Variable Compleja

TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA A. L. Cauchy (1789–1857)

Editado por

Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruiz ´ sobre apuntes del Area de Análisis matemático

B. Riem a n n (1826–1866)

K. Weier st r a ss (1815–1897)

“La teor ´ı a moderna de las funciones anal

´ı tic as ha teni do c uatr o f undado res: Gauss ,

Cauchy , Rie ma nn y Weie rst ra ss. Gauss no publi c o´ nada en vida; por as

´ı decir, no hab ´ı a comunicado nada a nadie y sus

man usc rito s n o se han reenc ontr ado hasta por ell o ninguna in Los otros tres ge

´ de su muert e. No ha eje rci do mucho de spu es

fl uencia.

o´ metras que han contribuido a crear la noci

o´ n nueva de funci

o´ n han

seguido caminos bien diferentes. Cauc hy h a prec edi do a los otros y les ha mo stra do el c amino; pe ro no obs tan te las t res ´ı tres

concepciones se mantienen distintas y esto es una gran suerte, pues tenemos as

´ podemos combinar a menudo. instr um entos ent re los que podemo s eleg ir y cuya a cci on

. .. La t eor ´ı a de Cau chy co nt en ´ı a en germen a la vez la concepci

o´ n geom e´ tr ica de Rieman n y l a

´ c ompr ender como pod ´ı a, a l desarr ollar se concepci o´ n a ritm e´ tic a de W eie rst ra ss, y es f acil en dos sentidos diferentes, dar nacimiento a una y a otra. ´ que Par a Riemann , la imagen geo m e´ tr ica juega el pap el domina nt e; un a funci o´ n no es m as una de las leyes seg

´ las c uales pueden tr un

ansfo rma rse las super

fi cies;

un o busc a repr e-

sent ar se esta s tr an sform aci ones y n o ana lizarlas; su posibi lidad misma no es establec ida ´ qu e po r u n r azo na miento suma rio al q ue n o se ha podido , mucho m m as ´ que a l preci o de modi m as

fi cac iones

´ ta rde, dar rigo r as

pr ofun das y r odeo s complicados .

´ en el extremo o puest o; el pun to de par tida es la serie de potenci Weie rst ra ss se sit ua elem ento de la funci ón que est a´ con fi nado e n un c ´ı rculo de c onvergencia; par

funci o´ n fuera de este c ´ı rculo, tenemos el procedimiento de la continuaci

as,

el

a pr oseg uir la

o´ n anal ´ı tica; todo

deviene as ı´ una consecuencia de la teoria de series y esta teor ´ı a est a´ establecida sobre bases aritm e´ticas y s o´ lidas. Nos desembara zamo s de las duda s que, en el si glo pasado e´ ste, asaltaban a menudo a los pensadores a prop

y en la primera mitad de ´ pr inci pio s d el c alculo in

fi nitesi

la teor ´ı a de funciones anal

´ to de los osi

mal, y t ambi e´ n de las que pod ´ı a provocar por sus lagunas

ı´ticas de Lagrange

. .. ”

´ ica de Weie rst ra ss’, en Ac ta m athe m atic a 22 (1899), (Henr i Poinc ar e´ , ‘La obra ma tem at pp. 1–18.)

INDICE

0 NÚMEROS COMPLEJOS: CONOCIMIENTOS PREVIOS 1. Introducción 2. Propiedades algebraicas de los números complejos 3. El plano complejo 4. Raices n-ésimas de un número complejo 5. La topología de C 6. Compactificación de C 7. Continuidad de las funciones de variable compleja 1 FUNCIONES HOLOMORFAS 1. Introducción 2. Derivabilidad de las funciones de variable compleja 3. Condiciones de Cauchy-Riemann 4. Funciones holomorfas. Funciones armónicas 5. Apéndice: cálculo de armónicas conjugadas y método de MilneThomson 2 FUNCIONES ANALÍTICAS 1. Introducción 2. Series en C: generalidades 3. Series de potencias 4. Funciones analíticas 5. Principio de prolongación analítica 3 FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS 1. Introducción 2. Función exponencial 3. Funciones seno y coseno 4. Determinaciones del argumento y del logaritmo 5. Exponenciales y potencias arbitrarias 6. Otras funciones elementales 4 INTEGRACIÓN DE CAMINOS 1. Introducción 2. Integración de funciones complejas en intervalos reales 3. Curvas y caminos en C 4. Integración de funciones complejas sobre caminos 5. Integrales dependientes de un parámetro complejo 5 INDICE DE UN PUNTO RESPECTO DE UN CAMINO CERRADO 1. Introducción 2. Definición y primeras propiedades 3. Interpretación geométrica del índice 4. Ejemplos y ejercicios 5. Apéndice: de Riemann 6 TEORÍA LOCAL superficies DE CAUCHY 1. Introducción 2. Teorema y fórmula de Cauchy 3. Consecuencias de la fórmula de Cauchy 4. Avance: el teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales 5. Apéndice: sumación de series. 7 TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY 1. Introducción

2. Ciclos. Homología 3. Teorema nomológico de Cauchy 4. Conexión simple 8 CEROS Y SINGULARIDADES. SERIES DE LAURENT 1. Introducción 2. Ceros de una función holomorfa 3. Singularidades aisladas 4. Funciones meromorfas 5. Singularidades en el infinito 6. Series de Laurent 7. Ejercicios resueltos 9 TEOREMA DE LOS RESIDUOS. APLICACIONES 1. Introducción 2. Prólogo: residuos 3. El teorema de los residuos 4. Aplicación al cálculo de integrales y a la sumación de series 5. Aplicaciones a la localización de ceros 6. Valores locales de una función holomorfa 7. Teorema de la aplicación abierta 8. Teoremas de la función inversa 9. Ejercicios resueltos

CAPÍTULO 0

Números complejos: conocimientos previos. 0.1

INTRODUCCION ´

Recopilamos en este cap´ıtulo las propiedades básicas de los números complejos, ya vistas a lo largo de cursos anteriores. Como libros de consulta pueden usar´ se, por ejemplo, Apostol, T.M.: Análisis Matem atico (segunda edici o´ n). Reverté, Barcelona (1991) (algunas explicaciones están más detalladas en Apostol, T.M.: Calculus, vol. I (segunda edici o´ n). Reverté, Barcelona (1989)); para practicar con operaciones y representaciones gráficas, Spiegel, M.R.: Variable compleja. McGraw Hill (colección Schaum) (1971). Comencemos recordando que se defin´ıa

C

= {( a , b ) : a , b ∈ R }

con las operaciones

+ (c, d ) = (a + c, b + d ) (a , b).(c , d ) = (ac − bd , bc + ad ) (a , b )

SUMA: PRODUCTO:

Obsérvese que, como conjunto, C es en realidad R2 . La novedad (y lo interesante como veremos) está en introducir el producto, pues se comprueba fácilmente que C con las dos operaciones anteriores se obtiene un cuerpo conmutativo, con (0, 0) y (1, 0) como elementos neutros respectivos. Además, el cuerpo C contiene al cuerpo R. Precisemos esta a firmación: - La aplicación a cuerpos.

∈ R −→ (a , 0) ∈ C es un homomor fismo inyectivo de

Esta identificación de R como subcuerpo de C nos permite usar la notación (a , 0), y observando que todo elemento (a , b ) C se puede simplificada a escribir como (a , b) (a , 0).(1, 0) (b, 0)(0, 1),

=

∈

=

si denotamos i

+

= (0, 1), con esta nueva nomenclatura, tenemos (a , b ) = a + i b . 1

2

Numeros ´ complejos: conocimientos previos.

Esta forma de escribir un n u´ mero complejo (forma binómica) hace más facil la multiplicación. En efecto, teniendo en cuenta que

i2

= (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1

comprobamos que (a , b ).(c, d )

= (ac − bd , bc + ad )

se traduce en (a

+ i b).(c + i d ) = ac − bd + i (bc + ad ),

donde para hacer esta operación sólo hace falta recordar las reglas habituales de la multiplicación y las identi ficaciones anteriores. Cuando se utiliza una sola letra para denotar un número complejo, se suele elegir la z , y si z a ib con a , b R, los números a , b se llaman partes real e imaginaria de z , respectivamente. Escribiremos entonces a e z, b m z.

= +

∈

=

=

Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja de C es que soluciona el defecto algebraico de R de no ser algebraicamente cerrado, es decir, de que existan ecuaciones polinómicas con coe ficientes reales que no tienen soluciones reales. El ejemplo más aparente es x 2 1 0. Esto ya no va a ocurrir en C.

0.2

+ =

´ PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS N UMERO S COMPLEJOS

Recogiendo de manera abreviada lo que acabamos de exponer, resulta:

{ }

1. C es un espacio vectorial sobre R de dimensión 2 ( 1, i es la base canónica). 2. C es un cuerpo conmutativo que contiene un subcuerpo isomorfo a R. 3. Existe un elemento de C solución de z 2

+ 1 (precisamente i es solución).

Pero, mucho más general, C es algebraic amente cerrado, i.e., todo polinomio con coeficientes complejos tiene una soluci o´ n en C. Este hecho no es fácil de demostrar con argumentos elementales pero, m´ as adelante, ser a´ una consecuencia sencilla del análisis que desarrollaremos sobre C. Además, C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. Con mayor precisión, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpo isomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C.

4. Aplicaci on ´ conjugación. La aplicación de C en C definida por

z

= a + i b −→ z = a − i b


3

tiene las siguientes propiedades:

4.1. Es un isomor fismo de cuerpo ( z

+ w = z + w,

zw

= z w).

= z ). 4.3. Deja fi jo el cuerpo R (z = z si y solo si z ∈ R). 4.2. Es una proyección (z

5. Aplicación módulo. La aplicación de C en R+ definida por

z

= a + i b −→ |z | = +√zz = +a + b 2

2

tiene las siguientes propiedades:

| | ≥ 0, |z | = 0 ⇔ z = 0. 5.2. |z + w | ≤ |z | + |w | (desigualda d triangular). 5.3. |z w | = |z ||w |. 5.1. z

Una consecuencia de estas propiedades es la que suele llamarse desigualdad triangular inversa,

| − w|≥|| z| − |w||.

5.4. z

6. En C no existe un orden total compatible con la estructura algebraica que extienda el orden de R. En efecto, si éste fuera el caso los elementos i y 0 deber´ıan ser comparables. Entonces, ó i > 0, en cuyo caso por la compatibilidad con el producto tendr´ıamos i2 1 > 0, o´ i < 0, en cuyo caso y por la misma raz´ on, también se tendr´ıa i2 1 > 0, con lo cual, obviamente, no se extiende el orden de R.

=− =−

Observaciones. 1. En la construcción de los números se busca siempre solucionar un defecto, pero con una propiedad de minimalidad. As´ı, en los contenidos N

Z

Q

R

C,

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

Z es el menor grupo que contiene a N, Q es el menor cuerpo que contiene a Z, R es el menor cuerpo completo que contiene a Q y C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. 2. Hay otros contextos matemáticos que llevan a construcciones de C, es decir a la construcción de cuerpos isomorfos a nuestro C. Dos ejemplos son los siguientes:

4

Numeros ´ complejos: conocimientos previos. i) Sea R[ x ] el anillo de polinomios en una variable con coe ficientes reales (con las operaciones habituales). Sea I el ideal maximal generado por el polinomio x 2 1. Entonces, el espacio cociente R/I, con las operaciones inducidas, resulta ser un cuerpo conmutativo isomorfo a C.

+

× ;

ii) Sea M (2 2 R) el anillo de las matrices 2 con las operaciones habituales. El subanillo

a M

= { − b

b a



× 2 con coe ficientes reales,

: a, b

∈ R}

es un cuerpo conmutativo isomorfo a C.

0.3

EL PLANO COMPLEJO

Debido a la identificación entre C y R2 , todo n u´ mero complejo z a i b lo podemos representar en el plano como el punto de coordenadas (a , b ). Pero además, es de gran interés la llamada representación polar de un número complejo. Observemos que todo punto del plano z 0 queda un´ıvocamente determinado por su distancia al srcen y por el ´ angulo que forma el segmento [0, z ] con el eje real. ´ Dicha distancia ya sabemos que es el modulo , y el ángulo va a dar lugar al concepto de argumento de un n u ´ mero complejo. Mirando la figura, tenemos las igualdades z cos φ, m z z sen φ, ez de donde z z (cos φ i sen φ) z ei φ . Aqu´ı hemos utilizado la notación z=(a,b ) ei φ cos φ i sen φ. |z | De momento, la igualdad anterior se b= Im z debe interpretar como una de finición, φ aunque más adelante se corresponderá con el valor en i φ de la función expoO a = Re z nencial compleja.

= +

=

 =| |  =| | =| | + =| | = +

Notemos que en este punto damos por bueno que las funciones seno y coseno del Análisis matemático se corresponden con las funciones definidas gráficamente en Trigonometr´ıa, sin que para ello tengamos ninguna justi ficación rigurosa. Para ser totalmente honestos, ni siquiera tenemos hasta ahora una de finición rigurosa de las funciones seno y coseno: nos hemos conformado con admitir su existencia y propiedades. Volveremos sobre este punto cuando estudiemos las funciones elementales básicas.


5

Observación importante. La de finición de módulo no plantea ninguna ambigüedad, pero no as´ı la del a´ ngulo (o argumento) puesto que φ y φ 2k π con k Z hacen el mismo papel. Esto nos hace abordar las siguientes precisiones sobre la definición de argumento.

+

∈

∈ C \ {0}, arg z = {φ ∈ R : cos φ = e z /|z |, sen φ = m z /|z |}.

Definición. Dado z

Por tanto, arg z es un conjunto! Pero ‘es obvio’ que es de la forma

{φ + 2k π : φ ∈ arg z , k ∈ Z}. 0

0

Es decir, conocido un argumento de z , cualquier otro se diferencia de ´ este en un múltiplo entero de 2 π . De esta forma, en cualquier intervalo semiabierto R, existe un único elemento de longitud 2 π , [α, α 2π ) o (α, α 2π ], α perteneciente al conjunto arg z . A este elemento se le denota por

+

+

Arg[α,α+2π ) z

∈

(respectivamente, por Arg(α,α+2π ] z ).

− z = Arg z .

Normalmente, se toma el intervalo ( π, π ] y se escribe simplemente Arg(−π,π ]

A este argumento se le llama argumento principal (precaución: en algunos textos se llama argumento principal al que está en el intervalo [0 , 2π )). La expresión ei φ , φ R (recuérdese que, de momento, es cos φ i sen φ por definición) tiene las mismas propiedades algebraicas que la exponencial real.

∈

+

e i φ ei ψ (e i φ )n

= e + , φ, ψ ∈ R, = e , φ ∈ R, n ∈ N, )− = e − , φ ∈ R. i (φ ψ )

in φ

(ei φ

i ( φ)

1

´ ´ ´ 0.4 RA ICES n -ESIMAS DE UN N UMERO COMPLEJO La representación polar tiene especial importancia en este estudio, pues usándola, es fácil ver que, dado z 0yn N, la ecuación w n z tiene exactamente n soluciones, que son:

=

1/ n i

=

+

Arg z 2k π n

, k = 0, 1, 2,..., n − 1. √ Si queremos alguna notación, z deber´ıa denotar el conjunto de estos n √ elementos, aunque en algunos textos, z indica solamente el valor |z | e (que w

= |z |

∈

e

n

n

nosotros llamaremos ra´ız n-ésima principal).

1/ n i

Arg z n

6


0.5

´ DE C LA TOPOLOG IA

La topolog´ıa (estándar) en C viene dada por la aplicación módulo, que al cumplir las propiedades 5.1, 5.2 y 5.3, tiene las propiedades de una norma y como tal da lugar a una distancia d (z , w) z w

=| − |

2

Mirado en R , e´ sta es la distancia eucl´ıdea. Por tanto, la topolog´ ıa de C es, exactamente, la topolog´ıa eucl´ıdea de R2 . Nos limitaremos a recordar los aspectos de esta topolog´ıa que serán de interés en el desarrollo de la asignatura.

1. Dado un punto z 0

∈ C y un ε > 0, D (z ; ε) = {z ∈ C : |z − z | < ε } 0

0

se llama disco (abierto) de centro z 0 y radio ε . Es lo que en espacios métricos abstractos se denomina bola. La familia de todas las bolas centradas en un punto z 0 , ( D (z 0 ε))ε>0 es una base de entornos del punto z 0 .

;

2. Un subconjunto  de C es abierto si es entorno de todos sus puntos. Es decir, si z , ε > 0 tal que D (z ε) .

∀ ∈ ∃ ; ⊆ 3. Una sucesión z −→ z si (por de finición) ∀ε > 0, ∃n ∈ N  ∀n ≥ n , |z − z | < ε. n

0

0

0

n

0

Es muy fácil comprobar que

zn

−→ z ⇐⇒ e z −→ e z ∧ m z −→ m z . n

0

n

0

0

Por tanto, la convergencia de una sucesión de números complejos se remite al estudio de la convergencia de dos sucesiones de números reales. A partir ´ completo . Es decir, de aqu´ı es sencillo ver que (C, d ) es un espacio m etrico toda sucesión de Cauchy es una sucesión convergente.

⊆

4. Un subconjunto A C es cerrado si su complementario es abierto, o equivalentemente, coincide con su clausura A . Recordemos que z A si

∀ε > 0, D(z; ε) ∩ A = ∅.

∈

Como estamos en un espacio métrico, es interesante observar que esta propiedad se puede caracterizar por sucesiones:

z

∈ A ⇐⇒ ∃(z ) ⊆ A  n

zn

→ z.

⊆

5. Un subconjunto A C es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Como consecuencia se cumple el teorema de Bolzano-Weierstrass: Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente.

6. Conexión. Recordemos la definición, en general.


7

Definición. Unespaciotopológico X sedice conexo sinoesuni´ on de dos conjuntos abiertos no vac´ıos disjuntos (o, equiv alentemente, si los unicos ´ subconjuntos de X cerrados y abiertos a la vez son y X ).

∅

⊆

C se considera espacio topológico con la topolog´ıa Un subconjunto X inducida (o relativa) de C. Los abiertos en X son la intersección de los abiertos de C con X . Para el concepto de conexión por arcos , hace falta recordar algún concepto previo.

−→

i) Una curva en C es una aplicación γ : [a , b ] C continua. γ (a ) y γ (b ) son los puntos inicial y final de la curva (se dice también que la curva une los puntos γ (a ) y γ (b )). El subconjunto de C, γ ([a , b]) se llama soporte de la curva. Se dice que la curva está contenida en un subconjunto A de C, si lo está el soporte. ii) Un arco es una curva inyectiva.

∈

=

−→

→ − +

C tal que t iii) Dados z , w C, z w , el arco γ : [0, 1] (1 t ) z t w , se llama segmento de extremos z y w . Efectivamente, el soporte de este arco es el segmento con dichos extremos. Esta notación que usamos confunde la curva con su soporte, lo cual no es muy conveniente como se verá en cap´ıtulos posteriores. Pero, para los aspectos que estamos aqu´ı tratando no importa esta confusión.

∈

iv) Dados z 1 , z 2 ,... z n C, llamaremos poligonal de vértices z 1 , z 2 ,... z n a la unión de los n 1 segmentos consecutivos que unen z i y z i +1 . Es fácil ver que esta unión corresponde a una curva y si los segmentos no se cruzan es un arco.

−

⊆

v) Un conjunto A C se dice conexo por arcos si dos cualesquiera de sus puntos pueden unirse por un arco contenido en A .Análogamente se puede dar la de finición más espec´ıfica de conexo por poligonales .

γ (b)

•

O

.

w z2 zn

γ (a)

z1 O

En C y para abiertos, tenemos el siguiente:

O

8


Teorema. Sea  abierto de C. Son equivalentes: i)  es conexo. ii)  es conexo por arcos. iii)  es conexo por poligonales. También podr´ıamos haber añadido  es conexo por poligonales de lados paralelos a los ejes .

ii)

Es importante la hipótesis de que  sea abierto. Si la quitamos, la implicación

⇒ i ) sigue siendo cierta, pero el subconjunto de C, A = [−i , i ] ∪ { x + i y : y = sen(1/ x ), x ∈ (0, 1)}

es un conjunto conexo que no es conexo por arcos.

∅ =

⊆

7. Componentes conexas . Sea C. Una componente conexa (o, X simplemente, componente) de X es un subconjunto conexo de X y maximal. Es decir, X 1 es componente conexa de X si X 1 A conexo tal que X 1 A X.

⊂ ⊆

⊆ X, X

1

es conexo y no existe

Sobre componentes conexas recordaremos lo siguiente:

7.1. Si X es conexo, su única componente conexa es X . 7.2 Las componentes son disjuntas. 7.3 Cada subconjunto conexo de X está contenido en una (y solo una) componente.

⊆

7.4 Si  C es abierto, cada componente conexa de  es un abierto de C y existen, a lo más, un n u ´ mero contable de componentes conexas.

⊆

\ =X

7.5 Si X C es un conjunto acotado, C X no acotada. 0.6

c

posee una sola componente

´ DE C COMPACTIFICACION

En este apartado, vamos a introducir ‘el punto del in objetivo de manejar conceptos como lim f (z )

z

→∞

= α,

complejo’,

∞, con el

= ∞. En C solo ´ aparecerá un punto del ∞. Los conceptos +∞ y −∞ están asociados lim z n

= ∞,

finito

lim f (z )

z

→z

0

a R debido a que es un cuerpo totalmente ordenado.

La forma rigurosa de proceder es utilizando el teorema de compacti ficación de Alexandrov de topolog´ıa general, aunque posteriormente el concepto se maneja con facilidad. El resultado general dice lo siguiente:


9

Teorema. Cualquier espacio topologico ´ localmente compacto puede ser sumergido en un espacio compacto X , de forma que X X consta de un solo punto.

ˆ

ˆ\

Dicho de otra forma, al espacio X le podemos añadir un punto que no está en X , al que se suele denotar , y al espacio X se le dota de una topolog´ıa que restringida a X es la de X , y además con esta topolog´ıa X es un espacio compacto.

∞

∪{∞}

∪{∞}

Examinemos los detalles de este procedimiento para nuestro caso particular de C. - C es un espacio localmente compacto (es Hausdorff y cada punto tiene un entorno relativamente compacto). - Añadimos un punto

∞ y denotaremos C∞ = C ∪{∞} .

- Si G es la topolog´ıa de C, es decir, G es el conjunto de los abiertos de definimos la topolog´ıa en C∞ como G∞

C,

= G ∪ {C∞ \ K : K compacto de C}.

Nótese que estos con juntos que a n˜ adimos son los entornos abiertos del punto del

∞.

Se comprueban, sin mucha dificultad, los siguientes hechos: a. G∞ es una topolog´ıa en C∞ . b. G∞

| = G. C

c. (C∞ ,G∞ ) es compacto. La descripción de esta topolog´ıa por base de entornos es muy sencilla: - Si el punto es un z 0 - Si el punto es

∈ C, una base de entornos son los discos D (0, R )

, una base de entornos es C∞

∞ →∞

{

\

D (z 0 , ε) .

R >0 .

}

Teniendo en cuenta como es esta base de entornos del punto del que significa z n , cuando z n C.

zn

→∞⇐⇒∀ ∈

\

{ }⊂

R > 0,

∞, veamos

∃n ∈ N  ∀n ≥ n , z ∈ C∞ \ D(0, R). 0

0

| | | |

n

Como z n C∞ D (0, R ) significa z n > R , la de finición anterior es equivalente a que la sucesión de números reales z n tienda a .

+∞

10

N´

umeros complejos: conocimientos previos.

Observación. Es un hecho teórico importante que esta topolog´ıa de C∞ es metrizable. Es decir, se puede de finir una métrica en C∞ que da lugar a dicha topolog´ıa. No es fácil describir una tal métrica, de hecho, no tiene mucho que ver con la m´ etrica de C. Se puede demostrar que no existe ninguna métrica en C∞ que de lugar a la topolog´ıa de C∞ y que extienda la métrica de C. No obstante, y por completar este estudio, en el siguiente apartado obtendremos una de estas métricas.

9. Representaci on ´ geométrica de C ∞ . La esfera de Riemann. El plano no puede ser una representación geométrica de C∞ , pues no queda sitio para dibujar el punto del . No obstante, en la práctica, conviene imaginarse al punto del como algo que está más allá en todas las direcciones, es decir, como la circunferencia de un c´ırculo imaginario de centro el srcen y radio .

∞

∞

+∞

Una buena representación geométrica la dió Riemann utilizando la esfera unidad de R3 . Denotamos por

S

= {( x , x , x ) ∈ R 1

2

3

3

: x 12

2 2

2 3

+ x + x = 1}

a dicha esfera y la dotamos de la topolog´ ıa relativa que le da la eucl´ıdea de R3 . Vamos a identificar C∞ con S algebraicamente (obteniendo una biyección entre ambos) y topológicamente (dicha biyección será homeomorfismo). La biyección es muy intuitiva si nos fi jamos en la figura (0,0,1) adjunta. Se proyectan los puntos s = ( x1 , x 2 , x 3) (x 1 , x 2 , x 3 ) de S desde el “polo norte” (0, 0, 1) sobre el “plano del ecuador” x 3 0 y a (0, 0, 1) x1 π(s) = ( , 1 –x 2x , 0) [único punto que queda sin ima1 – x3 gen] se le asocia el punto del in3 finito C∞ . C∞ a esta biyecci o´ n, es un sencillo problema de Denotando por π : S geometr´ıa elemental obtener expresiones expl´ıcitas de π y π −1 :

=

∞∈

−→ x1

π( x 1 , x 2 , x 3 )

y π(0, 0, 1)

= ∞.

π −1 ( z )

y π −1 (

∞) = (0, 0, 1).

Se prueba que:

i x2

= 1 −+ x

3

, si ( x 1 , x 2 , x 3 )

∈ S \ {(0, 0, 1)}, 2

= ( |z2|+e z1 , |z2|m+z1 , ||zz|| −+ 11 ) 2

2

2


11

Teorema. La aplicación π , llamada proyección estereogra´ fica,esunisomor fismo entre los espacios topol´ ogicos S (con la topolog´ıa eucl´ıdea relativa de R3 ) y C∞ (con la topolog´ıa G∞ ). Una vez tenemos este resultado, como S es métrico (con la métrica eucl´ıdea d3 ), podemos tener una m´ etrica sobre C∞ como imagen de la eucl´ ıdea por la aplicación π , d∞ (z 1 , z 2 ) d3 (π −1 (z 1 ), π −1 (z 2 )).

=

Esta m e´ trica se denomina distancia cordal (es la longitud de la cuerda que une los puntos π −1 (z 1 ), π −1 (z 2 )). Haciendo las operaciones tenemos:

Proposición. C ∞ es metrizable y una de las m étricas que srcina su topolog´ ıa es

d∞ ( z 1 , z 2 )

= ((1 + |z2||z)(1−+z ||z | )) 1

1

d∞ ( z ,

0.7

2

2

2

2

1 /2

, z1, z2

∈ C,

∞) = (1 + |2z | ) , z ∈ C, d∞ (∞, ∞) = 0. 2 1 /2

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Por función compleja de variable compleja , entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir,

f : A

⊆ C −→ C.

Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,

u (z )

= e f (z ),

v( z )

= m f (z ).

Identificando C con R2 , las funciones u y v pueden ser vistas como funciones ı

de dos variables reales que toman valores en R y, as´, es muy frecuente escribir

f (z )

= u (x , y ) + i v( x , y ), z = x + i y ∈ A .

Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales. Los conceptos de l´ımite y continuidad de funciones son totalmente an álogos a los ya conocidos para R, as´ı como sus propiedades, ya que en la de finición de

12

N´


e´ stos s o´ lo interviene el m o´ dulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C. Sea f : A

⊆ C −→ C y sea z ∈ C un punto de acumulación de A. Es decir, = ∅, ∀ε > 0 D (z ; ε) ∩ ( A \ {z })  0

0

0

(nótese que el punto z 0 puede pertenecer al dominio A o no). Diremos que

f (z )

lim

 →z

A z

0

=α∈C

si (por de finición)

∀ε > 0, ∃δ > 0 

| − z | < δ ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z) − α| < ε.

(0 < z

0

Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, a que ocurra

∀( z ) ⊂ A \ { z }  n

zn

0

→ z ⇒ f (z ) → α. n

0

Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z 0

∃

f (z )

lim

 →z

A z

0

∈ A si

= f (z ). 0

Nótese que en este caso z 0 debe estar en el dominio de la función.

Observación.

⊆ −→

Principalmente, trataremos con funciones f :  C C, definidas en  abierto de C. Entonces, todo punto z 0  es de acumulación de  y considerando δ ’s suficientemente pequeños, no nos tenemos que preocupar de que los z’s est´ en el dominio. En este caso, acudiendo a la de finición, tendremos:

∈

∈

f es continua en z 0  si y solo si ε > 0 δ > 0 tal que D (z 0 δ) y z

0

0

0

∀

∃

; ⊆

| − z | < δ ⇒ | f ( z ) − f ( z )| < ε . Diremos que f es continua en  si lo es en z , ∀z ∈ . 0

A partir de ahora, supondremos que el dominio de las funciones es siempre un abierto de C.


13

Las propiedades de los l´ ımites y funciones continuas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados. Sean f , g : 

⊆ C −→ C y z ∈  tal que lim f (z ) = α, lim g (z ) = β. → → 0

z

z0

z

z0

Entonces:

1. Si f (z )

lim f (z )

z

→z

0

= u (z) + i v( z ) = u (x , y ) + i v( x , y ), z = x + i y ∈ , z = x + i y , 0

= α ⇐⇒

lim

(x , y )

→( x , y ) 0

u (x , y )

0

= e α ∧

lim

→( x , y )

(x , y )

0

v( x , y )

0

0

0

= m α.

2. lim

z

→z

0



f (z )

+ g(z) = α + β.

3.

·

4. Si β

→z

0



= 0,

= α · β.

f (z ) g (z )

lim

z

lim

z

→z

0

f (z )



α = . g (z ) β

5. Si f y g son continuas en z 0 , también lo son las funciones f Asimismo, lo es f / g siempre que g (z 0 ) 0.

=

+ g y f · g.

Observación. Cualquier otra propiedad conocida en R que solo tenga que ver con el uso del módulo y la estructura de cuerpo, también será cierta en C. Por ejemplo, el l´ımite del producto de una función que tienda a 0 por otra funci´ on acotada en un entorno del punto, es 0. No son ciertas, porque ni siquiera tienen sentido en general, propiedades que tienen que ver con el orden, como la regla del sandwich.

L´ımites in finitos y en el in finito.

⊆ −→

∞ es punto de acumulación del dominio A. ∞ vista anteriormente, esto querrá decir que: =∅ A ∩ (C \ D (0; R )) 

C C, tal que Sea f : A Por la de finición de los entornos del

∀ R > 0,

14

N´


En estas condiciones, podemos hablar de l´ımites en el de C∞ .

∞, considerando la topolog´ıa

6. Diremos que lim

 →∞

A z

f (z )

=α∈C


∀ε > 0, ∃ R > 0  (|z | > R ∧ z ∈ A) ⇒ | f (z) − α| < ε o, equivalentemente, por ser C∞ espacio métrico, la definición por sucesiones,

∀( z ) ⊂ A 

zn

n

→∞⇒

f (z n )

→ α.

7. Diremos que lim

 →∞

A z

f (z )

=∞


S > 0,

∀

R>0

∃

(z > R

 ||

o, equivalentemente,

z

8. Si f : A

n

⊆ C −→ C y z

0

f (z ) > S .

∧ ∈ ⇒|

∀(z ) ⊂ A  z →∞⇒ n

A)

f (z n )

|

→ ∞.

es un punto de acumulación de A , diremos que

f (z )

lim

 →z

A z

0

=∞


R > 0,

∀

(0 < z

δ>0

∃

o, equivalentemente,



∀( z ) ⊂ A \ { z }  n

z0 < δ

|− | 0

zn

z

A)

f (z ) > R .

∧ ∈ ⇒|

→ z ⇒ 0

f (z n )

|

→ ∞.

También se cumplen las propiedades habituales, de las que se˜ nalamos como muestra las dos siguientes:


15

i) Si

= α ∈ C \ {0} y

lim f (z )

z

→z

0

entonces

f (z )

lim

z

→z

0

g (z )

lim g (z )

z

→z

0

=0

= ∞.

ii) Si zlim z0

→

entonces

f (z )

= α ∈ C \ {0 } y lim

z

→z

0



zlimz 0

→

=∞

f ( z ) g (z )

g (z )

=∞

.

Y también se producen los casos de indeterminación habituales. Es un buen ejercicio listar todas estas propiedades y demostrar, siguiendo las definiciones, algunas de ellas.

Ejemplos.

=

∀ ∈

1. Las funciones constantes ( f (z ) C, z C) y la funci´ on identidad ( f (z ) z , z C) son funciones continuas en todo punto de C.

= ∀ ∈

2. Por operaciones con funciones continuas (suma y multiplicación), todo polinomio Pn (z ) an z n an −1 z n −1 . . . a1 z a0 , ai C

=

+

+

+

∈

es una función cont´ınua en todo C.

=

3. Toda función racional, puesta como cociente de dos polinomios, R (z ) P (z )/ Q (z ), en forma irreducible, es continua en C salvo en los ceros del polinomio Q . 4. En el mismo ejemplo anterior, si α es un cero de Q , entonces P (α) lim

z

5. lim

z

→∞

3z

z2

→α

+ 5 = 0, +1

P (z ) Q (z )

lim

z

→∞

= ∞. 6z 3 2z 3

+ 5 = 3. + 4z + 1

6. La función argumento principal Arg : z

∈ C \ {0} −→ Arg z ∈ (−π, π ](⊂ C)

= 0 y

16

N´


\ (−∞, 0]. En cualquier punto z ∈ (−∞, 0) no es continua, pues si z −→ z  m z > 0, entonces Arg z −→ π es continua en C 0

n

n

0

n

y si

zn

−→ z  m z 0

n

−→ −π. es continua en C \ {r e

< 0, entonces Arg z n

De forma análoga, la función Arg[α,α+2π )

iα

:r

≥ 0}.

Imagenes ´ continuas de conexos y compactos Finalmente, recordemos un par de resultados topológicos que usaremos con frecuencia. C continua y X A . Si X es conexo, f ( X ) es conexo. Si Sea f : A C X es compacto, f ( X ) es compacto.

⊆ →

⊆

CAPÍTULO 1

Funciones holomorfas 1.1

´ INTRODUCCION

La definición y primeras propiedades de la derivación de funciones complejas son muy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, como siempre, las ligadas directamente a la relación de orden en R, como por ejemplo el teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco que la derivabilidad compleja es una condición mucho más fuerte que la derivabilidad real, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. La explicación final la encontraremos en resultados posteriores. Para las primeras secciones de este cap´ıtulo puede usarse como libro de consulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions / Differentiation. The Open University Press, Milton Keynes (1974); para las finales, ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).

1.2

DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1. De finición y primeras propiedades. Como C es un cuerpo y tiene sentido la división, podemos imitar literalmente la de finición de derivabilidad de funciones reales.

Definición. Sea  abierto de C. Sea f :  es derivable en z 0 si existe lim

z

→z

0

f (z )

−→ C y sea z ∈ . Diremos que

− f (z ) = z−z 0

0

0

f  (z 0 )

f

∈ C.

Al valor de dicho l´ımite f  (z 0 ) lo llamaremos derivada de f en z 0 .

Observación. Aunque, formalmente, la de finición es como en R, la existencia de l´ımite es aqu´ı más exigente, al tener que existir de cualquier modo que nos acerquemos a z 0 por el plano. Esto hará que las funciones derivables en C sean mejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teor´ıa mucho más redonda para e´ stas. Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestran imitando punto por punto lo que se hace en R. 17

18

Funcionesholomorfas

1. f derivable en z 0

⇒ f continua en z . 0

2. Si f y g son derivables en z 0 ,

+ g es derivable en z y ( f + g) (z ) = f  (z ) + g (z ). f · g es derivable en z y ( f · g ) (z ) = f  (z )g (z ) + g  (z ) f (z ). (Si f (z )  = 0), 1/ f es derivable en z y (1/ f ) (z ) = − f  (z )/ f (z ) .

i) f ii) iii)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2. (1 ) en Sean f : 1 3. Reg de la c aden C, g : 2 C con f esf derivable Si f laderivable en za. 0 y g es derivable en f (z 0 ), entonces g z0 , y (g f ) (z 0 ) g  ( f (z 0 )) f  (z 0 ).

−→

◦

−→ ◦

⊆

=

4. Derivación de la función inversa en un punto. Sea f :  C inyectiva, derivable en z 0 con f  (z 0 ) 0. Supongamos además que f () es abierto y que f −1 es continua en f (z 0 ). Entonces, f −1 es derivable en f (z 0 ) y

−→

=

( f −1 ) f ( z 0 )

 =

1

. f  (z 0 )

Veamos, a modo de ejemplo, cómo este último resultado se prueba igual que para funciones reales: La derivabilidad de f en z 0 es equivalente a la continuidad en z 0 de la función g: C dada por

→

g (z )

=



f (z )

− f (z ) z−z 0

0

f  (z 0 )

si z

∈  \ { z }; si z = z . 0

0

Esta función permite escribir para todo z

∈ f (z ) − f (z ) = g (z )(z − z ), 0

0

f  (z 0 )

y como ahora g es continua en z 0 con g (z 0 ) en un entorno de z 0 . Poniendo w0 w

−w = g 0



=

0, se veri ficará g (z )

f (z 0 ), si tomamos w

f −1 (w)

=



f −1 (w)

= ∈ 1

f () y z

− f − (w ) 0



=

0

f −1 (w),

=

,

y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0 , para w en un entorno reducido de w0 , 1 f −1 (w) f −1 (w0 ) g



f −1 (w)

=

− w−w

0

;

Funcionesholomorfas

19

usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 ylade g en z 0 que existe f −1 (w) f −1 (w0 ) 1 . lim w →w0 w w0 f  (z 0 )

− −

=

f −1 (w0 ), vemos

=

Ejemplos de funciones derivable s. 1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0. La función identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente 1. 2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresión que en R. Del mismo modo, toda función racional , puesta en forma irreducible, es derivable en todo C salvo los ceros del denominador. 1.3

CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN

El problema que ahora vamos a tratar es exclusivo del contexto de C. Ya sabemos quedarunafunción de variable compleja es dar dos funciones reales de dos variables reales. Nos vamos a preguntar por la relación que existe entre la derivabilidad de la funcio´ n compleja y la diferenciabilidad de estas dos funciones. En este apartado emplearemos sin más comentarios la notación: f :

−→ C,

f (z )

= u (z ) + i v( z ) = u (x , y ) + i v( x , y ), z = x + i y ∈ , z = x + i y ∈ . 0

0

0

Tenemos:

Teorema. f es derivable en z 0 si y solo si i) u , v son diferenciables en (x 0 , y0 ). ii) Se cumplen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann: ∂u ∂x



(x 0 , y0 )

= ∂∂ vy



∂u ∂y

,

( x 0 , y0 )



(x 0 , y0 )

= − ∂∂ vx



.

( x 0 , y0 )

Demostración. Antes de entrar en ella, modi fiquemos un poco las notaciones. Primero, es claro que f derivable en z 0 se puede escribir de la forma

lim

h

→0

f (z 0

+ h ) − f (z ) − h . f  (z ) = 0. 0

h

0

(1)

20

Funcionesholomorfas

Por otra parte, record emos la noci o´ n de diferenciabilidad. u diferenciable en ( x 0 , y0 ) significa que existe una forma lineal L : R2

−→ R 

−→ L (k , l ) = ak + bl

(k , l )

tal que u (x 0

+ k , y +√l ) − u (x , y ) − L (k , l ) = 0. → k l + Recuérdese además que lim

(k ,l)

0

0

2

(0,0)

a

= ∂∂ ux



(x 0 , y0 )

b

,

0

2

= ∂∂ uy



(x 0 , y0 )

.

⇒) Supongamos que f es derivable en z y sea su derivada Escribimos h = k + il para el parámetro complejo h. 0

f  (z 0 )

= α + iβ .

(1) implica que

+ h ) − f (z ) − h . f  (z ) = 0. (2) → |h | porque (2) se obtiene de (1) multiplicando por h /|h | que es una función acotada. lim

h

f (z 0

0

0

0

Ahora,

f (z 0

+ h ) − f (z ) − h . f  (z ) = u (x + k , y + l )√− u (x , y ) − (αk − β l ) |h | k +l v( x + k , y + l ) − v( x , y ) − (β k + αl ) +i √ k +l 0

0

0

0

0

2

0

0

0

2

0

2

0

2

(3) luego, las partes real e imaginaria de esta expresi´ on tienen que tender a 0 cuando h (0, 0)). 0 (o, lo que es lo mismo (k , l )

→

→

Pero esto quiere decir exactamente que u y v son diferenciables en (x 0 , y0 ) con

∂u ∂x



( x 0 , y0 )

= α = ∂v ∂y



( x 0 , y0 )

y

∂u ∂y



= −β = − ∂∂vx



= −β = − ∂∂vx

( x 0 , y0 )



(x 0 , y0 )

.

⇐) Si u y v son diferenciables en (x , y ) y se cumplen las condiciones de Cauchy0

0

Riemann, llamamos ∂u ∂x



( x 0 , y0 )

= α = ∂v ∂y



( x 0 , y0 )

y

∂u ∂y

( x 0 , y0 )



(x 0 , y0 )

Funcionesholomorfas

21

y se tiene que cumplir que la expresión en (3) tiende a 0. Por tanto, se cumple (2) y de aqu´ ı (1) (otra vez porque (1) se obtiene de (2) multiplicando por h / h ). As´ı, f es derivable en z 0 con derivada f  (z 0 ) α iβ .

||

= +

Observación. De paso, hemos visto en la demostracio´ n que la derivada de f se puede obtener a partir de las derivadas parciales de u y de v , f  (z 0 )

= ∂∂ ux ∂u

= ∂x Observación.

 

( x 0 , y0 )

( x 0 , y0 )

− i ∂∂ uy ∂v

+ i ∂x

= ∂∂ vy

 

( x 0 , y0 )

∂v

= ∂y

(x 0 , y0 )

 

( x 0 , y0 )

( x 0 , y0 )

− i ∂∂ uy ∂v

+ i ∂x

 

(x 0 , y0 )

(x 0 , y0 )

.

En el teorema anterior vemos que el concepto de derivabilidad compleja es más exigente que el de diferenciabilidad real. Si miramos a f como función de R2 en R2 , ser diferenciable significa sin más que lo sean sus dos componentes u y v , mientras que ser derivable exige, además de esto, que se cumplan las condiciones sobre las derivadas parciales de u y v que establecen las ecuaciones de CauchyRiemann. Algunas de las consecuencias de este hecho se verán al final del cap´ıtulo. En Levinson, N.; Redheffer, R.M.: Curso de variable compleja. Reverté, Barcelona (1990), págs. 77 y ss. se da una interpretación f´ısica de las condiciones de Cauchy-Riemann, en términos del estudio del flujo bidimensional de un fluido ideal. Para una interpretación geométrica de las condiciones de Cauchy-Riemann y otras muchas consideraciones interesantes sobre la derivada y dem´ as conceptos, con un enfoque muy original, v. Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997). NOTA.

1.4

´ FUNCIONES HOLOMORFAS. FUNCIONES ARM ONICAS.

Definición. Sea  abierto de C. Sea f :  C. Diremos que f es holomorfa en un punto z 0  (o también, que z 0 es un punto regular para f ) si f es derivable en todos los puntos de un entorno de z 0 . Diremos que f es holomorfa en  si f es holomorfa en z 0 , z 0 .

−→

∈

∀ ∈

f es derivable en todos los puntos de Claramente, f es holomorfa en   (pues al ser  abierto, es entorno de todos sus puntos).

⇐⇒

22

Funcionesholomorfas

Denotaremos H()

= { f :  −→ C :

f es holomorfa en  .

}

Por otra parte, recordem os el concepto de funci o ´ n armónica.

Definición. Sea  abierto de R2 . Sea u :  R. Diremos que u es armónica en  si u es de clase C 2 (i.e., u tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y son

−→

continuas) y cumple

2

2

u = ∂∂ xu + ∂∂ yu = 0 2

2

en todo punto del abierto .

Gracias a las condiciones de Cauchy-Riemann tenemos:

Corolario. Si f armónicas en .

2

∈ H(), f = u + i v, y u , v son de clase C , entonces

u , v son

Demostración. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene ∂ 2u ∂x2

= ∂∂x

∂u ∂x

= ∂∂x

∂v

,

∂y

∂ 2u ∂ y2

= ∂∂y

   

∂u ∂y

 

= − ∂∂y

∂v ∂x

 

y, como u es de clase C 2 , las derivadas cruzadas coinciden y tenemos que u es armónica. Análogamente se razona con v .

Observación. H() entonces f es indefinidamente deriVeremos m´ as adelante que si f vable, lo cual implicará que la hipótesis C 2 del corolario es innecesaria.

∈

Las condiciones de Cauchy-Riemann nos van a permitir obtener funciones holomorfas a partir de funciones armónicas en abiertos de R2 . Empecemos con la siguiente definición:

Definición. Dada u armónica en un abierto de R2 , diremos que v es armónica  si f . O, equivalentemente, por de ude enCauchy-Riemann, u i v esv holomorfa encondiciones conjugada las condiciones satisface las

= + vx

= −u

y,

vy

=u

x

en todo punto de .

Es inmediato demostrar que una funci´ on armónica conjugada de otra es, asimismo, armónica.

Funcionesholomorfas

23

Ejemplo 1. Tomemos la función u (x , y )

=e

x

cos y .

Es una comprobación inmediata que dicha función es armónica en todo R2 . Para tratar de encontrar una armónica conjugada, planteamos las ecuaciones: vx ( x , y )

e x sen y

u y (x , y )

=− =u

v y (x , y )

x (x ,

y)

= =e

x

cos y

Es fácil resolver este sistema, obteniendo que la función v( x , y )

=e

x

sen y

es solución en todo R2 . Por tanto, hemos obtenido que la función f (z )

=e

x

cos y

+ ie

x

sen y , z

= x + iy

es una función holomorfa en todo C. Si utilizamos la notación polar, podemos poner f (z )

=e e

x iy

Con lo que esta funci´ on compleja parece tener derecho a llamarse la función exponencial compleja.Enefectoloser´ a, aunque la introduciremos de forma oficial con las series de potencias. Que hayamos podido resolver el sistema en el ejemplo anterior no ha sido casual. En efecto, vamos a ver en el siguiente resultado que para ciertos abiertos de C, una funci o´ n armónica siempre tiene armónica conjugada.

Teorema. Sea  abierto estrellado de R2 . Sea u armónica en . Entonces, existe v armónica conjugada de u en . Demostración. El resultado es una simple aplicaci´ on del lema de Poincaré para

abiertos estrellados. Recordemos que este resultado dice que toda forma diferencial cerrada es exacta. Entonces, dada nuestra funci o´ n u , consideramos la forma ω( x , y )

= −u

y (x ,

y )d x

+u

x (x ,

y )d y

El ser u armónica implica que ω es una forma cerrada. Entonces, es exacta, lo cual quiere decir (por de finición) que existe una función v diferenciable tal que vx u y y vy u x . Luego v es armónica conjugada de u .

=−

=

24

Funcionesholomorfas

Observación. Más adelante veremos que el teorema anterior es cierto en abiertos más generales (los simplemente conexos ). Pero, con el siguiente ejemplo, vamos a demostrar que no es ampliable a abiertos cualesquiera.

Ejemplo 2. Sea el abierto 

= C \ {0} y sea la función u (x , y )

= 12 log(x + y ) 2

2

que se comprueba sin dificultad que es armónica en . Esta función u no tiene armónica conjugada en . En efecto, si existiera v armónica conjugada de u en , consideramos la función de variable real g (t )

= v(cos t , sen t ), t ∈ [0, 2π ].

g es una funcio´ n continua en [0, 2π ] (por composicio´ n de funciones continuas). La

derivamos por la regla de la cadena para funciones de varias variables y utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, obteniendo g  (t )

= −v (cos t , sen t ) sen t + v (cos t , sen t ) cos t = u (cos t , sen t ) sen t + u (cos t , sen t ) cos t = 1. Esto implica que g (t ) = t + C , lo cual no puede ser porque g (0) = g (2π ). Sin embargo, en un abierto estrellado como C \ (−∞, 0], por el teorema ya x

y

y

x

probado, la funci o´ n anterior debe tener arm o´ nica conjugada o, lo que es lo mismo, ser la parte real de una función holomorfa. Esta funci o´ n holomorfa cuya parte real es u veremos más adelante que es la función logaritmo principal .

4. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann. Las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten obtener con facilidad varios resultados para funciones holomorfas, apoyándonos en el conocimiento de funciones reales de dos variables.

1. Sea  una región (i.e., abierto y conexo) de C. Si f es holomorfa en  y f  (z ) 0 para todo z , entonces f es constante.

=

∈

Funcionesholomorfas

25

En efecto, si f u i v, f  ux iuy vy i vx 0 en  implica que ux uy vy vx 0 y esto, ya sabemos que implica u , v constantes y, por tanto f constante.

=

=

= + = =

= −

= +

2. Sea  región. Si f es holomorfa en  y todo z , entonces f es constante.

∈

=

e f (z ) = C (o´ m f (z) = C ) para

ct e , entonces u x uy En efecto, si u 0. Luego, por Cauchy-Riemann, también será vx vy 0, lo que implica v cte. Por tanto, f es constante. Análogamente se razonar´ıa si fuera constante la parte imaginaria.

=

= =

= =

3.

= Sea  región. Si f es holomorfa en  y | f (z )| = C para todo z ∈ , entonces f es constante.

En efecto, la hipótesis es u 2 respecto a x e y , tenemos 2uu x

2

+ v = ct e. Derivando en esta expresión con 2uu y

+ 2vv = 0, x

+ 2vv = 0. y

Si utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendremos 2uu x

− 2vu = 0, 2uu + 2vu = 0 Multiplicando la primera × u y la segunda × v , nos da (u + v )u = 0, de donde u = 0. De forma parecida se obtiene u = v = v = 0. Por tanto, y

2

y

2

x

x

x

y

x

y

u y v son constantes y en consecuencia lo es f .

Observación. Nótese cómo las condiciones de Cauchy-Riemann impiden que una funci´ on holomorfa pueda tomar valores de forma caprichosa. A poco que exista una ligazón entre las partes real e imaginaria, e´ sta fuerza a que la función holomorfa sea constante. Por ejemplo, resultados de esta naturaleza ser´ıan:

i) Si f ii) Si f

3

= u + i v es holomorfa en  región y u = v entonces f ≡ C . = u + i v es holomorfa en  región y 5u + 2v = ct e entonces f ≡ C .

Comprobamos as´ı que la derivabilidad en C es muy exigente, y no sólo a nivel local.

26

Funcionesholomorfas

´ ´ ´ 1.5 AP ENDICE: CALCULO DE ARMONICAS CONJUGADAS ´ Y METODO DE MILNE-THOMSON La Teor´ıa de funciones anal´ıticas constituye un auténtico filón de métodos de gran eficacia para resolver importantes problemas de Electroestática, Conducción del calor, Difusión, Gravitación, Elasticidad y Flujo de corrientes eléctricas. La gran potencia del Análisis de variable compleja en tales campos se debe, principalmente, al hecho de que las partes real e imaginaria de una función anal´ıtica satisfacen la ecuación de Laplace.

Este párrafo, tomado de Levinson–Redheffer, loc. cit. , pág. 77, da idea de que la búsqueda de funciones holomorfas con parte real (o parte imaginaria) conocidas es una cuestión importante en muchas aplicaciones de la teor´ ıa de funciones de variable compleja. Hemos visto una solución de este problema mediante el c a´ lculo de funciones armónicas conjugadas siguiendo lo que, a falta de otro nombre mejor, podemos denominar “el método real”: dada una función u armónica en un abierto conexo  de R2 , nos son conocidas las derivadas parciales de su arm´ onica conjugada v (¡si existe!) a través de las condiciones de Cauchy-Riemann, de manera que el cálculo de primitivas de funciones reales de una variable real [o, equivalentemente, el cálculo de las funciones potenciales de la forma diferencial u y (x , y ) d x u x ( x , y ) d y ] nos lleva, en casos sencillos al menos, a expresiones expl´ıcitas para la(s) funcion(es) v . Este procedimiento es fácilmente “automatizable”, y resulta cómodo llevarlo a cabo mediante programas de cálculo simbólico como Mathematica. Esquemáticamente, podr´ıamos proceder as´ı: dada u ( x , y ), 1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x , u x (x , y ); 2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y , u y (x , y ); 3.- “integrar u y (x , y ) respecto de x ”, es decir, obtener una primitiva W (x , y ) de u y (x , y ) como función sólo de x ; 4.- calcular su derivada parcial respecto de y , W y ( x , y );

−

−

+

−

5.- calcular ϕ( y ) u x ( x , y ) W y (x , y ) 6.- “integrar ϕ( y ) respecto de y ”, es decir, obtener una primitiva ( y ) de ϕ( y ); 7.- calcular W ( x , y ) ( y ): esta será una función v( x , y ) armónica conjugada de u (y las demás diferirán de ella en la adición de una constante real).

=

−

−

Téngase en cuenta que Mathematica no proporciona “constantes de integración”. Además, el n u´ mero de funciones cuyas primitivas puede calcular “expl´ıcitamente” es limitado.

Funcionesholomorfas

27

Hay también un “método complejo” para tratar el problema, el denominado metod ´ o de MILNE-THOMSON (ver Phillips, E.G.: Funciones de variable compleja. Dossat, Madrid (1963), p. 17–18, y Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512–513), que, aunque precise ciertas condiciones restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfas f con parte real prefijada u . Su justificación se basa en resultados importantes que probaremos posteriormente: toda función holomorfa es anal´ıtica (y su derivada también), y dos funciones anal´ıticas en un abierto conexo  son iguales si y sólo si coinciden en un conjunto de puntos de  que tenga al menos un punto de acumulación dentro de ; por ejemplo, en un segmento abierto ( principio de prolongación anal´ıtica). Sea, pues,  un abierto conexo de R2 que corte al eje real , con lo cual la intersección de  con R contendrá al menos un segmento abierto (¿por qué?) Dada entonces una funci o´ n u armónica en , notemos que la función g dada i y) u x (x , y ) i u y (x , y ) es holomorfa en  (¿por qué?). en  por f 1 (x Supongamos que sabemos encontrar una función g holomorfa en  tal que g  (x ) f 1 (x ) u x ( x , 0) i u y (x , 0) para todo x (x , 0)  R: entonces g  (z ) f 1 (z ) por el principio de prolongación anal´ıtica, y la parte real de g difiere de u en una g C , para una constante real C constante real (¿por qué?). La función f adecuada, tiene como parte real u . El método de Milne-Thompson es también fácilmente “traducible” a Mathe-

=

+ = −

−

≡

∈ ∩ = +

=

=

matica. Pero tanto si se usa este m´ etodo como el anterior, sigue siendo necesario verificar los resultados obtenidos y valorar el alcance de los procedimientos empleados, muy especialmente debido a que los programas de cálculo simbólico, en general, no tienen en cuenta el dominio de las funciones que intervienen, manipulando tan sólo “nombres” de funciones o “funciones dadas por fórmulas”, por decirlo de alguna manera. Como ejemplo recomendamos vivamente al lector que pruebe a aplicar los métodos descritos a la ‘malvada’ función u (x , y ) ln(x 2 y 2 ), definida y armónica en R2 (0, 0) . ¿Cuáles son sus armónicas conjugadas, según Mathematica?

\{

=

}

NOTA. El método de Milne-Thompson puede esquematizarse as´ı: dada

+

u ( x , y ),

1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x , u x (x , y ); 2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y , u y (x , y ); u x ( x , ), es decir, “sustituir y por 0” en u x ( x , y ); calcular calcular u y ( x , 0 0), es decir, “sustituir y por 0” en u y ( x , y ); “sustituir x por z ” en u x (x , 0) i u y (x , 0) para obtener f 1 (z ); “integrar f 1 (z ) respecto de z ”, es decir, obtener una primitiva g (z ) de f 1 (z );  R. calcular f (z ) g (z ) e g (x 0 ) u (x 0 , 0) para cualquier x 0 Entonces f (z ) i c , c R, son las funciones holomorfas con parte real u ; 8.- si se busca una función armónica conjugada de u , hallar la parte imaginaria de f (z ).

3.4.5.6.7.-

−

= +

− ∈

+

∈ ∩

CAPÍTULO 2

Funciones anal´ıticas 2.1

´ INTRODUCCION

Para definir las series de potencias y la noción de analiticidad a que conducen, sólo se necesitan las operacione s de suma y multiplicac i o ´ n y el concepto de l´ımite. Esto nos dice que las series de potencias en C son otro concepto que podemos de finir exactamente igual que en R y gozará de las mismas propiedades y con id´ enticas demostraciones que en R (¡si no dependen de la ordenación de R!). Por tanto, este cap´ıtulo (al menos, los dos primeros apartados) va a ser un simple repaso de lo que conocemos en R, pero puesto en el contexto de C. Los detalles pueden consultarse en Apostol, T.M.: Análisis Matemático (segunda edición). Reverté, Barcelona (1991).

2.2

SERIES EN C: GENERALIDADES. ∞

1. Dada una sucesión (z n )n∞=0 ⊂ C, la serie in finita

z n se dice convergente n =0

si

N

∃ lim

N →∞



z n ∈ C.



n =0

Al valor de dicho l´ımite se le denota también por

∞



z n y se le llama suma

n =0

de la serie . 2. Criterio de conver gencia de Cauchy.

z n converge ⇔ ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N  si n > m > n 0 ,

n =0

∞



z n converge absolutamente si converge la serie de

n =0

∞

números reales



|z n | (recordemos que podemos poner más abreviadamente

n =0

∞

z k < ε.

k =m

3. Decimos que la serie



    n

∞



|z n | < +∞).

n =0

28

Funcionesanal´ıticas

29

Toda serie absolutamente convergente es convergente, pero el rec´ıproco no es cierto. ∞

4. La serie



z n converge siysolosi convergen las dos series de números reales

n =0

∞



e z n y

n =0

∞



m z n . Además

n =0

∞

∞

  zn =

n =0

e z n + i

n =0

∞



m z n .

n =0

5. Producto de Cauchy de series. ∞

Consideremos dos series de n´ umeros complejos,

∞

  an ,

n =0

k ∈ N ∪ {0}, definimos

bn . Para cada

n =0

k

ck =



n +m =k

an bm =



an bn −k = a0 bk + a1 bk −1 + . . . + ak b0 .

n =0

∞

La serie

 k =0

∞

ck

se llama producto de Cauchy de las series

∞

an

  n =0

y

n =0

bn .

En principio, ésta es una de finición formal, que no atiende a la convergencia de las series que intervienen. Si efectu´ aramos “la multiplicación de las sumas infinitas” de an y bm , colocando todos los “sumandos del producto” an bm en una tabla (in finita) de doble entrada, asociándolos según las diagonales secundarias, el resultado es la serie producto de Cauchy de las iniciales; cada “sumando producto” an bm interviene una y una sola vez, sin ausencias ni repeticiones. Cabe esperar, por tanto, que cuando sea l´ıcito reagrupar términos (si disponemos de las propiedades conmutativa y asociativa), partiendo de series convergentes lleguemos a una serie convergente con suma el producto de las sumas. Un resultado bastante satisfactorio, que será todo lo que necesitemos, es el siguiente. ∞

Teorema (Mertens). Si las series

∞

  an y

n =0

∞

entonces la serie



bn son absolutamente convergentes,

n =0

ck es absolutamente convergente y además,

k =0

    ∞

∞

an

n =0

∞

bn

n =0

=

k =0

ck .

30


6. Convergencia uniform e. Criterio M de Weierstras s. Recordemos la siguiente:

Definición. Sean f n , f : A ⊆ C −→ C. Diremos que f n −→ f uniformemente en A si ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N  si n ≥ n 0 , | f n (z ) − f (z )| < ε, ∀z ∈ A , Equivalentemente sup | f n (z ) − f (z )| −→ 0. z∈ A

Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual en cada punto de A .

Definición. Dado  abierto de C, y f n , f :  −→ C, diremos que f n −→ f casi uniformemente en  si f n −→ f uniformemente sobre cada subconjunto compacto de . Como el l´ımite uniforme de funciones continuas es una función continua y la continuidad es una propiedad local, tenemos:

Proposición. Sea  abierto de C, y f n , f :  −→ C. Si para cada n ∈ N, las funciones f n son continuas en  y f n −→ f casi uniformemente en , entonces f es continua en . Para series de funciones, se tienen las de las funciones sumas parciales).

finiciones

análogas (como limite de

El siguiente resultado será de uso frecuente.

Criterio M de Weierstrass. Dadas f n : A ⊂ C −→ C. Si podemos encontrar una sucesión ( Mn ) de números positivos tal que ∞

| f n (z )| ≤ Mn , ∀z ∈ A ∧



Mn < +∞

n =0

∞

entonces,

 n =0

f n (z ) converge uniformemente y absolutamente en A.


2.3

31

SERIES DE POTENCIAS

Definición. Dado a ∈ C, llamaremos serie de potencias centrada en a a toda serie de la forma ∞

an (z − a )n = a0 + a1 (z − a ) + a2 (z − a )2 + ..., n =0



donde los coe ficientes (an ) ⊂ C. El primer problema es saber para qu´ e puntos de C converge. Es claro que, sean cuales sean los coe ficientes, una serie de potencias siempre converge en a . El siguiente resultado (con demostración totalmente an a´ loga a la de R) deja claro este problema de convergencia de una serie de potencias. En el enunciado utilizamos la notación D (a ; +∞) = C. ∞

n Teorema 1 (Abel). Sea n =0 an ( z − a ) una serie de potencias centrada en Entonces, existe un número R ∈ [0, +∞] tal que ∞

1. 2.



n =0 ∞ n =0



a.

a (z − a )n converge absolutamente y casi uniformemente en D (a ; R ). n

an (z − a )n no converge en C \ D (a ; R ).

3. Fórmula de Cauchy-Hadamard: R = lim sup |an |1/ n





−1

.

Observaciones. i) R se llama radio de convergencia de la serie de potencias y D (a ; R ) disco de convergencia. Si R = 0, la ser ie s ólo converge en z = a , y si R = +∞, la serie converge en todo punto de C. En los casos intermedios 0 < R < +∞, el teorema asegura que la serie converge en el disco abierto, y no converge en el exterior del disco. No se afirma nada en relación a lo que ocurre en la frontera {z : |z − a | = R }. Este problema del comportamiento en la frontera de una serie de potencias, debe ser analizado en cada caso particular.

ii) Nótese que R no depende de a . A efectos de convergencia, lo que le ocurre a la serie viene determinado por los coe ficientes (an ). Por ello, es su ficiente que estudiemos series centradas en 0, an z n , pues los resultados se trasladarán de forma obvia a la serie an (z − a )n .

 

32


iii) Toda serie de potencias con radio R > 0, de fine una función ∞

f (z ) =



an (z − a )n , z ∈ D (a ; R ),

n =0

que,alserl´ ımite casi uniforme de funciones continuas, es una función continua en D (a ; R ).

iv) En muchos casos, la f´ ormula de Cauchy-Hadamard se simpli fica, si recordamos el siguiente resultado sobre l´ ımites. Dada una suces ión (an ), con an  = 0, ∀n , si ∃ lim

n →∞

|an +1 | |an |

∈ [0, +∞],

el valor de dicho l´ımite coincide con lim sup |an |1/ n . Por tanto, en los casos en que esto ocurra (en la práctica será frecuente), tendr emos la siguiente f o ´ rmula para el radio de convergencia,

R = lim

n →∞

|an | |an +1 |

.

v) Aún en casos en que no sepamos calcular el radio por la f´ ormula de CauchyHadamard, las dos primeras partes del teorema de Abel dan muy buena información. Por ejemplo, si sabemos que la serie converge en un punto concreto forzosamente debe ocurrir que R ≥ |a − z 0 |.

z 0 ∈ C,

Del mismo modo, si la serie no converge en un punto z 1 ∈ C, forzosamente R ≤ |a − z 1 |. Para estudiar el comportamiento de una serie de potencias en los puntos de la frontera de su c´ırculo de convergencia es su ficiente en los casos más sencillos el siguiente criterio.

Criterio de Dirichlet. Sea (an ) una sucesión de números reales, no creciente y convergente a 0. Sea bn una serie de números complejos cuyas sumas parciales forman una sucesión acotada. Entonces la serie an bn es convergente.





En lo que sigue, por abreviar notac i o ´ n y teniendo en cuenta la observación ii), bastará que consideremos series de potencias centradas en 0. El número R colocado sin más al lado de la serie, ser´ a su radio de convergencia. El primer resultado que vemos a continuaci´ on nos indica que las series de potencias, de finen funciones muy buenas desde un punto de vista anal´ ıtico (son indefinidamente derivables) y desde un punto de vista algebraico (se puede derivar término a término).


Teorema 2. Sea Entonces,



∞ n =0

33

an z n , R ∈ (0, +∞]. Sea f (z ) =



∞ n =0

an z n , | z | < R .

i) f es derivable en D (0; R ), y además ∞

f  (z ) =



na n z n −1 , |z | < R .

n =1

ii) f es inde finidamente derivable en D (0; R ), y para cada k ∈ N, ∞

f (k ) (z ) =



n (n − 1)...( n − k + 1)an z n −k , |z | < R .

n =k

iii) Para cada k ∈ N ∪ {0},

ak =

f (k ) (0) k!

.

iv) La serie “antiderivada” o “primitiva término a término” ∞

 n =0

an n+1

z n +1

converge en D (0; R ) a una función cuya derivada es f .

Observación. Nótese que las distintas series que aparecen en el enunciado tienen el mismo radio de convergencia que la de partida, pues es muy sencillo probar que: Si



∞ n =0

an z n tiene radio R y P es cualquier polinomio y k ∈ N, las series ∞

 n =0

∞

a n +k z n ,



P (n )an z n

n =0

tienen radio R . El apartado iii) del teorema nos dice que los coe ficientes vienen determinados por el valor de las derivadas sucesivas de f en 0. Como para conocer ´ estas, sólo hace falta conocer f en un entorno de 0, es inmediato el siguiente

34

Funcionesanal´ıticas ∞

∞

Corolario. Si dos series de potencias n =0 an z n y n =0 bn z n con radios R1 , R2 > 0 son tales que coinciden en un entorno de 0, entonces





an = bn , ∀n ∈ N ∪ {0}. Hemos ignorado en lo anterior el comportamiento en la frontera del c´ ırculo de convergencia. Si la serie converge en un punto z tal que |z | = R ¿hay alguna relaci´ onı una entrerespuesta la suma de la serie en tal punto y la suma en los puntos interiores? He aqu´ parcial. ∞

n Teorema del l´ımite de Abel. Sea f (z ) = n =0 an z , | z | < R , R ∈ (0, +∞). Supongamos que la serie converge también para z = R . Entonces existe el l´ımite radial (a través del segmento (0, R )) de la función f y vale



∞

f (x ) =

lim x→R 0< x < R



an R n .

n =0

Operaciones con series de potencias. ∞

Sean f (z ) = 1. Suma.



n =0

∞

n

an z , R1 ; g (z ) = ∞

f (z ) + g ( z ) =





n

n =0

bn z , R 2 .

(an + bn )z n , R ≥ min{ R1 , R2 }.

n =0

2. Producto. n

∞

f (z ) · g (z ) =



cn z n , cn =

n =0



ak bn −k , R ≥ min{ R1 , R2 }.

k =0

= 0 entonces ∃δ > 0 tal que 3. División. Si f (0)  1

f (z )

∞

=



γn z n , |z | < δ.

n =0

Este resultado a firma que la fun ci o ´ n 1/ f es una serie de potencias en un entorno del srcen. Pero no es f´ acil dar una expresión expl´ıcita de los coeficientes γn en términos de los an .


35 ∞

4. Composición. Si para un z ∈ D (0; R2 ),



|bn z n | < R1 , entonces tiene

n =0

sentido la función composición f ◦ g , y además ∞

f ◦ g (z ) =



δk z k

n =0

en un entorno del srcen. La demostración de estos dos últimos resultados es bastante farragosa. Teóricamente nos dicen que la división y composición de series de potencias son series de potencias, pero en la práctica son de dif´ıcil aplicación.

4. Cambio de c entro. Sea f (z ) = Entonces, ∃δ > 0 tal que



∞ n =0

an z n , R > 0 y sea b ∈ D (0; R ).

∞

f (z ) =



bn (z − b)n , |z − b| < δ.

n =0

Es decir, dada una serie de potencias, en cualquier punto de su disco de convergencia, se puede poner como otra serie de potencias centrada en ese punto.

Principio de identidad de series de potencias. Teorema 3. Sea f (z ) = Son equivalentes:



∞ n =0

an z n , R > 0. Sea E = {z ∈ D (0; R ) : f (z ) = 0}.

i) E = D (0; R ) (es decir, f es idénticamente nula). ii) an = 0, ∀n iii) E  ∩ D (0; R )  = ∅ (i.e., E tiene puntos de acumulación en D (0; R )). Demostración. i ) ⇔ ii ) es consecuencia inmediata del corolario del teorema 2 y la implicación i ) ⇒ iii ) es obvia. Veamos que iii ) ⇒ i ). Llamemos A = E  ∩ D (0; R )  = ∅. A es cerrado en  la topolog´ıa relativa de D (0; R ) porque E siempre es un cerrado de C. Si vemos que también A es abierto en D (0; R ) (o, lo que es lo mismo, en C, pues D (0; R ) es abierto), por conexión tendremos que A = D (0; R ) y de aqu´ı es muy fácil ver que E = D (0; R ), lo que concluir´ıa la demostración. Sea pues a ∈ A (notemos que, por continuidad, f (a ) = 0) y veamos que a es un punto interior, es decir, existe un disco D (a ; δ) ⊂ A .

36


Por el cambio de centro, f será una serie de potencias en un entorno de a , ∞

f (z ) =



bn (z − a )n , en D (a ; δ) ⊂ D (0; R )

n =1

(la serie empieza en 1, pues f (a ) = 0). Si bn = 0, ∀n tendremos claramente que D (a ; δ) ⊂ A . En otro caso, sea bk el primer coeficiente que no se anula. Entonces,

f ( z ) = ( z − a )k



b n ( z − a ) n −k = ( z − a ) k g ( z )

n =k

donde g es una función continua (pues es una serie de potencias) con g (a )  = 0, lo que implica que g (z )  = 0 en un entorno U de a . Por tanto, f (z )  = 0 en U \ {a }, lo que contradice que a ∈ E  . Luego, forzosamente, tiene que ocurrir bn = 0, ∀n , y esto demuestra el resultado. El teorema anterior a firma que si una serie de potencias se anula en un subconjunto del disco abierto de convergencia que tenga alg´ un punto de acumulación en dicho abierto, entonces la serie es idénticamente nula.

2.4

´ FUNCIONES ANAL ITICAS

Definición. Sea   = ∅ un abierto de C. Una función f :  −→ C se dice anal´ıtica en a ∈ , si existe una serie de potencias centrada en a con radio R > 0 tal que ∞

f (z ) =



an (z − a )n , |z − a | < δ.

n =0

Es decir, f coincide con una serie de potencias en un entorno de a .

f se dice anal´ıtica en  si lo es en cada punto a ∈ . Ejemplos. 1. Todo polinomio es una función anal´ıtica en C. En efecto, siempre podemos cambiar de base y expresar, para cualquier a ∈ C,

P ( z ) = a0 + a1 z + . . . + an z n = b0 + b1 ( z − a ) + . . . + bn ( z − a )n .


37

2. Gracias al resultado de cambio de centro, toda serie de potencias

f (z ) =

∞

 

an z n con radio R > 0 es anal´ıtica en D (0; R ). Análogamente, f (z ) =

n =0 ∞

an (z − a )n es anal´ıtica en D (a ; R ).

n =0

3. La función racional f (z ) =

1

es anal´ıtica en C \ {1}. En efecto, es claro

1−z

que es anal´ıtica en 0, pues 1 1−z

∞

=



z n , | z | < 1.

n =0

Pero, utilizando esta misma suma, si a ∈ C \ {1}, 1 1 1 1 = = z −a 1−z 1 − a − (z − a ) 1 − a 1 − ( 1− ) a 1 1−a siempre que

    z−a

1−a

∞

n

∞

   n =0

z−a

1−a

=

n =0

(z − a )n (1 − a )n +1

< 1. Es decir, en el entorno de a , |z − a | < |1 − a |.

De forma parecida, descomponiendo en fracciones simples, no es dif´ıcil probar que toda función racional es anal´ıtica en su dominio de de finición, esto es, en todo C menos los ceros del denominador.

Proposición. Si f es anal´ıtica en  entonces f es holomorfa. Es más, f es indefinidamente derivable en . Demostración. Es claro, pues la derivabilidad es una propiedad local y ya sabemos que una serie de potencias es inde finidamente derivable.

Operaciones con funciones anal´ıticas. 1. La suma y el producto de funciones anal´ ıticas son anal´ıticas. 2. Si f es anal´ıtica en a y f (a )  = 0 entonces 1 / f es anal´ıtica en a . 3. Sean f :  −→ C, g : 1 −→ C con f () ⊆ 1 . Si f es anal´ıtica en a y g es anal´ıtica en f (a ), entonces g ◦ f es anal´ıtica en a . Observación. Estos resultados son consecuencia de las correspondientes operaciones para serie de potencias. No merece la pena insistir en la demostraci´ on porque, más adelante, veremos que, en C, una función es anal´ıtica si y solo si es holomorfa, y para funciones holomorfas ya conocemos las propiedades 1, 2 y 3.

38

2.5


´ ANALITICA ´ PRINCIPIO DE PROLONGACI ON

El siguiente resultado va a ser consecuencia del principio de identidad de series de potencias.

Teorema (P.P.A.). Sea  una región de C. Sea f :  −→ C anal´ıtica en . Son equivalentes: i) f ≡ 0 en . ii) ∃a ∈  con f (n ) (a ) = 0, ∀n ∈ N ∪ {0}. iii) f = 0 en un subconjunto de  con punto de acumulación en . Demostración.

i ) ⇒ ii ) Inmediato. i i ) ⇒ iii ) En un entorno de a , D (a ; δ) , ∞

f (z ) =



an ( z − a )n y an =

n =0

f (n ) (a ) n!

.

As´ı, f = 0 en todo D (a ; δ) al menos, y obviamente D (a ; δ) ⊆  tiene punto de acumulación en .

i ii ) ⇒ i ) Por hipótesis, un subconjunto de E = f −1 (0) ⊆  tiene puntos de acumulación en , luego también los tiene el propio E , de modo que E  ∩   = ∅. Usemos el clásico argumento de conexión. E  ∩  es cerrado en . E  ∩  es abierto en . En efecto, sea a ∈ E  ∩ . En un entorno de a , D (a ; δ) ⊆ , ∞

an ( z − a )n .

f (z ) = n =0



Esta serie se anula en un conjunto con punto de acumulaci´ on en D (a ; δ) (precisamente el punto a ∈ E  ∩ D (a ; δ) ). Por tanto, por el principio de identidad para series de potencias la serie es nula. As´ ı, f = 0 en D (a ; δ) , es decir, D (a ; δ) ⊆ E , de donde se deduce fácilmente que D (a ; δ) ⊆ E  ∩ . Entonces, como  es conexo, E  ∩  = . Luego todo z ∈  está en E  y de aqu´ı, como f es continua, f (z ) = 0.


39

Corolario. Sea  una región de C. Sean f y g funciones anal´ıticas en . Son equivalentes: i) f ≡ g en . ii) ∃a ∈  con f (n ) (a ) = g (n ) (a ), ∀n ∈ N ∪ {0}. iii) f = g en un subconjunto de  con punto de acumulación en . Demostración. Basta toma r la funci o ´ n f − g. Si denotamos, para  abierto A() = { f :  −→ C :

f es analitica en },

tenemos esta otra consecuencia:

Corolario. Sea  región. Sean f , g ∈ A() tales que la función f g ≡ 0 en . Entonces, ó f ≡ 0 en , o´ g ≡ 0 en . Dicho de otra manera, A() es un dominio de integridad. Demostración. Si para un z 0 ∈ , f (z 0 )  = 0, entonces, por continuidad, f  = 0 en un entorno de z 0 . Luego debe ser g = 0 en dicho entorno, y como éste tiene puntos de acumulación en , por el teorema, g ≡ 0 en .

Observación. Según la de finición, si f ∈ A(), en un punto a ∈ , coincide en un entorno de a con una serie de potencias centrada en a con R > 0. A su vez, esta serie también es anal´ıtica y, por tanto, por el P.P.A., tendremos que la igualdad ∞

f (z ) =



an ( z − a )n

n =0

es válida en la componente conexa de  ∩ D (a ; R ) que contiene al punto a . (Cuidado: aunque  y D (a ; R ) son conexos, su intersección  ∩ D (a ; R ) no

a

Ω

.

tiene por qué serlo, como se ve en la figura, de manera que hay que evitar la tentaci´ on ‘natural’ de escribir la igualdad para todo z de la intersección; puede haber desigualdad en los puntos de las componentes conexas de la intersección que no contengan al punto a .)

CAPÍTULO 3

Funciones elementales básicas 3.1

´ INTRODUCCION

La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial, el logaritmo, las funciones trigonométricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca hemos establecido una definición ‘anal´ı tica’ rigurosa de ellas. Mediante consideraciones gráficas, en algunos casos, o con fiando en la autoridad de turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia), de las que hemos ido deduciendo las demás. Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buen lugar para ofrecer esa definición rigurosa mediante series de potencias en el campo complejo y mostrar cómo de la de finición van saliendo las propiedades que nos son tan ‘conocidas’. No es ésta, desde luego, la única via de construcción posible (pueden introducirse también mediante integrales indefinidas, o como soluciones de ciertas ecuaciones —o sistemas de ecuaciones— diferenciales), pero indudablemente es la más adecuada al presente curso.

3.2

´ EXPONENCIAL FUNCI ON

´ e xp onenc ia l Funci on La serie de potencias

+∞ z n



= n!

+∞, por lo que podemos

tiene radio de convergencia

n 0

definir en todo C una función como suma de tal serie. Definición 3.1. Se llama función exponencial a la de finida por exp : z

∈ C → exp(z) =

+∞ z n



= n!

n 0

∈ C.

El número exp(1) se denota por e, y suele escribirse e z en lugar de exp (z ) [notación justi ficada por la propiedad que probaremos a continuación en (1.4)]. 40

Funciones elementales básicas

41

Propiedades de la exponencial compleja. (1.1) La func ión exponencial es derivable (inde finidamente) y su derivada es ella misma: para cada z C,

∈

=

(1.2) exp(0) 1. (1.3) Para cada z

exp (z )

∈ C,

= exp(z ).

exp( z )

1

− = exp(z) = 0. Además, para cualesquiera z , w ∈ C, exp(z + w) = exp(z ) exp(w).

con lo que, en particular, exp(z )

∈ N y z ∈ C, exp(nz ) es el producto de n factores iguales a exp(z ), exp(nz ) = exp(z ) · · · exp(z ); en particular, exp(n ) = e · · · e . Para cada x ∈ R, también exp( x ) ∈ R.

(1.4) Dados n

n

n

(1.5)

´ . (1.1) Basta aplicar la regla de derivación de una función de finida Demostracion mediante una serie de potencias. (1.2) Obvio. (1.3) Puede verse directamente a partir de la definiciónydelamultiplicaci´ onde series de potencias. Otra demostración que usa sólo las ‘propiedades diferenciales’ de la exponencial es la siguiente: Para un w cualquiera en C previamente fi jado, definamos

f :z

∈C→

f (z )

= exp(−z) exp(z + w) ∈ C.

Derivando de acuerdo con (1.1),

f  (z )

= − exp(−z) exp(z + w) + exp(−z ) exp(z + w) = 0, luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f (0) = exp(w) . Si el w elegido es 0, esto signi fica que exp (−z ) exp(z ) = 1 cualquiera que sea z ∈ C. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp (−z ) exp(z + w) = f (0) exp(w) podemos despejar = exp(z + w) = exp(z ) exp(w). (1.4) Se prueba por inducción sobre n utilizando (1.3). (1.5) Si x R, los términos de la serie que de fine exp( x ) son todos reales.

∈

La restriccióndeexpa R puede verse entonces como una aplicaciónde R en R. R, Denotaremos provisionalmente por Exp esta función, de modo que Exp : R y la llamaremos exponencial real. Recogemos sus propiedades más importantes.

→

42

Funcioneselementalesb ´ asicas

Propiedades de la exponencial real. (1.6) Para cada x R,

∈

Exp( x ) > 0.

(1.7) La funci on ´ exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. (1.8) Se tiene , lim Exp( x ) lim Exp( x ) 0. x

= +∞

→+∞

x

=

→−∞

En consecuencia, el conjunto imagen de la función exponencial real es (0, 2

+∞).

´ . (1.6) Exp( x ) (Exp( x /2)) Demostracion 0 y Exp ( x ) 0. (1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la funci´ on exponencial real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas. (1.8) Puesto que la función exponencial real es estrictamente creciente,

=

e luego lim Exp(n ) n

≥

=

= Exp(1) > Exp(0) = 1,

= +∞. Nuevamente por la monoton´ıadelafunci´ on exponencial,

esto basta para probar que

x

lim Exp(x )

→+∞

= +∞.

Finalmente, x

lim Exp( x )

→−∞

=

y

lim Exp( y )

→+∞

− =

y

lim

1

→+∞ Exp( y )

= 0.

Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que la ). función exponencial aplica R sobre (0,

+∞

Obsérvese que, según la exposición anterior, todas las propiedades básicas de la función exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”. Esto no es tan sorpreny dente sin pensamos en la unicidad de solución de la ecuación diferencial y  con la condición inicial y (0) 1.

=

de z .

=

En lo que sigue volveremos ya a la notación tradicional, e z , para la exponencial

´ logar ´ı tm ica r eal Funci on Una vez conocidas las propiedades básicas de la función exponencial real, podemos de finir la función logar´ıtmica real como su función inversa, y deducir de ah´ı sus propiedades. No puede procederse de la misma manera con la exponencial compleja, como se verá más adelante.


43

Definición 3.2. La función logar´ı tmica real ln : x

∈ (0, +∞) → ln x ∈ R

´ exponencial, de modo que ln x es la inversa de la funci on

y

= y si y s olo ´ si e = x.

Por tanto, está caracterizada por cumplir x

ln(e )

=x

cualquiera que sea x

∈R

y

e ln x

=x

cualquiera que sea x

∈ (0, +∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la función exponencial.

Propiedades del logaritmo real. (2.1) La función logar´ıtmica real es derivable inde finidamente, y su derivada es la función 1/ x . (2.2) ln 1 0, ln e 1. (2.3) Para cada x (0, ), 1 ln ln x .

=

= ∈ +∞

x

(2.4) Dados x , y

∈ (0, +∞), ln(x y )

(2.5) Dados n

=−

= ln x + ln y .

∈ N y x ∈ (0, +∞), ln( x n )

= n ln x .

(2.6) El conjunto imagen de la función logar´ıtmica real es R. (2.7) La función logar´ıtmica real es estrictamente creciente y concava. ´ En particular, es inyectiva. (2.8) Se tiene x

lim ln x →+∞

= +∞,

→ + ln x

0 x lim

= −∞ .

´ . Recordar las propiedades de la función inversa estudiadas para Demostracion funciones reales de variable real.

44

3.3


FUNCIONES SENO Y COSENO

F unciones c

omplej as seno

y cos eno

´ seno esta´ definida por Definición 3.3. La funci on C

sen : z

sen z

∈ →

( 1)n z 2n +1

−  = + (2n

n 0

=

´ coseno por y la funci on cos : z

∞

∈ C → cos z =

∞

( 1)n z 2n

n 0

(2n )!

− =

C,

∈

1)!

∈C.

Estas funciones est a´ n bien de finidas, pues las series de potencia s que figuran en las f o ´ rmulas tienen radio de convergencia . Recordando la definición de la función exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas:

+∞

ei z

sen z

iz

− e−

,

2i

=

ei z

cos z

=

iz

+ e− 2

para cada z C, con lo que la función exponencial aparece como “más elemental” que el seno y el coseno, en el sentido de que ´ estas son combinaciones lineales de exponenciales.

∈

Propiedades del seno y coseno complejos. (3.1) El seno y el coseno son funciones derivables inde para todo z C

finidamente

y se cumple

∈

sen (z )

= cos z,

cos (z )

= − sen z.

(3.2) El seno es una función impar, mientras que el coseno es una funci´ on par: es

decir, cualquiera que sea z

(3.3)

∈ C se tiene sen(−z ) = − sen z , cos(−z ) = cos z . Para todos z , w ∈ C, sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w, cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w.


(3.4) Para cada z

∈ C es

45

sen2 z

2

+ cos z = 1 .

´ . (3.1), (3.2), (3.3) Demostracion Se siguen directamente de la de finición mediante series de potencias o a partir de la expresión en términos de exponenciales. (3.4) z. Se deduce de (3.2) y (3.3), tomando w

=− Es n puede usando on: z ∈có Cmo →tambi´ f (z )e= + cos z esta ∈ C,identidad (3.1) derivaci´ defiinstructivo niendo f :ver sen z probarse a partir de obtenemos f  (z ) = 2sen z cos z − 2cos z sen z = 0 para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1. 2

2

De las fórmulas anteriores se deducen mediante los cálculos de costumbre otras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Dados z , w

∈ C, comprobar que sen(z − w) = sen z cos w − cos z sen w ; cos(z

w)

cos z cos w

sen z sen w

− =1 + ; sen z cos w = [sen(z + w) + sen(z − w) ]; 2 sen z sen w

= − 12 [cos(z + w) − cos(z − w)];

= 12 [cos(z + w) + cos(z − w)]; sen2 z = 2 sen z cos z ; cos2 z = cos z − sen z = 2 cos z − 1; sen3 z = 3 sen z − 4 sen z ; cos3 z = 4 cos z − 3 cos z

cos z cos w

2

2

2

3

3

y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno. F unciones s eno y cose no r eal es Las funciones seno y coseno toman valores reales sobre R, luego podemos ver las restricciones de estas funciones a R como funciones reales de variable real. Estudiemos sus propiedades, para comprobar que coinciden con las que se les atribuyen habitualmente. Ya hemos encontrado algunas de ellas. Para continuar, lo primero que necesitamos es definir el número real π .

46


Propiedades del seno y coseno reales. (4.1) La función seno tiene ceros reales positivos, es decir,

{x > 0 : sen x = 0} = ∅ . Este conjunto posee un elemento m´ınimo, que denotaremos por π : def

π

= min{x > 0 : sen x = 0} .

En el intervalo (0, π ), el seno toma valores estrictamente positivos. π π (4.2) cos π 1; cos 0; sen 1. 2 2 (4.3) Para conocer la funci´ on seno en R es su ficiente conocerla en el intervalo π . En concreto, 0, 2 (4.3.1) para cada x R es

=−

 

=

=

∈

sen (π (4.3.2) para cualesquiera x

− x ) = sen x = − sen(x + π );

∈ R y k ∈ Z, sen( x

+ 2k π ) = sen x ,

es decir, el seno real es una función periódica de periodo 2π . (4.4) Para conocer la función coseno en R es su ficiente conocerla en el intervalo π 0, . En concreto, 2 (4.4.1) para cada x R es

 

∈

− x ) = − cos x = cos(x + π ); para cualesquiera x ∈ R y k ∈ Z, cos (π

(4.4.2)

cos( x

2k π )

+

cos x ,

=

es decir, el coseno real es una función periódica de periodo 2π . π π (4.5) La restricción de la funci´ on seno al intervalo , es una aplicación 2 2 estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [ 1, 1]. (4.6) La restricción de la función coseno al intervalo [0, π ] es una aplicación estrictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [ 1, 1]. (4.7) Dado x R, se veri fica sen x 0 si y sólo si para algún k Z es x kπ .

− 

∈

=

∈

− − =


(4.8) Dado x

47

∈ R, se verifica cos x = 0 siysólo si para algún k ∈ Z es x = π2 + k π .

´ . (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que Demostracion 3

sen x > x

− x3! > 0

siempre que 0 < x

≤1

y que 43

sen4 < 4

45

47

49

< 0,

− 3! + 5! − 7! + 9!

de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, según el teorema de Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto, está perfectamente determinado el número real π

= inf{x > 0 : sen x = 0}

y es mayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que π eselm´ınimo del conjunto, o sea, que pertenece a e´ l, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjunto y emplear la continuidad del seno. As´ı sen x 0 para todo x (0, π ) y por continuidad el seno debe mantener el signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemos escrito, debe ser estrictamente positivo en e´ l.

=

∈

+

= = ∈

=

−

=

=

(4.2) Como sen 2 π cos2 π 1, se deduce que cos 2 π 1 y por tanto cos π 1 o cos π 1. Pero si cos π 1, como cos 0 1, el teorema de Rolle dar´ıa la existencia de algún punto t (0, π ) en el que se anular´ıa la derivada del coseno, con lo cual ser´ıa sen t 0 contra lo que acabamos de probar. π π Puesto que cos π 2 cos 2 1, debe ser cos 0, lo que obliga a que 2 2 π π π < π , sen sen2 1. Como 0 < debe ser positivo y por tanto igual a 1. 2 2 2 (4.3) Las igualdades de (4.3.1) son consecuencia de las fórmulas de adici o´ n y de los valores previamente calculados. La de (4.3.2) se comprueba por inducción. π Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo 0, , podemos 2 π obtener los valores en el intervalo , π usando que sen x sen (π x ); por ser 2

=

=−

=

=

=

=

 

  −

−

el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [ π, π ] y ya por periodicidad a todo R. (4.4) Similar al apartado anterior. (4.5) Para cada x R la igualdad sen2 x cos2 x 1 asegura que sen x 1, π π cos x 1. Como sen 1yportantosen 1, la continuidad del seno 2 2 π π , y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de exactamente 2 2 el intervalo [ 1, 1].

|

∈

|≤

−

=

+ −

  ==−

|

− 

|≤

48


Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en π π , , usamos que es estrictamente positiva en (0, π ). En consecuencia, el 2 2 coseno (que en cada punto x tiene por derivada sen x ) será estrictamente decreciente en [0, π ], lo que permite a firmar que los valores que alcanza en el intervalo π π 0, son estrictamente mayores que cos 0; como el coseno es par, lo mismo 2 2 π π , vale en ; y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos 2 2

−   

−

=

−



− 



π,π . que éste último es estrictamente creciente en 2 2 (4.6) Repasar la demostración anterior. (4.7) Es inmediato que si para alg´ un k Z es x k π , se veri fica que sen x 0. Rec´ıprocamente, sea x R tal que sen x 0. Para un k Z será 1 1 π π x k π, k π . Entonces t x kπ , y sen t 2 2 2 2 kπ . sen x cos k π cos x sen k π 0, luego forzosamente t 0yx (4.8) Similar a la anterior.

∈ = = −

=

∈     ∈ − + −

Funciones

=

=

∈   ∈ −

=

=

=

´ tr ig onom etri cas y T rig onom etr ´ı a

Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘versión anal´ıtica’ ı

=medidaode que la ‘versi´ on geom´ etrica’ la Trigonometr´ a (proposici´ ´ venimos angulos ). La explorando coherencia yentre ambas versiones lade prueba la siguiente n, que a su vez justi fica las a firmaciones que hicimos al definir los argumentos de un número complejo no nulo. Proposición. Dados x , y que

2

2

∈ R tales que x + y = 1, existe un α ∈ R de modo cos α = x , sen α = y .

∈ R cumpla igualmente que cos β = x , sen β = y , es necesario y su ficiente que exista un k ∈ Z tal que β = α + 2k π . Demostracion ´ . Como x ∈ [−1, 1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x . Entonces sen t = y , de donde o bien sen t = y , y tomar´ıamos α = t , o bien sen t = − y , y bastar´ıa tomar α = −t . Por periodicidad, igualmente cos(α + 2k π ) = x , sen(α + 2k π ) = y para todo k ∈ Z. Supongamos ahora que encontramos β ∈ R para el que cos β = x , sen β = y . Entonces sen(β − α) = y x − x y = 0, Además, para que un β

2

2


49

Z tal que β luego por (4.7) existirá un m α m π . Si m fuese de la forma 2k 1, k Z, resultar´ıa cos(β α) 1, mientras que

∈ − = + ∈ − =− cos(β − α) = x x + y y = x + y = 1, por lo que debe ser m = 2k para algún k ∈ Z y finalmente β = α + 2k π . 2

2

Gráficamente, esta proposición significa que para cada punto sobre la circunferencia T de centro el srcen y radio unidad, hay un n´ umero real que mide el a´ ngulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y que dicho n u´ mero está un´ıvocamente determinado salvo múltiplos enteros de 2π . Una eit T (que es un interpretación algebraica nos dir´ıa que la aplicación t R homomorfismo entre el grupo aditivo R y el grupo multiplicativo T) es suprayectiva y tiene por núcleo el semigrupo 2π Z, de modo que T es isomorfo al grupo cociente R/2π Z (para este enfoque, ver Cartan, H.: Théorie el´ ´ ementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).)

∈ →

3.4

∈

DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO.

Querr´ıamos definir la función logaritmo como la inversa de la función exponencial. Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R, de que la función exponencial noıaes . Puesto compleja, que el logaritmo una potente en la teor´ deinyectiva funcionesendeCvariable vamoses a estudiarlo enherramienta todo detalle.

Valor es de la expon en cial co m pl ej a Proposición. (5.1) Dado z C, sea x

∈

= e z, y = m z. Entonces e = e + = e (cos y + i sen y ) z

(5.2) Para cada z

e (5.3)

(5.4)

x iy

x

∈C ez

 =

ee z cos( m z ), e

z



 =

e e z ,

m

ez

 =

mz

ee z sen( m z ),

arg e



.

∈ La exponencial compleja no es inyectiva: es peri´ odica de periodo 2π i . Con mayor precisión, dados z , w ∈ C, se tiene e = e si y sólo si z = w + 2k π i para algún k ∈ Z. El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C \ {0}. Además, para cada w ∈ C \ {0}, e = w si y sólo si z = ln |w | + i (φ + 2k π ), k ∈ Z, φ ∈ arg w. z



z

z

w



50


´ . (5.1) Según la fórmula de adición Demostracion ez

=e

x

ei y ,

y las fórmulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan cos y

+ i sen y = e

(5.2) Aplicar lo anterior. (5.3) Si z w 2k π i para algún k

= +

z

w

iy

.

z

∈ Z, e = e

w

e 2k π i

=e

w

.

e . Tomando módulos, Rec´ıprocamente, sea e e e z ez ew e e w ,

=

=

  = |

|=

luego por la inyectividad de la exponencial real

e z = e w. Pero entonces cos( m z )

+ i sen(m z) = cos(m w) + i sen(m w),

cos( m z )

= cos(m w),



o sea



sen( m z )



= sen(m w),

m z = ∈ (5.4) Dado w ∈ C \ {0}, sea φ ∈ arg w y z = ln |w | + i φ . Obviamente e = w , y cualquier otro complejo cuya exponencial coincida con w será de la forma z + 2k π i para algún k ∈ Z por lo que acabamos de probar en lo que, según hemos visto en la proposici´ on anterior, sólo es posible si m w 2k π para algún k Z.



+

z

(5.3).

Esta información engloba asimismo información sobre el comportamiento de otras funciones. Por ejemplo:

Corolario. Los únicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresado de otro modo, si z C, π z k π, k Z, z k π, k Z. sen z 0 cos z 0 2

∈ = ⇐⇒ =

∈

Demostracion ´ . Nótese que sen z 0

= ⇐⇒ cos z = 0 ⇐⇒

D ete r m inaciones

ei z ei z

= ⇐⇒ = +

iz

2i z

= e− ⇐⇒ e = 1 = e , = −e− ⇐⇒ e = −1 = e iz

∈

0

2i z

iπ

.

del ar gume nto y de l l ogar itmo .

La no inyectividad de la función exponencial C obliga a ser muy cuidadosos a la hora de abordar una definición de logaritmo.


Definición. Dado 0

51

= z ∈ C, diremos que w es un logaritmo de z si exp w = z .

Por tanto, un número complejo tiene in finitos logaritmos, pero sabemos a qué fórmula responden: misma parte real (el logaritmo real de z ) y como parte imaginaria un argumento de z ,

||

exp w

= z ⇐⇒ w = ln |z| + i (φ + 2k π ), k ∈ Z, φ ∈ arg z .

Podr´ıamos definir el conjunto

log z

= {w : exp w = z}

y se tendrá la igualdad entre conjuntos,

log z

= ln |z| + i arg z

Cuando queramos tener una función logaritmo, bastará fi jar una ‘función argumento’. Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendr´ ıamos la función logaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos más flexibles.

Definición. Sea 1.

∅ =  región, tal que 0 ∈/ . Diremos que φ :  −→ R es una determinación del argumento en  si: i) φ es continua en .

∈ arg z , ∀z ∈ , (i.e., e = |zz| ). Diremos que f :  −→ C es una determinación del logaritmo en  si: i φ(z )

ii) φ (z )

2.

i) f es continua en . ii) f (z )

∈ log z , ∀z ∈ , (i.e., e

f (z )

= z).

Estos dos conceptos est a´ n muy relacionados. En efecto,

Proposición 1. Sea

 región, tal que 0 / . Entonces,

∅ = ∈ φ es una determinación del argumento ⇐⇒ f (z ) = ln |z | + i φ (z ) es una determinación del logaritmo. Demostración.

⇒) Si φ es continua, es claro que f (z) = ln |z| + i φ (z) es continua, y = | z |e = | z |( z / | z |) = z . e f (z )

i φ (z )

52


⇐) Si f es una determinación del logaritmo, en cada z ∈ , su parte real debe f (z ) − ln |z | ser ln |z | y su parte imaginaria φ (z ) = es una determinación del i argumento, pues es continua y

e i φ (z ) Proposición 2. Sea i) Si φ1 , φ2

=e

f (z )

e − ln |z |

= z / | z |.

 región, tal que 0 / .

∅ = ∈ son dos determinaciones del argumento, entonces ∃k ∈ Z, φ (z ) = φ (z ) + 2k π, ∀z ∈ . 1

2

ii) Si f 1 , f 2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces

∃k ∈ Z,

f 1 (z )

=

f 2 (z )

+ 2k π i, ∀z ∈ .

Demostración. i) Si φ1 (z ), φ2 (z ) arg z entonces, para cada z , φ1 (z ) φ2 ( z ) Z es continua, y como  2k (z )π , con k (z ) entero. La función k :  es región, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser un

∈

=

∈

−→

−

punto. Es decir, k (z ) k es constante. ii) Consecuencia de i), o directamente de forma similar.

≡

Ejemplos. 1. El ejemplo más aparente es Arg z , que es una determinación del argumento , 0]. en la región C (

\ −∞

La correspondiente determinación del logaritmo en C Log z

\ (−∞, 0]

= ln |z | + i Arg z

se llama función logaritm o principal .

\{ }

Nótese que el dominio de de finición de esta función es C 0 , pero sólo es , 0]. Su restricción a (0, ) es el logaritmo real. continua en C (

\ −∞

+∞

2. Análogamente, fijado α R, la función Arg[α,α+2π ) es una determinación del r ei α : r argumento en C 0 . Y, la correspondiente determinación del logaritmo es Log[α,α+2π ) z ln z i Arg[α,α+2π ) .

\{

∈

≥ } = | |+

3. Las anteriores no son, obviamente, las u´ nicas determinaciones del argumento y del logaritmo. Veamos algún ejemplo más:


53

−→ R, definida por φ (z ) = Arg z , si z ∈ A , φ (z ) = Arg z + 2π , si z ∈ B , La función φ : 

Α

Β

(el segmento de R− lo debemos incluir en A),escontinuaen  y, en cada punto, φ (z ) arg z . Por tanto, es una determi-

∈

Β Ω

=

4.

Α∪Β

nación del argumento en .

γ

C Sea  0 e ).

∞

= \ γ , (γ une continuamente

−→ R, definida por φ (z ) = Arg z , si z ∈ A , φ (z ) = Arg z + 2π , si z ∈ B , La función φ : 

Α Β

es una determinación del argumento en .

5.

D (0 2) D (0 1). En  no Sea  existe determinación continua del argumento. Supongamos que φ :  R  R− , φ y lo es. En la región ∗ Arg z son dos determinaciones del argumento y, por tanto, para algún k Z

=

Ω

; \

;

= \

−→

∈

= Arg z + 2k π, z ∈ ∗. Pero entonces, φ no puede ser continua en  porque si z ∈ (−2, −1),losl´ımites de φ (z ) para z → z a través de { z ∈  : m z > 0} o a través de {z ∈  : m z < 0} φ (z )

0

0

difieren en 2 π .

Proposición. Si f es una determ inaci on ´ del logaritmo en  entonces f es holomorfa en . Además, 1 f  (z ) , z . z Demostración. Fijemos un punto z 0 nencial es 1 en el punto 0, se tiene

lim

w

→0

= ∀ ∈ ∈ . Como la derivada de la funci´ on expoew

− 1 = 1.

w

54


A partir de aqu´ı, deducimos,

∀ε > 0, ∃δ > 0  |w| < δ

 ⇒

w

ew

−1

Por otro lado, como f es continua en z 0 , se tiene,

h < δ1

δ1 > 0

∃

||

f (z 0

h)

 − 

1 < ε z0 .

f (z 0 ) < δ.

⇒|

+ − | = z, si |h | < δ , = f e(z ++ h )−−e f (z ) − e 1 = |z1 | fe(z ++ h−) − f−(z1) − 1

Juntando estos dos hechos, y usando que e f (z )

 

f (z 0

+ h ) − f (z ) −

1

0

h

z0

| |

 

   

1

0

0

f (z 0 h )

f (z 0 )

0 f (z 0 h )

0

f (z 0 )

0

f (z 0 )

Luego, f es derivable en z 0 con derivada 1/z 0 .

  

< ε.

Todav´ ıa tenemos mucho más.

Proposición. Si f es una determinación del logaritmo en  entonces f es anal´ıtica en . Demostración. Sea z 0

1

= z1 z

0

∈ . Se veri fica 1 z

= − z 1+ z 0

0

∞

−

( 1)n

(z

n 0

=

n

− z ) , | z − z | < | z |. z + 0 n 1 0

0

0

Por tanto, la serie de potencias “primitiva t érmino a término” de la anterior

∞

−

( 1)n

n 0

=

n 1

−z ) + (n + 1)z + (z

0

n 1 0

es derivable en D (z 0 z 0 ) y su derivada es 1 /z . Como éste también es el caso de f en un entorno (conexo) de z 0 , tendremos

;| |

f (z )

=C+

∞

− n 0

=

( 1)n

n 1

−z ) + (n + 1) z + (z

en un entorno de z 0 . Por tanto, f es anal´ıtica en z 0 .

0

n 1 0


55

Observación.

z ) es holomorfa (y anal´ıtica) en C ( , 1], por La función Log (1 composición. Por cambios de variable, o bien, repitiendo la demostración anterior, obtenemos que el desarrollo en un entorno de 0 es:

+

Log(1

\ −∞ −

+ z) = C +

∞

( 1)n

n 0

−

z n +1 n

1

, z <1

||

+ = 0, vemos que el valor de la constante es C = Log1 =

 =

Evaluando la igualdad en z 0.

Finalmente, cambiando el parámetro de sumación,

Log(1

+ z) =

∞

− n 1

=

( 1)n +1

zn n

, z < 1.

||

El criterio de Dirichlet garantiza la convergencia de la serie tambi´ en para

|z | = 1, z = −1. La suma en tales puntos sigue siendo Log (1 + z ) (¿por qué?). Observación. En la práctica, convendrá tener cuidado con el siguiente aspecto. Es claro que si φ arg z , ψ arg w , entonces φ ψ arg(z w) , pero al particularizar a determinaciones concretas del argumento no siempre se traduce ésto en una igualdad. As´ı, en general,

∈

∈

+ ∈

Arg z

+ Arg w = Arg(zw).

De forma análoga, en general, Log z

+ Log w = Log(zw),

− + Log(−1) = 2π i = 0 = Log (−1)(−1) , aunque siempre

por ejemplo Log( 1) ocurre que

Log z

3.5



+ Log w ∈ log(zw).



EXPONENCIALES Y POTENCIAS ARBITRARIAS

Al tener concepto de logaritmo, podemos definir la potenciación.

56


Definición. Dados u , v

∈ C, con u = 0, se de fine el conjunto u = {exp(vα) : α ∈ log u } v

Podr´ıamos poner brevemente (igualdad entre conjuntos),

uv

= exp(v log u )

Los elementos del conjunto u v son, por tanto,

| | + i Arg u + 2k π i )}, k ∈ Z.

exp v( ln u

{

Este conjunto consta, en general, de infinitos elementos. Pero, debido a la periodicidad de la funcio´ n exponencial, estos elementos podr´ıan repetirse y dar un conjunto finito. De hecho, es muy fácil probar que: n

i) Si n ii) iii) iv)

n)

∈ N, u consta de un solo elemento . Precisamente, u .u .... u . u = 1. 1 Si n ∈ Z− , u = − . u ´ Si n ∈ N, u consta de n elementos, justamente las n ra´ıces n -esimas de u . 0

n

n

1/ n

Ahora, bastará precisar la elección de logaritmos para tener funciones exponenciales y potenciales

1. Dado a

= 0, la func ión f (z )

z

= a = exp(z Log a )

es la función exponencial de base a . Es decir, a no ser que se indique lo contrario, la expresión a z indicará que estamos tomando el logaritmo principal. Es claro que es una función entera (de hecho, anal´ıtica en C), pues sólo se diferencia de la exponencial por el factor constante Log a .

2. Dado α C, también usaremos la notación z α para indicar la elección del logaritmo principal.

∈

α

= z = exp(α Log z ), z ∈ C \ {0}. Su dominio de definición es C \{0}, pero solamente es holomorfa (y anal´ıtica), por composición de ellas, en C \ (−∞, 0]. f (z )


57

Cuando el parámetro α es entero, es claro que, de hecho z α es holomorfa en C 0 . Y si es natural, es holomorfa en C (definiéndola como 0 en 0). En cualquier otro caso, no puede ser holomorfa más allá de C R− , pues es f ácil ver que en los puntos de R− no es cont´ınua.

\{ }

Desarrollo de (1

\

+ z)

α

en serie de potencias centrada en 0.

Por razones obvias, se considera (1 z )α (yno z α ) para desarrollar en potencias de z . En todo caso, es claro que simples cambios de variable llevan la información de una función a otra.

+

Denotemos α

f (z )

= (1 + z ) = exp(α Log(1 + z )), z = −1. Esta función es anal´ıtica en C \ (−∞, −1] (por composición de anal´ıticas) y, por

tanto, es anal´ıticaen0.Esto,te´ oricamente, nos dice que existe una serie de potencias centrada en 0 con radio R > 0, tal que

f (z )

∞



=

an z n

n 0

=

en un entorno de 0. Si derivamos por la regla de la cadena,

f  (z )

= α1 f+(zz)

y, as´ı, se debe cumplir la ecuación (1

+ z) f  (z) − α f (z) = 0.

(1)

Por otra parte, la derivada de f es

f  (z )

=

∞ n 1

  − +  + = − + =

Entonces, la ecuación (1) queda

∞

 n 1

=

an nz n −1

an nz n −1

∞

an nz n

n 1

∞

an z n

n 0

=

(a1

α

α a0 )

= ∞

n 1

=

((n

1)an +1

n

+ (n − α)a )z = 0 n

58


en un entorno del srcen. Luego todos los coe

Empezando con a0

ficientes deben ser 0, o sea,

(n

+ 1)a + = (α − n)a , n = 0, 1, 2,...

=

f (0)

n 1

an

n

= 1, es fácil comprobar por inducción que α(α − 1)...(α − n + 1) = n!

´ combinatorio generalizado y denoLlamaremos a esta última cantidad numero taremos (para α C)

∈

 = α

α(α

n

− 1)...(α − n + 1) , n ∈ N; n!

 = α

0

1.

Por tanto, hemos obtenido

(1

+ z)

α

∞

   = n 0

=

α

n

zn ,

(2)

en un entorno del srcen. α Por u ´ ltimo, observemos que si α es un número natural, n 0 si n > α y la ecuación (2) no es otra cosa que la fórmula del binomio de Newton.

 =

En otro caso, es fácil ver que la serie en (2) tiene radio R 1. Tanto f como la serie son anal´ıticas en D (0 1) y coinciden en un entorno del srcen. Entonces, por el P.P.A. tendremos

=

;

(1

α

+ z)

∞

α

n 0

n

   = =

z n , z < 1.

||

Ra´ız cuadrada principal.

=

Cuando se particulariza lo anterior para el exponente α 1/2, obtenemos el conjunto de las ra´ıces cuadradas y la ra´ız cuadrada principal. Nos encontramos ahora con un buen l´ ıo de notación: ¿qué signi fica z 1/2 ? ¿qué signi fica z ? Los convenios utilizados var´ıan de unos textos a otros, por lo cual, ante la menor ambigüedad, merece la pena explicitar el significado atribuido a los signos que se estén empleando.

√


(i)

59

En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente otra cosa, pondremos: z para el conjunto de las ra´ıces cuadradas de z , es decir,

±√

± √ z = {w ∈ C : w = z }. def

2

(Ojo: no es una notación estándar). Tiene sentido para todo z z 0. 1 (ii) z o z 2 para la ra´ız cuadrada principal de z , es decir,

∈ C, incluido

√=

√z = z = e . {0}, aunque por comodidad puede ser conveTiene sentido para todo z ∈ C \√ niente a veces escribir también 0 = 0 = 0. (ii.1) Según este convenio, para todo z ∈ C es ± √ z = {√ z , − √ z } = { z , − z }. def

1 2

def

(1/2) Log z

1 2

1 2

1 2

(ii.2) Cuando z sea un número real no negativo, z [0, ), como z 0o Arg z 0 se obtiene como ra´ız cuadrada principal de z justamente su

∈

+∞

=

=

ra´ız cuadrada real no negativa, con lo cual las notaciones introducidas son consistentes con las que empleamos para números reales. Por lo que a desarrollos en serie de potencias respecta, bien repitiendo el proceso visto anteriormente o bien calculando

 = − 1/2

( 1)n −1

n

· · · · · (2n − 3) , 2 · 4 · 6 · · · (2n )

1 3 5

n

≥ 2,

que suele abreviarse mediante factoriales dobles en 1/2

( 1)n −1

(2n

n

1

+z

(2n )!!

 = − | |=  = + + −

1 (los coe ficientes son del tamaño de n −3/2 ),

queda, incluso si z

√

− 3)!! ,

1

1 2 1

z

∞

( 1)n −1

n 2

=

1

(2n

− 3)!! z

n

(2n )!!

5 = 1 + 2 z − 8 z + 161 z − 128 z + ..., 2

3

4

|z | ≤ 1.

60


Otro desarrollo importante, correspondiente a α

√11+ z = 1 +

∞

−

( 1)n

(2n

n 1

=

1

− 1)!! z

= − 12 , es

n

(2n )!!

= 1 − 2 z + 38 z − 165 z + ..., 2

3

| z | < 1.

Del criterio de Dirichlet y el teorema del l´ ımite de Abel se sigue que el desarrollo es válido siempre que z 1, z 1.

| |≤

3.6

= −

OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones

´ tr ig onom etricas e hiperb

´ olicas complejas.

Funciones trigonométricas como la tangente, cotangente, secante y cosecante, as´ı como las funciones hiperbólicas, se pueden de finir en C usando las fórmulas que las de finen en R. Las funciones obtenidas son las únicas extensiones anal´ıticas al dominio correspondiente de las funciones reales del mismo nombre. De entre las muchas relaciones y propiedades que podemos deducir fácilmente, nos limitamos a señalar un par de ellas que ligan funciones de distinto ‘grupo’.

Proposición. Dado z

∈ C, Sh z = −i sen(i z ),

Ch z

= cos(i z).

Otras funciones inversas La función arco tangente compleja. Para su de finición, de nuevo tendremos que tomar precauciones, porque la función tangente en C no es inyectiva. Tendremos que empezar por resolver la ecuación tan w z

=

para z

∈ C fijado. Aplicando la definición =0 e + e−  e − e− ⇐⇒ tan w = z ⇐⇒ = iz − e +e ⇐⇒

 

(1

iw

iw

iw

iw

iw

iw

− i z) e

2i w

 

e 2i w e 2i w

= −1 − 1 = iz +1 e = z i , −i =∗ 1 + i z ⇐⇒ e = 1 + i z [⇒= −1] 1 − iz 2i w

2i w


61

Observamos en que si z i o´ z i no puede haber solución. Si z no es uno de estos valores, las soluciones w son tales que

∗

=

2i w

∈ log

=−

 + ⇔ 1

iz

1

− iz

w

1

∈ 2i log

+  1

iz

1

− iz

Hemos demostrado con e´ sto que la función tangente π

\ { 2 + k π : k ∈ Z} −→ C \ {i, −i } es suprayectiva, y dado z ∈ C \ {i , −i }, 1 1 + iz tan w = z ⇔ w ∈ log 2i 1 − iz As´ı, podr´ıamos escribir, para z ∈ C \ {i , −i }, el conjunto 1 1 + iz arctan z = log 2i 1 − iz tan : C

 

 

y, para tener una función, elegimos algún logaritmo. Por supuesto, lo más lógico es trabajar (casi siempre) con el principal. As´ı, la función arco tangente principal , que escribiremos Arctan z , será Arctan z

= 21i Log

+  1

iz

1

− iz

, z

= i, −i.

El dominio de definiciónes C i , i . Veamos dónde es anal´ıtica. Por composición de anal´ıticas lo será en todos los puntos, salvo a lo más en aquéllos en que

\{ − }

+ i z ∈ R− . 1 − iz 1

Hallemos estos z ’s: 1 1

+− ii zz = λ ⇐⇒ z = i 11 −+ λλ .

Cuando λ recorre los números reales negativos, z recorre el conjunto

I

= {i x : x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, +∞)}. Por tanto, la función Arctan z es anal´ıtica en el abierto  = C \ I . (Que no lo es en los puntos de I se prueba como siempre.)

62


.

I

Notemos que, en particular, es anal´ıtica en el disco unidad. Vamos a hallar su desarrollo en serie de potencias de z . Por la regla de la cadena, es fácil llegar a que

i

O

Arctan (z )

.

= 1 +1 z

2

, z

∈ .

Si tenemos ∞ en cuenta que 1 ( 1)n z 2n , z < 1, 1 z2 n =0 por igualdad de derivadas en D (0 1) (conexo), -i

;  = − ∞

Arctan z

( 1)n

+ =

−

||

z 2n +1

+ 1 , | z | < 1, salvo la adición de una constante C , de valor C = Arctan 0 = 0. n 0

=

2n

La función Arctan es una extensión anal´ıtica (la única posible en ) de la función arco tangente real arc tg, inversa de la restricción de la tangente al intervalo ( π/ 2, π/2). (¿Por qué?)

−

Argumento principal y arco tangente real. Para ciertos cálculos que efectuaremos posteriormente conviene disponer de expresiones del argumento principal más manejables que su de finición. Para cada z 0 se tiene x ez z cos(Arg z ), y mz z sen(Arg z ), y / x si x luego tg (Arg z ) 0. Examinando los rangos de Arg y Arctan, se sigue y Arctan si x > 0; x y π si x < 0, y Arctan 0; Arg(x i y ) x y Arctan π si x < 0, y < 0; x

=

= =| | =

=

=

+

  = 

+ −

en esquema, repartido por cuadrantes, Arg( x i y )

+

y

=

+π x Arg( x + i y ) = y −π Arctan x Arctan

=| |

Arg(x

≥

+ i y) =

Arctan Arg(x

y

x

+ i y) =

Arctan

y

x


63

La función arco seno compleja. Fijado z notación

C, tenemos que resolver la ecuaci´ on sen w

∈

sen w

iw

iw

= z ⇔ e − e− = 2i z ⇔ (e ⇔ e ∈ iz ± 1 − z .



iw

±√ − z

Nótese que 1 nos dan 1 z 2 ).

−

Sea cual sea z

2

iw 2

)

2

=

z . Con nuestra

iw

− 2i ze − 1 = 0 (1)

representa dos valores (los dos que elevados al cuadrado

∈ C, ninguno de los dos valores de i z ± iz



2

2

√

1

−z

2

es 0, ya que

2

∈ ± 1 − z ⇐⇒ −z = 1 − z .

Por tanto, la ecuación (1) siempre tiene solución, a saber, aquellos w tales que w

∈ 1i log(i z ±

−

z 2 ).

1

Hemos demostrado entonces que sen : C

−→ C es suprayectiva, y además, para cada z ∈ C, podemos definir el conjunto arcsen z

= 1i log(i z ±

− 1

z2)

donde, insistimos, por cada uno de los valores de z hay dos de

√

1

2

−z .

Si queremos una funci o´ n Arcsen z , elegiremos las ramas principales, tanto en el logaritmo, como en la raiz interior. 1 Arcsen z

= i Log(i z +

El dominio de esta función es todo C (si z

− 1

z 2 ), z

∈ C.

= ±1, entendemos

√

0

= 0).

Veamos dónde es anal´ıtica. Empezamos por la ra´ız interior. Será anal´ıtica, excepto a lo más en los z ’s tales que 1

2

2

− z ∈ (−∞, 0] ⇔ z ∈ [1, +∞) ⇔ z ∈ [1, +∞) ∪ (−∞, −1].

64


√

Por tanto, la determinación principal de ( , 1]).

1

−∞ −

−z

2

es anal´ıtica en C

\ ([1, +∞) ∪

Ahora, en lo que respecta al logaritmo exterior, debemos quitar los que i z 1 z 2 R− . Pero,

+

√

− ∈ iz +

De aqu´ı, tiene que ser

− 1

z2

= λ ∈ R− ⇔

2

2

− z = (λ − i z) ⇒ z

1

− = −   − = z2

1

λ

λ2

1

i

2λ

iz

z ’s tales (2)

(3)

.

Al elevar al cuadrado, se pueden añadir soluciones. Entonces, tenemos que llevar la expresión (3) a (2) y tenemos



2

2 2

−λ ) =λ+ 1−λ ⇒ 1+ 4λ 2λ (1

2



(1

2 2

+λ ) = 1+λ 4λ 2λ 2

2

.

Pero, comprobamos que la raiz principal de este n´ umero es el número positivo (1 λ2 )/2 λ , de donde

+

||

2

2

+ λ ) = 1 + λ ⇒ λ = |λ| = −λ. 2λ 2λ | | que nunca sucede i z + √1 − z ∈ R− . Por tanto, Este argumento ha demostrado (1

2

la u´ nica limitación es la del principio, y concluimos que: La funcio´ n Arcsen es anal´ıtica en C

\ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]).

En particular, lo es en D (0 1). Para hallar el correspondiente desarrollo en serie, primero, comprobamos por la regla de la cadena que

;

Arcsen (z )

=√

Por otro lado,

√

1 1

1 1

−z

, z

= (1 − z )− = 2

z2

2

1 /2

∈ C \ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1]). ∞

−1/2 (−1) z , |z | < 1. n n 2n

n 0

= − Integrando, (de nuevo la constante es C = Arcsen 0 = 0), Arcsen z

     − = − ∞

n 0

=

1 /2

n

( 1)n

z 2n +1

2n

+ 1 , | z | < 1.

La función Arcsen es una extensión anal´ıtica (la única posible en

C

\ ([1, +∞) ∪ (−∞, −1])) de la función arco seno real. (¿Por qué?)

CAPÍTULO 4

Integración sobre caminos 4.1

´ INTRODUCCION

La integración sobre caminos fue el instrume nto principal del que se sirvi ó Cauchy para crear la teor´ıa de funciones anal´ıticas de variable compleja, estableciendo lo que actualmente suele denominarse ‘teor´ıa de Cauchy’, para distinguirlo de los enfoques posteriores de Riemann (con una visión más geométrica) y de Weierstrass (basado en los desarrollos locales en serie de potencias). Gracias a la representación (bajo ciertas condiciones) de una función holomorfa mediante una integral dependiente de un parámetro, Cauchy logró probar que, en C, las nociones de holomorf´ıa y analiticidad son las mismas, culminando su obra con lo que él donominó‘cálculo de residuos’. De todo esto nos ocuparemos más adelante. El concepto de integral sobre un camino est´ a muy relacionado con el de integración sobre caminos de formas diferenciales reales de dos variables. Esto hace que los resultados iniciales (y sus demostraciones) sean bastante parecidos a lo ya estudiado en la teor´ıa de funciones de varias variables reales.

4.2

´ DE FUNCIONES COMPLEJAS INTEGRACI ON EN INTERVALOS REALES

Empecemos recordando algún concepto previo de derivabilidad e integrabilidad para funciones de variable real , pero con valores complejos. Lo más destacable en este punto es que la variable toma solamente valores reales. Sea g : [a , b ] ⊆ R −→ C.

1. g es derivable en t0 ∈ [a , b] si

g (t ) − g (t ) ∃ tlim →t

0

t − t0

0

= g  (t0 ) ∈ C

(cuando t0 = a o´ t0 = b , los l´ımites son laterales). No estamos introduciendo ninguna definición nueva de derivabilidad: la novedad estriba en la naturaleza del dominio de la funci´ on, que excepcionalmente no es un abierto del plano complejo sino un intervalo compacto real, lo que nos sit u´ a más cercanos a la derivación en R. De hecho, la de finición anterior

65

66

Integraci ´ on sobre caminos es equivalente a que las dos funciones reales e g , m g : [a , b ] ⊆ R → R sean derivables en t0 , siendo en tal caso

g  (t0 ) = (e g ) (t0 ) + i (m g ) (t0 ).

2. Sea g : [a , b] ⊆ R −→ C y f :  −→ C con  abierto de C y g ([a , b ]) ⊂ . Si g es derivable en t0 (definición actual) y f es derivable en g (t0 ) (definición anterior), entonces f ◦ g es derivable en t0 y ( f ◦ g ) (t0 ) = f  (g (t0 ))g  (t0 ).

Esto es un sencillo ejercicio, que puede abordarse directamente o usando la regla de la cadena para funciones de varias variables y las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

3. g es integrable (Lebesgue) en [ a , b ] si, por de finición, lo son e g e m g , y el valor de la integral es b



a

b

g (t ) dt =



a

b

e g (t ) dt + i



a

m g (t ) dt .

Para estas funciones con valores complejos, siguen siendo ciertos los resultados importantes de integración. Resaltamos los que más utilizaremos:

Acotación.

 

b

  

b

g (t ) dt ≤ a

|g (t )| dt . a

(No es tan obvio como puede parecer: inténtelo el lector por su cuenta antes de ver la demostración que sigue.) Para probarlo, sea z =

b a

g (t ) dt . Entonces existe c ∈ C con |c | = 1 tal que ı

|z | = c z . Pongamos u = e (c g ), con lo cual u ≤ |c g | = |g |. As´



b



g (t ) dt = |z | = c a



b



g (t ) dt = a

∗



b

∗

c g (t ) dt = a

que



b a

c g (t ) dt = e

b a

b a

   

verificándose = porque teniendo en cuenta que





c g (t ) dt =

b a

b

u (t ) dt ≤ a



b

|g (t )| dt , a

c g (t ) dt = |z | ∈ R, se deduce

e c g (t ) dt .

Integraciónsobrecaminos

67

Regla de Barrow ‘ampliada’. Si g : [a , b] −→ C es continua y existe una partición t0 = a < t1 < t2 < · · · < tn = b de [a , b ] de manera que g es derivable en cada (tk −1 , tk ), 1 ≤ k ≤ n y g  (extendida arbitrariamente a los puntos tk ) es integrable-Riemann en [ a , b], entonces



b

g  (t ) dt = g (b) − g (a ). a

La regla de Barrow que conocemos s´ olo es aplicable en cada uno de los intervalos [tk −1 , tk ] de la partición. Pero entonces,



n

b

g  (t ) dt = a

 k =1

tk

n

g  (t ) dt =

tk −1



(g (tk ) − g (tk −1 )) = g (b) − g (a ).

k =1

Teorema de la convergencia dominada. Sean gn , g : [a , b] −→ C tales que gn (t ) −→ g (t ) para casi todo t ∈ [a , b] y, supongamos que ∃h : [a , b] −→ b R+ tal que ∀n ∈ N, |gn (t )| ≤ h (t ), t ∈ [a , b ] y a h (t ) dt < +∞. Entonces, b

b

gn (t ) dt =

lim

n →∞



g (t ) dt .

a

a





O la versión continua de este teorema

T.C.D. Versi´ on continua. Si tenemos una función g de dos variables, z ∈ D (z 0 ; δ) , t ∈ [a , b ], con valores complejos, tal que lim g (z , t ) = g0 (t ), para casi todo t ∈ [a , b],

z →z 0

|g (z , t )| ≤ h (t ), ∀z ∈ D (z 0 ; δ), ∧

Entonces,

b z →z 0



b

h (t ) dt < +∞ a

b

g (z , t ) dt =

lim



a

g0 (t ) dt . a

   

Cambio del orden de integraci´ on. Sea g : [a , b ] × [c, d ] → C continua. Entonces b

  a

d

d

g (s , t ) ds c

b

dt =

c

(Es un caso particular del teorema de Fubini.)

g (s , t ) dt a



ds .

68 4.3

Integraci ´ on sobre caminos CURVAS Y CAMINOS EN C

Definición. Una curva en C es una función γ : [a , b ] → C continua ( a , b ∈ R, a < b). Observación. Una curva no debe identificarse con la imagen de la función γ ([a , b ]) (denominada el soporte de la curva). Por ejemplo, γ1 : [0, 2π ] −→ C,

γ1 (t ) = eit

γ2 : [0, 2π ] −→ C,

γ2 (t ) = e2it

son dos curvas distintas que tienen el mismo soporte. Nótese que el soporte de una curva siempre es un subconjunto compacto de C.

conexo y

Definición. Un camino (ocurva C (1 atrozos)esunafunci´ on continua γ : [a , b ] → C tal que existe una partici´ on a = t0 < t1 < .. . < tk = b de forma que γ es



[t j −1 ,t j ]

una curva de clase C (1 ( j = 1,..., k ).

Observación. Lo anterior signi fica que γ : [t j −1 , t j ] −→ C es derivable en sentido real (las partes real e imaginaria son derivables). Es decir, ∀t ∈ [t j −1 , t j ], ∃ lim s →t

γ (s ) − γ (t )

= γ  (t ) = (e γ ) (t ) + i (m γ ) (t ) ∈ C

s−t

(en t j y t j −1 los l´ımites son laterales) y además, γ  : [t j −1 , t j ] −→ C es continua. En los puntos de la partici´ on t j , existe derivada γ  (t j ) por la derecha y por la izquierda, pero estas derivadas pueden coincidir o ser distintas. Sea γ : [a , b ] −→ C un camino. Se llama srcen de γ al punto γ (a ); se llama extremo de γ al punto γ (b). Se dice que γ es un camino cerrado si γ (a ) = γ (b). Se llama longitud de γ a

long γ =



b

|γ  (t )| dt ( < +∞) a

Si A ⊆ C, se dice que γ está contenido en A si γ ([a , b ]) ⊆ A.


69

Opuesto de un camino. Sellamacamino opuesto a γ alcamino −γ : [−b, −a ] −→ C dado por (−γ )(t ) = γ (−t ). El camino opuesto tiene el mismo soporte, pero cambia el srcen por el extremo y vicevers a. Se dice que −γ recorre el soporte del camino en sentido contrario al de γ . Unión de caminos. Sean γ1 : [a , b] −→ C y γ2 : [c, d ] −→ C dos caminos tales que γ1 (b ) = γ2 (c ). Se llama γ1 ∪ γ2 (unión o suma de γ1 y γ2 ) al camino dado por γ1 ∪ γ2 : [a , b + d − c ] −→ C, (γ1 ∪ γ2 )(t ) = γ1 (t ) si t ∈ [a , b]; (γ1 ∪ γ2 )(t ) = γ2 (t − b + c ) si t ∈ [b, b + d − c].

Es claro que la unión de dos caminos es un camino que cumple

i) sop (γ1 ∪ γ2 )=sop(γ1 )∪sop(γ2 ) ii) origen (γ1 ∪ γ2 )=srcen (γ1 ) ii) extremo (γ1 ∪ γ2 )=extremo(γ2 ). Definición. Sean γ1 : [a , b] −→ C y γ2 : [c , d ] −→ C. Diremos que son equivalentes y escribiremos γ1 ∼ γ2 , si tienen el mismo n´ umero de puntos no regulares (d onde ´ no son C 1) ) y si a = t0 < t1 < ... < tn = b y c = s0 < s1 < .. . < sn = d son las particiones asociadas, existe una aplicaci´ on τ : [a , b] −→ [c , d ]

que es biyecc ión con τ



[t j ,t j +1 ]

: [t j , t j +1 ] −→ [s j , s j +1 ], j = 0, 1,..., n − 1

derivable con τ  (t ) > 0 y de forma que γ1 = γ2 ◦ τ.

1. Se prueba fácilmente que ∼ es una relación de equivalencia compatible con la operación de camino opuesto y la uni´ on de caminos. Ser´ıa más ajustado a la práctica habitual de finir camino como una clase de equivalencia por esta relación y si γ1 ∼ γ2 , decir que γ1 y γ2 son parametrizaciones del mismo camino. La aplicación τ que liga γ1 y γ2 se llama cambio de parámetro. 2. Los caminos equivalentes sólo se diferencian en que se recorre el mismo soporte y en el mismo sentido, pero a diferente velocidad. A efectos de la

70

Integraci ´ on sobre caminos utilización de los caminos en nuestra teor´ como si fueran iguales.

ıa,

dos caminos equivalentes es

3. Por ejemplo, son equivalentes los caminos γ1 : [0, 2π ] −→ C,

γ1 (t ) = ei t

γ2 : [0, π ] −→ C,

γ2 (t ) = e 2i t

(donde la aplicación cambio de parámetro es clara). 4. Podremos suponer, cuando as´ı nosconvenga,queuncaminoest´ a parametrizado en el intervalo [0 , 1].

Ejemplos. 1. Dados z 0  = z 1 ∈ C, el segmento orientado [z 0 , z 1 ] es el camino γ : t ∈ [0, 1] → γ (t ) = z 0 + t (z 1 − z 0 ) = (1 − t ) z 0 + t z 1 ∈ C.

La notación que se emplea es la misma que para su soporte, pero el contexto dejará claro en cada ocasiónacuál de las dos nociones nos estamos refiriendo. Por comodidad, diremos ‘segmento’ [ z 0 , z 1 ], sobreentendiéndose ‘segmento orientado’. Su longitud es igual a |z 1 − z 0 | (¡comprobar!). 2. Dados z 0 , z 1 , . . . , z n ∈ C, la poligonal de vértices z 0 , z 1 , . . . , z n , es el camino [z 0 , z 1 ] ∪ [ z 1 , z 2 ] ∪···∪ [z n −1 , z n ]. Su longitud es igual a |z 1 − z 0 | + |z 2 − z 1 |+···+| z n − z n −1 | (¡comprobar!). 3. Dados z 0 ∈ C, r > 0, la circunferencia de centro z 0 y radio r orientada positivamente es el camino γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t ) = z 0 + r eit ∈ C.

Lo representaremos por ∂ D (z 0 ; r ). La circunferencia de centro z 0 y radio r orientada negativamente es el camino opuesto −∂ D (z 0 ; r ). Cuando no se especifique orientación, se sobreentiende la positiva. La longitud de ambos es 2 π r (¡comprobar!). 3. Dados z 0 ∈ C, r > 0, k ∈ Z, el camino γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t ) = z 0 + r eikt ∈ C.

es la circunferencia de centro z 0 y radio r recorrida k veces en sentido positivo si k ≥ 0 o recorrida −k veces en sentido negativo si k < 0. La representaremos por k · ∂ D (z 0 ; r ). En particular, 1 · ∂ D (z 0 ; r ) = ∂ D (z 0 ; r ), 0 · ∂ D (z 0 ; r ) es el camino constante con soporte {z 0 } y (−1) · ∂ D (z 0 ; r ) = −∂ D (z 0 ; r ) (salvo ajustes en la parametrización). Su longitud es igual a 2 |k |π r (¡comprobar!).

Integraciónsobrecaminos 4.4

71

´ DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CAMINOS INTEGRACI ON

Definición. Sea γ : [a , b ] −→ C un camino y sea f : sop γ −→ C una función continua. Se llama integral de f sobre γ a

  f =

γ

f (z )d z = γ



b

f (γ (t ))γ  (t ) dt . a

Nótese que la función que integramos, ( f ◦ γ ) · γ  : [a , b] −→ C, es continua, salvo en un número finito de puntos (donde las discontinuidades son de salto). Por tanto, es integrable-Lebesgue (incluso integrable-Riemann) en [ a , b]. La de finición podr´ıa haberse dado para funciones más generales que las continuas, con tal de que ( f ◦ γ ) · γ  fuera integrable en [ a , b]. Pero, para nuestros propósitos, basta con esto.

Propiedades. 1. Si γ1 ∼ γ2 , entonces

  f =

γ1

f. γ2

Basta acudir a la de finición y hacer en la integral el cambio de variable τ (t ) =

s , donde τ es el cambio de parámetro. 2. 3. 4.

  

    

f =− f = γ1 ∪γ2

f.

γ

−γ

f +

γ1

( f + g) = γ

f.

γ2

f +

γ

g, γ



λf = λ γ



f. γ

5. Regla de Barrow. Sea f :  ⊃ sop γ −→ C. Supongamos que ∃ F ∈ H() tal que F  (z ) = f (z ), ∀z ∈ . Entonces,



γ

f (z )dz = F (γ (b )) − F (γ (a )).

En efecto, podemos subdividir el intervalo [a , b ] en intervalos parciales [t j −1 , t j ] en los que la restricción de F ◦ γ es derivable, con derivada (lateral en los extremos) dada por la regla de la cadena ( F ◦ γ ) (t ) = F  (γ (t ))γ  (t ) = f (γ (t ))γ  (t ),

72

Integraci ´ on sobre caminos continua a trozos (luego finalmente integrable en [a , b]). Entonces, aplicando la regla de Barrow ‘ampliada’,



f (z )d z = γ



b

f (γ (t ))γ  (t ) dt = a



b

( F ◦γ ) (t ) dt = F (γ (b))− F (γ (a )). a

Observación. En las hipótesis anteriores, si γ es cerrado (es decir, si γ (a ) = γ (b )) resulta

6.







f (z ) dz = 0.

γ

f (z )dz ≤ long γ · sup | f (z )|. γ

En efecto,



z ∈sop γ

  

b

 

a

γ

b

f (γ (t ))γ  (t ) dt ≤

f (z )dz =

b

|γ  (t )| dt

≤

a



| f (γ (t ))γ  (t )| dt a

· sup | f (γ (t ))|. t ∈[a ,b ]

Observación. Nótese que sop γ es un compacto, y como | f | es continua, el supremo es un máximo (Weierstrass). 7. Sean f n , f : sop γ −→ C continuas, y tales que f n −→ f uniformemente en sop γ . Entonces, lim

n →∞



f n (z )dz = γ



f (z )dz γ

Es decir, bajo la hipótesis de convergencia uniforme en el soporte , el l´ımite conmuta con la integral. Para demostrar el resultado, basta observar que



γ

f n (z )d z −



γ

f (z )d z ≤ long γ · sup | f n (z ) − f (z )| −→ 0, (n → ∞).



z ∈sop γ

8. Cambio de l orden de in tegración. Sea γ1 un camino en un abierto 1 , γ2 un camino en un abierto 2 , φ : 1 × 2 → C continua. Entonces

  γ1

φ (z , w) d w γ2

   dz =

γ2

φ (z , w) dz γ1



d w.


73

Pues sea t0 < t1 < ... < tn una partición del dominio de γ1 tal que cada restricción γ1 |[tk−1 ,tk ] tiene derivada continua, y análogamente sea s0 < s1 < .. . < sm una partición del dominio de γ2 para la que cada restriccio´ n γ2 |[s j −1 ,s j ] tiene derivada continua. Aplicando el resultado de intercambio ya visto,

            φ (z , w) d w

γ1

dz

γ2

tk

sj

=

tk −1

s j −1

sj

tk

j ,k

s j −1

tk −1

γ2

γ1

k, j

=

γ1 (t ) dt

φ (γ1 (t ), γ2 (s )) γ1 (s ) dt

γ2 (s ) ds

φ (z , w) dz

=

4.5

φ (γ1 (t ), γ2 (s )) γ2 (s ) ds

 

d w.

´ INTEGRALES DEPENDIENTES DE UN PAR AMETRO COMPLEJO

Derivación bajo el signo integral. Vamos a obtener un resultado similar a los de la integral de Lebesgue en pero con derivada compleja, en vez de derivada real.

R,

Proposición. Sea γ un camino,  un abierto no vac´ıo de C. Sea φ : (w, z ) ∈ sop γ ×  −→ φ(w, z ) ∈ C

una función de dos variables complejas variable

g (z ) =



continua. Entonces, la funci´ on de una

φ(w, z )d w, z ∈  γ

es continua en . Demostración. Fijemos z 0 ∈ . Acudiendo a la de finición de integral, se trata de demostrar que lim

z →z 0



b

φ(γ( t ), z )γ  (t ) dt = a



b

φ(γ( t ), z 0 )γ  (t ) dt . a

Pero esto es cierto por la versión continua del T.C.D., pues tenemos el limite puntual lim φ(γ( t ), z )γ  (t ) = φ(γ( t ), z 0 )γ  (t ), ∀t ∈ [a , b ]

z →z 0

74

Integraci ´ on sobre caminos

y la dominación trivial, (en un entorno de z 0 tal que D (z 0 ; ε) ⊂ ) 

|φ(γ( t ), z )γ (t )| ≤ C , ∀t ∈ [a , b], ∀z ∈ D (z 0 ; ε)



con

b

C dt < +∞ a

(ya que sop γ × D (z 0 ; ε) es un compacto, y φ es continua).

Teorema. Con las hip otesis ´ y notación de la proposición precedente, supongamos además que: (i) Para cada w ∈ sop γ fi jado, la función de z , φ(w, z ) es derivable en  y ∂φ denotamos a esta derivada. ∂z ∂φ (ii) La función derivada : sop γ ×  −→ C es continua. ∂z Entonces, la función g es holomorfa en , y además



g  (z ) =

∂φ ∂z

γ

(w, z )d w

Es decir, con estas hipótesis, se puede derivar bajo el signo integral. Demostración. Fijemos z 0 ∈ . Tenemos que demostrar que lim

z →z 0



g (z ) − g (z 0 ) z − z0

−



∂φ γ

∂z

(w, z 0 )d w



= 0.

Escribimos

g (z ) − g ( z 0 ) z − z0

−



∂φ ∂z

γ

=



(w, z 0 )d w =

  γ

φ(w, z ) − φ(w, z 0 )

z − z0

−

∂φ ∂z

b

ψ(w, z )d w =



(w, z 0 ) d w

ψ(γ( t ), z )γ  (t ) dt

a

γ

y se trata de ver que esta integral tiende a 0 cuando z → z 0 . De nuevo, podemos aplicar la versi´ on continua del T.C.D., ya que, por un lado, tenemos la convergencia puntual lim ψ(γ( t ), z ) = 0, ∀t ∈ [a , b ]

z →z 0

pues la derivada

∂φ ∂z

existe por hip o´ tesis, y por otro lado tenemos la dominación

|ψ(γ( t ), z )γ  (t )| ≤ C , ∀t ∈ [a , b ], ∀z ∈ D (z 0 ; ε).


75

Para demostrar esto último, acotamos cada uno de los dos sumandos que forman ψ . Por continuidad en un compacto,

 

∂φ ∂z

 

(w, z 0 ) ≤ C , ∀w ∈ sop γ

Y, para el segundo, usamos el truco



φ(w, z ) − φ(w, z 0 ) = 1 z − z0 z − z0

    

[ z 0 ,z ]

∂φ

≤ sup

∂z

η∈[z 0 ,z ]

∂φ (w,η) d η ∂z

 



(w, η) ≤ C , ∀w ∈ sop γ , ∀z ∈ D (z 0 ; ε)

donde [ z 0 , z ] es el segmento que une z 0 y z , y hemos usado la regla de Barrow y ∂φ que ∂ z es continua en el compacto sop γ × D (z 0 ; ε) .

Construcción de funciones anal´ıticas mediante integrales. Aqu´ı se desvela el principal papel de la integral sobre caminos en C. Permite construir funciones anal´ıticas en abiertos muy amplios a partir de una peque˜ na premisa: tener una función continua en el soporte de un camino. Aunque podr´ıamos dar un resultado más general, nos limitaremos al caso particular que se usa, tal cual, en el desarrollo posterior de la teor´ ıa.

Teorema. Sea γ un camino y f : sop γ −→ C continua. Entonces, la función

g (z ) =

1 2π i



f (w) γ

w−z

d w, z ∈ C \ sop γ

es anal´ıtica en C \ sop γ . Demostración. Observemos primero, que si z ∈ C \ sop γ , g (z ) está bien de finida puesto que la función de variable w que integramos, f (w)/(w − z ), es continua en sop γ (si z ∈ sop γ , el denominador se anular´ıa en un punto del soporte). Si sólo pretendieramos ver que g es holomorfa en C \ sop γ , el resultado es una simple aplicación del teorema anterior, pues φ(w, z ) =

f (w) w−z

es continua en sop γ × C \ sop γ ,

y ∃

∂φ ∂z

(w, z ) =

f (w) (w − z )2

y es continua en sop γ × C \ sop γ .

76

Integraci ´ on sobre caminos

Para demostrar la analiticidad, recurrimos a la de

finición.

Tenemos que demostrar que g se puede escribir como una serie de potencias centrada en a . Lo que va a ser f´ acil es desarrollar la función interior. A partir de aqu´ı, nuestro problem a ser a´ sacar un sumatorio fuera de la integral.

r

w

Sea a ∈ C \ sop γ .

a

Denotemos R = d (a , sop γ ) > 0. Si w ∈ sop γ ,

γ

1

1

=

w−z

w−a

·

∞

1 z −a w−a

1−

=

 n =0

( z − a )n (w − a )n +1

siendo el desarrollo válido para aquellos z ’s tales que |z − a | < |w − a |. Tomemos un 0 < r < R . Si z cumple |z − a | < r entonces, |z − a | < |w − a |, ∀w ∈ sop γ . Por tanto, si |z − a | < r podemos escribir

g (z ) =

1 2π i

 γ

∞

f (w) n =0

( z − a )n (w − a )n +1



dw



Para sacar fuera el sumatorio, bastará demostrar que la serie converge uniformemente en sop γ . Y, esto es cierto por el criterio M de Weierstrass. En efecto: ∀w ∈ sop γ ,



f (w)

(z − a )n (w − a )n +1



≤C

rn R

, con n

∞

 n =0

C

rn Rn

< +∞.

Hemos usado que f al ser continua en sop γ está acotada. Por tanto, ∞

g (z ) =

  n =0

f (w)

1

2π i

γ

(w − a )n +1



d w ( z − a )n ,

|z − a | < r

Luego, hemos probado que g es anal´ıtica en a .

Observación El razonamiento anterior se puede hacer para cualquier r < R = d (a , sop γ ), luego, en de finitiva, podemos asegurar ∞

g (z ) =

  n =0

f (w)

1

2π i

γ

(w − a )n +1



d w (z − a )n ,

|z − a | < d (a , sop γ ).

CAPÍTULO 5

Indice de un punto respecto de un camino cerrado 5.1

´ INTRODUCCION

El número de vueltas que da un camino cerrado alrededor de ciertos puntos (el ´ındice, the winding number de los textos en inglés) juega un papel insospechado en la teor´ıa de funciones de variable compleja, como se irá desvelando a lo largo del desarrollo de la misma; ello es debido a que tal número puede expresarse como una integral, ligada con la variación del logaritmo y, por ende, del argumento. ı un punto m´ Tenemos aqu´ as en el que el análisis complejo presenta una fuerte componente geométrica, que va a hacer de los esquemas gráficos un elemento auxiliar muy u´ til. En la primera parte del cap´ıtulo definimos anal´ıticamente el concepto de ´ındice y probamos sus propiedades básicas. En la segunda parte, vemos que el ´ındice se corresponde efectivamente con el ‘n u´ mero de vueltas’, estudiando variaciones del argumento tras introducir los importantes conceptos de argumentos continuos y logaritmos continuos a lo largo de un camino, emparentados (pero no equiparables) con las determinaciones del argumento y del logaritmo. Un excelente libro de referencia, con abundantes comentarios y figuras, es Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York (1991); un enfoque muy geométrico se encuentra en Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford (1997). A un nivel más elevado, Burckel, R. B.: An Introduction to Classical Complex Analysis,Vol. 1. Birkh¨ auser, Basel (1979).

5.2

´ Y PRIMERAS PROPIEDADES DEFINICI ON

Definición. Sea γ un camino cerrado. Para z / sop γ ,

∈

Indγ (z )

1

= 2π i

se llama ´ındice de z respecto de γ .

77



dw γ

w

−z

78

Indice de un punto respecto de un camino cerrado

Propiedades. 1. La función Ind : C

\ sop γ −→ C es anal´tica. ı

Es un caso particular del teorema de analiticidad de funciones definidas mediante integrales.

2. Ind γ (z )

∈ Z, ∀z ∈ C \ sop γ .

C, a En efecto, sea γ : [a , b ] t0 < t1 < ... < tn b tal que la restricción de γ a cada [t j −1 , t j ] tenga derivada continua. Entonces,

−→

Indγ (z ) Para cada j

= 2π1 i

= 1, 2,..., gj : s



b

γ  (t ) γ (t )

a

=

−z

dt

=

n

tj

j 1

t j −1



= 2π1 i

=

γ  (t ) γ (t )

− z dt .

(1)

n , definimos las funciones

∈ [t − , t ] −→ g (s ) = j 1

j

j



s

γ  (t )

t j −1

γ (t )

− z dt ∈ C.

Por el teorema fundamental del cálculo, las g j son derivables, siendo

g j (s )

= γ (γs)(s−) z .

De aqu´ı,

d ds



e g j (s ) γ (s )

−z



=e

g j (s )



g j (s )





− (γ (γs )(−s ) z) = 0, γ (s ) − z 2

por tanto,

e g j (s )

= Cte = γ (et γ (s ) − z

g j (t j −1 )

0

= γ (t e ) − z ) − z − − (la constante es, por ejemplo, el valor en s = t − ). As´ı, e = γγ(t(t ) )−−z z . − j 1

j 1

j 1

j

g j (t j )

j 1

De la ecuación (1), con las notaciones que hemos introducido, tenemos:

Indγ (z )

= 2π1 i

n

 j 1

=

g j (t j ).

(2)


79

Entonces, por (2),

e



n j 1

=

g j (t j )

n

=

γ (t j )

− z = γ (b) − z = 1, γ (t − ) − z γ (a ) − z



j 1

j 1

=

pues el camino es cerrado. Por u´ ltimo, esto implica que existe k

∈ Z tal que

n

= j 1

g j (t j )

= 2k π i ⇒ Ind

γ (z )

= k ∈ Z.

3. La función Indγ es constante en cada componente conexa de C

\ sop γ .

Esto es claro, por ser continua y tomar valores enteros.

4. Ind γ

= 0 en la componente no acotada de C \ sop γ .

En efecto, basta observar que

| Ind

| ≤ 21π long γ ·

γ (z )

1

sup

|w − z | .

w sop γ

∈

γcientemente Como es acotado, grande podemos tomar en la (componente no acotada con módulosop sufi para que z Ind γ z ) < 1. Como debe ser un entero, no queda otra posibilidad que Indγ (z ) 0.

|

|

=

Ejemplos. 1. Sea γ ∂ D (a r ) la circunferencia de centro a y radio r (orientada positivamente). Entonces Indγ (z ) 1 si z a < r , Indγ (z ) 0 si z a > r . En efecto: puesto que D (a r ) es conexo, para todo z D (a r ) será

=

;

;

Indγ (z )

= Ind

=

| − |

γ (a )

1

= 2π i



2π 0

∈

r i e it r e it

;

dt

=

| − |

= 1.

Por otra parte, z C : z a > r es la componente no acotada de C sop γ , luego para estos z el ´ındice es 0. 2. De manera análoga, si γ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida

{ ∈

| − |

}

\

k veces en sentido positivo (k

∈ N), es decir, γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t ) = a + r e ∈ C, se obtendr´ıa Ind (z ) = k si |z − a | < r , Ind (z ) = 0 si |z − a | > r . Y si γ es la circunferencia de centro a y radio r recorrida k veces en sentido negativo (k ∈ N), es decir, γ : t ∈ [0, 2π ] → γ (t ) = a + r e − ∈ C, i kt

γ

γ

i kt

80


se obtendr´ıa Indγ (z ) k cuando z a < r , Indγ (z ) 0 cuando z a > r . 3. El cálculo directo del ´ındice se complica incluso en situaciones aparentemente muy sencillas. Por ejemplo, sea γ “el cuadrado de vértices 1 i ”, es decir, la poligonal [1 i , 1 i ] [ 1 i , 1 i ] [ 1 i , 1 i ] [1 i , 1 i ]. Entonces

=−

| − |

=

+ − + ∪− + − − ∪− −

Indγ (0)

= 2π1 i

= 2π1 i  1

= 2π i = 2π1 i



| − | ±± − ∪ − +

dz z

γ

dz z

[1 i , 1 i ]

+

dz [−1+i ,−1−i ] z dz

+

[ 1 i ,1 i ]

dz z

− − −  +−+ + −− − ∪ − + ∪ + −+ −+−−  −+ − −−  +  − − − − +       z

[ 1 i ,1 i ] [1 i ,1 i ] [1 i , 1 i ]

Log( 1 1

2π i 3π i

i)

[ 1 i, 1 i ]

− +



z

i)

Log[0,2π ) ( 1

i)

3π i − =1 4 4 4 puesto que Log z es una primitiva de 1/z en C \ (−∞, 0] (que contiene al soporte de −1 contiene − i, 1 − i ]al∪soporte +[i−] ∪1 [1++i, i−, −1 1−+i ].i ]) y Log (z) lo es en C \ [0, +∞), [que [1 − i , 1de

= 2π1 i

− − 3π4 i

2π i

[1 i ,1 i ]

dz

dz z

i)

Log( 1

Log[0,2π ) ( 1

1

+

+ 2π1 i

5π i

[0,2π )

En este ejemplo concreto, es posible sustituir en el cálculo el camino por otro más cómodo, concretamente por la circunferencia unidad ∂ D (0 1). En efecto: γ1 Sean γ1 [1, 1 i ], γ2 [1 i , i ] y γ3 el primer cuadrante de la circunferencia orientado negativamente, como se indica en la figura. Puesto que 0 γ3 γ2 queda (“a ojo”) en la componente conexa no acotada del complementario del soporte del camino cerrado γ1 γ2 γ3 , tendrá ´ındice 0 respecto del 0 mismo. Por tanto 1 dz 0, 2π i γ1 γ2 γ3 z ∪ ∪ con lo cual dz dz dz . γ1 ∪γ2 z γ3 z −γ3 z

=

+

= +

;

∪ ∪





=−



=

=



Repitiendo el proceso en los demás cuadrantes y sumando convenientemente, sin perder de vista las orientaciones, llegamos a 1 2π i



dz γ

z

1

= 2π i



dz ∂ D (0 1)

;

z

= 1.


81

Con “ayudas visuales” como e´ sta podremos ir ampliando la complejidad de las situaciones con las que nos enfrentemos. No obstante, nos serviremos mejor todav´ıa de la intuición geométrica viendo que el ´ındice corresponde, como señalábamos en la introducción, al número de vueltas (suma de vueltas positivas y negativas) que da el camino alrededor del punto. La manera más obvia de medir estas vueltas es seguir la variación del ángulo que va formando el segmento [ z 0 , γ (t )] con el segmento [z 0 , γ (a )] cuando t va recorriendo el intervalo [a , b ] en el que está definida γ . En C, hablar de ángulos es hablar de argumentos, y los argumentos son la parte imaginaria de los logaritmos. Si repasamos los cálculos efectuados anteriormente, se comienza a vislumbrar un enfoque del problema: la conveniencia de “empalmar adecuadamente logaritmos sobre trozos del camino” para poder calcular el ´ındice, que relacionaremos con los argumentos correspondientes. La formalizaci´ on de estos procedimientos es el objeto de la sección siguiente.

5.3

´ GEOMETRICA ´ ´ INTERPRETACION DEL INDICE

Comenzamos con las de finiciones de los conceptos que recogen las ideas que acabamos de apuntar.

Definición. Sea γ : [a , b ] Diremos que:

C un camino tal que γ (t )

−→

=

0,

∀t ∈

[a , b].

1. f : [a , b] C es un logaritmo continuo a lo largo de γ , si f es continua en [a , b ], y f (t ) log γ (t ), t [a , b].

−→

∈

∀∈

2. h : [a , b] R es un argumento continuo a lo largo de γ , si h es continua en [a , b ], y h (t ) arg γ (t ), t [a , b].

−→

∈

∀∈

Estos conceptos son, a primera vista, muy parecidos a los ya tratados (determinaciones en regiones), pero existe una gran diferencia: aqu´ı, la variable es real, no atendemos prioritariamente al punto γ (t ) del soporte camino sino que ponemos e´ nfasis en el “instante” t en el que el punto se alcanza. As´ı, puede suceder que γ (t2 ) sin que f (t1 ) f (t2 ) o h (t1 ) h (t2 ), con las notaciones de la sea γ (t1 ) definición.

=

=

=

Sin dificultad se prueba:

i) Si f 1 , f 2 son dos logaritmos continuos a lo largo de γ , entonces

∃k ∈ Z 

f 1 (t )

=

f 2 (t )

+ 2k π i, ∀t ∈ [a , b].

ii) Si h 1 , h 2 son dos argumentos continuos a lo largo de γ , entonces

∃k ∈ Z 

h 1 (t )

= h (t ) + 2k π, ∀t ∈ [a , b]. 2

82


iii) Si f es un logaritmo continuo a lo largo de γ , entonces h (t ) un argumento continuo a lo largo deγ . iv) Si h es un argumento continuo a lo largo de γ , entonces f (t ) es un logaritmo continuo a lo largo de γ .

= m f (t ) es

= ln |γ (t )| + i h (t )

Ejemplos. , 0] 1. Para cualquier camino γ tal que sop γ ( mento continuo a lo largo de γ . (¿Por qué?) ) 2. Para cualquier camino γ tal que sop γ [0, argumento continuo a lo largo deγ . (¿Por qué?) 3. Sean k Z, r > 0 y

∩ −∞ = ∅, Arg γ (t ) es un argu∩ +∞ = ∅, Arg

[0,2π )

γ (t ) es un

∈

γ :t

i kt

∈ [0, 2π ] → γ (t ) = r e ∈ C.

Entonces

h:t

∈ [0, 2π ] → h (t ) = k t ∈ C

es un argumento continuo a lo largo deγ . (¿Por qué?) 4. Si se conocen argumentos continuos h 1 y h 2 de dos caminos γ1 : [ a , b ] γ2 : [ a , b ] C, y se define mediante su producto un nuevo camino

→

γ :t

→ C,

∈ [a , b] → γ (t ) = γ (t )γ (t ) ∈ C, 1

2

entonces h 1 h 2 es un argumento continuo a lo largo deγ . (¿Por qué?) Esta observación es más u´ til de lo que pudiera pensarse. Por ejemplo, sea

+

γ :t 4

-2 x 0

3i t

2it

∈ [0, 2π ] → γ (t ) = e + 3 e ∈ C.

2

(en la figura se tiene su representación gráfica).

0 2

e 2i t (3 eit ), Como e 3i t 3 e 2i t it h (t ) 2t Arg(3 e ) será un argu-

-2 y -4

4

+

= +  +

=

+

+

mento continuo a lo largo de γ (nótese que e (3 eit ) > 0 para todo t [0, 2π ]).

∈

A diferencia de las determinaciones del logaritmo en regiones (que pueden no existir), sobre caminos siempre hay logaritmos continuos.

Indice de un punto respecto de un camino cerrado Teorema. Sea γ : [a , b ]

f : [a , b] lo sea γ .

83

−→ C un camino tal que 0 ∈/ sop γ . Entonces, existe

−→ C logaritmo continuo a lo largo de γ . Además, f es derivable donde

Demostración. Con las mismas notaciones que en la demostración de la propiedad t0 < t1 < . . . < tn b 2 del ´ındice, consideremos como entonces la particio´ n a y, para cada j 1, 2,..., n ,

=

=

gj : s

∈ [t − , t ] −→ g (s ) = j 1

j

j



γ  (t ) dt t j −1 γ (t ) s

Nuevamente, cada g j es derivable en [t j −1 , t j ] y e g j (s )

=

cada trozo,

e g j (s )+Log γ (tj −1 )

=

∈ C. γ (s )

γ (t j −1 )

. Por tanto, en

= γ (s ), s ∈ [t − , t ] j 1

j

γ (s ). Esto quiere Llamemos f j (s ) g j (s ) Log γ (t j −1 ) y tendremos que e f j (s ) decir que hemos demostrado el teorema por trozos. Ahora, tendremos que ajustar bien los empalmes, pero esto no es ninguna di ficultad, pues, por ejemplo, en t1 , f 1 (t1 ) y f 2 (t1 ) son logaritmos de γ (t1 ), luego se diferencian en un 2 k π i , con k Z. Digamos que los saltos en los extremos de los intervalos son del tamaño

=

+

=

2k π i , con determinados k Z. Entonces, al modi ficar las funciones sumando el correspondiente 2 k π i , arreglamos la continuidad sin perder el hecho de ser logaritmos. En otras palabras, la solución a nuestro problema será la función

∈

∈

f (t )

  = 

f 1 (t ) f 2 (t ) f 3 (t )

+ 2k π i + 2k π i ... f (t ) + 2k − π i n

1 2

n 1

(t0 t t1 ) t2 ) (t1 t (t2 t t3 ) ......... (tn −1 t tn )

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

donde los k1 , k2 ,..., k n −1 son los enteros adecuados para que f sea continua sin excepción en [a , b ]. Es claro que f (t )

e

= γ (t ), ∀t ∈ [a , b]

y f es derivable salvo en los puntosti , es decir, donde lo es γ .

Corolario. Sea γ : [a , b ] C un camino cerrado tal que 0 / sop γ . Sea h un argumento continuo cualquiera a lo largo de γ . Entonces

−→

Indγ (0)

∈

= h (b)2−π h (a) .

84

Indice de un punto respecto de un camino cerrado La cantidad h (b ) h (a ) se suele representar por ARG γ (t ),  arg γ o alguna no-

−

γ

a t b

≤≤

γ(t)

tación similar, y se lee variación de un argumento continuo a lo largo del camino . Indγ (0) es as´ı la suma algebraica del número de veces que el argumento var´ıa en 2π . Gráficamente, pues, Indγ (0) corresponde

arg γ(t)

“1 vuelta”

al numero ´ dor del de 0. vueltas que da la curva alrede Demostración. Usamos las mismas notaciones que en la demostración del teorema, y sea h (t ) m f (t ) (que es un argumento continuo). Tenemos

=

2π i Indγ (0)

=



=



dw γ

w

n

  = j 1

=

n

( f j (t j )

j 1

=

tj t j −1

γ  (s ) γ (s )

n

ds

=



(g j (t j )

j 1

=

− g (t − )) j

j 1

− f (t − )) = f (b) − f (a ) = i (h (b) − h (a )). j

j 1

Notemos para la u´ ltima igualdad que f (b), f (a ) son logaritmos del mismo número γ (a ) γ (b ), y por tanto, tienen la misma parte real. Por u´ ltimo, esta variación no depende del argumento continuo que tomemos, porque todos ellos se diferencian en una constante 2k π .

=

Observaciones. 1. Quede claro una vez más que no se debe confundir ‘argumento continuo a lo largo de una curva’ (que siempre existe) con ‘argumento continuo sobre el soporte de la curva’ (que puede no existir). Por ejemplo, para la curva it

=e no existe H : sop γ −→ C continua tal que H (z ) ∈ arg z , ∀ z ∈ sop γ . Sin embargo, insistimos en que si para una curva γ existe H : sop γ −→ C continua, tal que H (z ) ∈ arg z , ∀z ∈ sop γ , entonces H ◦ γ es un argumento γ : [0 , 2π ]

−→ C 

γ (t )

continuo a lo largo de la curva.

2. Para otro punto, distinto de 0, que no esté en sop γ tenemos lo siguiente: Si γ : [a , b]

−→ C, y z ∈/ sop γ , trasladamos el camino mediante γ − z : t ∈ [a , b] −→ γ (t ) − z ∈ C. 0

0

0


85

Entonces es claro que

Indγ (z 0 )

γ (t)

= Ind − (0) = 21π  arg(γ − z ), γ

z0

0

γ

es decir, el ´ ındice respecto de γ del punto z 0 es la variación de un argumento continuo a lo largo de la curva γ z 0 y esto, geométricamente, significa el numero ´ de vueltas que da la curva γ alrededor del punto z 0 .

rg( γ(t)-z 0) z0

−

Por ejemplo, sobre esta idea, es fácil para la curva dibujada a continuacion ´ ver cuál es el ´ındice de cualquier Indice 0 punto del plano que no esté sobre su soporte. FiIndice 1 jado un punto z 0 / sop γ , aficamente la Indice 2 seguimos gr´ variación del a´ ngulo que Indice 3 forma el radio vector que une z 0 con un punto que vaya recorriendo la curva, 0 E medida esta variación respecto de la semirrecta de srcen z 0 que pasa por el punto inicial (y final) E . Por supuesto, el ´ındice se mantiene constante en cada componente conexa. 3. El ´ındice de caminos va a aparecer constantemente en el manejo de integrales. La razón de fondo es la siguiente: dado un camino cerrado γ y a / sop γ ,

∈

∈



(z γ

n

− a) dz = 0, ∀n = −1, n ∈ Z,

ya que las funciones (z a )n tienen primitiva (z a )n +1 /(n 1) en C a , abierto que contiene a sop γ . So´ lo queda saber que ocurre con n 1, y de aqu´ı la noción de ´ındice.

−

−

+

=−

\{ }

As´ı por ejemplo, para integrar una función racional sobre un camino cerrado,



P (z ) γ

Q (z )

dz

86

Indice de un punto respecto de un camino cerrado ( P / Q irreducible), descomponiendo en fracciones simples s´ olo hará falta conocer los ´ındices respecto de γ de los ceros del denominador. En efecto: supongamos, para fijar ideas, que Q tiene una ra´ız doble z 1 , una ra´ız simple z 2 y una ra´ız triple z 3 , y que el grado de P es dos unidades mayor que el de Q . Entonces

P (z )

2

= az + bz + c + (z Q (z )

A

+ (z z )

A z1

1

−C 

)2

+ (z

B z2)

+ (z −−C z ) + (z − z ) + (z − z ) 3

3

−C 

2

3

3

,

de donde



P (z ) γ

Q (z )

dz

=A



dz

γ

z

−z +B 1



dz

γ

z

−z +C 2



dz γ

z

−z

3

(los términos que no hemos escrito son todos nulos por el comentario previo), y as´ı



P (z ) γ

Q (z )

dz

= 2π i  A Ind

γ (z 1 )

+ B Ind

γ (z 2 )

+ C Ind

γ (z 3 )



.

Más adelante veremos una important´ısima generalización de este resultado, el teorema de los residuos.

4. La existencia de logaritmo y argumento continuo es cierta, más en general, para curvas, como se prueba sustituyendo en la demostración anterior la construcción del logaritmo mediante integrales por una construcción directa (más delicada). Esto hace que se pueda extender la nociónde´ındice para curvas cerradas mediante la variación de un argumento continuo. Las propiedades básicas que acabamos de obtener siguen siendo válidas en esta situación más general. (Ver Burckel, loc. cit., Chap. IV.) 5. Curvas de Jor dan e ´ındice. Recordemos que un espacio topológico se denomina curva de Jordan si es homeomorfo a la circunferencia unidad T. El célebre teorema de la curva de Jordan establece: Una curva de Jordan J en el plano C ( R2 ) separa a C en dos regiones con frontera común J , una acotada (el interior de J ) y otra no acotada (el exterior de J ); en otras palabras, C J tiene una sóla componente acotada G , el interior de J (se dice entonces que G es una región de Jordan ); la componente no acotada es el exterior de J , y ambas tienen J como frontera. Si J es una curva de Jordan y  cualquier homeomorfismo de T sobre J , γ (t ) ( ei t ) C puede definirse una curva en el poniendo γ : [0, 2π ]

≡

\

→

=

∈


87

sentido usual. Se demuestra (cf. Burckel, loc. cit., Th. 4.42, pág. 103) que para todos los puntos del interior de J el valor constante del ´ındice respecto de γ es 1 o 1. En el primer caso,  se dice positivamente orientado , y negativamente orientado en el segundo. C Dada una curva cerrada simple, i.e., una aplicación continua γ : [ a , b] γ (b ) y γ [a ,b) inyectiva, su soporte sop γ es una curva de tal que γ (a ) Jordan. Para todos los puntos del interior de sop γ , el ´ındice respecto de γ es, pues, constantemente 1 o 1. En el primer caso, γ se dice positivamente orientada , y negativamente orientada en el segundo. Si G es el interior de sop γ , se pone a veces γ ∂ G cuando γ está positivamente orientada para indicar esta relación.

−

=

→

|

−

=

5.4

EJEMPLOS Y EJERCICIOS

Ejemplos. 1. En los caso más sencillos examinados antes (circunferencias, cuadrado) queda a la vista que Análisis y Geometr´ıa encajan perfectamente. C 2. Es interesante observar que si el soporte de un camino cerrado γ : [a , b ] , 0], entonces Indγ (0) no corta al semieje real negativo ( 0, pues 0 está en la componente no acotada de C sop γ . Por la misma razón, Indγ (0) 0 para

−∞

\

todo camino que no corte a una curva cualquiera que una 0 con Riemann. 3. Para el camino γ :t

→

=

3i t

∞ en la =esfera de

2it

∈ [0, 2π ] → γ (t ) = e + 3 e ∈ C,

el argumento continuo anteriormente obtenido muestra que Indγ (0) 2, y el mismo valor tendrá Indγ (a ) para todos los a en la componente conexa de C sop γ que contiene al srcen. En la componente conexa no acotada sabemos que el ´ ındice vale 0. En la otra componente conexa acotada de C sop γ , observamos gráficamente que el ´ındice vale 1. Puede justificarse anal´ıticamente, por ejemplo, hallando su valor en z 3; para ello escribimos

=

\

\

=

γ (t )

− 3 = e (e + 6i sen t ) y comprobamos que m (e + 6i sen t ) = 2sen t (cos t + 3) sólo se anula si sen t = 0, en cuyo caso e (e + 6i sen t ) = cos(2t ) = 1. En consecuencia e + 6i sen t ∈ / (−∞, 0] para ningún t ∈ [0, 2π ], y por tanto, t + Arg(e + 6i sen t ), t ∈ [0, 2π ], es un argumento continuo de γ − 3, de donde Ind (3) = 1. it

2i t

2i t

2it

2i t

2i t

γ

88


Ejercicio. Para valores “muy grandes” de R > 0 (luego precisaremos más), sea γ :t

3

2

∈ [− R , R] → t − (1 + 2i ) t − (3 − 7i ) t + 8 − 4i ∈ C.

Hallar la variación de un argumento continuo a lo largo de γ .

Respuesta. Para situar γ (t ) según los valores de t , estudiemos la variación de signos de 3

x (t ) :

2

= e γ (t ) = t − t − 3t + 8, y (t ) := m γ (t ) = −2t + 7t − 4, 2

extendidas a todo t

∈ R. √ √ 1 − 10 1 + 10    Como x (t ) = 3t − 2t − 3 se anula para t = < 0 yt = > 0, 3 3     mantendrá su signo en los intervalos (−∞, t ), (t , t ), (t , +∞). Y puesto que lim →−∞ x  (t ) = lim →+∞ x  (t ) = +∞; x (t  ) > 1 − (6/3) − (1 + 4) + 8 = 0 y x  (0) = − 3 < 0, siendo 0 ∈ (t  , t  ), podemos resumir esta informac ión en el 2

t

2

t

cuadro siguiente:

→ −∞ ∈ (−∞, t  ) = t  ∈ (t  , 0) = 0 ∈ (0, t ) = t  ∈ (t  , +∞) → +∞ >0 x  (t ) → +∞ = 0 < 0 = −3 < 0 = 0 > 0 → +∞ −∞   =  >0  →+∞ x (t ) → 8 del que se deduce que x (t  ) > 0, y por tanto existe un t ∈ (−∞, t  ) y uno sólo con x (t ) = 0, mientras que x (t ) ≥ x (t  ) > 0 para todo t ∈ [0, +∞). √ 7 − 17 Por otra parte y (t ) = −2t + 7t − 4 = −2(t − t )(t − t ) con t = , 4 √ 7 + 17 t = , de modo que t < t  < 0 < t < t y, en consecuencia, obtenemos t

0

0

2

2

1

0

1

2

1

2

4 la siguiente evolución de signos para x (t ), y (t ), con la ubicación de γ (t ) x (t ) i y (t ):

=

t

+

(

, t0 )

(t0 , t1 )

t1

(t1 , t2 )

t2

(t2 ,

)

= 0 ∈ > 0 => 0 ∈ > 0 => 0 ∈ > +∞ → +∞ 0 y (t ) <0 <0 = 0 > 0 = 0 < 0 → −∞ γ (t ) ∈ −i P ∈ C ∈ P ∈ C ∈ P ∈ C donde hemos puesto P = (0, +∞), C = {z ∈ C : e z > 0, m z > 0}, C = { z ∈ C : e z < 0, m z < 0}, C = { z ∈ C : e z > 0, m z < 0}. Elegimos R de modo que − R < t < t < R . x (t )

→ −∞ ∈ −∞ <0 → −∞ < 0 ∈C

t0

3

4

1

1

3

4

0

2

4


89

−∞

Vemos as´ı que el soporte de γ no corta al semieje real negativo( , 0] (en particular, que 0 / sop γ ), por lo que Arg γ (t ) es un argumento continuo a lo largo de γ , y, puesto que R < t0 < t2 < R , podemos concluir que

∈

ARG

− R ≤t ≤ R

− γ (t ) = Arg γ ( R ) − Arg γ (− R )



 − = arc tg x ( R ) − arc tg x ( R) − π = π + α( R ), − donde y( R) y (− R ) − α( R ) = arc tg , arc tg x ( R) x (− R ) que tiene l´ımite 0 cuando R → +∞ (este tipo de información nos será u´ til postey( R)

y( R)

riormente).

10 20

5

0 -20

-10

0

10

20

30

0 -4

-2

0

2

4

6

-20

-5

-40

-10

Gráfica de γ (t )

Ejercicio. Sea P (z ) para cada R > 0, sea

Gráficas de x (t ) e y (t )

k

= z +a

1

z k −1

γR : t

Probar que

R

lim ARG

→+∞ 0≤t ≤π

ak un polinomio de grado k

+···+

∈ [0, π ] → γ γ (t ) = k π .

R (t )

≥ 1, y

it

= P ( R e ) ∈ C.

R

ı

tipo.)(Nos encontraremos más adelante en la necesidad de estudiar l´mites de este

Respuesta. Notemos que P (z ) donde lim g (z )

z

→∞

=

lim

z

→∞



=z

1

k

g (z ),

+ az +···+ 1

ak zk

=

1.

90

Indice de un punto respecto de un camino cerrado Existirá por tanto un R0 > 0 tal que si z > R0

||

|g(z) − 1| < 1, / (−∞, 0]. Tomany, en particular, g (z ) ∈

1

do, pues, R > R0 , γ R (t )

k i kt

it

= R e g( R e ), / (−∞, 0] para todo t ∈ con g ( R e ) ∈

0

it

[0, π ], por lo cual

t

it

∈ [0, π ] → kt + Arg g( R e ) ∈ R

es un argumento continuo a lo largo de γ R . En consecuencia ARG γ R (t ) 0 t π

≤≤

= k π + Arg g(− R ) − Arg g( R )

si R > R0 . Pero entonces R

lim ARG γ R (t )

→+∞ 0≤t ≤π

= kπ +

R

lim

→+∞



− − Arg g( R )

Arg g ( R )

= k π + Arg1 − Arg 1 = k π.

´ 5.5 AP ENDICE: SUPERFICIES DE RIEMANN

NOTA. Lo que a continuación se expone es s o´ lo una descripción intuitiva, sin ninguna pretensión de rigor. Nos permitimos, por ello, algunas expresiones más desenfadadas que las habituales en un texto de Matemáticas, que esperamos sirvan para un mejor entendimiento de las (profundas) ideas que se quieren reflejar.

Una y otra vez venimos chocando con los problemas que nos crea el hecho de que el logaritmo complejo es una función multivaluada, que para cada complejo z no nulo nos obsequia con in finitos valores. Evidentemente, demasiados para poder actuar sobre ellos con las técnicas habituales del Análisis matemático. Para salir del paso hemos recurrido primeramente, de la manera más drástica, a podar las ramas, seleccionando en ciertas regiones del plano un valor entre los infinitos posibles, con habilidad suficiente para enlazar los valores seleccionados de forma que se consiga una función holomorfa (una determinación del logaritmo, también denominada una rama del logaritmo). Pero en otras regiones del plano esto no soluciona las dificultades: cuando hemos necesitado movernos a lo largo de curvas que rodeen al srcen, hemos tenido que fabricar un nuevo apaño, los logaritmos continuos a lo largo de curvas. Esto da una pista para intentar uniformizar el


91

logaritmo, de modo que podamos enfrentarnos a e´ l tratándolo como a una “función verdadera”: cuando volvemos a un mismo punto con un valor distinto del logaritmo tras una varia ción continua del mismo, podemos interpretar que este punto está situado en una copia del plano de partida, superpuesta al plano srcinal pero distinta (“por eso” aparece un valor distinto del logaritmo). La cuestión entonces es cómo pegar las infinitas copias necesarias, de manera que mantengan una estructura razonable. Para lograrlo, Riemann imaginó infinitas copias de C, llamémosles [C, n ] por ); partiendo de [C, 0], ejemplo (n Z), cortadas a lo largo del semieje real [0, le unimos [ C, 1] enganchando el borde inferior del corte de [ C, 0] con el borde superior del corte de [C, 1]; luego seguimos el proceso uniendo [C, 1] con [C, 2] enganchando el borde inferior del corte de [C, 1] con el borde superior del corte de [C, 2], y as´ı sucesivamente. De forma similar se va uniendo C [ , 0] con [C, 1] (recordemos que [C, 0] aún tiene libre el borde superior), [ C, 1] con [ C, 2], etc. Se obtiene as´ı un ‘objeto imposible’, una especie de hélice infinita completamente aplastada, que se denomina la super ficie de Riemann del logaritmo . Cada una de las copias de C es una hoja de la super ficie, y es posible considerar el logaritmo como una función genuina con dominio en su superficie de Riemann, que va adjudicando valores según la hoja en la que esté situado el punto (tal como

∈

+∞

−

− −

el logaritmo continuo a lo largo de una curva va dando valores según el parámetro). La misma idea puede emplearse para adecentar otras funciones. El ejemplo más sencillo es la ra´ız cuadrada: una ra´ız cuadrada continua a lo largo de la circunferencia unidad (definición obvia) que parta, por ejemplo, del valor 1 en 1, nos devolver´ıa a este punto tras completar la vuelta con el valor 1 (si continuásemos girando, tras la siguiente vuelta recuperar´ıamos el valor 1). Ahora ser´ıa suficiente contar con dos copias [C, 1],[ C, 2]de C, cortadas otra vez a lo largo del semieje real no negativo, pegadas uniendo el borde inferior del corte deC [ , 1] con el borde ´ el borde inferior del corte de [C, 2] con el superior del corte de [C, 2], y despu es borde superior del corte de [C, 1], dejándolo todo de una sola pieza. La descripción del propio Riemann en su obra sobre funciones abelianas dice as´ı:

−

−

−

“Para muchas investigaciones, tales como la investigación de funciones algebraicas y abelianas, es conveniente representar el modo en que se ramifica una función multivaluada en la siguiente manera geométrica. Pensemos que el plano ( x , y ) está cubierto por otra super ficie coincidente con e´ l (o apoyado sobre e´ l a una distancia infinitesimal) en tanto en cuanto la función esté definida. Al continuar la función la superficie se extiende correspondientemente. En una parte del plano en la que la función tenga dos o más continuaciones la superficie es doble o múltiple; consta all´ı de dos o más hojas, cada una de las cuales representa una rama de la

92


función. Alrededor de un punto de ramificación de la función una hoja de la superficie contin´ ua en otra, de manera que en el entorno de tal punto la superficie puede mirarse como una superficie helicoidal con eje a través del punto y perpendicular al plano (x , y ), y pendiente infinitesimal. Cuando la función retorna a su valor previo tras un número de vueltas de z alrededor del punto de rami ficación (como, por ejemplo, con (z a )m / n , cuando m , n son primos relativos, después de n vueltas de z alrededor de a ), entonces naturalmente hay que suponer que la hoja de más arriba baja a través de las otras a unirse con la inferior. La función multivaluada tiene sólo un valor para cada punto de esta superficie que representa su rami ficación, y por tanto puede ser vista como una funci´ on completamente determinada sobre la superficie.” Puede darse una de finición satisfactoria de las super ficies de Riemann de las “inversas multiformes” que nos han ido apareciendo, incluidas en la definición general de superficie de Riemann abstracta que introdujeron básicamente Weyl y Radó. Técnicamente, una superficie de Riemann es una variedad compleja conexa de dimensión 1 (por tanto, de dimensión real 2) dotada de una estructura anal´ıtica. Esto último significa que si dos cartas (U , ϕ), ( V , ψ ) se cortan, los cambios de coordenadas ϕ ψ −1 y ψ ϕ −1 son funciones (complejas de variable compleja) anal´ıticas. Continuar por este terreno nos acercar´ıa más a la Topolog´ ıa diferencial o a la

−

◦

ı

◦

Geometrá diferencial que a los intereses centrales de este curso, por lo que dejamos aqu´ı este asunto, remitiéndonos para una introducción al tema a Narasimhan, R.: Complex Analysis in one variable. Birkhäuser, Boston (1985). Dedicada exclusivamente a las superficies de Riemann es la monograf´ıa clásica Springer, G.: Introduction to Riemann Surfaces. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1957); más actuales, Farkas, H. M.; Kra, I.: Riemann Surfaces. (2nd. ed.) Springer, New York (1992), Forster, O.: Lectures on Riemann Surfaces. Springer, New York (1981).

CAPÍTULO 6

Teor´ıa local de Cauchy 6.1

´ INTRODUCCION

Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parangón en la teor´ıa de ´ de Cauchy, que al funciones de una o varias variables reales. La llave: la formula expresar el valor en un punto de una función holomorfa —en abiertos estrellados, de momento— como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino cerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la función como una integral dependiente de un parámetro, con consecuencias adivinables en algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del a´ lgebra, . . . ) Lafórmula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy. Reflexionando a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados se sustenten, finalmente, en algo que podr´ıa parecer una simple curiosidad: la in´ holomorfa en un disco (o, con la misma demostración, en tegral de una funci on un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (también si la función deja de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta será nuestra primera versi o´ n del teorema de Cauchy: más adelante nos ocuparemos de extender su alcance (comenzando por ampliar el a´ mbito de validez de la fórmula de Cauchy en la denominada “teor´ıa global de Cauchy”). Sin embargo, el examen de la demostración del teorema de Cauchy revela la causa de esta pequeña maravilla, situándonosenterrenomás conocido. Basta encontrar una primitiva de la funcion ´ dada para saber que la integral es nula, y esto reduce el problema a probar la anulación de la integral sobre el contorno de un triángulo (teorema de Cauchy-Goursat). Una exposición inmejorable de este planteamiento puede verse en Open University: Integration/Cauchy’s Theorem I/Taylor Series. The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa página se encuentra perfectamente desglosada y explicada la demostraci´ on, si bien bajo la hipótesis de derivabilidad en todos los puntos. Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran básicamente en Rudin, W.: Analisis ´ real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). Como complemento en algunos detalles, Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978).

93

94 6.2

Teor´ıalocaldeCauchy ´ TEOREMA Y F ORMULA DE CAUCHY

1 Teorema. Sea  un abierto no vac´ıo de C, f :  → C continua. Son equivalentes: (1.1) existe una primitiva de f en , es decir, una función F ∈ H() tal que F = f ; (1.2) para todo camino cerrado γ contenido en ,



f (z ) d z = 0; γ

(1.3) para dos caminos cualesquiera γ1 , γ2 contenidos en  que tengan los mismos or´ıgenes e iguales extremos,



f (z ) d z = γ1



f (z ) d z . γ2

´ . (Recuérdese el teorema de los campos conservativos para formas Demostracion diferenciales reales). (1.1) ⇒ (1.2) Visto. (1.2) ⇒ (1.3) γ1 ∪ (−γ2 ) es un camino cerrado contenido en . (1.3) ⇒ (1.1) Si  no es conexo, las componentes conexas de  son abiertos disjuntos dos a dos cuya unión es . Por tanto, para construir una primitiva de f en  es su ficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de . Sea, pues, G una componente conexa de . Fijado a ∈ G , definimos F : G → C haciendo

F (z ) =



f (w) d w, γz

donde γz es cualquier camino contenido en G con srcen a y extremo z (la función F está entonces bien de finida por ser la integral independiente del camino). Esta función F es derivable, y para cada z 0 ∈ G es F  (z 0 ) = f (z 0 ). En efecto: dado z 0 ∈ G , tomemos ε de modo que D (z 0 ; ε) ⊆ G ; si γ0 es un determinado camino contenido en G con srcen a y extremo z 0 , para cada z ∈ D (z 0 ; ε) sea γz la unión de γ0 con el segmento [z 0 , z ], que por ser un camino contenido en G con srcen a y extremo z nos permite escribir

F (z ) − F (z 0 ) z − z0

= =

1

z − z0 1

z − z0

 

f (w) d w − γz

[z 0 ,z ]

f (w) d w



f (w) d w γ0



Teor´ıalocaldeCauchy

95

y por tanto



F (z ) − F ( z 0 ) z − z0



− f (z 0 ) = ≤



1

z − z0



f (w) d w − [z 0 ,z ]

1

z − z0

| f (w) − f (z 0 )| ,

sup



f (z 0 ) d w [z 0 ,z ]

w∈sop[z 0 ,z ]



que tiende a 0 cuando z tiende a z 0 por la continuidad de f en z 0 .

2 Teorema de Cauchy para un triángulo (Cauchy-Goursat). Sea  un abierto no vac´ıo de C, p un punto de , f :  → C continua tal que f ∈ H( \ { p }). Para cualquier triángulo cerrado  contenido en ,



f (z ) d z = 0. ∂

´ . Rudin, loc. cit. , Teor. 10.13, pp. 232–234. Demostracion 3 Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea  un abierto estrellado de C, p un punto de , f :  → C continua tal que f ∈ H( \ { p }). Para cualquier camino cerrado γ contenido en ,



f (z ) d z = 0. γ

Demostracion ´ . Adaptar la de Rudin, loc. cit. , Teor. 10.14, p. 234. 4 Formula ´ de Cauchy en abiertos estrel lados. Sea  un abierto estrellado de C y f ∈ H(). Si γ es un camino cerrado contenido en , para cualquier z de  que no esté en el soporte de γ es f (z ) · Indγ (z ) =

1 2π i



f (w) γ

w−z

d w.

´ . Adaptar la de Rudin, loc. cit. , Teor. 10.15, pp. 234–235. Demostracion 5 Corolario (Fórmula de Cauchy en un disco). Sea  un abierto no vac´ıo de C, D (a ; r ) un disco cerrado contenido en , f una función holomorfa en . Entonces, para cada z ∈ D (a ; r ),

f (z ) =

f (w)

1 2π i



∂ D (a ;r )

w−z

d w.

´ . Puesto que D (a ; r ) ⊆ , la distancia d (a , c ) de a al complemenDemostracion tario de  es estrictamente mayor que r . Si r < R < d (a , c ), el disco D (a ; R ) es un abierto estrellado contenido en , en el que f será holomorfa. Llamando γ a la circunferencia ∂ D (a ; r ), γ es un camino cerrado contenido en D (a ; R ) y para cada z ∈ D (a ; r ) es Indγ (z ) = 1, luego basta aplicar el resultado anterior para obtener la fórmula del enunciado.

96 6.3

Teor´ıalocaldeCauchy ´ CONSECUENCIAS DE LA F ORMULA DE CAUCHY

1 Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda función holomorfa es anal´ıtica. Precisando más: Si  es un abierto no vac´ıo de C y f ∈ H(), para ∞ cada a ∈  existe una serie de potencias n =0 an (z − a )n con radio R ≥ d (a , c ) (donde d (a , c ) es la distancia de a al complementario de , considerada +∞ si c = ∅, o sea, si  = C) tal que



∞

f (z ) =



a n ( z − a )n

n =0

siempre que |z − a | < d (a , c ).

Informalmente, “la misma serie representa a f hasta la frontera”.

´ . Elegido a , sea z tal que |z − a | < d (a , c ). Tomando r de modo Demostracion que |z − a | < r < d (a , c ), el disco cerrado D (a ; r ) está contenido en , y puesto que |z − a | < r , la fórmula de Cauchy nos da f (w)

1

f (z ) =

2π i



∂ D (a ;r )

d w.

w−z

Pero el teorema de construcción de funciones anal´ıticas nos dice que 1 2π i



f (w) ∂ D (a ;r )

w−z

dw =

∞

1 2π i

  n =0

f (w) ∂ D (a ;r )

(w − a )n +1

dw



(z − a )n

con tal que z no esté en la circunferencia |w − a | = r , y as´ı ∞

f (z ) =



a n ( z − a )n

n =0

donde

an =

1 2π i



f (w) ∂ D (a ;r )

(w − a )n +1

d w.

En principio los an parecen depender de r ; sin embargo no es éste el caso, ya que

an =

f (n ) (a ) n!

.


97

Ejemplos. 1. La función f definida en  = (C \ 2π i Z) ∪ {0} por

f (z ) =



z ez

1

=0 si z ∈  y z 

−1

si z = 0

es holomorfa en , luego será anal´ıtica en  y en particular existirán coe ficientes ´ Bn (los llamados numeros de Bernoulli ) de modo que ∞

f (z ) =

 n =0

Bn n!

zn

al menos siempre que |z | < 2π . De hecho, el radio de convergencia de la serie es exactamente 2π , ya que si fuese mayor f admitir´ıa una extensio´ n continua en 2π i , lo que es falso. 2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno del punto a = 0 resulta tener por radio exactamente la distancia d (a , c ). ¿Siempre vamos a encontrar esta situación? La respuesta, en general, es NO: basta tomar  = C \ (−∞, 0] y f : z ∈  → f (z ) = Log z ∈ C; para cualquier a ∈  el desarrollo de f en serie de potencias de z − a tiene radio |a |, mientras que si e a < 0 es d (a , c ) = |m a | < |a |. La fórmula de Cauchy permite obtener una representación de las derivadas de una función holomorfa en términos de la propia función, de la que podremos extraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teor´ ıa de funciones en R.

2 Formula ´ de Cauchy para las derivadas. Sea  un abierto no vac´ıo de C y f ∈ H(). Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D (a ; r ) ⊆ . Entonces, si |z − a | < r , para cada n ∈ N,

f

(n )

(z ) =

n! 2π i



f (w) ∂ D (a ;r )

(w − z )n +1

d w.

´ . Para cada z ∈ D (a ; r ) es Demostracion f (z ) =

1 2π i



f (w) ∂ D (a ;r )

w−z

d w.

Aplicando reiteradamente el teorema de derivación bajo el signo integral se obtiene la fórmula deseada. Un corolario es que el tamaño de las derivadas sucesivas en un punto no puede crecer “descontroladamente”.

98


3 Desigualdades de Cauchy. Sea  un abierto no vac´ıo de C y f ∈ H(). Dado a ∈ , sea r > 0 tal que D (a ; r ) ⊆ . Entonces, poniendo M (r ) = sup|w−a |=r | f (w) |, para cada n ∈ N se tiene la acota ci on ´ | f (n ) (a )| ≤

n ! M (r ) rn

.

´ . Obviamente Demostracion |f

(n )

(a )| =

  n!

f (w)

2π i

(w − a )n +1

∂ D (a ;r )



dw ≤

n ! M (r ) 2π r n +1

2π r.

4 Teorema de Liouville. Sea f una funci on ´ entera, es decir, f ∈ H(C). Si f está acotada, necesariame nte es constante.

´ . Supongamos que para algún K > 0 es | f (z )| ≤ K cualquiera que Demostracion sea z ∈ C. Entonces, dado a ∈ C, para todo R > 0 se tendrá | f  (a )| =

   1

f (w)

2π i

(w − a )2

∂ D (a ; R )

 

dw ≤

1

K

2π R 2

2π R =

K R

,

expresión que tiende a 0 cuando R → +∞. Por tanto f  (a ) = 0 en todo a ∈ C, para lo que f debe ser constante.

5 Teorema fundamental del algebra. ´ Todo polinomio no constante tiene al menos una ra´ız en C.

´ . En caso contrario, si P (z ) = a0 z n + . . . + an fuese un polinomio Demostracion no constante (a0  = 0, n ≥ 1) que no se anulase nunca, la función definida por f (z ) =

1

P (z )

ser´ıa una función entera no nula. Pero como lim f (z ) = lim

z →∞

z →∞

1 = 0, z n (a0 + ...)

se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1 en la de finición de l´ımite, existirá un R > 0 tal que si |z | > R se tiene | f (z )| < 1; y para |z | ≤ R , f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Según el teorema de Liouville, f tiene que ser constante (no nula), e igualmente ser´ ıa constante 1/ f = P , contradiciendo la hipótesis de partida.


99

6 Principio del módulo máximo. Sea f una funcion ´ holomorfa en una región  de C. Si su módulo | f | tiene algún máximo local, entonces f es constante.

´ . Supongamos que para algún a ∈  sea posible encontrar un R > 0 Demostracion tal que D (a ; R ) ⊆  y | f (a )| ≥ | f (z )| para todo z ∈ D (a ; R ). Esto obliga a que | f (a )| = | f (z )| para todo z ∈ D (a ; R ), puesto que si 0 < |z − a | = r < R , como

f (a ) =

f (w)

1 2π i



∂ D (a ;r )

w−a

2π

1

dw =

2π



0

f (a + r eit ) dt

se deduce que

| f (a )| ≤

1 2π



2π

| f (a + r ei t )| dt ≤ 0

1 2π



2π

| f (a )| dt = | f (a )|, 0

con lo cual 1 2π



2π

(| f (a )| − | f (a + r eit )|) dt = 0. 0

El integrando es una función continua no negativa, luego | f (a )| = | f (a + r ei t )| para todo t ∈ [0, 2π ] y en particular | f (a )| = | f (z )|. Pero si | f | es constante en D (a ; R ), f tiene que ser constante en D (a ; R ) (consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constante en  (por el principio de prolongación anal´ıtica). Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado: — o bien f es constante o, en caso contrario, su módulo | f | no tiene máximos locales; — si f no es constante, su módulo | f | no tiene máximos locales.

7 Teorema de Morera. Sea f una función continua en un abierto no vac´ıo  de C tal que para todo triángulo cerrado  ⊆  se tenga

 Entonces f ∈ H().

f = 0. ∂

100


´ . Hemos de probar que cada a ∈  posee un entorno en el que f es Demostracion derivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D (a ; r ) ⊆ ; en él, f admite una primitiva F que podemos construir poniendo F (z ) =



f (w) d w,

z ∈ D (a ; r ).

[a ,z ]

(La comprobacion de que F es una primitiva de f es estándar: usando la hip o´ tesis del enunciado, para cada z 0 ∈ D (a ; r ) tenemos

F (z ) − F ( z 0 ) z − z0

=

1

z − z0



f (w) d w,

0 < |z − z 0 | < r − |z 0 − a |,

[z 0 ,z ]

lo que implica que por ser f continua

 

F (z ) − F (z 0 ) z − z0

 

− f (z 0 ) =

 

1

z − z0

 



f (w) − f (z 0 ) d w

[z 0 ,z ]

≤ max | f (w) − f (z 0 )| w ∈[z 0 ,z ]

 

tiende a 0 cuando z → z 0 .) Pero si F ∈ H( D (a ; r )), es anal´ıtica y en particular su derivada f es a su vez derivable en D (a ; r ). El teorema de Morera da una especie de rec´ ıproco del teorema de CauchyGoursat.

8 Corolario. Sea  un abierto no vac´ıo de C, p ∈ , f :  → C continua en  y holomorfa en  \ { p }. Entonces f es holomorfa en .

´ . Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que Demostracion



f =0 ∂

para todo triángulo  ⊆ , y el teorema de Morera asegura entonces que holomorfa.

f es

Podemos incluso rebajar exigencias:

9 Corolario. Sea  un abierto no vac´ıo de C, p ∈ , f una función holomorfa en  \ { p } y acotada para algún r > 0 en el disco reducido D∗ ( p ; r ) = {z ∈ C : 0 < |z − p | < r }. Entonces f admite una extensión holomorfa en .

´ . La funci o Demostracion ´ n h definida en  por h (z ) =



( z − p )2 f ( z ) 0

si z ∈  \ { p } si z = p


101

es holomorfa en  y h  ( p ) = 0 por la hipótesis de acotación de f , con lo cual podremos escribir ∞

h (z ) =



cn (z − p )n ,

z ∈ D ( p ; r ),

n =2

y as´ı ∞

cn +2 (z − p )n ,

f (z ) =

z ∈ D∗ ( p ; r ),

 n =0

de manera que basta extender f a p definiendo f ( p ) = c2 .

6.4

AVANCE: El teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales.

Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de manera más completa y sistemática, veamos cómo el uso de la integracion ´ compleja permite el cálculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta dif´ıcil de calcular. Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad



+∞

sen x

x

0

dx =

π

2

,

teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, es decir, +∞ R sen x sen x dx = lim dx. + r →0 , R →+∞ r x x 0





iR

-r

r

-R

R

Comencemos por considerar la función f ∈ H(), donde  = C \ {i y : y ∈ (−∞, 0]}

y

f (z ) =

ei z z

,

z ∈ .

102


Sea γ (r, R ) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento [r, R ], la semicircunferencia γ R : t ∈ [0, π ] → γ R (t ) = R e i t ∈ C, el segmento [− R , −r ] y la semicircunferencia opuesta de γr : t ∈ [0, π ] → γr (t ) = r ei t ∈ C. Puesto que  es un abierto estrellado y sop γ (r, R ) ⊆ , teniendo en cuenta el teorema de Cauchy podemos escribir

f (z ) d z

0= γ (r, R )

= =

  

f (z ) d z + [r, R ]

R

x

r

=

ei x

R

dx +



ei x − e−i x x

r



f (z ) d z + γR



f (z ) d z + γR

dx +





f (z ) d z − [− R ,−r ]

−r

ei x

dx −

x

−R

f (z ) d z − γR







f (z ) d z γr

f (z ) d z γr

f (z ) d z ; γr

equivalentemente,



R

ei x − e −i x x

r

dx =



f (z ) d z − γr



f (z ) d z .

(∗ )

γR

Ahora bien:



f (z ) d z = γr



π

ei r e

it

r ei t

0

r i ei t dt = i



π

ei r (cos t +i sen t ) dt , 0

y para cada t ∈ [0, π ] la función del integrando tiene l´ımite (cuando r → 0+ ) igual a e0 = 1. Además, la acotación

ei r (cos t +i sen t = e−r





sen t

≤ e0 = 1,

t ∈ [0, π ],

muestra que el integrando está dominado por una función (constante) integrable en [0 , π ] que no depende de r , luego aplicando el teorema de la convergencia dominada se obtiene lim

r →0+



f (z ) d z = i γr

Análogamente



f (z ) d z = i γR





π

dt = i π. 0

π

ei R (cos t +i sen t ) dt , 0


103

pero ahora, para t ∈ (0, π ), es lim

R →+∞

ei R (cos t +i sen t = lim e − R sen t = 0,





e− R sen t = e− R sen t < e 0 = 1,



R →+∞

y por la misma razón de antes



π

e− R sen t dt = 0.

lim

R →+∞



0

(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan , se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotaci´ on π π 2t e − R sen t dt ≤ (1 − e R ), deducida de la desigualdad sen t ≥ para π R 0 π 0 ≤ t ≤ .) 2 Como consecuencia,





lim

R →+∞

f ( z ) d z = 0, γR

(∗ ) y pasando al l´ ımite para

y llevando los resultados obtenidos a la igualdad r → 0+ , R → +∞, queda 2i



+∞

sen x

x

0

d x = i π + 0,

luego



+∞ 0

sen x

x

dx =

π

2

.

CAPÍTULO 7

Teor´ıa global de Cauchy 7.1

´ INTRODUCCION

Los e´ xitos logrados con la teor´ıa local de Cauchy invitan a ‘refinar’ las herramientas básicas —teorema de Cauchy, fórmula de Cauchy— para ampliar su alcance. Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertos estrellados, sólo hemos averiguado propiedades de las funciones holomorfas que dependen en última instancia del comportamiento de la función en un entorno de cada punto de su dominio (propiedades de carácter local). Si queremos estudiar propiedades de carácter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y de la fórmula de Cauchy en abiertos cualesquiera. Con este propósito extenderemos la integración a ‘colecciones de caminos ´ cerrados’ (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos homologos respecto de un abierto. As´ı podremos obtener una versión muy general de la fórmula y del teorema de Cauchy en el teorema homológico de Cauchy, viendo además que son justamente los ciclos hom o´ logos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral de toda función holomorfa en el abierto: en otras palabras, los ciclos m´ as generales para los que va a ser válido el teorema de Cauchy si no imponemos restricciones al abierto. En el plano práctico, esto nos libera de la búsqueda (engorrosa a veces) de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar, mirando tan sólo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el que se integra sea homólogo a 0. Cerrando este cap´ıtulo aparece el concepto de conexión simple y diferentes caracterizaciones del mismo, que aclaran algunos de los comportamientos ‘anómalos’ con los que nos hemos ido tropezando y ponen de mani fiesto el interés de saber en qué abiertos se anulan las integrales de todas las funciones holomorfas sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplemente conexos) más generales losciclos que el teorema de se Cauchy es cierto —si no queremoslos tener que restringirenlos sobre los que integra. Referencias básicas: ´ real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, — Rudin, W.: Analisis Madrid (1987). — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978).

104

Teor´ıaglobaldeCauchy 7.2

105

´ CICLOS. HOMOLOG IA.

Damos una definición “ingenua” de ciclo. Para una definiciónmás rigurosa, aunque menos intuitiva, ver Rudin, loc. cit. , Def. 10.34, pp. 246–247. ´ finita de caminos cerrados, distinDefinición 7.1. Un ciclo  es una sucesi on tos o repetidos, que denotaremos por  = [γ1 , γ2 ,...,γ n ] , en la que no tenemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos  y   son iguales cuando 

consten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir,  = ´ σ ). [γσ (1) , γσ (2) ,...,γ σ (n) ] para alguna permutaci on Denominaremos a γ1 , γ2 , . . . , γn los caminos que componen  , y usaremos la notación γ ∈  para indicar que γ es uno de los caminos que componen  . ´ de los soportes de γ1 , El soporte de un ciclo  = [γ1 , γ2 ,...,γ n ] es la uni on γ2 , . . . , γn : sop  = sop γ1 ∪ sop γ2 ∪···∪ sop γn .

El soporte de un ciclo es evidentemente un conjunto compacto; por contra, no es en general conexo (ejemplo:  = [γ1 , γ2 ] donde γ1 , γ2 son dos circunferencias concéntricas distintas). Por comodidad de lenguaje, diremos que un ciclo est a´ contenido en un conjunto para indicar que el soporte del ciclo está contenido en el conjunto. Definición 7.2. Dado un ciclo  = [γ1 , γ2 ,...,γ n ], el ciclo opuesto − es el ciclo obtenido tomando los opuestos de los caminos que componen  : − = [−γ1 , −γ2 ,..., −γn ]. La unión o suma de dos ciclos   = [γ1 , γ2 ,...,γ m ],   = [γ1 , γ2 ,...,γ el ciclo   ∪   = [γ1 , γ2 ,...,γ m , γ1 , γ2 ,...,γ n ].

 n ],

es

´ f continua sobre el Definición 7.3. Integración sobre ciclos . Dada una funci on soporte de un ciclo  = [γ1 , γ2 ,...,γ n ], se de fine

   n

f =



f =

γk

k =1

γ ∈

f. γ

Consecuentemente, el ´ındice de un punto a ∈ / sop  respecto de  es

Ind (a ) =

1 2π i



dz 

z−a

=

 γ ∈

Indγ (a ).

106

Teor´ıaglobaldeCauchy

Definición 7.4. Sea  un abierto no vac ´ıo de C y  un ciclo contenido en . Diremos que  es homólogo a 0 respecto de , y pondremos ∼0

()

si para todo a ∈ C \  es

Ind (a ) = 0. Cuando  consta de un solo camino γ , suele ponerse directamente γ ∼ 0 (). Dos ciclos 1 y 2 contenidos en  se dicen homólogos respecto de , 1 ∼ 2

(),

si para todo a ∈ C \  es

Ind1 (a ) = Ind2 (a ) o, equivalentemente, si 1 ∪ (−2 ) ∼ 0

().

Ejemplos. Consideremos 0 ≤ r < r1 < r2 < R y sea  = {z ∈ C : r < |z| < R} r y radio exterior R . Sea ahora el anillo de centro el srcen con radio interior γ1 : t ∈ [0, 2π ] → γ1 (t ) = r 1 e −i t ∈ C la circunferencia de centro el srcen y radio r1 orientada negativamente, γ2 : t ∈ [0, 2π ] → γ2 (t ) = r2 ei t ∈ C la circunferencia de centro el srcen y radio r2 orientada positivamente. Entonces  = [γ1 , γ2 ] es un ciclo homólogo a 0 respecto de , mientras que no lo son los ciclos 1 = [γ1 ] ni 2 = [γ2 ]. Obviamente, el ciclo 1 es homólogo del ciclo −2 respecto de  (y −1 de 2 ).

7.3

´ TEOREMA HOMOL OGICO DE CAUCHY

Lema 7.5. Si f ∈ H() y g est a´ definida en  ×  por f (z ) − f (w) si w  = z, g (z , w) = z−w  f (z ) si w = z entonces g es continua en  × .



´ . Rudin, loc. cit. , Lema 10.29, p. 243. Demostracion

Teorema 7.6. Sea  un abierto no vac ´ıo del pla no complejo y f ∈ H(). Sea  ´ un ciclo hom ologo a 0 respecto de . Entonces: para cada z ∈  \ sop  f (w) 1 Ind (z ) · f (z ) = dw 2π i  w − z ´ (formula de Cauchy) y





f (w) d w = 0. 

(teorema homológico de Cauchy).


107

´ . Rudin, loc. cit. , Teor. 10.35, pp. 248–249. Demostracion NOTA.

Las demostraciones cl a´ sicas de este resultado eran bastante menos directas. En su momento fue una sorpresa que J. D. Dixon publicara en 1971 la demostración más simple y elemental que ahora se ha hecho estándar (Dixon, J. D.: A brief proof of Cauchy’s integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), 625–626). Corolario 7.7. (Derivadas sucesivas). Sea  un abierto no vac ´ıo del plano com´ plejo y f ∈ H(). Sea  un ciclo hom ologo a 0 respecto de . Entonces: para cada z ∈  \ sop  y n ∈ N es

Ind (z ) · f (n) (z ) =

n!

2π i



f (w) 

(w − z )n+1

d w.

Corolario 7.8. (Homolog´ı a e integración). Sea  un abierto no vac ´ıo del plano complejo y  , 1 , 2 sendos ciclos contenidos en . Entonces: ´ ´ si (i )  es hom ologo a 0 respecto de  si y s olo



f (w) d w = 0 

´ f ∈ H(). para toda funci on (i i ) 1 y 2 son hom ologos ´ respecto de  si y s olo ´ si



f (w) d w = 1



f (w) d w 2

´ f ∈ H(). para toda funci on ´ . Las implicaciones directas son obvias a la vista del teorema hoDemostracion / mológico de Cauchy. Para obtener los rec´ıpocos, basta considerar para cada a ∈ la funcio´ n f ∈ H() definida por f (z ) =

1 z−a

.

Vemos as´ı que lo que realmente importa a la hora de integrar una funci´ on holomorfa sobre un ciclo no es tanto el ciclo en cuestión como la clase de homolog´ıa asociada a él (esta idea es la que se toma como gu´ ıa en la de finición de ciclo que se da, por ejemplo, en Rudin, loc. cit. ). En la práctica, este hecho permite muchas veces simplificar cálculos, sustituyendo un ciclo complicado o ‘poco adaptado a la función’ por otro homólogo más conveniente (o un camino cualquiera γ1 por otro γ2 con los mismos extremos siempre que γ1 ∪ (−γ2 ) sea homólogo a 0).

108 7.4

Teor´ıaglobaldeCauchy ´ SIMPLE CONEXI ON

Definición 7.9. Diremos que un subconjunto no vac ´ıo  de C es simplemente ´ tal que para todo ciclo  ⊆  y para toda f ∈ H() se conexo si es una regi on verifica



f (z ) d z = 0. 

Evidentemente, esta u´ ltima condición equivale a que la integral de toda f ∈

H() se anule sobre cualquier camino cerrado contenido en .

´ de Teorema 7.10. (Caracterizaciones de la conexión simple). Sea  una region C. Las siguientes propiedades son equivalentes entre s ´ı: (1)  es simplemente conexo. ´ (2) Todo camino cerrado γ contenido en  es hom ologo a 0 respecto de . ´ (3) todo ciclo  contenido en  es hom ologo a 0 respecto de . ´ f ∈ H() admite una primitiva en (4) (Existencia de primitivas) Toda funci on  , es decir, f = F  para alguna F ∈ H(). ´ ´ u arm onica ´ (5) (Existencia de armonica conjugada) Para toda funcion en  existe f ∈ H() tal que u = e f en . ´ f ∈ H() tal que (6) (Existencia de logaritmos holomorfos) Para toda funci on f (z )  = 0 en todo z ∈  existe g ∈ H() tal que exp(g (z )) = f (z ) para todo z ∈ . ´ f ∈ H() (7) (Existencia de ra ´ıces cuadradas holomorfas) Para toda funci on tal que f (z )  = 0 en todo z ∈  existe g ∈ H() tal que g 2 (z ) = f (z ) para todo z ∈ . ´ . Las implicaciones (2) ⇒ (3) ⇒ (1) ⇒ (4) son obvias o conseDemostracion cuencia inmediata de resultados anteriores. (4) ⇒ (5). Dada una función u armónica en  construimos la función h = u x − i u y , que, por ser u armónica, cumple las condiciones de Cauchy-Riemann y de diferenciabilidad y por tanto es holomorfa en . Si H es una primitiva de h y U = e H , puesto que h = H  = U x − i U y y  es conexo debe existir una constante C ∈ R tal que u = U + C . La función f = H + C es entonces una

función holomorfa en  tal que e f = u . (5) ⇒ (6). Dada f ∈ H() tal que f (z )  = 0 en todo z ∈ , pongamos u = e f , 1 v = m f . Es fácil comprobar que α = ln | f | = ln u 2 + v 2 es una función 2 armónica en , luego existirá h ∈ H() tal que e h = α = ln | f |. Pero entonces eh = e e h = | f |, con lo cual eh =1 f





 

 




109

y por tanto la función e h / f , holomorfa y no nula en la región , debe mantenerse constante. Si c es el valor de esa constante, g = h − Log c es una función holomorfa en  para la que eh e g = e h−Log c = = f. c (6) ⇒ (7). Dada f ∈ H() tal que f (z )  = 0 en todo z ∈ , si para alguna g g ∈ H() es e = f , para la función holomorfa 1

g

h = e2

es h 2 = e g = f . (7) ⇒ (2).Sea a ∈ /  y γ un camino cerrado contenido en .Lafunción f ∈ H() definida por f (z ) = z −a no se anula en , luego existe f 1 ∈ H() tal que f 12 = f . Reiterando, se encuentra para cada n ∈ N una f n ∈ H() tal que f n2 = f n−1 y as´ı n

( f n )2 = f ,

Derivando 2n ( f n )2 con lo cual 2n

f n (z ) f n (z )

=

n

−1

1 f (z )

=

n ∈ N.

f n = 1,

1 z−a

= Ind f n ◦γ (0) ∈ Z,

n ∈ N, z ∈ .

,

Se sigue que para todo n ∈ N ha de ser dz 1 1 1 1 Indγ (a ) = n = 2n 2 2π i γ z − a 2π i



n ∈ N,



f n (z ) γ

f n (z )

dz =

1 2π i



dw f n ◦γ

w

lo que s o ´ lo es posible si Indγ (a ) = 0. Observaciones. (1) Nótese que para que  no sea simplemente conexo es, pues, necesario y su ficiente que haya al menos una función holomorfa en  que no tenga primitiva. (2) Se pueden a ñadir equivalencias a la lista anterior (cf. Rudin, loc. cit. , Teor. 13.11, pp. 311 y ss.). De momento, daremos una descripci´ on geométricotopológica de los conjuntos simplemente conexos de C. Esta nueva caracterización necesita un lema previo, fácil de visualizar pero de demostración un tanto enrevesada. Se trata de construir un ciclo que rodee a un compacto K contenido en un abierto . La idea básica consiste en tomar una colección finita de segmentos que constituye la frontera de una ‘imagen digitalizada de K ligeramente ampliada’. El punto delicado de la demostraci´ on está en comprobar que estos segmentos se pueden organizar para formar un ciclo respecto del cual los puntos de K resulten tener ´ındice 1 y los puntos fuera de  tengan ´ındice 0.

110


Lema 7.11. Sea  un abierto no vac´ıo de C y sea K un conjunto compacto contenido en . Existe entonces un ciclo  en  \ K tal que (1) para a ∈ /  se tiene Ind (a ) = 0, es decir, ∼0

(),

(2) para cada z ∈ K

Ind (z ) = 1. ´ . Ver Rudin, loc. cit. , Sección 13.4 y Teor. 13.5., pp. 304–306. Demostracion

Dado que Ind (z ) = 1 para z ∈ K , está justi ficada la expresión “ rodea a K en ”; en cierto modo, podr´ıamos decir que K queda ‘en el interior’ de  y el complementario de  en ‘el exterior’ de  . El ciclo  sirve como ‘contorno’ de K en diferentes contextos, no sólo en la teor´ıa de funciones holomorfas. ´ Teorema 7.12. Sea  una región de C. Entonces  es simplemente cone xo si y s olo si C∞ \  es conexo en la esfera de Riemann C∞ . ´ . Si C∞ \  es conexo,  es simplemente conexo. En efecto: tomeDemostracion mos un ciclo cualquiera  contenido en . El conjunto C \ sop  tendrá una

colección finita o numerable de componentes conexas, todas ellas acotadas excepto una que denotaremos por B . Entonces, las componentes conexas de C∞ \ sop  serán las componentes acotadas de C \ sop  más B ∪ {∞} . Dado que C∞ \  es conexo y está contenido en C∞ \ sop  , necesariamente C∞ \  ⊆ B ∪ {∞}, o lo que es lo mismo C \  ⊆ B . Puesto que el ´ındice respecto de  es 0 en B , componente no acotada de C \ sop  , en particular para cualquier a ∈ C \  ⊆ B se tiene Ind (a ) = 0. Para demostrar el rec´ıproco, probaremos que si C∞ \  no es conexo,  no puede ser simplemente conexo. Supongamos, pues, que C∞ \  no sea conexo, con lo que existirán conjuntos A y B no vac´ıos disjuntos cerrados en C∞ tales que C∞ \  = A ∪ B . Sea ∞ ∈ B : entonces A ⊆ C es acotado (en caso contrario, ∞ ∈ A = A ), luego compacto, contenido en C∞ \ B que es un abierto de C. Según el lema anterior en estas condiciones existe un ciclo  contenido en (C∞ \ B ) \ A =  tal que Ind (a ) = 1 para todo a ∈ A. Pero A ⊆ C \ , con lo que  no es homólogo a 0 respecto de  y  no es simplemente conexo. Este resultado se traduce en lenguaje coloquial en que “los conjuntos simplemente conexos de C son los que no tienen agujeros”, mirando como “agujeros” de  las componentes acotadas de C∞ \ .


111

Ejemplos. (1) Son conjuntos simplemente conexos todos los abiertos estrellados (en particular, C, C \ (−∞, 0], los discos, todos los abiertos convexos, . . . ) (2) ¿Puede dar el lector un ejemplo de abierto simplemente conexo no estrellado? (Hay muchos ejemplos sencillos) (3) Aunque son abiertos conexos, no son simplemente conexos los anillos D (a; r, R ) = {z ∈ C : r < |z − a| < R}, a ∈ C, 0 ≤ r < R ≤ +∞. En particular, C \ {0} no es simplemente conexo. (4) En relación con lo anterior, ¿qué puede decirse del abierto D (0; r, R ) \ [r, R ]

si 0 < r < R < +∞? Comentario fi nal: homotop´ıa. No podemos tratar la conexión simple sin nombrar al menos su caracterizaci´ on más importante quizá desde el punto de vista estrictamente topológico, que se expresa en términos de homotop´ıa. El concepto de homotop´ıa se define mediante conceptos puramente topológicos, lo que permite hablar de conjuntos simplemente conexos en espacios topológicos arbitrarios. Dado un espacio topológico X , una curva en X es, como sabemos, una aplicación continua de un intervalo compacto de R en X . Supongamos que tenemos dos curvas γ0 y γ1 , parameterizadas en el intervalo I = [0, 1], cerradas (γ0 (0) = γ0 (1), ´ γ1 (0) = γ1 (1)). Se dice que γ0 y γ1 son homotopas si existe una aplicación continua H : I × I → X tal que para s , t ∈ I cualesquiera se verifica H (s , 0) = γ0 (s ),

H (s , 1) = γ1 (s ),

H (0, t ) = H (1, t ).

Intuitivamente, que γ0 y γ1 sean homótopas corresponde a que podamos deformar γ0 con continuidad dentro de X para transformarla en γ1 , siendo γt = H (·, t ) las curvas intermedias en la deformación. Si toda curva cerrada γ es homótopa en X a una curva constante, se dice que X es simplemente conexo. En esta definición, entonces, los conjuntos simplemente conexos son aquellos en los que toda curva cerrada se puede deformar con continuidad dentro del conjunto hasta reducirla a lo unmismo punto. que No es evidente para no subconjuntos delvuelta planoalredeesto sea exactamente todo caminoque cerrado d´ e ninguna dor de los puntos que no pertenecen al conjunto (caracterizaci´ on homológica), o que el conjunto ‘no tenga agujeros’. Un estudio de la relaci´ on entre homotop´ıa y homolog´ıa en C, entre homotop´ıa e integración, y la prueba de la equivalencia entre la de finición homotópica de la conexión simple y las anteriores puede verse en Rudin, loc. cit. , Sección 10.38, pp. 251–253, y en Conway, loc. cit. , Cap. IV, Sec. 6, pp. 87–95.

CAPÍTULO 8

Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.1

INTRODUCCION ´

Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tener el conocimiento de los ceros de una funci´ on en la determinación y el manejo de la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de sus ceros es también un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera secci´ on de este cap´ıtulo recogeremos información ya conocida (para funciones anal´ıticas, que como sabemos coinciden con las holomorfas), añadiendo algunas propiedades sencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pendientes resultados importantes, algunos de los cuales se tratarán el curso próximo. Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfas se comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que nos hemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nuestros métodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomal´ıa’ en algunos puntos? ¿Qué se mantiene y cuánto se pierde? Contestar a esta pregunta es el propósito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holomorfas. Nos limitaremos primero a establecer una clasi ficación de los mismos en tres tipos, viendo de qué manera tan distinta afecta al comportamiento local de la función la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos. Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en un abierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominador no se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular impor´ meromorfa , concepto que introducimos en la siguiente sección, tante de funcion examinando de momento u´ nicamente sus propiedades algebraicas. Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas que tienen una singularidad aislada en , averiguaremos cómo su comportamiento en este punto puede en algunos casos suministrar una informaci´ on adicional interesante sobre la función.

∞

Por u ´ ltimo, en la parte final de este cap´ıtulo, veremos un importante teorema de Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una función holomorfa en un disco, probando que si una función es holomorfa en una corona circular (en

112

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

113

particular, en un disco privado de su centro), la función se puede representar como suma de una serie de Laurent , que es una serie de potencias con exponentes enteros cualesquiera y no s o´ lo con exponentes enteros no negativos, como son las series de Taylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten as´ı mismo caracterizar los diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejercicios que muestran cómo hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas, un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento. Referencias básicas: — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). — Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968). ´ real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, — Rudin, W.: Analisis Madrid (1987).

8.2

´ HOLOMORFA CEROS DE UNA FUNCI ON

Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser idénticamente nulo. La situación es algo menos drástica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos funciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen in finitos ceros. Esto no significa que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una función holomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funciones holomorfas y las funciones anal´ıticas, el principio de prolongación anal´ıtica nos informa de que el conjunto de ceros de una función holomorfa no nula, si su dominio es conexo, no puede poseer puntos de acumulación dentro del dominio. Esto no signi fica que no pueda haber puntos de acumulación de ceros: por ejemplo, la Z función sen (π/ z ) es holomorfa en C 0 y se anula en los puntos 1 / k , k (en este caso 0 es un punto de acumulación de ceros); lo que sucede es que, si el conjunto de ceros tiene puntos de acumulación, éstos deberán estar en la frontera del dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho.

\{ }

∈

´ H() no id enticamente nula. Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f , es decir, Z f f −1 (0). Entonces

´ de C y f Proposición 8.1. Sea  una regi on

∈

(1) Z f es un conjunto discreto. (2) Para cualquier conjunto compacto K , Z f K es finito o vac´ıo. (3) Z f es un conjunto contable ( finito o numerable).

⊆

∩

=

´ . Demostracion (1) Que Z f es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Z f se puede encontrar un r > 0 tal que z / Z f si 0 < z a < r , o lo que es igual, que ningún punto de Z f es punto de acumulación de Z f .

∈

| − |

114


∩

(2) Si Z f K tuviese infinitos puntos, por la compacidad de K tendr´ıa al menos  y por tanto Z f tendr´ıa al menos un punto un punto de acumulación en K de acumulación en . (3)  puede ponerse como unión numerable de compactos,  n K n para alguna sucesión ( K n ) de compactos. Entonces Z f K n ) y cada n(Z f Zf K n es finito o vac´ıo.

⊆

=∪ ∩

=∪

∩

∈ H(). Dado a ∈  , diremos que a

Definición 8.2. Sea  un abierto de C y f

es un cero de orden k de f si k que N es(k tal ... f (a ) f  (a ) f −1) (a )

= ∈=

=

f (k ) (a )

= 0,

= 0.

Nótese que para que exista tal k , es necesario y su ficiente que a sea un cero de f y que f no se anule en la componente conexa de  que contiene a a ; dicho de otra forma, que a sea un cero aislado de f .

Proposición 8.3. Sea  un abierto de C, a propiedades son equivalentes entre s´ı: (1) a es un c ero de f de orden k. (2) En un disco D (a r )  es

; ⊆ f (z ) =

con a k 0. ´ g (3) Existe una funci on

=

∞



an ( z

=

n k

∈ , k ∈ N y f ∈ H(). Las siguientes n

− a) ,

z

∈ D(a ; r ),

∈ H() tal que g (a ) = 0 y f (z ) = (z − a ) g (z ) k

para todo z

∈ .

´ . Demostracion (1) (2) Expresar los coe ficientes del desarrollo de Taylor de f en a mediante las derivadas de f en a . (2) (3) La funci o´ n g definida en  por

⇒ ⇒

g (z )

es claramente holomorfa en  que para todo z D (a r ) es

∈

;

=



f (z ) (z ak

k

− a)

= a si z = a si z

\ {a} y en a es anal´ıtica (luego holomorfa), puesto

g (z )

=

∞

 =

n k

an ( z

n

− a) ,

y por tanto cumple las condiciones de (3). (3) (1) Basta calcular las derivadas sucesivas de f y aplicar la de finición de orden de un cero.

⇒


115

SINGULARIDADES AISLADAS

En algunos textos (p. ej. Duncan, ob. cit., p. 63), dado un abierto  y una función C se dice que un punto a  es un punto regular para f o que f tiene f :  y f es derivable en a un punto regular si existe un r > 0 tal que D (a r ) en cada punto de D (a r ). Los puntos que no son regulares se denominan puntos singulares. En esta sección estudiaremos un tipo especial de puntos singulares, que

→

∈

; ⊆

;

denominaremos singularidades aisladas. ´ f tiene una singularidad Definición 8.4. Sea a C. Decimos que una funci on aislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfa

∈

en

; = { z ∈ C : 0 < | z − a | < r }.

D ∗ (a r )

Clasificación de las singularidades aisladas. Podemos distinguir entre las siguientes situaciones: (1) existe limz →a f (z ) C. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad evitable o que a es una singularidad evitable de f . (2) existe limz →a f (z ) . Se dice entonces que f tiene en a un polo o que a es un polo de f . (3) no existe lim z →a f (z ) en C∞ . Se dice entonces que f tiene en a una singularidad esencial o que a es una singularidad esencial de f .

∈ =∞

Ejemplos. (1) Hay muchas funciones holomorfas (no enteras) sin singularidades aisladas. Ejemplo sencillo: el logaritmo principal Log z , para el que son puntos regulares , 0] y singulares todos los de ( , 0]. todos los de C ( (2) Todos los puntos en los que no está definida la función f dada por

\ −∞

−∞

f (z )

= e −z 1 z

son singularidades aisladas. En z 0 tiene una singularidad evitable. Los puntos de la forma z 2k π i , k Z 0 , son polos de f . (3) La función f dada por

=

∈ =\ { }

=e tiene una singularidad esencial en z = 0. f (z )

1/ z

Observación. El conjunto S f de singularidades aisladas de una funci´ on f es discreto y contable (inclu´ıda la posibilidad de que sea vac´ıo).

116


∈  y f ∈ H( \ {a }). Entonces (1) Si a es una sing ularidad evitable de f , la func i on ´ f˜ de finida por f (z ) si z ∈  \ {a } f˜(z ) = lim → f (z ) si z = a Proposición 8.5. Sea  un abierto no vac ´ıo de C, a



z

a

es holomorfa en . Rec´ı procamente, si f admite una extensi on ´ holomorfa en  , tiene en a una singularidad evitable. (2) Si para alg un ´ r > 0 la funci on ´ f se mantiene acotada en D ∗ (a r ) z C : 0 < z a < r , entonces f tiene una singularidad evitable en f .

; = | − | } ´ . (1) f˜ es holomorfa en  \ {a } y continua en , luego holomorfa Demostracion { ∈

en . El rec´ıproco es obvio.

(2) Ya se probó que, en estas condiciones, f admite una extensión holomorfa en D (a r ).

;

La primera parte de la proposición anterior justifica el nombre de singularidad evitable. Nótese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no está definida en a o bien f no es continua en a . ´ f . Entonces la Definición 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una funci on 1 ´ funcion

tiene en a una singularidad evitable y l ´ımite nulo, de manera que para f ´ δ > 0 la funci on ´ algun h (z )

=



1/ f (z ) 0

| − a| < δ

si 0 < z si z a

=

;

es holomorfa en D (a δ) . Si h tiene en a un cer o de orden k, dir emos que f tiene en a un polo de orden k o que a es un un polo de orden k de f .

Los polos de orden 1 se llaman polos simples; los de orden mayor que 1, polos ´ multiples (dobles, triples, . . . )

Proposición 8.7. Sea  un abierto no vac ´ıo de C, a

∈

y f siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en a un pol o de orden k; (2) existe limz →a (z a )k f (z ) C 0 , y en consecuencia

−



∈ \{ } lim → (z − a ) f (z ) = ∞ lim → (z − a ) f (z ) = 0

∈ H( \ {a}). Las

z

a

z

a

n n

≤

si 0 n < k, si n > k;


117

∈ H() tal que g (a) = 0 y g (z ) f (z ) = (z − a ) para cada z ∈  \ {a }; existen coe ficientes A (1 ≤ j ≤ k ), a (n ∈ N ∪ {0}) , un´ıvocamente determinados, con A  = 0, y un r > 0, tales que

´ g (3) existe una funci on

k

(4)

j

n

k

f (z )

A2 ( z a )2

= (z −A a) +···+ k

k

−

1

+ z A− a +

| − a| < r . A (La función racional S ( f ; a )(z ) = +···+ (z − a ) siempre que 0 < z

∞ an (z − a )n n =0

A2

k

k



+ z A− a se denomina 1

a )2

− parte singular o parte principal de f en a .) ´ . (1) ⇒ (2) Yendo a la definición, h (z ) = (z − a ) g (z ) para alguna Demostracion función g holomorfa en D (a ; δ) con g (a )  = 0, y lim → (z − a) f (z ) = 1/g(a ). (2) ⇒ (1) Si h es como en la de finición, resulta h (z ) = (z − a ) g (z ) para g dada (z

k

z

k

a

k

por

h (z )

1 k

g (z )

=  −

si 0 < z

k

z lim a ) (z(z a )ak) f (fz()z ) 1(/ z →a

= −−

;



si z

a <δ

= a| , − |

que es holomorfa en D (a δ) y no nula en a . (2) (3) La función dada por (z a )k f (z ) tiene una singularidad evitable en a . (3) (4) Para algún r > 0 puede ponerse

⇒ ⇒

g (z )

−

=

∞



cn ( z

=

n 0

n

− a ) , |z − a| < r,

luego f (z )

= (z −c a ) +···+ 0

k

| − |

(z

c k −2

+ zc−− a + k 1

2

− a)

∞ =

n 0

c k +n ( z

n

− a)



siempre que 0 < z a < r . Puesto que g está un´ıvocamente determinada por f , hay unicidad para los coeficientes. (4) (2) Evidente.

⇒

Observación. Según el resultado anterior, la función f S ( f a ) tiene en a una singularidad evitable. Además, el orden de a como polo de f es el menor valor de n tal que (z a )n f (z ) tiene una singularidad evitable en a .

−

−

;

118


Cuando f es una función racional, sólo tiene en C un número finito de singularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cada uno de ellos, encontramos la descomposicionde ´ f en fracciones simples (v. detalles en Conway, ob. cit., pp. 105–106.) NOTA.

Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracterización en términos de los valores de la función:

Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea  un abierto no vac ´ıo de a ). Las siguientes propiedades son equivalentes: C, a  y f H( (1) a es una sing ularidad esencial de f . (2) f (U ) C para todo entorno reducido U  a de a. (3) Para todo w C se puede encontrar (z n ) en  a tal que z n w. f (z n )

∈

∈

\{ }

= →

⊆ \{ } \{ }

∈

→

a y

´ . Demostracion (1) (2) En caso contrario existir´ıan r > 0, δ > 0 y w C tales que f (z ) w > δ para todo z D∗ (a r ). Entonces, la función g dada por

⇒

∈

∈

;

g (z )

=

1

f (z )

;

z

− w,

|

− |

∈ D∗ (a ; r ), ˜

es holomofa y acotada en D∗ (a r ), con lo cual puede extenderse a una función g (a) r ).0, se deduce que f estar´ıa acotada en un entorno de a , y en holomorfa en gD(a Si fuese consecuencia a ser´ıa una singularidad evitable de f . Pero si g tiene en a un cero de orden k 1, podr´ıamos escribir

˜ ;=

˜

k

˜ = (z − a )

≥

∈ D(a ; r ), para una función g holomorfa en D (a ; r ) con g (a )  = 0; por tanto 1 lim (z − a ) f (z ) = lim (z − a ) w + = g 1(a) ∈ C \ {0}, → → g (z ) g (z )

g1 (z ),

1

z

a



k

z

1

  z

a

k

1



1

con lo cual a ser´ıa un polo de orden k de f . (2) (3) Evidente. (3) (1) Es claro que en esta hipótesis no existe limz →a f (z ), ni finito ni infinito.

⇒ ⇒

Se sabe mucho más: si a es una singularidad esencial de f , en cualquier entorno reducido de a la función f alcanza todos los valores complejos, excepto unoalom´ as. Este es el llamado ‘teorema grande de Picard’, ver Rudin, ob. cit., pp. 376–377. (Másfácil de probar es el ‘teorema pequeño de Picard’, que establece que cada función entera no constante alcanza cualquier valor complejo, excepto uno a lo más. La función exponencial ilustra que este es el mejor resultado esperable.) Las demostraciones de estos teoremas requieren herramientas más poderosas que las que disponemos por ahora.


119

FUNCIONES MEROMORFAS

Las funciones cuyas únicas singularidades son polos aparecen con frecuencia suficiente como para merecer un nombre especial. ´ f es meromorfa en un abierto  si en Definición 8.9. Diremos que una funci on cada punto de  o bien f es holomorfa o bien tien e un polo; dic ho de otra fo rma,  tal que si existe un conjunto P f (1) Pf no tiene puntos de acumulaci on ´ en ; (2) f H( Pf ); (3) f tiene un polo en cada punto de P f .

∈

\

⊆

⊆

 Como Pf es un subconjunto discreto de , para cada compacto K el conjunto K Pf es finito, lo que implica que Pf es finito o numerable. Está incluida la posibilidad Pf , con lo cual las funciones holomorfas son ejemplos de funciones meromorfas. También lo son las funciones racionales. El conjunto de las funciones meromorfas en  lo denotaremos por M(). Nótesequeunafunciónesmeromorfaenunabiertosiloesencadacomponente conexa del abierto. Supuesto  conexo, son ejemplos de funciones meromorfas en  los cocientes de funciones anal´ıticas (con denominador no nulo, por descontado):

∩

=∅

de hecho, esta es la ´ unica forma de obtener funciones meromorfas en abiertos conexos, si bien la demostración de esta a firmación requiere conocer primero la posibilidad de construir funciones holomorfas con ceros prefijados y orden de los ceros igualmente prefijado (teorema de factorización de Weierstrass, que se probará el próximo curso). Por el momento, nos limitaremos a comprobar el siguiente resultado.

Proposición 8.10. Dado un abierto no vac ´ıo  en C , el conjunto M() de las ´ funciones meromorfas en  es un algebra sobre C respecto de las operaciones ´  es conexo, M() es un cuerpo conmutativo. usuales con funciones. Si adem as ´ . Es una veri ficación rutinaria, basada en las factorizaciones asociaDemostracion das a polos y ceros que caracterizan el orden de los mismos.

Observaciones. (1) El comentario hecho anteriormente indica que si  es una región, M() es el cuerpo de cocientes del dominio H(). (2) Cuando  no es conexo, M() no es un cuerpo: por ejemplo, si  A B con A, B abiertos no vac´ıos disjuntos, la función f que vale 1 en A y 0 en B está en M() [de hecho, en H()] y no tiene inverso en M() [es un divisor de cero en H()].

= ∪

120 8.5

Ceros y singularidades. Series de Laurent. SINGULARIDADES EN EL INFINITO

´ f si Definición 8.11. Diremos que es una singularidad aislada de una funci on existe R > 0 tal que f H( A R ) , donde A R z C: z > R .

∞

∈

={ ∈

||

}

Podemos establecer una clasificación similar a la considerada para singularidades finitas.

Definición 8.12. Supongamos que

´ es una singularidad aislada de una funci on f . Entonces: (1) Se dice que f tiene en una singularidad evitable o que es una singularidad evitable de f si existe

∞

∞

∞

∈ C. Se dice que f tiene en ∞ un polo o que ∞ es un polo de f si lim f (z ) = ∞. →∞ Se dice que f tiene en ∞ una singularidad esencial o que ∞ es una singulim f (z )

z

(2)

→∞

z

(3)

laridad esencial de f si no existe limz →∞ f (z ) en C∞ . Ejemplos. (1) f (z ) 1/z tiene una singularidad evitable en . (2) todo polinomio no constante tiene un polo en . (3) f (z ) e z tiene una singularidad esencial en . (4) f (z ) 1/ sen z no tiene una singularidad aislada en

= = =

∞ ∞ ∞

∞.

8.13. Estudio de singularidades en el infinito. Si para algún R > 0 es f donde como antes A R z C : z > R , la función f ∗ definida por

={ ∈

||

f ∗ (z )

}

=

f

∈ H( A

R ),

1

 z

es holomorfa en D∗ (0 1/ R ), con lo que 0 es una singularidad aislada para f ∗ . Esto permite reducir el estudio de las singularidades en al estudio de singularidades aisladas en 0. Por ejemplo, es inmediato que f tiene una singularidad evitable en (o un polo, o una singularidad esencial) si y sólo si f ∗ tiene en 0 una singularidad evitable (o un polo, o una singularidad esencial). Sobre esta base podemos estudiar con mayor detalle las singularidades en .

;

∞

∞

∞

Definición 8.14. Diremos que f tiene en un polo de orden k o que es un ∗ ´ polo de orden k de f si 0 es un polo de orden k de la funci on f definida por f ∗ (z ) f (1/z ).

∞

=

∞


121

Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos, podemos enunciar:

Proposición 8.15. Supongamos que

∞

es una singularidad aislada para una ´ f . Las siguientes propiedades son equivalentes: funcion (1) f tiene en un polo de orden k; f (z ) (2) existe limz →∞ k C 0 ; z ´ g holomorfa en A R (3) existen un R > 0 y una funci on z C : z > R con limz →∞ g (z ) C 0 y que veri fica

∞

∈ \{ }

={ ∈

∈ \{ }

f (z )

∈

=z

k

f (z )

=A

k

≤

zk

+···+

}

g (z )

para cada z AR. (4) existen coe ficientes A j (1 j k ), a n (n N un´ıvocamente determinados, y un R > 0 , tales que

≤

||

∈ ∪ {0}) , con A =

A1 z

+

∞

 =

n 0

k

0,

an zn

||

siempre que z > R.

(El polinomio A k z k f en .)

∞

+···+

A1 z se denomina parte singular o parte principal de

Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamos

∞ ∞

´ f . Las siguientes propiedades que es una singularidad aislada para una funcion son equivalentes: (1) es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) C para todo entorno reducido U de . (3) Para todo w C se puede encontrar (z n ) en el dominio de f tal que z n w. y f (z n )

= ∈ →

∞

→∞

Es conveniente extender el concepto de función meromorfa a funciones definidas en abiertos del plano complejo ampliado C∞ que contengan al punto del infinito. ´ R > 0, Definición 8.17. Sea  un abierto de C tal que C D (0 R )  para algun es decir, tal que ∞  sea un abierto en C∞ . Diremos que f :  C es meromorfa en ∞ , en s´ımbolos f M(∞ ) , si f es meromorfa en  y tiene

= ∪{∞}

en

\

∈

; ⊆

→

∞ una singularidad evitable o un polo.

Proposición 8.18. ´ entera y meromorfa en C∞ , entonces f es un polinomio. (1) Si f es una funci on ´ si f es una funci on ´ racional. (2) f M(C∞ ) si y s olo

∈

122


´ . Demostracion (1) Si es una singularidad evitable, f ser´ıa constante por el teorema de Liouville. Supongamos, pues, que es un polo de orden k . Entonces

∞

f (z )

lim

z

→∞

zk

∈ C \ {0}

y por tanto existen R , M > 0 tales que k

| f (z )| ≤ M |z | , |z| > R ; en consecuencia (generalización del teorema de Liouville) f es un polinomio de grado k . (2) Observemos primero que si f M(C∞ ), s´ olo puede tener un número finito de polos en C para que sea una singularidad aislada. Sean, pues, a1 ,..., an los polos finitos de f y k1 ,..., kn sus respectivos o´ rdenes y sea un polo de orden k0 para f . Se sigue que la función

≤

∈

∞

∞

(z

k1

− a ) ··· (z − a ) 1

n

kn

f (z )

se puede extender a una función g holomorfa en C (es decir, entera) que tendrá en un polo de orden k k 0 k1 k n , con lo cual g es un polinomio de grado k según acabamos de probar, luego

∞ ≤

= + +···+ f (z )

= (z − a ) g··(z·)(z − a ) 1

k1

n

kn

es una función racional. ´ entera, o es co nstante o f (C) Corolario 8.19. Si f es una funci on

= C.

∞

´ . Si f es entera, Demostracion es evidentemente una singularidad aislada para f. — Si es evitable, de modo que existe lim z →∞ f (z ) C, f es constante por el teorema de Liouville. — Si es un polo, f es un polinomio (resultado anterior) y f (C) C. C por el teorema de Casorati— Si es una singularidad esencial, f (C) Weierstrass.

∞ ∞ ∞

∈

=

=

f es una funcio´ n entera no constante es cierto que su imagen f (C) es todo C salvo un punto a lo más. NOTA. De hecho, como ya hemos comentado, si


123

SERIES DE LAURENT

;

{

| − a| < R }, donde √ ´ de n umeros ´ Lema 8.20. Sea (a ) una sucesi on complejos y r = lim sup |a |.

Fijemos la notación D (a r, R ) para la corona z : r < z 0 r < R .

≤

≤ +∞

n

n

Entonces

∞

n

− a )− es absolutamente convergente en cada punto de la corona D=(a ; r, +∞) y converge uniformemente en los subconjuntos compactos de D (a ; r, +∞); en el disco D (a ; r ) la serie no converge (en a ni siquiera est a´ definida); ´ f de finida en D (a ; r, +∞) por la funci on

(1) la serie

n

an ( z

 n 1

(2) (3)

f (z )

=

es holomorfa. ´ . Sabemos que la serie Demostracion

∞



an ( z

=

n 1

∞



− a )−

n

an w n converge absolutamente en cada

=

n 1

D (0 1/ r ), no converge si w > 1/ r , y que de fine en D (0 1/ r ) una función holomorfa g (w) . Tomando w 1/(z a ), se deducen las tesis del enunciado salvo ). Pero si K es un subla convergencia uniforme sobre compactos de D (a r, ), existirá un R > r tal que K D (a R , ) conjunto compacto de D (a r, (¿por qué?), de manera que para todo z K será w

∈

;

=| | − ; +∞

∞



an ( z

n =1

; +∞

∈

n

∞

 |

− a )− ≤

n =1

a n R −n <

|

;

⊆

; +∞

+∞,

luego la serie converge uniformemente en K por el criterio M de Weierstrass. NOTA.

C

Si r

\ {a } .

= +∞, la serie no converge en ningún punto. Si r = 0, converge en

´ (z n )n Definición 8.21. (Series dobl emente in finitas). Dada una sucesi on ´ numeros complejos, si las series

∞

zn y

=

=

n 0

∞

n



∞

  n 1

´ z n converge, en cuyo caso su suma es el n umero complejo

n

∞

∞

 = +

=−∞

zn

=

n 0

zn

de

z −n convergen, diremos que la serie

=−∞ ∞

Z

∈

=

n 1

z −n .

124


∞

Obsérvese que si n



  N

´ z n converge, la sucesión de sumas sim etricas

=−∞

zn

n

=− N

es convergente con l´ımite igual a la suma de la serie, pero que este l´ ımite puede existir sin que la serie sea convergente; por ejemplo, si z 0 0 y zn 1/ n para n 0.

=

=

∞

Diremos que la serie n

y



=

z n converge absolutamentesi las dos series

∞

=−∞

n 0





zn

=

∞ z convergen absolutamente. −n n =1

´ De manera an aloga, dada ( f n )n ∈Z , donde las f n son funciones complejas

definidas en un conjunto S

⊆ C, diremos que la serie

∞

n



f n converge (puntual-

=−∞

´ si las dos mente, uniformemente, uniformemente sobre compactos de S ) si y s olo series

∞

∞

  =

n 0

fn y

=

n 1

f −n convergen (puntualmente, uniformemente, uniformemente

sobre compactos de S)

≥

Aunque hemos dividido la serie en dos trozos separando los n 0 y los n < 0, es evidente que la separaci´ on puede llevarse a cabo en cualquier otro NOTA.

´ındice, pues se trata de a˜ nadir o quitar un n´ umero correspondiente.

finito

de sumandos al trozo

Definición 8.22. (Series de Laurent). Llamaremos serie de Laurent centrada en a a toda serie de la forma

∞

n



an ( z

=−∞

n

− a) .

Proposición 8.23. Dada una serie de Laurent centrada en a

∞



n =−∞

sean R1

 n

= lim sup |a− |, n

an ( z

n

− a) ,

R2

=



lim sup

 | | n

an

−1

.

Entonces: (1) la serie converge absolutamente en cada punto de la corona D (a R1 , R2 ), a la que denominaremos corona de convergencia , y converge uniformemente en los subconjuntos compactos de D (a R1 , R2 ); ´ punto z / D (a R1 , R2 ) exterior a la corona; (2) la serie no converge en ning un

;

; ∈

;


125

+∞

´ (3) R1 y R2 son los unicos valores en [0, ] para los que se cumplen las propiedades (1) y (2); ´ f de finida en D (a R1 , R2 ) como suma de la serie (4) la funci on

;

=

f (z )

∞

n



an ( z

=−∞

− a)

n

es holomorfa en D (a R1 , R2 ) , y su derivada est a´ dada en cada punto por

;

f  (z )

=

∞

n



n a n (z

=−∞

− a) − . n 1

NOTA.

El enunciado anterior tiene pleno sentido si R1 < R2 . En caso contrario, D (a R1 , R2 ) es vac´ıo. Si R1 > R2 , no hay convergencia para la serie en ningún punto. Si R1 R2 , ¿cuál es la situación?

;

=

´ holomorfa en una corona Teorema 8.24. (Teorema de Laurent). Sea f una funci on D (a R1 , R2 ) [a C, 0 R1 < R2 ]. Entonces: (1) f puede representarse en D (a R1 , R2 ) como suma de una serie de Laurent

;

∈

≤

≤ +∞ ;

f (z )

=

∞

n



an ( z

=−∞

∈

− a)

n

;

que converge absolutamente en cada z D (a R1 , R2 ) y converge uniformemente en cada compacto contenido en D (a R1 , R2 ) o, equivalentemente, en cada corona D (a r 1 , r 2 ) para la que R 1 < r1 < r2 < R2 . ´ dados por la f ormula ´ (2) Los coe ficientes de la serie est an

;

an

= 2π1 i



;

f (z ) γ

(z

− a) +

n 1

d z,

donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio r, con R 1 < r < R2 . (3) La serie est a´ un´ıvocamente determinada por f .

Nos referiremos a la serie como al desarollo en serie de Laurent de f . La tesis (1) afirma la existencia de desarrollo en la corona, y la (3) su unicidad , mientras que (2) proporciona (teóricamente, al menos) una manera de calcular los coe ficientes del desarrollo.

126


´ . (Cf. Conway, ob. cit., pp. 107–108.) Demostracion Unicidad. Si existe la representación de (1), D (a R1 , R2 ) estará contenida en la corona de convergencia de la serie, y e´ sta convergerá uniformemente en cada compacto contenido en D (a R1 , R2 ). Si γ ∂ D (a r ) con R1 < r < R2 , sop γ es uno de tales compactos, luego podremos integrar la serie término a término para obtener

;

;

f (z ) d z γ



y, en general, para cada n



f (z ) γ

(z

− a) +

n 1

=

∞

=

an

(z γ

n

  ∈   =

;

− a)

n

= 2π i a− ,

dz

1

=−∞

Z, de modo similar,

∞

dz

k

ak

=−∞

− a) − −

k n 1

(z γ

= 2π i a ,

dz

n

luego los coeficientes del desarrollo están un´ıvocamente determinados por la suma de la serie. Existencia. Comencemos por se n˜ alar que si R1 < r 1 < r 2 < R2 y γ1 , γ2 son, respectivamente, las circunferencias de centro a y radios r 1 , r2 (orientadas positivamente), entonces γ1 y γ2 son homólogas respecto de D (a R1 , R2 ) (comprobarlo). Por el teorema homológico de Cauchy se tiene, pues, que para toda funci´ on g

;

holomorfa en D (a R1 , R2 ) es

;



 =

g (w) d w γ1

g (w) d w. γ2

En particular, tomando g (w)

= 2π1 i

f (w) (w

− a) +

n 1

n

,

∈ Z,

se deduce que f (w)

1 2π i



γ1

(w

− a) +

= 2π i

n 1

f (w)

1

dw



γ2

(w

dw

− a) +

n 1

da el mismo valor para cualquier circunferencia de centro a interior a la corona, es un complejo independiente de cuál sea el radio que se considere. Definamos, pues, para cada n Z,

∈

an

1

= 2π i



f (w) γ

(w

− a) +

n 1

d w,


127

donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio estrictamente mayor que R1 y estrictamente menor que R2 . Comprobaremos a continuación que para todo z D (a R1 , R2 ) la serie

∈

;

∞

n



an ( z

=−∞

− a)

n

(i) es convergente y (ii) tiene por suma f (z ). Esto basta para demostrar el teorema (¿POR QUE?) ´ Sea, pues, z

∈ D(a; R , R ). Elegimos r , s de manera que R < r < |z − a | < s < R 1

2

1

2

y denotamos con γr , γs las circunferencias de centro a y radios r , s orientadas s , como para todo w tal positivamente. Poniendo Ms max f (w) : w a que w a s (> z a ) y para todo entero n 0 es

| − |=

 

= {| | | − | = } | − | ≥ f (w)( z − a ) ≤ M |sz +− a | = Ms |z −s a | (w − a ) + n

n 1

 

n

s

s

n 1





n

,

aplicando el criterio M de Weierstrass y la posibilidad de integrar término a término las series uniformemente convergentes resulta 1 2π i



1

f (w) γs

w

− z d w = 2π i

=

 

∞

1

=

De manera similar, si Mr (< z a ), de

| − |

∞

γs

f (w)( z (w

n 0

=

f (w)

n

− a)

− a) +

n 1



 n

dw

γs

n 1

(w

dw

(z

− a) =

∞



n 1

r

n 1

n



1 2π i



f (w) γr

z

−w

∞

dw

= 2π1 i

   = =

n 1

1

2π i

−

n 1

r

n

   ∞

γr

f (w) (w γr

n

n 0

− a) − ≤ M r − = M r (z a ) z a z a z a − | − | | − | | − | n ∈ N, se sigue análogamente f (w) (w

n

a (z − a ) . − a) + = = max{| f (w)| : |w − a | = r } y w es tal que |w − a| = r

2π i

n 0

 

f (w) (w (z

n 1

=

− a)

−

n 1

dw

− a) −

,

n 1

− a)



    =

n

( z − a ) −n

dw

∞ =

n 1

a− n ( z

− a )− . n

128


Hemos probado, por tanto, que la serie converge con suma

∞



− a ) = 2π1 i n



f (w)

γs

w s

1

2

dw

+ 2π1 i



f (w)

d w, z−w −z =−∞ y as´ı tenemos (i). Pero además  = [γ , −γ ] es un ciclo homólogo a 0 respecto de D (a ; R , R ) para el que Ind (z ) = 1 (comprobarlo), y aplicando la fórmula n

an ( z

γr

r



de Cauchy, f (z )

= 2π1 i =

∞

n





=−∞

f (w) dw w z

− a (z − a ) , 

= 2π1 i



γs

f (w) dw w z

−

− 2π1 i



γr

f (w) dw w z

−

n

n

lo que demuestra (ii). Disponemos ahora de otro útil para analizar las singularidades aisladas. Si a es una singularidad aislada de una funci´ on f , e´ sta será holomorfa en alguna corona D∗ (a R ) D (a 0, R ), y será por tanto desarrollable en serie de Laurent en dicho conjunto. El examen de los coe ficientes nulos permite decidir el tipo de singularidad que presenta f en a .

; =

;

´ f , holomorfa Corolario 8.25. Sea a C una singularidad aislada de una funci on ´ R > 0, y sea en D∗ (a R ) D (a 0, R ) para alg un

; =

;

∈

f (z )

=

∞

n



an ( z

=−∞

;

− a)

n

su desarrollo en serie de Laurent en D (a 0, R ). Entonces: ´ si a n (1) a es una singularidad evitable si y s olo 0 para todo n < 0; ´ si a −k (2) a es un polo de orden k si y s olo 0 y an 0 para todo n < k; ´ si a n (3) a es una singularidad esencial si y s olo 0 para in finitos valores negativos de n.

=

=

= =

−

´ . Conway, ob. cit., Cor. 1.18, p. 109. Demostracion

En el punto del infinito ‘se invierten los términos’, como cab´ıa esperar. Si una ) función f tiene una singularidad aislada en , será holomorfa en D (0 R , para algún R > 0, y según el teorema de Laurent

∞

f (z )

=

∞

n



=−∞

an z n ,

z

; +∞

∈ D(0; R , +∞).

Denominaremos a esta serie el desarrollo en serie de Laurent de f en el in finito.


129

´ con una singularidad aislada en Corolario 8.26. Sea f una funci on ´ R > 0, y sea en D (0 R , ) para alg un

; +∞

f (z )

=

∞

n



∞, holomorfa

an z n

=−∞

; +∞ ∞ = ≥ 1; de orden k si y s olo ´ si a  todo n > k; ∞ =´ 0siy aa ==00para ∞ eses ununapolo singularidad esencial si y s olo para in finitos valores

su desarrollo en serie de Laurent en D (0 R , ). Entonces: (1) ´ si a n es una singularidad evitable si y s olo 0 para todo n (2) (3)

k

n

n

positivos de n.

´ . Aplicar el corolario anterior al punto singular 0 de la funci ón f ∗ Demostracion definida en D (0 0, 1/ R ) por

;

f ∗ (z ) =

f

 1 z

,

que tendrá como desarrollo de Laurent f ∗ (z )

=

∞

an z −n .

n



=−∞ 8.7

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio. Dados a , b

∈ C con a = b, sea z−a . f (z ) = Log z−b

¿Cuál es el m´ aximo abierto  en el que f es holomorfa? Hallar, si existe, el desarrollo en serie de Laurent de f en el in finito, determinando en qué dominio es válido el desarrollo.

Respuesta. La función f está definida en C a , b . Puesto que la composición de funciones holomorfas es una función holomorfa, f será holomorfa al menos en

\{ }

C

\ {z : z = b o zz −− ab ∈ (−∞, 0]} = C \ [a , b] nótese que z−a = −λ, (λ ≥ 0) ⇐⇒ z = 1 +1 λ a + 1 +λ λ b z−b ⇐⇒ z = t a + (1 − t ) b, (0 < t ≤ 1) ⇐⇒ z ∈ [a , b)





130


En los puntos de (a , b ) no hay continuidad (menos aún holomorf´ıa) para f , pues t a (1 t ) b, 0 < t < 1, tomando para n N si z 0

= + −

zn

∈

= z + ni (b − a ) → z ,

= z − ni (b − a ) → z ,

0

wn

a)

(i / n )(b

0

0

0

(n

→ +∞),

resulta zn zn

a

(1

t )(b

a)

t (1

t)

(1/ n 2 )

− b = −t (a − b−) + (+i / n)(b − a−) = − − t + (1/ n) − w −a −t (1 − t ) + (1/ n ) + (i / n) , = w −b t + (1/ n ) 2

2

(i / n ) ,

2

n

2

n

2

 

 

= ln 1t − 1 − i π2 , lim f (w ) = ln 1t − 1 + i π2 . En consecuencia,  = C\[a , b ]eselmáximo abierto en el que f es holomorfa. Vemos as´ı que f tiene en ∞ una singularidad aislada, y que la máxima corona D (0; R , +∞) en la que f es holomorfa corresponde a R = max{|a |, |b|}. Por el

con lo cual lim n f (z n )

n

n

teorema de Laurent, dicha corona es el dominio de validez del desarrollo. Para calcular e´ ste, es preferible aprovechar que la derivada f  es igualmente holomorfa en dicha corona, verificándose f  (z )

= z −1 a − z −1 b =

∞

an

n

−b = z +



n 1

=

n 0

∞

 =

n 1

an

−b

z n +1

n

,

|z| > max{|a|, |b|}.

; +∞) es conexo, existe c ∈ C tal que ∞ b −a 1 f (z ) = c + , |z | > max{|a |, |b|}.

Como D (0 R ,

n



n

=

n 1

Pero lim f (z ) z

→∞

n

zn

= Log 1 = 0, luego c = 0 y finalmente z

Log z

∞

a

−b

bn

= =

n 1

an 1

−n

zn ,

|z | > max{|a |, |b|}.

Ejercicio. Calcular los desarrollos en serie de Laurent de la funci´ on f (z )

;

; +∞).

en D (0 1, 2) y en D (0 2,

= z −1 2 Log zz −+ ii


131

Respuesta. A la vista del ejercicio anterior, es fácil probar que f será holomorfa justamente en  C ([ i , i ] 2 ). Además, sabemos que ∞ ( i )n i n 1 z i (a) Log si z > 1; n

= \ − ∪{ } − = − − || z+i n z = ∞ z 1 = − si |z | < 2; z−2 2 +

  = n 0

(b)

=

n

n 1

n 0

∞

1

2n

z n +1 si z > 2. (c) z 2 n =0 Multiplicando (a) por (b) se obtiene, siempre que 1 < z < 2:

−

1 z

Cuando k

−2

Log

||

||

    =−  ∞

−i z+i z

k

( i )n

− −i

n

n

1

1

n

=−∞ −n +m =k n ≥1,m ≥0

2 m +1

  

k

≥ −1, el coe ficiente de z resulta ser ∞ (−i ) − i 1 1 a = = + + n 2 2+ k

 =

n

∞

n

k n 1

k 1

n 1

1

k 1

i

2 Log 2

i

n

=

n 1

1

−+ i = − 2 Arc tg 2 , 1 mientras que el coe ficiente de si k ≥ 2 es z ∞ (−i ) − i 1 a = =2+

( i )n

−

−i

zk .

2n

k

k

−k

con lo cual, siempre que n

n



2k +1

=



−

k 1

1 2n

n

n k

≥ 1,

n

,

( 1)m



− a− = 2 i Arc tg , ( m 2 2 + 1)2 + = − 1 (−1) a 2 + i Arc tg . − + = 2 − = (2m + 1)2 + ∞ b Para |z | > 2, multiplicando (a) por (c) llegamos a f (z ) = = − (−i ) − i − (−i ) − i b = 2 −− =2 − 2− 2n

2k

1

 −

2m 1

m 0

k 1

(2n 1)

2m 1

n 1

n

 =

k

n 1





m 0

k

n k 1

n 1

k

k 1

=2 −

m

2k 1

−

n 1

− =

k 1

( i /2)

n 2

n 1

 =

k 1

k

k

− (i /2)

k

.



k

k

k

k

n

z −n , donde

132


Otra respuesta (mediante integración). Sea, como antes,  y sean

   

f (z ) f (z )

∞

  = =

n

=−∞ ∞

n

=−∞

an z n ,

1 < z < 2;

cn z n ,

|z | > 2,

= C \ ([−i, i ] ∪{2}),

||

los correspondientes desarrollos de Laurent de f en las coronas indicadas.

=

;

=

;

Poniendo γr ∂ D (0 r ) para 1 < r < 2; γε ∂ D (2 ε) para 0 < ε < 2; γR ∂ D (0 R ) para R > 2, es [ γr ] [γ R , γε ] (), luego aplicando sucesivamente el teorema de Laurent y el teorema homol´ ogico de Cauchy podemos deducir

=

;

an

1

= 2π i



f (w) w n +1

γr



= c − 2π1 i n

∼

dw

= 2π i

f (w) γε



1

w n +1

−

f (w) w n +1

γR

dw

1

− 2π i



f (w) γε

w n +1

dw

d w.

Pero la función

= w 1+

g (w)

Log

n 1

w w

−i +i

;

es holomorfa en D (2 2), luego aplicando la fórmula de Cauchy en discos resulta 1 1 2π i



f (w) γε

+

wn 1

dw

1

= − 2π i



γε

= g(2) = 2 1+

n 1

Por otra parte, como lim z f (z ) z

→∞ cn

=

R

Log

+

wn 1

−i w+i w

dw

−2 2−i = − 2i Log 2+i w

n

1

= 2π i

1 Arc tg . 2



g (w) γε

w

− 2 dw

= 0, siempre que n ≥ −1 se sigue

lim

1

→+∞ 2π i



f (w) γR

w n +1

dw

=0

(sin más que usar la acotación habitual de la integral). Para n

≤ −2, sea k = −n

Ceros y singularidades. Series de Laurent. (con lo cual k bk

133

≥ 2) y b = c− = c . Entonces k

= 2π1 i 1

= 2π i 1

= 2π i 1

= 2π i = 2π1 i

   +   +

k

n

= 2π1 i

w k −1 f (w) d w

γR

w k −1

−2 − + 2 − w−2 w−2

γR

k 1

k 2

k 1

w k −1

γR



k 3

w − + 2w − 1 2 k −1 ·

γR



2π i

w k −2



k 3

2

−

1

γR

k 3

w w

−



Log w

k 3

k 2

 

Log

2 k −1 c −1

·

w k −2

γR

+ 2w − +···+

2k −3 w

k 3

w

k 2

+2 − i Log dw w−2 w+i +···+ 2 − w + 2 − +···+

+ 2w −

γR

w−i − 2 Log w + i d w w−i dw Log w+i w

+2 −

k 2

Log

i

+− i d w

− i dw w+i w

− i d w. w+i w

El polinomio del integrando es la derivada del polinomio P (w)

= k −1 1 w − + k −2 2 w − +···+ k 1

k 2

2k −3 w 2 2

+2 −

k 2

w,

que es obviamente holomorfo en todo C, luego integrando por partes y aplicando la fórmula de Cauchy llegamos a bk

1

= 2π i −

k 1

=

 =

m 1



P (w) γR

2m −1 k

−m



i k −m



1

1

−i − w+i − (−i ) − ,

w

k m



dw



que puede reescribirse en la forma vista anteriormente.

= P (i ) − P (−i )

CAPÍTULO 9

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 9.1

´ INTRODUCCION

Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminación de lo que hemos encuadrado bajo el nombre genérico de ‘teor´ıa global de Cauchy’. Incorpora y extiende al teorema de Cauchy y a la fórmula de Cauchy, y tiene innumerables consecuencias teóricas y pr a´ cticas. De e´ stas apuntamos su uso para calcular integrales reales y sumas de series, limitándonos a señalar referencias donde encontrar el tema desarrollado en detalle. ´ La primera aplicación teórica que presentamos se re fiere a la localizaci on de ceros, en la que tratamos de averiguar el número de ceros de una función en un subconjunto de su dominio. Los resultados básicos en esta dirección son el denominado principio del argumento y el teorema de Rouché. De aqu´ı pasamos al estudio del comportamiento local de una función anal´ıtica, viendo su analog´ıa con el de la función z m en torno al 0, en el sentido que se precisa en el texto. Deducimos el teorema de la aplicaci´ on abierta y alguna de sus aplicaciones, y finalizamos el cap´ıtulo con una versión global y otra local del teorema de la función inversa, llegando a una representación integral de esta inversa que nos permite obtener expresiones interesantes de su desarrollo en serie de Taylor. Referencias básicas: — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). — Mitrinović, D. S.: Calculus of Residues. Noordhoff, Groningen (1966). — Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New York (1991).

´ real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, — Rudin, W.: Analisis Madrid (1987).

134

Teorema de los residuos. Aplicaciones.

135

´ 9.2 PR OLOGO: RESIDUOS Agazapada en el teorema de Laurent hay una información importante. Por lo que vimos en su demostración, se deduce que si f tiene una singularidad aislada en a ,



f (z ) d z γ

= 2π i a− , 1

donde a−1 es el coe ficiente de (z a )−1 en el desarrollo en serie de Laurent de f yγ ∂ D (a r ), r adecuado. Este coeficiente (salvo el factor habitual 2 π i ) es, pues, “el u´ nico vestigio”, el residuo que deja la función al ser integrada sobre una “pequeña” circunferencia centrada en a . Vamos a asignarle oficialmente este nombre.

=

−

;

´ f . Recibe el Definición 9.1. Sea a C una singularidad aislada de una funci on nombre de residuo de f en a el coe ficiente de 1/(z a ) en el desarrollo en serie de Laurent de f en el punto a, de manera que si

∈

f (z )

=

−

∞

n



an ( z

=−∞

n

− a) ,

z

∈ D(a ; 0, R ),

y denotamos con Res( f a ) el residuo de f en a, es

;

Res( f a )

; = a− . 1

En el punto del infinito la definición es ligeramente distinta: ´ con una singularidad aislada en , y sea Sea f una funci on

∞

f (z )

=

∞

n



an z n

=−∞

su desarrollo en serie de Laurent en una corona D (0 R , ´ residuo de f en el in finito al numero

; +∞). Llamaremos

Res( f

; ∞) = −a−

1

(coeficiente de 1/ z en el desarrollo, cambiado de signo). ¿Qué hace merecedor de un nombre especial a este coeficiente? De momento, sabemos que su valor es lo u´ nico que necesitamos conocer a la hora de calcular la integral de f sobre la circunferencia γ . Pero con este punto de partida y un poco de

136


ingenio podemos servirnos de los residuos para calcular integrales en situaciones más complicadas. Supongamos, por ejemplo, que nos proponemos calcular una integral como



Log(z 

(1

+ 2) z

2

= D(0; 2) formado por los caminos que se Horrible, ¿no es cierto? “¿Qué es lo mejor que podemos hacer para resolver este problema? Dejarlo e inventar otro”, como recomienda el “profesor tradicional de matemáticas” en el retrato que de él hace Pólya. Vamos a ello.

i

–1

ctg π z

− cos 2π z ) (z + 1) d z,

donde  es el ciclo contenido en  indican en la figura.

–2

3

1

2

Según hemos señalado antes, tras calcular los residuos en los puntos

–i

z1 i , z3 i 1, z 2 1, z 4 de la función f (z ) a integrar, tarea no extremadamente dif´ıcil, ser´ıamos

=

=

=−

=−

capaces de hallar la integral en el caso más sencillo de que  constase de una ∂ D (z j r j ) alrededor de uno de los puntos z j , suficientemente circunferencia γ jo

=

;

pequeña para que el disco cerrado D (z j r j ) quede dentro de  y no incluya a ninguno de los restantes puntos z k , k j , obteniendo entonces

=



f (z ) d z γ jo

;

= 2π i Res( f ; z ). j

Pero ésto ¿de qué sirve? De mucho . . . cuando caemos en la cuenta de que el teorema homol o´ gico de Cauchy permite sustituir oportunamente el ciclo srcinal  por otro ciclo formado por circunferencias, con tal de que ambos sean homólogos respecto de un abierto en el que f sea holomorfa. Notando que

Ind (z 1 )

= 1,

Ind (z 2 )

= 2,

Ind (z 3 )

= −1,

Ind (z 4 )

= 0,


137

podemos “fabricar” un ciclo homólogo a  respecto de 

1

γ 2o

i

3

4

γ 2o

γ3 o γ1

–1

o

γ 1o

1

2

–2

–1

1

–i

0

2

i

γ3 o

–2

\{z , z , z , z } tomando

2

–i

=  ∪  ∪  , donde 1

2

3

1

y γ jo (1

o 1 ],

2

= [γ

o o 2 , γ2 ],

3

o 3 ],

= [−γ

≤ j ≤ 3) son circunferencias elegidas como antes. Con e´ sto

 = f



= [γ

f 0

 =

f γ1o

  + − f

2

γ2o

f γ3o

= 2π i (Res( f ; z ) + 2 Res( f ; z ) − Res( f ; z ) + 0 · Res( f ; z )) 1

2

3

4

4

= 2π i



Ind (z j ) Res( f z j ).

;

j 1

=

Estos son los ingredientes esenciales de la demostración general del teorema de los residuos, que se expone en el siguiente apartado.

9.3

EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS

Teorema 9.2. (Teorema de los residuos). Sea  un abierto no vac´ıo de C y sea f una función holomorfa en  A, donde A  consta de singularidades aisladas ´ de f . Para todo ciclo  homologo a 0 respecto de  tal que A sop  se verifica 1 f (z ) d z Res( f a ) Ind (a ). 2π i  a∈ A

\



⊆

=



∩

;

=∅

138


´ . Observemos, ante todo, que los sumandos que cuentan realmente Demostracion en el segundo miembro de la igualdad anterior son los no nulos. Por tanto, examinemos el conjunto A0 a A : Ind (a ) 0 .

={ ∈

= }

Si fuese A 0 , se tendr´ıa Ind (a ) 0 para todo a A , con lo cual la suma resultar´ıa nula; pero se sigue también que  es homólogo a 0 respecto de  A, abierto en el que f es holomorfa, luego la integral es asimismo nula, en virtud del

=∅

=

∈

\

teorema homológico de Cauchy. En caso contrario, A0 es un conjunto finito. En efecto: A 0 no tiene puntos de acumulación en , porque entonces también A tendr´ıa puntos de acumulación en , lo que es falso; A 0 no tiene puntos de acumulaci´ on fuera de , ya que si z 0 C , Ind (z 0 ) 0porser  0 (); tomando r > 0talque D (z 0 r ) C sop  , Ind (z 0 ) para todo z del conexo D (z 0 r ) se tendr´ıa Ind (z ) 0, con lo cual D (z 0 r ) A 0 ; A0 es un conjunto acotado, pues tomando R > 0 de manera que sop  D (0 R ), sabemos que es Ind (z 0 ) 0 para todo z 0 / D (0 R ) (C D (0 R ) D (0 R ). está contenido en la componente no acotada de C sop  ),yas´ı A0 En resumen, A0 es un conjunto acotado que no tiene puntos de acumulación en C, luego forzosamente ha de tener un número finito de puntos. Sean e´ stos a1 , a2 ,. . . , an , distintos entre s´ı. A 0 (1 j n ) sendos discos D (a j R j ) Ahora, asociamos a los a j contenidos en , elegidos de tal manera que D (a j R j ) A a j .Para1 j n, ∂ D (a j r j ) la circunferencia de centro a j y tomemos 0 < r j < R j , y sean γ j Ind (a j ) y radio r j orientada positivamente, N j

• • •

= ∼ ; ; ∩ =∅

=

;

=

∈ = =



∈ \ ; ⊆ \ =

∈

;

\ ; ⊆ ;

≤ ≤ ; ∩ ={ } ;

; ≤ ≤

\

(Nj )

⊆

] si N > 0, = [[γ−γ, ...,γ − , .. . , −γ ] si N < 0, el ciclo formado por | N | caminos iguales a γ o a −γ , para el que en cualquier caso Ind (z ) = N Ind (z ). Veamos que el ciclo j

j

j

j ( Nj )

j

j

j

j

j

j

j

j

γj

n

=  ∪  ∪···∪  es homólogo a  respecto de  \ A. En efecto: para cada z ∈ C \ sop  , 0

1

2

0

n

Ind0 (z ) y por tanto

=

 j 1

=

n

Ind j (z )

=

 j 1

=

N j Indγj (z )


139

∗ si z ∈ C \ , Ind (z ) = 0 por hipótesis, Ind (z) = 0 porque cuando z∈ / D (a ; R ) es Ind (z ) = 0 (1 ≤ j ≤ n ), y tenemos D (a ; R ) ⊆ ; ∗ si z ∈ A \ A , Ind (z ) = 0 por la definición de A ; y como para 1 ≤ j ≤ n / D (a ; R ), Ind (z ) = 0 , es D (a ; R ) ∩ A = {a }, igual que antes z ∈ Ind (z ) = 0; ∗ si z = a ∈ A , Ind (a ) = 1, Ind (a ) = 0 si j = m (a ∈/ D(a ; R )), luego Ind (a ) = N = Ind (a ). 

j

j

0

j

0

j

γj

j

0



j

j

j

j

γj

0

m

0

0

Como f 1 2π i

∈



m

γm

m

m

γj

m

m

j

j

m



H(

\ A), se sigue del teorema homológico de Cauchy que 1 1 f (z ) d z = f (z ) d z = N f (z ) d z . 2π i 2π i



∈H

Usando ahora que f

1 2π i

 

n

  j

0

j 1

=



D (a j 0, R j ) , 1

;

f (z ) d z γj

γj

≤ j ≤ n, del teorema de Laurent

= Res( f ; a ) j

con lo cual, finalmente, n

1 2π i

n

f (z ) d z





Ind (a ) Res( f a )

N Res( f a )

=  = j 1

=

j

;

j

j

=  j 1

=

Ind (a ) Res( f a )

; =

a A0

∈

j

;

j

Ind (a ) Res( f a ).

a A

∈

;

´ meromorfa en , Corolario 9.3. Sea  un abierto no vac ´ıo de C y f una funci on y sea A el conjunto de los puntos de  en los que f tiene polos. Para todo ciclo  ´ homologo a 0 respecto de  tal que A sop  se verifica

∩

1 2π i



f (z ) d z 

=

 a A

∈

=∅

Res( f a ) Ind (a ).

;

Esta es la versión que da Rudin, ob. cit., Teor. 10.24, pp. 254–255, con una l´ınea de demostración ligeramente distinta que se apoya en las partes singulares de f en los puntos de A 0 .

Inciso. Como se dice en Conway, ob. cit., p. 113, ‘el teorema de los residuos es una espada de dos filos; si se pueden calcular los residuos de una función, se pueden calcular ciertas integrales y viceversa. La mayor parte de las veces, sin embargo, se usa como un medio de calcular integrales. Para utilizarlo en esta dirección se necesita un método para calcular el residuo de una funcion’. ´

140


A veces, partiendo de desarrollos en serie conocidos, es posible determinar el desarrollo de Laurent o, al menos, su ficientes t e´ rminos del mismo, para averiguar el valor del residuo. No siempre esto es factible o, aunque lo sea, puede haber algún procedimiento más cómodo para hallar el residuo. Comencemos por examinar el caso a C. — Por supuesto, si a es una singularidad evitable de f , no hay necesidad de ningún cálculo: obviamente, Res( f a ) 0 en este caso. — Si a es un polo simple de f , habitualmente lo más fácil es usar que

∈

; =

Res( f a )

; = lim [(z − a ) f (z )] . → z

a

Sobre esta base, en cada caso particular se pueden aprovechar las caracter´ısticas propias de las funciones que se manejen; por ejemplo, si 1 / f es una función fácil de derivar en a (se sobreentiende, completada por continuidad en a con el valor 0), el l´ımite anterior es justamente el inverso de la derivada de 1/ f en a . — Si a es un polo de orden k de f , podemos tener en cuenta que, escribiendo el desarrollo de Laurent de f en a , se tiene evidentemente Res( f a )

; = lim → z

a



d k −1

1 (k



k 1

− 1)! d z −

(z

k

− a)

f (z )



,

que para k 1 se reduce a la fórmula anterior. A veces se encuentra esta expresión en forma simplificada

=

k 1

−

; = (k −1 1)! ddz − (z − a) f (z ) = , sobreentendiendo que (z − a ) f (z ) se completa en a por continuidad. Res( f a )

k 1

k

k





z a

En el punto del in finito: — Si para un R > 0 es f H( D (0 R , por

; +∞)) y definimos g ∈ H( D(0; 0, 1/ R ))

∈

g (z )

=

f

resulta

Res( f

1

z

,

g (z ) Res( f

porque si f (z )



=

∞

n



; ∞) = − Res

an z n en D (0 R ,

z2

;0



,

; +∞), hemos definido

=−∞

; ∞) = −a− ; pero g(z) =



∞

1

n

de 1/z en el desarrollo de g (z )/z 2 .



=−∞

a−n z n ,conloque a−1 eselcoe ficiente


141

— En situaciones especiales es más fácil recurrir a otro tipo de argumentos. Por H(C a1 ,..., an ) ejemplo, si f

∈

\{

Res( f a1 )

;

}

+ . . . + Res( f ; a ) + Res( f ; ∞) = 0. n

(Probarlo como ejercicio a partir del teorema de los residuos.)

9.4

´ AL C ALCULO ´ APLICACI ON DE INTEGRALES ´ DE SERIES Y A LA SUMACION

Ver Conway, ob. cit., pp. 113 y ss.; Palka, ob. cit., pp. 326 y ss. Para un tratamiento más amplio y sistemático, la referencia obligada en este tema es el librito de Mitrinović, ob. cit. De carácter enciclopédico es Mitrinović, D. S.; Ke cˇ kić, J. D.: The Cauchy Method of Residues. (Theory and Applications). Reidel, Dordrecht (1984), que incluye además una breve nota histórica sobre Cauchy y el desarrollo del cálculo de residuos.

9.5

´ DE CEROS APLICACIONES A LA LOCALIZACI ON

´ Teorema 9.4. (Principio del argume nto: forma ana l´ıtica). Sea f una funci on meromorfa en un abierto  con ceros aislados solamente. Denotemos con Z f el conjunto de ceros y con P f el conjunto de polo s de f . Para a Z f sea z f (a ) el orden de a como cero de f , y para a Pf sea p f (a ) el orden de a como polo de ´ f . Si  es un ciclo homologo a 0 respecto de  cuyo soporte no corta a Z f Pf , se verifica

∈

∈

1 2π i



f  (z ) 

f (z )

dz

=



∪

Ind (a ) z f (a )

a Zf

∈

−



Ind (a ) p f (a ).

a Pf

∈

Nótese que la integral está bien definida, ya que f y f  son continuas en sop  y f no se anula en sop  ; además, sólo hay un n u´ mero finito de ceros y polos que dan ıńdice no nulo, de modo que en realidad las sumas que aparecen se reducen a un número finito de sumandos.

´ . Si f tiene en a un cero de orden k , Demostracion f (z )

= (z − a )

k

g (z )

para alguna función g , holomorfa donde lo sea f , tal que g (a ) un entorno de a será g (z ) 0 y as´ı

= f  (z ) = k (z − a ) − g (z ) + (z − a ) f  (z ) k g  (z ) = + f (z ) z−a g (z ) k 1

k

g  (z ),

= 0; por tanto, en

142


en un entorno reducido de a en el que g  /g es holomorfa. Por consiguiente, f  / f tiene en a un polo simple con residuo igual a k . Análogamente, si f tiene en a un polo de orden p , en un entorno reducido de a es f ( z ) ( z a )− p g ( z )

= −

para alguna función g holomorfa sin ceros, de manera que

f  (z ) f (z )

= z−−pa + gg((zz))

y f  / f tiene en a un polo simple con residuo igual a

f / f

− p.

Pf , aplicando el Puesto que so´ lo puede tener singularidades en Z f teorema de los residuos se obtiene la conclusión del enunciado.

∪

Corolario 9.5. (Principio del argumento: interpretacion ´ geométrica). Sea f una ´ meromorfa en un abierto  con ceros aislados solamente. Sea  [γ ] un funcion ´ ciclo homologo a 0 respecto de , formado por un solo camino γ cuyo soporte no contiene ceros ni polos de f , y sea h un argumento continuo a lo largo del camino ´ del “transformado” f γ , con valor inicial h 0 y valor final h 1 . Con la notaci on teorema anterior, se verifica

=

◦



Ind (a ) z f (a )

a Zf

∈

−



Ind (a ) p f (a )

a Pf

∈

= Ind ◦

f γ (0)

= h 2−π h 1

0

.

´ . Basta tener en cuenta que Demostracion 1 2π i



f  (z ) γ

f (z )

dz

1

= 2π i



dw f γ

◦

w

= Ind ◦

f γ (0)

= h 2−π h 1

0

.

NOTA.

El nombre de “principio del argumento” proviene de este resultado; inforγ (t ) “recorre” γ , “se produce una variación continua del malmente, cuando z argumento” de f (z ) igual a 2π N , donde N es el entero del enunciado.

=

El principio del argumento puede utilizarse para averiguar el numero ´ de ceros de una funcion ´ anal´ıtica en un subconjunto del plano complejo. Veamos un ejemplo sencillo.

Ejercicio. Sea f H( D (0 R )), con R > 1, tal que e f (z ) > 0 si z 1. Entonces f no tiene ceros en D (0 1). [En efecto: si γ es la circunferencia unidad, sop( f γ ) no corta al semieje real negativo, por lo cual Ind f ◦γ (0) 0 en estas condiciones.]

∈

;

;

=

 ◦

||=


143

En la práctica, al aplicar el principio del argumento nos encontraremos frecuentemente con la siguiente situación: el ciclo  considerado tiene la propiedad G Ey de que para ciertos conjuntos disjuntos G y E se verifica C sop 

\

Ind (z )

 =

1 0

si z si z

= ∪

∈G ∈ E.

(Necesariamente G y E son abiertos, G acotado y E no acotado.) Como señalamos al comentar el teorema de la curva de Jordan, esto es lo que sucede cuando  es un ciclo formado por un solo camino cerrado simple orientado positivamente, pero inmediatamente mostraremos ejemplos de otro tipo. Para describir esta situacion ´ no hay en la literatura una denominación estándar. Nosotros nos referiremos a ella diciendo que  limita o encierra a G y que G es el recinto limitado o encerrado por  . Conforme a la nomenclatura empleada en el teorema de la curva de Jordan, se llama a G el interior de  y a sus puntos puntos interiores a  , mientras que E es el exterior de  y los puntos de E , los puntos exteriores a  . ∂ G para indicar que  limita o encierra Se emplea a veces la notación  a G.

=

Ejemplos. En las siguientes figuras, los ciclos de la primera fila encierran el recinto sombreado, mientras que los de la segunda no encierran ningún recinto.

(Gráficamente, se observa que el interior queda siempre “a la izquierda del recorrido”. Cf. Palka, ob. cit., p. 160.)

144

Teorema de los residuos. Aplicaciones. Con esta nomenclatura, podemos enunciar:

Corolario 9.6. Sea f H(),  un ciclo en  que limita un recinto G manera que sop  no contenga ceros de f . Entonces la integral

∈

1 2π i



f  (z ) 

f (z )

⊆  de

dz

´ es igual al numero de ceros de f interiores a  , contados según su multiplicidad. ´ . Aplicamos el principio del argumento, teniendo en cuenta que  Demostracion es homólogo a 0 respecto de  puesto que los z C  son puntos exteriores a  , que f no tiene polos en , que los ceros interiores a  tienen ´ındice 1 respecto de  , y los exteriores tienen ıńdice 0 respecto de  .

∈ \

El principio del argumento admite una versión más general:

´  con ceros z 1 , z 2 ,..., z n y polos Teorema 9.7. Sea f meromorfa en una region ´ su multiplicida d. Si g es anal´ıtica en  y  es un p1 , p2 ,..., pm contados segun ´ ciclo hom ologo a 0 respecto de  que no pasa por los cer os ni los polos de f , entonces 1 2π i

g



n

f f



m

g (z j ) Ind (z j )

=

 j 1

=

g ( pk ) Ind ( pk ).

−

 k 1

=

´ . Conway, ob. cit., Teor. 3.6, p. 124. Demostracion

Una consecuencia importante del principio del argumento es el teorema de Rouché, que permite la localización de ceros de funciones desconocidas a partir del número de ceros de funciones conocidas.

Teorema 9.8. (Teorema de Rouché). Sean f , g M(),  un ciclo en  que limita un recinto G  de manera que sop  no contenga ceros ni polos de f o de g. Si para todo z sop  es

⊆ ∈

∈

| f (z ) + g(z )| < | f (z)| + |g(z)|, entonces: ´ ´ su multiplicidad el numero de ceros de f interiores a  contados segun menos ´ ´ su multiplicidad el numero de polos de f interiores a  contados segun es igual ´ al numero de ceros de g interiores a  contados según su multiplicidad menos ´ el numero de polos de g interiores a  contados según su multiplicidad.


145

Obsérvese que la desigualdad del enunciado implica que f y g no pueden anularse sobre sop  .

´ . El conjunto 1 de los puntos de  que no son ceros ni polos de f Demostracion ni de g es un abierto que contiene a sop  . Definiendo 2

= {z ∈  : | f (z) + g(z )| < | f (z )| + |g(z)|}, 1

también 2 es un abierto que contiene a sop  . Además, para cada z

f (z )



f (z )

g (z )

f (z )

+1

< g (z )

  +

∈ , 2

1,

no podrá ser un número real no negativo. Si L es un logaritmo g (z ) holomorfo en C [0, ), F L ( f / g ) es una función holomorfa en 2 , por lo que ( f / g ) ( z ) 1 1 F  (z ) d z dz 0 2π i  2π i  ( f / g )(z ) f  (z ) g  (z ) 1 1 dz dz 2π i  f (z ) 2π i  g (z ) y basta aplicar el principio del argumento. con lo cual

\ +∞

=

= ◦



= =

NOTA.

 

−



La demostración anterior aparece en Glicksberg, I.: A remark on Rouché’s

theorem, Amer. Math. Monthly 83 (1976), 186–187. En los textos ‘tradicionales’ suele imponerse la hipótesis más fuerte

| f (z) + g(z )| < |g(z )| para z ∈ sop  , o, cambiando g por −g , | f (z) − g(z )| < |g(z )|,

quizá la más frecuentemente manejada en la práctica. Como muestra de cuál es la forma en que puede sacarse partido al teorema de Rouché en el estudio de los ceros de una función, veamos una nueva demostración del teorema fundamental del álgebra. Otros ejemplos, con interesantes comentarios, pueden verse en Palka, ob. cit., pp. 342 y ss.

Corolario 9.9. Si p (z ) z n según su multiplicidad).

a1 z n −1

= +

an , entonces p tiene n ra´ıces (contadas

+···+

´ . Puesto que p (z )/z n tiende a 1 cuando z tiende a , para algún R Demostracion será p (z ) 1 <1 zn R , es decir, p (z ) z n < z n . Por el teorema de Rouché, p (z ) siempre que z ha de tener n ceros interiores a ∂ D (0 R ).

∞

| |=

|



 − 

− | | | ;

146 9.6

Teorema de los residuos. Aplicaciones. VALORES LOCALES DE UNA ´ HOLOMORFA FUNCION

´ holomorfa en un abierto , z 0 , Definición 9.10. Sea f una funci on w0 f ( z 0 ), m N. Diremos que f aplica z 0 en w0 m veces [abreviado f (z 0 ) w0 m veces] o con multiplicidad m si z 0 es un cero de orden m de la función f (z ) w0 .

=

∈

∈

=

−

( m 1)

Equivalentemente, si f (z 0 )

(m )

= w , f  (z ) = · · · = f − (z ) = 0, f (z ) = 0. Evidentemente, si w = f (z ), f (z ) − w siempre tiene un cero en z . ¿Podrá afirmarse siempre, pues, que f (z ) = w m veces para algún m ∈ N? Un momento de reflexión permite concluir que no: nada impide, por ejemplo, que f sea constante en algún disco D (z ; r ) ⊆  (equivalentemente, que f sea constante en la componente conexa de  que contiene a z ), de manera que z no sea un cero aislado de la función f (z ) − w . Pero es claro que e´ sta es la única situaci o´ n excepcional en la que la respuesta es negativa: Para que f (z ) = w m veces para algún m ∈ N, es necesario y su ficiente que z sea un cero aislado de f (z ) − w (equivalentemente, que f no sea 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

constante en la componente conexa de  que contiene a z 0 .)

El siguiente resultado muestra que en el entorno de un punto en el que una función anal´ıtica f tome un valor w0 m veces, la función f alcanza los valores próximos a w0 justamente en m puntos distintos, “grosso modo” como lo hace la función g (z ) w0 ( z z 0 )m (ver Palka, ob. cit., pp. 344 y ss., donde se da a este teorema el nombre de branched covering principle , “el principio del espacio recubridor ramificado o cubierta ramificada”).

=

+ −

´ holomorfa en un abierto no vac´ıo arbitrario . Teorema 9.11. Sea f una funci on Sean z 0 , m N, f (z 0 ) w0 m veces. Entonces existen entornos abiertos V , W de z 0 y w0 respectivamente, tales que f (V ) W y cada punto w W w0 es imagen por f exactamente de m puntos distintos z 1 ,..., z m de V z0 . ´ Precisando mas: Tomemos cualquier disco D D (z 0 r ) tal que ( ) D , ( ) f (z ) w0 no se anula en D z0 .  ( ) f (z ) 0 para todo z D z0 Poniendo entonces

∈

∈

=

=

∈ \{ } \{ }

= ; \{ } ∈ \{ }

∗∗∗ ⊆ − ∗∗∗ =

= min{| f (z ) − w | : |z − z | = r } = d (w , f (∂ D)), W = D (w ; ), V = D ∩ f − ( W ) = { z ∈ D : | f ( z ) − w | <  }, 

0

0

0

0

1

0


147

se verifica: (1) W f ( V ); (2) para todo w w0 existen exactamente m puntos distintos z 1 ,..., z m W en V z 0 tales que f (z j ) w con multiplicidad 1, 1 j m.

=

∈ \{ }

\{ }

= ≤ ≤ ´ . Puesto que f (z ) = w m veces para algún m ∈ N, z será un cero Demostracion aislado de f (z ) − w . Si f  (z ) = 0, para algún disco D (z ; δ) ⊆  tiene que = 0 para todo z ∈ D \ {z }, ya que en caso contrario z ser´ıa un punto ser f  (z )  ı de acumulación de ceros de f  y f  se anulará en toda la componente conexa de  que contiene a z ; en consecuencia f (z ) = 0 para todo n ∈ N, contra la hipótesis de que f (z ) = w m veces para alg u´ n m ∈ N. Tanto en este supuesto = 0 (por continuidad de f  en tal caso), es posible entonces elegir como si f  (z )  un r > 0 de manera que si D = D (z ; r ), ∗ D = D ( z ; r ) ⊆ ; ∗ f (z ) − w no se anula en D \ {z }; ∗ f (z ) = 0 para todo z ∈ D \ {z }. Tomemos cualquier r en las condiciones anteriores. Poniendo como en el enunciado  = min{| f (z ) − w | : |z − z | = r }, obviamente  > 0 y para W = D (w ; ), V = D ∩ f − (W ) = {z ∈ D : | f (z ) − w | < }, es claro que W y V son abiertos, w ∈ W , z ∈ V , V ⊆  y f ( V ) ⊆ W . 0

0

0

0

0

0

0

0

(n )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

Para completar la demostración basta, pues, probar que para todo w W w0 z0 . existen m ceros simples distintos de f (z ) w en V Pero f (z ) w0 tiene exactamente m ceros en D (z 0 contado m veces), y para todo z ∂ D

∈

−

−

\{ }

∈ \{ }

|( f (z) − w) − ( f (z) − w )| = |w − w | <  ≤ | f (z ) − w |, luego por el teorema de Rouché f (z ) − w tiene m ceros (no necesariamente distintos 0

0

0

en principio) z 1 ,..., z m en D . Estos puntos están en V , pues

| f (z ) − w | = |w − w | < , j

0

0

y son ceros simples, ya que

( f (z )

por ser z j

∈ D \ { z }.

− w) (z ) = j

f  (z j )

1

≤ j ≤ m,

= 0

0

También puede afirmarse que el abierto V del enunciado es conexo. Como no necesitaremos esta propiedad de V , no la probamos; hay una demostración en Palka, ob. cit. , pp. 345–346, seguida de unos comentarios muy ilustrativos que desentrañan la “estructura geométrica local” de f en el entorno de z 0 . NOTA.

Las aplicaciones tales que cada elemento de la imagen tiene exactamente m antiimágenes suelen denominarse “aplicaciones m 1”. Por esta razón en algunos textos el teorema anterior recibe el nombre de “teorema m 1”. Con esta nomenclatura, podemos reescribirlo en la siguiente forma:

→

→

148


´ holomorfa en , z 0 , Corolario 9.12. Sea  un abierto de C , f una funci on m N, f (z 0 ) w0 m veces. Entonces existen abiertos V , W , tales que ; z0 V f (V ) W (y, en particular, w0 W ); f :V z0 W w0 es suprayectiva y m 1. ´ podemos Si convenimos en que w0 tiene z 0 como antiimagen m veces, tambi en poner f :V W es suprayectiva y m 1.

∈

∈ = • ∈ ⊆ • = • \{ }→ \{ } •

→

∈

→

 → + −

Hay variantes de este teorema que reflejan de forma “anal´ ıtico-algebraica” la semejanza local de f (z ) con w0 (z z 0 )m . Por ejemplo:

´ holomorfa en , z 0 , Proposición 9.13. Sea  un abierto de C , f una funci on ´ m N, f ( z 0 ) w0 m veces. Entonces existen un abier to V y una func i on ϕ H( V ) tales que z0 V ; f (z ) w0 [ϕ(z )]m (para todo z V ); la derivada ϕ  no tiene ceros en V y ϕ es una aplicación invertible de V sobre un disco D (0 r ).

∈

∈ = ∈ • ∈ ⊆ • = + • ;

∈

´ . Ver Rudin, ob. cit. (Teor. 10.32, p. 245). Demostracion El ejemplo siguiente ilustra en una situación concreta los conjuntos que intervienen en la demostración del teorema m 1.

→

Ejemplo. Sea 

= C \ {0}, f ∈ H() definida por f (z )

= z + 1z ,

z0 1, w0 f (z 0 ) 2. Comprobar que f toma el valor 2 en 1 dos veces, y ver para qu e´ valores de r > 0 se consigue, si D D (z 0 r ), que D ; f (z ) w0 no se anule en D z 0 ; f  (z ) 0 para todo z D z 0 . Para tales r , hallar  min f (z ) w0 : z z 0 r . Dibujar, para algún valor de r , los conjuntos

= = ∗ ⊆ ∗ −= Jr

=

=

;

∈ \ \{ { } } = {| − | | − | = }

= { f ( z ) : | z − z | = r }, 0

K

= { z : | f ( z ) − w | =  }. 0


149

Respuesta. f  (z )

= 1 − z1 = 0 ⇐⇒ z = 1 o z = −1, 2

f  (1) = 2  = 0. Además

y

− w = (z −z 1)

f (z ) luego las condiciones Para estos r , 

2

,

0

∗ se verifican exactamente para losr tales que 0 < r < 1.

= min{| f (z) − w | : |z − z | = r } = min 0

0

| − | z

1

2

 | − |= =

: z

|z |

r

1

que es una función de r creciente en (0, 1), de modo que 0 <  < Para dibujar Jr , tengamos en cuenta que it

|z − z | = r ⇐⇒ z = z + r e = 1 + r e 0

0

it

,

1 2

r2 1

+r,

.

t

∈ [0, 2π ],

,

t

y as´ı

f (z )

+re = z + 1z = 2 + (z −z 1) = 2 + r 1 +e2r cos t +r 2

2it

2

it

2

∈ [0, 2π ],

expresión que permite describir paramétricamente con comodidad e f (z ), m f (z ). Para dibujar K  , comencemos por observar que



f (z )

= z + 1z = w ⇐⇒ z = 12

que para w

 + − 

it

,t

z

= 1 + 2 e ± 12

= 2+e

w2

w

it



 4 eit



 − −  w2

w

+ bi = x + i y

+e

2i t

.



  + √ +  = ± ⇐⇒  = ± − + √ + = x

a

= 12

o´ z

∈ [0, 2π ], supone, abreviando la notación,

Recordando que

√

4



y

sig x y

a2

a

2

a

a2

2

sig b ,

b2

,

b2

,

4 ,

150


vamos a parar a

  −

e z = 1 + 2 cos t ± 12 m z = 2 sen t ± 12



2



4 cos t

4 cos t

2

 +  + +

+  cos2 t +

−  cos2 t

16

16

8 cos t

8 cos t

+

+

2

2





con los signos combinados para que el signo del producto coincida con el de 4 sen t  sen 2t (4 2 cos t ) sen t , t [0, 2π ], que es igual al signo de sen t . As´ı quedan las gráficas de K  y Jr para r 2/3:

±= +

+

∈

=

f

−→ 1

1

0.5

0.5

0

0.5 x

1

1.5

-0.5

2

0

1.5 x

2

2.5

3

3.5

-0.5

y

y

-1

-1

K

Jr

NOTA.

Algunos programas de ordenador permiten obtener gráficos animados que muestran, de manera espectacular, la evolución de los conjuntos K  y Jr según var´ıa r .

9.7

TEOREMA DE LA APLICACI ON ´ ABIERTA

Corolario 9.14. (Teorema de la aplicaci on ´ abierta). Sea  un abierto de C, f ´ holomorfa en  no constante en ninguna componente conex a de . una funci on Entonces f es abierta. En particular, f () es un abierto de C; y si  es una región, f () también es una región.


151

´ . Recordemos que f es abierta cuando la imagen f (U ) de cada Demostracion  es un abierto en C . abierto U Sea, pues, w0 f (U ) y tomemos z 0 U de modo que f (z 0 ) w0 . Aplicando el teorema m 1 en z 0 a la restricción de f a U , encontramos abiertos V , W tales que z 0 V U , w0 W f (V ) f (U ), y as´ı w0 es interior a f (U ).

⊆

∈ → ∈ ⊆

∈ ⊆

∈ =

=

El teorema de la aplicación abierta permite dar nuevas demostraciones de resultados conocidos.

´ holomorfa Corolario 9.1 5. (Principio del m ódulo máximo). Sea f una funci on no constante en ninguna componente conexa de un abierto  de C. Entonces f ´ no puede tener un maximo local en ningún punto de .

| |

´ . Por ser f abierta, dado z 0 Demostracion  y D (z 0 R ) , si w0 f (z 0 ) f ( D (z 0 R )) con infinitos puntos w para los que resulta existe un disco D (w0 r ) f (z 0 ) w0 < w f (z ) , z D (z 0 R ).

; ⊆ ; | =| | | |=| | ∈

|

∈

;

⊆

=

;

Ejercicio. Sea f una función holomorfa en una región  y supongamos, por ejemplo, que ( e f )3 m f . Entonces f es constante. ´ : f () no puede ser abierto en C al estar contenido en el conjunto [Indicacion x iy : x, y R x3 y .]

 = ∈ ; = }

{ +

(Tenemos as´ı otra “explicación” de resultados obtenidos como consecuencia de las condiciones de Cauchy-Riemann.)

9.8

´ INVERSA TEOREMAS DE LA FUNCI ON

´ holoTeorema 9.16. (Teorema global de la func ion ´ inversa). Sea f una funci on morfa e inyectiva en un abierto no vac´ıo . Entonces f () es abierto; f −1 : f ()  es continua; f  (z ) 0 para todo z ; f −1 es holomorfa en f (), y para cada w0 f () es

• • • •

→

=

∈

∈

 

f −1  (w0 )

donde z 0

=

=

1 , f  (z 0 )

f −1 (w0 ).

´ . Como f es inyectiva, no es constante en ninguna componente Demostracion conexa de , con lo que f será abierta y por ello f () es abierto y f −1 es continua.

152


Si en algún punto z  fuese f  (z ) 0, tendr´ıamos f (z ) w m veces, con m 2; en consecuencia, la restricción de f a algún entorno V de z ser´ıa m 1, contra la inyectividad de f . Por u ´ ltimo, el teorema de derivabilidad de la función inversa en un punto es as´ı aplicable en cada punto de f (), de manera que f −1 H() ya que f −1 es derivable en cada punto de f (), y su derivada viene dada, como ya sab´ ıamos, por la fórmula del enunciado.

∈

≥

=

=

→

∈

´ holomorfa sea inyectiva es condicion ´ necesaria Observación. Para que una funcion pero no su ficiente que la derivada no se anule en ningún punto. Por ejemplo, la función exponencial tiene derivada no nula en todos los puntos sin ser inyectiva. ıproco Tal como sucede en el caso de funciones de varias variables reales, en el rec´ so´ lo se llega a un resultado local, que es una ligera mejora del “teorema 1 1”.

→

´ holomorfa Teorema 9.17. (Teorema local delafunción inversa). Sea f una funci on en un abierto no vac ´ıo arbitrario . Sean z 0 , w0 f (z 0 ), f  (z 0 ) 0. Entonces existen entornos abiertos V , W de z 0 y w0 respectivamente, tales que f aplica biyectivamente V sobre W y ( f V )−1 : W V es holomorfa en W. ´ Precisando mas: Tomemos cualquier disco D D (z 0 r ) tal que ( ) D ,

∈

=

∗ ⊆ (∗∗) f (z ) − w no se anula en D \ {z }. Poniendo entonces 0

=

| ;

=

→

0

= min{| f (z ) − w | : |z − z | = r } = d (w , f (∂ D)), W = D (w ; ), V = D ∩ f − ( W ) = { z ∈ D : | f ( z ) − w | <  }, 

0

0

0

0

1

0

se verifica: (1) f : V W biyectivamente;  (2) f (z ) 0 para cada z V ; (3) ( f V )−1 : W V es holomorfa.

|

→ =

→

∈

Demostracion ´ . Nótese que siempre existen discos D D (z 0 r ) para los que se cumplen las hipótesis ( ) y ( ), pues en caso contrario encontrar´ıamos una f (z 0 ) sucesión de puntos z n  z 0 con l´ımite z 0 de manera que f (z n ) w0 para todo n , y resultar´ıa f  (z 0 ) 0. (1) Evidentemente f (V ) W , luego para probar que f aplica biyectivamente V sobre W basta ver que para cada w W existe un z V y so´ lo uno tal que f (z ) w , o equivalentemente, que para cada w W el número de ceros de la función f (z ) w en V sea 1.

∗ ∗∗ ∈ \{ } = ⊆

=

−

=

;

=

∈

∈

∈

=


153

Tomemos, pues, w W D (w0 ). Por hipótesis, el número de ceros de f (z ) w0 en D es exactamente 1, y si γ es la circunferencia de centro z 0 y radio ∂ D, r orientada positivamente, para cadaz sop γ

∈

=

; − ∈ = |( f (z) − w) − ( f (z) − w )| = |w − w | <  ≤ | f (z ) − w |, luego por el teorema de Rouché f (z ) − w tiene un cero simple en D , que estará 0

en V porque si f (z )

w, f (z )

0

w0

0

w0 <  .

w

(2) Como la restricción de f a V es inyectiva, f no es constante en ninguna componente conexa de V , con lo cual f es abierta. Denotando por comodidad con f −1 la inversa de la restricción de f a V , esto signi fica que f −1 : W V es continua y, de paso, implica queV es conexo por serlo W . Si aplicamos el teorema global de la función inversa, necesariamente f  (z ) 0 para todo z V . (3) Basta tener en cuenta que, según acabamos de ver, f −1 : W V es continua y f  (z ) 0 para los z V .

= |

− | =| − |

→

=

=

∈

∈

→

´ holoTeorema 9.18. (Rep resentaciones de la función inversa). Sea f una funci on morfa en un abierto no vac´ıo arbitrario . Sean z 0 , w0 f (z 0 ), f  (z 0 ) 0. Consideremos un disco D D (z 0 r ) tal que ( ) D , ( ) f (z ) w0 no se anula en D z0 .

∗

=

⊆

∈

;

=

=

Sea, como antes,

∗∗

−

\{ }  = min{| f (z ) − w | : | z − z | = r } = d (w , f (∂ D )), W = D (w ; ), V = D ∩ f − ( W ) = { z ∈ D : | f ( z ) − w | <  }. 0

0

0

0

1

0

Llamando γ a la circunferencia de centro z siempre que w w0 <  se verifica

0

y radio r orientada positivamente,

| − |

f −1 (w)

(1)

1

f − (w)

(2)

f −1 (w)

(3)

z f  (z )

 − ;  =   −      = + = 2π1 i

f (z )

γ

∞

1

n 0

2π i

=

z0

∞

serie) .

=

z

dz

z f  (z )

γ

1

( f (z )

d n −1

n −1 = n! d z

n 1

donde ψ (z )

w

−z f (z ) − w 0

0

w0 )n +1 d z

ψ ( z )n

z z0

=

n

(w

−w ) ;

(w

−w ) ,

0

0

n

(f ormula ´ de Lagrange para la inversión de una

154


´ . El ciclo formado por γ es homólogo a 0 respecto de : los puntos Demostracion de D son los u´ nicos con ´ındice no nulo respecto de γ . (1) Dado w W D (w0 r ), hemos probado anteriormente que hay un D (z 0 r ) tal que f (a ) w . Además, para cada z ∂ D es u´ nico punto a D

∈ = ; ∈ = ; = | f ( z ) − w | ≥  > |w − w |, luego a es el u ´ nico punto en D para el que f (a ) = w . 0

∈

0

Por consiguiente, la función

g (z )

z f  (z )

=

f (z )

−w

es meromorfa en , no tiene singularidades sobre sop γ y a es la u ´ nica singularidad con ıńdice no nulo ( 1) respecto de γ . Aplicando el teorema de los residuos,

=



1 2π i

z f  (z ) f (z )

γ

− w d z = Res(g; a ).

Puesto que lim [(z

z

→a

− a ) g(z)] = lim → z

a





z

− a z f  (z ) = f (z ) − f (a )

1

a f  (a ) = a , f  (a )

g tiene en a un polo simple (o una singularidad evitable si a caso, Res(g a ) a y as´ı

; =

1



z f  (z )

= 0); en cualquier

− − w d z = a = f (w). (2) Teniendo en cuenta que si z ∈ sop γ , entonces | f (z )−w | ≥  > |w −w |, desarrollando en potencias de w − w el integrando de (1) e integrando término a término como de costumbre obtenemos la igualdad deseada. (3) Integrando por partes, para n ≥ 1 resulta z f  (z ) dz 1 1 dz = + ( f (z ) − w ) ( f (z ) − w ) 2π i 2π i n 2π i

γ

1

f (z )

0

0

0



0

γ



n 1

0

γ

n

y esta u´ ltima integral podemos calcularla a través del teorema de los residuos, pues el integrando presenta una u´ nica singularidad en z 0 , que es exactamente un polo de orden n , y as´ı 1 2π i n



dz γ

( f (z )

1



1



− w ) = n Res ( f (z ) − w ) ; z − = n1 (n −1 1)! ddz − ( f((zz )−−z w) ) 0

n

0

n 1

n

  n 1

0

0

n

0

n



. z z0

=

Teorema de los residuos. Aplicaciones. z

C, f ( z ) Ejemplo. Sea  f (z ) w0 0 so´ lo para z cumple ( ) y ( ). Como

=

∗

=

155

= z e , z = 0, w = f (z ) = 0. En este caso = 0, luego para cualquier r > 0 el disco D(z ; r )

=

0

0

0

0

∗∗  = min{| f (z ) − w | : |z − z | = r } = min{|z e | : |z | = r } = min{r e : |z| = r } = r e− , 0

z

0

ez

r

el valor máximo para  se obtiene si r 1, en cuyo caso  e−1 . − 1 D (0 1) se halla muy fácilmente El desarrollo en serie de f : D (0 1/e) por el método de Lagrange, pues ahora ψ (z ) e−z y

=;

d n −1

    = − ψ (z )n

d z n −1

con lo cual

f −1 (w)

→ =

n 1

z z0

=

= (−1) −

∞

( 1)n −1 n n −1

n 1

n!

=

;

wn ,

=

n n −1 ,

|w| < 1e .

(La serie tiene radio de convergencia 1/e ). NOTA. En Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable (Vol. II).

Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1965), p. 94 y ss., pueden verse ejemplos muy interesantes de aplicaciones de la f´ ormula de Lagrange al estudio de los ıa excéntrica. polinomios de Legendre y de la ecuación de Kepler para la anomal´

9.9

EJERCICIOS RESUELTOS

Comenzaremos por aplicar el teorema de los residuos al cálculo de una integral real.

Ejercicio. Estudiar la existencia y, en su caso, calcular el valor de

+∞

x sen x 2

dx.

−∞ x 4 x 20 Respuesta. El integrando es una función (llamémosle g ) definida y continua en todo R. Sin embargo no es una función integrable-Lebesgue en R, pues si lo fuese sen x lo ser´ıa también (comparando por cociente) la función , que ya sabemos que x no es integrable-Lebesgue en R. La integral tiene sentido como integral impropia, convergente por el criterio de Abel: “si ϕ es una función impropiamente integrable en un intervalo (a , b ) y



+ +

156




b

ψ es una función monótona y acotada en dicho intervalo, a ϕ ψ es convergente”. sen x x2 ϕ ψ para ϕ(x ) En nuestro caso: g , ψ (x ) ; puesto x x 2 4x 20 4x ( x 10) que ψ  (x ) y lim x →±∞ ψ ( x ) 1, ψ está acotada en R y es (x 2 4x 20)2 monótona en (0, ), ( , 10); por la convergencia de la integral de ϕ en ambos intervalos, g es impropiamente integrable en los mismos, y es integrable (es continua) en [ 10, 0]. Ensamblando estos resultados, obtenemos que g es

=

=

+ + + +∞ −∞ −

=

=

=

+ +

−

impropiamente integrable en R. ´ que la inDe todas formas, los cálculos que haremos a continuación probaran tegral tiene sentido al menos como valor principal, es decir, que existe lim R



R

→+∞ − R

g.

La función f definida por iz

f (z )

= z +z4ez + 20 2

es meromorfa en C, y sus u ´ nicas singularidades son los polos simples p1 p2 2 4i .

=− −

iR

γR

Si  R es el ciclo formado por el camino γ R ψ R , donde (ver figura) γ R : t [0, π ] γ R (t ) R eit C, ψR : t [ R, R] ψ R (t ) t C, siempre que R > p1 20 será  R un ciclo hom o´ logo a 0 en C para el que Ind R ( p1 ) 1, Ind R ( p2 ) 0. Podemos as´ı aplicar el teorema de los residuos para obtener

∪

∈ → = ∈ ∈− → √= ∈ | |= = =

1 •

-R ψR

O 2

= −2+ 4i ,

R

•

z ei z



R

f

→ (z − p ) (z − p )(z − p ) = 2π i Res( f ; p ) = 2π i lim = 2π i 12 + 4i e− − = − 12 + i π e− − . 1

 

z

4 2i

1

p1



1



4 2i

Pero



f R

  = + f

γR

f ψR

  = +

R

f

γR

f (x ) d x ,

−R

2


157

√

y puesto que lim R →+∞ ( R 2 4 R 20) , existirá un R0 > 20 tal que, para 2 todo R > R0 , R 4 R 20 > 0; siempre que R > R0 podremos poner, pues,

 

 =  −  

−

π

f

− −

π

it

 ≤       =  − −   =  =  = it

f ( R eit ) R dt

f ( R e ) Ri e dt

0

γR

= +∞ 0

π

2

π

2

≤ R −R4·RR− 20 e dt R 4RR 20 Dado que para t ∈ (0, π ) es →+∞ lim e− 0 y e− 1 ∈ L ([0, π ]), por el teorema de la convergencia dominada i R eit

2

0

R sen t

e− R sen t dt . 0

R sen t

R

1

e−

R sen t

< e

0

=

π

R

e− R sen t dt

lim

→+∞

0.

0

(En la mayor parte de los textos, este resultado, conocido como lema de Jordan, se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotaci´ on π π 2t (1 e − R sen t dt e R ), deducida de la desigualdad sen t para R π 0 π 0 t .) 2 Como consecuencia,



≤

−

≥

≤ ≤

R lim

 

→+∞

f

γR

= 0,

lo que permite deducir la existencia y valor del l´ımite V.P.



+∞

f (x ) d x

−∞

=

R

lim

R

→+∞ − R

f (x ) d x



= − 12 + i



π e −4−2i

y de aqu´ı



+∞ −∞

x sen x x2

+ 4x + 20

dx

= m

  V.P.

+∞ −∞

f (x ) d x

=

(cos2

+ 12 sen2 ) π e− . 4

En el próximo ejercicio aplicaremos el teorema de Rouché y el principio del argumento para localizar ceros de un polinomio en conjuntos de distinto tipo.

Ejercicio. Hallar el número de ceros que tiene el polinomio

P (z )

3

2

= z − (1 + 2i ) z − (3 − 7i ) z + 8 − 4i 1 en la corona D (0; 1/2, 5) = {z ∈ C : < |z | < 5}. 2 ¿Cuántos de ellos están en el semiplano superior H  = {z ∈ C : m z > 0}? ¿Cuántos de ellos están en el semiplano inferior H  = {z ∈ C : m z < 0}? ¿Por qué?

158

Teorema de los residuos. Aplicaciones. 3

Respuesta. Sea g (z )

= z , z ∈ C. Si |z | = 5, | P (z ) − g(z)| = | − (1 + 2i ) z − (3 − 7i ) z + 8 − 4i | √ √ √ ≤ |1 + 2i | · 5 + |3 − 7i | · 5 + |8 − 4i | = 3 · 25 + 58 · 5 + 80 < 3 · 25 + 8 · 5 + 9 = 113 < 125 = |z | = | g (z )|, 2

2

3

con lo cual: P (z ) y g (z ) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la circunferencia z C : z 5 ; podemos aplicar el teorema de Rouché para concluir que P y g tienen el mismo número de ceros (contados según su multiplicidad) en el interior de dicha circunferencia, es decir, 3. 1 Sea ahora h (z ) 8 4i , z C. Si z , análogamente 2

• •

{ ∈

| |= }

= −

| P ( z )−h ( z )

3

∈

| |=

2

  √   √ |≤ + + 1

5

2

1 2

58

1 2

<

1 8

+ 14 ·3+ 12 ·8 < 5 < |8−4i | = |h (z)|,

con lo cual: P (z ) y h (z ) son funciones holomorfas en todo C que no se anulan sobre la 1

•

circunferencia z C : z 2 ; podemos aplicar el teorema de Rouché para concluir que P y h tienen el mismo número de ceros (contados según su multiplicidad) en el interior de dicha circunferencia, es decir, 0. En consecuencia, P (z ) tiene 3 ceros en la corona D (0 1/2, 5). (Puesto que a lo más puede tener 3 ceros en C, se sigue que todos los ceros de P quedan dentro de la corona). Para ver cuántos de ellos están en H  bastará, pues, averiguar simplemente cuál es el número N de ceros que tiene P en H  . Como el polinomio P tiene un número finito de ceros, si M es el máximo de los módulos de todos ellos, los N que estén en H  quedarán en el interior del ciclo  R formado por el camino γ R ψ R , donde (ver figura)

{ ∈

•

| |= }

;

∪

it

γR •

γ R : t [0, π ] Re C; ψR : t [ R, R] t C, y R es cualquier valor mayor que M . Por consiguiente, dado que P es holoC y trivialmente  R morfa en  0 (C), si P no se anula en el soporte de  R , podemos hallar N aplicando la versión geométrica del principio del argumento.

∈∈ − → → ∈∈

iR

=

• -R

•

ψR

O

R•

∼


159

Comprobemos que P no se anula en sop  R . Por la elección de R , es obvio que P no se anula en el soporte de γ R ; tampoco se anula en el soporte de ψ R , como se vió en el Cap´ıtulo 5, Sección 5.4. As´ı pues, siempre que R > M se tendrá

= Ind

N

P (γ R ψ R ) (0),

◦ ∪

y en consecuencia también

N

=

R

lim Ind P ◦(γ R ∪ψ R ) (0),

→+∞

que nos llevará más fácilmente al cálculo de N . Es inmediato comprobar (¡comprobar!) que P (γ R ψ R ) ( P γ R ) ( P ψ R )  arg( P γ R )  arg( P ψ R ). Aplicando el y que  arg( P (γ R ψ R )) razonamiento del final de la Sección 5.4 a nuestro polinomio P ,

◦

∪

=

R

◦ ∪ +

◦

lim ARG P ( R ei t )

→+∞ 0≤t ≤π

= ◦ ∪ ◦ ◦

= 3π.

También se probó entonces que si ψ R )(t )

x (t ) :

e (P

y (t ) :

= m ( P ◦◦ ψ

R )(t )

e P (t )

t3

t2

3t

8,

==m P (t )== −−2t +−7t −+4, 2

se obten´ıa, para valores “suficientemente grandes” de R , ARG ( P

− R ≤t ≤ R

◦ψ

R )(t )

= π + arc tg xy (( RR )) − arc tg xy ((−− RR )) ,

de donde se sigue que R

lim

ARG ( P

→+∞ − R ≤t ≤ R

◦ψ

R )(t )

= π,

lo que unido a lo anterior permite concluir que 2π N

= 2π ·

→+∞ Ind P ◦(γ R ∪ψ R ) (0) = 3π + π

R lim

= 4π,

es decir, que N 2. Como P tiene 3 ceros, ninguno de ellos real, esto implica que el número de ceros de P en H  es necesariamente 1.

=

-—oOo—-

Variable Compleja

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