1.
En el paralelogramo mostrado en la figura M y N son
= puntos medios. Halle
3 + 2 D) − −
A)
2.
+ + en función de
B) − − + E) −
C)
A) 8 y 6 D) 4 y 3
+ 3 2
y En la figura muestra los lo s vectores de
5.
inscritos en
un cuadro de 6m de lado. Determine el vector unitario del
− vector (
, y
tienen igual magnitud de
8
unidades y están e los planos XY, YZ, XZ respectivamente. Si = = = 45� , determine el vector unitario del
+ + vector
A) ̂ ̂ √
3. Determine un vector unitario paralelo a la recta y = 2x +2 1 (2 ̂ + )̂ √ 5 1 D) ( ̂ + )̂ √ 2
4.
Los vectores
C) 3 y 4
)
(−+) (−) (−−) (−2+) () A) B) C) D) E) √ √ 2 √ 2 √ 2 √ 2
A)
B) 6 y 8 E) 6 y 7
1 ̂ + 2 )̂ C) 1 ( ̂ − ( √ 5 √ 2 1 E) (2 ̂ − )̂ √ 5
B)
B)
+ + ̂ ̂ √ 2
C)
+ ̂ √ 2
D)
+ ̂ +2 + ̂ 2 +̂ E) 2 √ 2
6. Con respecto a la figura, halle el vector es el baricentro del triangulo ABC.
, donde G
)̂
Sobre la argolla de la figura actúan dos fuerzas
1
y
2. Si la magnitud de la fuerza resultante es 10N y está dirigida verticalmente hacia abajo, entonces las magnitudes de F 1 y F 2 (en newton) respectivamente son: A)
1
(−2 (−2̂̂ + ̂ + ) 2√ 6
(−2̂ − ̂ + √ 1 (−̂ (−̂ + 2̂ + E) 2√ 6
C)
7.
)
2 (−2̂ + ̂ + ) 3 1 D) (−2 (−2̂̂ − ̂ − ) 2√ 6
B)
)
Si se cumple que
, determine el vector A + B + C = �
unitario del vector C.
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45º a
cuarto de circunferencia
x y
A) (̂ + 3̂ ) / √ 5 B) −(̂ + 3̂ ) / √ 10 D) (2̂ + 3̂ ) / √ 5
C) (̂ + ̂ ) / √ 2
E) ̂ + √ 2 ̂ 8.
A)
Se tienen los vectores
A= 2 + ̂ 4 ̂ B= 5 ̂ − 3 +̂ 2 C= 2 ̂ Halle A. (B x C) A) 8 9.
C)
D)
( 2 2 + 1) a ( 2 − 1) a x en función
13. Determinar una expresión vectorial para C) -4 ̂
Sean los vectores
D) 4 ̂
, B , C A
= 2 ̂ –
A
de los vectores cuadrado.
E) -4
̂ y � = −̂ + 2̂ .
y
B ,
sabiendo que PQRS es un
R
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? Si
B)
E) a
y
B) -8
I.
( 2 2 − 1) a ( 2 + 1) a
Q
A. (B �C )= A � B , en el angulo entre A y B
B
vale 45º ó 135º. II.
Si
A � B > A. B ,
en el ángulo entre
A
y
B
x
puede ser 77º III. IV.
C. � = -4 C� � = 3
A) Todas
S
B) tres
C) dos
D) una
E) ninguna
A
10. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I.
II. III.
A . A = A �A = 0 A . (A �B )= A B A
A) VVV D) VFF
2
C) VVF
11. Dos vectores de componentes enteras y no nulas,
A
x = ( 3 / 5 ) ( A + 3B)
B)
x = ( 2 / 5 ) ( A + 2B)
C)
x = (1/ 5 ) ( A + B )
D)
x = ( 2 / 5 ) ( A + 3B)
E)
x = ( 4 / 5 ) ( A + 2B )
y
B y en el plano XY, son tales que cumplen las siguientes
14. Determine el módulo del vector resultante del sistema mostrado si “M”: punto medio, “O”: centro de la
condiciones:
A + B = A − B = √ 50; . B = 0 y A �B = 25. Uno de los vectores es: A + 4ȷ A) 5 B) 5 C) −3 + 8ȷ D) −6
A)
2
B) VFV E) FVF
P
circunferencia y
a =4
+ 4ȷ E) −6
12. Hallar el módulo de
x+y
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U
a M
b 37º 53º
A
ɵ u
37º 37º
O
V
ɵ v
c
A)
5
B)
6
D)
3 5
E)
3 6
C)
2 5
C) D) E)
2B
ɵ 3,2 ɵ u + 40v
C)
ɵ 42 ɵ u + 40v
D)
ɵ 25 ɵ u + 25v
E)
ɵ 25 ɵ u + 40v
E y F
z
20 ɵj
A
2A
B)
B)
ɵ 32 ɵ u + 32v
18. En la figura se muestran los vectores de magnitudes indicadas. Hallar el módulo del vector resultante.
15. La figura muestra 6 vectores: A , B , C , D , . Halle S = A − B + 2C + D + E + F . A)
A)
C+D
20
D
B
C
20
20
20
37º
37º
y
E
E
O
37º 37º
x
F
A) 20 D) 52
B) 32 E) 60
16. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La suma vectorial de los componentes de un vector da como resultado dicho vector. II. Un vector puede tener componentes en cualquier dirección. III. El vector unitario de un vector necesariamente tiene la misma dirección y sentido que el vector. A) VVV B) FVF C) FFV D) FVV E) FFF 17. En la figura se muestra los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados U y V del plano.
Si la componente ortogonal de
A sobre uno de los
ejes tiene 32 unidades, halle el vector
A.
19. Tres vectores A , B y C tienen componentes x e y como se muestra en la tabla. Calcular el ángulo que
forma el vector
x y
D)
3A − 2B + C con el eje x.
A
B
C
3 1
4 –2
–1 1
A) 0
π / 2
B)
π / 4
E)
π
C)
π / 3
20. Si S = A + B , donde A y B son vectores unitários, identifique la veracidad (V) o falsedad (F), de lãs proposiciones siguientes:
I. E-mail:
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C) 48
El módulo de
S satisface: 0 ≤ S ≤ 2 .
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II. S también puede ser unitario. III. Si α = 60º es el ángulo entre A y B , luego
23. Dados los vectores A y B en la figura que se muestra, halle el vector unitario que tiene la dirección y
sentido del vector
S =3
y
A) VVV D) FFF
B) FVV E) VVF
(
)
A −B
C) VFF
A
30º
21. Para el conjunto de vectores dados, determine el vector unitario del vector resultante. Si:
B 30º
x
A =B= C/ 3
A
C
B
jɵ ɵ i
A) C) E)
(ɵi +ɵj) (ɵi + 3ɵj)/ 2 (ɵi +ɵj)/ 3
B)
ɵ i+
D)
3 ɵj
(ɵi −ɵj)
3
A)
2ɵ ɵ i+ j 2
C)
2 ɵ ɵ −i + j 2
E)
3ɵ 1ɵ i− j 2 2
( ) (
)
B)
2ɵ ɵ i− j 2
D)
3ɵ 1ɵ i+ j 2 2
( )
24. Hallar el vector unitario que corresponde a la resultante de los vectores mostrados en la figura.
z a a
22. Determine el vector unitario del vector resultante.
a
z 5
a
a
y
a A)
3ɵj + ɵ k
B)
C)
jɵ+ 3kɵ
D)
E)
1 6
y 5 5 x A)
(−ɵi +ɵj) /
ɵ C) −i ɵ E) − j
2
B)
(ɵi −ɵj) / 2
D)
ɵ k
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(
1ɵ i+ 3ɵ k 3 1 3ɵj + ɵ k 2
(
)
(
)
)
ɵ 3ɵj + 3k
25. Hallar el ángulo β para que el módulo de la suma de los vectores sea mínimo.
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y a
D) FVF
E) VVF
A
M
a
X
50º
10º
N
x
B
β
28. Los lados de un paralelepípedo oblicuo tiene lados
dados
a
por
B) 20º E) 30º
vectores:
C =ɵi +ɵj + ɵ k.
A) 10º D) 15º
los
C) 15º
A =ɵi ;
B =ɵi +ɵj
y
Halle el valor de la expresión:
(
)
V = A ×B ⋅ C.
C
26. Si la resultante de los 3 vectores mostrados es nula, hallar F.
B
y
F
A
12 A) 1 D) 4
70º
20º
B) 2 E) 5
C) 3
x 29. En un sistema de coordenadas x, y, z, rectangulares, se
α
dan
los
A = 0,8iɵ+ 0,6jɵ
vectores:
y
B = −3iɵ+ 4jɵ. Indique verdadero (V) o falso (F) en
24 A)
10 3
B)
12 3
D)
16 3
E)
2 3
las siguientes proposiciones:
C)
14 3
27. La figura muestra un trapecio M, N son puntos medios de las diagonales; respectivamente, identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones:
I.
Solo
A) VVV D) VVF
B) FVV E) FFF
B = λ A , donde λ > 0
( ) III. X = (B − A) / 2 II.
A es vector unitario. II. La magnitud de A ×B es 4,8. ɵ III. El producto A ×B es 5 k I.
X = A +B / 2
A) FFF
C) VFV
30. Dados los vectores:
A = 2iɵ+ 3jɵ ;
B =ɵi − 2jɵ
A ×B
determine A)
A ⋅B 1,75 k
B)
0,68 k
D)
1,92 k
E)
−1,92 k
ɵ
ɵ
C)
ɵ
−1,75 k
ɵ
B) FFV C) VFV
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ɵ
31. En la figura que se muestra el punto M es el baricentro
del triángulo ABC. Halle el vector
y
f.
x en función de e
A , B y C .z
vectores
B
34. En la figura mostrada P y Q son puntos medios, determine el vector unitario de la resultante de los
e
C
10
x
M
A
f
3e + 3f
A)
B)
1 ( ) e+f 6 1 ( ) 2e + f 6
C)
E)
C
D)
x
32. Determine el módulo del vector resultante.
a
a
a
a
a
P
A)
0,6iɵ + 0,1jɵ + 0,8k
B)
−0,8 ɵi + 0,1jɵ
C)
0,8iɵ − 0,6 ɵj + 0,1k
D)
−0,8 ɵi + 0,6 ɵj
E)
−0,1iɵ + 0,6 ɵj + 0,8 k
ɵ
ɵ
ɵ
35. Determine si las expresiones son verdaderas (V) o
60°
falsas
(F)
a
para
los
vectores
a = 7iɵ + 9jɵ
y
b = 8iɵ − 6jɵ .
a
A)
y
Q
16
1 ( ) e−f 3 1 ( ) e+f 3
12
B
A
4a 3
B) 2a
D) 3a
E)
C)
a 3
2a 3
D
A
C
B
ɵ 2aiɵ+ 4ak
E)
ɵ 2ajɵ+ 4ak
a × b = 114
III.
( 2a ⋅ b ) a = 14iɵ + 18jɵ
B) VFV E) FVF
36. Si
C) VFF
A = 2iɵ + 3jɵ + 4k y B = 4iɵ − 2jɵ + 6k , ɵ
ɵ
hallar
( A ⋅ B) ( A × B)
C)
II.
z
x ɵ A) − 4ak
b ⋅ b = 10
A) VVV D) FVV
33. Hallar la resultante de los vectores mostrados en el cubo de arista “a”.
I.
B)
2aiɵ+ ajɵ
D)
ɵ 4ak
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y
A)
26 ( 6iɵ + ɵj − 4k )
B)
94 ( 24iɵ + 4jɵ − 16k )
C)
22 ( 6iɵ + ɵj − 4k )
D)
94 ( 6iɵ + ɵj − 4k )
E)
52 (13iɵ + 2jɵ − 4k )
ɵ
ɵ
ɵ
ɵ
ɵ
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37. Dado
los
A = 2iɵ + 3jɵ − k
vectores
B = 3iɵ − ɵj + 3k ;
¿cuáles
ɵ
y
ɵ
de
las
siguientes
proposiciones son verdaderas?
I. II.
A es perpendicular a B ( A + B ) es perpendicular a ( A − B ) .
III.
A) B)
2
A ⋅ A = A = A 2 = 14
A) VVV D) VFV
C)
B) VVF E) FFV
D)
C) VFF
E)
38. Dado los vectores no colineales A y B , señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. II. III.
B) FVV E) FFF
ɵ
ɵ
ɵ
41. Dados los vectores
C)
ɵ
A)
C) FFV
39. En la figura mostrada, la resultante de los vectores
ɵ
A=
2iɵ + 3jɵ ,
determine el vector unitario del vector
A ⋅ (B × A ) ≠ 0 A×B=B×A A × (B × A ) es paralelo al vector A
A) VVV D) VFF
( 2iɵ + ɵj − 3k ) / 14 ( −3iɵ − ɵj − k ) / 11 ( −ɵi − ɵj − k ) / 3 ( −3iɵ − 3jɵ − 3k ) / 27 ( −2iɵ − 3jɵ − k ) / 14
A ,
B
y C es nula, si los módulos de los vectores son iguales, determine la medida del ángulo θ.
E)
ɵ 2iɵ+ 3jɵ+ 4k
29 ɵ+ 3k ɵ −2iɵ+ 4j 29 ɵ 3iɵ− 4jɵ+ 2k
B)
D)
B = −2jɵ + k , ɵ
A ×B
ɵ 3iɵ− 2jɵ− 4k
29 ɵ 4iɵ− 3jɵ+ 2k 29
29
y
B
A
25°
35°
x
θ
C A) 5° D) 20°
B) 10° E) 25°
A
40. Dados los vectores
unitario de la operación
z
a
C) 15°
B . Determine el vector ( A + B ) − 2 ( A − B ) . y
B
A a y a x
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