UNIVERSIDAD DE CONCEPCION ´ Facultad de Cienci Ciencias as F´ısicas ısicas y Matematicas ´ Departamento Depar tamento de Ing Ingenier´ enier´ıa ıa Matematica
Algebra I
Vectores, Rectas y Planos ´ Prof. Antonio Contreras Quilodran 2011
Vectores El Espaci Espacio o R3 . car tesiana na X Y del plano • Al igual que la representaci on´ cartesia
2
R , representamos el
´ de tres rectas reales mutuamente ortogonales, que se espacio R3 a traves intersecta inte rsectan n en un punto llamado origen llamado origen.. Al origen se le asigna el punto
(0, 0, 0), y se denota por 0 = (0, 0, 0) o por θ = (0, 0, 0).
• Identificamos con a cada una de las rectas reales indicadas anteriormente. • Usualmente, estas rectas se identifican como sigue: si (x , y , z) ∈ , R
3
R
decimos que, x pertenece al eje o recta real X , y pertenece al eje o recta real Y , y que z pertenece al eje o recta real Z .
•
3
R
{
∈ } es el espacio
x,, y, z = (x , y , z ) : x
R
3
R .
Vectores En el Espacio R3 .
• Si (x , y , z) es un punto de punto
3
R , se dice que
x, y , z , son las coordenadas del
(x , y , z ).
• El conjunto × × {0} se identifica con el plano XY . • El conjunto × {0} × se identifica con el plano XZ . • El conjunto {0} × × se identifica con el plano Y Z . • Cada plano coordenado XY , XZ o Y Z divide el espacio R
R
R
R
R
R
3
R en dos
semiespacios.
• Los planos coordenados XY , XZ y Y Z , dividen el espacio en 8 regiones, cada una de las cuales se llama octante.
• El primer octante es el octante que contiene a todos los puntos que tienen sus tres coordenadas positivas.
Vectores ´ Suma y producto por escalar en R3 . Definicion:
= (x1 , y1 , z1 ), B = (x2 , y2 , z2 ) en R3 arbitrarios, definimos la
1) Para A
´ adicion
A + B := (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) 2) Para α
∈
R, definimos el producto por escalar
αA := (αx1 , αy1 , αz1 )
´ La operacion ´ de adicion ´ hereda las propiedades de la adici on ´ en R: Obsevacion. asociatividad, conmutatividad, existencia del neutro (0, 0, 0) y del inverso
−A = (−x, −y, −z) del punto A = (x , y , z). ´ el producto por escalar tiene las propiedades: Ademas, a)
α(A + B ) = αA + αB
b)
(α + β )A = αA + βA.
c)
(αβ )A = α(βA).
d)
1 A = A.
·
Vectores ´ Distancia en R3 . Definicion:
= (x1 , y1 , z1 ) y B = (x2 , y2 , z2 ) puntos arbitrarios en R3 . Definimos la distancia entre A y B como el n´umero real d(A, B ) definido por Sean A
2
{ −x )
d(A, B ) := (x2
1
+ ( y2
2
−y ) 1
+ ( z2
−z ) } / 2
1 2
1
Propiedades. Dados los puntos A y B en R3 , se tiene que 1) d(A, B )
´ si A = B , = 0 si, y solo
2) d(A, B )
= d(B, A),
3) d(A, C )
≤ d(A, B ) + d(B, C ), donde C es cualquier punto de
3
R .
´ Vector en R3 . Definicion: Dados los puntos A
−−→
= (x1 , y1 , z1 ) y B = (x2 , y2 , z2 ) en R3 , definimos como
el vector AB (en ese orden) al segmento de recta que se inicia en el punto A y que termina en el punto B .
−−→
´ es la del Diremos que el sentido del vector AB es de A a B , que su direccion segmento de extremos A y B , y que su magnitud es igual a d(A, B ).
−−→ −−→ = [x − x , y − y , z − z ]. → − ´ Dado el vector u = [x , y , z ], tambien ´ denotado u . Se dice que • Notacion. →u = u = [x , y , z]. x , y y z son las componentes del vector −
Denotamos el vector AB por AB
2
1
2
1
2
1
Vectores Todo punto (x , y , z )
∈
3
R define un vector
saber, el vector que va desde el origen
−→
u = [x , y , z ] o u = [x , y , z ]. A
(0, 0, 0) al punto (x , y , z ). Estos vectores
[x , y , z ], se llamaran vectores en el origen. Denotaremos por R3θ al conjunto de todos los vectores en el origen, esto es, 3
Rθ
{
:= [x , y , z ] : (x , y , z )
3
∈ }. R
Los vectores que tienen su punto inicial fuera del origen, se llaman vectores
libres. Por ejemplo, el que va de (1, 0, 3) a (1, 2, 0) es igual al vector en el origen
−→u = [0, 2, −3].
´ natural T entre R3 y R3 Existe una biyeccion θ,
T : R3
−→
3
Rθ ,
(x , y , z )
→ T (x , y , z) = [x , y , z].
´ entre los puntos (x , y , z ) de R3 y los En consecuencia, hay una identificaci on vectores [x , y , z ] de R3 θ.
Vectores ´ Igualdad de vectores en el origen. Definicion: Dos vectores [x , y , z ] y [a,b,c] son iguales si x
= a, y = b y z = c .
Ejemplo 1). Igualdad de vectores.
− − −−−→ −−−→ B = (4, 2, 0), los vectores libres A B y A B son iguales al vector en el −→ origen u = [1, −2, 2]. −→ −→ ´ si, b) Los vectores u = [1, −1, 2] y v = [x + 1, −1, 2y ] son iguales si, y s olo a) Dados los puntos A1
= (1, 1, 1), B1 = (2, 1, 3), A2 = (3, 4, 2) y
2
1
1
2
2
1 = x + 1 y 2 = 2y . Es decir,
−
− ⇐⇒ x = 0, y = 1. −→ −→ c) Notar que los vectores u = [1, 2y − 1, 2] y v = [3, −1, 2] son distintos, cualquiera sea y, y ∈ . [1, 1, 2] = [x + 1, 1, 2y ]
R
Vectores ´ Suma y Producto por Escalar de Vectores. Definicion:
Dados los vectores en el origen u
α
∈
= [x1 , y1 , z1 ], v = [x2 , y2 , z2 ], y el escalar
R, definimos:
El producto por escalar: ´ La adicion:
α[x1 , y1 , z1 ] := [αx1 , αy1 , αz1 ].
[x1 , y1 , z1 ] + [x2 , y2 , z2 ] := [x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ].
´ y Estas operaciones tienen las mismas propiedades de las operaciones de Adici on Producto por escalar definidas en R3 .
∈ y el vector u = [x , y , z], el vector α[x , y , z ] tiene magnitud igual a |α| por la magnitud del vector [x , y , z ], pues d(θ, αu) = |α|d(θ, u). ´ Observacion . Dado el escalar α
R
´ y sentido es: Su direccion
• el mismo del vector [x , y , z], cuando α > 0. • opuesta al vector [x , y , z], cuando α < 0.
Vectores ´ Norma de un Vector. Definicion:
[x , y , z], se define como [x , y , z] := {x + y + z } / Propiedades. Para vectores u, v en el espacio , y escalar α ∈ , se tiene: ´ si, v = [0, 0, 0], 1. v = 0 si, y solo 2. αv = |α|v, 3. u + v ≤ u + v,
La norma del vector [x , y , z ], denotada por 2
2
2
1 2
3
R
= 1.
´ Decimos que el vector u es unitario, si u Definicion.
R
Vectores
´ , denotados por i , j , k , a los tres Ejemplo 2). Llamamos vectores canonicos vectores unitarios que van del origen a los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0), y (0, 0, 1), respectivamente. Esto es:
i = [1, 0, 0],
j = [0, 1, 0] y
Notar que todo vector u
k = [0, 0, 1].
= [x , y , z ], puede ser escrito como u = xi + y j + z k.
´ Producto Interior. Definicion: Dados los vectores u
= [u1 , u2 , u3 ] y v = [v1 , v2 , v3 ], se llama producto
interior, producto punto o producto escalar de los vectores u y v al n´umero real ,
·
u v, definido por
·
u v := u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .
· − 6 + 20 = 16, i · j = 0, [x , y , z ] · i = [x , y , z ] · [1, 0, 0] = x y [x , y , z ] · [2, 3, 4] = 2x + 3y + 4z . Ejemplo 3).
−
[0, 2, 4] [7, 3, 5] = 0
Vectores Teorema. Dados los vectores u y v , se tiene que: a) b)
2
· , 0 y v = 0, donde θ es la medida del u · v = ||u||||v||cos (θ ), si u = u u= u
´ menor angulo entre u y v . Definiciones.
1) Diremos que los vectores u y v son ortogonales o perpendiculares, lo que
⊥
·
denotaremos por u v , si u v
= 0.
2) Diremos que dos vectores u y v son paralelos, si existe α
u = αv .
∈
R de modo que
´ Teorema de Pit agoras Dados los vectores u y v en R3 ,
||u + v||
2
2
2
|| || + ||v|| ⇐⇒ u y vson ortogonales.
= u
Vectores Observaciones. 1. Los vectores can´onicos i , j , k , son ortogonales dos a dos. 2. Dado un vector no nulo r
´ α, β , γ , entre [0, π], = [x1 , x2 , x3 ]. Los angulos
´ formados por el vector r y los vectores can onicos i, j, k, respectivamente, se ´ ´ denominan angulos que directores de r. Los cosenos de dichos angulos, ´ dados por estan
cos (α) =
x1 , r
cos (β ) =
x2 , r
cos (γ ) =
x3 . r
son llamados los cosenos directores de r. ´ del vector v sobre el vector u, 3. Dados dos vectores u y v, la proyeccion denotada por P u v, es igual a
P u v :=
· u
u v 2
u.
Vectores
√ Ejemplo 4). Para el vector u = [2, 3, 0] se tiene que ||u|| = 13 y los cosenos directores son:
cos(α) =
√ 213 = 0.55 =⇒ α = (56, 3)o.
cos(β ) =
√ 313 = 0.83 =⇒ α = (33, 7)o.
0 √ cos(γ ) = = 0 =⇒ γ = 90o . 13 ´ la proyeccion ´ del vector u Ademas,
P j u =
= [2, 3, 0] sobre j = [0, 1, 0] es
· j
j u 2
j = 3j = [0, 3, 0].
´ de la Recta Ecuacion ´ Dados dos puntos P 1 Definicion.
= (x1 , y1 , z1 ) y P 2 = (x2 , y2 , z2 ) en R3 ,
definimos la recta L que pasa por P 1 y P 2 , como el conjunto de todos los puntos
(x , y , z ) L:
∈
3
R , tales que
(x , y , z ) = (x1 , y1 , z1 ) + t(x2
− x , y − y , z − z ), t ∈ 1
2
1
2
1
R
La recta L es la unica ´ recta que pasa por los puntos P 1 y P 2 .
Ejemplo 5). La recta que pasa por los puntos P 1
−
= (2, 3, 4) y P 2 = (0, 3, 6)
´ tiene ecuacion
(x , y , z ) = (2, 3, 4) + t(0
− 2, −3 − 3, 6 − 4), t ∈
Es decir:
L:
− −
(x , y , z ) = (2, 3, 4) + t( 2, 6, 2), t
∈
R.
R
´ de la recta Ecuacion ´ Definicion. Decimos que la recta L es paralela al vector r, si r es paralelo a cualquier vector contenido en la recta. ´ del vector [x , y , z ] con el punto (x , y , z ), Recordando la identificaci on obtenemos: ´ 1. Un punto P = (x , y , z ) pertenece a la recta L que pasa por el Observacion punto P 0
t
∈
´ si, existe = (x0 , y0 , z0 ) y es paralela al vector r = [a,b,c] si, y solo
−−→ P P satisface −−→ →r P P = t −
R tal que el vector
0
0
Para el ejemplo anterior, un punto de L es P 0
´ Vectorial de L ) (Ecuacion
−−→
= (2, 3, 4), el vector P P 0 es
−−→ P P = [x − 2, y − 3, z − 4] y un vector director de la recta es −→r = −P −−P → = [−2, −6, 2]. Luego, la ecuacion´ vectorial de la recta es: L : [x − 2, y − 3, z − 4] = t[−2, −6, 2], t ∈ . 0
2
1
R
´ de la Recta Ecuacion ´ 2. Notar que P = (x , y , z ) pertenece a la recta L que pasa por el Observacion punto P 0
´ si, = (x0 , y0 , z0 ) y es paralela al vector r = [a,b,c] si, y solo
x ´ (Ecuaciones Parametricas ) y z
= x0
+ ta
=
y0
+
tb
=
z0
+
tc
t
´ En el ejemplo anterior las ecuaciones param etricas de la recta son:
L:
x = y = z =
2
+
3
+
4
+
−2t −6t 2t
t
∈
R
∈
R
´ de la Recta Ecuacion ´ 3). La observacion ´ anterior es equivalente con lo siguiente: Observacion
P = (x , y , z ) pertenece a la recta L que pasa por el punto P 0 = (x0 , y0 , z0 ) y ´ si, es paralela al vector r = [a,b,c] si, y solo x
−x
0
a
siempre que abc
=
y
−y b
0
=
z
−z c
0
´ Simetrica ´ (Ecuacion )
,
= 0.
Para la recta del ejemplo anterior, con (x0 , y0 , z0 )
= (2, 3, 4), r es
− − x−2 y−3 z−4 z−4 2−x 3−y = = = = . ⇐⇒ 2 2 6 2 −2 −6
´ simetrica ´ es: [a,b,c] = [ 2, 6, 2] y su ecuacion
´ = (x0 , y0 , z0 ) y es paralela al vector r tambien se dice que corresponde a la recta L que pasa por P 0 = (x0 , y0 , z0 ) y tiene la Para la recta L que pasa por P 0
´ ´ definida como el direccion del vector (director) r. Es claro que L esta´ tambien conjunto de puntos P = (x , y , z ) de R3 que son de la forma
P = P 0 + tr,
t
∈
R.
´ de la Recta Ecuacion Definiciones.
• Decimos que dos rectas L
1
y L2 son paralelas, si L1 y L2 son paralelas a un
mismo vector r.
• Decimos que dos rectas L y L , son perpendiculares, denotado por L ⊥L , si L ∩ L = ∅ y r ⊥r . 1
1
2
1
2
2
1
2
´ Observacion. A diferencia de lo que ocurre en el plano, dadas dos rectas L1 y L2 en el espacio R3 puede ser que ellas no sean paralelas y que tampoco se intersecten.
Ejemplo 6). Las rectas L1 y L2 son paralelas y L3 es perpendicular con ambas.
∈ t∈ t∈
L1 :
(x , y , z ) = (2, 3, 4) + t(2, 6, 2), t
R.
L2 :
(x , y , z ) = (2, 3, 4) + t(1, 3, 1),
R.
L3 :
−
(x , y , z ) = (1, 0, 3) + t(1, 0, 1),
R.
Vectores ´ Producto vectorial. Definicion: Dados dos vectores r1
= a1 i + b1 j + c1 k y r2 = a2 i + b2 j + c2 k en el
espacio R3 , se define el producto vectorial (o producto cruz) de r1 y r 2 , en
× r , como el vector − b c )i − (a c − a c ) j + (a b − a b )k
ese orden, denotado por r1
r1
×r
2
:= (b1 c2
2
2 1
1 2
2 1
1 2
2 1
Propiedades. Para vectores r1 , r 2 , r3 en el espacio R3 , y para escalares reales α, β , resulta:
||r × r || = r r sen (θ), para r = 0, r = 0 y θ es el menor ´ angulo entre r y r (0 ≤ θ ≤ π ). ´ los Obviamente, si uno de los vectores es nulo entonces r × r = 0. Ademas, ´ si, r × r = 0. vectores son paralelos si, y s olo 1)
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
Vectores 2) 3) 4)
(antisimetr´ıa) −r × r . (αr + β r ) × r = α(r × r ) + β (r × r ). r · (r × r ) = r · (r × r ) = 0. Es decir, r × r es un vector
r1
×r
2
=
1
1
2
2
1
1
3
2
1
2
1
3
2
2
3
1
2
ortogonal a r1 y a r2 . 5) 6) 7)
||r|| es la longitud del vector r. ´ del paralelogramo de lados r y r . ||r × r )|| es el area |r · (r × r )| es el volumen del paralelep´ıpedo formado por r , r 1
3
2
1
1
2
2
1
2
y r 3 .
Vectores ´ ´ del paralel ogramo de lados r1 Ejemplo 7). Grafique y eval´ue el area
= [2, 0, 0] y
´ del paralelep´ıpedo formado por los vectores r1 , r 2 y r2 = [0, 4, 0] y el volumen
r3 = [1, 1, 3]. ´ En primer lugar, el area pedida es:
A = ||r × r || = ||[2, 0, 0] × [0, 4, 0]|| = ||[0, 0, −8]|| = (−8) 1
2
2
=8
y el volumen es:
| · × r )| = |[1, 1, 3] · [0, 0, −8]| = | − 24| = 24. Por otro lado: [−2, 4, 0] × [1, −2, 0] = [0, 0, 0]. Luego, estos vectores son paralelos. Notar que [−2, 4, 0] = 2[1, −2, 0]. V = r3 (r1
2
Vectores Teorema. ´ de r es: La distancia entre un punto P 1 y la recta L en la direcci on
−−−→ || r × P P || D= ||r|| , 0
Ejemplo 8). La distancia desde P 1
1
∈ L.
P 0
= (1, 1, 0) a la recta L2 , del ejemplo 6) es
−−−→ || r × P P || || [1, 3, 1] × [−1, −2, −4]|| D= = 3, 16. ||r|| = ||[1, 3, 1]|| con vector director r = [1, 3, 1] y P = (2, 3, 4) ∈ L . 0
1
0
2
´ es la distancia entre dos rectas paralelas?. Por ejemplo, entre las dos ¿ Cual primeras rectas del ejemplo 6).
Planos ´ Ecuacion ´ del Plano. Definicion: Dados los puntos P 0
= (x0 , y0 , z0 ), P 1 = (x1 , y1 , z1 ) y P 2 = (x2 , y2 , z2 ) del
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→ cruz entre ellos, n = P P × P P , es normal (ortogonal) al plano Π que
espacio R3 tales que los vectores P 0 P 1 y P 0 P 2 no sean paralelos, el producto 0
1
0
2
´ del plano que los contiene es el contiene los tres puntos. Luego, la ecuacion
∈ −−→
conjunto de todos los puntos P (x , y , z )
·
3
R , tales que
−−→ P P es ortogonal con 0
n = [a,b,c]. Es decir, tal que n P 0 P = 0. ´ del plano es: De donde, la ecuaci on
Π:
a(x
− x ) + b(y − y ) + c(z − z ) = 0. 0
0
0
Planos ´ del plano Π1 que contiene los puntos Ejemplo 9). Encuentre la ecuaci on
P 1 = (a, 0, 0), P 2 = (0, b, 0) y P 3 = (0, 0, c), del plano Π2 que contiene los puntos A
= (2, 2, 0), B = (2, 2, 3) y el origen O = (0, 0, 0) del sistema.
Para Π1 se tiene que el vector normal al plano es
− −− → − − − → n = P P × P P = [bc, ac, ab]. 0
1
0
2
´ del plano es y la ecuacion
bc(x
− a) + ac(y − 0) + ab(z − 0) = 0 ⇐⇒
x y z + + = 1. a b c
En particular, si el plano contiene los puntos (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 4, ), ´ es 12x + 8y + 6z entonces su ecuacion
= 24 o
Por otro lado, el vector normal al plano Π2 es n
6x
x 2
+
y 3
−
+
z 4
= 1.
´ es: = [1, 1, 0] y su ecuacion
− 6y = 0 ⇐⇒ x − y = 0.
Planos Observaciones. 1. La ecuaci´on del plano no cambia si en vez de (x0 , y0 , z0 ) ponemos cualquier punto del plano, en este caso (x1 , y2 1, z1 ) o (x2 , y2 , z2 ). 2. Notar que el vector n
= [a,b,c] es perpendicular al plano generado por los
−−−→ −−−→
vectores no paralelos P 0 P 1 y P 0 P 2 y que el plano es u ´ nico. ´ si, 3. El punto P (x , y , z ) pertenece al plano dado si, y s olo
→ −→n · −− P P = 0. 0
´ Vectorial Ecuacion
´ vectorial del plano Π1 es En el ejemplo anterior la ecuaci on
−→n · −−→ P P = 0. ⇐⇒ [bc, ac, ab] · [x − a, y − b, z − c] = 0. 0
Planos Teorema.
−→ = [a,b,c] = 0, existe un u´ nico
Dados un punto P 0 (x0 , y0 , z0 ) y un vector n ´ plano de ecuaci on
− x ) + b(y − y ) + c(z − z ) = 0 ⇐⇒ ax + by + cz = d, −→ con d = ax + by + cz , que es perpendicular al vector n y que contiene al a(x
0
0
0
0
0
0
punto P 0 (x0 , y0 , z0 ). ´ del plano Π que pasa por (1, 2, 3) y tiene la direccion ´ Ejemplo 10). La ecuacion del vector unitario k es:
0(x
− 1) + 0(y − 2) + 1(z − 3) = 0 ⇐⇒ 0x + 0y + 3z = 3 ⇐⇒ z = 3.
Planos Teorema. La distancia entre un plano Π y un punto P 1 es:
−−−→ | n · P P | D= ||n|| , 0
− ∈
P 0
∈ Π.
= (0, 0, 12) Π, la distancia entre el plano 3y + z = 12 y el punto P 1 = (0, 2, 1) es:
Ejemplo 11). Con P 0
− −−−→ | n · P P | | [2, −3, 1] · [0, 2, 13]| D= = = 1, 87. ||n|| ||[2, −3, 1]|| ´ la distancia desde el punto (−3, 0, −6) al plano Π es D = 0, pues el Ademas, Π : 2x
−
1
0
punto pertenece al plano.
1