F Í S I C A
unidad
2
Análisis Vectorial CONCEPTO DE VECTORES Es un ente matemático como el punto, la recta y el plano. Se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional.
A = 82 + 62 = 10 G
El módulo del vector es 10 unidades.
B) DIRE IRECCIÓN IÓN NOTACIÓN: Es la línea de acción de un vector; su A, se lee “vector A”. Se representa por orientación respecto del sistema de coorcualquier letra del alfabeto, con una pe- denadas cartesianas en el plano, se defiqueña flecha en la parte superior de la le- ne mediante el ángulo que forma el vector con el eje x positivo en posición normal. tra. También se le representa mediante un par y ordenado: Tan θ = x A = (x; y) G
G
x; y: componentes rectangulares del vector EJEMPLO:
y (8; 6)
6 A 0
θ
6=3 8 4
⇒ θ = 37°
C) SENTIDO Gráficamente se representa por una cabeza de flecha. Indica hacia que lado de la dirección (línea de acción) actúa el vector.
8
x El vector se representa mediante un par ordenado: G
A = (8; 6)
Donde:
Tan θ =
x=8 e y=6
ELEMENTOS DE UN VECTOR A) MÓDULO MÓDU LO Geométricamente es el tamaño del vector. Indica el valor de la magnitud vectorial.
OPERACIONES CON VECTORES 1 . ADIC ADICIÓ IÓN N DE DE VECT VECTOR ORES ES Cuando dos o más vectores están representados mediante pares ordenados, para hallar el vector resultante se suma las componentes rectangulares rectangulares en los ejes x e y en forma independiente. EJEMPLO: G
G
Sabiendo que: A = (5; 6) y B = (4; 6); hallar el módulo de: A +B. G
G
G
A ó | A A|: módulo del vector “A”. G
| A |=
x2 + y2
RES OL UCIÓN UCIÓN
Ordenando los vectores: 1 1
F Í S I C A G
A = (5; 6) + B = (4; 6)
2A
G
G
–2A A
G
A + B = (5+4; 6+6) R = (9; 12)
–A
G
G
El módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: |R| = 92 + (12)2 = 225 G
G
– Si, K es positivo, los vectores A y KA son paralelos de igual sentido. G
G
– Si, K es negativo, los vectores A y K A son paralelos de sentidos opuestos. G
El vector A también se puede expresar como un par ordenado:
G
Luego:|R| = 15
G
2. SUSTRACCIÓN DE VECTORES Cuando dos vectores están representados mediante pares ordenados, para hallar el vector diferencia se restan las componentes rectangulares de los vectores minuendo y sustraendo. EJEMPLO: G
G
Sabiendo que: A = (13; 11) y B = (7; 3); hallar el módulo de: A – B. G
G
RES OL UCIÓN
Ordenando los vectores minuendo y sustraendo:
A = (x; y) G
Entonces: K A = K(x; y) G
K A = (Kx, Ky) De la última expresión podemos deducir que: si el vector se multiplica por un escalar, entonces sus coordenadas también se multiplican por esta cantidad escalar. PRIMER EJEMPL O: G
Si, A = (–6; 9) Hallar las coordenadas del vector: 2 A 3 G
G
A = (13; 11) − B = (7; 3)
RES OL UCIÓN
G
G
Producto de un escalar por un vector:
G
A – B = (13–7; 11–3) D = (6; 8)
2 A = 2 ( −6; 9) = 2 ( −6); 2 (9) 3 3 3 3 G
G
El módulo del vector diferencia se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: |D| = 62 + 82 = 100
Luego: 2 A = (–4; 6) 3 G
G
SEGUNDO EJEMPL O
G
Luego:|D| = 10
G
Si: A = (4; 6) y B = (2; 1)
3. MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Sea A la cantidad vectorial y K la cantidad escalar, entonces K A es un vector paralelo al vector A donde el sentido depende del signo de k. Debo advertir que K es un número real. G
G
G
1 2
G
Hallar:
1 A + 3B 2 G
G
RES OL UCIÓN
Producto de un escalar por un vector: 1 1 A = (4; 6) = (2; 3) 2 2 3B = 3(2; 1) = (6; 3) G
G
F Í S I C A
O: origen común de los vectores.
1 A + 3B = (2+6; 3+3) = (8; 6) 2 G
G
Aplicamos el método del paralelogramo:
1 A + 3B = 82 + 62 = 10 2 G
G
R = 52 + 32 + 2(5 )(3 )Cos 60°
R = 25 + 9 + 2(5)(3)(0,5) 4. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO PARA SUMAR DOS VECTORES. R = 49 R=7 ⇒ Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye un paraleloCASOS PARTICULARES gramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. El módulo del vector suma o resultante se obtiene tra- A . RESULTANTE MÁXIMA La resultante de dos vectores es máxizando la diagonal del paralelogramo desma, cuando forman entre sí un ángulo de de el origen de los vectores. cero grados. A
B
R=A+B
A
θ
Rmax = A + B
B El módulo del vector resultante es: R = A 2 + B2 + 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ Cosθ
B. RESULTANTE MÍNIMA La resultante de dos vectores es mínima, cuando forman entre sí un ángulo de 180°.
B
A y B : Módulo de los vectores. R : Módulo de la resultante. θ : Ángulo que forman los vectores. EJEMPLO: G
G
Determinar el módulo de A + B, sabiendo que: A=5 B=3 85° 25° O1
O2
A
Rmin = |A – B| C. RESULTANTE DE DOS VECTORES PERPENDICULARES Cuando dos vectores forman entre sí un ángulo recto, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.
b
R
RES OL UCIÓN
Para determinar el ángulo entre los vectores, unimos el origen de los mismos
a
A=5
R = a 2 + b2 B=3
60° 25° O
EJEMPLO:
Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 y la mínima es 4. 1 3
F Í S I C A
Calcular el módulo de la resultante de estos vectores cuando formen un ángulo de 90°. RES OL UCIÓN
Sabemos que:
A + B = 28 A – B = 4
Cuando los vectores forman un ángulo recto: R
R = (16 )2 + (12)2 B=12 R = 20
A=16
5. DIFERENCIA DE DOS VECTORES La diferencia de dos vectores que tienen el mismo origen se consigue uniendo los extremos de los vectores. El vector diferencia D indica el vector minuendo A.
A
3 D = 25 + 36 − 2(5)(6) 5 D = 25
Resolviendo las ecuaciones tenemos: A = 16 y B = 12
⇒
D = 52 + 62 − 2(5)(6)Cos 53°
D
⇒
D=5
6. MÉTODO DEL POLÍGONO PARA SUMAR “N” VECTORES Consiste en construir un polígono con los vectores sumandos, manteniendo constante sus tres elementos (módulo, dirección y sentido), uniendo el extremo del primer vector con el origen del segundo vector, el extremo del segundo vector y el origen del tercer vector, así sucesivamente hasta el último vector. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector. EJEMPLO:
En el sistema vectorial mostrado, determinar el módulo del vector resultante. b
θ
c
B El módulo del vector diferencia se determina aplicando la ley de Cosenos: D=
A 2 + B2 − 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ Cos θ
a 1 RES OL UCIÓN
Construimos el polígono vectorial. c
b
EJEMPLO: G
Sabiendo que: |a| = 5 y |b| = 6, calcular: |a –b|. G
G
G
a b 30°
83° O1
O2
RES OL UCIÓN
Los vectores forman un ángulo de 53°. Aplicamos la ley de Cosenos: 1 4
a
R
3
4 El módulo del vector resultante es: R = 42 + 32
⇒
R=5
CASO ESPECIAL Si el polígono de vectores es ordenado (horario o antihorario) y cerrado, entonces la resultante es cero.
F Í S I C A
RES OL UCIÓN
A
Descomponiendo el vector de módulo 10. y
B C G
G
5
G
A + B + C = 0 7 . DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Consiste en escribir un vector en función de dos componentes que forman entre sí un ángulo recto.
y
0
Ay
θ Ax
Cálculo de la resultante en cada eje: Rx = 8 – 5 = 3 Ry = 6 – 3 = 3
También se puede descomponer utilizando triángulos rectángulos notables: 2k
37° 4k
3
45° 3
x
45° k
45°
A
Ay
60° k
30° k 3 k 2
R
OBSERVACIÓN Utilizando el método del paralelogramo, la descomposición tiene la siguiente forma: y
La componente en el eje y es: Ax = A · Sen θ
53° 3k
y
⇒ θ = 45°
x
x
3
Ry 3 = =1 Tg θ = Rx 3
La componente en el eje x es: Ax = A · Cos θ
5k
37° 8
R = R2x + R2y = 3 2 A
6
0
θ
Ax
x
Las componentes rectangulares son: Ax = A · Cos θ Ay = A · Sen θ SEGUNDO EJEMPL O
k PRIMER EJEMPL O
En el siguiente sistema de vectores, determinar el módulo del vector A para que la resultante sea vertical. y A 50 G
En el sistema vectorial mostrado, hallar la dirección del vector resultante, respecto del eje x positivo. y 10 5
37°
x
37°
60°
x
0 RES OL UCIÓN
3
Descomposición rectangular de los dos vectores: 1 5
F Í S I C A
y A·Sen 60°
30 40 0
A·Cos 60° x
De la condición del problema: si la resultante es vertical, entonces la componente horizontal es nula. Σ Vectores (eje x) = 0 A · Cos 60° – 40 = 0
1 A 2 – 40 = 0
Luego:
A = 80
Representación de un vector en función de los vectores unitarios cartesianos. y (8;6) 6 A 0
x
8
PRIMER EJEMPL O:
Sabiendo que: A = 8iˆ + 6 jˆ. Hallar el móduG
lo del vector:
3 A 5 G
RES OL UCIÓN G
OBSERVACIÓN I. Si la resultante de un sistema de vectores es VERTICAL, entonces la componente HORIZONTAL es nula.
Σ Vectores (eje x) = 0
Cálculo del módulo del vector A : | A| = 82 + 62 = 10 G
3 El módulo del vector: A 5 G
3 A = 3 | A |= 3 (10) 5 5 5 G
II. Si la resultante de un sistema de vectores es HORIZONTAL, entonces la componente VERTICAL es nula.
Σ Vectores (eje y) = 0
G
3 A = 6 5 G
SEGUNDO EJ EMPLO:
8. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS Sabiendo que: Son aquellos vectores cuyo módulo es B = 2iˆ + 4 jˆ y A = 6iˆ + 2 jˆ la unidad de medida y se encuentran en Hallar el módulo del vector: A + B los ejes coordenados cartesianos. y RES OL UCIÓN (1;1) Ordenamos verticalmente: j A = 6iˆ + 2 jˆ –i i x B = 2iˆ + 4 jˆ –j A + B = 8iˆ + 6 jˆ (–1;–1) Cálculo del módulo: ˆi : vector unitario en el eje x. |A + B| = 82 + 62 = 10 ˆ j : vector unitario en el eje y. G
G
G
G
G
G
G
G
G
1 6
G
Prof.: Luis Carmona Castrejón