Variables aleatorias y distribuciones

1.1 VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES En esta unidad el objetivo será modelar los experimentos aleatorios mediante una función que tenga la capacidad para medir la ocurrencia de eventos aleatorios mediante probabilidades. Comúnmente los eventos de interés son aquéllos identificados por números, denominados eventos numéricos, por ejemplo: un médico se interesa en el evento de que ocho pacientes tratados se curen con determinado medicamento, un agrónomo se interesa en el evento de la cantidad de maíz que se cosechará en su tierra para el próximo año, una agencia de autos se interesa en el evento del número de vehículos que será vendido en este año, un fabricante de bombillas está interesado en el tiempo de duración de la bombilla, etc. Para estudiar los eventos numéricos que presentan aleatoriedad, es necesario comprender el concepto de variable aleatoria pues éste permite describir de manera numérica los eventos asociados a un experimento. Cuando se emplean variables aleatorias, la probabilidad de ocurrencia de los eventos será descrita mediante un modelo probabilístico. Definición. Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada elemento del espacio muestral de un experimento. El conjunto de valores que la variable aleatoria asigna a estos elementos del espacio muestral, se conoce como recorrido, rango o valores posibles de la variable y será denotado por RX. Los valores que puede asignar la variable aleatoria son aleatorios pues dependen de la ocurrencia de los eventos en el experimento. Las variables aleatorias comúnmente se denotan por una letra mayúscula como X, Y ó Z. Una vez que se ha llevado a cabo el experimento, el valor resultante de la variable aleatoria se denota por una letra minúscula digamos x, y o bien z. Ejemplo Considérese el experimento de lanzar dos monedas. En la unidad anterior se mostró que el espacio muestral está formado por . Defínase la variable aleatoria X: El número de águilas obtenidas en los dos lanzamientos. Obsérvese que X({ss})=0, X({as})=1, X({sa})=1 y X({aa})=2. De esta manera, los valores que se obtiene de la variable aleatoria X son: 0, 1 y 2 por lo que el recorrido de X es RX={0,1,2}. Ejemplo Se lanza un dado dos veces. El espacio muestral del experimento está formado por las parejas de todos los posibles resultados de cada uno de los lanzamientos, es decir, es

Defínase la variable aleatoria X: Valor de la suma de los números obtenidos en los dos lanzamientos. Se puede observar que, en cada lanzamiento el valor más pequeño que se puede obtener es uno y el valor más grande es seis, entonces la suma de los resultados de los lanzamientos puede valer desde dos hasta doce, es decir, el rango es:

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RX={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Además la variable aleatoria X puede asignarle el mismo valor a diferentes elemento del espacio muestral, por ejemplo: el valor 7 del rango, proviene de los elementos del espacio muestral: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1). Ejemplo En una ciudad hay interés en realizar un estudio respecto a las personas que tienen diabetes. El experimento consiste en aplicar pruebas a personas hasta encontrar al primero con diabetes. El espacio muestral del experimento es S = {D, ND, NND, NNND, NNNND, …} pues la primera persona a la que se le detecta diabetes puede ser a la primera a la que se le aplicó la prueba, o a la segunda a la que se le aplicó la prueba y así sucesivamente. Si se define la variable X: Número de personas a las que se le aplica la prueba hasta detectar la primera con diabetes Entonces el rango de X es RX={1,2,3,4,…}. Notar que el rango es infinito pero numerable. Ejemplo Se fabrica una bombilla y se prueba su duración poniéndola en un portalámparas. El experimento consiste en anotar el tiempo transcurrido hasta que se quema. El espacio muestral es infinito no numerable pues S es igual al intervalo [0,). Lo más estudiado en este tipo de experimentos es la variable X: tiempo de duración de la bombilla En este caso, el rango de la variable aleatoria X es el mismo que el espacio muestral, esto es, a cada elemento simple X le asigna el mismo valor, es decir: RX= [0,) Obsérvese que en los primeros tres ejemplos anteriores se han considerado espacios muestrales numerables (finitos o infinitos) y el cuarto corresponde a un espacio muestral infinito no numerable. Así que las variables aleatorias son clasificadas de la misma manera que los espacios muestrales, es decir, pueden ser discretas (espacios muestrales numerables) y continuas (espacios muestrales no numerable). Definición. Una variable aleatoria es discreta si su rango es finito o infinito numerable. Definición. Una variable aleatoria es continua si su rango es un intervalo de los números reales. Ejemplo Las siguientes variables aleatorias son discretas: 1. El número de alumnos que aprobarán el curso de probabilidad. 2. El número de bits transmitidos con error. 3. El número de personas enfermas en un hospital Ejemplo Las siguientes variables aleatorias son continuas: 1. El tiempo que dura una pila alcalina.

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2. El peso máximo de una persona en toda su vida. 3. La velocidad a la que viaja un auto. En estos ejemplos se puede ver que cada uno de los valores de la variable aleatoria está asociado a uno o varios eventos simples: 1. En el ejemplo del número de águilas obtenidas en los lanzamientos de las dos monedas, si X=0 significa que en los dos lanzamientos no se obtuvo águila, es decir, el resultado de los dos lanzamientos fue el evento {ss}; si X=1 entonces en los dos lanzamientos se obtuvo sólo un águila por lo que el evento asociado es {as,sa}; finalmente si X=2 entonces se obtuvieron dos águilas, es decir, el evento {aa}. Así los eventos asociados a los lanzamientos, se presentan en la tabla siguiente: X Evento 0

{ss}

1

{as,sa}

2

{aa}

2. En el ejemplo, donde X representa la suma de los números obtenidos en los dos lanzamientos de un dado, los eventos asociados a cada uno de los valores de la variable se presentan en la siguiente tabla: X

Evento

2

{(1,1)}

3

{(1,2),(2,1)}

4

{(1,3),(2,2),(3,1)}

5

{(1,4)(2,3),(3,2),(4,1)}

6

{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

7

{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}

8

{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}

9

{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}

10

{(4,6),(5,5),(6,4)}

11

{(5,6),(6,5)}

12

{(6,6)}

Esta asociación entre variables aleatorias y eventos, permite calcular las probabilidades de cada uno de los valores de la variable X vía los eventos como se muestra a continuación: 1. En el ejemplo de lanzar dos monedas, la probabilidad de que la variable X sea cero es la probabilidad del evento asociado al valor cero, es decir, que se haya obtenido {ss} en los lanzamientos, por lo que P(X=0)=P({ss})=1/4. Los resultados para X=1 y X=2 se calculan análogamente y se muestran en la siguiente tabla

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X Evento Probabilidad 0

{ss}

¼

1

{as,sa}

½

2

{aa}

¼

2. En el ejemplo de lanzar un dado dos veces, donde X representa la suma de los números obtenidos en los dos lanzamientos, la probabilidad de que X sea dos es la probabilidad del evento asociado es decir, {(1,1)} por lo que P(X=2)=P({(1,1)})=1/36. También, como el evento asociado a X=3 es {(1,2),(2,1)} se tiene que P(X=3)=P({(1,2),(2,1)})=2/36=1/18. Análogamente a los casos anteriores se construye la tabla de probabilidades para los valores de X X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 Se concluirá este tema haciendo énfasis en que, una de la característica que tiene la variable aleatoria es que a cada elemento simple del espacio muestral le asigna un único valor numérico, sin embargo cada valor del rango de X puede representar a varios eventos simples del espacio muestral. Esto se ilustra en el ejemplo de lanzar dos monedas y considerando X como el número de águilas que se obtienen en los lanzamientos; a cada evento del espacio muestral se le asigna un número Evento Número asignado X {ss} 0 {sa} 1 {as} 1 {aa} 2 En la tabla anterior también se puede notar que el evento simple del espacio muestral asociado al valor X=0 es {ss} mientras que el valor X=1 tiene asociados los eventos simples {as} y {sa}. Otra características de las variables aleatorias es que el evento asociado a un valor de la variable aleatoria X es ajeno al evento asociado a otro valor de la variable y la unión de los eventos asociados a todos los valores de la variable aleatoria es igual al espacio muestral. Se ilustra lo anterior mediante el ejemplo de lanzar dos monedas. Ya se sabe que los eventos asociados a cada valor de X son: X Evento 0

{ss}

1

{as,sa}

2

{aa}

Es muy claro que el evento asociado al valor X=0 es excluyente del evento asociado a X=1 y del evento asociado a X=2, también los eventos asociados a X=1 y X=2 son excluyentes. Además, la unión de los eventos asociados a X=0, X=1 y X=2 es el espacio muestral . Debido a lo anterior, una variable aleatoria define de manera precisa a un espacio muestral, por lo cual, la probabilidad de los eventos puede medirse a través de la variable aleatoria. La importancia del empleo de una variable aleatoria radica en lo siguiente:

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1. En muchas ocasiones por no decir en la mayoría, los espacios muestrales se vuelven laboriosos de listar y hasta complejo de representar como una lista. La variable aleatoria indica a través de un número el resultado de un experimento sin necesidad de hacer el listado de los eventos simples asociados a ese número y como consecuencia se puede obtener la probabilidad del evento de interés utilizando técnicas de conteo para conocer el número de eventos simples asociados a ese número. 2. Cuando el espacio muestral es continuo, las variables aleatorias permiten mediante modelos probabilísitcos calcular las probabilidades de los eventos. El formalismo del modelo probabilístico para este tipo de variables queda fuera de los límites del curso.

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1.2 FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN A partir de este tema no se hará énfasis en el espacio muestral del experimento pues al considerar los valores de la variable aleatoria éste queda definido de manera implícita.

Variables aleatorias discretas Sea X una variable aleatoria discreta, como se mencionó en el tema anterior, los valores de esta variable representan al espacio muestral y por consiguiente se tiene el interés de medir las probabilidades de los elementos del rango o recorrido de X. Las probabilidades de los eventos relacionados con la variable aleatoria serán medidas a través de una función que describe el comportamiento del rango de la variable. Esta función recibe el nombre de función masa de probabilidad. La función masa de probabilidad para una variable aleatoria X cuyo recorrido es cumple las siguientes condiciones: 1. 2. 3.

, para toda para toda x diferente de .

,

La función representa la probabilidad del evento asociado al valor de la variable aleatoria. La probabilidad es cero cuando es un valor que no corresponde a un elemento del rango, pues esto indica que el evento relacionado con este valor es el conjunto vacío. Otros términos empleados para asignar una función de densidad para una variable aleatoria discreta son: función masa de probabilidad, función de probabilidad, o función de frecuencia discreta. Ejemplo Sea X la variable que representa la suma de los números obtenidos en los dos lanzamientos de un dado. Determinar la función masa de probabilidad de la variable aleatoria X. Solución El recorrido de la variable aleatoria X es RX={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Se puede observar que la probabilidad para cada elemento del rango de X es la que se proporciona en la tabla siguiente: X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Y de aquí es fácil comprobar que cumple con las tres condiciones de la definición, por tanto se afirma que la función masa de probabilidad es precisamente la que presenta la tabla. Otra manera de expresar ésta función masa de probabilidad es:

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Ejemplo Sea el experimento de lanzar en varias ocasiones una moneda balanceada y defínase la variable aleatoria X: el número de veces necesarias que se lanza la moneda hasta obtener un águila. Determinar la función masa de probabilidad de X. Solución Nótese que el rango de la variable aleatoria X es el conjunto de los números naturales, es decir, RX={1,2,3,4,…}; además, los lanzamientos de la moneda son independientes. Así X=1 sucede cuando en el primer lanzamiento se obtiene águila por lo que p(X=1)=1/2. En el caso X=2, significa que hasta el segundo lanzamiento se logra obtener águila, es decir, en el primer lanzamiento se obtiene sol y en el segundo águila, por lo que

Análogamente podemos ver que

pues para que en el n-ésimo lanzamiento se observe por primera vez águila debe haber ocurrido que en los n-1 primeros lanzamientos se obtuvo puro sol. Se concluye que la función masa de probabilidad de X es

Se invita al estudiante a verificar que la función propiedades de la función masa de probabilidad.

definida anteriormente cumple las

Las variables aleatorias también pueden ser utilizadas para eventos no numéricos como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo Se tiene una urna con 3 bolas negras, 2 rojas y 5 blancas. El interés es el de observar el color al extraer una bola. Se puede codificar la bola extraída de acuerdo al color, por ejemplo X=1 significa que la bola extraída es negra; X=2 que la bola es roja y X=3 que la bola es blanca. Así, la función masa de probabilidad de X es expresada mediante la siguiente tabla.

70

X p(x)

1 3/10

2 2/10

3 5/10

En este ejemplo se puede observar que, el rango de la variable aleatoria X no necesariamente tiene que ser obtenida de manera natural como ocurre en otros ejemplos que se han presentado, esto es, el rango de una variable aleatoria X puede resultar de la codificación arbitraria de los eventos que se tienen en el espacio muestral. En el caso de este ejemplo puede incluso considerarse X=10 si la bola extraída es negra, X=20 si es roja o bien X=30 si es blanca y aun así las probabilidades de extraer cada color no cambian. En el ejemplo de lanzar una moneda hasta obtener por primera vez águila es válido preguntarse cuál sería la probabilidad de que se necesiten cuando mucho tres lanzamientos para obtener por primera vez águila. Como los valores de la variable representan al total de los elementos de la muestra se tiene que:

Lo anterior indica que en ocasiones resulta conveniente expresar probabilidades acumuladas tales como en términos de una nueva función. Esta nueva función que expresa probabilidades acumuladas es conocida como función de distribución acumulada de la variable aleatoria X. Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con rango distribución acumulada de X denotada por , es definida por

donde

. La función de

es la función masa de probabilidad de la variable X.

Si se desea especificar que X es la variable de interés, la función de distribución acumulada se escribe . Otra manera de nombrar a la función de distribución acumulada es simplemente función de distribución. Para un valor real , la probabilidad acumulada hasta ese valor representada por suma de las probabilidades de los elementos del rango de X que cumplen con

es igual a la .

Ejemplo Halle la función de distribución acumulada de la variable aleatoria que representa el número de águilas obtenidas al lanzar dos monedas. Se sabe que la función masa de probabilidad está dada por x 0

¼

1

½

2

¼

Solución De la tabla se puede observar que los elementos del rango de X son:

,

,

Para entender mejor la función de distribución acumulada se ejemplificarán unos casos que ayuden a obtener la expresión general:

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1. Si x= -1, se observa que no hay ningún elemento del recorrido de X tal que sea menor o igual que -1 por lo que no hay probabilidad que sumar, entonces 0. lo mismo sucedería para cualquier valor real negativo, es decir si . 2. Si x=0.5, se observa que solamente el elemento 0 del recorrido cumple la condición de ser menor o igual a 0.5 entonces . Esto también sucede para cualquier valor real que cumpla . 3. Si x=1.3, en este caso se observa que los elementos 0 y 1 del recorrido de X cumplen la condición de ser menores o iguales a 1.3 entonces . Este mismo valor le corresponde a para cualquier que cumpla . 4. Si x= 2, se tiene que todos los elementos del recorrido de X cumplen la condición de ser menores ó iguales a 2 entonces = . Y este valor le corresponde para cualquier

que cumpla

.

Por lo tanto la función de distribución queda definida de la siguiente forma

Se puede ver que la función de distribución tiene valores mayores que cero siempre que x sea mayor o igual al elemento del rango más pequeño a diferencia de la función masa de probabilidad que sólo tiene valores mayores que cero en los elementos del rango de X. Además, de manera general, la función de distribución acumulada cumple las siguientes propiedades: 1. para todo valor real x. 2. Si entonces , es decir, la función de distribución acumulada es no decreciente. 3. es continua por la derecha. 4. Si es el valor más grande del recorrido de X, entonces para toda

.

Como se puede apreciar en la siguiente figura, la función de distribucióna acumulada de la variable aleatoria discreta del ejemplo anterior tiene forma de “escalera” y cada escalón comienza en los puntos donde la función masa de probabilidad es positiva, esto es de acuerdo al recorrido de la variable aleatoria X. En el ejemplo esos puntos son x=0, x=1 y x=2.

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Y

1 3/4

1/4 X 0

1

2

Lo anterior indica que se puede calcular la función masa de probabilidad de la variable a partir de la función de distribución acumulada, pues la altura del escalón corresponde a la probabilidad del elemento del recorrido de X, es decir, , y . El hecho de que la función masa de probabilidad pueda calcularse a partir de la función de distribución acumulada indica que todas las preguntas que existan con respecto a la probabilidad de la variable X pueden ser contestadas a través de la función de distribución acumulada. Particularmente un resultado que es de interés es

Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria continua está relacionada con experimentos aleatorios o fenómenos aleatorios que generan espacios infinitos no numerables. La variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de cierto intervalo o colección de intervalos de números reales y de manera análoga a las variables aleatorias discretas, las variables aleatorias continuas tienen una función que será útil para determinar probabilidades de eventos. Esta función es la función de densidad que se define a continuación. Definición. Sea X una variable aleatoria continua. La función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X es una función que cumple: 1. 2. Ejemplo Verificar que la siguiente función cumple las propiedades de una función de densidad de probabilidad

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Solución Es claro que la función definida es no negativa pues para todo número real su valor es cero o uno. Además

Por lo tanto f(x) es una función de densidad de probabilidad. Observando la función de densidad, se tiene que el rango de X o recorrido de X es el intervalo (0,1), esto es, el recorrido de X son los valores de X para los cuales la función de densidad es mayor que cero. Una función de densidad de probabilidad proporciona una descripción simple del comportamiento de la variable aleatoria para los valores que puedan ocurrir, es decir, para el recorrido de X. Una función de densidad es cero para los valores de x que no pueden ocurrir y se supone que es cero siempre que no se defina expresamente. De esta forma, la función de densidad considerada anteriormente pudo haberse expresado solamente como f(x)=1 para . Es importante mencionar que la función de densidad de probabilidad para variables aleatorias continuas no mide la probabilidad de los valores de la variable aleatoria como sucede en las variables discretas en la que la función masa de probabilidad asocia una probabilidad a cada elemento del rango o recorrido de X aun cuando el rango de X sea infinito. Por lo tanto no necesariamente se cumple que . Obsérvese el siguiente ejemplo. Ejemplo Sea f(x)=2 para 01 para cualquier valor de X entre 0 y ½, por ejemplo f(1/3)=2. Por lo tanto f(x) no puede ser la probabilidad de 1/3, ya que en este caso el valor 2 es mayor que uno. Así, en el caso de una variable aleatoria continua, la función de densidad tiene utilidad para realizar el cálculo de probabilidad de intervalos de la variable aleatoria mediante la siguiente expresión:

Esto indica que si se requiere calcular la probabilidad de que la variable tome valores en un intervalo, sólo se debe calcular el área bajo la curva definida por la función de densidad en el intervalo deseado. Ejemplo Sea X una variable aleatoria continua y sea la función definida por

para

. Halla

.

Solución Se observa que el recorrido o rango de X es Por la definición de f(x) es evidente que es no negativa para cualquier valor de x (para x<1 la función vale cero y por eso no se escribe).

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f(x)

x Además

por lo tanto, sí cumple las condiciones de una función de densidad continua. Obsérvese que no es necesario integrar en los intervalos fuera del recorrido de la variable aleatoria continua X para comprobar que efectivamente es una función de densidad. Entonces la probabilidad pedida es calculada mediante la siguiente integración:

Nótese que el intervalo donde la función de densidad es cero puede ser omitido para el cálculo, pues la integral siempre será cero. Análogamente al resultado con el que se concluyó la sección de variables aleatorias discretas, se tiene el siguiente resultado que se obtiene de la definición y de las propiedades de la integral:

A continuación se define la función de distribución acumulada para una variable aleatoria continua. Definición. La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X con función de densidad es

para todo número real x. Ejemplo Hallar la función de distribución acumulada de una variable aleatoria X con función de densidad.

Solución Se hallará la función de distribución acumulada ejemplificando algunos casos al igual que se hizo para las variables aleatorias discretas:

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1. Si entonces = En general, será cero siempre que sea un valor negativo. Esto es, no se está acumulando una probabilidad antes del inicio del rango de X 2. Si x=1/2 entonces = 1/2. En general se puede ver que para cualquier valor real ] se tiene que (la variable sobre la que se integra es indiferente debido a que posteriormente se evalúa en los límites de integración). 3. Si entonces |01+0=1. siempre será 1 si >1. Esto es, se está acumulando una probabilidad en un valor mayor al rango de X, por lo que indica que es uno, pues ya se integró en todo el rango de X. En conclusión la función de distribución acumulada es

y su gráfica es

F(x)

1

x De la gráfica se puede observar que F(x):

1 1

1. Es no decreciente. 2. Es continua en todos los puntos. 3. En el recorrido de la variable X la función es creciente. Todas estas características se presentan en cualquier función de distribución acumulada de variables aleatorias continuas. Al igual que como sucede en el caso de variables aleatorias discretas, la función de densidad puede ser obtenida a través de la función de distribución acumulada pero en este caso es mediante la expresión:

Ejemplo Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulada

Determina la función de densidad.

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Solución Al hacer la gráfica de la función de distribución acumulada se ve claramente que no tiene la forma de escalera, lo que permite identificar a la variable aleatoria X como continua, así, que si se usa el resultado anterior en cada pedazo donde está definida la función de distribución se obtiene que

que es equivalente a decir que

Ejemplo Un proveedor de petróleo diáfano tiene un tanque de 200 galones lleno al principio de cada semana. Sus demandas semanales tienen un comportamiento de frecuencia relativa que aumenta constantemente hasta llegar a 100 galones, y a continuación permanece igual entre 100 y 200 galones. Si X representa la demanda semanal en cientos de galones y se supone que las frecuencias relativas de la demanda se modelan en forma adecuada mediante la función de densidad:

que tiene la forma gráfica que se muestra a continuación: f(x)

1 ½ 0

1

2

Gráfica de la función de densidad de probabilidad a) Calcula la probabilidad de que la demanda sea mayor de 150 galones en determinada semana. b) Calcula la distribución acumulada para esta variable aleatoria y grafícala. c) Usa la distribución acumulada para calcular P (X > 150) en una semana determinada. Solución a) La probabilidad está dada por

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b) La función de distribución acumulada es:

También, como el recorrido de la variable es el intervalo

] entonces

para

. La gráfica de esta distribución acumulada es la siguiente: F(x)

1 ½ x (en cientos de galones) 0

1

2

c) Dado que la probabilidad acumulada hasta 2 (el máximo valor en el que está definida la función) es 1, entonces

Esta es otra forma de hallar la probabilidad, utilizando la distribución acumulada.

78

1.3 ESPERANZA Y VARIANZA Variables aleatorias discretas Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con recorrido y función masa de probabilidad . La media, esperanza o valor esperado de la variable X, denotada como E(X), es definida como:

Esto es, la suma del producto del todos los elementos del recorrido de X por su probabilidad. Otra forma de denotar la esperanza es cuando se desea hacer énfasis en la variable aleatoria X, o sólo si no es motivo de confusión. Se recomienda usar la notación pues en temas posteriores cuando se involucren dos o más variables habrá que hacer referencia a la variable en cuestión. El valor esperado de X es una media ponderada de los valores del recorrido de X, estando cada valor ponderado por la probabilidad de ocurrencia de dicho valor. Para entender mejor el concepto considere el enfoque de que las probabilidades representan la frecuencia relativa (que es equivalente a su proporción), si representan las posibles ganancias al jugar un juego de azar y representan sus respectivas probabilidades, entonces la proporción de veces que se ganará será , la proporción de veces que se ganará será y así sucesivamente. Si en total se realizan N juegos entonces el número de juegos en los que se gana será , el número de veces que se gana será y así sucesivamente. Por lo tanto, la ganancia promedio por juego es la suma de todas las ganancias entre el total de juegos, es decir, aplicando la fórmula para media de datos ordenados visto en la unidad 1,

que es precisamente la definición de esperanza. Ejemplo En una lotería realizada para beneficio de la compañía de bomberos local, se venden ocho mil boletos a $1.00 cada uno. El premio es un automóvil de 3,000 pesos. Si Juan compra dos boletos ¿Cuál es su ganancia esperada? Solución Sea X la variable que representa la ganancia de Juan. El recorrido de la variable es pues si no gana el automóvil ha perdido los $2 que pagó por los boletos pero si gana el automóvil ha ganado $2998 porque pagó $2. Además, la función masa de probabilidad es y pues sólo hay dos opciones para que gane Juan que son los dos boletos que compró. Por lo tanto la ganancia esperada es

Lo anterior quiere decir que si se repitiera muchas veces el sorteo con las mismas condiciones, en promedio Juan perdería por sorteo $1.25. Como se ve en el ejemplo anterior la esperanza es un valor, no es una variable aleatoria.

79

La esperanza cumple las siguientes propiedades cuando X y Y son variables aleatorias discretas: 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2. E(X-Y)=E(X)-E(Y) 3. E(cX)=cE(X) donde c es un valor constante. 4. donde g es una función cualquiera de la variable X y p(X=x) es la función masa de probabilidad de X con recorrido En el siguiente ejemplo se presenta la aplicación de estas propiedades. Ejemplo Se lanzan dos dados y se observan los números que muestran las caras superiores. Considere las variables aleatorias: X: El número que muestra la cara superior del primer dado Y: El número que muestra la cara superior del segundo dado Z: El cuadrado del número que muestra la cara superior del primer dado Determine E(X+Y) y E(Z). Solución Es claro que la función masa de probabilidad de las variables X y Y está dada por

y

Por lo tanto,

y de manera análoga

. Se concluye que

.

Para calcular E(Z), se utilizará la propiedad 4. Obsérvese que Entonces

por lo que

.

Siempre es útil poder resumir las propiedades esenciales de la función masa de probabilidad mediante ciertas mediciones definidas de manera adecuada. Una de tales mediciones es la esperanza, sin embargo, no da información acerca de la variabilidad o dispersión de los valores o datos que proporciona la variable aleatoria, lo cual en la aplicación estadística es indispensable. Para ello se introducen los siguientes nuevos conceptos de medición: la varianza y la desviación estándar.

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Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con esperanza E(X). La varianza de la variable denotada por Var(X), es definida de la siguiente manera ] Otra forma de denotar la varianza es cuando se desea hacer énfasis en la variable aleatoria X o simplemente si no causa confusión. De igual forma a como se recomendó en la esperanza, la notación sugerida para la varianza es pues en unidades posteriores será necesario hacer énfasis de la variable en cuestión. Definición. La desviación estándar de X es

.

La definición de la varianza puede ser interpretada como el valor esperado de las variaciones que tienen los valores de la variable con respecto a su valor esperado y su cálculo, utilizando las propiedades de esperanza, se reduce a la siguiente expresión: ] Ejemplo Determine la varianza y la desviación estándar de la variable X cuya función masa de probabilidad está dada por la siguiente tabla: x P(X=x) -1 0.05 0 0.10 1 0.40 2 0.20 3 0.10 4 0.10 5 0.05 Solución Por definición

Por la propiedad 4

Por lo tanto, la varianza es: ] y la desviación estándar es

Variables aleatorias continuas La media y la varianza de una variable aleatoria continua se definen de la misma manera que en el caso de una variable aleatoria discreta, con la modificación de que la integral reemplaza a la sumatoria. Definición. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad esperanza o valor esperado de X, denotada por E(X) es

81

. La media,

La esperanza también puede ser escrita como de nuevo utilizar la notación .

o sólo

si no es motivo de confusión. Se sugiere

Definición. Sea X una variable aleatoria continua con media E(X). La varianza de X es denotada por Var(X) y es definida por: ] Otra forma de denotar la varianza es

o

si no es motivo de confusión.

Definición. La desviación estándar de X es

.

Las propiedades de la esperanza para las variables aleatorias continúas X y Y son las mismas que en el caso de variables discretas, con la modificación de que ahora, para su cálculo se realiza integración en lugar de sumatorias: 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2. E(X-Y)=E(X)-E(Y) 3. E(cX)=cE(X) donde c es un valor constante. 4. donde g(x) es una función cualquiera y f(x) es la función de densidad de la variable X. Como consecuencia de la propiedad 4 y de las propiedades de integral, se sigue cumpliendo la identidad ] que se utilizó para variables aleatorias discretas. Ejemplo Se está esperando a que llegue un mensaje en algún momento después de las 5:00 P.M. Se sabe por experiencia que el número de horas después de las 5:00 P.M. que pasarán para que el mensaje llegue es una variable aleatoria X con función de densidad

Determine la media, la varianza de X y desviación estándar. Solución Por definición de esperanza, se tiene que:

Además,

82

Por lo tanto, ] y la desviación estándar es

.

Obsérvese que en al igual que en recorrido o rango de X.

se integro en el intervalo (0,2) que es precisamente el

Por lo anterior, en el caso de variables aleatorias continuas es importante tener en cuenta el rango de X al utilizar la integración para realizar cálculos.

Desigualdad de Chebyshev La desigualdad de Chebyshev es un resultado comúnmente utilizado en estadística, antes de presentarlo de manera formal, para motivarlo y posteriormente hacer un análisis de lo que trata se calculará la probabilidad de que las variables definidas en los dos últimos ejemplos pertenezcan al intervalo , es decir, se desea: . 1. En el ejemplo de la variable X con función masa de probabilidad x P(X=x) -1 0.05 0 0.10 1 0.40 2 0.20 3 0.10 4 0.10 5 0.05 Se sabe que

y

, por lo que la probabilidad pedida es:

= . En la gráfica de abajo, la altura de las barras indica la probabilidad de ocurrencia de cada valor posible de la variable aleatoria X. Así mismo se indica el intervalo que es igual a . Se observa que este intervalo abarca casi toda la gráfica, estrictamente es la representación de la probabilidad de 0.95 que resultó del cálculo anterior. 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -1

0

2

1

2

3

2

 83

4

5

2. En el ejemplo de la variable X con función de densidad

Se sabe que

y

, así que la probabilidad pedida es,

]

Se puede ver que en ambos casos las probabilidades son mayores que 0.75. En general, para cualquier variable aleatoria se cumple que . Lo anterior, es garantizado por el siguiente resultado: Desigualdad de Chebyshev. Sea toda se cumple que

una variable aleatoria con media

y varianza

. Entonces para

o equivalentemente

Si se hace

entonces la primera identidad implica que:

lo cual confirma el resultado que se menciona en los ejemplos. En general, si es múltiplo de la desviación estándar, es decir, positiva entonces:

para alguna constante

o equivalentemente,

La expresión expresión

representa la distancia que existe de la variable X a su media, por lo que la significa que los valores de X que se alejan cuando mucho una

cantidad de la media tienen probabilidad de al menos . A continuación se presentan las probabilidades mínimas de los valores de X que se alejan cuando mucho con respecto a la media para algunos valores de :

84

mínima 2 3 4 5

0.75 0.88 0.93 0.96

Ejemplo Supóngase que los resultados de calificaciones en un examen general de conocimientos, aplicado a los alumnos de probabilidad y estadística de una institución, tienen media y varianza . Utilizando la desigualdad de Chebyshev y considerando dos desviaciones estándares de distancia con respecto a la media se tiene que

El valor anterior puede ser interpretado de la siguiente manera: - Si se considera un alumno al azar, la calificación de este se encontrará entre 66 y 90 con una probabilidad mayor ó igual a 0.75. - Más del 75% de los estudiantes tiene una calificación entre 66 y 90. Si ahora se consideran tres desviaciones estándares, la desigualdad de Chebyshev indica que

De manera análoga al anterior, esta relación puede ser interpretada de la siguiente manera: - Si se considera un alumno al azar, la calificación de éste se encontrará entre 60 y 96 con una probabilidad mayor ó igual a 0.88. - Más del 88% de los estudiantes de dicha institución tiene una calificación entre 60 y 96. Nota: Es importante comentar que la desigualdad de Chebyshev tiene la característica de ser conservadora, es decir, en el ejemplo anterior, en el caso de considerar tres desviaciones estándares, se podría asegurar que casi la totalidad de los estudiantes (más del 88%) tienen una calificación entre 60 y 96. Es por ello que comúnmente en este tipo de resultados se consideran tres desviaciones estándares.

85

1.4 DISTRIBUCIONES DISCRETAS: BINOMIAL, GEOMÉTRICA, BINOMIAL NEGATIVA, HIPERGEOMÉTRICA Y POISSON En este tema se presentan algunas distribuciones de variables aleatorias discretas así como su esperanza y varianza.

Distribución Binomial Un experimento binomial tiene las siguientes propiedades: 1. El experimento consiste en n ensayos idénticos. 2. Cada ensayo tiene dos resultados posibles. A uno de ellos se le denotará como éxito y al otro fracaso. 3. La probabilidad de éxito en un ensayo es igual a p y es igual en todos los ensayos. La probabilidad de fracaso en cada ensayo es q=1-p. 4. Los ensayos son independientes. Cuando se cumplen las condiciones anteriores se dice que la variable aleatoria X que representa el número de éxitos obtenidos en los n ensayos tiene distribución Binomial y se denota . El recorrido de la variable es . Ejemplos de variables aleatorias Binomiales son: i) El número de hijos del sexo masculino que una familia tendrá si desea tener cuatro hijos. ii) El número de águilas que se obtienen al lanzar 100 veces una moneda legal. iii) El número de partes defectuosas que hay en un lote de producción de 50 piezas. Las características de la variable aleatoria X son: 1. La función masa de probabilidad es ] 2. La media de la distribución es 3. La varianza es . Recuérdese que

. .

representan las combinaciones de n elementos tomado en grupos de

k. Ejemplo Suponga que Ana, una lanzadora de dardos, logra un objetivo con probabilidad p=1/3. Suponga que ella dispara a su objetivo 7 veces. Encuentre la probabilidad de que ella alcance el objetivo: a) b) c) d)

Exactamente 3 veces. Al menos una vez. Encuentre el número esperado de veces que ella le atinará al objetivo. Encuentre la desviación estándar.

Solución Se puede observar que los ensayos corresponden a los siete lanzamientos y éstos se realizan bajo las mismas condiciones, en cada disparo hay dos resultados posibles, a saber, atinarle al blanco o fallar, la probabilidad de éxito (atinar al objetivo) es p=1/3 y el resultado de cada lanzamiento es independiente de los otros lanzamientos. Por lo tanto, . Entonces: a) La probabilidad de que le atine al objetivo exactamente 3 veces estaría dado por:

86

b) La probabilidad de que alcance el objetivo al menos una vez es:

c) El número esperado de veces que ella le atinará al objetivo es, , es decir, aproximadamente dos de esas siete veces Ana le atinará al objetivo. d) La varianza de X es

por lo tanto

.

En algunos libros de la referencia bibliográfica de esta unidad se encuentran tablas que proporcionan las probabilidades de la variable aleatoria X cuando tiene distribución binomial de parámetros n y p. El uso de estas tablas está limitado para aquellos valores del tamaño de muestra n y probabilidad de éxito p que aparece en ellas pues en general, los libros se limitan a presentar tablas sólo para algunos valores de n y p. Se debe tener mucho cuidado en observar el tipo de probabilidad que maneja la tabla que se usará, puesto que algunas de ellas proporcionan probabilidades acumuladas, es decir donde r es un valor del rango de X, y otras proporcionan probabilidades de un solo valor del rango de la variable X, es decir P(X=r). Para efectos de este curso, se utilizarán las tablas A.1. que presentan las probabilidades acumuladas y que tienen la siguiente notación:

Ejemplo La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad, Determine la probabilidad de que a) Sobrevivan al menos 10 b) Sobrevivan de 3 a 8 c) Sobrevivan exactamente 5 Solución Sea X el número de personas que sobreviven. Entonces X se distribuye binomial de parámetros En la tabla A.1 se busca la tabla con estos parámetros. a) tabla A.1 para n=15, p=0.4 y r=9 se tiene que .

Pero de acuerdo a la , por lo tanto

b)

. Observar que los valores de las sumatorias fueron obtenidos de la tabla de la Binomial para r=8 y r=2.

87

c) Este último valor se puede hallar también de la misma tabla Binomial como sigue:

Distribución Geométrica Si se realizan ensayos repetidos en un experimento y en cada ensayo existe una probabilidad de éxito p, una probabilidad de fracaso q=1-p y además, cada ensayo es independiente de los anteriores, la variable aleatoria X que representa el número de ensayos que deben ser realizados hasta obtener finalmente un éxito es conocida como variable con distribución Geométrica. En tal caso su notación es . El recorrido de X es con función masa de probabilidad . La expresión anterior se obtiene del hecho de que se realizarán k ensayos solamente en el caso de que haya ocurrido una sucesión de k-1 fracasos sucesivos antes de lograr el primer éxito en el késimo ensayo. La esperanza y la varianza de una variable aleatoria X con distribución Geométrica(p) respectivamente son: ] y

Ejemplo La probabilidad de que un cohete alcance un objetivo es p=0.2 y se disparará tantas veces como sea necesario hasta alcanzar el objetivo. a) Encuentre el número esperado de cohetes que serán disparados antes de alcanzar el objetivo. b) Encuentre la probabilidad de que 4 ó más cohetes sean requeridos para alcanzar finalmente el objetivo. Solución a) El número esperado de disparos antes de alcanzar el objetivo es: . b) Para determinar la probabilidad de que al menos cuatro cohetes sean requeridos hasta lograr el objetivo se considera la función masa de probabilidad: P(X=x) Además, es importante recordar que el rango de la variable X es probabilidad deseada es

. Así, la ]

88

Además del ejemplo de lanzamiento de cohetes que se ha presentado, hay otros casos en los que se tiene una variable aleatoria cuya probabilidad se puede modelar mediante una distribución geométrica, como el número de clientes visitados antes de hacer la primera venta, el número de años que funciona una presa antes del derrame, o el número de automóviles que pasan por un puesto de radar antes de descubrir al primer infractor por alta velocidad.

Distribución Binomial Negativa La distribución binomial negativa es una generalización de la distribución geométrica, pero ahora en lugar de hacer el experimento hasta obtener el primer éxito, se hace el experimento hasta obtener el éxito número r. En otras palabras, si se realizan ensayos repetidos en un experimento y en cada ensayo existe una probabilidad de éxito p, una probabilidad de fracaso q=1-p y además, cada ensayo es independiente de los anteriores, la variable aleatoria X que representa el número de ensayos que deben ser realizados hasta obtener finalmente el r-ésimo éxito es conocida como variable con distribución Binomial negativa. En tal caso la notación es masa de probabilidad es:

. El rango de X es

y la función

La esperanza de una variable aleatoria binomial negativa es: ] y su varianza es

Ejemplo La probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad se contagie es 0.4, determine: a) La probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla. b) El número esperado de niños que deben exponerse a la enfermedad para que hayan tres enfermos. Solución a) Sea X la variable que representa el número de niños que han sido expuestos hasta obtener tres enfermos, entonces . Luego, la probabilidad de que el décimo niño sea el tercero en contraer la enfermedad es equivalente a determinar P(X=10) esto es, considerando r =3, p=0.4 se tiene que:

b) El número esperado de niños que deben exponerse a la enfermedad para obtener tres enfermos es Esto es, el número esperado de niños expuestos a la enfermedad para obtener 3 contagiados es de aproximadamente 8.

89

Distribución Hipergeométrica Cuando se tiene una variable aleatoria discreta cuyo espacio de eventos tiene sólo dos elementos, digamos S = {éxito, fracaso}, y se realiza un muestreo sin reemplazo, entonces los resultados de cada experimento no son independientes ni la probabilidad de éxito permanece constante, como en la distribución Binomial, por lo que esta última no es aplicable. Si se tienen en total N objetos, de los cuales M tienen una característica deseada y los restantes N-M no poseen esta característica, y se seleccionan n de los objetos, entonces la variable X que representa el número de objetos que poseen la característica deseada de los n seleccionados, tiene una distribución hipergeométrica, la cual es denotada por . El recorrido o rango de la variable X es probabilidad es:

y su función masa de

Además, la esperanza de X es, ] y su varianza es,

La aplicación de la distribución hipergeométrica se encuentra en muchas áreas, con un uso considerable en el muestreo de aceptación, las pruebas electrónicas y el aseguramiento de la calidad. Es obvio que en muchos de estos campos la prueba se realiza a expensas de la pieza que se está probando. Ésta se destruye y por lo tanto no se puede reemplazar en la muestra. Entonces, es necesario el muestreo sin reemplazo. Ejemplo Considérese un fabricante de automóviles que compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores del que se sabe que hay dos motores con serios defectos. Su plan para seleccionar el lote consiste en seleccionar ocho, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que a lo más uno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Determine: a) La probabilidad de que sea aceptado. b) El número esperado de motores en buen estado de los ocho seleccionados. Solución a) Sea X el número de motores en buen estado en la muestra. Claramente . Pues hay 40 motores, 38 de los cuales están en buen estado y se van a seleccionar ocho. Como el lote es aceptado si a lo más uno presenta serios defectos, esto es equivalente a que si al menos hubieran siete en buen estado, por lo que la probabilidad de que el lote sea aceptado es,

b) El número esperado de motores en buen estado de la muestra es,

90

Distribución Poisson Muchos eventos aleatorios ocurren de manera independiente con una velocidad constante en el tiempo o en el espacio. Algunos ejemplos típicos son el número de personas que llegan a una tienda de autoservicios en un tiempo determinado, el número de defectos en piezas similares para el material, el número de bacterias en un cultivo, etc. Si se considera un intervalo de tiempo fijo en el que se desea contar el número de eventos que se presentan y dicho intervalo se puede dividir en subintervalos con una longitud suficientemente pequeña tal que: 1. La probabilidad de que se presente más de un evento en un subintervalo es cero. 2. La probabilidad de un evento en un subintervalo es la misma para todos los subintervalos y proporcional a la longitud del subintervalo. 3. El número de eventos en cada subintervalo es independiente de los demás subintervalos. Entonces la variable aleatoria X que representa el número de eventos que se presentan en el intervalo fijo es Poisson con parámetro , donde representa el promedio de eventos que se presentan en el intervalo. En tal caso su notación es . El recorrido o recorrido de la variable X con distribución Poisson es masa de probabilidad es:

y su función

La esperanza y varianza de esta variable aleatoria son respectivamente ] y . Ejemplo El promedio de imperfecciones por milímetro en un alambre de cobre es 2.3. Determine: a) La probabilidad de que en un milímetro se tengan 2 imperfecciones. b) La probabilidad de que en tres milímetros se tengan al menos dos imperfecciones. c) El número esperado de imperfecciones en 10 milímetros. Solución a) Sea X la variable que mide el número de imperfecciones por milímetro, entonces . Por lo tanto, la probabilidad pedida es

b) Sea X la variable que mide el número de imperfecciones por cada tres milímetros, entonces pues como en cada milímetro el promedio de imperfecciones es 2.3 entonces en tres milímetros hay 3(2.3)=6.9 imperfecciones. Por lo tanto, la probabilidad pedida es

91

c) Como en un milímetro hay en promedio imperfecciones en diez milímetros es .

imperfecciones, el número de y como se concluye que

Al igual que con la distribución Binomial, existen tablas que contienen las probabilidades para los valores de la variable aleatoria con distribución Poisson. Las tablas A.2 son las que se utilizarán en este curso y en ellas se expresan las probabilidades acumuladas de la variable Poisson. La notación que se utiliza es

Ejemplo Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radioactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo dado? Solución De acuerdo a la notación original se tiene que la variable aleatoria X que indica el número de partículas radioactivas que entran al contador en un milisegundo se distribuye Poisson(4). Luego

Si se usa la tabla A.2, se busca la columna

. Los cálculos se harían como sigue:

Ejemplo El número promedio de camiones tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es 9. Las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo más 15 camiones tanque por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado los camiones se tengan que regresar? Solución Sea X la variable que representa el número de camiones tanque que llegan en un día dado. Utilizando la tabla A.2 en la columna indicada por se tiene que

La distribución Poisson también sirve para aproximar probabilidades cuando la variable aleatoria X tiene distribución , y el número de ensayos es grande y la probabilidad de éxito es pequeña. De manera tradicional la aproximación se utiliza cuando y . En tal caso, el parámetro de la distribución Poisson es . A continuación se presenta un ejemplo de esta aproximación.

92

Ejemplo Suponga que el 2% de los artículos producidos por una fábrica están defectuosos. Encuentre la probabilidad de que haya tres artículos defectuosos en una muestra de 100 artículos. Solución Sea X la variable que representa el número de artículos defectuosos, es claro que . Por lo que la probabilidad pedida es,

Si se utiliza la aproximación a la Poisson mencionada con

que es aproximado al valor verdadero.

93

entonces,

1.5 Distribuciones continuas: Uniforme, Exponencial, Normal, Ji-Cuadrada, T-Student y F de Fisher. A continuación se presentan algunas distribuciones comunes y útiles de variables aleatorias continuas. En algunas de ellas se incluyen ejemplos y en otras sólo se mencionan sus características y algunos resultados que servirán para unidades posteriores de esta asignatura.

Distribución Uniforme Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución uniforme en el intervalo de los números reales si su función de densidad es:

Cuando X se distribuye uniforme es común denotarlo como . Es claro que el recorrido de la variable es el intervalo de los números reales. La esperanza de esta variable aleatoria es: ] y su varianza es:

La gráfica de la función de densidad de una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo es la siguiente: f(x)

1 ba

a

b

x

Ejemplo Los tiempos en que los clientes llegan a las cajas registradoras se rigen por una distribución uniforme con una duración de 30 minutos. Calcule la probabilidad de que un cliente llegue durante los últimos 5 minutos del período de media hora y el tiempo esperado de llegada. Solución Como se dijo, el tiempo en que un cliente llega a una caja sigue una distribución uniforme en el intervalo (0,30). Si X denota el tiempo en que éste llega a la caja, entonces la función de densidad es:

Por lo tanto lo que se pide es:

94

La probabilidad de que el cliente llegue a la caja en cualquier otro intervalo de 5 minutos es también 1/6, debido a que se trata de una distribución uniforme. Además, el valor esperado del tiempo en el que un cliente llegue a la caja registradora es

Distribución exponencial Se ha llevado a cabo un experimento con el objeto de medir la vida útil de un determinado tipo de baterías, para ello se seleccionaron de manera aleatoria 50 de ellas y se apuntaron los tiempos de vida útil, mismos que se indican a continuación: Vida útil de baterías (en cientos de horas) 0.406 2.343 0.538 5.088 5.587 2.563 0.023 3.334 3.491 1.267

0.685 1.401 0.234 1.458 0.517 0.511 0.225 2.325 2.921 1.702

4.778 1.507 4.025 1.064 3.246 2.782 1.514 0.333 1.624 2.634

1.725 0.294 3.323 0.774 2.330 6.426 3.214 7.514 0.334 1.849

8.223 2.230 2.920 0.761 1.064 0.836 3.810 0.968 4.490 0.186

La siguiente gráfica representa un Histograma de frecuencias relativas de los datos de la tabla anterior: Frecuencia Relativa

0.3

0.2 0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Vida útil (cientos de horas)

El histograma de frecuencia relativa para estos datos muestra con claridad que la mayor parte de las vidas útiles están cerca de cero, y que la frecuencia disminuye con mucha uniformidad cuando se pasa a las vidas útiles mayores. Hay una disminución en la frecuencia cuando se avanza hacia otros intervalos hasta que el último (de 8 a 9) contenga sólo una observación. Este histograma de frecuencia relativa de la muestra no sólo permite retratar el comportamiento de la muestra, sino que da idea de algún modelo probabilístico posible de la variable aleatoria X. El

95

histograma de la figura se ve como si se pudiera representar con mucha aproximación mediante una curva exponencial. Debido a lo anterior, se presenta la función de densidad exponencial que se utiliza con frecuencia para describir la duración de los componentes electrónicos. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro indicada como , si su función de densidad es:

Como se puede apreciar en la función de densidad, el recorrido de la variable es ] Además, su esperanza y su varianza son y , respectivamente.

.

Ejemplo Suponga que la duración en días de un foco se distribuye de forma exponencial de parámetro . Determine: a) La probabilidad de que el componente dure menos de 60 días. b) La probabilidad de que dure más de 240 horas c) La varianza de la duración del componente. Solución a) La función de densidad para este caso es pedida es:

por lo que la probabilidad

b) Como el tiempo está dado en días, la probabilidad de que dure más de 240 horas es la probabilidad de que dure más de diez días, entonces:

c) Como

entonces

.

Distribución Normal La distribución de probabilidad continua que se utiliza más extensamente es la normal. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidades normal si existen y tal que su función de densidad es:

En tal caso se denota por , su esperanza o media es:

. El recorrido de la variable con distribución normal es ]

y la varianza es: .

96

Un caso particular de la distribución normal es la que se conoce como distribución normal estándar que presenta las siguientes características: 1. La esperanza de la variable es 2. La varianza de la variable es y la desviación estándar por lo tanto también es . 3. Como consecuencia de los dos puntos anteriores, la función de densidad de la distribución normal estándar es

El siguiente teorema es de suma importancia pues permite convertir cualquier variable aleatoria con distribución normal en una variable aleatoria normal estándar. Teorema: Si

, entonces la variable

tiene distribución normal estándar, es decir,

.

La importancia de convertir cualquier variable aleatoria normal X en una variable normal estándar Z, radica en que para esta última existen tablas que permiten calcular las probabilidades. En esta unidad la tabla a utilizar para la distribución normal estándar es la tabla 1. A continuación se presentan las características de la curva normal estándar que servirán para calcular probabilidades. Considere la siguiente figura:

1. La gráfica de la figura corresponde a la función de densidad de la distribución normal estándar, es decir,

.

2. El área debajo de la curva (que tiene forma de campana) representa una probabilidad, por lo que el área total es uno. 3. El valor de la media, en este caso , divide a la mitad el área total debajo de la curva, lo que quiere decir que a la derecha del cero hay un área igual a 0.5 (que representa probabilidad) y a la izquierda del cero hay también un área igual a 0.5 (que también representa probabilidad). 4. Los valores positivos de la variable Z con distribución normal estándar están a la derecha de y los valores negativos están a la izquierda de . 5. La tabla 1 proporciona las probabilidades de que la variable Z sea mayor o igual a un valor , es decir , es por esto que aparece sombreada toda el área bajo la curva a la derecha de k. Esta región es conocida como la cola de la distribución. 6. En la tabla 1 sólo aparecen las probabilidades para los valores de Z positivos ya que las probabilidades para los valores negativos se pueden obtener del hecho de que la gráfica es simétrica con respecto a . Para entender la forma de utilizar la tabla se presentan los siguientes ejemplos.

97

Ejemplos Sea . Utilizar la tabla 1 que corresponde a dicha distribución para determinar las siguientes probabilidades: a) b) c) d) e) f) Solución a) En la tabla de la normal se busca en la primera columna el entero y el primer decimal, es decir, como se quiere la probabilidad de que Z sea mayor que 2.12, se busca 2.1. El segundo decimal se busca en los valores que aparecen en la primera fila, en este caso hay que buscar 0.02. Así, la probabilidad deseada es aquella que aparece en la fila marcada con el número 2.1 y en la columna marcada con 0.02, es decir, 0.0170 (es el valor que está en el cruce de la fila 2.1 y la columna 0.02). Como la tabla proporciona la probabilidad de la cola de la distribución, se concluye que

b) La probabilidad deseada es el área que se muestra en la siguiente figura. Al utilizar la tabla, si se identifica el 1.94 esto significa que se tiene que , pero lo que se desea es , ahora, como el área total bajo la curves es igual a uno, entonces se tiene que , esta probabilidad es la que corresponde al área sombreada

c) La probabilidad deseada es la que corresponde al área sombreada en la siguiente figura:

98

pero como la gráfica de la distribución normal es simétrica, esta área es equivalente al área de la siguiente figura:

ahora bien, considerando que la tabla proporciona la probabilidad de la cola de la distribución, entonces se localiza el valor de la intersección de 1.4 de la 1ª columna y 0.08 de la 1ª fila, que resulta ser 0.0694 esto indica que entonces se concluye que . d) La probabilidad pedida es la que corresponde al área sombreada:

lo cual, por simetría es equivalente a la probabilidad del área de la siguiente figura:

99

la probabilidad de esta área es calculada de la misma manera como en el inciso b) de este ejemplo, por lo tanto

e) La probabilidad pedida es la que corresponde al área que está entre 1.01 y 2.01 tal y como se muestra en la siguiente figura:

ésta puede ser calculada mediante la expresión pues la resta de las áreas de las siguientes dos figuras es igual al área que está entre 1.01 y 2.01.

Por lo tanto

.

f) Aquí, la probabilidad deseada es representada por el área siguiente:

Obsérvese que el complemento de esta área es la unión de las dos siguientes:

100

y

y éstas son representadas por las probabilidades y . De la tablas 1 es directo que y mediante un procedimiento análogo al inciso c) de este ejemplo se tiene que . Por lo tanto

Ahora que se sabe cómo calcular probabilidades de una distribución normal estándar a través de la tabla correspondiente, todos los problemas de variables aleatorias con distribución normal, (independientemente del valor de su media y varianza) pueden ser resueltos a través de la tabla. Es importante recordar que si se tiene una variable aleatoria con distribución normal, antes de emplear la tabla, primero se debe estandarizar la variable mediante la expresión

Ejemplo La estatura de los hombres en Estados Unidos está distribuida en forma (aproximadamente) normal con media y desviación estándar ambas medidas en pulgadas. Encuentre el porcentaje de hombres estadounidenses que están entre 66 y 71 pulgadas de estatura. Solución La probabilidad pedida es . Para estandarizar es suficiente restar la media y dividir entre la desviación estándar de la variable X, por lo tanto

donde el valor fue obtenido de manera similar al inciso f) del ejemplo anterior. Se concluye que el 67.3% de los estadounidenses, aproximadamente, están entre esas estaturas.

101

Ejemplo Ciertos estudios demuestran que el consumo de gasolina de los autos medianos tiene una distribución normal con un consumo medio de 25.5 km/galón y una desviación estándar de 4.5 km/galón. ¿Qué porcentaje de autos medianos obtiene 30 o más km/galón? Solución La proporción de autos medianos que consiguen 30 o más km/galón se calcula mediante la probabilidad . Estandarizando se obtiene que

lo que quiere decir que el 15.87% de los autos medianos obtiene 30 o más km/galón. Nótese que la probabilidad se calculó de manera similar al inciso a) del penúltimo ejemplo. En el siguiente ejemplo se hará un procedimiento diferente a lo realizado, pues en lugar de buscar la probabilidad cuando se tiene un valor de Z, lo que se hará es buscar el valor de Z que origina una probabilidad dada. Ejemplo Bajo las condiciones del ejemplo anterior, si un fabricante desea producir un automóvil mediano que tenga un mejor rendimiento que el 95% de los automóviles medianos existentes, ¿Cuántos kilómetros por galón debe recorrer este nuevo auto? Solución Sea la variable que representa el número de kilómetros por galón que recorre un auto mediano. Se desea encontrar un valor tal que:

Estandarizando se obtiene que:

Sea , entonces se necesita determinar el valor figura sea 0.95:

que es equivalente a buscar el valor de

tal que el área sombreada de la siguiente

tal que el área sombreada de la siguiente figura sea 0.05:

102

Por las tablas se tiene que (en este caso se buscó el área dentro de las tablas y se encontró a cuál valor correspondía, fijándose en la 1ª. fila y en la 1ª. columna). Entonces de donde se concluye que . Por lo tanto, el nuevo auto debe recorrer 32.88 km/galón para superar al 95% de los autos medianos actualmente disponibles.

Distribución Ji-Cuadrada Se dice que la variable aleatoria X posee distribución Ji – cuadrada con grados de libertad y se denota por si su función de densidad es:

La gráfica de la función de densidad de esta variable se muestra a continuación:

f(  2 )

2 Como se puede observar, la variable presenta más probabilidad para los valores cercanos al cero y no es simétrica. El recorrido de la variable es y su varianza es .

. Además, la esperanza de la variable aleatoria es

]

En la tabla 3 se presentan los valores de la variable aleatoria Ji-Cuadrada que originan diferentes probabilidades de la cola de la distribución, es decir, si es una variable aleatoria con distribución Ji-Cuadrada con grados de libertad y se desea tener una probabilidad de la cola igual a , entonces la tabla 3 proporciona el valor tal que . Obsérvese, a diferencia de la normal estándar, en tabla de la Ji-Cuadrada las probabilidades se proporcionan en la 1ª fila, y los datos dentro del cuerpo de la tabla dan los valores de la variable correspondiente a las probabilidades específicas de la primera fila. Para entender mejor la forma de utilizar la tabla 3 se presentan los siguientes ejemplos.

103

Ejemplo a) Sea una variable aleatoria Ji-Cuadrada con 5 grados de libertad. Determinar el valor de que haga que la probabilidad de la cola sea 0.10. b) Sea una variable aleatoria Ji-Cuadrada con 12 grados de libertad. Determinar el valor de que haga que la probabilidad acumulada hasta ese valor sea 0.75. c) Sea una variable aleatoria Ji-Cuadrada con 16 grados de libertad. ¿Cuál es la probabilidad de que la variable sea mayor que 9.30? Solución a) El valor que se pide es aquél que se encuentra en la intersección de la fila que contiene los grados de libertad y la columna que contiene la probabilidad pedida. Utilizando la tabla 3, se puede observar que el número que está en la intersección de la fila que tiene 5 grados de libertad y de 0.10 de probabilidad en la cola es 9.24. Esto indica que . b) Como se desea que la probabilidad acumulada sea 0.75 entonces la probabilidad de la cola será 0.25. Procediendo de manera análoga al inciso anterior, es decir, buscando la fila que tiene 12 grados de libertad y 0.25 de probabilidad en la cola, se obtiene que el valor pedido es 14.85. Esto implica que la probabilidad acumulada hasta 14.85 es 0.75 es decir c) En este ejemplo se procede a la inversa pues los grados de libertad y el valor de la variable están dados. Para buscar la probabilidad de la cola a la derecha de 9.30 cuando la variable tiene 16 grados de libertad, sólo se busca en la fila que contiene los 16 grados de libertad el valor más próximo a 9.30 siendo éste 9.31. La probabilidad de la cola es la indicada en la fila de probabilidades arriba del valor 9.31, es decir, es aproximadamente 0.90. El siguiente teorema será útil para la unidad de Intervalos de Confianza y Pruebas de hipótesis: Teorema. Sean

variables aleatorias normales estándar independientes. Entonces

es decir, la variable definida como la suma de los cuadrados de variables aleatorias normales estándar independientes se distribuye Ji-Cuadrada con grados de libertad.

Distribución T-Student Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución t-student (o simplemente distribución t) con n grados de libertad si su función de densidad es:

Cuando X tiene distribución t con n grados de libertad se escribe se observa que . Además, para

la esperanza de X es: ]

y para

la varianza es:

104

. De la función de densidad

En la tabla 2 se presentan los valores de la variable aleatoria t-student que originan diferentes probabilidades de la cola de la distribución, es decir, si es una variable aleatoria t-student con grados de libertad y se desea tener una probabilidad de la cola igual a , entonces la tabla 2 proporciona el valor tal que . La variable t-student es simétrica con respecto al cero por lo que para encontrar los valores se pueden aplicar las mismas estrategias que se describieron en la tabla 1 de la variable normal estándar. Solamente, que a diferencia de la tabla 1 (normal estándar) la 1ª. fila corresponde a las probabilidades y los valores que se encuentran dentro de la tabla son los valores que originan la probabilidad de la cola, dependiendo de los grados de libertad (1ª. columna) que tenga la distribución. Para entender mejor la forma de utilizar la tabla 2 se presentan los siguientes ejemplos. Ejemplo a) Sea una variable aleatoria t-student con 8 grados de libertad. Determina el valor de que haga que la probabilidad de la cola sea 0.20. b) Sea una variable aleatoria t-student con 12 grados de libertad. Determina el valor de que haga que la probabilidad acumulada sea 0.95. c) Sea una variable aleatoria t-student con 20 grados de libertad. Determina el valor de X que haga que la probabilidad de la cola sea 0.85. Solución a) El valor que se pide es aquél que se encuentra en la intersección de la fila que contiene los grados de libertad y la columna que contiene la probabilidad pedida. Utilizando la tabla 2, se puede observar que el número que está en la intersección de la fila que tiene 8 grados de libertad y 0.20 de probabilidad en la cola es 0.889. b) Como se desea que la probabilidad acumulada sea 0.95 entonces la probabilidad de la cola será 0.05. Procediendo de manera análoga al inciso anterior, es decir, buscando la fila que tiene 12 grados de libertad y 0.05 de probabilidad en la cola, se obtiene que el valor pedido es 1.782. c) Como se desea determinar el valor que cumple que y éste no está en la tabla 2, se realiza el cambio a la probabilidad acumulada, es decir, . Al ser la variable t-student simétrica, el valor también cumple que . Por lo tanto el valor que aparece en la fila que corresponde a 20 grados de libertad y en la columna que tiene la probabilidad 0.15 es – de donde se concluye que . El siguiente teorema será importante para la unidad de Intervalos de Confianza y Pruebas de Hipótesis: Teorema. Sea Z una variable aleatoria normal estándar y W una variable con una distribución Z y W son independientes, entonces la variable aleatoria

. Si

tiene una distribución t con n grados de libertad.

Distribución F de Fisher Se dice que una variable aleatoria X posee distribución F de Fisher (o simplemente F) con grados de libertad en el numerador y grados de libertad en el denominador si su función de densidad es:

105

La gráfica de esta distribución es similar a la siguiente gráfica.

Cuando X tiene esta distribución comúnmente es denotado por variable X es . Además, para , la esperanza de X es:

. El recorrido de la

] y para

la varianza de X es

En la tabla 4 se presentan los valores de la variable aleatoria F de Fisher que originan las probabilidades 0.01 y 0.05 para la cola de la distribución, es decir, si es una variable aleatoria F de Fisher con grados de libertad en el numerador, grados de libertad en el denominador y se desea tener una probabilidad de la cola igual a ( en la tabla 4 solamente se proporciona los valores de 0.01 y 0.05 para ), entonces la tabla 4 proporciona el valor tal que . Si se desean encontrar valores que originen probabilidades en la cola diferentes a los mencionados, se debe recurrir a otras tablas de la distribución F de Fisher. Los números que aparecen en negrita corresponden al valor mientras que los otros de color normal corresponden al valor . Para entender mejor la forma de utilizar la tabla 4 se presentan los siguientes ejemplos. Ejemplo a) Sea una variable aleatoria F de Fisher con 5 grados de libertad en el numerador y 6 grados de libertad en el denominador. Determina el valor de que haga que la probabilidad de la cola sea 0.01. b) Sea una variable aleatoria F de Fisher con 3 grados de libertad en el numerador y 6 grados de libertad en el denominador. Determina el valor de que haga que la probabilidad de la cola sea 0.05. Solución a) El valor que se pide es aquél que se encuentra en la intersección de la fila que contiene los grados de libertad del denominador y la columna que contiene los grados de libertad del numerador. Es importante recordar que como la probabilidad de la cola es entonces el valor estará indicado con negritas. Utilizando la tabla 4, se puede observar que el número (en negritas) que está en la intersección de la fila que tiene 6 grados de libertad con la columna que indica 5 grados de libertad es 8.75.

106

b) Como , el valor (letra normal) que se pide es el que está en la intersección de la fila que tiene 6 grados de libertad con la columna que tiene 3 grados de libertad, es decir, el valor pedido es 4.76. El siguiente teorema será útil para la unidad de Prueba de Hipótesis: Teorema. Si

y

tiene una distribución F con denominador.

son independientes entonces la variable

grados de libertad en el numerador y

107

grados de libertad en el

1.6 Aproximaciones de distribuciones continuas

distribuciones

discretas

vía

En ocasiones hacer los cálculos de probabilidades de variables aleatorias discretas resulta cansado pues hay que considerar muchos casos como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo En un canal de comunicación digital, suponga que el número de bits recibidos con error puede modelarse con una variable aleatoria binomial tal que la probabilidad de que un bit se reciba con error es . Si se transmiten 16 millones de bits, ¿cuál es la probabilidad de que más de 150 presenten errores? Solución Sea X la variable aleatoria que denota el número de errores. Entonces . Luego la probabilidad pedida es

Evidentemente, el cálculo de la probabilidad no es sencillo y se requirió usar excel para determinar el valor de la probabilidad pedida. Si no se tuviera un software, se puede usar la distribución normal para obtener una excelente aproximación del ejemplo anterior fundamentado por el siguiente teorema. Teorema. Si

, es decir,

es una variable aleatoria binomial, entonces

es aproximadamente una variable aleatoria con distribución normal estándar. La aproximación es buena cuando y . Recuérdese que para una variable aleatoria binomial X, se tiene que ]

y

.

Por consiguiente, la expresión de la ecuación anterior no es otra cosa sino la fórmula para estandarizar la variable aleatoria X. Las probabilidades en las que esté presente X con distribución binomial pueden aproximarse utilizando una distribución normal estándar, esta aproximación es buena cuando n es grande y p es pequeña. Ejemplo En un canal de comunicación digital, suponga que el número de bits recibidos con error puede modelarse con una variable aleatoria binomial tal que la probabilidad de que un bit se reciba con error es . Si se transmiten 16 millones de bits. Determinar la probabilidad de que más de 150 presenten errores utilizando la aproximación a la distribución normal. Solución Se tiene que y

108

. Entonces, (utilizando la tabla 1 de la distribución normal) se tiene que

que es una buena aproximación al resultado 0.772 obtenido en la solución del ejemplo anterior. Es importante considerar que el recorrido de la variable aleatoria discreta de este ejemplo es que no coincide con el de la variable aleatoria normal estándar pues éste es . Por lo que es conveniente hacer una corrección denominada “corrección por continuidad” debido a lo siguiente: 1. En la variable aleatoria binomial no hay probabilidad entre los valores 150 y 151, por ejemplo. 2. En la variable aleatoria normal sí hay probabilidad entre los valores 150 y 151. 3. La manera de distribuir las probabilidades entre 150 y 151 que se presentan en la normal para que sea una “mejor” aproximación de la binomial es considerar que el 150 abarca hasta 150.5 y que 151 comienza a partir de 150.5 como se muestra en la figura de abajo

B 150

A 150.5

151

en otras palabras, hay que repartir la probabilidad del intervalo (150,151) que se considera para la variable normal en las probabilidades de los puntos 150 (la región B) y 151 (la región A) que son considerados en la variable binomial. Se formaliza esto en el siguiente ejemplo: Ejemplo En un canal de comunicación digital, suponga que el número de bits recibidos con error puede modelarse con una variable aleatoria binomial tal que la probabilidad de que un bit se reciba con error es . Si se transmiten 16 millones de bits. Determinar la probabilidad de que más de 150 presenten errores utilizando la “corrección por continuidad” de la aproximación a la distribución normal. Solución Si se desea la probabilidad de obtener más de 150 bits erróneos es lo mismo que se tenga al menos 151 bits erróneos, por lo tanto:

y utilizando la corrección por continuidad se tiene que

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que es una mejor aproximación al resultado exacto 0.772 obtenido con la binomial. Otro caso en el que una distribución discreta puede ser aproximada por una distribución normal se presenta cuando la variable en cuyo caso se tiene el siguiente teorema: Teorema. Si X es una variable aleatoria Poisson con

]

y

, entonces

es aproximadamente una variable aleatoria normal estándar. La aproximación es buena para

.

Ejemplo El número de partículas de asbesto en un centímetro cuadrado de polvo sigue una distribución de Poisson con una media de 1000. Si se analiza un centímetro cuadrado de polvo, ¿cuál es la probabilidad de encontrar menos de 950 partículas? Solución Por hipótesis . Luego la probabilidad exacta es obtenida mediante la distribución Poisson, con el siguiente cálculo (a través del software excel):

Ahora, si se utiliza la aproximación a la normal con la corrección por continuidad se tiene que:

que es una buena aproximación al valor exacto 0.0542 obtenida utilizando la distribución Poisson. Se concluye esta unidad presentando un resultado muy importante acerca de la distribución del promedio de variables aleatorias que tienen la misma distribución y son independientes.

Teorema del límite central Si se selecciona al azar muestras de n observaciones de una población con media finita  y desviación estándar , entonces, cuando n es grande, la media muestral

110

tiene una distribución aproximadamente normal con media igual a  y desviación estándar . La aproximación se vuelve más precisa a medida que n aumenta. Como consecuencia la variable

se distribuye normal estándar cuando Por lo general se considera que

es grande, es decir, su media es cero y su varianza es 1.

es grande cuando

.

La importancia del teorema del límite central es doble. Primero explica por qué algunas mediciones tienden a poseer, aproximadamente una distribución normal. La segunda contribución del teorema del límite central, y la más importante, es en la inferencia estadística. Muchos estimadores o estadísticos que se usan (y se verán en la unidad de Intervalos de Confianza y Pruebas de Hipótesis) para hacer inferencias acerca de los parámetros de una población en la cual se desconoce la distribución, son sumas o promedios de las observaciones muestrales. Ejemplo Para evitar dificultad con las agencias de protección al consumidor, una embotelladora de bebidas debe estar razonablemente segura de que las botellas de 12 onzas realmente contengan 12 onzas de bebida. Para inferir si una máquina embotelladora está trabajando satisfactoriamente, se seleccionan 49 botellas al azar cada hora y se mide la cantidad de bebida en cada botella. Si la experiencia pasada demuestra que la cantidad de bebida por botella tiene una desviación estándar de 0.5 onzas y si la máquina está ajustada para producir una cantidad media por botella de 12.1 onzas ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de las 49 botellas seleccionadas sea menor que 12 onzas? Solución Si se define como el número de onzas que tiene la botella , entonces por hipótesis su media es y su desviación estándar es para =1,2,…,49. Utilizando el teorema del límite central la media del promedio de las 49 botellas es y la desviación estándar del promedio de las 49 botellas, denotada por el símbolo , es:

Por lo tanto, una probabilidad aproximada es:

En otras palabras, si la máquina está ajustada para producir un contenido medio de 12.1 onzas, la media de la muestra de 49 botellas es menor que 12 onzas con probabilidad aproximadamente igual a 0.0808, es decir, en el 8.08% de las muestras, el promedio de los contenidos de las botellas será menor que 12 onzas.

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