Zadaci iz matematicke logike

Prirodno-matematiˇ Prirodno-mat ematiˇcki cki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2009. matem atiˇ cku cku logiku logik u grupa A Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ Pitanje 1 (5 poena)

= ∅ i definiˇsite a) Definiˇsite site interpretaciju interpretacij u raˇ cuna cuna Ri u X  site dokazivu Ri -formulu Φ. ˇ moˇzete b) Sta zet e kaza k azati ti o glavn g lavnoj oj interpreta int erpretacij cijii raˇcuna cuna Ri i o Booleovoj funkciji Φ = Φ( p1 , p2 , .... Ri -formule Φ ....., ., pn )? c) Formirajte ormirajte Booleovu funkciju Ri -formule ( p ⇒ q ) ∨ r. Pitanje 2 (5 poena)

a) Definiˇ Defi niˇsite sit e semantiˇ sem antiˇcki cki ekviva ekv ivalent lentne ne Ri -formule i napiˇsite site najmanje 10 primjera semantiˇ s emantiˇcki cki ekvivalen ek vivalentnih tnih iskazn i skaznih ih formula. fo rmula. b) Dokaˇzite zite (najmanje na dva naˇcina) cina) da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ∧ q ) ∨ (¬ p ∧ ¬q ) semantiˇ sema ntiˇcki cki ekvival ekvi valentn entne. e. Zadatak 1 (5 poena) poena) Odre Odrediti istinitosne istinitosne vrijednosti vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈ {, ⊥} ako je



τ ( p ⇔ r

     ) ⇒ ¬ ⇒ ⇒ ( ¬ ∧ ¬ ) ∨ (¬ ⇒ ) = ⊥ q

r

t

s

t

.

poena) Iskazna formula Zadatak 2 (5 poena)

      ⇒ ( Φ ≡ (¬ ∨ ) ⇒ ⇒ ⇔ ⇒ ¬ ⇒ r

p

q

F

F

q

r

  ∧¬ ) p

je tautologija. tautologija. Sastaviti s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ≡ F ( p, q, r).

1

Prirodno-matematiˇ Prirodno-mat ematiˇcki cki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2009. Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ matem atiˇ cku cku logiku logi ku grupa B Pitanje 1 (5 poena) ....., ., pn ). a) Definiˇ De finiˇsite si te Ri -tautologiju Φ -tautologiju Φ = Φ( p1 , p2 , ....

b) Formuliˇsite site Teor eoremu emu o iskaznim iskaz nim tautologijama tautologija ma i dokaˇzite zite (najmanje (najma nje na dva naˇcina) cin a) da je ( p ⇒ q ) ⇔ ( ¬ p ∨ q ) Ri-tautologija. Pitanje 2 (5 poena)

a) Definiˇsite site kanonske kano nske (normalne) (no rmalne) forme fo rme ( n.k.f. n.k.f. , n.d.f., s.n.k.f. i s.n.d.f. s.n.d.f.) ....., ., pn ). Φ = Φ( p1 , p2 , .... Ri -formule Φ b) Formirajte ormirajte s.n.d.f. i s.n.k.f.

Ri -formule p ⇒ q .

poena) Odre Odrediti istinitosne istinitosne vrijednosti vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈ Zadatak 1 (5 poena) {, ⊥} ako je



τ (s ⇔ p

     ) ⇒ ¬ ⇒ ( ¬ ∧ ) ∨ ( ⇒ ¬ ) = ⊥ r

p

q

t

q

.


        Φ ≡ ( ∨ ¬ ) ⇒ ¬ ⇒ ⇔ ⇒ ⇒ ( ¬ ∧ ) p

q

r

F

F

r

p

q


1

Prirodno-matematiˇ Prirodno-mat ematiˇcki cki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2009. Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ matem atiˇ cku cku logiku logi ku grupa B Pitanje 1 (5 poena) ....., ., pn ). a) Definiˇ De finiˇsite si te Ri -tautologiju Φ -tautologiju Φ = Φ( p1 , p2 , ....

b) Formuliˇsite site Teor eoremu emu o iskaznim iskaz nim tautologijama tautologija ma i dokaˇzite zite (najmanje (najma nje na dva naˇcina) cin a) da je ( p ⇒ q ) ⇔ ( ¬ p ∨ q ) Ri-tautologija. Pitanje 2 (5 poena)

a) Definiˇsite site kanonske kano nske (normalne) (no rmalne) forme fo rme ( n.k.f. n.k.f. , n.d.f., s.n.k.f. i s.n.d.f. s.n.d.f.) ....., ., pn ). Φ = Φ( p1 , p2 , .... Ri -formule Φ b) Formirajte ormirajte s.n.d.f. i s.n.k.f.


poena) Odre Odrediti istinitosne istinitosne vrijednosti vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈ Zadatak 1 (5 poena) {, ⊥} ako je



τ (s ⇔ p

     ) ⇒ ¬ ⇒ ( ¬ ∧ ) ∨ ( ⇒ ¬ ) = ⊥ r

p

q

t

q

.


        Φ ≡ ( ∨ ¬ ) ⇒ ¬ ⇒ ⇔ ⇒ ⇒ ( ¬ ∧ ) p

q

r

F

F

r

p

q


1

Prirodno-matematiˇ Prirodno-mat ematiˇcki cki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2009. Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ mate matiˇ cku cku logiku logi ku grupa C Pitanje 1 (5 poena)

= ∅ i definiˇsite a) Definiˇsite site interpretaciju interpretacij u raˇ cuna cuna Ri u X  site dokazivu Ri -formulu Φ. ˇ moˇzete b) Sta zet e kaza k azati ti o glavn g lavnoj oj interpreta int erpretacij cijii raˇcuna cuna Ri i o Booleovoj funkciji Φ = Φ( p1 , p2 , .... Ri -formule Φ ....., ., pn )? c) Formirajte ormirajte Booleovu funkciju Ri -formule ( p ⇒ q ) ∨ r. Pitanje 2 (5 poena)

a) Definiˇ Defi niˇsite sit e semantiˇ sem antiˇcki cki ekviva ekv ivalent lentne ne Ri -formule i napiˇsite site najmanje 10 primjera semantiˇ s emantiˇcki cki ekvivalen ek vivalentnih tnih iskazn i skaznih ih formula. fo rmula. b) Dokaˇzite zite (najmanje na dva naˇcina) cina) da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ∧ q ) ∨ (¬ p ∧ ¬q ) semantiˇ sema ntiˇcki cki ekvival ekvi valentn entne. e. poena) Odre Odrediti istinitosne istinitosne vrijednosti vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈ Zadatak 1 (5 poena) {, ⊥} ako je



τ (q ⇔ ⇔ s

     ) ⇒ ¬ ⇒ ( ¬ ∧ ¬ ) ∨ (¬ ⇒ ) = ⊥ t

s

p

r

p

.


        Φ ≡ ( ∨ ) ⇒ ⇒ ⇔ ⇒ ¬ ⇒ ⇒ ( ¬ ∧ ¬ ) r

p

q

F

F

q

r

p


1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2009. Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa D Pitanje 1 (5 poena)

a) Definiˇsite Ri -tautologiju Φ = Φ( p1 , p2 , ....., pn ). b) Formuliˇsite Teoremu o iskaznim tautologijama i dokaˇzite (najmanje na dva naˇcina) da je ( p ⇒ q ) ⇔ ( ¬ p ∨ q ) Ri -tautologija. Pitanje 2 (5 poena)

a) Definiˇsite kanonske (normalne) forme ( n.k.f., n.d.f., s.n.k.f. i s.n.d.f.) Ri -formule Φ = Φ( p1 , p2 , ....., pn ). b) Formirajte s.n.d.f. i s.n.k.f.


Zadatak 1 (5 poena) Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈ {, ⊥} ako je



  ⇒ (¬ ∧ ¬ ) ∨ ( ( ⇔ ) ⇒

τ p

t

s

t

r

q ⇒ r

)  = ⊥

.

Zadatak 2 (5 poena) Iskazna formula

        Φ ≡ ( ∨ ¬ ) ⇒ ⇒ ⇔ ⇒ ¬ ⇒ ( ¬ ∧ ) q

r

p

F

F

p

q

r

je tautologija. Sastaviti s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ≡ F ( p, q, r ).

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 23.12.2009. Testiranje iz Uvoda u matematiˇcku logiku grupa D Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule

F ≡ ( q ∨ ¬r ) ⇒ [( ¬q ∨ p) ⇔ ( r ∧ p)] . Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e } dvomjesni predikat P

definisan je sljedećom tabelom y ↓ ; x → a b c d e

a

b

c

d

e

  ⊥  ⊥

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

 ⊥  ⊥ 

⊥   ⊥ ⊥

 ⊥ ⊥  

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: a) ¬P (d, b) ⇒ P (b, d); b) P (c, e) ⇒ ( ∀y ∈ S )(∃x ∈ S )P (x, y). Odgovor obrazloˇziti! Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =



jednomjesni predikati:

x ∈

  1 ≤ |x + 3| < 4 definisani su

Z

• P 1 (x) : “ |x + 2| ≤ 1 i 

• P 2 (x) : “x2 + 4x ≥ 0 .



Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1 , P 2 i P = P 1 ⇔ ¬P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 23.12.2009. Testiranje iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa C Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F ≡ ( ¬ p ∨ r ) ⇒ [( ¬r ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q )] . Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e } dvomjesni predikat P


a

b

c

d

e

⊥   ⊥ ⊥

 ⊥ ⊥  ⊥

⊥  ⊥ ⊥ 

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

 ⊥ ⊥ ⊥ 

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: a) ¬P (c, b) ⇒ P (b, c); b) P (b, d) ⇒ ( ∀y ∈ S )(∃x ∈ S )P (x, y ). Odgovor obrazloˇziti! Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =




x ∈

  1 ≤ |x + 2| < 4 definisani su

Z

• P 1 (x) : “ |x + 1| ≤ 1 i 

• P 2 (x) : “x2 + 3x ≤ 0 . 

Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1 , P 2 i P = ¬ P 1 ⇔ P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 23.12.2009. Testiranje iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa B Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule

F ≡ ( ¬r ∨ ¬ p) ⇒ [( r ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q )] . Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e } dvomjesni predikat P


a

b

c

d

e

 ⊥  ⊥ 

 ⊥ ⊥  ⊥

⊥ ⊥   ⊥

 ⊥ ⊥ ⊥ 

⊥ ⊥  ⊥ 

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: a) ¬P (d, c) ⇒ P (c, d); b) (∀x ∈ S )(∃y ∈ S )P (x, y ) ⇒ P (e, c). Odgovor obrazloˇziti! Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =




x ∈

  1 ≤ |x − 3| < 4 definisani su

Z

• P 1 (x) : “ |x − 4| ≤ 1 i 

• P 2 (x) : “x2 − 2x > 0 .



Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1 , P 2 i P = ¬ P 1 ⇔ P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 23.12.2009. cku logiku grupa A Testiranje iz Uvoda u matematiˇ Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule

F ≡ ( p ∨ ¬q ) ⇒ [( ¬ p ∨ r ) ⇔ ( q ∧ r)] . Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e } dvomjesni predikat P


a

b

c

d

e

⊥  ⊥ ⊥ 

 ⊥  ⊥ ⊥

 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

⊥  ⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥  ⊥ 

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: a) P (c, a) ⇒ ¬P (a, c); b) (∀x ∈ S )(∃y ∈ S )P (x, y ) ⇒ P (c, b). Odgovor obrazloˇziti! Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =




x ∈

  1 ≤ |x − 2| < 4 definisani su

Z

• P 1 (x) : “ |x − 3| ≤ 1 i 

• P 2 (x) : “x2 − 3x ≤ 0 .



Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1 , P 2 i P = P 1 ⇔ ¬P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 27.12.2009. Druga provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa D Pitanje 1 (3 poena)

a) Definiˇsite predikat duˇzine n ∈ ∅.

N

= {1, 2, 3,...} definisan na skupu X  =

b) Definiˇsite egzistencijalni kvantor (kvantifikator) ∃. zite teoremu o promjeni poretka djeloPitanje 2 (3 poena) Formuliˇsite i dokaˇ vanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata. ˇ moˇzete kazati o direktnom (neposrednom) dokazu Pitanje 3 (4 poena) Sta u raˇcunu iskaza? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d } takvih da je

τ (( P (c) ∨ P (d)) ⇒ P (a)) = . Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati 

P 1 (x, y ) : “2x + y ≤ 2 , 

P 2 (x, y ) : “x − y ≥ −5 i 

P 3 (x, y ) : “y ≥ −2 .

Predstaviti grafiˇ cki oblast istinitosti predikata P 1 ⇒ ( P 2 ∧ P 3 ).

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 27.12.2009. Druga provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa C Pitanje 1 (3 poena)


N

= {1, 2, 3, ...} definisan na skupu S  =

b) Definiˇsite univerzalni kvantor (kvantifikator) ∀. zite teoremu koja utvrduje medusobni Pitanje 2 (3 poena) Formuliˇsite i dokaˇ odnos izmedu ˇcetiri jednomjesna predikata iz skupa

{∀x P (x, y ), ∀y P (x, y ), ∃x P (x, y ), ∃y P (x, y )} , koji su pridruˇ zeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1} definisanom na skupu S  = ∅. ˇ moˇzete kazati o zakljuˇcivanju pomoću logiˇckog kvaPitanje 3 (4 poena) Sta drata? Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d } takvih da je τ (( P (a) ∨ P (c)) ⇒ P (b)) = . Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati 

P 1(x, y ) : “x − 2y ≥ −2 , 

P 2(x, y ) : “x + y ≥ −5 i 

P 3(x, y ) : “x ≤ 2 .


1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 27.12.2009. Druga provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa B Pitanje 1 (3 poena)


N

= {1, 2, 3,...} definisan na skupu X  =

b) Definiˇsite egzistencijalni kvantor (kvantifikator) ∃. zite teoremu o promjeni poretka djeloPitanje 2 (3 poena) Formuliˇsite i dokaˇ vanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata. ˇ moˇzete kazati o direktnom (neposrednom) dokazu Pitanje 3 (4 poena) Sta u raˇcunu iskaza? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d } takvih da je

τ (( P (b) ∨ P (c)) ⇒ P (d)) = . Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati 

P 1 (x, y) : “x − y ≤ 5 , 

P 2 (x, y) : “2x + y ≥ −2 i 

P 3 (x, y) : “y ≤ 2 .


1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 27.12.2009. cku logiku grupa A Druga provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ Pitanje 1 (3 poena)


N

= {1, 2, 3, ...} definisan na skupu S  =

b) Definiˇsite univerzalni kvantor (kvantifikator) ∀. Pitanje 2 (3 poena) Formuliˇsite i dokaˇ zite teoremu koja utvrduje medusobni

odnos izmedu ˇcetiri jednomjesna predikata iz skupa

{∀x P (x, y ), ∀y P (x, y ), ∃x P (x, y ), ∃y P (x, y )} , koji su pridruˇ zeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1} definisanom na skupu S  = ∅. ˇ moˇzete kazati o zakljuˇcivanju pomoću logiˇckog kvaPitanje 3 (4 poena) Sta drata? Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d } takvih da je

τ (( P (a) ∨ P (d)) ⇒ P (c)) = . Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati 

P 1 (x, y ) : “x − 2y ≤ 2 , 

P 2 (x, y ) : “x + y ≤ 5 i 

P 3 (x, y ) : “x ≥ −2 .


1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 14.01.2010. cku logiku grupa A Zavrˇsni ispit iz Uvoda u matematiˇ Pitanje 1 (6.7 poena) Definiˇsite i -tautologiju Φ = Φ( p1 , p2 , . . . , pn ). Formuliˇ site teoremu o iskaznim tautologijama i dokaˇzite da je ( p =⇒ q ) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p) i - tautologija. Pitanje 2 (6.7 poena) Formuliˇ site i dokaˇzite teoremu o promjeni poretka

djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata. ˇ moˇzete kazati o posrednom (indirektnom) dokazu Pitanje 3 (6.7 poena) Sta u raˇcunu i ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule

F 1 ≡ [(¬ p ∨ q ) ⇒ r ] ⇒ F i F 2 ≡ [(¬ p ∨ q ) ∧ ¬r] ∧ ¬F

su semantiˇcki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F = F ( p, q, r ). Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d } takvih da je



τ

      P (a)∨P (b)∨¬P (c) ∧ P (a)∨¬P (b)∨P (c) ∧ ¬P (a)∨¬P (b)∨P (c) = .

Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati

  “x + y − 5 > 1”.

P 1 (x, y) : “ x − y + 1 ≤ 1” i P 2 (x, y) :

Predstaviti grafiˇ cki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 14.01.2010. Zavrˇsni ispit iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa B Pitanje 1 (6.7 poena) Definiˇsite semantiˇ cki ekvivalentne i -formule i napiˇsite

najmanje 10 primjera semantiˇ cki ekvivalentnih iskaznih formula. Dokaˇzite da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p ) semantiˇcki ekvivalentne. zite teoremu koja utvrduje medusobni Pitanje 2 (6.7 poena) Formuliˇsite i dokaˇ odnos izmedu ˇcetiri jednomjesna predikata iz skupa

{∀x P (x, y ), ∀y P (x, y ), ∃x P (x, y ), ∃y P (x, y )} , koji su pridruˇ zeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1} definisanom na skupu S  = ∅. ˇ moˇzete kazati o dokazivanju (u raˇcunu i ) tvrdnji Pitanje 3 (6.7 poena) Sta oblika implikacije p ⇒ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule

F 1 ≡ [( p ∨ ¬q ) ⇒ ¬r] ⇒ ¬F i F 2 ≡ [( p ∨ ¬q ) ∧ r] ∧ F




τ

      P (a)∧¬P (b)∧P (c) ∨ P (a)∧¬P (b)∧¬P (c) ∨ ¬P (a)∧¬P (b)∧P (c) = ⊥ .


  “x + y − 1 > 1”.

P 1 (x, y) : “ x − y + 5 ≤ 1” i P 2 (x, y) :


1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 14.01.2010. Zavrˇsni ispit iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa C Pitanje 1 (6.7 poena) Definiˇsite i -tautologiju Φ = Φ( p1 , p2 , . . . , pn ). Formuliˇ site teoremu o iskaznim tautologijama i dokaˇzite da je ( p =⇒ q ) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p) i - tautologija.

site i dokaˇzite teoremu o promjeni poretka Pitanje 2 (6.7 poena) Formuliˇ djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata. ˇ moˇzete kazati o posrednom (indirektnom) dokazu Pitanje 3 (6.7 poena) Sta u raˇcunu i ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule F 1 ≡ [(q ∨ ¬r ) ⇒ p] ⇒ F i F 2 ≡ [(q ∨ ¬r ) ∧ ¬ p] ∧ ¬F




τ

      P (a) ∨P (b) ∨P (c) ∧ P (a) ∨¬ P (b) ∨P (c) ∧ ¬P (a) ∨¬P (b) ∨ P (c) = .


  “x + y + 5 > 1”.

P 1 (x, y) : “ x − y − 1 ≤ 1” i P 2 (x, y) :


1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 14.01.2010. Zavrˇsni ispit iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa D Pitanje 1 (6.7 poena) Definiˇsite semantiˇ cki ekvivalentne i -formule i napiˇsite

najmanje 10 primjera semantiˇ cki ekvivalentnih iskaznih formula. Dokaˇzite da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p ) semantiˇcki ekvivalentne. zite teoremu koja utvrduje medusobni Pitanje 2 (6.7 poena) Formuliˇsite i dokaˇ odnos izmedu ˇcetiri jednomjesna predikata iz skupa

{∀x P (x, y ), ∀y P (x, y ), ∃x P (x, y ), ∃y P (x, y )} , koji su pridruˇ zeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1} definisanom na skupu S  = ∅. ˇ moˇzete kazati o dokazivanju (u raˇcunu i ) tvrdnji Pitanje 3 (6.7 poena) Sta oblika implikacije p ⇒ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule

F 1 ≡ [( ¬q ∨ r ) ⇒ ¬ p] ⇒ ¬F i F 2 ≡ [( ¬q ∨ r ) ∧ p] ∧ F




τ

      P (a)∧P (b)∧¬P (c) ∨ ¬P (a)∧P (b)∧¬P (c) ∨ ¬P (a)∧¬P (b)∧P (c) = ⊥ .


  “x + y + 1 > 1”.

P 1 (x, y) : “ x − y − 5 ≤ 1” i P 2 (x, y) :


1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 04.02.2010. cku logiku grupa A Popravni ispit iz Uvoda u matematiˇ Pitanje 1 (6.7 poena) Definiˇsite osnovne logiˇcke operacije u skupu P X (svih) jednomjesnih predikata definisanih na skupu X  = ∅. Nakon toga ilustrujte ih na primjeru skupa P X , ako je X = {a, b} . Pitanje 2 (6.7 poena) Formuliˇ site i dokaˇzite teoremu o promjeni poretka

djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata. ˇ moˇzete kazati o neposrednom (direktnom) dokazu Pitanje 3 (6.7 poena) Sta u raˇcunu i ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (6 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈

(∀x ∈

2

R) x

R tako

da iskaz

− (m + 1) x + m + 1 > 0 ⇒ ( ∃x ∈ R) x2 + 4x + 5 ≤ 0

bude taˇcan. Zadatak 2 (7 poena) Navesti primjer dvomjesnog predikata P, definisanog na skupu S = x ∈ Z 1 < | x − 2| ≤ 3 takvog da iskaz







(∀y ∈ S ) (∃x ∈ S ) P (x, y ) ⇒ ( ∃x ∈ S ) (∀y ∈ S ) P (x, y) bude netaˇcan. Zadatak 3 (7 poena) Rijeˇsiti jednaˇcinu

      (¬r ∨ ¬q ) ⇒ ( s ∧ q ) ∨ ( p ∧ q ) ∨ (¬r ∧ ¬s) ⇒ p ∧ ¬q = , τ po nepoznatim p,q,r, s ∈ {, ⊥}. Napomena: Na ovoj provjeri znanja je mogu´ ce osvojiti maksimalno 40 bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeri

znanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na zavrˇsnoj provjeri znanja ve´ c ovi drugi anuliraju prve.

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 04.02.2010. Popravni ispit iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa B ˇ moˇzete kazati o univerzalnom kvantoru? Pitanje 1 (6.7 poena) Sta zite teoremu koja utvrduje medusobni Pitanje 2 (6.7 poena) Formuliˇsite i dokaˇ odnos izmedu ˇcetiri jednomjesna predikata iz skupa

{∀x P (x, y ), ∀y P (x, y ), ∃x P (x, y ), ∃y P (x, y )} koji su pridruˇ zeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1} definisanom na skupu S  = ∅. ˇ moˇzete kazati o dokazivanju (u raˇcunu i ) tvrdnji Pitanje 3 (6.7 poena) Sta oblika implikacije p ⇔ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (6 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈

R tako

da iskaz

(∀x ∈ R) x2 − (m − 1)x + m − 1 > 0 ⇒ ( ∀x ∈ R) x2 + 4x + 3 ≥ 0 bude taˇcan. Zadatak 2 (7 poena) Navesti primjer dvomjesnog predikata P, definisanog na skupu S = x ∈ Z 1 < | x + 2| ≤ 3 takvog da iskaz







(∀x ∈ S ) (∃y ∈ S ) P (x, y ) ⇒ ( ∃y ∈ S ) (∀x ∈ S ) P (x, y) bude netaˇcan. Zadatak 3 (7 poena) Rijeˇsiti jednaˇcinu

      (¬q ∨ ¬ p) ⇒ ( r ∧ p) ∨ (s ∧ p) ∨ (¬q ∧ ¬r) ⇒ s ∧ ¬ p = , τ po nepoznatim p,q,r, s ∈ {, ⊥}. Napomena: Na ovoj provjeri znanja je mogu´ ce osvojiti maksimalno 40 bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeri

znanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na zavrˇsnoj provjeri znanja ve´ c ovi drugi anuliraju prve.

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 02.09.2010. Dodatni ispit iz Uvoda u matematiˇ cku logiku (ljetna ˇskola) Pitanje 1 (16.7 poena) Formuliˇsite teoremu o iskaznim tautologijama i dokaˇzite

(bar na dva naina) da je zakon otkidanja iskazna tautologija. zite teoremu o promjeni poretka Pitanje 2 (16.7 poena) Formuliˇsite i dokaˇ djelovanja kvantora (na promjenjive dvomjesnog predikata). ˇ moˇzete kazati o zakljuˇcivanju po logiˇckom kvadratu? Pitanje 3 (16.7 poena) Sta Zadatak 1 (15 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati

    “x + y − 5 > 1” .

P 1 (x, y ) : “ x − y + 1 ≤ 1” i P 2 (x, y ) :

Predstaviti grafiˇ cki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2 . Zadatak 2 (15 poena) Rijeˇsiti jednaˇ cinu τ



     (¬s ∨ ¬r) ⇒ (¬ p ∧ r) ∨ (¬q ∧ r ) ∨ (¬s ∧ p) ⇒ ¬q ∧ ¬r = ,

po nepoznatim p,q,r,s ∈ {, ⊥}. Zadatak 3 (20 poena) Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈

R za

koje je

taˇcan iskaz 2

x

 − 2x − 3 ≥ 0 ⇒ x

2

 − 2x − 8 ≤ 8.

Napomena: Na ovom ispitu je moguće osvojiti maksimalno 100 bodova

(50 iz teorije i 50 iz zadataka). Da bi student poloˇ zio ispit neophodno je da osvoji minimalno 55 bodova.

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 14.09.2010. Dodatni ispit iz Uvoda u matematiˇ cku logiku Pitanje 1 (6.7 poena) Formuliˇsite teoremu o iskaznim tautologijama i dokaˇ zite

(bar na dva naina) da je zakon otkidanja iskazna tautologija. site i dokaˇzite teoremu o promjeni poretka Pitanje 2 (6.7 poena) Formuliˇ djelovanja kvantora (na promjenjive dvomjesnog predikata). ˇ moˇzete kazati o zakljuˇcivanju po logiˇckom kvadratu? Pitanje 3 (6.7 poena) Sta Zadatak 1 (6.7 poena) Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R \ {4} za koje

je taˇcan iskaz

x2 − 6x + 2

4−x

1 ≥ −1 ⇒ 2 ≤ . 4 x

Zadatak 2 (6.7 poena) Iskazna formula

Φ ≡ [( p ∧ ¬q ) ⇒ r] ⇔ ¬F je tautologija. Rijeˇsiti jednaˇcinu F ( p, q, r) = ⊥, po nepoznatim p,q,r ∈ {, ⊥}. Zadatak 3 (6.7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati P 1 (x, y ) : “ max{|x|, |y |} ≤ a” i 



P 2 (x, y ) : “x − y  ≤ a”

( a > 0). Predstaviti grafiˇ cki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2 . ce osvojiti maksimalno 40 Napomena: Na ovoj provjeri znanja je mogu´ bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeri znanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na prethodne dvije provjere znanja (zavrˇsni i popravni ispit). Bodovi osvojeni na ovoj provjeri anuliraju bodove osvojene na prethodne dvije provjere.

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2010. cku logiku grupa A Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ Pitanje 1 (3.33 poena) Formuliˇsite teoremu o iskaznim tautologijama i dokaˇzite

 da je iskazna formula

)

¬ p ⇒ (q ∧ ¬q

⇒ p iskazna

tautologija.

ˇ moˇzete kazati o interpretacijama logike iskaza? Pitanje 2 (3.33 poena) Sta Pitanje 3 (3.33 poena) Definiˇsite normalnu konjuktivnu formu (n.k.f.) i

savrˇsenu normalnu konjuktivnu formu (s.n.k.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1 , p2 , . . . , p ). Nakon toga, napiˇsite svaku od njih za formulu Φ = Φ( p, q, r ) ako je Φ( p, q, r ) kraća oznaka za formulu ( p ∧ q ) ∨ ¬r. n


Φ≡

 (

  ) (



q ⇔ ¬r ) ∨ ¬F ∧ (¬ p ∨ ¬F

∧

¬F ⇒ p) ∨ (¬q ⇔ ¬r

je tautologija. Sastaviti: a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r ); b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r ). Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi

 

p : x + 3 ≥ −2x i q :

−x2

+ 11x − 8 3−x

≥ 2x − 1.

Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da: a) iskaz p bude taˇcan; b) iskaz q bude taˇcan; c) iskazna formula F ≡

(



¬ p ∨ q ) ⇒ ¬q ∧ ( p ⇔ q ) bude

1

taˇcna.

)

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2010. Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa B Pitanje 1 (3.33 poena) Definiˇ site semantiˇcki ekvivalentne iskazne formule

i navedite bar deset primjera takvih formula. Nakon toga dokaˇzite da su iskazne formule p ⇒ q i ¬ p ⇒ ¬q semantiˇcki ekvivalentne. ˇ moˇzete kazati o glavnoj interpretaciji logike iskaza Pitanje 2 (3.33 poena) Sta i o Booleovoj funkciji iskazne formule Φ = Φ ( p1 , p2 , . . . , p )? Nakon toga formirajte Booleovu funkciju iskazne formule ( p ∨ q ) ∧ ¬r. n

Pitanje 3 (3.33 poena) Definiˇsite normalnu disjunktivnu formu (n.d.f.) i

savrˇsenu normalnu disjunktivnu formu (s.n.d.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1 , p2 , . . . , p ). Nakon toga, napiˇsite svaku od njih za formulu Ψ = Ψ( p, q, r ) ako je Ψ( p, q, r ) kraća oznaka za formulu ( p ∨ q ) ∧ ¬r. n


Φ≡

 (

  ) (



p ⇔ r ) ∨ ¬F ∧ (q ∨ ¬F

∧

¬F ⇒ ¬q ) ∨ ( p ⇔ ¬r

je tautologija. Sastaviti: a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r ); b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r ). Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi p

 :  + 4 x

≥ −3x

i q :

−x2

+ 9x + 2 2−x

≥ 2x + 1 .

Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da: a) iskaz p bude taˇcan; b) iskaz q bude netaˇcan;

(



c) iskazna formula F ≡ p ∨ ¬q ) ⇒ q

1

∧ (¬ p ⇔ q ) bude

taˇcna.

)

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2010. Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa C Pitanje 1 (3.33 poena) Formuliˇsite teoremu o iskaznim tautologijama i dokaˇzite

 da je iskazna formula

)

¬ p ⇒ (q ∧ ¬q

⇒ p iskazna

tautologija.

ˇ moˇzete kazati o interpretacijama logike iskaza? Pitanje 2 (3.33 poena) Sta Pitanje 3 (3.33 poena) Definiˇsite normalnu konjuktivnu formu (n.k.f.) i

savrˇsenu normalnu konjuktivnu formu (s.n.k.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1 , p2 , . . . , p ). Nakon toga, napiˇsite svaku od njih za formulu Φ = Φ( p, q, r ) ako je Φ( p, q, r ) kraća oznaka za formulu ( p ∧ q ) ∨ ¬r. n


Φ≡

 (

  ) (



¬q ⇔ ¬r) ∨ ¬F ∧ ( p ∨ ¬F

∧

¬F ⇒ ¬ p) ∨ (q ⇔ ¬r

je identiˇcki laˇzna. Sastaviti: a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r ); b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r ). Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi

 

p : x + 5 ≥ −4x i q :

−x2

+ 13x − 20 4−x

≥ 2x − 3.

Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da: a) iskaz p bude taˇcan; b) iskaz q bude taˇcan;

(

c) iskazna formula F ≡ p ∨ ¬q ) ⇒ ¬ p

1



∧ ( p ⇔ q ) bude

taˇcna.

)

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2010. Prva provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa D Pitanje 1 (3.33 poena) Definiˇ site semantiˇcki ekvivalentne iskazne formule

i navedite bar deset primjera takvih formula. Nakon toga dokaˇzite da su iskazne formule p ⇒ q i ¬ p ⇒ ¬q semantiˇcki ekvivalentne. ˇ moˇzete kazati o glavnoj interpretaciji logike iskaza Pitanje 2 (3.33 poena) Sta i o Booleovoj funkciji iskazne formule Φ = Φ ( p1 , p2 , . . . , p )? Nakon toga formirajte Booleovu funkciju iskazne formule ( p ∨ q ) ∧ ¬r. n

Pitanje 3 (3.33 poena) Definiˇsite normalnu disjunktivnu formu (n.d.f.) i

savrˇsenu normalnu disjunktivnu formu (s.n.d.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1 , p2 , . . . , p ). Nakon toga, napiˇsite svaku od njih za formulu Ψ = Ψ( p, q, r ) ako je Ψ( p, q, r ) kraća oznaka za formulu ( p ∨ q ) ∧ ¬r. n


Φ≡

 (

  ) (



¬ p ⇔ ¬r) ∨ ¬F ∧ (¬q ∨ ¬F

∧

¬F ⇒ q ) ∨ (¬ p ⇔ r

je identiˇcki laˇzna. Sastaviti: a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r ); b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r ). Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi p

 :  + 6 x

≥ −5x i q :

−x2

+ 7x + 10 1−x

≥ 2x + 3 .

Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da: a) iskaz p bude netaˇcan; b) iskaz q bude taˇcan; c) iskazna formula F ≡

(



¬ p ∨ q ) ⇒ p ∧ ( p ⇔ ¬q ) bude

1

taˇcna.

)

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 18.12.2010. cku logiku grupa A Testiranje iz Uvoda u matematiˇ Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule

≡ [r ⇒ ( p ∧ ¬q )] ⇔ [q ∨ (¬ p ⇒ r )] . Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e } dvomjesni predikat P F

definisan je sljede´ com tabelom y ;x a b c d e

↓ →

a

b

c

d

e

  ⊥ ⊥ 

⊥ ⊥  ⊥      ⊥  ⊥ ⊥  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∀x) P ( x, b) , (∀y ) P ( b, y ) , (∃x) (∀y ) P ( x, y ) i (∃y ) (∀x) P ( x, y ) .   x − 7x + 12  Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S = x ∈ N < x − 2 defix−6 2

nisani su jednomjesni predikati:

• P (x) : log 1

• P

2

√ 3

5

5 >

 3  ( ) :  +  5 x

x

x

6 i 7

< x.

Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1 , P 2 i P =

1

¬P ⇒ P . 2

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 18.12.2010. Testiranje iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa B Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule

≡ [ p ⇒ (¬q ∧ r)] ⇔ [¬r ∨ (q ⇒ p )] . Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e } dvomjesni predikat P F


↓ →

a

b

c

d

e

 ⊥ ⊥  ⊥

 ⊥ ⊥    ⊥ ⊥  ⊥  ⊥   ⊥   ⊥ ⊥  Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∀x) P ( x, b) , (∀y ) P ( b, y ) , (∃x) (∀y ) P ( x, y ) i (∃y ) (∀x) P ( x, y ) .   x + 3x − 6  Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S = x ∈ N < x + 2 defini2

x

sani su jednomjesni predikati:

• P (x) : log 1

• P

2

3

√

3 >

 5  ( ) :  +  3 x

x

x

√ 7 2

i

< x.


1

¬P ⇒ P . 2

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 18.12.2010. Testiranje iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa C Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule

≡ [q ⇒ (¬ p ∧ r)] ⇔ [ p ∨ (¬r ⇒ q )] . Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e } dvomjesni predikat P F


↓ →

a

b

c

d

e

 ⊥ ⊥ ⊥ 

⊥ ⊥  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥  ⊥  ⊥ ⊥  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∃x) P ( x, b) , (∃y ) P ( b, y ) , (∀x) (∃y ) P ( x, y ) i (∀y ) (∃x) P ( x, y ) .   x − x − 6  Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S = x ∈ N < x − 2 defini2

x

sani su jednomjesni predikati:

• P (x) : log 1

• P

2

√ 3

2

2 >

 2  ( ) :  +  5 x

x

x

6 i 7

< x.


1

¬P ⇒ P . 2

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 18.12.2010. Testiranje iz Uvoda u matematiˇcku logiku grupa D Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule

≡ [q ⇒ ( p ∧ ¬r)] ⇔ [¬ p ∨ (r ⇒ q )] . Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e } dvomjesni predikat P F


↓ →

a

b

c

d

e

 ⊥ ⊥  ⊥

⊥ ⊥ ⊥  ⊥  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥  ⊥ ⊥  ⊥  ⊥ ⊥ ⊥  Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∃x) P ( x, b) , (∃y ) P ( b, y ) , (∀x) (∃y ) P ( x, y ) i (∀y ) (∃x) P ( x, y ) .   x − 3x − 12  Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S = x ∈ N < x + 2 defix−6 nisani su jednomjesni predikati: √ √ 7 • P (x) : log 5 > 2 i 2

x

1

• P

2

5

 5  ( ) :  +  2 x

x

< x.


1

¬P ⇒ P . 2

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 24.12.2010. cku logiku grupa A Druga provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ Pitanje 1 (3.33 poena)

a) Definiˇsite univerzalni kvantor ∀. b) Formuliˇsite i dokaˇzite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀x P (x, y), ∀y P (x, y), ∃x P (x, y), ∃y P (x, y) pridruˇzene proizvoljnom dvo θ. mjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = ˇ moˇzete kazati o zakljuˇcivanju pomoću logiˇckog Pitanje 2 (3.33 poena) Sta kvadrata? ˇ moˇzete kazati o direktnom dokazu u raˇcunu Pitanje 3 (3.33 poena) Sta iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = { a,b,c,d,e } takvih da je

 ¬

 ( ) ⇒

P c

       ( )∧¬ ( ) ∧ ¬ ( )∨ ( )∧¬ ( ) ∨  ( ) ∨ ¬ ( ) ⇒  ( ) ∧ ( )

P a

P e

P c

P d

P a

P b

P e

P d

P b

= .


 

P 1 (x, y ) : y ≥ ( x − 1)2 − x − 1 i P 2 (x, y ) : y ≤ −x2 + 2 x.

Grafiˇ cki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1 , P 2 i ¬P 1 ∧ P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 24.12.2010. Druga provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa B Pitanje 1 (3.33 poena)

a) Definiˇsite egzistencijalni kvantor ∃. b) Formuliˇsite i dokaˇzite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata. ˇ moˇzete kazati o silogizmu (kao formi zakljuˇcivanja) Pitanje 2 (3.33 poena) Sta i njegovim vrsta-ma (uz navodenje najmanje po jednog primjera za svaku vrstu)? ˇ moˇzete kazati o indirektnom dokazu u raˇ cunu Pitanje 3 (3.33 poena) Sta iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = { a,b,c,d,e } takvih da je

 ¬

 ( ) ⇒ ¬

P b

       ( )∧¬ ( ) ∧ ¬ ( )∨ ¬ ( )∧¬ ( ) ∨ ¬ ( ) ∨ ( ) ⇒ ¬ ( ) ∧ ¬ ( )

P e

P d

P b

P c

P a

P e

P c

P d

P a

= .


 

P 1 (x, y ) : y ≥ x − 1 − (x − 1)2 i P 2 (x, y ) : y ≤ x 2 − 2x.

Grafiˇ cki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1 , P 2 i P 1 ∧ ¬P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 24.12.2010. Druga provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa C Pitanje 1 (3.33 poena)

a) Definiˇsite univerzalni kvantor ∀. b) Formuliˇsite i dokaˇzite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀x P (x, y), ∀y P (x, y), ∃x P (x, y), ∃y P (x, y) pridruˇzene proizvoljnom dvom θ. jesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = ˇ moˇzete kazati o zakljuˇcivanju pomoću logiˇckog Pitanje 2 (3.33 poena) Sta kvadrata? ˇ moˇzete kazati o direktnom dokazu u raˇcunu Pitanje 3 (3.33 poena) Sta iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = { a,b,c,d,e } takvih da je

 ¬

 ( ) ⇒

P e

    ( )∨ ( )∧¬ ( )     ( ) ⇒ ¬ ( ) ∧ ¬ ( )

   ( ) ∧ ¬

P (c) ∧ ¬P b

∨ ¬

P e

P c

P (a) ∨ P d

P b

P a

P d

= .


 

P 1 (x, y ) : y ≥ ( x + 1) 2 − x + 1 i P 2 (x, y ) : y ≤ −x2 − 2x.

Grafiˇ cki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1 , P 2 i P 1 ∧ ¬P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 24.12.2010. Druga provjera znanja iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa D Pitanje 1 (3.33 poena)

a) Definiˇsite egzistencijalni kvantor ∃. b) Formuliˇsite i dokaˇzite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata. ˇ moˇzete kazati o silogizmu (kao formi zakljuˇcivanja) Pitanje 2 (3.33 poena) Sta i njegovim vrsta-ma (uz navodenje najmanje po jednog primjera za svaku vrstu)? ˇ moˇzete kazati o indirektnom dokazu u raˇ cunu Pitanje 3 (3.33 poena) Sta iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = { a,b,c,d,e } takvih da je

 ¬

 ( ) ⇒

P a

   ( ) ∧ ¬

P (d) ∧ ¬P c

∨ ¬

    ( )∨ ( )∧¬ ( )     ( ) ⇒ ¬ ( ) ∧ ¬ ( )

P a

P (b) ∨ P e

P d

P c

P b

P e

= .


 

P 1 (x, y ) : y ≥ x + 1 − (x + 1) 2 i P 2 (x, y ) : y ≤ x 2 + 2 x.

Grafiˇ cki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1 , P 2 i ¬P 1 ∧ P 2 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 13.01.2011. cku logiku grupa A Zavrˇsni ispit iz Uvoda u matematiˇ Pitanje 1

a) (2 poena) Definiˇsite konjunktivnu normalnu formu (k.n.f.) i savrˇsenu konjunktivnu normalnu formu (s.k.n.f.) iskazne formule Φ. b) (2 poena) Definiˇsite egzistencijalni kvantor ∃. c) (4.33 poena) Formuliˇsite i dokaˇzite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata. Pitanje 2 (8.33 poena) Kaˇzite (ˇsto detaljnije moˇzete) o vrsti zakljuˇ civanja pomoću logiˇckog kvadrata, koju nazivamo zakljuˇcivanje po suprotnosti . Nakon

toga navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takve vrste zakljuˇcivanja. ˇ moˇzete kazati o dokazivanju tvrdnji (u raˇ Pitanje 3 (8.33 poena) Sta cunu iskaza) koje su oblika ekvivalencije p ⇔ q ? Navedite bar jedan (pogodnoilustrativni) primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (12.5 poena) Iskazne formule

     ∨¬ Φ ≡ (¬ ∧ ) ∨ ⇒ (¬ ∨ ) ∧ p

1

i

r

q

p

r

q

   Φ ≡ ( ∨ ¬ ) ∧ ¬ ∧ ¬ ∨ (¬ ∨ ) ∧ 2

p

r

q

F

p

r

F



q ∧ ¬F

su semantiˇcki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti, s.k.n.f. i s.d.n.f. iskazne formule F(p,q,r). Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R definisani su jednomjesni predikati

    4 −  − 1 ≥ −1

P 1 (x) : x2 − 2x + x − 1 ≥ 5 , P 2 (x) :

x

,

P 3 (x) : max {x − 1, 3 − x} ≥ 3 .

Odrediti oblast istinitosti predikata P 1 , P 2 , P 3 i (P 1 ⇔ P 2 ) ∧ ¬P 3 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 13.01.2011. Zavrˇsni ispit iz Uvoda u matematiˇ cku logiku grupa B Pitanje 1

a) (2 poena) Definiˇsite disjunktivnu normalnu formu (d.n.f.) i savrˇsenu disjunktivnu normalnu formu (s.d.n.f.) iskazne formule Φ. b) (2 poena) Definiˇsite univerzalni kvantor ∀. c) (4.33 poena) Formuliˇsite i dokaˇzite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y), ∀y P (x, y), ∃x P (x, y), ∃y P (x, y) pridruˇzene proizvoljnom dvomjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S  = ∅. Pitanje 2 (8.33 poena) Kaˇzite (ˇsto detaljnije moˇzete) o vrsti zakljuˇ civanja pomoću logiˇckog kvadrata, koju nazivamo zakljuˇcivanje po suprotnosti . Nakon

toga navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takve vrste zakljuˇcivanja. ˇ moˇzete kazati o dokazivanju tvrdnji (u raˇ cunu Pitanje 3 (8.33 poena) Sta iskaza) koje su oblika jednakosti L = D ? Navedite bar jedan (pogodnoilustrativni) primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (12.5 poena) Iskazne formule

     Φ ≡ (¬ ∧ ) ∨ ¬ ⇒ (¬ ∨ ) ∧ ¬ ∨¬ q

1

i

r

 Φ ≡ ( ∨ ¬ ) ∧ 2

q

r

p

q

r

p

F

 ∨  (¬ ∨ ) ∧ ¬ ∧ ¬ 

p ∧ ¬F

q

r

p

F

su semantiˇcki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti, s.k.n.f. i s.d.n.f. iskazne formule F(p,q,r). Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R definisani su jednomjesni predikati

    4 −  + 1 ≥ −1

P 1 (x) : x2 + 2 x + x + 1 ≥ 5 , P 2 (x) :

x

,

P 3 (x) : max {x + 1 , 1 − x} ≥ 3 .

Odrediti oblast istinitosti predikata P 1 , P 2 , P 3 i (P 1 ⇔ P 2 ) ∧ ¬P 3 .

1

Prirodno-matematiˇcki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 03.02.2011. cku logiku grupa A Popravni ispit iz Uvoda u matematiˇ Pitanje 1 (8.33 poena)

a) Definiˇsite kanonske forme Ri − formula. b) Formuliˇsite i dokaˇzite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata. Pitanje 2 (8.33 poena) Kaˇzite (ˇ sto detaljnije moˇzete) o zakljuˇcivanju po potsuprotnosti i zakljuˇcivanju po protivrjeˇ cnosti .

ˇ moˇzete kazati o dokazivanju tvrdnji (u raˇ Pitanje 3 (8.33 poena) Sta cunu iskaza) koje su oblika ekvivalencije p ⇔ q ? Navedite bar jedan (pogodnoilustrativni) primjer takvog dokaza. Zadatak 1 (12.5 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈

R tako

iskazi: I 1 I 2

“ (∃x ∈ R) x2 + 3x + 3 ≤ m(x + 1) ;   ≡ “ (∀x ∈ R) x + 1  > m − 1 ; 

≡



I 1 ⇔ I 2 .

budu taˇcni. Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati: P 1 (x, y ) ≡ “x2 − 2x ≤ y 2 + 2 y ; 

P 2 (x, y ) ≡ “x2 − 2x ≤ −y 2 − 2y . 

Grafiˇ cki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1 , P 2 i P 1 ⇒ P 2 .

1

da

Zadaci iz matematicke logike

Recommend Documents