Variables Aleatorias Tercera semana Zulima Ortiz B 2 de noviembre de 2010
1. Variabl ariable e Aleato Aleatoria ria Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral Ω) de un experimento aleatorio no son valores númericos, hasta Por ejemplo, si un experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire, para observar el número de caras (C) y sellos (S) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio seria: Ω = CCC, CCC , CC CCS S, CSC, CSC , CSS, CSS , SCC, SCC , SCS, SCS , SSC, SSC , SSS .
{
}
En el Cálculo de Probabilidades resulta más fácil utilizar valores númericos en lugar de trabajar directamente con los elementos de un espacio muestr muestral al como como el anteri anterior or.. Asi, Asi, se prefi prefier eree identi identifica ficarr los suces sucesos, os, CSS, CSS , SCS, SCS , SSC con el valor númerico 1 que representa el número de caras obtenidas al realizar el experimento.
{
Definición 1. Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.
X:Ω ξ
−→ −→ X(ξ )
Las variables aleatorias se denotan con letras mayúsculas, como X, Y. Las letras minusculas se usan para denotar el posible valos de la variable aleatoria. 1
}
En el ejemplo anterior del lanzamiento de las monedas se puede definir la variable aleatoria X número de caras
≡
X (CCC ) = 3 X (CCS ) = X (CSC ) = X (SCC ) = 2 X (CSS ) = X (SSC ) = X (SCS ) = 1 X (SSS ) = 0 Ejemplo 1. Un Call center tiene 58 lineas télefonicas, en el transcaurso del día se observa que las líneas están ocupadas lluego si se define la variable aleatoria X como el número de lineas ocupadas, a lo largo del día X podrá tomar cualquier valor entre [0,58] Ejemplo 2. Un lote de 500 partes de un artículo, que contiene 10 que no cumple las especificaciones.
1. Del lote se van sacando los artículos, sin reemplazo, hasta que se obtiene uno que no cumple las especificaciones. La variable aleatoria es el número de partes seleccionadas. 2. Si se escoge una muestra del lote de tamaño 15, y contamos el número de artículos defectuosos en la muestra, la variable aletoria es el numero de unidades defectuosas en la muestra. En general para estudiar una v.a no solo hay que conocer los valores que puede tomar, sino que tambien es necesario conocer la probabilidad con la que toma esos valores. Es decir es de interés saber cuál es la probabilidad de que una variable aleatoria tome algún valor partícular. Definición 2. Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango finito o infinito contable. El rango de X es de la forma
X = 0,1,2
{
··· ,}
Cuando se trata de variables aleatorias discretas, en muchas ocaciones interesa la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor partícular. Ejemplo 3. En un proceso de fabricación de partes moldeadas en plástico interesan dos procesos, la coloración y la reducción de tamaño. Una corrida de producción arroja la información del espacio muestral y las probabilidades que aparecen en la tabla.
2
coloración reducción tamaño Probabilidad x aprobado aprobado 0.64 2 aprobado no aprobado 0.16 1 no aprobado aprobado 0.16 1 no aprobado no aprobado 0.04 0 determinar P X = 1 = 0,16 + 0,16 = 0,32
{
}
Definición 3. El evento que está formado por todos los resultados para los que X = x se denota X = x , y la probabilidad de este evento P X = x
{
}
{
}
2. Función Masa de Probabilidad, Función de densidad Discreta Definición 4. Sea X una variable aleatoria real discreta convalores x 1 , x2 todos diferentes. la función f x , definida en R, mediante:
f x ( x) =
P( X = xi ) six = x1 , x2 0 en otro caso
···
···
Recibe el nombre de función de densidad de una variable aleatoria discreta (fmp) Ejemplo 4. Supóngase que se lanza un dado corriente una vez, sea X la variable aleatoria que indica el resultado obtenido. él rango de X es 1,2,3,4,5,6 y la función de densidad es
f x ( x ) =
P ( X = xi ) = 0
3
1 6
six = 1, 6 en otro caso
···
Esta función cumple las propiedades 1. f X ( x)
≥ 0, ∀x ∈
2. f x = P( X = x) 3. ∑ xi ∈ DX f X ( x) = 1 Ejercicio 1. Un grupo de partes moldeadas se clasifica de acuerdo con su longitud, de la siguiente manera
longitud 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Número de partes 0 3 10 25 50 18 16 2 Sea la variable aleatoria X como la longitud de una parte moldeada al azar 1. determine la función de probabilidad de X 2. Realice una gráfica
3. Distribución de la Variable aleatoria, Función de distribución acumulada Definición 5. La función de Ditribución (FDP) de una v.a X es la función
FX ( x) = P X
{ ≤ x} = ∑ x ≤x P(x = xi ) i
Ejemplo 5. Experimento: Lanzar una moneda legal dos veces Ω = cc, cs, sc, ss
Para ω
{
∈ Ω sea x(ω) el número de caras asi: 4
}
X (cc ) = 2, X (cs ) = X (sc ) = 1, X (ss ) = 0 Construir la FDP X −1 ( ∞, x ] =∅, si
x 0 − X −1 (−∞, x ] ={ss }, si 0 ≤ x 1 X −1 (−∞, x ] ={ss, sc, cs }, si 1 ≤ x 2 X −1 (−∞, x ] ={ss, sc, cs, cc }, si x ≥ 2 FX ( x) = PX (( −∞, x]) se tiene <
<
<
FX ( x) =
0 1/4 3/4 1
si x si 0 si 1 si x
<
≤ ≤ ≥
0 x<1 x<2 2
En general la distribución de probabilidad o simplemente distribución de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de valores posibles de X, el rango de X, junto con la probabilidad Para la variable aleatoria discreta X la función de distribución acumulada (FMP) satisface las siguientes propiedades 1. FX ( x) = P( X
≤ x) = ∑ x ≤x P(x = xi ) i
≤ FX (x) ≤ 1 3. Si x ≤ y, entonces FX ( x) ≤ FY ( y) 2. 0
Ejemplo 6. Sea X una variable aleatoria discreta con fmp dada por
f x ( x) = P( X = x ) =
5
1 7 3 7 3 7
0
si x = 2 si x = 12 si x = 2 en otro caso
− √
Determinar la función de distribución de la variable aleatoria
Fx ( x) =
≤− − ≤ √ 12 ≤√ 2 ≥
si x 2 si 2 x si 12 x < si x 2
0 1 7 4 7
1
<
La función de probabilidad acumulada proporciona como su nombre lo dice probabilidades hasta un cierto valor. es importante observar que aunque la variable aleatoria tome solo valores enteros, la función de distribución acumulada puede definirse para valores no enteros Dada una v.a X las propiedades probabilísticas están determinadas por la función de distribuciónFX ( x ). A veces sólo es necesario conocer algunos valores númericos ligados a las variables aleatorias, dentro de estos valores tenemos la esperanza matemática y la varianza. La esperanza nos dice alrededor de que valor se sitúa la variable (centro de gravedad) y la varianza nos proporciona la dispersión de la misma. Además de estos valores existen los diferentes momentos.
3.1. Valor Esperado Sea X una v.a discreta, con soporte DX = x1 , x2 ,...xn ..., X posee un valor esperado si ∑ xi p( X = xi ) < ∞ i
| |
En este caso se define el valor esperado Definición 6. Sea X una v.a discreta, con soporte D X = x1 , x2 ,...xn ... con f.m.p P( X = x), se define el valor esperado de X
E( X ) = ∑ xi p( X = xi ) i
Notacion: E( X ), EX, µ, µ X , X.
3.2. propiedades del Valor Esperado Sea X un v.a real 6
1. Si P( X
≥ 0) = 1 y EX existe, entonces EX ≥ 0
2. Ek=k, para cada constante k 3. E(α g( X ) + βh( X )) = α E( g( X )) + β E( h( X )) 4. si g( x)
≤ h(x) y g(X),h(X) son variables aleatorias, entonces E( g( X )) ≤ E( h( X ))
Definición 7 (Varianza).
Var ( X ) = E( X
− EX )2 = EX 2 − (EX )2
4. Variables Aleatorias Discretas Uniforme Decimos que una v.a tiene una distribución uniforme discreta sobre el conjunto de números x1 , x2 ,...xn si la probabilidad de que X tome cualquiera de estos valores es la misma, 1/n. Está distribución surge en espacios de probabilidad equiprobables, es decir en situaciones en donde tenemos n resultados diferentes y todos ellos con la misma probabilidad de ocurrencia. Escribimos X unif x1 , x2 ,...xn
{
}
∼
P( X = x ) =
{
}
1/n si x = x1 , x2 ,...xn 0 en otro caso
7
4.1. Distribución de Bernoulli En un experimento en donde se tienen sólo dos posibles resultados llamados éxito o fracaso, con probabilidades p y 1 p respectivamente, se define la v.a X como aquella función que lleva el resultado éxito al número 1 y el resultado fracaso al número 0, entonces decimos que X tiene distriución Bernoulli con parámetro p (0, 1) y escribimos X Ber( p)
−
∈
px (1 P( X = x ) = 0
∼
− p)1−x
si x = 0, 1 en otro caso
4.2. Distribución de Binomial Supongamos que se tiene una serie de experimentos independientes Bernoulli en donde la probabilidad de éxito en cualquiera de los ensayos es siempre la misma p, en este caso el experimento aleatorio consiste en realizar sucesivamente n ensayos de Bernoulli, si se denota e el éxito y f el fracaso se define la v.a X como aquella función que cuenta el número de éxitos en cada sucesión, entonces decimos que X tiene distriución Binomial con parámetros n, p y escribimos X Bin(n, p) P( X = x ) =
∼ (nx) px (1 − p)1− x
0
8
x=0,1..
4.3. Distribución Géométrica Supongamos que tenemos una sucesión de ensayos independientes Bernoulli, pero infinita. Para cada uno de los resultados de esta sucesión infinita definimos la variable aleatoria X como el númeno de fracasos antes de obtener el primer éxito. por ejemplo: X ( fe f fe f f ..) = 1, X (ef fe f f ..) = 0, X ( f f fe f f ..) = 3, se observa que X puede tomar los valores 0, 1, 2..., y la probabilidad de X tome el valor x es p(1 p). decimos que X tiene una distribución geométrica, X geo( p)
−
∼
p(1 P( X = x ) = 0
− p)x
si x = 0,1,2... en otro caso
4.4. Distribución de Poisson Sea X la v.a que cuenta el número de ocurrencias de un evento en el intervalo de tiempo dado. Suponemos que conocemos la tasa media de ocurrencias del evento de interés, que se denota con la letra λ este parámetro es positivo y se interpreta como el número promedio de ocurrencias del evento, por unidad de tiempo. Decimos entonces que X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ, X P(λ)
∼
P( X = x ) =
λx x x! e
−
0
9
si x = 0,1,2... en otro caso
función de densidad
Función de distribución
4.5. Aproximación de una Binomial a una Poisson Sea X
∼ B(n, p), y supongamos que λ = np entonces X ≈ P(λ) n! P( X = k ) = pk (1 − p)n−k (n − k)!k!
− −
n! = (n k)!k! n ( n 1) =
λ n (n
k
− − ··· − nk
λ n k 1 n k + 1) λk (1 λ/n)n k! (1 λ/n)k
− −
Ahora para n grande y p pequeño n
− ≈− 1
λ n
e
λ
n( n
− 1) · · · (n − k + 1) ≈ 1, nk
P( X = k )
≈
k
− ≈ 1
λ n
1
λk −λ e k!
4.6. Distribución Binomial negativa Suponemos una sucesión infinita de ensayos tipo Bernoulli, y definimos la v.s X que cuenta el número de fracasos antes de obtener el r-ésimo éxito, entonces decimos que X tiene distribución binomial negativa con parámetros r, p y la escribimos X Bin Neg( p, r) P( X = x ) =
∼
(r+ xx−1) pr (1 0 10
− p)x
si x = 0, 1 en otro caso
5. Ejercicios 1. Un lote de fusibles con 10 % de piezas defectuosas. Si se extrae al azar 4 fusibles del lote, calcular la probabilidad de que sólo un fusible esté defectuoso. Calcular la probabilidad de que por lo menos un fusible en la muestra este defectuoso. 2. En el ejemplo anterior supóngase que los 4 fusibles se extrajeron del lote se enviaron a un cliente antes de probarlos, con garantía. Supóngase también que el costo de hacer efectiva la garantía está dado por C = 3X2 , donde X es el número de piezas defectuosas en el envió de cuatro. Calcular el costo esperado de reparación. 3. Una industria suministra un producto químico a 10 piezas manufactureras. La probabilidad de que cualquiera de las plantas llame y haga un pedido en un determinado día es de o.2, y es la misma para las 10 plantas. Calcular la probabilidad de que un día determinado, el número de plantas que llamen para hacer un pedido sea a) cuando mucho 3. b) cuando menos 3 y c) exactamente 3. 4. Una empresa de reclutamiento encuentra que 30 % de los aspirantes para determinado puesto en la industria tiene conocimientos avanzados de programación. Se entrevista a los aspirantes uno a uno, para lo cual se seleccionan al azar de entre el grupo. Calcular la probabilidad de que el primer aspirante con conocimientos avanzados de programación sea el quinto entrevistado. 5. Sea Y el número de entrevistas en la que se encuentra el primer aspirante con entranamiento avanzado. Suppongase que el primer aspirante que se encuentra se le ofrece el puesto, y que el aspirante acepta. Si cada entrevista cuesta 30000, calcular el valor esperado y la varianza del costo total esperado hasta que se ocupe el puesto.
11
