Document créé le 24 novembre 2013
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Chapitre 10 Arithmétique dans 10.1 10.1
Z
Divisi Divisibil bilité ité,, divisio division n euclid euclidien ienne, ne, cong congrue ruence ncess
() Soient m et n deux entiers naturels, avec m < n, et tels que mn = n m. Montrer que nécessairement m m = = 2 et n = 4. Exercice 10.1.1
() Soit n un carré parfait à quatre chiffres, tous inférieurs ou égaux à 6. Si on ajoute 3 à chacun des ces chiffres, on obtient encore un carré parfait. Trouver n. Exercice 10.1.2
( ) Soit A une partie de {1, 2, . . . , 2n}, avec Card( Card(A A) = n n + + 1. Montrer Mont rer qu’il existe au moins deux élémen éléments ts distincts a, b de A tels que a | b. Exercice 10.1.3
( ) Résoudree dans N et dans Z l’équation 10 Résoudr 10x x + 15y 15 y + 6z 6 z = 73. Exercice 10.1.4
Exercice 10.1.5
Résoudree dans Z Résoudr
()
le système
x 2y + + z z = = 0 x + 2y 2 y 2z = 1
−
−
() Montrer que pour tous entiers m et n : m2 + n2 est divisible par 7 si et seulement si m et n sont divisibles par 7 . Exercice 10.1.6
() Résoudree les équati Résoudr équations ons 2x − 5y ≡ 3 (mod 24) et 2x − 5y ≡ 5 (mod 24) dans N. Exercice 10.1.7
() Calculer la somme des diviseurs de n = 1988 − 1 de la forme d = 2a 3b avec a, b dans N. Exercice 10.1.8
10.2 Pgcd et algorithme d’Euclide
Chapitre 10 : Arithmétique
dans Z
() Trouve l’entier minimum n se terminant par 6 et tel que si on déplace ce chiffre 6 pour le placer en tête de l’écriture décimale de n alors on obtient l’entier m = 4n. Exercice 10.1.9
() Calculer le reste dans la division de 20132013 par 7. Exercice 10.1.10
() Calculer le reste dans la division de N = 20132013 Exercice 10.1.11
Exercice 10.1.12
2013
par 17.
()
Pour tout n 1, on note d(n) le nombre de diviseurs de n dans N , et d(n) = ∗
1 . Montrer que 0 H n d(n) < 1 . k=1 k En déduire un équivalent de d(n) quand n tend vers l’infini.
On note H n =
10.2
n
−
1 n d(k). n k=1
Pgcd et algorithme d’Euclide
() Trouver tous les entiers 0 n m tels que : pgcd(m, n) = m − n et ppcm (m, n) = 300 Exercice 10.2.1
() Résoudre dans Z l’équation 2520x − 3960y = 6480. Exercice 10.2.2
Exercice 10.2.3
()
Montrer que a ∧ b = 1 si et seulement si (ab) ∧ (a + b) = 1. () On pose x = 2m − 1 et y = 2n + 1, avec m, n dans N . Soit d = m ∧ n. 1. Montrer que si m/d est impair, alors x et y sont premiers entre eux. 2. Montrer que si m/d est pair, alors x ∧ y = 2d + 1. Exercice 10.2.4
∗
( ) Montrer que les nombres de Fermat F n = 22 + 1 sont premiers entre eux deux à deux. Exercice 10.2.5
n
() Pour tout n de N , on note E n = {0, 1, . . . , n − 1}. Pour tout m de N , on note ϕ(n) = Card{k ∈ E n , k ∧ n = 1} (indicatrice d’Euler). Soient m, n dans N , avec m ∧ n = 1. Soit f : E m × E n → E mn définie par f (x, y) = xn + ym [mn]. Montrer que f est bijective. En déduire que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Exercice 10.2.6
∗
∗
∗
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10.3 Nombres premiers
Exercice 10.2.7
Chapitre 10 : Arithmétique
dans Z
()
Prouver que pour tout m de Z, la fraction
21m + 4 est irréductible. 14m + 3
() 1. Soient m et n deux entiers premiers entre eux. Soient a et b deux entiers. Montrer que le système
Exercice 10.2.8
x x
≡ a (mod m) possède des solutions et que celles-ci forment une classe d’entiers modulo mn. ≡ b (mod n) x ≡ 3 (mod 12) 2. Résoudre le système x ≡ 5 (mod 9)
() Soient x, y deux entiers. Montrer que 41 | 25x + 3y Exercice 10.2.9
10.3
⇔
41 31x + 7y .
|
Nombres premiers
() 1. Trouver l’exposant dans la décomposition de 1000! en produits de facteurs premiers. 2. Même question avec l’exposant de 3. 3. Généraliser avec l’exposant d’un entier premier p dans la décomposition de n!.
Exercice 10.3.1
() Quel est le plus petit entier naturel admettant exactement 15 diviseurs positifs? Exercice 10.3.2
() Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme N = 4k + 3 . (Considérer N n = 4 p1 p2 . . . pn + 3 , avec p 1 = 7, p2 = 11, etc.) Exercice 10.3.3
() Montrer qu’il y a une infinité d’entiers premiers de la forme 4n + 1 . Exercice 10.3.4
() Montrer qu’il y a une infinité d’entiers premiers de la forme 6n + 5 . Exercice 10.3.5
() Soit p un nombre premier. Exercice 10.3.6
p est divisible par p. k a p + b p (mod p).
1. Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p − 1,
2. En déduire que pour tous entiers a et b, (a + b) p ≡ 3. Montrer que pour tout entier n, n p ≡ n (mod p) (c’est le petit théorème de Fermat .) 4. Qu’obtient-on si p ne divise pas n ?
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10.4 Calculs dans Z/nZ
Chapitre 10 : Arithmétique
dans Z
() Trouver les nombres premiers dont l’écriture en base b utilise une fois et une seule tous les chiffres possibles de la base de numération (le 0 est possible en tête). Exercice 10.3.7
() Montrer que pour tous entiers m et n , N = mn(m60 − n60) est divisible par 56786730. Exercice 10.3.8
) En factorisant 641 − k4 pour k ∈ {1, 2}, montrer que F 5 = 232 + 1 n’est pas premier. Exercice 10.3.9
(
Exercice 10.3.10
()
On note C = {5, 9, 13, 17, 21, . . .} l’ensemble des entiers de la forme 4k + 1 , avec k dans N. On dit qu’un entier n est irréductible sur C s’il ne peut pas s’écrire comme un produit d’éléments de C strictement inférieurs à n. De combien de façon peut-on écrire 4389 comme un produit d’entiers irréductibles sur C ? () Soit ( pk )k1 la suite strictement croissante des nombres premiers. Pour tous k, n de le nombre d’entiers de {1, . . . , n} qui ne sont divisibles par aucun p j avec j > k. Exercice 10.3.11
∗
N
, on note N k (n)
n
Pour tout n de
N
∗
, on note S n =
√
1. Montrer que N k (n) 2k n.
1 . On se propose de montrer que n lim S n = + . + p k=1 k
→
∞
∞
2. On suppose par l’absurde que la suite (croissante) n → S n est convergente, de limite > 0 . 1 2
Il existe donc un entier k tel que − S k < . Utiliser cet entier k pour aboutir à une contradiction.
10.4
Calculs dans
Z/nZ
NB : cette section est un peu en marge du programme officiel de la classe de MPSI. () Dans Z, on définit la loi T par x T y = αx + βy (α, β ∈ Z ). Exercice 10.4.1
∗
1. Montrer que l’application ϕ : (x, y) → x T y est un morphisme de (Z2 , +) dans (Z, +). 2. Quel en est le noyau? 3. On se donne un entier n strictement positif. Montrer qu’on définit une loi sur Z/nZ en posant : x y = x T y . 4. Montrer est associative si et seulement si n divise α(α − 1) et β (β − 1). 5. Montrer que est commutative si et seulement si n divise α − β . 6. Montrer qu’il existe un neutre si et seulement si n divise α − 1 et β − 1. 7. En déduire à quelle condition (Z/nZ, ) est un groupe commutatif.
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10.4 Calculs dans Z/nZ
Chapitre 10 : Arithmétique
dans Z
() Résoudre l’équation x 2 + 2x = 3 dans Z/97Z puis dans Z/91Z. Exercice 10.4.2
Exercice 10.4.3
()
On munit K = (Z/5Z)
2
des lois :
(a, b) + (a , b ) = (a + a , b + b ) (a, b) (a , b ) = (aa + 2bb , ab + ba )
Montrer que K est un corps.
() On se donne un entier premier p strictement supérieur à 2. 1. Dans l’anneau Z/pZ, quels sont les éléments qui sont leur propre inverse ? 2. En déduire que p divise ( p − 1)! + 1. 3. Établir la réciproque. Exercice 10.4.4
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