1. UVOD U PREDMET Oblasti koje e se izu#avati u okviru predmeta Betonske konstrukcije I predstavljaju svojevrsnu dopunu nastave iz Osnova betonskih konstrukcija znanjem potrebnim stru#njacima-konstruktivcima. Pre svega, bi e obra%ene oblasti prora #una armiranobetonskih elemenata za naprezanja koja nisu obuhva ena Osnovama betonskih konstrukcija, kao što su vitki elementi napregnuti silom pritiska, elementi napregnuti na koso savijanje i armiranobetonski elementi optere eni torzijom, prema grani #noj nosivosti. Iako se, prema važe em Pravilniku za beton i armirani beton (PBAB'87), prora #un armiranobetonskih elemenata vrši prema teoriji grani #ne nosivosti, kao uvod u problematiku grani#nih stanja upotrebljivosti, bi e obra%en i prora #un elemenata prema teoriji dopuštenih napona za nekoliko osnovnih slu #ajeva naprezanja. Osnove prora #una, armiranja i izvo %enja armiranobetonskih grednih nosa #a, rešetki, stubova i zidova, posebna su oblast koja treba da uvede studente u problematiku prakti #nog oblikovanja i konstruisanja armiranobetonskih konstrukcija, uz poštovanje osnovnog principa - pouzdanosti konstrukcija. Ova problematika dalje se razra %uje u okviru predmeta Betonske konstrukcije II. Obzirom na relativno mali fond #asova predvi%en za ovaj predmet (2+2), u odnosu na kompleksnost problematike, na predavanjima e studentima biti preneta samo elementarna znanja iz navedenih oblasti, uz upu ivanje na ostale izvore znanja. Tokom vežbi bi e ura%en vei broj numeri #kih zadataka, kao reprezentativnih primera. Studenti imaju na raspolaganju i dva sata nedeljno namenjena za konsultacije sa predmetnim nastavnikom i pregled grafi #kih radova. Od studenata se o#ekuje aktivno u #eše u nastavi, redovno prisustvo na predavanjima i vežbama i blagovremeno i ta no no ura%eni grafi#ki zadaci, kao i samostalno prou#avanje raspoložive literature iz ovih oblasti.
LITERATURA:
1. Grupa autora: Beton i armirani beton prema PBAB'87, PBAB'87, Knjiga 1 i 2, 2, Gra %evinska knjiga, Beograd 2. Tomi#i, I.: Betonske konstrukcije, Školska knjiga, Zagreb 3. Radosavljevi , Ž.: Armirani beton 1 i 3, Gra %evinska knjiga, Beograd 4. Pravilnik za za beton i armirani beton, Službeni list SFRJ, br. br. 11/87 11/87 5. Pravilnik o tehni #kim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmi #kim podru# jima, Službeni list SFRJ, br. 31/81, 49/82, 29/83, 29/83, 21/88, 52/90
Kako je prema važe im propisima [5] cela teritorija Srbije i Crne Gore seizmi #ki aktivno podru# je, a budui da odre%eni #lanovi Pravilnika BAB'87 nisu u saglasnosti sa propisima za z a seizmiku sei zmiku [5], neophodno je dobro poznavanje oba pravilnika. Kada su zahtevi prema ova dva pravilnika neusaglašeni, treba postupiti prema onome koji je strožiji, st rožiji, odnosno koji obezbe %uje veu sigurnost, tj. ve u pouzdanost konstrukcije konstrukcije kao celine i pojedinih njenih elemenata.
PRORA&UN VITKIH ELEMENATA NAPREGNUTIH SILOM PRITISKA PREMA TEORIJI GRANI& NE NOSIVOSTI Pri spominjanju elemenata napregnutih silom pritiska, centri #no ili sa malim ekscentricitetom, pre svega se misli na stubove. Treba imati na umu da se na potpuno isti na#in, i pri prora #unu i pri oblikovanju i armiranju, tretiraju i svi drugi elementi sli #nog tipa (npr. pritisnuti štapovi armiranobetonskih rešetki). U okviru predmeta Osnove betonskih konstrukcija obra %eni su elementi napregnuti centri#no silom pritiska, #ija je vitkost takva da se njen uticaj na nosivost elementa može zanemariti. Pri tome je polazna jedna #ina za odre%ivanje nosivosti elementa bila: N u = f B ⋅ A b + σ v ⋅ A a = f B ⋅ A b ⋅ (1 + µ ), gde je: Nu - grani #na sila nosivosti elementa A b - površina popre#nog preseka elementa σv - granica velikih izduženja #elika Aa - površina armature u preseku
µ µ
σ - mehani#ki koeficijent armiranja, µ = v ⋅ µ f B - procenat armiranja, koji ne treba da bude manji od 0.6% i ne ve i od 6%, za slu #aj iskorišenih napona.
Ipak, ovo je samo poseban slu #aj naprezanja na centri #an pritisak. U daljem tekstu bi e prikazan prora#un armiranobetonskih elemenata naprezanih silom pritiska koji obuhvata i kontrolu vitkosti elementa, kao i njen uticaj na nosivost. Prora#un pritisnutih elemenata prema grani #noj nosivosti sprovodi se u nekoliko koraka: 1. Prora#un uticaja prvog reda 2. Kontrola vitkosti elementa • Ocena pomerljivosti konstrukcije • Prora#un dužine izvijanja posmatranog elementa • Prora#un vitkosti elementa 3. Izbor adekvatne metode prora #una 4. Prora#un i/ili usvajanje uticaja merodavnih za dimenzionisanje 5. Dimenzionisanje, odnosno odre %ivanje grani #ne nosivosti preseka elementa. U daljem tekstu e se, radi jednostavnosti, umesto izraza elementi napregnuti na pritisak , koristiti izraz stubovi. ODRE(IVANJE DUŽINE IZVIJANJA (EFEKTIVNE DUŽINE) STUBA Klasifikacija konstrukcija prema osetljivosti na horizontalna pomeranja
Za datu kombinaciju spoljnih optere enja, #vorovi konstrukcije, a time i stubovi vezani u #vorovima, rotiraju i pomeraju se, dok ne dostignu stanje ravnoteže konstrukcije u celini. Uticaj normalnih sila na veli #inu momenata savijanja u presecima stuba pre svega zavisi od 1
relativnog pomeranja, tj razmicanja njegovih krajeva. U praksi sve konstrukcije trpe barem minimalna horizontalna pomeranja. Postavlja se pitanje kada se ta pomeranja mogu zanemariti pri dokazu grani #ne nosivosti stuba, odnosno kada se konstrukcija može smatrati prakti no nepomerljivom. Ovde e biti navedena dva kriterijuma za ocenu pomerljivosti konstrukcija: 1. kriterijum: Konstrukcija se može smatrati prakti #no nepomerljivom ako su elementi koji je ukruuju u horizontalnom pravcu (konstrukcijski elementi predvi %eni za prijem horizontalnih sila - liftovska i stepenišna jezgra, zidovi za ukru enje i sl.) relativno simetri#no raspore%eni u osnovi objekta i ako njihova krutost na savijanje zadovoljava slede e
bezdimenzionalne relacije: Fv h tot ≤ 0.2 + 0.1 ⋅ n E b I b h tot
Fv ≤ 0.6 E b I b
za n ≤ 3 za n ≥ 4
gde je: n - ukupan broj spratova konstrukcije; htot - ukupna visina deformabilnog, pomerljivog dela konstrukcije, mereno od nivoa temelja ili od nivoa "ukleštenja" za uticaje seizmike i vetra; E bI b - suma krutosti na savijanje u neisprskalom stanju svih vertikalnih elemenata za ukruenje objekta u pravcu za koji se utvr %uje osetljivost na pomeranja. Ako se krutost elemenata menja po visini, može se u prora #un uvesti odgovarajua zamenjujua krutost; Fv - suma svih vertikalnih eksploatacionih optere enja, uklju#ujui i deo optere enja koje prihvataju elementi za ukruenje. 2. kriterijum: Konstrukcija se može smatrati prakti #no nepomerljivom ako je suma krutosti elemenata za ukruenje u horizontalnom pravcu dovoljna da ovi elementi prime i prenesu do temelja bar 90% od ukupnog horizontalnog optere enja. Podrazumeva se da je raspored elemenata u osnovi približno simetri #an. U svim ostalim slu#ajevima, konstrukcija kao celina, pa samim tim i krajevi stuba koji se analizira, smatraju se pomerljivim. Dužina izvijanja stuba (efektivna dužina)
Prema teoriji stabilnosti elasti#nih sistema, pod dužinom izvijanja podrazumeva se dužina polutalasa izvijenog štapa . Dužina izvijanja (efektivna dužina stuba) može se opisati izrazom: h i = k ⋅ l gde je: hi - dužina izvijanja; l - slobodna, drugim elementima (grede, tavanice...) nepoduprta dužina stuba u posmatranoj ravni deformacija; k - faktor efektivne dužine stuba, koji odražava uticaj pomerljivosti krajeva i uticaj stepena uklještenja krajeva stuba na dužinu izvijanja.
2
Slika 1 - Dužina izvijanja aksijalno optere enih stubova prema teoriji elasti #ne stabilnosti; hi - dužina izvijanja; t.i. - ta #ke infleksije Popre#ne deformacije ose stuba i prirast momenata usled uticaja normalnih sila kao jedinog spoljnog optereenja, najvei su u srednjoj treini dužine izvijanja, pa je to oblast stuba koja može biti merodavna za kontrolu grani #ne nosivosti preseka. Dakle, ako na neki na #in može da se proceni razmak nultih ta #aka momenata drugog reda, odnosno faktor efektivne dužine k , dalja analiza uticaja drugog reda može se sprovesti na izdvojenom zglobno vezanom zamenjuju em stubu dužine hi, slika 2.
Slika 2 - Momenti savijanja prvog (b) i drugog (c) reda i izolovani, zglobno oslonjeni stub (d)
3
Prakti no odre# ivanje faktora efektivne dužine stuba - k
Prvi korak u odre %ivanju faktora dužine izvijanja stuba jeste da se za oba kraja stuba odredi odnos ukupne krutosti svih stubova ∑ (EI l)s , prema ukupnoj krutosti svih greda (rigli) ∑ (EI L )r vezanih u posmatranom #voru: Ψ = ∑ (EI l)s ∑ (EI L)r , gde su l i L visina odnosno dužina odgovaraju eg stuba odnosno grede, slika 3.
Slika 3 - Primer odre %ivanja odnosa krutosti Ψ EI a 2 l1 + EI ab l 2 EI a 4 L1 + EI a 5 L 2 EI l + EIab l 2 Ψ b = b9 3 EI b6 L1 + EI b 7 L 2 Ψ1 = 0 ("beskona#no kruta rigla")
Ψa =
Ψ2 = ∞
Za potpuno uklešten kraj stuba, #vor (1), odnos Ψ jednak je nuli, dok za zglobno oslonjen kraj stuba, #vor (2), taj odnos teži beskona #noj vrednosti, slika 3. U literaturi se može na i vei broj preporuka za prakti #no odre%ivanje faktora efektivne dužine stuba k . U Priru#niku za primenu PBAB'87, knjiga 2, opisana je upotreba nomograma. Zbog svoje nepreciznosti i nemogu nosti primene u okviru ra #unarskih programa, ova metoda ovde nee biti prikazana. Osim putem nomograma, faktor dužine izvijanja stuba k može se odrediti primenom sledeih formula, kako to definišu britanski standardi: - za nepomerljive ramove usvaja se manja od sledeih vrednosti: k = 0.7 + 0.05 ⋅ (Ψa + Ψ b ) k = 0.85 + 0.05 ⋅ Ψmin , gde je Ψmin manja od dve vrednosti Ψa ili Ψ b . - za pomerljive ramove usvaja se manja od slede ih vrednosti: k = 1.0 + 0.15 ⋅ (Ψa + Ψ b ) k = 2.0 + 0.3 ⋅ Ψmin . Analiza prethodnih izraza pokazuje da je, generalno, dužina izvijanja stubova koji pripadaju nepomerljivim konstrukcijama manja od dužine izvijanja istih u sklopu pomerljivih sistema. Kod nepomerljivih ramova faktor dužine izvijanja stuba (k) naj #eše ne prelazi 4
vrednost 1.0, dok kod pomerljivih ramova #esto dostiže i k=2.0, pa i više. Kao što e se kasnije videti, izrazito vitki stubovi name u znatno vei utrošak armature od stubova male ili umerene vitkosti, a za ista optere enja, te je za preporuku konstrukcije rešavati sa posebnim elementima za ukru enje za prijem horizontalnih sila. VITKOST STUBA Vitkost stuba (štapa) λ i u posmatranoj ravni savijanja, predstavlja odnos h λi = i , i b gde je hi - dužina izvijanja (efektivna dužina) stuba i b - polupre#nik inercije preseka za osu oko koje se presek obr e prilikom izvijanja ili savijanja: I i b = b A b I b, A b - moment inercije i površina homogenog preseka (ne uzimaju i u obzir prsline). Dokaz granine nosivosti može se izvesti bez uvo#enja efekata vitkosti ako je zadovoljen bar jedan od slede a dva uslova: 1) λ i ≤ 25 U slu#aju stuba sa nepomerljivim krajevima i linearno promenljivim momentima prvog reda duž stuba, kriterijum 1) zamenjuje se slede im: M λ i ≤ 50 − 25 ⋅ 1 M2 gde su M 1 i M2 eksploatacioni momenti prvog reda na krajevima stuba, a unose se sa pravim algebarskim vrednostima. Pri tome se usvaja da je M 2 pozitivan i po apsolutnoj vrednosti vei, tj. M 2 > M1 , dok se moment M1 unosi sa pozitivnim predznakom ako zateže istu stranu nosa #a (štapa) koju i moment M 2. 2) e1 d ≥ 3.5 za λ i ≤ 75 3.5 ⋅ λ i e1 d ≥ za λ i > 75 75 gde je e1 - maksimalni ekscentricitet normalne sile sra#unat po teoriji prvog reda za elasti #an sistem usled eksploatacionog optereenja u srednjoj tre ini dužine izvijanja; d - odgovarajua dimenzija popre #nog preseka u posmatranoj ravni savijanja (u pravcu ekscentriciteta e1). U ostalim slu#ajevima mora se vršiti provera stabilnosti od uticaja izvijanja (efekti teorije II reda, u kojoj se uslovi ravnoteže ispisuju za sistem u deformisanom stanju), za najnepovoljnije mogu e kombinacije spoljnih optere enja, uzimajui i uticaje te#enja betona i geometrijske neta#nosti, dok se efekti skupljanja mogu zanemariti. Maksimalna dopuštena vitkost stuba ograni #ena je na 140. Za vitkosti 25 < λ i ≤ 75 (oblast "srednje vitkosti") provera stabilnosti može se vršiti približnim postupcima (metoda zamenjuju eg štapa ili metoda dopunske ekscentri#nosti). Za vitkosti 75 < λ i ≤ 140 provera stabilnosti mora se izvršiti po teoriji II reda. 5
ALGORITAM ZA PRORA&UN STUBOVA
* odnosno, za stubove sa nepomerljivim krajevima i linearno promenljivim momentima prvog reda duž stuba:
PRORA UN PRESE NIH UTICAJA PO TEORIJI PRVOG REDA
λ i ≤ 50 − 25 ⋅
M1 M2
PRORA UN VITKOSTI
*
ne
λi ≤ 25
1
ne
λi ≤ 140
da
da ne
λ i ≤ 75
ne
4
da
2
3
e1 = 0 da 4
CENTRI& NO PRITISNUT STUB BEZ IZVIJANJA
POVE$ATI DIMENZIJE POPRE'NOG PRESEKA ILI PROMENITI USLOVE OSLANJANJA
1
ε a1 ≤ 0
ne
VELIKI EKSCENTRICITET
da MALI EKSCENTRICITET BEZ IZVIJANJA
6
2
e1 = 0
ne
e1 d ≥ 3.5
da
da METODA ZAMENJUJU EG ŠTAPA ILI METODA DOPUNSKE EKSCENTRI NOSTI
ne
3
e1 = 0
ne
e1 d ≥
3 .5 ⋅ λ i 75
da
1
da DOKAZ STABILNOSTI PO TEORIJI II REDA
ne
NAJMANJI KOEFICIJENT ARMIRANJA podužnom armaturom u CENTRI & NO PRITISNUTIM STUBOVIMA, pri iskoriš $enim naponima u preseku, iznosi: A λ min µ = a ⋅ 100 = i − 0.4(% ) ≥ 0.6% A b 50 gde je Aa - površina preseka podužne armature; A b - površina preseka betona; λ i - merodavna vitkost. METODA DOPUNSKE EKSCENTRI& NOSTI Ukupni grani#ni uticaji u nekom preseku stuba, obi #no izraženi preko odgovaraju eg ekscentriciteta normalne sile, nalaze se kao zbir parcijalnih uticaja usled ekscentriciteta prvog reda ( e1 = M N ), uticaja usled mogu ih odstupanja ose stuba od vertikale nastalih pri izvo%enju konstrukcije - tzv. imperfekcija ose stuba (e o), uticaja nastalih razvojem dodatnih deformacija ose stuba usled vremenskih deformacija betona (e f ) i uticaja koje izaziva sila pritiska na pomeranjima usled deformacije stuba - uticaji drugog reda (e 2), slika 4. 7
Slika 4 - Parcijalni ekscentriciteti normalne sile Poetni ekscentricitet usled uticaja prvog reda - e 1
Ekscentricitet normalne sile prvog reda u bilo kom preseku iznosi e 1= M N , gde su M i N prese#ni uticaji sra#unati za stanje upotrebljivosti . U slu#aju vitkih stubova sa nepomerljivim krajevima, kod kojih se momenti prvog reda linearno menjaju po dužini, obi #no se ne poklapaju preseci sa maksimalnim vrednostima momenata savijanja prvog i drugog reda. U tom slu #aju se dozvoljava da se, u srednjoj tre ini dužine izvijanja, linearno promenljivi momenti prvog reda aproksimiraju konstantnim zamenjujuim momentima izraženim preko "ekvivalentnog ekscentriciteta" prema: 1 e1 = ⋅ (0.65 ⋅ M 2 + 0.35 ⋅ M1 ) ; N gde su M1 i M2 momenti savijanja na krajevima štapa sra #unati za optere enje u stanju upotrebljivosti (eksploatacioni momenti), pri #emu je: M 2 > M1 . Ako je jedan kraj stuba zglobno vezan, usvaja se: M e1 = 0.6 ⋅ 2 . N Ekscentricitet usled netanosti pri izvo#enju (imperfekcija ose stuba) - e o
Odstupanje ose stuba od vertikale, usled neta #nosti izvo%enja odre%eno je slede im izrazima:
Slika 5 - Imperfekcija pomerljivog rama
8
h i ≥ 2cm 300 ≤ 10cm - za pomerljive sisteme (slika 5) tgα = 1 150 za jednospratne okvire optere ene pretežno vertikalnim optereenjem za sve ostale slu#ajeve. tgα = 1 200 Za prora#un vitkih elemenata metodom dopunske ekscentri #nosti preporu#uje se da se, i za pomerljive sisteme, e o usvoji prema istom izrazu kao za nepomerljive sisteme. - za nepomerljive sisteme
eo =
Dodatni ekscentricitet usled teenja betona - e ϕ
Efekti te#enja mogu se zanemariti ako je ispunjen bar jedan od slede ih uslova: λ i ≤ 50 e1 d > 2.0 N g ≤ 0.2 ⋅ N q gde je e1 - maksimalni ekscentricitet eksploatacionih uticaja prvog reda u srednjoj tre ini dužine izvijanja d - visina preseka u posmatranoj ravni deformacija Ng,q - eksploatacione vrednosti normalne sile pritiska stuba usled stalnog i ukupnog optereenja za koje proveravamo grani #nu nosivost. Ako ni jedan od ovih uslova nije ispunjen, u prora #un se uvodi dodatni ekscentricitet usled efekata te#enja, u srednjoj tre ini dužine izvijanja, prema izrazu:
α E ⋅ϕ e ϕ = (e1g + e o )⋅ e 1− α E − 1 α E = N g N E E b I b π 2 N E = 2 hi
gde je e1g - ekscentricitet usled eksploatacionih vrednosti stalnog optereenja eo - imperfekcija ose stuba e - osnova prirodnog logaritma (e = 2.718) Ng - eksploataciona vrednost normalne sile pritiska usled stalnog optere enja NE - Ojlerova sila izvijanja odre%ena na osnovu krutosti betonskog preseka E bI b bez prslina i bez uticaja armature za stub dužine izvijanja h i ϕ - koeficijent te#enja betona - tabela 1. Koeficijent te #enja predstavlja odnos dilatacije te#enja u posmatranom trenutku vremena t i trenutnih elasti #nih dilatacija u trenutku optereenja to: ε (t, t ) ϕ(t, t o ) = b,tec o ε b,el (t o ) E b - modul elasti#nosti betona, odre %en izrazom: E b = 9.25 ⋅ 3 f bk + 10 [GPa ] , gde je f bk - #vrstoa betonske kocke (marka betona) u MPa.
9
Srednja debljina preseka elementa odre %ena je izrazom: 2A d m = b , O gde je A b - površina popre#nog preseka betonskog elementa, u cm 2; O - obim popre#nog preseka elementa u dodiru sa vazduhom, u cm. Tabela 1. Kona #ne vrednosti koeficijenta te #enja nearmiranog betona
Za elemente i konstrukcije u zatvorenim prostorima može se smatrati da se nalaze u sredini sa relativnom vlažnoš u 40% (veoma suva sredina). Za nezašti ene elemente i za elemente i konstrukcije u slobodnom prostoru smatra se da su u sredini sa relativnom vlažnošu 70% (srednje vlažna sredina). Za konstrukcije neposredno iznad vodene površine relativna vlažnost može dosti i 90% (veoma vlažna sredina). Za zna #ajne konstrukcije vlažnost sredine mora se utvrditi merenjem, prema uslovima projekta konstrukcije. Dopunski ekscentricitet usled uticaja drugog reda - e 2
Dopunski ekscentricitet usled uticaja drugog reda se, i za sisteme sa pomerljivim i za sisteme sa nepomerljivim #vorovima, odre %uje prema sledeim izrazima: e e λ − 25 e2 = d ⋅ i ⋅ 0.1 + 1 , kada je 0 ≤ 1 ≤ 0.30 100 d d e λ − 25 e2 = d ⋅ i , kada je 0.30 ≤ 1 ≤ 2.5 160 d e λ − 25 e e2 = d ⋅ i kada je 2.50 ≤ 1 ≤ 3.5 ⋅ 3.5 − 1 , 160 d d
10
Ukupan ekscentricitet - e
Sa ovako sra#unatim vrednostima dopunskih ekscentriciteta, ukupan ekscentricitet se dobija njihovom superpozicijom, tj.: e = e1 + e o + e ϕ + e 2 , a grani#ni uticaji za taj presek iznose: N u = Σγ i ⋅ N i M u = Σγ i ⋅ N i ⋅ e gde je i - g, p ili ∆ . Dalji prora#un preseka vrši se na ve poznat na #in, kao ekscentri#no optereen presek u oblasti malog ili velikog ekscentriciteta, u zavisnosti od veli #ine ekscentriciteta e.
11
