Document créé le 29 octobre 2015
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Chapitre 1 Logique et ensembles 1.1 1.1
Rudim udimen ents ts de logi logiqu que e
Logique, tables de vérité
() Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : ( A ⇒ B) Exercice 1.1.1
⇔
( A ou B)
() Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : ( A ou (B et C)) Exercice 1.1.2
⇔
(( A ou B) et ( A ou C))
() Décrire les parties de R qui sont définies par les propositions (vraies) suivant suivantes es : 1) (x > 0 et x < 1) ou x = 0 2) x > 3 et x < 5 et x =4 3) (x 0 et x > 1) ou x = 4 4) x 0 ⇒ x 2. Exercice 1.1.3
Quantificateurs
() Soient I un un intervalle de R et f : I → → R une fonction définie sur I à à valeurs réelles. Exprimer verbalement la signification des propositions suivantes : 1) ∃ λ ∈ R, ∀ x ∈ I , f (x) = λ 2) ∀ x ∈ I , f (x) = 0 ⇒ x = 0 3) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ I , f (x) = y 4) ∀ (x, y) ∈ I 2, x y ⇒ f (x) f (y ) 5) ∀ (x, y ) ∈ I 2 , f (x) = f (y) ⇒ x = y Exercice 1.1.4
Exercice 1.1.5 () Soient I un un intervalle
de R et f : I → → R une fonction définie sur I à à valeurs réelles. Exprimer Exprim er à l’aid l’aidee de quan quantificat tificateurs eurs les proposit propositions ions suivantes suivantes : 1) la fonction f s’annule 2) la fonction f est la fonction nulle 3) f n’ n’es estt pa pass un unee fo fonc ncttio ionn co cons nsta tannte 4) f ne prend jamais deux fois la même valeur 5) la fonction f prés éseente un minimum 6) f prend des valeurs arbitrairement grandes 7) f ne peut s’annuler qu’une seule fois
Chapitre 1 : Logique
1.2 Raisonnements classiques
et ensembles
() Soient I un intervalle de R non vide et f : I → R une fonction à valeurs réelles définie sur I . Exprimer les négations des propositions suivantes : 1) ∀ x ∈ I , f (x) = 2) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ I , f (x) = y 0 3) ∃ M ∈ R, ∀ x ∈ I , | f (x)| M 4) ∀ (x, y) ∈ I 2 , x y ⇒ f (x) f (y ) 5) ∀ (x, y) ∈ I 2, f (x) = f (y ) ⇒ x = y 6) ∀ x ∈ I , f (x) > 0 ⇒ x 0 Exercice 1.1.6
() Soit f : R → R. Indiquer la différence de sens entre les deux propositions proposées : 1. ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R, y = f (x) et ∃ y ∈ R, ∀ x ∈ R, y = f (x). 2. ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R, y = f (x) et ∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R, y = f (x) 3. ∀ x ∈ R, ∃ M ∈ R, f (x) M et ∃ M ∈ R, ∀ x ∈ R, f (x) M Exercice 1.1.7
1.2
Raisonnements classiques
Par contraposition ou par l’absurde
() Soit n un entier, montrer que si n2 est pair alors n est pair. Exercice 1.2.1
() √ Soit x un irrationnel positif. Montrer que x est irrationnel. Exercice 1.2.2
() Montrer que 2014 ne peut pas s’écrire comme la somme de deux carrés. Exercice 1.2.3
() √ Montrer que 2 est un nombre irrationnel. Exercice 1.2.4
() Montrer que l’ensemble D = {(x, y ) ∈ R2, x2 + y 2 1} ne peut pas s’écrire comme le produit cartésien de deux parties de R. Exercice 1.2.5
() On considère une famille finie d’ensembles distincts deux à deux. Montrer que l’un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres. Exercice 1.2.6
Raisonnement par analyse-synthèse
() Déterminer toutes les fonctions f : R → R telles que : ∀ x ∈ R, f (x − f (y )) = 2 − x − y. Exercice 1.2.7
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Chapitre 1 : Logique
1.2 Raisonnements classiques
et ensembles
() Déterminer les fonctions f : R → R telle que : ∀ x ∈ R, f (x) + xf (1 − x) = 1 + x. Exercice 1.2.8
() Montrer que toute fonction f : R → R s’écrit de façon unique comme la somme d’une fonction paire et x+1 d’une fonction impaire. Préciser cette décomposition si f (x) = 2 Exercice 1.2.9
x +x+1
() √ √ Trouver toutes les solutions réelles de (E ) : 1 − x = 2x2 − 1 + 2 x 1 − x2 . Exercice 1.2.10
Exercice 1.2.11
()
x2 + 4yz + 2 z = 0
Résoudre le système (S ) : x + 2xy + 2 z 2 = 0
dans R.
2xz + y 2 + y + 1 = 0
Résolutions d’équations Exercice 1.2.12
() 1
1
1
x
a
b
Avec a, b donnés non nuls, et x inconnu, résoudre l’équation + +
=
1 x+a+b
() √ √ Résoudre dans R l’équation : 2x + 3 − x + 2 = 2. Exercice 1.2.13
( ) √ √ Résoudre dans R l’équation : x − 9 + x − 24 = x . Exercice 1.2.14
( ) √ √ Résoudre l’équation ( E ) : x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1. Exercice 1.2.15
( ) √ √ Trouver les solutions dans R de 17 + 8x − 2x2 + 4 + 12x − 3x2 = x 2 − 4x + 13. Exercice 1.2.16
( ) √ √ Résoudre 41 + x + 41 − x = 4 dans R. Exercice 1.2.17 4
Exercice 1.2.18
4
()
Résoudre le système
x3 = 7x + 3y 3
y = 7y + 3 x
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dans R.
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Chapitre 1 : Logique
1.2 Raisonnements classiques
et ensembles
Résolutions d’équations avec paramètre
() √ Résoudre dans R l’équation suivante : x2 + mx − 1 = −x + 3m (avec m réel). Exercice 1.2.19
() √ √ Résoudre dans R : x + 2x − 1 + x − 2x − 1 = m , avec m dans R. Exercice 1.2.20
() √ √ Résoudre l’équation x2 − p + 2 x2 − 1 = x , où p est un paramètre réel. Exercice 1.2.21
() Étudier l’existence et le signe des racines réelles de P = (m − 2)x2 + (2m + 3)x + m + 2. Exercice 1.2.22
() Étudier l’existence et le signe des racines réelles de P = (m − 2)x2 − (2m − 5)x + m + 3. Exercice 1.2.23
Exercice 1.2.24
Résoudre dans R
()
le système d’équations
x + y + z = a x2 + y 2 + z 2 = b 2 xy = z 2
, avec (a, b) dans R+.
() √ Discuter, suivant les valeurs du réel m , le nombre de solutions réelles de ( E m) : x − 1 = x4 + x2 + m. On note ϕ(m) l’unique solution de cette équation quand elle existe. Etudier l’application ϕ (monotonie, continuité, limites aux bornes). Exercice 1.2.25
4
Résolutions d’inéquations Exercice 1.2.26
Résoudre dans R
()
l’inéquation
Exercice 1.2.27
1
2x 1 + 2x
− √
2
< 2 x + 9.
()
Résoudre l’inéquation
√ 3 − x − √ x + 1 > 1 dans R. 2
() √ Résoudre dans R l’inéquation : 2x + 1 < x2 + 8. Exercice 1.2.28
() √ Résoudre dans R l’inéquation : x + x2 − 5x + 4 < 2 . Exercice 1.2.29
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Chapitre 1 : Logique
1.2 Raisonnements classiques
et ensembles
Raisonnement par récurrence
() Montrer que pour tout entier naturel n, un = 3 · 52n+1 + 23n+1 est divisible par 17. Exercice 1.2.30
() Montrer que pour tout entier naturel n, un = 44n+2 − 3n+3 est divisible par 11. Exercice 1.2.31
() Montrer que pour tout entier naturel n, 42n+2 − 15n − 16 est divisible par 225. Exercice 1.2.32
() Montrer que si a est un entier impair, alors 2 n+2 divise am − 1, avec m = 2n et n 1. Exercice 1.2.33
() On définit une suite (un) par : u0 = 1, u1 = cos θ, et pour n 2 : un = 2u1 un Calculer un , pour tout entier n. Exercice 1.2.34
−1
−u
n−2
.
() Soit n un entier naturel. Exercice 1.2.35
– Combien l’équation x + y = n possède-t-elle de couples solutions (x, y) dans N2 ? – Combien l’équation x + y + z = n possède-t-elle de triplets solutions (x,y,z ) dans N3 ? – Généraliser au calcul du nombre de ( p + 1)-uplets solutions de x0 + x1 + ··· + x p = n . Pour cette question, on donnera deux démonstrations, l’une qui utilise une récurrence et l’autre qui s’appuie sur un calcul de dénombrement. () 2 n n On sait que pour tout entier n 1, on a l’égalité k3 = k . k=1 k=1 + Inversement soit (xk )k1 une suite de R . 2 n n On suppose que pour tout entier n 1, on a l’égalité x3k = xk . k=1 k=1 Montrer que pour tout entier k on a xk = k . Exercice 1.2.36
∗
Exercice 1.2.37
() 1 2
Montrer que pour tout entier n 2, un = 1 + + Exercice 1.2.38
1 + 3
··· + n1 n’est pas un entier.
()
, ·· ·
Montrer que, pour tout n 1
2+
2+
2+
+
√ 2 = 2 cos
π
2n+1
(le nombre 2 apparaissant n fois sous la racine).
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Chapitre 1 : Logique
1.3 Ensembles
1.3
et ensembles
Ensembles
() Que dire de deux sous-ensembles A et B de E tels que A ∪ B = A ∩ B ? Exercice 1.3.1
() Soient A, B , C trois ensembles. Montrer que A ∪ B = A ∩ C Exercice 1.3.2
Exercice 1.3.3
⇔ B ⊂ A ⊂ C .
()
trois ensembles. Montrer que
∪ B ⊂ A ∪ C ⇒ B ⊂ C . A ∩ B ⊂ A ∩ C A
Soient A, B , C
() Soient A, B , C trois ensembles. Montrer que (A ∪ B ) ∩ (B ∪ C ) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B ) ∪ (B ∩ C ) ∪ (C ∩ A). Exercice 1.3.4
() Soient E et F deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il : 1. Entre P(E ∪ F ) et P(E ) ∪ P(F ) ? 2. Entre P(E ∩ F ) et P(E ) ∩ P(F ) ? 3. Entre P(E × F ) et P(E ) × P(F ) ? Exercice 1.3.5
Exercice 1.3.6
Soient ( Ai )i
∈I
()
et (Bi )i I deux familles de parties d’un ensemble E . ∈
On suppose que pour tout indice i de I , on a E = A i ∪ Bi . Montrer que E =
1.4
. Ai
i∈I
Bi
i∈I
Applications
() Soit f une application de P(E ) dans R. On suppose que pour toutes parties A et B disjointes de E , f (A ∪ B ) = f (A) + f (B ). Montrer que f (∅) = 0. Prouver que pour toutes parties A et B de E , f (A ∪ B ) = f (A) + f (B ) − f (A ∩ B ). Exercice 1.4.1
Exercice 1.4.2 -1
Soit f une application de E dans F . Montrer que A ⊂ E ⇒ f (f (B ) ∩ A) = B ∩ f (A). () Soit E un ensemble. Trouver toutes les applications f de E telles que, pour toute application g de E , on ait g ◦ f = f ◦ g . Exercice 1.4.3
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Chapitre 1 : Logique
1.5 Injections, surjections, bijections
Exercice 1.4.4
et ensembles
() -1
Soit f une application de E dans E et S = {X ⊂ E , f (f (X )) = X }. -1
1. Soit A une partie quelconque de E . Montrer que f (f (A)) appartient à S. 2. Montrer que toute intersection ou réunion d’éléments de S est encore élément de S.
1.5
Injections, surjections, bijections
Applications injectives ou surjectives
() Soient f : E → F et g : F → G deux applications. Montrer les implications suivantes : 1. Si g ◦ f est surjective alors g est surjective 2. Si g ◦ f est injective alors f est injective 3. Si g ◦ f est surjective et g est injective, alors f est surjective 4. Si g ◦ f est injective et f est surjective, alors g est injective Exercice 1.5.1
() Soit f une application de E dans F . Montrer l’équivalence : (f est injective) ⇔ (pour toutes parties A et B de E , f (A ∩ B ) = f (A) ∩ f (B )). Exercice 1.5.2
() Soit f une application de E dans F . -1 On définit l’application g : P(F ) → P(E ) par : ∀ Y ⊂ F , g (Y ) = f (Y ). Exercice 1.5.3
1. Montrer que g est injective si et seulement si f est surjective. 2. Montrer que g est surjective si et seulement si f est injective. () Soit f une application de E dans F . Montrer l’équivalence : (f est surjective) ⇔ (pour tout ensemble G et toutes applications g, h : F → G , g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h ) Exercice 1.5.4
() Soit E un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas de surjection de E sur P(E ). Exercice 1.5.5
() Soit f une application de E dans F . -1 1. Montrer que pour toute partie A de E , f (f (A)) ⊃ A . Exercice 1.5.6
-1
2. Montrer que pour toute partie B de F , f (f (B )) = f (E ) ∩ B . -1
3. Prouver que f est injective si et seulement si ∀ A ⊂ E , f (f (A)) = A . -1
4. Prouver que f est surjective si et seulement si ∀ B ⊂ F , f (f (B )) = B . Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Chapitre 1 : Logique
1.5 Injections, surjections, bijections
et ensembles
Applications bijectives
() Soient f : E → F , g : F → G et h : G → E trois applications. Montrer que si, parmi les trois applications h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ h et f ◦ h ◦ g , deux sont surjectives et la troisième injective (ou deux sont injectives et la troisième surjective) alors les trois applications f , g , et h sont bijectives. Exercice 1.5.7
() Soit f une application de E dans E . Montrer que f est bijective si et seulement si pour toute partie A de E , f (A) = f (A) (on note A le complémentaire de A dans E .) Exercice 1.5.8
() Soient f : E → F , g : F → G et h : G → H trois applications. Montrer que si g ◦ f et h ◦ g sont bijectives, alors f , g et h sont bijectives. Exercice 1.5.9
() Soient E un ensemble non vide, et A, B deux parties de E . On note [A, A ∪ B ] = {X ⊂ E , A ⊂ X ⊂ A ∪ B } et [A ∩ B, B ] = {Y ⊂ E , A ∩ B ⊂ Y On définit f : [A, A ∪ B ] → [ A ∩ B, B ] par f (X ) = X ∩ B . On définit g : [A ∩ B, B ] → [ A, A ∪ B ] par g (Y ) = Y ∪ A. Montrer que f et g sont des bijections réciproques l’une de l’autre. Exercice 1.5.10
⊂ B }.
() Soient A et B deux parties non vides d’un ensemble E . On considère l’application f , de P(E ) dans P(A) × P(B ) définie par f (X ) = (X ∩ A, X ∩ B ). Exercice 1.5.11
1. Montrer que f est injective si et seulement si A ∪ B = E .
2. Montrer que f est surjective si et seulement si A ∩ B = ∅. 3. Dans le cas où f est bijective, déterminer f 1 . −
() Soit A une partie d’un ensemble E . Exercice 1.5.12
On lui associe l’application Montrer que A →
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A
A , de E vers {0, 1}, définie par
A (x) =
est une bijection de P(E ) sur F (E, {0, 1}).
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si si 1 0
∈ A x∈ A x
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Chapitre 1 : Logique
1.6 Relations binaires
1.6
et ensembles
Relations binaires
Relations d’ordre
() Soient E et F deux ensembles ordonnés et A une partie non vide de E . Soit f une application croissante de E dans F . Montrer que si max A existe, alors max f (A) existe et est égal à f (max A). La propriété subsiste-t-elle si on remplace « max » par « sup » ? Exercice 1.6.1
() Soient R et S deux relations d’ordre total sur E . 1. On définit la relation T sur E par : x T y ⇔ (x R y et x S y). Est-ce une relation d’ordre (total, partiel) ? 2. Même question en définissant : x U y ⇔ (x R y ou x S y). Exercice 1.6.2
Exercice 1.6.3
()
Sur R × R, on définit deux relations Est-ce que
R
R
et S
par
(x, y ) R (x , y ) (x, y ) S (x , y )
et S sont des relations d’ordre?
⇔ x x et y y ⇔ (x < x ) ou (x = x
et y y )
() Soient E et F deux ensembles ordonnés (l’ordre sur E étant total). Soit f : E → F , croissante. Montrer que f est injective si et seulement si elle est strictement croissante. Montrer que le résultat n’est pas vrai si on ne suppose pas que E est totalement ordonné. Exercice 1.6.4
() Cet exercice est connu sous le nom de “problème des hussards”. Soit (aij )i=1,...,n,j=1,...,p une famille de np réels. Comparer A = i min ( max ai,j ) et B = max ( min ai,j ) ,...,n j ,...,p j ,...,p i ,...,n Exercice 1.6.5
=1
=1
=1
=1
Relations d’équivalence
() On définit sur R la relation : xRy ⇔ x3 − y 3 = 3(x − y ). 1. Montrer que R est une relation d’équivalence. 2. Déterminer, pour tout réel x, le cardinal de la classe d’équivalence de x. Exercice 1.6.6
Exercice 1.6.7 () Soit E un ensemble muni d’une relation R réflexive On définit sur E la relation : xSy xRy et y Rx.
et transitive.
⇔
Montrer que S est une relation d’équivalence. Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Chapitre 1 : Logique
1.6 Relations binaires
et ensembles
() Déterminer l’erreur dans le raisonnement suivant : Si une relation R sur un ensemble E est symétrique et transitive alors elle est réflexive car pour tous x, y de E : xRy ⇒ y Rx puis (xRy et y Rx) ⇒ x Rx Exercice 1.6.8
Exercice 1.6.9
Dans R2 , la relation (x, y)R(z, t) ⇔ xy = z t est-elle une relation d’équivalence ? Si oui quelles sont les classes d’équivalence ? La relation ( x, y )S(z, t)
⇔
xy = zt xz 0
est-elle une relation d’équivalence ?
() Dans le plan P d’origine O , la relation « M RN d’équivalence ? Même question si on remplace P par Exercice 1.6.10
⇔ O , M , N sont alignés » est-elle une relation P − {O }.
() Soit R une relation réflexive et symétrique sur un ensemble E . On définit sur E la relation : xSy si et seulement si il existe une suite finie x 0 , x1 , . . . , xn d’éléments de E (avec n 1) tels que x 0 = x , xn = y , et x p Rx p+1 pour tout p de {0, . . . , n − 1}. Montrer que S est une relation d’équivalence. Exercice 1.6.11
() Soient R et S deux relations d’équivalence sur un ensemble E . On définit la relation S ◦ R par : xS ◦ Ry ⇔ ∃ z, xRz et z Sy . Montrer que S ◦ R est une relation d’équivalence ⇔ S ◦ R = R ◦ S. Exercice 1.6.12
() , on pose (m, n)R( p, q )
Exercice 1.6.13
Sur N × N
∗
⇔
mq = np . Est-ce une
relation d’équivalence ?
() Quelle est la seule relation sur E qui soit à la fois réflexive, symétrique et antisymétrique ? Exercice 1.6.14
() Soit R une relation sur un ensemble E . Montrer que R est d’équivalence si et seulement si R est réflexive et, pour tous éléments x, y,z de E : (xRy et yRz ) ⇒ z Rx. Exercice 1.6.15
() Soit M une partie non vide de P(E ) telle que : ∀ X, Y ∈ M, ∃ Z ∈ M, Z ⊂ X ∩ Y . On définit une relation R sur P(E ) par : ARB ⇔ ∃ X ∈ M, A ∩ X = B ∩ X . Montrer que R est une relation d’équivalence. Exercice 1.6.16
() Soit E un ensemble fini. On définit une relation R sur P(E ) par : ARB R est-elle une relation d’équivalence ? Exercice 1.6.17
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⇔ card(A∆B) est pair. Page 10
