residuo y sus aplicaciones provienen de manera natural de las Series de Laurent. Consideremos un abierto Ω Ω discreto y sea f : Ω D C, un conjunto D C holomorfa. Por lo tanto, si z ∗ es un punto singular de f , f , entonces existe r > 0 tal que f es holomorfa sobre la corona C(z C( z ∗ , 0, r) y la serie de Laurent respecto a esta corona es
⊂
⊂
− →
k=∞
f ( f (z ) =
ak (z
k=−∞
− z ∗ )k ,
si z ∗ D, entonces la serie de Laurent se confunde con la serie de Taylor alrededor de x∗ . Definici´ on I.10.1 Sea f : Ω D on C holomorfa, donde D es un conjunto discreto. El residuo de f en el ∗ punto z Ω es 1 Resz=z∗ (f ) f ) = a−1 (z ∗ ) = f ( f (ζ ) dζ, 2iπ
∈
− →
∈
|ζ −z ∗ |=ρ
con ρ > 0 lo suficientemente peque˜ no.
Teorema I.10.1 (Teorema de los Residudos) Sea f : Ω discreto C Ω contorno simple con C D = , entonces
⊂
∩
∅
f ((ζ ) dζ = 2iπ f
C
z ∗ ∈D z ∗ ∈int int C C
− D → C holomorfa, donde D es un conjunto
Resz=z∗ (f f ))
(I.10.1)
57
I.10. RESIDUOS RESIDUOS Y APLICACI APLICACIONES ONES
Demostraci´ on.on.- int C es un conjunto acotado, se tiene consiguiente D int C = z1 , z2 , . . . , zn .
∩
{
D
}
∩ int C es un conjunto a lo m´as as finito. Por
Por corolario del teorema de Cauchy se tiene
n
f ( f (ζ ) dζ =
C
f ( f (ζ ) dζ
k=1 |ζ −zk |=ρk n
= 2iπ
Resz=zk (f ) f ) .
k=1
I.10.1.
C´ alculo de Residuos alculo
Si bien, el residuo de una funci´on on f en punto a est´ a definido mediante una integral, la utilizaci´on on de residuos se justifica para el c´alculo alculo de integrales por medio del teorema del residuo. Por consiguiente, la determinaci´on del residuo en un punto singular pasa por la determinaci´on de la serie de Laurent alrededor del punto aislado. Polos Simples En este caso
∞
f ( f (z ) = a−1 (z
− a)−1 +
Ahora bien, la funci´on on (z
ak (z
k=0
− a)k .
− a)f ( f (z ) = a−1 + a0 (z − a) + · · ·
es holomorfa en z = a, de donde a1 = l´ım (z z →a
− a)f ( f (z ).
Ejemplos 1. Considerem Consideremos os la funci´on on f ( f (z ) = 1/ sin z , ´esta esta tiene un polo p olo simple en el origen, Resz=0 (
1 z ) = l´ım = 1. z →0 sin z sin z
2. Sup´ ongamos ongamos que la funci´on on f ( f (z ) es de la forma f (z ) =
P ( P (z ) , Q(z )R(z )
con P ( P (a) = 0, R(a) = 0, Q(a) = 0 y Q (a) = 0, en este caso, se tiene
−
P ( P (z )(z )(z a) = l´ım z →a Q(z )R(z ) z →a
Resz=a (f ( f (z )) = l´ım ım
P ( P (z ) Q(z )−Q(a) R(z ) z −a
=
P ( P (a) Q (a)R(a)
.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
58
Como ilustraci´on, on, consideremos f ( f (z ) = cot z , esta funci´on on tiene polos simples en z = πk con k entero, cos z sabiendo que cot z = sin z , los residuos en los polos simples zk = πk, πk , est´an an dados por Resz=zk (cot z ) =
cos(πk cos(πk)) = 1. 1. cos(πk cos(πk))
Polos de orden superior Supongamos que f tiene un polo de orden n en el punto a, el desarrollo de la serie de Laurent alrededor de este polo est´a dada por f ( f (z ) = a−n (z
− a)−n + · · · + a−1(z − a)−1 + a0 + a1(z − z0) + · · · .
La funci´ on on g (z ) = f ( f (z )(z )(z a)n es holomorfa holomorfa alrededor de a, por que a es una singularida singularidad d suprimible suprimible para g . El desarrollo en serie de potencias alrededor de a de la funci´on on g es por consiguien consiguiente te
−
· · · + a−1(z − a)n−1 + · · · . El residuo buscado de f es el coeficiente del t´ ermino ermino de grado n − 1, por consiguiente g(z ) = a−n +
Resz=a (f ( f (z )) =
1 (n
−
dn−1 (g(z ))z =a . 1)! dzn−1
Ejemplo 3.- Consideremos la funci´on on f ( f (z ) = 1/(1 + z 2 )n , que tiene polos de orden n en z = en z = i. Se tiene g (z ) = f ( f (z )(z )(z a−1
= =
±i. Calculemos el residuo
− i)n = (z +1 i)n = (z ( z + i)−n ,
dn−1 (z + i)−n (n 1)! dzn−1 (2n (2n 2)! i 2n−1 . 2 ((n ((n 1)!)2 1
−
− −
−
z =i
=
1
(n
−2n+1
2)(i + i) − 1)! (−n) · (−n − 1) · (−2n + 2)(i
,
Ahora bien, calcular la n 1-sima derivada de una funci´on, on, generalmente no es una tarea simple por lo que tambi´en en es util u ´ til realizar desarrollos de series de Laurent limitados a un n´umero umero finito de t´erminos. erminos.
−
Ejemplo 4.- La funci´ on on csc3 z tiene un polo de orden 3 en el origen. Realizando desarrollos en serie de potencias limitados a un n´ umero umero finito de t´erminos, erminos, se tiene t iene csc3 z
= (z z 3 /3! + (z 5 ))−3 = z −3 (1 z 2 (1/ (1/3! + −3 2 2 −3 = z (1 ( )z (1/ (1/3! + (z )) + ) 1 1 = z −3 (1 + z 2 /2 + ) = z −3 + z −1 + . 2
−
−
O
− ···
O
···
de donde Resz=0 (csc3 z ) =
···
1 . 2
O(z2)))−3
59
I.10. RESIDUOS RESIDUOS Y APLICACI APLICACIONES ONES
I.10.2.
C´ alculo de Integrales alculo Integrales
Una de las aplicaciones de los residuos est´a dada por el c´alculo alculo de integrales definidas y/o impropias reales. A continuaci´on on veremos algunas situaciones t´ıpicas, en las cuales la utilizaci´ util izaci´on on de residuos residuos permite permite facilment facilmentee evaluar integrales. 2π 1. Integrales del tipo: 0 R(cos θ, sin θ ) dθ Donde R(x, y) = P ( P (x, y )/Q( /Q(x, y ), P ( P (x, y) y Q(x, y) polinomios. polinomios. Suponemos adem´as as que Q(cos θ, sin θ ) = 0 para todo θ [0, [0, 2π].
∈
Planteando z = eiθ y γ la circunferencia unitaria, la integral se convierte
2π
R(cos θ, sin θ) dθ =
0
R
γ
z + z −1 z z −1 , 2 2i
−
dz . iz
Ejemplo 5.- Consideremos la integral, con a > 1,
||
2π
1 dθ, a + cos θ
0
que mediante la transformaci´on on dada m´as as arriba, se convierte en
2π
0
1 dθ = a + cos θ
−2i
z2
γ
1 dz + 2az 2az + 1
Ahora bien f ( f (z ) = 1/(z 2 + 2az + 1) tiene tiene un polo simple simple al interior de la circunferencia dado por z1 = a + a2 1, que dicho sea de paso es real. El residuo de f ( f (z ) en z1 es
−
Resz=z1 (f ( f (z )) =
√ −
1 1 = 2z1 + 2a 2a 2 a2
√ − 1,
aplicamos el teorema de los residuos y obtenemos
2π
0
1 1 dθ = ( 2i)(2iπ )(2iπ)) a + cos θ 2 a2
√ − 1 = √a22π− 1 .
−
∞
2. Integrales del tipo: −∞ R(x) dx Donde R(x) = P ( P (x)/Q( /Q(x), P ( P (x) y Q(x) polinomios con Q(x) = 0 para todo x
Si por ejemplo deg P ( P (x) + 2
∈ R.
≤ deg Q(x), se tiene zl→∞ ´ım zP ( zP (z )/Q( /Q(z ) = 0.
Por consiguiente la integral impropia en cuesti´on on existe y ademas
+∞
r
R(x) dx = l´ım ım
r→+∞
−∞
R(x) dx.
−r
Observando la figura, si γ es el contorno contorno cerrado, C r la mitad de la circunferencia, se tiene
r
−r
R(x) dx =
γ
R(z ) dz
−
C r
R(z ) dz,
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
60 Pasando al l´ımite, se verifica
≤
R(z ) dz
C r
|
πr m´ ax ax P ( P (z )/Q( /Q(z ) z ∈C r
| → 0 cuando r → ∞
Para el contorno γ , el teorema de los residuos da l´ım
r→∞ γ
de donde
R(z ) dz = 2iπ 2 iπ
Resz=zi (R(z )), )),
zi polo zi >0
∞
R(x) dx = 2iπ 2 iπ
−∞
Resz=zi (R(z )). )).
zi polo zi >0
Ejemplo 6.- La integral impropia
∞
−∞
1 (2n (2n 2)! dx = π 2n−2 2 n (1 + x ) 2 ((n ((n 1)!)2
− −
(I.10.2)
porque i es un polo de orden n, el unico u ´ nico que se encuentra en el semiplano complejo superior y utilizando el resultado del ejemplo 3 se llega al resultado enunciado.
∞
3. Integrales del tipo −∞ f f ((x)eiax dx Donde f ( f (z ) 0 cuando z . Para resolver este tipo de integrales, al igual que se ha hecho en el caso precedente, la idea es construir un contorno en el semiplano superior o inferior, de manera que el recorrido que no se encuentra sobre la recta real tienda a O y aplicar el teorema de los residuos.
→
→∞
Consideremos el caso en que a > 0, usualment usualmentee se toma semicircunsemicircunferencias para construir un contorno; esta vez, trabajaremos sobre un rect´ angulo, observando la figura de la derecha, se tienen γ 1 , γ 2 y γ 3 angulo, arcos simples que no est´an an sobre la recta real. Para γ 1 , se tiene
f ( f (z )e
iaz
≤
1
dz
M ( M (R)
e−aRt R dt = M (R)
0
γ1
1
− e−aR a
donde M (R) = m´ax ax f (z ) 0 cuando R 0. De esta manera la integral sobre γ 1 tiende a 0 cuando R . Similarmente la integral sobre γ 3 tiende a 0. Para el arco γ 2 , se tiene la mayoraci´on on
|
→∞
|→
f ( f (z )e
→
iaz
γ2
cuando R
→ 0.
≤
R
dz
e−R dt = 2M 2 M (R)e−R R
M (R)
−R
→0
Para a < 0 se procede de la misma manera, pero tomando el rect´angulo en el semiplano inferior. Ejemplo 7.- Determinar
∞
sin x x
−∞
dx.
La funci´ on on f ( f (z ) = sin z/z tiene una singularida singularidad d (suprimible (suprimible en z=0), por consiguien consiguiente te
∞
−∞
sin x x
−δ
dx = Rl´ım
→∞ δ→0+
−R
sin x x
∞
dx +
δ
sin x x
dx .
61
I.10. RESIDUOS RESIDUOS Y APLICACI APLICACIONES ONES
Ahora bien, en lugar de considerar el intervalo [ R, R] como habitualmente hemos hecho, consideramos el recorrido dado por γ = [ R, δ ] + C δ + [δ, [δ, R], ver figura. Se tiene
−
− −
− −δ
−R
Por otro lado sin z = (eiz
∞
sin x x
dx +
δ
sin x x
sin z x
dx =
γ
dz
C δ
sin z z
dz.
− e−iz )/2i, por lo que
sin z x
γ
dz =
γ
eiz dz 2iz
−iz
− intγ e2iz
dz.
Para eiz /2iz agregamos a γ un recorrido, de manera que obtengamos un rect´angulo en el semi plano superior. Esta funci´ on tiene un polo simple en z = 0, de donde on
γ
eiz dz = 2iπ Resz=0 (eiz /(2iz (2iz)) )) = π. 2iz
Para e−iz /2iz agregamos a γ un recorrido, de manera que obtengamos un rect´angulo en el semiplano inferior, esta funci´ on no tiene polos en el interior del rectangulo, por lo tanto on
γ
Hacemos tender R
e−iz dz = 0 2iz
→ ∞ y δ → 0+, obteniendo
∞
sin x x
−∞
dx = π.
∞
4. Integrales del tipo 0 xα f f ((x) dx Donde 1 < α < 1 y f ( f (z) es una funci´on on holomorfa que no se anula sobre el semieje positivo real, 1+α z 1+α f ( f (z ) 0 cuando z y que satisface
−
→
→∞
(xei2π )α f ( f (xei2π ) = βxf ( βxf (x).
(I.10.3)
Para encontrar el valor de la integral, consideramos el recorrido
γ = γ 1 + γ 2 + γ 3 + γ 4 , donde γ 1 es el segmento de origen δ > 0 y llegada R > 0, γ 2 es la circunferencia de radio R, γ 3 es el segmento de origen R y llegada δ y finalmente γ 4 es la circunferencia de radio δ. 1+α La condici´on on sobre z 1+α f ( f (z ) cuando z hace que la integral sobre γ 1 tienda a 0 cuando R . La condici´on on 1 < α < 1 hace que la integral sobre γ 4 tienda a 0 cuando δ 0+ . Aplicando el teorema de los residuos sobre el contorno γ , se tiene
→
γ
−
z α f ( f (z ) dz = 2iπ
→∞
→∞
zi α Resz =zi (f ( f (z )), )),
(I.10.4)
zi polo zi =0 =0
tomando como determinaci´on on del logaritmo, aquella en que arg( 1) = π.
−
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
62 Gracias a I.10.3, la integral sobre γ 3 , vale
δ
(xe
i2π α
i2π
) f ( f (xe
R
) dx =
R
Por lo tanto, tanto, haciendo tender R
− β )
β
xα f (x) dx.
δ
→ ∞ ∞
(1
−
→ 0+, y utilizando I.10.4, se obtiene
yδ
xα f ( f (x) dx = 2iπ
0
)). zi α Resz=zi (f ( f (z )).
zi polo zi =0 =0
Suponiendo que β = 0, se deduce facilemente que
∞
xα f ( f (x) dx =
0
2iπ 1 β z
−
zi α Resz=zi (f ( f (z )). )).
i polo zi =0 =0
Ejemplo 8.- Determinar la integral de Euler
∞
0
xa−1 dx 1 + xb
0 < a < b.
(I.10.5)
Observando el contorno, para este tipo de integrales, la condici´on a > 0 asegura que la integral sobre γ 4 tienda a 0 cuando δ tiende a 0 y la condici´on on a < b asegura que la integral sobre la circunferencia de radio R tienda a 0 cuando R . Sin embargo, es muy posible que en esta integral no se pueda cumplir la condici´on I.10.3; por lo que, en lugar de elegir el contorno sugerido m´as arriba, elegimos otro contorno.
→∞
La novedad consiste en tomar como γ 3 el segmento de recta de direcci´ on on dada por eiθ donde θ = 2π/b 2 π/b.. Existe un unico u ´ nico polo simple en el iθ/2 iθ/2 interior del contorno dado por z = e . Haciendo tender δ a 0 y R al infinito, se tiene (1
iθ( iθ (a−1)
−e
∞
0
∞
)
1)θ/2 2 xa−1 ei(a−1)θ/ dx = 2 iπ = 1)θ/2 2 1 + xb bei(b−1)θ/
0
ibθ/2 porque eibθ/2 =
Por lo tanto
xa−1 dx = 1 + xb
iaθ/2 iaθ/2
−2iπ e
b
−1. iaθ/2 iaθ/2
− b 1πe−e
i(a−1)θ
2i
=
pi 1 . b sin aπ b
∞ xR((x) dx 0 log xR
5. Integrales del tipo Donde R(x) = P ( P (x)/Q( /Q(x) es una funci´on on racional que no se anula sobre el semi eje real positiovo y deg P + 2 deg Q. Para resolver esta integral consideramos la funci´on
≤
f ( f (z ) = log2 z R(z ),
(I.10.6)
con determinaci´on on del argumento dada por arg( 1) = π y el contorno de la figura de la izquierda. Mayoremos las integrales sobre los diferentes arcos, sobre γ 2 el arco de circunferencia de radio R, se tiene
−
(log z ) R(z ) dz
γ2
cuando R
2
→ 0.
≤
(2πR (2πR)(log )(log2 R + 4π 4π2 ) + O(R−2 )
= log2 R O(R−1 )
→O
63
I.10. RESIDUOS RESIDUOS Y APLICACI APLICACIONES ONES
De la misma manera
(log z )2 R(z ) dz
γ4
cuando δ Luego
→ 0.
R
2
(log z ) R(z ) dz =
γ1
≤
(2πδ (2πδ)(log )(log2 δ + 4π 4π2 )O(1) = log2 δ O(δ)
x
log R(x)dx,
δ
δ
2
(log z ) R(z ) dz =
γ3
→0
(log x + i2π )2 R(x) dx.
R
Por consiguiente
2
(log z ) R(z ) dz +
γ1
R
2
−2iπ
(log z ) R(z ) dz =
γ3
log x R(x) dx + 4π 4π
δ
2
R
R(x) dx.
δ
Aplicamos Aplicamos el teorema teorema de los residuos, residuos, hacemos tender δ
∞
log x R(x) dx =
0
−
1 2
zi polo zi =0 =0
→ 0 y R → ∞, para obtener ∞ log2 (zi )Resz =z (R(z )) − iπ R(x) dx.
i
(I.10.7)
0
Ejemplo 9.- Calcular la integral impropia
∞
log x dx. 1 + x2
0
Utilizamos las f´ ormulas (I.10.7) y (I.10.2) con n = 1. La funci´ ormulas on on R(z ) = 1/(1 + z 2 ) tiene polos simples simples en z = i y z = i, de donde
−
∞
0
log x dx = 1 + x2
− 1 2
π2 9π + 8i 8i
−
−
pi2 i = 0. 2
6. Integrales de otro tipo Referirse a textos de consulta, como Variable Compleja de la Serie Schaum.
I.10.3. I.10 .3.
Valor Pri Princip ncipal al de de Cauc Cauchy hy
En el curso de Primer A˜no no de An´alisis alisis se trato el concepto de integral impropia y la caracter´ caracter´ıstica esencial era que el l´ımite de la integral no depend´ıa ıa de los l´ımites de las extremidades. extremid ades. ∞ R continua. El valor principal de −∞ f ( Definici´ on I.10.2 Sea f : R on a1 , . . . , an f (x) dx, dx, si existe, est´ a dado por
−{
∞
v.p
−∞
}→
a1 −δ
f ( f (x) dx = l´ım ım
δ →0+ R→∞
a2 −δ
f ( f (x) dx +
−R
R
f ( f (x) dx +
a+ δ
··· +
an +δ
f ( f (x) dx .
(I.10.8)
Ejemplo 1. Se tiene
∞
v.p
−∞
1 dx = 0. 0. x
Remarca.- La definici´on on de valor valor principal principal dada por p or (I.10.8), (I.10.8), presenta presenta dos l´ımites, ımites, uno alrededor alrededor de los puntos puntos singulares singulares y otro l´ımite en las extremida extremidades. des. Esta definici´ definici´on on puede adaptarse a otras situaciones, donde el valor principal puede tener cierto rol. Remarca.- Si una integral impropia existe, obviamente existe su valor principal y este es igual a la integral impropia.
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
64
Teorema I.10.2 Sean f : Ω 0 Ω abierto. Si f es holomorfa sobre Ω, salvo en C, H = z z z1 , z2 , . . . , zn , si zk = 0 zk es un polo simple y si adem´ as
→
f ((z ) f
C R
entonces
{ | ≥ } ⊂
→ 0 cuando R → ∞,
∞
v.p
f ((x) dx = 2iπ f 2 iπ
−∞
C R = Reit t
| ∈ [0[0,, π]},
{
Resz=zk (f f ((z )) + iπ
zk punto singular zk >0
Resz=zk (f f ((z ))
(I.10.9)
zk polo simple zk =0
Demostraci´ on.on.- Consideramos el contorno γ dado por la semicircun semicircunferen ferencia cia C R de radio R, los segmentos it [ak + δ, ak+1 δ ] y las semicircun semicircunferenc ferencias ias C k = z = ak + δe t [π, 2π].
−
{
|∈
Para R > 0 lo suficientemente grande y δ > 0 lo suficientemente peque˜no no se tiene, por el teorema de los residuos
f ( f (z ) dz = 2iπ 2 iπ
γ
Por otro lado, si zk polo simple con
Resz=zk (f (z ))
(I.10.10)
zk punto singular zk >0
zk = 0, se tiene alrededor de zk f ( f (z ) =
con gk holomorfa, de donde
Resz=zk (f ( f (z )) + gk (z ) z zk
−
f ( f (z ) dz =
C k
−iπ Resz=z (f (z)). )).
(I.10.11)
k
Por consiguiente
a1 −δ
−R
a2 −δ
f ( f (x) dx +
R
f ( f (x) dx +
a+ δ
··· +
f (x) dx
an +δ
= 2iπ 2 iπ
=
f (z ) dz
γ
−
Resz=zk (f (z )) + iπ
zk punto singular zk >0
f ( f (z ) dz
C R
−
zk
−
zk =0
Resz=zk (f ( f (z ))
zk polo simple zk =0
f (z ) dz
C k polo simple simple
f ( f (z ) dz.
C R
Pasando a los l´ımites se tiene el resultado deseado.
I.11.. I.11
Func uncione ioness Mer Meromor omorfas fas
⊂
− →
C abierto, Se dir´ C holomorfa es meromorfa, si D es un Definici´ on I.11.1 Sea Ω on a que f : Ω D conjunto discreto y para todo z D z es un polo o singularidad suprimible. Denotamos por M(Ω) el conjunto de funciones meromorfas sobre Ω.
Proposici´ on I.11.1 Sea on Sea Ω Ω
∈
⊂ C un abierto no vacio, entonces M(Ω) es un es cuerpo que prolonga C.
65
I.11. FUNCIONES FUNCIONES MEROMORF MEROMORFAS AS
Demostraci´ on.on.- Ejercicio.
Ejemplos 1.
{
|
}
C(z ) = R(z ) = P ( P (z )/Q( /Q(z ) P, Qpolinomio, polinomio, Q = 0 el conjunto de las funciones racionales sobre un subcuerpo de M(C). La verificaci´on on es un simple ejercicio.
C
es
2. Las funciones trigonom´ etricas etricas cos z , sin z , tan z , cot z , sec z y csc z son funciones meromorfas. De las cuales, excepto sin z y cos z tienen una infinidad de polos simples.
I.11.1. I.11 .1.
Desarrol Desa rrollo lo en Fracc raccione ioness Pa Parcia rciales les de Func uncione ioness Mero Meromorf morfas as
Para las funciones racionales, la descomposici´on on en fracciones parciales es conocida desde hace 300 a˜nos y es muy util, u ´ til, por ejemplo en integraci´on. on. Consideremos la fracci´on on
− 20 20zz 2 + 4z 4z + 19 − 1)3(z + 2)2 Tenemos un polo de orden 3 en z = 1 y uno de orden 2 en z = −2. f ( f (z ) =
6z 4 (z
Lass series de Laurent, alrededor de coronas de centros z = 1 y z =
(I.11.1)
−2 est´an an dadas por:
1
2 3 8 7 2 − − − + ( z 1) + (x − 1)2 + · · · , 3 2 (z − 1) (z − 1) z − 1 9 27 27
f ( f (z ) =
14 17 − (z +1 2)2 + z +3 2 − 34 − (z + 2) − (z + 2)2 + · · · 27 27 81
f ( f (z ) =
(I.11.2) (I.11.3)
Denotando Denotando las partes partes principales principales de estos desarrollos desarrollos por p or p1 (z ) =
−
1 (z
−
1)3
− (z −2 1)2 + z −3 1
y
p2 (z ) =
− (z +1 2)2 + z +3 2 ,
−
la funci´ on on f ( f (z ) p1 (z ) p2 (z ) tiene ningu´ un polo y por consiguiente es holomorfa sobre todo un l´ım f (z ) = 0 y por el teorema de Liouville, esta diferencia es 0. Por lo tanto, se tiene
(I.11.4) C,
como
z →∞
f ( f (z ) =
1 (z
−
1)3
− (z −2 1)2 + z −3 1 − (z +1 2)2 + z +3 2
(I.11.5)
que es un desarrollo en fracciones parciales de p(z ). Caso de una infinidad de polos El resultado (I.11.5) nos hace pensar que es posible expresar funciones meromorfas en desarrollos de fracciones parciales, inclusive en el caso en que la funci´on en cuesti´on on tenga una infinidad de polos. Este es el caso de cot z y csc z que presentan polos simples en z = kπ con k Z. Se tiene
∈
Resz=kπ (cot z ) = 1,
yResz=kπ (csc z ) = ( 1)k ,
de donde tomando las partes principales se obtendr´ obtendr´ıa:
cot z
=
−
(I.11.6)
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
66 =
csc z
1 1 1 1 · · · + z +12π + + + + + ··· 2 π z + π z z − π z − 2π
(I.11.7)
1 1 1 1 · · · + z +12π − + − + + ··· 2 π z + π z z − π z − 2π
(I.11.8)
=
=
Ahora bien, (I.11.5) es correcto, porque trabajamos con un n´umero finito de terminos y por que la funci´on f tiende a 0 cuando z tiende a infinito. En el caso de una infinidad de polos exite dos inconvenientes: el primero, tanto (I.11.7), como (I.11.8) no son sumas finitas, sino al contrario son series, por lo que es necesario hacer un an´alisis alisis de convergencia; segundo, f ( f (z ) 0 cuando z . En consecuencia, es necesario proceder de otra manera. Sea f : Ω meromorfa.. Consideramo Consideramoss una C meromorfa
→
sucesi´ on on de contornos C n tal que Para k
∈ N dado, planteamos
∞
n=1
→∞
→
Int C n = C y para todo n no hay polos de f sobre C n .
−
gk (z ) = f ( f (z )
pj (z )
(I.11.9)
Int
zj ∈ Ck zj polo
donde pk es la parte principal del desarrollo de Laurent alrededor del polo zj . Puesto que C k es acotado y f es meromorfa, la suma (I.11.9) es finita y la funci´on gk es holomorfa en el dominio definido por C k . Aplicando la f´ormula ormula integral de Cauchy, se obtiene
gk (z ) =
C k
es decir f ( f (z ) =
gk (ζ ) dζ, dζ , ζ z
pj (z ) +
Int
C k
gk (ζ ) dζ = ζ z
−
gk (ζ ) dζ, dζ , ζ z
C k
f ( f (ζ ) dζ ζ z
−
∀z ∈ Int C k ,
−
C k
zj ∈ Ck zj polo
Ahora bien,
∀z ∈ Int C k ,
−
−
C k
Int
zj ∈ Ck zj polo
(I.11.10)
pj (ζ ) dζ, dζ , ζ z
−
y las integrales, para R > 0 arbitrariamente grande, se tiene
C k
cuando R
pj (ζ ) dz = ζ z
−
pj (ζ ) dζ z |ζ |=R ζ
−
→ 0,
→ ∞, de donde (I.11.10), puede escribirse como f (z ) =
pj (z ) +
C k
Int
zj ∈ Ck zj polo
f ( f (ζ ) dζ, ζ z
∀z ∈ Int C k ,
−
(I.11.11)
Teorema I.11.1 (Series de fracciones parciales) Sea f : C on meromorfa, denotamos C una funci´ por pk la parte principal del desarrollo de la serie de Laurent de f alrededor del polo zk . Si existe una sucesi´ on
→
{C n} de contornos, con
∞
n=1
C n = C, tal que para cualquier z l´ım
n→∞ C n
∈ C se tenga
f (ζ ) f ( dζ = 0 ζ z
−
(I.11.12)
67
I.11. FUNCIONES FUNCIONES MEROMORF MEROMORFAS AS
Figura I.11.1: Mapas de cot z y csc z entonces, para cualquier z
∈ C, se tiene
∈ ≤ − f ((z ) = f
pk (z ).
zk
Si adem´ as para M
⊂ C compacto, se tiene para todo z C n
cuando n
(I.11.13)
polo
M
f (ζ ) f ( dζ ζ z
κn
→0
(I.11.14)
→ ∞, entonces la serie (I.11.13) converge uniformemente sobre M.
Ilustremos el teorema (I.11.1) con la funci´on on csc z = 1/ 1 / sin z . Esta funci´on on tiene polos simples en z = kπ con k C y la serie en fracciones parciales conjeturada est´a dada por la f´ormula ormula (I.11.8). Mostremos que esta formula es correcta. La segunda gr´afica de la figura I.11.1 nos sugiere inmediatamente que contornos elegir. Elegimos como contornos los cuadrados C n de centro el origen, de lados verticales que pasan por (π/2 π/2 + 2(n 2(n 1)π 1)π) y lados verticales que pasan por i(π/2 π/2 + 2(n 2(n 1)π 1)π). Utilizando el hecho que
∈
−
1 ζ
se tiene
−
−z
1 z + , ζ ζ (ζ z )
=
csc ζ csc ζ dζ = dζ + dζ + z ζ C n ζ C N La funci´ on on csc ζ/ζ es una funci´on on par, por lo que
−
C N
de donde es suficiente mostrar que l´ım
(I.11.15)
−
C N
z csc ζ dζ. dζ . ζ (ζ z )
(I.11.16)
−
csc ζ dζ = 0, ζ
n→∞ C N
(I.11.17)
z csc ζ dζ = 0 ζ (ζ z )
−
(I.11.18)
−
Ahora mayoremos csc ζ sobre C n . Comenzemos por el lado vertical que pasa por ( π/2+2( π/2+2(n n 1)π 1)π), como csc es 2π 2 π peri´odica, odica, se tiene csc((π/ csc(( π/2+2( 2+2(n n 1)π 1)π ) + iy) iy) = csc(π/ csc(π/22 + iy) iy ) y por consiguiente, utilizando identidades trigonom´ trigono m´ etricas, etricas , se obtiene
−
1 + iy) iy )
sin( π2
csc(
π + iy) iy ) 2
= =
1 , cos(iy cos(iy)) 1 1. cosh y
≤
(I.11.19)
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
68 Para el lado horizontal que para por i(π/2 π/2 + 2(n 2(n
− 1)π 1)π) = δn , se tiene
sin(x sin(x + iδn ) = sin x cos(iδ cos(iδn ) + cos x sin(iδ sin(iδn ) = sin x cosh δn
− i cos x sinh δn, π |sin(x sin(x + iδn )| = cos2 x sinh2 δn + sin2 x cosh2 δn ≤ sinh δn ≤ sinh( ), 2 1 |csc(x csc(x + iδn )| ≤ ≤ 1. sinh π
(I.11.20)
2
Como csc z es una funci´on on impar, se tiene sobre el cuadrado C n , csc ζ
|
C n
cuando n compacto
I.1 .11. 1.2. 2.
z csc ζ dz ζ (ζ z )
−
≤
| ≤ 1. Por lo tanto
1
− |z|) → 0
rn (rn
→ ∞ donde rn es el radio de la circunferencia inscrita en C n. Es facil, deducir que para un
M,
se tiene (I.11.14). Por lo tanto (I.11.8) converge uniformemente.
N´ umero de Ceros y Polos de Funciones Meromorfas umero
Sea f : Ω on meromorfa sobre un abieto Ω y γ un contorno en Ω tal que f no tenga, ni on C una funci´ ceros, ni polos sobre γ . El campo de vectores Φ:Ω C f (z ) z |f (z )|
→
→ →
est´ a definido y es continuo sobre Ω, excepto sobre los ceros y polos de f . f . En particular es continuo sobre el arco γ . Definici´ on I.11.2 (Indice de Cauchy) El ´ındice on ındi ce de Cauchy, Cauc hy, Ind(f, Ind(f, γ ), de la funci´ on f sobre el contorno umero de vueltas, (tomando como sentido positivo el movimeinto de las manecillas de un reloj), γ , es el n´ que da el campo Φ al recorrer el contorno γ . Ver figurea I.11.2. Para un contorno γ : [a, b] Ω y una funci´on on f : Ω consideremos la funci´on on continuea
→
Φ : [a, b] t
→ →
→ C meromorfa, sin polos, ni ceros sobe el contorno,
R
ϑ
|
f ( f (γ (t)) = eiϑ . f ( f (γ (t))
|
(I.11.21)
Esta funci´on on est´a bien definida si se conoce por ejemplo Φ( a) y su c´alculo alculo puede efectuarse efectuarse cam cambiand biandoo determinaciones del argumento. Se tiene 1 Ind(f, Ind(f, γ ) = (Φ(b (Φ(b) Φ(a Φ(a)). )). (I.11.22) 2π
−
(I.11.22) muestra que Φ cumple el rol de una primitiva y por consiguiente nos permite pensar que es posible determinar Ind(f, Ind(f, γ ) utilizando una integral. Ahora bien, tal como se ha definido Φ, se utiliza de alguna manera determinaciones de arg, que no es holomorfa. Sin embargo las determinaciones de log si lo son y podemos utilizarlas y tendriamos Ind(f, Ind(f, γ ) =
1 (log2 (f ( f (γ (b))) 2iπ
− log1(f ( f (γ (a))))., )))).,
(I.11.23)
donde log1 y log2 son determinaciones de log de manera que Φ sea continuea. Por otro lado, se tiene
b
a
f (γ (t)) γ (t) dt = (f ( f (γ (b))) f ( f (γ (t))
Por lo tanto, tenemos el teorema siguiente
− log1(f (γ (a))). ))).
(I.11.24)
69
I.11. FUNCIONES FUNCIONES MEROMORF MEROMORFAS AS
Figura I.11.2: Indice de Cauchy Cauchy para f ( f (z ) = Teorema I.11.2 Sean f : Ω de f , entonces
z 2 −4 ez −i .
→ C merormorfa y C un contorno en Ω en el cual no hay, ni polos, ni ceros 1 Ind(f, Ind( f, C ) = 2iπ
f (z ) dz. f ((z ) C f
(I.11.25)
Demostraci´ on.on.- Ejercicio
Antes de enunciar el resultado principal de esta secci´on on es bueno recordar el siguiente resultado Lema I.11.1 Sea Sea f f : Ω
→ C meromorfa, entonces
a) z0 es un cero de multiplicidad m, si y solamente si existe g : Ω C meromorfa y holomorfa en z0 tal que f ((z ) = (z z0 )m g(z ), g (z0 ) = 0. f 0. (I.11.26)
→
−
→ C meromorfa y holomorfa en z0 tal que f ((z ) = (z − z0 )−m g(z ), g (z0 ) = f 0.0 . (I.11.27)
b) z0 es un polo de orden m, si y solamente si existe g : Ω
Demostraci´ on.on.- Ejercicio
→
C meromorfa y C un contorno sin ceros, ni Teorema I.11.3 (Principio del Argumento) Sea f : Ω polos de f , entonces Z P = Ind(f, Ind(f, C ) (I.11.28)
−
donde Z es el n´ umero de ceros, contando su multiplicidad, de f en el interior de C y P es el n´ umero de polos, contando su orden en el interior de C .
CAP ´ ITULO I. VARIABLE ARIABLE COMPLEJA
70
Demostraci´ on.on.- Puesto que f es meromorfa y el interior de C es acotado, el n´ umero umero de polos y ceros son en cantidad finita. Denotemos por z1 , z2 , . . . , zn los ceros y polos, dos a dos diferentes. Con > 0 lo suficientemente peque˜no no aplicamos el corolario 1.6.3 del teorema de Cauchy lo que da
{
}
f (z ) dz = f (x) C f (
n
k=1
f (z ) dz. f ( f (z )
|z −zk |=
(I.11.29)
Sea zk un polo o un cero, veamos cada uno de los casos i)z i)zk es un polo, supongamos de orden nk , por el lema precedente se tiene −nk −1
f ( f (z ) = (z
−nk (z − zk ) (z ) g (z ) + (z ( z − zk ) − zk )−n g(z) ⇒ f f ( = f (x) (z − zk )−n g (z )
−nk
g (z )
k
k
de donde
|z −zk |=
f (z ) dz = f ( f (z )
=
−nk (z −1 zk ) + gg((zz))
−nk 2iπ.
(I.11.30)
ii)z ii)zk es un cero, supongamos supongamos de multiplicid multiplicidad ad nk , por el lema precedente se tiene nk −1
f ( f (z ) = (z
(z ) nk (z − zk ) g (z ) + (z ( z − zk ) − zk )n g(z) ⇒ f f ( = n f (x) (z − zk ) g (z ) k
k
de donde
|z −zk |=
Por lo tanto
Z
g (z )
= nk
f (z ) dz = nk 2iπ. f ( f (z )
f (z ) dz = 2iπ 2 iπ((Z f (z ) C f (
es decir
nk
1 (z
− zk )
+
g (z ) g (z )
(I.11.31)
− P),
− P = Ind(f, Ind(f, C ).
Teorema I.11. I.11.4 4 (Teorema de Rouch´ e) Sean f, g : Ω e) Ω. C holomorfa, C un contorno con Int C Si f f ((z ) > g (z ) para todo z C , entonces f y f + g tienen el mismo n´ umero de ceros en el interior del contorno C .
|
| |
|
→
∈
Demostraci´ on.on.- Consideramos la funci´on on definida por h(t, z ) = f ( f (z ) + tg( tg(z ) con t continua respecto a t y holomorfa respecto a z. Por otro lado, se tiene
⊂
∈ [0, [0, 1]. Esta funci´on on es
|h(t, z )| = |f ( f (z ) + tg( tg(z )| ≥ |f ( f (z )| − t |g (z )| ≥ |f ( f (z )| − |g(z )| > 0. Por lo tanto, est´a bien definido para todo t ∈ [0, [0, 1] 1 Ind(h Ind(h(t, z ), C ) = 2iπ
(I.11.32)
h (t, z ) dz C h(t, z )
Considerando Ind(h Ind(h(t, z ), C ) como una funci´on on respecto a t est´ a es continua y que solo toma valores enteros, lo que significa que necesariamente es constante.