WATER INFLUX
Casi todos los reservorios están limitados por rocas saturadas de agua llamadas acuiferos.
Aquellos acuiferos, pueden ser sustancialmente muy grandes en realcion al tamaño de los reservorios de petroleo o gas que ellos cubren, que estos pueden aparecer de tamaño infinito, o ellos pueden ser de tamaño pequeño cuyo efecto en el comportamiento del reservorio puede ser negligible. A medida que los fluidos del reservorios son producidos, y la presion del reservorio declina, una diferencia de presión se desarrolla desde el limite del acuifero dentro del reservorio Siguiendo la ley básica del flujo de fluidos en medios porosos, el acuífero reacciona pasando los limites a través del contacto agua petroleo ori ginal. En algunos casos, esta invasión de agua ocurre debido a hidrodinámicas y recarga de la formación, por entrada de afloramientos en la superficie.
condiciones agua desde
En muchos casos, el volumen poroso de los acuíferos no son significativament e mas grandes que el volumen poroso del reservorio mismo. Así la expansión del agua en el acuifero es negligible, en relación a la energia total del sistema, y, el reservorio se comporta volumetricamente. En este caso, los efectos del influjo de agua pueden ser ignorados, en otros casos, la permeabilidad del acuifero, puede ser suficientemente baja tal que una muy grande diferencial de presión es requerida antes que una apreciable cantidad de agua, puede traspasar al reservorio.
En este caso los efectos del water influx pueden ser ignorados. En nuestro estudio nos vamos a enfocar en aquellos sistemas reservorioacuifero en los cuales el tamaño de el acuifero es suficientemente grande y la permeabilidad de la roca es suficientemente alta que la intrusión d e agua ocurre como el reservorio esta repletado. Tambien se vera el calculo de la intrusión de agua.
CLASIFICACION DE LOS ACUIFEROS ACUIFEROS
Many gas and oil reservoirs produced by a mechanism termed water drive. Often this is called natural water drive to distinguish it from artificialwater drive that involves the injection of water into the formation.
La produccion de petroleo desde el reservorio, y la subsecuente caida de presión genera una respuesta desde el acuifero para detener la declinación de presión. Esta respuesta viene en la forma de un influjo de agua comunmente llamado INTRUSION DE AGUA, la cual es atribuida a • EXPANSION DEL AGUA EN EL ACUIFERO • Compresibilidad de la roca del acuífero • Flujo Artesiano desde la formación que esta satura da de agua y que es reabastecida desde un afloramiento que esta mas alto que la zona de pago Los sistemas acuifero_reservorio, son comúnmente clasificados sobre la base de • • • •
Grado de mantenimiento de presión. Regímenes de flujo. Condiciones de lími te externo Geometrías de flujo
GRADO DE MANTENIMIENTO DE PRESIÓN Basado en el grado de mantenimiento de la presión, provisto por el acuifero, el empuje natural de agua al reservorio, es cualitativamente descrito como • Empuje de agua activo, • Empuje de agua parcial, • Empuje de agua limitado
El termmino EMPUJE DE AGUA ACTIVO se refiere al mecanismo de entrada de agua en el cual la tasa de intrusion de agua iguala la producción total del reservorio. Los reservorios de empuje de agua activo típicamente están caracterizados por una gradual y lenta declinación de la presión de yacimiento. Si durante cualquier periodo la tasa de producción y presión del reservorio permanece razonablemente constante, la tasa de vaciamiento del reservorio debe ser igual a la tasa de influjo de agua. [ Water Influx Rate] =[ Oil Influx Rate] + [ free gas flow Rate]+ [ Water Production Rate]
dWe/dt= Qo* Bo + Qg* Bg +
Qw* Bw
#1
donde dwe/dt = Tasa de intrusion de agua en bbl/dia Qo=Tasa de flujo de petróleo, STB/Dia Bo= Factor volumétrico de la formación Bl/Bn Qg= Tasa de flujo de gas libre SCF/Dia Bg= Factor volumétrico del gas Bls/SCF Qw=Tasa de flujo de agua, STB/Dia
Bw= Factor volumétrico el agua de formación Bls/BN La ecuación anterior puede ser expresada por su equivalente en términos de:
dWe/dt= Bo* (dNp/dt) + (GOR – Rs)*(dNp/dt) * Bg + (dWp/dt)*Bw
#2
Donde We=Intrusión de agua acumulada, Bls t= Tiempo en días. Np= Producción de petróleo acumulada, STB GOR= relación gas petróleo actual, SCF/BN Rs= Solubilidad del gas actual SCF/BN dNp/dt = Tasa de flujo diaria de petróleo, Qo, STB/day dWp/dt = Tasa de flujo diaria de agua, Qw, STB/day dWe/dt =Tasa de intrusión diaria de agua bbl/day (GOR − Rs)dNp/dt = Tasa de flujo de gas libre diario, scf/day Calcular la tasa de intrusión de agua en un reservorio cuya presión esta estabilizada a 3,000 psi.
Dado: Presión inicial del reservorio = 3500 psi dNp/dt = 32,000 STB/day Bo = 1.4 bbl/STB GOR = 900 scf/STB Rs = 700 scf/STB Bg = 0.00082 bbl/scf dWp/dt = 0 Bw = 1.0 bbl/STB Solución Aplicando cualquiera de las dos ecuaciones anteriores: dWe/dt = (1.4) (32,000) + (900 − 700) (32,000) (0.00082) + 0
dWe/dt = 50,048 bbl/day
El acuífero puede ser clasificado como: Infinito o finito. Gelogicamente todas las formaciones son finitas, pero pueden actuar como infinitas si los cambios en la presión del contacto agua petróleo no son sentidas como en el limte del acuífero. Algunos acuíferos afloran y reemplazamiento de superficie.
actúan
de
manera
infinta
debido
al
En general el limite externo gobierna el comportamiento del acuífero y por lo tanto;
a) Un sistema infinito indica que el efecto del cambio en presion en el limite petróleo - agua nunca puede ser sentido en el limite externo. Este limite esta para todos los intentos y propósitos a una presión constante igual a la presión inicial del reservorio. b) Sistema Finito indica que el limte exterior del acuífero es afectado por la intrusión dentro de la zona de petróleo y que la presión a este limite externo cambia con el tiempo.
Hay básicamente tres regímenes de flujo, que influencian la tasa de intrusión de agua dentro del reservorio, estos son:
a) Fujo en estado estable. b) Flujo en estado semi estable c) Flujo en estado inestable. Geometria de flujo El sistema Reservorio-Acuifero puede ser clasificado sobre la base de la geometria de flujo. Como: a).Empuje de agua lateral. b).Empuje de agua de fondo c).Empuje de agua lineal. En el empuje de agua lateral, el agua se mueve por los flancos del reservorio como resultado de la caída de la presión y producción en el limite reservorio-acuifero. El flujo es escencialmente radial con flujo negligible en el sentido vertical. El empuje de agua de fondo ocurre en reservorios con una gran extension areal y buzamiento suave donde el contacto reservorio-agua completamente sobreta=yace al reservorio. El flujo es escencialmente radial y en contraste con el acuífero lateral el empuje de agua de fondo tiene flujo vertical. En el empuje de agua lineal, la intrusión es desde un flanco hacia el reservorio. El flujo es estrictamente lineal con un area de sección transversal constante.
En el tema de la intruion de agua, debería aceptarse que es donde mas incertidumbres asociadas existe, pues rara ves se perfora pozos dentro del acuífero para ganar u obtener información acerca de la porosidad, permeabilidad, espesor y propiedades del fluido.
En su lugar aquellas propiedades son asumidas desde lo que se ha observado en el reservorio. Aun mas incierta es también la geometría y continuidad areal del acuífero mismo. Varios modelos han sido desarrollados para estimar la intrusión de agua y están basados en asunciones que describen las características del acuifero. Debido a las incertidumbres inherentes a las características de los acuíferos los modelos requieren datos del comportamiento histórico del reservorio para evaluar constantes representando parámetros propios del acuífero toda evs que aquellos son rara ves conocidos desde perforaciones de exploración o desarrollo. La ecuación de balance de materiales puede ser usada para determinar el influjo de agua histórico considerando el petróleo en sitio estimado volumétricamente. Esto permite la evaluación de las constantes en las ecuaciones de intrusión de agua de tal manera que la intrusión de agua futura puede ser pronosticada. Los modelos matemáticos de intrusión de agua que comúnmente son usados incluyen:
Acuifero de POT Estado estable de SCHLTHUIS Modelo de HURST de estado estable modificado Modelo de VAN EVERDIGEEN Y HURST de estado no continuo. Empuje de agua lateral Empuje de agua de fondo Modelo CARTER-TRACY de estado no continuo Modelo de FETCOVICH Acuífero radial Acuífero lineal
Es el modelo más simple que puede ser utilizado para estimar la intrusión de agua dentro de un reservorio de gas o de petróleo, se basa en la definición básica de la compresibilidad. Una caída en la presión del reservorio, debida a la producción de fluidos, da lugar a que el agua del acuífero se expanda y fluya dentro del reservorio. La compresibilidad esta definida matemáticamente como: AV=c V AP #3
Aplicando la anterior definición al acuífero
Intrusión de agua=(Compresibilidad del acuífero) (Volumen inicial de agua) ( Caída de presión)
Da lugar a: We =(Cw + Cf) Wi(pi -p)
#4
We = Intrusión acumulada de agua, bbl Cw = Compresibilidad del agua, psi−1 Cf = Compresibilidad de la roca del acuífero, psi−1 Wi = Volumen inicial de agua en el acuífero, bbl Pi = Presión inicial del reservorio, psi P = Presión actual del reservorio (Presión en el contacto agua petróleo), psi
Calcular el volumen inicial de agua en el acuífero requiere el conocimiento de las dimensiones del acuífero y sus propiedades. Aquello sin embargo raras veces ha sido medido, porque no se perforan deliberadamente pozos en el acuífero para obtener esa información. Por ejemplo si la forma del acuífero es radial entonces Wi= [ (PI*(ra^2 – re^2)* h*phi)/ 5.615]
#5
ra = radio del acuífero, ft re = radio del reservorio, ft h = espesor del acuifero, ft phi = porosidad del acuifero La ecuación 3 sugiere que el agua está entrando en forma radial desde todas las direcciones.
Sin embargo en algunos casos el agua no entra desde todos los lados del reservorio o el reservorio no es exactamente circular. Por estas razones, la ecuación #2 debe expresarse de propiamente el mecanismo de flujo.
manera de describir
Una de las mas simples modificaciones es incluir el ángulo de entrada fraccional f en la ecuación como se ilustra en la siguiente figura para obtener la expresión:
We =(Cw +Cf) Wi f (pi -p) #6 Donde el angulo de entrada fraccional f, está definido por: (Angulo de entrada)⁰ f = -------------------360⁰
teta
=------360⁰
#7
El modelo anterior es solamente aplicable a acuíferos dimensión es del mismo orden de magnitud como el reservorio.
pequeños,
cuya
Ejemplo Calcular el influjo de agua acumulativo que resulta de una caída de presión de 200 psia en el contacto agua-petroleo con un ángulo de entrada de 80 ⁰.
El sistema reservorio propiedades:
Radius, ft Prosity Cf, PSI^-1 Cw, PSI^-1 H, ft
acuifero
Reservoir 2600 0.18 4 x 10^6 5 x 10^6 20
está
caracterizado
por
las
siguientes
Aquifer 10 000 0.12 3 x 10^6 4 x 10^6 25
Solucion Paso-1. Calcular el volumen inicial de agua en el acuifero con la ecuación #5 y #6 Wi= [ (PI*(ra^2 – re^2)* h*phi)/ 5.615]
#5
Wi= [ (PI*(10 000^2 – 2600^2)* 25*0.12)/ 5.615] = 156.6 MMbbl
We
(Cw
Cf) f Wi (pi - p)
#6
We = (4+3) 10-6 (156.5 10^6 ) (80⁰/360⁰) (200) = 48,689 bbl
Schlthuis en 1936 propuso que para régimen de flujo de estado estable, descrito por la ecuació n de DARCY. entonces ser determinado aplicando la
un acuifero que esta fluyendo bajo el el comportamiento de flujo podría ser La tasa de influjo de agua ew puede ecuación.
dWe/dt=ew=[(0.00708*K*h)/(uw*In(ra/re))]* (Pi-P)
#8
La expresión anterior puede ser expresada mejor de la siguiente manera:
dWe/dt=ew= C*(Pi-P)
#9
Donde: ew = tasa de intrusión de agua, bbl/day k = permeabilidad del acuifero, md h = espesor del acuifero, ft ra = radio del acuifero, ft re = radio del reservorio, ft t = tiepo, días El termino C es llamdo la Constante de intrusión de agua y esta expresada en bbl/dia/psi. Esta constante de entrada de agua C puede ser calculada desde los datos de producción histórica del reservorio sobre un numero de intervalos de tiempo seleccionados, estipulado que la tasa de intrusión de agua ew ha sido determinada independientemente desde una expresión diferente. Por ejemplo, el parámetro C puede ser estimado combinando las ecuaciones #1 y # 8
dWe/dt
Qo Bo
Qg Bg
Qw Bw
dWe/dt=ew=[(0.00708*K*h)/(uw*In(ra/re))]* (Pi-P)
#1 #8
Aunque la constante de intrusión puede solamente ser obtenida en esta manera, cuando la presión del reservorio está estabilizada, una vez que ha sido encontrada, ella puede ser aplicada tanto a presiones de reservorio estabilizada como cambiantes.
Ejemplo Se utilizan los datos del ejercicio #1. Pi = 3500 psi, P = 3000 psi, Qo = 32,000 STB/day Bo = 1.4 bbl/STB GOR = 900 scf/STB Rs = 700 scf/STB Bg = 0.00082 bbl/scf Qw =0 Bw = 1.0 bbl/STB Calcular la constante de intrusión de agua de Schilthuis
Solucion: Paso1. Calculamos la tasa de intrusión de agua ew utilizando la ecuación #1
dWe/dt =ew= Qo Bo +Qg Bg +Qw Bw #1 ew = (1.4) (32,000) + (900 − 700) (32,000) (0.00082)+ 0 ew= 50,048 bbl/day
Paso 2. Calculamos la constante de intrusión de agua C utilizando la ecuación #8 dWe/dt=ew=[(0.00708*K*h)/(uw*In(ra/re))]* (Pi-P)
#8
C=50.048/(3500-3000)=100 bbl/day/psi Si la aproximación de estado estable describe adecuadamente el régimen de flujo del aquifero, el valor calculado de la constante de intrusión de agua C, será constante sobre el periodo histórico. Es importante destacar que las caídas de presión contribuyendo a la intrusión son las caídas de presión acumulativas desde la presión inicial. En términos de la intrusión de agua acumulativa We, la ecuación #8 es integrada, y da la expresión común de SCHILTHUIS para la Intrusión de agua
I(0, We) dWe = I(0,t) C*(Pi-P)*dt We = C* I(0,t)(Pi-P)*dt #10 We = Influjo de agua acumulativo, bbl C = Constante de intrusión de agua, bbl/day/psi t = tiempo dias Pi = Presión inicial del reservorio, psi P = Presión en el contacto agua petroleo al tiempo t, psi Cuando la caída de presión (pi − p) es graficada vs el tiempo t, como se muestra en la figura adjunta, el área bajo la curva representa la integral
I(0, t) C*(Pi-P)*dt GRAFICOS Pvs TIME Pi-P vs TIME Esta área al tiempo t puede ser determinada numéricamente utilizando la regla trapezoidal (o cualquier otro método de integración numérica) como:
I(0, t) (Pi-P)= dt = area I + area II +area III +, etc. =[((Pi-P1)/2)*(t1-0)] + [((Pi-P1)+ (Pi-P2))/2 *(t2-t1)] + [((Pi-P2)+ (PiP3))/2 *(t3-t2)] + etc. La ecuación #10 puede ser reescrita como:
We=C*SUMATORIA (0,t) (Ap)*(At)
#11
Ejercicio La historia de presión de un reservorio con empuje de agua esta dada como indica:
T, days 0 100 200 300 400
se
P,PSI 3500 3450 3410 3380 3340
El acuifero está bajo condiciones de flujo en estado estable con una constante de intrusión de agua estimada de 130 bbl/dia/psi. Calcular el influjo de agua acumulativo después de 100, 200, 300, y 400 días, utilizando el modelo de estado estable. Solución:
Paso 1. Calculamos la caída de presión a cada tiempo.
T, days 0 100 200 300 400
P,PSI 3500 3450 3410 3380 3340
Pi-P 0 50 90 120 160
Paso 2. Calculamos el influjo de agua acumulativo después de 100 dias:
We=130 *(50/2)*(100-0)=325 000 bbl Paso 3 Determinamos We después de 200 dias:
We=130 [(50/2)*(100-0) + ((50+90)/2) *(200-100)]=1235 000 bbl
Paso 3 Determinamos We después de 300 dias:
We=130 [(50/2)*(100-0) + (((50+90)/2) *(200-100)) + (((120+90)/2) *(300-200)) ] =2600000 bbl
Paso 3 Determinamos We después de 400 dias:
We=130 [2500+7000+10500+ (160+120)/2 *(400-300)] =4420000 bbl
MODELO DE HURST O DE ESTADO ESTABLE MODIFICADO
Uno de los problemas asociados con el modelo de estado estable de Schilthuis, es que como el agua es drenada desde el acuífero, el radio de drenaje del acuífero ra, se incrementara conforme se incrementa el tiempo. HURST en 1943 propuso que el radio “aparente”del acuifero ra, podria incrementarse con el tiempo y, por lo tanto el radio adimensional ra/re puede ser reemplazado con una función dependiente del tiempo, de la siguiente manera: ra/re = at
#12
Sustituyendo la ecuación #12, en la ecuación #8
dWe/dt=ew=[(0.00708*K*h)/(uw*In(ra/re))]* (Pi-P)
#8
Nos da: dWe/dt=ew=[(0.00708*K*h)* (Pi-P) /(uw*In(a*t))] #13 La ecuación de HURST de estado estable modificado, puede ser escrita de una manera más simplificada.
ew = dWe/dt= [C*(Pi-P)/(In(a*t))]
#14
Y en términos del Influjo de agua acumulado es:
We = C* I(0,t) (Pi-P)/(In(a*t))] * dt
# 15
O lo que es lo mismo
We = C* SUMATORIA(0,t) (Ap)/(In(a*t))] * At
#16
La ecuación de HURST de estado estable modificado, contiene dos constantes desconocidas, a y C, que deben ser determinadas a partir de los datos históricos de presión del acuífero- reservorio y del Influjo de agua. El procedimiento para determinar las constantes a y C, se basa en expresar la ecuación # 14 como una relación lineal.
ew = dWe/dt= [C*(Pi-P)/(In(a*t))]
[(Pi-P)/ ew] = 1/C * (In(a*t))] O también
[(Pi-P)/ ew] = (1/C) * (In(a)) + (1/C) * (In(t))
# 18
La ecuación anterior (#18), indica que un grafico de (Pi-P)/ew vs Ln(t) sera una linea recta con una pendiente de 1/C y el intercepto (1/C) ln (a), como se muestra esquemáticamente en la siguiente figura:
[(Pi-P)/ ew]
1/C (In(a)
| | / | / m=1/C …………………………...… / | / | | / | |____________________ _ |__________ (In)(t)
Grafico para determinación de C y a. Ejemplo: Los siguientes datos son los que presento CRAFT y HAWKING en 1959, en su “paper” sobre la presión de reservorio como una función del tiempo para un reservorio de empuje de agua. Utilizando los datos históricos del reservorio, CRAFT y HAWKING calcularon el influjo de agua aplicando la ecuación de balance de materiales. La tasa de intrusión de agua fue también calculada numéricamente a cada periodo de tiempo.
Time days
Pressure psi
We MBl
dw/dt = ew bbl/day
0,0
3793
0
0
0
182,5
3774
24,8
389
19
365,0
3709
172
1279
547,5
3643
480
2158
150
730,0
3547
978
3187
246
912,5
3485
1616
3844
308
1095,0 3416
2388
4458
Pi-P PSIA
84
377
Asumiendo que la presión en el límite, podría caer a 3379 psi después de después de 1186,25 días de producción, calcular el influjo de agua acumulativo a ese tiempo. SOLUCION:
Paso #1. Construimos la siguiente tabla. Time days
Pressure psi
We MBl
dw/dt = ew bbl/day
0,0
3793
0
0
0
182,5
3774
24,8
389
19
365,0
3709
172
1279
547,5
3643
480
2158
150
730,0
3547
978
3187
246
912,5
3485
1616
3844
308
1095,0 3416
2388
4458
Pi-P PSIA
84
377
Paso #2. Graficamos el termino (Pi-P)/ew vs. Ln(t) y trazamos la línea recta de mejor ajuste a través de los puntos como se indica en la figura adjunta y determinamos la pendiente de la línea. Pendiente= 0,020
Paso#3. Determinamos el coeficiente C de la ecuación de HURST desde la pendiente de la recta y obtenemos:
C=1/0.02 =50 Paso #4. Utilizando cualquier punto de la línea recta, resolvemos para los parámetros o por aplicación de la ecuación dWe/dt= [C*(Pi-P)/(In(a*t))] Y obtenemos, a = 0.064 Paso #5. La ecuación de HURST esta representada por:
We = 50 I (0, t)[Pi-P)/(In(0.064*t))]* dt
Paso #6
Calculamos el influjo de agua acumulativo después de 1186.25 dias:
We = 2388 *10^3 +
I(1095, 1186.25) 50[Pi-P)/(In(0.064*t))]* dt
We = 2388 *10^3 + 50[((3793 - 3379)/(In (0.064 * 1186.25)) + ((3793 3416)/(In (0.064 * 1095)) / 2 ] * (1186025-1095)
We = Weacum+ C* [((Pi-Pbusco)/(In(0.064*tbusco)) + ((Pi-Pbusco1)/(In(0.064*tbusco-1)) /2 ]* (tbusco-tbusco-1) We = 2388 *10^3 +
420.508x 10^3 = 2809 Mbbl
La formulación matemática que describe el movimiento del petróleo desde el reservorio hacia el borde del pozo, es idéntica en la forma a las ecuaciones que describen el flujo de agua desde el acuífero hacia el interior de un reservorio cilíndrico. Cuando un pozo de petróleo es inducido a producir a una tasa de flujo constante después de un periodo de cierre, el comportamiento de presión es esencialmente controlado por la característica de flujo en estado inestable. Esta condición de flujo es definida como el periodo de tiempo durante el cual el límite no tiene efecto en el comportamiento de la presión. La forma adimensional de la ecuación de difusividad como se indica a continuación
(d^2PD/dr^2D) + (1/rD)*( dPD / drD) = dPD / dtD La forma adimensional de la ecuación de difusividad, es básicamente la ecuación matemática general que modela el flujo inestable en el reservorio o acuíferos.
Van Everdingen y Hurst en 1949 propusieron la solución a la ecuación de difusividd adimensional para dos condiciones limites acuífero – reservorio:
TASA TERMINAL CONSTANTE PRESION TERMINAL CONSTANTE
Para la condición limite TASA TERMINAL CONSTANTE, la tasa de intrusión de agua es asumida constante para un periodo dado, y la caída de presión en el limite acuífero reservorio es calculado. Para la condición limite PRESION TERMINAL CONSTANTE, una caída de presión en el límite es asumida constante sobre algunos periodos de tiempo finitos y la tasa de influjo de agua es determinada. En la descripción de influjo de agua desde un acuífero hacia dentro de un reservorio, hay mayor interés en determinar la TASA DE INFLUJO mas que la presión. Esto conduce a la determinación de la intrusión de agua como una función de una caída de presión dada en el interior del limite del sistema reservorio acuífero. VAN EVERDINGEN Y HURST resolvieron la ecuación de difusividad para el sistema acuífero-reservorio aplicando la transformación de Laplace de la ecuación. La solución de Van Everdingen y Hurst puede ser empleada para determinar la Intrusión de agua en los siguientes sistemas:
SISTEMA – EMPUJE DE AGUA DE FLANCO RADIAL SISTEMA – EMPUJE DE AGUA DE FONDO SISTEMA – EMPUJE DE AGUA LINEAL. La figura a continuación, idealiza el sistema de flujo radial que representa a un reservorio con empuje de agua lateral. El límite interior es definido como la interfase entre el reservorio y el acuífero.
El flujo a través del límite interno, es considerado horizontal, y la intrusión ocurre a través de un plano cilíndrico que contienen al reservorio. Con la interface como limite interno, es posible imponer una presión terminal constante en el límite interno y determinar la tasa de intrusión de agua a través de la interface. Van Everdingen y Hurst, propusieron una solución a la ecuación de difusividad adimensional que utiliza la condición de presión terminal constante en adición a las siguientes condiciones límites inicial y externa. Condición inicial:
P=Pi para todos los valores de radio r. Condición del límite externo.
Para un acuífero infinito P=Pi a r=∞ Para un acuífero limitado
( dP / dr) = 0, at r=ra
Van Everdingen y Hurst, asumieron que el acuífero esta caracterizado por.
Espesor uniforme. Permeabilidad constante. Porosidad uniforme. Compresibilidad de la roca constante. Compresibilidad del agua constante.
VE&H, expresaron la relación matemática para calcular la intrusión de agua, en una forma de parámetro adimensional que lo llamaron INFLUJO DE AGUA ADIMENSIONAL WeD, También expresaron el Influjo de agua adimensional como una función del TIEMPO ADIMENSIONAL TD y el RADIO ADIMENSIONAL RD, de esta manera, fue propuesta la solución de la ecuación de difusividad generalizada, y aplicable a cualquier acuífero donde el flujo de agua hacia el interior del reservorio es esencialmente radial. Las soluciones fueron derivadas para casos de acuíferos limitados y acuíferos de extensión infinita. VE&H presentaron su solución en forma tabulada y grafica como se muestra en los graficos a continuación y las tablas adjuntas.
Intrusion de agua adimensional WeD para varios valores de re/rR, i.e. ra/re. (Van Everdingen and Hurst WeD. Permission to publish by the SPE.)
Intrusion de agua adimensional WeD para varios valores de re/rR, i.e. ra/re. (Van Everdingen and Hurst WeD. Permission to publish by the SPE.) Intrusion de agua adimensional WeD para un acuífero infinito. (Van Everdingen and Hurst WeD. Permission to publish by the SPE.) Los dos parametros adimensionales tD y rD estan dados por:
tD=6.328*10^-3 * (k*t)/(phi*uw*Ct*re^2) rD= ra/re ct= cw + cf
Donde t= tiempo en días. K= permeabilidad del acuífero en md. phi=Porosidad del acuífero µw= viscosidad del agua del acuífero cp. ra=Radio del acuifeo en pies. cw = compresibilidad del agua, psi−1 cf = compressibilidad de la roca del acuifero, psi−1 ct = compresibilidad total, psi−1 La Intrusion de agua está dada por:
We=B*Ap*WeD B=1.119 * phi*ct*re^2 * h*f teta es el angulo subtendido por la circunferencia del reservorio, por ejemplo para un circulo total tenemos = a 360ºy para un semicírculo = 180°
EJEMPLO: Calcular la intrusión de agua al fin del 1, 2 y 5 ano hacia dentro de un reservorio circular con un acuífero de extensión infinita. Las presiones de reservorio inicial y actual son: Pi=2500 psia Pa= 2490 psia. El sistema reservorio acuífero tiene las siguientes propiedades:
radius, ft porosity cf , psi−1 cw, psi−1 h, ft
Reservorio 2000 0.15 2 × 10−6 1 × 10−6 20
Acuifero infinito 20 0.3 × 10−6 0.7 × 10−6 25
Solución Paso 1. Calcular el coeficiente de compresibilidad ct. ct = 0.7 (10−6) + 0.3 (10−3) = 1 × 10−6 psi−1 Paso 2. Determinar la constante de Intrusión de agua. B = 1.119 (0.2) (1 × 10−6) (2000)2 (25) (360/360) = 22.4
Paso 3. Calcular el tiempo adimensional tD correspondiente después de 1, 2, and 5 anos.
tD=6.328*10^-3 * (k*t)/(phi*uw*Ct*re^2) tD=6.328*10^-3 * (100*t)/(0.8*0.2*1x10^-6*2000^2) tD=0.9888*t Time days
tD=0.9888t
0,0 182,5 365,0
361 722 1805
Paso 4. Utilizando la tabla #1 de acuífero Infinito, determinar la intrusión de agua adimensional WeD Time days
tD=0.9888t
0,0 182,5 365,0
361 722 1805
WeD
123.5 221.8 484.6
Paso #5. Calcular el influjo de agua acumulativo aplicando la ecuación:
We=B*Ap*WeD
Time days
tD=0.9888t
0,0 182,5 365,0
361 722 1805
WeD
123.5 221.8 484.6
We=20.4*(2500-2490) WeD
25 200 bbL 45 200 bbL 98 800 bbl
observado que para una caída de presión dada, el doblar el intervalo de tiempo no implica que se doblara la intrusión de agua. El ejemplo anterior básicamente mostro como calcular la intrusión de agua para una caída de presión simple. Pero en la realidad, muchas de estas caídas de presión ocurren de manera sucesiva durante el periodo de predicción, siendo entonces necesario analizar el procedimiento que se utiliza cuando esto ocurre. Para esto partimos del análisis de la declinación de presión en el límite como una función del tiempo, para un sistema reservorio -acuífero de tipo radial.
