Vibraciones Mecánicas Veamos las ecuaciones ecuac iones que gobiernan los diferentes sistemas resorte-masa a) Movimi Movimient ento o libre libre no no amorti amortigua guado do
M
K
X Posicion de equilibrio Ecuación diferencial que gobierna el movimiento: '' mx (t ) kx (t ) 0
Solución:
x( t) C cos( w0 t ), w 0
k
m C=amplitud; ángulo de fase
(frecuencia circular)
El periodo del movimiento es el tiempo tie mpo requerido para que el sistema complete una oscilación
dad dad por por
T
2
w0
segundos , su frecu frecuen enci ciaa es
movimiento es llamado movimiento armónico simple.
a w0
1
T
w0 2
dado dado en hertz hertzio ioss (Hz) (Hz).. Este Este
b) Movimi Movimient ento o libre libre amorti amortigua guado do
M
K
C
Ecuación diferencial que gobierna el movimiento:
mx ''(t ) cx '(t ) kx (t ) 0
Movimientos: Movimient ento o 1. Movimi
crític críticame amente nte
amorti amortigua guada da,
en
caso
c 2 4km.
Ecua Ecuació ción n
del del
t Bt) es la raíz doble del polinomio característico. movimiento: x( t) e ( A Bt
x( t) = e- a t ( A+ Bt B t)
sobreamortiguado: Si c 2 4km , raíces a b diferentes en el polinomio 2. Movimiento sobreamortiguado
cara caract cter erís ísti tico co,,
la
solu soluci ción ón
es: es:
x(t ) 0 cuando t +(t tiempo)
bt x( t) Ae Be (a,b ¡ ) ,
Dete Detect ctam amos os que: ue:
at
ab < 0 , x (t ) = Ae + Be
Movimiento o 3. Movimient
p
w0 2 p2
subamortig subamortiguado uado::
donde p=
c 2m
Si
c
2
4km .
Raíc Raíces es
comp comple leja jass
bt
conj conjug ugad adas as
demás p>0 . La solución seria:
x(t)=e pt ( Acos w t donde w1 1 t Bsenw 1 )
w0 2 p 2 , x(t)=Ce -pt cos( w1t )
- pt
x( t) = - ce
x( t) = - ce- pt
cos( w1 t- a)
c) Movimi Movimient ento o forzad forzado o no amort amortigu iguado ado
M
K
F(t)
F(t) es la fuerza externa, las más frecuentes son cuando F( t) F0 cos wt o F( t) F0 senwt . W es la llamada frecuencia externa. Veamos Veamos el caso inicial. inicia l.
kx (t ) F0 cos wt , x(t)=x c (t ) x p (t ), Ecuación: mx ''(t ) kx
recordando
w0
k m
(frecuencia natural o circular)
donde
si
xc ( t) Acos w0 t Bsenw0 t,
w w0 ,
tenemos
que:
Fo
x p ( t) Ccos wt, donde c=
m 2
w 0 w2 Fo
x( t)
Acos w0 t s enw0
m 2
w0 w
2
.A tenemo moss que que F0=80, =80, w=5, w=5, m=1, m=1, k=9 k=9 cos w0 t.Así sí si tene
(valores numéricos) tendremos que: x(t)=5cos3t-5cos5t x(t)= 5cos3t-5cos5t bajo las condiciones x(0)=x’(0)=0 Si el caso inicial consideramos las condiciones iniciales x(0)=x’(0)=0 podemos ver que:
x( t)
2F0
1 sen ( w0 w) t su grafica es: 2 m(w 0 2 w 2 )
2 F 0 2
2
m ( w0 - w )
{
La superposición de frecuencias distintas producen PULSACIONES.
RESONANCIA Cuando w0 w son aproximadamente iguales, x p (t ) tiene una amplitud muy grande. Así cuando tengamos w w0 llegamos a que x p ( t) t( Acos w0 t Bsenw0 t)
x( t) =
F 0 2mw0
t
x( t) = Btsenw0 t (A=0, B=
F0 2mw 0
)
Cuando w w0 hablamos de resonancia, es decir x p (t ) es muy grande. En caso de w w0 , habl hablam amos os de una una reson resonan ancia cia pura, pura, es evid eviden ente te que que un sist sistem emaa mecán mecánic ico o el efecto efecto de resonancia “colapsaría el sistema”. En este sentido la resonancia mecánica, no es deseable por sus efectos. d) Movimiento forzado amortiguado
M
K
C F(t
Ecuación que gobierna el movimiento: mx ''(t ) cx '(t ) kx (t ) F (t ) Nos Nos interes interesaa cuando cuando F( t) F0 cos wt. Nos interes interesaa determi determinar nar x p (t ) . Si deno denota tamo moss
K
( k mx 2 ) 2 (cw) 2
p (x) t (
F 0
k
)(cos
tg
senwtse)n o sea
cwots
k mw2
cw tenemos :
px( )t
F 0 K
cos( wt ) es el llamado
factor de ampliación, es la cantidad por la cual se debe multiplicar el desplazamiento estático F0 / K para obtener la amplitud de la ecuación periódica estacionaria ( x p (t ) ). Notamos que cuando c>0 la amplitud siempre se conserva finita (al contrario del caso no amortiguado). La amplitud puede tomar su máximo valor cuando tengamos el fenómeno de resonancia pura, pero si hallamos de la resonancia práctica la tomará para algún valor de w, para lo cual °
denotemos CCR 4km , w =
w w0
c%
c cCR
c 4km
algunas situaciones para valores específicos de w c .
así
1 2
2
2
[(1 w ) 2 4c w ]1/ 2
veamos
1 8 1 c= 4 1 c= 2 c=
w =1
w
Ejercicio
Un edificio tiene 2 pisos. El primer piso esta sujeto al suelo rígidamente y el segundo es una masa m que pesa 6 tons (32 000 Lb). La estructura elástica del edificio se comporta como u resorte que resiste a los desplazamientos horizontales del segundo piso; requiere una fuerza horizontal de 5 tons para que el segundo piso se desplace una distancia de 1 pie. Supóngase que un temblor de tierra hace que el piso oscile horizontalmente con una amplitud A0 y una 2 frecuencia circular w, resultando una fuerza externa F( t) mA0 w senwt sobre el segundo
piso ¿Cuál es la frecuencia natural (en hertzios) de las oscilaciones del segundo piso?