VARIOGRAFIA (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA GEOLÓGICA

“ANÁLISIS DE DATOS Y VARIOGRAFÍA”

PRESENTADO POR: ALAYA CHACON, Rocio AYALA VILLA, Zarelita GUTIERREZ TELLO, Deysi HUATAY QUILICHE, Jhon SALAZAR MATARA, Jessica DOCENTE: Ing. Jorge Sánchez Espinoza CAJAMARCA –  PERÚ  PERÚ

2016

Contenido RESUMEN .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................ ................................. ........... 4 I. INTRODUCCIÓN ......................................... ............................................................... ............................................. ..................................... .............. 5 II. PROYECTO DE INVESTIGACION........................................... .................................................................. ........................... 5 III. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................ .............................................................. .................. 5 IV. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ............................................ .................................................................. ...................... 6 V. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA ............................................ .................................................................. ...................... 6 VI. OBJETIVOS ............................................ .................................................................. ............................................ ........................................ .................. 6 CAPITULO I: ASPECTOS TEORICOS .............................................................. ......................................................................... ........... 7 1.1. Variable Regionalizada. ............................................ .................................................................. ............................................ ......................... ... 7 1.2. Estacionariedad............................................ .................................................................. ............................................ ........................................ .................. 7 1.3. Varianza .................................... .......................................................... ............................................. .............................................. .................................... ............. 8 CAPITULO II: DESARROLLO DEL TEMA ............................ ................................................... ..................................... .............. 9 2.1. Variografía: variograma ........................................................... ................................................................................. ................................. ........... 9 2.2. Parámetros o elementos de un variograma .......................................... .............................................................. .................... 10 2.3. Variogramas en una dimensión ..................................... ........................................................... .......................................... .................... 12 2.4. Variograma a dos dimensiones.......................................... ................................................................. ...................................... ............... 15 2.5. Modelamiento de variogramas .......................................... ................................................................. ...................................... ............... 18 Variograma de Matheron o Modelo Esférico .......................................... .......................................................... ................ 20 Variograma de Formery o Modelo Exponencial ............................................ ..................................................... ......... 21 Modelo Gaussiano ............................ .................................................. ............................................ ............................................ ........................... ..... 21 Modelo lineal li neal o Pepita Puro. ....................... ............................................. ............................................. ...................................... ............... 21 2.6. Isotropía y anisotropía ..................................... ........................................................... ............................................ .................................. ............ 22 CAPITULO III: PROGRAMAS COMERCIALES APLICADOS AL TEMA ............. ............. 25 A. Software Geoestadístico SGeMS............................................. .................................................................... .................................. ........... 25 B. VULCAN ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ........................... .... 27 C. VARIOWIN ........................................ .............................................................. ............................................ ............................................. ........................... .... 28 Conclusiones.......................................................... ................................................................................. .............................................. .................................. ........... 30 Referencias bibliográficas ......................................... ............................................................... ............................................ ............................... ......... 30 

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Contenido RESUMEN .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................ ................................. ........... 4 I. INTRODUCCIÓN ......................................... ............................................................... ............................................. ..................................... .............. 5 II. PROYECTO DE INVESTIGACION........................................... .................................................................. ........................... 5 III. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................ .............................................................. .................. 5 IV. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ............................................ .................................................................. ...................... 6 V. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA ............................................ .................................................................. ...................... 6 VI. OBJETIVOS ............................................ .................................................................. ............................................ ........................................ .................. 6 CAPITULO I: ASPECTOS TEORICOS .............................................................. ......................................................................... ........... 7 1.1. Variable Regionalizada. ............................................ .................................................................. ............................................ ......................... ... 7 1.2. Estacionariedad............................................ .................................................................. ............................................ ........................................ .................. 7 1.3. Varianza .................................... .......................................................... ............................................. .............................................. .................................... ............. 8 CAPITULO II: DESARROLLO DEL TEMA ............................ ................................................... ..................................... .............. 9 2.1. Variografía: variograma ........................................................... ................................................................................. ................................. ........... 9 2.2. Parámetros o elementos de un variograma .......................................... .............................................................. .................... 10 2.3. Variogramas en una dimensión ..................................... ........................................................... .......................................... .................... 12 2.4. Variograma a dos dimensiones.......................................... ................................................................. ...................................... ............... 15 2.5. Modelamiento de variogramas .......................................... ................................................................. ...................................... ............... 18 Variograma de Matheron o Modelo Esférico .......................................... .......................................................... ................ 20 Variograma de Formery o Modelo Exponencial ............................................ ..................................................... ......... 21 Modelo Gaussiano ............................ .................................................. ............................................ ............................................ ........................... ..... 21 Modelo lineal li neal o Pepita Puro. ....................... ............................................. ............................................. ...................................... ............... 21 2.6. Isotropía y anisotropía ..................................... ........................................................... ............................................ .................................. ............ 22 CAPITULO III: PROGRAMAS COMERCIALES APLICADOS AL TEMA ............. ............. 25 A. Software Geoestadístico SGeMS............................................. .................................................................... .................................. ........... 25 B. VULCAN ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ........................... .... 27 C. VARIOWIN ........................................ .............................................................. ............................................ ............................................. ........................... .... 28 Conclusiones.......................................................... ................................................................................. .............................................. .................................. ........... 30 Referencias bibliográficas ......................................... ............................................................... ............................................ ............................... ......... 30 

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Índice de figuras. Figura 1: Función de la variable regionalizada .................................................. ................................................................ .............. 7 Figura 2: Elementos del Variograma............................................ ................................................................... .................................. ........... 10 Figura 3: Representación del comportamiento típico de un variograma acotado con una representación de los parámetros básicos encontrado en el proyecto minero Toromocho,  para el Molibdeno. Molibdeno. .......................................... ................................................................ ............................................ .......................................... .................... 11 Figura 4: Secuencia de muestras n equidistantes espaciadas, x i denota la ubicación y f(xi) denota el valor en la ubicación x i..................................................... ........................................................................... ....................... 12 Figura 5: Leyes de plomo de muestras tomadas a intervalos i ntervalos 2 m. ............................ ................................. ..... 14 Figura 6: Método de cálculo de variograma para un paso de un espaciamiento de muestra. ........................................... .................................................................. ............................................. ............................................ .................................. ............ 14 Figura 7: Representación esquemática de los intervalos y la tolerancia t olerancia para el cálculo del variograma muestras en dos dimensiones.......................................... dimensiones................................................................ ........................ 16 Figura 8: Medidas de Cadmio en sus respectivas posiciones. ........................................ ........................................ 16 Figura 9:Variograma omnidireccional para la variable Cadmio, Los valores numéricos indican el número de parejas que intervienen en el cálculo. ...................................... .......................................... .... 17 Figura 10:Variograma omnidireccional omnidireccional para la variable Cadmio, reduciendo la longitud de la distancia para realizar mejor la similitud a un modelo experimental de variograma. .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ............................................. ........................... .... 17 Figura 11:Localización de puntos de muestreo en una parcela de 20 x 20 metros. Las muestras fueron tomadas cada dos metros en toda la parcela y cada 50 cm en cuatro  parcelas situadas situadas aleatoriamente........................................... ................................................................ .......................................... .................... 18 Figura 12: Variograma empírico mostrando la semivarianza de valores de materia orgánica del suelo separados por distancias crecientes. .................................. ................................................. ............... 19 Figura 13: Ajuste del variograma empírico de la figura11 a cuatro funciones matemáticas. ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ........................... .... 20 Figura 14: Comparación de los modelos exponencial, esférico y Gaussiano. La línea  punteada vertical vertical representa el rango rango en el caso caso del modelo esférico esférico y el rango efectivo efectivo en el de los modelos exponencial exponencial y gaussiano. Este tiene un valor de 210, respecto r especto a una escala simulada entre 0 y 300. El valor de la meseta es 30 y el de la pepita 0. El 95% de la meseta es igual a 28.5. ......................... ............................................... ............................................ ............................................ ........................... ..... 22 Figura 15: Semivariogramas mostrando las diferencias en continuidad espacial de la materia orgánica del suelo en cuatro direcciones del espacio. ....................... ....................................... ................ 23 Figura 16: Archivo de datos en formato Geo-EAS, backscat. Dat. ................................ ................................ 28 Figura 17: Parámetros (por defecto) para el cálculo del variograma experimental ........ 29 Figura 18: Variograma experimental omnidireccional de la variable microwave. ........ 29

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RESUMEN Para llegar a una correcta elaboración e interpretación de variogramas es necesario el estudio concreto del tema enfocado en la geoestadística, es por ello que para la elaboración del presente trabajo se utilizó una serie de referencias bibliográficas que nos ayudaron con el análisis del proceso de selección de datos, la posterior elaboración de variogramas experimentales y finalmente el modelamiento de estos enfocado en un modelo teórico. El trabajo abarca el tema de la variografía y se incluyen los capítulos: Primero, que abarca aspectos teóricos; capitulo Segundo, en el cual se desarrolla el tema específico y finalmente el capítulo Tercero en el que se describen algunos programas comerciales aplicados a la variografía. Agradecemos a Dios, nuestros padres, a la Universidad Nacional de Cajamarca sobre todo a la Escuela de Ingeniería Geológica y al docente del curso por el empeño de querer enriquecer nuestros conocimientos.

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I.

INTRODUCCIÓN

La estadística y la geología son unas de las ciencias afines a la Geoestadística, pero eso no quiere decir que esta última sea la fusión de las dos. Es por ello que nos vemos en la necesidad de entender correctamente los fundamentos, definiciones y alcances de la geoestadística. El problema de modelar un macizo rocoso acompaña siempre a la actividad minera, por ello la necesidad de un mejor modelado para lograr una operación minera eficiente. Entonces, ¿cuál de las herramientas matemáticas existentes puede ofrecernos la solución? En cuanto a los fenómenos naturales, la imposibilidad de explicar el porqué del valor de una ley en un determinado punto de muestra está fuera de nuestro alcance, de ahí que t rabajamos con variables “aleatorias” (cada caso tiene la misma  probabilidad de ocurrir) y que las leyes tienen cierto grado de interdependencia. Además, la geoestadística es el tratado de variables regionalizadas.

II.

PROYECTO DE INVESTIGACION “Análisis de datos y variografía”.

III.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La necesidad de llevar a cabo un estudio geológico con la aplicación de la geoestadística, trabajando con variables regionalizadas, no es un tema sencillo, porque las técnicas metodológicas de la geoestadística, trae consigo ciertas definiciones, parámetros, reglas que debemos de tener en cuenta, ya que quizá nunca han sido estudiados estadística  básica. Es por ello que nace la iniciativa de llevar a cabo el análisis de datos con el estudio de la variografía, enfocándonos en este caso en definiciones lo más concretas posibles, además en los distintos parámetros del variograma, variogramas en una dimensión, variogramas en dos dimensiones, modelamiento de variogramas, y así como también en la comparación de modelos de variogramas para tener un alcance más amplio sobre la variografía.

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IV.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

¿Cuáles son los alcances (definiciones, parámetros, métodos) a fin de conocer para lograr obtener un conocimiento sólido sobre la variografía en geoestadística?

V.

JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

La importancia del estudio de la variograma radica en que es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una variable sobre una zona dada y modela como dos valores en el espacio se ponen en correlación. Entonces podemos decir que es un estimador de la varianza poblacional. Desde este punto de vista podemos afirmar la eficacia de su conocimiento y aplicación hacia las variables regionalizadas, siendo estas referidas directamente al campo minero.

VI.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL



Estudiar los Análisis de datos y la Variografía.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

Interpretar los resultados de las gráficas para comprender las diferencias entre los  parámetros estadísticos y la utilidad de la geoestadística



6

Analizar la Variografía y sus diferentes aplicaciones.

CAPITULO I: ASPECTOS TEORICOS 1.1. Variable Regionalizada. La teoría de la variable regionalizada considera al valor observado como una realización de la variable aleatoria, incluyendo su posición de ubicación en una región o espacio

R

n

, que define una Función Aleatoria Z(x). Las realizaciones de dicha

Función presentan una distribución que puede ser modelable.

 Figura 1: Función de la variable regionalizada

1.2. Estacionariedad ` El empleo de técnicas geostadísticas requiere de la estacionariedad de segundo orden, es decir, al menos la varianza debe ser igual en las diferentes zonas del área de

estudio. La falta de estacionariedad puede deberse bien a la existencia de anomalías en el espacio, bien a la existencia de una tendencia o gradiente espacial cuya dimensión es mayor que el área de estudio. Existen varias formas de evitar que la no estacionariedad de los datos afecte a la estima de puntos en el cuerpo. Puede que esta 7

falta de estacionariedad se deba a la existencia detectable de dos poblaciones dentro del mismo espacio de muestreo. En este caso, lo más conveniente es dividir el espacio en estas dos poblaciones, realizar semivariogramas e interpolaciones para cada una de ellas para después unir el resultado en un único mapa. Otra aproximación al problema es restringir el radio de búsqueda de vecinos que ayuden a interpolar un valor en una zona no muestreada. Esta aproximación se basa a que en la mayoría de los casos la estacionariedad es “global” pero no se encuentra estacionariedad “local” con lo que

restringiendo el uso de vecinos a distancias convenientemente cortas puede llevar a estimaciones robustas de la variable en el espacio. Por último, si la estacionariedad está provocada por una tendencia espacial más que por la existencia de dos  poblaciones, se puede eliminar dicha tendencia (detrending) y realizar el variograma solo con los puntos residuales.

1.3. Varianza Describe la variabilidad de la distribución. Es la medida de la desviación o dispersión de la distribución y se calcula por:

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CAPITULO II: DESARROLLO DEL TEMA 2.1. Variografía: variograma El variograma es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una variable sobre una zona dada, y modela como dos valores en el espacio se ponen en correlación. Es un estimador de la varianza poblacional, por lo tanto, debe tener una tendencia de estacionaridad y es un soporte para las técnicas del Kriging ya que permite representar cuantitativamente la variación de un fenómeno regionalizado en el espacio. El variograma está relacionado con la dirección y la distancia (h). Se ve limitado  porque es un estadístico de dos puntos y además porque es extremadamente sensible a valores extremos. A esta función denotada por 2γ(h) se le denomina variograma. Utilizando la definición teórica de la varianza en términos del valor esperado de una variable aleatoria, tenemos:

La mitad del variograma γ(h), se conoce como la función de semivarianza y caracteriza

las propiedades de dependencia espacial del proceso. Dada una realización del fenómeno, la función de semivarianza es estimada, por el método de momentos, a través del semivariograma experimental, que se calcula mediante (Wackernagel, 1995):

donde Z(x) es el valor de la variable en un sitio x, Z(x+h) es otro valor muestral separado del anterior por una distancia h y n es el número de parejas que se encuentran separadas por dicha distancia. La función de semivarianza se calcula para varias distancias h. En la práctica, debido a irregularidad en el muestreo y por ende en las distancias entre los sitios, se toman intervalos de distancia y el semivariograma experimental corresponde a una distancia promedio entre parejas de sitios dentro de

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cada intervalo y no a una distancia h específica. Obviamente el número de parejas de  puntos n dentro de los intervalos no es constante. Para interpretar el semivariograma experimental se parte del criterio de que a menor distancia entre los sitios mayor similitud o correlación espacial entre las observaciones. Por ello en presencia de autocorrelación se espera que para valores de h pequeños el semivariograma experimental tenga magnitudes menores a las que esta toma cuando las distancias h se incrementan.

2.2. Parámetros o elementos de un variograma Antes de entrar a considerar los elementos de un variograma, merece la pena señalar que, como puede apreciarse en la figura, el variograma es una función monótona no decreciente, ya que a medida que aumenta la distancia h, al menos teóricamente, aumenta el valor medio de la diferencia cuadrática de los valores de la función aleatoria (y(h)). Este comportamiento está perfectamente en consonancia con la ley de Tobler (Tobler, 1973), que hace referencia a que las cosas que están más cercanas se parecen más entres sí que aquellas otras que están más distantes. Ello implica que los incrementos (x (s+h)-x(s)) eleven su variabilidad con la distancia. El variograma está formado por los siguientes elementos:

 Figura 2: Elementos del Variograma

Fuente: Geoestatistics for Natural Resources Evaluation, Goovaerts. Autor: Evelyn Véliz

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 Figura 3: Representación del comportamiento típico de un variograma acotado con una representación de los  parámetros básicos encontrado en el proyecto minero Toromocho, para el Molibdeno. 

EFECTO NUGGET (Co): Por lo general, el variograma no tiende a cero como lo hace la distancia h, el efecto nugget es una discontinuidad de salto en el origen conocido también como efecto Pepita, representa la discontinuidad en el variograma para distancias que sean menores que la menor distancia dada entre los puntos muestrales. Esta discontinuidad se  puede dar también debido a errores en la medición o a una pobre precisión analítica.



2.4.2 SILL (C): El sill conocido también como La “Meseta” es el valor máximo que alcanza el semivariograma cuando la variable es estacionaria. Teóricamente, la meseta coincide con el valor de la varianza y por tanto un  buen estimador de la misma será la varianza experimental de los datos.



RANGO (a): Conocido también como Alcance, el Rango es la distancia a la cual el variograma se estabiliza y las muestras se relacionan espacialmente.



ESCALA (Ct): Es el valor tal que: Co + C = Sill. Un valor de escala  pequeño es indicativo de que solo existe correlacion para distancias muy cercanas, pudiendo haber incluso poca correlacion para observaciones

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relativamente cercanas. Un valor de escala grande pone de manifiesto un fenómeno poco estructurado, en el sentido de que a peque;as distancias la correlacion existente es escasa y además esta decrece paulatinamente con la distancia. Un variograma constante para todo h  es indicativo de la usencia de dependencia espacial, mientras que un variograma con pendiente distinta de cero cerca del origen indica la existencia de tal dependencia. Un cambio  brusco de pendiente anuncia el paso a una estructuración distinta en el espacio. Los variogramas experimentales se pueden calcular a partir de una sucesión lineal de  puntos, como por ejemplo a lo largo de un taladro de perforación (variograma monodimensional); también se pueden calcular a partir de un conjunto de datos ubicados en un mismo plano (variograma bidimensional), como por ejemplo una veta, un manto angosto, un banco o una sección cualquiera. En la actualidad existen programas que permiten el cálculo de variogramas a partir de una distribución tridimensional (variograma 3D), lo que antes sólo se podía realizar subdividiendo en cuerpo tridimensional en tajadas (bancos o secciones).

2.3. Variogramas en una dimensión Considere una secuencia de “n” muestras espaciadas a igual distancia, d, a lo largo de una línea de longitud L. Cuando el valor de una variable, como la ley, depende de su posición, la variable se denomina variable regionalizada. La Figura muestra la disposición de “n” muestras a lo largo de la línea:

 Figura 4: Secuencia de muestras n equidistantes espaciadas, x i denota la ubicación y f(x i) denota el valor en la ubicación xi.

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Las muestras pueden ser de cualquier tipo, pero se asume que todas ellas tienen el mismo soporte (es decir, la misma orientación, volumen y forma geométrica); por ejemplo, la línea puede representar un testigo de perforación diamantina (DDH) cortado en fragmentos de aproximadamente las mismas longitudes d o una línea de muestras de canal de longitudes d tomadas a lo largo de un pilar. El variograma para un espaciamiento de muestra d es la mitad de la diferencia  promedio al cuadrado entre todos los pares de muestras separadas por una distancia d, cuya representación es γ(d)

1 {[( )  ( )]  [( )  ( )]  [( )  ( )] … [( )  ( )]} ƴ ()  2()       −  O en notación abreviada:

− 1  γ()  2() ∑[()  (+)] =

Para un espaciado de 2d, el variograma es:

 γ(2)  2(12) {[( )  ( )]  [()  ()]  [()  ()] … [(− )  ( )]} O en notación abreviada:

− 1  γ(2)  2(  2) ∑[( )  (+ )] = En general, para espaciados de muestra m (es decir, distancia m*d), el variograma es:

− 1  γ()  2(  )  ∑ [()  (+ )] =

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 Nótese que el resultado sería el mismo si el cálculo empezara con la muestra

 ()al final de la línea y se realizara en sentido inverso hacia la primera muestra  () A modo de ejemplo, considere las leyes de las muestras de plomo en la figura siguiente tomadas a intervalos de 2 m a lo largo de un pilar.

 Figura 5: Leyes de plomo de muestras tomadas a intervalos 2 m.

Un método simple de calcular el variograma en forma manual es copiando dos veces la línea de muestras. Para un espaciamiento de 2 m, coloque las dos líneas de muestras la una junto a la otra y mueva una de ellas hacia la derecha, de modo que las muestras espaciadas a 2 m de distancia queden alineadas, tal como se muestra en la figura:

 Figura 6: Método de cálculo de variograma para un paso de un espaciamiento de muestra.

El variograma para un espaciamiento de d=2 m es dado por:

 {[0.5 0.3]  [0.7  0.5]  [0.4  0.7] … [0.2  0.4 ]}  γ(2 )  (−)

 γ(2 )  0.038 Poniendo como ejemplo una serie de leyes en una dirección, que podrían ser leyes de una galería o leyes de un sondaje, se tiene:

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 {[0.3 0.7]  [0.5  0.4]  [0.7 0.2] … [0.8  0.2 ]}  γ(4 )  (−)

 γ(4 )  0.087  γ(6 )  0.039  γ(8 )  0.003  γ(10 )  0.039  γ(12 )  0.085  γ(14 )  0.025 Estos valores pueden graficarse tal como se muestra en la siguiente figura para obtener una representación gráfica del variograma.

2.4. Variograma a dos dimensiones En dos o tres dimensiones es necesario definir también un ángulo de tolerancia alrededor de la dirección definida por el vector h  ya que la consideración de intervalos de distancia es en general insuficiente para garantizar un numero de  pares grande debido a que los puntos generalmente no están alineados. La figura nos muestra esquemáticamente como se procede en el plano para calcular el variograma experimental.

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 Figura 7: Representación esquemática de los intervalos y la tolerancia para el cálculo del variograma muestras en dos dimensiones.

Ejemplo: Los siguientes gráficos presentan los valores del semivariograma a partir de las observaciones de la variable “contenido de Cadmio” correspondiente al conjunto de datos

 presentado. Los tres primeros gráficos fueron obtenidos con el programa VARIOWIN.

 Figura 8: Medidas de Cadmio en sus respectivas posiciones.

En la figura 9 se presenta el semivariograma clásico omnidireccional que es una herramienta muy utilizada en geoestadística para obtener estimaciones de las características de los variogramas: el alcance, la meseta y el efecto pepita. Para obtener 16

el semivariograma clásico omnidireccional se considera la dirección de 0° con una tolerancia angular de 90° a ambos lados de la dirección especificada, de esta manera  permite que se incluyan todas las parejas de puntos independientemente de la dirección. Esto, maximiza el número de parejas en cada clase de distancia, pero produce un suavizado del variograma.

 Figura 9:Variograma omnidireccional para la variable Cadmio, Los valores numéricos indican el número de  parejas que intervienen en el cálculo.

El soporte del grafico anterior es de 0° hasta la distancia máxima entre las parejas, es decir hasta 302.362 pies. En general, los variogramas no son válidos más allá de la mitad de dicha distancia. La figura presenta el variograma empírico correspondiente a 10 intervalos de clases de distancia con una longitud de 15 pies cada uno.

 Figura 10:Variograma omnidireccional para la variable Cadmio, reduciendo la longitud de la distancia para realizar mejor la similitud a un modelo experimental de variograma.

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2.5. Modelamiento de variogramas El variograma de la figura 12 proporciona bastante información del comportamiento espacial de la variable. Sin embargo, es necesario ajustar una función para cuantificar el grado y escala de variación espacial. Existen numerosos modelos que se utilizan en geostadística, siendo los más comúnmente usados el modelo esférico, el modelo exponencial, el modelo gaussiano y el modelo lineal. Estos modelos se pueden observar en la Figura 3, en donde se han ajustado a los datos del variograma empírico de la Figura 2. El ajuste a una función permite extraer una serie de parámetros que son los que van a ser usados para la interpolación geostadística (kriging) y que definen el grado y escala de variación espacial.

 Figura 11:Localización de puntos de muestreo en una parcela de 20 x 20 metros. Las muestras fueron tomadas cada dos metros en toda la parcela y cada 50 cm en cuatro parcelas situadas aleatoriamente.

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 Figura 12: Variograma empírico mostrando la semivarianza de valores de materia orgánica del suelo separados por distancias crecientes.

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 Figura 13: Ajuste del variograma empírico de la figura 11 a cuatro funciones matemáticas.



Variograma de Matheron o Modelo Esférico

Donde γ(h) es la semivarianza en el intervalo de distancia h, y a es el rango (A0). Este

modelo tiene un comportamiento lineal a distancias de separación pequeñas cerca del origen pero se va aplanando a mayores distancias y alcanza el sill en la distancia a. Su expresión matemática es la siguiente:

En donde C1 representa la meseta, a el rango y h la distancia

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

Variograma de Formery o Modelo Exponencial

Este modelo se aplica cuando la dependencia espacial tiene un crecimiento exponencial respecto a la distancia entre las observaciones. El valor del rango es igual a la distancia  para la cual el variograma toma un valor igual al 95% de la meseta. Este modelo es ampliamente usado. Su expresión matemática es la siguiente:

Siendo 

y a = parámetro relacionado con el alcance

Modelo Gaussiano

Al igual que en el modelo exponencial, la dependencia espacial se desvanece solo en una distancia que tiende a infinito. El principal distintivo de este modelo es su forma  parabólica cerca al origen. Su expresión matemática es:



Modelo lineal o Pepita Puro.

Es indicativo de carencia de correlación espacial entre las observaciones de una variable. Es común sumar este modelo a otro modelo teórico de semivarianza, para obtener lo que se conoce como semivariograma anidado. Lo anterior se sustenta enuna propiedad de los variogramas que dice que cualquier combinación lineal de variogramas con coeficientes  positivos es un variograma. Su expresión matemática es:

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 Figura 14: Comparación de los modelos exponencial, esférico y Gaussiano. La línea punteada

vertical representa el rango en el caso del modelo esférico y el rango efectivo en el de los modelos exponencial y gaussiano. Este tiene un valor de 210, respecto a una escala simulada entre 0 y 300. El valor de la meseta es 30 y el de la pepita 0. El 95% de la meseta es igual a 28.5.

El modelo esférico es el más usado, porque tiene verdadero sill. En segundo lugar el exponencial sobre el gausiano, porque aunque este último refleja muy bien la continuidad espacial, la interpolación de puntos basada en este modelo es muy exigente con respecto a los valores de entrada, produciendo frecuentemente representaciones gráficas alejadas de la realidad. Por último, el modelo lineal es usado para reflejar una pobre estructura espacial, o una estructura espacial cuya dimensión supera la de la parcela de estudio (por ejemplo, la parcela está dentro de un gradiente direccional).

2.6. Isotropía y anisotropía Hasta ahora en los variogramas vistos se considera que la variación del valor de nuestra variable con el espacio es igual en todas las direcciones de éste (variograma omnidireccional). Si esto ocurre decimos que la variable tiene un comportamiento

isotrópico. Pero no siempre es así, y puede ser que la variación espacial sea diferente en las distintas direcciones del espacio ( anisotropía). Si tras una inspección visual sospechamos que puede ocurrir este fenómeno es interesante realizar variogramas considerando por separado varias direcciones del espacio (variogramas direccionales). 22

Para estudiar la presencia de anisotropía es necesario calcular el variograma en varias direcciones, lo cual suele requerir una cantidad de datos muy superior a lo normalmente disponible. Si esto es posible, puede dibujarse cada variograma separadamente, si los variogramas son marcadamente distintos, hay que pensar en la presencia de anisotropía. La construcción de semivariogramas anisotrópicos requiere un ángulo de tolerancia, de forma que todos los puntos sean usados. Por ejemplo, si realizamos cuatro semivariogramas correspondientes a 0º, 45º, 90º y 135º, y añadimos un ángulo de tolerancia de 22.5º, todos los puntos de las parcelas son usados en uno u otro semivariograma. El resultado lo podemos ver en la Figura 15.

 Figura 15: Semivariogramas mostrando las diferencias en continuidad espacial de la materia orgánica del suelo en cuatro direcciones del espacio.

De esta figura se extraen dos conclusiones: Primero, no existe un claro comportamiento anisotrópico en la distribución de materia orgánica en la escala muestreada, ya que los rangos y nuggets son aproximadamente similares. A pesar de ello, en las direcciones NESO (45º) y E-O (90º) el sill alcanza valores menores que en las otras dos direcciones, siendo también su comportamiento en las distancias mayores diferente. Si el sill disminuye, pero los nugget son similares el porcentaje de varianza explicada por el espacio (Ct) también disminuye en las direcciones 45º y 90º. Siendo así, los puntos situados en esas direcciones deberían tener un peso menor a la hora de la interpolación que puntos situados en las otras dos direcciones. En segundo lugar, los variogramas 23

direccionales presentan peor ajuste que el omnidireccional, lo que es de esperar debido al menor número de pares de puntos. Por tanto, si el número de puntos muestreados no es lo suficientemente grande, el aumento de información que supone los variogramas direccionales desaparece debido a la dificultad de encontrar modelos que recojan fielmente la variabilidad espacial de cada dirección. Cuando los rangos se mantienen aproximadamente igual en distintas direcciones del espacio, pero el sill varía se denomina

anisotropía zonal . El caso inverso se conoce como anisotropía geométrica . En esta última está más justificada la utilización de un modelo isotrópico que agrupe todas las direcciones, ya que se considera que todas estas siguen el mismo modelo básico de continuidad espacial. En la práctica es común encontrar una mezcla de ambas anisotropías.

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CAPITULO III: PROGRAMAS COMERCIALES APLICADOS AL TEMA Se tiene un conjunto de SOFTWARE que son aplicados la tema desarrollado: 

GEMCOM –  GEMS



SURPAC



VULCAN 3D



MINE SITGH



DATAMINE



LEAPFROG 3D



GEOSTAT



ISATIS



Etc.

El uso inteligente y estratégico independiente o integrado de software libre, puede suplir eficientemente al software comercial. Rompiendo las barreras de la limitación económica (inclusive Ahorrando los costos de implementación).

A. Software Geoestadístico SGeMS SGeMS = (The Stanford Geostatistical Modeling Software) Creado por Nicolás Remy de la universidad de Stanford, ofrece una interfaz en 3D, contiene casi todas las herramientas de estimación por kriging, y simulación geoestadística.

Limitaciones:  No contiene herramientas para el modelamiento geológico previo a la estimación de recursos.

¿Qué puedo hacer con SGeMS? 

En RecMin, se puede compositar la muestras,diseñar el módelo de bloques y limitarlos a uncuerpo sólido.



A los compósitos se les puede realizar un estudioexploratorio de muestras en SGeMS.

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26



Y se puede estimar bloques aplicando algoritmoskriging en SGeMS.



Se puede realizar el Estudio Variográfico y Estimación

B. VULCAN VulcanGeostatsModeller es una completa configuración para realizar análisis geoestadísticos, crear modelos de recursos y determinar recursos geológicos precisos. Su Módulo Geostatmodeller (Base Geostatistics): 

Calcula variogramas experimentales



Modela variogramas incluyendo el modo interactivo 3D y modelado automatizado



Estudio de perfiles de contacto y desagrupamiento mediante celdas, estimación global o prismas



La

estimación

de

leyes

utiliza

técnicas

tales como, vecino más cercano por inverso de la distancia, kriging simple, kriging ordinario, kriging de indicadores y simulación de indicadores 

Muestras y bloques pueden filtrarse y utilizar fronteras “blandas” entre diferentes

dominios 

El post proceso de distribuciones de kriging de indicador permite múltiples salidas simultáneas



Los parámetros de interpolación pueden crearse o editarse via interfaz categorizada o mediante un asistente o “Wizard”



La ejecución de interpolaciones vía un archivo de proceso por lotes facilita la actualización en múltiples dominios y categorías

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

Análisis y validación de tamaño del bloques (SMU)



Módulo Unfolding incorporado

C. VARIOWIN VARIOWIN se utiliza para el análisis espacial de datos y modelado del variograma en dos dimensiones. Consta de la siguiente colección de cuatro programas (archivos de extensión .exe) que deben ser ejecutados separadamente y en un cierto orden:

Prevar2D , genera un archivo de distancias.pcf para todos los posibles pares de datos existentes en un archivo de datos de extensión .dat.

Vario2D, utiliza el archivo de comparación de a pares.pcf originado por el Prevar2D para hacer un análisis variográfico exploratorio en 2D.

Model,  permite realizar de manera interactiva el ajuste a un modelo teórico del variograma experimental obtenido previamente por Vario2D.

Grid Display, sirve para exhibir archivos de grilla (formato ASCII.grd) como mapas de  pixels. Los archivos de datos para VARIOWIN requieren de un formato específico (Geo-EAS, Englund y Sparks, 1991), común a varios softwares estadísticos, con extensión .dat y con un máximo de ocho caracteres para su nombre, caso contrario éste será truncado. La  primera fila del archivo debe contener el título, la segunda, cantidad de variables incluidas las coordenadas X e Y, las siguientes, los nombres de las variables, las columnas de datos y la última en blanco. La Figura exhibe un archivo de datos basado en dicho formato.

 Figura 16: Archivo de datos en formato Geo-EAS, backscat. Dat.

La opción más importante del programa Vario 2D es Calculate/Directional

Variogram que permite calcular el variograma experimental.

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La terminología adoptada en VAROWIN es “variograma”, siendo el termino correcto “semivariograma”.

 Figura 17: Parámetros (por defecto) para el cálculo del variograma experimental

 Figura 18: Variograma experimental omnidireccional de la variable microwave.

El software VARIOWIN permite un análisis estructural completo de datos espaciales. Además del análisis gráfico, brinda en forma de tablas información numérica del análisis de estimaciones resultante del cálculo del variograma experimental y de la superficie de variograma, contribuyendo a una mejor elección del modelo y parámetros a ajustar. Variowin está diseñado tanto para iniciar al principiante en el uso de los métodos geoestadísticos de una manera fácil, como para proporcionar al usuario experimentado Suficiente potencia y flexibilidad para resolver problemas reales. Constituye un buen complemento de otros programas informáticos aplicados a la geoestadística.

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