Que es Vibración? Vibración? En su forma más sencilla, una vibración se puede considerar como la oscilación o el movimiento repetitivo de un objeto alrededor de una posición de equilibrio. La posición de equilibrio es la a la que llegará cuando la fuerza que actua sobre él sea cero. Este tipo de vibración se llama vibración de cuerpo entero, lo que quiere decir que todas las partes del cuerpo se mueven juntas en la misma dirección en cualquier momento. El movimiento vibratorio de un cuerpo entero se puede describi r completamente como una combinación de movimientos individuales de 6 tipos diferentes. Esos son traslaciones en las tres direcciones ortogonales x, y, y z, y rotaciones alrededor de los ejes x, y, y z. Cualquier movimiento complejo que el cuerpo pueda presentar se puede descomponer en una combinación de esos seis movimientos. De un tal cuerpo se dice que posee seis grados de libertad. Por ejemplo un barco se puede mover desde adelante hacia haci a atras( ondular )desde abajo hacia arriba ( ) y de babord hacia tribord ( ). También puede rodar en el sentido de la longitud (rodar), girar alrededor del eje vertical, (colear) y girar alrededor del eje babor-tribor (arfar) Supongamos que a un objeto se le i mpide el movimiento en cualquiera cual quiera dirección excepto una. Por ejemplo un péndulo de un reloj solamente se puede mover en un plano. Por eso, se le dice que es un sistema con un grado único de libertad. Otro ejemplo de un sistema con un grado único de libertad es un elevador que se mueve hacia arriba y hacia abajo en el cubo del elevador. La vibración de un objeto es c ausada por una fuerza de excitación. Esta fuerza se puede aplicar externamente al objeto o puede tener su origen a dentro del objeto. Mas adelante veremos que la proporcion (frecuencia ( frecuencia)) y la magnitud de la vibración de un objeto dado, están completamente determinados por la fuerza de excitación, excitación, su dirección y frecuencia. Esa es la razón porque un análisis de vibración puede determinar las l as fuerzas de excitación actuando en una m áquina. Esas fuerzas dependen del estado de la máquina, y el conocimiento de sus caracteristicas e interacciones permite de diagnosticar un problema de la máquina.
VIBRACIÓN LIBRE 4.1
TEORÍA
GENERAL DE VIBRACIONES
El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos, que ayudarán a comprende r los métodos de cál culo de la acció n de los sismos sobre las estructu ras basados asado s en sus efectos dinámicos. El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones. Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas elásticas o gravitacionales, gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama llama periodo de vibración, vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración. vibración . Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas. Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una unavibración vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución
inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en u na o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez. Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es unavibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las f recuencias naturales del sistema se produceresonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la fal la por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras. 4.2
DEFINICIÓN
Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p(t) = 0).
4.3
VIBRACIÓN LIBRE NO AMOR TIGUADA u
T n = 2T[n
u· (0) b
u(0)
Amplitud u0
a
(a)
c
e t
J
[
n
d
u0
u0
(b)
a
b
c
d
e
Figura 4.1 Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento [ref. 12]
La ecuación que re presenta el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no e stá sometido a la acción de una fuerza externa es: m u k u ! 0 (4.1) u
2
u!0
[ n
(4.2)
donde[ n es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a: [ n
! k m
(4.3)
El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice I, y su solución es: u (t )
! A cos [ n t B sen[ n t ¡
Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: u(0) y iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto:
(4.4) u(0)
, el desplazamiento y la velocidad
u ( t )
!
u ( 0) cos [ n t
u( 0)
sen[ n t
[n
(4.5)
Las Figuras 4.1(a) y 4.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración,T n , y es: T n
!
2T
[n
(4.6)
La frecuencia cíclica natural de vibración, f n, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es: f n
!
1
T n
(4.7)
Las propiedades de vibración natural,[ n, T ny f n, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término ³natural´ es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste esta en estado de vibración libre. El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma:
Ima ginar io u0 co s( [nt-J ) u· (0) u(0) co s[n t [n sen[nt
[
n
u ( 0 )
[ t n
Real
J
[ t
u0
n
u· (0)
[
n
u (t )
! u 0 cos[ n t J
(4.8)
Figura 4.2 Vibración libre, representación vectorial [ref. 13]
Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por:
u0
!
u (0)
2
« u(0) » ¬ ¼ ¬ [ n ½¼
2
(4.9)
Y el ángulo de f ase J esta dado por:
J ! ar tg
u( 0)
[ n u ( 0)
(4.10)
En la Figura 4.2 esta representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno.
VIBRACIÓN LIBRE CON AMOR TIGUAMIENTO VISCOSO
4.4
La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es: m u c u k u ¢
¢
!0
(4.11)
dividiendo la ecuación 4.11 por la masa se obtiene: 2
u 2\ [ n u [ n u ! 0 \ !
donde:
(4.12)
c c cr
(4.13) c cr
!
2m [ n
!
2
km
!
2k
[n
(4.14) El coeficiente de amortiguamiento crítico, c cr , y la razón o relación de amortiguamiento crítico, \son parámetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.
1
criticamente amortiguado, \=1 sobreamortiguado, \=2 ) 0 (
u / ) t (
0
u
subamortiguado, \=0.1 -1
1
2
3
1 /T n
4.4.1
T ipos
de Movimiento
Figura 4.3 Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12]
La Figura 4.3 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimientou(t) debido a un desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de \ : Si c=c cr ó\ =1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico.
Si c>c cr ó\ >1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado. Si c
El coeficiente de amortiguamiento crítico, c cr , llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio. Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de amortiguamiento\ <1 la cual las cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor preferencia.
4.4.2
Sistema subamortiguado
Para un sistema subamortiguado (\ <1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice I, y su solución es: u ( t )
!
e
£
\ [ nt
« » ¨ u( 0) \ [ n u (0) ¸ ¹ sen[ D t ¼ ¬u ( 0) cos [ D t ©© ¹ [ D ¬ ª º ½¼
(4.15)
Donde [ D es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es: [
u
u· (0)
\[n t
V e
¤
! [ n
1 \
2
(4.16)
estructura no amortiguada
u(0)
estructura amortiguada
t
\[n t
Ve
T n T D
Figura 4.4 Efecto del amortiguamiento en Vibración libre
Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un sistema no amortiguado (\= 0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura 4.4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.
El valor del periodo natural de vibración amortiguado es: T ¤
!
2T [
(4.17)
¤
y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma: T ¥
!
T n 1 \
2
(4.18)
La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo T D es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:
H ! ln
ui
!
u i 1
y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:
\ [ n T D
!
2T\
1 \
} 2T\ 2
(4.19)
H !
1
j
ln
u1 u j 1
}
2T\
(4.20)
VIBRACIÓN FORZADA CARGA ARMÓNICA 5.1
J UST IFICACIÓN
El estudio de la respuesta del sistema de un solo grado de libertad (SDF) a la acción de una carga armónica establece bases para el entendimiento de la respuesta de estructuras más complejas a excitaciones externas.
5.2
SISTEMA NO AMOR TIGUADO CON CARGA ARMÓNICA
5.2.1 Ecuación de Movimiento 1[1]
Estableciendo p(t)=p0 ·sen[ t en la ecuación 3.4 se obtiene la ecuación diferencial forzado por carga armónica para un sistema no amortiguado: m u k u
que gobierna el movimiento
! p 0 sen[ t
(5.1)
Donde p0 es la amplitud o valor máxima de la fuerza (Figura 5.1) y [ es la frecuencia de excitación. La solución particular a la ecuación diferencial 5.1 es: p 1 sen[t u p (t ) ! 0 k 1 [ [ n 2 (5.2)
La solución complementaria de la ecuación 5.1 es: u c (t )
! A cos [ n t B sen[ n t
(5.3)
La solución total es la suma de ambas ecuaciones: u ( t )
§
!
cos [ n t
¦
sen[ n t
p 0 k
1 1
[ [ n
2
sen[t
(5.4)
p T
¨
2 T[
Amplitud
p0
t
Figura 5.1 Fuerza armónica
Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones inicialesu(0) y ú(0) , es así que se tiene: u (t )
!
« u(0) p 0 k ¬ [n
[ [n » p 1 sen[t ¼ sen[ n t 0 2 k 1 [ [ n 2 1 [ [ n ½ ¼
u ( 0) cos [ n t ¬
E st ado P ermanente
E st ado T ran sit or io
(5.5)
Esta ecuación contiene dos componentes de vibración distintas: E l término ³sen[ t´para la oscilación en frecuencia de excitación; representa el estado permanente de vibración debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada no depende delas condiciones iniciales.
Los términos ³sen[ nt´ y ³cos [ nt´ para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el estado transitorio de vibración que depende de u(0) y ú(0) , el cual existe a pesar de que estos valores sean nulos. El término ³estado transitorio de vibración´ se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales,
u( t ) / (u st ) 0
R espuesta
2
Total
1
t
0
-1 R espuesta del Estado Permanente
-2
0
1.0
0.5
1.5
2.0
hace que la vibración libre decrezca en el tiempo. Figura 5.2 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica:
La ecuación 5.5 para condiciones iniciales en reposou(0) u ( t )
!
p 0 k
=
0.2; u(0)=0 y ú(0)=[ n p0 /k
ú(0) = 0 es expresada de la siguiente forma:
1 1
[ [ n =
[ [ n
2
? sen[t [ [ sen[ t A n
n
(5.6)
5.2.2 Resonancia Ignorando el efecto dinámico de la aceleración en la ecuación 5.1 se o btiene como resultado la deformación estática en cada instante de tiempo: p u st ( t ) ! 0 sen [ t k (5.7) El máximo valor de esta deformación es: p (u st ) 0 ! 0 k (5.8) Por lo tanto la respuesta dinámica del estado permanente, una oscilación sinoidal en frecuencia de excitación, puede ser expresada como:
u ( t )
«
!
» ¼ sen[t ¬1 [ [ n 2 ½¼
(u st ) 0 ¬
1
(5.9)
El factor entre corchetes de la ecuación 5.9 es graficado contra la relación de frecuencias en la Figura 5.3, de la cual se observa que: Para [ [ n< 1 ó [[ n el factor es po sitivo indicando que u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en la misma dirección de la fuerza)
Para [ [ n> 1 ó ["[ n el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en dirección opuesta a la fuerza)
5 4 3 2
) n
2
1
1
[ [ 0
(
1
-1 -2 -3 -4 -5 0
1
2
R elación
3
de Frecuencias
[[
n
Figura 5.3R d versus relación de frecuencias
La ecuación 5.9 puede ser reescrita en términos de la amplitudu0 y el ángulo de fase J : u (t )
!
u 0 sen [t J
!
(u st ) 0 R d sen [t J
(5.10)
De donde se tiene que: ©
d
!
u0 (u st ) 0
1
! 1
[ [ n
2
®0r J ¯ °180r
[ [ n [
" [ n (5.11)
Donde el factor de deformación R d es la relación de amplitud de deformación vibratoria u0 y la deformación estática (ust )0 debido a la fuerza p0. Consiguientemente se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitación para la cual R d es máximo. Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es[ n siendo R d infinito para esta frecuencia y la deformación vibratoria crece indefinidamente, pero ésta se vuelve infinita sólo después de un tiempo infinito. Para [ ![ n la ecuación 5.6 no es más válida; en este caso la función C ·sen[ t, como elección de una solución 2[2] particular a la ecuación diferencial , falla debido a que ésta ya f orma parte de la solución complementaria, por tanto la solución particular ahora es:
p 0
u p ( t )
!
u ( t )
! A cos [ n t B sen[ n t
[
2 k
n t
cos [ n t
[
! [ n
(5.12)
Y la solución total es: p 0
[
2k
n t
cos [ n t
(5.13)
Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales en reposou(0) =ú(0) =0 es así que se tiene la ecuación de respuesta: p u (t ) ! 0 sen [ n t [ n t cos [ n t 2 k (5.14)
30 Curva Envolvente
20
T
10 0
) u ( / t s
t
0
) t (
u -10
u j
u j+ 1
T
-20 -30 0
2
4
6
8
ó: u (t ) (u st ) 0
!
12 2T T t cos 2T T t sen 2T T t n
n
Figura 5.4 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica de
n
(5.15)
!
[ [ n
En la Figura 5.4 está graficada la ecuación 5.15, de donde se observa que el tiempo requerido para completar un 3[3] ciclo de vibración es T n. En cada ciclo el incremento de la amplitud está dado por: u j 1
u j
!
(u st ) 0 2
?2T ( j 1)
2T j
A! T p
0
k
(5.16)
La interpretación de este resultado académico para estructuras reales es que a medida que la deformación se incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo fallará si es frágil o cederá si es dúctil.
5.3
SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA
5.3.1 Ecuación de movimiento
2
R espuesta Total
1 0
) u ( 0 / t s
) t (
u
-1
-2
R espuesta del Estado Permanente
Figura 5.6 Respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica
4[4]
Incluyendo el amortiguamiento viscoso en la ecuación 5.1 la ecuación diferencial que gobierna este sistema es:
c u k u ! p0 sen[ t m u
(5.17)
La solución particular de esta ecuación es: u p (t )
! C sen[ t D cos [ t
(5.18)
Donde: C !
!
D
p 0 k p 0 k
1
?
1
[ [ n
[ [ n
2 2
1
\
t
2
A ?2\ 2\ n n A ?2\
?
[ [
[ [ n
A
[ [ n
A
2
[ [
2
2
2
(5.19)
La solución complementaria de la ecuación 5.17 es: u c (t )
!e
[ n
( A cos [ D t B sen[ D t )
(5.20)
Y la solución completa es: u ( t )
!
e
\ [ n t
D cos [ t sen [ t ) sen [t P E st a do e rmanente E st ado T emporal
(
cos [ t
D D
(5.21)
Donde las constantes A y B pueden determinarse mediante procedimientos estándar en términos del de splazamiento u(0) y la velocidad ú(0) . La Figura 5.5 muestra la ecuación 5.21 graficada para [ [ n = 0.2 \= 0.05 u(0) = 0 y ú(0) =[ n p0 / k . La respuesta total es representada por una línea de trazo continuo y la respuesta del estado permanente por una línea discontinua, la diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente con el tiempo en un valor que depende de [ [ ny \quedando únicamente la respuesta forzada y es por esta razón que es llamada respuesta del estado permanente.
5.3.2 Resonancia Para
!
[ [ n
las constantes C y D de la ecuación 5.19 son:
!
0
D
!
(u st ) 0 2\
Las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales en reposou(0) = ú(0) =0 y para [ ![ n: A !
(u st ) 0 2\
B !
(u st ) 0 2 1 \
2
Entonces la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica para[ ![ n es: u ( t )
« ¬e ! (u st ) 0 2\ ¬ ¬ 1
\
[ n
t
¨ © cos [ t D ©© ª
» ¸ ¹ sen [ D t ¹ cos [ n t ¼ ¼ ¹ º ½¼
\ 1 \
2
(5.22)
Esta ecuación de respuesta es graficada en la Figura 5.6, se observa que la magnitud de los desplazamientos es menor que los presentados por la Figura 5.4, y que el límite de respuesta está dado por: u0
!
(u st ) 0 2\
(5.23)
Para amortiguamientos pequeños el término del seno en la ecuación 5.22 es pequeño y [ D ecuación 5.22 toma la forma de: u ( t ) } (u st ) 0
1 2\
e
\ [ n t
} [ n
, por lo que la
1 cos [ n t
función envolvente
(5.24) La deformación varía con el tiempo como una función coseno, la amplitud se incrementa en función del tiempo de acuerdo a la envolvente mostrada en la Figura 5.6 como una línea de trazo discontinuo. Es importante el notar que la amplitud del estado permanen te de deformación del sistema es influenciada fuerteme nte por el amortiguamiento. El desplazamiento pico u j después de j ciclos de vibración es determinado sustituyendo t=j T n en la ecuación 5.24, estableciendo cos[ nt=1 y utilizando la ecuación 5.23, de donde se tiene: u j
2 \ j e T
!1
u0
(5.25)
20
Amplitud del Estado Permanente
urva Envolvente 1/ 2\
10 0
) u ( 0 / t s
) t (
u
1/ 2\
-10
-20 0
2
4
6
8
t
Respuesta para un sistema amortiguado de \! 0.05 sujeto a carga armónica [ ![ n Figura 5.7 Respuesta para un sistema amortiguado de \! 0.05 sujeto a carga armónica [ ![ n
5.3.3 Deformación Máxima La deformación en el estado permanente del sistema debida a una carga armónica descrita en la ecuación 5.18 y la 5.19 puede ser reescrita como: u ( t )
Donde
u0
!
2
D 2
y
!
u 0 sen [ t J
J ! ar tg D C sustituyendo por C y D :
!
p 0 k
d sen [ t
J (5.26)
d
!
u0 (u st ) 0
!
1
?
1
J ! ar tg
A ?2\
2
2
[ [ n
[ [ n
A
2
[ [ n 1 [ [ n
(5.27)
2\
2
(5.28)
graficada en función de [ [ n en la Figura 5.7(a) para algunos valores de \ notar que todas las curvas están por debajo de la curva correspondiente a \ =0. El amortiguamiento reduce R d y por consiguiente la amplitud de deformación también reduce. La magnitud de esta reducción depende de la frecuencia de excitación de la siguient e manera: R d es
Si [ [ n<< 1 (la fuerza está variando lentamente) R d es sólo levemente más grande que 1 y e s esencialmente independiente del amortiguamiento. p 0 u 0 $ (u st ) 0 ! k (5.29)
Este resultado implica que la respuesta dinámica es esencialmente la misma que la deformación estática y es controlada por la rigidez del sistema.
Si [ [ n>> 1 (la fuerza está variando rápidamente)R d tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento. 4 Para valores grandes de [ [ n el término ([ [ n) es dominante en la ecuación 5.27, la cual puede ser aproximada por:
u0
[ n
$ (u st ) 0
[
2
!
2
p 0 m[ 2
(5.30)
Este resultado implica que la respuesta es controlada por la masa del sistema.
Si [ [ n } 1 (la frecuencia de excitación se acerca a la frecuencia natural del sistema) R d es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformación dinámica puede ser más grande que la estática. Si[ ![ n la amplitud máxima es la expresada por la ecuación 5.23:
u0
!
(u st ) 0
!
2\
p 0 c[ n
(5.31)
Este resultado implica que la respuesta es controlada por el amortiguamiento de la estructura.
5.3.4 Factores de Respuesta Dinámica En este punto se introducen factores de respuesta de deformación, velocidad y aceleración que definen la amplitud de estas tres cantidades de respuesta. La ecuación 5.10 se puede escribir de la siguiente forma: u ( t )
!
p 0
d sen [ t
k
J (5.32)
Derivando la ecuación 5.32 se obtiene la respuesta para la velocidad: u( t )
!
p 0 k m
R v cos [ t J
(5.33)
Donde el factor de respuesta para la velocidad esta relacionado conR d mediante: Rv
!
[ [ n
Rd
(5.34)
Derivando la ecuación 5.33 se obtiene la respuesta para la aceleración:
(5.35)
Donde el factor de respuesta para la aceleración esta relacionado conR d mediante: R a
!(
[ [ n
) 2 Rd
(5.36) En la Figura 5.7 están graficados los tres factores de respuesta dinámica en f unción de[ [ n. Estas cantidades están relacionadas de la siguiente forma: R a [
!
Rv
!
[n
[ R [ n d
(5.37)
que hace posible el presentar estas tres gráficas en una sola utilizando un papel tetralogarítmico. 5
\!
4
\!
3
(a)
Rd
\!
2
\!
1
\!
0 5
\!
4
\!
3
Rv
(b)
\!
2
\!
\!
1 0 5
\!
4
\!
3
\!
Ra 2
(c) \!
1 0
\! 0
1 R elación
2
3
de recuencias [ [ n
Figura 5.8 Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para un sistema amortiguado sujeto a la acción de una carga armónica.
5.3.5 Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante La frecuencia Resonante está definida como la frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud máxima de respuesta. La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero deR d R v y R a con \ 1 2 respecto de [ [ npara :
Frecuencia resonante para el desplazamiento:
Frecuencia resonante para la velocidad:
Frecuencia resonante para la aceleración:
[
! [ n
[
!
[
n
1 2\
2
Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a [ n. Los tres factores de respuesta dinámica en sus respectivas frecuencias resonantes son: R d
!
1 2\ 1 \
2
R v
!
1 2\
Ra
!
1 2\ 1 \
2