UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESCUELA PROFESIONAL DE TRABAJO SOCIAL PROFESOR: Lic. Rolando Alcántara Ramírez
Temas: Variables y escalas, distribuciones de frecuencias
1. Cierta variable asigna a las unidades estadísticas E 1 y E2 de una población los valores 5 y 20 respectivamente en una escala dada. ¿Qué puede decir acerca de E 1 y E2 si la escala usada es: a) Nominal b) Ordinal c) De razón SOLUCION: a) Nominal E1 ≠ E2 5 ≠20 b) Ordinal E1 < E2 5 < 20 c) De razón E2 = X E1 20 = 4 5
20 es igual a 4 veces 5.
2. Cierta variable asigna valores 1, 4 y 9 a las unidades estadísticas E1, E2 y E3 respectivamente en una escala de intervalos. Si en la misma escala se asigna 1 a E 1 y – 8 a E2, ¿Qué valor se le asigna a E3? SOLUCION: 1, 4,9 Y 1,-8,E3 1+8 = 1-4 8-E3 = 4-9 9 = -3 8-E3 = -5 15 = 8- E3 E3 = -23 3. Al medir cierta característica en una población a las unidades estadísticamente E 1, E 2 y E 3 se les asigna los valores 2, 5 y 17 respectivamente usando una escala. a) En cambio, usando una escala B, se asignan los valores 5 y 29 a E2 y E3 respectivamente. b) ¿podría afirmarse sobre el valor de E1 usando la escala B, si se sabe que ambas escales son nominales?, son ordinales? Son las misma de intervalo? SOLUCION:
4. Sean X1 = -1, X2 = 0, X3 = 1, mediciones de una variable X a tres elementos de una población en una determinada escala. Suponga que son válidas las tr ansformaciones: i) Y = 2x – 5 , ii) Y = x2 + 3 a) Si la escala es nominal, ¿están las mediciones transformadas también en escala nominal? b) Si la escala es ordinal, ¿están las mediciones transformadas también en escala ordinal? c) Si la escala es de intervalos, ¿están las mediciones transformadas en la misma escala de intervalos? SOLUCIÓN: Remplazando….
i) y1 = -7
ii) y1 = 4
y2 = -5
y2= 3
y3 = -3
y3= 4
a) no
si
b) si
no
c) si
no
5. Sean x1 = 0 y1 = 32 dos valores asignados al mismo elemento para medir la temperatura, y x2 = 100 e y1 = 212 dos valores asignados a la temperatura de otro elemento. Si los valores X (grados centígrados o Celsius) e Y (grados fahrenheit) están en escala de intervalos, hallar la relación entre E e Y. Y = aX + b
SOLUCIÓN: X1=0
y1= 32
X2=100
y2=212
Para el primer elemento: Y = ax+b 32 =a (0)+b b=32
X1=0
y1= 32
Para el segundo elemento: X2=100
y2=212
Y = ax+b 212 =a (100)+32
…. Ordenando
a(100)+32=212
a(100)=212-32 a=1.8 Entonces como a=1.8 y b=32 la relación de X e Y es:
y=ax+b
y=1.8x+32
6. Clasifique las variables e indique el tipo d escala en que están medidas las siguientes características. -
Profesión variable cualitativa nominal Nacionalidad variable cualitativa nominal Número de hijos variable cuantitativa de proporción Número de teléfono variable cuantitativa de proporción Año de nacimiento variable cuantitativa de proporción Edad variable cuantitativa de proporción Estado civil variable cualitativa nominal Ingreso mensual familiar promedio variable cuantitativa de proporción Dirección variable cualitativa nominal Número de DNI variable cuantitativa de proporción
7. Al investigar el nivel socioeconómico en los valores: BAJO (B), MEDIO (M), ALTO (A), 20 familias dieron las siguientes respuestas: M, B, B, M, A, B, B, M, M, B, M, B, B, A, M, B, M, A, M, B Construir la distribución de frecuencias y trazar su grafica SOLUCION: Xi X1 = B X2 = M X3 = A TOTAL
f i 9 8 3 20
Fi 9 17 20
Fi¡ 20 11 3
hI 0.45 0.4 0.15 1
Hi 0.45 0.85 1
GRAFICA
10 8
B M A
6 4 2 0 B
M
A
8. Se revisaron 20 lotes de 48 artículos cada uno y se encontró el siguiente número de artículos defectuosos por lote: 3, 2, 5, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 2, 3. Construir la distribución de frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas. Graficar. ¿Qué porcentaje de lotes tienen dos o mas pero menos de 4 articulo defectuosos?
Y i
[0 ; 1> [1 ; 2> [2 ; 3> [3 ; 4> [4 ; 5]
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5
f i
F i
2 3 4 6 5
2 5 9 15 20
20
F i
20
18 15 11 5
hi
0,1 0,15 0,2 0,3 0,25
H i
O,1 0,25 0,45 0,75 1
1
n = 20 Numero de intervalos Rango (amplitud) m = 1 + 3,3log(n) R = Ymáx – Ymín m = 1 + 3,3log(20) R = 5 – 0 m = 1 + 3,3log1,30 R= 5 m = 5,3 = 5 Amplitud interválica C= C=
=1
El porcentaje de lotes que tiene 2 o más pero menores que 4 artículos defectuosos es el 50%
9. Determinar los intervalos de la distribución de frecuencias en cada uno de los siguientes casos a) Datos enteros, X min = 10, X max = 50 y k = 8 intervalos b) Datos con dos decimales X min = 2.55 , X max = 3.86 y K = 7 c) Datos con tres decimales X min = 0.282, X max = 0.655 y K = 6 SOLUCION:
C=
–
a) C = b) C = c) C =
= 5
= 0.19 = 0,063
a [10 ; 15> [15 ; 20> [20 ; 25> [25 ; 30> [30 ; 35> [35 ; 40> [40 ; 45> [45 ; 50]
b [2.55 ; 2,74> [2,74 ; 2,93> [2,93 ; 3,12> [3,12 ; 3,31> [3,31 ; 3,50> [3,50 ; 3,69> [3,69 ; 3,88]
c [0,282 ; 0,345> [0,345 ; 0,408> [0,408 ; 0,471> [0,471 ; 0,534> [0,534 ; 0,597]
10. La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 40 pequeñas empresas fueron: 31 15 36 25
17 39 19 28
27 18 29 33
20 30 37 28
28 41 33 22
10 26 27 23
34 12 27 31
25 46 24 29
4 18 26 35
24 23 31 21
a) Construir una distribución de frecuencia de 7 intervalos de clase b) Determinar el porcentaje de empresas con una inversión entre 14 mil y 20 mil dólares.
SOLUCIÓN: a. [4 ; 10> [10 ; 16> [16 ; 22> [22 ; 28> [28 ; 34> [34 ; 40> [40 ; 46]
Y i
f i
F i
F i
hi
H i
7 13 19 25 31 37 43
1 3 6 12 11 5 2
1 4 10 22 33 38
40
0,025 0,075 0,15 0,3 0,275 0,125 0,05
0,025 0,1 0,25 0,55 0,825 0,95
39 36 30 18 7 2
40
40
1
1
m= 7 C= b.
–
C=
=6
El porcentaje entre 14 mil y 20 mil dólares es 12,5% 0,075
0,15
14 10
20 16
22
+
= 0,125 = 12,5%
11. Se registran el tiempo en minutos que utilizan 30 alumnos para ejecutar una tarea, resultando los siguientes: 21.3 26.8 08.3
15.8 22.7 27.9
18.4 18.0 12.3
22.7 20.5 22.3
19.6 11.0 13.4
15.8 18.5 17.9
26.4 23.0 12.2
17.3 24.6 13.4
11.2 20.1 15.1
23.9 16.2 19.1
a) Construir una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud y a partir de esta. b) Calcular el tiempo debajo del cual se encuentran el 25% de las tareas.
SOLUCIÓN: conteo 3 4 5 8 6 4
[8.3;11.4 ) [11.4;14.5 ) [14.5; 17.6 ) [17.6;20.7 ) [20.7;23.8 ) [23.8;26.9 )
X1 9.8 12.95 16.05 19.15 22.25 25.35
f 3 4 5 8 6 4
F1 2 7 12 20 26 30
h 0.1 o.13 0.17 0.27 0.2 0.13
30
a) k=2.5 =5.85 A=
==
H 0.1 0.23 0.4 0.67 0.87 1
1
6 intervalos
=3.08=3.1
b) Q=L+ ( )A=14.5 +(
)(3.1)=14.5 + (
)
=14.5 +0.31=14.81 12. Las notas del examen parcial de matemática dieron la siguiente distribución de frecuencia (n = 100) a) Completar la distribución de frecuencias b) Graficar la ojiva de porcentaje c) ¿Qué porcentajes de las notas se encuentran aproximadamente en el intervalo [8, 14]? INTERVALO
MARCA DE CLASE
FRECUENCIA RELATIVA 0.15
FREC. RELATIVA ACUMULADA 0.45 0.70
13.5 0.10
d) Hallar mediana, media y moda
