BAHAN AJAR DIKLAT GURU MATEMATIKA
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN 2005
1
DAFTAR ISI Halaman Daftar
I si ……………………………………………………………….....…i
Bab I Pendahuluan A Latar Belakang ……………………………………………………......…1 B. Tujuan ……………………………………………………………….....…1 C.. Ruang Lingkup..................................................................................2 Bab II Vektor A. Penger Pengertia tian n Vektor.. Vektor..... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....
3
B. Ruang Ruang Lingku Lingkup p Vektor Vektor... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ........ ........ ...
6
1. Vekto Vektorr di dalam dalam Ruang Ruang Dimens Dimensii Dua... Dua...... ...... ...... ........ .......... .......... .......... .......... ........ ...
6
2. Vekto Vektorr di di dala dalam m Ruan Ruang g Dime Dimensi nsi Tiga.. Tiga..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ......... ......... ....
7
C. Oper Operasi asi Vektor Vektor... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ......... .......... .......... .......... ....... ..
9
1. Penju Penjumla mlaha han n Vekt Vektor. or.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ........ .......... .......... .......... .......... ......... ....
9
2. Selisih Selisih Dua Vektor Vektor... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ......... .......... .......... .......... ....... ..
13
3. Perkal Perkalian ian Vekto Vektorr dengan dengan Skalar. Skalar.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ......... .......... ........ ...
14
Product )... 4. Perkalian Titik ( Dot Product ). .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ..... ..
15
Product )... 5. Perkalian Silang ( Cross Product ). .... .... .... .... .... .... .... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...
17
D. Contoh Contoh Aplikasi Aplikasi Vektor.. Vektor..... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ........ ........ ...
19
E. Latihan... Latihan......... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............. .................. ...........
20
Bab III III Penutu Penutup.. p..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...
22
Daftar Pustaka……………………..……….. …………………………
23
2
Bab I Pendahuluan
A.
Latar Belakang Mate Matema matik tika a bagi bagi sisw siswa a SMK SMK pada pada umum umumny nya a meru merupa paka kan n mata mata pela pelaja jara ran n yang yang tidak tidak dise disena nang ngi. i. Guru Guru seba sebaga gaii pend pendid idik ik dalam dalam hati hati berta bertany nya, a, meng mengap apa a
mere mereka ka tidak tidak meny menyen enan angi giny nya a
?. Berd Berdas asark arkan an
pertan pertanyaa yaan n terseb tersebut ut perlu perlu adanya adanya pemeca pemecahan han,, salah salah satun satunya ya adalah adalah dala dalam m
meny menyam ampa paik ikan an
mate materi ri
matem atemat atik ika a
perl perlu u
memp memper erha hati tika kan n
pendekatan diantaranya metode mengajar yang lebih menarik disamping guru guru juga juga harus harus memp mempuny unyai ai kompet kompetens ensii dalam dalam menje menjelas laskan kan konsep konsep-konsep dasar materi / pokok bahasan matematika yang akan diajarkan kepada siswa, karena guru merupakan faktor yang sangat menentukan bagi keberhasilan anak didik. Kons Konsep ep - kons konsep ep dasa dasarr mate materi ri / poko pokok k baha bahasa san n mate matema mati tika ka,, khususnya Vektor ini merupakan materi yang harus dikuasai oleh siswa SMK SMK kelo kelomp mpok ok tehn tehnik ik.. Oleh Oleh kare karena na itu itu guru guru mate matema mati tika ka SMK SMK perl perlu u memahami memahami pembelajaran vektor di sekolahnya. B.
Tujuan Sete Setela lah h meng mengik ikut utii pend pendidi idika kan n dan dan pelat pelatih ihan an ( dikl diklat at ) pese pesert rta a diharapkan mampu menjelaskan dan memberi contoh : 1.
pengertian vektor berdasarkan ruang lingkupnya.
2.
operasi vektor didalam ruang dimensi dua dan tiga.
3
3.
menyelesaikan soal vector yang berkaitan dalam bi b idang keahlian.
C.
Ruang Lingkup Bahan ajar vektor dimaksudkan untuk meningkatkan kompetensi kompetensi guru matematika SMK dalam menjelaskan konsep-konsep dasar materi / pokok bahasan matematika yang akan diajarkan kepada siswa. Hal-hal yang akan akan dibaha dibahas s melip meliputi uti : : Penge Pengertia rtian n Vektor Vektor,, Ruang Ruang Lingku Lingkup p Vektor Vektor,, Operasi Vektor dan Aplikasi Vektor pada Bidang Keahlian.
4
Bab II VEKTOR
A.
Pengertian Vektor Di dalam dalam kehidu kehidupan pan sehari sehari-ha -hari, ri, kita kita sering sering mende mendenga ngarr kata-k kata-kata ata seperti seperti suhu, suhu, gaya, gaya, panjang, panjang, percepata percepatan, n, pergeseran pergeseran dan sebagainy sebagainya. a. Apabila diperhatikan besaran yang menyatakan besarnya kuantitas dari kata-kata tersebut ada perbedaanya yaitu ada yang hanya menunjukkan nilai saja, tetapi ada yang menunjukkan nilai dan arahnya. Besaran itu sering disebut skalar dan dan vektor. Setiap besaran skalar seperti panjang, suhu suhu dan dan seba sebaga gain inya ya selal selalu u dika dikait itka kan n deng dengan an suat suatu u bila bilang ngan an yang yang merupakan nilai dari besaran itu. Sedangkan untuk besaran vektor seperti gaya, percepata percepatan, n, pergesera pergeseran n dan sebagainy sebagainya, a, disampin disamping g mempuny mempunyai ai nilai nilai juga juga memp mempun unya yaii arah arah.. Jadi Jadi vekt vektor or adal adalah ah suat suatu u besa besara ran n yang yang mempunyai nillai (besar / norm ) dan arah. Tunjukkan contoh-contoh lain yang merupakan vektor? Untuk menyatakan sebuah vektor biasanya digunakan notasi huruf kecil tebal atau bergaris atas atau bawah, misalnya : u atau
u
atau
u
.
Secara geometri sebuah vektor diwakili oleh sebuah ruas garis berarah dengan panjang ruas garis itu menunjukkan besar, sedangkan arahnya menunjukkan arah vektor itu. Jika ruas garis AB seperti pada gambar 1(a) 5
adalah sebuah vektor v vektor v dengan titik A disebut titik pangkal ( initial point ) point ) point ) maka kita dapat menuliskan dan titik B disebut titik ujung ( terminal point ) v = AB Vektor-vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama dinamakan ekivalen, maka vektor yang ekivalen dianggap sama walaupun vektor-vektor tersebut mungkin diletakkan didalam kedudukan yang berbeda seperti pada gambar 1 (b) berikut : B
A ( a ) Vektor AB
( b ) Vektor-vektor yang ekivalen Gambar 1
Ukuran (panjang) atau norm suatu vektor v vektor v ditulis dengan notasi
v
.
Vektor yang panjangnya sama dengan satu satuan panjang disebut vektor satuan. Sehingga vektor satuan dari suatu vektor a dirumuskan dengan
1 a a
Didala Didalam m bidang bidang kartes kartesius ius suatu suatu vektor vektor dapat dapat dinyat dinyataka akan n dengan dengan pasana pasanagn gn bilang bilangan an beruru berurutan tan,, misaln misalnya ya diberik diberikan an sebuah sebuah titik titik A(x1,y1) maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(0,0) ke titik A yaitu
OA
. Bentuk ruas garis berarah
OA
disebut sebagai vektor posisi 6
dari titik A, sehingga didapatkan
OA
= (x1,y1) =
x y
1
1
; dengan x1 dan y1
merupakan komponen vektor . Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi. Koordinat titik yang diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya. Perhatikan gambar berikut : Vektor u Vektor u dapat dituliskan :
Y B(xB, yB)
u = AB
u
=
x B − x A y − y B A
dengan
x B O = B y B
disebut
A(xA, yA) X
O
x A O = A y A
dan
komponen vektor
Gambar 2 7
Sehingga vektor u vektor u pada gambar 2 diatas dapat dinyatakan: u = AB =
x B − x A = y − y B A
Sedangkan
6 O = B 5
1 O = A 2
6 −1 = − 5 2
disebut vektor posisi titik A dan
disebut vektor posisi titik B.
Panjang vektor u vektor u adalah
B.
5 3
u
=
5
2
+3 = 2
25
+9 =
34
Ruang Lingkup Vektor Seperti dalam geometri yang diajarkan di SMK yaitu geometri datar dan geometri ruang, ruang, maka vektor vektor yang akan dibicarakan dibicarakan meliputi :
1.
Vektor di dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 ) Untuk memudahkan menjelaskan vektor kepada siswa maka pada Y bidang dibuat sebuah sistem koordinat kartesius, sehingga setiap vektor yang sejajar bidang koordinat diwakili oleh vektor yang besar dan arahnya A(x,y) j
a
8
sama sama dan dan terl terlet etak ak pada pada bida bidang ng ters terseb ebut ut.. Vekt Vektoror-ve vekt ktor or yang yang seja sejaja jar r dengan suatu bidang datar dinamakan vektor-vektor koplanar. Dan untuk menyatakan vektor yang lain pada bidang kartesius, digunakan vektor satuan, sehingga jika A(x,y) serta i dan j masing-masing vektor pada arah positif pada sumbu x dan y. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar 3 berikut: Suat Suatu u
vekt vektor or
a
dalam dalam
koordi koordinat nat
kartesius tersebut dapat dinyatakan : a=
OA
x = (x,y) = y
y j = x i + y j
Panjang vektor a adalah besarnya tg α =
x
2
+ y 2 dan
y x
Gambar 3. Sedangkan i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j dan j merupakan vektor satu satuan an pada pada sumb sumbu u Y, maka maka vekt vektor or ini ini dapa dapatt diny dinyat atak akan an seba sebaga gaii kombinasi linier dalam vektor i vektor i dan j dan j atau bentuk komponennya yaitu :
i =
1 0 0 1 dan j =
Contoh:
9
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan Vektor a =
OA
= 5 I + 3 j 3 j
Y ( kombinasi linier dari i dan j dan j ) A(5,3)
3
atau vektor a = a
OA
5
= 3
( bentuk komponen )
X 5
O Gambar 4
2.
Vektor di dalam Ruang Dimensi Tiga ( R3 ) Untuk menentukan kedudukan atau letak titik di dalam ruang dapat digunakan sistem koordinat dengan sumbu X , Y dan Z dengan masingmasin masing g sumbu sumbu saling saling tegak tegak lurus lurus dan berpot berpotong ongan an di sebuah sebuah titik titik O, Sebuah titik P dalam ruang disajikan dalam pasangan berurutan (x,y,z) dengan dengan salib sumbu kartesius kartesius digunakan digunakan aturan aturan tangan tangan kanan kanan seperti seperti pada gambar 5 berikut :
Z Jarak P sampai bidang YOZ P1
zp
adalah x atau PP1 = xp Jarak P sampai bidang XOZ
P2
P(x,y,z) adalah y atau PP2 = yp
k O
yp
j
i xp
Jarak P sampai bidang XOY Y
adalah z atau PP3 = zp 10
P3
Gambar 5 Dengan demikian vektor posisi P adalah
OP
dinyatakan dengan
bentuk sebagai berikut : OP
= x i + y j + z k jika i, j dan k merupakan vektor satuan dalam
koordinat ruang. ( i: vektor satuan pada sumbu X; j: j: vektor satuan pada sumbu Y dan k; vektor satuan pada sumbu Z )
x atau OP = y z Besar ( panjang / norm ) vektor OP tersebut adalah
OP
=
x
2
+ y 2 + z 2 .
Sebagai contoh, misalkan sebuah titik A (3,2,4), maka vektor posisi titik A adalah
a=
C.
OA
OA
atau a dapat dinyatakan dengan :
= 3 i + 2 j 2 j + 4 k atau a =
OA
3 = 2 4
Operasi Vektor 1. Penj Penjum umla laha han n Vekt Vektor or Dua buah vektor a dan b dapat dijumlahkan yang hasilnya a + b dengan cara sebagai berikut : Perhatikan gambar 6 berikut : b
11
a
Gambar 6 Dua vektor pada gambar 6 diatas dapat dijumlahkan dengan dua cara yaitu : a). aturan aturan segitig segitiga a vektor vektor,, yaitu yaitu pangkal pangkal b digeser ke ujung a sehingga:
a+b b a Gambar 7
b). aturan jajaran jajaran genjang, genjang, yaitu pangkal pangkal b digeser ke pangkal a, kemudian dilukis jajaran genjang, sehingga:
b
a+b
a Gambar 8 Jika kedua vektor mengapit sudut tertentu maka besarnya jumlah dua vektor vektor tersebu tersebutt dapat dapat dicari dicari dengan dengan mengg mengguna unaka kan n rumus rumus aturan cosinus seperti pada trigonometri yaitu: a+b
b α
1800- α
b
a Gambar 9 Maka didapat : ( a + b )2 = a2 + b2 –2ab –2ab Cos (1800 - α ) 12
= a2 + b2 –2ab –2ab Cos Jadi a + b = Sehingga jika
a
α
2
+b
2
- 2ab Cos
α
α
= 900 maka Cos
α
= 0 maka a + b =
a
2
+b
2
Jika vektor disajikan dalam bentuk komponen maka penjumlahan dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponennya, komponennya, misalnya:
6
6 +1
1
7
a= dan b = = 6 maka a + b = 2 + 4 2 4
Sifat penjumlahan vektor: Jika a, b dan c adalah suatu vektor maka: 1)
a+b=b+a
sifat komulatif
2)
(a+b)+c=a+(b+c)
3)
Setiap Setiap vector vector mempuny mempunyai ai elemen elemen identitas, identitas, yaitu
sifat asosiatif
vektor nol sehingga a + 0 = a + 0 Seti Setiap ap vekt vektor or memp mempun unya yaii inve invers rs ( yaitu yaitu vekt vektor or
4)
negatif ) sehingga a + ( - a ) = 0 Dua vektor yang sama besar dan arahnya berlawanan dinamakan dua vektor yang berlawanan Contoh: 1)
Buktik Buktikan an bahw bahwa a sudut sudut yang yang meng menghad hadap ap busu busurr seten setengah gah lingkaran adalah sudut siku-siku. Bukti:
B
Perhatikan gambar berikut :
A
O
C
13
Gambar 10 Kita Kita tunjuk tunjukka kan n bahwa bahwa vektor vektor AB
tegak tegak lurus lurus pada pada
vektor BC dengan memisalkan O sebagai pusat dari setengah lingkaran maka: AB
. BC =
+OB ).( BO +OC )
(OA
+OB ).( −OB +OC )
=
(OC
=
OC .OC
=
OC
−OB .OB
2
2
−OB
= O ( terbukti ) karena 2)
OC
dan
OB
mempunyai panjang yang sama.
Diketahui vektor :
2 −1 −1 a = 2 ; b = −1 dan c = − 2 3 3 − 2 Tentukan x jika : a) x = a + b b) x + a = c Penyelesaian : a). x = a + b
−1 = 2 + 3
2 1 −1 = 1 − 2 1 14
b). x + a = c
⇒
x =c -a
−1 = − 2 3 3)
−1 2 = 3
0 − 4 0
Ditentukan titik-titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1). Tentukanlah Tentukanlah dalam bentuk komponen vektor yang diwakili oleh
apabila R adalah titik pada
P Q
sehingga
PR
=
PR
1 3
P Q
dan berapa koordinat R. Penyelesaian : P Q
= q – p
−1 2 − 3 = 1 − 7 = − 6 −1 8 − 9 Karena
PR
diwakili oleh
1
=
3
PR
=
sehin sehingga gga kompo kompone nen n vector vector yang yang
P Q
1 3
−3 −6 = −9
−1 − 2 −3
Misal koordinat titik R adalh (x,y,z) maka:
PR
= r – – p
⇒
−1 − 2 = −3
x y z
x −1 y = − 2 + z −3
2 7 8 2 7 = 8
1 5 5
15
Jadi koordinat R (1,5,5)
2. Seli Selisi sih h Dua Dua Vekto ektor r Selisi Selisih h dua vektor vektor a dan b, dinyataka dinyatakan n sebagai sebagai a - b dapa dapatt dipandang sebagai penjumlahan vektor a vektor a dengan invers vektor b vektor b atau - b ditulis a – b = a + ( - b ) digambarkan sebagai berikut:
a
a
-b
a b
b a -b
a -b -b
Gambar 11
Contoh: Diketahui dua titik P(-1,4,3) dan titik Q(2,1,-3) Tentukan vektor PQ Penyelesaian : P Q
=
OQ
−OP
2 −1 3 = 1 − 4 = − 3 − 3 3 − 6 3. Perk Perkal alia ian n Vekto Vektorr deng dengan an Skal Skalar ar Jika a suatu vektor dan k adalah skalar ( bilangan nyata nyata ) maka maka perkalian vektor a dengan skalar k ditulis ka ka atau
ak merupakan 16
k a
=
a
+
a
+
a
+….+
a
vektor vektor yang yang panja panjangn ngnya ya k
a
dan dan memp mempun unya yaii arah arah yang yang sama sama
dengan a, sedangkan - ka ka adalah adalah vektor vektor yang yang panja panjangn ngnya ya k
a
tetapi berlawanan arah dengan a. Dengan kata lain didefinisikan :
Sebagai contoh dapat digambarkan :
a
3a
-2a
Gambar 12 Berdasarkan pengertian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa: a). a). Jika Jika ada ada 2 vekt vektor or yang yang seja sejaja jar, r, maka aka yang ang satu satu dapa dapatt diny dinyat atak akan an seba sebaga gaii hasi hasill perb perban anya yaka kan n vekt vektor or yang yang lain lain dengan skalar. b). Untuk Untuk membu membukti ktika kan n dua vektor vektor sejaja sejajarr cukup cukup membu membukti ktikan kan salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain dalam bentuk komponen. 4.
Perkalian Titik ( Dot
Produc t
)
Hasil Hasil kali kali titik titik atau atau dot product product antara antara dua dua buah buah vektor vektor akan akan mengh menghasi asilka lkan n suatu suatu skalar skalar atau atau bilang bilangan an real. real. Perka Perkalia lian n titik titik
17
sering disebut juga perkalian skalar dua vektor. Hasil kali skalar dua vektor a vektor a dan b didefinisikan : a.b = dimana
a
b
Cos θ
adalah sudut yang diapit oleh kedua vektor a vektor a dan b.
θ
Dari definisi diatas, dapat kita tentukan sifat-sifat hasil kali skalar sebagai berikut : 1). Jika a dan b merupakan dua vektor yang arahnya sama maka
a.b =
a
b
2). Jika a dan b merupakan dua vektor yang berlawanan arah
maka a.b = -
a
b
3). Jika a dan b merupakan dua vektor vektor yang tegak lurus maka
a.b = 0 4). Jika a dan b merupakan dua vektor dan a.b
>
0 maka sudut
antara dua vektor tersebut adalah sudut lancip l ancip 5). Jika a dan b merupakan dua vektor dan a.b
<
0 maka sudut
antara dua vektor tersebut adalah sudut tumpul 6). Sifat komutatif yaitu a.b = b.a 7). Sifat distributif yaitu a.( a.( b + c ) = a.b + a.c
Apabila vektor a vektor a dan b yang dinyatakan dalam bentuk komponen, misalnya : a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k maka : a.b = ( a1 i + a2 j + a3 k ). ( b1 i + b2 j + b3 k ). Dengan menggunakan sifat distributif dan hasil kali skalar dua vektor yang saling tegak lurus dan searah maka : 18
i . i = i2 = 1 ; j . j = j2 = 1 dan k . k = k2 = 1 i . j = 0 ; j . k = 0 dan k . i = 0 Dengan demikian, kita peroleh rumus hasil kali skalar dua vektor yaitu : untuk vektor a = a 1 i + a2 j + a 3 k dan b = b1 i + b2 j + b 3 k maka :
a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ( bukti diserahkan kepada
peserta diklat ) Contoh: 1). 1).
Hitu Hitung ngla lah h per perka kali lian an skal skalar ar anta antara ra:: a
= 2i + 3 j + 5k dan
b
= i + j + k
Penyelesaian: a .b
= 2.1 + 3.1 + 5.1
= 2 + 3 + 5 = 10 2). 2).
Dike Diketa tahu huii vekto vektorr-ve vekt ktor or seba sebaga gaii berik berikut ut::
1 a = 2 4
5 b = 4 0
Tentukan hasil kali skalar dua vektor tersebut Penyelesaian: a .b
= 1.5 + 2.4 + 4.0
=5+8 19
=13
5.
Perkalian Silang ( Cross
Produc t
)
Perkalian silang sering disebut juga perkalian vektor antara dua vektor vektor.. Perkal Perkalian ian vektor vektor antara antara vektor vektor a dan b didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar θ
a
Sin
b
θ
, dengan
adalah sudut yang diapit oleh kedua vektor. Arah vektor hasil
kalinya adalah tegak lurus vektor a dan b serta vektor a , b dan ax b dalam urutan membentuk system tangan kanan, sehingga dapat digambarkan sebagai berikut : Perhatikan bahwa : =
a xb
axb
b
a
b
Sin θ
bxa = -( -(ax b)
θ
a
Jika θ = 00 maka
a xb
=0
bx a Jika
θ
=900 maka
a xb
=
a
b
Secara geometri, norm perkalian antara dua vector merupakan luas luas bang bangun un segi egi empa empatt yang yang dibe dibent ntuk uk oleh oleh kedu kedua a vekt vektor or tersebut. tersebut. Sifat ini dapat dapat diturunkan diturunkan dari persamaa persamaan n Lagrange. Lagrange. a xb 2
=
a 2 b 2
– (a (a.b)2
Apabila vektor dinyatakan dalam bentuk vektor satuan i , j dan k Misalnya : a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k Karena i x i = 1.1 Sin 00 = 0 analog sehingga : ixi = jx j = kxk = 0 20
Juga i x j = 1.1 Sin 900 = 1 dalam arah OZ yaitu i x j = k sehingga i x j = k ; j x k = i dan k x i = j Maka : axb = ( a1 i + a2 j + a3 k )x ( b1 i + b2 j + b3 k ). Denga Dengan n sifat sifat diatas diatas dan hukum hukum distri distribut butive ive dapat dapat dijaba dijabarka rkan n menjadi : axb = ( a2b3 –a3b2) i – (a1b3 –a3b1) j + (a1b2 – a2b1) k . Dan apabila ditulis dalam bentuk determinan matriks, maka kita dapatkan rumus sebagai berikut : i
j
k
axb = a1
a2
a3
b1
b2
b3
Contoh : Diketahui vektor p = 2i + 4 j + 3k 3k dan q = i + 5 j - 2k 2k Tentukan pxq Penyelesaian :
pxq =
=
i
j
k
2
4
3
1
5
−2
4
3
5
−2
i-
2
3
1
−2
j +
2
4
1
5
k
= ( -8-15) i - ( -4-3) j -4-3) j + (10-4) k = -22 i + 7 j 7 j + 6 k D.
Contoh Aplikasi Ve Vektor Perhatikan contoh soal berikut ini : Andaikan sebuah benda yang beratnya (W) adalah 304 N diangkat dengan rantai seperti pada gambar.
21
Jika panjang a = b = 2,5 m. dan a
panjang
b
benda
L
=
2
m.
Tentukan gaya yang terjadi pada rantai a atau b !
W
L Penyelesaian : 1
a
α
b=2,5 m
Sin α = 2,5 = 0,4 ⇒
α
= 260 12l
Maka : W2 = a2 + b2 + 2ab Cos 2α 1 m
W
3042 = a2 + b2 + 2ab Cos 520 24l
W
= a2 + a2 + 2aa Cos 520 24l = 2a2 + 2a2 + Cos 520 24l = a2 ( 2 + 2. 0,68 )
2
Sehingga a = E.
304
2
3,36
= 27504,762 . Jadi a adalah 165,85 N
Latihan 1).
Sebutkan em empat bu buah besaran skalar !
2).
Sebutkan em empat bu buah besaran vektor !
3).
Nyatakan vektor AB pada gambar dalam bentuk komponen (matriks) !
3
A
1
B 2
4
22
4).
Bukt Buktik ikan an bahw bahwa a jika jika a, b dan dan c adal adalah ah panj panjan ang g sisi sisi-s -sis isii sebuah segitiga dan
α
adalah sudut yang berhadapan dengan
sisi dengan panjang a, maka a 5).
2
cos α . = b + c − 2bc cos 2
2
Tentukan komponen vektor AB jika titik A(2,4,3) dan B(1,5,2), kemudian tulislah vektor AB dalam satuan i, j dan k.
6).
Tunjuk jukkan bah bahwa vek vektor yan yang mel melalui tit titik-titik (2 (2,2,3) dan dan (4,3,2) sejajar dengan vektor-vektor yang melalui titik (5,3,-2,) dan titik (9,5,-4).
7).
Diketahui titik A (2,3,4) dan titik B (9,-11,18). Tentukan koor koordi dina natt titi titik k P, jika jika titi titik k P memba embagi gi AB dida didala lam m deng dengan an perbandingan 5:2.
8).
Diketahui dua buah vector yang dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut : a = 3i + j + 2k dan
b
= i − 2 j − 4k
Tentukan: a).
Panjang vektor a atau
b).
Vektor satuan b
c).
Panjang proyeksi a pada b
d).
Vektor proyeksi b pada a
e).
Perkalian titik antara dua vektor a vektor a dan b ( a . b )
f).
a
Perkalian silang antara dua vektor a vektor a dan b ( a x b ) 23
9).
Diketahui titik A (-1,1,2) da dan B (-2,-1,1) a).
Hitunglah
b).
Hitung besar sudut AOB
c).
Tunjukkan bahwa ∆ AOB sama sisi
a
dan
b
10). Sebatang baja baja W diangkat oleh rantai seperti pada gambar. gambar. Jika diketahui W = 2000 N, L = 1,5 m a
b α
dan dan gaya gaya yang yang terj terjad adii pada pada ranta rantaii a dan b adalah
W
1500 N. Hitunglah
panjang rantai a !
L
Bab III Penutup
Bahan Bahan ajar ajar ini memb membaha ahas s konse konsep p vektor vektor secara secara umum. umum. Konsep Konsep vekt vektor or dibe diberik rikan an pada pada sisw siswa a Seko Sekola lah h Mene Meneng ngah ah Keju Kejuru ruan an ( SMK SMK ) kelom kelompok pok
tehnik tehnik dan belum belum memberi memberikan kan contohcontoh-con contoh toh dari semua
progra program m keahli keahlian an yang yang ada di kelom kelompok pok tehnik tehnik terseb tersebut ut tetapi tetapi hanya hanya 24
sebagian. Pada akhir pembahasan diberikan soal latihan dan apabila ada kesulitan dalam menjawab soal latihan dapat didiskusikan dengan peserta lain. Agar Agar pesert peserta a diklat diklat dapat dapat lebih lebih memah memaham amii konsep konsep vektor vektor dalam dalam masalah ketehnikan yang sesuai dengan program keahlian yang diajarkan di sekolah, disarankan peserta mendiskusikan dengan peserta lain untuk mengembangkan mengembangkan dan memberikan contoh-contohnya.
Daftar Pustaka
E.T. Ruseffendi, 1989, Dasar – dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru , Bandung, Tarsito Mathematics, PAUL CALTER, 1979, Theory and Problems of Technical Mathematics, Schaum’s outline, Mc-GRAW.HILL BOOK COMPANY Matematika, Jakarta, ST. NEGORO – B. HARAHAP, 1985, Ensiklopedia Matematika, Ghalia Indonesia.
25
WIYOTO WIYOTO,, WAGIRI WAGIRIN, N, 1996, 1996, Mate andung ung : Matema matik tika a Tehn Tehnik ik Jilid Jilid 2a, 2a, Band Angkasa NOORMANDIRI B.K, ENDAR SUCIPTA, 2000, Matematika SMU untuk Klas 3 Program IPA, IPA, Jakarta : Erlangga
26