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Capítulo IV (Variables particulares particulares , procesos de Poisson, Bernoulli , Hipergeométrico) 1) Se lanza un dado no cargado 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca: a) algún as? b) por lo menos un as? c) ningún as? d) más de un as? e) menos de dos ases? f) a lo sumo dos ases? g) por lo menos dos ases? h) entre 2 y 4 ases (inclusivos)? i) exactamente 7 ases? j) todos ases? Resp: a) 0,8385; b) 0,8385; c) 0,1615; d) 0,5155; 0, 5155; e) 0,4845; f) 0,7752; g) 0,5155; h) 0,5; −10 i) 0,00025; h) 1,65x10 2) Hallar la media y el desvío estándar de la cantidad de ases que ocurren en 10 lanzamientos de un dado no cargado. Resp: E(X) = 1,67; σ(X) = 1,18 3) Un agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo. Encontrar la probabilidad de que al inspeccionar 4 duraznos: a) los 4 estén contaminados por la mosca del mediterráneo; b) cualquier cantidad entre 1 y 3 esté contaminada. Resp: a) 0,1975; b) 0,7901 4) Al probar una cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se encontró que el 25% de los camiones terminaban la prueba con pinchaduras. a) De los siguientes 5 camiones probados, hallar la probabilidad de que: a1) menos de 3 tengan pinchaduras; a2) más de 2 no tengan pinchaduras. b) ¿Cuántos de los 5 camiones en promedio pueden sufrir pinchaduras? Resp: a1) 0,8965; a2) 0,8965; b) 1,25 5) De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, el 60% de los adictos al Valium en el estado de Massachusetts lo tomaron por primera vez debido a problemas psicológicos. Hallar la probabilidad de que de los siguientes 8 adictos entrevistados: a) exactamente 3 hayan comenzado a usarlo debido a problemas psicológicos; b) al menos 6 de ellos comenzaron a tomarlo por problemas que no fueron psicológicos. Resp: a) 0,1239; b) 0,0498 6) De un proceso tecnológico que produce piezas con un 10% de defectuosas se toma una muestra de 15 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar: a) 2 ó menos defectuosas? b) exactamente 2 defectuosas? c) menos de 12 buenas? Resp: a) 0,8159; b) 0,2669; c) 0,0556 7) a) Suponga que los motores de un aeroplano operan en forma independiente y que fallan con una probabilidad de 0,4. Suponiendo que uno de estos artefactos realiza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de uno de los motores. Determinar qué aeroplano: uno de 4 motores o uno de 2 motores tiene mayor probabilidad de terminar el vuelo exitosamente. b) Repita el ejercicio cuando la probabilidad de falla es 0,2. c) ¿Cuál es el valor de probabilidad de falla de los motores para que sea indistinto volar en un aeroplano de 4 motores o de 2 motores? Resp: a) 4 motores: P(Fun) = 0,8208; 2 motores: P(Fun) = 0,84 b) 4 motores: P(Fun) = 0,9728; 2 motores: P(Fun) = 0,96 8) Una partida de embarques viene con el 10% de defectuosos. Si se necesita equipar 14 automóviles con embarques buenos y se compran 16 embarques: a) ¿cuál es la probabilidad de no tener que comprar más embarques? b) ¿qué probabilidad existe de
2 tener que comprar dos embarques más para terminar los catorce automóviles? c) ¿cuál es el número esperado de compras que deben realizarse para equipar los catorce automóviles? Resp: a) 0,7892 9) En una pieza fabricada existen dos tipos de falla, en forma independiente: por abolladura con una probabilidad de 0,1 y por rotura con una probabilidad de 0,2. Hallar la probabilidad de que al tomar 8 piezas: a) más de una sea defectuosa sólo por abolladura; b) una resulte defectuosa sólo por rotura; c) a lo sumo una tenga ambos defectos; d) menos de 2 tengan algún defecto; e) por lo menos una no tenga defectos; f) 2 est én abolladas solamente, 3 estén rotas solamente, 1 tenga ambos defectos y el resto sean buenas. Resp: a) 0,1298; b) 0,3589; c) 0,9897; d) 0,2969; e) 0,9278 10) La probabilidad de dar en el blanco de dos tiradores A y B es respectivamente 0,4 y 0,7. Cada uno hace cinco disparos. Si se sabe que juntos acertaron 6 tiros, ¿cuál es la probabilidad de que A haya acertado dos? 11) Si la probabilidad de que un cierto examen dé una reacción positiva es igual a 0,4 y las reacciones son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran menos de cinco reacciones negativas antes de la primera positiva? 12) Suponga que el costo de efectuar un experimento es $1000. Si el experimento falla, se incurre en un costo adicional debido a ciertos cambios que deben efectuarse antes de que se intente un nuevo ensayo. Si la probabilidad de éxito en cualquiera de los ensayos es de 0,2; si los ensayos aislados son independientes y si los experimentos se continúan hasta que se obtiene el primer resultado exitoso, ¿cuál es el costo esperado del procedimiento completo? 13) Considere una loterí a de 25 boletos que ofrece: a) 6 premios; b) 3 premios. Si se compran 5 boletos, ¿cuál es la probabilidad de ganar algún premio? 14) Se tiene una partida de aros de pistón producida durante un perí odo de desajuste del control de templado. La probabilidad de defectuosos es 0,62. La aceptación o rechazo de un aro se basa en un ensayo individual de dureza que insume un tiempo de 20 segundos. Si se necesita formar un lote de 700 aros buenos, ¿cuál es la probabilidad de que un inspector necesite menos de nueve horas de trabajo para obtener esa cantidad? 15) En una f ábrica hay cuatro máquinas A, B, C y D que producen el 30%, 20%, 10% y 40% respectivamente de la producción total. Si se sabe que en diez artí culos tomados al azar de la producción, exactamente dos provienen de la máquina A, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos provenientes de la máquina B? 16) En un computadora fallan en promedio dos transistores por hora según una distribución de Poisson. Mientras menos de siete transistores estén fallados la computadora funciona normalmente, parándose en caso contrario. Hallar la probabilidad de que la computadora pueda desarrollar un cálculo que insume 3 horas. Resp: 0,6063 17) El número de buques tanque que llegan en un dí a a una refinerí a tiene una distribución de Poisson con µ = 2. Si más de tres buques llegan en un dí a, los que están en exceso deben enviarse a otro puerto, pues las actuales instalaciones portuarias pueden despachar a lo sumo tres buques al dí a. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener que hacer salir buques en un dí a determinado? b) ¿Cuál es el número esperado de buques que llegan en un dí a? c) ¿Cuál es el número más probable de buques que llegan en un dí a? d) ¿Cuál es el número esperado de buques atendidos diariamente? e) ¿Cuál es el número esperado
3 de buques rechazados diariamente? f) ¿En cuánto deben aumentarse las instalaciones actuales para permitir la atención a todos los buques el 90% de los dí as? Resp: a) 0, 8571; b) E(X) = 2; c) 1 ó 2; d) E(A) = 1,78; e) E(R) = 0,22 18) Los errores de imprenta de una cierta editorial son en promedio de 2,5 por p ágina, según una distribución de Poisson. Si un cierto libro tiene 50 p áginas, ¿cuál es la probabilidad de que en alguna de ellas haya 5 ó más errores? Resp: a) 0,9969 19) Una central tiene 5 centrales automáticas independientes entre sí , donde para cada una de ellas el número de conexiones erróneas por dí a obedece a una distribución de Poisson con µ = 0,01 conexiones erróneas. a) Calcular la probabilidad de que se produzcan exactamente 3 conexiones erróneas en la ciudad durante un dí a. b) Un ingeniero quiere aumentar la confiabilidad del sistema modificando el valor de µ. ¿Para qué valor de µ el ingeniero podrá afirmar que la probabilidad de una o más conexiones erróneas en la ciudad en un dí a cualquiera es igual a 0,02? Resp: a) 1,98⋅10−5; b) µ = 0,004 20) El diámetro de las arandelas producidas por una máquina es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad: f(x) = (x − 6) / 4 para 6 ≤ x < 8; f(x) = (10 − x) / 4 para 8 ≤ x ≤ 10; f(x) = 0 ∀ otro x (en mm). Si se revisan 100 arandelas, ¿cuál es la probabilidad de que más de una tenga un diámetro inferior a 6,5 mm? Resp: a) 0,8234 21) En una ruta hay un dispositivo mecánico para contar el número de vehí culos que arriban a dicha ruta. Los vehí culos arriban según una ley Poisson a razón de 20 cada media hora en promedio. El dispositivo tiene una probabilidad de fallar del 1%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora y media hayan pasado 82 vehí culos y se hayan registrado 78? 22) El porcentaje de rollos de tela de 150 metros de longitud que presenta fallas de te ñido es del 2%. Por otra parte tienen una cantidad de fallas de tejido seg ún una distribución Poisson con α = 0,01 fallas/m. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un rollo sin fallas? ¿Qué condición entre sucesos debe presentarse? b) Si un cliente controla el 10% de los rollo de una partida de 100 y la rechaza si encuentra uno o más rollos con falla de teñido o más de dos rollos con alguna falla de tejido, ¿cuál es la probabilidad de aceptar la partida? 23) Acéptese que el número X de huracanes que azota una zona costera durante un año tiene una distribución Poisson con α = 0,5. a) ¿Cuál es la distribuci ón de Y siendo Y el número de años que hay que observar hasta encontrar cinco en los cuales se registra más de un huracán en la zona costera? b) Calcular la media y la varianza de Y. 24) En una tela existen dos tipos de fallas independientes: de hilado y de estampado. La primera ocurre en promedio 1 cada 10 m2. La segunda tiene un promedio de 1 cada 20 m2. ¿Cuál es la probabilidad de: a) encontrar una falla de cada tipo en una pieza de 5 m 2? b) que entre 100 piezas como la descripta haya por lo menos 80 con 1 ó más fallas? 25) Se trata de que un procese de fabricación de fusibles no produzca más del 1% de defectuosos. A tal efecto se lo controla periódicamente examinando 10 fusibles y si alguno falla, se detiene el proceso para revisarlo. a) Si realmente está trabajando al 1%, ¿cuál es la probabilidad de revisarlo innecesariamente? b) ¿Cuántos fusibles deberán
4 probarse (en vez de 10) si se desea que valga 0,95 la probabilidad de revisar el proceso cuando haya un 10% de defectuosos y cuánto valdrí a con este tamaño de muestra la probabilidad de revisar el proceso innecesariamente? Resp: a) 0,0956; b) 29; 0,2528 26) Un tirador obtiene, con un arma A, el 80% de aciertos y con un arma B el 90%. Si en 8 disparos obtuvo 6 aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que haya usado el arma B? Resp: 0,3364 27) De un proceso tecnológico que produce piezas con un 10% de defectuosas se toma una muestra de 15 piezas; ¿cuál es la probabilidad de encontrar: a) 2 ó menos defectuosas; b) exactamente 2 defectuosas; c) menos de 12 buenas? Resp: a) 0,81159; b) 0,2669; c) 0,0556 28) En un proceso de fabricación que trabaja con un 15% de defectuosas se producen 10 unidades diarias. Al final del dí a se hace un control y se separan las defectuosas, pero dado lo dificultoso de esta inspección, hay una probabilidad constante de 0,1 de considerar buena una unidad defectuosa. a) ¿Cuál es la probabilidad de separar 3 ó más unidades defectuosas al final de un dí a cualquiera? Comparar esta probabilidad con la que se tendrí a si la inspección fuera perfecta. b) ¿Cuál es la media y el desví o estándar del número de defectuosas separadas mensualmente (22 dí as hábiles)? Resp: a) 0,1424; 0,1798; b) 29,7; 5,069 29) Un proceso de manufactura produce piezas con un porcentaje defectuoso constante del 10%. Calcular la probabilidad de que haya que fabricar menos de 17 piezas para obtener 15 buenas. Resp: 0,5147 30) En un proceso de control de calidad se efectúa una revisión periódica examinando la cantidad de piezas necesarias hasta encontrar la segunda defectuosa. Si el proceso trabaja con un 20% de defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de revisar: a) 8 ó menos; b) 12 ó más; c) exactamente 12? Resp: a) 0,4967; b) 0,3221; c) 0,0472 31) En un tramo de una lí nea de montaje se realizan las operaciones 1, a cargo de Luis, y 2, a cargo de José, ambos especializados y que producen un 5% de defectos cada uno. Cuando falta alguno de ellos, y lo hacen aleatoria e independientemente el 8% de los dí as, son reemplazados por auxiliares no especializados que trabajan con un 20% de defectos cada uno. Cada unidad es defectuosa si existe defecto en cualquiera de las operaciones del montaje, que son independientes. Si un dí a se toma una muestra de 20 unidades y resultan 2 defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que ese dí a haya faltado alguno de los titulares? 32) Para fabricar un lote de 10 piezas se utiliza una m áquina que trabaja con un 30% de defectuosas. Luego de fabricar 12 piezas se efectuó un control y se encontró que aun no se habí a alcanzado la cantidad requerida. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesite fabricar más de 14 para cumplir el pedido? Resp: 0,5565 33) El control de recepción para un puesto consiste en examinar una muestra de 5 unidades de cada lote y rechazar si hay más de dos defectuosas. Un proveedor entrega un lote de 10 piezas que contiene 3 defectuosas y se lo rechazan. Si se consideran equiprobables "a priori" las alternativas de que la inspección se haya realizado con o sin reposición, ¿cuál es "a posteriori" la probabilidad de cada una? Resp: 0,6619; 0,3381
5 34) Cierto tipo de cable presenta en promedio 1 falla cada 250 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que un rollo de 1000 metros tenga: a) ninguna falla?; b) menos de 4 fallas?; c) 6 ó más fallas? Resp: a) 0,0183; b) 0,4335; c) 0,2149 35) A un comercio entran en promedio 60 personas por hora. Calcular: a) la probabilidad de que en los próximos 5 minutos no entre nadie; b) el lapso de tiempo tal que la probabilidad de que no entre nadie es 0,5. Resp: a) 0,0067; b) 42 segundos 36) Un conmutador telef ónico recibe, en promedio 600 llamadas por hora y puede hacer como máximo 20 conexiones por segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que su capacidad sea superada en un minuto dado? Resp: 0,2573 37) Un fabricante compró un nuevo equipo para producir cable plástico con el cual ha conseguido disminuir el promedio de fallas −que con el viejo equipo era de 2 cada 1000 metros− a 1 cada 1000 metros. Le han informado que su competidor principal, que tiene −o tení a− un equipo igual al que él dejó de usar, ha instalado también un nuevo equipo similar al suyo; su confianza en la fuente de información es tal que asigna una probabilidad 0,6 a dicho evento. A fin de cerciorarse, decide comprar 2000 metros de la competencia e inspeccionarlos, hallando 5 fallas. ¿Cuál es, con esta información, la probabilidad de que el competidor haya instalado el nuevo equipo? Resp: 0,2573 38) Se tienen dos máquinas para fabricar caños por extrusión de 6 metros de longitud. Un inspector rechaza los caños con fallas; va primero a una máquina y necesita revisar 5 caños para encontrar uno fallado; en la otra lo halla al 3er ca ño revisado. Se sabe que las fallas se producen al azar, en la máquina A con un promedio de 1 cada 30 m y en la B de 1 cada 28 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera inspección haya sido en la máquina B? Resp: 0,5663 39) En un circuito entran en serie dos elementos similares, que se obtienen del almacén al armarlo. En el almacén hay 80% de estos elementos de calidad X cuya vida media es de 2000 horas y 20% de calidad Y, cuya vida media es de 1000 horas. Sabiendo que el circuito hace 2000 horas que funciona sin fallas, calcular la probabilidad de que contenga al menos un elemento de calidad X. Resp: 0,9929 40) Un sistema está integrado por dos elementos I y II que fallan al azar en promedio 1 vez cada 400 y 600 horas respectivamente. El sistema falla cuando cualquiera de dichos elementos falla. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema falle después de transcurridas las primeras 800 horas? Resp: 0,0357 41) En un proceso de pintura se producen con media 1 falla por unidad. Las normas de control de calidad califican como defectuosa toda unidad con más de 2 fallas. De los tres inspectores, A y B aplican correctamente la norma, pero C, equivocadamente, clasifica como defectuosas las que tienen 2 ó más fallas. Si de un grupo de 15 unidades, que se saben inspeccionadas todas por el mismo inspector, hay 3 clasificadas como defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido inspeccionadas por C? Resp: 0,5504 42) Una empresa de instalaciones industriales adquirió en un remate un lote de caños de PVC de 6 m de longitud. Para realizar una estimación del costo real de estos caños, se
6 averigua que este lote podrí a provenir de alguno de dos fabricantes: el A, cuyo proceso de fabricación continuo se sabe presenta una falla cada 30 metros, o el B, que con un método más moderno presenta una falla cada 60 metros. En la primera instalación de 300 m de longitud en que se instalaron estos caños, al realizar la prueba hidráulica tuvieron que cambiar 3 caños. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote provenga del proveedor A? Resp: 0,0591 43) Se deben entregar 4 copas de cristal de 1ra calidad (sin poros). Los poros aparecen al azar en la masa cristalina, a razón de 1 cada 30 cm3 y cada copa tiene un volumen de 36 cm3. Se desea calcular el número de copas a fabricar para satisfacer el pedido con 90% de probabilidad. Resp: 21 44) En la fundición de unas piezas se presentan poros "a la Poisson", con una frecuencia de 1 falla cada 4 piezas en promedio. Una pieza se considera buena si no presenta poros. Calcular la probabilidad de obtener 3 piezas defectuosas antes de la tercera pieza buena, en una secuencia de fundición de piezas independientes. Resp: 0,0511 45) Una carpinterí a recibe el 30% de las tablas (de 0,5 x 0,2 m) para la construcci ón de placards, de un aserradero A y el resto de otro B. Las tablas del aserradero A presentan nudos con intensidad 0,25 nudos/m2 y las del B, 0,1 nudos/m2. Al revisar al azar las tablas de una partida recién recibida, se encuentra que la primera que tiene algún nudo es la 6ta revisada. ¿Cuál es la probabilidad de que esa partida sea del aserradero A? Resp: 0,3953 46) La fibra de rayón para neumáticos tiene un promedio de 0,3 nudos por metro y la longitud necesaria para cada neumático es de 10 metros. Cada trozo de 10 metros no debe tener más de 5 nudos porque de lo contrario se lo considera defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que en 50 trozos haya más de 7 defectuosos? Resp: 0,0115 47) El control de recepción de una pieza consiste en tomar una muestra de 100 unidades de una partida de varios miles y, en caso de encontrar más de 8 defectuosas, rechazar toda la partida. De este modo, la empresa compradora afirma que es pequeño el riesgo del proveedor (probabilidad de que le rechacen una partida que cumple el 5% de defectuosas admitido por contrato) y existe, además, un riesgo (para el comprador) del 15% de aceptar un lote "malo". a) ¿Cuál es el riesgo del proveedor? b) ¿Cuál es el porcentaje defectuoso del lote definido como "malo"? Resp: a) 0,063; b) 11,8% 48) Se desea diseñar un sistema de muestreo periódico para el control de producción de una pieza seriada cuyo proceso productivo trabaja con un porcentaje defectuoso nominal del 4%. El mismo consistirá en tomar muestras de n unidades y revisar el proceso toda vez que se encuentren c o más defectuosas en la muestra. Se establece en un 10% la probabilidad de detener el proceso innecesariamente −es decir, de encontrar c o más defectuosas cuando trabaja al 4%− y en un 95% la probabilidad de detenerlo cuando trabaja al 8%. Calcular el tamaño n de la muestra a tomar y el valor de c. Resp: aprox. n = 300; c = 17 49) Un comerciante sabe que el 5% de las semillas que vende no germina. En función de esto, garantiza en sus paquetes de 200 semillas una germinación del 90%. Calcular: a) el porcentaje de paquetes que no cumple con la garantí a; b) la probabilidad de que en un conjunto de 100 paquetes todos cumplan con la garantí a. Resp: a) 0,12%; b) 0,89. Por Poisson 0,26% y 0,85
7 50) Para un elemento cuya vida media es de 1000 horas, calcular: a) la probabilidad de que dure más de 1500 horas; b) la duración garantizada con un 90% de probabilidad; c) la probabilidad de que un stock de 10 elementos dure más de 15000 horas; d) la duración garantizada para el stock con 90% de probabilidad. Resp: a) 0,223; b) 105 hs; c) 0,07; b) 6221 hs 51) El proceso de fabricación de una tela genera en promedio 1 falla cada 100 metros. La longitud de cada rollo queda determinada por la aparición de la segunda falla, de modo que todos los rollos tienen una falla. Calcular: a) el porcentaje de los rollos con longitudes inferiores a 150 m; b) la longitud superada por el 90% de los rollos; c) la longitud superada por el 10% de los rollos; d) la longitud mediana; e) la longitud modal. Resp: a) 44,2%; b) 53,2 m; c) 389 m; d) 168 m; e) 100 m 52) Una usina dispone de dos máquinas con capacidades de 100 y 150 Mw respectivamente. Cada máquina está detenida el 8% del tiempo −por fallas−, siendo las paradas independientes entre sí . La demanda de energí a es una variable aleatoria con distribución Gamma de media 120 Mw y desví o estándar 58 Mw. ¿Qué porcentaje del tiempo la demanda queda satisfecha? Resp: 9,4% 53) Los diámetros de remaches producidos por una máquina tienen distribución normal de media 3 mm y desví o 0,01 mm. La especificación para los mismos es 3 ± 0,025 mm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en 200 remaches haya más de 5 defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en 2000 remaches haya más de 35 defectuosos? c) ¿Cuántos remaches habrá que fabricar para obtener, con un 90% de probabilidad, 2000 buenos? Resp: a) 0,0397; b) 0,0196; c) 2033 54) La tasa de falla de un equipo electrónico es, en condiciones normales, de 0,4 fallas/dí a. Sin embargo, en los últimos tiempos se ha registrado una tasa de 1,6 fallas/dí a. El Jefe de Mantenimiento piensa que una causa posible es el desajuste de una pieza y subjetivamente asigna un 70% de probabilidades a dicha causa; en consecuencia efectúa la corrección del mismo. En los dos d í as subsiguientes ocurre una sola falla. ¿Cuál es, con esta información, la probabilidad de que realmente fuera el desajuste la causa? Resp: 0,8654 55) Una computadora digital que funciona las 24 horas del dí a sufre paradas accidentales que se producen "a la Poisson" a razón de 0,25 fallas/hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la computadora se detenga más de 25 veces en una semana hábil (5,5 dí as)? b) Si se observó que la computadora funcionó sin detenerse durante 2 horas, ¿cuál es la probabilidad de que no se detenga en las próximas 2 horas y cuántas horas funcionará en promedio hasta producirse la primer falla? Resp: a) 0,0825; b) 0,6065; 4 hs 56) Considere un proceso de Bernoulli en el cual se sabe que una secuencia de n pruebas arrojó r éxitos. Demuestre que la probabilidad de que en las primeras n1 pruebas se hayan producido r1 éxitos es hipergeométrica y vale Ph(r1 / n1, n, r). Con este resultado resuelva el siguiente problema. Se producen campanas de freno en dos sectores de una planta, en ambas con un 27% de defectuosas. Si de una partida de 80 campanas en total, resultan 60 buenas, ¿qué probabilidad existe de que el 20% de las piezas buenas provenga del sector que fabricó 20 piezas? Resp: 0,04986 57) El control de recepción de una pieza que se recibe en grandes partidas consiste en seleccionar una muestra de 15 unidades y rechazar la partida si se encuentran 2 ó más
8 defectuosas; si no se encuentra ninguna defectuosa, la partida se acepta, pero si se encuentra exactamente 1, se toma una nueva muestra de 15 unidades y, en caso de encontrar aquí alguna defectuosa, rechazar definitivamente la partida, de lo contrario aceptarla. Obtener la expresión para calcular la probabilidad de aceptación de una partida en función de la fracción p defectuosa de la misma. Resp: (1 − p)15 [1 + 15 p (1 − p)14] 58) En una empresa se adquirieron piezas de repuesto y se colocaron en dos cajas iguales que tení an 65 unidades cada una, pero en una habí a 8 de segunda calidad y en la otra 5. Por una confusión, las cajas no quedaron identificadas. Al tomar 5 piezas de una de las cajas y encontrar 1 de segunda calidad, se desea saber cuál es la probabilidad de haberlas tomado de la segunda caja. Resp: 0,4355 59) El problema del inspector "cómodo".− En un control de recepción se ha fijado como criterio de rechazo la existencia de 2 ó más piezas defectuosas en una muestra de 15 tomada al azar del lote recibido. Un inspector "cómodo" rechaza si encuentra alguna defectuosa en las 5 primeras unidades inspeccionadas, dejando sin revisar, en este caso (y sólo en este caso), las restantes. Descubierta su falta, se le obliga a inspeccionar las muestras rechazadas. ¿Qué porcentaje de las mismas puede esperarse que vuelvan a ser rechazadas utilizando la inspección de 15 piezas, en lotes cuyo porcentaje defectuoso es del 5%? Resp: 46,1% 60) Hay dos máquinas que producen un mismo tipo de pieza. La máquina A trabaja con un 5% de unidades defectuosas y la B con un 8%. Un inspector de calidad va primero a una máquina y la decimosexta pieza revisada es la primera defectuosa; luego se dirige a otra máquina y la vigésima pieza revisada es la primera defectuosa. Calcular la probabilidad de que la primera máquina haya sido la A. Resp: 0,468
