VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL DEFINICIÓN DE ESPACIO NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL El conjunto de todos los temas ordenados de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3 . Cada tema ordenada ( x, y , z ) se denomina punto del espacio numérico tridimensional. Con el fin de representar R3 en un espacio geométrico tridimensional, se consideran las distancias dirigidas de un punto a tres planos mutuamente perpendiculares. Los tres planos se forman al tomar tres rectas perpendiculares entre sí, las cuales se intersectan en un punto llamado origen y denotado por O . Estas rectas, denominadas ejes de coordenadas, se designan como el eje x , eje y y eje z . Por lo común los ejes x y y se consideran en un plano horizontal, y el eje z vertical. El sentido positivo, elegido en cada eje como se muestra en la figura 1, proporciona un sistema coordenado derecho. Este nombre se deriva del hecho de que si se coloca la mano derecha de modo que el dedo índice apunte en la dirección positiva del eje x , y el dedo medio apunte hacia el sentido positivo del eje y , entonces el pulgar apuntará en la dirección positiva del eje z . Observe la figura 2. Los tres ejes determinan tres planos coordenados: el plano xy que contiene a los ejes x y y , el plano xz que contiene a los ejes x y z , y el plano yz que contiene a los ejes y y z , como se muestra en la figura 3.
Una tema ordenada (
)
asocia
cada punto P del espacio geométrico
dirigida al plano xz es la coordenada y , y la coordenada z es la distancia dirigida de P al plano xy . Estas tres coordenadas se denominan coordenadas cartesianas rectangulares de P , y existe una correspondencia uno a uno, denominada sistema coordenado cartesiano rectangular, entre las temas ordenadas de números reales y los puntos del espacio geométrico tridimensional. En consecuencia, se identifica R3 con el espacio geométrico tridimensional. En la figura 4 se muestran los puntos ( 2,3,4 ) y ( 4, −2, −5) . Los tres planos coordenados dividen al espacio en ocho partes denominadas octantes. El primer octante es aquel en el que las tres coordenadas son positivas. Una recta es paralela a un plano si y sólo si la distancia desde cualquier punto de la recta al plano es constante.
Ejemplo Una recta paralela al plano yz , otra paralela al plano xz , y otra más paralela al plano xy , se muestran en las figuras 5,6 y 7, respectivamente.
Nota: 1) Una recta es paralela al plano yz si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x . 2) Una recta es paralela al plano xz si y solo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada y
3) Una recta es paralela al plano xy si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada z . 4) En el espacio tridimensional, si una recta es paralela a cada uno de dos planos que se intersectan, entonces la recta es paralela a la recta de intersección de los dos planos. 5) Si una recta dada es paralela a una segunda recta, entonces la recta dada es paralela a cualquier plano que contenga a la segunda recta. 6) Una recta es paralela al eje x si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada y y la misma coordenada z . 7) Una recta es paralela al eje y si y sólo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x y la misma coordenada z . 8) Una recta es paralela al eje z si y solo si todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada x y la misma coordenada y . Ejemplo Una recta paralela al eje x , otra paralela al eje y , y otra más paralela al eje z , se presentan en las figuras 8, 9 y 10, respectivamente.
DISTANCIA DE UN PUNTO A OTRO DE UNA RECTA PARALELA A UNO DE LOS EJES COORDENADOS 1) Si A ( x1 , y , z ) y B ( x2 , y , z ) son dos puntos de una recta paralela al eje x , entonces la distancia dirigida de A a B , denotada por AB , está dada por AB = x2 − x1 . 2) Si C ( x, y1 , z ) y D ( x, y2 , z ) son dos puntos de una recta paralela al eje y , entonces la distancia dirigida de C a D , denotada por CD , está dada por CD = y 2 − y1 . 3) Si E ( x y z ) y F ( x y z ) son dos puntos de una recta paralela al eje z entonces la
Ejemplo: La distancia dirigida PQ del punto P ( 2, −5, −4) al punto Q ( 2, −3, −4 ) está dada por el PQ = ( −3) − ( −5) = 2
DISTANCIA NO DIRIGIDA ENTRE DOS PUNTOS CUALESQUIERA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL. La distancia no dirigida entre los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y2 , z 2 ) está dada por P1 P2 =
2
2
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2
Ejemplo ,5, −4 ) . Calcule la distancia no dirigida entre los puntos P ( −3,4, −1) y Q ( 2,5, 2
2
2
Solución: PQ = ( 2 + 3) + ( 5 − 4 ) + ( −4 + 1) = 35 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA Las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y2 , z 2 ) están dadas por x =
x1 + x2
y=
2
y1 + y2
z=
2
z1 + z2
2
DEFINICIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN EN R 3 La gráfica de una ecuación en R3 es el conjunto de puntos ( x, y , z ) cuyas coordenadas son números que satisfacen la ecuación. Una superficie es la gráfica de una ecuación en R 3 .
DEFINICIÓN DE ESFERA Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de la esfera y la medida de la distancia constante se llama radio. La ecuación de la esfera de radio r y centro en ( h, k , l ) es 2
2
2
( x − h ) + ( y − k ) + ( z − l ) = r 2 Nota: La gráfica de cualquier ecuación de segundo grado en x , y y z , de la forma 2
2
2
G
H
I
J
0
esfera,
el conjunto vacío.
Ejemplo Determine la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 4y + 2z = 2 Solución: Si se reagrupan los términos y se completan los cuadrados se tiene x 2 + 6 x + 9 + y 2 − 4 y + 4 + z 2 + 2 z + 1 = 2 + 9 + 4 + 1 2 2 2 ( x − 3) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 16
La gráfica es una esfera que tiene su centro en ( 3,2, −1) y radio 4.
Ejemplo Obtenga una ecuación de la esfera que tiene los puntos A ( −5,6, ,6, −2 ) y B ( 9, −4,0 ) como los extremos de uno de sus diámetros. Solución El centro de la esfera es el punto medio del segmento de recta AB . Sea este punto −4 + 6 9−5 0− 2 =2 =1 = −1 y= z= C ( x, y, z ) se tiene x = 2
2
2
De modo que C es el punto ( 2,1 2,1, −1) . El radio de la esfera es CB . En consecuencia, r =
2
2
2
( 9 − 2 ) + ( −4 − 1) + ( 0 + 1) =
75
Por tanto, una ecuación de la esfera es 2
2
2
( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 1) = 75 x + y + z − 4 x − 2 y + 2z − 69 = 0 2
2
2
DEFINICIÓN DE VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Un vector en el espacio tridimensional es un tema ordenada de números reales x, y , z . Los números x , y y z se denominan componentes del vector x, y , z . Se dice que los vectores a1 , a2 , a3 y b1 , b2 , b3 son iguales si y sólo si a1 = b1 , a2 = b2 y a3 = b3 .
El conjunto de todas las temas ordenadas x, y , z , donde x , y y z son números reales, se denota por V 3 . Un vector de V 3 puede representarse mediante un segmento dirigido. G
Si A = a1 , a2 , a3 , entonces el segmento dirigido que tiene su punto inicial en el origen y su punto terminal en el punto ( a1 , a2 , a3 ) recibe el nombre de representación de posición G
de A . Un segmento dirigido que tiene su punto inicial en ( x, y , z ) y su punto terminal en el punto ( x + a1 , y + a2 , z + a3 ) es también una representación del vector A . El vector cero es el vector
0,0,0
y se denota por 0 . Cualquier punto es una
representación del vector cero. El módulo de un vector es la longitud de alguna de sus representaciones. Si el vector A = a1 , a2 , a3 , el módulo de A se denota por A , y A =
a1 + a2 + a3 2
2
2
La dirección de un vector diferente del vector cero de V 3 está determinada por tres ángulos llamados ángulos directores del vector. DEFINICIÓN DE ÁNGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR Los ángulos directores de un vector diferente del vector cero son los tres ángulos que tienen la menor medida en radianes no negativa α , β y γ medidos a partir de los ejes x , y y z , respectivamente, hasta la representación de posición del vector.
La medida en radianes de cada ángulo director de un vector es mayor que o igual a 0 y menor que o igual a π . G
Los ángulos directores del vector A = a1 , a2 , a3 , cuyas medidas en radianes son α , β y G
γ las componentes de A son números positivos, y los ángulos directores de este vector
tiene medidas en radianes positivas menores que triángulo POR es un triángulo rectángulo y
π 2
. En la figura se observa que el
Puede demostrarse que la misma fórmula se cumple si
1 2
π ≤ α ≤ π . De igual manera
pueden deducirse fórmulas para cos β cos β y cos γ a1
cos α =
cos β =
G
A
a2
cos γ =
G
A
a3 G
A G
,cos β y cos γ se denominan cosenos directores del vector A . Los tres números cos α ,cos
Ejemplo G
Se determinaran el módulo y los cosenos directores del vector A = 3,2, −6 . 2
2
2
A =
( 3) + ( 2) + ( −6) = 7
cos α =
3
cos β =
7
2
cos γ = −
7
6 7
Si el módulo de un vector y sus cosenos directores se conocen, entonces el vector está determinado de manera única G
a1 = A cos α
G
a2 = A cos β
G
a3 = A cos γ
Nota: Los tres cosenos directores de un vector no son independientes entre sí ,cos β y cos γ son los cosenos directores de un vector, entonces Si cos α ,cos cos 2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Ejemplo. Se verificara para el vector del ejemplo anterior 2
2
2
9 4 36 ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 6⎞ + + =1 cos α + cos β + cos γ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ = 49 49 49 ⎝7⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ 2
2
2
El vector A = a1 , a2 , a3 es un vector unitario si A = 1
Las operaciones de adición, sustracción y multiplicación por un escalar en V 3 A = a1 , a2 , a3 y B = b1 , b2 , b3 y c es un escalar, entonces
1) A + B = a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 2) − A = −a1 , −a2 , − a3 3) A − B = A + ( − B ) = a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ca3 ) 4) cA = c a1 , a2 , a3 = ( ca1 , ca2 , ca
Ejemplo Dados A = 5, −2,6 y B = 8, −5, −4 , calcule A + B, A − B, 3 A y −5 B . Solución A + B = 5 + 8, −2 + ( −5 ) , 6 + ( −4 ) = 13, −7, 2 A − B = 5 − 8, −2 − ( −5 ) , 6 − ( − 4 ) = −3, 3,10
3 A = 3 5, −2, 6 = 15, −6,18
−5 B = −5 8, −5, −4 = −40, 25, 20 LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE DOS VECTORES DE V 3 G
J JJ JJ G
Si P es el punto ( x, y, z ) , A = a1 , a2 , a3 y PQ es una representación de A ; entonces Q G
G
es el punto ( x + a1 , y + a2 , z + a3 ) Sean B = b1 , b2 , b3
JJJ G
y QR una representación de B , JJJ G
entonces ( x + ( a1 + b1 ) , y + ( a2 + b2 ) , z + ( a3 + b3 ) ) es el punto R . Por tanto, PR es una representación del vector A + B , y se cumple la ley del paralelogramo.
LA DIFERENCIA DE DOS VECTORES DE V 3 G
G
Se puede obtener una representación del vector A − B al elegir las representaciones de G
G
A y B de modo que tengan el mismo punto inicial. Entonces, una representación del
G
G
G
vector A − B es el segmento dirigido del punto terminal de la representación de B al G
punto terminal de la representación de A .
La figura 18 muestra los puntos P ( a1 , a2 , a3 ) y Q ( b1 , b2 , b3 ) , y los segmentos dirigidos JJJ G
JJJ G
( )
J JJ JJ G
JJJ G
( ) ( ) JJJ G
JJJ G
PQ, OP y OQ . Observe que V PQ = V OQ − V OP = b1 , b2 , b3 − a1 , a2 , a3
Por tanto,
( ) J JJ JJ G
V PQ = b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3
Ejemplo J JJ JJ G
La figura 19 muestra el segmento dirigido PQ , donde P es el punto (1,3,5 ) y Q es el punto ( 2, −1, 4 ) . Por tanto, V ( PQ ) = 2 −1, 1, −1 − 3, 3, 4 − 5 = 1, − 4, 4, − 1 JJJ G
Suponga que A = a1 , a2 , a3
es diferente del vector cero y que tiene los cosenos
directores cos α ,cos ,cos β y cos γ y que c es cualquier escalar. Entonces cA = ( ca1 , cca a2 , cca a3 ) ;
cos α1 =
ca1
cos β1 =
ca2
cos γ 1 =
ca3
cA cA cA
⇒ ⇒ ⇒
c a1 c
A
c a2 c
A
c a3 c
A
⇒ ⇒ ⇒
c c c c c c
cos α cos β cos γ
Por tanto, si c es un escalar diferente de cero, entonces el vector cA es un vector cuyo módulo es c veces el módulo de A . Si c > 0, cA tiene la misma dirección que A . Si c < 0 el sentido de cA es el opuesto al de A
Los tres vectores unitarios i = 1, 0, 0
j = 0,1, 0
k = 0, 0,1 forman una base para
el espacio vectorial V 3 debido a que cualquier vector a1 , a2 , a3
puede expresarse en
términos de ellos como sigue: a1 , a2 , a3 = a1 1, 0, 0 + a2 0,1, 0 + a3 0, 0,1 En consecuencia, si A = a1 , a2 , a3 , también se puede escribir G
A = a1i + a2 j + a3k
Ecuación que permite expresar cualquier vector diferente de cero en términos de su módulo y de sus cosenos directores. A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k A = A ( cos α i + cos β j + cos γ k )
Ejemplo Exprese el vector del ejemplo anterior en términos de su módulo y de sus cosenos directores. Solución A = 3,2, −6
y
se
obtuvo
A = 7, cos α =
3 7
, cos β =
2
cos γ = −
y
7
6 7
.
6 ⎞ ⎛3 2 i + j − k ⎟ 7 ⎠ ⎝7 7 VECTOR UNITARIO Si A = a1i + a2 j + a3k es diferente del vector cero, entonces el vector unitario U que tiene A = 7 ⎜
la misma dirección
A está determinado
G
U
a1
i+
a2
j+
a3
k
Ejemplo Dados los puntos R ( 2, −1,3 ) y S ( 3,4,6 ) . Obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección que V ( RS ) . JJ J G
Solución
( ) V ( RS ) JJ J G
V RS = 3 − 2, 4 − ( −1) , 6 − 3 = i + 5 j + 3k JJ J G
= 12 + 52 + 32 = 35
el vector unitario pedido es U =
1 35
i+
5 35
j+
3 35
k
EJERCICIOS RESUELTOS En los e jercicios 1 a 5, los puntos A y B son vértices opuestos de un paralelepí pedo pedo que tiene sus caras paralelas a los planos coordenados. En cada e jercicio, (a) obtenga las coordenadas de los otros seis vértices , (b) calcule la longitud de la diagonal AB. 1. A ( 0, 0, 0, 0 ) ; B ( 7, 2, 2, 3)
(7, 2, 0) ; (0,0,3) (0,0,3) ; (0, (0, 2, 0) ; (0, (0, 2,3) 2,3) ; (7, (7, 0,3) 0,3) ; (7, (7, 0, 0) a ) (7, 2 2 2 b) AB = 7 − 0 + 2 − 0 + 3 − 0 =
49 + 4 + 9 = 62
2. A (1,1,1 ,1,1) ; B ( 3, 4, 2 )
)(1,1, ,1, 2) ; (1, (1, 4,1) 4,1) ; (1, 4, 2) ; (3,1,1 (3,1,1)) ; (3,1, (3,1, 2) ; ( 3,4,1 3, 4,1)) a )(1 b) AB = 3 − 1 + 4 − 1 + 2 − 1 = 2
2
2
4 + 9 + 1 = 14
,3,5 ) 3. A ( −1,1,2 ) ; B ( 2,3,5 a ) (2,1 (2,1, 2) ; (−1, 3, 2) ; (−1,1, ,1, 5) ; ( 2,3, 2,3, 2) ; (− 1, 3, 5) ; (2,1 (2,1,, 5) b) AB =
2 + 12 + 3 − 12 + 5 − 22 = 9 + 4 + 9 =
22
0,1) 4. A ( 2, −1, −3) ; B ( 4, 0,
a) Rectángulo ACDE Y FGBH son caras paralelas.
b) La línea BC es paralela al plano yz, entonces el punto B y C tiene igual coordenadas en y y z. Entonces c = (4, (4, −1, −3) De forma similar se determina las coordenadas de los demás vértices 0, 3) 3); E = ( 2, 0, 0, −3); F = ( 2, −1, −1); G = ( 4, −1, −1); H = ( 2, 0, 0, −1) D = ( 4, 0,
3, 5 ) 5. A (1, −1, 0 ) ; B ( 3, 3, a ) (3, (3, −1, 0) ; (3, (3, 3, 0) ;(1 ;(1, 3, 0) ; (1, 3, 5) ; (1 (1, − 1, 5) ; (3, (3, − 1, 5) b) AB = 3 − 1 + 3 + 1 + 5 − 0 = 2
2
2
4 + 16 + 25 = 3 5
6) El vértice opuesto al rincón de una sala está a 18 pie al este, 15 pie al sur y 12 pie por arriba del
primer rincón determine la longitud de la diagonal que une dos vértices opuestos 2 2 2 2 2 2 d = 18 + 15 + 12 = 3 6 + 5 + 4 = 3 77
En los e jercicios 7 a 11, determine (a) la distancia no dirigida entre los puntos A y B, y (b) el punto medio del segmento de recta que une a A con B. 4, 2 ) ; B (1, 6, 6, 3) 7) A ( 3, 4,
a)
2 2 2 AB = (3 − 1) + (4 − 6) + (2 − 3) =
b) x =
3 +1 2
= 2; y =
4+6 2
= 5; z =
4+ 4+1 =
2+3
=
2
5 2
9=3
⇒ Pm( 2, 5, 52 )
3, 2) ; B ( −2, 3, − 5) 8) A ( 4, −3,
a)
AB = (−2 − 4) + (3 + 3) + (− 5 − 2) =
b) x =
2
4−2 2
= 1; y =
2
−3 + 3 2
= 0; z =
2
2−5 2
62 + 62 + 72 = 11 3
= − ⇒ Pm (1, 0, 32 ) 2
4,1) ; B ( 12 , 2, 2, 3) 9) A ( 2, − 4, 2
1⎞ 9 13 ⎛ a) AB = ⎜ 2 − ⎟ + (−4 − 2) 2 + ((1 1 − 3) 2 = + 36 + 4 = 2⎠ 4 2 ⎝ 2+ 1 5 4+ 2 1+ 3 ⎛5
⎞
10) A ( −2, − 12 , 5 ) ; B ( 5,1, − 4) 2
9 1 23 ⎛ 1⎞ 529 = a) AB = (5 + 2) + ⎜ 1 + ⎟ + (−4 − 5) 2 = 49 + + 81 = 4 2 2 ⎝ 2⎠ 2
b) x =
−2 + 5 2
3
− 12 + 1
2
2
= ;y =
1
5− 4
4
2
= ;z =
=
⎛3 1 1⎞ ⇒ Pm = ⎜ , , ⎟ 2 ⎝2 4 2⎠
1
11) A ( −5, 2, 2,1) ; B ( 3, 7, 7, −2 ) a)
7) + (1 + 2) = AB = (−5 − 3) + ( 2 − 7) 2
b) x =
−5 + 3 2
2
= −1; y =
2+7 2
64 + 25 25 + 9 =
2
9
= ;z =
98 = 7 2
1− 2
2
1 9 1⎞ ⎛ = − ⇒ Pm = ⎜ −1, , − ⎟ 2 2 2 2⎠ ⎝
2,1, 7 ) y ( 4,2,6 ) son los vértices de un triángulo 12) Demuestre que los tres puntos (1, −1,3 ) ; ( 2,1
rectángulo, y calcule su área. AB =
2 − 12 + 1 + 12 + 7 − 32 = 21; BC =
AC =
4 − 12 + 2 + 12 + 6 − 32 =
2
2
AB + BC = 21 + 6 = 27 = AC
4 − 2 2 + 2 − 12 + 6 − 7 2 =
6
27 2
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo con hipotenusa AC. Para calcular el área se toma en cuanta base AB y altura BC Área =
bh
2
⇒
21 6 2
=
3 14 2
13) Se dibu ja una recta que pasa por el punto
( 6,4,2 )
y que es perpendicular al plano yz .
Obtenga las coordenadas de los puntos de la recta que están a una distancia de 10 unidades del punto ( 0,4,0 ) . Como la recta es perpendicular al plano YZ, esta es paralela eje x, entonces el punto difiere de la variable x y tiene la forma ( x,4,2) entonces la distancia desde ese punto hasta (0,4,0) en 10
unidades se determina: ( x − 0) 2 + (4 − 4)2 + (2 − 0)2 = 10 2 2 x + 4 100 ⇒ x = 96
14) Resuelva el e jercicio 13 si la recta se dibu ja perpendicularmente al plano xy . El punto 6,4, z es 10 unidades de 0,4,0
(6 − 0) 2 + ( 4 − 4)2 + ( z − 0) 2 = 102 ⇒ 36 + z 2 = 100 2 z = 64 ⇒ z = ±8 ⇒ (6, 4, 8) ∧ (6, 4, − 8)
15) Demuestre que los tres puntos ( −3, 2,4);(6,1 2,4);(6,1,, 2);( 2);( −12,3,6) 12,3,6) son colineales empleando la fórmula de la distancia. ,2,4) ; B (6,1,2) ,1,2) ; C (−12,3,6) ,3,6) A(−3,2,4) 4)2 = 81 + 1 + 4 = AB = (6 + 3) 2 + (1 − 2) 2 + ( 2 − 4)
86
3) 2 + (3 − 2) 2)2 + (6 − 4) 4)2 = 81 + 1 + 4 = 86 AC = ( −12 + 3) 6) 2 + (3 − 1)2 + (6 − 2) 2) 2 = BC = (−12 − 6)
324 + 4 + 16 16 =
344 = 2 86
Si A; B y C son los vértices de un triángulo, entonces JJJ G
JJJ G
JJJ G
JJJ G
JJJ G
JJJ G
AB + AC > BC pero AB + AC = 2 86 = BC
Por lo tanto A, B y C no son los vértices de un triángulo, y son colineales. ,1,5 ) 16) Determine los vértices del triángulo cuyos lados tienen los puntos medios en ( 3, 2,3 ) ;( −1,1,5
y ( 0,3,4 ) . Para encontrar los vértices de un triángulo, donde los puntos medios son: D (3, 2, 2, 3) 3) ; E ( −1, 1,1, 5) 5) ; F = (0, 3, 3, 4 ) Sean A, B y C los puntos vértices del triángulo, con D el punto medio de BC, E el punto medio de AC y F el punto medio de AB, entonces DEAF es un paralelogramo, y utilizando los vectores posiciones tenemos: JJ J G
JJJ G
JJ J G
JJJ G
2, 3 + 0, 3, 4 + − 1,1, 5 = − 4, 2, 2, 6 FA = DE ⇒ a − f = e − d ⇒ a = −d + e + f = − 3, 2, 2, 3 − 0, 3, 3, 4 + − 1,1, 5 = 2, 0, 0, 4 FB = ED ⇒ b − f = d − e ⇒ b = d − e + f = 3, 2,
JJ J G
JJ J G
2, 3 + 0, 3, 3, 4 − − 1,1, 5 = 4, 4, 4, 2 DC = FE ⇒ c − d = e − f ⇒ c = d + e − f = 3, 2, ,2,6) ; B (2,0 (2,0,4) ,4) ; C (4,4,2 (4,4,2)) A( −4,2,6) 5, 3) ; B ( −1, 7, 7, 0 ) y C ( −4,9,7 ) calcule (a) la 17) Para el triángulo que tienen vértices A ( 2, −5, longitud de cada lado, y (b) los puntos medios de cada lado.
4 ) 2 + (−5 − 9) 9) 2 + (3 − 7) 7)2 = AC = (2 + 4)
36 + 196 + 16 =
2 2 2 BC = ( −1 + 4) + (7 − 9) + (0 − 7) =
9 + 4 + 49 49 =
248 = 2 62
62
⎛ 2 − 1 −5 + 7 3 + 0 ⎞ ⎛1 3⎞ ⇒ , , ( ) P m A B ⎟ ⎜ ,1, ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝2 2⎠ ⎛ 2 − 4 −5 + 9 3 + 7 ⎞ , , Pm( AC ) ⎜ ⎟ ⇒ Pm ( AC )( −1, 2, 5) 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎛ −1 − 4 7 + 9 0 + 7 ⎞ ⎛ 5 7⎞ ⇒ , , ( ) Pm( BC ) ⎜ P m B C ⎟ ⎜ − , 8, ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 2⎠ Pm( AB ) ⎜
2 2 2 18) Demuestre que cualquier ecuación de la forma x + y + z + Gx + Hy + Iz + J = 0 puede 2
2
2
expresarse en la forma ( x − h ) + ( y − k ) + ( z − l ) = k . 1 2⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 2 1 2⎞ 1 2 ⎛ 2 2 2 ⎜ x + Gx + G ⎟ + ⎜ y + Hy + H ⎟ + ⎜ z + lz + l ⎟ = G + H + I − 4 j 4 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 ⎝ ⎠ ⎝ 2
2
2
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 2 ⎛ 2 2 ⎜ x + G ⎟ + ⎜ y + H ⎟ + ⎜ z + L ⎟ = G + H + I − 4J 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 ⎝ 2 2 2 x − h + y − k + z − 1 = K
Cuando 1 1 1 h=− G ; k =− H ; L=− 2 2 2 1 2 2 2 K = G + H + L − 4J 4
19) En los e jercicios 19 a 24, determ ine la gráfica de la ecuación. 19) x 2 + y 2 + z 2 − 8 y + 6 z − 25 = 0 x + y − 8 y + 16 + z + 6 z + 9 = 25 + 16 + 9 ⇒ x + ( y − 4) + ( z + 3) = 50 2
2
2
2
2
2
20) x 2 + y 2 + z 2 − 8x + 4 y + 2 z − 4 = 0 x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 4 y + 4 + z 2 + 2 z + 1 = 4 + 16 + 4 + 1 ⇒ ( x − 4) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1)2 = 25
21) x 2 + y 2 + z 2 − x − y − 3z + 2 = 0 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 2 9⎞ 1 1 9 ⎛ 2 − + + − + + − + = − + + + 3 2 x x y y z z ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 4 4 4 ⎝ 2
2
2
1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ 3 ⎛ − + − + − = x y z ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 ⎝
22) x 2 + y 2 + z 2 − 6 z + 9 = 0 x + y + ( z − 3) = 0 2
2
2
La gráfica es un punto (0,0,3) 23) x 2 + y 2 + z 2 − 8x + 10 y − 4 z + 13 = 0 1 6 + y + 10 y + 25 + z − 4 z + 4 = − 13 + 16 + 4 ⇒ ( x − 4) + ( y + 5) + ( z − 2) = 32 x − 8 x + 16 2
2
2
2
2
2
24) x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 y − 4 z + 19 = 0 1) 2 + (z − 2) 2)2 = − 5 x 2 − 6 x + 9 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 − 4 z + 4 = − 19 + 9 + 1 + 4 ⇒ ( x − 3) 2 + ( y + 1)
En los e jercicios 25 a 27, obtenga una ecuación de la esfera que satisface las condiciones iniciales. 25) Uno de los diámetros es el segmento de la recta que tiene extremos en ( 6,2, ,2, −5) y ( −4,0,7 ) . El diámetro tiene extremo A( h1 , k1 , l1 ) y B (h2 , k2 , l2 ) a )si P ( x, y , z ), está está sob sobre re la rect recta a ⇒ APB APB es un triá triáng ngul ulo o rec rectá táng ngul ulo o AP + BP = AB , esto es 2
2
2
( x − h1 ) 2 + ( y − k1 )2 + ( z − l1 ) 2 + ( x − h2 )2 + ( y − k 2 )2 + (z − l 2 )2 = (h2 − h1 )2 + (k 2 − k1 )2 + (l 2 − l12 2 ⎡⎣ x 2 − (h1 + h2 ) x + h1h2 ⎤⎦ + ⎡⎣ y 2 − (k1 + k 2 ) y + k1k 2 ⎤⎦ + ⎡⎣z 2 − (l1 + l 2 ) z + l1l 2 ⎤⎦ = 0 b) Diámetro : (6, 2, −5) y ( − 4, 0, 7) ⇒ ( z − 6) ( z + 4) + ( y − 2)( y − 0) + (z + 5) (z − 7) = 0 2 2 2 26) Es concéntrica con la esfera que tiene la ecuación x + y + z − 2 y + 8z − 9 = 0 y tiene radio
3. x 2 + ( y 2 − 2 y + 1) + ( z 2 + 8z + 16) = 9 + 1 + 16 ⇒ x 2 + ( y − 1)2 + ( z + 4)2 = 26 El centro de la esfera está dado por el punto (0, 1, ‐4) y la ecuación de esfera es
z + ( y − 1) + ( z + 4) = 9 2
2
27) Contiene los puntos ( 0,0,4 ); (2,1,3 ) y ( 0,2,6 ) y su centro se encuentra en el plano yz . Dado que Gx + Hy + Lz + J
= −x2 + y2 + z
El centro es en el plano yz entonces G = 0 Se sustituye las coordenadas en los puntos dados Hy + Lz + J = − x + y + z 2
2
2
(0, 0, 4) ⇒ 4 I + J = −16 ( 2,1, 3) ⇒ H + 3I + J = −14 (0, 2, 6) ⇒ 2 H + 6I + J = −40
Resolviendo el sistema
G
G
G
G
En los e jercicios 28 a 33, A = 1, 2, 3 ; B = 4, −3, −1 ; C = −5, −3, 5 y D = −2,1,6 . 28) Calcule G
G
a. A + 5B 1, 2, 2, 3 + 5 4, − 3, 3, − 1 = 1, 2, 2, 3 + 20, − 15 15, − 5 = 21, − 13 13, − 2 G
G
b. 7C − 5 D 7 −5, −3.5 − 5 −2,1, 6 = −35, −21, 35 + 10, −5, −30 = −25, −26, 5 G
c.
G
7C − 5D 7 −5, −3, 5 − 5 −2,1, 6 = 7 25 + 9 + 25 − 5 4 + 1 + 36 36 = 7 59 − 5 41
29) Calcule G
a.
G
2 A − C 2 1, 2, 2, 3 − −5, −3, 5 = 2, 4, 4, 6 + 5, 3, − 5 = 7, 7,1 G
b.
G
2 A − C 2 12 + 22 + 32 − 52 + 32 + 52 2 14 − 59 G
G
c.
G
4 B + 6C − 2 D 4 4, −3, −1 + 6 −5, −3, 5 − 2 −2,1, 6 = 16, −12,−4 + −30− 18 18, 30 30 + 4,−2,−12 = − 10,− 32,14 G
G
d.
G
4 B + 6C − 2D 4 42 + 32 + 12 + 6 52 + 32 + 52 − 2 22 + 12 + 62 = 4 26 + 6 59 − 2 41
30) Calcule G
a.
G
G
C + 3D − 8 A 2, 3 = − 5, − 3, 5 + − 6, 3,18 + − 8, − 16, − 24 = − 19,− 16,− 1 −5, −3, 5 + 3 −2,1, 6 − 8 1, 2, G
b.
G
(
G
G
A B C − D
)
( 1 + 4 + 9 )( 16 16 + 9 + 1)(− 3, 3, −4, 4, −1) 1) = 14 26 (− 3, 3, − 4, 4,− 1) 1) = 3, −4, −1) = − 6 91, − 8 91 9 1, − 2 91 = 2 91(−3,
22 ( 7) 13 (− 3,− 4, 4 ,− 1) 1)
31) Calcule G
G
G
G
3 A − 2 B + C −12 D
a.
3 1, 2, 2, 3 − 2 4, −3, 3, −1 + −5, − 3, 3, 5 − 12 − 2,1, 6 6, 2 + −5, −3, 5 + 24, − 12, − 72 = 14, − 3, − 56 = 3, 6, 9 + −8, 6, G
G
G
G
A C − B D
b.
A = 1 + 2 + 3 2
2
B =
2
2
2
42 + ( − 3) + ( −1) =
26
14 −5, −3, 5 − 26 −2,1, 6 = − 5 14 + 2 26 , −3 14 − 26 , 5 14 − 6 26
32) Determine los escalares a y b tales que
(
G
G
) (
G
G
)
a A+B +b C + D = 0 a ⎡⎣ 1, 2, 3 + 4, −3, −1 ⎤⎦ + b ⎡⎣ − 5, − 3, 5 + − 2,1, 6 ⎤⎦ = 0, 0, 0 a 5, −1, 2 + b −7, −2,11 = 0, 0, 0
Formando un sistema 5a − 7b = 0
−a − 2b = 0 Resolviendo el sistema se tienen a = 0 b = 0 2a + 11b = 0 G
G
G
33) Determine los escalares a, b y c tales que aA + bB + cC
G
=D
a 1, 2, 3 + b 4, −3, −1 + c −5, −3, 5 = − 2,1, 6
Formando un sistema a + 4b − 5c = −2 2a − 3b − 3c = 1
a=
Resolviendo el sistema se tienen
3a − 3b + 5c = 6
141 129
,b = −
(
16 129
JJJ J G
En los ejercicios 34 a 37, determine los cosenos directores del vector V P1P2
,c =
)
67 129
y verifique las
respuestas al mostrar que la suma de sus cuadrados es 1. 34) P1 ( 3, −1, −4 ) ; P2 ( 7, 2, 2, 4) JJJ J G
JJJ J G
JJJ J G
4, 3, 8 ⇒ V P1P2 = 16 + 9 + 64 = 89 V ( P1P2 ) = 7 − 3, 2 + 1, 4 + 4 ⇒ V ( P1P2 ) = 4, cos α =
4
, cos β =
3
, cos γ =
8
⇒ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ⇒
16
+
9
+
64
=1
35) P1 ( −2, 6, 6, 5) ; P2 ( 2, 4, 4,1) JJJ J G
JJJ J G
V ( P1P2 ) = 2 + 2, 4 − 6,1 − 5 = 4, −2, −4 ⇒ V P1P2 = 16 + 4 + 16 = 6
cos α =
2
1 2 4 1 4 + + =1 , cos β = − , cos γ = − ⇒ cos 2 α + cos 2 β + co cos 2 γ = 1 ⇒ 3 3 3 9 9 9
36) P1 ( 4, −3, −1) ; P2 ( −2, −4, −8 ) JJJ J G
JJJ J G
V ( P1P2 ) = −2 − 4, −4 + 3, − 8 + 1 = − 6, − 1, − 7 ⇒ V P1P2 =
cos α = −
6 86
, cos β = −
1 86
, cos γ = −
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ⇒
36 86
+
1 86
+
36 + 1+ 49 =
86
7 86 49 86
=1
37) P1 (1, 3, 3, 5) ; P2 ( 2, −1, 4) JJJ J G
JJJ J G
V ( P1P2 ) = 2 − 1, −1 − 3, 4 − 5 = 1, −4, −1 ⇒ V P1P2 = 1 + 16 + 1 = 18 = 3 2
cos α =
1 6
2 , cos β = −
2 3
2 , cos γ = −
1 6
2⇒
2 36
+
32 36
+
2 36
=1
(
JJJ J G
)
( ) JJJ G
38) Utilice los puntos del e jercicio 36 y obtenga el punto Q tal que V P1P2 = 3V P1Q . 4); P2 (7, 2, 2, 4) 4); dado Q (x , y , z ) ⇒ Sea P1 (3, −1, 4) JJJ J G
JJJ G
V ( P1P2 ) − 3V P1Q ⇒ 4, 3, 8 − 3 x − 3, y + 1, z + 4
3 x − 9 = 4 ⇒ x =
13 3
; 3 y + 3 = 3 ⇒ y = 0; 3z + 2 = 8 ⇒ z = −
4 3
4⎞ ⎛ 13 , 0, − ⎟ 3⎠ ⎝ 3
El punto es Q = ⎜
( ) JJJ G
(
JJJ G
39) Utilice los puntos del ejercicio 37 y obtenga el punto R tal que V P1R = − 2V P2 R Dados P1 (1, 3, 3, 5) ; P2 ( −5, 4, 4, 2 ) Utilizando la definición de vectores de posición r − P1 = −2 ( r − P2 ) = − 2r + 2 P2
3r = P1 + 2 P2 = 1, 3, 5 + 2 2, − 1, 4 = 5,1,13 5 1 13 ⎛ 5 1 13 ⎞ r =⎜ , , ⎟⇒ R= , , 3 3 3 ⎝3 3 3 ⎠
)
(
JJJ J G
)
(
JJJJ G
)
40) Dados P1 ( 3,2, −4 ) y P2 ( −5,4,2) , determine el punto P3 tal que 4V P1 P2 = − 3V P2 P3 .
(
JJJ J G
)
(
JJJJ G
Sea P3 ( x, y , z ) ⇒ 4V P1P2 = − 3V P2P3
)
4 −5 − 3, 4 − 2, 2 + 4 = −3 x + 5, y − 4, z − 2
−32, 8, 24 = −3 x + 15, −3 y + 12, −3z + 6 Formando un sistema −3 x − 15 = −32
−3 y + 12 = 8 −3 z + 6 = 24 24
x =
Se tiene
17
⎛ 17 4 ⎞ , , −6 ⎟ ⎝ 3 3 ⎠
3
,y=
4 3
, z = −6
P3 = ⎜
(
JJJ J G
)
(
JJJJ G
41) Dados P1 ( 7,0, ,0, −2 ) y P2 ( 2, −3,5 ) , determine el punto P3 tal que V P1 P3 = 5V P2 P3
(
JJJ J G
)
(
JJJJ G
)
)
V P1P3 = 5V P2 P3 ⇒ P3 − P1 = 5(P3 − P2 ) ⇒ 4P3 = 5P2 − P1 P3
(5P2 − P1 ) 4
3, −15, 15, 27
⇒ P3 =
4
⎛ 3 15 27 ⎞ ⇒ P3 ⎜ , − , ⎟ ⎝4 4 4 ⎠
En los e jercicios 42 y 43, exprese el vector en términos de su módulo y de sus cosenos directores. G
42) A = −6 i + 2 j + 3 k
G
Sea α , β , γ la dirección del ángulo del vector. V = ai + bj + ck cos α =
a G
V
; cos β =
A = 36 + 4 + 9 =
b G
V
; cos γ =
c G
V
G
G
49 = 7
6 2 3 2 3 ⎞ ⎛ 6 cos α = − ; cos β = ; cos γ = ⇒ A = 7 ⎜ − i + j + k ⎟ 7 7 7 7 7 ⎠ ⎝ 7 G
G
43) A = −2i + j − 3k
1 3 ⎛ 2 ⎞ A = 4 + 1 + 9 = 14 ⇒ A = 14 ⎜ − i+ j− k ⎟ 14 14 ⎠ ⎝ 14 G
⇒ V = V (cos α i + cos β j + cos γ k )
G
44) A = 3i + 4 j − 5 k
⎛3 2
A = 9 + 16 + 25 =
50 = 5 2 ⇒ A = 5 2 ⎜ ⎜
i+
⎝ 10
2 2 5
j−
2 2
⎞ ⎟ ⎠
k ⎟
(
JJJ J G
En los e jercicios 45 y 46, obtenga el vector unitario que tiene la misma dirección de V P1P2 a ) P1 ( 4, −1, −6 ) ; P2 ( 5, 7, −2 )
45)
(
)
JJJ J G
)
1, −2 + 6 = 1, 8, 4 V P1P2 = 5 − 4, 7 + 1,
(
JJJ J G
V P1P2
)
1 8 4 , , 9 9 9
= 1 + 64 + 16 = 81 = 9 ⇒ U =
b) P1 ( −2, 5, 3) ; P2 ( −4, 7, 5 )
(
JJJ J G
)
V P1P2 = −4 + 2, 2, 7 − 5, 5, 5 − 3 = −2, 2, 2
(
JJJ J G
V P1 P2
)
G
= 4 + 4 + 4 = 12 12 = 2 3 ⇒ U = −
1 3
,
1 3
,
1 3
46) a) P1 ( 3, 0, −1) ; P2 ( −3, 8, −1)
(
JJJ J G
)
3, 8 − 0, 0, −1 + 1 = −6, 8, 0 V P1 P2 = −3 − 3,
(
JJJ J G
V P1 P2
)
G
3 4
= 36 + 64 + 0 = 100 = 10 ⇒ U = − , , 0 5 5
b) P1 ( −8, −5, 2 ) ; P2 ( −3, −9, 4 )
(
JJJ J G
)
V P1P2 = −3 + 8, 8, −9 + 5, 4 − 2 = 5, −4, 2
(
JJJ J G
V P1 P2
)
G
= 25 + 16 + 4 = 45 = 3 5 ⇒ U =
−4 2 5 , , 3 5 3 5 3 5
En los ejercicios 47 y 48, demuestre la propiedad si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V 3 y c es cualquier escalar. G
47) A = a1 , a2 , a3 G
G
G
G
G
B = b1 , b2 , b3 G
G
G
G
a ) A + B = B + A ⇒ A + B = a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 = b1 + a1 ,b2 + a2 ,b3 + a3 = B + A
G
G
G
G
c) A + − A = 0 ⇒ A + − A = a1 + − a1 , a2 + − a2 , a3 + − a3 = 0, 0, 0 = 0 G
G
G
G
d )c ( A + B) = cA + cB G
G
c ( A + B ) = c a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 = c a1 + b1 , c a2 + b2 , c a3 + b3 G
G
= ca1 + cb1 , ca2 + cb2 , ca3 + cb3 = ca1 , ca2 , ca3 + cb1, cb2 , cb3 = cA + ccB B G
48) A = a1 , a2 , a3
(
G
G
G
) (
G
B = b1 , b2 , b3 G
G
)
G
C = c1 , c2 , c3
G
a ) A + B + C = A + B + C Ley asociativa. G
G
G
A + B + C = a1 , a2 , a3 + b1 , b2 , b3 + c1 , c2 , c3
= a1 + b1 + c1 , a2 + b2 + c2 , a3 + b3 + c3
= a1 , a2 , a3 + b1 + c1 ,b2 + c 2 ,b3 + c3
= a1 + b1 + c1 , a2 + b2 + c2 , a3 + b3 + c3
= a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 + c1 , c2 , c3 = a1 , a2 , a3 + b1 ,b2 ,b3 + c1 ,c2 ,c3
( )
G
G
G
G
= A + B +C
G
b) ( cd ) A = c dA
Ley asociativa.
G
(cd ) A = (cd ) a1, a2 , a3 = (cd ) a1 , (cd ) a2 , (cd )a3 = c da1 ,c da2 ,c da3
G
= c da1 ,da2 ,da3 = c (dA )
49) Si P, Q , R y S son cuatro puntos del espacio tridimensional y A , B , C y D son los puntos medios
de P Q, Q R, R S y S P, respectivamente , demuestre mediante geometrí a analí tica tica que paralelogramo.
A B C D C D
es un
si : P, Q, R, S son 4 puntos de R ⇒ los pu puntos medios : A , B ,C , D de 3
PQ, QR QR, RS , SP form forman an un paralelogramo s+ p ,d = 2 2 2 2 r−p = c − d = DC tanto o : AB = b − a = por lo tant 2 a=
p + q
,b =
q+r
,c =
r+s
JJJ G
JJJ G
50) Demuestre mediante geometría analítica que las cuatro diagonales de un paralelepípedo rectangular tienen la misma longitud. A ( 0, 0, 0 ) , B ( a , b, c ) , C ( a , b , 0) , H ( a , 0, 0) ,G ( 0,b ,c ) , E ( a , 0,c ) ,F ( 0,b , 0) JJJ G
2 2 2 2 2 2 AB = a − 0 + b − 0 + c − 0 = a + b + c JJJG
CH =
2 2 2 a − 0 +0 −b +0−c =
2 2 2 a +b +c
JJJG
2 2 2 a − 0 +b − 0 +0 − c =
2 2 2 a +b +c
DG = JJJ G
EF
0 − a 2 + b − 02 + 0 c 2
2 2 2 a +b +c
