Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică teoretică, profilul real, specializarea matematică matematic ă-informatică -informatică. Filiera vocaţ vocaţională ională, profilul militar, specializarea matematică matematic ă-informatică -informatică. acordă 10 puncte din oficiu. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă • La toate subiectele se cer rezolvă rezolv ări complete.
5p 5p 5p 5p
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 001 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea 1 + 5 + 9 + ... + x = 231 . 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 x 2 − 5 x + 3 ≤ 0 . 3. Să se determine inversa func ţiei bijective f : (0, ∞) → (1, ∞), f ( x) = x 2 + 1 . 4. Se consideră mulţimea A = {1,2,3,...,10} . Să se determine numărul submulţimilor cu trei elemente ale mulţimii A, care conţin elementul 1.
5p 5. Să se determine
m ∈ , astfel încât distan ţa dintre punctele A(2, m) şi B( m, −2) să fie 4.
5p 6. Să se calculeze cos 23π ⋅ sin π . 12
,1
12
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 001 1. Se consideră matricea A =
a b
5p
b , cu a, b ∈ şi b ≠ 0 . a
a) Să se arate că dacă matricea X ∈ M 2 () verifică relaţia AX
=
XA , atunci există u , v ∈ , astfel
u v . v u
încât X =
* ∀ n∈ ,
x A = n yn
5p
b) Să se arate că
5p
c) Să se rezolve în mulţimea 2. Se consideră
yn , unde xn xn
n
3
=
( a + b )n
+ (a − b )
n
2
, yn
− (a − b)
2
n
.
2 1 . 1 2
M2 ( ) ecuaţia X =
a ∈ 7 şi polinomul f
=
X6
+
aX + 5ˆ ∈ 7 [ X] .
b ∈ 7 , b ≠ 0ˆ , are loc relaţia b6
ˆ. =1
5p
a) Să se verifice că, pentru orice
5p 5p
b) Să se arate că x6 + 5ˆ = ( x3 − 4ˆ )( x3 + 4ˆ ), ∀x ∈ 7 . c) Să se demonstreze că pentru orice a ∈ 7 , polinomul f este reductibil în
1
=
( a + b)n
7
[ X ] .
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 001
1. Se consideră numărul real a > 0 şi funcţia f : → , f ( x) = e x − ax . a) Să se determine asimptota oblică la graficul funcţiei f către −∞ . 5p b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f . 5p 5p c) Să se deter eterm mine ine a ∈ (0, (0, ∞) , ştiind că f ( x) ≥ 1, ∀x ∈ . 2. Se consideră funcţia 5p 5p 5p
f : ( 0, ∞ ) → , f ( x) =
ln x x
.
a) Să se arate că funcţia F : ( 0, ∞ ) → , F ( x ) = 2 x ( ln x − 2 ) , este o primitivă a funcţiei f . b) Să se arate că orice primitivă G a funcţiei f este crescătoare pe [1, ∞ ) . c) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x =
1 e
şi x = e .
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 2009-MATEMATIC Ă - Proba D, MT1, programa M1
Varianta 1
Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică teoretică, profilul real, specializarea matematică matematic ă-informatică -informatică. Filiera vocaţ vocaţională ională, profilul militar, specializarea matematică matematic ă-informatică -informatică. acordă 10 puncte din oficiu. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă • La toate subiectele se cer rezolvă rezolv ări complete.
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 002 5p 1. Să se arate că numărul (1 − i )24 este real. 5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia
3 x − 1
+
x + 1
x +1
=
2x − 1
3.
5p 3. Să se determine inversa func ţiei bijective f : → (1, ∞ ) , f ( x) = e x + 1 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr ab din mulţimea numerelor naturale de două cifre, să avem a ≠ b . 5. Să se calculeze lungimea medianei din A a triunghiului ABC , unde A(−2, −1), B (2, 0) 0), C (0, 6) 6) .
5p 5p 6. Fie vectorii
u = mi + 3 j şi v = ( m − 2 ) i − j . Să se determine m > 0 astfel încât vectorii u şi v să fie
perpendiculari.
2
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 002 1. Se consideră matricea A ∈ M2 () , A =
2 2 . 1 1
5p 5p
a) Să se arate că există a ∈ astfel încât A2 = aA. b) Să se calculeze ( A − At )2009 .
5p
c) Să se rezolve ecuaţia X 5 = A,
X ∈ M 2 ( ) .
2. Pentru a, b din mulţimea M = [0, ∞) se defineşte operaţia a ∗ b = ln(e a + e b − 1) . 5p a) Să se arate că dacă a, b ∈ M , atunci a ∗ b ∈ M . 5p b) Să se arate că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă. 5p c) Pentru n ∈ , n ≥ 2 , să se determine a ∈ M astfel încât a ∗ a ∗ ... ∗ a = 2a . de n ori a
2
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 002 1. Se consideră şirul ( an )n∈* dat de a1 ∈ ( 0,1) şi
an+1
=
(
)
an 1 − an ,
5p 5p
a) Să se arate că an ∈ ( 0,1) , ∀n ∈ * . b) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈* este strict descrescător.
5p
c) Să se arate că şirul (bn )n∈* , dat de 2. Se consideră funcţia
bn
f : → , f ( x) =
2 = a1 +
a22
1 x
2
+
x +1
2 3
+ ... + an
2
,
* ∀n ∈ .
∀n ∈
*
, este mărginit superior de a1.
.
2 x + 1 , x ∈ , este o primitivă a funcţiei f . 3
5p
a) Să se arate că funcţia
5p
b) Să se calculeze aria suprafeţei delimitate de dreptele x = 0, x = 1, Ox şi graficul funcţiei
F : → , F ( x) =
3
arctg
g : → ,
g ( x ) = (2 x + 1) f ( x ) .
5p
c) Să se calculeze lim ∫ n→∞
n
−n
*
f ( x )dx , unde n ∈ .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 2009-MATEMATIC Ă - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 2
Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică teoretică, profilul real, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. Filiera vocaţ vocaţională ională, profilul militar, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. acordă 10 puncte din oficiu. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă rezolv ări complete. • La toate subiectele se cer rezolvă
3
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 003 5p 1. Să se ordoneze crescă crescător numerele 2 , 3 4 , 4 5 . 5p 2. Să se determine valoarea minimă minimă a funcţ funcţiei f : R → R , f ( x ) = 4 x 2 − 8 x + 1 . 5p 3. Să se rezolve în mulţ mulţimea numerelor reale ecuaţ ecuaţia lg( x − 1) + lg(6 x − 5) = 2 . număr din mulţ mulţimea numerelor naturale de două două cifre, 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un numă 5p
acesta să să fie pă pătrat perfect. 5. Să se determine ecuaţ ecuaţia drept dreptei ei care care trece trece prin prin punc punctul tul A(6,4) şi este perpendiculară perpendiculară pe dreapta d : 2x − 3 y + 1 = 0 .
1 5p 6. Ştiind că că sin α = , să să se calculeze calculeze cos2 cos 2α . 3
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 003 0 1 1 1. Se consideră matricea A = 1 0 1 ∈ M3 ( ) . 1 1 0
5p 5p 5p
a) Să se verifice egalitatea A2 − A = 2I 3 . b) Să se calculeze A−1 . c) Să se arate că A2009 + A2008 = 2 2008 ( A + I 3 ) . 2. Se consideră cunoscut că ( , ∗, ) este un inel comutativ, unde x ∗ y = x + y − 3 şi x y = x ⋅ y − 3 x − 3 y + 12 ,
5p 5p
∀ x,
y∈ .
a) Să se arate că elementul neutru al legii de compoziţie „ ” este 4. b) Să se determine a, b ∈ astfel încât între inelele ( , ∗, ) şi ( , +, ⋅ ) să existe un izomorfism de forma f : → , f ( x) = a ⋅ x + b .
5p
c) Să se rezolve în mulţimea
2009 ecuaţia x . .. x = 2 x
+3.
de 2009 2009 ori ori x
3
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 003
1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → , f ( x ) = 18 x2 − ln x. a) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f . 5p 5p b) Să se determine a ∈ pentru care f ( x ) ≥ a, ∀x ∈ ( 0, ∞ ). 5p c) Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei f ( x ) = m , unde m este un parametru real. 2. Se consideră funcţiile
f a : → , f a ( x) =
5p
a) Să se arate că, pentru orice
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se calculeze lim ∫
1 x − a
+3
, unde a ∈ .
a ∈ , funcţia f a are primitive strict crescătoare pe
.
3
∫0 f2 ( x )dx . 3
a→∞ 0
f a ( x ) dx .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 2009-MATEMATIC Ă - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 3
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
4
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 004 2
5p
1 1 1. Să se arate că numărul − este real. 1− i 1+ i
5p 2. Să se arate că vârful parabolei y = x 2 + 5 x + 1 este situat în cadranul III. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 9 x − 10 ⋅ 3x 1 + 1 = 0 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, −
acesta să aibă exact două cifre egale.
5p 5. Să se determine 5p
a ∈ pentru care vectorii u = a i + (a + 1) j şi v = −(5a − 1) i + 2 j sunt
perpendiculari. 6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuţitunghic ABC ştiind că AB = 6 , AC = 10 şi că aria triunghiului ABC este egală cu 15 3 .
4
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 004 1. Se consideră matricea A =
−1
2 2
2
5p 5p 5p
2 . −1
a) Să se calculeze rangul matricei A. b) Să se demonstreze că det( At ⋅ A) = 0 . c) Să se determine o matrice nenulă B ∈ M3,2 ( ) astfel încât AB = O2 . 2. Se ştie că (G, ) este grup, unde G = (3, ∞) şi x y = ( x − 3)( y − 3) + 3 . Se consideră funcţia f : (0, ∞) → G , f ( x) = x + 3 .
5p 5p 5p
a) Să se calculeze 4 5 6 . b) Să se demonstreze că funcţia f este un izomorfism de grupuri, de la ( (0, ∞), ⋅) la ( G, ) . c) Să se demonstreze că dacă H este un subgrup al lui G care conţine toate numerele naturale
k ≥ 4 ,
atunci H conţine toate numerele raţionale q > 3 .
4
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 004 1. Se consideră funcţia
f : \ {−1,0} → , f ( x ) =
2 x + 1 x 2 ( x + 1)
2
.
5p 5p
a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f . b) Să se demonstreze că funcţia f nu are puncte de extrem local.
5p
c) Să se calculeze lim ( f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( n )) , unde
n
n→∞
2. Se consideră şirul ( I n )n∈* , I n 5p 5p 5p
2
=
2
x n
∫1 xn + 1 dx, n ∈
*
n ∈ * .
.
a) Să se calculeze I 1 . b) Să se arate că I n ≤ 1, ∀n ∈ * . c) Să se calculeze lim I n . n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 4
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 005 5p 1. Să se calculeze 5p 5p 5p 5p
1
1
+
1 + 2i
1 − 2i
.
2. Să se rezolve în inecuaţia x2 − 10 x + 12 ≤ 0 . 3. Să se determine inversa func ţiei bijective f : (1, ∞ ) → ( 0, ∞ ) , f ( x) = 3 log 2 x . 4. Să se determine numărul funcţiilor f : {1, 2,3, 4} → {1, 2,3, 4} cu proprietatea că f (1) = f (4) . 5. Să se determine coordonatele vârfului D al paralelogramului ABCD ştiind că A(−2,9), B(7, −4), C (8, −3) .
5p 6. Triunghiul ABC are B = π şi lungimea razei cercului circumscris egală cu 1. Să se calculeze lungimea 3
laturii AC .
5
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 005 1 1 1 1 1. Se consideră punctele A(0, 6), B(1, 4), C (−1, 8) şi matricea M = 0 1 −1 a , unde a, b ∈ . 6 4 8 b
5p 5p 5p
a) Să se arate că punctele A , B, C sunt coliniare. b) Să se determine rangul matricei M în cazul a = 3, b = 0 . c) Să se arate că dacă unul dintre minorii de ordin trei ai lui M , care conţin ultima coloană, este nul, atunci rang( M ) = 2.
5p 5p 5p
2. Pe mulţimea definim legea de compoziţie x ∗ y = 5xy + 6 x + 6 y + 6 . a) Să se arate că legea “ ∗ ” este asociativă. b) Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii în raport cu legea “ ∗ ”. c) Să se rezolve ecuaţia x ∗ x ∗ x ∗ ... ∗ x = −1 . de 2009 ori x
5
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 005 1. Se consideră funcţia
5p 5p
f : ( 0, ∞ ) → , f ( x ) = ln x −
2 ( x − 1) x + 1
.
a) Să se calculeze derivata funcţiei f . b) Să se determine punctele graficului funcţiei f în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta de ecuaţie 9 y = 2 x .
5p
c) Să se arate că, dacă x > 1 , atunci ln x ≥
2( x − 1)
. x + 1 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → , f ( x ) = 2 şi şirul (an )n≥1, an x k +1
5p
a) Să se arate că f ( k + 1) ≤ ∫
5p
b) Să se calculeze lim ∫
5p
c) Să se arate că şirul (an )n≥1 este convergent.
k
n
n→∞ 1
=
f (1) + f (2) + ... + f (n).
f ( x ) dx ≤ f ( k ), ∀ k ∈ ( 0, ∞ ) .
f ( x ) dx, n ∈ .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 5
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvări complete. • •
6 5p 5p 5p 5p 5p
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 006 1. Să se calculeze suma tuturor numerelor naturale de două cifre care se divid cu 11. 2. Să se determine funcţia f de gradul al doilea ştiind că f ( 1) 1, f (0) 1, f (1) 3 . 3. Să se rezolve în mulţimea ( 0,π ) ecuaţia sin 3 x sin x . 4. Câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulţimii {2, 4, 6, 8} ? 5. Se consideră triunghiul ABC cu vârfurile în A(1, 2) , B (2, 2) şi C (4,6) . Să se calculeze cos B . −
=
=
=
=
−
5p 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că 6
6
şi AB = 6 .
1 2 3 4 5 ∈ S5 . 3 1 2 5 4
σ=
5p
a) Să se calculeze σ2009 . b) Să se dea exemplu de o permutare τ ∈ S5 astfel încât τσ ≠ e şi (τσ )2 = e .
5p
c) Să se demonstreze că, pentru orice τ ∈ S5 , există 2. Se consideră
∗
p ∈ astfel încât
p
τ
=e.
a ∈ , x1 , x2 , x3 ∈ rădăcinile ecuaţiei x3 − 2 x 2 + 2 x − a = 0 şi determinantul ∆=
5p 5p 5p
π
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 006 1. Se consideră permutarea
5p
C =
x1 x3 x2
x2 x1 x3
x3 x2 . x1
a) Pentru a = 1 , să se determine x1 , x2 şi x3 . b) Să se arate că, pentru orice a ∈ , ecuaţia are o singură rădăcină reală. c) Să se arate că valoarea determinantului ∆ nu depinde de a.
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 006 6 1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → , f ( x ) = e x⋅ln x . 5p a) Să se arate că f ′ ( x ) = f ( x )(1 + ln x ) , ∀x > 0. b) Să se determine valoarea minimă a funcţiei f . 5p 5p c) Să se arate că funcţia f este convexă pe ( 0, ∞ ) . 2. Se consideră, pentru fiecare 2
3
n ∈ , funcţiile f n : (−1, ∞) → , f n ( x ) =
g n ( x ) = 1 − x + x − x + ... − x
2 n −1
x
2n
1 + x
şi g n : (−1, ∞) → ,
+ f n (x) .
1
∫0 g2 ( x)dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se arate că 0 ≤ ∫
5p
∗
1
f n ( x) dx ≤
1
, ∀n ∈ * .
2n + 1 1 1 1 1 1 c) Să se calculeze lim 1 − + − + ... + − , n ∈ . n→∞ 2 3 4 2n − 1 2n 0
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 6
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
7
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 007
5p 1. Să se calculeze modulul numărului complex z = 8 + i . 7 − 4i
5p 2. Să se determine valoarea maximă a funcţiei
f : R → R , f ( x ) = − x
2
+
6x − 9 .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea [0, 2π ) ecuaţia sin x = − 1 . 2
5p 4. Să se determine n ∈ pentru care mulţimea {1,2,..., n} are exact 120 de submulţimi cu două elemente. 5p 5. Se ştie că, în triunghiul ABC , vectorii AB + AC şi AB − AC au acelaşi modul. Să se demonstreze că ∗
5p
triunghiul ABC este dreptunghic. 6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC care are lungimile laturilor egale cu 3, 4 şi 5.
7
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 007 1 2 3 4 1. Se consideră matricele A = 0 1 2 3 , B = ( 0 0 0 1) şi sistemul 0 0 1 2
5p 5p 5p
x + 2 y + 3 z + 4 t = 3 y + 2 z + 3t = 2 . z + 2t = 1
a) Să se determine rangul matricei A. b) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului. c) Să se demonstreze că ecuaţia XA = B nu are soluţii X ∈ M1,3 ( ) . 2k 2. Se consideră mulţimea G = A(k ) = k 2
{
k ∈ , şi pentru fiecare t ∈ notăm cu 2 k 2 k
}
H t = A ( kt − 1) k ∈ . Se admite faptul că ( G, ⋅
) este un grup, unde „ ⋅ ” este înmulţirea matricelor.
5p a) Să se arate că ∀ n, p ∈ , A(n) ⋅ A( p) = A( n + p + 1) . 5p b) Să se demonstreze că, pentru orice t ∈ , H t este un subgrup al grupului (G, ⋅ ) . 5p c) Să se demonstreze că grupurile (G , ⋅) şi (, +) sunt izomorfe. 7
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 007 1. Se consideră funcţia
f : (0, ∞) → , f ( x ) = ln x şi şirul ( xn )
n∈*
, xn
=1+
5p
a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .
5p
b) Să se arate că, pentru orice
5p
c) Să se arate că şirul ( xn )n∈* este descrescător şi are termenii pozitivi. 2. Se consideră funcţiile
1
k > 0 ,
<
k +1
f ( k
f : ( −1, ∞ ) → , f ( x ) =
F ( x) = a ln( x + 1) + b ln( x
2
+ 1) + c arctg x ,
5p
a) Să se determine a, b, c astfel încât
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se studieze monotonia funcţiei
)
+1 −
f ( k ) <
2 x
( x + 1) ( x2 + 1)
1 k
1 2
+
1 3
+ ... +
1 n
− ln n, ∀n ∈
*
.
.
şi F : (−1, ∞ ) → ,
unde a, b, c sunt parametri reali.
F să fie o primitivă a funcţiei f .
1
∫0 f ( x) dx . F , în cazul în care F este primitivă a funcţiei f .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 7
Ministerul Educa ţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Înv ăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 008 5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia z 2 = −4 . 5p 2. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = ax2 + x + c . Ştiind că punctele A (1, 2) şi B ( 0,3) aparţin graficului funcţiei f , să se determine numerele reale a şi c.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 7 x + 1 − x = 1 . 5p 4. Câte numere naturale de patru cifre distincte se pot forma cu cifre din mulţimea {1,3,5,7,9} ? 5p 5. Se consideră paralelogramul ABCD şi punctele E şi F astfel încât AE = EB , DF = 2 FE . Să se
demonstreze că punctele A , F şi C sunt coliniare.
5p 6. Fie triunghiul ABC . Să se calculeze lungimea înălţimii corespunzătoare laturii BC ştiind că AB = 13, AC = 14 şi BC = 15 .
8
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 008 1 1. Se consideră matricea A = −1 −1
5p
a) Să se calculeze det ( A) .
5p
b) Să se arate că A2n
5p
=
22n
−
3
1
A+
1 −1 ∈ M3 ( ) . 1
1 1 −1
−
−
22n
+
3
2
∗ I 3 , pentru orice n ∈ .
c) Să se determine A 1 . 2. Se consideră a ∈ şi ecuaţia x3 − x + a = 0 , cu rădăcinile complexe x1 , x2 , x3 . 5p a) Să se calculeze ( x1 + 1)( x2 + 1)( x3 + 1) . 5p b) Să se determine x2 şi x3 ştiind că x1 = 2 . 5p c) Să se determine a ∈ pentru care x1, x2 , x3 sunt numere întregi. −
8
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 008 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x + cos x şi şirul ( xn )n∈ , x0 = 0, a) Să se arate că funcţia f este crescătoare pe . 5p π 5p b) Să se arate că 0 ≤ xn ≤ , ∀ n ∈ .
xn +1 = f ( xn ) ,
∀ n ∈ .
2
5p
c) Să se arate că şirul ( xn )n≥1 este convergent la
π
2
. π
2. Se consideră şirul de numere reale ( I n )n∈ , definit de I 0 = 5p 5p
a) Să se calculeze I 1 . b) Să se arate că şirul ( I n )n∈ este descrescător.
5p
c) Să se arate că
nI n I n −1 =
π
2
π
2
2
şi I n
=
∫ 0 cos
n
x dx , n ∈ * .
, ∀n ∈ ∗ .
Varianta 8
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009 5p 1. Să se determine numărul natural x pentru care 1 + 3 + 5 + … + x = 225 . 5p 2. Să se determine valorile parametrului real m ştiind că graficul funcţiei f ( x ) = x 2
+
f : → ,
mx − 2m intersectează axa Ox în două puncte situate la distanţa 3 .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( 2
x +1
−
+
)
1
=
x .
3 15 5p 4. Să se arate că C17 > C 17 5p 5. Fie hexagonul regulat ABCDEF de latură 4 . Să se calculeze modulul vectorului AC + BD .
5p 6. Să se arate că sin 2 1 + sin 2 2 + ... + sin 2 90 9
=
91 2
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 009 x A 1. Fie A ( x A , y A ) , B ( xB , yB ) , C ( xC , yC ) trei puncte din plan şi matricea M = x B x C
yA
1
yB
1 ∈ M 3( ) .
yC 1
5p 5p
a) Să se arate că, dacă A, B, C se află pe dreapta de ecuaţie y = 2 x , atunci det ( M ) = 0 . b) Să se arate că, dacă triunghiul ABC este dreptunghic şi are catetele de lungime 1, atunci det ( M ) = ±1 .
5p
c) Să se arate că, dacă matricea M este inversabilă, atunci suma elementelor matricei M −1 este 1. a b a ,b ∈ . −3b a
2. Se consideră mulţimea de matrice A = 5p 5p 5p
a) Să se arate că, dacă X ∈ A şi Y ∈ A , atunci X + Y ∈ A . b) Să se arate că, dacă X ∈ A , Y ∈ A şi XY = O2 , atunci X = O2 sau Y = O2 . c) Admitem cunoscut faptul că A este inel în raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor. Să se determine elementele inversabile ale acestui inel.
9
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 009 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x − sin x . 5p a) Să se arate că funcţia f este crescătoare. 5p b) Admitem că pentru fiecare n ∈ ecuaţia f ( x ) = n are o soluţie unică xn . Să se arate că şirul ( xn )
5p
n∈*
este nemărginit.
c) Să se calculeze lim
xn n
n→∞
, unde şirul ( xn )n
2. Fie funcţiile f , gn : [0,1) → , f ( x) = 5p
1 − x
a fost definit la b).
, gn ( x) =
x
n
1− x
, unde n ∈ * .
1
a) Să se calculeze
∫ 02 ( f (x) − g2 ( x))dx . 1
5p
1
≥1
b) Să se arate că 0 ≤ ∫ 2 g n ( x)dx ≤ 0
2
n
, ∀ n ∈ * .
= ln 2 . 3 ⋅ 23 n ⋅ 2n BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1
5p
1
1
1
c) Să se arate că lim + n→∞ 1 ⋅ 2 2 ⋅ 22
+
1
+ ... +
1
Varianta 9
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
10 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 010 5p 1. Ştiind că z ∈ şi că z 2 + z + 1 = 0 , să se calculeze z 4 + 1 . 4 z
5p 2. Să se determine funcţia f de gradul întâi, pentru care f ( f ( x) ) = 2 f ( x ) + 1 , oricare ar fi x ∈ . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg ( x + 1) − lg 9 = 1 − lg x . 10
5p 4. Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea ( 3 + 3 3 ) . 5p 5. Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC , ştiind că A(−1, 0), B (0, 2), C (2, −1) . 5p 6. Să se arate că unghiul vectorilor u = 5i − 4 j şi v = 2i + 3 j este obtuz. 10 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 010 1. Se consideră permutările e, α ∈ S3 , 5p 5p 5p
1 2 3 , 1 2 3
e=
α=
1 2 3 3 1 2 .
a) Să se calculeze α 3 . b) Să se rezolve ecuaţia α2009 ⋅ x = e , x ∈ S3 . c) Să se demonstreze că, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutărilor din
S3 este
permutare impară.
2. Fie inelul 5p
[i ] = {a + bi
a, b ∈ } .
5p
a) Să se dea exemplu de un număr complex z astfel încât z ∉ [i ] şi z 2 ∈ [i ] . b) Să se determine elementele inversabile ale inelului [i ] .
5p
c) Să se arate că mulţimea H = {( m + n ) + ( m − n ) i
m, n ∈ } este parte stabilă a lui
[i ] în raport
cu înmulţirea.
10 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 010 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x arctg x − ln (1 + x2 ) . 5p 5p 5p
a) Să se arate că funcţia f este convexă pe b) Să se arate că funcţia f ' este mărginită. c) Să se demonstreze că f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ . 1
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫
x n
0 1 + x
5p 5p 5p
.
*
2n
dx, ∀n ∈ .
a) Să se calculeze I 1 . b) Să se arate că I n ≤
1
n +1 c) Să se calculeze lim I n .
, ∀ n ∈ * .
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 10
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
11 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 011 5p 1. Să se determine a , b ∈ ştiind că numerele 2, a, b sunt în progresie geometrică şi 2, 17,
a sunt în
progresie aritmetică.
5p 5p 5p 5p
2. Să se rezolve ecuaţia f ( f ( x) ) = 0 , ştiind că f : → , f ( x) = −3 x + 2 . 3. Să se rezolve în mulţimea [0, 2π ) ecuaţia tg(− x) = 1 − 2 tg x. 4. Să se determine numărul funcţiilor f : {0,1, 2} → {0,1, 2} care verifică relaţia
f (2) = 2 .
5. Se consideră triunghiul ABC şi punctele D, E astfel încât AD = 2DB , AE = 2EC . Să se arate că dreptele DE şi BC sunt paralele.
5p 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , dacă A = π , B = π şi AB = 6. 4
11
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 011 a −b 1. Pentru a, b, c, d ∈ , se consideră matricea A = −c −d
5p 5p 5p
a) Pentru
b a d −c
c −d a b
d c t şi matricea transpusă A . −b a
a = c = 1 şi b = d = 0 , să se calculeze det ( A) .
b) Să se arate că A ⋅ A t = α ⋅ I 4 , unde α = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . c) Să se demonstreze că dacă A ≠ O4 , atunci A este inversabilă. 2. Se consideră încât x1
5p 5p 5p
6
a , b, c ∈ şi polinomul f
≤ 1,
x2
≤ 1,
x3
=
X3
+ aX
2
+ bX + c ,
cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ , astfel
≤ 1.
a) Să se demonstreze că a ≤ 3. b) Să se arate că, dacă c < 0 , polinomul are cel puţin o rădăcină reală în intervalul ( 0, ∞ ) . c) Să se arate că, dacă a = 1, c = −1, atunci b = −1.
11 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 011 1. Se consideră funcţia 5p 5p 5p
f : − {−2} → , f ( x ) =
1
| | e x .
x + 2 a) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în punctul x0
= 0.
b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f . c) Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuaţiei f ( x ) = m , unde m este un parametru real. 2. Se consideră funcţiile
f : → , f ( x ) = sin x − x +
x3
6
1
şi g : ( 0,1] → , g ( x ) =
∫ x
sin t t
dt .
Se admite cunoscut faptul că f ( x ) ≥ 0, ∀x ≥ 0. 1
5p
a) Să se calculeze
5p 5p
b) Să se arate că funcţia g este strict descrescătoare. c) Să se arate că lim g ( x ) > 0,9 .
∫0 f ( x)dx .
x →0 x >0
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 11
Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică teoretică, profilul real, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. Filiera vocaţ vocaţională ională, profilul militar, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. acordă 10 puncte din oficiu. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă rezolv ări complete. • La toate subiectele se cer rezolvă
12 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 012 5p 1. Să se calculeze 1 + 1 . 1+ i
1− i
mulţimea numerelor reale ecuaţ ecuaţia 5p 2. Să se rezolve în mulţ
5p 3. Să se rezolve în mulţ mulţimea [ 0, 2π )
x + 1
x + 2 1 ecuaţ ecuaţia cos 2 x = . 2
+
x+2 x+3
=
7 6
.
12
5p
1 4. Să se determine a > 0 ştiind că că termenul din mijloc al dezvoltă dezvoltării 3 a + 4 a
este egal cu 1848.
5p 5. Să se determine ecuaţ ecuaţia simetricei dreptei d : 2 x − 3 y + 1 = 0 faţă faţă de punctul A(−3, 4) 4) . că ctg x = 3 , să să se calculeze ctg2 x . 5p 6. Ştiind că 12
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 012 1. Se consideră polinoamele f , g ∈ [ X ] ,
f
=
2
X
+
X + 1 , cu rădăcinile complexe x1 , x2 şi
c b a 2 g = aX a X + bX + c , cu a ≠ 0 . Fie matricele A, V ∈ M3 ( ) , A = a c b şi V b a c
5p
a) Să se arate că det (V ) = 3( x2 − x1 ) .
5p
g (1) g ( x1 ) g ( x2 ) b) Să se arate că A ⋅V = g (1) x1g ( x1) x 2 g (x 2 ) . g (1) x 2 g ( x ) x 2 g ( x ) 1 1 2 2
5p
c) Să se arate că det ( A) = 0 dacă şi numai dacă 2. Se consideră funcţia
5p 5p 5p
f : 5
→
5 ,
f ( x ) = x
4
1 1 x = 1 1 1 x 2 1
1 x2 .
x2 2
a + b + c = 0 sau a = b = c . +
4ˆ x .
ˆ şi f (1) ˆ . a) Să se calculeze f (0) b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă. c) Să se descompună polinomul X 4 + 4ˆ X ∈ 5 [ X ] în factori ireductibili peste
5 .
12 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 012 1. Se consideră funcţia
f : ( 0, ∞ ) → , f ( x ) =
ln ( x + 1)
5p
a) Să se arate că şirul ( xn )n≥1 unde xn = f (1) +
5p
b) Să se calculeze lim f ( x) .
x 1
.
1 1 + 2 2 3 f
1 1 1 f + ... + f este divergent. n n 3
x →∞
5p
c) Să se arate că funcţia 2. Se consideră funcţia
f este descresc ătoare.
f : (1, ∞ ) → , f ( x ) =
5p
a) Să se calculeze f (2) .
5p
b) Să se demonstreze relaţia f ( x) ≤ ,
5p
c) Să se demonstreze relaţia
1
x
1
∫0 e
−t
t x −1dt .
∀x > 1 .
1 f ( x + 1) = xf ( x ) − , ∀x > 1 . e Varianta 12
Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică teoretică, profilul real, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. Filiera vocaţ vocaţională ională, profilul militar, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. acordă 10 puncte din oficiu. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă rezolv ări complete. • La toate subiectele se cer rezolvă
13 5p
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 013 1. Să se arate că numărul (1 + i 3 )2 + (1 − i 3 ) 2 este număr întreg.
5p
2. Să se rezolve în
5p
3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x = 6 (
5p
1 4. Să se determine termenul care nu conţine pe x din dezvoltarea x2 + . x
5p 5p
5. Să se calculeze distanţa de la punctul A(3,0) la dreapta d : 3x − 4 y + 1 = 0 . 6. Triunghiul ABC are AB = 4, BC = 5 şi CA = 6 . Să se arate că m ( B ) = 2m ( C ) .
×
x + y = 4 sistemul de ecuaţii . xy = 3
)
x − 2 −1 . 9
13 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 013 x − y + z = 1 1. Se consideră sistemul de ecuaţii x + y + z = 3 , unde m ∈ . Pentru fiecare m ∈ , notăm cu Sm mx + y + z = 3m
5p 5p 5p
mulţimea soluţiilor reale ale sistemului. a) Să se determine m ∈ pentru care sistemul are soluţie unică. b) Să se arate că pentru orice m ∈ sistemul este compatibil.
c) Să se determine min { x 2 + y 2 + z 2 ( x, y, z ) ∈ S1 . 2. Se consideră matricele A =
0 1 0 1 , B = , I 2 −1 0 −1 1
{
=
1 0 0 1 , C = A ⋅ B şi mulţimea
}
G = X ∈ M2 ( ) det ( X ) = 1 .
5p 5p
a) Să se verifice că A4 = B 6 = I 2 . b) Să se arate că ( G , ⋅ ) este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile de ordin doi, cu elemente numere complexe. complexe.
5p
c) Să se demonstreze că
Cn
≠
∗
I 2 , pentru orice n ∈ .
13 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 013 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = 3 x3 + 3 x2 − 4 , ∀x ∈ . a) Să se determine asimptota oblică a graficului funcţiei f spre ∞ . 5p 5p b) Să se arate că f 2 ( x ) f ' ( x ) = x2 + 2 x, ∀ x ∈ − {−2, 1} . 5p c) Să se determine derivatele laterale ale funcţiei f în punctul x0 = −2. x
2. Pentru
* n∈
∫
se consideră funcţia Fn : ( 0, ∞ ) → , Fn ( x ) = t n e−t dt, x > 0 . 0
5p 5p 5p
a) Să se calculeze F1 ( x ) , x > 0 . b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei c) Să se calculeze lim F2 ( x) .
F n .
x →∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 2009-MATEMATIC Ă - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 13
Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică teoretică, profilul real, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. Filiera vocaţ vocaţională ională, profilul militar, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. acordă 10 puncte din oficiu. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă rezolv ări complete. • La toate subiectele se cer rezolvă
14 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 014 5p 1. Să se calculeze lg 5p 2. Să se determine
1 2
+
lg
2 3
+
lg
3 4
+
... + lg
99 100
a ∈ ∗ pentru care ( a − 3) x
.
2
−
ax − a < 0 , oricare ar fi x ∈ .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 8 − x = 3 9 − 4 x . 5p 4. Să se determine numărul elementelor unei mulţimi ştiind că aceasta are exact 45 de submulţimi cu două elemente. 5. Să se determine ecuaţia dreptei AB ştiind că A(2,3) şi B (−5, 4) 4) .
5p 5p 6. Triunghiul ABC ascuţitun itung ghic hic are are AC = 2 3 şi lungimea razei cercului circumscris egală cu 2. Să se determine măsura unghiului B.
14 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 014 a b c 1. Se consideră matricea A = 2a 2b 2c , unde a, b, c ∈ ∗ . 3a 3b 3c
5p 5p 5p
a) Să se calculeze rangul matricei A. b) Să se arate că există d ∈ astfel încât A2 = dA . c) Să se arate că există matricele K ∈ M 3,1 3,1 ( ) şi L ∈ M 1,3 ( ) astfel încât A = K ⋅ L .
2. Se consideră numărul a = 3 − i ∈ şi polinomul f ∈ [ X ] , 5p a) Să se arate că f (a) = 0. 5p b) Să se determine rădăcinile polinomului f . 5p c) Să se arate că polinomul f este ireductibil în [ X ] . 14 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 014 1. Pentru n ∈ * , n ≥ 3 se consideră funcţia
f
=
X4
−
4 X 2
+
16 .
f n : → , f n ( x ) = sin n x şi se notează cu xn abscisa π
punctului de inflexiune din intervalul 0, , al graficului func ţiei f n . 2
5p
a) Să se arate că
5p
b) Să se arate că sin xn
5p
c) Să se calculeze lim f n ( xn ) .
''
2
2
f n ( x ) = n ( n − 1) sin n − x − n sin n x , =
n −1 n
∗
∀n ∈
, n ≥ 3 şi x ∈ .
, n ≥3.
n→∞
2. Se consideră 5p 5p
a ∈ şi funcţiile f , F : → , f ( x ) =
x
( x 2
3
− 3x +
+ 1)
x2
a +1
, F ( x) =
x
2
+
ax + 5
x2 + 1
.
a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f . b) Pentru a = 2 , să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul functiei f , axa
Ox şi
dreptele x = 1 şi x = 2 .
5p
c) Să se determine
a astfel încât
2
∫0
F ( x) dx −
0
∫ 2 F ( x) dx = 2 . −
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 2009-MATEMATIC Ă - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 14
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
•
La toate subiectele se cer rezolvări complete.
15
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 015 5p 1. Să se calculeze log3 ( 5 − 7 ) + log3 ( 5 + 7 ) − log 3 2 . 5p 2. Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic este tangent la axa Ox în punctul (1, 0) şi trece prin punctul (0,2) .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea [0, 2π ) ecuaţia sin x + cos x = 0 . 5p 4. Câte numere naturale de patru cifre se pot forma cu elemente ale mul ţimii {1,3,5,7,9} ? 5p 5. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul A(−2, 2) şi este paralelă cu dreapta determinată de punctele C (2,1) , D(−1, −3) .
5p 6. Fie α ∈ π ,
3π
5
astfel încât cosα = − . Să se calculeze sin α . 2 13
15 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 015 a b c 1. Fie a, b, c ∈ şi matricea A = c a b . b c a
5p 5p
a) Să se calculeze det ( A) . b) Să se arate că dacă a + b + c ≠ 0 şi A nu este inversabilă în
5p
1 ax x + by + cz = 2 1 c) Să se arate că sistemul de ecuaţii liniare cx + ay + bz = y admite numai soluţia x = y = z = 0 . 2 1 bx + cy + az = 2 z
2. Se consideră polinomul 1
∈
f
1
1
[ X ] , 1
f
=
X
4
− 5 X
2
+5,
M 3( ) , atunci a = b = c .
cu rădăcinile x1 , x 2 , x3 , x 4 ∈ .
5p
a) Să se calculeze
5p 5p
b) Să se arate că polinomul f are toate rădăcinile reale. c) Să se arate că dacă g este un polinom cu coeficienţi reali care are proprietatea că pentru orice x real g ( x)
≤
+
x1
+
x2
x3
+
x4
.
f ( x ) , atunci există a ∈ [ −1, 1] astfel încât g
=
af .
15 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 015 1. Pentru fiecare n ∈ , n ≥ 3 , se consideră funcţia f n :[0, ∞) → , f n ( x) = x n − nx + 1 . 5p a) Să se arate că f n este strict descrescătoare pe [0;1] şi strict crescătoare pe [1; ∞ ) . 5p b) Să se arate că ecuaţia f n ( x ) = 0, x > 0 are exact două rădăcini an ∈ (0,1) şi bn ∈ (1, ∞) . 5p c) Să se calculeze lim an , unde an s-a definit la punctul b). n→∞
1
2. Se consideră şirul ( I n ) n∈ , unde I 0 = ∫ 0
x
2
+1
1
dx şi I n
=
x n
∫ x2 + 1 dx,
*
n∈ .
0
π
5p
a) Să se arate că I 0 = .
5p
b) Să se arate că I 2n =
5p
1
4
1
− I 2 n −2 , ∀n ∈ , n ≥ 2 . 2n − 1 1 1 1 1 c) Să se arate că lim 1 − + − + ... + ( −1)n −1 = I 0 . n→∞ 3 5 7 2n − 1
Varianta 15
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
16 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 016 5p 1. Să se calculeze modulul numărului complex z = 2 − i . 2+i
5p 2. Să se determine
a ∈ pentru care x
2
+ ax +
2 ≥ 0, oricare ar fi numărul real x .
5p 3. Să se rezolve în intervalul [ −1,1] ecuaţia arcsin 1 + arcsin x = π . 2
3
8 10 Cn = C n ,
5p 4. Să se rezolve ecuaţia n ∈ , n ≥ 10 . 5p 5. Să se afle măsura celui mai mare unghi al triunghiului ABC ştiind că A ( 2, −2 ) , π 2
B ( 2,3 ) , C ( −2,3 ) .
3
5p 6. Fie α ∈ , π astfel încât sin α = . Să se calculeze sin 2α . 5
16 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 016 1. Se consideră mulţimea
G =X
=
a b , ∈ , > 0 a b a . 0 1
5p 5p
a) Să se arate că dacă A, B ∈ G , atunci AB ∈ G . b) Să se găsească două matrice C , D ∈ G pentru care
5p
c) Să se arate că dacă A ∈ G , atunci I 2 − A + A2 ∈ G .
CD ≠ DC .
2. Se consideră a, b, c ∈ şi polinomul f = X 3 + aX 2 + bX + c . 5p a) Să se determine a , b, c astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile x1 = x2 = 1 şi x3 = −2 . 5p b) Să se arate că dacă f are rădăcina 2 , atunci f are o rădăcină raţională. 5p c) Să se arate că dacă a, b, c ∈ , iar numerele f (0) şi f (1) sunt impare, atunci polinomul f nu are rădăcini întregi.
16 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 016 1 2 x sin 2 , x ∈ \ {0} 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = . x 0 , x = 0
5p 5p
a) Să se arate că funcţia f este derivabilă pe b) Să se calculeze lim f '( x).
.
x →∞
5p
c) Să se demonstreze că funcţia f este mărginită pe 2. Pentru fiecare
.
*
n ∈ se consideră funcţia f n :[0,1] → , f n ( x ) = (1 − x ) n . 1
∫0 f2 ( x)dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se arate că
5p
c) Să se calculeze lim ∫
1
1
∫0
xf n ( x )dx = 1
n→∞ 0
(n + 1)(n + 2)
, oricare ar fi n ∈ ∗ .
x dx . n
f n
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 16
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
17 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 017 3 5p 1. Să se arate că numărul (1 + i 3 ) este întreg. 5p 2. Să se determine imaginea funcţiei f : → , f ( x) = x 2 − x + 2 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia −2 x + 1 = 5 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr ab din mulţimea numerelor naturale de două 5p
cifre, să avem a + b = 4 . 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul A(−1,1) şi este perpendiculară pe dreapta d : 5x − 4 y + 1 = 0 .
5p 6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC ştiind că AB = 6 , B = 17
π
4
3 −3 şi B = −1 1
1 0
6
.
8 . 3
−
5p 5p
a) Să se calculeze A2 − B 2 . b) Să se calculeze det( I 2 + A + A2 + A3 + A 4 ) .
5p
c) Să se arate că ecuaţia X 2 = I 2 are o infinitate de soluţii în M 2 ( ) . 2. Se consideră polinoamele f , g ∈ [ X ] , f şi g
17
π
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 017 1. Se consideră matricele A =
5p 5p 5p
şi C =
=
2
X
−
=
X
4
+
X
3
+
X
2
+
X + 1 , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈
1.
a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g. b) Să se calculeze (1 − x1 ) ⋅ ( 1− x2 ) ⋅ (1 − x3 ) ⋅ (1 − x4 ) . c) Să se calculeze g ( x1 ) ⋅ g ( x2 ) ⋅ g ( x3 ) ⋅ g ( x4 ) . SUBIECTUL III (30p) – Varianta 017 1. Se consideră şirul ( xn )n∈* , unde x1 ∈ ( 0,1) şi xn+1 =
5p 5p
a) Să se arate că xn ∈ ( 0,1) , ∀n ∈ * . b) Să se arate că şirul ( xn )n∈* este convergent.
5p
c) Să se arate că lim
xn+ 2
n→∞
xn
2. Se consideră o funcţie π
∫0 x
=
9 16
xn
5
+ 3xn
4
, ∀n ∈ * .
.
f : → , cu proprietatea că xf ( x ) = sin x, ∀x ∈ . 2
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se arate că funcţia
f ( x) dx.
π . 2
f este integrabilă pe intervalul 0,
π
5p
c) Să se arate că
∫12 f ( x ) dx ≤ cos1 .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 17
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
18 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 018 5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia x2 − 2 x + 4 = 0 . 5p 2. Să se afle valoarea minimă a funcţiei f : → , f ( x) = x2 − 3 x + 2 . 5p 3. Să se rezolve în intervalul [ −1,1] ecuaţia arcsin x + arccos 1
2
π
=
2
.
5p 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr k din mulţimea {0,1,2,...,7} , numărul C 7k să fie prim. 5p 5. Să se determine a ∈ pentru care vectorii u = ai + 3 j şi v = 4 i + ( a + 4 ) j sunt coliniari.
5p 6. Să se calculeze AB ⋅ ( AC + BC ) , ştiind că A(−3, 4) , B(4, −3) şi C (1, 2) . 18 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 018 0 0 0 1. Se consideră matricea A = 1 0 0 ∈ M3 () . 1 1 0
5p 5p 5p
a) Să se calculeze A3 . b) Să se afle rangul matricei I3 + A + At . c) Să se determine inversa matricei I 3 + A .
2. Se consideră a, b ∈ şi polinomul f = X 3 + 4aX 2 + 20 X + b , cu rădăcinile x1, x2 , x3 ∈ . 5p a) Să se determine x1, x2 , x3 în cazul a = 2, b = 0 . 5p b) Să se demonstreze că ( x − x )2 + ( x − x )2 + ( x − x ) 2 = 8(4a 2 − 15) . 1
5p 18
1
3
2
3
c) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină dublă egală cu
−
a.
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 018 1. Se consideră funcţia
5p 5p 5p
2
f :[0, ∞) → [0, ∞), f ( x) =
2 x + 1
x + 2 a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f . b) Să se arate că şirul ( xn )n∈ , are limita 1 .
şi şirul ( xn )n∈ dat de x0
=
2, xn +1 = f ( xn ), ∀n ∈ .
c) Să se arate că şirul ( yn ) n∈ dat de yn = x0 + x1 + x2 + ... + xn − n, este convergent. 2. Se consideră funcţiile f : → , f ( x ) = 1 + cos x şi
F : → , F ( x ) = x
x
∫0
f ( t ) dt .
π
5p
a) Să se calculeze
5p 5p
b) Să se arate că F este funcţie pară. c) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei
∫0 f ( x)dx . 2
F .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 18
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
19 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 019 5p 1. Să se ordoneze crescător numerele 3, 3 5, 4 8 . 5p 2. Să se determine funcţia f : → ştiind că graficul său şi graficul funcţiei
g : → , g ( x) = −3 x + 3
sunt simetrice faţă de dreapta x = 1 .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 x 1 − 10 ⋅ 3x 1 + 27 = 0 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta +
5p
+
să aibă toate cifrele pare. 5. Să se determine ecuaţia medianei duse din vârful A al triunghiului ABC , unde A(1,2) , B (2,3) şi C (2, −5) .
5p 6. Să se arate că ctg2 =
ctg1 − tg1 2
.
19 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 019 x + y + z + t = 1 x − y + z + t = 0 şi A matricea sistemului. 1. Se consideră sistemul x + y − z + t = 0 x + y + z − t = 0
5p 5p 5p
a) Să se calculeze det ( A) . b) Să se rezolve sistemul. c) Să se determine A−1 . 2. Fie polinomul f = X 4 + 2 X 3 + aX 2 − 2 X + 1 ∈ [ X ] şi x1 , x2 , x3 , x4 ∈ rădăcinile sale. 1
1
1
1
5p
a) Să se calculeze
5p
2 1 b) Să se arate că f ( x ) = x x − x
5p
c) Să se determine
+
x1
x2
+
x3
+
x4
.
2
1 x − + a + 2 , x
+ 2
∀x ∈
∗
.
a ∈ pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.
19 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 019 1. Se consideră funcţia
f : ( −2, 2 ) → , f ( x) = ln
2 + x
5p 5p
. 2 − x a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f . b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei f .
5p
1 c) Să se calculeze lim x a f , unde a este un număr real. x →∞
2. Se consideră funcţia 5p 5p 5p
a) Să se calculeze b) Să se calculeze
x
f : → , f ( x) =
3 2 − x + 2 x − 5 x + 8
x
2
+4
, ∀x ∈ .
1
∫0 f ( x ) dx . 4
∫1 ( x + f ( x) − 2)
2
dx.
c) Ştiind că funcţia f este bijectivă, să se calculeze
2
∫ 4 f
−1
( x ) dx .
5
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 19
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
20 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 020 5p 1. Să se arate că 2 ∈ ( log 3 4, 5 ) . 5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia x2 − 2 x + 2 = 0 . 5p 3. Să se rezolve în [0,2π ) ecuaţia sin x + cos x = −1 . 5p 4. Să se calculeze C44 + C54 + C 64 . 5p 5. Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M , respectiv N astfel încât
AM
=
4 MB şi MN
BC . Să se determine m ∈ R astfel încât CN
=
m AC .
5p 6. Să se calculeze perimetrul triunghiului OAB , ştiind că O(0,0) , A(−1, 2) şi B(−2,3) . 20 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 020 ay + bx = c 1. Se consideră triunghiul ABC , cu laturile AB = c , BC = a , CA = b şi sistemul cx + az = b . bz + cy = a
5p 5p 5p
a) Să se rezolve sistemul în cazul a = 3, b = 4, c = 5. b) Să se demonstreze că, pentru orice triunghi, sistemul are soluţie unică. c) Ştiind că soluţia sistemului este ( x0 , y0 , z0 ) , să se demonstreze că x0 , y0 , z0 ∈ ( −1, 1) . 2. Se consideră mulţimea
5p 5p 5p
a b a, b ∈ 3 . b a
G =
a) Să se determine numărul elementelor mulţimii G. b) Să se arate că AB ∈ G , pentru orice A, B ∈ G . c) Să se determine numărul matricelor din mulţimea G care au determinantul nul.
20 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 020 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = 2e x + 3x2 − 2 x + 5. 5p a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe [0, ∞ ) . b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă . 5p f ' ( x ) 5p c) Să se calculeze lim . x →∞ f ( x ) 2. Se consideră funcţia 5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se arate că
f : [ 0, ∞ ) → , f (t ) =
1
∫ 0 (t 1
∫1
3
+ 1)
1 2
3
(1 + t )(1 + t )
.
f (t ) dt .
f ( t ) dt =
x 3
∫1 t
f ( t ) dt, ∀x > 0.
x
5p
x
c) Să se calculeze lim ∫
x →∞ 1 x
f ( t ) dt .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 20
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
21 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 021 5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia x2 − 8 x + 25 = 0 . 5p 2. Să se determine a ∈ , pentru care graficul funcţiei f : → , f ( x) = ( a + 1) x 2 + 3 ( a − 1) x + a − 1 , intersectează axa Ox în două puncte distincte.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 8 − 6 x − 1 = 1 . 5p 4. Să se calculeze C 4 − C 4 − C 3 . 8 7 7 5p 5. Să se determine ecuaţia perpendicularei duse din punctul A(1, 2) pe dreapta
d : x + y −1 = 0 .
5p 6. Ştiind că sin x = 1 , să se calculeze cos2 x . 3
21 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 021 1. Pentru 5p 5p 5p
a , b, c ∈
∗
ax + by + cz = b , se consideră sistemul cx + ay + bz = a , x, y, z ∈ . bx + cy + az = c
a) Să se arate că determinantul sistemului este ∆ = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc). b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat. c) Ştiind că a 2 + b2 + c 2 − ab − ac − bc = 0 , să se arate că sistemul are o infinitate de soluţii ( x, y, z ) , astfel încât x 2
+
y
2
=
z −1 .
2. Se consideră mulţimea
a b a, b, c ∈ 4 . 0 c
G =
5p 5p
a) Să se determine numărul elementelor mulţimii G.
5p
c) Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei X 2 =
b) Să se dea un exemplu de matrice A ∈ G cu proprietatea că det A ≠ 0ˆ şi det A2 = 0ˆ . 1ˆ 0ˆ , X ∈ G . ˆ 0ˆ 0
21
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 021 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = ( x − 1)( x − 3)( x − 5)( x − 7) . f ( x ) 5p a) Să se calculeze lim 4 . x →∞
x
1
5p
b) Să se calculeze lim f ( x ) x . x →∞
5p
c) Să se arate că ecuaţia 2. Se consideră funcţiile
f ′ ( x ) = 0 are exact trei rădăcini reale.
f n : → , f n ( x) =
1 2
2
, n ∈ * .
5p
n +x a) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei f 1 , axele de coordonate şi dreapta x = 1.
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se arate că lim n ( f n (1) +
1
∫0
2
x ( f1 ( x) ) dx .
n→∞
f n (2) + f n (3) + ... + f n ( n) ) =
π
4
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 21
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
22 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 022 5p 1. Să se calculeze 1 + i + i 2 + ... + i10 . 5p 2. Se consideră funcţiile f , g : → , f ( x ) = x 2 − 3x + 2, g ( x ) = 2x − 1 . Să se rezolve ecuaţia ( f
g )( x) = 0 .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg( x + 9) + lg ( 7 x + 3) = 1 + lg( x 2 + 9) . 5p 4. Să se rezolve inecuaţia C n2 < 10 , n ≥ 2 , n natural. 5p 5. Se consideră dreptele paralele de ecuaţii d1 : x − 2 y = 0 şi
d 2 : 2x − 4 y − 1 = 0 . Să se calculeze distanţa
dintre cele două drepte.
5p 6. Să se calculeze sin75 + sin15 . 22 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 022 x + y + z = 0 1. Fie sistemul ax + by + cz = 0 , cu a, b, c ∈ , distincte două câte două şi A matricea sistemului. 3 3 3 a x + b y + c z = 1
5p
a) Să se arate că det ( A) = ( a + b + c)( c − b )( c − a )( b − a ) . 5p b) Să se rezolve sistemul în cazul a + b + c ≠ 0 . 5p c) Să se demonstreze că dacă a + b + c = 0 , atunci sistemul este incompatibil. 2. Se consideră şirul de numere reale (an ) n∈ , cu a0 = 0 şi an+1 = an2 + 1 , ∀ n ∈ şi polinomul f
5p 5p 5p 22
∈ [ X ] ,
cu f (0) = 0 şi cu proprietatea că f ( x 2
a) Să se calculeze f ( 5) . b) Să se arate că ∀ n ∈ , c) Să se arate că f = X .
+ 1 , ∀ x ∈
.
f ( an ) = an .
f : → , f ( x) =
x x 4 + 3
.
a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ . b) Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f . c) Să se arate că f ( x ) − f ( y ) ≤ x − y , ∀x, y ∈ . 3
2. Se consideră funcţia 5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se calculeze
5p
(x )) 2
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 022 1. Se consideră funcţia
5p 5p 5p
+ 1) = ( f
f : → , f ( x ) = x − 3x + 2 .
3 f
( x)
∫2 x − 1 dx . 2
0
x − 13
−
f ( x)
∫1
dx .
c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei
g : → , g ( x) =
x
∫0
2
f (t ) et dt .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 22
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
23 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 023 5p 1. Să se calculeze suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice ( an ) , ştiind că n≥1 a1 + a3 + a5
+ a 6 = 30
a4
− a2 =
4 şi
.
5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 3 = x + 2
x −1 x−2
.
5p 3. Să se calculeze tg − arctg . 2 2 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea {1,2,3,...,40} , numărul 2n+ 2 ⋅ 6n 1
π
să fie pătrat perfect.
5p 5. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC , dacă A(5, −3), B(2, −1), C ( 0,9 ) . 5p 6. Ştiind că tgα = 2 , să se calculeze sin4α . 23
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 023 1. Se consideră matricea A =
0 1
5 = i mul imea ş ţ C A ( ) X 0
a 5b ∈ , a b . b a
=
5p
a) Să se arate că
5p 5p
b) Să se arate că dacă Y ∈ C ( A) şi Y 2 = O2 , atunci Y = O2 . c) Să se arate că dacă Z ∈ C ( A ) , Z ≠ O2 şi Z are toate elementele raţionale, atunci det Z ≠ 0 . 2. Se consideră
∀ X ∈ C
( A) , XA = AX .
a ∈ 3 şi polinomul f
=
X3
ˆX +2
2
+
a ∈ 3 [ X ] .
( ) + f (1ˆ ) + f ( 2ˆ ) .
f 0ˆ
5p
a) Să se calculeze
5p 5p
b) Pentru a = 2ˆ , să se determine rădăcinile din 3 ale polinomului f . c) Să se determine a ∈ 3 pentru care polinomul f este ireductibil în 3 [ X ] .
23 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 023 1. Se consideră funcţia
f : → , f ( x) = x3
+
x +1.
1
5p
a) Să se arate că, pentru orice
5p
b) Să se arate că lim xn = 1 , unde xn este soluţia reală a ecuaţiei
n ∈ , ecuaţia f ( x ) = 3 +
n +1
n→∞
5p
are o unică soluţie xn ∈ . f ( x ) = 3 +
c) Să se determine lim n ( xn − 1) , unde xn este soluţia reală a ecuaţiei n→∞
2. Se consideră funcţia a
f : [ 0, ∞ ) → , f ( x) =
1 n +1
f ( x ) = 3 +
, n∈ . 1 n +1
, n∈ .
x sin t
∫0 1 + t dt .
1
5p
a) Să se arate că
5p 5p
b) Să se arate că f ( x) < ln(1 + x), ∀x > 0 . c) Să se arate că f (π) > f (2π) .
∫0 1 + t dt = ln(1 + a), ∀a > −1 .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 23
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
24 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 024 5p 1. Să se calculeze z + 1 pentru z = −1 + i 3 . 5p
z 2 2. Să se determine funcţia de gradul al doilea f : → pentru care f (−1) = f (1)
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 x + log 4 x + log 8 x =
11 6
= 0,
f (2) = 6 .
.
5p 4. Să se demonstreze că dacă x ∈ şi x ≥ 1 , atunci (1 + x) 2 + (1 − x) 2 ≥ 4 . 5p 5. Să se determine ecuaţia înălţimii duse din B în triunghiul ABC , ştiind că A(0, 9) , B(2, −1) şi C (5, −3) .
5p 6. Să se calculeze ( 2i + 5 j ) ⋅ ( 3i − 4 j ) . 24
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 024 1. Se consideră o matrice A ∈ M3 ( ) . Se notează cu A t transpusa matricei A.
( ) , det ( zX ) = z 3 det ( X ) .
5p
a) Să se demonstreze că
5p
b) Să se demonstreze că det ( A − A t ) = 0 .
5p
c) Ştiind că A ≠ A t , să se demonstreze că rang ( A − A t ) = 2 .
∀ z ∈ , ∀ X ∈ M3
2. Se consideră polinomul f ∈ [ X ] , cu f = X 4 − 5 X 2 + 4 . 5p a) Să se determine rădăcinile polinomului f . 5p b) Să se determine polinomul h ∈ [ X ] , pentru care h(0) = 1 şi care are ca rădăcini inversele rădăcinilor polinomului f .
5p
c) Ştiind că g este un polinom cu coeficienţi întregi, astfel încât g ( −2 ) = g ( −1) = g (1) = g ( 2 ) = 2 , să se arate că ecuaţia g ( x ) = 0 nu are soluţii întregi.
24 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 024 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = x − sin x . a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. 5p b) Să se arate că graficul funcţiei nu are asimptote. 5p 5p c) Să se arate că funcţia g : → , g ( x) = 3 f ( x) este derivabilă pe
.
e− x − e−2 x , x > 0 . 2. Se consideră funcţia f : [ 0, ∞ ) → , f ( x ) = x 1 , x = 0
5p
a) Să se arate că funcţia f are primitive pe [0, ∞ ) .
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Folosind eventual inegalitatea
1
∫0 xf ( x) dx . e x
≥
x + 1, ∀x ∈ , să se arate că 0 ≤
x
∫0 f ( t ) dt < 1, ∀x > 0.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 24
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică informa- tică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - .informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
25 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 025 5p 1. Să se calculeze (1 − i )(1 + 2i ) − 3 ( 2 − i ) . 5p 2. Să se arate că pentru oricare
a ∈ ∗ , dreapta y = x + 4
intersectează parabola y = ax2 + ( a − 2 ) x + 1 .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x − 3 ⋅ 2 x 1 + 8 = 0 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea {10,11,12,...,40} , suma cifrelor lui să fie divizibilă cu 3. 5p 5. În triunghiul ABC punctele M , N , P sunt mijloacele laturilor. Fie H ortocentrul triunghiului MNP. Să se demonstreze că AH = BH = CH . +
5p 6. Să se calculeze sin π 6
π + sin 4 6
π
+
. 4
π
−
25 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 025 1. În mulţimea 5p 5p 5p
5p 5p 5p
S3
a permutărilor de 3 elemente se consideră permutarea
1 2 3 . 3 1 2
σ=
a) Să se verifice că permutarea σ este pară. b) Să se determine toate permutările x ∈ S3 , astfel încât xσ = σx . c) Să se rezolve ecuaţia x2 = σ , cu x ∈ S3 . 2 2 2. Se consideră matricea A = şi mulţimea −1 −1
{
G = X ( a ) = I2
+
aA a ∈ \ { − 1 }
}.
a) Să se arate că ∀ a, b ∈ \ { − 1} , X ( a ) X ( b ) = X ( ab + a + b ) . b) Să se arate că ( G, ⋅ ) este un grup abelian, unde ,, ⋅ ” reprezintă înmulţirea matricelor. c) Să se determine t ∈ astfel încât X (1) X (2)...X (2009) = X (t − 1) .
25 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 025 5p 5p 5p
1 : (0, ∞) → , f ( x ) = ln 2 x . 2 a) Să se arate că funcţia este convexă pe intervalul (0, e ] . b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei. ln 3 ln 4 ln 5 ln n c) Să se arate că şirul (an ) n≥3 , dat de an = + + + ... + − f ( n ) , este descrescător. 3 4 5 n
1. Se consideră funcţia
f
2. Se consideră funcţia
f : 0, → , f ( x ) = cos x . 2
π
5p 5p
a) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei f şi axele de coordonate. b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei Ox .
5p
c) Să se calculeze lim 1 − f
n→∞
1 n
1 + n
f
2 + n
f
3 + ... + n
f
n . n
f
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 25
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
26 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 026 5p 1. Fie z1 şi z2 soluţiile complexe ale ecuaţiei 2 z 2 + z + 50 = 0 . Să se calculeze z1 + z2 . 5p 2. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = 1 − 2 x . Să se arate că funcţia f f f este strict descrescătoare. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x + 9 x = 2 . 5p 4. Fie mulţimea A = {−2, − 1, 0, 1, 2} şi o funcţie bijectivă f : A → A . Să se calculeze f ( −2 ) + f ( −1) + f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 ) . 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( −1, 3) şi B (1, − 1) . Să se determine ecuaţia mediatoarei segmentului AB . 5p 6. Fie α ∈ π , π cu sin α = 1 . Să se calculeze tgα . 3 2 26
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 026 0 −1 cos t − sin t , cu t ∈ . 1. Se consideră matricele A = şi B = cos t 1 0 sin t 5p a) Să se arate că dacă matricea X ∈ M2 () verifică relaţia AX = XA , atunci există a, b ∈ , astfel încât X =
−b
a b
a
. *
5p
b) Să se demonstreze că
5p
c) Să se rezolve în mulţimea 2. Se consideră
∀ n∈
cos nt sin nt
, B n =
M2 ( )
a ∈ şi polinomul f
1
1
1
1
sin nt . cos nt
−
ecuaţia X 2 = A . =
3 X 4 − 2 X 3 + X 2 + aX − 1∈ [ X ] .
5p
a) Să se calculeze
5p 5p
b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la ( X − 1) 2 . c) Să se demonstreze că f nu are toate rădăcinile reale.
x1
+
x2
+
x3
+
x4
, unde x1 , x 2 , x3 , x4 ∈ sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 026 1. Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = arctg x − arcctg x . a) Să se determine asimptota la graficul funcţiei f spre + ∞ . 5p b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe R . 5p c) Să se arate că şirul ( xn )n≥1 , dat de xn+1 = f ( xn ) , ∀n ∈ N∗ şi x1 = 0, este convergent . 5p
26
2. Fie funcţia f : [ −1,1] → R, f ( x ) = arcsin x . 5p a) Să se arate că funcţia g :[−1,1] → , g ( x) = xf ( x) are primitive, iar acestea sunt crescătoare. 1
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se arate că
2
∫ 0 f ( x) d x . 1
∫0
x f ( x) dx ≤
π
4
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 26
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 027 5p 1. Să se calculeze modulul numărului complex z = 1 + i + i 2 + i 3 +… + i 6 . 5p 2. Să se determine valoarea maximă a funcţiei f : → , f ( x ) = −2 x 2 + x . 5p 3. Să se rezolve în intervalul ( 0; ∞ ) ecuaţia lg 2 x + 5lg x − 6 = 0 . 5p 4. Să se determine numărul funcţiilor f : {0,1,2,3} → {0,1,2,3} care au proprietatea f ( 0 ) = f (1) = 2 . 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele O ( 0, 0 ) , A (1, 2 ) şi B ( 3, 1) . Să se determine măsura unghiului AOB . 5p 6. Ştiind că α ∈ şi că sin α + cosα = 1 , să se calculeze sin2α . 3 27 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 027 0 0 1 0 1. În mulţimea M'2 ( ) , se consideră matricele A = şi I 2 = . 1 0 0 1 5p a) Să se determine rangul matricei A + I 2 . 5p b) Să se demonstreze că dacă X ∈ M'2 ( ) astfel încât AX = XA , atunci există x, y ∈ astfel x 0 încât X = . y
x
c) Să se demonstreze că ecuaţia Y 2 = A nu are nicio soluţie în mulţimea M' 2 ( ) . 2. Pe mulţimea se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x + y + xy . 5p a) Să se arate că legea „ ∗ ” este asociativă. 5p b) Fie funcţia f : → , f ( x ) = x + 1 . Să se verifice relaţia f ( x ∗ y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) , ∀x , y ∈ . 1 1 1 1 ∗ . 5p c) Să se calculeze 1 ∗ ∗ ∗ ... ∗ 2 3 2008 2009 5p
27 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 027 1. Fie funcţia f : [ −1,1] → R, f ( x ) = ( x − 1)arcsin x. f ( x) . a) Să se calculeze lim 2 5p x →0 x
5p 5p
−
x
b) Să se determine punctele în care funcţia f nu este derivabilă . c) Să se arate că funcţia f este convexă. 2. Se consideră funcţiile
f : R → R, f ( x ) = 1 + x + x 2 + x3
5p 5p
a) Să se arate că funcţia b) Să se arate că funcţia
5p
c) Să se calculeze
a
∫0
este strict crescătoare pe F este bijectivă .
F 1
F−
( x ) d x , unde
F −1
+
x4 şi F : → , F ( x ) =
x
∫0 f ( t ) dt.
R.
este inversa funcţiei
F şi a = 1 +
1 1 1 1 . + + + 2 3 4 5
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 27
Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică teoretică, profilul real, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. Filiera vocaţ vocaţională ională, profilul militar, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. acordă 10 puncte din oficiu. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă rezolv ări complete. • La toate subiectele se cer rezolvă
28 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 028 5p 1. Să se calculeze (1 + i )10 + (1 − i)10 . 5p 2. Fie funcţ funcţia f : → ,
( 2 ) , f ( 3 ) şi f ( 2) .
2
Să se ordoneze crescă crescător numerele f f ( x ) = 6 x − 3 x . Să
5p 3. Să se rezolve în mulţ mulţimea numerelor reale ecuaţ ecuaţia 2 x − 1 = 3 . 5p 4. Să se determine numă numărul funcţ funcţiilor f : {0,1, 2, 3} → {0,1, 2, 3} care au proprietatea că că f ( 0 ) este numă număr impar.
5p 5. Fie triunghiul ABC şi M ∈ ( BC ) astfel încât BM = 1 . Să Să se demonstreze că că 3
BC
AM
=
2 1 AB + AC . 3 3
3 π 5p 6. Ştiind că că α ∈ , π şi că că sin α = , să să se calculeze tg α .
2
5
28 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 028 1. Se consideră matricea A =
1 0 . 0 8
5p 5p
a) Să se rezolve ecuaţia det( A − xI 2 ) = 0 . b) Să se arate că dacă matricea X ∈ M2 ( ) verifică relaţia AX
=
XA , atunci există a , b ∈ astfel
a 0 0 b
încât X =
5p
c) Să se determine numărul de soluţii ale ecuaţiei X 3 = A , X ∈ M2 () . 2. Se consideră mulţimea de funcţii
5p 5p 5p 28
a) Să se calculeze f
1, 2
−
G=
{ f a, b :
→
}
*
f a, b ( x ) = ax + b , a ∈ , b ∈ .
f −1, 2 , unde „ ” este compunerea funcţiilor.
b) Să se demonstreze că ( G , ) este un grup. c) Să se arate că grupul G conţine o infinitate de elemente de ordin 2. SUBIECTUL III (30p) – Varianta 028 1. Fie funcţia f : [0, 3] → R, f ( x ) = { x} (1 − { x}) , unde { x} este partea fracţionară a numărului x .
5p
a) Să se calculeze lim f ( x ) .
5p 5p
b) Să se determine domeniul de continuitate al funcţiei f . c) Să se determine punctele în care funcţia f nu este derivabilă .
x →1 x <1
2. Se consideră funcţiile f : R → R, f ( x ) =
1 2 − sin x
şi F : [ 0, + ∞ ) → R, F ( x ) =
x
∫0 f (t) dt .
π
2
∫0 f ( x ) cos x d x.
5p
a) Să se calculeze
5p 5p
b) Să se demonstreze că funcţia c) Să se determine lim F ( x).
F este strict crescătoare.
x →∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 2009-MATEMATIC Ă - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 28
Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică teoretică, profilul real, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. Filiera vocaţ vocaţională ională, profilul militar, specializarea matematică matematic ă - informatică informatică. acordă 10 puncte din oficiu. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă rezolv ări complete. • La toate subiectele se cer rezolvă
29 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 029 5p 1. Să se demonstreze că că numă numărul a = 7 + 4 3 + 7 − 2 3 este numă număr natural. 5p 2. Se consideră consideră funcţ funcţia f : → , f ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 2 . Să Să se rezolve inecuaţ inecuaţia
f ( 2 x ) ≤ 0 .
5p 3. Să se rezolve în mulţ mulţimea numerelor reale ecuaţ ecuaţia x = 2 − x . mulţime din mulţ mulţimea submulţ submulţimilor nevide ale mulţ mulţimii 5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o mulţ să aibă aibă toate elementele impare. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , aceasta să 5p 5. Fie punctele A ( 2, 0 ) , B (1,1) şi C ( 3, −2 ) . Să Să se calculeze sin C . π 5p 6. Ştiind că că α ∈ 0 , şi că că tg α + ctg α = 2 , să să se calculeze sin2α .
2
29 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 029 x + y + z = 0 1 1 1 1. Se consideră sistemul mx + y + z = m − 1 , m ∈ şi matricea A = m 1 1 . 1 m 2 x + my + 2 z = −1
5p 5p 5p
a) Să se determine m ∈ pentru care det ( A) = 0 . b) Să se arate că pentru orice m ∈ sistemul este compatibil. c) Să se determine m ∈ ştiind că sistemul are o soluţie ( x0 , y0 , z0 ) cu z0 = 2 . 2. Se consideră mulţimea O2
5p 5p 5p 29
=
0ˆ ˆ 0
0ˆ şi I 2 0ˆ
=
1ˆ ˆ 0
M2 ( 3 ) , submulţimea G = X
a 2ˆ b şi matricele b a
X =
a) Să se verifice că dacă x, y ∈ 3 , atunci x 2 + y 2 = 0ˆ dacă şi numai dacă x = y = 0ˆ . b) Să se arate că mulţimea H = G \{O2 } este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din M2 ( 3 ) . c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = I 2 , X ∈ G . SUBIECTUL III (30p) – Varianta 029 1. Se consideră n ∈ * şi funcţiile fn , gn : →, fn (x) =1− x + x2− x3+ ...− x2n−1+ x2n, gn (x) = x2n+1+ 1. g n′ ( x)
a) Să se verifice că f n′ ( x) =
5p
1 b) Să se calculeze lim f n′ . n→∞
x + 1
−
g n ( x)
( x + 1) 2
, ∀x ∈ \ {−1}.
2
c) Să se demonstreze că f n are exact un punct de extrem local. 1
2. Se consideră şirul ( I n )n∈N∗ definit prin I n = ∫ 0 5p 5p 5p
(3 )
0ˆ . 1ˆ
5p
5p
∈ M2
x n
1 + x 3
dx, ∀n ∈ N∗ .
a) Să se calculeze I 2 . b) Să se demonstreze că şirul ( I n )n∈N∗ este strict descrescător . c) Să se calculeze lim I n . n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ 2009-MATEMATIC Ă - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 29
Ministerul Educaţ Educaţiei, Cercetă Cercetării şi Inovă Inovării Centrul Naţ Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţă Înv ăţământul mântul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
•
La toate subiectele se cer rezolvă rezolv ări complete.
30 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 030 1
5p 1. Să se demonstreze că numărul
1
+
1+ 2
2+ 3
f : → , f ( x ) = x 2
5p 2. Se consideră funcţia
−
1
+
+… +
3+ 4
1 99 + 100
este natural.
mx + 2 . Să se determine mulţimea valorilor parametrului
real m pentru care graficul funcţiei f intersectează axa Ox în două puncte distincte.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 ( x + 1) + log 3 ( x + 3) = 1 . 5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o mulţime din mulţimea submulţimilor nevide ale mulţimii A = {1, 2, 3, 4, 5} , aceasta să aibă produsul elementelor 120. 5p 5. Se consideră punctele A ( 0, 2 ) , B (1, −1) şi C ( 3,4 ) . Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC .
5p 6. Să se demonstreze că sin π = 2 − 2 . 8
30
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 030 1. Se consideră nume numere rele le real realee a , b, c , funcţia A =
1 a
1 b
1 c
3
3
3
a
5p 5p 5p
2
b
c
şi B =
1 a f ( a )
1 b f (b)
f : → , f ( x ) = x
3
+ 2x + 3
şi determinanţii
1 c . f (c)
a) Să se arate că A = ( a − b ) ( b − c )( ) (c − a)(a + b + c) . b) Să se arate că A = B . c) Să se arate că, pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, situate pe graficul funcţiei f , aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr natural divizibil cu 3.
2. Se consideră matricea A =
3 şi mulţimea G = { X ( a ) = I 2 −9
−1
3
5p
a) Să se arate că
5p
b) Să se arate că mulţimea H = X ( a )
∀ a, b ∈ ,
+
}
aA a ∈ .
X ( a ) X ( 0 ) = X ( a ) şi X ( a) X ( b) = X ( a + b − 10 ab).
1 este parte stabilă a lui 10
a ∈ \
M2 ( ) în raport cu
înmulţirea matricelor.
5p 30
c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = I 2 ,
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 030 1. Se consideră funcţia
5p
f : R → R, f ( x ) = x −
a) Să se determine lim
x →− ∞
5p 5p
X ∈G . x3
6
− sin x .
f ( x ) .
b) Să se calculeze derivata a doua a doua funcţiei f . c) Să se demonstreze că f ( x ) ≤ 0, ∀x ≥ 0 . 2. Fie funcţia
f : R → R, f ( x ) =
1 + x 1 + x 2
.
5p
a) Să se arate că funcţia
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se arate că şirul ( an )n∈N , definit de
F : R → R, F ( x ) = arctg x +
1 2
(
)
ln x 2 + 1 este o primitivă a funcţiei f .
1
∫0 f ( x)dx . ∗
n
an =
n + k
∑ n 2 + k 2 , ∀n ∈ N k =1
∗
, este convergent. Varianta 30
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
31 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 031 5p 1. Ştiind că log 3 2 = a , să se arate că log 16 24 = 1 + 3a . 4a 5p 2. Să se determine două numere reale care au suma 1 şi produsul −1 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 x 1 + 2 x 2 = 160. 5p 4. Într-o clasă sunt 22 de elevi, dintre care 12 sunt fete. Să se determine în câte moduri se poate alege un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete şi 2 băieţi. 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) , B ( −1, 1) şi C (1, 3) . Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul C şi este paralelă cu dreapta AB. 5p 6. Să se arate că sin 6 < 0 . +
31
+
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 031
1. Pentru x ∈ se consideră matricea A( x) = x + 1 1 2
x − 1 ∈ M2 ( ) . x − 1 2
5p
a) Să se verifice că ( A( x) )
5p
b) Să se determine toate numerele complexe x pentru care ( A( x ) )4 + ( A( x ) )2 = O2 .
5p
c) Să se arate că ecuaţia X 2 = A ( 0 ) , 2. Se consideră polinomul a100 X 100
a99 X 99
f
=
2 xA( x). X ∈ M 2 ( )
[ X ] , f
∈
=
nu are soluţii.
100
( X + i)
+
100
( X − i)
5p
... + a1X + a 0 . a) Să se calculeze a100 + a99 .
5p 5p
b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la X 2 − 1 . c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale.
f
=
+
, care are forma algebrică
+
31 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 031
1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = | x2 − x | . 5p a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre − ∞ . 5p b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f . c) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f . 5p 1 x n 2
2. Se consideră şirul ( I n )n∈N dat de I n = ∫ 0 ∗
5p
a) Să se calculeze I 2 .
5p
b) Să se verifice că I n+ 2 + I n =
5p
c) Să se calculeze lim nI n .
1 n +1
x
+
1
dx, ∀n ∈ N∗.
, ∀n ∈ N∗.
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 31
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică. • •
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. La toate subiectele se cer rezolvări complete.
32 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 032 5p 1. Se consideră numărul real s = 1 + 1 + 1 + 1 + … + 1 . Să se demonstreze că s ∈ (1; 2 ) . 2 22 23 22009 5p 2. Se consideră funcţiile f , g : → , f ( x ) = 2 x − 1 şi g ( x ) = −4 x + 1 . Să se determine coordonatele punctului de intersecţie a graficelor celor două funcţii. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x = 1 + cos2 x . 5p 4. Fie mulţimea A = {−2, − 1, 0, 1, 2} . Să se determine numărul funcţiilor pare f : A → A . 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) , B ( −1, 1) şi C (1, 3) . Să se determine coordonatele punctului D ştiind că patrulaterul ABCD este paralelogram. 5p 6. Ştiind că x ∈ π ; π şi că sin x = 3 , să se calculeze sin x . 5 2 2 32 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 032 ax + y + z = 1 3 1. Se consideră în sistemul x + ay + z = 1 , a ∈ . x + y + az = a
5p 5p 5p
a) Să se arate că determinantul matricei sistemului are valoarea (a + 2)(a − 1) 2 . b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat. c) Să se rezolve sistemul în cazul a = −2 . a 10b 2 2 2. Se consideră mulţimea G ⊂ M2 ( ) , G = | a, b ∈ , a − 10b = 1 . b
5p 5p 5p
a
19 60 ∈G . 6 19 b) Să se arate că X ⋅ Y ∈ G , pentru oricare X , Y ∈ G . c) Să se demonstreze că mulţimea G este infinită.
a) Să se verifice că A =
32 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 032 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = arctg ( x + 2) − arctg x. 5p a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ R . π
5p
b) Să se demonstreze că 0 < f ( x ) ≤ , ∀x ∈ R . 2
5p
c) Să se demonstreze că funcţia 2. Se consideră funcţiile
f
∫1
: R → R, f ( x ) =
'(x )
2 f
g : → , g ( x ) = f ( x ) + arctg x
3
3
( x + 1) 2 este constantă. 2
− x + arctg x şi g : R → R, g ( x ) = arctg x .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se determine lim
5p
c) Să se calculeze aria suprafeţei cuprinse între graficele celor două funcţii şi dreptele x = 0 şi x = 1 .
x
1
x →∞ x3
dx . x
∫ 0 f (t )dt .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 32
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
33 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 033 5p 1. Să se arate că numărul log4 16 + log3 9 + 3 27 este natural. 5p 2. Să se determine valoarea minimă a funcţiei f : → , f ( x) = 3x 2 + 4 x + 2 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 16 x + 3 ⋅ 4x = 4 . 5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea {
n
| n ∈ , n < 100} , acesta să
fie număr raţional. 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) , B ( −1, 1) , C (1, 3) şi D ( a, 4 ) , unde a ∈ . Să se determine a ∈ astfel încât dreptele AB şi CD să fie paralele.
5p 6. Ştiind că x ∈ şi că tg x = 1 , să se calculeze tg x + π . 3 2 33 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 033 1 0 0 0 1 0 1. Se consideră matricele I 3 = 0 1 0 , B = 0 0 1 şi A = aI 3 + bB + cB 2 , a, b, c ∈ . 0 0 1 1 0 0
5p
a) Să se calculeze B3 . b) Să se calculeze B −1 . c) Să se demonstreze că
=
5p
2. Se consideră corpul ( 7 , +, ⋅) şi H ˆˆˆˆ . a) Să se arate că H = {0,1,2,4}
5p
b) Să se arate că, pentru orice
există x, y ∈ 7 astfel încât
5p
c) Să se arate că { x 2000 | x ∈ 7 } = H .
5p 5p
∀a
, b, c ∈ , ( a + b + c ) det ( A ) ≥ 0 .
a ∈ 7
{x2
x ∈ 7
}.
33 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 033 1 1. Fie funcţia f : ( 0, + ∞ ) → , f ( x ) = şi şirul ( an ) n≥1,
5p 5p 5p
5p 5p
2
+
y
2
.
1 1 1 1 , ∀n ∈ ∗. + + + ... + 1 2 2 3 3 n n x a) Să se arate că funcţia f ′ este strict crescătoare pe intervalul ( 0, + ∞ ) . 1 1 1 1 b) Să se demonstreze că , ∀k ∈ N∗. < − < k k + 1 2k k 2(k + 1) k + 1 c) Să se demonstreze că şirul (an )n≥1 este convergent.
2. Se consideră funcţiile 5p
a=x
a) Să se arate că
f n : [ 0, + ∞ ) → R, f n ( x ) = 2
x + 1
x n
∫0 t
an =
arctg t dt, ∀n ∈ N∗.
x
arctg x − , ∀x ≥ 0 . 2 2 1 π b) Să arate că f n (1) ≤ ⋅ , ∀n ≥ 1 . 4 n +1 c) Să se calculeze lim nf n (1) . f1 ( x ) =
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 33
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
34 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 034 5p 1. Să se calculeze modulul numărului complex z = (3 + 4i) 4 . 5p 2. Să se arate că vârful parabolei asociate funcţiei f : → , f ( x ) = 2 x 2 + 2 x + 1 se găseşte pe dreapta de ecuaţie x + y = 0 . 5p 3. Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei sin x = sin 2 x din intervalul [0, 2π ) . 5p 4. Fie mulţimea A = {1,2,3,4,5} . Să se determine numărul funcţiilor bijective f : A → A , cu proprietatea că f (1) = 2 . 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(2, −1) , B(−1,1) , C (1,3) şi D (a,4) , a ∈ . Să se determine a ∈ pentru care dreptele AB şi CD sunt perpendiculare. 5p 6. Se consideră triunghiul ascuţitunghic ABC în care are loc relaţia sin B + cos B = sin C + cos C . Să se demonstreze că triunghiul ABC este isoscel. 34
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 034 4 1. Se consideră matricele K = (1 2 3) ∈ M1,3 ( ) , L = 5 ∈ M 3,1 ( ) şi A = LK . 6
a) Să se calculeze suma elementelor matricei A . b) Să se arate că A2 = 32 A . c) Să se arate că rangul matricei An este 1, oricare ar fi n ∈ ∗ . 2. Pe mulţimea se consideră legea de compoziţie x ∗ y = axy − x − y + 6 , este o constantă reală. 1 5p a) Pentru a = , să se demonstreze că legea „ ∗ ” este asociativă. 3 5p 5p 5p
5p
b) Să se arate că legea „ ∗ ” admite element neutru dacă şi numai dacă
5p
c) Să se arate că, dacă intervalul [0, 6] este parte stabilă a lui
a=
∀ x
, y ∈ , unde a
1 . 3
1 1 în raport cu legea „ ∗ ” , atunci a ∈ , . 6 3
34 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 034
1. Se consideră funcţia
f : ( 0, + ∞ ) → R, f ( x ) =
1 x + 1
− ln x +
3 1 + ln x + şi şirul ( an )n∈N , 2 2 ∗
1 1 1 ∗ + ... + − ln n + , ∀n ∈ N . 2 n 2 a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe intervalul ( 0, + ∞ ). b) Să se arate că f ( x ) < 0, ∀ x ∈ ( 0, +∞ ). c) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈N este strict descrescător . an = 1 +
5p 5p 5p
∗
2. Se consideră funcţiile 5p 5p 5p
f n : [ 0,1] → R, f n ( x ) =
a) Să se calculeze derivata funcţiei 1 b) Să se calculeze f 1 . 2 c) Să se determine xlim f 2 ( x ) . →1 x < 1
x n
∫0 t
arcsin t dt ,
∀n ∈ N
∗
.
f 3 .
Varianta 34
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
35 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 035 5p 1. Să se calculeze modulul numărului ( 2 + i )3 + ( 2 − i )3 . 5p 2. Graficul unei funcţii de gradul al doilea este o parabolă care trece prin punctele A (1, − 3), B(−1, 3) , C (0,1) . Să se calculeze valoarea funcţiei în punctul x = 2 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 ⋅ 4 x − 6 x = 2 ⋅ 9 x . 5p 4. Se consideră mulţimea A = {0,1,2,..., 2009} . Să se determine probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea A, acesta să fie divizibil cu 5. 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 0, − 3) şi B ( 4, 0 ) . Să se calculeze distanţa de la punctul O la dreapta AB. 5p 6. Să se calculeze aria unui paralelogram ABCD cu AB = 6 , AD = 8 şi m ( ADC ) = 135 .
35 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 035 1 2 −1 2 1. Se consideră matricele A = 2 2 0 şi B = 1 . 1 4 −3 5 5p 5p 5p
a) Să se arate că ecuaţia AX
=
B
are o infinitate de soluţii X ∈ M3,1 ( ) .
b) Să se verifice că A3 = 10 A . c) Să se determine rangul matricei A* , adjuncta matricei A. 2. Se consideră mulţimea [ 2] = { a + b 2 a, b ∈ } , funcţia
f : [
2] → ,
2) = a 2 − 2b 2 , ∀a, b ∈ şi mulţimea A = { x ∈ 2 f ( x ) = −1} . a) Să se arate că 7 + 5 2 ∈ A . b) Să se arate că, pentru orice x, y ∈ 2 , f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . f ( a + b
5p 5p
5p c) Să se arate că mulţimea A este infinită. 35 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 035 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x − ln(e x + 1) . a) Să se arate că funcţia f ′ este strict descrescătoare pe 5p 5p b) Să se arate că lim x a f ( x) = 0, ∀a ∈ .
R.
x →∞
5p
c) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f . 2. Fie şirul ( I n )n∈N∗ dat de I n
5p 5p 5p
=
2
∫0 (2 x − x
2 n
) dx, ∀n ∈ ∗.
a) Să se calculeze I 1 . b) Să se demonstreze că ( 2n + 1) I n = 2nI n−1 , ∀n ∈ N∗, n ≥ 2. c) Să se arate că şirul ( I n )n∈∗ tinde descrescător către 0.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 35
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
36 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 036 5p 1. Se consideră numărul raţional 1 scris sub formă de fracţie zecimală infinită 1 = 0, a1a2 a3 ... . 7
7
Să se determine a60 .
5p 2. Fie funcţiile f , g : → , f ( x ) = 2 − x, g ( x) = 3 x + 2 . Să se calculeze ( f g )( x) − ( g f )( x). 5p 3. Să se demonstreze că funcţia f : → , f ( x ) = 3 x3 + 1 este injectivă. 5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie divizibil cu 50.
5p 5. Să se determine a ∈ pentru care punctele A(1, −2) , B(4,1) şi C (−1, a ) sunt coliniare. 5p 6. Fie ABC un triunghi care are AB = 3, AC = 5 şi BC = 7. Să se calculeze cos A . 36 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 036 1. Se consideră matricele 5p 5p 5p
0 0 a b 2 şi A = ∈ M2 ( ) , cu proprietatea că A 0 0 c d
=
O2
a) Să se arate că a + d = 0 . b) Să se arate că matricea I 2 + A este inversabilă. c) Să se arate că ecuaţia AX = O2 are o infinitate de soluţii în mulţimea M2 ( ) . 2. Se consideră polinomul
f
=
X
4
− 2 X
{
şi mulţimile A = g ( a ) g ∈ [ X ]
5p 5p 5p 36
2
+9
, cu rădăcinile x1 , x 2 , x3 , x 4 ∈ , numărul a = 2
} şi B = { h ( a )
+i
h ∈ [ X ] , grad ( h ) ≤ 3 .
a) Să se calculeze f ( a ) . b) Să se calculeze | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | . c) Să se arate că A = B . SUBIECTUL III (30p) – Varianta 036 1. Fie funcţia
5p 5p 5p
= O2 .
f : \ { 3} → , f ( x) =
x 3 + 1
şi şirul (an ) n≥1 definit prin a1 = 2, an+1 = f (an ), ∀n ∈ *.
3 − x
a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe (−∞, 3 ) şi pe ( 3, ∞). b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f . c) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈N nu este convergent. ∗
2. Se consideră funcţiile
f : → , f ( x) = e
− x
2
şi F : → , F ( x ) =
5p
a) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei F .
5p
b) Să se calculeze
∫0 xf ( x) dx.
5p
c) Să se calculeze
∫0 F (x )d x.
x
∫1
f (t ) dt .
1
1
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 36
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
37 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 037 5p 1. Să se calculeze suma 1 + 4 + 7 + ... + 100 . 5p 2. Să se determine imaginea funcţiei f : → ,
f ( x) = x
2
+
x + 1.
1 3 5p 3. Să se arate că numărul sin arcsin + sin arccos este natural. 2 2
5p 4. Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea binomului
(
5
)
2 +1 .
5p 5. Fie ABCD un pătrat de latură 1. Să se calculeze lungimea vectorului AB + AC + AD . 6+ 2
5p 6. Să se arate că sin105 = 37
4
.
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 037 a a +1 a + 2 1. Se consideră matricea A = b b + 1 b + 2 , cu a, b ∈ . 1 1 a
5p
a) Să se arate că det ( A ) = ( a − b )( a − 1) .
5p
b) Să se calculeze det ( A − At ) .
5p
c) Să se arate că rang A ≥ 2 , 2. Se consideră polinomul
f
∀a, b ∈
∈
[ X ] ,
.
f
=
X 3 + pX 2
+
qX
+
r , cu p, q, r ∈ ( 0, ∞ ) şi cu rădăcinile
x1 , x2 , x3 ∈ .
5p 5p 5p
a) Să se demonstreze că f nu are rădăcini în intervalul [0, ∞ ) . b) Să se calculeze x13 + x23 + x33 în funcţie de p, q şi r . c) Să se demonstreze că dacă a, b, c sunt trei numere reale astfel încât şi abc < 0 , atunci a, b, c ∈ ( −∞, 0 ) .
a + b + c < 0 , ab + bc + ca > 0
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 037 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x3 − 3 x+ 3arctg x . 5p a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe R . b) Să se arate că funcţia f este bijectivă . 5p 37
5p
c) Să se determine
a ∈ pentru care lim
x →∞
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 dat de I n = ∫ 5p 5p 5p
f ( x) x a
există, este finită şi nenulă.
1 n x 0
∗
x e dx, ∀n ∈ .
a) Să se calculeze I 1. b) Să se demonstreze că şirul ( I n )n≥1 este convergent . c) Să se calculeze lim nI n . n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 37
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
38 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 038 5p 1. Să se arate că log 2 3 ∈ (1, 2) . 5p 2. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care x2 + 3x + m > 0 , oricare ar fi x ∈ . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x + cos ( − x ) = 1 . 5p 4. Să se arate că, pentru orice număr natural n, n ≥ 3 , are loc relaţia Cn2 + Cn3 = C n3+1 . 5p 5. Se consideră dreptele de ecuaţii d1 : 2 x + 3 y + 1 = 0 , d 2 : 3x + y − 2 = 0 şi d3 : x + y + a = 0 . Să se determine a ∈ pentru care cele trei drepte sunt concurente.
5p 6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC , ştiind că AB = 4, AC = 3 şi m(BAC ) = 60 . 38 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 038 0 0 0 1. Se consideră matricea A = 1 0 0 şi mulţimea de matrice M 1 1 0
5p 5p
a) Să se calculeze A3 . b) Să se arate că dacă X ∈ M3 () şi AX
5p
c) Să se arate că ecuaţia X 2 = A nu are soluţii în M 3 ( ) .
=
XA , atunci X
∈
a 0 0 a 0 | a, b, c ∈ . = b c b a
M .
2. Se consideră polinomul f = aX 4 + bX + c , cu a, b, c ∈ . 5p a) Să se arate că numărul f ( 3) − f (1) este număr par. 5p b) Să se arate că, pentru orice x, y ∈ , numărul f ( x ) − f ( y ) este divizibil cu x − y . 5p c) Să se determine coeficienţii polinomului f ştiind că f (1) = 4 şi f (b) = 3 . SUBIECTUL III (30p) – Varianta 038 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = 2 x + ln( x2 + x + 1). 5p a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se demonstreze că funcţia f este bijectivă. 5p 5p c) Să se arate că graficul funcţiei f nu are asimptotă oblică spre + ∞ . 2. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = { x} (1 − { x}) , unde { x} este partea fracţionară a 38
numărului real x . 1
∫0 f ( x ) d x .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se demonstreze că funcţia
5p
c) Să se arate că valoarea integralei
f admite primitive pe
R.
a +1
∫a
f ( x ) d x nu depinde de numărul real a .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 38
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
39 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 039 5p 1. Se consideră numărul complex z =
−1 +
i 3
2
. Să se demonstreze că z 2
5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 5p 3. Să se arate că funcţia
f : (1; ∞ ) → , f ( x ) = x +
− x
2
+
=
z.
4x − 3 ≥ 0 .
1
este injectivă. x 4. Să se determine numărul funcţiilor f : {1, 2,3} → {0,1, 2,3} pentru care f (1) este număr par.
5p 5p 5. Fie ABC un triunghi care are AB = 2, AC = 3 şi BC = 2 2 . Să se calculeze AB ⋅ AC . 5p 6. Să se arate că sin15
=
6
2
−
4
.
39 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 039 x + y + z = 0 1. Se consideră sistemul ax + by + cz = 0 , cu a, b, c ∈ ∗ şi A matricea sistemului. bcx + acy + abz = 0
5p 5p 5p
a) Să se calculeze det ( A) . b) Să se rezolve sistemul, în cazul în care a, b, c sunt distincte două câte două. c) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului, în cazul în care a = b ≠ c . 2. Se consideră mulţimea M
5p 5p 5p
=
{a
+
b 5 a, b ∈ , a 2 − 5b 2
=1
}.
a) Să se arate că x = 9 + 4 5 ∈ M . b) Să se demonstreze că M este grup în raport cu înmulţirea numerelor reale. c) Să se demonstreze că mulţimea M are o infinitate de elemente.
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 039 1. Se consideră funcţia f : (0, ∞) → , f ( x) = x ln x . a) Să se studieze monotonia funcţiei f . 5p b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f . 5p 5p c) Să se demonstreze că orice şir ( xn )n∈ cu proprietatea x0 ∈ (0,1), xn+1 = e f ( xn ) este 39
convergent. 1
2. Se consideră şirul ( I n )n∈N definit prin I n = ∫ 0 ∗
x n
4 x + 5
d x, ∀n ∈ N∗ .
5p
a) Să se calculeze I 2 .
5p
b) Să se arate că şirul ( I n )n∈N verifică relaţia 4 I n +1 + 5I n =
5p
c) Să se determine lim nI n .
∗
1 n +1
, ∀n ∈ N∗.
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 39
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
40 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 040 5p 1. Se consideră
a + 2i
. Să se determine a pentru care z ∈ . 2 + ai 5p 2. Să se demonstreze că dreapta de ecuaţie y = 2 x + 3 intersectează parabola de ecuaţie y = x
2
−
a ∈ şi numărul complex z =
4 x + 12 într-un singur punct.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x − 1 = x . 5p 4. Se consideră mulţimea A = {1,2,3,4,5,6} . Să se determine probabilitatea ca, alegând o pereche ( a, b ) din produsul cartezian A × A să avem egalitatea a + b = 6 . 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M ( 2, − 1) , A (1, 2 ) şi B ( 4, 1) .
Să se determine lungimea vectorului MA + MB . 5p 6. Să se arate că sin ( a + b ) ⋅ sin ( a − b ) = sin 2 a − sin 2 b , pentru oricare a, b ∈ .
40 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 040 1 0 0 1 3 2 1 1. Se consideră matricele I 3 = 0 1 0 , A = 3 9 6 , X = 3 , 0 0 1 2 6 4 2 B = I 3 + A , C = I 3 + aA , cu a ∈ . 5p a) Să se calculeze S = A − XY . 5p b) Să se determine a ∈ astfel încât BC = I 3 . 5p
Y = (1
3 2) ,
c) Să se arate că An+1 = 14 An , ∀n ∈ ∗ . 2. Se consideră polinomul
f 2
=
X
3
− 1∈ [ X ]
şi numărul
, astfel încât
ε ∈ \
5p
a) Să se demonstreze că
5p
x + y + z = 0 b) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe sistemul x + yε + z ε2 = 0 . 2 x + yε + zε = 0
5p
f ( ε ) = 0 .
1 0.
ε +ε+ =
c) Să se arate că, dacă f divide f1 ( X 3 ) + Xf2 ( X 3 ) + X 2 f3 ( X 3 ) , unde f1 , f2 , f 3 sunt polinoame cu coeficienţi complecşi, atunci fiecare dintre polinoamele f1 , f2 , f 3 este divizibil cu X − 1 .
40 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 040 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = x 2 + 2 − x2 + 1. 5p a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe intervalul (−∞,0]. b) Să se arate că graficul funcţiei f are exact două puncte de inflexiune . 5p 5p c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre − ∞ .
2. Se consideră funcţiile
F n : → , Fn ( x ) =
5p
a) Să se calculeze
5p 5p
b) Să se demonstreze că Fn +1 (1) < F n (1) , c) Să se calculeze lim F n (1) .
x
∫0 t sin
n
t dt, ∀n ∈ N
∗
.
F 1 ( π ) . ∀n ∈ N
∗
.
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 40
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
1
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 041 5p 1. Să se arate că numărul 100lg 2 + 3 −27 este natural. 5p 2. Să se determine imaginea funcţiei
: → , f ( x) =
f
2 x x 2
+
1
.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x 1 = −3x + 8 . 5p 4. Să se determine numărul funcţiilor f : {1,2,3,4} → {1,2,3,4} care au proprietatea că f (1) + f ( 3) = 7 . 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2, − 1) şi B ( −1, 1) . Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin originea axelor şi este paralelă cu dreapta AB. 5p 6. Fie a şi b numere reale astfel încât sin a + sin b = 1 şi cos a + cos b = 1 . Să se calculeze cos ( a − b ) . 2 +
41 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 041 x + py + p2 z = p3 1. Pentru p, q, r ∈ , se consideră sistemul x + qy + q 2 z = q3 . 2 3 x + ry + r z = r
5p 5p 5p
a) Să se arate că determinantul sistemului este ∆ = ( p − q )( q − r )( r − p ) . b) Dacă p, q, r sunt distincte, să se rezolve sistemul. c) Să se arate că, dacă sistemul are soluţia ( −1,1,1) , atunci cel puţin două dintre numerele p , q , r sunt egale. a b a, b ∈ 5 . −b a
2. Se consideră inelul ( A, +, ⋅) unde A = 5p 5p 5p
a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A. b) Să se rezolve în mulţimea A ecuaţia X 2 = I 2 . c) Să se arate că ( A, +, ⋅) nu este corp.
41 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 041 1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → ( − ∞, 0 ) , f ( x ) = ln (1 + x ) − x . a) Să se demonstreze că funcţia f este strict descrescătoare pe intervalul ( 0, + ∞ ) . 5p b) Să se arate că funcţia f este surjectivă . 5p 5p c) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptote. 2. Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = arctg x.
5p 5p 5p
a) Să se calculeze
1
∫0 f ( x) dx .
b) Să se arate că lim
x →∞
1 x
f (ln t )dt x ∫ 1
π =
2
.
1 1 2 3 n c) Să se calculeze lim f + f + f + ... + f . n n n n n n →∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 41
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
42 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 042 5p 1. Să se calculeze partea întreagă a numărului 1 − 1 + 1 2 3
5p 2. Să se rezolve în
×
−
3
1 33
.
y = x2 − 3x + 1 sistemul . 2 y = 2 x + x + 4
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg x + arcctg 1 = π . 3
2
5p 4. Să se determine numărul termenilor raţionali ai dezvoltării ( 4 5 + 1)100 . 5p 5. Să se arate că punctele A(−1, 5) , B(1,1) şi C (3, −3) sunt coliniare. 5p 6. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul care are lungimile laturilor 4, 5 şi 7. 42 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 042 1. Se consideră matricele A, B ∈ M 2( ) , cu AB − BA = A şi matricele A0 =
0 1 , B0 0 0
5p 5p
a) Să se determine rangul matricei A0 . b) Să se arate că A0 B0 − B0 A0 = A0 .
5p
c) Să se demonstreze că An B − BAn = nAn , pentru orice 2. Se consideră polinomul
5p 5p 5p
f
∈
[ X ] ,
f
=
4 X 3 − 12 X 2
1 0 . 0 2
=
n ∈ , n ≥ 2 .
+ aX + b
.
a) Să se determine a, b ∈ , astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul X 2 − 1 . b) Să se determine a, b ∈ , astfel încât ecuaţia f ( x ) = 0 să aibă soluţia x = i ∈ . c) Să se determine a, b ∈ , astfel încât polinomul să aibă rădăcinile x1, x2 , x3 în progresie aritmetică şi, în plus, x12
+
2
x2
+
2
x3
= 11 .
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 042 1. Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = x arctg x şi şirul ( xn )n∈N∗ definit de x1 = 1 , xn+1 = f ( xn ) , ∀n ∈ N∗. 5p a) Să se demonstreze că funcţia f ′ este strict crescătoare pe R . b) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre − ∞ . 5p c) Să se arate că şirul ( xn )n∈N∗ este convergent . 5p 42
1
2. Fie şirul ( I n )n∈N∗ , definit prin I n = ∫ ( x − x 2 ) n dx, 0 5p
a) Să se calculeze I 2 .
5p
b) Să se demonstreze că I n =
5p
c) Să se calculeze lim I n .
n
4n + 2
∀n ∈ N
∗
.
I n−1 , ∀n ∈ N, n ≥ 2.
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 42
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică informa- tică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - .informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
43 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 043 5p 1. Să se determine valoarea de adevăr a propoziţiei: „Suma oricăror două numere iraţionale este număr iraţional.” 5p 2. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = x + 2. Să se rezolve ecuaţia f ( f ( x)) = f 2 ( x). 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 2 x = 12 . 5p 4. Fie mulţimea A = {1,2,3,4,5,6} . Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o pereche ( a, b ) din mulţimea A × A , produsul numerelor a şi b să fie impar. 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A (1, 3) şi C ( −1, 1) . Să se calculeze aria pătratului de diagonală AC . 5p 6. Să se arate că sin105 + sin 75 = 6 + 2 . 2 43 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 043 a b 1 2 1. Se consideră mulţimea M = | a , b, c, d ∈ şi matricea A = ∈ M . 1 3 c d 5p a) Câte matrice din mulţimea M au suma elementelor egală cu 1? 5p b) Să se arate că A−1 ∉ M . 5p c) Să se determine toate matricele inversabile B ∈ M care au proprietatea B −1 ∈ M . 2. Se consideră ecuaţia x 4 − 8x 3 + ax 2 + 8x + b = 0 , cu a, b ∈ şi cu soluţiile x1, x2 , x3 , x4 ∈ . 5p a) Să se arate că ( x1 + x4 ) ( x2 + x3 ) + x1x4 + x2 x3 + ( x1 + x4 ) x2 x3 + ( x2 + x3 ) x1x4 = a − 8 . 5p b) Să se determine a ∈ astfel încât x1 + x 4 = x2 + x3 . 5p c) Să se determine a, b ∈ , astfel încât x1, x2 , x3 , x4 să fie în progresie aritmetică. 43 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 043 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x + e− x . 5p a) Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare pe intervalul [0, + ∞ ) . b) Să se arate că funcţia f admite exact un punct de extrem local. 5p 5p c) Să se determine numărul de soluţii reale ale ecuaţiei f ( x ) = m, unde m este un număr real oarecare. tg x t ctg x 1 π π 2. Fie funcţiile f : 0, → , f ( x ) = ∫ dt şi g : 0, → R, g ( x ) = ∫ dt. 2 1 1 + t 1 t (1 + t 2 ) 2 2 π . 3
5p
a) Să se calculeze
f
5p
b) Să se calculeze
f ′ ( x ) , x ∈ 0,
5p
c) Să se arate că
π
2
.
f ( x ) + g ( x ) = 0, ∀x ∈ 0,
π
2
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 43
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
44 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 044 5p 1. Să se determine partea reală a numărului complex z = 1 − i . 1+ i 2 5p 2. Să se determine valorile reale ale lui m pentru care x + mx + 1 ≥ 0 , oricare ar fi x ∈ . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arcsin2 x = − 1 . 2 5p 4. Se consideră mulţimea A = {0,1,2,3, ... ,9} . Să se determine numărul submulţimilor mulţimii A care au 5 elemente, din care exact două sunt numere pare. 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele B ( −1, 2) şi C ( 2, − 2 ) . Să se determine distanţa de la punctul O la dreapta BC . 5p 6. Ştiind că α ∈ π , π şi sin α = 3 , să se calculeze ctg α . 5 2 44 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 044 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 şi B = 1. Se consideră matricele A = . 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 5p a) Să se calculeze AB + BA . 5p b) Să se arate că rang ( A + B ) = rang A + rang B . 5p
c) Să se demonstreze că ( A + B )
n
=
An
+
B n , ∀n ∈ ∗ .
2. Se consideră polinomul f = X 4 + aX 3 + 4 X 2 + 1 ∈ [ X ] cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ . 5p a) Să se determine a ∈ astfel încât polinomul f să se dividă cu X + 1 . 5p b) Să se arate că polinomul g = X 4 + 4 X 2 + aX + 1 are rădăcinile 1 , 1 , 1 , 1 . 5p
c) Să se arate că, pentru orice
a ∈ , polinomul
x1 x2 x3 x4 f nu are toate rădăcinile reale.
44 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 044
1. Se consideră funcţia 5p 5p 5p
f : R → R, f ( x ) =
ax + b x 2 + x + 1
, a, b ∈ R .
a) Să se calculeze f ′ ( x ) , ∀x ∈ R . b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe dacă şi numai dacă c) Pentru a = 2 şi b = 1 , să se determine mulţimea valorilor funcţiei f . 2. Fie funcţia
f :[−1,1] → R, f ( x ) =
5p
a) Să se arate că funcţia
5p
b) Să se arate că f ( x) = ∫
5p
c) Să se determine f (1) .
f
x
a = 2b > 0.
arcsin t
∫0 e
dt .
este strict monotonă.
arcsin x t e cos t dt, ∀x ∈ [−1,1] . 0
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 44
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
45 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 045 5p 1. Să se determine partea întreagă a numărului
7 . 5 2 −1
5p 2. Fie x1 şi x2 soluţiile reale ale ecuaţiei x2
x − 1 = 0 . Să se arate că
+
x1
+
x2
x2 x1
∈
.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 ⋅ 3 x + 31 x = 7 . 5p 4. Se consideră mulţimile A = {1,2,3,4} şi B = {1,2,3,4,5,6} . Să se determine numărul funcţiilor strict crescătoare f : A → B . 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A (1, 3) , B ( −2, 1) şi C ( −3, − 1) . Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A în triunghiul ABC . 5p 6. Să arate că 2 ⋅ (sin 75 − sin15 ) = 2. −
45 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 045 2 0 1 0 1. Se consideră matricele A = , B = şi mulţimea 3 2 1 1
{
}
C ( A ) = X ∈ M2 ( ) XA = AX .
5p
a) Să se arate că B ∈ C ( A) .
5p
b) Să se arate că dacă X ∈ C ( A) , atunci există x, y ∈ , astfel încât X =
5p
c) Să se rezolve ecuaţia X
x y
+
X
2
=
5p 5p 5p 45
5p 5p 5p
x
.
A.
2. Se consideră mulţimea G = (−1,1) , funcţia ( x, y) → x ∗ y , unde x ∗ y =
0
f : G → , f ( x ) =
1 − x şi corespondenţa 1 + x
x + y
, ∀ x, y ∈ G . 1 + xy a) Să se arate că această corespondenţă defineşte o lege de compoziţie pe G. b) Să se arate că ∀ x, y ∈ G , f ( x ∗ y ) = f ( x) f ( y ). 1 1 1 c) Ştiind că operaţia "∗ " este asociativă, să se calculeze ∗ ∗ ... ∗ . 2 3 9 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 045 x 2 + ax + 5 , a ∈ R. 1. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = 2 x + 1 a) Să se calculeze f ′ ( x ) , ∀x ∈ R . b) Ştiind că a = 0 , să se determine ecuaţia asimptotei spre + ∞ la graficul funcţiei f . c) Să se determine toate numerele reale a astfel încât funcţia f să aibă trei puncte de extrem local .
2. Fie funcţia
f : [ −1,1] → R , f ( x ) = 1
∫ 1 x
1 − x2 .
1 − x 2 dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei
5p
c) Să se calculeze lim ∫
−
n→∞
f
în jurul axei Ox .
1 n x f ( x ) d x . 0
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 45
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar •
La toate subiectele se cer rezolvări complete.
46 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 046 5p 1. Fie (an )n≥1 o progresie aritmetică. Ştiind că a3 + a19 = 10 , să se calculeze a6 + a16 . 5p 2. Să se determine valorile parametrului real m pentru care ecuaţia x2 − mx + 1 − m = 0 are două rădăcini reale distincte. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg 2 x + lg x = 6 . 5p 4. Se consideră mulţimile A = {1,2,3} şi B = {1,2,3,4,5} . Să se determine numărul funcţiilor strict descrescătoare f : A → B , cu proprietatea că f ( 3) = 1 . 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M ( 2, − 1) , N ( −1, 1) şi P ( 0, 3) . Să se determine coordonatele punctului Q astfel încât MNPQ să fie paralelogram. 5p 6. Să se calculeze lungimea medianei duse din A în triunghiul ABC , ştiind că AB = 2, AC = 3 şi BC = 4 . 46 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 046 1. Se consideră matricea A =
a c
b ∈ M 2( ) . d
, det ( A − xI 2 ) = x2 − ( a + d ) x + ad − bc .
5p 5p
a) Să se demonstreze că
5p
c) Ştiind că A2 = O2 , să se calculeze det ( A + 2I 2 ) .
b) Dacă A2 = O2 , să se demonstreze că 2. Se consideră mulţimea
5p 5p 5p
∀ x ∈
G=
a + d = 0 .
a2
{ ( a, b ) ∈ ×
−
3b 2 = 1 } şi operaţia
( a, b ) ∗ ( c , d ) = ( ac + 3bd , ad + bc ) . a) Să se determine a ∈ pentru care (a ,15)∈ G . b) Să se arate că, pentru orice ( a, b ) , ( c, d ) ∈ G , ( a, b ) ∗ ( c, d ) ∈ G . c) Să se arate că ( G , ∗ ) este grup.
46 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 046
1. Se consideră funcţia 5p 5p 5p
f : → , f ( x ) =
x − 1 x
e
.
a) Să se arate că f nu este derivabilă în punctul x0 = 1 . b) Să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei f ( x ) = m , unde
m
este un parametru real.
c) Să se calculeze lim ( f (1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + ... + f ( n ) ) . n→∞
2. Se consideră funcţia 5p
π 2 → , f ( x ) = x sin x . 2
f : 0,
a) Să se arate că există numerele reale a , b , c astfel încât funcţia F ( x ) = ax 2
(
+
b
) cos x
+
π
F : 0, → , 2
cx sin x să fie o primitivă a funcţiei f .
2
5p
1 b) Să se calculeze ∫ f dx . 1 2 x π
π
5p
π c) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f şi graficul funcţiei g : 0, → , 2 g ( x ) = πx − x2 .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 46
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
47 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 047 5p 1. Să se arate că numărul ( 2 + i )4 + ( 2 − i )4 este întreg. 5p 2. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie dintre dreapta de ecuaţie y = 2 x + 1 şi parabola de ecuaţie y = x 2
+
x +1.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 16 + x 2 = 11 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de patru cifre, acesta să fie divizibil cu 9. 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A ( −1, 1) , B (1, 3) şi C ( 3, 2 ) . Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC . Să se determine ecuaţia dreptei OG. 5p 6. Să se arate că 2 ⋅ ( cos75 + cos15 ) = 6 .
47
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 047 1 2 1 1 , B = 1. Se consideră matricele A = şi funcţia 3 4 0 1 f ( X ) = AX − XA . 5p a) Să se determine rangul matricei A . 5p b) Să se calculeze f ( B ) . 5p c) Să se arate că ecuaţia f ( X ) = B nu are soluţii. 2. Se consideră polinoamele f , g ∈ [ X ] , x1 , x2 , x3 ∈ rădăcinile polinomului f .
5p 5p 5p
f
=
X
3
+
2
a X
−
f : M2 ( ) → M2 ( ) ,
a, g
=
aX
3
−
2
2
a X
−
1 , cu a ∈ * şi
a) Să se calculeze x12 + x22 + x32 . b) Să se arate că rădăcinile polinomului g sunt inversele rădăcinilor polinomului f . c) Să se arate că polinoamele f şi g nu au rădăcini reale comune.
47 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 047
1. Se consideră funcţia 5p
f : R \ {1, − 1} → R, f ( x ) = arctg
1 x 2 − 1
.
f ( x ) . a) Să se calculeze xlim →1 x >1
5p 5p
b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre + ∞ . c) Să se demonstreze că funcţia f admite un singur punct de extrem local . 1 2. Se consideră funcţia f : R → R, f ( x ) = cos x − 1 + x2 . 2 π
2
∫ 0 f ( x ) dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se determine lim
5p
c) Să se demonstreze că
x →∞
1
x
f (t ) dt . 2 ∫ x 0 1
9
2 ∫0 cos ( x ) d x ≥ 10 .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 47
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
48 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 048 5p 1. Să se determine partea reală a numărului complex 5p 2. Se consideră funcţia
f : (0, ∞) → , f ( x ) =
(
3 +i
)
6
.
1
5p 5p
. Să se calculeze ( f f )( 512 ) . x 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos 2 x + sin x = 0. 4. Se consideră mulţimea M = {0,1,2,3,4,5} . Să se determine numărul tripletelor (a , b, c ) cu
5p
proprietatea că a , b, c ∈ M şi a < b < c . 5. Să se calculeze distanţa dintre dreptele paralele de ecuaţii x + 2 y = 6 şi 2 x + 4 y = 11.
5p 6. Paralelogramul ABCD are AB = 1, BC = 2 şi
3
m ( BAD ) = 60 . Să se calculeze produsul
scalar AC ⋅ AD .
48 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 048 x + 2 y + z = 1 1. Se consideră sistemul 2 x − y + z = 1 , unde a şi b sunt parametri reali. 7 x − y + az = b
5p 5p 5p
a) Să se determine a ∈ pentru care determinantul sistemului este egal cu zero. b) Să se determine valorile parametrilor a , b ∈ pentru care sistemul este incompatibil. c) Să se arate există o infinitate de valori ale numerelor a şi b pentru care sistemul admite o solu ţie ( x, y, z ) , cu x, y, z în progresie aritmetică. 2. Se consideră mulţimea
5p 5p 5p 48
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 048 2 x 1 + x 2
f : R → R, f ( x ) = arcsin
a) Să se calculeze lim
x →+ ∞
5p 5p
cos t sin t t ∈ . − sin t cos t
a) Să se arate că X ( t ) ⋅ X ( u ) = X ( t + u ) , ∀t, u ∈ . b) Să se determine t ∈ ştiind că X ( t ) ∈ M 2( ) . c) Să se arate că mulţimea G formează grup abelian în raport cu înmulţirea matricelor. 1. Se consideră funcţia
5p
G = X (t ) =
.
f ( x ) .
b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f . c) Să se demonstreze că funcţia f are două puncte de extrem. 2. Fie funcţia
f : [ 0, 1] → R, f ( x ) = 1 − x
2
şi şirul ( an )n∈N∗ , an =
1
n
∑ n2
2
2 − k
,
∀n ∈ N
∗
.
k =1
1
∫0 x f ( x) dx.
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se determine volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei c) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈N este convergent .
5p
n
f în jurul axei Ox .
∗
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 48
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
49 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 049 5p 1. Să se arate că numărul log9 3 + log 4 3 2 este raţional. 5p 2. Se consideră funcţia
f : → , f ( x ) = mx 2
− 2 mx +
m − 1, m ∈ ∗ . Să se determine m ∈ ∗ astfel încât
f ( x ) ≤ 0 , pentru orice x ∈ .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 2 x+1 + 2 x−1 = 56 . 5p 4. Fie mulţimea A = { 1, 2, ... , 1000} . Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un element din mulţimea
{ 3 n | n ∈ A} , acesta să fie număr raţional.
5p 5. Fie triunghiul ABC şi M ∈ ( BC ) astfel încât MC = − 3 CB . Să se demonstreze că AM
=
4
3 1 AB − CA . 4 4
5p 6. Ştiind că x ∈ 0, π şi tg x = 3 , să se calculeze sin 2 x .
2
49 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 049 x + ay = 1 1. Se consideră a ∈ , sistemul y + az = a şi A matricea sa. z + x = 1
a) Să se arate că det A ≠ 0 . b) Să se arate că soluţia sistemului este formată din trei numere în progresie geometrică. c) Să se determine inversa matricei A . 2. Se consideră pe legea de compoziţie dată de relaţia x ∗ y = xy − 5x − 5 y + 30 , ∀ x, y ∈ şi mulţimea G = ( 5, ∞ ) . 5p a) Să se arate că legea "∗ " are element neutru. 5p b) Să se demonstreze că G este grup abelian în raport cu legea "∗ " . 5p 5p 5p
5p 49
x ∗ y = z c) Să se rezolve în grupul ( G, ∗ ) sistemul y ∗ z = x . z ∗ x = y
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 049 1. Se consideră funcţia
5p 5p 5p
f : [1, + ∞ ) → R, f ( x ) =
. 3 x a) Să se demonstreze că graficul funcţiei f admite asimptotă spre
b) Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f . c) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei 2. Se consideră funcţiile
5p 5p 5p
4 − 3 x 2
f :[1, 2] → , f ( x) =
1 2
+∞
.
g :[2, ∞) → , g ( x ) = arccos f ( x) .
şi F : [1, 2] → , F ( x ) = ln
x x + 1 a) Să se arate că funcţia F este o primitivă a funcţiei f .
x
2
+
x
1 −1
.
b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei O x . c) Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 2 , graficul funcţiei F şi axa Ox.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 49
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050 5p 1. Să se determine a ∈ astfel încât numerele 2a 1 , 2 −
−
a+ 2
+
1, 2 a+1 + 1 să fie în progresie aritmetică.
5p 2. Să se arate că vârful parabolei y = x2 + ( 2a − 1) x + a 2 , a ∈ , este situat pe dreapta de ecua ţie 4 x + 4 y = 1 .
5p 3. Să se arate că, dacă z este soluţie a ecuaţiei z 2 + 2 z + 4 = 0 , atunci z 2 − 5p 5p
8
=0. z 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea {11,12,…, 50} , aceasta să fie
divizibil cu 2 şi cu 5 . 5. Trapezul isoscel ABCD are bazele [ AB] şi [CD ] şi lungimea înălţimii egală cu 4. Să se calculeze
AC + BD .
π
12
5p 6. Să se calculeze tg2α , ştiind că α ∈ 0, şi sin α = . 13 2 50 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 050 a1 a2 b1 b2
a3 t t ∈ M2, 3 ( ) , transpusa A ∈ M3,2 ( ) , B = AA , ş b3
1. Se consideră matricele A =
punctele Pk (ak , bk ) , unde k ∈ { 1, 2, 3} .
5p 5p 5p
a) Să se calculeze B ştiind că P1 (1, 2), P2 (2, 4), P3 ( −3, −6). b) Să se arate că det ( B ) ≥ 0, oricare ar fi punctele P1 , P2 , P3. c) Să se arate că det ( B ) = 0 dacă şi numai dacă punctele
P1 , P2 , P3 sunt coliniare pe o dreaptă
care trece prin originea axelor.
1ˆ a b 2. Se consideră mulţimea M = 0ˆ 1ˆ 0ˆ a, b ∈ 5 . 0ˆ 0ˆ 1ˆ
5p 5p 5p
a) Să se determine numărul elementelor mulţimii M . b) Să se arate că AB ∈ M , pentru orice A, B ∈ M . c) Să se arate că ( M , ⋅) este un grup, unde „ ⋅ ” este înmulţirea matricelor. SUBIECTUL III (30p) – Varianta 050
50
1 f : R∗ → R, f ( x ) = x ⋅ sin . x a) Să se calculeze lim f ( x ) .
1. Se consideră funcţia 5p
x →0
5p 5p
b) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ R∗. c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei 2. Fie şirul ( I n )n∈N∗ ,
I n =
1
∫ 1 (1 − x −
5p
a) Să se calculeze I 2 .
5p
b) Să se demonstreze că I n+1 =
5p
f către + ∞ .
) dx , ∀n ∈ N∗.
2 n
2n + 2 2n + 3
∗
I n , ∀n ∈ N .
c) Să se demonstreze că şirul ( an )n∈N∗ , definit prin
n
an =
∑ k =0
( −1)
k
C nk
2k + 1
, ∀n ∈ N∗, are limita 0.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 50
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
51 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 051 5p 1. Să se determine numărul elementelor mulţimii ( A \ B ) ∩ Z ştiind că A = ( −3;4 ] şi B = (1;5 ] . 5p 2. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie a dreaptei y = 2 x + 1 cu parabola y = x 2 − x + 3. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x − 1 + 2 − x = 1 . x ! 5p 4. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale inecuaţia 2 ≤ 2048 . 5p 5. Să se calculeze distanţa de la punctul A (1;1) la dreapta d : 5 x + 12 y − 4 = 0 . 5p 6. Să se calculeze tg ( a + b ) ştiind că ctg a = 2 şi ctg b = 5 . 51 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 051 1. Fie şirul ( F n )n≥0 , dat de
Fn +1
=
Fn
+ Fn −1 , ∀n ∈
5p a) Să se verifice relaţia A2 = A + I 2 . 5p b) Să se arate că, dacă X ∈ M 2 (), X 5p c) Să se arate că An = Fn+1 Fn
şi AX
=
, F0
= 0, F 1 =1
1 1 . 1 0
şi matricea A =
XA , atunci X este inversabilă.
F n , ∀n ≥ 1. F n −1
2. Fie σ, π ∈ S5 , σ =
5 1 , π= 4 2
1 2 3 4 3 2 1 5
5p a) Să se demonstreze că
≠ O2
∗
2 3 4 5 . 3 1 4 5
σπ ≠ πσ.
5p b) Să se determine numărul elementelor mulţimii H = {πn | n ∈ *} . 5p c) Să se arate că H = {πn | n ∈ *} este un subgrup al grupului ( S5 , ⋅) . 51 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 051 1. Se consideră funcţia 5p
f : [1, ∞ ) → [1, ∞ ) , f ( x ) =
x 2 − x + 1 x
.
x
a) Să se calculeze lim ( x − f ( x ) ) . x →∞
5p 5p
b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. c) Să se arate că funcţia f este bijectivă. 2. Fie a, b ∈ şi funcţia
ax + b, x < 1 . 2 ln x + 1, x ≥ 1
F : → , F ( x ) =
5p
a) Să se determine numerele reale a şi b astfel încât funcţia
5p
b) Să se calculeze
5p
e
F să fie primitiva unei funcţii f .
1
∫1 x F ( x ) dx .
c) Să se arate că, pentru func ţia h :[1, π] → , h ( x) = ( F ( x ) − 1)sin x , are loc relaţia
π
∫1 h( x)h′′( x) dx ≤ 0.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 51
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
52 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 052 5p 1. Să se arate că funcţia f : → , f ( x) =| 4 x − 8 | −2 | 4 − 2 x | este constantă. 5p 2. Să se determine a ∈ pentru care parabola y = x2 − 2 x + a − 1 şi dreapta y = 2 x + 3 au două puncte distincte comune.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia
3
x − 1 + 1 = x .
(
5p 4. Să se determine numărul termenilor iraţionali ai dezvoltării
9
)
3 +1 .
5p 5. Să se determine m ∈ R astfel încât vectorii u = ( m + 1) i + 8 j şi v = ( m − 1) i − 4 j să fie coliniari . 5p 6. Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB = 5 , BC = 7 şi AC = 8 . Să se calculeze m ( A ) . 52
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 052 1. Se consideră permutarea
σ ∈ S6
1 2 3 4 5 6 . 2 4 5 3 6 1
,σ=
5p a) Să se determine σ−1 . 5p b) Să se arate că permutările σ şi σ−1 au acelaşi număr de inversiuni. 5p c) Să se arate că ecuaţia x4 = σ nu are soluţii în grupul ( S6 , ⋅) . 2. Fie legea de compoziţie „ ”, definită pe prin x y = xy − x − y + 2, ∀ x, y ∈ , şi funcţia f : → , f ( x) = x + 1 .
5p a) Să se arate că (1, ∞) este parte stabilă în raport cu „ ”. 5p b) Să se demonstreze că f ( xy ) = f ( x) f ( y) pentru orice x, y ∈ . 5p c) Ştiind că legea „ ” este asociativă, să se rezolve în ecuaţia xx ... x = 1025. de10 ori x
52
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 052 1. Se consideră funcţia
f : [ 0,1] → , f
π x sin , ( x) = x 0, x = 0
x ∈ ( 0,1]
5p 5p
a) Să se arate că funcţia f este continuă pe [0,1] . b) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f .
5p
c) Să se arate că, dacă
n ∈ * , atunci ecuaţia f ( x) = cos
2. Fie funcţiile f : [ 0,1] → , 1
∫0 f (
(
f ( x ) = ln 1 + x 2
.
1 1 are cel puţin o soluţie în intervalul , . n +1 n x π
) şi g : [ 0,1]
→
,
g ( x) = x arctg x .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginită de graficele funcţiilor f şi x
=
x ) dx .
1
∫0 g (x )dx . g şi de dreptele de ecuaţii
0 şi x = 1 .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 52
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
53 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 053 1 5p 1. Să se calculeze 2009 + 3 ⋅ − , unde [ x ] reprezintă partea întreagă a lui x şi { x} reprezintă 3 partea fracţionară a lui x.
5p 2. Să se determine imaginea intervalului [2,3] prin funcţia f : R → R , f ( x) = x2 − 4 x + 3 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 8 − x = 2 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii divizorilor naturali ai numărului 56, acesta să fie divizibil cu 4.
5p 5. Fie vectorii a = i + j , b = i − j şi u = 6i + 2 j . Să se determine p , r ∈ R astfel încât u = pa + rb . 5p 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi care are lungimile laturilor 5 , 7 şi 8.
53
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 053 1. Pentru orice matrice A ∈ M2 () , se notează C ( A) = { X ∈ M2 () | AX
=
XA} . Se consideră matricele
0 1 0 0 1 0 0 0 , E2 = , E3 = , E 4 = . 0 0 1 0 0 0 0 1
E1 =
5p a) Să se arate că dacă X , Y ∈ C ( A) , atunci X + Y ∈ C ( A). 5p b) Să se arate că dacă E1 , E2 ∈ C ( A) , atunci există α ∈ astfel încât A = αI 2 . 5p c) Să se arate că dacă C ( A) conţine trei dintre matricele E1 , E2 , E3 , E 4 , atunci o conţine şi pe a patra. 2. Fie
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , b= două permutări din grupul ( S5 , ⋅). 3 2 1 4 5 2 1 4 5 3
a=
5p a) Să se rezolve în S5 ecuaţia ax = b . 5p b) Să se determine ordinul elementului ab în grupul ( S5 , ⋅) . 5p c) Fie k ∈ cu bk = e . Să se arate că 6 divide k . 53 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 053 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x3 − 3 x şi un număr real m din intervalul ( −2, ∞ ) . a) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f . 5p b) Să se demonstreze că ecuaţia x3 − 3x = m are soluţie unică în mulţimea (1, ∞ ) . 5p 5p
c) Să se determine numărul punctelor de inflexiune ale graficului funcţiei
xe x , x ≤ 0 2. Fie funcţia f : → , f ( x ) = . x x sin , 0 > a) Să se arate că funcţia f admite primitive pe 5p 5p
b) Să se determine primitiva x
5p
c)
∫ Să se calculeze lim x →0 x > 0
0
g : → , g ( x ) = f 2 ( x) .
.
F a funcţiei f care are proprietatea F ( 0 ) = −1 .
f (t )dt x
2
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 53
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
54 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 054 5p 1. Să se calculeze partea întreagă a numărului ( 3 + 7 )2 . 5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 x − 1 ≥ 3x + 2 . 1 − x
1 − 2x
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 − x + x = 2 . 3
3 5p 4. Se consideră dezvoltarea ( x 2
y)
+
49
. Să se determine termenul care îi conţine pe x şi y la
aceeaşi putere.
5p 5. Fie
r A
=
2i + j , r B
=i +3j
şi rC = 3i + 2 j vectorii de poziţie ai vârfurilor triunghiului ABC . Să se
determine vectorul de poziţie al centrului de greutate a triunghiului ABC .
5p 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că BC = 3 şi 54 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 054 1. Se consideră matricele A =
0 1
cos A =
1 2
.
−1
0 1 şi B = . 0 −1 1
5p a) Să se verifice că AB ≠ BA . 5p b) Să se arate că A4 + B6 = 2 I 2 . 5p c) Să se arate că, pentru orice n ∈ ∗ , ( AB) n ≠ I 2 . 2. Se consideră şirul ( Fn )n∈ , F0 = 0 , F1 = 1 , Fn+1 = Fn + Fn−1 , ∀n ≥ 1 şi polinoamele P , Qn ∈ [ X ] , P = X
2
−
X
−1 ,
Qn
=
X
n
−
Fn X
−
Fn−1 , ∀n ≥ 2.
5p a) Să se arate că polinomul X 3 − 2 X − 1 este divizibil cu P . 5p b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului Q3 . 5p c) Să se arate că, pentru orice n ≥ 2 , polinomul Qn este divizibil cu
P.
54 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 054 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = e x − x . 5p a) Să se determine punctul în care tangenta la graficul funcţiei f este paralelă cu prima bisectoare. 5p b) Să se arate că valoarea minimă a funcţiei f este 1. 5p c) Să se arate că funcţia g : → , g ( x ) = f ( x ) − 1 nu este derivabilă în x0 = 0 . x
2. Se consideră funcţiile f : (1, ∞ ) → , f ( x) = ∫
2
5p 5p 5p
2
t t 2
−1
x 2 −1 ln 3 1, ∞ → , g ( x) = 0
dt şi g : (
)
∫
3et + 1 dt .
a) Să se calculeze f ( 3) . b) Să se arate că g ' ( x ) =
2 x
2
,
∀x ∈
c) Să se arate că g ( x ) = 2 f ( x) ,
∀x ∈
x 2
−1
(1, ∞ ) .
(1, ∞) .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 54
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
55 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 055 5p 1. Să se calculeze [− 8] − {−2,8} , unde [ x ] reprezintă partea întreagă a lui x şi { x} reprezintă partea fracţionară a lui x.
5p 2. Să se rezolve în mulţimea
×
x 2 + y 2 = 13 sistemul . x + y = 5
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 5 ⋅ 2 x+1 + 16 = 0 . 5p 4. Să se determine x ∈ N , x ≥ 2 astfel încât C 2 + A2 = 30 . x x 5p 5. Fie punctele O ( 0;0 ) , A ( 2;1) şi B ( −2;1) . Să se determine cosinusul unghiului format de vectorii
5p
OA şi OB . 6. Să se calculeze tg 2 x , ştiind că ctg x = 3.
55 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 055 1. Matricea A =
a b
x x , ( yn ) n verifică n+1 = A n , ∀n ∈ . ∈ M 2 ( ) şi şirurile ( xn ) n ∈ ∈ a yn+1 yn
−b
5p a) Să se arate că xn2+1 + yn2+1 = (a 2 + b 2 )( x n2 + y n2 ) , ∀n ∈ . 5p b) Să se arate că, dacă a 2 + b 2 ≤ 1 , atunci şirurile ( xn )n∈ , ( yn ) n∈ sunt mărginite. 5p c) Să se arate că, dacă a = 1 şi b = 3 , atunci xn+6 = 64 xn , ∀n ≥ 0 . 2. Se consideră corpul ( 11 , +, ⋅) . 5p a) Să se arate că ecuaţia x 2 = 8ˆ nu are soluţii în 11 . 5p b) Să se determine numărul polinoamelor de grad doi din 11 [ X ] . 5p c) Să se arate că polinomul X 2 + X + 1ˆ este ireductibil în 11 [ X ] . 55 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 055 1. Se consideră funcţia 5p
f : → , f ( x ) =
a) Să se calculeze lim x →1 x <1
5p 5p
f ( x) x − 1
3
− 3x + 2
.
.
b) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f . c) Să se determine domeniul de derivabilitate al funcţiei f. 2. Fie funcţia
f : (1; ∞ ) → , f ( x ) =
1 x ( x + 1)( x + 2 )
5p
a) Să se determine o primitivă a funcţiei f .
5p
b) Să se demonstreze că
5p
x3
c) Să se calculeze
1
x
∫1 f (t )dt ≤
.
x −1 , ∀x ∈ [1, ∞ ) . 6
x 2
∫0 1 + x6 dx .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 55
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
56 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 056 5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia 2 z + z = 3 + 4i . 5p 2. Ştiind că x şi x sunt rădăcinile ecuaţiei x2 + 3x + 1 = 0 , să se calculeze x3 + x3 . 1 2 1 2 x x 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 + 5 − 2 ⋅ 25 = 0 . 9
5p
1 4. Se consideră dezvoltarea a 2 + 3 , a ≠ 0 . Să se determine rangul termenului care-l conţine pe a 4 . a 2
2
5p 5. Să se calculeze u − v ştiind că u − v = 3i + 2 j şi u + v = 2i + 3 j . 5p 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic care are catetele de
lungimi 5 şi 12.
56 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 056 1. Se consideră matricea A =
−3
2 1
∈ M2 () şi funcţia f : M2 ( ) → M2 ( ) , f ( X ) = AX .
−2
5p a) Să se arate că f ( A) = I 2 . 5p b) Să se arate că f ( X + f ( X )) = X + f ( X ) , ∀X ∈ M2 (). 5p c) Să se arate că funcţia f este bijectivă. 2. Se consideră matricea A =
1 0 şi mulţimea M 1 1
= { X ∈ M2 ( ) |
AX
=
XA}.
5p a) Să se arate că dacă X ,Y ∈ M , atunci XY ∈ M . 5p b) Să se arate că G = { X ∈ M | det X ≠ 0} este grup în raport cu înmul ţirea matricelor. 5p c) Să se determine elementele de ordin doi din grupul G , definit la punctul b). 56
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 056 4 1. Se consideră funcţia f : \ − → ,
f ( x ) =
2 x + 5
5p 5p
. 3 x + 4 a) Să se determine asimptota la graficul funcţiei f spre +∞ . b) Să determine limita şirului ( an )n≥1 , an = f (1) f (2)... f ( n) .
5p
c) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei
3
2. Fie funcţia f : [1, e] → , 1
∫0 f (e
x
g : → , g ( x) = f (e x ).
f ( x ) = ln x .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei f în jurul axei
5p
c) Să se arate că
1 x
∫0 e
2
) dx .
dx +
Ox .
e
∫1 f ( x)dx = e .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 56
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
57 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 057 5p 1. Să se arate că numărul 7 + 4 3 − 3 este natural. 5p 2. Să se arate că
( x2 + 4 x + 5 )( x2 + 2 x + 2 ) ≥ 1 , oricare ar fi x ∈ .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 22 x + log 2 ( 4 x ) = 4 . 5p
2 4. Să se determine termenul care nu-l conţine pe x , din dezvoltarea 3 x + x
5p 5. Se consideră dreapta
200
, x > 0 .
d : 4 x − 8 y + 1 = 0 şi punctul A ( 2 ; 1) . Să se determine ecuaţia dreptei care trece
prin punctul A şi este paralelă cu dreapta d .
5p 6. Triunghiul ABC are AB = 2 , AC = 4 şi
m ( A ) = 60 . Să se calculeze lungimea medianei duse din A.
57 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 057 4 xn xn +1 xn ∈ M2 ( ) şi ∈ M 2,1 ( ), cu = A , ∀n ∈ şi x0 3 yn yn +1 yn
1. Fie matricele A =
3 2
5p a) Să se determine x1, x2 , y1 şi y2 . 5p b) Să se arate că xn + yn 2 = (3 + 2 2 )n , ∀n ∈ . 5p c) Să se arate că xn+ 2 − 6 xn +1 + xn = 0, ∀n ≥ 0 . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ şi 2. Se consideră mulţimile de clase de resturi 7 = {0,1,2,3,4,5,6}
= 1, y0 = 0 .
6 = {0,1,2,3,4,5} .
ˆ 5p a) Să se rezolve în corpul ( 7 , + ,⋅) ecuaţia 3ˆ x 2 + 4ˆ = 0.
5p b) Să se determine ordinul elementului 3ˆ în grupul
( 7 , ⋅) . ∗
5p c) Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri f : ( 6 , +) → (*7 , ⋅) cu f ( 2 ) = 3ˆ . 57
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 057 1. Fie funcţia
5p 5p 5p
f : → , f ( x ) = x 2
+1 .
a) Să se arate că şirul ( xn ) n≥1 definit prin x1 =
1
şi xn +1 = f ( xn ), ∀n ≥ 1 are limită . 2 xf ( x) , x ≤ 0 b) Să se arate că funcţia g : → , g ( x) = este derivabilă pe . arctg x , x > 0
c) Să se determine cel mai mare număr real 2. Fie funcţia
f : → , f ( x ) = e
− x
2
a care are proprietatea f ( x ) ≥ a + 2ln x , ∀x ∈ (0, ∞) .
şi F o primitivă a sa.
1
∫0 xf ( x)dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se calculeze lim
5p
c) Să se arate că funcţia
F ( cos x ) − F (1)
x →0
x 2
.
g : → , g ( x) = F ( x) + f ( x) are exact un punct de extrem local.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 57
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009
•
La toate subiectele se cer rezolvări complete.
58
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 058
5p 1. Să se calculeze partea reală a numărului complex 1 + 4i . 4 + 7i
5p 2. Să se determine axa de simetrie a graficului funcţiei
f : R → R , f ( x ) = 3 x2
−
6x +1 .
5p 3. Să se rezolve în mul ţimea numerelor reale ecuaţia 3 x 1 + 31 x = 10 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii A = {1,3,5,...,2009} , acesta să fie +
−
5p
multiplu de 3. 5. Se consideră dreapta d : 2x + y − 1 = 0 şi punctul A ( 3, 2 ) . Să se determine ecuaţia dreptei care trece
5p
prin punctul A şi este perpendiculară pe dreapta d . 6. Fie triunghiul ABC care are AB = AC = 5 şi BC = 6 . Să se calculeze distanţa de la centrul de greutate al triunghiului ABC la dreapta BC .
58 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 058 1. Fie a, b, c, d > 0, matricea A =
a c
Se notează An
an cn
=
ax + b b . şi funcţia f : ( 0, ∞ ) → ( 0, ∞ ) , f ( x) = d cx + d
bn , unde n ∈ * . d n
5p a) Să se arate că dacă det A = 0 , atunci f este funcţie constantă. 5p b) Să se arate că, dacă det A ≠ 0, atunci funcţia f este injectivă. a x + bn ∗ f f ... f )( x ) = n , ∀n ∈ . cn x + d n
5p c) Să se arate că ( f
de n ori f
2. Se consideră matricele A =
1 0 0 1 , B = şi mulţimea G = {I 2 0 0 0 0
+ aA + bB | a, b ∈ , a ≠ −1}.
5p a) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă. 5p b) Să se arate că G este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din
M2 ( ).
5p c) Să se arate că ecuaţia X 2 = I 2 are o infinitate de soluţii în G. 58 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 058 1. Se consideră funcţiile f : → , 5p 5p 5p
x
1 + x 2
şi g : → , g ( x ) = arctg x .
a) Să se calculeze lim ( f ( x) g ( x) ) . x→∞
b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f . c) Să se arate că f ( x ) < g ( x ) , pentru orice x ∈ ( 0, ∞ ) . 2. Fie
5p
f ( x ) =
x − m, x ∈ [0,1] m ∈ şi funcţia f : [0, 2 ] → , f ( x) = . x ln x, x ∈ (1, 2]
a) Să se arate că, pentru orice
m ∈ , funcţia f este integrabilă.
x
5p
b) Să se calculeze lim
∫1 t ln t dt
x →1 x >1
5p
c) Pentru b
∫ a f ( x) dx
x − 1
.
m = 1 , să se demonstreze că, pentru orice t ∈ (0, 2) există a, b ∈ [0, 2], a ≠ b, astfel încât =
(b − a) f ( t ) .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 58
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
59 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 059 5p 1. Să se arate că numărul lg 1 − 1 + lg 1 − 1 + lg 1 − 1 + ... + lg 1 − 1 este întreg. 2 3 4 100
5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia
x − 3
+
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log3 x +
4− x
=
1 log3 x
1.
=
5 2
.
5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii A = {2,4,6,...,2010} , acesta să fie 5p
divizibil cu 4 , dar s ă nu fie divizibil cu 8. 5. Se consideră punctele A ( 2, m ) şi B ( m, −2 ) . Să se determine m ∈ R astfel încât AB = 4 .
5p 6. Să se calculeze sin 2 x ştiind că ctg x = 6. 59 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 059 mx + y + z = 0 1. Se consideră sistemul x + 3 y + 2 z = 0 , cu m ∈ . − x − y + 4 z = 0
5p a) Să se determine m ∈ pentru care matricea sistemului are determinantul nenul. 5p b) Să se determine m ∈ astfel încât sistemul să admită cel puţin două soluţii. 5p c) Să se determine m ∈ pentru care dreptele d1 : mx + y + 1 = 0, d 2 : x + 3y + 2 = 0, d 3 : −x − y + 4 = 0 sunt concurente.
m n | m, n ∈ 5 , m = ±1 . 0 1 1 1 4 0 a) Să se verifice că dacă A = şi B = , atunci B ⋅ A = A−1 ⋅ B . 0 1 0 1
2. Se consideră mulţimea H = 5p
5p b) Să se arate că H este un grup cu 10 elemente în raport cu înmulţirea matricelor. 5p c) Să se determine numărul elementelor de ordinul 2 din grupul H . 59
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 059 1. Se consideră funcţia
f : → , f ( x ) = x3 + x . f ( x )
5p
a) Să se calculeze lim
5p
b) Să se demonstreze că funcţia f este inversabilă.
5p
x →∞ f
c) Să se calculeze lim
( x + 1)
f −1 ( x)
x →∞
3
x
.
.
2. Se consideră funcţiile f : → , f ( x) = x 2 sin x şi
∫
π
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se determine
5p
c) Să se arate că funcţia
−π
F o primitivă a lui f .
f ( x )dx.
c ∈ (1,3) astfel încât
3 f
( x)
∫1 sin x dx
F nu are limită la
+∞
=
2c 2 .
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 59
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
60 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 060 5p 1. Să se arate că 2(1 + 3 + 32 + ... + 38 ) < 39. 5p 2. Fie x1, x2 soluţiile ecuaţiei x2 + 5 x − 7 = 0 . Să se arate că numărul x13 + x23 este întreg. 5
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x + log x 5 = . 2
5p 4. Să se determine x ∈ , x ≥ 3 astfel încât C 22 x −3 = 3 . 5p 5. Se consideră punctele A ( 2,3) şi B ( −3, −2 ) . Să se scrie ecuaţia mediatoarei segmentului AB . 5p 6. Fie vectorii
u şi v . Ştiind că u ⋅ v = 5 , u
=
2 şi v
=3
( ( )) .
să se calculeze cos u , v
60 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 060 1. Se consideră matricea A =
2 −4
1 şi funcţia f : M2 ( ) → M2 ( ) , f ( X ) = AX . −2
5p a) Să se calculeze f ( A). 5p b) Să se arate că ( f f )( X ) = O2 , ∀X ∈ M2 ( ). 5p c) Să se arate că f ( X ) + f (Y ) ≠ I 2 , ∀X , Y ∈ M2 (). 2. Se consideră mulţimea
{
}
P = A ∈ M2 ( ) | AAt = I 2 , unde At este transpusa matricei A.
0 1 5p a) Să se verifice dacă matricea 1 0 aparţine mulţimii P. 5p b) Să se arate că înmul ţirea matricelor determină pe mulţimea P o structură de grup necomutativ. 5p c) Să se arate că, dacă A, B ∈ P, X ∈ M2 ( ) şi AX = B , atunci X ∈ P.
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 060 1. Se consideră funcţia 5p 5p 5p
f : → , f ( x ) = x + 1 + x2 .
a) Să se arate că mulţimea valorilor funcţiei f este ( 0, ∞ ) . b) Să se arate că, dacă g : → , g ( x ) = ln f ( x ) , atunci ( f ( x ) − x ) ⋅ g ' ( x ) = 1, ∀x ∈ . c) Să se demonstreze că g ( x ) < x , pentru orice x > 0 , unde g este funcţia definită la punctul b). 2. Fie mulţimea M
=
{
f : → | f este derivabilă şi
1
∫0 f ( x) dx = f (0) = f (1)
.
5p
a) Să se arate că funcţia
5p
1 b) Să se arate că, dacă f este o funcţie polinomială de grad trei care aparţine lui M , atunci f = f (0).
5p
c) Să se arate că, pentru orice f
f : → , f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 + x aparţine mulţimii M .
2
∈ M , ecuaţia f ′( x ) =
0 are cel puţin două soluţii în intervalul (0,1) .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 60
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
61 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 061 5p 1. Să se determine numărul real x ştiind că numerele x + 1, 1 − x şi 4 sunt în progresie aritmetică. 5p 2. Să se determine punctele de intersecţie a parabolei y = x2 + 5 x − 6 cu axele de coordonate. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea [0, 2π ] ecuaţia 2sin x + 1 = 0 . 5p 4. Fie mulţimea M = {1,2,3,4,5,6} . Să se determine probabilitatea ca, alegând una dintre submulţimile mulţimii M , aceasta să aibă 2 elemente.
5p 5. Punctele A , B şi
G au vectorii de poziţie r A
=
4i + 7 j , r B
=
2i − j , rG
=
4i + 4 j . Să se determine
vectorul de pozi ţie a punctului C astfel încât punctul G să fie centrul de greutate al triunghiului ABC .
5p 6. Fie vectorii
( 61
2u + v
)( ⋅
u şi v . Dacă u
1, v
=
=
2 şi măsura unghiului vectorilor u şi v este
π
3
, să se calculeze
)
2v − u .
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 061 1. Se consideră mulţimea G = M a,b | M a,b
1 a b = 0 1 0 , a, b ∈ ⊂ M3 ( ) . 0 0 1
5p a) Să se arate că M a ,b ⋅ M c,d = M a+ c,b+ d , ∀ a, b, c, d ∈ . 5p b) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă. 5p c) Să se calculeze, în funcţie de a şi b , rangul matricei M a ,b − M at ,b ( M at ,b este transpusa lui M a,b ). 2. Se consideră un grup ( K , ⋅) , unde
K
=
{e, a, b, c} , e este elementul neutru şi
a2
=b
2
=c
2
=e.
5p a) Să se rezolve în grupul K ecuaţia x3 = e . 5p b) Să se arate că ab = c. 5p c) Să se arate că grupul ( K , ⋅) nu este izomorf cu grupul ( 4 , + ) . 61 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 061 ln x , x ≠ 1 . 1. Fie funcţia f : ( 0, ∞ ) → , f ( x ) = x − 1 1, x = 1
5p
a) Să se demonstreze că funcţia f este continuă.
5p
b) Să se calculeze lim
5p
f ( x) − 1
. x − 1 c) Să se arate că funcţia f este strict descrescătoare. x →1
2. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = ln(1 + sin 2 x) . a) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe 5p
.
π
∫0 f ( x) cos x dx.
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se calculeze derivata funcţiei
g : ( −1,1) → , g ( x ) =
∫
arcsin x π
f (t ) dt .
4
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 61
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 062 5p 1. Să se determine x > 0 ştiind că numerele x , 6 şi x − 5 sunt în progresie geometrică . 5p 2. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = x 2 + x − 2 . Să se calculeze f ( 2 ⋅ ( f ( −1) ) ) .
π
π
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia cos 2 x + = cos x − . 2 2 5p 4. Să se arate că ( n !)2 divide ( 2n )! , pentru oricare n natural. 5p 5. Se consideră punctele A ( 3,2 ) şi B ( 6,5 ) . Să se determine coordonatele punctelor M şi N ştiind că acestea împart segmentul [ AB ] în trei segmente congruente, iar ordinea punctelor este A, M , N , B .
5p 6. Să se determine numerele naturale a pentru care numerele a , a + 1 şi
a + 2 sunt lungimile laturilor
unui triunghi obtuzunghic.
62 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 062 1. Fie matricea A =
a c
b 2 ∈ M2 ( ) cu proprietatea că A d
5p a) Să se arate că matricea B = 3
1 2 verifică relaţia B −1
−3
=
=
2A .
2B .
5p b) Să se arate că, dacă a + d ≠ 2 , atunci A = O2 sau A = 2 I 2 . 5p c) Să se arate că, dacă a + d = 2 , atunci det ( A ) = 0 . 2. Se consideră polinoamele
f , g ∈ [ X ] , f
=
X
4
−1 ,
g
=
X
6
−1
.
5p a) Să se arate că un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f şi g este X 2 − 1. 5p b) Să se determine numărul soluţiilor complexe distincte ale ecuaţiei f ( x ) g ( x ) = 0 . 5p c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în [ X ] . 62 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 062 1. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră funcţia f n : (0, ∞) → , f n ( x ) = x n + ln x. a) Să se arate că funcţia f 2 este strict crescătoare pe intervalul ( 0, ∞ ) . 5p 5p b) Să se arate că, pentru orice n ∈ ∗ , ecuaţia f ( x) = 0 are exact o rădăcină reală, situată în intervalul n
1
( e ,1) . 5p
c) Să se calculeze lim x →1
3
−
f 2 ( x) − 1
1
.
x −1
x3 , x ∈ ( −∞,0 ] 2. Fie funcţia f : → , f ( x ) = . 1 sin , 0, + ∈ ∞ x x ( )
5p
a) Să se arate că funcţia
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se arate că , pentru orice
f este integrabilă pe intervalul [−2π , 2π ] .
π
∫ 1 f ( x) dx . −
*
n∈ ,
2π
∫0
f n ( x) dx ≤ 2n π .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 62
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
63 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 063 5p 1. Să se arate că şirul ( an ) n
∈
, de termen general an
=
4n n+3
, este crescător.
5p 2. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie a parabolelor y = x 2 + x + 1 şi y = − x 2 − 2 x + 6. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x − π = sin 3x + π .
4
4
n
5p 4. Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării ( 2 x 2 − 5 y ) este egală cu 32. Să se determine termenul de rang patru. 5. Să se determine m ∈ R astfel încât dreptele d1: mx + 3 y + 2 = 0 şi d 2 : 2x + y − 8 = 0 să fie concurente.
5p 5p 6. Fie ABCD un patrulater. Să se arate că dacă AC ⋅ BD = 0 , atunci AB 2 + CD 2 = AD2 + BC 2 . 63
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 063 1. Se consideră mulţimile P = {S ∈ M2 () | S t = S } şi
{
}
Q = A ∈ M2 ( ) | At = − A .
1 3 0 2 5p a) Să se arate că ∈ P şi ∈Q . 3 1 −2 0 5p b) Să se arate că, dacă A, B ∈ Q , atunci AB ∈ P . 5p c) Să se arate că det ( X ) ≥ 0 , oricare ar fi X ∈ Q .
2. 5p a) 5p b) 5p c)
Se consideră polinoamele f
=
X3
+ 2X
2
+ 3 X + 45 ∈
[ X ]
şi fˆ
=
X3 + X
ˆ∈ +1 2
[ X ] .
Să se arate că rădăcinile din ale polinomului f nu sunt toate reale. Să se arate că polinomul f ˆ nu are rădăcini în . 2
Să se demonstreze că polinomul f nu poate fi scris ca produs de dou ă polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.
63
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 063 1. Se consideră funcţia f : → ,
5p 5p 5p
x, x ∈ . f ( x ) = 3 x , x ∈ \
a) Să arate că f ( x ) ≤ x , ∀x ∈ [−1,1] . b) Să arate că funcţia f este continuă în origine. c) Să se arate că funcţia f nu este derivabilă în origine. 2. Se consideră a, b ∈ şi funcţia
5p
a) Să se determine
5p
b) Ştiind că
5p
c) Să se arate că, dacă
axe x − x , x ≤ 0 f : → , f ( x ) = . x cos x b , x 0 + >
a şi b ştiind că funcţia f este primitivă pe a unei funcţii.
a = 0 şi b = 0 , să se calculeze
b = 0 , atunci lim
n→∞
π
π
∫ 1 f ( x)dx . −
∫0 x
n
f ( x) dx = −∞ .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 63
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
64 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 064 5p 1. Să se arate că şirul ( an ) , de termen general n ≥1 5p 2. Se consideră funcţiile
an
=
n2
−n
, este strict monoton.
f : R → R şi g : R → R definite prin f ( x ) = x
( f
Să se demonstreze că, pentru orice x ∈ ,
g
2
+
2 x + 1 şi g ( x ) = x − 2009 .
) ( x) ≥ 0.
5p 3. Să se rezolve în ( 0, π ) ecuaţia tg x + π = tg π − x . 3 2
5p 4. Să se determine x ∈ N , x ≥ 3 ştiind că C x x −1 + C xx−−13 ≤ 9 . 5p 5. Să se determine m ∈ R ştiind că dreptele d1 : mx + ( m + 2 ) y − 1 = 0 şi 5p 64
d2 :
( m +2 ) x + 4my − 8 = 0
sunt
paralele. 6. Fie ABC un triunghi cu tg A = 2, tg B = 3. Să se determine măsura unghiului C .
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 064 x 3 y 2 3 | x, y ∈ şi matricea A = . x 1 2
1. Fie mulţimea M = y
5p a) Să se arate că dacă Y ∈ M2 () şi AY = YA, atunci Y ∈ M . 5p b) Să se arate că dacă X ∈ M şi det ( X ) = 0 , atunci X = O2 . 5p c) Să se arate că An ∈ M , ∀n ∈ *. 2. Se consideră polinomul f = X 5 − X 4 + 3 X 3 − X 2 − 2 ∈ [ X ]. 5p a) Să se determine o rădăcină întreagă a polinomului f . 5p b) Să se calculeze x12 + x22 + ... + x52 , unde x1 , x2 ,..., x5 sunt rădăcinile polinomului f . 5p c) Să se arate că f are o singură rădăcină reală. 64 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 064 1. Se consideră funcţia
f : ( −∞, −2 ) ∪ ( 0, ∞ ) → , f ( x ) = ln 1 +
2
.
x
5p
a) Să se arate că funcţia
5p
b) Să calculeze limita şirului ( an )n≥1 , an = f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( n ) − ln
5p
n ( n + 1)
2 c) Să se arate că există un punct c ∈ (1, 2) astfel încât (c − 1) f ′(c) + f (c) = f (2) .
2. Fie funcţia
f : [ 0,1] → , f ( x ) =
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se arate că
5p
f este concavă pe intervalul (−∞ , −2) .
1 + x 4
.
1
∫0 xf ( x)dx .
π
c) Să se calculeze
1
.
≤
4 1
∫0
1
∫0 f ( x)dx ≤ 1 . f ( x ) f ′′( x) − ( f ' ( x ) )
( f ( x ) )
2
2
dx .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 64
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
65 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 065 5p 1. Să se determine primul termen al progresiei aritmetice
a1 , a2 ,13,17,... .
5p 2. Să se arate că funcţia f : R → R , f ( x ) = x3 + 2sin x este impară. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3sin x + 3 cos x = 0 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă suma cifelor egală cu 2.
5p 5. Să se determine
m ∈ R ştiind că dreptele d1: mx + 3 y − 2 = 0 şi d 2 : 12x + 2 y + 1 = 0 sunt perpendiculare.
5p 6. Ştiind că tg α = 1 , să se calculeze 2
3
sin α .
65 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 065 ax + y + z = 4 1. Se consideră sistemul x + 2 y + 3z = 6 , cu a, b ∈ . 3 x − y − 2 z = b
5p a) Să se determine a, b pentru care sistemul are soluţia (1, 1, 1). 5p b) Să se determine a, b astfel încât sistemul să fie incompatibil. 5p c) Să se arate că pentru orice a ∈ există b ∈ astfel încât sistemul să admită soluţii cu toate componentele numere întregi.
a 0 0 2. Se consideră mulţimea de matrice A = 0 a 0 | a, b, c ∈ 2 . b c a
5p a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A . 5p b) Să se arate că, pentru orice X ∈ A , X 2 = I sau X 2 = O . 3 3 5p c) Să se determine numărul matricelor X din mulţimea A care au proprietatea X 2 = O3 . 65 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 065 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = x + e x . a) Să se arate că funcţia f este bijectivă. 5p b) Să se arate că f ( x ) ≥ 2 x + 1, ∀x ∈ . 5p c) Să se demonstreze că, dacă f ( x ) ≥ mx + 1, ∀x ∈ , atunci 5p 2. Fie funcţia f : → ,
m = 2.
3
f ( x ) = sin x cos x şi F o primitivă a funcţiei f pe
.
5p
a) Să arate că există
5p
π b) Să se calculeze aria subgraficului restricţiei funcţiei f la intervalul 0, . 2
5p
c) Să se arate că
π
∫0 f
c ∈ astfel încât 4 F ( x ) = sin 4 x + c .
2 n +1
( x) dx = 0 , pentru orice n ∈ .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 65
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
66 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 066 5p 1. Să se calculeze ( 2 + i )( 3 − 2i ) − (1 − 2i )( 2 − i ) . 5p 2. Să se arate că 1 este o perioadă a funcţiei f : R → R , f ( x) = {3 x} , unde {a} este partea fracţionară a 3
numărului a.
5p 3. Să se rezolve în [0, 2π ] ecuaţia 3 sin x − cos x = 1 . 5p 4. Să se calculeze
10
C 20 9
C 20
.
5p 5. Se consideră punctele A ( 2,3 ) , B ( 4,n ) ,
C ( 2,2 ) şi D ( m,5 ) . Să se determine m, n ∈ R astfel încât
patrulaterul ABCD să fie paralelogram .
5p 6. Să se calculeze cos2 x , ştiind că tg x = 4 . 66 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 066 1. Fie dreptele d1 : x + 2 y = 3, d 2 : 3x − 4 y = −1, d 3 : 4x + 3y = m , unde m ∈ . 5p a) Să se determine m astfel încât dreptele să fie concurente. 5p b) Să se demonstreze că există o infinitate de valori ale lui m pentru care vârfurile triunghiului determinat de cele trei drepte au toate coordonatele întregi. Să se calculeze valorile lui m pentru care triunghiul determinat de cele trei drepte are aria 1.
5p c) 2. Fie polinomul f = 2 X 3 − aX 2 − aX + 2 , cu a ∈ şi cu rădăcinile complexe x1 , x2 , x3 . 5p a) Să se calculeze f (−1) . 5p b) Să se determine a pentru care polinomul are trei rădăcini reale. 5p c) Să se determine a astfel încât | x1 | + | x2 | + | x3 |= 3. SUBIECTUL III (30p) – Varianta 066 1. Se consideră funcţia 5p 5p 5p
f : → , f ( x ) = l − 1 − x2 .
a) Să se calculeze derivata funcţiei f pe intervalul (−1,1) . b) Să se determine ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f. c) Să se arate că funcţia g : (0, ∞ ) → , g ( x ) = x −2 f ( x ) este mărginită. 2. Fie funcţia f :[0,1] → [1,3], f ( x) = x 4 + x 2 + 1 . Se admite că funcţia f are inversa
g.
3
5p
a) Să se calculeze
4
∫ f ( 0
5p 5p
b) Să se arate că
2t + 1 t )
dt .
1
3
0
1
∫ f ( x ) dx +∫ g ( x) dx = 3 .
c) Să se demonstreze că, dacă
α∈
[1,3] , atunci are loc inegalitatea
1
α
0
1
∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x) dx ≥ α .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 66
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
67 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 067 5p 1. Să se determine primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi 5p 2. Să se determine
2
m ∈ R astfel încât funcţia f : R → R , f ( x ) = (3 − m ) x + 3 , să fie strict crescătoare.
5p 3. Să se calculeze sin π 5p
b1 , 6, b3 , 24, ... .
+
sin
2π
+
sin
3π
+
sin
4π
.
3 3 3 3 4. Se consideră mulţimea M a tuturor funcţiilor definite pe A = {1,2,3} cu valori în B = {5,6,7} . Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o funcţie din mulţimea M , aceasta să fie injectivă .
5p 5. Se consideră punctul G, centrul de greutate al triunghiului ABC . Prin punctul G se duce paralela la AB
5p
care intersectează dreapta BC în punctul P. Să se determine m ∈ R astfel încât GP = m AB . 1 6. Să se calculeze cos2α , ştiind că cos α = . 3
67 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 067 1 1 1 x + y + z = 1 1. Fie sistemul x + my + z = 1 , cu m ∈ şi matricea A = 1 m 1 . 1 m m x + my + mz = −2
5p a) Să se calculeze det ( A) . 5p b) Să se arate că rang ( A) ≠ 2 , oricare ar fi m ∈ . 5p c) Să se determine valorile întregi ale lui m ≠ 1 , pentru care sistemul are soluţie cu componente întregi. 2. Fie permutările α = ,β = , γ= , elemente ale grupului ( S4 , ⋅). 2 3 4 1 3 1 4 2 4 3 1 2 5p a) Să se verifice că γ este soluţie a ecuaţiei α x = xβ. 5p b) Să se arate că α 4 = β 4 . 1 2 3 4
1 2 3 4
5p c) Să se determine o soluţie a ecuaţiei x β 3 = α 3 x în 67 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 067 1. Se consideră mulţimea de funcţii M = { f : [ −1,1] →
5p
1 2 3 4
S4 .
f este de două ori derivabilă şi f ( 0 ) = 0, f ' ( 0 ) = 1} .
a) Să se arate că funcţia u : [ − 1,1] → , u ( x ) = e x sin x aparţine mulţimii M . 1
5p 5p
b) Să se arate că , dacă
f ∈ M şi f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ [ −1,1] \ {0} , atunci lim (1 + f ( x) ) x →0
c) Să demonstreze că, dacă 2. Fie funcţiile
f : [ 0,1] → , f ( x ) =
5p
a) Să se arate că g ( x) = ln(1 + x) .
5p
b) Să se calculeze
1
∫0 f
2
*
f ∈ M şi n ∈ , atunci lim
x →0
1 1 + x
f n ( x) − x n x
n +1
şi g : [ 0, ∞ ) → , g ( x ) =
=
nf ′′(0)
2
x
= e.
.
x
∫ 0 f (t)dt .
( x ) g ( x) dx .
1 2 3 n * f f f + + + ... ≤ n ln 2, ∀n ∈ . n n n n BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1
5p
c) Să se demonstreze că
f
Varianta 67
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
68 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 068 5p 1. Să se arate că numărul 25
4 + 3i
5p 2. Să se determine
25
+
4 − 3i
este întreg.
m ∈ R astfel încât funcţia f : R → R , f ( x) = (m2
−
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg x + arctg 1 5p
2) x − 3 să fie strict descrescătoare. π
. 3 3 3 4. Să se determine probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor naturale pare de două cifre , acesta să fie divizibil cu 4. =
5p 5. Pe laturile AB şi AC ale triunghiului ABC se consideră punctele M şi respectiv N astfel încât
AM
=
3MB şi AN
=
3 4
AC . Să se demonstreze că vectorii MN şi BC sunt coliniari.
5p 6. Să se calculeze sin 11π . 12
68 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 068 1. Se consideră matricele A ∈ M3 () şi B = A + At , unde At este transpusa matricei A . 5p a) Să se arate că Bt = B . 5p b) Să se demonstreze că, dacă B = 2 I 2 , atunci det ( A ) ≥ 1 . 5p c) Să se demonstreze că, dacă x, y ∈ şi matricea xA + yAt este inversabilă, atunci x + y ≠ 0. 2. Se consideră ecuaţia x3 + px + q = 0 , p, q ∈ , şi x1 , x2 , x3 soluţiile complexe ale acesteia. 5p a) Ştiind că p = 1 şi q = 0 , să se determine x1, x2 , x3 . 5p b) Să se determine p şi q ştiind că x1 = 1 + i . 5p c) Să se arate că 12( x17 + x72 + x37 ) = 7( x13 + x23 + x33)( x12 + x22 + x32 ) 2 . 68 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 068 1. Se consideră funcţia
f : ( 0, ∞ ) → , f ( x ) =
5p 5p
a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, ∞ ) . b) Să arate că f ( x ) < 0,∀ x ∈ ( 0, ∞ ) .
5p
c) Să demonstreze că şirul ( xn )n≥1 , xn = 1 + 2. Fie funcţia
5p 5p
f : → , f ( x ) =
x
∫0
1 x + 1
1 2
+ ln
+ ... +
1 n
2 x + 1 2x + 3
.
− ln n +
1
este strict descrescător.
2
2
e t dt .
a) Să se arate că funcţia f este impară. b) Să se arate că lim f ( x) = ∞ . x →∞
5p
c) Să se arate că
1
∫0 f ( x)dx ≤ e − 2 .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 68
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
69 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 069 5p 1. Să se determine z ∈ C ştiind că z + 7i = 6 . z
5p 2. Fie funcţia f : → , f ( x ) = 2 x + 1 . Să se calculeze f (1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + ... + f (50 ) . 5p 3. Se consideră funcţia f : N → N , f ( x ) = 3 x + 1 . Să se demonstreze că funcţia f este neinversabilă. 5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o cifră din mulţimea {0,1,2,...,9} , aceasta să verifice inegalitatea ( x + 1)! − x! ≤ 100 .
5p 5. Să se arate că dreptele de ecuaţii
d1 : 2x − y + 1 = 0 şi d 2 : 2x + y − 1 = 0 sunt simetrice faţă de axa Oy.
5p 6. Să se calculeze cos 7π . 12
69
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 069 1 1 0 1. Fie matricea A = 0 0 1 ∈ M3 (). 0 1 0
5p a) Să se verifice relaţia A3 − A = A2 − I 3 . 5p b) Să se arate că An − An−2 = A2 − I 3 , ∀n ∈ , n ≥ 3. 5p c) Să se arate că, pentru orice n ∈ * , suma elementelor matricei An este 2. Pentru fiecare n ∈ ∗ se defineşte polinomul Pn = X n − 1∈ [ X ] . 5p a) Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului P4 . 5p b) Să se descompună polinomul P3 în factori ireductibili în [ X ] . 5p c) Să se descompună polinomul P6 în factori ireductibili în [ X ] . 69
n + 3.
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 069 1. Se consideră funcţia
f : → , f ( x ) =
33
x2 .
5p
2 a) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în origine.
5p
b) Să arate că, pentru orice
5p
c) Să se demonstreze că şirul ( an )n≥1 , 2. Fie funcţia
k ∈ ( 0, ∞ ) , există c ∈ ( k , k + 1) astfel încât f ( k + 1) − f ( k ) = an
f : ( −1, ∞ ) → , f ( x ) = x −
1
=
x
3
2 +
2
+
1 x
1 3
2
+ ... +
1 3
−
n
1 3
c
.
f ( n) , este strict descrescător.
3 −
3
ln (1 + x ) .
1
∫0 f ( x)dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se calculeze lim
5p
c) Să se arate, folosind eventual funcţia f , că
x →0
F ( x) x
5
, unde funcţia F : [ 0, ∞ ) → , F ( x) = 1
∫0
ln(1 + x) dx ≤
5 12
x
∫0 f (t) dt , x ∈ [0, +∞ ) .
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 69
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
•
La toate subiectele se cer rezolvări complete.
70 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 070 5p 1. Să se calculeze (1 + i )20 . 5p 2. Se consideră funcţia S
=
f
f : R∗
→
R,
f ( x ) =
1 x
. Să se calculeze suma
( f ( −10 ) ) + f ( f ( −9 ) ) + ... + f ( f ( −1) ) + f ( f (1) ) + ... + f ( f ( 9 ) ) + f ( f (10 ) ) .
5p 3. Să se arate că funcţia f : R → R ,
( x 1) este injectivă .
f ( x) = log 2 3
+
5p 4. Să se calculeze A53 − 6C 53 . 5p 5. Să se determine
m ∈ R ştiind că distanţa de la punctul A ( m, m + 1) la dreapta d : 3x − 4 y − 1 = 0 este 1.
5p 6. Să se calculeze cos75
−
cos15 .
70 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 070 1. Pentru orice două matrice A, B ∈ M2 () se defineşte matricea [ A, B] = AB − BA. 5p a) Pentru A ∈ M2 () , să se calculeze [ A, A2 ] . 5p b) Să se arate că, pentru orice A ∈ M () , [ A, A* ] = O , unde A* este adjuncta matricei A. 2 2 5p c) Să se arate că, pentru orice A, B, C ∈ M2 () , [ A,[ B, C ]] + [ B ,[C , A]] + [C ,[ A, B ]] = O2 . 2. Se consideră intervalul H = ( 0,1) . 5p a) Să se arate că relaţia
ab =
ab ab + (1 − a )(1 − b )
defineşte o lege de compoziţie pe H .
5p b) Să se arate că funcţia f : ( 0, +∞ ) → ( 0,1) , f ( x ) = unde legea " " este definită la punctul a).
x x + 1
are proprietatea f ( xy ) = f ( x) f ( y),
∀x,
y > 0,
5p c) Ştiind că legea " " definită la punctul a) este asociativă, să se rezolve în mulţimea ( H , ) ecuaţia x x x =
1 2
.
70 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 070 1. Se defineşte funcţia
f 0 : → , f 0 ( x ) = e 2 x şi, pentru fiecare n ∈ * , se defineşte funcţia f n : →
prin f n ( x ) = f n′−1 ( x ) .
5p 5p 5p
a) Să se arate că f 3 ( x) = 8e2 x , ∀ x ∈ . b) Să determine asimptotele graficului funcţiei f n . f ( a ) + f 2 ( a ) + ... + f n−1 ( a ) c) Să se calculeze lim 1 , unde a este un număr real. n→∞ f n ( a ) 2. Fie funcţia f : [ 0, ∞ ) → ,
x ln x , x ≠ 0 f ( x ) = . x 0 , = 0
5p
a) Să se arate că funcţia
5p
b) Să se calculeze
∫0 f ( x)dx .
5p
c) Să se calculeze
∫1 f x dx .
2
f este integrabilă pe intervalul [0,1] .
1
e
1
Varianta 70
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
•
La toate subiectele se cer rezolvări complete.
71
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 071 5p 1. Să se calculeze log7 2009 − log 7 287 − 1 . 5p 2. Se consideră funcţia
f : R∗ → R , f ( x ) = x 2 −
1 x 2
. Să se arate că funcţia f este pară.
5p 3. Să se arate că valoarea maximă a funcţiei f : → R , f ( x ) = 3 − x4 este 5p 4. Să se determine n ∈ N , n ≥ 2 , astfel încât 3C1n + 2C n2 = 8 .
f ( 0 ) .
5p 5. Se consideră triunghiul ABC şi punctele A ', B ', C ' astfel încât A′C = 2BA′, B′C = 2 AC , C ′A = 3BC ′ .
5
Să se arate că dreptele AA′, BB ′ şi CC ′ sunt concurente.
5p 6. Să se determine ecuaţia medianei corespunzătoare laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că A(2,2) şi ecuaţiile medianelor duse din B şi C sunt 2 x + y − 2 = 0 , respectiv x − y + 2 = 0 .
71 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 071
1. Se consideră determinantul de ordin
5p a) Să se calculeze D3 =
2 1 0 0 ... 0 0 1 2 1 0 ... 0 0 0 1 2 1 ... 0 0 n ≥ 2, Dn
=
.
0 0 ... ... ... 1 0 0 0 ... ... ... 2 1 0 0 ... ... ... 1 2
2 1 0 1 2 1. 0 1 2
5p b) Să se verifice că Dn = 2 Dn −1 − Dn−2 , 5p c) Să se arate că Dn = n + 1, ∀n ≥ 2.
∀n ≥
4.
2. Un grup (G, ⋅) , cu elementul neutru e, are proprietatea ( p ) dacă x2 = e , ∀ x ∈ G . 5p a) Să se verifice că mulţimea 2 × 2 , împreună cu legea de compoziţie dată de (a, b ) ⋅ (c, d ) = (a + c , b + d ), ∀a ,b ,c , d ∈ 2 este un grup care are proprietatea ( p ).
5p b) Să se arate că dacă un grup G are proprietatea ( p) , atunci ( xy )2 = x 2 y 2 , ∀x, y ∈ G . 5p c) Să se arate că orice grup care are proprietatea ( p ) este comutativ. 71 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 071 1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → , 5p 5p 5p
f ( x ) = x − ln (1 + x ) .
a) Să se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ( 0, ∞ ) . b) Să arate că f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0, ∞ ) . c) Să se calculeze lim f ( x ) . x →∞
2. Se consideră funcţia 5p 5p
F : → , F ( x ) =
2 x
∫1 t
dt .
a) Să se verifice că 1 + ( x + 1) F ( x) = 2 x +1 , ∀x ∈ . b) Să se calculeze lim F ( x) . x →−1
5p
c) Să se arate că există o funcţie continuă f : (−1, ∞) → , astfel încât
F ( x) = 1 +
x
∫0 f ( y) dy, ∀x ∈ (−1, ∞) . Varianta 71
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
72 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 072 5p
π 1. Să se arate că numărul cos 4
5p 2. Se consideră funcţia
f : R
∗
→
100
+ i sin 4 π
R,
este real.
f ( x ) = x3 −
1 x
. Să se arate că funcţia f este impară.
5p 3. Să se determine imaginea funcţiei f :[1, 4] → , f ( x) = x2 − x. 0 2009 1 2008 2 2007 2 2009 2009 5p 4. Să se calculeze C2009 . ⋅5 − C2009 ⋅ 5 ⋅ 4 + C 2009 ⋅ 5 ⋅ 4 − ... − C 2009 ⋅ 4 5p 5. Se consideră punctul A (1, 2 ) şi dreapta de ecuaţie d : 4 x − 2 y + 5 = 0 . Să se determine ecuaţia perpendicularei duse din punctul A pe dreapta d .
5p 6. Să se calculeze sin 75 ⋅ cos15 . 72
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 072 1 1 1 1. Se consideră matricea A = 1 1 1 ∈ M3 (). 1 1 1
5p a) Să se rezolve ecuaţia det( I 3 + xA2 ) = 0, x ∈ . 5p b) Să se determine o matrice B ∈ M3 () cu proprietatea B 2 = A . 5p c) Să se arate că
∀C ∈ M 3 ( ), ∀x ∈ ,
det(C
+
xA)det(C
− xA ) ≤
2
( det C ) .
2. Se consideră polinomul p = X 3 − X + m cu m ∈ şi cu rădăcinile x1, x2 , x3 ∈ . 5p a) Ştiind că m = −6 , să se determine x1, x2 , x3 . 5p b) Să se calculeze x14 + x24 + x34 . 5p c) Să se determine m ∈ pentru care polinomul p are toate rădăcinile întregi. 72
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 072 1. Se consideră funcţia
5p 5p 5p
f : \ {−1} → , f ( x ) =
x 2 + x + 1
. x + 1 a) Să se determine ecuaţia asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f .
b) Să se calculeze
f ′ ( x ) , x ∈ \ {−1} .
c) Să se demonstreze că funcţia f este concavă pe intervalul ( −∞, −1) . 2. Pentru orice
n ∈ * se consideră funcţia f n : → , f n ( x) =| sin nx | şi numărul I n =
∫
2π
f n ( x)
π
x
dx .
π
∫0 f2 ( x ) dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se arate că I n ≤ ln 2 .
5p
2 1 c) Să se arate că I n ≥
π n +1
+
1 n+ 2
+ ... +
1 . 2n
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 72
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
73 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 073 5p 1. Să se calculeze 5 − 12i − 12 + 5i . 5p 2. Se consideră funcţia
f : R → R , f ( x ) = x
2
−
4
x . Să se calculeze ( f
f
f
f )(1) .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x + 4 x = 20 . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii A = {0,5,10,...,2010} , acesta 5p
să fie divizibil cu 25 . 5. Se consideră un triunghi ABC , cu lungimile laturilor AB = c , AC
=
b şi un punct D astfel încât
AD = b AB + c AC . Să se arate că semidreapta [ AD este bisectoarea unghiului BAC .
π
1
5p 6. Fie α ∈ , π astfel încât cos2α = . Să se calculeze cosα . 2 2 73
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 073 1. Fie matricea M =
b ∈ M ( ) . Se asociază fiecărui punct A( x, y ) punctul A 2 M ( x ', y ') , unde d
a c
x ' a b x y ' = c d y .
5p a) Ştiind că a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 şi că A(−1,1) , să se determine coordonatele punctului A M . 5p b) Ştiind că a = 1, b = 2,c = 2, d = 4 , să se arate că toate punctele A M se află pe dreapta y = 2 x. 5p c) Fie A, B, C trei puncte în plan. Dacă se notează cu S şi S M ariile triunghiurilor ABC , respectiv A M BM C M , atunci S M
=
S ⋅ | det M | .
a b c ˆ 2. Se consideră mulţimea A = 0 a d | a, b, c, d ∈ 2 . 0ˆ 0ˆ a
5p a) Să se determine numărul elementelor mulţimii A. 5p b) Să se arate că mulţimea A este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din
M 3( 2 ) .
5p c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = X , cu X ∈ A . 7
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 073 1. Fie
5p
a ∈ şi funcţia f : {−1,1} → , f ( x ) =
x 2
+
x 2
x+a −1
.
a) Să se calculeze lim f ( x) x . x →∞
5p 5p
b) Să se determine valoarea numărului a ştiind că 3 este punct de extrem local al func ţiei f . c) Să se determine valoarea numărului a ştiind că graficul funcţiei f are exact o asimptotă verticală. 2. Se consideră funcţia f n ( x) =
*
f 0 : → , f 0 ( x ) = 1 şi, pentru orice n ∈ , se defineşte funcţia f n : → ,
x
∫ 0 fn 1 (t) dt . −
5p
a) Să se arate că
5p
b) Să se calculeze lim
5p
c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei
f12 ( x ) = 2 f 2 ( x ), ∀x ∈ . x →∞
xf n ( x ) + 1 f n +1 ( x ) + 2
.
g ( x) = f1 ( x) sin x în jurul axei Ox .
g :[0, π] → [0, π] , Varianta 73
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
74 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 074 5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia z 2 + 3z + 4 = 0 . 5p 2. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → R , f ( x ) = x − 2m + 2 . Să se determine m ∈ astfel încât graficul funcţiei f să nu intersecteze axa Ox. 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 − x + 3 x − 2 = 0 . a b 5p 4. Să se arate că Ca b = C a b , pentru oricare a , b ∈ . 5p 5. Să se determine m ∈ astfel încât punctele A ( 3, 3) , B ( 2, 4 ) şi C ( 2m, 1 − m ) să fie coliniare. ∗
+
+
1 π 5p 6. Fie α ∈ , π astfel încât cos2α = − . Să se calculeze sinα . 2 2
74
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 074 0 1 −1 1. Se consideră matricea A = −1 0 2 . 1 −2 0 5p a) Să se calculeze det A . 5p b) Să se verifice relaţia A( A2 + 6 I 3 ) = O3 . 5p c) Să se arate că det( I3 + xA2 ) ≥ 0, 2. 5p a) 5p b) 5p c) 74
5p
.
Se consideră a, b ∈ şi polinomul p = X 3 + aX 2 + X + b , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ . Ştiind că a = b = 1 , să se afle rădăcinile polinomului p. Să se determine a şi b , ştiind că polinomul p are rădăcina dublă 1. În cazul b = 1 , să se determine valorile lui a pentru care polinomul p are o rădăcină raţională.
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 074 2 + x . 2 − x a) Să se determine ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei f . b) Să se studieze monotonia funcţiei f . 1 c) Să se calculeze lim xf .
1. Se consideră funcţia 5p 5p
∀x ∈
f : ( −2,2 ) → , f ( x ) = ln
x →∞
2. Fie funcţia
f : → ,
x
2 2 t x f ( t ) = − e dx şi 1 x
∫
2
e
5p
a) Să se arate că
f ( t ) = At
5p
b) Să se arate că
f
5p
x 2 e dx c) Să se demonstreze că ∫ 1 x
−e
1
1 x 2
dx , B =
2 e x
∫1
x
dx .
2
, ∀t ∈ . 2 f ( 2 B + t ) , ∀t ∈ .
− 2 Bt +
( 2B − t ) =
4
numerele A = ∫
2
2
2 e2 x dx 2 1 dx . ∫1 2 ∫1 x
≤
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 74
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 075 5p 1. Să se ordoneze crescător numerele 5p
a = − 3 27, b = log 2
şi c = −2 . 16 2. Să se determine valorile parametrului real m ştiind că parabola asociată funcţiei f : → , f ( x ) = x 2
+
mx − 2 m se află situată deasupra axei Ox .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 5p 4. Se consideră dreptele paralele 5p
1
(
x
2
+
x−2
)
=
1.
d 1 , d 2 şi punctele distincte A, B , C ∈ d 1 , M , N , P, Q ∈ d 2 . Să se
determine numărul triunghiurilor care au toate vârfurile în mul ţimea celor şapte puncte date. 5. Să se determine coordonatele simetricului punctului A ( −3; 2 ) faţă de mijlocul segmentului [ BC ] , unde B (1; −4 ) şi C ( −5, −1) .
5p 6. Să se calculeze aria triunghiului ABC în care AM
=
BC = 4 , unde M este mijlocul lui ( BC ) , iar
m ( AMC ) = 150 .
75
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 075 2 1. Se consideră matricele A = −1 −1
5p a) Să se calculeze produsul AB . 5p b) Să se arate că M x M y = M xy ,
−1
1 1 1 2 −1 , B = 1 1 1 şi M x 1 1 1 2 −1
−1
=
x
3
A+
1 3 x
*
2
B, cu x ∈ .
* ∀ x, y ∈ .
5p c) Să se arate că, pentru orice x real nenul, det ( M x ) ≠ 0 . 2. Se consideră polinomul
p = X
4
− aX
5p a) Să se verifice că x1 + x2 + x3 + x4
3
− aX + 1,
1
=
+
x1
1 x2
+
cu a ∈ şi cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈ .
1 x3
+
1 x4
.
5p b) Să se arate că polinomul p nu este divizibil cu X 2 − 1 pentru nicio valoare a lui a. 5p c) Să se arate că dacă
a=
1 2
, atunci toate rădăcinile polinomului p au modulul 1.
75 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 075 1. Se consideră α ∈ , α > 1 şi funcţia f : (−1, ∞) → , f ( x ) = (1 + x)α − α x . a) Să se studieze monotonia func ţiei f . 5p 5p b) Să se demonstreze că (1 + x )α > 1 + αx, ∀x ∈ ( −1, ∞ ) \ {0} , ∀α ∈(1, ∞) . 5p c) Să se demonstreze că 2 f (x + y ) ≤ f (2 x) + f (2 y ), ∀x, y ∈[0, ∞) . 2. Fie funcţia
f : ( −1, ∞ ) → , f ( x ) =
x
1 + x
.
1
∫0 f ( x)dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se arate că şirul (an )n≥1 , dat de
3
∫1 f
2
( x)[ x]dx , unde [ x] reprezintă partea întreagă a numărului real x . an
=
f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) −
n
∫0 f ( x)dx , este convergent. Varianta 75
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
76 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 076 5p 1. Să se verifice dacă numărul 3 − 2 2 aparţine mulţimii {a + b 2 | a, b ∈ Z} . 5p 2. Se consideră ecuaţia x2 − 3 x + 1 = 0 , cu rădăcinile x1 şi x2 . Să se arate că x12 + x22 ∈ . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia arctg 3 + arctg x = π . 2
5p 4. Să se arate că oricare ar fi n natural, n ≥ 1 , are loc egalitatea 2 ⋅ C 2nn −1 . 5p 5. Se consideră vectorii u = i − j şi v = 2i + 4 j . Să se calculeze modulul vectorului C2nn =
u+v.
5p 6. Fie α ∈ π , π , astfel încât sin α = 3 . Să se calculeze tg α . 2
76
5
2
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 076 1 + a 2 ab ac 1. Se consideră matricea A = ba 1 + b2 bc , cu a, b, c ∈ şi A* adjuncta sa. ca 1 + c2 cb
5p a) Să se calculeze determinantul matricei A. 5p b) Să se verifice că det( A* ) = ( det A)2 . 5p c) Să se arate că matricea A − I 3 are rangul cel mult 1. 2. Fie ( G,·) un grup. Pentru fiecare element a ∈ G se defineşte funcţia f a : G → G , f a ( x ) = ax, ∀ x ∈ G. 5p a) Să se arate că f a este bijectivă, pentru orice a ∈ G. 5p b) Să se arate că f a f b = f ab , ∀a, b ∈ G . 5p c) Fie F ( G ) = { f a : G → G | a ∈ G}. Să se arate că F ( G ) împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor formează un grup.
76 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076 1. Se consideră funcţia f : ( 0, ∞ ) → , f ( x) = x + ln x . a) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptotă spre 5p 5p 5p
b) Să se arate că ecuaţia
1 f ( x ) = 0 are o soluţie unică x0 ∈ ,1 . e
c) Să se demonstreze că lim
x → x0
x
xe
−1
x − x0
= f
' ( x0 ) , unde x0 este numărul definit la punctul b). 1
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , definit prin I n = ∫ 0 5p 5p 5p
+∞ .
(
ln x n
) dx , oricare ar fi n ∈
+1
x + 1
∗
.
a) Să se determine I 1 . b) Să se arate că şirul I n este strict descrescător. c) Să se arate că lim I n = 0 (se consideră cunoscut faptul că ln (1 + t ) ≤ t , ∀t ∈ ( −1, ∞ ) . n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 76
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
77 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 077 5p 1. Se consideră progresia aritmetică ( an ) de raţie 2 şi cu a3 + a4 = 8 . Să se determine n ≥1 5p 2. Fie f : → , f ( x) = 1 + x. Să se calculeze f (−1) + f (−2) + f (−3) + ... + f (−10).
a1 .
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x − 2 x = 56. 5p 4. Să se calculeze A43 − A32 − C 42 . 5p 5. Fie ABC un triunghi şi G centrul său de greutate. Se consideră punctul M definit prin MB = −2MC . Să se arate că dreptele GM şi AC sunt paralele.
5p 6. Fie α ∈ 0, π , astfel încât sin α = . Să se calculeze tgα . 3
2
4
77 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 077 x − y − mz = 1 1. Se consideră sistemul mx + y + mz = 1 − m , m ∈ . mx + 3 y + 3 z = −1
5p a) Să se calculeze determinatul matricei sistemului. 5p b) Să se arate că, pentru orice m ∈ , matricea sistemului are rangul cel puţin egal cu 2. 5p c) Să se determine m ∈ pentru care sistemul este incompatibil. 2. Se consideră α > 0 un număr real şi mulţimea Gα = ( α, ∞ ) . Pe R se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = 3 xy − 6 ( x + y ) + 7 α.
5p a) Să se arate că pentru α = 2, cuplul ( G2 , ∗) este grup abelian. 5p b) Să se arate că grupurile ( G , ∗) şi * ,· sunt izomorfe, prin funcţia ( +) 2 5p c) Să se arate că, pentru orice 77
α≥
f : G2
2 , mulţimea Gα este parte stabilă a lui
R
* → + ,
f ( x ) = 3x − 6 .
în raport cu operaţia „ ∗ ”.
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 077
1. Se consideră o funcţie f : → , astfel încât xf ( x ) = e x − 1, ∀x ∈ . 5p a) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe 5p 5p
graficul funcţiei f . b) Să se arate că funcţia f este continuă în x = 0 dacă şi numai dacă f (0) = 1 .
c) Să se arate că dacă funcţia f este continuă în x = 0 , atunci ea este derivabilă pe
.
2
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ (( x − 1)(2 − x)) n dx. 1 5p 5p 5p
a) Să se calculeze I 1 . b) Să se arate că 2(2n + 1) I n = nI n −1 , oricare ar fi c) Să se calculeze lim I n .
n∈ , n ≥ 2 .
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 77
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
78 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 078 5p 1. Să se calculeze 10lg 7 − 3 343. 5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 2 x 2 − 3 x + 1 ≤ 0. 5p 3. Să se arate că funcţia f : → , f (x) = log 2 x − x este injectivă. 3
5p 4. Să se calculeze numărul diagonalelor unui poligon convex cu 8 laturi. 5p 5. Fie ABCD un paralelogram şi 5p 6. Fie a, b ∈ − π , π , astfel încât 2 2
P un punct astfel ca BP = 2 PD. Să se arate că BP = a+b=
π
4
2 BA + BC . 3
(
)
. Să se arate că tg a tgb + tg a + tgb = 1.
78 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 078 2 x − 3 y + 4 z − 5t = −1 1. Se consideră sistemul x + 9 y + mz + t = 3 , m, n, p ∈ . 5 x − 6 y + 10 z + nt = p
5p a) Să se determine p astfel încât sistemul să admită o soluţie ( x0 , y0 , z0 , t 0 ) cu z0 = t 0 = 0. 5p b) Să se arate că, pentru orice m, n ∈ , rangul matricei sistemului este mai mare sau egal cu 2. 5p c) Să se determine m, n, p ∈ pentru care sistemul este compatibil, iar matricea sistemului are rangul 2. 2. Fie mulţimea
m | m, n ∈ Z, m şi n sunt impare şi G = Q0 × Z . Pe G se defineşte legea de n
Q 0=
compoziţie ( q1 , k1 ) ∗ ( q2 , k 2 ) = ( q1q2 , k1 + k 2 ) , ∀ q1, q 2 ∈ Q0 , ∀ k1, k 2 ∈ Z.
5p a) Să se arate că ( G , ∗) este grup abelian. 5p b) Să se calculeze (1,1) ∗ (1, 2 ) ∗ ... ∗ (1,10 ). 5p c) Să se arate că funcţia
f : G → ∗ , f
( ( q, k ) ) = q ⋅ 2k este un izomorfism între grupurile ( G , ∗)
(
)
şi ∗ ,· .
78 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 078 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = 3 x3 − 3 x + 2 . a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre 5p b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f . 5p 5p c) Să se calculeze lim x (2arctg f ( x) − π).
+∞
x →∞
2. Fie funcţia
f : → , f ( x) =
1 3 + cos x
.
π
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se demonstreze că orice primitivă a funcţiei
5p
∫03 f ( x )dx .
c) Să se calculeze lim
x →∞
1 x 2
f este strict crescătoare.
x
∫ f (t )dt . 0
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 78
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
79 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 079 5p 1. Să se arate că −∞, 3 ∩ ( log 2 3, ∞ ) = ∅.
2
5p 2. Se consideră funcţia
f : → , f ( x ) = x 2 − 4 x + 3. Să se determine abscisele punctelor de intersecţie a
graficului funcţiei f cu axa Ox.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 1 − x = 1. 5p 4. Să se determine n ∈ , n ≥ 3 , astfel încât C 3 să dividă C 3 . n n +1 5p 5. Fie punctele A (1, 2 ) , B ( −1,3) şi C ( 0, 4) . Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A al triunghiului ABC .
5p 6. Fie x ∈ , astfel încât tg2 x = 6. Să se calculeze cos2 x. 79 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 079 x + my + 2z = 1 1. Se consideră sistemul x + ( 2m − 1) y + 3z = 1 , m ∈ . x + my + ( m − 3) z = 2m − 1
5p a) Să se determine m ∈ pentru care sistemul are soluţie unică. 5p b) Să se determine m ∈ pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. 5p c) Pentru m = 1 să se determine soluţiile reale ( x0 , y0 , z0 ) ale sistemului pentru care 2 x02 − y02 + 3z02 = 14. 2. Pe mulţimea G = [ 0,1) se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = {x + y} , unde {a} este partea 5p 5p
fracţionară a numărului real a. 2 3 a) Să se calculeze ∗ . 3 4 b) Să se arate că ( G , ∗) este grup abelian. 1
5p c) Să se rezolve ecuaţia x ∗ x ∗ x = , x ∈ G . 2
79 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 079 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = e3 x + 2 x + 1 . 5p a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul 5p 5p
funcţiei f . b) Să se arate că funcţia f este inversabilă.
c) Să se calculeze lim ( f (−1) + f (− 2) + f (− 3) + ... + f (− n) + n2 ) . n→∞
2. Se consideră şirul ( an )n≥0 definit prin 5p 5p 5p
a0
=1
şi an +1 =
an
∫ 0 sin πx dx .
a) Să se calculeze a1 . b) Să se arate că şirul (an )n≥0 este convergent. c) Să se calculeze lim an . n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 79
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
80 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 080 5p 1. Să se calculeze (1 − i ) (1 − i 2 )(1 − i3 )... (1 − i 2009 ) . 5p 2. Se consideră funcţiile f : → , f ( x) = 1 − x şi
g : → , g ( x ) = 2 x − 1. Să se arate că funcţia f
g
este descrescătoare.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia 3 2 − x2 ≥ 1. 5p 4. Să se calculeze numărul funcţiilor injective f : {1, 2,3} → {1, 2,3, 4,5} cu proprietatea că f (1) ≠ 1 . 5p 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul P ( 4, −1) şi este paralelă cu dreapta x − 2 y + 1 = 0. 5p 6. Fie x ∈ astfel încât sin x =
1 2
+ cos x.
Să se calculeze sin 2 x.
80 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 080 1. Fie permutarea
1 2 3 4 5 n ∗ ∈ S5 şi mulţimea A = {σ n ∈ } . 2 3 4 5 1
σ=
5p a) Să se determine numărul inversiunilor lui σ . 5p b) Să se determine numărul elementelor mulţimii A. 5p c) Fie τ ∈ S5 astfel încât τσ 2 = σ 2τ . S ă se arate că τ σ
= στ
.
2. Fie f : → o funcţie şi mulţimea H = T ∈ | f ( x + T ) = f ( x ) , ∀ x ∈ . 5p a) Să se arate că, dacă T ∈ H , atunci −T ∈ H . 5p b) Să se demonstreze că H este subgrup al grupului ( , + ) . 5p c) Să se determine mulţimea H pentru funcţia f : → , f ( x ) = {x} . 80 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 080 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = a) Să se studieze monotonia func ţiei f. 5p 5p b) Să se arate că ( x 2 + 1) f ′′( x) + xf ′( x) = 5p
c) Să se arate că graficul funcţiei
x2 + 1 . x2 + 1 , pentru orice x ∈ .
f admite asimptotă spre −∞ . 1
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ 0
nx n x n + 1
dx .
5p
a) Să se calculeze I 1 .
5p
b) Să se arate că I n = ln 2 − ∫ ln(1 + x n )dx, ∀n ∈ * .
5p
c) Să se calculeze lim I n .
1
0
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 80
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
81 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 081 5p 1. Să se calculeze partea întreagă a numărului log 2 500. 5p 2. Se consideră ecuaţia x 2 − 2 x + m = 0, m ∈ , care are rădăcinile reale x1 şi x2 . Ştiind că
x1 − x2
=
1,
să se determine m.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 1 − x = 1 + x . 5p 4. Să se calculeze C 0 + C 2 + C 4 + ... + C16 . 16 16 16 16 5p 5. Să se determine a ∈ ştiind că dreptele x + y = 1 şi 3 x − ay = 2 sunt paralele. 5p 6. Fie a, b ∈ , astfel încât
a+b=
π
2
. Să se arate că sin 2 a + sin 2b = 2 cos ( a − b ) .
81 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 081 1. Fie m ∈ şi punctele A ( m,1) , B (1 − m, 2 ) ,
C ( 2m + 1, 2m + 1) . Se consideră matricea
1 1 m M = 1 − m 2 1 . 2 m + 1 2m + 1 1
5p a) Să se calculeze det ( M ) . 5p b) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare, oricare ar fi
m∈ . 15 c) Să se arate că aria triunghiului ABC este mai mare sau egală cu . 32
5p
a
b
2. Fie mulţimea de matrice A =
a, b ∈ 5 .
−b a
5p a) Să se dea un exemplu de matrice nenulă din mulţimea A care are determinantul 0ˆ . 2ˆ 1ˆ 0ˆ 0ˆ ⋅ M = . −1ˆ 2ˆ 0ˆ 0ˆ
5p b) Să se arate că există o matrice nenulă M ∈ A astfel încât 2ˆ −1ˆ
5p c) Să se rezolve ecuaţia X 2 =
1ˆ
.
2ˆ
81 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 081 −
: * → ,
1
1. Se consideră funcţia f f ( x) = ( x − 1) e x . 5p a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul 5p 5p
funcţiei f . b) Să se arate că funcţia admite două puncte de extrem. c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre
2. Se consideră funcţia
f :[0; ∞) → , f ( x ) =
x 3
∫0 t
5p 5p
a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se calculeze f (1) .
5p
c) Să se calculeze lim
x →∞
f ( x) x5
t
2
+
+∞
.
1 dt .
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 81
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
82 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 082 5p 1. Să se verifice că numărul 1 + i este rădăcină a ecuaţiei z 4 + 4 = 0. 5p 2. Să se arate că vârful parabolei asociate funcţiei f : → , f ( x ) = x2 − 4 x + 9 se află pe dreapta de ecuaţie x + y = 7 .
5p 3. Fie f : {1,2,3} → {4,5,6} o funcţie injectivă. Să se arate că f (1) + f ( 2) + f ( 3) = 15. 5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre impare.
5p 5. Se consideră punctele A (1, 0 ) , B ( 2,3) şi 5p 6. Fie
a ∈ , astfel încât sin a =
1 4
C ( −1, 4) . Să se calculeze AB ⋅ AC .
. Să se calculeze sin 3 a.
82 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 082 x + ay + ( b + c ) z = 0 1. Se consideră sistemul de ecuaţii liniare cu coeficienţi reali x + by + ( c + a ) z = 0 . x + cy + a + b z = 0 ( )
5p a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. 5p b) Să se arate că, pentru orice a, b, c ∈ . , sistemul admite soluţii nenule. 5p c) Să se rezolve sistemul, ştiind că a ≠ b şi că (1,1,1) este soluţie a sistemului. 2. Se consideră mulţimea
x iy 2 2 x, y ∈ , x + y iy x
G =
≠
0 .
5p a) Să se demonstreze că G este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din 5p b) Să se arate că (G,·) este grup abelian. 5p c) Să se arate că funcţia
(
∗
f : , ⋅
) → ( G, ⋅) cu f ( x + iy ) = xiy
iy , x
∀x,
M2 ( ) .
y ∈ este izomorfism de
grupuri.
82 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 082 1. Se consideră şirul (an ) n≥0 , definit prin a0 = 3 , 5p a) Să se arate că (an )n≥0 este strict crescător. 5p b) Să se arate că şirul (an )n≥0 este convergent. 5p
c) Să se calculeze lim
an + 2
n→∞
− an +1
an +1 − an
an +1 =
2 + an ,
∀n ∈ .
.
x (sin t + cos t ) sin t π 2. Fie funcţia f : 0, → ( 0, ∞ ) , f ( x ) = ∫ dt . 2 0 2
5p
π a) Să se calculeze f . 4
cos t
5p
b) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare.
5p
c) Să se calculze lim
x →0 x > 0
f ( x ) x 2
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 82
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
83 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 083 5p 1. Să se arate că numărul 3 3 aparţine intervalului 5p 2. Să se determine valorile reale ale lui
(
2, log 2 5 ) .
m ştiind că x 2
+
3x + m ≥ 0, oricare ar fi x ∈ .
π
π
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x + + cos − x = 1 . 6 3 5p 4. Într-o urnă sunt 49 de bile, inscripţionate cu numerele de la 1 la 49. Să se calculeze probabilitatea ca, extrăgând o bilă din urnă, aceasta să aibă scris pe ea un pătrat perfect. 5p 5. Să se determine m ∈ ştiind că vectorii u = 2i − 3 j şi v = mi + 4 j sunt perpendiculari. 5p 6. Să se arate că tg1 ⋅ tg 2 ⋅ tg3 ⋅ ... ⋅ tg89 = 1 . 83 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 083 x − y + z = 1 1. Fie sistemul de ecuaţii liniare x + (m2 − m − 1) y + (m + 1)z = 2 , unde m ∈ . 2 2 x + (m − m − 2) y + 2(m + 1) z = 3
5p a) Să se demonstreze că sistemul are soluţie unică dacă şi numai dacă m ∈ \ {0,1} . 5p b) Să se arate că pentru m ∈{0,1} sistemul este incompatibil. 5p c) Să se arate că dacă ( x , y , z ) ∈ 3 este soluţie a sistemului, atunci x − y + 2009 ⋅ z = 1 . 0 0 0 0 0 0 a b
| a, b ∈ Z7 , a ≠ 0ˆ sau b ≠ 0ˆ . a
2. Se consideră mulţimile H = {a 2 | a ∈ Z7 } şi G =
−b
5p a) Să se determine elementele mulţimii H. ˆ Să se arate că x = y = 0. ˆ 5p b) Fie x, y ∈ H astfel încât x + y = 0. 5p c) Să se arate că G este grup abelian în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor. 83
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 083 1. Se consideră funcţia
5p 5p 5p
f
: \{1} → , f ( x) = x
5p
a) Să se calculeze
.
∫
1
2 dx . 0 f1 ( x)
b) Să se arate că, dacă
F
2
este o primitivă a funcţiei f 4 , atunci F ′′( x) = ( f4 ( x) ) sin 4 x,
π
5p
x − 1
a) Să se arate că dreapta de ecuaţie x = 1 este asimptotă verticală la graficul funcţiei f . b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre +∞ . c) Să se studieze derivabilitatea funcţiei f . 1 π , n ∈ * . 2. Se consideră funcţiile f n : 0, → , f n ( x) = n n 2 cos x + sin x π
5p
x + 1
c) Să se arate că
∫
π
3
2 sin x f1 ( x) dx = 2 cos3 x f1 ( x) dx = 0 0
∫
π −1
4
∀x ∈
0, π . 2
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 83
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
84 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 084 5p 1. Fie z ∈ . Să se arate că dacă 2 z + 3 z ∈ , atunci z ∈ . 5p 2. Să se determine funcţia de gradul al doilea al c ărei grafic conţine punctele ( 0, 4 ) , (1, −2) şi ( −1,1) . 5p 3. Se se arate că funcţia f : ( 0, ∞ ) → (1,3) , f ( x ) = x + 3 este bijectivă. x + 1
5p 4. Să se determine numerele naturale n , n ≥ 5 , astfel încât C 3 = C 5 . n n 5p 5. Se consideră punctele A, B, C , D astfel încât AB = CD. Să se arate că AC + DB = 0. 5p 6. Fie a, b ∈ , astfel încât a − b = π . Să se arate că are loc relaţia cos a ⋅ cos b ≤ 0. 84 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 084 x + 2 y − 3 z = 3 1. Se consideră sistemul de ecuaţii liniare 2 x − y + z = m , unde m, n ∈ . nx + y − 2 z = 4
5p a) Să se determine m şi n pentru care sistemul admite solu ţia x0 = 2, y0 = 2, z0 = 1 . 5p b) Să se determine n ∈ pentru care sistemul are soluţie unică. 5p c) Să se determine m şi n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. 1ˆ a b 2. Se consideră mulţimea G = 0ˆ 1ˆ 0ˆ a, b ∈ Z3 . 0ˆ 0ˆ 1ˆ
5p a) Să se determine numărul de elemente ale mulţimii G. 5p b) Să se arate că G este grup în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor din 5p c) Să se arate că X 3 = I 3 , oricare ar fi X ∈ G .
M3 (Z3 ) .
84 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 084 1. Se consideră funcţia 5p 5p 5p
: * → ,
f
f ( x) =
e x x
.
a) Să se studieze monotonia funcţiei f . b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei
f .
c) Să se calculeze lim n2 ( f ( n ) − f ( n + 1) ) . n→∞
x
2. Se consideră funcţia
∫
−
t 2
f : → , f ( x) = e (t
−
3t + 2) dt .
0
5p 5p
a) Să se arate că f (1) > 0 . b) Să se arate că funcţia f admite două puncte de extrem.
5p
c) Să se calculeze lim
x →0
f ( x) + f ( − x) x
2
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 84
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
85 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 085 5p 1. Fie z ∈ . Să se arate că numărul i ( z − z ) este real. 5p 2. Să se determine
m ∈ pentru care parabola asociată funcţiei f : → , f ( x ) = x 2
+
( m + 1) x + m
este tangentă la axa Ox.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 1 = 5 − x . 5p 4. Câţi termeni ai dezvoltării (1 + 2 )7 sunt divizibili cu 14? 5p 5. Fie ABC un triunghi echilateral de arie 3. Să se calculeze AB ⋅ AC . 5p 6. Fie a, b ∈ , astfel încât 85
a+b=
3π 2
. Să se arate că sin 2 a − sin 2b = 0.
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 085 2 x + y + z = 0 1. Fie A matricea coeficienţilor sistemului 3 x − y + mz = 0 , unde m ∈ . − x + 2 y + z = 0
5p a) Să se calculeze det ( A) . 5p b) Să se determine m ∈ astfel încât sistemul să admită soluţii nenule. 2
5p c) Să se arate că, dacă
m = 0 , atunci expresia
z0
2 z0
2
+
y0
−
2 y0
2
+
x0
−
2 x0
este constantă, pentru orice soluţie
nenulă ( x0 , y0 , z0 ) a sistemului.
2. Se consideră a, b ∈ şi polinomul
f
=
X
4
−
4X 3 + 6X 2
+
aX
+
b , care are rădăcinile complexe
x1 , x2 , x3 , x4 .
5p a) Să se determine a şi b ştiind că f are rădăcina i. 5p b) Să se calculeze ( x1 − 1)2 + ( x2 − 1)2 + ( x3 − 1)2 + ( x4 − 1)2 . 5p c) Să se determine valorile reale ale numerelor a şi b ştiind că toate rădăcinile polinomului f sunt reale. 85 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 085 1 *
1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = e x . 5p a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f . b) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei f . 5p c) Să se calculeze lim x 2 ( f ( x + 1) − f ( x ) ) . 5p x →∞ π
2. Fie şirul ( I n )n≥1 definit prin I n = ∫ 4 tg 2n t dt , n ∈ * . 0
5p 5p 5p
a) Să se calculeze I 1 . b) Să se arate că I n+1 + I n =
1
, pentru orice n ∈ ∗ .
2n + 1 c) Să se arate că şirul ( I n )n≥1 este convergent la 0.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 85
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
86 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 086 5p 1. Să se arate că numărul 1 + 3i + 1 − 3i este real. 1 − 3i
1 + 3i
5p 2. Numere reale a şi b au suma 5 şi produsul 2. S ă se calculeze valoarea sumei
π
a
+
b
b a
.
π
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin x + = cos x − . 3 6 5p 4. Câte elemente ale mulţimii A = { x
}
x = C 7k , k ∈ , k ≤ 7 sunt divizibile cu 7?
5p 5. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 3 şi AD = 6. Să se calculeze modulul vectorului AB + AC + AD . 5p 6. Să se calculeze suma cos1 + cos 2 + cos 3 + ... + cos179 . 86 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 086 x + ay + ( a + b ) z = a + b
1. Se consideră sistemul x + a 2 y + ( a 2 + b2 ) z = a 2 + b 2 , unde a, b ∈ . 3 3 3 3 3 x + a y + ( a + b ) z = a + b
5p a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. 5p b) Să se determine a , b ∈ astfel încât sistemul să fie compatibil determinat. 5p c) Să se arate că, pentru orice valori rele ale parametrilor a şi b sistemul are soluţie. 2. Se consideră polinomul f = 2ˆ X + 1ˆ ∈ 4 [ X ] . 5p a) Să se determine gradul polinomului f 2 . 5p b) Să se arate că polinomul f este element inversabil al inelului ( 4 [ X ] , +, ⋅) . 5p c) Să se determine toate polinoamele 86
g ∈ 4 [ X ] de gradul 1 cu proprietatea că g
2
=
1ˆ .
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 086 1. Se consideră funcţia
f : − {−1} → , f ( x) =
x3
−1
5p
. x3 + 1 a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul
5p
funcţiei f . b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .
5p
n
2
3 c) Să se calculeze lim f (2) f (3)... f ( n) . n→∞ 2 π
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ 2 sin n x dx . 0
5p 5p
a) Să se calculeze I 2 . b) Să se arate că nI n = (n − 1) I n−2 , ∀n ≥ 3 . π
5p
c) Să se calculeze lim ∫ 3 sin n xdx . n→∞ 0
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 86
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
5p 5p 5p 5p 5p 5p
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 087 1. Fie z ∈ o rădăcină de ordin 3 a unităţii, diferită de 1. Să se calculeze 1 + z + z 2 . 2. Să se determine soluţiile întregi ale inecuaţiei x2 + x − 6 ≤ 0 . 3. Fie funcţia f : (1, ∞ ) → ( 2, ∞ ) , f ( x ) = x2 + 1 . Să se arate că funcţia f este bijectivă. 4. Câte numere naturale de la 1 la 100 sunt divizibile cu 6 şi cu 8? 5. Să se determine a ∈ pentru care vectorii v 1 = ai + ( a + 1) j şi v 2 = 3i + 5 j sunt coliniari. 6. Triunghiul ABC are laturile AB = 3 , BC = 5 şi AC = 7 . Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC .
87 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 087 1. Fie matricea A ∈ M3 ( ) , care are toate elementele egale cu 1. 5p a) Să se demonstreze că A2 = 3 A. 5p b) Să se calculeze det ( I 3 + A3 ) . 5p c) Să se demonstreze că dacă B ∈ M3 ( ) este o matrice cu proprietatea AB = BA, atunci suma elementelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană ale lui B este aceeaşi.
2. Fie
ε = −
1 2
+
i
3
şi ( ε ) = {a + bε a, b ∈ } .
2
5p a) Să se arate că ε 2 ∈ ( ε ) . 5p b) Să se demonstreze că inversul oricărui element nenul din 5p c) Să se arate că mulţimea M
=
{a 2
−
ab + b
2
( ε ) aparţine mulţimii ( ε ) .
}
a, b ∈ este parte stabilă a lui în raport cu înmulţirea.
87 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = ln
(x
+
)
1 + x2 .
5p 5p
a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se studieze convergenţa şirului ( xn )n≥1 definit prin x1 = 1 şi xn+1 = f ( xn ) , ∀n ∈ ∗ .
5p
c) Să se demonstreze că
f ( x + 1) − f ( x ) ≤ 1,
∀x ∈ .
2. Se consideră funcţiile f , g : ( 0,3) → , f ( x ) = 5p 5p 5p
a) Să se calculeze b) Să se arate că
ln x 3 − x
şi g ( x ) =
ln ( 3 − x ) x
,
∀x ∈
( 0,3) .
e
∫1 ( 3 − x ) f ( x )dx . 2
∫1
f ( x ) dx =
c) Să se arate că lim ∫
2
∫1 g ( x ) dx .
1
t 0 t
f ( x ) dx = +∞ .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 87
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30p) – Varianta 088 5p 1. Să se ordoneze crescător numerele a = lg2 − lg20 , b = C32 − C 42 şi c = − 3 4 4 . 5p 2. Să se determine a ∈ ştiind că distanţa de la vârful parabolei de ecuaţie y = x 2 + 2 x + a la axa Ox este egală cu 1.
5p 3. Numerele reale x şi y verifică egalitatea arctg x + arctg y =
π
2
. Să se arate că x ⋅ y = 1 .
5p 4. Să se arate că numărul An3 , n ∈ , n ≥ 3 este divizibil cu 3. 5p 5. Punctele E , F , G , H sunt mijloacele laturilor [ BC ] , [ DA] , [ AB ] , respectiv [CD ] ale patrulaterului
ABCD . Să se demonstreze că EF
+
HG = CA .
3 3π , π şi sin2 x = − . 5 4
5p 6. Să se calculeze tg x , ştiind că x ∈ 88
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088 1. Fie
m∈
1 2 şi A = m −1 3m + 4 1
1
−
1 ∈ M3 ( ) .
−
0
5p a) Să se calculeze det ( A) . 5p b) Să se determine m ∈ astfel încât matrice A să fie inversabilă. 5p c) Să se determine m ∈ astfel încât A 1 = A . 2. Se consideră corpul ( 3 , +, ⋅) şi polinoamele f , g ∈ 3 , f = X 3 − X , g = X 3 + 2ˆ X + 2ˆ . 5p a) Să se determine rădăcinile din 3 ale polinomului f . 5p b) Să se arate că polinomul g este ireductibil în 3 [ X ] . 5p c) Să se determine toate polinoamele h ∈ 3 [ X ] de gradul trei, astfel încât h ( x ) = g ( x ) , oricare ar fi x ∈ 3 . −
∗
88 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 088 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = arctg x . 5p a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei
f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul
func ţiei f .
5p
b) Să se calculeze lim
x − f ( x)
. x3 c) Să se arate că funcţia g : → , g ( x) = ( x − 1) f ( x) admite exact un punct de extrem. x →0
5p
1
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ x n sin x dx . 0
5p 5p
a) Să se calculeze I 1 . b) Să se arate că şirul ( I n )n≥1 este convergent.
5p
c) Să se demonstreze că I 2n + 2n ( 2n − 1) I 2n−2 = 2n sin1 − cos1,
∀n ≥
2.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 88
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
89 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 089 5p 1. Să se determine numerele complexe z care verifică relaţia z + 3 i = 6 ⋅ z . 5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 − 2 x = x + 4 . 5p 3. Să se determine imaginea funcţiei
f : → , f ( x ) =
x
1 + 4 x
2
.
5p 4. Să se determine numărul funcţiilor strict monotone f : {1, 2,3} → {5,6,7,8} . 5p 5. Să se demonstreze că pentru orice punct M din planul paralelogramului ABCD are loc egalitatea MA + MC
=
MB + MD .
5p 6. Fie a şi b numere reale, astfel încât
a+b =
π
3
. Să se arate că sin 2a − sin 2b − sin ( a − b ) = 0 .
89 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 089 x1 − x2 = a 1. Se consideră sistemul de ecuaţii liniare x3 − x4 = b , unde a , b ∈ . x + x + x + x = 1 1 2 3 4
5p a) Să se arate că, pentru orice valori ale lui a şi b, sistemul este compatibil. 5p b) Să se determine a, b ∈ astfel încât sistemul să admită o soluţie ( x1 , x2 , x3 , x4 ) cu proprietatea că x1 , x2 , x3 , x4 şi x1 + x2 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p c) Să se demonstreze că, dacă sistemul are o soluţie cu toate componentele strict pozitive, atunci
a + b< 1.
2. Fie polinomul f = X 3 − 3 X 2 + 5 X + 1 ∈ [ X ] şi x1, x2 , x3 ∈ rădăcinile sale. 5p a) Să se calculeze (1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x3 ) . 5p b) Să se arate că polinomul f nu are nicio rădăcină întreagă. 5p c) Să se calculeze x12 x2 + x12 x3 + x22 x1 + x22 x3 + x23 x1 + x 32 x 2 . 89 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 089 1. Pentru fiecare 5p 5p 5p
a > 0 se consideră funcţia f a : (0; ∞) → , f a ( x ) = ( x + a ) ln 1 +
1
.
x
a) Să se calculeze f a′ ( x ), x > 0 . b) Să se determine a astfel încât funcţia f a să fie convexă. c) Să se arate că graficul funcţiei f a admite asimptotă spre +∞ . π
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ 2 cosn x dx . 0
5p 5p 5p
a) Să se calculeze I 2 . b) Să se arate că nI n = (n − 1) I n−2 , ∀n ≥ 3 . c) Să se demonstreze că şirul ( I n )n≥1 este convergent.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 89
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
90 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 090 5p 1. Se consideră progresia aritmetică ( an ) cu raţia 3. Ştiind că suma primilor 10 termeni ai progresiei n≥1 este 150, să se determine a1.
5p 2. Să se determine toate perechile (a , b ) de numere reale pentru care a 2 + b2 = a + b = 2 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg x + lg ( 9 − 2 x ) = 1. 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea {1, 2,3,...,100} , acesta să nu fie divizibil cu 7.
5p 5. Se consideră punctele A ( 0, 2 ), B (1, −1) şi 5p 90
perpendiculară pe dreapta BC . 2π 4π 6. Să se arate că 1 + cos + cos 5 5
+ cos
6π 5
C ( 5,1) . Să se determine ecuaţia dreptei duse din vârful A,
+ cos
8π 5
= 0.
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 090 1. Fie M mulţimea matricelor de ordin 3 cu elemente reale având proprietatea că suma elementelor fiecărei linii este 0. a) Să se arate că, dacă A, B ∈ M , atunci A + B ∈ M . b) Să se arate că orice matrice din M este neinversabilă.
5p 5p 5p c) Să se demonstreze că, dacă A ∈ M , atunci A2 ∈ M . 2. Se consideră inelele 2 = {a + b 2 a, b ∈ } şi 5p 5p 5p
3 = {a + b 3 a, b ∈ } . a) Să se arate că, dacă x ∈ şi x2 = 3 + 2 2 , atunci x ∈ 2 . b) Să se arate că 2 ∩ 3 = . c) Să se demonstreze că nu există morfisme de inele de la 2 la 3 .
90 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 090 1. Se consideră funcţiile f n : ( 0; ∞ ) → , f n ( x) = xn + ln x, n ∈ * . 5p a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f 1 . 5p
b) Să se demonstreze că funcţiile
5p
c) Admitem că ecuaţia 2. Fie
a ∈ [0,1] şi I n
=
a
( ) sunt convexe.
1 gn : (0, ∞ ) → , g n ( x) = f n ( x) + f n x
f n ( x ) = 2n are soluţia unică xn . Să se arate că şirul ( xn ) n≥1 converge la 2 . t n
∫ 0 t + 1 dt , n ∈
5p
a) Să se calculeze I 2 .
5p
b) Să se demonstreze că I n + I n−1 =
5p
c) Să se arate că lim I n = 0 .
*
.
an n
,
∀n ≥
2.
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 90
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
91 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 091 2
5p 1. Să se calculeze modulul numărului complex z = ( 2 − 1 + i ( 2 + 1) ) . 5p 2. Să se determine numerele reale x şi y ştiind că x + 2 y = 1 şi x 2 − 6 y 2 = 1. 5p 3. Să se arate că funcţia f : → , f ( x ) = x2 + x + 1 nu este injectivă. 3 3 5p 4. Să se calculeze C10 − C 9 . 5p 5. Fie ABCD un paralelogram. Ştiind că vectorii AB + AD şi AB − AD au acelaşi modul, să se arate că
ABCD este dreptunghi.
5p 6. Să se arate că sin 40 ⋅ sin140
91
=
cos 2 130 .
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 091 1. Se consideră matricea A =
1 2 , unde x ∈ . x 4
5p a) Să se determine x ∈ ştiind că A2 = 5 A . 5p b) Pentru x = 2 să se calculeze A2009 . 5p c) Să se determine x ∈ pentru care rang ( A + At ) = 1 . 2. Fie a, b, c ∈ şi polinomul f = 2 X 4 + 2(a − 1) X 3 + (a 2 + 3) X 2 + bX + c . 5p a) Să se determine a , b, c , ştiind că a = b = c , iar restul împărţirii lui f la X + 1 este 10. 5p b) Ştiind că x1 , x2 , x3 , x 4 ∈ sunt rădăcinile lui f , să se calculeze x12 + x22 + x32 + x42 . 5p c) Să se determine a , b, c ∈ şi rădăcinile polinomului f în cazul în care f are toate rădăcinile reale. 91 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 091 1. Se consideră funcţia 5p 5p
2 x3
f : → , f ( x) =
2
.
x + 1 a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre b) Să se arate că funcţia f este inversabilă.
+∞
.
1
5p
x
x
c) Să se calculeze lim ( f (e )) . x →∞
2. Fie funcţiile 5p
F , f : → , f ( x ) = esin
a) Să se demonstreze că funcţia
2
x
, F ( x) =
x
∫0
f (t ) dt .
F este strict crescătoare.
π
5p
b) Să se calculeze
5p
c) Să se calculeze lim
∫02 cos2 xF ( x ) dx . x →0
F ( x) x
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 91
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
92 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 092 5p 1. Numerele reale pozitive a,b,c,d sunt în progresie geometrică. Ştiind că
d
−a =
7 şi c − b = 2 , să se
determine raţia progresiei.
5p 2. Să se determine valorile reale nenule ale lui m ştiind că
mx
2
+
x − 2 ≤ 0 , oricare ar fi x ∈ .
5p 3. Să se rezolve în intervalul (0,5) ecuaţia sin 2 x + π = − 1 .
5p 4. Să se determine numărul 5p 5. Să se determine
6
2
0 2 4 6 8 n = C10 − C10 + C10 − C10 + C10 .
a ∈ pentru care vectorii u = ( a − 1) i − ( 2a + 2 ) j şi v = ( a + 1) i − j sunt
perpendiculari.
5p 6. Fie α ∈ π ,
3π
1
astfel încât cos α = − . Să se calculeze sin 2α . 2 3
92 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 092 1. Fie matricea A =
1 şi mulţimea G = { X −1
1 −1
∈ M2
( ) | AXA t = O2 } , unde A t este transpusa
matricei A. a) Să se arate că dacă X ,Y ∈ G , atunci X + Y ∈ G. b) Să se arate că, dacă X ∈ G, atunci suma elementelor lui X este egală cu 0.
5p 5p 5p c) Să se arate că dacă X ∈ G şi det X = 0 , atunci X n ∈ G pentru orice 2. Se consideră polinomul f = X 4 − 6 X 3 + 18 X 2 − 30 X + 25 ∈ [ X ] .
*
n∈ .
5p a) Să se arate că polinomul f se divide cu X 2 − 2 X + 5 . 5p b) Să se arate că polinomul f nu are nicio rădăcină reală. 5p c) Să se arate că rădăcinile polinomului f au acelaşi modul. 92
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 092 1. Se consideră funcţia f : (1; ∞ ) → , f ( x) = ln ( ln x) . 5p a) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = e , situat pe 5p
graficul funcţiei f . b) Să se demonstreze că funcţia f este concavă.
5p
c) Să se calculeze lim
x →∞
2. Se consideră funcţia
f ( x + 1) − f ( x) f ′( x)
.
f : → , f ( x) =
cos x 1 + sin 2 x
.
π
∫02 f ( x) dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
π b) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este strict crescătoare pe intervalul 0; . 2
5p
c) Să se calculeze
2π
∫ 0 xf ( x)dx .
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 92
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
93 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 093 5p 1. Să se calculeze modulele rădăcinilor complexe ale ecuaţiei z 2 + 2 z + 4 = 0. 5p 2. Să se determine funcţiile de gradul întâi f : → , care sunt strict crescătoare şi îndeplinesc condiţia f ( f ( x)) = 4 x + 3 , oricare ar fi x ∈ . x + 1
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 + 4 2 = 12 . 5p 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de la 1 la 1000, acesta x
să fie cub perfect?
5p 5. Se consideră punctele A (1, 2 ) şi B ( 3,4 ) . Să se calculeze distanţa de la originea axelor la dreapta AB. 5p 6. Să se determine α ∈ ( 0,2π ) astfel ca tg α = sin α . 93 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 093 1. Se consideră matricea A =
1 0 ∈ M2 ( ) . 2 1
5p a) Să se calculeze A3 . 5p b) Să se determine
(
A ⋅ At
)
1
−
.
5p c) Să se rezolve ecuaţia X 2 = A,
X ∈ M2 ( ) .
2. Fie a, b ∈ şi polinomul f = X 30 − 3 X 20 + aX 10 + 3 X 5 + aX + b ∈ [ X ]. 5p a) Să se arate că restul împărţirii polinomului f la X + 1 nu depinde de a . 5p b) Să se determine
a şi b astfel încât restul împărţirii polinomului f la X 2
5p c) Să se determine
a şi b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu ( X − 1) .
−
X să fie X .
2
93 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 093 1. Pentru fiecare t ∈ , se consideră funcţia f t : → , f t ( x) = x3 + t 2 x . 5p a) Să se calculeze ft ′( x), x ∈ . 5p b) Să se arate că fiecare funcţie f t este inversabilă. 5p c) Să se arate că funcţia g : → , g ( t ) = f −1 (1) este continuă în punctul 0. t
x
2. Fie funcţia f : → , f ( x) = ∫ (t 2 + 1) | t | dt . 0
5p 5p
a) Să se calculeze f (1) . b) Să se arate că f este funcţie impară.
5p
c) Să se calculeze lim
x →∞
f ( x + 1) − f ( x) x
2
x
.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 93
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
94 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 094 4
5p
(1 − 2i )( 3i −1 ) 1. Să se calculeze . 5
5p 2. Să se arate că funcţia
1 − x
f : ( −1,1) → , f ( x) = ln
1 + x
este impară.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 x + 5 x = 2. 5p 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, prima sa −
cifră să fie număr prim?
5p 5. Fie ABC un triunghi şi O centrul cercului circumscris lui. Ştiind că BO = OC , să se arate că triunghiul 5p
ABC este dreptunghic. 6. Fie α ∈ , astfel încât sin α
+
cos α = 1. Să se calculeze tg 2α .
94 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 094 1. Fie a, b, c ∈
∗
a a −b a −b şi matricea A = 0 b b−c. 0 0 c
5p a) Să se arate că A este matrice inversabilă. 5p
an b) Să se demonstreze că An = 0 0
an
−
b
bn
an
n
b
n
bn
−
c , oricare ar fi n ∈ ∗ .
n
cn
0
5p c) Să se calculeze A 1 . 2. Fie f ∈ [ X ] un polinom astfel încât
−
−
(
f X
2
5p a) Să se determine f (−1). 5p b) Să se determine restul împărţirii polinomului 5p c) Să se demonstreze că f = X .
+
3X
+
)
1
=
f
2
( X ) + 3 f ( X ) + 1 şi
f ( 0 ) = 0.
f la X − 5.
94 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 094 1. Se consideră funcţiile f n :[0; ∞) → , f n ( x) = x n +1 − (n + 2) x + n, n ∈ * . 5p a) Să se arate că graficele funcţiilor f n nu admit asimptotă spre +∞ . 5p b) Să se arate că, pentru oricare n ∈ ∗ , f n are exact un punct de extrem xn . 2 5p c) Să se calculeze lim x n , unde x este definit la punctul b). n→∞
n
n
1
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ 0 5p
a) Să se calculeze I 1 .
5p
b) Să se arate că I n+1 + I n =
5p
c) Să se calculeze lim I n .
1 2n + 1
x
2n
1 + x 2
dx .
, ∀n ≥ 1 .
n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 94
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
•
La toate subiectele se cer rezolvări complete.
95 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 095 10
5p 1. Să se calculeze partea întreagă a numărului
2 −1
.
5p 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 1
=
1 + x
1.
5p 3. Să se studieze monotonia funcţiei f : ( 0, ∞ ) → , f ( x) = 2009 x + log 2009 x . 5p 4. Care este probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, produsul cifrelor sale să fie impar?
5p 5. Să se demonstreze că vectorii
u = 3i + a j şi v = ( a + 1) i + a j nu pot fi perpendiculari pentru nicio
valoare reală a numărului a.
5p 6. Să se arate că sin x + sin 3 x + sin 5 x = (1 + 2 cos 2 x ) ⋅ sin 3 x, oricare ar fi x ∈ . 95 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 095 1. Se consideră n ∈ * şi matricea An ∈ Mn ( ) , care are elementele de pe diagonala principală egale cu 2 şi restul elementelor egale cu 1.
5p a) Să se calculeze det ( 2 A2 ) . 5p b) Să se determine x ∈ pentru care det ( A3 + xI 3 ) = 0 . 5p c) Să se arate că A4 are inversă, aceasta având elementele de pe diagonala principală egale cu elementelor egale cu
−
1 5
4 5
şi restul
.
2. Fie a, b, c ∈ şi polinomul f = X 3 − aX 2 + bX − c ∈ [ X ] cu rădăcinile x1 , x2 , x3 ∈ . 5p a) Să se determine a, b, c pentru care x1 = 2 şi x2 = 1 + i . 5p b) Să se arate că resturile împărţirii polinomul f la ( X − 1)2 şi la ( X − 2)2 nu pot fi egale, pentru nicio 5p
valoare a parametrilor a , b, c. c) Să se arate că, dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale şi a, b, c sunt strict pozitive, atunci x1 , x2 , x3 sunt strict pozitive.
95 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 095 1 . g : → , g ( x ) = f ( x + 1) − f ( x) − f 2 1 + x + x a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre +∞ .
1. Fie funcţiile f : → , f ( x) = arctg x şi 5p 5p 5p
b) Să se arate că g ( x) = 0, ∀x ∈ . c) Să se calculeze lim arctg n→∞
1 2
1+1+1
+ arctg
1 1+ 2 + 2
2
+ arctg
1 1+ 3 + 3
2
+ ... +
arctg
. 1+ n + n 1
2
1
2. Se consideră şirul ( I n )n≥1 , I n = ∫ e− x xn dx . 0 5p
a) Să se calculeze I 1 .
5p
b) Să se arate că I n = nI n −1 − , pentru orice
5p
c) Să se calculeze lim I n.
1 e
n≥2.
n→∞
Varianta 95
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
96 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 096 5p 1. Fie a,b,c numere naturale nenule în progresie geometrică. Ştiind că
a + b + c este un număr par, să se
arate că numerele a,b,c sunt pare.
5p 2. Fie funcţia f : → , f ( x ) = x2 + 3 x + 2. Să se arate că f ( a ) + f ( a + 1) ≥ 0, oricare ar fi a ∈ . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia log 2 x + log4 x > 3 . 5p 4. Să se determine numerele naturale n, n ≥ 2 , pentru care C1 + C 2 = 120 . n n 5p 5. Să se arate că unghiul vectorilor u = 2i − a j şi v = i + j este obtuz dacă şi numai dacă a > 2. 5p 6. Fie ABC un triunghi cu sin A = 1 , sin B = 1 şi BC = 4. Să se calculeze aria triunghiului ABC . 2
96
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 096 1. Pentru orice matrice A =
a c
b ∈ M2 ( ) se notează tr ( A ) = a + d . d
5p a) Să se verifice că A2 − tr ( A) ⋅ A + (det A) ⋅ I 2 = 02 . 5p b) Să se demonstreze că, dacă 5p c) Să se arate că dacă
tr ( A ) = 0, atunci A2 B = BA2 , pentru orice matrice B ∈ M2 ( ) .
tr ( A ) ≠ 0 , B ∈ M2 ( ) şi A2 B = BA2 , atunci AB = BA .
2. Fie a, b ∈ şi polinomul f = X 4 − 6 X 3 + 13 X 2 + aX + b ∈ [ X ]. 5p a) Să se calculeze suma pătratelor celor 4 rădăcini complexe ale polinomului f . 5p b) Să se determine a , b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu ( X − 1)( X − 3). 5p c) Să se determine a , b astfel încât polinomul f să aibă două rădăcini duble. 96
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 096 1. Fie mulţimea A = \{1,2,3,...,2009} şi funcţia
5p 5p 5p
a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei
1 x − 1
+
1 x−2
1
+
x−3
+ ... +
1 x − 2009
.
f .
b) Ştiind că a ∈ ∗ , să se determine numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei f ( x) = a . c) Să se determine numărul punctelor de inflexiune ale graficului funcţiei f . 2. Fie funcţia
5p 5p 5p
f : A → , f ( x) =
f : → , f ( x) =
x
∫0
2
e−t dt .
a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare. b) Să se arate că funcţia f este concavă pe intervalul [0, ∞) . c) Să se arate că şirul ( f (n ))n≥1 este convergent.
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 96
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
97 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 097 5p 1. Să se ordoneze crescător numerele 3!, 3 100, log 2 32 . 5p 2. Să se arate că x 2 + 3xy + 4 y 2 ≥ 0, oricare ar fi x, y ∈ . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia sin 2 x = cos x . 5p 4. Să se calculeze A3 − 4C 2 . 5
6
5p 5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A,B,C astfel încât A (1,3 ) , B ( 2,5) şi AC = 2 AB. Să se determine coordonatele punctului C . 5p 6. Fie ABC un triunghi care are BC = 8 şi cos A = 3 . Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris 5 triunghiului ABC . 97 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097 a b ∈ M2 ( ) . c d
1. Fie A =
5p a) Să se arate că det ( A ⋅ At ) ≥ 0 . 5p b) Să se arate că, dacă A ⋅ At
=
5p c) Să se demonstreze că, dacă
At ⋅ A , atunci ( a − d )(b − c ) = 0 .
( A − At )
2009
=
A − At , atunci b − c
∈
{0,1} .
2. Se consideră corpul ( 7 , +, ⋅) . 5p a) Să se rezolve în 7 ecuaţia 2ˆ x = 3ˆ . 5p b) Să se arate că polinomul p = 2ˆ X 2 + 4ˆ ∈ [ X ] nu are rădăcini în . 7 7 5p c) Să se demonstreze că funcţia f : 7 → 7 , f ( x ) = 2ˆ x este un automorfism al grupului ( 7 , + ) . 97
SUBIECTUL III (30p) – Varianta 097 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x ) = arctg x . 5p a) Să se arate că funcţia f este concavă pe intervalul [0, ∞ ) . 5p b) Să se calculeze lim x 2 ( f ( x + 1) − f ( x) ) . x →∞
5p
c) Să se rezolve inecuaţia f ( x) < x − 2. Fie funcţia
f
: → , f ( x) = 1
∫0 x(1
2
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se arate că funcţia
5p
c) Să se arate că, pentru orice
+
x
x
3
, x ∈ .
3
1 (1 + x 2 ) 2
.
) f ( x) dx .
F : → , F ( x) =
x
∫0 t
4
f ( t) dt este strict crescătoare.
a ∈ , are loc relaţia
a
∫1
f ( x)dx <
1 . 4
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 97
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
98 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 098 5p 1. Fie z ∈ astfel încât z + 2 z = 3 + i. Să se calculeze modulul numărului z . 5p 2. Să se dea un exemplu de ecuaţie de gradul al doilea cu coeficienţi întregi care are o soluţie egală cu 3 . 5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia log x 2 + log 2 = 9 . x 5p 4. Să se determine numărul submulţimilor cu trei elemente ale mulţimii {1,2,3,4,5} care conţin cel puţin un număr par. 5. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC . Să se determine a, b ∈ astfel încât să aibă loc egalitatea
5p
aGA + bGB = GC .
5p 6. Ştiind că
3 π , π şi sin a = , să se calculeze tg a. 5 2
a ∈
98 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 098 mx + y − z = 1 1. Fie sistemul de ecuaţii liniare x + y − z = 2 , unde m ∈ . − x + y + z = 0
5p a) Să se determine 5p b) Să se determine x0
+
y0
+
z0
=
m ∈ astfel încât matricea sistemului să aibă rangul 2. 3
m ∈ astfel încât sistemul să aibă soluţii ( x0 , y0 , z0 ) ∈ care verifică relaţia
4.
5p c) Să se determine
m ∈ astfel încât sistemul să aibă o soluţie unică ( x0 , y0 , z0 ) ∈ 3 .
2. Fie p ∈ şi polinomul f = X 4 − 4 X + p ∈ [ X ]. 5p a) Să se determine p astfel încât polinomul f să fie divizibil cu X + 1 . 5p b) Să se determine p astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină reală dublă. 5p c) Să se arate că, pentru orice p ∈ , polinomul f nu are toate rădăcinile reale. 98 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 098 1. Pentru fiecare n ∈ , n ≥ 2 se defineşte funcţia f n :[0, ∞) → , f n ( x ) = x n − nx − 1 . 5p a) Să se arate că, pentru orice n ∈ , n ≥ 2 , funcţia f n este convexă. 5p b) Să se arate că, pentru orice n ∈ , n ≥ 2 , ecuaţia f n ( x ) = 0 are soluţie unică. 5p c) Să se calculeze lim xn , unde xn este unica soluţie a ecuaţiei f n ( x) = 0 . n→∞
2. Fie funcţiile f , g : → , f ( x) =
e x
1 + e x
, g ( x) =
x
∫ x f (t) cos t dt . −
1
∫0 f ( x)dx .
5p
a) Să se calculeze
5p
b) Să se studieze monotonia funcţiei g pe intervalul [0,π ] .
5p
π c) Să se calculeze g .
2
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 98
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
99 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 099 1
5p 1. Să se calculeze partea întreagă a numărului
3− 2
.
5p 2. Fie f o funcţie de gradul întâi. Să se arate că funcţia f
f
este strict crescătoare.
5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x + 9 x = 4 . 9
5p 4. Câte funcţii f : {1, 2,3,...,10} → {0,1} au proprietatea că f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f (10) = 2 ? 5p 5. Se consideră punctele M (1, 2 ), N (2,5) şi P ( 3, m ) , m ∈ . Să se determine valorile reale ale lui
m
astfel încât MN ⋅ MP = 5.
5p 6. Să se determine cel mai mare element al mulţimii {cos1,cos 2,cos 3}. 99
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 099 1. Fie matricele A =
b 1 1 t ∈ M2 ( ) , B = ∈ M2 ( ) şi funcţia f : → , f ( x) = det( AA + xB) . d 1 1
a c
5p a) Să se calculeze AAt . 5p b) Să se arate că f ( 0 ) ≥ 0 . 5p c) Să se arate că există m, n ∈ astfel încât f ( x ) = mx + n , pentru oricare x ∈ . 2. Se consideră mulţimea de numere complexe 5p a) Să se arate că
1
G = {cos qπ + i sin qπ q ∈ }.
3
∈G . 2 2 b) Să se arate că G este parte stabilă a lui în raport cu înmulţirea numerelor complexe. +i
5p 5p c) Să se arate că polinomul f
=
X6
− 1∈
[ X ]
are toate rădăcinile în G.
99 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 099 1. Se consideră funcţia f : → , f ( x) = 3 x3 + 3 x2 + 2 x + 1 − 3 x3 − x + 1 . 5p a) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul 5p
funcţiei f . b) Să se arate că graficul funcţiei admite asimptotă spre
+∞
.
n
5p
f (1) + f (2) + ... + f ( n) c) Să se calculeze lim . n→∞ n
2. Se consideră funcţiile
x
f n : (0, ∞) → , f n ( x) =
∫1 t
n
ln t dt, n ∈ ∗ .
e
5p 5p 5p
a) Să se calculeze f1 (e) . b) Să se arate că funcţiile f n sunt descrescătoare pe intervalul (0,1) . c) Să se calculeze lim f n (1) . n→∞
BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1 Varianta 99