-H D D
—• *
• W illiam H . Hayt,Jr, • Jack E. Kemmerly • Steven M. Durbin
Código de colores de las resistencias Negro Café
Color de la banda Valor numérico
0
1
Rojo
Naranja Amarillo Verde Azul Violeta
2
3
'lo. trámete
4
5
6
7
Gris Blanco 8
9
Banda de tolerancia(ejemplo, oro - 5%, plata —1 0 %, ninguna = 2 0 %)
1. Escriba el valor numérico correspondiente a la primera banda desde la izquierda. 2. Escriba el valor numérico correspondiente a la segunda banda desde la izquierda. 3. Escriba el número de ceros que indica la banda multiplicadora, la cual representa una potencia de 10 (negro 5 sin ceros adicionales, café 5 1 cero, etc.) Una banda multiplicadora de color oro indica que el decimal se corre un lugar hacia la izquierda; una banda multiplicadora de plata indica que el decimal se corre dos lugares hacia la izquierda. 4. La banda de tolerancia representa la precisión. Así que, por ejemplo, no sería una sorpresa encontrar una resistencia de 100 fl con una tolerancia de 5% cuyo valor medido se encuentre en algún punto dentro del rango de 95 a 105 fl. Ejemplo
Rojo Rojo Naranja Oro =22000 Azul Gris Oro = 6 .8
o22xl03 o 6 8 x 10_1
= 22 k£2, 5% de tolerancia = 6 .8 £2, 20% de tolerancia
Valores estándar de resistencias con tolerancia de 5% 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 £2 10. 11. 12. 13. 15. 16. 18. 20. 22. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 43. 47. 51. 56. 62. 68. 75. 82. 91. 100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910 £2 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1,6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 kn 10.
11.
12.
13. 15.
16. 18. 20. 22. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 43. 47. 51. 56. 62. 68. 75. 82. 91. k£2
100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910 kn 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 M£2
14.1
TABLA
Pares de transform adas de Laplace
m = £ - ' l F(s)}
F(s) = C{f(t)}, m = £ ' ' {F(S 1
á (t)
& -a 1
-
s 1
tu(t) tn~ l
•
e~Mu(t) te~mu(ñ -e~tt,u w u( t ) ,f in —= i 1 , ,2 — , ,. .. . ..
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TABLA
6.1
Resum en de circuitos básicos de am p ops
Nombre
Relación entrada-salida
Esquema del circuito
^sa! —
A m p lif ic a d o r in v e r s o r
A m p l i f i c a d o r n o - in v e r s o r
Al
VSal
S e g u id o r d e v o lt a je ( t a m b ié n c o n o c id o c o m o a m p lif ic a d o r d e g a n a n c ia u n it a r ia )
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ANALISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA
ANALISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA SÉPTIM A EDICIÓN
William H. Hayt, ir. (finado) Purdue University
Jack E. Kemmerly (finado) California State University
Steven M. Durbin University o f C anterbury Te Whare W ánanga o Waitaha
Revisión técnica: Ahmed Zekkour Zekkour Jefe d e l Á re a Eléctrica U niversidad A u tó n o m a M etropolitana-A zcapotzalco
l U s T i T U T O
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MEXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • CARACAS MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO
Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. dei Bosque Alayón Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Carlos Roberto Cordero Pedraza ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA Séptima edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
Me G ra i/v
M cG raw -H ill Interam ericana
DERECHOS RESERVADOS © 2007 respecto a la séptima edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S A . DEC.V. A Subsidiary o fT h e M cGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Alvaro Obregón C .P 01376, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
Fotografías de portada: Imagen de la cabina del avión © PhotoLinkJGetty Images Aerogeneradores: Russell Illig/Getty Intages Multímetro gráfico Fluke: Cortesía de Fluke Corporation Tarjeta de un Procesador Intel® Pentium® M (Dothan): Cortesía de Intel Corporation
ISBN-13: 978-970-10-6107-7 ISBN-10: 970-10-6107-1 (ISBN: 970-10-3694-8 edición anterior) Traducido de la séptima edición en inglés de la obra ENGINEERING CIRCUITANALYSIS, byW illiam H. Hayt, Jack E. Kemmerlv and Steven M. Durbin. Copyright © 2007 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN-10: 0-07-286611-X ISBN-13: 978-0-07-286611-7 2345678901
09765432108
Impreso en China Impreso por CTPS
Printed in China Printed by CTPS
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NUESTRO COMPROMISO CON LA EXACTITUD #----------------------------------------------------------------------------------------------------El lector tiene el derecho de esperar un libro preciso y la división de Ingeniería de McGraw-Hill invierte una cantidad de tiempo y esfuerzo considerables para asegurarse de entregarle lo que desea. A continuación se muestran los diferentes pasos que tomamos en este proceso.
NUESTRO PROCESO DE VERIFICACIÓN DE LA EXACTITUD s -------------------------------------------------------------------------P rim e ra e ta p a Paso 1: Un número significativo de profesores de ingeniería a nivel universi tario revisa el manuscrito y reporta los errores al equipo editorial. Los autores revisan sus comentarios y efectúan las correcciones necesarias en su manuscrito. S e gunda e ta p a Paso 2: Un experto en el campo de estudio revisa cada ejemplo y ejercicio del manuscrito final para verificar la exactitud de los ejemplos, ejercicios y respues tas. Los autores revisan las correcciones que resulten y las incorporan en el ma nuscrito final y en el manual de soluciones. Paso 3: El manuscrito se entrega a un editor de textos, que revisa todas las pá ginas a fin de encontrar errores gramaticales y de estilo. Al mismo tiempo, el ex perto en el campo de estudio comienza a llevar a cabo una segunda revisión de la exactitud. Todas las correcciones se someten de manera simultánea a la con sideración de los autores, quienes revisan e integran la edición y, posteriormen te, someten las páginas del manuscrito a la composición de letras de imprenta. Tercera e ta p a Paso 4: Los autores revisan sus pruebas con un doble propósito: 1) asegurarse de que se hayan efectuado de forma correcta las correcciones previas y, 2 ) en contrar cualquier error que no haya sido detectado. Paso 5: Se asigna al proyecto un revisor del texto para analizar las pruebas de las páginas, verificar por segunda vez el trabajo del autor, así como para adicio nar un análisis crítico al libro. Se incorporan las revisiones en el nuevo lote de páginas las cuales son sometidas de nueva cuenta a verificación por parte del autor. C u a rta e ta p a Paso 6 : El equipo de autores somete el manual de soluciones a la persona ex perta en el campo de estudio, a fin de que éste compare las páginas de texto con el manual de soluciones a manera de una revisión final. Paso 7: El gerente del proyecto, el equipo editorial y el equipo del autor re visan las páginas del texto como una verificación final de su exactitud. El texto de ingeniería residíante ha pasado a través de varias etapas donde se ha asegurado su calidad y se ha verificado que se encuentre libre de errores y que sea lo más preciso posible. Nuestros autores y el grupo editorial confían que, a través de este proceso, se entregan libros de texto que sean líderes en el merca do en cuanto a su precisión e integridad técnica.
ACERCA DE LOS AUTORES
W IL U A M H. HAYT, JR. cursó su licenciatura y maestría en la Universidad Purdue, y su doctorado en la Universidad de Illinois. Después de pasar cua tro años en la industria, el profesor Hayt ingresó a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Purdue, donde colaboró como profesor y jefe de la Escue la de Ingeniería Eléctrica y como profesor emérito luego de retirarse en 1986. Además de la obra Análisis de circuitos en ingeniería, el profesor Hayt es autor de otros tres libros,, entre los que se incluyen Teoría electro magnética, ahora publicado en su sexta edición por McGraw-Hiil. El profe sor Hayt ha pertenecido a las siguientes sociedades profesionales: Eta Kappa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, Sigma Delta Chi, miembro del IEEE, ASEE y NAEB. Mientras estuvo en Purdue, recibió varios premios a la enseñanza, entre los que se cuentan el premio al mejor profesor universitario. También se encuentra en la lista del libro de grandes maestros de Purdue, un muro permanente que se exhibe en Purdue Memorial Union, donde quedó inscri to el 23 de abril de 1999. El libro lleva los nombres del grupo inaugural de 225 miembros de la facultad, del pasado y el presente, quienes dedicaron sus vidas a la excelencia en la enseñanza y la erudición. Fueron elegidos por los estudiantes y colegas como los mejores educadores de Purdue. JACK E. K EM M ER LY recibió su licenciatura con grado M agna Cum Laude por parte de la Universidad Católica de América, su maestría por parte de la Universidad de Denver y su doctorado de la Universidad Purdue. Enseñó primero en esta última universidad y después trabajó como ingeniero en je fe en la División de Aeroneutrónica de Ford Motor Company. Después in gresó a la Universidad Estatal de California, en Fullerton, donde se desem peñó como profesor, director de la Facultad de Ingeniería Eléctrica, director de la División de Ingeniería y profesor emérito. El profesor Kemmerly ha pertenecido a las siguientes sociedades profesionales: Eta Kappa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, ASEE e IEEE (miembro Sénior). Sus intereses fuera de la academia incluyen ser oficial de la Little League y jefe de grupo de los Boy Scouts. STEVEN M . D U R B IN cursó su licenciatura, maestría y doctorado en las uni versidades de Purdue, West Lafayette e Indiana, respectivamente. Luego de obtener su doctorado, ingresó al Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Florida A&M y de la Universidad Estatal de Florida. En agosto de 2000 aceptó un puesto académico en la Universidad de Canterbury, en Christchurch. Nueva Zelanda, donde enseña circuitos, electrónica y cursos relacionados con el estado sólido; asimismo, realiza investigaciones sobre nuevos materiales aplicados a la electrónica y estructuras de dispositi vos. Es miembro sénior del IEEE así como miembro de Eta Kappa Nu, la Electron Devices Society, la American Physical Society y la Royal Society de Nueva Zelanda.
e pretende que la lectura de este libro sea una experiencia placentera, aun cuando el texto sea por necesidad científicamente riguroso y un tanto m a temático. Nosotros, los autores, tratamos de compartir la idea de que el análisis de circuitos resulta entretenido. No sólo es útil y del todo esencial para el estudio de la ingeniería, sino también una maravillosa capacitación para el pensamiento lógico: es bueno incluso para aquellos que quizá nunca analicen otro circuito en su carrera profesional. Mirando retrospectivamente, luego de fi nalizar el curso, muchos estudiantes se sorprenden en verdad por todas las exce lentes herramientas analíticas que se derivan sólo de tres leyes científicas sim ples: la ley de Ohm y las leyes de tensión y de corriente de Kirchhoff. En muchas universidades públicas y privadas, el curso introductorio de Inge niería Eléctrica será precedido o estará acompañado por uno introductorio de Fí sica, en el que se presentan los conceptos básicos de la electricidad y el magne tismo, casi siempre a partir del aspecto de campo. Sin embargo, los antecedentes de este tipo no constituyen un prerrequisito, sino que varios de los conceptos bá sicos esenciales de la electricidad y el magnetismo se explican (o revisan), según se necesite. Para la lectura del libro, sólo se requiere haber tomado un curso in troductorio de cálculo como prerrequisito, o quizás como correquisito. Los ele mentos de circuito se presentan y definen aquí en términos de sus ecuaciones de circuito; sólo se ofrecen comentarios incidentales acerca de relaciones de cam po pertinentes. En el pasado, tratamos de presentar el curso básico del análisis de circuitos viendo en tres o cuatro semanas la teoría del campo electromagnético, a fin de poder definir los elementos de circuito con mayor precisión, en términos de las ecuaciones de Maxwell. Los resultados, en especial con respecto de la aceptación de los estudiantes, no fueron buenos. Pretendemos que este texto ayude a los estudiantes a enseñarse a sí mismos la ciencia del análisis de circuitos. Está dirigido al estudiante, y no al profesor, pues el primero es quien tal vez dedique más tiempo a leerlo. Se hizo el máximo esfuerzo para que cada término nuevo se definiera claramente cuando se presen ta por primera vez. El materia] básico aparece al inicio de cada capítulo y se ex plica con cuidado y en detalle; se emplean numerosos ejemplos para presentar y sugerir resultados generales. Aparecen problemas prácticos a lo largo de cada capítulo, los cuales resultan por lo general simples; asimismo, se dan respuestas en orden eu las diversas partes. Los problemas más difíciles aparecen al final de los capítulos y siguen el orden general de presentación del material del texto. Es tos problemas se utilizan en ocasiones para introducir temas menos importantes o más avanzados, a través de un procedimiento guiado paso a paso, así como pa ra presentar temas que aparecerán en el siguiente capítulo. La presentación y la repetición resultante son importantes para el proceso de aprendizaje. En total, hay más de 1 2 0 0 problemas de fin de capítulo, además de numerosos problemas de práctica y más de 170 ejemplos trabajados. L a mayor parte de los ejercicios es nueva en esta edición, y con el auxilio de varios colegas, cada problema se re solvió a mano y se verificó en computadora cuando así convenía.
S
X» ------ W V
PREFACIO
Si en ocasiones el libro parece ser informal, o incluso ligero, se debe a que no es necesario ser secos o pomposos para ser educativos. Las sonrisas sorpresivas en las caras de nuestros estudiantes rara vez son obstáculo para que absorban infor mación. Si la redacción del libro tuvo sus momentos de entretenimiento, entonces, ¿por qué no pensar también lo mismo en el caso de la lectura ? La presentación del material en el texto representa un proceso evolutivo a través de los cursos impar tidos en la Universidad de Purdue; la Universidad Estatal de California, Fullerton; Fort Lewis College en Durango; el programa de Ingeniería conjunto de la Univer sidad de Florida A&M y la Universidad Estatal de Florida; y la Universidad de Canterbury (Nueva Zelanda). Dichos estudiantes vieron todo desde el principio y sus comentarios y sugerencias frecuentes se agradecen infinitamente. Es un verdadero honor poder ser el coautor de Análisis de circuitos en Ingenie ría, publicado por primera vez en 1962. Ahora en su séptima edición, este libro ha experimentado tanto un progreso permanente como un cambio importante en la for ma en que se enseña el análisis de circuitos. Yo lo utilicé como estudiante en la ca rrera de ingeniería en Purdue, donde tuve la fortuna de tomar este curso con el mismo Bill Hayt, que sin duda es uno de los mejores profesores que jamás haya tenido. Existen varias características dignas de mencionarse en Análisis de circuitos en Ingeniería que han propiciado su éxito. Está muy bien estructurado y probado por el tiempo, y los conceptos clave se presentan en un formato muy lógico, aun que también se vinculan de manera clara en un marco de referencia mayor. Tam bién cuenta con análisis bien ubicados, mezclados con ejemplos de gran utilidad y problemas prácticos excelentes. No se escatima cuando se trata de presentar la teoría en la que se basa un tema en particular o en el desarrollo de las bases m a temáticas correspondientes. Sin embargo, todo ha sido cuidadosamente diseña do para ayudar al estudiante en el aprendizaje de cómo llevar a cabo el análisis de circuitos por sí mismo; la teoría con el propósito de teorizar se deja para otros textos. Bill Hayt y Jack Kemmerly realizaron un gran trabajo en la creación de la primera edición y su deseo de transmitir al lector paite de su entusiasmo des bordante aparece en cada capítulo.
LO NUEVO EN LA SÉPTIMA EDICIÓN ^ _______________ Cuando se tomó la decisión de hacer esta séptima edición a todo color, todos los miembros del equipo de producción hicieron todo su esfuerzo para hacer lo me jor de esta excitante oportunidad. Un sinnúmero de borradores (estoy seguro que alguna persona del departamento de contabilidad los contó), revisiones, mode los y machotes cruzaron el ether (net), a medida que poníamos todo nuestro es fuerzo para hacer que todo el trabajo a colores representara un ventaja para el estudiante. El resultado final de este trabajo en equipo, considero, es difícil de al canzar. Existen muchos otros cambios con respecto a la sexta edición, aunque se ha puesto especial cuidado en la conservación de las características clave, el flu jo general de ideas y el contenido en su totalidad para beneficio de los profeso res actuales. Por lo tanto, una vez más, hemos utilizado diferentes iconos: Ofrece una advertencia de errores comunes
Indica un punto específico que vale la pena observar *
PREFACIO
Denota un problema de diseño para el cual no existe una solución única Indica un problema que requiere del análisis asistido por computadora Con la idea de que los paquetes de software sobre ingeniería pueden ser de ayu da en el proceso de aprendizaje, pero que no deben ser utilizados como muletas, los problemas al final de cada capítulo marcados con se encuentran dise ñados de tal form a que el software se utilice para verificar las respuestas y no pa ra proporcionarlas. Muchos profesores se ven en apuros para cubrir el material requerido para su curso específico sobre circuitos y, por lo tanto, pueden saltarse algunos de los capítulos. Esto es particularmente válido en el tem a de amplificadores operaciotiales, por lo que ése y subsecuentes capítulos se han escrito de tal forma que el material pueda ser omitido sin que ello signifique pérdida de claridad o flujo. La decisión de colocar el capítulo 6 inmediatamente después de terminar el análisis de cd se tomó a fin de que los circuitos de amp ops puedan utilizarse para reforzar las técnicas del análisis de circuitos que se estudiaron en capítu los anteriores. Los efectos transitorios y la respuesta en frecuencia, con excep ción de la velocidad de bajada, se incluyen al final de los capítulos relevantes, lo cual evita tener una sobrecarga de información, a la vez que proporciona un gran número de oportunidades para el uso de los amp ops como ejemplos prác ticos de los conceptos sobre análisis de circuitos que se están estudiando. Vale la pena también mencionar aquí el tema de la frecuencia compleja. Bill Hayt fue de la idea de que las transformadas de Laplace deberían presentarse co mo un caso especial de las transformadas de Fourier, esto es, un ejercicio mate mático directo. Sin embargo, muchos programas no abarcan los conceptos que se basan en Fourier hasta los cursos posteriores sobre señales y sistemas, por lo que él y Jack Kemmerly le presentan al estudiante la noción de frecuencia com pleja como una extensión de los fasores. Se ha conservado esta técnica amigable para el estudiante y representa una característica de gran valor del texto, donde otros tratamientos a menudo comienzan el capítulo sobre anáfisis de Laplace es tableciendo simplemente la transformada integral.
LOS CAM BIOS EN LA SÉPTIMA EDICIÓN INCLUYEN:
--------------------------------------- --------------------------------------------------------- • -------1. Un gran número de ejemplos nuevos y revisados, en particular en la parte de análisis transitorio (capítulos 7, 8 y 9). 2. Una gran cantidad de reescritura y expansión del material sobre amp ops en el capítulo 6 . Este material incluye ahora el análisis de su uso para construir fuentes de corriente y de voltaje, y de velocidad de bajada, comparadores y amplificadores de instrumentación. Se analizan a detalle varios tipos de confi guraciones, pero algunas variaciones se dejan a los estudiantes a fin de que puedan resolverlas por sí mismos. 3. La adición de varios cientos de problemas al final de cada capítulo. 4. Varias tablas nuevas para referencia rápida. 5. Atención minuciosa a cada ejemplo a fin de asegurar explicaciones conci sas, pasos intermedios apropiados y figuras adecuadas. Como se hizo en la sexta edición, cada ejemplo está redactado de forma similar a una pregunta de examen y diseñado para ayudar en la resolución de problemas, contra riamente a la ilustración del concepto.
*
■VvV
A/VV
•
PREFACIO
6
. En respuesta a los comentarios de muchos estudiantes, se ha incluido una gran variedad de problemas al final de cada capítulo, en los que se cuentan problemas directos para “proporcionar confianza en sí mismo” .
7. La sección de “Metas y objetivos” al comienzo de cada capítulo ha sido rebautizada como “Conceptos clave”, a fin de proporcionar una referencia rápida del contenido de cada uno. 8
. Se han agregado algunas secciones de “Aplicación práctica”, a la vez que se han actualizado las existentes.
9. Nuevas fotos, mucha de ellas en cuatro colores, a fin de agregar una pers pectiva visual de los temas relevantes. 10. El nuevo software multimedia (en línea) que acompaña a este libro incluye una actualización, que había sido anticipada por un largo tiempo, del m a nual de soluciones COSMOS, creado por los profesores. L a inesperada muerte de Bill Hayt muy al comienzo del proceso de revisión de la sexta edición representó un golpe muy duro. Nunca tuve la oportunidad de ha blar con él acerca de las modificaciones planeadas: sólo esperaba que las con tinuas revisiones ayudaran a que este libro hablara a otra generación de brillan tes estudiantes jóvenes de ingeniería. Mientras tanto, nosotros (
[email protected] y los editores de McGraw-Hill) le damos la bienvenida a los comentarios y retroal imentación por parte de estudiantes y profesores. Ya sean positivos o nega tivos, serán todos de gran valía para nosotros. Por supuesto que este proyecto ha sido un esfuerzo de equipo y mucha gen te ha participado y prestado su ayuda. El apoyo siempre presente de la editorial M cGraw-Hill y del grupo de producción, que incluye a Melinda Bilecki, Michelle Flomenhofi, Kalah Cavanaugh, Michael Hackett, Christina Nelson, Eric Weber, Phil M eek y Kay Brimever se reconoce profundamente. También quisiera agradecer a m i representante local de McGraw-Hill, Nazier Hassan, quien me visitaba en el campus para tomar una taza de café y preguntar cómo iban las co sas. Trabajar con estas personas ha sido verdaderamente increíble. En la séptima edición, las siguientes personas merecen reconocimiento y una deuda de gratitud por su tiempo y energía en la revisión de las diversas versio nes del manuscrito: Miroslav M. Begovic, Georgia Institute o f Technology Maqsood Chaudhry, California State University, Fullerton Wade Enright, Viva Technical Solutions, Ltd. Rick Fields, TRW Victor Gerez, Montana State University Dennis Goeckel, Univeristy o f Massachusetts, Amherst Paul M. Goggans, University o f Mississippi RiadhH abash, University o f Ottawa Jay H. Harris, San Diego State University Archie Holmes, Jr. University o f Texas, Austin, Sheila Horan, New México State University Douglas E. Jussaume, University o f Tulsa James S. Kang, California State Polytechnic University, Pomona Chandra Kavitha, University o f Massachusetts, Lowell León McCaughan, University ofW isconsin John P. Palmer, California State Polytechnic University, Pomona
PKtFACIO
Craig S. Petrie, Brigham Young University Mohammad Sarmadi, The Pennsylvania State University A C . Soudack, University ofB ritish Columbia Earl Swartzlander, University o f Texas, Austin Val Tereski, North Dakota State University Kamal Yacoub, University ofM iam i Se agradecen profundamente los comentarios y sugerencias de los doctores Jim Zheng, Reginald Perry, Rodney Roberts y Tom Harrison del Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computación de la Universidad de Florida A&M y la Universidad Estatal de Florida, así como el increíble esfuerzo y entusiasmo de Bill Kennedy, de la Universidad de Canterbury, quién efectuó la lectura prelimi nar de cada capítulo y proporcionó muchas sugerencias útiles. Asimismo, se agradece en especial a Ken Smart y Dermot Sallis por haber proporcionado componentes para las fotografías, a Duncan Shaw-Brown y Kristi Durban por los servicios fotográficos, a Richard Blaikie por su apoyo con la Aplicación práctica sobre los parámetros-^, a Rick Millane por su ayuda en la Aplicación práctica sobre el procesamiento de imágenes, y a Wade Enright por proporcio nar un sinnúmero de fotografías de transformadores (nadie tiene más fotografías de transformadores que él). Las compañías Cadenee y The Mathworks propor cionaron su amable ayuda con el software de análisis asistido por computadora, lo cual se agradece profundamente. Phillipa Haigh y Emily Hewat proporcionaron la captura, fotocopiado y revisión en varias etapas del proyecto y, ciertamente, merecen nuestro agradecimiento por escrito por su valiosa ayuda. Asimismo, quisiera expresar mi agradecimiento a mi departamento por otorgarme mi estancia sabática para comenzar el proceso de revisión, lo que significa que mis colegas amablemente accedieron a llevar a cabo un gran número de mis labores cotidianas. Muchas personas han influido en mi estilo de enseñanza a través de los años. Entre ellas se incluyen a los profesores Bill Hayt, David Meyer, Alan Weitsman y mi asesor de tesis, Jeffrey Gray, así como el primer ingeniero eléctrico quejamás haya conocido: mi padre, Jesse Durbin, un egresado del Instituto Tecnoló gico de Indiana. Asimismo, agradezco profundamente la ayuda y aliento a otros miembros de mi familia, lo cual incluye a mi madre, Roberta y a mis hermanos, Dave, John y James, así como a mis suegros Jack y Sandy. Por último y más im portante: agradezco a mi esposa Kristi por su paciencia, comprensión, aliento y consejo y a nuestro hijo, Sean, por hacemos la vida muy divertida. Steven M. Durbin Chrislchurch, Nueva Zelanda Agradecemos en especial la valiosa contribución de los siguientes asesores técnicos para la presente edición en español: Francisco Reséndiz Rodríguez, ITESM, campus Puebla Katia Romo, ITESM, campus Ciudad de México Elise Juárez Pinto, Instituto Tecnológico de Culiacán Arturo Astorga Ramos, Instituto Tecnológico de Mazatlán Alfredo Santana Díaz, ITESM, campus Toluca Héctor Hernández Ramírez, Universidad La Salle Germán García Benítez, Universidad Autónoma del Estado de México, campus Toluca José Waldo Cervantes, Universidad Iberoamericana Homero Núñez Ramírez, ITESM, campus Monterrey Martha Salomé López, ITESM, campus Monterrey Nicolás González, Universidad Autónoma de Nuevo León
VISITA GUIADA E n fo q u e en la res o lu ció n d e p ro b le m a s El capítulo 1 muestra información detallada acerca de la forma más eficiente de atacar un problema de análisis de circuitos en ingeniería y establece los pasos que se deben tomar para llegar a la solución correcta.
Un ejemplo cuidadosamente seleccionado en cada capítulo subsecuente se identifica con estos pasos para reforzar de manera continua las capacidades para la resolución de problemas.
Énfasis en el d is e ñ o El concepto de diseño se presenta en el capítulo 1 ; a través del texto, los aspectos relacionados con el diseño se encuentran mezclados con un estudio de los procedimientos de análisis.
sSdieS X '<íOMÜ/nSOO) = 4 V. lomúmocsnffi •X(2000/ 12500) = SO ufloet&fu deíunpüficación(k
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R elación con la v id a rea l Las secciones de Aplicación Práctica muestran de qué manera se relaciona el material bajo estudio con situaciones del mundo real.
G ran n ú m e ro de no tas a l m arg en e iconos Las notas al margen proporcionan consejos, ideas e información adicional acerca de aspectos clave del análisis. El icono de “Tome nota” hace hincapié en los puntos específicos que vale la pena resaltar, mientras que el icono de “Precaución” identifica a los estudiantes las probables causas de error. (¿üij------ W \ -------- -----• CAPITULOSOLAMPIIF1CA0OROCB»OOMAI enel casoparticular donde fU/R) = R2/Ri = IC. laecuación (2?( x reduce a
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Secciones d e "le c tu ra a d ic io n a l"
LECTURAS ADICIONALES R- Mancini ¡ed.).OpAmpsAtzFacEverymic,’a.ed. Anuterdam; Mtwnes.
Al final de cada capítulo, una lista de lecturas adicionales acerca de los temas clave que se trataron en él proporciona una guía para los estudiantes interesados en clarificar y profundizar su conocimiento de los conceptos importantes acerca de circuitos.
W0. >»í. OpAmpCookbook. 3a. ed. UpperSaddleRiver.NJ.: PrenáceHall, laseat^dertsticBdddiodoZeneryotn»(¡posdediodos« eetudunenelcapítulo l.de
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Al final de cada capítulo se presenta un panorama que ofrece a los estudiantes una oportunidad para verificar su retención de las ideas principales que se explicaron, que es además de mucha utilidad como una referencia para el repaso y la preparación de exámenes.
Sólolacomponenteresistivade unacaiga consumeunapotenciapromedio
Unacaiga puramenteresistivatendráun factor ib potenciaunitario.Una cargapuramentercactivatendráun {actor(lepotenciacero. Lapotenciatoníplcjdsc definecomoS = P+ jQ, o Isl - V^^yse
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ISSN:0142-0615.* 8
P ro b le m a s p a ra c o m p u ta d o ra Se presentan ejemplos de PSpice y MATLAB en lugares convenientes en muchos capítulos. La ingeniería asistida por computadora se utiliza como apoyo, no como una sustituía del desarrollo de capacidades para resolver problemas. Asimismo, el análisis asistido por computadora se presenta en problemas de tarea seleccionados para motivar a los estudiantes a que comparen los cálculos realizados por escrito con los resultados que se generen en la simulación.
NUESTRO COMPROMISO CON LA EXACTITUD
NUESTRO PROCESO DE VERIFICACIÓN DE LA EXACTITUD | Primera atapa
C o m p ro m is o con la precisió n Se incluye una declaración de precisión que describe el proceso que el editor y el autor han instituido con el fin de asegurar la precisión en los cálculos.
CONTENIDO BREVE
PREFACIO
xi
1
IN TR O D U C C IÓ N
1
2
CO M PO N EN TES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
3
LEYES DE TE N SIÓ N Y DE CORRIENTE
4
A NÁLISIS N O D A L Y DE M A L L A BÁSICOS
5
TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁ LISIS DE CIRCUITOS
6
EL A M P LIFIC A D O R O PER AC IO N AL
7
CAPACITORES Y BO BIN AS
8
CIRCUITOS
9
CIRCUITO
35 79
173
255
319
10
ANÁLISIS DE ESTADO S EN O ID AL PERM ANENTE
11
ANÁ LISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
12
121
215
RL Y RC BÁSICOS
RLC
9
CIRCUITOS POLIFÁSICOS
369 419
457
13
CIRCUITOS ACO PLADOS M AG N É TIC AM E N TE
14
FRECUENCIA COM PLEJA Y TR A N S FO R M AD A DE LAPLACE
15
ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL D O M IN IO S
16
RESPUESTA EN FRECUENCIA
17 18
REDES DE DOS PUERTOS
491 533
571
627 691
ANÁLSIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
735
A péndice 1
IN TR O D U C C IÓ N A LA TO PO LO G ÍA DE REDES
A péndice 2
SO LU CIÓ N DE ECUACIONES SIM ULTÁNEAS
805
A péndice 3
U N A PRUEBA DEL TEOREM A DE TH ÉVENIN
813
A péndice 4
TUTORIAL DE PSPICES
A péndice 5
NÚM EROS COMPLEJOS
A péndice 6
U N BREVE TUTORIAL DE M ATLAB
A péndice 7
TEOREMAS AD IC IO N A LES DE LA TR A N S FO R M AD A DE LAPLACE
ÍN D ICE
843
793
815 821 831 837
CONTENIDO ,
C A P ÍT U L O 1
_ _ _ _ _ _ _
INTRODUCCIÓN 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1. 6
Preámbulo 1 Panorama general del texto 2 Relación del análisis de circuitos con la Ingeniería 4 Análisis y diseño 5 Análisis asistido por computadora 6 Estrategias exitosas para la resolución de problemas 7 LECTURAS ADICIONALES 8
C A P ÍT U L O 2
_____________________
_________
COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS 9 2.1 2.2 2.3 2.4
Unidades y escalas 9 Carga, corriente, tensión (voltaje) y potencia 11 Fuentes de tensión y de comente 17 Ley de Ohm 22 RESUMEN Y REPASO 28 LECTURAS ADICIONALES 28 EJERCICIOS 29
C A P ÍT U L O 5
________________ _________
LEYES DE TENSION Y DE CORRIENTE 35 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
Nodos, trayectorias, lazos y ramas 35 Ley de comentes de Kirchhoff 36 Ley de tensión de Kirchhoff 38 El circuito de un solo lazo 42 El circuito de un par de nodos 45 Fuentes independientes conectadas en serie y en paralelo 49 Resistencias en serie y en paralelo 51 División de tensión y de comente 57 RESUMEN Y REPASO 62 LECTURAS ADICIONALES 63 EJERCICIOS 63
C A P ÍT U L O 4
___________________
ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 79 4.1 4.2 4.3
Análisis nodal 80 El supemodo 89 Análisis de malla 92
4.4 4.5 4.6
Supermalla 98 Comparación entre el análisis nodal y el de malla 101 Análisis de circuitos asistido por computadora 103 RESUMEN Y REPASO 108 LECTURAS ADICIONALES 108 EJERCICIOS 109
C A P ÍT U L O 5
TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 121 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
Linealidad y superposición 121 Transformaciones de fuente 131 Circuitos equivalentes de Thévenin y Norton 139 Transferencia de potencia máxima 150 Conversión delta-estrella 152 Selección de un procedimiento: comparación de diversas técnicas 155 RESUMEN Y REPASO 156 LECTURAS ADICIONALES 156 EJERCICIOS 156
C A P ÍT U L O 6__________________ _________
EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 173™ 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
Antecedentes 173 El amp op ideal: una introducción amable 174 Etapas en cascada 182 Circuitos de fuentes de tensión y de corriente 186 Consideraciones prácticas 190 Los comparadores y el amplificador de instrumentación 2 0 1 RESUMEN Y REPASO 204 LECTURAS ADICIONALES 204 EJERCICIOS 205
C A P ÍT U L O 7
__________
CAPACITORES E INDUCTORES 215 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
El capacitor 215 El inductor 224 Combinación de inductancia y capacitancia 232 Consecuencias de la linealidad 235 Circuitos de amp op simples con / '' ^ capacitores 238 [X X ÍÍÍ
A /W 7.6 7.7
■#
CONTENIDO
Dualidad 240 Construcción de modelos de capacitores e inductores conPSpice 243 RESUMEN Y REPASO 245 LECTURAS ADICIONALES 246 EJERCICIOS 246
CAPÍTL'í-Q
10.9
Superposición, transformaciones de fuente y teorema de Thévenin 396 10.10 Diagramas fasoriales 404 RESUMEN Y REPASO 407 LECTURAS ADICIONALES 407 EJERCICIOS 408
C A P ÍT U L O 11________________________________________
8
CIRCUITOS RL Y RC BASICOS 255
ANALISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA 419
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6
El circuito RL sin fuente 255 Propiedades de la respuesta exponencial 262 Circuito RC sin fuente 266 Una perspectiva más general 269 La función escalón unitario 276 Accionamiento de circuitos RL 280 Respuestas natural y forzada 283 Accionamiento de circuitos RC 289 Predicción de la respuesta de circuitos conmutados secuencialmente 294 RESUMEN Y REPASO 300 LECTURAS ADICIONALES 302 EJERCICIOS 302
¿6 rgBTPI J1 íf> O í'lf i I Ü.W -
CIRCUITO RLC 3 1 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
Circuito en paralelo sin fuente 319 Circuito RLC en paralelo sobreamortiguado 324 Amortiguamiento crítico 332 Circuito RLC en paralelo subamortiguado 336 Circuito RLC en serie sin fuente 343 Respuesta completa del circuito RLC 349 Circuito LC sin pérdidas 357 RESUMEN Y REPASO 359 LECTURAS ADICIONALES 360 EJERCICIOS 360
CA FSTm a
1 0
__________________'
C A P ÍT U LO 12 _________________
CIRCUITOS POLIFÁSICOS 457 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5
CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE 13.1 13.2 13.3 13.4
______________
Características de las senoidales 369 Respuesta forzada a funciones senoidales 372 Función forzada compleja 376 Elfasor 381 Relaciones fasoriales de R, L y C 383 Impedancia 387 Admitancia 392 Análisis nodal y de malla 393
Sistemas polifásicos 458 Sistemas monofásicos de tres hilos 460 Conexión Y-Y trifásica 464 Conexión delta A 470 Medición de potencia en sistemas trifásicos 476 RESUMEN Y REPASO 484 LECTURAS ADICIONALES 485 EJERCICIOS 485
C A P ÍT U L O 1 3 ___________________ ______________
ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE 3 6 9 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8
Potencia instantánea 420 Potencia promedio o activa 422 Valores eficaces de corriente y de tensión 432 Potencia aparente y factor de potencia 437 Potencia compleja 440 Comparación de la terminología de potencia 445 RESUMEN Y REPASO 446 LECTURAS ADICIONALES 446 EJERCICIOS 447
Inductancia mutua 491 Consideraciones energéticas 499 El transformador lineal 503 El transformador ideal 510 RESUMEN Y REPASO 520 LECTURAS ADICIONALES 520 EJERCICIOS 521
C A P ÍT U L O 1 4 __________
FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE 533 14.1 14.2 14.3
Frecuencia compleja 533 Función forzada senoidal amortiguada 537 Definición de la transformada deLaplace 540
CONTENIDO
14.4 14.5 14.6 14.7
Transformadas de Laplace de funciones de tiempo simples 543 Técnicas de la transformada inversa 546 Teoremas fundamentales para la transformada de Laplace 553 Teoremas del valor inicial y del valor final 561 RESUMEN Y REPASO 564 LECTURAS ADICIONALES 564 EJERCICIOS 565
C A P IT U L O 1 5
_____
ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL D OM INO s 571 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8
Z(s) y Y(s) 571 Análisis nodal y de malla en el dominio s 578 Técnicas adicionales de análisis de circuitos 585 Polos, ceros y funciones de transferencia 588 Convolución 589 Plano de frecuencia compleja 598 Respuesta natural y el plano s 607 Técnica para sintetizar la razón de tensión H(s) = 'Vmt/'VSni 612 RESUMEN Y REPASO 616 LECTURAS ADICIONALES 616 EJERCICIOS 617
C A P ÍT U L O 1 6 _____________________
RESPUESTA EN FRECUENCIA 627 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7
Resonancia en paralelo 627 Ancho de banda y circuitos de alto Q 636 Resonancia en se¿p 641 Otras formas resonantes 645 Escalamiento (o ajuste) 652 Diagramas de Bode 656 Filtros 672 RESUMEN Y REPASO 680 LECTURAS ADICIONALES 681 EJERCICIOS 681
C A P ÍT U L O 1 7
REDES DE DOS PUERTOS 691 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
Redes de un puerto 691 Parámetros de admitancia 696 Algunas redes equivalentes 703 Parámetros de impedancia 712 Parámetros híbridos 718 Parámetros de transmisión 720 RESUMEN Y REPASO 724 LECTURAS ADICIONALES 725 EJERCICIOS 725
• ------------
W
V
----------------( X X V
C A P IT U L O 1 8 _________
________
ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER 735 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7
Forma trigonométrica de la serie de Fourier 735 Uso de la simetría 745 Respuesta completa a funciones forzadas periódicas 750 Forma compleja de la serie de Fourier 752 Definición de la transformada de Fourier 759 Algunas propiedades de la transformada de Fourier 763 Pares de transformadas de Fourier de algunas funciones del tiempo simples 766 18.8 Transformada de Fourier de una función del tiempo periódica general 771 18.9 Función del sistema y respuesta en el dominio de la frecuencia 772 18.10 Significado físico de la función del sistema 779 RESUMEN Y REPASO 785 LECTURAS ADICIONALES 785 EJERCICIOS 785 A P É N D IC E 1
INTRO DU CC IÓ N A LA TO POLOG ÍA DE REDES 793
A P É N D IC E 2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS 8 0 5
A P É N D IC E 3
U NA PRUEBA DEL TEOREMA DE THÉVENIN 813
A P É N D IC E 4
TUTORIAL DE PSPICE
A P É N D IC E 5
NÚMEROS COMPLEJOS 821
A P É N D IC E 6
UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB® 831
A P É N D IC E 7
TEOREMAS AD ICIO NALES DE LA TRANSFO RM ADA DE LAPLACE 8 3 7
ÍN D ICE 843
815
CAPITULO
Introducción 1.1
PREAMBULO
-------•--------------------------A los estudiantes que actualmente se gradúan en ingeniería ya no se les contrata sólo para trabajar en aspectos de diseño técnico en los problemas de la ingeniería. Ahora sus esfuerzos van más allá de la creación de mejores computadoras y sistemas de comunicación, e incluso se involucran en vigorosos esfuerzos para resolver proble mas socioeconómicos como la contaminación del aire y el agua, la planeación urbana, la transportación masiva, el descubrimiento de nuevas fuentes de energía y la conservación de los recursos natura les, en particular el petróleo y el gas natural. Para contribuir a solucionar tales problemas ingenieriles, un in geniero debe adquirir muchas capacidades, una de las cuales es el conocimiento del análisis de los circuitos eléctricos. Si ya se ha cur sado un programa de ingeniería eléctrica o se pretende entrar a uno, es posible que el análisis de circuitos sea el curso de introducción en el campo elegido. Si se vincula con alguna otra rama de la ingenie ría, es factible que el análisis de circuitos represente una gran parte del estudio completo de ingeniería eléctrica, pues proporciona los fundamentos para trabajar en la instrumentación electrónica, en má quinas alimentadas por electricidad y sistemas de gran escala. Sin embargo, lo más importante es la posibilidad que brinda de ampliar la educación que se posee, para que los ingenieros puedan convertir se en miembros más informados de un equipo. Cada vez más, los equipos han incrementado su nivel multidisciplinario, y la comuni cación eficaz dentro de ellos sólo puede lograrse si el lenguaje y las definiciones utilizadas resultan familiares para todos. . En este capítulo, antes de comenzar la agenda sobre discusiones técnicas, se esbozan los temas que se analizarán a lo largo del texto, pero se hará una breve pausa para considerar la relación entre el análisis y el diseño, así como el papel que juegan las herramientas de cómputo en el análisis moderno de circuitos.
Aspectos del análisis de circuitos: análisis en cd, análisis transitorio, análisis en ca y análisis en frecuencia, i------------------------------------------------------------------------
Análisis y diseño.
!-------------------------------Análisis asistido p o r co m putadora.
------------------------------------------Técnicas para la resolución de problem as.
( T ) ------ w v
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
No todos los ingenieros en electrónica utilizan el análisis de circuitos de manera rutinaria, pero a menudo ponen en práctica las habilidades analíticas y de resolución de problemas que aprendieron durante sus estudios de licenciatura. Un curso sobre análisis de circuitos es una de sus primeras exposiciones a dichos conceptos. (Espejos solares: © Corbis; Skyline: © Getty Images/ Photolínk; Oil Rig: © Getty Images; Dish:" Getty Images/J. Luke/Photolink.)
1.2 . PANORAMA GENERAL DEL TEXTO________ _ _ _ _ _ El tema fundamenta] de este libro es el análisis de circuitos lineales, el cual in vita a algunos lectores a preguntar, “¿Existe el análisis de circuitos no-linealesT' ¡Por supuesto! Se encuentran circuitos no-lineales todos los días: éstos capturan y decodifican señales para nuestras televisiones y radios, llevan a cabo millones de cálculos por segundo dentro de los microprocesadores, convierten la voz en señales eléctricas para su transmisión a través de líneas telefónicas y ejecutan muchas otras funciones que ni siquiera es posible imaginar. En el diseño, prue ba e implementación de dichos circuitos no-lineales, no puede uno olvidarse del análisis a detalle. Los aparatos de televisión incluyen muchos circuitos no lineales. Sin embargo, una gran cantidad de ellos pueden comprenderse y analizarse con la ayuda de modelos lineales. ( © Sony Electronics Inc)
“Entonces, ¿por qué estudiar el análisis de circuitos lineales?” sería una pregunta válida. Muy buena pregunta. El simple hecho es que ningún sistema físico (entre ellos los circuitos eléctricos) es perfectamente lineal. Sin embargo, por fortuna, un gran número de sistemas se comportan razonable mente en forma lineal arriba de un rango limitado, pues permite modelarlos como sistemas lineales si se toman en cuenta las limitaciones en el rango. Por ejemplo, considere la función f ( x ) = e*
SECCIÓN 1.2 PANORAMA GENERAL DEL TEXTO
U na aproximación lineal a esta función es f(x ) «
1
+ x
La comprobación se realiza de la siguiente manera. La tabla 1.1 muestra tan to el valor exacto como el aproximado ds f ( x ) en un rango de x. De manera sor prendente, la aproximación lineal es muy exacta hasta alrededor de x = 0 . 1 el valor, cuando el error relativo es todavía menor a 1%. Aunque muchos ingenie ros son muy hábiles con una calculadora, es difícil discutir el hecho de que cual quier otro método sea más rápido que sólo agregando un 1 .
TABLA
1.1 Comparación de un modelo lineal para ex con el valor exacto
x
f(x)*
1+ x
Error relativo**
0.0001
1.0001
1.0001
0 .0 0 0 0 0 0 5 ^
0.001
1.0010
0.01
1.0101
g lo i 1.01
0.1 1.0
1.1052 2.7183
1.1 2.0
0 .0 0 0 0 5 ^ :: 0.005% 0^5% 26%
*Especiücado con eua¡ro£lfrassjgi)á¿_a¡ivas. **Error relativo = I Q É k x
----------- ^
+
Los problemas lineales son inherentemente más fáciles de resolver que los no-lineales. Por esta razón, a menudo se buscan aproximaciones lineales que sean muy similares (modelos) a las situaciones físicas. Además, los modelos li neales se manipulan y se comprenden de una manera más fácil logrando que el diseño se convierta en un proceso más sencillo. Todop Jos circuitos que se presentarán en los. capítulos subsecuentes repre sentan aproximaciones lineales a los circuitos eléctricos físicos. Cuando sea apropiado, se proporcionarán explicaciones breves de inexactitudes potenciales o limitaciones de estos modelos, pero, en términos generales, se puede observar que tienen una exactitud adecuada para la mayor parte de las aplicaciones. Cuan do en la práctica se requiera de una exactitud mayor, se emplearán modelos nolineales, a costa de un incremento considerable en la complejidad de la solución. En el capítulo 2 se puede encontrar un análisis más detallado de lo que constituye un circuito eléctrico lineal. El análisis de circuitos lineales puede separarse en cuatro grandes categorías: análisis en cd, análisis transitorio, análisis en ca y análisis de la respuesta en frecuencia. El estudio comienza con el tema de los circuitos resistivos, que in cluye ejemplos simples como el de un foco o un tostador. Ello nos brinda una oportunidad perfecta para aprender varias técnicas muy poderosas de análisis de circuitos de ingeniería, como el análisis nodal, el análisis de malla, la superpo sición, la transformación de fuente, el teorema de Thévenin y el teorema de Nor ton, así como varios métodos para simplificar las redes de componentes conec tados en serie o en paralelo. La única característica rescatable de los circuitos resistivos es que la dependencia del tiempo de cualquier cantidad de interés no afecta el proceso de análisis. En otras palabras, si se quiere determinar una cantidad
•
4
------ W
V
-------------------------------•
Los trenes modernos están impulsados por motores eléctricos. Sus sistemas eléctricos se analizan mejor a través del uso de técnicas de análisis fasorial o en ca. ( © Corbis.)
Los circuitos que dependen de la frecuencia son parte medular de muchos aparatos electrónicos, y su diseño puede representar una tarea muy divertida. ( © 1994-2005 Hewlett-Packard Company.)
CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN
eléctrica de un circuito resistivo en algunos instantes específicos en el tiempo, no será necesario que se analice el circuito más de una vez. Como resultado, se dedicarán los mayores esfuerzos a considerar sólo circuitos de cd, es decir, cir cuitos cuyos parámetros eléctricos no varían con el tiempo. Aunque los circuitos de cd como un foco o el desemparuidor del vidrio trase ro de un automóvil son, sin duda alguna, importantes en la vida diaria, las cosas se toman mucho más interesantes cuando algo sucede de repente (¡imagine un cohete que le tome 100 años para ir de un ruido suave a una explosión!). En el argot del análisis de circuitos, el análisis de transitorios es el conjunto de técni cas utilizadas en el estudio de circuitos que se energizan o desenergizan de manera repentina. Para hacer esos circuitos más interesantes, es necesario agre garles elementos que respondan a la velocidad de cambio de las cantidades eléctricas, lo cual conduce a ecuaciones de circuitos que incluyen derivadas e in tegrales. Por fortuna, se pueden obtener dichas ecuaciones utilizando las técni cas que se expusieron en la prim era parte de este estudio. Sin embargo, no todos los circuitos que varían con el tiempo se encienden y se apagan de manera repentina. Los equipos de aire acondicionado, ventiladores y lámparas fluorescentes son sólo algunos de los múltiples ejemplos que se en cuentran en la vida diaria. En tales situaciones, el método basado en el cálculo para todos los análisis puede convertirse en una tarea tediosa y consumir mu cho tiempo. Por fortuna, existe una mejor alternativa en situaciones donde al equipo se le permite operar un tiempo lo suficientemente largo para que los efec tos transitorios desaparezcan, a lo cual se le conoce comúnmente como análisis en ca, o, a menudo, análisis fasorial. La última parte del recorrido está relacionado con el tem a conocido como la respuesta en frecuencia. Trabajar de manera directa con las ecuaciones diferen ciales que se obtienen en el análisis en el dominio del tiempo permite desarrollar una comprensión intuitiva de la operación de circuitos que contengan elementos de almacenamiento de energía (por ejemplo, capacitores y bobinas). Sin embar go, como se verá más adelante, aun los circuitos con un número relativamente pequeño de componentes pueden ser de alguna forma difíciles de analizar, por lo que se han desarrollado métodos más directos. Estos métodos, entre ellos el aná lisis de Laplace y de Foürier, permiten transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas así como diseñar circuitos que respondan de manera específica a frecuencias particulares. Cotidianamente se utilizan circuitos que varían con la frecuencia cuando se marca un número telefónico, se selecciona la estación de radio favorita o se conecta a intem et
1.5 t RELACIÓN DEL ANÁLISIS DE CIRCUITOS__________ * CON LA INGENIERÍA Ya sea que se desee llevar a cabo más análisis de circuitos cuando termine este curso o no, vale la pena mencionar que existen varios niveles de los conceptos bajo estudio. Más allá de los detalles de las técnicas de análisis de circuitos se encuentra la oportunidad de desarrollar una técnica metodológica para resolver problemas, la capacidad para determinar el objetivo u objetivos de un problema en particular, la habilidad para recabar la información necesaria para llegar a una solución y, quizás igualmente importante, las oportunidades para obtener expe riencia práctica en la verificación de la exactitud de la solución. Los estudiantes familiarizados con el estudio de otros temas de ingeniería comí) el flujo de fluidos, los sistemas de suspensión de automóviles, el diseño de puentes, la administración de la cadena de suministros y el control de procesos,
AA/V
SECCION 1.4 ANÁLISIS Y DISEÑO
0 Facilidad de crecimiento epitaxial de cristales por medio de un haz molecular. Las ecuaciones que rigen su operación son muy parecidas a las que se utilizan para describir circuitos lineales simples.
reconocerán la forma general de muchas de las ecuaciones que se presentarán para describir el comportamiento de varios circuitos. Sólo es necesario aprender la forma de “traducir” las variables relevantes (por ejemplo, sustituir tensión por fuerza, carga por distancia, resistencia por coeficiente de fricción, etcétera) a fin de determinar lo que ya se sabe para resolver un nuevo tipo de problema. Con mucha frecuencia, si se tiene mucha experiencia en la resolución de problemas similares o relacionados, la intuición puede ser una guía a través de la solución de un problema totalmente nuevo. Lo que se verá a continuación con respecto al análisis de circuitos forma la base de muchos cursos subsecuentes sobre ingeniería eléctrica. El estudio de la electrónica se fundamenta en el análisis de circuitos con dispositivos conoci dos como diodos y transistores, que se emplean para diseñar fuentes de alimen tación, amplificadores y circuitos digitales. Por lo general, las capacidades que se deben desarrollar las aplican de manera metódica y rápida los ingenieros en electrónica ¡los cuales, algunas veces, son capaces de analizar un circuito com plicado sin valerse incluso de un lápiz! Los capítulos referentes al dominio del tiempo y al dominio de la frecuencia en este texto conducen directamente al exa men del procesamiento de señales, de la transmisión de potencia, de la teoría de control y de las comunicaciones. Se demostrará que el análisis en el dominio de la frecuencia resulta, en particular, una técnica muy poderosa, que se aplica con fa cilidad a cualquier sistema físico sujeto a una excitación variable en el tiempo.
1.4 ANÁLISIS Y DISEÑO -------•-------------------------------------------------------------------------------------------------Los ingenieros adquieren una comprensión básica de los principios científicos, los combinan con el conocimiento empírico a menudo expresado en términos matemá ticos y (con frecuencia con una gran creatividad) llegan a la solución de un proble ma determinado. El análisis es el proceso a través del cual se determina el alcance de un problema, se obtiene la información que se requiere para comprenderlo y se calculan los parámetros de interés. El diseño es el proceso por medio del cual se sin tetiza algo nuevo como parte de la solución de un problema. En general, se espera que un problema que requiera de diseño no tenga una solución única, mientras que la fase de análisis típicamente la tendrá. Por lo tanto, el último paso en el diseño es siempre el análisis del resultado para ver si cumple con las especificaciones.
Ejemplo de un manipulador robotizado. El sistema de control de retroalimentación puede modelarse utilizando elementos de circuitos lineales con el fin de determinar las situaciones en las que la operación puede adquirir inestabilidad. (NASA Marshall Space
Fligth Center.)
6
------ V W
CAPÍTULO I INTRODUCCION
Este texto se enfoca en el desarrollo de la habilidad para analizar y resolver problemas, debido a que constituye el punto de partida en cada situación de in geniería. La filosofía de este libro es que se necesita aclarar explicaciones, pre sentar ejemplos pertinentes y llevar a cabo mucha práctica para desarrollar dicha capacidad. Por lo tanto, los elementos de diseño están integrados en los proble mas al final del capítulo y en capítulos posteriores de tal forma que se puedan disfrutar en lugar de distraer.
1.5
Dos diseños propuestos para el transbordador espacial de nueva generación. Aunque ambos contienen elementos similares, cada uno es único. (NASA Dryden
Flight Research Center.)
"Máquina diferencial número 2", de Charles Babbage, según la completó el Science Museum (Londres) en 1991. ( © Science Museum/Science &Society
Picture Library.)
ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA
-------• -------------------------------------------------------------------------------------------------A menudo, la resolución de los tipos de ecuaciones que resultan del análisis de circuitos puede convertirse en una tarea muy tediosa, aun en el caso de circuitos con un moderado grado de complejidad. Lo anterior, por supuesto, implica una alta probabilidad de que se cometan errores, además del considerable consumo de tiempo para llevar a cabo los cálculos. En realidad, el deseo de encontrar una herramienta que facilite este proceso es anterior a las computadoras electrónicas, con computadoras puramente mecánicas, como la “máquina analítica” diseñada por Charles Babbage alrededor de 1880 y propuesta como una solución. Quizás la primera computadora electrónica que tuvo éxito diseñada para resolver ecua ciones diferenciales fue la ENIAC, inventada en la década de 1940, cuyas vál vulas al vacío llenaban un cuarto completo. Sin embargo, con el advenimiento de las computadoras de escritorio de bajo costo, el análisis de circuitos asistido por computadora se ha convertido en una invaluable herramienta cotidiana que forma parte integral no sólo del análisis sino también del diseño. Uno de los aspectos más poderosos del diseño asistido por computadora es la relativamente reciente integración de programas múltiples de una forma transpa rente para el usuario, lo cual posibilita que el circuito se dibuje rápidamente de modo esquemático sobre la pantalla, se reduzca de manera automática al forma to requerido por un programa de análisis (como el SP1CE, que se presenta en el capítulo 4) y que la salida resultante se transfiera de modo automático incluso a un tercer programa capaz de graficar diversas cantidades eléctricas de interés que
SECCIÓN 1.6 ESTRATEGIAS EXITOSAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A /W Circuito amplificador dibujado con la ayuda de un paquete de software comercial para la i_aptura de esquemas. En la parte interior de la figura: tiempo de simulación en función de la salida.
describan el circuito. Todo ello permite a un ingeniero dibujar un diagrama es quemático, presionar unos cuantos botones y determinar si la operación de un cir cuito complejo es la que se esperaba. El nivel de integración del software para análisis moderno de circuitos ha crecido con rapidez, y la meta final es que sea posible sentarse ante una computadora, dibujar un diagrama esquemático, anali zar el circuito para verificar su desempeño, presionar unos cuantos botones y ¡ob tener una versión por completo manufacturada del circuito, lista para probarse! Sin embargo, es necesario prevenir al lector: por varias razones, el software para el análisis de circuitos no es de ningún modo sustituto de un buen análisis a la antigua, con lápiz y papel. Se necesita comprender cabalmente la forma en que funcionan los circuitos a fin de desarrollar la capacidad necesaria para dise ñarlos. El simple seguimiento de los movimientos de ejecución de un paquete de software particular puede ayudar a obtener la respuesta para una simple pregun ta, aunque esto resulta similar a tratar de aprender a tocar el piano a través de la observación de una cinta de video. Podrá aprender algunos acordes e incluso una canción breve, pero resulta muy improbable que alguien lo contrate alguna vez. Otra razón es que los programas muchas veces tienen errores, e incluso sucede con más frecuencia que los usuarios muchas veces introduzcan de manera inco rrecta la información. Si no se tiene cierta idea del resultado que se espera, los errores se notarán cuando ya sea demasiado tarde. Aun así, el anáfisis asistido por computadora es una herramienta poderosa. Permite modificar los valores de los parámetros y evaluar el cambio en el de sempeño de circuitos y considerar la introducción de variaciones al diseño de una manera muy sencilla. El resultado es una disminución de los pasos repetiti vos y más tiempo para concentrarse en los detalles de ingeniería.
1.6 , ESTRATEGIAS EXITOSAS_______________________ * PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Cuando se le pide que señale la parte más frustrante del análisis de circuitos, la gran mayoría de los estudiantes siente que la mayor dificultad radica en saber cómo comenzar a resolver un problema específico. La segunda parte más difícil
0
A/VV >lfeef el enunciado del problema de manera pausada y cuidadosa Identificar el objetivo del probíem a
Recopilar la información conocida
Construir un conjunto adecuado de ecuaciones
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN
parece ser obtener un conjunto completo de ecuaciones y organizado de modo que parezca manejable. Muchas veces, el instinto fundamental se basa en leer con rapidez el enuncia do del problema, y luego buscar, de inmediato, una ecuación apropiada. ¡Se tiende a añorar los días en que sólo se pedía la circunferencia de un círculo, o cuando se debía determinar el volumen de una pirámide! Aunque tratar de encontrar una solución rápida puede ser algo tentador, una técnica metodológica congruente para resolver problemas dará mejores resultados en el largo plazo. El diagrama de flujo ubicado a la izquierda se diseñó para proporcionar ayu da en las dos dificultades más usuales: comenzar a resolver un problema y ma nipular la solución. Quizás varios de estos pasos parezcan obvios, pero el orden cronológico, así como el desempeño de cada tarea, es lo que conduce al éxito. Sin embargo, la práctica es la verdadera clave para tener éxito en el análisis de circuitos. La experiencia es el mejor maestro, y aprender de los errores siem pre será parte del proceso de convertirse en un ingeniero competente.
LECTURAS ADICIONALES_________________________ R e la t iv a m e n t e e c o n ó m ic o , e s te fa m o s o é x ito e d it o r ia l a e s c a la m u n d ia l e n s e ñ a a l le c t o r la m a n e r a d e g e n e r a r e s tr a te g ia s g a n a d o r a s a l e n c a r a r p r o b 'e m a s a p a r e n t e m e n t e im p o s ib le s .
G. Polya, How to Solve It, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1971.
Buscar la solución
Componentes básicos y circuitos eléctricos INTRODUCCION El tema primordial de este libro es el análisis de circuitos eléctricos y de sistemas. Cuando se lleva a cabo un análisis en particular, a menudo se trata de determinar corrientes, voltajes o potencias específicos, por lo que el capítulo comenzará con una breve descripción de dichas cantidades. En términos de los componentes que pueden utilizarse para construir circuitos eléctricos, se cuenta
Cantidades eléctricas básicas y unidades asociadas: carga, corriente, tensión y potencia.
------------------------------------------: Dirección de la corriente y polaridad de la tensión (voltaje).
con mucho de donde escoger. Con la intención de no saturar con ellos, primero se estudiará la resistencia, un componente pasivo simple y luego una variedad de fuentes activas ideales de voltaje y
' Convención de signos pasiva [ para calcular la potencia.
de corriente. A medida que se avance, se agregarán nuevos compo
•--------------------------------------------
nentes al inventario a fin de poder considerar circuitos más
Fuentes ideales de tensión y : de corriente.
complejos (y útiles). U n rápido consejo antes de comenzar: es necesario poner m ucha atención en el papel de los signos “+ ” y
” cuando
indiquen las tensiones, así como en la importancia de la flecha que define la com ente; muchas veces estos elementos establecen la diferencia entre las respuestas equivocadas y las correctas.
2.1 . UNIDADES Y ESCALAS_________________ Para establecer los valores de alguna cantidad medible, es necesario dar un número y una unidad, como “3 pulgadas”. Por fortuna, todos utilizan el mismo sistema numérico, aunque no las mismas unidades, por lo que debe dedicarse cierto tiempo para familiarizarse con un sistema adecuado. Es imprescindible acordar una unidad patrón y ase gurar su permanencia y su aceptación general. La unidad patrón de longitud, por ejemplo, no debe definirse en términos de distancia en tre dos marcas sobre cierta banda de plástico, pues no es permanente y además cualquier otra persona podría estar utilizando otro patrón. No existen muchas opciones en lo que respecta a un sistema de uni dades. El que se utilizará en este texto fue adoptado por el National Bureau of Standards en 1964, que es el que emplean todas las principales sociedades de ingenieros profesionales y es el lenguaje con el cual se .
• -------------------------------; Fuentes dependientes. '-------------------------------: Resistencia y ley de Ohm.
0
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CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
escriben los libros de texto actuales: el Sistema Internacional de Unidades (SI en to dos los lenguajes), adoptado por la Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960. Modificado varias veces desde entonces, el SI se construye a partir de siete unidades básicas: metro, kilogramo, segundo, ampere, kelvin, mol y candela (vea la tabla 2.1). Es un “sistema métrico”, y en cierta forma se utiliza en la mayor parte de los países tecnológicamente avanzados, aunque no en forma amplia en Estados Unidos. Las unidades para medir otras magnitudes como el volumen, fuerza, ener gía, etc., se derivan de las siete unidades fundamentales.
TABLA
2.1
Unidades básicas del SI
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- —
Las unidades nombradas en honor a una persona (por ejemplo, el kelvin, en honor a Lord Kelvín, profesor de la Universidad de Glasgow) se escriben con minúsculas, aunque se abrevian mediante el
—
Cantidad básica
N om bre
Sím bolo
longitud masa tiempo corriente eléctrica temperatura termodinámica cantidad de sustancia intensidad luminosa
metro kilogramo segundo amperio kelvin mol candela
m kg s A K mol cd
empleo de una letra mayúscula.
En realidad, la "caloría" utilizada en los alimentos, las bebidas y el ejercicio corresponde a una kilocaloría, 4.187 J.
La unidad fundamental de trabajo o energía es el jo u le (J). Un joule (un kg m 2 s - 2 en las unidades fundamentales del SI) equivale a 0.7376 pie librafuerza (pie-lbf). Otras unidades de energía incluyen la caloría (cal), igual a 4.187 J; la unidad térmica británica (Btu), que corresponde a 1 055 J; y el kilowatthora (kWh), igual a 3.6 x 106 J. La potencia se define como la tasa del trabajo que se hace o de la energía gastada. La unidad fundamental de la potencia es el watt (W), definida como 1 J/s. Un watt equivale a 0.7376 pie-lbf/s, o 1/745.7 caballos de fuerza (hp). El SI utiliza el sistema decimal para relacionar unidades más grandes y más pequeñas con la unidad fundamental y emplea prefijos para indicar las di versas potencias de 10. En la tabla 2.2 se presenta una lista de los prefijos y sus símbolos; se subrayan los que se encuentran más comúnmente en ingeniería.
TABLA . 2.2
Prefijos del SI
Factor
N om bre
Sím bolo
Factor
io - 24 KT21 1 (T 18 io - 15
octo zepto atto femto pico nano micro mili centi deci
y z a f
1 0 24
1 0 ~ 12
íc r9 itr6 10“ 3
íc r 2 ío - 1
P n M m c d
1 0 21 1 0 18 1 0 15 1 0 12 109 106 103 102 101
N om bre
iota zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
Sím bolo
Y Z E P T G M k ti da
SECCIÓN 2.2 CARGA, CORRIENTE, TtNSIÓN (VOLTAJE) Y POTENCIA
• ------------------------------ V
W
----------------(
| f
Vale la pena memorizar estos prefijos, ya que aparecerán a menudo en este texto y en cualquier otro trabajo técnico. Las combinaciones de varios prefijos, como el milimicrosegundo, son inaceptables. Cabe mencionar que en términos de distancia, es mucho más común ver “micrón” (/¿m)” en vez de “micrómetro”, y con frecuencia se utiliza el angstrom (A) correspondiente a 1 0 - 1 0 metros. Además, en el análisis de circuitos y en la ingeniería en general, resulta bastante común observar números expresados en lo que con frecuencia se denomina “unidades de ingeniería”. En la notación de ingeniería, una cantidad se representa mediante un número entre 1 y 999 y una unidad métrica apropiada utilizando una potencia divisible entre 3. De tal modo, por ejemplo, es preferible expresar la cantidad 0.048 W como 48 mW, en lugar de 4.8 x 10 2 W, o 48 000 /¿W. PF ÍC T IC A
_____________________________________________________________
2.1 Un láser de fluoruro de kriptón emite luz con una longitud de onda de 248 nm, lo cual es lo mismo que: (a) 0.0248 mm; (b) 2.48 ; í i i i ; ( c ) 0.248 ;im ; (d) 24 800 Á. 2.2 En cierto circuito integrado digital, una compuerta lógica conmuta del estado “activado'’^al ^“desactivado” en 1 ns, lo cual corresponde a: (a) 0 . 1 ps; (b) 1 0 ps; (c) 1 0 0 ps¿ (d) 1 0 0 0 ps. 2.1 Una típica lámpara incandescente opera a 60 W. Si se deja encendida permanentemente, ¿cuánta energía (J) se consume por día, y cuál es el costo semanal si la energía se cobra a una tarifa de 12.5 centavos por kilowatt hora? Respuesta: 2.1 (c); 2.2 (d)\ 2.3 5.18 MJ, $1.26.
2.2 t CARGA, CORRIENTE, TENSION (VOLTAJE) Y POTENCIA Carga Uno de los conceptos más importantes en el análisis de circuitos eléctricos es el de la conservación de la carga. De la física básica se sabe que hay dos tipos de carga: positiva (correspondiente a un protón) y negativa (correspondiente a un electrón). En la mayor parte de los casos, este texto analiza circuitos en los que sólo resulta relevante el flujo de electrones. Existen muchos dispositivos (como baterías, diodos y transistores) en los que resulta determinante el movimiento de carga positiva para entender la operación interna, pero respecto a lo externo del dispositivo es mejor concentrarse en los electrones que fluyen por los alambres de conexión. Si bien de manera continua se transfieren cargas entre las diferen tes partes de un circuito, no se hace nada para cambiar la cantidad total de carga. En otras palabras, ni se crean ni se destruyen electrones (o protones) cuando se operan circuitos eléctricos . 1 La carga en movimiento representa una corriente. En el sistema SI, la unidad fundamental de carga es el coulomb (C), que se de fine en términos del ampere al contar la carga total que pasa por una sección transversal arbitraria de un alambre durante un segundo; un coulomb se mide cada segundo en un alambre que conduce una corriente de 1 ampere (fig. 2 . 1 ). En este sistema de unidades, un solo electrón tiene una carga de —1.602 x .1,0 19 C y un protón individual tiene una carga de +1.602 x lO" 19 C. (1) Aunque la aparición ocasional de humo parezca sugerir otra cosa. ..
Como se observa en la tabla 2.1, las unidades básicas del SI no se derivan de cantidades físicas fundamentales. En vez de eso, históricamente representan acuerdos sobre las mediciones, lo que lleva a definiciones que en algunos casos parecen un retroceso. Por ejemplo, tendría más sentido desde ¡a perspectiva física definir el ampere con base en la carga electrónica.
Sección transversal
D irección del movim iento de la carga Cargas individuales
í F IG U R A 2.1 Definición de corriente ¡lustrada a través del uso de una corriente que fluye a través de un alambre; 1 ampere corresponde a 1 coulomb de carga que pasa en 1 segundo a través de una sección transversal seleccionada de manera arbitraria.
u ------ v w
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CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Una cantidad de carga que no cambia con el tiempo suele representarse por medio de Q. La cantidad instantánea de carga (que puede ser o no invariante en el tiempo) a menudo se representa por medio de q(t), o simplemente q. Esta con vención se utilizará en lo que resta del texto: las letras m ayúsculas se reser van para las cantidades constantes (invariantes en el tiempo), en tanto que las minúsculas representan el caso más general. Según este punto de vista, es posi ble representar una carga constante por medio de Q o q, aunque una cantidad de carga que cambia con el tiempo debe representarse con la letra minúscula q.
Corriente q(t) (C )
t(s)
I F IG U R A 2 .2 Gráfica del valor instantáneo de la carga total q(t) que pasó por un punió de referencia determinado desde f = 0.
La idea de “transferencia de caiga” o “carga en movimiento” es de vital impor tancia cuando se estudian los circuitos eléctricos, debido a que al mover una carga de un lugar a otro, también se necesita transferir energía de un punto a otro. La familiar línea de transmisión eléctrica que surca los campos es un ejemplo prác tico de un dispositivo que transfiere energía. Igual importancia tiene la posibili dad de variar la tasa a la cual se transfiere la carga para comunicar o transferir información. Tal proceso constituye la base de sistemas de comunicación como la radio, la televisión y la telemetría. La corriente presente en una trayectoria discreta, como un alambre metálico, tiene un valor numérico y una dirección asociada a ella; es una medida de la ve locidad a la cual la caiga pasa por un punto de referencia determinado en una di rección especificada. Luego de determinar una dirección de referencia, se puede establecer en ese caso que q(t) sea la carga total que ha pasado por el punto de referencia desde un tiempo arbitrario t = 0, moviéndose en la dirección definida. Una contribución a esta carga total será negativa si la carga negativa se mueve en la dirección de referencia, o si la carga positiva se mueve en la dirección opuesta. Como un ejemplo, la figura 2 . 2 ilustra una historia de la carga total q (t ) que ha pasado por un punto de referencia dado en un alambre (como el de la fig. 2 . 1 ). Se define la corriente en un punto específico, que fluye en una dirección es pecificada, como la velocidad instantánea a la cual la carga positiva pasa por ese punto en la dirección especificada. Desafortunadamente, ésta es la definición histórica, cuyo uso se popularizó antes de que se apreciara que la corriente en los alambres se debe en realidad al movimiento de carga negativa, y no a la positiva. La com ente se simboliza mediante I o i, por lo que d(* ‘ =
í(t) (A )
ni
77
111
L a unidad de corriente es el ampere (A), cuyo nombre es en honor a A. M. Ampére, un físico francés. Se suele abreviar como “amp”, aunque no esoficial y resulta algo informal. Un ampere es igual a 1 coulomb por segundo. Mediante la ecuación [1] se calcula la corriente instantánea y se obtiene la fi gura 2.3, El empleo de la letra minúscula i se asocia de nuevo con un valor instan táneo; una / mayúscula denotaría una cantidad constante (es decir, invariante en el tiempo). La carga transferida entre el tiempo t0 y t se expresa como una integral definida: rq{t)
/
rt
dq =
i d t'
Por lo tanto, la carga total transferida durante todo el tiempo está dada por: F IG U R A 2 .3 Corriente instantánea i = dq/dt, donde q está dada en la figura 22.
J tn
[ 2]
SECCIÓN 2.2 CARGA, CORRIENTE, TENSIÓN (VOLTAJE) Y POTENCIA
En la figura 2.4 se ilustran diferentes tipos de corriente. Una corriente que es constante en el tiempo se denomina com ente directa, o simplemente cd, la cual se presenta en la figura 2.4a. Se encontrarán muchos ejemplos prácticos de corrientes que varían spnoidalm ente con el tiempo (fig. 2.4/;); las corrientes de esta form a se manifiestan en los circuitos domésticos normales. Además, la corriente de este tipo a menudo se conoce como corriente alterna, o ca. Después se verán también corrientes exponenciales y corrientes senoidales amortiguadas (fig. 2.4c y d). Se establece un símbolo gráfico para la corriente mediante una flecha puesta al lado del conductor. Así, en la figura 2.5a , la dirección de la flecha y el valor 3 A in dican que una carga positiva neta de 3 C/s se está moviendo hacia la derecha, o que una carga negativa de —3 C/s se mueve hacia la izquierda cada segundo. En la figu ra 2.5b se presentan otra vez dos posibilidades; que —3 A fluya hacia la izquierda o que + 3 A fluya h ad a la derecha. Los cuatro enunciados y ambas figuras representan corrientes equivalentes en sus efectos eléctricos, por lo que se dice que son iguales. Una analogía no eléctrica que tal vez sea más fácil de visualizar consiste en pensar en términos de una cuenta de ahorro personal: por ejemplo, se puede considerar un depósito como un flujo de efectivo negativo hacia afuera de su cuenta, o como un flujo positivo hacia adentro de su cuenta. Es conveniente visualizar la com ente como el movimiento de carga positiva, aun cuando se sabe que el flujo de corriente en los conductores metálicos se pro duce a partir del movimiento de electrones. En gases ionizados, en soluciones electrolíticas y en algunos materiales, semiconductores, los elementos en movi miento cargados positivamente constituyen una parte o la totalidad de la corrien te. Por lo tanto, cualquier definición de corriente concuerda con la naturaleza fí sica de la conducción sólo una parte del tiempo. La definición y la simbología que hemos adoptado son estándares. Resulta esencial reconocer que la flecha de la corriente no indica la dirección “real” del flujo de ella, sino que sólo forma parte de una convención que permite hablar de “la corriente en el alambre” de una manera precisa. ¡La flecha es una parte fundamental de la definición de una comente! En consecuencia, hablar sobre el valor de una comente i\ (t) sin especificar la flecha equivale a analizar una enti dad indefinida. Por ejemplo, la figura 2.6a y b son representaciones sin sentido de ¿i (t), mientras que la figura. 2 .6 c utiliza la simbología definitiva apropiada.
A /W
• "
(a)
(b)
id)
(c)
i F IG U R A 2 .4 Varios tipos de corriente: (o) Corriente direda (de). (b) Corriente senoidal (ac). (c) Corriente exponencial, (d) Corriente senoidal amortiguada.
(a)
(a)
(b)
(c)
corriente, (c) Definición correcta dei](t).
P R Á C T IC A
__________________________________________________________
2.4 En el alambre de la figura 2 7, los electrones se mueven de izquierda a derecha para crear una com ente de 1 mA. Determinar /i e 12.
i F IG U R A 2 .7 Respuesta: ly = -1 mA; I 2 = +1 mA.
(b)
F IG U R A 2 .5 Dos métodos de representación de la misma corriente.
I F IG U R A 2 .6 (o, b) Definiciones incompletas, impropias e incorrectas de una
13
14 --------- w
v ------------- •
CAPITULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Tensión A -
' i
i ' S
B -
’Nh _ . ' ■ F IG U R A 2 .8 Elemento de circuito general de dos terminales.
r
* l • i
•:?
J
# = 5V \ —
'
(d)
(O
I F IG U R A 2 .9 (a, b) La terminal 6 es 5 V positiva con respecto a la terminal A\ (c, d ) ) la terminal A es 5 V positiva con respecto a la terminal B.
(a)
0
b)
(c) I F IG U R A 2 .1 0 (a, b) Definiciones inadecuadas de una tensión, (c) Definición correcta que incluye un símbolo para la variable y un par de símbolos más-menos.
A continuación se explicará un elemento de circuito que está mejor definido en tér minos generales. Los dispositivos eléctricos como fusibles, bombillas eléctricas, re sistores, baterías, capacitores, generadores y bobinas de chispa se representan me diante combinaciones de elementos de circuito simples. Se comenzará con un elemento de circuito muy general, como un objeto sin forma que posee dos termina les en las que es posible hacer conexiones con otros elementos (fig. 2 .8 ). Hay dos trayectorias por medio de las cuales la corriente entra o sale del ele mento. En análisis subsecuentes se definirán elementos de circuito particulares mediante la descripción de las características eléctricas que se observan en sus terminales. En la figura 2.8, suponga que una corriente cd se envía hacia la terminal A, a través del elemento general, y sale de regreso por la terminal B. Considere tam bién que empujar la carga a través del elemento requiere un gasto de energía. En este caso, se dice que existe una tensión eléctrica (o una diferencia de potencial) entre las dos terminales, o que hay una tensión “en los extremos” del elemento. De tal modo, la tensión entre un par de terminales significa una medida del tra bajo que se requiere para mover la carga a través del elemento. La unidad de ten sión (voltaje) es el volt , 2 y 1 volt es lo mismo que 1 J/C. La tensión se representa por medio d e V o v . Puede existir una tensión entre un par de terminales eléctricas sin importar si fluye o no una corriente. Por ejemplo, una batería de automóvil tiene una tensión de 12 V entre sus terminales incluso si no se conecta nada a ellas. De acuerdo con el principio de conservación de energía, la energía que se gasta al forzar a la carga desplazarse a través del elemento debe aparecer en algún otro lado. Cuando más adelante se analicen los elementos de circuito específicos, se no tará si esa energía se almacena en alguna forma de tal modo que esté disponible con facilidad como eneigía eléctrica, o si se transforma de modo irreversible en calor, energía acústica o alguna otra forma no eléctrica. Ahora es necesario establecer una convención mediante la cual sea posible distinguir entre la energía suministrada a un elemento y la energía que suminis tra el propio elemento. Ello se realiza mediante la elección de signo para la ten sión de la terminal A con respecto a la terminal B. Si una corriente positiva está entrando a la terminal A del elemento y una fuente externa debe gastar energía para establecer tal corriente, entonces la terminal A es positiva con respecto a la terminal B. De manera análoga, se dice que la terminal B es negativa con respec to a la terminal A. El sentido de la tensión se indica mediante un par de signos algebraicos más y menos. En la figura 2.9a, por ejemplo, la colocación del signo + en la termi nal A indica que ésta es v volts positiva con respecto a la terminal B. Si después se determina que v tiene un valor numérico de —5 V, entonces expresa que A es —5 V positivo con respecto a B o que B es 5 V positivo con respecto a A. Otros casos se ilustran en la figura 2.9b, c y d. Al igual que se advirtió en la definición de corriente, resulta esencial darse cuenta que el par más-menos de signos algebraicos no indica la polaridad “real” de la tensión, sino que simplemente forma parte de una convención que permite hablar de manera exacta sobre la “tensión entre el par de terminales”. Nota: ¡la definición de toda tensión debe incluir un par de signos más-menos! Si se utiliza una cantidad v¡ (t) sin especificar la ubicación del par de signos más-menos, se está empleando un término indefinido. La figura 2.10a y b n o sirve como defini ción de v¡ (t); la figura 2 . 1 0 c sí. (2) ¡Tal vez seamos afortunados de que el nombre completo del físico italiano del siglo xvm, Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta, no se utilice para nuestra unidad de diferencia de potencial!
SECCIÓN 2.2 CARGA, CORRIENTE, TENSIÓN (VOLTAJE) V POTENCIA
P R Á C T I C A _
______________
2.5 Para el elemento en la figura. 2.1 Éliui = 17 V. Determíne i>2 -
+ vl
o---------l:2 o— ■ -----
■ F IG U R A 2.11 R espuesta: u2 = —17 V.
Potencia Ya se definió la potencia, a la cual se representará por medio de P o p. Si un jou le de energía se gasta en transferir un coulomb de carga a través del dispositivo en un segundo, la tasa de transferencia de energía es un watt. La potencia absor bida debe ser proporcional al número de coulombs transferidos por segundo (co rriente) y a la energía necesaria para transferir un coulomb a través del elemen to (tensión). De tal modo, se tiene: p = vi
[3]
Dimensionalmente, el miembro derecho de esta ecuación se obtiene del producto de joules por coulomb y de los coulombs por segundo, lo cual produce la dimensión esperada de joules por segundo, o watts. Las convenciones para corriente, tensión y potencia se presentan en la figura 2 . 1 2 . Ahora se tiene la expresión para designar la potencia que es absorbida por un ele mento de circuito en términos de un voltaje (tensión) y una corriente que pasa a través de él. El voltaje (tensión) se definió en términos de un consumo de energía y la potencia es la velocidad a la que ésta se consume. Sin embargo, por ejemplo, no se puede hacer ninguna afirmación respecto de la transferencia de energía en cualquiera de los cuatro casos que se muestran en la figura 2.9 hasta que se especi fique la dirección de la corriente. Imagine que se coloca una flecha de corriente a lo largo de cada extremo superior, dirigida hacia la derecha y se identifica como “+ 2 A”. En primer término, considere el caso que se muestra en la figura 2.9c. La terminal A es 5 V positivos con respecto a la terminal B, lo cual significa que se requiere de 5 J de energía para mover cada coulomb de carga positiva a la terminal A, a través del objeto y fuera de la terminal B. Puesto que se alimentan + 2 A (una corriente de 2 coulombs de carga positiva por segundo) a la terminal A, se realiza un trabajo de (5 J/C) x (2 C/s) = 10 J por segundo sobre el objeto. En otras palabras, el objeto ab sorbe 10 W de potencia desde cualquier elemento que esté inyectando la corriente. Se sabe que, a partir de lo que se explicó con anterioridad, no existe ninguna diferencia entre la figura 2.9c y la figura 2.9d, por lo que se espera que el objeto que se muestra en esta última absorba 10 W. Se puede verificar este nivel de absorción de una manera muy sencilla: se inyectan + 2 A a la terminal A de] objeto, por lo que una comente de + 2 A fluye hacia afuera de la terminal B. Otra forma de decir esto es que se inyectan —2 A de corriente en la terminal B. Toma —5 J/C para mover una carga desde la terminal B hasta la A, por lo que el objeto absorbe (—5 J/C) x (—2 C/s) = +10 Wcomo se esperaba. La única dificultad que se presenta para describir este caso particular es conservar el signo menos como está, pero con un poco de cuidado se puede observar que es posible obtener la respuesta correcta sin tomar en cuenta la elección respecto de la terminal de referencia positiva (terminal A en la figura 2.9o, y la terminal B en la figura 2.9d).
■ F IG U R A 2 .1 2 La potencia absorbida por el elemento se determina mediante el producto p = vi. De forma análoga, se dice que el elemento genera o suministra una potencia -vi.
CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Si la flecha de corriente se dirige hacia la terminal marcada" + " de un elemento, entonces p = vi produce la potencia absorbida. Un valor negativo indica que, en realidad, la potencia es generada por el elemento; podría haber sido mejor definir una corriente que fluye hacia afuera de la terminal
Si la flecha de corriente se dirige hacia la terminal " + " de un elemento, entonces p = vi produce la potencia suministrada. En este caso, un valor negativo indica que se está absorbiendo potencia.
Ahora observe la situación que se muestra en la figura 2.9a, de nuevo con + 2 A inyectados a la terminal A. Puesto que toma —5 J/C mover una carga desde la terminal A a la terminal B, el objeto absorbe (—5 J/C) x (2 C/s) = —10 W. ¿Qué significa esto? ¿Cómo puede algo absorber energía negativa! Si se piensa esto en términos de transferencia de energía, se transfieren —10 J al objeto cada segundo a través de la com ente de 2 A que fluye hacia la terminal A. En realidad, el objeto pierde energía: aú n a velocidad de 10 J/s. En otras palabras, proporciona 10 J/s (es decir, 10 W) a otro objeto que no se muestra en la figura. Por lo tanto, la potencia negativa absorbida es equivalente a la potencia positiva entregada. En resumen: la figura 2.12 muestra que si una terminal del elemento es v volts positiva con respecto a la otra terminal, y si una comente i está entrando al ele mento a través de esa terminal, este elemento absorbe una potencia p — vi - tam bién es correcto decir que se entrega al elemento una potencia p — vi. Cuando la flecha de comente se dirige hacia el elemento en la terminal marcada como posi tiva, se satisface la convención de signos pasiva, la cual debe estudiarse con todo cuidado, entenderse y memorizarse. En otras palabras, indica que si la flecha de com ente y los signos de polaridad de tensión se sitúan de manera tal que la comente entra en el extremo del elemento mareado con el signo positivo, la poten cia absorbida por el elemento se expresa mediante el producto de las variables de com ente y tensión especificadas. Si el valor numérico del producto es negativo, se dice que el elemento absorbe potencia negativa, o que en realidad está generando potencia y la entrega a algún elemento externo. Por ejemplo, en la figura 2.12, con t; = 5 V e i = —4 A, el elemento absorbe - 2 0 W o genera 20 W. Las convenciones sólo se requieren cuando existe más de una forma de hacer algo y quizá se produzca confusión cuando dos grupos diferentes tratan de comuni carse. Por ejemplo, resulta bastante arbitrario ubicar siempre el “norte” en la parte superior de un mapa; las manecillas de las brújulas no apuntan hacia “arriba”, de ningún modo. Sin embargo, si se habla con personas que han elegido de manera secreta la convención opuesta de situar el “sur” en la parte superior de sus mapas, ¡imagine la confusión que se produciría! De la misma manera, existe una conven ción general que siempre dibuja las flechas de corriente apuntando hacia la terminal de tensión positiva, sin que importe si el elemento suministra o absorbe potencia, lo cual no es incorrecto pero en ocasiones origina comentes que no son intuitivas y que se indican en los esquemas de los circuitos. La razón de ello es que simplemente parece más natural referirse a una comente positiva que fluya hacia afuera de una fuente de tensión o de corriente que está suministrando potencia positiva a uno o más elementos de circuito.
EJEMPLO 2.1 Calcular la potencia absorbida en cada uno de los casos de la figura 2.13.
(a)
(b)
■ F IG U R A 2 .1 J (a, b, c) Tres ejemplos de elementos de dos terminales.
(c)
SECCIÓN 2.3 FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
En la figura 2.13a, se observa que la corriente de referencia se define en forma congruente con la convención pasiva de signos, la cual supone que el elemento está absorbiendo potencia. Con + 3 A que fluye hacia la terminal de referencia positiva, se calcula: P = (2 V)(3 A) =
6
W
de potencia absorbida por el elemento. La figura 2.13b ilustra una imagen un poco diferente. En este caso, existe una corriente de —3 A que fluye hacia la terminal de referencia positiva. Sin embargo, la tensión, tal como se ha defininido, es negativa, lo que origina una potencia absorbida P = ( - 2 V )(—3 A) =
6
W
Por lo tanto, se ve en realidad que ambos casos son equivalentes: Una corriente de + 3 A que fluye hacia la terminal superior es la misma que una corriente de + 3 A que fluye hacia afuera de la terminal inferior, o, de modo equivalente, es igual a una corriente de —3 A que fluye hacia la termi nal inferior. Refiriéndose a la la figura 2.13c, se aplican de nuevo las reglas de la con vención pasiva de signos y se calcula una potencia absorbida P = (4 V )(—5 A) = - 2 0 W
Debido a que se calcula una potencia absorbida negativa, se deduce que, en realidad, el elemento de la figura 2.13c está suministrando + 2 0 W (es decir, es una fuente de energía). P R Á C T IC A
________________________ ___________________________________
2.6 Determinar la potencia que absorbe cada elemento del circuito de la figura 2.14a. +o
8e
1001V
— 3 .2 A
(o)
(b)
(c)
■ F IG U R A 2 .1 4
2.7 Calcular la potencia que genera el elemento de circuito de la figura 2A4b. 2.8 Encontrar la potencia que se entrega al elemento de circuito de la figura 2.14c en t — 5 ms. Respuesta: 1.012 W; 6.65 W: —15.53 W.
2 .3
FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
-------• -------------------------------------------------------------------------------------------------Mediante los conceptos de corriente y de tensión, ahora es posible ser más es pecíficos en la definición de un elemento de circuito. Al hacerlo de esa manera, resulta importante distinguir entre el propio dispositivo físico y el modelo matemático que se utilizará para analizar su comportamiento en un circuito. El modelo no es más que una aproximación.
#■
AA/V
19
) --------------- W
V
-------------------------------•
Por definición, un elemento de circuito simple es el modelo matemático de un dispositivo eléctrico de dos terminales, que puede caracterizarse por completo medíante su relación tensión-corriente; no es posible subdividirlo en otros dispositivos de dos terminales.
CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
De aquí en adelante se utilizará la expresión elemento de circuito para referirse al modelo matemático. La elección de un modelo particular para cualquier dis positivo real debe hacerse con base en datos experimentales o la experiencia; casi siempre se supondrá que ya se ha hecho tal elección. Por simplicidad, al principio los circuitos se consideran con componentes ideales, representados mediante modelos simples. Todos los elementos de circuitos simples que se considerarán se clasifican de acuerdo con la relación entre la com ente a través del elemento y la tensión en los extremos del mismo elemento. Por ejemplo, si la tensión en los extremos del elemento es linealmente proporcional a la com ente a través de él, al elemento se le denominará resistor. Otros tipos de elementos de circuito simples tienen ten siones de terminal proporcionales a la derivada de la com ente con respecto al tiempo (bobina), o a la integral de la com ente con respecto al tiempo (capaci tor). Existen también elementos en los que la tensión es totalmente independien te de la com ente, o la corriente lo es de la tensión, en cuyo caso se conocen co mo fuentes independientes. Además, es necesario definir tipos especiales de fuentes para las que la tensión o la com ente de fuente dependan de una corrien te o tensión en otro punto del circuito, que se conocen como fuentes dependien tes y se usan mucho en electrónica para hacer módulos del comportamiento de la cd y de la ca de transistores, sobre todo en circuitos de amplificador.
Fuentes de tensión independientes
(a)
(b)
{c)
■ F IG U R A 2 .1 5 Símbolo de circuito para la fuente de tensión independiente.
Si ha notado alguna vez que las luces de la habitación se atenúan cuando comienza a funcionar un equipo de aire acondicionado, se debe a que la repentina demanda de una corriente elevada origina una caída temporal de tensión. Luego de que el m otor inicia su movimiento, se necesita menos corriente para mantenerlo. En este punto, se reduce la demanda de corriente, la tensión vuelve a su valor original y la toma de corriente de la pared proporciona otra vez una aproximación razonable a una fuente de tensión ideal.
El primer elemento que se considerará es la fu en te de tensión independiente. El símbolo de circuito se presenta en la figura 2.15a; el subíndice i sólo identifica la tensión como una tensión de “fuente”, y es común pero no se requiere. Una fuente de tensión independiente se caracteriza por una tensión de terminal que es total mente independiente de la corriente a través de ella. Por lo tanto, si se indica una fuente de tensión independiente y se señala que la tensión de terminal corresponde a 12 V, entonces se supone siempre esta tensión, sin que importe la comente que fluya. La fuente de tensión independiente es una fuente ideal, es decir, no representa exactamente algún dispositivo físico real, debido a que la fuente ideal podría en tregar en teoría una cantidad infinita de energía desde sus terminales. Sin embargo, tal fuente de tensión idealizada proporciona una aproximación razonable a varias fuentes de tensión prácticas. Una batería de almacenamiento de automóvil, por ejemplo, muestra una tensión de terminal de 12 V que se mantiene en esencia constante, siempre que la com ente a través de ella no sobrepase unos cuantos am peres. Tal vez Huya una pequeña com ente en cualquier dirección a través de la batería. Si es positiva y circula hacia afuera de la terminal marcada como positiva, entonces la batería proporcionará potencia a los faros delanteros; por ejemplo, si la comente es positiva y fluye hacia adentro de la terminal positiva, entonces la batería está en proceso de carga y absorbe energía del alternador. 3 Una toma de corriente eléctrica doméstica común se aproxima también a una fuente de tensión indepen diente y suministra una tensión vs = 115\/2 eos 2tt60t V: esta representación es válida para comentes menores a 20 A o con un valor similar. Un punto que vale la pena repetir aquí es la presencia del signo más en el ex tremo superior del símbolo de la fuente de tensión independiente de la figura 2.15a que no significa de manera forzosa que la terminal superior sea positiva con respecto a la terminal inferior. Más bien, indica que la terminal superior es vs volts positiva con respecto a la inferior. Si en algún instante ocurre que vs sea negativa, entonces la terminal superior es en verdad negativa con respecto a la inferior en ese instante. (3) O de la batería del automóvil de un amigo, si por accidente deja ias luces encendidas.
SECCIÓN 2.3 FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Considere una flecha de comeare marcada como “i ” que se ubica adyacente al conductor superior de la fuenle (fig. 2 15¿>). La corriente i entra a la terminal en donde se localiza el signo positivo, haciendo que la convención de signos pasiva se satisfaga y la fuente de ese modo a b so rb e una potencia p = vs i. Con mucha fre cuencia se espera que una fuente entregue potencia a una red y no que la absorba de ella. En consecuencia, se podría orientar la flecha como en la figura 2.15c de manera que vsi representara la potencia en treg a d a por la fuente. Técnicamente, se puede elegir cualquier dirección de flecha; en este texto se adoptará la convención de la figura 2.15c para fuentes de tensión y de corriente, las cuales no suelen considerarse dispositivos pasivos. Una fuente de tensión independiente, con una tensión de terminal constante, muchas veces se conoce como fuente de tensión cd independiente y se repre senta por cualquiera de los símbolos de la figura 2 .16a y b. Observe en la figura 2.16¿> que cuando se sugiere de forma física la estructura de placas de la batería, la placa más larga se sitúa en la terminal positiva; los signos más y menos repre sentan entonces una notación redundante, aunque suelen incluirse de cualquier modo. Para concordar con la anterior, el símbolo para una fuente de tensión de ca independiente se ilustra en la figura 2.16c.
• ------------------------------ W
(a)
V
(b)
----------------(
19
(c)
I F IG U R A 2 .1 6 (a) símbolo de la fuente de tensión de cd; (b) símbolo de la batería; (c) símbolo de la fuente de tensión de ca. Se suelen utilizar términos similares para fuente de tensión de cd y fuente de corriente de cd. En sentido literal, quieren decir “ fuente de tensión de corriente directa" y "fuente de corriente de corriente directa", respectivamente. Si bien tales palabras pueden parecer un poco extrañas o incluso redundantes, la terminología se emplea a tal grado que no existe punto de conflicto al respecto.
Fuentes de corriente independientes Otra fuente ideal que necesitaremos es la fu e n te de corriente independiente. En este caso, la corriente a través del elemento es totalmente independiente de la tensión entre sus extremos. El símbolo de una fuente de corriente independi ente se m uestra en la figura 2.17. Si is es constante, se trata de una fuente de corriente cd independiente. A menudo, una fuente de corriente de ca se dibuja con una tilde en la flecha, de manera similar a como se hace con la fuente de ten sión de ca que se m uestra en la figura 2.16c. Como en el caso de la fuente de tensión independiente, la fuente de com ente independiente representa, en el mejor de los casos, una aproximación razonable de un elemento físico. En teoría, entrega potencia infinita desde sus terminales, puesto que produce la m ism a corriente finita para cualquier tensión entre sus extremos, sin importar cuán grande pueda ser la tensión. Sin embargo, ello con stituye una buena aproximación de muchas fuentes prácticas, en particular de circuitos electrónicos. Aunque la mayoría de los estudiantes se sienten a gusto con una fuente de tensión independiente que suministre un voltaje fijo, pero en esencia ninguna corriente, es un error m uy frecu en te ver una fuente de corriente independiente como una en la que el voltaje entre sus terminales es nulo y que suministra una corriente fija. En realidad, no se sabe a p rio ri cuál será el voltaje a través de una fuente de corriente, pues ello depende totalmente del circuito al que se encuentre conectada.
,jO I F IG U R A 2 .1 7 Símbolo de circuito de la fuente de corriente independiente.
y \
Fuentes dependientes Los dos tipos de fuentes ideales que se han explicado hasta ahora se denominan fuentes independientes, debido a que el valor de la cantidad de la fuente no se ve afec tado de ningún modo por lo que pasa en el resto del circuito. Esta situación contrasta incluso con oLro tipo de fuente ideal, la fuente dependiente o controlada, en donde la cantidad de la fuente está determinada por una tensión o una corriente existente en al gún otro lugar del sistema que se analiza. Las fuentes de este tipo aparecen en los modelos eléctricos equivalentes de muchos dispositivos electrónicos, como los tran sistores, amplificadores operacionales y circuitos integrados. Para distinguir las fuentes dependientes de las independientes se utilizarán los símbolos de diamante de la figura 2.18. En la figura2.18a> c ,K & i una constante de ajuste adimensional. En la figura 2.18¿, g es un tactor de ajuste con unidades de A / V ; en la figura 2.18á, r e s un factor de ajuste con unidades de V/A. La comente controladora ix y la tensión con troladora vx deben definirse en el circuito.
I F IG U R A 2 . 1 8 Cuatro tipos diferentes de fuentes independientes; (a) fuente de corriente controlada por corriente; (b) fuente de corriente controlada por tensión; (c) fuente de tensión controlada por tensión; (d) fuente de tensión controlada por corriente.
20 --------- V W
-•
CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
En primera instancia parece extraño tener una fuente de corriente cuyo valor de penda de un vol taje o una de una fuente de voltaje que esté controlada por una co rriente que fluya a través de otro elemento. Aun una fuente de voltaje que dependa de un voltaje remoto puede parecer extraña. Sin embargo, dichas fuentes son invaluables en el modelado de un sistema complejo, pues permiten que el análisis alge braico sea muy sencillo. Como ejemplos se pueden incluir la corriente de fuga de un transistor de efecto de campo en función del voltaje de la compuerta o el volta je de salida de un circuito integrado analógico en función del voltaje de entrada di ferencial. Cuando aparece en el análisis de circuitos, se escribe toda la expresión controladora de la fuente dependiente justamente como se haría si fuera un valor numérico conectado a una fuente independiente. A menudo este procedimiento ge nera la necesidad de elaborar una ecuación adicional para completar el análisis, a menos que el voltaje o la corriente controladora sean una de las incógnitas especí ficas del sistema de ecuaciones.
E JE M P L O 2.2 terminar v¡ . Se da el esquema del circuito marcado de manera parcial y la información adicional de que vi = 3 V. Quizás valga la pena agregar dicho valor en el esquema, como se indica en la figura 2 . 1 9b. A continuación se retrocede y se observa la información recopilada. Al examinar el esquema del circuito, se observa que la tensión deseada vL es la misma que la tensión en la fuente dependiente. De modo que: v L = 5 v2
En este punto ¡qué se haría con el problema si sólo se conociera V2 I Al volver al esquema del circuito, se observa que, en realidad, se conoce V2 , que se especificó como 3 V. Por lo tanto, se puede escribir, v2
(b) U F IG U R A 2 .1 9 (a) Ejemplo de un circuito que contiene una fuente de tensión controlada por tensión, (b) La información adicional que se proporciona se incluye en el diagrama.
~3
Ahora se tienen dos (simples) ecuaciones con dos incógnitas y se resuel ven para encontrar que v i = 15 V. Una lección importante en esta primera etapa del juego es que el tiempo que se em plee p a ra m arcar p o r com pleto un esquema d el circuito será siempre una buena inversión. Como última etapa, es necesario regresar y
verificar el trabajo para asegurar que el resultado es correcto. P R Á C T IC - 'A # 1 -- — 2.9 Determinar la potencia absorbida por cada elemento del circuito de la figura 2 .2 0 . 5 A “ ~ v*
+
■ F IG U R A 2 .2 0
Respuesta: (de izquierda a derecha) —56 W; 16 W; —60 W; 160 W; —60 W.
SECCIÓN 2.3 FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Las fuentes de tensión y de corriente dependientes e independientes son ele mentos activos que pueden entregar potencia a algún dispositivo externo. Por ahora se considerará un elemento pasivo como aquel que sólo puede recibir po tencia. Sin embargo, después se verá que varios elementos pasivos almacenan cantidades finitas de energía y luego las reintegran a distintos dispositivos exter nos; puesto que se desea seguir llamando pasivos a dichos elementos, más ade lante será necesario perfeccionar las dos definiciones.
Redes y circuitos La interconexión de dos o más elementos de circuitos simples forma una red eléctrica; si contiene al menos una trayectoria cerrada, también es un circuito eléctrico. Nota: cada circuito es una red, ¡pero no todas las redes son circuitos! (vea la fig. 2 .2 1 ).
■ F IG U R A 2 .2 1 (o) Red que no es un circuito. (b) Red que es un circuito.
Una red que contiene al menos un elemento activo, como una fuente de ten sión o de corriente independiente, es una red activa; la que no contiene ningún elemento activo, constituye una red pasiva. A continuación se define lo que se entiende por el término elemento de cir cuito y se presentarán las definiciones de varios elementos de circuito específi cos, las fuentes de tensión y de corriente independientes y dependientes. En lo que resta del libro se definirán sólo cinco elementos de circuito adicionales: re sistor o resistencia, inductor, capacitor, transformador y amplificador operacional (“amp op”, para abreviar), todos los cuales son elementos ideales. Son importantes debido a que es posible combinarlos en redes y circuitos que repre sentan dispositivos reales de una forma tan precisa como sea necesario. Por lo tanto, se puede hacer el modelo del transistor de la figura 2 .2 2 a y b mediante las terminales de tensión denominadas vgs y de la fuente de corriente dependiente de la figura 2.22c. Observe que esta última produce una corriente que depende de una tensión en otra paite del circuito. El parámetro gm, que por lo común se conoce como transconductancia, se calcula utilizando datos específicos del transistor así como también el punto de operación determinado por el circuito conectado al transistor. En general, es un número pequeño en el orden de 10 - 2 a quizás 10 A/V. El modelo funciona bastante bien, siempre y cuando la fre cuencia de cualquier fuente senoidal no sea ni muy grande ni muy pequeña; además, se modifica al incluir elementos de circuito ideales adicionales tales como resistencias y capacitores.
»
A /W
22
-AAA ------------------------------- •
)------------
CAPITULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
M etal (o polisilicio)
(a)
Dióxido de silicio (S t0 2)
(*)
W
I F IG U R A 2 .2 2 Transistor de efecto de campo semiconductor de óxido metálico (MOSFET). (o) transistor de potencia MOSFET de canal N IRF540 del empaque TO-220, a 100 V y 22 A. (6) vista de la sección transversal de un MOSFET básico (R. Jaeger, Mícroelectronic Design, McGraw-Hill, 1997); (c) modelo de circuito equivalente para utilizarlo en un análisis de circuitos en ca.
Por lo general, los transistores de este tipo constituyen sólo una pequeña parte de un circuito integrado, que quizá sea menor que un cuadrado de 2 mm x 2 mm y de 2 0 0 /¿m de espesor, y aun así contienen incluso varios cientos de transistores, más varias resistencias y capacitores. Por lo tanto, se tiene un dis positivo físico que es casi del tamaño de una letra de esta página, pero que re quiere un modelo compuesto de diez mil elementos de circuito simples ideales. Se utiliza este concepto del “modelado de circuito” en un gran número de temas de ingeniería eléctrica que se abordan en otros cursos, entre los que se incluyen los de electrónica, ahorro de energía y antenas.
2.4 • ------------------LEY DE OHM ------------:-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Hasta este momento se han presentado las fuentes de corriente y tensión depen dientes e independientes; además, se aclaró que se tratan de elementos activos idealizados que sólo se podrían aproximar en un circuito real. Ahora se cuenta con las bases suficientes para conocer otro elemento idealizado, la resistencia lineal. La resistencia es el elemento pasivo más simple, así que la explicación comienza considerando el trabajo de un humilde físico alemán, Georg Simón Ohm, quien en 1827 publicó un folleto en el que describía los resultados de uno de los primeros intentos para medir corrientes y tensiones, y para describirlos y relacionarlos en forma matemática. Uno de los resultados fue el planteamiento de una relación fun damental llamada ahora ley de Ohm, a pesar de que se ha demostrado que este re sultado lo descubrió Henry Cavendish, un brillante semiermitaño, 46 años antes en Inglaterra. El folleto de Ohm recibió una crítica bastante inmerecida y se ridiculi zó durante varios años después de su primera publicación, aunque sí se aceptó más adelante y sirvió para eliminar lo eclipsado asociado con su nombre. La ley de Ohm establece que la tensión entre los extremos de materiales con ductores es directamente proporcional a la corriente que fluye a través del mate rial, o: v = Ri
[4]
donde la constante de proporcionalidad R recibe el nombre de resistencia. La unidad de resistencia es el ohm, que corresponde a 1 V/A y suele abreviarse me diante una omega mayúscula, Í 2 .
SECCIÓN 2.4 LEY DE OHM
Cuando esta ecuación se grafica sobre los ejes i en función de v el resultado es una recta que pasa por el origen (fig. 2.23). La ecuación [4] es una ecuación lineal; además, se le considera como la definición de una resistencia lineal. En consecuencia, si la proporción entre la corriente y la tensión asociadas con un elemento de corriente simple es constante, entonces el elemento es una resisten cia lineal y tiene una resistencia igual a la razón tensión-corriente. La resistencia se suele considerar como una cantidad positiva, si bien es posible simular resis tencias negativas con circuitos especiales. De nuevo, debe subrayarse que la resistencia lineal es un elemento de cir cuito idealizado; constituye sólo un modelo matemático de un dispositivo físico real. Las “resistencias” se compran o fabrican con facilidad» sin embargo, se de terminó de inmediato que las razones tensión-corriente de estos dispositivos físi cos son más o menos razonablemente constantes sólo dentro de ciertos interva los de corriente, tensión o potencia, y que dependen también de la temperatura y de otros factores ambientales. Es común referirse a una resistencia lineal en forma simple mediante el término resistencia; cualquier resistencia que sea no lineal siempre se describirá como tal. Las resistencias no lineales no necesaria mente se consideran elementos indeseables. Si bien es cierto que su presencia complica un análisis, el desempeño del dispositivo quizá dependa o forme parte de la mejora de la no linealidad. Por ejemplo, los fusibles para la protección con tra sobrecorrientes y los diodos Zener para regular la tensión son de naturaleza no muy lineal, lo cual se aprovecha cuando se usan en el diseño de circuitos.
Absorción de potencia La figura 2.24 muestra varios tipos de resistencia diferentes, así como el símbolo de circuito más utilizado para designarlas. De acuerdo con las convenciones de tensión, corriente y potencia ya adoptadas, el producto de i; e i da como resul
te)
(b)
(c)
id)
■ F IG U R A 2 .2 4 (o) Algunos empaques comunes de resistencias, (ó) Resistencia de potencia de 560 £2 con una potencia de 500 W. (c) Resistencia de 10 teraohms (10 000 000 000 000 Q) y 5°/o de tolerancia fabricada por Ohmcraft. ( d ) Símbolo de circuito de una resistencia que se aplica a todos los dispositivos de (a) hasta (c).
• ------------------------------
W V ------ ( 23
I (amperes)
I F IG U R A 2 .2 3 Relación corriente-tensión de una resistencia lineal de 2 £2.
0
-•
CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
tado la potencia que absorbe la resistencia. Esto es, v e i se eligen para satisfacer la convención de signos pasiva. La potencia absorbida aparece físicamente como calor y/o luz y siempre es positiva; una resistencia (positiva) es un ele mento pasivo que no puede entregar potencia o almacenar energía. U na variante de expresiones de la potencia absorbida es: p = vi = i 2R = v2/ R
[5]
Uno de los autores (que prefiere no identificarse ) 4 tuvo la desafortunada ex periencia de conectar de manera inadvertida una resistencia de carbón de 1 0 0 Í2 , 2 W a una fuente de 110 V. La flama, el humo y la fragmentación consecuentes resultaron bastante desconcertantes, lo que demostró con toda claridad que una resistencia práctica tiene límites definidos para su capacidad de comportarse como un modelo lineal ideal. En este caso, se requería que la desafortunada re sistencia absorbiera 121 W; puesto que se diseñó para manejar sólo 2 W, se com prende que su reacción fuera violenta.
E J E M P L O 2.3 La resistencia que se muestra en la figura 2.24b está conectada a un cir cuito que obliga a una corriente de 428 mA a fluir a través de ella. Calcular la tensión en sus terminales y la potencia que disipa. La tensión en la resistencia está determinada por la ley de Ohm, de tal forma que v = R i = (560) (0.428) = 239.7 V Se puede calcular la potencia disipada por la resistencia de varias formas. Puesto que se cuenta con la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de ella, p = vi — (239.7) (0.428) = 102.6 W que es aproximadamente 20% de su máximo valor a 500 W. Se verifican re sultados mediante las dos ecuaciones siguientes: p = v 2 / R = (239.7)2/560 = 102.6 W
p = i2R = (0.428)2 560 = 102.6 W y se obtiene el valor esperado. P R Á C T IC A O ------W v — o R
m F IG U R A 2 .2 5
_________ ~
_____________________________________
Con referencia en las definiciones de v e i de la figura 2.25, calcular las can tidades siguientes: 2.10 R si i — —1.6 m A y v — —6.3 V. 2.11 La potencia absorbida si v = —6.3 V y R = 21 £2 2.12 i si v = —8 V y R absorbe 0.24 W. Respuestas: 3.94 kQ; 1.89 W; —30.0 mA.
(4) El nombre se proporcionará con gusto, luego de una solicitud escrita a S.M.D.
(
APLICACIÓN PRÁCTICÁ~) El c a lib r e d e l a la m b r e
Técnicamente, cualquier material (salvo un supercon ductor) ofrecerá resistencia al flujo de corriente. Como en todos los textos introductorios de circuitos, de manera tácita se supone que los alambres que aparecen en los es quemas de circuito tienen una resistencia nula, lo cual implica que no hay diferencia de potencial entre los ex tremos de un alambre y, en consecuencia, no existe po tencia absorbida ni calor generado. Si bien no suele ser un supuesto irrazonable, pasa por alto consideraciones prácticas al elegir el diámetro de alambre apropiado para una aplicación específica. La resistencia se determina por medio de: 1) la resis tividad inherente de un material y 2 ) la geometría del dis positivo. La resistividad, representada por el símbolo p, es una m edida de la facilidad con que los electrones viajan a través de cierto material. En razón de que es el cociente del campo eléctrico (V/m) y la densidad de co rriente que fluye en el material (A/m2), las dimensiones de p son £ 2 • m, aunque a menudo se emplean prefijos métricos. Todo material tiene una diferente resistividad inherente, que depende de la temperatura. Algunos ejem plos se muestran en la tabla 2.3; como puede observarse, existe una pequeña variación entre los diferentes tipos de cobre (menor a 1 %), pero una gran diferencia entre metales distintos. En particular el acero, aunque más re sistente que el cobre, es varias veces más resistivo. En al guna literatura técnica, es más común ver mencionada la
TAB LA
2.5
~^221
B355 B415
i
R = P j [-«--------- £ (cm)---------- * Area transversal 7 Área = A cm*' k- j Resistividad = p ílcm ¡
[6 ]
Dirección de’ flujo de la corriente
■ F IG U R A 2 .2 6 Definición de los parámetros geométricos empleados para calcular la resistencia de un alambre. Se supone que la resistividad del material es espacialmente uniforme.
La resistividad se determina cuando se elige el tipo de material con el que se fabrica un alambre y se mide la tem peratura del medio ambiente en donde se lleva la apli cación. Puesto que en realidad el alambre absorberá una cantidad finita de potencia debido a su resistencia, el flujo de comente origina la producción de calor. Los alambres más gruesos tienen resistencia más baja y también disipan el calor con mayor facilidad, pero son más pesados, tienen un volumen mayor y, además, resultan más costosos. Por lo tanto, por consideraciones prácticas es conveniente se leccionar el alambre más pequeño que puedan utilizarse de
Algunos materiales comunes de ala m bre eléctrico y sus resistividad es*
Especificación A S TM **
BJ3 B75 B188 B189 B230
conductividad (simbolizada por una a) de un material, la cual simplemente es el recíproco de la resistividad. La resistencia de un objeto particular se obtiene mul tiplicando la resistividad por la longitud l de la resisten cia y dividiéndola entre el área de la sección transversal (A) (ecuación [6 ]), como se ilustra en la figura 2.26.
Tem plado y form a
Cobre, estañado redondo Cobre, tubular, suave, cobre OF Cobre, tubo macizo, rectangular o cuadrado Cobre, recubierto de plomo suave, redondo Aluminio, macizo, redondo Acero con cubierta de cobre, macizo, redondo, grado 40 HS Cobre, recubierto con níquel, redondo, clase 10 Acero con cubierta de aluminio, macizo, redondo
Resistividad a 20°C (liü- cm)
1.7654 1.7241 1.7521 1.7654 2.8625 43971
1.9592 8.4805
* C.B. Rawlins, “Conductor Materials”, Standard Handbookfor Electrical Engineering, 13a. edición, D.G. Fink y H.W. Beaty, e.ds. Nueva York: McGraw-Hill, I W . pp. 4-4 a 4-8.
** SociaL.d IMadounidense de Prueba de Materiales.
(Continúa en la siguiente página i
( ..
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manera segura, en lugar de seleccionar el alambre con el diámetro mayor disponible en un esfuerzo por minimizar las pérdidas resistivas. El American Wire Gauge (AWG) es un sistema estándar para especificar tamaños de alam bre. Al elegir un calibre de alambre, los valores AWG más pequeños corresponden a un diámetro de alambre más
grande; la tabla 2.4 presenta información abreviada de ca libres comunes. Los códigos de seguridad locales eléctri cos y contra incendio típicamente dictan el calibre que se requiere en aplicaciones específicas de cableado con base en la com ente máxima esperada, así como en el lugar donde se localizará la instalación.
TABLA 2.4 Algunos calibres de alambre comunes y resistencia ____________ de alambre de cobre sólido (blando).*_________________ Tamaño del conductor (AWG) 28 24 22 18 14 12 6 4 2
Sección transversal (m m 2) 0.0804 0.205 0.324 0.823 2.08 3.31 13.3 21.1 33.6
Ohms por 1000 pies a 20°C 65.3 25.7 16.2 6.39 2.52 1.59 0.3952 0.2485 0.1563
* C. B. Rawlins y cois., Standard Handbookfor Electrical Engineering, 13a. edición, D.G. Fink y H.W. Beaty, eds. Nueva York: McGraw-Hill, 1993, pp. 4-47.
EJEMPLO 2.4 Se tiende un alambre a lo largo de un tramo de 2 000 pies hacia una lámpara de alta potencia que toma 100 A. Si se usa un alambre AWG número 4, ¿qué cantidad de potencia se disipa (es decir, se pierde o se desperdicia) dentro del alambre? La mejor forma para empezar a resolver este problema consiste en hacer un dibujo rápido, como el de la figura 2.27. En la tabla 2.4 se observa que un alambre AWG 4 tiene 0.2485 Q para cada 1 000 pies. El alambre que sale hacia la lámpara mide 2 0 0 0 pies de largo, y el que regresa a la fuente de potencia presenta también esa longitud, lo que corresponde a un total de 4 000 pies. De tal manera, el alambre tiene una resistencia de: R = (4 000 ft) (0.2485 ft/1 000 ft) = 0.994 Q
■ F IG U R A 2 .2 7 Rápido bosquejo del circuito con foco del ejemplo 2.4.
SECCIÓN2.4 LEYDEOHM
AAA/-------
#■
La potencia disipada está dada por i 2 R, donde i — 100 A. Así, el alambre disipa 9 940 W o 9.94 kW. Incluso con una resistencia total menor que 1 Q se desperdicia en el alambre una cantidad enorme de potencia: ¡ésta también debe ser proporcionada por la fuente de potencia, aunque nunca llegue al foco!
P R Á C T IC A
'
______________________________________________________
2.13 Dadas las pérdidas de potencia tan elevadas que se describieron en el ejemplo 2.4, su gerente le pide que reemplace el alambre AWG numero 4 por el alambre AWG número 2. Calcular la pérdida de potencia en el nuevo alambre, suponiendo que el foco consume una corriente de 100 A. Por mera curiosidad, ¿cuántas veces más pesará el nuevo cableado (dos veces más, cuatro veces más, etc.)? Respuesta: 6.25 kW, 1.59 veces más.
Conductancia En un resistor lineal, la proporción entre la corriente y la tensión también es constante.
donde G sé llama conductancia. La unidad del SI para la conductancia es el siemens (S), 1 A/V. Anteriormente se utilizaba una unidad no oficial, el mho, abreviada mediante una omega. mayúscula invertida y . De vez en cuando la verá en algunos esquemas de circuito, así como en catálogos y textos. El mismo símbolo de circuitos (fig. 2.24d) se emplea para representar la resistencia y la conductancia. En este caso, la potencia absorbida es también necesariamente positiva y se podría expresar en términos de la conductancia mediante: p — vi
[8 ]
De este modo, un resistor de 2 Q tiene una conductancia de \ S, y si fluye una corriente de 5 A a través de él, se presenta una tensión de 10 V en las termi nales y se absorbe una potencia de 50 W. Todas las expresiones dadas hasta ahora en esta sección se escribieron en tér minos de la com ente, la tensión y la potencia instantáneas, como v — iR y p = vi. Es necesario recordar que es una notación abreviada de v(t) = R i(t) y p (t) = v(t) i(t). La com ente que circula por una resistencia y la tensión que existe entre sus extremos deben variar de la misma manera respecto del tiempo. Por lo tanto, si R = 1 0 £2y v = 2 sen lOOfV, entonces i = 0.2 sen lOOíA. Se ob serva que la potencia está dada por 0.4 sen 2 W, de modo que un diagrama sim ple ilustrará la naturaleza diferente de su variación en el tiem po. Si bien la com ente y la tensión son negativas durante ciertos intervalos, ¡la potencia ab sorbida nunca es negativa! La resistencia puede utilizarse como la base para definir dos términos que suelen emplearse: cortocircuito y circuito abierto. Se define al cortocircuito como una resistencia de cero ohms; entonces, puesto que v = / R. la tensión en un cortocircuito debe ser cero, aunque la comente tenga cualquier valor. De manera análoga, se define al circuito abierto como una resistencia infinita. Se con cluye a partir de la ley de Ohm que la corriente debe ser nula, sin que importe la tensión en el circuito abierto. Aunque los alambres reales tienen una pequeña
»
2a
AA/V
CAPITULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
resistencia asociada, siempre se supone que tienen resistencia nula a menos que se indique lo contrario. Por lo tanto, en la totalidad de los diagramas esquemáti cos de circuito, los alambres se consideran como cortocircuitos perfectos.
RESUM EN Y REPASO______________________________ □ El sistema de unidades más utilizado en la ingeniería eléctrica es el SI. □ La dirección en la que se mueven las cargas positivas constituye la correspondiente al flujo de corriente positiva; de manera alternativa, el flujo de corriente positiva está en dirección opuesta a la de los electrones móviles. Observe que una corriente representada por i o i(t) es constante (cd) o variable en el tiempo, aunque las corrientes representadas por el símbolo / no deben variar en el tiempo.
□ Para definir una corriente, deben indicarse un valor y una dirección. Por lo general, las com entes se denotan mediante la letra mayúscula “I” para valores constantes (cd), o de lo contrario también i(t) o simplemente i. □ Para definir la tensión en un elemento, se requiere marcar las terminales con signos “+ ” y ” además de proporcionar un valor (un símbolo algebraico o un valor numérico). □ Se dice que cualquier elemento suministrará potencia positiva si fluye corriente positiva hacia afuera de la terminal de tensión positiva. Cualquier elemento absorbe potencia positiva si fluye corriente positiva hacia adentro de la terminal de tensión positiva. □ Existen seis fuentes: la fuente de tensión independiente, la fuente de corriente independiente, la fuente de corriente dependiente controlada por corriente, la fuente de corriente dependiente controlada por tensión, la fuente de tensión dependiente controlada por tensión y la fuente de tensión dependiente controlada por corriente. □ La ley de Ohm establece que la tensión en un resistor lineal es directamente proporcional a la corriente que fluye a través de él; es decir, v = R i. □ La potencia disipada por un resistor (que causa producción de calor) está dada por p = vi = i 2R = v 2 ¡ R. □ En el análisis de circuitos se suele suponer que los alambres tienen una resistencia nula. Sin embargo, cuando se elige un calibre de alambre para una aplicación específica, es necesario consultar códigos locales eléctricos y contra incendios.
LECTURAS AD ICIONALES__________________________ Un buen libro que estudia con una gran profundidad las propiedades y fabricación de resistencias es:
Félix Zandman. Paul-René Simón y Joseph Szwarc, Resistor Theory and Technology, Raleigh, N.C.: SciTech Publishing, 2002. Un buen manual de ingeniería eléctrica para todo propósito es:
Donald G. Fink y H. Wayne Beaty, Standard Handbookfor Electrical Engineers, 13a. edición, Nueva York: McGraw-Hill, 1993. En particular las páginas 1-1 a 1-51,2-8 a 2-10 y 4-2 a 4-207 proporcionan un tratamiento detallado de temas relacionados con los que se estudiaron en este capítulo. Una referencia detallada al SI se encuentra disponible en internet en el Instituto Nacional de Estándares:
Barry N. Taylor, Guidefor the Use qfthe International System ofUnits (SI), NIST Special Publication 811, Edición 1995, www.nist.gov.
EJERCICIOS
EJERCICIOS______________ 2.1
U n id a d e s y escalas
1. Convierta lo siguiente a notación de ingeniería: («) 1 .2 , ^ 1 0 ~ 5 s Q>) 750 mJ (c) 1 130 £2 ■! (d) 3 500 000 000 bits df) 13 560 000 Hz ¡Ü) 0.0065 /xm (h) 49 000 £2 Cg) 0.039 nA ai Í[Í173 x 10' 5 /XA Convierta lo siguiente a notación de ingeniería: (b) 12.35 mm (o) 1000 000 W id) 0.00546 A (c) 47 000 W (e) 0.033 m.l (-/) 5.33 x 10~ 6 mW m 5 555 kW 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 s (8) 32 000 000 000 pm (0 3. Convierta las siguientes unidades del SI. Asegúrese de utilizar notación de ingeniería y conserve cuatro dígitos significativos. (a) 400 hp(b ) 12 ft (c) 2.54 cm (d) 67 Btu (e) 285.4 x 10“ 15 s 4. Una cierta batería de celdas secas de 15 V totalmente descargada, requiere de una corriente de 100 mA por 3 horas para recargarse completamente. ¿Cuál es la capacidad de almacenamiento de energía de la batería, suponiendo que la tensión no depende del estado de carga? 5. Un pequeño y veloz carro eléctrico está equipado con un motor de 175 hp. (a) ¿Cuántos kW se requieren para hacer funcionar el motor si se supone una eficiencia de 100% en la conversión de potencia eléctrica en potencia mecánica? (b ) ¿Cuánta energía (en J) se consume si el motor opera de manera continua durante 3 horas? ®i) Si una batería de plomo-ácido tiene una capacidad de almacenamiento de 430 kilowatt hora, ¿cuántas baterías se necesitan para la parte (Z>)?' ■1 6. Un bisturí láser de KrF genera pulsos láser de 400 mJ de 20 ns de duración. (a) ¿Cuál es la potencia instantánea pico del láser? (b) Si sólo pueden generarse 20 pulsos por segundo, ¿cuál es la salida de potencia promedio del láser? 7. Un láser amplificado de titanio/zafiro genera pulsos láser de 1 mJ de 75 fs de duración, (¿f) ¿Cuál es la potencia instantánea pico del láser? (b) Si sólo pueden generarse 100 pulsos por segundo, ¿cuál es la salida de potencia promedio del láser? 8. La potencia suministrada por cierta batería es constante e igual a 6 W durante los primeros 5 minutos, cero en los siguientes 2 minutos, un valor que aumenta linealmente desde cero hasta 10 W durante los siguientes 10 minutos, y una potencia que disminuye linealmente de 10 W a cero en los siguientes 7 minutos. (a) ¿Cuál es la energía total en joules consumida durante este intervalo de 24 minutos? (b ) ¿Cuál es la potencia promedio en Btu/h durante este tiempo? 9. Un nuevo tipo de batería entrega 10 W de potencia por 8 horas sin fluctuación de voltaje o corriente. Sin embargo, después de 8 horas, la potencia de salida cae linealmente de 10 W a 0 en sólo 5 minutos, (a) ¿Cuál es la capacidad de almacenamiento de energía de la batería? (b ) ¿Cuánta energía es entregada durante los últimos 5 minutos del ciclo de descarga? 2 .2 C arga, c o rrie n te , te n s ió n y p o te n c ia 10. La carga total acumulada por cierto dispositivo está dada como una función del tiempo por q = 18í2 —2í4 (en unidades del SI), (a) ¿Cuál es la carga total que se
»
A /W
0
30 --------- V W
•
CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
acumula en / = 2 s? (b) ¿Cuál es la carga máxima acumulada en el intervalo 0 < t < 3 s, y cuándo ocurre? (c) ¿A qué velocidad se acumula la carga en t = 0.8 s? (d) Dibuje curvas de q en función de t y de i en función de t en el intervalo 0 < / < 3 s. 11. La corriente ¡i (r) de la figura 2.6c está dada por —2 + 3e~5' A para / < 0, y —2 + 3e3'A para t > 0. Determinar (a) i\ (—0.2); (ti) ¡i (0.2); (c) los instantes en los que ¡i = 0 ; (d) la carga total que ha pasado de izquierda a derecha a lo largo del conductor en el intervalo —0 . 8 < t < 0 . 1 s. 12. La forma de onda que se presenta en la figura 2.28 tiene un periodo de 10 s. (a) ¿Cuál es el valor promedio de la corriente en un periodo? (b) ¿Qué cantidad de carga se transfiere en el intervalo 1 < t < 12 s? (c) Si <7 (0) = 0, dibuje ¡7 (/), 0 < t < 16 s.
i (A) 6 4 2 1
1
1
1 2
4
5
1 8
1 10
1 12
.1
1
1 14
16
1 18
.
-2 -4
■ F IG U R A 2 .2 8
13. Considere una trayectoria formada por los puntos discretos A, B, C, D y E. Se consumen 2 pJ en mover un electrón de A a B o de B a C. Consumen 3 pJ para mover un protón de C a D. No se consume energía para mover un electrón de D a E. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial (en volts) entre A y 5? (Suponga que la referencia + está en B.) (ti) ¿Cuál es la diferencia de potencial (en volts) entre D y E'l (Suponga que la referencia + está en E.) (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial (en volts) envíe C y ¿>? (Suponga que la referencia + está en D.) (d) ¿Cuál es la diferencia de potencial (en volts) entre D y B'! (Suponga que la referencia + está en D.) 14. Se encuentra una caja no marcada en la esquina trasera de un laboratorio. Tiene dos alambres que salen de ella, uno color naranja y otro color morado. Un voltímetro se conecta a los dos alambres con la referencia + en el alambre morado. De esta forma se mide una tensión do —2.86 V. ¿Cuál será la lectura de tensión si se invierten las conexiones del voltímetro? 15. Determine la potencia que absorbe cada uno de los elementos de circuito dados en la figura 2.29.
8 eos 1 000 1 mA
------r i í p --------
4 sen 1 000/ V 1 = 2 ms
(a) ■ F IG U R A 2 J 9
(b)
(c)
-o +
EJERCICIOS
+
16. Sea i = 3 te~ ,00‘ mA y v = (0.006 —0 .6 t)e~ 100t V para el elemento de circuito de la figura 2.30. (a) ¿Qué potencia absorbe el elemento de circuito en t = 5 ms? (b) ¿Cuánta energía se entrega al elemento en el intervalo 0 < t < oo? 17. En la figura 2.30, sea i = 3e-100f A. Determine la potencia que absorbe el elemento de circuito en t = 8 ms si v es igual a: (a) 40 i; (b) 0.2 d i / d t \ (c) 30 f g i d t + 20 V. 18. En la figura 2.31 se presenta la característica de corriente-tensión de una celda solar de silicio expuesta a la luz solar directa a las doce del día en Florida, durante pleno verano. Se obtiene colocando resistores de diferente tamaño entre las dos terminales del dispositivo y se miden las corrientes y tensiones resultantes. (a) ¿Cuál es el valor de la corriente en cortocircuito? (b ) ¿Cuál es el valor de la tensión en circuito abierto? (c) Calcule la potencia máxima que se obtiene del dispositivo.
com ente (A)
19. Una comente que fluye hacia cierto circuito se supervisa con cuidado a medida que pasa el tiempo. Todos los voltajes (tensión) especificados suponen que la terminal de referencia positiva es la terminal superior de las dos terminales del circuito. Se observa que en las dos primeras horas, una comente de 1 mA fluye hacia la terminal superior, al mismo tiempo que se mide una tensión de +5 V. En los 30 minutos siguientes, no fluye ninguna corriente hacia adentro o hacia afuera. Después, en las dos horas siguientes, fluye una corriente de 1 mA afuera de la terminal superior, con un voltaje medido de + 2 V. Después, de nuevo no fluye corriente alguna hacia adentro o hacia afuera. Si se supone que el circuito no tenía energía almacenada ¡nicialmente, responda lo siguiente: (á) ¿Cuánta potencia se entregó al circuito durante cada uno de los tres intervalos? (b) ¿Cuánta energía se proporcionó al circuito durante las primeras dos horas de observación? (c ) ¿Cuánta energía queda ahora en el circuito? 2 .3 Fuentes d e te n s ió n y d e c o rrie n te 20. Determine cuál de las cinco fuentes de la figura 2.32 se está cargando (absorbe potencia positiva) y demuestre que la suma algebraica de los cinco valores de potencia absorbida es cero. 21. Con referencia al circuito de la figura 2.32, multiplique cada comente y voltaje por 4 y determine cuál de las cinco fuentes actúa como fuente de energía (es decir, que proporciona potencia positiva a otros elementos). 22. En el circuito simple de la figura 2.33 circula la misma comente a través de cada elemento. Si Vx = 1 V y V r = 9 V, calcular: (á) la potencia absorbida por el elemento A; (,b) la potencia suministrada por cada una de las dos fuentes. (c) ¿La potencia total suministrada es igual a la potencia total absorbida? ¿Su descubrimiento es razonable? ¿Por qué sí (o por qué no)? 23. En el circuito de la figura 2.34, si v2 = 1 000í2 e ¡2 = 5 mA, determine vs.
B F IG U R A 2 .3 2
A / V \ ---------
31
32
-W V
CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
24. Para el circuito de la figura 2.35, si ix = —1 inA, calcular el voltaje i>2 25. Un circuito simple se forma con una batería de plomo-ácido de 12 V y un faro frontal de automóvil. Si 1h batería entrega una energía total de 460.8 watts-hora durante un periodo de descarga de 8 horas, (a) ¿qué cantidad de potencia se entrega al faro? ib) ¿cuál es la comente que fluye por la bombilla? (Suponga que la tensión de la batería permanece constante mientras se descarga.) 26. Debe elegirse un fusible para cierta aplicación. Se pueden elegir fusibles especificados para “fundirse” cuando las corrientes superen 1.5 A, 3 A, 4.5 A o 5 A. Si la tensión de suministro es de 110 V y II miixima disipación de potencia permisible corresponde a 500 W, ¿cuál es el fusible que se debe elegir y por qué? 2 .4 Ley d e O h m
W
r
27. En realidad, una resistencia de 1 kQ con 10% de tolerancia puede tener cualquier valor en el rango de 900 y 1100 Q. Si se le aplica una tensión de 5.0 V, (a) ¿cuál es el rango de corriente que se medirá? (b) ¿cuál es el rango de potencia que se medirá? 28. Una corriente de 2 mA es obligada a circular a través de una resistencia de 470 Q con 5% de tolerancia. ¿Qué valor de potencia deberá tener la resistencia y por qué? (Observe que “5% de tolerancia” significa que la resistencia podría tener en realidad un valor cualquiera dentro del rango de 446.5 Q y 493.5 £2.) 29. Sea R = 1200 Q para el resistor de la figura 2.24d. Determine la potencia que absorbe R en t = 0.1 s si (a) i = 20e~Ut mA; (b) v = 40 eos 20í V; (c) vi = 8 1 ' 5 VA. 30. Cierta tensión es igual a +10 V durante 20 ms —10 V en los siguientes 20 ms y continúa oscilando entre los dos valores en intervalos de 20 ms. La tensión se presenta en un resistor de 50 £2. Para cualquier intervalo de 40 ms determine (a) el valor máximo de la tensión; (b) el valor promedio de la lensión; (c) el valor promedio de la corriente del resistor; (d ) el valor máximo de la potencia absorbida; (e) el valor promedio de la potencia absorbida. 31. En el circuito de la figura 2.36 debe fluir la misma comente a través de los tres componentes como consecuencia de leyes de conservación. Recurriendo al hecho de que la potencia total suministrada es igual a la potencia total absorbida, demuestre que la tensión en el resistor AS está dada por: V», = Vs— —— 2 R1 + R 2
' FIGURA 2.36
32. Las siguientes mediciones experimentales se efectuaron en un dispositivo de dos terminales, fijando la tensión mediante el uso de un suministro de potencia variable, y midiendo el flujo de corriente resultante en una de las terminales.
Tensión (V)
-1.5 -0.3 0.0 1.2
2.5
Corriente (mA) -3.19 -0.638 I.OljS 1 0 “ 8 2.55 5.32
(a) Grafique la característica de corriente-tensión. (.b) Calcule la conductancia y la resistencia efectivas del dispositivo. (c) En una gráfica diferente, dibuje la característica corriente-tensión, si la resistencia del dispositivo se incrementa en un factor de 3.
EJERCICIOS
33. Para cada uno de los circuitos de la figura 2.37, determine la corriente / y calcule la potencia que absorbe la resistencia. lO k íl
5V
lO k íl
5V
lO kíl
l Ok íl
-5 V
-5 V
■ F IG U R A 2 .3 7
34. Es común ver una variedad de subíndices en las tensiones, corrientes y resistencias de los diagramas de circuito. En el circuito de la figura 2.38 aparece la tensión v„ en el resistor llamado rw. Calcular vsa] si vi = 0.01 eos 1 OOOí V.
1
1*
"si
T
1 I-
11 n> io-3*v
1 i kíi < ysal
i
1í
FIG U R A 2 .3 8
35. El circuito de la figura 2.38 está construido de tal manera que vs = 2 sen 51 V, y Tjr = 80 £2. Calcular v^i e n f = 0 y f = 314 ms. 36. Un tramo de alambre de cobre sólido calibre 18 AWG es tendido a lo largo de un camino para conectar un sensor con un sistema de cómputo central. Si se sabe que el alambre tiene una resistencia de 53 £2, ¿cuál es su longitud total? (suponga que la temperatura es ~20°C). 37. Se encuentra varado en una isla desierta y la temperatura del aire es de 108°F. Después de darse cuenta de que su transmisor no ñmeiona, atribuye el problema a una resistencia descompuesta de 470 £2. Por fortuna, observa que hay un gran carrete de alambre de cobre sólido de calibre 28 AWG tirado en la costa. ¿Cuántos pies de alambre requerirá para usarlos como un sustituto de la resistencia de 470 £2? Observe que debido a que la isla se ubica en el trópico, la temperatura es un poco mayor que los 20°C utilizados para marcar la resistencia del alambre en la tabla 2.4. Puede utilizar la siguiente relación5para corregir los valores de la tabla mencionada: Ra Ri donde
234.5 + T2 234.5-f 7i
= temperatura de referencia (20°C en este caso) = resistencia a la temperatura de referencia = nueva temperatura (en grados Celsius) = resistencia a la nueva temperatura 38. La resistencia de un conductor que tiene una longitud de l y una sección transversal uniforme A está dada por R = l/cr A, donde a (sigma) es la conductividad eléctrica. Si a = 5.8 x 107 S/m del cobre: (a) ¿cuál es la resistencia de un alambre de cobre número 18 (diámetro = 1.024 mm) es decir, 50 pies de largo? (b ) ¿Si una tarjeta de circuito impreso tiene un peine conductor envuelto en cobre de 33 [im de grosor y 0.5 mm de ancho que puede transportar 3 A a 5CPC de forma segura, encontrar la resistencia de un tramo de 15 cm de ese listón y la potencia entregada a éste por la corriente de 3 A. Ti Ri Ti R2
D. G. Fink y H. W. Beaty, Standard Handbookfor Electrical Engineers, 13a, edición, Nueva York: McGraw-Hill, 1993, p. 2-9.
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AA/V
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CAPITULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
39. La tabla 2.3 presenta varios tipos de estándares de alambre de cobre con una resistividad de aproximadamente 1.1¡j. Q. ■cm. Utilice la información de la tabla 2.4 para el alambre 28 AWG para determinar la resistividad del alambre de cobre suave correspondiente. ¿Es su valor congruente con el de la tabla 2.3? 40. (a) Presentar tres ejemplos de resistencias “no-lineales”. (b) Imaginar una batería conectada a una resistencia. La energía se transfiere desde la batería a la resistencia hasta que la primera se descaiga totalmente. Con base en el principio físico de la conservación de la energía, ¿a dónde exactamente fue la energía inicialmente almacenada en la batería? 41. Si el cobre B33 se utiliza para fabricar un alambre circular de un diámetro de 1 mm, ¿cuánta potencia se disipará en 1 0 0 m de alambre por el que circula una corriente de 1.5 A? 42. Con base a la información de la tabla 2.4, diseñar un dispositivo mecánico que actúe continuamente como una resistencia variable. (Sugerencia: podría ser de ayuda una bobina.) 43. Se puede hacer el modelo del diodo, un dispositivo no lineal muy común de dos terminales, mediante la siguiente relación de corriente-tensión: / = io- V 9V- d (a) Dibujar la característica de corriente-tensión para V = —0.7 a 0.7 V.
Q
(b) ¿Cuál es la resistencia efectiva del diodo a V = 0.55 V? (c) ¿A qué corriente el diodo tiene una resistencia de 1 £2? 44. Se necesita una resistencia de 10 £2 para reparar un circuito regulador de tensión en una aplicación portátil. Los únicos materiales disponibles son carretes de 10 000 pies con sus calibres de alambre que se presentan en la tabla 2.4. Diseñar una resistencia adecuada. 45. La resisúvidad del silicio cristalino “tipo n” está dada por p = l/qNi)i¿n, donde q, la carga por electrón, es 1.602 x 10~ 19 C, No = número de átomos de impureza de fósforo por cm3, y ¡in = movilidad del electrón (en unidades de cm2 V_ 1 s_1). La movilidad y la concentración de impurezas se relacionan por medio de la figura 2.39. Suponiendo una oblea de silicio de 6 pulgadas de diámetro y de 250 /¿m de espesor, diseñar una resistencia de 1 0 0 £2 que especifique una concentración de fósforo en el intervalo de 1 0 15 < No < 1 0 1S átomos/cm3, así como una geometría del dispositivo adecuada.
£
s
Nd (átomos/cm3) H F IG U R A 2 .3 9
Leyes de tensión de corriente CONCEPTOS CLAVE
INTRODUCCION En el capítulo 2 se presentaron la resistencia así como varios tipos de fuentes. Después de definir algunos términos nuevos sobre circuitos, se contará con elementos suficientes para comenzar a
Nuevos términos sobre : circuitos: nodo, trayectoria, 1 lazo y rama.
• -------------------------------Ley de Kirchhoff de corriente
analizar circuitos simples realizados a partir de estos dispositivos. Las técnicas que se explicarán están basadas en dos leyes relativa mente simples: la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y la ley de voltajes (tensiones) de Kirchhoff (LVK). La LCK se basa en el principio de conservación de la carga, mientras que la LVK se fundamenta en el principio de conservación de la energía, por lo cual ambas son leyes físicas fundamentales. Una vez que se haya familiarizado con el análisis básico, podrá hacer un uso más extensivo de LCK y LVK para simplificar combinaciones en serie y en paralelo de resistencias, fuentes de tensión o fuentes de corriente y se desarrollarán los conceptos de división de tensión y de corriente. En capítulos subsecuentes, se explicarán técnicas adicionales que permitirán analizar, de manera eficiente, redes aún más complejas.
; (LKQ. • -------------------------------: Ley de Kirchhoff de voltaje ! (LKV).
• --------------------------- — . Análisis de circuitos básicos ¡ en serie y en paralelo.
4 -------------------------------------------! Combinación de fuentes en i serie y en paralelo.
é---------------------; : ; i
Simplificación de combinaciones de resistencias en serie y en paralelo.
é --------------------------------------------
3.1 NODOS, TRAYECTORIAS, LAZOS Y RAMAS -------• --------------- ------------------------------------------------------------------ Ahora el foco de atención se centrará en determinar las relaciones corriente-tensión en redes simples con dos o más elementos de cir cuito. Los elementos se conectarán entre sí por medio de cables (al gunas veces denominados “hilos de conexión”), que tienen una re sistencia nula. Debido a que la red aparece entonces como varios elementos simples y un conjunto de hilos de conexión, se le da el nombre de red de parám etros concentrados. Surge un problema de análisis más difícil cuando se debe enfrentar una red de parámetros distribuidos, que contiene un número esencialmente infinito de ele mentos pequeños que se van anulando. En este texto sólo se expon drán las redes de parámetros concentrados.
• División de corriente y de tensión.
I
é ------------------------------------------Conexiones a tierra.
3 6 ) --------------- VA ------------------------------ •
En los circuitos ensamblados en el mundo real, los ca bles siempre tienen resistencia finita. Sin embargo, dicha resistencia casi siempre es tan pequeña, en comparación con otras resistencias del circuito, que puede pasarse por alto sin introducir un error impor tante. Por lo tanto, de ahora en adelante, en los cir cuitos idealizados, se hará referencia a cables de "re sistencia nula".
I F IG U R A 3.1 (a) Circuito que contiene tres
CAPITULO 3 LEYES DETENSIÓN Y DE CORRIENTE
Un punto en el cual dos o más elementos tienen una conexión común se llama nodo. Por ejemplo, en la figura 3.1a se presenta un circuito que contiene tres nodos. Algunas redes se dibujan de manera que engañan a un estudiante desprevenido que cree que hay más nodos de los que en verdad existen. Esto ocurre cuando un nodo, tal como el que se indica con el número 1 en la figura 3.1a, se muestra como dos uniones separadas conectadas por un conductor (resistencia nula), como en la figu ra 3.1 b. Sin embargo, todo lo que se ha hecho es dispersar el punto común en una línea común de resistencia nula. Así, se debe considerar en forma obligatoria la to talidad de los hilos de conexión perfectamente conductores o las porciones de hilos de conducción unidos al nodo, como parte de este mismo. Observe también que to do elemento tiene un nodo en cada uno de sus extremos. Suponga que se parte del nodo de una red y se mueve a través de un elemen to simple hacia el nodo del otro extremo. Se continúa luego desde ese nodo a tra vés de un elemento diferente hasta el siguiente, y se prosigue con este movimien to hasta que se haya pasado por tantos elementos como se desee. Si se encontró un nodo más de una vez, entonces el conjunto de nodos y elementos a través de los cuales se pasó se define como una trayectoria. Si el nodo en el cual se empe zó es el mismo que con el que se finalizó, entonces la trayectoria es, por defini ción, una trayectoria cerrada o lazo. Por ejemplo, en la figura 3.1a, si al moverse a partir del nodo 2 por la fuente de corriente hacia el 1 , y luego se atraviesa la resistencia superior derecha hacia el nodo 3, se establece una trayectoria. Esto es debido a que no se ha continuado de nuevo hacia el nodo 2, completando así un lazo. Si se procede desde el nodo 2 a través de la fuente de corriente hacia el 1 , se atraviesa la resistencia izquierda ha cia el 2 , y después se sube otra vez por la resistencia central hacia el nodo 1 , no se está teniendo una trayectoria, ya que se encontró más de una vez un nodo (en reali dad dos nodos); tampoco tiene un lazo, puesto que éste debe ser utia trayectoria. Otro término cuyo uso probará su conveniencia es el de rama, a la cual se de fine como una trayectoria única en una red, compuesta por un elemento simple y el nodo en cada extremo de ese elemento. Por lo tanto, una trayectoria es una co lección particular de ramas. El circuito de la figura 3.1a y b contiene cinco ramas.
nodos y cinco ramas. (b) El nodo 1 se vuelve a dibujar para considerarlo como dos nodos, aunque sigue siendo uno.
3.2 g LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFf_____________ A hora cuenta con elementos suficientes para analizar la primera de las dos leyes con las que se honra el nombre de Gustav Robert Kirchhoff (dos h y d o s /), pro fesor universitario alemán que nació en la época en que Ohm efectuaba su traba jo experimental. Esta ley axiomática se denomina ley de Kirchhoff de corriente (abreviada LKC), la cual establece simplemente que: L a suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero. Esta ley representa un enunciado matemático del hecho de que la carga no se acumula en un nodo. Un nodo no es un elemento d e circuito, y ciertamente no puede almacenar, destruir o generar carga. En consecuencia, las corrientes deben sumar cero. En ocasiones resulta útil una analogía hidráulica para aclarar este caso: por ejemplo, considerar tres tuberías de agua unidas en la forma de una Y. Se definen tres “corrientes” que fluyen hacia cada una de las tres tuberías. Si se insiste en que el agua siempre fluye, entonces resulta evidente que no se pueden tener tres corrientes de agua positivas, o las tuberías explotarían. Lo anterior constituye un resultado de las corrientes definidas como independientes de la di-
SECCIÓN 3.2 LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF
A /W ---------(
37
rección en la cual en realidad fluye el agua. Por lo tanto, por definición, el valor de una o dos com entes debe ser negativo. Considere el nodo de la figura 3.2. La suma algebraica de las cuatro corrientes que entran al nodo debe ser cero: ia
+
¡b
+ (~ > c) +
(—Íd ) —
0
I F IG U R A 3 .2 Ejemplo de un nodo para ilustrar la
Es obvio que la ley podría aplicarse de igual forma a la suma algebraica de las corrientes que abandonan el nodo: ¿a) + (—íb ) + ic + íd =
aplicación de la ley de Kirchhoff de corriente.
0
Quizá se desee igualar la suma de las corrientes que tienen flechas de refe rencia dirigidas hacia el nodo, con la suma de las dirigidas hacia afuera del mis mo: ia
+
¡b
=
ic
+
Íd
lo que establece de manera simple que la suma de las comentes que entran es igual a la suma de las com entes que salen. Una expresión compacta de la ley de Kirchhoff de com ente es: y~! «=i
[ 1]
_ o
que es justo un enunciado breve de: h +
*2
+ h + • ■• + Ín =
[2]
0
Cuando se emplea la ecuación [1] o la [2], se entiende que las N flechas de com ente se dirigen hacia el nodo en cuestión, o se alejan de él.
S
9 Ww*H H --Mwmmmr
H
¡s
r
n
- '
1
EJEMPLO 3.1
En el circuito de la figura 3.3a, calcular la corriente a través del resistor R i si se sabe que la fuente de tensión suministra una corriente de 3 A.
Identificar el objetivo del problema. La com ente que circula por el resistor R 3 ya se marcó como i sobre el dia grama de circuito.
Recopilar la información conocida. La corriente fluye desde el nodo superior de R 3, que se conecta a las otras tres ramas. Las comentes que fluyen hacia el nodo a partir de cada rama se sumarán para formar la corriente i.
> Elaborar un plan. Empezar marcando la com ente que pasa por R] (fig. 3.3b), de manera que pueda escribirse una ecuación LKC en el nodo superior de los resistores R2 y ^ 3 .
Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. Sumar las comentes que circulan hacia el nodo: lRt
•
2 - i -1- 5 — 0
Para mayor claridad, las com entes que fluyen hacia este nodo se muestran en el esquema del circuito ampliado de la figura 3.3c.
(Continúa en la siguiente página)
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Determinar si se requiere información adicional. Observar que tiene una ecuación pero dos incógnitas, lo que significa que se necesita obtener una ecuación adicional. En este punto, se vuelve útil el hecho de que sepa que la fuente de 10 V suministra 3 A: la LKC muestra que ésta es también la corriente i r , .
Buscar la solución. Sustituyendo, se tiene que i = 3 — 2
+ 5 = 6A .
Verificar la solución. ¿Es razonable o es la esperada? Siempre vale la pena el esfuerzo de verificar una vez más la solución. Además, puede hacerse el intento de evaluar si al menos la magnitud de la solución es razonable. En este caso, tiene dos fuentes: una suministra 5 A y la otra, 3 A. No hay otras fuentes, independientes o dependientes. Por consiguiente, no se debe esperar encontrar ninguna com ente en el circuito mayor que 8 A. P R Á C T IC A
__________________________________________________________
3.1 Contar el número de ramas y nodos que hay en el circuito de la figura 3.4. Si ix — 3 y la fuente de 18 V entrega 8 A de corriente, ¿cuál es el valor de R a ‘? (Sugerencia: necesita de la ley de Ohm, así como de la LCK). 13 A
(c) ■ F IG U R A 3 .3 (o) Circuito simple en el que se desea que fluya la corriente a través de la re sistencia /?3. (b) La corriente que circula por la resistencia /?i se indica de manera que la ecuación de la LCK pueda escribirse, (c) Las corrientes en el nodo superior de R¡ se vuelven a dibujar por claridad.
r
— V A -----1 5 fi >*A
<>
6
ü
( +
■ F IG U R A 3 .4
Respuesta: 5 ramas, 3 nodos, 1Q.
3.3 ■--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF --------La corriente se relaciona con la carga que fluye p o r un elemento de circuito, en tanto que la tensión constituye una medida de la diferencia de energía potencial en tre los extremos del elemento. En la teoría de circuitos, la tensión sólo tiene un va lor único. Por lo tanto, en un circuito, la energía necesaria para mover una carga unitaria desde el punto A hasta el punto fi debe tener un valor independiente de la trayectoria seguida de A a fi (a menudo existe más de una trayectoria). Este hecho se puede comprobar por medio de la ley de Kirchhoff de tensión (abreviada LVK): La suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero.
B ■ F IG U R A 3 .5 La diferencia de potencial entre los puntos A y f i es independiente de la trayectoria elegida.
En la figura 3.5, si se lleva una carga de 1 C de A a fi a través del elemento 1, los signos de polaridad de referencia de v¡ muestran que se utilizaron v\ joules de trabajo . 1 Observar que se eligió una carga de 1 C por conveniencia numérica: por lo tanto, se efectúa. Ahora bien, si, en vez de eso, se elige proceder de A a fi (1) Observar que se eligió una carga de 1 C por conveniencia numérica; por lo tanto, se efectúa (1 C)(ui J/C) = vi joules de trabajo.
SECCIÓN 3.3 LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF
A /W ------
por el nodo C, entonces consumirá v 2 — vs joules de energía. El Irabajo realizado, sin embargo, es independiente de la trayectoria en un circuito, por lo cual los valores deben ser iguales. Cualquier ruta debe conducir al mismo valor de la ten sión. En otras palabras, Ui = v2 - V3
[3]
Resulta que si traza una trayectoria cerrada, la suma algebraica de las ten siones en los elementos individuales, a lo largo de ella, debe ser nula. Así, se po dría escribir: ^1 + V i + v s + • • • + V¡v = 0
o de manera más compacta,
N
J 2 v» = °
w
n=1
Se puede aplicar la LKT a un circuito de varias maneras diferentes. Un método que propicia menos errores de escritura de ecuaciones, en comparación con otros, consiste en moverse mentalmente alrededor de la trayectoria cerrada en la dirección de las manecillas de reloj y escribir de manera directa la tensión de cada elemento a cuya terminal (+ ) se entra, y después expresar el negativo de cada tensión que se encuentre primero en el signo (—). Aplicando lo anterior al lazo sencillo de la figura 3.5, se tiene - v i + v 2 — vs =
0
lo cual concuerda con el resultado previo, ecuación [3].
E J E M P L O 3.2 E n el circuito de la figura 3.6, d e te rm in a r vx e ix. Se conoce la tensión en dos de los tres elementos del circuito. De tal modo, la LKT se aplica de inmediato para obtener vx. Empezando con el nodo superior de la fuente de 5 V, se aplica la LVK en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del lazo:
7V
—5 — 7 + vx ~ 0 por lo que vx = 12 V. La LVK se aplica a este circuito, pero sólo dice que la misma corriente (ix) fluye a través de los tres elementos. Sin embargo, se conoce la tensión en la resistencia de 1 0 0 £2 . Se puede recurrir a la ley de Ohm, vx
12
100
100
■ F IG U R A 3 .6 Circuito simple con dos fuentes de tensión y una sola resistencia.
A = 120 mA 1V
P R A C T IC A 3.2 Determinar ix y vx en el circuito de la figura 3.7. Respuesta: vx = —4 V; iz = —400 mA.
mFIGURA 3.7
VA
-•
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
EJEMPLO 3.3 En el circuito de la ligura 3.8 hav ocho elementos de circuito; las ten siones con pares más-menos se muestran en los extremos de cada ele mento. Calcular v¡n (la tensión en R2) y la tensión marcada vx. El mejor método para determinar v r 2 en esta situación consiste en considerar un lazo en el que sea posible aplicar la LVK. Existen varias opciones, pero después de observar con cuidado el circuito se descubre que el lazo que está más hacia la izquierda ofrece una ruta directa, ya que dos tensiones se especifican con claridad. Por lo tanto, puede encontrar v r 2 si escribe una ecuación LVK en tomo al lazo de la izquierda, empezando en el punto c: 4 — 36 -f- Vg2 = 0 lo que produce v r 2 = 32 V.
■ FIGURA 3.8 Circuito con ocho elementos en el que se quiere determinar va y vx-
Los puntos b y c, así como el cable entre ellos, son parte del mismo nodo.
Para determinar vx , podría considerársele como la suma (algebraica) de las tensiones de los tres elementos de la derecha. Sin embargo, puesto que no hay valores para estas cantidades, tal procedimiento no suministraría una respuesta numérica. En vez de eso, se debe aplicar la LVK empezando en el punto c, moverse hacia arriba y a través de la parte superior hasta a, a través de vx hasta b, y por el hilo de conducción hasta el punto de inicio te niendo así: + 4 - 36 + 12 + 14 + vx = 0 por lo que vx = 6 V Procedimiento alterno: corto a través de R 2 '.
conociendo v r 2 se podría haber tomado el camino —32 -f- 12 + 14 -\- vx = 0
con lo cual se obtendría vx =
6
V también en este caso.
Como se puede ver justamente, la clave para analizar de manera correcta un circuito consiste en marcar primero de manera metódica todas las tensiones y las corrientes sobre el esquema del circuito. De este modo, la escritura cuidadosa de las ecuaciones LCK o LVK proporcionaría relaciones correctas y la ley de Ohm se aplicaría como se requiriese, si se obtienen al principio más incógnitas que ecuaciones. Se ilustran estos principios con un ejemplo más detallado.
SECCIÓN 3.3 LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF
*
A /W EJEMPLO
Determinar vx en el circuito de la figura 3.9a. 4Í1
— V A —
----- W v — 8íl
> ion
60 V
r
Q
í> 2 0
3 (a)
5A r ~
60 V
*4
8Í1 W
©
+ í'lO
40
-v w + ^4
\ r
+ :2 n
10 íi
",
I%
[ho ib)
I F IG U R A 3 .9 (o) Circuito para el que se va a determinar v„ mediante LVK. (6) Circuito con tensiones y corrientes señaladas.
Se debe empezar marcando (señalando) las tensiones y las corrientes en el resto de los elementos de circuito (fig. 3.9b). Observe que vx aparece entre los extremos del resistor de 2 Q y la fuente l v también. Si se obtiene la corriente que circula por el resistor de 2 £2 con la ley de Ohm se calculará vx. Al escribir la ecuación apropiada de la LCK, se ve que: h = u + ix Desafortunadamente, no se tienen los valores de ninguna de estas tres cantidades. Por lo tanto, la solución se ha atascado (de manera temporal). Puesto que se conoce el flujo de comente de la fuente de 60 V, es más con veniente trabajar con ese lado del circuito. Podría obtenerse vx mediante ¿2 , de manera directa de la LVK, en lugar de basarse en el conocimiento de vx . Desde esta perspectiva, se pueden escribir las ecuaciones LVK siguientes: - 6 0 + vs + uio =
0
y —uio + U4 + vx = 0
[5]
Esto ya es un avance. Ahora se cuenta con dos ecuaciones con cuatro in cógnitas, lo cual significa una ligera mejora que contar con una ecuación en la que todos los términos son incógnitas. En realidad, se sabe que Vy, = 40 V por medio de la ley de Ohm, ya que se dijo que 5 A fluyen a través de una resistencia de 8 Q. Por lo tanto, v 10 = 0 + 60 —40 = 20 V, de tal forma que la ecuación [5] se reduce a vx =
2 0
— D4
Si se pudiera determinar V4 , se resolvería el problema. (Continúa en la siguiente página)
®
3.4
42
)---------------
VW
------------------------------ •
CAPÍTULO 3 1FYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
La mejor forma de encontrar el valor numérico de la tensión 1)4 en este caso es utilizar la ley de Ohm, la cual requiere contar con un valor para ¿4 . A partir de LCK, se puede ver que *
<-
14
Ul0
c
=
20
10 =
de tal form a que V4 = (4)(3) = 12 V y, por lo tanto, vx = 20 — 12 =
10 = 8
V.
P R A C T IC A 3.3 Determine vx en el circuito de la figura 3.10. 2
a
2
n
—^-A/A— — VW 80
30 V ©
1 0 í2
■ F IG U R A 3 .1 0
Respuesta: vx =
1 2 .8 V .
3.4 • --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EL CIRCUITO DE UN SOLO LAZO ---------
i
(c) ■ F IG U R A 3.11 (a) Circuito de un solo lazo con cuatro elementos. (6) Modelo del circuito con ten siones de fuente y valores de resistencia dados. (c) Tienen que agregarse al circuito los signos de referencia de la corriente y de la tensión.
Se ha podido observar que el uso repetido de LCK y LVK en conjunto con la ley de Ohm puede aplicarse a circuitos no triviales que cuenten con varios lazos y un determinado número de elementos. Antes de avanzar más, éste es un buen momento para enfocar la atención en el concepto de circuitos en serie (y, en la sección siguiente, paralelo), ya que ambos formarán la base de cualquier red que se presente en el futuro. Se dice que todos los elementos del circuito que conducen la misma corrien te están conectados en serie. Como ejemplo, considere el circuito de la figura 3.9. La fuente de 60 V está en serie con la resistencia de 8 £2 por ambos circula la misma corriente de 5 A. Sin embargo, la resistencia de 8 £2 no está en serie con la de 4 £2; por ambas circulan com entes diferentes. Observe que los elemen tos pueden conducir com entes iguales y no estar en serie; dos focos de luz eléc trica de 100 W en casas vecinas quizás conduzcan perfectamente corrientes iguales, pero realmente no conducen la misma corriente y no están en serie. La figura 3.11a muestra un circuito simple que consiste en dos baterías y dos resistencias. Se supone que cada terminal, hilo de conexión y soldadura tiene re sistencia cero; juntos constituyen un nodo individual del esquema de circuitos de la figura 3.11¿>. Ambas baterías están modeladas por fuentes de tensión idea les; se supone que cualquier resistencia interna que puedan tener es lo suficien temente pequeña como para que pueda despreciarse. Se supone que las dos re sistencias son reemplazables por resistencias ideales (lineales). Se trata de encontrar la com ente a través de cada elemento, la tensión en ca da elemento y la potencia que absorbe cada elemento. El primer paso del análi sis es el supuesto de las direcciones de referencia de las com entes desconocidas. De manera arbitraria se elige la com ente i en el sentido de las m anecillas del reloj que sale de la terminal superior de la fuente de tensión a la izquierda. Tal elección se indica mediante una flecha marcada i en ese punto del circuito, como se muestra en la figura 3.11c. Una aplicación trivial de la ley de Kirchhoff de
SECCIÓN 3.4 EL CIRCUITO DE UN SOLO LAZO
• -
A A /Y
corriente asegura que esta misma corriente debe circular también por cada uno de los demás elementos del circuito; se debe destacar este hecho colocando esta vez varios símbolos de corriente alrededor del circuito. El segundo paso del análisis consiste en elegir la tensión de referencia para cada una de las dos resistencias. La convención de signos pasiva requiere que las variables de corriente y tensión de la resistencia se definan de manera que la co rriente entre a la terminal en la cual se localiza la referencia de tensión positiva Utfi y vr 2- Puesto que ya se ha elegido (de manera arbitraria) la dirección de la corriente, y se definen como en la figura 3.11c. El tercer paso es aplicar la ley de Kirchhoff de tensión a la única trayectoria ce rrada. Es necesario moverse alrededor del circuito en la dirección de las maneci llas del reloj, empezar en la esquina inferior izquierda y escribir de manera direc ta cada tensión que se encuentre primero en su referencia positiva, y expresar el negativo de cada tensión que se encuentre en la terminal negativa. Por lo tanto,
[6 ]
- V i l + V R l + Vs2 + VR 2 = 0
Después se aplica la ley de Ohm a los elementos resistivos: Vri = R ü
y
Vr2 = R 2 Í
La sustitución en la ecuación [6 ] produce: —Vs\ + R] i + vs2 + R ii = 0 Puesto que i es la única incógnita, se determina que: Vil ~ Vs2
Ri + Ri La tensión o la potencia asociada con cualquier elemento tal vez se obtenga ahora mediante la aplicación de v = R i, p = vi o p = i R . PR AC T1C A
_____
3.4 En el circuito de la figura 3.11¿>, vsi = 120 V, v S2 = 30 V, R\ = 30 £2, y Rj, = 15 £2. Calcular la potencia que absorbe cada elemento. Respuesta: p n m = —240 W; p 3ov = +60 W; piqq = 120 W; p l5a = 60 W.
EJEMPLO Calcular la potencia que absorbe cada elemento del circuito que se pre senta en la figura 3.12a. 30 fi
30 fi
-w v
-A /W
120 V
- O
+
15 f i .
■120 V
150-
I (b) I F IG U R A 3 .1 2 (o) Circuito de un solo lazo que contiene una fuente dependiente, corriente / y la tensión
(b) Se asignan la
(Continúa en la siguiente página)
3.5
0
W v
CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Primero se asigna una dirección de referencia a la corriente i y una polari dad de referencia a la tensión U3 0 como se indica en la figura 3A 2b. No es necesario asignar una tensión a la resistencia de 15 Q. puesto que la tensión de control va de la fuente dependiente ya está disponible. (Sin embargo, vale la pena señalar que los signos de referencia de va están invertidos respecto a los que se habrían asignado, con base en la convención de signos pasiva.) Este circuito contiene una fuente de tensión dependiente, cuyo valor per manece desconocido hasta que se determine vA■No obstante, se utiliza su valor algebraico 2 va del mismo modo como si se dispusiera de un valor numérico. En consecuencia, al aplicar la LVK alrededor del lazo: —120 +
1)30
+ 2 va — va = 0
[7]
Utilizando la ley de Ohm para introducir los valores de resistencia conocidos: t >3 0 = 30i
y
vA = - 1 5 i
Observe que se requiere el signo negativo, puesto que i fluye hacia la termi nal negativa de La sustitución en la ecuación [7] produce: - 1 2 0 + 30¿ - 30/ + 15/ = 0 y por ello se determina que: i =
8
A
Al calcular la potencia absorbida por cada elemento: P 1 2 0 V = ( 1 2 0 ) ( —8 ) Pión = (8)2(30) Pdep = (2 im )( 8 ) = - 1920 W P 15S2 = (8)2(15)
P R A C T IC A 4v
3.5 En el circuito de la figura 3.13, encontrar la potencia absorbida por cada uno de los cinco elementos del circuito. Respuesta: (En el sentido de las manecillas del reloj desde la izquierda) 0.768 W; 1.92 W; 0.2048 W; 0.1792 W; -3.072 W.
En el ejemplo anterior y el problema de la práctica, se pidió calcular la potencia absorbida por cada elemento de un circuito. Sin embargo, es difícil pensar en una situación en la que todas las cantidades de potencia absorbidas por un circui to sean positivas, por la sencilla razón de que la energía debe provenir de algún lugar. Por lo tanto, a partir de la conservación de la energía, es de esperar que la suma de la potencia absorbida p o r cada elemento de un circuito sea cero. En otras palabras, al menos una de las cantidades debe ser negativa (despreciando
SECCIÓN 3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS
el obvio caso en el que el circuito no esté en operación). Dicho de otra forma, la suma de la potencia absorbida p or cada elemento debe ser igual a cero. De manera más práctica, la suma de la potencia absorbida es igual a la suma de la potencia suministrada, lo que parece lógico de acuerdo al valor. Lo anterior puede probarse con el circuito de la figura 3 .12 del ejemplo 3.5, que consiste en dos fuentes (una dependiente y la otra independiente) y dos re sistencias. Si se suma la potencia absorbida por cada elemento, se tiene ^
absorbida
—9 6 0 +
1920 — 1 920 +
960 =
0
todos los elementos
En realidad (la indicación en el esquema del circuito es la del signo asociado con la potencia absorbida) la fuente de 120 V suministra + 960 W, y la fuente de pendiente + 1 9 2 0 W. Por lo tanto, las fuentes suministran un total de 960 + 1920 = 2 8 8 0 W. Se espera que las resistencias absorban potencia posi tiva, que en este caso se adiciona a un total de 1 920 + 960 = 2 880 W. Por ende, si tomamos en cuenta cada elemento del circuito, ^
/?absorbida --
^
/^suministrada
como se esperaba. Si se enfoca en el problem a de p ráctica 3.5, la solución con la que querrá comparar, se observa claramente que las potencias absorbidas suman 0.768 + 1.92 + 0.2048 + 0.1792 — 3.072 = 0. Resulta interesante saber que la fuente de tensión independiente de 12 V absorbe + 1 .9 2 W, lo que significa que está disipando potencia y no suministrándola. En su lugar, la fuente de tensión dependiente aparenta estar suministrando toda la potencia en este circuito en particular. ¿Es factible esta situación? En general, sería de esperar que una fuente suministrara potencia positiva; sin embargo, puesto que los circuitos em plean fuentes ideales, es factible tener un flujo de potencia neto en cualquier fuente. Si se modifica el circuito de alguna forma, se podrá ver que la misma fuente sumi nistrará la potencia positiva. No se conocerá el resultado hasta que se haya lle vado a cabo el análisis de circuitos.
3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS -------• -------------------------------------------------------------------------------------------------El compañero de un circuito de un solo lazo que se analizó en la sección 3.4 es el circuito de un par de nodos, en el que cualquier número de elementos simples se conectan entre el mismo par de nodos. Un ejemplo de este tipo de circuito se ilustra en la figura 3.14a. Se conocen las dos fuentes de corriente y los valores de resistencia. Primero, suponga una tensión en cualquier elemento y asígnele una polaridad de referencia arbitraria. La LKT obliga a reconocer que la tensión en los extremos en cada rama es la misma que la de los extremos de cualquier otra. Se dice que los elementos de un circuito que tienen una tensión común en tre sus extremos están conectados en paralelo.
120 A
120 A
(«)
(b)
P F IG U R A 3 .1 4 (o) Circuito de un solo par de nodos. (b) Se asignan una tensión y dos corrientes.
#■
46 --------- V
W
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Determinar la tensión, la co m en te y la potencia asociadas con cada ele mento del circuito de la figura 3.14a. Primero se define una tensión v y se elige de manera arbitraria su polaridad, como se muestra en la figura 3.14b. Dos corrientes, que fluyen en las re sistencias, se escogen conforme a la convención de signos pasiva; tales corrientes se indican también en la figura 3A4b. Determinar cualquier corriente ¿i o ¿ 2 permite obtener un valor de v. De este modo, el siguiente paso es aplicar la LKC a cualquiera de los dos nodos del circuito. Igualando a cero la suma algebraica de las corrientes que aban donan el nodo superior, se tiene: —120 -1- i\
30 — f—í"2 — 0
Al escribir ambas corrientes en términos de la tensión v mediante la ley de Ohm,
» = 2V Y al recurrir a la ley de Ohm se obtiene: i 1 = 60 A
e
¿2
= 30 A
Ahora puede calcularse la potencia absorbida por cada elemento. En las dos resistencias: P ri = 30(2)2 = 120 W
y
p R2 = 15(2)2 = 60 W
y para las dos fuentes: pnoA = 120(—2) = - 2 4 0 W
y
p* 0A = 30(2) = 60 W
En razón de que la fuente de 120 A absorbe 240 W negativos, en realidad ésta suministra potencia a los otros elementos del circuito. De manera simi lar, se encuentra que la fuente de 30 A en realidad absorbe potencia, en vez de suministrarla.
P R Á C T IC A # 3.6 Determinar v en el circuito de la figura 3.15.
■ F IG U R A 3 .1 5 R e sp u e sta : 5 0 V .
SECCIÓN 3.5 EL CIRCUITO DE UM PAR DE NODOS
#■
A /W
€
)
EJEMPLO 3.7 ------
------- -------------- --------------------- — — ----------------------------- ------------ --------- — - —
— — ----------------- — — — ---------------- --------- . . . . . .
— -
-----
-
Determinar el valor de u y la potencia suministrada por la fuente de corriente independiente de la figura 3.16.
■ F IG U R A 3 .1 6 Se asignan una tensión v y una corriente /6 circuito de un solo par de nodos que contiene una fuente dependiente.
Mediante la LCK, la suma de las com entes que salen del nodo superior debe ser cero, por lo que: ¿6
—2 ix — 0.024 — ix = 0
De nuevo, observe que el valor de la fuente dependiente (2ix) se trata como si fuese cualquier otra com ente, aun cuando no se conoce su valor exacto hasta que el circuito haya sido analizado. A continuación se aplica la ley de Ohm a cada resistencia: v if, = -----6 6000
. —v ir — ------
e
2 0 0 0
Por lo tanto,
6 ¿ X ,- 2 (2 ^ ,)
- ° 024- ( 2 ^ ) = °
y por ello v = (600) (0.024) = 14.4 V. Cualquier otra información que se quiera determinar para este circuito se ob tiene ahora con facilidad, por lo general en un solo paso. Por ejemplo, la potencia suministrada por la fuente independiente es p 2 4 = 14.4(0.024) = 0.3456 W (345.6 mW).
P R A C T IC A 3.7 En el circuito de un solo par de nodos de la figura 3.17, determinar ¿a,
íb
e ic-
lc 5.6 A (Q
18 í l ^
I F IG U R A 3 .1 7
R e sp u e sta : 3 A ; —5 .4 A ; 6 A .
0 . 1^ < ^ T
>
9
fl>
0
W v
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
EJEMPLO 3.8 En el circuito de la figura 3.18a, encontrar i\, ¡ 2 ,
¿3
e /j.
(a)
i4 100 ft (c) ■ F IG U R A 3 .1 8 (o) Circuito de un solo par de nodos. (6) Circuito con los puntos marcados como auxiliares, (c) Circuito dibujado nuevamente.
De acuerdo con la ilustración, este circuito es un poco difícil de analizar, por lo que, primero, es necesario volverlo a dibujar, después de marcar los puntos A , B , C y D como en la figura 3.186 y por último en la 3 .18c. Tam bién se debe definir una corriente i io que circula por la resistencia de 1 0 £2 para anticiparse al uso de la ley de Kirchhoff de corriente. Ninguna de las corrientes que se desean resulta evidente de inmediato a partir del esquema del circuito, por lo que será necesario obtenerlas a partir de la ley de Ohm. Cada uno de las tres resistencias tiene la misma tensión (ui) entre sus extremos, así que, simplemente, se deben sumar las corrientes que fluyen hacia el nodo más a la derecha: vi ■2.5 — — 100
10
SECCIÓN 3.6 FUENTES INDEPENDIENTES CONECTADAS EN SERIE Y EN PARALELO
A /W
0
Despejando, se encuentra que V\ = 250/5 = 50 V. Al observar la parte inferior del circuito, se ve que ¿4
-u i 50 = — - = ------- = - 0 .5 A
100
100
De un modo similar, se determina que i¡ = —2 A e ¿¡o = —5 A. Las dos com entes restantes, ¿2 e ¿3 se determinan con la LCK para sumar de manera independiente las com entes conocidas en los nodos del lado derecho y del lado izquierdo. Por lo tanto i'2 — ¿ i +
0 .2 d j +
¿10
=
—2 +
10 —
5
=
3A
e ¿3
5 .6
= i 1íj — 2.5 “I-
¿4
= —5 — 2.5 —0.5 — — 8 A
t FUENTES INDEPENDIENTES CONECTADAS________ * EN SERIE Y EN PARALELO
Ocurre que algunas de las ecuaciones obtenidas para los circuitos en serie y en paralelo se evitan si se combinan las fuentes. Sin embargo, observe que la tota lidad de las relaciones de corriente, tensión y potencia en el resto del circuito permanecen invariables. Por ejemplo, varias fuentes de tensión en serie tal vez sean sustituidas por una fuente de tensión equivalente que tenga una tensión igual a la suma algebraica de las fuentes individuales (fig. 3 .19a). También se podrían combinar las fuentes de com ente en paralelo mediante la suma algebrai ca de las com entes individuales; además, el orden de los elementos en paralelo quizá se vuelva a arreglar como se desee (fig. 3.19¿>).
(b) ■ F IG U R A 3 .1 9 (o) Las fuentes de tensión conec tadas en serie se sustituyen por una sola fuente. (b) Las fuentes de corriente en paralelo se susti tuyen por una sola fuente.
EJEMPLO 3.9 Determinar la corriente que circula a través de la resistencia de 470 ñ de la figura 3.20a combinando primero las cuatro fuentes en 1111a sola fuente de tensión. 470 0 470Ü
-------- V W -----------
( ' ;
(a)
(b)
■ F IG U R A 3 J O (a) Circuito de un solo lazo que cuenta con cuatro fuentes de tensión en serie, (b) Circuito equivalente.
Hay cuatro fuentes de tensión conectadas en serie. Es necesario reem plazarlas por una sola fuente de tensión que tenga su terminal de referencia “+ ” en la parte superior. Para ello, se debe comenzar en la terminal de referen cia “+ ” de la fílente de 3 V y se escribe: +3 + 5 —1 + 2 = 9V (Continúa en la siguiente página)
0
A /W
CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
El circuito equivalente se muestra en la figura 3.206. Ahora se calcula el valor de i a partir de la ley de Ohm:
470
Es normal que se obtenga una ganancia muy pequeña al incluir una fuente dependiente en una combinación de fuentes de tensión o de corriente, pero no es incorrecto hacerlo de esa forma. P R Á C T IC A
________________________________________________________
3.8 Determinar v en el circuito de la figura 3.21 combinando primero las tres fuentes de corriente.
■ F IG U R A 3.21
Respuesta: 50 V.
Para concluir el análisis de las combinaciones de fuentes en paralelo y en se rie, se debe considerar la combinación en paralelo de dos fuentes de tensión y la combinación en serie de dos fuentes de corriente. Por ejemplo, ¿cuál es el equiva lente de una fuente de 5 V en paralelo con una fuente de 10 V? De acuerdo con la definición de una fuente de tensión, no puede cambiar la tensión en la fuente; entonces, mediante la ley de K irchhoff de tensión, 5 es igual a 10 y se ha supuesto como hipótesis una imposibilidad física. De tal modo, las fuentes de tensión ideales en paralelo se pueden tener sólo cuando cada una tiene la misma tensión a nivel terminal en todo instante. De modo similar, no se pueden poner dos fuentes de corriente en serie a menos que cada una tenga la misma corriente y el mismo signo, en cada instante de tiempo.
EJEMPLO
3.1 0 Determinar cuáles de los circuitos de la figura 3.22 son válidos. El circuito de la figura 3.22a consiste en dos fuentes de tensión en paralelo. El valor de cada fuente es diferente, por lo que viola la LVK. Por ejemplo, si una resistencia se pone en paralelo con la fuente de 5 V, también está en paralelo con la fuente de 10 V. L a tensión real en sus extremos es por tanto ambigua y, obviamente, no hay posibilidad de construir el circuito como se indica. Si se intenta construir un circuito de este tipo en la vida real, será imposible localizar fuentes de tensión “ideales”, pues todas las fuentes del mundo real tienen una resistencia interna. La presencia de este tipo de resistencia permite una diferencia de tensión entre las dos fuentes reales.
SECCIÓN 3.7 RESISTENCIAS EN SERIEY EN PARALELO
R
kf,
(tí)
(c)
■ F IG U R A 3 .2 2 De (a) a (c). Ejemplos de circuitos con fuentes múltiples, algunos de los cuales violan las leyes de Kirchhoff.
De acuerdo con lo anterior, el circuito de la figura 3.22b es perfectamente válido. El circuito de la figura 3.22c viola LKC: no es claro que, realmente, la corriente fluya a través de la resistencia R. P R Á C T IC A
_____________
V '
_____________________
3.9 Determinar si el circuito de la figura 3.23 viola las leyes de Kirchhoff.
■ F IG U R A 3 .2 3
Respuesta: No. Sin embargo, si se quitara la resistencia, el circuito resultante sí las violaría.
3.7
RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO
-------• -------------------------------------------------------------------------------------------------A menudo se sustituyen combinaciones de resistencias relativamente compli cadas por una sola resistencia equivalente. Lo anterior resulta útil cuando no se está interesado de manera específica en la corriente, la tensión o la potencia aso ciadas con cualquiera de las resistencias individuales de las combinaciones. To das las relaciones de corriente, tensión y potencia en el resto del circuito per manecerán invariables. Considere la combinación en serie de N resistencias que se muestra en la figura 3.24a. Es necesario simplificar el circuito sustituyendo las N resistencias por una sola resistencia/?eq de modo que el resto del circuito, en este caso sólo la fuente de tensión, no se percate de que se ha realizado algún cambio. La corriente,
i
.
Ri
RoRN|i
(a)
(tí)
■ F IG U R A 3 .2 4 (o) Combinaciones en serie de N resistencias, (b) Circuito eléctricamente equivalente.
52
A /v V
CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
la tensión y la potencia de la fuente deben ser las mismas antes y después de la sustitución. Primero se aplica la LVK: Vs — V\ + l>2 + • • • + Vn
y después la ley de Ohm: Dj = R \i + R 2 Í + • • • + R nÍ — {Rl + R 2 + ' ■' + R n)Í Compare ahora este resultado con la ecuación simple aplicándola al circuito equivalente de la figura 3.24b:
Vs =■ R^qi Así, el valor de la resistencia equivalente de N resistencias en serie está dado por [ 8]
Rea = R i + R 2 + • ■• + Rh
En consecuencia, se puede sustituir una red de dos terminales compuesta por N resistencias en serie, por un solo elemento de dos terminales Req que tengan la misma relación v-i. Debe subrayarse de nuevo que tal vez interese la corriente, la tensión o la po tencia de uno de los elementos originales. Por ejemplo, la tensión de una fuente de tensión dependiente quizá dependa de la tensión en R 3 . Después de que R 3 se com bina con varias resistencias en serie para formar una resistencia equivalente, éste desaparece y su tensión no puede determinarse hasta que R^ se identifique al sepa rarlo de la combinación. En ese caso, sería mejor continuar adelante y no hacer que al principio R 3 forme parte de la combinación. Otra sugerencia: la inspección de la ecuación de la LVK para un circuito en serie muestra que no hay diferencia en el orden en el que se ubiquen los ele mentos.
EJEMPLO 3.11 Utilizar las combinaciones de resistencia y fuente para determinar la corriente i de la figura 3.25a, así como la potencia que entrega la fuente de 80 V. Primero se intercambian las posiciones de los elementos del circuito, para lo cual se debe tener cuidado de preservar el sentido apropiado de las fuentes, como se ilustra en la figura 3.25b. El siguiente paso consiste en combinar las tres fuentes de tensión en una fuente equivalente de 90 V, y las cuatro re sistencias en una resistencia equivalente de 30 £2 como en la figura 3.25c. De tal modo, en lugar de escribir: - 8 0 + I O;' - 30 + l i + 5i + simplemente se tiene - 9 0 + 30¿ = 0 y de esa manera se determina que: i =3 A
20
+
8
¿=
0
SECCIÓN 3.7 RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARAI.FI O
(a)
(c) ■ F IG U R A 3 .2 5 (o) Circuito en serie con varias fuentes y resistencias, (ib) Los elementos se vuelven a ordenar para lograr una mayor claridad. (c) Un equivalente más simple.
Para calcular la potencia que la fuente de 80 V que aparece en el circuito dado entrega al circuito, resulta necesario regresar a la figura 3.25a sabiendo que la com ente es igual a 3 A. En ese caso, la potencia deseada es 80 V x 3 A = 240 W. Es interesante advertir que ningún elemento del circuito original queda en el circuito equivalente.
P R Á C T IC A
________ _ _
_
__________________________________
3.10 Determinar i en el circuito de la figura 3.26.
R e sp u e sta : - 3 3 3 m A .
#■
■vw
54
)---------------
VW--------------•
CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Se aplican simplificaciones similares a circuitos en paralelo. Un circuito que contiene N resistencias en paralelo, como el de la figura 3.27a, conduce por medio de la ecuación de la ley de Kirchhoff de corriente a lo siguiente h = h + *2 + ■■■+ Ín (a) V
V
V
is — --- “i- --- + ’ ’ Ri
R2
+
R^
V Req
Por lo tanto, (b) I F IG U R A 3 .2 7 (o) Circuito con N resistencias en paralelo. (b) Circuito equivalente.
1
1
~
R~l
1
1
+
R¡
[9]
+ '
Rn
que puede escribirse como, Req1 = R { 1 + R 2 1 + ■■+ 0
r n'
en términos de conductancias como, G eq = G 1 + G 2 + ‘ ■+
Gn
El circuito simplificado (equivalente) se ilustra en la figura 3.27b. Una combinación en paralelo se indica de manera rutinaria siguiendo la no tación abreviada: R,eq
R l \ \ R 7 \\R 3
El caso especial de sólo dos resistencias en paralelo se encuentra con bas tante frecuencia, y está dado por: R eq = R\ ]| R 2 1
1 R\
1 Ri
O, más simplemente:
R 1-^2 Roa = ---eq
Ri + R 2
[ 10]
iECAUCJÓÍb Vale la pena memorizar la última forma, si bien es un error común intentar generalizar la ecuación [ 1 0 ] para más de dos resistencias; por ejemplo: Req X
^1 R 2 R 3 R{ + / ? 2 + ^3
Una rápida revisión de las unidades de esta ecuación muestra de inmediato que no es posible que la expresión sea correcta.
SECCIÓN 3.7 RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO
A /W
55
P R A C T IC A 3.11 Determinar v en el circuito de la figura 3.28 combinando primero las tres fuentes de corriente y después las dos resistencias de 10 Í2.
I F IG U R A 3 .2 8
R e sp u e sta : 5 0 V .
EJEMPLO Calcular la potencia y la tensión de la fuente dependiente de la figura 3.29a.
■ F IG U R A 3 .2 9 (a) Circuito multinodal. (b) Las dos fuentes de corriente indepen dientes se combinan en una fuente de 2 A, y la resistencia de 15 f i en serie con las dos resistencias de 6 Q en paralelo se sustituyen por una sola resistencia de 18 £2. (c) Circuito equivalente simplificado.
Es necesario simplificar el circuito antes de analizarlo, pero se debe tener cuidado de no incluir la fuente dependiente puesto que sus características de tensión y de potencia son de interés. (Continúa en la página siguiente)
3.12
0
VA
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
A pesar de no estar dibujadas juntas, las dos fuentes de corriente inde pendientes están, en realidad, en paralelo, por lo que se las reemplaza por una fuente de 2 A. Las dos resistencias de 6 ñ están en paralelo y pueden reemplazarse con una resistencia de 3 en serie con la de 15 ¡3. Por lo tanto, las dos resisten cias de 6 ¡3 y la de 15 ¡3 se reemplazan por una de 18 ¡3 (figura 3.29b). Sin importar qué tan tentador sea, no se deben combinar las tres resisten cias sobrantes: la variable de control h depende de la resistencia de 3 ñ por lo que esa resistencia debe quedar intacta. La única simplificación adicional, entonces, es 9 £2|| 18 Q = 6 ¡3, como se muestra en la figura 3.29c. Al aplicar la LCK en el nodo superior de la figura 3.29c, se tiene
—O.9 / 3 — 2 — |—¿3 — |—— = 0
6
Empleando la ley de Ohm: v — 3/3
lo que permite calcular
De esta forma, la tensión en la fuente dependiente (que es la misma que la tensión en la resistencia de 3 fi) está dada por: v =
3 /3
= 10 V
Entonces, la fuente dependiente suministra v x 0.9/3 = 10(0.9)(10/3) = 30 W al resto del circuito. Ahora bien: si se pide la potencia disipada en la resistencia de 15 ¡3 se debe volver al circuito original. Tal resistencia se encuentra en serie con una resistencia equivalente de 3 ñ existe una tensión de 10 V en el total de 18 en consecuencia, circula una corriente de 5/9 A por la resistencia de 15 ¡3 y la potencia absorbida por el elemento corresponde a (5/9 )2(15) o 4.63 W.
P R A C T IC A 3.12 En el circuito de la figura 3.30, encontrar la tensión v.
m FIGURA 3.30
R e sp u e sta : 1 2 .7 3 V .
SECCIÓN 3.8 DIVISIÓN DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
(a)
F IG U R A 3 .3 1 Estos dos elementos de circuito están en seriey en paralelo. (6) R2 y R-¡ están en paralelo, y R-¡ y Re se encuentran en serie, (c) No hay elementos de circuito en serie o en paralelo entre sí.
Tres comentarios finales sobre las combinaciones en serie y en paralelo podrían ser de utilidad. El primero se refiere a la figura 3.31a y se debe pregun tar: “¿Están vs y R en serie o en paralelo?” La respuesta es “en las dos condi c i o n e s Los dos elementos conducen la misma corriente y, por lo tanto, están en serie; están sujetos también a la misma tensión y, en consecuencia, se encuentran en paralelo. El segundo comentario es una alerta. Tal vez los estudiantes sin experiencia o instructores maliciosos dibujen los circuitos de manera que resulte difícil dis tinguir combinaciones en serie o en paralelo. En la figura 3.316, por ejemplo, las únicas dos resistencias en paralelo son / ? 2 y R j , en tanto que las únicas dos en serie son R i y R&. E1 último comentario es que un elemento de circuito simple no necesita estar en serie o en paralelo con otro elemento de circuito simple de un circuito. Por ejemplo, R+ y R$ en la figura 3.316 no están en serie o en paralelo con otro ele mento de circuito simple, y no hay elementos de circuito simples en la figura 3.31c que estén en serie o en paralelo con cualquier otro elemento de circuito simple. En otras palabras, no se puede simplificar más el circuito utilizando cualquiera de las técnicas analizadas en este capítulo.
5.8 t DIVISIÓN DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE__________ Al combinar resistencias y fuentes, se encuentra un método para simplificar el análisis en un circuito. Otro camino útil consiste en la aplicación de las ideas de división de tensión y de corriente. La división de tensión se usa para expre sar la tensión en una o varias resistencias en serie, en términos de la tensión de la
• ----
WV-
58
A /W
CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
combinación. En la figura 3.32, la tensión en R 2 se determ ina por m edio de la LVK y de la ley de Ohm:
V — Vi
+ l>2 = / / ? ! +
Í R 2 = ¿ ( R l + R 2)
de modo que, ¡ F IG U R A 3 .3 2 Ilustración de la división de tensión.
Ri + R 2 En consecuencia: v2 — 1 R 2
v2 =
R\ + R2
r2
R2 R1 + R 2
y la tensión en R\ es, de modo similar: vi =
Ri + Ri
Si se generaliza la red de la figura 3.32 mediante la eliminación de R 2 y se la sustituye por la combinación en serie R 2 , . . . , R,\-, entonces se tiene el resul tado general de la división de tensión en una cadena de N resistencias en serie,
Vk
Rk
[1 1 ]
R i + R 2 + ■• ■+ Ra
lo cual nos permite calcular la tensión vt que aparece entre los extremos de una resistencia arbitraria Rk de la serie.
EJEMPLO 3.13 Determinar vx del circuito de la figura 3.33a. 4 Í1
3 í l < - ¡v
1 2 s e n í V ( -v.
(b) ■ F IG U R A 3 .3 3 Ejemplo numérico que ilustra la combinación de resistencia y división de tensión, (a) Circuito original, (b) Circuito simplificado.
Primero se deben combinar las resistencias de 6 y 3 Q. y sustituirlas por (6 )(3 )/(6 + 3) = 2 Q . Debido a que vx aparece en los extremos de la combinación en paralelo, la simplificación no ha perdido esta cantidad. Sin embargo, una simplifi cación adicional del circuito al sustituir la combinación en serie de la re sistencia de 4 €2 por una nueva resistencia de 2 Q produciría dicha situación.
SECCIÓN 3.8 DIVISION DE TENSION Y CORRIENTE
A /W
En consecuencia, sólo se debe aplicar la división de tensión al circuito de la figura 3.33Z?:
2
vx = (1 2 s e n í)^ -jj^ = 4 s e n í
volts
P R Á C T I C A __________________________________ ________________________ 3.13 Recurrir a la división de tensión para determinar vx en el circuito de la figura 3.34.
R e sp u e sta : 2 V.
El complemento2 de la división de tensión es la división de corriente. En este caso se tiene una corriente total que se alimenta a varias resistencias en paralelo, como en el circuito de la figura 3.35. La corriente que íluye por R j es v_ _ i(R j ||/?2) _ i?2
Ri
i_
R \R i
■ F IG U R A 3 .3 5 Ilustración de la división de corriente.
Rz Ri + R 2
o [ 12] y de manera similar, . . Ri i\ = 1 ----------Ri + R2
[13]
La naturaleza no nos sonríe en este caso, ya que estas dos últimas ecuaciones tienen un factor que difiere sutilmente del utilizado con la división de tensión, y se requerirá cierto esfuerzo para evitar errores. Muchos estudiantes consideran la expresión de la división de tensión como “evidente” y la correspondiente a la di visión de corriente como “diferente”. Ayuda a reconocer que la más grande de las dos resistencias en paralelo conduce siempre la corriente más pequeña. Para combinar en paralelo N resistencias, la corriente que circula por la re sistencia R k es 1 J_ J_ J_ T 1 + r¡ + " ' + rñ
[14]
(2) El principio de dualidad se encuentra a menudo en ingeniería. El tema, en forma breve, se considera en el capítulo 7 cuando se comparan bobinas y capacitores
60
A A /V
- •
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Escrito en términos de conductancias: Gk Gi + G2 + • • • + G n lo que se asemeja en gran medida a la ecuación [ 1 1 ] de la división de tensión.
E J E M P L O 3.14 Escribir la expresión de la corriente que pasa por la resistencia de 3 fí en el circuito de la figura 3.36. 12 sen t V
La corriente total que fluye en la combinación de 3 y diante: 12 sen í
I F IG U R A 3 .3 6 Circuito utilizado como un ejem plo de división de corriente. La línea ondulada en el símbolo de la fuente de tensión indica su variación senoidal con el tiempo.
12se n í
6
£2 se calcula me
0
,< 0 = 4 T 3 ¡¡6 = 7 T T = w
.A a
y por lo tanto la corriente deseada está dada por la división de corriente: h it) = ( 2 sen 0
V6 +
3
/
=
í
sen?
3
Desafortunadamente, la división de corriente se aplica algunas veces cuando no es aplicable. Como ejemplo, considere otra vez el circuito de la figura 3.31c, en cuyo caso ya se ha acordado que no contiene elementos de circuito que estén en serie o en paralelo. Sin resistencias en paralelo, no hay forma de que pueda apli carse la división de corriente. Aun así, hay muchos estudiantes que dan un rápido vistazo a las resistencias R Á y Rb y tratan de aplicar la división de co rriente, escribiendo una ecuación incorrecta, como Rf Í a X is
Ra + R e
Recuerde que, las resistencias en paralelo deben ser ramas entre el mismo par de nodos. P R Á C T IC A
_____________________ ____________________________________
3.14 En el circuito de la figura 3.37, utilizar los métodos de combinación de resistencias y de división de corriente para determinar iu i2 y 1)3 .
Respuesta: 100 mA; 50 mA; 0.8 V.
C APLICACIÓN PRÁCTICA ) La c o n e x ió n a t ie r r a d if ie r e d e la t ie r r a g e o ló g ic a Hasta ahora, se han dibujado esquemas de circuito de una manera similar al de la figura 3.38, donde las ten siones se definen entre dos terminales marcadas con toda claridad. Se tuvo especial cuidado en subrayar el hecho de que la tensión no puede definirse en un solo punto: es por definición la diferencia de potencial entre dos p un tos. Sin embargo, muchos esquemas utilizan la conven ción de considerar a la tierra como la definición de cero volts, de modo que todas las demás tensiones se refieren de manera implícita a este potencial. A menudo el con cepto se conoce como conexión a tierra, y está vinculado de manera fundamental con los reglamentos de seguridad diseñados para evitar incendios, choques eléctricos fata les y lo relacionado con el caos. El símbolo de la cone xión a tierra se muestra en la figura 3.39a. Debido a que la conexión a tierra se define como cero volts, a menudo resulta conveniente emplearla como una terminal común en los esquemas de circuito. El circuito de la figura 3.38 se presenta dibujado otra vez de esta manera en la figura 3.40, donde el símbolo de conexión a tierra representa un nodo común. Resulta importante advertir que dos circuitos son equivalentes en términos de nuestro valor va (4.5 V en cualquier caso), aunque ya no son total mente iguales. Se afirma que el circuito de la figura 3.38 “flota”, pues para todos los propósitos prácticos podría instalarse sobre un tablero de circuito de un satélite en una órbita geosíncrona (o en su camino hacia Plutón). Sin em bargo, el circuito de la figura 3.40 está conectado física mente de algún modo a la tierra por medio de una trayec toria conductora. Por esta razón, existen otros dos símbolos que se usan en ocasiones para denotar una ter minal común. La figura 3.3% muestra lo que suele cono cerse como tierra de la señal, tal vez haya (y a menudo hay) una gran tensión entre la conexión a tierra y cualquier terminal conectada a la tierra de la señal. El hecho de que la terminal común de un circuito pueda o no conectarse mediante alguna trayectoria de baja resistencia a la tierra, propicia situaciones poten cialmente peligrosas. Considere el diagrama de la figura 3.41a, que describe a un inocente espectador a punto de tocar una pieza de equipo energizado por una toma de
corriente de ca. Sólo se han utilizado dos terminales del contacto de la pared; la terminal redonda de conexión a tierra del enchufe no se ha conectado. La terminal común de cualquier circuito del equipo se ha unido y conectado eléctricamente con el chasis conductor del equipo; a menudo, esta terminal se denota mediante el símbolo de la conexión a tierra de chasis de la figura 3.39c. Desa fortunadamente, existe una falla en el cableado, debido a una fabricación pobre o quizá sólo al desgaste y a la prisa. De cualquier forma, el chasis no está “aterrizado”, por lo que se presenta una gran resistencia entre la conexión al chasis y la conexión a tierra. En la figura 3.416. se exhibe un pseudoesquema (se tomaron ciertas libertades con el símbolo de la resistencia equivalente de la persona) de la situación. En realidad, la trayectoria eléctrica entre el chasis conductor y la tierra puede ser la mesa, la cual puede representar una resistencia de cientos de megaohms o más. Sin embargo, la resistencia de una persona es muchos órdenes menos de magnitud. Una vez que la persona toca el equipo para ver por qué no está traba jando correctamente... bien, sólo se señala que no todas las historias tienen un final feliz. El hecho de que la “tierra” no siempre sea “la conexión a tierra” puede provocar una amplia gama de problemas de seguridad y de ruido eléctrico. De vez en cuando se encuentra un ejemplo en los edificios viejos, donde la plom ería consistía al principio en cobre conductor de electricidad. En este tipo de edificios, cualquier tubería de agua se consideró a menudo como una trayectoria de baja resistencia hacia la tierra, y por lo tanto se usó en muchas conexiones eléctricas. Sin embargo, cuando las
4r (a)
^ (b)
A? (c)
■ F IG U R A 3 .3 9 Tres símbolos diferentes utilizados para representar una conexión a tierra o terminal común: (a) tierra; (b) tierra de señal, (c) tierra de chasis. 4 .7 k í í
4 .7 k í í
■ F IG U R A 3 .4 0 El circuito de la figura 3.38 se volvió a dibujar utilizando el símbolo de la conexión a tierra. El símbolo de conexión a tierra de la derecha es redundante; sólo se requiere marcar la terminal positiva de v¿ por lo tanto, la referencia negativa es implícitamente la conexión a tierra, o cero volts.
■ F IG U R A 3 .3 8 Circuito simple con una tensión v„ definida entre dos terminales.
( Continúa en la siguiente página)
tuberías corroídas se sustituyeron por material de PVC no conductor y de costo conveniente, ya no existe la trayectoria de baja resistencia hacia la tierra. Se presenta un problema similar cuando la composición de la tierra varía de modo considerable en una región particular. En tales situaciones, es posible tener en realidad dos edifi
cios separados en los que las dos “conexiones a tierra” no son iguales, y como consecuencia, fluya corriente. Dentro de este texto, se usará exclusivamente el sím bolo de conexión a tierra. Sin embargo, vale la pena recordar que, en la práctica, no todas las conexiones a tierra son iguales.
I F IG U R A 3 .4 1 (o) Bosquejo de una persona desprevenida a punto de tocar una parte de equipo conectada a tierra de manera inadecuada. No va a serle agradable el resultado. (b) Diagrama de un circuito equivalente para la situación que está a punto de desencadenarse; la persona se representó con una resistencia equivalente, como la que tiene el equipo. Se utilizó una resistencia para representar la trayectoria no humana hacia tierra.
RESUMEN Y REPASO______________________________ □ La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es nula. □ La ley de tensión de Kirchhoff (LVK) enuncia que la suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es nula. □ Se dice que todos los elementos de un circuito que conducen la misma corriente están conectados en serie. □ Se dice que los elementos de un circuito que tienen una tensión común entre sus terminales están conectados en paralelo. □ Una combinación en serie de N resistencias se sustituye por una sola que tiene un valor R eq = /?¡ + /?2 H------- \~ R n □ Una combinación en paralelo de N resistencias se sustituye por una sola resistencia que tiene el valor 1 _ R &q
1 Ri
1 Ri
1 Rn
□ Se pueden sustituir fuentes de tensión en serie por una sola fuente, siempre que se tenga cuidado de notar la polaridad individual de cada fuente. □ Es posible sustituir las fuentes de corriente en paralelo por una sola fuente, pero hay que tener cuidado de la dirección de cada flecha de corriente.
AAA/---- { 63
EJERCICIOS
□ La división de tensión permite calcular la fracción de la tensión total en los extremos de una cadena de resistencias en serie que se reduce entre los extremos de cualquier resistencia (o grupo de resistencias). □ La división de corriente permite calcular la fracción de la corriente total en una cadena en paralelo de resistencias que fluye a través de cualquiera de ellas.
LECTURAS ADICIONALES_______ Se puede encontrar un análisis de los principios de conservación de la energía y conservación de la carga, así como las leyes de Kirchhoff en
R. Feynman, R.B. Leighton y M. L. Sands, The Feynman Lectures on Physics. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1989, pp. 4-1, 4-7 y 25-9. Un estudio muy profundo acerca de las prácticas de instalación de sistemas de tierras coherentes con el National Electrical Code de 1996 se puede encontrar en
J.F. McPartland y B.J. McPartland, McGraw-Hill 's National Electrical Code Handbook, 22a. edición, Nueva York: McGraw-Hill, 1996, pp. 337-485.
EJERCICIOS_____________________________________ 3.1 N odos, tray ec to rias , lazo s y ram as L. Volver a dibujar el circuito de la figura 3.42, pero en esta ocasión consolidar los nodos en el mínimo número posible.
2. En el circuito de la figura 3.42, contar el número de (a) nodos; (b) ramas. 3. En la figura 3.43, (a) ¿Cuántos nodos hay? (,b) ¿Cuántas ramas hay? (c) Al moverse de A a b a E a D a C a B, ¿se ha formado una trayectoria? ¿Un lazo? 4. En la figura 3.44, (a) ¿Cuál es el número de nodos? (,b) ¿Cuántas ramas hay? (c) Al moverse de B a F a E a C, ¿se ha formado una trayectoria? ¿Un lazo?
■ FIGURA 3,44
■ F IG U R A 3 .4 3
64
AAA a-
CAPlTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
5. Con referencia al circuito que se muestra en la figura 3.43, (a) Si un segundo alambre se conecta entre los puntos E y D del circuito, ¿cuántos nodos tiene el nuevo circuito? (b) Si se agrega una resistencia al circuito de tal manera que una terminal se conecta al punto C y la otra se deja flotando, ¿cuántos nodos tendrá el circuito nuevo? (c) ¿Cuáles de los siguientes representan lazos? (i) Al moverse de A a li a C a D a E a A. (ii ) Al moverse de B a E a A. (iü) Al moverse de li a C a D a E a li. (.iv ) Al moverse d e Aa f l a C. (v) Al moverse d e A a f i a C a B a A . 3 .2 Ley d e K irc h h o ff d e c o rrie n te 6 . (a) Determinar la corriente identificada como iz en el circuito que se muestra en la
figura 3.45. (b ) Si la resistencia que transporta una corriente de 3 A tiene un valor de 1 £2, ¿cuál es el valor de la resistencia que transporta —5 A?
2A
(O
l t 3A CD
i -5 A
©
-3 A
■ F IG U R A 3 .4 5
7. Encontrar ix en cada uno de los circuitos de la figura 3.46. 4A
1A
ÍO
5 fi
AAAr-T-AAAr-» 5 fi
(b)
(r)
R F IG U R A 3 .4 6
. Con referencia en la figura 3.47, (ia ) Encontrar ix si iy = 2 A e iz = 0 A. ( b ) Calcular iy si ix (c ) Proporcionar iz si ix = iy = iz .
=
2 A e iz = 2 iy .
9. Determinar ix e iy en el circuito de la figura 3.48. 10. Un foco de 100 W, uno de 60 W y uno de 40 W se conectan en paralelo entre sí a una fuente casera estadounidense estándar de 115 V. Calcular la corriente que circula en cada foco y la corriente total que entrega la fuente de tensión. ■ FIGURA 3.48
EJERCICIOS
11. Un multímetro digital (DMM) es un dispositivo que, por lo regular, se utiliza para medir tensiones. Cuenta con dos puntas (en general, rojo para la referencia positiva y negro para la negativa) y un display LCD. Suponga que se conecta un DMM al circuito de la figura 3.46b con la punta positiva en el nodo superior y la negativa en el nodo inferior. Con base en la LCK, explicar por qué, idealmente, es deseable que un DMM que se utilizara de esta forma tuviera una resistencia infinita en lugar de resistencia nula. 12. Un restaurante local cuenta con un anuncio de neón construido con 12 focos separados; cuando uno de éstos falla, parece como una resistencia infinita y no puede conducir comente. Para cablear el anuncio, el fabricante presenta dos opciones (figura 3.49). A partir de lo que se aprendió sobre la LCK, ¿cuál deberá seleccionar el propietario? Explicar su respuesta.
13. En el circuito de la figura 3.50, (a) Calcular vy si iz = —3 A. (b) ¿Qué tensión necesitaría sustituir la fuente de 5 V para obtener vy = —6 V si i, = 0.5 A?
14. Con referencia a la figura 3.51a, (<7) Si ix = 5 A, determinar v¡ e íy. (tí) Si di = 3 V, calcular ix e iy. (c) ¿Qué valor de i,¡ haría que vi v i? 15. Determinará y G en el circuito de la figura 3.51/? si la fuente de 5 A suministra 100 W, y la de 40 V proporciona 500 W.
io a
—VW— 1 + vx - i— V W — i —v w — io n
lo n r ~ r i | f v.
ion<
■©
(a)
■ FIGURA 3.51
vi
< ioa
A / W — f 65
••
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
3 .3 Ley d e te n s ió n d e K irc h h o ff 16. En los circuitos de la figura 3.52a y b, determinar la corriente marcada como i.
I FIGURA 3.52
17. Calcular el valor de i en cada circuito de la figura 3.53. 2 V
0 -M
2 í! /v -
9v
ia
(b) I FIGURA 3.53
18. Considerar el circuito simple que se muestra en la figura 3.54. Con base en la LKT, deducir las expresiones, Vi = vs
R\
R i+ R i
y
vz = vs
Ri
R\
+ Ri
■ FIGURA 3.54
19. El circuito que se presenta en la figura 3.55 muestra un dispositivo conocido como amp op. Este dispositivo tiene dos propiedades particulares en el circuito que se muestra: 1) V¿ = 0 V, y 2) no puede circular ninguna comente en cualquier terminal de entrada (marcada con un ” y un “+ ” dentro del símbolo), pero sf puede circular a través de terminal de salida (marcada “SAL”). Esta situación aparentemente imposible —en conflicto directo con LCK— es un resultado de canalizaciones de potencia hacia este dispositivo que no están incluidas en el símbolo. Con base en esta información, calcular Vs¡m (Sugerencia, se requieren dos ecuaciones LVK, que tomen en cuenta la fuente de 5 V.) 470 n
mFIGURA 3.55
EJERCICIOS
•-
W V ------ 67
20. Aplicar las leyes de Ohm y de Kirchhoff al circuito de la figura 3.56 para calcular (a) vx; (b ) ¡ent; (c) Z¡;\d ) la potencia proporcionada por la fuente dependiente. 4 fl
21. (a) Utilizar las leyes de Kirchhoff y Ohm en un procedimiento paso por paso para evaluar todas las comentes y las tensiones del circuito de la figura 3.57. (b) Calcular la potencia que absorbe cada uno de los cinco elementos del circuito y mostrar que la suma es cero.
22. Con referencia al circuito de la figura 3.58, determinar la potencia absorbida por cada uno de los siete elementos del circuito. 1.5 fl
2 fl
2.5 fl 12 V
23. Un circuito contiene seis elementos y cuatro nodos, numerados 1, 2, 3 y 4, Cada elemento del circuito se conecta entre un par diferente de nodos. La tensión v n (+ la referencia en el primer nodo nombrado) es igual a 12 V, y D34 = —8 V. Proporcionar D13, V23 y U24 si v u es igual a: (a) 0; (b ) 6 V; (c) —6 V. 24. Remitirse al circuito transistorizado de la figura 3.59. Tener en mente que aunque no conoce la relación corriente-tensión del dispositivo, éste sigue cumpliendo la LCK y la LVK. (a) Si Io = 1.5 mA, calcular Vos- (b ) Si = 2 mAy V(~ = 3 V, calcular Vos3 .4 C ircu ito d e un so lo la zo 25. Determinar la potencia que absorbe el elemento X de la figura 3.60, si éste es: (a) una resistencia de 100 Q; (b) una fuente de tensión independiente de 40 V, referencia + en la parte superior; (c) una fuente de tensión dependiente marcada como 25ix , + referencia + en la parte superior; (d) una fuente de tensión dependiente marcada como 0 .8 ui. + referencia + en la parte superior; (e) una fuente de comente independiente de 2 A, con la flecha dirigida hacia arriba.
A /W
CAPÍTULO 3 LEVES DE TENSIÓN V DE CORRIENTE
26. Determinar ¿i en el circuito de la figura 3.61, si la fuente de tensión dependiente se marca como: (a) 2 v2 \ (b) 1.5i>3; (c) —15/1 .
■ F IG U R A 3.61
27. Remitirse al circuito de la figura 3.61 y marcar la fuente dependiente 1 .8 1 )3 . Calcular 1)3 si (o) la fuente de 90 V genera 180 W; (b) la fuente de 90 V absorbe 180 W; (c) la fuente dependiente genera 100 W; (d) la fuente dependiente absorbe una potencia delOO W. 28. Para el cargador de baterías cuyo modelo es el circuito de la figura 3.62, determinar el valor del resistor ajustable R de modo que: (a) circule una corriente de carga de 4 A; (ti) se entregue una potencia de 25 W a la batería (0.035 f iy 10.5 V); (c) esté presente una tensión de 11 V en las terminales de la batería (0.035 f iy 10.5 V).
■ F IG U R A 3 .6 2
29. El circuito de la figura 3.62 se modifica si se instala una fuente de tensión dependiente en serie con la batería. Ubicar la referencia + en la parte inferior y dejar que el control sea 0.05¡, donde i es la corriente de lazo en el sentido de las manecillas del reloj. Calcular esta corriente y la tensión a nivel terminal de la batería, incluyendo la fuente dependiente, si R = 0.5 fl. 30. Proporcionar la potencia absorbida por cada uno de los seis elementos del circuito de la figura 3.63 y demostrar que su suma es igual a cero. + vl -
15 k íí
+ V2 -
+ V3
■ F IG U R A 3 .6 3
_AAA_
12 V 25 kfl I F IG U R A 3 .6 4
31. En el circuito de la figura 3.64, (a) Determine la resistencia R cuando la resistencia de 25 kí2 absorbe 2 mW. (ti) Calcular la resistencia R cuando la fuente de 12 V entrega 3.6 mW al circuito. (c) Sustituir la resistencia R por una fuente de tensión, de modo que cualquier resistencia no absorba potencia; dibujar el circuito e indicar la polaridad de tensión de la nueva fuente.
EJERCICIOS
A/W
32. Con referencia a la tabla 2.4, si el segmento de alambre que se muestra en gris en el circuito de la figura 3.65 es cobre sólido del número 22 AWG y de 3 000 pies de largo, calcular la comente i. 300 fl
12 V
2.3 fl
■ F IG U R A 3 .6 5
33. Si en la figura 3.66, sig,„ = 25 x 10-3 siemens y i)s = 10 eos 5t mV, determine va(t). 34. Las leyes de Kirchhoff se aplican, independientemente de que la ley de Ohm se cumpla para un elemento particular. La característica I-V de un diodo, por ejemplo, está dada por I d = Is (i
,VD/V T _
1)
donde V j = 27 mV a temperatura ambiente e I $ puede variar desde 10-12 hasta 10~-3 A. En el circuito de la figura 3.67, utilizar las LVK y LCK para obtener Vo si I s = 3 ¡i A. (Nota: este problema da como resultado una ecuación trascendental que requiere un método interactivo para obtener una solución numérica. La mayor parte de las calculadoras científicas pueden efectuar una función de este tipo.)
3.5 El circ u ito d e un so lo p a r d e n od os 35. Determinar la potencia absorbida por cada elemento del circuito de la figura 3.68, si el control para la fuente dependiente es: (a) 0.8^ (tí) 0.Siy . En cada caso, demostrar que la suma de las cantidades de potencia absorbida es cero.
5 kfl
20 kfl
■ F IG U R A 3 .6 9
36. Proporcionar ix del circuito de la figura 3.69. 37. Calcular la potencia absorbida por cada elemento del circuito de un par de nodos de la figura 3.70 y demostrar que la suma es igual a cero. 38. Determinar la potencia que absorbe el elemento X del circuito de la figura 3.71 si es: (a) una resistencia de 4 kQ; (tí) una fuente de comente independiente de 20 mA, con flecha de referencia hacia abajo; (c) una fuente de corriente dependiente, con flecha de referencia hacia abajo, marcada como 2 ix ; (d) una fuente de tensión independiente de 60 V, referencia + en la parte superior.
80 mA
■ FIGURA 3.71
100 fl
70
AAAr
- •
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
39. (a) Si el elemento X de la figura 3.72 es una fuente de corriente independiente, con la flecha dirigida hacia arriba, marcada como is. ¿Cuánto vale is si ninguno de los cuatro elementos de circuito absorbe potencia? (b) Sea el elemento X una fuente de tensión independiente, con la referencia + en la parte superior y marcada como vs. ¿Cuánto vale vs si la ñientc de tensión no absorbe potencia?
80 mA
■ F IG U R A 3 .7 2
40. (a) Aplicar las técnicas del análisis de un solo par de nodos en el nodo derecho superior de la figura 3.73 y determinar ix. (b) Trabajar ahora con el nodo izquierdo superior y proporcionar u». ((') ¿Qué cantidad de potencia genera la fuente de 5 A? 5A
41. Encontrar la potencia que absorbe la resistencia de 5 fi en la figura 3.74. 42. Calcular la potencia que suministra cada fuente indicada en la figura 375, y demostrar que su suma es igual a cero. 6A
43. Con referencia a la tabla 2.4, ¿cuántas millas de alambre de cobre sólido número 28 AWG se requieren para que con el segmento de alambre de la figura 3.76, se obtenga i i = 5 A?
o.5 a 10 A
5F IG U R A 3 .7 6
- V + —V A — -A /A 3 tí 5ñ >2Ü
I F IG U R A 3 .7 7
44. En el circuito de la figura 3.77, si v — 6 V, determinar is.
C
EJERCICIOS
A /W
*
3 .6 Fuentes in d e p e n d ie n te s c o n e c ta d as en s erie y en p a ra le lo 45. Mediante combinaciones de fuentes en serie, calcular i de los dos circuitos de la figura 3.78. 7A
1A
3.5 A.
(a) I F IG U R A 3 .7 8
46. Calcular v de cada uno de los circuitos de la figura 3.78 combinando primero las fuentes. 47. Calcular la corriente denominada i de cada uno de los circuitos de la figura 3.79.
5Í1 VW
I' 10 V
lk íl
10V •— 0 ) —
6V
3V
12 Vl
i» I F IG U R A 3 .7 9
48. Calcular la potencia absorbida por cada uno de los elementos del circuito que se muestra en la figura 3.80 y verificar que su suma sea igual a cero.
12Í2
49. En el circuito de la figura 3.81, calcular i si: (a) !>i = V2 = 10 V y i>3 = i>4 = 6 V. (b) Di = 1)3 = 3 V y V2 = i>4 = 2.5 V. (c) = - 3 V, v2 = 1.5 V, v3 = —0.5 V, y w4 = 0 V. 50. En el circuito de la figura 3.82, eligir vl para obtener una corriente ix de 2 A.
■ FIGURA 3.82
I F IG U R A 3.81
A /W
♦
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
51. Determinar la tensión i’ en el circuito de la figura 3.83.
52. El circuito de la figura 3.84 contiene varios ejemplos de fuentes de corriente y de tensión independientes conectadas en serie y en paralelo, a) Determinar la potencia que absorbe cada fuente, ti) ¿A qué valor debe cambiarse la fuente de 4 V para reducir la potencia que suministra la fuente de —5 A a cero? -5 A
3A
■ F IG U R A 3 .8 4
3 .7 R esistencias en serie y en p a ra le lo 53. Calcular la resistencia equivalente como se indica en la figura 3.85, si cada resistencia es de 1 kfi.
54. En el circuito de la figura 3.86, (a) Calcular la resistencia equivalente. (ti) Obtener la expresión de la resistencia equivalente si el circuito se extiende utilizando N ramas, y cada una de ellas tiene una resistencia más que la rama de su izquierda. 55. Dadas tres resistencias de 10 kfi, tres de 47 kfi y tres de 1 kfi proporcionar una combinación (no es necesario utilizar todas las resistencias) que produzca: (a) 5 kfi {ti) 57 333 fi (c) 29.5 kfi 56. Simplificar las redes de la figura 3.87 con combinaciones de resistencias y fuentes.
■ FIGURA 3.87
EJERCICIOS
57. Calcular la resistencia equivalente del circuito de la figura 3.88. 2 kO
58. Determinar R eq de cada una de las redes resistivas que se muestran en la figura 3.89.
(a)
Cb) 20
15 0
10 O
10O
(c)
■
F IG U R A 3 .8 9
59. En la red que se presenta en la figura 3.90: (¿j) si R = 80 fl calcular R eq; 0b) determineR si R eq = 80 £2; (ó) proporcionar/? si R = Req. 10 íi
R
40 O
60. Mostrar cómo combinar cuatro resistencias de 100 fl para obtener una resistencia equivalente de (a) 25 fl; (b ) 60 fl; (c) 40 fl.
*
-v w
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
61. Determinar la potencia absorbida por cada una de las resistencias del circuito de la figura 3.91. 62. Utilizar las técnicas de combinación de fuentes y resistencias como una ayuda para obtener vx e ix en los circuitos de la figura 3.92. 2.5 fi
6 fi
20 f i
63. Determinar Gent de cada una de las redes de la figura 3.93. Todos los valores se dan en milisiemens. 50
(a)
(b)
I F IG U R A 3 .9 3
3 .8 D ivisión d e te n s ió n y d e c o rrie n te 64. Recurrir a las combinaciones de resistencias y de fuentes, así como a la división de corriente, en el circuito de la figura 3.94, para conocer la potencia que absorben las resistencias de 1 £2,10 fi y 13 fi.
1 fi
EJERCICIOS
65. El puente de Wheatstone (figura 3.95) es uno de los circuitos eléctricos más famosos y es utilizado en la medición de resistencias. A menudo, a la resistencia con una flecha que cruza su símbolo (Ri) que es una resistencia variable, se le conoce como potenciómetro; su valor puede modificarse simplemente haciendo girar un botón. El amperímetro, simbolizado por un círculo con una flecha en diagonal en el centro, mide la corriente que circula a través del alambre central. Se supone que este amperímetro es ideal, así que tiene una resistencia interna nula. Su operación es sencilla. Los valores de R ¡ , R 2 y R 3 son conocidos y se desea conocer el valor de R . La resistencia R ¡ se ajusta hasta que i m = 0; en otras palabras, hasta que no fluya corriente a través del amperímetro. En este punto se dice que el puente se encuentra “balanceado”. R2 Utilizando la LCK y la LVK, demuestre que R = ■- R 3 . (Sugerencias: El valor de Vs es irrelevante; con i,„ = 0, i\ = ¿3 e ¡2 = ír \ y no existe caída de tensión en el amperímetro.) 66. El circuito de la figura 3.96 está formado por varias resistencias conectadas en serie. Utilizar el divisor de tensión para calcular qué cantidad de tensión decae en la resistencia más pequeña y en la más grande, respectivamente. io n
2.2 fl
47 fl
lO fl
A/W-----V W ----A/W-----VW---10V ©
^ 5 ,S f l
■ F IG U R A 3 .9 6
67. Utilizar el divisor de tensión para calcular la tensión en la resistencia de 47 kQ de la figura 3.97. 2.2 kfl
68. Con referencia al circuito que se muestra en la figura 3.98, utilizar el divisor de corriente para calcular la corriente que fluye hacia abajo a través de (a) la resistencia de 33 Q y (b) la resistencia de 134 Q que se encuentra a la derecha.
■ FIGURA 3.98
A A /V
•
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
69. Aparentemente, a pesar del gran número de componentes del circuito de la figura 3.99, solamente es de interés la tensión en la resistencia de 15 £2. Utilizar el divisor de comente para calcular el valor correcto.
-8 A
70. Elegir dentro de los siguientes valores de resistencia (pueden utilizarse más de una vez) para fijar vs, R\ y R 2 en la figura 3.100 y obtener vx = 5.5 V. [1 k£2, 3.3 k£2, 4.7 kfi, 10 kfi]
AAAr
I F IG U R A 3.T0T
F IC U R A 3 .1 0 0
71. Elegir dentro de los siguientes valores de resistencia (se pueden utilizar más de una vez) para establecer is, R¡ y R2 en la figura 3.101 para obtener v = 5.5 V. [1 kfi, 3.3 m , 4.7 k£2, 10 k£2] 72. Determinar la potencia que disipa (o absorbe) la resistencia de 15 k£2 de la figura 3.102.
73. En el circuito en la figura 3.103, determinar ix y calcular la potencia disipada (absorbida) por la resistencia de 15 k£2.
15 m
10
kü
r—W V v — 5V I
Z)
10 m
< : l ' ;'
9 FIGURA 3.103
<> 4 k f í
<
47 kfi
AA/V---- i
EJERCICIOS
74. En el circuito de la figura 3.104, determinar por la resistencia de 3 fl.
y la potencia disipada (absorbida)
75. ¿Cuál es la potencia disipada (absorbida) por la resistencia de 47 kfl de la figura 3.105? 2 kfl
47 kO
2 kfl
76. Explicar por qué no es posible utilizar la división de tensión para determinar v\ en la figura 3.106.
«1
-A W +
vx -
•© 77. Utilizar las divisiones de corriente y de tensión del circuito de la figura 3.107 a fin de obtener la expresión de (a) v2i\b ) uj* (c) í4. 78. Con referencia a los circuitos indicados en la figura 3.108: (a) sea vs = 40 V, is = 0, determinar uij (b) sea vs = 0, is = 3 mA, calcular i2 e ¿3 .
6 000 n
O
—V W — '3 000 O
■ F IG U R A 3 .1 0 8
79. En la figura 3.109: (a) sea vx = 10 V y determinar I¡ ; (b) sea I5 = 50 Ay proporcionar vx; (c) calcular la proporción i.y//,.
I F IG U R A 3 .1 0 7
h:3
-VW —
1
77
A A /V
- •
CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
80. Determinar la cantidad de potencia que absorbe Rx en el circuito de la figura 3.110.
10 mA
3 kO
IF IG U R A 3 .1 1 0
81. Utilizar las divisiones de corriente y de tensión como auxiliares para obtener una expresión correspondiente a en la figura 3.111. 82. Con referencia al circuito de la figura 3.112, determinar (a) Ix si I\ = 12 mA; (b)1\ si Ix = 12 mA; (c) lx si I 2 = 15 mA; (d) Ix si Is = 60 mA.
83. El de la figura 3.113 es un circuito equivalente que se usa a menudo para hacer un modelo del comportamiento en ca de un circuito amplificador MOSFET. Si gm = 4 m£5, calcular i>sai. 300 0
84. El circuito de la figura 3.114 es un circuito equivalente que se suele utilizar para modelar el comportamiento en ca de un circuito amplificador de transistor de unión bipolar. Si gm = 3 8 mí!, calcular v& ¡¿. 300 0
A
1
3 sen 1Oí V I ~ )
i ■ F IG U R A 3 .1 1 4
15 kO <> 3kO <^ V7T
1
i-
1 SmVTT
T
1
<
1
Análisis nodal de malla básicos E7T
INTRODUCCION
Análisis nodal.
Una vez que se conocen las leyes de Ohm y de Kirchhoff, el análi sis de un circuito lineal simple para obtener información útil acerca
Técnica del supernodo.
de la corriente, la tensión o la potencia asociadas con un elemento en particular comienza a parecer una misión muy directa. Al menos
Análisis de malla.
hasta ahora, cada circuito parece ser único y requiere (hasta cierto punto) un grado de creatividad en el momento de realizar el análi
Técnica de la supermalla.
sis. En este capítulo se explicarán dos técnicas básicas de análisis de circuitos — el análisis nodal y el análisis de m alla— las cuales permiten analizar una gran cantidad de circuitos de una manera
Selección entre análisis nodal y de malla.
metódica y coherente. El resultado que se obtiene es un análisis más directo, un nivel de complejidad más uniforme en las ecua ciones, un menor número de errores y, quizás, lo más importante, una menor ocurrencia de “/ Todavía no sé cómo empezar!” La mayor parte de los circuitos con los que se ha practicado son simples y (siendo honestos) de importancia práctica cuestionable; sin embargo, resultan útiles como ayuda para aprender a aplicar las técnicas fundamentales. Aunque los circuitos más complejos que aparecen en este capítulo pueden representar una gran variedad de sistemas eléctricos incluyendo circuitos de control, redes de comu nicaciones. motores o circuitos integrados, así como modelos de circuitos eléctricos de sistemas no eléctricos, es mejor no profun dizar en esos detalles específicos en esta etapa inicial. En lugar de lo anterior, es importante enfocarse en la metodología para re solver problemas que se desarrollará a lo largo de este libro.
Análisis asistido por computadora incluyendo PSpice y MATLAB.
®0 ------ V\A/------------- •
\
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
4.1 ---------------------------------ANALISIS NODAL -------• El estudio de métodos generales para el análisis metódico de circuitos se inicia con un método poderoso basado en LKC, llamado análisis nodal. En el capítu lo anterior se presentó el análisis de un circuito simple que contenía sólo dos no dos. Así se descubrió que el principal paso del análisis se presentaba cuando se obtenía una ecuación simple en términos de una incógnita simple: la tensión en tre el par de nodos. Se dejará que aumente el número de nodos y se proporcionará de manera co rrespondiente una cantidad desconocida adicional y una ecuación extra para cada nodo agregado. De tal modo, un circuito de tres nodos tendrá dos tensiones des conocidas y dos ecuaciones; uno de 10 nodos constará de nueve tensiones desco nocidas y nueve ecuaciones; un circuito de N nodos se formará con (N — 1) ten siones y (N — 1) ecuaciones. Cada ecuación es una ecuación LCK simple. Para ilustrar la mecánica básica de esta técnica, considere el circuito de tres nodos que se muestra en la figura 4.1a, que se dibuja nuevamente en la figura 4.1 b para destacar el hecho de que sólo hay tres nodos, numerados de manera correspondiente. El objetivo será determinar la tensión en cada elemento y el paso siguiente del análisis es crítico. Se designa un nodo como nodo de referen cia, en este caso será la terminal negativa de las tensiones nodales N — 1 = 2 como se muestra en la figura 4. le. Se logra otra pequeña simplificación en las ecuaciones resultantes si el nodo conectado al mayor número de ramas se identifica como el nodo de referencia. Si hay un nodo de conexión a tierra, a menudo resulta más conveniente elegirlo como el nodo de referencia, aunque mucha gente prefiere seleccionar el nodo in ferior de un circuito como la referencia, especialmente si no se especifica una tierra explícita. L a tensión del nodo 1 en relación con el nodo de referencia se define como Di y i)2 se define como la tensión del nodo 2 con respecto al nodo de referencia.
-1.4 A
-1.4 A
(a) 5 0,
i
-1.4 A
(c)
/J -1 .4 A
3.1
(d)
I F IG U R A 4 .1 (o) Circuito simple de tres rodos. (b) Dibujo del circuito en donde se hace hincapié en los nodos, (c) Nodo de referencia elegido y tensiones asignadas, (d) Referencias de tensión abreviadas. Si se desea, un símbolo de conexión a tierra apropiado se podría sustituir por "Ref”
SECCION 4.1 ANÁLISIS NODAL
Ambas tensiones son suficientes, puesto que la tensión entre cualquier otro par de nodos puede determinarse en términos de ellos. Por ejemplo, la tensión del nodo 1 con respecto al nodo 2 es v¡ — t'2 - Las tensiones v¡ y V2 y sus signos de referencia se muestran en la figura 4.1c. Después de marcar el nodo de referencia es una práctica com ún om itir los signos de referencia para hacerlo más claro; el nodo marcado con la tensión se considera como la terminal positiva (fig. A .ld), lo cual se entiende como un tipo de notación de tensión abreviada. Ahora se aplicará la LCK a los nodos 1 y 2. Este paso se realiza igualando la corriente total que sale del nodo a través de varias resistencias con la corriente de fuente total que entra al nodo. De tal manera que Vl — V l
l!l
y H— ^ —
= 3.1
[1]
0.1 v\ — 0.2 V2 = 3.1
[2]
En el nodo 2 se obtiene
V2
V2 - Vi - (-1 .4 )
1
—0.2u! + 1.2u2 = 1-4
[3]
[4]
Las ecuaciones [2] y [4] son las dos deseadas con dos incógnitas, y además se pueden resolver con facilidad. Los resultados son v¡ = 5 V y i >2 = 2 V. A partir de este punto, se determina de manera directa la tensión en la re sistencia de 5 £2 resistor: v?c¿ = vi — V2 — 3 V. Las corrientes y las potencias absorbidas también se pueden calcular en un paso. En este punto se debe observar que existe más de una forma de escribir las ecuaciones LCK en el análisis nodal. Por ejemplo, el lector preferirá sumar to das las corrientes que ingresan a un determinado nodo y fijar esta cantidad a un valor cero. Por lo tanto, se pudo haber escrito para el nodo 1:
Vi
Vi
—Ib
-
3.1 - — - -- ------- = 0 2 5
— Di
3.1 H—
+
V2 ~
-
Vl
=0
las cuales son equivalentes a la ecuación [1], ¿Es una form a mejor que la otra? Cada profesor y cada estudiante tiene una preferencia personal y, al final de cuentas, lo más importante es ser congruente. Los autores prefieren construir ecuaciones LCK para el análisis nodal de una manera tal que al final tengan to dos los términos de fuentes de com ente de un lado y todos los términos de resis tencia por otro. Específicamente, £ de corrientes que ingresan al nodo de las fuentes de corriente = X de corrientes que abandonan el nodo a través de resistencias Este método tiene varias ventajas. Primero, no puede existir confusión al guna con respecto a que si un término deba ser “u i — u2” o “ib ~ v ¡ ”; la primera tensión de cada expresión de corriente de resistencia corresponde al nodo para el
A /W El nodo de referencia en un diagrama esquemático se define de manera explícita como cero volts. Sin embargo, resulta importante recordar que cualquier terminal puede ser designada como terminal de referencia. En consecuencia, el nodo de referencia está a cero volts con respecto a las otras tensiones nodales definidas, y no necesariamente con respecto a la conexión a tierra.
0
yw v
CAPITULO
%ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
que se está escribiendo una expresión LCK, como se puede ver en las ecua ciones [1] y [3]. Segundo, permite verificar rápidamente que un término no se haya elim inado de m anera accidental. Simplemente se deben contar las fuentes de corriente conectadas a un nodo y después las resistencias; además, agruparlas en la form a en que se mencionó hace un poco más fácil la com paración.
EJEMPLO 4.1
-------------- —
-------- ------------------------- ------------------—
—
Determinar la corriente que fluye de izquierda a derecha a través de la resistencia de 15 S2 de la figura 4.2a.
(«) ■ FIG U R A 4 .2 (a) Circuito de cuatro nodos que contiene dos fuentes de corriente independientes. (b) Las dos resistencias en serie se reemplazan por una sola resistencia de 10 ñ para reducir a tres nodos el circuito.
El análisis nodal arrojará valores numéricos para las tensiones nodales vi y «2 , y la corriente deseada está dada por i — (v¡ — i^ ) /1 5. Sin embargo, antes de comenzar el análisis nodal, se puede observar que no es de interés conocer los detalles respecto de las resistencias de 7 Q y de 3 £2. Por lo tanto, se pueden reemplazar sus combinaciones serie por una re sistencia de 10 Q como se muestra en la figura 4.2/?. El resultado es una reducción del número de ecuaciones que se deben resolver. Se escribe la ecuación LCK apropiada del nodo 1, 2 _ V]_ “ 10
vi ~ vi 15
[5]
Ü2 ~ 5
l>2 ~ Vi 15
[6 ]
y del nodo 2,
Simplificando, se obtiene 5i>i —2ib = 60
—V\
4ib = 60
Despejando, se encuentra que v¡ — 20 V y vj = 20 de tal forma que vi — u2 = 0. En otras palabras, ¡en este circuito fluye una corriente cero a través de la resistencia de 15 £2!
SECCIÓN 4.1 ANÁLISIS NODAL
PRÁCTICA
A /W
•"
___________________________________________________
4.1 Determinar las tensiones nodales u; y v2 del circuito de la figura 4.3.
Respuesta: v¡ = —145/8 V, v2 = 5/2 V.
A continuación se aumentará el número de nodos de manera que se utilice esta técnica para resolver un problema un poco más difícil.
E J E M P L O 4.2 Determinar las tensiones de nodo del circuito de la figura 4.4a. 3A
Identificar el objetivo del problema. Hay cuatro nodos en este circuito. Si se elige el nodo inferior como referen cia, se deben marcar los otros tres como se indica en la figura 4.4b. El circuito también se volvió a dibujar parcialmente por conveniencia.
Recopilar la información conocida. Hay tres tensiones desconocidas, v ¡ , ih y v j . Todas las fuentes de corriente y las resistencias tienen valores designados, las cuales se marcan sobre el esquema.
Elaborar un plan. Este problema es bastante apropiado para la técnica del análisis nodal que se acaba de presentar, ya que es factible escribir tres ecuaciones LCK in dependientes en términos de las fuentes de corriente y de la corriente a través de cada resistencia.
4 0
Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. Se empieza escribiendo una ecuación LCK para el nodo 1: v3
ib) 0.58331;]
0.3333^2 — 0.25 i >3 = - 1 1
[7]
! F IG U R A 4 .4 (o) Circuito de cuatro nodos.
(b) Dibujo del circuito con el nodo de referencia elegido y las tensiones marcadas.
En el nodo 2: -í-T » -
1
V l ~ V l _i_ Ü1
3
1
4
. Vl ~ Vi
7 (Continúa en la siguiente página)
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
—0.3333t>i + \ M 6 2 v2 - 0.142% 3 = 3
[8 ]
Y, en el nodo 3: _
,
_
V3 5
V3 ~ Vl 7
V3 ~ Vl 4
o, de manera más simple, —().25t>i - 0. \429v2 + 0.5929t-3 = 25
[9]
Determinar si se requiere de información adicional. Hay tres ecuaciones con tres incógnitas. Siempre y cuando éstas sean inde pendientes, lo anterior es suficiente para determinar las tres tensiones.
Intentar obtener la solución. Las ecuaciones [7] a la [9] se resuelven mediante la eliminación sucesiva de variables, el método de matrices o por medio de la regla de Cramer y los determinantes. Si se emplea el último método, descrito en el apéndice 2, se tiene: - 1 1 -0 .3 3 3 3 -0 .2 5 0 0 3 1.4762 -0 .1 4 2 9 25 -0 .1 4 2 9 0.5929 0.5833 -0 .3 3 3 3 -0 .2 5 0 0 -0.3333 1.4762 -0 .1 4 2 9 -0.2500 -0 .1 4 2 9 0.5929
vi =
1.714 0.3167
= 5.412 V
De manera similar,
vi =
V3
0.5833 -0.3333 -0.2500
0.5833 -0.3333 -0.2500
-11 3 25 0.3167
-0.2500 -0.1429 0.5929
-0 .3 3 3 3 1.4762 -0 .1 4 2 9 0.3167
2.450 0.3167
-1 1 3 25
14.67 0.3167
= 7.736 V
= 46.32 V
Verificar la solución. ¿Es razonable o es la que se esperaba? Una forma de verificar parte de la solución consiste en resolver las tres ecuaciones mediante otra técnica. Más allá de eso, ¿es posible determinar si las tensiones son valores “razonables” ? Existe una corriente máxima posible de 3 + 8 + 25 = 36 amperes en cualquier punto del circuito. La resistencia más grande es de 7 £2, de modo que no es posible esperar ninguna magnitud de tensión superior a 7 x 36 = 252 V.
Desde luego, existen numerosos métodos disponibles para resolver sistemas de ecuaciones lineales, algunos de los cuales se describen detalladamente en el apéndice 2. Antes del advenimiento de la calculadora científica, la regla de Cra mer que se utilizó en el ejemplo 4.2 era muy común para analizar circuitos, aun que a veces era muy tediosa en su implementación. Sin embargo, es muy senci llo utilizarla en una calculadora de cuatro funciones, por lo que es muy valioso
SECCIÓN 4.1 ANÁLISIS NODAL
*
A /w
conocer esta técnica. Por otro lado MATLAB, aunque no es muy probable que se encuentre a la mano durante un examen, es un paquete de software muy po deroso que simplifica enormemente el proceso de solución; en el apéndice 6 se proporciona un breve tutorial para comenzar. Para el escenario que se menciona en el ejemplo 4.2, existen varias opciones disponibles con MATLAB. Como primer paso, se pueden representar las ecua ciones [7]-[9] en fo rm a matricial: 0 .5 8 3 3
- 0 .3 3 3 3
- 0 .3 3 3 3
1 .4 7 6 2
- 0 .1 4 2 9
- 0 .1 4 2 9
0 .5 9 2 9
0.5833 -0 .3 3 3 3 -0 .2 5
-0 .3 3 3 3 1.4762 -0 .1 4 2 9
- 0 .2 5
- 0 .2 5
11
vi
V2 _ v3 _
3 25
de modo que. Vl Vl v3
=
-0 .2 5 -0 .1 4 2 9 0.5929
-i " - 1 1
3 25
En MATLAB se escribe
» a = [0.5833 -0.3333 -0 .2 5 ; -0.3333 1.4762 -0.1429; -0 .2 5 -0.1429 0.5929]; » c = [-11; 3; 25]; >> b = a A- l * c b = 5.4124 7.7375 46.3127 >> donde espacios separan a los elementos a lo largo de las filas y un punto y coma separan las filas. La matriz denominada b, a la cual también se le conoce como vector puesto que tiene sólo una columna, es nuestra solución. Por ende, Di = 5.412 V, D2 = 7 738 V y D3 = 46.31 V (se ha incurrido en un error por re dondeo), Se pudo haber utilizado las ecuaciones LKC como se escribieron al principio si se emplea al procesador simbólico de MATLAB.
» » >> » >>
eqnl = 1- 8 - 3 = ( v l eqn2 = ' - ( - 3 ) = (v2 eqn3 ='-(-25)= v 3 / 5 a n s w e r = s o lv e ( e q n l, a n s w e r.v l
ans = 720/133 » a n s w e r .v 2 ans = 1 4 7 /1 9 »
a n s w e r .v 3
ans = 8 8 0 /1 9 >>
v2)/ 3 + (vl - v3)/ 4 ’ ; v l) / 3 +v2/ 1 + (v2 - v 3 ) / 7 ' ; + (v3 - v 2 ) / 7 + (v3 - v l ) / 4 ' ; eqn2, eqn3, ' v l ' , ’v 2 1, ' v 3 ' ) ;
as
A /W
CAPITULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
lo que resulta en respuestas exactas, sin errores por redondeo. La rutina solve() se invoca con la lista de ecuaciones simbólicas que se nombran como eqnl, eqn2 y eqn3; sin embargo, deben especificarse también las variables u l , v2 y v3. Si a solve() se le llama con un menor número de variables que de ecuaciones, se ob tiene una solución algebraica. Vale la pena hacer un rápido comentario respecto de la forma de la solución; en el argot de programación, se refiere como algo que se conoce como una estructura; en este caso, a dicha estructura se le llama “res puesta”. Se accede a cada componente de la estructura de manera separada por nombre, como se muestra.
P R Á C T IC A
_____________________________________________________________
4.2 Calcular la tensión en cada fuente de com ente del circuito de la figura 4.5. 2 íl
■ F IG U R A 4 .5 R e sp u e sta : i>3a = 5 .2 3 5 V ; i>7a = 1 1 .4 7 V . 2
Los ejemplos anteriores han demoslrado el método básico para realizar el análisis nodal, pero vale la pena considerar qué pasa si las fuentes dependientes también se encuentran presentes.
E J E M P L O 4.3 Determinar la potencia proporcionada por la fuente dependiente de la figura 4.6a. ''i
(a)
(b)
■ F IG U R A 4 .6 (o) Circuito de cuatro nodos que contiene una fuente de corriente dependiente. (b) Circuito marcado para el análisis nodal.
SECCIÓN 4.1 ANÁLISIS NODAL
•
■wv
Se selecciona el nodo inferior como referencia, ya que cuenta con el número más grande de conexiones ramales y se procede a marcar las ten siones nodales V] y v 2 como se muestra en la figura 4.6b. La cantidad mar cada vx es, en realidad, igual a v2. En el nodo 1 se escribe 15 =
+ V A
[io]
y en el nodo 2, V 2~V i
, V2
i
r1 „
~T
1111
Desafortunadamente, sólo hay dos ecuaciones pero con tres incógnitas, lo cual es el resultado directo de la presencia de la fuente de corriente de pendiente, puesto que no está controlada por una tensión nodal. Por ende, es necesario desarrollar una ecuación adicional que relacione i\ con una o más tensiones nodales. En este caso se encuentra que
i, = |
[121
la cual sustituyéndola en la ecuación [11] obtenemos (con un poco de sim plificación) 3vi
-
2v 2
=
30
8v2
=
[1 3 ]
y la ecuación [10] se simplifica en — 1 5 i> i +
0
[1 4 ]
Despejando, se encuentra que vi = —40 V, v 2 = —75 V e i ] = 0.5i>i = —20 A. Por lo tanto, la potencia suministrada por la fuente dependiente es igual a (3i'i)(ü2) = (—60)(—75) = 4.5 kW.
Se puede observar que la presencia de una fuente dependiente originará la necesidad de una ecuación adicional en el análisis si la cantidad controladora no es una tensión nodal. Ahora veamos el mismo circuito, pero con la variable con troladora de la fuente de corriente dependiente cambiada a otro valor: la tensión de la resistencia de 3 fi, la cual es de hecho una tensión nodal. Se encontrará que solamente se requieren dos ecuaciones para terminar el anáfisis.
EJEMPLO 4.4 Determinar la potencia suministrada por la fuente dependiente de la figura 4.7a. Se selecciona el nodo inferior como nuestra referencia y se marcan las ten siones nodales como se muestra en la figura 4.1b Se ha marcado la tensión nodal vx explícitamente para efectos de claridad, pero no es necesaria esta redundancia. Obsérvese que la selección del nodo de referencia es impor tante en este caso; esto lleva a la cantidad vx la cual es una tensión nodal. La ecuación LCK del nodo 1 es, Ul — Vx
Ul
l5 = ± -¡-± + i
r15] (Continúa en la siguiente página)
A A /v
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
(«)
(b)
F IG U R A 4 .7 (o) Circuito de cuatro nodos que contiene una fuente de corriente dependiente.
(b) Circuito marcado para el análisis nodal.
y la del nodo x es 3vx
Vx ~ vi 1
}>2
3
[16]
Si se agrupan términos y se despeja, se encuentra que Di = y V y vx = - y V . Por lo tanto, la fuente dependiente de este circuito genera (3vx)(vx) = 55.1 W. P R A C T I C A _________________________________________________ I F IG U R A 4 .8
4.3 Determinar la tensión nodal del circuito de la figura 4.8 i>i si A es ( a ) 2 iú (b) 2 v\. Respuesta: (a)
?
V; (b) -10 V.
Resumen del procedimiento básico del análisis nodal 1. Contar el número de nodos (N). 2. Designar un nodo de referencia. El número de términos en sus ecua ciones nodales pueden minimizarse seleccionando el nodo con el mayor número de ramas conectadas a él. 3.
Marcar las tensiones nodales (Existen N — 1 tensiones).
4.
Escribir una ecuación de LCK de cada uno de los nodos excepto el de referencia. Sumar las corrientes que fluyen hacia un nodo desde las fuentes en un miembro de la ecuación. Del otro lado, sumar las corrientes que circulan hacia afuera del nodo a través de las resistencias. Poner particular atención a los signos
5.
Expresar cualquier incógnita adicional como corrientes o ten siones excepto tensiones nodales en términos de tensiones nodales apropiadas. Esta situación puede presentarse si en el circuito hay fuentes de tensión o fuentes dependientes.
6.
Organizar las ecuaciones. Agrupándolas de acuerdo con las tensiones nodales.
7.
Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las tensiones nodales (Existen N — 1 tensiones).
SECCIÓN 4.2 EL SUPERNODO
Estos siete pasos básicos funcionarán bien en cualquier circuito que se en cuentre, aunque se requerirá de especial cuidado si se presentan fuentes de ten sión. En la sección 4.2 se analizan dichas situaciones.
4.2 «--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EL SUPERNODO --------A continuación se considera cómo las fuentes de tensión afectan la estrategia del análisis nodal. Como un ejemplo común, considerar el circuito de la figura 4.9a. El circuito original de cuatro nodos de la figura 4.4 se cambió al sustituir la resistencia de 7 Í2 entre los nodos 2 y 3 por una fuente de tensión de 22 V. Seguir asignando el mismo nodo a las tensiones de referencia vu i>2 y i>3 . Antes, el siguiente paso era la aplicación de la LCK en cada uno de los nodos de no referencia. Si se trata de hacerlo otra vez, surgirán algunas dificultades en los nodos 2 y 3, ya que no se conoce cuál es la corriente en la rama con la fuente de tensión. No hay manera de que se pueda expresar la corriente como una función de la tensión, ya que la definición de una fuente de tensión señala precisamente que la tensión es inde pendiente de la corriente. Hay dos modos de salir de este dilema. El método más complicado consiste en asignar una corriente desconocida a la rama que contiene la fuente de tensión, proseguir para aplicar tres veces la LCK y luego aplicar una vez la LVK ( 1)3 — i>2 = 22) entre los nodos 2 y 3; el resultado consiste en cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas para este ejemplo. El método más sencillo considera al nodo 2, al nodo 3 y a la fuente de ten sión en conjunto como una especie de supernodo y se aplica la LCK en ambos nodos al mismo tiempo; el supernodo se indica por medio de una región encerra da por la línea punteada de la figura 4.9a. Esto es en verdad posible, debido a que si la corriente total que sale del nodo 2 es cero y la corriente total que sale del no do 3 es nula, entonces la corriente total que sale de la combinación de los dos nodos es igual a cero. Este concepto se describe de manera gráfica en la vista ampliada de la figura 4.9b.
t ... / / h (b) ■ F IG U R A 4 .9 (o) Circuito del ejemplo 4.2 con una fuente de 22 V en lugar de la resistencia de 7 Í2. ( b) Vista ampliada de la región definida como supernodo; la LCK requiere que todas las corrientes que fluyan hacia la región sumen cero, pues de otra forma los electrones se apilarían o desaparecerían.
E J E M P L O 4.5 D eterm in ar el valor de ia tensión del nodo desconocido v\ del circuito de la figura 4.9a. La ecuación de la LCK del nodo 1 no presenta cambio respecto del ejemplo 4.2: V1 - V 2 Vi - v 3 —O — D — ---------- "f- ----------
0 .5 8 3 3 u i -
0 .3 3 3 3 u
2
-
0 .2 5 0 0 u 3 =
-1 1
[1 7 ]
A continuación se considera el supernodo 2,3. Se encuentran conectadas dos fuentes de tensión y cuatro resistencias. Por lo tanto, Vl — Vi
113 — 1>1
V3
Vo
3 + 25 = —------ - + —------ - + — + — 3 4 5 1 —0.5833ui + 1 .3333U2 + 0.45i;3 = 28
[1 8 ]
(Continúa en la siguiente página)
AA/V
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
Puesto que hay tres incógnitas, se necesita una ecuación adicional, y además debe aprovecharse el hecho de que hay una fuente de tensión de 22 V entre los nodos 2 y 3: v2 - v 3 = - 2 2
[19]
Al resolver las ecuaciones de [17] a [19], la solución de P f r Á C TIC
es 1.071 V.
_____________________
4.4 Calcular la tensión en cada fuente de corriente del circuito de la figura 4.10. Respuesta: 5.375 V, 375 mV. ■ F IG U R A 4 .1 0
De ese modo, la presencia de una fuente de tensión reduce en uno el número de nodos de no referencia en los que se debe aplicar la LCK, sin que importe si la fuen te de tensión se extiende entre dos nodos de no referencia o si está conectada entre un nodo y la referencia. También es necesario ser cuidadosos cuando se analizan circuitos como el del problema de práctica 4.4. Puesto que ambos extremos de la re sistencia son parte del supemodo, desde un punto de vista técnico debe haber dos términos de corriente correspondientes en la ecuación LCK, aunque se cancelan en tre sí. Se puede resumir el método del supemodo de la manera siguiente: Resumen del procedimiento de análisis del supernodo 1. Contar el número de nodos (N). 2. Designar un nodo de referencia. El número de términos en sus ecua ciones nodales pueden minimizarse seleccionando el nodo con el mayor número de ramas conectadas a él. 3. Marcar las tensiones nodales (habrá N — l tensiones). 4. Si el circuito cuenta con fuentes de tensión, construir un supernodo alrededor de cada una. Para hacer esta tarea debe encerrarse la fuente, sus dos terminales y cualquier otro elemento conectado entre las dos terminales dentro de un cuadro dibujado con línea punteada. 5.
Escribir una ecuación LCK de cada nodo de no referencia y de cada supem odo que no contenga el nodo de referencia. Sumar las corrientes que circulen hacia un nodo/supernodo desde las fuentes de corriente en un miembro de la ecuación. En el otro miembro, sumar las corrientes que circulen hacia afuera del nodo/supernodo a través de las resistencias. Poner particular atención a los signos
6.
Relacionar la tensión en cada fuente de tensión con las tensiones nodales. Esta tarea se lleva a cabo aplicando LVK; es necesaria una ecuación por cada supemodo definido.
7.
Expresar cualquier incógnita adicional (es decir, corrientes o ten siones diferentes a las tensiones nodales) en términos de las tensiones nodales apropiadas. Esta situación puede presentarse si exis ten fuentes dependientes en nuestro circuito.
8.
Organizar las ecuaciones. Agrupar términos de acuerdo con las ten siones nodales.
9.
Resolver el sistema de ecuaciones para obtener las tensiones nodales (habrá N — í ecuaciones).
A /V V
SECCIÓN 4.2 EL SUPERNODO
91
Se puede observar que se han agregado dos pasos adicionales al procedi miento general de análisis nodal. Sin embargo, en realidad, la aplicación de la técnica del supemodo a un circuito que contenga fuentes de tensión no conecta das al nodo de referencia dará como resultado una reducción del número de ecuaciones LCK que sean necesarias. Tomando en cuenta lo anterior, consi dérese el circuito de la figura 4.11, que contiene los cuatro tipos de fuentes y cuenta con cinco nodos.
E J E M P L O 4.6 Determinar las tensiones entre cada nodo y el de referencia en el circuito de la figura 4.11.
v2
Después de establecer un supemodo en tomo a cada fuente de tensión es nece sario escribir ecuaciones de LCK sólo del nodo 2 y del supemodo que contiene a la fuente de tensión dependiente. Por inspección, está claro que V\ — —12 V. En el nodo 2,
V\
V2 -
,
V2 —V3
0.5
[20 ]
= 14
mientras en el supemodo 3-4, n0.5U* c = — v* ~-—Vl
V4
L’4 Vi 2.5
[2 1 ]
T+
A continuación se relacionan las tensiones de fuente con las tensiones de nodo: l>3 — V4 = 0.2 V„
[22]
0 . 2 v y — 0 .2 ( i > 4 — v i )
[2 3 ]
y,
I F IG U R A 4.11 Circuito con cinco nodos con cuatro tipos diferentes de fuentes.
Por último, se expresa la fuente de corriente dependiente en términos de las variables asignadas: 0 .5 v* =
0 . 5 ( i >2 -
v i)
[2 4 ]
Cinco nodos requieren cuatro ecuaciones LKC en el análisis nodal general, pero se ha reducido este requerimiento a sólo dos, ya que se for maron dos supemodos separados. Cada supemodo requiere una ecuación LVK (ecuación [ 2 2 ] y v\ = — 1 2 , esta última escrita por inspección). Ninguna de las fuentes dependientes estuvo controlada por una tensión nodal, por lo que se necesitaron dos ecuaciones adicionales como resultado. Una vez hecho lo anterior, se pueden eliminar vx y vy para obtener un con junto de cuatro ecuaciones con las cuatro tensiones de nodo: —2 v i + 2 .5 v i
— 0 .5 v 3
=
14
O .lv i —
+ 0.5i>3 + 1 .4v4 =
0
V2
vi 0 .2
vi
=-12 +
V3— 1 . 2 v4 =
0
Despejando, se obtiene v i = —1 2 V, v 2 = —4 V. V 3 = 0 V y v 4 = — 2 V. P R Á C T IC A 4 .5
____________________________________________________________
Determinar las tensiones nodales del circuito de la figura
R e sp u e sta : V i =
3 V , V2 = 5 . 0 9 V , V3 =
1 . 2 8 V , V4 =
1 . 6 8 V.
4 .1 2 .
■ FIGURA 4.12
®
AA/V
••
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
4.5 t ANÁLISIS DE MALLA_________________________ La técnica del análisis nodal descrita en la sección anterior es muy general, por lo que siempre puede aplicarse a cualquier red eléctrica. Un método alternativo que en ocasiones resulta más fácil de aplicar en ciertos circuitos se conoce como análisis de malla. Si bien esta técnica no es aplicable a cualquier red, se puede utilizar en la mayor parte de las redes que se quieren analizar. El análisis de malla se aplica sólo en aquellas redes que son de forma plana, un término que es necesario definir. Si se puede dibujar el esquema de un circuito sobre una superficie plana de manera tal que ninguna rama pase sobre o por debajo de cualquier otra rama, se afirma que es un circuito plano o de form a plana. Por lo tanto, la figura 4.13a muestra una red de forma plana, la 4.13b presenta una red de forma no plana y la 4 .13c muestra también una red de forma plana, aunque se dibuja de modo que parece ser no plana a primera vista.
■ F IG U R A 4 .1 3 Ejemplos de redes de forma plana y no planas; los alambres que se cruzan sin que se señalen con un punto grueso no están en contacto físico entre sí.
Es necesario mencionar que el análisis tipo malla se aplica a circuitos de forma no plana, pero como no es factible definir un conjunto completo de mallas únicas para este tipo de circuitos, no se pueden asignar corrientes de malla únicas.
En la sección 3.1 se definieron los términos trayectoria, trayectoria cerrada y lazo. Antes de definir lo que es una malla, se debe considerar el conjunto de ra mas dibujadas con líneas gruesas de la figura 4.14. El primer conjunto de ramas no es una trayectoria, puesto que cuatro ramas están conectadas al nodo central, y, desde luego, tampoco constituyen un lazo. El segundo conjunto de ramas no representa una trayectoria, puesto que sólo se recorre pasando dos veces a través del nodo central. Las cuatro trayectorias restantes corresponden a lazos. El cir cuito contiene 11 ramas. La malla es una propiedad de un circuito de forma plana y no se define para un circuito de forma no plana, sino como un lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. Así, los lazos indicados en la figura 4 .14c y d no son mallas, en tanto que de las partes e y / s í lo son. Una vez que se ha dibujado un circuito de manera clara en forma plana, a menudo tiene la apariencia de una ventana con hojas de vidrio múltiples; puede considerarse que la frontera de cada vidrio de la ventana es una malla. Si una red es de forma plana, el análisis de malla se utiliza para llevar a cabo su estudio. Esta técnica implica el concepto de corriente de malla, que presen tamos al considerar el análisis del circuito de dos mallas de la figura 4.15a. Del mismo modo que se procedió en el caso del circuito de un solo lazo, se definirá una corriente a través de una de las ramas. Vamos a denominar i\ a la corriente que circula hacia la derecha a través de la resistencia de 6 Í2. Se apli cará la LVK alrededor de cada una de las dos mallas, y las dos ecuaciones resul tantes son suficientes para determinar las dos corrientes desconocidas. Después
SECCIÓN 4.3 ANÁLISIS DE MALLA
AA/V
»
®
■ F IG U R A 4 .1 4 (a) El conjunto de ramas especificadas por líneas gruesas no es ni una trayectoria ni un lazo. (6) En este caso, el conjunto de ramas no es una trayectoria, ya que pueden recorrerse sólo al pasar dos veces por el nodo central, (c) Esta trayectoria es un lazo pero no una malla, puesto que encierra otros lazos, (d) La trayectoria es también un lazo pero no una malla, (e, f ) Cada una de estas trayectorias es un lazo y una malla.
se define una segunda com ente ¿2 , que fluye hacia la derecha en la resistencia de 4 Q. También se podría denominar como ¿3 a la corriente que fluye hacia abajo por la rama central, pero resulta evidente, a partir de la LCK, que ¿3 puede ex presarse en términos de las dos com entes supuestas antes como (¿1 — ¿2 ). Las corrientes supuestas se muestran en la figura 4.15¿>. Siguiendo el método de solución para el circuito de un lazo, .se aplica ahora la LVK a la malla del lado izquierdo,
-----W \ r 6LS 42 V
O
3 0
-W v — 40 -
O
10 v
(•
—42 + 6z'i + 3(¿i — ¿2) — 0 [25]
9¿i — 3 ¿2 = 42
10 V
42 V
Aplicando la LVK en la malla del lado derecho, —3(¿i — ¿2 ) +
4¿2
— 10 = 0
—3i’i + 7 ¿2 = 10
(* [26]
Las ecuaciones [25] y [26] son independientes; no es posible deducir una a partir de la otra. Hay dos ecuaciones y dos incógnitas, y la solución se obtiene sin ninguna dificultad: il =
6
A
i2 = 4 A
(¿1
- h) = 2 A
Si el circuito contiene M mallas, entonces se espera tener M com entes de malla y, por lo tanto, se requerirá escribir M ecuaciones independientes. A continuación se considerará este mismo problema de una manera un poco diferente, mediante el uso de com entes de malla. Se define una corriente de m a lla como aquella que fluye sólo alrededor del perímetro de una malla. Una de las grandes ventajas en el empleo de las com entes de malla es el hecho de que la ley de Kirchhoff de com ente se satisface de manera automática. Si una com ente de malla fluye hacia un nodo determinado, también fluye fuera de él.
I F IG U R A 4 .1 5 (o, b) Circuito simple para el que se requieren las corrientes.
W )—
AAA/-------------------------------• 6Ü
4Í1
■ F IG U R A 4 .1 6 El mismo circuito que el de la figura 4.156, pero visto de una manera un poco diferente.
A menudo se identifica una corriente de malla como una corriente de rama, al igual que /'i e ¡2 se identifi caron en este ejemplo. Sin embargo, lo anterior no siempre es cierto, pues al considerar una red cuadrada de nueve mallas, la corriente de la malla central no puede identificarse como la corriente de alguna rama.
CAPÍTU LO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
Si se marca como la malla 1 a la del lado izquierdo del problema, es factible establecer una corriente de malla i\ que circula en la misma dirección que las manecillas de reloj alrededor de dicha malla. U na corriente de malla se indica por una flecha curva que casi se cierra sobre sí misma y se dibuja dentro de la malla apropiada, como en la figura 4.16. La corriente de malla h se establece en la malla restante, otra vez en la dirección de las manecillas de reloj. Si bien las direcciones son arbitrarias, siempre se deben elegir las corrientes de malla en el sentido de las manecillas del reloj debido a que, en tal caso, en las ecuaciones se produce una cierta simetría de minimización de errores. Ya no se cuenta con una corriente o una flecha de corriente que se muestre de manera directa sobre cada rama del circuito. La corriente a través de cualquier rama debe determinarse al considerar las corrientes de malla que fluyen en cada malla en la que aparece dicha rama. Esto no es difícil, debido a que ninguna rama puede aparecer en más de dos mallas. Por ejemplo, la resistencia 3 £2 aparece en ambas mallas, y la corriente que fluye hacia abajo a través de él es i\ — i 2 ■La resistencia 6 Q sólo aparece en la malla 1, y la corriente que fluye ha cia la derecha en esa ram a es igual a la corriente de malla i i . Para la malla de la izquierda, —42 + 6¿i + 3 (/1 — ¿2 ) = 0 mientras que para la malla derecha, 3(i2 — h ) + 4¿2 — 10 = 0 así que estas dos ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones [25] y [26].
E J E M P L O 4.7 Determinar la potencia suministrada por la fuente de 2 V de la figura 4.17a. 4Ü
4 ÍÍ
^W V
— VW iv
5V
5v
(a)
(b)
■ F IG U R A 4 .1 7 (o) Circuito de dos mallas que contiene tres fuentes. (b) Circuito marcado para e! análisis de mallas.
Primero definimos dos corrientes de malla en el sentido de las manecillas del reloj en la figura 4.17b. Comenzando en la parte inferior izquierda de la malla 1, se escribe la ecuación LVK siguiente a medida que se procede por las ramas en el sentido de las manecillas del reloj: —5 — f- 4i 1
2(¿i — ¡2 ) —2 = 0
Se hace lo mismo en la malla 2, por lo cual se puede escribir + 2 + 2(í2 —1h ) + 5/2 + 1 = 0
SECCIÓN 4.3 ANÁLISIS DE MALLA
#
A /W
Simplificando y agrupando términos, 6;'i — 2¿2 = 7
y —2¿i + 7¿2 = —3 43 2 Despejando, se obtiene i\ = — = 1.132 A e ¡ 2 = —— = —0.1053 A. La corriente que circula hacia afuera de la terminal de referencia positiva de la fuente de 2 V es i¡ — ¿2 - Por lo tanto, la fuente de 2 V suministra (2) (1.237) = 2.474 W. P R Á C T I C A ______________________________________________________ 4.6 Determinar i¡ e
¿2
14 a
en el circuito de la figura 4.18. 10 a
Respuesta: i 1 = +184.2 mA; —157.9 mA.
Examinar en seguida el circuito de cinco nodos, siete ramas y tres mallas que se presenta en la figura 4.19. Es un problema un poco más complicado debido a la malla adicional.
E J E M P L O 4.8 Recurrir al análisis de malla para determinar las tres corrientes de malla en el circuito de la figura 4.19. Las tres corrientes de malla requeridas se asignan como se indica en la figura 4.19 y se aplica de manera metódica la LVK en tomo a cada malla —7 +
l ( ¿ i — ¿2 ) + I fe
— ¿ 1) +
2 (1 3 — h ) —
6
+
6
+
2 (¿ i
— ¡3 ) =
0
2(2
+
3 ( i 2 — ¡3 ) =
0
3
(¿3
— ¿2 ) +
1*3
=
0
Simplificando, 3¿i -
¿2
-
2¿3 = 1
—i\ -|- 6í*2 — 3 / 3 = 0 — 2 ¿x
y resolviendo, se obtiene
¿1
—
3(2
+
6(3
=
6
= 3 A, ¿2 = 2 A e ¡'3 = 3 A.
■ F IG U R A 4 .1 9 Circuito de cinco nodos, siete ramas y tres mallas.
96 ------ V W
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
p r á c t ' c a . _______ _________ ____________________________ 4.7 Determinar /[ e ^ en el circuito de la figura 4.20.
5 fi
Respuesta: 2.220 A, 470.0 mA.
Los ejemplos anteriores trataron, exclusivamente, acerca de circuitos ali mentados por fuentes de tensión independientes. Si se incluyera en el circuito una fuente de corriente, podría simplificar o complicar el análisis, como se estu dió en la sección 4.4. Como se analizó en el estudio de la técnica de análisis no dal, en general las fuentes dependientes requieren de una ecuación adicional además de las M ecuaciones de malla, a menos que la variable controladora sea una corriente de malla (o la suma de las corrientes de malla). En el ejemplo si guiente se explica este caso.
E J E M P L O 4.9 Si,
Determinar la corriente ij del circuito de la figura 4.2 la. ■H La corriente i\ es, en realidad, una corriente de malla, así más que redefinirla, se marca la corriente de malla que está más a la derecha, i\ y define una corriente de malla en el sentido de las manecillas delreloj, ¿2 para la malla de la izquierda, como se muestra en la figura 4.21b. Si se aplica LVK a la malla izquierda se tiene - 5 - 4h + 4 (Z2 - i,) + 4¿2 = 0
se
[27]
y para la malla de la derecha se obtiene, 4(¿! - ¿2) + 2h + 3 = 0
[28]
Agrupando términos, estas ecuaciones pueden escribirse de manera más compacta como —8¿i -I- 8¿2 = 5
y ■ F IG U R A 4 .2 1 (o) Circuito de dos mallas que contiene una fuente dependiente. (b) Circuito marcado para el análisis de mallas.
6*i —4*2 = - 3 Despejando, ¿2 = 375 mA, así que i i = —250 mA.
Puesto que la fuente dependiente de la figura 4.21 está controlada por la co rriente de malla (í'J, sólo dos ecuaciones — la [27] y la [28]— se requirieron en el análisis del circuito de dos mallas. En el ejemplo siguiente, se explora la situación que se presenta si la variable controladora no es una corriente de malla.
SECCIÓN 4.3 ANÁLISIS DE MALLA
AA/V
*
EJEMPLO 4.1 Determinar la corriente i\ del circuito de la figura 4.22a.
(a)
(b)
■ F IG U R A 4 .2 2 (o) Circuito con una fuente dependiente controlada por tensión. (6) Circuito marcado para el análisis de mallas.
Con la finalidad de hacer una comparación con el ejemplo 4.9, se utilizan las mismas definiciones de corriente de malla, como se muestra en la figura 4.22b. En la malla de la izquierda, al aplicar LVK se obtiene —5 — 2vx + 4(¿2 — ¡i) 4- 4¡2 = 0
[29]
y en la malla de la derecha se encuentra lo mismo que antes, 4 (i\ — io) + 2¿i + 3 = 0
[30]
Puesto que la fuente dependiente está controlada por una tensión descono cida vx, se presentan dos ecuaciones con tres incógnitas. La solución a este dilema es simplemente construir una ecuación con vx en términos de las corrientes de malla, tales como E = 4(¿2 - i l)
[31]
Este sistema de ecuaciones se simplifica si se sustituye la ecuación [31] en la ecuación [29], lo que resulta en 4¿i = 5 Simplificando, se encuentra que i ¡ = 1.25 A. En este ejemplo en particu lar, la ecuación [30] no es necesaria a menos que se desee obtener un valor para (V P R Á C T IC A #
_____________________________________________
4.8 Determinar i\ en el circuito de la figura 4.23 si la cantidad controladora A es igual a: (a) H 2 , (b) 2vx . Respuesta: (a) L.35 A; (b) 546 mA.
El procedimiento del análisis de malla puede resumirse en los siete pasos básicos descritos a continuación, que son válidos en cualquier circuito plano aunque la presencia de fuentes de com ente requerirá que se tomen precauciones. Dicha situación se estudia en la sección 4.4.
2(1
3
a
6V
98;------ v w
-•
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
Resumen del procedimiento básico de análisis de malla 1.
Determinar si el circuito es planar (forma plana). Si no, lleve a cabo el análisis nodal.
2.
Contar el número de mallas (M). Volver a dibujar el circuito si es necesario.
3.
Marcar cada una de las corrientes de malla M. En general, definir todas las corrientes de m alla que circulan en el sentido de las manecillas del reloj facilita el análisis.
4.
Escribir la ecuación LKT en cada malla. Iniciar con un nodo conve niente y proceder en la dirección de la corriente de malla. Poner espe cial atención a los signos Si una fuente de corriente se localiza en la periferia de una malla, no es necesaria la ecuación LVK y la com ente de malla se determina por inspección.
5.
Expresar cualquier incógnita adicional como tensiones o corrientes que sean diferentes a las corrientes de malla en términos de las corrientes de malla apropiadas. Esta situación puede presentarse si, en el circuito, aparecen fuentes de com ente o fuentes dependientes.
6.
Organizar las ecuaciones. Agrupar términos de acuerdo con las comentes de malla.
7.
Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las corrientes de malla (se encontrarán M comentes).
4.4 • --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------SUPERMALLA --------¿Cómo se debe modificar este procedimiento directo cuando en la red hay una fuente de com ente? Desde la perspectiva del análisis nodal, se requiere percibir que hay dos métodos posibles. Primero, se podría asignar una tensión descono cida a la fuente de com ente, aplicar la LVK alrededor de cada malla como antes, y relacionar luego la fuente de com ente con las com entes de malla asignadas. Por lo general, éste es el método más difícil. Una mejor técnica se asemeja bastante al método del supemodo del análisis nodal. En este caso se forma un supemodo al encerrar por completo la fuente de tensión dentro del supemodo y al reducir en 1 el número de nodos de no referen cia de cada fuente de tensión. Así se crea un tipo de “supermalla” a partir de dos mallas que tienen una fuente de com ente como un elemento común: la fuente de com ente está en el interior de la supermalla. De ese modo se reduce en 1 el nú mero de mallas de cada fuente de com ente presente. Si la fuente de com ente se ubica en el perímetro del circuito, entonces se pasa por alto la malla simple en la cual se encuentra. Por lo tanto, la ley de Kirchhoff de tensión se aplica sólo en aquellas mallas o supermallas de la red reinterpretada.
EJEMPLO 4.11 Utilizar la técnica del análisis de malla para evaluar las tres corrientes de malla de la figura 4.24a . Aquí se observa que una fuente de com ente independiente de 7 A está en la frontera común de las dos mallas. Las com entes de malla i¡, ¿2 e ij ya se han asignado; además la fuente de corriente crea una supermalla cuyo
SECCIÓN 4.4 SUPERMALLA
A /W -
• "
99
interior es el de las mallas 1 y 3, como se ilustra en la figura 4.24b. Apli cando la LVK alrededor de este lazo, —7 + 1 (i i — ¿2) +
3 (1 3
— ¿2) + 1*3 = 0
o —4¿2 + 4¿3 = 7
¿1
[32]
y alrededor de la malla 2, 1(¿2 — ¿1 ) + 2¿2 + 3 (¡2 — ¿3 ) = 0 o — ¿1
+ 6*2 — 3*3 = 0
[33]
Por último, la corriente de la fuente independiente se relaciona con las corrientes de malla supuestas, ¿1
*2
-*3=7
[34]
Al resolver las ecuaciones de la [32] a la [34], se encuentra que i\ = 9 A, = 2.5 A e ¿3 = 2 A.
PRÁCTICA ,
________________________________________
4.9 Determinar la corriente i\ del circuito de la figura 4.25.
I FIGURA 4.24 (a) Circuito de tres mallas con una fuente de corriente independiente. (b) Supermalla definida mediante línea de colores.
Respuesta: —1.93 A.
La presencia de una o más fuentes dependientes requiere tan sólo que cada una de tales cantidades de fuente y la variable de la que dependen se expresan en términos de las corrientes de malla asignadas. En la figura 4.26, por ejemplo, se observa que ambas fuentes de corriente, dependiente e independiente, se in cluyen en la red. Se verá cómo afecta su presencia el análisis del circuito y que en realidad lo simplifica.
10
v (T ) /
■ FIGURA 4.25
EJEMPLO 4.12 Utilizar el análisis de malla para evaluar las tres corrientes desconoci das en el circuito de la figura 4.26. Las fuentes de corriente aparecen en las mallas 1 y 3. En razón de que la fuente de 15 A se localiza en el perímetro del circuito, se elimina la malla 1 de la consideración; resulta claro que *1 = 15 A. Es posible darse cuenta de que debido a que se conoce una de las dos corrientes de malla que son relevantes a la fuente de corriente independiente, no hay necesidad de escribir una ecuación de supermalla alrededor de las mallas 1 y 3. En lugar de hacer eso, simplemente se relacionan *1 e ¿3 con la corriente de la fuente dependiente mediante LCK: I FIGURA 4.26 Circuito de tres mallas con una vx
- =
. 13-
.
1! =
fuente de comente dependiente y una independiente.
3(Í3 - ¿2 )
—
—
(Continúa en la siguiente página)
A /W
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
la cual puede escribirse en forma más compacta como, !.
2.
~
~ l l + j ' 2 + 2*3 — 0
O
1.
2.
- ¡ 2 + -* 3 = 15
[35]
Con una ecuación y dos incógnitas, todo lo que resta es escribir una ecuación LVK alrededor de la malla 2, 1 (¿2
— ¿i) +
6*2
*3
2*2
-
+ 3(Í2 — *3 ) — 0
3*3
= 15
[36]
Resolviendo las ecuaciones [35] y [36], se encuentra que = 17 A; por inspección, se determina que i\ = 15 A.
P R Á C T IC A
*2
= 11 A e
______________ ___ _____________________________________
4.10 Utilizar el análisis de malla para determinar figura 4.27.
en el circuito de la
Respuesta: 104.2 V.
Ahora se puede resumir el método general para escribir ecuaciones de malla, ya sea que haya fuentes dependientes o no, fuentes de tensión y/o fuentes de corriente, siempre y cuando el circuito pueda dibujarse como un circuito de forma plana: Resumen del procedimiento de análisis de la supermalla 1.
Determ inar si el circuito es un circuito de forma plana. Si no, llevar a cabo el análisis nodal.
2.
Contar el número de mallas (M). Volver a dibujar el circuito si es necesario.
3.
Marcar cada una de las corrientes de las M mallas. En general, la definición de todas las corrientes de malla que circulen en el sentido de las manecillas del reloj da como resultado un análisis más simple.
4.
Si el circuito contiene fuentes de corriente que están compartidas por dos mallas, formar una supermalla que encierre a ambas mallas. Un cuadro remarcado es de ayuda al escribir las ecuaciones LVK.
5.
Escribir una ecuación LVK alrededor de cada malla/supermalla. Ini ciar en un nodo adecuado y proceder en la dirección de la corriente de malla. Poner especial atención a los signos Si una fuente de corriente
SECCIÓN 4.5 COMPARACIÓN ENTRE EL ANÁLISIS NODAL Y EL DE MALLA
se localiza en la periferia de una malla, no es necesaria ninguna ecuación LVK y la corriente de malla se determina por inspección. 6.
Relacionar la corriente que circula desde cada fuente de corriente con las corrientes de las mallas. Esta tarea se lleva a cabo mediante la LCK; se necesita una de tales ecuaciones para cada supermalla que se defina.
7.
Expresar cualquier otra incógnita como corrientes y tensiones, aparte de las corrientes de malla en términos de las corrientes de malla apropiadas. Esta situación se puede presentar si existen fuentes dependientes en nuestro circuito.
8
.
9.
4.5
Organizar las ecuaciones. Agrupar los términos de acuerdo con las tensiones nodales. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las tensiones nodales (se encontrarán M tensiones).
COMPARACIÓN ENTRE EL ANÁLISIS NOPAL______ * Y EL DE MALLA
Ahora que se han examinado dos métodos muy diferentes para analizar cir cuitos, parece lógico preguntar si se logra alguna ventaja si se utiliza uno u otro. Si el circuito es de forma no plana, entonces no hay elección: sólo se podrá aplicar el análisis nodal. Sin embargo, siempre que se considere el anáfisis de un circuito de forma plana habrá situaciones en las que una técnica tiene una pequeña ventaja sobre la otra. Si se planea utilizar el anáfisis nodal, entonces un circuito con N nodos proporcionará a lo más N — 1 ecuaciones de la LCK. Cada supernodo definido reducirá de manera adicional en uno este número. Si el mismo circuito tiene M mallas distintas, entonces se obtendrá a lo más M ecuaciones por medio de la LVK; cada supermalla reducirá en uno este número. Con base en estos hechos, se debe elegir el método que producirá el número más pequeño de ecuaciones simultáneas. Si una o más fuentes dependientes se incluyen en el circuito, cada cantidad controladora puede tener efecto en la elección entre el análisis nodal o de mallas. Por ejemplo, una fuente de tensión dependiente controlada por una tensión nodal no requiere una ecuación adicional cuando se lleva a cabo el análisis nodal. De forma similar, una fuente de corriente dependiente controlada por una corriente de malla no requiere de una ecuación adicional cuando se lleva a cabo el anáfisis de malla. ¿ Qué hay acerca de la situación donde una fuente de tensión dependiente es controlada por una corriente? O de otra forma, ¿dónde es controlada por una tensión una fuente de corriente dependiente? Siempre que una cantidad contro ladora puede relacionarse fácilmente con las corrientes de malla, se puede esperar que el anáfisis de malla sea la opción más conveniente. De manera similar, si la cantidad controladora puede fácilmente relacionarse con las tensiones en los no dos, puede ser preferible el análisis nodal. Un punto final a este respecto es tener en mente la ubicación de la fuente: las fuentes de corriente que se ubican en la periferia de una malla, ya sean dependientes o independientes, se manipulan de una manera más fácil con el análisis de malla; las fuentes de tensión conectadas a la terminal de referencia se manejan más fácilmente mediante el anáfisis nodal. Si con cualquiera de los métodos se obtiene en esencia el mismo número de ecuaciones, quizás valga la pena considerar también las cantidades que se están bus cando. El análisisLnodal origina el cálculo directo de tensiones nodales, en tanto que el anáfisis de malla proporciona corrientes. Si, por ejemplo;í'se pide determinar
♦
^VW
#
102
A
/W
- •
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
8A
5 íl
I F IG U R A 4 .2 8 Circuito de forma plana con cinco nodos y cuatro mallas.
comentes a través de un conjunto de resistencias, después de efectuar el análisis nodal se debe recurrir aún a la ley de Ohm en cada resistencia para determinar la corriente. Como ejemplo, considerar el circuito de la figura 4.28. Se desea determinar la com ente ix . Se elige el nodo inferior como el de referencia y se observa que hay cuatro no dos de no referencia. Si bien esto significa que es posible escribir cuatro ecuaciones distintas, no hay necesidad de marcar el nodo entre la fuente de 100 V y la resisten cia de 8 £2 ya que resulta obvio que la tensión de nodo mide 100 V. En consecuen cia, se marcan las siguientes tensiones de nodo v\, y como en la figura 4.29. 8A
■ F IG U R A 4 .2 9 El circuito de la figura 4.28 con tensiones de nodo
marcadas. Observai que se eligió un sistema de tierra física para designar la terminal de referencia.
Se tienen las siguientes tres ecuaciones: V\ — 100 8
«i v\ — vi = 0 H— -— h 4 2
V2 ~ V\
V2
Vs — V i
Vs
V 2 — V$
------------ ------- ------------ — 8 = 0 2 3 10
^ ü r + y + s =°
o
o
0.875t'i —0.5 v2
= 12.5
—0.5vj — 0.9333D2'—O.lu-j =
—O.lib
+ 0.3^3 = —8
[37]
[38]
[39]
Resolviendo, se encuentra que v\ = 25.89 V y v 2 = 20.31 V. Se determina la com ente ix mediante la aplicación de la ley de Ohm: ix = Vl _ V2 = 2.79 A
[40]
En seguida, se considera eí mismo circuito mediante el análisis de malla. En la figura 4.30 se tienen cuatro mallas distintas, aunque es evidente que i4 — —8 A; por lo tanto, es necesario escribir tres ecuaciones distintas.
SECCIÓN 4.6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS ASISTIDO POR COMPUTADORA
8A
e AA/V— ■ ■ io n
100 v
■ F IG U R A 4 .3 0 El circuito de la figura 4.28 con las corrientes de malla marcadas.
Escribiendo una ecuación LKT para las mallas 1, 2 y 3: - 1 0 0 + 8*i + 4(*i - ¿2) = 0 4(í*2 —
? i) -I- 2 *2 4 *
3 (¿3
¿2 )
—
3(í2 — * 3 )
o
= 100 100
12*! - 4*2
0
o
— 4*i9 í 2 —
“ 1“ 10(*3 + 8 ) -h 5 í*3 = 0
O
—3*2
=
18*3
3*3= 0 “
—
[41] [42] [43]
Al resolver, se encuentra que *2 (= ix ) = 2.79 A. Para este problema particu lar, el análisis de malla mostró ser más simple. No obstante, puesto que cualquier método es válido, si se resuelve el mismo problema de las dos formas también servirá como un medio para verificar las respuestas.
4.6
ANÁLISIS DE CIRCUITOS ASISTIDO
-------• -----------------------------------------------------------------
POR COMPUTADORA Hemos visto que no es necesario tomar muchos componentes para crear un circui to de complejidad respetable. A medida que se examinen circuitos incluso más com plejos, se evidenciará de inmediato que es fácil cometer errores durante el aná lisis, y que la verificación de las soluciones de manera manual consume mucho tiempo. Un poderoso programa de computadora, conocido como PSpice, se suele utilizar para analizar rápidamente los circuitos, así que las herramientas de captura de esquemas casi siempre se integran con una tablilla de circuito impreso o una he rramienta de visualización de circuito integrado. Creado originalmente a principios de los años de 1970 en la Universidad de California en Berkeley, SPICE (Simulation Pmgram with Iníegrated Circuit Emphasis) es en la actualidad un estándar in dustrial. M icroSim Corporation introdujo PSpice en 1984, el cual por medio de interfaces, traza gráficas correspondientes en tomo al programa SPICE principal. Según sea el tipo de aplicación de circuitos que se considere, hay en la actualidad varias compañías que ofrecen diferentes versiones del paquete SPICE básico. Si bien el análisis asistido por computadora es un medio relativamente rápi do para determinar tensiones y corrientes en un circuito, se debe ser cuidadoso de no permitir que los paquetes de simulación reemplacen por completo el aná lisis tradicional con “papel y lápiz”. Existen varias razones que sostienen lo an terior. Primero, para diseñar se debe ser capaz de analizar. La excesiva confian za en las herramientas de cómputo puede inhibir el desarrollo de las capacidades analíticas necesarias, tal como sucedió con la introducción muy temprana de las calculadoras en la escuela elemental. Segundo, es casi imposible utilizar un pro grama complicado durante un largo tiempo sin cometer algún tipo de error en la entrada de datos. Si no se cuenta con una intuición básica en cuanto al tipo de respuesta que se debe esperar de una simulación, no hay forma de determinar si es o no válida. Por consiguiente, el nombre genérico en realidad es una descrip ción bastante precisa: análisis asistido por computadora. Los cerebros humanos no son obsoletos. No todavía, como quiera que sea.
*
AA/V
104
-a a a ^-
- •
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
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(c) ■ F IG U R A 4 .3 1 (o) Circuito de la figura 4,15o dibujado mediante el software de captura de esquemas Oread. ( b) Botones de despliegue de comente, tensión y potencia, (c) Circuito después de ejecutarse la simulación, con el despliegue de corriente habilitado.
A manera de ejemplo, considere el circuito de la figura 4.15/a que incluye dos fuentes de tensión de cd y tres resistencias. Se desea simular este circuito mediante PSpice, de modo que sea posible determinar las corrientes i\ e ¿2 . La fi gura 4.31a muestra el circuito en la forma que se dibuja mediante un programa de captura de esquemas.1 Con la finalidad de determinar las corrientes de malla, sólo se necesita correr una simulación para encontrar el punto de polarización. Al estar en PSpice. (1) Consultar el apéndice 4 para obtener un breve tutorial sobre PSpice y la captura de diagramas esquemáticos.
SECCIÓN 4.6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS ASISTIDO POR COMPU lADORA
seleccionar New Simulation Profile. Teclee Primer Ejemplo (o cualquier nombre de su preferencia) y hacer click en Create. En el m enú A nalvsis Tvpe selec cionar Bias Point. después hacer click en O K . Regresar a la ventana esque mática original y en PSpice seleccionar Run Jo utilizar alguno de los dos atajos: presionar la tecla F l l o hacer clic en el sím bolo azul “Play” ). Para ver las corrientes calculadas por PSpice, asegurarse de que el botón com ente esté selec cionado (figura 4 .3 1b). Los resultados de la simulación se muestran en la figura 4.31c. Se puede observar que las dos com entes i\ e ¡2 son 6 A y 4 A, respectiva mente, como se pudo ver con anterioridad. Como ejemplo adicional, considerar el circuito de la figura 4.32a. Contiene una fuente de tensión de cd, una fuente de com ente de cd y una fuente de co rriente controlada por tensión. El foco de atención se concentra en las tres ten siones nodales que, a partir del análisis nodal o de malla, se puede ver que son 82.91 V, 69.9 V y 59.9 V, respectivamente, a medida que la mirada se desplaza de izquierda a derecha en la parte superior del circuito. L a figura 4.32¿> muestra es te circuito, dibujado mediante una herramienta de captura de esquemas, después de haberse llevado a cabo la simulación. Las tres tensiones nodales se indican di rectamente en el esquema. Observar que al dibujar una fuente dependiente con la herramienta de captura de esquemas se deben enlazar de manera explícita dos terminales de la fuente con la tensión o la corriente de control.
mI ,
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£ai vmw ntce
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Opwra ’ IndMs
(b) ■ F IG U R A 4 .3 2 (o) Circuito con fuente de corriente dependiente, (b) Circuito dibujado con una herramienta de captura de esquemas, cuyos resultados de la simulación se presentan de manera directa sobre el esquema.
(
APLICACIÓN PRÁCTICA )
Creación de diagramas PSpice con base en nodos El método más común para describir un circuito, en conjun ción con el análisis de circuitos asistido por computadora, es un tipo de programa gráfico para dibujo de esquemas, de cuya salida se muestra un ejemplo en la figura 4.32. Sin embargo, SPICE se escribió antes del advenimiento de es te tipo de programas, y como tal requiere que los circuitos se describan en un formato específico basado en texto. El formato tiene sus raíces en la sintaxis utilizada en las tape tas perforadas, lo cual le da una apariencia un poco distin ta. La base para describir circuitos es la definición de ele mentos, así que a cada terminal del mismo se le asigna un número de nodos. De esa manera, aunque se acaban de es tudiar dos métodos de análisis de circuitos generalizados diferentes — las técnicas nodal y de malla— resulta intere sante observar que SPICE y PSpice se elaboraron median te un método de análisis nodal muy bien definido.
Aun cuando el análisis moderno de circuitos se hace en gran medida con un software interactivo orientado a gráficas, cuando se generan errores (casi siempre debi dos a equivocaciones en el dibujo del esquema o al ele gir una combinación de las opciones de análisis), la ca pacidad para leer la “plataforma de entrada” basada en textos generados por la herramienta de captura de esque mas resulta invaluable para el seguimiento del problema específico. La mejor forma de desarrollar una capacidad de este tipo consiste en aprender la manera de ejecutar PSPICE de manera directa, a partir de una plataforma de entrada escrita por el usuario. Considere, por ejemplo, la muestra de la plataforma de entrada siguiente (las líneas que empiezan con un as terisco son comentarios, y SPICE las pasa por alto).
* E x a m p le i n p u t d e c k f o r a s im p le v o l t a g e d i v i d e r . .O P
Se pide a SPICE que determine el punto de operación cd del circuito.
R1 1 2 l k R2 2 0 l k V I 1 0 DC
Se define R1 entre los nodos 1 y 2; tiene un valor de 1 kOhms. R2 se define entre los nodos 2 y 0; tiene un valor de 1 kOhms. VI se define entre los nodos 1 y 0; tiene un valor de 5 V cd.
End o f in p u t d e c k . Se puede crear la plataforma de entrada con el pro grama Notepad de Windows o con su editor de textos fa vorito. Salvar el archivo bajo el nombre example.cir, in voca a PSpice A/D (vea el apéndice 4). En File, se selecciona Open, se ubica el directorio en el que se sal va el archivo example.cir y para Files of Type: se selec ciona Circuit Files (*.cir). Después de seleccionar el ar chivo y hacer clic en Open, aparece la ventana PSpice A/D con el archivo de circuito cargado (figura 4.33a). Una lista de red como ésta, que conticnc instrucciones de
la simulación que se va a llevar a cabo, puede hacerse con el software de captura de esquemas o manualmente como en este ejemplo. Se ejecuta la simulación ya sea haciendo clic en el símbolo “play” en color azul en la parte superior derecha o seleccionando Run en Simulation. En la esquina infe rior izquierda de la ventana principal, una ventana de re sumen más pequeña informa que la simulación se ejecu tó con éxito (figura 4.33b). Para ver los resultados, se selecciona Output File del menú View en donde se verá:
* * * * 0 2 / 1 8 / 0 4 0 9 : ? 3 : 5 7 * * * * * * * * * * * * * * P S p ic e L i t e
(J a n 2 00 3 ) * * * * * * * ^
'( • k 'k 'k - k - k 'k 'k - k 'k - k
* E x a m p le i n p u t d e c k f o r a s im p le v o l t a g e d i v i d e r . ****
C IR C U IT D E S C R IP T IO N
.O P R1 1 2 l k R2 2 0 l k V l 1 0 DC 5 * E nd o f in p u t d e c k .
La plataforma de entrada se repite a la salida como referencia y para ayudarle en la verificación de errores.
**** 02/18/04 09:53:57 ************** pspiee Lite (Jan 2003) ***************** * Example input deck for a simple voltage divider. TEMPERATURE =
SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION
27.00 0 DEG C
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
NODE
NODE
VOLTAGE 5.0000
VOLTAGE 2.5000
2)
-2.500E-03
TOTAL POWER DISSIPATION
1.2 5E-02
; example - PSpice A/D Oemo Re
!£ *
gdlt Vjew Sm Jaüon
y #
&
VOLTAGE
WATTS
hay una visualización directa de la plataforma de entra da, más allá de lo que se escribe en papel. Sin embargo, la interpretación de la salida es bastante directa, así que vale la pena el esfuerzo de practicar la lectura de unos cuantos archivos de este tipo.
Como se puede ver, el uso del método basado en tex tos para describir circuitos es un poco menos fácil para el usuario, en comparación con las herramientas de captura de esquemas. En particular, resulta muy fácil introducir errores simples (pero importantes) en una simulación si se numeran de manera equivocada los nodos, ya que no
.
NODE
En el resumen de salida, se proporciona la tensión entre cada nodo y el nodo 0. La tensión de 5 V se encuentra conectada entre los no dos 1 y 0; asimismo, la resistencia R2, conectada entre los nodos 2 y 0, tiene una tensión de 2.5 V, como se esperaba. Observe también una rareza de SPICE: la comente proporcionada por la fuente se anota utilizando la convención de signos pasiva (es decir —2.5 mA).
VOLTAGE SOURCE CURRENTS ÑAME CURRENT VI
VOLTAGE
NODE
{example (active) ]
Trace 0 o t Toote Window H d p g!g
■ ■ i—■
"1» Ex'ái^sle 'input deck* f o r ' ^ s i^ le 'v il c a g e " divi^tórT
.OP R1 1 2 lk B2 2 0 lk
VI
1 0 SC 5
* End of input deck:.
(a)
—............... Simulation Circuit File: exam ple ................. Simulation running... x Exam ple input de ck for a simple voltage divider. R e ading and checking circuit Circuit read in and c h ec k ed , no errors Calculating bias point
Bias point calculated Simulation complete
(b) ■ F IG U R A 4 .3 3 (o) Ventana A/D de PSpice con el archivo del circuito cargado. (b) Resumen de la actividad de simulación.
A /W
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
En este punto, el poder real del análisis asistido por computadora empieza a ser patente: una vez que se tiene el circuito dibujado en el programa de captura de esquemas, resulta fácil experimentar con sólo cambiar los valores de los compo nentes y observar el efecto sobre las corrientes y las tensiones. Para obtener un poco de experiencia a este respecto, tratar de simular cualquiera de los circuitos de los ejemplos previos y de los problemas de práctica.
RESUMEN Y REPASO______________________________ □ Antes de iniciar un análisis, elaborar un diagrama de circuito claro y simple. Indicar todos los valores de los elementos y de las fuentes. □ Si el análisis nodal es el método elegido, □ Elegir uno de los nodos como el de referencia. Luego marcar las tensiones de nodo v¡, v 2 ........ v/v-u recordando que se entiende que cada uno se mide con respecto al nodo de referencia. □ Si el circuito contiene sólo fuentes de corriente, aplicar la LCK en cada nodo de referencia. □ Si el circuito consiste en fuentes de tensión, formar un supemodo alrededor de cada una y luego proceder a aplicar la LCK en todos los nodos de no referencia y los supemodos. □ Si se está pensando emplear el análisis de malla, cerciorarse primero de que la red es de forma plana. □ Asignar una corriente de malla en dirección de las manecillas del reloj en cada malla: i\, i2, ■■■, ím □ Si el circuito sólo contiene fuentes de tensión, aplicar la LVK alrededor de cada malla. □ Si contiene fuentes de com ente, crear una supermalla para cada una que sea común a dos mallas y aplicar después la LVK alrededor de cada malla y supermalla. □ Las fuentes dependientes sumarán una ecuación extra al análisis nodal si la variable de control es una corriente, pero no lo hará así si la variable de control es una tensión nodal. De manera contraria, una fuente dependiente agregará una ecuación extra al análisis de malla si la variable de control es una tensión, pero no lo hará así si la variable de control es una com ente de malla. □ Cuando deba decidir si se usa el análisis nodal o el de malla para un circuito plano, pensar que un circuito con menor número de nodos/supemodos dará lugar a menor número de ecuaciones mediante el análisis nodal. □ El análisis asistido por computadora resulta útil para verificar resultados y analizar circuitos con una gran cantidad de elementos. Sin embargo, debe recurrirse al sentido común para verificar los resultados de la simulación.
LECTURAS ADICIONALES____________ ___________ ___ Un tratam iento detallado del análisis nodal y de malla puede encontrarse en:
R.A. DeCarlo y P.M. Lin, Linear Circuit Analysis, 2a. edición. Nueva York: Oxford University Press, 2001. Una sólida guía para utilizar SPICE es
P. Tuinenga, SPICE: A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSPICE, 3a. ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall,1995.
EJERCICIOS
E JE R C IC IO S 4.1 A n álisis n o d a l I. (a) Determinar i>2 si 0.1 i>i —0.3i>2 —0.4i>3 = 0, —0.5i>i + 0.1i>2 : =4, y —0.2i>i —0.3u2 + 0.4u3 = 6. (b) Evaluar el determinante: 2 3 4 4 1 3 4 1 2 1 -2 3
1 2 3 0
2. (a) Encontrar vA, vn, y ve si vA + vfí + vc = 27, 2vB + 16 = vA - 3vc , y 4vc + 2va + 6 = 0. (b) Encontrar el determinante: 1 2 3 4
2 3 4 1
3. (a) Resolver el sistema de ecuaciones siguiente: 4 = vi/100 + (vi - u2)/20 + (t>! - V i)/50 10 - 4 - (-2 ) = (vx - HO/50+ (vx - v2)/40 - 2 = v2/25 + (u2 - vx)/40 + (i>2 - ui)/20 (b) Verifica tu solución usando MATLAB. 4. Determinar el valor de la tensión marcada como v¡ en la figura 4.34.
3A
■ F IG U R A 4 .3 4
5. Determinar el valor de la tensión marcada como v¡ en la figura 4.35. + i'\ ~
■ F IG U R A 4 .3 5
6. En el circuito de la figura 4.36, determinar el valor de la tensión marcada como ui y la corriente marcada como i¡.
mFIGURA 4.36
A /W
wv
CAPITULO 4 ANALISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
7. Recurrir al análisis nodal para determinar vp en el circuito de la figura 4.37.
10 A
20 ft
200 ft
■ F IG U R A 4 .3 7
8. Utilizar el análisis nodal para determinar vx en el circuito de la figura 4.38. 9. En el circuito de la figura 4.39, (a) utilizar el análisis nodal para determinar v¡ y v2. (b) Calcular la potencia absorbida por la resistencia de 6 £2. 10 A
60 V
10.Aplicar las técnicas del análisis nodal para obtener i>i e ¡2 en el circuito de la figura 4.40. 50 ft
h
11.En el caso del circuito de la figura 4.41, utilizar el análisis nodal para determinar el valor de Vi que dará origen a vi = 0. 4A
■ FIGURA 4.41
6A
EJERCICIOS
12. En el caso del circuito de la figura 4.42, utilizar el análisis nodal para determinar la corriente ¿5 .
13. Emplear el análisis nodal para obtener el valor relativo de vx como se indica en la figura 4.43. 5 mA
■ FIGURA 4.43
14. Determinar la tensión marcada como v en el circuito de la figura 4.44 utilizando técnicas del análisis nodal.
15. Determinar las tensiones nodales que se indican en el circuito de la figura 4.45. l>2
■ FIGURA 4.45
V"¡
*
WV
AA/V
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
4 .2
S u p e rn o d o
16. Utilizar el análisis nodal para determinar v4 en el circuito que se muestra en la figura 4.46. 17. En el circuito de la figura 4.47, con la ayuda del análisis nodal, determinar (a) vA; (,b ) la potencia disipada por la resistencia de 2.5 £2. O-Sz'a
50 ü
18. Utilizar el análisis nodal para determinar v¡ y la potencia que suministra la fuente de corriente dependiente del circuito de la figura 4.48. 19. En la figura 4.49, utilizar el análisis nodal para determinar el valor de k que provocará que vy sea cero.
■ F IG U R A 4 .4 9
20. Considerar el circuito de la figura 4.50. Determinar la corriente marcada como i\.
21. Recurrir al concepto de supernodo para determinar la tensión marcada como t>2o en la figura 4.51. Los alambres cruzados que no se marcan mediante un punto grueso no están en contacto físico. 40 ü
■ FIGURA 4.51
EJERCICIOS
• ------------------ W
V
--------- 113
22. Para el circuito de la figura 4.52, determinar las cuatro tensiones nodales. 10 a
1a I F IG U R A 4 .5 2
23. Calcular la potencia suministrada por la fuente de 2 A en el circuito de la figura 4.53. 24. Obtener la potencia suministrada por la fuente de 2 A en el circuito de la figura 4.54.
ia
25. Determinar las tensiones nodales que caracterizan al circuito de la figura 4.55. 4 .3 A n álisis d e m a lla 26. Determinar las comentes de malla i\¡ é ¡2 que se muestran en el circuito de la figura 4.56. 400 a
200 a
27. Utilizar el análisis de malla en el circuito de la figura 4.57 para determinar (a) la corriente iy ; (b) la potencia suministrada por la fuente de 10 V.
28. Utilizar el análisis de malla para determinar la corriente que circula en el circuito de la figura 4.58 a través de (a) la resistencia de 2 £2 resistor; (b ) la resistencia de 5 £2.
■ F IG U R A 4 .5 3
114 -------- W V
CAPITULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
29. Utilizar el análisis de malla en el circuito de la figura 4.59 para determinar (a) la corriente marcada como ix ; (b ) la potencia absorbida por la resistencia de 25 £2. 20 n
10Í1
10 n
30. Utilizar el análisis de malla para determinar la corriente marcada como i en el circuito de la figura 4.60. 31. Utilizar el análisis de malla para determinar ix en el circuito de la figura 4.61. 8A
32. Calcular la potencia que está disipando la resistencia de 2 £2 del circuito de la figura 4.62. 5n
33. Utilizar el análisis de malla en el circuito que se muestra en la figura 4.48 para determinar la potencia que suministra la fuente de tensión dependiente. 34. Aplicar el análisis de malla para determinar ix en el circuito de la figura 4.63. 20 n
■ FIGURA 4.63
25
ft
ÜERC1CI0S
35. Determinar las corrientes de malla en la dirección de las manecillas del reloj para el circuito de la figura 4.64.
4.7 kft
36. Calcular cada corriente de malla en el circuito de la figura 4.65.
37. (a) Con referencia al circuito de la figura 4.66, determinar el valor deR si se sabe que la corriente de malla es i i = 1.5 mA. (b) ¿El valor de R es necesariamente único? Explique su respuesta. 38. Utilizar la técnica del análisis de malla en el circuito de la figura 4.67 para calcular la potencia que absorbe cada resistencia.
39. El circuito que se presenta en 1a. figura 4.68 es el equivalente de un amplificador transistorizado de unión bipolar de base común. La fuente de entrada se puso en
■ FIGURA 4.68
*
AA/V
116
;--
w
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
r
cortocircuito y una fuente de 1 V se sustituyó por el dispositivo de salida, (a) Utilizar el análisis de malla para determinar \x. (b) Verificar su solución correspondiente al inciso (a) mediante el análisis nodal, (c) ¿Cuál es el significado físico de la cantidad Vs/lxl 40. Eligir valores distintos de cero para las tres fuentes de tensión de la figura 4.69 de manera que ninguna corriente circule a través de ninguna resistencia del circuito. 4 .4 S u p e rm a lla 41. Utilizar el análisis de malla para determinar la potencia generada por cada una de las cinco fuentes de la figura 4.70.
• F IG U R A 4 .6 9
1 ft
42. Determinar i a en el circuito de la figura 4.71. 43. Utilizar el concepto de supermalla para determinar la potencia suministrada por la fuente de 2.2 V de la figura 4.72. 3 ft 2 ft
3 ft
44. Calcular la tensión en la fuente de 2 mA de la figura 4.73, suponiendo que el nodo inferior está conectado a tierra.
EJERCICIOS
45. Utilizar el análisis de malla para obtener la tensión en la resistencia de 2.5 £2 de la figura 4.74. 2.5 n
46. Calcular las corrientes de malla del circuito de la figura 4.75.
47. En el caso del circuito de la figura 4.76, determinar el valor del resistor X si ¿2 = 2.273 A. 2 fl
X
48. Considerar el circuito de la figura 4.77. Calcular las tres corrientes de malla que se indican. 2 12
■ FIGURA 4.77
300 m il
*
A /W
118
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
4 .5 C o m p a ra ció n e n tre el a n ális is n o d a l y el d e m a lla 49. Determinar la tensión denominada vx en cada uno de los circuitos de la figura 4.78. 22 V
12 V
(b)
100 V
I F IG U R A 4 .7 8
50. Encontrar v3 del circuito de la figura 4.79 si el elemento A es (a) un cortocircuito; (b ) una fuente de tensión independiente de 9 V, con la referencia positiva a la izquierda; (c) una fuente de corriente dependiente, con la punta de la flecha hacia la izquierda y marcada como 5¡i. 51. Determinar las comentes i i e io del circuito de la figura 4.79 si el elemento A es una resistencia de 12 fi. Explicar la lógica que fundamenta su elección del análisis, ya sea nodal o de malla. 52. Obtener el valor de la corriente designada ¡io en el circuito de la figura 4.80. 2 kfi
53. Calcular las dos corrientes marcadas en el circuito de la figura 4.81. 54. En el caso del circuito de la figura 4.82, proporcionar la tensión del nodo central.
6.3 kfi
1.8 kfi
i* FIGURA 4.81
1 FIGURA 4.82
1kfi
EJERCICIOS
A /V V
55. Determinar la comente a través de cada rama del circuito de la figura 4.83.
56. Calcular la tensión en la fuente de comente de 2 mA de la figura 4.1 3 kfl
-A/W
©
Q
1 mA
4 k íl
A V r I F IG U R A 4 .8 4
57. En el caso del circuito de la figura 4.85, sea A una fuente de tensión de 5 V con referencia positiva en la parte superior, B una fuente de corriente de 3 A con la flecha apuntando hacia la conexión a tierra, C una resistencia de 3 £2 a una fuente de corriente de D a una fuente de comente de 2 A con la flecha apuntando hacia la conexión a tierra, F una fuente de tensión de 1 V con referencia negativa a la derecha y E una resistencia de 4 £2. Calcular i¡. h
■ F IG U R A 4 .8 5
58. Elegir cualquier valor distinto de cero para ¡ L h y Vi de modo que la resistencia de 6 £2 en el circuito de la figura 4.86 disipe 6 W. 59. En el caso del circuito de la figura 4.84, sustituir la fuente de comente de 2 mApor una fuente de tensión de 2 V, y la fuente de 3 V por una fuente de corriente de 7 mA. Determinar las comentes de malla del nuevo circuito. 60. En el circuito de la figura 4.85, A es una fuente de corriente dependiente cuya flecha apunta hacia abajo y con valor de 5¡V Sean B y E resistencias de 2 £2 cada uno, C una fuente de corriente de 2 A cuya flecha apunta hacia la conexión a tierra, F una fuente de tensión de 2 V con la referencia negativa conectada a tierra, y D una fuente de corriente de 3 A con la flecha en la parte superior; calcular las tensiones nodales y las comentes de malla.
6 fl
AA/V
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS
4 .6 A nálisis d e circuitos a s is tid o p o r c o m p u ta d o ra 61. Utilizar PSpice para verificar la solución del ejercicio 52. Presentar la impresión de un diagrama marcado en forma apropiada. Incluir los cálculos manuales. H^J^—62. Utilizar PSpice para verificar la solución del ejercicio 54. Presentar la impresión de un esquema marcado en forma apropiada. Incluir los cálculos manuales. 63. Con PSpice verificar la solución del ejercicio 56. Presentar la impresión de un esquema marcado de manera apropiada. Incluir los cálculos manuales. ILyJj—64. Mediante PSpice comprobar la solución del ejercicio 58. Presentar la impresión de un esquema marcado de manera apropiada. Incluir los cálculos manuales. 65. Utilizar PSpice para obtener la solución del ejercicio 60. Presentar la impresión de un esquema marcado de manera apropiada. Incluir los cálculos manuales. 66. Construir un circuito compuesto por una fuente de 5 V en serie con una resistencia de 100 fi conectada a una red que incluye al menos una fuente de 3 A, tres resistencias diferentes y una fuente de corriente controlada por tensión que depende de la tensión en los extremos de la resistencia de 100 fi. (a) Determinar todas las tensiones de nodo y todas las corrientes de rama, (b) Utilizar PSpice para verificar sus resultados. 67. Construir un circuito mediante una batería de 10 V, una fuente de 3 A y tantas resistencias de 1 fi como sea necesario para obtener un potencial de 5 V en los extremos de una fuente de 3 A. Comprobar sus cálculos manuales con PSpice. Ilyifr—68. Elaborar una plataforma de entrada apropiada para SPICE a fin de determinar en el circuito de la figura 4.87. Presentar una impresión del archivo de salida, con la solución subrayada. jo £>
O
11
n
69. Diseñar un circuito utilizando únicamente baterías de 9 V y resistencias que proporcionen tensiones nodales de 4 V, 3 V y 2 V. Escribir una plataforma de entrada apropiada para SPICE a fin de simular su solución y presentar una impresión del archivo de salida con las tensiones deseadas subrayadas. Dibujar un diagrama marcado sobre la impresión como referencia, con los números de nodo identificados. P ^ »-70. Una cadena muy larga de luces exteriores multicolores se instala sobre una casa. Después de aplicar la potencia, el propietario observa que se han quemado dos focos eléctricos, (a) ¿Las luces están conectadas en serie o en paralelo? (b) Elaborar una plataforma de entrada SPICE para simular las luces, suponiendo un alambre de calibre 20 AWG, 115 V ca del suministro de potencia y un valor nominal de los focos individuales de 1 W. Hay 400 luces en la cadena; por simplicidad simular un circuito eléctricamente equivalente con tan sólo 25 componentes. Presentar una impresión del archivo de salida, subrayando la potencia suministrada por la toma de corriente de pared, (c) Después de sustituir las focos fundidos, el propietario observa que las luces más cercanas a la toma de corriente son casi 10% más brillantes que las luces del otro extremo de la cadena. Dar una posible explicación, sin olvidar que ningún elemento de la cadena es de cero ohms.
Técnicas útiles para el análisis de circuitos CONCEPTOS CLAVE
INTRODUCCION Las técnicas de análisis nodal y de malla que se describieron en el capítulo 4 representan métodos muy confiables y extremadamente poderosos. Sin embargo, ambos requieren del desarrollo de un con junto completo de ecuaciones a fin de describir un circuito particu lar como regla general, aun cuando sólo sea de interés un valor de
La superposición como un medio para determinarlas contribuciones individuales d r diferentes fuentes a cualquier corriente o tensión.
-------------------------------------------
vestigación de las diferentes técnicas para aislar partes específicas
La transformación de fuente como un medio para transformar circuitos.
de un circuito a fin de simplificar el análisis. Después de examinar
-------------------------------------------
corriente, de tensión o de potencia. En este capítulo se hace una in
el uso de estas técnicas, el enfoque se concentrará en cómo selec
El teorema de Thévenin.
cionar un modelo sobre otro.
------------------------------------------
5.1
-------------------------------------------
El teorema de Norton.
LINEALIDAD Y SUPERPOSICION
------ • ---------------------------------------------------------------------------------Todos los circuitos que se planea analizar se pueden clasificar como circuitos lineales, así que es un buen momento para detallar más, al definir con exactitud lo que entendemos por eso. Luego de ello, se considera la consecuencia más importante de la linealidad, el prin cipio de superposición, el cual resulta fundamental y aparecerá de manera repetida en el estudio del análisis de circuitos lineales. En realidad, el hecho de no poder aplicar la superposición en los cir cuitos no lineales ¡es la principal razón de que sean tan difíciles de analizar! El principio de superposición establece que la respuesta (una corriente o tensión deseadas) en un circuito lineal que tiene más de una fuente independiente se obtiene mediante la suma de las respuestas oca sionadas por las fuentes independientes separadas que actúan solas.
Redes equivalentes de Thévenin y de Norton.
i--------------------- ----------Máxima transferencia de potencia.
i-------------------------------Transformaciones A -o-Y en redes resistivas.
i-------------------------------Selección de una combinación particular de técnicas de análisis.
> -------------------------------Simulaciones de barrido de cd mediante PSpice.
A A /v
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS UTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Elementos lineales y circuitos lineales Se definirá primero un elemento lineal como un elemento pasivo que tiene una relación lineal de tensión-corriente. Por “relación lineal de tensión-corriente” se entiende simplemente que al multiplicar la corriente que atraviesa el elemento por una constante K se tiene como resultado la multiplicación de la tensión en el elemento por la misma constante K. En este caso, sólo se ha definido un ele mento pasivo (la resistencia) y su relación de tensión-corriente v(t) = R i( t) es claramente lineal. En realidad, si v(t) se grafica como función de i (í), se ob tiene una recta. También se debe definir una fuente dependiente lineal como una fuente de corriente o tensión dependiente, cuya corriente o tensión de salida resulta propor cional sólo a la primera potencia de la variable de comente o tensión especificada en el circuito (o a la suma de tales cantidades). Por ejemplo, la fuente de tensión de pendiente vs = 0.6í i — \ 4-V2 es lineal, pero vs = 0 .6 i 2 y vs = 0 .6 i\v 2 no lo son. Ahora se podría definir un circuito lineal como el que está compuesto en forma completa por fuentes independientes, fuentes dependientes lineales y ele-l mentos lineales. A partir de esta definición, se dem uestra1 que “la respuesta es proporcional a la fuente”, o que la multiplicación de todas las tensiones y corrientes de fuente independiente por una constante K increm enta todas las respuestas de corriente y tensión por el mismo factor K (incluyendo las salidas de tensión y corriente de la fuente dependiente).
5 Í1 - ^ w
v —
El principio de superposición p
2
1
n : >
í!<
R c f.
I F IG U R A 5.1 Circuito con dos fuentes de corriente independientes.
<
La consecuencia más importante de la linealidad es la superposición. Se desarro lla el principio de superposición considerando primero el circuito de la figura 5.1, que contiene dos fuentes independientes, los generadores de corriente que imponen las corrientes ia e i/, en el circuito. Por esta razón, las fuentes a menudo se denominan funciones forzadas y las tensiones nodales que producen se denom inanfunciones de respuesta o simplemente respuestas. Quizá tanto las funcio nes forzadas como las respuestas sean funciones del tiempo. Las dos ecuaciones nodales de este circuito son 0 .7 i> i —
0.2i>2
=
í fl
[1 ]
—0 .2 v\ -f- 1 .2 t >2 = ib
[2]
Ahora se efectuará el experimento x. Se cambian las dos funciones forzadas a iax e ibx \ las dos tensiones desconocidas serán ahora diferentes, por lo que se denominarán vix y v2x • Por lo tanto, 0 . 2 v 2x = ¡ax
[3 ]
—0 . 2 vix + 1.2t>2X = ibx
0 .7 t> ix -
[4]
Enseguida se lleva a cabo el experimento y al cambiar las corrientes de fuente por iay e ifjy midiendo también las respuestas v ¡y y V2y : 0.7t> ij, —0 .2 t> i}, +
0 . 2 v 2y = iay
[5 ]
1 . 2 t>2y
[6 ]
= iby
(1) La demostración implicaría comprobar primero que el uso del análisis nodal en los circuitos lineales da como resultado sólo ecuaciones lineales de la forma a\ üi + Ü2V2 + • ■• + ó.nVn = b donde las a¡ son constantes (combinaciones de valores de resistencia o conductancia, constantes que aparecen en expresiones de fuentes dependientes, 0 o dbl), las v¡ son tensiones de nodos desconocidas (respuestas) y b es un valor de fuente independiente o una suma de valores de fuentes independientes. Dado un conjunto de este tipo de ecuaciones, si se multiplican todas las b por K, entonces resulta evidente que la solución de este nuevo con junto de ecuaciones serán las tensiones de nodo. K v \ , K v2, . . . , K v ^ .
SECCIÓN 5.1 LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN
• -----------------------------
/V W
--------------- {
123
Los tres conjuntos de ecuaciones describen el mismo circuito con tres con juntos diferentes de corrientes de fuente. Se van a sumar o “superponer” los dos últimos conjuntos de ecuaciones. Al sumar las ecuaciones [3] y [5]: (0.7 víx + 0.7vly)
(0.2.V2x “1“ 0.2i'2v) — iax 0.21)9
0.7v¡
=
[7]
hjy ia
[ 1]
y al sumar las ecuaciones [4] y [6]: — ( Q . 2 v i x + 0 . 2 lJiy) + (í.2t>2x +
—Q.2 vi
+
[8]
l - 2 U2y ) = ibx + iby
1 .2i?2
—•
^b
[ 2]
donde la ecuación [1] se escribió de inmediato debajo de la ecuación [7], y la ecuación [2] debajo de la ecuación [8] para una fácil comparación. La linealidad de todas las ecuaciones permite comparar la ecuación [7] con la [1], y la ecuación [8] con la [2], además de extraer una conclusión interesante. Si elegimos iax e iay de m anera que su suma sea ia y elegimos i¡,x e i¡,y de modo que su suma corresponda a 4, entonces las respuestas deseadas y v2 se deter minan sumando v lx a v\y y V2X a V2y, respectivamente. En otras palabras, se tiene la posibilidad de efectuar el experimento x y observar las respuestas, hacer el experimento y y observar las respuestas, y finalmente sumar ambos conjuntos de respuestas. Esto conduce al concepto fundamental implicado en el principio de superposición: examinar cada fuente independiente (y la respuesta que genera), una a la vez, junto con las otras fuentes independientes “desactivadas” o “con salida cero”. Si se reduce una fuente de tensión a cero volts, se genera en verdad un corto circuito (fig. 5.2a). Si se reduce una fuente de comente a cero amper, se crea un cir cuito abierto (fig. 5.2b). De tal modo, el teorema de superposición expresa que: En cualquier red resistiva lineal, la tensión o la corriente a través de cualquier resis tencia o fuente se calcula mediante la suma algebraica de todas las tensiones o co rrientes individuales ocasionadas por fuentes independientes separadas que actúan solas, junto con todas las demás fuentes de tensión independientes sustituidas por cortocircuitos y todas las demás fuentes de corriente independientes, sustituidas por circuitos abiertos. Por lo tanto, si hay N fuentes independientes se deben efectuar N experi mentos, cada uno con sólo una de las fuentes independientes activas y las otras inactivas, desconectadas o con salida cero. Obsérvese que las fuentes depen dientes se encuentran en general activas en cada experimento. Sin embargo, el circuito que se utilizó como ejemplo indica que podría enun ciarse un teorema de mucho mayor alcance; pues un grupo de fuentes indepen dientes puede hacerse activo e inactivo de manera colectiva, si así se desea. Por ejemplo, supóngase que hay tres fuentes independientes. El teorema establece que se podría encontrar una respuesta dada al considerar que cada una de las tres fuentes actúa sola y después se suman los tres resultados. De manera alterna, se calcularía la respuesta debida a la primera y a la segunda fuente que operan con la tercera inactiva, y sumando luego a ésta la respuesta ocasionada por la tercera fuente actuando sola. Esto equivale a tratar varias fuentes de manera colectiva como una especie de “superfuente”. Tampoco hay razón para que una fuente independiente deba asumir sólo su valor dado o un valor cero en los diversos experimentos: sólo es necesario que la suma de los diversos valores sea igual al valor original. Sin embargo, una fuente inactiva casi siempre propicia que el circuito sea de lo más simple.
OVÓ
N inguna caída de tensión entre las terminales aunque puede fluir la com ente
4
■fa)
©
0 Al
Ninguna com ente fluye, pero puede aparecer una tensión entre las terminales
(b) l F IG U R A 5 .2 (o) Fuente de tensión igual a cero que actúa como un cortocircuito. (6) Fuente de corriente igual a cero que funciona como un circuito abierto.
A A /V
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Se ilustrará la aplicación del principio de superposición mediante un ejemplo en el que están presentes ambos tipos de fuente independiente.
EJEMPLO
5 .1
En el circuito de la tigura 5.3a, utilizar la superposición para escribir la expresión de la corriente de rama desconocida ix. 60
=2 A
60
■ F IG U R A 5 .3 (o) Ejemplo de circuito con dos fuentes independientes para las cuales se desea la corriente de rama ¡¿ (b) el mismo circuito con la fuente de corriente en circuito abierto; (c) el circuito original con la fuente de tensión en cortocircuito.
Primero se iguala a cero la fuente de corriente y se vuelve a dibujar el cir cuito, como se ilustra en la figura 5.3b. La parte de ix debida a la fuente de tensión se ha denominado i'x para evitar confusiones; además, se calcula sin ninguna dificultad su valor, que es de 0.2 A. A continuación se iguala a cero la fuente de tensión de la figura 5.3a y de nuevo se dibuja el circuito, como en la figura 5.3c. La aplicación rutinaria de la división de corriente permite determinar que i" (la parte de ix debida a la fuente de com ente de 2 A) es igual a 0.8 A. Ahora es factible calcular la com ente completa ix como la suma de las dos componentes individuales: ix = ix b v + ix b a = i'x + i'x
6+ 9
+2
(¿)
0 .2 + 0.8 = 1 .0A
Otra manera de examinar este ejemplo es que la fuente de 3 V y la fuente de 2 A se encuentran cada una efectuando un trabajo sobre el circuito, lo cual origina una com ente total ix que fluye por la resistencia de 9 Í2. Sin embargo, la con tribución de la fuente de 3 V a ix no depende de la contribución de la fuente de 2 A, y viceversa. Por ejemplo, si se duplica la salida de la fuente de 2 A hasta 4 A, contribuirá ahora con 1.6 A a la com ente total ix que fluye por la resistencia de 9 Í2. Sin embargo, la fuente de 3 V seguirá contribuyendo con sólo 0.2 A a ix, para una nueva com ente total de 0.2 + 1.6 = 1.8 A.
SECCIÓN 5.1 LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN
• ------------------------------
'W V
0
P R A C T IC A 5.1 Aplicar el principio de superposición en el circuito de la figura 5.4 para calcular la corriente ix.
3.5 V
2A
I F IG U R A 5 .4
Respuesta: 660 mA. Como se verá, por lo general, la superposición no reduce la carga de trabajo cuando se considera un circuito particular, puesto que implica el análisis de varios nuevos circuitos para obtener la respuesta deseada. Sin embargo, resulta muy útil para identificar la importancia de varias partes de un circuito más complejo. Tam bién constituye la base del análisis fasorial, el cual se presenta en el capítulo 10.
E J E M P L O 5.2
Refiriéndose al circuito de la figura 5.5a, determinar la corrientep ositiva máxima a la cual la fuente /\ puede ajustarse, antes de que cualquier resistencia supere su valor nominal de potencia y se sobrecaliente. io o n
AA/V— too ft 6V
64 ft ■
[ 164 fi
(b)
I F IG U R A 5 .5 (o) Circuito con dos resistencias con valor nominal de \ W rada uno. (6) Circuito con solamente la fuente de 6 V activa, (c) Circuito con la fuente /, activa.
Identificar el objetivo del problema. Cada resistencia se especifica hasta un máximo de 250 mW. Si el circuito permite que se exceda este valor (al forzar demasiada corriente a través de cualquier resistencia), ocurrirá un calentamiento excesivo, lo que quizás provoque un accidente. L a fuente de 6 V no puede cambiarse, por lo que
(Continúa en la siguiente página)
I
1 2 6 ----------
WV
CAPÍTULO t TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
se debe encontrar una ecuación que incluya a / , y a l a corriente máxima a través de cada resistencia.
Recopilar la información conocida. Con base en su valor nominal de potencia de 250 mW, la com ente máxi ma que la resistencia de 100 ohms tolera es:
y, de modo similar, la com ente que circula por el resistor de 64 £2 debe ser menor que 62.5 mA.
Eligirla técnica disponible que mejor se ajuste al problema. Se aplica el análisis nodal o el de malla para la solución de este problema, aunque la superposición quizá dé una visión un poco diferente, puesto que se está interesado principalmente en el efecto de la fuente de comente.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Mediante la superposición, se vuelve a dibujar el circuito como en la figura 5.5b y se puede ver que la fuente de 6 V aporta una com ente de:
a la resistencia de 100 ohms y puesto que la resistencia de 64 ohms está en serie, i'Ma — 36.59 mA. Reconociendo al divisor de com ente de la figura 5.5c, se observa que (6 4 fi se o rnará a í 'Mq , pero /"00í2 tiene una dirección opuesta a z’J00í2. En consecuencia Ix 62.5 — 36.59 = 25.91 mA contribuye con seguridad hasta a la com ente de la resistencia de 64 Í2 y hasta 50 — (—36.59) = 86.59 mA a la com ente de la resistencia de 100 Í2. La resistencia de 100 Í2 impone la siguiente restricción sobre Ix :
y la resistencia de 64 Í2 requiere que:
Intentar resolver. Si se considera primero la resistencia de 100 Í2 se puede ver que Ix está limitada a Ix < 221.9 mA. La resistencia de 64 Í2 limita a Ix de manera que Ix < 42.49 mA.
Verificar la solución. ¿Es razonable o esperada? Para satisfacer ambas restricciones Ix debe ser menor que 42.49 mA. Si se in crementa el valor, la resistencia de 64 Í2 se sobrecalentará mucho antes de que lo haga la resistencia de 100 Í2. Una manera en particular útil de evaluar la solución consiste en efectuar un anáfisis de barrido de cd en PSpice, como se describe en el ejemplo siguiente. Sin embargo, una cuestión interesante es si se habría esperado que la resistencia de 64 Í2 se sobrecalentara primero. Originalmente se encuentra que la resistencia de 100 Í2 tiene una corriente máxima más pequeña, por lo que podría ser razonable esperar que limitará a Ix. Sin embargo, debido a que Ix se opone a la comente enviada por la fuente de 6 V a través de la resistencia de 100 Í2, pero se suma a la contribución de la fuente de 6 V a la comente que circula por el resistor de 64 Í2 resulta que trabaja de otra forma: es la resistencia de 64 Í2 el que fija el límite sobre Ix.
AA/V
SECCIÓN 5.1 LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN
EJEMPLO 5.3 En el circuito de la figura 5.6a, aplicar el principio de la superposición para determinar el valor de ix. 1 fí
2.0
2
2
fí
1fí
2 fí
— 10 v (
r
'
21*
ífí
— V\Ar-T-^V\A/— 1 -r 1 + 1 J3 A ( t > - é
(b )
(c)
■ F IG U R A 5 .6 (a) Ejemplo de un circuito con dos fuentes independientes y una dependiente, para la que se desea la corriente de rama ix. (6) Circuito con la fuente de 3 A en circuito abierto, (c) Circuito original con la fuente de 10 V en cortocircuito.
Se pone primero en circuito abierto ia fuente de 3 A (fig. 5.6b). L a ecuación de una malla es - l 0 + 2 i'x + li'x + 2 i'x = 0 por lo que i'x = 2 A A continuación, se pone en cortocircuito la fuente de 10 V (fig. 5.6c) y se escribe la ecuación de un nodo: v
v" - 2 i'¿
Y +
i
= 3
y se relaciona la cantidad controladora de la fuente dependiente para v": v" = 2 { - i ’’) Se encuentra: - 0 .6 A y, por lo tanto ix = i'x + i ’’ = 2 + ( - 0 .6 ) = 1.4 A Observar que al volver a dibujar cada subcircuito, siempre se ha tenido cuidado de usar algún tipo de notación para indicar que no se está traba jando con las variables originales. Esto evita la aparición de errores bastante desastrosos cuando se suman los resultados individuales.
15 fí ---------------- T—
P R A C T IC A 5.2 Utilizar la superposición en el circuito de la figura 5.7 para obtener la tensión a través de cada fuente de corriente.
^
2A (
Respuesta: U1I2A = 9.180 V, U2 I2A = —1.148 V, vila v = 1.967 V, U2 I3V = —0.246 V; «i = 11.147 V, i>2 = -1 .3 9 4 V.
I FIGURA 5.7
W V — 7 fí
T
A /W
CAPITULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Resumen del procedimiento básico de superposición 1.
Seleccionar una de las fuentes independientes. Fijar el valor de las otras fuentes independientes a cero. Lo anterior significa que las fuentes de tensión se reemplazan con cortocircuitos y las fuentes de corriente con circuitos abiertos. Dejar intactas las fuentes dependientes.
2.
Remarcar las tensiones y corrientes utilizando la notación ade cuada (es decir, v', i'f). Asegurarse de remarcar las variables de con trol de las fuentes dependientes para evitar confusión.
3.
Analizar el circuito simplificado para encontrar las corrientes y/o las tensiones deseadas.
4.
Repetir los pasos 1 a 3 hasta que cada fuente independiente haya sido considerada.
5.
Agregar las corrientes y/o tensiones parciales obtenidas a partir del análisis por separado. Poner especial atención a los signos de las tensiones y direcciones de las corrientes cuando se sumen.
6.
No agregar cantidades de potencia. Si se requieren cantidades que involucren potencias, calcular solamente después de que las tensiones parciales y/o corrientes hayan sido sumadas.
Observar que el paso 1 puede modificarse en diferentes formas. Primero, las fuentes independientes pueden considerarse en grupos en lugar de hacerlo en forma individual si esto simplifica el análisis, siempre y cuando no se incluya ninguna fuente independiente en más de un subcircuito. Segundo, desde el punto de vista técnico no es necesario fijar las fuentes a un valor cero, aunque hacerlo casi siempre es la mejor opción. Por ejemplo, una fuente de 3 V puede aparecer en dos subcircuitos como una fuente de 1.5 V, puesto que 1.5 + 1.5 = 3 V de la misma forma que 0 + 3 = 3 V. Sin embargo, debido a que no es probable sim plificar el análisis, no tiene caso hacer ese ejercicio.
ANÁLISIS ASIST IDO POR C O M P U T A D O R A Aunque PSpice es extremadamente útil para verificar que se analiza de manera correcta un circuito completo, también sirve de ayuda para determi nar la contribución de cada fuente a una respuesta particular. Para ello, se emplea lo que se conoce como un barrido de parámetros de cd. Considerar el circuito del ejemplo 5.2, cuando se le solicitó determinar la máxima corriente positiva que podría obtenerse de la fuente de corriente sin exceder el valor nominal de potencia de cualquier resistencia en el circuito. El circuito se presenta rediseñado en la figura 5.8, utilizando la herramienta de captura de esquemas de PSpice. Observar que no se asignó un valor a la fuente de corriente. Después de que se introdujo y se guardó el esquema, el siguiente paso es especificar los parámetros de barrido de cd. Esta opción permite especificar un intervalo de valores para una fuente de tensión o de corriente (en el caso presente, la fuente de corriente Ix), en lugar de un valor específico. Si se selecciona New Simulation Profile en PSpice, se proporciona un nombre para el perfil y se presenta la caja de diálogo que se muestra en la figura 5.9.
SECCIÓN 5.1 LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN
j,
Edt view Pita M#ac PSca Aeees»orw Ocrte» Wh&w Hep
Jl^'B -» je!.. JSCHEM ATiñhgure5_8 T
n >•jftj*». & V
R1
DC=6V AC= TRAN=
0
5cste«-258% ' X=3>70 V
FIG U R A 5 .8
Circuito dei ejemplo 5.2.
Simulation Settings - Mgure 5_8 G e n ia l
Ana^sia
¿Tfalysis type: ¡D C Sweep
m
jConfigutation Files j Opíions |
Data Cdection ¡ Probé Wtndow
j
- Sweep variable----------»J
Voltage source
Ñame:
■>’ £urrent source Qptíons: | KJ Pnmary Sweep E JUSecondary Sweep □ M o n íe Cario/Wcrst Case □PararneMc Sweep pTe m pera ti.re |Sweep} í’JSave Bias Point . t i Load Bias Point
Global parameter í"* Model pararoeíer r * Temperatura Sweep type Linear
S ta t valué: End váiue:
Logarithmie ] Incremenf: ^
¡0.01 e-3
Valué li:
I F IG U R A 5 .9 Ventana de diálogo del barrido cd que se muestra con la lx elegida como variable.
En Analvsis Type, se accede a la opción DC Sweep y se especifica la “variable de barrido” como Current Source, y luego se teclea Ix en la caja de Ñame. Existen varias opciones bajo Sweep Type: Linear, Logarithmie y Valué List. La última opción permite especificar cada valor que se asig nará a Ix. Sin embargo, para generar una gráfica uniforme se elige efectuar un barrido Linear con un Start Valué de 0.01 mA, un End Valué de 50 m A y un Increment de 0.01 mA. Después de efectuar la simulación, el programa graficador de salida Probe se inicia de manera automática. Cuando aparece la ventana, se pre senta el eje horizontal (correspondiente a nuestra variable, Ix) pero debe es cogerse la variable del eje vertical. Al seleccionar Add Trace del menú Trace se hace clic en I(R1), luego se teclea un asterisco en la caja Trace (Continúa en la siguiente página)
*
■WV ---------
129
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ib) ■ F IG U R A 5 .1 0 (o) Salida de sondeo con leyendas que identifican la potencia absorbida en forma individual por las dos resistencias. También se incluyó una linea horizontal que indica 250 mW, así como leyenda para mejorar la claridad. (6) Ventana de diálogo Cursor.
Expression se hace clic otra vez en I(R1) se inserta incluso otro asterisco, y por último se teclea 100. Esta rutina permite que Probe grafique la potencia que absorbe la resistencia de 100 Q. De manera similar, se repite el proceso para sumar la potencia absorbida por la resistencia de 64 Í2 lo que origina una gráfica similar a la ilustrada en la figura 5.10a. A la gráfica también se añadió una recta de referencia horizontal en 250 mW, tecleando 0.250 en la caja Trace Expression luego de elegir Add Trace del menú Trace por ter cera vez. Se puede ver en la gráfica que la resistencia de 64 Í2 supera su valor de po tencia nominal de 250 m W en la vecindad de Ix = 43 mA. Sin embargo, se observa que independientemente del valor de la fuente de corriente lx (siem pre y cuando se encuentre entre 0 y 50 mA), la resistencia de 100 £2 nunca disipará 250 mW; en realidad, la potencia absorbida disminuye con el au mento de corriente de la fuente de corriente. Si se desea una respuesta más precisa, sólo es necesario elegir la herramienta del cursor, la cual se invoca seleccionando Trace, Cursor y Display de la barra de menús. La figura 5 .10¿> muestra el resultado al arrastrar ambos cursores hacia 42.53 mA; la resistencia de 64 Q apenas ha superado su valor nominal en este nivel de corriente. Se obtiene una mayor precisión al reducir el valor de incremento empleado en el barrido de cd. Esta técnica resulta muy útil para analizar circuitos electrónicos, donde podría ser necesario determinar qué tensión de entrada se requiere para un circuito de amplificador complicado, a fin de obtener una tensión de salida cero. También se observa que hay varios tipos más de barridos de parámetros, incluyendo un barrido de tensión cd. La capacidad para variar la temperatura sólo es útil cuando se trabaja con modelos de componentes que tienen un parámetro de temperatura incorporado, como los diodos y los transistores.
SECCIÓN 5.2 TRANSFORMACIONES DE FUENTE
• ------------------------------ V
W
----------------í 1 S I
Desafortunadamente, resulta que casi siempre se ahorra poco tiempo, o nada, cuando se analiza un circuito que contiene una o más fuentes dependientes median te el uso del principio de superposición, ya que siempre debe haber al menos dos fuentes en operación: una fuente independiente y todas las fuentes dependientes. En todo momento se debe estar consciente de las limitantes de la superposi ción. Se aplica sólo para respuestas lineales, y en consecuencia la respuesta no lineal más común — la potencia— no está sujeta a la superposición. Por ejemplo, considerar dos haterías de 1 V en serie con una resistencia de 1 £2. La potencia que se entrega a la resistencia es evidentemente igual a 4 W, pero se trata de manera errónea de aplicar la superposición, se podría decir que cada batería provee 1 W, y por ello la potencia total sería 2 W. Lo anterior es incorrecto, pero es un error que se comete con una facilidad sorprendente.
5.2 • --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TRANSFORMACIONES DE FUENTE — Fuentes de tensión prácticas Hasta ahora se ha trabajado sólo con fuentes ideales de tensión y de corriente; ahora es tiempo de acercarse más a la realidad y considerar fuentes prácticas, las cuales permitirán efectuar representaciones más exactas de los dispositivos físi cos. Una vez que se hayan definido las fuentes prácticas, se verá que las fuentes prácticas de corriente y tensión se podrían intercambiar sin afectar al resto del circuito. Tales fuentes se denominarán fuentes equivalentes. Los métodos resul tarán aplicables a las fuentes independientes y a las dependientes, si bien se en contrará que no son tan útiles con las fuentes dependientes. La fuente de tensión ideal se definió como un dispositivo cuya tensión termi nal es independiente de la corriente que circula por él. Una fuente de 1 V cd pro duce una corriente de 1A a través de una resistencia de l £2 así como una corriente de 1 000 000 A para una resistencia de 1 ¡i£2; ésta puede proporcionar una canti dad de potencia ilimitada. En la práctica, desde luego, no existe tal dispositivo, así que, como se acordó antes, una fuente de tensión física real podría represen tarse mediante una fuente de tensión ideal en la medida en que de ella se extra jeran corrientes, o potencias, relativamente pequeñas. Por ejemplo, se puede imitar una batería de automóvil mediante una fuente ideal de tensión de cd de 12 V si su com ente se limita a unos cuantos amperes (fig. 5.11a). Sin embargo, cualquiera que haya tratado de hacer arrancar un automóvil con las luces de los faros encendidas debe haber observado que se atenúan de manera perceptible cuando se requiere que la batería entregue la pesada corriente de arranque (100 A o más) además de la corriente de los faros. En estas condiciones, una fuente de tensión ideal no es en realidad una representación adecuada de la batería. Para reflejar mejor el comportamiento de un dispositivo real, la fuente de ten sión ideal debe modificarse para tomar en cuenta la reducción de su tensión de ter minal cuando se extraen de ella grandes corrientes. Suponer que se observa en forma experimental que la batería de automóvil tiene una tensión de terminal de 12 V cuando no fluye corriente a través de ella, y una tensión reducida de 11 V cuando circula una comente de 100 A. ¿Cómo se podría hacer un modelo de este comportamiento? Bien, un modelo más preciso podría ser una fuente de tensión ideal de 12 V en serie con una resistencia en cuyos extremos aparece 1 V cuando circulan 100 A a través de ella. Un cálculo rápido muestra que la resistencia debe ser de 1 V / 100 A = 0.01 £2, así que la fuente de tensión ideal y la resistencia en se rie constituyen una fu e n te de tensión práctica (fig. 5.11¿>). Por consiguiente, se está utilizando una combinación en serie de dos elementos de circuito ideales, una fuente de tensión independiente y una resistencia, para modelar un dispositivo real.
12 V
(a)
o.o i n
12 V
ib) ■ F IG U R A 5 .1 1 (a) Fuente de tensión ideal de 12 V cd utilizada para hacer un modelo de una batería de automóvil. (b) Modelo más exacto que toma en cuenta la reducción observada en la tensión de terminal a corrientes elevadas.
CAPITULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Desde luego que no se espera encontrar tal arreglo de elementos ideales den tro de la batería de automóvil. Cualquier dispositivo real se caracteriza por una cierta relación de corriente-tensión en sus terminales, de modo que el problema consiste en desarrollar alguna combinación de elementos ideales que pueda pro porcionar una característica de corriente-tensión similar, al menos en algún in tervalo útil de corriente, tensión o potencia. En la figura 5 .12a se exhibe el modelo práctico de dos piezas de la batería de automóvil conectada ahora a cierta resistencia de carga R L. La tensión de termi nal de la fuente práctica es la misma que la tensión en RL y se denomina2 VL. La figura 5.126 muestra una gráfica de la com ente de carga como una función de la tensión de carga para esta fuente práctica. La ecuación LVK para el circuito de la figura 5.12a se expresaría en términos de y como: 12 = 0.0J /,, + VL y por ello: VL = - 0 .0 1 I L + 12 Comente en la carga 1L (A) (b) ■ F IG U R A 5 .1 2 (a) Fuente práctica que se asemeja al comportamiento de cierta batería de automóvil de 12 V, se muestra conectada a determinada resistencia de carga Rl. (b) La relación entre k y Vl es lineal.
(b) ■ F IG U R A 5 .1 3 (o) Fuente de tensión práctica general conectada a una resistencia de carga RL. (b) La tensión de terminal de una fuente de tensión práctica disminuye cuando k crece y Rl = vrfk disminuye. La tensión de terminal de una fuente de tensión ideal (también graficada) permanece igual para cualquier corriente suministrada a una carga.
Es una ecuación lineal e n /¿ y V¿, así que la gráfica en la figura 5.126 es una línea recta. Cada punto sobre la línea corresponde a un valor diferente de RL. Por ejemplo, el punto medio de la línea recta se obtiene cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna de la fuente práctica, o R l = 0.01 Í2. En este caso, la tensión de carga es exactamente la mitad de la tensión de la fuente ideal. Cuando R L — oo y la carga no jala ninguna com ente de ningún tipo, la fuente práctica se encuentra en circuito abierto y la tensión terminal, o la tensión en circuito abierto, es VLoc = 12 V. Si, por otra parte, R L = 0, con lo cual se pone en cortocircuito las terminales de carga, entonces circulará una com ente de carga o de cortocircuito /¿se = 1200 A. (En la práctica, un experimento de este tipo quizá ¡tendría como resultado la destrucción del cortocircuito, la batería y cualesquiera instrumentos de medición incorporados al circuito!) Puesto que la gráfica de V¿ en función de ¡i es una línea recta para tal fuente de tensión práctica, se observará que los valores de VLoc e ILsc se determinan sólo de la curva VL - I L completa. La línea punteada horizontal que muestra la figura 5.126 representa la gráfica V l — h de una fuente de tensión ideal, la tensión de terminal permanece constante para cualquier valor de la com ente de carga. En la fuente de tensión práctica, la tensión de terminal tiene un valor cercano al de la fuente ideal sólo cuando la com ente de carga es más o menos pequeña. Considerar nuevamente una fuente de tensión práctica general, como la de la figura 5.13a. La tensión de la fuente ideal es vs, y se pone en serie con ella una resistencia Rs, llamada resistencia interna o resistencia de salida. De nuevo, se debe notar que la resistencia no está en realidad presente como un componente separado, sino que sirve para tomar en cuenta una tensión de terminal que dis minuye cuando aumenta la com ente de carga. Su presencia permite hacer con mayor exactitud un modelo del comportamiento de una fuente de tensión física. La relación lineal entre e iL es vL = vs - RsiL
[9]
(2) De aquí en adelante se seguirá la convención estándar de referirse en forma estricta a las cantidades de cd me diante letras mayúsculas, en tanto que las letras minúsculas denotan una cantidad que se sabe que posee alguna componente variable en el tiempo. Sin embargo, al explicar teoremas generales que se aplican a cd o a ca, se con tinuará utilizando minúsculas para subrayar la naturaleza general del concepto.
SECCIÓN 5,2 TRANSFORMACIONES DE FUENTE
• ------------------------------
VA -— (
133
y ésta se grafica en la figura 5.136. La tensión en circuito abierto (R l = oo, por lo que i i = 0 ) es VLoc = Vs
[10]
y la corriente en cortocircuito (R¿ = 0, por lo que v¿ = 0) es VL/
[11]
ÍL s c =
También en este caso, los valores son las ordenadas al origen de la recta en la figura 5.13& y sirven para definirla de forma completa.
Fuentes de corriente prácticas Una fuente de corriente ideal tampoco existe en el mundo real; no hay disposi tivo físico que entregue una corriente constante, sin que importe la resistencia de carga a la que se conecta o la tensión entre sus terminales. Ciertos circuitos transistorizados entregarán una corriente constante a una amplia gama de resisten cias de carga, pero la resistencia de carga siempre se hace lo bastante grande para que la corriente que circula por ella se vuelva muy pequeña. La potencia in finita simplemente nunca está disponible (para mala fortuna). U na fuente de corriente práctica se define como una fuente de corriente ideal en paralelo con una resistencia interna Rp. Tal fuente se muestra en la figura 5.14a, donde se indican la corriente i¿ y la tensión 1 asociadas con una re sistencia de carga . La aplicación de la LCK produce: Vl
íl
= is -ir Rp
k + 5
r p
vl
-
(«) k
[12]
que es otra vez una relación lineal. La tensión en circuito abierto y la corriente en cortocircuito están dadas por: VLoc ~ R ph
[13]
e
(b) i m = z’í
[14]
La variación de la corriente de carga con la tensión de carga variable puede observarse al modificar el valor de RL como se ilustra en la figura 5.14/;. La recta recorre desde el extremo del cortocircuito, o “noroeste”, hasta la terminación en circuito abierto en el extremo “sureste”, al incrementar R l desde cero hasta un valor infinito de ohms. El punto medio ocurre en R L = Rp . Resulta evidente que la corriente de carga iL y la corriente de fuente ideal son casi iguales sólo para valores pequeños de la tensión de carga, los cualesse obtienen con los valores de R i que son pequeños en comparación con Rp.
Fuentes prácticas equivalentes Una vez definidas ambas fuentes prácticas, se está listo para explicar su equiva lencia. Se dice que dos fuentes son equivalentes si producen valores idénticos de « ¿ e i ¿ cuando se conectan a valores idénticos de R L, sin que importe cuál sea el valor de RL. En vista de que R L = oo y R L -■- 0 son dos de esos valores, las fuentes equivalentes proporcionan la m isma tensión en circuito abierto y la misma corriente en cortocircuito. En otras palabras, si se dan dos fuentes equiva lentes, una fuente de tensión práctica y la otra de corriente práctica, cada una encerrada en una caja negra con sólo un par de terminales, entonces no hay
■ F IG U R A 5 .1 4 (fí¡ Fuente de corriente práctica general conectada a una resistencia de carga RL. (ib) La corriente de carga proporcionada por la fuente de corriente práctica se muestra como una función de la tensión de carga.
0
A A V ----------- •
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
form a de saber cuál fuente está en cuál caja al medir la corriente o la tensión en una carga resistiva. Considerar la fuente de tensión práctica y la r e s i s t e n c i a d e la figura5.15a, así como el circuito compuesto por una fuente de corriente práctica y la resisten cia R l de la figura 5.15b. Un cálculo simple muestra que la tensión en la carga R l de la figura 5 .15a es igual a: vL = vs
Rl
[15]
Rs + R l
Un cálculo igual de simple señala que la tensión en la carga R l de la figura 5.15Z» corresponde a: vl
=
Rn Rp + R l
■R l
Las dos fuentes prácticas son eléctricamente equivalentes, por lo que: I F IG U R A 5 .1 5 (o) Una fuente de tensión práctica conectada a una carga RL. (b) La fuente de corriente práctica equivalente conectada a la misma carga.
F IG U R A 5 .1 6 (a) Una fuente de corriente práctica dada. (b) La fuente de tensión práctica equivalente.
EJ EMP LO
A
Rs — Rp
[16]
vs — R„is — Rs^s
[17]
donde dejamos que ahora R s represente la resistencia interna de cualesquiera de las fuentes prácticas, lo cual es la notación convencional. Como ilustración del uso de estas ideas, considerar la fuente de corriente práctica que se exhibe en la figura 5.16a. Debido a que su resistencia interna es igual a 2 £2, la resistencia interna de la fuente de tensión práctica equivalente también es igual a 2 £2; la tensión de la fuente de tensión ideal contenida dentro de la fuente de tensión práctica es (2)(3) = 6 V. La fuente de tensión práctica equivalente se muestra en la figura 5 .16¿>. Para confirmar la equivalencia, considerar una resistencia de 4 £2 conectada a cada fuente. En ambos casos una corriente de 1 A, una tensión de 4 V y una po tencia de 4 W se asocian con la carga de 4 £2. Sin embargo, se debe observar con mucho cuidado que la fuente de corriente ideal entrega una potencia total de 12 W, mientras que la fuente de tensión ideal sólo suministra 6 W. Además, la re sistencia interna de la fuente de corriente práctica absorbe 8 W, en tanto que la resistencia interna de la fuente de tensión práctica absorbe sólo 2 W. En conse cuencia, se observa que las dos fuentes prácticas son equivalentes sólo con respecto a lo que sucede en las terminales de carga; ¡pero no son equivalentes in ternamente!
5.4 Calcular la corriente que circula por la resistencia de 4.7 k í l de la figura 5.17a después de transformar la fuente de 9 mA en una fuente de tensión equivalente. La fuente equivalente consiste en una fuente de tensión independiente de (9 mA) x (5 k£2) = 45 V en serie con una resistencia de 5 k£2 como se ve en la figura 5 M b . Una ecuación de la LVK simple alrededor del lazo da como resultado: - 45 + 5 0 0 0 / + 4 7 0 0 / + 3 0 0 0 / + 3 = 0 que puede resolverse con facilidad para encontrar la corriente / = 3.307 mA.
SECCIÓN 5.2 TRANSFORMACIONES DE FUENTE
4.7 kíl
5 kíl 4.7 kíl 3 kíl
3 kÍ1
I F IG U R A 5 .1 7 (o) Circuito con fuente de tensión y con fuente de corriente. (b) Circuito después de que la fuente de 9 mA se transformó en una fuente de tensión equivalente.
P R Á C T IC A
_________________ ^:
_________________________
5.3 Calcular la com ente Ix que circula por la resistencia de 47 kí2 del circuito de la figura 5.18, luego de efectuar una transformación de fuente sobre la fuente de tensión. 5 kíl
Respuesta: 192 ¡xA.
EJEMPLO 5.5 Calcular la corriente que circula por la resistencia de 2 í l de la figura 5.19í3 mediante las transformaciones de fuente. Se comienza transformando cada fuente de corriente en una fuente de ten sión (fig. 5.196), donde la estrategia consiste en convertir el circuito en un lazo simple. Se debe tener cuidado de conservar la resistencia de 2 Q por dos razones: primero, la fuente dependiente que controla la variable aparece en sus ex tremos, y segundo, se desea que la com ente fluya a través de él. Sin embargo, se pueden combinar las resistencias de 17 Q y de 9 £2 puesto que aparecen en serie. También se observa que es posible combinar las resistencias de 3 y 4 Í2 para obtener una resistencia de 7 £2 la cual se emplea entonces para transfor mar la fuente de 15 V en una fuente de 15/7 A, como en la figura 5.19c. Como una simplificación final, observar que se pueden combinar las dos resistencias de 7 £2 en una resistencia de 3.5 £2 la cual tal vez se use para transformar la fuente de corriente de 15/7 A en una fuente de tensión de 7.5 V. El resultado da el circuito de lazo simple que se muestra en la figura 5.19c?. La com ente I se puede calcular ahora utilizando la LVK: - 7 .5 + 3 .5 / - 51V* + 2 8 / + 9 = 0 donde: Vx = 21
De tal modo: I = 2 1 .2 8 m A (Continua en la siguiente página)
A A /v
-•
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
17
ft
1A
9 V
yv
■ F IG U R A 5 .1 9 (o) Circuito con dos fuentes de corriente independientes y una dependiente. (6) Circuito después de que cada fuente se transformó en una fuente de tensión, (c) Circuito después de combinaciones adicionales. (d) Circuito final.
P R Á C T IC A
______________ ______________________________________
5.4 En el circuito de la figura 5.20, determinar la tensión V en los extremos de la resistencia de 1 MÍ2 mediante transformaciones de fuente repetidas.
6 Mft
40 jj.K
AA/W-0 75
*4 Mft
I F IG U R A 5 .2 0
Respuesta: 2 7 .2 3 V .
+
v 3V
200 k f t
SECCIÓN 5.2 TRANSFORMACIONES DE FUEN l'£
Unos cuantos comentarios finales El análisis sobre fuentes prácticas y transformaciones de fuentes concluye con unas cuantas observaciones específicas. Primero, cuando se transforma una fuente de tensión, es necesario asegurarse de que la fuente está, en realidad, en serie con la resistencia en consideración. Por ejemplo, en el circuito que se muestra en la figura 5.21, es perfectam ente válido realizar una transformación de fuente en la fuente de tensión, utilizando la resistencia de 10 £2 ya que están en serie. Sin embargo, sería incorrecto intentar una transformación de fuente utilizando la fuente de 60 V y la resistencia de 30 £2, lo cual es un tipo de error muy común. D e manera similar, cuando se transforma una combinación de fuente de corriente y resistencia, se debe asegurar que éstas se encuentran en paralelo. Con siderar la fuente de corriente que se muestra en la figura 5.22a. Se puede llevar a cabo una transformación de fuente que incluya a la resistencia de 3 £2 ya que se encuentran en paralelo, pero, después de la transformación, podría haber alguna ambigüedad en cuanto al lugar en dónde colocar la resistencia. En dichas cir cunstancias, es de mucha ayuda redibujar en primera instancia los componentes que se van a transformar, como se indica en la figura 5.22b. Después, la transfor mación en una fuente de tensión en serie con una resistencia se dibuja de manera correcta como se indica en la figura 5.22c; en realidad, la resistencia puede dibu jarse sobre o debajo de la fuente de tensión. Asimismo, vale la pena considerar el raro caso de mía fuente de corriente en serie con una resistencia y su dual, el caso de una fuente de tensión en paralelo
■ F IG U R A 5 .2 1 Ejemplo de circuito que ilustra cómo determinar si puede llevarse a cabo una transformación de fuente.
7 í)
71
5
7
n
F IG U R A 5 .2 2 (a) Circuito con una fuente de corriente que se transformará en una fuente de tensión. (6) Circuito redibujado de tal forma que se evitan errores, (c) Combinación fuente/resistencia transformada.
• "
A /V V
137
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
con una resistencia. Se comienza con el circuito simple de la figura 5.23a, donde el interés es solamente en la tensión en la resistencia marcada como R 2- Se observa que sin considerar el valor de la resistencia R¡, Vr 2 = G R2. Aunque podríamos ser tentados a realizar una transformación fuente en forma inadecuada en dicho cir cuito, en realidad simplemente se puede eliminar la resistencia R\ (siempre y cuando no sea de interés). Una situación parecida surge con una fuente de tensión en paralelo con una resistencia, como se muestra en la figura 5.236. De nuevo, si so lamente se está interesado en alguna cantidad que involucre a la resistencia R2, es posible que se vea tentado a realizar algunas transformaciones extrañas (e incorrec tas) de fuente en la tensión de fuente y la resistencia R], En realidad, se puede eliminar la resistencia Ri del circuito en lo que respecta a la resistencia R 2 pues su presencia no altera la tensión, la com ente y la potencia disipada por la re sistencia R2.
(a)
(b)
I F IG U R A 5 .2 3 (o) Circuito con una resistencia /?, en serie con una fuente de corriente. (b) Una tensión de fuente en paralelo con dos resistencias.
Resumen de la transformación de fuente 1.
Al usar las transformaciones de fuente, una meta común consiste en terminar con todas las fuentes de com ente o con todas las fuentes de tensión en el circuito final, siempre que sea posible. Esto es especial mente válido si con ello se hace más fácil el anáfisis nodal o de malla.
2.
Las transformaciones de fuente repetidas se utilizan para simplificar un circuito permitiendo la combinación de resistencias y fuentes.
3.
El valor de la resistencia no varía durante una transformación de fuente, pero no es la misma resistencia. Ello significa que las tensiones o comentes asociadas con la resistencia original se pierden sin poderse recuperar cuando se lleva a cabo una transformación de fuente.
4.
Si la tensión o la corriente asociada con una resistencia particular se emplea como una variable de control para una fuente dependiente, o es la respuesta deseada de un circuito, la resistencia no debe in cluirse en las transformaciones de fuente. La resistencia original debe conservarse intacta en el circuito.
5.
Si la tensión o la corriente asociada con un elemento en particular es de interés, ese elemento no debe incluirse en las transformaciones de fuente. El elemento original debe conservarse intacto en el circuito.
6.
Al efectuar una transformación de fuente, debe recordarse que la punta de la flecha de la fuente de corriente corresponde a la terminal “+” de la fuente de tensión.
7.
Una transformación de fuente en una fuente de corriente y una re sistencia requiere que los dos elementos estén en paralelo.
8.
Una transformación de fuente en una fuente de tensión y una re sistencia requiere que los dos elementos estén en serie.
SECCIÓN 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON
*
A /W
5.3 t CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON Ahora que se han presentado las transformaciones de fuente y el principio de su perposición, se pueden explicar otras dos técnicas que simplificarán en gran m e dida el análisis de muchos circuitos lineales. El primero de estos teoremas recibe su nombre en honor a M. L. Thévenin, ingeniero francés quien trabajaba en telegrafía y que publicó el teorema en 1883; el segundo puede considerarse un corolario del primero y se acredita a E. L. Norton, científico de los Bell Telephone Laboratories. Suponga que se necesita efectuar sólo un análisis parcial de un circuito. Por ejemplo, quizá se requiera determinar la corriente, la tensión y la potencia que se entregan a una resistencia de “carga" por medio del resto del circuito, el cual quizá consiste en un número considerable de fuentes y resistencias (fig. 5.24a). O tal vez se desee determinar la respuesta para diferentes valores de la resisten cia de carga. El teorema de Thévenin dice que se puede sustituir todo, excepto la resistencia de carga, por una fuente de tensión independiente en serie con una re sistencia (fig. 5.24¿>); la respuesta m edida en la resistencia de carga per manecerá invariable. Mediante el teorema de Norton, se obtiene un equivalente compuesto por una fuente de corriente independiente en paralelo con una re sistencia (fig. 5.24c).
(a)
( b)
( c)
■ F IG U R A 5 .2 4 (o) Red compleja que incluye una resistencia de carga Rl. (b) Red equivalente de Thévenin conectada a la resistencia de carga Rl. (c) Req equivalente de Norton conectada a la resistencia de carga Rl.
En consecuencia, debe ser patente que una de las principales aplicaciones de los teoremas de Thévenin y de Norton es la sustitución de una gran parte de un circuito, a menudo una parte complicada y no interesante, por un equivalente muy simple. El nuevo circuito más simple permite efectuar cálculos rápidos de la tensión, la corriente y la potencia que el circuito original es capaz de entregar a una carga. También ayuda a elegir el mejor valor de esta resistencia de carga. En un amplificador de potencia de transistores, por ejemplo, el equivalente de Thévenin o Norton permite determinar la potencia máxima que se toma del am plificador y se entrega a los altavoces.
EJEMPLO 5.6 C on sid erar el circuito de la fig u ra 5.25a. D eterm in ar el equivalente de Thévenin p a ra la red A y calcu lar la potencia en treg ad a a la resistencia de carga R l ■ Las regiones con líneas punteadas dividen el circuito en dos redes A y B: el principal interés está en la red B, la cual consta sólo de una resistencia de carga R l - Quizá se simplifique la red A mediante transformáciones de fuente repetidas. f Continúa en la siguiente página)
CAPÍTULO 5 TÉCMICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
(a)
(b)
-V A —7 Í1
Red A
(c)
(d)
(e) H F IG U R A 5 .2 5 (o) Circuito dividido en dos redes. (b)-(d) Pasos intermedios para simplificar la red A (e) Circuito equivalente de Thévenin.
Considerar primero la fuente de 12 V y la resistencia de 3 Q como una fuente de tensión práctica que se sustituye por una fuente de corriente prác tica compuesta por una fuente de 4 A en paralelo con 3 £2 (fig. 5.25b). Las resistencias en paralelo se combinan luego en 2 £2 (fig. 5.25c), y la fuente de corriente práctica que resulta se transforma de nuevo en una fuente de ten sión práctica (fig. 5.25d). El resultado final se presenta en la figura 5.25e. Vista desde la resistencia de carga R l , esta red A (el equivalente de Thévenin) es equivalente al circuito original; desde nuestro punto de vista, el circuito es mucho más simple, y ahora se calcula con facilidad la potencia que se entrega a la carga:
k9 + R l Además, gracias al circuito equivalente, podemos ver que la tensión máxima que se obtiene en los extremos de R L es igual a 8 V y que corresponde a R l = oo. Una rápida transformación de la red A en una fuente de corriente práctica (el equivalente de Norton) indica que la comente máxima que se en trega a la carga es igual a 8/9 A, lo cual ocurre cuando R l — 0. Ninguno de estos hechos se aprecia con claridad y facilidad a partir del circuito original. P R Á C T IC A a
________________________
5.5 Mediante transformaciones repetidas de fuente, determinar el equivalente de Norton de la red destacada en el circuito de la figura 5.26. Respuesta: 1 A, 5 Í2.
SECCIÓN 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON
• ------------------------------
W \r
Teorema de Thévenin El empleo de la técnica de transformación de la fuente para encontrar una red equivalente de Thévenin y Norton dio buenos resultados en el ejemplo 5.6, pero puede ser poco práctica en situaciones donde se encuentren presentes fuentes dependientes o el circuito esté compuesto por un gran número de elementos. Una opción es emplear el teorema de Thevenin (o el teorema de Norton). Se enuncia el teorema como un procedimiento de alguna manera formal y, después, se procede a considerar diferentes formas para hacer que el método sea más práctico de acuerdo con la situación específica que se presente. Enunciado del Teorema de Thévenin3 1.
Dado cualquier circuito lineal, arreglarlo nuevamente en la forma de dos redes A y B conectadas por dos alambres. A es la red que se simplificará; B se dejará intacta.
2.
Desconectar la red B. Definir una tensión voc como la tensión que ahora aparece en las terminales de la red A.
3.
Apagar o “asignar cero a” toda fuente independiente de la red A para formar una red inactiva. Dejar las fuentes dependientes intactas.
4.
Conectar una fuente de tensión independiente con un valor de voc en serie con la red inactiva. N o terminar el circuito; dejar desconec tadas las dos terminales.
5.
Conectar la red B a las terminales de la nueva red A. Todas las corrientes y tensiones de B permanecerán intactas.
Observar que si cualquier red contiene una fuente dependiente, su variable de control debe estar en la misma red. Se verá si se puede aplicar con éxito el teorema de Thévenin al circuito que se considera en la figura 5.25. Ya se encontró el equivalente de Thévenin del circuito a la izquierda de R l en el ejemplo 5.6, pero se quiere ver si existe una manera más fácil de obtener el mismo resultado. ...........
........................ ......
■■■
---- ■—
EJEMPLO Aplicar el teorem a de Thévenin a fin de d eterm inar el equivalente de Thévenin p a ra esa p arte del circuito de la figura 5.25a a la izquierda de RL. Para empezar, se debe desconectar R l , con lo cual se observa que no fluye corriente por la resistencia de 7 £2 en el circuito parcial resultante de la figura 5,27a. De tal modo, Voc aparece en los extremos de la resistencia de 6 Q (sin corriente a través de la resistencia de 7 Q no hay caída de tensión en él), y la división de la tensión permite determinar que:
V^
I2 ( j h ) =S V (Continúa en la siguiente página)
(3) Una prueba del teorema de Thévenin en la forma que se estableció es bastante larga, por lo tanto se incorporó en el apéndice 3, donde los interesados pueden examinarla a fondo.
5.7
A A yV
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS UTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
3 fi
7 O
F IG U R A 5 .2 7 (o) Circuito de la figura 5.25o con la red B (la resisten cia Rí) desconectada y la tensión entre las terminales de conexión marcada como Vx . (b) La fuente independiente de la figura 5.25a se suprimió y se observan las terminales donde la red B se conectó para determinar la re sistencia efectiva de la red A
Al suprimir la red A (es decir, al sustituir la fuente de 12 V por un corto circuito) se ve, al observar de nuevo la red muerta (desconectada), una re sistencia de 7 £2 conectada en serie con la combinación en paralelo de 6 y 3 £2 (fig. 5.27b). De tal modo, la red muerta puede representarse aquí mediante una re sistencia de 9 Q conocida como resistencia equivalente de Thévenin de la red A. Entonces, el equivalente de Thévenin es Voc en serie con una resisten cia de 9 £2 lo cual concuerda con el resultado anterior. 4 Í1
5 fi
P R Á C T IC A
___________________________________________________________
5.6 Aplicar el teorema de Thévenin para determinar la corriente que pasa por la resistencia de 2 £2 del circuito de la figura 5.28. (Sugerencia: designar a la resistencia de 2 £2 como B.) R e sp u e sta : Vj h = 2.571 V , R th = 7 .8 57 £2, h a = 2 60.8 m A .
Unos cuantos puntos clave El circuito equivalente que se obtuvo resulta del todo independiente de la red B, debido a que se ha indicado eliminar primero la red B y luego medir la tensión en circuito abierto producida por la red A, una operación que en verdad no de pende de la red B de ninguna manera. La red B se menciona en el enunciado del teorema sólo para indicar que tal vez se obtenga un equivalente de A sin que im porte cuál sea el arreglo de elementos que esté conectado a la red A; la red B repre senta esta red general. Son varios los aspectos del teorema que merecen subrayarse. •
La única restricción que debe imponerse sobre A o B es que todas las fuentes dependientes en A tengan sus variables de control en A, y de forma similar para B.
•
No se impusieron restricciones sobre la complejidad de A o B\ pueden con tener cualquier combinación de fuentes de tensión o corriente independientes, fuentes de tensión o corriente lineales dependientes, resistencias o cualesquiera otros elementos de circuito que sean lineales.
•
Se representa una red muerta (desconectada) A mediante una resistencia equivalente R t h , a la que se denominará resistencia equivalente de
SECCIÓN 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON
Thévenin. Lo anterior sigue siendo válido si existen o no fuentes dependientes en la red A, una idea que se analizará más adelante. •
Un equivalente de Thévenin tiene dos componentes: una fuente de tensión en serie con una resistencia. Cualquiera puede ser cero, aunque no suele ser el caso.
Teorema de Norton El teorema de Norton guarda una cercana semejanza con el teorema de Thákenin y se pudiera establecer como sigue:
Enunciado del teorema de Norton 1.
Dado cualquier circuito lineal, volver a ordenar en la forma de dos redes A y B conectadas por dos alambres. La red que se va a simpli ficar es A; B se dejará intacta. Como se hizo antes, si cualquiera de las redes contiene una fuente dependiente, su variable de control debe estar en la misma red.
2.
Desconectar la red B, y poner en cortocircuito las terminales de A . Definir una corriente isc como la corriente que circula ahora a través de las terminales cortocircuitadas de la red A.
3.
Apagar o “asignar cero a” todas las fuentes independientes de la red A para formar una red inactiva. Dejar las fuentes dependientes intactas.
4.
Conectar una fuente de corriente independiente de valor isc en paralelo con la red inactiva. Dejar el circuito sin terminar; dejar desconectadas las dos terminales.
5.
Conectar la red B a las terminales de la nueva red A. Todas las corrientes y tensiones en B permanecen intactas.
El equivalente de Norton de una red lineal es la fuente de corriente de Nor ton /sc en paralelo con la resistencia de Thévenin R t i i - En consecuencia, se puede observar que, en realidad, se obtiene el equivalente de Norton de una red mediante una transformación de fuente sobre la equivalente de Thévenin. Lo an terior produce una relación dilecta entre voc, isc y R th Voc — R th Isc
[18]
En circuitos que contienen fuentes dependientes, a menudo se verá que es más conveniente determinar el equivalente de Thévenin o el de Norton al calcu lar la tensión en circuito abierto y la corriente en cortocircuito y al determinar luego el valor de R t i i como su cociente. Por lo tanto, resulta aconsejable vol verse adepto a determinar tanto tensiones en circuito abierto como corrientes en cortocircuito, incluso en los problemas simples que siguen. Si los equivalentes de Thévenin y de Norton se determinan de manera independiente, la ecuación [18] sirve como una comprobación útil. Considerar tres ejemplos diferentes para determinar el circuito equivalente de Thévenin o Norton.
•
A /Vv------
144 --------- V
W
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
EJEMP LO 5.8 Encontrar los circuitos equivalentes de Thévenin y de Norton de la red que se encuentra frente a la resistencia de 1 k í i en la figura 5.29a. 2 kfl
3 kfl - A /W ------- o
3 k fl
T2 •2 k ü
r th
(b)
1 k fl
id) 2 k fl
3 kfl
F IG U R A 5 .2 9 (a) Circuito en el que se identifica la resistencia de 1 kQ como la red B. (b) Red/1 con todas las fuentes independientes suprimidas, (c) Equivalente de Thévenin de la red A. (d) Equivalente de Norton de la red A (e) Circuito para determ¡nar/sc.
De acuerdo con la forma en la que se plantea el enunciado del problema, se sabe que la red B es la resistencia de 1 kí2 y que la red A corresponde al resto del circuito. El circuito no contiene fuentes dependientes, así que la forma más sencilla de obtener el equivalente de Thévenin consiste en deter minar de manera directa R th para la red muerta (desconectada), a lo que seguirá un cálculo de o /sc. En primer lugar se debe determinar la tensión en circuito abierto; en este caso resulta fácil encontrarlo por superposición. Al funcionar sólo la fuente de 4 V, la tensión en circuito abierto es igual a 4 V; cuando sólo está acti vada la fuente de 2 mA, la tensión en circuito abierto es 2 mA x 2 k£2 = 4 V (no fluye corriente por la resistencia de 3 kQ si la resistencia de 1 kQ está desconectada). En el caso de que las dos fuentes independientes estén acti vadas, vemos que = 4 + 4 = 8 V. Enseguida se deben suprimir ambas fuentes independientes para determi nar el tipo de la red A muerta (inactiva). Con la fuente de 4 V en cortocir cuito y la de 2 mA en circuito abierto, como en la figura 5.29b, el resultado consiste en la combinación en serie de una resistencia de 2 kQ y una de 3 kQ o la resistencia equivalente de 5 kí2. Lo anterior determina el equivalente de Thévenin, que se muestra en la figura 5.29c, y a partir de él se obtiene con facilidad el equivalente de Nor ton de la figura 5.29d. Como comprobación, se debe determ inar / sc del
SECCIÓN: 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON
circuito dado (fig. 5.29e). En este caso se utiliza la superposición y una pe queña división de com ente: 4 /se =
/se 14 V 4 ” ^sc I2 mA — 9
2 3
( ^ ) ^ ^~
= 0 . 8 + 0.8 = 1.6 mA lo que completa la comprobación.4 PR >CTI<-' ■ ___________________
__________
5.7 Determinar los equivalentes de Thévenin y de Norton del circuito de la figura 5.30. 2 k íl
1 k íl
R e sp u e sta : - 7 . 8 5 7 V , - 3 . 2 3 5 m A , 2 .4 2 9 k Q .
Cuando existen fuentes dependientes Técnicamente, no siempre debe haber una “red B” para que se pueda invocar el teorema de Thévenin o el de Norton; en lugar de eso, se puede pedir encontrar el equivalente de una red con dos terminales que no estén conectadas todavía con otra red. Sin embargot si existe una red B que no se quisiera que estuviera involucrada en este procedimiento de simplificación, se debe ser precavido si ésta contiene fuentes dependientes. En tales situaciones, la variable de control y el (los) elemento(s) asociados deben incluirse en la red B y ser excluidos de la red A. De otra forma, no habrá otra manera de analizar el circuito final ya que la cantidad controladora se perderá. Si la red A contiene una fuente dependiente, entonces de nuevo es necesario asegurarse de que la variable de control y su(s) elementos asociado(s) no pueden estar en la red B. Hasta el momento, sólo se han considerado circuitos con re sistencias y fuentes independientes. Aunque desde el punto de vista técnico es válido dejar intacta una fuente dependiente en la red “muerta” o “inactiva” cuando se realice un equivalente Thévenin o Norton, en la práctica esto no genera ningún tipo de simplificación. Lo que en realidad se desea es una fuente de ten sión independiente en serie con una sola resistencia o una fuente de com ente in dependiente en paralelo con una sola resistencia, en otras palabras, el equiva lente de dos componentes. En los ejemplos siguientes, se consideran varias formas para simplificar redes con fuentes dependientes y resistencias en una sola resistencia.
(4) Nota: Si se utiliza una resistencia en kQ a 1q largo de la ecuación, y la tensión se expresa en volts, entonces la corriente estará siempre, de manera, automática en mA.
146
A /V V
EJEMPLO 5.9
CAPITULO 5 TECNICAS UTILES PARA EL ANALISIS DE CIRCUITOS
.. w ---D eterm in ar el equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.31a.
A M r-
(c)
■ F IG U R A 5 .31 (o) Red de la que se desea obtener el equivalente de Thévenin. (b) Una forma posible, aunque bastante inútil, del equivalente de Thévenin. (c) La mejor forma del equivalente de Thévenin de esta red resistiva lineal.
Para obtener V0c se nota que vx — Voc y que la corriente de la fuente depen diente debe pasar por la resistencia de 2 kQ puesto que no fluye corriente por la resistencia de 3 kQ. Mediante la aplicación de la LVK alrededor del lazo exterior se tiene: - 4 + 2 x 103 ( -
4
^
0
) + 3 x 103(0) + ux = 0
u, = 8 V = Voc Así, aplicando el teorema de Thévenin, el circuito equivalente podría for marse con la red A muerta (inactiva) en serie con la fuente de 8 V, como se ve en la figura 5.31¿>. Ello es correcto, pero no muy simple ni muy útil; en el caso de redes resistivas lineales, se debe mostrar en realidad un equivalente mucho más simple para la red A inactiva, a saber, R th ■ La presencia de la fuente dependiente evita determinar de manera directa R t h de la red inactiva, por medio de la combinación de resistencias; en conse cuencia se busca Isc. Luego de poner en cortocircuito las terminales de salida en la figura 5.31a, es claro que Vx = 0 y que la fuente de corriente dependiente está muerta (desconectada). Por consiguiente, / sc = 4 /(5 x 103) = 0.8 mA. De tal modo:
D
k th
100 v
__
—
_
7SC
—
(0.8 x 10-3)
=
10
ka
y se obtiene el equivalente de Thévenin aceptable de la figura 5.31c. P R Á C T IC A ^
0.01
[ FIGURA 5.32
5.8 Determinar el equivalente de Thévenin de la red de la figura 5.32. (Sugerencia: podría ser de ayuda efectuar una rápida transformación de fuente sobre la fuente dependiente.) Respuesta: —502.5 mV, —100.5 £2.
SECCIÓN 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON
# -
A /W
Como ejemplo final, se examinará una red que tenga uua fuente dependiente pero no una independiente.
EJEMP LO 5.1 3
k D eterm inar el equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.33a.
(Si)
0.6 O «
(c) ■ F IG U R A 5 .3 3 (o) Red sin fuentes independientes. (b) Medición hipotética para obtener (c) Equivalente de Thévenin del circuito original.
En razón de que las terminales ubicadas más a la derecha ya están en cir cuito abierto, entonces, i = 0. En consecuencia, la fuente dependiente está muerta, por lo que voc = 0. En seguida se determina el valor de R th representado por esta red de dos terminales. Sin embargo, no se puede obtener Dqc e ¿sc ni determinar su cociente, pues no hay fuente independiente en la red; así que tanto voc como ¿so valen cero. Por lo tanto, se debe recurrir a un pequeño truco. Se aplica de manera externa una fuente de l A, se mide la tensión tJprueba que resulta y se hace R th = Vueba/1 • Observando la figura 5.336, se ve que i = —1 A. Aplicando el análisis nodal: Aprueba
~ l-5( ~ 1)
Aprueba _ ^
por lo que: Aprueba = 0 . 6 V
así que: R t h = 0 . 6 £2
El equivalente de Thévenin se muestra en la figura 5.33c.
Una recapitulación rápida de procedimientos Hasta ahora se han estudiado tres ejemplos en los que se determinó un circuito equivalente de Thévenin o de Norton. El primer ejemplo (fig. 5.29) sólo con tenía fuentes independientes y resistencias; además, se podían aplicar varios métodos diferentes. Uno implicaría calcular R Th de la red muerta y luego Voc de la red viva. También se podía haber calculado R th e / sc, o e Isc.
3
-f APLICACIÓN PRÁCTICA
V
El m u lt ím e t r o d ig ita l 1kü
Uno de los aparatos más comunes que forma parte del equipo de prueba eléctrico es el multímetro digital, o MD (fig. 5.34), que se diseñó para medir valores de ten sión, corriente y resistencia.
AA/V9v
1k fl.
4.500 VDC DMM V/O COM —o
o
I F IG U R A 5 .3 5 Multímetro digital conectado para medir tensión.
conoce como terminal común— se designa típicamente por “COM”. La convención típica es utilizar el hilo en color rojo para la terminal de referencia positiva y el hilo en color negro para la terminal común. De acuerdo con el análisis de los equivalentes de Thévenin y de Norton, quizás ahora sea evidente para el lector que el multímetro digital tiene su propia resisten cia equivalente de Thévenin, la cual aparecerá en para lelo con nuestro circuito, así que su valor puede afectar la medición (fig. 5.36). El multímetro digital no suminis tra ninguna alimentación al circuito para medir la ten sión, por lo que su equivalente de Thévenin consiste sólo en una resistencia, que se llamará /? d m m -
. F IG U R A 5 .3 4 Multímetro digital de mano. ■ F IG U R A 5 .3 6 Multímetro de la figura 5.35 que muestra Rom como su resistencia equivalente de Thévenin.
Para medir tensiones, dos hilos de conducción del multímetro se conectan en los extremos del elemento de circuito apropiado (fig. 5.35). U na term inal de referencia positiva del multímetro suele marcarse “V/£2” y la terminal de referencia negativa — a menudo se le
La resistencia de entrada de un buen multímetro dig ital es por lo común de 10 M£2 o más. La tensión m e dida V se localiza a nivel del equivalente de 1 k£2||10 M£2 = 999.9 £2. Mediante la división de tensión, sabemos
En el segundo ejemplo (fig. 5.31) estaban presentes fuentes independientes y dependientes, y el método utilizado requirió determinar Voc e / sc. No se podía encontrar con facilidad R th para la red muerta (inactiva), debido a que no se podía hacer inactiva la fuente dependiente. El último ejemplo no contiene ninguna fuente independiente, y por lo tanto los equivalentes de Thévenin y de Norton no incluyen una fuente independiente. Se determina R th aplicando 1 A y encontrando vprueba = 1 x R jh - También se hubiese podido aplicar 1 V y determinar i = 1/ R t h - Estas dos técnicas rela cionadas se aplican a cualquier circuito con fuentes dependientes, siempre y cuando todas las fuentes independientes se igualen primero a cero. Existen otros dos métodos que tienen cierto encanto debido a que se emplean para cualquiera de los tres tipos de redes considerados. En el primero, se susti tuye simplemente la red B por una fuente de tensión vs, se define la corriente que sale de su terminal positiva como i, se analiza después la red A para obtener i y se expresa la ecuación en la forma vs = ai + b. Así, a = R Th y b = voc.
que V = 4.4998 volts, que es un valor un poco menor que el esperado de 4.5 volts. En consecuencia, la resistencia de entrada finita del voltímetro introduce un pequeño error en el valor medido. Para medir corrientes, el multímetro digital debe po nerse en serie con un elemento de circuito, que por lo general requiere que se corte un alambre (fig. 5.37). Un hi lo de conexión del multímetro se conecta a la terminal a tierra del medidor y el otro se pone en un conector que ca si siempre se marca como “A” para indicar la medición de corriente. En este caso, también el multímetro digital no proporciona potencia al circuito para este tipo de medición.
medida / vale 4.4998 mA, lo que es sólo un poco diferente del valor esperado de 4.5 mA. En función del número de dígitos que el medidor pueda exhibir, tal vez ni siquiera se advirtiera en la medición el efecto de una resistencia diferente de cero del multímetro digital. Es posible utilizar el mismo medidor para determinar la resistencia, siempre y cuando no haya fuentes inde pendientes activas durante la medición. De manera in terna, se hace pasar una corriente conocida a través de la resistencia que se mide, utilizándose la circuitería del voltímetro para medir la tensión resultante. Al sustituir el multímetro digital por su equivalente de Norton (que in cluye ahora una fuente de corriente independiente activa para generar la corriente predeterminada), se observa que 7?d m m aparece en paralelo con nuestra resistencia desconocida R (fig. 5.38).
■ F IG U R A 5 .3 7 Multímetro digital conectado para efectuar una medición
1
+
>
v
de corriente.
Se puede observar a partir de esta figura que la re sistencia equivalente de Thévenin ( /? d m m ) del multímetro digital está en serie con el circuito, por lo que su valor afecta la medición. Al escribir una ecuación de la LVK simple alrededor del lazo: - 9 + 10 0 0 / +
Rdm m I +
10 0 0 / =
0
Observar que como se ha reconfigurado el medidor para efectuar una medición de corriente, la resistencia equivalente de Thévenin no es la misma que en el caso en el cual el medidor se configura para m edir tensiones. En realidad, sería ideal que /?d m m fuera 0 fi idealmente en mediciones de corriente, e oo en mediciones de ten sión. Si Z?dmm corresponde a 0.1 fi, vemos que la corriente
■ F IG U R A 5 .3 8 MD en la configuración de medición de resistencia susti tuido por su equivalente de Norton, donde se muestra Rom en paralelo con la resistencia desconocida R que se va a medir.
Como resultado, el multímetro digital mide en reali dad 7?|| Si /?DMM = 10 Mfi y R = 10 fi, /?medida = 9.99999 fi, la cual resulta bastante precisa para la mayoría de los fines. Sin embargo, si R = 10 M fi, /?med¡da = 5 M fi. La resistencia de entrada de un multímetro digital impone en consecuencia un límite superior práctico en los valores de resistencia que mide, así que se requiere utilizar técnicas especiales para medir resistencias más grandes. Se debe observar que si un multímetro digital se programa de tal forma que se conoce /?dmm> se pueden compensar y medir resistencias más grandes.
También se podría aplicar una fuente de corriente is, designar a su tensión como v, y determinar entonces ¿s = cv — d , donde c = 1/ R th y d = isc (el signo menos se presenta al suponer que las flechas de ambas fuentes de corriente se diri gen hacia el mismo nodo). Los dos últimos procedimientos se aplican de manera universal, pero con frecuencia algún otro método resulta más fácil y más rápido. Si bien se está enfocando la atención casi por completo en el análisis de cir cuitos lineales, resulta bueno saber que los teoremas de Thévenin y de Norton son válidos aun si la red B es no lineal; solamente la red A debe ser lineal. P R Á C T IC A
_____________________________________________________________
5.9 Encontrar el equivalente de Thévenin de la red de la figura 5.39. (Sugerencia: inténtelo con una fuente de prueba de I V . ) '
® F IG U R A 5 .3 9 Véase el problema de práctica 5.9.
Respuesta: / pnleba = 5 0 raA p o r lo que R th = 20 Q.
CAPITULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
5.4 TRANSFERENCIA DE POTENCIA M A XIM A
------ • -------------------------------------------------------------------------------------------------Un teorema de potencia muy útil puede formularse con referencia a una fuente de corriente o de tensión práctica. En el caso de la fuente de tensión práctica (fig. 5.40), la potencia que se entrega a la carga R L es pl
■ F IG U R A 5 .4 0 Una fuente de tensión práctica conectada a una resistencia de carga RL.
= í- '2í ri .l, -=
[i9]
(Rs + R l )2
Para determinar el valor de R l que absorbe una potencia máxima de la fuente práctica dada, se diferencia con respecto a R l ' d p l
d
_
(R s + R l ) 2 v 2 -
Rl
v 2R l( 2 ) ( R s + R l)
(R s + R l) 4
e igualando la derivada a cero, se obtiene: 2R
l
(R
s
+ R
l
) = (R s + R
l
)2
Rs = R l En razón de que los valores R l = 0 y R l = oo producen un mínimo ( pL = 0), y debido a que ya se desarrolló la equivalencia entre fuentes de ten sión y de corriente prácticas, se puede demostrar el siguiente teorema de transferencia de potencia máxima: Una fuente de tensión independiente en serie con una resistencia Rs, o una fuente de comente independiente en paralelo con una resistencia Rs, suministra una potencia máxima a esa resistencia de carga R l para la cual R l = RsTal vez el lector haya visto una form a alterna de considerar el teorem a de potencia m áxima en términos de la resistencia equivalente de Thévenin de una red: Una red suministra la potencia máxima a una resistencia de carga R l cuando R l es igual a la resistencia equivalente de Thévenin de la red. Así, el teorema de transferencia de potencia máxima indica que una resisten cia de 2 extrae la potencia más grande (4.5 W) de cualquier fuente práctica de la figura 5.16, en tanto que una resistencia de 0.01 recibe la potencia máxima (3.6 kW) en la figura 5.11. Existe una diferencia entre tomar la potencia máxima de una fuente y entre gar la potencia máxima a una carga. Si la carga se diseña de tal forma que la re sistencia de Thévenin sea igual a la resistencia de Thévenin de la red a la que está conectada, recibirá la potencia máxima de la red. Cualquier cambio de la resistencia de carga reducirá la potencia entregada a la carga. Sin embargo, considere el equivalente de Thévenin de la red en sí. Se toma la potencia máxima posible de la fuente de tensión tomando la corriente máxima posible, la cual se logra ¡poniendo en cortocircuito las terminales de la red! Sin embargo, en este ejemplo extremo se entrega cero potencia a la “carga” — un cortocircuito en este caso— ya que p = i 2 R , y se fija R — 0 haciendo un cortocircuito con las terminales de la red. Si se aplica un poco de álgebra a la ecuación [19] junto con el requisito de trans ferencia de potencia máxima que proporcionará la ecuación R L = R s = R th Pméx I entregado a la Caiga
v;2
UT H
4R s
4R t h
SECCIÓN 5.4 TRANSFERENCIA DE POTENCIA MÁXIMA
W V
0
donde vTHy R t h recuerda que la fuente práctica de tensión de la figura 5.40 puede también verse como un equivalente de Thévenin de alguna fuente específica. Asimismo es muy común que el teorema de potencia máxima se malinterprete. Está diseñado para ayudar a seleccionar una carga óptima a fin de maximizar la absorción de potencia. Sin embargo, si la resistencia de carga ya se especificó, el teorema de potencia máxima no será de ninguna ayuda. Si por alguna razón se puede afectar el tamaño de la resistencia equivalente de Thévenin de la red co nectada a la carga, fijarla a un valor igual a la carga no garantizará la máxima transferencia de potencia a la carga predeterminada. Una consideración rápida de la potencia perdida en la resistencia de Thévenin aclarará este punto.
E J E M P L O 5.11 El circuito que se m u estra en la figura 5.41 es u n m odelo del am plifi cad o r tran sisto rizad o de unión b ip o lar em isor com ún. Seleccionar una resistencia de carga de tal fo rm a que la potencia m áxim a se tran sfiera a él desde el am plificador y calcu lar la potencia real absorbida. 300 n
■ F IG U R A 5 .4 1 Modelo de pequeña señal del amplificador emisor común con la resistencia de carga no especificada.
Puesto que se solicita determinar la resistencia de carga, es factible aplicar el teorema de máxima potencia. El prim er paso es encontrar el equivalente de Thévenin del resto del circuito. Primero se determina la resistencia equivalente de Thévenin, lo cual re quiere que se quite R l y que se ponga en cortocircuito la fuente independiente de la forma en que se muestra en la figura 5.42a.
3í >o n
(«) 300 íi
■ F IG U R A 5 .4 2 (a) Circuito con /?¿ quitada y fuente independiente puesta en cortocircuito. (6) Circuito para determinar V t h (Continúa en la siguiente página)
AA/V
■#
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Debido a que vn — 0, la fuente de com ente dependiente es un circuito abierto, por lo que R TH = 1 kfi. Esto puede verificarse conectando una fuente de com ente independiente de 1 A a través de la resistencia de 1 kfi; v„ será igual a cero, por lo que la fuente dependiente permanece inactiva y de aquí que no contribuya en nada con R t h Con la finalidad de obtener la potencia máxima entregada a la carga, Rt debe fijarse a un valor R j h — 1 kfi. Para encontrar Vj h considerar el circuito que se muestra en la figura 5.426, que es la figura 5.41 con la resistencia R¡ removida. Se puede escribir Vqq = —0.031^(1000) = —30v„ donde la tensión vn puede encontrarse a partir de una simple división de tensión: / 3864 v„ = (2.5 x 10 sen440í) , 3 0 0 + 3 864, por lo que el equivalente de Thévenin es una tensión —69.6 sen 440f mV en serie con 1 kfi. La potencia máxima está dada por Pmáx ■
UTH AR th
1.211 sen2440í /zW
P R A C T IC A 5.10 Considere el circuito de 20 V
■
la
figura 5.43.
40 V
F IG U R A 5 .4 3
(а) Si R sít\ — 3 kfi, encontrar la potencia entregada al circuito. (б) ¿Cuál es la potencia máxima que puede ser entregada a cualquier R sai? (c) ¿Qué par de valores diferentes de R síí\ entregai'án exactamente 20 m W a ellos? Respuesta: 230 mW; 306 mW; 59.2 kQ y 16.88 £2.
5.5 •-------------------------------------------------------------------------CONVERSIÓN DELTA-ESTRELLA — -----------------------------------------------------------Como ya se vio, la identificación de combinaciones en paralelo y en serie de re sistencias a menudo propicia una reducción importante de la complejidad de un circuito. En situaciones en las que no existen tales combinaciones, muchas veces se recurre a las transformaciones de fuente para posibilitar dichas simplifica ciones. Existe otra técnica útil, llamada conversión A -Y (delta-estrella) que surge de la teoría de redes. Considerar los circuitos de la figura 5.44. No hay combinaciones en serie o en paralelo que se puedan hacer para simplificar más alguno de los circuitos (note que 5.44a y 5.446 son idénticos, como lo son 5.44c y 5.44d), así que sin ninguna
SECCIÓN 5.5 CONVERSIÓN DELTA-ESTRELLA
• ------------------------------
VW
--------- 153
—o b
■Od
-o d
1
F IG U R A 5 . 4 4 (o) Red Fl con tres resistencias y tres conexiones únicas. red dibujada como una red Y.
(b) Misma red dibujada como una red A. (c) Red T de tres resistencias. (d) Misma
fuente presente, no se pueden realizar transformaciones de fuente. Sin embargo, es viable efectuar una conversión entre estos dos tipos de redes. Primero se definen dos tensiones uab y vcd, y tres corrientes /'i, ¿2 e i3 como se muestra en la figura 5.45. Si las dos redes son equivalentes, entonces las ten siones y las corrientes en las terminales deben ser iguales (no hay corriente ¿2 en la red conectada en T). Un conjunto de relaciones entre R.\, Rb, R c y ^ 1 . ^ 2 y R 3 puede ahora definirse simplemente realizando el análisis de malla. Por ejemplo, para la red de la figura 5.45a se puede escribir R.A i 1 — R a Í2
= vac
—R aí 1 + ( R a + R b + R c ) h ~ R c h = —R c h
+ R ch
RB
(a)
[20] [2 1 ]
0
~ vhc
[2 2 ]
o---- v w -
-V A — o
y para la red de la figura 5.45¿ se tiene (i?l + i?3 ) í 1 —R3 Í3 —/?3 i 1 + (R 2 + R í ) h A continuación se quita ecuación [21]. lo que produce R
a
= Uac
[23]
= —i'bc
[24]
de las ecuaciones [20] y [22] utilizando la
¿2
R 2a
Ra R c
R a + R b + Re
Ra + Rb + Re
Ra R c
Rl
V
Ra + Rb + R e
marcada.
[25]
13 =
13 —
^bc
[26]
Ra + Rb + R c y
Comparando términos entre las ecuaciones [25] y [23], se puede observar que: r
R
3 = R
a
a
R
+ R
b
c
+ Rc
De manera similar, se pueden encontrar expresiones de R \ y R 2 en términos de R a , R b y R c , así como expresiones de R Á , R b y R c *n términos de R \ , R j y i?3; se deja el resto de las deducciones como ejercicio para el lector. Por lo tanto, para convertir una red Y en una A, los nuevos valores de los resistencias se cal culan utilizando
Ra =
R \R z + R 2 R 3 + R 3 R 1
R2 R l R l + RlR? + Rb = r3 Rc =
(b) I F IG U R A 5 .4 5
R] R 2 + R 2 R3 + R 3 R\ Ri
(a) Red Fl marcada; (p) red T
-A/VV
CAPITULO 5 TECNICAS UTILES PARA EL ANALISIS DE CIRCUITOS
y para convertir una red A a una red Y: Ri =
Ra Rb Ra + Rb + Rc RbRc
Ri = Ra + Rb + R C
Ri =
RcRa Ra + Rb + Rc
La aplicación de las ecuaciones es directa, aunque la identificación de las re des reales en ocasiones requiere un poco de concentración.
EJEMPLO 5.12
--------------------------------------------------------------------------------------- - _ ---------------------------j l t i l u a r la técnica de la conversión A-Y p a ra d e te rm in ar equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.46a.
------------
la resistencia
Se puede observar que la red de la figura 5.46a está compuesta por dos redes conectadas en A que comparten la resistencia de 3 £2. Se debe tener cuidado en este punto y no ser demasiado ambiciosos al convertir ambas redes conectadas en A en dos redes conectadas en Y. La razón quizá sea más evidente después de que se convierta la red superior, consistente en las resistencias de 1, 4 y 3 £2 en una red conectada en Y (fig. 5.46¿>). Observar que al convertir la red superior en una red conectada en Y, se elimina la resistencia de 3 £2. En consecuencia, no hay manera de convertir la red original conectada en A compuesta por las resistencias de 2, 5 y 3 £2 en una red conectada en Y. Se procede a combinar las resistencias de | £2 y 2 £2 así como los de | £2 y 5 £2 (fig. 5.46c). Se tiene ahora una resistencia de y £2 en paralelo con uno de y £2; además de esta combinación en paralelo está en serie con la resistencia de j £2. De tal modo, se sustituye la red original de la figura 5.46a por una resistencia de £2 (fig. 5.46d). P R A C T IC A i ft 159 71
-íl.
ft
5.11 Utilizar la técnica de conversión Y-A para determinar la resistencia equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.47.
- ft
T (c)
id)
I FIGURA 5.46 (a) Red resistiva dada cuya resistencia de entrada se desea. (b) La red A superior se sustituye por una red Y equivalente, (c, d ) Las combinaciones en serie y en paralelo producen un único valor de resistencia.
i FIGURA 5.47
R e sp u e sta : 1 1 .43 £2.
SECCIÓN 5.6 SELECCIÓN DE UN PROCEDIMIENTO: COMPARACIÓN DF DIVERSAS TÉCNICAS
5.6
SELECCIÓN DE UN PROCEDIMIENTO: * COMPARACIÓN DE DIVERSAS TÉCNICAS
En el capítulo 3 se presentaron la ley de corriente de Kirchhoff (LCK) y la ley de voltaje (tensión) de Kirchhoff (LVK). Ambas se aplican a cualquier circuito con el que uno se encuentre, siempre que se tenga cuidado en considerar el sistema completo que los circuitos representan. La razón radica en que ambas leyes re fuerzan la conservación de la carga y de la energía, respectivamente, y ambas son principios muy importantes. Con base en la LCK se formuló el poderoso método del análisis nodal. Una técnica similar basada en la LVK (sólo aplicable desafortunadamente a circuitos planos) se conoce como análisis de malla y tam bién se usa como un método útil para analizar circuitos. Este texto, en su mayor parte, se interesa en el desarrollo de habilidades analíti cas que se puedan aplicar a circuitos lineales. Si se sabe que un circuito está cons truido sólo por componentes lineales (en otras palabras, todas las tensiones y corrientes se relacionan mediante funciones lineales), entonces a menudo se simpli fican los circuitos, antes de emplear el análisis de malla o el nodal. Quizás el resul tado más importante que surge al saber que se trabaja con un sistema por completo lineal es que se aplica el principio de superposición. Dado un determinado número de fuentes independientes que actúa en un circuito, se suma la contribución de ca da fuente, de manera independiente de las otras fuentes. La técnica está muy arrai gada en todo el campo de la ingeniería, así que se encuentra muy a menudo. En mu chas situaciones reales, se puede observar que aunque varias “fuentes” actúan de manera simultánea sobre el “sistema”, por lo común una de ellas domina la respues ta de éste. La superposición permite identificar con rapidez dicha fuente, siempre que se tenga un modelo lineal razonablemente preciso del sistema. Sin embargo, desde el punto de vista del análisis de circuitos, a menos que se de see encontrar la fuente independiente que contribuye más a una respuesta particular, se demostrará que arremangarse la camisa y proceder de inmediato al análisis nodal o de malla resulta muchas veces una táctica más directa. Esto se debe a que al apli car la superposición a un circuito con 12 fuentes independientes es necesario volver a dibujar el circuito original 12 veces y, de cualquier modo, con frecuencia se tendrá que aplicar el análisis nodal o de malla a cada uno de los circuitos. No obstante, la técnica de las transformaciones de fuente casi siempre es una herramienta muy útil para el análisis de circuitos. Efectuar las transformaciones de fuente permite consolidar resistencias o fuentes que no están en serie o en pa ralelo en el circuito original. Las transformaciones de fuente quizá también per mitan convertir todas o al menos la mayor parte de las fuentes del circuito origi nal al mismo tipo (que todas sean fuentes de tensión o todas fuentes de corriente), por lo que el análisis nodal o de malla es más directo. El teorema de Thévenin es extremadamente importante por varias razones. Al trabajar con circuitos electrónicos, siempre se conoce la resistencia equiva lente de Thévenin de diferentes partes del circuito, en especial la resistencia de entrada y de salida de las etapas del amplificador. L a razón consiste en que igua lar las resistencias con frecuencia resulta la mejor forma de optimizar el desem peño de un circuito determinado. U n pequeño anticipo de lo anterior se presen tó en el análisis de la transferencia de potencia máxima, donde debe elegirse la resistencia de carga para que iguale la resistencia equivalente de Thévenin de la red a la cual se conecta la carga. Sin embargo, en términos del análisis de cir cuitos cotidiano, se encontrará que la conversión de parte de un circuito en su equivalente de Thévenin o de Norton implica casi tanto trabajo como analizar el circuito completo. Por lo tanto, al igual que en el caso de la superposición, los
#■
AA/V
0
A /W
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
teoremas de Thévenin y Norton se aplican por lo común sólo cuando se necesi ta información especializada relativa a una parte del circuito.
RESUMEN Y REPASO______________________________ □ El principio de superposición establece que la respuesta en un sistema lineal se obtiene sumando las respuestas individuales causadas por las fuentes independientes separadas que actúan solas. □ La superposición se emplea con mayor frecuencia cuando se necesita determinar la contribución individual de cada fuente a una respuesta particular. □ Un modelo práctico de una fuente de tensión real es una resistencia en serie con una fuente de tensión independiente. Un modelo práctico de una fuente de com ente real es una resistencia en paralelo con una fuente de com ente independiente. □ Las transformaciones de fuente convierten una fuente de tensión práctica en una fuente de corriente práctica y viceversa. □ Las transformaciones de fuente repetidas simplifican en gran medida el anáfisis de un circuito pues ofrecen los medios para combinar resistencias y fuentes. □ El equivalente de Thévenin de una red es una resistencia en serie con una fuente de tensión independiente. El equivalente de Norton es la misma resistencia en paralelo con una fuente de corriente independiente. □ Hay varias formas de obtener la resistencia equivalente de Thévenin, en función de que existan o no fuentes dependientes en la red. □ La transferencia de potencia máxima ocurre cuando la resistencia de carga iguala la resistencia equivalente de Thévenin de la red a la que se conecta. □ Cuando se analiza una red resistiva conectada en A su conversión en Y es un procedimiento directo. Esto puede ser de utilidad para simplificar la red antes de efectuar el análisis. De manera contraria, una red resistiva conectada en Y puede convertirse en una red conectada en A como ayuda de la simplificación de la red.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Un libro que trata acerca de la tecnología de baterías, y que incluye las característi cas de la resistencia integrada es:
D. Linden, Handbook o f Batteries, 2a ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1995. Un excelente análisis de casos patológicos y teoremas sobre análisis de circuitos se puede encontrar en:
R. A. DeCarlo y P. M. Lin, Linear Circuit Analysis, 2a ed. Nueva York: Oxford University Press, 200].
EJERCICIOS_____________________________________ 5.1 L in e a lid a d y su p e rp o sic ió n 1.
El concepto de linealidad es muy importante, pues los sistemas lineales se analizan con mucha mayor facilidad que los no lineales. Desafortunadamente, la mayor parte de los sistemas prácticos que se encuentran son de naturaleza no lineal. Sin embargo, es posible crear un modelo lineal de un sistema no lineal, que es válido en un pequeño intervalo de la variable de control. Como un ejemplo de ello, considerar la simple fun-
-^wv
EJERCICIOS
ción exponencial e x . La representación en serie de Taylor de esta función es: 2 x ex ^ l + x + —
2
3
x
+ — H-----
6
Construir un modelo lineal de esta función truncándola después del término lineal (x1). Evaluar su nueva función en x = 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.10, 0.5,1.0 y 5.0. ¿Para qué valores de x el modelo lineal ofrece una aproximación “razonable” a e x ? 2. En el circuito de la figura 5.48, ( a) determinar la contribución de la fuente de 4 V a la corriente marcada ¿i; i b) determinar la contribución de la fuente de 1 0 V ;']; y (c) determinar i \ .
4V
I FIGURA 5.48
3. Con referencia al circuito de las dos fuentes que se muestra en la figura 5.49, deter minar la contribución de la fuente de 1 A a u i, y calcular la corriente total que circula a través de la resistencia de 7Í2. 4. Con la ayuda del principio de superposición, determinar la corriente marcada i y en el circuito de la figura 5.50 considerando cada fuente de forma individual.
4A
¡n
5. En el circuito que se muestra en la figura 5.48, modificar sólo el valor de las fuentes para obtener un incremento en un factor de 1 0 en la corriente i ¡; a m b o s valores de fuente deben modificarse y n i n g u n o debe ser igual a cero. 6
. Las fuentes i a y vb están activadas en el circuito de la figura 5.51; vc = 0, ix = 20 A; con i a y Ve están activadas y t>/¡ = 0 , ix = —5 A: además, finalmente, con las tres fuentes activadas, ix = 12 A. Dado lo anterior determinar ix si la única fuente que funciona es (a) i a', ib) vb\ ( c ) vc- id) Encontrar ix si ia y ve se duplican en ampli tud y v¡¡ se invierte.
7. Utilizar la superposición para calcular el valor de v x del circuito de la figura 5.52. io n
20 n
45 n
48 V
8
. Aplicar la superposición al circuito de la figura 5.53 para determinar ¿3 .
30 n
B! FIGURA 5.53
30 n
I
I FIGURA 5.51
vc
158
A A /V
- •
CAPITULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
9. (a) Utilizar el teorema de superposición para obtener ¡ 2 en el circuito de la figura 5.54. (b)
Calcular la potencia absorbida por cada uno de los cinco elementos del circuito.
/'■> 100 V
.5 A
1A
■ FIGURA 5.54
10. Aplicar la superposición en el circuito de la figura 5.55 para determinar la tensión v. Observar que hay una fuente dependiente.
11. En el circuito de la figura 5.56: (a) si i a = 10 A e ¡b = 0 , entonces v-¡ = 80 V; deter minar IÍ3 si i a = 25 A e íb = 0. (b) Si ia = 10 A e (g = 25 A, entonces 114 = 100 V, mientras que v¿, = —50 V si i a = 25 A e ¡g = 10 A; determinar V4 si i a = 20 A e í b = —10 A. 12. Utilizar la superposición para calcular la tensión en la fuente de corriente de la figura 5.57. 22 k fi
13. Recurrir a la superposición para encontrar la potencia que disipa la resistencia de 500 kQ en la figura 5.58.
500 kíl
■ FIGURA 5.58
EJERCICIOS
14. Aplicar la superposición para calcular la tensión en la resistencia de 17 kí2 de la figura 5.59. Si el valor nominal de potencia máxima de la resistencia es de 250 mW, ¿cuál es la tensión positiva máxima hasta la que puede incrementarse la fuente de 5 V, antes de que la resistencia se sobrecaliente?
■ FIGURA 5.59
15. ¿Cuál de las fuentes de la figura 5.60 contribuye más a la potencia disipada en la re sistencia de 2 Í2. ¿La que contribuye menos? ¿Cuál es la potencia que se disipa en la resistencia de 2 £2? 2Í1
■ FIGURA 5.60
16. Aplicar la superposición para determinar iB en el circuito de la figura 5.61, que es un circuito modelo que suele utilizarse para un amplificador transistorizado de unión bipolar.
■ FIGURA 5.61
17. Para el circuito de la figura 5.62, (o) Utilizar la superposición para calcular Vv, (b) Verificar la contribución de cada fuente a Vx mediante un análisis PSpice de barrido de cd. Proponer un diagrama marcado, una salida de prueba importante y un breve resumen de los resultados.
+ VT
■ FIGURA 5.62
»
A /v V
AA/V
-•
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
18. Para el circuito que se muestra en la figura 5.63, {a) Utilizar la superposición para calcular Vx. (b) Verificar la contribución de cada fuente a Vx con un análisis PSpice de barrido de cd. Proponer un esquema marcado, una salida de prueba importante y un re sumen breve de los resultados.
t ) 6A
19. Considerar los tres circuitos de la figura 5.64. Analice cada uno y demuestre que Vx = V'x + V" (es decir, la superposición es más útil cuando las fuentes se igualan a cero, aunque el principio es, en realidad, mucho más general). [ kíl
i kn
2 kíl
12 V
2 kíl
— WV— '—AA/V— + A 3 kíl <> v ; ( + I -10 V
-a m ,—
r i i
-15 V
-
2 kíl
lk í l
— W V
-5 V
[ FIGURA 5.64
5.2 Tra n s fo rm acio n e s d e fu e n te 20. Con la ayuda del método de transformación de fuente, (a) convertir al circuito de la figura 5.65a en una sola fuente de tensión independiente en serie con una resistencia diseñada adecuadamente; y (b) convertir al circuito de la figura 5.656 en una sola fuente de comente independiente en paralelo con una resistencia diseñada de manera apropiada. Tanto en (a) como en ib), dejar las terminales del lado derecho en el cir cuito final. 3Í1
5Í1
22 A
(«) I FIGURA 5.65
21. (a) Utilizar el método de las transformaciones de fuente para simplificar el circuito de la figura 5.66 a una fuente de tensión práctica en serie con la resistencia de 10 fi. (b) Calcular v. (c) Explicar por qué la resistencia de 10 fi no debe incluirse en una transformación de fuente.
EJERCICIOS
5A
©
10 a .
i A
Ó
6.Q.
ia
•-
A /W
Q )
I FIGURA 5.66
22. Utilizar las transformaciones de fuente y las combinaciones de resistencia para sim plificar ambas redes de la figura 5.67, hasta que sólo queden dos elementos a la izquierda de las terminales a y b. 60 n
io n
3.5 kft
6 k íl
— W v — T— v w 120cos400íV (i*
(a)
ib)
! FIGURA 5.67
23. Mediante la transformación de fuente, determinar la potencia disipada por la re sistencia de 5.8 k£2 en la figura 5.68.
5.8 k í l
1 inA
I FIGURA 5.68
24. Mediante la transformación de fuente, determinar la potencia disipada por la re sistencia de 5.8 k£2 de la figura 5.69. 9.7 kO
5.8 k a
25. Determinar la potencia que disipa la resistencia de 1 MÍ2 utilizando la transforma ción de fuente para simplificar primero el circuito que se ilustra en la figura 5.70.
1 M il
200 k í l
Á/W —0 9 V
1 FIGURA 5.70
•
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
26. Determinar 1\ mediante la transformación de fuente para primero simplificar el cir cuito de la figura 5.71.
1 mA
20 mA
I FIGURA 5.71
P ^ -27. (a) Encontrar Vi en el circuito de la figura 5.72 por medio de la transformación de fuente para obtener primero un circuito equivalente simplificado. (b) Verificar mediante un análisis PSpice el circuito de la figura 5.72. Elaborar un esquema donde Vi esté marcada con toda claridad.
O
—
°
I FIGURA 5.72
1 2 ^ 2 8 . (a) Utilizar la transformación de fuente repetida para determinar la corriente Ix como se indica en la figura 5.73. (b) Verificar mediante un análisis PSpice el circuito de la figura 5.73. Elaborar un esquema donde ¡x esté indicado con claridad. 9 kfi
470 kíl
2 kfi
29. Utilizar la transformación de fuente repetida para determinar la corriente Ix en el circuito de la figura 5.74. 4 Mfi
3 Mfi
4.7 Mil
30. Convertir al circuito de la figura 5.75 en una fuente de corriente en paralelo con una sola resistencia. 6 fí
4 fí
EJERCICIOS
31. Recurrir a la transformación de fuente para convertir el circuito de la figura 5.76 en una sola fuente de corriente en paralelo con una resistencia. 4H 4n
32. Determinar la potencia disipada por la resistencia de 1 MÍ2 en el circuito de la figura 5.77. 33. Las siguientes mediciones de la tabla 5.1 fueron efectadas a una batería alcalina de 1.5 V. Utilizar la información para construir un modelo simple de una fuente de ten sión práctica de dos componentes para la batería, que sea relativamente preciso para corrientes en el intervalo de 1 a 20 mA. Observar que además del error experimen tal evidente, la “resistencia interna” de la batería es muy diferente a lo largo del in tervalo de corriente que se midió en el experimento.
TABLA 5.1 Características de corriente-tensión m edidas de una batería alcalina de 1.5 V conectada a una resistencia de carga variable. Salida de corriente (m A)
0.0000589 0.3183 1.4398 7.010 12.58
Tensión de term in al (V)
1.584 1.582 1.567 1.563 1.558
34. Utililizar los datos de la tabla 5.1 para construir un modelo simple de fuente de comente práctica de dos componentes para la batería, que sea relativamente preciso para comentes en el intervalo de 1 a 20 mA. Observe que además del error experi menta] evidente, la “resistencia interna” de la batería es muy diferente en el inter valo de corriente que se midió en el experimento. 35. Reducir el circuito de la figura 5.78 a una sola fuente de tensión en serie con una sola resistencia. 2MÍ1
36. Calcular la potencia absorbida por la resistencia de 5 Í2 en la figura 5.79.
■ FIGURA 5.79
1.8 V
A /W
-•
5
n
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
37. (a) Convertir el circuito de la figura 5.80 en una fuente práctica de corriente en paralelo con R l -.(P) Verificar su respuesta utilizando PSpice y un valor de 5 fi para R i. Elaborar esquemas debidamente marcados de cada circuito que identifiquen claramente la tensión en R l . 38. (a) Reducir lo más posible el circuito de la figura 5.81, transformar las dos fuentes de tensión en fuentes de corriente y después calcular la potencia disipada en la re sistencia de 5 fí ubicado en la parte superior, (b) Verificar la respuesta simulando ambos circuitos en PSpice. Elaborar un esquema debidamente marcado de cada cir cuito, que identifique claramente la potencia disipada en la resistencia de interés. (c) ¿Afecta la respuesta de alguna forma el valor de 1 fi o de 7 fi de la resistencia? Explicar su respuesta. 7
n
A/W -
6V
■
íí
FIGURA 5.81
39. En el circuito de la figura 5.82, convertir todas las fuentes (tanto dependientes como independientes) en fuentes de corriente, combinar las fuentes dependientes y calcu lar la tensión i>3 . 4 íí
30
2 íí
5 .3 C ircuitos e q u iv a le n te s d e T h é v e n in y N o rto n
io n
40. (a) Determinar el equivalente de Thévenin de las terminales a y b de la red de la figura 5.83. ¿Cuánta potencia se suministraría a una resistencia conectada entre a y b si Rab es igual a: (b) 50 fi; (c) 12.5 fi? 41. (a) Utilizar el teorema de Thévenin para simplificar la red conectada a la resistencia de 5 fi de la figura 5.84. (b) Calcular la potencia absorbida por la resistencia de 5 fi utilizando su circuito simplificado, (c) Verificar la respuesta con PSpice. Elaborar un esquema debidamente marcado de cada circuito que indique claramente la cantidad de potencia solicitada. 10 íí
2 fí
io n
5 !!
42. (a) Encontrar el equivalente de Thévenin de la red conectada a la resistencia de 7 fi de la figura 5.85. (b) Encontrar el equivalente de Norton de la red conectada a la re sistencia de 7 fi de la figura 5.85. (c) Calcular la tensión V] utilizando ambos cir cuitos equivalentes, (d) Sustituir la resistencia de 7 fi con uno de 1 fi y recalcular Vi utilizando cualquier circuito.
EJERCICIOS
43. (a) Un foco con filamento de tungsteno está conectado a una tensión de prueba de 10 mV midiéndose una comente de 400 /xA. ¿Cuál es el equivalente de Thévenin del foco? (b) El foco se conecta a una fuente de 110 V midiéndose una comente de 363.3 mA. Determinar el equivalente de Thévenin con base en esta medición. (c) ¿Por qué el equivalente de Thévenin del foco depende aparentemente de las condiciones de la prueba y qué implicaciones tiene esto si se necesita analizar un circuito que contenga a este foco? L._ ►44. (a) Encontrar los equivalentes de Thévenin y de Norton de la red conectada a la re sistencia de 1 fl de la figura 5.86. (b) Calcular la potencia absorbida por la resisten cia de 1 fl utilizando ambos circuiros equivalentes, (c) Verificar utilizando PSpice. Presentar un esquema debidamente marcado de cada uno de los tres circuitos en los que se identifique debidamente la cantidad de potencia solicitada. 45. Para la red de la figura 5.87: (a) eliminar la terminal c y proporcionar el equivalente de Norton visto en las terminales a y b; (b) repetir para las terminales b y c si se elimina a. 46. Determinar el equivalente de Thévenin de la red de la figura 5.88, según se observa desde las terminales: (a) x y x'\ (b) y y y'. 20 n
io n
A/W
— VW 88 V(
'4on
5on
© I *
■ FIGURA 5.88
47. (a) Obtener el equivalente de Thévenin de la red que se exhibe en la figura 5.89. (b) ¿Qué potencia se proporcionaría a una carga de 100 fl entre a y bl
40 fí
100 ü
-AAAr-
H /w
20 V
Q
‘200Í1 l !'
-O a
L 5/, -O b
m FIGURA 5.89
48. Determinar el equivalente de Norton de la red de la figura 5.90. 50 a
0.11\
49. Determinar el equivalente de Thévenin de la red de dos terminales que se muestra en la figura 5.91.
■ FIGURA 5.91
A /V V
1 65
3 o íí
5
n
in
166 ---------A / W
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
50. Proporcionar el equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.92. 47 kO
in
4n
51. Para la red de la figura 5.93, determinar: (a) el equivalente de Thévenin; (b) el equivalente de Norton. 52. Para el circuito de la figura 5.94a, encontrar el equivalente de Norton de la red conectada a R l . En el caso del circuito de la figura 5.94b, encontrar el equivalente de Thévenin de la red que se conecta a R l .
» FIGURA 5.94
53. Obtener los equivalentes de Thévenin y de Norton de la red de la figura 5.95. 54. Determinar los equivalentes de Thévenin y de Norton de la red que se muestra en la figura 5.96.
■ FIGURA 5.96
55. Proporcionar los equivalentes de Thévenin y de Norton de la red que se presenta en la figura 5.97. 56. Determinar la resistencia equivalente de Thévenin vista desde la resistencia de 2 kfi en el circuito de la figura 5.98. Pasar por alto la línea punteada de la figura.
57. Con base en el circuito de la figura 5.98, determinar la resistencia equivalente de Thévenin del circuito que está a la derecha de la línea punteada. El circuito es un amplificador transistorizado de fuente común del que está calculando su resistencia de entrada.
EJERCICIOS
wv
58. En el circuito de la figura 5.99, obtener la resistencia equivalente de Thévenin del circuito que está a la derecha de la línea punteada; es un amplificador transistorizado de emisor común del cual está calculando la resistencia de entrada.
2 k fi
59. El circuito que se muestra en la figura 5.100 es un modelo razonablemente aproximado de un amplificador operacional. En casos donde R¡ y A son muy grandes y R„ ~ 0. una carga resistiva (como por ejemplo una bocina) conectada entre tierra y la terminal marcada vsa¡ verán una tensión —R f / i?i veces más grande que la señal de entrada vent. Determinar el equivalente de Thévenin del circuito, recordando marcar usai.
5 .4 Tra n s fe ren cia d e p o te n c ia m á x im a 60. Suponiendo que se puede determinar la resistencia equivalente de Thévenin del tomacorriente de pared, ¿por qué los fabricantes de tostadores, hornos de microon das y televisiones no igualan la resistencia equivalente de Thévenin de cada aparato con dicho valor? ¿Este no permitiría transferencia de potencia máxima desde la compañía eléctrica hasta los aparatos domésticos? 61. Si cualquier valor arbitrario puede elegirse para RL en el circuito de la figura 5.101, ¿cuál es la potencia máxima que podría disiparse en R¡ '1
12 n
5 fi
62. (a) Determinar el equivalente de Thévenin en las terminales a y b para la red que se presenta en la figura 5.102. ¿Qué cantidad de potencia se entregaría a una resisenciar conectada entre a y b si R ab es igual a: (b) 10 fi; (c) 75 fi?
io n
167
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
63. (a) Determinar el equivalente de Thévenin de la red que se muestra en la figura 5.103, y (b) encontrar la potencia máxima que puede extraerse de él.
FIGURA 5.103
64. Con base en el circuito de la figura 5.104: (a) calcular el valor de R l para el cual puede entregarse una potencia máxima, y (b) obtener la tensión en R l en ese caso (con la referencia + en la parte superior). h
4o n 50 V
£ FIGURA 5.104
65. Cierta fuente de tensión cd práctica proporciona una corriente de 2.5 A cuando se en cuentra (momentáneamente) en cortocircuito, y suministra una potencia de 80 W a una caiga de 20 fl. Calcular: (a) la tensión en circuito abierto; (b) la potencia máxima que podría entregar a una /?¿bien elegida; (c) ¿cuál es el valor de dicha R¡J 66. Una fuente de corriente práctica proporciona 10 W a una carga de 250 fl y 20 W a una carga de 80 fl. Una resistencia R l , con tensión e íl , se conecta a ella. Pro porcionar los valores de R l , v l &íl si (a) vlíl es un máximo; (b) vl es un máximo; (c) ¡l es un máximo. 67. El modelo de cierta batería podría ser precisamente una fuente independiente de 9 V en serie con una resistencia de 1.2 fl en el intervalo de corriente de interés. Ninguna corriente fluye si se conecta una carga de resistencia infinita a la batería. También se sabe que la potencia máxima se transferirá a una resistencia de 1.2 fl, y que se transferirá menos potencia a cualquiera de las resistencias de 1.1 fl o 1.3 fl. Sin em bargo, si sólo se ponen en corto las terminales de la batería en conjunto (¡no se re comienda!), se obtendrá mucha más corriente que en una carga resistiva de 1.2 fi. ¿Lo anterior no entra en conflicto con lo que se acaba de deducir sobre la transferen cia de potencia máxima? (después de todo, ¿no es la potencia proporcional a í'2)? Explicar su respuesta. 68. El circuito de la figura 5.105 forma parte de un amplificador de audio. Si se desea transferir una potencia máxima al altavoz de 8 fl ¿qué valor de R e se necesita? Verificar su solución con PSpice.
- FIGURA 5.105
EJERCICIOS
A /W
»
69. El circuito de la figura 5.106 describe un circuito separado en dos etapas. Elegir R\ de manera que la potencia máxima se transfiera de la etapa 1 a la etapa 2. Etapa 1
Etapa 2
5.5Conversión delta-estrella 70. Convertir la red de la figura 5.107 en una red conectada en Y. 100 k n
o.i n
■ FIGURA 5.107
71. Convertir la red de la figura 5.108 en una red conectada en A. 72. Determinar Rent de ]a red de la figura 5.109.
73. Utilizar transformaciones Y-A y A-Y para calcular la resistencia de entrada de la red que se muestra en la figura 5.110.
o----- -----------* FIGURA 5.110
o.9 n
o—v w — M FIGURA 5.108
1n
5ÍÍ
0.4 n
o—v w — — w v —°
6Q
17®
-A /W
- •
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
74. Determinar Rsnt del circuito de la figura 5.111. 12 a
4a
75. Obtener el equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.112.
76. Proporcionar el equivalente de Norton del circuito de la figura 5.113. 77. Si todas las resistencias de la figura 5.114 son de 10 £2, determinar el equivalente de Thévenin del circuito.
78. (a) Sustituir la red de la figura 5.115 por una red equivalente en Y de tres resistencias. (b) Efectuar un análisis con PSpice para verificar que su respuesta es, en realidad, equivalente: (Sugerencia: tratar de agregar una resistencia de carga.)
' 4 k fi
o— W v -
' 4 kfi
1 k fi
17 kfi
-AAAr
-A A A r
17 k íí
’ 4 k fi
I FIGURA 5.115
o ■ FIGURA 5.116
79. (a) Sustituir la red de la figura 5.116 por una red equivalente en A de tres resistencias. (b) Efectuar un análisis con PSpice para verificar que su respuesta es, en realidad, equivalente: (Sugerencia: tratar de agregar una resistencia de carga.)
EJERCICIOS
A /W
5 .6 S e l e c c i ó n d e u n m é t o d o : r e s u m e n d e v a r i a s t é c n i c a s
80. El circuito que se presenta en la figura 5.117 es un modelo razonablemente exacto de un transistor de unión bipolar que funciona en lo que se conoce como región activa directa. Determinar la corriente de colector le ■Verificar su respuesta con PSpice.
I
B -
81. La resistencia de carga en la figura 5.118 disipa con seguridad hasta 1 W, antes de sobrecalentarse y explotar en llamas. Se puede considerar a la lámpara como una re sistencia de 10.6 ohms, si menos de I A circula por ella, y como una resistencia de 15 ohms si la corriente que fluye es mayor de 1 A. ¿Cuál es el valor permisible máx imo de I s l Verificar su respuesta con PSpice. 200 í i
Resistencia de carga
-V W
Rl = '
1 kfl
■ FIGURA 5.118
82. El oído humano detecta ondas sonoras en el intervalo de frecuencia de casi 20 Hz hasta 20 kHz. Si cada resistencia de la figura 5.119 es un altavoz de 8 fl ¿cuál de los generadores de señal (cuyos modelos son fuentes de tensión prácticas) produce el mayor sonido? (Considere el “volumen” como proporcional a la potencia entregada a un altavoz.) 300 0.
80
HW W W Y 3.5 eos lOOOOíV 7 sen 200/ V
mm* 4 111
I FIGURA 5.119
83. Un multímetro digital se conecta a un circuito de resistencias, como se ve en la figura 5.120. Si la resistencia de entrada del multímetro es de 1 Mfi, ¿qué valor se indicará si el multímetro digital mide la resistencia? 33
íl
275 kíl
■n I
V t t j --------------- V
W
------------------------------- •
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
84. Una sustancia metálica se extrae de un meteorito descubierto en los campos de Indiana. Se descubre que la sustancia tiene una resistividad de 50 fi • cm y de dentro de él se extrae un cilindro simple. Éste se conecta al circuito de la figura 5.121 y se ob serva que muestra una dependencia de temperatura de T = 200P0 25 °C, donde P es la potencia que se proporciona al cilindro en watts. La resistividad de la sustancia no parece depender de la temperatura, lo cual resulta bastante interesante. Si R = 10 fi y absorbe una potencia máxima en el circuito exhibido, ¿cuál es la tem peratura del cilindro?
■ FIGURA 5.121
85. Como parte de un sistema de seguridad, un alambre muy delgado de 100 fi se ad hiere a una ventana mediante pegamento epóxico no conductor. Si se cuenta sólo con una caja de 12 baterías AAA de 1.5 V recargables, con mil resistencias de 1 fi y un piezo-zumbador de 2 900 Hz que requiere 15 mA, a 6 V, diseñar un circuito sin partes móviles que active el zumbador al romperse la ventana (y consecuentemente también se rompe el alambre delgado). Observar que para funcionar, el zumbador requiere una tensión de cd de al menos 6 V (28 V máximo). ÍT/V- |Q¡) 86. Tres focos eléctricos de 45 W alambrados originalmente en una configuración de red en Y con una fuente de 120 V ca conectada en cada puerto se vuelve a alambrar como una red en A. No se usa la conexión neutra, o central. Si la intensidad de cada luz es proporcional a la potencia que toma, diseñar un circuito de potencia de 120 V ca, de manera que las tres luces tengan la misma intensidad en la configuración en A que teman cuando estaban en una configuración en Y. Verificar su diseño con PSpice al comparar la potencia extraída por cada luz de su circuito (cuyo modelo es un valor de resistencia elegido de manera apropiada), con la potencia que cada uno extraería en el circuito original conectado en Y. 87. Cierto LED rojo tiene un valor nominal de comente máxima de 35 mA; si se ex cede este valor, se producirá un sobrecalentamiento y una falla catastrófica. La re sistencia del LED es una función no lineal de su comente, pero el fabricante garan tiza una resistencia mínima de 47 fi y una máxima de 117 fi. Sólo se cuenta con baterías de 9 V para activar al LED. Diseñar un circuito adecuado para suministrar la potencia máxima posible al LED sin dañarlo. Utilizar sólo combinaciones de los valores de resistencias estándar dados en la contratapa de la portada.
El amplificador operacional CONCEPTOS CLAVE
INTRODUCCIÓN
Características ideales de los amp op.
Ya se presentaron suficientes leyes básicas y técnicas analíticas que se pueden aplicar con buenos resultados en algunos circuitos prác
'-------------------------------
ticos interesantes. En este capítulo se analizará un dispositivo eléc
Amplificadores inversores y
trico muy útil que recibe el nombre de amplificador operacional, o
no inversores.
am p op para abreviar.
•-------------------i Circuitos amplificadores sumadores y diferenciales.
6.1 ANTECEDENTES
------ • ----------------------------------------------------------------------------------Los orígenes del amplificador operacional se remontan a la cuarta década del siglo xx, cuando los circuitos básicos se construían uti lizando bulbos de vacío para efectuar operaciones matemáticas tales como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la derivación y la integración. Este avance permitió la construcción de computado ras analógicas (en contraste con las digitales) para resolver ecua ciones diferenciales complejas. Se considera que el primer disposi tivo am plificador operacional comercialmente disponible fue el K2-W, fabricado por la compañía Philbrick Researches, Inc., de Boston desde 1952 hasta principios de los años de 1970 (figura 6.1a). Estos dispositivos de bulbo de vacío pesaban 3 onzas (85 g), medían l 33/ 6 4 " x 29/m" x 47/64" (3.8 cm x 5.4 cm x 10.4 cm), y costaban aproximadamente 22 dólares. En contraste, los modernos amplificadores operacionales en circuitos integrados (CI) como el Fairchild KA741 pesan menos de 500 mg, miden 5.7 mm x 4.9 mm x 1.8 mm, y se venden en aproximadamente 0.22 dólares. Comparados con los amplificadores operacionales basados en bulbos de vacío, los circuitos integrados modernos de amp op están fabricados con alrededor de 25 o más transistores en la misma “pastilla” de silicio, junto con las resistencias y capacitores necesarios para obtener las características deseadas de desempeño. Como re sultado, éstos trabajan a tensiones de alimentación de cd mucho menores (± 1 8 V, por ejemplo, en contraste con ± 3 0 0 V que utiliza ban los K2-W), son más confiables y considerablemente más pe queños (fig. 6. Ib, c). En algunos casos, un CI tal vez contenga varios amp op. Además de la patilla de salida y de las dos entradas, otras
------------------------------------------' Etapas de los amp op en cascada.
i ------------------------------------------Utilización de amp op para construir fuentes de tensión i
y de corriente.
I------------------------------------------Características no-ideales de los amp op.
-------------------------------------------Ganancia de tensión y retroalimentación.
------------------------------------------Circuitos básicos de comparación y de amplificador de instrumentación.
174 --------- V
W
-•
CAPÍTULO
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
ix iii K 2 -W O p c rjíio n a t A m plifiei
(a)
(b)
(c)
■ FIGURA 6.1 (a) El amp op K2-W de Philbrick se basa en un par acoplado de bulbos al vacío 12AX7A. (6). Amplificador operacional LMV321, utilizado en una gran variedad de aplicaciones de teléfono y juegos. (c) Amplificador operacional LMC6035, que alberga 114 transistores en un encapsulamiento tan pequeño que cabe en la cabeza de un alfiler. (Fotos cortesía de National Semiconductor Corporation.')
Compensación V~ del cero I Entrada'
>>-----° Salida
Compensación v* del cero (a)
ib)
patillas permiten que se suministre potencia para operar los transistores y que haya ajustes externos a fin de balancear y compensar el amp op. El símbolo que más se usa para un amp op se muestra en la figura 6.2a. En este momento no interesa la circuitería interna del amp op o del CI, sino sólo las relaciones de ten sión y de corriente que existen entre las terminales de entrada y salida. En conse cuencia, por ahora se usará un símbolo eléctrico más simple, que se presenta en la figura 6.2b, en el que se exhiben dos terminales de entrada a la izquierda y una sola terminal de salida a la derecha. La terminal marcada “+ ” se conoce como la entrada no inversora, y la terminal marcada ” recibe el nombre de entrada inversora.
I FIGURA 6.2 (a) Símbolo eléctrico del amp op. (6) Conexiones mínimas que se requieren en un amp op.
6.2 EL A M P OP IDEAL: UNA INTRODUCCION AMABLE —
, --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cuando se diseña un amp op, el ingeniero de circuitos integrados trabaja muy duro para conseguir que el dispositivo tenga características casi ideales. En la práctica, se encuentra que la mayoría de los amp op se desempeñan tan bien que, muchas veces, es posible suponer que se trabaja con un dispositivo “ideal”. Las características de un amp op ideal constituyen la base de dos reglas fundamen tales que quizás parezcan un poco inusuales: Reglas del am p op ideal
1. Nunca fluye corriente hacia ninguna terminal de entrada. 2. No existe diferencia de tensión entre las dos terminales de entrada. En un amp op real, una pequeña comente de fuga circulará hacia la entrada (al gunas veces tan baja como 40 femtoamperes). Es posible obtener una tensión muy pequeña entre las dos terminales de entrada; sin embargo, en comparación con las tensiones y corrientes de la mayoría de los circuitos, tales valores son tan pequeños que si se incluyeran en el anáfisis difícilmente afectarían los cálculos. Al analizar circuitos de amp op se debe tomar otro aspecto en cuenta. En oposición a los circuitos que se han estudiado hasta ahora, un circuito de amp op siempre tiene una salida que depende de algún tipo de entrada. Por lo tanto, se analizarán los circuitos de amp op con el objetivo de obtener la expresión de la salida en términos de las cantidades de entrada. Se podrá ver que suele ser una buena idea empezar el análisis de un circuito de amp op en la entrada, y pro ceder a partir de ahí.
SECCIÓN 6.2 EL AMP OP IDEAL: UNA INTRODUCCIÓN AMABLE
El circuito que se muestra en la figura 6.3 se conoce como amplificador in versor. Se opta por analizar este circuito mediante la LVK, empezando con la fuente de tensión de entrada. La corriente denominada i fluye sólo a través de las dos resistencias R ¡ y R f , la regla 1 del amp op ideal establece que no fluye ninguna corriente hacia la terminal de entrada inversora. En consecuencia, es posible escribir: —
uent + R \i + R fi + Dsai = 0
que se ordena para obtener una ecuación que relaciona la salida con la entrada !'!sal
^ent
(.Rl
R f)^
[1]
■ FIGURA 6.3 Amp op utilizado para construir un circuito amplificador inversor, donde i/ent = 5 sen 31 mV, Ri = 4.7 k íl, y Rf= 47 k fl.
Sin embargo, se presenta ahora en una situación en la que se tiene una ecuación con dos incógnitas, puesto que sólo se nos da uent = 5 sen 3r mV, R i = 4.7 k fi, y R f = 47 k fi. Por lo tanto, para calcular la tensión de salida, es nece sario contar con una ecuación adicional que exprese i sólo en términos de usai, Uent. R l , y / 0 R f.
Es un buen momento para mencionar que aún no se ha recurrido a la regla 2 del amp op ideal. Puesto que la entrada no inversora está conectada a tierra, corres ponde a cero volts. Así, por la regla 2 del amp op ideal, la entrada inversora tam bién vale cero volts. Lo anterior no quiere decir que las dos entradas estén en conjunto puestas en cortocircuito, a sí que se debe tener mucho cuidado de no hacer una suposición de este tipo. Más bien, las dos tensiones de entrada sólo se siguen entre sí: si se tratara de cambiar la tensión en una patilla (terminal de sa lida), la otra flotará en tomo al mismo valor. Por lo tanto, se puede escribir una ecuación de la LVK adicional:
El hecho de que la propia terminal de entrada inver sora se encuentre en cero volts en este tipo de confi guración de circuito propicia lo que a menudo se
— u en t+ ^ l 1 + 0 = 0
conoce como una "tierra virtual". Ello no significa que
O
la patilla (terminal) esté en realidad conectada a tierra, por lo que algunas veces resulta una fuente de con fusión para los estudiantes. El amp op efectúa cua
Al combinar la ecuación [2] con la [1], se obtiene una expresión de usai en términos de uent:
lesquiera ajustes internos necesarios para evitar una diferencia de tensión entre las terminales de entrada, las cuales nunca están en corto al mismo tiempo.
^sal —
D Uent Ri
[3]
Al sustituir Uent = 5sen3í mV, R\ = 4.7 k fi y R f = 47 k fi, Dsai = —50sen3í
mV
Puesto que se indica que R f > R i , el circuito amplifica la señal de tensión de entrada uent. Si se elige R¡ < R \, la señal más bien se atenuará. También se puede observar que la tensión de salida tiene el signo opuesto de la tensión de en trada,1 de donde surge el nombre de “amplificador inversor”. La salida se dibuja en la figura 6.4, junto con la forma de onda de entrada con fines comparativos. En este punto, vale la pena mencionar que el amp op ideal parece violar la LCK. De manera específica, en el circuito anterior no fluye corriente hacia fuera de cualquier terminal de entrada, sino que algo de corriente ¡puede fluir a través de la patilla de salida!, lo cual implicaría que el amp op es de alguna manera capaz de crear electrones de la nada o de almacenarlos de modo indefinido (según sea la dirección del flujo de corriente). Resulta obvio que esto no es posible. El con flicto surge debido a que se trata al amp op de la misma manera que se hace con (1) O, ‘7a salida está desfasada 1800con respecto a la entrada”, lo cual se oye más impresionante.
■ FIGURA 6.4 Formas de onda de entrada y de salida del circuito amplificador inversor.
176 )--------- V
W
CAPÍTULO
Rf
i FIG U RA 6.5 Circuito amplificador inversor con una entrada de 2.5 V.
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
elementos pasivos como la resistencia. Sin embargo, en realidad el amp op no puede funcionar a menos que se conecte a fuentes de potencia externas. A través de esas fuentes de potencia se dirige el flujo de corriente hacia la terminal de salida. A pesar de que se ha demostrado que el circuito amplificador no inversor de la figura 6.3 puede amplificar una señal de ca (una onda senoidal en este caso que tenga una frecuencia de 3 rad/s y una amplitud de 5 mV), también funciona adecuadamente con entradas de cd. Se consideran este tipo de situaciones en la figura 6.5, donde los valores de R\ y R f se seleccionarán a fin de obtener la tensión de salida de —10 V. Éste es el mismo circuito que se muestra en la figura 6.3, pero con una entrada de cd de 2.5 V. Debido a que no se ha efectuado ningún otro cambio, la expresión que se presenta en la ecuación [3] también es válida en este circuito. Para obtener la salida deseada, se trata de encontrar una relación de R ¡ a R ) de 10/2.5 o 4. Puesto que es la relación lo importante aquí, sólo es necesario escoger un valor adecuado para una resistencia, y se fijará el valor de la otra resistencia al mismo tiempo. Por ejemplo, se pudo haber seleccionado R] — 100 Í2 (por lo que R f = 400 Í2), o aun R f = 8 M fi (por lo que R \ = 2 MQ). En la práctica, otras restricciones (como la corriente de polarización) pueden limitar las alternativas. Por lo tanto, esta configuración del circuito trabaja como un tipo de amplificador de tensión (o atenuador, si la relación ácRf-dR\ es menor a l ) , pero tiene a veces el inconveniente de invertir el signo de la entrada. Sin embargo, existe una alternativa que se analiza tan fácil como la anterior, ésta es, la del amplificador no inversor que se muestra en la figura 6 .6 . En el ejemplo siguiente se analiza dicho circuito.
Dibujar la forma de onda de salida del circuito amplificador no inver sor de la figura 6.6a. Utilizar i)ent = 5 sen 31 mV, R \ = 4.7 kQ, y R r = 47 kQ.
Identificar el objetivo del problema. Se requiere una expresión para usai que sólo dependa de las cantidades conocidas vent, R \ y R f.
Recopilarla información conocida. En razón de que se han especificado valores para las resistencias y la forma de onda de entrada, se comienza denominando la corriente i y las dos tensiones de entrada como en la figura 6 .6 b. Se supondrá que el amp op es ideal.
Decidir la técnica disponible que se ajusta mejor al problema. Aunque el análisis de malla es la técnica favorita de los estudiantes, re sulta más práctico aplicar el análisis nodal en la mayoría de los circuitos de amp op, ya que no hay una forma directa para determinar la corriente que fluye por su salida.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. FIGURA 6.6 (o) Amp op que se emplea para construir un circuito amplificador no inversor. (b) Circuito con la corriente definida a través de /?, y R¡ asi como con ambas tensiones de entrada marcadas.
Observar que se utiliza de manera implícita la regla 1 del amp op ideal al definir la misma corriente a través de ambas resistencias: ninguna corriente fluye hacia la terminal de entrada inversora. Cuando se emplea el análisis nodal para obtener la expresión de usai en términos de ucnt, se tiene que
SECCIÓN 6.2 EL AMP OP IDEAL: UNA INTRODUCCIÓN AMABLE
A /W
#■
©
En el nodo a:
0 = — + — ~J^üL Ri
[4]
Rf
En el nodo b: Vb — ^ent
[5]
Determinar si se requiere información adicional. El objetivo consiste en obtener una sola expresión que relacione las tensio nes de entrada y salida, aunque ni la ecuación [4] ni la [5] parecen hacerlo. Sin embargo, aún no se ha empleado la regla 2 del amp op ideal, pero se verá que en casi todo circuito de amp op ambas reglas necesitan aprove charse para obtener una expresión como la que se busca. En consecuencia, se puede reconocer que va = v b = uent> con lo cual la ecuación [4] se convierte en: q
___
^ent ^ ^ent “ ^sal R!, Rf
Intentar encontrar la solución. Al reordenar la ecuación anterior, se obtiene una expresión de la tensión de salida en términos de la tensión de entrada uenI:
= ( 1+
) vm t= 11 ^ent= 55sen3í mV
Verificar la solución. ¿Es razonable o es esperada? Para fines comparativos, la forma de onda de salida se dibuja en la figura 6.7, junto con la l'omia de onda de entrada. En contraste con la forma de onda de salida del circuito amplificador inversor, observar que la entrada y la salida están en fase en el caso del amplificador no inversor. Este resultado no debe ser del todo inesperado: está implícito en el nombre “amplificador no inversor”. P R Á C T IC A
p FIGURA 6.7 Formas de onda de entrada y salida del circuito amplificador no inversor.
______________________________________________________
6 .1 En el circuito de la figura 6 .8 , obtener la expresión de usai en términos de i.'ent.
Respuesta: usai = vent. El circuito se conoce como un “seguidor de tensión", puesto que la tensión de salida rastrea o “sigue” a la tensión de entrada.
De la misma m anera que el am plificador inversor, el no inversor tra baja con entradas de cd y de ca, pero tiene una ganancia de tensión de usai / ven[ = 1 + ( R f / R i ) . Por lo tanto, si se fija el valor de R f = 9 Q y R \ = 1 Q, se obtiene una salida vsal 10 veces mayor que la tensión de entrada En con traste con el amplificador inversor, la entrada y la salida del amplificador no inversor posee siempre el mismo signo y la tensión de salida no puede ser menor que la de entrada; la ganancia m ínima es 1. Amplificador que se seleccione dependerá de la aplicación que se esté considerando. En el caso especial del circuito seguidor de tensión que se muestra en la figura 6 .8 , el cual representa un amplificador no-inversor donde el valor de R \ es oo y el de R f es cero, la
I FIGURA 6.8
CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
salida es idéntica a la entrada tanto en signo como en magnitud. Puede que ello parezca no tener sentido como un tipo general de circuito, pero hay que tener en mente que el seguidor de tensión no toma corriente de la entrada (en el caso ideal) por lo cual éste puede actuar como un dispositivo de almacenamiento en tre la tensión uent y alguna carga resistiva R/ conectada a la salida del amp op. Se mencionó con anterioridad que el nombre “amplificador operacional” se origina a partir de su uso en operaciones aritméticas en señales analógicas (es decir, no digitalizadas y en tiempo real). Como se puede ver en los dos circuitos siguientes, sus tareas incluyen tanto la suma como la resta de señales de tensión de entrada.
O b ten er la expresión de i;sai en térm inos de vf¡ v2 y del circuito de am p op de la figura 6.9, conocido tam bién como “amplificador sumador
Observar primero que el circuito es similar al circuito de amplificador inver sor de la figura 6.3. También aquí el objetivo es obtener una expresión para usai (que en este caso aparece a través de una resistencia de carga R l ) en tér minos de la entrada (en este caso i>i, i>2 y U3 ). En razón de que no puede circular ninguna corriente en la terminal de entrada inversora, se sabe que: i =
¿1
+
¿2
+ i3
Por lo tanto, se expresa la siguiente ecuación en el nodo marcado w¡CJ. A
Va
^sal
°= — R ^
Va
^1
+ — i r
Va
V2
+ — i r
Va
V3
+ — ¡ r
L a ecuación contiene tanto a usai como a las tensiones de entrada, pero desafortunadamente también incluye la tensión nodal va. Para eliminar esta cantidad desconocida de nuestra expresión, es necesario escribir una ecuación adicional que relacione va con usai, las tensiones de entrada, R f , y/o R . En este punto, hay que recordar que no se ha utilizado aún la regla 2 del amp op ideal, y que casi siempre se requieren ambas reglas para analizar un circuito de amp op. Por lo tanto, puesto que va = vj, = 0, se escribe lo siguiente:
SECCIÓN 6.2 EL AMP OP IDEAL: UNA INTRODUCCIÓN AMABLE
Al reacomodar, se obtiene la siguiente expresión de i>saj. Rf ,
Vsal — ---- ¡ r í ^ l + ^2 i - f3) K
[ 6]
En el caso especial en el que V2 = i >3 = 0, se puede observar que el resul tado concuerda con la ecuación [3], que se dedujo prácticamente para el mismo circuito. Se pueden observar varios aspectos interesantes acerca del resultado. Primero, si se elige R f de tal forma que sea igual a R , entonces la salida es el (negativo) de la suma de vj, i>2 yV3 . Además, se puede seleccionar el cociente de R f y R para multiplicar esta suma por una constante determinada. Así que, por ejemplo, si las ires tensiones representaran señales de tres escalas diferentes cali bradas de tal form a que —1 V = 1 Ib, se podría fijar R f = R / 2.205 para obtener una señal de tensión que representara el peso combinado en kilogramos (con un porcentaje de exactitud de alrededor de 1 % debido al factor de conversión). Además, se puede observar que RL no aparece en la expresión final. Siempre y cuando su valor no sea muy bajo, la operación del circuito no se verá afectada; hasta el momento, no se ha considerado un modelo lo suficientemente detallado de amp op que pueda predecir dicho evento. Esta resistencia representa el equivalente de Thévenin o cualquier elemento que se use para supervisar la salida del amplificador. Si el dispositivo de salida es un voltímetro simple, R l representa la resistencia equivalente de Thévenin vista mirando hacia las terminales del voltímetro (por lo común 10 MÍ2 o más). O bien, el dispositivo de salida podría ser un altavoz (casi siempre de 8 £2 ), en cuyo caso se escucha la suma de las tres fuentes sonoras inde pendientes; V], i >2 y 1)3 podrían representar los micrófonos en este caso. Una advertencia: con frecuencia resulta tentador suponer que la corriente de nominada i en la figura 6.9 no sólo fluye por R f sino también a través de R l - ¡No es cierto! Es muy posible que la com ente circule también por la terminal de salida del amp op, por lo que las corrientes que circulan por las dos resistencias no son las mismas. Por esta razón casi siempre se evita escribir ecuaciones de la LKC en la patilla de salida de un amp op, lo que lleva a que resulte preferible el análisis nodal sobre el de malla cuando se trabaja con la mayoría de los circuitos de amp op.
P R Á C T C,
___________
6.2 Obtener la expresión de vsai en términos de v¡ y ib para el circuito que se muestra en la figura 6 . 1 0 , también conocido como amplificador de diferencia. R
■ FIGURA 6.10 Respuesta: usai = V2 — v¡. Sugerencia: em plee la división de tensión p ara obtener v/,.
• -----------
-------
W V
--------------- {
179
180
TABLA
A A /V 6.1
CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
Resumen de los circuitos básicos de amp op
Nom bre
Esquem a del circuito
Relación entrada-salida
Amplificador inversor
^'sal —
A m plificador no-ínverscr l-’sa!
Seguidor de tensión (tam bién conocido como amplificador de ganancia unitaria)
1I+ ^
) l-cnt
^sal — ^ent
Amplificador sumador
Amplificador de diferencia
=
D ^'enl
«I
^sal
R
'
R-.
(ti
+V2+ f3)
Vsal = V 2 ~ V i
■( APLICACIÓN PRÁCTICA S is te m a d e in te r c o m u n ic a c ió n d e f ib r a ó p tic a Un sistema de intercomunicación de punto a punto se construye mediante varias técnicas diferentes, según el entorno de aplicación. Los sistemas de radiofrecuencia (RF) de baja potencia funcionan bastante bien, pero están sujetos a la interferencia de otras señales RF y también a menudo están bajo el asedio de escuchas furtivos. El uso de un alambre simple para conectar un micrófono a un al tavoz (con circuitos de amplificador apropiados) elimina en gran parte la interferencia RF y también incrementa la privacidad. Sin embargo, los alambres sufren de corrosión y cortocircuitos cuando se desgasta el aislamiento plás tico, y su peso resulta una complicación cuando se los emplea en aeronaves y similares (figura 6.11).
■ F IG U R A 6 .1 3 Circuito que se utiliza para convertir la señal eléctrica del micrófono en una señal óptica.
circuito de generación de señales, que incluye un micró fono, un diodo emisor de luz (LED) y un circuito de amp op no inversor para accionar al LED; no se muestran en la figura las conexiones para la alimentación que se necesita para el amp op. L a salida de luz del LED es casi propor cional a su comente, aunque es menor para valores de corriente muy pequeños y muy grandes. Se sabe que la ganancia del amplificador está dada por ^sal _ ^ent
I F IG U R A 6 .1 1 El entorno donde se instalará la aplicación a menudo impone restricciones de diseño. ™ & © Boeing. Usado bajo licencia.
I
Una alternativa consiste en convertir la señal eléctrica del micrófono en una señal óptica, que se transmite a través de una fibra óptica delgada (~ 5 0 fim de diámetro). Luego se reconvierte en una señal eléctrica, la cual se amplifica y transfiere a un altavoz. En la figura 6.12 se presenta un esquema de un sistema de este tipo; se necesitan dos sistemas de éstos para realizar la comuni cación de dos vías.
j
^ Rf R1
que es independiente de la resistencia equivalente del LED. Con la finalidad de seleccionar valores de R f y R i es necesario saber la tensión de entrada del micrófono y la tensión de salida necesaria para activar el LED. Una medición simple indica que la salida de tensión máxima del micrófono es igual a 40 mV cuando alguien habla nor malmente. El fabricante del LED recomienda operarlo a aproximadamente 1.6 V, por lo que se diseña para una ganancia de 1.6/0.04 = 40. Seleccionando de manera ar bitraria R i = 1 k£2 lleva a un valor de 39 kí2 para R f. El circuito de la figura 6.14 es la parte de recepción del sistema de intercomunicación de una vía. El con vierte la señal óptica proveniente de la fibra en una señal eléctrica, amplificándola de tal forma que un sonido au dible se emita por el altavoz.
Fuente
Micrófono
luminosa
© = □ = © Amplificador
Fotodetector
^0=1 Fibra óptica
Amplificador
■ F IG U R A 6 .1 2 Esquema con la mitad de un intercomunicador de fibra óptica simple.
íl
1
Considerar la generación y la detección de la señal óp tica por separado, puesto que los circuitos son en realidad eléctricamente independientes. La figura 6.13 muestra el
' F IG U R A 6 . 1 4 Circuito detector que se emplea para convertir la señal óptica en señal de audio. (Continúa en la siguiente página)
Después de acoplar la salida del LED con la fibra óp tica, se mide una señal de casi 10 mV máximos en el fotodetector. El altavoz se especifica para un máximo de 100 mW, y tiene una resistencia equivalente de 8 fi, lo que es igual a una tensión máxima de 894 mV, por lo que es necesario diseñar el amplificador de R 2 y R 3 para obtener una ganancia de 894/10 = 89.4. Si se selecciona
R 2 b 10 k fi, se puede observar que un valor de 884 kfi completa el diseño. El circuito real funcionará en la práctica, aunque la salida sonará un poco distorsionada, puesto que el LED no es lineal. Los diseños mejorados son tema de textos más avanzados.
6.3 t ETAPAS EN CASCADA_________________________ Si bien el amp op es un dispositivo en extremo flexible, hay num erosas apli caciones en las que un amp op sencillo no basta. En tales casos, a menudo se cum ple con los requisitos de la aplicación colocando en cascada varios amp op individuales al mismo tiempo en el mismo circuito. Un ejemplo de lo an terior se m uestra en la figura 6.15, que consiste en el circuito am plificador sum ador de la figura 6.9 con sólo dos fuentes de entrada y la salida alim en tada en un am plificador inversor simple. El resultado es un circuito amp op de dos etapas.
■ F IG U R A 6 .1 5 Circuito amp op de dos etapas compuesto por ur, amplificador sumador en cascada con un circuito de amplificador inversor.
Ya se analizó por separado cada uno de estos circuitos de amp op. Con base en la experiencia previa, si se desconectaran ambos circuitos amp op, se tendría: Rf vx = — - ( ü i + v2) K
^sal —
[7]
Ri R\
En realidad, puesto que los dos circuitos se encuentran conectados en un solo punto y la tensión vx no depende de la conexión, se pueden combinar las ecua ciones [7] y [8] y obtener, ^sal =
K\ K
(U1 + U2)
[9]
SECCIÓN 6.3 ETAPAS EN CASCADA
la cual describe las características de entrada-salida del circuito que se muestra en la figura 6.15. Sin embargo, no siempre se podrá simplificar dicho circuito a etapas que sean familiares, por lo que vale la pena echar un vistazo a la forma en que el circuito de dos etapas de la figura 6.15 puede analizarse como un todo. Cuando se analizan los circuitos en cascada, algunas veces resulta útil em pezar con la última etapa y trabajar desde atrás hacia la etapa de entrada. Con referencia a la regla 1 del amp op ideal, la misma corriente fluye por R\ y R 2. La forma de la ecuación nodal apropiada en el nodo marcado vc es:
R,
S2
Al aplicar la regla 2 del amp op ideal, se puede establecer vc = 0 en la ecuación [10], lo que origina:
0 = — + — Ri Ri
[11]
Debido a que el objetivo es la expresión de vSB¡ en términos de v i y v2, se pro cede hacia el primer amp op para obtener una expresión relativa de vx en térmi nos de las dos cantidades de entrada. Al aplicar la regla 1 del amp op ideal en la entrada inversora del primer amp op, se tiene:
Va —Vx
V„ —Vi
V„ —V2
0 = -2------i + —------ 1 + —------£ Rf R R
12
La regla 2 del amp op ideal permite sustituir va en la ecuación [12] por cero, ya que va = v¡, = 0. Por lo tanto, dicha ecuación se convierte en:
VrVl
D?
0 = — + — + — Rf R R
[13]
Se tiene ahora una ecuación para i;sai en términos de vx (ecuación [11]), y una ecuación para vx en términos de V] y v2 (ecuación [13]). Ambas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones [7] y [8], respectivamente, lo que quiere decir que la puesta en cascada de dos circuitos independientes, como el de la figura 6.15, no afecta la relación entrada-salida de cualquier etapa. Al combinar las ecuaciones [11] y [13] se puede observar que la relación entrada-salida del circuito amp op en cascada es:
Dsal =
JK\ K
+ vl)
[14]
que es idéntica a la ecuación [9]. Por consiguiente, el circuito en cascada actúa como un amplificador sumador,pero sin una inversión de fase entre la entrada y la salida. Al elegir con cuidado los valores de la resistencia, se amplifica o atenúa la suma de las dos tensiones de entrada. Si se elige R 2 = R\ y R¡ = R, se obtiene también un cir cuito de amplificador donde Dsai = ui + v2, si se desea.
»
■wv
0
184
A /W -
CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
E J E M P L O 6.3
I U n sistem a de com bustible propelente gaseoso de m últiples tanques se instala en un pequeño vehículo orbital lunar. L a cantidad de com bustible de cualquiera de los tanques se supervisa a través de la medición de la presión en el tanque (en psia2). Los detalles técnicos sobre la capacidad del tanque así como de la presión y rango de tensión del sensor se p ro p o r cionan en la tab la 6.2. D iseñar un circuito que proporcione una señal de tensión de cd positiva que sea proporcional a la cantidad de com bustible que quede, de modo que 1 V = 100.
TABLA 6.2 Información técnica del sistema de ______ _______ supervisión de la p resión de tanques Capacidad del tanque 1 Capacidad del tanque 2 Capacidad del tanque 3 Intervalo de presión del sensor Tensión de salida del sensor
lü 000 psia 10 000 psia 2 000 psia 0 a 12 500 psia 0 a 5 Vdc
A partir de la tabla 6.2 se puede observar que el sistema cuenta con tres tan ques de gas independientes que requieren tres sensores diferentes. Cada sensor está diseñado para 12 500 psia, con una salida correspondiente de 5 V. Por ende, cuando el tanque 1 esté lleno, su sensor proporcionará una señal de ten sión de5 X (10000/12500) = 4 V; lo mismo es válido para el sensor de su pervisión del tanque 2. Sin embargo, el sensor conectado al tanque 3 sólo pro porcionará una señal de tensión máxima de 5 X (2000/12500) = 800 mV. El circuito de la figura 6.16a muestra una posible solución, que emplea una etapa de amplificación de suma con i>i, v 2 y vj que representan las sali das de los sensores, seguida de un amplificador inversor para ajustar el signo y la magnitud de la tensión. En razón de que no se suministra la re sistencia de salida del sensor, se emplea un dispositivo de almacenamiento para cada uno de ellos en la forma que se muestra en la figura 6.16¿>; el re sultado es (en el caso ideal) que no existe flujo de corriente desde el sensor. Para m antener el diseño lo más simple posible, se comienza fijando el valor de las resistencias Ri, R2, R 3 y R 4 a 1 k£2; cualquier valor funcionará siempre y cuando las cuatro resistencias sean iguales. Por lo tanto, la salida de la etapa sumadora es Vx = - ( v i + v 2 + v 3)
L a etapa final del circuito invierte esta tensión y la transforma de tal manera que la tensión de salida es de 1 V cuando los tres tanques se encuentren llenos. Esta condición se presenta cuando vx = —(4 + 4 + 0.8) = —8.8 V. Así, la etapa final necesita una relación de tensiones de R e /R 5 = 1/8.8. Si se selecciona de manera arbitraria Re — 1 k£2, se encuentra que un valor de 8.8 k£2 para R¡ satisface el diseño.
(2) Libras por pulgada cuadrada, absoluta. Ésta es una medición de presión diferencial relativa a una referencia que es el vacío.
SECCIÓN 6.3 ETAPAS EN CASCADA
*4
Rl
«6
(b) ■ FIGURA 6.16 (o) Circuito propuesto que ofrece una lectura dei combustible restante total. (6) Diseño de un dispositivo de almacenamiento a fin de evitar errores asociados con la resistencia interna del sensor y las limitantes de su capacidad para proporcionar corriente. Uno de estos dispositivos de almacenamiento se utilizan en cada sensor, ofreciendo las salidas vh i/2 y i/3 a la etapa amplificadora de suma.
P R Á C T IC A
__________
_____________
6.3 Un puente con gran importancia histórica muestra signos de deterioro. Se ha decidido que, hasta que se pueda renovar, sólo podrán cruzarlo los ve hículos que pesen menos de 1600 kg. Para supervisar lo anterior, se diseña un sistema de pesado con cuatro capas de colchón. Hay cuatro señales de tensión independientes, una proveniente de cada colchón, dondel mV = 1 kg. Diseñar un circuito que proporcione una señal de tensión positiva que se desplegará en un MD (multímetro digital) y que represente el peso total del vehículo, de tal forma que 1 mV = 1 kg. Se puede suponer que no es nece sario almacenar las señales de tensión de los colchones. Respuesta: Vea la figura 6.17.
cada una (aunque cualquier valor estará bien siempre y cuando sean iguales). Las tensiones de entrada i/,,
v2, v-i y i/4 representan las señales de tensión de los sensores de los colchones de las cuatro ruedas y i/Hi es la señal de salida que se conectará a la terminal positiva de entrada del MD. Las cinco tensiones están referidas a tierra y la termina; común del MD deberá conectarse a tierra también.
*
AA/V
0
AAA/
-•
CAPÍTULO
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
6.4 , CIRCUITOS DE FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE En este capítulo y en capítulos anteriores se han utilizado a menudo fuentes de comente y de tensión ideales, las cuales se supone que proporcionan el mismo valor de corriente o de tensión, respectivamente, sin importar cómo se encuentren conectadas en un circuito. El supuesto de esta independencia tiene sus límites, por supuesto, como se mencionó en la sección 5.2 cuando se estudiaron las fuentes prácticas que incluían una resistencia inherente o “integrada”. El efecto de dicha resistencia era una reduc ción de la salida de tensión de una fuente de tensión a medida que se demandaba más corriente o una disminución de la corriente de salida a medida que se requería de más tensión de una fuente de corriente. Como se analizó en esta sección, es posible diseñar circuitos con características más confiables por medio del uso de amp op.
Una fuente de tensión confiable Una de las formas más comunes para proporcionar una tensión de referencia estable y confiable es por medio del uso de un dispositivo no lineal conocido con el nombre
i , Z e n e r t x a m p l e ( a c tiv e )
(a)
(b)
¿ener txam ple (active;
.
H ||X i
(c) ■ FIGURA 6.18 o) Esquema en PSpice de un circuito simple de tensión de referencia que se basa en el diodo Zener 1N750. b) Simulación del circuito que muestra la tensión del diodo Vref en función de la tensión de control VI. c) Simulación de la corriente de un diodo, donde se muestra que su valor máximo se excede cuando el valor de VI es más grande que 12.3 V. (Observar que el cálculo de este valor suponiendo un diodo Zener ideaI da 12.2 V.)
SECCIÓN 6.4 CIRCUITOS DE FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
•
AA/V
0
de diodo Zener. Su símbolo es un triángulo con una línea en forma de Z en la parte superior, como se muestra en el diodo 1N750 del circuito de la figura 6.18a. A pesar de ser un elemento de dos terminales, el diodo Zener se comporta de manera muy diferente que una resistencia simple (lineal). En particular, mientras que una resistencia es un dispositivo simétrico, un diodo no lo es. Sus dos termi nales están marcadas como ánodo (la parte plana del triángulo) y cátodo (el vertice del triángulo), y se logra un comportamiento muy diferente en función de la forma en que el diodo se inserta en el circuito. Un diodo Zener es un tipo especial de diodo que se diseñó para utilizarse con una tensión positiva en el cátodo con respecto al ánodo; cuando se conecta de esta forma, se dice que el diodo está po larizado en inversa. Con bajas tensiones, el diodo actúa como una resistencia con un pequeño incremento lineal en el flujo de corriente a medida que aumenta la tensión. Sin embargo, una vez que se alcanza una cierta tensión (V br ), — cono cida como tensión de ruptura inversa o tensión Zener del diodo— la tensión no aumenta en forma significativa, pero, en esencia, cualquier corriente puede circu lar hasta el valor máximo del diodo (75 mA en el caso del 1N750, cuya tensión Zener es de 4.7 V). Considerar el resultado de la simulación de la figura 6.18/?. el cual muestra la ten sión Vref en el diodo a medida que la fuente de tensión VI se barre desde 0 hasta 20 V. Siempre y cuando V I se mantenga arriba de 5 V, la tensión en el diodo será cons tante. Por ende, se podría sustituir VI por una batería de 9 V. sin que importen los cambios en la tensión de referencia ya que la de la batería comenzará a disminuir a medida que se descargue. La función de R l en este circuito es simplemente propor cionar la caída de tensión necesario entre la batería y el diodo; su valor debe selec cionarse para asegurar que el diodo se encuentra funcionando a su tensión Zener pero por debajo de su corriente máxima de diseño. Por ejemplo, la figura 6.18c muestra que el valor de 75 mA es excesivo en el circuito si la tensión VI de la fuente es mu cho mayor a 12 V. Por lo tanto, el valor de la resistencia R l debe diseñarse para que corresponda con la tensión de fuente disponible, como se analizará en el ejemplo 6.4.
EJEM PLO 6.4 Diseñar un circuito con base en un diodo Zener 1N750 que funcione con una sola batería de 9 V y proporcionar una tensión de referencia de 4.7 V. El diodo 1N750 tiene un valor de corriente máxima de 75 mA y una tensión Zener de 4.7 V. La tensión de una batería de 9 V puede variar ligeramente en función de su estado de carga, valor que se despreciará en este diseño. Un circuito simple como el que se muestra en la figura 6.19a es apropiado para el propósito de este ejemplo; el único problema es determinar el valor adecuado de la resistor 7?ref. Si en el diodo se cae una tensión de 4.7 V, entonces 9 — 4.7 = 4.3 V de berán caerse en Rref. Por ende, R re f =
9 - Vref _ 4.3 l ref
/ref
Se determina el valor de R rc¡ especificando un valor de corriente. Se sabe que no se permite que el valor de / ref exceda de 75 inA en este diodo y que corrientes más grandes descargarán la batería más rápido. Sin embargo, como se puede observar en la figura 6.19b, no se puede seleccionar simple mente /ref de manera arbitraria; valores de corriente muy bajos no permitirán (Continúa en la siguiente página)
a a / v-------------• ^ref -AAAr + 1N750 ' K V,
9V
CAPÍTULO
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
que el diodo funcione en la región de ruptura del diodo Zener. En ausencia de una ecuación detallada que muestre la relación tensión-corriente del diodo (la cual es claramente no lineal), como regla general, se diseña para 50% de la corriente máxima. Por lo tanto, R Tef
(a)
Ri AAAr 115
DC
- Q 37.10mA ov
Q
Se pueden obtener algunos “ajustes” llevando a cabo una simulación del circuito final con PSpice, aunque se puede observar en la figura 6.19c que en la primera corrida se logra un valor razonablemente cercano (dentro de 1%) al valor al que se intenta llegar.
(b)
37.10mA
4.3 = --------- = 115 0.0375
4.733V
El circuito básico para referencia de tensión con diodo Zener de la figura 6.18a funciona muy bien en muchas situaciones, pero limita de alguna manera el valor de la tensión dependiendo de qué diodos Zener se encuentren disponibles. Asimismo, a menudo se observa que el circuito que se muestra no es el más adecuado para apli caciones que requieren más de unos cuantos miliamperios de comente. En dichos casos, se puede utilizar el circuito de referencia Zener en conjunto con una simple etapa de amplificación, como se muestra en la figura 6.20. El resultado es una ten sión estable que puede controlarse ajustando el valor de R¡ o R f, sin tener que cam biar a un diodo Zener diferente.
37.10mA Í Z D! D1N750
“0 (C)
I FIGURA 6.19 (o) Circuito de referencia de tensión basado en ei diodo Zener 1N750. (b) Relación /-1/ del diodo, (c) Simulación PSpice del diseño final.
I FIG U RA 6.20 Fuente de tensión basada en amp op diseñada con una referencia de tensión Zener.
P R A C T IC A 6.4 Diseñar un circuito que proporcione una tensión de referencia de 6 V utilizando un diodo Zener 1N750 y un amplificador no inversor. Respuesta: Utilizando la topología de circuito que se muestra en la figura 6.20, selec cionar Vbat = 9 V, i?ref = 115 Q, R\ = l kí2, y R f = 268 Q.
Una fuente de corriente confiable Considerar el circuito que se muestra en la figura 6.21a, donde Vref lo propor ciona una fuente de tensión regulada como la que se muestra en la figura 6 .19a. El lector deberá reconocer este circuito como una simple configuración de am plificador inversor, suponiendo que se bloquea la pata de salida del amp op. Sin embargo, también es posible utilizar este circuito como fuente de comente, donde R l representa una carga resistiva. La tensión de salida Vref aparece en la resistencia de referencia R m f, puesto que la entrada no inversora del amp op está conectada a tierra. Como no circula
SECCIÓN 6.4 CIRCUITOS DE FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
• --------------------
A /W
(c) ■ FIGURA 6.21 (a) Fuente de corriente basada en amp op, controlada por la tensión de referencia V&.
(b) Circuito redibujado para resaltar la carga, (c) Modelo del circuito. La resistencia Ri representa el equivalente de Norton de un circuito con una carga pasiva desconocida. Jung, Walter G.: IC OP-AMP COOKBOOK, 3a. edición, © 1986. Reimpreso con permiso de Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ.
com ente a través de la entrada inversora, la corriente que circula a través de la resistencia de cargaR L es, simplemente,
En otras palabras, la corriente suministrada a RL no depende de su resistencia, el atributo principal de una fuente ideal de comente. También vale la pena men cionar que no se bloquea la tensión de salida del amp op como una cantidad de in terés, sino que se puede ver a la resistencia de carga R¡ como el equivalente de Norton (o de Thévenin) de algún circuito con una carga pasiva desconocida, que recibe potencia del circuito amp op. Si se redibuja el circuito ligeramente como se muestra en la ñgura 6.21 b, se observa que tiene mucho en común con el circuito de la figura 6.21c. En otras palabras, se puede utilizar este circuito amp op como
EJEMPLO 6.5 D iseñar una fuente de co rrien te que entregue resistiva a rb itra ria .
1 mA a una
carga
Con base en el diseño de los circuitos de las figuras 6.20 y 6.21a, se sabe que la com ente a través de la carga R¡_ está dada por
donde deben seleccionarse los valores de Vrefy ^ref y también diseñarse un circuito que proporcione Vrcf. Si se utiliza el diodo Zener 1N750 en serie (Continúa en la siguiente página)
190
---------------
VW
-------------------------------•
«L
B F IG U R A 6 .2 2 Posible diseño de la fuente de corriente que se desea. Observar el cambio en la dirección de la corriente en relación con la figura 6.216.
CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
con una batería de 9 V y una resistencia dé 100 Q se sabe a partir de la figura 6.18¿> que habrá una tensión de 4.9 V en el diodo. Por ende, Vref = 4.9 V, dicta un valor de 4 .9 /1 0 -3 = 4.9 k£2 para Rrcf. En la figura 6.22 se muestra el circuito completo. Obsérvese que si se hubiera supuesto una tensión del diodo de 4.7 V, el error en la corriente del diseño pudo haber sido de sólo un pequeño por centaje, el cual bien podría haber estado dentro del intervalo de porcentaje de tolerancia típico de 5 a 10% de los valores de resistencia que se esperan. El único problema que queda es si 1 mA puede proporcionarse para cualquier valor de R¡ . Para el caso de R¡ — 0, la salida del amp op será de 4.9 V, el cual es razonable. Sin embargo, a medida que se incrementa la re sistencia de carga, la tensión de salida del amp op aumenta. Tarde o tem prano se alcanzará algún límite, como se estudia en la sección 6.5. P R Á C T IC A
'
___________________________________________________
6.5 Diseñar una fuente de com ente capaz de proporcionar 500 fiA a una carga resistiva Respuesta: Vea Ja figura 6.23 donde se muestra una posible solución. Rl
■ FIGURA 6.23 Posible solución al problema de práctica 6.5
una fuente de corriente independiente con características esencialmente ideales, hasta alcanzar la comente de salida máxima del amp op que se seleccionó.
6.5 CONSIDERACIONES PRACTICAS ---------•-----------------------------------------------------------------------------------Un modelo más detallado del amp op *sal
F IG U R A 6 .2 4 Modelo más detallado del amp op.
Reducido a sus aspectos esenciales, el amp op se considera como una fuente de ^sal tensión dependiente controlada por tensión. La fuente de tensión dependiente pro porciona la salida del amp op y la tensión de la cual depende se aplica a las termi nales de entrada. Un esquema de un modelo razonable de un amp op práctico se muestra en la figura 6.24, en donde se incluye una fuente de tensión dependiente con ganancia de tensión A, una resistencia de salida Rs, y una resistencia de en trada Re. La tabla 6.3 proporciona valores usuales de tales parámetros respecto de varios tipos de amp op disponibles comercialmente. El parámetro A se conoce como la ganancia de tensión en lazo abierto del amp op, y por lo común se ubica en el intervalo de 105 a 106. Se puede observar que to dos los amp op que se presentan en la tabla 6.3 tienen una ganancia de tensión en lazo abierto muy alta, en especial si se la compara con la ganancia de tensión de 11
SECCIÓN 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS
TABLA
6.5
0
■wv
*
Valores de parámetros característicos de varios amp op diferentes
Núm ero de parte
// A741
LM324
LF411
AD549K
OPA690
Uso general 2 x 105 V/V
Quad (cuatro dispositivos de baja potencia) 105 V/V
Entrada JFET de bajo arrastre-,compensación baja 2i< 105 V/V
Corriente de polarización de entrada ultrabaja 106 V/V
amp op de frecuencia de video de banda ancha 2800V/V
Descripción
Ganancia en lazo abierto A Resistencia d e entrada
Resistencia d e salida C orriente d e polarización de entrada
2 Mfi 75 fi 80 nA
|
Tensión de 1.0 mV com pensación de entrada Razón de rechazo 90 dB en m o d o com ún (C M R R ) Velocidad d e té rm in o
45 nA
fi-fe TQ !h n 50 pA
10TQ ~ i5 a 75 fA /
2.0 mV
0.8 mV
0.150 mV
±1.0 mV
85 dB
100 dB
100 dB
65 dtí
*
15 V7/.|
3 V/(Us
1800 V/jus
*
0.5 V/¿¿s
M o d e lo PSpice
/
¡i
/
190 k íl *
3nA
/
* No proporcionado por el fabricante'./ Indica que un modelo PSpice se incluye en £-w sión 10.0 de Oread Capture C I£; ■'
que caracterizó al circuito amplificador no inversor del ejemplo 6.1. Resulta im portante recordar la distinción entre ganancia de tensión en lazo abierto del amp op mismo y la ganancia de tensión en lazo cerrado que caracteriza a un circuito de amp op particular. En este caso, el “lazo” se refiere a una trayectoria exte rn a entre la patilla (terminal) de salida y la patilla (terminal) de entrada inversora; puede ser un alambre, una resistencia u otro tipo de elemento, dependiendo de la aplicación. El ¡ ik lA l es un amp op muy común, producido originalmente por Fairchild Cor poration en 1968. Se caracteriza por una ganancia de tensión en lazo abierto de 200 000, una resistencia de entrada de 2 M fi y una de salida de 75 fi. Para evaluar en qué medida se aproxima el modelo del amp op ideal al comportamiento de este dis positivo particular, se volverá a revisar el circuito amplificador inversor de la figura 6.3.
EJEMPLO 6.6 Utilizar los valores apropiados del amp op /í A741 del modelo de la figura 6.24 y analizar nuevamente el circuito amplificador inversor de la figura 6.3. Se comienza sustituyendo el símbolo del amp op ideal de la figura 6.3 por el modelo detallado, lo que da lugar al circuito de la figura 6.25. O b se rv a r q u e y a n o se p u e d e re c u rrir a las reg la s d e l a m p o p ideal, p u e s to q u e n o se e stá u tiliza n d o e l m o d e lo d e a m p op ideal. Por lo tanto, se
pueden escribir dos ecuaciones nodales: 0=
~V d ~ Ver
Ri
0
Rf
V$a[ + V¿
Vsa ~ A v d
Rí
R„
+
~Vd
Ri
=
Al efectuar operaciones algebraicas directas pero largas, se elimina Vj y se combinan las ecuaciones para obtener la siguiente expresión correspondiente (Continúa en la siguiente página)
flEMUCII
A /W
-«
CAPÍTULO
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
-o
K
z'sal
o
AAAr 3 F IG U R A 6 .2 5 Circuito de amplificador inversor dibujado con el modelo de amp op detallado,
a iisai en términos de uent:
R¡
Al sustituir i)em= 5 sen3?mV, R j = 4.7 kQ, R f = 47 kí2, R 0 = 2 MÍ2, y A = 2 x 105, se obtiene: Usa! = -9.999448ye„t= -4 9 .9 9 7 2 4 sen3f
= 75 Q.
mV
Luego de comparar ésta con la expresión que se encontró suponiendo un amp op ideal (vsa¡ = — I- 10ucnt = — 50 sen 31 mV), se observa que éste re sulta en realidad un modelo razonablemente preciso. Además, el supuesto de un amp op ideal disminuye de manera considerable el nivel de álgebra requerido para efectuar el análisis de circuito. Observar que si se deja que A ->■ oo, R0 ->■ 0, y R ¡ oc, la ecuación [15] se reduce a Rf
que es la ecuación que se obtuvo antes del amplificador inversor cuando se supuso un amp op ideal.
6.6 Suponiendo una ganancia finita (A), en lazo abierto, una resistencia de entrada finita (R ¡) y una resistencia de salida cero ( R 0) , obtenga una expresión de usai en términos de uent del circuito de amp op de la figura 6.3. Respuesta: iWifent = — AR, S¡/[(1 +
A ) R t R, + R]Rj + RjR¡\.
Deducción de las reglas del amp op ideal Se ha visto que el amp op ideal es un modelo muy exacto del comportamiento de dispositivos prácticos. Sin embargo, si se utiliza el modelo más detallado que in cluye una ganancia finita en lazo abierto, una resistencia de entrada finita y una resistencia de salida distinta de cero, en realidad se obtienen de manera directa las dos reglas de amp op ideal. Con referencia a la figura 6.24, se puede observar que la tensión de salida del circuito abierto de un amp op práctico se expresa como:
«sal = A vd
[16]
SECCIÓN 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS
Al reordenar la ecuación, se puede ver que v¿, denominada algunas veces como tensión de entrada diferencial, se escribe como:
Como se podría esperar, hay límites prácticos para la tensión de salida vsai que se obtiene de un amp op real. Según se describe en la sección siguiente, es necesario conectar el amp op a suministros de tensión cd externos para alimen tar potencia a la circuitería interna. Tales alimentaciones de tensión externas representan el valor máximo de usai y se ubican por lo común en el intervalo de 5 a 24 V. Si dividimos 24 V por la ganancia en lazo abierto del ¿u,A741 (2 x 105), se obtiene v¿ = 120 / i V. Aunque no es igual a cero volts, un valor tan pequeño comparado con la tensión de salida de 24 V es prácticamente cero. Un amp op ideal tendría ganancia infinita en lazo abierto, lo que originaría v¿ = 0 indepen dientemente de usai; lo anterior remite a la regla 2 del amp op ideal. La regla 1 del amp op ideal establece que “ninguna corriente fluye hacia cualquier terminal de entrada”. De acuerdo con la figura 6.23, la com ente de entrada de un amp op es simplemente:
Se acaba de ver que v¿¡ suele ser una tensión muy pequeña. Como se observa en la tabla 6.3, la resistencia de entrada de un amp op característico es muy grande, ¡pues varía de los megaohms a los teraohms! M ediante el valor de Vd = 120 /iV anterior y R¡ = 2 M fi, se calcula una corriente de entrada de 60 pA es una com ente en extremo pequeña y para medirla se requeriría de un am perímetro especializado (conocido como picoamperímetro). En la tabla 6.3, la com ente de entrada característica (denominada con mayor precisión corriente de polarización de entrada) de un //A 74 I es sólo de 80 nA. Comparada con las otras com entes que fluyen en un circuito de amp op común, el valor es esencial mente cero. Los amp op más modernos (como el AD549) tienen incluso comentes de polarización de entrada inferiores. Por lo tanto, se concluye que la regla 1 del amp op ideal es un supuesto bastante razonable. Con esta explicación, queda claro que un amp op ideal tiene una ganancia de tensión en lazo abierto infinita y una resistencia de entrada infinita. Sin embargo, no se ha considerado aún la resistencia de salida del amp op y sus posibles efec tos en nuestro circuito. Con referencia a la figura 6.24, se ve que: ^sal
R qÍ sal
donde ¿Sai circula desde la pata de entrada del amp op. De tal modo, un valor de Ra distinto de cero actúa para reducir la tensión de salida, un efecto que se vuelve m ás pronunciado cuando aum enta la corriente de salida. Por esta razón, un amp op ideal tiene una resistencia de salida de cero ohms. El ¡jlA741 tiene una resistencia de salida m áxim a de 75 Q, y los dispositivos más modernos, como el AD549 y el AD515A, tienen incluso una resistencia de salida inferior.
Rechazo en modo común El amp op a veces se conoce como amplificador diferencial, debido a que la salida es proporcional a la diferencia de tensión entre las dos terminales de entrada. Ello significa que si se aplican tensiones idénticas en ambas terminales de en-
*
A /W
0
1 9 4 )---------------
VW
CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
------------------------------ • R
trada, se puede esperar que la tensión de salida sea cero. Esta capacidad de un amp op es lina de sus cualidades más atractivas y se conoce como rechazo en m odo com ún. El circuito de la figura 6.26 se conecta para proporcionar una tensión de salida »sal
■ FIGURA 6.26 Amp op conectado con un amplificador diferencial.
v s¡¿ = v 2 ~ Vl
y Si vi = 2 + 3sen3í volts y v¡ = 2 volts, se debe esperar que la salida fuera “ —3 sen 31 volts; la componente de 2 V común a vi y t>2 no se amplificaría ni aparecería en la salida. En amp op prácticos, se encuentra que, en realidad, una pequeña contribu ción a la salida es respuesta a las señales en modo común. Con el fin de comparar un tipo de amp op con otro, a menudo es útil expresar la capacidad de un amp op para rechazar señales en modo común a través de un parámetro conocido como razón de rechazo en modo común, o CM RR. Cuando se define uOCMcomo la salida que se obtiene cuando ambas entradas son iguales (v\ = i>2 = ^cm)> se puede determinar A c m , la ganancia en modo común del amp op, A cm
y»CM VCM
A continuación se define el CMRR en términos del cociente de la ganancia en modo diferencial A y la ganancia en modo común A cm. o CMRR =
A
[18]
^CM
aunque a menudo se expresa en decibeles (dB), que es una escala logarítmica: CMRR(dB) = 20 log10
A
dB
[19]
*CM
En la tabla 6.3 se proporcionan valores típicos de algunos amp op; un valor de 100 dB corresponde a una relación absoluta de 105 de A y Acm -
Retroalimentación negativa Se ha visto que la ganancia en lazo abierto de un amp op es muy grande e ideal mente infinita. Sin embargo, en situaciones prácticas su valor exacto varía respecto del valor que el fabricante especifica como característico. Es posible, por ejem plo, que la temperatura tenga varios efectos importantes en el desempeño de un amp op, de modo que el comportamiento de operación a —20°C quizá sea muy diferente del observado en un caluroso día soleado. Además, hay pequeñas variaciones características entre dispositivos fabricados en diferentes momen tos. Si se diseña un circuito en el que la tensión de salida sea la ganancia en lazo abierto multiplicada por la tensión en una de las terminales de entrada, la tensión de salida sería difícil de predecir con un razonable grado de precisión, por lo que podría esperarse que cambiara en función de la temperatura ambiente. Una solución a tales problemas potenciales consiste en emplear la técnica de retroalimentación negativa, que es el proceso de sustraer una pequeña fracción de la salida y añadirla a la entrada. Si algún suceso cambia las características del circuito de modo que la salida intente aumentar, simultáneamente la entrada se reduce. Una gran cantidad de retroalimentación negativa evitará toda amplifi cación útil, aunque una cantidad pequeña proporciona estabilidad. Un ejemplo de retroalimentación negativa es la desagradable sensación que se experimenta cuando se pone una mano cerca de una flama. Mientras más se la acerque, más
SECCIÓN 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS
grande es la señal negativa que se envía desde la mano. Sin embargo, si se exagera la proporción de retroalimentación negativa, se ocasionaría el rechazo del calor y, a la larga, la muerte por congelamiento. La retroalimentación positiva es el proceso donde determinada fracción de la señal de salida se suma de nuevo a la entrada. Un ejemplo común es cuando un micrófono se dirige haciaun altoparlante: rápidamente, un sonido muy suave se amplifica cada vez más, hasta que el sistema “chilla”. Por lo general, la retroalimentación positiva conduce a un sistema inestable. Todos los circuitos que se estudian en este capítulo incorporan una retroali mentación negativa a través de la presencia de una resistencia entre la patilla (terminal) de salida y la entrada inversora. El lazo resultante entre la salida y la entrada reduce la dependencia de la tensión de salida respecto del valor real de la ganancia en lazo abierto (como en el ejemplo 6.6). Ello elimina la necesidad de medir la ganancia precisa en lazo abierto de cada amp op que se usa, pues pe queñas variaciones de A no afectarán de manera significativa la operación del circuito. Además, la retroalimentación negativa proporciona una mayor estabili dad en situaciones donde A es sensible en los alrededores de los amp op. Por ejemplo, sí A aumenta en forma repentina como respuesta a un cambio en la temperatura del ambiente, se agrega una tensión de retroalimentación mayor a la entrada inversora, lo cual reduce la tensión de entrada diferencial v,¡\ por lo tanto, el cambio en la tensión de salida A es más pequeño. Se debe notar que la ganancia de circuito en lazo cerrado siempre es menor que la ganancia del dis positivo en lazo abierto. Es el precio que se paga por la estabilidad y la reduc ción de la sensibilidad ante los cambios en los parámetros.
Saturación Hasta ahora, se ha considerado el amp op como un dispositivo puramente lineal, bajo el supuesto de que sus características son independientes de la manera en la que se conecta en un circuito. En realidad, se requiere suministrar potencia a un amp op para accionar la circuitería interna, como se muestra en la figura 6.27. Un suministro positivo, por lo común en el intervalo de 5 a 24 V cd, se conecta a la terminal marcada como V+, a la vez que un suministro negativo de igual magni tud se conecta a la terminal señalada como V - . En un número limitado de apli caciones resulta aceptable un suministro de tensión sencillo, así como situaciones en las que las dos magnitudes de tensión tal vez sean desiguales. El fabricante de amp op casi siempre especificará una tensión del suministro máximo de potencia, más allá del cual ocurrirán daños en los transistores internos. Las tensiones del suministro de potencia son una elección crítica cuando se diseña un circuito de amp op, debido a que representan la tensión de salida máxima posible del mismo amp.3 Por ejemplo, considerar el circuito de amp op que se muestra en la figura 6.26, ahora conectado como un amplificador no in versor con una ganancia de tensión de 10. Como se muestra en la simulación con PSpice de la figura 6.28, se observa un comportamiento lineal en el amp op, pero sólo en el rango de ± 1 . 71V de la tensión de entrada. Fuera de este rango, la tensión de salida ya no es proporcional a la entrada, y alcanza su magnitud pico de 17.6 V. Este efecto no lineal se conoce con el nombre de saturación, el cual se refiere al hecho de que cualquier incremento adicional en la tensión de entrada no proporciona un cambio en la tensión de salida. Este fenómeno se re fiere al hecho de que la salida de un amp op real no puede exceder sus tensiones de suministro. Por ejemplo, si se opta por que el amp op funcione con un (3) En la práctica, se encuentra una tensión de salida máxima un poco menor que la tensión de suministro de un volt, más o menos.
■ FIGURA 6.27 Amp op con suministros conectados de tensión positiva y negativa. Se utilizan como ejemplo dos suministros de 18 V; observar la polaridad de cada fuente.
A /W
-•
CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
■ FIG U RA 6.28 Características de entrada-salida de un /¿A741 conectado como amplificador no inversor con una ganancia de 10 y alimentado por fuentes de ± 18 V.
suministro de + 9 V y con uno de —5 V entonces la tensión de salida estará limi tada al intervalo de —5 a + 9 V. La salida de un amp op es una respuesta lineal limitada acotada por las regiones de saturación positiva y negativa, por lo que, como regla general, los circuitos de amp op se diseñan de manera que no entren en form a accidental en la región de saturación. Ello requiere elegir con cuidado la tensión de operación, con base en la ganancia en lazo cerrado y la tensión de entrada esperada máxima.
Tensión de compensación de entrada
I FIGURA 6.29 Circuiteria externa sugerida para obtener una tensión de salida cero. Los suministros de ± 10 V V se dan como un ejemplo; las tensiones de suministro reales utilizadas en el circuito final se deben elegir en la práctica.
Según ha comenzado a descubrirse, hay varios aspectos prácticos que se debe con siderar cuando se trabaja con los amp op. Una situación no ideal particular que vale la pena mencionar es la tendencia de los amp op reales a tener una salida dis tinta de cero, incluso cuando las dos terminales de entrada se ponen simultánea mente en corto. El valor de la salida bajo tales condiciones se conoce como tensión de compensación, mientras que la tensión de entrada requerida para reducir la salida hasta cero recibe el nombre de tensión de compensación de entrada. En la tabla 6.3 se puede observar que los valores característicos de la tensión de compen sación de entrada son del orden de unos cuantos milivolts o menos. La mayoría de los amp op incluyen dos patillas marcadas como “compen sación del cero” o “balance”, las cuales se utilizan para ajustar la tensión de salida conectándolas a una resistencia variable, que es un dispositivo de tres terminales empleado con frecuencia en aplicaciones como los controles de volumen de las radios. El dispositivo incluye una perilla que se gira para seleccionar el valor real de resistencia y tiene tres terminales. Si la resistencia variable se conecta utilizando sólo las dos terminales de los extremos, su resistencia se fija sin que importe la posición de la perilla. El uso de la terminal m edia y de una de las term inales de los extremos lo convierten en una resistencia cuyo valor depende de la posición de la perilla. La figura 6.29 muestra el circuito carac terístico mediante el cual se ajusta la tensión de salida de un amp op; la hoja de datos del fabricante quizá sugiera una circuiteria alternativa para un disposi tivo particular.
AA/V
SECCIÓN 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS
0
Velocidad de decaimiento Hasta el momento, se ha supuesto tácitamente que el amp op responderá de la misma form a a las señales de cualquier frecuencia, aunque quizás no sería sor presivo saber que en la práctica existe una limitación a este respecto. Puesto que se conoce que los circuitos con amp op funcionan bien en cd, lo cual es, en esen cia, una frecuencia igual a cero, lo que se debe considerar es el desempeño a medida que la frecuencia de la señal a u m e n ta . Una medida del desempeño en frecuencia de un amp op es su velocidad de decaimiento, la cual es la velocidad a la que la tensión de salida puede responder a los cambios de la entrada; a menudo se expresa como V//us. La especificación de la velocidad de decaimiento típico de algunos dispositivos disponibles en el mercado se proporciona en la tabla 6.3, la cual muestra los valores del orden de algunos volts por microsegundo. Una excepción importante es el OPA690, que está diseñado como un amp op de alta velocidad para aplicaciones de video que requieren operar a varios cientos de MHz. Com o puede observarse, una respetable velocidad de de caimiento de 1800 V//us no es nada raro en este dispositivo, aunque sus demás parámetros se ven afectados como consecuencia de esta característica, especial mente la corriente de polarización de entrada y el CMRR. Las simulaciones con PSpice que se muestran en la figura 6.30 ilustran la degradación del desempeño de una amp op debido a las limitaciones de la ve locidad de decaimiento. El circuito simulado es un LF411 configurado como am plificador no inversor con una ganancia de 2 y alimentado por fuentes de ± 1 5 V.
□ U ( U in :+ )
(a)
> U ( U 1 : 0U T )
(»
□ U { U in :+ )
U ( U 1 : 0U T ) T in e
(c) ■ FIGURA 6.30 Simulación del desempeño cié un amp op LF411 conectado como amplificador no inversor con una ganancia de 2, alimentación de ±15 V y forma de onda pulsada de entrada, (a) Tiempos de subida y bajada = 1fjs, ancho de pulso = 5 fjs; (b) tiempos de subida y bajada = 100 ns, ancho de pulso = 500 ns; (c) tiempos de subida y bajada = 50 ns, ancho de pulso = 250 ns.
AA/V
-•
CAPÍTULO
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
La forma de onda de entrada, que se muestra en verde, tiene una tensión pico de 1 V; la tensión de salida se muestra con rojo. La simulación de la figura 6.30a corresponde a un tiempo de subida y de bajada de 1 /¿s, el cual a pesar de que es un tiempo muy corto para los seres humanos, es fácilmente alcanzable por el LF411. A medida que los tiempos de subida y bajada disminuyen por un factor de 10 a 100 ns (figura 6.30b), se comienza a ver que el LF411 experimenta algunas difi cultades para seguir la entrada. En el caso de un tiempo de subida y bajada de 50 ns (figura 6.30c), se puede observar que no sólo existe un retraso significativo entre la salida y la entrada, sino que la forma de onda se distorsiona de manera considerable, lo cual no es una buena característica en un amplificador. Este comportamiento ob servado es congruente con la típica velocidad de decaimiento de 15 V//xs que se es pecifica en la tabla 6.3, la cual muestra que es posible que se espere que la salida requiera de 130 ns aproximadamente para cambiar de 0 a 2 V (o 2 V a 0 V).
Encapsulamiento Los amp op modernos se presentan en varios tipos diferentes de encapsulamientos. Algunos estilos son más apropiados para altas temperaturas, por lo que hay una variedad de formas diferentes para montar los CI en los tableros de circuito impreso. La figura 6.31 muestra varios tipos diferentes del LM741 fabricados por National Semiconductor. El término “NC” junto a una patilla significa “no connection”. Los es tilos de encapsulamiento exhibidos en la figura son configuraciones estándar que se utilizan en un gran número de circuitos integrados diferentes; en ocasiones hay más patillas (terminales) disponibles en un encapsulamiento de las que se requieren. encapsulam iento de envase metálico
encapsulamiento doble en línea o S.O. empaque plano de cerám ica compensación del cero
compensación del cero+
entrada inversora
entrada entrada + a no inversora «•* V-
■compensación del a
(a)
(b)
(c)
I FIGURA 6.31 Varios estilos de encapsulamiento diferente del amp op LM741. (a) Envase metálico; (b) encapsulamiento doble en línea; (c) empaque plano cerámico. § 2000 National Semiconductor Corporation/www.national.com).
A N Á LISIS A SIST ID O POR C O M PU T A D O RA Como se acaba de ver, PSpice puede ser de una enorme ayuda en la predicción de la salida de un circuito amp op, especialmente en el caso de entradas que varían con el tiempo. Sin embargo, se podrá observar que el modelo ideal de amp op concuerda bastante bien con las simulaciones con PSpice como regla general. Cuando se efectúa una simulación PSpice de un circuito de amp ops, debe tenerse el cuidado de recordar que los suministros cd positivo y negativo deben conectarse al dispositivo. Si bien el modelo muestra las patillas de compen sación utilizadas para poner en cero la tensión de salida, PSpice no hace ninguna compensación, por lo que las patillas (terminales) se dejan casi siem pre flotando (sin conectar). La tabla 6.3 presenta los diferentes números de serie de los amp op disponibles en la versión de evaluación de PSpice; otros modelos se ob tienen en la versión comercial del programa y de otros fabricantes.
SECCION 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS
•-
--- \A /V
0
EJEMPLO 6.7 Simular el circuito de la figura 6:3 mediante PSpice. Determinar el o los puntos en los que empieza la saturación sí se utilizan suministros de ± 1 5 V cd para alimentar el dispositivo. Comparar la ganancia calculada por PSpice con la que se pronosticó con el modelo de amp op ideal. Para empezar, es necesario dibujar el circuito de amplificador inversor de la figura 6.3 mediante la herramienta de captura de diagramas, que se muestra en la figura 6.32. Observar que se requieren dos suministros separados de 15 V de cd para accionar el amp op. fSt
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Xi—•.1;-Jffi:_;___ •
■ FIGURA 6.32 El amplificador inversor de la figura 6.3 se dibujó utilizando un amp op ¡j,A741.
En el análisis previo, un modelo de amp op ideal predijo una ganancia de —10. Con una entrada de 5 sen 3í mV, lo cual provoca una tensión de salida de —50 sen 3í mV. Sin embargo, hubo un supuesto implícito en el análisis respecto de que cualquier entrada de tensión se amplificaría por un factor de —10. Con base en consideraciones prácticas, se espera que sea cierto para tensiones de entrada pequeñas aunque, a la larga, la salida se saturará hasta un valor comparable a la correspondiente tensión del suministro de potencia. Se llevó a cabo un barrido de cd de —2 a + 2 volts, como se muestra en la figura 6.33; éste es un rango ligeramente mayor que la tensión de ali mentación dividida entre la ganancia, por lo que se espera que los resultados incluyan las regiones de saturación positivas y negativas. Como se puede observar, si se utiliza el cursor en los resultados de la simu lación que se muestran en la figura 6.34a (ampliados en la figura 6.34b para mayor claridad), la característica de entrada-salida de un amplificador es en reali dad lineal a lo largo de un intervalo amplio de entrada, que corresponde aproxi madamente a —1.45 < Vs < + 1.45 V. Este intervalo es un poco menor que el que se define al dividir las tensiones positiva y negativa de suministro entre la ganancia. Fuera de dicho intervalo, la salida del amp op se satura, con sólo una ligera dependencia de la tensión de la entrada. De esta forma, en las dos regiones de saturación, el circuito no se comporta como un amplificador lineal. Al aumentar el número de dígitos del cursor (Tools, Options, Number of Cursor Digits) hasta 10, encontramos que la tensión de entrada es de (Continúa en la siguiente página)
200
i-------W V
CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
Sim ulation Settings Genera!
A n d á is
Figure 6_31
j Configuratior! Fi!es j Optians
Ananas type:
| Data Coiection
Sweep variable
j DC Sweep
?• Voltage source
Options:
C Current source C Global parameter
r¿Secondary Sweep □ M o n le Carlo/W orst Case LjParam etnc Sweep ¡□ Tem peratura (Sweep) □ S a v e Bias Point ÍD L o a d Bias Point
j
Probe Window ]
—
C' Model parameter C" Temperatura S w e e p ty p e
--------
Start valué:
<* Linear f
Logarithmie
End valué:
jDe
C Valué list j
OK
Cancel
Help
■ F IG U R A 6 .3 3 Ventana de configuración del barrido de DC.
M I K U I :O U T )
U_Us (a)
Cursor A1 = - 1 . 4 5 , 112 = 1 .45 , riif= - 2 . 9 1 ,
Probé
1 4 .5 I -14.5 2 9.0 |
ib) ■ F IG U R A 6 .3 4 (a) Tensión de salida del circuito amplificador no inversor, con el comienzo de la saturación señalado con el cursor. (b) Acercamiento de la ventana del cursor.
Vs = l.OV, la tensión de salida es —9.99548340, ligeramente menor que el valor de —10 predicho a partir del modelo del amp op ideal, y un poco diferente del valor —9.999448 que se obtuvo en el ejemplo 6.6 mediante el modelo analítico. No obstante, los resultados predichos por el modelo ¿iA741 de PSpice están dentro de unos cuantos centésimos de porcentaje de cualquier modelo analítico, lo que demuestra que el modelo de amp op ideal
SECCIÓN
6.6 LOS COMPARADORES Y EL AMPLIFICADOR DE INSTRUMENTACIÓN
A /V V
»
es en realidad una aproximación muy precisa para los modernos circuitos integrados de amplificador operacional. P R Á C T I CA
____________ ____________________ _____________________
6.7 Simular los restantes circuitos de amp op que se describieron en este capítulo y comparar los resultados con los predichos por el modelo ideal del amp op.
6.61 LOS COMPARADORES Y EL AMPLIFICADOR_______ * DE INSTRUMENTACIÓN El comparador Cada circuito amp op que se ha estudiado hasta ahora ha incluido una conexión eléctrica entre la pata de salida y la pata de entrada inversora, a la cual se le conoce como operación de lazo cerrado y se utiliza para proporcionar retroali mentación negativa como se mencionó con anterioridad. La operación de lazo cerrado es el método preferido para utilizar un amp op como amplificador, ya que sirve para aislar el desempeño del circuito de las variaciones en la ganancia de lazo abierto que surgen a partir de las variaciones de temperatura o de defec tos de fabricación. Sin embargo, existe un gran número de aplicaciones donde representa una ventaja la utilización del amp op con una configuración de lazo abierto. Los dispositivos diseñados para utilizarse en dichas aplicaciones a menudo se conocen como c o m p a ra d o re s , ya que están diseñados en forma ligera mente distinta de los amp op normales a fin de mejorar su velocidad cuando tra bajan en lazo abierto. La figura 6.35a muestra un simple circuito comparador donde una tensión de referencia de 2.5 V está conectada a la entrada no inversora y la tensión a comparar (uent) está conectada a la entrada inversora. En razón de que el amp op tiene una ganancia de lazo abierto A muy grande (típicamente 105 o mayor, como se puede observar en la tabla 6.3), no es necesario una diferencia de ten sión muy grande entre las terminales de entrada para llevarlo al punto de satu ración. En realidad, se requiere una tensión de entrada diferencial tan pequeña como la tensión de alimentación dividida entre A, esto es, aproximadamente 28U -I---- T---- ;---- ;---- T--------- T---- T-----;---- T---- -----7----T---- 7---- 7--------- 7---- 7---- --
—12 V
Compensación í del cero I^
«J
1 .8 V
2 . BU
3 . BU
4 . §U
5 .0 U
(V) (a)
(b)
■ FIGURA 6.35 (a) Ejemplo de un circuito comparador con una tensión de referencia de 2.5 V. (b) Gráfica de la característica entrada-salida.
0
A A A a
CAPÍTULO
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
± 1 2 0 /xV en el caso del circuito de la figura 6.35a y A = 105. En la figura 6 3 5 b se muestra la salida distintiva del circuito comparador, donde la respuesta varía entre el valor positivo y negativo de la saturación, sin que haya en esen cia una región de “amplificación” no lineal. Por ende, una salida positiva de 12 V del comparador indica una tensión de entrada 12 V m enor que la tensión de referencia, mientras que una salida negativa de 12 V señala una tensión de en trada m ayor que la referencia. Se logra un comportamiento opuesto si se conecta la tensión de referencia a la entrada inversora.
EJ EMP LO
6.8 Diseñar un circuito que proporcione una salida ‘1 lógico” de 5 V si cierta señal de tensión cae por debajo de 3 V¿y que sea igual a cero en cualquier otro caso. i
^señal
F IG U R A 6 .3 6 Posible diseño del circuito requerido.
i En razón de que se desea que la salida del comparador varíe entre 0 y 5 V, se utilizará un amp op con una única fuente de + 5 V conectada como se muestra en la figura 6.36. Se conecta una tensión de referencia de + 3 V a la entrada no inversora, la cual puede ser proporcionada por las dos baterías de 1.5 V en serie, o un circuito de referencia a base de un diodo Zener. La señal de tensión de salida (que se designa como i;scfla|), entonces se conecta a la entrada inver sora. En realidad, el rango de tensión de saturación de un circuito comparador será ligeramente menor que el de las tensiones de alimentación, por lo que será necesario realizar algunos ajustes en conjunto con la simulación y la prueba. P R A C T IC A
________
6.8 Diseñar un circuito que proporcione una salida de 12 V si una cierta tensión (ferial) excede el valor de 0 V, y una salida de —2 V en cualquier otro caso. Respuesta: La posible solución se muestra en la figura 6.37.
I F IG U R A 6 .3 7 Una posible solución al problema de práctica 6.8.
Amplificador de instrumentación El circuito comparador básico actúa sobre la diferencia de tensión entre las dos terminales de entrada del dispositivo, aunque desde el punto de vista técnico no amplifica las señales ya que la salida no es proporcional a la entrada. El am plificador diferencial de la figura 6.10 también actúa sobre la diferencia de ten sión entre las entradas inversora y no-inversora y, siempre y cuando se evite la saturación, generará una salida directamente proporcional a esta diferencia. Sin embargo, cuando se esté trabajando con una tensión de entrada muy pe queña, una m ejor opción es un dispositivo conocido como am plificador de
SECCIÓN
6.6 LOS COMPARADORES Y EL AMPLIFICADOR DE INSTRUMENTACIÓN
instrum entación, el cual está formado en realidad por tres dispositivos amp op en un solo encapsulado. Un ejemplo común de la configuración del amplificador de instrumentación se muestra en al figura 6.38a y su símbolo se muestra en la figura 6.38b. Cada una de las entradas alimenta directamente a la etapa de seguidor de tensión y la salida de ambos seguidores alimenta a una etapa del amplificador diferencial. En particu lar, el amplificador de instrumentación se adecúa muy bien en aplicaciones donde la señal de tensión de entrada es muy pequeña (por ejemplo, del orden de milivolts), como las que generan los termoacopladores o medidores de esfuerzo y donde pueda presentarse una señal grande de ruido en modo común de varios volts.
(b) l F IG U R A 6 .3 8 (o) Amplificador de instrumentación básico. (b) Símbolo que se utiliza comúnmente.
Si todos los componentes del amplificador de instrumentación se fabricaran en la misma “pastilla” de silicio, sería posible obtener características del disposi tivo muy precisas y lograr cocientes exactos de los dos conjuntos de resistencias. Con la finalidad de maximizar el CMRR del amplificador de instrumentación, se espera que R 4/ R 3 = R 2 / R 1 , por lo que se obtiene una amplificación igual de componentes en modo común de las señales de entrada. Para analizar esta cuestión con más detalle, se identificará la tensión a la salida del seguidor de ten sión en la parte superior como “i>_” y la tensión a la salida del seguidor de tensión en la parte inferior como “u+”. Bajo el supuesto de que los tres amp op son ideales y eligiendo a la tensión en cualquiera de las entradas de la etapa diferencial, vx, se pueden escribir las ecuaciones nodales siguientes: vx - v -
vx - vsaí _ 0
R1
[ 20]
R2
vx — v+
—------ i r3
vx
+ — = 0
r4
[2 1 ]
Despejando vx en la ecuación [21], se tiene que vx =
v+ 1 + R 3/ R 4
[ 22]
y sustituyendo este valor en la ecuación [20] se obtiene la expresión de usai en términos de la entrada: /?4 / 1 + R 2/ R 1 \ R2 usal = — -------------- I v+ ------- v_ R 3 \ l + R 4 / R 3) + R 1
[23]
A partir de la ecuación [23] es evidente que el caso general permite la ampli ficación de los componentes en modo común de las dos entradas. Sin embargo,
A /W
CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
en el caso particular donde Rj./R} = R 2 / R 1 = K, la ecuación [23] se reduce a K (u+ — V - ) = K v¿, de tal forma que (suponiendo amplificadores operacionales ideales) se amplificará sólo la diferencia y la ganancia estará determinada por el cociente de las resistencias. En razón de que estas resistencias están en el interior del amplificador de instrumentación y el usuario no puede acceder a ellos, los dis positivos prácticos como el AD622 permiten que pueda fijarse la ganancia en cualquier punto dentro del intervalo de 1 a 1000 conectando una resistencia ex terna entre dos de sus patillas (se muestra en la figura 6.38b como Ra)-
RESUMEN Y REPASO______________________________ □ Existen dos reglas fundamentales que deben aplicarse cuando se analizan los circuitos de amp op ideales: 1. No fluye com ente hacia ninguna terminal de entrada. 2. Nunca existe tensión entre las terminales de entrada. □ La tensión de salida de los circuitos de amp op suele analizarse en términos de alguna cantidad o cantidades de entrada. □ El análisis nodal suele ser la mejor elección para analizar los circuitos de amp op; además, resulta más conveniente empezar en la entrada y trabajar hacia la salida. □ No se puede suponer la corriente de salida de un amp op; debe calcularse después de que la tensión de salida se determinó de manera independiente. □ L a ganancia de un circuito de amp op inversor está dada por la ecuación Usal —
Rf
^ent R1 □ La ganancia de un circuito de amp op no inversor se obtiene mediante la ecuación: Usal = ( l +
^nt
□ Una resistencia casi siempre se conecta desde la patilla (terminal) de salida de un amp op hasta su patilla (terminal) de entrada inversora, lo cual incorpora una retroalimentación negativa en el circuito para incrementar la estabilidad. □ El modelo de amp op ideal se basa en la aproximación de la ganancia infinita en lazo abierto A, la resistencia de entrada infinita R¡ y la resistencia de salida cero Ra. □ En la práctica, el intervalo de la tensión de salida de un amp op está limitado por las tensiones de suministro utilizadas para activar el dispositivo.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Dos libros muy amenos que tratan acerca de las aplicaciones de los am p op son:
R. Mancini (ed.). OpAmpsAre ForEveryone, 2a. ed. Amsterdam: Newnes, 2003. También se encuentra disponible en el sitio web de Texas Instruments (www.ti.com). W. G. Jung, Op Amp Cookbook, 3a. ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1997. Las características del diodo Zener y otros tipos de diodos se estudian en el capítulo 1 de
W. H. Hayt. Jr. and G. W. Neudeck, Electronic Circuit Analysis and Design, 2a. ed. Nueva York: Wiley, 1995.
EJERCICIOS
AAAr
Uno de los primeros reportes sobre la implantación de un "amplificador operacional" se puede encontrar en
J. R. Ragazzini, R. M. Randall y F. A. Russell, “Analysis of problems in dynamics by electronic circuits,” P roceedings o fth e IR E 35(5), 1947, pp. 444-452. Y una guía de aplicaciones de los amp op se puede encontrar en el sitio w eb de la compañía Analog Devices, Inc. (www.analog.com ):
George A. Philbrick Researches, Inc, A p plications M a nu a l fo r C om puting A m plifiers fo r M odelling, M easuring, M a nipulating & M uch Else. Norwood, Mass.: Analog Devices, 1998.
EJERCICIOS 6 .2 El a m p o p id e a l 1. En el circuito op amp de la figura 6.39, calcular si (a) V,ínt = 3 V, J?i = 10 Q y R 2 = 100 Q; (b) Vmí = 2.5 V, Ri = 1 MQ y R 2 = 1 MQ; (c) Ve„t = - 1 V, R x = 3.3 kQ y j?2 = 4.7 kQ.
2. En el circuito con amp op de la figura 6.40, calcular Vsai si («) Vmt = 1.5 V, R 3 = 10 Q, R i = 10 Q, y R 2 = 47 Q: (b ) Vent = - 9 V, R 3 = 1 kQ, R t = 1 MQ, y R 2 = 1 MQ; (c) Ve„t = 100 mV, Á>3 = 330 R, = 1 kQ, y R 2 = 6.8 kQ. 3. Dibujar la tensión de salida usai del circuito con amp op que se muestra en la figura 6.41 si (a) Dent = 2 sen 5í V; (b ) Dent = 1 + 0 . 5 sen 51 V. 10 kfl
1 kíí ■ FIGURA 6.41
0
0
4. Dibujar la tensión de salida usai del circuito con amp op que se muestra en la figura 6.42 si (a) i>ent = 10 eos At V; (b ) uent = 1 5 + 4 eos At V. 5. Diseñar un circuito que entregue —9 V a una carga de 47 kQ si sólo se cuenta con fuentes de ±5 V. (Para resolver de este problema no es necesario incluir las fuentes de alimentación que en realidad suministran energía al amp op, el cual no está restringido a ±5 V.) 6. Diseñar un circuito que entregue +20 V a una carga de 1 kQ si sólo se cuenta con fuentes de alimentación de ±5 V. (Para resolver este problema no es necesario in cluir las fuentes de alimentación que en realidad suministran energía al amp op, el cual no está restringido a ±5 V.)
205
•
CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
7. Diseñar un circuito que entregue +1.5 V a una carga no especificada, si sólo se cuenta con una fuente de +5 V. Para resolver este problema no es necesario incluir las fuentes de alimentación que en realidad suministran energía al amp op, el cual no está restringido a ± 5V. 8. Diseñar un circuito que entregue +3 V a una carga no especificada, si sólo se cuenta con una fuente de +9 V. Para resolver este problema no es necesario incluir las fuentes de alimentación que en realidad suministran energía al amp op, el cual no está restringido a ± 5V. 9. En el circuito amp op de la figura 6.43, calcular V5a| si (a) Vent = 300 mV, R 2 = 1 0 ft,y fl, = 47ft;(¿) Vent= 1.5V,flj = 1 Mft, y R 2 = 1 Mft; (c) Vent = - 1 v, Rl = 4.7 kn, y R 2 = 3.3 kft. 10.En el circuito con amp op de la figura 6.44, calcular Vsa¡ si (a) Vent = 200 mV, Rl = 10 kft, R i = 10 ft, y R 2 = 47 ft; (b) Vent = - 9 V, RL = 1 kft, Ri = 1 Mft, y R2 = 1 Mft; (c) Vent = 100 mV, RL = 330 ft, Ri = 1 kft, y R2 = 6.8 kft.
FIGURA 6.43
■ FIGURA 6.44
11. En el circuito con amp op de la figura 6.45, Ri = Rf = 1 kft. Dibujar la tensión de salida usai si (a) uent = 4 sen 10/ V; (b) iient = 1 + 0.25 sen lOí V.
2.2 kíl ■ FIGURA 6.45
12. En el circuito con amp op de la figura 6.45, R\ = 2 kft y Rf = \ kft. Dibujar la tensión de salida Dsai si (a) uent = 2cos 21V; (b)vent =4 + eos 21V. 13. De acuerdo con la figura 6.46, calcular la tensión usai. 14. En el circuito de la figura 6.47, ¿qué valor de R se requiere para que se suministren 150 mW a la resistencia de 10 kft? Ikíi
m FIGURA 6.46
■ FIGURA 6.47
EJERCICIOS
15. Cierto micrófono proporciona 0.5 V cuando alguien aplaude a una distancia de 20 pies. Un interruptor electrónico tiene una resistencia equivalente de Thévenin de 670 Q y requiere 100 mA para energizarse. Diseñar el circuito que conectará el mi crófono al interruptor electrónico, de manera que éste se active cuando alguien aplauda. 16. Para el circuito de la figura 6.48, obtener una expresión para i)sai en términos de vs. 17. Calcular la tensión Vi del circuito de la figura 6.49.
*
AA/V 22 kO
17 kfí
1 F IG U R A 6 .4 9
18. Calcular la tensión V2 del circuito de la figura 6.50. 330 fí
!kü¡
■ F IG U R A 6 .5 0
19. Deducir una expresión de i'sai del circuito de la figura 6.51 y evaluarlo en t = 3 segundos. 20. ¿Qué valor de Vent causará una tensión de salida de 18 V en el circuito de la figura 6.52? 700 k fí
■ FIGURA 6.52
208
A /W
- •
CAPITULO
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
21. En la figura 6.53, elegir R\ y Rf para obtener i;sai = 23.7 eos 500f volts. 22. Obtener la expresión de usai relativa al circuito de la figura 6.54, sin utilizar transfor maciones de fuente.
23. De acuerdo con el circuito de la figura 6.55: (a) Si VA = 0 , V B = 1 V, Ra = Rb = 10 kQ, i?, = 70 kQ, R 2 = o o, y i;sal = 8V, ¿cuál de las terminales ( A o B) es la entrada no inversora? Explicar su respuesta. ib) Va = 10 V y Vb = 0 V. Si B es la entrada inversora, elegir RA, R B, R\ y R% para obtener una tensión de salida de 20 V. (c) VA = Vb = 1 V, R\ = 0, y R2 = 0 0 . Si V sa( es 1 V, ¿cuál de las terminales ( A o B) es la entrada inversora? Explicar su respuesta. 24. Calcular Dsai del circuito de amp op de la figura 6.56. 25. Si vs = 5 sen 3f mV en el circuito de la figura 6.57, calcular i;saI en t = 0.25 s. 10 k íl 100 k í l
■ F IG U R A 6 .5 6
26. En el circuito de la figura 6.58, utilizar las técnicas de análisis de circuitos apropiadas a fin de calcular usai. 33 k íl
■
FIGURA 6.58
27. En la figura 6.58, sustituya la fuente de 3 //A por una fuente de 27/¿A y calcular Dsai.
EJERCICIOS
28. Calcular vx del circuito de amp op múltiple de la figura 6.59.
too kn
ioo n
29. Obtener la expresión del amplificador sumador general, en el que cada resistencia tenga un valor diferente. 30. Deducir la expresión del amplificador diferencial general, en el que cada resistencia pueda tener un valor distinto. 31. El sulfuro de cadmio (CdS) se suele utilizar para fabricar resistencias cuyo valor depende de la intensidad de la luz que incide sobre su superficie. En la figura 6.60, una “fotocelda” de CdS se emplea como resistencia de retroalimentación Rf. En la oscuridad total, tiene una resistencia de 100 kft, y con una intensidad de 6 candelas, su resistencia es igual a 10 kft. RL representa un circuito que se activa cuando se aplica en sus terminales una tensión de 1.5 V o menor. Elegir R\ y V, de nwnera que el circuito representado por RL se active mediante una luz de 2 candelas o más brillante.
Üjp 32. En un estudio de grabación se utilizan dos micrófonos diferentes, uno para las voces y otro para los instrumentos. Diseñar un circuito que permita que ambas salidas de micrófono se combinen; considerar que las voces deben recibir el doble de amplifi cación que los instrumentos. 33. Una señal senoidal viaja sobre una señal compensada de cd de 2 V (en otras pala bras, el valor promedio de la señal total es de 2 V). Diseñar un circuito para elimi nar la compensación cd, y amplificar la señal senoidal (sin inversión de fase) por un factor de 100. 6 .3 Etapas e n cascad a m
34. Diseñar un circuito que proporcione una tensión de salida igual al promedio de las tres tensiones de entrada t>i, v2 y v¡. 35. Un sistema electrónico de inventario de almacén utiliza básculas ubicadas debajo de cada estante; la salida de las básculas están calibradas para proporcionar 1 mV por cada kg. Diseñar un circuito que proporcione una tensión de salida proporcional al peso total de un grupo de artículos similares (distribuidos en cuatro estantes) que queden en existencia. Restar el peso excedente de cada estante (el peso excedente se proporciona como tensión de referencia en cada estante). La salida de tensión debe calibrarse de tal manera que 1 mV equivalga a 1 kg.
9-
A /W
0
■ vw
CAPÍTULO
0)
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
36. Un fabricante de armas a base de radares para la medición de la velocidad vehicular proporciona una salida de tensión proporcional a la velocidad del objeto en cuestión, de tal foima que 10 mV = 1 mph. Si el velocímetro del vehículo de la policía es bloqueado a fin de proporcionar una señal proporcional a su velocidad tal que 10 mV = 1 mph, diseñar un circuito multietapa que (a) proporcione una señal de tensión igual a la diferencia en velocidades del auto y el vehículo de la policía (tal que +10 mV = velocidad del vehículo de la policía menos 1 mph) y (b) propor cione una señal de tensión para cada una de las tres cantidades en kph, tal que 10 mV = 1 kph. 37. Calcular i>sai para el circuito de la figura 6.61. 20 k íl
1 kíl
38. Obtener la expresión deVsai en términos de Vi y V2 del circuito de la figura 6.62.
39. Calcular la tensión de salida de cada etapa del circuito de amp op en cascada de la figura 6.63.
■ F IG U R A 6 .6 3
40. De acuerdo con el circuito de amp op de la figura 6.64, ¿qué valor de R se requiere para obtener Vsai = 10 Y?
EJERCICIOS
• "
A /W
1.0n
41. Calcular usai del circuito de amp op de dos etapas de la figura 6.65.
6 .4 C ircuito s p a ra fu e n te s d e te n s ió n y d e c o m e n te
0
0
©
42. (a) El circuito de la figura 6.66 utiliza un diodo 1N750, que está caracterizado por una tensión Zener de 4.7 V. Determinar las tensiones marcadas como Vi, V2 y Vj. (b) Verificar el análisis con una simulación PSpice adecuada. Elaborar un esquema marcado adecuadamente y comentar sobre las posibles fuentes de cualquier diferen cia en ambos análisis. 43. Diseñar un circuito que genere una tensión de referencia de +5. ] V como la entrada a un seguidor de tensión si sólo se cuenta con baterías de 9 V. Utilizar un diodo 1N4733 con una tensión Zener de 5.1 V a una corriente de 76 mA. 44. Diseñar un circuito que genere una tensión de referencia de —2.5 V como la entrada a un seguidor de tensión si sólo se cuenta con baterías de 9 V. Utilizar un diodo 1N4740, el cual cuenta con una tensión Zener de 10 V a una comente de 25 mA. 45. Diseñar un circuito que genere una tensión de referencia de +12 V como la entrada a un seguidor de tensión si sólo se cuenta con baterías de 9 V. Utilizar un diodo 1N4747 con una tensión Zener de 20 V a una corriente de 12.5 mA. 46. (a) Diseñar un circuito que genere una tensión de referencia de —5 V como la en trada a un seguidor de tensión si sólo se cuenta con baterías de 9 V. Utilizar un diodo 1N4728 con una tensión Zener de 3.3 V a una corriente de 76 mA. (b) Modi ficar el diseño para proporcionar una tensión de referencia de +2.2 V. 47. Diseñar el circuito de fuente de tensión que proporcione 25 mA a una carga no es pecificada. Utilizar un diodo Zener 1N4740 con una tensión de ruptura de 10 V a una corriente de 25 mA.
1.1
kíl
2 1 2 ) ------------
------------------ ------------ •
6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
48. Diseñar el circuito de fuente de tensión que proporcione 12.5 mA a una carga no es pecificada. Utilizar un diodo Zener 1N4747 con una tensión de ruptura de 20 V a una corriente de 12.5 mA. Diseñar el circuito de fuente de tensión que proporcione 75 mA a una carga no es & 49. pecificada. Utilizar un diodo Zener 1N4747 con una tensión de ruptura de 20 V a una corriente de 12.5 mA. Si el amplificador es alimentado con fuentes de ±15 V, ¿qué rango de cargas son factibles en este diseño? 50. Mediante el modelo detallado para el /iA741, determinar la potencia que se entrega la resistencia de 8 £2 de la figura 6.67 si (a) va — Vb = 1 nV; (b) va = 0, = 1 nV; (c) va = 2 pV, = 1 fV; (id) va = 50 ¿iV, Vb = —4 ¿iV. 51. Un circuito de amp op inversor se construye con un AD549. Si Ri = 270 kfi y Rf = 1 MÍ2, determinar cuál es la corriente de polarización de entrada que se es pera para: (a) = 1 mV; (b) Vs = -7 .5 mV; (c) Vs = 1 V. ^sal 52. Calcular usai del circuito de la figura 6.68 si: (a) A = 105, R¡ = 100 MS2, y R 0 = 0 (b) A = 106, R¡ = 1 TS2, y R„ = 0 53. En el circuito de la figura 6.69(a) obtener la expresión de u sai/uent si R, = oo, R0 = 0, y A es finita, (b) ¿Qué valor de la ganancia en lazo abierto A se requiere para que la ganancia en lazo cerrado esté dentro de 1% de su valor ideal? 54. Calcular la potencia disipada por la resistencia de 8 £2 si 8 = (a) 0 V; (b) 1 nV; (c) 2.5 /¿V del circuito de la figura 6.70.
1FIGURA 6.67
5 sen 2t fA
CAPÍTULO
16 n '
■ FIGURA 6.68
100 k íl
I FIGURA 6.69
8 íl
55. Con los parámetros correspondientes a un AD549, calcular usai del circuito de la figura 6.71 si uent = — 16 mV.
"O "sal
6 .5 C o n s id eracio n es p rácticas I FIGURA 6.71
4.7 k íl
1 k ft
-AAAr +
i
-I
470 íl
12 V
" FIGURA 6.72
í
1
56. Deducir la expresión de la tensión de salida de un seguidor de tensión en términos de la tensión de entrada uent para el caso de una ganancia de lazo abierto y resisten cia de entrada finitas y resistencia de salida diferente de cero. Verificar que la expre sión se simplifique a usai = uCnt en el caso de un amp op ideal. 57. (a) Construir un detallado modelo de amp op que incluya una contribución Acm de ganancia en modo común, a la tensión de salida. (b) Utilizar el modelo con los va lores de A = 105, R¡ = oo, Ra = 0, y Acm = 10 para analizar el circuito de la figura 6.25 con = 5 + 2sení V y u2 = 5. (c) Comparar su respuesta con la que ob tendría si ACm = 0 . 58. Determinar la velocidad de decaimiento y explicar su significado en la forma de onda de salida de un circuito con amp op. 59. El circuito de la figura 6.72 utiliza un diodo 1N750, que está caracterizado por una tensión Zener de 4.7 V. (a) Determinar las tensiones marcadas como Vi, V2 y V3 . (b) Verificar la respuesta mediante una simulación en PSpice, empleando un amp op A741 y fuentes de alimentación de ±18 V. Elaborar un diagrama marcado ade cuadamente con los resultados. Si la simulación no concuerda exactamente con los cálculos realizados a mano, intentar determinar el origen de dicha discrepancia. (c) ¿Cuál es el valor mínimo al que una fuente de 12 V puede reducirse antes de que el circuito Zener deje de llevar a cabo su función?
EJERCICIOS
• -------------------------------■ \
60. Efectuar una simulación PSpice de un circuito de amp op inversor mediante un /xA741, con un suministro de ±15 V, R] = 10 kfi, y R f = 1 Mfi. Graficar las ca racterísticas de entrada-salida e indique las regiones lineal y de saturación positiva/ne gativa. ¿La ganancia predicha por la simulación concuerda con la que predice el mo delo del amp op ideal? 61. Si se sabe que las aplicaciones sólo requieren configuraciones de amp op inversor y que no importa tener capacidad para reducir la tensión de salida, ¿cuál es el número mínimo de patillas (terminales) que se requieren para el encapsulamiento de amp op? Escribir cada una mediante un nombre. (^3^-62. Utilizar PSpice para simular el circuito de la figura 6.73 utilizando (a) /xA741; (b) LM324; (c) LF411. Determinar la tensión de entrada diferencial Vs que se re quiere para saturar cada tipo de amp op, utilizando suministros de ±15 V. (rf) Com parar sus resultados con lo que esperaría, en base a la información de la tabla 6.3. t^IU- 63. Efectuar una simulación PSpice de un circuito de amp op no inversor con un /xA741, suministros de ±15 V, R\ = 4.7 kfi y R f = 1 Mfi. Graficar las caracterís ticas de entrada-salida e indique las regiones lineal y de saturación positiva/negati va. ¿La ganancia concuerda con lo predicho por el modelo de amp op ideal? ■64. Utilizar el concepto de circuito que se presenta en la figura 6.74 para determinar la resistencia de salida de un /xA741 y un LF411. Variar la tensión del suministro y de terminar si afecta los resultados de simulación. ¿Concuerdan las simulaciones con los valores de la tabla 6.3?
1 Mil
iv
65. Simular el circuito de la figura 6.75 mediante un LF411. Determinar la corriente de polarización de entrada y la tensión de entrada diferencial. Comparar los resultados con los valores predichos por el modelo detallado y los valores que se presentan en la tabla 6.3. 66. Un sensor proporciona una tensión de señal de entre —30 mV y +75 mV. (á) Si se usa un amplificador inversor con una ganancia de tensión de | i>sai / i>ent | = 1 000 y suministros de ±15 V de ¿cuál es el intervalo esperado de la tensión de salida? (b) Si se emplea un amplificador no inversor con suministros de ±15 V cd, ¿cuál es la máxima razón de resistencias R f /R \ que se puede emplear sin que haya saturación del amp op? -67. (a) Simular el circuito de la figura 6.76 utilizando el /xA741 sobre el intervalo —10 V sV ent < + 10 V. Determinar las tensiones precisas en las que comienza la saturación mediante el cursor. Comparar sus resultados con los que se po drían predecir utilizando la tabla 6.3. (b) Un amp op /xA741 real provee hasta 35 mA de corriente bajo condiciones con tinuas de cortocircuito. Determinar la corriente de cortocircuito máxima posible con el modelo que se utiliza en PSpice. 68. Para mejorar la seguridad de la transmisión, una señal caótica variable en el tiempo se suma a una señal de audio antes de transmitirse. La misma señal caótica se trans mite también en una frecuencia separada. Suponiendo que cualquier antena de re cepción se modela como una fuente de tensión variable en el tiempo en serie con una resistencia de 300 diseñar un circuito para separar las dos señales, descartar la señal caótica, amplificar la señal de audio por un factor de 10 y entregar el resultado a un altavoz de 8 fi. 69. Diseñar un circuito de amp op que proporcione una tensión de salida igual al promedio de las tres tensiones de entrada. Se puede suponer que las tensiones de en trada estarán confinadas en el intervalo —10 V sVent < + 10 V. Verificar su diseño con PSpice y mediante un conjunto adecuado de tensiones de entrada.
----------------{
I FIGURA 6.76
213
214
A /W
- •
CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL
6 .6 C o m p a ra d o re s y el a m p lific a d o r d e in s tru m e n ta c ió n
FIGURA 6.77
I FIGURA 6.78
I FIGURA 6.79
70. En el circuito que se muestra en la figura 6.77, dibujar la tensión de salida esperada usai en función de t>activa para —5 V < uactiva — + 5 V, si es igual a (a) —3 V; (b) +3 V. p ^ 71.En el circuito que se muestra en la figura 6.78, dibujar la tensión de salida esperada nsai en función de tactiva* si —2 V < t>actiVa s + 2V. Verificar la solución mediante un /j A741 (aunque es lento en comparación con los amp op diseñados específica mente para su uso como comparadores, su modelo en PSpice funciona bien, y puesto que ésta es una aplicación de cd, la velocidad no representa ningún proble ma). Elaborar un esquema marcado adecuadamente con los resultados. 72. En el circuito que se muestra en la figura 6.79, (a) dibujar la tensión de salida esperada nsai en función de vi para —5 V < Di < +5 V, si v2 = ± 2 V; ib) graficar la tensión de salida esperada i>sai en función de v2 para —5 V < v2 < +5 V, si t>i = + 2 V. 73. En aplicaciones de lógica digital, una señal de +5 V representa un estado lógico “1” y una señal de 0 V un estado lógico “0”. Con el fin de procesar información en tiempo real mediante una computadora digital, se requiere de algún tipo de interfase, la cual típicamente incluye un convertidor analógico-a-digital (A/D), esto es, un dispositivo que convierte las señales analógicas en digitales. Diseñar un circuito que actúe como un A/D de 1 bit, donde cualquier señal menor a 1.5 V represente un “0” lógico y cualquier señal mayor a 1.5 V un “1” lógico. 74. Suponer que, en el amplificador de instrumentación que se muestra en la figura 6.38a, los tres amp op son ideales y determinar el CMRR del circuito si (a) Ri = R 3 y R 2 = R4 ; (b) las cuatro resistencias tienen valores diferentes. 75. Una aplicación muy común de los amplificadores de instrumentación se realiza para medir tensiones en circuitos de medición de esfuerzo resistivo. Estos sensores de es fuerzo funcionan mediante la detección de los cambios en resistencia que resultan de las distorsiones geométricas, como se muestra en la ecuación [6] de capítulo 2. A menudo son parte de un circuito puente, como se muestra en la figura 6.80a, donde el medidor de esfuerzo se identifica como Rq. (a) Demostrar que Vsai = Vent g ^ g 2 ® Verificar que Vsai =0 cuando los valores de las tres resistencias R\, R2, y R 3 se seleccionan al mismo valor de la resistencia de medición /Ímedici6n- (c) En el caso de esta aplicación, el medidor que se seleccionó tiene una resistencia al esfuerzo de 5 kQ y se espera un aumento máximo de re sistencia de 50 mQ. Sólo se tienen disponibles fuentes de ±12 V. Utilizando el am plificador de instrumentación de la figura 6.80/;, diseñar un circuito que proporcione una señal de tensión de +1 V cuando el medidor de esfuerzo se encuentre en su carga máxima. Especificaciones del AD622 La ganancia G del amplificador puede variar de 2 a 1000 si se conecta una re sistencia entre las terminales 1 y 8 con un 50.5 valor determinado por R = kQ. G - 1
(a)
■ FIGURA 6.80
ib) © Analog Devices.
Capacitores e inductores CONCEPTOS CLAVE
IN T R O D U C C IÓ N En este capítulo se presentan dos nuevos elementos pasivos del cir
Relación tensión-corriente de capacitor ideal.
un
cuito, el capacitor y el inductor, ambos son capaces de almacenar y
-------------------------------------------
entregar cantidades/¿«/tas de energía. En este aspecto difieren de las fuentes ideales, puesto que no pueden proporcionar un flujo de poten
Relación corriente-tensión de un inductor ideal.
cia promedio finito durante un intervalo infinito. A pesar de que estos
• --------------------------------
elementos están clasificados como lineales, las relaciones corriente-
Cálculo de la energía almacenada en capacitores e inductores.
tensión de estos dos nuevos elementos dependen del tiempo, lo que da origen a muchos circuitos interesantes. Como se verá a continua ción, el intervalo de los valores de capacitancia e inductancia que se
»--------------------------------------------
tes. Dichos problemas siguen siendo relevantes en las aplicaciones
Análisis de las respuestas del capacitor y del inductor a formas de onda variantes en el tiempo.
modernas de circuitos, en particular, a medida que los sistemas de
--------------------------------------------
puede encontrar es enorme, por lo que, a veces, éstos determinarán el comportamiento del circuito y, en otras ocasiones, serán insignifican
comunicaciones y de computadoras demanden frecuencias de opera ción más elevadas y densidades de componentes mayores.
Combinaciones en serie y en ; paralelo de capacitores.
--------------------------------------------
7.1 EL CAPACITOR ------• ----------------------------------------------------------------------------------Modelo de capacitor ideal Se denominó antes a las fuentes de tensión y de corriente independien tes y dependientes como elementos activos, y a la resistencia lineal co mo elemento pasivo, aunque las definiciones de activo y de pasivo aún siguen confundiéndose y es necesario distinguirlas con claridad. Aho ra se define un elemento activo como aquel que proporciona una po tencia promedio mayor que cero a cierto dispositivo externo, donde el promedio se toma en un intervalo infinito. Las fuentes ideales son ele mentos activos, así como el amplificador operacional. Por el contrario, un elemento pasivo se define como el que no puede suministrar una potencia promedio mayor que cero en un intervalo infinito. La resisten cia está en tal categoría; la energía que recibe casi siempre se transfor ma en calor, y nunca suministra energía.
Combinaciones en serie y en paralelo de inductores.
-------------------------------------------Circuitos de amp op que utilizan capacitores.
' ------------------------------------------Modelado de elementos de almacenamiento de energía con PSpice.
216
—
■*
CAPITULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
A continuación se presenta un nuevo elemento de circuito pasivo, el capaci tor. Se define la capacitancia C por medio de la relación de corriente-tensión
[1] i
C
_ _ _ | f--------+
v
■ F IG U R A 7.1 Símbolo eléctrico y convenciones de corriente-tensión de un capacitor.
donde v e i satisfacen las convenciones de un elemento pasivo, como se muestra en la figura 7.1. Se debe tener presente que v e i son funciones del tiempo; si es necesario, se subraya este hecho escribiendo en su lugar v(t) e i(t). Con base en la ecuación [1] se determina la unidad de capacitancia como un ampere-segundo por volt, o un coulomb por volt. Luego se define el fa ra d io 1 (F) como un coulomb por volt y se lo utiliza como la unidad de capacitancia. El capacitor ideal definido por la ecuación [1] sólo es el modelo matemático de un dispositivo real. Un capacitor se compone de dos superficies conductoras sobre las que puede almacenarse una carga, y están separadas por una delgada capa aislante que tiene una resistencia muy grande. Si se supone que la resisten cia es lo suficientemente grande como para que se pueda considerar infinita, en tonces nunca podrán recombinarse cargas iguales y opuestas situadas sobre las “placas” del capacitor, o a menos no se hará mediante ninguna trayectoria den tro del elemento. La construcción del dispositivo físico se sugiere por el símbolo de circuito que se presenta en la figura 7.1. Considerar algún dispositivo externo conectado a este capacitor y que provoca que una com ente positiva fluya hacia una placa del capacitor y salga de la otra placa. Com entes iguales entran y salen de las dos terminales del ele mento, lo cual no es más que lo que se espera de cualquier elemento de circuito. Examinar ahora el interior del capacitor. La com ente positiva que entra a una placa representa la carga positiva que se mueve hacia ella a través de su hilo de conexión terminal; la carga no puede pasar a través del interior del capacitor, por lo cual se acumula sobre la placa. En realidad, la com ente y la carga crecientes se relacionan mediante la ecuación ya familiar
Considerar ahora esta placa como un nodo cargado en exceso y aplicar la ley de Kirchhoff de comente; aparentemente no se cumple. La comente se aproxima a la placa desde el circuito externo, pero no fluye fuera de la placa hacia el “circuito in terno”. Este dilema inquietó hace más de un siglo al famoso científico escocés Ja mes Clerk Maxwell. La teoría electromagnética unificada que después formuló plantea la hipótesis de una “comente de desplazamiento” está presente siempre que un campo eléctrico o una tensión varían con el tiempo. La comente de desplaza miento que fluye de manera interna entre las placas del capacitor es exactamente igual a la comente de conducción que fluye en los hilos de conexión del capacitor; de esta forma, la ley de Kirchhoff de comente se satisface, si se incluyen las co rrientes de conducción y de desplazamiento. Sin embaigo, el análisis de circuitos no se interesa en la comente de desplazamiento interna, y ya que por fortuna es igual a la comente de conducción, se podrá considerar que la hipótesis de Maxwell rela ciona la corriente de conducción con la tensión cambiante a través del capacitor. Un capacitor construido con dos placas de conducción paralelas de área A, separadas por una distancia d, tiene una capacitancia C = e A /d , donde e es la perm itívidad (una constante del material aislante entre las placas), lo cual (1) Recibe el nombre en honor a Michael Faraday.
SECCIÓN 7.1 EL CAPACITOR
41
‘ 5 |
6
W V
•
0
7i
(a)
(b)
(c)
■ F IG U R A 7.2 Ejemplos de los tipos de capacitores disponibles en el mercado, (a) De izquierda a derecha: cerámico de 270 pF, tantalio de 20 /¿F poliéster de 15 nF, poliéster de 150 nF. (b) Izquierda: electrolítico de 2 000 /zF a 40 VDC electrolítico de 25 000 //F 35 VDC. (c) En el sentido de las manecillas del reloj comenzando por el más pequeño: electrolítico de 100 /íF a 63 VDC electrolítico de 2200 /¿F a 50 VDC electrolítico de 55 F a 2.5 CD y electrolítico de 4800 /¿F a 50 VDC. Observar que, en general, a medida que aumenta la capacitancia, se requiere de un encapsulado mayor, con una evidente excepción. ¿Cuál fue el compromiso en este caso?
supone que las dimensiones lineales de las placas de conducción son mucho mayores que d. En el aire o el vacío, s = e 0 = 8.854pF/m La mayoría de los ca pacitores emplean una delgada capa de dieléctrico con una permitividad mayor que el aire, a fin de minimizar el tamaño del dispositivo. En la figura 7.2 se pre sentan ejemplos de diversos tipos de capacitores disponibles comercialmente, aunque se debe recordar que dos superficies, cualesquiera conductoras que no estén en contacto directo entre sí se caracterizarían mediante una capacitancia diferente de cero (pero quizás pequeña). También se debe hacer observar que una capacitancia de varios cientos de microfaradios (jiF) se considera “grande” . Mediante la ecuación [1], ya definida, se descubrirán varias características importantes del nuevo modelo matemático. Una tensión constante en un capacitor produce una com ente cero que pasa a través de él; por ello un capacitor es un “circuito abierto para la cd". Este hecho se representa en forma gráfica mediante el símbolo del capacitor. También resulta patente que un salto de tensión repentino requiere una com ente infinita. En razón de que lo anterior es físicamente inalcan zable, es imposible que la tensión en el capacitor cambie en el tiempo cero.
'****" * t
EJEMPLO 7.1 Determinar la corriente i que fluye a través del capacitor de la figura 7.1 en las dos formas de onda de tensión de la figura 7.3 si C = 2 F. v(W)
--10
-’ (V)
l i l i 1 3 4
■f ( s )
5
(a) I FIG U RA 7.3 (a) Tensión de cd aplicada a las terminales del capacitor. (b) Forma de onda senoidal de tensión aplicada a las terminales de un capacitor. (Continúa en la siguiente página)
0
AA/V
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
La com ente i está relacionada con la tensión v en el capacitor de la ecuación [1]: i = C
dv dt
En el caso de la forma de onda de tensión que se muestra en la figura 7.3a, d v / d t = 0, por lo que i = 0; el resultado se grafica en la figura 7.4a. En el caso de la forma de onda senoidal de la figura 1 3 b , se espera que circule una forma de onda senoidal de corriente como respuesta, que tenga la misma frecuencia y dos veces la magnitud (puesto que C = 2 F). La grá fica del resultado se muestra en la figura lA b . i (A)
i (A)
2 1.5
1 0.5
0 -0 .5
J ___I___L
_UJ_ .-1
0
1
2
3
4
5
-1 -1 .5 -2
(a) ■
F IG U R A 7 .4 (a) i = 0 ya que la tensión aplicada es de cd. cosenoidal en respuesta a la tensión senoidal.
(b) La corriente es de forma
P R Á C T IC A 7.1 Determinar la com ente que circula a través de un capacitor de 5 mF como respuesta a una tensión v = : (a) —20 V; (b) 2e~5t V. Respuesta: (a) 0 A; (b) —50e
mA.
Relaciones integrales de tensión-corriente La tensión del capacitor se expresaría en términos de la corriente que integra la ecuación [1]. Primero se obtiene: d v = — i(t) d t C e integrando2 entre los tiempos to y t y entre las tensiones correspondientes v(to) y v(t) se tiene: 1 v(t) = — ^
Jta
i ( t') d t' + v(t0)
[2]
La ecuación [2] también puede escribirse como una integral indefinida, más una constante de integración: v (t) = ^ J i d t + k (2) Observar que se aplica el procedimiento matemático correcto para la definición de una variable simulada t' en situaciones donde la variable de integración t es también un límite.
SECCIÓN 7.1 fcL CAPACITOR
*
V
A
-
0
Por último, en muchos problemas reales, se encontrará que no es posible dis tinguir v(to'), la tensión inicial, en el capacitor. En tales casos, desde el punto de vista matemático será conveniente establecer ío = —oo y v ( —oc) = 0 ,por loque: 1 C* v(t) = ~ I i d t' ^
J —OO
Puesto que la integral de la com ente en cualquier intervalo es la carga acumu lada en ese periodo sobre la placa del capacitor hacia Ja cual fluye la comente, también se puede definir a la capacitancia como q (t) = C v(t) donde q (t) y v(t) representan los valores instantáneos de la carga sobre cualquiera de las placas y la tensión entre ellas, respectivamente.
EJEMPLO 7.2 Determinar la tensión del capacitor que está asociado con la corriente que se indica en form a gráfica en la figura 7.5a. v ( t ) (V )
20 1 -1
0
1 1
1 3
1 4
,
■ F IG U R A 7.5 (o) Forma de onda de la corriente aplicada a un capacitor de 5 ¿¿F. (b) Forma de onda de una tensión resultante que se obtuvo mediante integración gráfica.
Al interpretar la ecuación [2] en forma gráfica, se sabe que la diferencia entre los valores de la tensión en t y ío es proporcional al área bajo la curva de corriente entre estos mismos dos valores del tiempo. La constante de pro porcionalidad es 1 /C . El área de la figura 7.5a se obtiene por inspección de los valores deseados de ío y t. Se selecciona nuestro punto inicial ío ante rior al tiempo cero. Por simplicidad, el primer intervalo de í se escoge entre —oo y 0, y puesto que nuestra forma de onda implica que no se aplicó com ente a este capacitor desde el inicio del tiempo, v (í0) = v ( —oo) = 0 Con referencia a la ecuación [2], la integral de la com ente entre ío = —oo y 0 es simplemente cero, puesto que i = 0 en ese intervalo. De tal modo: v(t) = 0 + v ( —oo)
—oo < í < 0
o
v(t) = 0
í < 0 (Continúa en la página siguiente)
CAPITULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
Si se considera ahora el intervalo que representa el pulso rectangular, se obtiene V« = 5c x \10~6 n 6 Jo í 20 x 10-3 dt> + ^ ° ) Puesto que u(0) = 0, u (í)= 4 0 0 0 í
0 < í <2m s
En el intervalo semiinfinito que sigue al pulso, la integral i (í) es otra vez cero, de modo que v (t) = 8
t > 2 ms
Los resultados se expresan con mayor simplicidad mediante un diagrama que a través de estas expresiones analíticas, como se indica en la figura 1.5b. P R Á C ' CA
___________________________________________________________
7.2 Determinar la corriente a través de un capacitor de 100 pF si su tensión, como función del tiempo, está dada por la figura 7.6. Respuesta: 0 A, —oo < t < 1 ms; 200 nA. 1 ms < t < 2 ms; 0 A, t > 2 ms.
Almacenamiento de energía La potencia entregada a un capacitor está dada por dv p = vi = C v — dt y la energía almacenada en su campo eléctrico es, entonces, f t
f t
/ p d t' = C
Jtn
J íq
¿ y
dt
fV (t)
v — d t' = C
J v(to )
|
v 'd v 1 = - C { [ v ( t) ] 2 - [ v ( t 0)]2} ¿
por lo que
wc(t)-
wc (to) =
\c{[u(r)]2 -
[u(í0)]2}
[3]
donde la energía almacenada vale w c(t0) en joules (J) y la tensión en í(l es v(t0). Si se elige una referencia de energía cero en to, queda implícito que la tensión del capacitor es también cero en ese instante, entonces:
u>c(t) = \ C v2
[4]
Considerar un ejemplo numérico simple. Como se muestra en la figura 7.7, una fuente de tensión senoidal se encuentra en paralelo con una resistencia de 1 M£2 y con un capacitor de 20 p,F. Se podría suponer que la resistencia en para lelo representa la resistencia finita del dieléctrico entre las placas del capacitor físico (un capacitor ideal tiene resistencia infinita).
-A/W -
SECCION 7.1 EL CAPACITOR
221
EJEMPLO
■w'
Calcular la energía máxima almacenada en el capacitor de la figura 7.7 y la energía que disipa la resistencia en el intervalo 0 < t < 0,5 s.
Identificar el objetivo del problema.
+
La energía almacenada en el capacitor varía con el tiempo; se pide el valor máximo en un intervalo específico, así como la cantidad total de energía disipada por la resistencia en este intervalo. En realidad son dos ecuaciones por completo diferentes.
1O O tséil 2 irt V \
Recopilar la información conocida.
■ F IG U R A 7.7 Una fuente de tensión senoidal se
La única fuente de energía en el circuito es la fuente de tensión inde pendiente, que tiene un valor de 100 sen 2 n t V. Sólo es de interés el intervalo 0 < t < 0.5 s. El circuito está marcado de manera adecuada.
>1 Mil
T
* -
\
“ '■20 fíF
aplica a una red RC en paralelo. La resistencia de I
podría representar la resistencia finita de la capa
dieléctrica "real" del capacitor.
Decidir la técnica disponible que se ajusta mejor al problema. La energía en el capacitor se determina mediante la evaluación de la tensión. Para calcular la energía disipada por la resistencia durante el mismo intervalo, es necesario integrar la potencia disipada, P
r =
í 2r ■ R
-
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. La energía almacenada en el capacitor es simplemente: w c (t) = \ C v 2 = 0.1sen227Tí
J
Se obtiene la expresión de la potencia disipada por la resistencia, en términos de la corriente iR: ír
= — = 10 R
sen27Tí
A
por lo que
w c (t) = 0 .1 sen 2 ttí (J)
P r = i2R R = (10~4)(106)sen227rf de modo que la energía disipada por la resistencia entre 0 y 0.5 s sea W
r
= I Jo
/» r 0.5 u -1-2, p R dt = I 102 sen227r t d t Jo
J
Determinar si se requiere información adicional. Se cuenta con la expresión de la energía almacenada en el capacitor; en la figura 7.8 se muestra un dibujo. La expresión que se obtuvo de la energía disipada por la resistencia no incluye ninguna cantidad desconocida, por lo cual puede evaluarse con facilidad.
■F IG U R A 7.8 Gráfica de la energía almacenada en el capacitor com o función del tiem po
Buscar la solución. A partir del bosquejo de la expresión de la energía almacenada en el capacitor, se puede ver que aumenta desde cero a t = 0 hasta un máximo de 100 mJ en t = | s, y que luego disminuye hasta cero en otro \ s. Por lo tanto, wcmíx = 100 mJ. Al evaluar la expresión inte gral de la energía disipada por la resistencia, se puede ver que wr = 2.5 mJ. { Continúa en la siguiente página)
222
A A /V
- •
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
Verificar la solución. ¿Es razonable o esperada? No se espera calcular una energía almacenada negativa, que no aparece en el diagrama. Además, puesto que el valor máximo de sen 2 ttí es 1, la máxima energía esperada sería (1/2)(20 x 10_6)(100)2 = 100 mJ. La resistencia disipó 2.5 mJ en el periodo de 0 a 500 ms, aunque el ca pacitor almacenó una energía máxima de 100 mJ en un punto durante ese intervalo. ¿Qué pasó con los “otros” 97.5 mJ? Para responder a esta pre gunta, se calcula la corriente del capacitor: ¿c = 20 x 10
¿dv — = 0.0047T eos 2 n t dt
y la corriente is definida como circulando hacia la fuente de tensión is = —ic — ÍR los cuales están graficados en la figura 7.9. Se puede observar que la corriente que circula a través de ]a resistencia es una pequeña fracción de la corriente de la fuente, lo cual no es para sorprenderse ya que 1 MÍ2 es un valor de resistencia relativamente grande. A medida que la corriente fluye a partir de la fuente, se desvía una pequeña cantidad hacia la resistencia, mientras que la restante circula hacia el capacitor a medida que éste se carga. Después de t = 250 ms, se puede observar que la corriente de la fuente cambia de signo; la corriente ahora circula del capacitor hacia la fuente. L a mayor parte de la energía almacenada en el capacitor está re gresando a la fuente de tensión ideal, excepto por la pequeña fracción disi pada por la resistencia.
'E O
' F IG U R A 7 .9 Gráfica de las corrientes en la resistencia, en el capacitor y en la fuente durante el intervalo de 0 a 500 ms.
P R Á C T IC A
__________________________________________________
7.3 Calcular la energía almacenada en un capacitor de 1000 ¡i¥ en t = 50 /¿s si la tensión en él es de 1.5 eos 105í volts. Respuesta: 90.52 ¡íí.
APLICACIÓN PRACTICA U ltr a c a p a c ito r e s J
Los teléfonos de sistem as digitales celulares y de satélite tienen tres modos de operación básicos: en es pera, recepción y transmisión. Por lo común, la recep ción de señales y espera no requiere de una gran cantidad de drenaje de corriente de las baterías, pero la trans misión sí (fig. 7.10). Sin embargo, el tiempo invertido en la transmisión es casi siempre una pequeña fracción del tiempo total que el dispositivo utiliza para extraer poten cia, como se indica en la figura.
baterías ligeras y pequeñas. Una alternativa para el uso ex clusivo de baterías consiste en emplear un dispositivo híbrido compuesto por una batería estándar y un capaci tor diseñado de manera especial (conocido algunas veces como capacitor electroquímico o ultracapacitor). Un ejemplo de dicha configuración se esboza en la figura 7.12.
¡(A ) Recepción o espera
P C Transmisión" ■ F IG U R A 7 .1 0 Ciclo de trabajo característico de un teléfono celular.
Como se vio en el capítulo 5, las baterías mantienen una tensión constante sólo para pequeñas corrientes. Así, cuando aumenta la demanda de corriente, disminuye la tensión de la batería (fig. 7.11), lo cual provoca proble mas, puesto que la mayoría de los circuitos tienen una tensión mínima, o tensión de corte, por debajo de la cual ya no funcionan de manera apropiada. Tensión
■ F IG U R A 7 .1 1 Ejemplo de la relación tensión-corriente en una batería.
Si la corriente pico que toma del circuito es tal que la tensión de la batería disminuye por debajo de la tensión de corte, se requiere de una batería mucho más grande. Sin embargo, lo anterior suele resultar inconveniente en las aplicaciones portátiles, donde por lo general convienen
5
2. v 4 f
*1 ® ■ F IG U R A 7 .1 2 Ultracapacitor disponible en el mercado.
Foto cortesía de Maxwell Technologies Inc.
El principio detrás del dispositivo híbrido es que mientras la batería se mantiene con la corriente exigida por el circuito (por ejemplo, mientras el teléfono está en el modo de recepción), el capacitor almacena energía de la batería (¿C V 2). Si la demanda de corriente se incre menta de manera súbita (por ejemplo, cuando el teléfono está en operación), la tensión de la batería tratará de dis minuir. En ese momento, la corriente fluirá fuera del ca pacitor cargado como respuesta a la d v /d t resultante. Siempre que la resistencia equivalente de Thévenin sea mucho más pequeña que la resistencia interna de la batería, la corriente circulará a través del circuito del teléfono, en vez de hacerlo por la batería. La carga dejará muy rápido al capacitor, por lo que el “empuje” de comente tiene una corta duración. Sin embargo, si la operación de transmisión dura poco, el capacitor apoya de manera efi caz a la batería y evita que el circuito se interrumpa. En el capítulo 8 se estudiará cómo predecir en qué medida un capacitor ayuda a una batería, siempre que se conozca su resistencia de Thévenin y la del circuito.
0
AA/V
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
Características importantes de un capacitor ideal 1. No hay com ente a través de un capacitor si la tensión en él no cambia con el tiempo. Por lo tanto, un capacitor es un circuito abierto en cd. 2. Se almacena una cantidad finita de energía en un capacitor incluso si la com ente que circula por él es cero, como sucede cuando la tensión entre las placas es constante. 3. Es imposible cambiar la tensión en un capacitor por una cantidad finita en el tiempo cero, ya que lo anterior requiere una com ente in finita a través del capacitor. Un capacitor se opone a un cambio abrupto de la tensión entre sus placas de una manera análoga a la forma en que un resorte se opone a un cambio abrupto en su desplazamiento. 4. Un capacitor nunca disipa energía, sólo la almacena. Si bien lo ante rior es cierto en el caso del modelo matemático, no lo es en el de un capacitor físico (real) debido a las resistencias finitas.
7.2 EL INDUCTOR
— • -------------------------------------------------------------------------------- ----------------
Modelo del inductor ideal A pesar de que se definió de manera estricta a un inductor desde un punto de vista de circuitos (esto es, mediante una ecuación de tensión-corriente), se po dría comprender mejor la definición con unos cuantos comentarios acerca del desarrollo de la teoría de campo magnético. A principios de la década de 1800, el científico danés Oersted demostró que un conductor que lleva com ente pro duce un campo magnético (la aguja de una brújula resultaba afectada por un alambre cuando por éste circulaba comente). Un poco después, Ampere realizó algunas mediciones cuidadosas que demostraron que el campo magnético se relacionaba linealmente con la com ente que lo producía. El siguiente paso se dio cerca de veinte años después cuando el inglés Michael Faraday y el inventor es tadounidense Joseph Henry descubrieron casi de manera simultánea3 que un campo magnético variable podía inducir una tensión en un circuito cercano. Demostraron que la tensión era proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la com ente que producía el campo magnético. La constante de proporcionalidad es lo que ahora se llama inductancia, simbolizada como L, por lo que di v = L— dt
L vMi,------o
o---+
vL
-
■ F IG U R A 7 .1 3 Símbolo eléctrico y convenciones de corriente-tensión de un inductor.
[5]
donde se debe reconocer que v y i son, en ambos casos, funciones del tiempo. Cuando se desee subrayar esto, utilizamos los símbolos v(t) e i(i). El símbolo de circuito del inductor se presenta en la figura 7.13, y debe ob servarse que se emplea la convención de signos pasiva, exactamente como se hizo con la resistencia y el capacitor. La unidad con la que se mide la inductan cia es el henry (H), y la ecuación de definición muestra que el henry es sólo una expresión más breve de un volt-segundo por ampere.
(3) Ganó Faraday.
SECCIÓN 7.2 EL INDUCTOR
El inductor, cuya inductancia se define mediante la ecuación [5], es un modelo matemático; constituye un elemento ideal que se puede utilizar para imitar el comportamiento de un dispositivo real Se podría construir un inductor físico en rollando un alambre largo alrededor de un cilindro bobina. Este artefacto sirve para aumentar la corriente que provoca el campo magnético y en su caso incre m entar también el “número11 de circuitos vecinos en los cuales puede inducirse la tensión de Faraday. El resultado de este efecto doble es que la inductancia de una bobina es casi proporcional al cuadrado del número de vueltas completas que efectúa el conductor y de las cuales está formado. Por ejemplo, un inductor o “bobina” que tiene la forma de una hélice larga con un paso muy pequeño tiene una inductancia igual a /i N 2A / s , donde A es el área de la sección transversal, s es la longitud axial de la hélice, N es el número de vueltas completas del alam bre y fi (mu) es una constante del m aterial dentro de la hélice, llam ada per meabilidad. En el espacio libre (y de manera muy aproximada, en el aire), (i = ¿¿o = 4tt x 1(T7 H/m = 4 jt nH/cm. En la figura 7.14 se presentan varios ejemplos de inductores disponibles comercialmente. Analizar la ecuación [5] para determinar alguna de las características eléctri cas del modelo matemático. La ecuación muestra que la tensión en un inductor resulta proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la corriente que circula a través de él. En particular, probar que no hay tensión en un conductor que lleva una corriente constante, sin que importe la magnitud de esta corriente. En conse cuencia, es posible considerar a un inductor como un cortocircuito en cd. Otro hecho que se deriva de la ecuación [5] es que un cambio repentino o dis continuo en la corriente debe asociarse con una tensión infinita en el inductor. En otras palabras, si se desea producir un cambio abrupto en una corriente de in ductor, es necesario aplicar una tensión infinita. Aunque una función forzada de tensión infinita podría ser aceptable desde el punto de vista teórico, nunca puede ser parte del fenómeno exhibido por un dispositivo físico real. Como se verá en
(«)
•-----------------WV
,
(b)
■ F IG U R A 7 .1 4 (o) Varios tipos de inductores comunes, a los cuales, en ocasiones, también se les conoce como "reactores". En el sentido de las manecillas del reloj, comenzando por la izquierda: inductor toroidal de núcleo de ferrita de 287 ¡j.H inductor cilindrico con núcleo de ferrita de 266 H inductor de núcleo de ferrita de 215 ¿iH diseñado para frecuencias de VHF, inductor toroidal de núc!eo de acero laminado de 8 5 1¿H inductor estilo bobina de 10 fj.H inductor de plomo axial de 100 fj.H e inductor de núcleo suelto de 7 ;iH que se utiliza para suprimir señales de RF. ( b) Inductor de 11 H cuyas medidas son 10 cm (altura) x 8 cm (ancho) x 8 cm (profundidad).
@
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
breve, un cambio abrupto en la com ente del inductor requiere también una variación abrupta en la energía almacenada en este mismo, y dicho cambio re pentino en la energía requiere una potencia infinita en ese instante; también en este caso la potencia infinita no es parte del mundo físico real. Para evitar una tensión infinita y una potencia infinita, no debe permitirse que la corriente del in ductor salte de forma instantánea de un valor a otro. Si se intenta poner en circuito abierto un inductor físico a través del cual flu ye una com ente finita, quizás aparezca un arco en el interruptor. Esto es útil en el sistema de encendido de algunos automóviles, donde el distribuidor interrum pe la com ente que circula por la bobina y aparece el arco en la bujía. Aunque no ocurre de modo instantáneo, sucede en un intervalo muy corto, lo cual origina la creación de una gran tensión. La presencia de una gran tensión en una distancia pequeña corresponde a un campo eléctrico muy grande; la energía almacenada se disipa al ionizar el aire en la trayectoria del arco. La ecuación [5] también podría interpretarse (y resolverse, si es necesario) por métodos gráficos, como se observa en el ejemplo 7.4.
Dada la forma de onda de la corriente en nn inductor de 3 H, como se muestra en la figura 7,15a, determinar la tensión del inductor y trafi caría. m (A)
0
(a)
t (s)
1
(b)
■ F IG U R A 7 .1 5 id) Forma de onda de la corriente en un inductor de 3 H. (b) Forma de onda correspondiente a la tensión, v = 3 di/dt
Siempre y cuando la tensión v y la corriente i se definan para cumplir con la convención de signos pasiva, se puede obtener v de la figura 7.15a mediante la ecuación [5]: di v = 3 T~ dt Puesto que la com ente es cero para t < —1 s, la tensión es cero en este intervalo. Entonces la com ente empieza a aumentar a una razón lineal de 1 A/s, y por ello se produce una tensión constante de L d i / d t = 3 V. Du rante el siguiente intervalo de 2 s la com ente es constante y la tensión es, por lo tanto, cero. La disminución final de la com ente origina d i / d t = —1 A/s, que produce v = —3 V. Para t > 3 s, i (t ) ) es una constante (cero), de modo que v(t) = 0 en ese intervalo. La forma de onda de tensión completa se bosqueja en la figura 7.15b. Se investigará ahora el efecto de un aumento y de un decaimiento más rápido de la com ente entre los valores cero y 1 A.
A A /V
SECCION 7.2 EL .NDUCIOR
227
E J E M P L O 7.5 Calcular la tensión del inductor que resulta al aplicar la forma de onda de corriente de la figura 7.16a en el inductor del ejemplo 7.4. m (V)
i( 0 (A )
301—
í (s)
-1 -
3
m (A)
■t (s)
2.1
0.1
i
-3 0 (a)
(b)
■ F IG U R A 7 .1 6 (o) El tiem po requerido para que la corriente de la figura 7.15o cambie desde 0
i -i
0
1 3
i 1
,
■t (s)
,
í (s)
hasta 1, y desde 1 hasta O, se reduce en un factor de 10. (b) Forma de onda de una tensión resultante. Los anchos de los pulsos se exageran para mayor claridad.
(a)
Observar que los intervalos del aumento y el descenso se redujeron a 0.1 s. De tal modo, la magnitud de cada derivada será 10 veces más grande; esta condición se muestra en los dibujos de corriente y tensión de la figura 7.16a y b. En las formas de onda de tensión de la figura 7.15b y 1.16b, resulta in teresante notar que el área bajo cada pulso de tensión corresponde a 3 V-s.
i<í) (V) (a oo). 1 -1
Por el momento, sólo por curiosidad se continuará en la m ism a línea. Una re ducción adicional de la longitud de ambos intervalos producirá una magnitud de tensión proporcionalmente mayor, pero sólo dentro del intervalo en el que la corriente crece o disminuye. Un cambio abrupto en la corriente provocará los “picos” de tensión infinita (si cada uno tiene un área de 3 V-s) como se ve en las formas de onda de la figura 7 .17a y b\ o, a partir de un punto de vista igualmente válido pero opuesto, tales picos de tensión infinita se requieren para producir cambios abruptos en la corriente. P R Á C T IC A
__________
7.4 En la figura 7.18 se presenta la corriente a través de un inductor de 200 mH. Suponer la convención de signos pasiva y determinar en t igual a: (a) 0; (b) 2 ms; (c) 6 ms. • (mA)
■ F IG U R A 7.18 Respuesta: 0.4 V; 0.2 V; -0 .2 6 7 V.
0
1 1
2 .
1 3
(a-co)
ib) I F IG U R A 7 .17 (o) El tiempo requerido para que la corriente de la figura 7.16o cambie desde 0 hasta 1, y desde 1 hasta 0, se reduce hasta 0; el aumento y la caída son abruptos. (£>) La tensión resultante en un inductor de 3 H se compone de un pico infinito positivo y de uno negativo.
AAAa
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
Relaciones integrales de tensión-corriente La inductancia se definió por medio de una ecuación diferencial simple, di v = L ^~ dt y se extrajeron varias conclusiones acerca de las características de un inductor a partir de esta relación. Por ejemplo, se encontró que se podría considerar un in ductor como un cortocircuito para la com ente directa, por lo que se acordó que no se puede permitir que una corriente de inductor cambie de manera abrupta de un valor a otro, debido a que requeriría que se asociaran al inductor una tensión y una potencia infinitas. Sin embargo, la ecuación de definición simple de induc tancia contiene aún más información. Reexpresada en forma un poco diferente, di = — v d t L invita a la integración. Considerar primero los límites que se establecerán sobre las dos integrales. Se desea la corriente i en el tiempo 1, así que este par de can tidades proporciona los límites superiores de las integrales que aparecen en el lado izquierdo y en el derecho, respectivamente, de la ecuación; los límites infe riores también pueden expresarse en forma general con sólo suponer que la com ente es i (to) en el tiempo í0. Así, pi(t) 1 /-í / d i' = - / v(t') d t' Ji(h) ^ J í0 lo cual conduce a la ecuación i(t) - i (t0)
i r vdt> 1L
[6]
La ecuación [5] expresa la tensión del inductor en términos de la comente, en tanto que la ecuación [6] ubica la com ente en términos de la tensión. También son posibles otras formas para la última ecuación. Se podría considerar la inte gral como indefinida que incluye una constante de integración k: i (t) — — í v d t + k
[7]
También se podría suponer que se está resolviendo un problema real en el que la selección de to como —oo asegura que no habrá corriente o energía en el inductor. Por lo tanto, si ¡(/o) = i ( —oo) = 0, entonces:
Se investigará el uso de estas diversas integrales mediante un ejemplo sim ple en el que se especifica la tensión en un inductor.
SECCIÓN 7.2
■• -V-■
m
■'
' •
. -• ■
EbJJMDUCTOR
•>. .
.
' .
.
Se sabe que la tensión en un inductor de 2 H corresponde a ó eos Si V. Determinar la corriente de inductor resultante si i(t — —n¡2) = 1 A. De la ecuación [6]: í(K) = - /
6$Jas5/' d t' + / (ío)
¿(o = ^ ( J ) sen5r - \ ( 0 sen5ro + m = 0.6sen5í — 0.6sen5ío + *(ío) El primer término indica que la corriente del inductor varia de modo senoidal; el segundo y tercer términos, en conjunto, representan sólo una constante que se determina cuando la corriente se especifica en forma numérica en algún instante. Con base en el hecho de que la corriente es 1 A en t = —ji /2 s, se identifica í0 como —ir/2 con /(ío) = 1, y resulta: i(t) = 0.6sen5í — 0.6sen(—2.5jt) + 1
i( t ) = 0.6sen5í + 1.6 Se obtendría el mismo resultado a partir de la ecuación [7], Se tiene: i(t) = 0.6sen5í + k y se establece el valor numérico de k forzando que la corriente sea 1 A en í = —n /2 : 1 = 0.6sen(—2.5jt) + k k = 1 + 0 . 6 = 1.6 y de ese modo, como antes, i(t) = 0.6sen5í + 1.6 La ecuación [8] provocará problemas con esta tensión particular. Se fun damenta la ecuación en el supuesto de que la corriente era cero cuando í = —oo. Para estar seguros, lo anterior debe ser cierto en el mundo físico real, pero se trabaja en el ámbito del modelo matemático; los elementos y funciones forzadas son ideales. La dificultad surge después de que se inte gra, con lo cual se obtiene i(t) v ' = 0.6 sen 5í^ l—OO y al tratar de evaluar la integral en el límite inferior: i (í) — 0.6 sen5í — 0.6 sen (—oo) El seno de ± o o es indeterminado, y por lo tanto no se puede evaluar la expresión. La ecuación [8] es útil sólo si se evalúan las funciones que se aproximan a cero cuando t —oo.
*
AA/V EJ EMPLO
7.6
230 }--------- VW
CAPITULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
PRÁCTICA 9 ______________ ^ ________ __________________________ 7.5 Un inductor dé 100 mH tiene una tensión de v¿ = 2e~3t V en sus terminales. Determinar la corriente resultante en el inductor si (—0.5) = 1 A. Respuesta: - y e " 3' + 30.9 A.
Sin embargo, no se deben realizar juicios precipitados sobre la forma simple de las ecuaciones [6], [7] y [8] que se utilizarán por siempre, pues cada una tiene sus ventajas, según sea el problema y la aplicación. La ecuación [6] representa un método general y lento, pero que muestra con claridad que la constante de inte gración es una corriente. La ecuación [7] es una expresión un poco más concisa de la ecuación [6], aunque se suprime la naturaleza de la constante de integración. Por último, la ecuación [8] resulta una expresión excelente, ya que no se necesita ninguna constante; sin embargo, se aplica sólo cuando la corriente es cero en t = —oo y cuando la expresión analítica de la corriente no está indeterminada ahí.
Almacenamiento de energía Poner atención a la potencia y la energía. La potencia absorbida está dada por el producto corriente-tensión di p = vi = Li — dt La energía w i aceptada por el inductor se almacena en el campo magnético alrededor de la bobina y se expresa por medio de la integral de la potencia sobre el intervalo deseado: f / pdt =L /
J t0
J ta
di Ci(t) i — d t' = L / i 'd i ' “ t
J i( t 0)
= ^ { [ ¿ ( í ) ] 2 - [ ¿ ( ío ) ] 2}
De tal modo, u>L (t) ~ w L(t0) = \ L
{ [ ¡ ( í ) l2
-
[¿ (ío )]2 }
[9]
donde se ha supuesto otra vez que la corriente es i (to) en el tiempo to. Al usar la expresión de la energía, suele considerarse que se elige un valor de í0 para el que la corriente es cero; se acostumbra suponer también que la energía es igual a cero para este tiempo. Entonces, simplemente se tiene:
o.i n
I F IG U R A 7 .19 Una corriente senoidal se aplica como una fundón forzada a un circuito RL en serie. La resistencia de 0.1 £2 representa la resistencia inherente del alambre con el que el inductor está fabricado.
u >l
(í )
\L i2
[ 10]
donde se entiende ahora que la referencia de la energía cero es cualquier tiempo para el que la corriente del inductor sea nula. En cualquier tiempo subsecuente, en el que la corriente es cero, se encuentra además que no se almacena energía en la bobina. Siempre que la corriente no es nula, e independientemente de su di rección o signo, la energía se almacena en el inductor. Por lo tanto, se concluye que se suministrará potencia al inductor durante una parte del tiempo y se recu perará luego de él. Toda la energía almacenada puede recuperarse de un induc tor ideal; en el modelo matemático no hay cargos por almacenamiento ni comí-
VA
SECCIÓN 7.2 EL INDUCTOR
0
siones. U na bobina física, sin embargo, debe construirse a partir de un alambre real, por lo que tendrá siempre una resistencia asociada. No se puede almacenar ni recuperar la energía sin pérdida. Estas ideas se ilustran mediante un simple ejemplo. En la figura 7.19 se muestra un inductor de 3 H en serie con una resistencia de 0.1 fi y una fuente de corriente senoidal, is = 12 s e n ^ A. L a resistencia debe interpretarse como lare-
sistencia del alambre que se necesita asociar con la bobina física.
EJEMPLO 7.7 Determinar la máxima energía almacenada en el inductor de la figura 7.19 y la que se disipa en la resistencia durante el tiempo en que se almacena en el inductor y luego se recupera del mismo. La energía almacenada en el inductor es 1 'j JTt w L = - L i = 216 sen" — 2 6
J
y esta energía aumenta desde cero en t = 0 hasta 216 J en t = 3 s. Así, la máxima energía almacenada en el inductor es igual a 216 J. Después de alcanzar su valor máximo en t = 3 s, toda la energía sale del inductor. Sin embargo, esta bobina debe pagar un precio por el privilegio de almacenar y quitar 216 J en 6 segundos. La potencia disipada por la re sistencia se calcula con facilidad como p R = i 2R = 14.4 sen2 —
6
W
y la energía que se convierte en calor en la resistencia dentro de este inter valo de 6 s es, por lo tanto, wr = f
Jo
p Rdt = í
Jo
14.4 sen2 —t dt
6
o wr =
J
14.4
^1 — eos
d t = 43.2 J
De tal modo, se consumieron 43.2 J en el proceso de almacenar y luego recuperar 216 J en un intervalo de 6 s. Lo anterior representa 20% de la máxima energía almacenada, así que representa un valor razonable de muchas bobinas que tienen esta gran inductancia. En bobinas cuya induc tancia es alrededor de 100 /¿H, se debe esperar una cifra cercana a 2 o 3%. P R Á C T IC A
__________ ______________________________ ______
7.6 Sea L = 2 5 mH en el inductor de la figura 7.20. (a) Calcular v en t = 12 ms si i = lO íe-100' A. (b) Determinar i en t = 0.1 s si v = 6e~í2‘ V e i (0) = 10 A. Si i = 8(1 —e~40t) mA, calcular: (c) la potencia que se suministra al inductor en t = 50 ms, y (d) la energía almacenada en el inductor en t = 40 ms.
• *~___ryinp__ +
Respuesta: -1 5 .0 6 mV; 24.0 A; 7.49 ¿iW; 0.510 ¿iJ.
V
• FIGURA 7.20
-
AA/V
-•
c a p ítu lo ?
c a p a c it o r e s e in d u c t o r e s
A continuación se resumen las cuatro características clave de un inductor que se deducen de la ecuación de definición v = L d i / d t :
Características importantes de un inductor ideal 1.
No hay tensión en un inductor si la corriente que circula por él no cambia con el tiempo. Desde este punto de vista, un inductor es un cortocircuito en cd.
2.
Se almacena una cantidad finita de energía en un inductor, incluso si su tensión es nula, como cuando la corriente que pasa por él es cons tante.
3.
Es imposible cambiar la corriente que circula por un inductor por una cantidad finita en el tiempo cero, ya que se necesitaría una tensión in finita en el inductor. Un inductor se opone a un cambio abrupto en la corriente que pasa por él, de manera análoga a la forma en que una masa se opone a un cambio abrupto en su velocidad.
4.
El inductor nunca disipa energía, sólo la almacena. Si bien ello es cierto en el caso del modelo matemático no lo es en el de un inductor físico debido a las resistencias en serie
Resulta interesante adelantar la explicación de dualidad de la sección 7.6 al leer de nuevo los cuatro enunciados anteriores con ciertas palabras sustituidas por sus términos “duales”. Si se intercambian capacitor por inductor, capacitancia por inductancia, tensión por corriente, en por a través, circuito abierto por corto circuito, resorte por masa, y desplazamiento por velocidad (en cualquier direc ción), se obtienen los cuatro enunciados de los capacitores que se acaban de dar.
7.5 g CO M BINACIÓN DE INDUCTANCIA_______________ * Y CAPACITANCIA Ahora que se añadieron el inductor y el capacitor a la lista de elementos de cir cuitos pasivos, es necesario decidir si seguirán siendo o no válidos los métodos desarrollados para analizar circuitos resistivos. También será conveniente apren der cómo sustituir combinaciones en serie y en paralelo de cualquiera de estos elementos con equivalentes más simples, del mismo modo que se hizo en el capítulo 3 con resistencias. Se consideran primero las dos leyes de Kirchhoff, ya que ambas son axiomáti cas. Sin embargo, cuando se supusieron estas dos leyes, se hizo sin restricciones en cuanto a los tipos de elementos que constituían la red. Por lo tanto, ambas mantienen su validez.
Inductores en serie Ahora se podrían ampliar los procedimientos obtenidos para reducir diversas combinaciones de resistencias en una resistencia equivalente a los casos análo gos de inductores y capacitores. Considerar primero una fuente de tensión ideal aplicada a una combinación en serie de N inductores, como en la figura 7.21a. Se desea un solo inductor equivalente, con inductancia L cq, el cual debe sustituir la combinación en serie, de modo que la corriente de la fuente i (t ) permanezca
SECCIÓN 7.3 COMBINACIÓN DE INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
+ iji
•-----------------WV
IB
Lj -^nñn+
Vn
-
+ L N S Í VN
(d)
(b)
■ F IG U R A 7 .2 1 (o) Circuito que contiene N inductores en serie. (ó) Circuito equivalente deseado, en el que¿eq = L] + ¿2 + • ■• + Ln.
invariable. El circuito equivalente se muestra en la figura 1.2\b. Aplicando la LVK al circuito original, vs
=» # 1
—
+
v2
+
VN
■ ■•+
di di di L 1 — + ¿ 2 “7- “I--------- L u dí dt dt
di = (L \ + L 2 + ■■■+ L n ) — dt o, de manera más concisa: N
N
V—v
>■
>■
CÍl
N
Cll v —"\
vn = 2 ^ L n - r = — ¿ ^ L n E n=1 Sin embargo, en el caso del circuito equivalente se tiene di -- Ldan eqd t
y en consecuencia la inductancia equivalente está dada por L eq = (L \ + L 2 + • • • + L n ) o N
[ 11]
^eq — ^ ^ L n n=1
El inductor equivalente a varios inductores conectados en serie es aquel cuya inductancia equivalga a la suma de las inductancias del circuito original, que es exactamente el mismo resultado que se obtuvo en el caso de resistencias en serie.
Inductores en paralelo La combinación de varios inductores en paralelo se logra escribiendo la ecuación nodal particular del circuito original, el cual se muestra en la figura 1.22a, N
N
r 1
c‘
= yT ]i „ín = T ^ /I v d t't ' + i„ (t0) hls = y* \ — + in i= í a, /
N
i
\
r t
N
J 2 — ) í V d t' + Y ^ i (ío) \n=1 " / J ‘o n=1 y comparándola con el resultado del circuito equivalente de la figura 1.22b, se obtiene 1 — / v d t ' + is (ío) Leq J tQ
(b) □ F IG U R A 7 .2 2 (a) Combinación en paralelo de N inductores. (b) Circuito equivalente, donde
¿eq = [V^-1 + yi-2 H---- + 1/^/v]- '-
3S4------ W V Ci H f+ V\ -
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
En razón de que la ley de Kirchhoff de corriente exige que is (to) sea igual a la suma de las com entes de rama en ío, los dos términos integrales deben ser iguales; por consiguiente:
C2 n e
+ V2 -
+ vn ^
C n
1 ■'eq
1/Li + l/Z/2 + ■••+ 1/Ljv
[12]
En el caso especial de dos inductores en paralelo se tiene:
(
Z/eq —
L iL2 L 1+
[13]
Z-2
en donde se observa que los inductores en paralelo se combinan de la misma forma en que lo hacen las resistencias en paralelo.
Capacitores en serie
ib) I F IG U R A 7 .2 3 (a) Circuito que contiene N capacitores. (b) Circuito equivalente deseado, donde Ceq = D/Ci -f- l/C? + • • * -f- 1/CX/J—1.
Para determinar un capacitor que es equivalente a N capacitores en serie, se usa el circuito de la figura 7.23a y su equivalente de la figura 7.23b para escribir ¿v
¿v
r —1 /r i•dj t / + v n
u, = n=
1
lN
«=1 L
N
\
1
= ( S tH \n = l
w
/
/
í á í / + £ v „ ( í 0)
«''o
„= i
1 Vs = —
/■' /
^eq Jío
(ío)
*
Sin embargo, la ley de tensión de Kirchhoff establece la igualdad de vs (to) y la suma de las tensiones de capacitores en to', de tal modo, 1
[14]
por lo que los capacitores en serie se combinan como lo hacen las conductancias en serie, o las resistencias en paralelo. El caso especial de dos capacitores en se rie, desde luego, da como resultado C iC 2 C eq —
lN
Cx + C2
[15]
Cn
Capacitores en paralelo la)
Por último, los circuitos de la figura 7.24 permiten establecer el valor de la ca pacitancia del capacitor equivalente a N capacitores en paralelo, como C eq =
l F IG U R A 7 .2 4 (a) Combinación en paralelo de N capacitores (b) Circuito equivalente, donde Ceq = C, + C2 H---------1- Ca/.
C\ +
C2
+
• • • + C¿V
[16]
así que no resulta sorprendente observar que los capacitores en paralelo se combinan de la misma manera en que lo hacen las resistencias en serie; esto es, simplemente se suman las capacitancias individuales. Bien vale la pena memorizar estas fórmulas. Las que se aplican a combina ciones de inductores en serie y en paralelo resultan idénticas a las de resisten cias, por lo que suelen parecer “obvias”. Sin embargo, hay que tener cuidado en el caso de las expresiones correspondientes a las combinaciones de capacitores en serie y en paralelo, ya que son opuestas a las de resistencias e inductores y con frecuencia provocan errores cuando los cálculos se hacen muy a la ligera.
SECCIÓN 7.4 CONSECUENCIAS DE LA LINEALIDAD
A/VV
»
0
E J E M P L O 7.8 Simplificar la red de la figura 7.25a mediante combinaciones serie/ paralelo. Los capacitores de 6 y 3 /xF se combinan primero en un capacitor equiva lente de 2 /iF y éste luego se combina con un elemento de 1 fiF con el que está en paralelo para producir una capacitancia equivalente de 3 fiF. Además, los inductores de 3 y 2 H se sustituyen por un inductor equiva lente de 1.2 H, que se suma después al elemento de 0.8 H para formar una inductancia total equivalente de 2 H. La red equivalente mucho más simple (y quizás menos costosa) se muestra en la figura 7.25b.
P R A C T IC A
0.8 H
{a) 2H -O T P -
___________________________________________________________
7.7 Determinar Ceq de la red de la figura 7.26. (b) I F IG U R A 7 .25 (o) Red LC dada. (6) Circuito equivalente más simple.
: 5 /aF
I F IG U R A 7.26
Respuesta: 3.18 /xF.
La red de la figura 7.27 contiene tres inductores y tres capacitores, pero no pueden hacerse combinaciones en serie o paralelo de los inductores o los capaci tores. No se puede simplificar esta red mediante las técnicas que se presentan en este texto.
>/aF
I F IG U R A 7 J 7 Red LC en la que no es posible efectuar combinaciones en serie o en paralelo de inductores o de capacitores.
7.4 t CONSECUENCIAS DE LA LINEALIDAD
___________
A continuación se retom a al análisis nodal y de malla. En razón de que ya se sabe que se podrían aplicar con seguridad las leyes de Kirchhoff, habrá una pe queña dificultad al escribir un conjunto de ecuaciones que sean suficientes e in-
236
)---------------
VW
-------------------------------•
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
dependientes. Sin embargo, serán ecuaciones integrodiferenciales lineales con coeficientes constantes, que si son difíciles de pronunciar, son más difíciles de resolver. En consecuencia, se escribirán ahora para familiarizar al lector con el uso de las leyes de Kirchhoff en circuitos RL,C\ además, se explicará la solución de los casos más simples en los capítulos subsecuentes.
E J E M P L O 7.9 E sc rib ir las ecuaciones nodales apro p iad as del circuito de la figura 7.28. Las tensiones de nodo se eligen como se indica y se suman las com entes que salen deJ nodo central:
1 f'
/ (i’i - vs) d t' L JtQ
7
donde iL (to) es el valor de la com ente del inductor en el tiempo en el que empieza la integración. En el nodo del lado derecho,
I F IG U R A 7 .2 8 Circuito RLCde cuatro nodos con tensiones de nodo asignadas.
d (y 2 - v s) V2 - V 1 . C \------ ---------1--------------- is = 0 R dt Al reexpresar estas ecuaciones, n id v i
1
R +C^
[‘
,
v2
f
1
+ l J l0V l d t - R =
l {
Vl^ . n dv2 r dVs ~ ~ R ~R ~ d f= ~df
■ *
,
V s d t - lL
( ío )
que son las ecuaciones integrodiferenciales prometidas, surgen varios asuntos interesantes en relación con ellas. Primero, ocurre que la fuente de tensión vs entra en las ecuaciones como una integral y como una derivada, no simplemente como v s . Puesto que ambas fuentes están especificadas para todo el tiempo, se podrá evaluar la derivada o la integral. Segundo, el valor inicial de la corriente del inductor, iL (to), actúa como una com ente de fuente (constante) en el nodo central.
__________
P R lC T l€ A g
7.8 Si i'c(t) = 4 eos 105í V en el circuito de la figura 7.29, determinar if lí) . ! F IG U R A 7 .2 9
Respuesta:
—2 .4
eos 105f
V.
No se intentará resolver la ecuación integrodiferencial en este momento. Sin embargo, vale la pena señalar que cuando las funciones forzadas de tensión son funciones senoidales del tiempo, se podrá definir una razón de tensión-corriente (denominada impedancia) o una razón de corriente-tensión (llamada adm itan cia) para cada uno de los tres elementos pasivos. Los factores que funcionan ba jo las dos tensiones de nodo de las ecuaciones precedentes, se convertirán enton ces en simples factores multiplicadores, por lo que las ecuaciones serán otra vez
SECCIÓN 7.4 CONSECUENCIAS DE l A LINEALIDAD
algebraicas lineales y se podrían resolver mediante determinantes o por una sim ple eliminación de variables, como antes. También se podría demostrar que los beneficios de la linealidad se aplican de igual modo a los circuitos RLC. D e acuerdo con la definición previa de un circuito lineal, tales circuitos son también lineales, debido a que las relaciones de tensión-corriente para el inductor y el capacitor son lineales. Para el induc tor, se tiene
y la multiplicación de la corriente por alguna constante K tiene como resultado una tensión que es también más grande por un factor K. En la formulación integral,
puede verse que, si cada término se incrementa por un factor de K, entonces el valor inicial de la corriente debe aumentarse por este mismo factor. El análisis correspondiente del capacitor muestra que también es lineal. Por consiguiente, un circuito compuesto por fuentes independientes, fuentes depen dientes lineales, y resistencias, inductores y capacitores lineales es un circuito lineal. En este circuito lineal la respuesta resulta otra vez proporcional a la función forzada. La prueba del enunciado se obtiene escribiendo primero un sistema general de ecuaciones integrodiferenciales. Se colocan todos los términos que tienen la form a R i, L d i / d t , y 1¡C f i d t en el miembro izquierdo de cada ecuación; además, se conservan las tensiones de fuente independiente en el miem bro derecho. Como simple ejemplo, una de las ecuaciones podría tener la forma
Si cada fuente independiente se incrementa ahora por un factor K, el miem bro derecho de cada ecuación es multiplicado por ese mismo factor. En estas condiciones, cada térm ino del m iem bro izquierdo es un térm ino lineal que incluye alguna corriente de lazo, o una tensión de capacitor inicial. A fin de provocar que todas las respuestas (corrientes de lazo) se incrementen por un fac tor K, resulta patente que también se deben aumentar las tensiones de capacitor iniciales por un factor K. Es decir, se debe tratar a la tensión inicial del capaci tor como una tensión de fuente independiente e incrementarla del mismo modo por un factor K. De manera similar, las corrientes de inductor iniciales aparecen como corrientes de fuente independiente en el análisis nodal. Por lo tanto, el principio de proporcionalidad entre fuentes y respuesta se ex tiende al circuito RLC general, y se deduce que también se aplica el principio de superposición. Debe subrayarse que las corrientes iniciales del inductor y las tensiones iniciales del capacitor deben considerarse como fuentes indepen dientes al aplicar el principio de superposición; cada valor inicial se desactiva de acuerdo con su tumo. En el capítulo 5 se aprendió que el principio de super posición es una consecuencia natural de la naturaleza lineal de los circuitos re sistivos, los cuales son lineales debido a que la relación tensión-corriente de la resistencia es lineal, al igual que las leyes de Kirchhoff. Sin embargo, antes de aplicar el principio de superposición a circuitos RLC se deben establecer métodos para resolver las ecuaciones que describen a estos circuitos cuando sólo está presente una fuente independiente. Esta vez es impor-
*
A A A /--------
238 ---------
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
tante estar convencidos de que un circuito lineal poseerá una respuesta cuya am plitud es proporcional a la amplitud de la fuente. Se debe estar preparado para aplicar después la superposición, al considerar una corriente de inductor o una tensión de capacitor especificada en t = to como una fuente que debe eliminarse cuando le llega su tumo. Los teoremas de Thévenin y Norton se basan en la linealidad del circuito ini cial, en la aplicabilidad de las leyes de Kirchhoff y en el principio de superposi ción. El circuito RLC general satisface por completo estos requisitos, por lo cual se concluye que todos los circuitos lineales que contienen cualesquiera combi naciones de fuentes de tensión y de corriente independientes, fuentes de tensión y de corriente lineales dependientes, y resistencias, inductores y capacitores lineales se analizan con el uso de ambos teoremas, si se desea. No es necesario repetir los teoremas aquí, ya que se enunciaron antes, de una manera que se aplica por igual al circuito RLC general.
7.5 CIRCUITOS DE A M P OP SIMPLES CON CAPACITORES
------• --------------------------*------------------------------------------------------------------------En el capítulo anterior se presentaron varios tipos diferentes de circuitos de ampli ficador basados en el amp op ideal. En casi todos los casos se demostró que la salida se relacionaba con la tensión de entrada mediante alguna combinación de razones de resistencias. Si se sustituyen una o más de tales resistencias por un capacitor, se obtendrán algunos circuitos interesantes en los que la salida resulta proporcional a la derivada o la integral de la tensión de entrada. Dichos circuitos tienen amplias aplicaciones en la práctica. Por ejemplo, se conecta un sensor de velocidad a un cir cuito de amp op que da una señal proporcional a la aceleración, o se obtiene una señal de salida que representa la caiga total incidente sobre un electrodo metálico durante un tiempo específico al sólo integrar la corriente medida. Para crear un integrador mediante un amp op ideal, se conecta a tierra la en trada no invertida, se instala un capacitor ideal como un elemento de retroali mentación desde la salida de regreso a la entrada invertida y se conecta una fuente de señales vs a la entrada invertida a través de una resistencia ideal, como se muestra en la figura 7.30. Al efectuar el anáfisis nodal en la entrada invertida, Va — Vs
0= -r T * F IG U R A 7 .3 0 Amp op conectado como un
.
+‘
La corriente i se relaciona con la tensión en el capacitor,
integrador. f
r -----
d y Cf f
d7t
Lo cual da va — d v r, 0 = —------- + Cf Rx 7 dt Con base en la regla 2 del amp op, se sabe que va = —v s
= 0, por lo que
d v r, + C f~ d T
Integrando y despejando vsai, se obtiene
1
f*
Vcf = Va - Vsal = 0 - Vs¡ú = — — / Vs d t' + Vc (0) K-lCf Jo
SECCIÓN7.5 CIRCUITOSDEAMPOPSIMPLESCONCAPACITORES
y\ A A --------- 239
o 1 í* í^sai = - - ¿ - p r vs d t ' - v Cf( 0) R I L-j¡ J o
[17]
Por lo tanto, se combina una resistencia, un capacitor y un amp op para for mar un integrador. Observar que el primer término de la salida es 1/R C veces el negativo de la integral de la entrada desde t' = 0 hasta í, además, el segundo tér mino es el negativo del valor inicial de vcr El valor de (R C )~ l se iguala con la unidad si se desea elegir R = 1 MQ y C = 1 /¿F, por ejemplo; se podrían hacer otras elecciones que aumenten o disminuyan la tensión de salida. Antes de concluir con el circuito integrador, se podría anticipar una pregunta al lector crítico: ¿Se podría usar un inductor en lugar del capacitor y obtener un diferenciador! En realidad sí, pero los diseñadores de circuito suelen evi tar, siem pre que es posible, el uso de inductores debido a su tam año, peso y costo, así como a la resistencia y a la capacitancia asociadas. En vez de eso, se intercam bian las posiciones de la resistencia y el capacitor en la figura 7.30 y se obtiene un diferenciador.
EJ EMPLO
7.10
Obtener la expresión de la tensión dé^salida del circuito de amp op que se muestra en la figura 7.31. Se comienza escribiendo una ecuación nodal en la patilla (terminal) de en trada invertida, con vc¡ = va — vs: n
~
^ c ,
, Va -
~dT
+
vRf
~
Usal
Wf
De acuerdo con la regla 2 del amp op, va = v¡, = 0. De tal modo, „ d v Ci _ DSal l~dT ~ #7 Despejando para usai, dvc, l^sal — R f C 1 dt Puesto que u q = va ~ vs = —vs, l’sal = —R fC \
dvs dt
Así, al intercambiar la resistencia y el capacitor entre sí en el circuito de la figura 7.30, se obtiene un diferenciador en lugar de un integrador. PRÁC I C A ___________________________________________ _____ ____ 7.9 Obtener la expresión de usa¡ en términos de vtBt en el circuito de la figura 7.32.
Respuesta: usai =
—L f / R i d v s/ d t.
I F IG U R A 7 .3 1 Amp op ideal conectado como un diferenciador.
240 )---------/W
V ------------------•
CAPÍTULC7 CAPACITORESEINDUCTORES
7.6 ---------------------DUALIDAD ------• La idea de dualidad se aplica a muchos conceptos fundamentales de ingeniería. En esta sección se definirá la dualidad en términos de las ecuaciones de cir cuito Dos circuitos son “duales” si las ecuaciones de m alla que caracterizan a uno de ellos tienen la misma form a matemática que las ecuaciones nodales que caracterizan al otro. Se dice que son duales exactos si cada ecuación de malla de un circuito es numéricamente idéntica a la ecuación nodal correspondiente del otro; desde luego, las variables de corriente y de tensión por sí mismas no pueden ser idénticas. L a dualidad misma se refiere sólo a cualquiera de las propiedades exhibidas por los circuitos duales. Interpretar la definición y utilizarla para construir un circuito dual exacto es cribiendo las dos ecuaciones de malla para el circuito de la figura 7.33. Se asignan dos comentes de malla i\ e ¿ 2 y se obtienen las siguientes ecuaciones de malla: 2 eos 61 V'
: F IG U R A 7 .3 3 Circuito dado para el que la definición de dualidad se aplica a fin de determinar el circuito dual. Observe que vv(0) = 10 V.
0 . , ,d i\ dÍ2 3 * 1 + 4 — - 4 — = 2 eos 6 1 dt dt di\ dt
+ 4
di 2
¿2 d t -f- 5/2
[18]
-10
[19]
Se podría ahora construir las dos ecuaciones que describen el dual exacto del circuito. Se desea que sean ecuaciones nodales; por ello, se comienza por la sustitución de las corrientes de mallas i\ e ¡2 en las ecuaciones [18] y [19] por dos tensiones de nodo con referencia a Dj y 1^ . A sí se obtiene
I F IG U R A 7 .3 4 Dual exacto del circuito de la figura 7.33.
dv 1 dv2 3i>i + 4 --------- 4 — • = 2 eos 6 1 dt dt
[ 20 ]
- 4 - j ^ + 4 + l í v2d t' + 5 v 2 = - 1 0 dt dt o Jq
[21]
después de este resultado, se busca el circuito representado por ambas ecua ciones nodales. Dibuje primero una línea para representar el nodo de referencia y luego es tablezca dos nodos en los que se ubiquen las referencias positivas de v¡ y i>2 . La ecuación [20] indica que una fuente de corriente de 2 eos 6 1 A se conecta entre el nodo 1 y el nodo de referencia, orientado para proporcionar la corriente que en tra en el nodo 1. La ecuación muestra también que aparece una conductancia de 3 S entre el nodo 1 y el nodo de referencia. Regrese a la ecuación [21] y con sidere primero los términos no mutuos, es decir, aquellos que no aparecen en la ecuación [20]. Ellos indican que se conecta un inductor de 8 H y una conduc tancia de 5 S (en paralelo) entre el nodo 2 y el de referencia. Los dos términos semejantes de las ecuaciones [20] y [21] representan un capacitor de 4 F pre sente de manera mutua en los nodos 1 y 2; el circuito se completa conectando di cho capacitor entre los dos nodos. El término constante en el miembro derecho de la ecuación [21] es el valor de la corriente del inductor en t = 0; en otras palabras, iL (0) = 10 A. El circuito dual se presenta en la figura 7.34; puesto que los dos conjuntos son numéricamente idénticos, los circuitos son duales exactos. Los circuitos duales se pueden obtener con mayor rapidez por este método, ya que las ecuaciones no necesitan escribirse. Para construir el dual de un circui to dado, se debe considerar al circuito en términos de ecuaciones de malla. Con cada malla es necesario asociar un nodo de no referencia, y además, proporcio nar el nodo de referencia. Por lo tanto, en el esquema del circuito dado se pone
SECCIÓN7.6 DUALIDAD * un nodo en el centro de cada malla y se indica el nodo de referencia como una línea cerca del esquema o un lazo que lo encierra. Cada elemento que aparece de manera colectiva en las dos mallas es un elemento mutuo y origina términos idénticos, excepto por el signo, en las dos ecuaciones de m alla correspondientes, por lo cual debe sustituirse por un elemento que proporcione el término dual en las dos ecuaciones nodales correspondientes. Por lo tanto, dicho elemento dual debe conectarse de manera directa entre los dos nodos de no referencia que es tán dentro de las mallas en las que aparecen los elementos mutuos dados. La naturaleza del elem ento dual se determina con facilidad; la forma matemática de las ecuaciones será la m ism a sólo si la inductancia se sustituye por la capacitancia, ésta por la inductancia, la conductancia por la resistencia, y la resistencia por la conductancia. De esta forma, el inductor de 4 H que es común a las mallas 1 y 2 del circuito de la figura 7.33 aparece como un capaci tor de 4 F conectado en forma directa entre los nodos 1 y 2 del circuito dual. Los elementos que aparecen sólo en una m alla deben tener duales que aparezcan entre el nodo correspondiente y el nodo de referencia. Al considerar otra vez la figura 7.33, la fuente de tensión 2 eos 6 1 V aparece sólo en la malla 1; su dual es una fuente de corriente 2 eos 6í A, que se conecta sólo al nodo 1 y al de referencia. En razón de que la fuente de tensión se dirige en el sentido de las manecillas del reloj, la de corriente debe estar dentro del nodo de no referencia dirigido. Por último, es necesario tomar provisiones respecto del dual de la ten sión inicial presente en el capacitor de 8 F del circuito dado. Las ecuaciones nos demostraron que el dual de la tensión inicial en el capacitor es una com ente ini cial a través del inductor del circuito dual; los valores numéricos son los mis mos, así que el signo correcto de la com ente inicial tal vez se determine con mayor facilidad si se consideran como fuentes la tensión inicial en el circuito dado y la com ente inicial en el circuito dual. En consecuencia, si vc en el cir cuito dado se ve como una fuente, aparecería como —vq en el miembro derecho de la ecuación de malla; en el circuito dual, si se piensa que la corriente iL fuese una fuente, produciría un término — en el miembro derecho de la ecuación nodal. Debido a que cada una tiene el mismo signo cuando se consideran como fuente, entonces si uc (0) = 10 V, i /, (0) debe ser 10 A. El circuito de la figura 7.33 se repite en la figura 7.35, y su dual exacto se construye en el propio diagrama de circuito al dibujar sólo el dual de cada ele mento dado entre los dos nodos que están dentro de las dos mallas comunes al elem ento en cuestión. Q uizá sea de utilidad un nodo de referencia que rodee al circuito dado. Después de que el circuito dual se vuelve a dibujar en una forma más normal, aparece como en la figura 7.34.
Ref.
■ F IG U R A 7 .3 5 Dual del circuito de la figura 7.33 que se construye en forma directa del diagrama de circuito.
A /W
0
A /W
-•
CAPITULO 7
CAPACITORESEINDUCTORES
— v w
—
0 (a)
(b)
■ F IG U R A 7 .3 6 (o) Dual (en gris) de un circuito dado (en negro) construido sobre este último. (b) Circuito dual dibujado en forma más convencional a fin de compararlo con el original.
Un ejemplo adicional de la construcción de un circuito dual se presenta en la figura 7.36a y b. Puesto que no se especifican valores de elementos particulares, ambos circuitos son duales, pero no necesariamente duales exactos. El circuito original lal vez se recupere del dual, al colocar un nodo en el centro de cada una de las cinco mallas de la figura 1 3 6 b y proceder como se hizo con anterioridad. El concepto de dualidad también se expresa con el lenguaje utilizado para describir el análisis o la operación de circuitos. Por ejemplo, si se tiene una fuente de tensión en serie con un capacitor, quizá se desee plantear un importante enun ciado: la fuente de tensión provoca que fluya una corriente por el capacitor, cuyo enunciado dual es: la fuente de corriente ocasiona que exista una tensión entre los extremos del inductor. El dual de un enunciado expresado de manera menos cuida dosa, como la corriente circula una y otra vez po r un circuito en serie quizá re quiera un poco menos de inventiva.4 Se puede practicar el uso del lenguaje dual leyendo el teorema de Thévenin en este sentido; de ello debe resultar el teorema de Norton. Se ha hablado de elementos, lenguaje y circuitos duales. ¿Qué sucede con una red dual? Considerar una resistencia i? y un inductor L en serie. El dual de dicha red de dos terminales existe y se obtiene con mayor facilidad al conectar alguna fuente ideal a esa red. El circuito dual se obtiene entonces como la fuente dual en paralelo con una conductancia G de misma magnitud que R, y una ca pacitancia C que tiene la misma magnitud que L. Se considera la red dual como la red de dos terminales que se conecta a una fuente dual; así pues, corresponde a un par de terminales entre las cuales G y C se conectan en paralelo. Antes de dejar la definición de dualidad, debe señalarse que se define con base en las ecuaciones de malla y nodales. En razón de que los circuitos no planares (forma no plana) se describen mediante un sistema de ecuaciones de malla, un circuito que no pueda dibujarse en forma planar no posee un dual. Sobre todo, se usa la dualidad a fin de reducir el trabajo que se debe efectuar para analizar los circuitos estándares simples. Luego de analizar el circuito RL en serie, el circuito RC en paralelo requiere menos atención, no porque sea m e nos importante, sino en virtud de que ya se conoce el análisis de la red dual. D e bido a que el análisis de algunos circuitos complicados no se presta a conocerse bien, a menudo la dualidad no proporcionará una solución rápida. (4) Alguien sugirió: “la tensión es la misma en los extremos del circuito en paralelo”.
SECCIÓN 7.7
A A /V
CONSTRUCCIÓNDEMODELOS DECAPACITORESEINDUCTORESCONPSPICE • “
P R A C T IC A 7.10 Escribir una ecuación nodal simple del circuilo de la figura 7.37a, y mostrar, mediante sustitución directa, que v = —80e_10 r mV es una solución. Con base en lo anterior, determinar (a) ; (b) ih y (c) i para el circuito de la figura 1.31b.
He, 10‘
(a)
8í_,°6ímV' +
(b) I F IG U R A 7 .3 7
. A. R e sp u e sta : —Se '° 6í m V ; 16 e lo6f m V ; — 8 0 e,-106f I0“ ' m
7.7 a CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE CAPACITORES * E INDUCTORES CON PSPICE Cuando se usa PSpice para analizar circuitos que contienen inductores y ca pacitores, con frecuencia se necesita especificar la condición inicial de cada ele mento [es decir, vc (0) e /¿(O)]. Lo anterior se consigue haciendo doble clic so bre el símbolo del elemento, lo que despliega la ventana de diálogo que se muestra en la figura 7.38a. En el extremo derecho (no se muestra), puede verse el valor de la capacitancia, el cual es por omisión igual a 1 nF. Se especifica tam bién la condición inicial (IC), a 2 V en la figura 7.38a. Si se hace clic en el botón derecho del ratón y se selecciona Display, se presenta la ventana de diálogo que se muestra en la figura 1.38b, la cual permite que se despliegue la condición inicial en el diagrama. El procedimiento para configurar la condición inicial de un inductor es, esencialmente, el mismo. Asimismo, se puede observar que cuando el capacitor se pone primero en el esquema aparece en forma horizontal; la ter minal de referencia positiva de la tensión inicial es la terminal izquierda. <5 ( iip tu n ? Í.IS
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fk F IG U R A 7 .3 8 (o) Ventana de edición de las propiedades del capacitor. (A) Ventana de diálogo de las propiedades de despliegue.
243
■ A /W
-•
CAPITULO 7
CAPACITORESEINDUCTORES
EJEMPLO 7.11 Simular la forma de onda de la tensión de salida del circuito de la figura 7.39 sí vs = 1.5 sen tOOí V, A’, = 10 k ñ . Cf - 4.7 fiF y vc (0) = 2 V. vc
Se empieza dibujando el circuito esquemático, cerciorándose de establecer la tensión inicial en el capacitor (fig. 7.40). Observar que fue necesario con vertir la frecuencia de 100 rad/s en 100/2;r = 15.92 Hz.
D C =15 AC = TRAN =
I F IG U R A 7.39 Circuito de un amp op integrador.
■ F IG U R A 7.40 Representación esquemática del circuito que se muestra en la figura 7.39 donde la tensión inicial del capacitor tiene un valor de 2 V.
Para obtener tensiones y corrientes variables en el tiempo, es necesario efectuar lo que se conoce como análisis transitorio. En el menú PSpice se crea un New Simulation Profile con el nombre op amp integrator, el cual conduce al cuadro de diálogo que se muestra en la figura 7.41. Run to time Simulation Settirigs
I
Genera!
Example 7,11
Alarysis 4 Configuraron File® j Options j D a ta CoÜection 1 Probé W indow |
AFiaíysistype: j Tim e Domatn (Transient)
7J
R u n to time:
0.5
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seconds (T S T 0 P ) seconds
- T ransient o ptions----- ---------------------------------------- --------------------------3 M onte Carta;'W orBt Case
Máximum step.size: }0.5rr|
jP a ra m e tfic S w eep IT e m p e ra tu re (S w eep)
r
seconds
Skip th e initia! transient bias point c alcuiation (S K IP B P )
I S s v e Bias Point IL o a d Bias Point
O u tp u tfiie O ptions.'.
OK
Canee!
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Help
■ F IG U R A 7.41 Ventana de diálogo para configurar un análisis transitorio. Se selecciona un tiempo final de 0.5 s para obtener varios periodos de la forma de onda de salida - 41/15.92 = 0.06 s).
RESUMENYREPASO *-
representa el momento en el que terminará la simulación; PSpice selec cionará sus tiempos discretos en los que hará los cálculos de las diferentes tensiones y corrientes. En ocasiones se obtiene un mensaje de error que anuncia que no pudo converger la solución transitoria o que la forma de onda de salida no está tan pareja como se esperaba. En dichas situaciones, es de utilidad configurar un valor en M áxim um step size. el cual se fijó en 0.5 en este ejemplo. Del análisis anterior y de la ecuación [17], se espera que la salida sea proporcional a la integral negativa de la forma de onda de entrada, es decir, uSai — 0.319 eos lOOí — 2.319 V, como se muestra en la figura 7.42. La condición inicial de 2 V en el capacitor se combina con un término constante a partir de la integración para dar como resultado un valor promedio diferente de cero a la salida, a diferencia de la entrada que tiene un valor promedio de cero.
■ F IG U R A 7 .4 2 Sa,ida de prueba dei circuito integrador simulado jum o con la forma ae onda de entrada para efectos de comparación.
RESUMEN Y REPASO □ La corriente que circula por el capacitor está dada por ¿ = C d v /d t. □ La tensión en el capacitor se relaciona con su corriente por medio de:
□ Un capacitor es un circuito abierto en cd. □ La tensión en un inductor está dada por v = L d i/d t. □ La corriente que circula por un inductor se relaciona con su tensión mediante:
□ Un inductor es un cortocircuito en cd.
AA/V------
CAPITULO 7
CAPACITORESEINDUCTORES
□ La energía almacenada en el capacitor está dada por \ C v 2, mientras que la energía almacenada en el inductor está dada por \ U 7", ambas están referi das al momento en el que no se almacenó energía. □ Las combinaciones de inductores en serie y en paralelo se combinan mediante la aplicación de las mismas ecuaciones que las de resistencias. □ Las combinaciones de capacitores en serie y en paralelo funcionan de ma nera opuesta a la de las resistencias. □ Un capacitor como el elemento de retroalimentación de un amp op inversor origina una tensión de salida proporcional a la integral de la tensión de en trada. El intercambio de la resistencia de entrada y el capacitor de retroali mentación causa una tensión de salida proporcional a la derivada de la ten sión de entrada. □ En razón de que los capacitores y los inductores son elementos lineales, la LVK, la LCK, la superposición, los teoremas de Thévenin y Norton, así como los análisis nodal y de m alla se aplican también en sus circuitos. □ El concepto de dualidad proporciona otra perspectiva respecto de la relación entre circuitos con inductores y circuitos con capacitores. □ PSpice permite establecer la tensión inicial en un capacitor y la corriente inicial a través de un inductor. Un análisis transitorio proporciona detalles de la respuesta, en función del tiempo, de los circuitos que contienen estos tipos de elementos.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ En los libros que se m encionan a continuación se puede encontrar una guía de tallada de las características y selección de varios tipos de capacitores e inductores:
H. B. Drexler, Passive Electronic Component Handbook, 2a. ed., C.A. Harper, ed. Nueva York: McGraw-Hill, 2003, pp. 69-203. C. J. Kaiser, The Inductor Handbook, 2 a ed. Olathe, Kans.: C. J. Publishing,1996. Dos buenos libros que describen los circuitos am p op basados en capacitores son:
R. Mancini (ed), Op Amps Are For Everyone, 2a. ed. Amsterdam: Newnes, 2003. W. G. Jung, Op Amp Cookbook, 3a. ed. Upper Saddle River, N. J.: Prentice Hall, 1997.
EJERCICIOS_____________________________________ 7.1 El c a p a c ito r 1. Calcular la comente que circula por un capacitor de 10 /xF si la tensión en las ter minales es: (a) 5 V; (b) 115V2 eos 120;rí V; fc) 4e~‘ mV. 2. Hacer un dibujo de la onda de comente que circula por un capacitor de 4.7 /¿F como respuesta a una forma de onda de tensión que se muestra en la figura 7.43. Suponer que la corriente y la tensión se definen de manera congruente con la con vención pasiva de signos. 3. Calcular la comente que circula a través de un capacitor de 1 mF como respuesta a una tensión v en sus terminales si u es igual a: (a) 30te~‘ V; (b) 4e~5' sen 100? V. 4. ¿Cuál es la cantidad máxima de energía que puede almacenarse en cada uno de los capacitores electrolíticos de la figura 1.2b y el Explicar la respuesta. 5. Un capacitor se fabrica a partir de dos delgados discos de aluminio de 1 cm de diámetro, separados por una distancia de 100 /xm (0.1 mm). (á) Calcular la capaci-
EJERCICIOS tancia suponiendo que sólo hay aire entre las placas metálicas, (b) Determinar la tensión que debe aplicarse para almacenar en el capacitor 1 mJ de energía, (c) Si se necesita que el capacitor almacene 2.5 ¡ü de energía en una aplicación que suminis tra hasta J00 V, ¿qué valores de permisividad relativa s/eo se requerirían para la región entre las placas? 6. Un diodo de silicio de unión pn se caracteriza por una capacitancia de unión definida como „ C; “7
Kss0A
w
donde Ks = 11.8 del silicio, £o es la permisividad del vacío, A = el área de la sec ción transversal de la unión, y f f s e conoce como el ancho de agotamiento de la unión. W no sólo depende de la manera en que se fabrica el diodo, sino también de la tensión aplicada en sus dos terminales. Puede calcularse por medio de
De tal forma, los diodos se emplean con frecuencia en circuitos electrónicos, puesto que se consideran como capacitores controlados por tensión. Suponiendo valores de parámetros de N = 1018 cm-3 . V¡>¡ = 0.57 V. y empleando q = 1.6 x 10-19 C, calcular la capacitancia de un diodo con área de sección transversal A = 1 //.m x 1 ¡jxa a tensiones aplicadas de Va = —1. —5 y —10 volts. 7. Diseñar un capacitor cuya capacitancia pueda variarse en forma manual entre 100 pF y 1 nF al girar una perilla. Incluir esquemas marcados de modo apropiado para ex plicar su diseño. 8. Una tensión de v(t)
^,/5 y | > o se aP^ca auu caPacitor de 300 ¡iF. (a) Calcular la energía almacenada en el capacitor en t = 2 ms. (b) ¿En qué tiempo la energía almacenada en el capacitor disminuyó 37% de su valor máximo? (Re dondee hasta el segundo más cercano.) (c) Determinar la corriente que circula por el capacitor en t = 1.2 s. (d) Calcular la potencia entregada por el capacitor al cir cuito externo en t = 2 s. 9. La corriente que pasa por un capacitor de 47 //.F se presenta en la figura 7.44. Calcular la tensión en el dispositivo luego de (a) t = 2 ms; (b) t = 4 ms; (c) t = 5 ms. 10. La corriente que circula por un capacitor está dada por i (t) = 7 sen n t mA. Si la energía almacenada en t = 200 ms es igual a 3 ¡ü, ¿cuál es el valor de la capacitancia? 11. (a) Si el capacitor de la figura 7.1 tiene una capacitancia de 0.2 fiF, y una tensión vc = 5 + 3 eos2 200/ V, determinar ¿c(0- (P) ¿Cuál es la máxima energía almace nada en el capacitor? (c) Si ic = 0 para t < 0 e ic = 8e~100' mApara t > 0, deter minar vc(t) para t > 0. (d) Si ¡c = 8e 100' mApara t > 0 y i>c(0) — 100 V, determinar vc(t) para t > 0. 12. La forma de onda de corriente que se muestra para t > 0 en la figura 7.45 se aplica a un capacitor de 2 mF. Dado que vc(0) = 250 V, y utilizando la convención de sig nos pasiva, ¿durante qué intervalo el valor de vc está entre 2 000 y 2 100 V?
ic
■ FIGURA 7.45
2
A /W
-•
CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES
13. Una resistencia i? se conecta en paralelo con un capacitor de 1 /¿F. Para cualquier t < 0, la energía almacenada en el capacitor vale 20e _10001mJ. (a) Determinar R. (b)Por integración, demostrar que la energía disipada en i? durante el intervalo 0 < t < oo es 0.02 J. 14. Para el circuito de la figura 7.46, (á) calcular la tensión en cada capacitor, (b) Veri ficar sus respuestas con PSpice. Proponer un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. 4.7 k íl
5V
1 k íl >
-
in
— vw -
vc
--------------
>
”, =j= 2/iF
i n ^>
+
II
—
1F 1 ÍÍ <
■ F IG U R A 7.46
7.2 El in d u c to r i (nA)
15. Calcular la tensión en un inductor de 10 nH si la corriente en la terminal de referen cia “+ ” es: (a) 5 mA; (b) 115\/2cos 120 n t A; (c) 4e~61 mA. 16. Bosquejar la tensión que aparece en un inductor de 1 pH como respuesta a la forma de onda de corriente que se muestra en la figura 7.47. Suponer que la corriente y la tensión se definen de forma congruente con la convención pasiva de signos. 17. Calcular la tensión que se desarrolla en un inductor de 5 /¿H como respuesta a una corriente i que circula hacia su terminal de referencia “+ ” si i es igual a: (a) 30te~’ nA; (b) 4e~5t sen 100/ mA. 18. ¿Cuál es la máxima cantidad de energía que puede almacenarse en un inductor de 5 mH si el alambre está diseñado para una corriente máxima de 1.5 A? Explicar su respuesta. 19. De acuerdo con la figura 7.48: (a) dibujar vL como una función del tiempo, 0 < t < 60 ms; (b) proporcionar el valor de] tiempo en el que el inductor absorbe una potencia máxima; (c) determinar el valor del tiempo en el cual el inductor suministra la potencia máxima y (d) calcular la energía almacenada en el inductor a t = 40 ms. ¿l (A)
f (ms)
io n
5H
(
(b)
FIG U R A 7.49
20. En la figura 7.13, seaL = 50 mH, con iL = 0 para t < 0 y 80fe-100í mApara t > 0. Calcular los valores máximos de |i¿ | y [u|, así como el tiempo en el que ocurre cada máximo. 21. (a) Si is = 0.4í2 Apara t > 0 en el circuito de la figura 7.49a, determinar y graficar i>ent (t) para t > 0. (b) Si vs = 40? V para t > 0 e i¿ (0) = 5 A, determinar y graficar ¡cnt (f) para t > 0 en el circuito de la figura 1.49b. 22. La tensión 20 eos 1 OOOí V se aplica al inductor de 25 mH. Si la corriente en el in ductor es cero en t = 0, determinar y graficar (0 < t < 2tz ms): (a) la potencia que absorbe el inductor; (b) la energía almacenada en el inductor. 23. La tensión a 0.2 H en los extremos de un inductor de 0.2 H es de 100 V para 0 < t < 10 ms: decrece linealmente hasta cero en el intervalo 10 < t < 20 ms; es igual a 0 en 20 < t < 30 ms; su valor es de 100 V para 30 < t < 40 ms; y es cero de ahí en adelante. Utilizar la convención de signos pasiva para v¿ e i¿.
EJERCICIOS
(a) Calcular iL en / = 8 ms si iL (0) = - 2 A. (b) Determinar la energía almacenada en t = 22 ms si ¡¿(0) = 0.2 24. El circuito descrito en la figura 7.50 se conectó durante mucho tiempo. Determinar ix. ------ nnnp------ — V v v — 2H so n
— W v —— n m n — 1H 2n
<> 20 a
> 1 6 fi
|
m F IG U R A 7.50
25. La tensión en un inductor de 5 H es = 10(e- ' —e~2‘) V. Si ¡¿(0) = 80 mA y v l y í l satisfacen la convención de signos pasiva, determinar (a) ij ¿ ( 1 s); (b) ¡ ¿ ( 1 s); y (c)iL(oo). 26. Mucho tiempo después de que todas las conexiones se efectuaron en el circuito de la figura 7.51. determinar vx si (a) un capacitor se presenta entre x y y y (b) está pre sente un inductor entre x y y. 10 mH
27. De acuerdo con el circuito de la figura 7.52, proporcionar: (a) wi; (b) wc\ (c) la tensión a través de cada elemento del circuito; (d) la corriente en cada elemento del circuito.
28. Sea vs = 4001 2 V para t > 0 e i¿,(0) = 0.5 A en el circuito de la figura 7.53. En t = 0.4 s, determinar los valores de la energía: (a) almacenada en el capacitor; (,b) almacenada en el inductor; y (c) disipada por la resistencia desde t = 0.
lk
p ■ FIGURA 7.53
i>ioon
«H 10
H
^
10
/jlF
0
AA/V io n
CAPÍTULO 7
CAPACITORESEINDUCTORES
P | fc-29. Para el circuito de la figura 7.54, (a) calcular la potencia disipada por las resisten cias de 7 y 10 Q, respectivamente, (b) Verificar las respuestas con PSpice. Elaborar un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. (a) Determ inar el equivalente de Thévenin de la red conectada al inductor de la figura 7.55. (b) Calcular la corriente a través del inductor, (c) Verificar la respuesta con PSpice. Elaborar un diagrama marcado adecuadamente con los resultados de la simulación.
2H
80
7.3 C o m b in a c io n e s d e in d u c ta n c ia y c a p ac itan cia 31. D eterm inar la capacitancia equivalente de la red en la figura 7.56 si todos los ca pacitores son de 10 /iF. F IG U R A 7 .5 6
32. Determ inar la inductancia equivalente de la red en la figura 7.57 si todos los induc tores son de 77 pH.
33. Para el circuito de la figura 7.58, (a) reducir el circuito al número más pequeño posible de componentes mediante combinaciones serie/paralelo; (b) determinar vx si todas las resistencias son de 10 kQ. Todos los capacitores son de 50 /iF, y todos los inductores de 1 mH.
34. Para el circuito de la figura 7.59, (a) dibujar de nuevo el circuito utilizando el menor número posible de componentes con base en el empleo de reglas de combinación serie/paralelo; (b) determinar Vx si todas las resistencias son de 1 Q, todos los ca pacitores de 50 ¡iF, y todos los inductores de 10 nH.
WV--------- i 251
EJERCICIOS 35. Reducir la red de la figura 7.60 a una sola capacitancia equivalente, según se ob serva desde las terminales a y b.
100 nF r
c„ - i
2 ^F II 4 0 nF = 12 nF
a z - 75 nF
100/¿F
II II
b = = 7 /tF
= = 12 fiF
■ F IG U R A 7 .6 0
36. Reducir la red de la figura 7.61 a una sola inductancia equivalente, según como se observa desde las terminales a y b.
37. L a red de la figura 7.62 almacena 534.8 /iJ de energía cuando se conecta una ten sión de 2.5 V en las terminales a y b. ¿Cuál es el valor de CP. 38. L a red de la figura 7.63 consta de tres etapas en serie y cada una contiene un número correspondiente de inductores en paralelo, (a) Determinar la inductancia equivalente si todos los inductores son de 1.5 H. (b ) Obtener la expresión de una red general de este tipo que tenga N etapas.
i— - c I F IG U R A 7 .6 3
I
I F IG U R A 7 .6 4
39. En la red de la figura 7.63, L\ = 1 H, Li = ¿3 = 2H , L 4 = L¡ = L(¡ = 3 H. (a) Calcular la inductancia equivalente, (b) Obtener la expresión de una red general de este tipo que tenga N etapas, suponiendo que la etapa N está compuesta por N in ductores, cada uno con una inductancia de N henrys. 40. Extender el concepto de transformaciones A-Y para simplificar la red de la figura 7.64, si cada elemento es un capacitor de 2 pE 41. A m pliar el concepto de transformaciones A -Y para simplificar la red de la figura 7.64, si cada elemento es un inductor de I nH. 42. Dada una caja llena de inductores de 1 /¿H demostrar cómo (mediante el menor número posible de componentes) se obtendría una inductancia equivalente de (a) 2.25 jU,H; (b) 750 nH; (c) 450 nH. 43. Observar la red de la figura 7.65 y calcular: (a) R?q si cada elemento es una resisten cia de 10 f i; (b) Lgq si cada elemento es un inductor de 10 H: (c) Cm¡ si cada ele mento es un capacitor de 10 F.
■ FIGURA 7.65
r
252
A/VV-
CAPÍTULO 7
CAPACITORESEINDUCTORES
44. En la figura 7.66, sean los elementos A, B, C y D: (a) inductores de 1 H, 2 H, 3 H y 4 H, respectivamente, y calcular la inductancia de entrada con x-x' primero en cir cuito abierto y luego en cortocircuito; (b) capacitores de 1 F, 2 F, 3 F y 4 F, respecti vamente, y determinar la capacitancia de entrada con x-x' primero en circuito abierto y luego en cortocircuito. 45. Dada una caja llena de capacitores de 1 nF y mediante el empleo del menor número de capacitores posible, mostrar cómo se puede obtener una capacitancia equivalente de (a) 2.25 nF; (b) 0.75 nF; (c) 0.45 nF.
Entrada
7.4 Consecuencias de la linealidad 46. En el circuito de la figura 7.67, sea is = 60e~200t mA con i i (0) = 20 mA. (a) Pro porcionar v(t) para cualquier t. (b) Determinar i\ (t) para t > 0. (c) Encontrar ioit) para t > 0. 47. Sea vs = 100e-80f V y Di (0) = 20 V en el circuito de la figura 7.68. (a) Calcular i ( t ) para cualquier t. (b) Determinar v¡ (t) para t > 0. (c) Proporcionar D2 (í) para t > 0. 4H
I F IG U R A 7.67
*20
SmH
48. (a) Escribir las ecuaciones nodales del circuito de la figura 7.69. (b) Escribir las ecuaciones de malla del mismo circuito. 49. Si se supone que todas las fuentes del circuito de la figura 7.70 se conectaron y operaron durante mucho tiempo, aplicar el principio de superposición para calcular vc(t) y vL(t). 20 mA
I F IG U R A 7 .69
F
-= _ 9 V
(T ^ 4 0 c o s
103/m A
50. En el circuito de la figura 7.71, suponer que no hay energía almacenada en t = 0, y escribir un conjunto completo de ecuaciones nodales.
20e~
■ FIGURA 7.71
EJERCICIOS
*
V
W
0
7.5 C ircuitos d e a m p o p s im p le s con c a p ac ito res 51. Intercambiar la ubicación de R y C en el circuito de la figura 7.30, y suponga que R¡ = oo, R0 = 0, y A = oo para el amp op. (a) Determinar vsa¡(t) como función de vs(t). (b) Obtener una ecuación que relacione v0(t) y vs (/) si A no se supone in finita. 52. Un dosificador de iones es un dispositivo que se usa para inyectar átomos ionizados en silicio a fin de modificar sus características eléctricas para la subsecuente fabri cación de diodos y transistores. Los iones que inciden sobre el blanco de silicio pro ducen una corriente que se dirige a través de una resistencia de un valor conocido con precisión. La corriente es directamente proporcional a la intensidad de los iones (i = 1.602 x 10-19x número de iones incidentes por segundo). Si se utiliza una re sistencia de 1.000 MÍ2 para detectar la corriente, diseñar un circuito para propor cionar una salida directamente proporciona] al número total de iones que inciden en el silicio durante el proceso de dosificación (conocida como dosis). 53. En el circuito de la figura 7.30, sea R = 0.5 M íí, C = 2 fj.F, R¡ = oo, y R 0 = 0. Suponer que se desea que la salida sea vsai = eos 1Oí — 1 V. Obtener vs(t) si (a)A = 2 000 y (b) A es infinita. @ 54. Se coloca un sensor de velocidad en una rueda giratoria. Diseñar un circuito que proporcione una tensión positiva cuya magnitud sea igual a la aceleración (revolu ciones por minuto) de la rueda. Suponer que la salida del sensor de velocidad es 1 mV/rpm y que la rueda gira a menos de 3 500 rpm. 55. (a) En el circuito de la figura 7.72, intercambie la resistencia y el inductor, y obtener la expresión de vsai en términos de vs. (b) Explicar por qué un circuito de este tipo no se usaría por lo general en la práctica. (T) 56. Un medidor de exposiciones conectado a una cámara proporciona una salida que es directamente proporcional a la intensidad de luz incidente, de tal forma que 1 mV = 1 med (milicandela). Diseñar un circuito que proporcione una tensión de salida pro porcional a la intensidad integrada, de tal manera que 1 V = 1 med-s. (T)57. El proceso de fabricación de cierto tipo de vidrio requiere que la velocidad de enfriado no exceda 100uC/min. Se encuentra disponible una tensión proporcional a la temperatura actual de fundido del vidrio, de tal forma que lmV = 1°C en un in tervalo de 500 a 2 000°C. Diseñar un circuito cuya tensión de salida represente la velocidad de enfriamiento, de tal forma que 1 V = 100°C/min. 58. En un tanque de combustible se instala un sensor de nivel a fin de medir el com bustible que queda en él. El sensor se calibra de tal forma que 1 volt = 1 0 litros. Diseñar un circuito cuya salida de tensión proporcione una lectura de la velocidad del consumo de combustible en litros por segundo, de tal forma que 1 V = 1 1/s. áT} 59. Se van a efectuar pruebas a una batería con el fin de determinar la cantidad de energía que puede entregar a una carga de 1 íí. Se encuentran disponibles dos señales: una de tensión para el cuadrado de la tensión de la batería (1 mV = 1 V2) y otra de tensión que indica el cuadrado del flujo de corriente hacia afuera de la batería (1 mV = 1 A2). Diseñar un circuito cuya tensión de salida sea proporcional a la energía entregada total, de tal forma que 1 mV = 1 J de energía que se entrega a la carga. 60. Los ingenieros de prueba de una nave experimental desean supervisar la desaceleración durante el aterrizaje, ya que les preocupa que los sistemas de suspen sión de los neumáticos experimenten mucho esfuerzo. Si pudieran proporcionarle una señal de tensión de las llantas de la nariz de la nave que estuviera calibrada de tal forma que 1 mV = 1 mph. diseñar un circuito cuya tensión de salida sea proporcional a la velocidad de desaceleración (de tal forma que I V = 1 km/s2).
G>
7.6 D u a lid a d 61. (a) Dibujar el dual exacto del circuito de la figura 7.69. Especificar las variables duales y las condiciones iniciales duales. (b) Escribir las ecuaciones nodales del cir cuito dual, (c) Determinar las ecuaciones de malla del circuito dual. 62. Dibujar el dual exacto del circuito que se ilustra en la figura 7.51. Dibujar el circuito en una forma limpia y clara con esquinas cuadradas, un nodo de referencia recono cible y con ningún cruce. 63. Dibujar el dual exacto del circuito de la figura 7.73. ¡Mantenerlo limpio!
8F
I FIGURA 7.73
254 ) -------- V W
CAPÍTULO 7
CAPACITORESEINDUCTORES
64. (a) Dibujar el dual exacto del circuito que se indica en el ejercicio 47, incluyendo las variables. (b) Escribir el dual del enunciado del problema del ejercicio 47. (c) Resolver el nuevo ejercicio 47. 65. Determinar el dual del circuito de la figura 7.74 y obtener la expresión de /saJ en tér minos de is. (Sugerencia: utilizar el modelo detallado para un amp op.) 7.7 C onstru cción d e m o d e lo s d e ca p a c ito re s e in d u c to re s co n PSpice P ^ -66. Calcular la energía almacenada en el inductor de la figura 7.75. Verificar la solución mediante el uso de PSpice: elaborar un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. P ^ ~67. Calcular la energía almacenada en el inductor de la figura 7.76. Verificar la solución mediante el uso de PSpice; proponer un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. 7H
io n
4 íl
7n
68. Calcuar la energía almacenada en el capacitor de la figura 7.77. Verificar la solución mediante el uso de PSpice: elaborar un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. 75 íl
100 í l
—W r 4V
20 i ).
-V W — 0.8/,.
■25 0
^10m F
■ F IG U R A 7.77
jrP^-69. Calcular la energía almacenada en el capacitor de la figura 7.78. Verificar la solu ción mediante el uso de PSpice; proponer un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación.
6 kíl
: 5 , u,f
■ F IG U R A 7.78
O -™
E K
En al amp op diferencial de la figura 7.31, asignar los valores C\ = 5 nF y Rf = 100 MÍ2. (a) Predecir la salida si vs(t) = 3 sen 10? V. (b) Verificar la solución simulándola con PSpice. Proponer un esquem a marcado adecuadamente con los re sultados de la simulación. Utilizar PSpice para verificar que la energía almacenada en un capacitor de 33 ¡xF es 221 n J en t — 10-2 s cuando se conecta a una fuente de tensión v(t) = 5eos 75/ V. (Sugerencia: Utilizar la componente VSIN.)
-72. Emplear PSpice para verificar que la energía alm acenada en un inductor de 100 pH es igual a 669 pJ en ? = 0.01 s cuando se conecta a una fuente de corriente i (?) = 5 eos 75? A. (Sugerencia: emplear la componente ISIN.)
o
-73. En el circuito de la figura 7.72, seleccionar R\ y L¡ de modo que la salida sea el doble de la derivada de la tensión de entrada, si i;s = A eos 2.t 103? V. Verificar el diseño mediante PSpice.
74. Resolver el ejercicio 7.71, pero esta vez con v (?) = 5 eos 75? — 7 V. .JV75. Resolver el ejercicio 7.72, pero esta vez con i (?) = 5 eos 75? — 7 A.
Circuitos /?/. y /?C básicos CONCEPTOS CLA VE
INTRODUCCION En el capítulo anterior se presentaron ecuaciones que gobiernan la respuesta de varios circuitos en inductancia y capacitancia, pero no
Constantes de tiempo RL y RC.
y-------------------------------Respuesta natural y forzada.
se resolvió ninguna de ellas. En este momento se puede proceder a la solución de los circuitos más simples, restringiendo la atención a aquellos que contienen sólo resistores e inductores, o sólo resis tores y capacitores. Si bien los circuitos que se analizarán tienen una apariencia muy elemental, también son de importancia práctica. Las redes de esta forma se emplean en amplificadores electrónicos, sistemas de control automático, amplificadores operacionales, equipo de comu nicaciones y en otras muchas aplicaciones. La familiarización con estos circuitos simples permitirá predecir con qué exactitud puede la salida de un amplificador seguir una entrada que cambia con rapidez con el tiempo, o predecir cuán rápidamente cambiará la ve locidad de un motor como respuesta a un cambio en su corriente de campo. Nuestro conocimiento del desempeño de los circuitos RL y RC simples permitirá sugerir modificaciones para el amplificador o el motor a fin de obtener una respuesta más deseable.
i---------------------------Determinación de la respuesta en función del tiempo de una excitación deCD.
-------------------------------Cómo determinar las condiciones iniciales y su efecto en la respuesta del circuito.
i-------------------------------Análisis de circuitos con fundones de entrada escalón y con interruptores.
i-------------------------------Construcción de formas de onda pulsantes mediante fundones escalón unitario.
8.1
EL CIRCUITO RL SIN FUENTE
------ *---------------------------------------------------------------------------------El análisis de circuitos que contienen inductores y/o capacitores de pende de la formulación y solución de ecuaciones integrodiferenciales que caracterizan a los circuitos. Se llamará ecuación diferen cial lineal homogénea al tipo especial de ecuación que se obtiene, la cual es simplemente una ecuación diferencial en la que cada término es de primer grado en la variable dependiente o en una de sus de rivadas. Se obtiene una solución cuando se encuentra la expresión
—
-----------------------------------------------------------
Respuesta de circuitos conmutados secuencialmente.
255
256 --------- V
W
í(0
■ F IG U R A 8.1 Circuito RL en serie para el que se va a determ inar/'© sujeto a la condición inicial
/(O) = /0-
¡Quizá parezca bastante extraño analizar una corriente variable en el tiempo que fluye en un circuito sin fuentes! Tenga presente que sólo se conoce la corriente en el tiempo específico í = 0; no se le
CAPÍTULO 8
CIRCUITOSRL YRC BÁSICOS
de la variable dependiente que satisface la ecuación diferencial y también la distribución de energía preescrita en los inductores o capacitores en el instante preestablecido, por lo general t = 0. La solución de la ecuación diferencial representa una respuesta del circuito y se conoce con muchos nombres. Puesto que depende de la “naturaleza” general del circuito (los tipos de elementos, sus tamaños, la interconexión de los elemen tos), se denomina a menudo como respuesta natural. Sin embargo, todo circui to real que se construya no puede almacenar energía por siempre; necesariamente, las resistencias asociadas con los inductores y capacitores a la larga convertirán toda la energía almacenada en calor. La respuesta debe al final extinguirse (o sea desaparecer), razón por la cual con frecuencia se le conoce como respuesta tran sitoria. Por último, también es necesario familiarizarse con la aportación de los matemáticos a la nomenclatura: asignan el nombre defunción complementaria a la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea. Cuando se analizan fuentes independientes que actúan sobre un circuito, parte de la respuesta recordará la naturaleza de la fuente particular (o función forzada) que se utiliza; dicha parte, denominada solución particular, respuesta de estado permanente o respuesta forzada, se “complementa” con la respuesta complemen taria producida en el circuito sin fuente. La respuesta completa del circuito estará dada entonces por la suma de la función complementaria y la solución particular. En otras palabras, la respuesta completa consiste en la suma de la respuesta natu ral y la respuesta forzada. La respuesta sin fuente podría llamarse respuesta na tural, respuesta transitoria, respuesta libre o función complementaria, pero debido a su naturaleza más descriptiva a menudo se denomina respuesta natural. Se examinarán varios métodos diferentes de solución de estas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la manipulación matemática no significa analizar los circuitos. El mayor interés se encuentra en las propias soluciones, en su sig nificado y su interpretación, así que se tratará de familiarizar lo suficiente al lector con la form a de la respuesta de modo que se puedan elaborar respuestas para los nuevos circuitos con sólo un simple razonamiento. Si bien se necesitan métodos analíticos complicados cuando fallan los enfoques más simples, una intuición bien desarrollada constituye un recurso invaluable en este tipo de situaciones. El estudio comenzará con el análisis transitorio considerando el simple cir cuito R L en serie que se presenta en la figura 8.1. Se va a designar la corriente variable en el tiempo como i(t)\ se representará el valor d e i(t) e n t = O co m o /o ; en otras palabras, i (0) = lo- Por lo tanto, se tiene
conoce antes de ese tiempo. En ese sentido, tampoco
di R i -f- Vl — R i -\- L<— dt
se sabe cómo se veía el circuito antes de f = 0. Para que circule una corriente, sería necesaria la presencia
=
0
de una fuente en algún punto, pero no se ha proporcionado información al respecto. Por fortuna,
di R — + - i= 0 dt L
ello no se requiere para analizar el circuito indicado.
[1]
L a m eta es una expresión de i(t) que satisfaga esta ecuación y también tenga el valor I q en t = 0. La solución se obtiene mediante varios métodos diferentes.
Método directo Un método muy directo para resolver una ecuación diferencial consiste en ex presarla de manera que se separen las variables y luego se integre cada miembro
A/W
SECCION8.1 ELCIRCUITORL SINFUENTE de la ecuación. Las variables en la ecuación [1] son i y t, y resulta evidente que la ecuación se podría multiplicar por dt, dividirse entre i y arreglarse con base en las variables separadas: di
R ^ [
T ~~L
2]
En razón de que la corriente es 7o en t = 0 e i{t) en el tiempo t, se igualarían las dos integrales definidas que se obtienen al integrar cada miembro entre los límites correspondientes: L
i' ~ L
l
Efectuando la integración indicada, R t ln í■/!', = -----1 i
la cual tiene como resultado
ln i
-
ln lo
R = —— (t -
0)
Después de un poco de manipulación, se puede ver que la corriente i(t) está dada por i(t) = I0e~ Rt/L
[3]
Se comprueba la solución si se demuestra primero que la sustitución de la ecuación [3] en la ecuación [1] produce la identidad 0 = 0, y después que la sustitución de t = 0 en la ecuación [3] tiene como resultado i (0) = lo- Ambos pasos son necesarios; la solución debe satisfacer la ecuación diferencial que caracteriza al circuito y también la condición inicial.
--------------------------------------------------------- --------------- ■ ■- ■ Si el in d u cto r de la figura 8.2 tiene u n a co rriente iL H 2 A en t H 0, en co n tra r la expresión de ii(t) válida p a ra t > 0, y su valor en t H 200 „ s.
EJEM PLO 8.1 50 m H
i----------'mnp------- 1
Este tipo de circuito es idéntico al que se vio con anterioridad, por lo que se espera que la corriente que circula por el inductor sea de la forma
200 n
i d t ) = loe R/L‘
donde R = 200 Q, L = 50 mH e lo es la corriente inicial que circula a través del inductor en t = 0 . Por ende, iL{t) = 2e ~4000t
■ F IG U R A 8 .2 Circuito /?! simple en el que la energía se almacena en el inductor en
Sustituyendo t = 200 x 10-6 s, se puede ver que ii( t) = 898.7 mA, que es menor que la mitad del valor inicial.
t = 0.
500 nH - ' T Í T 1-
PRÁCTICA t ____________ ______________________________________________
1KÍ1
8.1 Determinar la corriente ig que circula a través de la resistencia de la figura 8.3 en t = 1 ns si ír (0) = 6 A. Respuesta:
812 mA.
■ F IG U R A 8 .3 Circuito para el problema de práctica 8.1.
A /W
-•
CAPÍTULO8 CIRCUITOSRL YRC BÁSICOS
Método alterno La solución también se podría obtener por medio de una ligera variación del método anterior. Luego de separar variables, se tendría la integral indefinida de cada lado de la ecuación [2] si también se incluye una constante de integración. De tal modo, f di
f R
J T ~~ J Z
+K
y la integración origina R lnz = -----1 + K Z;
[4]
La constante K lio puede evaluarse mediante la sustitución de la ecuación [4] en la ecuación diferencial original [1]; resultará la identidad 0 = 0, pues la ecuación [4] es una solución de la ecuación [1] para cualquier valor de K (com pruébelo usted mismo). La constante de integración debe elegirse para satisfacer la condición inicial i (0) = I q. Así, en t = 0, la ecuación [4] se convierte en ln l0 = K y se emplea este valor de K en la ecuación [4] para obtener la respuesta deseada: R ln z = -----1 + ln I q L o i(t) = I0e~Rt' L como se hizo antes.
Método general Cualquiera de estos métodos se utiliza cuando las variables son separables, aunque ésta no es siempre la situación. En los casos restantes se confiará en un método muy poderoso, cuyo éxito dependerá de nuestra intuición o experiencia. Sólo se adivinará o se supondrá una forma de solución y luego se probarán los supuestos, primero mediante la sustitución en la ecuación diferencial y luego a través de la aplicación de las condiciones iniciales dadas. Debido a que no se puede adivinar la expresión numérica exacta de la solución, se considerará una solución que contenga varias constantes desconocidas y se erigirán los valores para ellas con el fin de satisfacer la ecuación diferencial y las condiciones ini ciales. Muchas de las ecuaciones diferenciales que se encuentran en el análisis de circuitos tienen una solución que puede representarse mediante la función ex ponencial o la suma de varias funciones exponenciales. Se supondrá una solu ción de la ecuación [1] en forma exponencial, i (t) = A eSlt
[5]
donde A y Si son constantes que se deben determinar. Después de sustituir esta solución supuesta en la ecuación [1], se tiene: A s!eSlt + A - e Sít = 0 L
SECCIÓN8.1 ELCIRCUITO RL SINFUENTE
(**ñ A eSlt = O
A/W
259
[6 ]
Con el fin de satisfacer la ecuación para todos los valores del tiempo, se re quiere que A = 0, o ¿i = - o o , o s\ = —R / L . Pero si A = 0 o si ¿i = —oo, en tonces toda respuesta es nula; ninguna puede ser una solución para el problema en cuestión. Por lo tanto, se debe elegir: [7]
S1 = ~ I
Determinar el valor de una constante que no dé como resultado una solución trivial
así que la solución supuesta tom a la forma ¿(í) = A e ~ Rt¡L
JH
La constante restante debe evaluarse aplicando la condición inicial i ÍO) = Iq. De tal modo, A = ¡o, y la forma final de la solución supuesta es (otra vez) m
= k e - Rt,L
En la figura 8.4 se muestra un resumen del método básico. En realidad, puede tomarse una ruta más directa. Para obtener la ecuación [7], se resuelve R „ sí + I = 0
[8 ]
que se conoce com o ecuación característica. E sta últim a se obtiene directa mente de la ecuación diferencial, sin que sea necesaria la sustitución en la solución de prueba. C onsiderar la ecuación diferencial general de prim er orden
“f
+ b f= 0
donde a y b son constantes. Se sustituye resultado
-a
en d f / d t y s° e n /, lo cual da como
a - f + b f = (as + b ) f = 0 at A partir de aquí se puede obtener directamente la ecuación característica as + b = 0 la cual tiene una sola raíz s = —b /a . Entonces, la solución de la ecuación diferencial es / = A e~b,/a El procedimiento básico se puede extender fácilmente a ecuaciones diferen ciales de segundo orden, como se estudiará en el capítulo 9.
Basarse en la(s) condición(es) inicial(es) para determinar los valores de la(s) constante(s) que qucda(n)
GE) l F IG U R A 8 .4 Diagrama de flujo del método general para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden donde se puede adivinar la forma de la solución con base en la experiencia.
-AA/V
260
CAPITULO 8
CIRCUITOSRL YRC BASICOS
En el circuito de la figura 8.5a, calcular la tensión marcada como v en t H 200 ms.
io n W v— 4012
Identificar el objetivo del problema. 5H
En realidad, el diagrama de la figura 8.5a representa dos circuitos diferentes: uno con el interruptor cerrado (figura 8.564 y otro con el interruptor abierto (figura 8.5c). Determinar v (0.2) en el circuito que se muestra en la figura 8.5c.
Recopilar la información conocida. (a) - ' "Av. v io n
------W v----40 n
>
_ =
— 24
V
Elaborar un plan.
5H |
-f
El circuito de la figura 8.5c puede analizarse escribiendo una ecuación KVL. A fin de cuentas, se desea una ecuación diferencial con v y t sólo como variables; para realizar esta tarea, pueden ser necesarias ecuaciones adicionales y algunas sustituciones. A continuación se resolverá la ecuación diferencial para encontrar v(t).
;£0
O)
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado.
io n — VW 40 n
Primero se debe verificar que ambos circuitos se encuentren dibujados y marcados correctamente. A continuación se elabora el supuesto de que el circuito de la figura 8.5b se conectó por un largo periodo, para que todo transitorio se haya disipado. Se puede hacer dicho supuesto bajo estas cir cunstancias a menos que se ordene lo contrario.
Con referencia a la figura 8.5c, se puede escribir di i - v + \0 iL + 5 - ± = 0 di
:5h
.
Sustituyendo
= —f/4 0 , se observa que 5_dv
r> 0
40 d t
(c)
i F IG U R A 8 .5 (o) Circuito RL simple con un interruptor disparado en el tiem po t = 0. ( b) El circuito como se encuentra antes de t = 0. (c) El circuito después de que el interruptor es activado y se ha quitado la fuente de 24 V.
V
10 , 4Ó + 1
o, más simplemente, dv ------1- 10f = 0 dt
[9]
Determinar si se requiere de información adicional. A partir de la experiencia previa, se sabe que una expresión completa de v requerirá el conocimiento de v en un momento específico, donde t = 0 es el más conveniente. Podría uno sentirse tentado a mirar la figura 8.5b y es cribir v(0) = 24 V, lo cual es válido sólo justo antes de que el interruptor abre. L a tensión en la resistencia puede cambiar a cualquier valor en el instante en el que se opera; únicamente permanecerá sin sufrir ningún cambio la corriente que circula por el inductor. En el circuito de la figura 8.5¿>, i¡, = 2 4 /10 = 2.4 A, puesto que el in ductor actúa como un corto circuito ante una corriente directa. Por lo tanto, i¡, (0) = 2.4 A en el circuito de la figura 8.5c, es también un punto clave en el análisis de este tipo de circuitos. Por lo tanto, en el circuito de la figura 8.5c, v(0) = (40)(—2.4) = —96 V.
Intentar resolver. Puede tomarse en cuenta cualquiera de las tres técnicas básicas de solución. Con base en la experiencia, iniciar escribiendo la ecuación característica
SECCIÓN8.1 ELCIRCUITORL SINFUENTE #■
A /W
correspondiente a la ecuación [9]: s + 10 = 0
Resolviendo, se puede ver que s = —10, por lo que v(t) = A e ~ m
[10]
(la cual, una vez sustituida en el lado izquierdo de la ecuación [9], da como resultado - 1 0 A e ~ m + 10A e - Wt = 0 como se esperaba). Se encuentra el valor de A fijando el valor de t = 0 en la ecuación [10] y haciendo uso del hecho que v(0) = —96 Y. Por lo tanto, v (t) = —96e~l0t
[ li]
y v(0.2) = —12.99 V, de un máximo de —96 V.
Verificar Ia solución. ¿Es razonable o esperada? También se pudo haber encontrado la corriente del inductor dándose cuenta de que el inductor “ve” una resistencia de 50 £2 en el circuito de la figura 8.5c, lo cual proporcionaría una constante de tiempo de r = 50/5 = 10 s. Asociado con el hecho de que se conoce ¿l (0) = 2.4 A, se puede escribir, 4 0
iL(t) = 2.4e~Wt A, t > 0 A partir de la ley de Ohm, v(t) = —40 íl (í) = —96e~l0t, que es idéntica a la ecuación [ 11 ]. N o es coincidencia que la corriente del inductor y la ten sión en la resistencia tengan la misma dependencia exponencial.
10 V
_______I ___________ __ ! ■ F IG U R A 8 . 6 Circuito dei problema de práctica 8.2.
PR A C TIC A t 8.2 Determinar la tensión v en el inductor del circuito de la figura 8.6 para t > 0.
Respuesta: —25e_2íV.
Determinación de la cantidad de energía Antes de enfocar la atención en la interpretación de la respuesta, se volverá a ob servar el circuito de la figura 8.1 y se verificarán las relaciones de potencia y de energía. La potencia que se está disipando en la resistencia es p R = i 2 R = I 2R e~2R,/L y se puede encontrar la energía total que se convierte en calor en la resistencia mediante la integración de la potencia instantánea desde un tiempo cero hasta el infinito: pO O
/» Q O
Wr — j
Jo
=
P ñ d t = IqR I
f-R (
0 V 2R )
Jo
e~2Rt/L d t
e~2Rt¡ X = ~ L
10
2
o
Este es el resultado que se espera, ya que la energía total .almacenada inicialmente en el inductor es \ L I 2, y no existe ninguna energía almacenada en el induc tor en el infinito, puesto que su corriente desciende hasta cero de un momento a otro. Por lo tanto, toda la energía inicial se consume en la resistencia por disipación.
-AA/V
-•
CAPÍTULO 8
CIRCUITOS/?¿ Y/?CBÁSICOS
8.2 t PROPIEDADES DE LA RESPUESTA EXPONENCIAL Se considerará la naturaleza de la respuesta del circuito RL en serie. Se sabe que la corriente del inductor se representa por medio de i(t) = h e ~ RtlL En t = 0, la corriente tiene un valor/o, pero cuando el tiempo aumenta, la corriente disminuye y se aproxima a cero. L a forma de este decaimiento exponencial se observa en la gráfica de i (t )/ / 0 como función de t que se exhibe en la figura 8.7. Puesto que la función que se graficará es e~Rt¡L, la curva no cambiará si R /L se mantiene constante. En consecuencia, debe obtenerse la misma curva para cada circuito R L en serie que tenga la m isma razón R / L o L / R. Se verá cómo afecta esta razón la forma de la curva.
Si se duplica la razón entre L y R, el exponente no cambiará si t se duplica tam bién. En otras palabras, la respuesta original ocurrirá en un tiempo posterior, así que la nueva curva se obtiene moviendo cada punto de la curva original dos veces más hacia la derecha. Con esta razón L / R más grande, la corriente tarda más en decaer hasta cualquier fracción dada de su valor original. Se podría decir que el “ancho” de la curva se duplica, o que el ancho es proporcional a L /R . Sin embargo, se dificulta definir el término ancho, debido a que cada curva se extiende ¡desde t — 0 hasta oo! En vez de eso, se debe considerar el tiempo que se requeriría para que la corriente decrezca hasta cero si continúa disminuyendo a su tasa inicial. La tasa inicial de decaimiento se calcula evaluando la derivada en el tiempo cero: d i d t I q f=0
R =
- * e - R t 'L
1= 0
L
Se designa el valor del tiempo que tarda i //o en disminuir desde la unidad hasta cero, suponiendo una tasa de decaimiento constante, mediante la letra griega x (tau). De tal modo, R\ I T= 1
[1 2 ]
SECCIÓN8.2 PROPIEDADESDELARESPUESTAEXPONENCIAL La proporción L / R se mide en segundos, pues el exponente —R t¡ L debe ser adimensional. El valor del tiempo r se denomina constante de tiempo y se muestra de manera gráfica en la figura 8.8. Es posible encontrar en forma gráfica la constante de tiempo de un circuito RL en serie a partir de la curva de respuesta; sólo se requiere dibujar la tangente a la curva en t = 0 y determinar la intersec ción de dicha tangente con el eje de tiempo. A menudo, esta operación consti tuye una manera conveniente de aproximar la constante de tiempo a partir de la imagen exhibida en un osciloscopio.
■ F IG U R A 8 .8 La constante de tiempo r de un circuito RL en serie es L/R, la cual constituye el tiempo requerido para que la curva de respuesta disminuya hasta cero, si ésta aminora a una tasa constante igual a su tasa de decaimiento inicial.
Una interpretación igual de importante de la constante de tiempo r se obtiene determinando el valor de i ( t) / I q at t = r . Se tiene ^
= e - 1 = 0.3679
o
i( r ) = 0.3679/0
lo Así, en una constante de tiempo la respuesta disminuyó hasta 36.8% de su valor inicial; el valor de r también se determina en forma gráfica a partir de este hecho, como se indica en la figura 8.9. Resulta conveniente medir el de caimiento de la corriente en intervalos de una constante de tiempo; además, al recurrir a una calculadora manual o a una tabla de exponenciales negativas se indica que í ( í ) / I q es 0.3679 en t = r , 0.1353 en t — 2 r, 0.04979 en t = 3 r, 0.01832 en t = 4 r y 0.006738 en t = 5 r. En algunos puntos, entre tres a cinco constantes de tiempo después del tiempo cero, se coincidiría en que la corriente
■ F IG U R A 8 .9 La corriente en un circuito RL en serie se reduce hasta 37% de su valor inicial en f = t, 14% en t = 2 r y 5°/o en í = 3 t .
A A /V
-•
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL VRC BÁSICOS
es una fracción ínfima de lo que era al principio. En consecuencia, si se pregun tara ¿cuánto tarda la corriente en decaer hasta cero?, la respuesta podría ser cerca de cinco constantes de tiempo. En este punto, ¡la corriente es m enor a 1% de su valor original! P R Á C T IC A g
_____________________________ ________________________
8.3 En un circuito RL en serie sin fuente, calcular el valor numérico de la razón: (a) í '( 2 t ) / ¡ ( t ) , (b) i ( 0 . 5 t ) / í (0), y (c) t / x si i { t ) / i ( 0) = 0.2; (d ) í / r si i (0) — i (?) = i (0) ln 2. Respuesta: 0.368; 0.607; 1.609; 1.181.
A N Á LISIS A SIST ID O POR C O M PU T A D O RA La capacidad de realizar un análisis transitorio de PSpice resulta muy útil cuando se considera la respuesta de circuitos sin fuente. En este ejemplo, se usa una característica especial que permite variar un parámetro de compo nente, similar a la forma en que variamos la tensión de cd en otras simu laciones. Este objetivo se logra si se le agrega la componente PARAM al esquema, el cual puede colocarse en cualquier parte, pues no se alambra en el circuito. El circuito RL completo se muestra en la figura 8.10 e incluye una corriente de inductor inicial de l mA. Con la finalidad de relacionar el valor de la resistencia con el parámetro de barrido propuesto, se deben llevar a cabo tres tareas. Primero, se propor ciona un nombre al parámetro, al cual se decide llamar Resistencia para efectos de simplicidad. Lo anterior se logra mediante un doble clic en la eti queta PARAMETERS: anotado en el esquema. Luego, si se hace clic en los resultados de New Column aparece la ventana de diálogo que se mués-
i B#t fue» Rara Maco PSpice Accesso^ttOjaons Vfticw Hefe
;->h ' i Wi oTTT.I'.r.rZT3>í5CHEM ATIC1-RLTianttatAñjr] fajg| ► r^i ffjttlj8¡F \ ;J ; ,Wj j'
L1
R1 {Resistance}
10uH
IC = 1m 0
P A R A M E TE R S : Resistance = 1k S«!e=*EW¡> X«5.30 Y
l F IG U R A 8 .1 0 Circuito RL simple dibujado empleando la herramienta de captura de esquemas.
SECCIÓN 8.2
AAAr
PROPIEDADES DELARESPUESTAEXPONENCIAL • "
265
tra en la figura 8.1 la , en la cual se ingresa Resistance en Ñam e y un valor de 1 k en Valué. L a segunda tarea consiste en enlazar el valor de R l al parámetro de barrido, lo cual se logra haciendo doble clic en el valor por omisión de R l en el esquema, y aparece la ventana de diálogo de la figura 8.1 Ib. En Valué se ingresa simplemente {Resistance}. (Observar que es necesario escribirlo entre llaves.) Acfd New Cu!unii.
f fis p i a y P f o p e r tie s
Mame.
Font ■ Aria! 7 {default}
Ñame: Valué
i Resistance
: Valué: ¡{Resistance}
Valué____
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Change. ..
j
í
‘ ~ ~..... '• Valué Onty
OK
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Cancel
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Nam eOniy '
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fc]u5iÉÉ'
IB S E Ü H
Ñame and Vakie
No pioperties wüt be edded to setected abiects urtü jiou ertfet a valué here ot ¡n the newlji cre ced ceSs m the piopeity editor tpteadsheet
■
Color
D cN otD isptay
E m « a ñame and cfck Apph.1os OK tu add a cofumtv'iow to (he ptoperty edito* and aptionalty the cunert NtH fbut not the cCurrent p!op»ítes> fifter).
B d h ilV aíue Exists
f
General
90*
180° " 270“
E |
OK
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Cancel
j Ccnfigurstmn FU*® j Options > Dais Gotecíión ¡ Prébe'A
A nsias type:
r
[.
Help
■JTme Domwi (Transen!) V j
Qpejn*:
-1 | |
300ns
Run fe
Start saving data áfter; ¡0
seconds. (TSTOP) seconds
Transient options..................- ................................................... ¡Monte CartO'VrW Case ¡«SParameBic Sweep nteracefature (Sweap; iSeve Bias Fo rt ¡Load Bss F o rt
ib)
Máximum stepsize: j
seconds
Skip the ¡riiáaí transient bias point calculatión (SKIPBPJ
■ F IG U R A 8 .1 1 (o) Ventana de diálogo Add New Column en el Property Editor de PARAM. (b) Ventana de diálogo para asignar valor a resistencias.
La tercera tarea consiste en configurar la simulación, lo que incluye la con figuración de los parámetros para el anáfisis de transitorios, así como los valores que se desean para R l. En PSpice se selecciona New Simulation Profile (figura 8.12a), en la cual se selecciona Time Domain (Transient) de Analysis type, 300 ns de Run to time, y se marca la selección Parametríc Sweep box en Options. La última opción aparece en el cuadro de diálogo que se muestra en la figura 8.12b, en la que se selecciona Global parameter de Sweep variable y se ingresa Resistance en Parameter ñame. La última selección que se requiere es marcar Logarithmie en Sweep type, un Start valué de 10, un End valué de 1 000 y 1 Points/Decade; de forma alterna, se pudieron haber listado los valores deseados de resistencia utilizando Valué list. Después de correr la simulación, aparece la caja de notificación que se muestra en la figura 8.13, que presenta los grupos de datos disponibles de la
I yx Profile: "S O H E M A T iC 1 -R L T ra n s ie n t An aiy¿i* '... Sfe pp a ra m Re sistan ce - ''Ó I ::K-.Profile: ’'S C H E M A T iC I- R L Tíansient Analysis11... Step parara Re sistan ce = 1 0 0 L '" Profile: "S G H E M A T 1 C 1 -R L Transien! A n a lu s is "...........................ram R e sistan ce =
j
■ FIGURA 8.13
iweep variable
Logarithmie ¡Decado
Stait valué:
¡10
Éndvak»:
{TcOO'”
Points/Decade:- ¡í
(b)
A v a ila b le S e c tio n s
All
(«)
Nüne
j
OK
27,0 D e g 27.0 D e g 1 .ÚO00E+03
27.0 D e a
C ancel
Ventana de diálogo de lassecciones de datos disponibles. (Continúa en la siguiente página)
I F IG U R A 8 .1 2 (o) Ventana de diálogo de simulación, (b) Ventana de diálogo de parámetros de barrido.
266
----- V W
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
gráfica (R esistance = 10, 100 y 1000 en este caso). Se selecciona un con junto de datos en particular realzándolo; se seleccionan los tres en este ejemplo, lo que resulta en la salida Probe de la figura 8.14. Simple RL Circuit Transíent Simulation (active}
- l |d |¡ X
■ F IG U R A 8 .1 4 Salida de Probe de los tres valores de resistencias.
¿Por qué un valor más grande de la constante de tiempo L /R da origen a una curva de respuesta que decae con más suavidad? Se analizará el efecto de cada elemento. En términos de la constante de tiempo r, se escribiría simplemente la respuesta del circuito R L en serie como i(t) = h e ~ tjx Un aumento de L permite un mayor almacenamiento de energía de la misma corriente inicial, así que esta energía más grande requiere un tiempo más largo para que se disipe en la resistencia. De igual forma se aumentaría L / R al reducir R. En este caso, la potencia que fluye hacia la resistencia es menor para la misma corriente inicial; también en este caso se requiere un tiempo mayor para disipar la energía almacenada. Dicho efecto se observa con claridad en el resultado de simulación de la figura 8.14.
8.3
i
■ F IG U R A 8 .1 5 Circuito RC en paralelo para el que i/(í) se va a determinar, sujeto a la condición inicial i/(0) = lao
CIRCUITO RC SIN FUENTE
-------• -------------------------------------------------------------------------------------------------Los circuitos que se basan en combinaciones resistencia-capacitor son más co munes que sus análogos resistencia-inductor. Las principales razones consisten en las menores pérdidas que se generan en un capacitor físico, el menor costo y el hecho de que el modelo matemático simple concuerda mejor con el compor tamiento real del dispositivo, así como su tamaño y peso menores (que son dos aspectos muy importantes en las aplicaciones de circuitos integrados). Se verá en qué grado el análisis del circuito R C en paralelo (¿o está en serie?) que se muestra en la figura 8.15 corresponde al del circuito RL. En el capacitor seleccionado se supondrá una energía almacenada inicial de
v(Q) = Vo
SECCIÓN8.3 CIRCUITORC SINFbENTE #La com ente total que sale del nodo de la parte superior del esquema de cir cuito debe ser cero, por lo que se debería escribir dv v C— + - = dt R
0
La división entre C da como expresión dv — dt
v + --= 0 RC
[13]
La ecuación [13] tiene una forma familiar; mientras que la comparación con la ecuación [1] di
s
R
+ í ‘ = °
111
m uestra que la sustitución de i por v y L / R por RC da una ecuación idéntica a la que se consideró antes. A sí debe ser, pues el circuito R C que se analizará ahora resulta el dual del circuito RL considerado primero.D icha dualidad obliga a que v(t) en el circuito R C e i{t) en el circuito R L tengan expresiones idénticas, si la resistencia de un circuito es igual al recíproco de la resistencia del otro circuito y si L es numéricamente igual a C. En consecuencia, la respuesta del circuito R L , i(t) = i(0)
[14]
para el circuito RC. Suponiendo que se hubiese elegido la corriente i como la variable del cir cuito R C en vez de la tensión v. AI aplicar la ley de Kirchhoff de tensión, t
I Í 'm c J ,
— vq(ío) + R i = 0
se obtiene una ecuación integral que se opone a la ecuación diferencial. Sin em bargo, al tomar la derivada del tiempo de ambos lados de esta ecuación, i di - + * - = 0
[15]
y sustituyendo i por v /R , se obtiene de nuevo la ecuación [13]: v ------- +
RC
dv —
dt
=0
La ecuación [15] podría utilizarse como punto de partida, pero la aplicación de los principios de dualidad no habría sido tan natural. Se analizará la naturaleza física de la respuesta de tensión del circuito RC según se expresa por medio de la ecuación [14]. En t = 0 se obtiene la condición inicial correcta, y a medida que t se vuelve infinita, la tensión tiende a cero. Este último resultado concuerda con la idea de que si cualquier tensión se conserva en el capacitor, la energía continuaría fluyendo hacia la resistencia y se disi paría como calor. En consecuencia, se requiere una tensión fin a l nula. La constante de tiempo del circuito R C se determinaría mediante las relaciones de dualidad con respecto a la expresión de la constante de tiempo del circuito RL o
AA/V
0
2 6 8 )------------- V
A
--------------------------- •
CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
sólo con observar el tiempo en el que la respuesta disminuyó hasta 37% de su valor inicial: r = 1 ~RC por lo que: r = RC
[ 16]
La familiaridad que se tiene con la exponencial negativa y la importancia de la constante de tiempo r permite bosquejar con rapidez la curva de respuesta (fig. 8.16). Valores más grandes de R o C proporcionan mayores constantes de tiempo y una disipación más lenta de la energía almacenada. Una resistencia mayor disipará una potencia más pequeña con una tensión determinada entre sus extremos, por lo que requiere mayor tiempo para convertir la energía almace nada en calor; una capacitancia más grande almacena mayor energía con una tensión determinada en ella, lo que también en este caso requiere un tiempo mayor para disipar su energía inicial.
I F IG U R A 8 .1 6 La tensión v(t) en el capacitor del circuito RC en paralelo se grafica como una función del tiempo. El valor inicial de v(t) es V0.
EJEMPLO 8.3 m «mitrar la tensión m arc ad a v en t H 200 „ s del circuito de la figura 8.17a. Para encontrar la tensión que se pide, será necesario dibujar y analizar dos circuitos separados: uno antes de que se dispare el interruptor (figura 8.17&), y otro después (figura 8.17c). El único propósito de analizar el circuito de la figura 8.17& es obtener una tensión inicial del capacitor; se supone que cualquier transitorio en ese circuito desapareció hace mucho tiempo y quedó un circuito de cd puro. Si no existe ninguna corriente que circule a través del capacitor o la resistencia de 4 £2, entonces, v(0) = 9 V
[17]
Enseguida se enfoca la atención en el circuito de la figura 8 .17c, recono ciendo que r = R C = (2 + 4)(10 x IO-6 ) = 60 x 10“ 6 s Por lo tanto, a partir de la ecuación [ 14], v(t) = v(0)e~t/RC = i>(0)e_f/60xl0_6
[181
SECCIÓN 8.4 UNA PERSPECTIVA MÁS GENERAL
4 fl
4 a -----------------------------J -----------------W
>
20 .>
~7 ^
r
------------------ W
-
+
r = 0
f
+
T
~
A /W
»
v —
+
+
2a
1 0 ¡j ,F Z-
i
—
9 V
10 ¿ iF ^ — V
t <0
(a) 40
—
V W
2 fl .
io ¿iF:
rfeO (c) I F IG U R A 8 .1 7 (o) Circuito /?C simple con un interruptor disparado en el tiempo í = 0. (6) El circuito antes de f = 0. (c) El circuito después de que se dispara el interruptor y se quita la fuente de 9 V.
La tensión en el capacitor debe ser igual en ambos circuitos en t = 0; en ninguna otra tensión o corriente se pone dicha restricción. Sustituyendo la ecuación [17] en la [18], v(t) = 9 e - t / 60 x i o - 6y por lo que v (200 x 10~6) = 321.1 mV (menos de 4% de su máximo valor).
732
ü
AAAr P R Á C T IC A
___________________________________________________________ 800 fl
=
-
50 V
8.4 Determinar uiO) y v(2 ms) del circuito de la figura 8.18. Respuesta: 50 V, 14.33 V. I F IG U R A 8 .1 8
8.4 UNA PERSPECTIVA MAS GENERAL
-------•--------------------------------------------------------------------------------------------------Como se ha visto en los ejemplos 8.2 y 8.3, no resulta difícil trasladar los resul tados que se obtuvieron para el circuito RL en serie a un circuito que contenga cualquier número de resistencias y un inductor. De modo similar, se generalizan los resultados del circuito R C para un circuito con cualquier número de resisten cias y un capacitor. Incluso es posible considerar circuitos que contengan fuentes dependientes. L
Circuitos RL generales
AAAr
-n rw -
Como ejemplo, examinar el circuito que se ilustra en la figura 8.19. La resisten cia equivalente que el inductor enfrenta es Req —
+
^1^2 Ri + R 2
I F IG U R A 8 .1 9 Circuito sin fuente que contiene un
y por lo tanto la constante de tiempo vale
x=
L R ,eq
inductor y varias resistencias que se analiza mediante la determinación de la constante de tiempo x = L/Req.
[19]
0
V A
-•
También se puede enunciar esto como _
^TH donde % es la resistencia equivalente de Thévenin "vista" por el inductor
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL YRC BÁSICOS
También se puede observar que si varios inductores están presentes en un cir cuito y pueden combinarse mediante arreglos en serie y/o en paralelo, entonces la ecuación [19] puede generalizarse más como T= 4^ R,eq donde L eq representa la inductancia equivalente.
[201
Pequeñas diferencias: distinción entre Oc y 0 ! Si se regresa al circuito de la figura 8.19 y se supone que alguna cantidad finita de energía se almacena en el inductor en t = 0, de tal forma que ¿¿(0) ^ 0. La corriente en el inductor está dada por íl
= í l ( 0)e~,/T
así que lo anterior representa lo que se podría llamar la solución básica del problema. Es muy probable que se necesite alguna otra corriente o tensión aparte de i¿ como la corriente ¿2 en R 2. Siempre se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm a la parte resistiva del circuito sin ninguna dificultad, pero la división de corriente proporciona la respuesta más rápida en este circuito: 12 =
Ri
Ri + Ri También se puede conocer el valor inicial de alguna corriente aparte de la del in ductor. En razón de que la corriente en una resistencia puede cambiar de manera instantánea, se indicará el instante posterior a cualquier cambio que podría ocurrir en t = 0 mediante el uso del símbolo 0+ ; en un lenguaje más matemático, i\ (0+) es el límite de la derecha de i\(t) a medida que t tiende a cero.1 Por lo tanto, si se proporciona el valor inicial de i 1 como i \ (0+), entonces el valor inicial de ¿2 es ¿ 2 (0 + ) = / l ( 0 + ) ^
A partir de tales valores, se obtiene el valor inicial necesario de /¿(O): Ri + R i . iL(0+) = - [ / i ( 0 +) + ¿2(0+)] = - — _ “ z ¿i(0+) Observe q u e /t (0+ ) es siempre iguai a /¿(O- ). Lo anterior no es necesariamente válido para la
así que la expresión de h se convierte en
tensión en ei inductor o para la tensión o corriente en la resistencia, ya que pueden cambiar en el tiempo cero.
i2 = ii(0 +)* ¿ -e-‘^ Ri Se verá si se obtiene esta última expresión de modo más directo. En razón de que la corriente en el inductor decae de manera exponencial como e~‘/T, toda corriente que circula p o r el circuito debe seguir el mismo comportamiento fu n cional. Lo anterior resulta claro al considerar la corriente en el inductor como una fuente de corriente que se aplica a una red resistiva. Cada corriente y tensión en la red resistiva debe tener la misma dependencia de tiempo. Por lo tanto, me diante estas ideas se puede expresar i2 como: i2 = Ae donde x
L R eq
( 1) Observar que sólo es una conveniencia de notación. Cuando se contrapone con í = 0+ o su compañera / = 0“ en una ecuación, simplemente se emplea el valor cero. La notación permite diferenciar con claridad entre los tiempos anterior y posterior al acontecimiento, tal como la apertura o cierre del interruptor, o en un suministro de potencia que se activa o desactiva.
SECCIÓN 8.4
UNAPERSPECTIVAMÁSGENERAL #■
A /W
0
y A debe determinarse a partir del conocimiento del valor inicial de i2. Puesto que se conoce ¿i(0+ ), la tensión a través de R] y de R 2 se determina como
r 2í 2(0+)
= R i¿i(0*3
lo que nos conduce a »2(0+) = » i( 0 +) | i *2 Por lo tanto,
h it)
= ¿i(0+)— í/r R2
Una secuencia similar de pasos proporcionará una solución rápida a un gran número de problemas. Se reconoce prim ero la dependencia del tiempo de la respuesta como un decaimiento exponencial, se determina la constante de tiempo apropiada combinando resistencias, se escribe la solución con una amplitud desconocida y luego se determina la amplitud a partir de una condición inicial. Esta misma técnica se aplica a cualquier circuito con un inductor y cualquier número de resistencias, así como a circuitos especiales que contengan dos o más inductores, y también dos o más resistencias que se puedan simplificar mediante la combinación de resistencias o inductancias en un inductor y en una resistencia.
EJEMPLO 8.4 Determinar tanto ¿1 como i¡. del circuito de la figura 8.20a para t > 0.
1) F IG U R A 8 .2 0 (<£) Cjrcuito con resistencias e inductores múltiples. (b) Después de í = 0, el circuito se simplifica a una resistencia equivalente de 110 £2 en serie con íeq =
2.2 mH.
Después de t = 0, cuando la fuente de tensión se desconecta como se mues tra en la figura 8.206, se calcula con facilidad una inductancia equivalente, 2x3 Leq = 2 "+ 3 + 1 = 2-2 m il una resistencia equivalente, en serie con la inductancia equivalente, 90(60 + 120) 9 0 + 180
+ 5 0 = 110í2
'
(Continúa en la siguiente página)
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL YRC BÁSICOS
y una constante de tiempo L eq 2.2 x 10 3 _ r = —— = ---------------= 20 u s R eq 110 De tal modo, la forma de la respuesta natural es K e ~ 50 ü00í, donde K es una constante desconocida. Si se considera al circuito justo antes de la apertura del interruptor ( í = 0 ~ ) , = 1 8 / 5 0 A. En razón de que i ' l ( 0 + ) = í l ( 0 ~ ) , se sabe que i¿ = 1 8 / 5 0 A o 3 6 0 mA en t = 0 + , por lo que • _ í 360 mA, lL ~ \ 360e~50 000ímA,
t < 0 t> 0
No existe ninguna restricción sobre i\ para que cambie instantáneamente en t = 0, por lo que su valor en t = 0 “ (18/90 A o 200 mA) no es relevante para encontrar i¡ en t > 0 . En lugar de eso, se debe encontrar i¡ (0+ ) a través del conocimiento de z¿(0+). Mediante la división de corriente, se tiene 120 + 60 j1(0+) = —¿¿(0 ) —— ------------= —240 mA u 120 + 60 + 90 Por consiguiente, 200 mA, ly ~ | —240e-50 000' mA,
t < 0 t > 0
Se puede verificar el análisis mediante PSpice y el modelo de interruptor Sw _tO pen, aunque se debe recordar que, en realidad, esta parte son solamente dos valores de resistencias: uno correspondiente a antes de que el interruptor se active en el tiempo especificado (el valor por omisión es de 10 mQ) y el otro es después de que el interruptor se active (el valor por omisión es de 1 MÍ2). Si la resistencia equivalente del resto del circuito es comparable con cualquiera de los valores, éstos deberán editarse mediante doble clic en el símbolo del interrup tor del diagrama del circuito. Observar que también hay un modelo de interruptor que cierra en un tiempo específico: Sw_tClose. P R Á C T IC A
___________________ r ' "
’:
~
______________
8.5 P a ra t = 0 . 1 5 s en el c irc u ito d e la fig u ra 8 .2 1 , e n c o n tra r el v a lo r de ( a ) íl
, ( b ) i i;
(c) ¿2.
Respuesta: 0.756 A; 0; 1.244 A.
Ahora se considerará la tarea de determinar la respuesta natural de cualquier circuito que pueda representarse mediante un inductor equivalente en serie con una resistencia equivalente. Un circuito que contenga varias resistencias e inductores no siempre posee una form a que permite que las resistencias o los in ductores se combinen en elementos equivalentes individuales. En tales casos, no hay un solo término exponencial negativo o una sola constante de tiempo asocia dos con el circuito, sino que habrá, en general, varios términos exponenciales negativos, cuyo número será igual al de inductores que quedan luego de haber
SECCIÓN 8.4 UNA PERSPECTIVA MÁS GENERAL
AA/V
»
0
efectuado todas las combinaciones posibles de inductores. En el capítulo 9 se es tudia esta situación de manera más detallada.
Circuitos RC generales Muchos de los circuitos RC para los que se desearía encontrar una respuesta na tural contienen más de una sola resistencia y un solo capacitor. Del mismo m o do en que se hizo con los circuitos RL, se analizan primero los casos en los que el circuito dado puede reducirse a un circuito equivalente consistente en sólo una resistencia y un capacitor. Suponga primero que se abordará un circuito que nada más contiene un ca pacitor, pero un número cualquiera de resistencias. Se puede sustituir la red re sistiva de dos terminales que se encuentra en las terminales del capacitor por una resistencia equivalente, y luego se podría escribir de inmediato la expresión de la tensión del capacitor. En dichas circunstancias, el circuito tiene una constante de tiempo efectiva dada por x — ReqC donde R eq es la resistencia equivalente de la red. Una perspectiva alterna es que R eq sea en realidad la resistencia equivalente de Thévenin “vista” por el capacitor. Si el circuito tiene más de un capacitor, pero puede reemplazarse de alguna forma mediante combinaciones en serie y/o en paralelo con una capacitancia Ceq, entonces el circuito tendrá una constante de tiempo efectiva dada por x = R C eq expresándose el caso general como, X =
R e q C eq
sswtsef!,
Sin embargo, vale la pena mencionar que los capacitores en paralelo sustituidos por una capacitancia equivalente tendrían que contar con condiciones iniciales idénticas.
i <
EJEM PLO 8.5 Determinar v(0c ) e i‘i(Oc ) del circuito de la figura 8.22a si v (0 ' )
H
Vo-
(¿) I F IG U R A 8 .2 2 (a) Circuito que contiene un capacitor y varias resistencias. (6) Las resistencias se sustituyen por una sola resistencia equivalente; la constante de tiem po es ahora simplemente
Primero se simplifica el circuito de la figura 8.22a como se muestra en la figura 8.22fo, lo que permite escribir v = V0e ~ t/RaiC (Continúa en la siguiente página)
CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
d o n de « (0 + ) = v(0~) = V0
Req = R2 +
y
K\ rf- A 3
T o d a c o m e n te y to d a te n s ió n en la p a rte re s is tiv a de la re d debe te n e r la fo rm a A e _í/SeqC, d o n d e A es e l v a lo r c o rre s p o n d ie n te a la s c o n d ic io n e s i n i c ia le s de esa c o rrie n te o te n s ió n . A s í, la c o rrie n te en R\, p o r e je m p lo , se e x p re s a ría c o m o :
i\ = ¿ i( 0+ )é T '/ r donde
V
R 1 + R3 !
e ¿i (0 -1) q u e d a p o r d e te rm in arse a p a r tir de la c o n d ic ió n in ic ia l. C u a lq u ie r c o m e n te q u e flu y a en e l c irc u ito c u a n d o t = 0+ debe p ro v e n ir d e l c a p a c ito r. P o r lo ta n to , y a q u e v n o p u e d e c a m b ia r de fo r m a in sta n tá n e a , u ( 0+ ) - u ( 0 - ) = v 0 y
i ?2 + R i R3/(R¡ + R 3) + R 3
PRÁCTICA g
______________________
8.6 C a lc u la r lo s v a lo re s de vc y de v„ d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .2 3 p a ra t ig u a l a: (a) 0 “ ; (b) 0 + ; (c ) 1.3 m s. 250 n
600 n
100 Q
Respuesta: 100 V, 38.4 V: 100 V, 25.6 V; 59.5 V, 15.22 V.
E l m é to d o p u e d e a p lic a rs e a c irc u ito s que c u e n te n c o n u n e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e n e rg ía y ta m b ié n c o n u n a o m á s fu e n te s d e p e n d ie n te s . E n d i cho s casos, se p u e d e e s c rib ir u n a e c u a c ió n K C L o K V L a p ro p ia d a ju n to c o n c u a lq u ie ra o tra e c u a c ió n de s o p o rte que sea n e ce sa ria , r e d u c ir to d o a u n a s o la e c u a c ió n d ife re n c ia l y e x tra e r la e c u a c ió n c a ra c te rís tic a p a ra e n c o n tra r la c o n s ta n te de tie m p o . D e fo rm a a lte rn a tiv a , se p u e d e e m p e za r a b u s c a r la re s is te n c ia e q u iv a le n te de T h é v e n in de la re d c o n e c ta d a a l c a p a c ito r o in d u c to r y u tiliz a r la en e l c á lc u lo de la c o n s ta n te de tie m p o RLoRC a p ro p ia d a , a m e n o s que la fu e n te d e p e n d ie n te esté c o n tro la d a p o r u n a te n s ió n o c o rrie n te a so c ia d a c o n e l e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e ne rg ía , en c u y o caso n o p o d rá u tiliz a rs e e l m é to d o de T h é v e n in . E n e l e je m p lo s ig u ie n te se e s tu d ia esta c u e s tió n c o n m a y o r d e ta lle .
SECCIÓN 8.4
UNAPERSPECTIVAMÁSGENERAL *
W V
©
EJEMPLO 8.6 En el circuito de la figura 8.24a, encontrar la tensión marcada vc para 0 si vc(0! ) H 2 V.
t >
ion
io n
— V W
: i fiF
l F IG U R A 8 . 2 4 (fl) Circuito RC simple que contiene una fuente dependiente no controlada por una tensión o corriente de capacitor. (b) Circuito para encontrar el equivalente de Thévenin de la red conectada al capacitor.
L a fu e n te d e p e n d ie n te n o está c o n tro la d a p o r u n a te n s ió n o c o rrie n te de ca p a c ito r, p o r lo que se p u e d e c o m e n z a r p o r b u s c a r e l e q u iv a le n te de T h é v e n in de la re d a la iz q u ie rd a d e l ca p a c ito r. S i se c o n e c ta u n a fu e n te de re fe re n c ia d e 1 A , c o m o en la fig u ra 8 .2 4 b,
Vx = (í + 1 .5 /0 ( 3 0 ) d o n de •
h
_ ( 1\
y = Yi
20
V 2 0 / 10 + 2 0 *
30
M e d ia n te u n p o c o d e á lg e b ra se p u e d e v e r que Vx = —6 0 V , p o r lo que la re d tie n e u n a re s is te n c ia e q u iv a le n te de T h é v e n in de —6 0 £2 (in u s u a l, p e ro n o im p o s ib le c u a n d o se tra b a ja c o n u n a fu e n te d e p e n d ie n te ). P o r lo ta n to , e l c irc u ito tie n e u n a c o n s ta n te d e tie m p o negativa
x = —6 0 (1
x
10- 6 ) = —6 0 /¿s
P o r lo ta n to , la te n s ió n en e l c a p a c ito r es,
1>c (t) = Ae,/60xW~6 V d o n d e A = i> c(0 + ) = vc(0~) = 2 V . P o r ende,
vc it) =
V
\ 2l ]
lo c u a l, so rp re n d e n te m e n te , es in e s ta b le : cre ce de m a n e ra e x p o n e n c ia l c o n e l tie m p o . E s to n o p u e d e c o n tin u a r de fo rm a in d e fin id a ; u n o o m ás e le m e n tos d e l c irc u ito fa lla rá n e n u n m o m e n to u o tro . De manera alternativa, se p o d ría e s c rib ir una e c u a c ió n K C L s im p le p a ra e l n o d o s u p e rio r de la fig u ra 8 .2 4 a
h vc= 3 0 (í.5 \
10“ f i ^
at
[22]
donde
vc ¡1 ~
[2 3 ]
30
(Continúa en la siguiente página)
A / W ------------ •
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
S u s titu y e n d o la e c u a c ió n [2 3 ] en la [2 2 ] y c o n u n p o c o de á lg e b ra , se o b tie n e
dvc dt
1
6 0 x 10-6
vc = 0
la c u a l tie n e c o m o e c u a c ió n c a ra c te rís tic a
s—
1 =
60 x 10-
0
P o r lo ta n to , i
1 6 0 x ÍO -6
y, asi
vc (t) = A í 'í/60xl(r6 V c o m o se c a lc u ló c o n a n te rio rid a d . L a s u s titu c ió n de A = i> c ( 0 + ) = 2 da c o m o re s u lta d o la e c u a c ió n [ 21], q u e es la e x p re s ió n d e l c á lc u lo de la te n s ió n d e l c a p a c ito r p ara t > 0 .
''i < >
2n
: 2 mF
. F IG U R A 8 .2 5 Circuito del problema de práctica 8.7.
P R Á C T i C A B________________________________________________ 8.7 (a) C o n s id e ra n d o e l c irc u ito d e la fig u ra 8 .2 5 , d e te rm in a r la te n s ió n vc (t ) p a ra t > 0 si i > c ( 0 ~ ) = 11 V . (b) ¿Es “ e sta ble ” este c irc u ito ? Respuesta: (a) v c ( t ) = 1le-2*10''/3 V, / > 0. (b) Sí, decae (exponencialmente) en lugar de crecer conforme transcurre el tiempo.
A lg u n o s c irc u ito s que c o n tie n e n v a rio s re s iste n c ia s y ca p a c ito re s se p o d ría n s u s titu ir p o r u n c irc u ito e q u iv a le n te q u e c o n te n g a s ó lo u n a re s is te n c ia y u n c a p a c ito r; se re q u ie re q u e e l c irc u ito o rig in a l p u e d a d e s c o m p o n e rse e n dos parte s, u n a q u e in c lu y a todas la s re s iste n c ia s y la o tra to d o s lo s ca p a c ito re s , d e m o d o q u e am bas p arte s s ó lo se c o n e c te n m e d ia n te d os c o n d u c to re s ide a les. S in e m b a rg o , éste p o r lo g e n e ra l n o es e l caso, así q u e c o n m u c h a p ro b a b ilid a d se re q u e rirá n la s c o n s ta n te s d e tie m p o m ú ltip le s , a f in d e d e s c rib ir c irc u ito s c o n v a ria s re s iste n c ia s y c a p a c ito re s . C o m o c o m e n ta rio , se debe ser p re c a v id o a nte c ie rta s s itu a c io n e s q u e im p liq u e n s ó lo e le m e n to s id e a le s q u e se c o n e c ta n e n c o n ju n to de m a n e ra re p e n tin a . P o r e je m p lo , es p o s ib le im a g in a r q u e se c o n e c ta n d o s c a p a c ito re s id e a le s en s e rie que te n g a n te n sio n e s d e s ig u a le s p re v ia s a t = 0. L o a n te rio r p la n te a u n p ro b le m a a l u s a r m o d e lo m a te m á tic o de un c a p a c ito r id e a l; s in e m b a rg o , lo s ca p a c ito re s re ale s tie n e n re s iste n c ia s asociadas, a tra vé s de la s cua les se d is ip a energía.
8.5 t LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO_____________________ Se h a estu dia do la repuesta de lo s c irc u ito s RL y RC c ua nd o n o se presentan fuentes o fu n c io n e s fo rza d a s; se d e n o m in a respuesta natural d e b id o a q ue su fo rm a depende s ó lo de la n a turale za d e l c irc u ito . L a ra zón de que se obten ga a l g una respuesta surge de la prese ncia d e a lm a ce n a m ie n to de energía in ic ia l d en tro
SECCIÓN 8.5 LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
de los e le m e n to s in d u c tiv o s o c a p a c itiv o s en e l c irc u ito . E n a lg u n o s casos se pueden e n c o n tra r c irc u ito s que c o n tie n e n fue nte s e in te rru p to re s ; se in fo rm ó q ue cierta s ope ra cio ne s de c o n m u ta c ió n se e fe c tu a ro n en i — 0 c o n e l fin de e lim in a r todas las fue nte s d e l c irc u ito , a l tie m p o q ue se d ejan cantidades de e ne rg ía a lm a cenadas a q u í y allá . E n otras palabras, se han re s u e lto p ro b le m a s en lo s que las fue nte s de e ne rg ía se e lim in a n e n fo rm a re p e n tin a d e l c irc u ito ; se debe c o n s id e ra r a h o ra e l tip o de re spu esta que se p ro d u c irá cu a n d o las fu e n te s de e n e rg ía se apliq u en de fo rm a s ú b ita a u n c irc u ito . E l e n fo q u e será en la re spu esta que aparece c u a n d o las fue nte s de e ne rg ía que se a p lic a n de re p e n te son fu e n te s de cd. P ue sto q u e a l p a re c e r to d o d is p o s itiv o e lé c tric o se e n e rg iz a a l m e no s u n a v e z y d e b id o a q ue la m a y o ría se a c tiv a y de s a c tiv a m u ch a s veces e n e l c u rso de su v id a ú til, e l e s tu d io se a p lic a a m u ch o s casos p rá c tic o s . A u n c u a n d o p o r e l m o m e n to se re s trin g e a fu e n te s de cd, se p re sentan in n u m e ra b le s casos en lo s que d ic h o s e je m p lo s m ás s im p le s c o rre s p o n d en a l fu n c io n a m ie n to de d is p o s itiv o s p rá c tic o s . P o r e je m p lo , e l p rim e r c irc u ito q u e se a n a liz a rá p o d ría re p re s e n ta r la fo rm a c ió n de la c o rrie n te c u a n d o se a rra n ca u n m o to r de cd. L a g e n e ra c ió n y e l uso de lo s p u ls o s de te n s ió n re c ta n g u la re s necesarios p a ra re p re s e n ta r u n n ú m e ro o u n c o m a n d o en u n m ic ro p ro c e s a d o r p ro p o rc io n a m u c h o s e je m p lo s en e l c a m p o de la c irc u ite ría e le c tró n ic a o tra n s isto riz a d a . Se p re se n ta n c irc u ito s s im ila re s e n lo s c irc u ito s de s in c ro n iz a c ió n y b a rrid o de lo s re c e p to re s de te le v is ió n , en siste m as de c o m u n ic a c ió n q u e u t i liz a n m o d u la c ió n p o r p u ls o s y e n lo s sistem as de ra d a r, p o r n o m b ra r unos c u a n to s e je m p lo s . Se ha h a b la d o de la “ a p lic a c ió n re p e n tin a ” de u n a fu e n te de e nergía, y p o r es ta fra se se e n tie n d e q ue su a p lic a c ió n es en e l tie m p o c e ro .2 P o r lo ta n to , la o p e ra c ió n de u n in te rru p to r en serie c o n u n a b a te ría es e q u iv a le n te a la fu n c ió n f o r zada q u e es n u la hasta e l in s ta n te en q u e se c ie rra e l in te rru p to r, y es ig u a l de a h í en a de la n te a la te n s ió n de la b a te ría . L a fu n c ió n fo rz a d a tie n e u n ro m p im ie n to , o d is c o n tin u id a d , en e l in s ta n te e n e l q u e se c ie rra e l in te rru p to r. C ie rta s fu n c io nes fo rza d a s esp ecia le s q u e s o n d is c o n tin u a s o tie n e n d e riv a d a s d is c o n tin u a s se d e n o m in a n funciones singulares, las m á s im p o rta n te s de las cua les son la fu n ción escalón unitario y la función impulso unitario. Se d e fin e la fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n u n ita r io c o m o u n a fu n c ió n d e l tie m p o q u e es n u la p a ra to d o s lo s v a lo re s d e su a rg u m e n to q u e s o n m e n o re s q u e c e ro y q u e es la u n id a d p ara to d o s lo s v a lo re s p o s itiv o s de su a rg u m e n to . Sea ( í — í0) e l a rg u m e n to y re pre se n te m o s la fu n c ió n de e s c a ló n u n ita r io p o r u, entonces u ( t — ío ) debe ser c e ro p a ra to d o s lo s v a lo re s de t m e n o re s q u e ío, y será la u n id a d p a ra to d o s lo s v a lo re s de í m a yo re s q u e tQ. E n í = ío, u ( t — fo) c a m b ia en fo rm a a b ru p ta desde 0 hasta 1. S u v a lo r e n í = ío n o está d e fin id o , p e ro se c o n o c e e n to d o s lo s in s ta n te s de tie m p o q u e están a rb itra ria m e n te c e rca de í = ío . A m e n u d o se in d ic a lo a n te rio r e s c rib ie n d o u ( l ^ ) = 0 y u ( t ¿ ) = 1. L a d e fin ic ió n m a te m á tic a c o n c is a de la fu n c ió n fo rz a d a de e s c a ló n u n ita rio es u (t — í0)
0 í < ío 1 í > ÍQ
y la fu n c ió n se m u e s tra de m a n e ra g rá fic a en la fig u ra 8 .2 6. O b s e rv a r que u n a re c ta v e rtic a l de lo n g itu d u n ita ria se p re se n ta en í = ío- A p esar de q u e este “ au m e n to ” n o es, de m a n e ra e s tric ta , u n a p a rte de la d e fin ic ió n d e l e sc a ló n u n ita rio , suele m o stra rs e en cad a d ib u jo . í2) Desde luego, esto no es físicamente posible. Sin embargo, si es muy corta la escala de tiempo en la cual ocurre un suceso de este tipo comparada con las demás escalas de tiempo relevantes que describen la operación del cir cuito, el señalamiento aludido es más o menos cierto, así como matemáticamente conveniente.
v w -
• “
277
u(t - í0)
0 I FIGURA 8.26 Función forzada de escalón unitario u{t —10).
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
Se o b s e rv a ta m b ié n q u e e l e s c a ló n u n ita r io n o n e c e s ita ser u n a fu n c ió n d e l tie m p o . P o r e je m p lo , u (x — x 0) p o d ría usarse p a ra d e n o ta r u n a fu n c ió n de es c a ló n u n ita rio , d o n d e x p o d ría ser u n a d is ta n c ia en m e tro s , p o r e je m p lo , o una fre c u e n c ia . A m e n u d o en e l a n á lisis de c irc u ito s u n a d is c o n tin u id a d o u n a a c c ió n de c o n m u ta c ió n o c u rre en u n in s ta n te , e l c u a l se d e fin e c o m o t = 0. E n ese caso, en í 0 = 0 , se re prese nta la fu n c ió n fo rz a d a de e sca ló n u n ita rio c o rre sp o n d ie n te m e d ia n te u(t — 0 ), o en fo rm a m ás s im p le u(t). E s to se ilu s tra en la fig u ra 8.27. A s í,
u{t)
1 -
u{t)
■ F IG U R A 8 .2 7 La función fotzada de escalón unitario u(t) se muestra como una función de t.
0
t <0 1 í > 0
L a fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n u n ita r io es en s í m is m a a d im e n s io n a l. S i se desea re p re s e n ta r u n a te n s ió n , se re q u ie re m u ltip lic a r u(t — to) p o r a lg u n a te n s ió n co n sta n te , c o m o 5 V . D e ta l m o d o , v(t) = 5u(t — 0 .2 ) V c o n s titu y e u n a fu e n te de te n s ió n id e a l q u e es c e ro antes de t = 0 .2 s y u n a c o n s ta n te de 5 V después de t = 0 .2 s. L a fu n c ió n fo rz a d a se m u e s tra en la fig u ra 8 .2 8 a co n e c ta d a a u n a re d g e n e ra l.
Fuentes físicas y la función de escalón unitario A h o ra es n e c e s a rio p re g u n ta rse de m o d o ló g ic o c u á l fu e n te fís ic a es la e q u iv a le n te a esta fu n c ió n fo rz a d a d is c o n tin u a . P o r e q u iva le n te , se en tie n d e s im p le m e n te q u e la s c a ra c te rís tic a s de te n s ió n -c o rrie n te de la s dos re de s son id é n tic a s . E n la fu e n te de te n s ió n de e sc a ló n de la fig u ra 8 .2 8 a , la c a ra c te rís tic a de te n s ió n c o rrie n te es b a s ta n te s im p le : la te n s ió n es c e ro antes de í = 0 .2 s, de 5 V después de í = 0.2 s, y la c o rrie n te p ue de te n e r c u a lq u ie r v a lo r ( fin ito ) e n c u a lq u ie r in te rv a lo de tie m p o . U n p rim e r p e n s a m ie n to p o d ría lle v a r a in te n ta r u n e q u iv a le n te c o m o e l que se m u e s tra en la fig u ra 8 .2 8 b, u n a fu e n te de c d de 5 V en serie c o n u n in te rru p to r que se c ie rra en t = 0 .2 s. S in e m b a rg o , n o es e q u iv a le n te p a ra t < 0.2 s, d e b id o a que la te n s ió n e n tre la b a te ría y e l in te rru p to r n o está es p e c ific a d a p o r c o m p le to en d ic h o in te rv a lo . L a fu e n te “ e q u iv a le n te ” es u n c ir c u ito a b ie rto y la te n s ió n en e lla q u iz á s sea c u a lq u ie ra . D espu és de / = 0 .2 s, las redes son e q u iv a le n te s y s i es e l ú n ic o in te rv a lo q u e in te re sa , y s i la s c o rrie n te s in ic ia le s que flu y e n de las dos redes son id é n tic a s en t = 0.2 s, e n to n ce s la fig u ra 8 .2 8 b se c o n v ie rte en u n e q u iv a le n te ú t il de la fig u ra 8 .2 8a . C o n e l fin de o b te n e r u n e q u iv a le n te e x a c to de la fu n c ió n fo rz a d a de e sca ló n u n ita rio , se p o d ría in s ta la r u n in te rru p to r de dos vías y u n p o lo . A n te s de t = 0 .2 s, e l in te rru p to r s irv e p a ra a se gu ra r la te n s ió n c e ro e n tre las te rm in a le s de e u tra d a de la re d g e n e ra l. D espu és de í = 0 .2 s, e l in te rru p to r se c ie rra p a ra p ro p o rc io n a r u n a te n s ió n de e n tra d a c o n s ta n te de 5 V . E n í = 0 .2 s, la te n s ió n es in d e te rm i nada (c o m o e n la fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n ), y la b a te ría se e n c u e n tra p o r e l
5 m( í - 0 . 2 )
(a)
(b)
(c)
I F IG U R A 8 .2 8 (a) Una función forzada de escalón de tensión se muestra como la fuente de una red general. (b) Un circuito simple que a pesar de que no es el equivalente del inciso (a) se podría utilizar en muchos casos como su equivalente, (c) Equivalente exacto del inciso (a).
SECCIÓN 8.5 LA FUNCIÓN tSCALÓN UNITARIO
m o m e n to en c o r to c irc u ito (¡ p o r suerte se está tra b a ja n d o c o n m o d e lo s m a te m á ti c o s !). E l e q u iv a le n te e x a c to de la fig u ra 8 .2 8 a se ilu s tra en la fig u ra 8 .2 8c. L a fig u ra 8 .2 9 a p re s e n ta u n a fu n c ió n fo rz a d a de c o rrie n te de e sc a ló n q u e ac tiv a a u n a re d g e n e ra l. S i se in te n ta s u s titu ir este c irc u ito p o r u n a fu e n te de c d en p a ra le lo c o n u n in te rr u p to r (q u e se a bre en t — to), se debe re c o n o c e r que lo s c ir c u ito s son e q u iv a le n te s después de t = to, p e ro q ue las respuestas p o s te rio re s a ese in s ta n te son sem e jan tes s ó lo si las c o n d ic io n e s in ic ia le s re s u lta n ig u a le s . E l c irc u ito de la fig u ra 8 .2 9 b im p lic a que n o e x is te te n s ió n e n tre las te rm in a le s de la fu e n te de c o rrie n te d u ra n te t < tq. E ste n o es e l caso d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .2 9a . S in e m b a rg o , a m e n u d o se p o d ría n u s a r lo s c irc u ito s de las fig u ra s 8 .2 9 a y b de m a n e ra in d is tin ta . E l e q u iv a le n te e x a c to de la fig u ra 8 .2 9 a es e l d u a l de la fig u ra 8 .2 8 c ; n o es p o s ib le c o n s tru ir e l e q u iv a le n te e x a c to de la fig u ra 8 .2 9 b s ó lo c o n las fu n c io n e s fo rz a d a s de e sc a ló n de c o rrie n te y de te n s ió n .3
M Ar
• "
ijtlf-
(a)
La función pulso rectangular
ib)
A lg u n a s fu n c io n e s fo rz a d a s m u y ú tile s se o b tie n e n m e d ia n te la m a n ip u la c ió n de la fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n u n ita rio . Se d e fin irá u n p u ls o de te n s ió n re c ta n g u la r m e d ia n te las s ig u ie n te s c o n d ic io n e s :
v(t ~ to) =
0 t < ío Vq t0 < t < í i 0 t > t\
E l p u ls o se d ib u ja en la fig u ra 8 .3 0 . ¿Es fa c tib le re p re s e n ta rlo en té rm in o s de la fu n c ió n fo rz a d a de e s c a ló n u n ita r io ? Se a n a liz a rá la d ife re n c ia de lo s dos e s c a lo n e s u n it a r io s , u(t —to) —u(t —1\). L a d ife r e n c ia e n tre la s d o s f u n c io n e s e s c a ló n que se m u e s tra n e n la fig u ra 8 .3 1 a es u n p u ls o re c ta n g u la r. L a fu e n te Vqu ( í — í 0) — Vou(t — ti) s u m in is tra la te n s ió n deseada q u e se in d ic a en la fig u ra 8 .3 Ib.
u ( t - t 0)
(a)
279
(b)
■ FIGURA 8.31 (a) Escalones unitarios u(t - f0) y —u(t - 1}). (b) Fuente que produce el pulso de tensión rectangular de la figura 8.30.
S i se tie n e u n a fu e n te de ten sión se n o id a l Vmsen coi q ue se conecta de m anera re p e n tin a a u n a re d en í = ío, entonces u n a fu n c ió n fo rz a d a de te n s ió n a pro p ia d a sería v(t) = Vmu{t — to) sen a t. S i se desea representar u n e s ta llid o de energía del tra n s m is o r de Un a u to m ó v il c o n tro la d o p o r ra d io que o pe ra a 4 7 M H z (2 95 M ra d /s ), se p o d ría d e s a c tiva r la fu e n te se n o id a l de 7 0 ns después m e d ia n te u n a segunda fu n c ió n fo rza d a de escalón u n ita rio .4 P o r lo ta n to , e l p u ls o de te n s ió n es
v(t) = Vm[u(t — to) — u(t —to — 1 x 10_8)]s e n (2 9 5 x 10 6í ) E s ta fu n c ió n fo rz a d a se d ib u ja e n la fig u ra 8.32. (3) El equivalente puede dibujarse si se conoce la comente que circula por el interruptor antes de / = ío(4) Al parecer, uno es muy diestro en los controles de este automóvil. ¿Un tiempo de reacción de 0.1 ¿ts?
I FIGURA 8.29 (a) Función forzada de escalón de corrientes que se aplica a una red general. (b) Circuito simple que, aunque no es el equivalente exacto del inciso (a), se podría emplear como su equivalente en muchos casos. * f)
0
-+~t
I FIGURA 8.30 Función forzada que resulta útil (.pulso de tensión rectangular).
AA/V
■#
CAPÍTULO
8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
v(t)
■ F IG U R A 8 .3 2 Pulso de radiofrecuencia de 47 MHz, descrito por 1/(0 = Vm[u(t - to) x l( T 8)] sen(295 x 106Í).
_____________________________________________
P R Á ¿ T'C - t
8.8 E v a lu a r lo s ig u ie n te en t = 0 .8 : (a) 3 u ( t )
(b)
[ 4 u ( t) ] u { —t);
— 2 u ( —t
) + 0.8m (1 — í-);
(c ) 2 u ( t) s e n j r t.
Respuesta: 3.8; 0;Í1'U76.
8.6 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RL ------•----------------------------------------------------------------------------------------
¡(r)
■ F IG U R A 8 .3 3 (a) El circuito dado. (b) Circuito equivalente que posee la misma respuesta /(f) para cualquier tiempo.
C o n e l n iv e l de c o n o c im ie n to a d q u irid o h asta a h o ra se p u e de s o m e te r u n a re d s im p le a la a p lic a c ió n re p e n tin a de u n a fu e n te de cd. E l c irc u ito está c o m p u e s to p o r u n a b a te ría c u y a te n s ió n es Vo e n serie c o n u n in te rru p to r, u n a re s is te n c ia R, y un in d u c to r L. E l in te rru p to r se c ie rra e n t = 0, c o m o se in d ic a en e l esq ue m a d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .3 3 a. R e s u lta e v id e n te que la c o rrie n te i(t) es n u la antes de t = 0 , en co n s e c u e n c ia , se p u e d e s u s titu ir la b a te ría y e l in te rru p to r p o r u n a fu n c ió n fo rz a d a de e s c a ló n de te n s ió n Vou(t), q ue n o p ro d u c e ta m p o c o re spu esta antes de t = 0 . D espués de t = 0, lo s dos c irc u ito s son id é n tic o s. P o r c o n s ig u ie n te , se b u s c a la c o rrie n te i(t) e n e l c irc u ito de la fig u ra 8 .3 3 a o en e l c irc u ito e q u iv a le n te de la fig u ra 8.33¿>. Se d e te rm in a rá i(t) en este tie m p o e sc rib ie n d o la e cu ació n de c irc u ito a pro p ia d a y re s o lv ié n d o la después p o r s e p a ra c ió n de v a ria b le s e in te g ra c ió n . L u e g o de que se o b te n g a la re sp u e sta y se in v e s tig u e n las dos p arte s de las q u e se c o m p o n e , se v e rá q u e h a y u n s ig n ific a d o fís ic o de cada u n o de a m bo s té rm in o s . C o n u n e n te n d im ie n to m ás in tu itiv o de la fo rm a en que se o rig in a cad a té rm in o , se p o d rá n o b te n e r s o lu c io n e s m ás rá p id a s y de m a y o r s ig n ific a d o p a ra c a d a p ro b le m a q u e im p liq u e la a p lic a c ió n re p e n tin a de c u a lq u ie r fu e n te . Se p ro c e d e rá c o n e l m é to d o de s o lu c ió n m ás fo rm a l. A l a p lic a r la le y de K ir c h h o ff de te n s ió n a l c irc u ito de la fig u ra 8 .3 3 b, se tien e
Ri + L — — V0u(t) dt P ue sto q u e la fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n u n ita r io es d is c o n tin u a en t = 0, se c o n s id e ra rá p rim e ro la s o lu c ió n p ara t < 0 y lu e g o p a ra t > 0. L a a p lic a c ió n de te n s ió n c e ro o b lig a a u n a re spu esta c e ro , p u e sto q u e t = —o o , p o r lo que
i(t) = 0
t < 0
E n e l tie m p o p o s itiv o , s in e m b a rg o , u(t) es u n ita r ia y se d eb e re s o lv e r la e cu a c ió n
di Ri + L — = V,o dt
t >0
SECCION
8.6 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS /?¿
L a s v a ria b le s se separan m e d ia n te pasos a lg e b ra ic o s s im p le s , q u e d a n c o m o re s u lta d o
L di Vo - Ri
■dt
y cad a la d o p uede in te g ra rs e en fo rm a d ire c ta :
-4 ln (V 0 - R i ) = t - t f í R P ara e v a lu a r k, debe re fe rirs e a u n a c o n d ic ió n in ic ia l. A n te s de t = 0 , i(t) es c e ro , y p o r e llo i (O- ) = 0. P u e s to que n o se p u e d e c a m b ia r la c o rrie n te en u n in d u c to r p o r u n a c a n tid a d fin ita en e l tie m p o c e ro s in que se a so cie c o n u n a te n s ió n in fin ita , se debe te n e r i (0 + ) = 0 . D e ja n d o i = 0 en t = 0 , se o b tie n e -^ In V o = k K
y , p o r lo ta n to :
L K
[ln (V o - Ri) - ln Vb]
R e o rd e n a n d o , se tie n e
Vo__ Ri_ _
e ~Rt/L
Vo o sea
i = — - ~ e~Rl/L R
t > 0
[2 4 ]
R
A s í, u n a e x p re s ió n de la re spu esta v á lid a p a ra c u a lq u ie r t sería
i=
- ^ e~R,/L^ u(t)
[2 5 ]
Procedimiento directo E s ta es la s o lu c ió n deseada, p e ro n o se o b tu v o de la fo rm a m ás s im p le . P ara esta b le c e r u n p ro c e d im ie n to m ás d ire c to , se tra ta rá de in te rp re ta r lo s dos té rm in o s que aparecen en la e cu a c ió n [2 5 ]. E l té rm in o e x p o n e n c ia l tie n e la fo rm a fu n c io n a l de la re spu esta n a tu ra l del c irc u ito R L \ es u n a e x p o n e n c ia l n e g a tiv a , tie n d e a c e ro cu a n d o a u m e n ta e l tie m p o y se c a ra c te riza p o r la co n sta n te de tie m p o L j R. D e esta m a ne ra , la fo rm a fu n c io n a l de esta p a rte de la respuesta re s u lta id é n tic a a la q u e se o b tu v o e n e l c irc u ito sin fu e n te . S in e m b a rg o , la a m p litu d d e l té rm in o e x p o n e n c ia l depende de la te n s ió n de la fu e n te Vo. Se p o d ría g e n e ra liz a r entonces que la re spu esta será la sum a de dos té rm in o s , d o n d e u n o de e llo s tie n e u n a fo r m a fu n c io n a l id é n tic a a la de la respuesta s in fu e n te , p e ro c u e n ta c o n u n a a m p li tu d que depende de la fu n c ió n fo rza d a . P ero, ¿qué pasa c o n e l o tro té rm in o ? L a e c u a c ió n [2 5 ] in c lu y e ta m b ié n u n té rm in o co n s ta n te , V 0 / R . ¿ P or q u é se pre se n ta ? L a re sp u e sta es s im p le : la re s p u e s ta n a tu ra l tie n d e a c e ro c u a n d o la e n e rg ía se d is ip a de m a n e ra g ra d u a l, p e ro la re spu esta to ta l n 9 tie n d e a c e ro . A la la rg a , e l c irc u ito se c o m p o rta c o m o u n a re s is te n c ia y u n in d u c to r en s e rie c o n u n a bate ría . P ue sto q ue el in d u c to r fu n c io n a c o m o u n c o r to c irc u ito p a ra la cd , la ú n ic a c o rrie n te que c irc u la en este caso es V 0 / R . D ic h a c o rrie n te es u n a p a rte de
-------
AA/V----------------(2 8 1
V A ------------- •
CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
la re spu esta q u e se a trib u y e d e m a n e ra d ire c ta a la fu n c ió n fo rz a d a y se c o n o c e rá c o n e l n o m b re de respuesta forzada. É s ta es la re sp u e sta q u e se p re s e n ta d u ra n te m u c h o tie m p o después d e que se c ie rra e l in te rru p to r. L a re spu esta c o m p le ta se c o m p o n e de dos p arte s: la respuesta natural y la forzada L a p rim e ra es u n a c a ra c te rís tic a d e l c irc u ito y n o de las fu e n te s. S u fo r m a se p o d ría e n c o n tra r c o n s id e ra n d o e l c ir c u ito s in fu e n te y tie n e u n a a m p li tu d q u e d e p e n d e d e la a m p litu d in ic ia l d e la fu e n te y d e l a lm a c e n a m ie n to de e n e rg ía in ic ia l. L a re s p u e s ta fo rz a d a tie n e las c a ra c te rís tic a s d e la fu n c ió n fo rz a d a ; se d e te rm in a a l c o n s id e ra r q u e to d o s lo s in te rru p to re s se c e rra ro n desde h ace m u c h o tie m p o . E n ra z ó n de q u e p o r a h o ra in te re s a n s ó lo lo s in te rru p to re s y las fu e n te s de c d , la respuesta fo rz a d a es m e ra m e n te la s o lu c ió n de u n p ro b le m a de c irc u ito d e cd.
EJEMPLO 8.7 E n el c ir c u it o d e la f ig u r a 8.34, e n c o n tr a r i(t) p a ra t H 1 , 3 ' , 3 C >.j 100 „ s d e s p u é s d e q u e e l v a lo r d e la fu e n te h a y a c a m b ia d o .
50 mH
D espu és de q u e h a tra n s c u rrid o u n tie m p o c o n s id e ra b le desde que lo s tra n s i to rio s d e s a p a re c ie ro n (t —►o o ), e l c irc u ito es u n s im p le c irc u ito de c d c o n tro la d o p o r u n a fu e n te d e te n s ió n d e 12 V . E l in d u c to r a pa re n ta ser u n c o rto c irc u ito , p o r lo q u e
¡< 00 ) = n s 6 = 1 2 m A I F IG U R A 8 .3 4 Circuito RL simple controlado por una función forzada de escalón de tensión.
¿ Q ué s ig n ific a i (3 - )? E s to es s im p le m e n te u n a c o n v e n ie n c ia de n o ta c ió n p a ra in d ic a r e l in s ta n te antes de q u e la fu e n te d e te n s ió n c a m b ie de v a lo r. P ara t < 3, u(t — 3 ) = 0 . P o r ende, ta m b ié n , i( 3 ~ ) = 0. E n t = 3 + , la fu n c ió n fo rz a d a 1 2 u (t — 3 ) = 12 V . S in e m b a rg o , d e b id o a q ue la c o rrie n te que c irc u la p o r e l in d u c to r n o p u e d e m o d ific a rs e e n u n tie m p o c e ro , i (3 + ) = ¿ (3 ~ ) = 0. E l m é to d o m ás d ire c to p a ra el a n á lis is d e l c irc u ito en t > 3 s es re e s c rib ir la e c u a c ió n [2 5 ] c o m o « O -
( £
- £
-
«
'- ) „ < « ')
y o b s e rv a r q u e esta e c u a c ió n se a p liq u e a l c irc u ito ta m b ié n s i se c o rre el eje d e l tie m p o d e ta l fo rm a que ?' = t - 3 P o r end e, c o n Vq/ R = 12 m A y R / L = 2 0 0 0 0 s- 1 ,
i(t - 3 ) = (1 2 - 12«_20000(,- 3)) u(t - 3 ) m A
[2 6 ]
q u e p u e d e e s c rib irs e de u n a m a n e ra m ás s im p le c o m o i ( í ) = (1 2 - 12e -20 000(1-3 )) u(t - 3) m A
[2 7 ]
p u e sto q u e la fu n c ió n im p u ls o u n ita r io o b lig a a u n v a lo r de c e ro e n t < 3, c o m o se n ecesitab a. S u s titu y e n d o t = 3 .0 0 0 1 s en la e c u a c ió n [2 6 ] o [2 7 ], se p u e d e o b s e rv a r q u e i = 1 0.38 m A e n u n tie m p o ig u a l a 100 fis después de q u e h a y a c a m b ia d o e l v a lo r d e la fu e n te .
SECCIÓN 8.7
PRÁCTICA
RESPUESTASNATURALY FORZADA #■
_________________________________________________
8.9 L a fu e n te de te n s ió n 6 0 — 4 0 u(t) V está en serie c o n u n a re s iste n c ia de 10 y u n in d u c to r de 5 0 m H . D e te rm in a r las m a g n itu d e s de la c o rrie n te y la te n s ió n e n e l in d u c to r en u n tie m p o t ig u a l a: (a ) 0 _ ; (b) 0 * ; (c ) o o ; (d) 3 m s. Respuesta: 6 A, 0 V; 6 A, 40 V; 2 A, 0 V; 4.20 A, 22.0 V.
Desarrollo de un entendimiento intuitivo L a ra z ó n de las d os respuestas, fo rz a d a y n a tu ra l, q u iz á se v e a a p a rtir de a rgu m e n to s fís ic o s . Se sabe que, a la la rg a , e l c irc u ito a d o p ta rá la re spu esta fo rz a d a . S in e m b a rg o , en e l in s ta n te e n q u e se c ie rre n lo s in te rru p to re s , las c o rrie n te s de in d u c to r in ic ia le s (o en c irc u ito s RC las te n sio n e s en lo s ca p a c ito re s ) te n d rá n v a lo re s q u e d ep e n d e rá n s ó lo de la e n e rg ía a lm a ce n a d a en d ic h o s e le m e n to s. N o se p u e d e e sp e ra r q u e tale s c o rrie n te s o te n s io n e s sean las m is m a s q u e las d e m a n d a das p o r la re spu esta fo rz a d a . P o r c o n s ig u ie n te , debe h a b e r u n p e rio d o tra n s ito rio d u ra n te e l c u a l las c o rrie n te s y la s te n s io n e s c a m b ie n de sus v a lo re s in ic ia le s d ad os a lo s v a lo re s fin a le s re q u e rid o s . L a p a rte de la re spu esta q u e p ro p o rc io n a u n a tra n s ic ió n desde lo s v a lo re s in ic ia le s h a s ta lo s fin a le s es la re spu esta n a tu ra l (lla m a d a a m e n u d o re spu esta transitoria c o m o y a se h iz o n o ta r). S i se d e s c rib e la re spu esta de u n c irc u ito RL s im p le s in fu e n te en estos té rm in o s , e n to n ce s se p o d rá a firm a r q u e la re sp u e sta fo rz a d a es n u la y q u e la re s p u e s ta n a tu ra l s irv e p a ra c o n e c ta r la re spu esta in ic ia l d ic ta d a p o r la e n e rg ía a lm a c e n a d a c o n e l v a lo r c e ro de la re spu esta fo rz a d a . L a d e s c rip c ió n s ó lo re s u lta a p ro p ia d a en e l caso d e c irc u ito s e n lo s q ue , a la la rg a , la re spu esta n a tu ra l se desvanece. L o a n te rio r o c u rre s ie m p re en c irc u ito s fís ic o s d o n d e se a so c ia c ie rta re s is te n c ia c o n cada e le m e n to , a u n q u e e x is te n v a rio s c irc u ito s “ p a to ló g ic o s ” en lo s q u e la re spu esta n a tu ra l n o desaparece c u a n d o e l tie m p o se v u e lv e in fin ito . P o r e je m p lo , lo s c irc u ito s en Jos cuales las c o rrie n te s atrapadas c irc u la n p o r la z o s in d u c tiv o s , o las te n s io n e s e stán atrapadas en cadenas de ca p a c ito re s en serie.
8.7 t RESPUESTAS NATURAL Y FORZADA H a y u n a e xc e le n te ra z ó n m a te m á tic a p a ra c o n s id e ra r que la re spu esta c o m p le ta d eb a te n e r d os p arte s (la re spu esta fo rz a d a y la re spu esta n a tu ra l). L a ra z ó n se basa e n e l h e c h o de q u e la s o lu c ió n d e c u a lq u ie r e c u a c ió n d ife re n c ia l lin e a l p u e d e e xp re sa rse c o m o la sum a de dos p a rte s: solución complementaria (respuesta n a tu ra l) y la solución particular (resp ue sta fo rz a d a ). S in e n tra r e n d e ta lle s sobre la te o ría g e n e ra l d e las e cu a cio n e s d ife re n c ia le s , se p ro c e d e rá a e x a m in a r u n a e cu a c ió n g e n e ra l d e l tip o q u e se e s tu d ió en la s e c c ió n a n te rio r:
o
di + Pi dt = Q dt
[2 8 ]
Se p o d ría id e n tific a r Q c o m o u n a fu n c ió n fo rz a d a y e x p re s a rla c o m o Q(t) p a ra s u b ra y a r su d e p e n d e n c ia g e n e ra l d e l tie m p o . Se s im p lific a la e x p lic a c ió n si se
A M ------
AA/V
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
s up on e q u e P es u n a c o n s ta n te p o s itiv a . D espu és, se sup o n d rá que Q es c o n s ta n te, re s trin g ie n d o de ese m o d o e l u so de fu n c io n e s fo rza d a s de cd. E n c u a lq u ie r te x to u su a l de e cu a cio n e s d ife re n c ia le s , se d e m u e s tra que si a m bo s la d o s de la e c u a c ió n [2 8 ] se m u ltip lic a n p o r u n fa c to r de in te g ra c ió n a p ro p ia d o , ca d a u n o se c o n v ie rte en u n a d ife re n c ia l e x a c ta que se in te g ra en fo r m a d ire c ta p a ra o b te n e r la s o lu c ió n . N o se están sep aran do ias v a ria b le s , s ó lo se o rd e n a rá n de m o d o q u e sea p o s ib le la in te g ra c ió n . E n la e c u a c ió n a n te rio r, e l fa c to r de in te g ra c ió n es e-> pdt o s im p le m e n te ePt, pues P es u n a co n sta n te . S i se m u ltip lic a cad a la d o de la e c u a c ió n p o r ta l fa c to r de in te g ra c ió n se o b tie n e
ept di + i Pept dt = QePt dt
[2 9 ]
L a fo r m a d e l la d o iz q u ie rd o se s im p lific a a l re c o n o c e r que es u n a d ife re n c ia l e x a c ta de ie Pt:
d(iePt) = ePt di + iP e Pt dt y, p o r e llo , la e c u a c ió n [2 9 ] se c o n v ie rte en
d(iePt) = QePt dt A l in te g ra r cad a la d o ,
iept =
J QePt dt + A
d o n d e A es u n a co n s ta n te de in te g ra c ió n . L a m u ltip lic a c ió n p o r e~Pl p ro p o r c io n a la s o lu c ió n p a ra i ( í ) ,
i = e - pt
j
Qept dt + Ae~Pt
[3 0 ]
S i se c o n o c e la fu n c ió n fo rz a d a Q(t) se o b tie n e la fo rm a fu n c io n a l de i (t) al e v a lu a r la in te g ra l. S in e m b a rg o , n o se e v a lu a rá ta l in te g ra l en c a d a p ro b le m a , p ue s in te re s a m ás u tiliz a r la e c u a c ió n [3 0 ] p a ra d e d u c ir v a ria s c o n c lu s io n e s g enerales.
La respuesta natural Se o b s e rv a p rim e ro que en u n c irc u ito s in fu e n te , Q debe ser c e ro y la s o lu c ió n c o n s is te en la re spu esta n a tu ra l in
= Ae~pt
[3 1 ]
Se p uede v e r q ue la co n s ta n te P n u n c a es n e g a tiv a en u n c irc u ito s ó lo c o n re siste n c ia s , in d u c to re s y c a p a c ito re s ; su v a lo r d ep e n d e n ad a m ás de lo s e le m e n to s p a s iv o s d e l c ir c u it o 5 y de su in te rc o n e x ió n e n e l c ir c u ito . F o r lo ta n to , la respuesta natural se aproxima a cero cuando el tiempo aumenta sin límite. É ste debe ser e l caso d e l c irc u ito RL s im p le d e b id o a que la e n e rg ía in ic ia l se d is ip a de m o d o g ra d u a l en la re s is te n c ia , e n fo r m a de c a lo r. T a m b ié n h a y c irc u ito s id e a liz a d o s en lo s q u e P es c e ro ; en ta le s c irc u ito s la re s p u e s ta n a tu ra l n o se desvanece. E n c o n s e c u e n c ia , se v e rá q u e u n o d e lo s d os té rm in o s q u e c o n fo rm a n la re sp u e sta c o m p le ta tie n e la fo rm a de la re spu esta n a tu ra l; in c lu y e u n a a m p litu d
(5) Si el circuito incluye una fuente dependiente o una resistencia negativa, P podría ser negativa.
SECCIÓN 8.7
RESPUESTASNATURALYFORZADA *
A /W
q ue d e p en de rá (a u n q u e a m e n u d o no será ig u a l) d e l v a lo r in ic ia l de la respuesta c o m p le ta , y p o r e llo ta m b ié n d e l v a lo r in ic ia l de la fu n c ió n fo rz a d a .
La respuesta forzada A c o n tin u a c ió n se p u e de v e r que e l p rim e r té rm in o de la e c u a c ió n [3 0 ] depende de la fo rm a fu n c io n a l de < 2 (0 , la fu n c ió n fo rz a d a . S ie m p re q u e se tie n e u n c ir c u ito en e l que la respuesta n a tu ra l se desvanece c o n fo rm e t se v u e lv e in fin ita , e l p rim e r té rm in o debe d e s c rib ir p o r c o m p le to la fo rm a de la re spu esta después de q u e d e sa p a re ció la re spu esta n a tu ra l. P o r lo g e n e ra l este té rm in o re c ib e e l n o m b re de re spu esta fo rz a d a ; ta m b ié n se c o n o c e c o m o respuesta de estado perma nente, solución particular o integral particular. P o r aho ra , se d e c id e c o n s id e ra r s ó lo lo s p ro b le m a s que im p lic a n la a p li c a c ió n re p e n tin a de fu e n te s de cd, así q u e Q(t) será e nton ces u n a c o n s ta n te p ara tod os los va lo re s d e l tie m p o . S i se desea, se e va lú a a h o ra la in te g ra l en la e cu a c ió n [3 0 ] p a ra o b te n e r la re spu esta fo rz a d a [3 2 ] y la re spu esta c o m p le ta
i(t) = — + Ae Pt P
[3 3 ]
E n e l caso d e l c irc u ito RL en serie, Q /P re p re se n ta la c o rrie n te co n sta n te Vo /R y 1 ¡P la c o n s ta n te de tie m p o r . Se o b s e rv a q ue la respuesta fo rz a d a p o d ría haberse o b te n id o s in e v a lu a r la in te g ra l, d e b id o a q u e debe ser la respuesta c o m p le ta e n el tie m p o in fin ito ; c o rre sp o n d e s ó lo a la te n s ió n de la fu e n te d iv i d id a p o r la re s is te n c ia en serie. E llo q u ie re d e c ir q u e la re spu esta fo rz a d a se o b tie n e p o r in s p e c c ió n d e l c irc u ito fin a l.
Determinación de la respuesta completa
m
Se u tiliz a e l c ir c u ito s im p le RL en serie p a ra ilu s tra r la fo rm a de d e te rm in a r la respuesta c o m p le ta m e d ia n te la a d ic ió n de las respuestas n a tu ra l y fo rz a d a . E l c irc u ito de la fig u ra 8.35 y a se a n a lizó , p e ro p o r u n m é to d o m ás la rg o . L a respuesta deseada es la c o rrie n te i(t), a sí q u e se e xpresa p rim e ro esta c o rrie n te c o m o la s um a de la c o m e n te n a tu ra l y de la c o m e n te fo rza d a , esto es, m F IG U R A 8 .3 5 Circuito RL en serie que se
L a fo rm a fu n c io n a l de la re spu esta n a tu ra l debe ser la m is m a que la que se o b tu v o s in fu e n te a lg u n a . P o r lo ta n to , se s u s titu y e la fu e n te de te n s ió n de e sca ló n p o r u n c o rto c irc u ito y se re c o n o c e e l la z o en serie RL a n te rio r. D e ta l m o d o ,
donde la a m p litu d A aún debe determ ina rse ; adem ás, d e b id o a que la c o n d ic ió n in i c ia l se a p lic a a la respuesta completa, n o se puede sup on er sim p le m e n te A = i (0 ). A c o n tin u a c ió n se a n a liza la respuesta forzada. E n este p ro b le m a p a rtic u la r la respuesta fo rza d a debe ser constante, d e b id o a que la fue nte es una constante Vo pa ra todos lo s valo re s p o s itiv o s de tie m p o . P o r lo tan to, después de que la respuesta n atu ra l se desvanece, no h a y ten sión en e l in d u c to r; p o r c o n sig u ie n te , aparece una ten sión Vq en lo s e xtre m o s de R, de m o d o que la respuesta fo rza d a es sim ple m en te
emplea para ilustrar el método mediante el cual la respuesta completa se obtiene como la suma de las respuestas natural y forzada.
A A A / ------------------------------- •
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RLYRC BÁSICOS
O b s e rv a r q u e la re spu esta fo rz a d a está p o r c o m p le to d e te rm in a d a ; n o h a y u n a a m p litu d d e s c o n o c id a . A c o n tin u a c ió n se c o m b in a n las dos respuestas p a ra o b te n e r i = A e -R t/L + h
y se a p lic a la c o n d ic ió n in ic ia l p a ra e v a lu a r A. L a c o m e n te es c e ro antes de t = 0 , adem ás, n o es p o s ib le q u e c a m b ie de v a lo r e n fo rm a in s ta n tá n e a , p ue sto q ue es la c o m e n te que flu y e p o r u n in d u c to r. E n c o n se cu e n cia , la c o m e n te es n u la in m e d ia ta m e n te después de t = 0 , y Vo
0= A+
R
y p o r lo ta n to , [3 4 ]
R
V0/R 0.632 V0/R
/ ------------ ' - ........... ....................... / j —' _ >-+
/ 0
t
2t
3t
■ F IG U R A 8 .3 6 Gráfica de la corriente que fluye por el inductor de la figura 8.35. Extendiendo la linea tangente al origen de los ejes se alcanza la respuesta forzada e n f = t.
O b s e rv a r co n to d o c u id a d o que A n o es e l v a lo r in ic ia l de i, pues A = — Vo /R , en ta n to que i (0 ) = 0 . A l c o n s id e ra r lo s c irc u ito s s in fu e n te , se e n c u e n tra que A fu e e l v a lo r in ic ia l de la respuesta. S in e m b a rg o , cua nd o se p resentan fu n c io n e s forza d a s, se debe d e te rm in a r p rim e ro e l v a lo r in ic ia l de la respuesta y lu e g o susti tu ir lo en la e cu a c ió n de la respuesta c o m p le ta p a ra d e te rm in a r A. D ic h a re spu esta se g ra fic a en la fig u ra 8 .3 6 y se o b s e rv a c ó m o se fo rm a la c o m e n te a p a rtir de su v a lo r in ic ia l de cero, hasta su v a lo r fin a l de Vo/R. L a tra n s ic ió n se lle v a a cab o de m a n e ra e fe c tiv a en u n tie m p o 3 r . S i n u e s tro c irc u ito re prese nta la b o b in a de c a m p o de u n g ra n m o to r de cd, re s u lta ría fa c tib le te n e r L = 10 H , R = 2 0 Q, lo c u a l d a c o m o re s u lta d o r = 0 .5 s. L a c o m e n te de cam p o se establece de ese m o d o en cerca de 1.5 s. E n e l caso de u n tie m p o corre sp o n d ie n te a u n a con sta nte de tie m p o , la c o rrie n te a lca n za 6 3 .2 % de su v a lo r fin a l.
EJEMPLO 8.8 D e t e r m in a r i(t) p a r a to d o s lo s v a lo re s d e tie m p o en e l c ir c u it o d e la f ig u r a 8 .3 7. 50 u (t) V
—
2q
w v ¡Í2
50 V
I i (0 3H-
■ F IG U R A 8 .3 7 Circuito del ejemolo 8.8.
E l c irc u ito c o n tie n e u n a fu e n te de te n s ió n de c d a sí c o m o u n a fu e n te de te n s ió n de e sca ló n . S ería p o s ib le que se o p te p o r s u s titu ir to d o lo q u e está a la iz q u ie rd a d e l in d u c to r p o r e l e q u iv a le n te de T h é v e n in , p e ro m e jo r s ó lo se v a a re c o n o c e r la fo rm a de ta l e q u iv a le n te c o m o u n a re s is te n c ia en s e rie c o n a lg u n a fu e n te de te n s ió n . E l c irc u ito c o n tie n e n a d a m ás u n e le m e n to de a l m a c e n a m ie n to de e ne rg ía : e l in d u c to r. Se p u e de v e r p rim e ro que
L R eq
= ----- = 2 S 1.5
SECCIÓN 8.7 RESPUESTAS NATURAL Y FORZADA
#■
YA
y s i se re c u e rd a que i = i f + i„
P o r lo tan to, la respuesta n a tu ra l es una e xp o n e n cia l n eg a tiva c o m o se v io antes:
in = K e ~112 A
t > 0
D e b id o a que la fu n c ió n fo rz a d a es u n a fu e n te de cd, la re spu esta fo rz a d a será u n a c o rrie n te c on sta nte . E l in d u c to r a ctúa c o m o u n c o rto c irc u ito en la c d , de m o d o que
P o r lo ta n to ,
i = 5 0 + Ke~°'5t
A
í > 0
P ara e v a lu a r K, se debe e sta b le ce r e l v a lo r in ic ia l de la c o rrie n te d e l in d u c to r. A n te s de t = 0, la c o rrie n te es ig u a l a 25 A y n o p u e d e c a m b ia r en fo rm a in s ta n tá n e a ; en con se cu e n cia , 25 = 5 0 + * : o
K = -2 5 ? a respudalt for/aila
P o r c o n s ig u ie n te ,
i = 5 0 - 25e~0 51
A
t> 0
Se c o m p le ta la s o lu c ió n a l e sta b le ce r ta m b ié n
i = 25 A
t <0
o e s c rib ie n d o u n a e x p re s ió n s im p le v á lid a p a ra c u a lq u ie r t,
i = 2 5 + 2 5 (1 - e - 0-5t)u(i)
A
L a re spu esta c o m p le ta se d ib u ja en la fig u ra 8 .3 8. O b s e rv a r c ó m o la re s p u e sta n a tu ra l s irv e p a ra c o n e c ta r la re spu esta c o rre s p o n d ie n te a t < 0 c o n la re sp u e sta fo rz a d a con sta nte . P R Á C T I C A m________________________________________________ 8 .1 0 U n a fu e n te de te n s ió n vs = 2 0 u(t) V está en serie c o n u na re s iste n c ia d e 2 0 0 £2 y u n in d u c to r de 4 H . D e te rm in a r la m a g n itu d de la c o rrie n te d e l in d u c to r en t ig u a l a: (a) 0 _ ; ( b) 0 + ; (c ) 8 m s ; (d) 15 m s. R e sp u e sta : 0 ; 0 ; 3 3 .0 m A ; 5 2 .8 m A .
C o m o e je m p lo fin a l de este m é to d o m e d ia n te e l c u a l se. c o n s id e ra casi p o r o b s e rv a c ió n la respuesta c o m p le ta de c u a lq u ie r c irc u ito s u je to a u n tra n s ito rio , e x a m in a r u n a v e z m ás e l c irc u ito RL en serie, p e ro en esta o c a s ió n s u je to a u n p u ls o de te n sió n .
■ F IG U R A 8 .3 8 La respuesta i(f) del circuito que se muestra en la figura 8.37 se dibuja para valores de tiempo menores y mayores que cero.
----- W
288
V
-•
CAPITULO
8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
EJEMPLO 8.9
Determinar la respuesta de corriente en un circuito RFi en serie simple cuando la función forzada se compone de un pulso de tensión rectangular de amplitud Fo y duración t0.
v(t)
t Voh
0
Se re p re se n ta la fu n c ió n fo rz a d a c o m o la sum a de dos fu e n te s de te n s ió n de e sc a ló n Vou(t) y —Vou(t — to), c o m o se in d ic a e n la fig u ra 8.3 9 a y b, a s im is m o , se p la n e a o b te n e r la re spu esta m e d ia n te e l p rin c ip io de s u p e rp o s i c ió n . C o n s id e ra r que rf ft) d e s ig n a la p a rte de i ( t) que se debe a la fu e n te s u p e rio r Vou(t) que a ctúa sola , y q u e i2(t) d e s ig n a la p a rte d e b id a a l desem p e ñ o in d iv id u a l de —Vou(t — to). E n to n c e s:
fo (a)
i(t) = h{t) + i2(t) E l o b je tiv o c o n s is te en e s c rib ir a h o ra cada u n a de las respuestas p a rc ia le s i\ e ¿2 c o m o la sum a de la re spu esta n a tu ra l y de la fo rz a d a . L a re spu esta i\(t) re s u lta fa m ilia r, pues este p ro b le m a fu e re s u e lto e n la e c u a c ió n [3 4 ]:
h(t) = ^ ( l - e ~ Rt/L),
t> 0
K
O b s e rv a r q ue d ic h a s o lu c ió n s ó lo es v á lid a p a ra t > 0 , c o m o se in d ic a f ■
i\ = 0 p ara t < 0 . ■ F IG U R A 8 . 3 9 (o) Pulso de tensión rectangular que se utilizará como la función forzada en un circuito RL en serie simple. (b) Circuito RL en serie que muestra la representación de la función forzada mediante la combinación en serie de dos fuentes independientes de tensión de escalón. Se desea obtener la corriente ¡(t).
Se h ace n e c e s a rio a h o ra d ir ig ir la a te n c ió n h a c ia la o tra fu e n te y su re spu esta i2(t). S ó lo d ifie re n la p o la rid a d de la fu e n te y e l tie m p o de su a p li c a c ió n . P o r lo ta n to , n o h a y n e c e s id a d de d e te rm in a r la fo rm a de la re spu esta n a tu ra l y de la re spu esta fo rz a d a ; la s o lu c ió n de ¿ i(/) es
h(.t) = ~ [ 1 - e - R«-*VLl,
t > t0
K
i(t) V o / R f -------------------------------------------
d o n d e e l in te rv a lo a p lic a b le de /, / > to, debe in d ic a rs e ta m b ié n e n este caso; e i2 = 0 p a ra t < t0. A h o ra se sum an las dos s o lu cio n e s, p e ro se debe h acer c o n c u id a d o , puesto que cada u n a es v á lid a p ara u n in te rv a lo de tie m p o d ife re n te . D e ta l m o d o :
i (t) = 0 ,
/ < 0
i(t) = ^ - ( l - e - Rt/L), K
[3 5 ]
0 < t < t0
[3 6 ]
y i(t)
m
Vo/R
= ^ ( 1 - e - W ) - 5 ( 1 - e~R« - ^ L), K K
t > to
o, de m a n e ra m ás c o m p a c ta , i(t) = Y^e-Rt/L{eRt°IL - 1),
/ > t0
[3 7 ]
R 0
2 í0
t0
3 tg
Cb) ■ F IG U R A 8 .4 0 Dos curvas de respuestas posibles se presentan para el circuito de la figura 8.396. (o) x se selecciona como f0/2. (£>) x se elige como 2f0.
A u n q u e las e cu acio ne s [3 5 ] a [3 7 ] d e s c rib e n to ta lm e n te la re spu esta d e l c ir c u ito de la fig u ra 8.39/? a la fo rm a de o n d a d e l p u ls o de la fig u ra 8 .3 9 a , la fo rm a de o n d a de c o rrie n te en s í m is m a es s e n s ib le ta n to a la c o n s ta n te de tie m p o i d e l c irc u ito c o m o a la d u ra c ió n d e l p u ls o de te n s ió n t0. E n la fig u ra 8 .4 0 se m u e s tra n dos p o s ib le s curva s.
SECCIÓN 8.8 ACCIONAMIENTO DE CIRCUIT OS /?C
*
L a c u rv a de la iz q u ie rd a se g ra fic a p a ra e l caso en e l que la co n s ta n te de tie m p o e q u iv a le n ad a m ás a la m ita d de la lo n g itu d de la p u ls a c ió n a p lic a d a ; p o r lo ta n to , la p o rc ió n ascendente de la e x p o n e n c ia l casi a lc a n z a a Vq/R antes de q u e c o m ie n c e e l d e c a im ie n to de la e x p o n e n c ia l. L a s itu a c ió n o p u e sta se m u e s tra a la d ere ch a ; ahí, la co n s ta n te de tie m p o es e l d o b le de to, así q u e la re spu esta n u n c a tie n e o p o rtu n id a d de lle g a r a a m p litu d e s m a yo re s . E l p ro c e d im ie n to q ue se u tiliz a p a ra d e te rm in a r la re sp u e sta de u n c irc u ito RL lu e g o de q u e se a c tiv a n o d e s a c tiv a n (d e n tro o fu e ra d e l c irc u ito ) fu e n te s de c d en a lg ú n in s ta n te de tie m p o se re s u m e c o m o s ig u e . S u p o n e r q u e e l c irc u ito se re d u c e hasta u n a re s is te n c ia e q u iv a le n te Req en serie c o n u n a in d u c ta n c ia e q u iv a le n te L eq c u a n d o to d a s la s fu e n te s in d e p e n d ie n te s se ig u a la n a c e ro . L a re spu esta q u e se b u s c a se re p re s e n ta m e d ia n te f( t) .
1.
C o n todas las fu e n te s in d e p e n d ie n te s s u p rim id a s , s im p lific a r e l c ir c u ito p a ra d e te rm in a r Req, L eq y la co n s ta n te de tie m p o r = L eq/ Req.
’L
C o n s id e ra n d o a L eq c o m o u n c irc u ito c e rra d o , u tiliz a r m é to d o s de a n á fis is de c d p a ra c a lc u la r iL(O- ) , la c o rrie n te en e l in d u c to r ju s to antes de la d is c o n tin u id a d .
3.
C o n s id e ra n d o a L eq u n a v e z m ás c o m o u n c irc u ito a b ie rto , a p lic a r lo s m é to d o s de a n á lis is de c d para d e te rm in a r la re spu esta fo rz a d a . E s te es e l v a lo r a p ro x im a d o de f ( t ) c u a n d o t —> o o ; se re p re s e n ta m e d ia n te /(o o ).
4.
E s c r ib ir la re spu esta to ta l c o m o la sum a de las respuestas fo rz a d a y n a tu ra l: f ( t ) = / ( o o ) + Ae~llx.
5.
D e te rm in a r / ( 0 + ) m e d ia n te la c o n d ic ió n de q u e i¿ ( 0 + ) = í 'l ( 0 _ ) . S i se desea, L eq se p o d ría re e m p la z a r p o r u n a fu e n te de c o rrie n te ¿ l( 0+ ) [u n c irc u ito a b ie rto s i i¿ ( 0 + ) = 0 ] p a ra este c á lc u lo . C o n e x c e p c ió n de la s c o m e n te s en e l in d u c to r (y las te n sio n e s en e l c a p a c ito r), o tras te n sion es y c o rrie n te s en e l c irc u ito p u e d e n c a m b ia r de m a n e ra a bru p ta .
6.
/ ( 0 + ) - / ( o o ) + A a n d f ( t ) = / ( o o ) + [ / ( 0 + ) - / ( o o ) ] e " " 1, o re spu esta to ta l = v a lo r fin a l + (v a lo r in ic ia l — v a lo r fin a l) e~,/x.
PRÁCTICA a
______
____
___
____
8.11 E l c irc u ito de la fig u ra 8.41 h a estado d u ra n te la rg o tie m p o en la fo rm a q u e se m u e s tra . E l in te rru p to r se abre en t = 0. C a lc u la r Í r en r ig u a l a: (a) O- ; (b) 0 (c ) o o ; ( d ) 1.5 m s. Respuesta: 0; 10 mA; 4 mA; 5.34 mA. ■ F IG U R A 8.41
8.8 . ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RC_________________ L a re spu esta c o m p le ta de c u a lq u ie r c irc u ito RC ta m b ié n se o b tie n e c o m o la sum a de la s respuestas n a tu ra l y fo rz a d a . D e b id o a q u e e l p ro c e d im ie n to es casi id é n tic o a l q u e se e s tu d ió a d e ta lle en e l caso de lo s c irc u ito s RL, e l m e jo r m é to d o en esta e tapa se ilu s tra m e d ia n te u n e je m p lo c o m p le to q u e sea re le v a n te , d o n d e e l o b je tiv o n o sea s o la m e n te u n a c a n tid a d re la c io n a d a c o n e l c a p a c ito r, s in o ta m b ié n la c o rrie n te a so cia d a c o n u n a re s iste n c ia .
290
A A /V
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
EJEMP LO 8.10
Determinar la tensión en el capacitor vc(t) y la corriente i(t) en la re sistencia de 200 * de la figura 8.42 para cualquier tiempo.
í 0
(c) I F IG U R A 8 .4 2 (o) Circuito RC en el que se obtienen las respuestas com pletaste e i sumando una respuesta forzada y una natural, (b) Circuito para f < 0. (c) Circuito para t > 0.
Se c o m ie n z a c o n s id e ra n d o e l estado d e l c irc u ito en t < 0, c o rre sp o n d ie n te al in te rru p to r en la p o s ic ió n c o m o se re prese nta en la fig u ra b. C o m o es usu al, se supone que n o h a y tra n s ito rio s presentes, p o r lo que s ó lo es re le v a n te para e n c o n tra r i^ c (0 _ ) u n a re spu esta fo rz a d a d e b id o a la fu e n te de 120 V . E n c o n secuencia, la s im p le d iv is ió n de te n s ió n p ro d u c e la te n s ió n in ic ia l
•,c '<0 )
=
5 Ó
^
( 1 2 0 ,
=
1 0 0 V
P uesto que la te n s ió n d e l c a p a c ito r n o p uede c a m b ia r en fo r m a insta ntán ea , esta te n s ió n ta m b ié n es v á lid a en t = Q~ y t = 0 + . E l in te rru p to r se m u e v e a h o ra h a c ia b , de m o d o que la re spu esta c o m p le ta es Vc — VCf + l’cn
SECCIÓN
8.8 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RC
A A /V
• “
E1 c irc u ito c o rre s p o n d ie n te se d ib u jó n u e va m e n te p o r c o n v e n ie n c ia e n la fig u ra 8 .4 2c. L a fo r m a de la re spu esta n a tu ra l se o b tie n e m e d ia n te la s u s titu c ió n de la fu e n te de 5 0 V p o r u n c o r to c irc u ito lu e g o de e v a lu a r la re s is te n c ia e q u iv a le n te p a ra e n c o n tra r la c o n s ta n te de tie m p o (e n o tras p ala bra s, se tra ta de d e te rm in a r la re s is te n c ia e q u iv a le n te de T h é v e n in “ v is ta ” desde las te r m in a le s d e l c a p a c ito r):
Req =
1
= 2 4 Í2
-50 1 +^ — 200 ^+ -60
D e m o d o que:
ven = Ae ’lR«ic = Ae t¡1'2 Para e v a lu a r la re spu esta fo rz a d a c o n e l in te rr u p to r en b, se espera h asta que tod as las te n sio n e s y c o rrie n te s h a y a n d e ja d o de c a m b ia r; p o r lo ta n to , se c o n s id e ra a l c a p a c ito r c o m o u n c irc u ito a b ie rto y se a p lic a u n a v e z m ás la d iv is ió n de te n s ió n :
vc, = 5 0 ^
2 0 0 II 5 0 6 0 + 2 0 0 1| 5 0 )
(5 0 ) (2 0 0 )/2 5 0 = 20 V = 50 ^ ,6 0 + (5 0 )(2 0 0 )/2 5 0 ‘ ) P o r lo ta n to ,
vc = 2 0 + A e -í/1'2
V
y de la c o n d ic ió n in ic ia l y a o b te n id a ,
100 = 20 + A vc = 2 0 + 8 0 e -r/1,2
VC
V,
vc = 100 V ,
t > 0
t <0
L a respuesta se g ra fic a en la fig u ra 8 .4 3a ; ta m b ié n en este caso se v e que la respuesta n a tu ra l fo rm a u n a tra n s ic ió n desde la respuesta in ic ia l hasta la fin a l. A c o n tin u a c ió n se abo rd a i (?). L a respuesta n o necesita p erm an ecer constante d urante e l p e rio d o de c o n m u ta ció n . C o n e l c o n ta cto en a, re s u lta e v i dente que i = 5 0 /2 6 0 = 1 9 2 .3 m ilia m p e re s . C ua nd o e l in te rru p to r se m u e v e a la p o s ic ió n b, la respuesta fo rz a d a p ara esta c o rrie n te se c o n v ie rte en 50
(V)
/
m (A)
50\
lf = 6¿ 0n +— ( 5 0 ) ( 2 0 0 ) /(„ 5c n0 +, 2o 0n 0m) (\)5 =0 a+ i2 am peres 00, L a fo rm a de la re spu esta n a tu ra l es la m is m a a la que y a se d e te rm in ó p a ra la te n s ió n e n e l c a p a c ito r:
i„ = A e -'l1-2 A l c o m b in a r las respuestas n a tu ra l y fo rz a d a , se o b tie n e
i = 0.1 + Ae~^12
am peres f Continúa en la siguiente página)
I F IG U R A 8 .4 3 Las respuestas (o) vc y (b) ¡ se grafican como funciones del tiem po para el circuito de la figura 8.42.
A /W
CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
P ara e v a lu a r A , se n e c e s ita c o n o c e r i (0 + ) , la c u a l se c a lc u la fija n d o la a te n c ió n en e l e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e n e rg ía (e l c a p a c ito r). E l h e c h o de q u e vc deba p e rm a n e c e r en 1 00 V d u ra n te e l in te rv a lo de c o n m u ta c ió n es la c o n d ic ió n d ire c triz g o b e rn a n te que e sta ble ce las dem ás c o rrie n te s y te n sio n e s en t = 0 + . P ue sto que vc (0 + ) = 100 V , y c o m o e l ca p a c ito r está en p a ra le lo c o n la re s is te n c ia de 200 Í 2, se e n c u e n tra que i (0 + ) = 0 .5 a m pe re , A = 0 .4 a m pe re , p o r lo c u a l
i(t) = 0 .1 9 2 3 a m p e re i ( t ) = 0 . 1 + QAe~t/12
t < 0
a m p e re
í > 0
o
i(t) = 0 .1 9 2 3 + ( —0 .0 9 2 3 + 0 .4 e ,^ '2)u(t)
am peres
d o n d e la ú ltim a e x p re s ió n es c o rre c ta p a ra c u a lq u ie r t. L a re spu esta c o m p le ta p a ra c u a lq u ie r t ta m b ié n se e sc rib e de m a n e ra c o n c is a u tiliz a n d o u(—t), c o rre s p o n d ie n d o así a la u n id a d p a ra t < 0 y 0 p ara t > 0. A s í,
i(t) = 0 .1 9 2 3 u(—t) + (0 .1 + 0 .4 e~t/l'2)u(t)
am peres
E sta respuesta se p rese nta en la fig u ra 8.43¿>. O b s e rv a r que s ó lo se nece s ita n c u a tro n úm e ro s p a ra e s c rib ir la fo rm a fu n c io n a l de la respuesta de este c irc u ito de u n s o lo e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de energía, o p a ra h a c e r la g rá fic a : e l v a lo r co n sta n te antes de la c o n m u ta c ió n (0 .1 9 2 3 a m pe re ), e l v a lo r in s ta n tá n e o ju s to después de la c o n m u ta c ió n (0 .5 a m pe re ), la respuesta fo rz a d a co n sta n te (0.1 a m p e re ) y la con sta nte de tie m p o (1 .2 s). E n este caso, la fu n c ió n e x p o n e n c ia l n e g a tiv a a p ro p ia d a re s u lta fá c il de e s c rib ir o g ra fica r.
PRÁtTlfcA 8 .1 2 E n e l caso d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .4 4, d e te rm in a r vc (t ) en t ig u a l a:
(a) 0 “ ; (b) 0 + ; (c ) o o ; (d) 0 .0 8 s. 25 kí2
20 k£2
■ F IG U R A 8 .4 4
Respuesta: 20 V; 20 V; 28 V; 24.4 V.
Se c o n c lu y e c o n la lis ta de lo s d ua les de lo s e n u n c ia d o s dados a l fin a l de la s e c c ió n 8.7. E l p ro c e d im ie n to que se u tiliz a p a ra e n c o n tra r la re sp u e sta de u n c irc u ito RC después de que la s fu e n te s de c d se a c tiv a n o d e s a c tiva n , in c o rp o rá n d o la s o e lim in á n d o la s d e l c irc u ito , en a lg ú n in s ta n te , p o r e je m p lo í = 0 , se re s u m e c o m o sigu e. Se hace e l su p ue sto de q u e e l c irc u ito se re d u c e a u n a s o la re s iste n c ia e q u iv a le n te Req e n p a ra le lo c o n u n a s o la c a p a c ita n c ia e q u iv a le n te C eq c u a n d o tod as las fu e n te s in d e p e n d ie n te s se ig u a la n a cero. L a re spu esta que se b u s c a se re p re s e n ta p o r m e d io de / ( / ) .
SECCIÓN
8.8 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RC
1.
C o n tod as las fu e n te s in d e p e n d ie n te s s u p rim id a s , s im p lific a r e l c ir c u ito p a ra d e te rm in a r Rtq, C eq y la co n s ta n te de tie m p o r = ReqCeq.
2.
C o n s id e ra r a Ceq c o m o u n c irc u ito a b ie rto , y u tiliz a r m é to d o s de a n á lis is de c d p a ra c a lc u la r vc(0~), la te n s ió n d e l c a p a c ito r ju s to antes de la d is c o n tin u id a d .
*
A /W
0
3. C o n s id e ra r a C eq u n a v e z m ás c o m o un c irc u ito a b ie rto , y a p lic a r lo s m é to d o s de a n á lis is de c d p a ra d e te rm in a r la re spu esta fo rz a d a . É s te es e l v a lo r a p ro x im a d o de f( t ) c u a n d o t -*■ oo ; se re p re s e n ta rá m e d ia n te /(o o ). 4.
E s c r ib ir la re spu esta to ta l c o m o la su m a de las respuestas fo rz a d a y n a tu ra l: / ( / ) = / ( o o ) + Ae~‘/Z.
5.
D e te rm in a r / ( 0 + ) m e d ia n te la c o n d ic ió n de que i>c(0+ ) = v d O- ) . S i se desea, C eq se p o d ría re e m p la z a r p o r u n a fu e n te de te n s ió n u c ( 0 + ) [u n c o r to c irc u ito s i vc(O^) — 0 ] p a ra este c á lc u lo . C o n e x c e p c ió n de las te n sio n e s en e l c a p a c ito r (y las c o rrie n te s e n e l in d u c to r), ta l v e z o tras te n s io n e s y c o rrie n te s en el c irc u ito c a m b ie n de m a n e ra a bru p ta .
6 . / ( 0 + ) = / ( o o ) + A y f ( t ) = / ( o o ) + [ / ( 0 + ) - / ( o o ) ] * " '/ 1 , o re spu esta to ta l = v a lo r fin a l + (v a lo r in ic ia l — v a lo r fin a l) e _ íA
C o m o se h a v is to , lo s m is m o s pasos b á sico s que se a p lic a n a l a n á lis is de lo s c irc u ito s RL p u e d e n ta m b ié n a p lic a rs e a lo s c irc u ito s RC. H a s ta e l m o m e n to , e l in te ré s se h a e n fo c a d o s ó lo en e l a n á lis is de c irc u ito s c o n fu n c io n e s de c d fo rza d a s , a p esar d e l h e c h o de que la e c u a c ió n [3 0 ] es v á lid a p a ra fu n c io n e s m ás g en erale s c o m o Q(t) = 9 c o s (5 í — 7 o) o Q(t) = 2e~5t. A n te s de c o n c lu ir esta se cció n , se e x p lo ra u n o de estos esce na rios.
---- --------------,—------------------------ ,
------m----->n---- ----- -Tir-------------
EJEMPLO 8.11
Determinar la expresión de v (t) en el circuito de la figura 8.45 que sea válida en t > 0. C o n base en la e x p e rie n c ia , se espera u n a re spu esta c o m p le ta de la fo rm a
v(t) = vf + vn d o n d e es p ro b a b le que v¡ h a g a re c o rd a r la fu n c ió n fo rz a d a y vn te n d rá la fo r m a Ae~l!x. ¿Q ue es la c o n s ta n te r ? d e l c irc u ito ? Se s u s titu y e la fu e n te c o n u n c ir c u ito a b ie rto y se e n c u e n tra la re s is te n c ia e q u iv a le n te de T h é v e n in e n p a ra le lo c o n e l c a p a c ito r:
io n —V A — 4.7
n .
22
:
R eq = 4 . 7 + 1 0 = 14.7 £2
P o r lo ta n to , la c o n s ta n te de tie m p o es r = R&qC = 3 2 3 .4 fis, o lo que es lo m is m o , 1 / r = 3 .0 9 2 x 10 3 s A E x is te n v a ria s fo rm a s de p ro ce d e r, a p esar de que q u iz á s la m ás d ire c ta es lle v a r a c a b o u n a tra n s fo rm a c ió n de fu e n te , lo que g en era u n a fu e n te de te n s ió n de 23.5e~2m ,u(t) V e n serie c o n la re s is te n c ia de 14.7 £2 y e l ca p a c ito r de 22 (¿F. ( Observe que este fenómeno no modifica la constante de tiempo. ) (Continúa en la siguiente página)
I F IG U R A 8 .4 5 Circuito RC simple controlado por una función forzada con decaimiento exponencial.
2 9 4 --------------- W
v ------------------ ------------ •
CAPÍTULO
8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
S i se e scrib e u n a s im p le e cu a c ió n L K T p a ra t > 0, se tie n e que
23.5e~2000t= (1 4 .7 )(2 2
x
10“ 6) ^
dt
+ v
C o n un p o c o de s im p lific a c ió n se o b tie n e ,
dv - 2 OOOr + 3 .0 9 2 x 10 v = 7 2 .6 7 x 10 3 e dt lo c u a l, c u a n d o se c o m p a ra c o n las e cu acio ne s [2 8 ] y [3 0 ], p e rm ite q u e se e xp re se la re spu esta c o m p le ta c o m o
v(t) = e~Pt
J
Qep'dt + Ae~Pt
d on de , en este caso, P = 1 / r = 3 .0 9 2 x 10 3 and Q(t) = 7 2 .6 7 x 10 3e ~ 2llí)(l'. P o r lo ta n to , se p u e d e o b s e rv a r que i; ( r ) = e - 3092t
j
7 2 .6 7 x 10 \ - 2m ,e3m2‘dt + A e ^ ' V
L le v a n d o a c a b o la in te g ra c ió n q u e se in d ic a ,
v(t) = 6 6 .5 5 e _2000í + Ae~3092t V
[3 8 ]
L a ú n ic a fu e n te está c o n tro la d a p o r u n a fu n c ió n e sca ló n c o n u n v a lo r de ce ro p a ra t < 0, p o r lo q u e se sabe q u e v ( 0 - ) = 0. P ue sto q u e v es u n a te n s ió n de ca p a c ito r, r ( 0+ ) = t>(0 - ), y p o r lo ta n to se e ncu e n tra de m a n e ra m u y s e n c illa la c o n d ic ió n in ic ia l u (0 ) = 0. S u s titu y e n d o esta e x p re s ió n en la e cu a c ió n [3 8 ], se e n c u e n tra q u e A = —6 6 .5 5 V , p o r lo que
10Í 1
v(t) = 6 6 .5 5 (e
A M — 5 C.OS 3 1 u(í) A
22 fiF
-
2000 ;
—e
-3 0 9 2 r
)V ,
t >o
PRACTICA v
8 .1 3 D e te rm in a r la te n s ió n v en el c a p a c ito r d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .4 6 p ara
t > 0. I F IG U R A 8 .4 6 Circuito RC simple controlado por una función forzada senoidal.
Respuesta: 23.5eos3í + 22.8 x 10 3sen3/—23.5e 3092ry^
8.9 t PREDICCIÓN DE LA RESPUESTA DE CIRCUITOS * CONMUTADOS SECUENCIALIVIENTE E n e l e je m p lo 8 .9 se e s tu d ia d e m a n e ra b re v e la re s p u e s ta de u n c ir c u ito RL a u n a fo rm a de o n d a de p u ls o s en la que u n a fu e n te se c o n m u tó h a c ia y después se c o n m u tó fu e ra d e l c irc u ito . E s te tip o d e s itu a c ió n es m u y c o m ú n en la p rá c tic a , y a q u e a lg u n o s c irc u ito s están d ise ña do s p a ra e ne rg iz a rs e s ó lo u n a vez (p o r e je m p lo , los c irc u ito s d is p a ra d o re s d e las b o ls a s c o n a ire p ara p ro te c c ió n de lo s p asaje ro s en lo s a u to m ó v ile s ). E n la p re d ic c ió n de la re spu esta de lo s c irc u ito s RL y RC s im p le s q ue están s u je to s a p u ls o s o a series de p u ls o s — a m e n u d o c o n o c id o s c o m o circuitos conmutados secuencialmente— la c la v e es el ta m a ñ o de la c o n s ta n te d e tie m p o d e l c irc u ito en re la c ió n c o n lo s d ife re n te s tie m p o s q u e d e fin e n la se cu e n cia d e l p u ls o . E l p rin c ip io fu n d a m e n ta l d etrá s del a n á lis is es si e l e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e ne rg ía tie n e tie m p o p a ra carga rse p o r c o m p le to antes de q u e te rm in e e l p u ls o y si c u e n ta c o n e l tie m p o p a ra d escargarse to ta lm e n te antes de q u e c o m ie n c e el seg u n d o p u ls o . C o n s id e ra r el c irc u ito q u e se m u e s tra en la fig u ra 8 .4 7 a , e l c u a l está c o n e c ta d o a u n a fu e n te d e te n s ió n p u ls a d a q u e p u e d e ser d e s c rita p o r siete p a rá m e tro s separados q u e se d e fin e n en la fig u ra 8.47¿>. L a fo rm a de o n d a está a co ta d a p o r dos v a lo re s , V I y V 2 . E l tie m p o tr q u e se re q u ie re p a ra c a m b ia r d e V I a V 2 se lla m a tiempo de elevación (TR), y e l tie m p o t¡ q u e se re q u ie re p a ra c a m b ia r de
SECCIÓN 8.9 PREDICCIÓN DE LA RESPUESTA DE CIRCUITOS CONMUTADOS SECUENCIALMENTE
(a)
*
(b)
■ F IG U R A 8 .4 7 (a) Esquema de un circuito RC simple conectado a una forma de onda de tensión pulsada. (6) Diagrama de las definiciones de los parámetros del V P U LS E de SPICE.
V 2 a V I se lla m a tiempo de bajada (TF). L a d u ra c ió n Wp d e l p u ls o se c o n o c e c o m o ancho de pulso (PW), y e l periodo T de la fo rm a de o nd a (P E R ) es el tie m p o q u e le to m a a l p u ls o re p e tir. O b s e rv a r ta m b ié n que e l S P IC E p e rm ite un re tra so de tie m p o ( T D ) antes de q u e e l tre n de p u ls o s c o m ie n c e , lo c u a l puede ser de u tilid a d p a ra que las respuestas de lo s tra n s ito rio s in ic ia le s d e c a ig a n en alg u na s c o n fig u ra c io n e s c o n c irc u ito s . Para lo s p ro p ó sito s de este e stu dio , se establece un retraso de tie m p o cero, V I = 0 y V 2 = 9 V . L a constante de tie m p o del c irc u ito es t = RC = 1 m s, p o r lo que se establecen los tiem p os de subida y de bajada co m o 1 ns. A pesar de que S P IC E no aceptará que una ten sión cam b ie en u n tie m p o cero puesto que resuelve las ecuaciones d ife re nciale s u tiliz a n d o in te rv a lo s de tie m p o discretos, com parado con la constante d e l tie m p o de 1 ns d e l c irc u ito es una a p ro x im a c ió n a “ instantánea” . Se c o n s id e ra rá n lo s c u a tro casos b á sico s q u e se e n c u e n tra n re s u m id o s en la ta b la 8.1. E n lo s p rim e ro s dos casos, a l a n c h o d e l p u ls o Wp es m u c h o m a y o r que la co n s ta n te de tie m p o r d e l c irc u ito , p o r lo que se espera que lo s tra n s ito rio s que re s u lte n d e l c o m ie n z o d e l p u ls o se d e svan ezcan antes de que te rm in e e l p u ls o . E n lo s ú ltim o s dos casos, es v á lid o e l caso c o n tra rio : e l a ncho d e l p u ls o es tan c o rto que e l c a p a c ito r n o tie n e tie m p o de cargarse to ta lm e n te antes de que te r m in e el p u ls o . U n p ro b le m a s im ila r se prese nta cua nd o se c o n s id e ra la respuesta d e l c irc u ito c u a n d o e l tie m p o e n tre p u ls o s (T — Wp) es c o rto (caso I I ) o la rg o (caso ni) en c o m p a ra c ió n c o n la co n s ta n te de tie m p o d e l c irc u ito .
TABLA 8.1 Cuatro casos distintos de ancho de pulso y de periodoen relación con la constante de tiempo del circuito de 1 ms Caso
Ancho del pulso Wp
Periodo T
I
10 ms (r « Wp)
20 ms ( r « : T - Wp)
II
10 ms (r <íC Wp)
10.1 ms (r » J — Wp)
III
0.1 ms (r
Wp )
10.1 ms ( t « T - Wp)
IV
0.1 ms ( t » Wp)
0.2 ms ( t » T - Wp)
E n la fig u ra 8.48 se h a b o sq u e ja d o d e m a n e ra c u a lita tiy a la re s p u e s ta del c irc u ito p a ra c a d a u n o d e lo s c u a tro c a so s s e le c c io n a n d o d e fo r m a a rb itra ria la te n s ió n del c a p a c ito r c o m o u n a c a n tid a d d e in te ré s, y a q u e se e sp e ra q u e c u a lq u ie r te n s ió n o c o rrie n te te n g a la m is m a d e p e n d e n c ia c o n re s p e c to al
AA/V
0
CAPÍTULO
8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
(c) ! F IG U R A 8 .4 8 Tensión del capacitor del circuito RC con un ancho de pulso y periodo descritos en (o) caso I; (6) caso II; (c) caso III, y (d ) caso IV.
tie m p o . E n e l caso I , e l c a p a c ito r tie n e tie m p o p a ra carga rse y descarg a rse to ta lm e n te (fig u ra 8 .4 8 a ), m ie n tra s q u e en e l caso I I (fig u ra 8.48¿>), c u a n d o se re d uce e l tie m p o e n tre p u ls o s , se le te rm in a e l tie m p o p a ra descargarse to ta lm e n te . P o r e l c o n tra rio , e l c a p a c ito r n o tie n e tie m p o p a ra carga rse to ta lm e n te ta n to en e l caso I I I (fig u ra 8 .4 8 c ) c o m o en e l caso I V (fig u ra 8 .4 9 d).
Caso I: Tiempo suficiente para cargarse y descargarse totalmente P o r sup ue sto , se p ue de n o b te n e r v a lo re s e xa cto s p a ra la re spu esta en cada caso m e d ia n te u n a serie de a n á lis is . P rim e ro se c o n s id e ra e l caso ¡L E n ra z ó n de que e l c a p a c ito r c u e n ta c o n e l tie m p o p a ra cargarse to ta lm e n te , la re spu esta fo rz a d a c o rre s p o n d e rá a la te n s ió n de c o n tro l de 9 V de cd. L a re spu esta c o m p le ta al p rim e r p u ls o es, p o r lo ta n to ,
vc (t) = 9 + A e '10001 V C o n i>c(0) = 0 , A = —9 V y, p o r ende,
vc(t) = 9(1 — g-iooot-^ v
[ 39]
en e l in te rv a lo de 0 < t < 10 m s. E n t = 10 m s, la te n s ió n de la fu e n te decae de fo rm a re p e n tin a h asta 0 V , y e l c a p a c ito r c o m ie n z a a descargarse a tra vé s de la re s iste n c ia . E n este in te rv a lo de tie m p o se está tra ta n d o c o n u n c irc u ito RC s im p le “ s in fu e n te s ” y se p ue de e s c rib ir la re spu esta c o m o
vc (t) = B e -lo m -°m),
10 < t < 2 0 m s
[4 0 ]
d o n d e B = 8 .9 9 9 5 9 V h a lla d o a l s u s titu ir t = 10 m s en la e c u a c ió n [3 9 ]; c o n base en la p rá c tic a , se p u e de re d o n d e a r este re s u lta d o a 9 V si se o b s e rva que e l v a lo r c a lc u la d o es c o n g ru e n te c o n e l su p ue sto de que e l tra n s ito rio in ic ia l se desvanece antes de q u e te rm in e e l p u ls o . E n t = 2 0 m s, la fu e n te de te n s ió n salta de in m e d ia to de n u e vo a 9 V. L a te n sió n en e l ca p a cito r, e xa cta m en te antes de este e ve nto , se o b tie n e m e d ia n te la susti tu c ió n d e í = 2 0 m s en a l e cu a c ió n [4 0 ], lo que lle v a a i>c (2 0 m s) = 4 0 8 .6 / i V , un v a lo r p rá c tic a m e n te ig u a l a cero co m p a ra d o c o n e l v a lo r p ic o de 9 V.
SECCIÓN 8.9
PREDICCIÓNDELARESPUESTADECIRCUITOSCONMUTADOSSECUENCIALMENlE »
S i se co n se rva la c o n v e n c ió n de re d o n d e a r a c u a tro d íg ito s s ig n ific a tiv o s , la te n s ió n en e l c a p a c ito r a l c o m ie n z o d e l segundo p u ls o es cero, que es la m is m a que en e l p u n to de c o m ie n z o . P o r ende, las ecuaciones [3 9 ] y [4 0 ] fo rm a n las bases de la respuesta de tod os lo s p ulsos subsecuentes, p o r lo c u a l se p ue de e s c rib ir 9 ( 1
_
e - i o ( » )
0 < í < 10 m s 10 < t < 20 m s
V )
o - 1000(í-° .01) v
Vr(Ú ’ LK ’ 9= (1 _ e~1000(r—0.02)) y
20 < t < 30 ms 30 < t < 4 0 m s
g e -l0 0 0 (t-0 .0 3 ) y
y así suce siva m e n te .
Caso II: Tiempo suficiente para cargarse totalmente pero sin descargarse por completo A c o n tin u a c ió n se e s tu d ia lo q u e sucede s i e l c a p a c ito r n o se a lc a n z a a descarg a r to ta lm e n te (caso I I ) . L a e c u a c ió n [3 9 ] aún d e s c rib e la s itu a c ió n e n e l in te rv a lo 0-
vc (t) = 9 + c e “ 1000(í- iaix l°“3) V ,
10.1 < t < 2 0 .1 m s
d o n d e uc (1 0 .1 m s ) = 9 + C = 8 .1 4 4 V , p o r lo q u e C = —0 .8 5 6 V y
vc (t) = 9 - O .856e-1000(' -1 0 l,* 1() 3) V ,
10.1 <:t < 2 0 .1 m s
e l c u a l a lc a n z a e l v a lo r p ic o de 9 V m u c h o m ás rá p id o q u e e l p u ls o a n te rio r.
Caso III: Falta de tiempo para cargarse totalmente pero tiempo suficiente para descargarse por completo ¿ Q ué pasa s i n o está c la ro que e l tra n s ito rio se d is ip a rá antes de q u e te rm in e e l p u ls o de te n s ió n ? E n re a ü d a d , esta s itu a c ió n se p re s e n ta en e l caso IH . D e la m is m a fo rm a c o m o se e s c rib ió en e l caso I, . Uc( t) = 9 + A e -i m t V
[4 1 ]
se a p lic a a esta s itu a c ió n , p e ro a h o ra s ó lo en e l in te rv a lo 0 < t < 0 . 1 m s. L a c o n d ic ió n in ic ia l n o h a c a m b ia d o , p o r lo q u e A = —9 V c o m o era antes. S in e m b a rg o aho ra , e xa c ta m e n te antes de que e l p rim e r p u ls o te rm in e en t = 0.1 m s , se p u e de v e r q u e vc = 0 .8 5 6 5 V . E s to se e n c u e n tra m u y le jo s d e l m á x im o p o s ib le de 9 V s i se le p ro p o rc io n a a l c a p a c ito r s u fic ie n te tie m p o p a ra carga rse to ta l m e n te y es u n re s u lta d o d ire c to s i la d u ra c ió n d e l p u ls o es de u n d é c im o de la co n s ta n te de tie m p o d e l c irc u ito . E l c a p a c ito r c o m ie n z a a h o ra a descargarse, de ta l fo r m a que
vc (t) = Se
ha
V,
d e te rm in a d o
ya
que
0.1 < t < 10.1 m s
u c ( 0 .1 _ m s) = 0 .8 5 6 5 V ,
[4 2 ] por
lo
que
vc ( 0 . 1+ m s ) = 0 .8 5 6 5 V y la s u s titu c ió n en la e c u a c ió n [4 2 ] da c o m o re s u lta d o B — 0 .8 5 6 5 V. Justo antes de que aparezca e l seg un do p u ls o en í = 10.1 m s, la te n s ió n d e l c a p a c ito r h a d is m in u id o a 0 V , p rá c tic a m e n te ; é sta es la c o n d i c ió n in ic ia l a l c o m ie n z o d e l se g u n d o p u ls o , p o r lo q u e la e c u a c ió n [4 1 ] p u e de re e s c rib irs e c o m o v c (t) = 9 -
9
e - i ° ° o ( f - i o .ix i ( r 3) V )
p a ra d e s c rib ir la re sp u e sta c o rre sp o n d ie n te .
i a i < t < 1 0 2 jjjj.
[43]
VW
A /W
■#
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS /?¿ Y/?C BÁSICOS
Caso IV: Falta de tiempo para cargarse totalmente o aún para descargarse por completo E n e l ú ltim o caso, se c o n s id e ra la s itu a c ió n d o n d e e l a n c h o y e l p e rio d o d e l p u ls o son ta n p eq ue ño s q u e e l c a p a c ito r n o p u e d e n i carga rse n i descargarse to ta lm e n te en u n s o lo p e rio d o . C o n base en la e x p e rie n c ia , se p u e de e s c rib ir
vc (t) = 9 - 9 e “ 1000t V ,
0 < / < 0.1 m s
vc (t) = 0 .8 5 6 5 e -1(XX)(,- lx lo “ 4) V ,
0 .1
< t < 0 .2 m s
[4 5 ]
vc (t) = 9 + Ce~1(mt- 2><10~4) V ,
0 .2
< t < 0 .3 m s
[4 6 ]
vc (t) = D e-m W r - 3xH)-4) v ,
0.3 < t < 0.4 m s
[ 47 ]
[4 4 ]
E x a c ta m e n te antes de q u e se p re se n te e l seg u n d o p u ls o en t = 0 . 2 m s, la te n s ió n en e l c a p a c ito r h a d e c a íd o a Vq = 0 .7 7 5 0 V ; s in c o n ta r c o n e l tie m p o s u fi c ie n te p a ra d escargarse to ta lm e n te , re tie n e u n a g ra n fra c c ió n de la p o c a e ne rg ía q u e p u d o a lm a c e n a r in ic ia lm e n te . E n e l se g u n d o in te rv a lo de 0 .2 < t < 0 .3 m s, la s u s titu c ió n de v d 0 .2 + ) = t ’c ( 0 .2 - ) = 0 .7 7 5 0 V en la e c u a c ió n [4 6 ] d a c o m o re s u lta d o C = —8 .2 2 5 V . E n s e g u id a , se e v a lú a la e c u a c ió n [4 6 ] en t = 0 .3 m s y se c a lc u la Vc = 1 .5 58 V ju s to a ntes d e l f in a l d e l s e g u n d o p u ls o . A s í, D = 1 .5 58 V y e l c a p a c ito r se c a rg a le n ta m e n te p a ra in c re m e n ta r lo s n iv e le s de te n s ió n en v a rio s p u ls o s . A estas a ltu ra s, s ería de u tilid a d s i se g ra fic a ra n las
(c )
(d) ■ F IG U R A 8 . 4 9 Resultados de la simulación en PSpice correspondientes a: (o) caso I; (6) caso II; (c) caso III; ( d) caso IV.
SECCIÓN 8.9 PREDICCIÓN DE LA RESPUESTA DE CIRCUITOS CONMUTADOS SECUENCIALMENTE
respuestas en d e ta lle , p o r lo q u e a h o ra se m u e s tra n en la fig u ra 8 .4 9 lo s re s u lta dos de la s im u la c ió n en P S p ic e de lo s casos I a IV . O b s e rv a r en la fig u ra 8 .4 9 d, en p a rtic u la r, q u e la p eq ue ña respuesta tra n s ito ria de carg a /d e sca rg a s im ila r en fo rm a a la q u e se m u e s tra en las fig u ra s 8 .4 9 a -c está sob re pu esta a u n a re spu esta de tip o c a rg a de la fo rm a (1 — e~,/x). ¡P o r lo ta n to , e l c a p a c ito r debe e m p le a r a p ro x im a d a m e n te de 3 a 5 con sta nte s de tie m p o d e l c irc u ito p a ra carga rse a su m á x im o v a lo r en s itu a c io n e s d o n d e u n s o lo p e rio d o n o le a lc a n z a p a ra cargarse o d escargarse c o m p le ta m e n te ! L o q u e n o se ha h e c h o to d a v ía es p re d e c ir e l c o m p o rta m ie n to de la re spu esta en t » 5 r , a p esar de q u e se p o d ría e sta r in te re sa d o en h a c e rlo , e sp e c ia lm e n te si n o fu e ra n e c e s a rio c o n s id e ra r u n a se cu e n cia de p u ls o s m u y la rg a , u n o s o lo a la ve z . Se p u e d e o b s e rv a r que la re sp u e sta de la fig u ra 8 .4 9 d tie n e u n v a lo r prome dio de 4 .5 0 V a p a rtir de 4 m s en ade lan te . L o a n te rio r es e xa c ta m e n te la m ita d d e l v a lo r q u e se e sp e ra ría s i e l a ncho d e l p u ls o de la fu e n te de te n s ió n p e rm itie ra q u e e l c a p a c ito r se c a rg a ra p o r c o m p le to . E n re a lid a d , en e l la rg o p la z o este v a lo r p ro m e d io p u e d e c a lc u la rs e m u ltip lic a n d o la te n s ió n d e l c a p a c ito r en c d p o r el c o c ie n te e n tre a n c h o d e l p u ls o y e l p e rio d o .
P R A C T I C A ______________________________ _ _ _ ___________ 8 .1 4 G r a fic a r iL(t) en e l ra n g o de 0 < t < 6 s p a ra (a) vs(t ) = 3 u ( t ) — 3u(t — 2 ) + 3u(t — 4 ) — 3u(t — 6) H------- ; ( b ) vs(t) = 3u(t) — 3u(t — 2 ) + 3u(t — 2 .1 ) — 3u(t — 4 .1 ) + • • •. Respuesta: (b) Vea la figura 8.50a; (c) vea la figura 8.50b.
líl
iL (A)
k (A)
(b)
(c)
■ F IG U R A 8 .5 0 (o) Circuito del problema de práctica 8.14. (b) Solución a la parte (o), (c) Solución a la parte (b).
- A /W
• -
\
(* APLICACIÓN PRÁCTICA
>
L ím ite s d e fr e c u e n c ia e n lo s c irc u ito s in te g r a d o s d ig ita le s
L o s m o d e rn o s c irc u ito s in te g ra d o s d ig ita le s , tales c o m o la ló g ic a de a rre g lo p ro g ra m a b le (P A L ) y lo s m ic ro p ro c e s a d ores (fig u ra 8 .5 1), se c o m p o n e n de c irc u ito s tra n s is to rizados in te rco n e cta d o s c o n o c id o s c o m o compuertas.
7 4 0 0 de lo s c irc u ito s in te g ra d o s ló g ic o s T T L , c u a lq u ie r te n s ió n e ntre 2 y 5 V se in te rp re ta rá c o m o u n “ 1” ló g ic o , y to d a te n s ió n e ntre 0 y 0 .8 V se enten de rá c o m o u n “ 0 ” ló g ic o . L a s tensiones entre 0 .8 y 2 V n o co rre sp o n d e n a n in g ú n estado ló g ic o , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 8.52. Vvent (V) ii
6
-
Lógico ‘1’
Lógico ‘0’ 0
■ F IG U R A 8 .5 1 Circuito integrado Power de IBM.
L a s señales d ig ita le s se re prese ntan de m a n e ra s im b ó lic a m e d ia n te c o m b in a c io n e s de unos y ceros que son da tos o in s tru c c io n e s (c o m o “ sum a r” o “ re sta r” ). E lé c tric a m e n te , se re p re s e n ta u n “ 1” ló g ic o p o r m e d io de u n a te n s ió n “ a lta ” , y u n “ 0 ” ló g ic o p o r u n a te n s ió n “ b a ja ” . E n la p rá c tic a , h a y u n in te rv a lo de ten sion es que c o rre sp o n den a cada u n o de d ic h o s v a lo re s; p o r e je m p lo , en la serie
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 tiempo (s)
■ F IG U R A 8 .5 2 Características de carga/descarga de una capacitancia de trayectoria que identifica los rangos de tensión TTL para el "1" lógico y para el "0" lógico.
U n p a rá m e tro c la v e de lo s c irc u ito s d ig ita le s es la v e lo c id a d a la q u e es p o s ib le u s a rlo s de m a n e ra e fic a z. E n este s e n tid o , la “ v e lo c id a d ” se re fie re a cu á n rá p id o c a m b ia u n a c o m p u e rta de u n e sta d o ló g ic o a o tr o (y a sea de “ 0 ” ló g ic o a “ 1” ló g ic o o v ic e v e rs a ), y e l re ta rd o re q u e rid o p a ra tra n s m itir la s a lid a de u n a c o m p u e rta a la
RESUMEN Y REPASO L a re spu esta de u n c irc u ito c o n fu e n te s q u e se a c tiv a n o d e s a c tiv a n en fo r m a re p e n tin a de u n c irc u ito en e l que h a y c a p a c ito re s e in d u c to re s s ie m p re esta rá c o m p u e s ta p o r d os p arte s: u n a re spu esta natural y u n a re spu esta fo rzada. L a fo rm a de la re spu esta n a tu ra l (d e n o m in a d a ta m b ié n c o m o respuesta transitoria) dep en de s ó lo de lo s v a lo re s de las c o m p o n e n te s y de la fo rm a en q u e se a la m b ra n e n tre e lla s. L a fo rm a de la re spu esta fo rz a d a re fle ja la de la fu n c ió n fo rz a d a . P o r lo ta n to , u n a fu n c ió n fo rz a d a de c d s ie m p re p ro v o c a u n a re spu esta fo rz a d a con sta nte . U n c irc u ito re d u c id o h asta u n a s o la in d u c ta n c ia e q u iv a le n te L y u n a s o la re s is te n c ia e q u iv a le n te R te n d rá u n a re spu esta n a tu ra l d a d a p o r i (i) = I0e~^T, d o n d e r = L /R re p re s e n ta la co n sta n te de tie m p o d e l c irc u ito .
e n tra d a de la s ig u ie n te . A p esar de que lo s tra n s is to re s c o n tie n e n c a p a c ita n c ia s “ in c o rp o ra d a s ” que a fe c ta n su v e lo c id a d de c o n m u ta c ió n , son las trayectorias de inter conexión las que en v e rd a d lim ita n la v e lo c id a d de lo s c irc u ito s in te g ra d o s d ig ita le s m á s v e lo c e s . Se p u e d e h a c e r u n m o d e lo de la tra y e c to ria de in te rc o n e x ió n e ntre dos c o m p u e rta s ló g ic a s c o n u n c ir c u ito RC s im p le (s i b ie n lo s ta m a ñ o s c a ra c te rís tic o s c o n tin ú a n d e c re c ie n d o en lo s d ise ño s m o d e rn o s , se re q u ie re n m o d e lo s m ás d e ta lla d o s p a ra p re d e c ir c o n e x a c titu d e l d es e m p e ñ o d e l c ir c u ito ) . P o r e je m p lo , c o n s id e ra r u n a tra y e c to ria de 2 0 0 0 / í m de la rg o y 2 ¡ira de ancho . Se p u e d e h a c e r e l m o d e lo de esta tra y e c to ria p o r m e d io de u n c irc u ito in te g ra d o c o m ú n b asad o en s ilic io , en d o n d e la c a p a c ita n c ia sea de 0 .5 p F y la re s is te n c ia c o rre s p o n d a a 100 £2, c o m o se in d ic a en la fig u ra 8 .53. too a
O— w v 0.5 pF
'Wi
■ F IG U R A 8 .5 3 Modelo de circuito de una trayectoria de circuito integrado.
S u p o n e r q u e la te n s ió n usai re p re s e n ta la te n s ió n de s a lid a de u n a c o m p u e rta q u e c a m b ia de u n e sta do de “ 0 ” ló g ic o a u n e sta do de “ 1” ló g ic o . L a te n s ió n ucnt aparece en la e n tra d a in c lu s o de o tra c o m p u e rta ; adem ás, i n te re s a e l tie m p o q u e ta rd a i>ent e n a lc a n z a r e l m is m o v a lo r q u e i;sai. S u p o n ie n d o que la c a p a c ita n c ia de 0 .5 p F que c a ra c te riz a a la tra y e c to ria de in te rc o n e x ió n está descarg a da a l p r in c ip io [e s to es, ucnt( 0) = 0 ], a l c a lc u la rs e la co n sta n te
de tie m p o RC de la tra y e c to ria c o m o r = RC = 5 0 ps, y d e fin ie n d o t = 0 c o m o c u a n d o c a m b ia usai se o b tie n e la e xp re s ió n Uent(0 = Ae~,/r + usai (0 ) D e ja n d o t>ent(0 ) = 0 , se o b s e rva que A = - i > sai (0 ) de m o d o que: Uent(0 = Usal(0) [ l - e~l/t] L u e g o de e x a m in a r esta e cu a c ió n , se p u e d e o b s e rv a r q ue i>ent a lc a n z a rá e l v a lo r i>sai( 0 ) después de ~ 5 r o 2 5 0 ps. S i la te n s ió n usaj c a m b ia o tra ve z antes de q ue fin a lic e este tie m p o tra n s ito rio , e l c a p a c ito r n o te n d rá tie m p o s u fic ie n te p a ra cargarse. E n tale s s itu a cio n e s , uent será m e n o r q u e usaj(0 ). S u p o n ie n d o p o r e je m p lo q ue usai(0 ) es ig u a l a la te n s ió n m ín im a de “ 1” ló g ic o , e sto s ig n ific a que Uent n o c o rre s p o n d e a u n “ 1” ló g ic o . S i usai c a m b ia de m o d o re p e n tin o a 0 V (“ 0 ” ló g ic o ), e l c a p a c ito r e m p ie z a a descargarse de m a n e ra que vent se re d u c e m ás. P o r lo ta n to , a l c o n m u ta r d e m a sia d o rá p id o lo s estados ló g ic o s n o se p u e d e tra n s fe rir la in fo rm a c ió n de u n a c o m p u e rta a o tra. L a m a y o r v e lo c id a d a la que se c a m b ia n lo s estados ló g ic o s es e nton ces ( 5 r ) _1. L o a n te rio r se e xp re sa en té rm in o s de la fre c u e n c ia de o p e ra c ió n m á x im a c o m o
fi náx —
1 2 (5 r)
= 2 GHz
d onde e l fa c to r 2 representa un p e rio d o de carga/descarga. S i se desea o pe ra r e l c irc u ito in te g ra d o a una fre cu e n c ia m ás alta, de m o d o que lo s cá lcu lo s se e fectúen m ás rá p id o , es necesa rio re d u c ir la ca p a cita n cia y /o la re siste ncia de in te rc o n e x ió n .
□
U n c irc u ito re d u c id o hasta u n a s o la c a p a c ita n c ia e q u iv a le n te C y u n a sola re s is te n c ia e q u iv a le n te R te n d rá u n a re spu esta n a tu ra l d ad a p o r v(t) = Voe~'/r, d o n d e r = RC es la co n s ta n te de tie m p o d e l c irc u ito .
ü
L a fu n c ió n de e s c a ló n u n ita r io c o n s titu y e u n a m a n e ra ú til p a ra h a ce r e l m o d e lo d e l c ie rre o la a p e rtu ra de u n in te rru p to r, s ie m p re q ue se te n g a c u id a d o de v ig ila r las c o n d ic io n e s in ic ia le s .
□
L a re sp u e sta completa de u n c irc u ito RL o RC e x c ita d o p o r u n a fu e n te de c d te n d rá la fo rm a / ( 0 + ) = / ( o o ) + A y / ( f ) = / ( o o ) + [ / ( 0 + ) — f (oc)\e~!/T, o re spu esta to ta l = v a lo r fin a l + (v a lo r in ic ia l — v a lo r fin a l) e ~ '/r .
□
L a re spu esta c o m p le ta de u n c irc u ito RL o RC pue de d e te rm in a rs e ta m b ié n e s c rib ie n d o u n a s o la e c u a c ió n d ife re n c ia l de la c a n tid a d de in te ré s y re s o lv ié n d o la .
302 I--------- W
V
9
CAPÍTULO
□
8 CIRCUITOS/?¿ Y/?CBÁSICOS
C u a n d o se tra ta c o n c irc u ito s c o n m u ta d o s en se cu e n cia o c irc u ito s co n e cta d o s en fo rm a de o n d a p u ls a n te s , e l p ro b le m a p rim o r d ia l es c o n o c e r s i e l e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e ne rg ía c u e n ta c o n s u fic ie n te tie m p o p a ra cargarse o descargarse to ta lm e n te , c o m o u n a m e d ic ió n re la c io n a d a c o n la c o n s ta n te de tie m p o d e l c irc u ito .
LECTURAS ADICIONALES____________________________________ Una guía que trata sobre técnicas de solución de ecuaciones diferenciales puede encontrarse en: W . E. B oyce y R. C. D iP rim a , Elementary Dijferential Equations and Boundary Valué Problems, 7a. ed., W ile y , N u e va Y o rk , 2002. Una descripción a detalle de los transitorios en circuitos eléctricos puede encon trarse en: E . W eber, Linear Transient Analysis Volume 1, W ile y , N u e va Y o rk , 1954. (F uera de p u b lica ció n , sin em bargo, se puede encontrar en las b ib lio te ca s de m uchas universidades.)
EJERCICIOS m
8.1 El circuito RL de fuente libre 1. Considerar el circuito R L sim ple que se muestra en la figura 8.54. S i R = 4.7 k f i, L = 1 f i H , e ¿(0) = 2 m A , calcular (a) i en t = 100 ps; (b) i en í = 212.8 ps; (c) vr en 75 ps; (d) v L en 75 ps.
I F IG U R A 8 .5 4
2. E l circuito que se muestra en la figura 8.54 consta de una resistencia R = 1 f i y una inductancia L = 2 H . En t = 0, la inductancia almacena 100 mJ de energía. C alcular (a) i en t = 1 s; (b) i en t = 5 s; (c) i e n t = 10 s; ( d ) la energía restante en la inductancia en t = 2 s. 3. Para el circuito R L simple que se muestra en la figura 8.54, se sabe que R es de 100 fi. S i¡( 0 ) = 2 m A e ¿(50 /is) = 7 35.8/ i A , determinar el valor de la inductancia L. 4. En el circuito R L sim ple que se muestra en la figura 8.54, se sabe que L es de 3 m H . Si i (0) = 1.5 A e i (2 s) = 551.8 m A , determinar el valor de la resistencia R.
f=0
5. La inductancia de 3 m H en el circuito de la figura 8.54 almacena 1 J de energía en t = 0 y 100 m J en t = 1 ms. C alcular R.
6. E l interruptor del circuito de la figura 8.55 ha estado cerrado desde que los dinosaurios deambulaban sobre la tierra. Si el interruptor se abre en t = 0, determ inar (a) í¿ en el instante después de que cambia el interruptor; (ti) v en el instante posterior al cam bio del interruptor. 7. E l interruptor del circuito de la figura 8.56 es de un solo polo con dos m ovim ientos que se dibujan para indicar que cierra un circuito antes de abrir el otro; a menudo, este tipo de interruptor se conoce como interruptor que “ establece contacto antes de interrum pirlo” . Suponiendo que ha estado en la posición dibujada en la figura du rante largo tiempo, determinar el valor de v e i¿ (a) en el instante justo antes de que cambie el interruptor; (ti) en el instante justo d e s p u é s de que cambie el interruptor. 2 £2
■ FIGURA 8.56
A /W
EJERCICIOS • . Después de perm anecer por horas en la configuración indicada, el interruptor del circuito de la figura 8.57 se cierra en t = 0. En / = 5 /zs, calcular: (a) (b ) ¿sw10 íl lk íl
50 íl
1 kíl
— VW — t— V W — 1 1.2 H 9 V-—
, '
3a 4mH
I !svv F IG U R A 8 .5 7
9. Luego de estar cerrado durante largo tiempo, el interruptor del circuito de la figura 8.58 se abre en t = 0. (a) Determ inar i¿(t) para r > 0. (b ) Evaluar iL. (c) Calcular fl s ü 'l O i ) = 0.5í'l(0).
i n — A /W
10. En el caso del circuito que se m uestra en la figura 8.59, (a) escribir la ecuación diferencial que describe la tensión vg en el resistor para t > 0. ( b ) Resolver la ecuación característica. ( c) Calcular vr justo antes de que se abra el interruptor, exactamente después de que se abra el interruptor y en t = 1 s.
8.2
Propiedades de la respuesta exponencial
11. La figura 8.7 muestra una gráfica de i / / o como una función de t. (a) Determinar los valores de t / r para los cuales i //o es 0.1, 0.01 y 0 .0 0 1. (b ) Si se traza una tan gente a la curva en el punto donde t¡x = 1, ¿dónde intersecará al eje /? 12. Consultar la respuesta que se muestra en la figura 8.60 y determinar la constante de tiempo del circuito y la corriente inicial que circula por eJ inductor.
I F IG U R A 8 .6 0
13. D ibujar la tensión de la resistencia en un circuito RL simple caracterizado por una energía inicial de 15 mJ alm acenada en el inductor de 10 mH, para R = 1 kí2, R = 10 k£2 y R = 100 kQ. Verificar su solución con una simulación PSpice sencilla. 14. Sean R = 1 MÍ2 y L — 3.3 /¿H en el circuito de la figura 8.1. (a) C alcular la constante de tiempo del circuito. (b ) Si el inductor tiene una energía inicial de 43 /iJ en r = 0, determinar i¿ en t = 5 ps. (c) Verificar su solución con una simu lación PSpice. 15. Se envía una señal digital a través de un alambre enrollado sin pérdidas que tiene una inductancia de 125.7 /iH . Determ inar el máximo valor perm itido de la re sistencia equivalente de Thévenin del equipo de recepción, si los transitorios deben durar menos de 100 ns.
I F IG U R A 8 .5 9
304 }--------- W
V
CAPITULO S CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
16. El interruptor de la figura 8.61 ha estado abierto por mucho tiempo antes de cerrarse en t = 0. Para el intervalo de tiempo —5 < t < 5 /xs, dibujar: (a) /;,(/); (b) ix (t).
lk O
i
lk£2
8.3 El circuito RC de fuente libre [p f ► 17. En el circuito RC en paralelo de la figura 8.62, C = 1 ¡i¥ y R = 100 M Q repre sentan las pérdidas en el dieléctrico del capacitor. El capacitor almacena 1 mJ en t = 0. (a) Determ inar la constante de tiempo del circuito, (b) Calcular i en 20 s. (c) Verificar la solución con una simulación PSpice.
M F IG U R A 8 .6 2
18. Suponer que, en el circuito de la figura 8.62, R = 1 Q, C = 2 F e ¿(0) = 10 V. Calcular v en (a) t = 1 s; ib) t = 2 s; (c) t = 5 s; (d ) t = 10 s. 19. Utilizar R = 1 k fi y C = 4 mF en el circuito de la figura 8.61. Si v(0) = 5 V, calcular (a) v en t = 1 ms; (b) i en t = 2 m i; (c) la energía que queda en el capaci tor en t = 4 ms. — 20. Se sabe que en el circuito RC que se m uestra en la figura 8.62, C es de 100 pF. (a) Si u(0) = 1.5 V y v(2 ns) = 100 mV, determinar el valor de la resistencia i?. (b ) Verificar la solución con una simulación PSpice. 21. Un receptor estéreo tiene un suministro de potencia que incluye dos grandes capaci tores de 50 mF conectados en paralelo. Cuando se interrumpe la alimentación de potencia del receptor, se observa que el LED ámbar que se usa como indicador de “potencia activada” se atenúa poco a poco durante unos cuantos segundos. Como no hay nada interesante en la televisión, decide efectuar un experimento utilizando una cámara de 35 mm con un obturador de velocidad variable y una película barata. Se utilizan cuatro velocidades de disparo: 150 ms, 1 s, 1.5 s y 2.0 s. A medida que aumenta la velocidad del disparador de 150 ms a 1.5 s, la imagen que aparece en la película revelada aumenta en brillo. No se nota ninguna diferencia significativa entre las imágenes tomadas a velocidades de disparador de 1.5 s y 2.0 s, mientras que a una velocidad de 150 ms se observa una imagen con 14% de la intensidad que se obtiene con las más bajas velocidades de cámara. Estimar la resistencia equiva lente de Thévenin del circuito conectado al suministro de potencia del receptor, 22. (a) D eterm inar vc(t) para el tiempo t en el circuito de la figura 8.63. (k) ¿En qué tiempo se tiene i'c = 0.1uc(0)? ■
20 Q
24 Q
23. Una fuente de corriente de 4 A, una resistencia de 20 Q y un capacitor de 5 ¡i¥ están conectados en paralelo. La amplitud de la fuente de corriente disminuye de m anera repentina hasta cero (convirtiéndose en una fuente de corriente de 0 A) en t = 0. ¿En qué tiempo: (a) la tensión del capacitor disminuye hasta la mitad de su valor inicial, y (b) la energía almacenada en el capacitor se reduce hasta la mitad de su valor inicial?
EJERCICIOS
24. D eterm inar i>c(t) e ic(t) para el circuito de la figura 8.64 y d ib u ja r ambas curvas sobre el m ism o eje de tiem po para —0.1 < t < 0.1 s.
25. E n el c irc u ito de la figura 8.65, calcular e l v a lo r de la corriente denom inada i y la tensión designada d en t = 0+ , t = 1.5 ms y t = 3.0 ms. 50 0
8.4 Una perspectiva más general 26. E l interruptor de la figura 8.66 se abre en t = 0 después de haber estado cerrado por un tiem po indefinido. Encontrar e ix en (a) t = 0 _ ; (b) t = 0 + ; (c) t = 300 /¿s. r=0
27. Un inductor de 0.2 H está en paralelo con una resistencia de 100 £2. L a corriente en el inductor es de 4 A en t = 0. (a) Determine ¿¿ (í) en t = 0.8 ms. (b) Si se conecta otra resistencia de 100 £2 en paralelo con el inductor en t = 1 ms, calcular i i en t = 2 ms. 28. Un inductor de 20 m H está conectado en paralelo con una resistencia de 1 k £ í. C onsiderar que el v a lo r de la corriente de lazo es de 40 m A en t = 0. (a) ¿En qué tiem po la corriente será de 10 m A ? (b) ¿Qué resistencia en serie debe conmutarse en el c irc u ito en t = 10 /xs, de m odo que la corriente sea de 10 m A en t = 15 /xs? 29. En la red de la figura 8.67, los valores iniciales son i\ (0) = 20 m A e j 2(0) = 15 m A . (a) D eterm inar v(0). ( b) C alcular u(15 ¡xs). (c) ¿En qué tiem po es v(t) = 0 . 1u ( 0)?
40 mH
-'T ÍT P -----
30 mH
-O T P -----
2 kíl
3 kíl
-W \r
-W \r
■ FIGURA 8.67
A /W
- •
CAPÍTULOS CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
30. Elegir valores para Ri y R 2 en el circuito de la figura 8.68, de manera que Dfi(0+) = 10 V y u r(1 ms) = 5 V.
20 mH
31. El interruptor del circuito de la figura 8.69 ha estado abierto por mucho tiempo, antes de cerrarse en t = 0. (a) Determ inar i/,(í) para t > 0. (b) Dibujar vx (t ) para menos —4 < í < 4- 4 ms.
+
vx
_
32. Si íl (0) = 10 A en el circuito de la figura 8.70, encontrar i ¿ ( t ) para
io n
t>
0.
33. Observar el circuito de la figura 8.71 y determinar i\ en t = —0.1, 0.03 y 0.1 s. Elaborar un dibujo de i\ en función de t, —0.1 < t < 1 s.
■20 n
0.5 H
t=0
1—
— VW—I----- WV—T--------- 1 4n sn > 40 n i 8H < 48 n
FIGURA 8.70 64 V 1=
r
1
I FIGURA 8.71
34. Un circuito está compuesto por un inductor de 0.5 H, una resistencia de 10 fi y una resistencia de 40 fi en serie. La corriente en el inductor es de 4 A en t = 0 . (a) Calcular ¡'¿(15 ms). (b) L a resistencia de 40 fi está en cortocircuito en r = 15 ms. Calcular i¿ (30 ms). 35. El circuito de la figura 8.72 contiene dos inductores en paralelo, lo que permite que circule una corriente atrapada en tom o al lazo inductivo. Sean í\ (0_ ) = 10 A e ¿2(0 ) = 20 A. (a) C alcular ¿i(0+), ¿2(0+) y ¿(0+). (b) Determ inar la constante de tiempo r para i(t). (c) Proporcionar i(t), t > 0. ( d ) Obtener v (t). ( e) Determinar t"1(í) e ¿2(0 a partir de v(t) y los valores iniciales. ( / ) D em ostrar que la energía alm acenada en t = 0 es igual a la suma de la energía disipada en la red resistiva entre t = 0 y t = 00, más la energía almacenada en los inductores en t = 00. i
— vw — 40 n > 200 n
<> 60 n *
mFIGURA 8.72
+
t
S0.1H v% J
s
EJERCICIOS
36. E l circuito de la figura 8.73 ha estado en la form a que se indica desde ayer al m ediodía. E l inte rrup to r se abre exactamente a las 10:00 a.m. D eterm inar i i y vc a las (a) 9:59 a.m.; ( b) 10:05 a.m. (c) C alcular z'i(f) en ? = 1 . 2 t . (d) V erifica r la solución con PSpice.
37. Luego de estar p or m ucho tiem po en la configuración que se señala, el interruptor de la figura 8.74 se abre en ? = 0. C alcular los valores para (a) is (0 “ ); (b) ix(0 _ ); (c) ix (0+ ); (d) ij( 0 + ); (e) *,(0 .4 s).
38. Luego de permanecer cerrado p or m ucho tiem po, el inte rrup to r de la figura 8.75 se abre en t = 0. (a) E ncontrar i¡c ( t) para t > 0. (b) C alcular ia (—100 ¡is) e i a (100 /zs). (c) V erificar su solución con PSpice. f=0
39. M uchas lunas después de que el circuito de la figura 8.76 se ensambló p or prim era vez, su inte rrup to r se cierra en t = 0. (a) Obtener ¡i (?) para ? < 0. (b) Encontrar /](? ) para? > 0. r=0
■ FIGURA 8.76
#■
AA/V
AAAa
■#
CAPÍTULO
8 CIRCUITOSRL YRC BÁSICOS
40. Mucho tiempo después de que se ensambló el circuito de la figura 8.77, ambos in terruptores se abren de forma simultánea en t = 0, como se indica, (a) Obtener la expresión de usai correspondiente a t > 0. (b) Calcular los valores de usai en t = 0+, 1 /zs y 5 fis.
&
41. (a) Suponer que el circuito de la figura 8.78 ha estado en la forma que aparece du rante bastante tiempo. Determ inar vc(t) para cualquier t luego de que se abre el in terruptor. (b) Calcular vc(t) en í = 3 /is. (c) Verificar su solución con PSpice.
42. Determ inar los valores de Rn y R] en el circuito de la figura 8.79, de modo que vc = 50 V en t = 0.5 ms y vc = 25 V en í = 2 ms.
43. Para el circuito de la figura 8.80 determinar vc 0) para (a) t < 0; (b) t > 0.
lk íí
■ FIGURA 8.80
EJERCICIOS
44. Proporcionar el valor de i [ (?) para t < 0 y t > 0 en el circuito de la figura 8.81.
45. til interruptor de la figura 8.82 se mueve de A a B en t = 0 después de estar en A por m ucho tiempo. Esto coloca a los dos capacitores en serie, lo cual perm ite que en los capacitores queden atrapadas tensiones de cd iguales y opuestas, (a) Deter minar vi (O- ) i»2(O- ) y (b) Calcular v¡ (0+ ), i>2(0+ ) y i;«(0+ ). (c) O btener la constante de tiempo de vg(t). (d) Proporcionar v r (í ), t > 0. (e) Determ inar i(t). ( / ) Encontrar v¡ (/) y (?) ) a partir de i(t) y los valores ini ciales. (g) Demostrar que la energía almacenada en / = oo más la energía total disipada en la resistencia de 20 k fi es igual a la energía almacenada en los capaci tores en t = 0.
46. El valor de is en el circuito de la figura 8.83 es 1 m A para t < 0, y cero para t > 0. Determ inar vx (t) para (a) t < 0; (b) t > 0.
■ F IG U R A 8 .8 3
47. El valor de vs en el circuito de la figura 8.84 es 20 V para t < 0, y cero para t > 0. Calcular ix (t) para (a) t < 0; (b) t > 0. 48. El interruptor en la figura 8.85 ha estado cerrado por varias horas, quizá demasiadas. El fusible es un tipo especial de resistencia que se sobrecalienta y funde si la corriente que circula por ella excede 1 A por más de 100 ms (también existen otros tipos de fusibles). L a resistencia del fusible es de 3 m fi. Si se abre el interruptor en t = 0, ¿se fundirá? Verificar su respuesta con PSpice.
■ FIGURA 8.85
A /W
309
-A/VV
-•
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS /?¿ Y /?CBÁSICOS
8.5La función escalón unitario 49. U tiliz a n d o las funciones escalón unitario, generar una expresión que describa la form a de onda que se muestra en la figu ra 8. 86. 50. M ediante las funciones escalón u nitario generar una expresión que describa la form a de onda que se muestra en la figu ra 8.87.
■t(s) I FIGURA 8.86
51. Dada la fun ción f{t) = 6u(—t) + 6u(t + 1) — 3 u(t + 2 ), evaluar f (t) en t = (a) - 1 ; (b) 0 “ ; (c) 0 + ; ( d ) 1.5; (e) 3. 52. Dada la fun ción g(t) = 9 u(t) —6u(t + 10) + 3u(t + 12), evaluar g(t) en r = ( a ) - l ; ( ¿ ) 0 + ; ( c ) 5 ; ( r f ) l l ; ( e ) 30. 53. Los valores de fuente del c irc u ito de la figura 8.88 son va = 300w(í — 1) V, vb = —120u(t + 1) V e ¡c = 3w (—t) A . D eterm inar;'! en t = —1.5, —0.5, 0.5, y 1.5 s.
i(t) A
4 -
2
3
t
(s)
I F IG U R A 8 .8 7
54. Los valores de fuente de la figura 8.88 son vA = 600fw (í + 1) V, vb = 600 (t + 1)u(t) y t ic = 6 (í — 1)u(t —1) A . (a) P roporcionar ¿i en t = —1.5, —0.5, 0.5 y 1.5 s. (b) D ib u ja r i\ en fun ción de íp a ra —2.5 < t< 2.5 s. 55. En t = 2, obtener el valo r de (a) 2u(\ —í) —3u(t — 1) — 4 u(t + 1); (b) [5 - u(t)][2 + u(3 - f ) ] [ l - u( 1 - í ) ] ; (c) 4e_ “ (3_í)«(3 - t). 56. Obtener ix para t < 0 y f > 0 e n e l c irc u ito de la figura 8.89 si la ram a desconocida contiene: (a) un inte rrup to r norm almente abierto que se cierra en t = 0 , en serie con una batería de 60 V, referencia + en la parte superior; (b) una fuente de tensión, 60 u(t) V, referencia + en la parte superior. 20 a
-------V W -
II 100 V
•30 a
©
10 A
í F IG U R A 8 .8 9
57. D eterm inar ix en el c ircu ito de la figura 8.90 en intervalos desde t = —0.5 s hasta t = 3.5 s.
t =2 s
■ FIGURA 8.90
EJERCICIOS
• -
----------
VW
58. El interruptor de la figura 8.91 está en la posición A para 0. En / = 0 se mueve hacia B, y luego hacia C en t = 4 s y hacia D en t = 6 s, donde permanece. Graficar v(t) como una función del tiempo y expresarla como una suma de fun ciones forzadas de escalón.
8V
■ F IG U R A 8 .9 1
t =0
59. U na forma de onda de tensión que aparece en un elemento desconocido tiene como expresión lu(t) — 0.2 u(t) + 8 u(t — 2) + 3 V. (a) Determinar la tensión en t = 1 s. Ob) Si la corriente correspondiente a través del elemento es 3.5u (t) — 0.1w(í) + 4 u (t — 2) + 1.5 A, ¿qué tipo de elemento es y cuál es su valor?
3H
8.6 -
Accionamiento de circuitos RL
60. En el circuito de la figura 8.92, (a) encontrar una expresión para v g (t) válida para todo tiempo; (b) calcular vg en t = 2 ms; (c) verificar la respuesta de la parte ( b) utilizando PSpice. 61. Observar el circuito de la figura 8.93 y (a) determinar ¿ l(í); (b) utilizar la expre sión de iL (t) con el fin de calcular v¿(t). 5D
2u(t) mA
)
-W v —
+ <
* 3 kQ
2u{t) A
2H
vi S 15 mH
©
10 V
I F IG U R A 8 .9 4 I F IG U R A 8 .9 3
62. Encontrar
en el circuito de la figura 8.94 en t igual a (a) —0.5 s; ib) 0.5 s; (£) 1.5 s.
63. De acuerdo con el circuito que se presenta en la figura 8.95, obtener la expresión algebraica del mismo y también graficarla: (a) (í); (b) «i (f).
12 kfí
4 mH
50u(t) V ( _ ) 11 kfí <
100«(f) v i :
I F IG U R A 8 .9 5
■ F IG U R A 8 .9 6
64. Consultar el circuito de la figura 8.96 y (a) calcular la potencia absorbida por la resistencia de 2 k£2 en t = 1 ms; ( b ) determinar el valor de i (t) en 3 /xs; (c) pro porcionar la corriente máxima a través de la resistencia de 12 kQ. (d) Confirmar sus respuestas con PSpice.
30 mH 2
10 mH
3 tt
---------------
-o4.5u(t) V
—
4.5 V
S F IG U R A 8 .9 7
VW
-------------------------------•
CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
8.7 Respuestas natural y forzada
5 íl
-AAAr io n
\i(r) .
30 /xh
L- 65. En el circuito que se m uestra en la figura 8.97, (a) encontrar una expresión válida para i(t) en todo tiempo; ib) calcular i(t) en t = 1.5 /¿s; (c) verificar el resultado con una simulación PSpice.
! B - 66. En el circuito RL de la figura 8.98, (o) encontrar la expresión de vr U) válida para todo tiempo; (b ) calcular vR(t) en t = 2 ms; (c) verificar el resultado con una simulación PSpice. 67. Con referencia al circuito de la figura 8.99, calcular V] ( t ) en í = 27 /us. 5 mH
-n rm
' F IG U R A 8 .9 8
•100 11
y i
12 V .
I F IG U R A 8 .9 9
68. El interruptor de la figura 8.100 ha estado cerrado por largo tiempo, (a) Obtener íl para t < 0. (ti) Calcular íl (t) para cualquier t luego de que se abre el interruptor en t = 0. t= 0
1 íí
-VNA/— I 4n
- A /W —
| k
30 V
10 V
| 0.5 H
K F IG U R A 8 .1 0 0
69. El interruptor de la figura 8.101 ha estado abierto durante largo tiempo. (o) Obtener íl para t < 0. (b) D e te r m in a r ( í) para cualquier t después de que se cierra el interruptor en t = 0.
70. Para el circuito que se muestra en la figura 8.102, obtener los valores de Íl y v¡ en t igual a (o) 0_ ; (b) 0+ ; (c) oo; (d) 0.2 ms.
2u(t) A
©
■ FIGURA 8.102
50 mH •íoon
^íoon
EJERCICIOS
• -------------------------------W
\ —
{ 313
71. L a ecuación [33] de la sección 8.7 representa la solución general del circuito R L accionado en serie, donde Q es una función de tiempo en general, y A y P son constantes. Sean R = 125 £2 y L = 5 H, encontrar i (t ) para t M 0 si la función de tensión forzada L Q { t ) es (a) 10 V; (b) 10u ( t ) V; (c) 10 + 10u ( t ) V; (d) 10u(t) eos 50 1 V. 72. El interruptor de la figura 8.103 permaneció cerrado durante u n tiempo prolongado, (a) Proporcionar iL para t < 0. (b) Justo después de abrir el interruptor, encontrar i L ( 0+ ). (c) Determ inar ¿r,(oc). (d) Obtener la expresión de /¿ (í) relativa a t > 0.
20 Q.
73. Calcular iL para cualquier t en el circuito de la figura 8.104. 74. Suponer que el interruptor de la figura 8.105 ha estado cerrado por mucho tiempo y que se abre después en / = 0. Proporcionar ix en l igual a (a) 0 _ ; (b) 0+ ; (c) 40 ms.
0.2 H
75. Suponer que el interruptor de la figura 8.105 permaneció abierto por mucho tiempo y que se cierra después en t = 0. Determ inar ix en t igual a (a) 0 “ ; (b) 0+ ; (c) 40 ms. 76. Obtener vx (t) para cualquier t en el circuito de la figura 8.106. 77. De acuerdo con el circuito que se presenta en la figura 8.107, calcular (a)
Cb) ¿ || ) .
■ FIGURA 8.107
I F IG U R A 8 .1 0 6
AAA a-
314
- •
CAPITULO
8 CIRCUITOS RL Y RC BASICOS
78. Encontrar la expresión de v(t ) en el circuito de la figura 8.108 que sea válida para todo tiempo.
300 mil
A/W—
79. Encontrar la expresión de v(t) en el circuito de la figura 8.109 que sea válida para cualquier tiempo.
2e u(t) A 300 m il
V A — F IG U R A 8 .1 0 8
2 eos 4 1uij) A
■ F IG U R A 8 .1 0 9
8.8 Accionamiento de circuitos RC -
80. (a) Proporcionar vc del circuito de la figura 8.110 en í = —2 fis y t = +2 ¡j,s. (b) Verificar su solución con PSpice.
3V —
I
6u(t) mA
F IG U R A 8 .1 1 0
100 í l
81. Con referencia al circuito RC de la figura 8.111, encontrar la expresión de vc(t) que sea válida para cualquier tiempo. 82. Después de perm anecer cerrado por largo tiempo, el interruptor de la figura 8.112 se abre en t = 0. Calcular iA para cualquier tiempo. 1 k íl
10 íl
83. Luego de estar abierto por mucho tiempo, el interruptor de la figura 8.112 se cierra en t = 0. Determ inar iA para cualquier tiempo.
0.1 F
84. El interruptor del circuito de la figura 8.113 ha estado abierto por mucho tiempo. Se cierra de form a repentina en t = 0. Encontrar ¿ent igual a: {a) —1.5 s; (b) 1.5 s.
— W v --------1(— ío v .
fl FIGURA 8.113
1 kíl
■1 0 Í1
í=0
85. Sea vs = —12u(—t) + 24 u(t) V en el circuito de la figura 8.114. Sobre el intervalo de tiempo —5 ms < t < 5 ms, encontrar la expresión algebraica de: (a) vc(t)', {b) ¿ent (0- Graficarlas. /em 10 k íl F -^ -W v —i +
1
I +J
20 kíl <
E> FIGURA 8.114
^ 300 nF -
EJERCICIOS
86. C alcular vc para t > 0 en el c irc u ito de la figura 8.115. í=0
87. Obtener el valo r de vc(0 en í = 0.4 y 0.8 s para el circuito de la figura 8.116. ! = 0.5 s
[, ^
88. En e l c irc u ito de la figura 8.117: (a) determ inar vc (í) para todo tiem po, y
(b) graficar i !c (t) para —1 < t < 2 s. V e rifica r su solución con PSpice. 10 k íl
S9. En e l c irc u ito de la figura 8.118, determ inar vg(t) para (a) t < 0; (b) 1 > 0. Suponer luego que el inte rrup to r ha estado cerrado durante largo tiem po y que se abre en t = 0. C alcular vR(t) para (c) t < 0; (<¿) t > 0. 90. E l inte rrup to r de la figura 8.119 se ha m antenido en A durante largo tiem po. Se mueve hacia B en t = 0 y regresa hacia A en t = 1 ms. C alcular R\ y de m odo que u c ( l ms) = 8 V y i’c (2 ms) = 1 V.
■ FIGURA 8.119
*
W V
(g)
316
-A/W
-•
CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
91. E ncontrar el prim e r instante de tiem po luego de t = 0, para el cual vx = 0 en el c irc u ito de la figura 8. 120. ioo
n
92. En el circu ito de la figura 8.121, un interruptor se abre en t = 0, en tanto que el o tro inte rrup to r se cierra en form a simultánea. G raficar la potencia absorbida por la resistencia de 1 kQ en el inte rvalo — 1 ms < t < 7 ms. E n t = 0, la fuente de 1 m A tam bién se desactiva.
t=
1 7 mA I J
900
n
>
3 / iF
= =
t=
0 i k a
<>
0
1 m A ^
IF IG U R A 8 .1 2 1
93. Si el interruptor en la figura 8.122 ha estado cerrado p or varios días, (a) determ inar u en t —5.45 ms; (b) calcular la potencia disipada por la resistencia de 4.7 kQ en t = 1.7 m s; (c) obtener la energía tota l que a la larga la resistencia de 4.7 k Q con vertirá en calor, luego de que se abra e l interruptor.
94. Suponer que el amp op que se presenta en la figura 8.123 es ideal y calcular vz (t) para cualquier í.
&
95. Suponga que el amp op que se muestra en la figura 8.124 es ideal y (a) encontrar v0(t) para todo t. (b) V e rifica r la solución con PSpice. Sugerencia: se pueden gralica r funciones con Probe ingresando la expresión en la caja J ’ra c c E xpression.
■ FIGURA 8.124
EJERCICIOS
• -
— W V
317
96. (a) Obtener ¡'¿(0) para el c irc u ito RL de la figura 8.125; (b) con PSpice y el valor in ic ia l que encontró en el inciso a, determ inar ¡¿ en t = 50 ms. 5 fí
01
0^97.
1 k fí
(a) Suponer que el amp op que se muestra en la figura 8.126 es ideal y que uc (0) = 0. E ncontrar i >0(t) para cualquier t. ( b ) V erifica r su solución con PSpice.
Sugerencia; se pueden graficar las funciones en Probe incorporando la expresión dentro de la caja T ra c e E xpression. ®
©
98. D iseñar un circu ito que perm ita que la lu z de una habitación permanezca encen dida por 5 segundos después de que se desactivó el interruptor. Considerar un foco eléctrico de 40 W y un sum inistro de 115 V ca. »■
a«= 4e~20
U n detector de m ovim iento instalado com o parte de un sistema de seguridad parece ser m uy sensible a las fluctuaciones de potencia eléctrica. Se va a insertar un c ir cuito de retardo entre el sensor y el circuito de alarma, de m odo que se m inim icen los disparos falsos. B ajo el supuesto de que el equivalente de Thévenin del sensor de m ovim iento sea una resistencia de 2.37 k f i en serie con una fuente de 1.5 V y que la resistencia equivalente de Thévenin del circuito de alarma sea de 1 M f i, diseñar un circuito y que pueda insertarse entre el sensor y el circuito que requiera una señal del sensor que dure p or lo menos 1 segundo com pleto. E l m ovim iento del circuito sensor/alarma trabaja del modo siguiente; el sensor sum inistra de manera continua una corriente pequeña al circuito de alarma, a menos que se detecte m ovim iento, en cuyo caso se interrum pe la corriente.
8.9 Predicción de la respuesta de circuitos conmutados secuencialmente
(a) C onstruir una form a de onda pulsada en PSpice para m odelar la form a de onda de tensión Vg del ejercicio 53 y graficarla u tilizan do Probe. ( Sugerencia : conectar la fuente a una resistencia para lleva ra cabo la simulación), (b) C onstruir la form a de onda pulsada en PSpice para m odelar la form a de onda de la corriente ic del ejercicio 53 y graficarla p or m edio de Probe. - 101. (a) B osquejar la tensión vg de la resistencia del circuito de la figura 8.127 com o respuesta a una form a de onda pulsada Vs(t). E l valo r m ínim o de vs(t) es 0 V, su m áxim o es de 3 V. el ancho del pulso es de 2 s y el periodo es de 5 s. L im ita r el bosquejo a 0 < t < 20 s. (b) V erifica r el bosquejo realizando la sim ulación apropiada con PSpice. 100.
0
0
- 102. (a) G raficar la corriente i del inductor del circuito de la figura 8.128 como respuesta a una form a pulsada Vs(t). E l valor m ínim o de v$(t) es 0 V, su m áxim o es 5 V, el ancho del pulso es de 5 s y el periodo es de 5.5 s. L im ita r el bosquejo a 0 < t < 20 s. (b) Verificar el bosquejo realizando la simulación apropiada con PSpice.
103. L a fuente de tensión vs de la figura 8.129 es una fuente pulsada que tiene un valor m ínim o de 2 V, un valor m áxim o de 10 V y un ancho de pulso de 4 RC. D ib u ja r la tensión del capacitor si el tiem po entre pulsos de vs es (a) 0.1 RC; (b) RC; (c) 10 RC.
a FIGURA 8.129
1H
A /W
•
CAPITULO
8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS
104. Con referencia al circuito de la figura 8.130, dibujar i¿ (í) en un periodo de 0 < t < t4 si i(t) es como se muestra en la figura 8.131. 4 ns
( b) t\ = 150 ns
; 2 = 160 ns
t 2 = 300 ns
f3 = 164 ns
= 450 ns
(a) ti =
?4 =
200 ns
U = 500 ns 10 kíl
m 10 mA
h ■ F IG U R A 8 .1 3 1
h
(c)
= 150 ns
¡2 = Í3 =
200 ns 350 ns
= 400 ns
C LAV E
INTRODUCCION E l a n á lisis de lo s c a p ítu lo s a n te rio re s se e n fo c ó e x c lu s iv a m e n te en c irc u ito s re s is tiv o s y a sea con ca p a cito re s o c o n in d u c to re s , p e ro n o c o n am bos. L a p re se n cia de in d u c ta n c ia y c a p a c ita n c ia en e l m is m o c irc u ito p ro d u c e a l m e no s u n sistema de segundo orden, que está c o n s titu id o p o r u n a e cu a c ió n d ife re n c ia l q u e in c lu y e u n a de riv a d a de segundo o rde n , o dos e cuaciones d ife re n c ia le s lin e a le s de p rim e r o rde n . E ste a u m e n to d e o rd e n h a c e n ecesa rio e v a lu a r dos constantes a rb itra ria s . A d e m á s , se re q u e rirá d e te rm in a r c o n d ic io n e s in ic ia le s de las d erivadas. Se v e rá que tales c irc u ito s , d e n o m in a d o s a m e n u d o c o m o c irc u ito s RLC n o s ó lo aparecen c o n m u ch a fre cu e n c ia en la p rá c tic a , s in o que ta m b ié n re s u lta n m o d e lo s bastante buenos p a ra o tro s tip o s de sistem as. P o r e je m p lo , se e m p le a u n c irc u ito RLC
Frecuencia de resonancia y factor de amortiguamiento de circuitos RLCen serie y en paralelo. i----------------------------------------Respuesta sobreamortiguada.
----------------------------Respuesta críticamente amortiguada. i----------------------------------------Respuesta subamortiguada.
i---------------------------Respuesta completa (natural + forzada) de circuitos RLC
c o m o m o d e lo p ara e l sistem a de suspensión de u n a u to m ó v il,
----------------------------
e l c o m p o rta m ie n to de u n c o n tro la d o r d e te m p e ra tu ra u tiliz a d o en e l
Representación de ecuaciones diferenciales mediante circuitos con amp ops.
c re c im ie n to de cristale s s e m ico n d u cto re s e in c lu s o p ara la respuesta de u n a v ió n a lo s c o n tro le s d e l tim ó n de a ltitu d y e l ale ró n.
9.1 t CIRCUITO EN PARALELO SIN FUENTE L a p rim e ra tarea co n s is te en d e te rm in a r la re spu esta n a tu ra l, que ta m b ié n e n este caso se lle v a a cab o d e u n m o d o m ás c o n v e n ie n te al c o n s id e ra r e l c irc u ito s in fu e n te . L u e g o se p o d ría n in c lu ir fu e n te s de cd, in te rru p to re s o fu e n te s de e s c a ló n en e l c irc u ito q u e de n u e v o re p re s e n te n la re spu esta to ta l c o m o la su m a de la re spu esta n a tu ra l y la re spu esta fo rza d a . Se c o m e n z a rá c o n e l c á lc u lo d e la respuesta n a tu ra l de u n c ir c u ito s im p le q u e se fo rm a a l conectará?, L y C en p a ra le lo . E s ta c o m b in a c ió n p a rtic u la r de e le m e n to s id e a le s g e n e ra u n m o d e lo ade c ua do p a ra secciones d e m u ch a s redes de c o m u n ic a c ió n ; representa, p o r e je m p lo , u n a p a rte im p o rta n te de a lg u n o s a m p lific a d o re s e le c tró n ic o s q u e se e n c u e n tra n e n c u a lq u ie r re c e p to r de ra d io , la c u a l
320 ;--------- W
V
-•
V
Reí. ■ F IG U R A 9 .1 Circuito RLCen paralelo sin fuente.
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
p e rm ite que lo s a m p lific a d o re s p ro d u z c a n u n a g ra n a m p lific a c ió n de te n s ió n so b re u n a b a n d a e stre cha de fre c u e n c ia s de señales c o n u n a a m p lific a c ió n c a s i n u la fu e ra de esta ban da . L a s e le c tiv id a d de fre c u e n c ia de este tip o p e rm ite escu ch ar la tra n s m is ió n de u n a esta ció n , al m is m o tie m p o que se re ch a za la tra n s m is ió n de c u a lq u ie r otra. O tra s a p lic a c io n e s in c lu y e n e l u so de c irc u ito s RLC en p a ra le lo en e l m u ltip le x a je y en lo s filtr o s de s u p re sió n de a rm ó n ica s. S in e m b a rg o , in c lu s o u n a n á lisis s im p le de estos p rin c ip io s re q u ie re u n a c o m p re n s ió n de té rm in o s c o m o resonancia, respuesta en frecuencia e impedancia, que aún n o se h a n e x p li cado. S in e m b a rg o , basta d e c ir que la c o m p re n s ió n d e l c o m p o rta m ie n to n a tu ra l de lo s c irc u ito s RLC en p a ra le lo re s u lta d e m a sia d o im p o rta n te p a ra e stu d io s fu tu ro s de redes de c o m u n ic a c io n e s y p a ra d ise ño de filtro s , a sí c o m o p a ra m u ch as otras a p lic a c io n e s. C u a n d o u n c a p a c ito r físico se c o n e c ta en p a ra le lo c o n u n in d u c to r y e l cap a c ito r tie n e a so c ia d a u n a re s is te n c ia fin ita , se d e m u e stra q u e la re d re s u lta n te tie ne u n m o d e lo de c irc u ito e q u iv a le n te c o m o e l de la fig u ra 9 .1 . L a p re s e n c ia de esta re s is te n c ia se u sa p a ra s im u la r las p é rd id a s de e n e rg ía e n e l c a p a c ito r; ade m ás, to d o s lo s ca p a c ito re s reales se d e scarg a rán a la la rg a , in c lu s o s i se desco n e c ta n de u n c irc u ito . L a s p é rd id a s de e n e rg ía en e l in d u c to r fís ic o ta m b ié n se to m a n en c u e n ta m e d ia n te la a d ic ió n de u n a re s is te n c ia id e a l (e n serie con el in d u c to r id e a l). S in e m b a rg o , p o r s im p lic id a d se re s trin g e e l a n á lis is a l caso de u n in d u c to r id e a l en p a ra le lo c o n u n c a p a c ito r “ c o n fu g a s ” .
Deducción de la ecuación diferencial de un circuito RLC en paralelo E n e l s ig u ie n te a n á lis is se s u p o n d rá que, in ic ia lm e n te , se p o d ría a lm a c e n a r la e ne rg ía en e l in d u c to r y en e l c a p a c ito r; en o tras p ala bra s, se p re s e n ta ría n v a lo res in ic ia le s d is tin to s de c e ro ta n to de la c o rrie n te d e l in d u c to r c o m o de la te n s ió n d e l c a p a c ito r. C o n base en la fig u ra 9.1 c o m o re fe re n c ia , se e s c rib iría la e cu a c ió n n o d a l s im p le
v 1 f . dv — + — I v d t — /(ío ) + C — = 0 R L L dt
[1]
Se p u e d e o b s e rv a r q u e e l s ig n o m e n o s es c o n s e c u e n c ia de la d ire c c ió n supuesta de i. Se debe re s o lv e r la e c u a c ió n [1 ] s u je ta a las c o n d ic io n e s in ic ia le s
i ( 0+ ) = I q
[ 2]
v ( 0 + ) = Vo
[3 ]
y C uando ambos lados de la ecuación [1 ] se d ife re ncian una v e z c o n respecto a l tiem po, e l resultado consiste en u na ecuación d ife re n c ia l lin e a l hom ogénea de segundo orden
„ d2v 1 dv 1 C — - H----------------------------------------------------------------- h —v = 0 [4 ] dt2 R d t L c u y a s o lu c ió n v(t) es la re spu esta n a tu ra l deseada.
Solución de la ecuación diferencial H a y varias fo rm a s interesantes de re s o lv e r la e cuación [4 ], L a m a y o ría de tales m étodos se dejarán p ara u n curso de ecuaciones d ife re nciale s, así que se e lig e sólo e l m é to d o m ás rá p id o y s im p le p ara a p lic a rlo ahora. Se supondrá una s o lu ció n , c o n fia n d o en la in tu ic ió n y m o de sta e xp e rie n cia p ara s o lu cio n a r u n a de las varias fo r m as p osible s que re su lta n adecuadas. L a e xp e rie n cia que se tie n e co n las ecuaciones
SECCIÓN 9.1 CIRCUITO EN PARALELO SIN FUENTE
de p rim e r o rd e n quizás sugiera que a l m enos se deba p ro b a r una v e z m ás la fo rm a e xp on en cial. A s í, se supondrá que i >= Aest
[5 ]
que es ia fo rm a más g eneral p o s ib le y que p e rm ite que Ay s sean núm eros com p lejo s, en caso de ser necesario. A l s u s titu ir la ecuación [5 ] en la e cuación [4 ] se obtien e
CAs2est + — Asest + — Aest = 0 R L Aest ( C s 2 + i j + £ ) - 0 P ara que se s a tis fa g a esta e c u a c ió n to d o e l tie m p o , al m e no s u n o de lo s tres fa c to re s d eb e ser c e ro . S i c u a lq u ie ra de lo s p rim e ro s dos fa c to re s se ig u a la a c ero, e nton ces v(t ) = 0 . É s ta es u n a s o lu c ió n t r iv ia l de la e c u a c ió n d ife re n c ia l q u e n o p u e d e s a tis fa c e r las c o n d ic io n e s in ic ia le s dadas. P o r lo ta n to , se ig u a la a cero e l fa c to r re sta nte :
Cs2 + —s + — = 0 K L
[ 6]
L o s m a te m á tic o s sue len d e n o m in a r a esta e xp re sió n ecuación auxiliar o ecuación característica, te m a que se e x p lic a en la se cció n 8.1. S i es p o s ib le s a tis fa c e rla , e n tonces es c o rre c ta la s o lu c ió n supuesta. P uesto que la e cu a c ió n [ 6] es cu a d rá tica , h a y dos s o lu cio n e s id e n tific a d a s c o m o ,S'i y s2:
Sl -
~ 2R C + V í l f i c )
_ Te
[7 ]
* =
181
S i cualquiera de estos dos v a lo re s se usa p a ra s en la s o lu c ió n supuesta, entonces la s o lu c ió n satisfa ce la e c u a c ió n d ife re n c ia l dada; de ta l m o d o ésta se c o n v ie rte en u n a s o lu c ió n v á lid a de la e c u a c ió n d ife re n c ia l. S u p o n g a q ue se s u s titu y e s p o r S\ en la e cu a c ió n [5 ], c o n lo c u a l se o b tie n e
vi = A1eSl‘ y, de m a n e ra s im ila r,
v2 = A2eS2t L a p rim e ra s a tis fa c e la e c u a c ió n d ife re n c ia l
d2v i 1 dv i 1 C - dT t2 Y + R - B dt - r +L
T vi
= °
y la ú ltim a sa tisfa ce d2v2 dt2
c ~ rr +
1 dv2
R dt
1 +
t v2
L
= 0
S i se sum an estas dos ecuaciones d ife re n c ia le s y se c o m b in a n té rm in o s s e m e ja n te s ,. se o b tie n e
d2( v i+ v 2) , ld { v i + v2) 1 . C --------— ---------- --------------- ------------ h - ( u i + u2) = 0 0 dt 2
R
dt
L
*
0
CAPITULO 9 CIRCUITO RLC
P re v a le ce la lin e a lid a d y se o b s e rva q u e la suma de am bas s o lu cio n e s ta m b ié n es u n a s o lu c ió n . D e este m o d o , la fo rm a g e n e ra l de la re spu esta n a tu ra l es
v(t) = A¡eSít + h e Slt
[9 ]
d o n d e s i y S2 están dadas p o r las e cuaciones [7 ] y [ 8]; A ! y A 2 son dos constantes a rb itra ria s que se d eben s e le c c io n a r p a ra s a tis fa c e r las dos c o n d ic io n e s in ic ia le s especificadas.
Definición de términos de frecuencia L a fo rm a de la re spu esta n a tu ra l, c o m o se d a e n la e c u a c ió n [9 ], o fre c e p o c a in fo rm a c ió n acerca de la n a tu ra le z a de la c u rv a que se p o d ría o b te n e r s i v(t ) se g ra fic a ra c o m o u n a fu n c ió n d e l tie m p o . L a s a m p litu d e s re la tiv a s de A , y A 2, p o r e je m p lo , serán en v e rd a d im p o rta n te s p a ra d e te rm in a r la fo rm a de la c u rv a de respuesta. A d e m á s , las con sta nte s ¿i y S2 son n ú m e ro s re ale s o n ú m e ro s c o m p le jo s c o n ju g a d o s , lo c u a l d epende de lo s v a lo re s de R, L y C e n la re d dada. E stos dos casos p ro d u c irá n fo rm a s de re spu esta fu n d a m e n ta lm e n te d ife re n te s . P o r lo ta n to , será ú til e fe c tu a r a lg u n a s s u s titu c io n e s s im p lific a to ria s en la e c u a c ió n [9 ]. E n razón de q u e lo s e xp o n e n te s S\t y sit d eb en ser a d im e n s io n a le s , re s u lta n e c e s a rio que s i y S2 te n g a n las u n id a d e s de a lg u n a c a n tid a d a d im e n s io n a l “ p o r se g u n d o ” . A s í, e n las e cu a cio n e s [7 ] y [ 8] se o b s e rva que las u n id a d e s de 1 /2RC y \¡«JLC d e b en ta m b ié n ser s -1 (es d e c ir, seg un do s- 1 ). L a s u n id a d e s de este tip o se lla m a n frecuencias. Se d e fin e u n n u e v o té rm in o , cúq(omega subíndice cero o sólo omega cero):
c*‘ = 7 r i
1101
y se re se rva p a ra éste e l té rm in o frecuencia resonante. P o r o tro la d o , se c o n o c e rá c o m o 1 ¡IR C a la frecuencia de Neper o e l coeficiente de amortiguamiento ex ponencial, y se re prese ntará m e d ia n te e l s ím b o lo a (a lfa ): oí
= — -— 2 RC
[ 11]
E s ta ú ltim a e x p re s ió n d e s c rip tiv a se u sa d e b id o a que a es u n a m e d id a de lo rá p id o q ue decae o se a m o rtig u a la re spu esta n a tu ra l h asta su v a lo r fin a l p e rm a n e n te (a m e n u d o c e ro ). P o r ú ltim o , s, si y S2, q u e son c a n tid a d e s que fo rm a rá n las bases de n u e stro tra b a jo p o s te rio r, se d e n o m in a n frecuencias complejas. Se debe a d v e rtir q u e í 1, S2, f f y ® o s ó lo son s ím b o lo s u tiliz a d o s s ó lo p a ra s im p lif ic a r e l a n á lis is de lo s c irc u ito s RLC n o son n uevas p ro p ie d a d e s m is te rio s a s de n in g ú n tip o . Es m ás fá c il, p o r e je m p lo , d e c ir “alfa” que “el recíproco de 2RC”. Se d eben p o n e r ju n to s estos re s u lta d o s, en c u y o caso la re spu esta n a tu ra l d e l c irc u ito RLC en p a ra le lo es
v(t) = A ieSlt + A2eS2t don de :
[9 ]
SECCIÓN 9.1 CIRCUITO EN PARALELO SIN FUENTE
1
[ii]
2 RC Wq
• “
A W
Los ingenieros de sistemas de control conocen la proporción entre a y
1
[
V lc
10]
323
como razón de amor
tiguamiento, y la designan mediante el símbolo ? (zeta).
y A i y Ai d eb en d e te rm in a rs e a p lic a n d o las c o n d ic io n e s in ic ia le s dadas. Se p u e d e n o b s e rv a r dos e sce na rios b á sico s p o s ib le s en las e cu acio ne s [1 2 ] y [1 3 ] en fu n c ió n de lo s tam a ño s re la tiv o s de a y cúq ((lo s cuales e stán d e te rm in a dos p o r los v a lo re s de R, L y Q . S i a > u>o, s i y s2 serán n ú m e ro s re ale s, lo que c o n d u c e a lo q u e se c o n o c e c o m o respuesta sobreamortiguada. E n el caso c o n tra rio , d o n d e a < cúq, ta n to s i c o m o ¡ 2 te n d rá n c o m p o n e n te s im a g in a rio s d ife re n tes d e cero, lo q u e c o n d u c e a lo que se c o n o c e c o m o respuesta subamortiguada. A m b a s s itu a cio n e s se c o n s id e ra n p o r separado en las secciones s ig u ie n te s , ju n to co n e l caso e sp e c ia l en e l q u e a = coo, que lle v a a lo q u e se c o n o c e c o m o res puesta críticamente amortiguada. Se debe o b s e rv a r ta m b ié n q u e la respuesta g e n e ra l c o m p re n d id a en las e cu a cio n e s [9 ] a [1 3 ] d e s c rib e n o s o la m e n te la te n s ió n s in o ta m b ié n la s tre s c o rrie n te s en las ram as d e l c irc u ito RLC en p a ra le lo ; desde lu e g o , las constantes A\ y A 2 serán d ife re n te s e n tre sí.
EJEMPLO 9.1 C o n s id e r a r u n c ir c u it o RLC e n p a r a le lo q u e tie n e u n a in d u c ta n c ia de 10 m H y u n a c a p a c ita n c ia d e 100 // F. D e t e r m in a r lo s v a lo re s d e r e s is te n c ia q u e lle v a r í a n a q u e e l c ir c u it o t u v ie r a u n a re s p u e s ta sob r e a m o r tig u a d a y s u b a m o rtig u a d a . P rim e ro se c a lc u la la fre c u e n c ia de re s o n a n c ia d e l c irc u ito :
1 CÚQ
(10 x 10-3)(100 x 10- 6)
= 103 ra d/s
Se te n d rá u n a re spu esta sobreamortiguada s i a > cúo; u n a subamortiguada si a < cúq . P o r lo ta n to ,
1 2 RC
> 10á
p o r lo que
R <
1 ( 2000)(100 x 10- 6)
r <5a co n d u c e a u n a re spu esta s o b re a m o rtig u a d a ; R > 5 Q, c o n d u c e a u n a respuesta s u b a m o rtig u a d a .
P R Á C T I C A a_______________________________________________ 9.1 U n c irc u ito RLC e n p a ra le lo c o n tie n e u n a re s is te n c ia de 100 £2 c o n va lo re s de p a rá m e tro s a = 10 0 0 s_ I y a>o = 8 0 0 ra d /s . D e te rm in a r: (a) C ; ( b) L\ (c ) s i; (d) s2. Respuestas: 5 /z F ; 312.5 mH; —400 s *; —1 6 0 0 s '.
3 1 4 )---------------
V W ------------------------------- •
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
9.21CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUAPO U n a c o m p a ra c ió n d e las e cu a cio n e s [101 y [1 1 ] m u e s tra q u e a será m a y o r q u e cüq s i LC > 4 R2C2. E n este caso, e l ra d ic a l u tiliz a d o en e l c á lc u lo de.?i y s 2 será re a l, así q u e í í y ,?2 ta m b ié n lo serán. A d e m á s , las s ig u ie n te s d esig u a ld a d e s
Je ■2
Ü)n < Oí
-
( - a - j a 2 -a > lj < ( - a + y 'a 2 -
* ' 6 £2 <
1
¿4
7H «]
I F IG U R A 9 .2 Circuito RLCen paralelo utilizado como ejemplo numérico. El circuito está sobreamortiguado.
<0
se a p lic a ría n a las e cu acio ne s [1 2 ] y [1 3 ] p a ra m o s tra r q u e ta n to í í c o m o s 2 son n ú m e ro s reales negativos. D e ta l m a n e ra , la respuesta v(t) se e xp re sa c o m o la sum a a lg e b ra ic a d e dos té rm in o s e x p o n e n c ia le s d e cre cie n te s q u e tie n d e n a c e ro c u a n d o a u m e n ta e l tie m p o . E n re a lid a d , p u e sto que e l v a lo r a b s o lu to de ,?2 es m a y o r q ue e l de s i, e l té rm in o que c o n tie n e a s 2 tie n e u n a tasa de re d u c c ió n m ás rá p id a , y p ara v a lo re s de tie m p o g ran d es la e x p re s ió n lím ite se e s c rib iría c o m o
v(t) —> A \e s,r —y 0 c o m o í —v oo E l s ig u ie n te paso c o n s is te en d e te rm in a r las con sta nte s a rb itra ria s A i y A 2 s eg ún las c o n d ic io n e s in ic ia le s . S e e lig e u n c irc u ito RLC en p a ra le lo c o n /? = 6 £ 2 ,L = 7 H y , p a ra s im p lific a r e l c á lc u lo , C = ^ F. E l a lm a c e n a m ie n to de e ne rg ía in ic ia l se e sp e c ifica m e d ia n te u n a te n s ió n in ic ia l en e l c irc u ito u ( 0 ) = 0 y u n a co rrie n te de in d u c to r in ic ia l ¿(0) = 10 A , d o n d e v y i se d e fin e n e n la fig u ra 9.2. Se d e te rm in a ría n c o n fa c ilid a d lo s v a lo re s de v a rio s p a rá m e tro s
a = 3 .5 5] = —1
coo — \/6 (to d o s *) S2 = —6
y de in m e d ia to se e s c rib iría la fo rm a g e n e ra l d e la re spu esta n a tu ra l:
v(t) = A ¡e~' + A2e~6t
[1 4 ]
Cálculo de los valores de Ai y A 2 S ó lo resta la e v a lu a c ió n de las dos constantes A ¡ y A 2. S i se c o n o c ie ra la respuesta v(t) en dos v a lo re s d ife re n te s d e l tie m p o , tale s v a lo re s p o d ría n s u s titu irs e en la e c u a c ió n [1 4 ], d e m o d o q u e A i y A 2 se d e te rm in a ría n s in n in g ú n p ro b le m a . S in e m b a rg o , se c o n o c e s ó lo u n v a lo r in s ta n tá n e o d e v(t ),
v(0) - 0 y, p o r lo ta n to , 0 = A i + A2
[1 5 ]
Se p uede o b te n e r u n a segunda e c u a c ió n q u e re la c io n a A i y A 2 s i se to m a la d e riv a d a de v(t) c o n re s p e cto a l tie m p o en la e cu a c ió n [1 4 |, se d e te rm in a e l v a lo r in ic ia l de la d e riv a d a m e d ia n te el u so de la c o n d ic ió n in ic ia l re s ta n te í( 0 ) = 10 y se ig u a la n lo s re s u lta d o s. D e esta fo rm a , a l d e riv a r am bo s la d o s de la e cu a c ió n [1 4 ] se tie n e dv
—
dt
=
— A ¡e
y a l e v a lu a r la d e riv a d a en t = 0 ,
,
,
— 6 A 2e
SECCIÓN 9.2 CIRCUITORLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO
-------------------------------------
W V
--- (
se o b tie n e u n a segunda e cu a c ió n . S i b ie n esta fo r m a parece ser ú til, n o se tie n e un v a lo r n u m é ric o d e l v a lo r in ic ia l de la d e riv a d a , p o r lo q u e n o se d is p o n e to d a v ía de d os e cu acio ne s c o n dos in c ó g n ita s .. . ¿O sí? L a e x p re s ió n d v/d t s u g ie re u n a c o rrie n te de c a p a c ito r, p u e sto que „dv lC =
€ d¡
L a le y de K ir c h h o ff de c o rrie n te debe c u m p lirs e en c u a lq u ie r in s ta n te de tie m p o , y a que se fu n d a m e n ta en la c o n s e rv a c ió n de e le c tro n e s. D e ta l m o d o , se p o d ría e s c rib ir —i'c(O ) + i (0 ) + ír (0 ) = 0 A l s u s titu ir n u e stra e x p re s ió n p ara la c o rrie n te d e l c a p a c ito r y a l d iv id ir e ntre C , se tie n e
dv dt
ic(0)
¡ ( 0 ) -H i//(O)
para especificar totalmente la respuesta. Una de ellas
m
c
1=0
En las demás explicaciones relativas a los circuitos
RLCsiempre se requerirán dos condiciones inicíales
: 4 2 0 V /s
casi siempre será muy fácil de aplicar, ya sea una ten sión o una corriente en t = 0. La segunda condición
p ue sto q ue la te n s ió n in ic ia l c e ro e n la re s is te n c ia re q u ie re de u n a c o rrie n te in i c ia l c e ro a tra vé s de e lla . E n con secue ncia , se tie n e la seg un da e cu a c ió n , 4 2 0 = - A i - 6A 2
[1 6 ]
y la s o lu c ió n s im u ltá n e a de las e cu acio ne s [1 5 ] y [1 6 ] p ro p o rc io n a dos a m p li tudes A i = 8 4 y A 2 = —84. P o r lo ta n to , la s o lu c ió n n u m é ric a fin a l de la res pue sta n a tu ra l de este c irc u ito es
v(t) = 8 4 (é T ' - e~6t) V
suele provocar un poco de problemas. Aunque a menudo se tendrá a disposición una corriente inicial, una de ellas se necesitará aplicar de manera indirecta a través de la derivada de la solución supuesta.
[1 7 ]
EJEMPL O 9.2
Encontrar una expresión válida de v d t ) para t > 0 en el circuito de la figura 9.3a. 300 fi
(b) ■ FICURA 9.3 (o) Circuito RLCque se convierte en uno sin fuente en t = 0. (6) El circuito en t > 0, en el que la fuente de 150 V y la resistencia de 300 £2 se han cortocircuitado por medio del interrup tor, por lo que no son relevantes para vc.
Identificar el objetivo del problema. Se s o lic ita e n c o n tra r la te n s ió n en el c a p a c ito r después de que se d is p a ra e l in te rru p to r. E s ta a c c ió n tra e c o m o c o n se cu e n cia que n in g u n a fu e n te p e r m a n e zc a co n e c ta d a a l in d u c to r o a l c a p a c ito r; p o r lo ta n to , se espera que e l v a lo r de i ¡c d e c a ig a c o n e l tie m p o . (Continúa en la siguiente página)
325
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
Recopilar la información conocida. D espués de q u e se d is p a ra e l in te rru p to r, e l c a p a c ito r se d e ja en p a ra le lo c o n u n a re s is te n c ia de 2 0 0 f i y u n in d u c to r de 5 m H (fig u ra 9 .3 b). P o r ende, a = I ¡2RC = 1 2 5 0 0 0 s - 1 , « o = 1/ v T C = 100000 ra d /s , ^ = —a + J a ~
- 5 0 0 0 0 s - i y s2 == —a ■ Jx2 ■Cúl = - 200000 s - 1 . Elegir la técnica disponible que se ajusta más al problema. P uesto q u e a > coq, e l c irc u ito está s o b re a m o rtig u a d o , p o r lo que se espera u n a te n s ió n en e l c a p a c ito r de la fo rm a ,
vc (t) =
+ A 2eS2t
Se co n o c e e l v a lo r de í í y s2', es n e c e s a rio o b te n e r y s o lic ita r dos c o n d i c io n e s in ic ia le s a fin de d e te rm in a r A\ y A2. P ara lle v a r a cab o esta tarea se a n a liz a rá e l c irc u ito en t = 0 “ (fig u ra 9 .4 a ) p a ra e n c o n tra r iL{0 _ ) y i> c (0 ~ ). Se a n a liz a rá e nton ces el c irc u ito en t = 0 + s u p o n ie n d o que n in g u n o de lo s v a lo re s se m o d ific a .
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado.
A p a rtir de la e c u a c ió n 9 .4 a , en la q u e se s u s titu y ó e l in d u c to r c o n u n c o r to c irc u ito y e l c a p a c ito r c o n u n c irc u ito a b ie rto , se p u e d e o b s e rv a r que 150
íl (O " ) =
200 + 300
wc ( 0 - ) = 150
= —3 0 0 m A
200 200 + 300
= 60 V
300 fi
¿ t(0 + )=iL
= -0.3 A
(b) F IG U R A 9 .4 (o) Circuito equivalente en t = CT. (6) Circuito equivalente en t = 0+ , que se dibujó utilizando fuentes ideales para representar la corriente ¡nidal en el inductor y la tensión inicial en el capacitor.
SECCIÓN 9.2 CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO
E n la fig u ra 9Ab se d ib u ja e l c irc u ito en t = 0 + , q ue , p o r s im p lic id a d , re prese nta la c o rrie n te en e l in d u c to r y la te n s ió n en el c a p a c ito r c o n fue nte s id e a le s . P ue sto que n in g u n o puede c a m b ia r en u n tie m p o c e ro , se sabe que u c ( 0 + ) = 6 0 V.
Determinar si se requiere información adicional. Se tie n e la e c u a c ió n de la te n s ió n d e l c a p a c ito r: vc(t ) = A¡e 500l|l|;TA2e 200°00'. Se sabe q u e vc (0) = 6 0 V , p e ro aún se re q u ie re u n a te rce ra e cu a c ió n . D e riv a n d o la e c u a c ió n que e xp re sa la te n s ió n en e l ca p a c ito r,
dt
= - 5 0 0 0 0 A ]e ~ 5000°f - 2 0 0 0 0 0 A 2í'~ 2000°0r
q ue p u e d e re la c io n a rs e c o n la c o rrie n te en el c a p a c ito r c o m o ic = C{dvc /dt). R e g re sa n d o a la fig u ra 9.4-b, m e d ia n te L K C se sabe que ic {0 + ) = ~ íl (0 + ) - iR(0+) = 0 . 3 - {l> c (0 + ) / 2 0 0 } = 0.
Intentar resolver. M e d ia n te la a p lic a c ió n de la p rim e ra c o n d ic ió n in ic ia l, se o b tie n e
vc (0) = A i + A 2 = 6 0 y, p o r m e d io de la a p lic a c ió n de la segunda c o n d ic ió n in ic ia l se o b tie n e ,
ic{0 )
= - 2 0 X 10 9( 5 0 000,4, + 2 0 0 0 0 0 A 2) = 0
D e s p e ja n d o , A i = 8 0 V y A 2 = - 2 0 V, p o r lo q u e vc(t) = 8 0 e ~ 50 000r 20r 200000í V , í > 0 .
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? A l m e n o s, es p o s ib le c h e c a r la s o lu c ió n en t = 0, v e rific a n d o que Vc(0 ) = 6 0 V. D e riv a n d o y m u ltip lic a n d o p o r 2 0 x 10 9, se p ue de ta m b ié n c o n s ta ta r q u e ic (0) = 0 .
P R Á C T I C A g______________________________________________________________ 9.2 D espués de estar a b ie rto dura n te m u c h o tie m p o , el in te rru p to r de la fig u ra 9 .5 se c ie rra en t = 0. D e te rm in a r (a) iL(0 “ ) ; (b) v d 0 _ ) ; ( c) ír (0 + ); (¿í) ic (0+ ) ; ( e ) uc ( 0 . 2).
Respuestas: 1 A; 48 V; 2 A; - 3 A; -1 7 .5 4 V.
»
A A /V
©
AA/V
■«
CAPITULO 9
CIRCUITORLC
C o m o se o b s e rv ó antes, la fo rm a de la respuesta s o b re a m o rtig u a d a se a p lic a a c u a lq u ie r c a n tid a d de te n s ió n o c o rrie n te , c o m o se e stu d ia rá en e l e je m p lo sig u ie n te .
EJEMPLO 9.3 E l c ir c u it o d e la f ig u r a 9.6a se p u e d e s im p lif ic a r a u n c ir c u it o RLC en p a r a le lo d e s p u é s de t = 0. D e t e r m in a r la e x p re s ió n de la c o r r ie n te iR de la re s is te n c ia q u e sea v á lid a p a r a c u a lq u ie r tie m p o . 2 k f2
12 mH
2 pF
(a) 2 kí >
4V
(b)
« o+)
= 3 .7 5 V
= 125 /¿ A
(c) I F IG U R A 9 . 6 (o) Circuito para el que se requiere de íg. (b) Circuito equivalente de f = O- , (c) Circuito equivalente de t = 0+ .
S i e l c irc u ito después de t > 0 es s o b re a m o rtig u a d o , se espera u n a respuesta de la fo rm a
iR(t) = Aies'‘ + A2eS2t,
t> 0
[1 8 ]
P ara t > 0, se tie n e u n c irc u ito RLC en p a ra le lo c o n R = 3 0 k f i , L = 12 m H y C = 2 pF. A s í, a = 8 .3 3 3 x 10 6 s " 1 y o;0 = 6 .4 5 5 x 10 6 rad/s. P o r lo ta n to , se espera u n a re spu esta s o b re a m o rtig u a d a c o n í | = —3 .0 6 3 x 10 6 s“ ! y í2 = - 1 3 . 6 0 x I O S " 1. P ara d e te rm in a r lo s v a lo re s n u m é ric o s de A \ y Ai, p rim e ro se a n a liz a e l c irc u ito en t = 0 _ , c o m o se p u e de v e r en la fig u ra 9 .6 b. Se o b s e rva que iL(0 ~ ) = iR(0 “ ) = 4 / 3 2 x 10 3 = 125 fiA, y vc (0~) = 4 x 3 0 /3 2 = 3 .7 5 V . A l d ib u ja r e l c irc u ito en t = 0 + (fig u ra 9 .6 c ), s ó lo se sabe que iLm = 125 fiA y u c ( 0 + ) = 3 .7 5 V . S in e m b a rg o , p o r m e d io de la le y de O h m se p u e de c a lc u la r ¿«(0+ ) = 3 .7 5 /3 0 x 10 3 = 125 fiA , la p rim e ra c o n d ic ió n in ic ia l. A s í, i R (0) = A i + A 2 = 1 2 5 x 1 0 - 6
[1 9 ]
SECCIÓN 9.2
CIRCUITORLC ENPARALELOSOBREAMORTIGUADO *
■^VY
¿ C ó m o se o b tie n e una segunda c o n d ic ió n in ic ia l? S i se m u ltip lic a la e cu a c ió n [1 8 ] p o r 30 x 103, se o b tie n e una e x p re s ió n p a ra vc(t). S i se c a lc u la la d e riv a d a y se m u ltip lic a p o r 2 p F se o b tie n e la e x p re s ió n de ic(t):
ic = C — = (2 dt
10-1 2 )( 3 0 x 10 3) ( A 1í 1eSlí + A2s2eSlt)
x
P o r m e d io de L K C , ¿ c ( 0 + ) = íl (0+) - ¿ * ( 0+ ) = 0 P o r lo ta n to . - ( 2 x 10
)( 3 0 x 10 )(3 .0 6 3 x 10bA i + 1 3 .6 0 x 10bA 2) = 0
[2 0 ]
R e s o lv ie n d o las e cu a cio n e s [1 9 ] y [2 0 ], se tie n e q u e A ( = 1 6 1 .3 / ¿ A y A2 = —3 6 .3 4 ¡iA. P o r ende,
IR
125 fiA, 1 6 1 .3 c -3.063 x l0 6r
3 6.34 e -13.6xl06; íiA,
t < o t > o
PRACTICA
4 pF
9.3 D e te rm in a r la c o rrie n te iR q u e c irc u la p o r la re s is te n c ia de la fig u ra 9.7 para í > 0 s i iL{0 _ ) = 6 A y v c ( 0 + ) = 0 V . N o se sabe c u á l e ra la c o n fig u ra c ió n d e l c irc u ito antes de t = 0 . R e sp u e sta : iR(t) = 6 . 0 0 8 ( í r 8•328xlol0, - e - 6'0 03xl°7f) A , t > 0.
Representación gráfica de la respuesta sobreamortiguada Se regresa a h o ra a la e cu a c ió n [1 7 ] y se o b s e rv a la in fo rm a c ió n a d ic io n a l que se puede d e te rm in a r re s p e cto de este c irc u ito . Se p uede in te rp re ta r e l p rim e r té r m in o e x p o n e n c ia l c o m o s i tu v ie ra u na con sta nte de tie m p o de 1 s, y la o tra e x p o n e n c ia l, c o m o s i la tu v ie ra | de s. C ada u n o e m p ie z a c o n a m p litu d u n ita ria , aunque e l ú ltim o decae c o n m a y o r ra p id e z ; v(t ) n u n ca es n e g a tiv a . C u a n d o el tie m p o se v u e lv e in fin ito , cada té rm in o tie n d e a c e ro , y la re spu esta m is m a se desvanece, c o m o debe ser. P o r lo ta n to , se tie n e u n a c u rv a de respuesta que es c e ro en t = 0 , c e ro en t = oo, y n u n ca es n e g a tiv a ; p u e sto que n o es c e ro en to dos lad o s, debe p o s e e r a l m e no s u n m á x im o , e l c u a l n o es u n p u n to d if í c il de d e te rm in a r c o n e x a c titu d . Se d e riv a la respuesta:
dv dt
— = 8 4 ( —e
,
+ 6e
c,
)
se ig u a la la d e riv a d a a c e ro p a ra d e te rm in a r e l tie m p o tmcon e l c u a l la te n s ió n se v u e lv e m á x im a :
0 = -e~ 'm + 6e~óím s im p lific a n d o ,
e5tm = 6 y se o b tie n e
tm = 0.358 s
I F IG U R A 9 .7 Circuito del problema de práctica 9.3.
CAPÍTULO9 CIRCUITORLC
AA/V
y
v(tm) = 4 8 .9 V Se p uede e la b o ra r u n d ib u jo ra z o n a b le de la respuesta g ra fic a n d o lo s dos té rm in o s e xp on en ciale s 8 4 e - í y 84e “ 6f para después to m a r su d ife re n c ia . L a u tilid a d de esta té c n ica se in d ic a m e d ia n te las curva s de la fig u ra 9 .8 ; las dos e xp o n e n cia le s corre s p o n d e n a trazas delgadas, y su d ife re n c ia , la respuesta to ta l v(t), se d ib u ja c o m o u n a tra z a a c o lo r. L as c u rva s v e rific a n ta m b ié n q u e e l c o m p o rta m ie n to fu n c io n a l d e v(t) p a ra t es m u y g ra n d e , de 8 4 e - f , e l té rm in o e x p o n e n c ia l c o n tie n e la m a g n itu d m ás peq ue ña de.v¡ y s2.
iit) (V) i(0) = 10 A 80
t<0) = 0 a = 3.5
&)0 = Vó
60
Sobreamortiguado 40 20
■ F IG U R A 9 .8 Respuesta v(t) = 84(e- í -
*** * '
e~&) de la red que se muestra en la figura 9.2.
U n a p re g u n ta q u e se p la n te a c o n fre c u e n c ia se re fie re a l tie m p o q u e tra n s c u rre en re a lid a d p a ra q u e d esap arezca (o se “ amortigüe” ) la p a rte tra n s ito ria d e la re s p u e s ta . E n la p r á c tic a , m u c h a s v e c e s r e s u lta d e s e a b le c o n s e g u ir q u e e sta re spu esta tra n s ito ria tie n d a a c e ro ta n rá p id o c o m o sea p o s ib le ; e sto es, se debe m in im iz a r e l establecimiento del tiempo t¡¡. E n te o ría , desde lu e g o , ts es in fin ito d e b id o a q u e v(i) n u n ca se esta ble ce c o m o c e ro en un tie m p o fin ito . S in e m b a rg o , una respuesta d e s p re c ia b le se p re se n ta lu e g o de que se e s ta b le c ió la m a g n itu d de v(t) en v a lo re s que p e rm a n e ce n m e no re s a 1% de su v a lo r a b s o lu to m á x im o \vm\. Se d e fin e e l tie m p o q u e se re q u ie re p a ra que e sto o c u rra c o m o e l tie m p o d e e s ta b le c im ie n to . P u e sto q u e \vm\ = vm = 4 8 .9 V e n e l e je m p lo , e l tie m p o de e s ta b le c im ie n to es e l n e c e s a rio p a ra q ue la re spu esta d is m in u y a h asta 0 .4 8 9 V. A l s u s titu ir este v a lo r de v(t) en la e cu a c ió n [1 7 ] e ig n o ra r e l se g u n d o té rm in o e x p o n e n c ia l, q u e se sabe q u e es p o s ib le o m itir e n este caso, se e n c u e n tra q u e e l tie m p o d e e s ta b le c im ie n to c o rre s p o n d e a 5 .1 5 s.
EJEMPLO 9.4 E n t > 0 . la c o r r ie n te q u e c ir c u la p o r u n c a p a c ito r d e u n c ie r to c ir c u it o RLC e n p a r a le lo s in fu e n te e stá d a d a p o r 'fvY/) = 2e~2' — 4e~‘ A . G r a f ic a r la c o r r ie n t e e n e l ra n g o 0 < t < 5^y d e t e r m in a r e l tie m p o d e e s ta b le c im ie n to . P rim e ro se g ra fic a n lo s dos té rm in o s , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 9 .9 , y lu e g o se re sta n p a ra e n c o n tra r idt). E s c la ro q u e e l v a lo r m á x im o es | —2| = 2 A . P o r lo ta n to , es n e c e s a rio e n c o n tra r e l tie m p o en e l q u e \ic I h a d is m in u id o a 2 0 m A , o 2e~2t' - 4e~'s =
-0.02
[21]
SECCIÓN 9.2 CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO
ic(i) (A ) 4
3 2
0
4
5
t (s)
-1 -2r ■ F IG U R A 9 . 9 La respuesta de corriente ¡c(fí = 2e_2í - 4e _f A, dibujada junto con sus dos componentes.
E sta e cu a c ió n p u e d e re s o lv e rs e p o r m e d io de u n a ru tin a ite ra tiv a de s o lu c ió n en u n a c a lc u la d o ra c ie n tífic a , que p ro p o rc io n a la s o lu c ió n ts = 5 .2 9 6 s. S in e m b a rg o , s i d ic h a o p c ió n n o se e n c u e n tra d is p o n ib le , se p ue de a p ro x i m a r la e c u a c ió n [ 21 ] p a ra t > ts c o m o
—4e~r' = -0.02
[22]
R e s o lv ie n d o , [2 3 ] lo c u a l re prese nta u n re s u lta d o ra z o n a b le m e n te c e rca n o (m e jo r a 0 . 1% en e x a c titu d ) a la s o lu c ió n exacta.
PRÁCTICA -----------------•-----------------------------------------------------------------------9 .4 (a) G ra fic a r la te n s ió n vr (i) = 2e ' — 4 e _3í V en e l in te rv a lo de 0 < t < 5 s. (b) E s tim a r e l tie m p o de e sta b le c im ie n to , (c ) C a lc u la r e l v a lo r m á x im o p o s itiv o y e l tie m p o en e l que éste se presenta. Respuesta: (á) Vea la figura 9.10; (b) 4.605 s; (c) 544 mV, 896 ms.
1.0 0.5
0 -0.5 -
1.0
1.5
#■
A /W
AA/V
9
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
9.3 AMORTIGUAMIENTO CRITICO
• ------------------------------------------------------------------------E l caso s o b re a m o rtig u a d o se c a ra c te riz a p o r
a > a>o o
LC > 4R2C2 "Imposible" es un térm ino bastante fuerte. Se afirma lo anterior debido a que en la práctica resulta inusual obtener componentes que estén más cerca de 1% de sus valores especificados. De tal manera, obtener
Lprecisamente igual a 4R2C resulta en teoría posi ble, aunque no muy probable, incluso si se está dis puesto a medir una gaveta llena de componentes hasta que se encuentren los correctos.
y da lu g a r a v a lo re s re ale s n e g a tiv o s p a ra ¿i y s2, adem ás de u n a respuesta e x p resada c o m o la sum a a lg e b ra ic a de dos e x p o n e n c ia le s n e g a tiv a s . Se a ju stan a h o ra lo s v a lo re s de lo s e le m e n to s hasta q u e aya>o sean ig u a le s . E s un caso m u y e s p e c ia l q u e re c ib e e l n o m b re de amortiguamiento crítico. S i se tra ta ra de c o n s tru ir u n c irc u ito RLC e n p a ra le lo q u e e s tu v ie ra c rític a m e n te a m o r tig u a d o , se in te n ta ría u n a tarea en e se ncia im p o s ib le , pues n u n c a se p o d ría lo g ra r que a fu e ra e x a c ta m e n te ig u a l a coq. S in e m b a rg o , p a ra c o m p le ta r e l te m a se e x p lic a rá e l c irc u ito c rític a m e n te a m o rtig u a d o , y a q u e m u e s tra u n a tra n s ic ió n in teresan te e n tre el s o b re a m o rtig u a m ie n to y e l s u b a m o rtig u a m ie n to . E l a m o rtig u a m ie n to c rític o se o b tie n e c u a n d o
a = coo LC = 4 R2C2 L = 4 R2C
am ortiguam iento c ritico
Se lo g ra u n a m o rtig u a m ie n to c rític o a l c a m b ia r e l v a lo r de c u a lq u ie ra de lo s tre s e le m e n to s d e l e je m p lo n u m é ric o q u e se e x p u s o a l p r in c ip io de la s e c c ió n 9 .1 . Se e le g irá R y se a u m e n ta rá su v a lo r h asta q u e se o b te n g a e l a m o r tig u a m ie n to c rític o , y lu e g o , se d e ja rá a coo in a lte ra d a . E l v a lo r n e c e s a rio de R es 7 V ó / 2 f i ; L s ig u e s ie n d o 7 H y C se m a n tie n e e n ^ F. A s í, se tie n e que
a = a>o = V 6 s _1 Sj = S2 = — V ó S- 1
y re c u e rd e las c o n d ic io n e s in ic ia le s q u e se e s p e c ific a ro n , u ( 0 ) = 0 e ¿(0 ) = 10 A .
Forma de una respuesta críticamente amortiguada Se procede a tra ta r de c o n s tru ir u n a respuesta c o m o la sum a de dos e xp o n e n cia le s, u ( í ) = A i e - ^ + A1e - Jh la c u a l se p o d ría e s c rib ir c o m o
v(t) = A3e - ^ ‘ E n este p u n to , a lg u ie n se p o d ría s e n tir p e rd id o . Se tien e una respuesta que c o n tie n e s ó lo u n a constante a rb itra ria , p e ro h a y dos co n d ic io n e s in ic ia le s , v(0) = 0 e ¿(0) = 1 0 am peres, y ambas deben ser satisfechas p o r esta constante. S i se e lig e A 3 = 0, entonces v(t) = 0, lo cua l re s u lta co n g ru e n te c o n la te n s ió n in ic ia l d e l ca p acitor. S in em ba rg o, aunque no h a y energía alm acenada en e l c a p a c ito r en í = 0 + , se tie n e 3 5 0 J de energía alm acenada in ic ia lm e n te en e l in d u c to r, la c u a l o rig in a rá u na co rrie n te tra n s ito ria que flu irá h a c ia fu e ra d e l in d u c to r y p ro p ic ia rá u n a te n s ió n d is tin ta de cero en los tres elem entos. L o a n te rio r parece estar en c o n flic to d ire c to c o n la s o lu ció n propuesta.
SECCIÓN 9.3 AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
Los cálculos matemáticos y planteamientos eléctricos fueron intachables; por lo tanto, si no ha sido un error lo que provocó las dificultades, se debió haber empezado con un supuesto incorrecto, y sólo se formuló uno. Se infiere al prin cipio que la ecuación diferencial podría resolverse suponiendo una solución ex ponencial, lo cual resultó incorrecto para este caso especial simple de amor tiguamiento crítico. Cuando a = cúq, la ecuación diferencial, ecuación [4], se convierte en: d 2v dv 2 -r-r + 2 a — + a v = 0 d t2 dt La solución de esta ecuación no es un proceso muy complejo, pero no se va a desarrollar aquí, ya que es de tipo normal y se encuentra en los textos comunes de ecuaciones diferenciales. La solución es: v = e - at(A 1í + A 2)
[24]
Debe observarse que la solución sigue expresándose como la suma de dos tér minos, donde uno es la familiar exponencial negativa y el otro es í veces una ex ponencial negativa. Se puede observar que la solución contiene las dos constantes arbitrarias esperadas.
Cálculo de los valores de di yA 2 Se completará el ejemplo numérico. Luego de sustituir el valor conocido de a en la ecuación [24], se obtiene v = A i t e ^ + A2
+ A ie
se evalúa en t = 0: dv d t t=o
= Al
y se expresa la derivada en términos de la corriente inicial en el capacitor: dv dt
ic (0) ,= 0
C
Í r (0)¿(0) C
C
donde las direcciones de referencia de ic, ír e i son las definidas en la figura 9.2. En consecuencia, A i = 420 V La respuesta es. por lo tanto: v (t) = 420te~ 2A5t V
[2 5 ]
• -------------------------
V A -------------(
333
A A /V
•
CAPITULO 9 CIRCUITO /?¿C
Representación gráfica de la respuesta críticamente amortiguada Antes de graficar en detalle esta respuesta, se tratará de anticipar otra vez su forma mediante un razonamiento cualitativo. El valor inicial especificado es cero, que coincide con la ecuación [25]. No se manifiesta de inmediato que la respuesta tienda también a cero cuando t se vuelve infinitamente grande, debido a que te~2A5t es una forma indeterminada. Sin embargo, este obstáculo se supera con facilidad mediante el empleo de la regla de L’Hópital, la cual establece que t . _ 1 . lím v(t) = 420 lím ,2.45 1 = 420 lím r— c er^oo 2.45e
=
0
y una vez más se tiene una respuesta que empieza y termina en cero y que tiene valores positivos en todos los demás tiempos. U n valor máximo vm ocurre otra vez en el tiempo en nuestro ejemplo: tm = 0.408 s
y
i>m = 6 3 .1 V
Este máximo es mayor que el que se obtuvo en el caso sobreamortiguado, y además es una consecuencia de las pérdidas más pequeñas que ocurren en una resistencia más grande; el tiempo de la respuesta máxima es un poco mayor que el correspondiente al sobreamortiguamiento. El tiempo de establecimiento tam bién se determinaría resolviendo Vm
Toó
= 420t.e - 2 .4 5 ts
para ts (mediante métodos de ensayo y error, o con una rutina SOLVE de calcu ladora): ts = 3.12 s
\
que es un valor mucho más pequeño que el que resulta en el caso sobreamor tiguado (5.15 s jl. En realidad, se demuestra que, para valores dados de L y C, la selección del valor de R que proporcione amortiguamiento crítico siempre dará un tiempo de establecimiento más breve que cualquier elección de R que pro duzca una respuesta sobreamortiguada. Sin embargo, se obtendría una ligera mejora (reducción) del tiempo de establecimiento mediante un pequeño au mento en la resistencia; una respuesta ligeramente sobreamortiguada tal que no alcanzaría al eje cero antes de desvanecerse provocará que el tiempo de estableci miento sea más breve. *í)(V)
t ( s)
■ F IG U R A 9 .11 Respuesta i/(f) = 420fe_245í de la red que se presenta en la figura 9.2, con R m odificada para proporcionar am ortiguam iento crítico.
SECCIÓN 9.3 AMORTIGUAMIENTO CRITICO
*
w v
L a c u rv a de re spu esta d e l a m o rtig u a m ie n to c r ític o q ue se d ib u ja en la fig u ra 9.11 p u e d e c o m p a ra rs e c o n e l caso s o b re a m o rtig u a d o (y s u b a m o rtig u a d o ) de la fig u ra 9 .1 6 .
EJEMPLO S e le c c io n a r e l v a lo r d e R\ t a l q u e e l c ir c u it o d e la f ig u r a 9 .1 2 e sté c a r a c te r iz a d o p o r u n a re s p u e s ta c r ític a m e n te a m o r tig u a d a e n t > 0 , y u n v a lo r d e R i t a l q u e t ( 0 ) = 2 V .
■ FIGURA 9.12 Circuito que se simplifica a un circuito RLCen paralelo después de que se active el interruptor.
Se p u e de o b s e rv a r q u e e n í = 0 “ la fu e n te de c o rrie n te está e n c e n d id a y e l in d u c to r p u e de tra ta rs e c o m o u n c o rto c irc u ito . P o r ende, la te n s ió n en R2 es u (0 ~ ) y está dada por,
v(0~) = 5R2 y se debe s e le c c io n a r R%c o n u n v a lo r d e 4 0 0 m£2 p a ra o b te n e r i>(0) = 2 V. D espu és de q u e se a c c io n a e l in te rru p to r, se apaga p o r sí s o la la fu e n te de c o rrie n te y Ri se p o n e en c o rto c irc u ito . L o q u e q u e d a es u n c irc u ito RLC c o m p u e s to p o r R\, u n in d u c to r de 4 H y u n c a p a c ito r de 1 nF. Se p u e de a h o ra c a lc u la r (p a ra t > 0)
1 1 ~ 2 x 1 0 - 9/? i
y
Ü>0 -
i
,------
■Jl c
1 ~~ V 4 x 1 0 - 9 = 15 8 1 0 ra d/s P o r lo ta n to , p a ra e sta b le ce r u n a respuesta c rític a m e n te a m o rtig u a d a en e l c irc u ito p a ra t > 0, es n ecesa rio fija r Ri = 3 1.63 k £ l (N o ta : debido a que se
ha redondeado a cuatro dígitos significativos, una persona exigente puede argumentar con todo el derecho que aún no es exactamente una respuesta amortiguada críticamente, la cual es una situación muy difícil de crear.)
9.5
A /W
9
CAPÍTULO CIRCUITO RLC
PRj VC Tj CA
_________________________________________________
(a) Elegir R\ en el circuito de la figura 9 . 1 3 , de manera que la respuesta después de t = 0 sea críticamente amortiguada. (b) Luego elegir R 2 para obtener u ( 0 ) = 1 0 0 V. (c) Determinar v(t) en t = 1 ms.
9.5
Respuestas: 1 k í2 ; 2 5 0 Í2 ; —2 1 2 V .
9.4 É CIRCUITO RLC EN PARALELO SUBAMORTIGUAPO Continuando con el proceso que se inició en la última sección se incrementará/? una vez más para obtener lo que se denominará una respuesta subamortiguada. De esta forma, el coeficiente de amortiguamiento u disminuye mientras a>oper manece constante, a 2 se hace más pequeña que o j 2 y el radicando que aparece en la expresión de si y S2 se vuelve negativo. Lo anterior provoca que la respuesta tome un carácter muy diferente, aunque por fortuna no es necesario regresar de nuevo a la ecuación diferencial básica. M ediante el uso de números complejos, la respuesta exponencial se convierte en una respuesta senoidal amortiguada que está compuesta en su totalidad por cantidades reales, de modo que las canti dades complejas sólo son necesarias en la deducción.1
Forma de la respuesta subamortiguada Se comienza con la forma exponencial v(t) = A \e Slt + A 2eS2‘ donde: « 1,2 = - a ± y « 2 -
(Oq
y en ese caso, sea Los ingenieros en electricidad utilizan "j" en lugar de
"i" para representar el símbolo V - T y evitar confu siones con las corrientes.
, / a 2 - tog = V = V o > 02 - « 2 =
jy/<4 ~ “ 2
donde j = V - 1Se considera ahora el nuevo radical, que es real para el caso subamortiguado, pero se denominará a>d, la frecuencia resonante natural-. (úd =
y o>0 -
a2
La respuesta se escribiría ahora como v(t) = e~ai (A \e jo)dt + X S t jwJÍ 1 En el apéndice 5 se encuentra un repaso de los números complejos.
[26]
SECCIÓN 9.4 CIRCUITO /?¿C EN PARALELO SUBAMORTICUADO
o, en forma más extensa pero equivalente, ■e í
v (t) = e~ar (A ! + A 2)
aimt _
_ |_ g - j a i d t
+ j ( A 1 — A2)
'
72
Al aplicar las identidades que se describen en el apéndice 5, el primer corchete de la ecuación anteriores exactamente igual a&>¿í, y el segundo, a cü¡¡t. Por con siguiente: v (t) = e~at [(Ai + A2)cos&>áf + j (Ai - A2)sen&>¿í] de esta form a se asignarían nuevos símbolos a los factores multiplicadores: v (t) = e~at (B\ eos a)¿t + B2 s e n ^ í )
[27]
donde las ecuaciones [26] y [27] son idénticas. Tal vez parezca extraño que la expresión haya aparecido originalmente con un componente complejo, y ahora es sólo real. Sin embargo, se debe recordar que se permitió al principio que Ai y A2 fueran complejos, lo mismo qu esi y s2. En cualquier situación, si se está tratando con el caso subamortiguado, se deja ahora a un lado a los números complejos. Lo anterior debe ser cierto, pues a, co¿yt son cantidades reales, por lo que la propia v(t) debe ser una cantidad real (que podría presentarse mediante un osciloscopio, un voltímetro o una hoja de papel gráfico). La ecuación [27] es la forma funcional deseada de la respuesta subamortiguada y su validez se verifica mediante la sustitución dilecta en la ecuación diferencial original; este ejercicio se deja a los incrédulos. Las dos constantes reales B ¡ y B 2 se eligen de nuevo para que se ajusten a las condi ciones iniciales dadas. Ahora se regresará al circuito RLC simple en paralelo de la figura 9.2 con R = 6 Í2, C = 1/4 2 F y L = 7 H, pero se incrementará la resistencia a un valor de 10.5 Í2. Por lo tanto, a = — = 28^ IR C O)o = —tL = = V ó s-1 s/L C
y cúd = tJ cüq — a 2 = V 2 rad/s Salvo por la evaluación de las constantes arbitrarias, en este caso se conoce la respuesta: v(t) = e~2t{Bi eos s / l t + B2sen*/2t)
Cálculo de los valores de B Ty B 2 Para el cálculo de las dos constantes se procede como antes. Si se continúa suponiendo que v(0) = 0 e ¿(0) = 10, entonces B[ debe ser cero. De ahí que v(t) = B 2e~2t se n V 2 t
La derivada es: — = • J lB 2e~lt eos a/2 í — 2B2e~2‘ sen V 2/ at
• ----------
-----------
'V W
— (3 3 7
ÍS 8
--------------
W V
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
y en t = 0 se convierte en ■dv dt
= V 2.B 2 =
= 420
f= 0
donde ic se define en la figura 9.2. Por lo tanto, v(t) = 210\/2e~ 2ísen \/2 f
Representación gráfica de ia respuesta subamortiguada Observar que, como antes, esta función de respuesta tiene un valor inicial de cero, debido a la condición de tensión inicial que se impuso, y un valor final de cero en virtud de que el término exponencial se anula para valores grandes de t. Cuando t aumenta a partir de cero, en pequeños valores positivos, v(t) aumenta como 2 1 0 \/2 s e n \/2 í, pues el término exponencial permanece en esencia igual a la unidad. Pero en cierto tiempo tm, la función exponencial empieza a disminuir más rápido a medida que la función sen \ í l t crece. De tal modo, v(t) alcanza un máximo vm y empieza a disminuir. Es necesario observar que tm no es el valor de t para el cual sen \ /2t es un máximo, sino que debe ocurrir un poco antes de que sen \ í l t alcance su máximo. Cuando t = r t/s /l, v(t) es cero. En consecuencia, en el intervalo tt/V 2 < t < V 2 n la respuesta es negativa, y se vuelve cero de nuevo en t = • J ín . Por consiguiente, v(t) es una función oscilatoria del tiempo y cruza el eje de tiempo un número infinito de veces en í = n rc /sfl, donde n es cualquier entero positivo. Sin embargo, en el ejemplo la respuesta sólo es un poco sub amortiguada. y el término exponencial provoca que la función se desvanezca tan rápido que la mayor parte de los cruces por cero no serán evidentes en el dibujo. La naturaleza oscilatoria de la respuesta se nota más cuando a disminuye. Si a es cero, lo cual corresponde a una resistencia infinitamente grande, entonces v(t) es una senoide subamortiguada que oscila con amplitud constante. Nunca hay un tiempo para el que v{t) se reduzca y permanezca por debajo de 1% de su valor máximo; en consecuencia, el tiempo de establecimiento es infinito, aunque no es el movimiento perpetuo. Se supuso tan sólo una energía inicial en el cir cuito y no se proporcionó ningún medio para disiparla, por lo que se transfiere desde su ubicación inicial en el inductor hasta el capacitor, para luego regresar al inductor, etc., por siempre.
Función de la resistencia finita Una/? finita en el circuito RLC en paralelo actúa como un tipo de intermediario de transferencia eléctrica. Cada vez que la energía se transfiere de L a C o de C aL , el intermediario exige una comisión. En poco tiempo habrá tomado toda la energía, disipando de manera desenfrenada hasta el último joule. L a L y C se quedan sin un joule propio, sin tensión y sin comente. Los circuitos RLC en paralelo reales pueden construirse a fin de que tengan valores eficaces de R tan grandes que se conserve durante años una respuesta senoidal subamortiguada natural, sin suminis trar ninguna energía adicional. Regresando al problema numérico específico, la diferenciación localiza el primer máximo de v(t), vmi = 71.8 V
en
tmi — 0.435 s
el mínimo siguiente, vmi = —0.845 V
en
tm2 = 2.66 s
SECCIÓN 9.4 CIRCUITO RLC EN PARALELO SUBAMORTIGUADO
y así en form a sucesiva. La curva de respuesta se muestra en la figura 9.14, y las curvas de respuesta adicionales de circuitos cada vez más subamortiguados, en la figura 9.15.
m (V)
■ F IG U R A 9 . 1 4 La respuesta v(f) = 2 1 0 \/2 e - J í sen \ / 2f de la red que se muestra en la figura 9.2 con R incrementada para producir una respuesta subamortiguada.
□ ® v U (C 1 : 1 )
Tiem po
I F IG U R A 9 . 1 5 Respuesta a una tensión subamortiguada simulada de una red de tres valores diferentes de resistencia, que muestran un incremento del comportamiento osci'atorio a medida que y? aumenta.
Es posible obtener el tiempo de establecimiento mediante una solución de ensayo y error, y para R = 10.5 Í2, resulta ser de 2.92 s, algo más pequeño que en el amortiguamiento crítico. Obsérvese que ts es mayor que tmi debido a que la magnitud de v„2 es m ayor que 1% de la magnitud de vmr Ello sugiere que una ligera reducción de R disminuiría la magnitud de la distancia al eje y permitiría que ís fuera menor que tmi. Las respuestas sobreamortiguada, críticamente amortiguada y subamortigua da de esta red, según las simula PSpice, se presentan en la misma gráfica de la
• ------------------------------
/V\A/----------------i
339
CAPITULO 9 CIRCUITO RLC
a <, v U ( C 1 : 1 )
Tiendo
■ F IG U R A 9 .1 6 Respuestas de tensión sobreamortiguada, críticamente amortiguada y subamortiguada simu ladas para la red del ejemplo, que se obtienen cuando se modifica el valor de la resistencia R en paralelo.
figura 9.16. Una comparación de las tres curvas hace posibles las siguientes conclusiones generales: •
Cuando el amortiguamiento cambia al incrementar el tamaño de la resisten cia en paralelo, la magnitud máxima de la respuesta resulta mayor y la can tidad de amortiguamiento menor.
•
La respuesta se vuelve oscilatoria cuando se presenta el subamortiguamiento, por lo que el tiempo de establecimiento mínimo se obtiene para un subamortiguaraiento ligero.
D eterm in ar i¡ {t) en el circuito de la figura 9. l ia y graficar la fo rm a de onda. En t = 0 se quitan tanto la fuente de 3 A como la resistencia de 48 £2, con lo cual queda el circuito que se muestra en la figura 9 .17¿>. Por ende, a = 1.2 s-1 y (jOq = 4.899 rad/s. Puesto que a < ooo, el circuito es subamortiguado y, por lo tauto. se espera una respuesta de la forma iL (t) = e~a‘(B] e o s (ú,¡t + B 2 seawdt)
[28]
donde cod = -Jco^ — a 2 = 4.750 rad/s. El único paso que queda es encontrar B \ y B 2. La figura 9 .17c muestra el circuito como está en el tiempo t — 0 . Se pueden sustituir el inductor con un cortocircuito y el capacitor con un cir cuito abierto; el resultado es t>c(0_ ) = 97.30 V e /'¿(O- ) = 2.027 A. Puesto que ninguna cantidad puede modificarse en el tiempo cero, entonces se tiene vc (0+) = 97.30 V e í,.(0+) = 2.027 A. Sustituyendo ¿¿(0) = 2.027 en la ecuación [28] se obtiene B¡ = 2.027 A. Para determinar la otra constante, primero se deriva fa ecuación [28J: _ d iL — -= e ( — B ic o d sena>d t + Bocúd eos o)dt) 1 —ae~ at (B¡ coswdt + B2Sena>dt)
[29]
SECCIÓN 9.4 CIRCUITO RLC EN PARALFLO SUBAMORTIGUADO
(/’A
I F IG U R A 9 .1 7 (o) Circuito RLC en paralelo para el que se desea la corriente ¿(f). (b) El circuito en í > 0. (c) Circuito para determinar las condiciones iniciales.
se puede observar que = L(di¡ j d i ) . Con referencia al circuito de la figura 9.17¿>, se puede observar que i’/ (()1) = i’c (0 '•j = 97.3 V. Por lo tanto, multiplicando la ecuación [29] por L = 10 H y fijando t = 0, se puede ver que
y
vL(0) = 10(Bjcoa) - lO afii = 97.3 Resolviendo, Bo — 2.561 A, de tal forma que iL = e - L2í(2.027 eos 4.75? + 2.561 sen4.75?) A la cual está graficada en la figura 9.18. iL(f)( A )
í(s) I F IG U R A 9 .1 8 Gráfica de ¡L(t), que muestra signos evidentes de ser una respuesta subamortiguada.
#■
A /W
0
A /W
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
PRACTICA 9.6 El interruptor del circuito de la figura 9.19 se ha mantenido en la posición izquierda durante largo tiempo. Se mueve a la derecha en t = 0. Determinar (a) d v /d t en t = 0+ ; (b) v en t = 1 ms; (c) to, el primer valor de t mayor que cero, para el cual v = 0. 50 k£l
5»(-í) V
í=0
— VW3 V-
- 0 2H
io o k n •
■5 0 0 a
10
I F IG U R A 9 .1 9
Respuestas: — 1400 V/s; 0.695 V; 1.609 ms.
A N Á LISIS A SIST ID O POR C O M PU T AD O R A Una característica útil de Probe es su capacidad para efectuar operaciones matemáticas sobre las tensiones y corrientes que resultan de una simulación. En este ejemplo se empleará esa capacidad para mostrar la transferencia de energía en un circuito RLC en paralelo, de un capacitor que almacena ini cialmente una cantidad específica de energía (1.25 /¿J) a un inductor que al principio no contiene energía. Se selecciona un capacitor de 100 nF y un inductor de 7 /¿H, lo cual permite de inmediato calcular íüo = 1.195 x 106 s-1 . Para analizarlos casos so breamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado, es necesario ele gir la resistencia en paralelo, de manera que se obtenga a > a>a (sobreamor tiguado), a = o>o (críticamente amortiguado) y a < a>o (subamortiguado). De las explicaciones anteriores se sabe que para un circuito RLC en paralelo a = {2 R C )~ ]. Se selecciona R = 4.1833 fi como una aproximación cercana al caso críticamente amortiguado; calcular a exactamente igual a coo es en realidad imposible. Si se aumenta la resistencia, la energía que se al macena en los otros dos elementos se disipa con mayor lentitud, lo que causa una respuesta subamortiguada. Se selecciona R = 100 fi de manera que se esté bien dentro de este régimen, y se utiliza R = 1 fi (una re sistencia muy pequeña) para obtener una respuesta sobreamortiguada. En consecuencia, se planea ejecutar tres simulaciones independientes, variando sólo la resistencia R entre ellas. La energía de 1.25 fiJ almacenada en un principio en el capacitor, corresponde a una tensión inicial de 5 V, y así se establece la condición inicial del capacitor. Luego de que se pone en ejecución Probe, se selecciona Add bajo el menú Trace. Se desea graficar la energía almacenada tanto en el inductor como en el capacitor en función del tiempo. Para el capacitor, w = \ C v 2, por lo que se hace clic en la ventana Trace Expression, se teclea “0.5* 100E-9*” (sin las comillas), se hace clic en V(C1:1), y regresando a la ventana Trace Expression, se indica se hace clic de nuevo en V(C1:1) y se selecciona después O k . Se repite la secuencia para obtener la energía que se almacena en el inductor, uti lizando 7E-6 en lugar de 100E-9, y se hace clic en I(L1:1) en lugar de V(C1:1).
SECCIÓN 9.5 CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE
#■
En la figura 9.20 se proporcionan las gráficas de salida Probe de tres simu laciones independientes. En la figura 9.20a se observa que la energía que queda en el circuito se transfiere de manera continua, de ida y vuelta entre el capacitor y el inductor, hasta que (a la larga) se disipe por completo en la resistencia. La disminución de la resistencia hasta 4.1833 £2 produce un cir cuito críticamente amortiguado, lo que origina la gráfica de energía de la figura 9.20¿>. L a transferencia de energía oscilatoria entre al capacitor y el inductor se ha reducido en forma dramática. En su lugar se observa que la energía transferida al inductor tiene un máximo en aproximadamente 0.8 ¡is, y que luego disminuye hasta cero. L a respuesta sobreamortiguada se grafica en la figura 9.20c. Se observa que la energía se disipa con mucha mayor rapidez en el caso de la respuesta sobreamortiguada, y que muy poca energía se transfiere al inductor, pues la mayor parte se disipa ahora en la resistencia. n RLC Circuits {active)
ib)
(a)
tnergy iransfer in KL<_ Cira;
ic) ■ F IG U R A 9 .2 0 Transferencia de energía de un circuito RLCen paralelo con: (a) R = 100 £2 (subamortiguado); (b) R = 4.1833 £2 (críticamente amortiguado); (c) R = 1 Sí (sobreamortiguado).
9.51CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE_____________ Se desea ahora determinar la respuesta natural de un modelo de circuito com puesto por una resistencia ideal, un inductor ideal y un capacitor ideal conectados en serie. La resistencia ideal tal vez represente una resistencia física conectada en un circuito LC o RLC en serie; quizás también represente las pérdidas óhmicas y las pérdidas en el núcleo ferromagnético del inductor, o tal vez se use para repre sentar todos los casos anteriores y otros dispositivos que absorben energía.
A /W
©
3 4 4 ) --------------- W
-
\ --------
•
vc +
CAPÍTULO 9 CIRCUITO /?¿C
El circuito RLC en serie es el dual del circuito RLC en paralelo, así que este simple hecho resulta suficiente para hacer que su análisis sea un asunto trivial. L a figura 9.21a presenta al circuito en serie. La ecuación integrodiferencial fun damental es L —- + R i + — í id t' — vc (ií) = 0 dt C Jt0 y debe compararse con la ecuación análoga del circuito RLC en paralelo, redibujado en la figura 9.21 b, dv 1 1 f1 C —— h — v + — / v d t - i L (to) = 0 dt R L J, JtQ
(b) ■ F IG U R A 9 .21 (o) Circuito RLCen serie que es el
Las respectivas ecuaciones de segundo orden que se obtienen diferenciando es tas dos ecuaciones con respecto al tiempo también son duales:
dual de (b) un circuito RLCen paralelo. Los valores de los elementos no son, desde luego, idénticos en ambos circuitos.
d 2i d i
1
L dti + R dt + C i ~ (> „ d 2v
1 dv
1301
1
Cd ^ + Jd ¡ + l V= °
P1]
El análisis completo del circuito RLC en paralelo se aplica de manera direc ta al circuito RLC en serie; las condiciones iniciales sobre la tensión en el capa citor y la corriente en el inductor son equivalentes a las condiciones iniciales en la com ente en el inductor y la tensión en el capacitor;la respuesta de tensión consiste enuna respuesta de corriente. Así, se pueden volver a leer las cuatro secciones anteriores utilizando el lenguaje dual, a fin de obtener una descripción completa del circuito RLC en serie. Sin embargo, este proceso resulta adecuado para inducir una neurosis ligera, luego de la lectura de los primeros párrafos, y en realidad no parece que sea necesario.
Breve resumen de la respuesta del circuito en serie Resulta fácil presentar un breve resumen de la respuesta del circuito en serie. En términos del circuito que se presenta en la figura 9.21 a, la respuesta sobreamor tiguada es i(t) = A ie Slt + A 2eS2t donde: = —a ± J a 2 — co. y por ello R 01 ~ 2 L coo
VLC La forma de la respuesta críticamente amortiguada es i(t) = e~a ,(A \t + A 2 ) y la respuesta subamortiguada se escribiría como i(t) = e~at(B\ e o scodt + B2sencodt)
SECCIÓN 9.5 CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE
TABLA
9.1
A A /V
•"
345
Resumen de las ecuaciones relevantes de los circuitos RLC sin fuente. Condición
Tipo
Respuesta
(Oq
Criterio
1
P ara le lo S o breamorti gu ado
a > (ún
Serie
A \e sit + '^2eS1' . donde
2 RC
R
J lc
=5,2
= —a ± \/a 2
~zT 1
P a r a le lo
=Críticamente amortiguado
a —_wq§:
Serie
2 RC
e-°“ (■A lt + A 2)
R_ ~TL
1 P aralelo Subamortiguado
a < a>o
Serie
e at (S i co§uvdt + B 2 senCDjj.),
2 RC
R IL
*JLC
donde u>d = JclÍq — a 2
donde: cod = iJ cúq—a 2 Es evidente que si se trabaja en términos de los parámetros a, cúq, y coj, las formas matemáticas de las respuestas para las situaciones duales son idénticas. Un aumento en a en el circuito en serie o en paralelo, siempre y cuando co0 se mantenga constante, tiende hacia una respuesta sobreamortiguada. La única pre caución que se debe tomar radica en el cálculo de a , que corresponde a 1 /2 RC en el caso del circuito en paralelo, y & R /2 L en el del circuito en serie; por con siguiente, a se incrementa al aumentar la resistencia en serie, o al disminuir la re sistencia en paralelo. Por conveniencia, las ecuaciones clave de los circuitos RLC en serie y paralelo se resumen en la tabla 9.1.
EJEMPLO 9.7 Dado el circuito R L C en serie de la figura 9.22, en el que 1 = 1 H, R = 2 kfi, C = 1/401 ¡iF, i(0) = 2 m A, y dc(0) = 2 V, encontrar y dibu jar i(t), t > ft.
-
i’c
+
Se obtiene a = R /2 L = 1000 s 1 y two = 1!~JLC = 20025 rad/s, lo cual indica una respuesta subamortiguada. Por lo tanto, se calcula el valor de o>r¡ y se tienen 20000 rad/s. Excepto por la evaluación de las dos constantes ar bitrarias, se sabe ahora que la respuesta es ■ F IG U R A 9 .2 2 Circuito RLCsimple sin fuente
Ut) = e ~ i m ,(B¡ eos 2 0 OOOí + B2 sen 20000?) Puesto que se sabe que ¡(0) = 2 mA, se sustituiría este valor en la ecuación de i (?) obteniendo así B x = 0.002 A por lo cual i( t ) =
10001 (0.002 eos 2 0 OOOí + B 2 sen 20 0 0 0 0
A
(Continúa en la siguiente página)
con energía almacenada en el inductor y en el capacitor en f = 0.
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
La condición inicial restante debe aplicarse a la derivada; en consecuencia, — = e ~ i 000' ( - 4 0 sen 20000/ + 20000B-, eos 20000/ dt —2 eos 20000/ — 1 0 0 0 / ? 2 sen 20000/
di dt
20 000fi2
-
2
=
1=0
»c(0) ~ R i(0) L 2
-
2000 (0 .002)
------------- 2------- - = - 2 A/s 1 por lo que B2 = 0 La respuesta deseada es, entonces, i(t) = l e
~ 1000f e o s 20 000 /
mA
Se lograría un buen dibujo al graficar primero las dos partes de la envol vente exponencial,2e~l °°0í y —2e~1000' mA, como se muestra mediante las líneas punteadas en la figura 9.23. La ubicación de los puntos de un cuarto de ciclo de la onda senoidal en 20000/ = 0 , 7r/2, ir, etc., o / = 0.07854/; ms, k = 0, 1, 2 , __ mediante líneas delgadas sobre el eje del tiempo, permite que la curva oscilatoria se dibuje con rapidez.
i(t) (m A )
■ F IG U R A 9 .2 3 Respuesta en corriente de un circuito RLCen serie sub amortiguado, para la cual a = 1000 s-1 , a>0 = 20000 s_1, /(O) = 2 mA y vc(0) = 2 V. La construcción gráfica se simplifica dibujando en el envolvente, la cual se muestra como el par de líneas punteadas.
En este caso, el tiempo de establecimiento se determina con facilidad por medio de la parte superior de la envolvente. Esto es, se iguala 2 e~ l000's mA a 1% de su valor máximo, 2 mA. Por lo tanto, e ~ l 000‘s = 0.01, y /j = 4.61 ms es el valor aproximado que casi siempre se usa.
SECCIÓN 9.5 CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE
P R Á C T IC A
AA/V
_________________________________________________________
9.7 De acuerdo con el circuito de la figura 9.24, determinar (a) a ; (b) coq', (c) /(0 +); (d) d i / d t |t=o+; (e) /(12 ms). loo a — 0.5 H f »
W v — 4 0 p.¥ -
=
c
| 1' ■ F IG U R A 9 .2 4 R e sp u e sta s: lO O s '; 2 2 4 ra d /s ; 1 A ; 0 ; - 0 . 1 2 0 4 A .
Como ejemplo final, se hará una pausa para considerar algunas situaciones donde el circuito incluya una fuente dependiente. Si no es de interés ninguna corriente o tensión de control asociada con la fuente, se puede simplemente en contrar el equivalente de Thévenin conectado al inductor y al capacitor. De otra forma, es muy probable que se tenga que enfrentar la situación de tener que escri bir una ecuación integrodiferencial apropiada, calcular las derivadas indicadas y resolver la ecuación diferencial resultante lo mejor que se pueda.
-------------------------------------------
EJEMPLO 9.8 Encontrar la expresión de v d t ) en el circuito de la figura 9.25a, que sea válida en t > 0.
■ F IG U R A 9 .2 5 (a) Circuito RLCque contiene una fuente dependiente. (£>) Circuito para encontrar /?«,.
Como el interés es solamente en v d t), es totalmente aceptable comenzar en contrando la resistencia de Thévenin equivalente conectada en serie con él ( Continúa en la siguiente página)
A /W
-•
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
inductor y el capacitor en t = O4 . Se lleva a cabo lo anterior conectando una fuente de 1 como se muestra en la figura 9.25b, a partir de lo cual se puede deducir que Utest = 11 i - 3i = 8i = 8(1) = 8 V. Por lo tanto, R tq = 8 £2, por lo que a = R /2 L = 0.8 s-1 y coo = 1/ V L C = 10 rad/s, lo que significa que se espera una respuesta subamortiguada con cod = 9.968 rad/s y la forma: i> c (t) = e °'8r(/<| eos 9.968í + Z? 2 sen 9.968í)
[32]
Al considerar el circuito en t = 0“ , se puede observar que ¿¿(0 ) = 0 debido a la presencia del capacitor. Por medio de la ley de Ohm, i (0“ ) = 5 A, por lo que i>c (0+ ) = i>c(0 ") = 1 0 - 3i = 10 - 15 = - 5 V Si esta última condición se sustituye en la ecuación [32] se obtiene B\ = —5 V. Si se calcula la derivada de la ecuación [32] y se evalúa en i = 0 se obtiene dvc dt f =0
[33]
—O.8 . 8 1 + 9.968B2 = 4 + 9.96852
Se puede observar a partir de la ecuación 9.25a que „dvc dt
1 = -C —-
Por lo tanto, con base en el hecho de que i (0+ ) = ¿z.(0~) = 0 en la ecuación [33] se obtiene B i = —0.4013 V, y se puede escribir 1
< c (t) = —e _0'8í(5cos9.9681 + 0.4013sen9.968í) V,
t > 0
La figura 9.26 muestra la simulación en PSpice de este circuito que con firma el análisis.
-5 .
es
1
. os
2 .0 5
3 . Os
4 . OS
S.ffS
6 . OS
U (C 1 ;1 )- U (C 1:2) - -exp(-0.8*T¡empo) * (5*cos(9.968*T¡empo) + 0.4013*sen(9.968*Tiempo)) Tiempo
I F IG U R A 9 .2 6 Simulación en PSpice del circuito que se muestra en la figura 9.25a. El resultado analítico se grafica mediante una linea roja punteada.
SECCIÓN 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC
P R Á C T IC A
_________________________________ __ _______________________
9.8 Encontrar la expresión de iL(t) en el circuito de la figura 9.27, que sea válida para t > 0, si i>c(0_) = 10 V y iL(0“ ) = 0. Observar que a pesar de que najes de utilidad aplicar Iqs. técnicas de Thévenin en este caso, la acción de los enlaces e ii de la fuente dependiente es tal que se obtiene como resultado una ecuación diferencial lineal de prim er orden.
Respuesta^ í'l (í) = —30e 3001 A, t > 0.
9.6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC ------------------------■ -------------------------------------------- ■ ---------------------Considerar ahora los circuitos RLC en los que las fuentes de cd se conmutan en la red y producen respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo se vuelve infinito. La solución general se obtiene mediante el mismo procedimiento que se siguió en los circuitos RL y RC Ya respuesta forzada se de termina por completo; la respuesta natural se obtiene como una forma funcional adecuada que condene el número apropiado de constantes arbitrarias; la respuesta completa se escribe como la suma de las respuestas forzada y natural; además, las condiciones iniciales se determinan y se aplican a la respuesta completa a fin de calcular los valores de las constantes. Con frecuencia, este último paso re sulta el más complicado para los estudiantes. En consecuencia, aunque la deter minación de las condiciones iniciales no difiere en lo básico en el caso de un cir cuito que contiene fuentes de cd, de la correspondiente a los circuitos sin fuente que ya se estudiaron con cierto detalle, este tem a recibirá un tratamiento desta cado en los ejemplos que siguen. L a mayor parte de la confusión al determinar y aplicar las condiciones inicia les surge por la simple razón de que no se cuenta con un conjunto de reglas rigu rosas dispuestas, que sea viable seguir. En cierto punto de cada análisis suele surgir una situación en la que se ve involucrada alguna idea que resulta más o menos única para ese problema particular, lo cual es casi siempre la fuente de la dificultad.
La parte fácil La respuesta completa (supuesta de manera arbitraria como la respuesta de ten sión) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta natural: vf (t) = Vf que es una constante de la excitación de cd, y una respuesta natural: vn{t) = A eSl‘ + B eS2t
WV------------ { 3 4 9
A A /v
-•
CAPÍTULO 9 CIRCUITO W/C
En consecuencia: v(t) = Vf + A es¡‘ + B e52' Se supone que S|, ¿2 . y ^/Ya se determinaron en el circuito y en las funciones forzadas que se indican; queda por conocer A y fi. La última ecuación muestra la interdependencia funcional de A, B, v, y f, de modo que la sustitución del valor conocido de v en t = 0+ nos da entonces una sola ecuación que relaciona A y B, u(0+ ) = Vf + A + B. Esta es la parte fácil.
La otra parte Desafortunadamente, se requiere otra relación entre A y fi la cual se obtiene casi siempre al tomar la derivada de la respuesta: ^ = 0 + s\A e Si’ + s2BeSlt dt
\
y al sustituir el valor conocido de d v / d t en t = 0+ .Así, se tienen dos ecuaciones que relacionan a A y fi y que se resolverían de manera simultánea para evaluar las dos constantes. El único problema que resta es determinar los valores de v y d v / d t en t = 0+ . Suponga que v es una tensión en el capacitor, vc- Puesto que ¿c = C d v c /d t, se debe reconocer la relación entre el valor inicial de d v /d t y el valor inicial de alguna comente en el capacitor. Si se pudiera establecer un valor de dicha corriente inicial en el capacitor, entonces se establecería de manera automática el valor de d v /d t. Casi siempre los estudiantes pueden obtener con facilidad u(0+ ) pero suelen titubear un poco al determinar el valor inicial de d v /d t. Si se hubiera elegido una com ente en el inductor i¿ como nuestra respuesta, entonces el valor inicial de d¡L / d t estaría íntimamente relacionado con el valor inicial de cierta tensión en el inductor. Otras variables, aparte de las tensiones en el capacitor y de las comentes en el inductor, se determinan al expresar sus valores iniciales y los valores ini ciales de sus derivadas en términos de los valores correspondientes de vc y ílSe ilustra el procedimiento y se calculan todos estos valores mediante el análisis cuidadoso del circuito de la figura 9.28. Para simplificar el análisis, se usa de nuevo una gran capacitancia que es irreal.
■ F IG U R A 9 .2 8 (o) Circuito RLCque se emplea para ilustrar varios procedimientos mediante los que se pueden obtener las condiciones iniciales. La respuesta deseada se toma nominalmerrte como (¿>) t = O- , (c) t > 0.
SECCIÓN 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEl CIRCUITO RLC
*
A /W EJ EMPLO
Hay tres elementos pasivos en el circuito de la figura 9.2-8a; además, la tensión y la corriente se definen en cada uno de ellos. Determinar los valores de estas seis cantidades tanto en t = 0“ como en t = 0~. El objetivo consiste en determinar el valor de cada corriente y de cada ten sión tanto en t = 0“ como en t = 0+ . Luego de conocer estas cantidades, se obtendrían con facilidad los valores iniciales de las derivadas. Se empleará primero un método lógico paso por paso. 1. En t = 0“ En t = 0_ , sólo la fuente de corriente de la derecha está acti va, como se señala en la figura 9.28b. Se supone que el circuito ha estado siempre en tal estado y que todas las com entes y tensiones son constantes. De tal manera, una corriente cd que atraviesa el inductor requiere una ten sión cero a través de él: vL(0 ) = 0 y que una tensión cd en el capacitor (—vR) requiere que circule por él una corriente cero: ¿c«n =
o
A continuación se aplica la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo derecho para obtener ¿* (0 -) = - 5 A la cual también origina vR(0~) = - 1 5 0 V Se podría recurrir ahora a la ley de Kirchhoff de tensión alrededor de la malla izquierda con el objeto de encontrar wc (0 -) = 150 V mientras que la LKC permite determinar la corriente en el inductor, iL(0 ") = 5 A 2. t = 0+ Durante el intervalo de t = 0 ” a t = 0+ , la fuente de com ente del lado izquierdo se activa y muchos de los valores de tensión y corriente en t = 0“ cambiarán de modo abrupto. El circuito correspondiente se presenta en la figura 9.28c. Sin embargo, se debe empezar concentrando la atención en las cantidades que no pueden cambiar, a saber, la corriente en el inductor y la tensión en el capacitor. Ambas deben permanecer constantes durante el intervalo de conmutación. De tal modo, iL(0+) = 5 A
y
uc (0+) = 150 V
Puesto que se conocen dos corrientes en el nodo izquierdo, a continuación se obtiene iR(0+) = - l A
y
vR(0+) = —30 V
*c(0+) = 4 A
y
vL(0+) = 120 V
por lo que
y se tienen los seis valores iniciales en t = 0“ y seis más en t = 0+ . Entre los últimos seis valores, sólo la tensión en el capacitor y la com ente en el inductor se mantienen sin cambio desde los valores t = 0 ~ .
9.9
A /W
-•
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
Se pudo haber recurrido a un método un poco diferente para evaluar estas corrientes y tensiones en t = 0“ y t = 0+ . Antes de la operación de conmutación, en el circuito sólo existen corrientes y tensiones, ambas directas. Por lo tanto, se podría reemplazar el inductor por un cortocircuito, su equivalente de cd, en tanto que el capacitor se sustituye por un circuito abierto. Al volverse a dibujar de esta manera, el circuito de la figura 9.28a aparece como en la figura 9.29a. Sólo la fuente de corriente de la derecha se encuentra activa y sus 5 A fluyen a través de la resistencia y el del inductor. En consecuencia, se tiene í r (0~) = —5 A y 1 ^ (0 -) = —150 V. ¿l(0 “ ) = 5 A y vr.QtT) = 0 , y i c (0~) = 0 y v c (0~) = 150V, como antes.
’R
+
vR
A/W
■ F IG U R A 9 .2 9 (o) Circuito simple equivalente correspondiente al circuito de la figura 9.28o para f = O- . (b) Circuito equivalente con las tensiones y corrientes indicadas, válidas en el instante definido por f = 0+ .
La atención se enfocará ahora en el problema de dibujar un circuito equiva lente que ayudará a determinar varias tensiones y com entes en t = 0+ . Cada tensión en el capacitor y cada corriente en el inductor deben permanecer constantes durante el intervalo de conmutación. Estas condiciones se aseguran susti tuyendo el inductor por una fuente de corriente y e) capacitor por una fuente de tensión; asimismo, cada fuente sirve para mantener una respuesta constante du rante la discontinuidad. Se produce el circuito equivalente de la figura 9.29b de modo que resulta necesario advertir que dicho circuito es válido sólo para el in tervalo entre 0“ y ()+ . Las tensiones y las corrientes en t = 0+ se obtienen al analizar este circuito de cd. La solución no es difícil, aunque el número más o menos grande de fuentes presentes en la red originen una vista un tanto extraña. Sin embargo, los problemas de este tipo se resolvieron en el capítulo 3, por lo que no hay nada nuevo implicado. Para resolver primero las corrientes, se empieza en el nodo izquierdo superior y se ve que ¡/j(0+) = 4 — 5 = —1 A . Al moverse hacia el nodo derecho superior, se encuentra que ¿c(0+) = —1 + 5 = 4 A, y, desde luego, ¡l (0+) = 5 A. A continuación se analizan las tensiones. Al utilizar la ley de Ohm se puede ob servar que i'/?(0+) = 30(—1) = —30 V. En el caso del inductor, la LKT da vjJ0 +) = —3 0 + 1 5 0 = 120 V. Por último, al incluir uc(0+) = 150 V, se tienen todos los valores en t = 0+ .
SECCIÓN 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC
*
AA/V
P R A C T IC A 9.9 Sea is = 10m(—t) — 20u (t) A en la figura 9.30. Determinar (a) iL{0 ); (b) uc (0+ ); (c) vR(0+): (d) iLÁOOy, (e) ¡¿ (0 .1 ms).
Respuestas: 10 A; 200 V; 200 V; - 2 0 A; 2.07 A.
EJ EMPLO Completar la determinación de las condiciones iniciales del circuito de la figura 9.28, que se repite en la figura 9.31. Para ello, encontrar los valores en í = 0+ correspondientes a las primeras derivadas de las tres variables de tensión y las tres de corriente definidas en el esquema del circuito.
4u(t)
A
5A
■ F IG U R A 9 .3 1 Circuito de la figura 9.28, repetido para el ejemplo 9.10.
Se empieza con los dos elementos de almacenamiento de energía. Para el inductor vL — L
d iL dt
y, de manera específica, vl (0+)
= L ^
dt
t=o+
En consecuencia: d iL
i>l (0+)
120
d t t=o+
= 40 A/s
en forma similar: dvc d t /=0+
k(0+) 1/27
= 108 V/s (Continúa en la siguiente página)
9.1
A /V Y
■#
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
Las otras cuatro derivadas se determinan al observar que a las LKC y LKT las satisfacen también las derivadas. Por ejemplo, en el nodo de la izquierda de la figura 9.31, 4 —Í l —Í r
=
0,
t >
0
y por ello, „ _ £ í¿ _ Í ! » = 0 , dt dt
r> 0
por lo tanto, d iR = - 4 0 A/s d t t=o+ Se determina que los tres valores iniciales restantes de las derivadas co rresponden a dvR dt
í=0+
dvL dt
í= 0 +
= - 1 200 V/s
= - 1 092 V/s
d ic = - 4 0 A/s d t t=o+
Antes de dejar este problema del cálculo de los valores iniciales necesarios, debe señalarse que al menos se ha omitido otro método poderoso para determi narlos: se pudieron haber escrito las ecuaciones generales de nodo, o de lazo, del circuito original. Luego, la sustitución de los valores cero conocidos de la tensión en el inductor y de la corriente en el capacitor, en t = 0“ descubriría varios valores de respuesta extra en t = 0~ y permitiría que el resto se calculara sin ninguna dificultad. En ese caso debe efectuarse un análisis similar en t = 0+ lo cual constituye un método importante que se hace necesario en circuitos más complicados, que no pueden analizarse por medio de los más simples procedi mientos paso a paso. A continuación se terminará en forma breve la determinación de la respuesta vc (t) en el caso del circuito original de la figura 9.31. Con am bas fuentes desconectadas, el circuito se presenta como uno de RLC en serie y se descubre con facilidad que .vi y S2 son, respectivamente, -1 y -9 . La respuesta forzada se calcula por inspección o, si es necesario, dibujando el equivalente de cd, que es similar a la figura 9.29a, con la adición de una fuente de corriente de 4 A. La respuesta forzada equivale a 150 V. Por lo tanto, vc {t) = 150 + A e~‘ + B e~ 9t
y vc (0+ ) = 1 5 0 = 1 5 0 + A + B A + B = 0 Entonces, dvc = - A e ~ l - 9Be -91 dt
SECCIÓN 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC
y
Por último, A = 13.5
B = —13.5
y vc (t) = 150 + 13.5(e_í - e~9t) V
Resumen rápido del proceso de solución En síntesis, cada vez que se desee determinar el comportamiento transitorio de un circuito RLC simple de tres elementos, se debe decidir primero si se está re solviendo un circuito en serie o en paralelo, a fin de que se utilice la relación co rrecta para a. Las dos ecuaciones son: a = -----2RC a — ——
(RLC en paralelo)
(RLC en serie)
L a segunda decisión se toma después de comparar a con coo, la cual se indica a partir de cualquier circuito por medio de 1 Wo " V l c Si a > &)o, el circuito está sobreamortiguado y la respuesta natural tiene la forma: f n(t) = A ves" + A 2eS2t donde
For último, si a < coq, entonces se enfrenta uno a la respuesta subamortiguada'. /„ (r) = e °“(A i eos codt + A 2 sen wdt) donde
La última decisión depende de las fuentes independientes. Si no hay alguna que actúe en el circuito después de que se term ina la conmutación o la discon tinuidad, entonces el circuito no tiene fuente y la respuesta natural equivale a la respuesta completa. Si aún están presentes fuentes independientes, el circuito está activado y debe determinarse una respuesta forzada. La,respuesta completa es, en ese caso, la suma
/(O =
f f ( t ) + f n( t )
+
AA/V---------
(
APLICACIÓN PRÁCTICA _ }
E la b o r a c ió n d e l m o d e lo p a r a s is te m a s d e s u s p e n s ió n d e a u t o m ó v ile s En el párrafo introductorio, se alude al hecho de que los conceptos investigados en este capítulo en realidad se ex tienden más allá del análisis de los circuitos eléctricos. En realidad, la forma general de las ecuaciones diferenciales con las que se trabaja aparecen en muchos campos; sólo es necesario aprender a “traducir” la nueva tecnología de pa rámetros. Por ejemplo, considerar una suspensión de auto móvil simple, como se dibuja (de manera un poco burda) en la figura 9.32. El émbolo no está unido al cilindro, pero sí al resorte y a la rueda. Por lo tanto, las partes móviles son el resorte, el émbolo y la rueda. Se hará el modelo de este sistema físico determinan do primero las fuerzas en juego. Al definir una función de la posición p (t) que describe el lugar donde se en cuentra el émbolo dentro del cilindro, se podría escribir Fs, la fuerza sobre el resorte, como Fs - K p ( t) donde K se conoce como la constante del resorte y tiene unidades lb/pie. La fuerza sobre la rueda F w es igual a la masa de la rueda multiplicada por su aceleración, o d 2p ( t ) Fw — in d i1 donde m se mide en Ib -s2/pie. L a última, pero no menos importante, fuerza es la de fricción F f que actúa sobre el émbolo Ff — p,f
d p (t) dt
■ F IG U R A 9 .3 2 Sistema de suspensión de automóvil típico. © Transtock lnc./Alamy
donde \ i f es el coeficiente de fricción, con unidades de Ib • s/pie. De acuerdo con los cursos básicos de física se sabe que todas las fuerzas que actúan en un sistema deben sumar cero, por lo que d 2p ( t ) d p (t)
m^
^
+ w ^
r + ' í'’w = 0
1341
Es muy probable que la ecuación haya tenido el potencial de causar pesadillas en algún punto de alguna carrera aca démica, pero ya no. Si se compara la ecuación [32] con la [30] y la [31], se verá de inmediato una semejanza distin ta, al menos en la forma general. Al elegir la ecuación [30], la ecuación diferencial que describe la respuesta de un cir cuito RLC conectado en serie, se observan las siguientes correspondencias: Masa m - > inductancia L Coeficiente de fricción P f ~ > resistencia R K - > inverso de la Constante de C-1 capacitancia resorte i(t) Variable de la P(t) ~ > variable de la corriente posición Por lo tanto, si se está dispuesto a hablar de pies en lugar de amperes, de Ib • s2/pie en vez de H, de H, pie/lb en lugar de F, y de Ib • s/pie en lugar de £2, se pueden aplicar las ha bilidades que se acaba de descubrir al elaborar el modelo de los circuitos RLC para la tarea de evaluar los amortiguadores de automotores. Considerar una rueda de automóvil común de 70 Ib. La masa se determina dividiendo el peso entre la aceleración gravitacional terrestre (32.17 pies/s2), lo que origina m = 2.176 Ib • s2/pies. El peso muerto del automóvil es de 1985 Ib, y el desplazamiento estático del resorte corresponde a 4 pulgadas (sin pasajeros). La constante de resorte se obtiene a través de la división del peso de cada amortiguador entre el desplaza miento estático, de modo que resulta K = (i)(1985) (3 pies-1 ) = 1489 lb/pies. Se indicó también que el coefi ciente de fricción del arreglo émbolo/cilindro corresponde a 65 Ib • s/pies. Por lo tanto, se puede simular el amor tiguador como un modelo de un circuito RLC en serie que tiene R = 65 £2, L = 2.176 H, y C = K ~ l = 671.6 fiF. La frecuencia resonante del amortiguador es coq = (L C )-1/2 = 26.16 rad/s, y el coeficiente de amortigua miento es a a = R /2 L = 14.94 s_1. Puesto que a < coo, el amortiguador representa un sistema subamortiguado; lo anterior quiere decir que se espera un rebote o dos después de que se pasa sobre un bache. Un impacto más fuerte (un mayor coeficiente de fricción, o una resistencia más alta del modelo de circuito) por lo común resulta deseable cuando se toman las curvas a velocidades altas: en algún punto esto corresponde a una respuesta sobreamor tiguada. Sin embargo, si la mayor parte del recorrido es sobre caminos no pavimentados, se prefiere una respuesta un poco subamortiguada.
SECCIÓN 9.7 CIRCUITOLC SIN PÉRDIDAS
• -------------------------
VW-------------
357
Esto es aplicable a cualquier corriente o tensión en el circuito. El último paso es resolver las constantes desconocidas dadas las condiciones iniciales. P R Á C T IC A
_______________________ "
....................
..................
9.10 Sean vs = 10 + 20u(t) V en el circuito de la figura 9.33. Determinar (a) iL(0); (b) uc (0); (c) iL¡f , (d) iL (0.1 s). I F IG U R A 9 .3 3
Respuesta: 0.2 A; 10 V; 0.6 A; 0.319 A.
9.71CIRCUITO LC SIN PERDIDAS Si el valor de la resistencia de un circuito RLC en paralelo se vuelve infinito, o cero en el caso de un circuito RLC en serie, se tiene un lazo LC simple en el que se pue de mantener para siempre una respuesta oscilatoria. Se considerará brevemente un ejemplo de un circuito de este tipo y luego se explicarán otros medios para obtener una respuesta idéntica, sin necesidad de suministrar ninguna inductancia. Pensar en el circuito sin fuente de la figura 9.34, para el que se usan los valo res grandes L = 4 H y C = ^ F d e manera que los cálculos serán simples. Sea i (0) = -g A y u (O ) = 0. Se encuentra que a — Oyco^ = 9 s~2, por lo que&>¿ = 3 rad/s. Si no hay amortiguamiento exponencial, la tensión v resulta sólo v = A eos 31 + B sen 31 Puesto que v (0) = 0, vemos que A = 0. A continuación: dv dt
i( 0)
= 3B = — ,= o
1 /3 6
Pero /(0) = —g amperes y, por lo tanto, d v / d t = 6 V/s en f = 0. Se debe tener B = 2 V así que v = 2 sen 31V que es una respuesta senoidal amortiguada; en otras palabras, la respuesta en tensión no disminuye. Se verá cómo se obtendría esta tensión, sin recurrir a un circuito LC. Las in tenciones son escribir la ecuación diferencial que satisfaga v y luego establecer una configuración de amp ops que proporcione la solución de la ecuación. Aunque se trabaja con un ejemplo específico, ésta es la técnica general que se usa para resolver cualquier ecuación diferencial homogénea lineal. En el caso del circuito LC de la figura 9.34, se elige v como la variable y se iguala a cero la suma de las corrientes en el inductor y en el capacitor: ] dv -1 ,T v____ d t - - 1 H---------- = 0 44 Jto 66 36 d t Derivando una vez, se tiene 1
1 d 2v
4 U+ Í 6 ^ = ° d 2v s ¿ = - 9v
4 H
■ F IG U R A 9 .3 4
Esie circuito no presenta pérdidas y proporciona la respuesta subamortiguada v = 2 sen %V, si i/(o) = o e /(O) = - 1 A.
358
■ F IG U R A 9 . 3 5 El amplificador operacional inver sor proporciona una ganancia v0/v5 = -Rf/R\, si se supone un amp op ideal.
CAPITULO 9 CIRCUITO RLC
Para resolver esta ecuación sc planea utilizar el amplificador operacional como un integrador. Se supondrá que la derivada de orden superior que aparece aquí en la ecuación diferencial, d 2v / d t 2, está disponible en la configuración de amp op en un punto arbitrario A. Se recurre luego al integrador, con R C = 1, como se ex plicó en la sección 7.5. La entrada es d 2v / d t 2, y la salida debe ser —d v / d t , donde el cambio de signo proviene del uso de una configuración de amp op inversor como un integrador. El valor inicial de d v /d t es 6 V/s, como se mostró cuando se analizó primero el circuito, así que debe fijarse un valor inicial de —6 V en el integrador. El negativo de la primera derivada forma ahora la entrada para un segundo integrador, de manera que su salida es v(t), sin embargo, el valor ini cial corresponde t>(0) = 0. En estas condiciones sólo resta multiplicar v por —9 para obtener la segunda derivada que se supuso en el punto A. Esta es una am plificación por 9 con un cambio de signo, y se consigue con facilidad utilizando el amp op como un amplificador inversor. La figura 9.35 muestra el circuito de un amplificador inversor. Para un amp op ideal, tanto la corriente de entrada como la tensión de entrada son cero. Por con siguiente, la corriente que se va hacia el “este”, pasando a través de Ri es vs/R \, en tanto que la que circula hacia el oeste a través de /^equivale a v0/R¡-. Puesto que su suma es cero, se tiene: Vo_ _ _ R ¿ vs En consecuencia, se puede diseñar para una ganancia d e —9dejando/?/ = 90 kQ y R i = 1 0 kft, por ejemplo. Si R be 1 y C corresponde a 1 /i,Fen cada uno de los integradores, entonces v0 = -
vs d t' + vo(0) Jo
en cada caso. La salida del amplificador inversor forma ahora la entrada supuesta en el punto A, lo cual origina la configuración de los amp ops de la figura 9.36. Si se deja que el interruptor se cierre en t — 0 mientras se abren al mismo tiempo los dos interruptores de la condición inicial, la salida del segundo integrador será la onda senoidal subamortiguada v — 2 sen 3í V.
■ F IG U R A 9 .3 6 Dos integradores y un amplificador inversor se conectan para proporcionar la solución de la ecuación diferencial d2v/dt2 = - 9 v.
RESUMEN Y REPASO
Observar que el circuito LC de la figura 9.34 y el circuito de amp op de la fi gura 9.36 tienen la misma salida, aunque el circuito de amp op no contiene un so lo inductor, actúa simplemente como si incluyera uno, suministrando la tensión senoidal apropiada entre su terminal de salida y la conexión a tierra. Lo anterior resulta una considerable ventaja práctica o económica en el diseño de circuitos, pues los inductores casi siempre son voluminosos, más costosos que los capaci tores y presentan más pérdidas asociadas (y por tanto el modelo “ideal” no los re presenta bien).
P R A C T IC A ^__________ ________________________________ ______________ _ 9 . 1 1 Asignar nuevos valores a R f a las dos tensiones iniciales del circuito de la figura 9.36, si la salida representa la tensión v (t) en el circuito de la figura 9.37.
Respuesta: 250 k fi; 400 V; 10 V.
RESUMEN Y REPASO__________ __ ________________ J
Los circuitos con dos dispositivos de almacenamiento de energía que no pueden combinarse mediante técnicas de combinación serie/paralelo se describen mediante una ecuación diferencial de segundo orden.
ü
Los circuitos RLC serie y paralelo se clasifican en una de tres categorías, dependiendo de los valores relativos d e R, L y C: Sobreamortiguado Críticamente amortiguado Subamortiguado
(a > too) (a = coo) (a <
coq)
□ En los circuitos R LC en serie, a = R / 2 L y &>0 = 1/ V LC. □ En los circuitos R LC en paralelo, a = l / l R C y w o = 1 /V LC. □ La forma usual de una respuesta sobreamortiguada es la suma de dos térmi nos exponenciales, uno de los cuales decae más rápido que el otro; por ejemplo, A \e ~ l + Á 2 e~6t. □ La forma típica de una respuesta críticamente amortiguada es e - “'( A ,í + A2). □ La forma característica de una respuesta subamortiguada es una senoidal amortiguada exponencialmente; e~at(B \ eos + 6 2 sen wjt).
«-
A /W
CAPITULO 9 CIRCUITO RLC
u
Durante la respuesta transitoria de un circuito RLC, la energía se transfiere entre los elementos de almacenamiento de la misma hasta el grado permi tido por el componente resistivo del circuito, que actúa para disipar la energía almacenada al inicio.
□ La respuesta completa es la suma de las respuestas natural y forzada. En este caso la respuesta total debe determinarse antes de encontrar' el valor de las constantes.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Un excelente análisis del em pleo de PSpice en el m odelado de sistemas de sus pensión de automóviles se puede encontrar en
R.W. Goody, MicroSim PSpice fo r Windows, vol. I, 2a. ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1998. Un gran núm ero de descripciones detalladas de redes analógicas puede encon trarse en el capítulo 3 de
E. Weber, Linear Transient Analysis Volume I, Wiley, Nueva York, 1954. (Este libro se encuentra agotado, pero puede encontrarse en las bibliotecas de muchas universidades.)
EJERCICIOS_____________________________________ 9.1
C ircu ito en p a ra le lo sin fu e n te
1. Cierto circuito está construido con cuatro elementos en paralelo: una resistencia: de 4 £2 una resistencia de 10 £2 un capacitor de 1 /xF y un inductor de 2 mH. (a) Calcular a . (b) Calcular coo. (c) ¿Es el circuito subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado? Explique su respuesta. 2. Un circuito RLC en paralelo está constituido de un inductor de 2 H y un capacitor de 1 pF ¿Qué valor de resistencia debe agregarse en paralelo para asegurar (a) una respuesta subamortiguada; (b) una respuesta críticamente amortiguada? 3. Un circuito RLC sin fuente tiene una R = 1 £2, C = 1 nF, y L = 1 pH. (a) Calcular a y cao. íb) Calcular .vi y s2. (c) ¿Cuál es la forma de la respuesta de corriente del in ductor para t > 0? 4. Una capacitancia de 22 aF se conecta en paralelo con una inductancia de 1 fH. ¿Qué valor de resistencia conectado en paralelo producirá (a) una respuesta subamortigua da; (b) una respuesta críticamente amortiguada; (c) una respuesta sobreamortiguada? 5. Un circuito RLC en paralelo sin fuente contiene un inductor para el que el product ojqL es de 10 £2. Si = —6 s_I y s2 = —8 s-1, determinar R ,L y C . 6. La corriente en el capacitor del circuito de la figura 9.38 es igual a ic = 40e-100' —30e 200' mA. Si C = 1 mF y v (0) - —0.5 V, determinar (a) v(t)\ (h) í r ( í ) ; ( c ) i ( t ) . 7. Se descubre que un circuito RLC en paralelo tiene una frecuencia resonante natural de coq = 70.71 x 1012 rad/s. Si se sabe que la inductancia L = 2 pH. (a) calcular C: (b) determinar el valor de la resistencia R que originará un coeficiente de amor tiguamiento exponencial de 5 Gs-1 ; (c) determinar la frecuencia Neper del circuito; (d) calcular s\ y s% (e) Obtener la razón de amortiguamiento del circuito. 8. Demostrar que si L = 4R2C, la ecuación v(t ) = e~a‘(A it + A 2 ) es una solución de la ecuación [4], Si u(0) = 16 V y d v/d t\t=o = 4, determinar Ai y A2. 9. Cinco metros de alambre de cobre sólido calibre 18 AWG se sustituyen por la re sistencia del problema de práctica a 9.1. (a) Calcular la frecuencia resonante del nuevo circuito, (b) Calcular la nueva frecuencia Neper del circuito, (c) Obtener el cambio porcentual de la razón de amortiguamiento.
A /W
EJERCICIOS
9.2 C ircuito RLC en p a ra le lo s o b re a m o rtig u a d o 10. En el circuito de la figura 9.39, sea L = 5H , /? = 8 £2, C = 12.5 mF, y u(0+) = 40 V. Determinar (a) v (t) si i (0+) = 8 A; (b) i (t) si i'c (O4 ) = 8 A. 11. En el circuito de la figura 9.39, L = 1 mH y C = 100 /xF. (a) Seleccionar/? = 0.1Z?c> donde Rc es el valor que se requiere para alcanzar el amortiguamiento crítico, (b) Si/(O ) = 4 A y v(ü~) = 10 V, encontrar i(t) para t > 0. 5 ? - 12. El circuito que se muestra esquemáticamente en la figura 9.39 se construye uti lizando R = 20 m£2, C = 50 mF. y L = 2 mH. (o) Encontrar la expresión de ¡«(í) válida en t > 0 si u(0+) = 0 y i (0_ ) = 2 mA. ('b) Hacer una gráfica de la solución en un rango de 0 < t < 500 ms. (c) Simular el circuito mediante PSpice. Proponer un esquema marcado de numera apropiada con la gráfica. ¿Está de acuerdo la simu lación con el resultado analítico? 13. En el circuito de la figura 9.39, sea i (0) = 40 A y v(0) = 40 V . Si L = 12.5 mH, R = 0.1 £2, y C = 0.2 F: (a) determinar v(t), y (b) dibujar i para 0 < t < 0.3 s. 14. Los valores R = 15 /iíl, C — 50 /xF, y L = 2 /xH se utilizan en el circuito de la figura 9.39. (a) Encontrar la expresión de ¿c(t) válida para t > 0 si u(0+ ) = 2 y i (0_) = 0. (b) Graficar la respuesta en el intervalo de 0 < t < 5 ns. (c) Simular el circuito mediante PSpice. Proponer un esquema marcado apropiadamente con su gráfica. ¿Concuerda la simulación con el resultado analítico? 15. En el circuito de la figura 9.39, R = 1 Q, C = 4 F, y L = 20 H. Las condiciones ini ciales son ¿(0) = 8 A y u(0) = 0. (á) Encontrar la expresión de v(t), t> 0. (b) Determinar el valor pico y el tiempo en el que éste ocurre, (c) Verificar el análi sis mediante una simulación en PSpice. Asegurarse de proponer un esquema marca do apropiadamente con su gráfica. 16. Obtener la expresión de ii(t) en el circuito de la figura 9.40 que sea válido para todo t. 17. Determinar i¿ (t) para t > 0 en el circuito de la figura 9.41.
I F IG U R A 9 .3 9
50 U
F IG U R A 9 .4 0
18. El circuito de la figura 9.42 estuvo en la condición que se indica durante un largo tiempo. Luego de que el interruptor se cierra en r = 0, determinar (a) v(t): (b) i (f); (c) el tiempo de establecimiento de v(t). 10 H
0.5 A ©
■ F IG U R A 9 .4 2
19. En el circuito de la figura 9.42, el valor de la inductancia es de 1250 mH. Calcular v(t) si se sabe que el capacitor almacena inicialmente 390 J de energía y que el in ductor es un principio no almacena energía. 20. Con respecto al circuito de la figura 9.43, (a) ¿qué valor de ¿proporcionará una respuesta transitoria de la forma v = Ae~4' + Be~6’ ? (b) Calcular A y B si iR(0+) = 10 A y ¿c(0+) = 15 A.
FIGURA 9.43
-•
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
21. El interruptor del circuito de la figura 9.44 ha estado abierto desde que Alaska se convirtió en estado de la Unión Americana. Determinar (a) uc (0+); (ti) ;'c (0+); (c) vc(t). (d) Dibujar vc(t). {e) Obtener t cuando vc(t) = 0. ( /) Especificar el tiempo de establecimiento. f=0
■ F IG U R A 9 .4 4
22. El interruptor de la figura 9.45 fue cerrado por la última tripulación a bordo de la estación Mir antes de regresar a la Tierra (en t = 0). (a) Determinar iA(0“ ). (b) En contrar iA (0+). (c) Calcular i>c(0~). (d) Proporcionar la resistencia equivalente en paralelo con L y C para t > 0. (e) Obtener iA{t).
■ F IG U R A 9 .4 5
23. Dos monedas de diez centavos están separadas por una capa de hielo de 1 mm de espesor, a una temperatura de 80 K. Una bobina superconductora (y por lo tanto, con una resisten cia cero) de alambre de óxido de cobre de bario de itrio, que tiene una inductancia de 4 /¿H se acerca con cuidado a una mesa de trabajo de laboratorio próxima, situándose de modo que cada extremo entra en contacto con una moneda diferente. El hielo contiene impurezas iónicas que provocan que sea conductor. ¿Qué resistencia se necesita para que esta rara estructura se comporte como un circuito RLC sobreamortiguado en paralelo? 9 .3 A m o rtig u a m ie n to crítico 24. Un circuito RLC en paralelo está constituido de un inductor de 1 mH y un capacitor de 12 /¿F. (a) Seleccionar R de tal forma que la respuesta del circuito sea crítica mente amortiguada, {ti) Si i>c(0- ) = 12 V y ¿l(0- ) = 0, encontrar la expresión de vc(t) válida para t > 0. ■25. Un circuito RLC en paralelo está constituido de un inductor de 10 nH y un capacitor de 1 mF. (a) Seleccionar i? de tal forma que la respuesta del circuito sea crítica mente amortiguada, ib) Si i>c(0_) = 0 V y ¿l(0~) = 10 V, encontrar la expresión de ii(t) válida para t > 0. id) Graficar la solución y verificar con una simulación en PSpice. Incluir un esquema marcado apropiadamente con su gráfica. ¿Concuerdan las dos soluciones? 26. Explicar por qué, en la práctica, no es muy probable que se encuentre un circuito que presente una respuesta criticamente amortiguada. 27. Cambiar el valor de inductancia del circuito de la figura 9.41, hasta que esté crítica mente amortiguado, (a) ¿Cuál es la nueva inductancia? (ti) Determinar iL en t = 5 ms. (c) Calcular el tiempo de establecimiento. 28. (a) ¿Qué nuevo valor de resistencia debe usarse en el circuito de la figura 9.40 para lograr amortiguamiento crítico? {ti) Con este valor de resistencia, determinar vc (t) para t > 0. 29. En la situación descrita en el ejercicio 23, ¿qué valor de resistencia debe tener e] hielo para producir un circuito RLC criticamente amortiguado? 30. En el circuito de la figura 9.39, sean v(0) = —400 V e i (0) = 0.1 A. Si L = 5 mH, C = 10 nF, y el circuito está críticamente amortiguado, (a) determinar R, {ti) calcula r I i I máx; (c) obtener ¡máx.
EJERCICIOS
31. Un circuito RLC en paralelo tiene a = I ms-1, R — 1 M£2, y se sabe que está críti camente amortiguado. Suponer que el valor del inductor se calcula mediante la ex presión L = /mN 2A [ s donde ¡x = An x 10-7 H/m, N = número de vueltas comple tas de la bobina, A = área de sección transversal de la bobina y s = longitud axial de la bobina completa. La sección transversal del inductor es 1 cm2, hay 50 vueltas de alambre por cm y la bobina se fabrica a partir de un elemento recién descubierto que se llama gluonio, que es superconductor hasta temperaturas de 100°F. ¿Cuál es la longitud de la bobina? 9 .4 C ircu ito RLC en p a ra le lo s u b a m o rtig u a d o 32. En el caso del circuito que se muestra en la figura 9.46, encontrar (a) ii( 0+); (b) uc (0+); (c) diL/d t\t=0+-,(d) dvc /d t\t=0-;(e) vc (t). ( /) Graficar vc (0, —0.1 < t < 2 s.
4u(-t) A ( f
I F IG U R A 9 .4 6
33. Determinar i\;(t) para t > 0 del circuito de la figura 9.47.
2k ( -
■)
> 50 a <
J ‘c - 2.5 ¡iF
2
I F IG U R A 9 .4 7
34. Sea coj = 6 rad/s en el circuito de la figura 9.48. (a) Encontrar L. (b) Obtener la ex presión válida de cualquier t. (c) Graficar íl (í ), —0.1 < t < 0.6 s.
0.01 F
I F IG U R A 9 .4 8
35. Después de estar abierto durante largo tiempo, el interruptor del circuito de la figura 9.49 se cierra en / = 0 . Para t > 0, determinar (a) Vc(0; (b) i'sw(01.6 H
■ FIGURA 9.49
#-
A /W
w v
-•
CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC
36. (a) Determinar v(t) para t > 0 correspondiente al circuito de la figura 9.50. (b) Realizar un dibujo rápido de v(t) sobre el intervalo de tiempo 0 < t < 0.1
► ------------* 0 0 0
u(-t ) mA I
^
lkíí<>
25 ¡J.F Z
“
+ _ ) 10«(-f) V
V
i ■ F IG U R A 9 .5 0
37. Obtener í'i(f) para t > 0 en el circuito de la figura 9.51.
10M2
-v w
1 /tF
60ui-t) V
I F IG U R A 9 .51
38. ¿Qué valor mínimo de resistencia debe sustituir a la resistencia de 25 fi en el cir cuito de la figura 9.44, si se desea una respuesta subamortiguada v(t)? Multiplicar su resistencia especificada por 1000 y graficar la respuesta. Utilizar PSpice para de terminar el tiempo de establecimiento e incluir un esquema marcado de manera adecuada con su propia gráfica. 39. Calcular el valor de R del circuito subamortiguado de la figura 9.14 [L = 7 H, C= F, i (0) = 10 A, v(0) = 0] con el que se obtendrá el valor mínimo del tiempo de establecimiento ts. ¿Cuál es el valor de tsl 40. (a) Sustituir la resistencia de 2 fi en la figura 9.46 por una resistencia de 5 fi Obtener la expresión de j'l(í) y resolver para í = 2.5 s. (b) Sustituir la resistencia de 2 fi de la figura 9.46 con una resistencia de 0.5 fi. Obtener la expresión d i¿(t) y re solver para t = 250 ms. (c) Simular los circuitos de los incisos (a) y (b), y graficar la corriente en el inductor de cada circuito sobre la misma gráfica. Poner a conside ración tanto la gráfica como un esquema marcado de manera adecuada. 41. (a) Elaborar el modelo del circuito de la figura 9.46 utilizando PSpice. En lugar de una fuente de corriente de 4u(—t) obtener un circuito equivalente usando I’robe, y compare la solución con la que obtuvo a mano, y también para determinar el tiempo. (b) Simular los circuitos de los incisos i l (t) con especificaciones aprobadas para las condiciones iniciales para el inductor y el capacitor. Poner a consideración un esquema marcado adecuadamente. + vl
9 .5 C irc u ito RLC en s erie sin fu e n te 42. Calcular vc, vr, y vl at t = 40 ms en el circuito que se muestra en la figura 9.52. 43. Determinar i¿ (f) para t > 0 en el circuito de la figura 9.53. 2Q
10u(-t) A
■ FIGURA 9.53
0.25 H
EJERCICIOS
A /W --------------{
»
565
44. En el circuito de la figura 9.21a, sean R = 300 Q y C = 1 /xF con el circuito críti camente amortiguado. S itie (0 ) = —10 V e ¿(0) = —150 mA, calcular: (a) vc(t); (b) |ucl max ; ( f ) vc ,max • 45. Escribir el dual del ejercicio 16, incluyendo el dual del circuito que se ilustra en la figura 9.40. Resolver el problema dual. 46. (a) Encontrar í¿ (í) para t > 0 en el circuito de la figura 9.54. (b ) Determinar \ k \ max e Í-L.max-
5u{-t) A ^ ^
■
1H
F IG U R A 9 .5 4
47. En el circuito de la figura 9.55, t > 0, determinar: (a) ¿¿(í); (b) vc(t)-
500 ¡jlF
5H
:
f = 0
9H — nm p— *
I F IG U R A 9 .5 5
1F = =
48. Determ inar la energía almacenada en el inductor de la figura 9.56 en t = 2 s. Veri ficar la respuesta con PSpice.
I F IG U R A 9 .5 6
49. El interruptor de la figura 9.57 h a estado cerrado un tiempo muy largo. Obtener la magnitud máxima de la tensión que se establece en el inductor de 500 mH y confir m ar la respuesta con PSpice. t=0
500 mH
50. Un capacitor muy bien construido, luego de conectarse lo suficiente a uña batería de 12 V como para que se cargara por completo antes de colocarlo en un vehículo para viajar en la nieve, yace sobre el piso de una cabaña de radio en el norte de Canadá. Durante un terremoto moderado, un viejo cordón de teléfono de bobina cae de un anaquel hacia el piso y uno de sus extremos entra en contacto con una terminal del ca pacitor. El cordón del teléfono tiene una resistencia de 14 mQ y una inductancia de 5 /zH; el capacitor almacena inicialmente 144 mJ de energía, (a) ¿Cuál es la tensión del capacitor justo antes del terremoto? (b ) ¿Cuál es la tensión del capacitor 1 s después de que el cordón del teléfono toca al capacitor? (c) Un pesado oso polar irrumpe en la cabaña en busca de comida y de manera accidental pone una garra sobre el extremo desconectado del cordón telefónico y la otra sobre la terminal desconectada del capacitor. El cuerpo del oso polar se sacude durante 18 JK antes de que el animal gruña y salga corriendo de la cabaña. Si se requieren 100 m A para hacer que el oso se crispe de manera tan violenta, ¿cuál era la resistencia del pesado abrigo de piel? 51. Calcular la resistencia que debe sustituir a la resistencia de 2 Q en el circuito de la figura 9.56, de m anera que el circuito esté estrictamente amortiguado. Calcular la energía almacenada en el inductor en t = 100 ms.
^ >2Ü
I i9V r V_;
A/VV
- •
CAPITULO 9 CIRCUITO RLC
52. Encontrar la expresión de iL como se indica en la figura 9.58, válida para t > 0. 10 a
53. Encontrar la expresión de vc como se indica en la figura 9.58, válida para t > 0. 54. Con referencia al circuito que se muestra en la figura 9.59, obtener la expresión de ¡i válida para todo tiempo si C = 1 F.
55. Con referencia al circuito que se muestra en la figura 9.59, obtener la expresión de vc válida para todo tiempo si C = 1 mF. 0.1 H
100 Q
-nmr>----- W v— 3[l-2u(f)] A
40 ¡jlF
-------- 1(--------MI F IG U R A 9 .6 0
9 .6 R espuesta c o m p le ta d e l c irc u ito RLC 56. (a) Determinar para todo t en el circuito de la figura 9.60. (b) ¿En qué instante, después de t = 0 se tiene /¿(f) = 0? 57. La fuente del circuito de la figura 9.53 cambia en 10u (t) A. Calcular iL(tp. 58. Sustituir la fuente del circuito de la figura 9.55 con is = 0.5fl —2u (t)] A y calcular h (t)59. Sustituir la fuente del circuito de la figura 9.47 con is = 2[1 + u (t)\ A y determinar ¡c(t) para t > 0. 60. (a) Determinar i'c(t) para t > 0 en el circuito que se presenta en la figura 9.61. (b) Graficar v c ( t ) en función de t, —0.1 < t < 2 ms.
■ FIGURA 9.61
EJERCICIOS
• ------------W V
61. El interruptor del circuito de la figura 9.62 ha estado cerrado durante mucho tiempo. Abre en t = 0. Calcular vc(t) para t > 0. 1Í2
—WV
12 V - =
0.5 íi F
vc
■
Ul|OQ
lk£2 F IG U R A 9 .6 2
62. D eterm inaT i n ( t ) p a r a t > 0 en el c irc u ito d e la fig u ra 9.63 si vs(t) es ig u a l (a) 10u ( - t) V; (b) 10k(í) V. 63. Obtener i¡ (t) para t > 0 en el circuito de la figura 9.64 si vs (í) es igual a (a) JOu ( - t) V; (b) 10u(t) V.
a
500 ü
1 íi F
g - 6 4 . Sustituir a la resistencia de 2 £2 en el circuito de la figura 9.65 por un inductor de 3 H. Determinar la energía almacenada en el capacitor en / = 200 ms si la fuente de corriente se incrementa de 15 A a 22 A en t = 0. Verificar la respuesta con una simulación en PSpice. i ' fw 65 La fuente de corriente del circuito de la figura 9.65 se incrementa en forma re pentina desde 15 A hasta 22 A en t = 0. Calcular la tensión vs en: (á) t = 0“ ; (b) t = 0+; (c) t = oo; (d) t = 3.4 s. Verificar la respuesta mediante las simula ciones apropiadas en PSpice. 66 La fuente de corriente del circuito de la figura 9.65 disminuye de manera repentina de 15 A a 0 A en t = 0, y luego se incrementa hasta 3 A en t = 1 s. Graficar la ten sión vs (t). Verificar la solución mediante PSpice. 67 Un inductor de 5 mH un capacitor de 25 ¡iP y una resistencia de 20 £2 están en serie con una fuente de tensión vx (t). La tensión de la fuente es cero antes de t = 0. En t = 0, la tensión brinca hasta 75 V, en / = 1 ms disminuye hasta cero, en í = 2 ms vuelve a brincar hasta 75 V, y continúa comportándose de este modo periódico de aquí en adelante. Determinar la corriente de la fuente en: (a) t = 0_ ; (b) t = 0+; (c) t = 1 ms; (d) t = 2 ms. 68 Diseñar un circuito que produzca un pulso senoidal amortiguado con una tensión má xima de 5 V, y al menos tres máximos adicionales con magnitudes de tensión mayores que 1 V. Verificar el diseño con PSpice. 69 Una batería de 12 V se coloca en una choza en una isla desierta de algún lugar del Pacífico. La terminal positiva de la batería se conecta a un extremo de un capacitor de 314.2 pF en serie con un inductor de 869.1 /¿H. Un terremoto en las islas Bonin, de Japón, genera un tsunami que irrumpe en la choza, derramando agua salada sobre un trapo que conecta el otro extremo de la combinación inductor/capacitor con la terminal negativa de la batería, de manera que se forma lin circuito RLC en serie. Un barco cercano detecta la oscilación resultante al monitorear una señal de radiofaro a 290.5 kHz (1.825 Mrad/s). ¿Cuál es la resistencia del trapo húmedo?
.
■ F IG U R A 9 .6 3
A /W
CAPÍTULO? CIRCUITO RLC
[Lfl^-70. Calcular la tensión vc(t) en el capacitor de la figura 9.66 en t = 1 ms. Verificar la respuesta con una simulación en PSpice.
9 .7 C ircuito LC sin p é rd id a s JpL* 0
10 pH
— omr>— + —
V
zz
ffi
71. Diseñar un circuito de amp op para hacer el modelo para la respuesta en tensión del circuito LC que se muestra en la figura 9.67. Verificar el diseño simulando el cir cuito de la figura 9.67 y su circuito empleando un amp op LF 411, suponiendo u(0) = 0 e i (0) = 1 mA. 72. Observar la figura 9.68, y diseñar un circuito de amp op cuya salida será i (t) para t > 0.
F IG U R A 9 .6 7
73. Un circuito RC sin fuente se construye con una resistencia de 1 kQ y un capacitor de 3.3 inF. La tensión inicial en el capacitor es de 1.2 V. (á) Escribir la ecuación diferencial de v (la tensión en el capacitor) para t > 0. (b) Diseñar un circuito de amp op que proporcione v(t) como salida. 74. Sustituir el capacitor del circuito de la figura 9.67 por un inductor de 20 H en para lelo con un capacitor de 5 ¡x¥. Diseñar un circuito de amp op cuya salida sea i (t) para t > 0. Verificar el diseño simulando el circuito de capacitor-inductor y su cir cuito de amp op. Utilizar un amp op LM111 en la simulación con PSpice. 75. Un circuito RL sin fuente contiene una resistencia de 20 Q y un inductor de 5 H Si el valor inicial de la corriente del inductor es de 2 A: (o) escribir la ecuación diferencial relativa a i para t 0, (b) diseñar un integrador de amp op para propor cionar i(t) como salida, utilizando /?i = 1 MQ y C¡ = 1 /la F .
Análisis de estado senoidal permanente CONCEPTOS CLAVE
INTRODUCCIÓN
\ Características de las
La respuesta completa de un circuito eléctrico lineal se compone
' fundones senoidales.
de dos partes: la respuesta natural y la respuesta forzada La primera es la respuesta transitoria de corta vida de un circuito
Representación fasorial de
ante un cambio repentino en su condición y la segunda es la
senoidales.
respuesta de estado permanente a largo plazo de un circuito a cualquier fuente independiente presente. Hasta este punto, la única respuesta forzada considerada es la que se debe a las fuentes de cd.
Conversión entre los dominios del tiempo y la frecuencia.
Otra función forzada muy común es la forma de onda senoidal, que describe la tensión disponible en las tomas de corriente eléctrica
Impedancia y admitancia.
doméstica, así como la tensión de las líneas de potencia que se conectan a las áreas residenciales e industriales.
Reactancia y susceptancia.
En este capítulo se supone que la respuesta transitoria es de poco interés, así que se necesita la respuesta de estado permanente de un circuito (aparato de televisión, tostador o red de distribución de potencia) a una tensión o corriente senoidal. Se analizará este tipo
Combinaciones en serie y en paralelo en el dominio de la frecuencia.
de circuito con una técnica poderosa que transforma las ecuaciones integrodiferenciales en ecuaciones algebraicas.
10.1
CARACTERÍSTICAS DE LAS SENOIDALES
--------- • ------------------------------------------------------- ------------------------Considerar la siguiente tensión variable senoidalmente: v(t) = Vm sencot cuya gráfica se muestra en la figura 10.1 a y b. La amplitud de la onda senoidal es Vm, y el argumento es cot. La frecuencia radián, o fre cuencia angular, corresponde a co. En la figura 10.1a, Vmsencot se grafica como una función del argumento cot, de donde resulta evi dente la naturaleza periódica de la onda senoidal. La función se repite cada 2 n radianes y su periodo es en consecuencia 2tt radianes. En la figura 10.1¿>, Vm sen cot se grafica como una función de f y el p e riodo es ahora T. Una onda senoidal que tiene un periodo T debe
Determinación de la respuesta forzada utilizando fasores.
Aplicación de las técnicas del análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia.
370
A/W
CAPITULO 10 ANALISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
v(t)
v(t)
■r (s)
(a)
(b) ■ F IG U R A
10.1
Función senoidal i/(?) = Vmsen a>t graficada (o) en función de cot y (b) en función de t.
completar 1¡ T periodos cada segundo; su frecuencia f es I / T hertz, abreviado Hz. De tal modo, f= j; y en vista de que CüT
= 2 7T
se obtiene la relación común entre la frecuencia y la frecuencia radián. co — 2 n f
Retraso y adelanto Una forma más general de la senoide v(t) — Vmsen (cot + 9)
Recordar que para convertir radianes en grados sim plemente se multiplica el ángulo por 180/ jt.
[1]
incluye un ángulo de fase 9 en su argumento. La ecuación [1] se grafica en la figura 10.2 como una función de cot, y el ángulo de fase aparece como el número de ra dianes mediante los cuales la onda senoidal original (que se indica en el dibujo me diante una línea punteada) se corre hacia la izquierda o al tiempo anterior. En razón de que los puntos correspondientes sobre la senoide Vmsenfojf + 9) ocurren 9 rad, o 9/co segundos antes, se dice que V,„ sen (cot + 9) adelanta a Vm sénior en 9 rad. Por lo tanto, es correcto describir a sen cot como retrasada respecto de sen (cot + 9 ) en 9 rad, adelantada de sen(cwí + 9) por —9 rad, o adelantada de sen(&>í — 9) en 9 rad. En cualquier caso, adelantada o retrasada, se dice que las senoides están fuera de fase. Si los ángulos de fase son iguales, se señala que las senoides están en fase. En ingeniería eléctrica se acostumbra indicar el ángulo de fase en grados, en vez de hacerlo en radianes; para evitar confusiones es necesario asegurarse de
■ FIGURA 10.2 La onda senoidal Vm sen (cot + d) adelanta a Vm sen cot por $ radianes.
SECCIÓN 10.1 CARACTERISTICAS DF LAS SENOIDALES
—------W V
371
usar siempre el símbolo de grados. Por lo tanto, en lugar de escribir v = 100sen^27rl OOOí — ^ se suele utilizar v = 100sen(27rl OOOí — 30°) Al evaluar esta expresión en un instante de tiempo específico, por ejemplo t = 10-4 s, 2 n 1000/ se convierte en 0.27T radianes, lo cual debe expresarse como 36° antes de que se le resten 30°. No confundir sus manzanas con sus naranjas.
Dos ondas senoidales cuyas fa ses se van a comparar deben: 1. Escribirse como ondas seno o como ondas coseno. 2. Expresarse con amplitudes positivas. 3. Tener cada una la misma frecuencia angular o radián.
Conversión de senos en cosenos En esencia, el seno y el coseno son la misma función, pero con una diferencia de fase de 90°. Por lo tanto, sen cot = eos (cot — 90°). Los múltiplos de 360° se su man o se restan del argumento de cualquier función senoidal sin que cambie el valor de esta última. En consecuencia, se podría afirmar que
Observar que: -s e n td í =sen(£of ± 180°) -e o s ait = eos(®f ± 180°)
V\ = Vm, cos(51 + 10°) = Vmisen(5í + 90° + 10°)
q=sentdf = co s(trf ± 90°) ic o s cot =sen(cuf ± 9 0 ° )
= Vm sen(5í + 100c) conduce a i ’2 = Vmi sen(51 — 30°) en 130°. También es correcto señalar que vi retrasa a i >2 en 230°, puesto que i>i puede escribirse como v\ = Vm, sen(5í — 260°) Se supone que Vm, y Vm2 son cantidades positivas. En la figura 10.3 se ofrece una representación gráfica; observar que la frecuencia de ambas senoides (5 rad/s en este caso) debe ser la misma, o la comparación no tiene sentido. A menudo, la diferencia de fase entre dos senoides se expresa mediante el ángulo que sea menor o igual a 180° en magnitud. El concepto de una relación de adelanto o retraso entre dos senoides se usará en forma extensa, así que la relación debe ser reconocible tanto matemática como gráficamente. P R Á C T I C A _______________________________________ __________________ 10.1 Determinar el ángulo mediante el cual i\ está retrasada respecto a V\, si i>i = 120cos(1207rí —40°) V e i\ es igual a: (a) 2.5 cos(1207rí 4- 20°) A; (b) 1 .4 s e n (1 2 0 7 rí - 7 0 ü) A; (c) - 0 . 8 c o s ( 1 2 0 t t í - 1 1 0 °) A . 10.2 Calcular A, B, C, y0si4O cos(lO O / —40°) — 20sen(100í + 170°) = A eos lOOf + B senlOOí = C cos(100í + (¡>). Respuestas: 10.1: - 6 0 ° ; 120°; - 1 1 0 ° . 10.2: 27.2; 45.4; 52.9; -5 9 .1 ° .
■ F IG U R A 1 0 .3 Representación gráfica de dos senoides i/, y i/2. La magnitud de cada función seno se representa mediante la longitud de la flecha correspondiente y el ángulo de fase por la orientación con respecto al e je * positivo. En este diagrama, v, adelanta a i/2 100° + 30° = 130°, aunque podría argumentarse que i/2 adelanta a i/i en 230°. Sin embargo, suele expresarse la diferencia de fase por un ángulo menor o igual a 180° en magnitud.
AAA/----------- •
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
10.2 a RESPUESTA FORZADA A FUNCIONES * SENOIDALES Una vez familiarizado con las características matemáticas de las senoides, se es tá listo para aplicar una función forzada senoidal a un circuito simple y obtener la respuesta forzada. Se escribe primero la ecuación diferencial que se aplica al cir cuito dado. La solución completa de esta ecuación está compuesta por dos partes: la solución complementaria (que se denomina respuesta natural) y la integral particular (o respuesta fo rza d a ). Los métodos que se planean desarrollar en este capítulo suponen que no interesa el transitorio de corta vida o la respuesta natural del circuito, sino sólo la respuesta de largo plazo o de “estado permanente”.
Respuesta de estado permanente
i
R
■ F IG U R A 1 0 .4 Circuito RL en serie para el cual se desea la respuesta forzada.
El término respuesta de estado permanente se usa como sinónimo de respuesta forzada, por lo que, en general, se dirá que los circuitos que se van a analizar es tarán en “estado permanente senoidal”. Desafortunadamente, la expresión esta do permanente lleva la connotación de “no cambiar con el tiempo” a las mentes de muchos estudiantes. Lo anterior es válido para las funciones forzadas, pero la respuesta senoidal de estado permanente en definitiva cambia con el tiempo. El estado permanente se refiere sólo a la condición que se alcanza después de que se anula la respuesta transitoria o natural. L a respuesta forzada tiene la forma matemática de Ja función forzada, más todas sus derivadas y su primera integral. Con este conocimiento, uno de los métodos mediante el que se calcula la respuesta forzada consiste en suponer una solución compuesta por una suma de tales funciones, donde cada una tiene que determ inar una amplitud desconocida mediante la sustitución directa en la ecuación diferencial. Como se podrá observar dentro de poco, éste puede ser un proceso muy lento, por lo que siempre se estará bastante motivado para buscar una alternativa más simple. Considerar el circuito RL en serie de la figura 10.4. La tensión de fuente senoidal v, = Vm eos cot se conmutó en el circuito en algún momento anterior y la respuesta natural se amortiguó por completo. Se busca la respuesta forzada (o “estado permanente”), que debe cumplir con la ecuación diferencial di L ----- I- R i = Vm eos cot dt obtenida al aplicar la KVL alrededor del lazo simple. En cualquier instante en el que la derivada es igual a cero, se observa que la corriente debe tener la forma i oc eos cot. De manera similar, en el instante en el que la corriente es igual a cero, la derivada debe ser proporcional a eos cot, lo que implica una corriente de la forma sen cot. Por lo tanto, se podría esperar que la respuesta forzada tenga la forma general i (?) = /[ eos cot + 12 sen cot donde I\ e I 2 son constantes reales cuyos valores dependen de Vm, R, L, y co. No puede estar presente una función constante o una exponencial. Al sustituir la forma supuesta de la solución en la ecuación diferencial, se obtiene L ( —I\cosencot+ I2C0 eos cot) + R í f cosfwí + ¡2 sen cot) — Vm co&cot Si se agrupan los términos coseno y seno, resulta (—L I\co + R I 2) senfwZ+ (L I 2 C0 + R Ii - V,„)coscot = 0
SECCIÓN 10.2 RESPUESTA FORZADA A FUNCIONES SENOIDALES
• ------------------------- W
V
------------- [ Í T Í
Esta ecuación debe ser cierta para todos los valores de t, lo cual se logra sólo si los factores que multiplican a eos cot y a sen cot son cada uno cero. En consecuencia, —coL 7] + R I 2 = 0
y
coL I 2 + R Ii — Vm = 0
y la solución simultánea de 7i e b conduce a RV m
0)LVm
R + oj2L 2"'
R 2 + cú2L 2
De tal modo, la respuesta forzada s£. obtiene mediante ., ' (,) =
RVm
CüLVm cos * " + v + o W s m M
121
Empleo de una forma más compacta y sencilla (más amigable) Esta expresión, sin embargo, es un poco complicada; además, se obtiene una imagen más clara de la respuesta si se expresa como una sinusoide o una cose no,! de simple con un ángulo de fase. Se elige expresar la respuesta como una fun ción coseno: i (í) = A cos (cot — 9)
[3]
Al menos se sugieren por sí solos dos métodos para obtener los valores de A y 9. Se podría sustituir la ecuación [3] en forma directa en la ecuación diferen cial original o simplemente igualar ambas soluciones: ecuaciones [2] y [3]. Al elegir el último método y desarrollar la función cos (cot — 9): R Vm coL Vm A cos 6 cos cot + A sen0 senwí = — ------ cos cot + — ------------ -— sen&>f R2+ a rL 2 R ¿ + cjúL Por consiguiente, agrupando los coeficientes de cos cot y sen cot, se puede ver que: , RVm A c o s0 = — ------ y R 2 + co2L 2
A sen0 = j
coLVm
R 2 + cd2L 2
Para determinar A y 9, se divide una ecuación entre la otra: A sen0 coL --------- = tan 9 = — A cos 9 R y también se elevan al cuadrado ambas ecuaciones y se suman los resultados: R 2V 2
m2 T 2V 2
A 2 eos2 9 + A2 sen29 = A2 = , / ^ ^ " L V"' (R 2 + co2L 2)2(R 2 + cü2L 1Y V2 R 2 + cú2L 2 En consecuencia, = tan 1
coL
R
Vm
A =
V f l 2 + cú2L 2
Por lo tanto, la form a alternativa de la respuesta forzada se convierte en i(t)= s /R 2 + co2L 2
cos (cot — tan-1 — ) \ R )
[4]
En la parte interna de ¡a portada del libro se propor cionan varias identidades trigonométricas útiles.
374
AA/V
CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
\ '
La amplitud de la respuesta es proporcional a la amplitud de la función forzada; si no es así, se descartaría el concepto de linealidad. La amplitud de la respuesta disminuye también cuando se incrementan R , L, o co, aunque no en form a proporcional. Se observa que la com ente está retrasada respecto de la ten sión aplicada por tan-1 (w L /R ), un ángulo entre 0 y 90°. Cuando co = 0 o L = 0, la corriente debe estar en fase con la tensión; debido a que la primera situación corresponde a una com ente directa y la última da lugar a un circuito resistivo, los resultados concuerdan con la experiencia previa. Si R = 0, la com ente está retrasada de la tensión de 90°. En un inductor, entonces, si se satisface la convención de signos pasiva, la com ente está retrasada de la tensión de 90°. De una manera similar1 se demuestra que la com ente que circula a través de un capacitor adelanta a la tensión de 90°. La diferencia de fase entre la com ente y la tensión depende de la proporción entre las cantidades coL y R. Se denomina a coL como la reactancia inductiva del inductor, que se mide en ohms y es una medida de la oposición que ofrece el in ductor al paso de una com ente senoidal. Se verá cómo aplicar los resultados de este análisis general a un circuito es pecífico que no es sólo un lazo en serie simple. Observar que, de manera implí cita, se pasa por alto la respuesta transitoria; el supuesto es que sólo interesa la respuesta en estado estable o forzada del circuito, por lo que cualquiera y todos los transitorios se han eliminado.
EJEMPLO 10.1 Determinar la corriente
del circuito de la figura 10.5a.
(a) 25 n
■ F IG U R A 1 0 .5 (a) Circuito del ejemplo 10.1, en el que se desea obtener la corriente k- (b) Se quiere calcular el equivalente de Thévenin en las terminales o y ó . (c) Circuito simplificado.
1En el pasado, el símbolo E (para fuerza electromotriz) se utilizó para designar tensiones. Por ello, los estudiantes de lengua inglesa aprendían la frase “ELI the ICE man” como una forma de recordar que la tensión adelanta a la co rriente en un circuito inductivo, en tanto que la corriente adelanta a la tensión en un circuito capacitivo. Ahora que se usa V en vez de la letra señalada, la situación ya no es la misma.
SECCIÓN 10.2 RESPUESTA FORZADA A FUNCIONES SENOIDALES
Aunque el circuito tiene una fuente senoidal y un único inductor', contiene dos resistencias y no es un lazo simple. Para aplicar los resultados del análisis precedente, se necesita encontrar el equivalente de Thévenin visto desde las terminales a y b de la figura 10.5/?. La tensión en circuito abierto voc es v
,
100
,
— (10 eos 1O í ) ------------ = 8 eos 10 f 100 + 25
V
Puesto que no hay fuentes dependientes a la vista, se calcula R th mediante la supresión de la fuente independiente para luego obtener la resistencia de la red pasiva, por lo que R tu = (25 x 100)/(25 + 100) = 20 Í2. Ahora se tiene un circuito R L en serie, con L = 30 mH, R,h = 20 Q y una tensión de fuente de 8 eos 103í V, como se ilustra en la figura 10.5c. Así, al aplicar la ecuación [4], que se obtuvo de un circuito en serie RL ge neral, se tiene que il
—
8 / , . .... ........... .............. eos I 10 f — tan V 202 + (103 x 30 x 1 0 -3)2 V
30\ — | 20/
= 222cos(103f — 56.3°) mA Las formas de onda de tensión y corriente se grafican en la figura 10.6.
■ F IG U R A 1 0 .6 Formas de onda de tensión y corriente en una gráfica de
eje dual que se generó mediante el uso de MATLAB: EDU» t = linspace(0,8e-3,1000); EDU» v = 8*co5(1000*t); EDU» i = 0.222*cos(1000*t - 56.3*pi/180); EDU» plotyy(t,v,t,¡); EDU» xlabelftime (s)1);
Observar que no existe ninguna diferencia de fase de 90° entre las for mas de onda de corriente y tensión de la gráfica. Lo anterior se debe a que no se está graficando la tensión en el inductor, la cual se deja como ejercicio para el lector.
0
VW
CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
!(>+
P R A C T IC •
________________
10.3 Sea vs = 40 cos 8 OOOí V en el circuito de la figura 10.7. Aplicar al teorema de Thévenin en los casos en que éste sea más adecuado, y determi nar el valor en t = 0 para: (a) />,; (b) vL\ (c) iR\ (d) is. Respuestas: 18.71 mA; 15.97 V; 5.32 mA; 24.0 mA.
10.3
FUNCIÓN FORZADA COMPLEJA
---------• -----------------------------------------------------------------------------------------------El método con el que se determinó la respuesta senoidal de estado permanente del circuito RL en serie general no fue un problema trivial. Se podría pensar que las complicaciones analíticas surgen debido a la presencia del inductor; si ambos elementos pasivos hubieran sido resistencias, el análisis habría sido mucho muy sencillo, incluso con la función forzada senoidal presente. La razón de que el análisis hubiese sido tan fácil proviene de la relación tensión-corriente simple especificada por la ley de Ohm. Sin embargo, esta misma relación no es tan sim ple en el caso de un inductor, y en vez de resolver una ecuación algebraica uno se enfrenta con una ecuación diferencial no homogénea. Resultaría más bien bastante impráctico analizar cada circuito por el método que se describió en el ejemplo; por ello se planea formular un método para simplificar el análisis. El resultado será una relación algebraica entre la corriente senoidal y la tensión senoidal para inductores y capacitores, así como para resistencias; además, es factible obtener un conjunto de ecuaciones algebraicas para un circuito de cual quier complejidad. Las constantes y las variables en las ecuaciones serán núme ros complejos en vez de números reales, aunque el análisis de cualquier circuito en estado senoidal permanente se vuelve casi tan sencillo como el análisis de un circuito resistivo similar. Ahora se está listo para pensar en la aplicación de una función forzada com pleja (esto es, una que tiene una parte real y una imaginaria) a una red eléctrica. Esto quizá parezca una idea extraña, pero se descubrirá que el uso de cantidades complejas en el análisis senoidal de estado permanente origina dos métodos mu cho más simples que los que implican cantidades puramente reales. Se espera que una función forzada compleja propicie una respuesta compleja; la parte real de la función forzada originará la parte real de la respuesta, en tanto que la por ción imaginaria de la función forzada dará como resultado la parte imaginaria de la respuesta. Por fortuna, lo anterior parece razonable: resultaría difícil pensar en un ejemplo de una fuente de tensión real que dé lugar a una respuesta imagina ria, y por extensión, lo mismo es válido para la situación inversa. En la figura 10.8, una fuente senoidal descrita por Vm cos(
Vm eos (cot + 8)
j/,„ cos (cor + )
■ FIG U R A 10.8 La función forzada senoidal Vm cos (cot + ff) produce la respuesta senoidal de estado permanente lm cos(cot +
[5]
SECCIÓN 10.3 FUNCIÓN FORZADACOMPLtJA
• ------------------- V
W
“ 1377
se conecta a una red general, la cual se supondrá que contiene sólo elementos pa sivos (es decir, sin fuentes independientes) para no tener que apelar al principio de superposición. Se debe determinar una respuesta de corriente en alguna otra rama de la red, por lo que los parámetros que aparecen en la ecuación [5] son cantidades reales, sin excepción. Se muestra que podría representarse la respuesta mediante la función coseno general: g in Im eos(a>t + cp)
[6]
Una función forzada senoidal siempre da lugar a una respuesta forzada senoidal de la misma frecuencia en un circuito lineal. Se cambiará ahora la referencia de tiempo corriendo la fase de la función forzada de 90°, o cambiando el instante que se denomina t = 0. De tal forma, cuando se aplica la función forzada, Vm cos(&>f + 0 — 90°) = Vmsen{wt + 0)
' v -V
[7]
a la misma red, causará una respuesta correspondiente, esto es, Im cos(&>f + — 90°) = Im sen(&>í + )
[8]
A continuación se parte de la realidad física al aplicar una función forzada imagina ria, una que no se puede aplicar en el laboratorio, pero sí de manera matemática.
Fuentes imaginarias conducen a ... respuestas imaginarias Se construye una fuente imaginaria de modo muy simple; sólo es necesario mul tiplicar la ecuación [7] por j, el operador imaginario. Se aplica entonces j V msen(cút + 0)
[9]
¿Cuál es la respuesta? Si se hubiera duplicado la fuente, el principio de lineali dad requeriría que se duplicara la respuesta; la multiplicación de la función forzada por una constante k produciría la multiplicación de la respuesta por la m ism a constante k. El hecho de que la constante sea >/—í no cam bia esta relación. La respuesta a la fuente imaginaria de la ecuación [9] es, entonces, j ¡msen(ojt +
[10]
La fuente imaginaria y la respuesta se indican en la figura 10.9.
jV m se n (cvt + 8)
N
\jl„, se n (tot + tf>
I F IG U R A 1 0 .9 la función forzada senoidal imaginaria jVm sen(oif + 0) produce la respuesta senoidal imaginaria jlm sen(a>f + <¡>)en la red de la figura 10.8.
Aplicación de una función forzada compleja Se aplica u n afuente real y se obtiene una respuesta real; también se aplica una fuente imaginaria y se logra una respuesta imaginaria. En razón de que se tra baja con un circuito lineal se podría recurrir al teorema de la superposición para
Los ingenieros eléctricos utilizan “j" en vez de “i" para representar corrientes.
y evitar confundirlo con las
A /W
«
CAPÍTULO 10.ANÁLISIS DEESTADOSENOIDALPERMANENTE
encontrar la respuesta a una función forzada compleja, que es la suma de las fun ciones forzadas real e imaginaria. De tal modo, la suma de las funciones forzadas de las ecuaciones [5] y [9] es Vm cos (cot + 9) + j V msen(cot + 9)
[11]
por lo cual debe producir una respuesta que es la suma de las ecuaciones [6] y [10]: Im cos (cot +4>) + j Imsen(íüí + c¡>)
El apéndice 5 define los números complejos y los tér minos relacionados, hace un repaso de la aritmética
[12]
La fuente y la respuesta complejas tal vez se representan de manera más simple apli cando la identidad de Euler, Ja cual establece que cos (cot + 9) + j sen(cot + 9) = ei(a>t+o) _p or j0 tant0j ja fuente de la ecuación [11] se convierte entonces en
compleja y desarrolla la identidad de Euler, así como
Vmei(a>,+e)
la relación entre las formas exponencial y polar.
[13]
y la respuesta de la ecuación [12] es i
JU o t+ 4 > )
Lmt'
[14]
La fuente y la respuesta complejas se ilustran en la figura 10.10.
■ F IG U R A 1 0 .1 0 La función forzada compleja Zmelioí' +e) produce la respuesta compleja / mey ('” í+ s) en la red de la figura 10.8.
Una función forzada real, una imaginaria o una compleja tendrán como re sultado, respectivamente, una respuesta real, imaginaria o compleja. Además, mediante la identidad de Euler y el teorema de superposición, una función forzada compleja se considera como la suma de una fnnción forzada real y una imaginaria; la parte real de la respuesta compleja la produce la parte real de la función forzada compleja, en tanto que la parte imaginaria se debe a la parte imaginaria de dicha función. El plan es que en lugar de aplicar una función forzada real para obtener la respuesta real que se desea, se sustituya una función forzada compleja cuya par te real es la función forzada real dada; se espera obtener una respuesta compleja cuya parte real sea la respuesta real deseada. La ventaja de este procedimiento es que las ecuaciones integrodiferenciales que describen la respuesta de estado per manente de un circuito se conviertan ahora en simples ecuaciones algebraicas.
Alternativa algebraica a las ecuaciones diferenciales Se ensaya esta idea en el circuito RL simple de la figura 10.11. Se aplica la fuente real Vm cos cot y se desea la respuesta real i (t). Puesto que cos cot = Re{e7“ '} v, - V mcos (ot
(p
la fuente compleja necesaria es Vme ^
I FIG U R A 10.11 Se va a analizar un circuito simple en estado senoidal permanente mediante la aplicación de una función forzada compleja.
Se expresa la respuesta compleja que se produce en términos de una ampli tud desconocida lm y un ángulo de fase desconocido cp: i pj(o>t+)
SECCIÓN 10.3 FUNCIÓN FORZADA COMPLEJA
Al escribir la ecuación diferencial de este circuito particular,
t di a> + L — = vs dt se insertan las expresiones complejas de vs e i: R Ime](fút+^ + L dr (Jmej(0JíiJl,>) = Vmeja>‘ dt s e to m a l a d e r iv a d a in d ic a d a :
R Imej{cot+) + jcúL ImeKo>t+4,) = Vmeja>t y se obtiene una ecuación algebraica. Para determinar el valor de lmy , se di vide todo entre el factor común eja>t: R Imej t'+ .jc o L ImeM = Vm Factorizando el lado izquierdo: Irn é ^ iR + jcoL) = Vm y reordenando:
R + jcoL y se identifican Im y expresando el lado derecho de la ecuación en forma ex ponencial o polar: Ime>* =
Vm ^ (-ta n -W /* )) v R 2 + co2L 2
[15]
Por k¡ tanto, Vm Im =
^ / W + co2L 2
, coL
4> - - ta n En notación polar, esta expresión se escribiría como Im j O Vm/ / r 2 + co2 L 2 / - t a n " 1 c o L / R L a respuesta compleja está dada por la ecuación [15]. En razón de que Im y 0 se identifican con facilidad, se escribe de inmediato la expresión de i(t). Sin em bargo, si se necesita recurrir a un método más riguroso, se obtendría la respuesta real i(t) reinsertando el factor e ’,M en ambos lados de la ecuación [15] y tomando la parte real. De cualquier manera, se encuentra que i(t) - Im eos {cot +
w L \) - eos ((I cot — tan - i — *JR2 + co2L 2 V
R)
lo cual concuerda con la respuesta que se obtuvo en la ecuación [4] para el mismo circuito.
3 8 0 f - ------------------------------------ •
CAPÍTULO 10
ANÁLISIS DEESTADOSENOIDAL PERMANENTE
EJEMPLO 10.2 D eterm in ar la tensión com pleja en la com binación en serie de una re sistencia de 500 fi y un inductor de 95 m H si fluye la corriente com pleja 8 eJ?>«««' mA p o r los dos elem entos en serie. L a tensión compleja desconocida tendrá una amplitud Vm y un ángulo de fase , los cuales deben determinarse. Sin embargo, es necesario que la ten sión tenga la misma frecuencia que la com ente (3 000 rad/s), por lo que se expresa esta tensión como v
Vm C
«3000t+)
Igualándola con la suma de las tensiones respectivas en la resistencia y en el inductor, Vme i(3000' +,w = (500)0.008e73000' + (0.095)d(0.00SeJ------) dt y aplicando la derivada indicada, se encuentra que VmejQooot^) _ 4 e/3000í + j 2 2Sei3000t Factorizando el término exponencial e 73 °00', uno se queda con: VmeJ+ = 4 + j2 .2 S Al expresar el lado derecho en forma polar, se tiene 4+
7
2.28 = 4.60ej291°
a partir de lo cual se puede observar que Vm = 4.60 V y 0 = 29.7°, por lo que la tensión deseada es 4.60e'(3000í+29-7°) V Si se pide determinar la respuesta real, sólo es necesario tomar la parte real de la respuesta compleja: Re{4.60eA3000í+29-7°)} = 4.60 cos(3000í + 29.7°)
V
En consecuencia, se puede determinar la respuesta forzada de un circuito que contiene un elemento de almacenamiento de energía ¡sin tener que re solverlas ecuaciones diferenciales! P R Á C T IC A (Si se tienen problemas al trabajar con este problema de práctica, consulte el apéndice 5)
_______________________________________________________
10.4 Evaluar y expresar los resultados en forma rectangular o cartesiana: (a) r(2/30°)(5/- 1 1 0 ° )](l + 7 2); (b) (5 / -2 0 0 ° ) + 4 /2 0 °. Evaluar y expresar el resultado en forma polar: (c) (2 — 7 7 ) /(3 — j ) \ (d) 8 — j 4 + r(5/80°)/(2/20°)l. 10.5 Si se especifica el uso de la convención de signos pasiva, determinar: (a) la tensión compleja que se produce cuando se aplica la com ente compleja 4e^m>l A a la combinación en serie de un capacitor de 1 mF y una resistencia de 2 £2 ; (b) la com ente compleja que se obtiene cuando se aplica la tensión compleja I00ej2(mt V en una combinación en paralelo de un inductor de 10 mH y una resistencia de 50. Respuestas: 10.4: 21.4 - ;6.38; -0 .9 4 0 + 73.08; 2.30/- 5 5 .6 0; 9.43/- 1 1 .2 2 ° . 10.5: 9.43eJ(800' “ 32'0 ) V ; 5 . 3 9 ^ 2 ooo<-68 .2 °) ^
SECCIÓN 10.4 ELMSOR
• ------------------------- W
V
------------- (
381
10.4 a-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EL FASOR -----------Una com ente o una tensión senoidal a una frecuencia determinada se caracteri za por sólo dos parámetros: amplitud y ángulo de fase. La representación comple ja de la tensión o la com ente se caracteriza también por ambos parámetros. Por ejemplo, suponga una respuesta de corriente senoidal dada por
cos(&)í + 4>) donde la representación correspondiente de esta corriente en forma compleja es: i
l mt'
j( o tt+ < p )
U na vez que se especifican Im y 4> la corriente se define de manera exacta. A través de cualquier circuito lineal que opera en estado senoidal permanente a una sola frecuencia angular &>, se podría caracterizar en forma completa cada com ente o cada tensión conociendo su amplitud y su ángulo de fase. Además, la representación compleja de cada tensión y de cada com ente contendrá el mismo factor ejo>I. Puesto que es el mismo para cada cantidad, no contiene información útil. Desde luego, se reconocería el valor de la frecuencia si se revisa uno de es tos factores, aunque resulta mucho más simple escribir el valor de la frecuencia cerca del diagrama de circuito de una vez por todas y no ir cargando información redundante a lo largo de la solución. Por lo tanto, se podría simplificar la fuente de tensión y la respuesta de corriente del ejemplo 10.1 representándolas de ma nera concisa como e;0 = cosO + /se n O = 1
Vm
o
Vmej0°
y I eJ Estas cantidades complejas suelen escribirse en forma polar, en vez de exponen cial, para conseguir un pequeño ahorro de tiempo y esfuerzo adicionales. Entonces, la tensión de fuente
Se debe recordar que ninguno de los circuitos que se consideran responderá a una frecuencia que no sea
d(í) = Vm eos cot = Vm eos (cot + 0°) se representa ahora en forma compleja como vmZQ! y la respuesta de corriente i(t) = /,„ cos(&>í + 4>) se convierte en Im [±
Esta representación compleja abreviada recibe el nombre de fa so r.2 Se revisarán los pasos mediante los cuales una tensión o com ente senoidal se transforma en un fasor, y luego se podrá definir un fasor con mayor sentido y asignar un símbolo para representarlo. 2
El lector no debe confundirse con el phaser, un interesante dispositivo que se presenta en una popular serie de televisión...
la de ia fuente de excitación, lo que siempre se conoce por el valor de a>.
w v
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
U na corriente senoidal real i (t) = /,„ cos (a>t + c¡>) se expresa como la parte real de una cantidad compleja al recurrir a la identidad de Euler i{t) = R e { / ffl^ (tt,í+« }
i(t) -- J m COS {(Ot + 4J-.
En este caso se representa la corriente como una cantidad compleja mediante la eliminación de la instrucción Re{}, con lo cual se suma una componente imagi naria a la corriente sin afectar la componente real; además, se logra una simpli ficación adicional si se suprime el factor eJt,,t: I = Ime]+ y se escribe el resultado en forma polar: I — Im j c¡>
fi - i nryiü
El proceso mediante el cual se cambia i(t) a I recibe el nombre de transformación fasorial del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
Esta representación compleja abreviada es la representación fasorial; los fasores son cantidades complejas y por ello se escriben con negritas. Las letras ma yúsculas se usan para la representación fasorial de una cantidad eléctrica debido a que el fasor no es una función instantánea del tiempo: sólo contiene información de la amplitud y la fase. Se reconoce esta diferencia del punto de vista si se consi dera a i(t) como una representación en el dominio del tiempo y llamando al fasor I una representación en el dominio de la frecuencia. Se debe observar que la ex presión en el dominio de la frecuencia de una corriente o de una tensión no inclu ye de manera explícita la frecuencia. Sin embargo, se podría considerar que la fre cuencia es tan fundamental en el dominio de la frecuencia, que se destaca su omisión.
EJEMPLO 10.3 Transformar la tensión en el dominio del tiempo v(t) — 100 cos(400/ — 30°) volts al dominio de la frecuenciaLa expresión en el dominio del tiempo ya está en la forma de una onda coseno con un ángulo de fase. Por lo tanto, al suprimir ca = 400 rad/s, se tiene V = 100/ —30^ volts Observar que se han omitido varios pasos al escribir de manera directa dicha representación. En ocasiones, este procedimiento confunde a los estudiantes, pues olvidan que la representación fasorial no es igual a la tensión en el dominio del tiempo v (t). En vez de eso, constituye una forma simplificada de una función compleja formada al sumar una componente imaginaria a la función real v(t). P R Á C T IC A Por conveniencia, se proporcionan varias identidades trigonométricas útiles en la parte interna de la portada.
___________________________________________ ________________
10.6 Transformar cada una de las siguientes funciones del tiempo a la forma fasorial: (a) —5sen(580f — 110°); (b) 3cos600f — 5sen(600í + 110°) ^-, (c) 8cos(4í — 30°) + 4sen(4f — 100°). Sugerencia: convertir primero cada una en una función coseno simple con magnitud positiva. Respuesta: 5 / - 2 0 ° ; 2.41/ - 1 3 4 .8 ° ; 4 .46/ - 4 7 .9 ° .
SECCIÓN 10.5 RELACIONES FASORIAlES O h R . L Y C
0
AA/V
#■
El proceso de regresar al dominio del tiempo desde el dominio de la frecuencia es exactamente el inverso de la secuencia anterior. De tal manera, dada la ten sión fasorial V = 115/ —45° volts y conociendo que co = 500 rad/s, se puede escribir de manera directa el equiva lente en el dominio del tiempo: v ( t ) = 115 cos(500f — 45°) volts
Si se desea como una onda senoidal, v ( t ) también podría escribirse como i,i(0 — 115sen(500f + 45°) volts P R A C T IC A m
_____________________________________________
10.7 Sea co = 2000 rad/s y t = 1 ms. Obtener el valor instantáneo de cada una de las corrientes indicadas en la forma fasorial: (a) j 10 A; (b) 20 + j 10 A; (c) 2 0 + 7(10/20°) A. Respuestas: —9.09 A; —17.42 A; —15.44 A.
10.5
—
RELACIONES FASORIALES DE R, L--------------------------YC
_ * ------------------------------
-
--------------------------------------------------- ------------------- !
El poder real de la técnica de análisis basada en fasores radica en el hecho de que se pueden definir relaciones algebraicas entre la tensión y la corriente en induc tores y capacitores, del mismo modo que siempre se ha podido hacer en el caso de las resistencias. Ahora que se tiene la posibilidad de transformar dentro y fuera del dominio de la frecuencia, se procede a la simplificación del análisis del estado senoidal permanente estableciendo la relación entre la tensión fasorial y la corriente fasorial de cada uno de los tres elementos pasivos. i
La resistencia
i
La resistencia es el caso más simple. En el dominio del tiempo, como se indica mediante la figura 10.12a, la ecuación de definición es v(t) = R i(t) Se aplicará ahora la tensión compleja v (t) = Vtllej(ait+e) = Vm eos {cot + 6) + j Vm sen(
(a )
[16]
y se supone la respuesta de corriente compleja /(Oí = ImeK‘ot+
o, enformapolar, Vmí6_ = R Im/c¡)
[17]
(b)
■ FIG U R A 10.12 Una resistencia y su tensión y corriente asociadas en: (a) el dominio del tiempo, v = Ri,y (A) el dominio de la frecuencia, V = R\.
A /W
♦
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
Pero Vm[6_ e Im/(¡> representan sólo los fasores generales de tensión y de corriente V e I. Por lo tanto,. V = RI
La ley de Ohm se cumple tanto en el dominio del
[18]
La relación tensión-corriente en forma fasorial de una resistencia tiene la misma forma que la relación entre la tensión y la corriente en el dominio del tiempo. La ecuación de definición en forma fasorial se ilustra en la figura 10.12b. Los ángulos 6 y 4> son iguales, por lo que la corriente y la tensión siempre están en fase. Como un ejemplo del uso de las relaciones tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia, se supone que existe una tensión de 8 cos(100í — 50°) V en una resistencia de 4 íl. Al trabajar en el dominio del tiempo, se descubre que la corriente debe ser
tiempo como en el dominio de la frecuencia. En otras palabras, la tensión en la resistencia está dada siempre por la resistencia multiplicada por la corriente que fluye a través del elemento.
i(t) = ~ =
2cos(100í - 50°)
A
La form a fasorial de la misma tensión es 8/ —50° V, por lo que I = - = 2 / —50° R L------< t
A
Si se transforma esta respuesta de nuevo en el dominio del tiempo, resulta evidente que se obtiene la misma expresión de la corriente. Se puede concluir que no hay ahorro de tiempo o esfuerzo cuando un circuito resistivo se analiza en el dominio de la frecuencia.
El inductor Considerar ahora el inductor. La red en el dominio del tiempo se muestra en la figura 10.13a, y la ecuación de definición, una expresión en el dominio del tiempo, es di dt
’= L —r
(a)
\L
V =jio L l
d i (r) v(t) = L dt
g L
(b)
I F IG U R A 1 0 .1 3 Un inductor y su tensión y comente asociadas en (o) el dominio del tiempo, ir = Ldi/dt; y ( b) en el dominio de la frecuencia, V =jwL\.
[19]
Después de sustituir la ecuación [16] de la tensión compleja y la ecuación [17] de la corriente compleja en la ecuación [19], se tiene que V
J (f» t+ 6 ) _
/
J U o t+ 4 ¡ )
dt Tomando la derivada indicada, Vmei(o,t+9) = jc,)LImeJ
Vme ie = jo )L lme ^ se obtiene la relación fasorial que se desea: V = jcúL I
Í20]
La ecuación diferencial [19] en el dominio del tiempo se ha convertido en la ecuación algebraica [20] en el dominio de la frecuencia. La relación fasorial se in dica en la figura 10.13b. Observar que el ángulo del factor ja iL es exactamente +90° y que I debe, por lo tanto, estar retrasada de V de 90° en un inductor.
SECCIÓN 10.5 RELACIONES FASORIALES DE R, L YC
AA/V
*
i
385
EJEMPLO 10.4 Aplicar la tensión 8/—50° V a una frecuencia 10 = 100 rad/s en un in ductor de 4 II y. determinar la corriente fasorial y la corriente en el do minio del tiempo. Se utiliza la expresión del inductor que se acaba de obtener: 1=
y
8/ —50°
jto L
j 100(4)
= —y'0.02/ —50° = (1/ —90°)(0.02/ —50°)
I = 0.02/- 1 4 0 ° A Si se expresa esta corriente en el dominio del tiempo, se tiene i(t) = 0 .0 2 cos(lOOf - 140°) A = 20cos(100í - 140°) mA
El capacitor El elemento final por considerar es el capacitor. La relación corriente-tensión en el dominio del tiempo es ,d v ( t) iit) = C -
dt
La expresión equivalente en el dominio de la frecuencia se obtiene una vez más dejando que v i t ) e i(t) sean las cantidades complejas de las ecuaciones [16] y [17]; si se toma la derivada indicada, se suprime e JI"1, y se reconocen los fasores Y e I, se obtiene I = jco C Y
I =jw C V
[21]
De tal manera, I adelanta a V en 90° en un capacitor, lo cual, desde luego, no significa que ¡esté presente una respuesta de corriente un cuarto de periodo antes que la tensión que la provoca! Se está estudiando la respuesta de estado perma nente, y se encuentra que la corriente máxima se debe a la tensión creciente que ocurre 90° antes que la tensión máxima. Las representaciones en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia se comparan en la figura 10.14a y b. Se han obtenido ahora las relaciones Y-I de los tres elementos pasivos. Los resultados se resumen en la tabla 10.1, donde las
V
(a)
(b)
I FIG U R A 1 0 . 1 4 Relaciones (a) en el d o m inio del tie m p o y (ó ) en el do m in io de la frecuencia, entre la corriente del capacitor y la tensión.
TABLA 10.1 Comparación de las expresiones de tensión-corriente en el dominio _____________ del tiempo y en el dominio de la frecuencia._____________________ D om inio de la frecuencia
D om inio del tiem po R V =
■AAAr L ■TiTP-
di 'd t
R
Ri
V = jcoL l
—V W ií* v I
jíol,
P
I
C: dt
V
jo x C 1
v -
l/jjgs — If— + -:.V
■V W
386
CAPITULO
ANALISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
expresiones v-i en el dominio del tiempo y las relaciones V -I en el dominio de la frecuencia de los tres elementos del circuito se muestran en columnas adyacentes. Todas las ecuaciones fasoriales son algebraicas, cada una es también lineal, y las ecuaciones que relacionan a la inductancia y la capacitancia guardan una gran si militud con la ley de Ohm. En realidad, se usarán, como se empleó la ley de Ohm.
Leyes de Kirchhoff con fasores La ley de Kirchhoff de tensión en el dominio del tiempo establece que Ul(í) +
V 2 ( t ) H----------- 1- V f f ( t ) = 0
Se utiliza ahora la identidad de Euler para sustituir cada tensión real v¡ por una tensión compleja que tenga la misma parte real, se suprime e'1"'1 en todos lados y se obtiene Vi + V 2 + - - - + V * = 0
I FIG U R A 10.15 Circuito RL en serie con una tensión fasorial aplicada.
Por lo tanto, se verá que la ley de Kirchhoff de tensión se aplica a las tensiones fasoriales de la misma manera como ocurrió en el dominio del tiempo. Se prueba que la ley de corriente de Kirchhoff se cumple para las com entes fasoriales me diante un argumento similar. Considerar ahora brevemente el circuito R L en serie que se ha estudiado va rias veces; se m uestra en la figura 10.15 y se indican una corriente fasorial y varias tensiones fasoriales. Se obtendría la respuesta deseada, una com ente en el dominio del tiempo, mediante la determinación, en primer lugar, de la com ente fasorial. A partir de la ley de Kirchhoff de tensión, se tiene que Yr +Yl = Ys y utilizando las relaciones V -I de los elementos que acaban de obtenerse R I + jcaL I = Vs La comente fasorial se encuentra entonces en términos de la tensión de la fuente V s: R + jcoL Elegir una amplitud de la tensión de la fuente de Vm y un ángulo de fase de 0°. De tal modo, l v,n¿0: R + jcoL La com ente se transformaría al dominio de tiempo si se le escribe primero en la forma polar, esto es, iL . / ( - ta n -\w L /R )) j R 2 +«o2L 2 ‘ y después, siguiendo la familiar secuencia de pasos para obtener de una manera muy sencilla el mismo resultado que se obtuvo anteriormente en este capítulo mediante el “camino difícil”. i =
-A A A r io a
)V,
10 m H
i ■ FIGURA 10.16
20 íl
P R A C T IC A
___________________________________________________________
10.8 En el circuito de la figura 10.16, sea co = 1200 rad/s, Ic = 1.2/28° A, e l i = 3 /53° A. Determinar (a) I,s; (b) V v; (c) Í r (J). Respuesta: 2.33/ - 3 1 . 0 0 A; 34.9/74.5^ V; 3.99cos(1200f + 17.42°) A.
A /W
SECCIÓN 10.6 IMPEDANCIA
10.6 , IMPEDANCIA Las relaciones de corriente-tensión de los tres elementos pasivos en el dominio de la frecuencia son (suponiendo que se satisface la convención de signos pasiva) V = RI
y = jco L l
Y =
I jcvC
Si las ecuaciones se escriben como proporciones de tensión fasorial/corriente fasorial V 7I
V =
R
I
7
=
T ]C ú L
V 7
I
'i =
jto C
~r ~ r
se comprueba que las mismas son cantidades simples que dependen de los valores de los elementos (y de la frecuencia también, en el caso de la inductancia y la ca pacitancia). Estas proporciones se tratan de la misma manera que a las resistencias, con la excepción de que son cantidades complejas, por lo que todas las manipula ciones algebraicas deben ser las apropiadas para los números complejos. Definir la proporción entre la tensión fasorial y la corriente fasorial como la im pedancia, simbolizada por la letra Z. Es una cantidad compleja que tiene las dimensiones en ohms; no es un fasor y no puede transformarse al dominio del tiempo multiplicándola por eja>' y tomando la parte real. En vez de eso, se piensa en un inductor que se representara en el dominio del tiempo mediante su induc tancia L y en el dominio de la frecuencia por su impedancia jcoL. Un capacitor en el dominio del tiempo tiene una capacitancia C; en el de la frecuencia, cuenta con una impedancia 1/jcoC . La impedancia es una parte del dominio de la fre cuencia y no un concepto que sea parte del dominio del tiempo.
Zr =R I
l
= jcoL
Combinaciones de impedancia en serie La validez de las dos leyes de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia conduce al hecho de que pueden combinar las impedancias en serie y en paralelo median te las mismas reglas ya establecidas para las resistencias. Por ejemplo, en oo = 10 x 103 rad/s, un inductor de 5 mH en serie con un capacitor de 100 ¡i¥ se puede sustituir por una sola impedancia, que es la suma de las impedancias in dividuales. La impedancia del inductor es
ZL = j a L = j5 0 fi la impedancia del capacitor está dada por
Por lo tanto, la impedancia de la combinación en serie corresponde a Observar que 4 =
Zeq = Z ¿ + Z c = j5 0 — j 1 - j4 9 fi L a impedancia de inductores y de capacitores es una función de la frecuen cia, y esta impedancia equivalente corresponde a una sola pulsación a la cual se calculó, o) = 10000 rad/s. Si se cambia la frecuencia a co = 5000 rad/s, por ejemplo, Zeq = j 23 fi.
Combinaciones de impedancias en paralelo La combinación en paralelo del inductor de 5 mH y el capacitor de 100 /xF a ft) = 10000 rad/s se calcula exactamente del mismo modo que se calcularon las resistencias en paralelo:
A /W
CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
( j 50) (—_/'])
50
eq = ^ S O ^ j T = 749 = ~ j l 02° Q Con ( o = 5 000 rad/s, el equivalente en paralelo es —j 2 .17 Í2. El número complejo o cantidad que representa la impedancia puede expre sarse en forma polar o en forma cartesiana. Por ejemplo, se dice que la impedan cia 50 — 7 8 6 . 6 Í2 tiene una resistencia de 50 Í2 y ana.reactancia de —8 6 . 6 £2. Por ello, la parte real de la impedancia se conoce con el nombre de resistencia, mien tras que la componente imaginaria (incluyendo el signo pero no la j) se conoce con el nombre de reactancia, la cual a menudo está simbolizada por la letra X. Ambas tienen unidades en ohms. En forma cartesiana, Z = R + j X , y en forma polar, Z = \Z\/6. Por lo tanto, una resistencia tiene una reactancia cero, mien tras que los capacitores e inductores (ideales) tienen una resistencia nula. Lo anterior también puede observarse directamente de la form a polar de la im pe dancia. Considerar de nuevo Z = 50 — y 8 6 . 6 Í2, que puede también escribirse como 100/ —60’' Q. Puesto que el ángulo de fase no es cero, se sabe que la im pedancia no es puramente resistiva a la frecuencia co. Puesto que no es de + 90° se sabe que no es puramente inductiva y, de manera similar, no es puramente ca pacitiva o el ángulo de fase sería de —90°. ¿Puede incluir una combinación en serie o en paralelo un capacitor y un inductor y tener una reactancia nula? Claro que sí. Considerar la situación donde co = 1 rad/s, L = 1 H, y C = 1F, todas en serie con R = 1 Í2. La impedancia equivalente de esta red es Z = 1 + / (1) (1) — y / ( l ) ( l ) = 1 Q. como si (a la frecuencia de 1 rad/s) solamente estuviera pre sente una resistencia.
EJEMPLO 10.5 D eterm in ar la im pedancia equiv alente de la red de la figura 10.17a, la cual produce u n a pulsación de operación de 5 rad/s. 200 m F
2H
-rm ^
(ü )
-i í i
jio n
(b) ■ FIG U RA 10.17 (a) Red que se va a sustituir por una sola impedancia equivalente. (b) Los elemenios se sustituyen por sus impedancias en co = 5 rad/s.
SECCIÓN 10.6 IMPtDANCIA
En prim er lugar se deben convertir las resistencias, capacitores y el induc tor en las impedancias correspondientes, como se muestra en la figura 10.17b. Luego de examinar la red resultante, se observa que la impedancia de 6 fi está en paralelo con —y’0.4 fi. Esta combinación equivale a (6) (—y 0.4) =
_
6 - y 0.4 que está en serie con las impedancias —7 fi y j 10 fi de modo que se tiene 0.0265 - y0.3982 - j + j 10 = 0.02655 + y 8.602 fi Esta nueva impedancia está en paralelo con 10 fi, por lo que la impedan cia equivalente de la red resulta ser 1 0 1| (0.02655 + /8.602) =
10(0.02655 + J8.602) J 10 + 0.02655 + y 8.602
= 4.255 + 74.929 fi Alternativamente, se expresa la impedancia en forma polar como 6.511/49.20c fi. P R A C T IC A
__________ _______________________________________________
10.9 De acuerdo con la red de la figura 10.18, determinar la impedancia de entrada Z ent tque se mediría entre las terminales: (a) a y g; (b) b y g; (c) a y b.
5 mH
&>= 1000 rad/s FIG U RA 10.18
Respuestas: 2.81 + 74.49 Q; 1.798 - 7,1*124 Q; 0.1124 - 73.82 Q.
Es importante notar que la componente resistiva de la impedancia no nece sariamente es igual a la resistencia que está presente en la red. Por ejemplo, una resistencia de 10 fi y un inductor de 5 H en serie con co = 4 rad/s tiene una impedancia equivalente Z = 10 + j 20 fi, o, en forma polar, 22.4/63.4° fi. En este caso, la componente resistiva de la impedancia resulta igual a la resistencia en serie debido a que se trata de una red simple en serie. Sin embargo, si los dos ele mentos se ponen en paralelo, la impedancia equivalente es 10(y'20)/(l0 + j2 0 ) fi, u 8 + j 4 fi. El componente resistivo de la impedancia es ahora 8 fi.
3 9 0 ------------ V
W
CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
Determinar la corriente i(t\ en el circuito que se muestra en la figura 10.19 a .
(o)
I
1 k fl
(b) ■ FIG U R A 10.19 (a) Circuito RLC para el que se desea la respuesta forzada senoidal/(f). (b) Equivalente en el dominio de la frecuencia del circuito dado en a>= 3 000 rad/s.
Identificar el objetivo del problema. Es necesario determinar la corriente senoidal de estado permanente que fluye por la resistencia de 1.5 kí2 debido a la fuente de tensión de 3 000 rad/s de pulsación.
Recopilar la información conocida. En primer lugar debe dibujar un circuito en el dominio de la frecuencia. La fuente se transforma en la representación del dominio de la frecuencia 40/ —90° V, la respuesta en el dominio de la frecuencia se representa como I, y las impedancias del inductor y el capacitor, determinadas a co = 3 000 rad/s, son j kí2 y —j 2 kí2, respectivamente. En la figura 10.19b se ilustra el circuito correspondiente en el dominio de la frecuencia.
Decidir la técnica que mejor se ajusta al problema. Se analizará el circuito de la figura 10.19¿> para obtener I; mediante la combinación de las impedancias y con base en el uso de la ley de Ohm es un método factible. Después se utilizará el hecho de que se conoce co = 3 000 rad/s para convertir I en una expresión en el dominio del tiempo.
Construir un conjunto apropiado de ecuaciones.
= 2 + /1.5 = 2.5/36.87° kí2 En consecuencia, la corriente fasorial es simplemente:
SECCIÓN 10.6 IMPEDANCIA
A A /V ”
#■
i' 3 9 1
Determinar si se requiere información adicional. Si se sustituyen los valores conocidos en la relación, se tendrá 4 0 /—90° 1 = ----------- mA 2.5 /36.87° lo cual, junto con el conocimiento de que co = 3 000 rad/s, resulta sufi ciente para resolver respecto de i(t).
Buscar la solución. Esta expresión compleja se simplifica con facilidad a un número complejo en forma polar: 40 I = — / —90° - 36.87° mA 2 . 5 ---------------------
= 1 6 .0 0/-126.9° mA ------------------
Luego de transformar la corriente en el dominio del tiempo, se obtiene la respuesta deseada: i(t) = 1 6 co s(3 0 0 0 f— 126.9(? j|mA
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? La impedancia efectiva conectada a la fuente tiene un ángulo de +36.87°, lo que indica que presenta un carácter inductivo neto, o que la corriente es tará retrasada respecto de la tensión. Puesto que la fuente de tensión tiene un ángulo de fase de —90° (luego de convertirse en una fuente de cosenos), se observa que la respuesta es congruente. P R Á C T IC A
_
_________
______
____
------- j f p j :- T!!-" |||g
|0
10.10 En el circuito de la figura 10.20, determinar en el dominio de la frecuencia: (a) l i ; (b) I 2 ; (c) I 3 . É> F IG U R A 1 0 .3 0
Respuestas: 28.3/45° A: 20/90° A; 20/0° A.
Antes de empezar a escribir muchas ecuaciones en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia, es muy importante que se evite la elaboración de ecua ciones que están parcialmente en el dominio del tiempo, parcialmente en el do minio de la frecuencia y son por completo incorrectas. Una pista que indica que se ha cometido un error es la aparición de un número complejo y de una t en la misma ecuación, salvo en el factor eJ0>' . Y, puesto que e ,0,t desempeña un papel mucho mayor en las derivaciones que en las aplicaciones, conviene señalar que los estudiantes que descubran que crearon una ecuación con j y t, o con ¡_ y t, han formulado tal monstruo que el mundo estaría mejor sin él. Por ejemplo, unas cuantas ecuaciones antes se vio que Vs 4 0 /—90° I = V = . J - 7 7 T = 1 6 /—126.9° mA Z eq 2.5/36.9° L-----------Por favor no intente nada como lo siguiente: .. . x / 40 sen 3 000? ,m X ~ T 5
0
., * \ v 40 sen 3 000? ‘« X ^ T T T y -
”5 fí
\j5ñ
392
j-------------
W v
--------------------------•
CAPÍTL LO 10 ANÁLISIS DF. ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
En ocasiones, se puede ver que el recíproco de la impedancia es una cantidad más conveniente. Con este espíritu, se define la admitancia Y de un elemento de circuito como la razón de la corriente fasorial y de la tensión fasorial (suponiendo que se satisface la convención de signos pasiva): Y= — V y p o r e l lo
Y* = R
Y= Z
R
yí = y~^[ jíú L
La parte real de la admitancia es la conductancia G, y la parte imaginaria de la admitancia es la susceptancia B. De tal manera.
YC = ¡ coC
Y = G + j B = - = ----- ----J Z R + jX ítEMUcióN)
[22|
La ecuación [22] debe revisarse con cuidado; ¡no establece que la parte real de la admitancia sea igual al recíproco de la parte real de la impedancia, o que la parte imaginaria de la admitancia resulta igual al recíproco de la parte imagi naria de la admitancia! La admitancia, la conductancia y la susceptancia se miden en siemens. Una impedancia Z = 1 - j 2 £2 que podría representarse, por ejemplo, mediante una resistencia de 1 £2 resistor en serie con un capacitor de 0.1 /¿F a co = 5 Mrad/s, posee una admitancia igual a Y = - = — Z 1 - ¡2
I - J2 1 - ¡2
= 0.2 + )'0.4 S
La admitancia equivalente de una red con varias ramas en paralelo es la suma de las admitancias de las ramas individuales. En consecuencia, el valor numérico de la admitancia que acaba de indicarse se puede obtener a partir de una conductancia de 0.2 S en paralelo con una susceptancia positiva de 0.4 S. Lo primero podría representarse por medio de una resistencia de 5 £2 y lo úl timo por un capacitor de 0.08 ¿iF a a> = 5 Mrad/s, pues la admitancia de un ca pacitor es jcúC. Como una verificación del análisis, calcular la impedancia de esta últim a red, una resistencia de 5 £2 en paralelo con un capacitor de 0.08 /xF a o> = S Mrad/s. La impedancia equivalente se obtiene mediante
z=
5 (!
/jo>C) = 5 C-y-2 .5 ) =
5 + 1/jcúC
5 - j 2.5
como antes. Estas dos redes representan sólo a dos de un número infinito de re des diferentes que poseen esta misma impedancia y admitancia a esta frecuen cia. Sin embargo, representan las únicas redes de dos elementos, y por ello po drían considerarse como las redes más simples que tienen una impedancia de ] — ¡2 £2 y una admitancia de 0.2 + j 0.4 S a la frecuencia o) = 5 x I O6 rad/s. A veces se usa el término inm itancia, una combinación de las palabras im pedancia y admitancia, como una expresión general tanto de la impedancia
SECCION 10.8 ANÁLISIS NODAL V DE MALLA
•-
A/W
como de la admitancia. Por ejemplo, resulta evidente que conocer la tensión fa sorial en una inmitancia dada permite calcular la corriente que circula por ella.
P R A C T IC A
10.11 Determinar la admitancia (en form a rectangular) de: (a) una impedancia Z = 1 000 H ,/'400 fi; (b) una red compuesta por la combinación en paralelo de una resistencia de 800 fi, un inductor de 1 mH y un capacitor de 2 nF si co = 1 Mrad/s; (c) una red constituida por la combinación en serie de una resistencia de 800 fi, un inductor de 1 mH y un capacitor de 2 nF, si co = 1 Mrad/s. Respuestas: 0.862 —j'0.345 mS; 1.25 + /1 mS; 0.899 —j 0.562 mS.
T0.8 . ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA________________ Anteriormente se hizo un gran trabajo con las técnicas de análisis nodal y de mal! a, por lo que resulta razonable preguntar si podría ser válido un procedimiento similar en términos de fasores e impedancias para el estado senoidal perma nente. Ya se sabe que ambas leyes de Kirchhoff resultan válidas en el caso de los fasores; además, se tiene una ley similar a la de Ohm para los elementos pasivos V = Z I. En otras palabras, las leyes sobre las que se sustenta el análisis nodal son verdaderas para ios fasores y, por lo tanto, se debería proceder a analizar cir cuitos mediante técnicas nodales en el estado senoidal permanente. Con argu mentos similares, se establece que los métodos del análisis de m alla también re sultan válidos (y a menudo útiles).
EJEMP LO 10.7 Determinar las tensiones de nodo vt(t) y m(í) en el dominio del tiempo del circuito de la figura 10.21. -J5Ü
■ F IG U R A 1 0 .2 1 Circuito en el dominio de la frecuencia en el que se identifican las tensiones de nodo V, y V2-
Se indican como fasores dos fuentes de corriente, así como las tensiones de nodo fasoriales Vi y V 2. En el nodo izquierdo se aplica la LKC, de lo que resulta que: Vi 5
+
Vi - j 10
+
Vi - V 2
~
—J5
Vi -
v2
= 1/01 = 1 + JO
j 10
(Continúa en la siguiente página)
0
■V W
■*
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
En el nodo derecho: + J5 +
15 =
—(0-5/ —9°°) = j 0.5
Combinando términos, se tiene (0.2 + y0.2)V! - y 0 .1 V 2 = 1
y -,/O .iY i + (0 . 1 - j 0 .i)V 2 = j 0 . 5 Estas ecuaciones se resuelven con facilidad en la mayoría de las calculado ras científicas, y el resultado será Vi = 1 — ¡2 V y V? = —2 + j 4 V. Las soluciones en el dominio del tiempo se obtienen expresando V[ y V 2 en la forma polar: Vi = 2.24/ —63.4° V2 = 4.47A 16.60 y pasando al dominio del tiempo: i>i (/) = 2.24cos(® í — 63.4°) V v¿(¡0 = 4.47cos(® r -+ 116.6°) V Observar que el valor de co tendría que conocerse para calcular los valores de impedancia dados en los diagramas de circuitos. También, ambas fuentes deben operar a la misma frecuencia.
PRÁCTif.A
_________ ___________________________ ___________________ __
10.12 Aplicar el análisis nodal en el circuito de la figura 10.22 para determinar Vi y V2. 5 0 /-9ftfe,rrftfr
- j 25 mS
■ FIGURA 10.22
Respuesta: 1.062/23.3° V: 1.593/-5 0 .0 0
Considerar ahora un ejemplo del anáfisis de malla, teniendo presente de nuevo que todas las fuentes deben operar a la misma frecuencia. De otra forma, es imposible definir un valor numérico para cualquier reactancia en el circuito. Como se estudiará en la sección siguiente, la única manera de salvar un dilema de este tipo es mediante la superposición.
SECCIÓN 10.8 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA
»
^W EJEMPLO 10.8
O b ten er expresiones de las corrien tes en el dom inio del tiem po ¿i e el circuito de la figura 10.23a.
en
(a)
3
Ü
- jZ S l
21 ,
■ FIGURA 10.23 (o) Circuito en el dominio del tiem po que contiene una fuente dependiente, (ti) Circuito correspondiente en el dominio de la frecuencia.
Al observar en la fuente izquierda del circuito de la figura 10.23b que co = 103 rad/s, se dibuja el circuito en el dominio de la frecuencia y se asignan las corrientes de m alla li e I2. Alrededor de la m alla 1, se tiene que 3I i + j 4( I1 - I 2) = 10Z0! o (3 +
j'4 )I i
-
j4 I2
= 10
mientras la malla 2 tiene como resultado j 4 ( I 2 - I 1) - ) 2 I 2 + 2 I 1 = 0 o ( 2 - j 4 ) I 1+ j 2 I 2 = 0 Despejando,
I, = 14 ^ j 8 = 1.24/29.7° A 13 20 + j3 0 = 2.77/56.3° A •2 = 13 Por consiguiente, h ( t) = 1.24cos(103í + 29.7°) A i2(t) = 2.77cos(103í + 56.3°) A
PRACTICA 10.13 Aplicar el análisis de m alla en el circuito de la figura 10.24 a fin de determinar li e I2. R espuestas: 4 .8 7 / - 1 6 4 .6 ° A; 7 .1 7 / - 1 4 4 .9 ° A.
-( APLICACIÓN PRÁCTICA^") Frecuencia d e corte d e u n a m p lific a d o r tr a n sisto riz a d o
Los circuitos del amplificador basados en transistores constituyen una parte integral de muchos instrumentos electrónicos modernos. Una aplicación común se encuen tra en los teléfonos celulares (figura 10.25), donde las se ñales de audio se superponen sobre ondas portadoras de alta frecuencia. Desafortunadamente, los transistores in cluyen capacitancias integradas que implican limitacio nes en las frecuencias a las cuales pueden usarse, así que este hecho debe considerarse cuando se elige un transis tor para una aplicación específica.
■ F IG U R A 1 0 .2 5 Los amplificadores transistorizados se utilizan en muchos dispositivos, entre ellos los teléfonos celulares. A menudo, los modelos de circuitos lineales se utilizan para analizar su desempeño en función de la frecuencia. Cortesía de Nokia.
La figura 10.26a muestra lo que se conoce común mente como un modelo híbrido n de alta frecuencia pa ra un transistor de unión bipolar. En la práctica, aunque los transistores son dispositivos no lineales, se encuentra que este circuito lineal simple efectúa un trabajo razona blemente preciso al hacer el modelo del comportamiento del dispositivo real. Los dos capacitores CjT y C/t se uti lizan para representar capacitancias internas que caracte rizan al transistor particular utilizado; además, se agregan capacitores adicionales, así com o resistencias, para aumentar la exactitud del modelo, según sea necesario. La figura 10.26b muestra el modelo de transistor inserta do en un circuito de amplificador conocido como ampli ficador de emisor común. Suponiendo una señal de estado senoidal permanente representada por su equivalente de Thévenin V.vy Rs, in teresa la razón entre la tensión de salida Vsai con respecto a la tensión de entrada V ent- La presencia de las capaci tancias de transistor internas provoca una reducción en la amplificación a medida que aumenta la frecuencia de V,s ; a la larga, este fenómeno limita las frecuencias a las cuales el circuito operará de manera apropiada. Al es cribir una ecuación nodal a la salida se obtiene SmVir —
V sal -
V e,
(1 /jw C » )
+
V sa l
(R c II R l )
Colector
Base
---+ II
>
< i> *
1
lA A ______ VV V
=c„
Emisor
(a) I F IG U R A 1 0 .2 6 (o) Modelo de transistor híbrido n de alta frecuencia, (b) Circuito amplificador de emisor común que utiliza el modelo de transistor híbrido ir.
10.9 . SUPERPOSICIÓN, TRANSFORMACIONES_________ * DE FUENTE Y TEOREMA DE THÉVENIN Después de que se presentaron los inductores y los capacitores en el capítulo 7, se puede ver que los circuitos que contienen tales elementos m antenían su li nealidad y que los beneficios de ésta estaban otra vez disponibles. Entre dichos beneficios se encuentran el principio de superposición, los teoremas de Théve nin y de Norton y las transformaciones de fuente.
Al resolver para V sa¡ en términos de Vent, y observar au a \ jt — Vent, se tiene una expresión para la ganancia del amplificador: V sal
_
—gm iR cW R Ú il/j& C ^) (R cW R Ú +
V ent
+
(i? c ll^ ¿ )
a /ju C ,,)
= - g m ( R c W R L) + j c o j R c W R ú C , ,
1 + j ^ iR c W R ú C ^ Dados los valores típicosgm = 30 mS. R( = R l = 2 kfi, y = 5 pF, se grafica la magnitud de la ganancia como una función de la frecuencia (hay que recordar que co = 2ir f). La gráfica semilogarítmica se muestra en la figura 10.27a, y la serie de instrucciones de MATLAB uti lizadas para generar la figura se indica en la figura 10.27Z>. Resulta interesante, aunque quizá no totalmente sorpren dente, ver que una característica como la ganancia del amplificador depende de la frecuencia. En realidad, se po dría tener la intención de utilizar un circuito de este tipo como un medio para descartar las frecuencias que no in teresan. Sin embargo, al menos en el caso de frecuencias relativamente bajas, se ve que la ganancia es en esencia in dependiente de la frecuencia de nuestra fuente de entrada.
Cuando se caracterizan los amplificadores, suele hacerse referencia a la frecuencia a la cual se reduce la ganancia hasta l / \ Í 2 veces su valor máximo. De acuerdo con la figura 10.27a, se observa que la magni tud de ganancia máxima es 30 y que se reduce hasta 3 0 / V 2 = 21 en el caso de una frecuencia de casi 30 MHz. A menudo, esta frecuencia recibe el nombre de frecuencia de corte (ruptura) o de esquina del ampli ficador. Si se requiere una operación a frecuencia más alta, deben reducirse las capacitancias internas (es de cir, debe usarse un transistor diferente) o rediseñarse el circuito de alguna manera. En este punto se observa que definir la ganancia rela tiva a Vent no presenta una imagen completa del compor tamiento dependiente de la frecuencia del amplificador. Esto quizá sea patente si se considera en forma breve la capacitancia Cn : conforme co —> oo,Zc„ —> 0, por lo que Vent—^ 0. Este efecto no se manifiesta por sí solo en la ecuación que se obtuvo. Un método más completo con siste en desarrollar una ecuación de Vsai en términos de Vv, en cuyo caso ambas capacitancias aparecerán en la expresión; lo anterior requiere un poco más de álgebra.
Pda Edif: View Iitsert Toob W*idow Hdt>
35
30 -
Ya no se amplifica de manera eñcaz
t!)'
EDU» frequency = íogspace(3,9,100); EDU» numerator = -30e-3*l 000 + i*frequency*l 000*5e-12; EDU» denominator = 1 + i*frequency*l 000*5e-12; EDU» for k = 1:100 gain(k) = abs(numerator(k)/denominator(k)); end EDU» semiíogx(frequency/2/pi,gain); EDU» xlabel('Frequency (Hz)'); EDU» yíabei('Gaín'); EDU» axis([100 1e8 0 35]);
10 F fáquancy (h k )
(a) I FIGURA 10.27 (o) Ganancia del amplificador como una función de la frecuencia. (6) MATLAB utilizada para crear la gráfica.
Así, se sabe que se podrían utilizar estos métodos en los circuitos que se con sideran ahora; el hecho de que por casualidad se apliquen fuentes senoidales y que se busque sólo la respuesta forzada no tiene importancia. Igualmente ocu rre con el hecho de que se analicen los circuitos en términos de fasores, pues son circuitos que mantienen su linealidad. También se podría recordar que se recurrió a ésta y a la superposición cuando se combinaron fuentes reales e ima ginarias para obtener una fuente compleja.
(*)
0
A/W
■#
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
EJEM PLO 10.9 Aplicar la superposición para determinar V ( en el circuito de la figura 10.21, que, por conveniencia, aparece repetido en la figura 10.28a. -j5 n
—
V J 0.5 /-90° A
Ref. (b) ■ FIGURA 10.28 (o) Circuito de la figura 10.21 para el que se desea V,. (b) V, puede encontrarse mediante la superposición de las respuestas fasoriales separadas.
Primero se vuelve a dibujar el circuito como en la figura 10.28b, donde cada par de impedancias en paralelo se sustituye por una sola impedancia equiva lente. Esto es, 5 1[ —j 10 £2 es 4 — j 2 £2; j l 0 || —j 5 £2 es —j 10 £2; y 10 || j 5 es igual a 2 + j'4 £2. Para determinar Vi, se activa primero sólo la fuente izquierda y se obtiene la respuesta parcial, Vi¿. La fuente I /(T está en para lelo con una impedancia de (4 — j 2) || ( - j 10 + 2 + j4 ) por lo que =
(4 — j'2) (—j 10 + 2 + j'4) ^
4 — j 2 — ¿10 + 2 + ¿4
- 4 - j2 8 6 - j8
= 2 - ¿2 V
Con sólo la fuente de la derecha activa, la división de corriente y la ley de Ohm permiten escribir la siguiente relación Vi* = t - 0 . 5 /- 9 0 ° )
2 + j'4 4 — ¿2 — j 10 + 2 + j 4
(4 — j2 ) = —1 V
Al sumar Vi
- Vi,
2 - j 2 - 1 = 1 - J2
V
lo cual concuerda con el resultado anterior del ejemplo 10.7. Como se verá, la superposición es también extremadamente útil cuando se trabaja con un circuito en el que no todas las fuentes operan a la misma frecuencia.
SECCIÓN 10.9 SUPERPOSICIÓN, TRANSFORMACIONES DE FUENTE Y TEOREMA DE THÉVENIN
*-
A A /V
P R Á C T IC A t __________________________________________________
10.14 Si la superposición se aplica en el circuito de la figura 10.29, determinar Vi con: (a) sólo la fuente de 20/0°-mA en operación; (b) en operación sólo la fuente de 50/ —90°-mA. 50/-900mA
Respuestas: 0.1951 - j 0 . 5 5 6 V; 0.780 + j0.976 V.
EJEMPLO
Determinar el equivalente de Thévenin visto por la impedancia —/t0 ft de la figura 10.30a, y utilizarlo para calcular Vi.
Ref. fa )
ib)
(c)
V* (d)
■ F IG U R A 1 0 .3 0 (a) Circuito de la figura 10.286. Se desea el equivalente de Thévenin visto por la impedancia —y 10 Í2. (b) Se define V * ; (c) Se define Z * . (d) El circuito se vuelve a dibujar utilizando el equivalente de Thévenin.
(Continúa en la siguiente página)
10.10
AA/V
♦
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
La tensión en circuito abierto que se define en la figura 10.30/.), es Voc = (1 /0 !)(4 - ¿2) - (—0.5/ —90°)(2 + ¡4) = 4-7 2 + 2-71 =
6
- j3V
La impedancia del circuito inactivo de la figura 10.30c, como se observa desde las terminales de la carga, es simplemente la suma de las dos impe dancias restantes. En consecuencia, Z ¡i, =
6
+
7
2 £2
De este modo, cuando se reconecta el circuito como en la figura 10.30c/, la comente dirigida desde el nodo 1 hasta el nodo 2 , a través de la carga —7 1 0 £2 resulta
I12 =
6
+
6 -/3 7 2 -
= 0.6 +
7
O. 3 A
710
Se sabe ahora la corriente que fluye por la impedancia de —7 10 £2 de la figura 10.30a. Observar que no se puede calcular V 1 mediante el circuito de la figura 10.30d pues el nodo de referencia ya no existe. Volviendo al cir cuito original, pues, y restando la corriente 0.6 + j 0 3 A de la fuente de co rriente izquierda, se determina la corriente hacia abajo que pasa por la rama ( 4 - 7 2 ) £2 : h = 1 - 0.6 -
7
O. 3 = 0.4 -
7
O. 3
y, por ello, V i = ( 0 . 4 - 7 0 .3 ) ( 4 - j 2 ) = 1 -
V
como antes. Se pudo haber sido más astuto y haber utilizado el teorema de Norton en los tres elementos de la derecha de la figura 10.30a, suponiendo que el prin cipal interés está en Vi. También se utilizan en forma repetida las transfor maciones de fuente para simplificar el circuito. Por lo tanto, todos los atajos y trucos que surgieron en los capítulos 4 y 5 están disponibles para analizar circuitos en el dominio de la frecuencia. La ligera complejidad adicional, evidente ahora, surge por la necesidad de emplear números complejos, y no por alguna otra consideración teórica implicada.
•ion 3/30° A ( T )
7 2
Z -j 5 0.
P R Á C T IC A
ysn -o b ■ FIGURA 10.31
10.15 En el circuito de la figura 10.31, determinar: (a) la tensión en circuito abierto \ ah. (b) la corriente hacia abajo en un cortocircuito entre a y b: (c) la impedancia equivalente de Thévenin Z a¡, en paralelo con la fuente de corriente. Respuesta: 16.77/-33.4° V; 2.60 + ; 1.500 A; 2.5 - j 5 Si.
\
Vale la pena un comentario final. Hasta este punto, el estudio se ha restringido a circuitos de una sola fuente o de fuentes múltiples en los que cada una de ellas opera exactamente en la misma frecuencia. Esto resulta necesario a fin de definir valores de impedancia específicos de elementos inductivos y capacitivos. Sin em bargo, el concepto del análisis fasorial se extiende con facilidad a circuitos con fuentes múltiples que operan a diferentes frecuencias. En tales
SECCIÓN 10.9 SUPERPOSICIÓN, TRANSFORMACIONES DE FUENTE V TEOREMA DE THÉVENIN
•-
--------
/W \ ----------------i
401
casos, sólo se emplea la superposición para determinar las tensiones y las co rrientes debidas a cada fuente, y después se suman los resultados en el dominio del tiempo. Si varias fuentes operan a la misma frecuencia, la superposición tam bién permitirá considerar aquellas fuentes en el mismo tiempo, y agregar la res puesta resultante a la(s) respuesta(s) de otra(s) fuente(s) que operan a una fre cuencia diferente.
EJEMPLO 10.11 Determinar la potencia disipada por la resistencia de 10 ft en el circuito de la figura 10.32a. 10 í l
----- V A ----1 = 0.2 F
5 eos 3í A ( r
= = 0.5 F
^
I 2 eos 5í A
1 (a)
10 í l
-AA/V
ib) I" io n
■ F IG U R A 10 .3 2 (o) Circuito simple que tiene fuentes que operan a diferentes frecuencias. (b) Circuito con la fuente izquierda suprimida, (c) Circuito con la fuente derecha suprimida.
Después de observar el circuito, se podría estar tentado a escribir de inme diato dos ecuaciones nodales, o quizás a efectuar dos conjuntos de transfor maciones de fuente y lanzarse de inmediato a determinar la tensión en la resistencia de 10 £2. Desafortunadamente, esos procedimientos son imposibles de implementar, pues se tienen dos fuentes que operan a frecuencias diferentes. En una situación de este tipo, no hay manera de calcular la impedancia de ningún capacitor o inductor en el circuito. En este caso, ¿cuál o j se usa? La única forma de salir de este dilema es mediante la superposición, agrupando todas las fuentes con la misma frecuencia en el mismo subeircuito, como se indica en la figura 10.32b y c. (Continúa en la siguiente página)
En estudios futuros sobre el procesamiento de seña les, se presentará también ei método Jean-Bapiste Fojrier, matemático francés que desarrolló una téc nica para representar casi cualquier función arbitraria mediante una combinación de senoides. Cuando se trabaja con circuitos lineales, una vez que se sabe la respuesta de un circuito particular a una función for zada senoidal de tipo general, se puede predecir con facilidad la respuesta del circuito a una forma de on da arbitraria representada por una función de la serie de Fourier, simplemente mediante la superposición.
402
A /V V
CAPITULO 10 ANALISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
En el subcircuito de la figura 10.32/;, se calcula sin dificultad la corriente I' mediante la división de corriente: I ' = 2 /0 !
- j 0.4 1 0 - ; - 7 0 .4 J
79.23/ —82.03° mA por lo que i' = 79.23 cos(5f - 82.03°) mA De igual modo, se observa que I" = 5 /0 !
- j 1.667 _1 0 - , / 0 . 6 6 6 7 - 7 1.667
= 8 11.7/—76.86° mA por lo cual i" = 811.7 cos(3f - 76.86°) mA Debe observarse en este punto que, sin importar qué tan tentado se pudiera estar para sumar las dos corrientes fasoriales I' e I", en la figura 10.32b y c, esto sería incorrecto. El siguiente paso consiste en sumar las dos corrientes en el dominio del tiempo, elevar al cuadrado el resultado y multi plicar por 10 para obtener la potencia que absorbe la resistencia de 10 fi en la figura 10.32a: (i' + i" Y x 10 = 10[79.23 cos(51 - 82.03°) + 811.7 cos(3? - 76.86o)]2 ¿tW
7>io =
P R Á C T IC A 9_____________________________________________
10.16 Determinar la corriente i que pasa por la resistencia de 4 fi de la figura 10.33.
Respuesta: i = 175.6 cos(2f —20.55°) + 547.1 cos(5í —43.16°) mA.
A N Á LISIS A SIST ID O POR C O M PU T A D O R A Se tienen varias opciones en PSpice para analizar circuitos en el estado senoidal permanente. Tal vez el método más directo consista en utilizar las dos fuentes diseñadas de modo especial: VAC e IAC. La magnitud y fase de cualquier fuente se elige haciendo doble clic sobre la componente. Se simulará el circuito de la figura 10.19a que se ha dibujado nuevamente en la figura 10.34. La frecuencia de cualquier fuente no se elige en la ventana de diálogo Property Editor, sino a través de la ventana de diálogo anáfisis de barrido de ca.
SECCIÓN 10.9 SUPERPOSICIÓN, TRANSFORMACIONES DE FUENTE Y TEOREMA DE THÉVENIN
IP R IN T
R2 ~Wr~ 1k
-vw1.9c
L1
A C M A G = 40V ac A C P H A S E * -9 0 QVdc
3 3 3 .3 3 m H
d-
C1
1S6.7nF
■ F IG U R A 1 0 .3 4 Circuito senoidal simple que opera a to = 3000 rad/s. para el que se desea la corriente a través de la resistencia de 1.5 kQ .
Lo anterior se lleva a cabo eligiendo AC Sweep/Noise para Analysis, cuando se presenta con la ventana Simulation Settings. Se selecciona un barrido L in e a r y se fija T otal Points a un valor 1. Puesto que sólo se está interesado en la frecuencia de 3 000 rad/s (477.5 Hz), se fijan ambos parámetros S ta rt F requency y E nd F requency en 477.5 como se muestra en la figura 10.35. Simulación Settings General
Single AC Frequency Example
^vsiyss | Confjguration Fies ¡ Options | Data C olecten | Probé W H ffow j AC Sw«efi
¡AC Sweep/Noisé
~ *1
Q ptora:
---------------------------- —
i¿ r
¿ ta it Frequency: (477 5 Lfiaatitfrrac r
~
3
£ndF»que«^:
[¿77.5^
J c ía l P o irtt:
fT ~ ~
H w tc Caito,Yíforsfc Cas:
j. ParmesmSa*eep
t [TeropeoSu» (S » * *p l Save S a a P o r t
Noise Analysis ~ — -------------------------------------------
r
E n jtó d
| .................
' lo a d Brts P o rt
tíMC-fvd Output fie Q p tw n s ------------------------------------------------------
r
Insu de deiafed t a s poki tiunaton for n e n in o s certLiílBd souiees ar¿J t*n Íto n riu cto rs (.GP5
Canee I
j
jpp
j
Hefc
■ F IG U R A 1 0 .3 5 Ventana de diálogo para configurar la frecuencia de la fuente.
Observar que en el diagrama aparece un “componente” adicional, el cual se denomina IPRINT y permite imprimir una variedad de parámetros de corrien te. En esta simulación, se está interesado en los atributos AC, M AG, y PHASE. Para que PSpice imprima estas cantidades haga doble clic sobre el símbolo IPRINT en el esquema e ingrese y es en cada uno de los campos apropiados. Los resultados de la simulación se obtienen escogiendo la opción View O u tp u t File bajo PSpice en la ventana Capture CIS. FREQ
I M (V _P R IN T 1 )
4.775E+02
1.600E-02
IP(V_PRINT1) -1.269E+02
De tal modo, la magnitud de la corriente es de 16 mA, y el ángulo de fase corresponde a —126.9°, por lo que la corriente que circula por la resistencia de 1.5 k£2 resulta igual a i = 16 cos(3000í — 126.9°) mA = 16 sen(3O O O í-36.9°) mA
#■
AA/V
404
;------------ W
V
------------------------- •
CAPITULO lü ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
10,10 t DIAGRAMAS FASORIALES
Eje imaginario (V)
[FIGU RA 10.36 Diagrama fasorial simple que muestra al fasor de tensión de V, = 6 + ¡8 = 10/55.1° V.
(a )
i1= (i + j m 1 = (V2 /45°)V
El diagrama fasoria es un nombre que se asigna a un dibujo en el plano comple jo que muestra las relaciones entre las tensiones fasoriales y las corrientes faso riales de un circuito específico; ofrece también un método gráfico para resolver ciertos problemas y se puede utilizar para verificar métodos de análisis más exactos. En el siguiente capítulo se encontrarán diagramas similares que exhiben las relaciones de potencia compleja en el estado senoidal permanente. El lector ya debe estar familiarizado con el uso del plano complejo para iden tificar gráficamente números complejos y su suma y sustracción. En razón de que las tensiones y corrientes fasoriales son números complejos, también se deben identificar como puntos en un plano complejo. Por ejemplo, la tensión fasorial V| = 6 + 7 8 = 10/53.1° V se identifica sobre el plano de tensión complejo que se muestra en la figura 10.36. El eje x es el eje de tensión real, y el de y corres ponde al eje de tensión imaginario; la tensión V i se localiza por medio de una flecha dibujada desde el origen. En vista de que la suma y la sustracción resultan muy sencillas de llevar a cabo y de exhibir sobre un plano complejo, los fasores se suman y se restan con facilidad en un diagrama fasorial. La multiplicación y la división originan la suma y la sustracción de ángulos y un cambio de ampli tud. La figura 10.37a presenta la suma de V i y una segunda tensión fasorial V 2 = 3 — jA = 5 / —53.1° V, por otra parte, la figura 10.37b ilustra la corriente li, que es el producto de V i y de la admitancia Y = 1 -f y'l S. Este último diagrama fasorial presenta los fasores de corriente y de tensión sobre el mismo plano complejo; se entiende que cada uno tendrá su propia es cala de amplitud, pero una escala de ángulos común. Por ejemplo, una tensión fasorial de 1 cm de largo podría representar 100 V, ruientras que una corriente fasorial de la m isma longitud quizás indicaría 3 mA. Graficar ambos fasores sobre el mismo diagrama permite determinar sin ninguna dificultad la forma de onda que está adelantada y la que está retrasada. El diagrama fasorial ofrece también una interpretación interesante de la transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, pues el dia grama se podría interpretar desde el punto de vista del dominio del tiempo o del correspondiente al dominio de la frecuencia. Hasta ahora, se ha empleado este último, ya que se mostraron de manera directa los fasores sobre el diagrama faso rial. Sin embargo, se procederá desde el punto de vista del dominio del tiempo indicando primero la tensión fasorial V = Vm[a a como se dibuja en la figura 10.38a. Para transformar V al dominio del tiempo, el siguiente paso necesario es la multiplicación del fasor por e ' 0Jt; así, se tiene ahora la tensión compleja Vmeja ^ " ‘ = Vm/cot + a . Esta tensión también se interpreta como un fasor: uno con un ángulo de fase que aumenta de manera lineal coa el tiempo. Por lo tanto, sobre un diagrama fasorial, éste representa un segmento de recta rotatorio, Vm/ j o l + a
(b) I FIGURA 10.37 (a) Diagrama fasorial que muestra la suma de V] = 6 + / 8 V y V2 = 5 — /4 V, V, + V2 = 9 + ¡4 V = 9.85/24.0° V. (b) El diagrama fasorial muestra V, e h, donde I, = YV] e Y = 1 + /S = -1/ 2 / 45° S. Las escalas de amplitud de la corriente y de la tensión son diferentes.
(a)
(b)
I FIGURA 10.38 (a) Tensión fasorial Vm¿a. (b) Tensión compleja Vm/eet + a que se muestra como un fasor en un instante de tiempo particular y que adelanta a Vm[a por cot radianes.
SECCIÓN 10.10 DIAGRAMAS FASORIALES
ubicándose en la posición instantánea a>t radianes adelante (en dirección con traria a la de las manecillas del reloj) de Vm[a . En la figura 10.38& se muestran tanto Vm¿a como Vm/cot + a . El paso hacia el dominio del tiempo se completa ahora tomando la parte real de Vm¡cat + a . La parte real de esta cantidad compleja es la proyección de Vm/w t + a sobre el eje real: Vm cos(an + a ). En resumen, el fasor en el dominio de la frecuencia aparece sobre el diagra ma fasorial, y la transformación hacia el dominio del tiempo se consigue permi tiendo que el fasor gire en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, a una velocidad angular de a>rad/s y visualizando luego la proyección sobre el eje real. Resulta útil considerar a la flecha que representa al fasor V en el diagrama fasorial como la fotografía, tom ada en cot — 0, de la flecha rotatoria cuya proyección sobre el eje real es la tensión instantánea v(t). A continuación se construirán los diagramas fasoriales de varios circuitos simples. El circuito RLC en serie de la figura 10.39a tiene diferentes tensiones asociadas, aunque sólo una corriente. El diagrama fasorial se construye con mayor facilidad considerando la corriente simple como el fasor de referencia. De manera arbitraria se elig e l = /,„ /O' y se coloca a lo largo del eje real del dia grama fasorial, como se observa en la figura 10.39b. De esta forma, las tensiones respectivas de la resistencia, el capacitor y el inductor se deben calcular y ubi carse sobre el diagrama, donde se mantienen con toda claridad las relaciones de fase de 90° La suma vectorial de las tres tensiones respectivas es la tensión de la fuente; así que para este circuito, que es lo que se definirá en el capítulo subse cuente como “condición resonante”, puesto que Z c = —Z¿, son iguales la ten sión de la fuente y la tensión de la resistencia. La tensión total de la resistencia y del inductor, o en la resistencia y en el capacitor, se obtienen del diagrama su mando los fasores apropiados, como se ilustra. La figura 10.40a es un circuito en paralelo simple en el que resulta lógico uti lizar la tensión simple entre los dos nodos como un fasor de referencia. Suponga que V — 1/CT V. La corriente de la resistencia, I r = 0.2/0° A, está en fase con esta tensión; además, la corriente en el capacitor, Ic = j 0.1 A, adelanta a la ten sión de referencia por 90°. Después de que estas dos corrientes se agregan al diagrama fasorial, que se muestra en la figura 10.40&, se podrían sumar a fin de obtener la corriente de la fuente. El resultado es 1; = 0.2 + /0 .1 A.
■ FIGURA 10.40 (a) Circuito RC en paralelo. (b) Diagrama de este circuito; la tensión de nodo V se usa como un útil fasor de referencia.
Si la corriente de la fuente se especifica en un principio con el conveniente valor de 1/(F A y no se conoce al inicio la tensión del nodo, sigue siendo útil empezar la construcción del diagrama fasorial bajo el supuesto de una tensión de nodo (por ejemplo, V = 1/()'~ V otra vez) y utilizarlo como el fasor de referen cia. De esta forma, el diagrama se completa como antes y la corriente de la fuente que circula como resultado de la tensión de nodo supuesta de nuevo es igual a 0.2 + jO.l A . Sin embargo, la verdadera corriente de fuente es 1/(¥' A, y
i
jso a
+ vR -
ib) ■ FIGURA 10.39 (o) Circuito RLCen serie. (b) Diagrama fasorial de este circuito; la corriente I se usa como un fasor de referencia conveniente.
- A / V V --------------------------•
CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
por ello la tensión verdadera se obtiene al multiplicar la tensión de nodo supuesta por l/0 ! /( 0 .2 + y'O.l); la verdadera tensión de nodo es una conse cuencia 4 — j 2 V = V 20/ —26.6° V. La tensión supuesta implica un diagrama fasorial que difiere del verdadero por un cambio de escala (el diagrama supuesto es más pequeño por un factor de 1/ V 20) y una rotación angular (el diagrama su puesto está rotado 26.6° en dirección contraria a la de las manecillas del reloj). La construcción de los diagramas fasoriales suele ser muy simple, así que la m ayoría de los análisis de estado senoidal permanente serán más significativos si se incluyen tales diagramas. A menudo aparecerán ejemplos adicionales del uso de diagramas fasoriales en lo que resta de este estudio.
EJEM PLO 10.12 Construir un diagrama fasorial que muestre Ir, I e Ic del circuito de la figura 10.41. Mediante la combinación de estas corrientes, determi nar el ángulo mediante el cual Is adelanta a I#, Ic, e I*. Se elige primero un fasor de referencia adecuado. Luego de examinar el cir cuito y las variables a determinar, se ve que una vez que se conoce V se calcu lan, I/?, I¿, e I c mediante la aplicación simple de la ley de Ohm. Por lo tanto, se elige V = 1 /0 ! V por simplicidad, y después se calcula I* = (0.2)1/01
= 0 .2 / 0 ! A
l L = ( - / 0 . 1 ) l / 0 = 0 .1 /-9 0 ° A I FIGURA 10.41 Circuito simple para el que se requieren varias corrientes.
Ic = 0 0 .3 )1 /0 !
= 0.3/90° A
El diagrama fasorial correspondiente se presenta en la figura 10.42a. Tam bién es necesario determinar las corrientes fasoriales Is e l x. La figura 10.42b muestra la determinación de Ix = I/; + 1/? = 0.2 — y'0.1 = 0.224/ —26.6° A, y la figura 10.42c indica la determinación de Is = I c + l x = 0 .2 8 3 /4 5 ^ A. De la figura 10.42c, se puede afirmar que I s adelanta a I;? a 45°, Ic en —45°, e Ix en 45° + 26.6° = 71.6°. Sin embargo, estos ángulos son sólo relativos; los valores numéricos exactos dependen de I v, del que depende también el valor real de V (supuesto aquí, por conveniencia, igual a 1 /0 ! V).
■ FIGURA 10.42 (o) Diagrama fasorial construido con un valor de referencia de V = l/0_°. (6) Determinación gráfica de lx = l¿ + ls. (c) Determinación gráfica de ls = lc + I*.
LECTURAS COMPLEMENTARIAS
T R A C T IC A
_______________________________________ _________ _
10.17 Elegir algún valor de referencia conveniente para Ic en el circuito de la figura 10.43, dibujar un diagrama fasorial que muestre V r, V 2 , Vi, y V.s, y mida la proporción entre las longitudes de: ( a ) \ s y V jj (b) V i y V 2 ; (í) Vs y V R. Respuestas: 1.90; 1.00; 2.12
RESUMEN Y REPASO______________________________ □ Si dos ondas senoidales (o dos ondas cosenoidales) tienen ambas magnitu des positivas y la misma frecuencia, es posible determinar la forma de onda que está adelantada y la que está retrasada, al comparar sus ángulos de fase. □ La respuesta forzada de un circuito lineal a una tensión senoidal o a una fuente de corriente siempre se escribe como una senoidal simple que tiene la misma frecuencia que la fuente senoidal. □ Se puede efectuar una transformada fasorial sobre cualquier función senoidal y viceversa: V„, cos(o>í + 4>) -o- V„, /
Las impedancias agrupan combinaciones en serie y en paralelo de la misma manera que las resistencias.
□ Todas las técnicas de análisis usadas en los circuitos resistivos se aplican a los circuitos con capacitores y/o inductores una vez que todos los elementos se sustituyen por sus equivalentes en el dominio de la frecuencia. □ El análisis fasorial sólo se efectúa sobre circuitos de una sola frecuencia. En otro caso, debe recurrirse a la superposición y sumarse las respuestas parciales en el d o m in io d e l tie m p o , a fin de obtener la respuesta completa. ü
El poder que tienen los diagramas fasoriales es evidente cuando una función forzada conveniente se utiliza desde un inicio y el resultado inicial se escala apropiadamente.
LECTURAS ADICIONALES
_____________________
Una buena referencia sobre las técnicas de análisis basadas en fasores se puede encontrar en
R.A. DeCarlo y RM. Lin, Linear Circuit Analysis, 2a. ed. Nueva York: Oxford University Press, 2001. Los modelos de transistores dependientes de la frecuencia se estudian desde una perspectiva fasorial en el capítulo 7 de
W.H. Hayt, Jr. y G.W. Neudeck. Electronic Circuit Analysis and Design, 2a. ed. Nueva York: Wiley, 1995.
4 0 8 )------------ V
W
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
EJERCICIOS 10.1 Características de las senoides 1. U n a onda seno, / ( í ) , es cero y aum enta en t — 2.1 m s, además, e l m á x im o p o s itiv o sig u ie n te de 8.5 ocu rre en t = 7.5 m s. E xp re sa r la onda en la fo rm a f ( t ) ig u a l a: (a) C i s e n (w ; + cp), donde cp es p o s itiv o , lo más pequeño p o sib le , y se m id e en grados; (b) C2 cos(a>f + ¡i), donde fi tie n e la m a g n itu d m ás pequeña p o sib le y está en grados; (c) C 3 cos cot + Ca sen cot. 2. (íí) S i —10 cos cot -t- 4 sen cot = A eos {cot + cp), donde A > 0 y —180° < cp < 180°, d e te rm in a r A y cp. (b) S i 200 co s(5 í + 130°) = F cos 51 + G sen 5 1, d e te rm in a r F y G. (c ) E n c o n tra r tres va lo re s de t, 0 < t < 1 s, para los cuales i(t) = 5 cos lO í —3 sen lO t = 0. (d) ¿En qué in te rv a lo del tie m p o entre t = 0 y t = 10 m s es 10 cos lO O jrr > 12 sen lOOrrtl 3. Dadas las dos fo rm a s de onda senoidales, f ( t ) = —5 0 cos cot — 30 sen cot y g ( t) = 5 5 c o s cot — 1 5 s e n w f, d e te rm ina r; (a) la a m p litu d de cada una, y (tí) el án g u lo de fase m ediante e l c u a l f ( t ) adelanta a g(t). 4. S u s titu ir la respuesta de c o rrie n te supuesta en la ecuación [3 ], i(t) = A cos (cot — 9), en fo rm a d ire cta en la ecu a ció n d ife re n c ia l, L ( d i/d t) + Ri = Vm cos cot para d em ostrar que se o b tie n en valores de A y 0 que co ncuerdan co n la e cu a ció n [4 ], 5. C ie rto s u m in is tro de p o te n c ia genera una onda de te n sió n con fo rm a de onda coseno Vm cos (cot + ) a una fre c u e n cia de 13.56 M H z . S i e l s u m in is tro entrega una poten c ia m á x im a de 300 W a una carga de 5 f i y la tensión alcanza un m ín im o en t = 21.15 m s, ¿cuánto valen Vm, co, y ? 6. C o m p a ra r lo s siguientes pares de fo rm a s y d e te rm in a r c u á l es la adelantada: (á) —33sen(8r - 9°) y 1 2 c o s(8 r - I o) . (b) 1 5 c o s(1 0 0 0 r + 6 6°) y —2 c o s (l OOOr + 4 5 0 ° ). (c )s e n (f - 13°) y c o s(f - 9 0 °). (el) sen t y c o s(r - 9 0°). 7. E n c o n tra r la fo rm a de ondas en cada p a r que está retrasada co n respecto a la otra: (a) 6 c o s (2 7 r6 0 f — 9°) y —6 c o s (2 7 r6 0 / + 9 °). (b) c o s(í — 100°) y —c o s (í — 100°). (c) —sen ty sen/, (d) 7 OOOcosO —n) y 9 c o s (í —3 .1 4 °). 8. D e m o s tra r que la te n sió n v(t) = V¡ cos cot — Vo sen cot se puede e s c rib ir com o una fu n c ió n coseno sim p le Vm cos (cot + cp). O b te n er expresiones apropiadas de Vm y
9. El teorema de Fourier es una herramienta común tanto en la ciencia como en la in geniería. Dicho teorema demuestra que la forma de onda periódica de la figura 10.44 es igual a la suma infinita:
(a) Calcular el valor exacto de v(t) en t = 0.4 s. Determinar el aproximado de v(t) mediante la serie de Fourier anterior; (b) sólo el primer término; (c) únicamente los primeros cuatro términos; (d) sólo los cinco primeros términos.
■ FIGURA 10.44
10. Las tensiones eléctricas domésticas casi siempre se indican como 110 V, 115 V, o 120 V. Sin embargo, estos valores no representan la tensión de ca máxima. Más bien,
EJERCICIOS
A /V v --------- ( 409
*
señalan lo que se conoce como la raíz cuadrática media de la tensión, definida como
V^ü
v™cos2(wí)£/í
donde T = periodo de la forma de onda, Vm es la tensión máxima y tu = la frecuen cia de la forma de onda ( / = 60 Hz en Norteamérica). (a) Efectuar la integración indicada y demostrar que para una tensión senoidal se tiene Vm V2
io n -AA/V
ib) Calcular las tensiones máximas correspondientes a las tensiones rms de 110,
115, y 120 V. 2 eos 51 mV
10.2 Respuesta forzada a funciones senoidales
11. Encontrar a tensión en estado estable vc (t) como se indica en el circuito de la figura 10.45. 12. Determinar la tensión v¿ (t) del inductor del circuito de la figura 10.46, suponiendo 10.46, R = 100 Í2, L = 2 H, y que todos los transitorios han desaparecido hace mucho tiempo. 13. Sea Uj = 20 eos 500f V en el circuito de la figura 10.47. Después de simplificar un poco el circuito, determinar i¿(í). 20 n
O
:3F
I FIGURA 10.45
5 íl
i(l)
-v w — R 6 eos 400r V
VL
Ó
■ FIGURA 10.46
14. Si is = 0.4 eos 500/ A en el circuito de la figura 10.48, simplificar el circuito hasta que esté en la forma de la figura 10.4 y después determinar: (a) íl (t ) ; (b) ix (t). 20 0
30 í l 50
15. Una fuente de tensión senoidal vs = 100 eos 105t V, una resistencia de 500 Í2 y un inductor de 8 mH están conectados en serie. Determinar los instantes de tiempo, 0 < t < i r , en los que la potencia cero: (a) se entrega a la resistencia, (b ) se en trega al inductor, (c) la genera la fuente. 16. En el circuito de la figura 10.49, sea vs = 3 eos 105í V e is = 0.1 eos IO5?. Después de utilizar la superposición y el teorema de Thévenin, proporcionar los valores instantáneos de i i y v l en t = 10 n s. 17. Determinar iL( t ) en el circuito que se presenta en la figura 10.50.
100 O
0
A /W 60 a
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
120 a
18. Ambas fuentes de tensión del circuito de la figura 10.51 están dadas por 120 cos 120jrí V. (a ) Deducir la expresión de la energía instantánea almacenada en el inductor, y (tí) utilizarla para determinar el valor promedio ce la energía almacenada. 19. En el circuito de la figura 10.51, las fuentes de tensión son u,si = 120 cos 200í V y vs2 = 180 cos 200í V. Calcular la comente hacia abajo en el inductor. 20. Suponer que el amp op de la figura 10.52 es ideal (R¡ = oo, R 0 — 0, y A = oo). Además, observar que la entrada del integrador tiene aplicadas dos señales, —Vm cos cot y Usai- Si el producto R¡C¡ se iguala con la razón L / R en el circuito de la figura 10.4, demostrar que usai es igual a la tensión en R (referencia + a la izquierda) en la figura 10.4.
21. Una fuente de tensión Vm cos cot, una resistencia o i?, y un capacitor C están conec tados en serie, (a) Escribir una ecuación integrodiferencial en términos de la comente de lazo i y luego derivarla para obtener la ecuación diferencial del circuito. (tí) Suponga la forma general adecuada de la respuesta exacta de la respuesta forzada. 10.3 Función forzada compleja
22. Convertir las siguientes expresiones a la forma rectangular (cartesiana): (a) 7/ —90°; (b) 3 + j + 7/ —17°; ( c y i 4 e i 15°; (d ) 1/0!. Convertir las siguientes a la forma polar: (e) - 2 ( l + y9);(/)3. 23. Efectuar las operaciones indicadas y expresar la respuesta como un número com plejo en forma rectangular: (a) 3 + 15/ —23°; (tí) 12/(17/180°); a * * —i 6 ( i + ; y 7). 33/ —9° 24. Hacer la operación u operaciones indicadas y expresar su respuesta como un número complejo en forma polar: (a) 5/9! —9/ —17°; (tí) (8 —j 15) (4 -+- j 16) —j ; (14 - i9) (c) ------- + 5/ —30°; (d) 17/ —33° + 6/-2 1 ° + ;3.
0.08 H
-'W '-
(2
—
] 8)
25. Expresar las siguientes expresiones como un número complejo en forma polar: ; —j?6 5/30? le í5" (a) eJ14°. ■9/3! ■; (b) j‘ 2/ —15° 2 —j2 26. Convertir estos números complejos a la forma rectangular (cartesiana): (a) 5/ —110°; (tí) óe-7*600; (c) (3 + ?6)(2/50°). Convertir a la forma polar: (d) -100 - y40; (e) 2/50° + 3/-1 2 0 °.
■ FIGURA 10.53
27. Realizar los cálculos indicados y expresar el resultado en forma polar:
^ :0 .0 8 F
a 0.2 H
(a) 4 0 /—50° - 18/25!; (tí) 3 + - + . (c) ^2.1/25!)3; (d) O.lei03. ------] 1 + j2 28. En el circuito de la figura 10.53, sea ic expresada como la respuesta compleja 20eA40í+3°o) a , expresar vs como una función forzada compleja. 29. En el circuito de la figura 10.54, sea la comente ¡V,expresada como la respuesta compleja 20e-/(10í+25C) A, expresar la corriente de la fuente is(t) como una función compleja forzada.
■ FIGURA 10.54
30. En una red lineal, como la que se ilustra en la figura 10.8, una tensión de fuente senoidal, vs = 80 cos(500í - 20°) V, produce una comente de salida
EJERCICIOS
/sai = 5cos(500r f 12°) A, Determinar is¡a si i>j es igual a: (a) 40 cos(500f + 10°) V; (b) 40 sen(500í + 10°) V; (c) 40e-'(500'+10°) V; (d) (50 + j20)eJ5m V. 10.4 Fasor
31. Expresar cada una de las siguientes corrientes como un fasor: (a) 12 sen(400í + 110°) A; (b) —7 sen800í —3 eos 800í A; (c) 4 cos(200í —30°) —5 cos(200í + 20°) A. Si co = 600 rad/s, determinar el valor instantáneo de cada una de las siguientes tensiones en t = 5 ms: id) 70/30° V; (e) —60 + y40 V. 32. Sea co = 4 krad/s; determinar el valor instantáneo de ix en t = 1 ms si Ix es igual a: (a) 5/ —80° A; (b) —4 + j 1.5 A. Expresar en forma polar la tensión fasorial Vx si vx (t) es igual a: (c) 50 sen(2501 —40") V; (d) 20eos 108? —30senl08f V; (e) 33 cos( 80f - 50°) + 41 cos( 80f - 75°) V. 33. Las ecuaciones fasoriales Vi = 10/90° mV a a>= 500 rad/s y Y2 = 8/90° mV a o) = 1200 rad/s se suman en conjunto en un amp op. Si el amp op multiplica esta entrada por un factor de —5, determinar la salida en t = 0.5 ms. 34. Si co = 500 rad/s e I¿ = 2.5/40° A en el circuito de la figura 10.55, calcular vs(t).
M FIGURA 10.55 35. Sea co = 5 krad/s en e l c irc u ito de la fig u ra 10.56. D e te rm in a r: (a) v¡ ( t) ; (b ) V2(t); (c) v3(t). 0.1 mF
■ FIGURA 10.56
36. U n a c o rrie n te fa s o ria l de 1¿(F A flu y e p o r una c o m b in a c ió n en serie de 1 Q , 1 H . y 1 F. ¿ A qué fre c u e n cia la a m p litu d de la te n s ió n en los extrem os de la red es e l d oble de la que se presenta en los extrem os de la resistencia? 37. D e te rm in a r vx en e l c irc u ito de la fig u ra 10.57. 2 eos (400f + 40°) A
■ FIGURA 10.57
»
A /W --------
A A /V
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
38. Una caja negra con tiras amarillas contiene dos fuentes de comente, 1(| e l S2 - La tensión de salida se identifica como Vsa). Si Isl = 2/20° A e 1,2 = 3/ —30° A, entonces Vsa| = 80/10° V. Sin embargo, si 1^ = I ,2 = 4/40° A, entonces Vsai = 90 —y'30 V. Proporcionar Vsai si Isi = 2.5/ —60° A e I v2 = 2.5/60° A. 10.6 Im pedancia
0.6 H
bo F IG U R A 1 0 .5 8
39. Calcular la impedancia de una combinación en serie formada por una capacitor de 1 mF, otro de 2 mF y otro de 3 mF si trabajan a una frecuencia de (a) 1 Hz; (b) 100 Hz; (c) 1 kHz; (d) 1 GHz. 40. Calcular la impedancia de una resistencia de 5 £2 en paralelo con un inductor de 1 nH y un inductor de 5 nH si la frecuencia de operación es (a) 1 Hz; (b) 1 kHz; (c) 1 MEíz; (d) 1 GHz; (e) 1 THz. 41. Determinar Zent en las terminales a y b de la figura 10.58 si co es igual a: (a) 800 rad/s; (b ) 1600 rad/s. 42. Sean co = 100 rad/s en el circuito de la figura 10.59. Calcular: (a) Zent; (b) Zelll si se conecta un cortocircuito de x a y. 20 íl O----•---- W v ----
10 íl
^ 2 mF O
1
« 0.1 H 1
F IG U R A 1 0 .5 9
43. Si una fuente de tensión vs = 120 eos 800í V se conecta a las terminales a y b de la figura 10.58 (referencia+ en la parte superior), ¿qué comente fluye hacia la derecha en la resistencia de 300? 44. Obtener V en la figura 10.60 si la caja contiene: (a) 3 £2 en serie con 2 mH; (b) 3 £2 en serie con 125 /xF; (c) 3 £2, 2 mH, y 125 /xF en serie; (d) 3 £2, 2 mH, y 125 /xF en serie pero co = 4 krad/s. 45. Un inductor de 10 H, una resistencia de 200 £2 y un capacitor C están en paralelo. (a) Calcular la impedancia de la combinación en paralelo para co = 100 rad/s, si C = 20 /xF. (b ) Si la magnitud de la impedancia es 125 £2 a co = 100 rad/s, determi nar C. (c) ¿Con cuáles de los dos valores de co la magnitud de la impedancia es igual a 100 £2 si C = 20 /xF? 46. Un inductor de 20 mH y una resistencia de 30 £2 están en paralelo. Obtener la fre cuencia angular o» a la cual: (a) | Zent | = 25 £2; (b) ángulo (Zent) = 25°; (c) Rc(Zent) = 25£2; (d ) Im (Zent) = 10 £2. 47. Determinar R\ y
en el circuito de la figura 10.57.
48. Una red de dos elementos tiene una impedancia de entrada de 200 + /8 0 £2 a la fre cuencia co = 1200 rad/s. Determinar qué capacitancia C debe ponerse en paralelo con la red para proporcionar una impedancia de entrada con: (a) reactancia cero (b) una magnitud de 100 £2? 49. Para la red de la figura 10.61, determinar Zent at co — 4 rad/s si las terminales a y b están: (a) en circuito abierto; (b) en cortocircuito.
8 íl
■ FIGURA 10.61
EJERCICIOS
'W V -------------i 4 1 3
*
50. Calcular la impedancia equivalente de la red presentada en la figura 10.62, suponiendo una frecuencia d e / = 1 MHz. 2uF
3.2 yu.H
700 kft
51. Diseñar una combinación de inductores, resistencias y capacitores que tenga (a) una impedancia de L+ j 4 £2 en ca = 1 rad/s; (b) una impedancia de 5 £2 a co = 1 rad/s, construida utilizando al menos un inductor; (c) una impedancia de 7/80° £2 en co = 100 rad/s; y (d) utilizando el menor número de componentes posible, una impedancia de 5 £2 a / = 3 THz. 52. Diseñar una combinación de inductores, resistencias y capacitores que tenga (a) una impedancia de 1 + j 4 k£2 a ca = 230 rad/s; (b ) una impedancia de 5 M£2 a co = 10 rad/s, construido utilizando al menos un capacitor; (c) una impedancia de 80/ —22° £2 a co = 50 rad/s; y (d) utilizando el menor número de componentes posi ble, una impedancia de 300 £2 a co = 3 krad/s. 10.7 Adm itancia
53. Calcular la admitancia de una combinación en paralelo compuesta por un capacitor de 1 mF, otro de 2 mF y otro de 4 mF si trabajan a una frecuencia de (a ) 2 Hz; ib) 200 Hz; (c) 20 kHz; id) 200 GHz. 54. ¿Cuál es la susceptancia de la combinación en paralelo de (a) dos resistencias de 100 £2 cada una; (b) una resistencia de 1 £2 en paralelo con un capacitor de 1 F si la frecuencia de trabajo es de 100 rad/s; (c) una resistencia de 1 £2 en serie con un in ductor de 2 H si la frecuencia angular de trabajo es de 50 rad/s? 55. Calcular la admitancia de una entrada Y d e la red que se muestra en la figura 10.63 y dibujarla como la combinación en paralelo de una resistencia R y una in ductancia L, indicando los valores de R y L si ca = 1 rad/s. 56. Una resistencia de 5 £2, una inductancia de 20 mH y una capacitancia de 2 mF for man una red en serie que tiene terminales a y b. (a) Trabajar con las admitancias para determinar la cantidad de capacitancia que se debe conectar entre a y b de manera que Z entab = i?ent,a¿ + jO a oo = 500 rad/s. (b) ¿Cuál es el valor de Raa.abi ¿c) Con la C determinada, ¿cuál es el valor de Yent, ab a co = 100 rad/s? 57. En la red que se muestra en la figura 10.64, determinar la frecuencia a la que; (a) Rent = 550 £2; (b) X ent = 50fi; (c) Gent = 1.8 mS; ( d ) B eat = -1 5 0 yu-S. 58. Dos admitancias, Yi = 3 + j 4 mS y Y2 = 5 + 7 2 mS, se encuentran en paralelo y una tercera admitancia. Y3 = 2 —j 4 mS, está en serie con la combinación en para lelo. Si una corriente Ij = 0.1 /30° A fluye por Y 1, determinar la magnitud de la ten sión en (a) Yf, (b) Y2; (c) Y3; (d) la red completa. 59. La admitancia de la combinación en paralelo de una resistencia de 10 £2 y de una capacitancia de 50 ¡xF a co = 1 krad/s es la misma que la admitancia R\ y C¡ en serie a esa frecuencia, (a) Calcular Ri y C\. ib) Repetir para co = 2 krad/s. 60. Un plano de coordenadas cartesiano contiene un eje horizontal sobre el que Gent se da en siemens, y un eje vertical a lo largo del cual B eat se mide, también, en S. Con siderar que Yent representa la combinación en serie de una resistencia de 1 £2 y un capacitor de 0.1 F. {a) Determinar Yent, Gent, y Sent como funciones de co.
:1 F
I F IG U R A 1 0 .6 3
500 fí
o— W r Y¡„
F IG U R A 1 0 .6 4
1 mH
-OTT>100 0
414
A /V V
-•
0
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
(b) Localizar los pares de coordenadas (Gent, Bent) sobre el plano a los valores de frecuencia a> = 0, 1, 2, 5, 10, 20, y 106 rad/s. 61. Diseñar una combinación de inductores, resistencias y capacitores que tenga (a) una admitancia de 1 —y'4 S en cu = 1 rad/s; (b) una admitancia de 200 mS a co = 1 rad/s, construido utilizando al menos un inductor; (c) una admitancia de 7/80° /aS a a>= 100 rad/s; y (d) una admitancia de 200 mí2 a co = 3 THz utilizando el menor número de componentes posible. 62. Diseñar una combinación de inductores, resistencias y capacitores que tenga (a) una admitancia de 1 —j 4 pS en co = 30 rad/s; (b) una admitancia de 5 fiS a co = 560 rad/s. construido con al menos un capacitor; (c) una admitancia de 4/ —10° nS a a¡ = 50 rad/s; y (d) una admitancia de 60 nS en ío = 300 kHz con el menor número de componentes posible. 10.8 Análisis nodal y de malla
63. Utilizar el análisis de fasores y nodal en el circuito de la figura 10.65 para determi nar Ví -
■ FIGURA 10.65
10 mH
0.1 mF
64. Utilizar el análisis fasorial y de malla en el circuito de la figura 10.65 para obtener Is. 65. Obtener vx (t) en el circuito de la figura 10.66 si vs¡ = 20 eos 1OOOí V y vs2 = 20 sen 1 OOOí V. 66. (a) Determinar V3 en el circuito de la figura 10.67. (b ) ¿A qué valores idénticos deben cambiarse las tres impedancias capacitivas, de manera que V 3 esté a 180° fuera de fase respecto de la tensión de la fuente?
: FIGURA 10.66
ío o /c rv fi
R=l k f í
Zc = -;5 0 0 ft
■ FIGURA 10.67
67. Utilizar el análisis de malla para determinar ix (í) en el circuito que se presenta en la figura 10.68.
m FIGURA
10.68
EJERCICIOS
-J W
• “
\ r -
68. Determinar v j t ) para el circuito de la figura 10.68 mediante el análisis fasorial y el
nodal. 69. El amp op que se presenta en la figura 10.69 tiene una impedancia de entrada in finita, impedancia de salida cero y una ganancia grande pero finita (positiva, real), A = —Vo/V ¡ (a) Construir un diferenciador básico poniendo Zf = R f , determinar V0/ % y luego mostrar que V0/Vj *->■ —ja>C\Rf conforme A —> oo. (b ) Sea Z/el representante de ÍV y /^estando en paralelo, determinar Y „ / Y s, y luego mostrar que Y0/Y s —>• —ja>CiRf./[l + jc ú C fR f^ conforme A -»• oo. 70. En el circuito de la figura 10.70, determinar la tensión vj.
7^f|Utilizar el análisis fasorial para determinar las tres comentes de malla i\(t), h (t), e i . aíf) en el circuito de la figura 10.72.
I F IG U R A 1 0 .7 1
0.005í
6 cos 2t V
73. En el circuito de la figura 10.73, la tensión ui(r) = 6.014 cos(2jrf + 85.76°) volts. ¿Cuál es la capacitancia de Ci? 74. En el circuito de la figura 10.74, la corriente ;'i(f) = 8.132 cos I n t A . ¿Cuál es la inductancia d e L \!
20 n
20 Q,
/v v —
w » -----
+ 115 -\¡2 cos 27rr V
r
c.= = "iW -
i 3 5 mH
<> 20 n
115 ^pl cos 2v t V
I F IG U R A 1 0 .7 3
75. De acuerdo con el circuito de un amplificador transistorizado de la figura 10.26b, (a) obtener la ecuación del ángulo de fase de la salida como función de la frecuencia,
FIGURA 10.74
= h l0 0 m F
4 |f i
A A /V
CAPITULO 10 ANALISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
bajo el supuesto de una señal de entrada Vv = 1/CF volts, (b) Graficar su ecuación sobre una escala semilogarítmica para frecuencias entre 100 Hz y 10 GHz. Utilizar R s = 300£2, R b = 5k£>, r„ = 2.2k£2, C„ = 5 pF, C^ = 2pF, gm = 38 mS, R c = 4.7 k£2, y R¡, = 1.2 kí2. (c) Sobre qué intervalo de frecuencias la salida está desfasada exactamente 180° con respecto de la entrada? ¿Más o menos a qué fre cuencia dicha relación de fase empieza a cambiar? 10.9 Superposición, transform aciones de fuente y teorema de Thévenin
76. Determinar el equivalente de Thévenin en el dominio de la frecuencia de la red que se muestra en la figura 10.75. Mostrar el resultado cuando \ th está en serie con Z;/l. + Vr
2H
77. Calcular la admitancia de entrada del circuito que se presenta en la figura 10.76 y representarlo como la combinación en paralelo de una resistencia R y una inductancia L, indicando lo's valores de R y L si a> = 1 rad/s. 78. De acuerdo con el circuito de la figura 10.77, considerar la superposición y determi nar la parte de v¡ (t) debida a: (a) la fuente de tensión que actúa sola; (b ) la fuente de comente que actúa sola.
79. Utilizar a> = 1 rad/s, y determinar el equivalente de Norton de la red que se presenta en la figura 10.78. Construir el equivalente de Norton como una fuente de comente Iaí en paralelo con una resistencia Rf¡ así como una inductancia L^¡ o una capacitan cia Caí. 80. En el circuito de la figura 10.79 sea, is \ = 2 eos 200í A, is2 = 1 eos lOOí A, y ds3 = 2 sen 200f V. Determinar v¿(t).
VL
■ FIGURA 10.79
EJERCICIOS
• ---------------
81. Obtener el circuito equivalente de Thévenin de la figura 10.80. /300 íl
82. Determinar la corriente i{t) que fluye por la fuente de tensión de la figura 10.81. 250 ¡XF
5 eos (10? + 17°) V
■ FIGURA 10.81
(a) Calcular la tensión en el capacitor de 3 F de la figura 10.82. (b) Verificar su res puesta con PSpice. (a) Obtener el equivalente de Thévenin visto por el inductor de j5 de la figura 10.21. (b) Bajo el supuesto de una frecuencia de 100 rad/s, verificar la respuesta con PSpice. 85. Con una sola resistencia, un solo capacitor, una fuente de tensión senoidal y el prin cipio de división de tensión, diseñar un circuito para “filtrar” altas frecuencias (Su gerencia: definir una tensión de salida en uno de los dos elementos pasivos y consi derar a la fuente senoidal como la entrada. Al interpretar “filtrar” eso implicará una tensión de salida reducida). 86. Con una sola resistencia, un solo capacitor, una fuente de tensión senoidal y el prin cipio de división de tensión, diseñar un circuito para “filtrar” bajas frecuencias (Su gerencia: Definir una tensión de salida en uno de los dos elementos pasivos e imagi nar que la fuente senoidal es la entrada. Al interpretar “filtrar” eso implicará una tensión de salida reducida). 0 - 8 7 . (a) Reducir el circuito de la figura 10.83 a un circuito RC en serie simple. (b) Obtener la ecuación de la magnitud de la proporción de tensión Vent/V, como una función de la frecuencia, (c) Graficar su ecuación sobre el intervalo de frecuencia de 100 Hz a 1 MHz, y comparar su resultado con una simulación adecuada de PSpice del cir cuito original. ioo a
330 a A AAi — | \W
31.57 fF = —
_
~1
< ‘ 75 íl
■ FIGURA 10.83
8. Consultar la figura 10.26¿>. (a) Demostrar que la ganancia de tensión máxima del circuito amplificador (definida como Vsai/V,r) es —g m ( R c \ \ R L ) 6 6 - (b ) Si R s = 100 Q, RL = 8 el valor máximo de Rc es 10 kfi, rKgm = 300, y todos los demás
6 eos t V
FIGURA 10.82
W v
417
AAAr
CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE
parámetros pueden modificarse, ¿cómo podría cambiarse el diseño para incrementar la ganancia máxima? (c) ¿Cómo dicha modificación de diseño afectaría la frecuen cia de corte del amplificador? ¿De qué manera compensaría lo anterior? 89. Utilizar la superposición para determinar las tensiones (/) y V2 (t) en el circuito de la figura 10.84. 47 kfí
I—
1
v Jñ
vw----- — nmr>— a m — 1 1 2 /x H
56
kfí
vM )
112 /x H
= 33 /x F
100 cos (2 x 10 f + 3°) V ( f
47 kfí
nmp— — W v -----1 92 /xF -
1 (?) 100 co s (2 x 105f - 3 °) V
=
=
■ FIGURA 10.84
90. Utilizar la superposición para determinar las tensiones Wt(í) y i>2 (í) en el circuito de la figura 10.85.
10.10 Diagram as fasoriales
91. (a) Calcular los valores de 1¿, I/;, lr , Vi, V/í, y V r (más Vs) para el circuito de la figura 10.86. (b) Utilizando escalas de 50 V correspondiente a 1 pulgada y 25 A a 1 pulgada, mostrar las siete cantidades sobre mi diagrama fasorial e indicar que I¿ = ifl + ic y V j - V i + V * . j 2.5 fí ---------- ---------------------->
1
-j
+
I 1* +
1
= i o o / ( r v v ,. <> 2 f í
92. En el circuito de la figura 10.87, calcular los valores de: (a) li, I 2 , e I 3 . (b) Mostrar Vj, li, I 2 , e I í sobre un diagrama fasorial (las escalas de 50 V/pulgada y 2 A/pulgada Ic funcionan bien), (c) Determinar gráficamente Is e indicar su amplitud y su ángulo + de fase. \ c - : - jl fí 1 1,
’ 50 fí
ff FIGURA 10.86
■30 fí
VJ =12Q«CPv(~) 4 0 /3 0 °
fí
: -_/30 f í
2 ,/40
fí
■ FIGURA 10.87
93. En el circuito de la figura 10.88, se sabe que |Ii | = 5 A e 11 2 1= 7 A. Determinar li e I 2 utilizando compás, regla, escuadra, transportador y demás objetos similares. 94.SeaV 1 = 100/0° V, |V?| = 140 V, y | V i + V 2 I = 120 V. Utilizar métodos gráficos para determinar dos valores posibles del ángulo de V2 .
mFIGURA
10.88
Análisis de potencia circuitos de ca CONCEPTOS CL A V E
INTRODUCCION A menudo, una parte integral del análisis de circuitos es la determi
Cálculo de la potencia
9 instantánea.
nación de la potencia entregada o la potencia absorbida (o ambas). En el contexto de la potencia de ca, se puede observar que el método relativamente sencillo que se ha utilizado en los capítulos anteriores no proporciona un panorama apropiado de la forma en
: Potencia p ro m e d io (activa)
9 pro p o rcio na d a p o r una : fu e n te senoidal.
que opera un sistema en particular, por lo que, en este capítulo, se presentarán algunas cantidades relacionadas con la potencia.
^ Valores raíz m edia cuadrada (RMS).
Se comenzará por considerar la potencia instantánea como el pro ducto de la tensión y de la corriente, ambas en el dominio del tiempo
Potencia reactiva.
que se asocia con el elemento o la red de interés. En ocasiones, la po tencia instantánea resulta bastante útil por derecho propio, debido a que su valor máximo podría verse limitado a fin de no exceder el in tervalo de operación seguro o útil de un dispositivo físico. Por ejem
La relación entre potencia q com pleja, p ro m e d io
y reactiva.
plo, los amplificadores de potencia transistorizados y de bulbos de vacío producen una salida distorsionada, por lo que los altavoces generan un sonido con esa característica cuando la potencia máxima excede cierto valor límite. Sin embargo, el interés principal se con centra sobre todo en la potencia instantánea por la simple razón de que proporciona medios para calcular una cantidad más importante, la potencia promedio (activa). De manera similar, el recorrido de un viaje a través del campo se describe mejor mediante la velocidad promedio; el interés en la velocidad instantánea se limita a evitar las velocidades máximas que harían peligrar la seguridad de una persona o darían pie a que interviniese la patrulla de caminos. En los problemas prácticos se tratará con valores de potencia promedio que varían desde una pequeña fracción de un picowatt en una señal de telemetría del espacio exterior, unos cuantos watts en la potencia de audio suministrada a los altavoces de un sistema estéreo de alta fidelidad, hasta varios cientos de watts que se re quieren para operar la cafetera por las mañanas o los 10 mil millones de watts generados en la presa Grand Coulee. Aun así,
> Factor de potencia de una carga.
AAA/-
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
se verá que el concepto de potencia promedio tiene sus limitaciones, en espe cial cuando se trata del intercambio de energía entre cargas reactivas y fuentes de potencia. Lo anterior puede manejarse de manera sencilla mediante la pre sentación de los conceptos de potencia reactiva, potencia compleja y factor de potencia, todos muy comunes en el ámbito de la industria eléctrica.
11.1
POTENCIA INSTANTANEA
La potencia instantánea que se suministra a cualquier dispositivo está dada por el producto de la tensión instantánea a través del dispositivo y la corriente ins tantánea que circula por él (se respeta la convención de signos pasiva). A sí,1 P(t) = v (t)i(t)
[1]
Si el dispositivo en cuestión consiste en una resistencia R, entonces la potencia quizá se exprese sólo en términos de su corriente o nada más mediante la co rriente o la tensión: ? v2 (t) p (t) = v ( .t ) i ( t ) = i 2(t)R = - ^ K
[2]
Si la tensión y la corriente se asocian con un dispositivo que es completamente inductivo, entonces: p (t) = v (t)i(t) — L i{t')d^ p - = j v ( t ) í u ( í') d t' dt L J_ oo
[3]
donde se supone de manera arbitraria que la tensión es cero en t = —oo. En el caso de un capacitor, d v (t) 1 f‘ ,, p ( t) = v (t)i(t) = C v ( t) — — = — i(t) / i ( t ) d t dt C J_ oo
donde se hace un supuesto similar en relación con la corriente. Sin embargo, la lista de ecuaciones de la potencia en términos de sólo una corriente o una tensión muy pronto se convierte en algo pesado y complicado, a medida que se comien-
v0u(t) I F IG U R A 11.1 La potencia instantánea que se entrega a Res pR(f) = r ‘{t)R =
(Vg/R)(\
[4]
e 111/L )2u(t).
considerar redes más generales. L a lista también resulta absolutamente innecesaria, pues sólo es necesario determinar la corriente y la tensión en las termínales de la red. Como ejemplo, se podría considerar el circuito R L en serie que se indica en la figura 11.1 excitado mediante una fuente de tensión de escalón. La respuesta de com ente familiar está dada por: zan a
i(t) = ^ ( 1 - e~Rt/L)u (t) K y por ello la potencia total suministrada por la fuente o absorbida por la red pa siva se obtiene mediante
V2
p (t) = v (t)i(t) = ^ - ( 1 - e~R,/L)u(t) K puesto que el cuadrado de la función de escalón unitario es sencillamente la propia función de escalón unitario. (1) Antes, se convenía en que las variables minúsculas en itálicas se considerarían funciones del tiempo, así que se ha mantenido este espíritu hasta ahora. Sin embargo, para subrayar el hecho de que estas cantidades deben evaluarse en un instante de tiempo específico, se denotará de manera explícita la dependencia del tiempo a lo largo de este capítulo
SECCIÓN 11.1 POTENCIA- INSTANTÁNEA
• -----:-------------/ V
\ Av
---------------'. 4 2 1
L a potencia proporcionada a la resistencia se calcula a través de p R(t) = i \ t ) R = ^ - ( 1 - e R,/L)2u(t) Para determinar la potencia que absorbe el inductor, se calcula primero la ten sión en el inductor: vL(t) = L
d i( t)
Potencia Potencia suministrada por la fuente
dt -R t/i d u ( 0 ’ dt
= Vae - B^ u ( t ) + I^ { l
Potencia absorbida por la resistencia
= V0e - R,/Lu(t) puesto que d i¡ i(t)/d t es cero para t > 0 y -Q — e R t/l ) es cero en i tanto, la potencia que absorbe el inductor es
= 0 .
Por lo Potencia absorbida por el inductor
p L(t) = vL (t)i(t) = ^ e ~ Rtl L( l - e - Rt' L)u(t) K
J__ L 5
Sólo se requiere un poco de manipulación algebraica para demostrar que P ( t) = P R (t) + P L (t )
lo cual sirve para verificar la exactitud de este trabajo; los resultados se repre sentan en la gráfica de la figura 11.2.
Potencia debida a la excitación senoidal Se cambiará la fuente de tensión en el circuito de la figura 11.1 por la fuente senoidal V,„ eos cot. L a respuesta común en el dominio del tiempo está dada por i(t) = Im eos (cot + 4>) donde: Im -
Vm s /R 1 + m2L 2
= —tan T ~~
coL R
Por lo tanto, la potencia instantánea que se suministra a todo el circuito en el es tado senoidal permanente es: p (t) — v (t)i (t ) = VmIm eos (cot +
2
Vvmlm T
V I eos (p H— '~z~ eos (2cot +
La última ecuación posee varias características válidas en general para cir cuitos en estado senoidal permanente. Un término, el primero, no es una función del tiempo, en tanto que el segundo término tiene una variación cíclica en el doble de la frecuencia aplicada. Debido a que el término es una onda coseno y en vista de que las ondas seno y las coseno tienen valores promedio de cero (cuando se promedia un número entero de periodos), este ejemplo sugiere que la potencia p ro m e to (activa) corresponde a \ VmIm eos
6
J ____I____L
7
8
9
10
I FIGURA 11.2 Gráficas de p (f), pn(t), y p ; (f). A medida que desaparece el transitorio, el circuito vuelve a la operación dé estado permanente. Puesto que la única fuente que queda en el circuito es de cd, a la larga el inductor actúa como un cortocircuito que absorbe potencia cero.
AA/V
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
EJEMPLO 11.1 Una fuente de tensión, 40 + || un capacitor de 5 ¡ib y una re sistencia de 200 fi están en serie. Determinar la potencia que absorben el capacitor y la resistencia en i = 1.2 ms. Antes d e ; — CT, no fluye ninguna com ente, por lo que una tensión de 40 V aparece en los extremos del capacitor. En t = 0+ , la tensión de la combi nación en serie de un capacitor y una resistencia salta a 100 V. Puesto que vc no puede cambiar de manera instantánea, la tensión en la resistencia en t = fP corresponde a 60 V. Por lo tanto, la com ente que circula por los tres elementos en t = 0+ es de 60/200 = 300 mA y para t > 0 está dada por: i{t) = 300e“ í/r mA donde r = R C = 1 ms. De tal modo, la com ente que fluye en t — 1.2 ms es de 90.36 mA y la potencia que absorbe el resistor en ese instante corresponde simplemente a ¿2( í ) / ? = 1.633 W. La potencia instantánea que absorbe el capacitor es i (t)v c (t ). Al reconocer que la tensión total en ambos elementos en t > 0 siempre será de 100 V y que la tensión en el resistor está dada por 60e~flx, se tiene vc (t) = 100 - 60e“ í/r de modo que se observa que i>c(1.2 ms) = 100 — 60e~12 = 81.93 V. De esta forma, la potencia que está absorbiendo el capacitor en t — 1.2 ms es (90.36 mA) (81.93 V) = 7.403 W. P R Á C T IC A
___________________________________________
11.1 Una fuente de com ente de 12 cos 2 OOOí A, una resistencia de 200 fi y un inductor de 0.2 H están en paralelo. Suponer que existen condiciones de estado permanente. En t = 1 ms, determinar la potencia que absorbe: (a) la resistencia; (b) el inductor y (c) la fuente senoidal. Respuestas: 13.98 kW; —5.63 kW; —8.35 kW.
11.2 •--------------------------------------------------------------------------------------------------------POTENCIA PROMEDIO O ACTIVA --------Cuando se habla de un valor promedio de la potencia instantánea, debe definirse con toda claridad el intervalo durante el que se lleva a cabo el proceso de prome dio. Se elige primero un intervalo general de t\ a tj. Se podría obtener el valor promedio al integrar p (t) desde t¡ hasta ti y dividir el resultado entre el intervalo ?2 — t\. De tal modo: 1 fh P = -------- / W ) d t
h — h Jt ,
[5]
El valor promedio se denota mediante la letra mayúscula P, puesto que no es una función del tiempo y suele aparecer sin ningún subíndice específico que la iden tifique como un valor promedio. Aunque P no es una función del tiempo, es una
SECCIÓN 11.2 POTENCIA PROMEDIO O ACTIVA
0
A/W
*
función de t¡ y to, los dos instantes que definen el intervalo de integración. Esta de pendencia de P en el intervalo específico se expresaría de una manera más simple si p (t) fuese una función periódica. Se considera primero este importante caso.
Potencia promedio (activa) de formas de onda periódicas Suponga que la función forzada y que las respuestas de circuito son periódicas; se ha alcanzado una condición de estado permanente, aunque no necesariamente el estado senoidal permanente. Se podría definir de manera m atemática una función periódica f ( t ) al requerir que m
= fu + t)
ra
donde T es el periodo. A continuación se demostrará que el valor promedio de la potencia instantánea, según se expresa mediante la ecuación [5], se calcularía sobre un intervalo de un periodo que tiene un inicio arbitrario. Una forma de onda periódica general se ilustra en la figura 11.3 y se identi fica como p (t ). Se calcula primero la potenci a integrando desde t\ hasta un tiempo to que está un periodo después, to = t f ^ - T : 1 r h+T Pi = Y J P ( t) d t y se integra luego desde algún otro tiempo tx hasta tx + T: i Px = -
J
r tx+T
p (t)d t
La igualdad de P\ y Px debe ser evidente a partir de la interpretación gráfica de las integrales; la naturaleza periódica de la curva requiere que ambas áreas sean iguales. De tal modo, la potencia prom edio (activa) se calcula integrando la potencia instantánea durante cualquier intervalo que sea de un periodo de lon gitud, y luego se divide entre el periodo: p (t)d t
[7]
Es importante observar que se integraría también sobre cualquier número en tero de periodos, siempre que se divida entre el mismo número entero de periodos. En consecuencia: r‘x+nT P = — l p (t) d t = n- T JL
n = 1,2,3,...
[8]
Si se lleva este concepto al extremo integrando sobre todo el tiempo, se obtiene otro resultado útil. Primero se proporcionan los límites simétricos en la integral 1
rnT/2
P = —
p (t)d t
n T J -n T / 2
y luego se toman los límites cuando n se vuelve infinita, nT/2
= lím ~ f h— *oo n T J_-nnT /I
p (t) dt
P(t)
ti + T
tx + T
■ F IG U R A 1 1 .3 El valor promedio de P de ^na función periódica p(t) es el mismo sobre cualquier periodo T.
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
En lanto que p(t) es una función con buen comportamiento matemático, como lo son todas las funciones y respuestas forzadas físicamente, resulta claro que si se sustituye un entero n mayor por un número un poco más grande no entero, enton ces el valor de la integral y de P cambian en una cantidad despreciable; además, el error disminuye cuando n crece. Sin justificar este paso de manera rigurosa, se sustituye así la variable discreta nT por la variable continua -T
T
O
. i nn P = hm — I p (t)d t x--*o° r J —x/2
2r
(«)
Se verá que es conveniente en varias ocasiones integrar funciones periódicas so bre este “periodo infinito”. A continuación se dan ejemplos del uso de las ecua ciones [7], [8] y [9]. Se ejemplificará el cálculo de la potencia promedio de una onda periódica al en contrar la potencia promedio suministrada a una resistencia R por la forma de onda de comente diente de sierra (periódica) que se ilustra en la figura 11.4a. Se tiene
p(t)
m = jt, -T
O
T
[9]
o
2T
(b) ■ F IG U R A 1 1 .4 (a) Forma de onda de corriente diente de sierra, y (b) forma de onda de potencia instantánea que se produce en una resistencia R.
i(t) = y ( t - T ) ,
T < t < 2T
etcétera; y p (t) = ^ j l R t \
0 < t< T
p(f ) = ^ % R ( t - T )2,
T < t <2T
y así sucesivamente, como se presenta en la figura W A h. Al integrar sobre el in tervalo más simple de un periodo, desde t = 0 hasta t = T , se tiene P = L f T ^ t 2d t = \ l l R T J0 T 2 3 m La selección de otros intervalos de un periodo, como de t = 0.1T a í = 1.1T, produciría la misma respuesta. La integración desde 0 hasta 2 T y la división en tre 2 T — es decir, la aplicación de la ecuación [8] con n = 2 y tx = 0— propor cionaría la misma respuesta.
Potencia promedio (activa) en el estado senoidal permanente Se obtendrá el resultado general del estado senoidal permanente. Se supondrá la tensión senoidal general v (t) = Vm cos(cút + 9) y la corriente i( t) = lm cos (cot + (¡)) asociadas con el dispositivo en cuestión. La potencia instantánea se calcula m e diante p (t) — VmIm cos (cot + 9) cos (cot +
p(t) — ~V,„Im cos (9 - 0 ) + \V mlm cos(2 cot + 9 +)
[10]
SECCIÓN 11.2 POTENCIA PROMEOIO O ACTIVA
•--------------- W V
es posible ahorrar parte de la integración mediante la inspección del resultado. I 12;r El primer término es una constante, independiente de t. El otro es una función | Recor(^ar 1ue T = j = ~ ■ coseno; p ( t) es en consecuencia periódica y su periodo es igual a | T . Observar I que el periodo T se asocia con la corriente y la tensión dadas, y no con la poten cia; la función potencia tiene un periodo | T . Sin embargo, se debe integrar so bre un intervalo de T para determinar el valor promedio, si así se desea; sólo es necesario dividir también entre T. No obstante, la familiaridad que se tiene con las ondas coseno y seno indica que el valor promedio de cualquiera sobre un pe riodo es cero. Por ello no hay necesidad de integrar de manera formal la ecuación [ 1 0 ]; por inspección, el valor promedio del segundo término es cero sobre un pe riodo T (o ¿ J ) y el valor promedio del primer término, una constante, debe ser también la propia constante. Por lo tanto,
[ 11]
P = \V mIm eos(9 - (p)
Este importante resultado, que se presentó en la sección anterior para un cir cuito específico, es por lo tanto bastante general del estado senoidal perma nente. La potencia promedio resulta la semisuma del producto de la amplitud de cresta de la tensión, la amplitud de cresta de la com ente y el coseno de la diferencia del ángulo de fase entre la comente y la tensión; el sentido de la diferen cia no tiene importancia.
EJEMP LO 11.2 Dada la tensión en el dominio dei tiempo v = 4 cos(jrí/6) V, determinar ia potencia promedio y la expresión de la potencia instantánea que se produce cuando la tensión fasorial correspondiente a V = 4/0° V se aplica a través de una impedancia Z = 2/60? SiLa corriente fasorial es V /Z = 2/ —60° A, y la potencia promedio (activa) P =
5
(4) (2) eos 60° = 2 W
la tensión en el dominio del tiempo es TZt v (t) = 4cos — V
6
la corriente en el dominio del tiempo i (t ) =
2
nt eos I — - 60°^ A
6
y la potencia instantánea p ( t) =
8
nt í nt \ eos — eos í —— 60 j
= 2 + 4 eos
nt
- 60°^ W (Continúa en la siguiente página)
426
)-------------
V V V ------------------------- •
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
se dibujan sobre el mismo eje de tiempo de la figura 11.5. Tanto el valor promedio de 2 W de la potencia como su periodo de 6 s, la mitad del periodo de la corriente o de la tensión, resultan evidentes. También es claro el valor cero de la potencia instantánea en cada instante, cuando la tensión o la com ente es cero. p, v, i (W , v, A)
■ F IG U R A 1 1 .5 Las curvas de v(f), i(t), y p(Q se grafican como funciones de tiempo de un circuito simple en el cual la tensión fasorial V = 4 /0 ° V se aplica a la impedancia Z = 2 /6 0 ° £2 con a>= jr / 6 rad/s.
P R Á C T IC A
_____
____
__________________
11.2 Dada la lensión fasorial V = 115 \ f l /45' V en una impedancia Z = 16.26/19.9* £2, obtener la expresión de la potencia instantánea y calcular la potencia promedio si co = 50 rad/s. Respuestas: 767.5 + 813.2 cos(100f + 70.7°) W; 767.5 W.
Vale la pena considerar por separado dos casos especiales, la potencia pro medio entregada a una resistencia ideal y la correspondiente a un reactor ideal (cualquier combinación de sólo capacitores e inductores).
Potencia promedio absorbida por una resistencia ideal La diferencia de ángulo de fase entre la com ente y la tensión en una resistencia pura es cero. De tal modo, Pr = Considerar que se está calculando la potencia
promedio entregada a una resistencia por una fuente senoidal; tener cuidado de no confundir esta
Pr
[12]
cantidad con la potencia instantánea que tiene una forma similar.
n _ m R 2R
[13]
Las últimas dos fórmulas, que permiten determinar la potencia promedio en tregada a una resistencia pura a partir del conocimiento de la com ente o de la tensión senoidal, son simples e importantes. Desafortunadamente, se usan de manera incorrecta. El error más común se comete al tratar de aplicarlas en ca sos donde la tensión incluida en la ecuación [13] no es la que se presenta en la resistencia. Si se tiene cuidado al emplear la com ente que circula por la re sistencia de la ecuación [12] y la tensión a través de la misma en la ecuación [13], se garantiza una operación satisfactoria. Además, ¡no hay que olvidar el factor de \ !
SECCIÓN 11.2 POTENCIA PROMEDIO O ACTIVA
Potencia promedio (activa) absorbida por elementos puramente reactivos La potencia promedio entregada a cualquier dispositivo que es puramente reac tivo (es decir, que no contiene resistencias) debe ser cero. Éste es un resultado directo de la diferencia de fase de 90°, que debe existir entre la corriente y la ten sión; en consecuencia, cos(0 — 4>) — eos ± 90° = 0 y Px = 0 La potencia promedio que se entrega a cualquier red compuesta totalmente por inductores y capacitores ideales es cero; la potencia instantánea es cero sólo en instantes específicos. Por lo tanto, la potencia fluye hacia la red en una parte del ciclo, y fuera de la misma durante otra parte del ciclo, sin potencia perdida.
«*«• \ \
EJEMPLO 11.3 Encontrar la potencia promedio (activa) que se entrega a una impedancia Z¿ = 8 —/II fl por la que circula una corriente I = 5/20° A. Se podría encontrar la solución bastante rápido si se utiliza la ecuación [12], Sólo la resistencia de 8 £2 entra en el cálculo de la potencia promedio, ya que la componente y 11 Q no absorberá ninguna potencia promedio. En consecuencia, p = I(5 2)8 = 100 W P R Á C T IC A m________________________________________________
11.3 Calcular la potencia promedio suministrada a la impedancia 6 /25° Q por la que circula una corriente 1 = 2 + j 5 A. R e sp u e sta : 7 8 .8 5 W .
EJEMPLO 11.4 Determinar la potencia promedio que absorbe cada uno de los tres elementos pasivos de la figura 11.6, así como la potencia promedio que suministra cada fuente.
■ F IG U R A 1 1 .6 La potencia promedio que se entrega a cada elemento reactivo es cero en el estado permanente senoidal.
Sin hacer un análisis del circuito, ya se sabe que la potencia promedio ab sorbida por dos elementos reactivos es cero. (Continúa en la siguiente página)
428; ' —
AA/v ------------------------- •
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
Los valores de li e L> se calculan mediante cualquiera de los diversos métodos, como el análisis de malla, el análisis nodal o la superposición. D i chos valores son l!J = 5 - y 10 = 11.18/ —63.43° A I 2 = 5 - j 5 = 7.071/ —45° A La corriente hacia abajo que pasa por la resistencia de 2 fi es L - I2 = - j 5 = 5 / —90° A por lo que Im = 5 A, y la potencia promedio que absorbe la resistencia se calcula de manera más fácil mediante la ecuación [12]: PR = \ l l R = \ { 52)2 = 2 5 W Este resultado se verifica utilizando la ecuación [11] o la [13]. A continuación se concentrará la atención en la fuente izquierda. La tensión 20/0'' V y la corriente asociada I| = 11.18/ —63.43° satisface la convención de signos activa y por ello la potencia que entrega esta fuente es P izquierda =
| ( 2 0 ) ( 1 1 . 1 8 ) CO S [ 0 ° -
(- 6 3 .4 3 ° ) ] =
50
W
De manera similar, se obtiene que la potencia absorbida por la fuente derecha, utilizando la convención de signos pasiva es P
derecha =
± ( 1 0 ) ( 7 . 0 7 1 ) COS( 0 ° +
45°)
=
25 W
Puesto que 50 = 25 + 25, se confirman las relaciones de potencia. P R Á C T I C A ___________________________ _____________________
11.4 En el circuito de la figura 11.7, calcular la potencia promedio entregada a cada uno de los elementos pasivos. Verificar la respuesta mediante el cálculo de la potencia que entregan las dos fuentes. /45 íl
-jlOOíl
■ FIGURA 11.7
Respuesta: 0, 37.6 mW, 0, 42.0 mW, —4.4 mW.
Transferencia de potencia máxima La notación Z* denota el conjugado complejo del número complejo Z. que se forma mediante la sustitución de todas las “j" por “—j". Consultar el apéndice 5 para mayores detalles.
Se consideró antes el teorema de transferencia de potencia máxima cuando se aplica a cargas resistivas y a impedancias de fuentes resistivas. En el caso de una fuente de Thévenin V* e impedancia Z,/, = R,i, + jX,h conectada a una carga Z L = R l + j X L, se demostraría que la potencia promedio que se entrega a la carga es un máximo cuando R L = Rth y X L — —X th, es decir, cuando Z £ = Z*h.
SECCIÓN 11.2 POTENCIA PROMEDIO O ACTIVA
Este resultado a menudo se dignifica llamándolo teorema de transferencia de p o tencia máxima del estado senoidal permanente: Una fuente de tensión independiente en serie con una imnedancia Z t¡, o en una fuente de com ente independiente en paralelo con una impedancia Z„, entrega una potencia prom edio m áxim a a una impedancia de carga Z¡_, que el conjugado de Z ,h o Z L = Z*h. Los detalles de la demostración se dejan para el ejercicio 11, aunque el método básico se comprende al considerar el circuito de lazo simple de la figura 11.18. Se podría escribir la impedancia equivalente de Thévenin Z,;, como la suma de dos componentes, R th + jX ,h , y de manera similar, la impedancia de carga Z L se expresa como R¡, + j X , . L a corriente que circula por el lazo se calcula medi ante
ZL
v* Rth + j X t h
V l = y,h
+
v th Rl + ] X
l
-
Rth + R l + j ( X th + ¿ l )
Z t h+ Z L Rt+ jXi Rth
+
j X th
i-
R
Rl + j X L
l +
jX i
Rth
+
R
l +
j(X ti,
4
X L)
La magnitud de 1/ es
__________ [Vrtl__________ J ( R < h + R l ) 2 + ( X th +
X l )2
y el ángulo de fase corresponde a l\T
^
t
-1 ( Xth + X L ^
- ,an U r n ¡ r J
De manera similar, la magnitud de V¿ es igual a W ^ R l + Xl + R l )2 + ( x th + Z ¿ )2 y su ángulo de fase está dado por
En relación con la ecuación [11], entonces, se encuentra la expresión de la po tencia promedio P entregada a la impedancia de carga Z L:
iiv„,iy ¡ t i + m p
,
, ¡ x L\\ (* r))
1141
Para probar que la potencia promedio máxima en realidad se entrega a la carga cuando Z L — Z*th, se deben efectuar dos pasos independientes. Primero, la derivada de la ecuación [14] con respecto a R/ debe igualarse a cero. Segundo,
■ FIGURA 11.8 Circuito de lazo simple que se utiliza para ilustrar la deducción del teorema de transferencia de potencia máxima, cuando se aplica a circuitos que operan en estado senoidal permanente.
430 --------A / W
■#
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
la derivada de la ecuación [14] con respecto a XL también se debe igualar a cero. Los detalles restantes se dejan como ejercicio para el lector ávido.
EJEMPLO 11.5 Un circuito está compuesto por la combinación en serie de una fuente de tensión senoidal 3 cos(10Ü/ —3o) V, una resistencia de 500 Si, un in ductor de 30 mH y una impedancia desconocida. Si se está seguro de que la fuente de tensión está entregando la potencia promedio (activa) máxima a la impedancia desconocida, ¿cuál es su valor? 500 í í
fi lí
■ FIGURA 11.9 Representación fasorial de un circuito en serie simple compuesto por una fuente de tensión senoidal, una resistencia, un inductor y una impedancia desconocida.
La representación de fasores del circuito se dibuja en la figura 11.9 y éste se observa con facilidad como una impedancia desconocida Z? en serie con un equivalente de Thévenin compuesto por la fuente 3/ —3° V y una impedan cia de Thévenin 500 + j 3 fi. Debido a que el circuito de la figura 11.9 ya está en la forma que se re quiere para aplicar el teorem a de transferencia de potencia promedio máxima, se sabe que ésta se transferirá a una impedancia igual al complejo conjugado de Z*, o
Z, = Z*h = 500 - 7 3 fi Se construye esta impedancia de varias maneras, pero la más simple es una resistencia de 500 fi, en serie con un capacitor que tiene —j 3 fi. En razón de que la frecuencia de operación del circuito equivale a 100 rad/s, corresponde a una capacitancia de 3.333 mF. P R A C T IC A ---------------------•------------------------------------------------------------------------------------------
11.5. Si el inductor de 30 mH del ejemplo 11.5 se sustituye por un capacitor de 10 /iF ¿cuál es el valor de la componente inductiva de la impedancia desconocida Z? si se sabe que está absorbiendo una potencia máxima? Respuesta: 10 H.
Potencia promedio (activa) de funciones no periódicas Se debe prestar cierta atención a las funciones no periódicas. La salida de po tencia de un radiotelescopio dirigido hacia una “radioestrella” constituye un ejemplo práctico de una función de potencia no periódica para la que se desea un valor de potencia promedio. Otro es la suma de varias funciones periódicas, cada una con un periodo diferente, de tal manera que no pueda encontrarse un periodo mayor de la combinación. Por ejemplo, la corriente i(t) = s e n í +senjTí
[15]
es no periódica debido a que la proporción de los periodos de las dos ondas senoidales es un número irracional. En t = 0, ambos términos son cero y cre cientes. Sin em bargo/'el prim er término es cero y creciente sólo cuando t = 2 n n , donde n es un entero y por lo tanto la periodicidad exige que n t o n (2nri) deban ser iguales a 2n m , donde m es también un entero. No es posible
SECCIÓN 11.2 POTENCIA PROMEDIO O ACTIVA
*-
'V W
431
una solución para esta ecuación (valores enteros d e m y n ) Quizá resulte útil comparar la expresión no periódica de la ecuación [15] con la función periódica: i(t) = s e n í + sen3.14í
[16]
donde 3.14 es una expresión decimal exacta y no se interpreta como 3.141592 . . . Con un poco de esfuerzo,2 se demuestra que el periodo de esta onda de corriente mide igual a 1007T segundos. El valor promedio de la potencia que se entrega a una resistencia de 1 £2 me diante una comente periódica, como la ecuación [16], o a partir de una no periódica como la ecuación [15], se detennina integrando sobre un intervalo finito. De esta forma se reduce mucho la integración real debido al conocimiento amplio que se tiene de los valores promedio de las funciones simples. Por lo tanto, se obtiene la potencia promedio que entrega la com ente en la ecuación [15] aplicando la ecuación [9]:
1 r T/2 P = lím — /
(sen2? + sen27rí + 2sen?sen7rí) d t
r^oo % J^r¡2
Se considera ahora a P como la suma de tres valores promedio. El valor promedio de sen2 t sobre un intervalo infinito se determina sustituyendo sen2 t por (^ — ¿ cos 21); el promedio no es más que De manera similar, el valor promedio de sen2 ttí también es y el último término se expresa como la suma de dos funciones coseno, cada una de las cuales debe tener ciertamente un valor promedio de cero. Por lo tanto, P = I + ± = 1 W Un resultado idéntico se obtiene en el caso de la com ente periódica de la ecuación [16], Al aplicar este mismo método a la función de corriente, que es la suma de varias senoides de periodos diferentes y amplitudes arbitrarias, i (t) = Imi COS toit + Im2 COS (02t -j------- h I„iN eos CÚNt
[17]
se calcula la potencia promedio entregada a una resistencia R, P = W L + Ü 2 ^ - - + Ü n)R
[18]
El resultado es invariable si se asigna un ángulo de fase arbitrario a cada componente de la corriente. Este importante resultado es sorprendentemente simple cuando se piensa en los pasos que se requieren para su deducción: elevar al cuadrado la función com ente, integrarla y tomar el límite. El resultado es igual de sorpresivo, pues muestra que, en este caso especial de una corriente como la de la ecuación [17], la superposición se aplica a la potencia, esto es, no se aplica a una com ente que sea la suma de dos com entes directas, ni a una com ente que sea la suma de dos senoides de la misma frecuencia.
EJEMPLO 11.6 Determinar la potencia promedio (activa) que entrega Ja corriente ¿i = 2 cos lOí —3 cos 201A a una resistencia de 4 tí. En razón de que los dos términos coseno están a frecuencias diferentes, los dos valores de potencia promedio se podrían calcular por separado y se sumarían. De tal modo, esta corriente entrega \( 2 2)4 + ^(32)4 = 8 + 18 = 26 W aúna resistencia de 4 £2. (1} T i 3 .1 4 n m =
2tt y I . = 2 j ^ p . l 4 . P o r lo tanto, se b u s c a n v a lo r e s in te g ra le s d e m y n t a l e s q u e 2irn = 2 j r m / 3 . 1 4 , o = m,o j^ n = mo 1 5 7 n = 5 0 m. D e tal m o d o , lo s v a lo r e s e ntero s m á s p e q u e ñ o s d e n y m so n n = 5 0 y 157. E n c o n se c u e n c ia , el p e r i o d o s T = 2nn = IOO jt, o T = 2 j r (1 5 7 / 3 . 1 4 ) — IO O tts. =
0
■vw
EJEMPLO 11.7
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
-------------------------------------------------------------------D eterm in ar la potencia que en trega la co rrien te lOí A a u n a resistencia de 4 fl.
= 2 eos lOí — 3 eos
En este caso, ambas componentes de la corriente están a la misma frecuen cia, por lo cual deben combinarse en una sola senoide a dicha frecuencia. De tal manera, ¿ 2 = 2 eos lOf — 3 eos lOf = —eos IOf entrega sólo i ( l 2)4 = 2 W de potencia promedio a una resistencia de 4 Í2. PRÁCTICA
________ _______________________________________
11.6 Una fuente de tensión vs se conecta a una resistencia de 4 Í2. Determinar la potencia promedio absorbida por la resistencia, si vs es igual a: (a) 8 sen 200r V; (b) 8 sen 200? - 6 cos(200f — 45°) V; (c) 8 sen 200í — 4 sen lOOf V; (d) 8 sen 200í — 6 cos(200í — 45°) — 5 sen lOOí + 4 V. Respuestas: 8.00 W; 4.01 W; 10.00 W; 11.14 W.
11.3 t VALORES EFICACES DE CORRIENTE Y DE TENSIÓN
id)
La mayoría de la gente está consciente de que la tensión disponible en las tomas de energía eléctrica en Norteamérica es una tensión senoidal con 60 Hz de fre cuencia y 115 V de magnitud (en cualquier otro lado, es típicamente de 50 Hz y 240 V). Pero, ¿qué se entiende por “ 115 volts”? No es en realidad el valor instan táneo de la tensión, pues ésta no es una constante. No es tampoco la amplitud simbolizada como Vm\ si se presenta la forma de onda de tensión sobre un osciloscopio calibrado, se descubriría que la amplitud de esta tensión en una de las tomas de ca es 115\/2, o 162.6, volts. Tampoco se puede hacer corresponder el concepto de un valor promedio con los 115 V, debido a que un valor promedio de la onda senoidal es cero. Se podría tratar de ser un poco más precisos y calcular la magnitud del promedio sobre un semiciclo positivo o negativo; me diante el uso de un voltímetro tipo rectificador en la toma eléctrica, se debe medir 103.5 V. Sin embargo, sucede que los 115 V son el valor eficaz de esta ten sión senoidal. El valor es una medida de la eficacia de la fuente de tensión al suministrar potencia a una carga resistiva.
Valor eficaz de una forma de onda periódica
f) ■ F IG U R A 1 1 .1 0 S¡ la resistencia recibe la misma potencia promedio en los incisos a yb, entonces el valor eficaz de i(t) es igual a / * y el valor eficaz de v(t) es igual a V^.
Se define de manera arbitraria el valor eficaz en términos de una forma de onda de corriente, si bien sería igualmente posible elegir una tensión. El valor efi caz de cualquier corriente periódica resulta igual al valor de la corriente directa que, al fluir a través de una resistencia de /?-ohm entrega la misma potencia promedio a la resistencia que la corriente periódica. En otras palabras, se deja que una corriente periódica dada fluya por la re sistencia, se determina la potencia instantánea i 2R , y luego se obtiene el valor promedio de i 2R sobre un periodo; esto es la potencia promedio (activa). Se provoca después que una corriente directa fluya por esta misma resistencia y se ajusta el valor de la corriente directa hasta que se obtenga el mismo valor de po tencia promedio. La magnitud resultante de la corriente directa es igual al valor eficaz de la com ente periódica dada. Estas ideas se ilustran en la figura 11.10.
SECCIÓN 11.3 VALORES EFICACES DE CORRIENTE Y DE TENSIÓN
La expresión matemática general del valor eficaz de i (t ) se obtiene después con facilidad. La potencia promedio (activa) que entrega la corriente periódica i (f) a la resistencia se obtiene mediante p
~T
fT
P = l f T i i l t d , = « [ r r-i 2 d t T 1„ T 1JoJo /o donde el periodo de i(t) es T. La potencia que entrega la corriente directa corres ponde a P = llíR
Igualando las expresiones de potencia y despejando Ie¡, se obtiene
[19]
El resultado es independiente de la resistencia R , como debe ser para que se cuente con un concepto ventajoso. Se obtiene una expresión similar del valor eficaz de una tensión periódica al reemplazar i e / ef por v y Vef, respectivamente. Observar que el valor eficaz se obtiene al elevar al cuadrado primero la fun ción del tiempo, tomando luego el valor promedio de la función al cuadrado so bre un periodo, y considerando por último la raíz cuadrada del promedio de la función al cuadrado. En lenguaje abreviado, la operación que implica determi nar un valor eficaz es la raíz (cuadrada) de la media del cuadrado; por esta razón, a menudo el valor eficaz se denomina como el valor de la raíz cuadrática media o simplemente el valor rms.
Valor eficaz (RMS) de una forma de onda senoidal El caso especial más importante es el de la forma de onda senoidal. Seleccionar la corriente senoidal i(t) = Im eos (cot + 4>)
que tiene un periodo 2n T = — co y sustituirla en la ecuación [19] para obtener el valor eficaz 4f =
Jj J
Im COS2(« f + ) d t
1 m r 2* /* n 1 1 2 + 2cos(2^ + 2) d t j 2 tt i. - I ~
V 4tt
De esta forma, el valor eficaz de una corriente senoidal es una cantidad real in dependiente del ángulo de fase y numéricamente igual a 1¡ \[ 2 = 0.707 veces la amplitud de la corriente. Por lo tanto, una corriente eos (cot + e/>) A, tiene un
*
A/W
0
414 }--------- '' \
\
\ •-------------
*
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
valor eficaz de 1 A y entregará la misma potencia promedio a cualquier resisten cia, como lo hará una corriente directa de 1 A. Debe observarse con cuidado que el factor \/2 que se obtuvo como la pro porción entre la amplitud de la corriente periódica y el valor eficaz sólo se aplica cuando la función periódica es senoidal. Por ejemplo, para la forma de onda de diente de sierra de la figura 11.4, el valor eficaz es igual al valor máximo dividido entre \/3 . El factor mediante el cual el valor máximo debe dividirse para obtener el valor eficaz depende de la form a m atem ática de la función periódica dada; quizá sea racional o irracional, lo cual depende de la naturaleza de la función.
Uso de los valores RMS para calcular la potencia promedio La utilización del valor eficaz simplifica también un poco la expresión de la po tencia promedio que entrega una corriente o una tensión senoidal, al evitar el uso del factor i . Por ejemplo, la potencia promedio que se entrega a una re sistencia de R ohms a partir de una corriente senoidal, se calcula mediante 2# rp = ± 2 /rn
El hecho de que el valor eficaz se defina en términos de una cantidad de cd equivalente, proporciona
En razón de que Ie¡ — /m/ \ / 2 , la potencia promedio se escribirá como
fórmulas de potencia promedio para circuitos
P = iliR
resistivos que son idénticas a las utilizadas en el
[20]
análisis de cd.
Las otras expresiones también se escribirían en términos de valores eficaces: P =
V e f/e f C O S (0 -
0 )
ñí P = — R
[2 1 ]
[22]
Aunque se ha tenido éxito al eliminar el factor | de las relaciones üe poten cia promedio, se debe tener cuidado de determinar si una cantidad senoidal se expresa en térm inos de su amplitud o de su valor eficaz. En la práctica, suele usarse el valor eficaz en las áreas de la transmisión o distribución de potencia y con maquinaria rotatoria; en las aplicaciones de la electrónica y las comunica ciones, se usa más a menudo la amplitud. Se supondrá que la amplitud se es pecifica, a menos que el término “rm s” se utilice de manera explícita o que se indique otra cosa. En el estado senoidal permanente, las tensiones y las corrientes fasoriales se indicarían como valores eficaces o como amplitudes; las dos expresiones di fieren sólo por un factor de ~J2. L a tensión 50/30° V se expresa en términos de una am plitud; en cuanto a la tensión rms, se la debe describir como 35.4/30° V rms.
Valor eficaz con circuitos de frecuencia múltiple Para determinar el valor eficaz de una forma de onda periódica o no periódica, compuesta por la suma de varias senoides con frecuencias diferentes, se podría emplear la relación apropiada de la potencia promedio de la ecuación [18], formu lada en la sección anterior, reescribiendo en términos de valores eficaces las dis tintas componentes: P = ( / l e f + ^2ef+ ' ' • "I’ l Nef)R
[23]
SECCIÓN 11.3 VALORES EFICACES DE CORRIENTE Y DE TENSIÓN
• -------------------------
VW-
'435
A partir de lo anterior se observa que el valor eficaz de una corriente, compuesta por varias corrientes senoidales de frecuencias diferentes, se expresa como h í = \ j J 2lef+
------- h I Afcf
[24]
Estos resultados indican que si una corriente senoidal de 5 A rm s a 60 Hz fluye por una resistencia de 2 Q, la resistencia absorbe una potencia promedio de 52(2) = 50 W si también está presente una segunda corriente — tal vez de 3 A rm s a 120 Hz— la potencia que se absorbe corresponde a 32(2) + 50 = 68 W. Al re currir más bien a la ecuación [24], se puede observar que el valor eficaz de la suma de las comentes de 60 y 120 Hz es 5.831 A. De tal modo, P — 5.8312(2) = 68 W como antes. Sin embargo, si la segunda com ente está también a 60 Hz, el valor efi caz de la suma de ambas corrientes de 60 Hz podría tener cualquier valor entre 2 y 8 A. En este caso, la potencia absorbida tendría cualquier valor entre 8 W y 128 W, según sea la fase relativa de las dos componentes de comente.
Observar que el valor eficaz de una cantidad de cd,
K
K es simplemente K, no y .
PRÁCTICA %____________________________________________________________ 11.7 Calcular el valor eficaz de cada una de las tensiones periódicas: (a) 6 eos 25í; (b) 6 eos 25í + 4 sen(25í + 30°); (c) 6 c o s2 5 í + 5 cos2(25í); (d) 6 eos 25/ + 5 sen 30í + 4 V. R e sp u e sta s: 4 .2 4 V ; 6 .1 6 V ; 5 .2 3 V ; 6 .8 2 V .
A N A LISIS A SIST ID O POR C O M PU T A D O R A PSpice proporciona varias técnicas útiles para calcular cantidades de poten cia. En particular, las funciones incorporadas de Probe permiten graficar la potencia instantánea y calcular la potencia promedio. Por ejemplo, considerar el circuito divisor de tensión simple de la figura 11.11, que se acciona mediante una onda senoidal de 60 Hz con una amplitud de 115 \/2 V.
s ü »i
I F IG U R A 1 1 .1 1 Circuito divisor de tensión simple accionado por una rms de 115 V y que opera a 60 Hz.
(Continúa en la siguiente página)
A/W
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
Para empezar, se llevará a cabo una simulación transitoria sobre un periodo de la forma de onda de tensión, ^ s. La corriente, junto con la potencia instantánea que se disipa en la re sistencia R l se grafica en la figura 11.12 empleando la opción Add Plot to Window bajo Plot. La potencia instantánea es periódica, con un valor promedio distinto de cero y un máximo de 6.61 W. Chapter 11 Example (active)
m
m
i
-1SfnAJ--------
o I(R1)
18.SW:-- — 7.5H-Í-
■ F IG U R A 1 1 .1 2 Corriente y potencia instantáneas asociadas con la resistencia Rl de la figura 11.11.
La forma más sencilla de utilizar Probe para obtener la potencia promedio (activa), que se espera que sea ^(162.61(X¿™ 000)(81.3 x 10“ 3) = 3.305 W, radica en utilizar la característica incorporada “ejecución de la función promedio”. Luego de que aparece la ventana de diálogo Add Traces (Trace, h Add Trace . . . ) , se teclea: AVG(I(R1) *I(R1) * 1000) en la ventana Trace Expression. Como puede observarse en la figura 11.13, el valor promedio de la poten cia de uno o dos periodos es 3.305 W, de acuerdo con el cálculo manual. Chapter 11 Exampie (active)
fls
5 Bis
jnf>AUG( I (R1 )*I (R1 )*1 BBS)
|- jlOlíXj
1G»s
1 5 rs
2§bs
Tine
■ FIGURA 11.13 Ejecución del promedio de la potencia disipada por la resistencia Rl.
A A /V
SECCIÓN 11.4 POTENCIA APARENTE Y FACTOR DE POTENCIA
437
Probe permite también calcular el promedio de un intervalo específico uti lizando la función incorporada avgx. Por ejemplo, al emplear esta función para calcular la potencia promedio durante un periodo sencillo, en este caso 1/ 1 20 = 8.33 ms, se debe teclear AVGX(1(R 1
1) * 1000,8.33 m)
Cualquier procedimiento originará un valor de 3.305 W en el punto final de la gráfica.
11.4 POTENCIA APARENTE Y FACTOR DE POTENCIA — •----------------------------------------------------------------------------------Desde una perspectiva histórica, la introducción de los conceptos de potencia aparente y de factor de potencia puede remontarse hasta la industria eléctrica, donde se requiere transferir grandes cantidades de energía eléctrica de un punto a otro; la eficiencia con la cual se efectúa tal transferencia se relaciona de manera di recta con el costo de la energía eléctrica, que a fin de cuentas la pagan los con sumidores. Éstos, que ofrecen cargas que producen una eficiencia de transmisión relativamente pobre, debeu pagar un mayor precio por cada kilowatt hora (kWh) de energía eléctrica que en realidad reciben y consumen. De manera similar, los clientes que requieren una inversión mayor en los equipos de transmisión y dis tribución por parte de la empresa eléctrica pagarán también más por cada kilowatt hora, a menos que la compañía sea benevolente y le guste perder dinero. En prim er lugar se definirá la potencia aparente y el fa c to r de potencia-, luego se mostrará de manera breve cómo se relacionan ambos términos con las situaciones económicas antes mencionadas. Se supone que la tensión senoidal: v = Vm eos (cot + 9) se aplica a una red, y la corriente senoidal resultante es i = Im COS(ft)f + ) De esta forma, el ángulo de fase mediante el cual la tensión adelanta a la corriente es (6 — cp). L a potencia promedio que se entrega a la red, suponiendo una con vención pasiva de signos en sus terminales de entrada, se expresa en términos de los valores máximos: P = \V mlm cos(6 -cj>) o en términos de los valores eficaces: p
=
Ve(7ef COS ( 0
-
(j>)
Si las respuestas en tensión y en corriente aplicadas fueron cantidades cd, la potencia promedio entregada a la red habría sido simplemente igual al producto de la tensión y la corriente. Al aplicar esta técnica de cd al problema senoidal, se debe obtener el valor de la potencia absorbida, que está dada “aparentemente” por el familiar producto Y tihí- Sin embargo, este producto de los valores efi caces de la tensión y la corriente no es la potencia promedio; se define dicho pro ducto com o la potencia aparente. En términos dimensionales, la potencia aparente debe m edirse en las mism as unidades que la potencia real, pues
La potencia aparente no es un concepto limitado a las funciones y respuestas forzadas senoidales. Se podria determinar para cualesquiera formas de onda de comente y tensión, al form ar simplemente el producto de los valores eficaces de la corriente y la tensión.
A A /V
- •
«ECAUCIl
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
cos(0 — cp) es adimensional; pero para evitar confusiones, se aplica el término volt-amperes o VA a la potencia aparente. Puesto que cos(0 — ) no puede tener una magnitud mayor que la unidad, resulta evidente que la magnitud de la po tencia real no es mayor que la de la potencia aparente. L a proporción entre las potencias real o promedio (activa) y la potencia aparente recibe el nombre de fa cto r de potencia y se simboliza como FP. En consecuencia, potencia promedio
P
potencia aparente Vef/ef En el caso senoidal, el factor de potencia no es más quecos(0 — 0 ), donde (0 — ) es el ángulo mediante el cual la tensión adelanta a la corriente. Esta relación es la razón por la que el ángulo (0 — ) es igual a cero y el FP es la unidad. En otras palabras, la potencia aparente y la potencia promedio son iguales. Sin embargo, el FP unitario tam bién se obtendría en el caso de caigas que contengan inductancia y capacitancia, si los valores de los elementos y la frecuencia de operación se eligen con cuidado, a fin de proporcionar una impedancia de entrada que tenga un ángulo de fase cero. Una carga puramente reactiva, esto es, que no contenga resistencia, ocasionará una diferencia de fase entre la tensión y la com ente de más o menos 90°, por lo cual el FP es cero. Entre estos dos casos extremos existen las redes generales en las que el FP varía desde cero hasta la unidad. Por ejemplo, un FP de 0.5 indica una carga que tiene una impedancia de entrada, con un ángulo de fase de 60° o -6 0 ° ; el primero describe una carga inductiva, pues la tensión adelanta a la com ente en 60°, mientras que el último se refiere a una carga capacitiva. La ambigüedad en la naturaleza exacta de la carga se resuelve mediante la referencia a un FP adelan tado o a un FP retrasado, donde los términos adelantado o retrasado se refieren a la fa se de la corriente con respecto de la tensión. De tal modo, una carga in ductiva tendrá un FP retrasado, y una carga capacitiva un FP adelantado.
C alcu lar los valores de la potencia prom edio su m inistrada a cad a una de las cargas que sc indican en la figura 11.14, así como la potencia ap a re n te que proporciona la fuente y el fa cto r de potencia de las cargas com binadas. —^ 60 t f f V rms I
Identificar el objetivo del problema.
2 -./¡ il
1 +./Í fi
I FIGURA 11.14 Circuito en el que se busca la potencia promedio (activa) entregada a cada elemento, la potencia aparente suministrada por la fuente y el factor de potencia de la carga combinada.
L a potencia promedio se refiere a la que consumen los componentes resis tivos de los elementos de carga; la potencia aparente es el producto de la tensión eficaz y de la com ente eficaz de la combinación de carga.
Recopilar la información conocida. La tensión eficaz es de 60 V rms, que aparece en los extremos de una carga combinada de 2 — j + I + j 5 = 3 + j 4 fi.
Imaginar un plan. El análisis fasorial simple proporcionará la corriente. El conocimiento de la tensión y de la corriente permitirá calcular la potencia promedio y la potencia aparente; estas dos cantidades pueden utilizarse para obtener el factor de potencia.
SECCIÓN 11.4 POTENCIA APARENTE Y FACTOR DE POTENCIA
*
Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. La potencia promedio está dada por P =V ef/efCos(a«g V — a n g I) La potencia aparente es simplemente Vef4fEl factor de potencia se calcula como la proporción entre estas dos can tidades: potencia promedio
P
potencia aparente
Vef/ef
Determinar si se requiere información adicional. Se requiere Ief. 60/0° I, = — — = 1 2 /—53.13 A rms 3 + ./4 L-----------p o r l o q u e / ef = 12 A rm s, y a n g L = —53.13°.
Buscar la solución. La potencia promedio (activa) entregada a la carga localizada en la parte superior está dada por P superior = /^arrib a = (12)2(2) = 288 W y la potencia promedio entregada a la carga de la derecha está dada por inferior = /^derecha = (12)2(1) = 144 W La fuente en sí misma entrega una potencia aparente de Vef/ef= (6 0 )(1 2 ) = 7 2 0 V A Por último, el factor de potencia de las cargas combinadas se obtiene al considerar la tensión y la com ente asociadas con esas mismas cargas. Este factor de potencia es, desde luego, idéntico al de la fuente. Por ello, P 432 PF = -------- = ---------- = 0 . 6 retrasado V e f/e f 60(12) puesto que la carga combinada es inductiva.
Verificar la solución ¿Es razonable o la esperada? La potencia promedio total entregada a la fuente es 288 + 144 = 432 W. La potencia promedio proporcionada por la fuente es c o s ( a n g V - a n g I) = (60)(12) cos(0 + 53.13°) = 432 W
P =
por lo que se puede observar que el balance es correcto. Hubiera podido describirse también la impedancia de carga combinada como 5 /53.1° fi, identificar 53. I o como el ángulo del FP y de ese modo tener un FP de cos 53.1° = 0.6 retrasado.
P3ÁCTV-
^
___ _______________________________________________ 60¡0° V mis
11.8 En el circuito de la figura 11.15, determinar el factor de potencia de las cargas combinadas, si Z¡ = 10 fi. R esp u esta: 0 .9 9 6 6 adelantado.
FIGURA 11.15
AA/V
0
A/W
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
11.5 g POTENCIA COMPLEJA___________________ ____ Se logra cierta simplificación en los cálculos de potencia si ésta se considera como una cantidad compleja. Se encontrará que la magnitud de la potencia com pleja es la potencia aparente, y se demostrará que la parte real de la potencia compleja corresponde a la potencia promedio (real). La nueva cantidad, la parte imaginaria de la potencia compleja, se llamará potencia reactiva. La potencia compleja se define con referencia a una tensión senoidal general Vef = Vef ¿0_ entre un par de terminales y una corriente senoidal general I ef = /ef que fluye por una de las terminales, de modo que cumple la con vención pasiva de signos. La potencia promedio P que absorbe la red a través sus dos terminales es, entonces, P = Vef/ef COS (8
-
(p)
La nomenclatura compleja se introduce a continuación, utilizando la fórmula de Euler de la misma manera que se hizo al presentar los fasores. Se expresa P como P = Vcí¡cí R e {í> ,íf,- A
O P = R e { V efe ^ / efe - ^ } La tensión fasorial se reconocería ahora como el primero de los dos factores dentro de las llaves de la ecuación anterior, aunque los segundos factores no corresponden en realidad a la corriente fasorial, pues el ángulo incluye un signo negativo, que no está presente en la expresión de la corriente fasorial. Esto es, la corriente fasorial se obtiene mediante
Im
Ie f =
/e f 6
y por lo tanto se debe utilizar la notación conjugada: Q
I*ef = / e f
Por consiguiente, Re P ■ F IG U R A 1 1 .1 6 Representación del triángulo de potencia de la potencia compleja.
y f P = Re{VefIe f}
y ahora se podría dejar que la potencia se vuelva compleja al definir la potencia com pleja S como S = V e fle f
Im a g in a rio
[2 5 ]
Si se inspecciona primero la forma polar o exponencial de la potencia compleja, S —Vef/ef resulta evidente que la magnitud de S, Vef/ ef, es la potencia aparente y el ángulo de S, (6 — (¡)}i es el ángulo FP (es decir, el ángulo mediante el cual la tensión adelanta a la corriente). En forma rectangular, se tiene S
■ F IG U R A 1 1 .1 7 El fasor de corriente lef se descompone en dos partes, una componente en fase con el fasor de tensión Vef y la otra 90° fuera de fase respecto del fasor de tensión. Esta última componente se denomina componente en
cuadratura.
= P + jQ
[2 6 ]
donde P es la potencia promedio como antes. La parte imaginaria de la potencia compleja se simboliza como Q y se denomina potencia reactiva. Las dimen siones de Q son las mismas que las de la potencia real P, de la potencia compleja S, y de la potencia aparente |S|. Para evitar confusiones con estas otras canti dades, la unidad de Q se define como volt-ampere-reactivo (VAR). A partir de las ecuaciones [ 2 5 ] y [ 2 6 ] se observa que 2 =
Vef/ef sen ( £ - < / > )
2
[2 7 ]
SECCION 11.5 POTENCIA COMPLEJA
TABLA .1 1 .1
• -------------------------
VW
------------- (
441
Resumen de las cantidades relacionadas con la potencia compleja
Cantidad
Potencia promedio (activa) Potencia reactiva Potencia compleja
Sím bolo
U nidades
Fórmula
P
V e f /e f COS(é> -
Q
Vrilrt sen-jg - )
S
P+jQ Vef/ef /O -
4>)
0
watt (W) volt-ampere reactivo (VAR) volt-ampere (VA)
V e ft’ef
Potencia aparente
Vef/ef
La inLerpretación física de la potencia reactiva es la tasa del flujo de energía en el tiempo, hacia delante y hacia atrás entre la fuente (es decir, la compañía eléc trica) y las componentes reactivas de la carga (es decir, las inductancias y ca pacitancias). Estos componentes se cargan y se descargan de manera alternada, lo cual provoca un flujo de corriente desde y hacia la fuente, respectivamente. La tabla 11.1 muestra un resumen de las cantidades relacionadas a la poten cia compleja.
volt- ampere (VA;
El signo de la potencia reactiva caracteriza la natu raleza de una carga pasiva a la cual se especifican Vef y lef Si la carga es inductiva, entonces (6 - ) es un ángulo entre 0 y 90°, cuyo seno es positivo y la po tencia reactiva es positiva. Una carga capacitiva pro duce una potencia reactiva negativa
Triángulo de potencia La representación gráfica que se emplea de m anera muy común para la potencia compleja se conoce como triángulo de potencia, el cual se ilustra en la figura 11.16. El diagrama indica que sólo se requieren dos de las tres cantidades de po tencia, pues la tercera se obtiene mediante relaciones trigonométricas. Si el triángulo de potencia se encuentra en el primer cuadrante (0 — (p > 0), el factor de potencia está retrasado (corresponde a una carga inductiva), y si el triángulo de potencia se ubica en el cuarto cuadrante (0 — (¡> < 0), el factor de potencia está adelantado (lo que corresponde a una carga capacitiva). Por lo tanto, una gran cantidad de información cualitativa concerniente a la carga está disponible de un solo vistazo. Se observaría otra interpretación de la potencia reactiva si se construye un dia grama de fasores que contenga Vef y Ief como se indica en la figura 11.17. Si la corriente fasorial se divide en dos componentes, una en fase con la tensión, con una magnitud Ief cos(0 —
Medición de potencia En términos estrictos, un wattímetro registra la potencia real promedio o sea ac tiva consumida por una carga, y con un vármetro se obtendrá la potencia reactiva Q consumida por la carga. Sin embargo, es común que se puedan medir ambas cantidades con el m ism o aparato, el cual tam bién puede medir la potencia aparente y el factor de potencia (figura 11.18).
■ FIGURA 11.18 Medidor de potencia digital de sujeción fabricado por Amprobe, con el que se pueden medir corrientes de ca hasta de 400 A y tensiones de hasta 600 V,
-
APLICACIÓN PRÁCTICA C orre cción d e l fa cto r d e p o te n c ia
Cuando una compañía eléctrica suministra potencia a grandes consumidores industriales, casi siempre incluye una cláusula de FP en sus tarifas. De acuerdo con esta cláusula, se hace un cargo adicional al consumidor siem pre que el FP esté por debajo de cierto valor especificado, casi siempre alrededor de 0.85 retrasado. Se consume muy poca potencia industrial a FP adelantados, debido a la naturaleza de las cargas industriales características. Son varias las razones que obligan a la compañía eléctri ca a realizar este cargo adicional para FP bajos. En primer lugar, es evidente que una capacidad superior de transmi sión de corriente debe integrarse en sus generadores para proporcionar las corrientes más altas que van junto con la operación de FP inferiores a una potencia y a una tensión constantes. Otra razón se debe a las pérdidas crecientes en su sistema de transmisión y distribución. Con el fin de recuperar las pérdidas y estimular a sus consumidores a utilizar un FP elevado, cierta compañía eléctrica cobra una penalización de 0.22 dólares/kVAR por cada kVAR que esté sobre un valor de referencia calculado como 0.62 veces la demanda de potencia promedio:
Potencia promedio (activa) ■ F IG U R A 1 1 .1 9 Gráfica que muestra una relación aceptable entre la potencia reactiva y la potencia promedio en el caso de una referencia de factor de potencia de 0.85 retrasado.
El requerimiento de potencia reactiva por lo común se ajusta mediante la instalación de capacitores de com pensación situados en paralelo con la carga (casi siem pre en el exterior de la subestación de la instalación del cliente). Se puede mostrar que el valor de capacitancia necesario es
S = P + j Q = P + j0 .6 2 P = P ( 1 + j'0.62) = P( l . 177/31.8°) Esta referencia apunta a un FP de 0.85 retrasado, ya que eos 31.8° = 0.85 y Q es positiva, situación que se repre senta de manera gráfica en la figura 11.19. Los consumi dores con un ángulo de FP mayor que éste se ven sujetos a penalizaciones financieras.
C =
¡ \ tal] (^intenor
tan$nuevo)
[28]
Resulta fácil demostrar que la potencia compleja entregada a varias cargas interconectadas es igual a la suma de las potencias complejas entregada a cada una de las cargas individuales, sin importar cómo están interconectadas. Por ejemplo, considerar las dos cargas que se muestran conectadas en paralelo en la figura 11.21. Si se suponen valores rms. la potencia compleja que consume la carga combinada está dada por
s = VI* = V(l! + 12)* = V(I? + 1?) y así,
s = VI* + VI2 como se estableció, o----------------------------------------+ t 1' V ¡■s2
m
o■ F IG U R A 1 1 .2 1 Circuito utilizado para mostrar que la potencia compleja consumida por dos cargas en paralelo es la suma de las potencias complejas consumidas por las cargas individuales.
presente y 0nueVo es el ángulo del FP esperado. Sin em bargo, por conveniencia, los bancos de capacitores de compensación se fabrican con incrementos específicos en unidades de capacidad de kVAR. Un ejemplo de una instalación de este tipo se presenta en la figura 11.20. Considerar ahora un ejemplo específico. Una planta de maquinaria industrial particular tiene una demanda m áxim a de 5 000 kW y un requerim iento reactivo de 6 000 kVAR mensuales. Utilizando el plan de pagos ante rior, en el caso de este cliente, ¿cuál es el costo anual aso ciado con las penalizaciones del FP? Si la compensación puede conseguirse a través de la empresa eléctrica a un costo de 2 390 dólares por incremento de 1000 kVAR y a 3 130 dólares por incremento de 2000 kVAR, ¿cuál es la solución con el costo más adecuado para el cliente?
■ F IG U R A 1 1 .2 0 Instalación de capacitores de compensación. (Cortesía de Nokian Capacitors Ltd.)
El FP de la instalación es el ángulo de la potencia com plejas, que en este caso corresponde a5 000 + jé 000kVA. De tal modo, el ángulo es tan -1(6000/5 000) = 50.90° y el FP es 0.64 retrasado. El valor de la potencia reactiva de referencia, calculado como 0.62 veces la demanda máxima, es 0.62(5000) = 3100 kVAR. Por lo tanto, la planta consume 6 000 —3100 = 2 900 kVAR más de poten cia reactiva de lo que la compañía eléctrica está dispuesta a permitir sin penalizadón. Esto representa una estimación anual de 12(2 900)(0.22) = $7 656 dólares, además de los costos de la electricidad ordinaria. Si el cliente opta por un solo incremento de 1000 kVAR instalados (a un costo de 2390 dólares), la po tencia reactiva en exceso que se extrae se reduce a 2 900 - 1000 = 1900 KVAR, por lo que la penalización anual es en este caso igual a 12(1900)(0.22) = $5016. dólares. El costo total de este año es entonces de $5 016 + $2 390 = $7 406, dólares, que equivale a un ahorro de 250 dólares. Si el consum idor prefiere un incre mento instalado de 2 000 kVAR (a un costo de 3 130 dólares) la potencia reactiva en exceso que se extrae se reduce a 2 900 - 2 000 = 900 kVAR, por lo que la pe nalización anual es ahora de 12(900)(0.22) = $2376 dólares. En consecuencia, el costo total de este año es de $2376 + $3 130 = $5506, dólares, lo que genera un ahorro durante el prim er año de 2 150 dólares. Sin embargo, si el cliente continúa e instala 3000 kVAR de capacitores de compensación, de manera que no se estima penalización, le costará en realidad 14 dólares más en el prim er año, que si sólo se instalan 2 000 kVAR.
EJEMPLO 11.9 Ln consumidor industrial opera un motor de inducción de 50 kW (67.1 hp) a un FP retrasado de 0.8. La tensión de la fuente corresponde a 230 V rms. Para obtener tarifas eléctricas inferiores, el consumidor desea elevar el FPa 0.95 retrasado. Presentar una solución posible. Aunque se podría elevar el FP mediante el incremento de la potencia real y manteniendo constante la potencia reactiva, esta maniobra no redundaría en una factura más baja y no es un remedio que interese al consumidor. Es necesario agregar al sistema una carga puramente reactiva, y resulta claro que debe hacerse en paralelo, pues la tensión del suministro del motor de in ducción no debe cambiar. El circuito de la figura 11.22 se aplica si se inter preta a S| como la potencia compleja del motor de inducción y a S2 como la potencia compleja extraída por el dispositivo de corrección del FP. (Continúa en la siguiente página)
(motor) I FIGURA 11.22
(dispositivo de corrección)
AA/V
♦
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DLCA
La potencia compleja que se suministra al motor de inducción debe tener una parte real de 50 kW y un ángulo de eos-1 (0.8), o 36.9°. Por consiguiente, 50/36.9° L—— = 50 + y'37.5 kVA
Si =
0.8
Para alcanzar un FP de 0.95, la potencia compleja total debe convertirse en S = St + S2 = ^
/ e o s - 1(0.95) = 50 + j 16.43 kVA
Por lo tanto, la potencia compleja consumida por la carga correctiva se ob tiene mediante S2 = —./21.07 kVA La impedancia de carga necesaria Z 2 se determinaría con varios pasos sencillos. Se elige el ángulo de fase de 0° para la fuente de tensión, y por lo tanto la corriente que atraviesa Z 2 es 8 , ^ —721070 2
Y
230
J
y'91.6 A En consecuencia. Y 230 Z 2 = — = ------- = —j2.51 Q I2 ./91.6 Si la frecuencia de operación es de 60 Hz, a esta carga se le puede proveer de un capacitor de 1056 /xF conectado en paralelo con el motor. Sin em bargo, su costo inicial, mantenimiento y depreciación deben solventarse me diante la reducción del recibo de pago de consumo eléctrico. P R Á C T IC A
_______
_______ _________________
11.9 En el circuito de la figura 11.23, determinar la potencia compleja que absorbe: (a) 1 £2; (b) el capacitor de —j 10 £2; (c) la impedancia de 5 + j 10 £2; (d) la fuente. in
■ F IG U R A 1 1 .2 3 R espuesta: 26.6 + j 0 VA; 0 - j 1331 VA; 532 - j 1 065VA; - 559 + y266VA.
SECCIÓN 11.6 COMPARACIÓN DE LA TERMINOLOGIA DE LA POTENCIA
A/VV
»
11.6 COMPARACIÓN DE LA TERMINOLOGÍA
-------- •--------------------------------------------------------------------------------- —-------------
DE LA POTENCIA En este capítulo se ha presentado una serie quizá desalentadora de terminologías de potencia, así que tal vez valga la pena hacer una pausa y considerar todos los términos en conjunto. En la tabla 11.2 se presenta un resumen, junto con una descripción de cada uno de ellos. La importancia práctica de estos nuevos términos se demuestra al pensar en la si guiente situación. Suponga primero que se tiene un generador de ca senoidal, que es una máquina rotatoria impulsada por algún otro dispositivo cuya salida es un momen to de torsión mecánico, como una turbina de vapor, un motor eléctrico o un motor de combustión interna. Se deja que el generador produzca una tensión de salida de 200 V rms a 60 Hz. Se supone que, además, el valor nominal del generador se especifi ca con una salida de potencia máxima de 1 kW. El generador sería entonces capaz de suministrar una corriente rms de 5 A a una carga resistiva. Sin embargo, si se co necta al generador una carga que requiere 1 kW a un factor de potencia retrasado de 0.5, entonces es necesaria una corriente rms de 10 A. Cuando disminuye el FP deben entregarse corrientes cada vez más grandes a la carga, si se va a mantener la opera ción a 200 V y 1 kW. Si nuestro generador se diseñara de manera correcta y econó mica para entregar en forma segura una máxima de 5 A, entonces estas comentes mayores causarían una operación insatisfactoria, del mismo modo que ocurre con el aislamiento que se sobrecalienta y empieza a producir humo, lo cual sería dañino. El valor nominal del generador se indica de manera más informativa en térmi nos de la potencia aparente en volt-amperes. Así, un valor nominal de 1000 VA a 200 V indica que el generador puede entregar una comente máxima de 5 A a la tensión nominal; la potencia que entrega depende de la carga, pero en su caso ex tremo podría ser cero. Un valor nominal de potencia aparente resulta equivalente al valor nominal de com ente cuando la operación es a tensión constante.
TABLA
11.2
Resumen de los términos importantes___________________________________
Término
Sím bolo
Potencia instantánea Potencia promedio (activa)
¡
Unidad
W
P
W
Valor eficaz o rms
V’nis o
V oA
Potencia aparente
|S|
VA
Factor de potencia
FP
Ninguno.^
Potencia reactiva
Q
VAR
Potencia compleja
S
VA
Descripción
p(t) — v(t)i(/). Valor de la potencia en un instante específico. ¡No es el producto de los fasores de tensión y de comente! En el estado senoidal permanente, P = | Vm¡„, cos(6 —4>), donde 0 es el ángulo de defasamiento de la tensión y ó es el án gulo de defasaitiieriio de la comente. Las reactancias no con tribuyen a P Definida, por ejemplo, como
j
i2d t ; si i(t) es
senoidal, entonces Lf = /m/V 2. ¡ s | = Vef/Pf, y es el valor máximo posible de la potencia promedio; P = |S| sólo para cargas puramente resistivas. Razón de la potencia promedio (activa) y potencia aparente, El FP es unitario en el caso de una carga puramente resistiva, y cero en el de una puramente reactiva. Medio para medir la tasa de flujo de energía hacia y desde cargas reactivas. Una conveniente cantidad compleja que contiene tanto la poten cia promedio P, como la potencia reactiva Q: S —P + jQ.
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
P
R
Á
C
T
I C
A
______________________________
11.10 U na fuente de 400 V rms suministra potencia a una carga = 10 + j2 Q a través de una línea de transmisión que tiene una resistencia total de 1.5 £2. Determinar: (a) la potencia promedio y aparente suministrada a la carga; (b) la potencia promedio y aparente que se pierde en la línea de transmisión; (C) la potencia promedio y aparente suministrada por la fuente; (d ) el factor de potencia al que opera la fuente. Respuestas: 14.21 kW, 14.49 kVA; 2.131 kW, 2.131 kVA; 16.34 kW, 16.59 kVA; 0.985 retrasado.
RESUMEN Y REPASO_____________________________ □ La potencia instantánea que absorbe un elemento está determinada por la expresión p( t ) = v(í)i (t). □ L a potencia promedio entregada a una impedancia por una fuente senoidal es i Vml m eos (6 — = el ángulo de fase de la comente. □ Sólo la componente resistiva de una carga consume una potencia promedio (activa) distinta de cero. La potencia promedio entregada a la componente reactiva de una carga es cero. □ L a transferencia de potencia promedio máxima ocurre cuando se satisface la condición Z¿ = Z*h. □ El valor eficaz o rms de una forma senoidal se obtiene al dividir su amplitud entre \Í2. □ El factor de potencia (FP) de una carga es la razón de su potencia disipada promedio (activa) y su potencia aparente. □ U na carga puramente resistiva tendrá un factor de potencia unitario. Una carga puramente reactiva tendrá un factor de potencia cero. □ L a potencia compleja se define como S = P + jQ , o | S | = Veflef y se mide en unidades de volt-amperes (VA). d
La potencia reactiva Q es la componente imaginaria de la potencia compleja y constituye una medida de la tasa de flujo de energía hacia o desde las componentes reactivas de una carga; su unidad es el volt-amperereactivo (VAR).
□ Los capacitores se emplean a menudo para mejorar el FP de cargas industriales, con el fin de minimizar la potencia reactiva que requiere la compañía de electricidad.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Se puede encontrar un panorama muy completo de los conceptos de la potencia de ca en el capítulo 2 de: B.M. Weedy, Electric Power Systems, 33a ed. Chichester, England: Wiley, 1984. Temas contemporáneos relativos a los sistemas de potencia de ca se pueden en contrar en: International Journal o f Electrical Power & Energy Systems. Guildford, Eng land: IPC Science and Technology Press, 1979-. ISSN: 0142-0615.
EJERCICIOS
E JE R C IC IO S 11.1 Potencia instantánea
1. Una fuente de corriente, is (t) = 2 eos 500í A, una resistencia de 50 £2 y un capaci tor de 25 ¡jlF están conectados en paralelo. Determinar la potencia que suministra la fuente a la resistencia y al capacitor, todo en t = 7r / 2 ms. 2. La corriente i = 2í 2 — 1 A, 1 < t '< 3 s, fluye por cierto elemento de circuito, (a) Si el elemento es un inductor de 4 H. ¿qué energía se entrega en el intervalo indicado? (b) Si el elemento es un capacitor de 0.2 F con d(1) = 2 V, ¿qué potencia se le suministra en t = 2 s? 3. SP»C(0) = - 2 V e i( 0 ) = 4 A en el circuito de la figura 11.24, determinar la poten cia que absorbe el capacitor en t igual a: (a) 0+ ; (b ) 0.2 s; (c) 0.4 s. 1H JJW — —
■ F IG U R A 1 1 .2 4
4. Calcular la potencia que absorbe cada elemento pasivo en el circuito de la figura 11.25 en t = 0 si vs = 20 cos(l 000? + 30°) V. Verificar su respuesta con PSpice. 2.5 kíl
Ü F IG U R A 1 1 .2 5
5. El circuito de la figura 11.26 ha alcanzado las condiciones de estado permanente. Determinar la potencia que absorbe cada uno de los cuatro elementos de circuito en t = 0.1 s. 3n
■ F IG U R A 1 1 .2 6
6 . Considerar el circuito R L que se muestra en la figura 11.27. Determinar la potencia instantánea absorbida por la resistencia en t = (a) 0+ ; (b) 1 s; (c) 2 s.
■ FIGURA 11.27
#■
w v
448
A/W
3u(-t) A
I FIGURA 11.28
CAPITULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
; 5 ju,F
7. Considerar el circuito R C que se muestra en la figura 11.28. Determinar la potencia instantánea absorbida por la resistencia en r = (a) 0+; (b) 30 ms; (c) 90 ms. 8 . Si se hace que un típico rayo que cae desde una nube hasta la tierra represente una corriente de 30 kA en un intervalo de 150 /xs, calcula (a) la potencia instantánea en tregada a la varilla de cobre, la cual tiene una resistencia de 1.2 mfi en el momento en el que cae el rayo; y (b ) la energía total entregada a la varilla. 9. Un capacitor de 100 mF almacena una energía de 100 mJ hasta el punto en el que un conductor con una resistencia de 1.2 fi se presenta en sus terminales. ¿Cuál es la po tencia instantánea disipada en el conductor en t = 120 ms? Si la capacidad de calor específico3 del conductor es 0.9 kJ/kg • K y su masa es 1 g; estimar el incremento de temperatura del conductor en el primer segundo a partir de que el capacitor se descarga suponiendo que ambos elementos se encuentran inicialmente a 23°C. 10. Un diodo semiconductor emisor de luz que opera a una tensión de 2.76 V jala una corriente de 130 mA. Despreciando toda capacitancia interna, ¿cuál es la potencia instantánea que consume el LED 2 segundos después de haberse encendido? Si en lugar de lo anterior, el LED se conecta a una fuente que genera una señal senoidal descrita por medio de v(t) = 2.76 cos(1000í) V, ¿qué otra información se requiere a fin de calcular la potencia instantánea en t = 500 ms, suponiendo que todos los transitorios han desaparecido para entonces? 11.2 Potencia prom edio (activa)
11. Calcular la potencia promedio (activa) que absorbe cada uno de los cinco elemen tos de circuito de la figura 11.29. 4 Cl
10 O
12. Calcular la potencia promedio generada por cada fuente y la potencia promedio en tregada a cada impedancia en el circuito de la figura 11.30.
10 A I©
| 5/50° í l |
| 8 /- 20° íl |
©
flo
■ FIGURA 11.30
13. En el circuito de la figura 11.31 obtener la potencia promedio que: (a) se disipa en la resistencia de 3 fi resistor; (b ) genera la fuente. 3Í1
I FIGURA 11.31
(3) Suponga que el calor específico c está dado por c — Q/m ■A T , donde Q = la energía entregada al conduc tor, m es la masa, y AT es el incremento de temperatura.
EJERCICIOS
14. Calcular la potencia promedio que absorbe cada uno de los cinco elementos del cir cuito de la figura 11.32. jlO ñ
-j5 í l
■ FIGURA 11.32
15. Determinar la potencia promedio que suministra la fuente de corriente dependiente del circuito de la figura 11.33. 2 íl
3 íl
16. Un circuito equivalente de Thévenin en el dominio de la frecuencia consiste en una fuente senoidal Vt;, en serie con una impedancia Z,/, = R tj¡ + j X tf,. Especificar las condiciones en una carga Z L = R L + j X L si ésta recibe una potencia promedio máxima sujeta a la restricción de que: (a) X,¡, = 0; (b ) R l y X L pueden elegirse de manera independiente; (c) R l es fija (no igual a R th)\ (d) X l es fija (independiente de X th); (e) X L = 0. 17. En el circuito de la figura 11.34; (a) ¿Qué valor de Z¿ absorberá una potencia promedio máxima? (b ) ¿Cuál es el valor de esta potencia máxima?
io n
; 15ft
18. En el circuito de la figura 11.34 se requiere que la carga sea una resistencia pura R l •
■' ¿Qué valor de R¿ absorberá una potencia promedio máxima y cuál es el valor de esa potencia? 19. Determinar la potencia promedio que suministra la fuente dependiente de la figura 11.35. I.V
■ FIGURA 11.35
AA/V
■#
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
20. En la red de la figura 11.36; (a) ¿qué impedancia Z/, debe conectarse entre a y b de manera que la potencia promedio máxima sea absorbida por ella£ (b) ¿Cuál es la potencia promedio máxima?
21. Determinar la potencia promedio entregada a cada una de las redes dentro de las cajas del circuito de la figura 11.37, si la fuente de 10/0° A se sustituye por una fuente de 5/ —30° A que opera a una frecuencia de 50 Hz.
■ F IG U R A 1 1 .3 7
22. Determinar el valor de R l en el circuito de la figura 11.38 que absorberá una po tencia máxima y especificar el valor de dicha potencia.
20 n
| ~ J ^ 23. Proporcionar la potencia promedio que se entrega a cada resistencia en la red de la figura 11.39 si: (a) X = 0; (b) X = 1. (c) Verificar la respuesta con PSpice suponiendo que el circuito físico funciona a 60 Hz.
¡9 FIGURA 11.39
EJERCICIOS 24. (a) Calcular el valor promedio de cada una de las formas de onda de la figura 11.40. (b ) Si cada una está ahora elevada al cuadrado, determinar el valor promedio de todas las nuevas formas de onda periódicas (en A2).
i (A)
• t (ms)
¿(A)
i (A)
■ FIG U R A 11.40
25. Determinar la potencia prom edio que se entrega a cada elemento del circuito de la figura 11.25 si = 400\/2 cos(120 ttí — 9o) V. Verificar la respuesta con PSpice.
1 1.3
V a lo res efic ac es d e c o rrie n te y d e te n s ió n
26. Calcular el valor efectivo de lo siguiente: (a) 12 co s(l OOOí) V; (b) 12 sen (l OOOí) V; (c) 12 cos(500í) V; (d) 12 cos(500í - 88°) V. 27. Calcular el valor eficaz de lo siguiente: (a) 2 cos(lOf) A; (b) 2 sen(lOr) A; (c) 2 cos(5f) A; (d) 2 cos(5f — 32°) A. 28. Determ inar el valor eficaz de la forma de onda que se muestra en la figura 11.41.
VfcV)
A /W
■wv
CAPÍTULO I I
ANÁLISISDEPOTENCIAENCIRCUITOSDECA
29. Determinar el valor eficaz de la forma de onda que se muestra en la figura 11.42. /(m A )
7 1 1
2
1 4
1 7
,
■ FIG U RA 11.42
30. ¿Cuál es el valor eficaz de (a) 1 V; (b ) 1 + cos lOf V; (c) 1 + cos(10r + 10°) V? 31. Calcular el valor eficaz de: (a) v ( t ) = 10 + 9 cos 100? + 6 sen 100?; ( b) la forma de onda de la figura 11.43; (c) determinar también el valor promedio de esta forma de onda.
v(t)
t (ms)
32. Obtener el valor eficaz de: (a) g ( t ) = 2 + 3 cos 100? + 4 cos(100f — 120°); (b) h ( t ) = 2 + 3 cos 100? + 4 cos(101f — 120°); (c) la forma de onda de la figura 11.44.
M
33. Dada la forma de onda periódica / ( f ) = promedio; (b) su valor rms. 100 mH ‘qVlp ‘ 120/(T V rms / = 60 Hz I F IG U R A 11.45
T___________ ,
(2 — 3 cos
lOOf)2, determinar: (a) su valor
34. Calcular el valor eficaz de cada una de las tres formas de onda periódicas de la figura 11.40. 35. Cuatro fuentes de tensión independientes e ideales, A cos 10?, B sen(10f + 45°), C cos 40f, y la constante D, se conectan en serie con una resistencia de 4 fi. Determ inar la potencia promedio que se disipa en la resistencia si: (a) A = B = 10 V, C = D = 0; (b) A = C = 10 V, B = D = 0; (c) A = 10 V, B = —10 V, C = £) = 0; (d) A = B = C = 10 V, D = 0; (e) A = B = C = D = 10 V. 36. (a ) ¿Qué valores de R causarán que las tensiones rms en los inductores de la figura 11.45sean iguales? (b ) ¿Cuál es el valor de la tensión rms? (c) Verificar la respuesta con PSpice.
EJERCICIOS * 37. Cada una de las formas de onda de la iigura 11.46 tiene un periodo de 3 s, además de ser un tanto similares. \d) Calcular el valor prom edio de cada una. (b) Determ i nar los dos valores eficaces, (c) Verificar las respuestas de la forma de onda de diente de sierra mediante PSpice.
■ FIG U R A 11.46
38. Sustituir el inductor de 10 mH en la figura 11.45 con un capacitor de 1 ¡xF y el in ductor de 300 m H por un capacitor de 3 /.¿F. (a) ¿Qué valor de R causará que las corrientes rms que circulan por los capacitores sean iguales? (b ) ¿Cuál es el valor de la corriente rm s? (c) Verificar sus respuestas con PSpice. 39. Una forma de onda de tensión tiene un periodo de 5 s y se expresa como v(t) = 10/[m(/) — u(t — 2)] + 16e-0 '5(í-3) [u(t — 3) — u(t — 5)] V en el intervalo 0 < t < 5 s. Calcular el valor eficaz de la forma de onda. 40. La combinación en serie de una resistencia de 1 kí2 y de un inductor de 2 H no debe disipar más de 250 m W de potencia en cualquier instante. Suponiendo una corriente senoidal con co = 500 rad/s, ¿cuál es la corriente rms más grande que puede tolerarse?
11.4 P o ten c ia a p a re n te y fa c to r d e p o te n c ia 41. En la figura 11.47, s e a l = 4 /35° A rm s, determinar la potencia prom edio que: (a) suministra la fuente; (b ) se suministra la resistencia de 20 £2; (e) se suministra a la carga. Determ inar la potencia aparente que: (d) suministra la fuente; (e) que se suministra a la resistencia de 20 £2; ( / ) se suministra a la carga, (g) ¿Cuál es el FP de la carga?
10/ 0° A nns
• 20 íí
©
Carga
■ FIG U R A 11.47
-42. (a) Calcular el factor de potencia al cual opera la fuente en el circuito de la figura 11.48. (b) ¿Cuál es la potencia prom edio que entrega la fuente? (¿) ¿Qué tamaño de capacitor debe ponerse en paralelo con la fuente para conseguir que su factor de po tencia sea la unidad? (d ) Verificar las respuestas con PSpice. 4 íí 120 V rms 60 Hz
■ FIGURA 11.48
12 íí
AA/V
#
-AA/V
200/0° V
I FIG U RA 11.49
CAPITULO 11 ANALISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
43. En el circuito de la figura 11.49, sea = 5 + j 2 £2. Z B = 20 —y 10 fi, Zc = 10/30° fi, y Zd = 10/ —60° fi. Encontrar la potencia aparente entregada a cada carga y la potencia aparente generada por la fuente. 44. Imaginar una red que opera a / = 50 Hz y que utiliza cargas conectadas en serie que transportan una corriente 10/0° A rms. Un sistema de este tipo es el dual de uno que funciona con cargas en paralelo y una tensión común. En el sistema en serie, una carga se desconectaría al ponerla en cortocircuito; los circuitos abiertos provocarían todo tipo de fuegos artificiales. En este sistema en particular se encuen tran dos cargas: Zi = 30/15° fi y Z2 = 40/40° fi. (a) ¿A qué FP opera la fuente? (tí) ¿Cuál es la potencia aparente que consume la combinación de las dos cargas? (c) ¿Es la carga combinada inductiva o capacitiva?
11.5 Potencia compleja 45. Una carga compuesta consta de tres cargas conectadas en paralelo. Una consume 100 W con un FP de 0.92 retrasado mientras que otra consume 250 W con un FP de 0.8 retrasado y la tercera consume 150 W con un FP unitario. La carga paralela es suministrada por una fuente V,5. en serie con una resistencia de 10 fi. Todas las car gas deben operar a 115 V rms. Determinar: (a) la corriente rms que circula a través de la carga; (b) el FP de la carga compuesta. 46. La carga de la figura 11.50 consume 10 kVA con un PF = 0.8 retrasado. Si U | = 40 A rms, ¿cuál debe ser el valor de C para que la fuente opere con un PF = 0.9 retrasado? 0.2Ü
-A M — Carga
I 60 Hz
I FIG U RA 11.50
^jV -4 7 . Considerar el circuito de la figura 11.51. Especificar el valor de la capacitancia que se requiere para elevar el FP de la carga total conectada a la fuente a 0.92 retrasada si se agrega la capacitancia: (a) en serie con el inductor de 100 mH; (b) en paralelo con el inductor de 10 mH. Verificar las respuestas de las partes (a) y (b) utilizando PSpice. 100 mH
48. Analizar el circuito de la figura 11.52 para determinar la potencia compleja que absorbe cada uno de los cinco elementos del circuito.
-710 a — I(— 100/ r v r m s ( ~
■ FIGURA 11.52
;2 o a
-nnnp■20 a
10
a
EJERCICIOS
49. Las dos fuentes de ia figura 11.53 operan a la misma frecuencia. Determinar la fre cuencia compleja que genera cada una y la potencia compleja absorbida por los ele mentos pasivos del circuito. 6n
,/4 n
5n
50. Obtener la potencia compleja entregada a una carga que consume: (a) 500 VA a un FP de 0.75 adelantado; (b) 500 W a un FP de 0.75 adelantado; (c) -5 0 0 VAR a unFPde 0.75. 51. Una impedancia capacitiva Zc = —y'120 £2, está en paralelo con una caiga Z i. A la combinación en paralelo la alimenta una fuente \ s = 400/0° V rms, que genera una potencia compleja de 1.6 + y 0.5 kVA. Determinar: (a) la potencia compleja que se entrega a Z/,; (b) el FP de Z¿; (c) el FP de la fuente. 52. Una fuente de 230 V rms alimenta a tres cargas en paralelo: 1.2 kVA a un FP de 0.8 retrasado, 1.6 kVA a un FP de 0.9 retrasado y 900 W a un FP unitario. Calcular (a) la amplitud de la corriente de la fuente; (b) el FP al cual opera la fuente; (c) la potencia compleja que suministra la fuente. 53. Una fuente de 250 V rms alimenta a tres cargas en paralelo. Una de ellas consume 20 kW con un FP unitario, una segunda carga consume 25 kVA con un FP = 0.8 re trasado y la tercera carga consume una potencia de 30 kW con un FP de 0.75 retrasado, (a) Encontrar la potencia total suministrada por la fuente, (b) Determinar la potencia total aparente suministrada por la fuente, (c) ¿Con qué factor de potencia opera la fuente? 54. Una fábrica de galletas horneadas demanda mensualmente 200 kW en promedio y requiere de una potencia reactiva promedio mensual de 280 kVAR. En un esfuerzo por minimizar las pérdidas e invitar a sus clientes a operar a un FP elevado, una cierta compañía de electricidad local penaliza con 0.22 dólares/kVAR por cada KVAR por arriba de un valor de referencia calculado como 0.65 veces la demanda de potencia pico promedio, (a) Con base en el valor anterior, ¿cuál es el costo anual para esta compañía asociado con las penalizaciones por el concepto de FP? (b) Calcular el FP óptimo en el que se basa la política de la compañía, (c) Si existe una compensación a través de la compañía de electricidad a un costo de 200 dólares por incremento de 100 kVAR y de 395 dólares por incremento de 200 kVAR, ¿cuál es la solución más atractiva para el cüente? 55. Deducir la ecuación [28]. 11.6 Comparación de la terminología de la potencia
56. Una fuente de tensión de 339 cosOOOth —66°) V se conecta a una carga pura mente resistiva de 1 kfl. (á) ¿Cuál es la tensión eficaz de la fuente? (b) ¿Cuál es la potencia instantánea pico absorbida por la carga? (c) ¿Cuál es la potencia instan tánea mínima absorbida por la carga? (d) Calcular la potencia aparente que entrega la fuente, (e) Calcular la potencia reactiva entregada por la fuente, (f) ¿Cuál es la potencia compleja que se entrega a la carga? 57. Una fuente de tensión de 339 cos(100jtí —66c) V se conecta a una carga puramente inductiva de 150 mH. (a) ¿Cuál es la corriente eficaz que circula por el circuito? (b) ¿Cuál es la potencia instantánea máxima que absorbe la carga? (e) ¿Cuál es la potencia instantánea mínima que absorbe la carga? (d) Calcular la potencia aparente que entrega la fuente. (e) Determinar la potencia reactiva que entrega la fuente. (/) ¿Cuál es la potencia compleja que se entrega a la carga? 58. En el circuito de la figura 11.25, vs = 5 eos 1000? V. (a) ¿Cuál es la potencia instan tánea máxima que se entrega la resistencia de 10 k£2? (b) Calcular la potencia reac tiva dada a la resistencia de 10 k. (c) Obtener la potencia aparente que se proporciona a la resistencia de 10 k£2. (d) ¿Cuál es la potencia compleja que entrega la fuente?
AA/V
CAPÍTULO 11 ANÁLISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA
59. (a) Determinar la potencia compleja que se suministra a cada elemento pasivo del circuito de la figura 11.54 y (b) demostrar que la suma de estos valores es igual a la potencia compleja que genera la fuente, (c) ¿El resultado es cierto en el caso de los valores de potencia aparente? (d ) ¿Cuál es la potencia promedio que entrega la fuente? (e) ¿Cuál es la potencia reactiva que entrega la fuente? 20
ft
100 mH
12/0^kV rms íü = 400 rad/s
■ FIG U R A 11.54
60. Una carga que opera a 2 300 V rms consume 28 V rms con un factor de potencia de 0.812 retrasado. Obtener: (a) la corriente máxima en amperes; (b) la potencia instantánea en í = 2.5 ms suponiendo una frecuencia de operación de 60 Hz; (c) la potencia real que toma la carga; (d) la potencia compleja; (e) la potencia aparente; (/) la impedancia de la carga y (g) la potencia reactiva.
Circuitos polifásicos CONCEPTOS CLAVE IN T R O D U C C IÓ N
Sistemas monofásicos
Las compañías eléctricas suministran electricidad a los clientes
de potencia.
residenciales e industriales en forma de tensiones y de corrientes senoidales, conocidas por lo común como corriente alterna (ca). La mayor parte de la electricidad residencial en Estados Unidos se
Sistemas trifásicos > de potencia.
suministra como una forma de onda senoidal con una frecuencia de 60 H z y una tensión rms de aproximadamente 120 V. En otras partes del mundo, la electricidad se provee a una frecuencia de 50 H z y con una tensión rms cercana a 240 V. Tomás Alba Edison fue el que propuso por primera vez que las compañías de electrici dad debían distribuir potencia a través de redes de cd, aunque Nikola Tesla y George Westinghouse, otros dos pioneros en el campo de la electricidad, fueron decididos partidarios del uso de la ca. A la larga, sus argumentos resultaron más convincentes.
Fuentes trifásicas.
--------------------------------------í Tensión de línea
versus tensión de fase.
f ------------------------------------Corriente de línea versus corriente de fase.
• ------------------------------------: Redes conectadas en Y.
La respuesta transitoria de los sistemas de potencia de ca resulta interesante cuando se determina la demanda de potencia
Redes conectadas en A .
máxima, pues la mayoría de los equipos requieren más corriente para arrancar que para operar de manera continua. Sin embargo, en muchos casos la operación en estado permanente reviste un interés fundamental, por lo que la experiencia con el análisis basado en fasores demostrará su utilidad. Se presentará un nuevo tipo de fuente de tensión, la fuente trifásica que se conecta en una configuración Y de tres o cuatro hilos, o en una configuración A
Cargas balanceadas.
-----------------------------------Análisis por fase.
■ -------------------------Medición de la potencia en sistemas trifásicos.
de tres hilos. De modo similar, se podrá observar que las cargas se conectan en Y o en A según la aplicación.
457
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
12.1
b
SISTEMAS POLIFÁSICOS_______________________________
Hasta ahora, siempre que se ha usado el término “fuente senoidal” el lector se imagina una sola tensión o com ente senoidal con una amplitud, frecuencia y fase específicas. En este capítulo se presenta el concepto de fuentes “polifási cas”, enfocándose en particular en los sistemas trifásicos. Existen distintas ven tajas al usar maquinaria rotatoria para generar potencia trifásica, en vez de po tencia monofásica; asimismo, la transmisión de potencia de un sistema trifásico genera ventajas económicas. Aunque la mayor parte del equipo eléctrico que se ha visto hasta ahora es monofásico, el trifásico no es poco común, sobre todo en el entorno de la manufactura. En particular, los motores que se utilizan en los grandes sistemas de refrigeración y en las instalaciones de maquinado se alam bran a menudo para potencia trifásica. En lo que se refiere a las demás aplica ciones, una vez que el lector se familiarice con los fundamentos de los sistemas polifásicos, podrá ver que resulta simple obtener potencia monofásica con conectar una sola “pata” (“pierna”) del sistema polifásico. Se considerará brevemente el sistema polifásico más común, un sistema trifásico balanceado. La fuente tiene tres terminales (sin contar con una conexión neutra o de tierra), y las mediciones del voltímetro mostrarán la presencia de tensiones senoidales de igual amplitud entre dos terminales cualesquiera. Sin embargo, estas tensiones no están en fase; cada una de ellas está 1 2 0 ° fuera de fase (o desfasada de 1 2 0 ° una con respecto a la otra), en relación con las otras dos, y el signo del ángulo de fase depende del sentido de giro de las tensiones. En la figura 12.1 se presenta un conjunto posible de tensiones. U na carga balanceada (o equilibrada) obtiene su potencia de las tres fases, pero cuando una de las tensiones es instantáneamente cero, la relación de fase requiere que las otras dos deban corresponder a la mitad de la amplitud. En ningún instante la potencia instantánea que demanda la carga instantánea llega a ser cero; en realidad, la potencia instantánea total es constante. Lo anterior significa una ventaja en la maquinaria rotatoria, pues mantiene el momento de torsión sobre el rotor de una forma mucho más constante que en caso de que se utilizase una fuente monofásica. Como resultado, hay menos vibración. Volts
■ FIG U R A 12.1 Ejemplo de un conjunto de tres tensiones, cada una de las cuales está 120° fuera de fase respecto de las otras dos. Como puede verse, sólo una de las tensiones será cero en un instante particular.
SECCIÓN 12.1 SISTEMAS POLIFÁSICOS
A /W
El uso de un número de fases superiores, como los sistemas de seis y 12 fases, se lim ita casi por entero al suministro de potencia a grandes rectifi cadores, los cuales convierten la com ente alterna en directa con sólo permitir que la com ente fluya hacia la carga en una dirección, de modo que el signo de la tensión en los extremos de la carga permanece igual. La salida del rectificador es una com ente directa más una componente pulsante más pequeña, o rizo, que disminuye cuando aumenta el número de fases. Casi sin excepción, los sistemas polifásicos contienen en la práctica fuentes que pueden aproximarse muy bien a fuentes de tensión ideales, o a fuentes de tensión ideales en serie con pequeñas impedancias internas. En tanto, las fuentes de corriente trifásicas raramente son utilizadas.
Notación de doble subíndice Resulta conveniente describir las tensiones y las corrientes polifásicas mediante Ja notación de doble subíndice, con la cual una tensión o una com ente respecti vamente V ab o IaA, tiene más significado que si se indicara como V 3 o I*. Por definición, la tensión del punto a con respecto al punto b es \ ab- De esta forma, el signo positivo se localiza en a, como se indica en la figura 12.2a. Por lo tanto, se considera el doble subíndice como equivalente al par de signos positivo-negativo; el uso de ambos sería redundante. Si se observa la figura 12.2i>, se verá que Y ad = \ ah + \ cd. La ventaja de la notación de doble subíndice radica en el hecho de que la ley de Kirchhoff de tensión requiere que la tensión entre dos puntos sea la misma, sin que importe la trayectoria que se sigue entre los pun tos; de tal manera, Vfld = V ab + \ bd — V ac + Vc¿ = \ ab + \ bc + \ cd, etc. El beneficio de esta notación es que la LKT se cumple sin necesidad de consultar diagrama de circuito; las ecuaciones correctas se escriben aun cuando se incluya un punto o subíndice, que no se marca sobre el diagrama. Por ejemplo, habría sido posible escribir \ ad = V ax + \ xd, donde x identifica la localización de cualquier punto que se seleccione. Una representación posible de los sistemas de tensión trifásicos 1 se muestra en la figura 12.3. Suponer que se conocen las tensiones \ an, V bn, y Vcn:
\ an =
íoo/o: v
F IG U R A 1 2 .2 (a) Definición de tensión V0¿.
(£>) Vai = Vab + Vb» + Vcd = Vab + Vcd-
100/120° V
I FIG U R A 12.3 Red utilizada como ejemplo numérico de una notación de tensión de doble subíndice.
\ bn = 100/ - 1 2 0 0 V Vc„ = 100/ - 2 4 0 0 V por ello se puede calcular la tensión \ ab con tomar en cuenta los subíndices: Vab = \ an + \ nb = \ an - \ bn = 100/01 - 1007 -1 2 0 ° V
v B„ +
= 1 0 0 - ( - 5 0 - 7 8 6 .6 ) V = 173.2/30° V Las tres tensiones indicadas y la construcción del fasor Y a¡, se ilustran en el dia grama de fasores de la figura 12.4. También se aplicaría la notación de doble subíndice a las corrientes. Se define la corriente l ab como la corriente que circula de a a b por la trayectoria más directa.
(1) Al mantener la convención de la potencia eléctrica industrial, los valores rms de las comentes y las tensiones se usarán de a lo largo de este capítulo.
maneraimplícita
FIG U RA 12.4 Este diagrama fasorial ¡lustra el uso gráfico de la convención de tensión de doble subíndice para obtener relativa a la red de la figura 12.3.
Vab
-AA/V
460
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
precaución /
i,,,?
' F IG U R A 1 2 .5 Ilustración del uso y abuso de la convención de doble subíndice para la notación de corriente.
En todo circuito completo que se considere, debe haber desde luego al menos dos trayectorias posibles entre los puntos a y b, así que se conviene que no se recurrirá a la notación de doble subíndice, a menos que sea obvio que una trayectoria es mu cho más corta o mucho más directa. Casi siempre esta trayectoria pasa por un solo elemento. De tal modo, la comente Ia¿ se indica en forma correcta en la figura 12.5. De hecho, incluso no es necesaria la flecha de dirección cuando se habla de esta comente: los subíndices la indican. Sin embargo, la identificación de una comente como Icc¡ del circuito de la figura 12.5 podría provocar confusiones. PRACTICA
12.1 Sea \ ab = 100/01 V, VM = 40/80° V, y Vra = 70/200° V. Determinar: (a) V„d; (b) V bc\ (c) \ cd. 12.2 Sea el circuito de la figura 12.6 donde If j = 3 A, l de — 2 A, e I hd — - 6 A. Determinar: (a) \ l:d-, (b) Ief ; (c ) Iy.
I F IG U R A 1 2 .6
Respuestas: 12.1: 114.0/2 0 .2 ' Y ; 4 1.8/145.0° Y : 4 4 .0 /20.6° V. 12.2: - 3 A ; 7 A ; 7 A .
12.2
Fuente monofásica de tres hitos.
(a)
-O n
-o b
-Oh (b)
' F IG U R A 1 2 .7 (o) Fuente monofásica de tres hilos. (A) TRepresentación de una fuente monofásica de tres hilos mediante dos fuentes de tensión idénticas.
SISTEMAS MONOFÁSICOS DE TRES HILOS
---------*-----------------------------------------------------------------------------------------------Una fuente monofásica de tres hilos se define como la que tiene tres terminales de salida como a , n , y b de la figura 12.7a, en las que las tensiones de fasor V an y \ nb son iguales. Por lo tanto, se podría representar la fuente mediante la com binación de dos fuentes de tensión idénticas; en la figura 12.76, \ an = V„/; = V i. Es patente que \„ b = 2Va„ = 2V„¿, y en consecuencia se tiene una fuente a la cual se conectarían las cargas que operan con cualquiera de las dos tensiones. El sistem a dom éstico norm al es monofásico de tres hilos, lo que perm ite la operación de aparatos tanto de 110 V como de 220 V. Por lo general, los aparatos de tensión superior son aquellos que demandan cantidades superiores de poten cia; la operación a mayor tensión origina una demanda de corriente más pequeña para la misma potencia. En consecuencia, puede emplearse con seguridad un alambre de diámetro menor en el aparato, en el sistema de distribución domés tico y en el sistema de distribución de la compañía de electricidad, ya que resulta
SECCIÓN 12.2 SISTEMAS MONOFÁSICOS DE TRES HILOS
• ------------------------------ W
V
---------------V < 6 1
necesario emplear alambre de diámetro mayor con corrientes más altas para re ducir el calor que se produce debido a la resistencia del alambre. El nombre m onofásico se origina porque las tensiones \ a„ y V„¿, al ser iguales, deben tener el mismo ángulo de fase. Sin embargo, desde otro punto de vista, las tensiones entre los hilos exteriores y el alambre central, que suele de nominarse neutro, está exactamente a 180° fuera de fase. Es decir, V an — — , y Vfl„ + ybn = 0 . M ás adelante se verá que los sistemas polifásicos balanceados se caracterizan por un sistema de tensiones de igual amplitud cuya suma (fasorial o vectorial) es cero. En realidad, desde esta perspectiva, el sistema monofásico de tres hilos es un sistema bifásico balanceado. No obstante, bifásico es un tér mino que por lo común se reserva para designar un sistema desbalanceado rela tivamente intrascendente que utiliza dos fuentes de tensión 90° fuera de fase entre sí. Considerar ahora un sistema monofásico de tres hilos que contiene cargas idénticas Z p entre cada alambre exterior y el neutro (figura 12.8). Primero se supondrá que los hilos que conectan a la fuente con la carga son conductores perfectos. Puesto que
^an = V n[, entonces, T ^an laA — . .
■ F IG U R A 1 2 .8 Sistema monofásico de tres hilos. Las dos cargas son idénticas y la corriente del neutro es cero.
T — *-Bb — . .
y, por lo tanto,
\ I n N — I Bb + I Aa — I Bb ~ \
a
— 0
En consecuencia, no hay corriente en el lulo neutro, por lo que éste podría elimi narse sin alterar ninguna corriente o tensión del sistema, resultado que se con sigue mediante la igualdad de las dos cargas y de las dos fuentes.
Efecto de una impedancia de alambre finita Pensar a continuación en el efecto de una impedancia finita en cada uno de los hilos. Si las líneas a A y bB tienen cada una la misma impedancia, ésta puede sumarse a Z f¡ lo que origina tam bién en este caso dos cargas iguales y una corriente neutra cero. Permitir ahora que el hilo neutro posea una impedancia Z„. Sin efectuar ningún análisis detallado, la superposición debe mostrar que la simetría del circuito seguirá dando lugar a una corriente del neutro igual a cero. Además, la adición de cualquier impedancia conectada de manera directa desde una de las líneas exteriores a la otra línea exterior producirá también un circuito simétrico y una com ente de neutro igual a cero. Por lo tanto, la com ente de neu tro igual a cero es consecuencia de una carga balanceada, o simétrica; la impedan cia distinta de cero en el hilo neutro no cambió el estado de la simetría. El sistema más general monofásico de tres hilos contendrá cargas desiguales entre cada línea exterior y el neutro, así como otra carga de manera directa entre las dos líneas exteriores; se debería esperar que las impedancias de las dos líneas exteriores fueran casi iguales, aunque la impedancia del neutro es a menudo un poco mayor. Pensar en un ejemplo de un sistema de este tipo, con interés par ticular en la com ente que fluiría ahora en la com ente del hilo neutro, así como en la eficiencia total con la que el sistema transmite potencia a una carga des balanceada (desequilibrada).
-
\
0
A /W
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
Analizar el sistema de la figura 12.9 y determinar la potencia que se en trega a cada una de las tres cargas, así como la potencia perdida en el hilo neutro y en cada una de las dos líneas.
Identificar el objetivo del problema. Las tres cargas en el circuito son: la resistencia de 50 Í2, la otra de 100 Í2 y una impedancia de 20 + j 10 Í2. Cada una de las dos líneas presenta una resistencia de 1 £2, y la resistencia del hilo neutro corresponde a 3 Í2. Es necesaria la corriente que circula por cada una de éstas a fin de determinar la potencia.
Recopilar la información conocida. Se tiene un sistema monofásico de tres hilos; el diagrama de circuito de la figura 12.9 está por completo marcado. Las corrientes calculadas estarán en unidades rms.
Elaborar un plan. El circuito conduce al análisis de malla, pues tiene tres mallas definidas de manera clara. El resultado del análisis será un conjunto de corrientes de malla, que en este caso se utiliza para calcular la potencia absorbida.
Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. Las tres ecuaciones de malla son: - 115/01 + l ! + 50(1, - I 2) + 3 (I i - I 3) = 0 (20 + j l 0 ) I 2 + 100(I2 - 13) + 50(I2 - I í ) = 0 -1 1 5 /0 1 + 3(I3 - I í ) + 100(I3 - 12) + 13 = 0 que puede reordenarse para obtener las tres siguientes ecuaciones: 5 4 Ii
— 5 0 I2
- 5 0 Ii
+ (1 7 0 + j l 0 ) I 2
-1 0 0 I3
— 3 I3
= = 0
— 3 Ij
- 1 0 0 I2
+ 1 0 4 I3
=
115/01
115/01
Determinar, si se requiere, información adicional. Se tiene un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas, por lo que se puede tratar de resolver el problema en este punto.
SECCIÓN 12.2 SISTEMAS MONOFÁSICOS DE TRES HILOS
Buscar la solución. Resolviendo para las corrientes fasoriales Ii, I2, e I3 mediante una calcu ladora científica, se obtiene 11 = 11.24/ —19.83° A 12 = 9.389/ —24.47° A 13 = 10.37/ —21.80° A Por lo tanto, las com entes en las líneas exteriores son l a A = h = 11.24/ —19.83° A
y lbB = - I 3 = 10.37/158.20° A y la com ente del neutro más pequeña es
lnN = I3 - Ij = 0.9459/ —177.7° A En consecuencia, se determinaría la potencia promedio (activa) deman dada por cada carga: P 5 0 = |Ii - I 2 I2 (50) = 206 W P 100 = II3 ~ I 2 I2 (100) = 117 W P 2 0 ++ 7/ 1 0 = H2 I2 (20) = 1763 W
Observar que no es necesario incluir un factor de | puesto que se está trabajando con valores rms de corriente.
La potencia activa de la carga total es igual a 2 086 W. A continuación se calcula la pérdida en cada uno de los hilos: PaA = H l | 2 (1) = 126 W PbB = |I3|2 (1) = 108W ¡Imaginar el calor que producen los dos focos
PnN = IW I2 (3) = 3 W
eléctricos de 100 W! Estos alambres exteriores deben
lo que da una pérdida de línea total de 237 W. Los hilos son, de manera evidente, bastante largos; en otro caso, la pérdida de potencia más o menos elevada en las dos líneas exteriores provocaría un peligroso aumento de temperatura.
disipar una cantidad comparable de calor. Para mantener baja su temperatura, se requiere de una gran área.
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? La potencia activa (promedio) total absorbida corresponde a 206 + 117 + 1763 + 237, o 2323 W, valor que puede confirmarse si se determina la potencia activa (promedio) que entrega cada fuente de tensión: Pan = 115(11.24) cos 19.83° = 1216 W Pb n = 115(10.37) cos 21.80° = 1107W o un total de 2 323 W. La eficiencia de transmisión del sistema es: total de potencia entregada a la carga total de potencia generada
2
2 086 086 + 237
El valor no sería creíble en el caso de una máquina de vapor o un motor de combustión interna, aunque es demasiado bajo en el de un sistema de dis tribución bien diseñado. Se deben utilizar hilos de diámetro mayor si no se pueden colocar la fuente y la carga de manera cercana entre sí.
jgi/ Continúa en la siguiente página)
464 --------- V W
4
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
El diagrama de fasores que muestra las dos tensiones de fuente, las corrientes en las líneas exteriores y la corriente en el neutro se ilustra en la figura 12.10. El hecho de que IaA + 1bB + \ n = 0 se indica en el dia grama.
■ FIG U RA 12.10 Las tensiones de fuente y tres de las corrientes del circuito de la figura 12.9 se muestran en el diagrama fasorial. Observar que \0a + b s + l/i/v = 0.
P R Á C T IC A
___________________________________________________________
12.3 Modificar el circuito de la figura 12.9 agregando una resistencia de 1.5 £2 a cada una de las dos líneas exteriores, y una resistencia de 2.5 Í2 al hilo neutro. Determinar la potencia promedio (activa) que se entrega a cada una de las tres cargas. Respuestas: 153.1 W ; 95.8 W ; 1 374 W.
12.3 t CONEXION Y-Y TRIFASICA Las fuentes trifásicas tienen tres terminales, denominadas terminales de línea además, pueden contar o no con una cuarta terminal, la conexión neutra. Se comen zará con el análisis de una fuente trifásica que tiene una conexión neutra, la cual se debe representar mediante tres fuentes de tensión ideales conectadas en Y, como se indica en la figura 12.11; las terminales a, b , c , y n están disponibles. Sólo se examinarán fuentes trifásicas balanceadas, que se definirían de modo que
y I FIG U R A 12.11 Fuente trifásica de cuatro hilos conectada en Y.
IVonl = |V f a | = | V „ |
Va« +
+ V cn = 0
Estas tres tensiones, localizadas cada una entre una línea y el neutro, se lla man tensiones de fase. Si se eligen de manera arbitraria \ an como la referencia, o se define:
vfl„ =
V p ¿0°_
donde se empleará de manera constante Vp para representar la amplitud rms de cualquiera de estas tensiones de fase, por lo cual la definición de la fuente trifásica se indica así Vbn = V„ 1—120°
Vbn = v Pi m r
\ cn = Vn/- 2 4 0 ° v c„ - K /2 4 0 1
La primera recibe el nombre de secuencia defase positiva o secuencia defase abe y se ilustra en la figura 1 2 .1 2 a ; la segunda se conoce como secuencia de fase
SECCIÓN 12.3
^
= Vp /-240°V
sccucncin í 4-}
Vbn = Vpl m i
s e c u e n c ia i - ;
v a„ = vp/0!
Y
,= y - i2 o ° (a)
CONEXIÓNY-YTRIFÁSICA
V C(I = V p /2 4 C T
(b)
■ FIG U RA 12.12 (o) Secuencia de fase positiva o o6c. (6) Secuencia de fase negativa o ckr.
negativa o secuencia de fa se cba y se indica mediante el diagrama fasorial de la figura. 12.12b. La secuencia de fase real de una fuente trifásica física depende de la elección arbitraria de las tres terminales que se denominarán a, b, y c, las que siem pre se podrían elegir para proporcionar una secuencia de fase positiva; se supondrá que se hizo lo anterior en la mayoría de los sistemas que se analizarán.
Tensiones de línea a línea (tensión de línea) A continuación se determinarán las tensiones de línea a línea (denominadas muchas veces como tensiones de línea) que se presentan cuando las tensiones de fase son las de la figura 12.12a. Resulta más fácil realizar lo anterior con la ayuda de un diagrama de fasores, puesto que todos los ángulos son múltiplos de 30°. La construcción necesaria se ilustra en la figura 12.13 y los resultados son Vab = V 3 V p m
!
[ 1]
y be = V 3 ^ / - 9 0 °
[2]
Vca = y / l v j - 210°
[3]
La ley de tensión de Kirchhoff requiere que la suma de las tres tensiones sea cero; ise sugiere al lector que efectúe un ejercicio para verificar dicha afirmación. Si la amplitud rms de cualquiera de las tensiones de línea se denota por V¿, entonces una de las características importantes de la fuente trifásica conectada en Y puede expresarse como VL = V3Vn Observar que con una secuencia positiva V an adelanta a V¿„ y V¿„ adelanta a \ cn en cada caso en 120°; asimismo, V ah adelanta a V¿,c y V¿c adelanta a Vca, de nuevo en 120°. La afirmación es cierta en el caso de secuencia de fase nega tiva si la palabra “retrasa” se sustituye por la de “adelanta”. A continuación se conectará a la fuente una carga trifásica balanceada conec tada en Y, utilizando tres líneas y un neutro, como se dibuja en la figura 12.14.
S FIGURA 12.14 Sistema trifásico balanceado conectado en Y-Yque incluye un neutro.
■ FIG U RA 12.13 Diagrama fasorial que se utiliza para determinar las tensiones de línea a partir de las tensiones de fase dadas. 0, algebraicamente,
Voó = Vfjfj —V¿m = 1/pZQZ - l/n 7 -1 2 0 ° = Vp - l/p cos(— 120°) y l^ s e n (— 120a) = Vp{] + jfi/2 ) =
f í v pm -
466
- ------------
W V
------------------------------- •
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
La carga se representa por una impedancia Z p entre cada línea y el neutro. Las tres corrientes de línea se calculan con mucha facilidad puesto que en realidad se tienen tres circuitos monofásicos que poseen un hilo de conexión común.2 vT an
laA
z'p
V h„
V a n / -
IbB = - £ L = P
120°
t ------- = W
—I2()°
IcC = la A/-2 4 0 ° y, por lo tanto, IjVre = I aA + I bB + I cC = 0
De tal modo, el neutro no conduce corriente si la fuente y la carga están balanceadas, y si los cuatro hilos tienen impedancia cero. ¿Cómo cambiará lo anterior si se inserta una impedancia en serie en cada una de las tres líneas y una impedancia Z„ en el neutro? Se combinarían las impedancias de línea con las de carga. Esta carga eficaz seguirá balanceada y podría eliminarse un hilo neutro perfectamente conductor. En consecuencia, si no se produce cambio en el sistema con un cortocircuito, o un circuito abierto entre n y N, se insertaría cualquier im pedancia en el neutro y la corriente de éste perm anecería igual a cero. Se concluye que, si se tienen fuentes, cargas e impedancias de línea balan cead as t Se podría reemplazar un hilo neutro de cualquier impedancia por cual quier otra impedancia, incluso por un cortocircuito o un circuito abierto; la sus titución no afectará las tensiones o las corrientes del sistema. Muchas veces resulta útil imaginar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que es té presente o ausente un hilo neutro; el problema se reduce en ese caso a tres pro blem as m onofásicos, todos idénticos salvo por la diferencia en el ángulo de fase. En tal situación, se afirma que el problema se resuelve “por fase”.
EJEMPLO 12.2 E n el circuito de la figura 12.15, en c o n trar las corrientes y las tensiones indicadas p o r todo el circuito y calcular la potencia total q ue se disipa en la carga.
(2) Observar que esto es cierto al aplicar la superposición y al considerar cada fase a la vez
SECCIÓN 12.3 CONEXIÓN Y-YTRIFÁSICA
# -
-A ^ V
467
En razón de que se indica una de las tensiones de fase de fuente y se dice que se utilice la secuencia de fase positiva, las tres tensiones de fase son: V an = 2 0 0 /0 1 V
V ta = 200/ - 1 2 0 0 V
Vc„ = 2007 -2 4 0 ° V
La tensión de línea es igual a 2 0 0 \/3 = 346 V; el ángulo de fase de cada tensión de línea se determina construyendo un diagrama de fasores, como se hizo en la figura 12.13 (en realidad, se aplica el diagrama de fasores de la figura 12.13), restando las tensiones de fase mediante una calculadora cien tífica o remitiéndose a las ecuaciones [1] a [3]. Se encuentra que \ a¡, es 346/30° V, \ t e es = 346/ - 9 0 ° V, y \ ca es = 346/- 2 1 0 ° V. Se va a trabajar con la fase A. La corriente de línea es Vfl„ 200/0° l aA = — = ------— = 2 / —60° A ZP 100/60° L------Puesto que se sabe que es un sistema trifásico balanceado, es posible que sea fácil escribir las restantes corrientes de línea con base en I üa '■ IhB = 2 / ( - 6 0 ° - 120°) = 2 /- 1 8 0 ° A l cC = 2 / ( —60° — 240°) = 2 / —300° A La potencia absorbida por la fase A es PAN = 200(2) cos(0 + 60°) = 200 W De tal modo, la potencia promedio (activa) total extraída por la carga trifásica es igual a 600 W. El diagrama de fasores se presenta en la figura 12.16. Una vez que se sabe cualquiera de las magnitudes de las tensiones de línea y alguna de las magnitudes de la corriente de línea, los ángulos de las tres tensiones y las tres corrientes se habrían obtenido sin dificultad al leer el diagrama. P R Á C T IC A
" F IC U R A 1 2 .1 6 Diagrama fasorial que se aplica al circuito de la figura 12.15.
__________
12.4 Un sistema trifásico balanceado de tres hilos tiene una carga conectada en Y. Cada fase contiene tres cargas en paralelo: —j 100 £2, 100 £2, y 50 + j 50 Í2. Suponer una secuencia de fase positiva con \ ah = 400/0° V. Encontrar: (a) Van; (b) IaA, (c) la potencia activa total extraída por la carga. Respuestas: 231/ - 3 0 0 V; 4.62/- 3 0 ° A; 3 200 W.
Antes de analizar otro ejemplo, ésta sería una buena oportunidad para explo rar con rapidez un planteamiento que se hizo en la sección 12.1; es decir, aun cuando las tensiones y corrientes de fase tienen valor cero en instantes específi cos de tiempo (cada 1/120 s en Norteamérica), la potencia instantánea entregada a la carga total nunca es cero. Considerar una vez más la fase A del ejemplo 12.2, con la tensión y la corriente de fase escritas en el dominio del tiempo:
. I Se requiere el factor
Van = 2 0 0 \/2 co s(1 2 0 jrí + 0°) V
¿a n = 2 \ / 2 c o s ( 1 2 0 7 r f — 6 0 ° ) A
*
para convertir unidades rms.
A A /V
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
En consecuencia, la potencia instantánea que absorbe la fase A es. P a (0 — vANiAN = 800cos(120ttí) cos(120;rí — 60°) = 400[cos(—60°) + cos(240;rí — 60°)] =
2 0 0 + 4 0 0 c o s ( 2 4 0 tU
-
60°)
W
de modo similar, p B(t) = 200 + 4 0 0 cos(240;rí - 300°) W
y P c(t) = 200 + 400cos(240;rf - 180°) W Por lo tanto, la potencia instantánea que absorbe la carga total es P (t) = P a (í ) + P b (0 + P c(t) = 600 W independiente del tiempo, que es el mismo valor que la potencia promedio (ac tiva) calculada en el ejemplo 12.2.
EJEMPLO 12.3 Un sistema trifásico balanceado con una tensión de línea de 300 V se suministra a una carga balanceada conectada en (Y) con 1200 W a un FP adelantado de 0.8. Determinar la corriente de línea y la impedancia de carga por fase. La tensión de fase es 3 0 0 / V y la potencia por fase corresponde a 1200/3 = 400 W. De tal manera, se determinaría la corriente de línea a par tir de la relación de potencia 300 4 0 0 = — ( / J (0.8) V3 así que la com ente de línea es entonces 2.89 A. La impedancia de fase está dada por
Iz I -
\Ap\ — Y_e. — IL
3 0 0 /7 3 2.89
= 60 £2
Puesto que el FP es 0.8 adelantado, el ángulo de fase de la impedancia equivale a —36.9°; de tal modo, Z p = 60/ —3 6 £2. Se manejan con facilidad cargas más complicadas, puesto que los proble mas se reducen a cuestiones monofásicas más simples.
—PRÁCTICA --------------------- r ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------12.5 U n sistema trifásico balanceado de tres hilos tiene una tensión de línea de 500 V y están presentes dos cargas balanceadas en (Y): una carga capacitiva con 7 — ¡2 Í2 por fase y una carga inductiva con 4 + /2 í í por fase. Determinar: (a) la tensión de fase; (b) la com ente de línea; (c) la potencia activa total extraída por la carga; (d) el factor de potencia con el que opera la fuente.
Respuestas: 289 V; 97.5 A; 83.0 kW; 0.983 retrasado.
SECCIÓN 12.3 CONEXIÓN Y-V TRIFÁSICA
.
- ^ v W
EJEMPLO 12.4 L¡na carga de iluminación balanceada de 600 W se añade (en paralelo) al sistema del ejemplo 12.3. Determinar la nueva comente de línea. Se dibuja primero un circuito por fase adecuado, como se muestra en la figura 12.17. Se supone que la carga de 600 W es una carga balanceada dis tribuida de m anera uniforme entre las tres fases, lo que da lugar a 200 W adicionales consumidos por cada fase. La amplitud de la corriente de iluminación está determinada por 2 0 0 = ^ 2 |Ii| cos 0o \/3 por lo que | I i | = 1 .1 5 5 A
De form a similar, se descubre que la amplitud de la corriente de carga ca pacitiva queda invariable en su valor previo, pues su tensión ha per manecido igual.
|I2| = 2 .8 9 A Si se supone que la fase con la que se trabaja tiene una tensión de fase con un ángulo de 0o, entonces, I i = 1.155/0! A
l 2 = 2.89/+ 36.9° A
de modo que la corriente de línea es I,. = I, + 1, - 3.87/+ 2 6.6° A Además, la potencia activa generada por esta fase de la fuente es 300 P„ = — 3.87cos(+26.6°) = 600 W V3 lo cual concuerda con el hecho de que se sabe que la fase individual sumi nistra 200 W a la nueva carga de iluminación, así como 400 W a la carga original.
PRÁCTICA ________________________________________________ 12.6 Tres cargas balanceadas conectas en Y se instalan en un sistema trifásico balanceado de cuatro hilos. L a carga 1 demanda una potencia total de 6 kW a un factor de potencia unitario; la carga 2 requiere 10 kVA a un FP = 0.96 retrasado, y la carga 3 necesita 7 kW a 0.85 retrasado. Si la tensión de fase en las cargas es de 135 V, cada línea tiene una resistencia de 0.1 £2, y el neutro tiene una resistencia de 1 £2, determinar: (a) la potencia activa total consum ida por las cargas; (b) el FP combinado de las cargas; (c) la pérdida de potencia total en las cuatro líneas; (d) la tensión de fase en la fuente; (e) el factor de potencia con el que opera la fuente.
Respuestas: 22.6 kW; 0.954 retrasado; 1027 W; 140.6 V ; 0.957 retrasado.
400 W 0 .8 PF
adelantado
I FIG U R A 12.17 Circuito portase que se usa para analizar un ejemplo trifásico balanceado.
470
)---------------
VW
-------------------------------•
^
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
Si una carga desbalanceada conectada en Y está presente en un sistema tri fásico, que en otro caso estaría balanceado, el circuito tal vez se seguirá anali zando en un esquema por fase si está presente el hilo neutro y si tiene impedancia cero. De no cumplirse ninguna de estas condiciones, se deben utilizar otros métodos, como el análisis de malla o el nodal. Sin embargo, los ingenieros que dedican la mayor parte de su tiempo a los sistemas trifásicos desbalanceados en contrarán que el uso de componentes simétricos ahorrará mucho tiempo, pero este método no se explicará aquí.
12.4 t CONEXION DELTA A Una configuración como alternativa a la carga conectada en Y es la carga conec tada en A, como se muestra en la figura 12.18. Este tipo de configuración es muy común y no posee una conexión neutra.
■ FIG U R A 12.18 Carga balanceada conectada en A que se presenta en un sistema trifásico de tres hilos. La fuente está conectada en Y.
Se considera una carga balanceada conectada en A que está compuesta por una impedancia Z p insertada entre cada par de líneas. Observar la figura 12.18 y suponer que se conocen las tensiones de línea
VL = \V ab\ = Wbc\ = Wca\ o que se sabe cuáles son las tensiones de fase vp = IV™ I = Ivta | = I V , I donde VL = V 3 V P
y
V ab = s/3V„/30°
como se calculó antes. Debido a que se conoce la tensión en cada rama de la A las corrientes de fa se se obtienen sin dificultad: y
Vab Lip
*AB = —
, 1BC =
V# l e A — rj Zjp
V cu Zjp
y sus diferencias determinan las corrientes de línea, en la forma Ja A = I AB ~ I CA
En razón de que se está trabaj ando con un sistema balanceado, las tres com entes de fase son de igual amplitud: IP — HabI -
IIbcI = \I c a \
Las corrientes de línea también tienen la misma amplitud; la simetría se mani fiesta a partir del diagrama de fasores de la figura 12.19. De tal modo, se tiene I l = \laA\ = \ h B\ = U ,rl e I
l
=
V 3 L
SECCIÓN 12.4 CONEXIÓN DELTA A
• ------------------------------
/V W
0
■ FIG U RA 12.19 Diagrama fasorial que podría aplicarse al circuito de la figura 12.18 si Zp fuera una impedancia inductiva.
Por el momento se descartará la fuente y se examinará sólo la carga balanceada. Si la carga está conectada en (A), entonces resultan indistinguibles la tensión de fase y la de línea, aunque la corriente de línea es mayor que la de fase por un fac tor de s/3. Sin embargo, con una carga conectada en Y la corriente de fase y la de línea se refieren a la misma com ente, y la tensión de línea es mayor que la de fase por un factor de \Í3.
EJEMPLO 12.5 Determinar la amplitud de la corriente de línea en un sistema trifásico con una tensión de línea de 300 V que suministra 1200 W a una carga conectada en (A) a un FP de 0.8 retrasado. Pensar otra vez en una sola fase que demanda 400 W con un FP de 0.8 re trasado bajo una tensión de linea de 300 V. De tal manera,
También en este caso conviene recordar que se supone que todas las tensiones y las corrientes
400 = 300(/p)(0.8) e t ' = 1.667 A así que la relación entre las com entes de fase y las de línea produce I = a/3(1.667) = 2.89 A Además, el ángulo de fase de la carga es eos-1 (0.8) = 36.9.?, por lo cual la impedancia en cada fase debe ser Z„ = /3 6 .9 o = 180/36.9° Q p 1.667 --------------P R Á C : CA
_______________________________________________________
12.7 Cada fase de una carga trifásica balanceada conectada en A consiste en un inductor de 200 H en serie, con una combinación en paralelo de un capacitor de 5 /xF y una resistencia de 200 £2. Pensar en una resistencia de línea cero y una tensión de fase de 200 V a © = 400 rad/s. Determinar: (ia) la com ente de fase; (b) la com ente de línea; (c) la potencia activa total que absorbe la carga.
Respuestas: 1.158 A; 2.01 A; 693 W.
se indican como valores rms.
0
A /W
■#
CAPITULO 12
CIRCUITOSPOLIFÁSICOS 'iae
EJEMPLO 12.6
D eterm in arT iranfpfcud de la corriente de linea en u n sistem a trifásico con u n a tensión de línea de 300 Na que su m in istra 1200 W a u n a carga conectada en S ® un F P de 0.8 retrasad o . (Es-, el m ism o circuito que el del ejemplo 12.5, pero con una carga conectada en Y.) En el esquema por fase, se tiene ahora una tensión de fase de 300/V 3 V, una potencia de 400 W y un FP retrasado de 0.8. En consecuencia, 4 0 0 = ^ ( / p)(0.8)
Ip = 2.89 (por lo que IL = 2.89 A) El ángulo de fase de la carga es otra vez de 36.9°, por lo cual la impedancia en cada fase de la (Y) corresponde a 3 0 0 /7 3 - /36.9° = 60/36.9° Q, 2.89
El factor \/3 no sólo relaciona las cantidades de fase y de línea, sino que aparece también como una expresión útil para la potencia (activa) total consumida por cualquier carga trifásica balanceada. Si se supone una carga conectada en Y, con un ángulo del factor de potencia 9, la potencia (activa) tomada por cualquier fase está dada por: Vl Pp = VpIp co s9 — VPI L c o s 9 — —¡=Il cosí v r y la potencia (activa) total es igual a p = 3 P p = V 3 Vl I l cos 9 De manera similar, la potencia activa que se entrega a cada fase de la carga conec tada en A se calcula mediante lL Pp = VpIp c o s 9 — V¡_Ip c o s9 = VL —— co s9 v3 lo que da una potencia activa total de P — ’iP p
[4]
P — \ / 3 VLIL cosí Así, la ecuación [4] permite calcular la potencia activa total que se entrega a una carga balanceada, a partir del conocimiento de la magnitud de la tensión de línea, de la corriente de línea y del ángulo de fase de la impedancia (o admitan cia) de carga, sin que im porte que la carga se conecte en Y o en A. La co rriente de línea en los ejemplos 12.5 y 12.6 puede obtenerse ahora en dos pasos simples: 1200 = V 3(300)(/zJ(0.8)
Por lo tanto, IL = 4 = = 2.89 A V3
SECCIÓN 12.4 CONEXIÓN DELTA A
TABLA
AA/V
+
12.1
0
Comparación de cargas trifásicas conectadas en Y y en Vp es la magnitud de la tensión de cada una de las fases de la fuente conectadas ---------------a--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------- --------------— en —Y. — ---------Carga
A
T ensión d e lín ea
T ensión d e fa s e
C o rriente d e fa s e
.
C orriente d e lín e a
P o te n cia p o r fa s e
V a s = V ab = íV 3 /3 0 !)V Íw =
Y
V bn
= Vp / 0 ° = VW
= ü .v =
^ f v f e / 3 0 °)V HV
V C/v = Vp / - 2 4 0 °
7,
TA — - *-AN I la — YrafN
^p
V BC = Y bc 120
V an
I bB = I b N =
' BN
T I YbN *bB ~ *BN ~ ~rj — P.
= V 3FP V ca = Vc«.. J
I cC = 1CN =
VCN
T 1cC ~ ílC N ~ Y„c N
'Lp
= v ah = ^3V J3
A
0°
V ab = Y a i = V :3 V „ /3 0 ° v ¿ c = y be = 7 3 ¿ /-9 0 ? ;;
l BC =
:V< , = V c. = VÁIV
V ca = Vcfl = V 3 y „ /- 2 i o °
l CA
,
=
y bc ~7Z— t¡p
^C A
AP
>0
la A =
LP ry RC I bB = b ¡ 3 / - 3 Q ° ) . J ^ LP /-
í f i =
En la tabla 12.1 se presenta una breve comparación de las tensiones de fase y de línea, así como de las corrientes de fase y de línea tanto para cargas conectadas en Y como en A que están alimentadas por una fuente trifásica conectada en Y. P R Á C T IC A
v
VAB
MB = "Ti— Zp
V BC =■ Y te = V 3 y D/ - 9 0 o 210
.
P
- W 3 . § ( U V vi = V 3 y „ /-2 1 0 ° Yab
V 3 V i/z,e o s0 donde eos 9 = factor dé potencia de la carga.
"
p
_______________________________________
12.8 Un sistema trifásico balanceado de tres hilos se termina con dos cargas en paralelo conectadas en A. La carga 1 demanda 4 kVA con un FP de 0.8 retrasado, en tanto que la carga 2 absorbe 24 kW con un FP de 0.9 adelantado. Suponer que no hay resistencia de línea y sea \ ab = 440/30° V. Calcular: (a) la potencia activa total suministrada a las cargas; (b ) la corriente de fase I Abi de la carga retrasada; (c) l AB2 ', (d) I aA. Respuestas: 56.0 kW; 30.3/ —6.87° A: 20.2/55.8° A: 75.3/- 1 2 .4 6 0 A.
Fuentes conectadas en A También se podría conectar la configuración de una fuente en A, lo cual, sin embargo, no es común, pues un ligero desbalance (desequilibrio) en las fases de la fuente puede ocasionar una circulación de corrientes elevadas en el lazo A. Por ejemplo, se denominarán a las tres fuentes monofásicas como V ab, Y be, y V cd . Antes de cerrar la A al conectar d con a, se determinará el desbalance me diante la suma V ab + V bc + Vca. Suponer que la amplitud del resultado es sólo 1% de la tensión de línea. Por lo tanto, la corriente que circula es casi | de la tensión de línea dividida entre la impedancia interna de cualquier fuente. ¿Qué
V -M
30 . ' i Ap
s Í 3 V jJ l cos H donde cos 0 = factor de potencia de la carga.
APLICACION PRÁCTICA S is te m a s d e g e n e r a c ió n d e p o te n c ia La generación de electricidad se consigue mediante una amplia variedad de técnicas. Por ejemplo, la conversión directa de energía solar en electricidad por medio de tec nología fotovoltaica (celdas solares) origina la pro ducción de potencia de cd. Sin embargo, a pesar de representar una tecnología bastante aceptable desde la perspectiva ambiental, las instalaciones con base fotovoltaica son en la actualidad más costosas que otros medios de producir electricidad y requieren el uso de in versores para convertir la potencia de cd en ca. Otras tec nologías, como los aerogeneradores eólicos, la geoter mia, la hidrodinámica, la energía nuclear y los generadores basados en combustible fósil son comparativamente mu cho más económicas. En estos sistemas un eje gira por la acción de u n impulsor primario , como el viento sobre un propulsor o el agua o corriente sobre las aspas de una turbina (figura 12.20). Una vez que el impulsor primario se ha dispuesto para generar movimiento rotacional de un eje, existen varios medios para convertir esta energía mecánica en energía eléctrica. Un ejem plo es un generador sín crono, como el de la figura (12.21), que es una máquina compuesta por dos secciones principales: una parte esta cionaria, llamada estator, y una parte giratoria, denomi nada rotor. La corriente directa se suministra a bobinas de alambre devanadas en tom o al rotor a fin de generar un campo magnético, que se hace girar mediante la ac ción del impulsor primario solidario del eje del rotor. Un conjunto de tensiones trifásicas se induce entonces en un
■ FIGURA 12.20
segundo conjunto de devanados alrededor del estator. Los generadores síncronos deben su nombre al hecho de que la frecuencia de la tensión de ca que se produce se sincroniza con la rotación mecánica del rotor. La demanda real de un generador aislado varía de manera considerable, a medida que se añaden o eliminan diversas cargas, de igual modo que cuando se arrancan las unidades de aire acondicionado, las luces se apagan o encienden, etc. La salida de tensión de un generador debe ser independiente en condiciones ideales de la carga, lo cual no sucede en la práctica. La tensión que se induce en cualquier fase determinada del estator, denominada a veces tensión generada interna, tiene una magnitud dada por E a — K(pa> donde K es una constante que depende de la manera en que se construya la máquina, <¡>es el flujo magnético que producen los devanados de campo del rotor (y, por lo tanto, es independiente de la carga) y co es la velocidad angular, que depende sólo del impulsor primario y no de la carga unida al generador. De esta forma, la variación de la carga no afecta la magnitud de Ea- La tensión in terna generada se relaciona con la tensión de fase y la corriente de fase por Ea =
+ J X sIa
donde Xs es la reactancia síncrona del generador. Si se aumenta la carga, entonces se consumirá una corriente
Instalación de captación de energía eoiica en Altamont Pass, California, que consta de más de siete mil aerogeneradores individuales.
E¿
(a)
E'a
■ FIG U RA 12.21 Rotor de 24 polos de un generador síncrono que está siendo colocado en su posición. Foto cortesía del Dr. Wade Enright, Te Kura Pukaha Vira O Te Whare Wananga O Waitaha, Aotearoa.
mayor I'A del generador. Si no cambia el factor de poten cia (es decir, permanece constante el ángulo entre e I a , V,;, se reducirá, pues EA no puede cambiar. Por ejemplo, considerar el diagrama de fasores de la figura 12.22a, que describe la salida de tensión-co rriente de una sola fase de un generador conectado a una carga con un factor de potencia retrasado de cos 0. También se ilustra la tensión generada interna E ¿ . Si se añade una carga adicional, sin cambiar el factor de potencia, como se representa en la figura 12.22b, la com ente suministrada IA se increm enta hasta I'A. Sin embargo, la magnitud de la tensión generada interna, que se form a por la suma de los fasores jX s l'A y V^, debe permanecer invariable. De tal manera, E'Á = E Á, por lo que la salida de tensión (V^) del generador se reducirá un poco, como se describe en la figura 12.22b.
■ FIG URA 12.22 Diagramas fasoriales que describen el efecto de carga sobre un generador síncrono que permanece aislado, (a) El generador conectado a una carga con un factor de potencia retrasado de cos 9. (b) Se agrega una carga adicional, sin que cambie el factor de potencia. La magnitud de la tensión generada de manera interna permanece igual mientras aumenta la corriente de salida, de modo que se reduce la tensión de salida V¿.
La regulación de tensión de un generador se define : % de regulación = Vsincarga ~ Vcarga completa x 1Q() Vcarga completa
Idealmente, este valor debe ser lo más cercano posible a cero, aunque sólo puede lograrse si la comente cd que se utiliza para controlar el flujo (f>alrededor de los devanados de campo varía para compensar el cambio de las condi ciones de carga, lo cual se convierte de inmediato en un proceso bastante complejo. Por esta razón, cuando se diseña una instalación de generación de potencia suelen preferirse varios generadores más pequeños conectados en paralelo, a un generador grande capaz de manejar la carga máxima. Cada generador funciona con o cerca de su carga máxima, por lo que la salida de tensión es en esencia constante; los generadores individuales se añaden o eliminan del sistema dependiendo de la demanda.
A/W
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
magnitud tendría esta impedancia? Depende de la corriente que se espera que la fuente entregue, con una caída despreciable de la tensión a nivel de las termi nales. Si se supone que la corriente máxima ocasiona una caída de tensión de 1% en las terminales, entonces ¡la cerniente circulante es un tercio de la coniente máxima! Lo anterior reduce la capacidad de la corriente útil de la fuente e incre m enta también las pérdidas en el sistema. También se debe advertir que las fuentes trifásicas balanceadas se transfor marían de Y a A, o viceversa, sin afectar las corrientes o tensiones de la carga. Las relaciones necesarias entre las tensiones de línea y de fase se presentan en la figura 12.13 en el caso en el que Vu„ tiene un ángulo de referencia de 0o. Esta transfor mación permite utilizar cualquier conexión de fuente que se prefiera, así que todas las relaciones de carga serán correctas. Desde luego, no se puede especificar al guna corriente o tensión dentro de la fuente, hasta que se conozca cómo está conectada en realidad. Las cargas trifásicas balanceadas quizá se transformen en tre las configuraciones conectadas en Y y en A mediante la relación
que tal vez valga la pena recordar.
12.5 g MEDICIÓN DE POTENCIA_____________________ * EN SISTEMAS TRIFÁSICOS Uso del wattímetro Antes de iniciar la explicación de las técnicas especializadas que se utilizan para medir la potencia en sistemas trifásicos, conviene considerar de manera breve la forma en que se usa un wattímetro en un circuito monofásico. L a medición de potencia se consigue casi siempre a frecuencias inferiores de unos cuantos cientos de Hz mediante el uso de un wattímetro que contiene dos bobinas independientes. Una de ellas se elabora con alambre grueso, que tiene una resistencia muy baja, y se denomina bobina de corriente. La segunda está compuesta por un número mucho mayor de vueltas de alambre delgado, con re sistencia relativamente alta, a la que se le llama bobina de potencial o bobina de tensión. Se podría insertar de manera interna o externa una resistencia adicional en serie con la bobina de potencial. El momento de torsión que se aplica al sis tema móvil y a la aguja indicadora resulta proporcional al producto instantáneo de las corrientes que fluyen en ambas bobinas. Sin embargo, la inercia mecánica del sistema móvil provoca una desviación, proporcional al valor promedio de este momento de torsión. El wattímetro se emplea conectándolo en una red de manera que la corriente que fluye en la bobina de corriente sea la que circula dentro de la red. y la ten sión en la bobina de potencial corresponda a la tensión entre las dos terminales de la red. Por ello, la corriente en la bobina de potencial es la tensión de entrada dividida entre la resistencia de la bobina de potencial. Resulta claro que el wattímetro tiene cuatro terminales disponibles, así que es necesario efectuar las conexiones correctas a ellas para obtener una lectura de es cala ascendente en el medidor. De modo específico, suponga que se mide la poten cia que absorbe una red pasiva. La bobina de corriente se inserta en serie con uno de los dos conductores conectados a la carga, y la bobina de potencial se instala entre los dos conductores, por lo general en el “lado de la carga" de la bobina de corriente. Las terminales de la bobina de potencial se indican a menudo mediante
SECCIÓN 12.5 MEDICIÓN DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
I
■ FIG U RA 12.23 (a) Conexión de un w attím etro que asegurará una lectura de escala ascendente de la potencia que absorbe la red pasiva, (ó) Ejem plo donde el w attím etro sé instala para producir una indicación de escala ascendente de la potencia activa que absorbe la fuente de la derecha.
flechas, como en la figura 12.23a. Cada bobina tiene dos terminales y se requiere observar la relación adecuada entre el sentido de la corriente y la tensión. Casi siempre se marca con (+ ), un extremo de cada bobina, por lo que se obtiene una lectura de escala ascendente si fluye una corriente positiva hacia el extremo (+ ) de la bobina de corriente, mientras la terminal (+ ) de la bobina de potencial sea posi tiva con respecto al extremo sin marca. En consecuencia, el wattímetro que se muestra en la red de la figura 12.23a proporciona una desviación de escala ascen dente cuando la red de la derecha absorbe potencia. Una inversión de cualquiera de las bobinas, pero no de ambas, provocará que el medidor trate de desviarse hacia las escalas inferiores; la inversión de ambas bobinas no afectará nunca la lectura. Como ejemplo del empleo de un wattímetro de este tipo en la medición de po tencia promedio (activa), considerar el circuito de la figura 12.23b. La conexión del wattímetro es tal, que una lectura ascendente de la escala corresponde a una potencia activa positiva absorbida por la red que está a la derecha del medidor, es decir, la fuente derecha. L a potencia activa que absorbe dicha fuente está dada por P = |V2| |I| cos(ang V2 - ang I) Utilizando la superposición o el análisis de malla, se encuentra que la corriente es 1 = 11.18/153.4° A por lo cual la potencia activa que se absorbe corresponde a P = (100)(11.18) cos(0° - 153.4°) = - 1 0 0 0 W Por lo tanto, la aguja indicadora descansa contra el tope de la escala descen dente. En la práctica^ la bobina de potencial se invierte con mayor rapidez que la bobina de corriente y dicha inversión proporciona una lectura en la escala as cendente de 1000 W.
*
A /W
AA/V
■#
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
PRÁCTICA
_____________________________________________________________________
12.9 Determinar la lectura del wattímetro en la figura 12.24; establecer si la bobina de potencial se invirtió o no para obtener una lectura de escala ascendente, e identificar el dispositivo o dispositivos que absorben o generan tal potencia. La terminal (+ ) del wattímetro se conecta: (a) jc; (b)y; (c ) z . 150+./130 V
Respuestas: 1 2 0 0 W, como está, P¿a (absorbida); 2 2 0 0 W como está, P ^ + P«j (ab sorbida); 5 0 0 W, invertida, absorbida por 1 0 0 V .
El wattímetro en el sistema trifásico A primera vista, la medición de la potencia consumida por una carga trifásica pa rece ser un problema simple. Sólo es necesario poner un wattímetro en cada una de las tres fases y sumar los resultados. Por ejemplo, las conexiones apropiadas de una carga en Y se muestran en la figura 12.25a. Cada wattímetro tiene su bobi na de corriente insertada en una fase de la carga y su bobina de potencial conec tada entre el lado de la línea de esa carga y el neutro. De manera similar, se
(a)
(b)
■ FIG U RA 12.25 Tres wattímetros se conectan de manera que cada uno registra la potencia tomada por una fase de una carga trifásica y la suma de las lecturas de la potencia total, (o) Carga conectada en Y. (b) Carga conectada en A . Ni las cargas ni la fuente necesitan estar balanceadas.
SECCIÓN 12.5 MEDICIÓN DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
conectarían tres wattímetros en la forma que se indica en la figura 12.25b a fin de medir la potencia activa total tomada por una carga que se conecta en A Los métodos son teóricamente correctos, aunque quizá sean inútiles en la práctica debido a que el neutro de la Y no siempre es accesible y no se cuenta con las fases de la A Por ejemplo, una máquina rotatoria trifásica sólo tiene tres termi nales accesibles, que se denominan A, B, y C. Resulta claro que se necesita un método de medición de la potencia activa to tal consumida por una carga trifásica con sólo tres terminales accesibles; se po drían efectuar mediciones en el lado de “línea”, pero no en el de la “carga”. Se dispone de un método de este tipo que puede medir la potencia consumida por una carga desbalanceada, a partir de una fuente desbalanceada. Se conectan tres wattímetros de manera que cada uno tenga su bobina de corriente y su bobina de tensión entre esa línea y algún punto común como se indica en la figura 12.26. Aunque se ilustra un sistema con una carga conectada en Y, los argumentos que se presentan son también válidos para una carga conectada en A El punto x quizás sea alguno no especificado en el sistema trifásico, o sólo un punto en el espacio en donde las tres bobinas de potencial tengan un nodo en común. La po tencia promedio activa indicada por el wattímetro A debe ser
donde T es el periodo de todas las tensiones de fuente. Las lecturas de los otros dos wattímetros se indican mediante expresiones similares, así que la potencia promedio (activa) total consumida por la carga resulta P — Pa +
Pb +
Pe — '
( v A x í a A + V B x í b B + v CX íc9-) d t
Cada una de las tres tensiones de la expresión anterior se escribe en términos de una tensión de fase y de la tensión entre el punto jc y el neutro, v Ax — VA Ñ + v Nx
VBx — VbN + VCx = VcN + Vfi[x
a c
A
B
bo
c o-
■ F IG U R A 1 2 .2 6 Método de conexión de tres wattímetros para medir la potencia (activa) total que toma una carga trifásica. Sólo son accesibles las tres terminales de la carga.
»
A /W
480 --------- V
W
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
y, por lo tanto, T ( V A N Ía A + V BNÍbB + V c n Í c c ) d t
1 ÍT Vn x Ü ü A í Jo
+ — I
+ íbB + ¿cC) d t
Sin embargo, se podría pensar que la carga trifásica completa es un supernodo, de modo que la ley de Kirchhoff de corriente requiere que íaA + ÍbB + ícC = 0
De tal modo, 1 fT P — — I (Va n ÍuA + VBNÍbB + vCNlcc) d t i Jo Al consultar el diagrama de circuito se observa que esta suma es en realidad la su ma de las potencias promedio (activa) tomadas por cada fase de la carga, ¡y la suma de las lecturas de los tres wattímetros representa, por lo tanto, la potencia promedio (activa) total consumida por la carga completa! Se ilustrará este procedimiento mediante un ejemplo numérico, antes de descubrir que uno de estos tres wattímetros en realidad resulta superfluo. Se supon drá una fuente balanceada Vab = 100/(f
V
V bc = 100/- 1 2 0 °
V
V ca = 1007 -2 4 0 °
V
vT an
V
Vbn
V
o
= í° ° /-2 7 0 V3 ---------
V
y una carga desbalanceada: Z A = - j 10 £2 L b = j 10 £2 Z c = 10 Q Suponer que hay wattímetros ideales, como los de la figura 12.26, con el punto x ubicado sobre el neutro de la fuente n. Las tres corrientes de línea se podrían obtener mediante un análisis de malla: IaA = 19.32/151
A
l bB = 19.32/165°
A
I cC = 10/ —90°
A
La tensión entre los neutros es
VnN = Vnb + V BN = V nb + Im C /10) = 157.77 -9 0 °
SECCIÓN 12.5 MEDICIÓN DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
• -------------------------------
VW
-------- (4 8 1
La potencia promedio (activa) indicada por cada wattímetro se calcularía mediante Pa
= VpIaA cos(angVa„ - ang l aA) = ^ 2 l 9 .3 2 c o s ( - 3 0 ° - 15°) = 788.7 W V3
Observar que la lectura de uno de los wattfm etros es negativa. La explicación previa sobre el uso básico del wattím etro indica que una lectura de escala ascendente sobre ese m edidor se obtiene después de que se
100
PB = — 19.32 c o s ( - 150° - 165°) = 788.7 W V3 Pc = ^ E l 0 c o s ( - 2 7 0 ° + 90°) = -5 7 7 .4 W V3 o una potencia activa total de 1 kW. Puesto que una corriente rms de 10 A fluye por la carga resistiva, la potencia activa total que demanda la carga es P = 102(10) = 1 kW así que los dos métodos concuerdan.
Método de los dos wattímetros Se acepta que el punto x, la conexión común de las tres bobinas de potencial, se po dría ubicar en cualquier lugar que se desee sin afectar la suma algebraica de las tres lecturas de wattímetro. Pensar ahora en el efecto de ubicar el punto x, esta cone xión común de los tres wattímetros, de manera directa sobre una de las líneas. Por ejemplo, si un extremo de cada bobina de potencial regresa a B, entonces no hay tensión en la bobina de potencial (de tensión) del wattímetro B, así que la lectura de este medidor debe ser cero. En consecuencia, se podría eliminar y la suma alge braica de las dos lecturas de los wattímetros restantes seguiría siendo la potencia (activa) total consumida por la carga. Cuando la ubicación de x se elige de esta ma nera, se describe el método de medición de potencia (activa) como el de los dos wattímetros. La suma algebráica de las lecturas indica la potencia activa total, inde pendientemente de: 1) el desbalance de la carga, 2) el desbalance de la fuente, 3) la diferencia entre los dos wattímetros y 4) la forma de onda de la fuente periódica. El único supuesto es que las correcciones del wattímetro son suficientemente peque ñas como para que se puedan pasar por alto. Por ejemplo, en la figura 12.26, por la bobina de corriente de cada medidor pasó la corriente de línea consumida por la carga más la comente que toma la bobina de potencial (de tensión). En razón de que la última comente suele ser bastante pequeña, su efecto se estima a partir del conocimiento de la resistencia de la bobina de potencial (de tensión) y de la tensión en sus extremos. Estas dos cantidades permiten realizar una estimación precisa de la potencia activa que se disipa en la bobina de potencial (de tensión). En el ejemplo numérico que acaba de describirse, suponga ahora que se usan dos wattímetros, uno con bobina de corriente en la línea A y con bobina de po tencial entre las líneas A y B, el otro con la bobina de com ente en la línea C y la bobina de potencial entre C y B. La lectura del primer medidor es P\ = Vah laa co s(m g Vab ~ ang laA) = 100(19.32) cos(0° - 15°) = 1 866 W
y la del segundo Pi = VCBIcC cos (ang VCB ~ ang IcC) = 100(10) cos (60° + 9 0 °) - -8 6 6 W
invierte la bobina de potencial o la bobina de corriente.
•
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
I FIG U R A 12 .27 Dos wattímetros conectados para leer la potencia activa total que consume una carga trifásica balanceada (equilibrada).
Por lo tanto, P = p, + p2 = 1 866 - 866 = 1000 W como se esperaba a partir de la experiencia reciente con el circuito. En el caso de una carga balanceada, el método de los dos wattímetros per mite determinar el ángulo del FP, así como la potencia activa total consumida por la carga. Suponer una im pedancia de carga con un ángulo de fase 9; se po dría utilizar una conexión en Y o en A pero se supondrá la conexión en A que se presenta en la figura 12.27. La construcción de un diagrama fasorial normal, como el de la figura 12.19, permite determinar el ángulo de fase apropiado en tre las diversas tensiones y corrientes de línea. Por lo tanto, se determinan las lecturas P
í
=
IV ab I
IlaAl cos(ang V a b - ang IaA)
= VLIL cos(30° + 9)
P2 =
¡V c /íI
ILcI cos (ang Y
Cb
- ang IeC)
= VL/ L c o s (3 O ° -0 ) L a proporción entre ellas se calcula mediante: Pj _ cos(30° + 9) P2
cos(30° — 9)
[5]
Si se desarrollan los términos coseno, la ecuación se resuelve con facilidad para ta n 0 . tan 0 = V 3 —— — P2 + P 1
[ 6]
De tal modo, las lecturas iguales del wattímetro indican una carga de FP uni tario; las lecturas iguales y opuestas señalan una carga puramente reactiva; una lec tura de P2 que és (algebraicamente) mayor que P¡, indica una impedancia inductiva; y una lectura de P2 menor que P¡ significa una carga capacitiva. ¿Cómo se puede indicar cuál wattímetro lee P¡ y cuál lee P{1 Es cierto que P¡ está en la línea A, y que P 2 se encuentra en la línea C, además, nuestro sistema de secuencia de fase positiva obliga a que V„„ esté retrasada respecto a Vcn. Esta información basta para
SECCION 12.5 MEDICION DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
* -
A A /V
483
diferenciar entre dos wattímetros, pero resulta confuso aplicarla en la práctica. In cluso si no se pudiera distinguir entre los dos, se conoce la magnitud del ángulo de fase pero no su signo, lo cual muchas veces es información suficiente. Si la carga es un motor de inducción, el ángulo debe ser positivo y no es necesario realizar ninguna prueba para determinar cuál lectura es cuál. Si se supone que no hay conocimiento previo de la carga, entonces existen varios métodos para resolver la ambigüedad. Quizás el más simple sea el que implica agregar una carga reactiva de alta impedancia, dígase un capacitor trifásico, a través de la carga desconocida. La carga debe volverse más capacitiva. Por lo tanto, si disminuye la magnitud de tañé1 (o la magnitud de 6 ) entonces la carga era inductiva, a la vez que un aumento en la magnitud de tañé1significa una impedancia capacitiva original.
EJEMPLO 12.7 La carga balanceada en ia figura 12.28 se alimenta mediante un sistema trifásico balanceado que tiene \ ah = 230/0 V rms y una secuencia de fase positiva. Determinar la lectura de cada wattímetro y la potencia activa total consumida por la carga. La bobina de potencial (de tensión) del wattímetro #1 se conecta para medir la tensión y su bobina de corriente mide la corriente de fase IaA. Puesto que se sabe utilizar la secuencia de fase positiva, las tensiones de línea son V ab = 2 3 0 /0 !
V
\ bc = 230/ - 1 2 0 0 V \ ca = 230/120°
V
Observar que Vflc = —V„< = 230/ —60° V.
■ F IG U R A 1 2 .2 8 Sistema trifásico balanceado conectado a una carga trifásica balanceada (equilibrada), cuya potencia activa se mide mediante el método de los dos wattímetros.
La corriente de fase IaA está dada por la tensión de fase \ an dividida entre la impedancia de fase 4 + j 15 Q, V an ( 2 3 0 /V 3 )/- 3 0 ! AflA = — —— = ------ ------— ----- A 4 + yl5
4 + yl5
= 8.554/ —105.1° A (Continúa en la siguiente página)
4 8 4 }---------------
V \A / ------------------------------- •
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
Se podría calcular ahora la potencia que mide el wattímetro #1 como P\ = |Vae| |I0aI cos(ang \ ac - ang \ aA) = (230)(8.554) cos(—60° + 105.1°) W = 1389W De modo similar, se determina que P2 = \ [ J \\bB\ cos(ang V;,c - a n g l,,fi)
En razón de que esta medición originaría que el medidor se pegara a la escala descendente, una de
= (230) (8.554) cos(—120° - 134.9°) W
las bobinas necesitaría invertirse para efectuar
= -5 1 2 .5 W
la lectura.
En consecuencia, la potencia real (activa) que absorbe la carga es P = Pi + P2 = 876.5 W P R Á C T I C A ___________________________________________________ 12.10 En el circuito de la figura 12.26, sean las cargas Z A = 25/60° Q, Z B — 50/ - 6 0 ° Í2, Z c = 50/60° Í2, V ab = 600/0° V rms con una secuencia de fase (+ ) y el punto K se ubica en C. Determinar: (a) P,\ '. (b) PB\ (c )P c Respuesta: 0; 7 200 W; 0.
RESUMEN Y REPASO_____________________________ □ La mayor parte de la producción eléctrica tiene forma de potencia trifásica. □ Casi toda la electricidad residencial en Norteamérica tiene la forma de corriente alterna monofásica, con una frecuencia de 60 Hz y una tensión rms de 115 V. □ Las fuentes trifásicas se pueden conectar en Y o en A. Ambos tipos de fuente tienen tres terminales, una para cada fase; las fuentes conectadas en (Y) tienen también una conexión neutra. □ En un sistema trifásico balanceado, cada tensión de fase tiene la misma magnitud, aunque está siempre 120° fuera de fase respecto de las otras dos. □ Las cargas en un sistema trifásico se conectan en Y o en A. □ En una fuente balanceada conectada en Y, con secuencia de fase positiva (abe) las tensiones de línea son: \ ab = 7 3 ^ / 3 0 1
\ bc = V 3 V J - 9 0 0
Y ca = V 3 y „ / - 2 i o ° donde las tensiones de fase son: Van = Vp /0 l_
Ybn = V» 7-120?
Ve„ = y „ /~ 2 4 0 °
□ En un sistema con carga conectada en Y, las corrientes de línea son iguales a las corrientes de fase.
EJERCICIOS * □ En una carga conectada en A las tensiones de línea son iguales a las de fase. □ En un sistema balanceado con secuencia de fase positiva y una carga balanceada conectada en A las corrientes de línea son h
= 1a b V 3 / - 3 0 °
lb
= I fic V 3 / - 1 5 0 °
Ic = I c a V 3 /+ 9 (T
donde las corrientes de fase corresponden a V
AB
ab
r. ¿A
Vab
r. i-A
T
* II(..
V
bc
^A
V bc
^A
T
\ CA
^A
V ,,
r. . *CA ryn ^A
□ L a mayor parte de los cálculos de potencia se efectúan por fase suponiendo un sistema balanceado; de otra manera, el análisis nodal/malla siempre re sulta un método válido. □ L a potencia en un sistema trifásico (balanceado o desbalanceado) puede medirse con sólo dos wattímetros. □ L a potencia instantánea en cualquier sistem a trifásico balanceado es cons tante.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Un p a n o ra m a m u y c o m p le to de los c o n c e p to s acerca de p o te n c ia de ca se p u e d e e n c o n tra r en el c a p ítu lo 2 de:
B.M. Weedy, Electric Power Systems, 3a. ed. Chichester, England: Wiley, 1984. Un libro muy completo acerca de la generación de energía a partir del viento es de:
T. Burton, D. Sharpe, N. Jenkins, y E. Bossanyi, Wind Energy Handbook. Chichester, England: Wiley, 2001.
EJERCICIOS_____________________________________ 12.1
S is tem as p o lifás ic o s
]. Por medio de un voltímetro se mide un circuito construido en el laboratorio, con los resultados Vhe = 0.7 V y Vce = 10 V . Determinar y eb, y Vcb. 2. Un amplificador de transistor de efecto de campo de fuente común se simula uti lizando SPICE. (á) Si Vg .5 = - 1 V y Vds = 5 V, determinar Vgd. (b) Si Vds = 4 V y Vgd = 2.5 V, determinar 3. Un sistema de potencia de seis fases se construye como parte de un suministro de potencia magnética de cd de alta tensión. Escribir las tensiones de fase de: (á) la se cuencia de fase positiva; (b) la secuencia de fase negativa. 4. Si \ xy = 110/20° V, V „ = 160/ —50° V, y \ ay = 80/130° V, determinar: (á) \ yz; (b)V az; ( c ) \ zx/Y xy. 5. En un circuito particular, se sabe que V 12 = 100/0°. V45 = 60/75°. V42 = 80/120°. y V35 = —j 120, todo en volts. Determinar: (a) V2 5 ; (b) V 1 3 . 6 . En un sistema de ca en particular, se sabe que V n = 9/87° V y V23 = 8/45° V . Calcular (a) V 2i ; (b) V 32; (c) V 12 - V 32. 7. En un sistema de potencia se sabe que Va„ = 400/ —45° V y Y hn = 400/75° V. (a) Dibujar un diagrama fasorial (vectorial), que incluya V c„ . (b) ¿Es la secuencia de fase del sistema positivo o negativo? Explicar su respuesta. 8 . Dadas las corrientes de c a I J2 = 33/12° A e I 23 = 40/12° A, ¿cuál es el valor de I31 ? 9. Si se sabe que un circuito de ca tiene corrientes I J2 = 5/55° A e I 23 = 4 /33° A, ¿cuál es el valor de I 31 si la frecuencia de operación es de 50 Hz?
AyW
486 I--------- V W
-#
CAPITULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
12.2 S istem as m o n o fásico s d e tres hilos 10.El sistema de 2 3 0/460 V rms 60 Hz y tres hilos, que se m uestra en la figura 12.29, suministra potencia a tres cargas: la carga AN demanda una potencia compleja de 10/40° kVA, la carga NB consume 8 /10° kVA, y la carga AB requiere 4 / —80° kVA. Determinar las dos corrientes, la de línea y la del neutro.
■ FIG U RA 12.29
11. Un sistema monofásico balanceado de tres hilos tiene cargas Z an = Z nb = 10 ¡3, y una carga Z AB = 16 + 7 12 fi. Puede suponerse que las tres líneas no tienen re sistencia. Sea Y an = y nb = 120/0^ V. (a) Determ inar IaA e /„¿v- (b ) E l sistema se desbalancea (se desequilibra) al conectar otra resistencia de 10 fi en paralelo con Z AN. Encontrar IaA, I¡,b - e I„n 12. Un ineficiente sistema monofásico de tres hilos tiene tensiones de fuente de \ an = \ nb = 720/0° V, resistencia de línea RaA = Rk/¡ = 1 fi con R„ \¡ = 10 fi, y cargas Z ^ ^ = 10 + j 3 fi, Z^y# = 8 -1 - j 2 fi, y Z Ab = 18 -}- j 0 fi. Calcular (a) \ aA; (b)
I / i Ni ( ¿ 0
P c a b le a d o , to ta l?
(
13. En el sistema monofásico balanceado de tres hilos de la figura 12.30, sea V,\n = 220 V a 60 Hz. (a) ¿Qué tamaño debe tener C para proporcionar una carga de factor de potencia unitario? (b ) ¿Cuántos kVA maneja C? I FIG U RA 12.30
14. El sistema monofásico balanceado de tres hilos de la figura 12.29 tiene tensiones de V0„ = \ nb = 200/CP V, línea cero y resistencia neutra y cargas Z An = Z ^ b = 12 + j i fi. Determ inar Z ab de manera que: (á) X AB = 0 e IaA = 30 A rms; (b ) RAb = 0 y ángulo 1 ^ = 0°.
12.3 C o n e xió n Y-Y trifá s ic a 15. La figura 12.31 muestra un sistema trifásico balanceado de tres hilos con secuencia de fase positiva. Sea V BC = 120/60° V y Rw = 0.6 fi. Si la carga total (incluyendo la resistencia del alambre) extrae 5 kVA a un PF = 0.8 retrasado, determinar (a) la potencia perdida en la resistencia de línea y (b ) Va„.
■ FIGURA 12.31
tJERCICIOS 16. Sea \ a„ = 2 300/0^ V en el sistema balanceado que se muestra en la figura 12.31 y fije Rw = 2 Í 2 . Suponer que la secuencia de fase positiva con la fuente suministra una potencia compleja de S = 100 + j 30 kVA. Determinar (a) laA', (b) V a n ', (c)Zp; (d) la eficiencia de transmisión. 17. En el sistema trifásico balanceado de la figura 12.31, sea Zp = 12 + j5 fi e IbB = 20/0° A con secuencia de fase (+) Si la fuente opera con un factor de potencia de 0.935. determinar : (a) Rw; (b) V¿„; (c) V^s; (d) la potencia compleja suministrada por la fuente. 18. Un sistema trifásico de tres hilos tiene una carga balanceada conectada en (Y) construida por una resistencia de 75 £2, una inductancia de 125 mH y una capacitan cia de 55 fiF en serie desde cada línea hasta el punto neutro. Si se supone la secuencia de fase positiva con Vp = 125 V a 60 Hz, calcular la corriente de línea, la potencia activa total suministrada a la carga y el factor de potencia de la carga. 19. Un conductor neutro sin perdidas se instala entre los nodos n y /Ven el sistema trifásico que se muestra en la figura 12.31. Suponer un sistema balanceado con se cuencia de fase (+) pero con carga conectada desbalanceada (desequilibrada): Z an = 8 + j'6 fi ,Z bn = 12—j l 6 fi, y Z cn = 5 fi. Si Va„ = 120/0° V rms y Rw = 0.5 fi, encontrar I„¿v20. En el circuito de la figura 12.31, \ an = 40/0° V (secuencia de fase positiva). Deter minar la corriente de línea y la potencia activa total entregada a la carga si la im pedancia Zp = 5 + j 10 fi y Rm = (a) 0 fi; (b) 3 fi. 21. La impedancia de fase Zp en el sistema que se muestra en la figura 12.31 consiste en una impedancia de 75/25° f i en paralelo con una capacitancia de 25 /j F. Sea \
FIGURA 12.32
AA/V
CAPÍTULO 12 CIRCUITOS POLIFÁSICOS
26. L a carga balanceada conectada en A de la figura 12.32 requiere 15 kVAcon u n F P retrasado de 0.8. Suponer una secuencia de fase (+ ) con V fic = 180/30° V. Si R w = 0.75 fi, calcular (a) V&e ; (b ) la potencia compleja total generada por la fuente. 27. L a carga en el sistema balanceado de la figura 12.32 consume una potencia com pleja total de 3 + j 1.8 kVA, mientras que la fuente genera 3.45 + y 1 .8 kVA. S iR w = 5 fi, determinar (a) I aA \ (b) I a b ' , ( c ) Van. 28. L a carga conectada en A del circuito de la figura 12.32 demanda 1 800 W con un FP retrasado de V 2 /2 , y se pierden 240 W en la resistencia del alambre de R m = 2.3 Q. Calcular el valor rms de la tensión de fase de la fuente y el valor rms de la corriente de fase de la carga. 29. La fuente de la figura 12.33 está balanceada y exhibe una secuencia de fase (+ ). Deter minar (a) IaA ; (b) Ibb ; (c) I ce \ (¿0 la potencia complej a total que suministra la fuente.
30. En el circuito que se describe en la figura 12.32, V ab = 200/CP V rms con secuen cia de fase (+ ), Rw = 200 m Q y la im pedancia de fase Z p se compone de una re sistencia de 10 Q en paralelo con una reactancia inductiva de 30 Q. Determinar la potencia total que suministra la fuente, el factor de potencia al cual opera y la efi ciencia de transmisión. 31. La fuente trifásica balanceada conectada en Y en la figura 12.32 tiene V an = 140/CP V rms con secuencia de fase positiva (+ ). Sea R w = 0 Q. L a carga trifásica balanceada consume 15 kW y + 9 kVAR. Obtener (a) V¿g; (b ) Iyis, (c) 1 ^ . -32. En el sistem a trifásico de la figura 12.34, suponer una fuente balanceada con una secuencia de fase positiva. Si la frecuencia de operación es de 60 Hz, calcular la magnitud de: (a) V a n ' , ( b ) Y b n ' , ( c ) Y c n - Verificar las respuestas con una simu lación de PSpice apropiada.
E F IG U R A 1 2 .3 4
► 33. (a) Insertar 1 Q de resistencia en cada una de las líneas de la figura 12.33 y realizar de nuevo el ejercicio 29. (b) Verificar la solución con una simulación PSpice apropiada. 34. Un sistema trifásico balanceado, que tiene una tensión de línea de 240 V rms, con tiene una carga conectada en A de 12 + j k fi por fase y también una carga conectada en Y de 5 + j3 kQ por fase. Determinar la corriente de línea, la potencia activa tom ada por la carga combinada y el factor de potencia de la carga.
EJERCICIOS 12.5 M edición de potencia en sistem as trifásicos
35. Encontrar la potencia leída por el wattímetro (para ello debe establecer si los Míos de conexión tienen que invertirse o no para obtenerla) en el circuito de la figura 12.35, si las terminales A y B, respectivamente, se conectan (a) x y y; (b) x y r, (c) y y z. 10 ft
2 ^ 3 6 . Se conecta un wattímetro en el circuito de la figura 12.36, de manera que Ii entra en la terminal (+) de la bobina de corriente mientras que V2 es la tensión de la bobina de potencial (de tensión). Proporcionar la lectura del wattímetro y obtener la solu ción con una simulación de PSpice apropiada.
w v50 n
- ^ W V ------100 n
i1H
25 /iF :
I FIC U R A 12.36
37. Obtener la lectura dada por el wattímetro conectado en el circuito de la figura 12.37.
2.5 sen 5 0 0 1 A
- 38. (a) Proporcionar ambas lecturas dadas por los wattímetros de la figura 12.38 si Va = 100/01 V rms, \¡¡ = 50/90° V rms, Z A = 10 - jlO Q, Z B = 8 + 7 6 Q, y Zc = 30 + j 10 Q. (b) ¿La suma de estas lecturas es igual a la potencia activa total tomada por las tres cargas? Verificar las respuestas con una simulación PSpice apropiada.
A A /V
A /W
•
CAPÍTULO 12
CIRCUITOSPOLIFÁSICOS
I I F IG U R A 1 2 .3 8
39. Los valores de los parámetros del circuito de la figura 12.39 son \ a¡, = 200/0°. \ hc = 200/1 2 0 °. V,,„ = 200/240° V rms, Z4 = Z5 = Z6 = 2 5 /3 0 fi, Z\ = Z 2 = Z3 = 5 0 / —60 fi. Determ inar la lectura dada por cada wattímetro.
41. En el circuito de la figura 12.31, dem ostrar cómo podría m edirse la potencia activa absorbida por la carga m ediante (a) tres wattímetros, (b) el m étodo de dos wattímetros.
Circuitos acoplados magnéticamente CONCENTOS CLAVE IN T R O D U C C IO N
Inductancia m utua.
Siempre que la corriente fluye a través de un conductor, ya sea de ca o de cd, se genera un campo magnético alrededor de él. En el contexto de los circuitos, uno se refiere a menudo al flujo mag nético a través de un lazo de alambre, que no es más que la compo nente normal promedio del campo magnético que emana del lazo, multiplicada por el área del mismo. Cuando un campo magnético variable en el tiempo generado por un lazo penetra un segundo lazo, se induce una tensión entre los extremos de este último. Para distinguir este fenómeno de la “inductancia” que se definió antes, denominada de m anera más adecuada “autoinductancia”, se definirá un nuevo término: inductancia mutua. No hay un dispositivo tal que sea un “inductor mutuo”, pero el
•----------------A utoinductancia.
•--------------------C onvención punto.
• -------------------------------Im pedancia reflejada ; o referida.
•------------------------------------------Redes T y n equivalentes.
------------------------------------------T ra n sfo rm a d o r ideal.
• -------------------------------
principio constituye la base de un dispositivo muy importante:
Relación de vueltas de un
el transformador, que consta de dos bobinas de alambre separadas
tra n sfo rm a d o r ideal.
por una pequeña distancia y se utiliza, por lo común, para convertir las tensiones de ca en valores mayores o menores según la apli cación. Todo aparato eléctrico requiere corriente de cd para operar, aunque los enchufes en una toma de corriente de pared de ca em plean un transformador para ajustar los niveles de tensión antes de la rectificación, función que efectúan casi siempre los diodos y que se describe en cualquier texto introductorio de electrónica.
13.1
INDUCTANCIA MUTUA
Cuando se definió la inductancia en el capítulo 7, se hizo especifi cando la relación entre la tensión y la corriente en las terminales v (t) = L
d i(t) dt
* ------------------------------------------■ A coplam iento de impedancias.
•--------------------A juste del nivel de tensión.
-------------------------------------------Análisis con PSpice de : circuitos con : transform adores.
AA/V
■# CAPÍTULO13 CIRCUITOSACOPLADOSMAGNÉTICAMENTE donde se tomó en cuenta la convención pasiva de signos. Las bases físicas de tal característica de corriente-tensión se sustentan en dos aspectos: 1. L a producción de flu jo magnético por una corriente, que es proporcional a la corriente en inductores lineales. 2. L a producción de una tensión por un campo magnético variable en el tiempo, proporcional a la tasa de cambio del campo magnético o del flujo magnético.
Coeficiente de inductancia mutua La inductancia mutua se debe a una ligera extensión de los argumentos anteriores. Una corriente que fluye en una bobina establece un campo magnético en tom o a la misma y alrededor también de una segunda bobina cercana. El flujo variable en el tiempo que rodea a la segunda bobina produce una tensión en sus termi nales, proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la corriente que fluye por la primera bobina. L a figura 13. \a muestra un modelo simple de dos bobinas L¡ y L 2, suficientem ente próxim as una de otra para que el flujo que atraviesa L]t producto de la corriente i\(t), establezca una tensión en circuito abierto v2(t) entre las terminales de L^. Sin considerar el signo algebraico apropiado de la relación en este momento, se define el coeficiente de inductancia mutua, o sim plemente inductancia m utua, M 2\, como d i i (t) v2(t) = M 2\ ——— dt
[1]
■ FIG U R A 13.1 (o) Una corriente /1 en L-¡ produce una tensión, en circuito abierto, v2 en L2. (ib) Una corriente i2 en ¿2 produce una tensión, en circuito abierto, i/i en ¿i .
El orden de los subíndices en M2\ indica que se produce una respuesta de tensión en L 2 a raíz de una fuente de corriente en L\. Si se invierte el sistema, como se indica en la figura 13.1¿, se tiene d i2(t) ui(í) = M \2—j — dt
[2]
Sin embargo, no son necesarios dos coeficientes de inductancia mutua; más ade lante se usarán relaciones de energía para probar que M ]2 y M 2\ son iguales, de tal modo que M \2 = M 2\ = M . La existencia del acoplamiento mutuo entre dos bobinas se indica mediante una flecha doble, como en la figura 13.1a y b. La inductancia mutua se mide en henrys, y al igual que la resistencia, la in ductancia y la capacitancia, es una cantidad positiva.1 Sin embargo, la tensión M d i/ d t , quizás aparezca como una cantidad positiva o negativa, según crezca o no la corriente en un instante específico.
(1) No se supone de manera universal que la inductancia mutua sea positiva. En particular resulta conveniente permitir que “lleve su propio signo” cuando están implicadas tres o más bobinas y cada una interactúa con las otras dos. Se restringirá la atención al caso simple y más importante de dos bobinas.
SECCIÓN 13.1
0
Wv
INDUCTANCIAMUTUA
Convención del punto M
El inductor es un elemento de dos terminales y se puede utilizar la convención pasiva de signos para elegir el signo correcto de la tensión L di/dt o jcoLl. Si la com ente entra en la terminal donde se ubica la referencia de tensión positiva, se usa el signo positivo. Sin embargo, no se puede tratar la inductancia mutua exac tamente de la misma manera, porque implica cuatro terminales. La elección de un signo correcto se establece mediante el empleo de una de varias posibilidades que incluyen la “convención del p u n to ”, o mediante la inspección de la forma par ticular en la que se devana cada bobina. Se utilizará la convención del punto y tan sólo se observará con brevedad la construcción física de las bobinas; el empleo de otros símbolos especiales no se requiere cuando sólo se acoplan dos bobinas. La convención del punto utiliza un gran punto situado en un extremo de ca da una de las dos bobinas que se acoplan mutuamente. Se determina el signo de la tensión mutua de la forma siguiente:
(a)
L2
Una corriente que entra a la terminal con punto de una bobina, produce una tensión en circuito abierto con una referencia de tensión positiva en la ter minal con punto de la segunda bobina.
„d i j
#2
~— AÍ
dt
M
T
r di, i^L7 Vj =—M — —
-
De tal modo, en la figura 13.2a, i\ entra en la terminal con punto de L\, v2 se mide positiva en la terminal con punto de L% y es igual a M d i\/d t. Se ha visto antes que muchas veces no es posible elegir tensiones o corrientes a lo largo de un circuito, de modo que la convención pasiva de signos se satisfaga siempre; la misma situación surge con el acoplamiento mutuo. Por ejemplo, tal vez resalte más conveniente representar a v2 por medio de una referencia de tensión positiva en la terminal sin punto, como en la figura 13.26; en ese caso v2 — —M d i i / d t . Las corrientes que entran a la terminal con punto tampoco se encuentran siempre disponibles, como se indica mediante la figura 13.2c y d. Se observa entonces que:
dt
ir) M
v~¡ = M
dt
(d)
Una corriente que entra a la terminal sin punto de una bobina proporciona una tensión que se mide positivam ente en la terminal sin punto de la se gunda bobina. Observar que en el análisis anterior no se incluye ninguna contribución a la ten sión de la inductancia propia, la cual ocurriría si i2 fuera diferente de cero. Se considerará en detalle esta situación, pero es apropiado presentar, primero, un ejemplo rápido.
f F IG U R A 1 3 .2 La corriente que entra en la terminal con punto de una bobina produce una tensión que se mide positiva en la terminal con punto de la segunda bobina. La corriente que entra en la terminal sin punto de una bobina genera una tensión que se mide positiva en la terminal sin punto de la segunda.
EJEMPLO 13.1 Kn el circuito que se presenta en Ja figura 13.3, determinar: (a) i'i si i2= 5 sen 45f A e ix = Ü; (b ) v2 si i\ = -8 c~r A e i2 = 0. (a) Puesto que la corriente i2 está entrando en la terminal sin punto de la bobina derecha, la referencia positiva de la tensión inducida en la bobina izquierda es la terminal sin punto. Por lo tanto, se tiene una tensión en cir cuito abierto de
']
M=2H
y, = —(2)(45)(5 cos45í) = - 4 5 0 c o s 4 5 í V que aparece entre las terminales de la bobina izquierda como consecuencia del flujo magnético variable en el tiempo que genera i2 al circular dentro de (Continúa en la siguiente página)
I FIG U RA 13.3 La convención del punto proporciona una relación entre la terminal a la que entra una corriente en una bobina, así como la referencia de tensión positiva de la otra bobina.
CAPÍTULO13 CIRCUITOSACOPLADOSMAGNÉTICAMENTE
494 --------- W V
la bobina derecha. Puesto que no fluye com ente a través de la bobina de la izquierda, no hay contribución de la autoinducción a v \. (,b) Ahora se tiene una com ente que entra a la terminal con pu n to , pero V2 tiene su referencia positiva en la terminal sin punto. De tal manera, v2 = —(2)(—1)(—8e_í) = —16e_í V
P R Á C T IC A ____________________ _ _ _______________________________
13.1 Suponiendo que M — 10 H, con L 2 en circuito abierto, e i \ — —2e~5‘ A, calcular la tensión v2 en: (a) la figura 13.2a; (b) la figura 13.2/;. Respuesta: 100e~3' V; —100e“5t V.
Tensión combinada de la inducción mutua y de la autoinducción Sólo se ha considerado la tensión mutua presente en una bobina en circuito abierto. En general, una com ente distinta de cero fluirá en cada una de las dos
\
M
+ v\
v2
i FIG U R A 13.4 En razón de que los pares vh i-¡ y v2, i2 satisfacen la convención de signos pasiva, las
bobinas, así que se generará una tensión mutua en una bobina debido a la corriente que fluye en la otra. E sta tensión m utua se presenta independientem ente y aparte de cualquier tensión de autoinducción. En otras palabras, la tensión en las ter minales de L\ estará compuesta por dos términos, L \ d i \ / d t y M d i 2/ d t , cada uno con un signo que depende de las direcciones de la com ente, la tensión m e dida y la ubicación de los dos puntos. En la parte de un circuito, dibujada en la figura 13.4, se muestran las com entes i\ e i2 donde se supone de manera arbi traria que cada una entra a la terminal con punto. La tensión a través de L\ se compone, por lo tanto, de dos partes: di 1
tensiones de autoinduccción son positivas; dado que /,
d¿2
e i2 entran cada una en term inales con punto y puesto que V] y v2 se m iden positivas en las term inales con punto, las tensiones de la inducción m utua tam bién
al igual que la tensión a través de L2,
son positivas. Vo —
L FIG U RA 13.5 D ebido a que los pares vh i¡ y v2, ¡2 no se m iden de acuerdo con la convención de signos pasiva, las tensiones de autoinducción son negativas; en razón de que i] entra en la term inal con punto y v2 se m ide positiva en la term inal con punto, el térm ino m utuo de v2 es positivo; y dado que ¡2 entra a la term inal sin punto y i/, se m ide positiva en la term inal sin punto, el térm ino m utuo de ^ tam bién es positivo.
d¡2 L2— dt
d i\ “ I”
M
---------
dt
En la figura 13.5, las comentes y las tensiones no se eligen con el fin de obtener todos los términos positivos de U| y v2. Si se inspeccionan sólo los sím bolos de referencia de i\ y i-' i, es patente que no se satisface la convención pasiva de signos y que el signo de L \ d i i / d t debe, por lo tanto, ser negativo. Se llega a una conclusión idéntica para el término L 2 d i2/ d t . Se establece el signo del tér mino mutuo de v2 inspeccionando la dirección de ¿1 y v2, puesto que i\ entra en la terminal con punto y v2 se mide positiva en la terminal con punto, el signo de M d i i / d t debe ser positivo. Por último, i2 entra en la terminal sin punto de L 2 , y 111 se mide positiva en la terminal sin punto de L ü en consecuencia, la parte m utua de v \, M d i 2/ d t , también debe ser positiva. Así, se tiene que d i\
d i2
dt
dt
Vi = - L i — + M —
Las mismas consideraciones propician elecciones idénticas de los signos para la excitación mediante una fuente senoidal que opera a la frecuencia angular m Vi — —jcoL\T{ -{- j w M I 2
V 2 = —jo)L2Í-2 “í- jcoMJ-i
A A /V
SECCION13.1 INDUCTANCIAMUTUA
495
Bases físicas de la convención del punto Es posible comprender mejor el simbolismo del punto si se consideran las bases físicas de la convención; el significado de los puntos se interpreta ahora en tér minos del flujo magnético. En la figura 13.6, se presentan dos bobinas devanadas sobre una form a cilindrica y resulta evidente la dirección de cada devanado. Si se supone que la corriente i\ es positiva y que crece con el tiempo, el flujo mag nético que í'i produce dentro de la forma cilindrica tiene una dirección que se po dría conocer mediante la regla de la mano derecha: cuando esa mano rodea la bobina con los dedos apuntando en la dirección del flujo de corriente, el pulgar indica la dirección del flujo dentro de la bobina. Así, i\ produce un flujo que se dirige hacia abajo; dado que i\ aumenta con el tiempo, el flujo, que es propor cional a ¿i, también se incrementa con el tiempo. Considerando ahora la segunda bobina, imaginemos que ¿2 es positiva y creciente; la aplicación de la regla de la mano derecha muestra que ¿2 produce también un campo magnético que se dirige hacia abajo y que aumenta. Dicho de otro modo, las corrientes supuestas i\ e ¿2 originan flujos aditivos. La tensión entre las terminales de cualquier bobina proviene de la tasa de cambio en el tiempo del flujo dentro de esa bobina. Por lo tanto, la tensión en las terminales de la primera bobina es mayor con i2 circulando de lo que sería si ¡2 fuera cero. Por ello, i2 induce una tensión en la primera bobina que tiene el mismo sentido que la tensión autoinducida en esa bobina. El signo de la tensión autoinducida se conoce gracias a la convención pasiva de signos que de ese modo per mite obtener el signo de la tensión mutua. La convención del punto sólo permite descartar la construcción física de las bobinas al colocar en una terminal de cada bobina un punto tal que las corrien tes que entran a las terminales así marcadas produzcan flujos aditivos. Resulta claro que siempre hay dos posibles ubicaciones para los puntos, pues siempre podrían moverse a los otros extremos de las bobinas y seguirse presentando los flujos aditivos.
I FIG U RA 13.6 Construcción física de dos bobinas mutuamente acopladas. A partir de considerar la dirección del flujo magnético que produce cada bobina, se demuestra que los puntos pueden ubicarse en la terminal superior de cada bobina, o en su terminal inferior.
EJEMPLO En el caso del circuito que se iudíca en la figura 13.7a, determinar la proporción existente entre la tensión de salida en la resistencia de 400 ñ y la tensión de la fuente. 1
a
j9 0 ü
vY= 10 cos 10/ V
1FIG U R A 13.7 (a) Circuito que contiene inductancia mutua, en el cual se desea obtener la proporción (razón) de tensión V2/ V , . (b) La autoinductancia y las inductancias mutuas se sustituyen por las impedancias correspondientes.
Identificar el objetivo del problema. Se necesita la expresión de V 2 . Se dividirá luego entre 10 /0':; V.
(Continúa en la siguiente página)
A /W -------------- •
CAPÍTULO13 CIRCUITOSACOPLADOSMAGNÉTICAMENTE
Recopilar ¡a información conocida. Se comienza sustituyendo 1 H y 100 H por sus correspondientes impedan cias, 7 10 S ly ] kS2, respectivamente (figura 13.7/?). También se sustituye la inductancia mutua de 9 H por ja>M = j 90 Q.
Elaborar un plan. El análisis de malla tal vez sea un buen método, ya que se tiene un circuito con dos mallas perfectamente definidas. Una vez que se encuentre I 2 , V 2 es simplemente 400 I 2 .
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. En la malla izquierda, el signo del término mutuo se determina aplicando la convención del punto. Puag|o que I 2 entra en la terminal sin punto de L2, la tensión mutua en L\ debe tener la referencia positiva en la terminal sin punto. Por lo tanto,
n + ./i0)i, —79012= io/(jJ Puesto que Ii entra a la terminal marcada con punto, el término mutuo de la malla derecha tiene su referencia (+ ) en la terminal con punto del in ductor de 100 H. Por lo tanto, se podría escribir (400 +
7 1
000)I 2 - 7'90Ii = 0
Determinar si se requiere información adicional. Existen dos ecuaciones con dos incógnitas, Ii e I 2 . Luego de resolver para las dos corrientes, la tensión de salida V 2 se obtendría al multiplicar I 2 por 400 Q.
Buscar la solución. Después de resolver estas dos ecuaciones con una calculadora científica, se tiene I 7 = 0.172/ —16.70° A Por lo tanto, y2
400(0.172/- 1 6 .7 0 ° )
■..-t'
10/01
= 6.880/ —16.70°
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? '■ ' i
Se observa que la tensión de salida V 2 es en realidad mayor en magnitud que la tensión de entrada Vi. ¿Se debe esperar siempre este resultado? La respuesta es negativa. Como se verá en secciones posteriores, el transformador se cons truye para lograr ya sea una reducción o un aumento de tensión. Sin em bargo, se efectúa una estimación rápida a fin de encontrar al menos un límite superior e inferior para la respuesta. Si la resistencia de 400 £2 se
SECCIÓN
13.1 INDUCTANCIAMUTUA • ----------------- W
v ---------
497
sustituye por un cortocircuito, V 2 = 0. Sí en vez de eso se sustituye la re sistencia de 400 £2 por un circuito abierto, I2 = 0 y, en consecuencia,
V, = (1 + jcúli)\i y V2 = j(iúM\\ Al resolver, se sabe que el valor máximo que se esperaría para V2/V i es 8.955/5.711°. De tal modo, la respuesta al menos parece razonable.
La tensión de salida del circuito de la figura 13.7a es mayor en magnitud que la tensión de entrada, por lo que se logra una ganancia de tensión con este tipo de circuito. También resulta interesante considerar esta proporción (razón) de tensiones como una función de co . Para determinar I 2 (ja)) en relación con este circuito particular, se escriben las ecuaciones de malla en términos de la frecuencia angular no especificada co: (1 + jco) li
-jc o 9 h = 1 0 /k
y —jco9 li + (400 + j&jlOO) I 2 = 0 Al resolver por sustitución, se observa que _ 2
j9 0 w 400 + j500a> — 19&J2
De tal manera, se obtiene la proporción (razón) entre la tensión de salida y la de entrada como una función de la frecuencia angular co
f4 V2
400I2
Y~¡ ~
10 j a 3 600
= 400 + j500co - 19c»2 Esta proporción (razón), denominada algunas veces fu n ció n de transferencia del circuito, se grafica en la figura 13.8 y tiene una magnitud máxinta de casi 7 cerca de una frecuencia de 4.6 rad/s. Sin embargo, para frecuencias muy pequeñas o muy grandes, la magnitud de la función de transferencia es menor que la unidad. El circuito sigue siendo pasivo, salvo la fuente de tensión, y la ganancia de tensión no debe interpretarse en forma errónea como una ganancia de potencia. E n w = 10 rad/s, la ganancia de tensión es igual a 6.88, pero la fuente de tensión ideal, que tiene una tensión de terminal de 10 V, entrega una potencia total de 8.07 W, de la cual sólo 5.94 W llegan a la resistencia de 400 íi. La proporción entre la potencia de salida y la de la fuente, que se puede definir como ganancia de potencia, es entonces 0.736.
T77=T7TJ30--: •' ' B 00'--------5*T-......—101-- -----------------------l-T 15 20 25 Frequeticy (rad/s)
■ FIG U RA 13.8 La ganancia de tensión |V2/V, | del circuito que sc muestra en la figura 13.7o se grafica como una función de u>mediante el siguiente programa de MATLAB: » w = linspace(0,30,1000); » num = j*w*3600; » f o i in d x = 1:1000 den = 400 + j*500*w(indx) -19*w (indx)*w (indx); gain(indx) = num(indx)/den; end » plot(w, abs(gain)); » xlabel('Frequency (rad/s)'); » ylabel('Magnitude of Voltage Caín');
A /W ------------------•
CAPÍTULO13 CIRCUITOSACOPLADOSMAGNÉTICAMENTE P R Á C T IC A
___________________________ _______________ ______________
13.2 En el caso del circuito de la figura 13.9, escribir ecuaciones de malla apropiadas para la malla izquierda y la malla derecha, si vs = 20e-1 °°0' V.
Respuesta: 20e 10001 = 3('i + 0.002 d i\¡d t — 0.003 d ii/d i ; 10¡2 + 0.005d¡2/dt — 0.003 di]/dt = 0.
EJEMPLO 13.3 E scrib ir el conjun fisu ra 13.10«.
com pleto de ecuaciones del circuito de la
5 fl
1F
(o)
5Ü
J-n
J°>
(b) ■ FIG U R A 13.10 (o) Circuito de tres mallas con acoplamiento mutuo. (b) La capacitancia de 1 F así como la autoinductancia y la inductancia mutua, se sustituyen por sus impedancias correspondientes.
El circuito contiene tres mallas y ya se han asignado las tres corrientes de ma lla. También en este caso, el primer paso consiste en sustituir tanto la induc tancia mutua como las dos autoinductancias por sus impedancias correspon dientes, como en la figura 13.10b. Al aplicar la ley de Kirchhoff de tensión en la primera malla, se asegura un signo positivo para el término mutuo al elegir
SECCIÓN 13.2
CONSIDERACIONESENERGÉTICAS
(I 3 — I 2 ) como la corriente que pasa por la segunda bobina. Por lo tanto, 5Ii +
- I 2 ) + 2 jco (I 3 - I 2 ) = Vi
o (5 + ^ jco)li - 9 j(o l2 + 2 jcol-i — Vi
[3]
La segunda malla requiere dos términos de autoinductancia y dos térmi nos de inductancia mutua. La ecuación no puede escribirse con descuido. Se obtiene 1 jco{\2 — li ) + 2 jco(l2 — I 3 ) +
I 2 + 6 jw ( h — I 3 )
-7
+ 2 jco (l2 - li) = 0 o —9 /'®Ii + ( 17 ico -i------ ) I 2 — 8 jcoI 3 =
V
0
[4]
j°>)
Por último, en el caso de la tercera malla, § jc o { I 3 — I 2) + 2 j oj ( 1 1 — I 2) + 3 I 3 = 0
o 2 jco li — 8 y'a>l2 + (3 +
6
jco) I 2 = 0
[5]
Las ecuaciones [3] a [5] se resuelven mediante cualquiera de los métodos convencionales. P R Á C T IC A 13.3 En el caso del circuito de la figura 13.11, escribir una ecuación de malla apropiada en términos de las corrientes fasoriales li e I 2 para: (a) la malla izquierda; (b) la malla derecha.
Respuestas: V, = (3 + j 10)Ii —7 I 5I 2; 0 = — 15Ii + (10 + 7'25)l2.
15.2
. CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS____________
Piénsese en la energía que se almacena en un par de inductores mutuamente acoplados. El resultado será de utilidad de diferentes maneras. Se justificará primero el supuesto de que Ai 12 = y luego se podrá determinar el máximo valor posible de la inductancia mutua entre los dos inductores dados.
500 )--------- W V
-m
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
Igualdad de M n y M21
v2
I FIG U R A 13.12 Par de bobinas acopladas con
En el par de bobinas acopladas que se ilustra en la figura 13.12 se señalan las co rrientes, las tensiones y los puntos de polaridad. Para demostrar que M u = M 2i , se empieza igualando a cero todas las corrientes y las tensiones, con lo cual se establece como cero la energía inicial almacenada en la red. Luego se pone en circuito abierto el par de terminales del derecho y se incrementa z'j desde cero hasta cierto valor constante Ic(¡ en el tiempo t = t \ . La potencia que entra a la red desde la izquierda en cualquier instante es
inductancia m utua de
7 d i\. V\i\ = L \ — i\ at
M 12 — M 21 = M.
además, la potencia que entra desde la derecha equivale a V2Í2 = o puesto que i 2 — 0. La energía almacenada dentro de la red cuando i \ = I\ es, por lo tanto, Ií*' V i i \ d t = I[ h L \ i i d i \ = -1L \ I l2 Jo
Jo
2
Se mantiene ahora i\ constante, (¿ 1 = / 1 ), y se permite que ¿2 cambie desde cero en t = íi, hasta algún valor constante h en t = Í2 . En ese caso, la energía que entrega la fuente del lado derecho es igual a ph nh j I V2i2 d t = I L 2 Í2 d i2 =f X^2^2
Jti
Jo
2
Sin embargo, aun cuando el valor de i 1 permanece constante, la fuente del lado izquierdo también entrega energía a la red durante tal intervalo J
rh
V \iid t — J
rh
d i2 . f h M \2—^ i \ d t = M \2I\ J d l2 = M \2I\J2
La energía total almacenada en la red, cuando i\ e i2 han alcanzado valores cons tantes, está dada por Wtotal = 5^1
+ \ L 2I2 + M\2I\I2
Ahora bien, se podrían establecer las mismas corrientes finales en esta red lo que permitiría que las corrientes alcancen sus valores finales en el orden inverso; esto es, si se aum enta prim ero i2 desde cero hasta I2 y después se m antiene I2 constante mientras i\ crece desde cero hasta I\. Si se calcula la energía total al macenada en este experimento, el resultado que se encontrará será Wtotal = \ L \ i f + ^ £ 2 ^ 2 + tó t- lh h La única diferencia es el intercambio de las inductancias mutuas M 2í y M 12 . Sin embargo, las condiciones inicial y final en la red son las mismas, y por ello los dos valores de la energía almacenada deben resultar idénticos. Por lo tanto, M\2 — M 2[ = M
y
w = \ L ^ + \ L 2l l + M I J 2
[6 ]
SECCIÓN 13.2 CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS
Si una corriente entra a la terminal marcada con punto, al tiempo que la otra sale de una terminal marcada con punto, se invierte el signo de la energía mutua: W = \ L X1¡ + \ L 11 ¡ - M h h
[7]
Aunque las ecuaciones [6J y [7] se obtuvieron al considerar los valores fina les de las dos com entes como constantes, dichas “constantes” pueden tener cualquier valor, así que las expresiones de energía represen tan de manera correc ta la energía que se almacena cuando los valores instantáneos de i¡ e ¿2 son /i e /2, respectivamente. En otras palabras, los símbolos en minúscula podrían tam bién utilizarse sin ningún problema: w (t) = ¿ L , L¿i(í)]2 + \ L 2 [¿2( 0 ] 2 ± M [¿KO] [¿2(01
[8]
El único supuesto sobre el que se basa la ecuación [8] es el establecimiento lógico del nivel de referencia de energía cero, cuando ambas corrientes son cero.
Establecimiento del límite superior de M Se podría utilizar ahora la ecuación [8] para establecer un lím ite superior correspondiente al valor de M. Puesto que w (t) representa la energía que se al macena dentro de la red pasiva, no puede ser negativa para cualesquier valor de ¿i, ¿2 , ¿ i, L 2, o M. Supóngase primero que i\ e ¿2 son positivas o negativas: por lo tanto, su producto resulta positivo. Según la ecuación [8], el único caso en el que la energía tal vez sería negativa es W = \ L \ Í { + j L 2Í2 - M¿!¿2 que se escribiría, al completar el cuadrado, como w = \ (V ~L[i\ — ~y/L2i2) + s / L \L ii\Í 2 ~ jW¿i¿2 Debido a que en realidad la energía no puede ser negativa, tampoco es viable que lo sea el lado derecho de esta ecuación. Sin embargo, el primer término quizá sea tan pequeño como cero, por lo que se tiene la restricción de que no es posible que la suma de los dos últimos términos sea negativa. Por consiguiente, \J L \L í2 — VI o M < s jL ] L 2
[9]
Por lo tanto, existe un límite superior de la posible magnitud de la inductancia mutua, que no será mayor a la media geométrica de las inductancias de las dos bobinas entre las cuales existe la inductancia mutua. Si bien se ha obtenido esta desigualdad con el supuesto de que ¿i e i2 portan el mismo signo algebraico, es factible un desarrollo similar si los signos son opuestos; sólo se requiere elegir el signo positivo en la ecuación [8]. También podría haberse demostrado la validez de la desigualdad [9] a partir de una consideración física del acoplamiento magnético. Si se piensa que i2 es cero y que la corriente ¿i establece el enlace de flujo magnético que vincula tanto a L\ como a L2, resulta evidente que el flujo dentro de L2 no es mayor que el flujo dentro de L\, el cual representa el flujo total. En consecuencia, desde un punto de vista cualitativo hay un límite superior para la magnitud de la inductancia mutua posible entre dos inductores determinados.
• ------------------------------
W V
----------------
501
-A /W
- •
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
Coeficiente de acoplamiento El grado con el cual M se acerca a su valor máximo se describe mediante el coeficiente de acoplamiento, definido como k =
M
[ 10]
y/L\L¡2 Puesto que M < 0 <£ < 1
Los valores más grandes del coeficiente de acoplamiento se obtienen con bobinas que están físicamente más próximas, las que se devanan u orientan para propor cionar un flujo magnético común mayor, o que se les fija una trayectoria común a través de un material que sirve para concentrar y localizar el flujo magnético (un material de alta permeabilidad). Se dice que las bobinas que tienen un coeficien te de acoplamiento cercano a la unidad están estrechamente acopladas.
EJEMPLO 13.4 E n la figura 13.13, sean L \ = 0.4 H, L i = 2.5 H, k = 0.6, e /'i = 4/2 = 20 cos(500í — 20°) mA. E v alu ar las siguientes cantidades en t = (1: (a) i2; (b) vti (c) la energía total alm acenada en el sistem a. (a) i2(t) — 5 cos(5001 — 20°) mA, por lo que ¿2(0) = 5 cos(—20°) = 4.698 mA. (b) Para determinar el valor de i>], es necesario incluir las contribuciones tanto de la autoinductancia de la bobina 1 como de la inductancia mutua de la bobina 2. Por consiguiente, prestando atención a la convención del punto, se tiene I FIG U R A 13.13 Dos bobinas con un coeficiente de acoplamiento de 0.6, L , = 0.4 Hy L2 = 2.5 H.
di i
dio
dt
dt
A fin de evaluar esta cantidad, se necesita el valor de M, el cual se obtiene de la ecuación [10]: M = k j L j T i = 0 .6 7 (0 .4 ) (2.5) = 0.6 H Así, ^ ( 0 ) = 0.4[—10sen(—20c)] + 0 .6 [-2 .5 se n (-2 0 °)] = 1.881V. (c) La energía total se determina sumando la energía almacenada en cada in ductor, la cual tiene tres componentes independientes puesto que se sabe que dos bobinas estarán acopladas magnéticamente. Debido a que ambas comentes entran a la terminal “con punto’', se tiene w (t) = \ L x[h{t)}2 + \ L 2[Í2 (t)}2 + M lh (t)] [i2(r)] Sabiendo, del inciso (a) que i2(0) = 4.698 mA e ¿i(0) = 4/2(0) = 18.79 mA, se observa que la energía total almacenada en las dos bobinas en t = corresponde a 151.2 /xJ. P R A C T IC A
_____ _______________________
13.4 Sea is — 2 cos 10/ A en el circuito de la figura 13.14, calcular la energía total almacenada en la red pasiva en t = 0 si k = 0.6 y las terminales x y y se dejan: (a) en circuito abierto; (b) en cortocircuito. R e sp u e sta : 0 .8 J; 0 .5 1 2 J.
SECCIÓN 13.3 EL TRANSFORMADOR ÜNEAL
»
AA/V
13.3 g EL TRANSFORMADOR LINEAL _______________________ Ya se puede aplicar el conocimiento del acoplamiento magnético a la descrip ción de dos dispositivos prácticos específicos, cada uno de los cuales puede re presentarse por un modelo que contiene inductancia mutua. Ambos dispositivos son transformadores, un término que se definiría como una red que contiene dos o más bobinas que se acoplan magnéticamente (figura 13.15) de manera delibe rada. En esta sección se analiza el transformador lineal, que constituye un mode lo excelente del transformador lineal práctico que se utiliza a frecuencias de radio o a frecuencias superiores. En la sección siguiente se considerará al transforma dor ideal, un modelo idealizado de acoplamiento unitario de un transformador físico que tiene un núcleo hecho de algún material magnético, casi siempre una aleación de hierro.
■ F IG U R A 1 3 .1 5 Selección de pequeños transformadores para su uso en aplicaciones de la electrónica; se muestra una batería tamaño AA para efectos de poder observar la escala.
En la figura 13.16 se muestra un transformador con dos corrientes de malla identificadas. La primera malla, que a menudo contiene la fuente, recibe el nombre de primario ; en tanto que la segunda, que suele contener la carga, se conoce como vs el secundario. Los inductores marcados como L\ y L i también se conocen como el primario y el secundario, respectivamente, del transformador. Se supondrá que el transformador es lineal, lo que implica que no se emplea ningún material magné ■ FIG U R A 13.16 Transformador lineal que contiene una fuente en el circuito primario y una tico (que puede provocar una relación no lineal entre el flujo y la corriente). Sin em carga en el circuito secundario. La resistencia se bargo, sin un material de este tipo, resulta difícil conseguir un coeficiente de acopla incluye también tanto en el primario como en miento superior a unos cuantos décimos. Las dos resistencias sirven para explicar el secundario. la resistencia del alambre (incluyendo la de los embobinados), a partir del cual se devanan las bobinas del primario y del secundario, y cualesquiera otras pérdidas.
Impedancia reflejada (referida) Sea la impedancia de entrada que se presenta en las terminales del circuito pri mario. Las dos ecuaciones de malla son Vs — (R \ +
7
[U]
504 )---------W
V ------------------•
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
y O = —jcoM Ii + (R2 + j&>L2 + Z ¿)l2
[12]
Se puede simplificar al definir Z n = R\ + jcoL{
y
Z 2 2 = R 2 + j<¿>L2 +
por lo que Vs = Z „ I , — jco M l2
[13]
0 = —jw M li + Z 2 2 I 2
[14]
Despejando de la segunda ecuación I2 y sustituyendo el resultado en la primera ecuación, se puede encontrar la impedancia de entrada, esto es, Vs M2 Z en, = - ^ = Z u - ^ -----Al ¿22
Zent es la impedancia vista por la bobina primaria del
[15]
transformador.
Antes de manipular más esta expresión, se deducen varias conclusiones muy interesantes. En primer lugar, este resultado es independiente de la ubicación de los puntos sobre cualquier devanado, pues si cualquier punto se mueve al otro extremo de la bobina, el resultado es un cambio en el signo de cada término que incluye a M en las ecuaciones de [11] a [14], Este mismo efecto se obtendría al sustituir M por ( - M ) . aunque un cambio así no tiene posibilidad de afectar la impedancia de entrada, como lo confirma la ecuación [15]. También se podría observar en la ecuación [15] que la impedancia de entrada es ni más ni menos que Zi 1 , si el acoplamiento se reduce hasta cero. Cuando el acoplamiento au menta a partir de cero, la impedancia de entrada difiere de Z u por una cantidad cú2M 2/ X 22, llamada im pedancia reflejada o referida, La naturaleza de este cambio resulta más evidente si se desarrolla esta expresión: cú2M
2
Zent — Z 11 “l- --------------R 22 + j X 22 y se racionaliza la impedancia reflejada (referida) cü2M 2R 22
Zent - Z „ +
2 a 22 '
-2 + 22
—j co2M 2 X 22 2 +X2 22 ~i a 22
Puesto que cú2M 2Rn_!(R\o + X 22) debe ser positiva, resulta evidente que la presencia del secundario aumenta las pérdidas en el circuito primario. En otras palabras, su presencia podría tomarse en cuenta en el primario y aumentar el valor de R¡. Además, la reactancia que refleja el secundario en el circuito pri mario tiene un signo que es opuesto al de X 22, la reactancia neta alrededor del lazo secundario. Esta reactancia X 22 es la suma de cúL 2 y X¿; ésta es necesaria mente positiva para cargas inductivas, y positiva o negativa para cargas capaci tivas, según la magnitud de la reactancia de la carga.
P R A C T IC A 13.5 Los valores de los elementos de cierto transformador lineal son Ri = 3 Q , R 2 = 6 Q , L i — 2 mH, L 2 j= lOmH, y Af = 4m H . S i « = 5000 rad/s, determinar Z ent para Z¿ igual a: (a) 10 Í2; (b) j2Q S2;'(c) 1 0 $ 'j20 Q; (d) - y 2 0 Q.
Respuestas: 5.32 + y'2.74 Q; 3.49 + j 4.33 £2; 4.24 + y'4.57 Í2; 5.56 —/2.82 Í2.
SECCIÓN 13.3 EL TRANSFORMADOR LINEAL
»
W V
Redes equivalentes T y n A menudo resulta conveniente sustituir un transformador por una red equivalen te en la forma de T o 11. Si se separan las resistencias respectivas del primario y del secundario del transformador, sólo queda el par de inductores acoplados mu tuamente, como se muestra en la figura 13.17. Observar que las dos terminales inferiores del transformador se conectan entre sí para formar una red de tres ter minales. Se efectúa lo anterior debido a que ambas redes equivalentes son tam bién redes de tres terminales. Las ecuaciones diferenciales que describen este circuito son, también en este caso, Vl — Ll~J~ + M ^ y dt dt
[16]
di\ di ? v2 = M - ¿ + L 2- ¿ dt dt
r, _ [17]
La forma de estas dos ecuaciones es familiar y se interpreta con facilidad en términos del análisis de malla. Se elige una ix en dirección de las manecillas del reloj y una i2 en el sentido contrario, de manera que i\ e i2 resulten por completo identificabas con las corrientes de la figura 13.17. Los términos M d i2/ d t en la ecuación [16] y M d i \ j d t en la ecuación [17], indican que ambas mallas deben tener entonces una autoinductancia común M. En razón de que la inductancia total alrededor de la m alla izquierda es L \, se requiere incorporar una autoin ductancia de Lj — M en la primera malla, pero no en la segunda. De modo simi lar, se necesita una autoinductancia de L 2 — M en la segunda malla, pero no en la primera. La red equivalente resultante se presenta en la figura 13.18 y la equivalencia se garantiza mediante pares idénticos de ecuaciones que relacionan l'i , ¿i, i>2 , e i 2 para las dos redes. ’\
Ll - M
l 2- m
h
o----- nmn-----♦-----nrrr----- o iM
v2
■ FIG U RA 13.18 Circuito equivalente en T del transformador que se muestra en la figura 13.17.
Si cualquiera de los puntos en los devanados de un transformador dado se ponen sobre el extremo opuesto de su bobina, será negativo el signo de los tér minos mutuos de las ecuaciones [16] y [17], lo cual es análogo a reemplazar M por —M . Además, con una sustitución de este tipo en la red de la figura 13.18 se obtiene el equivalente correcto de este caso. Los tres valores de autoinductancia serían entonces L \ + M , —M , y L 2 + M . Las inductancias en el equivalente T son autoinductancias; no se presenta in ductancia mutua. Es posible que se obtengan valores negativos de inductancia para el circuito equivalente, aunque esto no tiene importancia si el único deseo es un análisis matemático; la construcción real de la red equivalente es, desde luego, imposible en cualquier forma que implique una inductancia negativa. Sin embargo, hay ocasiones en las que con los procedimientos relativos a la síntesis de redes para proporcionar una función de transferencia deseada se determinan circuitos que contienen una red en T con una inductancia negativa, la cual podría realizarse mediante un transformador üneal apropiado.
‘2
■ F IG U R A 1 3 .1 7 Transformador particular que se debe sustituir po r una red equivalente n o T.
AW
CAPITULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
EJEMPLO 13.5 D eterm in ar el circuito equivalente en T del tran sfo rm ad o r lineal que se m u e stra en la figura 13.19a. 40 m H
A o-
oc ■60 mH
30 mH *
od
B O(a) -1 0 mH
A O-
-^TíHP—
20 m H h_ - /W TI-----------o c
Se identifican ¿ i = 30 mH, ¿ 2 = 60 mH, y M = 40 mH; asimismo, se observa que los puntos se encuentran en las terminales superiores, del mismo modo que en el circuito básico de la figura 13.17. Por consiguiente, L\ — M = —10 mH está en el brazo izquierdo supe rior, L 2 — M = 20 mH se ubica en el derecho superior y el ramo del centro contiene M = 40 mH. El circuito equivalente completo en T se muestra en la figura 13.196. Para demostrar la equivalencia, se dejan las terminales C y D en circuito abierto y se aplica va> = lOcos lOOí V a la entrada, en la figura 13.19a. De tal modo, 1
! 40 mH
30 x 10-3 -o d
/
10cos(100í) d t = 3.33sen 100/ A
y
di\ vCD — M — = 40 x 10 3 x 3.33 x lOOcos lOOí dt = 13.33 cos 100? V
IMFIG U R A 13.19 (o) Transformador lineal utilizado como ejemplo. (6) Red equivalente en T del transformador.
Aplicando la misma tensión en el equivalente T, se descubre que 1 ( - 1 0 + 40) x 10-3
/
I0 co s(1 0 0 í)d í = 3 .33senl00í
A
también en este caso. Asimismo, la tensión en C y D equivale a la tensión en el inductor de 40 mH. De tal modo, vcd
— 40 x 10 3 x 3.33 x lOOcos lOOí = 13.33cos lOOí
V
y las dos redes producen resultados iguales.
PRACTICA 13.6 (a) Si las dos redes que se presentan en la figura 13.20 son equivalentes, especificar los valores de Lx, Ly, y L-. (b) Repetir el ejercicio suponiendo ahora que el punto en el secundario de la figura 13.206 se localiza en la parte inferior de la bobina. A O-
Lx -nnrr>-
¿ .V
-nnno-
-o c
Ao-
3.5 H
-o C •
B o-
-o D
Bo -
6H
-OJj
(a) I F IG U R A 1 3 .2 0
Respuestas: —1.5, 2.5, 3.5 H; 5.5, 9.5, —3.5 H .
La red en n equivalente no se obtiene con tanta facilidad, ya que es más com plicada y no se utiliza mucho. Se elaborará resolviendo la ecuación [17] para
SECCIÓN 13.3 EL TRANSFORMADOR LINEAL
d i i / d t y sustituyendo el resultado en la ecuación [16]: , d i\ V\ = / . |
di]
M
M 2 d i\
----- 1------- Vl — --------- ;—
d tL 2 "
L 2 dt
M
Ü ;v i L XL 2 - M 2
L xL 2 - M 2
v2
Si se integra ahora desde 0 hasta f, se obtiene i\ - fc(0) U i t )
=
L l
í
V \d t' -
L i L 2 - M 2 Jq
M
2
f
L \ L 2 — M 2 Jo
v2 d t'
[18]
De modo similar, también se tiene nt
__ ^
^
nt
i>i d t ' + 1 , / v2 d t' i2 - i2(0)u(t) = — ------ —r L \L 2 — M 2 Jo L \ L 2 — M 2 Jo
[191
Las ecuaciones [18] y [19] se interpretan como un par de ecuaciones nodales; debe instalarse una fuente de corriente de escalón en cada nodo para proporcionar las condiciones iniciales adecuadas. Los factores que multiplican cada integral tie nen la misma forma general de inversas de ciertas inductancias equivalentes. Por lo tanto, el segundo coeficiente de la ecuación [18], M / ( L \ L 2 — M 2), es 1/ L B. o el recíproco de las inductancias que se extienden entre los nodos 1 y 2, como el que se muestra en la red en n equivalente de la figura 13.21. Así, Lb —
l xl
L YL 2 - M 2 M
2-
m -
M
v\ i«i Co m d Q J
L ^ U- M2 Q ~ ^i2(0)u L¡-M
■ FIG U R A 13.21 Red en n que es equivalente al transformador de la figura 13.17.
El primer coeficiente en la ecuación [18], L 2/ L\ L 2 — M 2, es 1/ L a + 1/ L En consecuencia, J_ _ La
L2
_
L \ L 2 —M 2
LA=
b
-
M L \L 2 — M 2
L XL 2 - M 2 l
2- m
Por último, Lr =
L \L 2 - M 2 Lx- M
Ningún acoplamiento magnético se presenta entre los inductores en la n equiva lente, y las corrientes iniciales en las tres autoinductandas son iguales a cero. Se podría compensar la inversión de cualquier punto en el transformador de terminado con tan sólo cambiar el signo de M en la red equivalente. Además, del mismo modo que las encontramos en la T equivalente, quizás aparezcan autoinductancias negativas en la red en n equivalente.
#■
w v
w v
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
EJEMPLO 13.6 Determinar la red en II equivalente del transformador de la figura 13.19a, suponiendo corrientes inicialés iguales a cero. Puesto que el término L \ L 2 — M 2 es común a L a , Lg, y Le, se empieza evaluando esta cantidad, con lo cual se obtiene
5 mH
-nnrv-
A o-
-o C
30 x 10“ 3 x 60 x 10“3 - (40 x 10“ 3) 2 = 2 x 10~4 H2 ! 10 mH
! -20 mH
B O-
De esta manera:
-O
D
La =
I FIG U R A 13.22 Equivalente en n del transform ador lineal que se presentó en la figura
Lr —
13.19o. Se supone q u e / ,( 0 ) = 0 e / 2(0 ) = 0.
( L i L 2 - M 2) _ { L \L 2 - M 2)
L r =
-nmr>-
A O-
-O C
(a)
-o C
( L XL 2 - M 2) M
5
c
tt¿
mH6
20
x 10-
-10cos lOOí = 13.33 cos lOOí
Y
como antes. Por lo tanto, la red en la figura 13.22 es eléctricamente equiva lente a las redes de la figura 13.19a y b.
;6 H
2 H*
-o ü ib) « F IG U R A 13.23
= - 2 0 mH
----------------------- =
-2 0 x 10"3 VcD ~ 5 x 10-3 _
3.4 H
A o-
= 10 mH
La red en II equivalente se muestra en la figura 13.22. Si se verifica de nuevo el resultado obtenido cuando vab — 10 cos 100/ Y con las terminales C-D en circuito abierto, se obtiene de inmediato la ten sión de salida mediante una división de tensión:
-o D
B o-
(20 x 1 0 - 3)
( L2 — M ) (Li - M )
2x10“
PRÁCTI CA
____________~
___________________
13.7 Si las redes en la figura 13.23 son equivalentes,, especificar los valores (en mH) de LA, LB, y L c. Respuesta: L a = 169.2 mH, Lg = 129.4 mH, Lc = —314.3 mH.
ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA La capacidad para simular circuitos que contienen inductancias acopladas magnéticamente es una función útil, sobre todo con la continua reducción de las dimensiones de los circuitos modernos. Cuando varios lazos y lazos parciales de conductores se juntan en nuevos diseños, los diversos circuitos y subcircuitos que se pretenden aislar mutuamente se acoplan de manera in advertida a través de campos magnéticos parásitos e interactúan entre sí. PSpice permite incorporar este efecto mediante la componente K _L inear, que enlaza un par de inductores en el diagrama mediante un coeficiente de acoplamiento k en el intervalo 0 < k < 1.
SECCIÓN 13.3 EL TRANSFORMADOR LINEAL
Por ejemplo, simular el circuito de la figura 13.19a, que consta de dos bobinas cuyo acoplamiento se describe mediante una inductancia mutua de M = 40 mH, correspondiente a un coeficiente de acoplamiento de k — 0.9428. K1 diagrama del circuito básico se presenta en la figura 13.24. Observar que no aparece un “punto” al lado de los símbolos del inductor. Cuando se coloca primero en form a horizontal en el diagrama, la terminal con punto sc ubica a la izquierda, en tomo a la cual se gira el símbolo. Nótese también que el componente K_Liuear no está “alambrado" en ninguna parte del diagrama; su ubicación es arbitraria. Los dos inductores acoplados, L1 y L2, se especifican junto con el coeficiente de acoplamiento mediante la ventana de diálogo del componente. B M jB l £
r - h l a | i.
¡SCHEMAItCl-Fiyge13_2*
1-f ÍWPHIKT2
falal ► i^}
V1• i 1! i ¡Wj
BK Linear K1 COUPUNG = 0.942B
A C M A G = 10V8C ACPH A SE = 0
lili
' Síafc=áín¿
.*> r*in
FIG U RA 13.24 Jiagrama del circuito basado en la figura 13.19o.
El circuito se conecta a una fuente de tensión senoidal de 100 rad/s (15.92 Hz) un hecho que se incorpora mediante un barrido ca a una frecuen cia dada. También se requiere agregar las dos resistencias al diagrama para que PSpice lleve a cabo la simulación sin generar un mensaje de error. Primero, se inserta una pequeña resistencia en serie entre la fuente de ten sión y L 1; se eligió un valor de 1 pQ para minimizar sus efectos. Segundo, se conectó a L2 una resistencia de 1000 M Q (infinito, en esencia). La salida de la simulación tiene una magnitud en tensión de 13.33 V y un ángulo de fase de —3.819 x 10~8 grados (esencialmente cero), lo que concuerda con los valores que se calcularon a mano en el ejemplo 13.5. PSpice proporciona tam bién dos modelos de transform ador diferentes, uno lineal, XFRM _LINEAR, y uno ideal XFRM _NONLINEAR, un elem ento de circuito que es el tem a de la siguiente sección. El transfor m ador lineal requiere que los valores se especifiquen para el coeficiente de acoplam iento y para ambas inductancias de bobina. El transform ador ideal necesita tam bién un coeficiente de acoplamiento, aunque, como se verá, un transform ador ideal tiene valores de inductancia infinitos o casi infinitos. Por lo tanto, los parám etros restantes requeridos para la parte XFRM _NO NLINEAR son el número de vueltas de alambre que tiene cada bobina.
A /V V
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNETICAMENTE
15.41EL TRANSFORMADOR IDEAL Un transform ador ideal constituye una aproximación útil a un transformador acoplado de forma muy estrecha, en el que el coeficiente de acoplamiento es en esencia la unidad y en el que las reactancias inductivas del primario y del secun dario son muy grandes en comparación con las impedancias de la terminación. Tales características se obtienen con mucha precisión mediante la mayor parte de los transformadores de núcleo de hierro bien diseñados, sobre un intervalo ra zonable de frecuencias para un intervalo razonable de impedancias a nivel ter minal. El análisis aproximado de un circuito que contiene un transformador de núcleo de hierro podría lograrse con mucha facilidad sustituyéndolo por un transformador ideal, que podría pensarse como un modelo de primer orden de un transformador de núcleo de hierro.
Relación de vueltas de un transformador ideal Con el transformador ideal surge un nuevo concepto: la relación de núm ero de vueltas a. L a autoinductancia de una bobina es proporcional al cuadrado del número de vueltas de alambre que forman la bobina. Esta relación es válida sólo si todo el flujo establecido por la corriente que fluye en las bobinas enlaza a todas las vueltas. Para form ular este resultado de m anera cuantitativa se requiere utilizar conceptos de campo magnético, tem a que no se incluye en la explicación del análisis de circuitos. Sin embargo, quizá sea suficiente un argu mento cualitativo. Si una corriente i fluye a través de una bobina de N vueltas, entonces el flujo magnético de una sola vuelta se reproducirá N veces. Si se considera que las N vueltas son coincidentes una con la otra, entonces la total idad del flujo abarca a todas las vueltas. Cuando la corriente y el flujo cambian con el tiempo, se induce una tensión en cada vuelta que es N veces mayor que la ocasionada por una bobina de una sola vuelta. De tal modo, la tensión in ducida en la bobina de N vueltas debe ser N 2 veces la tensión de una sola vuelta. A partir de lo anterior, se origina la proporcionalidad entre la inductan cia y el cuadrado del número de vueltas. Se concluye que: hl
ü k= L
N21 —-z = a2 N¡
N2 N,
I FIGURA 13.25 Transformador ideal que se conecta a una impedancia de carga general.
[ 20]
[21]
La figura 13.25 presenta un transformador ideal al que se conecta una carga secundaria. La naturaleza ideal del transformador se establece mediante varias convenciones: el uso de líneas verticales entre las dos bobinas para indicar las laminaciones de hierro presentes en muchos transformadores con núcleo de este metal, el valor unitario del coeficiente de acoplamiento y la presencia del sím bolo 1:a, lo que sugiere una relación de vueltas de Ni a N2. Se analiza este transformador en el estado senoidal permanente para inter pretar los supuestos en el contexto más simple. Las dos ecuaciones de malla son Vi = ja )L ¡li — jc o M ti
[22]
y 0 = - j m M l i + (Z¿ + jcoL2)I2
[23]
SECCIÓN 13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL
• ------------------------- W
Se determinan primero la impedancia de entrada de un transformador ideal. Al resolver la ecuación [23] para I 2 y sustituir en la ecuación [22], se obtiene Vi = l\ja>L\ + I t
V,
Zent — ~
a rM 2 Z 1. + JcüLj
.
a rM
— jú )L \ +
ZL
Il
+ jc o L 2
Puesto que k = 1, M 2 = L \L 2 , se tiene entonces Z ent —
j° ) L
O)2L 1 ¿2 1+
Z L + jti>L2
Además del coeficiente de acoplamiento unitario, otra característica de un transformador ideal es una impedancia demasiado grande tanto en las bobinas del primario como del secundario, sin que importe la frecuencia de operación. Lo anterior sugiere que el caso ideal sería que L\ y ¿ 2 tendieran al infinito. Sin embargo, su proporción debe permanecer finita, según se especifica mediante la relación de vueltas. De lal manera, L 2 = a 2L 1 lo cual lleva a
,
,2 _2 j 2 CO Cl i-*|
Z l + j(oa2L 1 Si se deja ahora que L\ se vuelva infinita, ambos términos del lado derecho de la expresión anterior también lo hacen, de modo que el resultado es indeterminado. Por lo tanto, se requiere combinar primero estos dos términos: ^ _ j( ú L \Z L - ( ú 2a 2L 2 +cú2a 2L \ ¿Mit — ^ Z¿ + jcoa-L 1
^ lZ4l
o j ü ) L \Z i
Z¿
Z L + jw a 2L\
Z i/jo ) L \ + a 2
[25]
Ahora bien, cuando L¡ ->■ 0 0 , se observa que Z cm se convierte en: Z en,
= % a1
[26]
para Z¿ finita. Este resultado tiene algunas implicaciones interesantes y al menos una de ellas parece contradecir una de las características del transformador lineal. La im pedancia de entrada de un transformador ideal es proporcional a la impedancia de carga, con la constante de proporcionalidad igual al recíproco del cuadrado de la relación de vueltas. En otras palabras, si la impedancia de carga es capacitiva, entonces la impedancia de entrada también resulta capacitiva. Sin embargo, en el transformador lineal, la impedancia reflejada o referida sufrió un cambio de signo en su parte reactiva; una carga capacitiva proporciona una contribución in ductiva a la impedancia de entrada. La explicación de este hecho se obtiene al reconocer primero que Z L/ a 2 no es la impedancia reflejada (referida), si bien a menudo se denomina de manera inexacta mediante ese nombre. La verdadera im pedancia reflejada es infinita en el transformador ideal; de otra manera no podría
"*«« 4
V
512
,-------------
VX/V--------------------------•
\
iWsS¡*ít¡í¡,
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
“cancelar” la impedancia infinita de la inductancia primaria; tal cancelación ocurre en el numerador de la ecuación [24]. L a impedancia Z¿ / a 2 representa un término pequeño que corresponde a la cantidad mediante la que no ocurre una cancelación exacta. L a verdadera impedancia reflejada (referida) en el transformador ideal sí cambia de signo en su parte reactiva; sin embargo, cuando las respectivas inductancias del primario y del secundario se vuelven infinitas, el efecto de la reactan cia infinita de la bobina del primario y de la reactancia reflejada (referida) infinita, pero negativa, de la bobina del secundario se cancela. Por lo tanto, la primera característica importante del transformador ideal es su capacidad para cambiar la magnitud de una impedancia, o para cambiar el nivel de impedancia. Un transformador ideal que tiene 100 vueltas en el primario y 10000 vueltas en el secundario presenta una relación de vueltas de 100U0/100, o 100. Cualquier im pedancia puesta a lo largo del secundario aparece reducida (o referida) en magnitud en las terminales del primario por un factor de 1002 o 10000. Una resistencia de 20000 £2 se observa como de 2 £2, un inductor de 200 mH se mira como 20 /iH , y un capacitor de 100 pF se ve como de 1 ¡iF. Si se intercambian los devanados del primario y del secundario, entonces a = 0.01 y la impedancia de carga al parecer se incrementa en magnitud. En la práctica, este cambio exacto en la magnitud no siempre sucede, pues se debe recordar que al efectuar el último paso en nuestra deducción y dejar que L\ se volviera in finita en la ecuación [25], fue necesario pasar por alto Z ¿, en comparación con jcoL i ■Puesto que L 2 nunca puede ser infinita, resulta evidente que el modelo del transformador ideal será inválido si las impedancias de carga son muy grandes.
Uso de transformadores para el acoplamiento de impedancia Un ejemplo práctico del uso de un transformador con núcleo de hierro como un dis positivo para cambiar el nivel de impedancia se presenta en el acoplamiento de un amplificador de potencia de audio de bulbo de vacío con un sistema de altavoz (bo cinas). Para alcanzar una transferencia de potencia máxima, se sabe que la resisten cia de la carga debe ser igual a la resistencia interna de la fuente; el altavoz o boci na suele tener una magnitud de impedancia (supuesta muchas veces como una resistencia) de sólo unos cuantos ohms, en tanto que el amplificador de potencia por lo común posee una resistencia interna de varios miles de ohms. Así, se requiere un transformador ideal en el que N 2 < 'Vi. Por ejemplo, si la impedancia interna del amplificador (o generador) corresponde a 4 000 í l y la impedancia del altavoz es 8 ST2, entonces se desea que
z„
ZL = 4 0 0 0 = -4-
a —
8
= —
22.4
y, en consecuencia, — = 22.4 N2 Existe una relación simple entre las corrientes del primario y del secundario, respectivamente Ii e L en un transformador ideal. De acuerdo con la ecuación [23], se tiene I2 j coM Il
Z¿ + ja>L2
SECCIÓN 13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL
También en este caso se deja que L2 se vuelva infinita, así que se puede concluir que
o I2 = 1 li a
[27]
Por lo tanto, la proporción (o razón) entre las corrientes respectivas del primario y del secundario es la relación (o razón) de número de vueltas. Si se tiene que N 2 > N [, entonces a > 1, de modo que es patente que circula una corriente mayor en el devanado con menor número de vueltas. En otras palabras, ÍVi I j = Af2I 2 Asimismo, debe señalarse que la relación (o razón) de corrientes es e) negativo de la relación de vueltas si cualquier corriente se invierte o se cambia la locali zación de cualquier punto. En el ejemplo en el que se usó un transformador ideal para cambiar el nivel de impedancia a fin de acoplar de manera eficiente un altavoz con un amplifica dor de potencia, una corriente rms de 50 mA a 1 000 Hz en el primario provoca una corriente rms de 1.12 A a 1000 Hz en el secundario. La potencia suministrada al altavoz es igual a (1.12)2(8), o 10 W, y la potencia que el amplificador de po tencia entrega al transformador corresponde a (0.05)24 000, o 10 W. El resultado es reconfortante, pues el transformador ideal no contiene ni un dispositivo activo que pueda generar potencia, ni ninguna resistencia que pueda absorberla.
Uso de transformadores en el ajuste del nivel de tensión Dado que la potencia que se entrega al transformador ideal es idéntica a la suminis trada a la carga, siempre que las corrientes del primario y del secundario se relacio nan por la relación (o razón) de número de vueltas, debe parecer razonable que las tensiones respectivas del primario y del secundario también deban vincularse con esa misma relación. Si se define la tensión del secundario, o tensión de caiga, como V2 = I 2Z L y la tensión del primario como la tensión en L{, entonces
La proporción (razón) de las dos tensiones se vuelve entonces
o
[28]
•
—
513
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
La razón entre la tensión del secundario y la del primario es igual a la relación del número de vueltas. Debe observarse con cuidado que esta ecuación es opuesta a la [27], pues lo anterior es una fuente común de errores en los estudiantes. La razón también puede ser negativa si se invierte alguna tensión, o si se cambia cualquier ubicación de punto. Por lo tanto, al elegir sólo la relación (o razón) de número de vueltas, se puede ahora cambiar cualquier tensión de ca en cualquier otra tensión de ca. Si a > 1, la tensión del secundario será mayor que la del primario, de modo que el artefacto será lo que se denomina por lo general un transform ador elevador. Si a < 1, la tensión del secundario será menor que la del primario, se tendría un transform ador reductor. Las compañías eléctricas casi siempre generan poten cia a una tensión en el intervalo de 12 a 25 kV. Aunque es una tensión bastante grande, las pérdidas de transmisión a largas distancias se reducen a través del au mento del nivel de tensión hasta varios cientos de miles de volts mediante un transformador elevador (figura 13.26a); después dicha tensión se reduce a varias decenas de kilovolts en las subestaciones de distribución de potencia locales, mediante transformadores reductores (figura 13.26b). También se ubican trans formadores reductores adicionales fuera de los edificios, a fin de reducir la ten sión desde la tensión de transmisión hasta el nivel de 110 o 220 V requerido para operar maquinaria (figura 13.26c). Al combinar las relaciones (razones) de corrientes y de tensiones, o sea las ecuaciones [27] y [28], se obtiene V
2I 2 =
V
1I ]
y se observa que los voltamperes del primario y del secundario son iguales. La magnitud de este producto suele especificarse como un valor máximo permisible en los transformadores de potencia. Si la carga tiene un ángulo de fase 9, o sea = \Z L\¿0
(c) ■ F IG U R A 1 3 .2 6 (o ) Transform ador elevador que se utiliza para increm entar la tensión de salida del generador para la transm isión. (b ) Transform ador de subestación em pleado para reducir la tensión desde el nivel de transm isión de 220 kV hasta varias decenas de kilovolts para distribución local, (c) Transform ador reductor que se utiliza para reducir el nivel de tensión de distribución hasta 240 V para consum o eléctrico. Fotos cortesía del Dr. W ade Enright, Te Kura Pukaha Vira O Te W hare Wananga O Waitaha, Aotearoa.
entonces V2 adelanta a I2 en un ángulo 0. Además, la impedancia de entrada es Z t / f l 2, y por ello V i también adelanta a I; por el mismo ángulo 0. Si dejamos que la tensión y la corriente representen valores rms, entonces | V 2 | |I2| cos 0 debe ser igual a |V i| |Ii | cos 9, de modo que toda la potencia entregada en las terminales del primario llega a la carga; el transformador no absorbe ni libera (suministra) ninguna potencia. Las características del transformador ideal, que se determinaron en su totali dad mediante el análisis fasorial, son en verdad válidas en el estado senoidal per manente, pero no hay razón para creer que sean correctas para la respuesta com pleta. En la actualidad, a menudo se aplican y la demostración de que esta afirmación es válida, resulta mucho más simple que el análisis basado en fasores que justamente se acaba de terminar. Sin embargo, el anáfisis sirvió para señalar las aproximaciones específicas que deben hacerse mediante un modelo más exacto de un transformador real, a fin de obtener un transformador ideal. Por ejemplo, se vio que la reactancia del devanado secundario necesita ser mucho mayor en magnitud que la impedancia de cualquier carga que se conecte al se cundario. De ese modo se logra cierta sensación de que se obtienen ciertas con diciones de operación en las que el transformador deja de comportarse como un transformador ideal.
SECCIÓN 13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL
*
■ W v
0
EJEMPLO 13.7 En el caso del circuito de la íigura 13,27, determinar la potencia prome dio (activa) que se disipa en la resistencia de 10 kfi. 100 a
-W v 10 kn
50 V rms
■ F IG U R A 1 3 .2 7 ^Circuito de un transformador ideal simple.
La potencia promedio \activa) disipada por la resistencia de 10 k fi es, sim plemente, P = 10000,12|2 La fuente de 50 V rms “percibe” (ve) una impedancia de entrada del trans formador de Z ^ /fl2 o 100 Q. De tal modo, se obtiene 50 I,
100 + 100
= 250 mA rms
A partir de la ecuación [27], I2 = ( \ / a ) \ \ — 25 m A rm s, por lo que se puede ver que la resistencia de 10 k fi disipa 6.25 W.
PRÁCTICA 13.8 Repetir el ejemplo 13.7 utilizando tensiones para calcular la potencia disipada. Respuesta: 6.25 W.
Relaciones de tensión en el dominio del tiempo Ahora se determinará la forma en que se relacionan las cantidades en el dominio del tiempo *v] y u2 en el transformador ideal. Volviendo al circuito de la figura 13.17 y a las ecuaciones [16] y [17] que lo describen, se resolvería la segunda ecuación para d h / d t y se sustituirá en la primera di\
M
M 2 di i
Vl = L l d i + L ¡ V2~ ~ L ¡ ^ Sin embargo, para acoplamiento unitario (k = 1), M 2 = L iL 2, se tiene
Así, la relación entre la tensión del primario y la del secundario se determina al aplicar la respuesta completa en el dominio del tiempo.
En este ejemplo se pasan por alto los ángulos de fase, pues no afectan el cálculo de la potencia promedio (activa) disipada por una carga puramente resistiva.
(
APLICACIÓN P R Á C T IC /Q
El transformador superconductor (o supraconductor) En casi todos los casos, se pasan por alto los diversos tipos de pérdidas que pueden presentarse en un transformador particular. Sin embargo, cuando se trabaja con grandes transformadores de potencia se requiere prestar gran aten ción a estas pérdidas, a pesar de eficiencias totales que, por lo genera], llegan a 97% o más. Si bien esta gran eficiencia puede considerarse como un valor casi ideal, quizá repre sente una gran cantidad de energía desperdiciada cuando el transformador maneja varios miles de amperes de corrien te. Las llamadas pérdidas ?R (pronunciado “i cuadrada/?”) representan potencia disipada como calor, las cuales pue den incrementar la temperatura de las bobinas de los trans formadores. La resistencia del alambre aumenta con la temperatura, por lo que el calentamiento sólo conduce a la obtención de pérdidas mayores. Además, las altas tem peraturas producen la degradación del aislamiento del alambre, lo cual da lugar a una vida de servicio más corta del transformador. En consecuencia, muchos transforma dores de potencia modernos utilizan un baño de aceite lí quido que elimina el exceso de calor de sus bobinas; sin embargo, este procedimiento tiene varias desventajas en las que se incluyen el impacto ambiental y el peligro de in cendio por derramamiento de aceite como resultado de la corrosión con el tiempo (figura 13.28). Un medio factible para mejorar el desempeño de estos artefactos consiste en utilizar alambre superconductor para sustituir las bobinas resistivas de un diseño de trans formador normal. Los superconductores son materiales que resisten altas temperaturas, pero que de repente no muestran resistencia al flujo de comente, una vez que se alcanza una temperatura crítica. En el caso de la mayor
■ FIGURA 13.28 Incendio que sucedió en el año 2004 en la subestación de energía eléctrica estadounidense de 340 000 V cerca de Mishawaka, Indiana. © AP/Wide World Photos
Una expresión que relaciona la com ente del primario y la del secundario en el dominio del tiempo se obtiene con mayor facilidad dividiendo la ecuación [16] entre ¿ i, Di
di 1
M
d i2
di\
di2
L\
dt
L\
dt
dt
dt
Para recurrir luego a una de las hipótesis implícitas en el transformador ideal: L\ debe ser infinita. Si se supone que i>i no es infinita, entonces di i —
dt
=
- a
d i2 — dt
Integrando, se tiene
ii = —aÍ2 + A
parte de los elementos, tal temperatura crítica es sólo unos cuantos grados superior al cero absoluto, de modo que se requiere de enfriamiento criogénico muy costoso basado en helio líquido. Sin embargo, con el descubrimiento en los ochenta de los superconductores cerámicos que tienen temperaturas críticas del orden de 90 K (—183°C) y más elevadas, fue posible sustituir el equipo criogénico basado en helio por sistemas de nitrógeno líquido. La figura 13.29 muestra el prototipo de un transfor mador superconductor con núcleo parcial desarrollado en la Universidad de Canterbury. Este diseño emplea ni trógeno líquido, elemento que es benigno para el medio ambiente, en lugar de un baño de aceite, y es significati vamente menor que un transformador convencional de la misma capacidad. El resultado es una mejora medible de la eficiencia total del transformador, la cual se traduce en un ahorro operativo sustancial para el propietario. A pesar de lo anterior, todos los diseños tienen des ventajas que deben com pararse con las ventajas que ofrecen, y los diseños de transformador superconductor no son una excepción a la regla. Por ahora, el obstáculo más importante es el costo reladvam ente alto de fabricar varios kilómetros de alambre superconductor, compara do con el costo del alambre de cobre. Parte de ello se de be al gran reto que representa la fabricación de alambre superconductor a partir de materiales cerámicos, pero parte también es debida al entubado de plata que se uti liza para rodear al superconductor a fin de ofrecer una trayectoria de baja resistencia a la corriente en caso de que el sistema de enfriamiento falle (aunque menos ca ro que la plata, el cobre reacciona con la cerámica y, por lo tanto, no es una alternativa viable). El resultado neto es que, si bien tal vez un transformador superconductor
H F IG U R A 1 3 .2 9 Transformador prototipo de potencia supercondudora de núcleo parcial de 15 kVA.
Fotografía cortesía del Departamento de Ingeniería Eléctrica y en Computación, Universidad de Canterbury.
ahorre dinero a una empresa eléctrica durante mucho tiempo — la gran mayoría de los transformadores supe ran los 30 años de servicio— , el costo inicial es mucho más alto que el correspondiente a un transformador re sistivo tradicional. En la actualidad, muchas compañías (incluso las empresas de electricidad) se manejan por consideraciones de costos a corto plazo, y no siempre están ansiosas por invertir enormes capitales cuyos be neficios sólo se logren a largo plazo.
donde A es una constante de integración que no varía con el tiempo. De tal modo, si se pasa por alto toda la corriente directa en ambos devanados y se en foca la atención sólo en la paite variable en el tiempo de la respuesta, entonces i\ = - a i 2 El signo negativo se debe a la ubicación de los puntos y a la selección de las di recciones de com ente en la figura 13.17. En consecuencia, se obtienen las mismas relaciones (razones) de corrientes y de tensiones en el dominio del tiempo que las determinadas antes en el dominio de la frecuencia, siempre que se pasen por alto las componentes de cd. Los re sultados en el dominio del tiempo son más generales, aunque se obtuvieron me diante un proceso menos informativo. Se podrían utilizar las características establecidas del transformador ideal para simplificar circuitos en los que aparecen transformadores ideales. Suponer, con fines ilustrativos, que todo lo que se encuentra a la izquierda de las terminales
A /W
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
del primario se sustituyó por su equivalente de Thévenin. al igual que en la red a la derecha de las terminales del secundario. Por lo tanto, se considera el cir cuito de la figura 13.30. Se supone una excitación a cualquier frecuencia de pul sación (o angular) co.
■ F IG U R A 1 3 .3 0 Las redes conectadas a las term inales del prim ario y del secundario de un transform ador ideal se representan p o r sus equivalentes de Thévenin.
Circuitos equivalentes Ahora se podrían utilizar los teoremas de Thévenin o de Norton para conseguir un circuito equivalente que no contenga un transformador. Por ejemplo, se de terminará el equivalente de Thévenin de la red de la izquierda de las terminales del secundario. Al poner en circuito abierto el secundario, I 2 = 0 y por ello I] — 0 (recuerde que L \ es infinita). No aparece tensión en Z g\, y por lo tanto, V] = Vsi y Y 2 oc = aV vi. La impedancia de Thévenin se obtiene si se elimina Vil y se utiliza el cuadrado de la relación de número de vueltas, teniendo cuidado al utilizar el recíproco de la relación de vueltas, pues se observa hacia el interior de las terminales del secundario. En consecuencia, Z * 2 = Z ¡;ía 2. Como una verificación del equivalente, se determinará la comente en el se cundario en cortocircuito 12sc- Con el secundario en cortocircuito, el generador del primario encara una impedancia de Z,;1, y por consiguiente li = V s 1/ Z g 1 . Así, I 2 sc ~ V íi/flZgi-La proporción o razón entre la tensión en circuito abierto y la co rriente en cortocircuito es, a2Z g\, como debe ser. El equivalente de Thévenin del transformador y el circuito primario se muestran en el circuito de la figura 13.31.
■ F IG U R A 1 3 .3 1 El equivalente de Thévenin de la red que está a la izquierda de las term inales del secundario en la figura 13,30 se utiliza para sim plificar ese circuito.
Entonces, cada tensión del primario se debería multiplicar por la relación de número de vueltas, cada com ente del primario dividirse entre esta misma rela ción y cada impedancia del primario multiplicarse por el cuadrado de ella; des pués, estas tensiones, com entes e impedancias modificadas sustituyen a las ten siones, com entes e impedancias dadas, más el transformador. Si se intercambia cualquier punto, el equivalente se obtiene mediante el negativo de la relación (o razón) del número de vueltas.
SECCIÓN 13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL
A /W
*
Observar que esta equivalencia, como se ilustra en la figura 13.31, sólo es po sible si la red se conecta a las terminales del primario, y las que están conectadas a las terminales del secundario pueden sustituirse por sus equivalentes de Théve nin. Esto es, cada una debe ser una red de dos terminales. Por ejemplo, si se cor tan los dos hilos de conexión del primario en el transformador, el circuito debe di vidirse en dos redes independientes; no es posible que haya un elemento de red que establezca un vínculo en el transformador entre el primario y el secundario. Un análisis similar del transformador y de la red secundaria muestra que se podría reemplazar todo lo que está a la derecha de las terminales del primario por una red idéntica sin el transformador. Para ello se debe dividir cada tensión entre a, multiplicar cada corriente por a y dividir cada impedancia entre a2. Una inver sión de cualquier devanado requiere el uso de una relación de vueltas de —a .
EJEMPLO 13.8 En el circuito de la figura 13.32, determinar el circuito equivalente en el que se sustituyen el transformador y el circuito del secundario, así como en el que se sustituyen el transformador y el circuito del primario.
100 í l
10 k í l
5 0 V rm s
■ F IG U R A 1 3 .3 2 Circuito simple en el que la carga resistiva se acopla con la impedancia de la fuente mediante un transformador ideal.
Este es el mismo circuito analizado en el ejemplo 13.7. Como antes, la im pedancia de entrada es 10000/(10)2, o 100 £2 y por ello |li] = 250 mA rms. También se calcula la tensión en la bobina del primario:
50 V rms
|V i| = |50 — 100Ii¡ = 25 V rms y de ese modo se determina que la fuente entrega (25 x 10_3)(50) = 12.5 W, de los cuales (25 x 10_3)2(100) = 6.25 W se disipan en la resistencia interna de la fuente y 12.5 — 6.25 = 6.25 W se entregan a la carga. Ésta es la condi ción para la transferencia de potencia máxima a la carga. Si se eliminan el circuito del secundario y el transformador ideal mediante el uso del equivalente de Thévenin, la fuente de 50 V y la resistencia de 100 Q ven sólo una impedancia de 100 O. De este modo se obtiene el cir cuito simplificado de la figura 13.33a. En estas condiciones, la corriente y la tensión del primario resultan de inmediato evidentes. Si, en lugar de eso, la red de la izquierda de las terminales del secundario se reemplaza por su equivalente de Thévenin. se encuentra que (teniendo pre sente la ubicación de los puntos) \ th = —10(50) = —500 V rms, y Z th = (—10)2(100) = 10 k£2; el circuito resultante se presenta en la figura 1333b.
10 k f t ¡
-Vl/Vr— 1 I -500 V rms ( - v )
10 kíl < V2
I
“
(¿) i F IG U R A 1 3 .3 3 El circuito de la figura 13.32 se simplifica mediante la sustitución de: (a) el transformador y el circuito del secundario por el equivalente de Thévenin, o (b) el transformador y el circuito del primario por el equivalente de Thévenin.
520 J------ W V
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
PRACTICA 13.9 Sea N\ =j 1 000 vueltas y N2 = 5 000 vueltas en el transformador ideal de la figura 13.34. Si Z¿ = 500 — j'400 £2, determinar la potencia promedio (activa) que se entrega a Z¿ para: (a) l 2 — 1.4/20° A rms; (b) V2 = 900/40" V rms; (c) V, = 80/100° V mis; (d) I, = 6 /45° A rms; (e) V, = 2 0 0 /0 : V rms.
ion
N { :N 2
^
+ ,©
V,
: F IG U R A 1 3 .3 4
Respuestas: 980 W; 988 W; 195.1 W; 720 W; 692 W.
RESUMEN Y REPASO La inductancia mutua describe la tensión inducida en los extremos de una bobina debida al campo magnético generado por una segunda bobina. La convención del punto permite asignar un signo al término de la induc tancia mutua. De acuerdo con la convención del punto, una corriente que entra a la termi nal con punto de una bobina, produce una tensión en circuito abierto con una referencia de tensión positiva en la terminal con punto de la segunda bobina. La energía total almacenada en un par de bobinas acopladas incluye tres términos independientes: las dos energías almacenadas en cada una de las autoinductancias representada por el término (|Z.¿2) en cada caso y la energía almacenada en la inductancia mutua (M ii ¿2 ). El coeficiente de acoplamiento está dado por k — M /- J L \L 2 , y se restringe a valores entre 0 y 1. Un transformador lineal consta de dos bobinas acopladas: el devanado pri mario y el devanado secundario. Un transformador ideal es un modelo útil de los transformadores prácticos con núcleo de hierro. El coeficiente de acoplamiento k se considera unitario y se supone que los valores de inductancia serán infinitos. La relación (o razón) del número de vueltas a — N 2 / N 1 de un transfor mador ideal se relaciona con las tensiones respectivas de la bobina del pri mario y la del secundario: \ 2 — «V i. La relación (o razón) del número de vueltas (a) relaciona también las corrientes en las bobinas respectivas del primario y del secundario: l i = a l2.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Casi todo lo que se desea saber acerca de los transformadores puede encontrarse en:
M. Heathcote, J&P Transformer Book, 12a ed. Oxford: Reed Educational and Professional Publishing Ltd., 1998.
EJERCICIOS
Otro título muy completo acerca de transformadores es:
W.T. McLyman, Transformer and Inductor Design Handbook, 3a. ed. Nueva York: Marcel Dekker,2004. Un buen libro acerca de transformadores con un fuerte enfoque económico es
B.K. Kennedy, Energy Efficient Transformen. Nueva York: McGraw-Hill, 1998.
EJERCICIOS_______________________________ 13.1 Inductancia mutua 1. Considerar el circuito de la figura 13.35. Si i\ (?) = 400 cos 12()nt A y el valor máximo de v¡¡(t) es 100 V, ¿cuál es el valor de la inductancia mutua que enlaza U y ¿ 2?
■ F IG U R A 1 3 .3 5
Si en el circuito de la figura 1 3 . 3 6 , la tensión v¡ (?) se sabe que es 1 1 5 V 2 c o s ( 1 2 0 j t í — 1 6 ° ) V, ¿cuál es el valor de la inductancia mutua que enlaza los dos inductores L\ y Lp. 3 . En la figura 1 3 .3 7 se muestra la construcción física de tres pares de bobinas acopladas. Señálense las dos diferentes ubicaciones posibles de los dos puntos en cada par de bobinas. 2.
-o
1
-o
(a)
ib)
ic)
I F IG U R A 13 .37
4. Los dos inductores acoplados de la figura 13.38 están conectados en un circuito donde las tensiones y corrientes están como se muestra. L¡ = I H, Li = 3 H, y M = 0.5 H. Si 11 = 30 sen 80í A e i2 = 30 cos 80í A, calcular: (a) uj; (b) V2 -
AA/V
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
5. Los dos inductores acoplados de la figura 13.39 están conectados en un circuito con las tensiones y corrientes que se muestran, L \ = 2 2 /xH, ¿ 2 = 15 /xH, y M = 5 /xH. Si ¡ i = 3 cos 800í nA e ¿2 = 2 cos 800í nA, calcular: (a) i>i; (Z?) D2•
+ Vi
a F IG U R A 1 3 .3 9
6 . Con relación a la figura 13.40, suponer que ui = 5e ' V y D2 = 3e~2í V. Si L¡ = L 2 = 8 H yA Í = 0.4 H, determinar: (a) d i i / d t ; ib) d i 2/ d í ; (c) /'1<"/) si no hay energía almacenada en 1 = 0 .
M
■Li
v2
I F IG U R A 1 3 .4 0
M
|X ~X |
7. En la figura 13.41, suponer que v j = 2e ! V y 1)2 = 4e~3í V. Si = L 2 = 2 mH y Ai = 1.5 mH, determinar: (a) d i \ / d f , (tí) d i j / d f , (c) ¿2(í) si no hay energía almace nada en í = 0 . 8. Determinar vil) para cada red de la figura 13.42, si / = 50 Hz. 0.4 H
I F IG U R A 13.41
4
a
4 íí
I FIG U RA 13.42
0.4 H
EJERCICIOS
9. En el circuito que se presenta en la figura 13.43, determinar la potencia promedio (activa) que absorbe: (a) la fuente; (b) cada una de las dos resistencias; (c) cada una de las dos inductancias; (d) la inductancia mutua.
■ F IG U R A 1 3 .4 3
10. Sean isj (í) = At A e h iit) = 101 A en el circuito de la figura 13.44. Determinar: (a); (b) ucg; (c) dbg-
11. (a) Obtener la red equivalente de Thévenin que encara la resistencia de 2 k ñ en el circuito del ejercicio 9. (tí) ¿Cuál es la potencia promedio (activa; máxima que se extrae de la red mediante un valor óptimo de Zi (en lugar de 2 kfi)? 12. En el circuito de la figura 13.45, calcular las corrientes i\(t), Í2(t), e h ( t ) si / = 50 Hz. io n
13. Determinar la expresión de ic(t) válida para t > 0 en el circuito de la figura 13.46, si vs(t) = 10t2u (t)/(t2 + 0.01) V.
■ FIG U R A 13.46
•
AA/V
0
524
A A /V
-9
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
14. (a) Para la red de la figura 13.47a, escribir dos ecuaciones donde v a (t) y vg(t) sean funciones de i\(t) e i2(t). (b) Escribir las dos ecuaciones donde Vi (jco) y V2 (jco) están en función de Ia (jco) e Ib (jco) en la red de la figura 13.47/?. 15. Observar que no hay acoplamiento mutuo entre los inductores de 5 y 6 H en el cir cuito de la figura 13.48. (a) Escribir un conjunto de ecuaciones en términos de Il (jco), I2 íjco), e l 3 (jco). (b) Calcular I3(jco) si to = 2 rad/s.
LB M
4 íl
4H
(a)
M
16. Calcular Vi (y ) en términos de Ii (jco) e tO'fu) para cada circuito de la figura 13.49. (b)
F IG U R A 1 3 .4 7
I. o— W v — + \1 L\
M
-W S /— R-,
A 0
ib)
1 j F IG U R A 1 3 .4 9
17. (a) Encontrar Zent (jai) en la red de la figura 13.50. (b) Graficar Zent sobre el inter valo de frecuencia de pulsación 0 < 10 < 1000 rad/s. (c) Determinar Zent (/*>) Paríl új = 50 rad/s. 18. Consultar el circuito de la figura 13.51. ¿Qué valor de Mprovocará que se entregue exactamente una potencia promedio (activa) de 3.2 W al altavoz (bocina) de bajos de 8 fi, a una frecuencia de audio de 160 Hz?
9 FIG U RA 13.51
AA/V
EJERCICIOS
19. Sean í'si — 2 cos 10/ A e i S2 = 1.2 cos 10/ A en la figura 13.52. Calcular: (a) v\(t); (b ) i>2(t)\{c) la potencia promedio (activa) que suministra cada fuente. 0.2 H
}h2 8H -vJUUL/
120 cos a>t V ( 20. Es posible arreglar tres bobinas de manera que se tenga un acoplamiento mutuo entre las bobinas A y B y entre B y C, pero no entre A y C. Dicho arreglo se muestra en la figura 13.53. Encontrar v(t). 21. Obtener I¿ en el circuito que se indica en la figura 13.54. h
■ F IG U R A 1 3 .5 4
13.2 Consideraciones energéticas 22. Sea is = 2 cos 10/ A en el circuito de la figura 13.55. Determinar la energía total al macenada en t = 0 si: (a) a-b está en circuito abierto como se muestra; (tí) a-b está en cortocircuito.
■ F IG U R A 1 3 .5 5
23. Sea V s = 12/0° V rms en el transformador lineal de la figura 13.56. Con a> = 100 rad/s, encontrar la potencia promedio (activa) que suministra la resistencia de 24 fi! como una función de k. 60
24. Dos bobinas acopladas mutuamente, para las cuales L \ = 2 /¿H, ¿2 = 80 ¡i H, y k = 1 tiene una carga deZ¿ = 2 + j'10£2 conectada entre las terminales de L¿. Calcular Zent en las terminales de L\ si c d = 250 krad/s.
J 5H -n rw 6H
: F IG U R A 1 3 .5 3
0
AA/V
CAPITULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
25. Sea co = 100 rad/s en el circuito de la figura 13.57. Calcular la potencia promedio (activa): (a) entregada a la carga de 10 ñ ; (b ) entregada a la carga de 20 ñ ; (c) ge nerada por la fuente. _____________kx = 0.5_____________
1
fe lH
•io n
1H 3
g lH
■
100 V rms © 20 fi
k2= 0.2 F IG U R A 1 3 .5 7 k = 0.4
h
26. En el caso de las bobinas acopladas que se muestran en la figura 13.58, sean í! (í) = A e 10 A e ¿3 (r) = 5e~‘/s A. Determinar: (a) M; (b ) ¿2(/); (c) la energía total almacenada en el sistema, en t = 0 . 27. Sea co = 1000 rad/s en el circuito de la figura 13.59, obtener el valor de la propor ción V2/Vj si: (a) ¿ i = l mH, ¿2 = 25 mH, y k = 1; (b) L\ = 1 H, ¿2 = 25 H, y k = 0.99; (c) Lj = 1 H, L 2 = 25 H, y k = 1.
■ F IG U R A 1 3 .5 8
28. (a) Un puente de inductancia usado en las bobinas acopladas de la figura 13.60 mide los siguientes valores en condiciones de cortocircuito y de circuito abierto: Lab.cd= o c = 10 mH, Lcd,ab= oc = 5 mH, L ab,cd= s c = 8 mH. Encontrará (b) Suponiendo puntos en A y D, con i\ = 5 A, ¿qué valor debe tener i2 para que se almacenen 100 mJ en el sistema? i|
B
o----------------1
h
1--------------- o D
■ F IG U R A 1 3 .6 0
29. En el circuito que se muestra en la figura 13.61, / = 60 Hz. Calcular Y 2 como una función de k y graficar | V2I en función de k. 50 fi
■ FIG U RA 13.61
k
EJERCICIOS
30. Si ¿i = 2 cos 500f A en la red de la figura 13.62, calcular el valor de la energía má xima almacenada en la red.
13.3 Ei transformador lineal 31. Se sabe que la impedancia de la carga del circuito de la figura 13.63 es de 7/32° a una frecuencia de operación de 50 Hz. La inductancia mutua que enlaza las bobinas del primario y del secundario tiene un valor de 800 nH. Calcular: (a) la impedancia reflejada o referida y (b ) la impedancia de entrada vista por Vs.
32. Si el circuito de la figura 13.64 opera a 60 Hz y Re{Z¿} = 2 fi, ¿qué reactancia se requiere que tenga Z¿ para que la impedancia reflejada (referida) sea igual a Zu cuando M = 1 mH? (¿n = Ri + j c o L i ).
33. Las redes de la figura 13.65 son equivalentes. Calcular los valores de L\, Li, y M. a o ---------- n
-nrw -------- o c
rw -
4H
M
4o-
-o C
6H
'-M
5H ■ B O-
-O D
-<3 D
Bo
(b)
fa)
I F IG U R A 1 3 .6 5
34. ¿Qué valores de L z , L y, y L 3 se requieren si se desea que las dos redes de la figura 13.66 sean equivalentes?
-^Tnrr1-------o c
a o-
200 mH 300 m H a
B
o-
-o O
(«> I FIG U RA 13.66
80
-o C
S 500 m H
-o D
-
(b)
• ------------------ V
W
--------- ( 527
528 --------- V W
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
35. Encontrar la inductancia equivalente vista en las terminales 1 y 2 en la red de la figura 13.67 si las siguientes terminales se conectan entre sí: (a) ninguna; (b) A con B; (c) B con C; (d) A con C. 36. Observar la figura 13.68 y: (a) utilizar el equivalente T como ayuda para encontrar la relación I i( ja > ) / V s(ja>). (b) Sea vs(t) = 100u(t) V y calcular ii(t). [Sugeren cia: tal vez se deseen escribir las dos ecuaciones diferenciales del circuito, como ayuda para determinar diL/d t en f = 0+ .]
LH
■ F IG U R A 1 3 .6 8
37. Determinar los equivalentes en T de ambas posiciones de punto en un transfor mador lineal sin pérdidas, para el que L \ = 4 mH, ¿,2 = 18 mH, y M = 8 mH. Uti lizar las T para encontrar las tres inductancias de entrada equivalentes obtenidas cuando el secundario está: (a) en circuito abierto; (b) en cortocircuito; (c) conectado en paralelo con el primario. 38. Determinar H (jai) = V,,/Vv en el circuito de la figura 13.69.
I F IG U R A 1 3 .6 9
39. Utilizar el equivalente en T como ayuda a fin de determinar la impedancia de en trada Z(ja>) de la red que se muestra en la figura 13.70. 40. Sea Vs = I00/0" V rms y a>= 100 rad/s en el circuito de la figura 13.71. Obtener el equivalente de Thévenin de la red: (a) de la derecha de las terminales de a y b; (b) de la izquierda de las terminales c y d.
------------- 1 1H • X X• 2H «
i 3H •ion
Z {jt o )
2H • X X• 4H«
I F IG U R A 1 3 .7 0
“ 5H
■ F IG U R A 13.71
41. Una carga ZL se conecta al secundario de un transformador lineal que se caracteriza por las inductancias L\ = 1 H y L 2 = 4 H así como por un coeficiente de acoplamiento unitario o>= I 000 rad/s, encontrar la red en serie equivalente (valores de R,L, y Q vista en las terminales de entrada, si Z/ se representa mediante: (a) 100 fi; (b) 0 1 H; (c) 10 ¡xF. 42. Un transformador lineal tiene L\ = 6 H, L 2 = 12 H, y M = 5 H. Calcular los ocho valores diferentes de Lent que se obtienen mediante los ocho diferentes métodos po sibles con los que se determina una red de dos terminales (inductancias simples, combinaciones en serie y en paralelo, transformadores en cortocircuito, varias com binaciones en serie y en paralelo, transformadores en cortocircuito, varias combina ciones de punto). Mostrar cada red y encontrar su L ent.
EJERCICIOS
• ------------------ W
V --------- { 529
Q L 43. En el circuito de la figura 13.72, considerar que Z¿ es un capacitor de 100 i¿P con 20 fl k 2 0. — ‘ una impedancia de —y'31.83 £2. Calcular Z ent cuando k = (a) 0; (b) 0.5; (c) 0.9; o------V W ------ f* ^ ----- VW ~ (d) 1. Verificar mediante simulaciones de PSpice. C]3^44. Repetir el ejercicio 41 si L\ se incrementa hasta 125 H, L2 aumenta hasta 20 H, y M z in — *100 mH g 25 mH crece de manera que k = 1. Verificar con una simulación de PSpice. 13.4
El t r a n s fo r m a d o r id e a l
45. Calcular la potencia promedio que se entrega a cada uno de las cuatro resistencias del circuito de la figura 13.73. Verificar con una simulación de PSpice.
■ F IG U R A 1 3 .7 2
■ F IG U R A 1 3 .7 3
46.
(a) ¿Cuál es el valor máximo de la potencia promedio (activa) que se suministra a Ri, en el circuito de la figura 13.74? (b) Sea R l = 100 íí y conectar una resistencia de 40 íl entre las terminales superiores del primario y del secundario. Determinar PL.
■ F IG U R A 1 3 .7 4
47.
Indicar la potencia promedio (activa) que se entrega a la carga de 8 £2 en el circuito de la figura 13.75, si c es igual a: (a) 0; (b) 0.04 S; (c) —0.04 S. 300 íl
— VW 100 V rms ©
5:1
^
I F IG U R A 1 3 .7 5
48. Determinar el equivalente de Thévenin en las terminales a y b de la red que se pre sentó en la figura 13.76.
W FIG U R A 13.76
v w
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
49. Elegir los valores de a y b en el circuito de la figura 13.77, de manera que la fuente ideal suministre 1 000 W, la mitad de los cuales se entregan a la carga de 100 Í2.
50. En el circuito de la figura 13.78, determinar: (a ) l i ; (b ) fc; (c) I 3 ; (d) ( / ) Pin-
P isa ', (e) P i q \
51. Calcular V2 en el circuito de la figura 13.79.
60 ¿ T V
F IG U R A 1 3 .7 9
52. Encontrar la potencia activa que se está disipando en cada resistencia del circuito de la figura 13.80. 1a
3 FIG URA 13.80
1:
1:5
EJERCICIOS
• -------------------------
53. Obtener Ix en el circuito de la figura 13.81.
W v ------------- ( 531 io n — V W -
B
50 so n — W v — 11
i -h a c ia
4
54. (a) Encontrar la potencia promedio (activa) entregada a cada resistencia de 10 Í2 en el circuito de la figura 13.82. (b) Repetir el ejercicio después de conectar A con C y B con D. 55. Mostrar la forma en que se pueden utilizar dos transformadores ideales para acoplar un generador, con una impedancia de salida de 4 + jO k íl a una carga que consiste en un altavoz (bocina) de 8 W y uno de 10 W de modo que el primero reciba el doble de la potencia promedio (activa) que se suministra al segundo. Dibujar un esquema de circuito adecuado y especificar las relaciones (razones) de número de vuelta requeridas. -56. Un transformador cuya placa indica |2 300/230 V, 25 kVA | opera con tensiones del primario y del secundario de 2 300 V y 230 V rms, respectivamente; además, sumi nistra 25 kVA a partir de su devanado secundario. Si este transformador se alimenta con 2 300 V rms y se conecta a cargas secundarias que requieren 8 kW a un FP uni tario, y 15 kVA a un FP de 0.8 retrasado, (a) ¿cuál es al corriente del primario? 0b) ¿Cuántos kilowatts sigue suministrando el transformador a una carga que opera a un FP de 0.95 retrasado? (c) Verificar sus respuestas con PSpice. 57. Entrada la noche, un anuncio de televisión vende un dispositivo por 19.95 dólares que medirá su coeficiente intelectual. En un momento de debilidad, toma el teléfono y realiza el pedido; de 4 a 6 semanas más tarde, llega su compra y se le indica girar un botón marcado RH hasta su altura (en cm), un botón marcado Rm hasta su masa (en kg) y un tercer botón R,\ hasta su edad (en años). Enojado por el número que se indica en el exhibidor del aparato, lo lanza por la habitación y el panel posterior se desprende, revelando el esquema de la figura 13.83. Observar que los cm, los kg y los años corresponden a ohms y que la potencia medida por el wattímetro en mW se exhibe como el coeficiente intelectual, (a) ¿Cuál sería el CI que predeciría para el compañero de cuarto? (b) ¿Cuáles son las características del individuo que mostraría el CI más alto? (c) ¿Cuánto dinero se ha perdido? 24:1
0
58. La compañía donde trabaja le pide que viaje desde Fresno, California, donde la po tencia eléctrica se suministra como 120 V rms, 60 Hz, hasta Rostock, Alemania (donde el suministro corresponde a 240 V rms, 50 Hz), durante 6 semanas para con tribuir a poner en marcha una nueva instalación para la fabricación de semiconduc tores. Por suerte su laptop se conecta a tomas de corriente en cualquier país, siempre que usted cuente con un adaptador del enchufe. Sin embargo, su quemador de CD
1¿(f_ A rms |
-v 000r-
3 :hacia
1
"— w v — so n
— W V
io n
F IG U R A 1 3 .8 2
—1
532
-------------W
1 F IG U R A 1 3 .8 4
V
CAPÍTULO 13 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE
extemo sólo funciona a 120 V ca. Diseñar un circuito que le permita utilizar su que mador de CD en Alemania, suponiendo que sólo operará a 50 Hz. (Por lo común, los transformadores que se diseñan para utilizarse sólo a 60 Hz tienen un núcleo de hie rro de menor peso que los que se diseñan para 50 Hz, por lo que quizá se sobreca lentarán a 50 Hz. Muchos transformadores, sin embargo, se especifican a 50/60 Hz.) 59. Como primera tarea en un nuevo trabajo, se le pide diseñar un circuito que permita utilizar en Australia un criocompresor de helio diseñado en Estados Unidos. Tal aparato consta de tres motores trifásicos que demandan 10 A rms por fase, a una tensión de línea de 208 V. La única potencia trifásica disponible en Australia es de 400 V rms. Diseñar el circuito necesario. 60. La red de la figura 13.84 tiene la inusual propiedad de sólo permitir que pasen hacia la derecha tensiones positivas v(t); los valores negativos dan como resultado v„(t) = 0. (a) Si sc requiere que una tensión de salida va (t) tenga una tensión máxima de 5 V, diseñar un circuito apropiado utilizando un suministro de 115 V rms y la red de la figura 13.84. Graficar la salida del dispositivo diseñado, (b) Si se desea una salida “más uniforme” (es decir, con menor “rizo”), sugerir una modifi cación al diseño.
INTRODUCCION
Frecuencia neperiana.
El lector se encuentra a punto de iniciar la cuarta parte fundamental del estudio del análisis de circuitos: la explicación del concepto de
Frecuencia compleja.
frecuencia compleja. Este tema constituye un notable concepto unificador que permitirá integrar en un solo paquete todas las técnicas
Transformada de Laplace.
analíticas formuladas antes. El análisis de circuitos resistivos, el análisis senoidal de estado permanente, el análisis transitorio, la res puesta forzada, la respuesta completa y el análisis de circuitos exci
Uso de tablas de transformadas.
tados por funciones exponenciales forzadas y funciones senoidales forzadas amortiguadas exponencialmente se convertirán en su tota
Método de los residuos.
lidad en casos especiales de las técnicas generales del análisis de circuitos que se asocian con el concepto de frecuencia compleja. Un método utilizado muy a menudo para encarar este tema es ini
Utilización de MATLAB para manipular polinomios.
ciar inmediatamente el estudio de la integral de la transformada de Fourier, pero este enfoque no contiene ningún sentido de compren sión o intuición real. Por ende, se analizará en primera instancia el
Utilización de MATLAB para determinar residuos de fracciones racionales.
concepto básico de la frecuencia compleja y su relevancia en el análi sis de circuitos. A partir de ello se presentará la transformada de La-
Teorema del valor inicial.
place como una forma de analizar circuitos que contengan fuentes de pendientes del tiempo más genéricas, se aprenderá cómo llevar a cabo transformaciones inversas a fin de obtener respuestas en el do minio del tiempo y se considerarán algunos teoremas especiales que pueden utilizar las propiedades clave de funciones en el dominio de la frecuencia. Dichas técnicas se ampliarán en el capítulo 15 y abarcarán una amplia gama de análisis de situaciones dadas o consideradas.
14.1
FRECUENCIA COMPLEJA
-------- • -----------------------------------------------Se presenta la noción de frecuencia compleja considerando una fun ción senoidal amortiguada exponencialmente, tal como la tensión
v(t) = Vmeat cos (cot + 6)
Teorema del valor final.
0
^wv
CAPITULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
donde o (sigma) es una cantidad real y casi siempre negativa. Aunque se hace re ferencia a menudo a esta función como “amortiguada”, tal vez la amplitud senoidal puede aumentar, lo cual ocurre si a > 0; sin embargo, el caso más práctico es el de la función amortiguada. El estudio de la respuesta natural de un circuito RLC tam bién indica que a es el negativo del coeficiente de amortiguamiento exponencial. Se podría construir una tensión constante a partir de la ecuación [1] si o = co =
0:
v(t) = Vm cos 9 —
Vo
[2]
Si sólo se iguala a a cero, se obtiene una tensión senoidal general v (t) = Vm cos(cwf +
9)
[3]
y si w = 0, se tiene la tensión exponencial ü(f) = Vm cos9 e °‘ = V0e
[4]
Por lo tanto, la senoide amortiguada de la ecuación [1] incluye como casos espe ciales la función de cd de la ecuación [2], la senoidal de la ecuación [3] y la ex ponencial de la ecuación [4], Se logra un conocimiento adicional de la importancia de a al comparar la función exponencial de la función [4] con la representación compleja de la fun ción senoidal con un ángulo de fase de cero grados: v(t) =
El neper se nombró de esa manera en honor del filósofo y matemático escocés John Napier (15501617) y de su sistema logarítmico; la ortografía de su nombre es históricamente incierta (vea, por ejem plo, H.A. Wheeler, IRE Transactions on Circuit
Theory 2, 1955, p. 219).
[5]
Resulta evidente que ambas funciones, ecuaciones [4] y [5], tienen mucho en común. La única diferencia es que el exponente de la ecuación [4] es real y el de la ecuación [5] imaginario. La similitud entre las dos funciones se remarca al describir a a como una “frecuencia”, lo cual es una elección de terminología que se explicará en detalle en las secciones siguientes, aunque por ahora sólo es necesario señalar que o se denomina de manera específica la parte real de la fre cuencia compleja; sin embargo, no debe denominarse “frecuencia real”, pues es un término más adecuado para / (o, con menor rigor, para oo). Se hará referen cia también a a como \&frecuencia neperiana, nombre que resulta de la unidad dimensional del exponente de e. De tal manera, dada e7t, las dimensiones de 7f son nepers (Np), y 7 es la frecuencia neperiana en nepers por segundo.
Forma general La respuesta forzada de una red a una función forzada general con la forma de la ecuación [1] se obtiene de manera muy simple a través de un método casi idéntico al que se utiliza en el análisis basado en fasores. Una vez que se puede determinar la respuesta forzada a esta senoide amortiguada, se debe reconocer que también se requiere obtener la respuesta forzada ante una tensión de cd, una tensión exponen cial y una tensión senoidal. Se verá ahora cómo es posible considerar a y co como las partes real e imaginaria respectivamente de una frecuencia compleja. Se proporcionará primero una definición puramente matemática de frecuen cia compleja y luego se desarrollará en forma gradual una interpretación física, a medida que se avance en el capítulo. Se sugiere que cualquier función que pudiera escribirse en la forma m
= K e st
[6]
donde K y s son constantes complejas (independientes del tiempo) se caracterice por In frecuencia compleja s; por lo tanto, ésta simplemente es el factor que
SECCIÓN 14.1 FRECUENCIA COMPLEJA
0
»
multiplica t en dicha representación exponencial compleja. Hasta que se pueda determinar por inspección la frecuencia compleja de una función dada, se re quiere escribir la función en la forma de la ecuación [6].
El caso de cd Se podría aplicar, primero, esta definición a las funcionesTtprzadas más familia res. Por ejemplo, una tensión constante v(t) - V0 se debería escribir en la forma ^ ,Liij(t) = V0e & En consecuencia, se concluye que la frecuencia compleja de una corriente o de una tensión de cd es cero (es decir, s = 0).
El caso exponencial El siguiente caso sencillo es la función exponencial v(t) = V0eut que ya está en la forma requerida. La frecuencia compleja de dicha tensión es entonces er (esto.^s, s = er + j 0).
El caso senoidal Se considerará ahora una tensión senoidal que quizá nos dé una ligera sorpresa'. Dada v(t) — Vm cos (cot + 8) se desea encontrar una expresión equivalente en términos de la exponencial compleja. De acuerdo con nuestra experiencia anterior, se usa la fórmula que se dedujo de la identidad de Euler, cos (cot + 9) = \ [ ei < ■““+& + e~j(u‘+o)] y se obtiene v(t) = \ V m[ei{mt+6) y e - ^ 0>t+e)] = ( \V me i6)
+ ( \V me~ i6)
o v(t) = K ,e Slí + K 2eS2Í Se tiene la suma de dos1'exponenciales complejas, y por ello están presentes dos frecuencias complejas: una para cada término. La frecuencia compleja del prim ititérm ino es s = S| = jco y la del segundo s = s2 = —jco. Estos dos va lores. de s son conjugados, o sea s2 = Sj; así que los dos valores de K también son conjugados: Kj = ^ VmeJ's y K 2 = K* = ^ Vme 7'fi. El primero y el segundo términos completos son entonces conjugados, lo que se pudo haber esperado en vista de que su suma debe ser una cantidad real, v(t).
El conjugado complejo de cualquier número se ob tiene sustituyendo simplemente todas las "j" con El concepto se origina en la elección arbitraria de j
= + y ~ T . Sin embargo, la raiz negativa es
igualmente válida, lo cual lleva a la definición de un conjugado complejo.
536
-----A /W
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
El caso senoidal amortiguado exponencialmente Por último, se determinará la frecuencia compleja o frecuencias asociadas con la función senoidal amortiguada en forma exponencial, ec. [1], En este caso se uti liza también la fórmula de Euler para obtener una representación exponencial compleja: v(t) = Vmeat cos (cot + 0 )
y, por lo tanto, v(t) - lV me if>eJla+i ‘o)t + \V me - j 9e j,a-}°>'>t Se descubre que también se necesita un par complejo conjugado de frecuencias, Sj = a + jco y S2 = s* = a — jco, para describir la senoide amortiguada expo nencialmente. En general, ni a ni co son iguales a cero, de modo que la forma de onda senoidal que varía de manera exponencial constituye el caso general; las formas de onda constante, senoidal y exponencial son casos especiales.
La relación de s con la realidad Un valor real positivo de s, por ejemplo, s = 5 + j'0, identifica una función que crece en forma exponencial Ké,+5í, donde K debe ser real si la función va a ser física. U n valor real negativo de s, como s = —5 + j 0, se refiere a una función K e_5í que decrece de modo exponencial. Un valor puramente imaginario de s, como j 10, nunca puede asociarse con una cantidad que sólo es real. La forma funcional es K e JWt, que también se es cribe como K(cos 1Oí + j sen lOí); resulta evidente que ésta posee una parte real y una imaginaria y que cada una es senoidal. Para construir una función real se necesita considerar los valores conjugados de s, tales como Si_ 2 ± /10, con los que deben asociarse valores conjugados d e K Sin embargo, en términos generales se identificaría cualquiera de las frecuencias complejas Si = + j 10 o s2 = —j 10 con una tensión senoidal a la frecuencia angular de 10 rad/s; se en tiende la presencia de la frecuencia compleja conjugada. La amplitud y el ángulo de fase de la tensión senoidal dependerán de la elección de K para cada una de las dos frecuencias. De tal modo, al elegir Si = /1 0 y K i = 6 — j'8, donde
Observar que |6 - y'8 | = 10, por lo que Vm = 2|K| = 20.
v (t) = K les't + K 2eS2t,
s2 = s*
y
K2 = K*
Asimismo, ang(6 — ¡8) = - 53.13°
Las magnitudes grandes de la parte real de
s, de la
parte imaginaria de s o de la magnitud de s indican una fundón que varía con rapidez.
Se obtiene la senoide real 20cos(10í — 53.1°). De manera similar, un valor general de s, como 3 - / 5 , se asocia con una cantidad real sólo si lo acompaña su conjugado, 3 + y5. De nuevo en términos generales, se podría considerar a cualquiera de las dos frecuencias complejas con jugadas como si describieran una función senoidal que crece de manera exponen cial, e3t cos 5 t, la amplitud específica y el ángulo de fase dependerán también en este caso de los valores específicos de las K complejas conjugadas. Por ahora ya se debería tener cierta apreciación de la naturaleza física de la frecuencia compleja s; en general, describe una senoide que varía de manera ex ponencial. La parte real de s se asocia con la variación exponencial; si es nega tiva, la función disminuye a medida que t aumenta; si es positiva, la función crece; y si es cero, la amplitud senoidal es constante. Cuanto mayor sea la mag nitud de la parte real de s, mayor resultará la tasa de incremento o reducción ex ponencial. La parte imaginaria de s describe la variación senoidal y corresponde de manera específica a la frecuencia en radianes. Una magnitud grande de la parte imaginaria de s indica una función del tiempo que cambia con mayor rapidez.
SECCIÓN 14.2 FUNCIÓN FORZADA SENOIDAL AMORTIGUADA
Se suele utilizar la letra a para designar la parte real de s, y
[7]
Algunas veces la frecuencia en radianes se conoce como “frecuencia real”, aunque esta terminología es muy confusa cuando se descubre que se debe decir en ese caso que ¡“la frecuencia real” es la parte imaginaria de “la frecuencia compleja” ! Cuando sea necesario especificar, se denominará a s la frecuencia compleja, a a la frecuencia neperiana, aa> la frecuencia radián y a f — w / l n la frecuencia cíclica; cuando no haya posibilidad de confusión, se podría utilizar “frecuencia” para hacer referencia a cualquiera de estas cuatro cantidades. L a frecuencia neperiana se mide en nepers por segundo, \&frecuencia radián en radianes por segundo y la frecuencia compleja s, en unidades que se denominan de forma indistinta nepers complejos por segundo o radianes complejos por segundo.
PRÁCTICA t
_________
14.1 Identificar todas las frecuencias complejas presentes en las funciones en tiempo real siguientes: ( a ) (2e~100í + e~2 m ) sen 2 OOOí; (b) (2 — ); (c) e~ 10t cos lOí sen 401. 14.2 Utilizar las constantes reales A, B, C, , etc., para construir la forma general de la función real del tiempo, correspondiente a una com ente que tiene componentes en estas frecuencias: (a) 0. 10, —10 s- 1 ; (b) —5, j 8, - 5 - 7 8 s“ *; (c) - 2 0 , 20, - 2 0 + j2 0 , 20 - j2 0 s " 1. Respuestas: 14.1: -1 0 0 +72000, -1 0 0 - 7 2 OOO, -2 0 0 + 72000, - 200 - j'2 0 0 0 s _1; 7 4 , -1 0 + 74, - 1 0 - 74 s-1; -1 0 + 730, -1 0 - 730, - 1 0 + 750, -1 0 - 750 s -1; 14.2: A + B e m + C e - 10'; A e ~ 5r + B cos(81 +1) + C e ~ 5t cos(8í + $ 2); A e ~ 20' + B e 20' + C e ~ 201 cos(201 +\) + D e 20‘ cos(20t + fa) ■ 74, -
14.2 . FUNGÓN FORZADA SENOIDAL AMORTIGUADA Se ha dedicado suficiente tiempo a definir e interpretar de manera introductoria la frecuencia compleja; ahora es el momento de poner a trabajar este concepto y familiarizarse con él al observar qué es lo que hace y cómo se usa. L a senoide general que vana exponencialmente, que se puede representar con la función de tensión v (t) = Vmeat cos(a)t + 9)
[8]
se expresa en términos de la frecuencia compleja s, mediante la identidad de Euler como antes: v (t) = Re{Vmeatei{on+e}\
[9]
O v(t) = Re{Vmea,eJ(- a)1- 9)}
[10]
Cualquier representación es apropiada, así que ambas expresiones recuerdan que un par de frecuencias complejas conjugadas se asocia con una senoide o con una senoide amortiguada en form a exponencial. La ecuación [9] se relaciona en
• ------------------------- W
v
-------------{
537
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
forma más directa con la senoide amortiguada dada, de modo que se tratará fun damentalmente con ella. Agrupando factores, se sustituye luego s = a + jco en: v(t) = Re{VmeJee(°+ja>)t} y se obtiene » (* ) = R e f V ^ V ' }
[1 1 ]
Antes de aplicar una función forzada de esta forma a cualquier circuito, se debe observar la semejanza de esta última representación de la senoide amortiguada con la representación correspondiente a una senoide no amortiguada, la cual se estudió en el capítulo 10: Re{Vmeje eJC0t} La única diferencia es que ahora se tiene s donde antes se tuvo jco. En lugar de restringir las funciones forzadas senoidales y sus frecuencias en radianes, en este caso se amplía la notación para incluir la función forzada senoidal amortiguada a una frecuencia compleja. No es sorpresa en lo absoluto ver cómo más adelante en esta sección se formulará una descripción en el dominio de la frecuencia de la senoide amortiguada de modo exponencial exactamente de la misma manera en que se hizo con la senoide. Sólo se omitirá la notación R e { } y se suprimirá est. Ahora ya se puede aplicar la senoide amortiguada exponencialmente, según se indica mediante las ecuaciones [8], [9], [10] u [11], a una red eléctrica, donde la respuesta forzada — quizá una corriente en alguna rama de la red— es la res puesta que se desea. Dado que la respuesta forzada tiene la forma de la función forzada, así como su integral y sus derivadas, se podría suponer que la respues ta es i (t) = Imeat cos (cot + esl es compleja, y ésta debe tener como su parte real la respuesta forzada en el dominio del tiempo que se desea: i(t) = R e{Ime>*e?} La solución al problema de análisis de circuitos consiste en determinar la ampli tud Im y el ángulo de fase
SECCIÓN 14.2 FUNCIÓN FORZADA SENOIDAL AMORTIGUADA
0
»
Antes de llevar a cabo en realidad los detalles del análisis de un problema y ver cómo el procedim iento se asem eja al del análisis senoidal, vale la pena describir los pasos del método básico. •
Primero se definen las características del circuito con un conjunto de ecuaciones integrodiferenciales de lazo o nodales.
•
Luego las funciones forzadas dadas y las respuestas forzadas supuestas, todas en forma compleja, se sustituyen en las ecuaciones y se efectúan las integraciones y las diferenciaciones indicadas.
•
Todos los términos de todas las ecuaciones contendrán en ese caso el mismo factor est. Por lo tanto, se divide todo entre este factor, o “se elimina esl ” , entendiendo que éste debe reinsertarse si se desea la descripción en el dominio del tiempo de cualquier función de respuesta.
Con la notación R e { } y el factor est eliminados, se convierten todas las tensiones y las com entes del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Las ecua ciones integrodiferenciales se convierten en ecuaciones algebraicas y su solu ción se obtiene con tanta facilidad como en el estado senoidal permanente. Se ilustra el método básico mediante un ejemplo numérico.
EJEMP LO 14.1 Aplicar la fundón forzada v(t) = óOe 2* cos(4/ + 10°) V al circuito R L C en serie de la figura 14.1 y especificar la respuesta forzada determi nando los valores de l m y ) en el dominio del tiempo.
'W
l—
3H
VW ----- nnnn---20.
v{i)
(j)
0.1 F
Se expresa primero la función forzada en la notación R e { }: v(t) = 60e~2t cos(4í + 10°) = Re{60e“ 2íe ^ +1°o)} = Re{60e;1° e(~2+-'4'>t} o v (t) = Re{Vesf} donde V
= 60/10°
y
s = - 2 + j4
Luego de eliminar Re{ }, queda la función forzada compleja 6 0 /1 0 V ' De modo similar se representa la respuesta reconocida mediante la cantidad compleja le st, donde I = Im¡(¡). El siguiente paso debe ser la ecuación integrodiferencial del circuito. A partir de la ley de Kirclihoff de tensión, se obtiene di 1 í . di f v(t) = Ri + L —— f- — I i d t — l i + 3 — -|—10 / i dt dt C J dt J
(Continúa en la siguiente página)
■ FIGURA 14.1
Circuito RLC en serie al que se aplica una función forzada senoidal amortiguada. Se desea una solución en el dominio de la frecuencia de i(t).
A/VY
CAPITULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
así que se sustituye la función forzada compleja dada y la respuesta forzada compleja supuesta en esta ecuación: 6 0 /1 0 V ' = 2Iest + 3slesí + — Iest s A continuación se suprime el factor común est: 60/10° = 21 + 3 s l + — I s y entonces 60/10° 2 + 3s + 10/s Sea ahora s = —2 + j 4 y se resuelve para la corriente compleja I: 60/10° 1 _ 2 + 3 (—2 + j4 ) + 1 0 /(—2 + y4) Después de manipular los números complejos, se tiene I = 5.37/-1 0 6 .6 ° Por lo tanto, Im es 5.37 A,
PRÁCTICA -----------------------------------------------------------------------------------------------------•> 14.3 Dada la corriente fasorial que es equivalente a la corriente en el dominio del tiempo: (a) 24 sen (90f + 60°) A; (b) 24e-10í cos(90í + 60°) A; (c) 24e 1°' cos 60° x cos90f A. Si V = 12/35° V, determinar: v (t) para s igual a (d) 0; (e) —20 s- 1 ; ( f ) —20 + j 5 s- 1 . Respuestas: 24/-30° A; 24/60^ A; 12/W A; 9.83 V; 9.83e“20t V; 12e-20' cos(51 + 35°) V.
14.3 •------------------------------------------------------------------------------DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ------La meta constante ha sido el análisis: dada alguna función forzada en algún punto de un circuito lineal, determinar la respuesta en algún otro punto. En varios de los primeros capítulos se jugó sólo con funciones forzadas de cd y respuestas de la for ma Voe°. Sin embargo, luego de la introducción de la inductancia y de la capaci tancia, la excitación repentina en cd en los circuitos simples RL y R C produjo res puestas que variaban de manera exponencial con el tiempo: Voeat. Cuando se consideró el circuito RLC, las respuestas tomaron la forma de la senoide variable exponencialmente, Voeat cos (cot + 9). Todo este trabajo se llevó a cabo en el do m inio del tiempo, por lo que la función forzada de cd fue la única que se tomó en cuenta. A medida que se avanzó en el uso de la función forzada senoidal, el tedio y la complejidad de resolver las ecuaciones integrodiferenciales orillaron a tratar
SECCIÓN 14.3 DEFINICIÓN DE LATRANSFORMADA DE LAPLACE
de encontrar una manera más fácil de resolver los problemas. El resultado la transform ada fasorial, así que se podría recordar que se transitó a través de la consideración de una función forzada compleja de la forma Voe/íyeJ“'. Tan pronto como se concluyó que no era necesario el factor que contenía a t, sólo quedó el fasor V(¡eje ; se había llegado al dominio de la frecuencia. Después de esto, una flexión menor de la corteza cerebral originó que se aplicara una función forzada de la forma V0ejeew)t, lo que condujo a la in vención de la frecuencia compleja s y, por ello, a relegar todas las formas fun cionales anteriores a casos especiales: d e (s = 0), exponencial (s = tr), senoidal (s = jco) y la senoide exponencial (s = a + jco). Por analogía con la experien cia previa con fasores, se vio que en estos casos se podría om itir el factor que contenía a / y se obtuvo üe nuevo una solución al trabajar en el dominio de la fre cuencia
La transformada bilateral de Laplace Se sabe que las funciones forzadas senoidales propician respuestas senoidales y que además las funciones forzadas exponenciales dan como resultado respuestas expo nenciales. Sin embargo, los ingenieros pragmáticos se deben enfrentar con muchas formas de onda que no son senoidales ni exponenciales, como las ondas cuadradas, las formas de onda de diente de sierra y los pulsos que se inician en instantes arbi trarios. Cuando tales funciones for/adas se aplican a un circuito lineal, se ve que la respuesta no es similar a la forma de la onda de excitación, ni tampoco es exponen cial. Como consecuencia, no se pueden eliminar los términos que contienen t para formar una respuesta en el dominio de la frecuencia, lo cual es bastante desafor tunado, pues trabajar en él demostró ser mucho más agradable. Sin embargo, existe una solución que aprovecha una técnica que permitirá desarrollar cualquier función a una suma de formas de onda exponenciales, cada una con su propia frecuencia compleja. Dado que se están considerando cir cuitos lineales, se sabe que la respuesta total del circuito se obtiene simplemente mediante la suma de la respuesta individual a cada forma de onda exponencial. Y al tratar cada forma de onda exponencial, se ignoraría de nuevo todo téraiino que contenga a t y se trabajaría en cambio en el dominio de Infrecuencia. Desafor tunadamente, se requiere un número infinito de términos exponenciales para repre sentar con precisión una función general del tiempo, por lo que optar por un método de fuerza bruta y aplicar la superposición a las series exponenciales podría ser poco conveniente. Mejor se sumarán estos términos efectuando una integración, lo que tendrá como resultado una función en el dominio de la frecuencia. Se formalizará este método utilizando lo que se conoce como la transfor mada de Laplace, definida para una función general f ( t ) como [1 2 J
La deducción matemática de esta operación integral requiere la comprensión de las series y de la transformada de Fourier, que se explican en los capítulos subse cuentes. Sin embargo, el concepto fundamental detrás de la transformada de Laplace se entiende con base en el análisis de la frecuencia compleja y en la expe riencia previa con fasores y con la conversión en ambos sentidos entre los do minios del tiempo y de la frecuencia. En realidad, esto es precisamente lo que hace la transformada de Laplace: convierte la función general f ( t ) en el dominio del tiempo en una representación correspondiente, F(s)en el dominio de la frecuencia.
*
AA/V
0
AA/V
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada inversa bilateral de Laplace La ecuación [12] define la transformada de dos lados, o bilateral, de Laplace de /'(/ ). El término dos lados o bilateral se usa para subrayar el hecho de que tanto los valores positivos como los negativos de l se incluyen en el intervalo de inte gración. La operación inversa, conocida a menudo como transformada inversa de Laplace, también se define como la expresión integral1 1
m
fOo+joc
= —
\
estF (s)d s
[13]
JcfQ—j00
donde la constante real a 0 se incluye en los límites para garantizar la convergen cia de la integral impropia; las dos ecuaciones [12] y [13] constituyen el par de transformadas bilaterales de Laplace. La buena noticia es que nunca se necesita recurrir a la ecuación [13] en el estadio del análisis de circuitos: hay una alterna tiva rápida y fácil que más adelante se aprenderá.
La transformada unilateral de Laplace En muchos de los problemas de análisis de circuitos, las funciones forzada y de respuesta no existen para siempre en el tiempo, sino que aparecen en algún ins tante específico que casi siempre se elige como t — 0. De tal modo, en funciones de tiempo que no existen para t < 0 o en aquellas funciones de tiempo cuyo comportamiento de t < 0 no es de interés, la descripción en el dominio del tiempo se considera como v(t)u (l). La integral de definición de la transformada de Laplace se toma con el límite inferior en l = 0 a fin de incluir el efecto de cualquier discontinuidad en t = 0, tal como un impulso o una singularidad de or den superior. La transformada de Laplace correspondiente es entonces
/
oo
/»oo
e~st f (t)u (t) d t = I
-oo
e~s‘f ( t ) d t
Jo ~
Esta igualdad define la transformada de Laplace unilateral de f ( t ) , o simple mente la transformada de Laplace de f { t ) , dándose por entendido el término unilateral. La expresión de la transformada inversa permanece constante, pero cuando se evalúa, se entiende que es válida sólo para t > 0. Aquí radica en tonces la definición del par de transformadas de Laplace que se utilizará en lo sucesivo: /•OO F (s )=
/
e~st f ( t ) d t
[14]
J o-
Ol)+jOO
esrF (s ) ds
/(* ) =
[15]
£É) ^ F (s ) La cursiva C también se usaría para indicar la operación de la transformada di recta o inversa de Laplace: F (s ) = £ { /(? )}
y
f ( t ) = ¿ ~ 1{F (s )}
(1) Si se pasa por alto el factor confuso 1/2itj y se ve la integral como una sumatoria sobre todas las frecuencias, de modo que /(/) oc £ [F(s) ¿/s]esí, se refuerza la noción de que f ( t ) es en realidad una suma de términos de fre cuencia compleja que tienen una magnitud proporcional a F(s).
SECCIÓN 14.4 TRANSFORMADAS DE LAPLACF DE FUNCIONES DE TIEMPO SIMPLES
■
A A /v
0
EJEMPLO 14.2
i
D eterm in ar la tra n sfo rm a d a de L aplace de la función f(t)
+ 2u(t -
3).
Para determinar la transformada unilateral de Laplace de f ( t ) = 2u(t — 3), se debe evaluar la integral eOO
/
F(s) =
fm d t
J o/» o o
e sf2w(í — 3 )d t Jo=
2l
Simplificando, se encuentra — ( 0 - e ~ 3s) = - é T 3s s s
F(s) = — e~st s
PRACTICA 14.4 Sea f ( t ) = - 6 e 2t[u(t + 3) — u (t — 2)]. Determinar: (a) la F(s) bilateral; (b) la F(s). unilateral. Respuestas: ¿ [ e
„ó + 3 s
1J’— 2-4-s \e~
14.4 t TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES * DE TIF WPO SIMPLES En esta sección se empezará a integrar un catálogo de transformadas de Laplace de las funciones de tiempo que se presentan con mayor frecuencia en el análi sis de circuitos; por ahora se supondrá que la función de interés es una tensión, aunque una elección de este tipo es estrictamente arbitraria. Se creará este catá logo, al menos al principio, utilizando la definición POC
V(s)= /
e~s,v ( t ) d t = C{v(t)}
Jo la cual, junto con la expresión de la transformada inversa 1
»(/) = —
peo+jco
/
ewV(s)ds = / : - 1{V( s)}
^T ,J Jao—joo
establece una correspondencia uno a uno entre v(t) y V(s). Esto es, para toda v (t) para la que exista V(s) hay una V(s) única. En este punto quizá se vea con cierta angustia la más bien siniestra forma de la transformada inversa. ¡No hay razón para asustarse! Como se verá dentro de poco, un estudio introductorio de la teoría de la transformada de Laplace no requiere la evaluación real de esta integral. A l ir del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y al aprove char la unicidad que acaba de mencionarse, cualquiera puede ser capaz de gene rar un catálogo de pares de transformadas que ya contienen la función de tiem po correspondiente para casi toda transformada que se desee invertir.
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
Sin embargo, antes de seguir es necesario hacer una pausa para considerar si existe alguna posibilidad de que la transformada incluso quizá no exista para al guna v(t) para la cual hay interés. Un conjunto de condiciones suficiente para garantizar la convergencia absoluta de la integral de Laplace de Re{s} > ero es:
V
1. La función i>(t) es integrable en todo intervalo finito t¡ <“ t < tj, donde 0 < fi < í2 < oo. 2. Km e rj"' \v (t) | existe para algún valor de er0■ t—^oc
El analista de circuitos rara vez estudia las funciones de tiempo que no satis facen estas condiciones.2
Función escalón unitario u(f) Considerar ahora algunas transformadas específicas. Se examina primero la trans formada de Laplace de la función escalón unitario u(t). Tomando en cuenta la ecuación definida, se escribiría fO O
C{u(t)} = I
fO Q
e~stu ( t) d t = I
Jo-
1 °o 1 = — e st —— S o s
Jo
e~st d t
para Re{s} > O, satisfaciendo la condición 2. Por lo tanto, La notación de doble flecha se suele usar para in dicar pares de transformadas de Laplace.
u(t) O [16] s y el primer par de transformadas de Laplace se estableció con gran facilidad.
Función impulso unitario
8 (t
-
t 0)
Otra función de singularidad cuya transformada reviste un considerable interés es la función impulso unitario S(t — lo), la cual, tal como se grafica en la figura 14.2, parece bastante extraña en un principio, aunque es muy útil en la práctica. La función impulso unitario se define para tener un área unitaria, por lo que
------------------------------------------------------► t
%
■ F IG U R A 1 4 .2 La función de impulso unitario <5(f — í0) se usa a menudo para aproximar un impulso de señal cuya duración es muy corta, en comparación con las constantes de tiempo del circuito.
S(t — to) = O t ^ to rta+E I 8(t — to) d t = 1 Jto—e
donde e es una constante pequeña. Así, esta “función” (un término al que mu chos puristas matemáticos hacen reverencia) tiene un valor distinto de cero sólo en el punto to- Por lo tanto, para to > O , se encuentra que la transformada de Laplace es /»00 £{5(r - f0)} = / e- sl8(t - t0) d t = e~stú
Jo-
S ( t - t 0) ^ e - sta
[17]
En particular, observar que se obtiene 5 (0 1 [18] para to = 0. Otra característica interesante de la función impulso unitario se conoce como propiedad de filtrado. Considerar la integral de la función impulso multiplicada (2) Ejemplos de tales fondones son efl y ee\ pero no tn ni nl . Para una explicación un poco más detallada de la transformada de Laplace y sus aplicaciones, consulte la obra de Clare D. McGilIem y George R. Cooper, Continuous andDiscrete Signal and System Analysis, 3a. ed., Oxford University Press, North Carolina, 1991, capítulo 5.
SECCIÓN 14.4 TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES DE TIEMPO SIMPLES
por una función arbitraria
f(t):
f(t)S (t —
ío) d t
Puesto que la función S ( t — ío) es cero en todos lados, excepto en t — ío, el valor de la integral es simplemente /(ío ). L a propiedad resulta ser muy útil para sim plificar las expresiones integrales que contienen la función impulso unitario.
Función exponencial e~at Recordando el previo interés en la función exponencial, se examina su transfor mada: noo £ { e - a,u(t)} =
/
e - ate ~ s t d t
JOr1
—(s + a )f |° °
e
lo
y, por lo tanto, fu (t) <=► — — s+ a
[19]
Se entiende que Re{s} > —a.
Función rampa t u ( t ) Como un ejemplo final, por el momento se considerará la función rampa tu{t). Se obtiene
í° ° Jo-
£ {tu (t)} = I tu (t)
1 te st d t = -r
\
s
[20]
s ¿
ya sea mediante integración directa por partes o a partir de una tabla de integrales. ¿Y qué hay respecto de la función te~atu(t)7 Se deja para el lector demostrar que te -^ u it) &
1 (s + a Y
[21]
Por supuesto, existen m uchas funciones en el dominio del tiempo adi cionales que valen la pena considerar, pero sería mejor si se hiciera una pausa por un momento para tener en cuenta el proceso inverso — la transformada in versa de Laplace— antes de agregar más funciones a la lista.
PRÁCTICA
_________________________________________________
14.5 Determinar V(s) si v (t) es igual a (a) 4á(í) — 3w(í); (b) 48(t - 2) - 3tu (t); (c) [m(í)] [u(t - 2)]. 14.6 Determinar v(t) si V(s) es igual a (a) 10; (b) 10/s; (|H 10/s2; (d) lO /R s + 10)]; (e) lOs/Cs + 10). Respuestas: 14.5: (4s - 3)/s; Ae ^ - (3/s2); e_2s/s. 14.6: 10á(f); 10«(/); \0tu(t)\ u(t) - e - m u(t)-, 10á(í) - 100e - m u(t).
• ------------------ W
V ------- ( 545
A /W
CAPITULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
14.5 t TECNICAS DE LA TRANSFORMADA INVERSA Teorema de linealidad Se dijo que una expresión integral (ecuación [13]) se puede aplicar para conver tir una expresión en el dominio s al dominio del tiempo. Asimismo, se hizo refe rencia al hecho de que dicho método podría evitarse si se explota la característi ca de unicidad de cualquier par de transformadas de Laplace. Con la finalidad de capitalizar completamente este hecho, se debe presentar en primera instancia uno de los teoremas de la transformada de Laplace más famosos y de mayor utilidad: el t e o r e m a d e l i n e a l i d a d , el cual establece que la transformada de Laplace de la suma de dos o más funciones del tiempo es igual a la suma de las transformadas de las funciones de tiempo individuales. En el caso de dos funciones de tiempo, se tiene que C U Á t) + fi( t) } Ésta se conoce como la propiedad aditiva de la
- Jo~ f /•oo
transformada de Laplace.
- Jf 0-
e s,f i ( t ) d t +
/
e s!f 2( t ) d t
Jo-
= F ,( s) + F2(s) Como un ejemplo del uso de este teorema, suponga que se tiene una transfor mada de Laplace V(s) y que se desea conocer la función de tiempo correspon diente v (t). M uchas veces se podrá descomponer V(s) en la suma de dos o más funciones, digamos, V i(s) y V 2(s), cuyas transformadas inversas, v \( t) y v2(t), ya están tabuladas. En ese caso se vuelve un asunto simple aplicar el teorema de linealidad y escribir v(t) = C~l {V(s)} = £ - x{Vi (s) + V2(s)} =
¿ - ‘ {V x fe )}
+
£ “ 1{ V 2( s ) }
= vi (t) + v2(t)
Otra consecuencia importante del teorema de linealidad resulta evidente al estudiar la definición de la transformada de Laplace. En razón de que se trabaja simplemente con una integral, la transformada de Laplace de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada po r la trans form ada de Laplace de la función. En otras palabras, £{£u(í)} = ££{u(í)} Ésta se conoce como la propiedad de homogenei
dad de la transformada de Laplace. kv{t)
O
k \ ( s )
[22]
donde k es una constante de proporcionalidad. Este resultado es en extremo útil en muchas situaciones que se presentan en el análisis de circuitos, como está a punto de comprobarse.
EJEMPLO 14.3 Dada una función G(s) = 7 /s - 31 /(s + 17), encontrar ^(í)Esta función en el dominio s se compone de la suma de dos términos, 7 /s y —31 / ( s + 17). A través del teorema de linealidad se sabe que g(t) estará
SECCIÓN 14.5 TÉCNICAS DE LA TRANSFORMADA INVERSA
#■
WV
0
también compuesto por dos términos, cada uno de los cuales será la transformada inversa de Laplace de uno de los dos términos en el dominio s:
g (t) = £ 1
31
- C -i
17
Se comienza con el primer término. La propiedad de homogeneidad de la transformada de Laplace perm ite escribir que £'
i
7 s
V ic ~ l
s
= lu (t).
Así, se ha utilizado el par de transformadas conocido como u(t) 4» 1/s y la propiedad de homogeneidad para encontrar este primer componente de g(t). De una manera muy similar, se puede ver que L„ -i \í 31| Colocando estos dos términos juntos se tiene que S
1 = — 31e 17t«(í). ’
g m = [7 - 31 e~m \u{t). PRACTICA
7 14.7 Dada la función H(s) = — +
31 (S+17)2
, encontrar hit).
Respuesta: h(t) = [7 + 3 le llr\tu(t).
Técnicas de la transformada inversa de funciones racionales Al analizar circuitos con elementos múltiples de almacenamiento de energía, muchas veces se encuentran expresiones en el dominio s que son razones de poli nomios s. Por ello, se espera encontrar de manera rutinaria expresiones de la forma V(s) =
N(s) D(s)
donde N(s) y D(s) son polinomios en s. Los valores de s que originan a N(s) = 0 se conocen como ceros de V (s), y los valores de s que dan lugar a D (s) = 0 como polos de Y (s). En vez de arremangarse la camisa y apelar a la ecuación [13] cada vez que sea necesario encontrar una transformada inversa, en muchas ocasiones estas ex presiones se pueden descomponer utilizando el método de residuos en términos más simples, cuyas transformadas inversas ya se conocen. El criterio para lo an terior es que V(s) debe ser una fu n c ió n racional, para la cual el grado del nu merador N(s) debe ser menor que el del denominador D(s). Si no lo es, primero se debe llevar a cabo una sim ple división, como se m uestra en el ejemplo siguiente. El resultado incluirá una función impulso (suponiendo que el grado del numerador sea el mismo que el del denominador) y una función racional. La transformada inversa de la primera es sencilla; la aplicación directa del método de los residuos se aplicará a la función racional si su transformada inversa no se conoce todavía.
En la práctica, rara vez se necesita recurrir en todo momento a la ecuación [13] para funciones que se encuentran en el análisis de circuitos, siempre y cuando uno sea astuto y utilice las diversas técnicas presentadas en este capítulo.
A /W
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO 14.4 Encontrar la transfe>ruiada inversa de F(*>)
- 2 S+ 2 í
s
F(s) no es una función racional, por lo que se comienza realizando la di visión larga: F (s ) = s )2 s + 4 2s
por lo que F(s) = 2 + (4/s). De acuerdo con el teorema de linealidad, r-^ F C s)} = £ “ 1{2} + £ “ 1 j ^ j = 2 S (t) + 4 u (t) . (Se debe observar que esta función particular puede simplificarse sin utilizar el proceso de la división larga; se seleccionó dicho procedimiento a fin de proporcionar un ejemplo del proceso básico.) PRACTICA
3S2 —4 14.8 D ada la función Q (s ) = ------— , encontrar q(t). Respuesta: q(t) = 3S(t) — 4tu(t). Al emplear el método de residuos, efectuando en esencia un desarrollo en fracciones parciales de V ( s ) , se centra la atención en las raíces del denominador. De tal manera, se requiere factorizar el polinomio en función de s que abarca a D (s ) en un producto de términos binomiales. Las raíces de D (s ) podrían ser cualquier combinación de raíces distintas o repetidas y tal vez sean reales o com plejas. Vale la pena señalar, sin embargo, que las raíces complejas siempre apare cen como pares conjugados, siempre que sean reales los coeficientes de D (s ).
Polos distintos y el método de los residuos Como un ejemplo específico, se determinará la transformada inversa de Laplace de 1 V (s ) =
(s + a )(s + j8) El denominador se factorizó en dos raíces distintas, - a y — ¡3. Aunque es posi ble sustituir esta expresión en la ecuación de definición de la transformada in versa, resulta más fácil utilizar el teorema de linealidad. Mediante el uso del de sarrollo en fracciones parciales, se divide la transformada particular entre la suma de dos transformadas más simples: A B ® (s + a ) + (s + y6) donde A y B se determinan mediante cualquiera de los diversos métodos. Tal vez la solución más rápida se obtenga al reconocer que (s + a ) V ( s ) -
A = Km
S—>—Oí
I
En esta ecuación se emplea la versión de una sola
I fracción (es decir, no desarrollada) de V(s),
= lí m
r
s -> —a _ (S +
i /J)
0
i J
(s + a)
B
(s + PY i
P —a
SECCIÓN 14.5 TÉCNICAS DE LATRANSFORMADA INVERSA
•-
A A /V
Si se acepta que el segundo término es siempre cero, en la práctica siempre se escribirá A = (s + a )V (s)|s=_« De la misma manera, B —
(s + /0V(s)|s=_fl =
a —p
y, por lo tanto, ™ VO6 - « ) , ! / ( « - / » ) V(s) = — — — + (s + a ) (s + jS) Ya se evaluaron las transformadas inversas de esta forma, por lo que v (t) =
— e~atu{t) + — l— e p‘u(t) P —a a —p 1 -(e at — e P‘)u (t) —a
Si se desea, se podría incluir ahora lo anterior como una nueva entrada en el catálogo de pares de Laplace:
— í— («T* - e-P'Mt) O , ^ l
.. (s + a ) (s + P)
p -a
Este método se extiende sin ninguna dificultad a funciones cuyos denomi nadores son polinomios función de s de orden superior, si bien tal vez las opera ciones se vuelvan un poco tediosas. Debe advertirse que no se especificó que las constantes A y B deben ser reales. Sin embargo, en situaciones en las que a y p son complejas, se encuentra que éstas también son conjugados complejos (lo an terior no se requiere matemáticamente, aunque sí en circuitos físicos). En casos de ese tipo, se encuentra que A = fi*; en otras palabras, los coeficientes también serán conjugados complejos.
EJEMPLO 14.5
Se puede observar que P(s) es una función racional (el grado del numerador es uno, mientras que el grado del denominador es dos), por lo que se comienza por factorizar el denominador y escribir 7s + 5 P (s) —
a
b
— r “¡T — — I-------— r
s(s + l)
s
s+ 1
donde el paso siguiente es determinar los valores de a y b. Aplicando el método de los residuos,
7s + 5 s+ 1
b=
7s + 5 =-1
=
2
(Continúa en la siguiente página)
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CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLüA VTRANSFORMADA DE LAPLACE
Entonces se puede escribir P(s) como 5 2 P (S) = - + — T s s+ 1 cuya transformada inversa es simplemente p (t) = [5 + 2e~']u(t). PRACTICA
____________________________________ l i s + 30 14.9 Dada la función Q (s) = — — —- , encontrar q(t). s2 + 3s Respuesta: q(t) = [10 + e~3']u(t).
Polos repetidos La situación que falta es la de polos repetidos. Considerar la función
(S - p ) " que se desarrolla de la siguiente forma: V(s) = __ °2L___+ __ ±________ + . . . + fll W (B _ r.'ln + (B _ r . 'in - l ^ (s - p ) n (s - p Y ~ 1 + (S - p ) Para determinar cada constante, se multiplica primero la versión no desarrollada de V(s) por (s — p ) n. La constante an se determina evaluando simplemente la expresión que resulta en s = p . Las constantes restantes se obtienen al diferen ciar la expresión (s — p )n\ ( s ) el número apropiado de veces, antes de evaluar e n s = p , y dividir entre un término factorial. El procedimiento de diferen ciación elimina las constantes que se encontraron antes, y la evaluación en s = p elimina las constantes que quedan. Por ejemplo, 2 se determina al evaluar ¿ ¿ [ ( s - p W M I,,, y el término an-k se obtiene evaluando ]_d^ T \d s k
[(s - P T V (s)]s=p
Para ilustrar el procedimiento básico, determinar la transformada inversa de Laplace de una función que tiene una combinación de ambas situaciones: un polo en s = 0 y dos polos en s = —6.
EJEMPLO 14.6 D eterm in ar la tram iform ada inversa de l a f u n S k ^ 2 V(S) ~ s3 + 12s2 + 36s Se observa que el denominador, que se factoriza sin dificultad, origina Vfs") — -------------------- = ------------- 6 s(s + 6)(s + 6) s(s + 6)2
SECCIÓN 14.5 TÉCNICAS DE LA TRANSFORMADA INVERSA
»
A /W
0
Como se prometió, hay en realidad tres polos uno en s = 0 y dos en s — —6 . A continuación, se desarrolla la función hasta ai ÍZ3 a\ V (s ) = + (s + 6 )2
(s + 6 ) +
s
y se aplica el nuevo procedimiento para obtener las constantes desconocidas ai y « 2 ; se encontrará « 3 mediante el procedimiento anterior. Por lo tanto, - 1
a¡
a* = T as
(s + 6 )'
(s + 6 )'
s(s + 6 )2
s= -6
5 = —6
T
d_ s(s + 6 )2 _ s=—6
ds
s = —6
s = —6
18
L a constante restante a-¡ se obtiene utilizando el procedimiento para polos distintos: a-i— s
s(s + 6 ) 2 s=0
2
1
ó2
18
En consecuencia, se escribiría ahora Y(s) como X '18 V (s ) = f + (s + 6 )2
(s + 6)
s
Utilizando el teorema de linealidad, la transformada inversa de Y (s ) se ob tiene ahora mediante la determinación de la transformada inversa de cada uno de estos tres términos. Se observa que el primer término de la derecha es de la forma 1 (s + Of)2
y utilizando la ecuación [2 1 ] se encuentra que su transformada inversa co rresponde a —^ t e ~ 6tu ( t ) . De manera similar, se descubre que la transfor mada inversa del segundo término es — j ^ e ~ 6‘u ( t ) y que el tercer término es simplemente j ^ u ( l ) . Así: v ( t ) = —^ t e ~ 6' u ( t )
- L e - 6 í u (t) 18
+ jgU(t )
o, de form a más compacta, #
= í s [1-
(1 + 6 t ) e ~ 6!]u( t )
PRACTICA 1 4.10 Determinar v(t) si V (s ) = 2 s /(s 2 + 4 )2 .
Respuesta: \ t sen 21 u (t).
ANÁLISIS ASISTIDO POR C O M P U T A D O R A MATLAB, un paquete de análisis numérico muy poderoso, se utiliza para apoyar de diferentes maneras en la solución de ecuaciones que surgen del análisis de circuitos con excitación variable en el tiempo. La técnica más di recta emplea las rutinas de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias
0
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CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
(ODE, ordinary differential equation) ode23() y ode45(). Ambas se funda mentan en métodos numéricos de solución de ecuaciones diferenciales, y de ellas ode45() tiene la mayor exactitud. Sin embargo, la solución se determina sólo en puntos discretos y, en consecuencia, no se conoce para todos los va lores del tiempo. En muchas aplicaciones esto resulta adecuado, siempre que se use una densidad de puntos suficiente. La técnica de la transformada de Laplace ofrece medios para obtener una expresión exacta de la solución de ecuaciones diferenciales, y como tal tiene muchas ventajas respecto al uso de las técnicas de solución numérica ODE. Otra ventaja importante de la técnica de la transformada de Laplace se volverá patente en los capítulos siguientes, cuando se estudie la importancia de la forma de las expresiones en el dominio s, en particular luego de que se factoricen los polinomios del denominador. Como ya se observó, las tablas de búsqueda son muy útiles cuando se trabaja con transformadas de Laplace, si bien en métodos de residuos quizás sea un método tedioso para funciones con polinomios de orden superior en sus denominadores. En estas situaciones MATLAB también puede ser de ayuda, pues contiene varias funciones útiles para manipular expresiones de polinomios. En MATLAB, el polinomio p ( x ) = anx n + a n- \ x n~ l ------- 1- a \ x + a 0
se almacena como el vector [an an- \ . . . a i «o j. En consecuencia, para definir los polinomios N(s) = 2y D(s) = s3 + 12s2 + 36s se escribe E D U » N = [2]; ED U »D = [1 12 36 0]; Se obtienen las raíces de cualquier polinomio recurriendo a la función r o o t s ( donde p es un vector que contiene los coeficientes del polinomio. Por ejemplo, EDU» q = [1 8 16]; EDU» roots(q) produce: ans = -4 - 4 MATLAB también permite determinar los residuos de la función racional N (s)/D (s) utilizando la función residueQ. Por ejemplo, EDU» [r p y] = residue(N, D); da como resultado tres vectores: r, p y y, tales que: ^ D(s)
X -
Pl
X - p2
+ - ■■+ — — l-y(s) x — pn
en el caso de polos no múltiples, y en el de n polos múltiples
N(s) = D(s)
i (x — p )
r2 (x — p ) 2
i
,
| y(s) (x — p ) n
SECCIÓN 14.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES PARALATRANSFORMADA DE .APLACE
Observar que en la medida en que el orden del polinomio del numerador sea menor que el del polinom io del denominador, el vector y(s) siempre será nulo. Ejecutando el comando sin utilizar puuto y coma (;) se obtiene la salida y= -0 .0 5 5 6 -0 .3 3 3 3 0.0556 P =
-6 -6 0
y = [] que concuerda con la respuesta que se encontró en el ejemplo 14.6.
T4.6 a TEOREMAS FUNDAMENTALES PARA * LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Ahora se pueden considerar dos teoremas que podrían verse en forma colectiva como la raison d ’étre (la razón de ser) de las transformadas de Laplace en el análisis de circuitos: los teoremas de diferenciación e iutegración respecto del tiempo. Ambos ayudan a transformar las derivadas e integrales que aparecen en las ecuaciones de circuito en el dominio del tiempo.
Teorema de diferenciación respecto del tiempo Se estudiara primero la diferenciación en el tiempo al considerar una función de tiempo v (t) cuya transformada de Laplace V(s) se sabe que existe. Se desea la transformada de la primera derivada de v (t), dv 1
f° °
\ - CJo-
dt \
s.d v , ~st— d t dt
Lo anterior puede integrarse por partes: U = e~st
dV = — dt dt
y el resultado es ídv)
oo
c \ t } = v(,>e~“ í + s i
r°° v(t) dt
El primer término de la derecha debe tender a cero, a medida que t aumenta sin límite; en otro caso, V(s) no existiría. Por consiguiente,
154 j----- V W
-------------------------•
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
Se desarrollarían relaciones similares para las derivadas de orden superior:
~
4 » s2V (s ) - su (O- ) - v'(0 )
[2 4]
-O- s3V (s ) - s2y (0 _ ) - s i/ ( 0 ~ ) - v"(0~)
[2 5]
donde i/(0 ~ ) es el valor de la primera derivada de v(t) evaluada en t = 0“ , v"(0 ) corresponde al valor inicial de la segunda derivada de v(t), etcétera. Cuando todas las condiciones iniciales son cero, diferenciar una vez con respec to a í en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por s en el do minio de la frecuencia; diferenciar dos veces en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por s2 en el dominio de la frecuencia, etc. Por lo tanto, la di ferenciación en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia. ¡Esta es una simplificación sustantiva! Se debe empe zar también a ver que, cuando las condiciones iniciales no son cero, su presencia se sigue considerando. Un ejemplo sencillo servirá para demostrarlo.
EJEMPLO 14.7 D ado el circuito RL en serie de la figura 14.3, d ete rm in a r la corriente que circula p o r la resistencia de 4 ñ resistor. 2
H
Identificar el objetivo del problema. Es necesario encontrar la expresión de la com ente denominada i(t).
Recopilar la información conocida.
. ten =-í a ■ F IG U R A 1 4 .3 Circuito que se analizaT|if¡M | mando la ecuaciííj diferencial 2 d i / d t +4i = íu(t) en 2[sl(s) -■ /(w )] + 4l(s) = ^ /s .
Una tensión de escalón activa la red, así que se tiene un valor inicial de la corriente (en l — O- ) de 5 A.
Elaborar un plan. Si se aplica la LKT a este circuito, se obtendrá una ecuación diferencial con i(t) como la incógnita. Sin embargo, en lugar de resolver la ecuación dife rencial resultante, como se hizo con anterioridad, ahora es posible transfor mar primero al dominio de la frecuencia tomando la transformada de Lapla ce de cada término.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Mediante la LKT se expresa la ecuación de un solo lazo en el dominio del tiempo, así que se encuentra di 2 — + 4 1 3u(t) dt Ahora se calcula la transformada de Laplace de cada término, por lo que „
2[sl(s) - i (O- )] + 4I(s) = s
Determinar, si se requiere, información adicional. Se tiene una ecuación que se resolvería para la representación I(s) en el dominio de la frecuencia de nuestro objetivo, i (t ).
Buscar la solución. A continuación se despeja I(s), sustituyendo i (O- ) = 5:
(2s + 4)I(s) = - + 10
SECCION 14.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES PARALATRANSFORMADA DF LAPLACE
m
=
1.5 s(s
2)
+
AA/V
*
s -1- 2
Aplicando el método de los residuos al primer término, 1.5 s -i- 2
1.5
= 0.75
= -0 .7 5
s
s= 0
por lo que T/ , 0.75 4.25 I(s) = ------+ — s s H- 2 Se utilizan después los pares conocidos de transformadas para invertir i(t) = 0.75w(í) + 4.25e~21u(t) = (0.75 + 4.25e~2t)u (t)
A
Verificarla solución. ¿Es razonable o la esperada? Con base en la experiencia previa con este tipo de circuito, se espera una respuesta forzada de cd, más una respuesta natural que decae en forma ex ponencial. En t — 0, se obtiene ¿(0) = 5 A, como se requería, y a medida que t —> oo, i(t) —» | A, como se esperaba. Por lo tanto, la solución de i (í) está completa. Tanto la respuesta forzada 0.75u(t) como la natural 4.25e~2‘u(t) están presentes, así que las condiciones iniciales incorporadas de manera automática a la solución. El método ilustra una forma muy cómoda de obtener la solución completa de muchas ecuaciones diferenciales.
PRÁCTICA g
____________
3(í) + ti(t) V
14.11 Aplicar los métodos de la transformada de Laplace para determinar i (t) en el circuito de la figura 14.4.
Teorema de integración en el tiempo Se lleva a cabo el mismo tipo de simplificación cuando se debe resolver la ope ración de integración con respecto al tiempo en las ecuaciones de circuito. Se de term inará la transform ada de Laplace de la función de tiempo descrita por ! ‘y v ( x ) d x , í
v(jc) ííjc | = í
]
Jo-
e st
í
IJo-
v (x )d x
A1 integrar por partes, se establece u = I v (x) d x J 0d u — v(t) dt
Ó
F IG U R A 1 4 .4
Respuesta: (0.25 + A.15e~m )u{t) A.
Jo-
4Q
-A /W
d v = e sí d t
v =
dt
! 0.2 H
A /W
-•
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
Entonces, v (x )d x
■{[jCHMI-r-r = [ ~ l e~St J ‘ v>(x) (x )ddx x^
*v(t) dt
+ -V (s)
0 a medida que t —>■oo, el primer término a la derecha se Pero, dado que e anula en el límite superior, y conforme t — 0 , la integral en este término se anula de manera similar. Lo anterior deja sólo el término V (s)/s, por lo que v(x) d x O
V(s)
[26]
y de esa manera la integración en el dominio del tiempo corresponde a la di visión entre s en el dominio de la frecuencia. Una vez más, una operación de cálculo relativamente complicada en el dominio del tiempo se simplifica a una operación algebraica en el dominio de la frecuencia.
EJEM PLO 14.8 4Q
1------ V W -------1
Determinar i(t) para t > 0 en el circuito R C en serie que se presenta en la figura 14.5¡jM Se escribe primero la ecuación de un lazo u(t) = 4i(t) + 16 í
I F IG U R A 1 4 .5 Circuito que ¡lustra el uso del par de transformadas de Laplace
o i|(s).
i(t' ) d t'
J —OO
v(0~) = 9 V
Para aplicar el teorema de integración en el tiempo, se debe efectuar un arreglo de manera que el límite inferior de integración sea O- . De tal modo, se fija
/
t
p0~
¡ (t') d t' = 16
pt
i( t') d t' + 16 J —oo
-o o
v(0 ) + 16
f
i( t') d t' J0
i( t') ') d t'
J oPor lo tanto, u(t) = 4 i(t) + u(0 ) + 16 í
J 0-
i{ t') d t'
A continuación se calcula la transformada de Laplace en ambos lados de esta ecuación. Puesto que se está utilizando la transformada unilateral, £{u(0- )} es simplemente C{v({) y por ello 1 9 16 - = 41(s) ------1----- I(s) s s s al despejar I(s), -2 I(s)
s+ 4
el resultado deseado se obtiene de inmediato ¿ (í)
= —2e
4í m ( í )
SECCIÓN 14.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES PARALATRANSFORMADA DE LAPLACE
»
WV
------------------------------------------- --------------------------EJEMPLO
14.9
D eterm in ar v(t) p a ra el m ism o circuito, repetido en la figura 14.6, p o r conveniencia. 4n
'(0
Esta vez simplemente se escribe la ecuación nodal v(t) — u (t)
1 dv
4
+ 16 I t =
Tomando la transformada de Laplace, se obtiene: K O ") = 9 V
^
4
_
>
4s
+ ± s V( s ) -
^
16
16
= 0
v W |1 + j ) = ; + i Por lo tanto, 4 V (S) = —
9
; 77 +
s(s + 4 )
_ 1 ____ 1 _ s
s+4
s+ 4 9 s+4
1 8 = — I--------s
s+ 4
y tomando la transformada inversa, v(t) = (1 + 8 e ^ ) u ( t ) de inmediato se obtiene la tensión deseada en el capacitor sin recurrir a la solución usual de la ecuación diferencial. Para confirmar este resultado, observar que ( ~^)dv/dt producirá la expre sión anterior de i(t). Para t > 0,
_L é l = — ( —32)e -4 f = —2e~4' 16 d t
16
lo cual concuerda con lo que se encontró en el ejemplo 14.8.
PRÁCTICA ____________________________________________________________ 1 4.12 Determinar v(t) en t = 8 0 0 ms para el circuito de la figura 14.7.
2tu(t)
V
I I G U R A 1 4 .7 R e sp u e sta : 8 0 2 m V .
■ F IG U R A 1 4 .6 Circuito de la figura 14.5 repetido, en el que se busca la tensión v(t).
558 --------- WV
•
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformadas de Laplace de senoides A fin de ilustrar el uso del teorema de linealidad y del teorema de diferenciación en el tiempo, sin mencionar la adición de un par más importante a la tabla de transformadas de Laplace que se presentará un poco más adelante, se establecerá la transformada de Laplace de sen <¡>t u ( j) . Se podría usar la expresión integral de definición con la integración por partes, pero esto es innecesariamente difícil. En su lugar, se utilizará la relación sen (üt = — (e,,út — e~]0Jt) V La transformada de la suma de estos dos términos es exactamente la suma de las transformadas, y cada término es una función exponencial para la cual ya se tiene la transformada. Se escribiría de inmediato j / j £{sen w tu(t)} — — 2 j\s -jü ) sen w tu (t)
1
\
(O
s + jco/
a) -z------ sz + w¿
[27]
A continuación se emplea el teorema de diferenciación en el tiempo para deter m inar la transform ada de c o scotu(t), que es proporcional a la derivada de sen coi. Esto es, Obsep/ar que se ha aprovechado el hecho de que sen a * |t= 0 = 0.
£{cos£üí
u(t)} = C
cos cotu{t)
------f sen an u(t) J 1 - —s-
~z------ rS~ + ÜT
[28]
Teorema de desplazamiento en el tiempo Como se observa en algunos de los problemas transitorios anteriores, no todas las funciones forzadas empiezan en t — 0. ¿Qué ocurre con la transformada en una función de tiempo si esa función simplemente se desplaza cierta cantidad en el tiempo? En particular, si la transformada de f ( t ) u ( t ) es la función conocida F(s), entonces ¿cuál es la transformada de f ( t — á )u (t — a), la función de tiempo ori ginal retrasada por a segundos (y que no existe para t < a) ? Si se trabaja directa mente con la definición de la transformada de Laplace, se obtiene /»oo
C { f( t — a )u (t — a)} = / e~st f ( t — a )u (t — a ) d t J/oo— / Ja
F. e~síf ( t — a ) d t
para t > a ~ . Al elegir una nueva variable de integración, r = t — a, se obtiene /»OC C { f( t - a)u{t - a)} = / e~sCr+a)f ( T ) d r = e“ flSF(s) J oPor lo tanto, f ( t - a )u (t - a ) O e~asF (s)
(a > 0)[29]
Este resultado, que se conoce como teorema de desplazamiento en el tiempo, es tablece simplemente que si una función de tiempo se retrasa por un tiempo a en el dominio del tiempo, el resultado en el dominio de la frecuencia es una multi plicación por e as.
SECCIÓN 14.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES PARALATRANSFORMADA DE LAPLACE
-
—------------------■
A /W
•"
—-------- -m , ■--- - EJEMPLO 14.10
D eterm in ar la tra n sfo rm a d a del im pulso rectan g u lar |(í) = u(t — 2) — u(t — 5). i Este impulso, cuya gráfica se muestra en la figura 14.8, tiene como valor unitario para el intervalo de tiempo 2 < t < 5, y como valor nulo en cualquier otro lado. Se sabe que la transformada de u(t) es exactamente 1/s, y dado que u(t —2) es u(t) retrasada en 2 s, la transformada de esta función retrasada es e "2s/s. De manera similar, la transformada de u(t —5) es e 5s/s. Se concluye entonces que la transformada deseada es 5s ,-2s e -2s _ e -5s
V(s) = No fue necesario invertir la definición de la transformada de Laplace para de terminar Y(s).
PRÁCTICA ___________________________________________________________
u{t - 2)
J___ ___ I___ L
1 2
3
4 5 - u ( t - 5)
i F IG U R A
1 4 .8
Gráfica deu(t - 2) —u(t —5).
fin
10
14.13 Obtener la transformada de Laplace de la función de tiempo que se muestra en la figura 14.9. Respuesta: (5/s)(2e 2s —e
0
lS).
_L
1
2
3
4
5
6
- 1 (s i
I F IG U R A 1 4 .9
Hasta este momento se han obtenido varias entradas para el catálogo de pares de transformadas de Laplace que se acordó construir después. Están incluidas las transformadas de la función impulso, \&función escalón, \&función exponencial, la función rampa, las funciones seno y coseno y la suma de dos exponenciales. Ade más, se han observado las consecuencias en el dominio s de las operaciones de adi ción, multiplicación por una constante, diferenciación e integración en el dominio del tiempo. Todos estos resultados se recopilan en las tablas 14.1 y 14.2; se inclu yen también varias funciones más que se deducen en el apéndice 7.
TABLA
14.1
Pares de transformadas de Laplace
f(0 — L ~ ' {F(s)}
F(s) = L{f(f)} 1
m
1 s 1
tu (t) t'- 1
------— u ( t ) , n p 1,2, .
te a,u(QÍ ,n-l t"
(«-!)!
e~aru ( t ) , n =
1,2,
1 ce~m _- e0-P' - p ,) u ( t ) /i —a sen ü>t u(t) cos wt u¡( r |S sen (ü>t + ff) u(t)
(rr- 1)1
m = l - ' {f(s)j
s+ a 1 (s + a ) 2 1 (s + a)"
cos(o>t + 9) u(t) e~at sen cot u(t e~M cos wt u(t)'
F(S) = L{f(f)} I (s + a)(s + P) a> s2 s ssen0+ cjcos 8 seos 6 + (usen 6
(s + g¿2 + co1 s+ a gs + a ) 2 + co-
( APLICACIÓN PRÁCTICA ) Estabilidad de un sistema Hace muchos años (o así parece), uno de los autores iba por una carretera a través del campo e intentaba utilizar el control electrónico de velocidad (“control de crucero”) de su automóvil. Después de encender el sistema y fijar en forma manual la velocidad del vehículo al límite per m itido , 3 el botón “fijar” se liberó y el pedal del acelera dor se desactivó; a estas alturas se esperaba que el sis tema mantuviera la velocidad fijada y se regulara el flujo de combustible a medida que fuera necesario.
problema de la estabilidad se maneja fácilmente mediante el estudio del denominador de la función de transferencia: ningún polo deberá tener una componente real positiva. Existen muchas técnicas que pueden aplicarse al pro blema de la determinación de la estabilidad de un sistema en particular. La prueba de Routh es una de las más sen cillas que se conocen. Considérese la función del sistema en el dominio s (un concepto que se desarrollará más ade lante en el capítulo 15)
El polinomio función de s representado por D(s) puede escribirse como ans" + |S,! 1 + • ■• + a^s + a®. No se puede determinar gran cosa de un vistazo sin factorizar el polinomio. Si todos los coeficientes a„ . . . a 0 son posi tivos y diferentes de cero, el procedimiento de Routh lo arregla con el patrón siguiente: t an an—2 an ~ 4 ... a n —1 an ~ 3 a n~5 ... © Donovan Reese/Getty images
Desafortunadamente, sucedió algo diferente a lo que se esperaba. La velocidad del vehículo descendió 10% de forma inmediata, a lo que el equipo electrónico de con trol de la velocidad de crucero respondió con el aumento del flujo de combustible. Los dos eventos no coincidieron muy bien, por lo que algunos momentos después la velo cidad del vehículo superó el valor que se había fijado y se produjo una disminución repentina (y significativa) del flujo de combustible, lo cual generó una reducción de la velocidad del vehículo. El ciclo continuó para consterna ción del conductor, quien de un momento a otro se dio por vencido y apagó el sistema. Es evidente que la respuesta del sistema no estaba op timizada, es decir, el sistema era inestable. La estabilidad de sistemas es un aspecto muy importante en la ingeniería en una gran cantidad de problemas (controles de crucero, reguladores de temperatura y sistemas de rastreo, sólo por nombrar irnos cuantos), y las técnicas desarrolladas en es te capítulo son de un valor incalculable en el análisis de la estabilidad de un sistema en particular. Uno de los aspectos más importantes al trabajar en el dominio s como lo permite la transformada de Laplace es que, en lugar de describir la respuesta de un sistema en par ticular a través de una ecuación integrodiferencial, se puede obtener una función de transferencia del sistema represen tada por el cociente de dos polinomios en el dominio s. El (3) Puesto que no había cámaras instaladas, nadie puede comprobar lo contrario.
A continuación se genera una tercera fila multiplicando en forma de cruz las dos filas: an—\an —2 ana n —3 an—\a n —4 ana n —5 an~\ an ~ 1 y una cuarta fila multiplicando en forma de cruz la se gunda y tercera filas. Este proceso continúa hasta que se tengan n + 1 filas de valores numéricos. Lo que queda es identificar los cambios de signo en la columna ubicada a la izquierda. El número de cambios de signo indica el número de polos que tiene una componente real positiva; cualquier cambio de signo indica que el sistema es inestable. Por ejemplo, suponga que el sistema automático de control de crucero detrás del enojo del autor tiene una función de transferencia del sistema con un denominador D(s) = 7s4 + 4s3 + s2 + 13s + 2 Todos los coeficientes de este polinomio función de s de cuarto orden son positivos y diferentes de cero, por lo que se construye la tabla de Routh correspondiente: 7 4 -2 1 .7 5 13.37
1 13 2
2 0
2 a partir de la cual se pueden observar dos cambios de signo en la columna ubicada más a la izquierda. Por ende, el sis tema es inestable (lo que explica la razón de la falla) ya que dos de sus polos tienen componentes reales positivas.
A/W
SECCION 14.7 TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL
TABLA ----------- -— .—
w
14.2
561
Operaciones de la transformada de Laplace
............... .........
■
O peración
Adición Multiplicación escalar Diferenciación en el tiempo
M n ± m i
Fl(s) ± Í ' 2 (.S)
kf\t)
kF(s)
df
sF(sj|
dt d 2f dt2 d 3f dr
Integración en el tiempo
í
f(t)dt
J o-
f(0~)
s; F ís)
- S/ i0 - ) - / '( 0 - )
s-'Fis)
- s - / ( 0 - ) - s / 'i O " ) -
Convolución f ( t — ii) u ( t — ii), a > 0
Corrimiento en la frecuencia
1F(S) s 1
<>
asF(s)
F(s 1 a ) dF(s)
Diferenciación en la frecuencia
-tfdi
Integración en la frecuencia
m
Escalamiento
f(at), a > 0
Valor inicial
/ ( o+ )
Valor final
/(oo)
Periodicidad en el tiempo
f ( t ) = f ( t + „T) ,
1 -i" ns), 1 —e"'fs
1, 2, . . .
dondeFi(s)= f
ds í° °
/
t
n —
/" ( 0 - )
1 /,(r -F(s} + - / f(t)dt S S / —oo F,(s)F:(s)
oo
Corrimiento en el tiempo
F(s)
m
b’(s) d s
lr í s \
f { z ) lím sF(s) S—"OO
lím sF(s), todos los polos de sF(s) en LHP
s-*0
J (É
14.7 t TEOREMAS DEL VALOR INICIAL_________________ Y DEL VALOR FINAL Los dos últimos teoremas fundamentales que se explicarán se conocen como teoremas del valor inicial y del valor final, los cuales permiten evaluar / ( 0+) y /( o o ) examinando los valores límites de sF(s). Dicha característica puede ser de un valor incalculable; si solamente se necesitaran los valores inicial y final para una función de interés en particular, no habría necesidad de dedicar tiempo para llevar a cabo una operación de transformada inversa.
Teorema del valor inicial Para deducir el teorema del valor inicial, se considera de nuevo la transformada de Laplace de la derivada
f ( t ) e ~ K dt
562
' v A A / ------------------------- •
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA VTRANSFORMADA DE LAPLACE
Se permite ahora que s tienda a infinito. Descomponiendo la integral en dos partes, se tiene lím [sF(s) — /( O - )] = lím í í e°— d t + [ e ^ ’ — d t ) s^oo y j 0dt Jo+ dt J Se observa que la segunda integral debe aproximarse a cero en el límite, puesto que el integrando mismo tiende a cero. Además, /( O - ) no es una función de s, así que podría eliminarse del límite de la izquierda: /■0+ —/( O - ) + lím [sF(s)] = Km / d f = lím [/( 0 + ) - / ( 0 " ) ] S —> 0 0
S -^ O O J q _
s-^ cg
= / ( 0+ ) - / ( o -) y por último,
/(0+) = lím[sF(s)]
lím f ( t ) = lím [sF(s)]
/-«•0+
s-»-oo
13 0 1
Este enunciado matemático del teorema del valor inicial establece que el valor inicial de la función de tiempo f ( t ) se obtiene multiplicando primero su transformada de Laplace F(s) por s y luego dejando que s tienda a infinito. Ob servar que el valor inicial de f ( t ) que se obtiene es el límite de la derecha. El teorema del valor inicial, junto con el teorema del valor final, que se analizarán en un momento, es útil para verificar los resultados de una transfor mación o de una transformación inversa. Por ejemplo, cuando se calcula la transformada de cos(«o/)w (í), se obtuvo s /(s 2 + aj§) . Después de observar que / ( 0 +) = 1, se tiene la posibilidad de efectuar una revisión parcial de la validez de este resultado aplicando el teorema del valor inicial: lím I s—-------- - ) = 1 s-^a s2 + co0 y se completa la verificación.
Teorema del valor final Este teorema no es tan útil como el del valor inicial, pues sólo se usa con cierta clase de transformadas. Para determinar si una transformada entra en esta clase, se requiere evaluar el denominador de F(s) a fin de determinar todos los valores de s para los cuales éste es cero; dichos valores son muy importantes y se cono cen como polos de F(s). Sólo aquellas transformadas F(s) cuyos polos se en cuentran por completo dentro de la mitad izquierda del plano s (es decir, a < 0), salvo para el polo simple en s = 0, son adecuadas para utilizarse con el teorema del valor final. Se considera de nuevo la transformada de Laplace para d f/d t,
/ Jo-
d f
e-f^ -dt
dt
= sF (s)- /«)-)
esta vez en el límite cuando s tiende a cero, C°° df í°° d f lím I e st— d t = lím[sF(s) — / ( 0 )] = / — dt Jodt S->0 Jq- dt
TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL
SECCIÓN 14.7
•
------------ ,
563
Se supone que tanto f ( t ) como su primera derivada son transformables. Ahora bien, el último término de esta ecuación se expresa sin dificultad como el límite
í 00 d—fr d,t „ i='
/
Jo- d t
df ,
lím / ~ r d t dt
t-*oo J 0-
=
l í m [ / ( f ) — / (O- )]
t —>oo
Al reconocer que /( O - ) es una constante, una comparación de las últimas dos ecuaciones nos muestra que
lím f ( t ) = lím[sF(s)]
t —>00
s—>0
[31]
que es el teorema del valor fin a l. Al aplicar este último, se requiere saber que /( o o ) , el límite de f ( t ) cuando t se vuelve infinito, existe o, lo que equivale a la m ism a cosa, que todos los polos de F(s) se encuentran dentro de la mitad izquierda del plano s, con excepción (posiblemente) de un polo simple en el ori gen. El producto sF(s) tiene todos sus polos dentro del semiplano izquierdo.
EJEMPLO 14.11 Utilizar el teorema del valor final para determinar/(o o ) de la función (1 —e~at)u(i), donde a > 0. Sin utilizar siquiera el teorema del valor final, se observa de inmediato que /( o o ) = 1. L a transformada de / ( f ) es
F(s) =
1
1
s
s+ a a
s(s + a) Los polos de F(s) son s = 0 y s = —a. Así, el polo de F(s) distinto de cero está en el plano izquierdo s, pues se puede asegurar que a > 0. Se ve que podría aplicarse en realidad el teorema del valor final a esta función. Al multiplicar por s y dejar que tienda a cero, se obtiene
lím[sF(s)] = lím ----- = 1 s—>0 s + a
s-*-o
lo cual concuerda con /( o o ) . Sin embargo, si f ( t ) es una senoide, de manera que F(s) tiene polos en el eje jco, entonces el uso irrestricto del teorema del valor final podría llevar a concluir que el valor final es cero. No obstante, se sabe que el valor final de sen « 0r de cos &>0f es indeterminado. Así, ¡cuidado con los polos del eje jcol
P RÁCTICA
___________________________________________________
14.14 Sin determinar primero f ( t ) , obtener /(0+) y /( o o ) para cada una de las siguientes transformadas: (a) 4e 2s(s + 50)/s ; (b) (s2 + 6)/(s2 + 7); (c) (5s2 + 10)/[2s(s2 + 3s + 5)]. Respuestas: 0, 200; OO, indeterminado (los polos se ubican en el eje ju>); 2.5,1.
A /W
-9
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
RESUMEN Y REPASO □ El concepto de frecuencia compleja permite considerar de manera simultánea las componentes amortiguada exponencialmente y oscilatoria de una función. □
La frecuencia compleja s = er + ja> es el caso general; las funciones cd (s = 0), exponencial (co = 0) y senoidal (er = 0) son casos especiales.
□ El análisis de los circuitos en el dominio s da lugar a la conversión de las ecuaciones integrodiferenciales en el dominio del tiempo a ecuaciones al gebraicas en el dominio de la frecuencia. □ En problemas de análisis de circuitos, se convierten las funciones en el do minio del tiempo al dominio de la frecuencia mediante la transformada uni lateral de Laplace: F(s) = / 0°° e~st f ( t ) d t . □ La transformada inversa de Laplace convierte las expresiones en el dominio de la frecuencia al dominio del tiempo. Sin embargo, rara vez se necesita lo anterior, debido a la existencia de tablas que presentan los pares de trans formadas de Laplace. □ La función de impulso unitario es una aproximación común a impulsos con amplitudes muy pequeñas, en comparación con las constantes de tiempo del circuito. Es distinta de cero sólo en un punto y tiene área unitaria. □ £ { / i ( 0 + fi( t) } = C {f\(t)} + C { f2(t)} □ £ { k f( t) } = kC \ f ( t ) \ , k — constante
(propiedad aditiva) (propiedadde homogeneidad)
□ Los teoremas de diferenciación e integración permiten convertir ecuaciones integrodiferenciales en el dominio del tiempo en simples ecuaciones alge braicas en el dominio de la frecuencia. □ Por lo general, las transformadas inversas se obtienen utilizando una com binación de técnicas de desarrollo en fracciones parciales y en diversas operaciones (tabla 14.2) para simplificar las cantidades en el dominio s, en expresiones que pueden buscarse en tablas de transformadas (como la tabla 14.1). □ Los teoremas del valor inicial y del valor final son útiles cuando sólo se de sean los valores específicos f ( t — 0+ ) o f ( t —> oo).
LECTURAS ADICIONALES___________ _______________ Un desarrollo de fácil lectura acerca de la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades clave se puede encontrar en el capítulo 2 de
A. Pinkus y S. Zafrany, Fourier Series and Integral Transforms, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, 1997. Un tratam iento mucho más detallado de las transformadas integrales y su aplica ción a los problemas de ciencia e ingeniería puede encontrarse en
B Davies, Integral Transforms and Their Applications, 3a. ed., Nueva York: Springer-Verlag, 2002. La estabilidad y la prueba de Routh se estudian en el capítulo 5 de
K. Ogata, Modern Control Engineering, 4a. ed.. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 2002.
EJERCICIOS
EJERCICIOS 14.1 Frecuencia compleja 1. Determinar la frecuencia compleja de cada término: (a ) v (t) = 5 V; (b) í (t ) = 3cos9 1 /¿A; (c) i(t) = 2.5e^8, mA; (d ) v(t) = 65e” ‘o00'c o sí OOOí V; (e)i>(í) = 8 + 2 cos t mV. 2. Proporcionar la frecuencia compleja s de: (a) v(t) = 33.3 V; (b ) i(t) = 3 cos 77r A; (c) q (t) = 7e~5t C; (rf) q(t) = 7e“5' - ^ e ^ s e n ^ í - 42°) C. 3. Obtener el complejo conjugado de cada término, expresando las respuestas en forma polar: (a) 8e~‘; (b ) 19; (c) 9 —y'7; (rf) y f wt\ (e) cos 4 1; ( / ) sen 4t\ (g) 88 / —9°. 4. Proporcionar el conjugado complejo de cada término: (a) 6 - j ; (¿>) 9; (c) —7 30; (rf) 5e”-'6; (fi) 24/- 4 5 ° ; C fl* ~
fe)
; ( « 4 - 22/92.5°.
5. La carga emitida por un arreglo de emisión de campo en particular se representa por conveniencia como Q = 9/43° ¡iC a una frecuencia compleja s = y'20^s_1. (a) ¿Cuánta carga es emitida en i = 1 s? (b) ¿Cuál es la cantidad máxima de carga que será emitida por el arreglo en cualquier momento? (c) ¿El arreglo muestra algún signo de deterioro? ¿Cuál sería una indicación, con base en la frecuencia compleja Q? 6 . Su nuevo asistente mide una señal que proviene de un equipo de prueba, la cual es v (t) = ¥ l^ (~2+-/50)í, donde V* = 8 —y 100 V. (a) Falta un término. ¿Cuál es y por qué puede decirse que falta? (b ) ¿Cuál es la frecuencia compleja de la señal? (c) ¿Cuál es el significado del hecho de que ImfV*} > RefV*}? (rf) ¿Cuál es el sig nificado del hecho de que |Re{s}| < |Im{s}|? 7. Seai(f) la parte real de la corriente compleja variable en el tiempo i(t). Encontrar oa)i x (t ) siij(í) = (4 - j 7 )&~3+j 15)í ;(b)iy (t )si W 0 = (4 + ;7)e~3<(cos 15í —j sen 15í); (c) ¿a ( 0 .4 ) si i^(í) = , donde K/i = 5 —y8 y sA = —1.5 + y 12; (d) í b (0-4) si ib (í ) = K BeSBt, donde K b es el conjugado de K^y s b es el conju gado de sa . 8. Un radiotelescopio que apunta hacia la nebulosa de Orion detecta una corriente de señal periódica i (t) = 2.33 cos(279 x 106í) fA. (a) ¿Cuál es la frecuencia (en Hz) de la señal? (b) Si la señal se detecta midiendo la tensión que se produce cuando la corriente fluye por una resistencia de precisión de 1 TÍ2, escribir la señal de tensión como una suma de dos exponenciales complejas. 9. Si una tensión compleja variable en el tiempo está dada por vs(?) = (20 —y'30)e(" 2+-'50)í V, determinar: {a) vs(0.1) en forma polar; (b) Re {v,(0}; (c) Re [vs(0.1)]; (d) s; (e) s*.
14.2 Función forzada senoidal amortiguada 10. Si el circuito de la figura 14.10 es alimentado por una fuente de 10 V y un ángulo de fase de 3°, la frecuencia compleja —2 + j 10 s~] . (a) Determine i(t). (b ) Determine vi(t) y ’W
100fí
■ F IG U R A 1 4 .1 0
11. (a) Extender el concepto de fasores que se presentó en el capitulólo para deducir expresiones de impedancia para inductores, capacitores y resistencias bajo una
•
A/VV-----
566
)------ V W
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
frecuencia compleja s. (tí) ¿Cuál es la impedancia de la resistencia y del inductor, respectivamente, de la figura 14.10? (c) Cuando Re{s} = 0, ¿las expresiones se re ducen a las que se presentaron en el capítulo 10? 12. Un circuito RL en serie simple se conecta a una toma de corriente norteamericana que tiene una tensión v(t) = 179cos(1207Tf) V. Si R = 100 £2 y L = 500 ¿uH, (a) determinar la frecuencia compleja de la tensión en el dominio de la frecuencia co rrespondiente V (s ). (b) Trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar la corriente I(s ) que fluye por el circuito. (c) Determinar i (í). 13. (o) Sea vs = 10e~2t cos(10í + 30°) V en el circuito de la figura 14.11, trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar Ix. (tí) Calcular ix (i). 0.5 H
5 íl
■ F IG U R A 14.11
14. En Japón, un circuito RC en serie simple se conecta a una toma de corriente con v(t) = 339cos(1007Tí) V. Si R = 2 k£2 y C = 100 ¡xF, (a) proporcionar la frecuen cia compleja de la tensión correspondiente V(s) en el dominio de la frecuencia. (tí) Trabajar en el dominio de la frecuencia para expresar la corriente I(s ) que fluye a través del circuito, (c) Determinar i (t). 15. Sea isi = 20e-3' cos 4t A e iS2 = 30e-3' sen 41A en el circuito de la figura 14.12. (a) Trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar V, . (tí) Calcular vx(t). 0.1 F
■ F IG U R A 14.12
16. La resistencia de Thévenin de un gran componente de equipo electrónico industrial, según se observa desde las terminales de salida de su suministro de potencia de cd, es aproximadamente igual a 3 m£2 (es un poco mayor cuando el equipo no está en operación). Si el modelo del suministro de potencia es una fuente de tensión expo nencial v(t) = 240\/2e 2í x cos( 1207Tí) V a partir del momento en el que se inte rrumpe el suministro de potencia de la toma de corriente: (a) determinar la corriente i (t) que circula a través de la resistencia trabajando en el dominio de la frecuencia. (tí) Verificar la respuesta del inciso (a) trabajando en el dominio del tiempo, (c) Re solver nuevamente el inciso (a) si se añade un capacitor de 1000 mF entre las termi nales de salida del suministro de potencia (es decir, en paralelo con R th )-
14.3 Definición de la transformada de Laplace 17. Obtener la transformada unilateral de Laplace de Ku(t), donde K es una constante real desconocida. 18. Utilizar la ecuación [14] para expresar la transformada de Laplace de lo siguiente: (a) 3u(t); (tí) 3u(t - 3); (c) 3u(t - 3) - 3; (d) 3«(3 - t). 19. Utilizar la ecuación [14] para determinar la transformada de Laplace de lo siguien te: (a) 2 + 3u(t); (tí) 3e_8í; (c) u(—í); (d) K, donde K es una constante real desconocida. 20. Una fuente de corriente proporciona una corriente de 4e~‘u(t) mA a través de una resistencia de 1 £2. (a) Proporcionar la representación en el dominio de la frecuencia de la tensión en la resistencia, (tí) Recordando que s = a + jco, graficar la magni tud de la corriente en el dominio de la frecuencia como una función de a si a>= 0.
EJERCICIOS
21. Una fuente de tensión v(t) = 5u(t) —5u(t —2) V se conecta a una resistencia de 1 fi. (a) Determinar la representación en el dominio de la frecuencia de la tensión. (b) Expresar la representación en el dominio de la frecuencia de la corriente que cir cula a través de la resistencia.
14.4 Transformadas de Laplace de funciones de tiempo simples 22. Especificar el intervalo de a sobre el cual existe la transformada de Laplace, si /(?) es igual a: (a) t + 1; (b) (t + (¿0 e50,u(t); (d) e50,u(t —5); (e) e~50tu(t —5). 23. Para cada una de las siguientes funciones, determinar la transformada unilateral de Laplace: (a) 8e~2t[u(t + 3) —u{t — 3)]; (b) 8e2'[u(t + 3) —u(t —3)]; (c) 8e~2|f|[«(r + 3) —«(f —3)]. 24. Proporcionar la transformada de Laplace unilateral de lo siguiente: (a) jC—1{s—1}; (b) 1 f u(t) + [u(t)]2; (c) tu(t) —3;(d) 1 —3(f) + 3(f —1) —S(t — 2). 25. Sin recurrir a la ecuación [151, determinar la transformada inversa de 1 s2 lo siguiente: (a)- ; (b) 1; (c) s 2; (d) 275; y (e )^ . 26. Demostrar que siempre y cuando existan las transformadas de Laplace individuales de h ( t) y / 2(í), C IM t) + f 2{0} = C{fx(t)} + C [h(t)}. 27. Utilizar la definición de la transformada de Laplace para calcular el valor de F(1 + j 2) si f ( t ) es igual a (a) 2u(t — 2); (b) 2S(t — 2); (c) e~'u(t — 2). 28. Evaluarlo siguiente: (a) f^ L 8sen5íá(í — 1)d t\(b )/ ^ ( r —5)2S(t —2) dt; (c) ¡ Z 5e~m o'S(t - 3.333 x 10 4) dt; (d) f K&{t - 2) dt, donde K es una constante real. 29. Utilizar la definición de transformada de Laplace (unilateral) para encontrar F(s) si / ( t) es igual a: (a) [«(5 —t)}\u(t — 2)\u(t); (b) 4u(t — 2); (c) 4e~3tu(t — 2); (d) 43(f - 2); (e) 5S(t) sen(10í + 0.2ir). 30. Evaluar lo siguiente: ( a ) / * cos 500í S(t) dt, ( b ) f ^ ts8(t - 2) dt, (c)¡?x 2.5e~a m tB(t - 1000) dt, (d) —K 2S(t — c)d t, donde K y c son constantes reales. 31. Utilizando la transformada unilateral de Laplace, determinar F(s) si / (í) es igual (a) [2«(r - 1)][k(3 - t)]u(t3); (b) 2u(t - 4); (c) 3e~2‘u(t - 4): (d) 33(í —5); (e) 4S(í — 1) [cosirí —senírt].
14.5 Técnicas de la transformada inversa 32. Determinar f{ t) si F(s) es (a) 3 + 1/s; (b) 3 + 1/s2; (c) -----—^ ; j (s + 3)(s + 4)
(d) (s + 3)(s + 4)(s + 5 )' 33. Determinar g(f) si G(s) es (a) 90 — 4.5/s; (b) 11 4 2s/s2; (c) -----------------; . ' (s + ])(s + 1) ( d ) --------------------------. (s +"l)(s + 2)(s + 3) 34. Obtener la transformada inversa de lo siguiente, sin efectuar ninguna integración y sin recurrir a MATLAB: (a) 5s —16 + (s + 4.4)-1; (b) 1 —s” 1 + s - 2; (c) 5(s + 7)"* + 88b"1 +
^ . (s + 6)(s+ 1) 35. La tensión en el dominio de la frecuencia en una resistencia de 2 kfi está dada por V(s) = 5s-1 V. ¿Cuál es la comente que pasa a través de la resistencia en t = 1 ms? 36. La corriente en el dominio de la frecuencia que circula a través de una resistencia de 100 Mfi es 5(s + 10)-1 pA. (a) Graficar la tensión v(l) en la resistencia como una función del tiempo, (b) ¿Cuál es la potencia que absorbe la resistencia en t = 100 ms? (c) ¿En qué tiempo disminuyó la tensión en la resistencia en 1% de su valor máximo? 37. Determinar f( t ) si F(s) es igual a: (a) [(s + l)/s] + [2/(s + 1)]; (b) (e~s + l)2; (c) 2e_(s+1); (d) 2e-3s cosh2s.
A/W
CAPITULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA YTRANSFORMADA DE LAPLACE
38. Si N(s) = 5s determinar £ -1{N(s)/D(s)} paraD(s) = (a) s2 —9; (b) (s 4- 3)(s2 + 19s 4- 90); (c) <4s 4- 12) (8s2 + 6s +1 ). (d) Verificar las respuestas para (o)-(c) con MATLAB. 39. Dadas las siguientes expresiones de F(s), encontrar f ( t ): (a) 5/(s 4- 1); (b) 5/(s 4 1 ) - 2/(s 4 4); (c) 18/[(s 4 l)(s 4 4)]; (d) 18s/[(s 4 l)(s 4 4)]; (e) 1 8 s 2 / [ ( s
+
l)(s +
4 )].
40. Si N (s) = 2s2 determinar C ~ l {N(s) /D(s)} para D(s) = ( a ) s2 — 1; (b) (s 4 3) (s2 + 19s + 90); (c) (8s + 12) (16s2 4 12s + 2). (d) Verificar las res puestas con MATLAB. 41. Calcular f ( t ) if F(s) es igual a: 2 3 2s 4 10 no 12 12 (a ) ’- (b )---- — ;(c) 3e~0As-(d) , . .-,{éh s+ 3 s s +1 (s + 2) (s + 6) (s + 2)2(s + 6)' n 42.Determinar £ _1{F(s)} siF(s) = 2 —s + (s3 + 4s2 + 5s + 2) ' 43. Obtener los desarrollos en fracciones parciales de las siguientes funciones racionales y después determinar las funciones de tiempo correspondientes: (a) F(s) = [(s + l)(s + 2)]/ [s(s + 3)]; (b) F(s) = (s + 2)/[s2(s2 + 4)]. 12s3 12s3 44. Encontrar C 1(G(s)} si G(s) es: (a) ,(b) (s + l)(s + 2) ’ (s2 + 2s + l)(s + 2) ’ I2s3 (c) 3s (s + l)(s + 2)(s + 3) s+ 3 (s + 1 ) 2 45. Encontrar £ _1{H(s)} si H(s) es: (a) \(b) (s + l)(s + 2) (s + l)(s + 2) 3s
( S2
+ 2s + l)(s + 3) + 1 ’
14.6 Teoremas fundamentales de la transformada de Laplace 46. Efectuar la transformada de Laplace de las siguientes ecuaciones: (a) 5 d i / d t —7 d 2i / d t 2 + 9i = 4; (b)
!l W io n
5u(t -
2) V
I F IG U R A 1 4 .1 3
=
la ecuación que describe la respuesta “sin fuerza” de un sistema absorbedor dAn„ A n„ + G¿ , con r = constante, la cual de choques simple; (c) dt r describe la tasa de recombinación de electrones en exceso (Anp) en silicio tipo p, bajo iluminación óptica (G¡ es una constante proporcional a la intensidad de la luz). 47. Sea / ( O- ) = —3 y 15w(/) —4S(t) = 8 /(í) + 6 Determinar f( t ) calculando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, despejando F(s) e invirtiendo para encontrar /(/). 48. Observar el circuito RL de la figura 14.13 y: (a) escribir la ecuación diferencial de la comente en el inductor ¿i (í) • (b) Proporcionar 1¿ (s), la transformada de Laplace de ii(t). (c) Despejar ¿¿(í) tomando la transformada inversa de Laplace de I¿(s). 49. (a) Determinar i>c(0- ) y i>c(0+) en el circuito de la figura 14.14. (b) Obtener una ecuación para i>c(í) que se cumpla para t > 0. (c) Utilizar las técnicas de la trans formada de Laplace para despejar Vc(s) y calcular después i>c(t).
m FIG U RA 14.14
EJERCICIOS
! > 5 0 . (a) Agregar la fuente de tensión vs(r) = 5u(t) V en serie con la fuente de 5 u(t — 2) V de la figura 14.13 y repitir el ejercicio 48. (b) Graficar la corriente en el inductor y compararla con una simulación de PSpice apropiada. 51. Dada la ecuación diferencial 12 u(t) = 2 0 / 2'(í) + 3/ 2(í). d o n d e/ 2(0_ ) = 2, tom ar su transformada de Laplace, despejar F 2(s), y luego encontrar /¿ (í)52. Determ inar la transformada inversa de Laplace de: (a) 2 /s —4; (b) s /( s 2 + 99); (c) l / ( s 2 + 5s + 6) — 5; (d) s; (e) s2. 53. Dadas las dos ecuaciones diferenciales x' + y = 2u(t) y y' — 2x + 3y = donde x (0 “ ) = 5 e y (0 ~ ) = 8, encontrar x(t) e y(t). 54. Determinar f ( t ) si F(s) está dada por: (a) 8s +
s2/(s + 2) - s + 2.
8 + 8s _1, /(O
8u(t),
) = 0; (b)
55. (a) Proporcionar ¿c(0“ ) e /c ( 0 + ) en el circuito de la figura 14.15. (b) Escribir una ecuación para ;c (r) en el dominio del tiempo que sea válida para t > 0. (c) Utilizar métodos de la transformada de Laplace para despejar I c (s) y luego obtener la trans formada inversa. í= 0 -------- —\
100 V -=
W r
— íoo ín
- 0.02 F
4o v - =L -
r
| ic
t
m FIG U RA 14.15
56. E ncontrar V (s ) si v (t) = (a) 4 co s (1 0 0 f) V ; (b) 2 sen(10 3f) — 3 cos(100í) V ; (c) 14 cos( 8í) — 2sen(8°) V; (d) S(t) + sen(6í)w(6í); (e) cos(5í) sen(3í) V. 57. U na resistencia R, un capacitor C , un inductor L y una fuente de corriente ideal is = 1OOe 5
'c
i O
60. Dada la ecuación diferencial v' + 6v + 9 /g_ v (z) dz = 2 4(r — 2)u (t —2 ) , sea u ( 0“ ) = 0 y proporcionar v(t). 61. A p lic a r la prueba de R outh a las funciones de sistema siguientes y establecer si el sistema es estable o inestable: s - 500 s - 500 <“ >H W = , 3 + 13s: + 47s + 35 ;
A /W
0
0
A /W
CAPÍTULO 14 FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE
62. A plicar la prueba de Routh a las funciones de sistem a siguientes y establecer si el sistema es estable o inestable, después factorizar cada denominador para identificar los polos de H (s) y verificar la exactitud de la prueba de Routh de estas funciones:
63. A plicar la prueba de Routh a las funciones de sistema siguientes y establecer si el sistema es estable o inestable:
{a) H<,) -
s4 + 3,3 + 3s2 + 3s + 1 ; fb) Hw - ¡ T I '
14.7 Teoremas del valor inicial y del valor final 64. Dada la función v(t) = lu(t) + 8e~3,u(t) V, (a) aplicar el teorema del valor inicial a V(s). (b ) Verificar la respuesta mediante la evaluación de v(t) en t = 0. 65. Dada la función v(t) = lu{t) + 8e~3tu(t) V, (a) aplicar el teorema del valor final a V(s). ( b ) Verificar la respuesta mediante la evaluación de v(t) en t = oo.
66. Determinar / ( 0 + ) y /( o o )
para una función de tiempo cuya transformada de Laplace es: (a) 5(s 2 + l ) / ( s 3 + 1); (b) 5(s 2 + l) / ( s 4 + 16); (c) (s + 1)(1 + éT4s) / (s2 + 2).
67. Sin determinar primero f ( t ) calcular / ( 0+ ) y /( o o ) para cada una de las transfor madas siguientes: (a) (2s 2 + 6)/[s(s 2 + 5s + 2)]; (b ) 2e~s/( s + 3); (c) (s2 + l) / ( s 2 + 5).
68. Proporcionar /( o o ) y / ( 0 + ) para una función de tiempo cuya transformada de Laplace es: (a.) 5(s 2 + l ) / ( s + l) 3; (b ) 5(s 2 + l) /[ s ( s + l ) 3]; (c) (1 — e_ 3s) / s 2. 69. Sea f ( t ) = (1 /t)(e~a1 — e~h,)u(t\. (a) Encontrar F(s). (b ) Evaluar ambos lados de la ecuación lím f ( t ) = lím [sF (s)]. (-+ 0 +
s-+ o o
70. Encontrar los valores tanto inicial como final (o m ostrar que éstos no existen) de las funciones de tiempo correspondientes a:
8s — 2 («) s2 + 6s + 10 ’
2s 3 — s2 — 3s — 5
8s — 2
s3 + 6s2 + lOs ’; (c) s2 —6s + 10 ’
8s2 —2 id) (s + 2)2(s+ l)(s2 + 6s + 10)'
Análisis de circuitos en el dominios CONCEPTOS CLAVE Extender el concepto
IN T R O D U C C IÓ N E n e l c a p ítu lo a n te rio r se fo r m u ló e l c o n c e p to de fre c u e n c ia c o m
de im p e d a ncia al d o m in io s.
p le ja y se m o s tró e l e m p le o de las tra n s fo rm a d a s de L a p la c e c o m o
M od e la do de condiciones
m e d io p a ra re s o lv e r e l tip o de ecu acio ne s d ife re n c ia le s q u e se e n
»------------------------------ ----------
cu e n tra n en e l a n á lis is de c irc u ito s . D espu és de u n p o c o de p rá c
j A plicación del análisis nodal,
tic a , se p u d o i r y v e n ir e n tre e l d o m in io d e l tie m p o y e l de la fre c u e n c ia seg ún era n ecesa rio. A h o ra to d o está 1i sto p a ra a p lic a r estas fo rm id a b le s té cn ica s e in te g ra rla s c o n e l a n á lis is de c irc u ito s de u n a m a n e ra e stru c tu ra d a . E l c o n ju n to de h a b ilid a d e s re s u lta n te p e rm itir á a n a liz a r de m a n e ra e fic ie n te c u a lq u ie r c irc u ito lin e a l p ara o b te n e r la re spu esta c o m p le ta — tra n s ito ria m ás estado p e rm a n e n te — s in c o n s id e ra r la n a tu ra le z a de las fu e n te s de e x c ita c ió n .
iniciales con fu e nte s ideales.
de m alla, de supe rp o sició n y : de tra n sfo rm a ción de fu e n te : en el d o m in io s.
• ----------------------------------------: Teorem as de T hé ve n in y N o rto n aplicados a circuitos en el d o m in io s.
---------------------------------------M anipulación de expresiones algebraicas en el d o m in io s con MATLAB.
«
mm» *
15.1 , Z(s) y Y(s)__________________________ E l c o n c e p to c la v e q u e hace q u e lo s fa so re s re s u lte n tan ú tile s en el a n á lis is de c irc u ito s de estado s e n o id a l p e rm a n e n te es la tra n s fo r m a c ió n de re s iste n c ia s , ca p a c ito re s e in d u c to re s en impedancias. E l a n á lis is de c irc u ito s c o n tin ú a lu e g o c o n e l u so de té c n ica s básicas de a n á lis is n o d a l o de m a lla , s u p e rp o s ic ió n y tra n s fo rm a c ió n de fu e n te , a sí c o m o e l e q u iv a le n te de T h é v e n in o e l de N o rto n . C o m o y a h a b rá sospechado, este c o n c e p to se e x tie n d e a l d o m in io s, pues e l estado s e n o id a l p e rm a n e n te es s ó lo u n caso e sp e c ia l (d o n d e a = 0 ).
----------------------------------------Identificación de polos y ceros en las fu n cion e s de transferencias de circuitos.
----------------------------------------Respuesta al im pulso d e un circuito.
4 - .....- .. ........................... Uso de la co n volu ció n para d e te rm in a r la respuesta de un sistem a.
• ----------------------------------------Respuesta en función de ayco.
Resistencias en el dominio de la frecuencia
U tilización de gráficas de
Se e m p e z a rá c o n la s itu a c ió n m ás s im p le : la de u n a re s is te n c ia c o n e c ta d a a u n a fu e n te de te n s ió n v(t). L a le y de O h m e s p e c ific a q ue
polos-ceros para predecir la
v(t) = Ri(t) T o m a n d o la tra n s fo rm a d a de L a p la c e en am bo s la d o s,
V(s) =
R](s)
respuesta natural de un circuito.
- ......- .................................... Síntesis de las funciones de transferencia de tensión específicas utilizando am p ops.
M
571
0
AA/V
#
CAPÍTULO15 ANÁLISISDECIRCUITOSENELDOMINIO5 se e n c u e n tra que la re la c ió n (o ra z ó n ) q ue re p re s e n ta a la te n s ió n y la c o rrie n te en e l d o m in io de la fre c u e n c ia es s e n c illa m e n te la re s iste n c ia , i?. D e ta l m a ne ra , Z (S ) = T 7 -T = R
I(s)
[1]
P u e s to q u e se e stá tra b a ja n d o en e l d o m in io de la fre c u e n c ia , es n e c e s a rio re fe rirs e a esta c a n tid a d c o m o u n a impedancia, en b ie n de la c la rid a d , aun qu e se le s ig u e n a sig n a n d o las u n id a d e s de o h m (£2). D e l m is m o m o d o en que se e x p lic ó a l tra b a ja r c o n fa so re s en e l esta do s e n o id a l p e rm a n e n te , la im p e d a n c ia de u n a re s is te n c ia n o dep en de de la fre c u e n c ia . L a admitancia Y(s) de u n a re s iste n c ia , d e fin id a c o m o la ra z ó n de I(s) e n tre V(s), es s im p le m e n te 1/7?; la u n id a d de a d m ita n c ia es e l sie m e n (S ).
Inductores en el dominio de la frecuencia A c o n tin u a c ió n , se c o n s id e ra u n in d u c to r c o n e c ta d o a a lg u n a fu e n te de te n s ió n v a ria b le en e l tie m p o v(t), c o m o se in d ic a e n la fig u ra 1 5.1a. Se sabe q ue
di v(t) = L — dt T o m a n d o la tra n s fo rm a d a de L a p la c e en am bo s la d o s de esta e cu a c ió n , se e n c u e n tra que
V(s) = L [sI(s)-/(0 -)] (a)
(b)
■ F IG U R A 1 5 .1 (a) Inductor en el dominio del tiempo. (¿) Modelo completo de un inductor en el dominio de la frecuencia, compuesto por una impedancia sí. y una fuente de tensión - íi( C T ) que incorpora el efecto de condiciones iniciales distintas de cero en el elemento.
[2]
A h o ra h a y dos té rm in o s : sLI(s) y Li (0 ). E n s itu a cio n e s en las que la e ne rg ía in ic ia l a lm a c e n a d a en e l in d u c to r es n u la (es d e c ir, i (0 ) = 0 ), e nton ces V (s ) = s L I(s ) p o r lo que Z (s ) =
V (s ) I(s )
= sL
[3 ].
L a e c u a c ió n [3 ] se s im p lific a a ún m ás s i s ó lo se está in te re sa d o en la re s p u e sta s e n o id a l de estado p e rm a n e n te . Se p u e d e n ig n o ra r las c o n d ic io n e s i n i c ia le s en tales casos, pues s ó lo a fe c ta n la n a tu ra le z a de la re spu esta tra n s ito ria . D e ta l m o d o , se s u s titu y e s = jw y se e n c u e n tra
Z (jco)
= JcüL
c o m o se o b tu v o antes en e l c a p ítu lo 10.
Modelos de inductores en el dominio s A u n q u e u n o se re fie re a la c a n tid a d de la e cu a c ió n [3 ] c o m o la im p e d a n c ia de u n in d u c to r, se debe re c o rd a r que se o b tu v o b a jo e l su p ue sto de u n a c o m e n te in ic ia l c ero. E n la s itu a c ió n m ás g e n e ra l, d o n d e la e n e rg ía se a lm a c e n a en e l e le m e n to en t = 0 _ , ta l c a n tid a d n o es s u fic ie n te p a ra re p re s e n ta r a l in d u c to r en e l d o m in io de la fre c u e n c ia . P o r fo rtu n a , es p o s ib le in c lu ir la c o n d ic ió n in ic ia l h a c ie n d o u n m o d e lo de u n in d u c to r c o m o u n a im p e d a n c ia en c o m b in a c ió n c o n u n a fu e n te de te n s ió n o c o n u n a de c o rrie n te . P ara e fe c tu a r lo a n te rio r, en p rim e r lu g a r se debe re o rd e n a r n u e va m e n te la e c u a c ió n [ 2] c o m o V (s ) = s L I( s ) — Li(0~)
[4]
E l seg u n d o té rm in o a la d e re c h a será u n a con sta nte : la in d u c ta n c ia L en h e n ry s m u ltip lic a d a p o r la c o rrie n te in ic ia l i (0 _ ) en am peres. E l re s u lta d o es u n té rm in o
SECCIÓN 15.1 Z(s) y Y(s)
q u e se re s ta d e l té r m in o d e p e n d ie n te de la fre c u e n c ia s L I( s ) . U n p e q u e ñ o d e s te llo de in tu ic ió n en este p u n to p e rm ite re c o n o c e r que se p uede h a c e r u n m o d e lo de u n in d u c to r s e n c illo L c o m o u n e le m e n to de dos c o m p o n e n te s en e l d o m in io de la fre c u e n c ia , c o m o se in d ic a en la fig u ra 15.1 b. E l m o d e lo de in d u c to r en e l d o m in io de la fre c u e n c ia que se presenta en la fig u ra 15.1 b consiste en u n a im p e d a n c ia s L y una fu e n te de v o lta je Li (O- ) . L a te n s ió n en la im p e d a n c ia sL está dada p o r la le y de O h m c o m o s l l ( s ) . Puesto que la c o m b in a c ió n de lo s dos e lem entos de la fig u ra 15.1 b es lin e a l, to d a té c n ica de a n á fi sis de c irc u ito s e xp lo ra d a antes se a p lic a ta m b ié n en e l d o m in io s. P o r e je m p lo , se p uede e fe c tu a r una tra n s fo rm a c ió n de fu e n te sobre e l m o d e lo p a ra o bte n e r u n a im p ed an cia s L en p a ra le lo c o n una fu e n te de c o rrie n te [—Li ( 0“ ) ] / s L = —i ( 0 “ ) / s . L o a n te rio r se v e rific a a n a liza n d o la ecu a ció n [4 ] y d espejando I ( s ) :
V(s) | Ü 0~) sL
[5 ]
s
T a m b ié n e n este caso se q ueda u n o c o n d os té rm in o s . E l p rim e ro de la d ere cha es s ó lo una a d m ita n c ia 1 /s L veces la te n s ió n V (s ). E l se g u n d o té rm in o de la d e re c h a es la c o rrie n te , a u n q u e tie n e u n id a d e s de a m p e re = s e g u n d o s . D e ta l m o d o , se p u e de h a c e r e l m o d e lo de esta e c u a c ió n c o n dos c o m p o n e n te s in d e p en die ntes: u n a a d m ita n c ia 1/sL en p a ra le lo c o n u n a fu e n te de c o m e n te / (O- ) / s ; e l m o d e lo re s u lta n te se p rese nta en la fig u ra 15.2. L a e le c c ió n de u sa r e l m o d e lo de la fig u ra 15. lb o e l de la fig u ra 15.2 suele d e p e n d e r de c u á l p ro p o rc io n a rá las e cu acio ne s m ás s im p le s c u a n d o se a n a lic e u n c irc u ito c o m p le to que c o n te n g a al in d u c to r. O b s e rv a r que aun qu e la fig u ra 15.2 p re se n ta e l s ím b o lo d e l in d u c to r m a rc a d o c o n u n a a d m ita n c ia Y (s ) = 1 /s L, ta m b ié n se c o n s id e ra c o m o u n a im p e d a n c ia Z ( s ) = s L ; a s im is m o , en este caso, la e le c c ió n de c u á l u tiliz a r se basa a m e n u d o en la p re fe re n c ia p e rs o n a l y en la c o n v e n ie n c ia . Ji m
■ F IG U R A 1 5 J Modelo alternativo en el dominio de la frecuencia del inductor, con una admitancia 1/ s í y una fuente de corriente i (0~) /s.
V a le la p e n a u n b re v e c o m e n ta rio a ce rca de las u n id a d e s . C u a n d o se c a lc u la la tra n s fo rm a d a de L a p la c e de u n a c o m e n te i ( / ) , se está in te g ra n d o re s p e cto d e l tie m p o . P o r lo ta n to , las u n id a d e s de I ( s ) té c n ic a m e n te son a m p e re s= se g u n d o s; de m o d o s im ila r, las u n id a d e s de V (s ) son v o lts -s e g u n d o s . N o ob sta n te , p o r c o n v e n c ió n se h a d e c id id o e lim in a r lo s segundos y a s ig n a r a I (s ) las u n id a d e s de am peres y m e d ir V (s ) en v o lts . D ic h a c o n v e n c ió n n o p re s e n ta n in g ú n p ro b le m a hasta que se re v is a u n a e c u a c ió n c o m o la [5 ] y a parece u n té rm in o s im ila r a / ( 0 ~ ) / s q ue se e n c u e n tra en aparente c o n flic to c o n la s u n id a d e s de I(s ) d e l la d o iz q u ie rd o . S i b ie n se s e g u irá n m id ie n d o las c a n tid a d e s fa s o ria le s en “ a m p e re s” y “ v o lts ” , a l v e r ific a r las u n id a d e s de u n a e c u a c ió n p ara re v is a r e l á lg e b ra , ¡es n e c e s a rio re c o rd a r lo s seg un do s!
• -------------------------------
VW ----------------í 573
574 --------- W V
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
EJEMPLO 15.1 C a lc u la r la te n s ió n v(t) d e la f ig u r a 1 5 .3 a , d a d a u n a c o r r ie n te in ic ia l i« n = i a . in
■ F IG U R A 1 5 .3 (a) Circuito simple de resistencia -inductor para el que se desea la tensión v(t ) ( b) El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia, que incluye la corriente inicial en el inductor mediante el uso de una fuente de tensión en serie —¿/(O ).
P a ra c o m e n z a r se d e b e c o n v e r tir e l c ir c u ito de ia fig u r a 1 5 .3 a en su e q u iv a le n te e n e l d o m in io d e la fre c u e n c ia , q u e se m u e s tra e n la fig u r a 1 5 .3 b; e l in d u c to r se s u s titu y ó p o r u n m o d e lo d e d o s c o m p o n e n te s : u n a im p e d a n c ia sL = 2sQ y u n a fu e n te d e te n s ió n in d e p e n d ie n te -L i( 0“ ) = - 2 V . S e busca la c a n tid a d m a rc a d a V ( s ) , pues su tra n s fo rm a d a in v e rs a d ará c o m o re s u lta d o v(t). O b s e rv a r que V (s ) a parece e n tre lo s e x tre m o s d e l m o d e lo d e l in d u c to r c o m p le to , y n o s ó lo d e l c o m p o n e n te de la im p e d a n c ia . O p ta n d o p o r la ru ta d ire c ta , se e sc rib e
+2 I(s) =
1 + 2s
s + 9 .5 (s + 8)( s + 0 .5 )
V ( s ) = 2 s l( s ) — 2 p o r lo que V (s ) =
2 s (s + 9 .5 ) (s + 8)( s + 0 .5 )
-2
A n te s de a p lic a r la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de esta e x p re s ió n , v a le la p e n a d e d ic a r tie m p o y e s fu e rz o p a ra s im p lific a rla . P o r lo ta n to , V (s ) =
(s + 8) ( s + 0 .5 )
R e c u rrie n d o a la té c n ic a d e la e x p a n s ió n e n fra c c io n e s p a rc ia le s (a m a n o o c o n e l a u x ilio de M A T L A B ) , se p u e d e v e r que V (s ) =
3 .2
1.2
s —|—8
s -|- 0 .5
SECCIÓN 15.1 Z(s) y Y(s)
• ------------------------------
M e d ia n te la c o n s u lta de la ta b la 14.1, se sabe que la tra n s fo rm a d a in v e rs a es
v{t) — [3 .2 e ~ 8í — ¡ l . j k - 0' 5í ] i t ( í )
v o lts 4 u(t) V
PRÁCTICA 15.1 D e te rm in a r la c o rrie n te i (,t ) d e l c irc u ito de la fig u ra 15.4.
■ F IG U R A 1 5 .4
Respuesta: 4[1 —(3 e 4<]m(/) A.
Modelo de capacitores en el dominio s L o s m is m o s c o n c e p to s se a p lic a n ta m b ié n a lo s c a p a c ito re s en e l d o m in io s. D e a cu e rd o c o n la c o n v e n c ió n de s ig n o s p a s iva , c o m o se ilu s tra en 1a fig u ra 15.5a, la e c u a c ió n q u e g o b ie rn a a l c a p a c ito r es
jl(s )
I(s)
J /(0 O +
v{t)
Y(s) = sC - =
V(s)
Q ( T ) c K0-)
V(s|
0 (a)
(b)
(<Ú
I F IG U R A 1 5 .5 (o) Capacitor en el dominio del tiempo, en el que se indican v (t) e i ( f ). (b) Modelo en el dominio de la frecuencia de un capacitor con tensión inicial de K 0 “ ), (c) Modelo equivalente obtenido a través de una transformación de fuente.
A l to m a r la tra n s fo rm a d a de L a p la c e en am bo s la d o s, se tie n e
I(s) = C[sV(s)
- t '( 0 - )]
I(s) = sCY(s) - Cv(0~)
[ 6]
c u y o m o d e lo p uede ser u n a a d m ita n c ia s C en p a ra le lo c o n u n a fu e n te de c o rrie n te C u ( 0 - ), c o m o en la fig u ra 15.5b. A l e fe c tu a r u n a tra n s fo rm a c ió n de fu e n te en este c irc u ito (c o n c u id a d o en s e g u ir la c o n v e n c ió n de sign os p a s iva ), se p ro d u c e u n m o d e lo e q u iv a le n te d e l c a p a c ito r co m p u e sto p o r u n a im p e d a n c ia 1 /sC en serie c o n u n a fu e n te de te n s ió n u (0 _ ) /s , c o m o se m u e stra en la fig u ra 15.5c. A l tra b a ja r c o n estos e q u iv a le n te s en e l d o m in io s se debe c u id a r de n o c o n fu n d irs e c o n las fu e n te s in d e p e n d ie n te s que se u tiliz a n p a ra in c lu ir las c o n d i c io n e s in ic ia le s . L a c o n d ic ió n in ic ia l de u n in d u c to r está dada c o m o i (O- ) ; d ic h o té rm in o q u iz á aparezca c o m o p a rte de u n a fu e n te de te n s ió n o de u n a de c o rrie n te , seg ún e l m o d e lo q u e se e lija . L a c o n d ic ió n in ic ia l de u n c a p a c ito r está dada c o m o v(() j , en c u y o caso e l té rm in o p uede aparecer c o m o p arte de u na fu e n te de ten sión o de u n a de co rrie n te . U n e rro r m u y c o m ú n de los estudiantes que tra -
W V
---------------- ( 5 7 5
A A /V
576
- •
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
b a ja n c o n e l a n á lis is e n e l d o m in io s p o r p rim e ra v e z es u sa r s ie m p re v(0~) p a ra la c o m p o n e n te de la fu e n te de te n s ió n d e l m o d e lo , aun c u a n d o tra b a je n c o n u n in d u c to r.
D e t e r m in a r r t (í) e n e l c ir c u it o d e la fig u r a 1 5 .6 a , b a jo e l s u p u e s to de u n a te n s ió n in i c i a l » c W “ ) = —2 V;®
Identificar el objetivo del problema.
3 11
Se n e c e s ita la e x p re s ió n de la te n s ió n en e l c a p a c ito r, i’c(t)-
A A A r9 u(t) V
0 .5 F Í
Recopilar la información conocida.
- ")
E l p ro b le m a e s p e c ific a u n a te n s ió n in ic ia l en e l c a p a c ito r de —2 V.
Elaborar un plan. (a)
3 fí
O n | ce
1— 1
v w — + - v r (s)
r L
s
i J (t
P ÍA
1
D e n u e v o , e l p rim e r paso co n s is te e n d ib u ja r e l c irc u ito e q u iv a le n te en e l d o m in io de la fre c u e n c ia . A l h a c e rlo de esa m a n e ra , se debe d e c id ir qué m o d e lo de c a p a c ito r u tiliz a r , pues se tie n e p re se n te u n a te n s ió n in ic ia l d is tin ta de cero. E n u n c irc u ito de esta s im p lic id a d , n o h a y u n c la ro b e n e fic io de u n m o d e lo u o tro , p o r lo que se e lig e e l q u e se basa en la fu e n te de c o rrie n te , c o m o se ilu s tra en la fig u ra 1 5.6 b.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Se c o n tin u a rá c o n e l a n á lis is e s c rib ie n d o u n a s o la e c u a c ió n n o d a l:
(b)
[FIGURA
-1 =
15.6 (a) Circuito para el que se requiere
la corriente. (6 ) Circuito equivalente en ei dotrjiñio de la frecuencia, en el que se emplea el modeló j i j a d o en la fuente de corriente para tomar en cuenta la condición inicial del capacitor.
Vc
V c - 9 /s
2 /s
3
Determinar si se requiere información adicional. H a y u n a e c u a c ió n c o n u n a in c ó g n ita : la re p re s e n ta c ió n en e l d o m in io de la fre c u e n c ia de la te n s ió n deseada en e l ca p a c ito r.
Buscar la solución. R e s o lv ie n d o p a ra V c , se o b s e rva que: 1 8 /s -6 Vc =
„ -
3s + 2
2-
(s -3 )
s(s -|- 2 /3 )
E l d e s a rro llo en fra c c io n e s p a rc ia le s p ro d u c e 11
V c = -----s
2 /3
Se o b tie n e i> c (0 to m a n d o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de esta e x p re s ió n , lo que o rig in a
i’c(t) = 9u(t) — lle ~ 2t/3u(t)
V
o, en fo rm a m á s c o m p a c ta :
vc(t) = [ 9 - lle~ 2t/3]u(t)
V
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? U n a v e rific a c ió n rá p id a de t = 0 da vc (t) = — 2V , pues se basa en e l c o n o c im ie n to de la c o n d ic ió n in ic ia l. A d e m á s , a m e d id a q u e t — oo, vc (t) 9 V , c o m o se d e b e ría e sp e ra r a p a rtir de la fig u ra 1 5.6a u n a vez q ue se h a y a e x tin g u id o (o d e s a p a re c id o ) e l tra n s ito rio .
SECCION 15.1
PRÁCTICA
¿(s) yY(s)
_________________________________________________
15.2 R e p e tir e l e je m p lo 15.2 u tiliz a n d o e l m o d e lo de c a p a c ito r basado en la fu e n te de te n s ió n . Respuesta: [9 — 11 e~2,/3]u(t) V.
L o s re s u lta d o s de esta s e c c ió n se re s u m e n en la ta b la 15.1. O b s e rv a r q ue en cada caso se .supone la c o n v e n c ió n de s ig n o s p asiva .
TABLA 15.1 Resumen de representaciones de elementos _____________ en ios dominios del tiempo y la frecuencia D o m in io d el tie m p o
D o m in io d e la fre cu e n c ia
R e s is te n c ia
Wj = m »
V(s) = R I(s) I I(S)
I rf-.;;
T O ÍtP * A’
? s) = jV(s) If s >
V(s) < Z(s) - R
Inductor
di * ) = £‘¡g dt
\(,s) = síi(s) -Li(0~)
I(s )= ^
+ i (5 1
|l(sl
1Un
V(s)
=£apaciior
dv i(t) = C dt
V(si = ^
I(s) - sC’Vis) - Cti 0-)
+
I Ks)
iQY
o
■\ty 1<0-)
»
A W
A /W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
15,2 t ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA EN EL DO M IN IO s E n e l c a p ítu lo 10 se e s tu d ió la m a n e ra de tra n s fo rm a r lo s c irc u ito s en e l d o m in io d e l tie m p o a ctiv a d o s p o r fu e n te s senoidales, e n sus e q u iva le n te s en e l d o m in io de la fre c u e n c ia . L o s b e n e fic io s de esta tra n s fo rm a c ió n re s u lta ro n e vid e n te s de in m e d ia to , pues y a n o fu e n e c e s a rio re s o lv e r e cu a cio n e s in te g ro d ife re n c ia le s . E l a n á lis is n o d a l y de m a lla de ta le s c irc u ito s (re s trin g id o a d e te rm in a r s ó lo la re s puesta en esta do p e rm a n e n te ) p ro d u jo e xp re sio n e s a lg e b ra ic a s en té rm in o s de jco, s ie n d o cola fre c u e n c ia a n g u la r de las fu e n te s. Se h a v is to a h o ra que se puede e x te n d e r e l c o n c e p to de im p e d a n c ia a l caso más g e n e ra l de fre c u e n c ia c o m p le ja (s = a + jco). U n a v e z que se tra n s fo rm a n lo s c irc u ito s d e l d o m in io d e l tie m p o a l de la fre c u e n c ia , la re a liz a c ió n d e l a n á li sis n o d a l o de m a lla te n d rá c o m o re s u lta d o , ta m b ié n e n este caso, e xp re sio n e s p u ra m e n te a lg e b ra ica s, p e ro esta v e z en té rm in o s de la fre c u e n c ia c o m p le ja s. L a s o lu c ió n de la s e cu acio ne s re s u lta n te s re q u ie re e l uso de la s u s titu c ió n de v a ria b le s, la re g la de C ra m e r o u n p ro g ra m a de c ó m p u to capaz de m a n ip u la r e l álg e bra s im b ó lic a (p o r e je m p lo , M A T L A B ) . E n esta s e c c ió n se p rese nta n dos e je m p lo s de ra z o n a b le c o m p le jid a d , a fin de que se e x a m in e n estos tem a s c o n m a y o r de ta lle . S in e m b a rg o , p rim e ro se h a rá u n a b re v e pausa p a ra v e r la fo r m a e n que puede u tiliz a rs e M A T L A B p a ra a p o y a r e n esta tarea.
ANÁLISIS ASISTIDO POR C O M P U TA D O R A E n e l c a p ítu lo a n te rio r se v io que se u tiliz a M A T L A B para d e te rm in a r lo s re si duos de fu n cio n e s racionales en e l d o m in io s, lo c u a l hace que e l proceso in v e r so de la tra n s fo rm a d a de L a p la c e sea m u ch o m ás s e n c illo . S in em bargo, este p ro g ra m a de c ó m p u to es en re a lid a d m u ch o m ás p oderoso, pues d isp on e de num erosas ru tin a s inco rp orad as p ara la m a n ip u la c ió n de las expresiones alge braicas. D e hecho, c o m o se v e rá e n este e je m p lo , M A T L A B in c lu s o puede e fe c tu a r de m a n e ra d ire c ta las tra nsform ad as inversas de L a p la c e a través de las fu n c io n e s racion ale s que se o b tie n e n gracias a l aná lisis de c irc u ito s . Se c o m ie n z a v ie n d o c ó m o puede u tiliz a rs e M A T L A B p a ra tra b a ja r c o n e xp re sio n e s a lg e b ra ica s, las cu a le s se a lm a c e n a n c o m o secuencias de ca ra c teres, d o n d e se u tiliz a e l a p o s tro fe ( ‘ ) en la e x p re s ió n de d e fin ic ió n . P o r e je m p lo , se re p re s e n tó antes e l p o lin o m io p (s ) = s3 — 12s + 6 c o m o u n v e c to r: E D U » p = [1
0
-1 2
6],
S in e m b a rg o , ta m b ié n se re p re s e n ta de m a n e ra s im b ó lic a : E D U » p = ‘ s~3 — 1 2 *s + 6 ’ . E stas dos re p re s e n ta c io n e s n o son ig u a le s en M A T L A B , s in o que son c o n cep tos d is tin to s . C u a n d o se desea m a n ip u la r simbólicamente u n a e x p re s ió n a lg e b ra ic a , se re q u ie re la segunda re p re s e n ta c ió n . E s ta c a p a c id a d re s u lta en e sp e c ia l ú til a l tra b a ja r c o n las e cu a cio n e s s im u ltá n e a s . C o n s id e ra r e l c o n ju n to de ecu acio ne s (3 s + 1 0 )I1 - 1 0 I 2 = ^ s+ 2
101! + (4 s + 10)I2 = — —
s+ 1
SECCIÓN 15.2 ANÁLISIS NODALY D t MALLA EN EL DOMINIOS
U tiliz a n d o la n o ta c ió n s im b ó lic a de M A T L A B , se d e fin e n dos v a ria b le s de secuencia: E D U > e q n l = ‘( 3 * s + 1 0 ) * I l - 1 0*12 = 4 /( s + 2 ) ’ ; E D U » e qn 2 = ‘ - 1 0 * 1 1 + ( 4 * s + 1 0 ) * I 2 = - 2 / ( s + l ) ’ ; O b s e rv a r q u e la e c u a c ió n c o m p le ta se in c lu y ó en cad a secu en cia ; la m e ta c o n s is te en re s o lv e r las d os e cu a cio n e s de las v a ria b le s I I e 12. M A T L A B p ro p o rc io n a u n a ru tin a e s p e c ia l, solve(), q u e m a n ip u la tale s e cu acio ne s. Se a p lic a lis ta n d o la s e c u a c io n e s s ep arad as (d e fin id a s c o m o s e c u e n c ia s ), seguidas p o r una lis ta de in c ó g n ita s (d e fin id a s ta m b ié n c o m o secuencias): E D U » s o lu c ió n = s o lv e (e q n l, e qn 2, ‘ I I ’ , ‘12’ ); L a re spu esta se a lm a c e n a en la v a ria b le solución, aun qu e en u n a d is p o s ic ió n u n p o c o ine spe ra da . M A T L A B da c o m o respuesta, en u n a fo rm a que se de n o m in a e stru c tu ra , u n a c o n s tru c c ió n q u e re s u lta f a m ilia r p a ra lo s p ro g ra m a d o re s de C . E n esta etapa, s in e m b a rg o , to d o lo q u e se n e c e s ita c o n o c e r es la fo r m a de e x tra e r la respuesta. S i se te c le a E D U » I I = s o lu c ió n .Il se o b tie n e la re spu esta II = 2 * ( 4 * s + 9 ) / ( s + l) / ( 6 * s '2 + 4 7 * s + 7 0 ) q u e in d ic a q u e se a s ig n ó una e x p re s ió n d e l p o lin o m io s a la v a ria b le I I ; se u tiliz a u n a o p e ra c ió n s im ila r p a ra la v a ria b le 12. A h o ra se p ro c e d e de m a n e ra d ire c ta p a ra d e te rm in a r la tra n s fo rm a d a in versa de L a p la c e u tiliz a n d o la fu n c ió n ilaplace{)\ E D U » i l = ila p la c e ( Il) il = 1 0 /2 9 * e x p (—t ) — 1 7 2 /6 6 7 *e x p (—3 5 /6 * t) —2 /2 3 * e x p (—2 * t) D e esta m a n e ra , se o b tie n e c o n ra p id e z la s o lu c ió n d e la s e c u a c io n e s s i m u ltá n e a s que re s u lta n del a n á lis is n o d a l o de m a lla , y se d e te rm in a n ta m b ié n las tra n s fo rm a d a s in v e rs a s de L a p la c e . E l c o m a n d o ezplot(i l ) p e rm ite v e r la fo r m a e n q u e se o b s e rva la s o lu c ió n , s i así se desea. D e b e observarse que las e xp re sio n e s c o m p lic a d a s a veces q u iz á c o n fu n d a n a M A T L A B ; en tale s situ a cio n e s , ilaplaceQ q u iz á n o dé u n a re spu esta ú til. V a le la p en a m e n c io n a r unas cuantas fu n c io n e s re la c io n a d a s, pues ta m b ié n se u tiliz a rá n p a ra re v is a r de in m e d ia to las respuestas c a lc u la d a s de m a n e ra m a n u a l. L a fu n c ió n numdenQ c o n v ie rte u n a fu n c ió n ra c io n a l en dos v a ria b le s in d e p e n d ie n te s : u n a q u e c o n tie n e e l n u m e ra d o r y la o tra e l de n o m in a d o r. P o r e je m p lo , E D U » [N . D ] = n u m d e n ( Il) d a c o m o re s u lta d o dos e xp re sio n e s a lg e b ra ic a s alm acen ad a s en N y D , res p e c tiv a m e n te : N =
8 *s+ 1 8 D = ( s + l) * ( 6 * s " 2 + 4 7 * s + 7 0 ) (Continúa en la siguiente página)
»
W V
580 --------- V
W
----------------- •
CAPÍTULO15 ANÁLISISDECIRCUITOSENELDOMINIOS
Para a p lic a r la e x p e rie n c ia a n te rio r a la fu n c ió n residue(), es n e c e s a rio c o n v e r tir cad a e x p re s ió n s im b ó lic a (se cu e n c ia ) en u n v e c to r q u e c o n te n g a los c o e fic ie n te s d e l p o lin o m io . L o a n te rio r se lo g ra c o n e l c o m a n d o symlpolyQ: E D U » n = s y m 2 p o ly (N );
E D U » d = s y m 2 p o ly (D ) d = 6 53 117 7 0 después de lo c u a l se d e te rm in a n lo s re s id u o s E D U » [r p y ] — re s id u e (n ,d )
r=
P=
y=
-0 .2 5 7 9 -0 .0 8 7 0 0 .3 4 4 8
-5 .8 3 3 3 -2 .0 0 0 0 -1 .0 0 0 0
[ ]
lo c u a l c o n c u e rd a c o n lo que se o b tu v o m e d ia n te e l e m p le o de ilaplaceQ.
C o n estas n ue va s capacid ad es de M A T L A B (o un deseo a rra ig a d o de in te n ta r u n m é to d o a lte rn a tiv o , c o m o e l de C ra m e r o la s u s titu c ió n d ire c ta ), se está lis to p ara p ro c e d e r a a n a liz a r unos cua nto s c irc u ito s .
EJEMPLO 15.3 Determinar las dos corrientes de malla i\ e h del circuito de la figura 15.7a. Al inicio, no hay energía almacenada en el circuito. 4 H
2é-i u(t) V
F IG U R A 1 5 .7 (o) Circuito de dos mallas para el que se desean corrientes de malla individuales. (6) Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
C o m o s ie m p re , e l p rim e r paso c o n s is te en d ib u ja r e l c irc u ito e q u iv a le n te a p ro p ia d o en e l d o m in io de la fre c u e n c ia . P u e s to q u e n o se tie n e e ne rg ía
SECCIÓN 15.2 ANÁLISIS NODAL Y D t MALLA EN EL DOMINIOS
• ------------------------------
VW
----------------(
581
a lm a c e n a d a e n e l c irc u ito en t = 0 “ , se s u s titu y e e l c a p a c ito r de i F p o r u n a im p e d a n c ia de 3 /s £2 y e l in d u c to r de 4 (H ) p o r u n a im p e d a n c ia de 4s Q c o m o en la fig u ra 1 5 .7 b. A c o n tin u a c ió n , se escrib en dos ecuaciones de m a lla ju s to c o m o se h iz o antes: 4 s+ 2
3 —I i + lO I i — IO I 2 = 0 s
3 \ 4 — |- 10 1l i — 10L> = --------s / s+ 2
2 s+ 1
(m a lla 1)
+ 1 0 I 2 - 10I i + 4 s l 2 = 0
2
— 1 0 Ii 4- (4s + 10)12 = --------s+ 1
(m a lla 2)
D e s p e ja n d o l i e I 2, se e n c u e n tra que li =
2 s(4 s 2 + 19s + 2 0 ) (2 0s 4 + 66s 3 + 73s 2 + 57s + 3 0)
y 3 0 s2 + 4 3s + 6
j
2 ~ (s + 2 )(2 0 s 3 + 2 6s2 + 21s + 15) T o d o lo q u e re sta es o b te n e r la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de cada fu n c ió n , lu e g o de lo c u a l se tie n e Se indicó (de manera indirecta) que no fluye
¿1( / ) = —9 6 .3 9 e _2í - 3 4 4 . 8é T ' + 841.2
corriente a través del inductor en f = O- . Por lo ta n to ,/2(CT) = 0 y, en consecuencia,/2(0 + ) debe
mA
ser también igual a 0. ¿Este resultado es válido para
e
i2(t) = - m . 9 e ~ 2t - 241.4e~‘ + 723.3e~0J5t e o s 0 .8 5 2 9 1 + 4 7 2 .8 íf-0 1 5 ís e n 0 .8 5 2 9 í
1
prAc r ca t
mA
____________________________________________
15.3 D e te rm in a r las co rrie n te s de m a lla i¡ e i2 en e l c irc u ito de la fig u ra 15.8. Se p o d ría suponer que n o h a y energía alm acenada en e l c irc u ito en t = 0~.
Respuesta: h = e 2'/3 cos ( f V 2f) + (yy /2 / ^ je - 2,lz s e a { \
A;
h = - | + f e ú c o s ( | V 2 f ) + ( 1 3 V 2 / 2 4 ) é>-2,/ 3s e n ( | V 2 í ) A
su respuesta?
-A/VV
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
EJEMPLO 15.4 ..................... C a lc u la r la te n s ió n vx en e l c ir c u it o d e la f ig u r a 15.9 u t iliz a n d o la s té c n ic a s d e l a n á lis is n o d a l.
4u(t) V
2 + 5«(í) V
Ref ■ F IG U R A 1 5 .9 Circuito simple de cuatro nodos que contiene dos elementos de almacenamiento de energía.
«5 | 'O
1A
I F IG U R A 1 5 .1 0 Circuito equivalente en el dominio s de la figura 15.9.
E l p rim e r paso c o n s is te en d ib u ja r e l c irc u ito c o rre s p o n d ie n te en e l d o m in io s. Se p u e d e o b s e rv a r q u e e l c a p a c ito r | F tie n e u n a te n s ió n in ic ia ] de 2 V en sus te rm in a le s en e l tie m p o t = O- , lo c u a l re q u ie re q u e se e m p le e u n o de lo s dos m o d e lo s de la fig u ra 15.5. P ue sto q u e se u tiliz a r á e l a n á lis is n o d a l, q u iz á s sea m e jo r u sa r e l m o d e lo de la fig u ra 15.5¿>. E l c irc u ito re s u lta n te se m u e s tra en la fig u ra 1 5.10 . U n a v e z e sp e c ifica d a s las dos o tre s te n s io n e s n o d a le s, s o la m e n te q u e da u n a e cu a c ió n n o d a l p o r e s c rib ir: V , - -
-1 = ^ +
V
, +
V , - ______ s 4s
s p o r lo que V, -
10s 2 + 4
5s 2 + 2
s(2 s 2 + 4s + 1)
V2
s (s + l + Y
L a te n s ió n n o d a l vx se e n c u e n tra lle v a n d o a cab o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e , p o r m e d io de la c u a l se p u e d e v e r q ue
vx = [4 + 6 .8 6 4 e - '- 707í - 5 .8 6 4 e °-2929t]u(t) O Vx =
4 —e
9V2senh ^ - t
cosh — t
2
u(t)
¿Es correcta la respuesta? U n a fo rm a de v e r ific a rla es e v a lu a r la te n s ió n en e l c a p a c ito r en t = 0 , y a q u e se sabe q u e será de 2 V . P o r ende, Vc =
4s 2 + 2 8s + 3 s
■Vx =
s (2 s 2 + 4 s + l )
M u ltip lic a n d o V c p o r s y c a lc u la n d o e l lím ite de s - > o o , se e n c u e n tra q ue vc ( 0 + ) — lí m
c o m o se esperaba.
"4 s 2 + 28s + 3 " 2s2 + 4s + 1
= 2 V
SECCIÓN 15.2
PRÁCTICA
ANÁLISISNODALYDEMALLAENELDOMINIOs
*
AA/V
______________________________________________________________
15.4 A p lic a r e l a n á lisis n odal p ara c a lc u la n .^ (í)e n e l c irc u ito de la fig u ra 15.11.
Ref ■ F IG U R A 1 5 .1 1 Para el problema de práctica 15.4.
Respuesta: [5 4- 5.657 (e 1-707' —e °-2929')]m(í).
EJEMPLO 15.5 A p lic a r e l a n á lis is n o d a l p a r a d e t e r m in a r lo s v o lta je s v\, ib y im e n el c ir c u it o d e la f ig u r a lS.\2a. N o h a y e n e rg ía a lm a c e n a d a e n e l c ir c u it o e n t = 0~.
100 í l
v-
6s O
\-
■ F IG U R A 1 5 .1 2 (o) Circuito de cuatro nodos que contiene dos capadores y un inductor, ninguno de los cuales almacena energía en t = 0~. (b) Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia.
D ic h o c irc u ito con sta de tre s e le m e n to s de a lm a c e n a m ie n to de e n e rg ía sepa ra do s, n in g u n o de lo s cua les a lm a c e n a e n e rg ía e n t = 0 . P o r e llo , cada u n o se p o d ría s u s titu ir p o r su im p e d a n c ia c o rre s p o n d ie n te , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.12 b. Se o b s e rv a ta m b ié n la p re s e n c ia de u n a fu e n te de c o rrie n te d e p e n d ie n te c o n tro la d a p o r la tens i ón n o d a l (t). E m p e z a n d o en el n o d o 1, se e sc rib e la s ig u ie n te e cu a c ió n : 0 .1 s+ 3 “
V i- V 2 100 (Continúa en la siguiente página)
AAAr
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN FL DOMINIOS
10 s -I- 3
= Vi —V2
(n o d o l i
y en e l n o d o 2 :
V2 - V!
v2
v 2- v 3
o = — -------- - + — + — -------- 1 00 ' 7 /s 6s
—4 2 s V 1 + (6 0 0 s 2 + 4 2s + 7 0 0 ) V 2 - 7 0 0 V 3 = 0
(n o d o 2)
y, p o r ú ltim o , en e l n o d o 3 -0 .2 V 2 =
V3 - V 2 6s
V3 2/s
(1.2s — 1 )V 2 + (3s + 1 ) V 3 = 0 A l re s o lv e r este c o n ju n to de e cu a cio n e s re s p e cto de las te n sio n e s n o d a le s, se o b tie n e
Vi = 3
100s3 + 7s2 + 150s + 49 (s + 3 )(3 0 s 3 + 4 5 s + 14) 3s 2 + 1 (s + 3 )(3 0 s 3 + 45s + 14)
V 3 = -1 .4
6s - 5 (s + 3 )(3 0 s 3 + 4 5 s + 14)
E l ú n ic o p aso q u e q u e da es to m a r la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de c ad a te n s ió n , p o r lo que, p a ra / > 0 , u i( í ) = 9 .7 8 9 « -3 ' + 0 . 0 6 1 7 3 e “ a2941í + 0 .1 4 8 8 e 01471' c o s (1 .2 5 1 /) + 0 .0 5 1 7 2 e 01471ís e n (1 .2 5 1 í) V
v2(t) = - 0 . 2 1 0 5 e “ 3r + 0 .0 6 1 7 3 e “ a2941' + 0 . 1 4 8 8 e 01471í c o s (1 .2 5 1 /) + 0 .0 5 172e0147lfsen( 1 .2 5 1 /) V
V3(t) = —0 .0 3 4 5 9 e ~ 3í + 0 .0 6 6 3 l e - 0 '2941' — 0 .0 3 1 7 2 e ° 1471íc o s (1 .2 5 1 /) — 0 .0 6 3 6 2 e 01471,s e n (1 .2 5 1 í) V O b s e rv a r que la re sp u e sta c re ce en fo rm a e x p o n e n c ia l c o m o re s u lta d o de la a c c ió n de la fu e n te de c o rrie n te d e p e n d ie n te . E n esencia, e l c irc u ito se está d is p a ra n d o , lo q u e in d ic a que en a lg ú n p u n to u n c o m p o n e n te se está fu n d ie n d o , e x p lo ta n d o o f a lla de a lg u n a m a n e ra s im ila r. ¡S i b ie n re s u lta e v i d e n te que e l a n á lis is de lo s c irc u ito s de este tip o im p lic a u n a g ra n c a n tid a d de tra b a jo , las v e n ta ja s re la tiv a s a la s té c n ica s e n el d o m in io s son claras u n a v e z que se c o n s id e ra q u e lle v a n a cab o e l a n á lis is en e l d o m in io d e l tie m p o ! v,(t)
3H
p,( 1)
8H
/ .ii\
-n m p | ) i O m( í ) A
<
■ FIGURA 15.13
2 fi
P R Á C T I C A g__________________________________________ _______ '
3 * fí)A
15.5 E m p le a r e l a n á lis is n o d a l p a ra d e te rm in a r las te n s io n e s v¡, v2 y f 3 en el c irc u ito de la fig u ra 15.13. S u p o n e r que n o h a y e n e rg ía a lm a ce n a d a en lo s in d u c to re s e n t = 0 ” . Respuesta: v \ ( t ) = —30 S (t) — 1 4 u(t) V ; v 2(t) = — 14u ( t ) V ; v-¡(t) = 2 4 S (t ) — 1 4 « ( f) V .
SECCIÓN 15.3
TÉCNICASADICIONALESD| ANÁLISISDECIRCUITOS
• ----------------- W V --------- (- 585
15.3 TÉCNICAS ADICIONALES DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
----------- • ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------S egún sea la m e ta específica a l a n a liza r u n c irc u ito en p a rtic u la r, se encuentra a m e nu do que se s im p lific a nuestra tarea s i se e lig e c o n cuid ad o la técn ica de análisis. P o r e je m p lo , ra ra vez se desea a p lic a r la su p erpo sició n a u n c irc u ito que contiene 215 fuentes independientes, pues u n m é to d o de este tip o re qu iere e l a nálisis de ¡215 c irc u ito s independientes! S in em bargo, a l pensar que los elem entos pasivos, com o lo s capacitores y los in d u cto re s, fu e ra n im p ed an cia s, se tien e la lib e rta d de a p lic a r c u a lq u ie ra de las técnicas de a nálisis de c irc u ito que se e studiaron en lo s cap ítu los 3, 4 y 5 para lo s c irc u ito s que se h a n tra n s fo rm a d o en sus equivalentes en e l d o m in io s. D e esta fo rm a , ta n to la s u p e rp o s ic ió n , las tra n s fo rm a c io n e s de fu e n te c o m o lo s teo re m as de T h é v e n in y de N o r to n se a p lic a n to d o s en e l d o m in io s.
EJEMPLO 15.6 Simplificar el circuito de la figura 15.14a mediante las transforma ciones de fuente y determinar la expresión de la tensión v(t).
0.5 F
0.5 F
S in c o rrie n te s o te n sio n e s in ic ia le s e sp e cifica d a s y u n a u(t) que m u ltip lic a a la fu e n te de te n s ió n , se c o n c lu y e que, a l in ic io , n o h a y e ne rg ía a lm a ce n a d a en e l c irc u ito . P o r lo ta n to , se d ib u ja el c irc u ito en e l d o m in io de la fre c u e n c ia c o m o se m u e s tra en la fig u ra 15.14¿>. L a e stra te g ia co n s is te en e fe c tu a r v a ria s tra n s fo rm a c io n e s de fu e n te suce sivas para c o m b in a r las dos im p e d a n c ia s de 2/s £2 y la re s is te n c ia de 10 £2; se debe d e ja r sola la im p e d a n c ia de 9s Q c u a n d o la c a n tid a d deseada V(s) apa re zca en sus te rm in a le s . Se p o d ría tra n s fo rm a r a h o ra la fu e n te de te n s ió n y la im p e d a n c ia m ás a la iz q u ie rd a de 2/s £2 en u n a fu e n te de c o rrie n te
en p a ra le lo c o n u n a im p e d a n c ia de 2/ s £2. C o m o se m u e stra en la fig u ra 15.15a, después de d ic h a tra n s fo rm a c ió n se tie n e Zi = (2/s) || 10 = 20/(10s + 2) £2, que e n fre n ta a la fu e n te de c o m e n te . A l e fe c tu a r o tra tra n s fo rm a c ió n de fu e n te , se tie n e u n a fu e n te de te n s ió n V2(s) ta l que
■ F IG U R A 15.15 que se analizará.
(a) (b) (a) Circuito después de la primera transformación de fuente, (b) Circuito final en el
L a fu e n te de te n s ió n está en serie c o n Z i y ta m b ié n c o n la im p e d a n c ia que queda 2/s; la c o m b in a c ió n de Zi y 2/s en u n a n u e va im p e d a n c ia Z2 p ro d u c e
20 2 40s + 4 Z2 = --------- -|- —= ------------10s + 2 s s(10s-|-2)
£2
(Continúa en la siguiente página)
(b) ■ F IG U R A 1 5 .1 4 (o) Circuito que se va a simplificar mediante transformaciones de puente. (b) Representación en el dominio de la frecuencia.
f M í j ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------W
v
-----------------•
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO
E l c irc u ito que re s u lta se m u e s tra en la fig u ra 1 5.1 5 6 . E n esta e ta pa se está p re p a ra d o p a ra o b te n e r la e x p re s ió n de la te n s ió n V (s ) u tiliz a n d o la d iv is ió n de te n s ió n s im p le :
í
s2 \ f 20 \ s2 + 9 / \ lOs + 2
9s 9s +
40s + 4 s ( 10s + 2)_
180s4 ~ (s~ + 9 )(9 0 s 3 + 18s2 + 40s + 4 ) A m b o s té rm in o s d e l d e n o m in a d o r posee n ra íce s c o m p le ja s . A l e m p le a r M A T L A B p a ra fa c to riz a r e l d e n o m in a d o r y lu e g o d e te rm in a r lo s re s id u o s , EDU» d i = V 2 + 9’; EDU
d 2 = ’ 9 0 *s "3 + 1 8 *s "2 + 4 0 * s + 4 ’ ;
E D U » d = s y m m u l( d l, d 2 ); EDU
d e n o m in a d o r = e x p a n d (d );
EDU
d e n = s im 2 p o li(d e n o m in a d o r);
EDU
num = [1 8 0 0 0 0 0 ];
E D U » [ r p y ] = re s id u o (n u m , d e n ); se e n c u e n tra que Observar que cada térm ino que tiene un polo complejo cuenta con un término acompañante que
1 .0 4 7 + j'0 .0 7 1 6 1 .0 47 — j'0 .0 7 1 6 0 .0 4 7 1 + j0 .0 1 9 1 V (V ) = ___ ______ "_________I__________ 1_______________________ í ______:____ s-j3 s + j3 s + 0 .0 4 8 8 5 - y'0 .6 5 7 3
es su conjugado complejo. En cualquier sistema físico, los polos complejos siempre aparecerán
0 .0 4 7 1 - j0 .0 1 9 1
, 5 .5 9 0 x 10 "5
~~ s + 0 .0 4 8 8 5 + y '0 .6 5 7 3 +
s + 0 .1 0 2 3
en pares conjugados.
T o m a n d o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de c a d a té rm in o y e s c rib ie n d o 1 .047 + j0 . 0 7 1 6 c o m o 1 .0 49 e^3-912° y 0 .0 4 7 1 + ./0 .0 1 9 1 c o m o 0 .0 5 0 8 3 e 7 '57'9 se tie n e
v(t) —1.049ej3'912°ej3tu(t) + l.049e~i3-9l¥ e~j3,u(t) + 0 .0 5 0 8 3 e _ jl5 7 -9°e- 0 -04885í« _y°-6573tM (í) + 0 .0 5 0 8 3 e+J]51^ e - m 5 ‘e+J°-6513tU(t)
+ 5 .5 9 0 x 1 0~ 5e _ 0' 1023, M (í) L a c o n v e rs ió n d e las e x p o n e n c ia le s c o m p le ja s en senoides p e rm ite e s c rib ir u n a e x p re s ió n lig e ra m e n te s im p lific a d a de la te n s ió n :
v(t) = [5 .5 9 0 x i o - 5e - ° 1023í + 2 .0 9 8 c o s (3 f + 3 .9 1 2 ° ) + 0 . 1 017e“ 004885< c o s (0 .6 5 7 3 f + 1 5 7 .9 ° ) ] m ( í )
PRÁCTICA
5 u(t) V
■ FIGURA 15.16
V
_______________________________________________________________
1 5.6 U tiliz a n d o e l m é to d o de la tra n s fo rm a c ió n de fu e n te , re d u c ir e l c irc u ito de la fig u ra 1 5 .1 6 a u n a fu e n te de c o rrie n te s im p le e n e l d o m in io s en p a ra le lo c o n u n a s o la im p e d a n c ia . 35 Respuesta:I, = ¡ W s + 63- A ,
72s2 + 252s Z - = M + 6 3 S2 + 12s + 28
SECCIÓN 15.3 TÉCNICAS ADICIONALES DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Y A
%
0
EJEMPLO 15.7 Encontrar el equivalente de Thévenin en el dominio de la frecuencia de la red encerrada en un rectángulo de la figura 15.17a. Este circuito en particular se conoce como modelo "híbrido jr" de un tipo especial de circuito de un transistor simple conocido como amplificador de base común. Los dos capacitores C„ y C^, represen tan capacitancias internas del transistor y por lo común son del orden de unos cuantos pF. La re sistencia
(a)
del circuito representa la resistencia
equivalente de Thévenin del dispositivo de salida, que podría ser un altavoz o incluso un láser semicon ductor. La fuente de tensión vs y la resistencia R¡ representan, en conjunto, el equivalente de Thévenin
1A
1/s Cv = =
V ent RE < > -
r„ > V „ |
Rc <>
del dispositivo de entrada, que podría ser un micró 1/sC ^ = =
Rl <
antena de radio.
+
(b) 1 F IG U R A 1 5 .1 7 (o) Circuito equivalente del amplificador transistorizado de "base común". (b) Circuito equivalente en el dominio de la frecuencia con una fuente de prueba de 1 A sustituida por la fuente de entrada representada por v¡ y Rs-
A s í, se p id e d e te rm in a r e l e q u iv a le n te de T h é v e n in d e l c irc u ito c o n e c ta d o a l d is p o s itiv o de e ntra d a : esta c a n tid a d se c o n o c e a m e n u d o c o m o impedancia de entrada d e l c irc u ito a m p lific a d o r. D espu és de c o n v e rtir e l c irc u ito en su e q u iv a le n te en e l d o m in io de la fre c u e n c ia , se s u s titu y e e l d is p o s itiv o de e n tra d a (u s y Rs) p o r u n a fu e n te “ de p ru e b a ” de 1 A , c o m o se ilu s tra en la fig u ra 1 5.1 7¿?. L a im p e d a n c ia de e n tra d a Z ent e q u iv a le e nton ces a:
Vent-
o s e n c illa m e n te Se debe d e te rm in a r u n a e x p re s ió n de esta c a n tid a d en té rm in o s de la fu e n te de 1 A , de las re s iste n c ia s y de lo s ca p a c ito re s y /o e l p a rá m e tro de fu e n te d e p e n d ie n te g. A l e s c rib ir u n a s o la e c u a c ió n n o d a l en la entra da , se p u e de v e r que ! + ? - $ - 1 '" •¿'eq d on de Z eq = Re D a d o que
1
R e ?ti
------- rn — -----------------------------------sC .t rn + R e + sR e ^ C ^
V,T = —Vent, se o b s e rv a que Z
— V
=
fono, una resistencia sensible a la luz o tal vez una
________________ R-Er7T________________
rn + R e + sR Er„CK + gREr„
A /W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
1a
PRACTICA
— v w — 3 u(t) V | M
r
0.25 F =,=
4 ft <
15.7 T ra b a ja n d o en e l d o m in io s d e te rm in a r e l e q u iv a le n te de N o rto n ,, v is to desde la re s is te n c ia de 1 Q p ara e l c irc u ito de la fig u ra 15.18. Respuestas: Isc = 3(s + l)/4 s A; Z,¡, = 4 /(s + L)-Q.
* FIG U R A 15.18
15.4 POLOS, CEROS Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
----------- • --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------E n esta s e c c ió n se repasa la te rm in o lo g ía que se p rese ntó e n e l c a p ítu lo 14 p o r p rim e ra vez, es d e c ir, polos, ceros y funciones de transferencia. C o n s id e ra r e l c irc u ito s im p le de la fig u ra 15.19 a. E l e q u iv a le n te en e l d o m in io s se ilu s tra en la fig u ra 1 5.19 b y e l a n á lisis n o d a l d a c o m o re s u lta d o : „
“
V sai
V Sal — Vent
1 /s C
R
A l re o rd e n a r y d espe jar V sai, se o b se rva que V sal:
H (s ) =
R
o-----V\Ar-
+
+ 'salí' 1
(a)
R
o----- v w +
+ V en,(s)
sC
Y -,00
0b) i FIG U R A 15.19 (o) Circuito simple de una resistencia y un capacitor, con una tensión de entrada y una tensión de salida especificada. (b) Circuito equivalente en el dominio.
Cudndo se calcula la magnitud, se suele considerar a + o o y - o o como si fueran el mismo punto. Sin embargo, el ángulo de fase de la respuesta en valores m uy grandes positivos y negativos de a>no necesita ser el mismo.
V ent
1 + s RC
1
V sal
1 -i- s RC
[7 ]
d o n d e H ( s ) es la función de transferencia d e l c irc u ito , d e fin id a c o m o la p ro p o rc ió n (o ra z ó n ) entre la s a lid a y la e ntrada. Se p o d ría e s p e c ific a r s in n in g ú n p ro b le m a u n a c o rrie n te p a rtic u la r c o m o la c a n tid a d de e n tra d a o de s a lid a , lo que im p lic a ría u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia d ife re n te d e l m is m o c irc u ito . P o r lo ge n e ra l, lo s esquem as de c irc u ito se lee n de iz q u ie rd a a d ere cha , d e b id o a lo c u a l lo s d ise ña do re s m u ch a s veces p o n e n la e ntra d a de u n c irc u ito a la iz q u ie rd a d e l m is m o esq ue m a y la s te rm in a le s de s a lid a a su dere cha , p o r lo m e no s en la m e d id a de lo p o s ib le . E l c o n c e p to de fu n c ió n de tra n s fe re n c ia es m u y im p o rta n te , ta n to p a ra e l a n á lis is de c irc u ito c o m o p a ra o tras áreas de la in g e n ie ría . S on dos la s razones. P rim e ra , u n a v e z q u e se c o n o c e la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de u n c irc u ito p a r tic u la r, se e n c u e n tra c o n fa c ilid a d la s a lid a que re s u lta de cualquier entra d a ; to d o lo q u e se n e c e s ita es m u ltip lic a r H ( s ) p o r la c a n tid a d de e ntra da y to m a r la tra n s fo rm a d a in v e rs a de la e x p re s ió n que se p ro d u c e . S egunda, la fo rm a de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia c o n tie n e u n a g ra n c a n tid a d de in fo rm a c ió n acerca d e l c o m p o r ta m ie n to que se p o d ría e sp erar de u n c irc u ito (o siste m a ) en p a rtic u la r. C o m o se o b s e rv ó en la a p lic a c ió n p rá c tic a d e l c a p ítu lo 14, p ara e v a lu a r la es ta b ilid a d de u n s iste m a se re q u ie re d e te rm in a r lo s p o lo s y ceros de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia H (s ); se a n a liz a rá este p u n to c o n d e ta lle m ás adelante. L a e cu a c ió n [7 ] se e s c rib iría c o m o
H(s) =
1¡RC 1 /R C
[8 ]
L a m a g n itu d de esta fu n c ió n tie n d e a cero cua nd o s —» o o. D e ta l m o d o , se puede a firm a r que H ( s ) tie n e u n cero en s = o o. L a fu n c ió n tie n d e a in fin ito en s = — 1 / RC', p o r lo ta n to , se a firm a que H (s ) tie n e u n polo e n s = — 1 /RC. Estas fre c u e n cias se c o n o ce n c o m o frecuencias críticas y su id e n tific a c ió n te m p ra n a s im p lific a la c o n s tru c c ió n de las curva s de respuesta que se d e sa rro lla rá n en la s e c c ió n 15.7.
SECCIÓN 15.5 CCNIVOLUCIÓN
15.5 , CONVOLUCION L a s té cn ica s en e l d o m in io s que se han d e s a rro lla d o hasta e l m o m e n to son m u y ú tile s p a ra d e te rm in a r la respuesta de te n s ió n y de c o rrie n te de u n c irc u ito p a r tic u la r. S in e m ba rg o, en la p rá c tic a a m e n u d o se deben e n fre n ta r c irc u ito s a lo s que se les p ue de n c o n e c ta r fue nte s a rb itra ria s y que re q u ie re n u n a fo rm a e fic ie n te de d e te rm in a r la n u e va s a lid a cada vez. E s ta tarea se hace fá c ilm e n te si se p ue de ca ra c te riz a r e l c irc u ito b á s ico m e d ia n te u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia lla m a d a fu n ción del sistema. C o m o está a p u n to de verse, re s u lta q ue ta l fu n c ió n d e l siste m a es la tra n s fo rm a d a de L a p la c e de la respuesta de im p u ls o u n ita rio d e l c irc u ito . E l a n á lis is p u e d e c o n tin u a r ta n to en e l d o m in io d e l tie m p o c o m o en e l de la fre c u e n c ia , a u n q u e en g e n e ra l es de m a y o r u tilid a d tra b a ja r e n e l d o m in io de la fre c u e n c ia . E n tales s itu a cio n e s , se c u e n ta c o n e l p ro c e so de c u a tro pasos sen c illo s q ue se m e n c io n a a c o n tin u a c ió n : 1. D e te rm in a r la fu n c ió n de sistem a del c irc u ito (si es que no se conoce todavía). 2. O b ten er la tra nsform ad a de L a p la c e de la fu n c ió n fo rza d a que se a p lic a rá 3. M u ltip lip lic a r esta transform ada y la fu n c ió n del sistem a entre sí, y finalm ente 4. O b ten er la tra nsform ad a inve rsa de L a p la c e d e l p ro d u cto a fin de e ncontrar la respuesta de salida.
P o r estos m e d io s a lg u na s e xp re sio n e s in te g ra le s m ás o m e n o s c o m p le ja s se re d u c irá n a fu n c io n e s s im p le s de s, p o r lo q u e las o p e ra cio n e s m a te m á tic a s de in te g ra c ió n y de d ife re n c ia c ió n se s u s titu irá n p o r las o p e ra cio n e s m ás s im p le s de m u ltip lic a c ió n y d iv is ió n a lg e b ra ica s. C o n estos s e ñ a la m ie n to s en m e n te , se p ro c e d e a h o ra a e x a m in a r la re spu esta de im p u ls o u n ita rio de u n c irc u ito y es ta b le c e r su re la c ió n con la fu n c ió n d e l siste m a . D espu és se c o n s id e ra rá n a lg u n o s p ro b le m a s de a n á lis is co n cre to s.
Respuesta al impulso S ea una re d e lé c tric a lin e a l N, s in e n e rg ía in ic ia l alm acen ad a , a la que se a p lic a la fu n c ió n fo rz a d a x (z ). E n a lg ú n p u n to de este c irc u ito está p rese nte u n a fu n c ió n de re spu esta y(t). Se m u e s tra lo a n te rio r en fo rm a de d ia g ra m a de b lo q u e s e n la fig u ra 15.20a ju n to c o n lo s d ib u jo s de fu n c io n e s de tie m p o g en érica s. Se de m u e s tra que la fu n c ió n fo rz a d a e x is te ú n ic a m e n te en e l in te rv a lo a < t < b. P o r lo ta n to , y{t) s ó lo e x is te p a ra t > a. L a p re g u n ta que se desea re s p o n d e r a h o ra es: “Si se conoce laforma de x (/) , ¿cómo se describe y(t) ? ” Para re s p o n d e rla es n ecesa rio c o n o c e r a lg o s ob re N. S up ó ng ase que el c o n o c im ie n to de N ra d ic a en e l c o n o c im ie n to de su re p u e sta c u a n d o la fu n c ió n fo rz a d a es u n im p u ls o u n ita r io <$(/)• E s to es, se s u p o n e que se con oce h(t), la fu n c ió n de re spu esta que re s u lta c u a n d o u n im p u ls o u n ita rio se s u m in is tra c o m o la fu n c ió n fo rz a d a en t = 0 , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.20 6. L a fu n c ió n h(t) suele r e c ib ir e l n o m b re de fu n c ió n de respuesta a l im p u ls o u n ita rio o respuesta al impulso, y es u n a p ro p ie d a d d e s c rip tiv a m u y im p o rta n te de u n c irc u ito e lé c tric o . C o n base en e l c o n o c im ie n to de las tra n s fo rm a d a s de L a p la c e , se c o n s id e ra a ésta desde u n a p e rs p e c tiv a u n p o c o d ife re n te . A l tra n s fo rm a r x(t) en X ( s ) e y(t) en Y ( s ) , se d e fin e la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia d e l s iste m a H ( s ) c o m o H (s) . M
X(s)
* -
AAAr
A /W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
y(t)
x(t) x(t) -
N
-y(t)
(a)
x(t> = 8(t)
y(t ) = h(t)
sw-
( 1)
-h{t)
ib)
S (í-A )-
N
- h ( t - A)
(c) N
-;t(A) h { t - X )
(d) J x(\) S ( t -
X)
d \-
-j " x(\)h (t-\)d \
(e) x(t) ■
iV
'/ ■ ;r(A) h ( t - X ) í/A = }>(/)
(/) ■ FIG U R A 15J O Desarrollo conceptual de la integral de convolución.
S i x(t) = < 5 (í), enton ces, de a cu e rd o c o n la ta b la 14.1, X ( s ) = 1. P o r lo ta n to , H(s) = Y(s), te n ie n d o así, en este caso, h(t) = y (t). E n v e z de a p lic a r e l im p u ls o u n ita rio en el tie m p o t — 0 , ahora sup on er que se a p lic a en e l tie m p o t = X (la m b da ). Se puede o b serva r que e l ú n ic o c a m b io en la sa lid a es e l re tardo de tie m p o . P o r lo tan to, la salid a se v u e lv e h(t —X) cuando la en tra da es <5(f — A.), c o m o se v e en la fig u ra 15.20c. A c o n tin u a c ió n , suponer que e l im p u ls o de entrada tiene una inte nsid ad d ife re nte de la u nitaria. D e m anera específica, d e ja r que la in te n s id a d d e l im p u ls o sea n um é rica m e n te ig u a l a l v a lo r de x{t) cuando t = X. E l v a lo r ,v(A.) es u n a constante; se sabe que m u ltip lic a r una fu n c ió n fo r/a d a en u n c irc u ito lineal p o r u n a constante ocasiona sim p le m e n te que la respuesta cam b ie de m anera p ro p o rc io n a l. A s í, si la entrada ca m b ia en x(X)8(t — X);>entonces la respuesta se v u e lv e x (X)h(t — X), de acuerdo c o n la fig u ra 15.20J. S u m a r a h o ra esta ú ltim a e n tra d a sobre to d o s lo s v a lo re s p o s ib le s d e A. y u t i liz a r e l re s u lta d o c o m o u n a fu n c ió n fo rz a d a de N. L a lin e a lid a d e sta ble ce que la s a lid a debe ser ig u a l a la sum a de las respuestas q u e re s u lta n d e l u so de to d o s lo s v a lo re s p o s ib le s de a . E n g e n e ra l, la in te g ra l de la e n tra d a d a c o m o re s u lta d o la in te g ra l de la s a lid a , lo c u a l se in d ic a en la fig u ra 15.20e. S in e m b a rg o , ¿ cuál es a h o ra la entra da ? D a d a la p ro p ie d a d de filtr a d o 1 d e l im p u ls o u n ita rio , se o b s e rva que la entrada es sen cilla m e nte jl'( í ) , la entrada o rig in a l. P o r lo tanto, la fig u ra 15 ,20e p u e de re prese ntarse b a jo la fig u ra 1 5 .2 0 /. (1) La propiedad de filtrado de la función impulso, descrita en la sección 14.5, establece que
SECCIÓN 15.5 CONVOLUCIÓN
• ------------------------------
VW ---------------- f591
Integral de convolución S i la e n tra d a d e l s iste m a ¿V es la fu n c ió n fo rz a d a x(t), se sabe q u e la s a lid a de b e rá ser la fu n c ió n y(t), c o m o se m u e s tra e n la fig u ra l5 .2 0 a . P o r ende, a p a rtir de la fig u ra 1 5 .2 0 /'s c c o n c lu y e que
y(t) = j x(X)h(t — k) dk J —OO
[9 ]
d o n d e h{t) es la re spu esta a l im p u ls o de N . E s ta im p o rta n te re la c ió n se co n o c e en to d o s la d o s c o m o integral de convolución. E n o tras p a la b ra s , esta ú ltim a e cu a ció n establece que la salida es igual a la entrada convolucionada con la res puesta al impulso. A m e n u d o se a b re v ia p o r m e d io de ¡Tener cuidado en no confu-dir esta nueva nolacicp
j ( í ) = x(t) * h(t)
con la multiplicación!
d o n d e e l a ste ris co se le e “ c o n v o lu c io n a c o n ” . L a e cu a c ió n [9 ] a lg u na s veces a parece de u n a fo rm a u n p o c o d ife re n te , p e ro e q u iv a le n te . S i z = t — X, e nton ces d). — —dz, y la e x p re s ió n p a ra y(t) se c o n v ie rte en /»—OO ¿iCO =
/
/»C
- x ( t - z )h (z )d z = /
J oo
x(t — z)h(z) dz
J —c
y p u e sto que e l s ím b o lo que se está u tiliz a n d o p a ra la v a ria b le de in te g ra c ió n n o tie n e im p o rta n c ia , se p u e d e m o d ific a r la e c u a c ió n [9 ] p a ra e s c rib irs e b a jo la s ig u ie n te fo rm a
/ OO x(z)h(t - z) dz -OO
[ 10]
x{t - z)h(z)dz
- Jf
—C
Convolución y sistemas realizables E l re s u lta d o q u e se o b tie n e a p a rtir de la e cu a c ió n [1 0 ] es m u y g e n e ra l; se a p lic a a c u a lq u ie r s iste m a lin e a l. S in e m b a rg o , se suele e sta r in te re sa d o en sistem as físicamente realizables, es decir, a q u e llo s q ue existen o podrían existir, p e ro esos sistem as tie n e n una p ro p ie d a d que m o d ific a lig e ra m e n te la in te g ra l de c o n v o lu c ió n . E s to es, la respuesta del sistema no puede empezar antes de que se aplique lafunción forzada. E n p a rtic u la r, h(t) es la re spu esta d e l s iste m a q u e re s u lta de la a p lic a c ió n de un im p u ls o u n ita r io en t — 0. P o r lo ta n to , h(t) n o puede e x is tir p a ra t < 0. Se despren de q ue , en la seg un da in te g ra l de la e cu a c ió n [ 10], e l in te g ra n d o es c e ro c u a n d o z < 0 ; en la p rim e ra in te g ra l, e l in te g ra n d o es c e ro c u a n d o ( í — z) es n e g a tiv o o c u a n d o z > t. P o r lo ta n to , p a ra sistem as rea lizables lo s lím ite s de in te g ra c ió n c a m b ia n en las in te g ra le s de c o n v o lu c ió n :
y(t) = x ( t ) * h ( t ) = —OO
x(z)h(t - z)dz
/»oo
-J
[1 1 ]
x(t-z)h (z)d z 0
592 --------- W V
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
T a n to la e c u a c ió n [1 0 ] c o m o la [1 1 ] son v á lid a s , a un q u e la ú ltim a es m ás es p e c ífic a c u a n d o se h a b la de siste m as lin e a le s realizables, p o r lo q ue v a le la pen a m e m o riz a rla .
vi (2) l
Z 1
Método gráfico de convolución
(a)
A n te s de a h o n d a r m ás en la im p o rta n c ia de la respuesta de im p u ls o de u n c irc u ito , se c o n s id e ra rá u n e je m p lo n u m é ric o que p ro p o rc io n a rá c ie rto c o n o c im ie n to en c u a n to a la fo rm a e n q u e se e v a lú a la in te g ra l de c o n v o lu c ió n . S i b ie n la e x p re s ió n m is m a es m u y s im p le , la e v a lu a c ió n a veces re s u lta p ro b le m á tic a , sob re to d o c o n re spe cto a lo s v a lo re s u tiliz a d o s c o m o lím ite s de in te g ra c ió n . S u p o n e r q u e la e n tra d a es u n im p u ls o de te n s ió n re c ta n g u la r q u e e m p ie z a en t = 0, tie n e u n a d u ra c ió n de 1 segundo y es de 1 V de a m p litu d :
«*<- * )
1
z -1
(b)
x(t) — v¡{t) = u(t ) — u(t — 1)
v¡(t - z )
S u p o n e r ta m b ié n q u e este im p u ls o de te n s ió n se a p lic a a u n c irc u ito c u y a res p ue sta a l im p u ls o se sabe que es u n a fu n c ió n e x p o n e n c ia l de la fo rm a
1
z
t-
t
1
h(t) = 2 e ‘u(t) Se desea e v a lu a r la te n s ió n de s a lid a v0(t). Se p u e d e e s c rib ir la respuesta, de in m e d ia to , en fo rm a in te g ra l
(c)
/• O O
y(t) = va(t) = v¡(t) * h(t) = / Jo
v¡(t - í)h(z)dz
[u(t — z) — u{t — z — 1)][2e~zu(z)]dz
(<0 v,(t - z)h(z)
(e) v ¡(t-z )
1 - -------------0 t- 1
1
t
2
(/) ■ F IG U R A 1 5 .2 1 Conceptos gráficos para evaluar una integral de convolución.
O b te n e r esta exp re sió n de v„(t) es m u y sim p le , aunque la p resencia de la g ra n can tid a d de fu n c io n e s de escalón u n ita rio tie n d e a h acer co n fu s a su e va lu a c ió n e in c lu so q uizás sea u n p o c o m olesta. D eb e prestarse m u ch a a tención a la d e te rm in a c ió n de las partes del in te rv a lo de in te g ra c ió n en e l c u a l e l in te g ra n d o es cero. Se re c u rrirá a c ie rto a u x ilio g rá fic o que a yu d e a c o m p re n d e r lo q u e a firm a la in te g ra l de c o n v o lu c ió n . Se c o m ie n z a d ib u ja n d o v a rio s ejes z a lin e a d o s u n o a r r i ba d e l o tro , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.21 . Se sabe q u e v¡ (t) se ve de esa m a n e ra y p o r e llo ta m b ié n se sabe q u e v¡ (z) se v e ta m b ié n de fo rm a s im ila r y se g ra fic a en la fig u ra 1 5.21a. L a fu n c ió n v¡(—z) es s im p le m e n te v¡(z), q ue c o rre en d ire c c ió n c o n tra ria c o n re s p e cto a z, o está g ira n d o a lre d e d o r d e l e je de o rd e nadas, c o in o se ilu s tra en la f ig u r a 1 5 .2 1 6 . D e sp u é s se desea re p re s e n ta r v¡ (t — z), la c u a l es v¡ ( —z) lu e g o de q u e se h a c o rrid o h a c ia la d e re c h a p o r u n a c a n tid a d z = t c o m o en la fig u ra 1 5.21 c. E n e l s ig u ie n te e je z, fig u ra 15.21 d, se g ra fic a la re spu esta de im p u ls o h(z) = 2e~z v(z). E l paso s ig u ie n te es m u ltip lic a r las dos fu n c io n e s v¡(t — z) y h(z)\ e l re s u l ta d o para u n v a lo r a rb itra rio de t < 1 se m u e s tra en la fig u ra 1 5 .2 le . Se busca u n v a lo r de la s a lid a vQ(t), e l c u a l está d a d o p o r e l área b a jo la c u rv a , re s u lta d o d e l p ro d u c to de las d os fu n c io n e s (la q u e se m u e s tra som b re a d a en la fig u ra ). C o n s id e ra r e n p rim e ra in s ta n c ia t < 0. E n este caso, n o e xis te tra sla p e e n lre v¡ (t — z) y h(z), p o r lo q ue v0 = 0. A m e d id a q u e t a um e n ta , se d e s p la z a e l im p u ls o q u e se m u e s tra en la fig u ra 1 5 .2 1 c a la d ere cha , lo que p ro d u c e un tra sla p e c o n h(z) u n a v e z q u e t > 0. E l área b a jo la c u rv a c o rre s p o n d ie n te de la fig u ra F ig . J 5 .2 le c o n tin ú a a u m e n ta n d o a m e d id a que a u m e n ta e l v a lo r de t h asta que se a lc a n z a u n v a lo r de t = 1. A m e d id a que t a u m e n ta m ás a llá de este v a lo r, se abre u n a b a n d a e n tre z = 0 y e l f ilo d e la n te ro d e l im p u ls o , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.21 /. C o m o re s u lta d o , e l tra sla p e c o n h(z) d is m in u y e .
SECCIÓN 15.5 CONVOLUCIÓN
* -
A /W
593
E n o tras p a la b ra s , p a ra v a lo re s de t q u e se e n c u e n tra n e n tre c e ro y la u n id a d , se debe in te g ra r desde z = 0 hasta z = t\ p a ra v a lo re s q u e e xce d a n la u n id a d , el ra n g o de in te g ra c ió n es í — 1 < z < t. P o r ende, se p ue de e s c rib ir
t<
0 í 2e~z dz = 2 ( l - e - ‘) v0(t) - ■ Jo f
Jt-i
0
0
2e~z dz = 2 (e — \)e~‘ í > l
E sta fu n c ió n se p re se n ta g ra fic a d a en fu n c ió n de la v a ria b le de tie m p o fig u ra 1 5.22 , te n ie n d o así la s o lu c ió n c o m p le ta d a .
t en
la
va(t)
FIG U RA 15.22 Función de salida la convolución gráfica.
v0que se obtiene por medio de
EJEMPLO 15.8 Aplicar una función de escalón unitario, x(t) = «(íj^fcomo la entrada a un sistema cuya respuesta al impulso es h(t) = u(t) —2u(t —1) + u(t —2 f y determinar la salida correspondientey(t ) = x(t) =1= h(t). E l p rim e r paso es g ra fic a r x(t) y
h(t), seg ún se in d ic a en la
fig u ra 15.23.
m x(t)
-L
(b)
(a)
l FIG U RA 15.23 Dibujos de (o) la señal de entrada x(t) = u(t) y (6) la respuesta al impulso unitario h(t) = u(t) - 2u(t - 1) + u (t - 2 ), de un sistema lineal.
Se e lig e de m a ne ra a rb itra ria e v a lu a r la p rim e ra in te g ra l de la e cu a ció n [1 1 ]:
y (0 =
í
x(z)h{t —z) dz
J —OO
y se e la b o ra u n a s e c u e n cia de d ib u jo s q u e a yu de a s e le c c io n a r lo s lím ite s de in te g ra c ió n c o rre cto s. L a fig u ra 1 5.24 p re s e n ta estas fu n c io n e s en o rd e n : la e n tra d a x(z) c o m o u n a fu n c ió n de z; la respuesta a l im p u ls o h(z); la c u rv a (Continúa en la siguiente página)
594
A A /V
- •
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
d e la c u a l es e x a c ta m e n te h \—z), g ir a d a a lr e d e d o r d e l e je v e r tic a l: y h(t — z), que se o b tie n e c o rrie n d o h (z), h acia la derecha t u nid ad es. E n este d ib u jo se h a e le g id o t en e l in te rv a lo 0 < t < 1. h(z) x(z)
1 1
0 -1 -
2
(b)
(a)
h(t-z)
h(-z)
1
1 t -1 \
-2
-1
0 -1 -
t t -2
--1
(d)
(c)
■ F IG U R A 1 5 .2 4 (
E n estas c o n d ic io n e s , es f á c il v is u a liz a r e l p ro d u c to de la p rim e ra g rá fic a
x(z) y de la ú ltim a , h(t — z), p a ra lo s d iv e rs o s ra n g o s de t. C u a n d o t es m e n o r q ue c e ro , n o h a y tra sla p e y
y(t) = 0
t < 0
P ara e l caso que se p re se n ta en la fig u ra 1 5.24 d, h(t — z) tie n e u n tra sla p e d ife re n te de c e ro c o n x(z) desde z — 0 hasta z — t, y ca d a u n a es de v a lo r u n ita rio . P o r lo ta n to ,
y(t)
= Jof
(1 x \) d z = f
0 < f < 1
C u a n d o f se e n c u e n tra e n tre 1 y 2 , h(t — z) se h a d e s p la z a d o lo s u fic ie n te m e n te le jo s h a c ia la d e re ch a p a ra lle v a r d e b a jo de la fu n c ió n e sc a ló n esa p a rte de la o n d a c u a d ra d a n e g a tiv a q u e se e x tie n d e desde z = 0 hasta z — t — 1. P o r lo ta n to ,
'
rt-l
y(t)= Jo
[1 x ( - 1
) ]d z + I ( 1 Jt~ f 1
E n c o n se cu e n cia ,
y(t) =-(t
x 1)dz
■z—t - 1
+z
= —z
z= í z —t —1
1< t < 2
l ) + í - ( í - 1) = 2 - t ,
P o r ú ltim o , c u a n d o f es m a y o r que 2 , h(t — z) se h a d e s p la z a d o lo s u fi c ie n te m e n te le jo s h a c ia la d ere cha , d e m o d o q u e se e n c u e n tra p o r c o m p le to a la d e re ch a de z = 0. L a in te rs e c c ió n c o n e l e s c a ló n u n ita rio es to ta l y
í
nt- 1
y(t)
[1 x ( — 1 ) ] d z +
7< I
(I
x 1) d z
z - t-1
=
—z
z —t + Z z - t —1 z=t- 2
SECCIÓN 15.5 CONVOLUCIÓN
-w v
*■
y(t)
O
y(t) = - ( t - 1) + ( Í - 2) + t - (t - 1) = 0 ,
t > 2
E sto s c u a tro seg m en tos de y(t) se re ú n e n c o m o u n a c u rv a c o n tin u a en la fig u ra 15.25.
P R Á C T I C A ____________________________ ___
___________________________
15.8 R e p e tir el e je m p lo 15.8 u tiliz a n d o la segunda in te g ra l de la ecuación [11]. 15.9 L a respuesta a l im p u ls o de u na re d está d ad a p o r h{t) — 5 u(t — 1). S i se a p lic a u n a señal de e n tra d a x(t) — 2\u(t) — u(t — 3 ) ] , d e te rm in a r la s a lid a y(t) en 1 1ig u a l a: (a) —0 .5 ; ( b) 0 .5 ; (c ) 2 .5 ; ( d ) 3.5. R e s p u e s ta s : 1 5 .9 : 0 , 0 , 1 5 , 2 5 .
Convolución y la transformada de Laplace L a c o n v o lu c ió n tie n e a p lic a c io n e s en u n a a m p lia g a m a de d is c ip lin a s m ás a llá d e l a n á lis is de c irc u ito s , e n tre lo s q u e se in c lu y e n e l p ro c e s a m ie n to de im á g e n e s, las c o m u n ic a c io n e s y la te o ría d e l tra n s p o rte c o n s e m ic o n d u c to re s . P o r ende, es a m e n u d o de u tilid a d c o n ta r c o n u n a in tu ic ió n g rá fic a d e l p ro c e so b á s ico , aun si las e xp re sio n e s in te g ra le s d é la s e cu a cio n e s [ 10] y [ 11] n o son s ie m p re la m e jo r ru ta de s o lu c ió n . U n a a lte rn a tiv a a p ro x im a d a , m u y p o d e ro s a , u tiliz a las p ro p ie d a d e s de la tra n s fo rm a d a de L a p la c e , de d o n d e surge la in tro d u c c ió n a la c o n v o lu c ió n en este c a p ítu lo . Sean F j (s) y F 2(s) las tra n s fo rm a d a s de L a p la c e de ), re s p e c tiv a m e n te , y c o n s id e ra r la tra n s fo rm a d a de L a p la c e de
f i ( t ) y f 2 (t f \ (t ) */2(/),
-AL
h { k ) f 2{ t - k ) d k
P o r lo g e n e ra l, u n a de estas fu n c io n e s de tie m p o será la fu n c ió n fo rz a d a que se a p lic a en las te rm in a le s de e n tra d a de u n c irc u ito lin e a l, y la o tra c o rre s p o n d e rá a la re spu esta a l im p u ls o u n ita rio d e l c irc u ito . D a d o que a h o ra se está tra b a ja n d o c o n fu n c io n e s de tie m p o q u e n o e x is te n antes de t = 0 “ (la d e fin ic ió n de la tra n s fo rm a d a de L a p la c e o b lig a a s u p o n e r lo a n te rio r), e l lím ite in fe r io r de in te g ra c ió n se c a m b ia en 0 _ . E n ese caso, u ti liz a n d o la d e fin ic ió n de la tra n s fo rm a d a de L a p la c e , se o b tie n e ¿ { / K O * / 2( í ) }
= Jo~Í ‘ H.Jo-
M k ) f 2( t - k ) d k dt
P ue sto q u e e~st n o dep en de de k, este fa c to r se p u e d e m o v e r h a c ia e l in te r io r de la in te g ra l. S i se e fe c tú a este paso y se in v ie rte ta m b ié n e l o rd e n de in te g ra c ió n , e l re s u lta d o es
í
oo r
£ { / i ( 0 * / 2( 0 } =
/»oo
e~st f\{k) f 2{t —k) dt dk
U tiliz a n d o este tru c o , se o b s e rv a q u e f \ (A ) n o d epende de 1 y p o r e llo se saca de la in te g ra l: /»oo
£ { / i (0 * M ) } -
/
Jo-
r
/iW
/>co
/
L-/ 0-
e~stf 2(t - k) d t
dk
■ FIG U R A 15.25 Resultado de la convolución de x (t ) y / ) ( 0 que se muestra en la figura 15.23.
A/W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
D espu és se e fe c tú a la s u s titu c ió n de x = t — X e n la in te g ra l e n tre c orch ete s (d o n d e se p o d ría tra ta r a X c o m o u n a co n sta n te ):
= C - i ;
e s(jr+A)y 2( jt ) dx dX M » [ l -k OO —Sk / _ e -sxj 2(x)dx d X
pOQ
= / M X )e -sk[V2(s)]dX Jopoo
= F 2( s ) / / i (X)e~^dX JoP ue sto q u e la in te g ra l q u e q u e da es s im p le m e n te F j (s ), se v e que
[12]
£ { / i ( 0 * h(t)} = F [ ( s ) • F 2(s)
E n u n c ia d o d e m a n e ra u n p o c o d ife re n te . se p o d ría c o n c lu ir que la tra n s fo r m a d a in v e rs a del p ro d u c to de dos tra n s fo rm a d a s es la c o n v o lu c ió n de las tra n s fo rm a d a s in v e rs a s in d iv id u a le s ; ta l re s u lta d o en o ca sio n es es ú t i l al o b te n e r tra n s fo rm a d a s in ve rsa s.
EJEMPLO 15.9 Aplicar el teorema de convolución para determinar V(s) = l/[(s + a) (s + /?)].
v(t) si
Se o b tu v o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de esta fu n c ió n p a rtic u la r en la sección 14.5 m e d ia n te u n d e s a rro llo e n fu n c io n e s p a rc ia le s . A h o ra se id e n tific a a V ( s ) c o m o e l p ro d u c to d e dos tra n s fo rm a d a s : V ,(s ) =
V2(s) =
1 (s -h a)
1
W + P)
donde
Vj ( t ) = e~a,u(t)
v2(t) = e p,u(t) L a v(t) q u e se desea se e xp re sa d e in m e d ia to c o m o f°
v(t) = £ - 1{ V , ( s ) V 2(s )} = w ,( f) * v2(t) = / V[(X)v2(t — X) dX J 0pOO
=
pt
/ e~a>u(X)e-M-k)u ( t - X ) d X = / e~ale ^‘e^x dX Joj 0pt
= « -/* * /
Jo-
p(P-ot)t
_
1
eV -a>x dX = e-?1- --------------- -u(t)
P~a
SECTION 15.5 CONVOLUCIÓN
o, en fo rm a m ás c o m p a c ta ,
•
-------- W V ¿El resultado se obtuvo con nayor facilidad mediante este método? ¡No, a menos que uno esté enamorado
v{t) = — ^— (e~at - e pt)u{t) p —a
de las integrales de convolución! El método de desarrollo en fracciones parciales suele ser más
q ue es e l m is m o re s u lta d o que se o b tu v o antes, m e d ia n te e l d e s a rro llo en fra c c io n e s p a rc ia le s . O b s e rv a r que se re q u ie re in s e rta r e l e sc a ló n u n ita rio u( t) e n e l re s u lta d o , d e b id o a q u e todas las tra n s fo rm a d a s de L a p la c e (u n i la te ra le s son v á lid a s s ó lo p a ra u n tie m p o n o n e g a tiv o . ^
p r á c t ic a
simple, suponiendo que el propio desarrollo no sea demasiado problemático. Sin embargo, la operación de convolución es más sencilla de efectuar en el dominio
s, pues sólo requiere multiplicación.
___________________________________________________
15.10 R e p e tir e l e je m p lo 15.8, e fe c tu a n d o la c o n v o lu c ió n en e l d o m in io s.
Comentarios adicionales sobre las funciones de transferencia C o m o se h a señ ala do v a ria s veces, la s a lid a va{t) en a lg ú n p u n to de u n c irc u ito lin e a l se lo g ra c o n v o lu c io n a n d o la e n tra d a v¡ (t ) c o n la re spu esta a l im p u ls o u n i ta rio h(t). S in e m b a rg o , se debe re c o rd a r que la re spu esta a l im p u ls o surge de la a p lic a c ió n de u n im p u ls o u n ita rio en t — 0 con todas las condiciones iniciales iguales a cero. E n estas c o n d ic io n e s , la tra n s fo rm a d a de L a p la c e de v0(t) es
C {v 0 {t)} = V0(s) = £{i>¡(0 * h{t)} = V,-(s)[£{A(0}] P o r lo ta n to , la p ro p o rc ió n (o ra z ó n ) \ 0(s) /V¡ (s) es ig u a l a la tra n s fo rm a d a de la re spu esta a l im p u ls o , que se d e n o ta rá m e d ia n te H(s),
£{h(t)} = H(s) -
V (s) V,-(s)
[13]
E n la e c u a c ió n [1 3 ] se p uede o b s e rv a r q u e la re spu esta a l im p u ls o y la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia fo rm a n u n p a r de tra n s fo rm a d a s de L a p la c e :
h(t) ^ H ( s ) L o a n te rio r es u n h e c h o im p o rta n te q ue se e s tu d ia rá después en la s e c c ió n 15.7, u n a v e z que e l le c to r se fa m ilia ric e c o n e l c o n c e p to de la s g rá fic a s p o lo c e ro y e l p la n o de fre c u e n c ia c o m p le ja . S in e m b a rg o , a estas a ltu ra s, se p ue de a p ro v e c h a r este n u e v o c o n c e p to de c o n v o lu c ió n e n e l a n á lis is de c irc u ito s .
EJEMPLO 15.1 Determinar la respuesta al impulso del circuito de la figura 15.26a y utilizar ésta para calcular la respuesta forzada v,,{t) si la entrada Uent'tO= V. 500 m F
l n
'
La)
L Cl
500 m F
ib)
■ F IG U R A 1 5 .2 6 (o) Circuito simple al que se aplica una entrada exponencial en í = 0. {b) Circuito utilizado para determinar h(f). (C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
El
AA/V----------- •
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
E n p rim e ra in s ta n c ia se a lim e n ta b a jo u n p u ls o de te n s ió n S(t) V al c irc u ito c o m o se m u e s tra en la fig u ra \5.26b. A p esar de que es p o s ib le tra b a ja r ta n to en e l d o m in io d e l tie m p o c o n h (t) c o m o en e l de s c o n H (s ), se selec c io n a este ú ltim o , p o r lo q u e se c o n s id e ra a c o n tin u a c ió n la re p re s e n ta c ió n en e l d o m in io s de la fig u ra 1 5 .2 6 b c o m o se m u e s tra en la fig u ra 15.27. L a re spu esta a l im p u ls o H (s ) está d ad a p o r V
■ F IG U R A 1 5 .2 7 Circuito utilizado para encontrar H(s).
H (s ) = - f p o r lo que e l o b je tiv o in m e d ia to es e n c o n tra r V „ — ta re a q ue se lle v a a cabo fá c ilm e n te p o r m e d io de la d iv is ió n de te n s ió n
2
V0 t f ent =
m
=
s
9 ---- = - T T = H(s)
£
2
s
+
1
s A h o ra se p u e d e b u s c a r v0(t) c u a n d o ucnt = 6e ru(t) u tiliz a n d o la c o n v o lu c ió n , c o m o Uent = ¿ - ‘ {VentCs) • H ( s ) } P ue sto que V e „t(s ) = 6 / (S + 1), _ *o—
6s
6
6
( s + 1)2
s +1
( s + 1)2
C a lc u la n d o la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e , se e n c u e n tra que
va(t) — 6f _ f ( l — t)u(t ) V . PRÁCTICA 15.11 C o n re la c ió n a l c irc u ito de la fig u ra 1 5.2 6 « , u tiliz a r la c o n v o lu c ió n p a ra o b te n e r v0(t) si i%nt = tu(t) V. Respuesta:
vu(t) =
(1 —e
‘)u(t)
V.
15.6 PLANO DE FRECUENCIA COMPLEJA
-----------• ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Se p la n e a a h o ra fo r m u la r u n a p re s e n ta c ió n g rá fic a m ás g e n e ra l a l g ra fic a r c a n ti dades c o m o fu n c io n e s de s; esto es, se desea m o s tra r la re spu esta d e m a n e ra s i m u ltá n e a c o m o fu n c io n e s ta n to de a c o m o de co. D ic h a re p re s e n ta c ió n g rá fic a de la re spu esta fo rz a d a c o m o u n a fu n c ió n de la fre c u e n c ia c o m p le ja s re s u lta ú til, pues es una té c n ic a a c la ra to ria p a ra e l a n á lis is de c irc u ito s , a sí c o m o p a ra e l d i seño o la sín tesis de lo s m is m o s . L u e g o de fo r m u la r e l c o n c e p to de p la n o de fre c u e n c ia c o m p le ja , o p la n o s se v e rá c ó m o se tie n e u n a id e a de in m e d ia to re s p e c to d e l c o m p o rta m ie n to d e u n c irc u ito a p a rtir d e la re p re s e n ta c ió n g rá fic a de sus fre c u e n c ia s c rític a s e n d ic h o p la n o . T a m b ié n es ú t i l e l p ro c e d im ie n to in v e rs o : s i se in d ic a u n a c u rv a d e re spu esta deseada (la re spu esta e n fre c u e n c ia de u n f iltr o , p o r e je m p lo ), será p o s ib le de c id ir re s p e cto de la u b ic a c ió n n e c e s a ria de sus p o lo s y ceros en e l p la n o s y lu e g o s in te tiz a r e l filtr o . E l p la n o s re s u lta ta m b ié n u n a h e rra m ie n ta b á s ica c o n la que se in v e s tig a la p o s ib le p re s e n c ia de o s c ila c io n e s in d e se a b le s en a m p lific a d o re s de re tro a lim e n ta c ió n y de sistem as de c o n tro l a u to m á tic o .
SECCIÓN 15,6
PLANODEFRECUENCIACOMPLEJA
Respuestas como una función de a A c o n tin u a c ió n se d e s a rro lla rá u n m é to d o p a ra o b te n e r la respuesta d e l c irc u ito c o m o u n a fu n c ió n de s te n ie n d o en c u e n ta p rim e ro la re spu esta c o m o u n a fu n c ió n y a sea de a o de co. C o n s id e r a r, p o r e je m p lo , la im p e d a n c ia de e n tra d a o d e l "p u n to de a c c io n a m ie n to ” de u n a re d c o m p u e s ta p o r u n a re s is te n c ia de 3 £2 en serie c o n u n in d u c to r de 4 H . E n fu n c ió n de s, se tie n e : Z (s ) — 3
4s
S i se deseara o b te n e r u n a in te rp re ta c ió n g rá fic a de la v a ria c ió n de la im p e d a n c ia co n a , se p e rm ite que s = a + JO: Z (er) = 3 + 4cx Q y se re c o n o c e u n c e ro en er = — | y u n p o lo en in fin ito . E stas fre c u e n c ia s c r í t i cas se m a rc a n sob re u n e je er y después de id e n tific a r e l v a lo r de Z (o) en a lg u n a fre c u e n c ia n o c rític a c o n v e n ie n te [q u iz á Z ( 0 ) = 3 ], re s u lta fá c il d ib u ja r |Z (e r)| en fu n c ió n de er c o m o en la fig u ra 15.28. E s to p ro p o rc io n a in fo rm a c ió n re sp e cto de la im p e d a n c ia c u a n d o se c o n e c ta a u n a fu n c ió n fo rz a d a e x p o n e n c ia l s im p le eat. E n p a rtic u la r, o b s e rv a r q u e e l caso de c d (a — co — 0 ) im p lic a u n a im p e d a n c ia de 3 £2, c o m o se esperaría.
Z (c r)|
I FIG U RA 15.28 Gráfica de la fundón |Z(cr)| como una función de la frecuencia a.
Respuesta como una función de « P ara g ra fic a r la re spu esta c o m o una fu n c ió n de la fre c u e n c ia en ra d ia n e s co, sea s = 0 + jco:
Z(jco) = 3 + jAco y se o b tie n e n e nton ces la m a g n itu d y e l á n g u lo de fase de Z(jco) c o m o fu n c io n e s de co:
\Z(jco)\ = ij9 + 16a)2 a n g Z ( j c o ) = ta n
, Acó —
[1 4 ]
[1 5 ]
«t
A /W
600
nfe ESI
CAPITULO 15 ANALISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
Irrset Twfe Víndow
\ A S< /
D g» f l &
£>£>" sqrt(9*16 w2)
25
26
\
/ \
15
/
\
/
10
5
-
6
^
-2
0 w
2
4
e
(a)
IflKft 1 O
B <3
K A S /
®&
O
aian{4 w/3)
L a fu n c ió n m a g n itu d m u e s tra un s o lo p o lo en e l in fin ito y u n m ín im o en co = 0 ; puede d ib u ja rs e c o n fa c ilid a d c o m o u n a c u rv a de \Z(jco) | en fu n c ió n de co. A m e d id a que a um e nta la fre c u e n c ia , ta m b ié n crece la m a g n itu d de la im p e d a n c ia , que es p re c is a m e n te e l c o m p o rta m ie n to que se espera desde e l in d u c to r. E l á n g u lo de fase es u n a fu n c ió n de tan g e n te in v e rs a , c e ro en co = 0 y ± 9 0 ° en co = ±oo; ta m b ié n se p resenta s in n in g u n a d ific u lta d c o m o u n a g rá fic a de ang Z(jco) en fu n c ió n de co. L a s ecu acio ne s [1 4 ] y [1 5 ] se g ra fic a n en la fig u ra 15.29. A l g ra fic a r la re spu esta Z{jco) c o m o u n a fu n c ió n de co, se re q u ie re n dos g rá fica s b id im e n s io n a le s : la m a g n itu d y e l á n g u lo de fase c o m o fu n c io n e s de co. C u a n d o se sup on e una e x c ita c ió n e x p o n e n c ia l se pre se n ta to d a la in fo rm a c ió n en u n a g rá fic a b id im e n s io n a l s im p le , a l p e r m itir lo s v a lo re s ta n to p o s itiv o c o m o n e g a tiv o de Z (e r) en fu n c ió n de er. S in e m b a rg o , se e lig e g ra fic a r la magnitud de Z (e r) c o n e l o b je to de c o m p a ra r de m a n e ra m á s p re c is a lo s d ib u jo s c o n lo s q u e se d e s c rib e la m a g n itu d de Z{jco). E l á n g u lo de fase (0°, ± 1 8 0 ° ú n ic a m e n te ) de Z (e r) se ig n o ró c a s i d e l to d o . E l p u n to im p o rta n te que debe o bserva rse es que s ó lo h a y u n a v a ria b le in d e p e n d ie n te er en e l caso de e x c ita c ió n e x p o n e n c ia l y co e n e l caso s e n o id a l. P ensar a h o ra en las a lte rn a tiv a s d is p o n ib le s , s i se desea g ra fic a r u n a re spu esta c o m o u n a fu n c ió n de s.
Gráficas en el plano de la frecuencia compleja
(b) FIG U RA 15.29 (o) Gráfica de |Z (/íu )| como una función de la frecuencia; ésta se generó mediante la línea de comando de MATLAB EDU » ezplot('sqrt(9 + 16*w A 2)’) (b) Gráfica del ángulo de 1( ja>) como una función de la frecuencia.
ja> p la n o s
I FIG U R A 15.30 Plano de la frecuencia compleja o plano s.
L a fre c u e n c ia c o m p le ja s re q u ie re dos p ará m e tros, er y co, p ara su e sp e c ific a c ió n c o m p le ta . L a respuesta es ta m b ié n u n a fu n c ió n c o m p le ja y se debe, p o r ende, h acer e l d ib u jo ta n to de la m a g n itu d c o m o d e l á n g u lo de fase c o m o fu n c io n e s de s. C u a lq u ie ra de estas cantidades, p o r e je m p lo la m a g n itu d , es u n a fu n c ió n de lo s dos p ará m e tros er y co, de m o d o que se g ra fic a e n dos d im e n sio n e s s ó lo c o m o u n a fa m ilia de curva s, ta l c o m o la m a g n itu d en fu n c ió n de co, c o n er c o m o e l p ará m e tro. U n m e jo r m é to d o p a ra re p re s e n ta r g rá fic a m e n te la m a g n itu d de a lg u n a re s pue sta c o m p le ja im p lic a e l uso de u n m o d e lo de tres d im e n sio n e s . A u n q u e u n o así re s u lta d if í c il de d ib u ja r en u n a h o ja de p a p e l b id im e n s io n a l, se d e scub re que n o es d if í c il de v is u a liz a r. L a m a y o r p a rte d e l d ib u jo se e fe c tu a rá en fo rm a m e n ta l, p u e sto q u e c o n la cab eza se n e c e s ita n p ocos im p le m e n to s y la e la b o ra c ió n , c o rre c c ió n y m o d ific a c io n e s se lle v a n a ca b o c o n fa c ilid a d . Se c o n s id e ra rá n lo s ejes er y jco, p e rp e n d ic u la re s e n tre sí, d isp u e sto s sobre u n a s u p e rfic ie h o riz o n ta l sem e jan te a l p is o . L o a n te rio r re p re s e n ta a h o ra u n plano de frecuencia compleja, o p la n o s c o m o e l de la fig u ra 1 5.30 . P ara cada p u n to en este p la n o c o rre sp o n d e e xa c ta m e n te u n v a lo r de s, y c o n cad a v a lo r de s se a so c ia ría u n s o lo p u n to en este p la n o c o m p le jo . D a d o que y a se está bastante fa m ilia riz a d o c o n este tip o de fu n c ió n en e l d o m in io d e l tie m p o asociada c o n u n v a lo r p a rtic u la r de la fre c u e n c ia c o m p le ja s, en estas c o n d ic io n e s se puede a so cia r la fo rm a fu n c io n a l de u n a fu n c ió n fo rza d a , o de una respuesta forza d a , con u n a re g ió n e sp ecífica d e l p la n o s. E l o rig e n , p o r e je m p lo , representa u n a c a n tid a d de cd. L o s p un to s que se u b ic a n sobre e l e je er re p re sentan fu n c io n e s e xp o n e n cia le s, que decaen p ara er < 0 y que cre ce n para er > 0 . L a s senoides puras se a so cia n c o n p un to s sobre e l e je jco p o s itiv o o n e g a tiv o . L a m ita d derecha d e l p la n o s, a m e nu do c o n o c id a c o m o M D P , con tien e pun to s que des c rib e n fre cu e n c ia s con partes reales p o s itiv a s , y p o r e llo le co rre sp o n d e n c a n ti dades e n e l d o m in io d e l tie m p o que son senoides e xp o n e n c ia h n e n te crecientes, s a lv o sobre e l e je er. D e m a n e ra c o rre sp o n d ie n te , lo s p un to s en la m ita d iz q u ie rd a d e l p la n o s (M IP ) d e scrib e n las fre cu e n cia s de senoides e xp o n e n c ia lm e n te decre cientes, de n u e v o c o n la e x c e p c ió n d e l e je er. L a fig u ra 15.31 re sum e la re la c ió n entre e l d o m in io d e l tie m p o y las diversas re g io n e s d e l p la n o S.
SECCIÓN 15.6 PLANO DE FRECUENCIA COMPLEJA
%■
yV W
k
■ F IG U R A 1 5 .3 1 La naturaleza déla función en el dominio del tiempo se dibuja en la región del plano de frecuencia compleja al que corresponde.
R econsidérese la in v e s tig a c ió n sobre u n m é to d o a p ro p ia d o acerca de re prese n ta r en fo rm a g rá fic a u n a re spu esta c o m o u n a fu n c ió n de la fre c u e n c ia c o m p le ja s. Se p o d ría re p re s e n ta r la m a g n itu d de la re spu esta c o n s tru y e n d o u n m o d e lo c u y a a ltu ra sob re e l p is o c o rre s p o n d a en cad a p u n to a la re sp u e sta en ese v a lo r de s. E n o tras p a la b ra s, se añade u n te rc e r e je p e rp e n d ic u la r ta n to al e je a c o m o a l e je jco que pasa p o r e l o rig e n ; estos ejes se s im b o liz a n m e d ia n te |Z|, |Y|, IV 2/ V 1I, o c o n otras re p re se n ta cio n e s a p ro p ia d a s. L a m a g n itu d de la respuesta se d e te rm in a p a ra to d o v a lo r de s y la g rá fic a re s u lta n te es u n a s u p e rfic ie que se u b ic a sobre e l p la n o s (o que apenas lo to q u e ).
EJEMPLO 15.11 Dibujar la admitancia de una combinación en serie de un inductor de 1 H con una resistencia de 3 S2 como una función de ambos parámetros io j y a. L a a d m ita n c ia de estos dos e le m e n to s en serie está d ad a p o r
Y(s) -
1 s+ 3
A l s u s titu ir s = cr + jco, se e n c u e n tra q u e la m a g n itu d de la fu n c ió n es
|Y (s) |
j ( o + 3)2 + co2 (Continúa en la siguiente página)
AA/V----------- •
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
C u a n d o s = — 3 + j O, la m a g n itu d de la re sp u e sta es in fin ita ; y c u a n d o s es in fin ita , la m a g n itu d de Y ( s ) es c e ro . A s í, e l m o d e lo debe te n e r u n a a ltu ra in fin ita a rrib a d e l p u n to ( —3 + j 0) y a ltu ra c e ro en to d o s lo s p u n to s in f in i ta m e n te a le ja d o s d e l o rig e n . U n a v is ta de c o rte de ta l m o d e lo se p re s e n ta en la fig u ra 1 5.32 a. Iy |
Iy |
(c) k FIG U R A 15.32 (a) Lista de corte de un modelo de barro cuya superficie superior representa |Y(s) | de la combinación en serie de un inductor de 1 H y de una resistencia de 3 Í2. (b) |Y(s) | como una función de o>. (c) |Y(s) | como una función de a .
U n a v e z c o n s tru id o e l m o d e lo , re s u lta s im p le v is u a liz a r la v a ria c ió n de |Y| c o m o u n a fu n c ió n de co (c o n a = 0 ) a l in te rs e c a r e l m o d e lo c o n u n p la n o p e rp e n d ic u la r q u e c o n te n g a a l e je jco. E l m o d e lo de la fig u ra 1 5.32 a se c o rta a lo la rg o de este p la n o y p u e d e o b se rva rse la g rá fic a deseada de | Y| en fu n c ió n de co; la c u rv a se d ib u ja ta m b ié n e n la fig u ra 1 5 .3 2 b. D e m a n e ra s im ila r, u n p la n o v e rtic a l q u e c o n te n g a a l e je er p e rm ite o b te n e r |Y| en fu n c ió n de a (c o n co = 0 ), c o m o se o b s e rv a en la fig u ra 15.32c.
PRACTICA ■ FIG U R A 15.33 Solución del problema de práctica 15.12 generada con el siguiente código: EDU» sigma = linspace(— 10,10,21); EDU» omega = linspace(—10,10,21); EDU» \X, Y\ = meshgrid(sigma, omega); E D U » Z = abs(2 + 5*X+j*5*Y)\ EDU» colormap(hsv); EDU» s = [ - 5 3 8]; EDU» surfICX K,2,s); EDU» view (—20 ,5)
_____
1 5.12 D ib u ja r la m a g n itu d de la im p e d a n c ia Z ( s ) = 2 + 5s c o m o una fu n c ió n de a y jco. Respuesta: vea la figura 15.33.
Constelaciones de polos ceros E s te m é to d o re s u lta ade cu ad o p a ra fu n c io n e s re la tiv a m e n te s im p le s , aun qu e en g e n e ra l se re q u ie re u n m é to d o m ás p rá c tic o . C o n s id e ra r e l p la n o s de n u e vo c o m o e l p is o y después im a g in a r u n a g ra n lá m in a e lá s tic a d is p u e s ta s ob re é l. Se
SECCIÓN 15.6 PLANO DE FRECUENCIA COMPLEJA
d ir ig e a h o ra la a te n c ió n h a c ia to d o s lo s p o lo s y lo s ceros de la respuesta. E n cada cero, la re sp u e sta es c e ro , la a ltu ra de la lá m in a debe ser c e ro y, p o r lo ta n to , se f ija la lá m in a e n e l p is o . E n e l v a lo r de s c o rre s p o n d ie n te a cada p o lo , se p o d ría s osten er la lá m in a c o n u n a d e lg a d a b a rra v e rtic a l. L o s ceros y lo s p o lo s en in fin ito d eb en a n a liza rs e m e d ia n te u n a n illo de s u je c ió n de g ra n ra d io o u n a e le va d a c e rca c irc u la r, re s p e c tiv a m e n te . S i se u tiliz a u n a lá m in a in fin ita m e n te g ra n d e , s in p eso y p e rfe c ta m e n te e lá s tic a , c la v a d a c o n ta ch u e la s p e q u e ñ ís im a s y s o s te n id a c o n b a rra s de d iá m e tro c e ro e in fin ita m e n te largas, la lá m in a e lá s tic a te n d rá u n a a ltu ra e xa c ta m e n te p ro p o rc io n a l a la m a g n itu d de la respuesta. Se p o d ría n ilu s tra r estos c o m e n ta rio s c o n s id e ra n d o la c o n fig u ra c ió n de p o lo s y ceros, que a lg u na s veces se c o n o c e c o m o constelación de polos y ceros, que lo c a liz a tod as las fre c u e n c ia s c rític a s de u n a c a n tid a d en e l d o m in io de la fre c u e n c ia ; p o r e je m p lo , u n a im p e d a n c ia Z(s). U n a c o n s te la c ió n de p o lo s y ceros p a ra u n a im p e d a n c ia se m u e s tra en la fig u ra 15.34. E n ese d ia g ra m a , lo s p o lo s se d e n o ta n c o n cru ce s y lo s ceros c o n c írc u lo s . S i se im a g in a u n m o d e lo de lá m in a e lá s tic a , c la v a d a e n s = —2 + j 0 y s o s te n id a en s = — 1 + j5 y en s = — 1 — 7 5 , se debe v e r u n te rre n o c u ya s c a ra c te rís tic a s d is tin tiv a s son dos m o n ta ñ a s y u n c rá te r c ó n ic o o d e p re sió n . L a p a rte d e l m o d e lo de la M I P supe r io r se ilu s tra en la fig u ra 15.34¿>.
X
- l +j5
-e-2
- l -j5 x
(a)
■ FIG U RA 15.34 (o) Constelación de polos y ceros de alguna impedancia Z(s). (6) Porción del modelo de la lámina elástica de la magnitud de Z(s).
C o n s tr u ir a h o ra d e p o lo s y c e ro s . E l d o s p o lo s n e c e s ita n n a d o r. E x c e p to p o r d e Z (s ):
la e x p re s ió n de Z ( s ) q u e c o n d u c e a e sta c o n fig u r a c ió n c e ro re q u ie re u n fa c to r de (s + 2 ) en e l n u m e ra d o r y lo s lo s fa c to re s (s + 1 — 7 5 ) y (s + 1 + j5) e n e l d e n o m i u n a c o n s ta n te d e m u ltip lic a c ió n k , se c o n o c e la fo r m a
Z (s ) = k
s H-' 2 (s + 1 — 75 ) (s + 1 + 7 5)
o [1 6 ] C o n la f in a lid a d de d e te r m in a r k, se re q u ie re u n v a lo r d e Z ( s ) en a lg u n a s s d ife re n te s a la fre c u e n c ia c rític a . P a ra esta fu n c ió n , s u p o n e r q u e Z ( 0 ) = 1. P o r
#■
W V
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
s u s titu c ió n d ire c ta en la e c u a c ió n [1 6 ], se e n c u e n tra que k es 13 y, p o r lo ta n to , Z ( s ) = 13
s -|- 2
[171
s 2 + 2s + 26
L a s g rá fic a s de \Z(cr)\ en fu n c ió n de cr y de |Z ( jco)\ en fu n c ió n de co se o b tie n e n de la e cu a c ió n [1 7 ], aun qu e la fo rm a genera] de la fu n c ió n es p a te n te a p a r tir de la c o n fig u ra c ió n de p o lo s y ceros y de la a n a lo g ía de la lá m in a elá stica . L a s p o rc io n e s de estas dos c u rva s q u e aparecen a lo s la d o s d e l m o d e lo se m u e s tra n en la fig u ra 15.34¿.
PRACTICA 15.13 L a c o m b in a c ió n en p a ra le lo de 0 .2 5 m H y 5 £2 está en serie c o n la c o m b in a c ió n en p a ra le lo de 4 0 fiF y 5 £2. (a) D e te rm in a r Z ent(s), la im p e d a n c ia de e n tra d a de la c o m b in a c ió n en serie, (b) E s p e c ific a r to d o s lo s ceros de Z ent(s). (c ) D e te rm in a r to d o s lo s p o lo s de Z ent(s). (d) D ib u ja r la c o n fig u ra c ió n de p o lo s y ceros. Respuestas: 5(s2+ lOOOOs + 108)/(s 2+ 25000s + 108) Í2; - 5 ± j —5, —20 krad/s.
8.66 krad/s;
Dependencia de la frecuencia de la magnitud y el ángulo de fase H a s ta a ho ra , se h a u tiliz a d o e l p la n o s y e l m o d e lo de lá m in a e lá s tic a p ara o b te n e r in fo rm a c ió n cualitativa acerca de la v a ria c ió n de la m a g n itu d de la fu n c ió n en e l d o m in io s c o n la fre c u e n c ia . S in e m b a rg o , se p u e d e o b te n e r in fo rm a c ió n cuantitativa c o n c e rn ie n te a la v a ria c ió n de la magnitud y d e l ángulo de fase. E l m é to d o p ro p o rc io n a u n a p o d e ro s a y n u e v a h e rra m ie n ta . C o n sid é re s e la re p re s e n ta c ió n de u n a fre c u e n c ia c o m p le ja en fo rm a p o la r, c o m o s u g ie re la fle c h a d ib u ja d a desde e l o rig e n d e l p la n o s hasta la fre c u e n c ia c o m p le ja que se está a n a liz a n d o . L a lo n g itu d de la fle c h a es la m a g n itu d de la fre c u e n c ia y e l á n g u lo que fo rm a c o u la d ire c c ió n p o s itiv a d e l e je a c o rre sp o n d e a l á n g u lo de la fre c u e n c ia c o m p le ja . L a fre c u e n c ia Si = — 3 + j 4 = 5 /1 2 6 .9 ° se in d ic a en la fig u ra 1 5.35a. 7"
JV
I FIG U RA 15.35 (o) La frecuencia compleja s, = - 3 + y'4 se indica dibujando una flecha desde el origen hasta s ,. (£>) La frecuencia s = y7 también se expresa de manera vectorial, (c) La diferencia s — s, se representa mediante e! vector dibujado desde S] hasta s.
SECCIÓN 15.6 PLANO DE FRECUENCIA COMPLEJA
A /W
*
T a m b ié n es n e c e s a rio re p re s e n ta r la d ife re n c ia e n tre dos v a lo re s de s c o m o u n a fle c h a o v e c to r sobre el p la n o c o m p le jo . S e le cció n e se u n v a lo r de s que c o rre s p o n d a a u n a sen oid e s = j l y que lo in d iq u e ta m b ié n c o m o u n v e c to r, c o m o en la fig u ra 1535b. L a diferencia s — Si se o b s e rv a c o m o e l v e c to r d ib u ja d o desde e l ú ltim o p u n to n o m b ra d o Sj hasta e l que p rim e ro se n o m b ró s; el v e c to r s — Si se d ib u ja en la fig u ra 15.35c. O b sérve se q u e s i + (s —s¡) = s. N u m é ric a m e n te , s — Si = j l — ( —3 + j 4 ) = 3 + j 3 = 4 .2 4 /4 5 ° . y d ic h o v a lo r c o n c u e rd a c o n la d ife re n c ia g rá fic a . V ea c ó m o la in te rp re ta c ió n g rá fic a de la d ife re n c ia (s — Si) p e rm ite d e te rm i n a r la re spu esta en fre c u e n c ia . C o n sid é re s e la a d m ita n c ia Y (s ) = s + 2 E s ta e x p re s ió n tie n e u n c e ro en s 2 = —2 + /O . E l fa c to r s + 2, q ue p u e de es c rib irs e c o m o s — S2, se re p re s e n ta m e d ia n te e l v e c to r d ib u ja d o desde la lo c a liz a c ió n c e ro s 2 hasta la fre c u e n c ia s, a la c u a l se desea la respuesta. Si se desea la re spu esta s e n o id a l, s debe u b ic a rs e sobre e l e je jco c o m o e n la fig u ra 15.36a. L a m a g n itu d de s + 2 se p o d ría v e r a h o ra a m e d id a que co v a ría desde c e ro hasta in fin ito . C u a n d o s es cero, e l v e c to r tie n e u n a m a g n itu d de 2 y u n á n g u lo de 0°. D e ta l m o d o , Y ( 0 ) = 2 . C o n fo rm e co a um e n ta , cre ce la m a g n itu d , le n ta m e n te al p r in c ip io y lu e g o ca s i de m a n e ra lin e a l c o n co; e l á n g u lo de fase se in c re m e n ta casi en fo r m a lin e a l a l p r in c ip io y lu e g o se acerca de m a n e ra g ra d u a l a 90°, a m e d id a que co se v u e lv e in fin ita . L a m a g n itu d y la fase de Y (s ) se d ib u ja n c o m o fu n c io n e s de co en la fig u ra ] 536b.
0
-2
2
-9 0 '
(b) ■ FIG U RA 15.36 (a) El vector que representa la admitancia Y(s) = s + 2 se muestra para s = /&>.. (b) Dibujos de |Y(/
Se c o n s tru irá a h o ra u n e je m p lo m ás re a l c o n s id e ra n d o u n a fu n c ió n en e l d o m in io de la fre c u e n c ia dada p o r e l c o c ie n te de dos fa c to re s ,
A 606
A A /V
- •
CAPITULO 15 ANALISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
E n este caso, n u e v a m e n te se s e le cc io n a u n v a lo r de s q ue c o rre s p o n d a a la e x c ita c ió n s e n o id a l y se d ib u ja n lo s v e c to re s s + 2 y s + 3 , e l p rim e ro desde e l c e ro h asta e l p u n to e le g id o sob re e l e je jco y e l se g u n d o desde e l p o lo hasta ese m is m o p u n to e le g id o . L o s dos v e c to re s se d ib u ja n en la fig u ra 1 5.37 a. El co
ciente de ambos vectores tiene una magnitud igual al cociente de las magnitudes y un ángulo de fase igual a la diferencia de los ángulos de fase del numerador y del denominador. Se e fe c tú a una in v e s tig a c ió n de la v a ria c ió n de |V ( s ) | en fu n c ió n de cü a l p e r m itir q u e s se m u e v a desde e l o rig e n y a scien d a p o r e l e je jco. A d e m á s , se debe c o n s id e ra r la re la c ió n (o ra z ó n ) e n tre la d is ta n c ia desde e l c e ro h asta s = jco y la d is ta n c ia desde e l p o lo h asta e l m is m o p u n to s ob re e l e je jco. L a re la c ió n (o ra z ó n ) es | en co = 0 y se acerca a la u n id a d a m e d id a que co se v u e lv e in fin ita , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 1 5.37 b.
ja Iv o )|
]<*>
o
0b) ang V (jü>)
(c) I F IG U R A Í 5 . 3 7 (o) Los vectores se dibujan a partir de dos frecuencias críticas de la respuesta en tensión V(s) = (s + 2 ) /(s + 3 ). (b, c) Dibujos de la magnitud y del ángulo de fase V(/&>) según se obtienen del cociente de los dos vectores que se muestran en el inciso a.
U n e xa m e n de la d ife re n c ia de lo s dos á n g u lo s de fase m u e s tra q ue ang V ( jco) es 0° en o>= 0. É s ta a u m e n ta a l p r in c ip io c o n fo rm e crece co, pues e l á n g u lo d e l v e c to r s + 2 es m a y o r q u e e l de s + 3. L u e g o d is m in u y e c o n un a u m e n to a d ic io n a l de a>, y p o r ú ltim o se a p ro x im a a 0o a u n a fre c u e n c ia in fin ita , d o n d e am bo s v e c to re s posee n á n g u lo s de 9 0°. E sto s re s u lta d o s se ilu s tra n en la fig u ra 1 5.37 c. A u n q u e en estos d ib u jo s n o e stá n presentes m a rcas c u a n tita tiv a s , es im p o rta n te o b s e rv a r q u e se o b te n d ría n c o n fa c ilid a d . P o r e je m p lo , la re s p u e sta c o m p le ja en s = j 4 debe e sta r dada p o r la re la c ió n : ^ / 4 + 1 6 /ta n V 0 '4 ) =
V 9 + 16/ta n ^ d )
= V l / ( ta n
— ta n H D )
= 0 .8 9 4 /10.3° C u a n d o se d ise ña n c irc u ito s p a ra p ro d u c ir c ie rta re spu esta deseada, re s u lta de g ra n a yuda e l c o m p o rta m ie n to de lo s ve cto re s d ib u ja d o s a p a rtir de las re s p e c tiv a s fre c u e n c ia s c rític a s h a sta u n p u n to g e n e ra l so b re e l e je jco. P o r e je m p lo , s i se n e c e s ita ra a u m e n ta r la jo ro b a (o c u rv a tu ra ) de la re spu esta de fase de la
SECCION 15.7 RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO s
■Wv
# -
fig u ra 1 5.37 c, te n d ría q u e p ro p o rc io n a rs e u na g ra n d ife re n c ia en lo s á n g u lo s de lo s d os v e c to re s , lo c u a l se c o n s e g u iría en la f ig u r a 1 5 .3 7 a a c e rc a n d o e l c e ro a l o rig e n o u b ic a n d o e l p o lo m ás le jo s d e l o rig e n , o m e d ia n te a m bo s p ro c e d i m ie n to s . L a s ideas q ue se h a n a n a liz a d o p a ra a y u d a r a d e te rm in a r de fo rm a g rá fic a la v a ria c ió n de la m a g n itu d a n g u la r y de a lg u n a fu n c ió n en e l d o m in io de la fre c u e n c ia a m e n u d o serán necesarias en e l s ig u ie n te c a p ítu lo c u a n d o se in v e s tig u e e l d esem p e ño en fre c u e n c ia de filtr o s m u y s e le c tiv o s o c irc u ito s resonantes. E s to s con c e p to s re s u lta n fu n d a m e n ta le s p ara c o m p re n d e r de m a n e ra rá p id a y c la ra e l c o m p o rta m ie n to de redes e lé c tric a s y o tro s sistem as de in g e n ie ría . E l p ro c e d im ie n to se re s u m e de m a n e ra b re v e c o m o sigue: 1. D ib u ja r la c on ste lació n de p olo s y ceros de la fu n d ó n en e l d o m in io de la fre cu e n cia y lo c a liz a r u n p u n to de prueba que corresponda a la fre cu en cia a la que se evaluará la fu n c ió n . 2. D ib u ja r u na flecha a p a rtir de cada p o lo y de cada cero hasta el p u n to de prueba. 3. D e te rm in a r la lo n g itu d de cada flech a de p o lo y e l v a lo r de cada áng ulo de la flecha de p o lo y de cada áng ulo de la flecha de cero. 4. D iv id ir el p ro d u cto de las longitudes de la flecha de cero entre e l p ro d u cto de las lo n g itu de s de la flecha de p o lo . Este cociente es la m a g n itu d de la fu n c ió n en e l d o m in io de la fre cu en cia correspondiente a la fre cu en cia supuesta del p u n to de prueba (dentro de una constante como factor de multiplicación, pues F (s ) y kF{s) tienen las mismas constelaciones de polos y ceros). 5. R estar la sum a de los ángulos de la flech a de p o lo de la sum a de los ángulos de la flech a de ceros. L a d ife re n c ia resultante es e l ángulo de la fu n c ió n en el d o m in io de la fre cu en cia, evaluado a la fre cu e n cia del p u n to de prueba. E l áng ulo n o depende del v a lo r de la constante de m u ltip lic a c ió n real k.
JO)
G(0) =
- + -
1 1
15
+ —
-fi
|
1
i
¿
i
-4
-3
-2
1
1 -1
1 1 1 1 — 6---------i --------- - ~ f i 1 1 (b)
PRACTICA
}<»
1 5.14 E n la fig u ra 15.38 se p re se n ta n tres c o n s te la c io n e s de p o lo s y ceros. C ad a una se a p lic a a la g a n a n c ia de te n s ió n G . O b te n e r la e x p re s ió n de c ad a g a n a n cia que sea u n a ra z ó n de p o lin o m io s en s. 1 5.15 L a c o n fig u ra c ió n de p o lo s y ceros p a ra u n a a d m ita n c ia Y(s) tie n e u n p o lo en s = — 1 0 + jO s y u n c e ro en s = ¿¡ + /O , d o n d e zi < 0 . Sea Y ( 0 ) = 0 .1 S. D e te rm in a r e l v a lo r de s i: (a) a ng Y ( j 5) = 2 0 ° ; (b) [ Y (7 5 )| = 0 .2 S. Respuestas: 15.14 (15s2 + 45s)/(s2 + 6s + 8); (2s3 + 22s2 + (3s2 + 27)/(s2j i 2s). 15.15: -4 .7 3 Np/s; -2 .5 0 Np/s..
88s.i-
1 2 0 )/(s2
G(~) = 3
+ 4 s + 8);
9~-j3 (c)
i FIGURA 15.38
15.7 t RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO s____________ A l c o m ie n z o de este c a p ítu lo se e s tu d ió de qué fo r m a e l h echo de tra b a ja r en e l d o m in io de la fre c u e n c ia m e d ia n te la tra n s fo rm a d a de L a p la c e p e rm ite c o n s i d e ra r u n a a m p lia g a m a de c irc u ito s v a ria n te s en el tie m p o , pues e lim in a la n e ce sid a d de tra b a ja r c o n e cuaciones in te g ro d ife re n c ia le s en ra z ó n de que só lo se p ro ce d e de fo rm a a lg e b ra ic a . S in em ba rg o, este m é to d o ta n p o d e ro s o tie n e la d e sve n ta ja de n o ser u n p ro ce so m u y v is u a l. E n co n tra ste con lo a n te rio r, e xiste
„
AAA/-
-•
■ F IG U R A 1 5 .3 9 Ejemplo que ilustra la determinación de la respuesta completa a través del conocimiento de las frecuencias críticas de la impedancia que enfrenta la fuente.
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
u na c a n tid a d enorme de in fo rm a c ió n c o n te n id a en la g rá fic a p o lo -c e ro de una res p u e sta fo rz a d a . E n esta s e c c ió n se c o n s id e ra la fo rm a en que p u e d e n u tiliz a rs e d ic h a s g rá fic a s p ara o b te n e r la re spu esta completa de u n c irc u ito — n a tu ra l m ás fo rz a d a — s ie m p re y c u a n d o se c o n o z c a n las c o n d ic io n e s in ic ia le s . L a v e n ta ja de d ic h o m é to d o es que esta ble ce u n a re la c ió n intuitiva e n tre la u b ic a c ió n de las fre c u e n c ia s c rític a s , fá c ilm e n te v is u a liz a b le a tra vé s de la g rá fic a de p o lo s-ce ro s y la respuesta deseada. Se p re s e n ta e l m é to d o c o n base en e l e je m p lo m ás s im p le , u n c ir c u ito RL en s e rie c o m o e l de la fig u r a 1 5 .3 9 . U n a fu e n te de te n s ió n g e n e ra l vs(t) p ro v o c a que la c o m e n te i{t) flu y a después d e l c ie rre d e l in te rr u p to r a t = 0 . L a re s p u e s ta c o m p le ta i ( t) p a ra t > 0 se c o m p o n e de u n a re s p u e s ta n a tu ra l y de u n a fo rz a d a :
i(t) — in(t) + if (t ) Se p o d ría d e te rm in a r la respuesta fo rz a d a tra b a ja n d o en e l d o m in io de la fre cu e n c ia , b a jo e l supuesto, desde lu e g o , de que vs(t) tie n e u n a fo rm a fu n c io n a l que tra n s fo rm a e l d o m in io de la fre c u e n c ia ; si vs(t) = 1/(1 + t2), p o r e je m p lo , se debe p ro c e d e r lo m e jo r q u e sea p o s ib le a p a r tir de la e c u a c ió n d ife re n c ia l b á s ica d e l c irc u ito . E n e l caso d e l c irc u ito de la fig u ra 1 5.39, se tie n e Vs L ( s ) = -------—
*
R + sL
o
w
¿Qué significa "operar” a una frecuencia compleja? ¿Cómo se podría llevar a cabo tal actividad en un laboratorio real? En este caso, para empezar resulta
181
=
A c o n tin u a c ió n se c o n s id e ra rá la re spu esta n a tu ra l. D e la e x p e rie n c ia a nte rio r, se sabe que la fo rm a será u na e x p o n e n c ia l que decae c o n la co n s ta n te de tie m p o L/R, a u n q u e se su p o n g a que se está d e te rm in a n d o p o r p rim e ra vez. L a fonna de la re spu esta n a tu ra l (s in fu e n te ) es, p o r d e fin ic ió n , in d e p e n d ie n te de la fu n c ió n fo rz a d a , la c u a l c o n trib u y e s ó lo a la magnitud de la re spu esta n a tu ra l. P ara d e te rm in a r la fo rm a a p ro p ia d a se d eben s u p rim ir tod as las fu e n te s in d e p e n d ie n te s ; a qu í, vs ( f ) se s u s titu y e p o r u n c o rto c irc u ito . A c o n tin u a c ió n , se in te n ta rá o b te n e r la re spu esta n a tu ra l c o m o u n caso lím ite de la re spu esta fo rz a d a . D e re g reso a la e x p re s ió n en e l d o m in io de la fre c u e n c ia de la e c u a c ió n [1 8 ], de m a n e ra fie l se e stablece V , — 0. S ob re la s u p e rfic ie , re s u lta c la ro que I ( s ) debe ser cero, p e ro no es n e ce sa ria m e n te c ie rto si se está tra b a ja n d o c o n u n a fre c u e n c ia c o m p le ja que es un p o lo s im p le de I ( s ) . E s to es, e l d e n o m in a d o r y e l n u m e ra d o r p ue de n ser ambos cero, p o r lo que n o se re q u ie re que I( s ) sea cero. In s p e c c io n a r esta n u e v a id e a a p a rtir de u n a s itu a c ió n de v e n ta ja un p o c o d ife re n te . Se fija r á la a te n c ió n en la re la c ió n e n tre la re sp u e sta fo rz a d a deseada y la fu n c ió n fo rz a d a . Se d e s ig n a rá c o m o H(s) y se d e fin irá c o m o la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia d e l c irc u ito . E n to n c e s:
importante recordar cómo se inventó la frecuencia compleja: constituye un medio para describir una función senoidal de frecuencia to multiplicada por una función exponencial eat. Este tipo de señales es muy fácil de generar con un equipo de laboratorio real (es decir, no imaginario). Por lo tanto, sólo se necesitará fijar el valor de a y el de o> para "operar" en s =
a + ja>.
W V,
= H C )=
1
L ( s + R /L )
■
E n este e je m p lo , la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia es la a d m ita n c ia de e n tra d a a la que se e n fre n ta V s . Se b usca la re spu esta n a tu ra l (s in fu e n te ) si V ( = 0 . S in e m b a rg o , Iy(s) = \'H(s), y s i Vs = 0 , u n v a lo r d is tin to de c e ro p a ra la c o rrie n te se o b tie n e s ó lo a l o p e ra r en un p o lo de H(s). P o r lo ta n to , lo s p o lo s de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia a d q u ie re n un s ig n ific a d o e sp ecia l.
SECCIÓN 15.7 RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO s
• ------------------------------
W V
----------------{
609
E n este e je m p lo en p a rtic u la r, se p u e de a p re c ia r que e l p o lo de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia o c u rre en s = —R /L + /O . c o m o se m u e s tra en la fig u ra 15.40. S i se e lig e o p e ra r en esta fre c u e n c ia c o m p le ja p a rtic u la r, la ú n ic a c o rrie n te finita q u e p o d ría re s u lta r d eb e ser u n a c o n s ta n te en e l d o m in io s (es d e c ir, in d e p e n d ie n te de la fre c u e n c ia ). D e este m o d o se o b tie n e la re spu esta n a tu ra l , ( s = _ f
+ ;° ) = A
d o n d e A es u n a c o n s ta n te d e sco n o cid a . A c o n tin u a c ió n se desea tra n s fo rm a r esa re spu esta n a tu ra l al d o m in io d e l tie m p o . L a re a c c ió n ir r e fle x iv a p o d ría c o n s is tir en a p lic a r las té c n ica s de la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e en esta s itu a c ió n . N o o b sta n te , y a se e s p e c ific ó e l v a lo r de s, p o r lo q u e u n p ro c e d im ie n to de este tip o n o es v á lid o . M e jo r se e n fo c a la a te n c ió n en la p a rte re a l de la fu n c ió n g e n e ra l est, ta l que:
in(t) = R e {A e sí} = Re{Ae~Rt/L} E n este caso, se tie n e que
in(t ) = Ae~R,¡L
—* --------------------------------- >- a -R /L
p o r lo que la re spu esta n a tu ra l es
i(t) = Ae~Rt/L + if(t) y A p ue de d e te rm in a rs e lu e g o de que se e s p e c ific a n las c o n d ic io n e s in ic ia le s de este c irc u ito . L a respuesta fo rz a d a ij0 ) se o b tie n e c u a n d o se e n c u e n tra la tra n s fo rm a d a in v e rs a de L a p la c e de Iy (s ).
Una perspectiva más general L a s fig u ra s 1 5.41 a y \5A\b ilu s tra n fu e n te s in d iv id u a le s con ectad as a redes que n o c o n tie n e n fu e n te s in d e p e n d ie n te s . L a re spu esta deseada, q u e p o d ría sfcr a l g u n a c o rrie n te l i (s) o a lg u n a te n s ió n V 2(s ), se e xp re sa ría m e d ia n te u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia que e x h ib a todas las fre c u e n c ia s c rític a s . P ara s e ré s p e c ífic o s , se e lig e la re sp u e sta V 2(s) de la fig u ra 15.41a: V 2 (s) V,
(s
— S i)(S —
= H ( s ) = k ) ---------[1 9 ]
s3) • • •
(s - s2)(s - s4) ■- •
L o s p o lo s de H (s ) o c u rre n en s = s 2, s4, . . . , y p o r e llo u na te n s ió n fin ita V 2(s) en ca d a u n a d e estas fre c u e n c ia s d e b e s e r u n a fo r m a fu n c io n a l p o s ib le de la re spu esta n a tu ra l. A s í, se c o n s id e ra una fu e n te de c e ro v o lts (q u e es p re c is a m e n te
' V 2(s) ■
V ,( j)
R ed sin fuentes indepen dientes
(a)
■V 2(s) ■
Ti(s5 j T
R ed sin fuentes indepen dientes
IjfS) j
Q>)
\ F IG U R A 1 5 .4 1 Los polos de la respuesta, I, (s) o V2(s), producida por: (a) una fuente de tensión Vs o (6 ) una fuente de corriente ls . Los polos determinan la forma de la respuesta natural, (?) o (t), que ocurre cuando Vs se sustituye por un cortocircuito, o ls por un circuito abierto, y está disponible alguna energía inicial.
■ F IG U R A 1 5 .4 0 Constelación polo-cero de la función de transferencia H(s) que muestra el único polo en s = - R / L .
■wv
•
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
u n c o r to c irc u ito ) a p lic a d a a la s te rm in a le s d e e n tra d a ; la re spu esta n a tu ra l que aparece c u a n d o las te rm in a le s de e n tra d a están e n c o rto c irc u ito d ebe, e n con se c u e n c ia , te n e r la fo rm a
V2n(t) = A 2eS2Í + A 4eS4' H------d o n d e cad a A d eb e e va lu a rs e e n té rm in o s de la s c o n d ic io n e s in ic ia le s (lo q u e in c lu y e e l v a lo r in ic ia l de c u a lq u ie r fu e n te de te n s ió n a p lic a d a e n las te rm in a le s de e ntra d a ). P ara d e te rm in a r la fo r m a d e la re spu esta n a tu ra l i \ „ ( t ) e n la fig u ra 1 5.4 1 a , se d e b en e s p e c ific a r lo s p o lo s de la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia , H(s) = li (s)/ \ s . L a s fu n c io n e s d e tra n s fe re n c ia que se a p lic a n en las s itu a c io n e s d e s c rita s en la fig u ra 15.41¿> serían I i ( s ) / I s y V 2( s ) /í s , y sus p o lo s d e te rm in a n e nton ces la s respues tas n a tu ra le s i \ n { t ) y V 2„ ( t ) , re s p e ctiv a m e n te . S i la re spu esta n a tu ra l se desea p a ra u n a re d q u e no c o n tie n e n in g u n a fu e n te in d e p e n d ie n te , e nton ces se p o d ría in s e rta r u n a fu e n te V s o I , e n c u a lq u ie r p u n to c o n v e n ie n te , re s trin g id o s ó lo p o r la c o n d ic ió n d e q u e la re d o rig in a l se o b te n g a c u a n d o se s u p rim a la fu e n te . P o r lo ta n to , la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia c o rre s p o n d ie n te se d e te rm in a y sus p o lo s e s p e c ific a n las fre c u e n c ia s n a tu ra le s . O b sérve se q u e las m is m a s fre c u e n c ia s d e b e n o bte n e rse p a ra c u a lq u ie ra d e las m u ch as I ot c a liz a c io n e s de fu e n te p o s ib le . S i la re d y a c o n tie n e u na fu e n te , esa m is m a debe ig u a la rs e a c e ro e in s e rta rs e o tra fu e n te en u n p u n to m ás c o n v e n ie n te .
Un caso especial A n te s d e q u e se ilu s tre este m é to d o c o n v a rio s e je m p lo s , ln in te g rid a d de la p re s e n ta c ió n re q u ie re q ue se re c o n o z c a u n caso e s p e c ia l q u e p o d ría p rese nta rse. E s to o c u rre c u a n d o la re d de la fig u ra 1 5 .4 1 a o 15.41¿> c o n tie n e dos o m ás p artes q u e están a isla da s e n tre sí. P o r e je m p lo , se p o d ría te n e r la c o m b in a c ió n en p a ra le lo d e tre s re de s: Ri e n s e rie c o n C , R2 e n s e rie c o n L y u n c o r to c irc u ito . C la ra m e n te , u n a fu e n te d e te n s ió n e n s e rie c o n R\ y C n o p u e d e p ro d u c ir n in g u n a c o rrie n te en R2 y L; esa fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia sería cero. P ara e n c o n tra r la fo rm a de la re sp u e sta n a tu ra l d e la te n s ió n e n e l in d u c to r, p o r e je m p lo , se re q u ie re in s ta la r la fu e n te d e te n s ió n en la re d R2L. U n caso de este tip o a m e n u d o se re c o n o c e in s p e c c io n a n d o la re d antes d e q u e se in s ta le u n a fu e n te ; p e ro s i n o es así, e nton ces se o b te n d rá u n a fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia ig u a l a cero. C u a n d o H(s) = 0 , n o se o b tie n e in fo r m a c ió n a c e rc a d e la s fre c u e n c ia s q u e c a ra c te riz a n la re spu esta n a tu ra l y d eb e e m p le a rse u n a lo c a liz a c ió n de la fu e n te m ás adecuada.
EJEMPLO 15.12 x
y
E n e i caso d e l c ir c u it o s in fu e n te d e la f ig u r a 1 5 .4 2 , d e t e r m in a r la s e x p re s io n e s d e ¿i e i2 c o rre s p o n d ie n te s a t > 0 , d a d a s la s c o n d ic io n e s i n i c ia le s / | ( 0) = i2{0 ) = 11 a m p e re s . . . In s ta la n d o u n a fu e n te de te n s ió n V s e n tre lo s p u n to s x y y se e n c u e n tra la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia H(s) = l i (s) / V s , lo c u a l re s u lta ta m b ié n s e r la ad m ita n c ia de e n tra d a v is ta desde la fu e n te d e te n s ió n . Se tie n e
= ■ F IG U R A 1 5 .4 2 Circuito para el que se desean las respuestas naturales/! e / 2.
V, = (3s + 2)V5 2s + 1 + 6s/(3s + 2) 6s2 -r 13s + 2
SECCIÓN 15.7 RESPUESTA NATURAL Y EL PLANO s
„
(s )
= '■ (»_ K - + 1) V, (s + 2 ) (s + g )
D e a cu e rd o c o n la e x p e rie n c ia re c ie n te , se sabe p o r in s p e c c ió n que z'i debe te n e r la fo rm a i , ( í ) = A e -2' + Be~t/6 L a s o lu c ió n se c o m p le ta u tiliz a n d o la s c o n d ic io n e s in ic ia le s p a ra e sta b le ce r lo s va lo re s d e A y d e B. P ue sto q u e i\ (0 ) se in d ic a c o m o 11 am peres:
11= A + B L a e c u a c ió n a d ic io n a l n e ce sa ria se o b tie n e e s c rib ie n d o la e c u a c ió n de la L K T a lre d e d o r d e l p e rím e tro d e l c irc u ito :
di\ dt
l¿ i + 2 —— |- 2i2 — 0 y re s o lv e r re s p e cto d e la d e riv a d a
di\ 1 22 + 11 = - r [ 2 i 2(0 ) + l¿ i( 0 ) ] = -------- = - 2 A - - B ~dt r =0 2 2
1
6
D e ta l m a ne ra , A = 8 y B = 3, y p o r e llo la s o lu c ió n q u e se desea es
i\(t\ = 8e ~ 2' + 3 e “ '/6
am peres
L a s fre c u e n c ia s n a tu ra le s q u e c o n s titu y e n i2 son las m is m a s q u e las de i\, a s im is m o , u n p ro c e d im ie n to s im ila r u tiliz a d o p a ra e v a lu a r las con sta nte s a r b itra ria s c o n d u c e a
i2{t) = 12e ~2' — e ,/6 PRÁCTICA
am peres
_______________________ _______________________________________
1 5.16 S i u n a fu e n te d e c o rrie n te i\ ( í ) = u ( í ) A se p re s e n ta en a-b en la fig u ra 15.43 c o n la fle c h a que e n tra en a, d e te rm in a r H ( s ) = \ ct¡/\\ y e s p e c ific a r la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s p resentes en vcí¡(t). 0 . 1 ¡ jl F
o d l F IG U R A 1 5 .4 3
Respuesta: 120s/(s + 20000) Q, —20000 s 1.
E l p ro c e s o que se debe s e g u ir p a ra e v a lu a r lo s c o e fic ie n te s de la a m p litu d de la re spu esta n a tu ra l es d e ta lla d o , e x c e p to e n a q u e llo s casos en lo s q ue son o b v io s lo s v a lo re s in ic ia le s de la re spu esta deseada y sus d e riv a d a s. S in e m b a rg o , n o se p u e d e p e rd e r de v is ta la fa c ilid a d y ra p id e z c o n la c u a l se o b tie n e la forma de la re spu esta n a tu ra l.
• -------------------------------
W V ------ ( 611
APLICACIÓN PRÁCTICA Diseño de circuitos de osciladores E n v a rio s p u n to s a lo la rg o de este lib r o se h a in v e s tig a d o e l c o m p o rta m ie n to de v a rio s c irc u ito s q u e re sp o n d e n a una e x c ita c ió n s e n o id a l. S in e m b a rg o , la c re a c ió n de la fo rm a de ondas sen oid ale s necesa ria es u n te m a in te re sante en sí m is m o . P o r e je m p lo , la g e n e ra c ió n de grandes ten sion es y grandes c o rrie n te s sen oid ale s es d ire c ta a l u ti liz a r im a n e s y b o b in a s de a la m b re ro ta to ria s , aunque u n m é to d o así n o se re du ce p ro p o rc io n a lm e n te c o n fa c ilid a d hasta fo rm a s de o n d a de m a g n itu d m ás pequeña. E n las a p lic a c io n e s de b a ja c o rrie n te , u n m e jo r m é to d o co n siste en e x p lo ta r e l c o n c e p to de retroalimentación positiva m e d ia n te u n c irc u ito c o n o c id o c o m o oscilador. L o s c ir c u ito s o sc ila d o re s son u n a p a rte in te g ra l de m u ch o s p ro d u c to s de c o n s u m o , tale s c o m o lo s re cep to re s de p o s ic io n a m ie n to g lo b a l p o r s a té lite (G P S ) de la fig u ra 15.44.
■ F IG U R A 1 5 .4 5 Circuito oscilador de puente de Wien.
de e n tra d a in v e rs o ra . L a re s is te n c ia Rf p ro p o rc io n a lo q u e se c o n o c e c o m o trayectoria de retroalimentación negativa, p u e sto que c o n e c ta la s a lid a de u n a m p lific a d o r a la e n tra d a in v e rs o ra . C u a lq u ie r a u m e n to A V 0 en la sa lid a causa u n a re d u c c ió n de la e ntra d a , la q u e a su v e z da lu g a r a u n a s a lid a m ás p eq u e ñ a ; este p ro c e so in c re m e n ta la e s ta b ilid a d de la te n s ió n de s a lid a V „ . L a ganancia d e l a m p o p , d e fin id a c o m o la ra z ó n e n tre V 0 y V , , se d e te r m in a p o r lo s ta m a ñ o s re la tiv o s de R\ y Rf. E l la z o de re tro a lim e n ta c ió n positiva consiste en dos co m b in a c io n e s in d e p e n d ie n te de re siste n cia Z v = R+l/sC y Lp = R || (1 /s C ). L o s v a lo re s q u e se e lig e n p a ra R y C p e rm ite n d is e ñ a r u n o s c ila d o r q u e tie n e u n a fre c u e n c ia e s p e c ífic a ( las capacitancias internas del amp op en sí
mismas limitarán la frecuencia máxima que se obtiene). P a ra d e te rm in a r la re la c ió n e n tre R, C y la fre c u e n c ia de ■ F IG U R A 1 5 .4 4 Muchos productos electrónicos de consumo, como este receptor GPS, dependen de circuitos osciladores para proporcionar una frecuencia de referencia. (© Royalty-Free/CORB IS)
U n c irc u ito o s c ila d o r s e n c illo , p e ro m u y ú til, que se c o n o c e c o n e l n o m b re de oscilador Wien, se m u e s tra en la fig u ra 15.45. E l c irc u ito se a sem eja a u n c ir c u ito de a m p o p n o in v e rso r, c o n u n a re s is te n c ia R\ c o n e c ta d o e n tre la p ata (p in ) de e n tra d a in v e rs o ra y la c o n e x ió n a tie rra , y u n a re s is te n c ia Rf co n e c ta d a e n tre la s a lid a y la p a ta (o p in )
o s c ila c ió n , se b u s c a la e x p re s ió n de la g a n a n c ia d e l a m p lific a d o r, V 0/V ¿ . S i se re c u e rd a n las d os re g la s d e l a m p o p id e a l que se e x p lic a ro n en e l c a p ítu lo 6 y se e x a m in a c o n c u id a d o e l c irc u ito de la fig u ra 1 5.45, se re c o n o c e que Zp y Z , f o r m a n u n d iv is o r de te n s ió n ta l que V ; = V o;
[20]
S im p lific a n d o la e x p re s ió n p a ra Zp = i ? | | ( l / s C ) = R /( 1 + s RC) y Z S = R + 1 /s C = (1 + sRC)/sC,
15.8 t TÉCNICA PARA SINTETIZAR LA RAZÓN__________ * DE TENSIÓN H(s) = Vsai/Vent G ra n p a rte d e l a n á lis is de este c a p ítu lo se h a re la c io n a d o c o n lo s p o lo s y lo s c e ro s de u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia . Se u b ic a n en e l p la n o de la fre c u e n c ia c o m p le ja , se u tiliz a n p a ra e x p re s a r fu n c io n e s de tra n s fe re n c ia c o m o ra zon es de fa c tores o p o lin o m io s en s, se c a lc u la n respuestas fo rza d a s a p a rtir de e llo s y en la
se p u e de o b s e rv a r que
lo c u a l se re o rd e n a p a ra o b te n e r R
I I
v„
^
1 + sR C
í+ sR C sC
V;
R + 1 + s RC
s RC 1 + 3s RC + s2R2C2
[21]
[22 ]
E sta e xp re sió n de la ganancia es re a l s ó lo cua nd o ca = I / RC. A s í, se puede diseñar u n a m p lific a d o r que opere a una fre cu en cia p a rtic u la r / = o>/2tc — I / 2 j t RC e lig ie n d o valores para R y para C . C o m o e je m p lo , se d is e ñ a rá u n o s c ila d o r de p u e n te de W ie n p a ra g e n e ra r u n a señal s e n o id a l a u n a fre c u e n c ia de 2 0 H z , la m ás b a ja fre c u e n c ia c o m ú n m e n te aceptada d e n tro d e l in te rv a lo de a u d io . Se re q u ie re u n a fre c u e n c ia co = 2:r f = (6 .2 8 )(2 0 ) = 1 2 5 .6 ra d/s. U n a v e z que se e s p e c ific a u n v a lo r p a ra R, se c o n o c e e l v a lo r n ecesa rio p a ra C (y v ic e v e rs a ). S u p o n ie n d o q ue se tie n e u n c a p a c i to r de 1 fiF a la m a n o , se c a lc u la e nton ces u n a re s is te n c ia re q u e rid a de R = 1 9 6 2 Q . Puesto que n o es u n v a lo r de re siste ncia estándar, p ro b a b le m e n te será n ecesario usar varias resistencias com b ina da s en serie y /o en p a ra le lo pa ra o bten er e l v a lo r necesario. S in em bargo, si se observa de n u e vo la fig u ra 15.45 c o m o p re p a ra c ió n para s im u la r e l c irc u ito m e d ia n te P S pice, se puede v e r que n o se ha espe c ific a d o n in g ú n v a lo r para Rf o R\. S i b ie n la e cu a c ió n [2 0 ] p re c is a de m a n e ra c o rre c ta la re la c ió n e ntre V „ y V , , ta m b ié n se p o d ría e s c rib ir o tra e c u a c ió n que re la c io n e tale s can tida de s: v
V
-
V
[2 3 ]
V/
P o r lo ta n to , es n e ce sa rio e le g ir v a lo re s de R] y Rf tale s q ue R f / R \ = 2 . D e s a fo rtu n a d a m e n te , si se p ro c e d e a e fe c tu a r u n a n á lis is tra n s ito rio c o n P S p ic e en e l c irc u ito e lig ie n d o R f — 2 k Q y R¡ = I k Q , p o r e je m p lo , es p ro b a b le que desagrade e l re s u lta d o . P ara g a ra n tiz a r que e l c irc u ito sea en re a lid a d in e s ta b le (una condición ne cesaria a fin de que se inicien las oscilaciones), se n e c e s ita te n e r R f / R \ u n p o c o m a y o r q u e 2. L a s a lid a s im u la d a de n u e s tro d is e ñ o fin a l ( R = 7 9 6 2 S2, C = 1 /xF . R f = 2 . 0 1 k í2 y R \ = 1 k í2 ) se m u e s tra en la f ig u r a 1 5.46. O b s e rv a r que, en la g rá fic a , la m a g n itu d de las os c ila c io n e s crece; en la p rá c tic a , se re q u ie re que lo s e le m e n to s de c irc u ito s n o lin e a le s e s ta b ilic e n la m a g n itu d de la te n s ió n d e l c irc u ito o scilad or.
O s c ila d o r d e p u e n t e W ie n ( a c tiv o
H gM
<
Í< Los d a to s d e l a n o ta empiezan en £ = 1 .2 s
1 - 2s
1 .% s
■
i
1.6s
D Ü (U 1 :0 U T ) T im e
I F IG U R A 1 5 .4 6 Salida simulada del oscilador de puente Wien diseñado para operar a 20 Hz.
s e c c ió n p rece de nte se u sa ro n sus p o lo s p a ra e sta b le ce r la fo rm a de la re spu esta n a tu ra l.
+ó
-
Ri
v„
V, jcoRC V~n = 1 + 3 jcoRC + ( jco)2R2C 2
o = — + — ----R, Rf
R-f
S i co = 1 /R C en la e c u a c ió n [2 2 ], se o b tie n e
P u e s to q u e e l in te ré s se c e n tra en la o p e ra c ió n en estado s e n o id a l p e rm a n e n te d e l a m p lific a d o r, se s u s titu y e s p o r jco, p o r lo que
jcoRC 1 - co2R2C2 + 3 jcoRC
= 1.
Se v e rá a h o ra la fo r m a en q u e se p o d ría d e te rm in a r u n a re d q u e p u e d e p r o p o rc io n a r u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia deseada. S ó lo se c o n s id e ra rá u n a p a r te p e q u e ñ a d e l p ro b le m a g e n e ra l, tra b a ja n d o c o n la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de la fo r m a H(s) = Vsai(s)/V ent(s), c o m o se in d ic a e n la fig u ra 1 5.47. P o r s im p lic id a d , se re s trin g e H(s) a las fre cu e n c ia s c rític a s sobre e l e je a n e g a tiv o
! F IG U R A 1 5 .4 7 Dada H(s) = Vsal/V ent, se busca una red que tenga una H(s) especifica.
614 )--------VW---------------•
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DC CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
(in c lu y e n d o e l o rig e n ). A s í, se co n sid e rarán fu n c io n e s de tra n s fe re n cia tales que:
10(s + 2)
H i( s ) =
s+ 5
—5s
H 2( s)
o----------------4 ---------------------------- o
(s + 8)2
H .?(s) = 0.1 s(s + 2 )
■ FIG U R A 15.48 En un amp op ideal,
H(s) = Vsai/Vent — —Zf/L],
Se c o m e n z a rá d e te rm in a n d o la g a n a n cia de te n s ió n d e la re d de la fig u ra 15.48, que c o n tie n e u n a m p op id e a l. L a te n s ió n e n tre las dos te rm in a le s de e n tra da d e l a m p o p es. en esencia, cero, y la im p e d a n c ia de e n tra d a d e l a m p o p es, en la p rá c tic a , in fin ita . P o r lo ta n to , se p u e de ig u a la r a c e ro la sum a de las c o m e n te s que e n tra n a la te rm in a l de e ntra da in v e rs o ra : Kf
— V A —
V ent
__ ,,
V sal
z 7 ~
z7
Vsal___Z/ V ent
Zi
Si Z / y Z i son re s iste n c ia s , e l c irc u ito a ctú a c o m o u n a m p lific a d o r in v e rs o r o q u iz á s c o m o u n atenuador (s i la ra z ó n es m e n o r q u e la u n id a d ). S in e m b a rg o , e l in te ré s en este m o m e n to ra d ic a en lo s casos en lo s q u e u n a de estas im p e d a n c ia s es u n a re s iste n c ia , m ie n tra s q u e la o tra es u n a re d R C . E n la fig u ra 1 5.4 9 a , sea Z i = Ri, m ie n tra s q u e Z / es la c o m b in a c ió n en p a ra le lo de R j y C f . P o r lo ta n to , )
Zf =
R f / s Cf
Rf
1/ C f
R f + (\/sCf)
1 + sC f R f
s + (1/RfCf)
ib) ■ FIG U R A 15.49 (o) La función de transferencia H(s) = Vai/Vent tiene un polo en s = - 1/R >O . (6) Aquí hay un cero s = —1 / # , C , .
H (s ) =
Vsal Vent
Zf Zl
\/R\Cf S + ( l
/RfCf)
Se tie n e u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia c o n u n a s o la fre c u e n c ia c rític a (fin ita ), u n p o lo en s = — 1 / R f C f . A l c o n s id e ra r a h o ra la fig u ra 15.49¿>, se d e ja q u e en este caso Z y sea re s is tiv a , en ta n to q ue Z ¡ será u n a c o m b in a c ió n e n p a ra le lo R C :
7
H (s ) =
1/ C i s + a /^ c o
= - h - = - R fCl ( s Z, \
R\C\
L a ú n ic a fre c u e n c ia c rític a fin ita es c e ro en s = —\/R\C¡.
SECCIÓN 15.8 TÉCNICA PARA SINTETIZAR LA RAZÓN DE TENSIÓN H(s) = Vsa¡/Ve„,
W
v
Para lo s a m p o p id e a le s , la im p e d a n c ia de s a lid a o de T h é v e n in es c e ro y, p o r lo ta n to , V sai y V sai / V ent n o son fu n c io n e s de n in g u n a c a rg a Z ¿ que p u d ie ra p o n erse a tra vé s de las te rm in a le s de sa lid a . E s to ta m b ié n in c lu y e la e n tra d a a o tro a m p op y, p o r lo ta n to , se c o n e c ta ría n c irc u ito s q u e te n g a n p o lo s y ceros en lo c a liz a c io n e s e sp e cífica s en cascada, d o n d e la s a lid a de u n a m p o p se c o n e cta de m a n e ra d ire c ta a la e n tra d a d e l s ig u ie n te , y de esa m a n e ra g e n e ra r c u a lq u ie r fu n c ió n de tra n s fe re n c ia q u e se desee.
EJEMPLO 15.13 Sintetizar el circuito que producirá la función de transferencia H(J = \ ;sa,/Vi;ilt = 10(s + 2)j| + 51 E l p o lo en s = —5 se o b tie n e m e d ia n te u n a re d c o n la fo rm a de la fig u ra 1 5.49 o. S i se n o m b ra /\ a e s ta re d , se tie n e 1 / R f ACfA = 5. D e m a n e ra a rb itra ria se e lig e R /A = 100 k Q ; p o r lo ta n to , C/A — 2 / iF . P ara esta p a rte d e l c irc u ito c o m p le to , H
a ( s)
= -
1/ RiaC/A
5
X
1 0 5 / t fiA
s —(—5
S + (1/ RfACfA)
A c o n tin u a c ió n , se con s id e ra e l c e ro e n s = —2 . D e la fig u ra 15.49/?,
1/RigCig — 2 , y c o n RÍB = 100 k£2, se tie n e q ue C\B = 5 ¡xF. P o r lo ta n to ,
H#(s) =
—R/bCib ( s +
1
R ib C\ b
- 5 x 10“ 6/?/ B (s + 2 )
H (s ) = H
a ( s) H
* ( s) = 2 .5
Rfs s +
2
/? ia s i- 5
Se c o m p le ta e l d is e ñ o R¡ « = 100 k Q y R ía = 25 k Q . E l re s u lta d o se m u e s tra en la fig u ra 15.50. L o s ca p a c ito re s en este c irc u ito son bastante grandes, a un qu e lo a n te rio r es u n a co n s e c u e n c ia d ire c ta de las b a ja s fr e cu e n cia s sele ccio n a d a s p a ra e l p o lo y p a ra e l c e ro de H ( s ) . S i H ( s ) se c a m b ia ra a 10(s + 2 0 0 0 ) /( s + 5 0 0 0 ), se p o d ría n u tiliz a r v a lo re s de 2 y 5 nF.
loo kn
■ FIG U RA 15.50 Esta red contiene dos amp op ideales y produce la fundón de transferencia de tensión H(s) = Vsai/H ent = 10(s + 2 & S + 5).
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
PRÁCTICA
________________________________________________________________
15.17 E s p e c ific a r lo s v a lo re s adecuados d e e le m e n to s p a ra Z i y Z / en cada u na d e las tre s etapas d e cascada, a f in de re a liz a r la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia
H(s) = —20s2/(s + 1000). Respuestas: 1 /xF || oo, 1MÍ2: 1 /xF || oo, 1 MÍ2; 100kí2 || lOnF, 5MÍ2.
RESUMEN Y REPASO______________________________ □
Se pue de n re p re s e n ta r las re siste n cia s en e l d o m in io d e la fre c u e n c ia p o r m e d io de u n a im p e d a n c ia que te n g a la m is m a m a g n itu d .
□ L o s in d u c to re s pue de n re prese ntarse en e l d o m in io d e la fre c u e n c ia m e d ia n te u n a im p e d a n c ia sL. S i la c o rrie n te in ic ia l es d ife re n te d e cero, entonces la im p e d a n c ia debe p on erse en serie c o n la fu e n te de te n s ió n —Li( 0 “ ) o en p a ra le lo c o n u na fu e n te de c o rrie n te i (0 - ) /s . □
R e s u lta fa c tib le re p re s e n ta r lo s c a p a c ito re s en e l d o m in io de la fre c u e n c ia p o r m e d io d e u n a im p e d a n c ia 1 /s C . S i la te n s ió n in ic ia l es d is tin ta de cero, e ntonces la im p e d a n c ia debe p on erse en serie c o n la fu e n te d e te n s ió n d(0“)/s o en p a ra le lo c o n una fu e n te de c o rrie n te Cv(0~).
□
E l a n á lis is n o d a l y de m a lla en e l d o m in io s d a c o m o re s u lta d o e cuaciones sim u ltá n e a s en té rm in o s de p o lin o m io s s. M A T L A B es u na h e rra m ie n ta m u y ú til p a ra re s o lv e r tales sistem as d e ecuaciones.
□ L a s u p e rp o s ic ió n , la tra n s fo rm a c ió n d e fu e n te y lo s teo re m as de T h é v e n in y de N o rto n son v á lid o s en e l d o m in io s. □
U n a fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia de c irc u ito H(s) se d e fin e c o m o la ra z ó n e ntre la s a lid a y la entra da , am bas en e l d o m in io s. C u a lq u ie r c a n tid a d p ud iese ser u n a te n s ió n o u na c o rrie n te .
□
L o s zeros d e H(s) son lo s v a lo re s q u e p ro p ic ia n u n a m a g n itu d c ero. L o s polos d e H(s) son lo s v a lo re s q u e o rig in a n la m a g n itu d in fin ita .
□
L a c o n v o lu c ió n nos p ro p o rc io n a m e d io s ta n to a n a lític o s c o m o g rá fic o s p ara d e te rm in a r la s a lid a de u n c irc u ito a p a rtir de su respuesta a l im p u ls o h(t).
□
E x is te n v a rio s m é to d o s g rá fic o s p a ra re p re s e n ta r e xp re sio n e s en e l d o m in io s en té rm in o s d e p o lo s y de ceros. Se u tiliz a n estas g rá fic a s p a ra s in te tiz a r u n c irc u ito y o b te n e r u na respuesta deseada.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ M ás d e ta lle s acerca d e l a n á lisis de s iste m a s en el d o m in io s, el uso d e la tra n s fo r m a d a d e Laplace y las p ro p ie d a d e s de las fu n c io n e s de tra n s fe re n c ia se p u e d e n e n c o n tra r en
K . O gata, Modern Control Engineering, 4a. ed. E n g le w o o d C liffs . N J .: P rentic e -H a ll, 2002. Un análisis muy completo acerca de los diferentes tipos de circuitos osciladores puede encontrarse en: R . M a n c in i, Op Ampsfor Everyone, 2a. ed. A m sterda m : N ew nes, 2003
y G . C la y to n y S. W in d e r. Operational Amplifiers, 5a. ed. A m sterda m : N ew nes, 2003.
EJERCICIOS
EJERCICIOS 15.1 Z(s) y Y(s) 1. D ibujar todos los equivalentes posibles (í > 0) en el dominio s del circuito de la figura 15.51. 2. D ibujar todos los equivalentes posibles (t > 0) en el dominio s del circuito que se presenta en la figura 15.52. 73 íl 2 000 yuF
A A A í------- II 7.2 V
30 mH 2 *t)
■ FIG U RA 15.52
3. Observar la figura 15.53 y calcular : (a) Z ent( s) como la razón entre dos polinomios en s; (b) Z ent(—80); (c) Z ent(78O); (d) la admitancia de la ram a RL en paralelo, Y /(l ( s ) , como una razón de polinomios en s. (e) Repetir para Y r c ( s ) - ( / ) D emostrar que Z cnl(s) = (Y/u, + YRC)/Y RLYRC. 20 íl
4. Determ inar la im pedancia equivalente de Thévenin vista desde las terminales del circuito que se describe en la figura 15.54, hacia dentro del mismo,
o— ---------- 1-------------------- 1 ■20 íl
■ 40 fl
2m F
: 2 mF
■ FIG U R A 15.54
5. (a) Determ inar Z ent( s) de la red de la figura 15.55 como una razón de dos polinomios en s. (b) Determ inar Z cnt(78) en forma rectangular, (c) Encontrar Z em( —2 + 76) en forma polar, (d) ¿A qué valor debe cambiarse la resistencia de 16 £2 para que Z en, = 0 en s = —5 + 7O? (e) ¿A qué valor debe cambiarse la resistencia de 16 £2 para que Z ent = 00 sea s = —5 + jO? 0.02 F
o--------- \(r~ ■16 0
0.2 H
■ FIG U RA 15.55
6.
(a) Determ inar la impedancia equivalente de Thévenin que se observa desde las terminales del circuito que se ilustra en la figura 15.56, hacia dentro del mismo; (b ) graficar la magnitud de la im pedancia como una función de la pulsación w para el caso a — 0.
• ------------------------------
W v ----------------{
617
e t s -------V W
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
7. Determ inar la impedancia de entrada Z ent del circuito que se m uestra en la figura 15.57, modeln de un circuito lineal de un amplificador transistorizado de unión bipolar y em isor común válido para frecuencias hasta de varios MH/,. Expresar la respuesta como una razón de polinomios s ordenados.
8.D eterm inar v(t)
en el circuito de la figura 15.58 trabajando al principio en el
dominio s. + <Át)
115 mH
-o n rp — i(t) 2 u(t) V ( f )
í(f) 3.3 /xF
I +
< l.lM fí
4.7 kfí ^ 'il)
K 0-) = 4 V
¡(O-) = 4 mA
I FIG U RA 15.59
I FIG U RA 15.58
100 mH
-----25 u(l) fiA ©
9. U tilizar técnicas de análisis de circuitos en el dominio s para determinar la corriente i (t) a través del capacitor de la figura 15.59. 10. (a) Convertir el circuito de la figura 15.60 en una representación apropiada en el dominio s. (b) Determ inar la expresión de p(í), la potencia que se absorberá en la resistencia.
15.2 Análisis nodal y de malla en el dominio s ■ FIG U RA 15.60
11. Considerar el circuito de la figura 15.61. Utilizando las técnicas en el dominio s, encontrar las tensiones nodales indicadas v i(í) y U2O) si (0_ ) = —2 V.
■ FIG U R A 15.61
12.
Considerar el circuito de la figura 15.62. (a) Utilizando las técnicas en el dominio s, encontrar las tensiones nodales indicadas como v¡ (t ) y v i f t ) . (b) Elaborar un diagrama de t>i(í)-
rfí — w v — 1— w v — 2u(t) A I ^
I FIGURA 15.62
lfí< >
911 f
¡ c
I4A
-A /W -
EJERCICIOS -13. El circuito simple de la figura 15.63 contiene dos mallas, (a) Determ inar tanto i\ (t) como ¿2(t) utilizando el análisis de malla en el dominio s si u c(0 - ) = 9 V. (b ) Verificar la respuesta utilizando PSpice. Proponer un esquema marcado apropiadamente junto con el resultado de su simulación comparado con la solución analítica de la parte (a).
■2 n
■ FIG U R A 15.63
-14. El circuito simple de la figura 15.64 contiene dos mallas, (a) Determ inar tanto i i (í) como ¿2(í) utilizando el análisis de m alla en el dominio s si i\ (O- ) — ¿2(0~) = 8 A. (b) Verificar la respuesta utilizando PSpice. Proponer un esquema marcado apropiadamente, junto con el resultado de su simulación comparado con la solución analítica de la parte (a).
2 CI
-vw 9u(t) V
0.5 H ■ FIG U R A 15.64
15. (a) Sea vs = 10e~2í cos(10í + 30 °)u(t) V en el circuito de la figura 15.65, y trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar l x . (tí) Calcular ix (t).
Vs
16. Determ inar la tensión nodal v\ (t ) en el circuito de la figura 15.66, bajo el supuesto de una energía inicial igual a cero. I FIG U R A 15.65
■ FIG U R A 15.66
17. D eterm inar las expresiones en el dominio del tiempo de la corriente de malla central del circuito de la figura 15.66, bajo el supuesto de una energía inicial igual a cero. 18. Calcular la tensión nodal vi (t) del circuito de la figura 15.66 si la tensión en el capacitor v a (0*) = 9 V , pero ningún otro elemento alm acena inicialmente alguna cantidad de energía. 19. Sea isi = 20e-3f c o s4 í u(t) A e ¿s2 = 30e-3 ,sen4f u(t) A en el circuito de la figura 15.67. (a) Trabajar en el dominio de la frecuencia para determinar Vx . ib) Obtener
vx (t). 0.1 F
■ FIGURA 15.67
5 íl
619
A /W
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
20. (a) Determ inar una expresión en el dominio del tiempo para v(t) en el circuito de la figura 15.68 si u(0~) = 75 V , teniendo en cuenta que inicialmente no hay energía almacenada en el inductor, (ti) Utilizar la respuesta del inciso (o) para determinar la corriente en estado perm anente que fluye en el circuito desde la fuente de 115 V rms. (c) Verificar la respuesta del inciso (ti) utilizando el análisis fasorial. 20 a
■ F IG U R A 1 5 .6 8
21. Determinar las corrientes de malla i\(t) e ¿2(0 de la figura 15.69 si la corriente que pasa por el inductor de 1 mH (¿2 — 14) es de 1A en t = 0 _ . Verificar que la respuesta se aproxime a la que se obtuvo mediante el análisis fasorial a medida que la respuesta del circuito alcanza, en el largo plazo, el estado permanente. 0.005 ¡!
■ F IG U R A 1 5 .6 9
22. Bajo el supuesto de que no se almacena en un principio energía en el circuito de la figura 15.70, determinar el valor de vi en t = : (a) 1 ms; (ti) 100 ms; (c) 10 s.
23. Si la fuente de tensión dependiente del circuito de la figura 15.71 es dañada por una sobretensión durante una tormenta eléctrica y ya no funciona (es decir, ahora es un
■ FIGURA 15.71
A /W
EJERCICIOS
circuito abierto), determinar la expresión de la potencia que absorbe la resistencia de 2 fi. Se debe suponer que la única energía almacenada al principio en el circuito se encuentra en el inductor, de manera que la corriente que circula por el inductor de 1 mH inductor (¿2 — 14) es 1 mA en t = 0 “ . 24. (a) En el circuito de la figura 15.71, un modelo de circuito lineal de un amplificador transistorizado de unión bipolar y emisor común, determinar la expresión de la ganancia de tensión V „/V it. Se podría suponer que no hay energía almacenada en un principio en los capacitores; expresar la respuesta com o una razón de polinomios s ordenados, (b) ¿Cuántos polos existen para esta función de transferencia?
15.3
Técnicas adicionales de análisis de circuitos
25. (a) Convertir el circuito de la figura 15.72 en una representación apropiada en el dominio s. (b) Determ inar el equivalente de Thévenin visto por la resistencia de 1fi. ( c ) Analizar el circuito simplificado para obtener una expresión correspondien te a i (t ), la corriente instantánea que pasa por la resistencia de 1 £2. 26. Sustituir la fuente de corriente de la figura 15.72 por una fuente de tensión 20 u (t ) V, con la referencia positiva en la parte superior, (a) Convertir el circuito en uua representación apropiada en el dominio s. (b) Determ inar el equivalente de Norton visto desde la resistencia de 1 fi resistor, (c) Analizar el circuito simplificado para obtener la expresión correspondiente a i c ( t ) . 27. En el circuito en el dominio s de la figura 15.73, determinar el equivalente de Thévenin visto desde la im pedancia de 7s 2 £2 y utilizarlo para determinar la corriente I(s). 3a
3 fi
28. En el circuito en el dominio s de la figura 15.74, determinar el equivalente de Thévenin visto mirando hacia las terminales marcadas como a y b.
2s f i
29. (a) A plicar el teorema de superposición en el dominio s para obtener V i (s) y V 2(s) para el circuito de la figura 15.75. (b) Determ inar n (r) y V2 (t ). v2(t)
i— W v —
10«(í) v (
IFIG U RA 15.75
—33 (U.F
92 /iF -
W v—1 47 kfi I
1
) 5 S(t) - 3 u(t) V
30. Determinar la potencia p(t) que absorbe la resistencia de 56 fi de la figura 15.75 mediante transformaciones de fuente apropiadas en el dominio 31. (a) Calcular el equivalente de Norton en e] dominio s visto por la fuente de 10 u(t) V de la figura 15.75. (b) Determ inar la corriente que fluye hacia fuera de la fuente de 1 0 «(f) V en t = 1.5 ms.
j'cM 3 u(t) A
I FIG U RA 15.72
- 2 mF
622 )— - ^ ■' /
v ------------------------------- •
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO s
32. (a) Utilizar la superposición en el dominio s para encontrar una expresión relativa a V i (s) como se indica en la figura 15.76. (b ) Calcular ni (f).
33. (a) Em plear transformaciones de fuente en el dominio s para determinar I(s) correspondiente al circuito de la figura 15.77. ib) Encontrar i(t). fe) Determ inar el valor del estado perm anente de i(t). 60 cos (IO3?) u(t) V
10 n
-nrvr13 mH
-A/W
i(t)
5 cos (103í) u(i) V |
■73 fl
[ F IG U R A 1 5 .7 7
15.4 Polos, ceros y funciones de transferencia 34. Determ inar Jos polos y ceros de las funciones de transferencia siguientes:
(«)
1
7s
:-Áb) s(3s2 - 9s + 4) ’ (s2 + 2s + 4)(s2 + 1)'
35. M encionar todos los polos y ceros de cada una de las funciones en el dominio s siguientes: (a)
3s2
,
s2 + 2s — 1
s(s2 + 4 ) ( s — 1 )’ v" ' s2(4s2 + 2 s + l)(s 2 — 1 )'
36. L a combinación en serie de una resistencia de 5 £2 y una capacitancia de 0.2 F está en paralelo con una combinación en serie de una resistencia de 2 £2 y una inductan cia de 5 H. (a) Determ inar la admitancia de entrada Y t (s), de esta combinación en paralelo como una razón de dos polinomios en s. (b ) Identificar todos los polos y los ceros de Y i(s). (c) Identificar todos los polos de la admitancia de entrada que se obtendrán si una resistencia de 10 £2 se conecta en paralelo con Y¡ (s). (d) Identi ficar todos los ceros de la admitancia de entrada que se obtendrán si se conecta una resistencia de 10 Q en serie con Y ; (s). 37. Determ inar todos los polos y los ceros de: (a) la impedancia de entrada definida en la figura 15.54; ( b) la im pedancia de entrada definida en la figura 15.56. 38. Una admitancia Y(s) tiene ceros en s — 0 y s = —10, y polos en s = —5 y —20 s -1 . Si Y(s) -»• 12 S am edida q u e s -> oo, determinar: (a) Y("/10); (V) Y (—y 10); (c) Y (—15); (d ) los polos y los ceros de 5 + Y(s). 39. (a) Obtener Zem(s) en la red de la figura 15.78. (¿>)Determinar todas las frecuencias críticas de Ze„t(s). 40. U n circuito dado tiene una función de transferencia H(s) = (s + 2 )/[(s + 5)(s2 + 6s + 25)]. Determ inar la respuesta de salida en el dominio: (a) <5(r); (b) e~4tu(t); (c) [2cos 1 5 /]k(í); id) te~‘u(t). (e ) M encionar los polos y ceros de cada respuesta de salida.
A A /V
EJERCICIOS
15.5 C onvolució n 41. L a respuesta al im pulso de cierto sistema lineal es h(t) = 5 s e n jr? [íí(/) — u(t — 1)]. Se aplica una señal de entrada x(t) = 2[u(t) —u(t —2 )] U tiliz a r la convolución para determ inar y d ib u ja r la salida y(t). 42. Sean f\(t) = e~5tu(t) y V 2O) = (1 — e~2t)u{t). C alcular y(t) = fi(t) * / 2O) por: (a) convolución en el dom in io del tiem po; (b) jC~]{F 1(s)F 2(s)}. 43. Cuando se aplica un im pulso 5 (0 V a cierta red de puertos, la tensión de salida es v0(t) = 4u(t) - 4u(t —2) V. D eterm inar y d ib u ja r v0(t) si la tensión de entrada es 2u(t - 1) V. 44. Sean h{t) = 2e~3,u(t) y x(t) = u(t) — á(f ). D eterm inar y(t) = h(t) * x(t)2 como sigue: (a) utilizan do la convolución en el dom in io del tiem po; (b) calculando H (s ) y X (s) y después obtener £ _ 1{H (s )X (s )}. 45. L a respuesta en tensión al im pulso de un c irc u ito p articular está dada como h(t) = 5u(t) — 5 u(t — 2). C alcular la respuesta en tensión en e l d om in io s y en el d om in io del tiem po si la tensión de excitación uent(r) = es igual a: (a) 3S(t) V ; (b) 3 u(t) V ; (c) 3 u{t) —3u(t —2) V ; (d) 3 cos 3 1 V . (e) D ib u ja r la respuesta en ten sión en el dom in io del tiem po para todos los incisos precedentes ( a)-(d ). 46. (a) D eterm inar la respuesta al im pulso h (í) de la red que se muestra en la figura 15.79. ( b) U tiliz a r la convolución para determ inar v0(t) si uent(0 = 8u(í) V.
■4 Í Í
;5 fi
■
vjj)
F IG U R A 1 5 .7 9
4
n
o------------■ F IG U R A 1 5 .8 0
47. (a) D eterm inar la respuesta a l im pulso h(t) de la red que se muestra en la figura 15.80. (b) U tiliz a r la convolución para determ inar v0(t) si vcn,(t) = 8e~'u(t) V.
15.6 Plano de frecuencia compleja 48. D eterm inar H(s) = V sai= V ent de la red de la figu ra 15.81 y loca liza r todas sus fre cuencias críticas. 0.1 F
H (0—
— v w — — VW — — c 20 í l 20 í l
ent
*" Í 0 . 1 F
ja
V
n------------------------ 1------------------------ r
4 - ~)4 plano s
■ FIG U R A 15.81
49. L a configuración de polos y ceros de H(s) = V 2(s)/ V 1(s) se muestra en la figura 15.82. Sea H (0 ) = 1. D ib u ja r |H (s)| en fun ción de: (a) a si co = 0; (b) co si a = 0. (c) D eterm inar |HO'®)|máx. 50. U na pieza de m aquinaria eléctrica tiene una im pedancia de entrada caracterizada p o r dos ceros en s = — 1, un polo en s = —0.5 + j-J 3 /2 , otro p olo en s = - 0 . 5 - ; V 3 / 2 , y es igu a l a 1 ohm en s = 0. (a ) D ib u ja r la constelación de polos y de ceros de esa impedancia. (b) D ib u ja r el m odelo de lám ina elástica de la magni-
-2 - 1
H I FIGURA 15.82
--J4
623
w v
CAPÍTULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
tud de la im pedancia. (c) E ncontrar una com binación de resistencias, inductores y capacitores que tengan la m ism a im pedancia. ( Sugerencia: trabajar de atrás hacia adelante a partir de la expresión en el dominio s.) 51. Dada la ganancia de tensión H (s ) = (10s 2 + 55s + 7 5 )/(s 2 + 16): (a ) indicar las fre cuencias críticas en el plano, (tí) C alcular H (0 ) y H (o o ). (c) Si un m odelo de escala |H (s) | tiene una altura de 3 cm en el origen, ¿cuál es la altura en s = j 3? (d) D ibujar en form a aproximada |H (cr)| en función de cr y |H(y7i>)| en función de ai.
52. En un laboratorio secreto de) gobierno, un investigador cuyo alm uerzo escondieron de manera m aliciosa sus colegas, que al parecer no tienen nada que hacer, descubrió una caja de m etal de form a extraña. Sin señales de com ida por ningún lado, el in vestigador decidió m e dir la adm itancia de la caja y descubrió que su m odelo podría ser Y (s ) = (5s 2 + 5s + 2 ) / (5s 2 + 15s + 2) S. (a) D ib u ja r la constelación de polos y de ceros de esta adm itancia, (tí) D ib u ja r el m odelo de lám ina elástica de la m ag n itu d de la admitancia, (c) D eterm inar la ubicación del alm uerzo desaparecido, si los coeficientes de p o lin o m io del denom inador corresponden a la la titu d (grados, m inutos y segundos) y los coeficientes del p o lin o m io del num erador corresponden a la lon g itu d (grados, m inutos y segundos). Resulta o bvio que los colegas del inve sti gador tienen m ucho en qué divertirse. 53. Se aplica la constelación de polos y de ceros que se presenta en la figura 15.83 a una ganancia de corriente H (s ) = I Sai/Ient- L e t H ( —2) = 6 . (a) Expresar H (s ) com o una razón de polinom ios en s. (tí) C alcular H (0 ) y H (o o ). (c) D eterm inar la m agnitud y la dirección de cada flecha, a p a rtir de una frecuencia crítica para s = j 2. jo>
-i T i l [ 1 i -3 i i i i iT
plano s i
A -1
A
> rr
5 íl
1
--J2
I FIG U RA 15.83
54. L a red de tres elementos de la figura 15.84 tiene una im pedancia de entrada Z ^ (s ) con un cero en s = —10 + /O . Si se pone una resistencia de 20 £2 en serie con la red, el cero de la nueva im pedancia se desplazará a s = —3.6 + j 0 . D eterm inar R y C. 55. Sea H (s ) = 100(s + 2 )/(s 2 + 2s + 5) y: (á) m ostrar la gráfica de polos y de ceros correspondiente a H (s ); (tí) determ inar H ( joj); (c) deducir |H ( ja>)\; (d) dib u jar |H(y'ft>)| en fun ción de u>\ (e) determ inar o w , la frecuencia a la cual |H ( ja>)\ es m áxim o. 1 5.7 R espuesta n a tu ra l y el p la n o s 56. Sea Z ent(s) = (5s + 20)/(s + 2) í l para la red que se presenta en la figura 15.85. Determinar: (a ) la tensión vat (t) entre las terminales en circuito abierto, si ifc¡,(0) = 25 V ; (tí) la corriente irj,(l) en un corto circuito entre las terminales a y tí si íab(0) = 3 A .
---------Red pasiva -----■ FIGURA 15.85
EJERCICIOS
• --------------W V
0
57. Sea Z ent(s) = 5(s 2 + 4s + 2 0 )/(s + 1) í l en la red pasiva de la figu ra 15.85. D eter m in ar ia(t), la corriente instantánea que entra a la term inal a, dado que vab(t) es igu a l a: (a) 160e~6' V ; (b) 160 e~6,u(t) V , con ia(0) = 0 y dia/dl = 32 A /s en t = 0. 58. (a) D eterm inar H (s ) = Ic /ls en el circu ito que se muestra en la figura 15.86. (b) D eterm inar los polos de H (s ). ( c) E ncontrar a, a>o y (ú¿ en el c irc u ito RLC. (d) D e term inar la respuesta forzada i c j U i en form a completa, (e) In d ic a r la form a de la respuesta neutral ¿ c ,« (í). ( / ) D eterm inar los valores para ¡ c ( 0 + ) y dic/dt en í = 0+ . (g ) E s crib ir la respuesta completa, í' c ( í ). 2 mH
■ FIG U RA 15.86
59. E n el c irc u ito de la figura 15.87: (a) encontrar los polos de H (s ) = I e„t/ V ent. (b) Sean i\ (0+ ) = 5 A e ¿2(0+ ) = 2 A y determ inar ¿ent(í) si vCDt(í) = 500u(t) V.
50 íí 20 íl ------- W ------- T---- W v-----
P
16H [
| 34 H
1"
l'2
■ FIG U R A 15.87
60. (a) C alcular H (s ) = V ( s ) /I, (s) para el circuito de la figu ra 15.88. D eterm inar v(t) si is(t) es igual a: ( b) 2 u(t) A ; (c) Ae~Wt A ; ( d ) 4 e~l0,u(t) A .
20 íl
50 íl
: 1 mF
1---- WV---- ---- W v----+ L M va ; ^ 40 mF VC1 P
■ FIG U R A 15.88
61. En el c irc u ito de la figura 15.89: (a) calcular H (s ) = \c. 2/V s ; (b) sea vc¡ (0+ ) = 0 y % 2( 0+ ) = 0, y calcular va(t) si vs(t) = u(t) V . 62. Observar la figura 15.90 y determ inar la im pedancia Z ent (s) vista desde la fuente. U tiliz a r esta expresión para ayudar a determ inar ifent(í) para t > 0. 20 n i— v \ N — + 20 u(t) A ( J
'em -
■ FIGURA 15.90
í ^10Ü 1
“ ~ 25 mF
“ ~ 12.5 mF
I FIGURA 15.89
: 10 mF
0
A /W
CAPITULO 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIOS
15.8 Técnica para sintetizar la razón de tensión H(s) = Vsai/Vent 63. Determ inar H (s) = V 5al/ V ent como una razón de polinomios en s para el amp op de la figura 15.48, indicando los valores de im pedancia (en Q): (a) Z i( s ) = 103 + (108/s ) , Z /(s ) = 5 0 0 0 ; (h) Z i( s ) = 5 0 0 0 , Zy(s) = 103 + ( 108 /s); (c) Z j (s) = 1 0 3 + ( 1 0 8 /s ) , Z /(s ) = 104 + ( 108/s). 0
64. En el circuito de la figura 15.49/;, sea R j = 20 kí2 y especificar entonces los val ores de /?i y C i de manera que H (s) = V sai/ V ent sea igual a: (a) —50; (b) —10^3(s + 104); (c) —10_4(s + 103); (d) 10_3(s + 105), utilizando dos etapas.
Q
65. En el amp op de la figura 15.49a, sea R f = 20 k fi y especificar en ese caso los valores de y C f de m anera que H (s ) = V5ai/Vent sea igual a: (a) —50; (,b ) —IO V ís + 104); (c) —104/( s + l t f ) ; (d ) 100/(s + 105), utilizando dos etapas.
íft
66. Utilizar varios amp op en cascada para realizar la función de transferencia H (s ) = Vsai/Vent = —10~4s(s + 102) /( s + 103). Em plear sólo resistencias de 10k£2 cir cuitos abiertos, circuitos en corto, especificando todos los valores de capacitancia.
■ L .0
67. Diseñar un oscilador de puente de Wien que esté caracterizado por una frecuencia de oscilación de 1 kHz. Emplear sólo los valores de resistencias estándar dados en el interior de la cubierta. Verificar su diseño con una simulación PSpice apropiada. 68. D iseñar un oscilador de puente de Wien con una frecuencia de oscilación de 60 Hz. Verificar su diseño con una simulación PSpice apropiada.
O V - (fl)
69. D iseñar un circuito de oscilador para proporcionar una señal senoidal de 440 Hz empleando sólo valores de resistencia estándar, como los que se dan en la parte in terior de la cubierta de la portada. Verificar el diseño con una simulación PSpice apropiada. ¿Q ué nota musical produce el circuito? 70. D iseñar un circuito que proporciona una salida de tensión compuesta por una onda seno de 220 Hz y una onda seno de 440 Hz. Verificar el diseño con una simulación PSpice apropiada. ¿Están en fase entre sí las dos ondas seno?
Respuesta en frecuencia CONCEPTOS
CLAVE
INTRODUCCIÓN L a respuesta en fre c u e n c ia y a h a a p a re cid o en v a rio s c a p ítu lo s , p o r lo que ta l v e z al le c to r le s o rp re n d a que a h o ra se d e d iq u e a l te m a u n c a p ítu lo c o m p le to . D ic h o c o n c e p to es de sum a im p o rta n c ia en tod os lo s cam pos de la c ie n c ia y de la in g e n ie ría , pues c o n s titu y e la base p ara c o m p re n d e r lo s fa c to re s que d e te rm in a n la e s ta b ilid a d o in e sta b ilid a d , de u n siste m a e sp e c ífico , sea e lé c tric o , m e cá n ic o , q u ím ic o o b io ló g ic o . Se e n c o n tra rá ta m b ié n que lo s c on cep to s de respuesta en fre c u e n c ia se re q u ie re n en m u ch as a p lic a c io n e s de la in g e n ie ría e lé c tric a m ás a llá d e l te m a de la e sta b ilid a d . P o r e je m p lo , cua nd o se tra b a ja c o n sistem as de c o m u n ic a c io n e s a m e n u d o se deben e n fre n ta r situ a cio n e s que e x ig e n la s ep aración de fre cu e n c ia s (cada u n a de las estaciones de ra d io , p o r m e n c io n a r u n caso), o p e ra c ió n que se lle v a a cabo u n a v e z que se c u e n ta c o n u n a c o m p re n s ió n cabal de la respuesta en fre c u e n c ia de lo s c irc u ito s de filtra d o . E n re sum e n, s in n in g u n a d ific u lta d se p o d ría n d e d ic a r v a ria s p ág ina s a e lo g ia r las v irtu d e s d e l e stu d io de la respuesta en fre cu e n c ia . S in e m ba rg o, se p re fie re lle v a rlo a cabo d e n tro d e l tem a , c o m e n z a n d o c o n e l e fe cto
Frecuencia resonante de los i circuitos con inductores
i
y capacitores.
A ------------------------------------------Factor de calidad.
------------------------------------------Ancho de banda.
• ----------------------------------------i Escalamiento (o ajuste) de : frecuencia y magnitud.
•-------------------Técnicas de los diagramas de Bode.
------------------------------------------Filtros pasabajas y pasaaltas.
• ----------------------------------------Diseño de filtros pasa bandas.
------------------------------------------Filtros activos.
e lé c tric o d e l c o n c e p to de re s o n a n c ia y c u lm in a n d o c o n e l d is e ñ o de c irc u ito s de filtr a d o b ásico s q ue se e m p le a n en a p lic a c io n e s c o tid ia nas c o m o lo s a m p lific a d o re s de a ud io.
16.1 , RESONANCIA EN PARALELO___________ ¿ P or qué e l le c to r se debe in te re s a r en la re spu esta de las fu n c io n e s fo rza d a s se n o id a le s cu a n d o ra ra v e z se e n c u e n tra n en la p rá c tic a ? L a in d u s tria de la e n e rg ía e lé c tric a es u n a e x c e p c ió n , pues la fo rm a de o n d a s e n o id a l aparece p o r tod as p a rte s, aun qu e en oca sio n es re s u lta n e c e s a rio c o n s id e ra r otras fre c u e n c ia s q u e in tro d u c e n la n o lin e a li d a d de a lg u n o s d is p o s itiv o s . S in e m b a rg o , en casi to d o s lo s dem ás sistem as e lé c tric o s , las fu n c io n e s fo rza d a s y las respuestas no son
-
AA/V
*
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
s en oid ale s. E n c u a lq u ie r s iste m a en e l q u e se v a a tra n s m itir in fo rm a c ió n , la sen oid e p o r s í s o la es ca s i s ie m p re in ú t il; c o n tie n e in fo rm a c ió n lim ita d a d e b id o a q u e sus v a lo re s fu tu ro s son e xa c ta m e n te p re d e c ib le s , a p a rtir de sus v a lo re s pasad os. A d e m á s , u n a v e z c o m p le ta d o u n p e rio d o , c u a lq u ie r fo r m a de o n d a p e rió d ic a n o s e n o id a l ta m p o c o c o n tie n e n in g u n a in fo rm a c ió n a d ic io n a l. S u p o n e r que se e n c u e n tra que c ie rta fu n c ió n fo rz a d a c o n tie n e componentes se n o id a le s c o n fre c u e n c ia s d e n tro d e l in te rv a lo de J 0 a 100 H z . Im a g in a r a h o ra q u e ta l fu n c ió n fo rz a d a se a p lic a a u n a re d q u e in c lu y e la p ro p ie d a d de que todas las te n s io n e s se n o id a le s c o n fre c u e n c ia s desde 0 hasta 2 0 0 H z a p lic a d a s a las te r m in a le s d e e n tra d a a p a re ce n c o n su m a g n itu d d u p lic a d a e n la s te rm in a le s de s a lid a , s in c a m b io en e l á n g u lo de fase. P o r lo ta n to , la fu n c ió n de s a lid a es u n fa c s ím il s in d is to rs ió n de la fu n c ió n de entra da , p e ro c o n e l d o b le de a m p litu d . N o o bstan te , s i la re d tie n e u n a re spu esta en fre c u e n c ia ta l q u e las m a g n itu d e s de las senoides de e n tra d a de e ntre 10 y 5 0 H z se m u ltip lic a n p o r u n fa c to r d ife re n te q u e a q u e lla s e n tre 5 0 y 100 H z , la s a lid a en g e n e ra l e sta ría d is to rs io n a d a ; n o sería y a u n a v e rs ió n a m p lific a d a de la e ntrada. D ic h a s a lid a d is to rs io n a d a p o d ría re s u lta r deseable en a lg u n o s casos e in d e se a b le en o tro s . E s d e c ir, q u iz á s la re s p u e sta en fre c u e n c ia de la re d se e lig ie ra deliberadamente p a ra re c h a z a r alg u na s c o m p o n e n te s de fre c u e n c ia de la fu n c ió n fo rz a d a , o p a ra a ce n tu a r o tras. U n c o m p o rta m ie n to de este tip o es c a ra c te rís tic o de lo s c irc u ito s s in to n iz a d os o de lo s c irc u ito s re sonantes, c o m o se v e rá en este c a p ítu lo . A l e x p lic a r la re so n a n c ia se p u e d e n a p lic a r to d o s lo s m é to d o s a p lic a d o s c u a n d o se p re s e n tó la re spu esta en fre c u e n c ia .
Resonancia E n esta s e c c ió n se c o m e n z a rá a e s tu d ia r u n fe n ó m e n o m u y im p o rta n te q ue p o d ría o c u rr ir en c irc u ito s q u e c o n tie n e n in d u c to re s y ca p a c ito re s . E l fe n ó m e n o re c ib e e l n o m b re de resonancia y se d e s c rib irá de m a n e ra a p ro x im a d a c o m o la c o n d ic ió n que e x is te en to d o s iste m a fís ic o c u a n d o u n a fu n c ió n fo rz a d a s e n o id a l de a m p litu d f ija p ro d u c e u n a re spu esta de a m p litu d m á x im a . S in e m b a rg o , a m e n u d o se h a b la de la re s o n a n c ia c o m o s i o c u rrie ra , a u n c u a n d o la fu n c ió n fo rz a d a n o sea s e n o id a l. E l s iste m a re so n a n te p u e d e ser e lé c tric o , m e c á n ic o , h id rá u lic o , a c ú s tic o o de o tro tip o , a un qu e se re s trin g irá la a te n c ió n , en la m a y o r p a rte de lo s casos, a lo s siste m as e lé c tric o s . L a re s o n a n c ia es u n fe n ó m e n o fa m ilia r. S a lta r sobre las d efen sas de u n au t o m ó v il p o r e je m p lo , p u e d e c a u s a r q u e e l v e h íc u lo te n g a u n m o v im ie n to o s c ila to r io m u y g ra n d e , s i lo s b rin c o s se re p ite n c o n la fre c u e n c ia a p ro p ia d a (a lre d e d o r de u n o p o r s e g u n d o ) y s i lo s a m o rtig u a d o re s e stán u n p o c o v ie jo s . S in e m b a rg o , si la fre c u e n c ia de lo s b rin c o s a u m e n ta o d is m in u y e , la re sp u e sta v ib r a to r ia d e l a u to m ó v il será m u c h o m e n o r q u e antes. U n a ilu s tra c ió n a d ic io n a l se p re s e n ta en e l caso de u n a c a n ta n te de ó p e ra q u e p u e d e ro m p e r cop as de c ris ta l p o r m e d io de u n a n o ta p e rfe c ta m e n te e m itid a a la fre c u e n c ia adecuada. E n cad a u n o de estos e je m p lo s se está c o n s id e ra n d o la fre c u e n c ia c o m o si se a ju s ta ra hasta q u e o c u rra la re s o n a n c ia ; ta m b ié n se p u e d e a ju s ta r e l ta m a ñ o , la f o r m a y e l m a te ria l d e l o b je to m e c á n ic o q u e está v ib ra n d o , a u n q u e n o sea ta n fá c il de c o n s e g u ir de m a n e ra fís ic a . L a c o n d ic ió n de re s o n a n c ia p u e d e ser d e se a b le o in d e s e a b le , s eg ún e l p ro p ó s ito a l que v a a s e rv ir e l s iste m a fís ic o . E n e l e je m p lo d e l a u to m ó v il, una g ra n a m p litu d de la v ib r a c ió n q u iz á a y u d e a s e p a ra r la s d e fe n sa s a to ra da s, aun qu e s ería u n a a c c ió n u n p o c o d esag ra da ble a 6 5 m i/h (1 0 5 k m /h ).
SECCIÓN 16.1 RESONANCIA EN PARALELO
• ------------------------- W
V
------------- { 629
Se v e rá a h o ra la re s o n a n c ia c o n m a y o r c u id a d o . E n u n a re d e lé c tric a de dos te rm in a le s que c o n tie n e a l m e n o s u n in d u c to r y u n c a p a c ito r, se d e fin e la re s o n a n c ia c o m o la c o n d ic ió n q ue e x is te c u a n d o la im p e d a n c ia en la e n tra d a de la re d es p u ra m e n te re s is tiv a . P o r lo ta n to , U n a re d está en re s o n a n c ia (o es re s o n a n te ) c u a n d o la te n s ió n y la c o rrie n te en las te rm in a le s de e n tra d a de la re d están en fase T a m b ié n se d e s c u b rirá que se p ro d u c e u n a re spu esta de a m p litu d m á x im a en la re d c u a n d o se e n c u e n tra en la c o n d ic ió n resonante. E n p rim e ra in s ta n c ia se a p lic a rá la d e fin ic ió n de re s o n a n c ia a u n a re d RLC en p a ra le lo a cc io n a d a p o r u n a fu e n te de c o rrie n te s e n o id a l, c o m o se in d ic a en la f i g u ra 16.1. E n m u ch a s situ a cio n e s p rá c tic a s , e l c irc u ito es u n a m u y buena a p ro x i m a c ió n a l q ue p o d ría c o n s tru irse en el la b o ra to rio c o n e c ta n d o u n in d u c to r fís ic o en p a ra le lo c o n u n c a p a c ito r fís ic o , d o n d e la c o m b in a c ió n en p a ra le lo se a cc io n a m e d ia n te u n a fu e n te de e ne rg ía que tie n e u n a im p e d a n c ia de s a lid a m u y alta. L a a d m ita n c ia de estado p e rm a n e n te o fre c id a a la fu e n te de c o rrie n te id e a l es
Y = ^ + j(c o C R \ coL
[1 ]
L a re s o n a n c ia o c u rre c u a n d o la te n s ió n y la c o rrie n te en las te rm in a le s de en tra d a están en fase, lo c u a l c o rre sp o n d e a u n a a d m ita n c ia p u ra m e n te re a l, de m o d o que la c o n d ic ió n n e c e s a ria está d ad a p o r cúC
- —
coL
= 0
L a c o n d ic ió n re so n a n te q u iz á se c o n s ig a a ju s ta n d o L, C u a>; a n a liz a r e l caso d o n d e a> es la v a ria b le . P o r c o n s ig u ie n te , la fre c u e n c ia re s o n a n te a>o está dada por ü)0 —
/
ra d /s
V lc
/o = — = 2 tz+JLC
[2 ]
H z [3 ]
E s ta fre c u e n c ia re son an te o es id é n tic a a la fre c u e n c ia re so n a n te d e fin id a en la e c u a c ió n [1 0 ] d e l c a p ítu lo 9. L a c o n fig u ra c ió n de p o lo s -c e ro s de la fu n c ió n de a d m ita n c ia ta m b ié n se usa p a ra o b te n e r u n a c o n s id e ra b le v e n ta ja en este caso. D a d a Y (s ),
Y(s) = 4 R + ^s L+ sC Y(S) = C Í ± V R C ± V Í C S
se p o d ría n e x h ib ir lo s ceros de Y (s ) fa c to riz a n d o e l n u m e ra d o r: = c (s + a ~ Ja d)(s + « + ja>d)
■ F IG U R A 16.1 Combinación en paralelo de una resistencia, un inductor y un capacitor; a menudo se le conoce como circuito resonante en paralelo.
A /W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
7"
, , ''
- j<»0
9 ....' \
1
\
plano s Y(s)
"o \ \ 1
d o n d e a y co¿ re p re s e n ta n las m is m a s c a n tid a d e s m e n c io n a d a s c u a n d o se e x p lic ó la re spu esta n a tu ra l d e l c irc u ito RLC e n p a ra le lo en la s e c c ió n 9 .4 . E s to es, a es e l coeficiente de amortiguamiento exponencial
—a
\
2 RC y co¿¡ es la p u ls a c ió n c o rre s p o n d ie n te a Infrecuencia resonante natural (n o la fr e c u e n c ia re so n a n te coo),
j
a>d o
- ~jVd
(«)
]<* -J^d
-J^d (b) I F IG U R A 1 6 .2 (o) Constelación de polos-ceros de la admitancia de entrada de un circuito resonante en paralelo se muestra en el plano s; cül = a 2 + cú¿. (b) Constelación de polos y ceros de la impedancia de entrada.
COn —
L a c o n s te la c ió n de p o lo s -c e ro s de la fig u ra 1 6.2a se d ed uce de m a n e ra d ire c ta en la fo rm a fa c to riz a d a . V is ta la re la c ió n e n tre a, co¿ y cúq, re s u lta p aten te q u e la d is ta n c ia desde e l o rig e n d e l p la n o s a u n o de lo s ceros de la a d m ita n c ia es n u m é ric a m e n te ig u a l a cao. P o r lo ta n to , d ad a la c o n fig u ra c ió n de p o lo s -c e ro s , la fre c u e n c ia re so n a n te se o b te n d ría p o r m e d io de m é to d o s p u ra m e n te g rá fic o s . S ó lo se tra z a rá u n a rco u t i liz a n d o e l o rig e n d e l p la n o s c o m o c e n tro , a tra vé s de u n o de lo s ceros. L a in te r s e c c ió n d e l a rco y e l e je jco p o s itiv o lo c a liz a e l p u n to s = jcoo- E v id e n te m e n te coo es u n p o c o m a y o r q u e la fre c u e n c ia re so n a n te n a tu ra l co¿, a un qu e su p ro p o r c ió n tie n d e a la u n id a d c u a n d o a u m e n ta la ra z ó n e n tre co¿ y a.
Resonancia y respuesta en tensión E x a m in a r a c o n tin u a c ió n la m a g n itu d de la respuesta, la te n s ió n V ( s ) in d ic a d a en la fig u ra 16.1, a m e d id a q u e v a ría la fre c u e n c ia co de la fu n c ió n fo rz a d a . S i se sup on e u n a fu e n te de c o m e n te s e n o id a l de a m p litu d co n sta n te , la re spu esta e n te n s ió n es p ro p o rc io n a l a la im p e d a n c ia de entra da . L a re spu esta se o b tie n e de la g rá fic a de lo s p o lo s -c e ro s de la im p e d a n c ia :
s/C Z(s) = --------------------------------------(s + a - jcod)( s + a + jcod) q u e se m u e s tra en la fig u ra 16.2b. L a respuesta, desde lu e g o , e m p ie z a e n cero, a lc a n z a u n v a lo r m á x im o e n la c e rca n ía de la fre c u e n c ia re so n a n te n a tu ra l y lu e g o d is m in u y e de n u e v o h asta c e ro , a m e d id a q u e co se v u e lv e in fin ita . L a re s p u e sta e n fre c u e n c ia se d ib u ja en la fig u ra 16.3. S u v a lo r m á x im o se in d ic a c o m o R veces la a m p litu d de la c o rrie n te de la fu e n te , lo que im p lic a q u e la m a g n itu d IV (jtn) |
I F IG U R A 1 6 .3 La magnitud de la respuesta en tensión de un circuito resonante en paralelo se muestra como una función de la frecuencia.
SECCIÓN 16.1 RESONANCIA EN PARALELO
m á x im a de la im p e d a n c ia d e l c ir c u ito es ig u a l a R; a dem ás, -sc d e m u e s tra que la m á x im a re spu esta o c u rre e xa c ta m e n te a la fre c u e n c ia re s o n a n te c o rre s p o n d ie n te a la p u ls a c ió n coo. T a m b ié n se id e n tific a n d os fre c u e n c ia s a d ic io n a le s , c o rre s p o n d ie n te s a co¡ y co%¿ que se usa rá n después c o m o u n a m e d id a d e l a ncho de la c u rv a de respuesta. Se m o s tra rá p rim e ro que la m a g n itu d de la im p e d a n c ia m á x im a es R y q ue o c u rre en la re so n a n cia . L a a d m ita n c ia , según e s p e c ific a la e c u a c ió n [1 ], posee u n a c o n d u c ta n c ia co n s ta n te y una suscep tan cia c o n u n a m a g n itu d m ín im a (c e ro ) en la re so n a n cia . P o r lo ta n to , la m a g n itu d de la a d m ita n c ia m ín im a o c u rre en la re s o n a n c ia , y es 1 / R . P o r c o n s ig u ie n te , la m a g n itu d de la im p e d a n c ia m á x im a es R, la cual ocurre en la resonancia. P o r lo ta n to , en e l caso de la fre c u e n c ia re son an te, la te n s ió n e n lo s e xtre m o s d e l c irc u ito re so n a n te p a ra le lo de la fig u ra 16.1 es s im p le m e n te L K , y la c o rrie n te de fu e n te total I flu y e p o r la re s iste n c ia . S in e m b a rg o , la c o rrie n te ta m b ié n está pre se n te en L y C \ E n e l in d u c to r, I / o = V / . , o / = IR/jcooL, y la c o rrie n te d e l c a p a c ito r en la re s o n a n c ia c o rre s p o n d e a Ic ,o = 0 ’&>oC )Vc.o = j°H)CR\. P uesto que 1 ¡ coqC = coqL en la re s o n a n c ia , se e n c u e n tra que, Ic.o = —I l.o = j c o o C R l
\■Ai-
[5]
y lc ,0 + Il.O = I LC = 0
P o r lo ta n to , la c o rrie n te neta q ue flu y e d e n tro de la c o m b in a c ió n L C es cero. E l v a lo r m á x im o de la m a g n itu d de la re spu esta y de la fre c u e n c ia a la q ue ésta o c u rre n o s ie m p re se e n c u e n tra c o n fa c ilid a d . E n c irc u ito s © so n a n te s m e no s c o m u nes, ta l v e z sea n e c e s a rio e x p re s a r la m a g n itu d de la re s p u e s ta en fo rm a a n a lític a , c a s i s ie m p re c o m o la ra íz c u a d ra d a de la su m a de la p a rte re a l a l c u a d ra d o y de la p a rte im a g in a ria a l c u a d ra d o ; lu e g o se debe d ife re n c ia r esta e x p re s ió n re s p e cto de la fre c u e n c ia , ig u a la r la d e riv a d a a cero, d e s p e ja r la fre c u e n c ia de la re spu esta m á x im a y, p o r ú ltim o , s u s titu ir esta fre c u e n c ia en la e x p re s ió n de la m a g n itu d p a ra o b te n e r la re spu esta de a m p litu d m á x im a . Se p o d ría e fe c tu a r e l p ro c e d im ie n to p a ra estp caso s im p le , s ó lo c o m o u n e je rc ic io de c o rro b o ra c ió n ; s in e m b a rg o , c o m o se h a v is to , n o es n ecesa rio.
Factor de calidad D eb e s u b ra ya rse que, a p esar de que la altura de la c u rv a de la re spu esta de la fig u ra 16.3 d ep en de s ó lo d e l v a lo r de R p a ra la e x c ita c ió n de a m p litu d con sta nte , e l a ncho de la c u rv a o la in c lin a c ió n de lo s la d o s d ep en de ta m b ié n de lo s o tros d os v a lo re s de lo s e le m e n to s. U n p o c o m ás a de lan te se re la c io n a rá e l “ a ncho de la c u rv a de re s p u e s ta ” c o n u n a c a n tid a d d e fin id a c o n m a y o r c u id a d o , e l ancho de banda, a u n q u e re s u lta ú til e x p re sa r esta re la c ió n en té rm in o s de u n p a rá m e tro m u y im p o rta n te , e l factor de calidad Q. Se e n c o n tra rá que lo p u n tia g u d o de la c u rv a de re spu esta de c u a lq u ie r c ir c u ito re s o n a n te ipstá d e te rm in a d o p o r la c a n tid a d de e n e rg ía m á x im a que se puede a lm a c e n a r en e l c irc u ito , en c o m p a ra c ió n c o n la e n e rg ía q u e se p ie rd e d u ra n te u n p e rio d o c o m p le to de la respuesta. Se d e fin e Q c o m o
Q = factor de calidad
2^ energía m á x im a alm acenada energía to ta l p e rd id a p o r c ic lo
[6 ]
Se debe tener mucho cuidado y no confundir el fac tor de calidad con la carga o potencia reactiva, pues todas ellas se representan mediante la letra Q.
AA/V
CAPITULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
L a c o n s ta n te de p ro p o rc io n a lid a d 2 n se in c lu y e en la d e fin ic ió n p a ra s im p lific a r las e xp re sio n e s m ás ú tile s de Q q u e se o b te n d rá n aho ra . D a d o que la e ne rg ía s ó lo se a lm a c e n a en e l in d u c to r y en e l c a p a c ito r, y se p ie rd e ú n ic a m e n te en la re s is te n c ia , se p u e de e x p re sa r en té rm in o s de la e n e rg ía in s ta n tá n e a a so cia d a c o n cad a u n o de lo s e le m e n to s re a c tiv o s y c o n la p o te n c ia p ro m e d io Pr d is ip a d a en la re s iste n c ia : imax
d o n d e T es el p e rio d o de la fre c u e n c ia s e n o id a l e n e l q u e se e v a lú a Q. A p lic a r a h o ra esta d e fin ic ió n en e l c irc u ito RLC en p a ra le lo de la fig u ra 16.1 y d e te rm in a r e l v a lo r de Q a la fre c u e n c ia re son an te. E s te v a lo r de Q se d e n o ta m e d ia n te ¡2o- Se e lig e la fu n c ió n fo rz a d a de c o rrie n te i ( t ) — l m COS Cüot
y se o b tie n e la re spu esta e n te n s ió n c o rre s p o n d ie n te a la re s o n a n c ia ,
v(t) — Ri(t) = R lm cos « o í E n c o n se cu e n cia , la e ne rg ía a lm acen ad a en e l c a p a c ito r c o rre sp o n d e a
L a e n e rg ía in s ta n tá n e a a lm a c e n a d a en e l in d u c to r está d a d a p o r
w l Ü) =
■- sen2 «o?
P o r lo ta n to , la e n e rg ía to ta l a lm a c e n a d a instantánea es con sta nte :
i IX-c
w(t) = wL(t) + wc (t) = : ■—
y este v a lo r c o n s ta n te ta m b ié n debe ser e l v a lo r m á x im o . P a ra o b te n e r la e n e rg ía p e rd id a e n la re s is te n c ia en u n p e rio d o , se to m a la p o te n c ia p ro m e d io a b s o rb id a p o r la re s is te n c ia (ve a la s e c c ió n 11.2),
P r = \ \ 2mR y a l m u ltip lic a r la p o r u n p e rio d o , se o b tie n e
D e este m o d o se e n c u e n tra e l fa c to r de c a lid a d a la re s o n a n c ia :
o <2o - 2 n f0RC = co0RC
[7 ]
E sta ecu a ció n (a sí c o m o las expresiones de la e cu a c ió n [8 ]) se c u m p le s ó lo p a ra e l c irc u ito s im p le RLC e n p a ra le lo de la fig u ra 16.1. Se pueden o b te n e r expresiones e qu iva len tes de ¡2o q ue en m u ch a s o ca sio n es re s u lta n b asta n te ú tile s m e d ia n te la
SECCIÓN 16.1 RESONANCIA EN PARALELO
s u s titu c ió n s im p le :
Q°
R
\Xc,o\
l* L ,o l
[8 ]
P o r lo que se observa que, en e l caso de este c irc u ito específico, al d is m in u ir la re siste ncia disminuye Qq; a m e did a que la resistencia es m enor, es m a yo r la cantidad de energía que se pierde en e l elem ento. Causa in trig a que al aum entar la capacitancia aumenta Qq, pero s i a um enta la in d u c ta n c ia disminuye Qq. P o r supuesto, estas ase veraciones se a p lic a n al fu n c io n a m ie n to d e l c irc u ito a la fre cu e n c ia de resonancia.
Otras interpretaciones de Q L a co n s ta n te a d im e n s io n a l Qq es u n a fu n c ió n de lo s tres e le m e n to s de c irc u ito p e rte n e c ie n te s a l c irc u ito re so n a n te p a ra le lo . S in e m b a rg o , e l c o n c e p to de Q n o está lim ita d o a c irc u ito s e lé c tric o s o in c lu s o a sistem as e lé c tric o s ; es ú t il e n la d e s c rip c ió n de “ c u a lq u ie r fe n ó m e n o re s o n a n te ” . P o r e je m p lo , c o n s id e ra r e l re b o te de u n a p e lo ta de g o lf. S i se sup on e u n peso W y q u e se lib e ra la p e lo ta desde u n a a ltu ra h i sobre u n a s u p e rfic ie h o riz o n ta l m u y d u ra (s in p é rd id a ), la p e lo ta re b o ta hasta u n a a ltu ra m e n o r h2 L a e n e rg ía q ue se a lm a c e n a al in ic io zsW h\ y la que se p ie rd e e n u n p e rio d o c o rre sp o n d e &W(h\ — h2). P o r lo ta n to , Qq es
h\W
2ithi
e ° = 2 n ii — - h2)W T T í i 7 = i« — r {h\ i - h2 U n a p e lo ta de g o lf p e rfe c ta re b o ta ría hasta su a ltu ra o rig in a l y te n d ría u n a Qq\ in fin ita ; u n v a lo r m ás c a ra c te rís tic o es 35. Se re q u ie re a d v e rtir que en este e je m p lo m e c á n ic o Q se c a lc u ló a p a rtir de la respuesta n a tu ra l y n o de la respuesta forza da . L a Q de u n c irc u ito ta m b ié n se d e te rm in a ría a p a rtir d e l c o n o c im ie n to de la re spuesta n a tu ra l, c o m o se ilu s tra m e d ia n te las ecuaciones [1 0 ] y [1 1 ] en e l anáfisis sigu ien te. O tra in te rp re ta c ió n ú t il de Q se o b tie n e c u a n d o se in s p e c c io n a n las c o m e n te s e n e l in d u c to r y e l c a p a c ito r a la re so n a n cia , seg ún se e xpresa en la e cu a c ió n [5 ], Ic ,o = - I l . o = jcooCRl = jQ ol
[9 ]
O b s e rva r que cada u na es Qq veces la c o rrie n te de la fu e n te en a m p litu d y que cada una está 180° fu e ra de fase respecto de la otra. D e ta l m anera, s i se a p lic a n 2 m A a la fre cu e n c ia resonante a u n c irc u ito resonante en p a ra le lo , con u n a Qq de 5 0, se tie n e n 2 m A en la re s is te n c ia y 100 m A ta n to e n e l in d u c to r c o m o en e l c a p a c i to r. P o r lo ta n to , u n c irc u ito re so n a n te e n p a ra le lo a ctú a c o m o u n a m p lific a d o r de c o rrie n te , p e ro n o , desde lu e g o , c o m o u n a m p lific a d o r de p o te n c ia , d ad o que es u n a re d p asiva . A h o ra se re la c io n a rá n e ntre sí lo s dem ás p a rá m e tro s que se a so c ia n c o n el c irc u ito re s o n a n te en p a ra le lo . L o s tres p a rá m e tro s : a, coj y cuo se p re s e n ta ro n m u c h o antes e n c o n e x ió n c o n la re spu esta n a tu ra l. L a re s o n a n c ia , p o r d e fin ic ió n , se a so cia s ob re to d o c o n la re spu esta fo rz a d a , dado q ue se d e fin e en té rm in o s de una im p e d a n c ia de e ntra d a (p u ra m e n te re s is tiv a ), u n c o n c e p to d e l esta do s e n o id a l p e rm a n e n te . L o s dos p a rá m e tro s m ás im p o rta n te s de u n c irc u ito re s o n a n te son q u iz á la fre c u e n c ia re s o n a n te co0 y e l fa c to r de c a lid a d Qq. T a n to e l c o e fic ie n te de a m o rtig u a m ie n to e x p o n e n c ia l c o m o la fre c u e n c ia re so n a n te n a tu ra l se e x p re san e n té rm in o s de cüq y Q0:
a =
1
1
2R C
2 ( Q q/ cüqC ) C
AA/ v------------------------------- •
CAPITULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
COn
COd
2
a>d = o o j 1 - 1 ^ )
[ ]1 ]
Factor de amortiguamiento C o m o re fe re n c ia fu tu ra q u iz á re s u lte ú til to m a r en c u e n ta u n a re la c ió n a d ic io n a l q ue in v o lu c re a a>o y <2o- E l fa c to r c u a d rá tic o que aparece en el n u m e ra d o r de la e cu a c ió n [4 ]: 2
1
1
S + R C S+ LC p o d ría e s c rib irs e en té rm in o s de a y co0: s2 +
2as + col
E n e l c a m p o de la te o ría de siste m as o la te o ría de c o n tro l a u to m á tic o , se acos tu m b ra e s c rib ir este fa c to r en una fo r m a un p o c o d ife re n te , q u e u tiliz a e l p a rá m e tro a d im e n s io n a l C (d z e ta ), denominado factor de amortiguamiento:
s2 + 2 f too® + &)q L a c o m p a ra c ió n de am bas expresiones p e rm ite re la c io n a r f c o n otros parám etros:
c= - = a>o 2 (?o
EJEMPLO
[ 121
.
..vl
C a lc u la r lo s v a lo re s n u m é ric o s de w», oí, ojd y R e n e l c ir c u it o re s o n a n te en p a r a le lo q u e tie n e L = 2 .5 m H , Qq = 5 y C = 0 .0 1 /¿F. D e la e cu a c ió n 2, se o b s e rva que üoq = i/V T T C = 2 0 0 k ra d /s , m ie n tra s que / o = ct)0/27t — 3 1 .8 k H z . Se o b te n d rá rá p id a m e n te e l v a lo r d e a m e d ia n te la e cu a c ió n [1 0 ], a
2
2 X 10 = 2 x 104 N p /s (2 x 5 )
A h o ra se puede re c u r rir a la v ie ja a m ig a d e l c a p ítu lo 9,
COd = v /® !T - a r
SECCIÓN 16.1 RESONANCIA EN PARALELO
• -
--------------- W
V -------------( 655
p a ra e n c o n tra r que
wd = 7 ( 2 x 105) 2 - (2 x 104) 2 = 1 9 9 .0 k ra d /s P o r ú ltim o , es n e c e s a rio a tr ib u ir u n v a lo r a la re s is te n c ia en p a ra le lo , y la e cu a c ió n [7 ] p ro p o rc io n a la respuesta:
<2o = &>oRC p o r lo que
R= —
cúqC
= ------------- ^ -----------— = 2 .5 0 k í2 (2 x 105 x 1 0 - 8)
_P R A C T IC A_^________________________________________________ 16.1 U n c irc u ito re s o n a n te en p a ra le lo está c o m p u e s to p o r lo s e le m e n to s
R = 8 k í2 , L — 5 0 m H y C = 80 n F . C a lc u la r: (a ) cúq-J¿>) Q,y, ( c ) o jjt , l (d) * ; * ) 1 6.2 D e te rm in a r lo s v a lo re s de R, L y C en un c irc u ito re s o n a n te en p a ra le lo p a ra e l c u a l co o = 1 0 0 0 ra d /s , &>
A c o n tin u a c ió n se in te rp re ta rá Q q en té rm in o s de las lo c a liz a c io n e s de p o lo s -ce ro s de la a d m ita n c ia Y (s) d e l c irc u ito RLC en p a ra le lo . Se m a n te n d rá cao co n sta n te , lo c u a l se e fe c tu a ría c a m b ia n d o R m ie n tra s L y C se m a n tie n e n con sta nte s. A m e d id a que Qq se in c re m e n ta , las re la c io n e s q ue v in c u la n a, Qq y c o q in d ic a n que lo s dos ceros d e b en acercarse a l e je ju>. Tales re la c io n e s in d i can ta m b ié n que lo s dos ceros deben acercarse a l e je ja>. Tales re la c io n e s in d ic a n ta m b ié n que lo s ceros d eben a le ja rs e de m a n e ra s im u ltá n e a d e l e je cr. L a n a tu ra le z a e xa c ta d e l m o v im ie n to se a cla ra c u a n d o se re c u e rd a q ue e l p u n to en e l c u a l s = j a o p o d ría u b ic a rse sobre e l e je jcú re c o rrie n d o u n a rc o , c e n tra d o en e l o rig e n , p o r u n o de lo s ceros y a rrib a d e l e je p o s itiv o jc o , p u e sto que c ú q debe ser co n sta n te , a l ig u a l que e l ra d io y lo s ceros, p o r lo ta n to , d eb en m o v e rs e a lo la rg o de este a rco h a c ia el e je jco p o s itiv o , c o n fo rm e a u m e n ta Q q. L o s dos ceros se in d ic a n en la fig u ra 16.4 y la s dos fle c h a s m u e s tra n la tra y e c to ria que s ig u e n c o n fo rm e crece R. C u a n d o R es in fin ita , Q q ta m b ié n lo es, y lo s dos ceros se e n c u e n tra n en s = ± jcoo sobre e l e je jco. A m e d id a que R se re d u c e , lo s ceros se m u e v e n h a c ia e l e je a a lo la rg o d e l lu g a r g e o m é tric o c irc u la r, u n ié n d o s e p a ra fo rm a r u n d o b le c e ro sobre e l e je er en s = — c o q c u a n d o R — j^ /L jC o Q o = j . E sta c o n d ic ió n p u e de re c o rd a rs e c o m o la de a m o r tig u a m ie n to c rític o , p o r lo q u e c ú ¿ = 0 y a = c ú q . L o s v a lo re s in fe rio re s de R y de Q q o ca s io n a n que lo s ceros se separen y se m u e v a n en d ire c c io n e s o pu es tas sobre e l eje cr n e g a tiv o , s i b ie n estos v a lo re s m e n o re s de Q q n o son en re a li dad c a ra c te rís tic o s de lo s c irc u ito s resonantes, p o r lo que y a n o es n e ce sa rio buscarlo s. D espu és, se u tiliz a r á e l c rite r io Qq > 5 p a ra d e s c rib ir u n c irc u ito de a lta Q. C u a n d o Qq = 5 , lo s ceros se u b ic a n en s = —0 . I oj0 ± / 0 . 9 9 5 ojo , y p o r lo ta n to , c ú q y cúd d ifie re n s ó lo p o r la m ita d de 1.
■ FIG U RA 16.4 Los dos ceros de la admitancia Y(s), localizada en s = - a ± / a y , proporcionan un lugar geométrico semicircular, conforme R aumenta desde i V í / C hasta oo.
6 3 6 )--------- V W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
16.2 t ANCHO DE BANDA Y CIRCUITOS DE ALTO Q
Estos nombres surgen del hecho de que una tensión que es l/y /2 veces la tensión resonante, equivale a la tensión al cuadrado que corresponde a la mitad de la tensión al cuadrado de la resonancia. Así, en el caso de las frecuencias de media potencia, la resistencia absorbe la mitad de la potencia que absorbe en la resonancia.
Se p ro s ig u e c o n e l a n á lis is de la re s o n a n c ia en p a ra le lo m e d ia n te la d e fin ic ió n de las fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia y e l a n c h o de b a n d a ; después se h a rá b u e n u so de estos n u e vo s c o n c e p to s al o b te n e r datos de la re spu esta a p ro x im a d a p a ra c ir c u ito s de a lta Q. E l “ a n c h o ” de la c u rv a de la re spu esta en re s o n a n c ia , c o m o e l de la fig u ra 16.3, q u iz á se d e fin a a h o ra c o n m a y o r c u id a d o y se re la c io n e c o n Q0. E n p rim e r lu g a r se d e fin irá n las d o s fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia c o rre s p o n d ie n te s a las p u ls a c io n e s coi y C 02 c o m o las fre c u e n c ia s a las que la m a g n itu d de la a d m ita n c ia de e n tra d a de u n c ir c u ito re so n a n te en p a ra le lo es m a y o r q u e la m a g n itu d de la a d m ita n c ia en re s o n a n c ia en u n fa c to r de E n ra z ó n de q ue la c u rv a de re spu esta de la fig u ra 16.3 p re s e n ta las te n s io n e s p ro d u c id a s en e l c irc u ito e n p a ra le lo p o r u n a fu e n te de c o rrie n te s e n o id a l c o m o u n a fu n c ió n de la fre c u e n c ia , las fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia se lo c a liz a n ta m b ié n en a q u e llo s p u n to s en lo s que la re spu esta en te n s ió n es 1/ -n/2. o 0 .7 0 7 , veces su v a lo r m á x i m o . T a m b ié n se c u m p le u n a re la c ió n s im ila r p a ra la m a g n itu d de la im p e d a n c ia . D e s ig n a r co\ c o m o la frecuencia inferior de media potencia , y a ©2 c o m o la fr e
cuencia superior de media potencia.
Ancho de banda E l ancho de banda (d e m e d ia p o te n c ia ) de u n c irc u ito re s o n a n te se d e fin e c o m o la d ife re n c ia de estas d os fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia ,
B = co2 — o>i
[1 3 ]
Se tie n d e a c o n s id e ra r e l a ncho de ban da c o m o e l “ a ncho ” de la c u rv a de respuesta, a u n c u a n d o la c u rv a se e x tie n d e d esde co = 0 h a s ta co — 00 . D e m a n e ra m ás e xa cta , e l a n c h o de b a n d a de m e d ia p o te n c ia se m id e p o r esa p o rc ió n de la c u rv a de re spu esta q u e es ig u a l o m a y o r q u e 7 0 .7 % d e l v a lo r m á x im o , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 16.5. |v 0 )1
■ F IG U R A 1 6 .5 El ancho de banda de la respuesta del circuito se encuentra resaltada con verde; corresponde a la porción de la curva de respuesta mayor o Igual a 70.7% del valor máximo.
E x p re s a r a h o ra e l a n c h o de b a n d a en té rm in o s de Qo y de la fre c u e n c ia re so nante. P ara h a c e rlo , o b te n e r p rim e ro la a d m ita n c ia del c irc u ito RLC en p a ra le lo : Y = - + j (c o C - —
R
J \ coL)
)
SECCIÓN 16.2 ANCHO DE BANDA Y CIRCUITOS DE ALTO Q
• ------------------------- /V\A/------------ ( 6 3 7
en té rm in o s de Qo: 1
. 1
(
Y = R^ + M
cúcúqC
_®oR_\
R
cacaoL I
Cú q
. ca con Y = - l + . / G o ------------- R CÚQ CÚ
[1 4 ]
O b s e rv a r de n u e v o q u e la m a g n itu d de la a d m ita n c ia en la re s o n a n c ia es 1/7?, y después de q u e u n a m a g n itu d de la a d m ita n c ia de V 2 /R p u e d e o c u rr ir s ó lo cu a n d o se e lig e u n a fre c u e n c ia ta l que la p a rte im a g in a ria de la c a n tid a d e ntre co rch e te s tie n e u n a m a g n itu d u n ita ria . P o r lo ta n to ,
0)2
\® 0
Tener presente que a>2 > a>o, mientras que
Qo ( — - —
1
Qo ( — ~ —
\0)Q
0)1
(ÜO ■
A l re s o lv e r, se tie n e
0)1 = 0)0
0 )2
=
CÚQ
W \ 2-Q oYJ - 2 Q '1 +
i
[1 5 ] q
1
y
2 Q o ) + 2Q0
[1 6 ]
S i b ie n estas e xp re sio n e s son d ifíc ile s de m a n e ja r, su d ife re n c ia p ro p o rc io n a u n a fó r m u la m u y s im p le p a ra d e te rm in a r e l a ncho de banda:
B = 0)2 — 0)1 =
0)0
Qo
L a s e cu a c io n e s [1 5 ] y [1 6 ] p u e d e n m u ltip lic a rs e e n tre s í p a ra d e m o s tra r que wo c o rre s p o n d e e x a c ta m e n te a la m e d ia g e o m é tric a de las fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia :
Cúq = CÚ1CÚ2
Cúo = aJ o)\Cí >2
L o s c irc u ito s q u e poseen u n a Qo m ás a lta p re s e n ta n u n a ncho de b a n d a m ás es tre c h o , o u n a c u rv a de respuesta m ás p u n tia g u d a ; tie n e u n a selectividad de fre cuencia m a y o r o u n a c a lid a d (fa c to r) sup e rio r.
Aproximaciones en circuitos de alta Q M u c h o s c irc u ito s re son an tes se d ise ñ a n de m a n e ra d e lib e ra d a p a ra que ten ga n u n a Qo g ra n d e , a fin de a p ro v e c h a r e l a n c h o de b anda y la s e le cti v id a d de a lta fre c u e n c ia que se a so cia c o n tale s c irc u ito s . C u a n d o Qo es m a y o r a a p ro x i m a d a m e n te 5, se p u e d e n e fe c tu a r a lg u na s a p ro x im a c io n e s m u y ú tile s en las e x p re s io n e s de las fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia , s u p e rio r e in fe rio r, y en las e xp re sio n e s generales de la re spu esta e n la v e c in d a d de la re s o n a n c ia . Se h ará re fe re n c ia de m a n e ra a rb itra ria a u n “ c irc u ito de a lta Q” c o m o u n o en e l que Qo es ig u a l o m a y o r que 5. L a c o n fig u ra c ió n de p o lo s -c e ro s de Y ( s ) de u n c irc u ito
|M
\' ■A
o*)------V W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
RLC en p a ra le lo c o n u n a ¡2o de casi 5 se m u e s tra en la fig u ra 16.6. D a d o que
Sil
CO o
- j a 2 = j(ai o + j S ) ja>d = ja>o i
2 Q~o
jia l = j(
enton ces,
a = \B y las u b ic a c io n e s d e lo s dos ceros Si y S2 se p o d ría n a p ro x im a r:
plano s
S i ,2 = - a ± j
Y(s)
% - j B ± jcoo A d e m á s , las u b ic a c io n e s de las dos fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia (s o b re e l e je jco p o s itiv o ) ta m b ié n se d e te rm in a ría n en u n a fo r m a a p ro x im a d a y c o n c is a :
<«1,2 = (oo
s2 l F IG U R A 1 6 .6 Constelación de polos-ceros de Y (s)de un circuito RLC en paralelo. Los dos ceros están exactamente \ B Np/s (o rad/s) hacia la izquierda del eje jw, y aproximadamente a j w0 rad/s (or Np/s) del eje a. Las frecuencias de media potencia superior e inferior ;■*«* están separadas exactamente por B rad/s, y cada una se ubica a \B rad/s de la frecuencia resonante y de la frecuencia resonante natural.
(¿ ) <0\,2
[1 7 ]
Por lo tanto, en un circuito de alta Q cada frecuencia de media potencia se ubica aproximadamente a la mitad del ancho de banda a partir de la frecuencia resonante, característica; q ue se in d ic a en la fig u ra 16.6. L a s re la c io n e s a p ro x im a d a s de co¡ y coi en la e c u a c ió n [1 7 ] p o d ría n ser sum adas e n tre sí p a ra d e m o s tra r q u e coo es c a s i ig u a l a la m e d ia a ritm é tic a de coi y cl>2 en c irc u ito s de a lta Q: co0 s» ¿ (tu i + < w 2)
jo
- S =j(ti
S - Si
j u 0 (aprox.)
I FIG U R A 16.7 Una sección aumentada de la constelación de polos y ceros correspondiente a Y(s) de un circuito Q 0 en paralelo de alta RLC.
Im a g in a r a h o ra u n p u n to de p ru e b a q u e está u n p o c o a rrib a de jcoo s ob re e l e je jco. P ara d e te rm in a r la a d m ita n c ia q ue o fre c e la re d RLC e n p a ra le lo a esta fr e cu e n c ia , se c o n s tru y e n tre s v e c to re s a p a rtir de la s fre c u e n c ia s c rític a s d e l p u n to de p rue b a. S i éste es c e rca n o a jcoo, e nton ces e l v e c to r desde e l p o lo es casi jcoo y a q u e l desde e l c e ro in fe r io r es ca s i j2co0. P o r lo ta n to , la a d m ita n c ia está d ad a de m a n e ra a p ro x im a d a p o r Y (s )
, ( j 2 cd0) ( s -
s 1)
j(Oi)
2 C (s — sO
[1 8 ]
d o n d e C es la c a p a c ita n c ia c o m o en la e c u a c ió n [4 ]. A fin de d e te rm in a r una a p ro x im a c ió n ú t il d e l v e c to r (s — S i), c o n s id e ra r u n a v is ta a u m e n ta d a de esa p o rc ió n d e l p la n o s en la c e rca n ía d e l c e ro Si (fig u ra 16.7). E n té rm in o s de sus c o m p o n e n te s ca rte sia n o s, se o b s e rv a que s - s , « ¿B + j(c o -co o) d o n d e esta e x p re s ió n sería e xa c ta si coo se s u s titu y e ra p o r u>¿. Se s u s titu y e a h o ra esta e c u a c ió n en u n a a p ro x im a c ió n de Y (s ), e cu a c ió n [1 8 ], y se d e ja c o m o fa c to r \B: 1+ 7
-B 2
SECCIÓN 16.2 ANCHO DE BANDA Y CIRCUITOS DE ALTO Q
. CO
+I~
•"
A/W
COq \
)
L a fra c c ió n (co —coü)/(\B ) p u e de in te rp re ta rs e c o m o e l “ n ú m e ro de m ita d e s d e l a n c h o de b a n d a de re s o n a n c ia ” y se a b re v ia p o r m e d io de N . P o r lo ta n to , Y ( s ) « - U l+ ;W )
[1 9 ]
N = 03 ~ 0)0 i B
[2 0 ]
K
donde:
E n la fre c u e n c ia s u p e rio r de m e d ia p o te n c ia , c&i ^ coq + \B , N —+ 1 , y su lo c a liz a c ió n es a m e d io a n c h o de b a n d a p o r e n c im a de la re s o n a n c ia . E n e l caso de la fre c u e n c ia in fe r io r de m e d ia p o te n c ia , w\ ~ o>{] — ^B, de m a n e ra que N = — 1, u b ic á n d o la a la m ita d de u n a ncho de b anda p o r d e b ajo de la resonancia. L a e cu a c ió n [1 9 ] es m u c h o m ás fá c il de usar que la s re la c io n e s exactas que se han c o n fo rm a d o hasta ahora. D e m o s tra r que la m a g n itu d de la a d m ita n c ia es iy ( » i « i y
K
i + n2
m ie n tra s que e l á n g u lo de Y (jco) está d a d o p o r la ta n g e n te in v e rs a de N: ang Y (jco) « ta n -1 N
Determinar el valor aproximado de la admitancia de una red RLC en paralelo para la que R — 40 k ñ , L = 1 H y C = ¿ /iF si la frecuencia de operación es de « = 8.2 krad/s.
Identificar el objetivo del problema. Se s o lic ita d e te rm in a r e l v a lo r a p ro x im a d o de Y (s) acó = 8 .2 k ra d /s p a ra u n a re d RLC s im p le . L o a n te rio r im p lic a q u e Qq debe ser a l m e no s 5 y la fre c u e n c ia de o p e ra c ió n n o está le jo s de la de re so n a n cia .
Recopilar la información conocida. Se p ro p o rc io n a n lo s v a lo re s de R, L y C así c o m o la fre c u e n c ia a la c u a l se debe e v a lu a r Y (s), lo c u a l es s u fic ie n te p a ra c a lc u la r la a d m ita n c ia u tiliz a n d o e xp re sio n e s exactas o a p ro x im a d a s .
Elaborar un plan. P ara e m p le a r la e x p re s ió n a p ro x im a d a de la a d m ita n c ia , se debe d e te rm in a r p rim e ro Q0, e l fa c to r de c a lid a d en la re s o n a n c ia , así c o m o el a ncho de banda. L a fre c u e n c ia re so n a n te c o q está d ad a p o r la e cu a c ió n [2 ] c o m o 1 /sfL C = 8 k ra d /s . P o r lo ta n to , Q q = coqR C = 5 , y e l a n c h o de b an da es c o q / Q q = 1.6 k ra d /s . E l v a lo r de Q q de este c irc u ito es s u fic ie n te p ara e m p le a r a p ro x im a c io n e s de “ a lta Q ” . (C o n tin ú a en la s ig u ie n te p á g in a )
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. L a e c u a c ió n [1 9 ] e sta ble ce que Y ( s ) « — (1 + jN )
K
p o r lo que | Y ( » | s» 4 % / l + N 2
y
ang Y(jco) « ta n -1 N
Determinar si se requiere información adicional. A ú n es n e ce sa rio N , la c u a l in d ic a e l n ú m e ro de m ita d e s de a n c h o de b a n d a a l que co se e n c u e n tra de la fre c u e n c ia re so n a n te coo:
N = (8 .2 - 8 )/0 .S = 0 .2 5
Buscar la solución. E n esta e tapa y a se está lis to p a ra e m p le a r las re la c io n e s a p ro x im a d a s de la m a g n itu d y e l á n g u lo de la a d m ita n c ia de la red, a ng Y « ta n ” 1 0 .2 5 = 1 4 .0 4 a
y |Y | % 2 5 -/1 + (0 .2 5 )2 = 2 5 .7 7 /¿S
Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? E l c á lc u lo e x a c to de la a d m ita n c ia m e d ia n te la e c u a c ió n [1 ] d e m u e s tra que Y ( y 8 2 0 0 ) = 2 5 .7 5 /1 3 .8 7 ° uS P o r lo ta n to , e l m é to d o a p ro x im a d o o rig in a v a lo re s de la m a g n itu d y el á n g u lo de la a d m ita n c ia que son ra z o n a b le m e n te e xa cto s (m e jo r que 2 % ) de esta fre c u e n c ia .
___ ____________ ________ ___._____________ 16.3 U n c irc u ito re son an te e n p a ra le lo c o n una Q m a rg in a lm e n te a lta tie n e f 0 = 4 4 0 H z c o n Q0 = 6. A p lic a r las e cu acio ne s [1 5 ] y [1 6 ] p ara o b te n e r v a lo re s e xa cto s co rre sp o n d ie n te s a: (a) / j ; (b) f 2. U tiliz a r lu e g o la e cu a c ió n [ 1 7 1 p a ra c a lc u la r v a lo re s a p ro x im a d o s de: (c ) (d) f 2. Respuestas: 404.9 Hz; 478.2 Hz; 403.3 Hz; 476.7 Hz.
E l o b je tiv o es u tiliz a r estas a p ro x im a c io n e s en c irc u ito s de a lta Q cerca de la re s o n a n c ia . Se h a a co rd a d o q u e p e r m itir u n a “ a lta Q" im p lic a q u e Q0 > 5, p e ro ¿qué ta n ce rca es “ c e rc a "? Se d e m u e s tra que e l e rro r e n m a g n itu d o en fase es m e n o r q u e 5 p o r c ie n to s i Qo > 5 y 0.9® o < co < 1.1 <¿>o. A u n q u e esta b a n da es tre ch a de fre c u e n c ia s q u iz á p a re z ca p ro h ib itiv a m e n te p eq ueña, suele ser m ás q u e s u fic ie n te p a ra c o n te n e r e l in te rv a lo de fre c u e n c ia s q u e m ás interesa. P o r e je m p lo , e l ra d io de A M c o n tie n e p o r lo g en e ra l u n c irc u ito s in to n iz a d o a u n a fre c u e n c ia re so n a n te de 4 5 5 k H z , c o n u n a ncho de b a n d a de m e d ia p o te n c ia de 10 k H z . E ste c irc u ito debe te n e r e nton ces u n v a lo r de 4 5 .5 p a ra Qo, de m o d o que las fre cu e n cia s de m e d ia p o te n c ia estén a lre d e d o r de 4 5 0 y 4 6 0 k H z . S in e m ba rg o,
SECCIÓN 16.3 RESONANCIA EN SERIE
• “
AAAr
641
estas a p ro x im a c io n e s son v á lid a s desde 4 0 9 .5 hasta 5 0 5 .5 k H z (c o n e rro re s m e nores a 5 % ), lo c u a l es u n in te rv a lo que cu b re en e se n c ia to d a la p o rc ió n m á x i m a de la c u rv a de respuesta; s ó lo en las “ c o la s ” re m o ta s de la c u rv a de re spu esta las a p ro x im a c io n e s p ro v o c a n e rro re s irra z o n a b le m e n te g ra n d e s .1 Se te rm in a la c o b e rtu ra d e l c irc u ito re so n a n te paralelo re v is a n d o alg u na s de las c o n c lu s io n e s c la v e a las q ue se han lle g a d o : •
L a fre c u e n c ia re s o n a n te cúq es la fre c u e n c ia a la q u e la p a rte im a g in a ria de la a d m ita n c ia de e n tra d a se c o n v ie rte en cero, o e l á n g u lo de la a d m ita n c ia se hace cero. E n este c irc u ito , a>o = 1/ V LC.
•
L a c ifr a de m é rito Qo d e l c irc u ito se d e fin e c o m o 2n veces la ra z ó n e ntre la e n e rg ía m á x im a a lm a c e n a d a en e l c irc u ito y la e n e rg ía que se p ie rd e en cad a p e rio d o en e l c irc u ito . E n este c irc u ito , Qo — cúqRC.
•
L a s dos fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia , a>\ y co2, se d e fin e n c o m o las fre c u e n c ia s a las q u e la m a g n itu d de la a d m ita n c ia es s¡2 veces la m a g n itu d de la a d m ita n c ia m ín im a . (T a m b ié n son las fre c u e n c ia s a las cuales la re spu esta en te n s ió n es 7 0 .7 % de la re spu esta m á x im a .)
•
L a s e xp re sio n e s exactas de o>\ y ojj son,
•
\2 < 2 o ,
T
2Qo
L a s e xp re sio n e s e xa c ta y a p ro x im a d a (p a ra a lta Qo) q u e c o rre s p o n d e n a estas dos fre c u e n c ia s son a>1,2
•
E l a n c h o de b a n d a de m e d ia p o te n c ia B está d a d o p o r
K = co2 - a>i = — W° B Qo •
L a a d m ita n c ia de e n tra d a ta m b ié n p ue de expresarse e n fo rm a a p ro x im a d a en c irc u ito s c o n a lta Q c o m o : Y « I ( ] + jN) = - V l + TVV t a n - 1 N K
K
d o n de N se d e fin e c o m o e l n ú m e ro de m ita d e s de a ncho de b a n d a fu e ra de la re so n a n cia , o
N
CÚ — CÚQ
~
w
E s ta a p ro x im a c ió n es v á lid a p a ra 0.9&>o < co < 1. Iojq.
16.5 t RESONANCIA EN SERIE A u n q u e q u iz á se o bse rve u n m e n o r uso d e l c irc u ito RLC en serie, d e l que o cu rre en e l caso d e l RLC en p a ra le lo , el p rim e ro sigu e m e re c ie n d o que se le p o n g a aten ció n . C o n s id e ra r e l c irc u ito de la fig u ra 16.8. D e b e o b s e rva r que en este caso a los (1) A frecuencias alejadas de la resonancia, en muchas ocasiones se está satisfecho con resultados muy aproxi mados; una precisión mayor no siempre es necesaria.
■ F IG U R A 1 6 .8 GrCllitO resonante en Serie.
AA/V
*
De nuevo, este párrafo es el mismo que el último de la sección 16.2, pero con la frase RLC en paralelo convertida en RLC en serie gradas a la dualidad (de
CAPÍTULO 16 RESPUESTA'EN FRECUENCIA
d iv e rs o s e le m e n to s de c irc u ito se le s a sig na e l s u b ín d ic e s (d e s e rie ), p a ra e v ita r c o n fu s ió n c o n lo s e le m e n to s en p a ra le lo , c u a n d o lo s c irc u ito s se c o m p a re n . E l a n á lis is de la re s o n a n c ia en p a ra le lo o c u p ó d os seccion es de a m p litu d c o n s id e ra b le . E s p o s ib le d a rle a h o ra a l c irc u ito RLC e n s e rie e l m is m o tip o de tra ta m ie n to , p e ro re s u lta m ás in te lig e n te o m itir ta l re p e tic ió n in n e c e s a ria y u t i liz a r e l c o n c e p to de d u a lid a d . P o r s im p lic id a d , e l e n fo q u e se c o n c e n tra rá en las c o n c lu s io n e s que se p re s e n ta n en e l ú ltim o p á rra fo de la s e c c ió n a n te rio r acerca de la re s o n a n c ia en p a ra le lo . L o s re s u lta d o s im p o rta n te s están c o n te n id o s a h í y e l u so d e l le n g u a je d u a l p e rm ite tra n s c rib ir este p á rra fo p a ra p re s e n ta r lo s re s u l tados im p o rta n te s c o rre s p o n d ie n te s a l c irc u ito RLC en serie. “ Se c o n c lu y e e l e s tu d io d e l c irc u ito re so n a n te en serie re s u m ie n d o las d is tin ta s c o n c lu s io n e s c la v e a las que se h a lle g a d o : •
L a fre c u e n c ia re son an te &>o es a q u e lla a la que la p a rte im a g in a ria de la im p e d a n c ia de e n tra d a se v u e lv e c e ro , o en la que e l á n g u lo de la im p e d a n c ia se hace c e ro . E n este c irc u ito , a>o — 1 / J C SLS.
•
L a c ifr a de m é rito d e l c irc u ito Qo se d e fin e c o m o 2n veces la p ro p o rc ió n e n tre la e n tre g a m á x im a a lm a c e n a d a en e l c irc u ito y la e n e rg ía que se p ie rd e en cad a p e rio d o en e l c irc u ito . E n este c irc u ito , Qo = cooLs/Rs-
•
Se d e fin e n las dos fre c u e n c ia s de m e d ia p o te n c ia , o)¡ y a>2 , c o m o las fre cu e n cia s a las cu a le s la m a g n itu d de la im p e d a n c ia es \ f l veces la m a g n i tu d de la im p e d a n c ia m ín im a . (É stas son ta m b ié n la s fre c u e n c ia s a las que la re spu esta e n c o rrie n te es 7 0 .7 % de la re spu esta m á x im a .)
•
L a s e xp re sio n e s exactas de coi y a>2 son:
ahí las comillas).
w l,2 = « 0 2<2o/
•
2 g 0
L a s e xp re sio n e s a p ro x im a d a s (a lta Qo) de oj¡ y a>2 son,
co1,2 ~ «0 T 2 ® •
E l a n c h o de b a n d a de m e d ia p o te n c ia B está d a d o p o r
n = (Ú2 - (Oí - — m B Qo •
L a im p e d a n c ia de e n tra d a de c irc u ito s c o n a lta Q ta m b ié n p u e d e expre sa rse en fo rm a a p ro x im a d a c o m o Y « 4 ( 1 + jN) =
R
R
+ N 2/ tm - 1 N
d o n d e N se d e fin e c o m o e l n ú m e ro de m ita d e s de a n c h o de b a n d a fu e ra de re s o n a n c ia , o Cú — Cúo
N = — :------2U
E s ta a p ro x im a c ió n es v á lid a p a ra 0.9coo <
SECCIÓN 16.3 RESONANCIA EN SERIE
■■
L a fre c u e n c ia re s o n a n te d e l c irc u ito está d a d a p o r 1
1
VLC
y/(2 x 10 3)( 2 0 0 x 1 0 - 9)
= 5 0 k ra d /s
D a d o que se ('p e ra a co = 4 8 k ra d /s , w la c u a l está d e n tro d e l 10% de la fre c u e n c ia re son an te, re s u lta ra z o n a b le a p lic a r las re la c io n e s a p ro x im a d a s p a ra e s tim a r la im p e d a n c ia e q u iv a le n te de la re d, s ie m p re y c u a n d o se sepa que se tra b a ja c o n u n c irc u ito de a lta Q: Z eq « R j 1 + jV 2 / ta n -1 N d o n d e N se c a lc u la u n a v e z que se d e te rm in a Qo- E s u n c irc u ito en serie, p o r lo que „
o)0L
Qo = i r
(5 0 x 1 0 3) ( 2 x I O " 3)
=
1 A
------------ ío------------ = 10
h ace que sea u n c irc u ito de a lta Q. P o r lo ta n to , 50
x 103 5 k ra d /s
10
Qo
P o r lo ta n to , e l n ú m e ro de m ita d e s de a n c h o de b a n d a (N) fu e ra de la re so n a n c ia es
N =
(!) — CtíO 8 /2
4 8 -5 0 =
-
2 .5
0.8
P o r ende, Z eq s» R j 1 + jV 2/ta n ~ ' N = 1 2 .8 1 / - 3 8 . 6 6 0 £2 P o r lo ta n to , la m a g n itu d de la c o rrie n te a p ro x im a d a es IV , |
100
-'cql
12.81
= 7 .8 0 6 m A
U tiliz a n d o las e xp re sio n e s e xactas, se o b s e rv a que I = 7 .7 4 6 /3 9 .2 4 ° m A y, p o r ende, |I| = 7 .7 4 6 m A .
PRÁCTICA t
643
EJEMPLO 1 6 .3
L a te n s ió n vs = 1 0 0 cos o)t m V se a p lic a a u n c ir c u it o re s o n a n te en s e rie c o m p u e s to p o r u n a re s is te n c ia d e 10 f í u n a c a p a c ita n c ia d e 2 0 0 n F y u n a in d u c ta n c ia de 2 m H . U t ili z a r lo s m é to d o s ta n to e x a c to c o m o a p r o x im a d o p a r a c a lc u la r la a m p lit u d d e c o r r ie n te , s i co = 4 8 k ra d /s .
(tío
-A/W-
________________ ________________________________________
16.4 U n c irc u ito re s o n a n te en serie de u n a n c h o de b a n d a de 100 H z c o n tie n e u n a in d u c ta n c ia de 2 0 m H y u n a c a p a c ita n c ia de 2 /zF . D e te rm in a r: (a) / 0; (b) Qo; (c ) Z ent en la re s o n a n c ia ; (d) f 2. Respuestas: 796 Hz; 7.96; 12.57 + j 0 Q ; 846 H z (aproximadamente).
AA/v
■#
CAPÍTULO 16
RESPUESTA EN FRECUENCIA
E l c irc u ito re so n a n te e n serie se c a ra c te riz a p o r u n a im p e d a n c ia m ín im a en la reso n a n cia , en ta n to q u e el re so n a n te en p a ra le lo p ro d u ce u n a im p e d a n c ia re s o n a n te m áx im a. E l ú ltim o c irc u ito p ro p o rc io n a c o rrie n te s d e in d u c to r y de c a p a c ito r en la re s o n a n c ia q u e tien e n a m p litu d e s Qo v e ces m a y o res q u e la c o rrien te de la fu en te; el c irc u ito re so n a n te en se rie p ro p o rc io n a te n sio n e s en el in d u c to r y en el c a p a c ito r q u e son m a y o re s q u e la te n sió n en la fu e n te p o r el fa c to r Qos . E l c ircu ito e n serie d eb e p ro p o rc io n a r e n to n c e s u n a am p lificació n de te n sió n en la reso n an cia. U n a c o m p a ra c ió n de lo s re su lta d o s q u e se o b tu v ie ro n p a ra la re s o n a n c ia en serie y la re so n a n c ia en p a ra le lo , así c o m o las e x p re sio n e s ex a c ta s y a p ro x i m ad as que se d e sa rro lla ro n , a p arecen en la ta b la 16.1.
TABLA
Breve resumen de la resonancia
16.1
L
R
-o m n -
A W
+ v,
v<--
Qo =
Vc ^ C
c
^
1
coqRC
2o =
IR C
. CO
coq L
R
R
2L
*§
| I l (7 o ) l = S o lIO 'w o )!
Y„ =
COQ
|V t(y c y o )| = |V cO '
Cú CO ( -------ílñ
Z, = R
i + j Q o [ ---------- COq co
con
Expresiones exactas COq =
= vW «2
COd = y j c o l ~ a 2 = COqJ 1 - ( ----- ^
\2 Q o J
CO 1,2
—
CO q
1
+GQ0)
1
T 2Qq
CO — C úfí
N :
-B 2U
co0 B — CO2 — co\ = — = 2 a Qo
Expresiones aproximadas ( Qo _ 5
+
0.9a>o
COd ^ COQ co\.i « í«0 =F 2 ^ COq « \ (coi + con) Y p % ^ l + N2 R x / l + TV2/ta n 1 N
co
SECCIÓN 16.4 OTRAS FORMAS RESONANTES
16.4 # OTRAS FORMAS RESONANTES L o s c irc u ito s RLC en p a ra le lo y en serie de las dos seccion es a n te rio re s re p re sentan c irc u ito s re son an tes idealizados', n o son m ás q u e re p re se n ta cio n e s ú tile s y aproximadas de u n c irc u ito fís ic o q u e p o d ría c o n s tru irs e c o m b in a n d o una b o b in a de a la m b re , u n a re s is te n c ia de c a rb ó n y u n c a p a c ito r de ta n ta lio en p a ra le lo o en serie. E l g ra d o de e x a c titu d que e l m o d e lo id e a liz a d o lo g re re s p e cto del c irc u ito real d epende d e l in te rv a lo de la fre c u e n c ia de o p e ra c ió n , la Q de] c ir c u i to , lo s m a te ria le s presentes en lo s e le m e n to s fís ic o s , lo s ta m a ñ o s de lo s e le m e n to s y m u c h o s o tro s fa c to re s . N o .§£.está e s tu d ia n d o la té c n ic a p ara d e te rm in a r e l m o d e lo de u n c irc u ito fís ic o p a rtic u la r, pues esto re q u ie re c ie rto c o n o c im ie n to de la te o ría d e l c a m p o e le c tro m a g n é tic o y de las p ro p ie d a d e s de lo s m a te ria le s ; s in e m b a rg o , es de in te ré s e l p ro b le m a de re d u c ir u n m o d e lo m ás c o m p lic a d o a u n o de lo s dos m o d e lo s m ás s im p le s c o n lo s que Se está fa m ilia riz a d o . L a re d de la fig u ra 16.9a c o n s titu y e u n m o d e lo ra z o n a b le m e n te e x a c to de la c o m b in a c ió n en p a ra le lo , fís ic a m e n te h a b la n d o , de u n in d u c to r, u n c a p a c ito r y u n a re s iste n c ia . L a re s is te n c ia m a rc a d a c o m o R\ es h ip o té tic a y se in c lu y e p a ra to m a r en c u e n ta las p é rd id a s ó h m ic a s d e l n ú c le o y las p é rd id a s p o r ra d ia c ió n de la b o b in a . L a s p é rd id a s en e l d ie lé c tric o d e n tro d e l c a p a c ito r, así c o m o la re s is te n c ia d e l c irc u ito RLC p a rtic u la r, se to m a n en c u e n ta m e d ia n te la re s is te n c ia d e n o m in a d a Rj. E n este m o d e lo , no hay forma de c o m b in a r e le m e n to s y re p ro d u c ir u n m o d e lo m ás s im p le e q u iv a le n te al m o d e lo o rig in a l de todas las fre cuencias. S in e m b a rg o , se d e m o stra rá que se p uede c o n s tru ir u n e q u iv a le n te m ás s im p le v á lid o sobre u n a b a n da d e fre c u e n c ia s que sue le ser lo s u fic ie n te m e n te g ra n d e c o m o p a ra in c lu ir todas las fre c u e n c ia s de in te ré s. E l e q u iv a le n te to m a rá la fo rm a de la re d q u e se m u e s tra en la fig u ra 16.9 b. A n te s de a p re n d e r c ó m o c re a r ta l c irc u ito e q u iv a le n te , c o n s id e ra r p rim e ro e l c irc u ito q ue se m u e s tra en la fig u ra 1 6.9a. L a fre c u e n c ia re s o n a n te en ra d ia n e s de esta re d no es 1/-/L C , a un qu e s i R\ es lo s u fic ie n te m e n te p eq ue ña p o d ría a p ro x im a rs e m u c h o a este v a lo r. L a d e fin ic ió n de re s o n a n c ia p e rm a n e c e in v a ria b le , y se p o d ría d e te rm in a r la fre c u e n c ia re s o n a n te ig u a la n d o a c e ro la p a rte im a g in a ria de la a d m ita n c ia de e ntrada: I m { Y {jco)} = I m ( - i - + jcoC +
Im
\
1 = 0
[R i
R i + jcoL)
— + i r 4-
1 r í ~ JwL I Ri + jcoL Ri - jcoL j
Ri
= i m |, 1_ + ;tóC + _R i
— jc o L ,
_
^
0
D e ta l m a ne ra , p o r la c o n d ic ió n de re s o n a n c ia
L R \ + cú2L2
y, p o r e n d e , 2
“ ° = i/ Z c “ ( ^ l
[21]
ib) ■ F IG U R A 1 6 .9 (o) Modelo útil de una red física que consta de un inductor, un capacitor y una resistencia presentes físicamente en paralelo. (í>) Rec que puede equivaler a la parre (o ) en una banda estrecha de frecuencias.
646
-yw v
- •
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Se o b s e rva q u e c ü q es m e n o r que 1/ \ L C , s i b ie n q u iz á lo s v a lo re s s u fic ie n te m e n te p eq ue ño s de la p ro p o rc ió n R\¡L p ro d u z c a n u n a d ife re n c ia d e s p re c ia b le e n tre c ü q y 1 ¡ \/L C . L a m a g n itu d m á x im a de la im p e d a n c ia de e n tra d a ta m b ié n m e re ce c o n s id e rarse. N o es Ri, y ta m p o c o o c u rre e n c/Jo (o en co = 1 /\f~LC). L a p ru e b a de estas a firm a c io n e s n o se d e m o stra rá , d e b id o a q ue la s e xp re sio n e s se v u e lv e n d e in m e d ia to p ro b le m á tic a s desde la p e rs p e c tiv a a lg e b ra ic a ; la te o ría , s in e m b a rg o , es c la ra . C o n u n e je m p lo n u m é ric o se e stará s a tis fe c h o .
EJEMPLO 1 6 .4 U tiliz a n d o lo s v a lo re s Rj = 2 f i , L = 1 H , C = 125 m F y R2 = 3 f t e n la f ig u r a 1 6 .9 a , d e t e r m in a r la fre c u e n c ia re s o n a n te y la im p e d a n c ia e n la re s o n a n c ia . S u s titu y e n d o lo s v a lo re s a p ro p ia d o s e n la e c u a c ió n [2 1 ], se o b s e rv a que, Magnitud de ta impedancia (ohms)
cüq = \ / 8 — 22 — 2 ra d/s
lo c u a l p e rm ite c a lc u la r la a d m ita n c ia de e n tra d a en la re s o n a n c ia : 1 4 - --------- ---------- = - + - = 0 .5 8 3 S 2 + j (2 )( 1 ) 3 4 y lu e g o la im p e d a n c ia de e n tra d a en la re so n a n cia : Z ( j2 ) =
Frecuencia (rad/s)
> F IG U R A 1 6 .1 0 Gráfica de |Z| en función d eco, generada mediante la siguiente serie de instrucciones de MATLAB: EDU» omega = linspace(0,10,100); EDU» fo r i = 1:100 YO) = 1/3 + j*om ega(i)/8 + 1/(2 + j*om ega(i)); Z(i) = i/Y (i); end EDU» plot(omega,abs(Z)); EDU» xlabel('frequency (rad/s)1); EDU» ylabelfimpedance magnitude (olim s)1);
1 0 .5 8 3
= 1 .7 1 4 £2
A la fre c u e n c ia q ue c o rre s p o n d e ría la fre c u e n c ia re son an te, si R\ fu e ra cero, 1
s/LC
= 2 .8 3 ra d/s
la im p e d a n c ia de e n tra d a sería Z C /2 .8 3 ) = 1 .9 4 7 / - 1 3 . 2 6 ° £2 S in e m b a rg o , c o m o p u e d e o b serva rse e n la fig u ra 16.10, la fre c u e n c ia a la q u e o c u rre la m a g n itu d máxima de la im p e d a n c ia , in d ic a d a p o r com, se d e te rm in a q u e es ojm = 3 .2 6 ra d/s, y la m a g n itu d máxima de la im p e d a n c ia es Z ( y 3 .2 6 ) = 1 .9 8 0 / —21.4° £2 L a m a g n itu d de la im p e d a n c ia a la re s o n a n c ia y a la m a g n itu d m á x im a d ifie re e n c a s i 1 6% . S i b ie n es c ie rto q u e u n e rro r de este tip o p u e de ig n o ra rs e a veces en la p rá c tic a , re s u lta d e m a sia d o g ra n d e c o m o p a ra ig n o ra rlo en u n e xa m e n . E n la ú ltim a p a rte de esta se cció n se m o s tra rá que la Q de la c o m b in a c ió n in d u c to r-re s is te n c ia a 2 ra d /s es la u n id a d ; este v a lo r b a jo e x p lic a la d is c re p a n c ia de 16% . P R A C T IC A 16.5 C o n re fe re n c ia a l c irc u ito de la fig u ra 1 6 .9 a , sea R\ = 1 k í2 y C = 2 .5 3 3 pF. D e te rm in a r la in d u c ta n c ia n e ce sa ria p a ra s e le c c io n a r u n a fre c u e n c ia re s o n a n te de 1 M H z . ( Sugerencia: re c u e rd e q u e co — 2 n f.) Respuesta: 10 mH.
A A /V
SECCION 16.4 OTRAS FORMAS RESONANTES
Combinaciones equivalentes en serie y en paralelo
Rs
P ara tra n s fo rm a r e l c irc u ito d a d o en la ñ g u ra 16.9a en u n o e q u iv a le n te en la fo r m a q u e se in d ic a en la ñ g u ra 16.9¿>, se debe a n a liz a r la Q de u n a c o m b in a c ió n s im p le en serie o en p a ra le lo de u n a re s is te n c ia y u n re a c to r (in d u c to r o c a p a c i to r). Se c o n s id e ra en p rim e ra in s ta n c ia e l c irc u ito en serie de la ñ g u ra 16.11cz. L a Q de esta re d se d e ñ n e de n u e v o c o m o 2it veces la p ro p o rc ió n de la m á x im a e n e rg ía a lm a ce n a d a y la e n e rg ía q ue se p ie rd e e n cad a p e rio d o , aunque la Q se p o d ría e v a lu a r a c u a lq u ie r fre c u e n c ia q u e se e lija . E n o tras p a la b ra s , Q es una fu n c ió n de co. E s c ie rto que se e le g irá e v a lu a rla a la fre c u e n c ia q u e tie n e , o a p a re n te m e n te tie n e , la fre c u e n c ia re so n a n te de a lg u n a re d de la c u a l fo rm a p a rte la ra m a en serie. E s ta fre c u e n c ia , s in e m b a rg o , n o se c o n o c e h a s ta que se d is p o n e de u n c irc u ito m ás c o m p le to . Se s u g ie re a l le c to r d e m o s tra r q ue la Q de esta ra m a en serie es | X ^ ¡R S, en ta n to que la Q de la re d en p a ra le lo de la fig u ra Ib.llb es Rp/\X p\. Se lle v a rá n a cab o lo s d etalle s necesarios p a ra d e te rm in a r lo s va lo re s de R„ y Xp de m o d o q u e la re d en p a ra le lo de la fig u ra 16. llf e sea e q u iv a le n te a la re d en serie de la fig u ra 16.1 l a a c ie rta fre c u e n c ia e s p e c ífic a s im p le . S e ig u a la Y s y Y p,
Y, =
_ J ____ _ R s ~ JXs Rs + jX s Rj + X j 1
R
Xn
y se o b tie n e
R
P
Xn
Rs R? + X? Xs
A l d iv id ir estas dos e xp re sio n e s, se o b tie n e
Rj, x n
647
X Rs
Se c o n c lu y e que las Q de las redes e n serie y en p a ra le lo d eben ser ig u a le s :
QP = Qs — Q P o r lo ta n to , las e cu acio ne s de tra n s fo rm a c ió n p u e d e n s im p lific a rs e :
RP = Kv(1 + Qz)
[ 22 ]
X P = X S [1 + ^
[2 3 ]
Rs y X s ta m b ié n se p u e d e n e n c o n tra r si Rp y X p son lo s v a lo re s dados; se e fe c tú a la tra n s fo rm a c ió n e n c u a lq u ie r d ire c c ió n . S i <2 > 5 se in tro d u c e u n p e q u e ñ o e rro r a l u tiliz a r las re la c io n e s a p ro x i m adas [2 4 ]
O-------- V W
m.
Y -
(a)
o-------- ♦ -----—
I'*
jxp
O --------i------
(b) I F IG U R A 1 6 .1 1 (a) Red en serie que consta de una resistencia Rs y una reactancia inductiva o capacitiva X¡ que se podría transformar en (6 ) una red en paralelo ta! que Ys = Yp a una frecuencia específica. La transformación inversa también es posible.
A/W
■+
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
EJEMPLO 16.5 Determinar el equivalente en paralelo de la combinación en serie de un inductor de 100 mH y una resistencia de 5 ft a una frecuencia de 1000 rad/s. No se cuenta con los detalles de la red a la cual se conecta esta combinación en serie. E n co = lO O O rad /s, Xs = 1 0 0 0 (1 0 0 x 10 3) = 100 £2. L a Q de esta c o m b i n a c ió n en s e rie se d e te rm in a rá m e d ia n te _ Xs _ 100 Q ~ T s ~~5~
20
D a d o q ue Q es s u fic ie n te m e n te a lta (2 0 es m u c h o m a y o r que 5 ), se u tiliz a n las e cu a cio n e s [ 2 4 1 y [2 5 ] p a ra o b te n e r '/) Rn
Q2R = 2i w0 0u 0a £2 \¿, « si — i.
Lp
y
U = 100 m H
L a a firm a c ió n a q u í co n s is te en q u e u n in d u c to r de 100 m H , en serie con u n a re s is te n c ia de 5 £2 p ro p o rc io n a esencialmente la misma im p e d a n c ia de en tra d a q ue u n in d u c to r de 100 m H en p a ra le lo c o n u n a re s iste n c ia de 2 0 0 0 Í2 a la fre c u e n c ia de 1 0 0 0 ra d/s. P ara v e r ific a r la e x a c titu d de la e q u iv a le n c ia , e v a lu a r la im p e d a n c ia de e n tra d a de cad a re d a 1 0 0 0 ra d/s. Se e n c u e n tra que Z , ( jl 0 0 0 ) = 5 + 7100 = 1 0 0 .1 /8 7 .1 ° £2
ZpO'i ooo) =
= 9 9 .9 /8 7 .1 ° £2
y se c o n c lu y e que la e x a c titu d de la a p ro x im a c ió n a la fre c u e n c ia de tra n s fo r m a c ió n es bastante im p re s io n a n te . L a e x a c titu d a 9 0 0 ra d /s ta m b ié n re s u lta ra z o n a b le m e n te b ue na , d e b id o a que
iH *
100 k í l •
¡5H
Z , ( ?900) = 9 0 . 1 /8 6 .8 ° £2 Z p O '9 0 0 ) = 8 9 .9 /8 7 .4 ° Q
100 í l .
(a)
(ib)
i F IG U R A 1 6 .1 2 (o) Red en serie para la que se necesita una red equivalente en paralelo (en
PRÁCTICA 16.6 A co = 1 0 0 0 ra d/s, p ro p o rc io n a r u n a re d en p a ra le lo e q u iv a le n te a la c o m b in a c ió n en serie de la fig u ra 1 6 .1 2 a . 1 6.7 E n c o n tra r u n e q u iv a le n te e n serie de la re d en p a ra le lo que se m u e s tra e n la fig u ra 1 6 .12¿?, s u p o n ie n d o q u e co = 1 0 0 0 ra d/s. Respuesta: 16.6:
Un m edidor "ideal" es un instrumento que mide una cantidad particular sin perturbar el circuito que se prueba. Aunque esto es imposible, los instrumentos modernos se acercan mucho a ser ideales en este sentido.
2000(y 100) 2000 + 7100
8 H, 640 k íl;
16.7: 5 H, 250 íl.
C o m o un e je m p lo a d ic io n a l de la s u s titu c ió n de u n c irc u ito re so n a n te m ás c o m p lic a d o p o r u n c irc u ito RLC e q u iv a le n te en serie o en p a ra le lo , c o n s id e ra r u n p ro b le m a d e in s tru m e n ta c ió n e le c tró n ic a . L a re d RLC s im p le en serie de la fig u ra 1 6 .13a se e x c ita m e d ia n te u n a fu e n te de te n s ió n s e n o id a l a la fre c u e n c ia re sonante de la red. E l v a lo r e fica z (rm s ) de la ten sión de la fu e n te es ig u a l a 0 .5 V ; adem ás, se desea m e d ir e l v a lo r e fic a z de la te n s ió n en e l c a p a c ito r, c o n u n v o ltím e tr o e le c tró n ic o ( V E ) q u e te n g a u n a re s is te n c ia in te rn a de 1 0 0 0 0 0 íl. E s to es, u n a re p re s e n ta c ió n e q u iv a le n te de v o ltím e tro d ad a p o r u n v o ltím e tro id e a l en p a ra le lo , c o n u n a re s is te n c ia de 100 k£2.
SECCIÓN 16.4
20 í l
OTRAS FORMAS RESONANTES 20 íl
10 m H
• “
A/W
10 mH
(b)
(o) 20
íl
10 mH
Vc
■ F IG U R A 1 6 .1 3 (a) Circuito resonante en serie en el que la tensión en el capacitor se va a medir mediante un voltímetro electrónico no ideal. (6) El efecto del voltímetro se incluye en el circuito; éste registra V'c. (c) Se obtiene un circuito resonante en serie cuando la red RC en paralelo de la parte (b ) se sustituye por la red RC en serie, que equivale a IO5 rad/s.
A n te s de que e l v o ltím e tro se con ecte, se c a lc u la q u e la fre c u e n c ia re son an te sea de 105 ra d/s, Qq = 5 0 , la c o rrie n te de 25 m A y la te n s ió n rm s (o e fic a z ) en e l c a p a c ito r de 25 V . (C o m o se in d ic ó a l fin a l de la s e c c ió n 16.3, esta te n s ió n es Qo veces la a p lic a d a .) D e ta l m a n e ra , si e l v o ltím e tr o fu e ra id e a l, le e ría 25 V a l con ectarse a lo s e x tre m o s del c a p a c ito r. S in e m b a rg o , cu a n d o se c o n e c ta e l v o ltím e tr o re a l, se p ro d u c e e l c irc u ito de la fig u ra 16.13¿>. P a ra o b te n e r u n c irc u ito RLC en serie, se re q u ie re en este caso s u s titu ir la re d RC en p a ra le lo p o r una RC e n serie. S u p o n g a q u e la Q de esta re d es lo s u fic ie n te m e n te a lta , de m o d o q ue e l c a p a c ito r e q u iv a le n te en serie será e l m is m o que e l c a p a c ito r dado en p a ra le lo . Se lle v a a cabo lo a n te rio r para a p ro x i m a r la fre c u e n c ia re son an te d e l c irc u ito fin a l RLC en serie. P o r lo ta n to , si e l c ir c u ito RLC en serie c o n tie n e ta m b ié n un c a p a c ito r de 0.01 /x F la fre c u e n c ia re son an te p e rm a n e ce en 105 ra d/s. E s n e c e s a rio c o n o c e r esta fre c u e n c ia re so nan te e stim a d a , a f in de c a lc u la r la Q de la re d RC en p a ra le lo , la c u a l es, 105(1 0 5)( 1 0 ~ 8) = 100 D a d o que este v a lo r es m a y o r que 5, se ju s tific a e l c írc u lo v ic io s o de supuestos que se h ic ie ro n , p o r lo que la re d e q u iv a le n te RC en serie c o n s is te en e l c a p a c i to r Cs = 0.01 /xF y la re s iste n c ia :
Rs ^ ~
= l0 Q
D e esta fo rm a , se o b tie n e el c irc u ito e q u iv a le n te de la fig u ra 1 6.13 c. L a Q re so n ante d e l c irc u ito es, en este caso, s ó lo de 3 3 .3 y, p o r lo ta n to , la te n s ió n en el c a p a c ito r d e l c irc u ito de la fig u ra 1 6.13 c es 1 6 | V. N o o bsta n te , se debe d e te r m in a r I V ^ I , la te n s ió n en la c o m b in a c ió n RC en serie, que es |V c l = l ^
10 ~ 7 1 0 0 °l = 16-67 V
L a te n s ió n en e l c a p a c ito r y |V 'C | son e s e n c ia lm e n te ig u a le s , pues la te n s ió n en la re s is te n c ia de 10 £2 es d e m a sia d o pequeña.
A/W
CAPÍTULO 16 RFSPUESTA EN FRECUENCIA
L a c o n c lu s ió n fin a l debe ser q u e u n v o ltím e tro a p a re n te m e n te b u e n o ta l v e z s ig a p ro d u c ie n d o u n e fe c to s eve ro en la re spu esta de u n c irc u ito re s o n a n te d e a lta Q. P o d ría o c u rr ir u n e fe c to s im ila r c u a n d o se in s e rte en e l c irc u ito u n a m p e rím e tro n o id e a l. Se d a f in a esta s e c c ió n c o n u n a fá b u la té c n ica .
'abía una vez u n e stu d ia n te lla m a d o Sean, que te n ía u n p ro fe s o r id e n ti
■ FIG U R A 16.14 Primer modelo de un inductor de 20 mH, un capacitor de 1 /¿Fy una resistencia de 20 £2 en serie con un generador de tensión.
fic a d o s im p le m e n te c o m o e l D r. A b e l. U n a ta rd e , en e l la b o ra to rio , e l D r. A b e l le d io a Sean tre s d is p o s itiv o s de c ir c u ito p rá c tic o s : u n a re s iste n c ia , u n in d u c to r y u n c a p a c ito r, c o n v a lo re s de e le m e n to n o m in a le s d e 2 0 £2, 2 0 m H y 1 //F . Se le p id ió a l e s tu d ia n te q u e co n e c ta ra u n a fu e n te de te n s ió n de fre c u e n c ia v a ria b le a la c o m b in a c ió n en serie de estos tre s e le m e n to s, c o n e l f in d e m e d ir la te n s ió n re s u lta n te en la re s is te n c ia c o m o u n a fu n c ió n de la fre c u e n c ia y c a lc u la r después lo s v a lo re s n u m é ric o s de la fr e c u e n c ia re so n a n te , la Q en la re s o n a n c ia y e l a n c h o de b a n d a de m e d ia p o te n c ia . T a m b ié n se le p id ió p re d e c ir lo s re s u lta d o s d e l e x p e rim e n to antes de e fe c tu a r las m e d ic io n e s . Sean, c u y o p ro c e so m e n ta l suele ser c la ro , a veces se v e a b ru m a d o p o r la a n sied ad d e l a n á lis is de c irc u ito s . D ib u jó u n c irc u ito e q u iv a le n te p a ra este p ro b le m a q u e se a se m eja ba a l de la fig u ra 1 6.14, y lu e g o c a lc u ló : / o - ------ \ = 2 n \[L C
-
1 2 ttV 2 0 x
= 1 12 5 H z
1 0 -3 x 10~6
cOf)L
Q0 = - ^ - = 7 .0 7
B= —
= 159 H z
(2o L u e g o , Sean e fe c tu ó las m e d ic io n e s q u e e l D r. A b e l le h a b ía p e d id o , las c o m p a ró c o n lo s v a lo re s p re d ic h o s y s in tió u n a in te n s a u rg e n c ia p o r c a m b ia rs e a u n a c a rre ra a d m in is tra tiv a . L o s re s u lta d o s fu e ro n : /o = 1000 H z
Qo = 0 .6 2 5
B = 1600 H z
Sean sabía q u e las d is c re p a n c ia s de esta m a g n itu d n o p o d ía n c o n s id e ra rs e c o m o “ d e n tro de la p re c is ió n d e la in g e n ie ría ” o “ d e b id o a e rro re s d e l m e d id o r” . D e s a fo rtu n a d a m e n te , e n tre g ó sus re s u lta d o s a l p ro fe s o r. R e c o rd a n d o m u c h o s e rro re s de ju ic io pasados, a lg u n o s de lo s cua les se d e b ie ro n (q u iz á s ) a é l m is m o , e l d o c to r A b e l s o n rió d e m a n e ra b e n e v o le n te y lla m ó la a te n c ió n a Sean en c u a n to a l m e d id o r Q (o p u e n te de im p e d a n c ia ) que está p re se n te en la m a y o r p a rte de lo s la b o ra to rio s b ie n e q u ip a d o s ; le s u g irió que p o d ría u tiliz a rs e p a ra a v e rig u a r c ó m o se c o m p o rta n en la re a lid a d estos e le m e n to s de c irc u ito s p rá c tic o s a c ie rta fre c u e n c ia c o n v e n ie n te p ró x im a a la re s o n a n c ia : a 1 0 0 0 H z . p o r e je m p lo . A l h a c e rlo de esta m a n e ra , Sean d e s c u b rió q u e la re s is te n c ia ten ía u n v a lo r m e d id o d e 18 £2 y e l in d u c to r de 2 1 .4 m H c o n una Q d e 1.2, en ta n to q u e la ca p a c ita n c ia d e l c a p a c ito r era de 1.41 / / F y a un fa c to r d e d is ip a c ió n (e l re c íp ro c o de Q) ig u a l a 0 .1 2 3 . A s í, c o n la esperanza q ue b ro ta e te rn a m e n te e n e l c o ra z ó n de to d o e stu d ia n te de in g e n ie ría , S ean ra z o n ó q u e u n m e jo r m o d e lo d e l in d u c to r p rá c tic o c o rre s p o n d e ría a 2 1 .4 m l f en serie c o n coL/Q = 112 £2, m ie n tra s q u e u n m o d e lo m ás a p ro p ia d o d e l c a p a c ito r s ería de 1.41 ¡xF en s e rie c o n 1/coCQ = 13.9 £2. C o n
SECCIÓN 16.4 OTRAS FORMAS RESONANTES
estos d a io s, Sean e la b o ró e l m o d e lo de c irc u ito m o d ific a d o de la fig u ra 16.15 y c a lc u ló u n n u e v o c o n ju n to de v a lo re s p re d ic h o s : l /o
2n x '9 1 6 x 2 1 .4 x 1CT3 143.9
= 0 .8 5 6
P ue sto q u e lo s re s u lta d o s se a p ro x im a b a n m u c h o m ás a lo s v a lo re s m e d id o s , S ean e sta ba s a tis fe c h o . E l d o c to r A b e l, s in e m b a rg o , d e b id o a que e ra m u y rig u ro s o en lo s d etalle s, p o n d e ró las d ife re n c ia s e n tre lo s v a lo re s p re d ic h o s y lo s m e d id o s ta n to p a ra Qo c o m o p a ra e l a n c h o de banda. “¿Ha considerado — p re g u n tó e l D r. A b e l— , la impedancia de salida de la fuente de tensión?, ” “Aún no”, d ijo Sean c o rrie n d o de re g re s o a la m e sa d e l la b o ra to rio . R e s u ltó que la im p e d a n c ia de s a lid a en c u e s tió n fu e de 5 0 Q p o r lo c u a l Sean a gre g ó este v a lo r al d ia g ra m a de c irc u ito , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 16.16. C o n e l n u e v o v a lo r de re s is te n c ia e q u iv a le n te de 1 93 .9 Q, se o b tu v ie ro n m e jo re s v a lo re s de Qo y ¡P
Qo = 0 .6 3 5 2 1 .4 m H
/ mnp—
112 Cl
B = 1442 H z 13.9 í l
- W V - — |( 1.41 ix F
F IG U R A T 6 .T 6 Modelo final que contiene también la resistencia de salida de la fuente de tensión.
E n ra z ó n de que to d o s lo s v a lo re s te ó ric o s e x p e rim e n ta le s c o n c u e rd a n a h o ra d e n tro d e l fa m o s o 1 0% , Sean fu e de n u e v o u n e stu d ia n te de in g e n ie ría e n tu s ia sta y c o n fia d o , a l que le m o tiv a b a in ic ia r antes e l tra b a jo en casa y le e r lib ro s de te x to antes de clase.2 E l D r. A b e l s im p le m e n te m o v ió la cabeza de m a n e ra c o m p la c ie n te c u a n d o d ijo la m o ra le ja s ig u ie n te :
Cuando se utilizan dispositivos reales, observar los modelos que se eligen; pensar bien antes de calcular, ¡y prestar atención a sus Z y Q! PRÁCTICA ------------------------------- «
112 íí
13.9 í l
= 916 H z
B = 9 1 6 / 0 . 8 5 6 = 1 07 0 H z
—
21.4 mH
651
2 jr V 2 1 . 4 x 1 0 - ^ x 1.41 x IO -6
Qo =
50 CI
•------------VW ---------
----------------- ----
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 6.8 L a c o m b in a c ió n en serie de 10 £2 y 10 n F está en p a ra le lo c o n la c o m b in a c ió n a su v e z en serie de 2 0 Q y 10 m H . (a) C a lc u la r la fre c u e n c ia re so n a n te a p ro x im a d a de la re d en p a ra le lo , ib) D e te rm in a r la Q de la ra m a RC. (c ) C a lc u la r la Q de la ra m a RL. (d) E n c o n tra r e l e q u iv a le n te de tres e le m e n to s de la re d o rig in a l. R e sp u e sta s: 105 ra d /s ; 1 0 0 ; 5 0 ; 10 n F || 1 0 m H || 3 3 .3 k Q .
(2) De acuerdó, esta última parte es excesiva. Nos disculpamos por eílo.
I F IG U R A 1 6 .1 5 Modelo mejorado donde se usan valores más exactos y se reconocen las pérdidas en el inductor y en el capacitor.
A /V v
CAPSULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
16 5 t ESCALAMIENTO (O AJUSTE)___________________________ A lg u n o s de los e je m p lo s q u e se han re su e lto im p lic a ro n c irc u ito s co n valo re s de e le m entos p asivo s que v a ría n a lre d e d o r de unos cuantos ohm s, unos cuantos hen rys y a lg u no s fa ra d io s. L a s fre cu en cias aplicadas c o rre sp o n d ie ro n a unos cuantos ra d ia nes p o r segundo. Se usa ro n estos valo re s n u m é ric o s p a rticu la re s d e b id o n o a que co n fre cu e n c ia se e ncuentran en la prá ctica , s in o en v irtu d de que las m a n ip u la c io nes a ritm éticas re su lta n m u c h o m ás sencillas q ue en el caso de que fu e ra necesario m a n ip u la r diversas poten cias de 10 a lo la rg o de lo s cálculo s. L o s p ro c e d im ie n to s de esca la m ie nto (o a juste) que se e xp lica rá n en esla sección p e rm ite n a n a liza r redes com puestas p o r e lem entos de tam a ño p rá c tic o , a l a ju star e l v a lo r de lo s elem entos para p e rm itir c á lc u lo s n u m é ric o s m ás convenientes. Se co n sid e ra ta n to e l escala miento (o ajuste) en magnitud c o m o e l escalamiento (o ajuste) en frecuencia. Se e lig e e l c irc u ito re s o n a n te e n p a ra le lo de la fig u ra 1 6.17 a c o m o e je m p lo . L o s v a lo re s im p rá c tic o s de lo s e le m e n to s d a n o rig e n a la p o c a p ro b a b le c u rv a de re s p u e s ta q u e se d ib u ja e n la fig u ra 1 6 .1 7 6 ; la im p e d a n c ia m á x im a es ig u a l a 2 .5 f i , la fre c u e n c ia re s o n a n te c o rre s p o n d e a 1 ra d /s , Qo es 5, y e l a n c h o de b an da e q u iv a le a 0 .2 ra d/s. E stos valo re s n u m é ric o s son m u c h o m ás pare cido s a lo s aná log o s e lé c tric o s de a lg ú n sistem a m e cá n ic o que a lo s correspondientes a c u a lq u ie r d is p o s itiv o básica m e nte e lé c tric o . Se d isp on e de n ú m e ro s co n ven ien te s c o n lo s cuales e fe ctu a r lo s cá lcu lo s, p e ro se tie n e u n c irc u ito im p rá c tic o d ifíc il de con struir. |Z | (íl)
Z
■ F IG U R A 1 6 .1 7 (o) Circuito resonante en paralele que se usa co n o ejemplo para ilustrar el escalamiento (ajuste) en magnitud y en frecuencia, (b) La magnitud de la impedancia de entrada se muestra como una función de la frecuencia.
Recordar que "ordenada" se refiere al eje vertical y "abscisa" al eje horizontal.
S u p o n e r q u e la m e ta sea a ju s ta r esta re d, de m a n e ra que. p ro p o rc io n e u n a im p e d a n c ia m á x im a d e 5 0 0 0 f i a u n a fre c u e n c ia re s o n a n te de 5 x 106 ra d /s , o 7 9 6 k H z . E n o tras p a la b ra s, se u tiliz a r ía la m is m a c u rv a de re spu esta d e la fig u ra 1 6 .1 7 6 s i to d o n ú m e ro so b re la e sca la de las ordenadas se in c re m e n ta p o r u n fa c t o r d e 2 0 0 0 y c a d a n ú m e ro s o b re la e sc a la d e las abscisas se a u m e n ta p o r u n fa c to r d e 5 x 106. Se tra ta rá lo a n te rio r c o m o d os p ro b le m a s : 1) E s c a la m ie n to (o a ju s te ) en m a g n itu d p o r u n fa c to r de 2 0 0 0 y 2 ) e s c a la m ie n to (o a ju s te ) e n fr e c u e n c ia p o r u n fa c to r d e 5 x 106. E l e s c a la m ie n to (o a ju s te ) e n m a g n itu d se d e fin e c o m o e l p ro c e so m e d ia n te e l c u a l la im p e d a n c ia de u n a re d d e dos te rm in a le s se in c re m e n ta p o r u n fa c to r Km, p e ro p e rm a n e c e c o n s ta n te la fre c u e n c ia . E l fa c to r Km es re a l y p o s itiv o , y p o d ría ser m a y o r o m e n o r q u e la u n id a d . Se e n ten de rá q u e la a firm a c ió n m ás b re v e “la red se ajusta en magnitud por un factor de dos” in d ic a q u e la im p e d a n c ia de la n u e v a re d es e l d o b le d e la a n tig u a , a c u a lq u ie r fre c u e n c ia . Sc d e te rm in a rá a h o ra c ó m o se debe a ju s ta r cad a tip o de e le m e n to p a s iv o . P ara in c re m e n ta r la im p e d a n cia de e n tra d a de u n a re d p o r u n fa c to r Km, basta a u m e n ta r la im p e d a n c ia
SECCIÓN 16.5
A/VV
ESCALAMIENTO (O AJUSTE)
de cada e le m e n to en la re d p o r e l m is m o fa c to r. P o r lo ta n to , u n a re s is te n c ia R debe s u s titu irs e p o r u n a re s is te n c ia K mR. C a d a in d u c ta n c ia debe e x h ib ir ta m b ié n u n a im p e d a n c ia q u e sea K m veces m a y o r, a c u a lq u ie r fre c u e n c ia . P ara in - Z ' c re m e n ta r u n a im p e d a n c ia s L p o r u n fa c to r de K m c u a n d o s p e rm a n e c e co n sta n te , se debe s u s titu ir la in d u c ta n c ia L p o r u n a in d u c ta n c ia K mL. D e m a n e ra s im ila r, cada c a p a c ita n c ia C debe s u s titu irs e p o r u n a c a p a c ita n c ia C ¡Km. E n re su m e n , estos c a m b io s p ro d u c irá n u n a re d q u e se a ju s ta en m a g n itu d m u lti Z j ( k í l) p lic á n d o la p o r u n fa c to r de K m : R L C
^
IO"-1 F
K mR
*
‘ K mL
-
653
e s c a la m ie n to o a ju ste en m a g n itu d
C -
Km C u a n d o cad a e le m e n to de la re d de la fig u ra 16.17 a se a ju s ta en m a g n itu d p o r u n fa c to r de 2 0 0 0 , se o b tie n e la re d de la fig u ra 1 6 .1 8a. L a c u rv a de re spu esta de la fig u ra 1 6 .1 8¿> in d ic a q ue n o es n e c e s a rio e fe c tu a r n in g ú n c a m b io en la c u rv a de re spu esta d ib u ja d a antes, apa rte d e l c a m b io en la escala de las ordenadas. C o n sid e ra r ahora esta n u e va re d y a ju s ta rla en fre cu en cia. S c d e fin irá e l ajuste en fre cu e n c ia c o m o e l p roceso m e d ia n te e l c u a l la fre cu e n c ia a la que o cu rre c u a l q u ie r im p e d a n cia se in c re m e n ta p o r u n fa c to r de K f. T a m b ié n en este caso, se hará uso de la e xp re sió n m ás b re v e ‘‘la red se ajusta enfrecuencia por unfactor de dos” p ara in d ic a r que se o btien e ahora la m is m a im p e d a n cia a una fre cu e n c ia dos veces m a yo r. E l ajuste en fre cu e n c ia se lle v a a cabo a ju stan do en fre cu e n c ia cada ele m e n to p asivo, y queda c la ro que n o se afecta a n in g u n a resistencia. L a im p e d a n cia de c u a lq u ie r in d u c to r es sL, y si esta m is m a im p e d a n c ia se debe o b te n e r a una fre cue ncia K f veces m ás g ran d e, e nton ces la in d u c ta n c ia L debe s u s titu irs e p o r una in d u c ta n c ia de L / K f . D e m anera s im ila r, se debe s u s titu ir una cap acitan cia C p o r u n a c a p a c ita n c ia C / K f . P o r lo tan to, si u na re d se v a a aju sta r en fre c u e n c ia p o r un fa c to r de K f , entonces lo s cam b ios necesarios en cada e le m e n to p a s ivo son: R
-
L
-
L e sc a la m ie n to o a ju ste en fre c u e n c ia
* C
F IG U R A 1 6 .1 8 (o) Red de la figura 16.17o después de ajustarse en magnitud Km = 2 0 0 0 . (6) Curva de respuesta correspondiente.
C ’ ' -
* Kf C u a n d o cada e le m e n to de la re d a justada en m a g n itu d de la fig u ra 1 6.1 8a se ajusta en fre c u e n c ia p o r u n fa c to r de 5 x 106 , se o b tie n e la re d de la fig u ra 16.19a . L a c u rv a de respuesta co rre sp o n d ie n te se m u e s tra en la fig u ra 16.1 9b. | Z " | ( k í l)
:200:pí¡
(a) ■ F IG U R A 1 6 .1 9 (a) Red de la figura 16.18o después de ajustarse en frecuencia por un factor de Kf = 5 x . 106. (¿) Curva de respuesta correspondiente.
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
L o s e le m e n to s de c irc u ito en esta ú ltim a re d tie n e n v a lo re s q u e se o b tie n e n c o n fa c ilid a d en lo s c irc u ito s fís ic o s ; la re d e n v e rd a d se c o n s tru y e y se prueba. Se c o n c lu y e q u e s i la re d o rig in a l de la fig u ra 1 6.17 a fu e ra en re a lid a d u n a ná lo go de a lg ú n sistem a resonante m e cá nico , se p o d ría a ju sta r ta n to en m a g n itu d co m o en fre c u e n c ia p a ra o b te n e r u n a re d que se p o d ría c o n s tru ir en e l la b o ra to rio ; las p ruebas c u y a a p lic a c ió n re s u lta costosa o in c o n v e n ie n te en e l sistem a m e c á n ic o p o d ría n e fe ctu a rse sobre e l s iste m a e lé c tric o a ju s ta d o , p e ro lo s re s u lta d o s deben “ desaju sta rse ” lu e g o y c o n v e rtirs e en las u n id a d e s m e cá n ic a s p a ra c o m p le ta r e l a n á lisis . U n a im p e d a n c ia , que se in d ic a c o m o u n a fu n c ió n de s ta m b ié n p o d ría a ju s tarse en m a g n itu d o en fre c u e n c ia , y se p o d ría e fe c tu a r lo a n te rio r s in c o n o c i m ie n to de lo s e le m e n to s e sp e c ífico s , a p a rtir de lo s cuales se c o m p o n e la re d de d os te rm in a le s . P ara a ju s ta r Z ( s ) e n m a g n itu d , la d e fin ic ió n de a ju s te de m a g n i tu d m u e s tra q u e s ó lo se re q u ie re m u ltip lic a r Z ( s ) p o r Km p a ra o b te n e r la im p e d a n c ia c o n m a g n itu d a ju s ta d a . A s í, la im p e d a n c ia d e l c irc u ito re s o n a n te en p a ra le lo de la fig u ra 1 6.17 a es Z ('S')
2s2 + 0 .4 s + 2
o Z (s ) =
0 .5 s (s + 0.1 + y 0 .9 9 5 ) (s + 0 .1 - ./0 .9 9 5 )
L a im p e d a n c ia Z '( s ) de la re d a ju s ta d a en m a g n itu d se d e te rm in a m e d ia n te Z '( s ) = KmZ ( s ) S i se e lig e de n u e v o Km = 2 0 0 0 , se o b tie n e Z '( s ) = ( 1 0 0 0 )
s (s + 0.1 + j 0 . 9 9 $ (s + 0.1 - j 0 .9 9 5 )
S i Z '( s ) se debe a ju s ta r a h o ra en fre c u e n c ia p o r u n fa c to r de 5 x 106, e nton ces Z " ( s ) y Z '( s ) tie n e n que p ro p o rc io n a r v a lo re s id é n tic o s de im p e d a n c ia , s i Z " ( s ) se a v a lú a a una fre c u e n c ia K f veces ig u a l a la que se e v a lú a Z '( s ) . D espu és de u n a c u id a d o s a a c tiv id a d c e re b ra l, esta c o n c lu s ió n se e sta b le ce ría de m a n e ra c o n c is a en n o ta c ió n fu n c io n a l:
O b s e rv a r que se o b tie n e Z " ( s ) a l s u s titu ir to d a s en Z (s ) p o r s ¡K f. P o r lo ta n to , la e x p re s ió n a n a lític a de la im p e d a n c ia de la re d q u e se m u e s tra e n la fig u ra 1 6.19 a debe ser Z " (s ) = ( 1 0 0 0 )
s /( 5 x 106) [s /( 5 x 106) + 0.1 + ;0 .9 9 5 ][s /( 5 x 106) + 0.1 - j0 .9 9 5 ]
o Z " (s ) = (1 0 0 0 )-
(5 x 106)s [s + 0.5 x 106 + y'4.975 x 106][s + 0.5 x 106 - ;4 .9 7 5 x 106]
A u n q u e e l a ju s te es u n p ro c e so q u e se a p lic a p o r lo g e n e ra l a e le m e n to s p a s ivo s, las fu e n te s d e p e n d ie n te s ta m b ié n d e b e n a ju sta rse e n m a g n itu d y en fr e c u e n c ia . S u p o n e r q u e la s a lid a de c u a lq u ie r fu e n te está d ad a c o m o kxvx o kyiy, d o n d e kx tie n e las d im e n s io n e s de u n a a d m ita n c ia p a ra u n a fu e n te de c o m e n te
SECCIÓN 16.5 ESCALAMIENTO (O AJUSTE)
•------------V W
d e p e n d ie n te y re s u lta a d im e n s io n a l p a ra u n a fu e n te de te n s ió n d e p e n d ie n te ; en ta n to q u e ky tie n e la s d im e n s io n e s de o h m s p a ra u n a fu e n te de te n s ió n d e p e n d ie n te y es a d im e n s io n a l en e l caso de u n a fu e n te de c o rrie n te d e p e n d ie n te . S i la re d que c o n tie n e la fu e n te d e p e n d ie n te se a ju s ta en m a g n itu d p o r Km, entonces s ó lo se re q u ie re tra ta r a kx o ky c o m o s i fu e ra n e l tip o de e le m e n to c o n g ru e n te c o n sus d im e n sio n e s . E s to es, s i kx (o ky) es a d im e n s io n a l, se d e ja sin c a m b io ; si es u n a a d m ita n c ia , se d iv id e e n tre Km y s i es u n a im p e d a n c ia , se m u ltip lic a p o r
Km. El ajuste en frecuencia no afecta a las fuentes dependientes.
EJEMPLO Ajustar la red que se muestra en la figura 16.20 por la red ajustada. +
V, -
Km =
20 y Kf — 50, y después determinar Zem(s) de
+ Vj -
+
V,
-
■ F IG U R A 1 6 .2 0 (o) Red que se va a ajustar en magnitud por un factor de 20, y en frecuencia por un factor de 50. (b) Red ajustada, (c) Se aplica una fuente de prueba de 1 A a las terminales de entrada para obtener la impedancia sin ajuste de la red de la parte (o).
E l a ju s te en m a g n itu d d e l c a p a c ito r se c o n s ig u e d iv id ie n d o 0 .0 5 F e n tre e l fa c to r de a ju s te Km = 2 0 , y e l a ju s te en fre c u e n c ia se lle v a a c a b o a l d iv id ir e n tre K f = 5 0. A l e fe c tu a r de m a n e ra s im u ltá n e a am bas o p e ra cio n e s , se tie n e
005 ajustada“
^
l-1
(2 0 K 5 Ó ) _ 5 0 / "
E l in d u c to r ta m b ié n se a ju sta: ^ajustada
(2 0 )0 .5 — — ~ — 200 m H
A l a ju s ta r la fu e n te d e p e n d ie n te , s ó lo es n e c e s a rio c o n s id e ra r e l a ju s te en m a g n itu d , pues e l de la fre c u e n c ia n o a fe c ta a las fu e n te s d ep en die ntes. Y a CContinúa en la siguiente página)
16.6
A/W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
que ésta es u n a fu e n te de corriente c o n tro la d a p o r tensión, entonces la con sta nte de m u ltip lic a c ió n 0 .2 tie n e unidades de A /V , o S. D e b id o a que e l fa c to r tie n e u n id a d e s de a d m ita n c ia , se d iv id e e n tre Km, p o r lo que e l n u e vo té rm in o es de 0.01 V i . L a re d o b te n id a (y a a ju sta d a ) se m u e s tra en la fig u ra 1 6.20 6. P¡ua d e te rm in a r la im p e d a n c ia de la n ue va re d, es n ecesario a p lic a r una fu e n te de p ru e b a de 1 A en las te rm in a le s de entrada. Se p o d ría tra b a ja r con c u a lq u ie r c irc u ito , p e ro p rim e ro se p roce de rá a c a lc u la r la im p e d a n c ia de la red sin ajustar que se m u estra en la fig u ra 1 6 .2 0 a , y lu e g o se ajustará e l resultado. C o n re fe re n c ia a la fig u ra 1 6.20 c,
Vent = V, + 0 .5 s ( l - 0.2Vx) A d e m á s,
20
V, = - ( 1 ) s
A l h a c e r la s u s titu c ió n in d ic a d a , se g u id a p o r u n p o c o de m a n ip u la c ió n a lg e b ra ic a , se o b tie n e
„
Vent ent “
T
S2 - 4S + 4 0 -
2s
P ara a ju s ta r esta c a n tid a d de m a n e ra que c o rre sp o n d a a l c irc u ito de la fig u ra 1 6.20 6 se m u ltip lic a p o r Km = 2 0 , y se s u s titu y e s p o r s / K / = s /5 0 . D e ta l m odo, 0 .2 s2 - 4 0 s + 2 0 0 0 0
PRÁCTICA g 16.9
______________________________________
U n c irc u ito re so n a n te en p a ra le lo se d e fin e m e d ia n te C = 0 .0 1 F,
B = 2 .5 ra d /s , y &>0 = 2 0 ra d/s. P ro p o rc io n a r lo s v a lo re s de R y L s i la re d se a ju s ta en: (a ) m a g n itu d p o r u n fa c to r de 8 0 0 ; (tí) fre c u e n c ia p o r u n fa c to r de 104 ; (c ) m a g n itu d p o r u n fa c to r de 8 0 0 y fre c u e n c ia p o r u n fa c to r de 104 . Respuestas: 32 k£2, 200 H; 40 £2, 25 /zH; 32 k£2,20 mH.
16.6
DIAGRAMAS DE BODE
----------- • ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------E n esta s e c c ió n se d e s c u b rirá u n m é to d o rá p id o p a ra o b te n e r u n a im a g e n aproxi mada de la v a ria c ió n de a m p litu d y de fase de u n a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia dada c o m o fu n c ió n de
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
#■
AA/V
La escala de decibeles (dB) L a c u rv a de re spu esta a p ro x im a d a que se c o n s tru irá se c o n o c e c o m o g rá fic a a s in tó tic a , gráfica de Bode, o diagrama de Bode, e n h o n o r a su c re a d o r, H e n d r ik W . B o d e , in g e n ie ro e lé c tric o y m a te m á tic o de B e ll T e le p h o n e L a b o ra to rie s . T a n to las c u rva s de m a g n itu d c o m o de fase se m u e s tra n u tiliz a n d o u n a e sca la de fre c u e n c ia s lo g a rítm ic a s p a ra las abscisas y la p ro p ia m a g n itu d se ilu s tra ta m b ié n en u n id a d e s lo g a rítm ic a s lla m a d a s decibeles (d B ). Se d e fin e e l v a lo r de |H (y c u )| en d B c o m o sigu e:
HdB = 2 0 1 o g |H ( y tu) | d o n d e se e m p le a e l lo g a ritm o c o m ú n (base 10). (Se utiliza un multiplicador de
10, en lugar de uno de 20, para las funciones de transferencia de potencia, aunque aquí no será necesario.) L a o p e ra ció n in v e rs a es: |H ( y tu) | = 10(í/dB/20’ A n te s d e q u e se c o m ie n c e en re a lid a d u n a n á lis is d e ta lla d o de la té c n ic a p ara d ib u ja r g rá fic a s de B o d e , re s u lta rá ú t il o b te n e r c ie rta p e rc e p c ió n d e l ta m a ñ o de la u n id a d d e l d e c ib e l, a fin de a p re n d e r unos cua nto s de sus v a lo re s im p o rta n te s y p a ra re c o rd a r a lg u na s d e las p ro p ie d a d e s d e l lo g a ritm o . D a d o que lo g 1 = 0 , lo g 2 = 0 .3 0 1 0 3 , y lo g 10 = 1, se o b s e rva n las co rre sp o n d e n c ia s: |H ( 7 « ) | = 1 o
ffdB = 0
|H0'fl>)| = 2 0
Hm k¡ 6 d B
|H O ,a>)l = 1 0 o f l d B = 2 0 d B U n a u m e n to de |H (y& >)| p o r u n fa c to r de 10 c o rre sp o n d e a u n in c re m e n to de HáB p o r 2 0 d B . A d e m á s , lo g 1 0" —n, p o r e llo 10" 4» 2 0 n d B , p o r lo q u e 1 0 0 0 co rre sp o n d e a 6 0 d B , en ta n to que 0.01 se re p re s e n ta c o m o —4 0 d B . U tiliz a n d o s ó lo lo s v a lo re s que y a se in d ic a ro n , es p o s ib le ta m b ié n que 2 0 lo g 5 = 2 0 lo g y = 2 0 lo g 10 - 2 0 lo g 2 = 2 0 - 6 = 14 d B , y, p o r e llo 5 14 d B . A d e m á s , lo g ^/x — \ logx y, en c o n s e c u e n c ia > /2 ^ 3 d B y 1 / V 2 o - 3 d B .3 Se e s c rib irá n las fu n c io n e s de tra n s fe re n c ia en té rm in o s de s, s u s titu y e n d o s = jco c u a n d o se esté lis to p a ra d e te rm in a r la m a g n itu d o e l á n g u lo de fase. S i se desea, la m a g n itu d se p o d ría e s c rib ir en té rm in o s de d B e n ese p u n to . P R Á C T IC A
______________ ___________________________________
1 6.10 C a lc u la r Hdn en co — 146 ra d /s s i H fs ) es ig u a l a (a) 2 0 / (s + 1 0 0 ); (b) 2 0 (s + 100); (c ) 20s. C a lc u la r |H (y& >)| s i HiR se ig u a la a (d) 29.2 d B ; (e ) - 1 5 . 6 d B ; ( / ) - 0 . 3 1 8 d B . Respuestas: -1 8 .9 4 dB; 71.0 dB; 69.3 dB; 28.8; 0.1660; 0.964.
Determinación de las asíntotas E l s ig u ie n te p aso c o n s is te en fa c to riz a r H ( s ) p a ra m o s tra r sus p o lo s y ceros. Se c o n s id e ra p rim e ro u n c e ro en s = —a, e s c rito en u n a fo rm a e sta n d a riza d a c o m o : H (s ) = 1 + -
a
El decibel recibe ese nombre en honor a Alejandro Graham Bell.
[2 6 ]
(3) Obsérvese que se está siendo un poco deshonesto en este caso al utilizar 20 log 2 = 6 dB en lugar de 6.02 dB. Sin embargo, es usual representar y/2 como 3 dB. En razón de que la escala de dB es inherentemente logarít mica, rara vez es importante una pequeña inexactitud.
0
A/W------------------------------- •
CAPÍTULO 16 RESPUESTA ENi FRECUENCIA
E l d ia g ra m a de B o d e de esta fu n c ió n c o n s ta de dos c u rva s a s in tó tic a s a p ro x i m adas de H¿b p a ra v a lo re s m u y g ran d es y m u y p eq ue ño s de w. D e ta l m a n e ra , se c o m ie n z a d e te rm in a n d o | H (» | =
J°) a - J l + a*
1+ —
y p o r e llo .
HiB = 2 0 1 o g 1 +
JO)
— 2 0 lo g - i/ 1 +
C u a n d o w <íí a:
HgR fu 2 0 lo g 1 = 0
( o x íC a )
E s ta a sín to ta s im p le se m u e s tra en la fig u ra 16.21 y se d ib u ja c o m o u n a lín e a g rue sa p a ra re p re s e n ta r co < a, y c o m o u n a lín e a p u n te a d a p a ra co > a.
i FIGURA 16.21
Diagrama de amplitud de Bode de H(s) = 1 + s ¡a que consta de las asíntotas de frecuencia alta y baja, y se muestran como líneas continuas. Se intersectan sobre la abscisa en la frecuencia angular de esquina. El diagrama de Bode representa la respuesta en términos de las dos asíntotas, las cuales son fáciles de dibujar.
C u a n d o a>^> a:
HdB
Una década se refiere a un intervalo de frecuencia definido por un factor de 10, como el de 3 Hz a 30 Hz o el de 12.5 MHz a 125 MHz. Una octava se re fiere a un intervalo de frecuencias definido por un factor de 2, como el de 7 a 14 GHz.
w a
2 0 lo g —
E n to = a, H¿b — 0 ; en a>= 10 a, H^b = 2 0 d B ; y en co — 1 00 a, H¿b = 4 0 d B . P o r lo tan to, e l v a lo r de H¡m aum e nta 2 0 d B p o r cada a um e nto de 10 veces en la fre c u e n c ia angular. A s í, la a sín to ta tie n e u n a p e n d ie n te de 2 0 dB /década. P uesto que HiB a u m e n ta ó d B cuando co se d u p lica , u n v a lo r a lte rn o de la p e n d ie n te es 6 d B /o c tava. L a asíntota de a lta fre cu e n c ia se presenta ta m b ié n en la fig u ra 16.21, una 1m ea s ó lid a p ara co > a y u n a lín e a d is c o n tin u a para co < a. O b s e rva r que las dos asín totas se in te rse cta n en co = a, la fre c u e c ia d e l cero, la c u a l ta m b ié n se describe c o m o frecuencia angular de esquina, de corte, de 3 dB o de media potencia.
Emparejamiento de los diagramas de Bode A h o ra se v e rá e l g ra d o de e rro r im p líc ito en la c u rv a de re spu esta a s in tó tic a . A l a fre c u e n c ia a n g u la r de e s q u in a (o de ru p tu ra ) (co = a), Observar que se sigue respetando la convención de considerar a -Jí como correspondiente a 3 dB.
H dB = 2 0 l o g J l + — = 3 d B
-A/W
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
c u a n d o se c o m p a ra c o n e l v a lo r a s in tó tic o de 0 d B . E n co = 0 .5 a , se tie n e fld B = 2 0 1 o g v T 2 5 « 1 d B D e ta l m o d o , la re spu esta e xa c ta se re p re s e n ta m e d ia n te u n a c u rv a u n ifo rm e que se u b ic a 3 d B a rrib a de la re sp u e sta a s in tó tic a en co = a , y a 1 d B s ob re e lla en co = 0 .5 a (y ta m b ié n en w = 2a). S ie m p re se e m p le a esta in fo rm a c ió n p a ra e m p a re ja r la e sq u in a , s i se desea u n re s u lta d o m ás e xa cto .
Términos múltiples L a m a y o r p a rte de las fu n c io n e s de tra n s fe re n c ia c o n s is te n en m ás de u n c e ro s im p le (o p o lo s im p le ). S in e m b a rg o , e sto se m a n e ja fá c ilm e n te p o r e l m é to d o d e l d ia g ra m a de B o d e , p u e sto que de h e c h o se está tra b a ja n d o c o n lo g a ritm o s . P o r e je m p lo , c o n s id e ra r la fu n c ió n H (s ) = K
1
+
-
Ji
1+ -
S2
d o n d e K — co n sta n te , y —$i y — s2 re p re s e n ta n lo s dos ceros de la fu n c ió n H (s ), P a ra esta fu n c ió n , H¿¡¡ p u e de e s c rib irs e c o m o
HáB = 2 0 lo g K + 20 lo g y 1 + Q
+ 20 lo g ^ l + ^
lo c u a l es s im p le m e n te la su m a de u n té rm in o co n s ta n te 2 0 lo g K (in d e p e n d ie n te de la fre c u e n c ia ) y dos té rm in o s de c e ro s im p le s de la fo rm a c o n s id e ra d a c o n an te rio rid a d . E n otras p a la b ra s , se puede construir un esquema de H¿b simplemente sumando de manera gráfica los diagramas de los términos por separado. E n e l e je m p lo s ig u ie n te se e s tu d ia este caso.
EJEMPLO Obtener el diagrama de Bode de la impedancia de entrada de la red que se muestra en la ñgura 16.22.
16.7
20 a
o--------- V W ---------1
Se tie n e la im p e d a n c ia de e n tra d a H (s )
Zent(s) = H (s ) = 2 0 + 0.2s
= Z cnt ( s ) — ^
9
0.2 H
E x p re s a n d o esta ig u a ld a d en su fo r m a estándar, se o b tie n e ■ F IG U R A 1 6 .2 2 Si H(s) se selecciona como
H < s) = 2 0 ( 1 + I S ¡ ) 6
(Continúa en la siguiente página)
Z;n(s) para esta red, entonces el diagrama de Bode para Hde es como se indica en la figura 16.236.
^w v
*
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
L o s d os fa c to re s q u e c o n s titu y e n H ( s ) son u n c e ro en s = — 100, lo c u a l p ro p ic ia u n a fre c u e n c ia a n g u la r de c o rte d e co = 1 00 ra d /s , y u n a co n sta n te e q u iv a le n te a 2 0 lo g 2 0 = 2 6 d B . A m b a s se d ib u ja n c la ra m e n te en la fig u ra 1 6 .2 3 a . D a d o q u e se tra b a ja c o n e l lo g a ritm o de | H ( j j t ó | , a c o n tin u a c ió n se s um a n lo s d ia g ra m a s d e B o d e c o rre sp o n d ie n te s a lo s fa c to re s in d iv id u a le s . L a g rá fic a de m a g n itu d re s u lta n te aparece c o m o la fig u ra 16.23¿>. N o se in te n tó e m p a re ja r la e sq u in a c o n u n a c o rre c c ió n de + 3 d B en w = 100 ra d/s. E s to se d e ja a l le c to r c o m o u n e je rc ic io rá p id o .
PRÁCTICA
______________________________________________________________
16.11 C o n s tru ir u n d ia g ra m a de B o d e en m a g n itu d p a ra H ( s ) = 5 0 + s. Respuestas: 34 dB, co < 50 rad/s; pendiente = +20 dB/década co > 50 rad/s.
Respuesta en fase D e re g re s o a la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de la e cu a c ió n [2 6 ], se q u is ie ra d e te r m in a r a h o ra la respuesta en fase p a ra u n c e ro s im p le ,
jco \ , co - ta n -1 a / a
ang H ( ; w ) = ang ^ 1 + —
E s ta e x p re s ió n ta m b ié n se re p re s e n ta a tra v é s de sus a s ín to ta s , a u n q u e se a , ang H(jco) ~ 0 o, así que se usa re q u ie re n tre s seg m en tos re c to s . P ara co c o m o la a sín to ta c u a n d o co < 0 .1 a : a ng H (jco) = 0 o
(co < 0 .1 a )
E n e l e x tre m o s u p e rio r, co ^ a, se tie n e e l á n g u lo de H (jco) « 9 0 r y se u tiliz a a rrib a de co = 1 0a : ang H(jco) = 90°
(co > 1 0a )
D a d o q u e e l á n g u lo es 45° en co = a, se c o n s tru y e a h o ra la a s ín to ta de la lín e a re cta q u e se e x tie n d e desde 0 o en co = 0 .1 a , p asan do p o r 45° en co — a, hasta 90° en co = 10a. E s ta lín e a re c ta tie n e u n a p e n d ie n te de 4 5°/dé cad a. Se p rese nta c o m o u n a c u rv a de tra z o c o n tin u o en la fig u ra 1 6.24 , m ie n tra s q u e la re spu esta d e l á n g u lo e xa c to se ilu s tra c o m o u n a lín e a pun te ad a. L a s d ife re n c ia s m á x im a s
#dB 40 20 log 20 = 26 dB 20
10
+ 20 dB/dec. I--------------
100 (a)
(b) I F IG U R A 1 6 .2 3 (o) Los diagramas de Bode de los factores de H(s) = 20(1 + s/100) se dibujan individualmente, (b) El diagrama de Bode compuesto se expresa como la suma de las gráficas de la parte a.
SECCIÓN 16.6 JIAGRAMASDEBODE
e n tre las re spu estas a s in tó tic a y re a l son ± 5 .7 1 ° en co — 0 .1 a y 1 0a . O c u rre n e rro re s de =F 5.29° en co — 0 .3 9 4 a y 2 .5 4 a : e l e rro r es c e ro en co — 0 .1 5 9 « y 6 .3 ¡a. P o r lo g e n e ra l, la g rá fic a d e l á n g u lo de fase se d eja c o m o u n a a p ro x im a c ió n de lín e a re c ta , aun qu e ta m b ié n se d ib u ja n c u rva s u n ifo rm e s de u n a m a n e ra s im ila r a la q ue se d e s c rib e en la fig u ra 16.24. ang Hfjai)
■ FIG U R A 16.24 La respuesta del ángulo asintótico de H(s) = 1 + s/o se muestra como los tres segmentos de linea recta continuas. Los puntos extremos de la rampa son 0° a 0.1o y 90° a 10o. La linea puenteada representa una respuesta más precisa (lisa).
V a le la p e n a h a c e r a q u í una b re v e pau sa p a ra c o n s id e ra r lo que in d ic a la g rá fic a de la fase. E n e l caso de u n c e ro en s = a, se o b s e rv a q u e p a ra fre c u e n c ia s m u c h o m e n o re s que la fre c u e n c ia de e sq u in a , la fase de la fu n c ió n de re spu esta es 0o. S in e m b a rg o , p a ra fre c u e n c ia s altas (co a ) la fase es de 90°. E n la c e r canía de la fre c u e n c ia de e sq u in a , la fase de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia v a ría c o n c ie rta ra p id e z . P o r lo ta n to , e l á n g u lo de fase re a l que le corre sp on de a la respuesta se s e le cc io n a m e d ia n te e l d is e ñ o d e l c irc u ito (e l c u a l d e te rm in a a a).
P R Á C T IC A | _________________________________________________
___
1 6.12 D ib u ja r e l d ia g ra m a de fase de B o d e de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia d e l e je m p lo 16.7. Respuestas: 0°, co < 10; 90°, a>> 1000; pendiente = 45° dec, 10 < a> < 1000. (tu en rad/s).
Consideraciones adicionales para la creación de las gráficas de Bode C o n s id e ra r a c o n tin u a c ió n e l p o lo s im p le H ( s ) = — í— 1 + s/a
[2 7 ]
D a d o que lo a n te rio r es e l re c íp ro c o de u n c e ro , la o p e ra c ió n lo g a rítm ic a re s u lta en u n d ia g ra m a de B o d e , q ue es e l negativo d e l que se o b tu v o antes. L a a m p litu d es de 0 d B h asta co = a, y lu e g o la p e n d ie n te c o rre s p o n d e a —2 0 d B /d é c a d a p a ra u> > 10a, y —45° en c ú = a , la c u a l tie n e u n a p e n d ie n te de — 4 5 °/d é ca d a c u a n d o 0 .1 a < co < 10 a. Se in v ita a l le c to r a que g en ere e l d ia g ra m a de B o d e de esta fu n c ió n tra b a ja n d o d ire c ta m e n te c o n la e cu a c ió n [2 7 ],
#■
W
v
■wv
-•
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
O tro té rm in o que p u e d e a p a re ce r en H ( s ) es u n fa c to r de s en e l n u m e ra d o r o e l d e n o m in a d o r. S i H ( s ) = s, e nton ces
H¡m = 2 0 lo g | = 1, c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 16.25b. «dB
H
■ F IG U R A 1 6 .2 5 Se muestran los diagramas asintóticos de: (o) H(s) = s y (b) H(s) = 1/s. Ambas rectas infinitamente largas pasan por 0 dB en o>= 1 y tienen pendientes de ± 2 0 dB/década.
O tro té rm in o s im p le q u e se e n c u e n tra en H ( s ) es la co n sta n te de m u ltip li c a c ió n K, la c u a l o rig in a u n d ia g ra m a de B o d e q u e es u n a lín e a re c ta h o riz o n ta l q ue se u b ic a e n 2 0 lo g | A' | d B s ob re la abscisa. E n re a lid a d esta rá p o r d e b a jo de la a bscisa s i |ÍT | < 1.
EJEMPLO 16.8 Dibujar el diagrama de Bode de la ganancia del circuito de la figura 16.26, H w v — ie n 1 k f i 2 0 /jlF
1 V
4 k!> < i v
~ )
J \
206\ ¡
y
"
10n F "
:
5 kn <
.
■ F IG U R A 1 6 .2 6 Si H(s) = V^i/Ve^el diagrama de amplitud de Bode de este amplificador se muestra en la figura 16.27b, y el diagrama de fase se presenta en la figura 16.28.
Se tra b a ja de iz q u ie rd a a d e re c h a a tra vé s d e l c irc u ito y se e s c rib e la e x p re s ió n de la g a n a n c ia en te n s ió n H (s ) =
' sal
Yent
1 \ 5 0 0 0 ( 1 0 8/s )
4000 5 0 0 0 + 106/2 0 s V
2 0 0 ) 5 0 0 0 + 108/ s
la q ue , s im p lific a (p o r fo rtu n a ), se tra n s fo rm a en H ís)
—2s (1 + s / 1 0 )(l + s/20000)
[28]
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
Se o b s e rv a u n a c o n s ta n te 2 0 lo g | —2| = 6 d B , p u n to s de in fle x ió n en
co = 10 ra d /s y a> = 2 0 0 0 0 ra d /s , y u n fa c to r lin e a l s. C a d a u n o de e llo s se d ib u ja en la fig u ra 1 6 .2 7 « ; adem ás, lo s c u a tro d ib u jo s se añaden p a ra p ro d u c ir e l d ia g ra m a de B o d e en m a g n itu d de la fig u ra 16.27b.
I F IG U R A 1 6 .2 7 (o) Diagramas de magnitud de Bode individuales de los factores ( - 2 ) , (s), ( l -i- s/10)—1, y (1 + s /2 0 0 0 0 )~ ’ . (6) Se suman las cuatro gráficas separadas de la parte a para obtener los diagramas en magnitud de Bode del amplificador de la figura 16.26.
PRÁCTICA
_________________________________________________________
16.13 C o n s tru ir u n d ia g ra m a de B o d e e n m a g n itu d p a ra H ( s ) ig u a l a: (a ) 5 0 /( s + 1 0 0 ); ( b) (s + 1 0 ) /( s + 1 0 0 ); (c ) (s + 1 0 )/s . Respuestas: (a) —6 dB, co < 100; —20 dB/década, co > 100; (b) —20 dB, cu < 10; +20 dB/dúcada, 10 < co < 100; 0 dB, co > 100; (c) 0 dB, co > 10; —20 dB/década,
co < 10.
A n te s de c o n s tru ir e l d ia g ra m a de fase d e l a m p lific a d o r de la fig u ra 1 6.26, se to m a rá u n m o m e n to p a ra in v e s tig a r v a rio s d e ta lle s d e l d ia g ra m a d e m a g n itu d . P rim e ro , re s u lta c o n v e n ie n te n o c o n fia r d e m a sia d o en la a d ic ió n g rá fic a de lo s d ia g ra m a s en m a g n itu d in d iv id u a le s . E s m e jo r d e te rm in a r c o n fa c ilid a d e l v a lo r e xa c to d e l d ia g ra m a de la m a g n itu d c o m b in a d a en lo s p u n to s e le g id o s a l
A/W-----------------------------“ •
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA c o n sid e ra r e l v a lo r a s in tó tic o de cada fa c to r de H ( s ) en e l p u n to en cuestión. P or e je m p lo , en la re g ió n p lana de la fig u ra 1 6 .2 7 a e n tre co = 10 y co = 2 0 0 0 0 , se está d eb ajo de la e squina en co = 2 0 0 0 0 , y p o r e llo se re prese nta (1 + s /2 0 0 0 0 ) m e d ia n te 1; p e ro s i u n o se u b ic a a rrib a de co = 10, e nton ces (1 + s /1 0 ) se re p re se n ta c o m o co/10. E n con secue ncia ,
Hm = 2 0 lo g
—2 co ( ® /1 0 ) ( l)
2 0 lo g 2 0 = 2 6 d B
(1 0 < « < 2 0 0 0 0 )
T a m b ié n se p o d ría c o n o c e r la fre c u e n c ia a la c u a l la re spu esta a s in tó tic a c ru z a la a bscisa en e l e x tre m o su p e rio r. L o s d os fa c to re s se expre sa n a q u í c o m o f t ) / 10 y f t ) / 2 0 0 0 0 ; de ta l m o d o , -2ft>
//dB = 2 0 lo g
(®/10)(ft)/20 000)
= 2 0 lo g
400000
D a d o q u e H¿¡¿ = 0 e n e l c ru ce de la abscisa, 4 0 0 0 0 0 /co = 1 y, p o r lo ta n to , ® = 4 0 0 0 0 0 rad/s. M u c h a s veces n o se n ecesita u n d ib u jo e x a c to del d ia g ra m a de B o d e en pa p e l s e m ilo g a rítm ic o , pues basta c o n c o n s tru ir u n e je de fre c u e n c ia a p ro x im a d a m e n te lo g a rítm ic o en un p a p e l c u a d ric u la d o s im p le . D e s p u é s de e le g ir el in te rv a lo de una d écad a — p o r d e c ir, u n a d is ta n c ia L q u e se e x tie n d e desde ft) = ® i hasta ft) = 10a>i (d o n d e co\ a m e n u d o es una p o te n c ia e ntera de 10) — sea x la que u b iq u e la d is ta n c ia a la que se e n c u e n tra coala d e re c h a de co\, te n ie n d o a sí x /L = lo g (ft)/ft)|) . D e p a rtic u la r a yu d a es e l c o n o c im ie n to de que x = 0 .3 L c u a n d o co = 2cú\ , x = 0 .6 L e n co = 4co\, y i = 0 .7 L e n co = 5co\.
EJEMPLO 16.9 Dibujar el diagrama de fase de l a fundón de transferencia dada por la ecuación [28], H(s) = —2 s /[(l + s/1 0 )(l + s/2 0 000)]. Se e m p ie z a in s p e c c io n a n d o H(jco): H (jco) =
-jic o (1 + j ft) / 1 0 ) (1 + jco/ 2 0 0 0 0 )
[2 9 ]
E l á n g u lo d e l n u m e ra d o r es u n a co n sta n te , —90°. L o s fa c to re s re sta nte s se re p re se n ta n c o m o la su m a de lo s á n g u lo s a co rta d o s p o r lo s p u n to s de in fle x ió n en co = 10 y co + 2 0 0 0 0 . E s to s tres té rm in o s a parecen c o m o c u rva s a s in tó tic a s de lín e a p u n te a d a en la fig u ra 1 6.28 y su sum a se p rese nta c o m o u n a c u rv a c o n tin u a . Se o b tie n e u n a re p re s e n ta c ió n e q u iv a le n te s i la c u rv a se c o rre h a c ia a rrib a de 360 °. T am bién se o btienen valores exactos para la respuesta de fase a s in tó tic a P or e je m p lo, en co = 10 4 rad/s, e l á n g u lo en la fig u ra 16.28 se c a lc u la a p a rtir de los té rm in o s d e l n um erador y d e l d e n o m in a d o r en la ecuación [2 9 ]. E l á ng ulo del n u m e ra d o re s —90°. E l á n g u lo del p o lo en co = lO e s —90°, puesto q u e d e s más de 10 veces m a y o r que la fre cu e n cia de esquina. E ntre 0.1 y 10 veces la fre cu e n c ia de esquina, re co rd a r que la pendiente es —45° p o r década de u n p o lo sim ple. P o r lo tanto, en e l caso del p u n to de in fle x ió n en 20 000 rad/s, se c a lc u la e l án g u lo , - 4 5 ° lo g ( f t ) / 0 . la ) = - 4 5 ° lo g [1 0 0 0 0 /( 0 .1 x 2 0 0 0 0 ) ] = -3 1 .5 ° .
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
ang H(/
R¡ F IG U R A 1 6 .2 8 La curva en trace continuo exhibe la respuesta de fase asintótica del amplificador de la figura 16.26.
L a sum a a lg e b ra ic a de las tre s c o n trib u c io n e s es —9 0 o—90° —31.5° = —2 1 1 .5 ° , u n v a lo r que p are ce ser m o d e ra d a m e n te c e rca n o a la c u rv a de fase a s in tó tic a de la fig u ra 16.28.
PRÁCTICA ------------------------------------------------------------^
--------------------
16 .1 4 D ib u ja r e l d ia g ra m a de fase de B o d e de H(s) ig u a l a: (a ) 5 0 / (s + 1 0 0 ) ; ( b) (s + 1 0 ) /( s + 1 0 0 ); (c) (s + 1 0 )/s . Respuestas: (a) 0o, a> < 10; —45°/década. 10 < co < 1000; —90°, co > 1000; (b) 0°, co < 1; +45°/década, 1 J*- 0 0 0 ;0 °, co > 1000; (c)*J-90°, «a < 1; + 45°/década, 1 < co < 100; 0°, co > 100.
Términos de orden superior L o s ceros y p o lo s c o n s id e ra d o s son té rm in o s de p rim e r o rd e n , tales c o m o s± ! , (1 + 0 .2 s )±1, y así s u ce siva m e n te . S in e m b a rg o , se p o d ría e x te n d e r c o n m u c h a fa c ilid a d e l a n á lis is a p o lo s y ceros de o rd e n s u p e rio r. U n té rm in o s±n re s u lta en u n a re spu esta en m a g n itu d q ue pasa p o r m = 1 c o n u n a p e n d ie n te de ± 2 0 n d B /d é c a d a ; la re spu esta en fase es u n á n g u lo co n sta n te de ± 9 0 n ° . A d e m á s , u n cero m ú ltip le , (1 + s/a ) n , debe re prese ntar la sum a de n de las curva s de respuesta en m a g n itu d , o n de las c u rva s de re spu esta en fase d e l c e ro s im p le . P o r lo ta n to , se o b tie n e u n d ia g ra m a en m a g n itu d a s in tó tic a q u e es 0 d B p a ra co < a y que tie n e u n a p e n d ie n te de 2 0 n d B /d é c a d a c u a n d o a> > a; e l e rro r es —3 n d B en cd — a, y —n d B en u>= 0 .5 a y 2a. E l d ia g ra m a de fase de 0° p a ra co < 0 .1 a , 9 0 n ° p a ra o> > 1 0 a , 4 5 h ° en rn — a, y u n a lín e a re c ta c o n p e n d ie n te de 4 5 n ° / décad a p a ra 0 .1 a < co < 10a , a s im is m o , p re s e n ta e rro re s ta n g ra n d e s c o m o ± 5 .7 1 n " en las dos fre cu e n c ia s . L a s c u rva s en m a g n itu d y en fase a s in tó tic a s asociadas c o n u n fa c to r de (1 + s /2 0 ) -3 se p u e d e n d ib u ja r s in n in g u n a d ific u lta d , aunque lo s e rro re s re la ti va m e n te g randes asociados c o n las p o te n c ia s s up eriores deben tenerse presentes.
V A
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Pares de complejos conjugados E l ú ltim o tip o de fa c to r que se n e c e s ita c o n s id e ra r re p re se n ta u n p a r c o m p le jo c o n ju g a d o de p o lo s o ceros. Se a d o p ta la fo rm a s ig u ie n te c o m o la e stá n d a r de u n p a r de ceros:
L a can tid a d f es e l fa c to r de a m o rtig u a m ie n to que se prese ntó en la sección 16.1, y se ve rá den tro de p o c o que ojq es la fre c u e n c ia de esq uin a de la respuesta asin tótica . S i £ = 1, se o b s e rva que H ( s ) = 1 + 2 (s/éu0) + (s/ ojq)2 — (1 + s/w0)2, un ce ro de seg u n d o o rd e n , c o m o se acaba de co n s id e ra r. S i f > 1, e nton ces se fa c to r iz a r ía H ( s ) p a ra m o s tra r lo s ceros sim p le s . D e ta l m o d o , si f = 1 .25, e nton ces H ( s ) = 1 + 2 .5 (s /é ü o ) + (s/tüfí)2 = (1 + s /2 é u 0)(1 + s /0 .5 íd o ) , y ta m b ié n en es te caso se tie n e u n a s itu a c ió n fa m ilia r. Se p re s e n ta u n n u e v o caso cu a n d o 0 < £ < 1. N o es n e c e s a rio d e te rm in a r v a lo re s p a ra e l c o m p le jo c o n ju g a d o de ra íc e s . E s m e jo r q ue se d e te rm in e n lo s v a lo re s a s in tó tic o s de b a ja y a lta fre c u e n c ia s , ta n to p a ra la re spu esta en m a g n itu d c o m o p a ra la re spu esta en fase y se a p lic a lu e g o u n a c o rre c c ió n que de p en de d e l v a lo r de f . P ara la re sp u e sta en m a g n itu d , se tie n e : [3 0 ] C u a n d o co o, s ó lo es im p o rta n te e l té rm in o a l c u a d ra d o , y H dB = 2 0 lo g | — (cú/ cúq)2\ = 4 0 1 o g (íu /íu o )- Se tie n e u n a p e n d ie n te de + 4 0 d B /d é c a d a , que es la a sín to ta de a lta fre c u e n c ia ; adem ás, las dos asín to tas se in te rs e c ta n en 0 d B , o) = ü)q. L a c u rv a c o n tin u a e n la fig u ra 1 6.29 m u e s tra esta re p re s e n ta c ió n a s in tó tic a de la re s p u e s ta e n m a g n itu d . S in e m b a rg o , se re q u ie re a p lic a r una
30 + 40 dB /dec
«(log) (rad/s)
-10
\ /
5 = 0.1
■ F IG U R A 1 6 .2 9 Diagramas de amplitud de Bode de H(s) = 1 + para diversos valores del factor de amortiguamiento ?.
(s/<«0) + (s/o>0) 2
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS CE BODE
c o rre c c ió n e n la ce rca n ía de la fre c u e n c ia de esquina. Sea co = [3 0 ] y se tie n e
HiB = 2 0 lo g P-K ( — coo
cúq
e n la e c u a c ió n
= 2 0 1 c g ( 2 f)
[3 1 ]
S i f = 1, u n caso lím ite , la c o rre c c ió n es + 6 d B ; p a ra f = 0 .5 , n o se re q u ie re c o rre c c ió n ; y s i £ = 0 .1 , la c o rre c c ió n es — 14 d B . C o n o c e r este v a lo r de c o rre c c ió n re s u lta m u c h a s veces s u fic ie n te p a ra d ib u ja r u n a re s p u e s ta en m a g n itu d a s in tó tic a s a tis fa c to ria . L a fig u ra 1 6.29 ilu s tra c u rva s m ás e xa cta s de f = 1, 0 .5 , 0 .2 5 , y 0 .1 , según se c a lc u la a p a rtir de la ecu ació n [3 0 ]. P o r e je m p lo , si f = 0 .2 5 , e nton ces e l v a lo r e x a c to de en c ú = 0.5&>o es:
HáB = 2 0 lo g 11 + j 0 .2 5 - 0.251 = 2 0 lo g v '0 .7 5 2 + 0 .2 5 2 = - 2 . 0 d B L o s p ic o s n e g a tiv o s n o m u e s tra n u n v a lo r m ín im o e xa c ta m e n te en co = cúo, c o m o se v e m e d ia n te la c u rv a de f = 0 .5 . E l v a lle se e n c u e n tra s ie m p re a u n a fre c u e n c ia u n p o c o in fe rio r. S i ¿ = 0 , e nton ces H ( j < m o ) = 0 y HáB = —o o. L o s d ia g ra m a s de B o d e sue le n n o d ib u ja rs e en esta s itu a c ió n . L a ú ltim a tarea consiste en d ib u ja r la respuesta en fase a sin tó tic a corre sp o n d ie n te a H (jco) = 1 + j2t;(co/coo) — (cü/ cúo )2 . D e b a jo de co = O.Icúq, se d e ja que ang H (jco) = 0 °; a rrib a de co = 10wo, se tie n e ang H (jco) = ang [ — (co/( coq)2 = 180°. Para la fre cu e n c ia de esquina, ang H(jco0) — a n g ( j 2 f ) = 9 0 °. E n e l in te rv a lo O.lcoo < co < IOíüo se c o m ie n - za c o n la lín e a re cta que se m u e stra c o m o una c u rva c o n tin u a en la fig u ra 16.30, que se e xtie n d e desde (O .Iíüo, 0°), hasta ( c ü q , 90°), y te rm in a en (10&>o, 1 80 °); c o n u na pe n d ie n te de 90°/década. ang H(/'o>)
■ F IG U R A 1 6 .3 0 La recta de aproximación a la característica de fase correspondiente a H(jco) = 1 + y'2f (a i/fflo ) — (co/coa)1 se muestra como una curva continua y la respuesta de fase verdadera se presenta para f = 1,0.5,0.25 y 0.1 con líneas punteadas.
A h o ra se debe p ro p o rc io n a r a lg u n a c o rre c c ió n a esta c u rv a b á s ica p a ra d i verso s v a lo re s de f . D e a cu e rd o c o n la e c u a c ió n [3 0 ] se tie n e „
ang H ( ; < ü ) = ta n
_i
2 f(a )A w o ) ------1 - (cú/ cúo )2
U n v a lo r e x a c to p o r so b re y o tro p o r d e b a jo de cú = cúq q u iz á s re s u lte n s u fi c ie n te s p a ra d a r u n a fo r m a a p ro x im a d a a la c u rv a . S i se to m a co = 0.5&>o, se e n c u e n tra q ue ang H (j0 .5 ftJ o ) = ta n -1 (4¿;/ 3 ) , e n ta n to que e l á n g u lo es 180° — ta n -1 ( 4 f / 3 ) en co — 2 cüq. L a s c u rva s d e la fase se p re s e n ta n c o m o líne as
#■
A/W
A /W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
p u n te ad as en la fig u ra 1 6 .3 0 p a ra f = 1 ,0 .5 ,0 .2 5 y 0 .1 ; lo s p u n to s g rue sos id e n tific a n v a lo re s e xa cto s en co = 0 .5 « o y co = 2 cúq. Si e l fa c to r c u a d rá tic o aparece e n e l d e n o m in a d o r, las c u rva s ta n to e n m a g n i tu d c o m o en fase s o n la s n e g a tiv a s de las q u e se acaban de a n a liza r. Se c o n c lu y e c o n u n e je m p lo que c o n tie n e fa c to re s ta n to lin e a le s c o m o c u a d rá tic o s .
_ _
.
”
*
■
---- -
EJEMPLO 16.10 C o n s t r u ir e l d ia g r a m a d e B o d e d e la f u n c ió n d e tra n s fe r e n c ia H (s ) = 1 0 0 0 0 0 s /[(s + 1 )(1 0 0 0 0 + 20s + s2)]. C o n s id e ra r p rim e ro e l fa c to r c u a d rá tic o y se o rd e n a de una fo rm a que p e rm ita v e r e l v a lo r de f . Se c o m ie n z a d iv id ie n d o e l fa c to r de seg un do o rd e n p o r su té rm in o co n sta n te , 10 0 0 0 : 1Os H (S ) ”
(1 + s ) ( l + 0 .0 0 2 s + O.OOOIs2)
U n a in s p e c c ió n d e l té rm in o s2 m u e s tra que ojo = v 'l/O .O Ó Ó l = 100. L u e g o se e s c rib e e l té rm in o lin e a l de la c u a d rá tic a p a ra m o s tra r e l fa c to r 2, e l fa c t o r (s/í/Jq), y p o r ú ltim o , e l fa c to r f : lO s H (S ) “
(1 + s ) [ ( l + 2 ) ( 0 . 1 ) ( s / 100) + (s /1 0 0 ) 2]
Se p u e d e v e r q u e f = 0 .1 . L a s asíntotas de la c u rva de respuesta en m a g n itu d se d ib u ja n en líneas delgadas en la fig u ra 16.31: 2 0 d B para e l fa c to r de 10, una lín e a recta in fin ita a través de oj = 1 c o n u n a pendiente de + 2 0 dB /década para e l fa c to r s, una esq uin a en oj = 1 p ara e l p o lo s im p le y u n a e sq u in a en co = 100 c o n u n a p en die nte de —4 0 dB /década para e l té rm in o de segundo orden en e l d e n o m i nador. Sum ando estas cuatro curvas y p ro p o rcion an do una corre cció n de + 1 4 dB para e l fa c to r cuadrático, se obtiene la c u rva c o n trace c o n tin u o de la fig u ra 16.31.
Hat>
■ F IG U R A 1 6 .3 1 Diagrama de Bode de la función de transferencia H = lOOOOs ( s + 1)( 10000 + 20s + s2) '
L a re spu esta e n fase c o n tie n e tre s c o m p o n e n te s : + 9 0 ° p a ra e l fa c to r s; 0° p a ra co < 0 .1 , —90° p a ra oj > 10, y - 4 5 7 d é c a d a p a ra e l p o lo s im p le ; y 0° p a ra co < 10, — 180° p a ra co > 1 0 0 0 , y —90° p o r década p a ra e l fa c to r
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
#■
WV
0
c u a d rá tic o . L a a d ic ió n de estas tre s a sín to tas, m ás c ie rta c a n tid a d de m e jo ra p a ra f = 0 .1 se p rese nta n c o m o u n a c o rv a c o n tin u a en la fig u ra 16.32. ang H(joj)
■ F IG U R A 1 6 .3 2 Diagrama de fase de Boce de la función de transferencia H(s) = __________“
_________ .
(S+1)(10000 +20S + S2)
P R Á C T IC A
______________________________________________________________
16.15 S i H ( s ) = 1 OOOs2/ ( s 2 + 5s + 1 0 0 ), d ib u ja r e l d ia g ra m a de a m p litu d de B o d e y c a lc u la r e l v a lo r de: (a) ca c u a n d o H¿b = 0 ; (b) H¿& a co — 1; (c ) a m e d id a que co —»• oo. Respuestas: 0.316 rad/s; 20 dB; 60 dB.
A N A L IS IS A S IS T ID O L a té c n ic a p a ra g e n e ra r d ia g ra m a s de B o d e es v a lio s a . E x is te n m uchas situ a cio n e s en las q ue se n e ce sita c o n ra p id e z u n d ia g ra m a a p ro x im a d o (p o r e je m p lo en lo s exám enes o c u a n d o se e v a lú a u n a to p o lo g ía de c irc u ito p a rtic u la r p a ra u n a a p lic a c ió n e sp e c ífica ), y só lo re s u lta adecuado c o n o c e r s im p le m e n te la fo rm a g e n e ra l de la respuesta. A d e m á s, lo s d ia g ra m a s de B o d e son in v a lu a b le s c u a n d o se d ise ñ a n filtr o s , y a q ue p e rm ite n que se s e le cc io n e n lo s fa c to re s y lo s v a lo re s de lo s co e ficie n te s. E n situ a cio n e s en las que se re q u ie re n las cu rva s de respuesta exactas (c o m o c u a n d o se v e r ific a u n d is e ñ o de c irc u ito fin a l), e l in g e n ie ro d isp o n e de v a ria s o p c io n e s asistidas p o r c o m p u ta d o ra . L a p rim e ra té c n ic a que se c o n s id e ra rá es e l uso de M A T L A B p a ra g e n e ra r u n a c u rv a de respuesta en fre c u e n c ia . A fin de c o n s e g u irlo , e l c irc u ito debe a n a liza rse p rim e ro para o b te n e r la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia co rre cta . S in e m b a rg o , n o es necesario fa c to riz a r o s im p lific a r la e xp re sió n . C o n s id e ra r e l c irc u ito de la fig u ra 16.26. A n te rio rm e n te se d e te rm in ó que la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de este c irc u ito p uede expresarse c o m o H(s) =
-2 s (1 + s / 1 0 )(l + s/20 000) ( Continúa en la siguiente página)
POR CO M PUTADO RA
A/W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
Se b u s c a u n a g rá fic a d e ta lla d a de esta fu n c ió n s ob re e l in te rv a lo d e fre c u e n c ia 100 m ra d /s a 1 M ra d /s . D a d o q u e la g rá fic a fin a l se d ib u ja rá en una e sca la lo g a rítm ic a , n o h a y n e c e s id a d de e s p a c ia r de m a n e ra u n ifo rm e las fre c u e n c ia s d is c re ta s , s in o que, s e n c illa m e n te , se re c u rre a la fu n c ió n de M A T L A B logspaceQ p a ra g e n e ra r u n v e c to r de fre c u e n c ia , d on de lo s p rim e ro s dos a rg u m e n to s re p re se n ta n la p o te n c ia de 10 p a ra las fre c u e n c ia s de in ic io y fin a l, re s p e c tiv a m e n te ( — 1 y 6 en e l e je m p lo p re s e n te ), y e l te r c e r a rg u m e n to es e l n ú m e ro to ta l d e p u n to s que se desea. D e ta l m o d o , la serie d e in s tru c c io n e s M A T L A B es EDU» EDU» EDU» FTH » EDU» EDU» EDU»
w = lo g s p a c e (— 1 ,6 ,1 0 0 ); d e n o m = ( l + j * w / 1 0 ) .* ( l+ j* w / 2 0 0 0 0 ) ; H = —2 * j * w ./ d e n o m ; H d b = 2 0 * lo g 10 (a b s (H )); s e m ilo g x (w ,H d b ) x la b e lffr e q u e n c y (ra d /s )’ ) y la b e l ( ’ IH ( jw ) l ( d B ) ’ )
la c u a l p ro p o rc io n a la g rá fic a q u e se d e s c rib e en la fig u ra 16.33.
H¡ F IG U R A 1 6 .3 3 Gráfica H& generada utilizando MATLAB.
V a le la p e n a h a c e r u no s cuá nto s c o m e n ta rio s ace rca d e l c ó d ig o M A T L A B . E n p rim e r lu g a r, o b s e rv a r q ue se h a s u s titu id o s = jai en la e x p re s ió n de H ( s ) . A d e m á s , M A T L A B c o n s id e ra la v a ria b le w c o m o un v e c to r o m a triz u n id im e n s io n a l. C o m o ta l, esta v a ria b le p ro v o c a d ific u lta d e s en e l d e n o m in a d o r de u n a e x p re s ió n c u a n d o M A T L A B in te n ta a p lic a r las re g la s d e l á lg e b ra m a tr ic ia l a c u a lq u ie r e xp re sió n . P o r lo ta n to , e l d e n o m in a d o r de H( jw) se c a lc u la en u n a lín e a separada, y se re q u ie re e l o p e ra d o r en v e z de c o n e l o b je to de m u ltip lic a r lo s dos té rm in o s . E s te n u e v o o p e ra d o r e q u iv a le a l s ig u ie n te c ó d ig o de M A T L A B : E D U » f o r k = 1 :1 00 d e n o m = (1 + j* w ( k ) / 1 0 ) * (1 + j* w ( k ) /2 0 0 0 0 ) ; fin
SECCIÓN 16.6 DIAGRAMAS DE BODE
D e u n m o d o s im ila r, e l n u e v o o p e ra d o r se u sa en la lín e a de c ó d ig o subsecuente. L o s re s u lta d o s se desean en d B , p o r lo que se re c u rre a la fu n c ió n log 1 0 () la c u a l re p re se n ta e l lo g a ritm o n a tu ra l en M A T L A B . P o r ú ltim o , se u tiliz a u n n u e v o c o m a n d o de g rá fic a ; semilogxQ p a ra g e n e ra r u n a g rá fic a en la que e l e je x tie n e u n a esca la lo g a rítm ic a . E n este p u n to se re c o m ie n d a a l le c to r v o lv e r a lo s e je m p lo s a n te rio re s y u tiliz a r tale s té c n ica s p a ra g e n e ra r c u rva s exactas, a fin de c o m p a ra rla s c o n lo s co rre sp o n d ie n te s d ia g ra m a s de B o d e . P S p ic e re s u lta ta m b ié n m u y a d e cu ad o p a ra g e n e ra r c u rv a s de re spu esta en fre c u e n c ia , e s p e c ia lm e n te p a ra e v a lu a r e l d is e ñ o fin a l. L a fig u ra 16.34 a m u e s tra e l c irc u ito de la fig u ra 16.26, d o n de la te n s ió n en las te rm in a le s de la re s iste n c ia R 3 re prese nta la te n s ió n de s a lid a deseada. E l c o m p o n e n te V A C de la fu e n te se h a e m p le a d o c o n u n a te n s ió n fija de 1 V p o r c o n v e n ie n cia . Se re q u ie re de u n a s im u la c ió n de b a rrid o en ca p a ra d e te rm in a r la
(b) ■ F IG U R A 1 6 .3 4 [a) Circuito de la figura 16.26. (b) Respuesta en frecuencia del circuito graficada en escala de dB.
(Continúa en la siguiente página)
»
A /W
672 --------- V W
CAPÍTULO 16
RESPUESTA EN FRECUENCIA
re sp u e sta e n fre c u e n c ia d e l c irc u ito ; la fig u ra 16.34& se g e n e ró u tiliz a n d o 10 p u n to s p o r década (d o n d e se s e le cc io n a la o p c ió n D e ca d e d e l m e n ú L o g a r it h m ic A C S w ee p T y p e ), desde 10 m H z hasta i M H z . O b s e rv a r que la s im u la c ió n se h a lle v a d o a c a b o en H z . n o en ra d /s , p o r lo q u e la h e rra m ie n ta d e l c u rs o r está in d ic a n d o u n a n c h o de b anda de 3 .1 4 k H z . T a m b ié n en este caso, se sug iere al le c to r que s im u le c irc u ito s c o m o e je m p lo y que c o m p a re lo s re s u lta d o s con lo s d ia g ra m a s de B o d e generados c o n a n te rio rid a d .
16.7 FILTROS --------•-------------------------------------------------------------------------------------E l d is e ñ o de filtr o s es u n te m a m u y p rá c tic o (e in te re sa n te ) que p o r sí s o lo m e re ce u n lib r o de te x to separado. E n esta o ca s ió n , se p rese nta n a lg u n o s de lo s c o n c ep tos b ásico s d e l filtr a d o y se e x p lo ra n c irc u ito s de filtr o ta n to p a s iv o s c o m o a c tiv o s . E sto s c irc u ito s p ue de n ser m u y s im p le s , c o n s is tie n d o en u n s o lo c a p a c i to r o in d u c to r, c u y a in te g ra c ió n a u n a re d d e te rm in a d a p ro p ic ia u n m e jo r desem p eñ o. T a m b ié n p o d ría n ser b astante c o m p le jo s , pues p u e d e n c o n s ta r de m u ch as re s iste n c ia s , ca p a c ito re s , in d u c to re s y a m p ops p a ra o b te n e r la c u rv a de respues ta p re c is a q u e se re q u ie re en u n a a p lic a c ió n dada. E n la e le c tró n ic a m o d e rn a , lo s filtr o s se u tiliz a n p a ra o b te n e r te n sio n e s de c d en lo s s u m in is tro s de p o te n c ia , e li m in a r ru id o e n canales de c o m u n ic a c ió n , sep arar canales de ra d io y de te le v is ió n a p a r tir de u n a señ al m u ltip le x a d a que p ro p o rc io n a n las antenas, y a m p lific a r la señal de b a jo s en e l estéreo, p o r n o m b ra r s ó lo a lg u na s a p lic a c io n e s . E l c o n c e p to im p líc ito en u n f iltr o c o n s is te en que se le cc io n a las fre c u e n c ia s que p u e d e n p asar a tra vé s de u n a re d . E x is te n d iv e rs a s va rie d a d e s, d e p e n d ie n d o de la s n e c e s id a d e s de u n a a p lic a c ió n p a rtic u la r. U n filtro pasabajas , c u y a re sp u e sta se ilu s tra en la fig u ra 1 6.35 a, d e ja p a sa r fre c u e n c ia s d e b a jo de u n a fre c u e n c ia de c o rte , m ie n tra s que a m o rtig u a de m a n e ra s ig n ific a tiv a las fre cu e n c ia s p o r a rrib a de d ic h o c o rte . U n filtro pasaaltas, en c a m b io , re a liz a lo o pu e sto , c o m o se in d ic a e n la fig u ra 16.35& . L a c ifr a de m é rito c la v e p a ra u n filtr o es la agu deza d e l c o rte , o e l g ra d o de in c lin a c ió n de la c u rv a e n la c e rc a n ía de la fre c u e n c ia de e sq uin a. E n g e n e ra l, las c u rva s de re spu esta m ás in c lin a d a s re q u ie re n c irc u ito s m ás c o m p le jo s . L a c o m b in a c ió n de u n filtr o p asabajas y u n o pasaaltas es lo que se con oce c o m o filtro pasabanda, c o m o se p re s e n ta m e d ia n te la c u rv a de re spu esta de la fig u ra 16 .3 5 c . E n este tip o de filtr o , la re g ió n e n tre las dos fre c u e n c ia s de e sq uin a se c o n o c e c o m o pasabatidas; la re g ió n fu e ra de la b a n d a de paso se con oce c o m o rechazabandas. E sto s té rm in o s ta m b ié n se a p lic a n a lo s filtr o s pasabajas y pasaaltas, c o m o se in d ic a en la fig u ra 16.35a y b. A l b a rre r las fre c u e n c ia s de c o rte de lo s d os f iltr o s , ta m b ié n se c re a un filtro rechazabanda, q u e d e ja p a s a r fre c u e n c ia s ta n to altas c o m o bajas, p e ro ate nú a c u a lq u ie r señal q ue te n g a u n a fre c u e n c ia e ntre las dos fre c u e n c ia s de e s q u in a (fig u ra 1 6 .3 5 J ). E l filtro muesca es u n filtr o re ch a za b a n d a e s p e c ia liz a d o que se d ise ña c o n u n a c a ra c te rís tic a de re spu esta estrecha, lo c u a l b lo q u e a u n s o lo c o m p o n e n te de fre c u e n c ia de u n a señal. T a m b ié n e x is te n filtros multibanda; se tra ta de c irc u ito s que tie n e n m ú ltip le s bandas de paso y de su p re sió n . E l d is e ñ o de tale s filtr o s es d ire c to , p e ro se e n c u e n tra m ás a llá del alcance de este lib ro .
• ------------------------- A /
SECCION 16.7 HITROS
(«
(a)
ÍO
T T
nU
0-
8'a -2 ° 15
-
-
¡
-5 0
«
iL 104
105
-1 4 0
107
1
~
/ //
/T
1
_
\l
\
-<-►Pasabaiytas / baja\ -6 0 — / frecuenci\ / -8 0 ¡ \ / -1 0 0 1 -1 2 0
106
1
<> Rechazabanda
| 1 \
1
1
1
1
1 1 10°
n
Pasabandas-— alta frecuencia
¡
~
1 O O
102
i l 103
Rechazabandas-alta frecuencia
¡ 1 ik
vn O
-6 0 L
_
-4 0 —
I jRechazabandas-baja frecuencia
-3 0 -4 0
-2 0
Pasabanda
-10
673
Frecuencia (Hz)
Frecuencia (Hz)
(d )
(c)
I F IG U R A 1 6 .3 5 Curvas de respuesta en freruencia de (a ) filtro pasabas; (6 ) filtro pasaaltas; (c ) filtro pasabanda, (rf) filtro rechazaranda. En cada diagrama, cada punto corresponde a - 3 dB.
R
-AAAr
Filtros pasivos pasabajas y pasaaltas Se p u e d e c o n s tru ir u n f iltr o m e d ia n te e l e m p le o de u n s o lo c a p a c ito r y u n a s o la re s is te n c ia , c o m o se ve en la fig u ra 1 6 .3 6 a . L a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de este c irc u ito de f iltr o pasabajas es, H (» =
= ▼ent
1 1 + RCs
(a)
[3 2 ]
a
H ( s ) tie n e u n a s o la fre c u e n c ia de e sq uin a, la c u a l o c u rre en co — 1/R C , y u n D 1 c e ro en s = o o , lo c u a l p ro p ic ia su c o m p o rta m ie n to d e filtr a d o “ pasabajas” . L a s 'ta a s “ ' fre c u e n c ia s b a ja s (s —> 0 ) p ro d u c e n |H (s )| cerca de su v a lo r m á x im o (la u n id a d G a o 0 d B ), y las fre c u e n c ia s altas (s - > o o ) o rig in a n |H (s )| - > 0. E ste c o m p o r i Y .. V ta m ie n to se e n tie n d e en fo rm a c u a lita tiv a a l c o n s id e ra r la im p e d a n c ia d e l c a p a c i i y to r: a m e d id a que a u m e n ta la fre c u e n c ia , e l c a p a c ito r e m p ie z a a a ctu a r c o m o u n d i \. B c o rto c irc u ito p a ra las señales de ca, lo q u e da lu g a r a u n a re d u c c ió n en la te n s ió n V i -i -1 5 de s a lid a . E n la fig u ra 1 6 .3 6 b se p re se n ta e l e je m p lo de u n a c u rv a de re spu esta 1BIM 2 10KHZ 1 .0 MHz 10MHz 10 Hz □ 2B » lo g 10i[ U (C 1 :1 )> Fi'e qu en cy de u n f iltr o de tale s ca ra c te rís tic a s c o n R — 5 0 0 Q y C = 2 la fre c u e n c ia de es q u in a de 159 k H z (1 M ra d /s ) se d e te rm in a m o v ie n d o e l c u rs o r h a c ia —3 d B . L o (*) a n g u lo s o de la c u rv a de respuesta e n la v e c in d a d de la fre c u e n c ia de c o rte se ! F IG U R A 1 6 .3 6 (o ) Filtro pasabajas simple m e jo ra al m o v e rs e h a c ia u n c ir c u ito q u e c o n te n g a e le m e n to s re a c tiv o s a d i construido mediante una combinación resistencia c io n a le s (es d e c ir, c a p a c itiv o s y /o in d u c tiv o s ). capacitor. (6 ) Respuesta en frecuencia del circuito U n filtr o pasaaltas se c o n s tru y e b a rrie n d o s im p le m e n te las u b ic a c io n e s de la generado utilizando PSpice. re siste n cia y d e l c a p a c ito r en la fig u ra 16.36a, c o m o se ve en e l e je m p lo sigu ien te.
j
A/W EJEMPLO
♦
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
16.11 D is e ñ a r u n f i l t r o pasaaltas con una frecuencia de esquina de 3 kHz. Se c o m ie n z a e lig ie n d o una to p o lo g ía de c irc u ito . D a d o q u e n o se in d ic a n re q u e rim ie n to s en c u a n to a lo rig u ro s o de la respuesta, se s e le c c io n a e l c irc u ito s im p le de la fig u ra 16.37. Se d e te rm in a fá c ilm e n te que la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de este c irc u ito c o rre sp o n d e a H (s )s
I F IG U R A 1 6 .3 7 Circuito de filtro pasaaltas simple para el que deben elegirse los valores de R y C a fin de obtener una frecuencia de corte de 3 kHz.
V sal
RC s 1 + RCs
que tien e un cero en s = O y u n p o lo e n s = — 1 /R C , lo que conduce a u n c o m p o rta m ie n to de filtr o “ pasaaltas” (es decir, |H | —»■ 0 a m e d id a que o j —»■ o o ). L a fre c u e n c ia de e sq u in a d e l c irc u ito de f ilt r o es a>c = 1/R C , y se b usca u n v a lo r de coc = 2jifc = 2 tt( 3 0 0 0 ) = 1 8.85 k ra d /s . T a m b ié n en este caso se debe s e le c c io n a r u n v a lo r p a ra R o C . E n la p rá c tic a , es m ás p ro b a b le q u e la d e c is ió n se base en lo s v a lo re s de las re s iste n c ia s y ca p a c ito re s que estén a la m a n o , p e ro d a d o q u e n o se h a d ad o esa in fo rm a c ió n a q u í, se tie n e la lib e rta d de e fe c tu a r e le c cio n e s a rb itra ria s . P o r lo ta n to , se s e le cc io n a e l v a lo r de la re s is te n c ia e stá n d a r de 4 .7 k£2 p a ra R, lo q u e c o n d u c e a u n re q u e rim ie n to de C = 1 1 .2 9 nF. E l ú n ic o paso q u e q u e d a co n s is te en v e r ific a r e l d is e ñ o c o n u n a s im u la c ió n P S p ic e ; la c u rv a de re spu esta e n fre c u e n c ia p re d ic h a se m u e s tra en la fig u ra 16.38.
■ F IG U R A 1 6 .3 8 Respuesta en frecuencia simulada del diseño final, en el que se muestra una frecuencia de corte (3 dB) de 3 kHz, como se esperaba.
P R Á C T IC A
________________ ______________________________________________
1 6.16 D is e ñ a r u n filtr o pasaaltas c o n u n a fre c u e n c ia de c o rte de 1 3.56 M H z , fre c u e n c ia c o m ú n de u n s u m in is tro de p o te n c ia de r f. V e r ific a r e l d is e ñ o c o n P S pice .
SECCIÓN 16.7
FILTROS
Filtro pasabandas E n este c a p ítu lo y a se h a n v is to v a rio s c irc u ito s q u e se c la s ific a ría n c o m o filtr o s “ pasabandas” (p o r e je m p lo , las fig u ra s 16.1 y 1 6.8). C o n s id e ra r e l c irc u ito s im p le de la fig u ra 1 6.39, en e l que la s a lid a se to m a a tra vé s de la re s iste n c ia . Se e n c u e n tra c o n fa c ilid a d que la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de este c irc u ito es A y = ------- ---------------------LCs2 + RC s + 1
[3 3 ]
L a m a g n itu d de esta fu n c ió n es (después de unas cuantas m a n ip u la c io n e s a lg e b ra ic a s) |A V | =
WRC = V ( 1 - w2LC)2 + co2R2C2
[3 4 ]
la c u a l, en e l lím ite de co —» 0 , se c o n v ie rte en |A v I
coRC - » 0
y en e l lím ite de co —» oo se v u e lv e
R COL
|Ay| ^ —----- » 0 Se sabe a tra vé s de la e x p e rie n c ia c o n lo s d ia g ra m a s de B o d e que la e cu a c ió n [3 3 ] re p re s e n ta tres fre c u e n c ia s c rític a s : u n cero y dos p o lo s . C o n la fin a lid a d de o b te n e r u n a re spu esta de f iltr o pasabandas c o n u n v a lo r p ic o u n ita r io (0 d B ), las dos fre c u e n c ia s de lo s p o lo s d eb en ser m a y o re s que 1 ra d /s , la fre c u e n c ia de cru ce a 0 d B d e l té rm in o cero. E stas dos fre c u e n c ia s c rític a s p u e d e n o bten erse fa c to riz a n d o la e c u a c ió n [3 3 ] o d e te rm in a n d o lo s v a lo re s de co en lo s que la e c u a c ió n [3 4 ] es ig u a l a 1 ¡\Í2. L a fre c u e n c ia c e n tra l de este filtr o se p re s e n ta en co = 1 /y/LC . P o r lo ta n to , s i se a p lic a u n p o c o de á lg e b ra después de fija r la e c u a c ió n [3 4 ] ig u a l a 1/+J2, se p u e d e e n c o n tra r que (1 - LC colf = co2R2C2
[3 5 ]
A l to m a r la ra íz c u a d ra d a en am bo s la d o s, se o b tie n e
LCco2 + RCcoc - 1 = 0 M e d ia n te e l e m p le o de la e c u a c ió n c u a d rá tic a , se e n c u e n tra que
R J R 2C2 + 4LC coc = ------ ± ---------------------------L 2 LC
13 6]
E n este c o n te x to , la fre c u e n c ia n e g a tiv a es u n a s o lu c ió n n o fís ic a p ara la e cu a c ió n o rig in a l, p o r lo q ue es n e c e s a rio re te n e r s ó lo la ra íz p o s itiv a de la e cu a c ió n [3 6 ], S in e m b a rg o , q u iz á se h a id o u n p o c o rá p id o a l to m a r la ra íz cu a d ra d a p o s itiv a de am bo s la d o s de la e c u a c ió n [3 5 ], T o m a n d o en c u e n ta ta m b ié n la ra íz cu a d ra d a n e g a tiv a , la c u a l es ig u a lm e n te v á lid a , se o b tie n e
R , V R2C2 + 4LC coc = — i --------------------------L 2 LC
[3 7 ]
a p a rtir de la c u a l se p u e d e d e m o s tra r q u e s ó lo e l ra d ic a n d o p o s itiv o es fís ic o . P o r ende, se o b tie n e coi a p a rtir de la e c u a c ió n [3 6 ] y coh a p a r tir de la e c u a c ió n [3 7 ]; p u e sto que coh — col = B , p o r s im p le á lg e b ra se d e m u e s tra que B = R /L .
■ F IG U R A 1 6 .3 9 Filtro pasabandas simple construido mediante el uso de un circuito RLC en serie.
I( V676 Sj)
A
A
A
V V V
*
W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
'
EJEMPLO 1 6 .1 2
D is e ñ a r u n f i l t r o p a s a b a n d a c a r a c te r iz a d o p o r u n a n c h o d e b a n d a de 1 M H z y u n o d e c o r te d e a lta fr e c u e n c ia d e 1.1 M H z . Se e lig e la to p o lo g ía d e l c irc u ito de la fig u ra 16.37 y se c o m ie n z a d e te rm in a n d o las fre c u e n c ia s de e sq u in a necesarias. E l a n c h o de b a n d a está dado p o r fu — p o r lo que
f L = 1.1 x 106 - 1 x 106 = 100 k H z
ü>l
= 27tfL = 6 2 8 .3 k ra d /s
E l c o rte de a lta fre c u e n c ia (o>h ) es s im p le m e n te 6 .9 1 2 M ra d /s . C o n la fin a lid a d de p ro c e d e r a l d is e ñ o de u n c irc u ito c o n estas c a ra c te rís tica s , se re q u ie re o b te n e r la e x p re s ió n de cad a fre c u e n c ia , en té rm in o s de las v a ria b le s R, L y C. E l ig u a la r la e c u a c ió n [3 7 ] c o n 2 7 r(1 .1 x 106) p e rm ite re s o lv e r re sp e cto a 1¡LC, pues y a se sabe q u e B — 2tz(fH — f i ) = 6 .2 8 3 x 106 . 1
-B-
1
-B
1 -.1/2
Te
= 2 tt ( 1 .1 x 1 0 ° )
R e s o lv ie n d o , se o b s e rv a que 1 ¡LC — 4 .3 4 3 x 1 0 12. A l e le g ir de m a n e ra a rb itra ria L = 1 H (u n p o c o g ran d e, en té rm in o s p rá c tic o s ), se o b tie n e R — 6 .2 8 3 M £2 y C = 2 3 0 .3 fF . Se debe o b s e rv a r q ue n o h a y u n a s o lu c ió n ú n ic a p a ra este p ro b le m a de “ d is e ñ o ” , pues ta n to R, L o C p u e d e n e le g irs e c o m o p u n to de p a rtid a . L a v e rific a c ió n d e l d is e ñ o c o n P S p ic e se m u e s tra en la fig u ra 16.40. RLC Bd.itJpnS!. Filtei (active)
Ib .
I F IG U R A 1 6 .4 0 Respuesta simulada del diseño de un filtro pasabandas que muestra un ancho de banda de 1 MHz y una frecuencia de corte superior de 1.1 MHz como se deseaba. Las frecuencias pasabanda se sombrearon en color verde.
P R A C T IC A 16.17 D is e ñ a r u n f iltr o p asabanda c o n u n c o rte de b a ja fre c u e n c ia de 100 ra d /s o u n o de a lta fre c u e n c ia de 10 k ra d /s . Respuestas: Una posible respuesta de muchas: R = 990 Q, L = 100 mH y C = 10 /xF.
SECCIÓN 16.7 FIUROS
*
VW
0
E l tip o de c irc u ito q u e se h a e stu d ia d o se co n o c e c o m o filtro pasivo, pues se c o n s tru y e s ó lo a p a r tir de c o m p o n e n te s p a s iv o s (es d e c ir, s in tra n s is to re s , a m p ops u o tro s e le m e n to s “ a c tiv o s ” ). A u n q u e lo s filtr o s p a s iv o s son re la tiv a m e n te c o m u n e s , n o son m u y adecuados p a ra to d a s las a p lic a c io n e s . L a g a n a n c ia (d e fi n id a c o m o la te n s ió n de s a lid a d iv id id a e n tre la te n s ió n de e n tra d a ) de u n filtr o p a s iv o re s u lta d if í c il de esta ble ce r, y m u ch a s veces es deseable la a m p lific a c ió n en lo s c irc u ito s de filtr o .
Filtros activos E l u so de u n e le m e n to a c tiv o , c o m o e l a m p o p , en e l d is e ñ o de filtr o s , sup era p o r m u c h o las d esven ta jas de los filtr o s p a s ivo s . C o m o se v io en e l c a p ítu lo 6, se d i señan c irc u ito s de a m p o p para p ro p o rc io n a r g a n a n cia . A s im is m o , estos c ir c u i to s p u e d e n p re s e n ta r u n c o m p o rta m ie n to s im ila r al de lo s in d u c to re s m e d ia n te la u b ic a c ió n e stra té g ica de c a p a c ito re s . L a c irc u ite ria in te rn a de u n a m p o p tie n e c a p a c ita n c ia s m u y pequeñas ( p o r lo c o m ú n d e l o rd e n de 1 00 p F ), las cua les lim ita n la fre c u e n c ia m á x im a a la que e l o p a m p fu n c io n a rá de m a n e ra a p ro p ia d a . E n co n s e c u e n c ia , c u a lq u ie r c irc u ito de a m p o p se c o m p o rta rá c o m o u n f il t r o p a sa b a ja s c o n u n a fre c u e n c ia de c o rte de q u iz á s 2 0 M H z o m ás en d is p o s itiv o s m o d e rn o s (lo c u a l d ep en de de la g a n an c ia d e l c irc u ito ).
EJEMPLO 16.13 D is e ñ a r u n f ilt r o p a s a b a ja s a c tiv o con u n a frecuencia de corte de 10 k H z y u n a g a n a n c ia de te n s ió n d e 4 0 d B . P ara fre c u e n c ia s m u c h o m e n o re s de 10 k H z , se re q u ie re u n c irc u ito a m p li fic a d o r cap az de p ro p o rc io n a r u n a g a n a n c ia de 4 0 d B , o 100 V /V . L o a n te r io r se lo g ra u tiliz a n d o s ó lo u n a m p lific a d o r n o in v e rs o r (c o m o e l de la fig u ra 1 6 .4 1 a ) c o n ^
R\
+ 1 = 100
■ F IG U R A 1 6 .4 1 ( c ) Circuito de amp op no inversor simple. ( b) Filtro pasabajas que consta de una resistencia R2 y de un capacitor C que se ha agregado a la entrada. (Continúa en la siguiente página)
A A /V
CAPITULO 16
u :v i
1 t
RESPUESTA EN FRECUENCIA
P ara p ro v e e r u n a e sq u in a de a lta fre c u e n c ia a 10 k H z , se re q u ie re u n filtr o pasabajas en la e ntra d a d e l a m p o p (c o m o en la fig u ra 16.41/)). P ara c a lc u la r la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia , se c o m ie n z a en la e ntra d a n o in v e rs o ra ,
9 \
G i " 2 5 .0 ( d B >
1 /s C
\ «2 j) Ü f°
í 00 * fi.W ,
V+ =
40 j -3 .8 [
Vr
\
R2 + 1/s C
:V r
1 1+s
R2C
\
E n la e n tra d a in v e rs o ra se tien e
1 2 .5 , 10KHZ
1B0HZ 1.0K H z ¡ c ¡iz e * lo g 1 0 ( V (U 1 :B U T ))
\ 18BKH2
F re q u e n c y
(a)
V0-V +
V+
R
Ri
A l c o m b in a r am bas e cu acio ne s y d e s p e ja r V c se e n c u e n tra que
ñL
v- = v' ( r ó ) ( 1+ Ri
E l v a lo r m á x im o de la g a n a n cia A y = V „/V ,- es 1 4- R f / R \ , p o r lo q ue se ig u a la esta c a n tid a d a 100. E n ra z ó n d e que n in g u n a re s iste n c ia aparece en la e x p re s ió n d e la fre c u e n c ia de e squina (R2C)~l , c u a lq u ie ra p ue de e le g irse p rim e ro . P o r lo ta n to , se s e le cc io n a R\ = 1 k Q , de m a ne ra que Rf = 9 9 k Q . A l e le g ir de m a ne ra a rb itra ria C = 1 fi F , se e n c u e n tra q u e 0>)
Ri =
I F IG U R A 1 6 .4 2 (a) Respuesta en frecuencia del circuito de filtro utilizando un amp op ¿iA741 en el que se muestra una frecuencia de esquina de 6.4 kHz. (b) Respuesta en frecuencia del mismo circuito de filtro, pero utilizando ahora un amp op LF111. La frecuencia de corte del circuito es igual a 10 kHz, que es el valor deseado.
1
2t t (10
x
= 1 5.9 Q 1 0 3) C
E n este p u n to se c o m p le ta e l d is e ñ o , ¿o no? L a re spu esta en fre c u e n c ia s im u la d a en este c irc u ito se m u e s tra en la fig u ra 1 6.42 a. R e s u lta d e l to d o c la ro q ue , en re a lid a d , e l d is e ñ o n o c u m p le la e s p e c ifi c a c ió n d e l c o rte de 10 k H z . ¿Q ué se h iz o m a l? U n a re v is ió n c u id a d o s a del á lg e b ra n o re v e la n in g ú n e rro r, p o r lo q u e en a lg u n a p a rte se p la n te ó un su p ue sto e rró n e o . L a s im u la c ió n se lle v ó a ca b o u tiliz a n d o u n a m p op /iA 7 4 1 en o p o s ic ió n al a m p o p id e a l su p ue sto en las d e d u c c io n e s . R e s u lta q u e ésta es la fu e n te d e l d e s c o n c ie rto : e l m is m o c irc u ito c o n u n a m p op L F 1 1 1 en v e z d e l /iA 7 4 1 o rig in a u n a fre c u e n c ia de c o rte d e 10 k H z c o m o se desea. E l re s u lta d o de la s im u la c ió n c o rre s p o n d ie n te se p re se n ta en la fig u ra 16.42¿>. D e s a fo rtu n a d a m e n te , e l a m p o p /x A 7 4 1 c o n u n a g a n a n c ia de 4 0 d B tie n e u n a fre c u e n c ia d e e sq u in a en la v e c in d a d de 10 k H z , que n o p ue de ig n o ra rs e en este caso. S in e m b a rg o , e l L F l l l n o a lca nza su p rim e ra fre c u e n c ia de e sq u in a s in o hasta ca s i 75 k H z , lo c u a l está b astan te a le ja d o de 10 k H z c o m o p ara a fe c ta r el d is e ñ o .
PRACTICA 16.18 D is e ñ a r u n c irc u ito de f iltr o pasabajas c o n u n a g a n a n cia d e 3 0 d B y u n a fre c u e n c ia de c o rte d e 1 k H z . Respuesta: Una posible respuesta de muchas: R\ = 100 k£2, Rf = 3.062 M íí, R2 = 79.58 Q y C = 2 /xF.
APLICAC IÓN P RACTICA
V
Ajuste de bajos, agudos e intermedios P o r lo g e n e ra l es d esea ble c o n ta r c o n c a p a c id a d p a ra a ju s ta r lo s b a jo s, agu do s e in te rm e d io s de m a ne ra in d e p e n d ie n te en u n s iste m a de s o n id o , in c lu s o en e l caso de u n e q u ip o e c o n ó m ic o . S ue le a ceptarse q u e e l in te rv a lo de fre c u e n c ia s de a u d io (a l m e no s p a ra e l o íd o h u m a n o ) v a de 2 0 H z a 20 k H z , c o n lo s b a jo s a fre c u e n c ia s in fe rio re s ( < 5 0 0 H z m ás o m e n o s) y lo s agu do s a fre c u e n cias su p e rio re s ( > 5 k H z a p ro x im a d a m e n te ). E l d is e ñ o de u n s iste m a e c u a liz a d o r g rá fic o s im p le se c o n v ie rte en u n a ta re a re la tiv a m e n te s e n c illa , aun qu e un siste m a c o m o e l q ue se m u e s tra e n la fig u ra 16.43 re q u ie re d e u n p o c o m ás de e sfu e rz o . E n e l e c u a liz a d o r tip o b a jo , in te rm e d io y a g u d o c o m u n e s en m u c h o s ra d io s p o rtá tile s , la señ al p rin c ip a l (p ro p o rc io n a d a p o r e l c ir c u i to re c e p to r de ra d io , o q u iz á s u n re p ro d u c to r de C D ) se c o m p o n e de u n a m p lio e sp e ctro de fre cu e n c ia s que tie n e n u n a n c h o de b a n da de c a s i 2 0 k H z ,
J u
u
u
u 'L
F IG U R A 1 6 .4 3 Ejemplo de un ecualizador gráfico. Cortesía de Alesis,
E sa señal debe e n v ia rs e a tre s d ife re n te s c irc u ito s de a m p o p, cada u n o c o n u n filtr o d ife re n te en la e ntrada. E l c irc u ito de a ju s te de b a jo s re q u e rirá u n filtr o pasabajas; e l c irc u ito de a ju ste de a gudos, u n o p asaaltas y e l c ir c u i to de a ju s te in te rm e d io , u n filtr o pasabanda. L a s a lid a de cada c irc u ito de a m p o p se a lim e n ta lu e g o a u n c irc u ito a m p lific a d o r s u m a d o r; en la fig u ra 1 6.44 se p re s e n ta e l d ia g ra m a de b lo q u e s d e l c irc u ito c o m p le to .
personas com u ne s lla m a ría n a esta re s iste n c ia e l c o n tro l de v o lu m e n . L a re d d e l filtr o pasabajas re s trin g e las fre cuencias que entra rá n a l a m p op, y en consecuencia las que se a m p lific a rá n ; la fre c u e n c ia d e e s q u in a es s im p le m e n te (/? 2C ) -1 ■S i el d ise ña do r de c irc u ito s necesita que e l u su ario ta m b ié n e lija la fre cu e n c ia de c o rte d e l filtro , ta l vez R2 se s u s titu y a p o r u n p o te n c ió m e tro , o de m anera a l terna, C p o d ría reem pla za rse p o r u n c a p a c ito r va ria b le . L as etapas restantes se c o n s tru y e n en ese ncia de la m is m a m anera, aunque c o n d ife re n te re d de f iltr o en la entrada. P ara m a n te n e r in d e p e n d ie n te s las re siste ncias, c a p a c i tores y a m p ops, se re q u ie re a g re g a r u n s u b ín d ic e a p ro p ia d o a cada u n o , c o m o u n a in d ic a c ió n de la etapa a la que pertenecen ( f , m, b). E m p e z a n d o c o n la etapa de a g u dos, y a se han e n c o n tra d o p ro b le m a s a l u sa r e l /¿ A 7 4 I en e l in te rv a lo de 10 a 2 0 k H z a g a n a n cia e le vad a; de m o d o que q u iz á e l L F 1 11 sea u n a m e jo r e le c c ió n en este caso. A l e le g ir u n a fre c u e n c ia d e c o rte de agudos de 5 k H z (e x iste c ie rta v a ria c ió n e ntre lo s va lo re s e le g id o s p o r d ife re nte s dise ña do re s de c irc u ito s de a u d io ), se re q u ie re — '—
Ri, C,
= 2 jt ( 5 x 103) = 3 .1 4 2 x 104
L a e le c c ió n a rb itra ria de Ct = 1 /xF p ro d u c e u n v a lo r re q u e rid o de 3 1 .8 3 £2 p a ra R 21 ■A l s e le c c io n a r ta m b ié n Cb = 1 /í H (q u iz á se p u e d a n e g o c ia r u n a re d u c c ió n de la c a n tid a d ), es n e ce sa rio q u e R 2h = 3 1 8 .3 ^2 p a ra u n a fre c u e n c ia de c o rte b a jo de 5 0 0 H z . Se d e ja al le c to r e l d is e ñ o de u n filtr o p asabanda adecuado. Altavoz L a p arte sigu ien te d e l diseño im p lic a la sele cció n de valo re s adecuados para R\t y Ru,, así c o m o las c o rre sp on d ie n te s re s is te n c ia s de re tro a lim e n ta c ió n . S in n in g u n a in s tru c c ió n co n tra ria , es p ro b a b le que lo m ás s im p le sea ■ F IG U R A 1 6 .4 4 Diagrama de bloques de un circuito ecualizador gráfico simple. ig u a la r am bas etapas. P o r lo tan to, de m o d o a rb itra rio se e lig e tan to a R\t c o m o a R\¡, iguales a 1 k Q . y aR/¡ y a Rf¡, E l b lo q u e c o n s titu tiv o b ásico se in d ic a en la fig u ra c o m o p o te n c ió m e tro s de 10 k Q (lo que s ig n ific a que e l in 16.45. E l c irc u ito c o n s is te en u n c irc u ito de a m p o p in te rv a lo será de 0 a 1 0 k £ 2 ). L o a n te rio r p e rm ite q u e el v e rs o r c a ra c te riza d o p o r una g a n a n cia de te n s ió n de v o lu m e n de u n a señal sea hasta 11 veces m ás fu e rte que 1 + Rf / R\. y u n f iltr o pasabajas s im p le c om p ue sto p o r e l de la otra. E n caso de que se necesite que e l d ise ño sea u n a re s iste n c ia R2 y u n c a p a c ito r C. L a re s iste n c ia de p o r tá til, se d e b e n s e le c c io n a r te n s io n e s de s u m in is tro re tro a lim e n ta c ió n R¡ es una re siste n cia v a ria b le (c o n o cid a d e ± 9 V aunque este v a lo r p o d ría cam biarse s i así fu e re algunas veces como potenciómetro), e l cu a l p e rm ite m o d i necesario. fic a r la g an an cia m e d ia n te la ro ta c ió n de u n a p e rilla ; las ( C o n tin u a en la s ig u ie n te p á g in a )
A h o ra q u e se h a c o m p le ta d o e l d is e ñ o d e la e ta pa de f iltr o , está lis to p a ra c o n s id e ra r e l d is e ñ o d e la e ta pa sum a do ra . E n b ie n de la s im p lic id a d , se d eb e a c c io n a r esta etapa de a m p o p c o n las m is m a s fu e n te s de te n s ió n q u e las o tras etapas, lo c u a l lim it a la m a g n itu d m á x im a de la te n s ió n de s a lid a a m e n o s d e 9 V . Se u tiliz a u n a c o n fig u ra c ió n de a m p o p in v e rs o r, c o n la s a lid a d e cada u n a de las etapas de a m p o p de filtr o a lim en ta da s de m a ne ra d i re c ta a su p ro p ia re s is te n c ia de 1 k Q . L a o tra te rm in a l de cada re s is te n c ia de 1 k Q se c o n e c ta e nton ces a la e ntra da in v e rs o ra d e la eta pa d e l a m p lific a d o r su m a d o r. E l p o te n c ió m e tro a p ro p ia d o p a ra la e tapa de a m p lific a d o r su m a d o r d e b e e sco ge rse de m a n e ra q u e se e v ite la s a tu ra c ió n , p o r lo q u e se re q u ie re saber ta n to e l in te rv a lo de la te n s ió n de e n tra d a c o m o la p o te n c ia en w a tts d e l a l ta v o z d e salid a.
.=je].x¡
F IG U R A 1 6 .4 6 Respuesta en frecuencia simulada de la combinación de
filtros pasabajas y pasaaltas.
RESUMEN Y REPASO______________________________ □
L a re s o n a n c ia es la c o n d ic ió n en la q u e u n a fu n c ió n fo rz a d a s e n o id a l fija p ro d u c e u n a re spu esta d e a m p litu d m á x im a .
□
U n a re d e lé c tric a está en re s o n a n c ia c u a n d o la te n s ió n y la c o rrie n te en las te rm in a le s de e n tra d a de la re d están en fase.
□
E l fa c to r de c a lid a d es p ro p o rc io n a l a la e n e rg ía m á x im a a lm a c e n a d a en u n a re d , d iv id id a e n tre la e n e rg ía to ta l p e rd id a p o r p e rio d o .
□
U n a fre c u e n c ia de m e d ia p o te n c ia se d e fin e c o m o la fre c u e n c ia a la q u e la m a g n itu d de la fu n c ió n d e re spu esta d e c irc u ito se re d u c e hasta 1 / \¡2 veces su v a lo r m á x im o .
□
E l a ncho de b a n d a de u n c irc u ito re s o n a n te se d e fin e c o m o la d ife re n c ia e n tre las fre c u e n c ia s d e m e d ia p o te n c ia s u p e rio r e in fe rio r.
□
U n c irc u ito de a lta Q es u n c irc u ito re so n a n te en e l que e l fa c to r de c a lid a d es > 5.
□
E n u n c irc u ito de a lta Q, cada fre c u e n c ia de m e d ia p o te n c ia se u b ic a a p ro x im a d a m e n te a m e d io a n c h o de b a n d a de la fre c u e n c ia resonante.
□
U n c irc u ito re s o n a n te en serie se c a ra c te riz a p o r una im p e d a n c ia baja en la re so n a n cia , en ta n to q u e u n c irc u ito re s o n a n te e n p a ra le lo se d e te rm in a p o r u n a im p e d a n c ia alta e n la re so n a n cia .
□
U n c irc u ito re s o n a n te en serie y u n c irc u ito re s o n a n te e n p a ra le lo son e q u iv a le n te s s i Rp = Rs(l + Q2) y Xp = Xs (1 + QT2).
□
L o s v a lo re s im p rá c tic o s de lo s c o m p o n e n te s h acen q u e e l d is e ñ o sea a m e n u d o m ás fá c il. L a fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de u n a re d se p o d ría a ju s ta r e n m a g n itu d o en fre c u e n c ia m e d ia n te v a lo re s d e s u s titu c ió n a p ro p ia d o s p a ra lo s c o m p o n e n te s.
□
L o s d ia g ra m a s de B o d e p e rm ite n q u e la fo r m a b u rd a de la fu n c ió n de tra n s fe re n c ia se g ra fiq u e c o n ra p id e z , a p a r tir de lo s p o lo s y lo s ceros.
□
L o s c u a tro tip o s b á s ico s de filtr o s son: pasabajas, pasaaltas, pasab an da y re cha za b an da .
□
L o s filtr o s p a s iv o s s ó lo u tiliz a n re s iste n c ia s , ca p a c ito re s e in d u c to re s ; lo s filtr o s a c tiv o s se basan en lo s a m p o p o e n o tro s e le m e n to s a c tiv o s .
EJERCICIOS
LECTURAS ADICIONALES______________________________________ El estudio de una gran variedad de filtros puede encontrarse en J.T .T a y lo r y Q. H ua ng , eds., CRC Handbook of Electrical Filters. B o c a R atón, F ia : C R C Press, 1977. Una compilación muy completa de varios circuitos con filtros activos y procedimien tos de diseño se proporciona en D . Lancaster, Lancaster’s Active Filter Cookbook, 2a. ed. B u rlin g to n , M ass.: N ew nes, 1996.
EJERCICIOS_____________________________________ 16.1 Resonancia en paralelo 1. U n circ u ito RLC en paralelo, tiene R = 1 k f i , C = 47 /xF y L = 11 m H . (a ) C alcu la r Qo. ( b) D eterm inar la frecuencia resonante (en H z). (c) G raficar la respuesta en tensión com o una fun ción de la frecuencia, si el c irc u ito se excita mediante una fuente de corriente de estado permanente senoidal de 1 m A . 2. E n un c irc u ito RLC en paralelo se m ide un valo r de <2o de 200. D eterm inar el valor de los componentes restantes si: (a) R = 1 f i y C = 1 yuF; (b) I. = 12 fH y C = 2.4 nF; (c) R = 121.7 k f í y L = 100 pH. 3. U n varactor es un dispositivo sem iconductor cuya reactancia se podría variar a p li cando una tensión de polarización. Es posible expresar el factor de calidad4 como:
<*>CjRP
^
1 +(02CjRPRs donde Cj es la capacitancia de la unión (que depende de la tensión aplicada al dispositivo), Rs es la resistencia en serie del dispositivo y Rp es un térm ino de resistencia en paralelo equivalente, (a) S i Cj = 3.77 pF a 1.5 V, Rp = 1.5 M f i, y Rs = 2.8 f i, graficar el factor de calidad com o una fun ción de la pulsación co. (b) D e riva r la expresión de Q a fin de obtener tanto coo correspondiente a Qn-.ix4. D eterm inar Q para: (a) una pelota de p in g pong; (b) una moneda; (c) este lib ro de texto. Asegurarse de proporcionar detalles precisos de las condiciones de m edición y de cualesquiera observaciones que se realicen, incluyendo prom edios u otros análisis estadísticos. 5. U n c irc u ito resonante en paralelo tiene valores de parámetros de a = 80 N p/s y co¿= \ 200 rad/s. Si la im pedancia en s = —2a + jco¡¡ tiene una m agnitud de 400 f i , calcular <2o, R. L y C. 6. Encontrar la frecuencia resonante de la red de dos term inales que se muestra en la figura 16.47. 1 fí
7. Sea R = 1 M f i, L = 1 H , C = lju F e I = 1 0 /0 CuA en el c irc u ito de la figura 16.1. (a) Proporcionar ojq y Qo. (b) G raficar |V | com o una fun ción de co, para 995 < cti < 1005 rad/s. (4) S. M. Sze, Physics o f Semiconductor Devices, 2a. ed. Nueva York: Wiley, 1981, p. 116.
A/W
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
. En la red que se muestra en la figu ra 16.48, calcular: (a ) la frecuencia resonante ( b) Z e n tO o ).
&>o;
5 Í1
rV \A /—
2(1
"— v w •5 í l
10 mF
■
10 m H
F IG U R A 1 6 .4 8
9. U n circuito resonante en paralelo tiene polos de impedancia en s = —50 ± j\ 000 s_1, y un cero en el origen. Si C = 1 F: (a ) Determinar L. y R; (b) calcular Z en co = 1000 rad/s. 10. Diseñar un c irc u ito resonante en paralelo para un radio de A M , de manera que un inductor variable ajuste la frecuencia resonante a lo largo de la banda de transm isión de A M (de 535 a 1 605 k H z ) con Qo = 45 en un extrem o de la banda, y Qo 5 45 a lo largo de la banda. Sea R = 20 k Q , y especificar los valores de C , Lmín, y Lmix. 11. (a ) D eterm inar Y cnt para la red de la figu ra 16.49. (b) D eterm inar (¿>o y Z ent(ya>o) para la red. io -8 f
12. D eterm inar la frecuencia de resonancia para t > 0 para la red que se muestra en la figura 16.50.
13. D eterm inar la frecuencia resonante para t > 0 de la red que se muestra en la figura 16.51. íÍn H
EJERCICIOS
14. (a) En el circuito de la figura 16.52, sea L = 1 mH, C — 1 mF y R tal que a = 100 s_1. Determ inar la frecuencia resonante y la im pedancia Z ent a la frecuen cia resonante. (b) Verificar la respuesta utilizando una simulación en PSpice. (Sugerencia: utilizar la fuente VAC e incluir una resistencia con valor despreciable en serie a fin de evitar que el inductor ponga en cortocircuito a la fuente durante la polarización en CD llevada a cabo de m anera automática). V
R ef.
a F IG U R A 1 6 .5 2
15. (a) En el circuito de la figura 16.52, sea L = 1 mH, R tal que a = 50 s _1 y C tal que a>d = 5 000 rad/s. Determ inar la frecuencia resonante y la impedancia Z ent a la frecuencia resonante. (tí) Verificar la respuesta utilizando una simulación en PSpice. (Sugerencia: utilizar la fuente VAC e incluir una resistencia con valor despreciable en serie a fin de evitar que el inductor ponga en cortocircuito a la fuente durante la polarización en CD llevada a cabo de m anera automática.)
16.2 Ancho de banda y circuitos con alta Q 16. Un circuito resonante en paralelo tiene coq = 100 rad/s, Qo = 80 y C = 0.2 /¿F. (a) Determ inar R y L. (b) Utilizar métodos aproximados para graficar |Z | en fun ción de ai. 17. Utilizar las relaciones exactas para determinar R, L y C en un circuito resonante en paralelo que tiene co\ = 103 rad/s, an = 118 rad/s y |Z (y i0 5 )| = 10 £2. 18. Sea wo = 30 krad/s, Qo = 10 y R = 600 Q en cierto circuito resonante en paralelo. (a) Determ inar el ancho de banda. (b ) Calcular N en w = 28 krad/s. (c) Utilizar métodos aproximados para determinar Zem(j28 000). (fí) Proporcionar el verdadero valor de Z ent0'28 000). (e) Establecer el porcentaje de error en el que se incurre uti lizando relaciones aproximadas para calcular | Z ent I y ang Z ent a 28 krad/s. 19. Un circuito resonante en paralelo, es resonante a 400 Hz con Qo = 8 y R = 500 Í2. Si una corriente de 2 mA se aplica al circuito, utilizar métodos aproximados para determinar la frecuencia cíclica de la corriente si: (a) la tensión en el circuito tiene una magnitud de 0.5 V; (tí) la corriente en la resistencia tiene una magnitud de 0.5 mA. 20. Un circuito resonante en paralelo tiene coo = 1 Mrad/s y (¡jo = 10. Si R = 5 kí2 encontrar: (a) L; (tí) la frecuencia arriba de aio para la cual [ Z ent I = 2 k fi; (c) la frecuencia para la cual ang Zent = —30°. 21. Utilizar buenas aproximaciones en el circuito de la figura 16.53 para: (a) determinar (tí) calcular Vj a la frecuencia resonante; (c) obtener Vj a una frecuencia que está 15 krad/s arriba de la resonancia.
■ F IG U R A 1 6 .5 3
22. (a) Aplicar la definición de resonancia a fin de encontrar
• -------
W V
----( 683
684 --------- V W
CAPITULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
24. D eterm inar e l ancho de banda de cada una de las curvas de respuesta que se mues tran en la figura 16.55.
F IG U R A 1 6 .5 5
25. Se sabe que un circuito resonante en paralelo tiene un ancho de banda de 1 M H z y una frecuencia de media potencia f \ = 5 . 5 kH z. (a) ¿Cuál es la frecuencia superior de media potencia (en Hz)? (b) ¿Cuál es la frecuencia resonante Jó del circuito? (c) ¿Cuál es el factor de calidad de) circuito cuando trabaja a su frecuencia de resonancia? 26. Se sabe que un circuito resonante en paralelo tiene un ancho de banda de I G H z y una frecuencia de media potencia f \ = 75.3 M H z. (a) ¿Cuál es la frecuencia superior de media potencia (en Hz)? (b) ¿Cuál es la frecuencia resonante/, del circuito? (c) ¿Cuál es el factor de calidad del circuito cuando trabaja a su frecuencia de resonancia? 27. (a) D ib u ja r la curva de respuesta en tensión de un circuito que tiene una frecuencia in fe rio r de media potencia de 1 000 rad/s, una frecuencia superior de media potencia de 4 000 rad/s y una m agnitud de tensión m áxim a de 10 V. (b) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito? (c) ¿Cuál es el ancho de banda del circuito? (d) ¿Cuál es el factor de calidad del circuito cuando funciona a la frecuencia resonante? jtT T y 28. (íí) Si el capacitor de 1 /xF de la figura 16.54 se sustituye con un capacitor de 330 pF, encontrar la frecuencia resonante del nuevo circuito, (b) V erificar la respuesta u ti lizando PSpice. (Sugerencia: U tiliz a r la fuente V A C y sim ular sobre v arias décadas de frecuencia.) 0
[ E p ^ -29. D iseñar un c irc u ito RLC en paralelo que tenga un ancho de banda de 5.5 k H z y una frecuencia in fe rio r de m edia potencia de 500 Hz. V erificar el diseño con una sim u lación en PSpice apropiada.
16.3 Resonancia en serie 30. U n c irc u ito serie se construye a p a rtir de dos resistencias de 5 f i , cuatro inductores de 100 /xH y un capacitor de 3.3 /xF. (á) C alcular la frecuencia resonante del c ir cuito. (b) C alcular el factor de calidad del c irc u ito cuando se opera a la frecuencia resonante, (c) D eterm inar la im pedancia de entrada a la frecuencia resonante, a 0.1 veces la frecuencia resonante y 10 veces la frecuencia resonante. 31. Si se sabe que un c irc u ito en serie tiene un ancho de banda de 3 M H z , y una fre cuencia in fe rio r de m edia potencia f \ = 17 kH z, determ inar (a) la frecuencia supe rio r de m edia potencia (en H z); (b) la frecuencia resonante /o del circuito ; (c) el factor de calidad del c irc u ito cuando se opera a la frecuencia resonante. l t y i ^ -32. (a) D eterm inar la im pedancia de un c irc u ito RLC en serie (R = t SÍ, ñ = 1' m H , C = 2 m F) cuando opera a la frecuencia resonante. ( b) V erifica r la solución con una sim ulación PSpice apropiada. (Sugerencia: U na resistencia de gran valo r en paralelo con el capacitor evitará la aparición de mensajes de error asociados con la fa lta de una trayectoria de cd a tierra.) 33. (a) D eterm inar la im pedancia en un c irc u ito RLC en serie (R = 1 k£2, L = 1 /zH, C = 2 /zF) cuando opera a la frecuencia resonante, (b) V erifica r la solución con una
EJERCICIOS simulación PSpice apropiada. (Sugerencia: U na resistencia de gran valor en para lelo con el capacitor evitará la aparición de mensajes de error asociados con la falta de una trayectoria de cd a tierra.) 34. (a) Aplicar técnicas aproximadas para graficar | Vsal | en función de co para el cir cuito de la figura 16.56. (b ) Calcular el valor exacto de Ysai aa> = 9 rad/s. i a
3ü
6H
35. Una red resonante en serie consiste en una resistencia de 50 fi resistor, un inductor de 4 mH y un capacitor de 0.1 /¿F. Calcular los valores de: (a) coq-, (b) /o ; (c) Q o; (d) B\ (e) o cm\ g Vent a 45 krad/s; (h) la razón de las magnitudes de la im pedancia del capacitor y la im pedancia del resistencia a 45 krad/s.
)\;(/)
()
36. Después de obtener Vent(s) en la figura 16.57, determinar: -
(a) coo; ib) Qq.
+
37. Inspeccionar el circuito de la figura 16.58 y observar la amplitud de la tensión de la fuente. Decidir si estaría dispuesto a poner sus manos desnudas en los extremos del capacitor, si el circuito se construyera realmente en el laboratorio. Graficar | Vcl en función de w para justificar su respuesta. 10 £2
38. Cierto circuito resonante en serie tiene /o = 500 Hz, Qo = 10 y X i = 500 fi en resonancia, (a) Determ inar R, L y C. (h ) Si una fuente Y s = 1/ÍT V se conecta en serie con el circuito, proporcionar los valores exactos de |V cl a las frecuencias / = 450, 500 y 550 Hz. 39. Una red de tres elementos tiene una im pedancia de entrada Z(s) que muestra polos en s = 0 y el infinito, así como un par de cero en s = - 2 0 0 0 0 ± /8 0 0 0 0 s“ : . E s pecificar los valores de los tres elementos, si Zent(—10000) = —20 + jO fi.
16.4 Otras formas resonantes 40. Efectuar unas cuantas aproximaciones razonables en la red de la figura 16.59 y obtener los valores de coq, Q o , B ,Z mt(jwo), y Zent(j99000), 41. ¿Qué valor de la resistencia debe conectarse en los extremos de la entrada de la red de la figura 16.59 para provocar que tenga una Qo de 50?
•-----------W V
A /W
-•
CAPÍTULO 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA
42. Observar la red de la figura 16.60 y utilizar técnicas aproximadas para determinar la m agnitud mínim a de Z ent y la frecuencia a la cual ocurre.
3
mH
1.5 mH
0.3 Í2
sa tn
0.1 o. -A A /^ n : 2 /í F
8/zF
■ F IG U R A 1 6 .6 0
43. En el circuito de la figura 16.61: (a) preparar una curva de respuesta aproximada de | V| en función de cú, y (b) calcular el valor exacto de V en cú = 50 rad/s.
1 £2
44. (a) U tilizar métodos aproximados para calcular |VX|
20 kíi A W -------
1/0^ V
: 2 jj-\:
F IG U R A 1 6 .6 2
45. Se construye una combinación en paralelo de una resistencia de 5 kS2 y un capacitor de 1 /xF. Determinar un equivalente conectado en serie si la frecuencia de operación co es (a) 103 rad/s; (b) 104rad/s; (c) 105rad/s. 46. Se construye una combinación en serie de una resistencia de 5 kST2 y un capacitor de 1 ¡j,F. Determinar un equivalente conectado en paralelo si la frecuencia de opera ción co es (a) 103 rad/s; (b) 104 rad/s; (c) 105rad/s. 47. Se construye una combinación en serie de una resistencia de 470 £2 y un inductor de 3.3 /zH. Determ inar un equivalente conectado en serie si la frecuencia de operación co es (a) 103 rad/s; (b) 104rad/s; (c) 105rad/s. 48. Se construye una combinación en paralelo de una resistencia de 470 ST2 y un induc tor de 3.3 H. Determinar un equivalente conectado en paralelo si la frecuencia de operación co es (a) 103 rad/s; (b) 104rad/s; (c) 105 rad/s.
EJERCICIOS Í^]V 49. (a) En el circuito de la figura 16.63. aplicar métodos aproximados para calcular |V, | a / = 1.6 MH/. (b) Calcular el valor exacto de IV* 0' 10 x 106)|. (c) Verificar los resultados con una simulación PSpice apropiada. 470 Ci
1 6 .5
E s c a la m ie n to (o a ju s te )
50. El filtro que se muestra en la 16.64a tiene la curva de respuesta que se indica en la figura 16.64Í. (a) Ajustar el filtro de manera que opere entre una fuente de 50 £2 y una carga de 50 Í2 además de tener una frecuencia de corte de 20 kHz. (b) Dibujar la nueva curva de respuesta. 100 fií
9.82 /¿H
31.8 /¿H
9.82 /¿H
|Vlal| (V) 50
-/(MHz)
3 FIGURA 16.64
51. (a) Determinar Zent(s) de la red de la figura 16.65. (b) Escribir la expresión de Zenl(s) después de que se haya ajustado mediante Km = 2 , K f = 5. (c) Ajustar los elementos en la red mediante K m = 2, = 5, y dibujar la nueva red.
^ern (S) '
H FIGURA 16.65
0
A/W
■« CAPÍTULO16 RESPUESTAENFRECUENCIA 52. (a) Utilizar aproximaciones apropiadas a fin de determinar a>o y <2o en el circuito de la figura 16.66. (b) Ajustar la red a la derecha de la fuente, de manera que sea resonante a 1 Mrad/s. (c) Especificar cüq y B del circuito ajustado. 1 £2
1 /¿F
53. (a) Dibujar la nueva configuración de la figura 16.67, después de que la red se ajuste mediante Km = 250 y K f = 400. (b) Determinar el equivalente de Thévenin de la red ajustada c n w = I krad/s. 2H
54. Una red compuesta en su totalidad por elementos ideales] R ’s, L ’s, y C tiene un par de terminales de entrada al que se conecta una fuente de corriente senoidal I* así como un par de terminales de salida en circuito abierto en donde se define una ten sión Vsaj. Si I, = 1 /£ A en a¡ = 5 0 rad/s, entoncesVsai = 30/25° V. Especificar Vsai para cada condición descrita de la manera siguiente. Si es imposible determinar el valor de Vsai, escribir OTSK.5 (a) I, = 2¿CP_A en a¡ = 50 rad/s; (tí) I, = 2/40° A en co = 50 rad/s; (c) Ij = 2/40° A en 200 rad/s; (d) la red está ajustada en Km = 30, Is = 2/4(P A, ct) = 50 rad/s; (e) Km = 30, Kf = 4, Is = 2/401 A, o = 200 rad/s. 1 6 .6 D i a g r a m a s d e B o d e
55. Determinar H¿% si H(s) es igual a: (a) 0.2; (b) 50; (c) 12/(s + 2) + 26/(s + 20) paras = y 10. Proporcionar |H(s)| si fldB es igual a: (d) 37.6 dB; (e) —8 dB; ( /) 0.01 dB. r^!ík-56. Dibujar la gráfica de amplitud de Bode de (a) 20(s + l)/(s + 100)£ ib) 2000s(s + 1)/ (s + 100)2; (c) s + 45 + 200/s. (d) Verificar sus dibujos utilizando MATLAB. 57. De acuerdo con la figura 16.68, elaborar los diagramas de Bode de amplitud y de fase de la función de transferencia, H(s) = V c/Ij •
(5) Sólo las sombras conocidas.
EJERCICIOS • " 58. (a) Empleando un origen en co = 1, A/dB = 0, construir la gráfica de amplitud de Bode de H(s) = 5 x 108s(s + 100)/[(s + 20)(s + 1000)3]. ib) Proporcionar las coordenadas para todas las esquinas y ordenadas al origen sobre la gráfica de Bode, (c) Proporcionar el valor exacto de 20 log |H(ja>)| para cada frecuencia de esquina del inciso b. 59. (a) Construir una gráfica de fase de Bode de H(s) = 5 x 10ss(s + 100)/[(s + 20) (s + 1 000)3]. Ubicar el origen en co = 1, ang = 0°. (b) Indicar las coordenadas para todos los puntos sobre la gráfica de fase en las que cambie la pendiente, (c) Indicar el valor exacto de angHl jco) para cada frecuencia listada en el inciso b. -60. (a) Construir un diagrama de magnitud de Bode de la función de transferencia H(s) = 1 + 20/s + 400/s2. ib) Comparar el diagrama de Bode y los valores exac tos en a) = 5 y 100 rad/s. (c) Verificar el diagrama de Bode con MATLAB. 61. (a) Determinar H(s) = VR¡ \ s para el circuito de la figura 16.69. (b) Dibujar los diagrama de amplitud de Bode y el de fase de H(s). (c) Calcular los valores exactos de //dB y ang H(jco) en co = 20 rad/s. 62. Construir un diagrama en amplitud de Bode de la función de transferencia H(s) = Vsai/Vent de la red que se muestra en la figura 16.70.
I ¡ jf
63. Para la red de la figura 16.71: ia) Calcular H(s) = Vsai/Ve„t; ib) Dibujar el dia grama en amplitud de Bode de H¿B; (c) dibujar el diagrama de fase de Bode de H (Jto).
100k£)
1 6 .7
100k£2
F iltr o s
64. El intervalo de frecuencia de audio del delfín nariz de botella se extiende desde aproximadamente 250 Hz hasta 150 kHz. Se cree que se usan, sobre todo en las comunicaciones sociales, frecuencias de entre 250 Hz y ~ 50 kHz y que los “clicks” (chasquidos) con frecuencias mayores de ~4 0 kHz se emplean principalmente para localizaciones por medio del eco. Diseñar un circuito para amplificar de manera
a FIGURA 16.69
A/VV-
A/W
CAPÍTULO 16
©
©
©
©
E F ©
RESPUESTAENFRECUENCIA
selectiva las conversaciones sociales de los delfines. El método para construir el micrófono es una fuente de tensión senoidal con amplitud pico menor de 15 mV en serie con una resistencia de 1 £2. La tensión entregada al audífono de 1 k£2 debe tener un máximo aproximado de 1 V. 65. Diseñar un circuito con filtro que elimine el intervalo completo de frecuencias audibles para el oído humano (de 20 Hz a 20 kHz), pero que permita el paso de señales de frecuencias inferior y superior. Verificar el diseño con PSpice. 66. Diseñar un circuito con filtro que elimine toda señal con una frecuencia mayor o igual a 1 kHz. Verificar el diseño utilizando PSpice. 67. Un micrófono que es muy sensible a las altas frecuencias se utiliza para detectar ciertos tipos de fallas inminentes de motores de avión, aunque también capta ruido de baja frecuencia de los sistemas hidráulicos de las aletas del alerón, lo cual provoca falsas alarmas. Diseñar un circuito con filtro para eliminar las señales de ruido mientras se amplifican de manera selectiva las señales de alta frecuencia en por lo menos un factor de 100. La señal de ruido de baja frecuencia tiene su energía pico en la vecindad de 20 Hz y cae hasta menos de 1% de su máximo en 1 kHz. Las señales de falla del motor se inician en la vecindad de 25 kHz. 68. Completar el diseño que se explicó en la aplicación práctica, (a) Iniciar diseñando una etapa de intervalo intermedio adecuada. (b) Simular la respuesta en frecuencia de su circuito variando la resistencia de retroalimentación entre sus valores mínimo y máximo. 69. A pesar de que se suele aceptar que la respuesta auditiva humana se encuentra den tro del intervalo de 20 Hz a 20 kHz, el ancho de banda de muchos sistemas telefóni cos se limita a 3 kHz. Diseñar un circuito con filtro que convierta el habla de ancho de banda de 20 kHz en un habla de “ancho de banda telefónica” de 3 kHz. La en trada es un micrófono con una tensión máxima de 150 mV y, esencialmente, una re sistencia en serie igual a cero; la salida corresponde a un altavoz de 8 £2. El habla debe amplificarse al menos por un factor de 10. Verificar el diseño con PSpice. 70. Diseñar un circuito que elimine las componentes de 50n Hz de una señal de antena, si n es un entero en el intervalo de 1 a 4. Una buena topología de filtro “de muesca” (es decir, un filtro que “elimina o bloquea” una frecuencia particular) está dada por el circuito de la figura 16.39, pero con la salida tomada en este caso a través de la combinación en serie del inductor-capacitor, y no a través de la resistencia. El mo delo de la señal de la antena es una fuente variable en el tiempo de amplitud máxi ma igual a 1 V, con resistencia en serie igual a cero. 71. Una pieza sensible de equipo de monitoreo se ve afectada seriamente por el ruido inducido en la línea de transmisión eléctrica de 60 Hz que contamina las señales entrantes. La naturaleza de las señales evita el uso de cualquier tipo de filtros pasabajas, pasaaltas o pasabandas para solucionar el problema. Diseñar un filtro “de muestra” (bloqueo) que elimine de manera selectiva cualesquiera señales a 60 Hz provenientes de la entrada del equipo. Se podría suponer que el equipo tiene una resistencia equivalente de Thévenin esencialmente infinita. Una buena topología del filtro “muesca” se indica mediante el circuito de la figura 16.39, aunque con la salida tomada ahora a través de la combinación en serie del inductor-capacitor, y no a través de la resistencia.
Redes de dos puertos CONCEPTOS CLAVE
INTRODUCCION
Distinción entre redes de
Una red general que cuenta con dos pares de terminales, uno deno
uno y de dos puertos.
minado “terminales de entrada” y el otro “terminales de salida”, es un bloque constitutivo muy importante de los sistemas electróni
Parámetros de admitancia (y).
cos, de comunicación, de control automático, de transmisión y dis tribución u otros sistemas en los que la señal o la energía (ambas
Parámetros de impedancia (z).
eléctricas) ingresan por las terminales de entrada, donde la red ac túa sobre ellas y se va por las terminales de salida. El par de termi
Parámetros híbridos (h).
nales de salida se debería conectar perfectamente con el par de ter minales de entrada de otra red. Cuando se estudió el concepto de
Parámetros de transmisión (t).
las redes equivalentes de Thévenin y Norton en el capítulo 5, se presentó la idea de que no siempre es necesario conocer las funcio
Métodos de transformación
nes detalladas de una parte de un circuito. Este capítulo amplía
entre parámetros y, z, hy t.
conceptos de este tipo a situaciones en las que incluso no se cono cen los detalles de las funciones internas del circuito. Equipados sólo con el conocimiento de que el circuito es lineal, y con la capa cidad de medir tensiones y corrientes, se verá dentro de poco que es posible determinar las características de redes de esta clase con un conjunto de parámetros que permita predecir cómo interactuará la red con otras redes.
17.1 , REDES DE UN PUERTO Un par de terminales en las que es posible que entre o salga una señal de una red recibe el nombre de p u erto , por lo que la red que sólo cuenta con un par de este tipo de terminales se conoce como red de un puerto o simplemente de un puerto. Quizá no se puedan rea lizar conexiones con cualesquiera otros nodos internos al puerto tínico y, por lo tanto, es evidente que ia debe ser igual a ib en el puerto único que se muestra en la figura 17.1a.
Técnicas de análisis de circuitos utilizando parámetros de red.
AA/V
(a)
\
*
! FIGURA 17.1 dos puertos.
(b) (a) Red de un puerto. (b) Red de
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS Cuando se presenta más de un par de terminales, la red se conoce como red m ultipuerto. La red de dos puertos a la cual se dedica en gran medida este capítulo se ilustra en la figura 17. lb. Las com entes en los dos hilos de conexión que con forman cada puerto deben ser iguales y, por ello, se concluye que ia = i¡, e ic = ¡d en los dos puertos de la figura 11. Ib. Las fuentes y las cargas deben conectarse en forma directa en las dos terminales de un puerto si se van a utilizar los métodos de este capítulo. En otras palabras, se conecta cada puerto sola mente a una red de un puerto o a un puerto de otra red multipuerto. Por ejemplo, ningún dispositivo se debería conectar entre las terminales a y c de la red de dos puertos de la figura 11.1b. Si se requiere analizar un circuito de estas caracterís ticas, deberán escribirse ecuaciones de lazo general o nodales. Los métodos especiales de análisis desarrollados para las redes de dos puer tos, o simplemente dos puertos, subrayan las relaciones de corriente y de ten sión en las terminales de las redes y pasan por alto la naturaleza específica de las corrientes y de las tensiones dentro de las redes. El estudio introductorio servirá para que el lector se familiarice con varios de los parámetros importan tes y de uso para la simplificación y la sistematización del análisis de redes li neales de dos puertos. Una parle del estudio introductorio de las redes de uno y de dos puertos se lle va a cabo de mejor manera mediante el uso de una notación de red generalizada y la nomenclatura abreviada para determinantes que se presentan en el apéndice 2. De tal modo, si se escribe un conjunto de ecuaciones de lazo de una red pasiva, Z n li +
Z 12I 2+
Z 13I 3 +
■
Z ijvI jv = Vi
Z 21I 1 +
Z 22I 2+
Z 23I 3 + •
Z in In = V 2
Z 31I ] +
Z 32I 2+
Z 33I 3 +
Z 3jvL v = V 3
■
Z j v f f i + Z N 2 I 2 + ZAÍ3I3 H--------- 1- Z
jvjv I jv
[ 1]
= VN
entonces el coeficiente de cada corriente será una impedancia Z,j- (s), y el deter minante del circuito, o determinante de los coeficientes, es:
Az =
Z „
Z 12
Z 13
Z
Z 21
Z 22
Z 23
Z2W
Z 31
Z 32
Z 33
Z 3iV
Z
ZjV2
ZjV3
ati
' ' •
Z
iaí
[2]
atjv
donde se supusieron N lazos, las corrientes aparecen en el orden de los sub índices en cada ecuación, y el orden de las ecuaciones es el mismo que el de las com entes. Se supone también que se aplica la LKT, por lo que el signo de cada término Z,-,- ( Z n , Z 22 , • • - , Z , v;v ) es positivo; el signo de cualquier Z ,-; ( i / j ) o término mutuo puede ser positivo o negativo, según las direcciones de referen cia asignadas a I,- e I ;-, Si hay fuentes dependientes dentro de la red, entonces es posible que no to dos los coeficientes de las ecuaciones de lazo deberían ser resistencias o impe dancias. Aun así, se seguirá refiriendo al determinante del circuito como AzEl uso de la notación menor (apéndice 2) permite que la impedancia de en trada o del punto de accionamiento en las terminales de una red de un puerto se exprese de manera muy concisa. El resultado también se aplica a una red de dos puertos, si uno de ellos termina en una impedancia pasiva, incluyendo un cir cuito abierto o en cortocircuito.
sección ™
redes de un puerto
Supóngase que la red de un puerto de la figura 17.2 está compuesta en su to talidad por elementos pasivos y fuentes dependientes; también se supone linealidad. U na fuente ideal de tensión V i se conecta al puerto, y la fuente de corriente se identifica como la corriente en el lazo 1. Aplicando el procedimien to de la regla de Cramer, se tiene
V,
Z ]2
Z 13
0
Z 22
Z 23
0
Z 32
Z 33
'
La regla de Cramer se estudia en el apéndice 2.
Red Bneal
Z2 N
z 3AT
0
Z/Y2
ZjV3
Z 12
Z 13
Z 21
Z 22
Z 23
Z 31
Z 32
Z 33
■'
Z 3A/
Z
Z/y2
Z a /3
' ■’
Z WA'
ah
693
z ]N
Zn
li =
AA/V
•-
' •
Zaw
* FIGURA 17.2 Fuente ideal de tensión V, conectada a un solo puerto de una red lineal de un puerto que no contiene fuentes independientes;
Z 1AT
'
Z2A
Zent = Az/A]].
o, de modo más conciso,
_ ViAtl li
Az
Por lo tanto, Vi = Az li
[3]
Au
EJEM PLO
C alcu lar la im pedancia de e n tra d a de la red resistiva de un p u e rto que se m u e stra en la fig u ra 17.3. 20 n
A/W
■ FIGURA 17.3 Ejemplo de una red de un puerto que contiene elementos resistivos solamente.
Se asignan primero las cuatro corrientes de malla como se indica y se es criben, bajo inspección, las ecuaciones de malla correspondientes;
Vi = 10Ii - 10I2 0 = -- 101, + 17I 2 -2I3 0 = - 212 + 7 I3 0 =
-
5I2 -
514 14
la + 26I4 (Continúa en la siguiente página)
17.1
A /W
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
El determinante del circuito está dado entonces por 10 -1 0 0 0
Az
-1 0 17 -2 -5
0 -2 7 -1
0 -5 -1 26
\ tiene un valor de 9 680 Í24. Eliminando el primer renglón y la primera columna, se tiene 17 - 2 -5 An = -2 7 - 1 = 2 7 7 8 Í23 -5 -1 26 Por lo tanto, la ecuación [3] proporciona el valor de la impedancia de entrada: Zent =
m
=
3 .4 8 5 Í 2
P R Á C T IC A
17.1 Calcular la impedancia de entrada de la red que se muestra en la figura 17.4 si se form a en una red de un puerto al cortarla en las terminales: (a) a y a ';(b ) b y b ';(c) c y c'. 20
Respuestas: 9.47 £2; 10.63 £2; 7.58 £2.
•------ ---------------------------------EJEM PLO
----------
17.2 C alcu lar la im pedancia de en trad a de la red que se m uestra en la figura 17.5. 0 .51a
H FIGURA 17.5
Red de un puerto que contiene una fuente dependiente.
------
SECCIÓN17.1 REDESDEUNPUERTO *
Las cuatro ecuaciones de malla se escriben en términos de las cuatro co rrientes de malla asignadas:
10I.Í - 10I2
= Vf
- lO I i + 17I2 - 2I 3 - 514 = 0 -
2I 2 + 7 I 3 -
14 = 0
y I4 = -0.51a = —0.504 - 13) o
-O .5I 3 + I .5I4 = 0 Por lo tanto, se engibe 10 10 0 0
-1 0 17 -2 0
0 -2 7 - 0 .5
0 -5 -1 1.5
mientras que 17 -2 0 lo cual da como resultado An =
-2 7 - 0 .5
-5 = -1 1.5
_ 590 _ Zent — 159 ~ 3.711 Q
También se debe elegir un procedimiento similar con ecuaciones nodales, lo que da como resultado la admitancia se entrada 1 Y e„t =
= - = ¿ent
Ay -p A n
[4 ]
donde A n se refiere en este caso al menor de Ay.
17.2 Escribir un conjunto de ecuaciones nodales para el circuito de la figura 17.6, calcular Ay, y encontrar después la admitancia de entrada que se observa entre: (a) el nodo 1 y el nodo de referencia; (b) el nodo 2 y la referencia. 2uS
Respuesta: 10.68 S; 13.16 S.
■ wv
A /Vv
■«
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
---------- —^------------------------------------*-------- w--- ---- -- 'H EJEM PLO
17.3 A plicar la ecuación [4] p a ra d e term in a r de nuevo la im pedancia de en tra d a de la red de la figura 17.7.
20 Q
Se ordenan primero las tensiones de nodo Vi, V 2 y V 3 de izquierda a dere cha, se elige la referencia en el nodo inferior y se escribe, con detenimiento, la matriz de admitancia del sistema: 0.35 - 0 .2 -0 .0 5
Ay =
A n =
- 0 .2 1.7 -1 1.7 -1
-0 .0 5 -1 = 0.3473 S3 1.3 -1 = 1.21 Sz 1.3
por lo que 0.3473 Ye„t = - ^ r = 0.2870 S lo cual corresponde a Yent =
0.287
= 3.484 £2
que concuerda con la respuesta anterior dentro del error de redondeo espera do (sólo se retuvieron cuatro dígitos a lo largo de los cálculos).
Los ejercicios 8 y 9 al final del capítulo proporcionan puertos únicos que se construyen con amplificadores operacionales e ilustran que las resistencias ne gativas podrían obtenerse de redes cuyos únicos elementos de circuito pasivos son resistencias, y que simularían los inductores sólo con resistencias y con ca pacitores.
17.2 , PARÁMETROS DE ADMITANCIA________________ A continuación se enfocará la atención en las redes de dos puertos. Se supondrá en todo lo que sigue que la red está compuesta por elementos lineales y que no contiene fuentes independientes; sin embargo, se permiten las fuentes dependien tes. También se impondrán otras condiciones a la red en algunos casos especiales.
SECCION 17.2 PARÁMETROSDEADMITANCIA • ---Se considerarán los dos puertos como se indica en la figura 17.8; la tensión y la corriente en las terminales de entrada son Vi e Ij, además V2 e I2 se especifican en el puerto de salida. Las direcciones de li e I2 suelen elegirse como si entraran a la red en los conductores superiores (y salen de los conductores inferiores). De bido a que la red es lineal y no contiene fuentes independientes dentro de ella, I¡ se debe considerar como la superposición de dos componentes, una ocasionada por Vi y la otra por V2. Cuando se aplica el mismo argumento a I2, se empezaría con el siguiente conjunto de ecuaciones: li = y iiV i + y n V 2
[5]
= y 2 i V i + y 22V 2
[ 6]
t
'VW---------( 697
I FIGURA 17.8 El dos-puertos general con tensiones y corrientes de terminal específicas. El dospuertos está compuesto por elementos lineales que tal vez incluyan fuentes dependientes, pero sin ninguna fuente independiente.
donde las y no son más que constantes de proporcionalidad, o coeficientes des conocidos, en el presente. Sin embargo, resulta claro que sus unidades de di mensión deben ser A/V o S. Por lo tanto, reciben el nombre de parámetros y y se definen mediante las ecuaciones [5] y [6]. Los parámetros y así como otros conjuntos de parámetros que se definirán después en este capítulo, se representan en form a concisa como matrices. En este caso, se define la matriz columna I, (2 x 1) 1 =
[71
la matriz cuadrada (2 x 2) de los parámetros y
y=
>11
y n '
_ y 2i
y 22 .
[ 8]
y la matriz columna V, (2 x 1):
La notación adoptada en este texto para representar una matriz es estándar, pero también puede confun
V=
'V i '
.v 2_
[9]
Por lo tanto, se puede espribir la ecuación matricial I = yV, o
'Ir -I 2 .
'yn _y2i
yn' ' v r y22. . v 2_
y la multiplicación de matrices del lado derecho de la ecuación matricial, da la igualdad ir
y n V i + y i2V2
. 12.
_y2iVi + y22V2 _
Estas matrices (2 x 1) deben ser iguales, elemento por elemento; de ese modo se llega a las ecuaciones definidas [5] y [6], La manera más útil e informativa de relacionar un significado físico con los parámetros y es a través de una inspección direc ta de las ecuaciones [5] y [6], Con siderar la ecuación [5], por ejemplo; si sb deja que V2 sea cero, se ve entonces que yn debe determinarse mediante la proporción (o razón) entre li y Vi. Por lo tanto, se describe y n como la admitancia que se mide en las terminales de entrada con las terminales de salida en cortocircuito (V2 = 0). Debido a que no es posible que haya duda en cuanto a las terminales que están en cortocircuito, yn se describe mejor como la admitancia de entrada en cortocircuito. De manera alterna, se po dría describir yn como el recíproco de la impedancia de entrada medida con las ter minales de salida en cortocircuito, aunque evidentemente resulta más directo una
dirse fácilmente con la notación anterior para los fa sores o las cantidades complejas generales. La natu raleza de cualesquiera de estos símbolos debe ser clara según el contexto en el que se usan.
A A /V
CAPITULO17 REDESDEDOS PUERTOS descripción como una admitancia. No es el nombre del parámetro que es lo impor tante. Más bien, son las condiciones que deben aplicarse a las ecuaciones [5] o [6] y, por consiguiente, a la red, lo que tiene mayor sentido; cuando se determinan las condiciones, el parámetro se obtiene de manera directa a partir del análisis del cir cuito (o mediante experimentos sobre el circuito físico). Cada uno de los paráme tros y se podría escribir como una proporción (o razón) corriente-tensión con Vi = 0 (las terminales de entrada en cortocircuito) o V? = 0 (las terminales de salida en cortocircuito):
I
yn y y
[10]
Vi v2=o
=
y>2
ii_ v 2 v,=o
[11]
I2
[12]
V, V2=0
I2
[13]
V2 Vi=0
Puesto que cada parámetro es una admitancia que se obtiene poniendo en corto circuito el puerto de salida o el de entrada, los parámetros y se conocen como p a r á m e t r o s d e a d m i t a n c i a e n c o r t o c i r c u i t o . El nombre específico de y n es a d m i t a n c i a d e e n t r a d a e n c o r t o c i r c u i t o ; el de y22 admitancia de salida en corto circuito; y los de y ^ y y2i admitancias de transferencia en cortocircuito.
EJEM PLO
17.4 D eterm in ar los cu atro p arám etros de ad m itancia en cortocircuito de los dos puertos resistivos de la figura 17.9.
FIGURA 17.9 Dos puertos resistivos.
Los valores de los parámetros se establecen con facilidad aplicando las ecuaciones [10] a [13], que se obtuvieron de manera directa a partir de las ecuaciones de definición (o definidas) [5] y [6], Para determinar yn se pone en cortocircuito la salida y se encuentra la proporción (o razón) entre li y Vi. Lo anterior se efectúa si V | = 1 V, pues en ese caso y 11 = L . Por inspección de la figura 17.9, resulta claro que 1 V aplicado a la entrada, con la salida en cortocircuito, ocasionará una corriente de entrada de (¿ + L ) , 0 0.3 A. Por consiguiente, yn = 0.3 S Para determinar y 12 se ponen en cortocircuito las terminales de entrada y se aplica 1 V en las terminales de salida. La corriente de entrada circula por el cortocircuito y es ^ A. Por lo tanto, y 12 = -
0.1 S
Mediante métodos similares;
y2i = —0.1 S
y22 = 0 .15S
Por lo tanto, las ecuaciones que describen este dos-puertos en términos de los parámetros de admitancia son
Íi = 0.3Vi - 0 .IV2
[14]
I2 =
[1 5 ]
-0 .1 V , + 0 .1 5 V 2
SECCION17.2 PARAMETROSDEADMITANCIA #-
0.3 - 0 .1
y=
- 0 .1 0.15
A/W
699
(todo S)
Sin embargo, no se requiere encontrar estos parámetros uno por uno mediante las ecuaciones [10] y [13]. Se podrían determinar al mismo tiempo.
EJEM PLO
A signar las tensiones de nodo V i y \ 2 en el dos-puertos de la figura 1 7 .9 y escrib ir las expresiones de Ji e L» e n tér m inos de ellos. Se tiene V,
Il = y
+
V, - v 2 1Q = 0.3V, - 0 .1V2
V2 - Vi Ia =
-
v2
¡ Ó - ¡ P 2 Ó ^ 0 . 1 V 1 + 0 .1 5 V 2
Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones [14] y [15], y los cuatro parámetros y pueden leerse de manera directa a partir de ellas. P R A C T I C A __________ ____
____ _
_ ____
17.3 Aplicando las fuentes de 1 V y los cortocircuitos apropiados al circuito de la figura 17.10, encontrar: (a) y n ; (b) y2i; (c) y22; (d) y ]2.
20 Q
Respuestas: 0.1192 S; -0 .1 1 1 5 S; 0.1269 S; -0 .1 1 1 5 S.
En general, resulta más fácil utilizar las ecuaciones [10], [11], [12] o [13] cuando sólo se desea un parámetro. Sin embargo, si se necesitan todos, suele ser más fácil asignar Vj y V2 a los nodos de entrada y salida, asignar otras tensiones de nodo de referencia a cualesquiera nodos interiores, y después buscar la solu ción general. Para observar el uso que podría darse a tal sistema de ecuaciones, es necesa rio terminar ahora cada puerto con alguna red específica de un puerto. Considerar
17.5
■ v w
■#
CAPÍTULO 17
REDESDEDOSPUERTOS I,
--------------------------- -— w
15 A
^
10 £2 <>
I,
. — r
+
10 £2
Vl
> 5 £2 > > 20 £2 >
+ v2 <
■ FIGURA 1 7 .11 Red resistiva de dos puertos de la figura 17.9, que terminan en redes específicas de un puerto.
la red simple de dos puertos del ejemplo 17.4 que se muestra en la figura 17.11 con una fuente de corriente práctica conectada al puerto de entrada y una carga resistiva al puerto de salida. En este caso debe existir una relación entre Vi e Ij que es independiente de la red de dos puertos. Se podría determinar esta relación únicamente a partir de este circuito externo. Si se aplica LKC (o se escribe una ecuación nodal) a la entrada
Ij = 15 -0 . IV! En la salida, la ley de Ohm origina I2 = —0.25V2 Al sustituir estas expresiones para li e I2 en las ecuaciones [14] y [15], se tiene 15=
0.4Vi — 0.1 V2
0 = - 0 .1 Vi + 0 .4 V2 de las cuales se obtiene V i= 4 0 V
V2 = 10V
Las corrientes de entrada y salida se determinan también con facilidad: li = 11 A
I2 = —2.5 A
y se conocen de ese modo las características terminales completas de ambos puertos resistivos. Las ventajas del análisis del dos-puertos no se muestran en toda su magnitud en un ejemplo tan simple, aunque debe resultar claro que una vez que se deter minan los parámetros y para el dos-puertos más complicado, se establece con fa cilidad el desempeño del dos-puertos para condiciones de terminales diferentes; sólo se requiere relacionar Vi con l i en la entrada y V2 con I2 en la salida. En el ejemplo que se acaba de terminar, se encontró que y 12 y y21 eran ambas iguales a —0.1 S. No es difícil demostrar que la igualdad se obtiene también si están contenidas tres impedancias generales Z¿, Z b y Z c en esta red en n . R e sulta un poco más difícil determinar las condiciones específicas necesarias para que y i2 = y2i , aunque el uso de la notación de determinantes proporciona cierta ayuda. Se verá si las relaciones de las ecuaciones [10] y [13] pueden expresarse en términos del determinante de la impedancia y sus menores. Debido a que el interés se concentra en el dos-puertos y no en las redes es pecíficas con las que terminan, se dejará que Vi y V2 se representen mediante dos fuentes de tensión ideales. La ecuación [10] se aplica si V2 = 0 (poniendo por ello en cortocircuito la salida) y se calcula la admitancia de entrada. Sin em bargo, la red en este caso es simplemente un puerto, y la impedancia de entrada de un puerto se determinó en la sección 17.1. Se elige el lazo 1 para incluir las terminales de entrada y se deja que li sea la corriente del lazo; se identifica (—12) como la corriente de lazo 2 y se asignan las corrientes del lazo restantes
SECCIÓN17,2 PARÁMETROSDEADMITANCIA * de cualquier manera conveniente. Por lo tanto, Z ent II
- AZ
t,V 2=ü “
An
y, por ello, yn =
An Az
De manera similar, y22 =
A 22 Az
Para determinar y 12, sea Vi = 0 y se determina l i como una función de V2. Se descubrirá que li está dada por la razón
li =
0
Z 12
Z ijv
-V 2
Z 22
■ Z?AT
0
Z32
■ Z 3N
0
Z]V2
Z 11
Z 12
Z 21
Z 22
Z 31
Z32
Z jvi
Z]V2
Z
'
m
n
Z l jv '
Z 2;v Z 3aí
'
Znn
•
De tal modo, (-V ?')A 2i li = -
y i2
Az A 21
Az
De manera similar, se puede demostrar que A l2
y21 “
~Kz
La igualdad de y í2 y y2i depende entonces de la igualdad de los dos menores de A z, sea A 12 y A21. Ambos menores se determinan mediante
A21
A 12 =
Z 12
Z l3
Z 14
ZlAT
Z 32
Z 33
Z 34
Z3Ar
Z42
Z43
Z44
Z4Ar
Zaí2
Z ;v 3
Z^4
Z ívíV
Z2i
Z 23
Z24
Z 31
Z 33
Z 34
Z2;v Z3Ar
Z41
Z 43
Z44
Z4W
Z jvi
Z ;v 3
Z]V4
•
z ww
AA/V
CAPÍTULO17 REDESDEDOS PUERTOS Su igualdad se muestra cuando se intercambian primero los renglones y las columnas de un menor (por ejemplo, A 21), que es una operación que cualquier libro de álgebra elemental demuestra que es válida, y se sustituye después toda impedancia mutua Z¡j por Z;>-. Por lo tanto, se establece Z 12 — Z 21
Z 23 = Z 32
etc.
Esta igualdad de Z¡j y Zy, resulta evidente para los tres elementos pasivos fami liares: la resistencia, el capacitor y el inductor; también es válida para la inductancia mutua. Sin embargo, no es cierta para todo tipo de dispositivo que tal vez se desee incluir dentro de una red de dos puertos. De manera específica, no es válida en general en el caso de una fuente dependiente, ni en el de un sistema giratorio, en el de un modelo útil de los dispositivos del efecto Hall, ni en el de secciones de guías de onda que contienen ferritas. En un intervalo estrecho de frecuencias radia nes, el sistema giratorio proporciona un desplazamiento (corrimiento) de fase adi cional de 180° de una señal que pasa de la salida a la entrada con respecto a la señal en la dirección directa, y por lo cual yi2 = —>21 • Sin embargo, un tipo común de elemento pasivo que lleva a la desigualdad de Zy y Zy¡ es un elemento no lineal. Cualquier dispositivo para el que Z¡¡ = Zj¡ se le conoce como elemento bila teral, de modo que un circuito que contiene sólo elementos bilaterales se deno minará circuito bilateral. Por lo tanto, se ha demostrado que una propiedad importante de un dos-puertos bilateral es: y i 2 = y 2i
así que esta propiedad se enaltece estableciéndola como el teorema de reciprocidad: Una manera simple de enunciar el teorema consiste en afirmar que el intercambio de una fuente ideal de tensión y un amperímetro ideal en cualquier circuito pasivo, lineal y bilateral no variará la lectura de dicho
En cualquier red bilateral real pasiva, si la fuente de tensión simple V r en la ram a x produce la respuesta en corriente I v en la rama y, entonces la elimi nación de la fuente de tensión de la ram a x y su inserción en la ram a y pro duciría la respuesta en corriente I3, en la ram a x.
instrumento.
Si se hubiera trabajado con el determinante de la admitancia del circuito y se hu biera demostrado que los menores A 21 y A ¡2 del determinante de la admitancia A y eran iguales, entonces se habría obtenido el teorema de reciprocidad en su forma dual: En otras palabras, el intercambio de una fuente ideal de corriente y de un voltímetro ideal, en cualquier circuito pasivo, lineal y bilateral, no alterará la lectura de dicho instrumento.
En cualquier red bilateral pasiva, si la fúente de corriente sencilla Ix entre los nodos x y x ' causa la respuesta de tensión V v entre los nodos y y y', en tonces la eliminación (o remoción) de la fuente de corriente de los nodos x y x ' y su inserción entre los nodos y y y' ocasionaría la respuesta en tensión V,, entre los nodos x y x ' . En la sección 17.3 se hará énfasis en el dos -puertos que contiene fúentes depen dientes. P R Á C T IC A
___________________________
17.4 En el circuito de la figura 17.10, sean li e I2 representantes de fuentes ideales de corriente. Asignar la tensión de nodo Vi a la entrada, V2 a la salida y V* desde el nodo central hasta el nodo de referencia. Escribir tres ecuaciones nodales, eliminar V r para obtener dos ecuaciones y luego volver a reordenar en la forma de las ecuaciones [5] y [6], de manera que la totalidad de los cuatro parámetros y pueda leerse en forma directa en las ecuaciones.
SECCIÓN17.3 ALGUNASREDESEQUIVALENTES »
17.5 Determinar los parámetros y del dos-puertos que se muestra en la figura 17.12. ri
5a
. , T 0.1192 Respuestas: 17.4:
—0.11151 , 0 1269J ^
, c,
1:
r 0.6 L -0 2
0 1 ,. , 0 2 .P to d o S ).
117.5 . ALGUNAS REDES EQUIVALENTES_______________ Cuando se analizan circuitos electrónicos, suele ser necesario sustituir el dispositi vo activo (y quizá parte de su circuitería pasiva asociada) por un dos-puertos equivalente que contenga sólo tres o cuatro impedancias. Quizá la validez del equivalente se restrinja a amplitudes de señal pequeñas y a una sola frecuencia, o tal vez a un intervalo limitado de frecuencias. El equivalente también es una apro ximación lineal de un circuito no lineal. Sin embargo, si se trabaja con una red que contiene varios elementos tales como resistencias, capacitores e inductores, más un transistor denominado 2N3823, entonces no se puede analizar el circuito mediante cualesquiera de las técnicas estudiadas con anterioridad; el transistor debe sustituir se primero por un modelo lineal, de igual modo que se reemplazó el amp op por un modelo lineal en el capítulo 6. Los parámetros y proporcionan uno de estos mode los en la forma de una red de dos puertos que se usa a menudo a frecuencias eleva das. Otro modelo lineal común de un transistor aparece en la sección 17.5. Las dos ecuaciones que determinan los parámetros de admitancia en corto circuito ti = y i i V j + y , 2V2
[16]
h = ysiVi + y22V2
[17]
tienen la forma de un par de ecuaciones nodales escritas para un circuito con dos nodos de no referencia. La determinación de un circuito equivalente que origine las ecuaciones [16] y [17] se dificulta más por ia desigualdad, en general, de yi2 y y2i; ayuda el hecho de recurrir a un pequeño truco para obtener un par de ecua ciones que poseen iguales coeficientes mutuos. Sumar y restar yi2V i (el término que se desea ver presente en el lado derecho de la ecuación [17]): I 2— y i2Vi + y22V2 + (y2i —y i2)V]
[18]
¡2 — (y2i - y i2)V 1 = y i2V| + y22v 2
[19]
o
Los lados derecho de las ecuaciones [16] y [19] presentan ahora la simetría propia de un circuito bilateral; el lado izquierdo de la ecuación [19]se interpre taría como la suma algebraica de dos fuentes de corriente, una independiente I 2 que entra al nodo 2 , y la otra dependiente (y2i — y i2)Vi que sale del nodo 2 . Después de esto “se leerá” la red equivalente de las ecuaciones [16] y [19]. Se proporciona primero un nodo de referencia y después un nodo marcado V 1 y
A/W
A /W
CAPITULO17 REDESDEDOS PUERTOS
(b)
(a)
(c) ' FIGURA 17.13 (a, b) El dos-puertos equivalente a cualquier par de puertos lineales generales. La fuente dependiente en la parte a depende de V., y la correspondiente a la parteb depende de V2. (c) Equivalente de una red bilateral.
otro como V2. De acuerdo con la ecuación [16] se estableció que la corriente I¡ fluye hacia el nodo 1. se proporcionó una admitancia mutua (—y i2) entre los no dos 1 y 2, y se provee una admitancia de ( y n + y 12) entre el nodo 1 y el nodo de referencia. Con V2 = 0, la proporción entre li y Vi es entonces y n , como debe ser. Considerar ahora la ecuación [19]; se provoca que la corriente I2 fluya hacia el segundo nodo, que la corriente (y2i — yi2) V 1 salga del nodo, se observa que la admitancia propia (—yi2) existe entre los nodos, y se completa el circuito me diante la instalación de la admitancia (y22 + yi2) desde el nodo 2 hasta el de re ferencia. El circuito terminado se muestra en la figura 17.13a. Otra forma de una red equivalente se obtiene al restar y sumar y2l V2 en la ecuación [16]; este circuito equivalente se ilustra en la figura 17.) 3b. Si el dos-puertos es bilateral, entonces y 12 = y2i, y cualquiera de los equiva lentes se reduce a una simple red pasiva en n . Desaparece la fuente dependiente. Este equivalente del dos-puertos bilateral se ilustra en la figura 17.13c. Son varios los usos que se les puede dar a estos circuitos equivalentes. En pri mer lugar, se logra mostrar que existe un equivalente de cualquier dos-puertos lineal complicado. No importa cuántos nodos o lazos estén contenidos dentro de la red; el equivalente no es más complejo que los circuitos de la figura 17.13. Uno de éstos quizá sea mucho más simple de usar que el circuito dado, si sólo interesan las ca racterísticas terminales de la red dada. La red de tres terminales de la figura 17.14a se conoce a menudo como un A de impedancias, en tanto que la que aparece en la figura 17.14b se conoce como un Y. Se podría sustituir una red por la otra, si se satisfacen ciertas relaciones es pecíficas entre las impedancias; asimismo, se establecerían estas interrelaciones mediante el uso de los parámetros y. Se observa que 1
y.w = y2i = ' FIGURA 17.14 La red en Á de tres terminales (a) y la red en Y de tres terminales (b) son equi valentes, si las seis impedancias satisfacen las condiciones de la transformación Y-A (o n-T) ecuaciones de la [20] a la [25].
1
1
Zi + Z2Z3/(Z2 + Z3) 1 _
z B
1
1
1
c
ZB
Z 2 + Z i Z 3 / ( Z i + Z 3)
y 22 = 77- + -T r = z
-Z 3 Z 1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1
SECCIÓN 17.3
ALGUNASREDESEQUIVALENTES •---------------V W
Estas ecuaciones pueden resolverse para Z A, Z¿¡ y Z c en términos de Zi, Z 2 y Z 3: Z 1Z 2 “I- Z 2Z 3 -j- Z 3Z 1
Z 1Z 2 + Z 2Z 3 + Z 3Z 1
Z¡ Z 1Z 2 + Z 2Z 3 + Z 3Z 1
[20] [21] [22]
o, en el caso de las relaciones inversas: Z
Zi =
z2= z, =
aZ
#
[23]
z A + Z B + Zc Z#Zc
[24]
Z a + Z£ + Zc Z
c
Z
a
El lector seguramente recordará estas útiles relaciones del capitulo 5, donde se describió su deducción.
[25]
Z¿ + Zg + Zc
Estas ecuaciones permiten transformar con facilidad las redes equivalentes Y y A , proceso que se conoce como transformación Y-A (o transformación Ü-T si las redes se dibujan en las formas de esas letras). Al ir de Y a A — o sea de la ecuación [20] a la [22]— , se encuentra primero el valor del numerador común como la suma de los productos de las impedancias en Y tomadas de dos en dos. Cada impedancia en A se determina después dividiendo el numerador entre la impedancia de ese elemento en Y que no tiene nodo común con el elemento A deseado. De manera inversa, dada A se obtiene primero la suma de las tres im pedancias alrededor de A; luego se divide el producto de las dos impedancias A que tienen un nodo común con el elemento Y deseado entre esa suma. A menudo, tales transformaciones resultan útiles para simplificar redes pasi vas, en particular las resistivas, lo cual evita la necesidad de cualquier análisis de malla o nodal.
/
........................................... C alcu lar la resistencia de e n tra d a del circuito que se presenta en la figura 17.15a.
■ FIGURA 17,15 (o) Red resistiva cuya resistencia de entrada se desea. Este ejemplo se repite en el capítulo 5. (b) La configuración A superior se sustituye por una Y equivalente, (c, d) Las combinaciones en serie y en paralelo proporcionan la resistencia de entrada equivalente de ® Í2. (Continúa en la siguiente página)
EJEMPLO
17.6
A /W
-•
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
Se efectúa primero la transformación A-Y en la conexión A superior de la figura 17.15a. L a suma de las tres resistencias que forman esta A es l + 4 + 3 = 8í2. El producto de las dos resistencias conectadas al nodo superior es 1 x 4 = 4 Í22. De esta forma, la resistencia superior de la Y es o 7 Í2. Al repetir este procedimiento para las otras dos resistencias, se obtiene la red de la figura 17.15b. A continuación se realizan las combinaciones en serie y en paralelo indicadas, con lo que se obtiene en sucesión las figuras 17.15c y d. De ese modo, la resistencia de entrada del circuito en la figura 17.15a se determina que es igual a o 2.24 Í2.
A continuación se abordará un ejemplo un poco más complicado, el cual se ilustra en la figura 17.16. Se observa que el circuito contiene una fuente depen diente y, por ello, no se aplica la transformación Y-A.
Se p o d ría co nsiderar que el circuito de la figura 17.16 es un equivalente lineal aproxim ado de un am plificador de transistores, en el que la te r m inal del em isor es el nodo inferior; la term inal de la base corresponde al nodo de e n tra d a superior, y la term inal del colector representa el nodo de salida superior. Se conecta u n a resistencia de 2 000 ñ entre el colector y la base p a ra cierta aplicación especial, lo cual perm ite que el análisis del circuito sea m ás difícil. D eterm in ar los p arám etro s (y) de este circuito. 2000 í l
*2
■ FIGURA 17 .16 Circuito equivalente lineal de un transistor en la configuración de emisor común, con retroalimentación resistiva entre el colector y la base.
Identificar el objetivo del problema. Utilizando el camino específico del problema para facilitar el análisis, uno se da cuenta de que se presenta una red de dos puertos y que se requiere de los parámetros y.
Recopilar la información conocida. La figura 17.16 muestra una red de dos puertos con Vi, li, V2 e I 2 ya indicadas y se proporciona el valor de cada componente.
Elaborar un plan. Son varias las formas en las que se podría considerar este circuito. Si se acepta que tiene la forma del circuito equivalente de la figura 17.13a, en tonces se podrían determinar de inmediato los valores de los parámetros y.
SECCIÓN17.3 ALGUNASREDESEQUIVALENTES ♦
Si el reconocimiento no es inmediato, entonces los parámetros y del dospuertos se determinarían aplicando las relaciones de las ecuaciones [10] a [13], También se podría evitar cualquier uso de los métodos del análisis de dos puertos y escribir de manera directa las ecuaciones del circuito, en la forma que se presenta. Esta opción parece ser la mejor en este caso.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Por inspección, se determina que —y2i corresponde a la admitancia de la resistencia de 2 k£2, y n + y 12 a la admitancia de la resistencia de 500 Q que la ganancia de la fuente de corriente dependiente corresponde a y2] - y 12, y, por último, y22 + yi2 a la admitancia de la resistencia de 10 kQ. Por consiguiente, se podría escribir
2000
y i2 =
500
yn -
y
12
y2i = 0.0395 + y i2
10000
y 22 =
y i2
Determinar si se requiere información adicional. Con las ecuaciones escritas como están, se observa que luego de que se calcula y 12 también se podrían obtener los parámetros y restantes.
Buscar la solución. Al introducir los datos en una calculadora, se obtiene y i2 =
- 2l X ) = - 0 -5 m S
y n — 500
2000)
(
^ 22 = 10000 ~ (
y2i
=
0 .0 3 9 5 +
2.5 mS
2000) =
(-¿ íS o o ) =
ms
39 m S
Entonces deben aplicarse las siguientes ecuaciones: 0 .5 V 2
i! =
2 .5 V ] -
I2 =
3 9 Y , + O .6 V 2
[2 6 ] [2 7 ]
donde se utilizan ahora unidades de mA, V y mS o kQ.
Verificar la solución. ¿Es razonable o esperada? Escribiendo en forma directa las dos ecuaciones nodales del circuito, se encuentra que ■V2
Vi I, =
Vi 0.5
2
_ 3 9 .5 V 1 + l 2 =
y , _ V, ^
-
t
I, = 2.5Vi - 0.5Y2
v2 + T i
O
I2 = 39V] + 0.6V2
lo que concuerda con las ecuaciones [26] y [27] que se obtuvieron de m a nera directa a partir de los parámetros y.
W v
-------------- ' 7 0 7
A/W
•
CAPÍTULO17 REDESDEDOS PUERTOS A continuación se recurrirá a las ecuaciones [26] y [27] para analizar el de sempeño del dos-puertos en la figura 17.16 bajo varias condiciones de operación diferentes. Proporcionar primero una fuente de corriente de 1/0^ mA en la en trada y conectar una carga de Ü.5 kQ (2 mS) en la salida. Por lo tanto, las redes terminadas resultan de un puerto y dan la siguiente información específica que relaciona a Ij con V : y a I 2 con V2: li = 1(para cualquier Vi)
I2 = —2V¡
Se tienen ahora cuatro ecuaciones con cuatro variables, V i , V 2, li e I 2. Al susti tuir las dos relaciones de un puerto en las ecuaciones [26] y [27], se obtienen dos ecuaciones que relacionan a V i y V 2 : 1 =
2 .5 V i -
0 .5 V 2
0 =
3 9 V i + 2 .6 V 2
Resolviendo, se observa que
V i= 0.1V li
V2 = —1.5 V
= 1 mA
I2 =
3
mA
Estos cuatro valores se aplican al dos-puertos que opera con una entrada estable cida (li = 1 mA) y una carga específica (RL = 0.5 kQ). A menudo, el desempeño de un amplificador se describe mediante la indica ción de unos cuantos valores específicos. Se calcularán cuatro de dichos valores para este dos-puertos con sus terminaciones. Se definirá y se evaluará la ganan cia de tensión, la ganancia de corriente, la ganancia de potencia y la impedancia de entrada. L a ganancia de tensión G y es
De acuerdo con los resultados numéricos, resulta fácil ver que G y = —15. La ganancia de corriente G / se define como
y se tiene G/ = 3 Se define y se calcula la ganancia de potencia Gp para una excitación senoidal supuesta. Se tiene f g , = R e H V ;i; ] = 4 5
P ent
R e [iV jI l]
El dispositivo podría recibir el nombre de amplificador de tensión, de corriente o de potencia, puesto que todas las ganancias son mayores que la unidad. Si se eliminara la resistencia de 2 kQ la ganancia de potencia aumentaría hasta 354. Muchas veces se requieren las impedancias de entrada y de salida del ampli ficador para que pueda conseguirse la transferencia de potencia máxima hacia o desde un dos-puertos adyacente. En esta caso se define la impedancia de entrada Zent como la proporción (o razón) entre la tensión y la corriente ambas de entrada Z ent = ^ li
= 0.1 kQ
SECCIÓN17.3 ALGUNASREDESEQUIVALENTES Ésta es la impedancia que se presenta en la fuente de corriente cuando se conecta la carga de 500 Q, en la salida. (Con la salida en cortocircuito, la impedancia de entrada es necesariamente 1/yi i, o sea 400 £2.) Debe observarse que la impedancia de entrada no puede determinarse susti tuyendo toda fuente por su impedancia interna y combinando después las re sistencias o las conductancias. En un circuito dado, un procedimiento de este tipo produciría un valor de 416 £2. El error, desde luego, proviene de considerar a la fuente dependiente como una fuente independiente. Si se supone que la im pedancia de entrada es numéricamente igual a la tensión de entrada producida por una com ente de entrada de 1 A, la aplicación de la fuente de 1 A origina cierta tensión de entrada Vi y la magnitud de la fuente dependiente (0.0395Vi) no puede valer cero. Se debe recordar que cuando se obtiene la impedancia equi valente de Thévenin de un circuito con una fuente dependiente, junto con una o más fuentes independientes, se deben sustituir las fuentes independientes por cortocircuitos o circuitos abiertos, aunque una fuente dependiente no puede su primirse. Desde luego, si la tensión o la corriente de la que depende la fuente dependiente es cero, estará inactiva; en ocasiones, un circuito se simplifica al re conocer una ocurrencia de este tipo. Además de Gy, G¡, GP y Z ent, hay otro parámetro de desempeño que resulta bastante útil: la impedancia de salida Z s¡¿, la que se determina para una configu ración de circuito diferente. I.a impedancia de salida es sólo otro término con el que se designa la impe dancia de Thévenin que aparece en el circuito equivalente de Thévenin de esa porción de la red enfrentada por la carga. En el circuito, que se supone que es ac cionado por una fuente de corriente de 1/0° mA se sustituye, por lo tanto, dicha fuente independiente por un circuito abierto, se deja sola a la fuente dependiente, y se busca la impedancia de entrada vista al mirar hacia la izquierda de las ter minales de salida (con la carga eliminada). De tal modo, se define Z sa] = V 2 II t =1 Con todas las demás fuentes independientes desconectadas y R l removido Por lo tanto, eliminar ía resistencia de carga, aplicar 1/0° mA (puesto que se está trabajando en V, mA y k£2) en las term inales de salida y determinar V2. Fijando estos requerimientos en las ecuaciones [26] y [27], se obtiene 0 = 2.5Vi - 0.5V2
1 = 39Vi + 0.6V2
Al resolver V 2 = 0.1190 V y, de ese modo, Z sai = 0.1190 k£2 Un procedimiento alterno podría consistir en encontrar la tensión de salida en circuito abierto y la corriente de salida en cortocircuito. Por lo tanto, la impe dancia de Thévenin es la impedancia de salida:
^sal —^th —
V ;2ca
T
l;2cc
Llevando a cabo este procedimiento, volver a encender primero la fuente inde pendiente de modo que li = 1 mA, y después poner en circuito abierto la carga, de modo que I2 = 0. Se tiene 1 = 2 .5 V , - 0 .5 V 2
0 = 3 9 V , + 0 .6 V 2
• ---------------------------
W V
--------------( T O 9
710 --------- W
v ---------- ------- •
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS y de ese modo:
h_
------ o
V 2ca = -1 .8 5 7 V
+ V2
Enseguida, se aplican las condiciones de cortocircuito, esto es, se deja V 2 = 0 y se iguala de nuevo l i = 1 mA. Se encuentra que
--------o (a)
li =
1 = 2 .3 V i -
I2 =
0
39V , + 0
y, por lo tanto, l 2cc = 15-6 mA
O +
*
Las direcciones tomadas de V 2 e I2 resultan, en consecuencia, en una impedan cia de Thévenin o de salida
V, Z sal =
o --------
(b) & FIGURA 17.17 (o) Equivalente de Norton de la red de la figura 17.16 a la izquierda de la terminal de salida, l| = 1/0? mA. (b) Equivalente de Thévenin de esa porción de la red, a la derecha de las terminales de entrada, si l2 = -2V2 mA.
l 2ce
1 5 .0
=
° -1 1 9 0 k fi
como antes. Se cuenta ahora con suficiente información que permite dibujar el equiva lente de Thévenin o de Norton del dos-puertos de la figura 17.16, cuando se ac tiva por medio de una fuente de corriente de 1/ 0^ m A y se termina en una carga de 500 Í2. De tal modo, el equivalente de Norton que se presenta a la carga debe contener una fuente de corriente igual a la corriente en cortocircuito I2SCen para lelo con la impedancia de salida; este equivalente se muestra en la figura 17.17a. Además, el equivalente de Thévenin que se presenta a la fuente de entrada 1/0° m A debe consistir sólo en la impedancia de entrada, según se observa en la figura 17.17Z?. Antes de dejar los parámetros y se debe reconocer su utilidad para describir la conexión en paralelo de dos-puertos, como se indica en la figura 17.18. Cuan do se define por primera vez un puerto en la sección 17.1, se observa que la co rriente que entra y sale de las dos terminales de un puerto tenía que ser igual y que no podrían establecerse conexiones externas que establecieran un puente en tre puertos. Al parecer la conexión en paralelo de la figura 17.18 viola esta con dición. Sin embargo, si cada pareja de puertos tiene un nodo de referencia que sea común a su puerto de entrada y de salida y si el dos-puertos se conecta en pa ralelo de manera que tengan un nodo de referencia común, entonces todos los puertos quedan como tales después de la conexión. Por lo tanto, para la red A, 1a = y ¿ v A
■ FIGURA 17.18 Conexión en paralelo de dos redes de dos puertos. Si ambas entradas y salidas tienen el mismo nodo de referencia, la matriz de admitancia es y = y/i + y«.
SECCION17,3 ALGUNASREDESEQUIVALENTES » donde I ai
y
_I a 2 .
VA =
'V Af
y en el caso de la red B I b = #¡& V B
Sin embargo. Y a = Vb = V
y
I = Ia + Ib
Por lo tanto,
i = (y¿ + ys)v y se observa que cada parámetro y de la red en paralelo está dado como la suma de los parámetros correspondientes de las redes individuales: y = Ya + J b
[28]
Lo anterior puede extenderse a cualquier número de dos-puertos conectados en paralelo.
P R Á C T I C A ___________________________________ _______________
17.6 Determinar y y Z sai de los dos puertos completos de la figura 17.19. 17.7 Utilizar las transformaciones A-Yy Y-A para determinar R en, de la red que se muestra en (a) la figura 17.20a; (b) la figura 17.20b.
200 Í 2
*i
(a)
(b)
ít FIGURA 17.20
r 2 x 1o-4 Respuesta: 17.6: I _ 4 x
1 0 -3
—ío-3
i
2q 3 x 10“3 J (S): 5L1
17 7: 53 71
i-311
W V
T t2 )---------V W ------------------•
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS 17 .4 g P A R Á M E T R O S DE IM P E D A N C IA _______________________ El concepto de parámetros de dos puertos se presentó en téiminos de los paráme tros de admitancia en cortocircuito. Sin embargo, existen otros conjuntos de pará metros y cada uno se asocia con una clase de redes particular para cuyo uso se proporciona el análisis más simple. Se considerarán otros tres tipos de parámetros, los de impedancia en circuito abierto, que son el tema de esta sección, así como los híbridos y los de transmisión, que se analizan en las secciones siguientes. Se comienza de nuevo con dos puertos lineales generales que no contienen ninguna fuente independiente: las corrientes y las tensiones se asignan como ya se hizo (figura 17.8). Considerar ahora la tensión Vi como la respuesta pro ducida por dos fuentes de corriente li e I 2. Por lo tanto, para Vi se puede escribir
Vi = z u h
Z12I 2
[29]
V 2 = Z2lll + z 22^2
[30]
+
y para V2
" V ,-
= zl —
_v£
1
‘ Z ll
Z l2 '
_z21
Z22. . i 2 .
ir
Desde luego, al usar estas ecuaciones no es necesario que Ij e I 2 sean fuentes de corriente; tampoco se requiere que V] y V2 sean fuentes de tensión. En general, se podría tener, en cualquier extremo, cualesquiera redes que terminen en los de dos puertos. A medida que se escriben las ecuaciones, tal vez se considere que Vi y V2 sean las cantidades indicadas, o variables independientes, y que li e I 2 sean incógnitas, o variables dependientes. Las seis formas en las que se pueden escribir dos ecuaciones para relacionar estas cuatro cantidades definen los diferentes sistemas de parámetros. Se estu dian los cuatro más importantes de estos seis sistemas de parámetros. La descripción más informativa de los parámetros z, definida en las ecuaciones [29] y [30], se obtiene igualando a cero cada una de las comentes. Por lo tanto,
Z 11 =
Z 12 =
Z21 =
Z22 =
Vi
li
[32] I 2=0
Vi I2
[33] I,=0
V 2
[34]
I I I 2=0 V 2 I2
[35] li=0
Puesto que resulta una corriente igual a cero de una terminación en circuito abierto, los parámetros z se conocen como parámetros de impedancia en circuito abierto, los cuales se relacionan con facilidad con los parámetros de admitancia
SECCIÓN17.4 PARAMETROSDEIMPEDANCIA en cortocircuito al resolver las ecuaciones [29] y [30] para li e Ií: Vi
z 12
y 2
Z 22
Z ll
Z 12
Z21
Z 22
li =
Z22
ii =
V i-
Z 11Z22 — Z 12Z 21
V2
z 12
Z llZ 22 — z 12z 21
Utilizando la notación de determinantes y teniendo cuidado de que el subíndice sea una z, se supone que Az 7^ 0 se obtiene A n
yn
_
A7
Z22
_
Az
A 21 _
Z 12
A,
Az
y del despeje de I2, se tiene A 12
y 2i =
Z21 Az
"^ 7
A 22 Zn y 22 = —— = — Az Az
De manera similar, los parámetros z se deben expresar en términos de los parámetros de admitancia. Las transformaciones de esta naturaleza son posibles entre cualquiera de los diversos sistemas de parámetros, y en forma completa se podría obtener una colección de fórmulas ocasionalmente útiles. Las transfor maciones entre los parámetros y y z (así como las de los parámetros h y t que se consideran en las secciones siguientes) se presentan en la tabla 17.1 como una referencia útil.
TABLA
17.1
Transformaciones entre los parám etros y, z, h y t
yn
yn
>'21
y22
y 22
—y¡f
----Ay
-------Ay
-V2I
y 11
A}
Ay'
1
-y i2
Z22
-Z
12
A ¡¡
—h12
t22
—At
hñ ll21 hñ
hliV:
*12
*12
Á'h
~ 1
tl|
hn
112
*12
Ah
h]^;
1
- Z 21
Zll
A z
A ¡¡
Zl] zn
Z| 2
----- ll22 I122
_
_
—h ; i
"*2¿-
Z22
11
Z21
h 22
*21
*21
Az
Z12
*12
At
..
ll22
hn
h 12
h 2i
h j2
yn
yn
Z22¿
Z22
y2i_
Ay
- Z 21
1
yn
y ;i
Z22
Z2Ü¡
-y 2 2
-1
z il
Aj
-A ),
-h n
>'21
Jp
11S
Z21
h 2i
h 2i
~ Ay
—y u
1
Z22
—h j 2
—1
Z21
Z21
M21
I121
y2i
I
21
Para todos los grupos de parámetros: Ap = pi i P22 —P 12P 21 •
tiüí: — Í21
.
At
•---t¿ l
t22 -1
*21
*22
t22
*ií’
*12
*21
Í22Ü
7 14
)----------------------------------------------------------VW --- •
CAPÍTULO 17 REDESDEDOSPUERTOS
Si los dos puertos corresponden a una red bilateral, está presente la recipro cidad; es fácil demostrar que lo anterior origina la igualdad de z 12 y Z21. Los circuitos equivalentes de nuevo se podrían obtener a partir de la inspec ción de las ecuaciones [29] y [30]; su construcción se facilita sumando y res tando o Z12I 1 en la ecuación [30], o z2]I2 en la ecuación [29]. Cada uno de estos circuitos equivalentes contiene una fuente de tensión dependiente. Se dejará la deducción de un equivalente de estas características para algún momento de ocio y se considerará a continuación un ejemplo de naturaleza más general. ¿Se puede construir un equivalente de Thévenin general del dos-puertos, según se observa desde las terminales de salida? Es necesario suponer pri mero una configuración específica del circuito de entrada y se seleccionará una fuente de tensión independiente Vf (signo positivo en la parte superior) en serie con una impedancia de generador Z g. Por lo tanto, V , = V i + I
Al combinar este resultado con las ecuaciones [29] y [30], se eliminarán Vi e li para obtener
V2=
Z21 z u + Z,
-V,+
Z12Z21\
(
V
zn + Z J
El circuito equivalente de Thévenin se puede dibujar en forma directa a partir de esta ecuación, como se observa en la figura 17.21. La impedancia de salida, ex presada en términos de los parámetros z está dada por
Zsal = Z22 — ■ FIGURA 17.21 Equivalente de Thévenin del dos-puertos general, según se observa desde las terminales de salida, expresado en términos de los parámetros de impedancia en circuito abierto.
Z 12Z 21
Z11 + z„
Si la impedancia del generador es cero, se obtiene la expresión más simple Z11Z22 — Z 12Z21 _ Z Sal
Az _
zu
1
(Z — 0)
A 22 y 22
Para este caso especial, la admitancia de salida es idéntica a y 22, como se indica mediante la relación básica de la ecuación [13].
EJEMPLO 17.8 Dado el siguiente conjunto de p arám etro s de im pedancia: 103
10
- 106
104
(todo fl)
que es representativo de un transistor que funciona en la configuración de emisor común, determinar las ganancias respectivas de tensión, corriente y potencia, así como las impedancias de entrada y salida. Podría considerar el dos-puertos como si lo accionara una fuente de tensión senoidal ideal V s en serie con una resistencia de 500 Í2 y terminado en una resistencia de caiga de 10 k íí. Las dos ecuaciones descriptivas del dos-puertos son y l = io 3li -1- 10I2
[36]
V 2 = —10 l i + 104I 2
[37]
SECCION 17.4 PARÁMETROSDEIMPEDANCIA *
y las ecuaciones de caracterización de las redes de entrada y salida corres ponden a V, = 5 0 0 1 , + V ,
[38]
V2 = —104I2
[39]
A partir de estas últimas cuatro ecuaciones, se pueden obtener, sin ninguna dificultad, las expresiones de V i, li V2 e I2 en términos de V,: V i= 0 .7 5 V ,
I i=
Ví
2000
V, 12 = ^ 6 40
V2 = —250V,
A partir de esta información, resulta sencillo determinar la ganancia de tensión, Gv =
V2
= -3 3 3
Vi
la ganancia de corriente, G , = ^ = 50 li
la ganancia de potencia, Re [ ~ |V 2I2] '
16670
R e [ i V t I* ]
y la impedancia de entrada
Zent= Jí- = 1500 íl li
La impedancia de salida se obtiene con referencia a la figura 17.21: Z sai = z22-
Z' 2Z2' = 16.67 kQ Z] i + Z g
De acuerdo con la predicción del teorema de transferencia de potencia máxima, la ganancia de potencia alcanza un valor máximo cuando Z¿ = Zgai = 16.67 kQ ; ese valor máximo es 17 045. Los parámetros y son útiles cuando dos elementos de dos-puertos se interconectan en paralelo, y de una manera dual, los parámetros z simplifican el pro blema de una conexión en serie de redes, que se ilustra en la figura 17.22. Observar que la conexión en serie no es la m isma que la conexión en cascada que se explicará después en conexión con los parámetros de transmisión. Si cada uno del de dos puertos tiene un nodo de referencia común para su entrada y sa lida, y si las referencias se conectan juntas como se indica en la figura 17.22, en tonces l i fluye a través de los puertos de entrada de las dos redes en serie. Una afirmación similar se cumple para I 2. Por lo tanto, los puertos siguen siendo puertos después de la interconexión. Se concluye que I = I¿ = 1B y
V —V a + V* —z¿I¿ + Zfllfi = (zA + zB) l = zl
A /W
< 3
AA/V
CAPÍTULO 17
REDESDEDOSPUERTOS
I, = I,
Red A
Red B
I FIGURA 17.22 La conexión en serie de dos redes de dos puertos se realiza conectando entre sí los cuatro nodos de referencia común; en ese caso la matriz z = z» + ib .
donde Z = ZA + Z B
de manera que 7¡¡ =
zúa
+ Zi ib, etcétera.
________________________________________
P R Á C T IC A g
17.8 Calcular z del dos puertos que se muestra en: (a) la figura 17.23a; (b) la figura 17.23b. 17.9 Encontrar z del dos-puertos que se muestra en la figura 17.23c.
50 n
:o n
20 Q
o— V W +
20 Q
50 Q
3 FIGURA 17.23
Respuestas: 17.8:
'4 5 25
'2 1 .2
25" 75
(O ).
11.76
11.76' 67.6
J fi).
J7.9:
'7 0 50
1 00' 150
(
APLICACIÓN P R Á C T IC A ") C a r a c te r iza c ió n d e tra n s is to re s
Por lo general, los valores de los parámetros de los tran sistores de unión bipolar se indican en términos de pará metros h . Inventado a finales de la década de los años de 1940 por investigadores de Bell Laboratories (figura 17.24), el transistor es un dispositivo semiconductor no lineal que constituye la base de casi todos los amplifica dores y circuitos lógicos digitales.
siones y las corrientes no se cumple. Por lo tanto, es una práctica común indicar los parámetros h con un valor es pecífico de la corriente de colector Ic y de la tensión del colector-emisor Vce- Otra consecuencia de la no linealidad del dispositivo es que los parámetros h en ca y en cd muchas veces difieren bastante en su valor. Existen muchos tipos de instrumentos que se em plean para obtener los parámetros h correspondientes a un transistor específico. Un ejemplo es un analizador de parámetros de semiconductor, que se muestra en la figu ra 17.26. Este instrumento barre la corriente deseada (graficada sobre el eje vertical) en función de una tensión especificada (graficada sobre el eje horizontal). Se gene ra una “familia” de curvas al variar la corriente de la ba se en intervalos discretos. Como ejemplo, el fabricante del transistor de silicio 2N3904 NPN indica los parámetros h como se nota en la tabla 17.2; observar que a los parámetros específicos se les da asignaciones alternas (h¡e, hre. etc.) por los inge nieros electrónicos. Las mediciones fueron hechas con Ic = 1 .0 mA, VCE= 1 0 V d c y / = 1.0kHz.
■ FIGURA 17.24 Fotografía de la primera demostración del transistor bipolar de unión ("bjt"). Lucent Technologies Inc/Bell Labs
Las tres terminales del transistor se denominan base (b), colector (c) y emisor (e) como se muestra en la figura 17.25, y se nombran de acuerdo con sus funciones en el transporte de portadores de carga dentro del dispositivo. Los parámetros h de un transistor de unión bipolar se mi den casi siempre con la terminal del emisor conectada a tierra, lo que se conoce también como configuración de emisor común; la base se designa entonces como la entrada y el colector como la salida. Sin embargo, como ya se men cionó, el transistor es un dispositivo no lineal, y por ello la definición de los parámetros h válida para todas las teñ ir Colector +
Base +
V C£
Emisor
I FIGURA T7.25 Diagrama de un bjt que muestra las corriente y tensiones definidas de acuerdo con la convención del IEEE.
■ FIGURA 17.26 Vista del despliegue de un analizador de parámetros de semiconductor HP 4155a, que se usa para medir los parámetros h de un transistor de unión bipolar 2N3904.
Sólo por diversión, uno de los autores y un amigo de cidieron medir tales parámetros. Luego de tomar un dis positivo económico del anaquel y utilizar el instrumento de la figura 17.20b, encontraron hoe = 3.3 /¿mhos h ¡e —
3.02 k£2
hfe = 109 hre = 4 x 10-3 (Continúa en la siguiente página)
JA B LA
17.2
Resum en de los parámetros en ca del 2 N 5 9 0 4
Parámetro
Nombre
Especificación
hie(hn)
Impedancia de entrada
1.0-10
hre(h¡2)
Relación (o razón) de retroalimentación de tensión
hfe (hj\)
Ganancia de corriente para pequeña señal
Ke (/i2* r ■
Admitancia de salida
Unidades
kí2
0.5-8.¿ x 10-4 100-400 1.0-40
/imhos
rante la medición, ya que estaban barriendo valores por debajo y por arriba de 1q — 1 mA. Desafortunadamente, los transistores pueden cambiar sus propiedades de for m a muy drástica en función de la temperatura; los valo res del fabricante correspondían de manera específica a 25°C. Luego de que se cambió el barrido para minimizar el calentamiento del dispositivo, obtuvieron un valor de 2.0 x 10-4 para hK. Con los circuitos lineales resulta mucho más fácil trabajar, ¡aunque los circuitos no linea les pueden ser mucho más interesantes!
que los primeros tres de estos valores se ubicaron bien dentro de las tolerancias reconocidas por el fabricante, aunque mucho más cerca de los valores mínimos que de los máximos. Sin embargo, el valor de hK fue un orden de magnitud superior ¡que el valor máximo especificado por la hoja de datos del fabricante!, lo cual resultó bas tante desconcertante, pues se pensó que todo iba muy bien hasta ese momento. Luego de reflexionar, se percataron que el arreglo ex perimental permitía que el dispositivo se calentara du-
Í7.5 t PARAMETROS HIBRIDOS La dificultad para medir cantidades como los parámetros de impedancia en cir cuito abierto surgen cuando debe medirse un parámetro como Z21. Una corriente senoidal conocida se suministra con facilidad en las terminales de entrada, pero debido al elevado excedente de la impedancia de salida del circuito transistorizado, resulta difícil poner en circuito abierto las terminales de salida, o incluso suministrar las tensiones de polarización de cd necesarias y medir la tensión de salida senoidal. Es mucho más fácil llevar a cabo una medición de corriente en cortocircuito en las terminales de salida. Los parámetros híbridos se definen escribiendo el par de ecuaciones que relacionan V 1; I], V2 e I 2 como si V i e I 2 fueran las variables independientes: V i = h n l i + h 12V 2
[40]
I 2 = h 21I i + h 22V 2
[41]
Vi
li
I2
V2
[42]
La naturaleza de los parámetros se aclara poniendo primero V2 = 0. Por lo tanto, Vi h i, =
h 2i =
^ li
= impedancia de entrada de cortocircuito v 2=o
I2 li
v2=o
= gananciadecorriente decortocircuito
W V
SECCION17.5 PARÁMETROSHIBRIDOS
0
Si li = 0, se obtiene
V, V2 I ,=0 h 22 =
ganancia de tensión inversa de circuito abierto
h
admitancia de salida de circuito abierto
V 2 I ,=0
Dado que los parámetros representan una impedancia, una admitancia, una ga nancia de tensión y una ganancia de corriente, se conocen con el nombre de pará metros “híbridos”. Las designaciones de los subíndices de estos parámetros se simplifican a menudo cuando se aplican a transistores. De tal modo, h n , h i 2, h 2i y h 22 se con vierten en h„ h r, h/ y h 0, respectivamente, donde los subíndices denotan entrada, inverso, directo y salida. EJEMPLO
17.9
Determinar li del circuito resistivo bilateral dibujado en la figura 17.27. i, Con la salida en cortocircuito (V2 = 0), la aplicación de una fuente de 1 A en la entrada (li = 1 A) produce una tensión de entrada de 3.4 V (Vi = 3.4 V); por consiguiente, h¡ ¡ = 3.4 Q. Bajo estas mismas condiciones, la corriente de salida se obtiene con facilidad mediante la división de corriente, I2 = —0.4 A; de tal modo, h 21 = —0.4. Los dos parámetros restantes se obtienen con la entrada en circuito abierto (Ij = 0). Se aplicará una tensión de 1 V en las terminales de salida (V2 = 1 V). L a respuesta en las terminales de entrada es 0.4 V (Vi = 0.4 V), y por ello, h i2 = 0.4. La com ente entregada por esta fuente en las terminales de salida es 0.1 A (I2 = 0.1 A), y, por lo tanto, h 22 = 0.1 S. Por lo tanto, se tiene h = teorema de reciprocidad % 2 =
3.4 £2 -0.4 —h 2j
0.4 ' 01S
que es una consecuencia del
en una red bilateral.
P R A C T IC A
17.10 Determinar h del dos-puertos que se muestra en: (a) la figura 17.28a; (b) la figura 17.286. 20 o----- W + Vi
n
ion
----- o
r < > 4o n
+
o--------- -------- j — W v — o +
V2
v.
> 4o n
v.
(b)
(a)
■ FIGURA 17.28
17.11 Si h =
' 5 £2
2 '
.-0 .5
0.1 S.
Respuestas: 17.10:
, encuentre (a) y; (b) z.
20 Q
1
8Q
0.8
—1
25 ms
-0.8
20 ms
. 17.11:
'
0.2 - 0 .1
- 0 .4 ' 0.3 _
(S),
i, -AA/V
+
Vl
-V W 6Q
i a ■4Q
+
V2
I FIGURA 17.27 Red bilateral para la que se calculan los parámetros h: h,2 = -h2| .
CAPITULO17 REDESDEDOSPUERTOS El circuito de la figura 17.29 es una traducción directa de las dos ecuaciones de definición [40] y [41]. La primera representa la LKT en tomo al lazo de en trada, mientras que la segunda se obtiene a partir de la LKC en el nodo de sali da superior. Este circuito es también un circuito equivalente de transistor muy común. Se van a suponer algunos valores razonables para la configuración de emisor común: hn = 1 200ÍÍ, h |2 = 2 x 10-4 , h2i = 50, h22 = 50 x 10~6 S, un generador de tensión de 1/CP mV en serie con 800 £2, y una carga de 5 kQ. Para la entrada, 10“ 3 = (1 200+ 800)1, + 2 x 10“4V2 y en la salida: I2
= - 2 x 10“4V2 = 50Ii + 50 x 10~6V 2
Despejando, se tiene I, = 0 . 5 1 0 /xA
V! = 0.592 mV
I2 = 20.4 /xA
V2 = - 1 0 2 mV
A través del transistor se tiene una ganancia de corriente de 40, una ganancia de tensión de —172, y una ganancia de potencia de 6 880. La impedancia de entrada del transistor corresponde a 1160 Q: unos cuantos cálculos más indican que la impedancia de salida es igual a 22.2 kQ.
■ FIGURA 17,29 Los cuatro parámetros h se refieren a un dos-puertos. Las ecuaciones pertinentes son V, = hl; I, + h12V2 e l2 = h211, + h22V2.
Se podrían agregar en forma directa parámetros híbridos cuando se conectan dos-puertos, en serie a la entrada y en paralelo a la salida, lo cual se conoce como interconexión serie-paralelo, aunque no se usa con mucha frecuencia.
17.6
PARAMETROS DE TRANSMISION
-----------• ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Los últimos parámetros de dos puertos que se analizarán se conocen como parám etros t, parám etros A B C D o simplemente parámetros de transm isión -, se definen mediante: Vi = t „ V 2 — ti2I 2
[43]
Il = t2lV 2 — t22I2
[44]
'V l' I l
— — .
ti
'
V2 '
. tÍ
[
[45]
donde Vi, V 2, li e I 2 se definen como es usual (figura 17.8). Los signos nega tivos que aparecen en las ecuaciones [43] y [44] deben asociarse con la corriente
SECCIÓN 17.6
PARÁMETROSDETRANSMISIÓN
de salida, como (—I2). Así, tanto li como —12 se dirigen hacia la derecha, o sea la dirección de la transmisión de la energía o de la señal. Otra nomenclatura que se emplea mucho para este conjunto de parámetros es B' D
A C
tl2 t22_
til _t2l
[46]
Observar que no hay signos negativos en las matrices t o ABCD. Considerando de nuevo las ecuaciones [43] a [45], se observa que las canti dades de la izquierda, con frecuencia consideradas como las variables dadas o independientes, son la tensión y la corriente ambas de entrada, V , e li; las varia bles dependientes, V 2 e I 2, son las cantidades de salida. Por lo tanto, los paráme tros de transmisión proporcionan una relación directa entre la entrada y la salida. Su uso principal se presenta en el análisis cíe líneas de transmisión y en las redes en cascada. Se van a determinar los parámetros t del dos-puertos resistivo bilateral de la figura 17.30a. Como ejemplo de un posible procedimiento para determinar un único parámetro, considerar t
-
Vl
12- —r —12
V2= 0
Por lo tanto, se pone en cortocircuito la salida (V2 = 0) y se fija Vi = 1 V, como en la figura 17.306. Observar que no se puede igualar a uno el denominador al poner la fuente de corriente de 1A en la salida: en realidad, ya se tiene ahí un cor tocircuito. L a resistencia equivalente que se presenta a la fuente de 1 V es R tq = 2 + (4 1| 10) Í2, y en ese caso se utiliza la división de corriente para obtener
10
1
h
2 + (4|| 10)
10
- =
4
*-A
34
D e aquí que 1
t i \ = .i—- = — 12
34 — = 6.8 Q 3
Si es necesario determinar los cuatro parámetros, se escribe cualquier par conveniente de ecuaciones mediante el empleo de las cuatro cantidades termi nales, V i, V2 li e I2. De la figura 17.30a se tienen dos ecuaciones de malla = 121, + 10I2
[47]
V2 = 10Ij + 1'4Í2
[48]
Vi
Resolviendo la ecuación
[4 8 ]
para li, se tiene
Ij = 0 .1 V 2 - 1 . 4 I 2 por lo que t2i = 0.1 S y t22 = 1.4. Al sustituir la expresión de li en la ecuación [47], se encuentra que Vi =
1 2 (0 .1V 2 -
(a)
X -4 I2) +
1 0 I2 =
1 .2 V 2 -
6 .8 I 2
además, tu = 1.2 y ti 2 = 6.8 Í2, también en este caso. En el caso de redes recíprocas, el determinante de la matriz t es igual a uno: At — ti 1122 — t i 2t2i = 1
0b) I FIGURA 17.30 (o) Red resistiva del dos-puertos para la que se va a determinar los parámetros (b) para obtener t12, sea V, = 1V con V2 = 0; entonces t,2 = l/ ( - b l = 6-8
CAPÍTULO 17
REDESDEDOSPUERTOS
En el ejemplo resistivo de la figura 17.30, A t = 1.2 x 1.4 — 6.8 x 0.1 = 1. ¡Bien! Se termina el análisis del dos-puertos conectando dos de estos dos-puertos en cascada, como se ilustra en las dos redes de la figura 17.31. Las tensiones y co rrientes de terminal se indican para cada uno de los dos dos-puertos y las rela ciones correspondientes al parámetro t son, para la red A,
ln -----
Ii
v ,:
1,
+ v; _
R ed A
-I4 + _ V4
R edB
Vj
0
I FIGURA 17.31 Cuando las redes >1 yB de dos puertos se conectan en cascada, la matriz del parámetro t de la red combinada está dada por el producto matricial t = t/i t j .
V3
K y para la red B,
M
'
;
]
-
I3
líM-i]
Al combinar estos resultados, se tiene
Por lo tanto, los parámetros t de las redes en cascada se calculan mediante el producto de matrices t = L ita 6 Este producto no se obtiene multiplicando los elementos correspondientes en las dos matrices. Si es necesario, repasar el procedimiento correcto para la multipli cación matricial en el apéndice 2.
Determinar los parámetros l de las redes en cascada de la figura 17.32.
I FIGURA 17.32 Conexión en cascada.
SECCIÓN17.6 PARÁMETROSDETRANSMISIÓN • “
La red A corresponde al dos-puertos de la ñgura 17.32, y, por lo tanto, _
[ 1.2
6.8 Q "
A - [_0.1S
1.4
mientras que la red B tiene valores de resistencia dos veces mayores, por lo cual |Q 0.05 S
tB
13.6 £2 1.4
Para la red combinada,
t = t At B =
'1 .2 O .í
6 .8 "
'1 .2
1 3 .6 '
0.05
I-4 .
1.2'x 1.2 + 6.á x 0.05 0.1 x 1.2 + 1.4 x 0.05
L4_ 1.2 x 13.6 + 6.8 x 1.4 0.1 x 13.6 + 1.4 x 1.4
y 1.78 0.19 S
t =
25.84 Q 3.32
P R A C T IC A
17.12 Dada t =
"3.2 0.2S
4 .
, encontrar (a ) z ; ( b ) t de las dos redes idénticas
en cascada; (c) z de las dos redes idénticas en cascada. R e s p u e sta s :
'1 6
56“
5
20 _
' 1 1 .8 4 (£2);
5 7 .6 Q '
1 .4 4 S
" 8 .2 2 0 .6 9 4
1 7 .6
8 7 .1
'
12.22_
(£2).
1.a caracterización de redes de dos puertos mediante parámetros t brinda la oportunidad de hacer análisis muy simplificados de circuitos en cascada de redes de dos puertos. Como se vio en esta sección, donde, por ejemplo,
tB
1.2
6.8 Q
0.1 S
1.4
1.2 =
0.05 S
13.6 Í2 1.4
se encuentra que los parámetros t que caracterizan a la red en cascada se ob tienen con sólo multiplicar tA y t B:
t = tA • tB Tales operaciones de matrices se efectúan con facilidad con calculadoras científicas o mediante programas de cómputo como MATLAB. La serie de (Continúa en la siguiente página)
A/W
724
----
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
instrucciones de MATLAB, por ejemplo, sería E D U » t A = [ 1 .2 6 .8 ; 0 .1 1 .4 ] ; EDU» EDU»
LB = [ 1 . 2 t = tA*tB
1 3 .6 ; 0 .0 5 1 .4 ];
t1 .7 8 0 0 0 .1 9 0 0
2 5 .8 7 0 0 3 .3 2 0 0
como se vio en el ejemplo 17.10. Para introducir matrices en MATLAB, cada una tiene un nombre de va riable que reconoce mayúsculas (tA, tB y t en este ejemplo). Los elementos de la matriz se incorporan renglón por renglón, empezando con el superior; los renglones se separan mediante un punto y coma. También en esta situación el lector siempre debe tener cuidado de recordar que el orden de las operaciones resulta crítico cuando se realiza álgebra de matrices. Por ejemplo, tB*tA produce una matriz del iodo diferente que la que se busca: tb '
—
2.8
2 7 .2
0.2
2 .3
En el caso de matrices simples, como las consideradas en este ejemplo, una calculadora científica es apenas práctica (y no más que eso). Sin embargo, las redes en cascada más grandes se manejan con mayor facilidad en una computadora, donde es más conveniente ver todos los arreglos de manera simultánea en la pantalla.
RESUMEN Y REPASO___________________________ □ Para emplear los métodos de análisis descritos en este capítulo, resulta crítico recordar que cada puerto sólo puede conectarse a una red de un puerto o a un puerto de otra red multipuerto. □ Las ecuaciones de definición para analizar una red de dos puertos en términos de sus parámetros de admitancia (y) son: li = y n V i + y i 2V2
la = y2iVi + y22V2
donde _
yn y 2i
II
li
V, v2=o V;
yi2 y 22 -
v2=o
V 2 V i=0
V2
V i=0
Las ecuaciones de definición para analizar una red de dos puertos en términos de sus parámetros de impedancia (z) son: V, = z u I, + z i2I2
V2 = z2]Ii + z22I2
Las ecuaciones de definición para analizar una red de dos puertos en términos de sus parámetros híbridos (h) corresponden a: V i = h n l i + h ] 2V 2
I 2 = h 2i l i + b 22V 2
A /v V
EJERCICIOS » □ Las ecuaciones de definición para analizar una red de dos puertos en términos de sus parámetros de transmisión (t) (denominados también parámetros ABCD) son: V] = tu V 2 — U2I2 y
I I — Í21V2 — tg2l2
□ Resulta un procedimiento directo hacer conversiones entre los parámetros h, z, t y y en función de las necesidades del análisis de circuitos; las transformaciones se resumen en la tabla 17.1.
LECTURAS ADICIONALES__________________________ Detalles adicionales acerca de los métodos matriciales en el análisis de circuitos pueden encontrarse en: R. A. DeCarlo andP. M. Lin, Linear Circuit Analysis, 2a. ed. Nueva York: Ox ford University Press, 2001. El análisis de circuitos transistorizados que utilizan parámetros de red se describe en: W. H. Hayt, Jr. and G. W. Neudeck, Electronic Circuit Analysis and Design, 2a. ed. Nueva York: Wiley, 1995.
EJERCICIOS 1 7 .1
R e d e s d e u n p u e rto
1. Considerar el conjunto de ecuaciones siguientes: 4 l! - 8 I2 + 9 I3 = 12 51]
— 7 I3 = 4
7 l!+ 3 I2 +
I3 = 0
(a) Escribir este conjunto de ecuaciones en forma matricial. (b) Determinar Az(c) Determinar A n . (d) Calcular I], (e) Calcular I3. 2. Calcular Az de la red de la figura 17.33 y luego usarla como ayuda para determinar la potencia generada por la fuente de 100 V cd que se inserta en el exterior de la rama de la malla: (a) 1; (b) 2; (c) 3. 3. Determinar Ay de la red de la figura 17.34 y luegoutilizar estedatocomoayuda para determinar la potencia que genera una fuente de10 A cd insertada entre el nodo de referencia y el nodo: (a) 1; (b) 2; (c) 3.
0.2 S
■ FIGURA 17.34
6Q
5Q
A /W —
•
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS 4. La matriz de resistencia de cierta red de un puerto es como el de la figura 17.35. Calcular Renl para una fuente insertada solamente en la malla 1.
[R] =
3
-1
-1
4
-2 1
-2
2
5
0
3
-2
(£2)
■ FIGURA 17.35
5. Obtener la impedancia equivalente de Thévenin Zn, (s) del puerto de la figura 17.36. 2H
1H
6. Determinar Zent del puerto presentado en la figura 17.37 (a) encontrando Az; (b) encontrando Ay y Yentprimero, y después Zent. +
V, -
— VVN,--------WV— 20 £2
8 £2
0.6V.
?5Q
I FIGURA 17.37
7. Encontrar la impedancia de salida de la red de la figura 17.38, como una función de s. 2Q
0.2 F
20 kíl
8. Si el amp op que se ilustra en la figura 17.39 se considera ideal (R¡ = oo, R0 = 0, y A = oo), determinar Rent. 9. (á) Si se supone que los amp op del circuito de la figura 17.40 son ideales (R¡ = oo, R0 = 0 y A = oo), encuentre Zent. (b) R\ = 4 k£2, R2 = 1ÜkQ.
EJERCICIOS R3 = 10 kíí, i?4 = 1 kíí, y C — 200 pF, demostrar que Z ent = jcüLent, donde L ent = 0-8 mH.
■ 1 7 .2
FIGURA 17.40 P a rá m e tro s d e a d m ita n c ia
10. En la red lineal de la figura 17.8, encontrar ' 9 ' 0.01 0.3 ' (S) y V = (a) I2 si y = 0.02 _ _ —3.5 _ . °-3 (b) Vi si y =
' - 0.1 0.15
0.151 (S) e I = 0.8
' 0 .0 0 1 '
0.02 _
(V );
(A ).
11. Determinar yn y y 12 del dos-puertos de la figura 17.41. 3 fi o— V W +
5 f2
-W \r
+
10 a
V,
2Q
-WV— o ■ 20 a
FIGURA 17.41
12. Si el dos-puertos que se presenta en la figura 17.42 tiene los valores de los paráme tros yn = 10, yi9 = —5, yii = 50 y y?2 = 20, todos en mS, determinar Vi y V? cuando ■= 100 V, Rs = 25 íí, y RL = 100 íí.
13. Calcular los parámetros y de la red de la figura 17.43. xi
25 Q
AA/V
0
-•
A/W
CAPITULO17 REDESDEDOS PUERTOS 14. Determinar y del dos-puertos de la figura 17.44. 0.51,
I FIGURA 17.44
15. Sea y =
0.1 -8
-0.0025 0.05
(S) para el dos-puertos de la figura 17.45. (a) Obtener
los valores de los cocientes V2/V 1, I2/I | y V1/ I 1. (h) Eliminar la resistencia de 5 Í2 igualar a cero la fuente de 1 V y calcular V2/Í 22Q.
II >
h
< Red pasiva lineal
1 +)
( +
16. Los parámetros de admitancia de un cierto dos-puertos son y
r
V,i (V)
Vj2 (V)
I. (A)
I2 (A)
100
50
5
-32.5
Exp’t #2
50
100
-2 0
-5
Exp’t #3
20
0
Expít #4
5
0
Exp't #5
5
15
Exp’t # l
10 -2 0
(mS).
Proporcionar el nuevo valor de y si se conecta a una resistencia de 100 £2: (a) en serie con uno de los hilos de conexión de entrada; (b) en serie con uno de los hilos de conexión de salida. 17. Completar la tabla que se presenta como parte de la figura 17.46 y proporcionar también los valores de los parámetros y. 18. En el caso de la red lineal general que se muestra en la figura 17.8, encontrar: (a) I2 si y = (b) V2 si y =
■ 1o - 3
J0.01
jO .O l 1 -7O.OO5J 1
T12/43°1 r 1 2 /4 3
>Y L[ 2/0^
2/0^ J
' - i 5 101 ^ P l r i2°z3o°’]
I FIGURA 17.46
4
yi oj (
[ 8 8 /4 5 °
(V);
(A).
19. A menudo, el transistor semiconductor de metal-óxido de efecto de campo (MOS FET), un elemento no lineal de tres terminales que se utiliza en muchas aplicaciones de la electrónica, se especifica en términos de sus parámetros y. Los parámetros en ca dependen en gran medida de las condiciones de medición y comúnmente se lla man y ij , yrs, yfs y yos, como en: h = y¡s Vgs + yrs Vds
[49]
Id — y/sVgs “1“ yosVds
[50]
Donde es la comente de compuerta del transistor.Id es la comente de drenado del transistor y la tercera terminal (la fuente) es común a la entrada y a la salida durante la medición. Por lo tanto, Vgs es la tensión entre la compuerta y la fuente y V¿s es la tensión entre el drenado y la fuente. El modelo típico a alta frecuencia que se utiliza para aproximar el comportamiento de un MOSFET se muestra en la figura 17.47. G o-
OD
So
OS
■ FIGURA 17.47
AA/'y-
EJERCICIOS
729
(a) En el caso de la configuración que se acaba de especificar, ¿qué terminal del transistor se utilizó como la entrada, y qué terminal sc utilizó como salida? (i) De ducir las expresiones de los parámetros y¡s, yrs, y¡ s, y yos definidos en las ecua ciones [49] y [50], en términos de los parámetros del modelo Cgs, Cgr¡, gm,r¿ y Cds de la figura 17.47. (c) Calcular yis, »,,, yfs , y yos si gm = 4.7 mS, C gs = 3.4 pF, Cgl/ = 1.4 pF, Cds = 0.4 pF, y r¿ = 10 kfi. 1 7 .3 A l g u n a s r e d e s e q u i v a l e n t e s
20. Convertir la red A de la figura 17.48 a una red conectada en Y. 1 k£l
o
b
100 £2
4 70 Í2
Cl o------- ^
—
- A W V ------ o b ■220 ü
O d c o-
-O d
I FIGURA 17.49
21. Convertir la red Y de la figura 17.49 a una red conectada en A. 22. Determinar Reat del puerto que se ilustra en la figura 17.50 utilizando transforma ciones Y-A y A-Y, según sea apropiado. 1a 5 Í2
6 £2
3 £2
23. Aplicar las transformaciones Y-A y A-Y para determinar la resistencia de entrada del puerto que se muestra en la figura 17.51. 24. Determinar Z ent en la red de la figura 17.52.
j 12 £2
o------- ---------
■ FIGURA 17.52
v’4 £2
A /W
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS
25. Sea y =
0.4 -5
-0.002 0.04
(S) del dos-puertos de la figura 17.53; determinar
(a) Gy; (b) G?; (c) Gp, (d) Zent; (e) Z, 20.
20 a
26. Sea y =
0.1 -0 .5
-0.05 0.2
(S) del dos-puertos de la figura 17.54. Determinar
(a) Gv; (b) G¡, (c) GP; (d) Zent; (
27. (a) Dibujar un circuito equivalente en la forma de la figura 17.13b en el cual '1.5
-1 ' (mS). (b) Si dos del mismo dos-puertos se conectan en paralelo, 3_ dibujar el nuevo circuito equivalente y demostrar que ynuevo = 2y.
y = _4
28. (a) Determinar y a del dos-puertos de la figura 17.55a. ( b ) Calcular y , , de la figura 17.55b. (c) Dibujar la red que se obtiene cuando dos del mismo dos-puertos se conectan en paralelo; además, demostrar que y de esta red es igual a y„ + y¿.
o ------------ v w +
V,
+
+
V,
V2
(a)
(b)
[ FIGURA 17.55 1 7 .4 P a r á m e t r o s d e im p e d a n c i a
29. En el caso de la red lineal que se muestra en la figura 17.8, ' 1.5' "4.7 2.2 ' (mA); (b) I2 si (a) encontrar Vi si z (k£2) y I = _ — 2.5_ _ 2.2 3.3 ‘g l
(k ü )y V =
1 -2
(V).
EJERCICIOS 30. Considerar la red lineal general de la figura 17.8. Calcular (a) V2 si z = ' 5 M ( Q , y J - j 2 ] ( >y '- i ib) I, si z =
I = r 2^
'
(A);
L 2/ 0^ _ f 137/30°' (V ). 105/45°
31. Calcular z del dos-puertos de la figura 17.56. 8 £2
32. (a) Determinar z del dos-puertos de la figura 17.57. (b) Si la ganancia de tensión Gy.
= I2 = 1 A, encontrar
2 £2
' 4 1.5' (Q). La entrada 10 3 consiste en una fuente Vs en serie con 5 Q, en tanto que la salida es R l = 2 £2. Calcular (a) G/; { b ) Gy; ( c ) G p \ ( d ) Zent; ( e ) ZsaI.
33. Un cierto dos-puertos se describe mediante z ¡
'
1000
100 '
(íí) par el dos-puertos de la figura 17.58. Obtener la -2 0 0 0 400_ potencia promedio (activa) entregada: (a) a la resistencia de 200 Q; (b) a la resisten cia de 500 íí; ¡c) al dos-puertos.
34. Sea [z] =
200 £2
35. Determinar los cuatro parámetros z a co = 108 rad/s para el circuito equivalente del transistor de alta frecuencia de la figura 17.59. 1 pF
A /W
0
CAPITULO17 REDESDEDOSPUERTOS '2 0
2"
(£2) se activa mediante una fuente 40 10. \ s = 100/0° V en serie con 5 Sí, y termina en una resistencia de 25 Sí. Obtener el circuito equivalente de Thévenin visto desde la resistencia de 25 fí.
36. Un dos-puertos para el cual z =
1 7 .5
P a r á m e tr o s h íb r id o s
9 Sí - 2 . Calcular 20 0.2 S el nuevo h que resulta si se conecta una resistencia de 1 Sí en serie con: (a) la en trada; (b) la salida. 38. Determinar Zent y Zs¡¡¡ del dos-puertos accionado por una fuente que tiene Rs = 100 Sí 37. Los parámetros h de un cierto dos-puertos son h =
y termina con R l = 500 Sí, si h =
^ 1 0 0 Sí
20
0 .0 1 '
lmS
39. Observar el dos-puertos de la figura 17.60 y determinar (a) h]2; (b) zi2; (c) y 12.
40. Sea hi 1 = 1 kSÍ, h n = —1, h2i = 4, y I122 = 500 //S para el dos-puertos que se presenta en la figura 17.61. Determinar la potencia promedio (activa) entregada a (a) R s = 200 Sí; (b) R l = 1 kSÍ; (c) al dos-puertos completo. 200 £2
41. (a) Determinar h para el dos-puertos de la figura 17.62. (b) Calcular Zsal si la en trada contiene \ s en serie con Rs = 200. 10 k £2
42. Determinar y, z y h para ambos dos-puertos de la figura 17.63. Si algún parámetro resulta infinito, páselo por alto (no tomarlo en cuenta).
(a) I FIGURA 17.63
(b)
EJERCICIOS * 43. La figura 17.64 muestra un modelo de transistor bipolar de unión (bjt) de alta frecuencia utilizado comúnmente, el cual funciona para magnitudes pequeñas de señal en ca. Si la terminal emisor (marcada con una E) es común a la entrada y a la salida y la terminal base (marcada con una B) se utiliza como entrada, deducir una expresión en términos de rx, rn, Cm C^, gm y rdpara (a) hoe; (b) hfe; (c) y (d) h
1 7 .6
P a r á m e tr o s d e tr a n s m is ió n
44. Dados y = 1
[1 3 2
-2 4 ,b= 4_ _—!
3 2 4 6" >c = 5_ _—2 3 5
-1 " °_
- 1'
3
5 0 calcular: (a) y • b; (tí) b • y; (c) b • c; (d) c • d; -3 1 4 -4 2 (e) y • b • c d. 45. (a) Determinar t del dos-puertos que se muestra en la figura 17.65. (tí) Calcular Zsai para el dos-puertos, si R, = 15 Q de la fuente es de 15 íl. d=
-2
46. Obtener t del dos-puertos de la figura 17.66. 47. (a) Calcular t¿, t5 y tc para la cascada formada por dos de dos-puertos mostrada en la figura 17.67. (b) Determinar t del dos-puertos de seis resistencias.
2ü
3a
•'-----VW-----T I iv w
■ FIGURA 17.67
A /W
0
CAPÍTULO17 REDESDEDOSPUERTOS 48. (a) Calcular 11para la sola resistencia de 2 £2 de la figura 17.68. (b) Demostrar que t para una sola resistencia de 10 Í 2 se puede obtener mediante (t^)5. 49. (a) Determinar t„, t¡, y tc de las redes que se muestran en la figura 17.69a, b y c. (b) Mediante las reglas de la interconexión del dos-puertos con otro en cascada, calcu lar t de la red de la figura 17.69d. l:a
(a)
(b)
2
£2
1:4
(c)
20 Q
(d)
m FIGURA 17.69
50. (a) Determinar t del dos-puertos de la figura 17.70. (b) Utilizar las técnicas del dospuertos conectado en cascada con otro para calcular tnuevo al conectarse a través de su salida una resistencia de 20 Í2.
10 £2
■ FIGURA 17.70
5 £2
Análisis de circuitos por Fourier CONCEPTOS C LA VE
INTRODUCCIÓN
Representación defunciones
En este capítulo se continúa con la introducción al análisis de circuitos
periódicas como suma de
con el estudio de las funciones periódicas tanto en el dominio del tiem
senos y cosenos.
po como en el de la frecuencia. De manera específica, se consideran funciones forzadas periódicas con naturalezas funcionales que satisfa
Frecuencias armónicas.
cen ciertas restricciones matemáticas, características de cualquier fun ción que se pueda generar en el laboratorio. Estas funciones pueden re
Simetría par e impar.
presentarse como la suma de un número infinito de funciones seno y coseno, que se relacionan de manera armónica. Por lo tanto, debido a
Simetría de media ores
que la respuesta forzada de cada componente senoidal se determina con facilidad mediante el análisis senoidal de estado permanente, la res puesta de la red lineal a la función forzada periódica general se obtiene
Forma compleja de la serie de Fourier.
mediante la superposición de las respuestas parciales. El tema de la serie de Fourier es de vital importancia para varios
Espectro de línea c:s c K r
campos, en particular para el de las comunicaciones. Sin embargo, el uso de las técnicas basadas en el análisis de Fourier para auxiliar
Transformada de F o t r á
el análisis de circuitos poco a poco ha caído en desuso en los últi mos años. Ahora que es necesario enfrentar una fracción cada vez
U so d e las té c n ic a s
iz
¿
s e r i e y l a t r a n s f c rn‘ ; : í : t
más grande de uso de energía global que proviene de equipos que
F o u rier e n el a n á ' -
emplean suministros de potencia modulados por pulsos (por ejem
cu ito s.
d t: -
plo, computadoras), el tema de los armónicos en los sistemas de po tencia y la electrónica de potencia se está convirtiendo con mucha
Respuesta de un sis": * «
rapidez en un problema serio, incluso en plantas de generación de
convolución en ei ánsm
gran escala. Sólo con el análisis basado en las series de Fourier se
de la frecuencia.
comprenden los problemas implícitos y las soluciones posibles.
18.1 % FORMA TRIGONOMÉTRICA DE_________ * LA SERIE DE FOURIER Se sabe que la respuesta completa de un circuito lineal a una función forzada arbitraria está compuesta por la suma de una respuesta forzada y una respuesta natural. La respuesta natural se analizó tanto en el
CAPÍTULO18 ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER dominio del tiempo (capítulos 7, 8 y 9) como en el dominio de la frecuencia (capítu los 14 y 15). La respuesta forzada se ha considerado también desde diferentes perspectivas, entre las que se incluyen las técnicas basadas en fasores del capítulo 10. Como se ha visto, en algunos casos son necesarios ambos componentes de la res puesta total de un circuito en particular, mientras que en otros solamente se requería la respuesta natural o la forzada. En esta sección se vuelve a enfocar la atención en las funciones forzadas senoidales por naturaleza y se descubre cómo escribir una función periódica general como la suma de dichas fundones, lo que lleva a un análi sis de un nuevo conjunto de procedimientos para el análisis de circuitos.
Armónicas Quizás se obtenga cierta percepción de la validez de representar una función periódica general mediante una suma infinita de funciones seno y coseno al con siderar un ejemplo simple. Suponer primero una función coseno de frecuencia en radianes coo, v \ ( t ) = 2 cosíW oí
donde cao = 2 t t / o
y el periodo T es T _ J_ _ 2tt /o
Si bien T suele no llevar un subíndice cero, es el periodo de la frecuencia funda mental. Las armónicas de esta senoide tienen frecuencias angulares neo o, donde coq es la frecuencia angular fundamental y n = 1,2, 3 , ---- La frecuencia angu lar del primer armónico es la frecuencia angular fundam ental. A continuación se selecciona una tercera armónica de tensión w3a ( 0 =
c o s 3&>oí
La fundamental v \ (í), la tercera armónica v3a(t) y la suma de ambas se mues tran como funciones del tiempo en la figura 18.1a. Debe observarse que la suma es periódica, con periodo T = 2 tt/ coq. La forma de la función periódica resultante cambia a medida que varía la fase y la amplitud de la componente de la tercera armónica. De tal manera, la figura 18.1 b muestra el efecto de combinar v \(t) y una tercera armónica de amplitud un poco mayor: Vy,(t) = 1.5cos3&>oí Al desplazar la fase de la tercera armónica de 90 grados se obtiene v3c(t) = sen 3 co0t La suma, que se muestra en la figura 18.1c, adquiere un carácter incluso diferente. En todos los casos, el periodo de la forma de onda resultante es el mismo que el de la forma de onda fundamental. La naturaleza de la forma de onda depende de la amplitud y de la fase de toda componente armónica posible, por lo que se pueden generar formas de onda que tienen características en extremo no senoidales, mediante una combinación apropiada de funciones senoidales. Después que el lector se familiarice con el uso de la suma de un número in finito de funciones seno y coseno para representar una forma de onda periódica, se considera la representación en el dominio de la frecuencia de una forma de onda no periódica general, de una manera similar a la transformada de Laplace.
SECCIÓN18.1 FORMATRIGONOMÉTRICADELASERIEDEFOURIER *
W V ----- { 737
■ FIGURA 18.1 Varias formas de onda diferentes que se pueden obtener (de un número infinito) mediante la combinación de una fundamental y una tercera armónica. La fundamental es y, =2cosa>0t, y la tercera armónica corresponde a: (a) i/y = CDS3cL>0f; (¿>) i/3¿ = 1.5 cos 3&)0f ; (c) iVx = sen í w g t .
P R Á C T I C A _________________________ ______________________
L8.1 Suponer que se agrega una tercera armónica de tensión a la fundamental para producir v = 2 cos (üqí + Vm3 sen cooí, la forma de onda de la figura 1 8 .1 c para Vmj = 1. ( a ) Determinar el valor de V m 3 de manera que v(í) tenga una pendiente cero en ojqí = 2 i t /2>. (b) Evaluar v(t) en tú q í = 2 7 T /3 . R e s p u e s ta s : 0 .5 7 7 ; —1 .0 0 0 .
La serie de Fourier Considerar primero una función periódica f ( t ) , definida en la sección 11.2 por la relación funcional siguiente: m
= f(t
+
T)
AA/V
CAPÍTULO18 ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER donde T es el periodo. Se supone además que la función f ( t ) satisface las siguientes propiedades:
Se tomará f(t) para representar una forma de onda de tensión o corriente; además, cualquier forma de onda de tensión o corriente que se pueda en realidad producir debe satisfacer estas condiciones. Ciertas funciones matemáticas que se podrían suponer quizás no satisfagan tales condiciones, aunque se supondrá que las cuatro condiciones siempre se satisfacen.
1. f ( t ) es univaluada en todos lados; es decir, f ( t ) satisface la definición m atemática de una función. 2. La integral f ^ +T \ f ( t ) \ d t existe (es decir, no es infinita) para cualquier t0. 3. f i t ) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier periodo. 4. f ( t ) tiene un número finito de máximos y de mínimos en cualquier periodo. Dada tal función periódica / ( í ) , el teorema de Fourier establece que f i t ) se po dría representar mediante la serie infinita: f ( t ) = flo + «i eos coot + a2 cos 2coot H----+ b[ sen coot + b2 sen 2co0t + ■■•
[1]
OO
= a0 + y ^ (a „ cos ncüot + bn sen n cü0t) n= 1
donde la pulsación fundamental coo se relaciona con el periodo T mediante 2n Wn =
-----
T
y donde üq, a„ y bn son constantes que dependen de n y de f i t ) . La ecuación [1 ] es una forma trigonométrica de la s e r i e d e F o u r i e r para f ( t ) , en tanto el pro ceso de determinar los valores de las constantes üq, a„ y bn se llama análisis de Fourier. El objetivo no es la prueba de este teorema, sino sólo una simple for mulación de los procedimientos del análisis de Fourier y una percepción de que el teorema es correcto (convincente).
Algunas integrales trigonométricas útiles Antes de explicar la evaluación de las constantes que aparecen en la serie de Fourier, se recopilará un conjunto de integrales trigonométricas útiles. Sean n como k representativos de cualquier elemento del conjunto de enteros 1, 2 , 3 , . . . En las siguientes integrales, O y T se usan como límites de integración, aunque se en tiende que cualquier intervalo de un periodo es igual de correcto. Dado que el valor promedio de una senoide sobre un periodo es cero, T
sen na>ot dt = O
[2]
cosna>otdt=0
[3]
L
T o
También resulta sencillo demostrar que las siguientes tres integrales definidas son cero:
/
sen kcoot cos ncoot d t = O
[4]
SECCIÓN18.1 FORMATRIGONOMÉTRICADELASERIEDEFOURIER *
í í
T
sen kcúQt sen ncoot dt = 0
(k =£ n)
[5]
cos kcoot cos ncoot d t = 0
(k ^ n)
[6]
T
Los casos que se exceptúan en las ecuaciones [5] y [6] también se evalúan con facilidad; se obtiene f*T T I sen2 ncoot d t = —
2
Jo
í
1
T 1 eos 2 ncüQt d-t = —
[7]
[8]
Evaluación de los coeficientes de Fourier La evaluación de las constantes desconocidas en la serie de Fourier tal vez ahora se consiga sin dificultades. Primero se busca a 0. Si se integra cada lado de la ecuación [1] a lo largo de un periodo completo, se obtiene nT
nT
nT QO
I
f(t)dt= I
aodt + I
Jo
Jo
Jo
y ^ ( a „ cosnw ^t + bn sen ncúpt) dt
“ í
Pero todo término de la sumatoria es de la forma de la ecuación [2] o [3], por lo cual T
f { t ) d t = a0T
f Jo
a0 = 7 r f f (t) dt t Jo
[9]
Esta constante a0 es sencillamente el valor promedio de f ( t ) sobre un periodo, y por tanto se describe como una componente en cd de f ( t ) . Para evaluar uno de los coeficientes coseno — tal como a¡,, el coeficiente de cos kojQt— se multiplica primero cada lado de la ecuación [1] por cos kcoot y luego se integran ambos lados de la ecuación sobre un periodo completo: I
f ( t ) cos ka>ot d t = I
Jo
Jo
üq cos kcoot d t pT
oo
+ I
an cos kcoat cos na>Qt d t n= l
fT
+ I J0
oo
V bn cos kmoí sen na¡ot dt n= 1
En las ecuaciones [3], [4] y [6] se observa que todo término del lado derecho de ellas es cero, salvo el término individual an, donde k = n. Se evalúa el término utilizando la ecuación [8] y al hacerlo de ese modo se encuentra a¡, o a„: T
-
I
í
f
(Y)cos ncoot d t
[10]
A/W
A /W
-----------------•
CAPÍTULO18 ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER El resultado es el doble del valor promedio del producto /( ? ) cos nco^t sobre un periodo. De manera similar, se obtiene bk si se multiplica por sen ka>ot, se integra so bre un periodo, pero se observa que todos, menos uno de los términos del lado derecho, son cero y se efectúa esa simple integración mediante la ecuación [7]. El resultado es 2 fT
bn = — \
f ( t ) sen ncüotdt
[11]
I Jo que es el doble del valor promedio d e /(f) sen nco^t, sobre un periodo. Las ecuaciones de la [9] a la [11] permiten ahora determinar los valores de «o y de todas las an y b„ de la serie de Fourier, en la ecuación [ 1]:
f ( t ) = a0 +
cos na>ot + bn sen nco^t)
[1]
n= i 2n w o = — = 2 ic J o
[9]
ao
=l f
f ( t ) cosncüoí d t
[ 10]
f ( t ) sen ncúQt dt
[ 11]
1 J0
- r2í fJo
EJEMPLO L a fo rm a de onda “sem isenoidal” que se m u estra en la figura 18.2 representa la respuesta en tensión que se obtiene a la salida del circuito r e c tiíic a d o r de m edia onda, un circuito no lineal cuyo propósito es con v ertir una tensión de en tra d a senoidal en una tensión de salida de cd (pulsante). D eterm inar la representación m ediante una serie de F o u rie r de esta fo rm a de onda.
Identificar el objetivo del problema. Se presenta una función periódica semejante, de manera parcial, a una forma de onda senoidal y se pide determinar la representación mediante una serie de Fourier. A no ser por la eliminación de todas las tensiones negativas, el problema seria trivial, pues sólo se requeriría una senoide. v(t)
■ FIGURA 18 .2 Salida de un rectificador de media onda en el que se aplica una entrada senoidal.
SECCIÓN18.1 FORMATRIGONOMÉTRICADELASERIEDEFOURIER
Recopilar toda Ia información conocida. Para representar esta tensión como una serie de Fourier, se debe determinar primero el periodo y luego expresar la tensión gráfica como una función analítica del tiempo. De acuerdo con la gráfica, se observa que el periodo es T = 0 .4 s así que /o = 2.5 Hz
y wo
5tt rad/s
=
Elaborar un plan. La forma más directa es aplicar las ecuaciones 9 a 11 para calcular el con junto de coeficientes ao, a„ y bn. Para llevar a cabo lo anterior, es necesario contar con una expresión funcional de v{t), siendo la más directa la definida sobre el intervalo t = 0 a / = 0.4 como: v(t) =
Vmcos 57r í
0 < t < 0.1
0
0.1 < t < 0.3
Vmcos 57r í
0.3 < í < 0.4
Sin embargo, al elegir que el periodo se extienda desde í = —0.1 hasta í = 0.3 se obtendría un menor número de ecuaciones, y en consecuencia menos integrales:
Í V mcos57Tí 1 ,( 0 =
- 0 .1 < t < 0 . 1 0.1 < , < 0 .3
{ o
1121
Esta forma es preferible, aunque cualquier descripción daría el resultado correcto.
Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Observar que la integración sobre un periodo
La componente de frecuencia cero se obtiene con facilidad: ^
/*0,3
ao = 7 7 7 /
J - 0.1
-y
~
v(t)dt = —
/*0-1
/
completo debe descomponerse en subintervalos del
/*0.3
Vmcos5 n t d t +
periodo, para cada uno de los cuales se conoce la
(0) < *
L./-0.1J0.1
forma funcional de v(t).
La amplitud de un término coseno general es: 2 a" _
r.0.1
r - 1
0 4 lo .!
Vm cos 57rí cos 5 n n t d t
y la amplitud de un término senoidal general es 2
r/,° I1
eos 57r í sen 5ir nt dt
0) -/ 4 J - 0.1
el cual, de hecho, es siempre igual a cero, por lo cual no se tomará en cuenta de aquí en adelante.
Determinar si se requiere información adicional. La forma de la función que se obtuvo luego de integrar difiere cuando n es la unidad, en comparación con el caso en el que se elige cualquier otro valor de ra. Si ra = 1, se tiene f U.l 0.
/
eos257x t d t
a\ — 5Vm I - 0.1
= ^ ~ [13] (Continúa en la siguiente página)
7 4 2 )-------------
V W ----------- •
CAPÍTULO18 ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER
mientras que si n no es igual a la unidad, se encuentra que pO.l U.l
/
an = d vm l
cos 5n t cos 5n n t dt -0.1
Buscar la solución. Al resolver, se tiene que
[14]
a0 = JT Í 0A 1 - [ c o s 57r ( l ^ Vm- I T
+ n )t + c o s57r ( l — ra)í] dt
J - 0.1 ¿
Debe destacarse, de manera incidental, que la expresión de a„ cuando n ^ 1 proporcionará el resultado concreto den = 1 en el límite, a medida
2V m cos(7r n /2)
que/i -1# 1.
1 —n 2
n
(n + 1)
[15]
(Una integración similar muestra que bn = 0 para cualquier valor de n y que así la serie de Fourier no contiene términos seno.) Por lo tanto, la serie de Fourier se obtiene de las ecuaciones [1], [13], [14] y [15]: Vm
Vm
ir
2
.
t
2Vm
2Vm
3n
157r
v (t ) = ------ 1-------- cos 57xt H---- cos I O j t í -------------- cos 20irt H--------cos 30 n t — • • • 35it
[16]
Verificarla solución. ¿Es razonable o la esperada? La solución se comprueba insertando valores en la ecuación [16] y trun cando después un número específico de términos. Sin embargo, otro método consiste en graficar la función, como se indica en la figura 18.3
v(t) (volts)
I FIGURA 18.3 Ecuación [16] truncada después del término n = l , n = 2 y / í = 6 q u e muestra la convergencia hacia la media senoide i/(f). Se ha elegido por conveniencia una magnitud de Vm — 1-
SECCIÓN18.1 FORMATRIGONOMÉTRICADELASERIEDEFOURIER • “
A/W
para n — 1, 2 y 6. Como puede verse, a medida que se incluyan más térmi nos, la gráfica se asemejará más a la de la figura 18.2. P R Á C T IC A
18.2 Una función periódica / ( í ) se describe como sigue: f ( t ) = - 4 , para 0 < t < 0.3; f{t) = 6, para 0.3 < t < 0.4; f ( t ) = 0, para 0.4 < t < 0.5; T = 0.5. Evaluar: (a) a o; (b) a ^ c ) b\. 18.3 Escribir la serie de Fourier para las tres formas de onda de tensión de la figura 18.4. V
v (V)
(V)
+1
-1
0
1
2
-1
- t ( s)
4
3
(a)
MW
V
(V)
■ FIGURA 18.4 Respuestas: 18.2: —L.200; L.383;—4.44.18.3: (4 /jr)(sen n t + - sen 3 n t + j sen 5 Jtt + ■■■) V; 1
1
r (s)
-1
9.
1
( 4 /;r ) ( c o s ^ í — ^ c o s 3 ^ í + jC o s5 J t t ------ )V ;(8/^*)(sen n t — ^ s e n 3 ^ / + ^ s e n 5 ^ í -------).
Espectros de línea y de fase En la figura 18.2, la función v(¿ ) del ejemplo 18.1 se muestra en forma gráfica y, en la ecuación [ 12 ] ,) se expresa como una función analítica (ambas representa ciones están en el dominio del tiempo). La representación en serie de Fourier de v(t) en la ecuación [16] también es una expresión en el dominio del tiempo, aunque se podría transformar con facilidad en una representación en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, la figura 18.5 muestra la amplitud de cada com ponente de frecuencia de v{t), un tipo de gráfica llamada espectro de línea. Aquí, la magnitud de cada componente de frecuencia (es decir, \a0\, \a\ \, etc.) se indica por la longitud de la línea vertical a la frecuencia correspondiente (/o ,/i, etc.); para efectos de conveniencia, se ha tomado Vm = 1. Dado un valor diferente de Vm, simplemente se ajustan los valores del eje y a los nuevos valores.
A /W
CAPÍTULO 18
ANÁLISISDECIRCUITOSPORFOURIER
■ FIGURA 18 .5 Espectro de línea discreto de i/(í) como se representa en la ecuación [16], que muestra las primeras siete componentes de frecuencia. Por conveniencia se ha seleccionado una magnitud de
A menudo, dicha gráfica se conoce con el nom bre de espectro discreto y un solo vistazo a ella proporciona una gran cantidad de información. En par ticular, se puede observar cuántos térm inos de la serie se requieren para obtener una aproxim ación razonable de la form a de onda original. En el es pectro de línea de la figura 18.5 se observa que las armónicas 8a. y 10a. (20 y 25 Hz, respectivam ente) agregan solamente una pequeña corrección. Por lo tanto, interrum pir la serie después de la 6a. arm ónica debe proporcionar una buena aproximación; el lector podrá juzgarlo por sí mismo considerando la figura 18.3. Es necesario señalar un aspecto importante. El ejemplo considerado no con tiene términos seno y la amplitud de la armónica enésima es, por lo tanto, \an\. Si b„ no es cero, entonces la amplitud de la componente a una frecuencia hcoq debe ser / a 2 + b \, que es una cantidad general que se debe indicar en el espec tro de líneas. Cuando se estudie la forma compleja de la serie de Fourier, se verá que tal amplitud se obtiene de manera más directa. Además del espectro de amplitud, también se construye un espectro de fase discreto. A cualquier frecuencia neoo , se combinan los términos coseno y seno para determinar el ángulo de fase 4>n: an cos na>Qt + b„ sen na>at = ^j a 2 + b2 cos ^ nco^t + tan-1 — = ^ a n + b l COS( nC° 0 t + 4>n) O ,
.
4>n — tan
—i ~ b n
----cin
En la ecuación [16], 4>n = 0C o 180° para cualquier n. L a serie de Fourier de este ejemplo no incluye términos seno ni armónicas im pares (salvo la fundamental) entre los términos coseno. Se puede pronosticar la
SECCIÓN18.2 USOCELASIMETRIA ausencia de ciertos términos en una serie de Fourier, antes de que se efectúe cualquier integración, mediante una inspección de la simetría de la función de tiempo dada. En la siguiente sección se investigará el uso de la simetría.
m
18.2 USO DE LA SIMETRÍA --------•-------------------------------------------------------------------------------------Simetría par e impar Los dos tipos de simetría que se reconocen con mayor facilidad son la simetría de función p ar y la defunción impar o simplemente simetría p a r y simetría impar. Se dice que f f t ) posee la propiedad de simetría si m
= f(~t)
Funciones como f2, cos3í, ln(cosí), sen2 7f, y una constante C poseen todas simetría par; la sustitución de t por (—f) no cambia el valor de ninguna de estas funciones. Este tipo de simetría también se podría reconocer en forma gráfica, pues si f ( t ) = f ( —t) entonces existe simetría reflejada respecto del eje f ( t ) . La función de la figura 18.6a posee simetría par; si la figura se plegara a lo largo del eje f ( t ) , entonces las porciones de la gráfica de los tiempos positivo y negativo coincidirán con exactitud. Se define la simetría impar señalando que si es una propiedad de f ( t ) , en tonces f(0 = -f(-t)
Simetría y términos de la serie de Fourier Se investigará ahora el efecto que la simetría par produce en una serie de Fourier. Si se considera la expresión que iguala una función par f ( t ) con la su ma de un número infinito de funciones seno y coseno, resulta claro que la suma también debe ser una función par. Sin embargo, una onda seno es una función impar, y ninguna suma de onda seno puede producir una función par, aparte de cero (que es tanto par como impar). Así, es posible que la serie de Fourier de cual quier función par esté compuesta sólo por una constante y por funciones coseno. Se demostrará ahora con cuidado que bn = 0. Se tiene
2 r r° r T¡2 i = — / f ( t ) sen ncoQtdt + / f ( t ) sen ncoot dt T \_J—T¡2 Jo
■ FIGURA 18.6 (o) Forma de onda que muestra simetría par. (6) Forma de onda con simetría impar.
[18]
En otras palabras, si t se sustituye por (—r), entonces se obtiene el negativo de la función dada; por ejemplo, t, sen t, t cos 701, t a /T + 7 2, y la función dibujada en la figura 18.6/; son funciones impares y poseen simetría impar. Las característi cas gráficas de la simetría impar son patentes en la parte de f ( t ) para la que t > 0 se gira en tom o al eje t positivo y la figura resultante se gira después en torno al eje f ( t ) \ las dos curvas coincidirán de manera exacta. Es decir, en este caso se tiene simetría respecto del origen y no en tomo al eje / ( ? ) , como ocurrió en el caso de las funciones pares. Al tener definiciones de la simetría par y la impar, se debe observar que el producto de dos funciones con simetría par, o de dos funciones con simetría impar, tiene como resultado una función con sim etría par. Por su parte, el pro ducto de una función par y una im par da como resultado una función con ¿m e tría impar.
2 í^ 2 bn = — I f ( t ) sen nwot dt T J - t /2
m
[17]
««Mí
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
Luego se sustituye la variable t en la primera integral por —t , curre al hecho de que f ( t ) = / ( —t) = f ( r ) : fO [ í 2 bn = — / / ( - t T U t /2
pT/2 )
sen
( — n c L > o r)(— d r )
T
I
f r/2 sen
f ( t )
-|
1
ncú0t d t
Jo
fT / 2
I Jo
+
r = —í , y se re
o
j
fT/2
f ( x ) sen ncú0x d x +■ / Jo
f i t ) sen nwotdt
Sin embargo, el símbolo que se utiliza para identificar la variable de integración no puede afectar el valor de la integral. Así, rT/2
nT/2
I/ ( r) sen ruó ot dx — I
f ( t ) sen ncoot dx Jo
Jo
bn = 0
(simetría par)
[19]
Ningún término seno está presente. En consecuencia, si f ( t ) tiene simetría par, entonces bn = 0; inversamente, si bn = 0, entonces f ( r ) debe tener simetría par. Una inspección similar de la expresión de an conduce a una integral sobre la mitad del periodo que se extiende desde t = 0 hasta t — j T \ 4 [ T>2 an — — I f ( t ) cos ncoot d t T Jo
(simetría par)[20]
El hecho de que sea posible obtener a„ de una función par tomando “el doble de la integral sobre la mitad del intervalo” debe parecer lógico. Una función con simetría impar no contiene un término constante ni un tér mino seno en su desarrollo de Fourier. Se demostrará la segunda parte de este enunciado. Se tiene 2 an — — I
r T/2 f (t) cos ncoot dt T/2
2 r
r T/2f { t ) cos ncoot dt
r°
= — / f (t) cos ncoot dt + I T l J - T /2 Jo
y ahora se hace que t = —r en la primera integral: T/2 2 f fO r fp I,¿ an = — / / ( —t ) cos(—ncúox) (—id x) + I f (t) cosncúotdt T U t /2 Jo
=
2 r r T/2
t
\J
í ' f ( t ) cosnwot dt
f ( ~ r ) co s n wo x d x + J^
Pero f ( —x) = - / ( r ) ; por lo tanto, an — 0
(simetría impar)
[21]
Una prueba similar,aunque más simple, demuestra que a0 — 0
(simetría impar)
Por lo tanto,con simetría impar an = 0 y ao = 0; inversamente, si a„ — 0 y ao = 0, está presente la simetría impar.
SECCIÓN 18.2 USO DE LA SIMETRIA
A /W
747
Los valores de bn se obtendrían otra vez integrando sobre la mitad del intervalo: 4 f fT/2 / f ( í ') sen noJor dt
T Jo
(simetría impar)
[ 22]
El problema de práctica 18.3 que antecede a esta sección proporcionó ejemplos de simetría par e impar. Tanto en la parte a como en la b, la función dada es una onda cuadrada de la misma amplitud y periodo. Sin embargo, el origen del tiempo se selecciona para ofrecer simetría impar en la parte a y simetría par en la parte b, y la serie resultante contiene sólo términos seno y sólo términos coseno, respec tivamente. También vale la pena observar que el punto en el que t = 0 pudo haberse seleccionado para no proporcionar simetría par ni impar; la determi nación de los coeficientes de los términos de la serie de Fourier hubieran sido, al menos, del doble de largos.
m
Simetría de media onda La serie de Fourier de ambas ondas cuadradas tiene una característica intere sante: ninguna contiene algún armónica par.1Esto es, las únicas componentes de frecuencia presentes en la serie son múltiplos impares de la frecuencia funda mental; an y b„ son cero para valores pares de n. Este resultado se debe a otro tipo de simetría, conocida como simetría de media onda. Se afirma que f ( t ) po see simetría de media onda si
m
o la expresión equivalente, I FIGURA 18.7 (a) Forma de onda un tanto
f{t) = - f { t + \T ) Salvo por el cambio de signo, cada medio ciclo es similar a los medios ciclos adya centes. La simetría de media onda, a diferencia de la simetría par e impar, no está en función de la elección del punto t = 0. Por lo tanto, se establece que la onda cuadrada (figura 18.4a o b) muestra simetría de media onda. Ninguna de las formas de onda de la figura 18 6 tiene simetría de media onda, aunque las dos funciones algo semejantes que se grafican en la figura 18.7 poseen simetría de media onda. Se podría demostrar que las series de Fourier de cualquier función que tiene simetría de media onda contienen únicamente armónicas impares. Considerar los coeficientes an. Se tiene de nuevo 2 f T¡2 an = — I f (t) eos ncútfdt T Jl --Tj/ 2 r
r
l-T/2
o
I
f { t ) cosna>ot dr + I
3- T I 2
i
f ( t ) cosna>ot dt
0
la cual se representaría como an — — ( h + h )
(1) Se requiere una vigilancia constante para evitar la confusión éntre una función par y una armónica par, o entre una función impar y una armónica impar. Por ejemplo, b\o es el coeficiente de una armónica par, y es cero si / (r) es una función par.
sim ilar a la que se muestra en la figura 18.6o, pero que posee simetría de m edia onda. (b) Forma de onda un tanto sim ilar a la de la figura 18.66, pero con simetría de media onda.
A /W ------------------------- •
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS BE CIRCUITOS POR FOURIER
Se sustituye ahora la nueva variable r = t + \ T en la integral l\.
h =J
f ( j ~ 2 ^ ) C° S nC°° ( j ~ 2 ^ )
C
ncú0T ncooT\ cos neoo t cos —- — + sen nco^r sen —- — I d r
M
Pero coqT es 2 n \ por ello, naj0T s e n ------- = sen m i = 0 Por consiguiente, T/2 I\ = — co srm /
f (r) cos ncoot d r
í
Al observar la forma de ¡2, es viable escribir T/2
— (1 — cosrni)
f ( t ) cos ncüQt d t
L
El factor (1 —cos n n ) indica que a„ es cero, si n es par. De tal manera, 4 r T' 2 — I f ( t ) cosntüot d t T Jo 0
« im p a r
(y simetría de onda) [23]
n par
Una investigación similar muestra que b„ es también cero para toda n par y, por lo tanto, T/2 4 f ( t ) sen nox)t dt n impar T (y simetría de onda) [24] 0
\
í
n par
Debe observarse que la simetría de media onda se presentaría como una forma de onda que también muestre simetría impar o par. La forma de onda dibujada en la figura 18.7c/, por ejemplo, posee simetría par y de media onda. Cuando una forma de onda tiene simetría de media onda y simetría par o impar, entonces se puede reconstruir la forma de onda, si se conoce la función sobre cualquier intervalo de un cuarto del periodo. El valor de an o bn también se de term ina al integrar sobre cualquier cuarto de periodo. Por lo tanto, f ( t ) eos ncoot dt n impar
Siempre vale la pena dedicar unos momentos a investigar la simetna de una fundón para la que se va a determinar la serie de Fourier.
an — o
npar
bn = 0
todo n
simetría de onda y par) [25]
todo n
a.n — 0
37 4 b,
f ( t ) sen
dt n impar
(y simetría de onda e impar)
P6] bñ = 0
n par
La tabla 18.1 proporciona un breve resumen de las simplificaciones que surgen de los diferentes tipos de simetrías que se estudiaron en esta sección.
A /V V
SECCIÓN 18.2 USO DE LA SIMETRÍA
18.1
TABLA
749
Resumen de las simplificaciones de la serie de Fourier con base en las simetrías Sim plificación
Característica
Tipo de simetría Par
/(O = - /( O
bn = 0
Impar
f(t) = - / ( - y £
¿Z72 — 0
T
Media onda
í - ÍÉ 2f ( t ) 3/1 =
|
cos ncoot d t
lo f ( 0 : — —f ( t +
4 f T/1 I
-
n
impar
n
par
n
impar
T Jo
f
(?) sen na>0t d t
T Jo jo 0
/? par
Media onda y par
W
-
j 'y
l.fI
8 /’^ 4
/( j = - fió
o /(O = - / ( £ + ^ ) Í
f (ty e o s na>ot d t
« im p ar n
par
para todo n
IS O
B b = -/(o Media onda e impar
f(ó = fit) =
-/(y - y i y
an
para todo n
= 0
-/(-O
o /(O =
+ 2
|( 0 = - / ( 1 2
PRÁCTICA t
____________________
18.4 Graficar cada una de las funciones descritas, establecer si está presente o no la simetría par, la simetría impar o la simetría de media onda, e indicar el periodo: (a) v = 0, para —2 < í < 0 y 2 < í < 4 ; u = 5, para 0 < t < 2; v = —5, para 4 < t < 6; se repite; (b) v — LO, para 1 < t < 3; v = 0, para 3 < t < 7; v = — 10, para 7 < t < 9; se repite; (c ) v = 8t , para —l < f < l ; u = 0, para 1 < t < 3; se repite. 18.5 Determinar la serie de Fourier de las formas de onda del problema de práctica 18.4a y b. Respuestas: L8.4: No, no, sí, 8; no, no, no, 8; no, sí, no, 4. OO
18-5:
00
E
n—1(impar)
£ rn n=l
3 (sen f cos T + sen T ) ' - 3 s e n ^ ) coS22í + ( c o s f - c o s ^ f ) s e n ^ ] .
(jíJ
fit)
sen nojot-flt
n
impar
n
par
AA/V
CAPITULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
18.3 t RESPUESTA COMPLETA A FUNCIONES________________
* FORZADAS PERIÓDICAS M ediante el uso de la serie de Fourier se podría expresar ahora una función forzada periódica arbitraria como la suma de un número infinito de funciones forzadas senoidales. L a respuesta forzada de cada una de estas funciones se debe determinar mediante el análisis convencional de estado permanente, pero la forma de la respuesta natural se establece a partir de los polos de una función de transferencia de red apropiada. Las condiciones iniciales que existen en la red, incluso el valor inicial de la respuesta forzada, permiten la selección de la am plitud de la respuesta natural; en consecuencia, la respuesta completa se obtiene como la suma de las respuestas forzada y natural.
EJEMPLO 18.2
Vs ( t )
C alcu lar la respuesta periódica que se obtiene cuando la onda c u a d ra d a de la figura 18.8a, incluyendo su com ponente de cd, se aplica al circuito R L en serie de la figura 18.8/;. L a función forzada se aplica en / = 0, y la corriente es la respuesta que se desea. Su valor inicial es cero.
(V )
—1 10 —
77
2
0
77
77
37T
277
T
2 (a)
1 (s)
La función forzada tiene una frecuencia compleja (pulsación) fundamental oúq = 2 rad/s, y su serie de Fourier se podría escribir por comparación con la serie de Fourier generada para la forma de onda de la figura 18.4a en la solución del problema de práctica 18.3, 20 vs(t) = 5 + ■ —
^ V
sen2«í ---------
n = l (im p a r)
n
”
Se encontrará la respuesta forzada de la armónica enésima trabajando en el dominio de la frecuencia. De tal modo, 20
vSn(t) = — sen2 nt nn l FIGURA 18.8 (o ) Función forzada
de tensión
de onda cuadrada. (¿ ) La función forzada de la oarte o se aplica a este circuito RL f =
en serie, en
20
20
V,„ = — / - 9 0 = - / — nn nn
0; se desea la respuesta com pleta i(t).
La impedancia que ofrece el circuito RL a esta frecuencia está dada por Z„ = 4 + j (2n)2 = 4 + j4 n Recordar que Vm sen cot es igual a
Vm cos(ü)f - 9 0 ° ), lo que corresponde a
y por ello la componente de la respuesta forzada a esta frecuencia es igual a
l/ m / - 9 0 ° = - / I V
_ V« _ ~j5 fn Z„ n n (l + jn ) Si se transforma al dominio del tiempo, se tiene
.
5
1
cos(2 nt — 90° — tan 1 n)
nn V l + n 2 5
( sen2«f
7 r ( l + n 2) \
n
■c o s 2 n t
SECCIÓN 18.3 RESPUESTA COMPLETA A FUNCIONES FORZADAS PERIÓDICAS
Dado que la respuesta de la componente de cd es simplemente 5 V /4 Q = 1.25 A, la respuesta forzada se expresaría como la sumatoria sen 2nt iif t i ) = 1.25-1— Y n( 1 + n 2) 7t «—1“(impar)
cos 2 nt l + n2 _
La respuesta natural familiar de este circuito simple es el término exponencial [que caracteriza al único polo de la fnnción de transferencia, 1 //V S = 1/(4 + 2s)j in(t) = A e ~ 2t La respuesta completa es, por lo tanto, la suma i(t) = if i t ) + i„ (t) Si t = 0, se encuentra A utilizando i (0) = 0 : A = -1 .2 5 +
5
^
1
Jt n=l(impar) f-r1 1 + n
Aunque sería correcto expresar A en términos de esta sumatoria, resulta más conveniente utilizar el valor numérico de la sumatoria. La suma de los primeros cinco términos de X! 1/ ( I + n 2) es 0.671, la suma de los primeros diez términos es 0.695, la suma de los primeros veinte términos corresponde a 0.708 y la suma exacta es igual a 0.720 hasta tres cifras significativas. Por lo tanto, A
- 1 . 2 5 + -(0 .7 2 0 ) =
-0 104
JT
i(t) = —0.104e —2t + 1.25 C
oo
- y # r n
sen 2 nt
1(impar)í _ n ( l + n 2)
co s2n i 1 + n 2 ._
amperes
Al obtener esta solución, se emplean muchos de los conceptos más generales que se presentaron en éste y en los 17 capítulos precedentes. No fue necesario utilizar algunos debido a la naturaleza simple de este circuito en particular, aunque se indicó su posición en el análisis general. En este sentido, se podría considerar la solución de este problema como un logro significativo en el estu dio introductorio del análisis de circuitos. Sin embargo, a pesar de este glorioso sentimiento de logro, debe señalarse que la respuesta completa, según se obtuvo de manera analítica en el ejemplo 18.2, no es de mucho valor en la forma dada, pues no ofrece una imagen clara de la naturaleza de la respuesta. Lo que en reali dad se requiere es un bosquejo de i (t ) como función del tiempo, la cual se ob tendría mediante un cálculo laborioso. U na computadora de escritorio o una calculadora programable son de gran ayuda en este caso. El bosquejo quizá se aproxime mediante la suma gráfica de la respuesta natural, el término de cd y unas cuantas de las primeras armónicas; ésta es una tarea ingrata. Cuando todo se ha dicho y hecho, tal vez la solución más informativa de este problema se obtenga mediante un análisis transitorio repetido. Esto es, la forma de la respuesta puede calcularse con certeza en el intervalo de t = 0 a t = n / 2 s; éste es un crecimiento exponencial hacia 2.5 A. Después de determinar el valor
r
VA
0
A /W
■#
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
en el extremo del primer intervalo, se tiene la condición inicial del siguiente se gundo intervalo de (jt/2). El proceso se repite hasta que la respuesta asume una naturaleza que suele resultar periódica. El método resulta muy adecuado para este ejemplo, pues hay un cambio insignificante en la forma de onda de la corriente en los periodos sucesivos n / 2 < t < 3 ^ /2 y 3 n / 2 < t < 5 r / 2 . La respuesta de corriente completa se dibuja en la figura 18.9.
Í(i) (A)
t
(s)
■ FIGURA 18.9 Porción inicial de la respuesta completa del
circuito de la figura 18.86 a la función forzada de la figura 18.8o.
PRÁCTICA -----------------•-----------------------------------------------------------*-----18.6 Utilizar los métodos del capítulo 8 para determinar el valor de la corriente de la figura 18.9 en t igual a: (a) jt/2 ; (b) jt; ( c ) 37t / 2 . Respuestas: 2.392 A; 0.1034 A; 2.396 A.
18.4
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
---------•-----------------------------------------------------------------------------------------------Al obtener un espectro de frecuencia, se observó que la amplitud de cada com ponente de frecuencia depende tanto de an como de bn\ esto es, el término seno y el término coseno contribuyen a la amplitud. La expresión exacta de esta am plitud es M + b ¡ - También es posible obtener la amplitud en forma directa al utilizar una forma de la serie de Fourier en la que cada término es una función coseno con un ángulo de fase; la amplitud y el ángulo de fase son funciones de f ( t ) y n. Una forma incluso más conveniente y concisa de la serie de Fourier se con sigue si los senos y cosenos se expresan como funciones exponenciales con constantes multiplicadoras complejas. Se considera primero la forma trigonométrica de la serie de Fourier: El lector recordará las identidades a la
_
a - ¡ a
CO
f ( t ) = Oo +
sen a = ------—-----y
cosn&>oí + bn sen «
y luego se sustituyen las formas exponenciales del seno y el coseno. Tras reordenar, / ( í ) = a0 + ¿ n= 1
( e jnaj°‘ a" ~2 j t n + '
SECCIÓN 18.4 FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
AAA ---------
#■
Se define ahora una constante compleja c„: c„ = \ ( a n - j b n)
(;n = 1 , 2 , 3 , . . . )
[27]
Los valores de a„, b„ y c„ dependen todas de n y f ( t ) . Suponiendo que se reem plaza ahora n por (—n), ¿cómo cambian los valores de las constantes? Los co eficientes an y b„ se definen m ediante las ecuaciones [10] y [11] y resulta evidente que: ü —n = &n
pero h—n —
bn
De la ecuación [27] se tiene c_„ = ¿ (an + jb„)
(n = 1 ,2 ,3 ,...)
[28]
Por lo tanto, C«
=
C-n
También sea, Co = ao Por lo tanto, se podría expresar f ( t ) como cnej 'lcú(,t + ^ 2 c-„e~- j ncoot
f ( t ) = c0 + n— 1
n— 1
f ( t ) = J 2 :cnejH<4 + J 2 C- n e - Jnm‘ n= 1
n—0
Por último, en lugar de sumar la segunda serie respecto de los enteros positivos desde 1 hasta o o , se sumará respecto de los enteros negativos desde —1 hasta —o o : m
OO = ^ c , , ^ n—0
—OO 0-Jn&ot
+ n——l
oo f ( t ) = J 2 cnejnaat «=—00
[29]
Por convención, una sumatoria desde —oo hasta oo se entiende que incluye un término para n = 0. La ecuación [29] es la forma compleja de la serie de Fourier para f { t ) ; su concisión es una de las razones más importantes por la que se utiliza. Para obtener la expresión mediante la que se podría evaluar un coeficiente complejo particular c,¡ se sustituyen las ecuaciones [10] y [11] en la [27]: i r T*2 c» = — / /(O 1 J-T/2
COS ncoot
i r T/2 dt - j — / f ( t ) sen nco0t dt * J-T/2
\\
■
i
753
0
A /W
■#
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS PCR FCL.RIER
luego se utilizan los equivalentes exponenciales del seno y del coseno y se sim plifica: [30] Así, una sola y concisa ecuación sirve para sustituir las dos ecuaciones requeri das para la forma trigonométrica de la serie de Fourier. En lugar de evaluar dos integrales para obtener los coeficientes de Fourier, sólo se necesita una inte gración; además, casi siempre es una integración más simple. Debe observarse que la integral de la ecuación [30] contiene el factor 1/7’, mientras que las inte grales de an y b„ no contienen el factor 2¡ T . A l agrupar las dos relaciones básicas de la forma exponencial de la serie de Fourier, se tiene
f(t) =
OO J 2 cnejn“°‘
[29]
n——oo
1 C„ = - /
CT/1 f ( í ) e ~ jn<0ot d t
[30]
1 J -T /2
donde coo — l i t / T como es usual. La amplitud de la componente de la serie de Fourier exponencial en u> = ncoo, donde n = 0, ± 1 , ± 2 , . . . , es |c„|. Se graficaría un espectro de frecuencia discreto dando |c„ | en función de naj() o nfo, utilizando una abscisa que muestre los valores tanto positivos como negativos. Cuando se efectúa lo anterior, la gráfica es simétrica alrededor del origen, pues las ecuaciones [27] y [28] muestran que |c„ | = |c_„ |. Observar también de las ecuaciones [29] y [30] que la amplitud de la com ponente senoidal en co = ticoq, donde n = 1, 2, 3 , . . . , es y4¡2 + ¿>2 = 2|c„ | = 2|c_„| = |c„| + |c _ „|. En el caso de la componente de cd, ao = CoLos coeficientes exponenciales de Fourier, dados por la ecuación [30], tam bién resultan afectados por la presencia de ciertas simetrías en f ( t ) . De tal modo, las expresiones apropiadas de c„ son: 2 f»r/ 2 f ( t ) cosn&>of dt —— I T Jo — ¡2
f T/2
------/ f ( t ) sen ncúQt dt T Jo
(simetría par)
[31]
(simetría impar)
[32]
77 2
(n simetría
media onda)
[33a]
C„ =
f (/) eos n(ü(¡t dt
(n par y media onda)
[336]
(n impar media onda) 1 (n par — media onda)
L34a]
(n impar y media onda)
[35a]
(n par
[35 b]
media onda)
[34b]
SECCIÓN 18.4 FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
M
... ■■■■ .■■ ?....-w i'v- Hf “ " 1.,■ ™> :
v . '‘:
&
|
D eterm in ar c„ de la onda c u a d ra d a de la figura 18.10. v(V)
■r(s)
-l
I FIGURA 18.10 Función de onda cuadrada que posee paridad y simetría para media onda.
Esta onda cuadrada posee simetría paridad y simetría para m edia onda. Si se ignora esta simetría y se usa la ecuación general [30], con T = 2 y cúq = 2it¡2 — j t , se tiene c„ =
fT /2
1
T
J- T ¡ 2 p —0.5
1
dt +
Li
2 1
jn n 1 1 y2njr
pl
e~jn7tt dt -
-00.5 .5
- i
j2 m t
/
0.5 /
J 0.5
e~J m t d t
1 -jn n
-ynjr
■(V ',jr//2 — e-,njr — e^ i njtl2 -\- e in7t!2 + e~^nlT (2 éJ W
2
(e - ^ wí)¿,5
c~Jn
_ 2 e - im /2) = — sen — « jt 2
Por lo tanto, se encuentra que Co = 0, C! = 2 /jt, C2 = 0, C3 = —2 /3 jt, C4 = 0, Cs = 2 /5 jt, etc. Estos valores concuerdan con la serie de Fourier trigonométrica dada como respuesta de la práctica 18.3 para la forma de onda de la figura 18.4/j , si se recuerda que an = 2cn cuando bn = 0. Al utilizar la simetría de la form a de onda (paridad y media onda), se requiere menos trabajo cuando se aplican las ecuaciones [34a] y [34¿], que llevan a
c" “ r lJO 4
/*0.5
í
/ ( i ) cosn¿üo? 0.5
eos n n t d t = — (sen nnt) niT o 2 2 rnt — sen — (n nnpar) nir 2 0 (n par) Estos resultados son los mismos que los que se obtienen cuando no se toma en cuenta la simetría de la form a de onda.
#■
■WV EJEMPLO 18.3
AA/V
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
Se considerará ahora un ejemplo más difícil e interesante.
EJEMPLO
18.4 'C ie r ta fu n ció n /(í) es un tre n de pulsos rectangulares de am plitud V'0 y d u ració n r, que se repiten en form a periódica cada T segundos, como se m u e stra en la figura 18.11. D eterm in ar la serie de F o u rie r exponencial de f(t). v(t) ---
---
Vo -
T
i
1
0
_L„
2T
fn
I F IG U R A T8 .11 Secuencia periódica de pulsos rectangulares.
La frecuencia fundamental es /o = \ / T . No se presenta simetría y el valor de un coeficiente complejo general se determina gracias a la ecuación [30]: Vn í to+r
1 íf 7' 1/¿2
< n no*'t dt
J - T
Vo (e ~jna)o(to+T) _ e ~jnú)otoj —jncooT 2V0 e jnú>o(t(,+T/2) s e n ncooT V0 T s e n ^ n c o o r )
jna)o(to+T/2)
na>o t Por lo tanto, la magnitud de c„ es ic„ i - —— V° T
sen ( Í míüot) j MíüoT
[36]
y el ángulo de c„ está dado por ang c„ = —ncoo (to + —)
(posiblemente más de 180°)
[37]
Las ecuaciones [36] y [37] representan la solución de este problema de la serie de Fourier exponencial.
La función de muestreo A menudo, en la teoría de comunicaciones moderna aparece el factor trigono métrico de la ecuación [36], que se conoce como fu n c ió n de muestreo. El “muestreo” se refiere a la función de tiempo que se muestra en la figura 18.11, de la cual se deduce la función de muestreo. El producto de esta secuencia de
SECCIÓN 18.4 FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
• -------------------------
pulsos y cualquier otra función f ( t ) representa muestras de f ( t ) cada T segun dos, si r es pequeña y Vo = 1. Se define sen x Sa(x) = -----x Debido a la forma en que ayuda a determinar la amplitud de las diversas com ponentes de frecuencia en / ( í ) , vale la pena descubrir las características impor tantes de esta función. Primero, observar que Sa(x) es cero, siempre que x sea un múltiplo entero de 7r; esto es: Sa(«7r) = 0
n = 1, 2, 3 , . . .
Cuando x es cero, la función es indeterminada, pero resulta fácil demostrar que su valor es la unidad: Sa(0) = 1 Por lo tanto, la magnitud de Sa(x) disminuye desde la unidad en x = 0 hasta cero en x = j t . A medida que x aumenta desde tt hasta 2iz, |Sa(x)| )l se incrementa desde cero hasta un máximo menor que la unidad y después disminuye hasta cero otra vez. Conform ex continúa aumentando, los máximos sucesivos se vuel ven cada vez más pequeños, debido a que el numerador de Sa(x) no puede ex ceder de la unidad y el denominador crece de manera continua. Además, Safx) muestra simetría par. Se construirá ahora el espectro de líneas. Se considera primero |c„ ¡, escribiendo la ecuación [36] en términos de la frecuencia cíclica fundamentalf y Iicn I, _— V°T j ,
sen (n nfox) nnfoT
[38]
La amplitud de cualquier c„ se obtiene de la ecuación [38] utilizando los valores conocidos r y T — I /jo y eligiendo el valor deseado de n, n — 0, ± 1 , ± 2 , ___ En lugar de evaluar la ecuación [38] en estas frecuencias discretas, se dibujará la envolvente de |c„ | considerando la frecuencia nfo como una variable con tinua. Es decir,/, la cual es nfo, en realidad sólo puede tomar los valores dis cretos de las frecuencias armónicas 0, ± / 0, ± 2 /o , ±3./-o, etc., aunque, por el momento, se podría considerar a n como una variable continua. Cuando / es cero, lo,| es evidentemente Vqx/ T , y cu an d o /au m en tah asta 1 / r , |c„| es cero. La envolvente resultante se dibuja con una línea tenue en la figura 18.12a. El espectro de línea se obtiene entonces levantando una recta vertical en cada fre cuencia armónica, como se ilustra en el dibujo. Las amplitudes que se presen tan son las correspondientes a c„. El caso dibujado se aplica a la situación en la que x / T = 1/(1.57r) = 0.212. En este ejemplo, no hay armónica exactamente en la frecuencia donde la amplitud de la envolvente es igual a cero; sin em bargo, otra elección de x o T produciría dicho suceso. En la figura 18.12¿>, la amplitud de la componente senoidal se grafica como una función de la frecuencia. Observar otra vez que cío = c o y \ f a \ + b\ = |c„ | + | c_„ |. Son varias las observaciones y las conclusiones que se pueden hacer acerca del espectro de líneas de una secuencia periódica de pulsos rectangulares, como se indica en la figura 18.12¿>. Con respecto a la envolvente del espectro discreto, resulta evidente que el “ancho” de la envolvente depende de r , y no de T. En reali dad, la form a de la envolvente no es una función de T. Se concluye que el ancho de banda de un filtro que se diseña para dejar pasar pulsos periódicos es una fun ción del ancho del pulso r , pero no del periodo del pulso 7; un examen de la
V Y
WV -------------{
757
A /W
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
IcJ
(o)
“2n + b2„
Cb) (a) Espectro de línea discreto de lo, I versus f = n f 0,n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . correspondiente al tren de pulsos que se muestra en la figura 18,11.(6) y/a2 + b 2 versus f = n f 0,n = 0 , 1, 2 ,... para ei mismo tren de pulsos.
t FIG URA 18.12
SECCIÓN 18.5 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
figura 18.12¿> indica que el ancho de banda requerido es casi igual a 1 /r Hz. Si el periodo T del pulso se incrementa (o la frecuencia de repetición/o del pulso disminuye), no cambia el ancho de banda 1 / r , aunque aumenta el número de líneas espectrales entre la frecuencia cero y 1 /r Hz pero en forma discontinua; la am plitud de cada línea es inversam ente proporcional a T. Por últim o, un desplazamiento con respecto al origen del tiempo no cambia el espectro de líneas; esto es, |c„| no es una función de t0. Las fases relativas de los compo nentes de frecuencia cambian con la elección de to.
PRÁCTICA
____________ ___________________________________________________
18.7 Determinar el coeficiente general c„ en la serie de Fourier compleja para la forma de onda de la figura; (a) 18.4a; (b) 18.4c. Respuestas: —i ’W üm r) para n impar, 0 para n par; —;'[4/(n2n-2)] sen n n ¡ 2 para toda n.
18.5 g DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Ahora que el lector está familiarizado con los conceptos básicos de la repre sentación mediante la serie de Fourier de funciones periódicas, se procederá a definir la transformada de Fourier recordando primero el espectro del tren periódico de pulsos rectangulares que se obtuvo en la sección anterior. Se trataba de un es pectro de líneas discreto que es el tipo que se debe obtener siempre para funcio nes periódicas del tiempo. El espectro era discreto en el sentido de que no era una función uniforme o continua de la frecuencia, sino que tenía valores distin tos de cero sólo a frecuencias específicas. Sin embargo, hay muchas funciones forzadas importantes que no son fun ciones periódicas del tiempo, como un pulso rectangular individual, una función escalón, una función rampa o cierto tipo extraño de función llamada función im pulso que se definió en el capítulo 14. Los espectros de frecuencia quizá se obtengan para tales funciones no periódicas, aunque serán espectros continuos en los cuales determinada energía, en general, se encontraría en cualquier inter valo de frecuencia distinto de cero, sin importar qué tan pequeño sea. Se desarrollará este concepto empezando con una función periódica para de jar luego de que el periodo se vuelva infinito. La experiencia con los pulsos rec tangulares periódicos debe indicar que la envolvente disminuirá en amplitud, sin cambiar la forma, y que más y más componentes de frecuencia se encontrarán en un intervalo de frecuencia determinado. En el límite, se debe esperar una envol vente de amplitud pequeña que poco a poco se anule, llena con un número in finito de componentes de frecuencia separadas por intervalos de frecuencia cada vez más pequeños. El número de componentes de frecuencia entre 0 y 100 Hz, por ejemplo, se vuelve infinito, aunque la amplitud de cada uno tiende a cero. En principio, el espectro de amplitud cero parece un concepto misterioso. Se sabe que el espectro de líneas de una función forzada periódica muestra la amplitud de cada componente de frecuencia. Sin embargo, ¿qué significa la amplitud cero del espectro continuo de una función forzada no periódica? La pregunta se responderá en la sección siguiente; ahora se procederá a efectuar el procedimiento límite que se acaba de sugerir.
A /W
-•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
Se empieza con la forma exponencial de la serie de Fourier: OO
/co= J 2 c"£>“of
t39J
donde
i
rT' 2
Cn = f (t)e~jnWot d t 1 J-T/2 2 «o = —
[40]
je [41]
Se deja ahora T -> oo y, por ello, de la ecuación [41], coq debe ser cada vez más pequeña. Se representa el límite mediante una diferencial: o)o —* d co De tal modo, =
T
«o
^
2 ti
dco
2 ti
Por último, la frecuencia de cualquier "armónica” neoo debe corresponder ahora con la variable de frecuencia general que describe el espectro continuo. En otras palabras, n debe tender al infinito a medida que ox¡ tiende a cero, por lo que el producto es finito: neoo —»■ co
[43]
Cuando las cuatro operaciones límite se aplican a la ecuación [40], se en cuentra que c„ debe tender a cero, como se había supuesto.Si se multiplica cada lado de la ecuación [40]por el periodo T y después se lleva a cabo el proceso de límite, se obtiene un resultado no trivial: / OO f { t ) e ~ J<0,d t -OO
El lado derecho de esta expresión es una función de co (y no de t), así que se re presenta mediante F (jco)\
/
OO
m e -^ d t
[44]
-OO
Luego se aplica el proceso límite a la ecuación [39], Se comienza multipli cando y dividiendo la sumatoria entre T. OO i f ( t ) = J 2 c»T e ^ n= —oo
Se sustituye c„T por la nueva cantidad F (jco) y después se utilizan las expre siones [42] y [43], En el límite, la sumatoria se vuelve una integral, y 1 C°° f ( t ) = —- / F (jco)eJ",Idco ¿ J t J —QO
[45]
SECCIÓN 18.5 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Las ecuaciones |44J y [45] se llaman de manera colectiva par de transformadas de Fourier. La función F(jco) es la transformada de Fourier de f ( t ) , y f ( t ) es la transformada inversa de Fourier de F ( j lo ) . ¡Esta relación de pares de transformadas es de lo más importante! Se debe memorizar, dibujar flechas que la señalen y recordarla de aquí en adelante y para siempre. Se subraya la importancia de estas relaciones repitiéndolas en forma de recuadro:
1
f(t) = —
/
• -------------------------
WV
—(761
Tal vez el lector haya observado unas cuántas sim ilitudes entre la transform ada de Fourier y la transform ada de Laplace. Las diferencias clave entre ellas incluyen el hecho de que el alm acenam iento de energía inicial no se incorpora con facilidad en el análisis de circuitos que em plea la transform ada de Fourier, si bien lo anterior se hace con mucha facilidad en el caso de las transform adas de Laplace.
OO
Además, hay varias fund ones de tie m p o (p or
[46a]
e-¡°* f(t)d t -OQ
ejem plo, la exponencial creciente) para las que no existe una transform ada de Fourier. Sin em bargo, si el lector está interesado sobre todo en la inform ación
f° °
L n J _oq
e ^ F (jco)dco
[46*]
espectral y no en la respuesta transitoria, la opción es la transform ada de Fourier.
Los términos exponenciales de ambas ecuaciones llevan signos opuestos en los exponentes. Para mantenerlos correctos, quizá ayude advertir que el signo posi tivo se asocia con la expresión de f ( t ) , como sucede con la serie de Fourier compleja, ecuación [39]. Es importante plantear una pregunta en este momento. En el caso de las rela ciones de la transformada de Fourier de la ecuación [46], ¿es posible obtener la transformada de Fourier de cualquier f ( t ) elegida de manera arbitraria? La respuesta es afirmativa para casi cualquier tensión o corriente que sea factible producir. Una condición suficiente de la existencia de F (jco) es que
/ OO \ f ( t ) \ d t < oo -OO
Sin embargo, esta condición no es necesaria, debido a que algunas funciones que no la cumplen siguen teniendo una transformada de Fourier; la función de escalón es un ejemplo de lo anterior. Además, se verá después que f ( t ) incluso no necesita ser no periódica para tener transform ada de Fourier; la repre sentación en serie de Fourier de una función periódica de tiempo es sólo un caso especial de la representación más general de la transformada de Fourier. Como ya se indicó, la relación del par de transformadas de Fourier es única. Para una f ( t ) dada, hay una F (jco) específica, y para una F (jco) hay una f ( t ) específica.
EJEMPLO 18.5 A plicar la tra n sfo rm a d a de F o u rie r p a ra o b tener el espectro continuo del pulso rectan g u lar sencillo que se m u e stra en la figura 18.13a. El pulso es una versión truncada de la secuencia que se consideró anterior mente en la figura 18.11, y puede describirse como
f(t) =
Vo
t0 < t < t0 + r
O
t< t0y t> t0 + r ( C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
L a transformada de Fourier de f ( t ) se determina a partir de la ecuación [46 a]: /•ÍO+T F(j(ú) = I Voe~j
Vo -
T
I
1
-T
0
T
%
_
1
w
2T
(a) I F ( / ü))I
(b) ■ FIGURA 18,13 (a) Pulso rectangular único idéntico a los de la secuencia de la figura 18.11.
(b) Gráfica de |F(/a>)| correspondiente al pulso, con V0 = 1, r = 1 y í 0 = 0. El eje de la frecuencia se ha norm alizado al va lo r de
f0 =
] / 1 . 5 j t correspondiente a la figura 18.12o para
facilitar la comparación; obsérvese que f0 no tiene significado o relevancia en el contexto de F (Ja>).
La magnitud de F (jco) tiene como resultado el espectro de frecuencia continuo, y evidentemente es de la forma de la función de muestreo. El valor de F(0) es Vqt . La forma del espectro resulta idéntica a la envolvente de la figura 18.12b. Una gráfica de |F(y w)| como función de a>no indica la magnitud de la tensión presente en cualquier frecuencia dada. Entonces,
SECCIÓN 18.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
¿cuál es? El examen de la ecuación [45] muestra que si f ( t ) es una forma de onda de tensión, entonces las dimensiones de F (jco) son “volts por unidad de frecuencia”, un concepto que se presentó en la sección 15.1.
P R Á C T IC A _____________________________________________________________ 18.8 Si f ( t ) = —10 V,para —0.2 < t < —O.ls, f ( t ) = 10 V,para 0.1 < t < 0.2s y f ( t ) = 0 para todas las demás í, evaluar F (jco) para co igual a (a) 0; (b) lOn rad/s; (c) —107T rad/s; (d) 157T rad/s; (e) —20 jt rad/s. 18.9 SiFO 'o)) = - 1 0 V/(rad/s) para —4 < co < —2 rad/s, + 1 0 V/(rad/s) para 2 < co < 4 rad/s, y 0 para las demás co, determinar el valor numérico de f ( t ) en t igual a: (a) 10~4 s; (b) 10- 2 -s; (c) n / 4 s; (d) ti¡2 s; (e) jt s. Respuestas: 18.8: 0; 7 1 . 2 7 3 V/(rad/s); — 7 L.273 V/(rad/s); - jO .4 2 4 V/(rad/s); 0. J8.9: j 1.9099 x L(T3 V; y'0.1910 V; >4.05 V; -y'4.05 V; 0.
18.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA --------•-------------------------------------------------------------------------------------TRANSFORMADA DE FOURIER El objetivo en esta sección consiste en establecer varias de las propiedades matemáticas de la transformada de Fourier y algo más importante, comprender su significado físico. Se comienza utilizando la identidad de Euler para sustituir e~jwt en la ecuación [46a]: Y(jco) = í f ( t ) cos cot d t — j í f (t) sen ncot dt J —OO J —00
[47]
Dado que / (t), cos cot y sen cot son funciones reales del tiempo,ambas inte grales de la ecuación [47] son funciones reales de co. Por tanto, cos tsi F (jco) = A(co) + jB(co) = \F(jco)\emw)
[48]
se tiene
/
do
f ( t ) cos cot dt
[49]
-OO
/ OO f ( t ) sen n coot)
[50]
-OO
| F ( » | = y/AHai) + B \c o )
, B(co) —— A(co)
[51] [52]
Sustituyendo co por —co se demuestra que A(co) y |F(j'cm)[ son funciones pares de co, en tanto que B(co) y 4>(co) son funciones impares de co. Ahora bien, si f ( t ) es una función par de t. el integrando de la ecuación [50] es una función impar de í, por lo que los límites simétricos obligan a que B(co) sea cero; de tal modo, si f ( t ) es par, su transformada de Fourier F( jco) es una función real y par de co: además, la función de fase rp (co) es cero o n para toda co. Sin embargo, si f ( t ) es una función impar de t, entonces A(co) = 0 y F (jco)
»
A /W
7$4
)-------------
V A
--------------------------•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
son impares y una función imaginaria pura de co\ <¡>(cú) es ± 7 t/2 . Sin embargo, en general F(jco) es una función compleja de co. Por último, se observa que la sustitución de co por —co en la ecuación [47] forma el conjugado de F (jco). Por lo tanto, F (-y ta ) = A(co) - jB(co) = F *(jco) y se tiene F(jco)F(-jco) = F(jco)F*(jco) = A 2(co) + f í 2(o» = |F (y « )|2
Significado físico de la transformada de Fourier Cuando se conocen estas propiedades matemáticas básicas de la transformada de Fourier, se está listo para considerar su significado físico. Suponer que f ( t ) es la tensión o la corriente en la resistencia de 1 £i, de modo que f 2(t ) es la po tencia instantánea que entrega 1 Í2 a la resistencia de f ( t ) . Si se integra esta potencia a lo largo del tiempo, se obtiene la energía total que suministra f ( t ) a la resistencia de 1 £2,
/ <
f 2( t ) d t
[53]
•OO
Se recurrirá ahora a un pequeño artificio. Considerando al integrando en la ecuación [53] como f ( t ) multiplicada por sí misma, se sustituye una de esas funciones mediante la ecuación [46¿>]: 1 poo / OO f(t) — / ejM F(jco)dco dt \_2.TC J —qo
■oo
Puesto que f ( t ) no es una función de la variable de integración co, se puede mover dentro de la integral entre corchetes y luego intercambiar el orden de in tegración: Win = —
■
/
/
dco
F (jc o )e ^ f(t)d t
i C U -
A continuación, es necesario que F (jco) esté fuera de la integral interna, lo que provoca que la integral se convierta en F (—jco) : 1 WlQ = 2 n J
1 F ( j ú))F(-j«>) dco = — J
|F(y&>)|2<¿ct>
Agrupando estos resultados, se tiene
Marc Antoine Parseval-Deschenes fue más bien un desconocido matemático, geógrafo y ocasional poeta francés que publicó estos resultados en 1805, diecisiete años antes de que Fourier publicara su teorema.
/
OO
-oo
p oo
j
f 2( t ) d t = —
\F(jco)\2 dco j
[54]
—oo
La ecuación [54] es una expresión muy útil conocida como teorema de Parseval. Este teorema, junto con la ecuación [53], establece que la energía asociada con f ( t ) se obtiene de una integración de cualquier t en el dominio del tiempo, o mediante 1/(27t) veces una integración sobre toda la frecuencia (en radianes) en el dominio de la frecuencia. El teorema de Parseval permite una mejor comprensión e interpretación del significado de la transformada de Fourier. Considerar una tensión v(t) con trans formada de Fourier F v(jco) y energía 1 Í2 para Wjq:
SECCIÓN 18.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
-^W V
765
l*VO)2
/ FIG URA 18,14 El área de la franja IFy ( / co) |2 es la energía correspondiente a una resistencia de 1 Í 2 asociada con i / ( f ) que se ubica en el ancho de banda d i
donde la igualdad que está más a la derecha se deduce del hecho deque |Fl;(jo i)\2 es una función par de co. En ese caso, puesto que w = 2 n f , se expresa:
/
CO
/*QQ
\Vv(ja))\2 d f = 2 / ■OÓ JO
\Yv(jo))\2 d f
[55]
La figura 18,14 ilustra una gráfica típica de |F„(7)\2 sobre un intervalo de frecuencia apropiada, se puede calcular esa porción de la energía total que se encuentra dentro del intervalo elegido. Ob servar que la densidad de energía no es una función de la fase de F v(ja>), por lo cual existe un número infinito de funciones de tiempo y de transformadas de Fourier que poseen funciones energía-densidad idénticas.
EJEM PLO
El pulso exponencial u n ilateral [es decir, v(t) — 0 de t < fl| v(t) = ¿te- "'' u(t) V se aplica a la e n tra d a de un filtro p a sab an d a ideal. Si el filtro p asab an d a se define m ediante 1 < | / | < 2 H z , calcular la energía de salida total. Se puede llamar v0(t) a la tensión de salida del filtro. La energía en v0(t) será, por lo tanto, igual a la energía de esa parte de v(t) que tenga compo nentes de frecuencia en el intervalo 1 < / < 2 y —2 < / < —l . S e deter mina la transformada de Fourier de v(t),
/
OO
e - ju>te~3,u(t) dt -OO
/•OO
= 4 /
Jo
A
e~(3+jt0)td t = -------— 3 + j a) ( C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
18.6
AA/V
•
CAPITULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
y luego se podría calcular la energía de 1 £2 en la señal de entrada, ya sea mediante
o
Sin embargo, la energía total en v0(t) es más pequeña:
En general, se ve que un filtro pasabanda ideal permite eliminar la energía de intervalos de frecuencia prestablecidos, siempre y cuando se retenga la energía contenida en otros intervalos de frecuencia. La transformada de Fourier nos ayuda a describir en forma cuantitativa la acción de filtrado, sin evaluar en realidad va(t), si bien se verá después que también se utiliza la transformada de Fourier para obtener la expresión relativa a va(t) si se desea hacerlo de esa manera.
PRÁCTICA
________________________________________________________________
18.10 Si i(t ) = 10e20,[u(t -f 0.1) — u(t — 0.1)] A, encontrar: (a) F ,(j0 ); (b) F ,0 1 O ); (c) A,-(10); (d) £,-(10); (e) * (1 0 ). 18.11 Encontrar la energía de 1 £2 asociada con la corriente i(t) = 20e~10tu(t) A en el intervalo: (a) —0.1 < t < 0.1 s; (b) —10 < co < 10 rad/s; (c) 10 < w < oo rad/s. Respuestas: 18.10: 3.63 A/(rad/s); 3.33/ —31.7" A/(rad/s); 2.83 A/(rad/s); —1.749 A/(rad/s); -31.7°. 18.11: 17.29 J; 10 J; 5 J.
18.7 t PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE * ALGUNAS FUNCIONES DEL TIEMPO SIMPLES Función impulso unitario Se buscará ahora la transformada de Fourier del impulso unitario S(t — to), una función que se presentó en la sección 14.4. Esto es, hay interés en las propiedades espectrales o la descripción en el dominio de la frecuencia de la singularidad de esta función. Si se utiliza la notación J-{ } para simbolizar la “transformada de Fourier de {},” entonces:
De acuerdo con el análisis anterior de este tipo de integral, se tiene J-{&{t — í0)} — e- i w'o — eos coto — j sen coqí
SECCIÓN 18.7 PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DEL TIEMPO SIMPLES
Esta función compleja de co conduce a la función de densidad de energía de 1 £2, |.F{<5(í — ío)}|“ = eos2 coto + sen2 n coot = 1 Este notable resultado indica que la energía (1 £2) por ancho de banda unitario es la unidad en todas las frecuencias y que la energía total en el impulso unitario es infinitamente grande. No es de sorprenderse, entonces, que se deba concluir que el impulso unitario es “impráctico”, en el sentido de que no puede generarse en el laboratorio. Además, incluso si se pudiera disponer de uno de ellos, podría aparecer distorsionado después de someterse a un ancho de banda finito de cualquier instrumento de laboratorio de prueba. Dado que existe una correspondencia única unívoca entre una función de tiem po y su transform ada de Fourier, se afirma que la transformada inversa de Fourier de e~J ío } = S (t _ íq) De tal modo, ahora se sabe que i r 0 0 . — eJa,e ^ ahdco = 8 ( t - t 0) 2 ix J —qo
aun cuando se fracasaría en el intento de evaluar en forma directa esta integral impropia. De manera simbólica, se debería escribir S(t - 10) O
[56]
donde o indica que las dos funciones constituyen un par de transformadas de Fourier. Continuando con el análisis de la función impulso unitario, considérese la transformada de Fourier en esa forma: F(jco) = 8 ( c o - co0) la cual es un impulso unitario en el dominio de la frecuencia localizado en co = coo- Entonces / ( í ) debe ser m
1 f°° 1 = ^ _1{ F ( » } = — / e ^ 8 ( c o - co0) dco = — e ^ 1 2,71 J —oo ¿71
donde se utiliza la propiedad de filtrado del impulso unitario. De esta manera, ahora se debería escribir J _ e>oí o S ( e a - coo) ¿TX
O eim>t & 2 tx8( co- coo)
[57]
Además, mediante un simple cambio de signo, se obtiene a r W & 2 tx8( co + cúo)
[58]
Claramente, la función del tiempo es compleja en las dos expresiones, [57] y [58], y no existe en elmundo real del laboratorio. Las funciones del tiempo, como cos cootse producen con equipo de laboratorio, pero no sepuede obtener una función como e _7“0' . Sin embargo, se sabe que co sc o o t =
¿e-'"0' +
#■
A /W --------- ( 767
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
y se observa de inmediato, a partir de la definición de la transformada de Fourier, que H M ) } + H f i i t ) } = H f 1(0 + f i i t ) }
[59]
Por lo tanto, .Fleos co0t} = T { \eM*>t } + T { \ e ~ ^ } =
7t 8 (CO — O H )) + 7 t
S(C0 +
COo)
lo cual indica que la descripción en el dominio de la frecuencia de cos c o q í mues tra un p a r de impulsos, ubicados en co = ±
[60]
Función forzada constante La primera función forzada que se analizó hace muchos capítulos fue una tensión o una corriente de cd. Para determinar la transformada de Fourier de una función constante del tiempo, f ( t ) = K, el primer impulso podría sustituir esta constante en la ecuación de definición de la transformada de Fourier y evaluar la integral re sultante. Si se hiciera, se encontraría una expresión indeterminada. Sin embargo, por fortuna ya se resolvió este problema, pues de acuerdo con la expresión [58], e- j “>ot ^ 2jr 8 (co + coo) Se puede observar que si sólo dejamos coo = 0, entonces el par de transformadas resultante es Í4>27t8(co)
[61]
K O 2iz K 8(co)
[62]
de lo cual se concluye que
y el problema se encuentra resuelto. El espectro de frecuencia de una función constante de tiempo consiste sólo en una componente correspondiente a cu = 0, lo cual ya se sabía.
Función signo Como otro ejemplo, obtener la transformada de Fourier de una función singular conocida como fu n c ió n signo, sgn(f), definida por:
’ >o
[63]
o sgn(í) = u(t) — u (—t) También en este caso, si se intentara sustituir esta función del tiempo en la ecuación de definición de la transformada de Fourier, el lector se enfrentaría a una expresión indeterminada, luego de la sustitución de loslímites de integración. El mismo problema surgirá cada vez que se intente obtener la transformada de Fourier de una función de tiempo, que no tiende a cero cuando jt \ tiende al infinito. Afortunadamente, esta situación se evita utilizando la transformada de Ixiplace, pues contiene un factor de convergencia incluido que reduce muchos de los in convenientes asociados con la evaluación de ciertas transformadas de Fourier.
SECCION 18.7 PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DEL TIEMPO SIMPLES
• “
-A/VV
La función signo que se está considerando puede escribirse como sgn(í) = lím [e~alu(t) — ea'u ( —t)] a-M
Observar que la expresión dentro de los corchetes tiende a cero cuando |í| se vuelve muy grande. Mediante la definición de la transformada de Fourier, se ob tiene "
/ »Ó G
^{sgn(í)} = lím / ■o->0 LJ0
e~ja>te a,d t
-ja>,ea‘dt
2_
-j2co lím ■a->o (oz
j°>
La componente real es cero, dado que sgn(í) es una función impar de t. Por lo tanto sgn(t) O
[64]
Función escalón unitario Como un ejemplo final de esta sección, se examinará la familiar función escalón unitario, u(t). Con base en la presentación hecha sobre la función signo en los párrafos precedentes, se representará el escalón unitario mediante u(t) = \ + jsg n (/) y se obtiene el par de transformadas de Fourier u(t)
iz S (co) -\------
[65]
jv J
La tabla 18.2 presenta las conclusiones extraídas de los ejemplos explicados en esta sección, junto con unos cuantos más que no se han detallado aquí.
EJEMPLO 18.7 U tilizar la ta b la 18.2 p a ra e n c o n tra r la tra n sfo rm a d a de F o u rier de la función de liem po 3t'~' cos 41 u(t). De la penúltima entrada de la tablat se sabe que e
c o scojtu(t) o
a + j co (a + jco)2 + coj
Por lo tanto, se identifica a a como 1 y co¿ como 4 y se tiene
F(jco)
= (3)
1 + jco (1 + jco)2 + 16
PRACTICA 18.12 Evaluar la transformada de Fourier, en co = 12 para la función de tiempo: (a) 4u(t) — 10<5(/); (b) 5e~i!u(t)\ ( c )4 c o s%lu(t)\ ( d ) —4 sgn(í). 18.13 Encontrar f ( t ) en f = 2 si F (jco) es: (a) 5e~j3tu — j(4/co); (b) 8[á(
1 8 .13:2.00; 2.45; 4.00.
770 ------- WV
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
18.2 Resumen de los pares de transformadas de Fourier
TABLA
|F(MI
m
m
A
(i)
i ( í — ío)
-jallo
>(2ir) Complejo
"0
|
| (ir) A y T A v v -i
COS £í>01
i
1
7
n [ & { í ú + a>o) - 1- S ( cü — á>0) ]
-ú>0
"0
2t i 8 (a ))
. ( 2i r )
-------- 1 2
1
sgn(t) -
-1
u (t)
;rá(&>) + — ]<*> (■ir)
el
[e
cos
1
a + jco (a + jc o )2 + o?d
f
¡/(í + Í D - m u - ^ T )
r
r
2
2
sen ü)T coT_ 2
A -«rf ig
( ir )
SECCIÓN 18.8 TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO PERIÓDICA GENERAL
18.8 t TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN * DEL TIEMPO PERIÓDICA GENERAL En la sección 18.5 se subrayó que se podría demostrar que las funciones de tiem po periódicas, al igual que las no periódicas, poseen transformadas de Fourier. Se establecerá ahora este hecho sobre una base rigurosa Considérese una función de tiempo periódica f ( t ) con periodo T y su desarrollo en serie de Fourier, tal como se describe mediante las ecuaciones [39], [40] y [41], repetidas aquí por conveniencia: /(O
J2
=
1 f T/2 cn ~
T
I
[39]
c,lC'
f ( t ) e ~ jni0(,tdt
[40]
1 J-T/2
2
Cúo =
7t
[41]
Si se conoce que la transformada de Fourier de una suma es exactamente la suma de las transformadas de los términos contenidos en la suma y que c„ no es una función del tiempo, se expresa cne j t U Ú Q t
=
y
, c^ f f C ° r}
Luego de obtener la transformada de ejna>(,t de la expresión [57], se tiene OO
f ( t ) - & 2 j r ^ 2 cnS(a> — na>o)
[66]
n= —oo
Lo anterior muestra que f ( t ) tiene un espectro discreto con impulsos ubicados en puntos sobre el eje a» dados por w = hcoq, n = . . . , —2, —1 , 0 , 1 , . . . La in tensidad de cada impulso es 2 n veces el valor del coeficiente de Fourier correspon diente. que aparece en la forma compleja del desarrollo en serie de Fourier para f ( t ) . Para verificar este trabajo, se verá si la transformada inversa de Fourier del lado derecho de la expresión [66] es también, en este caso, f ( t ) . La transfor mada inversa se escribe como F -M F (jco)}
1 r
2t i
2W _c
c„ S ( cú
— ncoo)
dco = f ( t )
n = —oo
Dado que el término exponencial no contiene el índice n de la sumatoria, se in tercambia el orden de integración y las operaciones de la sumatoria: OO • F - 'í F ( » } =
/«OO c ^ S i c o - neoo) d w = f ( t )
/ ”
OO
Debido a que no es una función de la variable de integración, se considera a c„ como una constante. En ese caso, utilizando la propiedad de filtrado del impulso, se obtiene OO
F ~ l {¥ (jco )}=
cne ^ ‘ = f ( t ) n = —oo
•"
■AAAr
T il
A /W
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
que es exactamente igual a la ecuación [39]. el desarrollo de la serie de Fourier en form a com pleja de f ( t ) . Ahora se eliminan los signos de interrogación de las ecuaciones anteriores y se establece la existencia de la transformada de Fourier para una función del tiempo periódica. Sin embargo, lo anterior no debe pro ducir una gran sorpresa. En la últim a sección se evalúa la transformada de Fourier de una función coseno, que es en realidad periódica, si bien no se hizo una referencia directa a su periodicidad. Sin embargo, se recurre a un proce dimiento inverso al obtener la transformada. Pero ahora se tiene una herra m ienta m atem ática con la que se obtiene la transform ada de m anera más directa. Para demostrar dicho procedimiento, considérese f ( t ) — cos una vez más. Primero se evalúan los coeficientes de Fourier c„ :
así, OO F { f { t ) } = 2 n ^ 2 cnS ( a ) - n a >Q) L a expresión tiene valores que son distintos de cero sólo cuando n = ± 1 por lo tanto, se concluye que toda la sumatoria se reduce a .F{cosct>oí} = n[&{co — a>o) + &(co + a>o)] que es precisamente la expresión que se obtuvo antes. ¡Qué alivio!
PRÁCTICA
___________ ___________ _________________________________________
18.14 Determinar: (a) T \ 5 sen2 3í}; T {A sen coqí}; (c) .F{6cos(8í + 0.1;r)}. Respuestas: 2.5ic[2S(a> ) —S(a> + 6) —8 (a> — 6)]; jr c A [ S ( c i) + &>o) —S(a> —&>o)]; ri8 .8 5 /1 8° 18(a> - 8) + [18.85/ —18o] S(a> + 8).
18.9 t FUNCIÓN DEL SISTEMA Y RESPUESTA EN EL * DOMINIO DE LA FRECUENCIA En la sección 15.5, el problema de determinar la salida de un sistema físico en términos de la entrada y la respuesta al impulso se resolvió mediante la integral de convolución y al trabajar primero en el dominio del tiempo. La entrada, la salida y la respuesta al impulso son funciones del tiempo. Subsecuentemente, se descubre que resultaba más conveniente llevar a cabo estas operaciones en el dominio de la frecuencia, pues la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones es sólo el producto de cada función en el dominio de la frecuen cia. Siguiendo las mismas líneas, se descubre que lo mismo es cierto cuando se trabaja con las transformadas de Fourier. Para aplicar este procedimiento, examinar la transformada de Fourier de la salida del sistema. Suponiendo de manera arbitraria que la entrada y la salida son
SECTION 18.9 FUNCIÓN DEL SISTEMA v RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
tensiones, se aplica la definición básica de la transformada de Fourier y se ex presa la salida mediante la integral de convolución: n v o i t ) } = FoO'w)
--ÉHI
Vi (t
-t--'~z)h(z) d z dt
donde de nuevo se supone que no se almacena energía inicial. A primera vista, tal expresión parece bastante temible, pero se reduce a un resultado que es sor presivamente simple. Se puede mover el término exponencial dentro de la inte gral interna, pues no contiene a la variable de integración z. Luego se invierte el orden de integración y se obtiene e ja)tVi(t — z)h(z) dt dz
F oO'íu)
Puesto que no es una función de t, se extrae h(z) de la integral interior y se sim plifica la integración con respecto a í m ediante un cambio de variable, t — z = x:
/
oo
r /»co h fy
-oo
- fJ —c
I e~Mx+z)Vi(x) d x d z U-00
e - J!OZh(z)
/
CO
e~i°>xv¡(x) d x d z
■oo Sin embargo, la suma está empezando ahora a abrirse paso, pues la integral in terna es nada más la transformada de Fourier de v¡(t). Además, no contiene tér minos z y se considera como una constante en cualquier integración que implique a 3 . Así, se puede mover esta transformada, F; (jco), por completo fuera de los signos de integración: lo O '« ) = FfO'tw) í
e J
J— OO
Por fin, la última integral representa de nuevo a la vieja conocida, ¡otra transfor mada de Fourier!: la transformada de Fourier de la respuesta al impulso, que se designará mediante la notación H (jco). Por lo tanto, todo el trabajo se reduce a un simple resultado: F 0(jco) = F i(jw)U (jco) - Vi(ja>)Hh(t)} Éste es otro resultado importante: define la función del sistema H(/w) como la proporción entre la transformada de Fourier de la función de respuesta y la trans formada de Fourier de la función forzada. Además, la función del sistema y la respuesta al impulso constituyen un par de transformadas de Fourier: h( t ) O H(jw)
[ 67 ]
El desarrollo que se realizó en los párrafos anteriores sirve también para confirmar el enunciado general de que la transformada de Fourier de la con volución de dos funciones de tiempo es igual al producto de sus transformadas de Fourier, F { f ( t ) * g ( t ) } = F f (jco)Fg(jco)
[ 68]
»
W
v
@
CAPÍTULO 18 ANALISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
Para recapitular, si se conocen las transform adas de Fourier de la función forzada y de la respuesta al im pulso, la transform ada de Fourier de la función de respuesta se ob tiene com o su producto. El resultado es una descripción de la función de respuesta en el do m in io de la frecuencia; la descripción en el do m in io dei tie m p o de esta función se logra tom ando sim plem ente la transform ada inversa de Fourier. De ese m odo se verá que el proceso de la convolución en el d o m in io del tie m p o equivale a la más o m enos sim ple operación de m ultiplicación en el do m in io de la frecuencia.
Los comentarios anteriores podrán hacer surgir la pregunta, una vez más, respecto de las razones por las cuales se elige trabajar siempre en el dominio del tiempo, aunque se debe recordar, también siempre, que rara vez se obtiene algo a cam bio de nada. Un poeta una vez dijo: “Nuestra más sincera risa/la cargamos con un poco de dolor”.2 En este caso, el dolor es provocado por la dificultad oca sional de obtener la transformada inversa de Fourier de una función de respuesta, debido a razones de complejidad matemática. Por otra parte, una sencilla com putadora puede convolucionar dos funciones del tiempo con magnífica veloci dad. Respecto de ello, también se obtiene una TRF (transformada rápida de Fourier) con bastante rapidez, como se verá en el siguiente ejemplo de MATLAB. En consecuencia, no hay una ventaja clara entre trabajar en el dominio del tiempo y hacerlo en el dominio de la frecuencia. Debe tomarse una decisión cada vez que surge un nuevo problema, y ella debe basarse en la información disponible y en las facilidades de cómputo que se tengan a mano. Considerar una función forzada de la forma v¡(t) — u(t) — u(t — 1) y una respuesta al impulso unitario definida por h(t) = 2e~‘u(t) Primero se obtienen las transformadas de Fourier correspondientes. La función forzada es la diferencia entre dos funciones de escalón unitario. Ambas fun ciones son idénticas, excepto en que una se inicia 1 s después de la otra. Se evaluará la respuesta debida a u(t); la respuesta debida a u(t — 1 )) es la misma, aunque retrasada 1 s en el tiempo. La diferencia entre las dos respuestas par ciales será la respuesta total debida a v¡ (t ). La transformada de Fourier de u(t) se obtuvo en la sección 18.7: jF{u(t)} = 7t S((o) H-----jco La función del sistema se obtiene tomando la transformada de Fourier de h(t), que se presenta en la tabla 18.2: T { h ( t ) } = Y l ( j c o ) = n 2 e - , u(t)} =
1
+ jco
La transformada inversa del producto de estas dos funciones da como resultado esa componente de v„(t) causada por u(t), i f 2 n8(co) | 2 1 — — + {I 1 + jco JCO jco( 1 + jco) j Al utilizar la propiedad de filtrado del impulso unitario, la transformada inversa del primer término es una constante exactamente igual a la unidad. De tal modo, Uoi(í) = l + F~
jco(l+jco)
El segundo término contiene un producto de términos en el denominador, cada uno de la forma (a + jco)', además, su transformada inversa se determina con mayor facilidad recurriendo a la expansión en fracciones parciales que se desarrolló en la sección 4.5. Se debe seleccionar una técnica para obtener un de( 2 ) P .B . Sh e lle y, “T o a S k y la r k ” , 1821.
SECTION 18.9 FUNCIÓN DEL SISTEMA Y RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
sarrollo en fracciones parciales, que tenga una gran ventaja, que funcionará siempre, aunque suelen disponerse métodos más rápidos para la mayor parte de las situaciones. Se asigna una cantidad desconocida en el numerador de cada fracción, en este caso dos cantidades,
_ A jco(\ + jco)
B
jco
l+ jc o
y luego se sustituye un número correspondiente de valores simples de jco. Aquí, sea jco = 1: . - . + 4 y luego sea jco — —2: 1= - - - B 2 Esto lleva a A = 2 y B = —2. De tal modo que 2 T~ ' ( [ M t l + jco)\
I jco
1 + jco
= sgn(f) — 2e ‘u(t)
por lo que v0i(t) = 1 + sgn(í) - 2e~'u(t) — 2u(t) — 2e~, u(t) = 2(1 — e~')u{t) Se concluye que v0i(t), la componente de r 0(í) obtenida por u(t — 1), es vo2(t) = 2(1 - e - ^ M t - 1) Por lo tanto, v„(t) = v0i(t) - vo2(t) = 2(1 - e ^ t)u(t) - 2(1 - e~t+x)u(t - 1) Las discontinuidades en t = 0 y t — 1 indican una separación en tres intervalos de tiempo: 0 t <0 v0(t) —
2(1 - e~’) 2(e - l)e ~ !
PRÁCTICA
0
< t < 1
t > 1
_____________________________________________________________
18.15 La respuesta al impulso de cierta red lineal es h(t) = 6e~20'u(l). La señal de entrada corresponde a 3e~6tu(t) V. Determinar: (a) II(,/Vo); (b)Vi(jcoy, (c) V0(jco); (d) uo(0.1): (e) v„(0.3); ( / ) u0, máxR espuestas: 6 /( 2 0 + j c o ) ; 3 / ( 6 + j c o ) ; 1 8 /[(2 0 + j c o ) (6 -|- j c o ) ) ; 0.532 V: 0.209 V; 0.5372.
*
AA/V
A /W
-•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
ANÁLISIS ASISTIDO POR C O M P U T A D O R A El m aterial que se presenta en este capítulo constituye el cim iento de mu chos campos de estudios avanzados, entre los que se incluyen el proce samiento de señales, las comunicaciones y los controles. Sólo se pueden presentar algunos de los conceptos básicos dentro del contexto de un libro de circuitos introductorio, aunque incluso en este punto se aplica cierto grado del poder del análisis basado en Fourier. Como un prim er ejemplo, considérese el circuito de amp op de la figura 18.15, construido en PSpice m ediante un amplificador operacional.
■ FIGURA 18.15 G rcuito am plificador inversor con una ganancia de tensión de - 1 0 , accionado po r una entrada senoidal que opera a 100 Hz.
El circuito tiene una ganancia de tensión de —10, y por ello se esperaría una salida senoidal con 10 V de amplitud. En realidad, esto es lo que se obtiene de un análisis transitorio del circuito, como se muestra en la figura 18.16.
■ FIGURA 18.16 Tensión de salida sim ulada del circuito am plificador que se muestra en la figura 18.15.
SECTION 18,9 FUNCIÓN DEL SISTEMA Y RESPUESTA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
PSpice permite determinar el espectro de frecuencia de la tensión de salida, a través de lo que se conoce como la transformada rápida de Fourier (TRF), una aproximación en tiempo discreto a la transformada exacta de Fourier de la señal. A partir de Probe, se selecciona F o u rie r bajo el menú T race; el resultado se presenta en la figura 18.17. Como se esperaba, el es pectro de línea de la tensión de salida de este circuito amplificador consiste en una sola señal a una frecuencia de 100 Hz.
■ FIGURA 18.17 Aproxim ación discreta de la transform ada de Fourier de la figura 18.16.
A medida que aumenta la tensión de entrada, la salida del amplificador se aproxima a la condición de saturación determinada por las fuentes de tensión de cd positiva y negativa (± 15 V en este ejemplo). Este comportamiento es evidente en el resultado de la simulación que se presenta en la figura 18.18, que corresponde a una magnitud de la tensión de entrada de 1.8 V. Una característica de interés fundamental es que la forma de onda de la tensión de salida ya no es una senoide pura. Como co n secuencia,^ espera que aparezcan valores diferentes de cero en las frecuencias de las armónicas en el n v e itin a Ainpiifiei W íth W iweíorm
|*
■ FIGURA 18.18 Espectro de frecuencia de la form a de onda que aparece en la figura 18.18, que muestra la presencia de varias com po nentes arm ónicas además de la frecuencia fundam ental. El ancho fin ito de las señales es un artefacto de la discretización numérica (se utilizó un conjunto de valores discretos de tiem po). ( C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
A y W
CAPITULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
I FIGURA 18.19 Espectro de frecuencia de la form a de onda que aparece en la figura 18.18, que muestra la presencia de varias com ponentes arm ónicas además de la frecuencia fundam ental. El ancho fin ito de las señales es un artefacto de la discretización num érica (se utilizó un conjunto de valores discretos de tie m p o).
ing AmpHfiei With Waveform Clipping (active)
Tiempo
(a)
ib) ■ FIGURA 18.20 (o ) Se pueden observar los efectos severos de la saturación del am plificador en la respuesta sim ulada a una entrada de 15 V. (b ) La TRF de la form a de onda nu e stra un increm ento significativo de la fracción de energía presente en las arm ónicas, contrariam ente a la correspondiente de la frecuencia fundam ental de 100 Hz.
SECTION 18.10 SIGNIFICADO FÍSICO DE LA FUNCIÓN DEL SISTEMA
espectro de frecuencia de la función, como en el caso de la figura 18.19. El efecto de alcanzar el punto de saturación en el circuito amplificador representa una distorsión en la señal; si se conecta a la bocina, no se escuchará una forma de onda “limpia” de 100 Hz, sino que se escuchará una superposición de formas de onda que incluye no sólo la frecuencia fundamental de 100 Hz, sino también las componentes armónicas significativas a 300 y 500 Hz. L a distorsión adicional de la forma de onda aumentará la cantidad de energía contenida en las frecuencias armónicas, por lo que se harán más significativas las contribuciones de las armónicas de más alta frecuencia. Lo anterior resulta evidente en los resultados de la simulación de las figuras 18.20a y b, los cuales muestran la tensión de salida en los dominios del tiempo y de la frecuencia, respectivamente.
18.10 t SIGNIFICADO FÍSICO DE LA FUNCIÓN_____________ * DEL SISTEMA En esta sección se tratará de vincular varios aspectos de la transformada de Fourier con el trabajo que se realizó en los capítulos anteriores. Dada una red lineal general de dos puertos N sin ningún almacenamiento de energía inicial, se suponen funciones con forzamiento y respuesta senoidales, dadas arbitrariamente como tensiones, según se muestra en la figura 18.21. Se deja que la tensión de entrad a sea sólo Acos(coxt + 6), y la salida puede describirse en términos generales como v0(t) — B cos(a>xt + cj>), donde la am plitud B y el ángulo de fase (p son funciones de wx . En forma fasorial, se expre san las funciones forzada y de respuesta como V¿ = AeJh y Vc = R e ^ ‘. La razón entre la respuesta fasorial y la función forzada fasorial es un número com plejo que está en función de cox : £ = G (« 0 = 2 « J » -» Vf A donde B / A es la amplitud de G y x) podría obtenerse en el laboratorio variando a>x sobre un gran intervalo de valores y midiendo la amplitud B / A y la fase (p — 0 para cada valor de u>x. Si se grafican en esas condiciones cada uno de estos parámetros como una función de la frecuencia, el par de curvas resultantes describiría por completo la función de transferencia. + o-----------v¡ (Ú = A cos
(«j f + 0)
o------------
4
--------------------o
N
va(t) = 5 cos (o>x t + é ) ------------- o
■ FIGURA 18.21 Se puede recurrir al análisis senoidal para deter m inar la funció n de transferencia H(/&>x ) = \ B / A ) e > ^ e\ donde
B y son fu nd ones de a>x .
Se dejarán por ahora estos comentarios lejos de la mente del lector, ya que se examinará un aspecto diferente del mismo problema de análisis. En el circuito con la entrada y la salida senoidal que se muestran en la figura 18.21, ¿cuál es la función H(jo>) del sistema? Para responder esta pregunta, se comienza con la definición de H( jco) como la proporción (o razón) de las trans formadas de Fourier de la salida y la entrada. Ambas funciones incluyen la forma
*
Wv
0
AA/V
■#
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
funcional cos(coxt + fi), cuya transformada de Fourier aún no se ha evaluado, aunque se puede trabajar con eos coxt. La transformada que se necesita es
/
OO
e~¡(ot cos(coxt + fi) dt
-OO
Si se lleva a cabo la sustitución a>xt + / OO
fí — cox r , entonces
e ~j(OT+ja)P/
c o s
ü )x T ({ r
-oo =
ej<0fí/<0* f {eos
= n e }ojtil"h [8(cü - o
x)+ 8 (c o +
oj x )]
lo cual es un nuevo par de transformadas de Fourier cos (o)x t +
f i)
n e ia)P /a>x[8(a>
— cox) +
8 (o j
+ a>x)]
[69]
que se utiliza ahora para evaluar la función deseada del sistema: H (jco) =
cos (cox t + 0)} T { A cos(coxt + 0)}
T {B
_ n
B
e [¿(a> - c o x) + 8(w + cox)]
7TA e iwel(°x [<5(ai — a>x) + 8(co + aix)] —
§_eJa>(
Se recuerda la expresión de G(a>x), G(tox) =
A
donde B y se evalúan en to = tox además, se observa que al evaluar H([jco) en co = a>x se obtiene H ( ^ ) = G(cox) =
A
Puesto que no hay nada especial acerca del subíndice x se concluye que la fun ción del sistema y la función de transferencia son idénticas: H (» = GM
[70]
El hecho de que un argumento sea w mientras que el otro se indica mediante jco no tiene importancia y es arbitrario; la j sólo posibilita una comparación más di recta entre las transformadas de Fourier y de Laplace. La ecuación [70] representa una conexión directa entre las técnicas de la transformada de Fourier y el análisis del estado senoidal permanente. El trabajo previo de análisis del estado senoidal permanente mediante fasores fue más bien un caso especial de las técnicas más generales del análisis de la transformada de Fourier. Resultó “especial” en el sentido de que las entradas y las salidas eran senoides, en tanto que el uso de las transformadas de Fourier y las funciones del sistema permiten manejar funciones y respuestas forzadas no senoidales. Por lo tanto, para determinar la función H (jco) del sistema relativa a una red, sólo se requiere determinar la función de transferencia senoidal correspondiente como una función de co (o jco).
SECTION 18.10 SIGNIFICADO FÍSICO DE LA FUNCIÓN DEL SISTEMA
»
AA/V
0
EJEMPLO 18.8 D eterm in ar la tensión en los extrem os del in d u cto r del circuito que se m u estra en la figura 18.22a cuando la tensión de e n tra d a es un pulso de decaim iento exponencial sim ple. 4a
Es necesaria la función del sistema, pero no es necesario aplicar un impulso, encontrar la respuesta de impulso y luego determinar la transformada in versa. M ejor se usará la ecuación [70] para obtener la función H (Jco) del sistema, bajo el supuesto de que las tensiones de entrada y de salida son senoides descritas por sus fasores correspondientes, como se muestra en la figura 18.22b. Mediante la división de tensión, se tiene I¥, . , H (jco)
Vc jico = — = Y¡ 4 + j2a>
La transformada de la función forzada es: F{vi(t)} =
3 + jco
y por ello la transformada de v0(t) se indica como
f { v 0(t)} = U( j co m v i( t) } jico
5
4 + jic o 3 + jco 15
10
3 + jco
2 + jco
donde las fracciones parciales que aparecen en el último paso ayudan a de terminar la transformada inversa de Fourier: 15 10 v0(t) - T 3 + jco 2 + jco \ = 15 e~3tu(t) — 10 e~2lu(t) = 5(3e“ 3' - 2 e~2,)u(t) El problema se resuelve sin molestias, convoluciones o ecuaciones diferen ciales. PRACTICA 18.16 Utilizar las técnicas de la transformada de Fourier en el circuito de la figura 18.23 para determinar: i\(t) en t = 1.5 ms si is es igual a: (a) S (t) A; (b) u (t) A: (c) cos 500f A.
20-aiH
I FIG U RA 18.23 R espuestas: - 1 4 1 .7 A ; 0.683 A ; 0.308 A.
(b) ■ FIG U RA 18.22 (o) Se desea la respuesta v0(t)
causada por i/, (f). (b ) La función H(ja>) del sis tema se determinaría mediante el análisis de estado permanente senoidal: H(jco) = V „/V ,.
{
a p l ic a c ió n p r á c t ic a Procesamiento de imágenes
A pesar del enorme progreso que se ha logrado en cuanto al desarrollo de una comprensión total de la función del músculo, aún existen muchas interrogantes. Se ha inves tigado m ucho en este campo utilizando m úsculo es quelético de vertebrados, en particular con el sartorius o músculo de la pierna de la rana (figura 18.24).
■ FIGURA 18.24 Cara qu e sólo podría am ar un biólogo. ( © G eostock/G etty Images.)
De la gran cantidad de técnicas analíticas que utilizan los científicos, una de las más importantes es la micros-
copia electrónica. La figura 18.25 muestra una micrografía electrónica de tejido muscular de la rana sartorius, seccionado de tal manera que resalta el arreglo uniforme de myosin, una proteína contráctil de tipo filamentario. Es de gran interés para los biólogos estructurales la pe riodicidad y el desorden de estas proteínas en una gran área del tejido muscular. Con el fin de desarrollar un mo delo para mostrar estas características, se prefiere utilizar un método numérico, mediante el cual se pueda automa tizar el análisis de dichas imágenes. Sin embargo, como se puede observar en la figura, la imagen que genera el microscopio electrónico puede contaminarse por un rui do de fondo de alto nivel, lo que hace errática la identi ficación automática de los filamentos de myosin. Presentadas con el objeto de ayudar en el análisis de circuitos lineales variantes en el tiempo, las técnicas basadas en Fourier de este capítulo son, en realidad, métodos generales muy poderosos que se aplican en muchas otras situaciones, entre las cuales el campo del procesamiento de imágenes hace un uso extensivo de las técnicas de Fourier, especialmente a través de la trans formada rápida de Fourier (TRF) y métodos numéricos relacionados. La imagen de la figura 18.25 se puede des cribir mediante una función espacial f ( x , y ) donde / ( x , y) = 0 corresponde al blanco, f { x , y) = 1 corresponde al rojo y {x, y) describe una ubicación del pixel en la im agen. Definiendo una función de filtro h ( x ,y ) que tenga la apariencia de la figura 18.26a, la operación de con volución g (x,y) = f ( x , y ) * h ( x , y )
■ FIGURA 18.25 Micrografla electrónica de una región de tejido muscular de la rana sartorius. Se utilizó falso color a fin de tener una m ayor claridad.
da como resultado la imagen de la figura 18.262? en la que los filamentos de myosin (que se ven en el extremo) se pueden identificar de una manera más clara.
Epílogo De regreso a la ecuación [70], la identidad entre la función H(yíu) del sistema y la función de transferencia de estado senoidal permanente G(w), tal vez se con sidere ahora la función del sistema como el cociente entre el fasor de salida y el fasor de entrada. Bajo el supuesto de que se mantiene la amplitud del fasor de en trada en la unidad y el ángulo de fase en cero, entonces el fasor de salida es En estas condiciones, si se registra la amplitud y la fase de salida como funciones de co, para toda co, se registra la función H (jíu) del sistema como una función de co, para toda co. De este modo, se examina la respuesta del sistema bajo la condición de que un número infinito de senoides, todas con amplitud unitaria y fase cero, se aplicó en forma sucesiva en la entrada. Supóngase ahora que la en trada es un simple impulso unitario y considerando la respuesta al impulso h(t).
(a)
l
i
t
t
t
f
•
•
•
<
ción de filtrado h(x, y) —lo cual indica que, de alguna manera, tanto el arreglo filamentario como la función de liltrado poseen las mismas frecuencias espaciales. La con volución de / con h genera un reforzamiento del patrón hexagonal dentro de la imagen original y la remoción de pixeles de ruido (los cuales no poseen la simetría hexago nal). Lo anterior puede comprenderse de manera cualita tiva si se modela una fila horizontal de la figura 18.25, como una función senoidal f ( x ) = cos újqí, que tiene la transformada de Fourier que se muestra en la figura 18.27o un par acoplado de funciones impulso separadas una dis tancia de 2úúq. Si se convoluciona esta función con la fun ción de un filtro h(x) = cosoj\t, cuya transformada de Fourier se muestra en la figura 18.276, se obtiene cero si cú\ ^ oj 0; las frecuencias (periodicidades) de las dos fun ciones no coinciden. Si, en lugar de eso, se selecciona una función de filtro con la misma frecuencia de f(x ), la con volución tendrá un valor diferente de cero en oj = ± ojq.
W * « * iU • • • l'A * • •1 (b)
-co0
■ FIGURA 18.26 (o) Filtro espacial con simetría hexagonal. (b) Imagen después de haber sido convolucionada y de habérsele aplicado la transformada inversa y discreta de Fourier, que muestra una reducción del ruido de fondo.
En la práctica, este procesamiento de anáfisis se lleva a cabo en el dominio de la frecuencia, donde se calcula la TRF d e / y h y las matrices resultantes se multiplican entre sí. La operación inversa de la TRF genera la imagen fil trada de la figura 18.266. ¿Por qué esta convolución es igual a la operación de filtrado? El arreglo filamentario del myosin posee una simetría hexagonal, al igual que la fun-
co0 (a)
(b) I F IG U R A 1 8 .2 7 (o) Transformada de Fourier de f (x) (b) Transformada de Fourier d eh(x) = cos ai, f .
¿La información que se examinó en la unidad se diferencia en algo de la que se acaba de obtener? La transformada de Fourier del impulso unitario es una cons tante igual a la unidad, lo que indica que están presentes todas las componentes de frecuencia, con la misma magnitud y con fase cero. La respuesta del sistema es la suma de las respuestas de todas estas componentes. El resultado podría verse en la salida sobre un osciloscopio de rayos catódicos. Resulta evidente que la fun ción del sistema y la función de respuesta al impulso contienen información equivalente en cuanto a la respuesta del sistema. Por lo tanto, se cuenta con dos métodos distintos para describir la respuesta de un sistema a una función forzada general; uno es la descripción en el dominio del tiempo y el otro la descripción en el dominio de la frecuencia. Al trabajiir en el dominio del tiempo, se convoluciona la función forzada con la respuesta al
—cosojot.
CAPÍTULO 18 ANALISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
impulso del sistema para obtener la función de respuesta. Como se vio al consi derar por primera vez la convolución, este procedimiento se interpretaría conside rando a la entrada como una serie de impulsos de intensidad y de tiempos de aplicación diferentes; la salida que resulta es una serie de respuestas al impulso. Sin embargo, en el dominio de la frecuencia, se determina la respuesta mul tiplicando la transformada de Fourier de la función forzada por la función del sistema. En este caso, se interpreta la transformada de la función forzada como un espectro de frecuencia o un continuo de senoides. Multiplicando lo anterior por la función del sistema se obtiene la función de respuesta, también como un conjunto continuo de senoides. Ya sea que se opte por considerar la salida como un continuo de respuestas al impulso o como un conjunto continuo de respuestas senoidales, la linealidad de la red y el principio de superposición permiten determinar la salida total como una función de tiempo, al sumar sobre todas las frecuencias (la transformada in versa de Fourier), o como una función de frecuencia al sumar sobre todos los tiempos (la transformada de Fourier). Desafortunadamente, ambas técnicas tienen algunas dificultades o limitan tes asociadas con su aplicación. A l utilizar la convolución, la integral misma, muchas veces, puede ser bastante difícil de evaluar cuando se presentan fun ciones forzadas o funciones de impulso complicadas. Además, desde el punto de vista experimental, en realidad no se puede medir la respuesta al impulso de un sistema, debido a que no se puede generar un impulso. Incluso si se apro xim a el im pulso m ediante un impulso estrecho de elevada amplitud, tal vez se llevaría al sistema a la saturación y fuera de su intervalo de operación lineal. Con respecto al dominio de la frecuencia, se encuentra una limitante absolu ta en el sentido de que quizá se formulen fácilmente hipótesis relativas a las fun ciones forzadas que al lector le gustaría aplicar de manera teórica, pero que no poseen transformadas de Fourier. Además, si es de interés encontrar la descrip ción en el dominio del tiempo de la fundón de respuesta, es necesario evaluar una transformada inversa de Fourier, pero algunas de tales inversiones resultan demasiado complicadas. Por último, ninguna de estas técnicas ofrece un método muy conveniente para manejar las condiciones iniciales. Para esto, la transformada de Laplace re sulta muy superior. El beneficio más grande que se deriva del uso de la transformada de Fourier surge debido a la abundancia de información útil que proporciona acerca de las propiedades espectrales de una señal, en particular de la energía o potencia por ancho de banda unitario. Parte de esta información se obtiene también con fa cilidad mediante la transformada de Laplace; se debe dejar un análisis detallado de los m éritos relativos de cada una para cursos más avanzados de señales y sistemas. Ahora bien, ¿por qué se expone todo esto ahora? La mejor respuesta tal vez resida en que estas poderosas técnicas pueden complicar mucho la solución de problem as simples y tender a oscurecer la interpretación física del desempeño de redes más simples. Por ejemplo, si sólo es de interés la respuesta forzada, no tiene mucho caso utilizar la transformada de Laplace y obtener tanto la respues ta forzada como la natural, después de llevar a cabo una difícil operación de trans formada inversa. Ahora bien, se podría continuar, pero todas las cosas buenas tienen que lle gar a un final. Se desea al lector la mejor de las suertes en sus estudios futuros.
dERCICIOS
RESUMEN Y REPASO____________________________________________ LI Las frecuencias armónicas de una senoide con frecuencia fundamental cúq son no}Q, donde n es un entero. □ El teorema de Fourier establece que dada una función f ( t ) que satisface ciertas propiedades fundamentales, podría representarse por la serie infinita “o + £ £ = 1 (a„ cos nco^t + bn sen nco0t), donde a0 = ( 1 / T ) f 0 f ( t ) d t , an = ( 2 / T ) / ( í ) c o s no)0t d l , y b„ — (2 /7 ') f (t) sen ncoot dt. □ Una función f ( t ) posee simetría pa r si f ( t ) = / ( —í). □ Una función f ( t ) tiene simetría impar si f ( t ) = —f ( —t). □ Una función f ( t ) muestra simetría de media onda si f ( t ) = —f ( t — \ T ) . □ La serie de Fourier de una función par está compuesta sólo por una constante y funciones coseno. ü
La serie de Fourier de una función impar se forma sólo por una constante y funciones seno.
□ La serie de Fourier de cualquier función que posee simetría de media onda contiene sólo armónicas impares. J
Se podría expresar también la serie de Fourier de una función en forma compleja o exponencial, donde f ( t ) — J2T=-oo cnein"">l y Cn = 0 / T ) f % f ( t ) e - ^ d t .
J
La transformada de Fourier permite representar funciones variables en el tiempo en el dominio de la frecuencia, de una manera similar a la de la transformada de Laplace. Las ecuaciones de definición son F Up>) = ¡ Z dt y f { t ) = (1/2;r) e ^ F ( j c o ) dco.
LECTURAS ADICIONALES____________________________________ Un tratamiento muy ameno del análisis de Fourier puede encontrarse en A. Pinkus y S. Zafrany, Fourier Series and Integral Transforms. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. Por último, para aquellos interesados en aprender más acerca de la investigación sobre músculos, incluyendo la microscopía electrónica de tejidos, se puede encon trar un excelente tratamiento en J. Squire, The Structural Basis o f Muscular Contraction. Nueva York: Plenum Press, 1981.
EJERCICIOS____________________________________ ______________ 18.1 F o rm a tr ig o n o m é t r ic a d e la se rie d e F ou rie r
1. Encontrar las primeras cinco frecuencias armónicas (n = 1 —5) de las formas de onda siguientes: (a) v\ (t) = 77 cos(5/) V; (b) i(t) = 32 sen(5f) nA; (c) q(t) = 4cos(90r —85°) C. 2. Establecer el periodo y la frecuencia fundamental de cada una de las formas de onda siguientes: (a) q(t) = 8.5 cos(2;rí) nC; (b) v(t) = 9 sen(5.951) MV; (c) i(t) = 1.113 cos(í —45°) pA. 3. Sea t> (f) = 3 —3 cos(100.Tf —40°) + 4 sen 200n t — 10°) + 2.5 cos 30077-í V. De terminar: (a) Va,-; (b) Veff; (c) T\ (d) i’(18 ms). 4. (a) Elaborar un dibujo de la forma de onda de tensión v(t') = 2 eos 2jtt -(- 1.8 sen Ant en el intervalo 0 < t < T . (b) Calcular el valor máximo de v(t) en este intervalo, (c) Calcular la magnitud del valor más negativo de v(t) en este intervalo.
#■
A /W
0
A /W
•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
5. Calcular «o en las funciones siguientes: (a) 5 cos lOOí; (b) 5 sen lOOf; (c) 5 + cos lOOf; (d) 5 + sen lOOí. 6 . Calcularoq en las funciones siguientes: (a) 100cos(5f —18°); (b)100 sen(5f — 18°); (c) 100 + 100cos(5r - 18°): (d) 100 + 100sen(5f - 18°). 7. Calcular oq, a\, a2, b\ y b2 en f ( t ) = (a) 3; (b) 3 cos 3í; (c) 3 sen 3í; (d) 3cos(3r — 10°). 8 . Calcularon, a¡, a2, bi y b2 en f ( t ) = 5u(t — 1) —5u(t — 2) + 5w(f —3) — 5 u(t —4) + _ 9. Calcular a0, a¡, a2, a3, bi, b2 y b3 en g(t) = 2u(t) —2u{t —2) + 2u(t — 3) —2u(t —5) + __ 10. Determinar los valores numéricos de oo, ai, «2 ><*3 , b\, b2 y b¿ de h(t) = —3 + 8 sen 21+ f ( t ) , donde f( t ) = u(t — 1) —u{t — 2 ) + u(t —3) -
u (t
- 4 ) + ....
11. La forma de onda que se muestra en la figura 18.28 es periódica con T = 10 s. De terminar: (a) el valor promedio; (b) el valor eficaz: (c) el valor de «3 . m
12. En el caso de la forma de onda periódica de la figura 18.29, proporcionar: (a) T; (b)fy (c) coq-, (d ) a0\ (e) b2. m 10 —
—
--
5
_1__
1 ___1__ i__ 1__
I! FIGURA 18.29
13. Determinar ¿73, b¡ y + b\ para la forma de onda de la figura 18.29. 14. Obtener la forma trigonométrica de la serie de Fourier, dado el valor de T, y deter minar el valor promedio de cada una de las funciones periódicas del tiempo: (a) 3.8 eos2 8 O7rf: (b) 3.8 eos3 807rf; (c) 3.8 cos 79*rf —3.8 sen 80?rf. 15. Una función periódica del tiempo con T = 2 s tiene los siguientes valores: / ( f ) = 0 , para —1 < t < 0 ; f( t) = 1 , para 0 < t < t\ \ y f ( t ) = 0 , paiaí! < t < 1 . (a) ¿Qué valor de t\ maximizará £>4 ? (b) Determinar í>4jriíSx. 16. Considerar que una señal eléctrica se describe mediante g(t) = —5 + 8 cos 10í —5 cos 15r+ 3 cos 20/ —8 senlOf —4 senl5í + 2 sen 20í. Calcular: (a) el periodo de g(t)\ (b) el ancho de banda (en hertz) de la señal; (c) el valor promedio de g(í); (d) el valor eficaz de g(f); (e) la amplitud discreta y los es pectros de fase de la señal. 17. La forma de onda del ejemplo 18.1 (que se muestra en la figura 18.2) es la salida de un rectificador de media onda. Si las medias ondas ocupan todos los intervalos —0.5 < t < —0.3, —0.3 < t < —0.1, —0.1 < t < 0.1, y así sucesivamente, en tonces la salida es la de un rectificador de onda completa. Determinar la serie de Fourier trigonométrica para este caso.
EJERCICIOS
A A /V
•-
18.2 Uso de la simetría 18. (a) Especificar los tipos de simetría presentes en la forma de onda de la figura 18.30. (b) ¿Cuál de las a„, bn o «o s°n cero? (c) Calcular a\, b\, a.2, ¿>2 , « 3 y b¡.
■ FIGURA 18.30
19. Se sabe que la función periódica y (t) tiene simetría impar y que el espectro de am plitud se muestra en la figura 18.31. Si todas las an y b„ son no negativas: (a) deter minar la serie de Fourier de y(t); (b) calcular el valor eficaz de y(t); (c) calcular el valor de y(0.2 ms). Va,l+¿i m
0.6 0.4 0.2
0
500
1000
1500
-/(Hz)
0
■ FIGURA 18.32
[FIGURA 18.31
20. Emplear la forma de onda dada por f ( t ) para el intervalo 0 < t < 3 de la figura 18.32, a fin de dibujar una nueva función g(t) que sea igual a f ( t ) para 0 < t < 3 pero que también tiene: (a) T = 6 y simetría par; ib) T = 6 y simetría impar; (i) T = 12, y simetría par y de media onda; (d) T = 12, y simetría impar y de media onda, (e) Evaluar y b¡ en cada caso. 21. La forma de onda que se muestra en la figura 18.33 se repite cada 4 ms. (a) Determinar la componente de de oq. (b) Especificar los valores de a i y b\. (ic) Determinar una función f x-(¿) que sea igual a / ( f) en el intervalo de 4 ms que se muestra, pero que tenga un periodo de 8 ms y presente simetría par. (d ) Calcular a i y b i para f x (t). 22. Recurrir lo más posible a la simetría para obtener valores numéricos correspondientes &aQ,any b n l < n < 1 0 , para la forma de onda de la figura 18.34. m 10
-4
-2
j__L
J __L.
--10 ■ FIGURA 18.34
1
I i 12 14
t (ms)
2
787
788 m
A /W
-•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
23. Una función f ( t ) tiene simetría par y de media onda. El periodo es de 8 ms. Se sabe también que f ( t ) = 1 0 3 f, para 0 < t < 1 ms, y / ( í ) = 0 , para 1 < t < 2 ms. Calcular los valores de b„, 1 < n < 5. 24. Una parte de f ( t ) se presenta en la figura 18.35. Mostrar f ( t ) sobre el intervalo 0 < í < < 8 s s i /(r) tiene: (a) simetría impar y T = 4 s; (b) simetría par y T = 4 s; (c) simetría impar, de media onda y T = 8 s; (d) simetría par, de media onda y T = 8 s.
18.3 Respuesta completa a funciones forzadas periódicas 25. Sustituir la onda cuadrada de la figura 18.8a por la de la figura 18.36 y repetir el análisis del ejemplo 18.2 para obtener una nueva expresión relativa a: (a) i/(t)\ (b) i(t').
» s (t)
(V)
10
—
0.271
0
0.2770.477 0.Ó77
■ FIGURA 18.36
26. La forma de onda de vs (t) que se muestra en la figura 18.36 se aplica al circuito de la figura 18.8¿>. Utilizar los métodos comunes del análisis transitorio para calcular i (?) en í igual a: (a) 0.2it s; (b) 0.4n s; (c) 0 .67 T s. 27. Una fuente de tensión ideal vs, un interruptor abierto, una resistencia de 2 £2 y un capacitor de 2 F están en serie. La fuente de tensión se presenta en la figura 18.36. El interruptor se cierra en t = 0 y la tensión del capacitor es la respuesta deseada. (a) Trabajar en el dominio de la frecuencia de la enésima armónica para determinar la respuesta forzada como una serie de Fourier trigonométrica, (b) Especificar la forma funcional de la respuesta natural, (c) Determinar la respuesta completa. 28. El circuito de la figura 18.37a se encuentra sujeto a la forma de onda que se muestra en la figura 18.37Z». Determinar la tensión v(t) en estado estable. k
— -— nnnr>—
1
[
5 mH
+ 'i -
> io n
(a) Ii ¡s (A)
■ FIGURA 18.37
<
EJERCICIOS
29. El circuito de la figura 18.37c/ está sujeto a la forma de onda periódica que se mues tra en la figura 18.38. Delerminar la corriente iL(t) en estado estable.
¿s(A)
18.4 Forma compleja de la serie de Fourier 30. Sea T =
6
ms el periodo de la forma de onda periódica de la figura 18.39.
Determinar C3, c_3, [631, a 3, ¿3 y J a ¿ + ¿ 3 .
v(t)
(V)
31. (a) Determinar la serie de Fourier compleja de la forma de onda periódica de la figura 18.40. (b) Calcular los valores numéricos de c„ n = 0, ±1 y ±2.
m
32. Los pulsos que se muestran en la figura 18.11 tienen una amplitud de 8 V, una duración de 0 . 2 /lís y una tasa de repetición de 6 0 0 0 pulsos por segundo. (a) Calcular la frecuencia a la que la envolvente del espectro de frecuencia tiene una amplitud de cero, (b) Determinar el intervalo de separación de frecuencia de las líneas espectrales, (c) Determinar \cn \ de la componente espectral más cercana a 20 kHz. (d)... más cercana a 2 MHz. (g) Especificar el ancho de banda nominal
*
W v
0
A A /V
-•
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
que un amplificador debe tener para transmitir este tren de pulsos con razonable fidelidad, (f) Establecer el número de componentes espectrales en el intervalo de frecuencia 2 < co < 2.2 Mrad/s. (g) Calcular la amplitud de C227 y establecer su frecuencia. 33. Una forma de onda de tensión tiene un periodo T = 5 ms y valores de coeficientes complejos: co = 1, ci = 0.2 —j 0.2, C2 = 0.5 + j 0.25, C3 = —1 —j l y c„ = 0 para \n\ > 4. (a) Obtener v(t). (b) Calcular u(l ms). 34. Una secuencia de pulsos tiene un periodo de 5 (is, una amplitud unitaria de —0.6 < t < —0.4 fis y para 0.4 < t < 0.6 fis, así como amplitud cero en cualquier otro lado del intervalo del periodo. Esta serie de pulsos podría representar el número decimal 3 que se está transmitiendo en forma binaria mediante una computadora digital, (á) Determinar c„. (b) Evaluar C4 . (c) Evaluar co. (d) Calcular |c„|máx. (e) Obtener N de manera que |cw| < 0.1 |c„ |máx para toda n > N. ( / ) ¿Qué ancho de banda se requiere para transmitir esta parte del espectro? 35. Sea una tensión periódica vs(t) = 40 V para 0 < I < ¿ s, y 0 para ^ < í < -¡^ s. Si T = s, calcular: (a) cr, (b) la potencia entregada a la carga en el circuito de la figura 18.41.
fin 18.5 D e fin ic ió n d e la tr a n s fo r m a d a
I F IG U R A 1 8 .4 2
de Fourier
36. Dada la función de tiempo f ( t ) = 5[u(t + 3) + u(t + 2) — u(t —2) —u(t —3)]: (a) dibujar e f(t); (b) utilizar la definición de la transformada de Fourier para determinar F(jai). 37. Utilizar las ecuaciones de definición para la transformada de Fourier con el fin de encontrar F(ja>) si f ( t ) es igual a: (a) e~a,u(t), a > 0; (b) e~a(t~,0>u(t — to), a > 0; (c) te~a,u(t), a > 0. 38. Determinar la transformada de Fourier del pulso triangular de la figura 18.42. 39. Obtenga la transformada de Fourier del pulso senoidal de la figura 18.43. 40. Sea f ( t ) = ( 8 cos t)[u(t + 0.5.t) —u(t — 0 .5 7 T)]. Calcular F(ja>) para co igual a: (a) 0; (b) 0.8; (c) 3.1. 41. Utilizar las ecuaciones de definición de la transformada inversa de Fourier con el fin de determinar f( t ) , y evaluar después en t = 0.8 para F(jco) igual a: (a) 4[u(a> + 2) - u(co - 2)]; (b) 4e- -H ; (c) (4cosxco)[u(co + 0.5) - u(a> - 0.5)].
18.6 Algunas propiedades de la transformada de Fourier 42. Dada la tensión v(t) = 20el 5tu{—t — 2) V. determinar: (a) Fv(j0); (b) A v(2); (c) Bv(2); (d) |FU0'2)|; (e) <¡>v(2). 43. Sea i (t) la corriente variable en el tiempo que circula por una resistencia de 4 Q. Si se sabe que la magnitud de la transformada de Fourier de i (t) es igual a \l(ja))\ = (3cos \ 0a>) [u(a> + 0.05.T) —u(co — 0.057T)] A/(rad/s), calcular: (a) la energía total presente en la seftal; (b) la frecuencia cox, tal que la mitad de la energía total se ubique en el intervalo |o>| < cox . 44. Sea f( t ) = 10te~4,u(t), y obtener: (a) la energía correspondiente a la resistencia de 1 Í2 representada por esa seftal; (b) |F(jíu)|; ( c ) la densidad de energía en co = 0 y co = 4 rad/s.
EJERCICIOS
45. Si v(t) = 8e_2|í| V, determinar: (a) la energía correspondiente a la resistencia de 1fí asociada con esta señal; (b ) |F„ (jco) |; (c) el intervalo de frecuencia \co\ < coi en el que se ubica 90% de la energía correspondiente a la resistencia de 1 fí.
18.7 Pares de transformadas de Fourier de algunas funciones del tiempo simples 46. Utilizar la definición de la transformada de Fourier para demostrar los siguientes resultados, donde T { f ( t ) } = F (ja)): (a) T \ f ( l — íb)} = e~ja"°Jr{f(t)}\ (b) T { d f( t)/d t\ = j c o H / m (c ) F { f ( k t )} = (l/|*|)F0'a>/*); (d) T { f ( - t )} = F(—y©); (e) T \ t f ( t ) \ = j d[¥(jco)]/dco. 47. Determinar T { f (/)) si /( /) está dada por: (a) 4[sgn(;)]á(í — 1); (tí) 4[sgn(? —1)]<5(/); (c)4[sen(10/ - 30°)]. 48. Obtener F(jco) si f ( t ) es igual a: ( a ) Acos(coot + cj>)\ (tí) 3 sgn(í — 2) — 2 S ( t ) — u(t — 1); (c) (sen h kt)u(t). 49. Calcular f ( t ) en / = 5 si F (jco) es igual a: (a) 3u(co + 3) —3u(co — 1); (tí) 3u(—3 — co) + 3u(a> — 1); (c) 2S(co) + 3u (—3 —co) + 3u(co — 1). 50. Determinar f ( t ) si F (jco) es igual a: (a) 3/(1 + jco) + 3/jco + 3 + 3S(co — 1); (b) (5sen4w)/&>; (c) 6(3 + jco)/[(3 + jco)2 + 4 ],
18.8 Transformada de Fourier de una función del tiempo periódica general 51. Calcular la transformada de Fourier de la función de tiempo periódica de la figura 18.44. m
52. La función periódica / ( / ) se define sobre el periodo 0 < t < 4 ms por medio de / i (t) = 10u(t) — 6 u(t — 0.001) —4u(t — 0.003). Determinar F(jco). 53. Si F(jco) = 20£„°°=i[l/(M ! + 1)]<5(&> —20n), calcular los valores de /(0.05). 54. Dada una entrada x(t) = 5[«(/) —u(t — 1)], utilizar la convolución para determi nar la salida y(t) si h(t) es igual a: (a) 2 u(t); (b) 2 u(t — 1 ); (c) 2 u(t — 2). 55. Seax(t) = 5[u(t) — u(t — 2)] y h(t) = 2[u(t — 1) —u(t —2)]. Obtener y(t) en t = —0.4, 0.4, 1.4, 2.4, 3.4 y 4.4 mediante la convolución.
18.9 Función del sistema y respuesta en el dominio de la frecuencia 56. La respuesta al impulso de cierto sistema lineal es h(t) = 3(e~' —e~2'). Dada la entrada x(t) = u(t), calcular la respuesta de la salida para t > 0 . 57. La respuesta al impulso unitario y la entrada a cierto sistema lineal se muestran en la figura 18.45. (á) Obtener una expresión integral para la salida que sea válida en el intervalo 4 < t < 6 y que no contenga ninguna función singular, (tí) Evaluar la salida en t = 5. 58. Dada una señal de entrada x(t) = 5e~^~2hi(t —2) y la respuesta al impulso h(t) = (4/ —16)[¡í(r —4) —u(t — 7)1, determinar el valor de la señal de salida en (a) t = 5 ; ( b ) t = 8 ; (c) t = 1 0 . 59. Cuando una entrada S (!) se aplica a un sistema lineal, la salida es sen t para 0 < t < ti, y cero en cualquier otro lado. Ahora bien, si se aplica la entrada e~'u(t) especificar el valor numérico de la salida en t igual a: (á) 1; (tí) 2.5; (c) 4. 60. Sea.í(í) = 0.8(/ - 1)[u(t - 1) - u(t - 3)] y h(t) = 0.2(t - 2)[«(/ - 2) u(t — 3)]. Evaluar y(t) para (a) t = 3.8; (b) t = 4.8.
*
A /V Y
A /W
«
CAPÍTULO 18 ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER
h ( t)
(a)
B FIGURA 18.45
61. Una señal x (?) = lOe 21u (í) se aplica a un sistema lineal, en donde la respuesta al impulso es h(t) = 10e~2,u(t). Determinar la salida y(t). 62. Se aplica un impulso a un sistema lineal, el cual genera la salida h(t) = 5e ~4t u(t) V. ¿Qué porcentaje de la energía correspondiente a una resistencia de 1 Q en esta respuesta: (a) si ocurre durante el intervalo de tiempo 0.] < t < 0.8 s?; (b) si se ubica en la banda de frecuencia —2 < co < 2 rad/s? 63. Si Fi jco) — 2/[(l + jco)(2 + jco)], calcular: (a) la energía total de 1 Q presente en la señal, y (b) el valor máximo de f(t) . 64. Encontrar.F_1[F(.7
á(íiv(p
18.10 Significado físico de la función del sistema
I FIGURA 18.46
35 í l
30 H
66. Obtener va(t) del circuito de la figura 18.46. 67. Calcular Vc(t) del circuito que se ilustra en la figura 18.47. 68. Sea /(?) = 5e 2tu(t) y g(t) = 4e y u(t). (a) Determinar f ( t ) * g(t) trabajando en el dominio del tiempo, (b) Evaluar / (í) * g(t) mediante la multiplicación en el dominio de la frecuencia. 69. La fuente de tensión de la figura 18.22 se sustituye por v¡(t) = 12 sgn(f). Determinar v0(t), la tensión en las terminales del inductor, utilizando las técnicas de la transformada de Fourier. 70. Un sistema particular presenta una respuesta al impulso h(t) = 2e~1cos 41. Encontrar la salida si la entrada es: (a) 2; (b) 28 (t — 1); (c) 2u(t + 0.25) - 2 u ( t - 0.25).
APÉNDICE
1
INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA DE REDES Después de resolver muchos problemas de circuitos, poco a poco se hace evi dente que una gran cantidad de los que se estudiaron tienen m ucho en común, al menos en términos del arreglo de componentes. A partir de este reconocimiento, es posible crear una visión más abstracta de los circuitos, la cual se conoce co mo topología de redes. Este apéndice presenta una introducción a varios concep tos básicos de la topología de redes; la implantación se deja al arbitrio del lector.
A1.1 t ÁRBOLES Y ANÁLISIS NOPAL GENERAL____________ Se planea ahora generalizar el método del análisis nodal que se ha llegado a conocer y desear. Debido a que este análisis se aplica a cualquier red, no es posi ble prometer que se resolverá una clase más amplia de problemas de circuitos. Sin embargo, se verá hacia adelante, para tener la capacidad de elegir un método de análisis nodal general para resolver cualquier problema particular, que tal vez de origen a un menor número de ecuaciones y menos trabajo. Se debe extender prim ero la lista de definiciones relacionadas con la topología de redes. Se comienza con la definición de la propia topología como una rama de la geometría relacionada con las propiedades de una figura geométrica que no cambian cuando la figura se tuerce, dobla, pliega, alarga o encoje, o se amarra en nudos, con la restricción de que ninguna parte de la figura se corta o se pega a otra. Una esfera y un tetraedro son topológicamente idénticos, pues constituyen un cuadrado y un círculo. En términos de circuitos eléctricos no in teresan los tipos particulares de elementos que aparecen en el circuito, sino sólo la forma en la que se arreglan las ramas y los nodos. En realidad, se suele suprimir la naturaleza de los elementos y simplificar el dibujo del circuito mediante la presentación de los elementos como líneas. El dibujo que resulta se denomina gráfica lineal o simplemente gráfica. Un circuito y su gráfica se muestran en la figura A 1.1. Observar que en ella todos los nodos se identifican mediante pun tos gruesos. En razón de que las propiedades topológicas del circuito, o su gráfica, per manecen invariables cuando se distorsiona, las tres gráficas de la figura A l.2 son topológicamente idénticas al circuito y a la gráfica A l. 1. Los términos topológicos que ya se conocen y emplean de manera correcta son: Nodo: punto en el que dos o más elementos tienen una conexión común. Trayectoria: conjunto de elementos que pueden recorrerse en orden, sin pasar por el mismo nodo dos veces. Rama: trayectoria sencilla que contiene un elemento simple, el cual conecta un nodo a cualquier otro nodo.
(b) ■ FIGURA A l. l (a) Un circuito dado. (b) Gráfica lineal de
este circuito.
0
Lazo: trayectoria cerrada. Malla: lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. Circuito plano: circuito que puede dibujarse sobre una superficie plana, de manera que ninguna rama pase por encima o por debajo de cualquier otra rama. Circuito no plano: cualquier circuito que no es plano. Las gráficas de la figura A 1.2 contienen cada una 12 ramas y 7 nodos. A hora deben definirse tres nuevas propiedades de una gráfica lineal: un árbol, un coárbol y un enlace. Se define árbol como cualquier conjunto de ra mas que no contiene ningún lazo y que conecta cada nodo a otro, no necesaria mente de manera directa. Suele haber varios árboles diferentes de una red que se podrían dibujar, de modo que el número aumenta con rapidez, a medida que au menta la complejidad de la red. La gráfica simple que se muestra en la figura A l.3a tiene ocho árboles posibles, cuatro de los cuales se indican mediante líneas gruesas en las figuras A l.3b, c , d y e.
/\
J (a)
( b)
(c)(d)(e)
tt FIGURA A l .3 (o ) Gráfica lineal de una red de tres nodos. ( b , c, d , e) Cuatro de los ocho diferentes árboles que se podrían dibujar de esta gráfica se representan con líneas negras.
(r)
(d)
I FIGURA A l .4 (o ) Gráfica lineal. ( b ) Posible árbol de esta gráfica, (c , d ) Estos conjuntos de rama no satisfacen la definición de árbol.
En la figura A l.4 a se presenta una gráfica más compleja. La figura A l Ab muestra un árbol posible y las figuras A 1.4c y d presentan conjuntos de ramas que no son árboles, pues ningún conjunto satisface la definición. Después de especificar un árbol, las ramas que no son parte de él forman un coárbol o complemento de un árbol. Las ramas dibujadas con líneas delgadas en las figuras A l.3-e muestran los coárboles que corresponden a los árboles trace más espesos. Luego de comprender la construcción de un árbol y su coárbol, el concepto de enlace es muy simple, en vista de que es cualquier ram a que pertenece a un coárbol. Resulta evidente que cualquier rama particular puede ser un enlace o no, según el árbol particular que se elija. Se relacionará de manera muy sencilla el número de enlaces en una gráfica con el número de ramas y nodos. Si la gráfica tiene N nodos, entonces se re quieren exactamente (N — 1) ramas para construir un árbol, debido a que la
APENDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA DE REDES
primera ram a elegida conecta dos nodos y cada rama adicional incluye un nodo más. Por lo tanto, dadas B ramas, el número de enlaces L debe ser L = B - (N - 1) o L = B - N + 1
[1]
Hay L ramas en el coárbol y ( N — 1) ramas en el árbol. En cualquiera de las gráficas de la figura A l.3, se observa que 3 = 5 — 3 + 1; asimismo, en la gráfica de la figura A1.4&, 6 = 10 — 5 + 1. Tal vez en una red haya varias partes desconectadas; por ello, la ecuación [1] quizá se haga más general al sustituir + 1 con + 5 , donde S es el número de partes separadas. Sin embargo, también se pueden conectar dos partes separadas mediante un solo conductor, lo que provocaría que dos nodos formen un nodo, pero no fluye ninguna corriente por este conductor. Este proceso se podría utilizar para umr cualquier número de partes separadas, sin que haya pérdida de generalidad, si se restringe la atención a los circuitos en los cuales S = 1. A estas alturas ya se puede analizar un método mediante el cual se escribe un conjunto de ecuaciones nodales independientes y suficientes, lo cual permite obtener muchos conjuntos de ecuaciones diferentes de la misma red, todos ellos válidos. Sin embargo, el método no proporciona todo el conjunto de ecuaciones posible. Se describirá primero el procedimiento, con la ayuda de tres ejemplos y, después, se señalará la razón por la que las ecuaciones son independientes y su ficientes. Dada una red, se debe:
1. Dibujar una gráfica y luego identificar un árbol. 2. Colocar todas las fuentes de tensión en el árbol. 3. Ubicar todas las fuentes de corriente en el coárbol. 4. Poner en el árbol todas las ramas de control de tensión de las fuentes dependientes controladas por la tensión, si es posible. 5. Situar en el coárbol todas las ramas de control de corriente de las fuentes dependientes controladas por la corriente, si es posible.
Estos últimos cuatro pasos asocian de m anera eficaz las tensiones con el árbol y las corrientes con el coárbol. A continuación se asignará una variable de tensión (con su par más-menos) en los extremos de cada una de las (N — 1) ramas del árbol. U na ram a que con tenga una fuente de tensión (dependiente o independiente) debe asignarse a esa tensión de fuente, mientras que una que contenga una tensión controlada debe vincularse con esa tensión controladora. El número de nuevas variables intro ducidas es, en consecuencia, igual al número de ramas del árbol (N — 1), re ducidas por el número de fuentes de tensión del árbol y por el número de ten siones de control que se pueden localizar en el árbol. En el ejemplo A l .3 se encuentra que el número de nuevas variables requeridas tal vez sea cero. Al tener un conjunto de variables, es necesario escribir un conjunto de ecua ciones que sean suficientes para determinar tales variables. Las ecuaciones se ob tienen mediante la aplicación de la LKC. Las fuentes de tensión se manejan de la misma manera que se hizo en el examen anterior relativo al análisis nodal; cada
#
A / W ------
^ \A
a-
- •
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LATOPOLOGÍA DE REDES
fuente de tensión, así como los dos nodos de sus terminales constituyen un supemodo o una parte de un supernodo. En consecuencia, la ley de Kirchhoff de com ente se aplica en todos menos uno de los nodos y supemodos restantes. Se iguala a cero la suma de las corrientes que salen del nodo en todas las ramas conectadas a él. Cada corriente se expresa en términos de las variables de tensión que se acaban de asignar. Tal vez se ignore un nodo, como sucedió en el caso an terior con el nodo de referencia. Por último, en el caso de que haya fuentes de pendientes controladas por corriente, es necesario escribir una ecuación para cada corriente de control que la relacione con las variables de tensión; lo anterior tam poco difiere del procedimiento que se utilizó antes con el análisis nodal. Se ensayará este proceso en el circuito de la figura A l.5 a , el cual contiene cuatro nodos y cinco ramas y cuya gráfica se muestra en la figura A l.5b.
EJEMPLO A l .1 D eterm in ar el valor de vx en el circuito de la figura A 1.5a.
8 0.
15 fi
14
(b) +
vx
-
+
»1
-
FIGURA A l. 5 ( o ) Circuito utilizado com o ejem plo para el análisis nodal general.
(b) Gráfica del circuito dado, (c )
La fuente de tensión y la tensión de control se colocan
en el árbol, en tanto que la fuente de corriente se ubica en el coárbol. (tf)E I árbol se com pleta y se asigna la tensión entre los extrem os de cada rama de árbol.
De acuerdo con los pasos 2 y 3 del procedimiento de elaboración de árboles, se coloca la fuente de tensión en el árbol y la fuente de corriente en el coárbol. En el paso 4, se ve que la rama vx también puede situarse en el árbol, pues no forma ningún lazo que viole la definición de árbol. En estas condiciones, se tienen las dos ramas de árbol y el enlace individual que se muestra en la figura A 1,5c; asimismo, se puede observar que todavía no se cuenta con un árbol, pues el nodo derecho no está conectado con los otros mediante una trayectoria que pase por las ramas del árbol. La única manera posible de completar el árbol se ilustra en la figura A l.5d. La tensión de la fuente de 100 V, la tensión de control vx y la nueva variable de tensión vt se asignan a continuación a las tres ramas de árbol, tal como se indica. Por lo tanto, se tienen dos incógnitas vx y v¡, y es necesario obtener dos ecuaciones en términos de ellas. Hay cuatro nodos, pero la presencia de la
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGIA DE REDES
*
A /W
fuente de tensión ocasiona que dos de ellos formen un solo supemodo. Se podría aplicar la ley de Kirchhoff de corriente a cualquiera de los tres nodos o supemodos restantes. Se resolverá primero el nodo derecho. La corriente que sale hacia la izquierda es —u i/1 5 , en tanto que la que sale hacia abajo corresponde a —vx /\A . De esta forma, la primera ecuación es _ i_
15
:0 2
14
El nodo central en la parte superior se ve más fácil que el supemodo, por lo que se iguala a cero la suma de la corriente hacia la izquierda (—vx/%), la corriente hacia la derecha (v¡ / 15) y la corriente hacia abajo que pasa por la resistencia de 4-Q. Esta última corriente está dada por la tensión en la resistencia dividida entre 4 £2, aunque no hay tensión marcada en ese enlace. Sin embargo, cuando se construye un árbol de acuerdo con la definición, existe una trayectoria a través de él, desde cualquier nodo hasta cualquier otro nodo. Entonces, puesto que a toda ram a en el árbol se le asigna una tensión, ésta se expresaría en cualquier enlace en términos de las tensiones de rama del árbol. Esta com ente hacia abajo es, en consecuencia, (—vx + 100)¡4, con lo cual se tiene una segunda ecuación: _ Vx
Vl_
8
15
-V x
+
100
_
„
4
La ecuación simultánea de ambas ecuaciones nodales da como resultado: Di — —60 V
vx = 56 V
EJEM PLO
P ro p o rcio n ar los valores de vx y vy del circuito de la figura A 1.6a.
(b) ■ FIGURA A l .6 ( o ) Circuito con 5 nodos. ( b ) Se elige un árbol de m anera que tanto las fuentes de tensión com o las tensiones de control constituyan tres ramas.
Se dibuja un árbol de modo que las dos fuentes de tensión y ambas tensiones de control aparezcan como tensiones de ram a del árbol, y en consecuencia como variables asignadas. Cuando esto ocurre, las cuatro ramas constituyen un árbol, figura A l.6 b , y se eligen las tensiones de ramas de árbol vx , 1, vy y 4vy , como se muestra. f C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
A l. 2
AA/V
«
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGIA DE REDES
Ambas fuentes de tensión definen supemodos, así que se aplica dos veces la LKC, una vez en el nodo superior: 2vx + l(nx — V y — 4vy) = 2 y luego en el supernodo compuesto por el nodo derecho, el nodo inferior y la fuente de tensión dependiente \ v y + 2(t\. — 1) + K^Vy + vy — vx) — 2vx En vez de las cuatro ecuaciones que se esperarían, si se utilizan las técnicas estudiadas antes, sólo se tienen dos; además, se encuentra sin ninguna dificultad que vx ^ y V y vy = | V.
Las dos fuentes de tensión y la tensión de control establecen el árbol de tres ramas de la figura A l.Ib. Dado que los dos nodos superiores y el nodo derecho inferior se unen para formar un supernodo, es necesario escribir sólo una LKC. Al elegir el nodo inferior izquierdo, se tiene vx
„
—
vx + 3 0 + 6 v x
- 1 - — + 3-1------ ---------^ - 0 4 5 y se deduce que vx = —y V. A pesar de la aparente complejidad de este circuito, el uso del análisis nodal general dio como resultado una solución fácil. El uso de las com entes de malla o de las tensiones de nodo con respecto a la referencia requeriría más ecuaciones y más esfuerzo.
■ FIGURA A l .7 (a ) Circuito para el que sólo se requiere escribir una ecuación nodal general. ( 6 ) El árbol y las tensiones de rama de árbol que se utilizan.
En la sección siguiente se analizará el problema para determinar el mejor es quema de análisis. Si es necesario conocer alguna otra tensión, corriente o potencia en el ejem plo anterior, un paso adicional proporcionaría la respuesta. Por ejemplo, la po tencia que entrega la fuente de 3 A es 3
( - 3 0 —f ) = -1 2 2 W
Se terminará con la explicación de la suficiencia del conjunto supuesto de ten siones de rama del árbol y la independencia de las ecuaciones nodales. Si tales tensiones de rama del árbol son suficientes, entonces la tensión a través de cualquier rama, ya sea en el árbol o en el coárbol, debe obtenerse del conocimiento de los valores de todas las tensiones de la rama del árbol. Lo anterior es realidad y se cumple en el caso de aquellas ramas del árbol. Para los enlaces, se sabe que cada uno se extiende entre dos nodos y, por definición, el árbol debe conectar también esos dos nodos. Por consiguiente, cada tensión de enlace también se establecería en términos de las tensiones de la rama del árbol. En consecuencia, una vez que se conoce la tensión en los extremos de cualquier rama del circuito, se determinan todas las comentes utilizando ya sea el valor dado de la corriente si la rama consiste en una fuente de comente, mediante la ley de Ohm si se trata de una rama resistiva, o recurriendo a la LKC y a estos valores de comente si la rama es una fuente de tensión. De tal modo, todas las ten siones y las comentes están determinadas y la suficiencia demostrada.
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LATOPOLOGÍA DE REDES
Para demostrar la independencia, el lector debe complacerse suponiendo que las únicas fuentes de la red que son independientes son las de corriente. Como se señaló antes, las fuentes de tensión independientes del circuito dan lu gar a m enor número de ecuaciones, en tanto que las fuentes dependientes sue len necesitar un número mayor. Sólo con las fuentes de corriente indepen dientes existirán precisamente (N — 1) ecuaciones nodales escritas en términos de ( N — 1) tensiones de ram a del árbol. Para demostrar que las (N — 1) ecua ciones son independientes, considerar la aplicación de la LKC a los (N — 1) diferentes nodos. Cada vez que se escribe la ecuación de la LKC, hay una nueva ram a del árbol implicada: la que conecta ese nodo con el resto del árbol. Dado que el elemento de circuito no apareció en ninguna ecuación anterior, se debe obtener una ecuación independiente. Lo anterior es válido para cada uno de los (N — 1) nodos en tum o y, en consecuencia, se tienen (N — 1) ecuaciones independientesc
PRÁCTICA n
_________________________ _____________________________
A l . l (a) ¿Cuántos árboles se pueden construir para el circuito de la figura A1.8, que se deduce a partir de las cinco sugerencias de dibujos de árbol que se presentaron anteriormente? (b) Dibujar un árbol adecuado, escribir dos ecuaciones con dos incógnitas y determinar ¡3 . (c) ¿Qué potencia proporciona la fuente dependiente?
25 V
12 ñ
I FIGURA A l.8 Respuestas: L; 7.2 A; 547 W.
Al .2 •------------------------------------------------------------------------------------ANÁLISIS DE ENLACES Y LAZOS -------Considerar ahora el uso de un árbol para obtener un conjunto apropiado de ecua ciones de lazo. En algunos aspectos este método es el dual del método de escritura de ecuaciones nodales. También en este caso debe señalarse que, si bien se puede garantizar que cualquier conjunto de ecuaciones que se escriban será tanto sufi ciente como independiente, no se debe esperar que con el método se obtenga de manera directa todo conjunto de ecuaciones posible. Se comienza de nuevo construyendo un árbol y se utiliza el mismo conjunto de reglas al que se recurrió en el análisis nodal general. El objetivo, ya sea para el análisis nodal o para el de lazo, consiste en poner tensiones en el árbol y corrientes en el coárbol; ésta es una regla obligatoria para fuentes, y deseable para cantidades de control. Sin embargo, en lugar de asignar ahora una tensión a cada rama en el árbol, se determina la corriente (incluyendo la flecha de referencia, desde luego) de cada elemento en el coárbol o de cada enlace. Si hubiera 10 enlaces, se asignarían exac tamente 10 corrientes de enlace. A cualquier enlace que contenga una fuente de co rriente se le asocia esa fuente como a corriente de enlace. Observar que cada
»
A/W
AA/V
«
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA DE REDES
corriente de enlace también puede considerarse como una corriente de lazo, pues el enlace debe extenderse entre dos nodos específicos y debe existir una trayecto ria entre ambos nodos a través del árbol. Por lo tanto, con cada enlace se asocia un solo lazo específico que incluye dicho enlace y una trayectoria única a través del árbol. Resulta evidente que la corriente asignada se podría considerar como una corriente de lazo o una corriente de enlace. La connotación de enlace es más útil en el momento en que se definen las corrientes, pues debe establecerse una para cada enlace; la interpretación del lazo resulta más conveniente en el mo mento de escribir la ecuación, pues se aplicará la LKT a través de cada lazo. Pruébese este proceso para definir las corrientes de enlace considerando el circuito de la figura A l .9a. El árbol seleccionado es uno de varios que podrían construirse y para el cual la fuente de tensión está en la rama del árbol y la fuente de corriente se ubica en un enlace. Se considera primero el enlace que contiene la fuente de corriente. El lazo asociado con este enlace es la malla del lado izquierdo, así que se indica la corriente de enlace como si circulase en tomo al perímetro de esta malla (figura A l.9b). Una elección evidente para el símbolo de la corriente de enlace es “7 A ”. Se debe recordar que ninguna otra corriente puede circular por este enlace particular, por lo cual su valor debe ser exacta mente la intensidad de la fuente de corriente.
■ FIGURA A l .9 (a) Circuito simple. (6) Se elige el árbol de modo que la fuente de corriente sea un enlace y la fuente de tensión se encuentre en una rama del árbol.
A continuación se dirige la atención hacia el enlace de la resistencia de 3-Í2. El lazo asociado con él es la malla superior del lado derecho, de modo que esta corriente de lazo (o malla) se define como i a y también se presenta en la figura A] .9b. El último enlace es la resistencia inferior de 1-Í2, pero la única trayectoria entre sus terminales a través del árbol se traza alrededor del perímetro del circuito. Esa corriente de enlace se denomina z'g, y la flecha que indica su trayectoria y su dirección de referencia aparece en la figura A l ,9b. No es una corriente de malla. Observar que cada enlace tiene sólo una corriente, aunque una ram a del árbol quizá tenga cualquier número desde 1 hasta el número total de corrientes de en lace asignadas. El uso de flechas largas, casi cerradas, para indicar los lazos ayuda a señalar qué corriente de lazo fluye a través del cuál rama del árbol y cuáles son sus direcciones de referencia. Ahora debe escribirse una ecuación LKT alrededor de cada uno de los lazos. Las variables que se usan son las corrientes de enlace asignadas. Dado que la tensión en los extremos de la fuente de corriente no puede expresarse en térmi nos de la corriente de la fuente y, puesto que ya se ha empleado el valor de esta última como la corriente de enlace, se descarta cualquier lazo que contenga una fuente de corriente.
APENDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGIA DE REDES
A /W
0
EJEMPLO A l .4
.''.-A' ¿ t-'-
E n el ejem plo de la fig u ra A l 3 t calcu lar los valores de iA e *#. Primero se recorre al lazo de iA en dirección de las manecillas del reloj desde su esquina inferior izquierda. La corriente que va en ese sentido en la resistencia de 1-Í2 es {ia — 7), en el elemento de 2-Í2 es (iA + í'b) y en el enlace simplemente I r . Por lo tanto, 1
(i a — 7) + 2 (iA + Í b ) + 3í/t = 0 2
En el enlace de iBel recorrido en el sentido de las manecillas del reloj la esquina inferior izquierda lleva a —7 + 2 ( i A +
i s )
+
1¿b
—
desde
0
El recorrido del lazo definido por el enlace 7-A no se requiere.Despejando, se tiene iA = 0.5 A , iB — 2 A, también en este caso. La solución se obtuvo ¡con una ecuación menos que antes!
EJEMPLO A l . 5 E v alu ar ¿i en el circuito que se m u e stra en la figura A l. 10a.
(b)
1 FIGURA A l. 10 (a) Circuito para el que se podría determinar/, con
una ecuación utilizando el análisis de lazo general, (b) Único árbol que satisface las reglas señaladas en la sección Al.l. (c) Se muestran las tres corrientes de enlace con sus lazos.
Este circuito contiene seis nodos y su árbol debe tener, por lo tanto, cinco ramas. Dado que hay ocho elementos en la red, existen tres enlaces en el coárbol. Si se ponen las tres fuentes de tensión en el árbol y las dos fuentes de corriente y el control de corriente en el coárbol, resulta el árbol que se presenta en la figura A l. 1Ob. La corriente de la fuente de 4 A define un lazo ( C o n tin ú a en la s ig u ie n te p á g in a )
802 )--------- W
V
-------------------------•
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGIA DE REDES
como se ilustra en la figura A l .10c. La fuente dependiente establece la corriente de lazo 1.5z'i alrededor de la malla derecha, mientras que la corriente de control ¿i produce la corriente de lazo restante alrededor del perímetro del circuito. Observ ar que las tres corrientes fluyen por la resistencia de 4-Í2. Sólo se tiene una cantidad desconocida, ¿i, así que después de descartar los lazos definidos por las dos fuentes de corriente, se aplica LKT alrededor del exterior del circuito: - 3 0 + 5 ( - i i ) + 19 + 2( - i i - 4) + 4 ( - i i - 4 + 1.5*0 - 25 = 0 Además de las tres fuentes de tensión, en este lazo hay tres resistencias. La resistencia de 5-Í2 incluye una corriente de lazo, puesto que también constituye un enlace; la resistencia de 2-Q contiene dos corrientes de lazo y el de 4-Í2 tiene tres. Se requiere un conjunto de corrientes de lazo dibujado con todo cuidado, si se quiere evitar errores al saltar corrientes, utilizar algunas demás o errar al elegir la dirección correcta. Sin embargo, se garantiza la ecuación anterior y con ella se obtiene i i = —12 A.
I F IG U R A A 1 .1 1 Árbol que se emplea como ejemplo para ilustrar la suficiencia de las corrientes de enlace.
¿Cómo se demostraría la suficiencia? Imaginar un árbol sin lazos, en el cual se incluyan por lo menos dos nodos, y en cada uno de ellos sólo se conecta una rama de árbol. La corriente en ambas ramas se obtiene con facilidad a partir de las corrientes conocidas del enlace mediante la LKT. Si hay otros nodos en los que sólo se conecta una rama del árbol, tales corrientes de rama del árbol también se calcularían de manera inmediata. De este modo, en el árbol que se presenta en la figura A l. 11 se han encontrado las corrientes en las ramas a, b, c y d. Uno se mueve ahora a lo largo de las ramas del árbol y se determinan las corrientes en las ramas del áibo) c y f; el proceso podría continuar hasta que se determinen todas las corrientes de rama. Por lo tanto, las corrientes de enlace resultan suficientes para obtener todas las corrientes de rama. Resulta útil considerar la situación donde se ha dibujado un “árbol” incorrecto que contiene un lazo. Incluso si todas las co rrientes de enlace fueran cero, aún podría circular una corriente en tomo a este “lazo de árbol”. Por consiguiente, la corriente de enlace no podría determinarse a dicha corriente, así que no representarían un conjunto suficiente. Por definición, un “árbol” de estas características es imposible. Para demostrar la independencia, se debe quedar satisfecho suponiendo que las únicas fuentes de la red son fuentes de tensión independientes. Como ya se señaló, las fuentes de corriente independientes del circuito originan un número m enor de ecuaciones, en tanto que las dependientes casi siempre necesitan un núm ero m ayor de ecuaciones. Si sólo se hallan fuentes de tensión indepen dientes, en ese caso habrá precisam ente (B — N + 1) ecuaciones de lazo es critas en términos de las corrientes de lazo (B — N + 1) Para demostrar que las (B — N + 1) ecuaciones de lazo son independientes, sólo se requiere señalar que cada una representa la aplicación de la LKT alrededor del lazo que contiene un enlace que no aparece en cualquier otra ecuación. Se podría visualizar una re sistencia diferente Ri, R 2, , R b - n +i en cada uno de los enlaces y en ese caso es claro que nunca puede obtenerse una ecuación de las otras, dado que cada una contiene un coeficiente que no aparece en las demás. En consecuencia, las corrientes de enlace son suficientes para permitir que se obtenga una solución completa, y el conjunto de ecuaciones de lazo que se uti liza para determinar las corrientes de enlace constituye un conjunto de ecua ciones independiente.
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LATOPOLOGÍA DE REDES
A/W
Luego de haber considerado tanto el análisis nodal general como el análisis de lazo, se deben considerar ahora las ventajas y desventajas de cada método, de modo que se elija de manera inteligente un plan de ataque pudiendo ser aplicado a un problema de análisis dado. El método nodal requiere en general ( N — 1) ecuaciones, aunque se reduce en 1 por cada fuente de tensión independiente o dependiente en una ram a de ár bol, y se incrementa en 1 por cada fuente dependiente que se controla por ten sión mediante una tensión de enlace, o por corriente. El método de lazo implica, básicamente (B — N + 1) ecuaciones. Sin em bargo, cada fuente de corriente independiente o dependiente, en un enlace, re duce este número en 1, en tanto que cada fuente dependiente que se controla por com ente mediante una corriente de rama de árbol, o que se controla por tensión, incrementa el número en 1. Como gran final de esta explicación, se inspeccionará el modelo del circuito equivalente en T de un transistor que se muestra en la figura A 1.12, el cual se conecta a una fuente senoidal, 4 sen 1 OOOí mV, y una carga de 10-k£2.
EJEMPLO A1.6
s D eterm in ar la corriente de e n tra d a (em isor) i,, y la tensión de carga en el circuito de la figura A l.1 2 , suponiendo valores característicos de la resistencia de em isor re = 50 fi; la resistencia de base rh = 500 ñ ; la resistencia del colector rc = 20 k fi; y la relación de tran sferen cia base com ún/corriente directa es a = 0.99.
■ FIGURA A l .12 Una fuente de tensión senoidal y una carga ce 10-k£2 se conectan al circuito equivalente T de un transistor La conexión com ún entre la entrada y la salida está en la term inal de la base del transistor, po r lo que el arreglo recibe el no m b re de configuración de
base común.
Si bien se piden los detalles en los problemas de práctica que siguen, se debe ver sin ninguna dificultad que el análisis de este circuito podría llevarse a cabo dibujando árboles que requieren tres ecuaciones nodales generales (N — 1 — 1 + 1) o dos ecuaciones de lazo (B — N + 1 — 1). También se podría observar que se necesitan tres ecuaciones en términos de las tensiones de nodo con respecto a una referencia, pues son tres ecuaciones de malla. Sin que importe el método que se elija, los siguientes resultados se obtienen para este circuito específico: ie = 18.42 sen 1 OOOí /xA v¿ = 122.6 sen 1 OOOí m f C o n tin ú a e n la s ig u ie n te p á g in a )
A /W
«
APÉNDICE 1 INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGIA DE REDES
y. por lo tanto, se observa que este circuito de transistor proporciona una ganancia de tensión (vL/ v s) de 30.6, una ganancia de corriente ( ti/ / 10 000/e) de 0.666, y una ganancia de potencia igual al producto 30.6(0.666) = 20.4. Se garantizarían ganancias superiores si este transistor se operase en una configuración de emisor común.
PRACTICA A 1.2 Dibujar un árbol adecuado y aplicar el análisis de lazo general para determinar ¿ío en el circuito: (a ) de la figura A l. 13a escribiendo sólo una ecuación con Í\ q como la variable; (b) de la figura A l .13b escribiendo sólo dos ecuaciones con z’io e como las variables.
■ FIGURA A l. 13
A l .3 En el caso del circuito equivalente de amplificador transistorizado que se presenta en la figura A l .12, sean re = 50 Q, rb = 500 Q, rc = 20 kQ y a = 0.99, determinar tanto ie como vL dibujando un árbol apropiado y utilizando: (a) dos ecuaciones de lazo;_j (b) tres ecuaciones nodales con un nodo de referencia común de la tensión; (c) tres ecuaciones nodales sin un nodo de referencia común. A 1.4 Determinar los circuitos equivalentes de Thévenin y Norton que se presentaron para la carga de 10-kQ en la figura A l .12 y obtener: (a) el valor en circuito abierto de vL\ (b) la corriente de cortocircuito (hacia abajo); (c) la resistencia equivalente de Thévenin. Todos los valores de circuito se indican en el problema de práctica A l.3. R espuestas: A 1.2: —4.00 mA; 4.69 A. A1.3: 18.42 sen 1 OOOí fi A; 122.6 sen 1 OOOí mV. A 1.4: 147.6 sen 1 OOOí mV; 72.2 sen 1 OOOí /¿A; 2.05 kí2.
¥
APENDICE SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS Considérese el sistema simple de ecuaciones: 7 v \ — 3 v2 ~ 4 v3 = —11 —3 f i + 6t>2 — 2 v 3 = —4v¡ — 2 v 2 + 11 v-¡ —
[1]
3
[2]
25
[3]
Este sistema p o d rá resolverse mediante la eliminación sistemática de las variables. Sin embargo, tal procedimiento es prolongado y quizá nunca produzca respues tas si se efectúa de manera no sistemática con un gran número de ecuaciones si multáneas. Por fortuna, se dispone de muchas más opciones, algunas de las cuales se explorarán en este apéndice.
La calculadora científica Quizá el método más directo cuando es necesario enfrentar un sistema de ecua ciones como el correspondiente a las ecuaciones [ 1] a [3], en el que se tienen co eficientes numéricos y sólo son de interés los valores específicos de las incóg nitas (lo cual se opone a las relaciones algebraicas), consiste en emplear cualquiera de las diversas calculadoras científicas presentes ahora en el mer cado. Por ejemplo, mediante una Texas Instruments 77-86, se tiene acceso a tales características oprimiendo 12nd | |siMULT|. En la pantalla aparece SIMULT Number = a lo que se responderá con la secuencia de teclas [T] [en ter|. La calculadora muestra entonces a l, l x l . . . a l , 3x3= bl a l, 1= a l, 2= a l, 3= bl = lo que indica que se puede em pezar a introducir los datos numéricos de la ecuación [1], Observar que antes del inicio de una operación de este tipo, es necesario tom ar el tiempo que se requiera para escribir el sistema de ecua ciones de modo ordenado, a fin de no confundir los coeficientes. Se responde con una secuencia de teclas [7 ] |e n te r| | (_)| [3] |e n te r| | (-)| [4] [e n te r| |(-)| f~i~P [enter|. Luego se presenta una nueva pantalla para la segunda ecuación.
A A /V
- •
APÉNDICE 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Después de proporcionar la información de las tres ecuaciones, se oprime la tecla F5 para indicar a la 77-86 que despeje las incógnitas „t 1, x 2 y x3 (nombres de Vi, ib y V3). L a pantalla de la calculadora muestra entonces xl = 1.000 x2 = 2.000 x3 = 3.000 Debe observarse que cada calculadora capaz de resolver ecuaciones simultáneas tiene su propio procedimiento para introducir la información que se requiere; por lo tanto, no hay que deshacerse de nada que tenga el título “Manual del propietario” o “Instrucciones”, sin que importe qué tan tentador pueda serlo.
Matrices Otro método muy útil para solucionar un sistema de ecuaciones se basa en el concepto de m atrices. Considérense las ecuaciones [1], [2] y [3]. El siguiente arreglo de los coeficientes constantes de las ecuaciones 7 G =
-3
-3
-4 "
6 - 2
.- 4
-2
11.
recibe el nombre de m a t r i z ' , se eligió el símbolo G porque cada elemento de la matriz es un valor de conductancia. La propia matriz no tiene “valor”, simple mente es un arreglo ordenado de elementos. Se utilizan negritas para representar una matriz y se encierra el propio arreglo mediante corchetes. Una matriz que cuenta con m renglones y n columnas se denomina matriz de (,m x ri) (lo que se pronuncia “m por n ”). De tal modo,
A =
2
0 5
- 1 6
3
es una matriz de (2 x 3) y la matriz G del ejemplo corresponde a una matriz de ( 3 x 3 ) . Una matriz de (n x ri) es una m a t r i z c u a d r a d a de orden n. Una matriz de (m x 1) se conoce como matriz columna o vector. Así, V =
'V i y 2
es una matriz columna de (2 x 1) de tensiones fasoriales, y 1= es un vector de corriente fasorial de (2 x 1). Una matriz de (1 x ri) se conoce como vector renglón. Dos matrices de (m x n) son iguales si sus elementos correspondientes son iguales. De tal modo, si a¡k es un elemento de A localizado en el renglón j y la columna k y b¡k es el elemento en el renglón j y la columna k en una matriz B, entonces A = B si y sólo si a¡t = bjk para todo 1 < j < m y 1 < k < n. De tal modo, si 'v r _V2 .
Z11I 1 + Z12I2
_Z21I 1 + Z22I 2 .
APÉNDICE 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
entonces Vi = z u l i + z ^ h y V 2 = z2ili + z22l 2Dos matrices de (m x n) pueden sumarse, sumando los elementos correspon dientes. De tal modo: ‘
2 -1
0
5'
6
3_
1 +
-3
2
3
3
2
8
-2
-1
-4
4
2
A continuación se considerará el producto de matrices AB, donde A es una m a triz ( m x / i ) y B e s una matriz de (p x q). Si n = p , se dice que las matrices son conformes y que existe su producto. Esto es, la multiplicación de matrices se de fine sólo en el caso en el que el número de columnas de la primera matriz del producto sea igual al número de renglones de la segunda matriz. La definición formal de una multiplicación de matrices establece que el pro ducto de la matriz A de (m x n) y de la matriz B de (n x q) es una matriz de (m x q) que tiene elementos c¡k, \ < j < m y l < k < q , donde Cjk =
U j\b \k + d j 2b2k
I ' ' ' I Q jn b n k
Esto es, para encontrar el elemento en el segundo renglón y la tercera columua del producto, se multiplica cada uno de los elementos del segundo renglón de A por el elemento correspondiente en la tercera columna de B y luego se suman los n resultados. Por ejemplo, dada la matriz A de (2 x 3) y la matriz B de (3 x 2), «u
a\2
«13
a 21
«22
«23
L
bu
b \2
b2\
b22
¿31 /J32j
(«11^11 + « 12^21 +Ol3^3l)
(«11 ¿>12 + a\2b22 + «13^32)
(«21 b\ | + «22^21 + «23¿31)
(«21^12 + ^22¿22 + «23^32)
El resultado es una matriz de (2 x 2). Como ejemplo numérico de multiplicación de matrices, se toma 3
2
-2
-2
2
3'
-2
-1
4
-3
6 16
4' -1 6
donde 6 = (3) (2) + (2)(—2) + (1)(4), 4 = (3)(3) + ( 2 ) ( - l ) + ( l) ( - 3 ) , etcétera. L a multiplicación de matrices no es conmutativa. Por ejemplo, dada la ma triz C de (3 x 2) y la matriz D de (2 x 1), resulta evidente que el producto CD se podría calcular, aunque el producto DC ni siquiera está incluso definido. Como ejemplo final, sea 2 -1
3' 4
tB por lo que t At B y t BtA están definidas. Sin embargo, ÍAÍB =
~21 17
2' -1
#■
'V W
0
A /W
- •
APENDICE 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
mientras que: =
5
13
10
15
i i Oo ■ 1
1 L/\ OJ ■ i
A 2 .1 Dada A =
i i U> —
PRÁCTICA .
yV = l ’H [ 4 i ] m ] >encontrar: (a) A + B; ib) AB; (c) BA; (d) AV + BC; (e) A 2 = AA.
Respuesta:
'5 1
-4 ' 8_ *
-
'1 0
10'
2
’l
-
1
12
171 21J
. I" Vi —3 Vi + 1701 ’ L 3Vi + 5 V 2 - 10
'- 8 9
_ 18
-1 8 16
Inversión de matrices Si se escribe un sistema de ecuaciones utilizando la notación de matrices " 7 - 3 —3
—4" 6
-2
" -Il"
"Wi" v2 -
3
[4]
T —<
1
25.
.V3_
_
i
!
1
se resolvería para el vector de tensión si se multiplican ambos lados de la ecuación [4] por la inversa de la matriz G: G 1
-3
6
-2
'- I l " - Vl " 3 v2 = G _1
1
-V3 _
[5]
25.
Este procedimiento utiliza la identidad G -1 G = I, donde I es la matriz identi dad, una matriz cuadrada del mismo tamaño que G, con ceros en todos lados ex cepto en la diagonal. Cada elemento de la diagonal de una matriz identidad es la unidad. Por lo tanto, la ecuación [5] se convierte en 0
O
1
0
O
r—< O 1______ 0
" - 11"
"t>i" v2
= G l
-V 3 _
3 25.
que es posible simplificar en ■ -1 1 " ~V\~ 3 v2 = G ” 1 2 5. -V 3 _
j ÑAMES | fiDIT JMATH | OPS |CPLX | 1 F1 II F2 || F3 || F4 || rJ Pantalla para el manejo de matrices de la 77-86, cuya tecla de función correspondiente se indica debajo de cada elemento
I FIG U R A A2.1
puesto que la matriz identidad multiplicada por cualquier vector es simplemente igual a ese vector (la prueba se deja al lector en un ejercicio de 30 segundos). De esta forma, la solución del sistema de ecuaciones se transforma en el problema de obtener la matriz inversa de G. Muchas calculadoras científicas proporcionan los medios para efectuar el álgebra de matrices. De nuevo, utilizando como ejemplo la 77-86 se introduce la secuencia de teclas 12nd| |m atrx , y se observa la pantalla que se muestra en la figura A2.1.
APÉNDICE 2
SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Para crear una nueva matriz llamada G, se oprime [rc], con lo que aparece en la pantalla MATRX N am e= Luego se oprime [g] 1e n t e r | y la pantalla registra MATRX:G [0
1
xl ]
A continuación se teclea [3] |e n t e r | dos veces para definir G com o una m a triz de 3 x 3 y la pantalla m uestra entonces :G [0 [0 [0
3x3 0] 0] 0]
0 0 0
1,
1=0
Se responde tecleando [ 7 [ e n t e r I ( -) 13 1enter| (-) 14 1enter |
y se prosigue hasta que se haya introducido cada coeficiente; después se pre siona | exit|. A continuación se genera un vector de corriente I llamando de nuevo el menú de matriz y creando una matriz I con las dimensiones 3 x 1. Se continúa con la incorporación de los valores —11, 3 y 25. Se verifican los valores incorporados tecleando | alpha ] [g] | enter|, o | alpha ] [7] | enter|. La calculadora ya está preparada para manipular los arreglos y resolver el sistema de ecuaciones. Sólo es necesario teclear ALPHA G .ir1 1 ENTER
También en este caso se recomienda al lector consultar el manual del propietario de la calculadora para mayores detalles.
Determinantes Aunque una matriz en sí misma no tiene “valor”, el determinante de la matriz cuadrada sí lo tiene. Para ser precisos, es necesario decir que el determinante de una matriz es un valor, aunque el uso común permite hablar del arreglo mismo y de su valor como determinante. Se simboliza un determinante mediante A y se emplea un subíndice adecuado para denotar la matriz a la que se refiere. De tal manera, 7 Ac =
-3 -4
-3
-4
6 -2 -2
11
Observar que se usan líneas verticales simples para encerrar el determinante. El valor de cualquier determinante se obtiene al desarrollarla en términos de sus menores. Para realizar esta tarea se selecciona cualquier renglón j o cualquier columna k, se m ultiplica cada elemento de ese renglón o columna por su menor y por (— y luego se suman los productos. El m enor de los
810------ V W
«
APÉNDICE 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
elementos que aparecen tanto en el renglón j como en la columna k es el deter minante que se obtiene cuando se eliminan el renglón j y la columna k, lo cual se indica mediante Ay*. Como un ejemplo, se desarrollará el determinante A c a lo largo de la columna 3. Se multiplica primero el (—4) de la parte superior de esta columna por (—1)1+3 = 1 y luego por su menor: (—4) (—1)
1+3
-3 -4
6 -2
luego se repite lo anterior para estos dos elementos en la columna 3 y se suman los resultados: -3 -4
-4
6 7 + 2 -2 -4
-3 -2
+ 11
7 -3
-3 6
Los menores contienen sólo dos renglones y dos columnas. Son de orden 2 y sus valores se determinan con facilidad expandiendo otra vez en términos de menores, lo que en este caso es una operación trivial. De tal modo, para el primer determinante, se desarrolla a lo largo de la primera columna multipli cando (—3) por (—1)1+1 y su menor, que es meramente el elemento (—2), y luego se multiplica (—4) por (—1)2+1 y por 6 . De este modo, -3 -4
6 = (—3)(—2) — 4 (—6) = 30 -2
Suele ser más fácil recordar el resultado de un determinante de segundo orden como “el término izquierdo superior multiplicado por el derecho inferior, menos el derecho superior por el izquierdo inferior”. Por último, AG = - 4 [ ( - 3 ) ( - 2 ) - 6 ( —4)] + 2[(7)(—2) — (—3)(—4)] + 11 [(7) (6) — (—3) (—3)] = -4 (3 0 ) + 2 ( -2 6 ) + 11(33) = 191 Para practicar, se desarrollará este mismo determinante a lo largo de] primer ren glón: Ac = 7
6 -2
-2 -(-3 ) 11
-3 -4
-2 + (-4 ) 11
-3 -4
6 -2
= 7(62) + 3 ( —41) —4(30) = 191 El desarrollo por menores es válido para una determinante de cualquier orden. Al repetir estas reglas para evaluar una determinante en términos más ge nerales, se podría afirmar que dada una matriz a, aa ü \2 aiN a _
«21 «22
•••
a 2N
_ ÜN] ÜN2 ■■ ■ aNN, se podría obtener A a mediante el desarrollo en términos de menores a lo largo de cualquier renglón j: A a — Oj\ ( —l ) ,/'+1 Ají + Üj2 (— i y +2Aj2 + • • • + djN{— i y +N A jíí
= f > „ ( - i y +«A JH 0= 1
APÉNDICE 2 SOLUCIÓN D t ECUACIONES SIMULTÁNEAS
*■
o a lo largo de cualquier columna k: & 2k H-------- h dNk(— l ) N+k&Nk
A a = aik( — l ) 1+i A lt + « 2*(— N
= £ > „ * ( - 1 ) " + * A,,* n= 1
El cofactor Cjk del elemento que aparece tanto en el renglón j como en la colum na k es simplemente (—\ y +k veces el menor Aj^. De tal manera, C 11 = A n , aunque C b = ~ A |i . Se escribiría ahora N
N
QjnCjn = ^ ^ttriknk
Aa n= 1
n=1
Como ejemplo, considerar este determinante de cuarto orden: 2 A -
-2
-1
-1
4
0
2
-3 -1
-2
-1
5
0
-3
3
2
Se observa que
II
<
II
4 -1 -3 -1 -2 0
2 - 3 5 - 1 = 4(10 + 3) + 1 (4 + 9) - 3 ( - 2 + 15) = 26 3 2 2 -3 5 - 1 = - 1 ( 1 0 + 3) + 2(4 + 9) + 0 = 13 3 2
y C u = 26, en tanto que C u = —13. Al obtener el valor de A como práctica, se tiene A = 2C n + (—l)C 12 + ( - 2 ) C 13+ 0 = 2(26) + (—1) (—13) + ( - 2 ) (3) + 0 = 59
Regla de Cramer A continuación se considera la regla de Cramer, que perm ite determ inar los valores de variables desconocidas. También resulta útil para solucionar sis temas de ecuaciones donde los coeficientes num éricos no se han especifi cado, lo que en consecuencia hace que las calculadoras se confundan. Con siderar otra vez las ecuaciones [1], [2] y [3]; se define el determ inante Ai como el que se obtiene cuando la prim era colum na de A (: se sustituye por las tres constantes de los lados de la derecha de las tres ecuaciones. En conse cuencia, A, =
-1 1 3 25
-3 -4 6 - 2 -2 11
Desarrollando a lo largo de la primera columna. A, = - 1 1
6 -2
-2 11
-3
-3
-4
-2
11
= - 6 8 2 + 123 + 7 5 0 = 191
+ 25
-3 6
-4 -2
AA/V------{ 81!
w
v
4)
APÉNDICE
2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
La regla de Cramer establece entonces que
Vl
A2
v2 = y,
_ A i _ 191 _ i v AG 191 -1 1
-4
-3
3
-2
-4
25
11
7
581 - 6 3 - 136 191
= 2V
por último, 7
A3 AG
-3
-1 1
6
3
-3
1 0 9 2 -2 9 1 - 2 2 8
= 3V 191 25 -4 -2 La regla de Cramer resulta aplicable a un sistema de N ecuaciones lineales si multáneas con N incógnitas; en el caso de la variable /-ésim a v¡: V3
AL Vi =
Ag
A2.2. Evaluar: (a)
2 -2
-3 5
{ ib)
; (c)
2 -3
—3
0
4
1
1 -1 2
5 0 -3
5 6 3 -2 (d) Encontrar i2 si 5¿i — 2i2 — «3 100. —2*i + 6í2 - 3/3 - ¿4 -ii - 3/2 + 4/3 - ¿4 = 0 , y - i 2 ■ ¿3 — 0 Respuestas: 4; 33; —41L; 1.266.
APÉNDICE UNA PRUEBA DEL TEOREMA DE THÉVENIN Se demostrará el teorema de Thévenin de la misma forma en la que se enunció en la sección 5.4 del capítulo 5, lo cual se repite aquí para consulta: Dado cualquier circuito lineal, se reordena en la forma de dos redes A y B conectadas mediante dos alambres. Se define una tensión uca como la tensión en circuito abierto que aparece en las terminales de A cuando se desconecta B. Entonces, todas las corrientes y las tensiones de B permanecerán invariables, si todas las fuentes de tensión y de corriente independientes de A se “suprimen” o “se hacen iguales a cero” y si se conecta una fuente de tensión independiente t>ca con la polaridad adecuada, en serie con la red A desconectada (inactiva). Se llevará a cabo la prueba demostrando que la red A original y el equivalente de Thévenin de la red A provocan que fluya la misma corriente hacia las termi nales de la red B, Si las corrientes son las mismas, entonces las tensiones deben ser iguales; en otras palabras, si se aplica cierta corriente, que se podría considerar como una fuente de corriente, a la red B entonces la fuente de corriente y la red B constituyen un circuito que tiene una tensión de entrada específica como res puesta. Por lo tanto, la corriente determina la tensión. De manera alternativa, se podría, si así se deseara, demostrar que la tensión en la terminal de B permanece sin cambio, debido a que la tensión determina también de manera única a la corriente. Si la tensión de entrada y la com ente hacia la red B no cambian, se concluye entonces que tampoco varían las com entes y las tensiones a lo largo de la red B. En primera instancia se demostrará el teorema para el caso en el que la red B está inactiva (sin fuentes independientes). Después de que este paso se haya cumplido, se podría utilizar el principio de superposición para ampliar el teo rema, de manera que incluya las redes B que contienen fuentes independientes. Cada red quizá contenga fuentes dependientes, siempre que sus variables de con trol estén en la misma red. La com ente i que circula por el conductor superior desde la red A hasta la red B en la figura A3.1 a se debe entonces por completo a las fuentes indepen-
*
(a)
B
B
(sin fuentes indepen dientes)
(sin fuentes indepen dientes)
Vi -
{b)
B A
VX =
V oc
(inactiva)
(sin fuentes indepen dientes)
(c)
(a) Redes lineales generales A y B que no contienen fuentes independientes. Los controles de las fuentes dependientes deben aparecer en la misma parte de la red. (6) La fuente de Thévenin se inserta en el circuito y se ajusta hasta que i = 0. Ninguna tensión aparece en la red B y por ello vK = v a . Así, la fuente de Thévenin produce una corriente - i mientras que la red A proporciona i . (c) La fuente de Thévenin está invertida y la red A suprimida. La corriente es, por lo tanto, igual a ¡.
■ FIG U R A A3.1
A /W
-•
APÉNDICE 3 UNA PRUEBA DEL TEOREMA DE THÉVENIN
dientes que están en la red A. Supóngase ahora que se suma una fuente de tensión adicional vx , la cual se llamará la fuente de Thévenin, en el conductor en el que se mide i como se indica en la figura A 3 .\b , y luego se ajusta la variación en magnitud y en el tiempo de vx hasta que la corriente se reduce a cero. Así, por definición de uca, la tensión en las terminales de A debe ser vca, puesto que i = 0. La red B no contiene fuentes independientes, ni entra corriente a sus ter minales; por lo tanto, no hay tensión en las terminales de la red B y aplicando la ley de Kirchhoff de tensión, la tensión de la fuente de Thévenin corresponde a Dca volts, vx = vca. Además, dado que la fuente de Thévenin y la red A no en tregan de manera conjunta corriente a B , y en virtud de que la red A por sí sola entrega una corriente i , la superposición requiere que la fuente de Thévenin que actúa por su cuenta deba entregar una corriente de —i a B. La fuente que actúa sola en una dirección invertida, como en la figura A3.1c, produce, por lo tanto, una corriente i en el hilo de conexión superior. Sin embargo, esta situación es la m ism a que la conclusión a la que se llegó mediante el teorema de Thévenin: la fuente vca de Thévenin que actúa en serie con la red .1 inactiva es equivalente a la red dada. Considerar el caso donde la red B puede ser una red activa. Pensar que la corriente i, que fluye de la red A a la red B por el conductor superior, estuviera compuesta de dos partes, i a &i b, donde i a es la corriente que produce A cuando actúa sola y la corriente Íb se debe sólo a B cuando actúa sola. La capacidad para dividir la corriente en estos dos componentes es una consecuencia directa de aplicar el principio de superposición a las dos redes lineales; la respuesta completa y las dos respuestas parciales se indican mediante los diagramas de la figura A3.2.
! - ‘A + 'fi
entonces:
Si:
(a) l F IG U R A A 3 .2
L
A
(b)
La superposición permite que la corriente i se considere como la suma de dos respuestas parciales.
La respuesta parcial iA ya se consideró; si la red B está inactiva, se sabe que se puede sustituir la red A por la fuente de Thévenin y la red A inactiva. En otras palabras, de las tres fuentes que se deben tener presentes — la de A, la de B y la fuente de Thévenin— la respuesta parcial i a ocurre cuando A y B están inactivas y la fuente de Thévenin se encuentra activa. Para prepararse para el uso de la superposición, se permite que A siga inactiva, aunque se activa B y se des activa la fuente de Thévenin; por definición, se obtiene la respuesta parcial isSi se superponen los resultados, la respuesta cuando A está inactiva y tanto la fuente de Thévenin como B se encuentran activas, corresponde a iA + ¡b- Esta suma es la corriente i original, de modo que la situación en la que la fuente de Thévenin y B están activas pero A está inactiva es la que se desea en el circuito equivalente de Thévenin. De tal modo, se podría sustituir la red activa A por su fuente de Thévenin, la tensión en circuito abierto, en serie con la red A inactiva, sin que importe el estado de la red B , que puede estar activa o inactiva.
APENDICE TUTORIAL DE PSpice ® SPICE es un acrónimo de Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis (.Programa de simulación con énfasis en circuitos integrados). Es un poderoso programa y estándar en la industria que se utiliza en todo el mundo en una gran variedad de aplicaciones de análisis de circuitos. SPICE fue desarrollado origi nalmente a principios de los años setenta por Donald O. Peterson y sus colegas en la Universidad de California en Berkeley. Es interesante que Peterson permi tiera la distribución libre y sin trabas del conocimiento creado en los laboratorios de la universidad, pues eligió provocar un impacto de conocimiento en lugar de sacar provecho económico. En 1984, M icroSim Corporation presentó una ver sión de SPICE para PC llamada PSpice®, la cual contaba con interfases gráficas intuitivas alrededor del núcleo de las rutinas de software de SPICE. Actualmen te existen algunas variantes de SPICE disponibles en el mercado, así como pro ductos de software que compiten con él. El objetivo de este apéndice es presentar simplemente los fundamentos del análisis de circuitos asistido por computadora; se ofrecen más detalles en el tex to así como en las referencias que se presentan bajo el título de lecturas reco mendadas. Los temas avanzados que cubren las lecturas complementarias inclu yen cómo determinar la sensibilidad de una variable de salida a los cambios en el valor de un componente específico; cómo obtener gráficas de la salida versus un valor de la fuente; determinar la salida de ca como una función de la frecuen cia de la fuente; métodos para llevar a cabo análisis de ruido y distorsión; mode los no lineales de componentes; y cómo modelar los efectos de la temperatura en cierto tipos de circuitos. La adquisición de MicroSim por parte de OrCAD y la subsecuente adquisi ción de OrCAD por Cadenee han generado muchos cambios en este popular pa quete de simulación de circuitos. En el momento en el que se escribió este libro, OrCAD 10.3, que es la versión profesional actual, cuesta aproximadamente US$1 000; una versión más modesta llamada OrCAD 10.0 Lite se encuentra dis ponible gratis en internet (www.cadence.com). Esta nueva versión remplaza a la popular Versión estudiantil 9.1 de PSpice y, aunque es ligeramente distinta, en particular en términos del ediiado de esquemas, su apariencia debe ser familiar a los usuarios de versiones anteriores de PSpice. La documentación que acompaña el Demo de la versión OrCAD 10.0 Lite pre senta algunas restricciones que no se aplican a la versión profesional (disponible en el mercado). Lo más significativo es que sólo los circuitos que cuentan con 60 o menos partes pueden guardarse y simularse. Sin embaído, es posible ver y dibujar circuitos más grandes. Se ha seleccionado trabajar con el editor de esquemas Or CAD Capture, ya que la versión actual es muy similar al editor de captura de esque mas PSpice A/D. En la actualidad Cadenee también ofrece la posibilidad de que PSpice A/D se baje de internet, pero ya no se le proporciona soporte técnico a éste.
Arranque de PSpice El análisis de circuitos asistido por computadora consta de tres pasos: 1) dibujo del esquema; 2) simulación del circuito; y 3) extracción de la información de-
- A /W
816
APENDICE 4
TUTORIALDEPSpice®
seada de los resultados de la simulación. El editor de captura de esquemas de OrCAD arranca a través de la lista de programas de Windows que se encuentra en el menú . deberá aparecer un menú similar al que se muestra en la figura A4.1. Una vez que se selecciona Capture CIS Demo, el editor de esque mas se abre, como se ve en la figura A4.2.
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tjjjjí PSpice AD Demo R ead Me j jg l SPECCTRA Demo Uninstall OrCAD 10.0 Demo ; FIGURA A4.1 Menú de programas de demostración de Oread.
■ FIGURA A4.2 Ventana de captura del demo CIS.
En el menú File seleccionar New, después Project; aparecerá la ventana de la figura A4.3«. Después de que se proporciona un nombre del archivo de simu lación y una ruta del directorio, aparecerá la ventana de la figura A4.3¿> (simple-
Ñame ¡Voltage Divider Example Create a N ew Project Using
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Help
A nalog o ' Mixed A /D Tip for N ew Usefs P C B oardW izard
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Prcgrammabla Logic W izard
Create a new A nalog or Mixed A /D pro[ect. Tho new project may be blank or copied from an existing tém plate
Create PSpice Project Create ja ie d upon an existing project
Location Browse...
jC: \C ircuit Simulations^Examples
|
Create a blank project Help
(a)
■ FIGURA A4.3
(o) Ventana NewProject. (b) Ventana Create PSpice Project.
APÉNDICE 4 . UTORIAL üb PSpice®
mente, seleccionar la opción “blank project”)- En seguida aparecerá la ventana principal de edición de esquemas, como se muestra en la figura A4.4.
■ FIGURA A 4.4 Página principal de captura esquemática de CIS Demo.
A estas alturas, ya se está listo para dibujar el circuito, por lo que se hará una prueba con el divisor de tensión para propósitos ilustrativos. Primero se colo carán los componentes necesarios en el enrejado y después se cablearán. Accediendo al menú Place se selecciona P a rt, lo cual hace que aparezca la ventana que se muestra en la figura A4.5. Apretando la tecla en minúsculas “r ” como se muestra, se teclea OK y luego se puede mover el símbolo de resistencia por toda la ventana de esquemas mediante el uso del ratón. Un solo clic a la izquierda coloca una resistencia (llamado R l) en donde se encuentra el mouse. Un segundo clic a la izquierda coloca una segunda resistencia en el esquema (llamado R2). Un solo clic a la derecha y seleccionando E n d M ode elimina cualquier otra ubicación de la resistencia. La segunda resistencia no tiene la orien tación adecuada, pero se manipula fácilmente resaltándolo con un solo clic a la
P a tla f c
AddÜbídíy
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Type: Homogeneou*
■ FIGURA A4.5 Menú de colocación de partes.
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818
A /W
- •
APÉNDICE 4 TUTORIAL DE PSpice*
izquierda, y después tecleando Ctrl + R Si no se sabe el nombre de la parte de seada, se puede navegar a través de la biblioteca de partes que se ofrece al usuario. Si no se desea incluir las resistencias de 1 k£2 — por ejemplo, quizás se deseen dos resistencias de 500 Q — se pueden cambiar los valores por omisión simplemente haciendo doble clic en “ lk ” junto al símbolo correspondiente. Por supuesto que ningún circuito divisor está completo sin una fuente de ten sión. Haciendo doble clic en el valor por omisión de 0 Vcd, se selecciona un valor de 9 V para la fuente. Se requiere un componente adicional: SPICE necesita que se especifique un nodo de referencia (o tierra). Haciendo clic en el símbolo GND en el extremo derecho de la ventana de esquemas, se selecciona 0/Source de las opciones. El avance hasta el momento se muestra en la figura A4.6a; todo lo que
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(a)
Cb) (a) Componentes colocados en el enrejado. (b) Circuito totalmente alambrado y listo para simularse.
I FIG U R A A 4.6
APÉNDICE 4 TUTORIAL DE PSpice®
queda por hacer es alambrar los componentes entre sí. Esta tarea se lleva a cabo accediendo al menú Place y seleccionando Wire. Las teclas izquierda y derecha del m ouse controlan cada alambre (aquí se requiere un poco de experiencia; después, seleccionar cualquier segmento de alambre no deseado y presionar la tecla Delete). El circuito final se muestra en la figura A4.6b. Vale la pena obser var que el editor permitirá que el usuario alambre a través de una resistencia (por k> tanto, lo pondrá en cortocircuito), lo cual puede ser difícil de observar. En general aparece un símbolo de advertencia antes de que se coloque el alambre en un lugar equivocado. Antes de simular el circuito, se salva haciendo clic en el icono save o selec cionando Save del menú File. Del menú PSpice se selecciona New Simulation Profile, y se teclea Voltage Divider en la ventana de diálogo que aparece. La ventana de diálogo Simulation Settings que aparece permite definir parámetros para una gran variedad de tipos de simulación; sin embargo, para este ejemplo sólo es necesario seleccionar OK. Una vez más, se accede al menú PSpice y se selecciona Run. Los resultados de la simulación se muestran en la figura A4.7.
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I FIG U RA A4.7
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Resultados de la simulación.
Por fortuna, la simulación que se realizó proporciona los resultados espera dos, e incluso permite dividir la tensión de la fuente a través de dos resistencias de igual valor. Asimismo, también se pueden ver los resultados de la simulación seleccionando View Output File en el menú PSpice. Accediendo al final de este archivo, se observan las líneas siguientes: NODE
VOLTAGE
(N00157) 9.0000
NODE
VOLTAGE
(N00166)
4.5000
donde el nodo 157 es la referencia positiva de la fuente de tensión, y el nodo 166 es la unión de las dos resistencias. Esta información se encuentra disponible en la parte superior del archivo.
A A /V
APÉNDICE 4 TUTORIAL DE PSpice®
LECTURAS ADICIONALES
________ _____________
Dos libros muy buenos dedicados a la simulación en SPICE y PSpice son
Paul W. Tuinenga, SPICE: A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSpice, Prentice-Hall, Bnglewood Cliffs, Nueva Jersey, Prentice-Hall, 1995. Roy W. Goody, OrCAD PSpice fo r Windows Volume 1: DC andAC Circuits, 3a ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, Prentice-Hall, 2001. Una historia interesante acerca de los simuladores de circuitos, así como las con tribuciones de Donald Peterson en este campo se pueden encontrar en
T. Perry, '‘Donald O. Peterson [electronic engineering biography]”, IEEE Spectrum 35(1998), 22-27.
APÉNDICE
5
NÚMEROS COMPLEJOS Este apéndice incluye secciones que abarcan la definición de un número com plejo, sus operaciones aritméticas básicas, la identidad de Euler y las formas ex ponencial y polar de los números complejos. Se presenta primero el concepto de número complejo.
A5.1 NÚMERO COMPLEJO ----------•--------------------------------------------------------------------------------------------------------La preparación previa en m atem áticas estuvo relacionada exclusivam ente con núm eros reales: 4, —| y rt, entre otros. Sin embargo, de inm ediato aparecen ecuaciones algebraicas como x 2 = —3, la cual no podría satisfacer ningún número real. U na ecuación de este tipo se resuelve sólo a través de la intro ducción de la unidad im aginaria o el operador imaginario, que se designará con el sím bolo j . Por definición, j 2 = —], y por ello, j — V —I , p = —j , j 4 = 1, y así sucesivam ente. El producto de un núm ero real y del operador imaginario se denomina número imaginario; además, la sum a de un número real y de un número imaginario se conoce como número complejo. De tal manera, un número que tiene la forma a + jb , donde a y b son números reales, es un número complejo. Se designará un número complejo mediante un solo símbolo especial; en esa forma, A = a + jb . La naturaleza compleja del número se indica mediante el uso del tipo de letra en negritas; en textos manuscritos, se acostumbra utilizar una barra sobre la letra. El número complejo A que acaba de mostrarse se des cribe como si tuviera una componente real o parte real a y una componente imaginaria o parte imaginaria b. Lo anterior se expresa también como Re{A} = a
Im{A} — b
La componente imaginaria de A no es jb . Por definición, la componente imagi naria es un número real. Debe observarse que se podría considerar a todos los números reales como números complejos que tienen partes imaginarias iguales a cero. Por lo tanto, los números reales se incluyen en el sistema de los números complejos, de modo que podrían considerarse en esas condiciones como un caso especial. En conse cuencia, cuando se definen las operaciones aritméticas fundamentales de los números complejos, se debe esperar que se reduzcan a las definiciones corres pondientes de números reales, si la parte imaginaria de todo número complejo se hace igual a cero. Dado que cualquier número complejo se expresa totalmente por medio de un par de números reales, como a y b en el ejemplo anterior, se obtiene cierto auxi lio visual al representar gráficamente un número complejo sobre un sistema de coordenadas rectangular o cartesiano. Si se tiene un eje real y un eje imaginario, como en la figura A5.1, se forma un plano complejo o diagrama de Argand, so bre el cual cualquier número complejo puede representarse como un solo punto. Se indican los números complejos M = 3 + j l y N = 2 — j 2. Es importante
Los matemáticos designan al operador imaginario mediante el símbolo i , pero en ingeniería eléctrica es costumbre utilizar / para evitar confusión con el mismo símbolo ce la corriente.
La elección de las palabras imaginaría y compleja es desafortunada. Se utilizan aquí y en la literatura matemática como términos técnicos para designar una clase de números. Ni se justifica ni se intenta interpretar imaginario como "no pertenecer al mundo físico" o complejo como "complicado".
A /W
•
APÉNDICES NÚMBBOSCOMPLEJOS
comprender que este plano complejo sólo es una ayuda visual; no es esencial en lo absoluto para los enunciados matemáticos que siguen.
. Imaginario
fl
—
j2 -
• M
n
i -1
1 0
1
1
2
1
1
1
3
4
5
>.
-yi • N
-fl
■ FIG U R A A5.1 Los números complejos M = 3 + y'l y N = 2 — y'2 se muestran en el plano complejo.
Se definen los números complejos como iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también lo son. Gráficamente, entonces, para cada punto en el plano complejo corresponde sólo un número complejo, y de manera inversa, para cada número complejo corresponde sólo un punto en el plano complejo. De tal modo, suponer que se dan dos números complejos: A = a + jb
y
B = c + jd
Entonces, si A = B es necesario que a = c
y
b = d
Un número complejo expresado como la suma de un número real y de un imaginario, como A = a + jb , se dice que está en form a rectangular o carte siana. Otras formas de números complejos aparecerán un poco más adelante. Se definen ahora las operaciones fundamentales de suma, resta, multipli cación y división de números complejos. La suma de dos números complejos se define como el número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales de los dos números complejos y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los dos números complejos. Por lo tanto, (a + jb ) + (c + j d ) = (a + c) + j ( b + d) Por ejemplo, (3 + 74) + (4 — j2 ) = 1 + j 2 La diferencia de dos números complejos se calcula de m anera similar; por ejemplo, (3 +
7 4)
— (4 — j2 ) = —1 + j
6
APÉNDICE 5 NÚMEROS COMPLEJOS
La suma y la resta de números complejos también se llevan a cabo gráficamente sobre el plano complejo. Cada número complejo se representa como un vector, o un segmento de recta orientado; la suma se obtiene completando el paralelogramo, que se ilustra en la figura A5.2a, o conectando la punta y la cola de los vectores, como se muestra en la figura A5.2b. Un bosquejo gráfico muchas ve ces es útil para verificar una solución numérica más exacta. El producto de dos números complejos se define mediante (a + jb ) (c + j d ) = (ac — bd) + j (be + ad) Este resultado quizá se obtenga con m ayor facilidad m ediante la m ultipli cación directa de dos térm inos binom iales, utilizando las reglas del álgebra de núm eros reales y sim plificando después el resultado al observar que j 2 = —1. Por ejemplo, (3 + 7-4)(4 - 72) = 12 - 76 + 7 16 - 8/ = 12 + 7 IO + 8 = 20 + 7 IO Es más fácil multiplicar los números complejos mediante este método, en par ticular si se sustituye de inm ediato j 2 por —1, que sustituirlos en la fórm ula general que define la multiplicación. Antes de definir la operación de la división de números complejos, es nece sario definir el conjugado de un número complejo. El conjugado del número complejo A = a + j b es a — j b y se representa como A*. El conjugado de cualquier número complejo, por lo tanto, se obtiene fácilmente con sólo cam biar el signo de la parte imaginaria del número complejo. De tal manera, si A = 5 + 73
M +N = 5-jl
(b) (a) La suma de los números complejos M = 3 + / l y N = 2 - j 2 se obtiene construyendo un paralelogramo. (b) La suma de los dos mismos números complejos se determina mediante la combinación de la punta y la cola de los vectores.
■ FIG U R A A5.2
entonces A* = 5 — 73 Resulta evidente que el conjugado de cualquier expresión compleja complicada se encuentra sustituyendo cada término complejo en la expresión por su conju gado, el cual se obtiene al sustituir toda 7 en la expresión por —7 . Las definiciones de suma, resta y multiplicación confirman la validez de los siguientes enunciados: la suma de un número complejo y su conjugado es un número real; la diferencia de un número complejo y su conjugado es un número imaginario; el producto de un número complejo y su conjugado es un número real. También es evidente que si A* es el conjugado de A, entonces A es el conjugado de A*; en otras palabras, A = (A*)*. Un número complejo y su conjugado se dice que forman un p a r de números complejos conjugados. Se define ahora el cociente de dos números complejos: A _ (A) (B*) B
(B) (B*)
ypor ello a + jb
(ac + bd) + 7 (be — ad)
c + jd
c2 + d 2
Inevitablemente, en un problema físico un número complejo se acompaña, de alguna forma, por su conjugado.
A /W
APÉNDICES NÚMEROS COMPLEJOS
Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denomi nador para obtener un denominador real; este proceso se denomina racionalizar el denominador. Como un ejemplo numérico 3 + J4 _ (3 + 7 4) (4 + j2 ) 4 — j2
(4 — 7 2) (4 + j2 )
L a suma o resta de dos números complejos que se expresan en forma rectangu lar es una operación relativamente simple; sin embargo, la multiplicación o di visión de dos números complejos en forma rectangular es más bien un proceso improductivo. Se encontrará que estas dos últimas operaciones resultan mucho más simples cuando los números complejos se dan en forma exponencial o po lar. Estas formas se presentarán en las secciones A5.3 y A5.4.
PRACTICA A5.1 Sean A = —4 + j5 , B = 3 — j 2 y C = —6 — j 5, determinar: (a )C - B; (b)2A - 3B + 5C; (c) j 5C2(A + B); (d)B R e[A J + A Re[B], A5.2 Utilizando los mismos valores de A, B, y C del problema anterior, encontrar: (a ) [(A - A*)(B + B*)*]*; (b) (1/C ) - (1/B)*; (c) (B + C )/(2B C )._________________________________________ Respuestas: A 5.1: —9 — /3 ; —47 — /9 ; 27 — /191; —24 + y 23. -0 .3 2 9 + 70.236; 0.0662 + J0.1179.
A5.2: —/60;
A5.2 IDENTIDAD DE EULER ----------«--------------------------------------------------------------------------------------------------------En el capítulo 9 se encontraron funciones del tiempo que contienen números complejos, así que es de interés la diferenciación e integración de tales fun ciones con respecto de la variable real t. Se diferenciaron e integraron estas funciones respecto de t mediante los mismos procedimientos empleados para las funciones de tiempo reales. Esto es, las constantes complejas se tratan exac tamente como si fueran constantes reales cuando se efectúan las operaciones de diferenciación o integración. Si f(r) es una función compleja del tiempo, tal como f(í) = a cos ct + jb s e n c t entonces d f(t) ------ = —ac sen ct + / be cos ct dt
y
/
a
b
f(í) d t = —sen ct — j — cos ct + C c c
donde la constante de integración C es un número complejo en general. Algunas veces se requiere diferenciar o integrar una función de una variable compleja respecto de esa variable compleja. En general, el éxito de cualquiera de estas operaciones requiere que la función que se va a diferenciar o a integrar
APÉNDICE 5 NÚMEROS COMPLEJOS
satisfaga ciertas condiciones. Todas nuestras funciones las cumplen, así que la integración o la diferenciación con respecto a una variable compleja se obtienen a través de métodos idénticos a los usados para variables reales. En este momento se debe utilizar una relación fundamental muy importante, que se conoce como identidad de Euler. Se demostrará esta identidad, pues re sulta muy útil al representar un número complejo en otra forma que no sea la rectangular. La prueba se basa en los desarrollos en series de potencia de cos 6 , sen<9 y e \ que se dan en las contratapas de cualquier libro de cálculo universitario favorito del lector: cost
e6 o2 t 04 + 2! 4! ~ 6í
sen 0 — i
e3 I e5 o1 ~r 5! ~ 7! 3!
o2 .e 3 e o s Q + j s e n O = 1 + j d 1_ - — - j — + — + j — 2 ! ^ 3! 4
z2 *
z3
z4 z5
- 1 + z + ^ + ^ + íT + I i +
por lo que
e J e - 1 + j e ~ 2 \ ~ j V. + 4 T + ' Se concluye que e-i0 = cosO + j se n 0 o, si z=
[1]
—j d , se puede ver que e~;’e = c o s0 — j sen0
[2]
Sumando y restando las ecuaciones [1] y [2], se obtienen las dos expresiones que se usaron, sin demostrarlas, en el estudio de la respuesta natural subamortiguada de los paralelos y series de circuitos RLC ,
PRÁCTICA
cosd = ^ (e J0 + e~j0)
[3]
sen0 = —j \ { e ¡0 — e~ie)
[4]
_____________________________________ ___________
A5.3 Recurrir a las ecuaciones [1 ] a la [4] para evaluar: (a) e~j l \ (b) i p 1; (c) c o s ( - j l ) ; (d) s e n ( - jl ) . A5.4 Evaluar e n t = 0.5: (a )(d /d t)(3 co s21 — /'2ser¡2/); (b) / ’í (3 cos 21 - /2sen2zj d t; evaluar s = 1 + j 2: (c) f^ ° s~3 ds; (d) (¿ /¿ s )[3 /(s + 2)]. Respuestas: A5.3: 0.540 -5 .0 5 -
7
7 0 . 8 4 1 ; 1.469 - j 2.29; 1.543; - j C 1 7 5 . A5.4: 2.16; 1.262 - y'0.460; - 0 .0 6 - 7 O.O8 ; -0 .0 8 8 8 + 70.213.
A/W
«
APÉNDICES NÚMEROS COMPLEJOS
A5.3 FORMA EXPONENCIAL
---------• -------------------------------------------Se tomará ahora Ja identidad de Euler e-i0 = eos 9 + js e n 9 y se multiplicará cada lado por el número real positivo C: Cej9 = C cos 9 + j C sen 9
[5]
El lado derecho de la ecuación [5] consta de la suma de un número real y uno imaginario, por lo cual representa un número complejo en forma rectangular. Se llamará a este número A, donde A = a + jb . Al igualar las partes reales, a = C cos 9
[6]
b = Csen<9
[7]
y las partes imaginarias
al elevar al cuadrado y sumar después las ecuaciones [6] y [7], a2 + b 2 = C2
C = + v a2 + b 2
[8]
y dividiendo la ecuación [7] entre la ecuación [6]: — = tan 0 a
9 = tan- a
[9]
se obtienen las relaciones de las ecuaciones [8] y [9], las que permiten determi nar C y 9 a partir del conocimiento de a y b. Por ejemplo, si A = 4 + j2 , en tonces se identifica a a como 4 y a b como 2 y se determinan C y 9: C = V 42 + 22 = 4.47 9 = tan- 1 1 = 26.6° Es posible utilizar esta nueva información para escribir A en la forma A = 4.47 cos 26.6° + y'4.47 sen 26.6° pero es la forma del lado izquierdo de la ecuación [5] la que demuestra ser más útil: A = Ceje = 4.47e;26'6° Un número complejo que se expresa de esta manera se dice que está en ferm a exponencial. El factor multiplicador positivo real C se conoce como amplitud o magnitud, y la cantidad real 9 que aparece en el exponente se denomina argu mento o ángulo. Un matemático expresaría siempre 9 en radianes y escribiría A = 4.47ej0A64
APÉNDICE 5 NÚMEROS COMPLEJOS
•------------- V W
©
aunque los ingenieros suelen trabajar en términos de grados. El uso del símbolo de grados (°) en el exponente hará imposible l a confusión. Para recapitular, si se tiene un número complejo que se da en forma rec tangular A = a + jb y se desea expresarlo en forma exponencial A - C eje se podría determinar C y 9 mediante las ecuaciones [8] y [9]. Si está indicado el número complejo en forma exponencial, entonces se determinaría a y b a partir de las ecuaciones [6] y [7]. Cuando A se expresa en términos de valores numéricos, la transformación entre las formas exponencial (o polar) y rectangular se dispone com o una operación integrada en la mayor parte de las calculadoras científicas de mano. Aparecerá una pregunta al determinar el ángulo o utilizar la relación arcotangente de la ecuación [9]. Esta función es multivaluada, por lo que se requiere elegir un ángulo apropiado, entre varias posibilidades. Un método mediante el cual se podría efectuar la elección consiste en escoger un ángulo para el que el seno y el coseno tienen los signos apropiados para obtener los valores reque ridos de a y de b de las ecuaciones [6] y [7]. Por ejemplo, se va a convertir V
= 4 —j ñ
en la forma exponencial. La amplitud es
Imaginario
C = V 42 + (—3)2 = 5 y el ángulo corresponde a 9 = tan" 1 =£
[10]
Se debe elegir un valor de 9 con el que se obtiene un valor positivo de cos 9, pues 4 = 5 cos 9, y un valor negativo para sen 9, puesto que —3 = 5 sen#. Por lo tanto, se obtiene# = —36.9°, 323.1°, —396.9', etc. Cualesquiera de estos ángu los es correcto, así que se suele elegir el más simple, en este caso —36.9°. Se debe advertir que la solución alternativa de la ecuación [10], 9 = 143.1°, no es correcta, en virtud de que cos 9 es negativo y sen# positivo. Se dispone de un método más simple para seleccionar el ángulo correcto si se representa de manera gráfica el número complejo en el plano complejo. Se selec ciona primero un número complejo, dado en forma rectangular. A = a + jb , que se ubica en el primer cuadrante del plano complejo, como se ilustra en la figura A5.3. Si se dibuja una línea desde el origen hasta el punto que representa el número complejo, se habrá construido un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es evidentemente la amplitud de la representación exponencial del número com plejo. En otras palabras, C = \ f a 2 + b2. Además, se observa que el ángulo en di rección contraria al de las manecillas del reloj, formado por la línea y el eje real positivo, corresponde al ángulo 9 de la representación exponencial, debido a que a = C cos 9 y b = C sen9. Ahora bien, si se indica la forma rectangular de un número complejo que se ubica en otro cuadrante, como V = 4 —y 3, el ángulo correcto resulta gráficamente evidente, ya sea —36.9° o 323.1° en este ejemplo. Muchas veces el dibujo puede visualizarse y no necesita dibujarse.
Un número complejo se representa mediante un punto en el plano complejo, con la elección de las partes real e imaginaria correctas a partir de la forma rectangular, o eligiendo la magnitud y el ángulo a partir de la forma exponencial.
■ FIG U R A A 5 .J
Imaginario
El número complejo V = 4 — / 3 = 5e_/36-9° se representa en el plano complejo.
■ FIG U R A A5.4
828 ---------- W V
*
APÉNDICES NÚMEROS COMPLEJOS
Si la forma rectangular del número complejo tiene una parte real negativa, a menudo es más fácil trabajar con el negativo del número complejo, con lo cual se evitan ángulos de magnitud mayor que 90°. Por ejemplo, dado I = —5 + j 2 se escribe
I = -(5 - 7 2) y se transforma entonces (5 — j 2) a la forma exponencial: I = —Ce-'9 donde C = V 29 = 5.39
y
6 = tan” 1
= - 21.8°
Por lo tanto, se tiene I = -5 .3 9 e ~ j2 ls° Se eliminaría el signo negativo del número complejo si se incrementa o disminuye el ángulo en 180°, como se muestra mediante referencia a un dibujo en el plano complejo. De tal manera, el resultado se expresa en la forma exponencial como I = 5.39e'íl58'2°
o
I = 5.39*j-'201-8°
Obsérvese que el uso de una calculadora electrónica en el modo de tangente in versa siempre produce ángulos que tienen magnitudes menores que 90°. Así, tan_ 1[(—3)/4] y tan_ 1[3 /(—4)] dan como resultado —36.9°. Sin embargo, las calculadoras que proporcionan la conversión rectangular-polar muestran el án gulo correcto en todos los casos. Es necesario señalar una última anotación en lo que respecta a la repre sentación exponencial de un número complejo. Dos números complejos, es critos en form a exponencial, son iguales si y sólo si sus amplitudes son iguales y sus ángulos son equivalentes. Los ángulos equivalentes son los que difieren por múltiplos de 360°. Por ejemplo, si A = Cej9 y B = D e jí*, entonces si A = B, se requiere que C. = D y 0 =
PR ftCTI CA
_________________________________________________
A5.5 Expresar cada uno de los siguientes números complejos en forma exponencial utilizando el ángulo que está en el intervalo -1 8 0 ° < 0 < 180°; (a) - 1 8 .5 - j2 6 .1 ; (b) 17.9 - j 12.2; (c) -2 1 .6 + j 31.2. A5.6 Expresar cada uno de estos números complejos en forma rectangular: (a) 61.2e~j n i l°; (b) -3 6 .2 e J m ; (c) 5 e ^ '2-5. Respuestas: A5.5: 3 2 .0 e ^ 125-3°: 2 1 .7 e - '34-3°: 3 7 .9 e 'n4'7°. 11.19 - J34.4; -4 .0 1 - j2.99.
A5.6: - 2 2 .0 -
7
57.1;
A5.4 FORMA POLAR ----------♦--------------------------------------------------------------------------------------------------------La tercera (y últim a) form a en la que se representa un número com plejo es esencialmente la mism a que la form a exponencial, salvo por una pequeña diferencia en el simbolismo. Se usa un signo de ángulo (¡J para sustituir la
APÉNDICE 5 NÚMEROS COMPLEJOS
com binación eK De tal modo, la representación exponencial de un número complejo A, A = C eje podría escribirse de una manera más concisa como A = C¿0 Se dice en estas condiciones que el número complejo se expresará en forma p o lar, un nombre que sugiere la representación de un punto en un plano (complejo) mediante el uso de coordenadas polares. Resulta claro que la transformación de la forma rectangular a la polar, o de la polar a la rectangular, es básicamente lo mismo que la transformación entre la forma rectangular y la exponencial. La misma relación existe entre C , 6 , a y b. El número complejo A = - 2 + y5 se escribe entonces en la form a exponencial como A = 5.39ej l l , '8° y en forma polar como A = 5.39/111.8° Para apreciar la utilidad de las formas exponencial y polar, se considerará la multiplicación y la división de dos números complejos representada en forma exponencial o polar. Si se proporciona A = 5 /53.1°
y
B = 15/- 3 6 .9 "
entonces la expresión de estos dos números complejos en forma exponencial A = 5ejS3í°
y
B = I5e~j369°
permite escribir el producto de un número complejo en forma exponencial, cuya amplitud es el producto de las amplitudes y cuyo ángulo es la suma algebraica de los ángulos, de acuerdo con las reglas normales de la multiplicación de dos cantidades exponenciales: (A)(B) = ( 5 ) ( 1 5 y (3áa°~36-90) O AB = 75ejl62° = 7 5 /16.2° De la definición de la forma polar, resulta evidente que ^ = 0.333/90° La suma y la resta de números complejos se consigue con mayor facilidad si se trabaja con los números complejos en form a rectangular; por lo tanto, la suma o resta de dos números complejos dada en forma exponencial o polar debe em pezar con la conversión de los dos números complejos en la forma rectangular. Esta situación se aplica de manera inversa a la multiplicación y la división; dos números dados en forma rectangular deben transformarse a la forma polar, a menos que los números sean enteros pequeños. Por ejemplo, si se desea multi
A/W
APÉNDICES NÚMEROS COMPLEJOS
plicar (1 — j 3) por (2 + j l ) , es más fácil multiplicarlos como están y obtener (5 — j 5). Si los números se multiplican mentalmente, se desperdicia entonces el tiempo en transformarlos en la forma polar. Ahora se requiere un esfuerzo para familiarizar al lector con las tres diferentes formas en las que los números complejos se expresan, así como con la conver sión rápida de una forma a otra. Las relaciones entre las tres formas parecen casi interminables, pero la larga ecuación siguiente resume las diferentes interrelaciones: A = a + j b = Re[A] + jIm [A ] = C e 'fl = j a 2 + b2e jt™ l(b/a) = -y/a2 + b 2/V drrl (b /a ) La mayor parte de las conversiones de una forma a otra puede efectuarse con rapidez con la ayuda de calculadoras, y muchas de éstas pueden resolver ecua ciones lineales con números complejos. Se podrá observar que los números complejos son un artificio matemático conveniente que facilita el análisis de las situaciones físicas reales.
PRÁCTICA
______________________________________________
A5.7 Expresar el resultado de cada una de estas manipulaciones de números complejos en forma polar, utilizando seis cifras significativas, sólo por disfrutar del cálculo: (a) [ 2 — (1/ —41°)1/(0.3/4 1 °): (b) 5 0 / ( 2 .8 7 / 8 3 ^ + 5.16/63.2°): (c) 4 /18° - 6 / - 7 5 e + 5/28°. A5.8 Determinar Z en forma rectangular si: (a) Z + ¡2 = 3 /Z ; (b) Z = 21n(2 — j'3); (c) sen Z = 3. Respuestas: A 5 .7 :4.69179/-1 3 .2 1 8 3 " : 6.318 33/ - 7 0 .4 6 2 6 J; 11.5066/54.5969° A5.8: ± 1 .4 1 4 - y 1; 2.56 - y 1.966; 1.571 ± y 1.763.
UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB® La intención de este tutorial consiste en ofrecer una muy breve introducción rela tiva a algunos conceptos básicos necesarios para utilizar un programa de cómpu to increíblemente poderoso conocido como MATLAB. Su uso es una parte to talmente optativa del material incluido en este libro de texto, pero como se ha convertido en una herramienta cada vez más común en todas las áreas de la in geniería eléctrica, creemos que vale la pena dar oportunidad a los estudiantes para que empiecen a explorar algunas de las características de este programa, en particular la elaboración de gráficas de funciones en dos y tres dimensiones, la realización de operaciones son matrices, la solución de ecuaciones simultáneas y la manipulación de expresiones algebraicas. M uchas instituciones proporcio nan ahora la versión completa de MATLAB a sus estudiantes, aunque en la época en que se escribió este texto se podría obtener una versión estudiantil a un costo bastante reducido en The MathWorks, Inc. (http://www.mathworks.com/academia/student versión/).
Antes de empezar MATLAB se ejecuta por lo común al hacer clic en el icono del programa; la ventana de apertura característica se muestra en la figura A6.1. Los programas se corren a partir de archivos o introduciendo de manera directa los comandos en la ventana. MATLAB cuenta también con amplios recursos de ayuda en lí nea, lo que resulta útil tanto para los principiantes como para los usuarios avan zados. Los programas característicos de MATLAB se asemejan mucho a los programas escritos en C, aunque de ninguna manera se requiere la familiaridad con este lenguaje.
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-H V V ■ V
Vo = sy T m n u l< V ln ,H ) s i t n p l i f y (Vo) v o = ila p la c e (V o ) 1 /C 7 /0 S 1 7 :0 6 1 /0 7 /0 5 1 8 :1 7 ■ —*
Start |
£ FIGURA A6.1
Ventana de comandos de MATLABque aparece en el momento en el que se arranca.
832
A /W -
- •
APÉNDICE
6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB®
Variables y operaciones matemáticas MATLAB tiene más sentido luego de que el usuario se da cuenta de que todas las variables son matrices, aun cuando sean simplemente matrices de 1 x 1. Los nombres de las variables pueden tener hasta 19 caracteres de longitud, lo cual es de suma utilidad para construir programas con legibilidad adecuada. El primer carácter debe ser una letra, aunque el resto tiene la posibilidad de corresponder a cualquier letra o número; también se puede utilizar el carácter (_). Los nombres de las variables en MATLAB distinguen las mayúsculas. MATLAB incluye varias variables predefinidas; las más importantes, en cuanto al material presen tado en texto, incluyen: eps realmin
Precisión de la máquina Número de punto flotante más pequeño (positivo) que maneja la computadora
realmax
Número de punto flotante más grande que maneja la computadora
inf
Infinito (definido como 1/0)
NaN
Literalmente, “no es un número”. Esto incluye situaciones tales como 0/0
pi
n (3 .1 4 1 5 9 ....) Ambas se definen inidalmente como s j — I. El usuario puede asignarles otros valores.
i j
Una lista completa de las variables definidas en la actualidad se obtiene me diante el comando who. Las variables se asignan utilizando un signo igual (=). Si el enunciado se termina con un punto y coma (;), entonces aparece otro indi cador; si termina simplemente mediante un retomo de cano (es decir, oprimiendo la tecla Enter), entonces se repite la variable. Por ejemplo: El tono claro se utiliza para diferenciar el texto generado por el programa de aquel generado por el usuario para conveniencia sólo del lector.
EDU» input_voltage = 5; EDU» input_current = l e—3 input_current = l.OOOOe—003 EDU» Las variables complejas se definen con facilidad en MATLAB; por ejemplo, EDU» s = 9 + j*5; crea una variable compleja s con valor 9 + j 5. Una matriz distinta de la de 1 x 1 se define con corchetes. Por ejemplo, la matriz t=
"2 3
-
1' 0
en MATLAB se expresaría como: EDU» t = [2
— 1; 3
0];
Obsérvese que los elementos de la matriz se introducen renglón por renglón; los elementos de renglón se separan mediante un espacio y los renglones mediante un punto y coma (;). Se dispone de las mismas operaciones aritméticas para ma trices, por lo que se puede determinar t + t como EDU» t + 1 ans
; 6
-2
0
APÉNDICE 6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB1®
Los operadores aritméticos incluyen:
A
potencia
\
división izquierda
*
m ultiplicación
+
suma
división derecha (ordinaria) i*. -------- f c m m -
-
resta
/
■ —*■ j.4— .
El orden de las operaciones es importante. El orden de precedencia es la po tencia, luego la multiplicación y la división, después la suma y la resta. EDU» x = l + 5 A 2 * 3 x =
76 El concepto de división izquierda puede parecer en un principio extraño, aunque es muy útil en el álgebra de matrices. Por ejemplo, EDU>-1/5 ans —
0.2000 EDU» 1\5 ans = 5 EDU» 5\1 ans =
0.2000 Y, en el caso de la ecuación matricial Ax = B, donde 4 6
II X
"2 1
' - 1' , se encuentra x con 2
E DU» A = [2 4; 1 6]; EDU» B = [ - l ; 2 ] ; EDU» x = A\B x= -1 .7 5 0 0 0.6250 De manera alternativa, se puede escribir también EDU x = A A- l * B
x= -1 .7 5 0 0 0.6250
*
A A /V
AAA/ -------------------------------•
APÉNDICE
6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB®
o EDU» inv(A)*B ans =
-1 .7 5 0 0 0.6250 Cuando exista duda, e] paréntesis quizá resulte de gran utilidad.
Algunas funciones útiles
abs(x)
O * í
Los requerimientos de espacio evitan que se presenten todas las funciones con tenidas en MATLAB. Algunas de las más básicas incluyen: log 10(x)
exp(x)
W ex
sen(x)
sen a-
asen(x)
sqrt(x)
*Jx
cos(x)
cos x
acos(x)
sen “ 1 x eos-1 x
log(x)
ln a
tan(x)
tan*
atan(x)
tan-1 x
Las funciones útiles para manejar variables complejas incluyen: real(s)
Re{s}
imag(s)
Im{s}
abs(s)
s/a1 + b1, donde s = a + jb
angle(s) conj(s)
tan-1 (b/a), donde s = a + jb complejo conjugado de s
Otro comando muy útil, que a menudo se olvida, es simplemente help. En ocasiones se requiere de un vector, como cuando se planea crear una grá fica El comando linspace(mín, máx, número de puntos) resulta invaluable en esas situaciones: EDU: • frequency = linspace(0,10,5) frequency = 0
2.5000
5.0000
7.5000
10.0000
Un pariente útil es el comando logspaceQ.
Generación de gráficas Graficar con MATLAB es muy sencillo. Por ejemplo, la figura A 6.2 presenta el resultado de ejecutar el siguiente programa de MATLAB: EDU> x = linspace(0,2*pi,100); Angle ¡radiaos)
Ejemplo de una gráfica de sen(x), < x < 2jt, generada utilizando MATLAB. La variable* es un vector compuesto por 100 elementos igualmente espaciados.
■ FIG U RA A6.2 0
EDU> y = sen(x); EDU>- plot(x,y); EDU> xlabelfAngle (radians)'); EDU» ylabel('f(x)');
APÉNDICE
6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB®
Escritura de programas En este libro, aunque los ejemplos de MATLAB se presentan como líneas tecleadas en la ventana Command, es factible (y a menudo prudente, si la repetición es un problema) escribir un programa de tal forma que los cálculos sean más sencillos. Esto se lleva a cabo en MATLAB escribiendo lo que se conoce como m-file. Un m-file es simplemente un archivo de texto guardado con la extensión “,m” (por ejemplo, first_program.m). En respeto a Kemighan y Ritchie, se accede a New M -File en el menú File, el cual abre el editor de m-file. (Obsérvese que se puede utilizar otro editor si se prefiere, por ejemplo el WordPad.) Se teclea en r = input('Helio, World1) como se muestra en la figura A6.3. 3 tditoj Untitifd-* '■» 9X Ht Ecft Text Cel Tocfe Debcfl D#íÜcí) at^c, Keip iQe»a «. % í £ . ■i “:sTl! | 1. r “ input(1Helio, World')
I; \ 1 i i L
) i
__ _______ _______ __ ¡script l;.Ln 2 Col 1
■ FIGURA A6.3 Ejemplo de un m-file creado en el editor de m-file.
Enseguida se guarda como first_programa.m en un directorio apropiado, y después se cierra el editor. En el menú Eile se selecciona Open, y se busca el first_program.m. Lo anterior vuelve a abrir el editor (por lo que se pudo haber evitado cerrarlo antes). Se corre el programa oprimiendo la tecla F5 o seleccionando R u n dentro del mentí Debug. En la ventana Command se po drá ver el saludo; MATLAB está esperando una respuesta por parte del teclado, así que teclee el botón Intro. Se va a extender un ejemplo anterior para permitir que la magnitud sea seleccionable por parte del usuario, como en la figura A6.4. En este mo mento es posible que el usuario ingrese una amplitud arbitraria en la gráfica.
í 3 fuitot C;wxmn|>!el.in | Fíe Edtt Text CeS Toois Debtjg Desktop 'iVindowHelp Jdcíb * áá¡el{ f 2 x - linspace(0f2*pi,100); 3- y =aaiplitude*3in(x); i4 plat(¿,y); t 5; x la t o e l ( ' A n g la ( r a d i a & s ) ) ; I6 ylabel (' £(sc)1¡;
"m A
■ F IG U R A A 6 .4 Ejemplo de un m-file llamado examplel.m
para la generación de una gráfica de una onda senoidal.
A A /V
APÉNDICE 6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB®
Se deja al lector que decida cuándo escribir una programa/m-file y cuándo utilizar simplemente la ventana Command directamente.
LECTURAS ADICIONALES
_______________________
Existe un gran núm ero de referencias excelentes acerca de MATLAB disponibles y nuevos títulos aparecen de form a regular. Dos que valen la pena son
D. C. Hanselman y B. Littlefield, Mastering MATLAB 7. Upper Saddle River, NJ.: Prentice Hall, 2005. W. J. Palm, Introduction to MATLAB 7fo r Engineers, 2a. ed. Nueva York: McGraw-Hill, 2005.
APENDICE TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En este apéndice se presentan, en forma abreviada, varios teoremas de la trans formada de Laplace que se usan por lo común en situaciones más avanzadas, aparte de las que se describieron en el capítulo 14.
Transformadas de funciones de tiempo periódicas El teorema de corrimiento (desplazamiento) del tiempo es muy útil para evaluar la transform ada de funciones de tiem po periódicas. Supóngase que f ( t ) es periódica con un periodo T para valores positivos de t. Como se sabe, el com portamiento de f ( t ) para t < 0 no tiene efecto en la transformada de Laplace (unilateral). Por lo tanto, f ( t ) se escribe como f (t) = f (f — n T )
n = 0,1,2,...
Si se define ahora una nueva función de tiempo distinta de cero, sólo en el primer periodo de f ( t ) , f i ( t ) = [w(í) - m(í - T ) ] f( t) entonces la f ( t ) original se representa como la suma de un número infinito de este tipo de funciones, retrasadas por múltiplos enteros de T . Esto es, f ( t ) = [u(t) - u (t - T ) ] f ( t ) + [u(t — T ) — u(t - 2 T ) ] f( t) + [u(t - 2 T ) - u (t - 3 T ) ] f ( t ) + = M t ) + ñ ( t - T ) + f i ( . t - 2 T ) + --o OO
fw
= T , f ' (t ~ n T ) «=0
La transformada de Laplace de esta suma es exactamente la suma de las transformadas OO
F(s) = £ £ { / ! ( ? - r c D } n=0
de modo que el teorema de desplazamiento en el tiempo da como resultado OO
F(s) = ^ V ^ F r i s ) «=0 donde F , ( s ) = £ { / , ( f ) } = i e -* f{ t)d t Jo-
®
A A /V
•
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Puesto que F i(s) no es una función de n, se elimina de la sumatoria, y F(s) se convierte en F(s) = F i (s)[l + e - T s
■e~2Ts +
■]2
Cuando se aplica el teorema del binomio a la expresión entre corchetes, ésta se simplifica como 1/(1 — e~Ts). De tal modo, se concluye que la función pe riódica f ( t ) , con periodo T, tiene una transformada de Laplace expresada por F(s) =
Fi(s) 1 —e - T s
[ 1]
donde [2]
Fj(s) = £ {[ « ( * ) - « ( f - r ) ] / ( t ) }
es la transformada del primer periodo de la función de tiempo. Para ilustrar el uso de este teorema de transformada en el caso de funciones periódicas, se aplicará el familiar tren de curso rectangular, fig. A7.1. Se podría describir esta función periódica de manera analítica: v (t) —
Vq[u(t — n T ) — u(t — n T — r)]
t > 0
71= 0
v(t)
o I FIG U RA A7.1
F(s)
=(I/q/s)(1
T
T+t
2T
2T +
t
Tren periódico de pulsos rectangulares para el que - e ~ sr)/(1 —e~sT).
Es simple calcular la función V| (s): V,(s) = Vb
í
std t = — (1
Jo
r)
Ahora bien, para obtener la transformada deseada, sólo se divide entre (1 - e ~ sT): V(s) =
Vo (1 —e~st) s (1 — e~sT)
[3]
Se debe observar la forma en que se manifiestan varios teoremas diferentes de la transformada en la ecuación [3], El factor (1 — e~sT) en el denominador explica la periodicidad de la función, el término e~sr en el numerador se debe al retardo del tiempo de la onda cuadrada negativa que anula al curso y el factor Vo/s es, desde luego, la transformada de las funciones escalón implicada en v(t).
A A /V
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO A 7. 1 Determinar la transformada de la fundón periódica de la figura A7.2.
m
Se comienza escribiendo una ecuación que describa f { t ) , una función compuesta por funciones impulso positivas y negativas alternadas. ( 2)
( 2)
f ( t ) = 28 (t - 1) - 2 8(t - 3) + 28 (t - 5) - 2 8(t - ! ) + ■■■ Definiendo una nueva función f \ y reconociendo un periodo T = 4 s, 0
f i ( t ) = 2[á(r — 1) — &(t — 3)] se puede utilizar la operación de periodicidad de tiempo, según se presenta en la tabla 14.2, a fin de obtener F(s)
4
1 2 ( - 2)
' - F,(s) 1 - e ~ Ts
[4]
donde F , ( s ) = i f ( t ) e ~ síd t = f JoJoExisten varias maneras de evaluar esta integral. La más fácil consiste en reconocer que su valor seguirá siendo el mismo si el límite superior se incrementa hasta oo, lo que permite aplicar el teorema de corrimiento (o desplazamiento) en el tiempo. De tal modo, F i(s) = 2[e~
—3si
[5]
El ejemplo se concreta multiplicando la ecuación [5] por el factor indicado en la ecuación [4], por lo que F(s) =
1 — e~
:(e~s - e -—3s\ is) _
2e~ 1 + e -2s m
PRACTICA A7.1 Determinar la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la figura A7.3. Respuesta:
" ( s 2 + JT2/ 4 )
s + (n/2)e s + (jr/2)e 3s —se 1 - e~4s
Desplazamiento en frecuencia Este nuevo teorema establece una relación entre F(s) = £ { f ( t ) } y F(s + a). Se considera la transformada de Laplace de e~at f ( t ) , p oo
= J/ 0*
e~ste~at f { t ) d t
/ e~(s+a)tf ( t ) d t Jo-
Observando con cuidado el resultado, se puede ver que la integral de la derecha es idéntica a la que define a F(s) con una excepción: (s + a) aparece en lugar de s. Por lo tanto,
e-°7(í) F(s + a)
- r ( s)
6 (- 2 )
Función periódica basada en funciones de impulso unitario.
I FIG U R A A7.2
F(s) =
5
[6.1
840 —
A /W
•
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Se puede concluir que la sustitución de s por (s + a) en el dominio de la fre cuencia corresponde a multiplicar por e~at en el dominio del tiempo. Lo anterior se conoce como teorema de desplazamiento en frecuencia. De inmediato se puede aprovechar para evaluar la transformada de la función coseno amor tiguada exponencialmente, lo cual utilizamos mucho en el trabajo anterior. Em pezando con la transformada conocida de la función coseno s
£{cos
s2 + «o
entonces la transformada de e~at cos a>ot puede ser F(s + a ) : C{e~at cos ü)0t } = F(s + a) = -- ------------- y (s + a ) 2 + a% PRÁCTICA
[7J
_________________________________________________ ___________
A7.2 Encontrar £ {e_2,sen(5f + 0.2jr)u(t)}. Respuesta: (0.588s + 4 .0 5 )/(s2 + 4s + 29).
Diferenciación en el dominio de la frecuencia Se examinarán las consecuencias de diferenciar F(s) con respecto a s. El resul tado es dA CQ d — F(s) = — / e slf ( t ) d t els
d s Jq-
/»oo
pe —te~stf (t) dt = I e - s,[ - t f ( t ) ] d t JoJ 0lo cual es simplemente la transformada de Laplace de [—tf( t) ] . Por lo tanto, se concluye que la diferenciación con respecto a s en el dominio de la frecuencia origina la multiplicación por —t en el dominio del tiempo, o =
- tm
O |- F ( s ) ds
[8]
Supóngase ahora que f ( t ) es la función rampa unitaria tu (t), cuya transformada se sabe que es 1/ s 2. Se recurre al recién estudiado teorema de diferenciación de fre cuencia, a fin de determinar la transformada inversa de 1/ s 3 como sigue:
i l =—J o -,cr'!i I =
2
[9]
sJ
Continuando con el mismo procedimiento, se encuentra que f3 1 — u (t) O ^
[10]
y, engeneral, f(n -l)
1
-U (t)
(« — !)!
— s"
[11]
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
P R Á C T I C A t ___________________________ A7.3 Encontrar £{íSen(5í + 0.2jr)u(t)}. Respuesta: (0.588s2 + 8.09s — 1 4 .6 9 )/(s2 4- 25)2 .
Integración en el dominio de la frecuencia Se puede ilustrar el efecto sobre / ( í ) cuando se integra F(s) si se empieza una vez más con la definición
efectuando la integración de frecuencia desde s hasta oo, F(s) d s = intercambiando el orden de integración, e sí ds f ( t ) d t
F(s) ds = y efectuando la integración interna,
De tal modo,
[ 12] Por ejemplo, ya establecimos el par de transformadas sen® oíw (f) 4»
^ S2 + ® 5
Por lo tanto,
y se tiene seno>oíM(í) t
P R Á C T I C A r__________________ A7.4 Encontrar £ {sen25 t u ( t ) / t j . Respuesta:
| ln[(s2 + 100)^2].
jt
[13
*
A /W
A/VY
«
APÉNDICE 7 TEOREMAS ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema de ajuste en el tiempo A continuación se formula el teorema de ajuste en el tiempo de la teoría de la transformada de Laplace, al evaluar la transformada de f ( a t ) , suponiendo que se conoce £ {/(?)}• El procedimiento es muy simple: n OO
£ { f( a t) } =
i
n OO
e~st f{ a t ) d t = — ¡ e~{sla)Xf ( X ) d k Joa Jo-
donde se empleó el cambio de variable at = k. La última integral se reconoce como 1¡a veces la transformada de Laplace de f (t), excepto porque s se susti tuye por s /a en la transformada. Se desprende que f( a t) & - F ( - ) a \a /
[14]
Como un ejemplo elemental del uso de este teorema de ajuste en el tiempo, con sidérese lá determinación de la transformada de una onda coseno de 1 kHz. Suponiendo que se conoce la transformada de una onda coseno de 1-rad/s, s c o sím (í
)
—-------
s2 + 1
el resultado es 1 s/20007r s £ (cos2 OOOjt/m (/) ] = 2 0 0 0 , (s/200c¿ y + 1 = ¿ - ■¡■oobOr)*
P R Á C T I C A •----------------------------------------------------------------------------------------------------------------A7.5 Encontrar £{sen25ía(f)}Respuesta: 5 0 /[s(s2 + LOO)].
INDICE
A
Adición, operación transformada de Laplace, 561 Admitancia, 236-237, 392-393. 572 parámetros. Véase Redes de dos puertos en estado estable senoidal, 392-393 Ajuste del nivel de voltaje, transformadores ideales para, 513-514 Alternativas algebraicas, funciones forzadas complejas, 378-379 Amortiguamiento muy rápido, de transitorios, 330 Amp ops. Véase Amplificadores operacionales Ampere, A.M., 12 Amperes, 10, 11, 12 Amplificador de ganancia unitaria. 177, 180 Amplificador de instrumentación, 202-204 Amplificador de suma, 178-179, 180 Amplificador de voltaje (tensión), 176 Amplificador diferencial, 179-182, 193-194 resumen, 180 Amplificador inversor. 175, 180 Amplificadores operacionales ideales. Véase Amplificadores operacionales Amplificadores operacionales, 173-214 amp op AD549K, 191, 193 amp op AD549K, 191, 193 amp op AD622, 204 amp op AD622, 204 amp op dual LM8272, 174 amp op LF411, 191, 198 amp op LM324, 191 amp op LM741, 198 amp op LMC6035, 174 amp op OPA690,191,197 amp op Philbrick K2-W, 174 ampopmA741, 191-192, 193, 196
amplificador de instrumentación, 202-204 análisis asistido por computadora, 198-201 capacitores con, 238-239 comparadores, 201-202 consideraciones prácticas, 190-201 encapsulado, 198 etapas en cascada, 182-185, 615 frecuencia y, 197-198 fuentes de corrientes confiables, 188-190 fuentes de voltaje (tensión) confiables, 186-188 ideal, 174-182 amplificador diferencial, 179-182,193-194 amplificador inversor, 175,180 amplificador sumador, 178-179, 180 circuito amplificador no inversor, 176-177, 180 circuito seguidor de voltaje (tensión), 177. 180 derivación de, 192-193 reglas, 174, 175 resumen, 180 modelado, 190-192 rechazo en modo común, 193-194 retroalimentación negativa, 194-195 retroalimentación positiva, 195 salidas en función de las entradas, 174 saturación, 195-196 sistema de supervisión de la presión del tanque, 184-185 valores de parámetros, típicos, 191 velocidad de bajada, 197-198 voltaje de desviación de entrada, 196 Amplificadores, redes equivalentes y, 708-710 A m plitud
de respuesta, función forzada proporcional, 374 de senoidales, 369
forma exponencial del número complejo, 826-828 Análisis asistido por computadora, 6-7, 128-130. Véase también MATLAB; PSpice amp ops, 198-201 análisis en estado estable senoidal, 402-403 análisis nodal y de malla en el dominio-s, 578-580 análisis nodal y de malla, 103-108, 578-580 circuitos acoplados magnéticamente, 508-509 circuitos RL sin fuentes, 264-266 circuitos RLC en paralelo sin fuentes, 342-343 diagramas de Bode y, 669-672 función del sistema, 776-779 para redes de dos puertos. 723-724 transformada rápida de Fourier, 776-779 transformadas de Laplace y, 551-553 Análisis de circuitos de ca, 3,4. Véase también Análisis de potencia de circuitos ca; Análisis de circuitos Análisis de circuitos en el dominio-s, 571-626 análisis nodal y de malla en, 578-584 análisis asistido por computadora, 578-584 convolución y. Véase Convolución frecuencia compleja y. Véase Frecuencia compleja polos, ceros y funciones de transferencia, 588 relación de voltaje H(s) = V,a|/Vcnb sintetizado, 612-616 técnica equivalente de Thévenin, 587-588 técnicas adicionales, 585-588 Z(s) y Y(s), 571-577 bobinas
a* 4 ----------- A/W---------------------- • en el dominio de la frecuencia, 572, 577 en el dominio del tiempo, 577 modelado en el dominio-s, 572-575 capacitores en el dominio de la frecuencia, 577 en el dominio del tiempo, 577 modelado en el dominio s, 575-576 resistencias en el dominio de la frecuencia, 571-572, 577 en el dominio del tiempo, 577 resumen de la representación de elementos, 577 Análisis de circuitos no lineales. 2 Análisis de circuitos. Véase Análisis de circuitos asistido por computadora. Véase Análisis asistido por computadora Circuito de Fourier. Véase Análisis asistido por computadora comando PSpice Type, 105 de potencia. Véase Análisis de potencia de circuitos definición. 5-6 estado estable senoidal. Véase Análisis senoidal en estado estable malla. Véase Análisis nodal y por malla nodal. Véase Análisis nodal y por malla transitorio, 3, 4, 264-266 Análisis de circuitos. Véase también Técnicas de análisis de circuitos en el dominio-s. Véase Análisis de circuitos en el dominio-s ingeniería y, 4-5 lineal. Véase Circuitos lineales no lineal. Véase Análisis de circuitos no lineales software, 1. Véase también Análisis asistido por computadora Análisis de Fourier en circuitos, 4, 735-792. Véase también Series de Fourier; Transformada de Fourier aplicación práctica, 782-783 epílogo, 782-784 procesamiento de imágenes, 782-783
Indice
respuesta completa a funciones periódicas forzadas, 750-752 Análisis de Laplace, 4 Análisis de potencia de circuitos ca, 419-456. Véase también Potencia compleja potencia aparente/factor de potencia, 437-439 potencia promedio (activa). Véase Potencia promedio excitación senoidal, potencia instantánea, 421 potencia instantánea, 420-422, 445 potencia promedio (activa) máxima, 429 teorema del estado estable senoidal, 428-429 valores RMS de corriente/voltaje, 432-437, 445 cálculos de la potencia promedio,434 circuitos de múltiples frecuencias, 434-435 valores de las formas de onda periódicas, 432-433 valores de las formas de onda senoidales, 433-434 Análisis nodal y de malla, 3, 79-120 análisis de circuitos en el dominio-s y, 578-584 asistido por computadora, 578-580 análisis de malla, 92-98, 155 corriente de malla, 92, 93-95, 503 definición de malla, 794 ley de voltajes (tensiones) de Kirchhoff aplicada a, 98 procedimiento, resumen, 98 supermalla, 98,100-101 análisis nodal, 3. 80-89, 155 análisis senoidal en estado estable, 393-395 árboles y, 793-799 definición de nodos, 36,793 efectos de la fuente de voltaje (tensión), 89-91 ley de corrientes de Kirchhoff y, 80 nodo de referencia, 80 procedimiento básico, resumen, 88-89 procedimiento, resumen, 98 supermalla, 98, 100-101 supemodos, 89-91 asistido por computadora, 103-108, 578-580
comparación, 101-103 de estados estables senoidales, 393-395 esquemas de PSpice basados en nodos, 106-107 ubicación de las fuentes y, 101 Análisis senoidal en estado estable, 369-418 admitancia, 392-393 amplitud, 369 análisis asistido por computadora, 402-403 análisis nodal y de malla, 393-395 argumento. 369 características de senoidales, 369-371 conductancia, 392 diagramas fasoriales, 404-407 en fase, 370-371 frecuencia angular, 369 frecuencia de corte, amplificador transistorizado, 396-397 frecuencia en radianes, 369 frecuencia, 370-371 fuera de fase, 370-371 función forzada compleja, 376-380 alternativa algebraica a las ecuaciones diferenciales, 378-379 aplicación, 377-378 fuentes imaginarias, respuestas imaginarias, 377-378 fuentes reales, respuestas reales, 377-378 parte imaginaria, 376 parte real, 376 teorema de superposición, 377-378 función forzada de forma de onda senoidal, 369 impedancia. Véase Impedancia inmitancia, 392-393 periodo, 369-370 potencia promedio (activa) del circuito de ca, 414-425 relaciones fasoriales y. Véase Relaciones fasoriales para R. L y C requisitos de la comparación de fases, 371 respuesta natural, 369 respuestas forzadas a senoidales, 369, 372-376 amplitud, respuesta v.v. función forzada, 374 estado estable, 372-373
ÍNDICE
forma alterna de, 373-374 retraso y adelanto, 370-371 senos convertidos a cosenos, 371 superposición, transformaciones de fuente, y, 396-403 susceptancia, 392 Análisis transitorio, 3,4 capacidad de PSpice para, 264-266 Análisis/respuesta en estado estable, 285. Análisis senoidal en estado estable circuitos RL sin fuente, 256 Ancho de banda, y circuitos de alta Q, 636-641 Ancho de pulso (PW), de formas de onda, 295 Angulo de fase 6, 370, 604-607 Angulos, números complejos exponenciales, 826-828 Ánodo, 187 Árboles, 793-799 Argumento de senoidales, 369 forma exponencial del número complejo, 826-828 Armónicas impares, 747n Armónicas pares, 747, 747n Armónicas, Fourier, 736-737 asíntotas, determinación, 657-658 Asintóticas, Diagramas de Bode y, 657-658 Atenuador, 176, 614 B
Babbage, Charles, 6 Base, de transistores, 717 Beaty, H. Wavne, 28 Bobina de potencial. 476 Bobina de voltaje (tensión), 476 Bobinas fuertemente acopladas, 502 Bobinas, en wattímetros. 476-477 Bobinas/Inductancia. 224-232,491 almacenamiento de energía. 230-232 características, ideal, 232 definido, 224 dualidad. Véase DualidaJ en el dominio de la frecuencia, 572, 577 en el dominio del tiempo, 5?7 en paralelo, 233-234 en serie, 232-233 linealidad, consecuencias de, 235-233 modelado, 243-245, 572-575 modelo de una bobina ideal, 224-22”
picos de voltaje (tensión) infinitos, 227 reactancia inductiva, 374 relaciones de integrales voltajecorriente, 228-230 relaciones fasoriales para, 384-385 Bode, Hendrik W., 657 Bossanyi, E., 485 Boyce, W.E., 302 Burton, T„ 485 C Calculadoras científicas, 805-806 Calibrador para alambres, 25-26 Calibre Americano del Alambre (AWG), 26 Candela, 10 Capacitor electromecánico, 223 Capacitores, 215-224 almacenamiento de energía, 220-222 aplicación práctica, 223 circuitos amp op con, 238-239 circuitos en el dominio-s y, 575-577 definido, 216 dualidad. Véase Dualidad electroquímica, 223 en paralelo, 234 en serie, 234 ideal, 215-218,224 linealidad, consecuencias de, 235-238 modelado con PSpice, 243-245 de capacitores ideales, 215-218 en el dominio-s, 575-576 relaciones de fase para, 385-386 relaciones integrales voltaje-corriente, 218-220 ultracapacitor, 223 Carga balanceada, 458 Carga constante, 12 Carga instantánea, 12 Carga negativa, 11 Carga positiva, 11 Carga, 11-12 conservación de, 11, 155 distancia y, 5 Cargas desbalanceadas conectadas en Y, 470 Caso exponencial, frecuencia compleja, 535 Cátodo, 187 Cavendish, Henry, 22 CD ícorriente directa) análisis, 3
• ------------------------------
V W ----------------( 8 4 5
caso, frecuencia compleja, 535 corto circuitos a, 225 fuente de corriente, 19 fuentes, 19,173, 289 parámetro de barrido, 128-130 Centro de Vuelos Especiales Marshall de la NASA, 5 Circuitos RL, 270-273 Ceros, 547 análisis de circuitos en el dominio-s ceros, polos y funciones de transferencia, 588 constelaciones de polos-ceros, 602-604 Circuito abierto, 27-28 de cd, 217 parámetros de impedancia, 712-713 Circuito amplificador no-inversor, 180 forma de onda de salida, 176-177 Circuito bilateral, 702 Circuito de un solo lazo, 42-45 Circuito de un solo par de nodos, 45-49 Circuito LC sin pérdidas, 357-359 Circuito LC, sin pérdidas, 357-359 Circuito no-planar (no distribuido en forma de plano), definidos, 794 Circuito planar (desarrollado en forma plana), 92, 101 definido, 794 Circuito seguidor de voltaje (tensión), 177, 180 Circuitos acoplados magnéticamente, 491-532. Véase también Transformadores análisis asistido por computadora, 508-509 coeficiente de acoplamiento, 502 consideraciones de energía, 499-502 flujo magnético, 491, 492,495 igualdad de M I2 y M21, 500-501 inductancia mutua. Véase Inductancia mutua límite superior de M, establecimiento, 501 transformadores ideales. Véase Transformadores ideales transformadores lineales, 503-509 Circuitos con alta Q, ancho de banda y, 636-641 Circuitos eléctricos. Véase Circuitos
8 4 6 --------------- V W ------------------------------- •
Circuitos equivalentes Thévenin/Norton, 3, 139-149,155-156 análisis de circuitos en el dominio-s, 587-588 cuando las fuentes dependientes están presentes, 145-147 redes de dos puertos, 709-710 resistencia, 142, 155-156 teorema de Norton, 3, 143-145, 155-156 linealidad de capacitores/bobinas, 238 teorema de Thévenin, 3, 139, 141-143, 155-156 linealidad de capacitores/bobinas, 238 prueba de, 813-814 y el análisis senoidal de estado estable, 396-403 Circuitos equivalentes, transformadores ideales, 518-520 Circuitos integrados digitales, límites de frecuencia en, 300 Circuitos lineales, 2-4 análisis de respuesta en frecuencia, 3, 4 análisis de transitorios, 3,4 análisis en ca, 3, 4 análisis en cd, 3 funciones forzadas complejas, 377-378 leyes de la conservación, 155 relaciones lineales voltaje-corriente, 121-122
Circuitos multifrecuencia, valor RMS con, 434-435 Circuitos polifásicos, 457-490 conexión delta (A), 470-476 cargas conectadas en Y ví., 473 de fuentes, 473-476 conexión trifásica Y-Y. Véase Conexión Y-Y trifásica notación de dóble subíndice, 459-460 sistemas monofásicos de tres hilos, 460-464 sistemas polifásicos, 458-460 Circuitos RC conmutados secuencialmente, 294-299 I: tiempo para cargar completamente/descargar completamente, 296-297, 298 II: tiempo para cargar completamente pero no descargar completamente, 297, 298
ÍNDICE
HI: tiempo para no cargar completamente pero tiempo para descargar completamente, 297, 298 IV: tiempo para no cargar completamente o descargar completamente, 298-299 constante de tiempo (r), 267-268 controlados, 289-294 función escalón unitario, 276-280 generales, 273-276 sin fuente, 266-269 Circuitos RL acercamiento muy estrecho de: 0+ ví. 0“ , 270-273 conmutados secuencialmente, 294-299 I: tiempo para cargar completamente/descargar completamente, 296-297, 298 II: tiempo para cargar completamente pero no descargar completamente, 297, 298 El: tiempo para no cargar completamente pero tiempo para descargar completamente, 297, 298 IV: tiempo para no cargar completamente o descargar completamente, 298-299 constante de tiempo de la respuesta exponencial (í), 262-264 controlados. Véase Circuitos RL controlados función escalón unitario, 276-280 general, 269-270 propiedades de la respuesta exponencial, 262-266 respuesta natural. Véase Respuestas naturales sin fuente, 255-261 análisis asistido por computadora, 264-266 energía, conteo de, 261 función complementaria, 256 función forzada, 256 la respuesta en estado estable, 256 la solución particular, 256 método alternativo, 258 método de la solución general, 258-261 método directo, 256-257 respuesta forzada, 256
respuesta libre, 256 respuesta natural, 256 respuesta transitoria, 256 Circuitos RL controlados, 280-283 comportamiento intuitivo de, 283 determinación de la respuesta completa, 285-289 procedimiento directo, 281-282 respuesta de fuentes de cd resumidas, 289 respuesta natural y forzada, 282, 283-289 Circuitos RL generales, 269-270 Circuitos RL libres de fuentes de función complementaria, 256 Circuitos RL o RC conmutados secuencialmente. Véase Circuitos RC; Circuitos RL Circuitos RL sin fuente. Véase Circuitos RL Circuitos RLC sin fuente. Véase Circuitos RLC Circuitos RLC, 319-368 amortiguamiento crítico sin fuente, 332-336 forma de la respuesta amortiguada criticamente, 332-333 representación gráfica de, 334-335 v a l o r e s y A2, 333 circuito LC sin pérdidas, 357-359 circuitos en paralelo sin fuente, 319-323 análisis asistido por computadora, 342-343 definición de términos de frecuencia, 322-323 ecuación diferencial de, 320-322 respuesta críticamente amortiguada, 323, 345 respuesta sobreamortiguada, 323, 324-331, 345 representación gráfica, 329-330 valores y A 2, 324-325 respuesta subamortiguada, 323, 336-343, 345 forma de, 336-337 representación gráfica, 338 resistencia finita, papel de, 338-340 valores B¡ y Bi, 337-338 resumen de ecuaciones, 345 circuitos en serie sin fuente, 343-349 respuesta críticamente amortiguada, 344-345
Indice
respuesta sobreamortiguada, 344-345 respuesta subamortiguada, 344-345 resumen de ecuaciones, 345 resumen de la respuesta del circuito, 344-345 modelado de suspensiones automotrices, 356 relaciones fasoriales para. Véase Relaciones fasoriales para R, L y resumen del proceso de solución, 355-357 respuesta completa de, 349-357 parte complicada, 350-355 parte no complicada, 349-350 Circuitos análisis de. Véase Componentes de análisis de circuitos. Véase Componentes básicos y circuitos eléctricos elementos de, 17-18,21 funciones de transferencia de. 497 redes y, 21-22 resumen de respuesta y RLC en serie libre de fuente, 344-345 Clayton, G., 616 Coeficiente de acoplamiento, 502 Coeficiente de amortiguamiento exponencial, 322, 630 Coeficiente de fricción, 5 Coeficiente de inductancia mutua, 492 Colectores, 717 Comando Bias Point (PSpice), 105 Comando Create (PSpice), 105 Comando New Simulation Profile (PSpice), 104-105 Comando Run (PSpice), 105 Combinación de elementos en paralelo, 45 bobinas, 233-234 capacitores, 234 combinación serie-paralelo equivalentes, 647-651 combinaciones de impedancia, 387-388 Combinaciones equivalentes, respuesta en frecuencia y. 647-651 Comparación de fases, ondas senoidales, 371 Comparadores, 201-202 Complemento del árbol, 794-795 Componentes básicos y circuitos eléctricos, 9-34
carga, 11-12 corriente. Véase Corriente ley de Ohm. Véase Ley de Ohm potencia. Véase Potencia unidades y escalas, 9-11 voltaje. Véase Voltaje Componentes simétricos, 470 Componentes. Véase Componentes básicos y circuitos eléctricos Conductancia, 27-28,392 Conexión a tierra (neutro), 61-62, 458 Conexión al neutro (a tierra), 458,464 Conexión en delta (A), 470-476 cargas conectadas en Y ví., 473 fuentes conectadas, 473-476 Conexión trifásica Y-Y, 464-470 con carga desbalanceada, 470 conexión delta (A) v í ., 473 medida de potencia en. Véase Medida de potencia potencia total instantánea, 467-468 secuencia de fase abe, 464-465 secuencia de fase cba, 464-465 secuencia de fase negativa, 464-465 secuencia de fase positiva, 464-465 voltaje de línea a línea, 465-466 Conexiones en serie, 42 bobinas en, 232-233 capacitores, 234 combinaciones de impedancia, 387 y combinaciones en paralelo. Véase también Transformaciones de fuente fuentes conectadas, 49-51, 137-138 otras formas resonantes, 647-651 Conferencia General de Pesos y Medidas, 10 Configuración emisor común, 717 Conservación de la carga, 11, 155 Conservación de la energía, 14, 44, 155 consideraciones adicionales, 661-664 Constante de tiempo (t) circuitos RC, 267-268 respuesta exponencial de circuitos RL, 262-264 Control de retroalimentación, 5 Convención de signos pasiva, 16 Convención punto función de transferencia del circuito, 497 fundamentos físicos de, 495-497 ganancia en potencia, 497 inductancia mutua, 493-497 Conversión delta-estrelía (A-Y), 152-154
•------------V W Convolución análisis de circuitos en el dominio-s y, 589-598 comentarios sobre la función de transferencia, 597 integral de convolución, 591 métodos gráficos de, 592-593 operación transformada de Laplace, 561, 595-596 proceso de cuatro pasos para el análisis, 589 respuesta al impulso, 589-590 sistemas realizables y, 591-592 transformada de Laplace y, 595-596 Cooper, George R., 544 Corporación MicroSim, 103 Corriente de malla principal, 503 Corriente de rama, 94 Corriente secundaria de la malla, 503 Corriente, 9, 11, 12-13 bobina, 476 corriente ramificada, 94 dirección real j¡s. Convencional, 13 fuente de corriente controlada por corriente, 18,19-21 fuente de voltaje controlada por voltaje, 18, 19-21 fuentes conexiones serie/paralelo, 49-51 confiables, amp ops, 188-190 controladas, 18, 19-21 prácticas, 133, 137-138 y voltaje (tensión). Véase Voltaje (tensión) ganancia, de amplificadores, 708 leyes. Véase Leyes de voltaje y corriente malla, 92, 93-95, 503 relaciones voltaje-corriente del capacitor, 218-220 respuesta, resonancia y, 631 símbolos gráficos para, 13 superposición aplicable a. 431 tipos de, 13 y división de voltaje (tensión), 57-60 Corrimiento en el tiempo, transformadas de Laplace y, 558, 561, 837-839 Corto circuito(s), 27-28 admitancia y, 712-713 admitancia de entrada. 697-698 admitancia de salida, 698 admitancia de transferencia, 698
AAA/------------• para redes equivalentes, 703-704 red de dos puertos, 698 de cd, 225 Cosenos, senos convertidos a, 371 Coulomb, 11 D
Davis, B., 564 Década (de frecuencias), 658 DeCarlo, R.A., 108, 156,407, 725 Delta (A) de impedancias, redes equivalentes, 704-705 Determinantes, 809-811 Diagrama de Argand, 821-822 Diagrama de flujo, para la resolución de problemas, 8 Diagramas de Bode/gráficas, 656-672 Diferencia de potencial, 14 Diferenciación en el tiempo, transformadas de Laplace y, 553-554. 561 Diodo Zener 1N750, 187-188 Diodo Zener IN750, 188 Diodo Zener, 186-188 DiPrima, R.C., 302 Dirección del flujo, corriente, 12 Diseño de buffers, 178 Diseño, definición, 5-6 Disipación de potencia, 45 Dispositivos celulares digitales, 223 Distancia, carga y, 5 Divisor de voltaje (tensión) y de corriente, 57-60 Dominio de la frecuencia dominio del tiempo convertido en, 539 expresiones V-I, relaciones fasoriales y, 385 función del sistema y, 772-779 representación fasorial, 382 Dominio del tiempo bobinas en, 577 capacitores en, 577 convertido al dominio de la frecuencia, 539 en relaciones de voltaje (tensión) del transformador ideal, 515 expresiones V-I. relaciones fasoriales y, 385 representación, fasores, 382 resistencias en, 577 Drexler, H.B., 246 Dualidad, 232, 240-242
Indice E
licuación auxiliar, 321 Ecuación característica, 259, 321 Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales, 255-256 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, 255-256 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, 255-256 para circuitos RLC en paralelo sin fuentes. 320-322 solución algebraica, estado estable senoidal, 378-379 Ecuaciones simultáneas, resolución, 805-812 calculadoras científicas y, 805-806 determinantes y, 809-811 matrices, 806-812 regla de Cramer, 811-812 Edison, Thomas, 457 Elemento activo, 215 Elemento bilateral, 702 Elemento pasivo, 215 Elementos lineales, 121-122 Elementos puramente reactivos, absorción de potencia promedio (activa), 427 Elementos reactivos, absorción de potencia promedio (activa), 427 Emisores, 717 Emparejamiento, de los diagramas de Bode, 658-659 en múltiples términos, 659-660 Encapsulado, amp op, 198 Energía instantánea almacenada. resonancia en paralelo y, 632 Energía, 14 conteo, circuitos RL sin fuente, 261 densidad, 765 instantánea, almacenada, 632 circuitos acoplados magnéticamente. Véase Circuitos acoplados magnéticamente capacitores de almacenamiento, 220-222 bobinas de almacenamiento, 230-232 unidades de trabajo, 10 conservación de, 14,44, 155 ENIAC, 6 Enlaces, 794-795 análisis del lazo y, 799-804 Entrada invertida, 174 Entrada no-invertida, 174
Equivalentes de Norton. Véase Circuitos equivalentes Thévenin/Norton escala en decibeles (dB), 657 Escala en decibeles (dB), diagramas de Bode, 657 Escalamiento (ajuste) operación transformada de Laplace, 561 y respuesta en frecuencia, 652-656 Escalas, unidades y, 9-11 Espectro de fase. Análisis de series de Fourier, 744-745 Espectro de línea, análisis de series de Fourier, 743-744 Espectro discreto, 744 Estabilidad, de un sistema, 560 Estator, 474 Estrategias para la resolución de problemas, 7-8 Estructura (programación), 86 Factor de amortiguamiento zeta (¿), 634 Factor de amortiguamiento, resonancia en paralelo y, 634-635 Factor de calidad (Q). Véase Resonancia en paralelo Factor de potencia atrasado, 441 Factor de potencia, 445 adelanto, 441 corrección, 442 potencia aparente y, 437-439 potencia compleja, 537-439 retraso, 441 F
Fairchild Corp., 173 Farad (F), 216 Faraday, Michael, 2í6n, 224,225 Fasor(es), 4, 382, 571. Véase también Relaciones fasoriales para diagramas R, L y C, estados estables senoidales, 404-407 Feynman, R., 63 Filtros (frecuencia), 672, 680 activo, 677-678 ajuste de bajos/altos y medios, 679, 680 aplicación práctica, 679-680 Butterworth, 678 Chebyshev, 678 de muesca, 672 multibanda, 672 pasaaltas. 672, 673-674 pasabajas, 672, 673-674
ÍNDICE • ----------------- Y pasabandas, 672, 675-676 pasivos definido, 677 pasobajos y pasoaltos, 673-674 planos, 678 rechazabandas, 672 Filtros activos, 677-678 Filtros altos, bajos y medios, 679-680 Filtros Butterworth, 678 Filtros Chebyshev, 678 Filtros de altas, 679-680 Filtros de muesca, 672 Filtros de rango medio, 679-680 Filtros multibanda, 672 Filtros pasaaltas, 672 pasivos, 673-674 Filtros pasabajas, 672 pasivos, 673-674 Filtros pasabanda, 672,675-676 Filtros pasivos definición, 677 pasabajas y pasaaltas, 673-674 Filtros planos máximamente, 678 Filtros rechazabanda, 672 Fink, Donald G.. 28 Flechas, para corrientes, 9. 13 Flujo magnético, 491, 492, 495 Flujos aditivos, 495 Forma cartesiana, números complejos, 822 Forma compleja, de las series de Fourier, 752-759 Forma exponencial, números complejos. 826-828 Forma general, frecuencia compleja, 534-535 Forma polar, de números complejos, 828-830 Forma rectangular, números complejos, 822 Forma trigonométrica, de las series de Fourier. Véase Series de Fourier Formas de onda senoidales como funciones forzadas, 369 comparación de fases, 371 diseño del circuito oscilador y, 612-613 valores RMS de voltaje/corriente, 433-434 Formas de respuesta circuitos RLC críticamente amortiguados, 332-333
circuitos RLC en paralelo subamortiguados sin fuente, 336-337 Fraccionar en forma estrecha de: 0+ vs. 0 _, circuito RL, 270-273 Frecuencia a media potencia, 658 Frecuencia angular, de senoidales, 369 Frecuencia compleja, 322 análisis de circuitos en el dominio-s y, 598-607 a frecuencias complejas, 608 constelaciones polo-cero, 602-604 dependencia de la frecuencia del ángulo de fase. 604-607 dependencia de la magnitud de la frecuencia, 604-607 dependencia en frecuencia, ángulo de magnitud/fase, 604-607 graficado y, 600-602 operando a frecuencias complejas, 608 respuesta como una función de s, 599 respuesta como una función de w, 599-600 respuesta natural y, 607-611 caso especial, 610 perspectiva general, 609-610 caso cd, 535 caso exponencial, 535 caso senoidal, 535 definido, 533-537 forma general, 534-535 frecuencia de Neper, 534, 537 frecuencia en radianes, 537 s en relación con la realidad, 536-537 senoidales amortiguadas exponencialmente, 536 Frecuencia de 3 dB, 658 Frecuencia de corte, amplificador transistorizado, 396-397 Frecuencia de esquina (de corte), 397,658 Frecuencia de media potencia inferior, 636 Frecuencia de ruptura, 658 Frecuencia en radianes, 369,537 Frecuencia fundamental, 736 Frecuencia natural de resonancia, 336-337, 630 Frecuencia Neper, 537 definición, 322 Frecuencia resonante, 322
A
-------- (
849
Frecuencia superior de media potencia, 636 Frecuencia amp ops y, 197-198 angular, de senoidales, 369 circuitos RLC en paralelo sin fuente, 322-323 compleja. Véase Esquina de frecuencia compleja, 397 corrimiento, transformadas de Laplace, 561, 839-840 de corte, amplificador transistorizado, 369-397 de senoidales, 370-371 definición de unidades para, 322 dependencia, plano-s, 604-607 diferenciación, transformadas de Laplace, 561, 840-841 dominio. Véase Dominio de la frecuencia en radianes, de senoidales, 369 escalamiento (ajuste), 652-656 frecuencia fundamental, 736 integración, transformadas de Laplace, 561,841 límites, circuitos integrados digitales, 300 múltiples, valor RMS con, 434-435 resonancia natural, 336-337 respuesta. Véase Respuesta en frecuencia selectividad, resonancia en paralelo y, 637 Frecuencias críticas, análisis de circuitos en el dominio-s, 588 Fuente de corriente controlada por voltaje (tensión), 19 Fuente de voltaje controlada por voltaje (tensión), 19 Fuente de voltaje práctica general, 132 Fuente lineal dependiente, 122 Fuentes controladas, de voltaje/corriente, 18, 19-21 Fuentes de corriente confiables, amp ops, 188-190 Fuentes de corriente independientes, 18,19 Fuentes de voltaje (tensión) confiable, amp ops, 186-188 efectos de la fuente, análisis nodal y de malla, 89-91 fuentes conectadas en serie y en paralelo, 49-51
8 S O )-------------V W ------------------------- •
ideal, 131-133 práctica, 131-133 Fuentes de voltaje (tensión) confiables, amp ops, 186-188 Fuentes de voltaje (tensión) independientes, 18-19 Fuentes de voltaje equivalentes, 131 Fuentes dependientes1 . circuitos equivalentes Thévenin/Norton, 145-147 de voltaje/corriente, 18,19-21 lineal, 122 Fuentes físicas, función escalón unitario y. 278-279 Fuentes ideales de voltaje (tensión), 131-133 Fuentes ideales, de voltaje, 18 Fuentes imaginarias, respuestas imaginarias, 377-378 Fuentes prácticas de corriente, 133, 137-138 Fuentes prácticas de voltaje (tensión), 131-133,137-138 Fuentes prácticas equivalentes, 133-136 Fuentes reales, respuestas reales, funciones forzadas complejas, 377-378 Fuerza, voltaje y, 5 Función de muestreo, series de Fourier, 756-759 Función de simetría, 589 análisis asistido por computadora, 776-779 respuesta, en el dominio de la frecuencia, 772-779 significado físico de, 779-781 transformada rápida de Fourier (FFT), 774, 776-779 ejemplo de procesamiento de imágenes, 782 Función escalón unitario u(t), 276-280 circuitos RC, 276-280 circuitos RL, 276-280 pares de transformadas de Fourier de, 769 rectangular, 279-280 transformadas de Laplace de, 544 y fuentes físicas, 278-280 Función exponencial e at, 545 Función forzada compleja. Véase Análisis senoidal en estado estable Función forzada senoidal amortiguada, 537-540 Función impulso unitario, 277
Indice
transformada de Laplace de, 544-545 Función pulso rectangular, 279-280 Función rampa tu{t), Transformada de Laplace de, 545 Funciones de singularidad, 277 Funciones de tiempo, simple, transformadas de Laplace de, 543-545 Funciones de transferencia, 497, 588, 597 Funciones forzadas, 122 circuitos RL sin fuente, 256 como formas de onda senoidales, 369 Funciones impares, 747n Funciones no-periódicas, potencia promedio (activa) para, 430-432 Funciones panes, 747n Funciones racionales, transformadas inversas de, 547-548 Funciones simples de tiempo, transformadas de Laplace de, 543-545 Funciones/formas de onda periódicas, 431. Véase también Análisis senoidal en estado estable; Formas de onda senoidales ancho de pulso de, 295 como funciones forzadas, 369 como salida, amplificadores no inversores, 176-177 periodo T de, 295, 369-370 potencia de ca promedio (activa), 295,423-424 respuesta completa a, 750-752 tiempo de bajada de, 294 tiempo de retardo de, 295 tiempo de subida de, 294 transformadas de Laplace de, 837-839 valores RMS para, 432-434 G Ganancia de voltaje (tensión), amplificadores, 708 Ganancia de voltaje de lazo cerrado, 191 Ganancia, de amps op, 612 Generador síncrono, 474 George A. Philbrick Researches Inc., 205 Goody, R.W., 360, 820 Graficas/Graficación de convolución, análisis en el dominio-s, 592-593 de corriente, símbolos para, 13
de respuesta críticamente amortiguada, circuitos RLC, 334-335 en el plano de frecuencia compleja (s), 600-602 respuesta sobreamortiguada, circuitos RLC, 329-330 respuesta subamortiguada, circuitos RLC, 338 Grupos, de fuentes independientes, 123 H H(s) = Vsai/Vent, síntesis, 612-616 Hanselman, D.C., 836 Hayt, W.H., Jr„ 204, 407, 725 Heathcote, M., 520 Henry (H), 224 Henry, Joseph, 224 Huang, Q., 681 I Igualdad MÍ2IM2], circuitos acoplados magnéticamente, 500-501 Impedancia de entrada, 587 amplificadores, 708-710 redes de un puerto, 693-696 Impedancia de salida, amplificadores, 709 Impedancia de un conductor finito, 461 Impedancia reflejada, 503-504 Impedancia, 236-237, 571 de acoplamiento, 512-513 de entrada, 587 estado estable senoidal, 387-391 combinaciones de impedancias en paralelo, 387-388 combinaciones de impedancias en serie, 387 definido, 387 reactancia y, 388 resistencia y, 388 Inductancia mutua, 491-499 coeficiente de, 492 convención punto, 493-497 flujos aditivos, 495 función de transferencia del circuito, 497 fundamentos físicos de, 495-497 ganancia en potencia, 497 flujo magnético, 491, 492, 495 flujos aditivos. 495 inductancia mutua sumada a, 494 Inductancia propia, 491 sumada a la inductancia mutua, 494 Ingeniería, análisis de circuitos y, 4-5
Indice
Integración en el tiempo, transformadas de Laplace y, 555-556, 561 Integral particular, 285 Integrales de Fourier, análisis de series de Fourier, 738-739 Intercomunicador por fibra óptica, 181 Interpretación intuitiva, circuitos RL controlados, 238 J
Jaeger, R., 22 Jenkins, N., 485 Joules, 10 Jung, W.G., 204, 246 K Kaiser, C.J., 246 Kelvin, 10 Kennedy, B.K., 521 Kilogramos, 10 Kilowatt-hora (kWh), 437 Kirchhoff, Gustav Robert, 36 L Lancaster, D.. 681 Lazo análisis de malla y. 92 análisis, enlaces y, 799-804 definido, 794 Lazo-abierto configuración, amp ops, 201 ganancia en voltaje (tensión), 190-191 Leighton, R. B., 63 Ley de Ohm, 22-28 absorción de potencia en resistencias, 23-27 aplicación práctica, 25-26 conductancia, 27-28 definición de unidades de resistencia, 22 definición, 22 Leyes de comente y voltaje (tensión), 35-78 circuito de un solo lazo, 42-45 circuito de un solo par de nodos, 45-49 división de voltaje (tensión) y corriente, 57-60 fuentes conectadas en serie y en paralelo, 49-51 lazos, 35-36 ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), 35, 36-38 ley de voltajes de Kirchhoff (LVK), 35, 38-42
orden de elementos y, 52 nodos, 35-36 ramas, 35-36 resistencia equivalente, 52 resistencias en serie y en paralelo, 51-57 trayectorias, 35-36 Leyes de Kirchhoff fasores y, 386 ley de coiriente (LCK), 35, 36-38 análisis nodal y, 80, 155 ley de voltaje (LVK), 35, 38-42 análisis de circuitos y, 155 en análisis de malla, 98 orden de elementos y, 52 LF411 ampop, 191,198 Lin, P.M., 108, 156, 407, 725 Linden, D.. 156 Linealidad, 12]-122 consecuencias, capacitores/bobinas, 235-238 teorema de transformada inversa, 546-547 Littlefield, B.L., 836 Lord Kelvin, 10 M M, límite superior para, 501 Magnitud dependencia de la frecuencia y el plano (s)j 604-607 escalamiento (ajuste), 652-656 forma exponencial de un número complejo, 826-828 Malla. Véase Análisis nodal y de malla Mancini, R„ 204, 246, 616 Manipulador robotizado, 5 Máquina analítica, 6 Máquina diferencial, 6 MATLAB, 85, 551-553 tutorial, 831-836 Matrices conformadas, 807 Matrices determinantes de, 809-811 ecuaciones simultáneas, resolución, 806-812 forma matricial de ecuaciones, 85 inversión de, 808-809 Matriz columna, 806 Matriz cuadrada. 806 Máxima transferencia de potencia, 150 152, 428-430 Maxwell, James Clerck, 216 McGillem, Clare D., 544
• ---------------------- W
v
----------- ( 851
McLyman, W.T., 521 McPartland, B.J., 63 McPartland, J.F., 63 Medición de la potencia, 441 método de los dos wattímetros, 481-483 sistemas trifásicos, 476-484 teoría y fórmulas de los wattímetros, 478-481 wattímetros, uso de, 476-478 Medidores, 10 Método de los residuos, 548-549 Método directo, circuitos RL sin fuente, 256-257 Método Yv, para redes equivalentes, 704 Microfarads (mF), 217 Modelo de capacitor ideal, 215-218 Modelo de inductancia ide;il, 224-227 Modelos/modelado, 3 de amp ops, detallado, 190-192 de bobinas bobinas ideales, 224-227 con PSpice, 243-245 en el dominio-s, 572-575 de capacitores ideales, 215-218 de sistemas de suspensión automotriz, 356 Modo de recepción, 223 Modo de respaldo, 223 Modo de transmisión, 223 Moles, 10 Movilizador principal, 474 Multímetro digital (DMM), 148-149 Multiplicación escalar, 561 N Napier, John, 534 National Semiconductor Corp., 174,198 Nepers (Np), 534 Neudeck, G.W., 204, 407, 725 Nodo de referencia, 80 Norton, E. L., 139 Notación de doble subíndice, circuitos polifásicos, 459-460 Números complejos, 821-830 descrita, 821-822 forma exponencial de, 826-828 forma polar de, 828-830 forma rectangular (cartesiana) de. 822 identidad de Euler, 824-825 operaciones aritméticas para, 822-S24 unidad imaginaria (operador '.
852 ;------- v w
«
o Octava (de frecuencias), 658 Oficina Nacional de Estándares, 9-10 Ogata, K., 564, 616 Ohm, Georg Simón, 22 Ohms (W), 22 Operación de lazo cerrado, amp ops, 201 Operaciones, transformada de Laplace, tabla de, 561 Operando a frecuencias complejas, 608 Orden de los elementos, KVL y, 52 Orsted, Hans Christian, 224 Oscilador puente de Wien, 612 Oscilador, 612 diseño del circuito, 612-613 función, 338 P
Palm, W. J„ III, 836 para el análisis asistido por computadora, 669-672 Parámetros ABCD, redes de dos puertos, 720-724 Parámetros de transmisión, redes de dos puertos, 720-724 Parámetros híbridos, redes de dos puertos, 718-720 Parámetros T, redes de dos puertos, 720-724 Parámetros Y, redes de dos puertos, 697-699, 710-711 Parámetros Z, 712-716 pares complejos conjugados, 666-668 Pares complejos conjugados, diagramas de Bode y, 666-668 Pares de transformadas de Fourier, 760, 761 para funciones forzadas constantes, 768 para funciones signum, 768-769 para la función escalón unitario, 769 para la función impulso unitario, 766-768 resumen de, 770 Pares, transformada de Laplace, 559 Parseval-Deschenes, Marc Antione, 764 Pasabanda, 672 Periodicidad en el tiempo, transformadas de Laplace y, 561, 837-839 Perry, T., 820 Peterson, Donald O., 815 Philbrick K2-W op amp, 174 Philbrick Researches, Inc., 173 Philbrick, George A., 205
ÍNDICE
Picos de voltaje (tensión) infinitos, bobinas y, 227 Pinkus, A., 564, 785 Plano complejo, 821-822 análisis de circuitos en el dominio-s y. Véase Secuencia compleja Polarización de entrada, 193 Polos distintos, método de los residuos y, 548-549 Polos repetidos, técnicas de transformada inversa, 550 Polos, 547 ceros, y funciones de transferencia, 588 constelaciones polo-cero, 602-604 método de los residuos y, 548-549 repetidos, transformadas inversas, 550 Porción real, de la función forzada compleja, 376 Potencia, 9, 15-17. Véase también Análisis de potencia de circuitos de ca absorbida. Véase Potencia absorbida disipación, 45 expresión para, 15 factor. Véase Factor de potencia ganancia, 497, 708 máxima transferencia de, 150-152 medición. Véase Medición de potencia negativa. Véase Potencia absorbida positiva, 16,19 promedio (activa). Véase Potencia promedio (activa) reactiva, 440, 441, 445 resumen de la terminología, 445 sistemas de generación, 474-475 superposición aplicable a, 431 triángulo, 441 unidades, 10 Potencia absorbida, 16,19, 45 en resistencias, 23-27 por elemento, 44 Potencia aparente, 440, 441, 445 factor de potencia y, 437-439 Potencia compleja, 440-445 componente en cuadratura, 441 factor de potencia, 437-439 adelantado, 441 corrección, 442 retrasado, 441 fórmula, 441 medición, 441 potencia aparente, 440,441,445 y factor de potencia, 437-439
potencia compleja, 441 potencia en cuadratura, 441 potencia promedio (activa), 441 potencia reactiva, 440, 441,445 terminología, 445 triángulo de potencias, 441 unidades volt-ampere-reactivas (VAR), 440, 441 volt-ampere (VA), 441 watt (W), 441 Potencia en cuadratura, 441 Potencia entregada, 16 igualando la potencia absorbida, 44 Potencia entregada, 19 Potencia instantánea total, trifásica, 458, 467-468 Potencia instantánea, 420-422, 445 Potencia negativa (absorbida), 16,19 Potencia positiva, 16,19 Potencia promedio (activa), 441. 445 circuitos de ca, 422-432, 445 elementos reactivos de absorción, 427 en el estado estable senoidal, 424-425 formas de onda periódicas, 423-424 funciones no-periódicas, 430-432 la resistencia ideal de absorción, 426 máxima transferencia de, 428-430 máxima, 429 superposición y, 431 valor RMS y, 434 Potencia promedio máxima, 429 Potencia reactiva, 440, 441,445 Poyla, G., 8 Prefijos del SI, 10-11 Prefijos, SI, 10-11 Procedimiento directo, circuitos RL controlados, 281-282 Procesamiento de imágenes. Análisis de Fourier y, 782-783 Programa de simulación con énfasis en circuitos integrados, 103 Propiedad aditiva, de la transformada de Laplace, 546 Propiedad de corrimiento, 544-545 Propiedad de homogeneidad, transformadas de Laplace, 546 PSpice, 103,104-107, 128-130 comando Bias Point, 105 comando Create, 105 comando New Simulation Profile, 104-105 comando Run, 105 comando Type, 105
diagramas de nodo-base, 106-107 modelado de bobinas con, 243-245 modelado de capacitores con, 243-245 para el análisis senoidal en estado estable, 402-403 para el análisis transitorio, 264-266 tutorial, 815-820 Puente de Wheatstone, 74 Puerto, 691 R
Ragazzini, J.R., 205 Ramas, definidas, 793 Randall, R.M., 205 Rawlins, C.B., 25,26 Reactancia síncrona, 474 Reactancia impedancia y, 388 inductiva, 374 síncrona, 474 Rechaza-bandas, 672 Rechazo en modo común, amp ops, 193-194 Rectificadores, 459 Red activa, 21 Red inactiva, 145 Red muerta, 142,145 Red rnultipuerto, 692. Véase también Redes de dos puertos Red pasiva, 21 Redes de dos puertos, 691-734 análisis asistido por computadora para, 723-724 parámetros ABCD, 720-724 parámetros de admitancia, 696-703 admitancia de entrada en corto circuito, 697-698 admitancia de salida en corto circuito, 698 admitancia de transferencia en corto circuito, 698 circuito bilateral, 702 elemento bilateral, 702 parámetros de admitancia en corto circuito, 698 parámetros y, 697-699, 710-711 teorema de reciprocidad, 702 parámetros de impedancia, 712-716 parámetros de transmisión, 720-724 parámetros híbridos, 718-720 parámetros í, 7120-724 redes de un puerto. Véase Redes de un puerto redes equivalentes, 703-711
amplificadores, 708-710 método A de impedancias, 704-705 método de admitancia en corto circuito, 703-704 método de la sustracción /adición Y, 704 método equivalente de Norton, 709-710 método equivalente de Thévenin, 709-710 Y-A no aplicable, 706-707 transistores, caracterización, 717-718 Redes de parámetros concentrados, 35 Redes de parámetros distribuidos, 35 Redes de un puerto, 691 -696 cálculo de impedancia de entrada para, 693-696 Redes eléctricas, comportamiento de, 607 Redes equivalentes P y T, 505-508 Redes equivalentes T y P, 505-508 Redes equivalentes, dos puertos. Véase Redes de dos puertos Redes, 21-22 activas, 21 de dos puertos. Véase Redes de dos puertos pasivas, 21 topología. Véase Topología de red Regla de Cramer, 84, 811-812 Regulación de voltaje (tensión), 475 Relación de voltaje (tensión) H(s) = VSai/Vent, síntesis, 612-616 Relación de voltaje (tensión), transformadores ideales, dominio del tiempo, 515-518 Relación del número de vueltas, transformadores ideales, 510-512 Relaciones de integrales voltaje-corriente bobinas, 228-230 capacitores, 218-220 Relaciones fasoriales para R, L-y C bobinas. 384-385 capacitores, 385-386 como representación compleja abreviada, 381 expresiones V-I en el dominio de la frecuencia, 385 expresiones V-I en el dominio del tiempo, 385 forma definida de la impedancia. Véase Análisis senoidal en estado estable
leyes de Kirchhoff utilizando, 386 representación en el dominio de la frecuencia, 382 representación en el dominio del tiempo, 382 representación fasorial, 382 resistencias, 383-384 Relaciones lineales voltaje-corriente, 121-122 Representación compleja, fasor como abreviatura de, 381 Resistencia de salida, 132 Resistencia equivalente, 52,142 Resistencia íinita, RLC en paralelo ligeramente amortiguado sin fuente, 338-340 Resistencia ideal, absorción promedio de potencia, 426 Resistencia interna, 132 Resistencia lineal, 23 Resistencia/Resistencias/Resistividad, 9, 25. Véase también Ley de ühm análisis de circuitos en el dominio-s, 571-572,577 de salida, 132 en el dominio de la frecuencia, 571-572 en el dominio del tiempo, 577 en serie y en paralelo, 51-57 equivalente, 52 ideal, absorción de potencia promedio (activa), 426 impedancia y, 388, 389 interna, 132 lineal, 23 relaciones fasoriales para, 383-384 Resistencias negativas, 696 Resonancia en paralelo, 627-641,644 amortiguamiento coeficiente exponencial, 630 factor, 634-635 ancho de banda y circuitos con alta Q. 636-641 conclusiones clave sobre, 641 definición, 628-631 energía instanránea almacenada. 632 factor de calidad (Q), 631-641 ancho de banda y, 636-641 factor de amortiguamiento y, 634-635 otras interpretaciones de Q, 633-654frecuencia natural resonante, 630 respuesta actual y, 631 respuesta de voltaje y, 630-631
8 S 4 )------------- W
V
resumen de, 644 selectividad de frecuencia, 637 Resonancia en serie, 641-644 Resonancia, 322 en paralelo. Véase Resonancia en paralelo en serie, 641-644 respuesta actual y, 631 respuesta de voltaje y, 630-631 tabla de resumen para, 644 Respuesta al impulso, convolución y, 589-590 Respuesta amortiguada críticamente, circuitos RLC circuitos sin fuentes en paralelo, 323, 345 en serie, 344-345 forma de, 332-333 representación gráfica, 334-335 Respuesta completa, 735-736 a funciones periódicas forzadas, 750-752 de circuitos RL, 285-289 de circuitos RLC. Véase Circuitos RLC Respuesta de fase, diagramas de Bode y, 660-661 Respuesta de voltaje (tensión), resonancia y, 630-631 Respuesta en frecuencia, 3, 4, 627-690 combinaciones serie/paralelo equivalentes, 647-651 diagramas de Bode. Véase Diagramas de Bode/gráficas escalamiento (ajuste), 652-656 filtros. Véase Filtros (frecuencia) formas resonantes, otras, 645-651 resonancia en paralelo. Véase Resonancia en paralelo resonancia en serie, 641-644 Respuesta exponencial, circuitos RL, 262-266 Respuesta libre, circuitos RL sin fuente, 256 Respuesta senoidal amortiguada, 336 Respuesta sobreamortiguada circuitos RLC en paralelo sin fuente, 323, 324-331, 345 representación gráfica de, 329-330 valores Ai y A2, encontrar, 324-325 circuitos RLC en serie sin fuente, 344-345 Respuesta subamortiguada de circuitos RLC en paralelo sin fuente. Véase Circuitos RLC
Indice
de circuitos RLC en serie sin fuente, 344-345 Respuesta transitoria, 283 circuitos RL sin fuente, 256 Respuesta, 121 circuitos RLC en serie sin fuente, 344-345 como una función de .v, dominio-s, 599 como una función de w, dominio-s, 599-600 en el dominio de la frecuencia. 772-779 funciones, 122 Respuestas forzadas, 369, 735-736 circuitos manejadores RL, 282,283-289 circuitos RL sin fuente, 256 para senoidales. Véase Análisis senoidal en estado estable Respuestas naturales, 276, 369, 372, 735-736 circuitos controlados RL, 282, 283-289 circuitos RL sin fuente, 256 y el plano de frecuencia compleja (s), 607-611 Retraso de tiempo (TD) de formas de onda, 295 Retroalimentación negativa amp ops, 194-195 trayectoria, 612 Retroalimentación positiva, 195,612 Rotor, 474 Russell, F.A., 205 Rutina solve (), 86 S s, definición, 536-537 Sands, M.L., 63 Saturación, amp op, 195,196 Secuencia de fase abe, 464-465 Secuencia de fase cba, 464-465 Secuencia de fase negativa, 464-465 Secuencia de fase positiva, 464-465 Segundos, 10 Senoidales adelantadas, 370-371 Senoidales atrasadas, 370-371 Senoidales en fase, 370-371 Senoidales fuera de fase, 370-371 Senoidales caso de frecuencia compleja, 535 como funciones forzadas, 627-628 transformadas de Laplace de, 558 Senoides amortiguadas exponencialmente, 536 Senos, convertidos a cosenos, 371 Series de Fourier
coeficientes, 739-740 forma compleja, 752-759 forma trigonométrica de, 735-745 armónicas, 736-737 coeficientes, evaluando, 739-740 derivada, 737-738 ecuación de, 738 espectro de fase, 744-745 espectro de línea, 743-744 integrales, útiles, 738-739 función de muestreo, 756-759 simetría, uso de, 745-749 para resolución simplificada, 749f simetría de media onda, 747-748,749 simetría par e impar, 745,749 términos de Fourier y, 745,747 Sharpe, D„ 485 Siemen (S), 572 Significado físico, de las transformadas de Fourier, 764-765 Signos convención pasiva, 16 para voltajes (tensiones), 9,14 Simetría de media onda, Fourier, 747-748, 749 Simetría impar, análisis de series de Fourier. 745,749 Simetría par. Análisis de series de Fourier, 745, 749 Simetría, uso de, análisis de series de Fourier, 745-749 Simón, Paul-René, 28 Sistema de supervisión de presión de tanques, 184-185 Sistema Internacional de Unidades (SI), 10 Sistema métrico de unidades, 10 Sistema trifásico balanceado, 458 Sistemas de posicionamiento global (GPS), 612 Sistemas de suspensión, modelado automotriz de, 356 Sistemas físicamente realizables, 591-592 Sistemas ingeníenles, comportamiento de, 607 Sistemas monofásico de tres hilos, 460-464 Sistemas numéricos, unidades y escalas, 9 Sistemas realizables, análisis en el dominio-s, 591-592 Sistemas telefónicos satelitales, 223 Sistemas trifásicos, balanceados, 458 Sistemas, estabilidad de, 560 Software Probe, 342- 343 Solución complementaria. Véase Respuestas naturales
INDICE
Solución general, circuitos RL sin fuentes, 258-261 Solución particular, 285 circuitos RL sin fuente, 256 SPICE, 103. Véase también PSpice Squire, J., 785 Supermalla, 98,100-101 Supemodos, 89-91 Superposición, 3, 121-131, 155, 377-378 análisis senodial en estado estable, 396-403 aplicable a la corriente, 431 aplicable a la potencia, 431 limitaciones de, 131 procedimiento básico, 128 teorema de superposición, 123 Susceptancia, 392 Suspensiones automotrices, modelado, 356 Szwarc, Joseph, 28 T
Taylor, Barry N., 28 Taylor, J.T., 681 Técnicas de análisis de circuitos, 121-172 circuitos equivalentes de Norton. Véase Circuitos equivalentes de Thévenin/Norton circuitos equivalentes de Thévenin. Véase Circuitos equivalentes de Thévenin/Norton conversión delta-estrella (A-Y), 152-154 linealidad y superposición, 121-131 máxima transferencia de potencia, 150-152 proceso de selección para, 155-156 superposición. Véase Superposición transformaciones de fuente Véase Transformaciones de fuente Teorema de reciprocidad, 702 Teorema del escalamiento (ajuste) en el tiempo, transformadas de Laplace y, 842 Terminales de línea, 464 Términos de orden superior, diagramas de Bode, 665 Términos múltiples, en diagramas de Bode, 659-660 Tesla, Nokola, 457 Thévenin, M.L., 139 Tiempo de bajada, de las formas de onda, 294 Tiempo de establecimiento, 330 Tiempo de subida (TR), de formas de onda, 294
Tierra de la señal, 61-62 Tierra del chasis, 61-62 Tierra física, 61-62 Topología de red, 793-804 análisis de enlaces y de lazo, 799-804 árboles y análisis nodal general, 793-799 Topología, 793. Véase también Topología de red Transconductancia, 21 Transferencia de carga, 12 Transformaciones de fuente. Véase Transformaciones de fuente entre parámetros y, z, h y t, 713 Transformaciones de fuente, 3, 131-138, 155 fuentes de comente prácticas, 133, 137-138 fuentes de voltaje (tensión) prácticas, 131-133, 137-138 fuentes practicas equivalentes, 133-136 requerimientos de los conceptos clave, 137-138 resumen, 138 y análisis senoidal en estado estable, 396-403 Transformada(s) de Laplace, 533-570 análisis asistido por computadora, 551-553 convolución y, 595-596 de funciones periódicas en el tiempo, 837-839 de funciones simples de tiempo, 543-545 de un solo lado, 542-543 definición, 540-543 función forzada senoidal amortiguada, 537-540 operaciones, tabla de, 561 para funciones exponenciales e ~at' 545 para la función escalón unitario u(t), 544 para la función impulso unitario d(t - to), 544-545 para la función rampa tu(l), 545 pares, 559 propiedad de la división, 544-545 técnicas de transformada inversa, 546-551 para funciones racionales, 547-548 polos diferentes/método de los residuos, 548-549 polos repetidos, 550 teorema de la linealidad, 546-547
•
J
W
v ----------------{
855
teorema de la diferenciación en el tiempo, 553-554 teorema de la d ife m á B ifc es frecuencia SW-M teorema de la estabilidad je. ssaciniL. 560 teorema de la integración en el tiempo, 555-556 teorema de la integración en frecuencia, 841 teorema del corrimiento en el tiempo, 558, 837-839 teorema del corrimiento en frecuencia, 839-840 teorema del escalamiento (ajuste) en el tiempo, 842 teorema senoidal, 558 teoremas del valor inicial/valor final, 561-563 teoremas para, 553-561 transformada de Laplace de dos lados, 541 transformada de Laplace inversa de dos lados, 542 Transformada de Fourier. Véase también Pares de transformada de Fourier de funciones periódicas en el tiempo, 771-772 definido, 759-763 función del sistema, dominio de la frecuencia. Véase Función del sistema propiedades de, 763-766 significado físico de, 764-765 transformada rápida de Fourier (FFT), 774, 776-779 ejemplo de procesamiento de imágenes, 782 Transformada de Laplace de ambos lados, 541 Transformada de Laplace de un solo lado, 542-543 Transformada de Laplace inversa de ambos lados. 542 Transformada rápida de Fourier (FFT), 774, 776-779 ejemplo de procesamiento de imágenes, 782 Transformadas inversas. Véase Transformada(s) de L = v»s Transformadores de pasos elevadcras- 5 ■ Transformadores de pasos reductc-es 5 Transformadores ideales, 510-520
f 856 ) --------------- W V -------------• circuitos equivalentes, 518-520 para acoplamiento de impedoiuia, 512-513 para ajuste de niveles de voltaje (tensión), 513-514 relación de número de vueltas de, 510-512 relación de voltajes (tensión) en el dominio del tiempo, 515-518 transformadores de paso elevadores, 514 transformadores de paso reductores, 514 Transformadores lineales, 503-509 corriente de la malla principal, 503 corriente de la malla secundaria, 503 impedancia reflejada, 503-504 redes equivalentes T y P, 505-508 Transformadores superconductores, 516-517 Transformadores. Véase también Circuitos acoplados magnéticamente ideal. Véase Transformadores ideales lineal. Véase Transformadores lineales superconductores, 516 Transistores, 22, 396-397, 717-718 Trayectoria análisis de malla, 92 definida, 793 voltaje (tensión), 14 Trayectorias cerradas, 38,92 Tubo al vacío 12AX7A, 174 Tuinenga, P., 108, 820 U
Ultracapacitor, 223 Unidad imaginaria (operador)/componente, 821 de funciones forzadas complejas, 376 de potencia compleja, 440 fuentes imaginarias, respuestas imaginarias, 377-378 Unidades base del SI, 10 Unidades de trabajo (energía), 10 Unidades en ingeniería, 11 Unidades volt-ampere-reactivos (VAR), 441 potencia compleja, 440 Unidades y escalas, 9-11
ÍNDICE
voltaje (tensión) integral de la corriente, 18 Valor efectivo (RMS). Véase Valor RMS fuentes. Véase Fuentes de voltaje Valor final, transformadas de Laplace, (tensión) 561-563 fuerza y, 5 Valor inicial, transformada de Laplace, leyes. Véase Leyes de voltaje (tensión) 561-563 y corriente Valor numérico, de corriente, 12 polarización real vs. convencional, 14 Valor raíz media cuadrada (RMS). Véase relaciones integrales de voltaje Valor RMS (tensión)-corriente, para Valor RMS capacitores, 218-220 con circuitos de múltiples frecuencias, generadas internamente, 474 434-435 Voltaje de compensación de entrada, para formas de onda periódicas, amp ops, 196 432-433 Voltaje de corte, 223 para formas de onda senoidales, Voltaje de entrada diferencial, 193 433-434 Voltaje de la integral de la corriente, 18 para la corriente y el voltaje (tensión), Voltaje derivado de la corriente, 18 432-437, 445 Voltajes (tensiones) de fases, 464 para la potencia promedio (activa), 434 Voltajes línea-a-línea, conexión trifásica Valores B\ y B2, 337-338 Y-Y, 465-466 Valores de A] y A2 Volt-amperes (VA), 438, 441 amortiguamiento crítico y, 333 circuito RLC sobreamortiguado en W paralelo, 324-325 Wattímetros, para sistemas trifásicos Valores de los parámetros, amp ops, 191 método de los dos wattímetros, Vector enfilado (dirigido), 806 481-483 Vectores, 85, 806 teoría y formulas, 478-481 Velocidad de impacto, amp-ops, 197-198 uso, 476-478 Volta, Alessandro Giuseppe \ntonio Watts (W), 10,441 Anastasio, 14n Weber, E„ 302, 360 Voltaje (tensión) generado internamente, Weedy.B.M., 446, 485 474 Westinghouse, George, 457 Voltaje (tensión) Zener, 187 Wheeler, H.A., 534 Voltaje (tensión), 9, 14-15 Winder, S., 616 corte, 223 emparejamiento de, 658-659 diferencia a la entrada, amp ops, 196 y respuesta en fase, 660-661 división de voltaje (tensión) y y términos de orden superior, 665 corriente, 57-60 fuentes de corriente y, 17-22, 49-51 elementos activos, 21 Y(s) y Z(s). Véase Análisis de circuitos en elementos de circuito, 21 el dominio-s elementos pasivos, 21 fuentes de corriente independiente, 19 ? 4 Z(s), Y(s) y. Véase Análisis de circuitos en fuentes de voltaje (tensión) I el dominio-s independiente. 18-19 I Zaf any, S., 564, 785 fuentes dep|ndieiltqs de iioítáje/ Zamiman, Félix, 28 corriente, 1S, 19^^| A"f. redes y circuitos, 21-22 voltaje (teníión) deriyado de la corrilntUil 8 M-
I 1
'
S'Sb
Breve tabla de integrales 2 jc sen 2a.v sen a x d x = ---------------2 4a /■
/ eos
2
x sen 2ax a x d x = — I------------2 4a
r i / x sen a x d x — — (sen aje —aje cos aje) y a1
/
x 2 sen a x d x = —r (2ax sen a x + 2 cos ax — a 2x 2 cos ax)
/■ 1 / jc cos a x d x = — (cos ax + ax sen ax)
J
í /
J
a-
jc
?
1 22 cos a x d x = — (2ax cos a.r — 2 sen ax + a j c " sen ax)
a3
s e n( a - & ) j c sen (a + b)x 7 . sen ax sen bx d x = ----------- ------------------- —- ; a ± b
/
2 (a - b)
2 (a + i )
cos(a — b)jc cos(a + b )x , senaje cos üjc ajc — -------- ------- ----------—------—— ; a 2(a-¿>) 2 (a + fc) sen (a —b)jc sen (a + ¿>)x 7 cos ax eos hx d x = ----------- ------ 1--- ——; a ± b 2 (a - b) 2 (a + b )
/ x eax d x ~ / /
e — (ax — 1) a¿
& x 2 eax d x = — (a2x 2 — 2ax + 2)
a5
r eax I eax sen b x d x = —r------ (a sen bx — b cos bx) J a1 + bl f eax I eax cos bx d x = —— - z (a cos bx + b sen bx) a 2 + b2
J
dx
J a2 + x 2
/
1 , x = - tan-1 a
, ¿r ,
a > O dx —
0; a = O —\ ti \ a < O
a
r
| sen"* d x = o
7T 2 7 cos x d x — — 2 Jo /**
I
sen m x sen nx d x — /r
cos m x cos n x d x = 0 ; m ^ n, n y m enteros 0 ; m — n par —
- ^ i n - n impar
m — n-
Breve tabla de identidades trigonométricas s e n ^ ± fi) = sen a cos fi ± cos a sen fi c o s(a ± fi) — cos a cos fi
=psen a sen fi
co s(a ± 90°) = =f s e n a senCa ± 90°) = ± cos a cos a cos fi — ~ c o s(a + fi) + \ cos (a - fi) sen a sen fi = \ c o s (a — fi) — \ c o s (a + fi) sen a cos fi = \ se n (a + fi) + ^ sen (a — fi) sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a = 2 eos2a — 1 = sen2a = ^(1 —cos 2a) eos2a = |(1 + cos 2a) eja - e -j« sen a = --------j2 cos a =
eja + e- ja
e±¡a — cos a ± j sen a
1 — 2sen2a =
eos2a
— sen2a
La característica distintiva de este texto clásico es su enfoque en los estudiantes, pues está escrito de tal form a que éstos puedan aprender por sí m ism os el arte del análisis de circuitos. Los térm inos se definen claram ente cuando se presentan por primera vez, el material básico se expone con c uidado al com ienzo de cada capítulo y se utilizan ejem plos num éricos para presentar y sugerir resultados genéricos. Los problem as de práctica tienen un determ inado nivel de dificultad y permiten que los alu m n os puedan evaluar su avance por sí m ism os de m anera regular. Esta introducción que sirve com o puente, así com o la estrategia de repetición subsiguiente, proporcionan una im portante ayuda al proceso de aprendizaje. Los abu ndan tes recursos p e d a gó g ic o s de los autores ayudan y alientan al estudiante ofreciéndole consejos y advertencias, figu ras dise ñadas cuidadosam ente, foto grafías y tablas. Una vez que se han a b o rd a d o los fundam entos, se exploran tam bién los tem as a través de ejem plos de diseño adecu ad os y se estudia el análisis asistido por com putadora com o una form a de verificar los resultados. A lo largo del texto se exponen los tem as de una m anera amena, lo cual resalta la convicción de los autores de que el análisis de circuitos puede y deber ser divertido. C A R A C T E R Í S T I C A Las técnicas de resolución de problem as se presentan en el capítulo 1 con objeto de preparar a los a lu m n os para que desarrollen una form a m etódica de analizar circuitos. En cada uno de los capítulos sigu ien tes hay ejem plos cuidadosam ente seleccionados que ayudan a recordar la m e to dolo gía de resolución paso a p aso de los m ism os. Los cuadros de aplicación practica que se encuentran a lo largo de to d o el libro relacionan el material con situaciones del m u n do real y enlazan
. h' * **’ '
conceptos de diseño y de resolución de problem as. Se incluyen ejem plos de PSpice y M A TLA B q ue presentan características prácticas com o los barridos de CD, el análisis transitorio, la m anipulación de variables la solución de ecuaciones y perm iten valorar el texto desde una perspectiva m ás amplia. Al final de a lgu n o s capítulos selectos se presentan preguntas orientadas al diseño para ayudar a los a lu m n os a com prender las com plejidades implícitas en dicho proceso.
McGraw-Hill
The M cGraw-Hill Companles
HÜfw Interamericana IS B N -13: 978-970-10-6107-7 ISBN -10: 970-10-6107-1
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