EJEMPLO: VISCOSÍMETRO DE CONO Y PLACA.
El viscosímetro de cono y plata consiste en una delgada placa, que está ubicada en el fondo donde se encuentra el fluido cuya viscosidad será medida dentro de un cono invertido que se encuentra sobre el fluido hasta que el vértice toca la placa. El cono rota con alguna velocidad angular Ω, y el torque (torsión) Ϯ requiere que el cono gire o para mantener la placa fija cuando se mide la viscosidad para fluidos newtonianos y algunos no newtonianos.
-Suponer que la distribución de velocidad en la separación puede aproximarse bastante por la velocidad correspondiente para flujo entre láminas paralelas, donde la lámina superior se mueve a velocidad constante. Comprobar que esto conduce a la distribución de velocidad aproximada en el viscosímetro (en coordenadas esféricas). (
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(
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1. Se aplican coordenadas esféricas para las superficies del cono y placa. Pueden ser definidas como ϴ=superficies constantes. El ángulo ϴ que se forma por el cono y el plato es aproximadamente menor a 3°, se considera que ϴ= ∏/2, por lo tanto: Superficie del cono: ϴ=α Superficie de la placa: ϴ= ∏/2
2. En el cono se experimenta una rotación para ϴ≤α : V(r) = Ωxr
y=rsinϴ 3. En coordenadas esféricas la posición del vector r es: r=rer(ϴ,Φ) Justificación: Los vectores unitarios en coordenadas esféricas dependen de la posición, el vector er es un vector de longitud igual a la unidad en la dirección r. El vector unitario eϴ es un vector unitario de longitud igual a la unidad en dirección de ϴ creciente. La geometría elemental conduce a: er= (cosϴ)ex+(sinϴ)ey+(0)ez Despejando ex ,se obtiene: ex= (cosϴ)er-(sinϴ)eϴ+(0) ez
4. Por lo anterior, la velocidad angular es: (1) 5. Obtener el producto vectorial de los vectores (Ω y r): V(r) = Ωxr= rΩsinϴeΦ
;
ϴ<α
6. La dirección principal del flujo, es en dirección Φ con condiciones de no deslizamiento y por lo tanto, las condiciones de frontera son: ϴ=α
VΦ=rΩsinα Vr=Vϴ=0
ϴ=∏/2 VΦ=Vr=Vϴ=0 7. El perfil de velocidad es consistente con las condiciones de frontera: VΦ=VΦ(r,ϴ) Vr=Vϴ=0 Indica que se considera que la velocidad angular en el viscosímetro en el fluido que se desplaza por la placa va a tender a 0. Ω→0 8. Se espera que el perfil de velocidad sea independiente de Φ. P=P(r,ϴ)
Desde la existencia de un solo componente de velocidad Φ, las líneas de corriente del fluido resultan ser en forma circular (contorno corresponde a r=cte y ϴ=cte). El círculo corresponde a 0≤Φ≤2∏. 9. Por analogía la presión que lleva un fluido en una tubería debe disminuir a lo largo de la dirección del flujo. Sin embargo en un flujo constante, la presión no puede reducirse constantemente con Φ para toda Φ. Como mínimo, la presión debe ser periódica en Φ, en otras palabras: P(r,ϴ,Φ)=P(r,ϴ,Φ+2∏) Para cualquier disminución en la presión la parte de la trayectoria circular donde pasa el fluido se podrá balancear por aumentos a lo largo de la parte restante, ¿por qué la presión puede ser alta en algunos puntos a lo largo de las líneas de corriente que en otras? La razón es que su geometría asimétrica con respecto a Φ hace que no se espere alguna dependencia con Φ con la presión. 10. El perfil de velocidad automáticamente satisface (ec.continuidad), en coordenadas esféricas:
la Ley de viscosidad de Newton
11. Ignorando la gravedad, la ec. Navier Stokes en coordenadas esféricas para r,ϴ,Φ: r:
ϴ:
Φ:
(
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(
)
]
12. Los perfiles de velocidad y de presión han sido separados, el primer paso es resolver el perfil de velocidad y luego sustituir el resultado en las ecs. de los componentes r y ϴ para así poder resolver el perfil de presión. Basado en la condición limite, se postula una solución de la forma: VΦ(r,ϴ)=rf(ϴ) Sustituyendo VΦ(r,ϴ)=rf(ϴ) en la ecuación del componente Φ se cancela la dependencia de r, así se obtiene una derivada ordinaria de segundo orden en la f(ϴ), la solución es la siguiente: (
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(
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(
)
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[
(
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]
(
[
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(
[
)
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[
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[
(
√ C1 : ϴ=α
V
C2: ϴ=∏/2
V =V
]
)
]
√
=rΩsinα (ϴ,r)
V(ϴ)=V(r)=0 V = V =Vϴ=0
V(Φ)= rΩsinα ec.5 Para calcular el perfil de velocidad en la superficie de los conos.
Se diseñan los ángulos de los conos cerca de ∏/2 aparentemente por el momento. r€ y r€1- (α→∏/2) r€ y r€1, vienen de una distancia vertical desde algún punto arbitrario (r,ϴ) dentro del fluido al plato. lim {r€1}= h(r) ϴ1→∏/2
La ecuación (5) queda: (
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(
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€=∏/2-ϴ. La velocidad de la corriente es independiente de la posición: Para α→∏/2
-Para un instrumento de placa y cono con radio 10cm y ángulo € igual a 0.5 grados, ¿qué momento de torsión (en dinas*cm) se requiere para hacer girar el cono a una velocidad angular de 10 radianes por minuto si la viscosidad del fluido es 100cp?
Datos:: R=10cm μ=100cp´=1g cm-1 s-1 Ω=10 radianes min-1 = 10/60 radianes/s= 1/6 radianes/s (∏/2)-ϴ1=0.5°= ∏/360 radianes= 0.008727 radianes Ϯ= ((2/3)∏ (1)(10)3 (1/6))/(∏/360)=40000 dyn-cm