Todos los sistemas que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar libremente, por otra parte la vibración puede darse en la ausencia de fuerzas externas. Nuestro principal interés para tales sistemas es determinar su frecuencia natural de vibración. Nuestro principal objetivo aquí es aprender a escribir la ecuación de movimiento y evaluar su frecuencia natural, la cual es principalmente una función de la masa y rigidez del sistema. El amortiguamiento en cantidades moderadas ejerce poca influencia sobre la frecuencia natural del sistema y puede despreciarse en su determinación. El sistema puede ser considerado conservativo, y el principio de conservación de la energía ofrece otra aproximación para el cálculo de la frecuencia natural. El efecto del amortiguamiento es evidente principalmente en la disminución de la amplitud de vibración respecto al tiempo. Aunque existen varios modelos de amortiguamiento, solo aquellos que ofrecen un procedimiento analítico simple serán considerados.
El modelo básico de vibración de un sistema oscilatorio consiste de una masa, un resorte de masa despreciable y un amortiguador. La relación fuerza-deformación se considera lineal, siguiendo la ley de Hooke, F = kx. El amortiguamiento viscoso, se describe como una fuerza proporcional a la velocidad F = cx.
La figura muestra un sistema masa-resorte sin amortiguamiento, el cual se mueve verticalmente. Se necesita un grado de libertad (G.D.L.) para especificar su movimiento debido a que este es descrito por una sola coordenada coordenada x.
Fig. 2.2.1
Cuando se presenta el movimiento, la oscilación tiene lugar a la frecuencia natural f n, la cual es propiedad del sistema. La segunda ley de Newton constituye la base para examinar el movimiento del sistema. Como se muestra en la figura, la deformación del resorte en la posición estática de equilibrio es Δ y la fuerza del resorte k Δ es igual a la fuerza gravitacional w actuando sobre la masa: (2.2.1) k Δ = w = mg 1
Por medio de la medición del desplazamiento x a partir de la posición estática de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre m son k (Δ + x) y w. Escogiendo la coordenada x positiva en la dirección hacia abajo, la fuerza, velocidad, aceleración también serán positivas. Ahora aplicamos la segunda ley de Newton del movimiento a la masa m:
= ∑ F = w − k (Δ + x) mx kΔ = w
y debido a que obtenemos
= − kx mx
(2.2.2)
Es evidente que la elección de la posición estática de equilibrio como referencia para x ha eliminado w, la fuerza debida a la gravedad, y la fuerza de restauración del resorte k Δ de la ecuación de movimiento, así como la fuerza resultante sobre m es simplemente la fuerza del resorte debido al desplazamiento x. Definimos la frecuencia circular ωn por la ecuación:
ω n 2 =
k
m La ecuación 2.2.3 puede escribirse como:
+ ω n 2 x = 0 x
(2.2.3)
(2.2.4)
La ecuación anterior es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de segundo orden, la cual tiene la siguiente solución general:
= Asenωn t+ Bcos ω n t
(2.2.5)
donde A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales x(0) y (0) , la ecuación anterior se reduce a:
=
x (0) ω n
ωn t+ x(0)cos ω n t sen
(2.2.6)
el periodo natural de oscilación se establece a partir de ωnτ = 2π o
m
τ = 2π
(2.2.7)
k
así la frecuencia natural es
f n =
1
τ
=
1
k
2π
m
(2.2.8)
las cantidades anteriores pueden ser expresadas en términos de la deflexión estática Δ como: 2
f n =
1
g
2π
Δ
Note que τ, f n y ωn dependen solamente de la masa y rigidez del sistema. El elemento elástico puede ser un elemento torsional y así la masa es remplazada por el momento de inercia. Se anexan las tablas correspondientes a diferentes tipos de resortes con su respectiva rigidez. EJEMPLO 2.1: Determine la deflexión para la viga en cantiliver mostrada, sobre la cual actúa una carga concentrada en el extremo.
SOLUCION
EJEMPLO 2.2 La rueda de un automóvil es suspendida por medio de una barra de acero de 50 cm en diámetro y 2 m de longitud, cuando la rueda se desplaza un ángulo θ y se libera posteriormente, realiza 10 oscilaciones en 30 seg. Determine el momento polar de inercia de la rueda.
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EJEMPLO 2.3 La figura muestra una barra uniforme, con punto de pivote en el punto O, soportada en los extremos por medio de dos resortes de igual rigidez k . La barra se encuentra en la posición horizontal cuando esta en equilibrio por medio de las fuerzas de los resortes P 1 y P 2. Determine la ecuación de movimiento y su frecuencia natural.
SOLUCION
4
En un sistema conservativo, la energía total permanece constante, y la ecuación diferencial de movimiento puede ser establecida a partir del principio de conservación de la energía. Para la vibración libre de un sistema subamortiguado, la energía es parcialmente cinética y parcialmente potencial. La energía cinética T es almacenada en la masa por medio de su velocidad, mientras que la energía potencial U es almacenada en la forma de energía de deformación en deformación elástica o por medio de un trabajo realizado en un campo de fuerza tal como la gravedad. La energía total permanece constante, es decir, su razón de cambio es cero. Lo anterior se ilustra mediante las ecuaciones: T + U = cons tan te d (T + U ) = 0 dt
(2.3.1) (2.3.2)
Si el interés principal es determinar la frecuencia natural del sistema, puede hacerse mediante las siguientes consideraciones. Del principio de conservación de la energía, escribimos:
T1 + U1 = T2 + U 2
(2.3.3)
donde los subíndices 1 y 2 representan dos instantes de tiempo. Consideremos 1 el instante cuando la masa pasa a través de su posición estática de equilibrio y escogemos U 1=0 como referencia para la energía potencial. Consideremos 2 el instante correspondiente al máximo desplazamiento de la masa. En esta posición, la velocidad de la masa es cero, por lo tanto T 2=0. Así se tiene que:
T 1 + 0 = 0 + U 2
(2.3.4)
Sin embargó, si el sistema esta experimentado movimiento armónico, consideramos a T1y U2 como valores máximos, así:
Tmax = U max
(2.3.5)
La ecuación anterior conduce directamente a la determinación de la frecuencia natural.
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EJEMPLO 2.3.1 Determine la frecuencia natural para el sistema mostrado
EJEMPLO 2.3.2 Un cilindro de peso w y radio r gira sin deslizamiento sobre una superficie cilíndrica de radio R. Determine la ecuación diferencial de movimiento para pequeñas oscilaciones respecto al punto mas bajo. Para el caso sin deslizamiento, consideremos rφ = Rθ SOLUCION El la determinación de la energía cinética del cilindro, se debe notar que tanto traslación como rotación se tienen.
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La fuerza de amortiguamiento viscoso es expresada por la ecuación:
F d = cx
(2.4.1)
donde c es una constante de proporcionalidad. Simbólicamente se ha designado por medio de un amortiguador, como se muestra.
Fig. 2.4.1
Del diagrama de cuerpo libre mostrado, la ecuación de movimiento es:
+ cx + kx = F (t ) mx
(2.4.2)
La solución de esta ecuación consta de dos partes. Si F(t)=0 , tenemos la ecuación diferencial homogénea cuya solución corresponde físicamente a la de vibración libre. Con F(t) ≠ 0, obtenemos la solución particular la cual es debida a la excitación irrespectiva de la solución homogénea. Primeramente analizaremos la ecuación homogénea la cual nos permitirá mejor el entendimiento del rol que desempeña el amortiguamiento.
+ cx + kx = 0 observamos que la solución que satisface la De la ecuación homogénea mx ecuación se asume de la forma:
= e st
(2.4.3)
Donde s es una constante. Sustituyendo la identidad anterior en la ecuación diferencial resulta en: ( ms 2 + cs + k )e st = 0 ecuación que es satisfecha para todos los valores de t cuando
s 2 +
c m
s+
k m
=0
(2.4.4)
(2.4.5)
La ecuación anterior es conocida como la ecuación característica, que tiene por raíces: 2
⎛ c ⎞ k s1,2 = − ± ⎜ ⎟ −m 2m 2 m ⎝ ⎠ c
(2.4.6)
7
A su vez la solución general es dada por la ecuación:
= Aes t + Bes t
(2.4.7) donde A y B son constantes ha ser evaluadas y dependen de las condiciones iniciales x(0) y x (0) . 1
2
La ecuación (2.4.6) sustituida en (2.4.7) resulta en:
=x −e( c/ 2 m) t
(
( ( c /2 m) 2 − k / m ) t
Ae
− ( ( c/ 2 m) + Be
2
)
− k / m) t
(2.4.8)
El primer término de la ecuación anterior, e− ( c/ 2 m )t es simplemente una función de decaimiento exponencial. El comportamiento de los términos entre paréntesis, sin embargo, depende de si el valor numérico dentro del radical es positivo, cero o negativo. Cuando el termino ( c/2m)2 es mayor que k/m, los exponentes en la ecuación anterior se hacen números reales y la oscilación no es posible. Entonces nos referimos a este caso como sobreamortiguado. Cuando el termino ( c/2m)2 es menor que k/m, el exponente se hace un numero imaginario, ±i k / m − (c / 2m)2 t . Debido a que
e
± i k / m− ( c / 2 m) 2 t
2
2
k ⎛ c ⎞ ⎛ c ⎞ = cos −⎜ −⎜ t ± isen ⎟ ⎟ t m ⎝ 2m ⎠ m ⎝ 2m ⎠ k
los términos de la ecuación (2.4.8) dentro de los paréntesis son oscilatorios. Nos referimos a este caso como subamortiguado. En el caso limite entre el movimiento oscilatorio y no oscilatorio, (c / 2 m)2 = k / m , el radical se hace cero. El amortiguamiento correspondiente a este caso es llamado amortiguamiento crítico cc.
cc = 2m
k m
= 2mω n = 2 km
(2.4.9)
Cualquier amortiguamiento puede ser expresado en términos del amortiguamiento crítico por medio de un número adimensional ζ , llamado factor de amortiguamiento:
ζ =
c cc
(2.4.10)
también podemos expresar las raíces s1,2 en términos de ζ como sigue:
⎛ c ⎞ = ζ ⎜ c ⎟ = ζω n 2m ⎝ 2m ⎠ c
la ecuación (2.4.6) se puede expresar como:
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s1,2 = (−ζ ± ζ 2 − 1)ω n
(2.4.11)
Los tres casos de amortiguamiento vistos dependen de si ζ es mayor, menor o igual que la unidad. Por lo tanto, la ecuación diferencial de movimiento puede establecerse en términos de ζ y ωn de la siguiente forma:
+ 2ζωn x+ ω n 2 x=
1
(2.4.12) F(t ) m Esta forma de la ecuación para sistemas de 1 G.D.L. puede ser de gran ayuda para identificar la frecuencia natural y el amortiguamiento en un sistema.
La figura muestra la grafica de la ecuación (2.4.11) en el plano complejo, con ζ estando en el eje horizontal. Si ζ=0, la ecuación (2.4.11) se reduce a s1,2 / ω n = ± i , así que las raíces en el eje imaginario corresponden al caso sobreamortiguado. Para 0 ≤ ζ ≤ 1 , la ecuación (2.4.11) puede reescribirse como: s1,2 ω n
= −ζ ± i 1 − ζ 2 para ζ <1
(2.4.13)
Fig. 2.4.2
Las raíces s1 y s2 son entonces los conjugados complejos sobre un arco circular convergiendo en los puntos s1,2 / ω n = 1 . Conforme ζ se incrementa mas aya de la
unidad, las raíces se separan a lo largo del eje horizontal y permanecen como números reales. Con la ayuda de este diagrama examinamos la solución dada por la ecuación (2.4.8).
MOVIMIENTO OSCILATORIO [ζ <1 (Caso sub-amortiguado)] Sustituimos la ecuación (2.4.11) en (2.4.7), así la solución general se convierte en: −ζω n t
x= e
(
i 1−ζ 2 ωn t
Ae
+ Be− i
)
1−ζ 2 ωn t
(2.4.14)
Esta ecuación puede ser escrita en cualquiera de las dos formas siguientes:
(
)
−ζω n t x= Xe sen 1 − ζ 2 ωn + t φ
(2.4.15)
9
)
(
= e −ζω t C1sen 1 − ζ 2 ω nt + C2 cos 1 − ζ 2 ω nt n
(2.4.16)
donde las constantes arbitrarias X, Φ ,C 1 y C 2 dependen de las condiciones iniciales. Considerando las condiciones iniciales x(0) y (0) , la ecuación (2.4.16) se reduce a:
⎛ x (0) + ζω x (0) ⎞ 2 2 n = e−ζω t ⎜ sen 1 − ζ ωnt + x (0) cos 1 − ζ ω nt ⎟ (2.4.17) ⎜ ω 1 − ζ 2 ⎟ n ⎝ ⎠ n
La ecuación anterior indica que la frecuencia de oscilación amortiguada es igual a:
ωd =
2π
τ d
= ωn 1 − ζ 2
(2.4.18)
La figura 2.4.3 ilustra el comportamiento del movimiento oscilatorio.
Fig. 2.4.3
MOVIMIENTO NO OSCILATORIO [ζ >1 (Caso sobre-amortiguado )] Cuando ζ excede la unidad, las raíces permanecen sobre el eje real (fig. 2.4.2) y se separan, una incrementando y la otra disminuyendo. La solución general se convierte en:
(−ζ + =x Ae
) +
( −ζ − Be
ζ 2 −1 ωn t
)
ζ 2 −1 ω n t
(2.4.19)
siendo
A =
(
)
(0) + ζ + ζ 2 − 1 ω n x(0) 2ωn ζ 2 − 1
(2.4.20)
y
B =
(
)
− x (0) − ζ − ζ 2 − 1 ω n x(0) 2ωn ζ − 1 2
(2.4.21)
El movimiento es una función de decrecimiento exponencial como se muestra en la figura 2.4.4 y se refiere como aperiódico.
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Fig. 2.4.4
MOVIMIENTO CRITICAMENTE AMORTIGUADO [ζ =1] Para el caso en que ζ=1, se tienen dos raíces reales e iguales s1 = s2 = −ω n y los dos términos de la ecuación (2.4.7) se combinan para formar un solo termino, lo que i mplica no necesitar el numero de constantes requeridas para satisfacer las dos constantes iniciales. La solución correcta es:
= ( A + Bt) e−ω t
(2.4.22)
n
para la cual las condiciones iniciales x(0) y (0) en la ecuación anterior son:
= { x(0) + [ x(0) + ω n x(0)] t} e−ω t n
(2.4.23)
La ecuación anterior puede ser encontrada a partir de la ecuación (2.4.17), considerando ζ→1. La figura 2.4.5 ilustra tres tipos de respuesta con el desplazamiento inicial x(0).
Fig. 2.4.4
Una conveniente forma para determinar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema es medir la razón de disminución de las oscilaciones libres. Cuanto mas grande sea el amortiguamiento, mayor será la razón de decrecimiento. Consideremos una vibración amortiguada expresada por la ecuación general (2.4.15)
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−ζω n t
x= Xe
)
(
sen 1 − ζ 2 ωn + t φ
la cual es mostrada en la fig. 2.5.1
Fig. 2.5.1
Ahora introducimos el concepto de decrecimiento logarítmico, el cual se define como el logaritmo natural de la relación de dos amplitudes consecutivas. La expresión para el decrecimiento logarítmico es:
δ = ln
x1 x2
e
= ln e
−ζω n t 1
− ζωn ( t 1 +τ d )
sen
(
)
1 − ζ 2 ωnt1 + φ
sen ⎡ 1 − ζ 2 ωn ( t1 + τ d ) + φ ⎤ ⎣ ⎦
(2.5.1)
Y debido a que los valores de los senos son iguales cuando el tiempo es incrementado por el periodo de oscilación amortiguado τ d , la ecuación anterior se reduce a:
δ = ln
e e
−ζω n t 1
= ln eζω τ = ζωnτ d n d
−ζωn ( t 1 +τ d )
(2.5.2)
Ahora sustituimos el periodo de oscilación amortiguada, τ d = 2π / ωn 1 − ζ 2 , así la expresión para el decrecimiento logarítmico es:
δ =
2πζ 1 − ζ
(2.5.3)
2
La cual es una ecuación exacta. Cuando ζ es muy pequeño,
δ ≅ 2πζ
1 − ζ 2 ≅ 1, la ecuación (2.5.3) se hace (2.5.4)
La figura 2.5.2 muestra el grafico para distintos valores de δ en función de ζ
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Fig. 2.5.2
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