Variables Aleatorias Continuas

Univer Uni versid sidad ad T´ ecnica ecn ica Federic Feder ico o Santa San ta Mar´ Mar´ ıa Departament Depart amento o de d e Matem´ M atemática atic a

Profesor: Ronny Vallejos

Variables Aleatorias Continuas Especiales Distribuci´ on on Uniforme Definici´ on on 1. Sea X Sea X una una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [a, [ a, b], donde

on de densidad de probabilidad está dada por a, b son finitos. Si la función 1

f X X (x) =

b

[a,b] a,b] (x),

− a I

entonce entoncess diremos diremos que X distribuci´ón on uniforme con parámetros ametros a y b y anotaremos X tiene una distribuci X U [ U [a, b].

∼ ∼

∼ ∼ U [a, b]. Entonces

Teorema 1. Sea X Sea X

1. F X X (x) =

x−a + I ]b,+ a,b] (x) + I b,+∞[ (x). b−a I [a,b]

2.

E[X ]

=

a+ b 2 .

3.

V[X ]

=

(b−a)2 12 .

Demostraci´ on. on. Las demostracoines son el resultado de integración on directa.

1. Note que

x

F X X (x) =



x

f X dt = X (t)dt =

a

−∞

≥

Si x Si x b entonces F entonces F X X (x) = 1. 2.

b

E[X ]

=

 a

3. Similarmente, b

V[X ]

=

 a



b

−a

=

x b

− a , x ≤ b. −a

+ b xdx a + b = . 2 b a

−

x2 dx b a

−

dt

  − + b a + b 2

2

=

(b

2

− a) . 12

Observaci´ on o n 1. Una variable variable aleatoria uniforme representa representa la analog´ analog´ıa continua continua a los resultados

igualment igualmentee probables probables en el sentido sentido siguiente: siguiente: Para Para cualquier cualquier subinterv subintervalo alo [c, [ c, d] a c d b, d dx d c P[c = X d] = . a b a c b

≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤



−

⊂ [a, b] donde

− −

Esta probabilidad sólo olo depende de la distancia entre c y d. Luego d. Luego cualquier intervalo de longitud [ a, b] tiene asociada la misma probabilidad. d c dentro del intervalo [a,

−

Observaci´ on o n 2. Podemos entonces en virtud de la observación on anterior, decir que si elegimos

un punto al azar proveniente de una población on uniforme, todos los puntos del intervalo tienen la misma chance misma chance de de ser elegidos.

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1

Mayo, 2014

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ ıa Departamento de Matemática


Ejemplo 1. Un punto se elige al azar sobre el segmento de l´ınea [0, 2]. ¿Cu´ al es la probabilidad

de que el punto escogido quede entre 1 y 3/2? Supongamos que la variable X U [0, 1]. Entonces se nos pide

∼

3/2

P[1

≤ X ≤ 3/2] =

 1

dx 1 = . 2 4

Ejemplo 2. Un programa de TV dura en total una hora y un espectador impaciente puede cambiar

de canal en cualquier momento. Supongamos que el tiempo que el espectador sintoniza un canal preferido es una variable aleatoria X con función de distribución acumulada dada por:

F X (x) =

 

0 x < 0 x 0 x 1 x 1.

≤ ≤1 ≥

a. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el espectador sintonice la mayor parte del programa? b. Si el espectador sintonizó la mayor parte del programa, ¿Cuál es la probabilidad de que

apague la TV o cambie de canal en los u ´ ltimos 10 minutos? a. Note que la probabilidad pedida es P[X

b. Nos piden P[5/6

> 1/2] = 1

− P[X − ≤ 1/2] = 1 − F (1/2) = 1/2. X

≤ X ≤ 1] = 1/6 = 1 . ≤ X ≤ 1/X > 1/2] = P[5/6 1/2 3 P[X > 1/2]

Una aplicación muy importante de la distribución uniforme es la generación de n´ umeros aleatorios. Los algoritmos congruenciales para la generaci´ o n de n´ umeros pseudoaleatorios son una herramienta bastante popular. Definici´ o n 2. Un generador congruencial se define como

X i = (aX i 1 + c) mod M , −

donde a, c y M son constantes en Z y X 0 se llama semilla (seed) y se us para inicializar el algoritmo. La sucesión generada pertenece al rango 0, 1, 2, . . . , M 1 . Luego calculamos

{

− }

U i =

X i . M

{ }

La secuencia de variables U i proviene de una distribución U [0, 1]. Observaci´ o n 3. La elecci´ on apropiada de las constantes a, c y M determinan el per´ıodo de la

secuencia. Se desea que el per´ıodo sea grande para que los números no se repitan.

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2

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Observaci´ on 4. Si c = 0, el generador

X i = aX i

1

−

mod M

se llama generador congruencial multiplicativo. Ejemplo 3. Considere el generador congruencial definido como

X i = (5X i 1 + 3) mod 16, X 0 = 7, X i U i = . 16 Obtenga los 5 primeros números de la secuencia U i . −

{ }

Note que

0 mod 16 = 0, 1 mod 16 = 1, 2 mod 16 = 2, .. . 15 mod 16 = 15, 16 mod 16 = 0, 17 mod 16 = 1, .. . 32 mod 16 = 0, 33 mod 16 = 1, = X 1 = (5X 0 + 3) mod 16 = 38 mod 16 = 6. = U 1 = 6/16 = 0.3750. = X 2 = (5 6 + 3) mod 16 = 33 mod 16 = 1. = U 2 = 1/16 = 0.0625.

⇒

⇒

×

⇒ ⇒

Siguiendo este esquema, obtenemos finalmente U 3 = U 4 = U 5 = U 6 =

0.50, 0.06875, 0.6250, 0.3125.

Observaci´ on 5. El generador RANDU (IBM) es un generador congruencial multiplicativo definido

por: X i+1 = 65539 mod 231 , X i U i+1 = 31 . 2 Este generador ha sido implementado en algunos programas computacionales como Matlab y R. MAT-043

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Observaci´ o n 6. En Matlab el comando rand(m, n) genera una matriz de dimensión m

números pseudoaleatorios U 0, 1]. Por ejemplo, el comando

× n con

X=rand(100,1) hist(X)

genera 100 números pseudoaleatorios U [0, 1]. Un histograma puede ser usado para chequear visualmente si la distribución subyacente es uniforme. Observaci´ on 7. En R se puede usar el comando

X=runif(100,0,1) hist(X)

para realizar el mismo proceso descrito en Matlab. Observaci´ on 8. El siguiente código en R produce la figura que se muestra a continuación:

X=runif(100,0,1) Y=runif(500,0,1) Z=runif(10000,0,1) par(mfrow=c(1,3)) hist(X) hist(Y) hist(Z)

Histogram of X

Histogram of Y

Histogram of Z

4 1

0 5

0 0 5

0 4

0 0 4

2 1

0 1

8

y c n e u q e r F

y c n e u q e r F

y c n e u q e r F

0 3

0 0 3

6

0 2

0 0 2

0 1

0 0 1

0

0

4

2

0

0.0

0.2

0.4

0.6

n=100

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0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

n=500

4

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

n=10000

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Distribuci´ on Gama, Exponencial y Normal

∞[. Si

Definici´ on 3. Sea X una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [0 , +

la función de densidad de probabilidad está dada por xα 1 e x/β I [0,+ [ (x), α > 0, β > 0, Γ(α)β α −

f X (x) =

−

∞

∼

entonces diremos que X tiene una distribución gama con parámetros α y β y anotaremos X Γ(α, β ).

La distribución gamma es muy flexible en cuanto a su forma. Los par´ ametros α y β dan cuenta de esta propiedad.

∼ Γ(α, β ). Entonces

Teorema 2. Sea X

1. F X (x) =

x tα−1 e−t/β 0 Γ(α)β α dt (No



2.

E[X ]

= αβ.

3.

V[X ]

= αβ 2 .

existe una representaci´ on anal´ıtica sencilla)

Demostraci´ on. Las demostraciones son el resultado de integración directa usando el hecho que



∞

xα 1 e −

x/β

−

dx = Γ(α)β α .

0

Observaci´ o n 9. Podemos recordar algunas propiedades de la funci´ on gama que son u ´ tiles en el

cálculo de momentos asociados a esta distribución. 1. Γ(α + 1) = αΓ(α).

∈ N, entonces Γ(n) = (n − 1)!. √ ) = π.

2. Si n 3. Γ( 12

∼ Γ(α, β ), entonces

Teorema 3. Sea X

β ν Γ(ν + α) E[X ] = . Γ(α) ν

Definici´ o n 4. Sea X una variable aleatoria con distribució n Γ(α = 1, β ). Entonces se dice que

X tiene una distribución exponencial con parámetro β. Es claro que la función de densidad de probabilidad de la distribuci´ on exponencial es f X (x) =

1 e β

x/β

−

,x

≥ 0, α > 0.

Algunas consecuencias inmediatas del Teorema 1 son establecidas en el siguiente resultado.

∼ Exp(β ). Entonces

Teorema 4. Sea X MAT-043

5

Mayo, 2014


1.

E[X ]

= β.

2

V[X ]

= β 2 .

3. F X (x) = 1

−e

x/β

−


.

Teorema 5. (P´ erdida de Memoria de la Distribuci´ on Exponencial) +

∼ Exp(β ). Entonces para todo s, t ∈ R

Sea X

P[X

tal que t < s se tiene

> s/X > t] = P[X > s

− t].

Demostraci´ on. P[X

> s/X > t] =

P[X

∩

> s X > t] P[X > s] = = e P[X > t] P[X > t]

(s−t)/β

−

= P[X > s

− t].

Ejemplo 4. Supongamos que la duraci´ on en horas de una bater´ıa es una variable aleatoria expo-

nencial con parámetro β = 50. a. ¿Cu´ al es la probabilidad de que una bater´ıa dure menos de 200 horas si se sabe que la bater´ıa

funciona más de 100 horas? b. ¿Cu´ al es la probabilidad de que de un grupo de 8 bater´ıas dos deban reponerse antes de 150

horas? Soluci´ on.

∼ E xp(β = 50).

a. Definimos la variable X = tiempo de duraci´ on de la bateria. Entonces X

Luego nos interesa la probabilidad P[X

< 200/X > 100] =

X < 200] e 2 e = P[X > 100] e 2

P[100 <

−

−

−

4

−

.

b. Definimos otra variable aleatoria Y =cantidad de circuitos que duran menos de 150 horas.

Entonces calculamos la probabilidad de éxito p = P [X < 150] = 1 Luego bajo independencia asumimos que Y P[Y =

2] =



−e

3

−

= 0.95.

∼ Bin(n = 8, p = 0.95). Entonces nos piden

8 0.952 0.056 = 3.94 2

× 10

7

−

.

Recordemos que una distribución muy usada en ingenier´ıa es la distribuci´ on de Poisson. Una relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial es la siguiente: Sea X (t) la cantidad de eventos que ocurren en el intervalo [0 , t] y T el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos. Si X (t) Poisson(θt), entonces T Exp(θ).

∼

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∼

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Definici´ o n 5. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad dada por

f X (x) =

1 √ 2πσ e

−

(x−µ)2 2σ2

I R (x),

entonces diremos que X tiene una distribución normal con parámetros µ y σ 2 . Anotaremos X (µ, σ2 ).

∼

N

Observaci´ o n 10. En el caso particular en que µ = 0 y σ = 1, la variable aleatoria X se llama

N (0, 1)

variable aleatoria normal (Gausiana) estándar. Note que la densidad de una distribución está dada por x2 1 f X (x) = e 2 I R (x). 2π

√

−

√

Observaci´ on 11. La derivaci´ on de la constante 1/ 2π que acompa˜ na la densidad normal puede

obtenerse v´ıa integración directa usando una integral doble, un cambio a coordenadas polares y las propiedades de la función gama. El siguiente resultado establece la relación entre una variable

2

N (µ, σ ) y una variable N (0, 1).

2

∼ N (µ, σ ). Entonces

Teorema 6. Sea X

Z =

X

− µ ∼ N (0, 1).

σ

Demostraci´ on. La demostraci´ on de este resultado requiere el teorema de transformación, el cual

veremos más adelante en este curso. Este resultado permite calcular las probabilidades de la distribución normal usando una tabla para la distribución normal estándar. Si definimos la funci´ on de distribución acumulada de la distribuci´ on normal estándar como sigue: z

Φ(z ) =



√ 12π e

−

−∞

t2 2

dt

entonces P[a

≤ X ≤ b] = P[(a − µ)/σ ≤ (X − µ)/σ ≤ (b − µ)/σ] = P[[(a − µ)/σ ≤ Z ≤ (b − µ)/σ] = Φ[(b − µ)/σ] − Φ [(a − µ)/σ] .

·

La función Φ( ) está tabulada, luego, la probabilidad de un evento puede ser encontrada usando una tabla o una rutina computacional. Valores t´ıpicos para la función Φ son los siguientes Φ(z ) z 0 0.5 1.645 0.95 1.96 0.975

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Algunas Propiedades 2

∼ N (µ, σ ).

Sea X 1.

E[X ]

= µ.

2.

V[X ]

= σ 2 .

3. X es simétrica con respecto a µ.

{

}

4. µ = argmaxx f X (x) .

± σ.

5. f X (x) tiene dos puntos de inflexión, x = µ 6. La variable Z =

X −µ σ

∼ N (0, 1)

7. Si µ = 0, entonces p

E[X

]=



0, σ p ( p

−

p impar 1)!!, p par

· ·

donde (n)!! denota el factorial impar. Por ejemplo 5!! = 1 3 5 = 15 6. Si µ = 0, entonces γ 1 = 0 (el sesgo es cero). 9. Si µ = 0, entonces γ 2 = 0 (curtosis es cero). 10. La funci´ on de distribución de X no tiene una expresión anal´ıtica sencilla. x

F X (x) =



−∞

1 e 2πσ

√

−

(t−µ)2 2σ2

dt.

Observaci´ on 12. Recordemos que la función de distribuci´ on de una variable aleatoria

·

denotamos por Φ( ) y está dada por z

Φ(z ) =



−∞

√ 12π e

−

t2 2σ2

N (0, 1) la

dt.

−

Esta función ha sido evaluada para valores en el intervalo [ 3, 3] y puede ser encontrada en tablas. Tambi´ en existen rutinas computacionales que permiten una rápida evaluación de Φ( ).

·

∼ N (0, 1). Calcular

Ejemplo 5. Si Z a.

P[Z

b.

P[

3.

P[Z

< 1/2].

−1/2 < Z < 1/2]. > 5.2].

Soluci´ on. a.

P[Z

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Tabla

< 1/2] = Φ(1/2) = 0.6915. 8

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b.

−1/2 < Z < 1/2] = Φ(1/2) − Φ(−1/2)

P[

c. Claramente

P[Z


Tabla

= 0.6915

− 0.3085 = 0.383.

> 5.2] = 0.

∼ N(1, 4), calcular P[1 ≤ X ≤ 3].

Ejemplo 6. Si X Soluci´ on. P[1

≤ X ≤ 3]

Est.

=

P

− 1

1

2

≤ 2− 1 ≤ 3 −2 1 X



= Φ(1)

− Φ(0)

Tabla

= 0.84134

− 0.5 = 0.34134.

Ejemplo 7. Los puntajes de la PSU parte matem´ atica pueden modelarse usando una variable

N (µ = 586, σ

aleatoria

2

= 702 ). Determine bajo este modelo

a. ¿Cu´ al es la probabilidad de obtener un puntaje superior a 800 puntos? b. ¿Qué porcenta je de estudiantes obtiene un puntaje mayor o igual a 600 puntos en matem´ atica? c. Si elegimos aquellos estudiantes que pertenecen al 5% de los mejores puntajes. ¿Cu´ a l es el

puntaje de corte? Soluci´ on. a. Sea X =puntaje en la PSU parte matemática. Supongamos que

∼ N (µ = 586, σ

X

2

= 702 ).

Entonces P[X

> 800] = P



X

− 586 > 800 − 586 70

70

b.

≥ 600] = 1 − P

P[X



Z<



− 586 ] = 1−P[Z < 3.06] −P[Z < 800 70

=1

600

− 586

70



=1

− P[Z < 0.2]

Tabla

= 0.0001.

Tabla

= 0.4207.

c. Sea c el punto de corte. Entonces planteamos la probabilidad P[X

> c] = 0.05 P[X c] = 0.95 c 586 = 0.95 P Z 70 c 586 Φ = 0.95 70 c 586 Tabla = 1.65 70 = c = 1.65 70 + 586 = 701.5.

⇐⇒ ≤ ⇐⇒ ≤ − ⇐⇒ − ⇐⇒ − ⇒ ×

 

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9





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Ejemplo 8. Un fusible de 16 amperes se considera bueno cuando funciona en el rango de 14 a 17

amperes; se ha observado que un 5% de las veves que se fabrica un fusible se funde a 14 amperes y sólo el 1% lo hace a 17 amperes. Calcular la probailidad de que al probar 10 fusibles a lo más 3 de ellos no estén buenos. 2

∼ N (µ, σ ).

Soluci´ on. Sea X = intensidad a la cual un fusible se funde. Supongamos que X

Se sabe que

≥ 14] = 0.05

P[X P[X

> 17] = 0.01

De estas dos ecuaciones obtenemos que 14

− µ = 1.645

σ 17 µ = .99 σ De donde encontramos que µ = 6.742 y σ = 4.412. Luego,

−

2

∼ N (6.742; (4.412) ).

X

{ ≤ X ≤ 17}. Entonces 14 − µ −Φ P[A] = Φ σ

Sea el evento A = 14

   − 14

µ

σ

= 0.99

− 0.95 = 0.04.

Esta es la probabilidad que un fusible esté bueno. Ahora definamos la variable Y = número de fusibles malos en una muestra sin reposición de tama˜ no 10 extra´ıda del total (100 fusibles). Sabemos que P[Ac ] = 0.96. Luego Y

∼ Hip(100, 96, 10)

Queremos calcular 3

P[Y



≤ 3] =

f Y (y)

y=0

Note que el recorrido de la distribución hipergeométrica es el siguiente:

{

{ − (M − N )}, . . . , min{n, M }} = {6, . . . , 10}.

Rec(Y ) = max 0, n Por lo tanto P[Y

≤ 3] = 0.

Teorema de Cambio de Variables Teorema 7. Sea X una variable aleatoria continua con una funci´ on de densidad de probabilidad

dada por f X (x), x

∈ A. Sea

Y = g(X )

una funci´ on diferenciable y 1-1. Entonces la funci´ on de densidad de probabilidad de Y es: dg 1 (y) = f X (g (y)) f Y (y) I g(A) (x). dy 1

−

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

10

−



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Este teorema permite encontrar la densidad de funciones de variables aleatorias de nuestro interés.

∼ U [0, 1]. Consideremos Y = − ln(X ). Determine f (y), E[Y ] y V[Y ]. Note

Ejemplo 9. Sea X

que

Y

f X (x) = I [0,1] (x). También note que g(X ) =

− ln(X ) es diferenciable y 1-1. Entonces dg 1 (y) y = dy −

1

g (y) = e −

y

−

y

−e

−

.

Por el teorema de transformación tenemos que = f X (e y ) f Y (y) −

y

−  e

−

I (0,+

) (y)

∞

= e y I (0,+ −

) (y).

∞

∼ Exp(1), entonces E[Y ] = 1 y V[Y ] = 1. Ejemplo 10. Sea X ∼ N(µ, σ ). Encuentre la densidad de la variable X − µ Z = . Claramente Y

2

σ

Esta es una función lineal, por lo tanto es diferenciable y 1-1. Luego

||

f Z (z ) = f X (zσ + µ) σ I R (z ) =

∼ N (0, 1).

√ 12π e

z 2 /2

−

I R (z )

Luego Z

∼ Γ(1/2, 2). Considere la transformación Y = √ X. Encuentre la función de

Ejercicio 0.1. Sea X

densidad de la variable Y.

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