VELOCIDAD RELATIVA
DEDICATORIA El
reconocimiento a nuestro
Padre celestial “Dios” por darnos
la
vida
y derramarnos su
bendición desde lo más alto de los cielos y por ser nuestro guía en el cumplimiento de nuestro sagrado deber como agentes.
DEDICATORIA El
reconocimiento a nuestro
Padre celestial “Dios” por darnos
la
vida
y derramarnos su
bendición desde lo más alto de los cielos y por ser nuestro guía en el cumplimiento de nuestro sagrado deber como agentes.
AGRADECIMIENTO
Doy gracias a mis padres y compañeros comprendernos
durante
tarea
que
satisfactoriamente nuestra nos
ésta
para
por ardua
culminamos el
bienestar
de
familia y de nuestra Nación por que
legó el
bien
mayor
que puede recibir
un hombre: LA INTELIGENCIA.
INDICE
INTRODUCCION
MARCO TEORICO 1. VELOCIDAD RELATIVA DEFINICION La velocidad relativa entre dos cuerpos es el valor de la velocidad de un cuerpo medida por el otro. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A cómo. Velocidad relativa en mecánica clásica Dadas dos observadores, A y B, cuyas velocidades medidas por un tercer observador son y , respectivamente, la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como y viene dada por: Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como y viene dada por: de modo que las velocidades relativas y tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos. El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es totalmente aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa. Las definiciones y propiedades anteriores para dos observadores en movimiento relativo se aplica también para el caso de dos partículas clásicas A y B, cuyas velocidades medidas por un observador dado sean y , respectivamente.
2. HISTORIA Aristóteles estudió
los
fenómenos
físicos
sin
llegar
a
conceptualizar una noción de velocidad. En efecto, sus explicaciones (que posteriormente se demostrarían incorrectas) solo
describían
los
fenómenos
las matemáticas como herramienta.
en
palabras,
sin
usar
Fue Galileo Galilei quien, estudiando el movimiento de los cuerpos en un plano inclinado, llegó a un concepto de velocidad. Lo que hizo fue dividir la distancia recorrida en unidades de tiempo. Esto es, fijó un patrón de una unidad de tiempo, como por ejemplo 1 segundo, y a partir de esto relacionó la distancia recorrida por un cuerpo en cada segundo. De esta manera, Galileo desarrolló el concepto de la velocidad como una variación de la distancia recorrida por unidad de tiempo. A pesar del gran avance de la introducción de esta nueva noción, sus alcances se restringían a los alcances mismos de las matemáticas. Por ejemplo, era relativamente sencillo calcular la velocidad de un móvil que se desplaza a velocidad constante, puesto que en cada segundo recorre distancias iguales. A su vez, también
lo
era
calcular
la
velocidad
de
un
móvil
en aceleración constante, como en un cuerpo en caída libre. Sin embargo, cuando la velocidad del objeto variaba, no había herramienta, en épocas de Galileo, que ayudase a determinar la velocidad instantánea de un objeto. Fue
recién
en
el siglo
XVI cuando,
con
el
desarrollo
del cálculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se pudo solucionar la cuestión de obtener la velocidad instantánea de un objeto. Ésta está determinada por la derivada de la posición del objeto respecto del tiempo. Las aplicaciones de la velocidad, con el uso de Cálculo, es una herramienta fundamental en Física e Ingeniería, extendiéndose en prácticamente todo estudio donde haya una variación de la posición respecto del tiempo.
3. VELOCIDAD Y ACELERACION Observa en la imagen la posición que ocupan los corredores. ¿Cuál de ellos es el más rápido? La respuesta es clara: aquél
que recorra la mayor distancia en el menor tiempo. Para indicarlo se utiliza una magnitud física, la velocidad. La velocidad mide la rapidez con que un móvil cambia su posición. En el Sistema Internacional de unidades se mide en metros por segundo (m/s). De esta forma, si un coche lleva una velocidad de 30 m/s en un momento determinado, significa que recorrerá 30 metros en cada segundo si mantiene constante esa velocidad. Pero ¿y si ve un obstáculo en la carretera y frena para evitar el accidente? La velocidad ya no es constante, porque el móvil se desplaza cada vez más despacio, hasta que llega a detenerse. Decimos que lleva aceleración, ya que la aceleración mide la rapidez del cambio de velocidad.
4. ECUACION DE LA VELOCIDAD RELATIVA
Para calcular la velocidad de un punto A que se mueve con respecto a un punto B, que a su vez se mueve respecto a un referencial absoluto, podemos usar la siguiente relación:
donde: , velocidad absoluta del punto A respecto a la referencia absoluta. , velocidad absoluta del punto B respecto a la referencia absoluta. , velocidad relativa del punto A respecto al punto B. Quedando la fórmula de la siguiente manera:
Entonces, para resolver el movimiento relativo entre A y B lo que se hace es expresar la velocidad de A y de B respecto un punto fijo. La velocidad relativa no tiene por qué estar asociada a un desplazamiento lineal, puede ser provocada por una rotación de A respecto a B. Es habitual expresar por componentes vectoriales (dos en el plano y tres en el espacio) todas las velocidades, tanto la relativa como la de los puntos A y B. En ese caso, la velocidad relativa se expresaría como producto vectorial del vector de posición de A con respecto a B por la velocidad angular relativa (giro A con respcto a B), más una componente lineal de dirección desconocida. En esa situación, tanto en el movimiento plano como el movimiento en el de tres dimensiones, aparecen más incognitas que ecuaciones (las componentes se igualan entre si y aparecen dos y tres ecuaciones en el plano y espcio respectivamente), las dos o tres componentes de la velocidad relativa, plana o espacial, y la angular; pero siempre se puede determinar la velocidad angular relativa como resta de la del sólido a la que pertenece el punto B menos a la que pertenece el A, ya que estamos viendo el giro de A respecto de B. En algunos casos lo que es conocido es la trayectoria de A con respecto a B, por lo tanto en vez de tener por incognitas las componentes de la velocida relativa lineal solo tenemos el módulo de la misma. 5. DIFERENCIAS ENTRE SISTEMA INERCIAL Y SISTEMA NO
INERCIAL En el sistema no inercial no se cumplen las leyes de newton y en el sistema inercial se cumplen
las 3 leyes de newton.
En el sistema no inercial se describe un movimiento acelerado respecto al primero, y en el sistema inercial la veriacion del momento lineal del sistema es igual a las fuerzas reales sobre el
sistema. En el sistema inercial solo se toman las fuerzas reales y en sistema no inercial se toman las furzas ficticias o inerciales.
6. LEYES DE NEWTON Primera ley de Newton o Ley de la inercia La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él. Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él. Newton toma en cuenta, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca
entendiendo
como
esta
a
la
fricción.
En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.
7. VELOCIDAD RELATICA EN MECANICA CLASICA Dadas dos observadores, A y B, cuyas velocidades medidas por un tercer observador son
y
, respectivamente, la velocidad
relativa de B con respecto a A se denota como
y viene dada
por:
Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como
y viene dada por:
de modo que las velocidades relativas
y
tienen el mismo
módulo pero sentidos opuestos. El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es totalmente aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa. Las definiciones y propiedades anteriores para dos observadores en movimiento relativo se aplica también para el caso de dos partículas clásicas A y B, cuyas velocidades medidas por un observador dado sean
y
, respectivamente.
8. VELOCIDAD RELATIVA EN MECÁNICA RELATIVISTA
En mecánica relativista puede definirse la velocidad de manera análoga a como se hace en mecánica clásica sin embargo la velocidad así definida no tiene las mismas propiedades que su análogo clásico:
En
primer
lugar
la
velocidad
convencional
medida
por
diferentes observadores, aún inerciales, no tiene una ley de
transformación sencilla (de hecho la velocidad no es ampliable a un cuadrivector de manera trivial).
En segundo lugar, el momento lineal y la velocidad en mecánica relativista no son proporcionales, por esa razón se considera conveniente en los cálculos substituir la velocidad convencional por la cuadrivelocidad, cuyas componentes espaciales coinciden con la velocidad para velocidades pequeñas comparadas con la luz, siendo sus componentes en el caso general:
Además esta cuadrivelocidad tiene propiedades de transformación adecuadamente covariantes y
es
proporcional
al cuadrimomentolineal. En mecánica relativista la velocidad relativa no es aditiva . Eso significa que si consideramos dos observadores, A y B, moviéndose
sobre
diferentes
una
misma
recta
a
velocidades
, respecto de un tercer observador O, sucede
que:
Siendo la velocidad
de B medida por A y
la velocidad de
A medida por B. Esto sucede porque tanto la medida de velocidades, como el transcurso del tiempo para los observadores A y B no es el mismo debido a que tienen diferentes velocidades, y como es sabido el paso del tiempo depende de la velocidad de un sistema en relación a la velocidad de la luz. Cuando se tiene en cuenta esto, resulta que el cálculo de velocidades relativas no es aditiva. A diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica, donde el paso del tiempo es idéntico para todos los observadores con independencia de su estado de movimiento. Otra forma de verlo es la siguiente: si las velocidades relativas fuera simplemente aditiva en relatividad llegaríamos a contradicciones. Para verlo,
consideremos un objeto pequeño que se mueve respecto a otro mayor a una velocidad superior a la mitad de la luz. Y consideremos que ese otro objeto mayor se moviera a más de la velocidad de la luz respecto a un observador fijo. La aditividad implicaría que el objeto pequeño se movería a una velocidad superior a la de la luz respecto al observador fijo, pero eso no es posible porque todos los objetos materiales convencionales tienen velociades inferiores a la de luz. Sin embargo, aunque las velocidades no son aditivas en relatividad, para velocidades pequeñas comparadas con la velocida de la luz, las desigualdades se cumplen de modo aproximado, es decir:
Siendo inadecuada esta aproximación para valores de las velocidades no despreciables frente a la velocidad de la luz.
9. CINEMATICA DEL SOLIDO RIGIDO
El concepto de velocidad relativa es particularmente útil en la cinemática del sólido rígido. Si se acepta que las distancias entre los diversos puntos de un sólido no varían mientras este se está moviendo por el espacio, entonces el sólido es modelizable como sólido rígido y conocida la velocidad angular
del sólido en
cada instante y la velocidad de un punto O del sólido, podemos conocer la velocidad de cualquier otro punto P , mediante la relación: (2) donde: , son las velocidades de las partículas O y P medidas en un mismo referencial considerado como fijo o absoluto.
, es el vector posición del punto P con respecto al punto O ; esto es que tiene como origen el punto O y como extremo el P. En general, este vector, aunque de módulo constante, cambiará de dirección en el espacio en el transcurso del tiempo.
10. VELOCIDAD RELATIVA EN MECANICA RELATIVISTA En mecánica relativista la velocidad relativa no es aditiva, eso significa que si se tienen tres observadores A y B, moviéndose sobre una misma recta a velocidades diferentes
, según un
tercer observador O, sucede que: (3)
velocidad relativa resultante para dos observadores que se mueven uno hacia el otro. Para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, las desigualdades se cumplen de modo aproximado, pero para valores comparables a los de la luz la velocidad relativa es significativamente menor que el valor predicho por la mecánica clásica. Esto sucede porque al moverse con diferentes velocidades los dos observadores perciben el transcurso del tiempo y las distancias de modo diferente. De hecho la velocidad relativa máxima jamás excede a la velocidad de la luz, mientras que según los postulados de la mecánica clásica no existe un límite superior para la velocidad relativa de un observador respecto a otro.
El cálculo relativista exacto revela que el efecto de dilatación del tiempo diferentes para dos observadores que se mueven uno con respecto a otro lleva a unas velocidades relativas medidas por cada uno de ellos dadas por :1
(4) A partir de esta expresión (4) puede probarse que:
Para velocidades de los observadores estrictamente inferiores a las de la luz, la velocidad relativa dada por (4) es siempre inferior a la velocidad de la luz, c . Por ejemplo dos observadores que viajen en direcciones
contrarias
por
a
velocidades
dadas
medirán velocidades relativas:
Mientras que la mecánica newtoniana habría predicho en este caso:
De acuerdo con lo anterior, ningún observador puede medir jamás que un objeto físico se acerque a una velocidad superior a la de la luz, hecho que encaja con el hecho de que la máxima velocidad de propagación esperada es precisamente la velocidad de la luz.
Si una partícula se mueve a la velocidad de la luz
para
cualquier otro observador que se mueva a una velocidad inferior
, la velocidad relativa
. Este hecho encaja
con el hecho de que la luz tiene la misma velocidad en todos los sistemas de medida independientemente de la velocidad a la que estos se muevan.
11. MOVIMIENTO PLANO
Un punto puede tener tres tipos de movimiento, el movimiento de traslación pura, de rotación pura y el movimiento plano. El calculo de los movimientos de traslación y rotación pura es sencillo, debido a que existen fórmulas de cinemática que pueden calcularlo. El movimiento plano es aquel que combina ambos tipos de movimiento, tralsación y rotación, describiendo un movimiento de trayectorias complicadas. Para solucionar este problema, se separa el movimiento tomando como referencia puntos que se mueven en traslación y rotación puras.
12. MOVIMIENTO RELATIVO El movimiento siempre es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos. Ejemplo. Una partícula se encuentra en movimiento en un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partícula está en reposo en dicho referencial. De estas definiciones, vemos que tanto el concepto de movimiento como el de reposo son relativos. Así, el pasajero que está sentado en un vagón de ferrocarril se encuentra en reposo con respecto al vagón; pero como el tren se mueve con respecto a la Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los árboles que observa desde el tren. A su vez, esos árboles están en reposo respecto de la Tierra, pero en movimiento respecto del pasajero del tren.
A efectos prácticos, podemos distinguir dos modalidades de movimiento relativo:
Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial.
Movimiento relativo de una partícula en dos referenciales diferentes en movimiento relativo entre sí.
Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo
referencial
Movimiento relativo entre dos partículas en movimiento respecto a un mismo referencial xyz
Consideremos dos partículas, A y B, que se mueven en el espacio y sean
y
sus vectores de posición con respecto al origen O
de un referencial dado. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial serán
(1)
Los vectores de posición (relativa) de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por
(2)
y las velocidades (relativas) de B con respecto a A y de A con respecto a B son
(3)
Puesto que
, también resulta que
, de
modo que las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas.
Efectuando las derivadas (3), resulta
(4)
o sea que
(5)
de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restando vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial (Oxyz en la figura).
Derivando de nuevo las expresiones (5) tenemos para las aceleraciones relativas
(6)
Los primeros miembros de (6) son las aceleraciones relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B. Los otros términos son las aceleraciones de A y de B con respecto a un mismo observador Oxyz.
Tenemos
(7)
siguiéndose para las aceleraciones relativas la misma regla que para las velocidades.
Movimiento relativo de una partícula en dos referenciales
Sistema de referencia fijo o absoluto (XYZ) y sistema de referencia móvil o relativa (xyz) en movimiento general (rototraslatorio) respecto al referencial absoluto.
En este caso, el movimiento relativo hace referencia al que presenta una partícula con respecto a un sistema de referencia (xyz), llamado referencial relativo o móvil por estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia (XYZ) considerado como
referencial absoluto o fijo.
El movimiento de un referencial respecto al otro puede ser una traslación, una rotación o una combinación de ambas (movimiento rototraslatorio).
Velocidad
La velocidad
de una partícula en un referencial fijo o absoluto y
su velocidad
en un referencial móvil o relativo están
relacionadas mediante la expresión:
(1)
siendo:
la velocidad de la partícula en el referencial fijo ( velocidad
absoluta). la velocidad de la partícula en el referencial móvil ( velocidad relativa), la velocidad del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación ),
la velocidad angular del referencial móvil respecto del referencial fijo (velocidad angular de arrastre), la velocidad de arrastre de rotación.
Los dos últimos términos representan la velocidad de arrastre total, de modo que podemos escribir
que coincide con la velocidad correspondiente un punto de un sólido rígido en movimiento.
Podemos expresar la velocidad de la partícula en el referencial fijo en la forma
Aceleración La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su aceleración en un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante la expresión:
(1)
siendo:
la aceleración de la partícula en el referencial fijo ( aceleración
absoluta). la aceleración de la partícula en el referencial móvil (aceleración relativa ), la velocidad de la partícula en el referencial móvil ( velocidad relativa), la aceleración del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación ),
la aceleración tangencial ( arrastre de rotación), la aceleración normal o centrípeta ( arrastre de
rotación), la aceleración complementaria o aceleración de
Coriolis.
Si la partícula se encuentra en reposo en el referencial móvil, esto es, si
y
, su aceleración en el referencial fijo es la
aceleración de arrastre , que viene dada por
que coincide con la aceleración correspondiente un punto de un sólido rígido en movimiento.
Podemos expresar la aceleración de la partícula en el referencial fijo en la forma
Traslación solamente
La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto y en un referencial móvil o relativo,
, están relacionadas
mediante la expresión:
Solo rotación
La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto y en un referencial móvil o relativo,
, están relacionadas
mediante la expresión:
13. Velocidad relativa de reacciones competitivas
En el estudio de la sustitución nulceofílica ampliaremos enormemente nuestra comprensión del principio que sustenta toda la química orgánica: que el comportamiento químico depende de la estructura molecular. Antes de avanzar, recordemos cómo, en general, abordamos la cuestión del comportamiento químico. En un reactor hay una colección de moléculas, golpeando a ciegas en todas las direcciones, chocando entre sí. Hay, en principio, varias opciones para ellas: diversas reacciones que pueden llegar a sufrir. La que sucede
realmente o al menos predomina es aquélla que va más velozmente . Por tanto, el comportamiento químico se
reduce a una cuestión de la velocidad relativa de reacciones que compiten.
Como vimos en nuestro estudio de la halogenación de alcanos, las velocidades relativas de las reacciones determinan: (a) Qué sucede: un átomo de halógeno, por ejemplo, se une a un hidrógeno del metano, extrayendo el hidrógeno; la alternativa, la unión al carbono con expulsión de un átomo de hidrógeno, es muchísimo más lenta, y de hecho no sucede. (b) Dónde sucede: un átomo de halógeno prefiere extraer un hidrógeno del etano, antes que del metano; extrae un hidrógeno terciario con preferencia a uno primario. (c) Incluso, si sucede: un átomo de cloro extrae hidrógeno de un alcano, mientras que uno de yodo, no, porque se combina más rápidamente con otro átomo de yodo. Una reacción química es, en consecuencia, el resultado de una competencia : es una carrera ganada por el corredor más veloz. Aprendimos, además, que el factor más importante que determina la velocidad de una reacción es la energia de activación. Lo que tiende a hacer nuestra colección de moléculas es, en general, lo que resulta más fácil para ellas : siguen el curso que demanda menos
energía, o sea, sufren la reacción con la menor E act. Y, finalmente, para ayudarnos a comprender la E act a interpretarla y, a veces, incluso a predecirla disponemos de nuestra importancia herramienta intelectual: el estado de transición. Cuanto más estable sea el estado de transición en relación con el reactivo, menor será la E act y más rápida
la reacción. El concepto del estado de transición es nuestra unión mental entre la estructura molecular y el comportamiento químico. Lo expuesto anteriormente se basa en la premisa de que los productos que obtengamos de una reacción química, y sus proporciones relativas, reflejan la velocidad relativa a la que se forman inicialmente; es decir, una vez formado, un producto particular se mantiene sin cambio hasta que se completa la reacción. Para la mayoría de las reacciones que estudiamos, esta premisa es correcta; en las condiciones utilizadas, la mayoría de las reacciones orgánicas son esencialmente irreversibles, es decir, son reacciones en un solo sentido. Pero no siempre éste es el caso. Algunas reacciones son reversibles, y existe un equilibrio entre los diversos productos; loque obtenemos así, refleja el producto que resulta
favorecido
por
el
equilibrio,
no
el
que
inicialmente se forma más rápido. Veremos más adelante ejemplos
de
este
consecuencia,
para
tipo una
de
comportamiento.
reacción
orgánica,
En la
irreversibilidad no es algo que podamos dar simplemente por supuesto; ha de ser comprobada experimentalmente, y sólo una vez que haya sido comprobada estamos justificados en interpretar la composición de los productos basándonos en la velocidad relativa. En nuestro estudio de la sustitución nucleofílica tendremos mucho que ver con la competencia entre posibles vías de reacción: en este capítulo, la competencia entre diversos mecanismos para la propia sustitución; en otros, la
competencia entre sustitución nucleofílica y una reacción de un tipo totalmente diferente, la eliminación. Nos ocuparemos de la velocidad relativa a la que tienen lugar estas reacciones competitivas y de las clases de estados de transición por los que pasan. Lo que es más importante, estudiaremos los factores que determinan la estabilidad de estos estados de transición, factores con los que operaremos en el resto de nuestro estudio de la química orgánica.
14. VELOCIDAD RELATIVA DE UN MOVIL RESPECTO DEL OTRO
Cuando hay dos móviles “A” y “B” en movimiento respecto a un
punto de referencia que se supone fijo y se conocen las velocidades de estos móviles con respecto a dicho punto fijo “VA” y “VB”; se puede hallar la Velocidad Relativa de “A” con respecto a “B” como la diferencia entre VA y VB.
En la velocidad relativa siempre el móvil respecto del cual se calcula la velocidad va en la fórmula con su velocidad restando en segundo término. Por ejemplo si “A” y “B” van en la misma dirección y sentido: El móvil “B” observa al móvil “A” alejarse a razón de + 20 km/h hacia la derecha. En cambio el móvil “A” observa al “B” alejarse
hacia la izquierda con una velocidad de
–
20 km/h.
Si “A” y “B” van en la misma dirección y sentidos opuestos, se pueden
calcular
las
velocidades
relativas
de
igual
manera
:
Si los móviles tienen direcciones cualesquiera también se aplica las mismas fórmulas. Por ejemplo: En este caso el móvil “B” observa al móvil “A” alejarse a 1 28 km/h
en una dirección oblicua que forma un ángulo obtuso con la dirección
+
x
(medido
en
forma
antihoraria).
En cambio para el móvil “A”, el objeto “B” se aleja a 128 km/h
formando un ángulo agudo con la dirección + x (medido en forma horaria). En los ejercicios de aplicación hay que calcular estos ángulos. Como las velocidades son vectores, hay que tratarlas como tal y en general conviene trabajar con los vectores en forma canónica, o sea con los versores.
15. APLICACIONES DE LA VELOCIDAD RELATIVA Aplicaciones En ingeniería mecánica es de interés encontrar la velocidad relativa en puntos de contacto de dos piezas, es decir, A y B son el mismo punto del espacio, pero A se mueve con un sólido y B con otro. Resolviendo la velocidad relativa es posible determinar la aceleración relativa entre un sólido y otro que nos va a determinar las fuerzas que se ejercen entre si ambos sólidos. En ingeniería es importante conocer a qué esfuerzos están sometidas las piezas para elegir materiales que soporten dichos esfuerzos.
La Velocidad Absoluta de un cuerpo es la variación de su vector de posición con respecto al tiempo observado desde un referencial fijo. El vector de posición puede variar en módulo (debido a una velocidad lineal) y dirección (debido a un giro, es decir, a una velocidad angular). Siempre que observemos desde
un punto fijo percibiremos la misma velocidad pues es la variación del vector de posición lo que observamos y no el vector de posición en sí. La velocidad absoluta de un partícula siempre se puede describir como velocidad lineal respecto a un punto fijo y giro (velocidad angular) respecto a él:
Donde: , son las velocidades de las partículas O y P medidas por un observador
inercial
en
el
instante
de
tiempo
t.
, es el vector posición que apunta desde el punto O a punto P, que en general variará con el tiempo. A veces, por comodidad, para llegar a esta expresión se suele expresar la velocidad absoluta como velocidad relativa respecto a un referencial más velocidad de arrastre de ese referencial.
16.
RELATIVIDAD DE VELOCIDADES RECTILÍNEAS Y UNIFORMES PARA OBSERVADORES EN REPOSO O NO ACELERADOS En la realidad cotidiana no tenemos problemas para determinar la velocidad que lleva un objeto con respecto a nosotros (tomando nuestro sistema de referencia como reposo absoluto). Ésta vendría definida por la relación que existe entre la distancia y el tiempo, v=s/t. Es posible medir el tiempo que emplea un objeto, que pasa por delante de nosotros, en hacer una distancia concreta. La división de ambas nos daría la velocidad media del objeto en ese intervalo de tiempo y en esa distancia concreta. Esto es posible a velocidades muy pequeñas con respecto a la velocidad de la luz (c).
Pero, ¿qué ocurre a velocidades más cercanas a la de la luz? Veámoslo con un experimento
imaginario.
Supongamos que un objeto lleva la velocidad de la luz. Al mismo tiempo imaginemos que tenemos delante de nosotros un muro de piedra con dos únicos agujeros por los que podemos ver el otro lado (ver Fig.1). Supongamos que el objeto traza una trayectoria rectilínea y que pasa por los puntos A y B, que serían los puntos en los que el observador vería el objeto. Supongamos también que la distancia existente entre A y B, sea l, y la distancia entre A y O (el observador) son iguales, mientras que la distancia entre B y O es de l/4.
Con estos datos imaginemos que nos encontramos en el lugar de O y que queremos medir la velocidad media del objeto entre A y B (por eso sólo vemos al objeto en dos puntos). Para que nosotros veamos el objeto en A, la luz reflejada en el objeto para que nosotros podamos verlo ha tenido que llegar a nosotros. Pero como el objeto está en movimiento avanzará la misma distancia que necesita la luz para que la veamos, dado que la velocidad del objeto también es c. Es decir, que cuando nosotros veamos el objeto en A, la luz habrá recorrido la distancia AO=l y el objeto habrá recorrido la misma distancia l de modo que se encontrará en B. Resumiendo: vemos el objeto en A y se encuentra en B.
En cuanto vemos pasar el objeto por A nos giramos instantáneamente para poder verlo en B. Como el objeto se encuentra en B la luz que nos mostrará el objeto recorrerá la distancia BO=l/4. Si la distancia l la recorren tanto la luz como el objeto en un tiempo t, la distancia l/4 la hará la luz en t/4.
Analicemos entonces y determinemos desde nuestro punto de vista en reposo o no-acelerado la velocidad del objeto. Para nosotros desde que vemos el objeto en A hasta que lo vemos en B pasan t/4. Como sabemos que la distancia es l, porque la podemos medir, calculemos la velocidad: v=s/t=l/(t/4)=4l/t pero como c=l/t, entonces v=4c. La velocidad media del objeto, desde nuestro punto de vista, en ese intervalo es 4 veces mayor que la velocidad de la luz, cosa que difiere de la base en la que la velocidad de la luz es límite para cualquier objeto en cualquier sistema de referencia y en cualquier medio.
Símbolos Antes de comenzar con el cálculo de la velocidad en un modo continuo (y no simplemente la velocidad media) adjunto aquí una lista de símbolos con su significado para facilitar el correcto seguimiento de las operaciones: -v: velocidad teórica del objeto -dr c: distancia diferencial que realiza la luz -dr v: distancia diferencial que realiza el objeto
-dt: tiempo requerido por la luz para desplazarse dr c o por el objeto en desplazarse dr v -r: distancia entre el objeto y el observador en un instante t -r’: distancia entre el objeto y el observador dt o dr v posterior a t -ti: tiempo que tarda la luz en llegar al observador desde el primer punto, teniendo en cuenta que el objeto le “come” terreno a la luz
-tf : tiempo que tarda la luz en llegar al observador desde el segundo punto -dt’: tiempo que transcurre entre que vemos el objeto en el primer punto hasta que lo vemos en el punto dt o dr v posterior (tf -ti) -v’: velocidad del objeto observada -c: velocidad de la luz -l: distancia entre el segundo punto y el punto de la trayectoria más cercano al observador -d: distancia mínima entre el observador y la trayectoria del objeto
Cálculo velocidad continua
de
la
de
forma
a
calcular
Vamos
ahora como afecta esto a la velocidad observada desde un sistema de referencia en reposo
pero
ya
no
calculando la velocidad media sino la velocidad en cada instante: v’=dr v/dt’ donde dr v será la distancia que recorre el objeto en el intervalo dt’ y éste será calculado por la resta del tiempo de r’ y de
r, es decir, la diferencia de tiempo que hay desde que se ve el objeto en el primer punto hasta que se ve en el punto dr v posterior).
Cuando vemos el objeto en el segundo punto, dr v posterior, habrá transcurrido el tiempo dt y la luz habrá recorrido dr c. Es decir, la diferencia de tiempo que hay desde cada vez que vemos el objeto será la resta entre el tiempo final e inicial. El tiempo final será tf =r’/c y el tiempo inicial será ti=(r-dr c)/c dado que la luz habrá avanzado dr c en el tiempo dt que es lo que tarda el objeto en llegar al segundo punto. En este instante a la luz le queda hasta nosotros r-dr c desde el primer punto y r’ desde el segundo. Con lo cual la diferencia de tiempos será:
es decir que la velocidad estará definida por:
&nb
Como calcular la distancia existente entre el objeto y nuestro sistema de referencia (O) puede resultar incómodo se puede expresar esa misma fórmula en función de la distancia más corta entre la trayectoria del objeto y O (d siempre igual) y la distancia entre el objeto y el punto de la trayectoria más cercano a nosotros (l)
del
modo
siguiente:
Sustituyendo esto en la ecuación anterior nos queda de la siguiente manera:
O si se prefiere dejar en función de dt en vez de dr v y dr c:
17. VELOCIDAD RELATIVA DE LA TIERRA RESPECTO DE JÚPITER La velocidad relativa de la Tierra respecto a Júpiter se calcula proyectando los vector velocidad de ambos planetas, cuya dirección es perpendicular al radio de su órbita, a lo largo de la recta que une ambos planetas.
Como vemos en la figura la velocidad relativa v r vale v r=v T· sen(α+θ )-v J · senα
Como la Tierra tarda 365.26 días en dar una vuelta completa. La velocidad de la Tierra es
Como Júpiter tarda 11.86 años en dar una vuelta completa. La velocidad de Júpiter es
Conocido el ángulo θ calculamos el ángulo α .
En esta otra figura, se representa el incremento del periodo observado de Io, Δt en función de la velocidad relativa entre la Tierra y Júpiter a lo largo de la línea que une ambos planetas. Este incremento Δt es proporcional a la velocidad relativa v r entre la Tierra y Júpiter. Se trata por tanto, de un efecto Doppler.
Cada aparición de Io de la sombra de Júpiter representa una señal luminosa periódica que se repite cada 1.796 días emitida por un observador en movimiento. La señal luminosa viaja por el espacio a la velocidad de la luz y es vista por un observador terrestre en movimiento. El periodo P' de la señal recibida y el periodo P de la señal emitida están relacionadas por la fórmula que describe el efecto Doppler.
18.LOS DIAGRAMAS ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI La Teoría Especial de la Relatividad, tal y como fue enunciada por vez primera por Einstein, era una teoría puramente algebraica , sin referencia alguna a ningún tipo de geometría. Se debe a Hermann Minkowski la proeza de haberla convertido en una teoría geométrica llevando a cabo de paso la unificación de dos conceptos que en la mecánica clásica habían sido considerados completamente independientes y separados el uno del otro: el espacio y el tiempo. Gracias a Minkowski, el espacio y el tiempo fueron unificados en un solo concepto básico e indivisible bajo una sola palabra, el espaciotiempo (aquí lo llamaremos espacio- tiempo en el entendido de que ambos conceptos han sido
fusionados en uno solo), de modo tal que no era posible hablar ya del espacio como entidad individual y del tiempo como entidad individual también, separados el uno del otro. Pero aquí nos estamos adelantando a nuestra historia.
Considerando para fines ilustrativos una velocidad de la luz de c = 1 metro por segundo, el diagrama espacio-tiempo para un rayo de luz es el siguiente:
Sobre el mismo diagrama, la especificación de la coordenada x de
una partícula material que nos indica la posición en la cual se encuentra la partícula y del tiempo t al que corresponde esta coordenada, se dice que determina un evento o un suceso. Si representamos la posición x en el eje de las abcisas (eje horizontal) y el tiempo t en las ordenadas (eje vertical), cada punto del plano xt corresponde a un posible evento. En un diagrama así podemos representar dos eventos distintos vistos por un mismo observador, trátese de dos eventos distintos que ocurren en el mismo lugar en tiempos diferentes, dos eventos distintos que ocurren al mismo tiempo en distintos lugares, o dos eventos distintos que ocurren en tiempos diferentes en lugares diferentes, como es el siguiente caso:
El lugar en un plano x-t de los eventos que representan las coordenadas apareadas de una partícula en varios instantes se conoce en los estudios de la relatividad como línea del
mundo (world line ) y también como línea del universo. En la Teoría Especial de la Relatividad, la línea del mundo es siempre una línea recta como la línea azul que tenemos en el diagrama de arriba porque la partícula material viaja siempre en movimiento rectilíneo en una misma dirección, recorriendo distancias iguales en tiempos iguales. Si en el instante t1 la coordenada de una partícula móvil es x1, entonces las magnitudes x1 y t1 determinan el evento E1. Análogamente, x2 y t2 determinan el evento E2. Los
eventos para un mismo y único observador están separados en el espacio por una distancia
Δx
= x2 - x1 y en el tiempo por una
distancia Δt = t2 - t1. En los estudios sobre la relatividad, no se acostumbra revolver peras con manzanas, no se acostumbra revolver metros con segundos al medir sobre coordenadas rectangulares. Para que en un diagrama espacio-tiempo tanto el eje horizontal como el eje vertical usen el mismo tipo de unidades, se acostumbra multiplicar el tiempo en el eje vertical que corresponde al tiempo por la constante universal absoluta que es la velocidad de la luz c, ya que con ello ct se convierte en una distancia que está medida en metros , no en segundos. De este modo, no mezclamos peras con manzanas, al medir tanto en el eje vertical como en el eje horizontal lo estamos haciendo en metros. En todos los diagramas espacio-tiempo que serán utilizados aquí, la ordenada vertical estará en dimensiones de metros, o sea multiplicada por c, representado
en
la
ordenada
vertical
como ct.
Aunque
aparezca t en lugar de ct, se sobreentenderá que siempre nos estamos refiriendo a ct. Además, para fines de simplificación, le seguiremos dando a c el valor de 1 metro por segundo. Sin embargo, para fines de cálculo numérico, estamos en libertad de regresar a las mediciones en segundos sobre el eje vertical. En la última gráfica de arriba, tenemos representados dos eventos distintos, uno ocurriendo en la posición x1 en un tiempo representado en la posición ct1, y el otro evento ocurriendo en la posición x2 en un tiempo representado en la posición ct2. Poniendo números y usando una velocidad de la luz igual a c = 1 metro/segundo, las coordenadas respectivas de cada evento y la distancia entre ambos eventos es:
x1 = 1 metro
x2 = 2 metros ct1 = 1 metro ct2 = 3 metros Δx
= x2 - x1 = 2 metros - 1 metro = 1 metro
cΔt
= ct2 - ct1 = 3 metros - 1 metro = 2 metros
19. GLOSARIO DE TERMINOS
Mecánica: Es la ciencia que describe y predice condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Ecuación: Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. Velocidad: Es la magnitud física que muestra y expresa la variación en cuanto a posición de un objeto y en función del tiempo. Referencial: Expresa una circunstancia o un acontecimiento de manera objetiva y sin valorarlo, sirve de modelo o ejemplo con el cual compararse. Fórmula: Conjunto de términos que representa una cantidad o que se utilizan para obtener un valor o resolver un problema. o establecido para expresar, realizar o resolver algo.
Desplazamiento: Es la longitud de la trayectoria comprendida entre la posición inicial y la posición final de un punto material. Rotación: Es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación.
Vector: Es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Dirección: Es la trayectoria que sigue un cuerpo, posee dos sentidos. Movimiento: Es un fenómeno físico que implica el cambio de posición de un cuerpo que está inmerso en un conjunto o sistema. Módulo: Es un componente autocontrolado de un sistema, dicho componente posee una interfaz bien definida hacia otros componentes. Cinemática: Estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen. Dilatación: Proceso físico por el cual se producen cambios de volumen como resultado de cambios de temperatura. Propagación: Conjunto de fenómenos físicos que conducen a las ondas del transmisor al receptor. Partícula: Un cuerpo dotado de masa, o una parte de él, concentrada idealmente en un punto.
20.
Reposo: Estado de movimiento rectilíneo uniforme en el cual la velocidad es nula. Arrastre: Fricción entre un objeto sólido y el fluido (un líquido o gas) por el que se mueve. Aceleración: Magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa de cambio de la velocidad de un móvil por unidad de tiempo.
Angular: Relativo a los ángulos.
Traslación: Movimiento que cambia la posición de un objeto.
CONCLUSIONES Una de las conclusiones que queda clara es que si la velocidad del objeto v es v<
Al leer que la velocidad observada puede ser mayor que la velocidad de la luz podría surgir el siguiente razonamiento: “pero como un objeto no puede alcanzar nunca la velocidad de la luz este experimento no es válido”. Lo que ocurre es que aunque el objeto lleve una velocidad menor
que c, el efecto se seguirá produciendo porque el objeto siempre avanzará mientras la luz hace su recorrido. Cuanto mayor sea la velocidad del objeto más se notará esta diferencia y por el contrario
cuanto más se acerque esa a velocidades cotidianas (v<
es más correcta que la de cualquier otro observador, sino que todas son equivalentes y además están relacionadas entre sí”, y esta relación es la
descrita en el punto anterior. La velocidad real se podría definir si la luz llegara de forma instantánea hasta nosotros cosa que no ocurre. Parece que esto ocurre cuando la velocidad del objeto es mucho menor comparada con la velocidad de la luz, tal y como estamos acostumbrados habitualmente. La velocidad es la que cada uno percibe desde su sistema de referencia.
Por otro lado queda claro que en la velocidad que lleva un objeto y que es medida por un observador, influye el sentido que lleva dicho objeto dado que al acercarse se apreciará una velocidad mayor que la “real” y al
alejarse ésta será menor. De la misma manera la velocidad del objeto disminuirá mientras se acerca a nosotros y seguirá disminuyendo cuando se aleje de nosotros, siendo la velocidad que observamos en el punto más cercano a nosotros de la trayectoria del objeto, la velocidad que más se asemeja a la velocidad teórica del objeto. En la siguiente gráfica está calculada la velocidad para los siguientes valores dentro de la formula extraída en el apartado anterior: d=200.000km, l es la medida del eje OX, dr v y dr c son iguales (es decir que v=c) y valen 0,1, en el eje OY aparece la velocidad y dt vale 0,1.
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ANEXOS
